Sinus 1P-Y (2017) (utdrag) by Cappelen Damm

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATEMAT IKK

1P-Y

LÆREBOK I MATEMATIKK FOR VG1 YRKESFAGLIGE PROGRAMMER BOKMÅL

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 1

23.03.2017 10:59:10

Fotografier og grafikk: Omslag og kapittelstart: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert. Marina_Po / Thinkstock s. 141 lasermåler Talshiar / Thinkstock s. 141 GPS Tore Oldervoll s. 155 Nortura s. 259 Sigbjørn Hals s. 265, 283 BluezAce / Thinkstock, s. 269 Kristin Gjestrum s. 276 Kart: Kilde: Statens kartverk. Nordeca AS, tillatelsesnummer 555819 s. 277 TongRo Images / Thinkstock s. 281 Otto Svorstøl s. 285 Grete Gulliksen Moe s. 289 Hilde Degerud Jahr s. 291 Øystein Torheim s. 300 Terje Sundby s. 301 © Cappelen Damm AS, Oslo 2017 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver og omslagsdesign: Frihåndstegninger: Tekniske tegninger: Forlagsredaktører: Sats: Trykk og innbinding:

Kristine Steen Per Ragnar Møkleby Terje Sundby, Keops Bjørn-Terje Smestad og Terje Idland HAVE A BOOK, Polen 2017 UAB Balto Print, Litauen 2017

Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN: 978-82-02-54199-6 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 2

23.03.2017 10:59:10

Forord SINUS ER ET MATEMATIKKVERK for den videregående skolen. Læreboka Sinus 1P-Y er

skrevet for matematikkurset 1P-Y for yrkesfaglige utdanningsprogrammer og er tilpasset justeringene i læreplanen fra 2013. Boka legger vekt på den praktiske matematikken. Den henter eksempler og oppgaver fra dagligliv og yrkesliv. Den passer for alle yrkesfagene. Boka inneholder lite bokstavregning. Den gir en repetisjon av stoff fra ungdomsskolen der det er nødvendig. I denne boka er enkle lommeregnere og regneark i Excel de eneste digitale hjelpemidlene. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. I teoridelen er oppgavene plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. I boka er det i tillegg en oppgavedel som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Oppgavedelen følger teoridelen kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Første del heter «Øv mer». Oppgavene her er ordnet likt som delkapitlene i teoridelen og etter vanskegrad. For hvert delkapittel kommer det først noen helt enkle oppgaver der oppgavenummeret har lys farge. Deretter finner vi noen vanskeligere oppgaver der oppgavenummeret har mørkere farge. Andre del heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpemidler. Tredje del heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan eller må bruke digitale hjelpemidler. Oppgavene i de to siste delene er ikke fullt ut ordnet etter delkapitler. Men det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke fullt ut kjenner betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver og videoer som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll Audhild Vaaje Odd Orskaug Otto Svorstøl Sigbjørn Hals

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 3

23.03.2017 10:59:11

Innhold 1

Tall og mengde

Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

..................

Hoderegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøkdelen av et tall . . . . . . . . . . . . . Overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . Desimaltall og brøker . . . . . . . . . . Størst og minst . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forkorting av brøker. . . . . . . . . . . . Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enheter for mengde . . . . . . . . . . . . . Summering av mengder . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentfaktorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosenttrekanten . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfaktorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis økning . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis nedgang . . . . . . . . . . . . . Merverdiavgift . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentpoeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9 12 14 16 19 21 25 29 31 33 37 38 42 43 46 49 54 56

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Førstegradslikninger . . . . . . . . . . . . Potenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler og likninger. . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 63 67 71 74 79 83

Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . Skattetrekk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regnskap og budsjett . . . . . . . . . . . Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serielån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kredittkort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forholdet mellom tall . . . . . . . . . . Blandingsforhold . . . . . . . . . . . . . . . Proporsjonale størrelser . . . . . . . . Omvendt proporsjonale størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indekser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konsumprisindeksen . . . . . . . . . . . Reallønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kroneverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 87 90 93 96 100 102 105 109 111 113 115

119 122 126 128 133 135

Lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . . 136

Enheter for lengde . . . . . . . . . . . . . . Måling av lengde og avstand . . Vinkler i formlike figurer . . . . . . Lengder i formlike figurer . . . . . Pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 140 143 146 150 154 157

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 4

23.03.2017 10:59:11

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Areal og volum

..................

Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sirkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramide og kjegle . . . . . . . . . . . . . Kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

159 163 166 169 174 177 181 183

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

1 2 3 4 5 6 7

Tall og mengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ă&#x2DC;konomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . . . . Lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . .

185 198 212 225 248 268 286

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 5

23.03.2017 10:59:11

1 Tall og mengde MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne •

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 6

gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene og vurdere hvor rimelige de er

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:11

1.1 Hoderegning Til daglig er det sjelden vi regner ved hjelp av papir og blyant. Enten regner vi i hodet, eller så bruker vi en lommeregner. Nå skal vi øve på hoderegning. 7 tiere og 5 tiere er til sammen 12 tiere. Dermed er 70 kr + 50 kr = 120 kr 7 hundrelapper og 5 hundrelapper er til sammen 12 hundrelapper. Da er 700 kr + 500 kr = 1200 kr Hvis vi har 12 tiere og skal betale 5 tiere, har vi 7 tiere igjen. Da er 120 kr − 50 kr = 70 kr Hvis vi har 12 hundre og skal betale 5 hundre, har vi 7 hundre igjen. Da er 1200 kr − 500 kr = 700 kr EKSEMPEL

Regn ut i hodet. a) 400 kr + 900 kr b) 1500 kr − 900 kr LØSNING:

a) Vi vet at 4 + 9 = 13. Da er 400 kr + 900 kr = 1300 kr b) Vi vet at 15 − 9 = 6. Da er 1500 kr − 900 kr = 600 kr

OPPGAVE 1.10

Regn ut i hodet. a) 30 kr + 60 kr c) 90 kr – 40 kr

b) 800 kr + 500 kr d) 1300 kr – 700 kr

OPPGAVE 1.11

Regn ut i hodet. a) 70 + 50 d) 90 − 40

b) 900 + 800 e) 800 − 300

c) 3000 + 12 000 f) 2500 − 1700

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 7

23.03.2017 10:59:12

Når tallene er enkle, kan vi også multiplisere i hodet. Vi vet at 7 ⋅ 4 = 28, og da blir 7 ⋅ 40 kr = 280 kr 7 ⋅ 400 kr = 2800 kr Noen ganger kan det være lurt å dele et gangestykke opp i flere deler. Å gange et tall med 2 er det samme som å doble tallet. Å gange med 4 er det samme som å doble to ganger, for 2 ⋅ 2 = 4. Når vi skal regne ut 4 ⋅ 15, kan vi regne slik i hodet: Vi vet at 2 ⋅ 15 = 30. Dermed er 4 ⋅ 15 det samme som 2 ⋅ 30 = 60. EKSEMPEL

Regn ut i hodet. a) 6 ⋅ 70 kr

b) 4 ⋅ 3,50 m

c) 40 ⋅ 3,50 m

LØSNING:

a) Ettersom 6 ⋅ 7 = 42, er 6 ⋅ 70 kr = 420 kr b) Vi dobler 2 ganger. Ettersom 2 ⋅ 3,50 m = 7 m, er 4 ⋅ 3,50 m = 2 ⋅ 7 m = 14 m c) 40 ⋅ 3,50 m er 10 ganger så mye som 4 ⋅ 3,50 m. Dermed blir 40 ⋅ 3,50 m = 10 ⋅ 14 m = 140 m

OPPGAVE 1.12

Regn ut i hodet. a) 2 ⋅ 80 b) 4 ⋅ 80

c) 8 ⋅ 80

d) 8 ⋅ 800

c) 8 ⋅ 15

d) 80 ⋅ 15

c) 10 ⋅ 35 m

d) 20 ⋅ 35 m

c) 10 ⋅ 7,5 cm

d) 20 ⋅ 7,5 cm

OPPGAVE 1.13

Regn ut i hodet. a) 2 ⋅ 15 b) 4 ⋅ 15 OPPGAVE 1.14

Regn ut i hodet. a) 2 ⋅ 35 m b) 4 ⋅ 35 m OPPGAVE 1.15

Regn ut i hodet. a) 2 ⋅ 7,5 cm b) 4 ⋅ 7,5 cm

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 8

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:12

1.2 Brøkdelen av et tall Noen delingsstykker klarer vi å regne ut i hodet. Ettersom 7 ⋅ 3 = 21, er 21 : 3 = 7. Dermed er 210 kr : 3 = 70 kr 2100 kr : 3 = 700 kr Ettersom 45 : 5 = 9, er 450 m : 5 = 90 m 4500 m : 5 = 900 m Å dele på 2 er det samme som å finne halvparten av tallet. Dermed er 120 kr : 2 = 60 kr Når vi skal finne fjerdedelen av 120 kr, kan vi dele tallet med 4. Da får vi 30 kr. Vi kan også halvere to ganger. Halvparten av 120 kr er 60 kr. Halvparten av 60 kr er 30 kr. Fjerdedelen av 120 kr er da 30 kr.

