Nye Mega 8A by Cappelen Damm

Jan Erik Gulbrandsen . Arve Melhus . Randi LĂ¸chsen

Matematikk for ungdomstrinnet

Jan Erik Gulbrandsen 路 Arve Melhus 路 Randi L酶chsen

Matematikk Matematikkfor forungdomstrinnet ungdomstrinnet Grunnbok 8A Bokm氓l

© N.W. Damm & Søn, 2006 3. utgave 3. opplag Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med N.W. Damm & Søn AS er enhver eksemplarfremstillinmg og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Redaktør: Nils Henrik Gran Omslag og illustrasjoner: Øyvind Tingleff Grafisk tilrettelegging og sats: RenessanseMedia AS, v/Trude Gabrielsen Skrift: Century Old Style 11/13 p Papir: 115 g Arctic Volum Trykk: Narayana Press, Danmark, 2008 ISBN 978-82-04-11256-9

KJÆRE ELEV Velkommen til læreverket Nye Mega!

Generell del I denne delen lærer du det grunnleggende innenfor det emnet kapittelet tar opp. Her finner du:

!!+!!!=? TENK OG SNAKK

– problemstillinger som dere kan diskutere i elevgruppa.

EKSEMPEL – eksempler på hvordan du kan løse oppgaver.

KOPIERINGSORIGINAL

AKTIVITET

REGEL

Internett Søk:

– disse må du få av læreren din når du har bruk for dem.

– praktiske oppgaver som du kan løse sammen med andre elever.

– regler som det er nyttig å kunne når du skal løse oppgaver.

– aktuelle søkeord som du kan bruke for å finne aktuelt stoff på Internett.

Nye Mega

Fargedelen Denne delen består av treningsoppgaver i tre vanskelighetsgrader. Læreren hjelper deg med å velge riktig farge alt etter hvor godt du har fått med deg stoffet i generell del.

BLÅ

Det kan være greit å arbeide med stoffet en gang til, kanskje på en litt annen måte enn første gangen. Da passer det å velge blå farge.

GUL

Det kan være at du bare trenger litt mer øvelse for å bli sikker. Da passer det å velge gul farge.

RØD

Det kan være at du synes stoffet er enkelt. Da trenger du flere utfordringer. Det finner du i rød farge.

FYLKESOPPGAVE

PRØV DEG SELV

Til slutt i hvert kapittel er det oppgaver fra et bestemt fylke eller land. Kanskje du finner en oppgave fra hjemstedet ditt eller et sted du har vært.

Dette er en liten prøve på hva du kan etter å ha jobbet med kapittelet.

Jan Erik Gulbrandsen

Arve Melhus

Randi Løchsen

Kapittel A Geometri 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linje, stråle og linjestykke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forskjellige vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvordan kan vi tegne en vinkel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tegning av trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normaler ......................................... Tegning og konstruksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi bruker passer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi konstruerer midtnormalen til et linjestykke . . . . . . . . . Vi konstruerer normalen til en linje gjennom et punkt på linja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva mener vi med avstanden fra et punkt til en linje? . . . . Vi konstruerer normalen fra et punkt til en linje . . . . . . . . Parallelle linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å tegne en linje som er parallell med en annen linje . . . . . Hva mener vi med avstanden mellom to parallelle linjer? . . Å konstruere to linjer som er parallelle med en linje l i en bestemt avstand fra l . . . . . . . . . . . . . . . På skattejakt med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi konstruerer en trekant der vi kjenner alle tre sidene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkelkonstruksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi deler en vinkel i to like store vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . Vi konstruerer en vinkel på 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oversikt over vinkelkonstruksjonene . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruksjon av trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Litt mer om trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen av vinklene i en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne den tredje vinkelen i en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . Trekanter med spesielle navn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rettvinklet trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likesidet trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likebeint trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruksjon av firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fylkesoppgave Troms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10 12 17 18 20 21 21 22 23 24 25 26 27 27 28 29 30 31 33 34 36 37 37 38 39 40 41 41 41 42 43 44 56 67 83 86

Kapittel B Tall og tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å løse et problem med regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvilke opplysninger trenger du? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi har fire regningsarter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi velger regnemetode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning ved addisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning ved subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning ved multiplikasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning ved divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoderegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å regne på papir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å addere og subtrahere tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å multiplisere to tall med hverandre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å dividere to tall med hverandre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Navn på tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naturlige tall, partall og oddetall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primtallsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å addere desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å subtrahere desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi multipliserer med desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi setter opp divisjon med desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi dividerer et desimaltall med et annet desimaltall . . . . . Når divisjonen ikke går opp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tallinja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regnetegn og fortegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addisjon med et positivt tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subtraksjon med et positivt tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addisjon med et negativt tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subtraksjon med et negativt tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Når det er mer enn to ledd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjon med negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisjon med negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fylkesoppgave Rogaland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 93 94 95 98 98 99 99 100 100 101 102 102 103 104 106 106 107 108 109 110 110 111 112 113 113 114 117 120 120 122 124 126 128 130 131 132 146 159 174 176

Kapittel C Brøk og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi utvider brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi sammenligner størrelsen av to brøker . . . . . . . . . . . . . . . Forkorting av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uekte brøk og blandet tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uekte brøk kan skrives som blandet tall . . . . . . . . . . . . . . . Å gjøre om en uekte brøk til blandet tall . . . . . . . . . . . . . . . Å gjøre om et blandet tall til brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøk og desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Når nevneren er 10, 100, 1000 osv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å skrive desimaltall på brøkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Økning og minking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fylkesoppgave Sør-Trøndelag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180 188 190 193 195 196 196 197 199 200 202 203 206 209 231 250 260 263

Stikkordregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

KAPITTEL

GEOMETRI 1

!!+!!!=? TENK OG SNAKK

a) Hva tenker du når du ser tegningen på side 8? På tegningen ser du tre gule streker. Den øverste streken går gjennom verdensrommet. Hvor tror du den begynner, og hvor tror du den slutter? Vet du hva vi kaller en slik strek? Den andre streken går fra romskipet til astronauten. Hvor begynner den, og hvor slutter den? Vet du hva vi kaller en slik strek? Den tredje gule streken ser du bak raketten. Hvor begynner den, og hvor tror du den slutter? Vet du hva vi kaller en slik strek?

b) Romskipet er på vei mot en meteorstorm som ser slik ut:

KOPIERINGSORIGINAL

For at romskipet skal komme igjennom, må det skytes fire laserstråler slik at alle meteorsteinene utenom tre blir truffet. Klarer dere oppdraget? Fant dere flere løsninger?

LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE En strek er ikke alltid det samme som en linje.

Linje En linje er rett og strekker seg uendelig i begge retninger.

Stråle En stråle er en del av en linje. Strålen har et endepunkt eller startpunkt. På figuren har vi kalt dette punktet A.

Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje. Det har to endepunkter og er på den måten begrenset i begge retninger. Linjestykket på tegningen har endepunktene A og B. Med lengden av linjestykket AB mener vi avstanden mellom punktene A og B.

A1 a) Tegn en linje b) Tegn en stråle c) Tegn et linjestykke d) Hvilke(n) av de tre figurene du har laget, kan du måle lengden av?

A2 a) Hvilket linjestykke tror du er lengst? b) Hvilket linjestykke tror du er kortest? c) Mål lengden av alle linjestykkene. d) Hvilke linjestykker er mindre enn 1 dm? e) Hvilke linjestykker er lengre enn 1 dm? f) Hvilke linjestykker er nærmest 1 dm i lengde? g) Hvor mange mm er forskjellen i lengde på det lengste og det minste linjestykket?

A3 Tegn disse linjestykkene. AB = 7,0 cm

CD = 3,8 cm

EF = 1,3 dm

GH = 47 mm

VINKLER

!!+!!!=? TENK OG SNAKK

Trond vil lage elektrisk gitar. Han har med seg et foto av en gitar han har lyst til å lage. Problemet er at gitaren skal være så mye større enn det den er på fotografiet. Trond vet omtrent hvor lang gitaren skal være, men hvordan skal han få til de skrå sidene?

45°

Døra er lukket. Vinkelen mellom døra og veggen er 0°.

Døra er halveis åpnet. Vinkelen mellom døra og veggen er nå ca. 45°.

Døra er åpnet til 90°. En slik vinkel kaller vi også en rett vinkel.

En vinkel har ett toppunkt. På denne tegningen har vi kalt toppunktet A. En vinkel som har toppunkt i A, kaller vi ofte vinkel A. Vi bruker symbolet ∠ for vinkel. Vinkel A skriver vi da som ∠ A.

tr ns

e ink

lbe

høyre vinkelbein

ven

e str

vin

lb ke

ein

30°

En vinkel har to vinkelbein. Vinkelbein er de to strålene som går ut fra vinkelens toppunkt. Når vi står plassert i dette toppunktet og ser utover i vinkelen, har vi vinkelens høyre vinkelbein på vår høyre side og vinkelens venstre vinkelbein på vår venstre side.

Størrelsen av en vinkel måler vi i grader. Vi bruker symbolet ° for grader. En vinkel som er 30 grader, skriver vi som 30°.

høyre vinkelbein

Til å måle en vinkel bruker vi ofte en gradskive.

Når vi skal måle ∠ A, legger vi gradskiva med 0-punktet i vinkelens toppunkt og slik at det høyre vinkelbeinet følger 0-linja på gradskiva. Du kan lese av hvor stor vinkelen er ved det andre vinkelbeinet. ∠ A = 30°.

Vinkelen kan åpne seg den andre veien. Når vi skal måle ∠ B, legger vi gradskiva med 0-punktet i vinkelens toppunkt og slik at det venstre vinkelbeinet følger 0-linja på gradskiva (se avsnittet over). Du kan lese av hvor stor vinkelen er ved det andre vinkelbeinet. ∠ B = 30°.

A4 a) Tegn fire forskjellige vinkler. b) Skriv en bokstav på toppunktet til hver vinkel. c) Skriv høyre og venstre vinkelbein på rett plass på hver vinkel. d) Mål hvor store vinklene dine er. A5 a) Tegn fire ulike vinkler på et blankt papir. La vinkelbeina være nokså lange (6–8 cm). Kall vinklene nr. 1, 2, 3 og 4. b) Bytt arket med en kamerat. c) Lag tabellen nedenfor i kladdeboka di.

Vinkel

Min gjetning

Riktig resultat

Forskjell

Poeng

45°

40°

5°

2 3

Feil grader Poeng

4 0–3 4–8 9–14 15–20

10 6 3 1

d) Tipp vinklene kameraten din har laget, og skriv ned i tabellen det du gjetter. e) Mål vinklene med gradskive og sett inn verdiene i kolonnen «Riktig resultat» i tabellen. f) Regn ut forskjellen mellom gjetning og riktig resultat i kolonnen «Forskjell». g) Sett poeng for hver vinkel og regn ut samlet poengsum.

A6 M책l vinklene:

Fiskene (Pisces)

Jomfruen (Virgo)

Forskjellige vinkler A SPISS VINKEL

En vinkel som er mindre enn 90°, kaller vi en spiss vinkel.

