Matematikk for barnehagelærere av Martin Carlsen, Unni Wathne og Gro Blomgren

Martin Carlsen, Unni Wathne og Gro Blomgren

Matematikk for barnehagelærere

4. utgave

Forord

Matematikk for barnehagelærere er skrevet med utgangspunkt i den rollen og virksomheten barnehagelæreren har i barnehagen, som faglig ansvarlig og leder. Vi drøfter hva slags matematisk og matematikkdidaktisk kompetanse en barnehagelærer må ha. Boka kan brukes som pensum i matematikkemnet i barnehagelærerutdanningen, men praktiserende barnehagelærere og andre ansatte i barnehagen er også i målgruppa.

Målet med denne boka er å gi leseren muligheter for å tilegne seg den matematiske og matematikkdidaktiske kompetansen som kreves for å kunne se matematikken som barn setter i gang i sine aktiviteter. Et annet mål er å skape engasjement og motivasjon blant barnehagelærere og andre ansatte i barnehagen for å legge til rette for matematikkaktiviteter. Våre erfaringer fra møter med barnehagelærere og barnehagelærerstudenter tilsier at arbeidet med å skape positive holdninger til og et positivt syn på matematikk i barnehagen er viktig. Det er vanskelig å kunne oppfylle rammeplanens krav til væremåte i barnehagen hvis barnehagelærerens egne holdninger til matematikk er preget av nederlag og uvilje. Boka forsøker derfor å gi leseren et innblikk i hvor interessant og spennende matematikk i barnehagen kan være, også med tanke på den matematikkgleden barna viser gjennom lek og utforskning av sammenhenger.

For å imøtekomme disse målene vil vi diskutere hva barnehagelærere trenger av matematisk og matematikkdidaktisk kompetanse for å kunne legge til rette for matematiske erfaringer hos barn og ta tak i og se matematikken i barnas aktiviteter. I denne prosessen er det viktig å vektlegge barnehagelærernes rolle, både når det gjelder rammeplanens fagområde Antall, rom og form og den matematikken barn erfarer i barnehagen.

Gjennom observasjoner og samtaler med barn, i barnehagen og ellers, ser vi hvor stor del av barnas hverdag, aktiviteter, lek og samspill som lar seg beskrive og analysere ved hjelp av et matematisk språk. Denne boka vil gi leseren muligheter til selv å kunne gjennomføre slike matematiske og matematikkdidaktiske analyser. Det er viktig for oss å kunne gjøre barne-

hagelærere i stand til å stimulere og tilrettelegge for videre vekst i barns matematiske utvikling. Derfor er det avgjørende at barnehagelæreren selv har innsikt i matematiske begreper, ideer og redskaper, både i dybden og i bredden. Vi tar også sikte på å presentere et syn på læring som er forenlig med barnehagens virksomhet. Vårt mål er at barnehagelærere tilegner seg dette synet på læring slik at arbeidet med matematikk i barnehagen blir meningsfylt, både for barn og voksne.

Matematikk for førskolelærere ble utgitt i 2011. Samme år oppnevnte Kunnskapsdepartementet et utvalg som utarbeidet forslag til forskrift om rammeplan for ny førskolelærerutdanning, og departementet fastsatte forskriften i løpet av 2012. Andre utgave av boka, som ble utgitt i 2012, fikk dermed ny tittel i tråd med den nye forskriften: Matematikk for barnehagelærere. Innholdet i boka var likt, men «førskolelærer» ble byttet med «barnehagelærer» der dette var naturlig. Matematikk ble da et fag i barnehagelærerutdanningen inkludert i kunnskapsområdet Språk, tekst og matematikk. Våren 2017 fastsatte Kunnskapsdepartementet ny rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver. Tredje utgave av boka, utgitt i 2017, ble omarbeidet for å imøtekomme endringene som var skjedd både i barnehagelærerutdanningen og i barnehagens virksomhet. Siden den gang har matematikk vært et fag i barnehagelærerutdanningen inkludert i kunnskapsområdet Språk, tekst og matematikk.

Fjerde utgave av Matematikk for barnehagelærere er igjen omarbeidet for å imøtekomme endringene som er skjedd på forskningsfronten når det gjelder barns læring av og utvikling innen matematikk. Denne utgaven er også endret med bakgrunn i erfaringer fra studenter og forelesere som har brukt boka. Etter råd fra mange studenter som har brukt tidligere utgaver, inneholder fjerde utgave av Matematikk for barnehagelærere en definisjonsliste over sentrale begreper innenfor de ulike matematiske områdene som tematiseres i boka. Fasit til utvalgte oppgaver og stikkordsliste er fortsatt inkludert.