OPPGAVE 1.20

Regn ut i hodet. a) 80 kr : 2 d) 350 m : 5

b) 800 kr : 2 e) 4900 m : 7

c) 270 m : 3

OPPGAVE 1.21

Finn ved å halvere flere ganger. a) Fjerdedelen av 100 kr b) Fjerdedelen av 84 m c) 180 kr : 4 d) 200 kr : 8

Når vi skriver 1 av 60 kr, mener vi én tredel av 60 kr. Dermed er 3

1 av 60 kr = 60 kr : 3 = 20 kr 3 Når én tredel av 60 kr er 20 kr, må to tredeler være dobbelt så mye. Altså er 2 av 60 kr = 2 ⋅ 20 kr = 40 kr 3 Hvis vi skal finne 3 av 20 kr med hoderegning, kan vi først finne 1 av 20 kr. 5

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 9

23.03.2017 10:59:13

1 av 20 kr = 20 kr : 5 = 4 kr 5 3 av 20 kr = 3 ⋅ 4 kr = 12 kr 5 Dette kan vi også finne ved hjelp av en lommeregner. 3 20 5

Å finne 3 av 20 kr er det samme som å multiplisere 3 med 20 kr. 5

3 3 av 20 kr = ⋅ 20 kr = 12 kr 5 5 Vi gjør det på tilsvarende måte med alle brøkdeler og alle tall. Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet.

EKSEMPEL

Regn ut 3 av 320 kr både i hodet og ved hjelp av en lommeregner. 8

LØSNING:

Hoderegning: 1 av 320 kr = 320 kr : 8 = 40 kr 8 3 av 320 kr = 3 ⋅ 40 kr = 120 kr 8 Lommeregner: 3 3 av 320 kr = ⋅ 320 kr = 120 kr 8 8

OPPGAVE 1.22

Regn ut 5 av tallene både i hodet og ved hjelp av en lommeregner. 8

a) 16

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 10

b) 40

c) 56

d) 4

e) 12

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:16

OPPGAVE 1.23

Regn oppgavene både i hodet og ved hjelp av en lommeregner. a) Hvor mye er 2 av 48 kr? 3

b) Hvor mye er 4 av 49 kr? c) Hvor mye er d) Hvor mye er

7 3 8 3 4

av 72 kr? av 72 kr?

EKSEMPEL

Anne og Gry deler en jobb. Ei uke arbeider Anne fem dager og Gry to dager. Til sammen får de 2800 kr i lønn. Hvor mye skal hver av dem ha i lønn? LØSNING:

Anne og Gry arbeider sju dager til sammen. Ettersom Anne arbeider fem av de sju dagene, skal hun ha 5 5 av 2800 kr = ⋅ 2800 kr = 2000 kr 7 7 Gry arbeider to av sju dager og skal ha 2 2 av 2800 kr = ⋅ 2800 kr = 800 kr 7 7

OPPGAVE 1.24

En blanding av saft og vann inneholder 1 saft og 5 vann. 6

a) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3 liter blanding? b) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3,6 liter blanding? c) Hvor mye vann er det når det er 2 liter rein saft? OPPGAVE 1.25

Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2 , Anne skal ha 1 , og Per skal 5 6 ha resten. a) Hvor mange kroner skal Anne og Jan ha hver? b) Hvor mange kroner skal Per ha?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 11

23.03.2017 10:59:17

1.3 Overslagsregning Noen ganger må vi gjøre utregninger uten at vi trenger det helt nøyaktige svaret. Da kan vi bruke overslagsregning og finne omtrent hvor stort svaret er. Et slikt omtrentlig svar vil ofte være godt nok for oss. Ved overslagsregning bruker vi disse reglene: Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned.

EKSEMPEL

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 184,75 + 257,20 b) 657,50 – 379,45 c) 18,5 ⋅ 26,3 d) 122 : 3,12 LØSNING:

a) Ved addisjon runder vi ett tall opp og ett ned. 184,75 + 257,20 ≈ 180 + 260 = 440 b) Ved subtraksjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 657,50 – 379,45 ≈ 660 – 380 = 280 c) Ved multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. 18,5 ⋅ 26,3 ≈ 20 ⋅ 25 = 500 d) Ved divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 122 : 3,12 ≈ 120 : 3 = 40

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 12

OPPGAVE 1.30

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 232,5 + 488,3 b) 488,3 – 232,5 c) 42,8 ⋅ 18,7 d) 362 : 7,3

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:17

OPPGAVE 1.31

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 788,3 + 615,2 b) 788,3 − 615,2 c) 123,2 ⋅ 2,13 d) 582 : 20,3

EKSEMPEL

Vanja Vespa har en skuter som hun bruker mye. Bruk overslagsregning når du løser denne oppgaven. a) En dag fyller hun 4,8 liter bensin som koster 14,18 kr per liter. Omtrent hvor mye betaler Vanja for bensinen? b) Mopeden bruker 0,23 liter bensin per mil. Omtrent hvor mye bensin trenger hun til en tur på 18 mil? c) Omtrent hvor lang tid bruker hun på 18 mil når hun kjører 47 km/h? LØSNING:

a) Prisen for 4,8 liter bensin blir 14,18 kr ⋅ 4,8 ≈ 14 kr ⋅ 5 = 70 kr Her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned fordi vi multipliserer. b) Antallet liter bensin er 0,23 L ⋅ 18 ≈ 0,2 L ⋅ 20 = 4 L Også her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned. c) Ettersom 18 mil = 180 km, bruker hun 180 200 h≈ h=4h 47 50 Hun bruker omtrent 4 timer. Her rundet vi begge tallene opp fordi vi dividerer.

OPPGAVE 1.32

Marie er i butikken og har med seg 350 kr. Hun kjøper et brød til 37,50 kr, en pakke kjøttdeig til 76,50 kr, 2 liter jus til 26,50 kr per liter, 5 kg poteter til 44 kr, en pose epler til 29,50 kr, 4 flasker brus til 24,90 kr per flaske og ei avis til 30 kr. Bruk overslagsregning og finn ut om Marie har med seg nok penger.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 13

23.03.2017 10:59:18

OPPGAVE 1.33

Håkon og Gustav er ivrige langrennsløpere. De går runder i lysløypa. Hver runde er 2,6 km. a) Håkon gikk en dag 12 runder. Omtrent hvor langt gikk han? b) Håkon brukte i gjennomsnitt 9 min 10 s per runde. Omtrent hvor lang tid brukte han på de 12 rundene? c) Gustav gikk 2 runder på 15 min 20 s. Hvor lang tid brukte Gustav per kilometer?

1.4 Desimaltall og brøker 2 personer skal dele 7 boller. Da blir det sju halve boller på hver.

Det er det samme som tre og en halv bolle.

Sju halve er det samme som 7 . Tre og en halv er det samme som 3,5. Dermed 2 er 7 = 3, 5 2 Vi kan også omforme brøken ved å skrive den som et delestykke. 7 = 7= : 2 3, 5 2 I en brøk er telleren tallet over brøkstreken. Tallet under brøkstreken kaller vi nevneren.

7 2 14

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 14

← telleren ← nevneren

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:19

På forrige side gjorde vi brøken om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren. Det kan vi gjøre med alle brøker. En brøk gjør vi om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.

Brøken 3 kan vi omforme til et desimaltall på denne måten: 5

3 = 3= : 5 0, 6 5 På lommeregneren gjør vi det enklest slik: 3 5

På den lommeregneren vi brukte, måtte vi trykke på tasten S ⇔ D for å få gjort om brøken til et desimaltall. Vi kan også gjøre som her: 3 5 0

EKSEMPEL

Skriv brøkene 3 og 21 som desimaltall. 4

LØSNING:

Vi bruker lommeregneren og får 3 = 3 : 4 = 0,75 4 21 = 21 : 8 = 2,625 8 Noen ganger går ikke divisjonen opp. Da blir det uendelig mange desimaler i desimaltallet. Lommeregneren viser i slike tilfeller bare noen av desimalene.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 15

23.03.2017 10:59:20

EKSEMPEL

Skriv brøkene 5 og 17 som desimaltall. 6

LØSNING:

5 = 5 : 6 = 0,833333… = 0,833 6 17 = 17 : 13 = 1,3076923… = 1,308 13

OPPGAVE 1.40

Skriv tallene som desimaltall. 1 1 2 b) c) a) 2 4 5 3 3 3 e) f) d) 8 20 16 OPPGAVE 1.41

Skriv tallene som desimaltall. 1 1 3 b) c) a) 3 6 7 2 2 7 f) e) d) 11 9 17

1.5 Størst og minst 75 er større enn 8. Hvorfor er ikke da 1,75 større enn 1,8? I desimaltall kan vi legge til ekstra nuller etter siste desimal uten at det forandrer tallet. Tallet 1,8 og tallet 1,80 er dermed like store. Når vi skal sammenlikne tallene 1,75 og 1,8, skriver vi tallet 1,8 som 1,80, og da ser vi at det er 1,8 som er størst. Når vi skal sammenlikne desimaltall, føyer vi til nuller bak siste desimal slik at alle tallene får like mange desimaler.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 16

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:22

EKSEMPEL

Skriv tallene 3,6, 3,56 og 3,582 i stigende rekkefølge.