En vinkel som er 90° kaller vi en rett vinkel. Ofte skriver vi inne ved toppunktet for å markere at det er en rett vinkel.

D LIKE VINKEL

STUMP VINKEL

En vinkel som er mellom 90° og 180°, kaller vi en stump vinkel.

RETT VINKEL

En vinkel som er 180°, kaller vi en like vinkel.

A7 Se på trekantene nedenfor. a) Hvilke vinkler er rette? b) Hvilke vinkler er spisse? c) Hvilke vinkler er stumpe?

B D

K G

A8 a) Tegn b) Tegn c) Tegn d) Tegn

en en en en

spiss vinkel og mål hvor mange grader den er. stump vinkel og mål hvor mange grader den er. rett vinkel. Hvor mange grader er den? like vinkel. Hvor mange grader er den?

Hvordan kan vi tegne en vinkel?

Når vi skal tegne en vinkel på for eksempel 30°, må vi bestemme oss for hvor toppunktet skal være, og hvilken vei vinkelen skal åpne seg. På figuren ovenfor er både ∠ A = 30° og ∠ B = 30°, men de åpner seg hver sin vei. Når vi skal tegne en vinkel på for eksempel 30°, kan vi gjøre det slik det er vist på neste side.

Vi må tegne det ene vinkelbeinet først og merke av hvor toppunktet skal være.

Vi bruker gradskiva for å merke av en strek på det andre vinkelbeinet.

Vi streker opp det andre vinkelbeinet.

A9 Tegn disse vinklene: a) 45° b) 30° e) 50° f) 120°

c) 90° g) 140°

d) 105° h) 180°

TEGNING AV TREKANTER Når vi skal tegne en trekant, kan vi bruke gradskive og linjal. Enten vi skal tegne eller konstruere trekanter, trenger vi en hjelpefigur. En hjelpefigur er en skisse som hjelper oss til å finne ut på hvilken måte vi skal tegne trekanten. På hjelpefiguren setter vi på de målene som er oppgitt.

EKSEMPEL Tegn en trekant ABC der AB = 7 cm, ∠ A = 40° og ∠ B = 50°. Løsning: Først tegner vi en hjelpefigur, A den trenger ikke å være nøyaktig. På hjelpefiguren skriver vi inn de opplysningene som står i oppgaven.

50°

40°

7 cm

Nå kan vi tegne trekanten. A

A 10 8 cm Nedenfor har vi laget noen hjelpefigurer. A Tegn trekantene.

C C A

50° 8c

45°

75°

35°

5 cm

30° 8 cm

A 11 Lag hjelpefigurer og tegn: a) trekant ABC der AB = 8 cm, ∠ A = 65° og ∠ B = 50° b) trekant ABC der ∠ A = 70°, AC = 6 cm og AB = 8 cm c) trekant DEF der ∠ F = 55°, DF = 7,3 cm og FE = 4,7 cm

A 12 Lag en tegning av en gitar du kan tenke deg å ha. Tegn gitaren med riktige vinkler og skriv gradene på tegningen. Lag tegningen på et A3-ark. Finn en passende størrelse.

NORMALER Normal

Midtnormal

90°

90° A

En normal er en linje som danner en vinkel på 90° med en annen linje. Vi sier at normalen står vinkelrett på den andre linja.

En normal som går gjennom midtpunktet på et linjestykke, kaller vi en midtnormal.

A 13 a) Tegn et linjestykke AB = 6 cm. b) Finn midtpunktet av AB. c) Tegn midtnormalen til AB.

TEGNING OG KONSTRUKSJON I matematikken skiller vi mellom tegning og konstruksjon. Når vi tegner, kan vi bruke gradskive, linjal, vinkelhake og blyant. Men når vi konstruerer, har vi bare lov å benytte passer, linjal og blyant. A 14 a) Tegn et linjestykke AB = 7 cm. b) Finn ved konstruksjon to punkter som ligger 5 cm fra A og 5 cm fra B. c) Finn ved konstruksjon to punkter som ligger 4 cm fra A og 4 cm fra B. d) Finn ved konstruksjon to punkter som ligger 6 cm fra A og 6 cm fra B. e) Har punktene du har funnet, noe felles?

VI BRUKER PASSER

A 15 Bruk passeren og prøv å lage noen av figurene vi har vist nedenfor. Legg gjerne farge på noen av figurene, klipp dem ut og heng dem på veggen i klasserommet.

a) Lag en slik figur ved hjelp av passeren. La radius i sirklene være 2 cm.

b) Lag en slik figur ved hjelp av passeren. La radius i sirklene være 2 cm. Trekk linjer mellom sentrum i sirklene. Hva slags figur får du?

c) Tegn en rekke sirkler slik at radius i sirklene øker med 1 cm om gangen. La sentrene ligge langs en linje. Eksperimenter med avstanden mellom sentrene.

d) Du har sikkert laget en slik rose før. Lag en nå, men slå hele sirkelen hver gang du lager en ny sirkel. Legg farger på figuren.

e) Lag et mønster til duk eller genser ved hjelp av passeren. Vi har kommet med en liten idé i margen.

Vi konstruerer midtnormalen til et linjestykke

EKSEMPEL

2 Nå skal du ikke forandre passeråpningen. Flytt passerspissen til B og slå en halvsirkel slik det er vist på figuren.

Oppgave: Konstruer midtnormalen til linjestykket AB. A

1 Sett passerspissen i A. Åpne passeren slik at passeråpningen er større enn halvparten av AB. Slå en halvsirkel slik det er vist på figuren.

Trekk en linje mellom begge skjæringspunktene til sirkelbuen. Denne linja er midtnormalen til AB.

A 16 a) A

Mål lengden av linjestykket AB og tegn det i kladdeboka. Konstruer midtnormalen til AB. b) C

Mål lengden av linjestykket CD og tegn det i kladdeboka. Konstruer midtnormalen til CD. c) Tegn et linjestykke AB = 6 cm. Konstruer midtnormalen til AB. d) Tegn et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB.

Vi konstruerer normalen til en linje gjennom et punkt på linja

EKSEMPEL

Oppgave: Konstruer normalen til l i punktet P.

3 Nå skal du ikke forandre passeråpningen. Flytt passerspissen til halvsirkelens andre skjæringspunkt med linja. Slå en sirkelbue slik det er vist på figuren.

1 Velg en passeråpning omtrent så stor som det er vist på figuren. Slå en halvsirkel om toppunktet. A

2 Flytt passerspissen til det ene av halvsirkelens skjæringspunkter med linja. Velg en passeråpning som er større enn radien i halvsirkelen. Slå en sirkelbue slik det er vist på figuren.

4 Trekk linja mellom sirkelbuens skjæringspunkt og punktet P på linja. Den linja du trekker nå, er normalen til linja l i punktet P.

A A

A 17 a) Tegn en linje m og et punkt S p책 linja omtrent slik det er vist p책 figuren. m

Konstruer normalen til m i punktet S. b) Tegn en linje som du kaller l. Merk av et punkt p책 linja som du kaller P. Konstruer normalen til l i P.

Hva mener vi med avstanden fra et punkt til en linje? P A 18 Kan du finne hvor stor avstanden fra P til l er?

1 2

A 19 a) Hvilke av linjestykkene 1, 2 eller 3 mener du har samme lengde som avstanden fra P til l? Begrunn svaret.

b) Hva er spesielt med det linjestykket som gir deg avstanden fra P til l?

l Med avstanden fra et punkt P til en linje l mener vi lengden p책 normalen til l gjennom P.

Vi konstruerer normalen fra et punkt til en linje P

Du har en linje l og et punkt P utenfor linja. Konstruer normalen gjennom l punktet P til linja l. Fullfør oppgaven gitt her. P

1 Sett passerspissen i P og slå en sirkelbue. Du må ha så stor åpning på passeren at sirkelbuen skjærer l linja l i to punkter. Kall skjæringspunktene A og B.

2 Sett passerspissen i A og sett av et punkt med avstand AP under linja. l Gjør det samme fra punkt B. Trekk en linje mellom P og sirkelbuens skjæringspunkt. Dette er normalen gjennom punktet P til linja l. 3 Denne normalen er også midtnormalen til AB fordi P ligger like langt fra A som fra B.

A 20

a) Tegn en linje l og et punkt P omtrent slik det er vist på figuren. Konstruer normalen gjennom P til linja l. b) Tegn en linje som du kaller m. Merk av et punkt P utenfor linja. Konstruer normalen gjennom P til linja m.

PARALLELLE LINJER

!!+!!!=?

To linjer som aldri skjærer hverandre, kalles parallelle linjer.

TENK OG SNAKK Du kjenner sikkert til eksempler på at vi bruker ordet parallell i dagligtalen. Manhatten

son

Hud

Finn eksempler på parallelle linjer.

Rive

I matematikken benytter vi ordet parallell i forbindelse med parallelle linjer og mener da linjer som ikke har noe skjæringspunkt.

ive

st R Ea

På figuren til venstre har vi vist to parallelle linjer, l og m. At l er parallell med m, skriver vi l 冷冷 m. Dette leser vi «l er parallell med m».

l m

Å tegne en linje som er parallell med en annen linje

EKSEMPEL l

1 Du har en linje l. Du skal tegne en annen linje som er parallell med l, og som skal gå gjennom P. 2 Legg vinkelhaken med en side langs linja l og linjalen langs en av de andre sidene på vinkelhaken slik figuren viser.

3 La vinkelhaken gli langs linjalen til vinkelhaken ligger i kant med P. Trekk en linje slik figuren viser. 4 Ta vekk vinkelhaken og linjalen. Den linja som du har tegnet, er parallell med l og går gjennom P.

A 21 Lag en figur som vist til venstre i kladdeboka l di. Tegn parallellen til l gjennom P.

A 22 Trekk en linje m og tegn en linje pĂĽ hver side av m. Begge linjene skal vĂŚre parallelle med m.

A 23 Hvilke linjestykker er parallelle? C A

S O

G B

D J

Q N

Hva mener vi med avstanden mellom to parallelle linjer? Q m

l P To parallelle linjer har felles normaler. En linje som er normal til den ene parallellen, vil automatisk ogsĂĽ vĂŚre normal til den andre parallellen. Den delen av normalen som ligger mellom parallellene, kaller vi avstanden mellom parallellene. A 24 Hvilket linjestykke er avstanden mellom l og m? l 1

Å konstruere to linjer som er parallelle med en linje l i en bestemt avstand fra l EKSEMPEL Tegn en linje l og konstruer to linjer m og n, som er parallelle med l i avstanden 2 cm fra l. 1

Tegn en linje l og merk av et punkt P på linja. Konstruer normalen til l gjennom punktet P.

Merk av et punkt Q på linja. Konstruer normalen til l gjennom punktet Q.

Sett av 2 cm på normalene på begge sider av linja l.

Trekk de to linjene m og n. Disse to linjene er nå parallelle med linja l i avstanden 2 cm fra l.