Martin Carlsen, Unni Wathne og Gro Blomgren

3.1

5.1

5.1.1 Kontrastpar i arbeid med sammenlikning og måling ........... 138

5.1.2 Sammenlikningsord 139

5.2 Barns tilegning av sammenlikning og måling ........................................ 140

5.2.1 Grov sammenlikning ....................................................................... 142

5.2.2 Direkte sammenlikning 143

5.2.3 Indirekte sammenlikning ............................................................... 147

5.2.4 Måling med ikke-standardiserte måleenheter ...................... 150

5.2.5 Måling med standardiserte enheter .......................................... 155

5.3 Måling til alle tider.......................................................................................... 159

5.3.1 Gamle måleenheter 159

5.3.2 Det metriske systemet ................................................................... 160

5.3.3 SI-systemet ......................................................................................... 161

Kapittel 6

Geometriske former

6.1 Begynnende geometriske erfaringer .........................................................

6.2 Todimensjonale former ..................................................................................

6.2.1 Barns erfaringer med todimensjonale former

6.2.2 Tangram ...............................................................................................

6.3 Mangekanter og sirkler

6.3.1

6.3.2

6.3.3 Pentagon, heksagon og oktogon

6.3.4 Sirkelen ................................................................................................

6.4 Barns læring og utvikling i geometri

6.5 Andre todimensjonale former .....................................................................

6.6 Tredimensjonale former ................................................................................

6.7 Sammenhengen mellom to- og tredimensjonale former

Kapittel 7

Romlig tenkning.........................................................................................................

7.1 Egenskaper ved det tredimensjonale rommet.......................................

7.1.1 Euklidske egenskaper

7.1.2 Topologiske egenskaper ................................................................

7.1.3 Projektive egenskaper ....................................................................

7.2 Romlig orientering ...........................................................................................

7.2.1 Romlig språk – plasseringsord ....................................................

7.3 Romlig visualisering

7.4

Kapittel 8

8.1 Mønster

8.2

8.4.4

8.5

Kapittel 9

Kapittel 10

Matematikk i barnehagen

Hva vil det si å arbeide med matematikk i barnehagen? Hva er viktig når man skal legge til rette for barns læring av matematikk i barnehagen? Dette er vesentlige spørsmål vi vil drøfte her. Vi vil også komme inn på sentrale aspekter ved vårt syn på læring og hvordan dette uttrykkes konkret i arbeidet med antall, rom og form. Her er barnehagelærerrollen, barnehagelærerens matematiske kompetanse og holdninger til matematikk av stor betydning. Evalueringen av hvordan Rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver (Kunnskapsdepartementet, 2006) ble innført, brukt og erfart, viser blant annet at arbeidet med fagområdet Antall, rom og form i stor grad er preget av tall og telling (Østrem et al., 2009). Rapporten dokumenterer også at det er et stort behov for matematikkdidaktisk kompetanse blant barnehagelærere og andre ansatte i barnehagen. Målet med denne boka er å gi et bredere og dypere perspektiv på hva matematikk i barnehagen bør være, og hvordan vi bør komme barna i møte og legge til rette for matematiske erfaringer i barnehagen. Innholdet og argumentasjonen i boka er også tilpasset gjel-

dende rammeplan (Kunnskapsdepartementet, 2017a) og nyere forskning på barns tidlige læring og utvikling innen matematikk og barnehagelæreres tilrettelegging for barnas læring og utvikling i matematikk.

1.1

Rammeplanen og fagområdet Antall, rom og form

Året etter innføringen av rammeplanen fra 2006 (Kunnskapsdepartementet, 2006), der Antall, rom og form ble introdusert som eget fagområde første gang, fant følgende episode sted:

Førskolelæreren deltok i et utviklings- og forskningsprosjekt kalt Lær bedre matematikk (LBM) og jobbet med å innføre matematikk i barnehagen. Førskolelæreren spurte barnegruppa: «Er det noen som vet hva matte er?» Et av barna svarte: «Æ har to matter hjemme.»

Barnehagen i eksempelet hadde startet arbeidet med å sette matematikken inn i en systematisk sammenheng, og gjennom deltakelse i LBM1 hadde barnehagen begynt å sette søkelyset på matematikk i barnehagehverdagen. Vi ser at valget av ordet matte var uheldig – av flere grunner som vi utdyper under.