3,6

3,56

3,582

LØSNING:

Vi føyer til nuller slik at alle tallene får 3 desimaler. Dermed får vi tallene 3,600, 3,560 og 3,582. Da ser vi at 3,560 er minst, og at 3,600 er størst. Tallene i stigende rekkefølge er 3,56, 3,582 og 3,6

OPPGAVE 1.50

Skriv tallene i stigende rekkefølge. a) 5,23, 5,3 og 5,179 b) 6,09, 6,101 og 6,1 c) 2,01, 2,013 og 2,0099

Når vi skal sammenlikne to brøker, gjør vi først brøkene om til desimaltall. Da er det enklere å se hvilke tall som er størst og minst. EKSEMPEL

Hvilken brøk er størst? 7 9 4 5 a) eller b) eller 3 5 7 8 LØSNING:

a) Vi bruker lommeregneren og gjør brøkene om til desimaltall. 7 = 7= : 3 2, 333 3

9 = 9= : 5 1, 8 5

Vi ser at 7 er større enn 2, og at 9 er mindre enn 2. 3

7 er størst. 3

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 17

23.03.2017 10:59:23

b) Vi regner om til desimaltall og får 4 = 0, 571 7

5 = 0, 625 8

Dette viser at 4 er mindre enn 0,6, og at 5 er større enn 0,6. 7

5 er størst. 8

OPPGAVE 1.51

Hvilken brøk er størst? 3 4 13 12 b) eller a) eller 4 5 6 5

23 25 eller 11 13

18 19 eller 29 30

3 9 eller 4 12

7 42 eller 9 54

OPPGAVE 1.52

Hvilken brøk er størst? 1 1 2 19 b) eller a) eller 3 4 3 29

EKSEMPEL

12 venner sitter ved 2 bord på en pizzarestaurant. Ved det ene bordet sitter det 5 personer. De får 4 L brus på deling. Ved det andre bordet sitter det 7 personer. De skal dele 5 L brus. Hvem får mest brus? LØSNING:

Ved femmannsbordet får hver person 4 L brus. Omregnet til desimal5 tall blir det 4 L : 5 = 0,8 L Ved sjumannsbordet får hver 5 L. Som desimaltall blir det 7

5 L : 7 = 0,71 L De ved femmannsbordet får dermed mest fordi 0,8 L = 0,80 L og det er mer enn 0,71 L. Da må brøken 4 være større enn brøken 5 . 5

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 18

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:26

OPPGAVE 1.53

12 venner sitter ved 2 bord på en pizzarestaurant. Ved det ene bordet sitter det 5 personer. De får 2 pizzaer på deling. Ved det andre bordet sitter det 7 personer. De skal dele 3 pizzaer. Hvem får mest pizza? OPPGAVE 1.54

En klasse med 30 elever spiser pizza. 13 av dem sitter ved det ene bordet og 17 av dem ved det andre større bordet. På det minste bordet blir det satt fram 10 L brus og 6 pizzaer. På det største bordet blir det satt fram 13 L brus og 8 pizzaer. Hvem får mest brus, og hvem får mest pizza?

1.6 Forkorting av brøker Brøkene 1 og 2 kan vi skrive som desimaltall på denne måten: 4

1 = 1 : 4 = 0,25 4

2 = 2 : 8 = 0,25 8

Begge tallene er lik 0,25. Brøkene 1 og 2 må derfor være like. Det kan vi 4

også finne ut ved å se på en kake. Kaken til venstre nedenfor er delt i fire like store deler. Hver del er da 1 kake. 4

1 8 1 4

1 8

Kaken til høyre ovenfor er delt i 8 like deler, og hver del er altså 1 kake. 8 Figurene viser at 2 deler av kaken til høyre er like mye som 1 del av kaken til venstre. Dermed er 2 1 = 8 4

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 19

23.03.2017 10:59:30

Dette kan vi få fram ved å dividere telleren og nevneren med 2. 2 2:2 1 = = 8 8:2 4 Vi har forkortet brøken. Vi kan også gjøre om 1 til 2 på denne måten: 4

1 1⋅ 2 2 = = 4 4⋅2 8 Vi har utvidet brøken. Når vi forkorter en brøk, deler vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi utvider en brøk, ganger vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi forkorter eller utvider en brøk, endrer den ikke verdi.

EKSEMPEL

Forkort brøkene. 6 27 b) a) 8 21 LØSNING:

6 6:2 3 a)= = 8 8:2 4 27 27 : 3 9 b)= = 21 21 : 3 7

Når du regner med brøk, må du huske på å forkorte alle svar. I brøken 9 er telleren større enn nevneren. Da har vi en uekte brøk. En uekte 7

brøk kan vi skrive som et blandet tall. Brøken 9 er det samme som det 7

blandede tallet 1 2 . I den videregående skolen trenger du ikke å gjøre uekte 7

brøker om til blandede tall.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 20

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:31

OPPGAVE 1.60

Forkort brøkene uten å bruke lommeregner. 4 9 18 42 a) c) b) d) 15 6 21 54

Gode lommeregnere kan forkorte brøker. Når vi skal forkorte 6 , skriver vi 8 inn brøken og får svaret 3 når vi trykker på tasten = som vist her: 4

OPPGAVE 1.61

Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 72 126 132 153 d) b) c) a) 120 294 198 51

117 78

308 231

OPPGAVE 1.62

En klasse med 30 elever er ute og spiser pizza. Det sitter 12 personer ved det ene bordet og 18 ved det andre. Ved det minste bordet blir det satt fram 10 L brus og 4 pizzaer. Ved det største bordet blir det satt fram 15 L brus og 6 pizzaer. Forklar ved å forkorte brøker at alle får like mye brus og like mye pizza.

1.7 Brøkregning Anne vil spise halvparten av 1 kake. Hvor mye er det? 4

1 8 1 4

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 21

23.03.2017 10:59:36

Vi ser at halvparten av 1 er 1 . Det kan vi også finne på denne måten: 4

1 1 1 1 1 ⋅1 1 = av = ⋅ = 2 4 2 4 2⋅4 8 Når vi skal finne 2 av 6 , kan vi gå fram slik: Ettersom én tredel av 6 er 2, må 3

én tredel av 6 være 2 . Da må 2 tredeler av 6 være 2 ⋅ 2 = 4 . 7

Dette kan vi klare i hodet. Men vi kan også regne slik: 2 6 2 6 2 ⋅ 6 12 12 : 3 4 = = = av = ⋅ = 3 7 3 7 3 ⋅ 7 21 21 : 3 7 Når vi skal gange to brøker, ganger vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.

EKSEMPEL

Finn 2 av 10 i hodet og ved regning. 5

LØSNING:

I hodet gjør vi det slik: 1 5

av 10 må være 10 : 5 = 2 . Da må 2 være 3

2 4 2⋅ = 3 3 Ved regning gjør vi det slik: 2 10 2 10 20 20 : 5 4 av = ⋅ = = = 5 3 5 3 15 15 : 5 3

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 22

OPPGAVE 1.70

Regn ut i hodet. 1 4 1 6 av b) av a) 2 5 3 5 1 12 5 12 av e) av d) 6 7 6 7

2 6 av 3 5

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:40

OPPGAVE 1.71

Regn ut. 1 8 a) ⋅ 4 7

3 8 ⋅ 4 7

1 14 ⋅ 7 5

3 14 ⋅ 7 5

5 14 ⋅ 7 5

Anne spiser 1 kake og deretter 1 kake. 4

1 4

1 8

Hvor mye spiser hun til sammen? Vi deler da den største biten i to like deler. 1 8 1 8

1 8

Til sammen blir det 3 kake. 8

Ved regning gjør vi det slik: 1 1 1⋅ 2 1 2 1 3 + = + = + = 4 8 4⋅2 8 8 8 8

Når vi skal summere to brøker, utvider vi først brøkene slik at de får samme nevner. Deretter summerer vi brøkene ved å summere tellerne.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 23

23.03.2017 10:59:43

EKSEMPEL

Regn ut. 1 3 a) + 2 8

1 1 + 2 6

2 1 − 3 6

LØSNING:

1 3 1⋅ 4 3 4 3 7 + = + = + = 2 8 2⋅4 8 8 8 8

1 1 1⋅ 3 1 3 1 4 4 : 2 2 = + = + = + = = 2 6 2⋅3 6 6 6 6 6: 2 3

2 1 2⋅ 2 1 4 1 3 3:3 1 = − = − = − = = 3 6 3⋅ 2 6 6 6 6 6 :3 2

OPPGAVE 1.72

Regn ut. 1 1 a) + 4 2

1 2 + 6 3

3 1 + 8 4

7 2 − 9 3

1 1 − 2 6

OPPGAVE 1.73

Regn ut og forkort svaret mest mulig. 1 1 5 1 4 2 a) + b) + c) + 15 5 3 6 12 4

All tallregning med brøker kan vi gjøre på lommeregneren. I eksemplene foran regnet vi ut 2 ⋅ 10 og 1 + 1 . Det gjør vi slik på lommeregneren: 5 3

2 10 5 3

1 2

1 2 3

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 24

OPPGAVE 1.74

Bruk lommeregneren og regn ut. 1 4 1 4 1 4 b) ⋅ c) : a) + 3 9 3 9 3 9

d) 3 ⋅

5 12

e) 3 :

5 12

f) 3 +

5 12

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:47

1.8 Enheter for mengde Når vi lager mat, måler vi mengden av hvetemel, sukker og smør i gram eller kilogram. Større mengder måler vi ofte i tonn. Mindre mengder kan vi måle i milligram. Vi har denne sammenhengen mellom milligram (mg), gram (g), kilogram (kg) og tonn: 1 tonn = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg EKSEMPEL

a) Hvor mange kilogram er 3,2 tonn? b) Hvor mange gram er 1,7 kg? c) Hvor mange gram er 2500 mg? LØSNING:

a) Vi utnytter at 1 tonn er 1000 kg. Det gir 3,2 tonn = 3,2 ⋅ 1000 kg = 3200 kg b) Ettersom 1 kg er 1000 g, får vi 1,7 kg = 1,7 ⋅ 1000 g = 1700 g c) Vi kan gå fram på denne måten: 2500 mg = 2,5 ⋅ 1000 mg = 2,5 g

OPPGAVE 1.80

a) b) c) d)

Hvor mange gram er 6,7 kg? Hvor mange kilogram er 3700 g? Hvor mange gram er 2500 mg? Hvor mange tonn er 4500 kg?