A 25 Tegn en linje l. Konstruer parallellene til l i avstanden 4 cm. A 26 Tegn en linje m. Konstruer parallellene til m i avstanden 2 cm. A 27 Tegn en linje l. Merk av et punkt P som ligger ca. 5 cm fra l. Konstruer normalen fra P ned på l. Konstruer en linje m som er parallell med l, og som går gjennom P. A 28 Tegn en linje l. Konstruer parallellene til l i avstanden 2 cm, 3 cm og 4 cm.

PÅ SKATTEJAKT MED PASSER OG LINJAL

!!+!!!=? TENK OG SNAKK

En dag sier onkel til Nina: «Dette kartet viser Skattøya. Der har jeg gravd ned 100 kr. Hundrelappen ligger et sted som på kartet er 5 cm fra kaptein Kroks nesebor og 4 cm fra sjørøver Willys gylne tann. Hvis du kan finne dette punktet bare ved å bruke passeren, så skal du få hundrelappen.» a) Finn det punktet på kartet der hundrelappen ligger. Bruk bare passer. b) Drøft løsningen din med en annen elev. Når vi konstruerer, har vi bare lov til å benytte:

4 cm

passer

linjal

blyant

KOPIERINGSORIGINAL

A2 KAPTEIN KROKS NESEBOR

SJØRØVER WILLYS GYLNE TANN

KOPIERINGSORIGINAL

A 29 På kaptein Tommeltotts øy er det gravd ned en skatt. Bak på et gammelt kart står det: «Skatten ligger på en av sidene i en trekant som har hjørnene Grisebukta, Tommelberget og et hjørne som ligger 6 cm fra Grisebukta og 4 cm fra Tommelberget. Skatten ligger dessuten 3 cm fra Blå negl på kartet.» a) Kan du finne på kartet hvor skatten kan være gjemt? b) Sammenlign med svaret til en annen elev.

VI KONSTRUERER EN TREKANT DER VI KJENNER ALLE TRE SIDENE EKSEMPEL Oppgave: Konstruer en trekant ABC der AB = 7 cm, AC = 5 cm og BC = 4 cm. Løsning: Først tegner vi en hjelpefigur der vi setter på de målene vi kjenner. C 4 cm

5 cm

7 cm

Deretter setter vi av AB = 7 cm. Så slår vi en sirkelbue om A med radius 5 cm og deretter en sirkelbue om B med radius 4 cm. Til dette benytter vi passer og linjal.

Der disse sirkelbuene skjærer hverandre, må vi ha punktet C. B

A 30 Konstruer trekantene vi har laget hjelpefigurer til: a)

5 cm

Hjelpefigur til A 31 a) C 5 cm A

7 cm 9 cm

F 5 cm

D 4 cm

8 cm

A 31 a) Konstruer en Δ ABC der AB = 9 cm, AC = 5 cm og BC = 7 cm. Tegn hjelpefigur. b) Konstruer en Δ ABC der AB = 7 cm, AC = BC = 5 cm. Tegn hjelpefigur. c) Konstruer en Δ ABC der AB = AC = BC = 6 cm. Tegn hjelpefigur.

B A 32 Konstruer trekanten vi har tegnet hjelpefigur til: C 4 cm 90° A

3 cm

7 cm E

4 cm

3 cm

5 cm

7 cm

4 cm

3 cm

5 cm

VINKELKONSTRUKSJONER A 33 a) Tegn en vinkel på 80° i boka di. b) Tegn en vinkel på 40° på den samme figuren (slik det er vist nedenfor).

130

110 120

100 90 80 70 6 05 0

45 40

140

180 170 16 0 150

10 0

re st

e nk

r lve

t ss

rå

Det venstre vinkelbeinet til vinkelen på 40° deler vinkelen på 80° i to førtigraders vinkler. Vi kaller denne strålen halveringsstrålen.

40°

c) Merk av tre punkter A, B og C utover halveringsstrålen. Mål avstanden fra et slikt punkt og inn til hvert vinkelbein. Før resultatene inn i tabellen.

I H P

C B

G 40

Avstanden fra P til l.

90° l

GA AD HB BE IC CF

Linjestykke Lengde i cm

d) Hva finner du ut om avstanden fra halveringsstrålen og ut til begge vinkelbeina? Drøft dette med en annen elev.

Fra ethvert punkt på halveringsstrålen til en vinkel er det like stor avstand til hvert av vinkelbeina.

Vi deler en vinkel i to like store vinkler EKSEMPEL Vi konstruerer halveringsstrålen Oppgave: Tegn en vilkårlig vinkel og konstruer halveringsstrålen til vinkelen. Løsning: a) Sett passerspissen i vinkelens toppunkt og slå en sirkelbue med fritt valgt radius, slik det T er vist på figuren. b) Sett passerspissen i skjæringspunktet mellom det ene vinkelbeinet og sirkelbuen og slå en bue med fritt valgt radius. T c) Nå må du ikke forandre passeråpningen! Sett passerspissen i skjæringspunktet mellom det andre vinkelbeinet og sirkelbuen. Slå en bue som skjærer buen du laget i punkt b.

d) Trekk en stråle fra vinkelens toppunkt gjennom krysset. Mål ∠ T, ∠ a og ∠ b. Hva finner du?

lve

s ing

str

åle

a T

A 34 Tegn tre vilkårlige vinkler. Konstruer halveringsstrålen til hver av vinklene. Mål de to vinklene du får nå, for å kontrollere at de er like store. A 35 a) Konstruer en vinkel på 90°. b) Halver (del i to like store deler) vinkelen du laget i a. c) Hvor mange grader er hver av de halve vinklene? 1 d) Konstruer 22 __ ° på den samme figuren som i oppgavene 2

a og b ovenfor.

A 36 Hvor store tror du vinklene er uten å måle? a) b)

c) Konstruer vinklene.

!!+!!!=? TENK OG SNAKK

a) Hvor mange grader er en hel sirkel? b) Hvor mange grader er farget på sirklene nedenfor? Drøft svaret med en annen elev.

c) Merk av et punkt P. Slå en sirkel med fritt valgt radius rundt P. Behold passeråpningen uendret. P

Sirkelperiferi

d) Merk av et punkt Q på sirkelperiferien. Sett passerspissen i Q og se hvor mange ganger du kan sette av sirkelens radius langs sirkelperiferien. Husk: Passeråpningen skal være den samme som i c ovenfor.

e) Trekk radiene fra sentrum P ut til alle punktene du fant langs sirkelperiferien. Hvor mange vinkler får du med P som toppunkt? f) Hvor store er disse vinklene? Begrunn svaret ditt.

Vi konstruerer en vinkel på 60° EKSEMPEL Vi konstruerer en vinkel på 60° Oppgave: Konstruer en vinkel på 60°. Løsning: 1 Vi merker av toppunktet P på en linje l.

2 Vi setter passerspissen i P og slår en bue med fritt valgt radius. Buen skjærer l i A.

3 Du må ikke forandre passeråpningen nå. Sett passerspissen i A og slå radius opp på sirkelbuen. De to sirkelbuene krysser hverandre i B.

4 Trekk en stråle fra P gjennom B. 5 Hvor stor er vinkelen ved P?

A 37 Konstruer vinklene: a) 60° b) 30°

c) 15°

d) 75°

e) 105°

c) 15°

d) 22 _2_ °

e) 67 _2_ °

A 38 Konstruer vinklene: a) 90°

b) 45°

Oversikt over vinkelkonstruksjonene 45

120

135

67 12

Konstruksjon av trekanter Når vi skal konstruere en trekant, har vi ikke lov til å benytte gradskiva når vi skal lage vinkler eller normaler. Når vi konstruerer, har vi bare lov til å benytte blyant, passer og linjal. Ellers går vi fram på samme måte som når vi tegner trekanter. Vi lager hjelpefigurer, setter målene på dem og konstruerer så trekanten.

EKSEMPEL C

45 A

60 5 cm

A 39 Konstruer trekantene. Vi har laget hjelpefigurene. C a) b) C 4 cm 60˚

60˚ A

6 cm

4 cm

5 cm 60˚

30˚ A

8 cm

7 cm

Litt mer om trekanter C

En trekant har tre hjørner, tre sider og tre vinkler. Når vi skal skrive om en trekant i matematikken, kan vi benytte disse skrivemåtene: «Trekanten ABC» eller Δ ABC. Bokstavene A, B og C står for hjørnene i trekanten. Hvis hjørnene har bokstavene A, B og C, C blir sidene i trekanten AB, AC og BC. Du husker sikkert at en vinkel kan skrives på flere måter: (Bokstaven i midten skal være den som er i toppunktet til vinkelen.)

B A eller

BAC

A 40 Skriv vinklene i trekantene nedenfor på to forskjellige måter: C F a) b)

A Z

d) M

Summen av vinklene i en trekant EKSEMPEL C F

D E Mål vinklene i de to trekantene ovenfor. Regn ut: ∠ A + ∠ B + ∠ C og ∠ D + ∠ E + ∠ F Hva finner du?

AKTIVITET a) Tegn to trekanter i boka di. Mål vinklene i hver trekant og regn ut summen av dem. Hva finner du? Sammenlign resultatene dine med en annen elev. b) Tegn en trekant. Klipp av hjørnene. Kan du legge hjørnene sammen på en slik måte at du får bekreftet det du fant i spørsmål a ovenfor?

REGEL Summen av de tre vinklene i en trekant er alltid 180°.

Å finne den tredje vinkelen i en trekant EKSEMPEL Regn ut ∠ C. C

80˚

30˚

∠ A + ∠ B = 80° + 30° = 110° ∠ C = 180° – 110° = 70°

A 41 Regn ut den vinkelen som mangler i trekanten ABC: C a) b) C ?

? 50˚

30˚

B C

30˚

70˚ 40˚ A

130˚

? B

A 42 I en Δ DEF er ∠ D = 40°, og ∠ F = 80°. Hvor stor er ∠ E?

Trekanter med spesielle navn RETTVINKLET TREKANT En trekant med en vinkel på 90° kaller vi en rettvinklet trekant. C C

A 43 a) Slå en sirkel om et punkt P. Radius kan du velge selv. Behold passeråpningen. b) Merk av et punkt Q på sirkelen. Trekk PQ. c) Sett passerspissen i Q og slå en bue som krysser sirkelperiferien. Kall skjæringspunktet R. Trekk PR og QR. d) Hvor stor er ∠ QPR? Begrunn svaret ditt. e) Hvor lange er PQ og PR? f) Mål lengden av QR. Hva finner du? g) Mål ∠ PQR og ∠ PRQ. Hva finner du?

LIKESIDET TREKANT En trekant der alle tre sidene er like lange, kaller vi en likesidet trekant. I en likesidet trekant er alle vinklene like store, altså 60°.

C 4 cm 60˚ A

60˚

4 cm

60˚ 4 cm

l A

E D C

A 44 a) Tegn en linje l. Merk av to punkter A og B på linja slik at AB er 6 cm. b) Konstruer midtnormalen til AB. c) Merk av tre punkter C, D og E på midtnormalen. Trekk AC og BC. Mål lengden på AC. Mål lengden på BC. Mål ∠ A og ∠ B. Hva finner du? d) Trekk AD og BD. Gjør deretter det samme som du gjorde i oppgave c ovenfor. e) Hva finner du ut om Δ ABE?