I rammeplanens fagområde Antall, rom og form er det presisert hvilke områder av matematikken barna skal få erfaring med: «Fagområdet omfatter lekende og undersøkende arbeid med sammenligning, sortering, plassering, orientering, visualisering, former, mønster, tall, telling og måling» (Kunnskapsdepartementet, 2017a, s. 20). Dette presiseres videre, der barnehagen skal bidra til at barna

• oppdager og undrer seg over matematiske sammenhenger

• utvikler forståelse for grunnleggende matematiske begreper

• leker og eksperimenterer med tall, mengde og telling og får erfaring med ulike måter å uttrykke dette på

• erfarer størrelser i sine omgivelser og sammenligner disse

1 Dette prosjektet var et samarbeid mellom Universitetet i Agder og barnehager og skoler i VestAgder. Prosjektet ble støttet av Sørlandets Kompetansefond, Tekna og Vest-Agder fylke.

• bruker kroppen og sansene for å utvikle romforståelse

• undersøker og gjenkjenner egenskaper ved former og sorterer dem på forskjellige måter

• undersøker og får erfaring med løsning av matematiske problemer og opplever matematikkglede

(Kunnskapsdepartementet, 2017a, s. 20–21)

Disse punktene danner en forankring for det matematikkfaglige innholdet i denne boka. Rammeplanen sier også noe om væremåte og arbeidsmåte for personalet i barnehagen. Dette vil vi kommentere senere i dette og i neste kapittel. Episoden i starten av kapittelet viser kommunikasjonen mellom barna og førskolelæreren i barnehagen. Førskolelæreren forsøker å sette i gang en samtale om matematikk og benytter seg av det ordet hun selv bruker når hun tenker på matematikk, det vil si matte. Barna griper, helt naturlig, tak i de ordene som ytres, og relaterer dem til tidligere erfaringer. Ordet matte kommuniserer tydelig med ett av barna, men ikke slik meningen var fra førskolelærerens side. Dette eksempelet peker på to viktige aspekter ved matematikk i barnehagen. Å kommunisere matematikk med barn er ikke enkelt. Voksnes assosiasjoner og innsikt i matematiske sammenhenger er ikke de samme som barnas. Dessuten er matematikk abstrakt av natur. Det handler derfor om å gjøre matematikken konkret gjennom aktiviteter og lek, samt legge til rette for at den matematiske samtalen i barnehagen blir meningsfull for dem som er involvert. Episoden kommer som et resultat av at førskolelæreren stiller et åpent spørsmål om hva matematikk er. Det å stille spørsmål generelt, og åpne spørsmål spesielt, er viktig. Å stimulere barna til å undre seg og være spørrende i tilnærminger til situasjoner og utfordringer av matematisk karakter, er viktig for å gjøre seg erfaringer. Denne undrende og spørrende tilnærmingen til matematikken er i tråd med rammeplanen. Betegnelsen Antall, rom og form brukes i rammeplanen for å rette oppmerksomheten mot det matematiske innholdet i barnehagehverdagen.

1.2 Matematikkfaget i barnehagelærerutdanningen

I og med den nye rammeplanen for barnehagelærerutdanningen, som ble implementert fra august 2013, er matematikk som eget fag i utdanningen erstattet med at matematikk inngår som del av kunnskapsgrunnlaget i kunn-

skapsområdet Språk, tekst og matematikk. Kunnskapsområdet er rammeplanfastsatt til 20 studiepoeng, men ved noen institusjoner er området utvidet med inntil 10 studiepoeng. I forrige rammeplan var matematikk fastsatt til 10 studiepoeng. Matematikkens plass i det nye kunnskapsområdet er derimot ikke studiepoengfestet. Uavhengig av dette er verken matematikkfagets aktualitet eller omfang i barnehagen endret. Barnehagebarn er fremdeles nysgjerrige, og de ønsker å utforske matematiske sammenhenger og få erfaringer med matematiske begreper og ideer. Innholdet i denne boka er derfor ment å adressere den matematikken som barnehagebarn får erfare og får innsikt i, og den har ikke endret seg vesentlig verken for de yngste eller de eldste.

Selv om målgruppa for denne boka først og fremst er barnehagelærerstudenter, er ikke boka spesielt rettet mot kunnskapsområdet Språk, tekst og matematikk på den måten at all matematikken ses i lys av barns språkog tekstutvikling. Det som derimot er verdt å reflektere over, er i hvilken grad læring og utvikling i matematikk kan sammenholdes med læring og utvikling innen de nevnte norskfaglige aspektene.