Vi kan også bruke en tabell når vi skal regne mellom disse enhetene. Tabellen ser slik ut: tonn

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 25

23.03.2017 10:59:47

Nå skal vi regne om 1,7 kg til gram. Da tegner vi av den delen som har kilogram og gram, og skriver tallet 1,7 i tabellen på denne måten: kg 1

g 7

Deretter fyller vi på med nuller, slik: kg 1

g 7

Nå ser vi at 1,7 kg er 1700 g. Hvis vi skal regne om 23 400 g til kilogram, skriver vi tallet slik at det siste sifferet står i ruta med gram (g). kg 2

g 4

Vi ser at 23 400 g er lik 23,4 kg. EKSEMPEL

a) Hvor mange kilogram er 0,56 tonn? b) Hvor mange gram er 780 mg? LØSNING:

a) Vi tegner den delen av tabellen der vi har tonn og kilogram. Vi plasserer tallet 0,56 slik at 0 kommer i ruta med tonn. Til slutt fyller vi ut med en null. tonn 0

kg 5

0,56 tonn er 560 kg. b) Vi lager en tabell med gram og milligram og skriver tallet 780 slik at tallet 0 står i ruta under milligram (mg). Vi setter inn 0 foran tallet 780 for å nå fram til ruta med gram (g). mg

g 0

780 mg er 0,78 g.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 26

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:47

OPPGAVE 1.81

Løs oppgaven ved hjelp av en tabell. a) Hvor mange gram er 0,67 kg? b) Hvor mange milligram er 0,2 g? c) Hvor mange kilogram er 3700 g? d) Hvor mange tonn er 4500 kg? OPPGAVE 1.82

Regn om til gram. a) 2,5 kg b) 0,7 kg

c) 0,025 tonn

På kjøkkenet bruker vi ofte hektogram (hg) når vi for eksempel veier kjøtt eller smør. 1 hg = 100 g

1 kg = 10 hg

Vi plasserer hektogram i tabellen på denne måten: kg

EKSEMPEL

Regn om til hektogram. a) 2,4 kg b) 1250 g LØSNING:

a) kg

2,4 kg er 24 hg. b) g 5

1250 g er 12,5 hg.

OPPGAVE 1.83

Gjør om til hektogram. a) 5,25 kg b) 0,35 kg

c) 250 g

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 27

23.03.2017 10:59:47

OPPGAVE 1.84

Gjør om til gram. a) 4,5 hg b) 0,7 hg

c) 0,75 kg

Mengder av væske måler vi ofte i liter (L), desiliter (dL), centiliter (cL) eller milliliter (mL). Her er 1 L = 10 dL 1 dL = 10 cL

1 L = 100 cL 1 cL = 10 mL

1 L = 1000 mL

Vi kan bruke denne tabellen: L

EKSEMPEL

Regn om til centiliter. a) 0,25 L b) 145 mL LØSNING:

a) mL

0,25 L = 25 cL b)

145 mL = 14,5 cL

OPPGAVE 1.85

Regn om til liter. a) 75 dL b) 320 cL

c) 45 cL

OPPGAVE 1.86

Regn om til centiliter. a) 2,5 L b) 0,25 L

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 28

c) 2,5 mL

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:47

1.9 Summering av mengder I en oppskrift blander vi 1,5 kg hvetemel, 275 g smør og 0,8 L vann. Hvor mye veier deigen til sammen? Vi må gjøre alle mengdene om til samme enhet. Vi regner i kilogram. 275 g er det samme som 0,275 kg. Når vi skal finne ut hvor mye 0,8 L vann veier, må vi huske på at 1 L vann veier 1 kg. 1 liter vann veier 1 kg.

0,8 L vann veier dermed 0,8 kg. Deigen veier 1,5 kg + 0,275 kg + 0,8 kg = 2,575 kg Tallet med færrest desimaler bestemmer hvor mange desimaler vi skal ta med i svaret. Det er én desimal i to av tallene. Da tar vi med én desimal i svaret. Deigen veier 2,6 kg. Når vi summerer tall som er målt med vekt eller andre måleredskaper, bruker vi vanligvis så mange desimaler i svaret som det er i det tallet som har færrest desimaler.

Vi kan bruke tabeller når vi summerer tall med forskjellig enhet. EKSEMPEL

Legg sammen. a) 5,4 hg + 2,2 kg + 620 g b) 5,2 dL + 1,3 L + 45 cL LØSNING:

hg 5

2 3

g 4

2 6

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 29

23.03.2017 10:59:47

Til sammen blir det 3,360 kg. I kolonnen over 6-tallet mangler det et tall. Den desimalen bør vi dermed ikke ta med i svaret. Vi runder av svaret oppover. Det blir 3,4 kg til sammen. b)

L 1 2

3 4

Kolonnen over 7-tallet mangler et tall. Vi tar derfor ikke med sifferet 7 i svaret og runder av 2,27 til 2,3. Det blir 2,3 L til sammen.

OPPGAVE 1.90

Trekk sammen. a) 1,2 kg + 1,54 kg + 2,1 kg b) 0,7 kg + 4,7 hg + 500 g c) 0,25 hg + 12,4 g + 0,0024 kg OPPGAVE 1.91

Trekk sammen. a) 2,4 L + 0,6 L + 20 dL b) 0,4 L + 2,1 dL + 12 cL c) 0,62 L + 1,7 dL + 5 cL OPPGAVE 1.92

En oppskrift på formloff er slik: 2,4 kg hvetemel 1,5 hg gjær 100 g farin 50 g smør 2 ts salt 1,5 L vann eller melk Hvor mye veier deigen?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 30

SINUS 1P-Y | Tall og mengde

23.03.2017 10:59:47

SAMMENDRAG Avrundingsregler ved overslagsregning Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. Gjøre om brøk til desimaltall Vi gjør en brøk om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren. Sammenlikning av brøker Vi kan finne ut hvilke brøker som er størst eller minst ved å gjøre dem om til desimaltall og sammenlikne desimaltallene. Forkorting av brøker Når vi forkorter en brøk, deler vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Utviding av brøker Når vi utvider en brøk, ganger vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Produkt av brøker Når vi skal gange to brøker, ganger vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Sum av brøker Når vi skal summere to brøker, utvider vi først brøkene slik at de får samme nevner. Deretter summerer vi brøkene ved å summere tellerne. Sammenhengen mellom noen enheter 1000 kg = 1 tonn 1000 g = 1 kg 1000 mg = 1 g 10 dL = 1 L 10 cL = 1 dL 10 mL = 1 cL

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 31

23.03.2017 10:59:47

3 Algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne •

forenkle flerleddede uttrykk og løse likninger av første grad og enkle potenslikninger

•

tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 58

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 10:59:57

3.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen lærte du mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler: Positivt tall ⋅ positivt tall = positivt tall Positivt tall ⋅ negativt tall = negativt tall Negativt tall ⋅ positivt tall = negativt tall Negativt tall ⋅ negativt tall = positivt tall

+⋅+=+ +⋅–=– –⋅+=– –⋅–=+

Når vi ganger to tall, blir svaret et positivt tall hvis fortegnene er like. Svaret blir et negativt tall hvis fortegnene er forskjellige. EKSEMPEL

Regn ut. a) 3 ⋅ 4

b) 4 ⋅ ( −2 )

c) ( −3) ⋅ 12

d) ( −5 ) ⋅ ( −3)

LØSNING:

a) 3 ⋅ 4 = 12 b) 4 ⋅ ( −2 ) = −8 c) ( −3) ⋅ 12 = −36 d) ( −5 ) ⋅ ( −3) = 15

Regnestykkene ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det på mange lommeregnere er to ulike minustegn. Slike lommeregnere har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45 – 12. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. –2. Differansetasten – står som oftest på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten (–) finner du ofte i den nederste rekka. Fortegnstast: (–)

Differansetast: −

I uttrykket 4 ⋅ ( −2 ) er minustegnet et fortegn. Da må vi bruke fortegnstasten (–) . Svaret blir –8.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 59

23.03.2017 10:59:58

Når vi for eksempel skal regne ut 4 + 3⋅2 er det viktig å vite hvordan vi gjør det. Det blir 4 + 3 ⋅ 2 = 4 + 6 = 10 Legg merke til at 4 + 3 ⋅ 2 ikke blir 7 ⋅ 2 = 14. Vi må gange før vi legger sammen. Utregninger gjør vi alltid i denne rekkefølgen: 1. Først multiplikasjon (⋅) og divisjon (:) 2. Deretter addisjon (+) og subtraksjon (–)

EKSEMPEL

Regn ut. a) 5 + 2 ⋅ 4

c) ( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5

b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3

LØSNING:

a) 5 + 2 ⋅ 4 = 5 + 8 = 13

Multiplikasjon før addisjon

b) 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 15 − 12 = 3

Multiplikasjon før subtraksjon

c) ( −3) ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 = −6 + 10 = 4

Multiplikasjon før addisjon

Gode lommeregnere regner slik vi lærte ovenfor. Når vi taster 5 + 2 ⋅ 4, skal vi få svaret 13. Hvis du får svaret 28, bør du få deg en annen lommeregner.