LIKEBEINT TREKANT En trekant der to av sidene er like lange, kaller vi en likebeint trekant.

6 cm

I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinja like store. Normalen fra toppunktet ned på grunnlinja deler grunnlinja i to like store deler. AC = BC 1 __ AD = BD = 2 AB ∠A=∠B

A 45 Hvilke navn har trekantene nedenfor? C a) b) C

60°

4 cm

7 cm

60°

4 cm

C 6 cm

5 cm

6 cm

A 46 Konstruer: a) Δ ABC der AB = 8 cm, ∠ A = 90° og ∠ B = 45° b) Δ ABC der AB = 6,5 cm, AC = 4,8 cm og ∠ A = 60° c) Δ DEF der ∠ E = 60°, ∠ F = 60° og EF = 7 cm. Hva slags trekant er Δ DEF? d) Δ ABC der AB = 6 cm, AC = BC = 7 cm. Hva slags trekant er Δ ABC? Konstruer normalen fra C ned på AB. Kall det punktet der normalen skjærer AB, for F. Hvor lang er AF? Begrunn svaret.

Konstruksjon av firkanter EKSEMPEL Oppgave: Konstruer firkanten vi har tegnet hjelpefigur til. D

5 cm

4 cm 90˚ 30˚ B 6 cm

D C

Løsning: Først konstruerer vi Δ ABC. Deretter konstruerer vi Δ ACD videre på Δ ABC.

A 47 Konstruer firkantene: C a) 6 cm

D D

4 cm

30˚ 8 cm

6 cm

8 cm D

45˚ 30˚ 6 cm

90˚

90˚ A

60˚

45˚ 30˚ 5 cm

105˚

90˚ B

45˚

7 cm

A 48 Konstruer en firkant ABCD der AB = 8 cm, ∠ ABC = 90°, BC = 6 cm, ∠ CAD = 45° og ∠ ACD = 60°. A 49 Konstruer en firkant ABCD der AB = 7 cm, ∠ ABC = 60°, ∠ BAC = 30°, ∠ CAD = 45° og AD = 5 cm.

BLÅ A 50 Bruk linjalen din og finn ut hvor lange linjestykkene er: a) b) c) d) e)

1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm desi betyr tidel centi betyr hundredel milli betyr tusendel 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm

1 m = 10 dm 7,31 m = 73,1 dm Kommaet én plass til høyre

1 m = 100 cm 1,40 m = 140 cm Kommaet to plasser til høyre

1 dm = 10 cm 0,62 dm = 6,2 cm Kommaet én plass til høyre

A 51 Bruk linjalen og lag linjestykker som er: a) 13 cm b) 7 cm d) 1,0 dm e) 5,5 cm

c) 10 cm f) 55 mm

A 52 Bruk linjalen din og svar på spørsmålene: A

a) Hvor mange centimeter er linjestykkene? 1) AB 2) BC 3) AC 4) AD b) Hvor mange millimeter er svarene du fikk i oppgave a? Husk at 1 cm = 10 mm. Bruk linjalen dersom du er usikker. A 53 I en kroppsøvingstime hoppet 8B lengde. Her ser du noen av resultatene: Iver 3,87 m Gaute 3 820 mm Svenn 36,5 dm Nina 3 680 mm Tone 410 cm Amina 380 cm a) Sett opp resultatene slik at den som hoppet lengst, står først, osv. b) Hvor mye lenger hoppet Tone enn Svenn? c) Hvor mange centimeter manglet Iver på å hoppe 4,00 m? A 54 Tegn et linjestykke som er 9,0 cm langt, og et linjestykke som er 1,4 dm. a) Hvilket linjestykke er lengst? b) Hvor mye lengre er det ene linjestykket enn det andre?

AB = 0,73 dm = 7,3 cm = 73 mm

A 55 Tone har en rød blyant som er 0,13 m lang, og en blå som er 12,2 cm lang. Tegn blyantene med riktig lengde. a) Hvilken av blyantene er lengst? b) Hvor mye lengre er den lengste blyanten enn den andre? A 56 a) Hvor høy er du? b) Hvor mange centimeter mangler du på å være 2 m?

A 57 Størrelsene på målene er svært ulike i forskjellige idretter.

7,32 m

a) Hva er høyden og bredden på fotballmålet i desimeter, 2,44 m centimeter og millimeter?

300 cm b) Hva er høyden og bredden på håndballmålet i meter, 200 cm desimeter, og millimeter?

1 830 mm c) Hva er høyden og bredden på ishockeymålet i meter, 1 220 mm desimeter og centimeter?

3,5 m 2,1 m

d) Hva er høyden og bredden på bandymålet i desimeter, centimeter og millimeter?

A 58 Hvor store er disse vinklene? Bruk gradskiva di og skriv også hva vinkelen heter. a)

A 59 Hvor stor er vinkelen mellom viserne? Prøv uten gradskive.

360° a) 11 10

12 1 2

9 6

d) Husk at hele sirkelen er 360°.

4 6

12 1 2

4 7

2 3

4 7

e) 11 10

12 1

3 7

11 10

4 7

12 1

11 10

f) 11 10

12 1 2

4 7

11 10

12 1 2

4 7

A 60 Tegn hånden din i kladdeboka. Strek opp vinklene som er mellom fingrene dine. Prøv å gjette hvor store vinklene er. Bruk deretter gradskiva og sjekk hvor nær du kom i gjetningene dine. A 61 Tegn disse vinklene. Hva heter vinklene? Sett på navn. a) 14° b) 60° c) 120° d) 90° e) 75° f) 37°

A 62 Tegn et linjestykke AB like langt som på tegningen. Konstruer midtnormalen til AB. A

A 63 a) Tegn et linjestykke AB like langt som på tegningen. Konstruer midtnormalen til AB. A

b) Hvor langt er linjestykket AB? A 64 a) Tegn et linjestykke AB = 8 cm. Konstruer midtnormalen til AB. b) Hvor mange centimeter er det fra A til midtnormalen? A

B A 65 Tegn et linjestykke AB = 6,4 cm. Konstruer midtnormalen til AB.

Midtnormalen til AB A 66 Tegn en linje l som vist på figuren. Konstruer normalen til l i P. l P

A 67 Tegn en linje m som vist på figuren. Konstruer normalen til m i S. P Normalen til l i P

m S A 68 Tegn en linje som du kaller l. Merk av et punkt på linja. Kall punktet for P. Konstruer normalen til l i P. A 69 Tegn tre linjer hvor antall skjæringspunkter er a) tre b) to c) ett d) null

A 70 Tegn trekantene vi har laget hjelpefigurer til. C

45°

75° 8,2 cm

30°

25° 100° 7,8 cm

b) Hvor stor er ∠ C? Hvor mange grader er ∠ A + ∠ B + ∠ C til sammen?

85° 7,5 cm

c) Hvor stor er ∠ C? Bruk gradskive.

C 4 cm

a) Hvor stor er ∠ C? Hvor mange grader er ∠ A + ∠ B + ∠ C til sammen?

90°

60° 8 cm

d) Hvor stor er ∠ B, og hvor stor er ∠ C? Bruk gradskive.

60°

6,5 cm

e) Hvor lange er sidene AC og BC? Hvor stor er ∠ C? Bruk linjal og gradskive.

A 71 Tegn en linje m og et punkt T omtrent som vist på figuren. T P

m l

Konstruer normalen gjennom T til linja m. A 72 Tegn en linje og kall den l. Merk av et punkt utenfor linja. Kall punktet for S. Konstruer normalen gjennom punktet S til l. A 73 Tegn to linjer som er parallelle med hverandre, i kladdeboka di. A 74 Skriv ned eksempler på parallelle linjer som du ser til daglig.

A 75 Konstruer disse mønstrene: a) b)

g) Eksempel på en symmetriakse h) Lag et eget mønster med sirkler, trekanter og firkanter. La en av klassekameratene dine forsøke å lage et som er maken. i) Hvor mange symmetriakser har hver av oppgavene? Halvering av vinkel A 76 Tegn i kladdeboka di tre vinkler som ligner på dem nedenfor:

Spiss vinkel

Rett vinkel

1 2 3 a) Bruk gradskiva di og finn ut hvor store de tre vinklene er i grader. b) Hva heter de tre vinklene? c) Halver vinklene. Hvor stor ble hver av de nye vinklene nå?

Stump vinkel

A 77 Hva er forskjellen på å tegne en vinkel og å konstruere en vinkel?

A 78 Konstruer disse vinklene. Bruk linjal, passer og blyant. a) 60° b) 30° c) 90° d) 45° e) 120°

A 79 Konstruer disse vinklene:

60˚ 75˚ 6,2 cm

b) 45°

c) 105°

d) 75°

e) 30°

f) 15°

g) 22 _2_ °

h) 67 _2_ °

A 80 Konstruer de vinklene som du kan. Du bør kunne disse:

a) 90°

15°

22 _2_ °

75°

90°

30°

45°

67 _2_ ° 1

60°

På hjelpefigurer skriver du på de målene og vinklene som du kjenner. En hjelpefigur trenger ikke å være lik den ferdig konstruerte figuren.

105°

120°

135°

La læreren din sjekke at du har gjort alle riktig. A 81 Konstruer trekantene vi har laget hjelpefigurer til. a) b) C c) C C

Framgangsmåte A

Sett av AB = 6,2 cm med linjalen din.

90˚

30˚ A

60˚ B

6,0 cm

d) A

90˚ A

30˚ 7,5 cm

Konstruer 60° i A og 75° i B.

B A

6,5 cm

75˚

45˚

Trekk AC og BC.

22 2 ˚ 6,8 cm

1 67 2 ˚ 75˚ A 7,4 cm

105˚ B

45˚ 7,8 cm

Hvor stor er vinkelsummen i hver av trekantene? Bruk gradskive dersom du ikke husker det.

Hvor stor er vinkel C i trekantene a, b, c, d, e, og f?

Konstruer trekanten: C

A 82 Konstruer disse trekantene: a) C b) C

3,0 cm A

4,9 cm

4,5 cm

45˚ 2,5 cm

6,0 cm

6,5 cm

105˚

75˚

90˚ A

7,7 cm

6,0 cm

Bruk linjalen og sett av AB = 2,5 cm. B

4,0 cm

6,0 cm

Slå en sirkelbue med radius 3,0 cm med sentrum i A. Skjæringspunktet er C. Tegn AC og BC.

5,0 cm

6,0 cm

7,0 cm

8,2 cm 8,2 cm

6,8 cm A A 6,8 cm

B B

f) 8,9 cm

8,5 cm

8,3 cm 1

75° A

C C

cm 5,0

Konstruer ∠ B = 45°. Tegn en stråle fra B.

