MATEMATIKK8–10
fraCAPPELENDAMM
Håndbokforelever
EspenHjardar
Jan-Erik Pedersen
Bokmål
©CAPPELENDAMMAS,Oslo2024
Materialetidennepublikasjoneneromfattetavåndsverklovensbestemmelser.UtensærskiltavtalemedCappelenDammAS erenhvereksemplarframstillingogtilgjengeliggjøringbaretillattidenutstrekningdeterhjemletilovellertillattgjennom avtalemedKopinor,interesseorganforrettighetshaveretilåndsverk.Enhverbrukavheleellerdeleravutgivelsensominput ellersomtreningskorpusigenerativemodellersomkanskapetekst,bilder,film,lydellerannetinnholdoguttrykk,erikke tillattutensærskiltavtalemedrettighetshaverne.
Brukavutgivelsensmaterialeistridmedlovelleravtalekanføretilinndragning,erstatningsansvarogstraffiformavbøter ellerfengsel.
Matematikk8–10fraCappelenDammHåndbokforelever erlagdtilfagfornyelsenifagetmatematikkogertilbrukpå grunnskolensungdomstrinn.
Illustrasjoner:MaciejSidorowicz Design:BøkOsloAS
Omslagsdesign:TankDesignAS/MaciejSidorowicz Satsogtekniskillustrasjon:AITGrafiskAS,ArnvidMoholt Forlagsredaktør:OlaiSveineJohannessen
Trykkoginnbinding:LivoniaPrintSIA,Latvia,2024
Utgave1
Opplag1
ISBN978-82-02-84461-5
www.skolen.cdu.no
Innhold
Regeldel
1–Tallogtallforståelse..............4
2–Målingogenheter..............20
3–Algebra......................22
Eksamensøving
DelB:Åpneoppgavermed styrtinformasjon..................128
DelC:Åpneoppgaveruten styrtinformasjon..................133
FasitogLøsninger
VåreløsningsforslagavDelBogC.....136
Fasit:Regeldel....................158
1–Tallogtallforståelse
Heltallognaturligetall
Tallutendesimalerkallesheltall.
Denaturligetalleneerheltallstørreennnull.
Primtallogsammensattetall
Etprimtalleretnaturligtallstørreenn1som bareerdeleligmed1ogsegselv.
Denaturligetallenesomerstørreenn1ogikke erprimtall,kallessammensattetall.
Tallet1erverkenetprimtallelleret sammensatttall.
Regningmednegativetall
Heltall:...,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,5,...
Naturligetall:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
De20førsteprimtalleneer: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, 53,59,61,67og71
12eretsammensatttallfordi:12 ¼ 2 2 3 30eretsammensatttallfordi:30 ¼ 2 3 5
Nårviaddereretnegativttall,trekkervifradetmotsattetallet.
Nårvisubtrahereretnegativttall,leggervitildetmotsattetallet.
Nårvimultiplisererellerdividereretpositivtallmedetnegativttall,blirsvaretnegativt.
Nårvimultiplisererellerdividerertonegativetallmedhverandre,blirsvaretpositivt.
6 þ ð 3Þ¼ 6 3 ¼ 3
6 ð
Desimaltall
Tallsomharkomma,kallesdesimaltall. Sifrenebakkommaetkallesdesimaler.
Avrundingavdesimaltall
Hvistalletetteravrundingssiffereter5eller større,runderviopp.Hvisikkelarvi avrundingssifferetstå.
Desimaltallet9,648runderviavslik: Todesimaler:9,65 Éndesimal:9,6 Heltall:10
R1 Skrivfemnaturligetallover100ogfemheltallmindreenn 10.
R2 Hvilkeavtallene1,2,5,9,11,13,15,17,19,21,23og25erprimtall,oghvilkeer sammensattetall?Begrunnsvarene.
R3 Regnut. a)5 þð
R4 Rundavtalleneslikatdefåréndesimal.
a)5,67 b)14,449 c)2,95 d)0,549
Faktorogmultiplikasjon
Talleneietmultiplikasjonsstykkekalles faktorer,ogsvaretkallesprodukt.