OPPGAVE 3.10

Regn ut både med og uten lommeregner. a) 5 ⋅ 6 b) 5 ⋅ ( −4 ) c) ( −6 ) ⋅ 3 d) ( −4 ) ⋅ ( −6 ) OPPGAVE 3.11

Regn ut både med og uten lommeregner. a) 6 + 2 ⋅ 3 b) 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ ( −4 ) c) ( −6 ) ⋅ 3 + ( −4 ) ⋅ ( −5 ) d) 6 − ( −5 ) ⋅ 2 + ( −3) ⋅ 5

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 60

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:00

Uttrykket 23 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2. Dermed er 23 = 2 ⋅ 2 ⋅2 =8 3 ganger

Når vi skriver 52, betyr det at vi skal multiplisere grunntallet 5 med seg selv. Dermed er 52 = 5 ⋅ 5 = 25 2 ganger

Videre er

( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 2 ⋅ 2 = 4 3 ( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = ( −2 ) ⋅ 4 = −8 4 ( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 ⋅ 4 = 16 2

OPPGAVE 3.12

Regn ut potensene. 2 a) 32 b) 34 c) ( −3)

d) ( −3)

e) ( −3)

d) ( −1)

e) ( −4 )

OPPGAVE 3.13

Regn ut potensene. 2 a) 42 b) 25 c) ( −1)

Når du skal regne ut et uttrykk som også inneholder potenser eller parenteser, må du alltid gjøre det i denne rekkefølgen: 1. 2. 3. 4.

Regn først ut parentesuttrykkene. Regn deretter ut potensene. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

På neste side viser vi med et eksempel hvordan dette blir i praksis.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 61

23.03.2017 11:00:02

EKSEMPEL

Regn ut. a) −2 ⋅ ( 3 + 1) + 4 ⋅ 23 LØSNING:

−2 ⋅ ( 3 + 1) + 4 ⋅ 23 = −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 23 = −2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8 = −8 + 32 = 24

1. Regn først ut uttrykket i parentesen. 2. Regn ut potensen. 3. Gjør multiplikasjonene. 4. Gjør til slutt addisjonen.

−32 + ( 2 − 5 )

1. Regn først ut uttrykket i parentesen.

2. Regn ut potensene.

= −3 + ( −3) 2

= −9 + 9 = 0

b) −32 + ( 2 − 5 )

3. Gjør til slutt addisjonen.

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ⋅ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ⋅ 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive

( 4 ⋅ 2)

= 83 = 512

Når vi skriver −32, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet −3. Dermed er −32 = −9 Hvis vi vil opphøye tallet −3 i andre potens, må vi skrive ( −3) . 2

( −3)

La oss nå regne oppgave a i eksempelet ovenfor på lommeregneren: Vi skal regne ut −2 ⋅ ( 3 + 1) + 4 ⋅ 23 på lommeregneren. Da taster vi hele uttrykket i ett slik vi har gjort på denne lommeregneren: 2

3 1

23 2

Her brukte vi tasten x da vi skrev uttrykket 23. Finn ut hvordan du får til dette på din lommeregner. Svaret blir 24 som vist ovenfor.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 62

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:04

OPPGAVE 3.14

Regn ut bĂĽde med og uten lommeregner. 2 a) 4 â&#x2039;&#x2026; 22 b) 4 â&#x2039;&#x2026; ( â&#x2C6;&#x2019;2 ) c) 5 â&#x2C6;&#x2019; 32

d) ( 5 â&#x2C6;&#x2019; 3)

OPPGAVE 3.15

Regn ut bĂĽde med og uten lommeregner. a) 2 â&#x2039;&#x2026; ( 7 â&#x2C6;&#x2019; 5 ) + 2 b) â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2039;&#x2026; ( 4 â&#x2C6;&#x2019; 12 ) + 2 â&#x2039;&#x2026; 32 c) â&#x2C6;&#x2019; ( 8 â&#x2C6;&#x2019; 4 ) â&#x2C6;&#x2019; ( â&#x2C6;&#x2019;3)

(

) (

d) â&#x2C6;&#x2019;24 + 3 â&#x2039;&#x2026; 17 â&#x2C6;&#x2019; 32 + 3 â&#x2039;&#x2026; 42 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2039;&#x2026; 52

)

3.2 Variabler Vi vet at 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 15 + 20 = 35 Men vi kan ogsĂĽ tenke slik nĂĽr vi skal regne ut dette: 7 ganger + + + 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 5 5 5 5 5 + 5 = 7 â&#x2039;&#x2026; 5 = 35 + 5 + 3 ganger

4 ganger

Vi ser at 3 â&#x2039;&#x2026; 5 + 4 â&#x2039;&#x2026; 5 = 7 â&#x2039;&#x2026; 5 = 35 PĂĽ tilsvarende mĂĽte viser vi at 3 â&#x2039;&#x2026; 10 + 4 â&#x2039;&#x2026; 10 = 7 â&#x2039;&#x2026; 10 = 70 Slik kan vi regne ogsĂĽ med andre tall enn 5 og 10. For et ukjent tall x er 3â&#x2039;&#x2026; x + 4 â&#x2039;&#x2026; x = 7 â&#x2039;&#x2026; x Et slikt ukjent tall x kaller vi en variabel. NĂĽr vi arbeider med variabler, bruker vi regnereglene for tall, for variabler er tall. Vi vet bare ikke hvilket tall det er. NĂĽr vi ganger et tall og en variabel, utelater vi som oftest gangetegnet. Vi skriver 3x + 4 x = 7 x PĂĽ tilsvarende mĂĽte er 4 x + 6 x = 10 x

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 63

23.03.2017 11:00:07

Uttrykk med pluss eller minus mellom kaller vi ledd. Dermed har 4 x + 6 x to ledd. Mange ganger bruker vi andre navn enn x pĂĽ variabler. Vi kan bruke y, a, b og c, men ogsĂĽ alle de andre bokstavene i alfabetet blir brukt. For eksempel er 3a + 8a = 11a 4b + b = 5b At 4b + b = 5b kan vi forklare pĂĽ to mĂĽter: 4b + b = 4 â&#x2039;&#x2026; b + 1 â&#x2039;&#x2026; b = 5 â&#x2039;&#x2026; b = 5b 5 ganger 4b + b = b + b + b + b + b = 5b 4 ganger

Til nĂĽ har vi lagt sammen variabeluttrykk. Vi kan ogsĂĽ trekke fra: 7 x â&#x2C6;&#x2019; 3x = 4 x 3a â&#x2C6;&#x2019; 5a = â&#x2C6;&#x2019;2a Uttrykkene kan inneholde mange ledd: 3x + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x = 7 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x = 2 x 2a + 3a â&#x2C6;&#x2019; 4a = 5a â&#x2C6;&#x2019; 4a = a

OPPGAVE 3.20

Trekk sammen. a) 2 x + 5 x d) 2 y + 4 y â&#x2C6;&#x2019; y

b) 7a â&#x2C6;&#x2019; 5a e) 2 z â&#x2C6;&#x2019; 8 z + 6 z

c) b + 3b + 5b

Hvis vi skal regne ut 3â&#x2039;&#x2026; 4 + 5â&#x2039;&#x2026;7 mĂĽ vi regne slik: 3 â&#x2039;&#x2026; 4 + 5 â&#x2039;&#x2026; 7 = 12 + 35 = 47 Vi kan ikke trekke sammen de to leddene fĂ¸r vi har ganget. Vi mĂĽ gange fĂ¸rst. Uttrykket 3x + 5 y kan vi heller ikke trekke sammen. Det samme gjelder uttrykket 3x + 1

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 64

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:10

Nå skal vi trekke sammen uttrykket 3x + 4 y + 5 x + 2 y Når vi skal legge sammen tall, kan vi gjøre det i den rekkefølgen vi vil. Dermed kan vi omforme uttrykket slik: 3x + 4 y + 5 x + 2 y = 3x + 5 x + 4 y + 2 y = 8 x + 6 y Leddene 3x og 5x er av samme type, og vi kan trekke dem sammen til 8x. Leddene 4y og 2y er også av samme type, og de kan trekkes sammen til 6y.