4,3 cm 4,3 cm

A 83 Konstruer disse trekantene:

67 2 ˚ 6,8 cm

6,4 cm

7,0 cm

A 84 a) Konstruer en trekant hvor sidene er så lange som linjestykkene nedenfor. A

b) Prøv om du kan bruke linjestykkene til å lage en trekant som ser annerledes ut enn den du laget i oppgave a ovenfor.

A 85 Lag hjelpefigurer og konstruer trekantene: a) AB = 6 cm, ∠ A = 60°, AC = 4 cm b) AB = 8 cm, ∠ A = 90°, AC = 5 cm

Hjelpefigur til a:

c) AB = 7 cm, ∠ A = 30°, AC = 5 cm

d) AB = 5,5 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm

4 cm

e) AC = 6 cm, BC = 6 cm, AB = 6 cm

60˚ A

6 cm

∠ A = 90°, AB = 7 cm, ∠ B = 45°

g) BC = 5 cm, ∠ B = 45°, AB = 6 cm h) ∠ A = 30°, ∠ B = 60°, AB = 6,5 cm i)

∠ B = 75°, AB = 7 cm, ∠ A = 30°

AC = 5 cm, ∠ A = 45°, AB = 8 cm

k) BC = 7 cm, AC = 4 cm, AB = 9 cm

A 86 Forklar med dine egne ord hva det vil si at en trekant er a) rettvinklet

b) likesidet

c) likebeint

d) rettvinklet og likebeint

A 87 Hva heter disse trekantene?

C a)

60°

e) d)

C 3 cm

3 cm 50°

60°

3 cm

50° B

3 cm

2 cm

Navn på trekanter:

Rettvinklet trekant C 60°

2 cm

2 cm 60°

60° A

2 cm

Likesidet trekant C

2,5 cm

2,5 cm 70°

A 89 a) Tegn en likesidet trekant ABC med sider 5 cm. b) Tegn en likesidet trekant ABC med sider 7 cm. c) Tegn en rettvinklet trekant ABC. ∠ A skal være 90°. Lengden på sidene velger du selv. d) Tegn en likebeint trekant ABC. AB = 4 cm. De andre to sidene velger du selv. e) Tegn en rettvinklet likebeint trekant ABC der ∠ A = 90° og AB = 6 cm. Hvor lang er da AC? f) Konstruer en rettvinklet likebeint trekant ABC der ∠ B = 90° og BC = 7 cm. Hvor lang er AB? A 90 I en likebeint trekant er to vinkler lik 50°. Regn ut den tredje vinkelen.

70°

Likebeint trekant C

2 cm

A 88 a) Bruk gradskiva og mål vinklene i hver av trekantene i oppgave A 87. Legg sammen vinklene i hver av trekantene. b) Hva fant du ut om vinkelsummen i hver av trekantene?

45°

A 91 I en likesidet trekant er alle sidene lik 7 cm. Hvor store er vinklene i trekanten? A 92 Hvor store er vinklene i en rettvinklet likebeint trekant?

45° A

2 cm

Rettvinklet, likebeint trekant

A 93 I en likebeint trekant er AC = BC, ∠ C = 40°. Regn ut ∠ A og ∠ B. A 94 a) Konstruer en trekant ABC der ∠ A = 90°, AB = 6 cm og ∠ B = 30°. Husk hjelpefigur!

Husk at vinkelsummen i en trekant alltid er 180°.

b) Hva kaller vi en slik trekant?

Vann Båthus Hytta til Nilsen

Vannhus

Hytta til Hansen

Parkeringsplass

Lekehytte Hytta til Jensen

Utedo

A 95 Familiene Nilsen, Hansen og Jensen har hytter ikke langt fra hverandre. En påskeaften fikk barna en vanskelig oppgave. De skulle finne en marsipan- og sjokoladeskatt. Den skulle ligge 50 m fra hjørnet til hytta til Nilsen og samtidig 40 m fra hjørnet til hytta til Jensen. Til hjelp fikk de et tau som var nøyaktig 60 m langt. a) Forklar hvordan du ville gått fram for å finne skatten. På kartet ovenfor er 1 cm = 10 m. b) På hvilke to steder måtte barna lete etter skatten? c) Hvor tror du den lå? Begrunn svaret ditt. A 96 Tegn en linje AB = 6,0 cm. Konstruer midtnormalen til AB. A 97 Tegn en linje l. Merk av et punkt S ovenfor linja. Konstruer normalen fra S til l. A 98 Tegn en linje m. Merk av et punkt T ca. 4 cm fra m. Konstruer normalen fra T til m.

Vei

Postkasse Tre grantrær Garasje Stor furu Bestemors hus Stabbur Skog Gammel eik

KOPIERINGSORIGINAL

A 99 Bestemor hadde besøk av barnebarna, som begge gikk i ungdomsskolen. En dag laget hun skattekartet som du ser ovenfor. Hun fortalte dem at hun hadde gjemt en kakeskatt. Den skulle de få dersom de løste denne oppgaven: Dere får bruke passer, linjal og blyant. a) Skatten ligger på midtnormalen til det linjestykket du kan trekke mellom huset til bestemor og den gamle eika. b) Skatten ligger på normalen fra den store furua til den midtnormalen du konstruerte i b. Hvor ligger kakeskatten gjemt? A 100 Lag en skattejaktoppgave som en av klassekameratene dine skal forsøke å løse.

GUL A 101 Sett deg med en annen i klassen som også starter på gul. Finn fem gjenstander som det er greit å måle lengden av, for eksempel kritt, matboks, pultlokk, bok og viskelær. Lag et skjema som det som er vist nedenfor, i kladdeboka di. Gjenstand

Kritt

Min gjetning Riktig Forskjell av lengden i cm resultat i cm

Poeng

Matboks Pultlokk

Feil i cm

Bok Viskelær

0 2 4 6 9

– – – – –

1 3 5 8 13

Poeng 10 8 5 3 1

a) Tipp hvor lange gjenstandene er, og før tipsene inn i tabellen. Bytt skjema med kameraten din. b) Mål gjenstandene med linjal og før målingene inn i tabellen. c) Regn ut forskjellen i centimeter og før tallene inn under «Forskjell i cm». d) Sett på poeng for hver gjenstand og regn ut samlet poengsum. A 102 a) Lag et nytt skjema med de samme gjenstandene som i forrige oppgave. Gjenstand

Lengde i m

Lengde i dm

Lengde i cm

Lengde i mm

Kritt Matboks

0,06

0,6

6,0

b) Sett inn riktige lengder for gjenstandene. c) Før inn hva disse lengdene blir i meter, desimeter, centimeter og millimeter. d) Bytt med kameraten din når begge er ferdige. e) Gi 1 poeng for hvert riktige svar og tell opp poengene.

A 103 Tor er 1,82 m høy. Line er 1,3 dm kortere. Hvor høye er Line og Tor i centimeter?

1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm 1,72 dm = 17,2 cm Kommaet én plass til høyre 0,895 m = 89,5 cm Kommaet to plasser til høyre 1,3 m = 1 300 mm. Kommaet tre plasser til høyre

A 104 Bruk linjalen din og svar på spørsmålene: A a) Hvor langt centimeter b) Hvor langt centimeter c) Hvor langt centimeter

er linjestykket AB i meter, desimeter, og millimeter? er linjestykket AD i meter, desimeter, og millimeter? er linjestykket BD i meter, desimeter, og millimeter?

A 105 Sigvart løp 60 m. Da han hadde 130 dm igjen, falt han. Hvor mange meter hadde han da løpt? Oppgi svaret i meter, desimeter og centimeter.

A 106 Amerikaneren Carl Lewis vant fire OL-gull i lengde. Den personlige rekorden hans var på 8,91 m. Hva blir denne lengden i desimeter, centimeter og millimeter?

A 107 Gjør om til meter: a) 4 cm b) 0,57 dm

c) 6,9 mm

d) 0,9 cm

1 1 1 1

km = 1 000 m m = 10 dm m = 100 cm m = 1 000 mm

A 108 Småbåthavna til Ørland Båtklubb kan ta imot båter opp til 40 fot. En engelsk fot er 30,48 cm. Hvor store båter kan båthavna ta imot i meter?

A 109 En norsk fot var 313,7 mm. Hvor mye større ville 60 norske fot være enn 60 engelske fot? Oppgi svaret i desimeter.

Internett Søk:

A 110 Nedenfor har vi tegnet seks vinkler. Gjett hvor store de er, og sett tallene inn i skjemaet. Tegn skjemaet i kladdeboka di og regn ut. b) a) b)

fot d)

Vinkel

Min Riktig resultat gjetning Bruk gradskive Forskjell

Poeng

Poengskala

c d

Feil i grader Poeng

0 4 8 12 16

– – – – –

3 7 11 15 19

5 4 3 2 1

A 111 På hver av figurene er vinklene like store. Hvor store er de? Tips: en hel sirkel er 360°. a) b) c)

A 112 Tegn disse vinklene. Hva heter vinklene? a) 40° b) 68° c) 90°

«Geometri» kommer fra gresk. «Geo» betyr jord, og «metron» betyr mål. Euklid grunnla geometrien, som er den matematiske vitenskapen om rommet. Han var gresk matematiker og levde på 300-tallet f.Kr. Han arbeidet i Alexandria i Egypt og skrev boka Elementa. I mange hundreår ble denne boka brukt som lærebok i matematikkundervisningen.

A 113 a) Tegn en stråle. b) c) Tegn et linjestykke.

d) 135°

Tegn en linje.

A 114 Tegn trekantene som vi har laget hjelpefigurer til: a) b) C c) C

45° 7,5 cm

60°

75°

8,2 cm

110° 30° 8 cm

d) Mål alle tre vinklene i hver av trekantene. Legg sammen. Hva fant du ut om vinkelsummen i trekanter? A 115 Lag hjelpefigur og tegn trekantene: a) AB = 6,8 cm, ∠ A = 100° og ∠ B = 40° Hvor stor er ∠ C? b) AB = 8,5 cm, ∠ A = ∠ B = 70° Hvor stor er ∠ C?

Midtnormalen til AB

c) ∠ A = 75°, AB = 6,9 cm og ∠ B = 45° Hvor stor er ∠ C? d) AB = 72 mm, ∠ A = ∠ B = 60° Hvor stor er ∠ C? Hvor lange er sidene BC og AC?

A 116 Tegn et linjestykke AB like langt som på tegningen i kladdeboka di. Konstruer midtnormalen til AB.

A 117 Tegn et linjestykke CD = 6,2 cm. Konstruer midtnormalen til CD. A 118 Tegn en linje m i kladdeboka som vist på figuren. Konstruer normalen til m i S. m S A 119 Tegn en linje som du kaller l. Merk av et punkt på linja som du kaller R. Konstruer normalen til l i R. A 120 Tegn en linje l i kladdeboka di som vist nedenfor. Merk av et punkt P utenfor linja. Konstruer normalen gjennom P til linja l. P l A 121 Tegn en linje m. Merk av et punkt O utenfor linja. Konstruer normalen gjennom O til m. l

P Normalen til l i P

A 122 Tegn et linjestykke AB = 7,3 cm. Konstruer midtnormalen til AB. A 123 Tegn en linje l. Merk av et punkt T og et punkt S på hver side av l i en avstand på ca. 5 cm. Konstruer normalene gjennom T og S til l.