Formultiplikasjongjelderdenkommutative lov.Detbetyratrekkefølgenpåfaktoreneikke spillernoenrolle. faktor faktor ¼ produkt
Primtallsfaktorisering
Enfaktoriseringhvoralletalleneerprimtall, kallesenprimtallsfaktorisering.
Multiplikasjonavheletall
Vikanutføreenmultiplikasjonpåfleremåter: Oppstilling 8 4
Multiplikasjonavdesimaltall
Vikanmultipliseredesimaltallpåsammemåte somheletall.
Svaretskalhalikemangedesimalersom summenavantalldesimalerifaktorene.
Primtallsfaktoriseringav24og42:
R5 Primtallsfaktorisertallene.
a)18 b)24 c)80 d)51
R6 Regnut.Brukdenmetodendusyneserbest.
a)12 8b) 23 14 c)25 16 d)24 105
R7 Regnut.Brukdenmetodendusyneserbest.
a)20 2,4 b)3,6 2,8 c)0,2 5,2 d)23,6 5,5
Divisjonmedheletall
Etdivisjonsstykkekansespåsomenbrøk.
Tellerenkallesdividend,ognevnerenkallesdivisor.Svaretpådivisjonenkalleskvotient.
dividend divisor ¼ kvotient
Hvisdivisjonenikkegåropp,fårvietdesimaltall.
Oppstilling
Divisjonmeddesimaltall
Nårdivisorenerethelttall,kanvidividerepåvanligmåte.
Nårdivisoreneretdesimaltall,utvidervidividendenogdivisorenmed10,100eller1000slikat divisorenbliretheltall.
Divisoreneretheltall
3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5 3 0 1 5 1 2 3 0 3 0 0
Divisoreneretdesimaltall
Viutførerdivisjonen2,94 : 1,4 vedåutvide dividendenogdivisorenmed10ogregneut.
R8 Regnut.Brukdenmetodendusyneserbest.
a)836 : 4 b)543 : 3
c)1071 : 9 d)465 : 15
R9 Regnut.Brukdenmetodendusyneserbest.
a)84,8 : 4 b)349,2 : 6
c)4,4 : 0,2 d)49,5 : 1,5
Enpotenserenmåteåskriveettallpå. Enpotensbeståravetgrunntallogeneksponent.
Eksponentenviserhvormangegangergrunntalletskalmultipliseresmedsegselv.
Hviseksponentenernull,blirsvaret1.
Multipliserepotensermedsammegrunntall
Nårvimultiplisererpotensermedsamme grunntall,adderervieksponenteneogbeholder grunntallet.
Dividerepotensermedsammegrunntall
Nårvidividererpotensermedsammegrunntall, subtraherervieksponenteneogbeholder grunntallet.
Nårtellerognevnerienbrøkerlikestore,er verdienavbrøkenlik1.
Tierpotens
Enpotensmedgrunntall10,kallesentierpotens.
Tierpotensermedpositiveksponenterheletall.
Tierpotensermednegativeksponentkanskrives somdesimaltall.
Standardform
Ettallstårpåstandardformnårdeterskrevetpå formen a 10n ,der a eretdesimaltallmellom 1og10,og n eretheltall.
Utvidetform
Titallssystemeteretposisjonssystemhvor sifferetsposisjoneravgjørendefordenverdien sifferethar.
R10 Skrivsoménpotens.
a)3 3 3 3b)7 7 7 7 7 7c)9 9 9d)10 10 10 10 10
R11 Regnutogskrivsvaretsoménpotens.
a)53 52 b)104 102 c)83 81 84 d)150 152
R12 Regnutogskrivsvaretsoménpotens.
a)75 : 73 b)108 : 102 c)93 : 9d)22 : 22
R13 Skrivsomentierpotens.
a)10000b)1millionc)0,0001
R14 Skrivtallenepåstandardform.
a)15000b)125milliarderc)0,00065d)0,000000508
Kvadrattall
Vifåretkvadrattallnårvigangeretheltallmed segselv.
Kvadrattallenekanillustreressomarealet avkvadrater.
Detiførstekvadrattalleneer:
1,4,9,16,25,36,49,64,81og100
Kubikktall
Vifåretkubikktallnårvigangeretheltallmed segselvtreganger.