OPPGAVE 3.21

Trekk sammen uttrykkene. a) 2 x + 7 y + 6 x + 5 y b) 15 x + 12 y − 8 x − 5 y c) 3x + 5 y + 10 + 4 x − y − 5 d) 5a − 2b − 5 + 3a + 8b + 7 e) 3a − b + 7 − 3a + b + 3

Når det står parenteser om tall, betyr det at vi først skal regne ut det som står i parentesen. Vi gjør det slik: 7 + ( 2 + 8 ) = 7 + 10 = 17 Når vi legger sammen tall, kan vi gjøre det i den rekkefølgen vi vil, uten at det forandrer noe på svaret. Derfor kan vi også regne slik: 7 + ( 2 + 8 ) = 7 + 2 + 8 = 9 + 8 = 17 Svaret blir det samme. Altså kan vi ta bort parenteser med pluss foran. Hva må vi gjøre hvis vi vil ta bort en parentes med minus foran? 9 − ( 4 + 2) = 9 − 6 = 3 Her kan vi ikke uten videre fjerne parentesen. Å trekke fra summen av tallene 4 og 2 er det samme som å trekke fra både 4 og 2. Dermed kan vi regne slik: 9 − ( 4 + 2) = 9 − 4 − 2 = 5 − 2 = 3 Da fikk vi riktig svar. Vi må bytte fortegn på tallene i parentesen når vi tar bort parenteser med minus foran.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 65

23.03.2017 11:00:13

Vi har denne regelen: Vi kan ta bort parenteser med + foran uten å endre fortegn på leddene inne i parentesen. Hvis vi tar bort en parentes med − foran, må vi bytte fortegn på leddene inne i parentesen.

EKSEMPEL

Trekk sammen. a) 2 x + ( 3x − 1) b) 5 x − ( 3x − 2 ) c) ( 3x + 2 y ) − ( x + y ) LØSNING:

a) 2 x + ( 3x − 1) = 2 x + 3x − 1 = 5 x − 1 b) 5 x − ( 3x − 2 ) = 5 x − 3x + 2 = 2 x + 2 c) ( 3x + 2 y ) − ( x + y ) = 3x + 2 y − x − y = 3x − x + 2 y − y = 2 x + y

OPPGAVE 3.22

Trekk sammen. a) 2 x + ( 3x − 2 ) c) ( 2x − y ) + ( x + y )

b) 4 − ( 4 − 3x ) d) ( 4 x − 2 ) − ( 2 x + 5 )

Nå skal vi gange et tall med et parentesuttrykk. 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 2 ⋅ 7 = 14 Men når vi skal gange en sum av to tall med 2, kan vi like godt gange hvert av tallene med 2 og så legge sammen: 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 6 + 8 = 14 Svaret blir det samme. Vi har denne regelen: Når vi skal multiplisere et tall med et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd inne i parentesen.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 66

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:16

EKSEMPEL

Regn ut. a) 3 ⋅ ( 4 x + y ) b) 3 ⋅ ( 2 x − y ) + 4 ⋅ ( x + y ) c) 2 ⋅ ( 3a − b ) − 3 ⋅ ( 2a − b ) LØSNING:

a) 3 ⋅ ( 4 x + y ) = 3 ⋅ 4 x + 3 ⋅ y = 12 x + 3 y b) 3 ⋅ ( 2 x − y ) + 4 ⋅ ( x + y ) = ( 6 x − 3 y ) + ( 4 x + 4 y ) = 6 x − 3 y + 4 x + 4 y = 10 x + y c) 2 ⋅ ( 3a − b ) − 3 ⋅ ( 2a − b ) = ( 6a − 2b ) − ( 6a − 3b ) = 6a − 2b − 6a + 3b = 6a − 6a − 2b + 3b = b

OPPGAVE 3.23

Regn ut. a) 2 ⋅ ( 2 x − y ) c)

1 ⋅ (6x − 9) 3

b) −2 ⋅ ( −2 x + 5 ) 3 1 d) 4 ⋅  x − 4 2

 y 

OPPGAVE 3.24

Trekk sammen. a) 2 ( 2 x + 3 y ) + 3 ( x − 2 y )

c) −2 ( 2 x − 3 y ) + 4 ( x − 2 y )

b) 4 ( x − 1) − 2 ( 2 x − 2 )

d) 3 ( 2a − 2b + c ) − 2 ( a − 3b + c )

3.3 Førstegradslikninger Å løse likningen x+2=7 er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det svarer til å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her: +2=7 Tallet 5 er det eneste som passer. 5 +2=7

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 67

23.03.2017 11:00:20

Likningen x + 2 = 7 har dermed løsningen x=5 Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger. EKSEMPEL

Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x = 12 b) 2x + 1 = 5 LØSNING:

a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. 3x = 12 3 ⋅ 4 = 12 x=4 b)

2x + 1 = 5 2 ⋅ 2 +1 = 5 x=2

OPPGAVE 3.30

Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x + 5 = 12 b) x − 3 = 5 c) 2x = 8

d) −4x = 12

OPPGAVE 3.31

Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) 2x − 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x − 1 = 14

d) 6x − 4 = 20

Nå ser vi på likningen x+2=7 I en likning skal jo tallene på hver side av likhetstegnet være like store, derfor kan vi trekke fra 2 på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall. x+2−2=7−2 x=7−2

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 68

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:21

Vi ser at å trekke fra 2 på hver side i likningen x + 2 = 7 svarer til å flytte 2 over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte et ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene: Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. x+2=7 x=7–2

3x = 2x + 5 3x – 2x = 5

Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet hvis tallet ikke er null. 1 x=2 2 1 2⋅ x = 2⋅2 2

2x = 4 2x 4 = 2 2

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret for å se om vi har regnet riktig. Da setter vi løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL

Løs likningene og sett prøve på svaret. 1 3 a) 5x + 3 = −2x − 11 b) x + 3 = x − 1 2 4 LØSNING:

a) Vi bruker regnereglene for likninger. 5x + 3 = −2x − 11 5x + 2x = −11 − 3 7x = −14 7 x −14 = 7 7 x = −2

Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side Trekk sammen leddene på hver side Divider med tallet foran x

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 69

23.03.2017 11:00:22

Vi kontrollerer løsningen x = –2 ved å sette prøve. Venstre side: 5 x + 3 = 5 ⋅ ( −2 ) + 3 = −10 + 3 = −7

Høyre side: −2 x − 11 = −2 ⋅ ( −2 ) − 11 = 4 − 11 = −7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. b) Fellesnevneren for brøkene 1 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 på 2

begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene. 1 3 x + 3 = x −1 2 4 1 3 4 ⋅ x + 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ x − 4 ⋅1 2 4 2 x + 12 = 3x − 4 2 x − 3x = −4 − 12

Multipliser alle leddene med fellesnevneren, som her er 4

−x = −16

Trekk sammen leddene på hver side

x = 16

Når –x = –16, er x = 16

Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side

Vi kontrollerer løsningen x = 16 ved å sette prøve. Venstre side: Høyre side:

1 1 x + 3 = ⋅ 16 + 3 = 8 + 3 = 11 2 2 3 3 x − 1 = ⋅ 16 − 1 = 12 − 1 = 11 4 4

Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig.

OPPGAVE 3.32

Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) 2 x + 3 = 11 c) 2 x = x + 3 d) 4 x − 1 = 2 x + 7 OPPGAVE 3.33

Løs likningene. a) 3x − 1 = x + 4 c) −2 x + 1 = x + 7

b) 5 x + 1 = 2 x − 3 d) 2, 5 x + 2 = 5 x − 8

OPPGAVE 3.34

Løs likningene. 1 1 a) x = x + 1 2 4

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 70

1 1 1 x + = x +1 2 3 3

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:26

3.4 Potenslikninger Likningene x 2 = 4 og x3 = 8 er eksempler på potenslikninger. Likningen x2 = 4 har to løsninger, x = 2 og x = −2, fordi 22 = 4 og ( −2 ) = 4. 2

Når vi løser denne likningen, gjør vi det slik: x2 = 4 x = 2 eller x = −2 Vi minner om at kvadratrota av et tall a, a, er det positive tallet vi må multiplisere med seg selv for å få a. For eksempel er

( 5)

= 5⋅ 5 =5

Potenslikningen x2 = 5 har dermed løsningen x = 5 . Men også x = − 5 er en løsning, for

(− 5 ) = (− 5 ) ⋅ (− 5 ) = 2

5⋅ 5 =5

I praktiske oppgaver regner vi ut 5 på lommeregneren som vist her: 5 2 23 0

Løsningen av likningen x 2 = 5 fører vi slik: x2 = 5 x = 5 eller x = − 5 x = 2, 24 eller x = −2, 24 Potenslikningen x 2 = −4 har ingen løsninger, for når vi ganger et tall med seg selv, får vi aldri et negativt tall som svar. Produktet av to positive tall er positivt, og produktet av to negative tall er også et positivt tall. Potenslikningen x 2 = a har to løsninger, x = a og x = − a , når tallet a er et positivt tall, og ingen løsninger når a er et negativt tall.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 71

23.03.2017 11:00:30

Når vi løser potenslikninger, får vi bruk for regnereglene for likninger. EKSEMPEL

Løs potenslikningene. a) 2 x 2 − 8 = 0 b) 3x 2 + 1 = 7 c) 2 x 2 + 7 = 5 LØSNING:

2 x2 − 8 = 0 2 x2 = 8 2 x2 8 = 2 2 2 x =4 x = −2 eller x = 2

3x 2 + 1 = 7 3x 2 = 7 − 1 3x 2 6 = 3 3 2 x =2 x = 2 eller x = − 2 x = 1, 41 eller x = −1, 41

2 x2 + 7 = 5 2 x2 = 5 − 7 2 x 2 = −2 x 2 = −1 Det fins ingen tall x som er slik at x2 blir mindre enn null. Tallet x2 kan derfor ikke bli lik −1, og likningen x2 = −1 har dermed ingen løsning. Likningen har ingen løsning.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 72