A 124 a) Tegn en linje m. Merk av to punkter på m ca. 6 cm fra hverandre. Kall punktene P og Q. Konstruer normalene til m i P og Q. b) Vil normalene skjære hverandre dersom du forlenger dem? Forklar svaret ditt.

Normalen gjennom Q til n A 125 Tegn tre linjer som har a) to skjæringspunkter c) ingen skjæringspunkt

b) ett skjæringspunkt d) Hva kalles linjene du tegnet i c?

A 126 Tegn en rett linje. Konstruer en parallell 5,0 cm fra linja. A 127 Tegn en linje. Konstruer to paralleller 6,0 cm fra linja.

l Konstruksjon av parallelle linjer

A 128 Tegn en linje l og merk av et punkt P ca. 5 cm fra linja l. Konstruer en parallell til linja l gjennom P. A 129 Tegn en linje l og merk av et punkt P ca. 6 cm fra linja l. Merk av et punkt Q ca. 4 cm på den andre siden av l. Konstruer parallellene til l gjennom P og Q.

A 130 Lag disse figurene: a)

A 131 Lag denne figuren på et A4-ark.

{

7 cm

3 cm

A 132

a) Lag disse figurene. b) Trekk linjer mellom alle punktene i hver av figurene. c) Kan du finne en regel for hvor mange linjer som kan trekkes mellom punktene på hver figur? A 133 Konstruer disse vinklene: a) 60° b) 90° c) 45° 1 e) 22 _2_ ° f) 15° g) 30° i)

j) 67 _2_ ° 1

105°

75°

37 _2_ ° 1

97 _2_ ° 1

A 134 Konstruer trekantene vi har laget hjelpefigurer til: a) C b) C

c) C 105°

45°

75°

60°

6,0 cm

60° B

30° 6,0 cm

C Ce)

d) 90° A

1 67 2 ˚ 52 2 ˚

37 2 ˚ 6,5 cm

97 2 ˚ 22 12 ˚ 6,8 cm

6,4 cm

A 135 Konstruer de trekantene vi har tegnet nedenfor: C C a) b) 4 cm

5 cm

3 cm

5 cm

6 cm

d) C

4 cm 60° A

30° 5,5 cm

5 cm

60° B

Hvor stor er ∠ C? Hvor stor er ∠ A + ∠ B + ∠ C til sammen? A 136 a) Konstruer en trekant der sidene er så lange som linjestykkene nedenfor:

b) Prøv om du kan bruke linjestykkene til å lage to andre trekanter som ser annerledes ut enn den du laget i oppgave a ovenfor. A 137 Konstruer en trekant ABC der AB = 6 cm, BC = 4 cm og AC = 5 cm. Lag hjelpefigur.

Husk at symbolet Δ betyr trekant.

A 138 Konstruer en trekant ABC der AB = 8 cm, AC = 5 cm og BC = 5 cm. Hva kaller vi en slik trekant? A 139 Konstruer en Δ ABC der ∠ B er 30°, ∠ A = 60° og AB = 7 cm. A 140 a) Konstruer en Δ ABC der ∠ A = 90°, AB = 8 cm og ∠ B = 45°. b) Hvor stor er ∠ C?

A 141 Hva kaller vi disse trekantene? C a) b) C

A B

3 cm

3 cm A A

60°

60° A

3 cm

45° 45°

Hvor store er ∠ A og ∠ C?

Hvor stor er ∠ C?

3 cm

Hvor store er ∠ A, ∠ B og ∠ C?

A 142 Konstruer en rettvinklet likebeint trekant. AB = BC = 5 cm. A 143 Konstruer en likesidet trekant hvor AB = 7 cm. A 144 Kan en trekant være både rettvinklet og likesidet samtidig? Begrunn svaret ditt. A 145 a) Konstruer en Δ ABC der AB = 6 cm, ∠ B = ∠ C = 45°. b) Regn ut ∠ A. c) Hvor lang er AC? d) Hva kaller vi en slik trekant? A 146 a) Konstruer en Δ ABC der AB = 7,8 cm, AC = BC = 5,6 cm. b) Hva kaller vi en slik trekant?

A 147 Her ser du en arbeidstegning for en drage. a) Hvor mange trekanter finner du på tegningen? b) Hva heter de trekanttypene som du fant?

A 148

Skole

KOPIERINGSORIGINAL

Granskog Flaggstang

Furuskog Skoleport Gymsal

Sykkelstativ

Matematikklæreren til 8. klasse ved Sukken ungdomsskole kom en dag med kartet som du ser ovenfor. Hun sa at de elevene som klarte oppgaven nedenfor, kunne få gå ut én og én og finne et ark som gav dem leksefri i matematikk til neste dag. Elevene måtte ikke fortelle til de andre hvordan løsningen var. Konstruksjon av en parallell til l i en avstand på 1,5 cm.

l Merk av to punkter på l. Lag normaler til l i disse punktene. Mål 1,5 cm langs hver av normalene. Trekk parallellen med l gjennom disse punktene.

Oppgaven var slik: Arket ligger 3 cm fra skoleporten og samtidig 4 cm fra flaggstanga. På hvilke steder måtte elevene lete etter arket som gav dem leksefri? A 149 Konstruer en Δ ABC der AB = 7,2 cm, ∠ B = 45° og C ligger 4,5 cm fra AB. A 150 Konstruer en Δ ABC der AB = 8,2 cm, BC = 6,2 cm og C ligger 4,0 cm fra AB.

Konstruksjon av en parallell til en linje l gjennom et punkt P utenfor linja.

A 151 Konstruer en firkant ABCD. AB = 7,5 cm, ∠ BAC = 75°, og C ligger 5,0 cm fra AB. Δ ACD er en likesidet trekant. Husk hjelpefigur!

l Konstruer en normal fra P til linja l. Merk av et punkt på linja og lag en normal. Mål avstanden fra P til l og sett av avstanden på den andre normalen. Trekk parallellen med l gjennom P.

A 152 a) Konstruer en firkant ABCD der ∠ ABC = 90°, AB = BC = 6 cm. ∠ CAD = 45°, og D ligger 4,8 cm fra AC. b) Hvor store er ∠ BAC og ∠ BCA? Begrunn svaret ditt. c) Hva kaller vi Δ ABC? A 153 Konstruer en firkant ABCD der AC = 7,8 cm, ∠ CAB = 75° og ∠ ACB = 60°. ∠ ACD = 45°, og D ligger 4,5 cm fra AC. A 154 a) Konstruer en firkant ABCD der AB = BC = 6,3 cm. ∠ ABC = 120°, ∠ BCD = 75°, og D ligger 5,5 cm fra BC. b) Hva kaller vi Δ ABC? A 155 Lag en kontruksjonsoppgave med en firkant. Begynn med en hjelpefigur og konstruer firkanten. Skriv oppgaven som et tekststykke og la en av klassekameratene dine forsøke å løse den. A 156 Lag en skattejaktoppgave. Oppgaven skal ha kart og inneholde ordene normal, avstanden fra Svartjuvet og pirat. A 157 Lag en konstruksjonsoppgave som skal inneholde ordene ABCD, normal og likebeint trekant. Løs oppgaven og la en medelev forsøke å løse den.

RØD A 158 Mange bruker forskjellige teknikker for å finne ut hvor langt noe er i dagliglivet dersom de ikke har målebånd, linjal o.l. for hånden.

a) Mål avstanden fra fingerspiss til fingerspiss når du strekker armene ut til hver side. Ofte vil dette målet ligge nært kroppshøyden din. b) Gå ti skritt slik du vanligvis gjør. Del avstanden på ti og finn ut hvor langt «normalskrittet» ditt er. Prøv en gang til. c) Noen bruker avstanden fra tommelspiss til lillefingerspiss til mindre mål. Sprik med fingrene så mye du klarer, og mål avstanden. Du kan også bruke andre mål mellom bestemte fingre. Mål og se om det er noen mål det er lett å huske. A 159 Sett deg med en kamerat som også har startet på rød. Bli enige om fem gjenstander som det er greit å måle lengdene av. La gjenstandene har varierende lengde, for eksempel pekestokk, tavle, kritt, pultlokk og bok. Sett de fem gjenstandene inn i et skjema som vist nedenfor. Lag et skjema hver i kladdebøkene deres. Min gjetning av Riktig Gjenstand lengden i cm resultat i cm Forskjell Poeng Pekestokk Tavle

a) Tipp hvor lange gjenstandene er, og før tipsene inn i tabellen. Du kan bruke metodene du lærte i forrige oppgave. Bytt skjema med kameraten din.

b) Mål lengden på gjenstandene med linjal eller lignende og før tallene inn i tabellen. c) Regn ut forskjellen i centimeter. d) Sett på poeng for hver gjenstand og regn ut samlet poengsum.

Feil i cm Poeng 0 2 5 8 16

– – – – –

1 4 7 15 40

10 7 5 3 1

A 160 8 A ved Knotmyra ungdomsskole hadde lengdekonkurranse i gymtimen. Blant jentene ble de fem beste Kine, Solveig, Sanya, Vivi og Guri.

Sanya hoppet 40 mm kortere enn Kine. Vivi hoppet 0,2 m kortere enn Solveig. Kines beste hopp var 4 850 mm. Guri hoppet 120 mm lenger enn Kine. Solveigs beste hopp var 1,3 dm lengre enn Sanyas beste resultat. Hvor langt hoppet hver av dem? A 161 Du skal lage en tilsvarende oppgave som den forrige. Lag en oppgave over de seks beste guttene. Lag fasit og la en kamerat prøve å løse oppgaven. Sjekk at resultatet stemmer med fasiten din.

Fot er en gammel lengdeenhet som romerne brukte. Det var lengden av en mannsfot, og hos romerne var den 295,7 mm. Den norske foten var 31,37 cm, mens den engelske foten er 0,3048 m. Metersystemet blir i dag brukt i de aller fleste land i verden. Av de store landene er det bare USA som ennå bruker engelske fot. Fot blir fremdeles brukt en del som lengdebetegnelser på båter og klær og i flytrafikken.