Det er klart at barns læring og utvikling i matematikk i stor grad handler om å utvikle et språk som kan illustrere og forklare de sanseerfaringene barna gjør av matematisk natur. For eksempel er det å tilegne seg erfaringer og lære begreper innen sammenlikning og måling innenfor fysiske størrelser nært beslektet med det som kalles gradbøying av adjektiv innen norskfaget. Et eksempel innenfor den fysiske størrelsen lengde er en lang pinne, en lengre pinne, den lengste pinnen. Tilsvarende eksempler kan man finne om man vil sammenlikne innenfor de fysiske størrelsene areal, volum, vekt, fart, tid og temperatur. Fra et matematisk perspektiv er vi imidlertid opptatt av å vektlegge sammenlikning og måling innenfor fysiske størrelser (se kapittel 5). Vi kan finne ut noe om hvilken pinne som er lengst, hvilket kar som inneholder mest vann, og så videre, ved hjelp av sammenlikning, ikke utelukkende å fokusere på hvilke ord som brukes om dette. Vi er også opptatt av å la barna få erfaring med tallordene og deres sammenheng med antall objekter de teller, og også sammenhengen mellom de muntlige tallordene og tallsymboler for de ulike mengdene – 1, 2, 3, 4, 5 og så videre (se mer i kapittel 3). I tillegg er vi opptatt av at barna skal få erfaring med mønsteret som dukker opp i ulike varianter etter hvert som man kommer lenger i tallramsen, ikke tallordene isolert sett. Tilsvarende argumentasjon kan vi føre for alle de ulike delene av matematikken som erfares og læres i barnehagen. Det er nær sammenheng mellom utvikling og læring i matematikk og språk. Men fra et faglig perspektiv er vi opptatt av ulike aspekter

ved de erfaringene barna gjør, ikke fordi det ene er viktigere enn det andre, men fordi de utfyller hverandre i vår streben etter å fokusere på et helhetlig læringssyn som ivaretar alle de ulike fasettene av barns læring og utvikling. For å kunne gjøre dette på en god måte, er det vesentlig å ha grunnleggende innsikt i matematikkfaget selv, sammen med pedagogisk og fagdidaktisk kompetanse: «Aktiv involvering av barnehagepersonalet, riktig bruk av fagbegreper, fagkompetanse og fagdidaktisk kompetanse og tverrfaglighet fremheves som viktig for å arbeide systematisk med realfag i barnehagen» (Meld. St. 19 (2015–2016), s. 40). En ny overbygning for matematikkfaget, slik kunnskapsområdet Språk, tekst og matematikk er, vil på ingen måte kunne endre på dette. Men den enkelte barnehagelærerstudent og barnehagelærer vil kunne dra veksler på sin innsikt i språkutvikling i arbeidet med Antall, rom og form i barnehagen. Det å lære nye ord, som navn på ting og relasjoner, vil alltid være viktig for barns utvikling, også med tanke på matematikklæring.

1.3 Aktiviteter, lek og inquiry

Begrepene aktivitet , lek og inquiry er hyppig brukt i boka. Flere steder velger vi å bruke betegnelsen matematikkaktiviteter om det barnehagelærer setter i gang eller legger til rette for i barnehagen. Når det gjelder aktivitet, støtter vi oss på Olof Magne (2003) og hans definisjon av betegnelsen: En aktivitet er en «virksomhet som både sansemotorisk og intellektuelt skal bidra til å utvikle kunnskap, selvrespekt og stolthet» (s. 17).

Av flere grunner er dette en god beskrivelse. Definisjonen er dekkende for den matematiske virksomheten vi argumenterer for at skal finne sted i barnehagen. Definisjonen vektlegger både det kroppslige og det intellektuelle – en distinksjon som etter vårt syn er fornuftig i dette arbeidet. Barn i barnehagealder gjør seg erfaringer ut fra sanseinntrykk de får i ulike sammenhenger: å se ulike tallsymbol skrevet på et ark, å høre et eventyr der matematiske sammenhenger er framtredende, å ta og kjenne på ulike geometriske former, samt å leke gjemsel og blindebukk for å få erfaring med det tredimensjonale rommet.