Kvadratrot
Kvadratrotenavettall x erdetpositivetallet sommultiplisertmedsegselvgirtallet x.
Vikanbrukekalkulatorog p -tasten.
Åregneutkvadratrotenavettallerdetsamme
somåopphøyetalleti 1 2 .
Regnerekkefølgen
Nårdeterflereregnearterisamme regnestykke,regnerviidennerekkefølgen: 1.parenteser,potenserogkvadratrot
2.multiplikasjonogdivisjon
3.addisjonogsubtraksjon
Faktorerogdivisjon
Faktorenetilettallerdetallenevikandeleet sammensatttallmedutenåfåetdesimaltall.
Detreførstekubikktalleneer:
Faktorenetiltallet18er:1,2,3,6,9og18 18 : 1 ¼ 18
R15 Forklarhvorfor400eretkvadrattall,mens1000ikkeeretkvadrattall.
R16 Finnkubikktallnummer4og5.
R17 Brukkalkulatorogregnut.Rundavsvarettiltodesimaler. a) 40p b) 82p c) 150p
R18 Regnut.
8 5c)
b)52 þ 6 5d) ð12 3Þþ 23
R19 Finnallefaktorenetil20og120.
Utvidingogforkortingavbrøk
Viutviderenbrøkvedåmultipliseretellerenog nevnerenmeddetsammetallet.
Viforkorterenbrøkvedådivideretellerenog nevnerenmeddetsammetallet.
Heltallsombrøk
Alleheletallkanskrivessomenbrøkmed nevnerlik1.
Addisjonogsubtraksjonavbrøker
Dersombrøkeneharliknevner,kanvibeholde nevnerneogregnesammentellerne.
Dersombrøkeneharulikenevnere,måvi utvideellerforkorteslikatbrøkenefårlike nevnereførbrøkenekanregnessammen.
Viforkortersvarettilslutthvisdetermulig.
Multiplikasjonmedbrøk
Brøkermultipliseresvedåmultiplisereteller medtellerognevnermednevner.
Viforkortersvarethvisdetermulig.
Divisjonmedbrøk
Forådividereenbrøkmedenbrøkkanvi multipliseremeddenomvendtebrøken.
b : c d ¼
b d c ¼ ad bc
R20 Forkortbrøkenesåmyesommulig.
R21 Gjøromheltallene5,8,20og100tilbrøkermednevnerlik1.
R22 Regnut.Forkortsvarethvisdetermulig.
R23 Regnut.Forkortsvarethvisdetermulig.
Brøkogdesimaltall
Vikangjøreomenbrøktiletdesimaltallved ådivideretellermednevner.
Hvisnevnerener10,100eller1000,gjørviom tilti-,hundre-ellertusendeler,ogskriver brøkensometdesimaltall.
Prosent
Prosentbetyr«hundredel».
Leggmerketilsammenhengenmellomprosent, brøkogdesimaltall.
Desimaltalletkallerviforprosentfaktor.
Promille
Promillebetyr«tusendel».
Viregnermedpromillepåsammemåtesom prosent.
Tverrsum
Summenavsifreneiettall,kallestverrsum.Tverrsummentil17er:1
Delelighet
Ersistesiffer0,ertalletdeleligmed10.
Ersistesiffer0eller5,ertalletdeleligmed5.
Ersistesifferpartall,ertalletdeleligmed2.
Erdetosistesifrenedeleligmed4,erheletallet deleligmed4.
Ertverrsummendeleligmed3,ertalletdelelig med3.
20erdeleligmed10fordisistesifferer0. 225erdeleligmed5fordisistesifferer5.
26erdeleligmed2fordisistesiffereretpartall. 216erdeleligmed4fordi16erdeleligmed4.
243erdeleligmed3fordi2 þ 4 þ 3 ¼ 9,som erdeleligmed3. igmed3
R24 Gjørombrøkenetildesimaltallvedhjelpavutvidingellerenkalkulator. Rundavsvareneic)ogd)slikatdefårtodesimaler. a) 2 5 b) 7 25 c) 5 6 d) 4 15
R25 Gjøromtilbrøkogtildesimaltall.
R26 Gjøromtilpromille.