A 162 Hva kan årsakene være til at USA ikke har gått over til metersystemet? A 163

a) Familien Båtsgård var på kanalferie i England og leide en båt som var 48 engelske fot. Hvor lang var båten i meter? b) Hvor mye lengre hadde båten vært dersom den var 48 norske fot? Oppgi svaret i desimeter. c) Familien Bredesen har en snekke som er 762 centimeter lang. Hvor mange engelske fot er den? A 164 I det engelske enhetssystemet er 3 fot = 1 yard og 1 760 yard = 1 mile. a) Hvor lang er en yard? b) Hvor lang er en mile? A 165 Bruk leksikon for å finne andre desimale prefikser (forstavelser) enn dem som stod i den generelle delen i dette kapittelet. Lag en oversikt over minst ti desimale prefikser, og skriv ned hva de betyr. Slå opp i leksikon på prefikser og enhetssystemer. A 166 Lag hjelpefigurer og tegn trekantene: a) AB = 7,2 cm, ∠ A = 120° og ∠ B = 30° b) AB = 6,8 cm, ∠ A = ∠ B = 70° c) ∠ A = 75°, AB = 6,9 cm og ∠ B = 45° d) AB = 7,4 cm, ∠ A = 90° og ∠ B = 45°

A 167 I en trekant er en vinkel dobbelt så stor som en annen. Den tredje vinkelen er tre ganger så stor som den minste. Hvor store er vinklene i trekanten? A 168 I en trekant er en vinkel 70°. Den ene av de to andre vinklene er 30° større enn den andre. Regn ut vinklene i trekanten. A 169 Mål vinklene i trekantene ABC. Hvor stor er vinkelsummen? C C a) b) c) C

B A

Sjekk om det du fant ut om vinkelsummen, også stemmer i trekantene i oppgaven foran. A 170 Mål vinkelsummen i hver av firkantene nedenfor. Hvor stor ble vinkelsummen? a)

A 171 Hvilke regler gjelder for vinkelsummen i trekanter og firkanter? Form reglene med dine egne ord i kladdeboka di. A 172 I en trekant er en vinkel dobbelt så stor som en annen. Den tredje vinkelen er 60°. Regn ut de to andre vinklene i trekanten. A 173 Tegn et linjestykke AB = 8,5 cm. Konstruer midtnormalen til AB.

A 174 Gjett hvor store de vinklene er som vi har laget. Sett tallene inn i skjemaet lik det vi har laget. Tegn skjemaet i kladdeboka di. Regn til slutt ut poengsummen din.

Feil i grader Poeng

0 4 8 12 16

– – – – –

3 7 11 15 19

5 4 3 2 1

Vinkel

Min gjetning

Riktig resultat Bruk gradskive

Forskjell

Poeng

a b c D

C A 175 Tegn et rektangel ABCD. Konstruer midtnormalen til både AB og AD.

B A 176 Tegn en linje m. Merk av et punkt P på linja. Konstruer normalen til m i P. A 177 a) Tegn en stor trekant og konstruer midtnormalen til hver av sidene i trekanten. b) Hva ser du av resultatet i a? c) Prøv om du kan forklare hvorfor resultatet alltid blir slik. A 178 Tegn en linje l. Merk av to punkter R og S på hver sin side av l. Konstruer normalene fra R og S til l.

A 179 Tegn et linjestykke AB = 8 cm. Forleng linjestykket til begge sider og konstruer normalene i A og B. Hvordan ser det ut som normalene g책r i forhold til hverandre? A 180 Tegn en trekant ABC. a) Konstruer normalen fra A til BC. b) Konstruer normalen fra B til AC. c) Konstruer normalen fra C til AB. A 181 Tegn en lignende figur i kladdeboka di. Konstruer normalene fra M, N, O og P til hver av linjene l og m. N

l P O m

EKSEMPEL GEOMETRISKE STEDER Merk av to punkter A og B 4,0 cm fra hverandre. Finn de punktene som ligger 3,0 cm fra A og samtidig 2,0 cm fra B.

Sirkelperiferi

Løsning: De punktene som ligger 3,0 cm fra A, ligger på sirkelperiferien til en sirkel med sentrum i A og med radius 3,0 cm. De punktene som ligger 2,0 cm fra B, ligger på sirkelperiferien til en sirkel med sentrum i B og med radius 2,0 cm. Der disse to sirklene skjærer hverandre, ligger de punktene som ligger 3,0 cm fra A og samtidig 2,0 cm fra B.

A 182 Merk av to punkter A og B som ligger 6 cm fra hverandre. Finn de punktene som ligger 5 cm fra A og samtidig 4 cm fra B. A 183 Merk av to punkter A og B som ligger 7 cm fra hverandre. Finn de punktene som ligger 5 cm fra A og samtidig 4 cm fra B. A 184 Tegn en linje l. Konstruer to paralleller 6,0 cm fra l. A 185 Tegn en linje l og merk av et punkt P ca. 4 cm fra l. Konstruer en parallell til linja l gjennom P.

A 186 Tegn en linje m og merk av et punkt R ca. 6 cm fra m. Merk et punkt S ca. 5 cm på den andre siden av m. Konstruer parallellene til m gjennom R og S.

EKSEMPEL Oppgave: Tegn en linje l og merk av et punkt P ca. 5 cm utenfor linja. Finn de punktene som ligger i avstanden 3 cm fra linja l og samtidig 5 cm fra P. Løsning: De punktene som befinner seg i avstanden 3 cm fra l, ligger på parallellene på hver side av l i avstanden 3 cm fra l. De punktene som ligger 5 cm fra P, ligger på en sirkel med P som sentrum og radius 5 cm. Der sirkelen skjærer parallellene, har vi de punktene vi skal finne.

A 187 Finn de punktene som ligger 4 cm fra en linje l og samtidig 6 cm fra et punkt P som ligger ca. 1 cm fra l. A 188 Tegn et linjestykke AB = 7,2 cm. Finn ved bruk av passer og linjal de punktene som ligger 5,2 cm fra A og samtidig 4,0 cm fra linja gjennom A og B. Kall skjæringspunktene C og D. A 189 Tegn et linjestykke AB = 6,5 cm. Finn ved konstruksjon de punktene som ligger 4,2 cm fra B og samtidig 3,0 cm fra linja gjennom A og B. Kall punktene C og D.

A 190 a) Konstruer eller tegn en likesidet trekant, et kvadrat, en regulær femkant, en sekskant og en åttekant. b) Hvor mange grader er summen av vinklene i hver av figurene? c) Hvilken sammenheng er det mellom antall sider på figurene og vinkelsummen? Lag en generell regel. A 191 Konstruer disse vinklene: a) 90° b) 45°

c) 30°

d) 75°

f) 22 _2_ ° 1

e) 120°

A 192 Hva er forskjellen på å tegne en vinkel og å konstruere en vinkel? I resten av konstruksjonsoppgavene i dette kapittelet skal du alltid lage hjelpefigur og skrive en kort forklaring på hva du har gjort, og i hvilken rekkefølge du har gjort det. A 193 Konstruer disse vinklene: a) 67 _2_ °

b) 105 °

c) 15 °

d) 97 _2_ °

e) 52 _2_ °

f) 37 _2_ °

EKSEMPEL Oppgave: Konstruer en trekant ABC der AB = 7 cm, ∠ A = 60° og ∠ B = 45°. Skriv en kort forklaring til konstruksjonen. Løsning: Først tegner vi en hjelpefigur. C

60° A

Så utfører vi konstruksjonen.

45° 7 cm

Forklaring: Først satte jeg av AB = 7 cm. Deretter konstruerte jeg ∠ A = 60° og ∠ B = 45°. C ligger i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

A 194 a) Konstruer en Δ ABC der AB = 6,0 cm, ∠ A = 60° og ∠ B = 30°. b) Hvor stor er ∠ C? c) Hva kaller vi en slik trekant? d) Du har vel husket hjelpefigur og forklaring?

Symbolet for trekant er Δ.

A 195 Konstruer en Δ ABC der AB = 5,0 cm, ∠ A = 75° og BC = 5,5 cm. A 196 a) Konstruer en Δ ABC der ∠ A = 90°, AB = 8,0 cm og ∠ B = 45°. b) Hvor stor er ∠ C? c) Hva kaller vi Δ ABC?

A 197 Hva kaller vi disse trekantene? a)

60° 60°

70°

3 cm 3,2 cm

70°

60°

45°

3,2 cm 45°

3 cm

3,2 cm

A 198 Konstruer en likesidet trekant ABC der AB = 6,2 cm. A 199 Konstruer en Δ ABC der ∠ A = 90° og AB = 5,7 cm. Δ ABC er rettvinklet og likebeint. A 200 a) Konstruer en likebeint Δ ABC. AB = 7,2 cm, og ∠ A = ∠ B = 75°. b) Hvor stor er ∠ C? A 201 Tegn en linje o. Merk av et punkt S ca. 4 cm fra o. Konstruer parallellen til o gjennom S. A 202 Konstruer en Δ ABC der AB = 7,2 cm og ∠ B = 60°. C ligger der hvor normalen fra A treffer vinkelbeinet som lager 60° med AB.

Katet

Hyp

oten

Navn på sidene i en rettvinklet trekant

A 203 a) Konstruer en likesidet trekant ABC med sider 6,6 cm. Vær nøyaktig! b) Konstruer midtnormalen til AB, BC og AC. c) Hva ser du? d) Sett passerspissen i skjæringspunktet mellom de tre midtnormalene og sett blyspissen i C. Lag en sirkel med denne radien. e) Hva ser du? A 204 Kan en trekant være både rettvinklet og likesidet samtidig? Begrunn svaret.

Katet A 205 Konstruer i kladdeboka di de trekantene vi har laget hjelpefigurer til. Vær nøye C og svar så på spørsmålene. a) 1 Hvor stor er ∠ B? 2 Hvor stor er ∠ C?

4,0 cm 60° A

b) 1 Hvor langt er linjestykket BC? 2 Hvor stor er ∠ B?

3,0 cm

60°

c) 1 Hvor langt er linjestykket BC? Bruk linjalen din. 2 Hvor stor er ∠ B?

8,0 cm

10,4 cm 30°

d) Hvor stor er hver av vinklene i trekantene i spørsmålene a, b og c?

e) Kan du se noen sammenheng mellom noen av sidene i trekantene?

Tips: Se på hypotenusen og den korteste kateten. Sammenhengen du fant, gjelder bare for trekanter der vinklene er 30°, 60° og 90°.

A 206 1 Konstruer en Δ ABC der AB = 6,4 cm. ∠ A = 67 _2_ °, og C ligger 4,2 cm fra AB.

Husk at du skal 1 2 3 4

lage hjelpefigur konstruere figuren skrive en kort forklaring konstruere ved hjelp av blyant, passer og linjal

A 207 Konstruer en Δ ABC der AB = 7,2 cm. ∠ B er 105°, og C ligger 4,8 cm fra AB. A 208 a) Konstruer en Δ ABC hvor AB = 6,8 cm. AC = BC, og C ligger 5,0 cm fra AB. b) Hva kaller vi Δ ABC? A 209 Konstruer en Δ ABC der AB = 8,2 cm og BC = 6,2 cm. C ligger 4,5 cm fra AB. A 210 a) Konstruer en firkant ABCD der AB = 8 cm, ∠ BAC = ∠ ABC = 45°. AD = 5 cm, og CD = 6 cm. b) Hvor stor er ∠ ACB? c) Hva heter Δ ABC? A 211 Konstruer en firkant ABCD der ∠ BAC = 75°, AB = 7,2 cm og C ligger 5 cm fra AB. Δ ACD er en likesidet trekant. A 212 a) Konstruer en firkant ABCD der ∠ ABC = 90°, AB = BC = 6 cm, ∠ CAD = 45° og D ligger 4,8 cm fra AC. b) Hvor store er ∠ BAC og ∠ ACB? Begrunn svaret. c) Hva kaller vi Δ ABC?