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:31

OPPGAVE 3.40

Løs likningene. a) x 2 = 9 d) 2 x 2 + 9 = 3

b) 2 x 2 − 1 = 9 e) 3x 2 + 1 = 1

4 2 x = 20 5

Potenslikningen x3 = 8 har én løsning, og det er x=2 Det er en løsning fordi 23 = 8. I likningen x3 = 8 er ikke x = −2 noen løsning. Grunnen er at ( −2 ) er −8 og ikke 8 slik vi viste på side 61. Dermed er x = −2 i stedet en løsning av likningen x3 = −8. 3

Tallet 2 kaller vi tredjerota av 8 fordi 23 = 8. Vi skriver 3

8=2

Tredjerota av et tall a, 3 a , er altså det tallet som vi må gange tre ganger for å få a. Dermed er −2 tredjerota av −8 fordi ( −2 ) = −8. 3

−8 = −2

Tredjerota av et tall kan vi finne på mange lommeregnere. Lommeregneren kan ha en tast som heter 3 eller . Tredjerota av 5 finner vi da slik: 3

5 1 0

Likningen x3 = 5 har dermed løsningen = x

= 5 1, 71

Vi kan regne ut tredjerota av alle tall, både positive og negative. Potenslikningen x3 = a har derfor alltid en løsning for alle tall a. Potenslikningen x3 = a har alltid nøyaktig én løsning, og det er x = 3 a .

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 73

23.03.2017 11:00:34

EKSEMPEL

Løs potenslikningene. a) 2x3 = 54 b) x3 + 9 = 2 LØSNING:

2 x3 = 54 2 x3 54 = 2 2 3 x = 27 x = 3 27 x=3

x3 + 9 = 2 x3 = 2 − 9 x3 = −7 x = 3 −7 x = −1, 91 Her brukte vi lommeregneren og fant tredjerota av −7.

OPPGAVE 3.41

Løs likningene. a) 2 x3 = 250 c) 3x3 + 30 = 6

b) x3 + 3 = 30 d) 2 x3 + 1 = 13

3.5 Formler En formel gir oss verdien av en variabel ved hjelp av verdien av en eller flere andre variabler. Volumet V av ei kule er gitt ved 4 3 πr 3 Denne formelen bruker vi til å regne ut verdien av V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kaller vi den uavhengige variabelen, og V kaller vi den avhengige variabelen. Det er den avhengige variabelen vi regner ut. V=

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 74

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:36

Noen ganger trenger vi verdier for to variabler for å kunne regne ut den tredje. Volumet V av en sylinder er gitt ved V = πr 2 ⋅ h Her må vi kjenne både radien r og høyden h for å kunne finne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variabler og én avhengig. I de fleste formlene vi skal arbeide med i denne boka, er det én uavhengig variabel og én avhengig. EKSEMPEL

Vanja Vespa har nettopp fylt opp tanken på skuteren sin med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen b = 6 − 0, 2 x a) Hvor mye bensin er det på tanken når hun har kjørt 15 mil? b) Hvor mye bensin er det igjen når hun har kjørt 30 mil? LØSNING:

a) Når hun har kjørt 15 mil, er x = 15. Antallet liter bensin på tanken er da b = 6 − 0, 2 x = 6 − 0, 2 ⋅15 = 6 − 3 = 3 Det er 3 liter bensin igjen på tanken. b) Når hun har kjørt 30 mil, er x = 30. Antallet liter bensin på tanken er da b = 6 − 0, 2 x = 6 − 0, 2 ⋅ 30 = 6 − 6 = 0 Etter 30 mil er tanken tom.

OPPGAVE 3.50

La U være prisen i kroner på en vare uten merverdiavgift, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er på 25 %, er P = 1, 25 ⋅ U Finn prisen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 350 kr.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 75

23.03.2017 11:00:37

OPPGAVE 3.51

Grete Grønn kjøper en plante som hun planter i hagen sin. Etter x uker er høyden av planten målt i centimeter gitt ved h = 2x + 5 a) Hvor høy er planten etter 5 uker? b) Hvor høy er planten etter 20 uker? c) Hvor høy var planten da den ble satt i jorda, og hvor mye vokser den per uke? OPPGAVE 3.52

Fredrik Ford begynner å spare til bil. Etter x måneder er sparebeløpet y i kroner gitt ved y = 4000x + 30 000 a) Hvor mye penger har Fredrik etter 6 måneder? b) Hvor mye har han etter 2 år? c) Hvor mye penger hadde Fredrik da han begynte å spare, og hvor mye sparer han per måned?

I de eksemplene vi nå har hatt, fikk vi oppgitt den formelen vi skulle bruke. Noen ganger må vi lage formelen selv. EKSEMPEL

Vanja Vespa kjøper en skuter som koster 18 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av skuteren om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. Vanja har i alt 4200 kr i faste utgifter på skuteren per år. I tillegg regner hun med at det går 2 kr per mil til bensin. c) Finn en formel for utgiftene U i kroner når hun kjører x mil per år. d) Finn utgiftene når hun et år kjører 2000 km. LØSNING:

a) På t måneder synker verdien med 300 ⋅ t kroner. Verdien i kroner er da V = 18 000 − 300t

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 76

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:37

b) Ettersom 2 år er 2 ⋅ 12 = 24 måneder, er verdien i kroner V = 18 000 − 300 ⋅ 24 = 10 800 Verdien om 2 år er 10 800 kr. c) Bensinutgiftene i kroner for x mil er 2 ⋅ x = 2x De samlede utgiftene er da U = 2x + 4200 d) Ettersom 2000 km er det samme som 200 mil, blir utgiftene U = 2 ⋅ 200 + 4200 = 4600 Utgiftene er 4600 kr dette året.

EKSEMPEL

Fart måler vi vanligvis i kilometer per time (km/h) eller i meter per sekund (m/s). a) Hvor stor er farten i kilometer per time når farten er 1 m/s? b) Finn en formel som gir farten v i kilometer per time når vi kjenner farten x i meter per sekund. c) Vanja kjører skuter, og farten er 10 m/s. Finn farten i kilometer per time. e) Når det blåser orkan, har vinden en fart på minst 32,6 m/s i mer enn 10 min. Finn den minste vindfarten målt i kilometer per time når det blåser orkan. LØSNING:

a) I en time er det 60 ⋅ 60 s = 3600 s Når farten er 1 m/s, kommer vi 1 m på 1 s. Da kommer vi 3600 m på 3600 s, som er 1 time. Vi vet at 3600 m = 3,6 km. Altså kommer vi 3,6 km på 1 time. 1 m/s = 3,6 km/h

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 77

23.03.2017 11:00:38

b) Når farten er 1 m/s, kommer vi 3,6 km på 1 time. Hvis farten for eksempel er 5 m/s, må vi på 1 time komme 3,6 km ⋅ 5 = 18 km Hvis farten i meter per sekund er x, blir antallet kilometer per time 3,6 ⋅ x. Farten v i kilometer per time er da gitt ved formelen v = 3,6 ⋅ x c) Når farten er 10 m/s, er farten i kilometer per time v = 3,6 ⋅ 10 = 36 10 m/s er det samme som 36 km/h. d) Når vinden har farten 32,6 m/s, er farten i kilometer per time v = 3,6 ⋅ 32,6 = 117 Når det blåser orkan, er vindfarten minst 117 km/h.

OPPGAVE 3.53

Vanja Vespa har 6 liter bensin på tanken. Skuteren bruker 0,2 liter per mil. a) Finn en formel for antallet liter y som er igjen på tanken når hun har kjørt x mil. b) Hvor mye er det igjen på tanken når hun har kjørt 20 mil? OPPGAVE 3.54

Fredrik Ford har kjøpt seg en gammel bil og er på besøk hos venninna Vanja Vespa. De bor 50 km fra hverandre. Fredrik begynner på hjemveien og kjører med farten 20 m/s. a) Bruk formelen v = 3,6 ⋅ x fra eksempelet foran og finn farten til Fredrik i kilometer per time. b) Hvor mange kilometer kjører Fredrik på 1 minutt? c) Forklar at avstanden s i kilometer hjemmefra etter t minutter er gitt ved s = 50 − 1,2t Hvor langt hjemmefra er Fredrik når han har kjørt i 25 minutter?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 78

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:38

3.6 Formler og likninger Noen ganger får vi bruk for å løse likninger når vi arbeider med formler. Vi skal vise noen eksempler på det. EKSEMPEL

Hvis x er farten til en bil i meter per sekund, er farten v i kilometer per time gitt ved v = 3,6 ⋅ x Hva er farten i meter per sekund når vi kjører 90 km/h på en motorvei? LØSNING:

Her er v = 90. Det gir denne likningen: v = 90 3, 6 ⋅ x = 90 3, 6 ⋅ x 3, 6

90 3, 6

90 3, 6 x = 25 x=

Farten er 25 m/s.

EKSEMPEL

Vanja har nettopp fylt tanken på skuteren med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved b = 6 − 0,2x a) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? b) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 79

23.03.2017 11:00:38

LØSNING:

a) Vi får denne likningen: b=2 6 − 0, 2 x = 2 −0, 2 x = 2 − 6 −0, 2 x = −4 −0, 2 x −0, 2

−4 −0, 2

−4 −0, 2 x = 20

Hun har kjørt 20 mil. b) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b=0 6 − 0, 2 x = 0 −0, 2 x = 0 − 6 −0, 2 x = −6 −0, 2 x −0, 2

−6 −0, 2

−6 −0, 2 x = 30

Hun kan kjøre 30 mil.