R27 Avgjørhvilkeavtallene24,78,90,252og720somerdeleligemed2,3eller5.
Regnemedprosent
Nårviskalfinneprosentenavettall,foreksempel70%av400,kanvibrukeulikemetoder.
Gåveienom1%
1%av400er 400 100 ¼ 4.
70%av400er
70 4 ¼ 280
Brukprosentfaktor
70%=0,70
Vi regnerslik: 0,70 400 ¼ 280
Finnedeleniprosent
Vifinnerprosentfaktorenvedåregneut delenavtallet heletallet
Prosentfaktorenkanviskrivesomprosent.
Finneenreduksjoniprosent
Vifinnerreduksjoneniprosentvedådividere reduksjonenmeddenopprinneligeverdien.
Finneenøkningiprosent
Vifinnerøkningeniprosentvedådividere økningenmeddenopprinneligeverdien.
Videler400i10deler.Hverdeltilsvarer40 ogutgjør10%.
7delerutgjørda:7 40 ¼ 280
Hvormangeprosenter13av20? 13 20 ¼ 0,65 ¼ 65%
Finnehelhetennårvivetprosentdelen
Vifinneropprinneligverdivedådivideredelen medprosentfaktoren.
Hvormangeprosenterreduksjonennårnoe hargåttnedfra200til160?
Reduksjonenblir:200 160 ¼ 40
Reduksjoniprosentblir: 40 200 ¼ 0,2 ¼ 20%
Hvormangeprosenterøkningennårnoehar gåttoppfra400til460?
Økningenblir:460 400 ¼ 60
Økningeniprosentblir: 60 400 ¼ 0,15 ¼ 15%
Hvormyeer100%hvis48%er36? 36 0,48 ¼ 75
R28 Regnut.
a)60%av400b)75%av200c)10%av250d)5%av300
R29 Hvormangeprosenter a)25av100b)40av200c)60av400d)45av300
R30 Hvormangeprosenterreduksjonennårnoehargåttnedfra350til280?
R31 Hvormangeprosenterøkningennårnoehargåttoppfra700til826?
R32 Hvavaropprinneligverdinår25%er45?
2–Målingogenheter
Tid
Tidmålesvanligvisi timer,minutterogsekunder.
1time=60minutter=3600sekunder 1minutt=60sekunder · 60 · 60
TimerMinutterSekunder : 60 : 60
Lengde
Hovedenheten(SI-enheten)forlengdeermeter. 1m=10dm=100cm=1000mm 1mil=10km=10000m
Påhavetmåleslengdeofteinautiskemil(NM). Storeavstanderiverdensrommetmåles ofteilysår.
Fart
Formelenforfarterfart ¼ avstand tid
Devanligstemåleenheteneforfarter: kilometerpertime(km/h) meterpersekund(m/s)
Påhavetbrukesoftemåleenhetenknop. knop ¼ nautiskemilpertime(NM/h)
Omgjøringavenheterforfart · 3,6
m/skm/h : 3,6 · 1,852 Knop km/t : 1,852
Forholdetmellomkm/hogm/ser3,6. Forholdetmellomkm/hogknoper1,852.
36s ¼ 36s : 60s/min ¼ 0,6min
0,5min ¼ 0,5min 60s/min ¼ 30s
48min ¼ 48min : 60min/t ¼ 0,8t
0,3t ¼ 0,3t 60min/t ¼ 18min
18mil ¼ 180km ¼ 180000m
0,45m ¼ 4,5dm ¼ 45cm ¼ 450mm
1NM ¼ 1852m ¼ 1,852km
1lysår 9461milliarderkilometer
65kmpå2,5timer ¼ 65km 2,5h ¼ 26km/h
108mpå12s ¼ 108m 12s ¼ 9m/s
30kmpå48min ¼ 30km 0,8h ¼ 37,5km/h
12NMpå3timer ¼ 12NM 3h ¼ 3knop
43,2km/h ¼ 12m/sfordi43,2 : 3,6 ¼ 12 ðÞ
32m/s ¼ 115,2km/h ðfordi32 3,6 ¼ 115,2Þ
50km/h 27knop ðfordi50 : 1,852 27Þ
27knop 50km/h ðfordi27 1,852 50Þ
R33 Gjørom.
a)54stilminutter
b)0,1mintilsekunder
R34 Gjørom.
a)1,2miltilmeter
b)4,65mtilmillimeter
c)12mintiltimer
d)0,3timertilminutter
c)0,5cmtilmeter
d)4,5NMtilmeter
R35 Hvablirfartennårvikjører
a)210kmpå3tb)158,4kmpå2tog12minc)84NMpå14t
R36 Gjørom.
a)45km/herdetsammesom m/s.
b)12m/serdetsammesom km/h.
c)27,78km/herdetsammesom knop.
d)50knoperdetsammesom km/h.