C 8,2 cm 4,0 cm A

6,0 cm

Δ ABC har her en utvendig høyde på 4,0 cm.

A 213 a) Konstruer en likesidet trekant ABC med side lik 7 cm. Halver ∠ C og forleng halveringslinja til den treffer AB i D. b) Regn ut ∠ ACD, ∠ ADC, ∠ BDC og ∠ BCD. c) Δ ABC er en del av firkanten ABCE. E ligger 4 cm fra AC, og ∠ BCE = 105°. Konstruer firkanten.

A 214 Konstruer et kvadrat ABCD der diagonalen er 8 cm. A 215 Konstruer en Δ ABC der AB = 5,0 cm og BC = 7,2 cm. Avstanden fra C til forlengelsen av AB er 3,5 cm. A 216 Konstruer en Δ ABC der AB = 6,1 cm og AC = 8,3 cm. C ligger i avstanden 4,5 cm fra AB. A 217 a) Konstruer en firkant ABCD der AB = 7,0 cm, ∠ BAC = ∠ ABC = 60°. ∠ CAD = 45°, og D ligger 4,2 cm fra AC. b) Hvor lange er linjestykkene AC og BC? c) Hvor stor er ∠ ACB? Hva kaller vi Δ ABC? A 218 a) Konstruer en firkant ABCD der AB = 5,4 cm 1 og ∠ ABC = 112 __ °. Diagonalen AC = 8,0 cm, 2

∠ CAD = 90°, og ∠ ACD = 30°. b) Hva kaller vi trekanten ACD? A 219 Konstruer en firkant ABCD der AB = 6,0 cm, AD = 4,5 cm, ∠ BAD = 90°, ∠ BDC = 30° og BC = 6,5 cm. A 220 Konstruer en firkant ABCD der AB = 7,5 cm. Δ ABC er likebeint der AC = BC, C ligger 6,0 cm fra AB. D ligger 4,0 cm fra AC, og normalen fra D til AC treffer AC i et punkt E. AE = 2,4 cm. A 221 I en firkant ABCD er AB = 8,2 cm. ∠ ABC = 120°, 1 og ∠ BAC = 22 _2_ °. D ligger 3,5 cm fra AC, og ∠ BAD = 45°. Konstruer firkanten.

A 222 Konstruer en firkant ABCD der AB = 7,3 cm. Avstanden fra C til AB = 4,0 cm. Normalen fra C til AB treffer AB i et punkt E. AE = 4,8 cm. Δ ACD er en rettvinklet likebeint trekant hvor ∠ D = 90°. A 223 Konstruer en firkant ABCD hvor Δ ABC er en likesidet trekant med sider på 6,2 cm. Normalen fra D til AC treffer AC i et punkt F. AF = 3,7 cm, og CD = 9,8 cm. Symbolet 冷冷 betyr parallell med.

A 224 I en firkant ABCD er ∠ BAD = 60°, og AD = 4,8 cm. Normalen fra D til AB treffer AB i et punkt E. EB = 4,2 cm, og BC = 5,2 cm. AB 冷冷 CD. Konstruer firkanten.

A 225 Lag en konstruksjonsoppgave med en firkant. Oppgaven skal inneholde disse ordene: parallell med, normal og likebeint trekant. Konstruer firkanten og la en av klassekameratene dine prøve å løse oppgaven.

KOPIERINGSORIGINAL

A 226 Skatten ved Lillevika

Styggeskjær

Vesle Gåseholmen Veslerevet

Store Gåseholmen Knatten

Kai

Lillevika Mauritzens hus

Fredriksens hytte

Du har kommet over et gammelt skattekart og skal finne ut hvor skatten er gjemt ut fra opplysningene nedenfor. a) Det første punktet for å finne skatten ligger på skjæringspunktet mellom midtnormalen mellom hjørnet til huset til Mauritzen og hjørnet til hytta til Fredriksen og en parallell til kaia i en avstand på 4,0 cm. b) Skatten ligger 3,0 cm fra dette skjæringspunktet. c) Skatten ligger ikke i sjøen. d) Hvor er skatten gjemt? A 227 Lag et lignende skattekart. Forsøk om du kan lage oppgaven så vanskelig som mulig, men andre må selvsagt kunne løse den. La en medelev forsøke å løse oppgaven din.

PRØV DEG SELV PA 1 Sett navn på: a)

PA 2 Sett navn på: b A

c d

PA 3 Gjør om til meter: a) 50 dm d) 0,12 dm

b) 1,2 km e) 32 cm

c) 35 mm f) 0,12 mm

PA 4 Hvor store er vinklene? Hva heter de?

)

PA 5 Mål lengden av linjestykket AB og tegn det i kladdeboka di. Konstruer midtnormalen til AB.

PA 6 Tegn en linje som du kaller l. Merk av et punkt på linja som du kaller P. Konstruer normalen til l i P.

PA 7 Tegn en linje som du kaller m. Merk av to punkter P og S som skal ligge på hver sin side av m. Konstruer normalene gjennom P og S til m. PA 8 Tegn en linje l. Konstruer to paralleller 5,0 cm fra l. PA 9 Tegn en trekant ABC hvor ingen av vinklene må være mer enn 90°. a) Konstruer normalen fra A til BC. b) Konstruer normalen fra B til AC. c) Konstruer normalen fra C til AB. PA 10 Konstruer disse vinklene: 90°, 60°, 45°, 30°, 75°,

67 __2 °,

120°,

105°

PA 11 Konstruer en Δ ABC der ∠ A = 60°, ∠ B = 45° og AB = 7,0 cm. PA 12 I en Δ ABC er ∠ A = 40°, mens ∠ B = 70°. Hvor stor er ∠ C? C

PA 13 Skriv navn på de vinklene vi har satt bue på. Bruk tre bokstaver for hver vinkel.

A C

PA 14 Konstruer trekanten vi har laget hjelpefigur til: 60° A

5 cm

PA 15 Konstruer en Δ ABC der AB = 7,0 cm, AC = 5,0 cm og BC = 4,0 cm. PA 16 Konstruer en Δ ABC der AB = 6,4 cm, ∠ A = 75° og C ligger 4,2 cm fra AB. PA 17 a) Konstruer en likebeint Δ ABC der AB = 6,5 cm og C ligger 4,0 cm fra AB. b)Trekanten ABC er en del av firkanten ABCD. ∠ CAD er 60°, og D ligger 5,2 cm fra AC. Konstruer firkanten. Husk hjelpefigur og forklaring!

FYLKESOPPGAVE

TROMS Internett Søk:

Troms Tromsø

Nordreisa

Senja Finnsnes Harstad

Folk fra Troms er kjent for sin frodige humor.

Bardufoss

FA 1 De tre største byene i Troms fylke heter Tromsø, Harstad og Finnsnes. Harstad hadde 23 108 innbyggere 1. januar 2005. For å finne Tromsøs innbyggertall må du multiplisere Harstads innbyggertall med 3, og subtrahere 6 766. a) Hvor stort innbyggertall hadde Tromsø 1. januar 2005? For å finne ut hvor mange som bor i hele Troms fylke, adderer du Finnsnes, Harstads og Tromsøs innbyggertall. Da skal du ha fått tallet 96 700. Multipliser dette tallet med 2,4 og subtraher 79 340. Tallet du da får, er innbyggertallet i Troms 1. januar 2005. b) Hvor mange innbyggere hadde Troms 1. januar 2005? I Troms er det 23 kommuner utenom Finnsnes, Harstad og Tromsø. I disse kommunene bodde det 56 040 innbyggere 1. januar 2005. c) Hvor mange innbyggere bodde det i disse kommunene i gjennomsnitt? Rund av svaret ditt til nærmeste hele tall.

Æ kuinne ikkje huske at æ nokken gong har vært i så dårlig humør. Fra: Æ lyg ikkje – Arthur Arntzen (Oluf)

FA 2 I Troms er det i alt 650 bruer. De åtte største bruene er til sammen 65 600 dm lange. Hvor lange er disse åtte bruene i gjennomsnitt? Oppgi svaret ditt i meter.

FA 3 Tromsøpalmen er en ugressplante som trives umåtelig godt på Tromsøya og gir inntrykk av at øya holder på å eksplodere i vekst. Palmen kan bli 4,28 m i løpet av to måneder. Ofte faller den da om av sin egen vekt. a) Hvor høy kan tromsøpalmen bli i millimeter? b) Hvor mye vokser palmen i gjennomsnitt per døgn? Regn med at to måneder er 60 døgn. Regn ut svaret til nærmeste millimeter per døgn. c) På det meste vokser tromsøpalmen 4,17 mm i timen. Hvor mye vokser den da i løpet av ett døgn? Oppgi svaret ditt i centimeter. FA 4 I Målselv kan temperaturen variere mye, fra + 31,7 °C om sommeren til – 44,1 °C om vinteren. Hvor mange graders forskjell er dette? FA 5 Harstad er tilholdsstedet for skonnerten «Anna Rogde». Den ble bygd i 1868 og er 119 fot lang. a) Hvor gammel er skonnerten «Anna Rogde» i år? b) Hvor lang er den dersom vi regner at en fot = 30,5 cm? Oppgi svaret ditt i meter.

FA 6 I 1933 ble det ved et pelsdyroppdrett på Dyrøy i Troms født et «misfoster» av en rev i et sølvrevkull. I stedet for å fjerne styggingen gav en denne reven navnet Mons, og den fikk æren av å bli stamfar til det vi kaller «platinarev». Da dronning Maud av Norge og presidentfrue Roosevelt i USA fikk de første platinarevpelsene, ble verdens oppdrettsmiljøer totalt forandret. I toppåret 1940 ble platinarevskinn solgt for 11 000 dollar stykket. For å finne ut hva det tilsvarer i 2005kroner, må du multiplisere prisen i dollar med 86. Hvor mye vil et platinarevskinn være verdt i 2005-kroner?

FA 7 Troms ligger midtveis mellom de sørsveitsiske Alpene og Nordpolen. Det gjør at fylket har to måneder i året uten dagslys. Mørketiden oppveies av de to sommermånedene uten natt. Det er regnet ut at midtnattssol, dagslys resten av året, måneskinn, stjerneskinn og nordlys gir mer lys totalt enn det folk har ved ekvator.

Nordlys skyldes solpartikler som kolliderer med atmosfæren over de magnetiske polene, noe som gir et så kraftig lysspill at vi kan lese avisa ute om natta. Tromsø har midtnattssol fra 21. mai til 21. juli. Hvor mange timer kan vi se sola sammenhengende dersom det ikke er noe som skygger for den? Husk at mai har 31 dager og juni 30.

Bergsfjord KOPIERINGSORIGINAL

Harstad

Bardufoss

FA 8 Du skal besøke noen venner i Troms, men du vet ikke hvor de bor. For å finne ut av det må du gjøre følgende: a) Trekk en linje mellom Harstad og Bergsfjord og konstruer midtnormalen til dette linjestykket. Stedet ligger på midtnormalen. b) Stedet ligger 5 cm fra Bardufoss på kartet. c) Finn stedet der vennene bor, og hva det heter.