Aktivitet

En aktivitet er en «virksomhet som både sansemotorisk og intellektuelt skal bidra til å utvikle kunnskap, selvrespekt og stolthet». (Magne, 2003, s. 17)

Det intellektuelle aspektet vil være den individuelle bearbeidingen barnet gjør på bakgrunn av erfaringene det gjør seg i samspill med andre. Gjennom disse erfaringene utvikler barnet både kunnskap om og innsikt i matematikken slik den framstår i omgivelser og hverdagshendelser. Når den matematiske kompetansen utvikles, vil barnets selvrespekt og stolthet vokse fram. Barnet erfarer mestring etter gjentatt prøving og feiling, tilegner seg etter hvert stadig større deler av tallramsen (se kapittel 3), blir i stand til å sammenlikne lengden på pinner og lærer navnet på den «helt runde» formen. Utvikling av matematisk kompetanse er i barnehagen også nært knyttet til erfaringer med det som i noen tilfeller kalles konkretiseringsmateriell. Dette er altså fysiske objekter som er spesielt utviklet for å konkretisere abstrakte matematiske begreper, for eksempel geometriske former i plast, plastbrikker som kan brukes til telling, plastbamser til måling av vekt, og så videre. Men i barnehagen er det selvfølgelig ikke nødvendig å benytte ferdigprodusert materiell. Det er i mange tilfeller bedre å bruke steiner, pinner, kongler og toalettrullhylser for å konkretisere de abstrakte matematiske begrepene man arbeider med.

Ordet matematikkaktivitet(er) er derfor ikke tilfeldig valgt. Aktivitetene vi legger opp til i barnehagen, er viktige for å skape en meningsfylt situasjon der og da, men også for den mer langsiktige prosessen med å tilegne seg matematisk kunnskap. I dette spiller leken en sentral rolle. Det vil her føre for langt å gå inn på de ulike sidene ved leken som meningsbærende virksomhet i barns liv, men vi vil påpeke at vi fra et matematisk ståsted vil vektlegge leken som en sosial samspillsarena som er essensiell for barns læring. Høigård (2019) argumenterer for at det er gjennom lek barna gjør seg førstehåndserfaringer, og det er først og fremst førstehåndserfaringer som driver deres begrepsutvikling framover. Vi støtter oss på Høigård og hennes definisjon av lek, der «leiken er barnets livsform. Leik er livsutfoldelse og glede. Leiken har sitt mål i seg sjøl og gir barnet gode opplevelser sammen med andre» (s. 63). Høigård fremhever samtidig at leken er blant barnets viktigste læringsarenaer. Ifølge Trageton (1997) er leken en forutsetning for at læring skal kunne finne sted. Dette er et kraftfullt utsagn: Lek er helt nødvendig for at barna skal kunne lære. Videre hevder Trageton at leken er utgangspunkt og fundament for barnets videre handling og aktive bearbeidelse av sanseinntrykk og erfaringer. Det er på bakgrunn av dette at mantraet «Læring gjennom lek» er blitt så grunnleggende for barnehagens virksomhet, og et prinsipp som barnehagelærere og andre ansatte i barnehagen arbeider etter. Eller, for å sitere Vygotskij (1978): «The influence of play on a child’s development

is enormous» (s. 96). Lekens rolle kan derfor ikke undervurderes i barns matematiske utvikling. (Mer om lek i kapittel 2.)

lek

Leiken er barnets livsform. Leik er livsutfoldelse og glede. Leiken har sitt mål i seg sjøl og gir barnet gode opplevelser sammen med andre. (Høigård, 2019, s. 63)

Lekens viktige rolle i barns liv og barns medvirkning i barnehagens virksomhet, er perspektiver som ligger til grunn for våre tanker om matematikk i barnehagen. Begrepet lek og lekens betydning for barns læring diskuteres videre i neste kapittel.

Et tredje grunnleggende begrep som brukes hyppig i boka, er inquiry. I neste kapittel vil dette bli nærmere forklart. Inquiry er en væremåte og tilnærming til å skape matematiske erfaringer for barn i barnehagen som er i tråd med rammeplanens syn på barnehagens virksomhet. Der heter det at personalet blant annet skal

• bruke matematiske begreper reflektert og aktivt i hverdagen

• bruke bøker, spill, musikk, digitale verktøy, naturmaterialer, leker og utstyr for å inspirere barna til matematisk tenkning

• styrke barnas nysgjerrighet, matematikkglede og interesse for matematiske sammenhenger med utgangspunkt i barnas uttrykksformer

• legge til rette for matematiske erfaringer gjennom å berike barnas lek og hverdag med matematiske ideer og utdypende samtaler

• stimulere og støtte barnas evne og utholdenhet i problemløsing (Kunnskapsdepartementet, 2017a, s. 21)