3–Algebra
Addisjonogsubtraksjon
Leddsombeståravlikevariabler,kantrekkes sammen.
Huskatforeksempelvariablene a, ab, a 2 oga 3 erulikevariabler.
Potensregler
Multiplikasjonavlikevariablerkanskrivessom énpotens.
Vibrukerdesammepotensregleneforvariabler somvigjørfortall.Seside10.
Multiplikasjon
Ivariabeluttrykkmultipliserervitallmedtall, oglikevariablerforenklesvedhjelpav potensreglene.
Divisjon
Veddivisjonavvariabeluttrykk,dividerervitall medtall,oglikevariablerforenklesvedhjelp avpotensreglene.
Åløseoppparenteser
Hvisfortegnetforanparentesenerpluss,kan parentesenetasbort.
Hvisfortegnetforanparentesenerminus,må allefortegninneiparentesenendres.
Hvisetuttrykkstårinntilenparentes,må uttrykketmultipliseresmedalleleddinne iparentesen.
R37 Trekksammen.
a)3a þ 5a b)2x þ 3y 5x þ y c)5a 3b þ a 2b
R38 Skrivsoménpotens.
a) s s s s b) x 3 x 2
R39 Regnut.
x 4x 2
R40 Regnut.
x 4 : 4x 2
R41 Løsoppparenteseneogregnut. a)3 þð2x þ 5Þ b)3 ð2x þ 5Þ
a 8 : a 5
a 3 a a 3
Faktoriseringogforkorting
Vedfaktoriseringskrivervitallogvariabler somproduktavtoellerflerefaktorer.
Vedprimtallsfaktoriseringskrivervialle faktorenesomprimtall.
Vedforkortingfaktoriserervitellerognevner, ogforkorterlikefaktorer.
Huskatfaktorenesordenerlikegyldig.
Åfaktorisereuttrykkmedflereledd
Dersomtoalgebraiskeleddinneholderlike faktorer,kanvitrekkefaktoreneutenfor enparentes.
Brøkuttrykkkanviforkortevedåtrekkelike faktorerutenforenparentesitelleroginevner.
Regningmedbrøkuttrykk
Vikanaddereogsubtraherebrøkuttrykkmed likenevnere(fellesnevner).
Vedaddisjonogsubtraksjonavbrøkermed ulikenevnere,måbrøkeneutvideseller forkortesslikatdefårfellesnevner.
Nårvimultiplisererbrøker,multipliserervi tellermedtellerognevnermednevner.
Nårvidividererbrøker,måvimultipliseremed denomvendtebrøken.
Åkvadrereogåfinnekvadratroten
Nårvimultipliserertolikefaktorer,kallesdet åkvadrere.
Detmotsatteavåkvadrereeråfinne kvadratroten.
R42 Faktoriserellerforkortutrykkene.
a)12x 2 y 2 b)10x 4 : 5x 2
6x3 3x
24a2 8a
R43 Faktoriserellerforkortuttrykkenevedhjelpavparenteser.
a)4a 2 þ 6ab b)10xy 2 4xy
R44 Finnfellesnevnerenogregnut.Forkortsvarethvismulig.
a) 5 4x 7 6x b) 1 4x þ 1 6x
4x2 3 6y 14x d) 5x 6xy : 10 3y
R45 Forklarhvorfor x2 kanskrivesbådesommultiplikasjonen x x ogsommultiplikasjonen x ð x Þ
Vimultipliserertoparentesuttrykkvedåmultipliserehvertleddidenførsteparentesenmedhvert leddidenandreparentesen.
Passpåfortegnenenårdumultipliserer. Vikanbrukeulikemetodernårvimultiplisererparentesuttrykkmedhverandre.
Algebraiskutregning
A ¼ x þ 8 ðÞ x þ 5 ðÞ
¼ x x þ x 5 þ 8 x þ 8 5
¼ x 2 þ 5x þ 8x þ 40
¼ x 2 þ 13x þ 40
Førstekvadratsetning
Setningenbeskriverhvordanvikan regneutensummultiplisertmedseg selv.
Setningensierat:
ða þ bÞ2 ¼ a 2 þ 2ab þ b2
Vikanvisedetslik:
ða þ bÞ2 ¼ða þ bÞ ða þ bÞ ¼ a a þ a b þ b a þ b b
¼ a 2 þ ab þ ab þ b2 ¼ a 2 þ 2ab þ b2
Utregning
R46 Regnutvedhjelpavenmultiplikasjonsalgoritmeellerenarealtegning.
a) ðx þ 5Þ ðx þ 10Þ b) ð2x þ 2Þðx þ 5Þ
c) ða þ 5Þð3a þ 8Þ
R47 Regnutvedhjelpavførstekvadratsetningellervedhjelpavenarealtegning.
a) ðx þ 5Þðx þ 5Þ b) ða þ 4Þ2 c) ð40 þ 1Þ2
Andrekvadratsetning
Setningenbeskriverhvordanvikanregneuten differansemultiplisertmedsegselv.
Setningensierat:
ða bÞ2 ¼ a 2 2ab þ b2
Vikanvisedetslik:
ða bÞ2 ¼ða bÞ ða bÞ
¼ a a a b b a þ b b
¼ a 2 ab ab þ b2
¼ a 2 2ab þ b2 ð6 3Þ2 ¼ 36 2 6 3 þ 32 ¼ 9
ðx yÞ2 ¼ x 2 2xy þ y 2
ð3 bÞ2 ¼ 9 6b þ b2
ð2x 3Þ2 ¼ 4x 2 12x þ 9
Konjugatsetningen(tredjekvadratsetning)
Setningenbeskriversummenavtotallmultiplisertmeddifferansenavdesammetallene.
Setningensierat:
ða þ bÞ ða bÞ¼ a 2 b2
Vikanvisedetslik:
ða þ bÞ ða bÞ
¼ a a þ a ð bÞþ b a þ b ð bÞ
¼ a 2 ab þ ab b2
¼ a 2 b2
ð6 þ 3Þð6 3Þ¼ 62 32 ¼ 36 9 ¼ 27
ðx þ yÞðx yÞ¼ x 2 y 2
ð4 xÞð4 þ x Þ¼ 16 x 2
ð5b þ yÞð5b yÞ¼ 25b2 y 2
ðy 6Þð6 þ yÞ¼ðy 6Þðy þ 6Þ ¼ y 2 36
Forkortevedhjelpavkonjugatsetningen
Vikanbrukefaktoriseringvedhjelpav konjugatsetningentilåforkortebrøker.
a 2 b2 ¼ða þ bÞ ða bÞ a2 b2 a b ¼ ða þ bÞ ða bÞ ða bÞ ¼ a þ b 1
¼ a þ b 16 þ y2 3y 12 ¼ y2 16 3ðy 4Þ ¼ ðy þ 4Þðy 4Þ 3 ðy 4Þ ¼ y þ 4 3 2x2 50
20 þ 4x ¼ 2ðx2 25Þ 2 2 ðx þ 5Þ ¼ 2 = ðx þ 5Þ ðx 5Þ 2 = 2 ðx þ 5Þ
¼ x 5 2
R48 Regnutvedhjelpavandrekvadratsetning.
a) ðx 5Þðx 5Þ b) ða 7Þ2 c) ð12 5Þ2
R49 Regnutvedhjelpavkonjugatsetningen(tredjekvadratsetning).
a) ðx þ 5Þðx 5Þ b) ða 4Þða þ 4Þ c) ð8 þ 3Þð8 3Þ
R50 Brukkonjugatsetningentilåforkortebrøkuttrykkenesåmyesommulig. a) a2 b2 ða þ bÞ b) 4a2 16 2a þ 4