EKSEMPEL

Marita arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marita ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L = 120x + 150y Ei uke arbeidet hun 5 timer på søndagen. Hun fikk 3630 kr i lønn for hele uka. Hvor mange timer arbeidet hun på hverdagene?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 80

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:39

LØSNING:

Her er y = 5 og L = 3630. Det gir denne likningen: 120 x + 150 y = L 120 x + 150 ⋅ 5 = 3630 120 x + 750 = 3630 120 x = 3630 − 750 120 x = 2880 120 x 2880 = 120 120 x = 24 Marita arbeidet 24 timer på hverdagene.

OPPGAVE 3.60

En vare koster U kroner uten merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift gitt ved formelen P = 1,25 ⋅ U Bruk formelen til å finne prisen uten merverdiavgift når prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr. OPPGAVE 3.61

Fredrik Ford begynner å spare til en bil som koster 150 000 kr. Han har 30 000 kr og sparer 4000 kr per måned. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved y = 4000x + 30 000 a) Hvor lang tid tar det før Fredrik har 50 000 kr? b) Hvor lang tid går det før han kan kjøpe bilen?

Til nå har vi fått oppgitt den formelen vi skal bruke når vi løser en oppgave. Noen ganger må vi først lage formelen før vi kan løse oppgaven. EKSEMPEL

Mona har kjøpt skuter. Hun har i alt 4200 kr i faste utgifter til skuteren per år. I tillegg regner hun med at det går 0,20 kr per kilometer til bensin. Hvor langt kan Mona kjøre på ett år for 5000 kr?

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 81

23.03.2017 11:00:39

LØSNING:

Å kjøre x km koster henne 0,20 ⋅ x kr i bensin og 4200 kr i faste utgifter. Utgiftene i kroner per år blir da U = 0,20 ⋅ x + 4200 Vi setter utgiftene U = 5000 og finner x: U = 5000 0, 20 ⋅ x + 4200 = 5000 0, 20 ⋅ x = 5000 − 4200 0, 20 ⋅ x = 800 800 0, 20 x = 4000 x=

Mona kan kjøre 4000 km for 5000 kr.

OPPGAVE 3.62

Hans Martin arbeider i en forretning som selger skutere. Han har 10 000 kr i fast lønn per måned. I tillegg får han 500 kr for hver skuter han selger. a) Forklar at lønna L er gitt ved formelen L = 500x + 10 000 hvis han selger x skutere på en måned. b) Hvor mange skutere må han selge på en måned for at lønna skal bli 18 000 kr? OPPGAVE 3.63

Mona kjøper en ny skuter for 18 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Sett opp en formel for verdien v i kroner om x måneder. b) Når er verdien 13 500 kr? c) Når er verdien av skuteren halvert? OPPGAVE 3.64

Faren til Ole er dobbelt så gammel som Ole. Søstera til Ole er 4 år yngre enn Ole. Til sammen er de tre like gamle som bestefaren, som er 80 år. Finn ut hvor gammel Ole er, ved å sette opp en likning der x er alderen til Ole.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 82

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:00:39

SAMMENDRAG Fortegnsregler Positivt tall ⋅ positivt tall = positivt tall Positivt tall ⋅ negativt tall = negativt tall Negativt tall ⋅ positivt tall = negativt tall Negativt tall ⋅ negativt tall = positivt tall

+⋅+=+ +⋅–=– –⋅+=– –⋅–=+

Regnerekkefølge 1. Regn først ut parentesene. 2. Regn deretter ut potensene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler for parenteser Vi kan fjerne parenteser med + foran uten å endre fortegnet på leddene inne i parentesen. Hvis vi fjerner en parentes med − foran, må vi bytte fortegn på leddene inne i parentesen. Når vi skal multiplisere et tall med et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd i parentesen. Regneregler for likninger Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Røtter Kvadratrota av et tall a, a, er det positive tallet som vi må multiplisere med seg selv for å få a. Tredjerota av et tall a, 3 a , er det tallet som vi må multiplisere tre ganger for å få a. Potenslikninger Potenslikningen x 2 = a har to løsninger, x = a og x = − a , når tallet a er et positivt tall, og ingen løsning når a er et negativt tall. Potenslikningen x3 = a har alltid nøyaktig én løsning, x = 3 a .

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 83

23.03.2017 11:00:40

3 Algebra ØV MER 3.1 REGNEREKKEFØLGE

Oppgave 3.110 Regn ut. a) 7 ⋅ 8 c) ( −5 ) ⋅ 6 e) 4 ⋅ ( −8 )

b) 9 ⋅ 6 d) ( −7 ) ⋅ ( −9 ) f) ( −1) ⋅ ( −10 )

Oppgave 3.111 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ 3 − 5 b) 8 − 3 ⋅ 2 c) 2 ⋅ 5 − 3 d) 3 ⋅ 4 − 2 e) ( −2 ) ⋅ 3 + 8 f) ( −3) ⋅ ( −4 ) + 2 Oppgave 3.112 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 5 − 5 ⋅ 3 b) −6 + 2 ⋅ 3 c) 5 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 d) 7 ⋅ 8 − 5 ⋅ 6 e) −4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 f) −3 ⋅ 6 − 4 ⋅ 5 Oppgave 3.113 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ⋅ ( 4 + 2 ) b) −2 ⋅ ( 3 − 1) c) 3 ⋅ ( 2 ⋅ 5 − 7 ) d) −4 ⋅ ( 9 − 2 ⋅ 8 ) e) −3 ⋅ ( 5 − 2 ⋅ 2 ) f) −4 ⋅ ( 8 − 2 ⋅ 4 ) Oppgave 3.114 Regn ut potensene. a) 42 b) 43 2 3 c) ( −4 ) d) ( −4 ) 2 e) −42 f) ( −4 ) − 42

212

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 212

Oppgave 3.115 Regn uten bruk av hjelpemiddel. a) 5 ⋅ 7 − 4 ⋅ 4 b) 2 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3 c) 4 + 3 ( 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 ) d) 32 ( 8 − 2 ⋅ 3) − 2 ( 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 8 ) Oppgave 3.116 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 ( 4 − 1) − 2 ( 3 + 2 ) + ( −3) ( −2 ) b) −3 (1 − 2 ) + 4 ( 4 − 2 ) − 2 ( 2 − 3) Oppgave 3.117 Regn ut både med og uten lommeregner. 2 a) 6 ⋅ 22 b) 6 ⋅ ( −2 ) 2 2 c) ( −3) + ( −4 ) d) −32 + 2 ⋅ 32 e) 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 52 f) 32 + 3 ⋅ 23 Oppgave 3.118 1. Tenk på et tall mellom 1 og 9. 2. Legg til 5. 3. Multipliser det svaret du nå har, med 2. 4. Trekk fra det tallet du tenkte på. 5. Stryk det første sifferet i tallet. 6. Gjør alt fra punkt 1 til punkt 5 en gang til, denne gangen med et nytt tall. Klarer du å forklare sammenhengen? Oppgave 3.119 Bruk tallene 5, 6 og 7 sammen med eventuelle plusstegn, minustegn, multiplikasjonstegn og parenteser på en slik måte at svaret blir a) 37 b) 77 c) 12

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:05

3.2 VARIABLER

3.3 FØRSTEGRADSLIKNINGER

Oppgave 3.120 Trekk sammen. a) 4x + x c) a + 6a − 4a e) 4 z − 8 z + 5 z

Oppgave 3.130 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2 x − 3 = 1 b) x + 2 = 4 − x c) 3 + 2 x = 1 d) 5 − 2 x = x − 4

b) 6 y − 2 y d) y + 2 y − 3 y f) 2 x − 7 x + 9 x

Oppgave 3.121 Trekk sammen. a) 2 x − 3x + 5 y − 3 y + 4 x b) 2a − 3b + 3a − 2b + a c) 5 x − 2 y − 3x − 4 y + 4 − 3 Oppgave 3.122 Regn ut. a) 4 x + ( 2 x − 5 ) b) 3 + ( 2 − 5 x ) c) ( 2a − 2b ) + ( a − b ) d) ( 4 x − 2 y ) − ( x − 6 y ) Oppgave 3.123 Regn ut. a) 3 ( 2x + y ) b) −4 ( −3x + 5 ) 1 1 c) (12 x − 8 ) − ( 3x − 6 ) 4 3 3 1  d) 2  x − y + 1 − 3 ( x − 1) 2 2  Oppgave 3.124 Regn ut. a) 3 (1 − x ) − 2 ( x − 1) b) 4 ( 2 x − 3) + 3 ( x − 2 ) c) −4 ( 2 x + 3) − 2 ( −4 x + 1) Oppgave 3.125 Regn ut. a) ( 5 x − 3 y ) + ( 2 x − 4 y ) − 2 x b) ( 4a + 2b − 3c ) − ( 2a − 2b + 2c ) c) 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 2 x − 3 y ) + 4 y d) 4 ( 2a − b ) − 2 ( 3a − 3b ) Oppgave 3.126 I de åpne rutene mangler enten 2, 3 eller 4. ⋅( x + 2y) −

Oppgave 3.132 Løs likningene. a) x + 2 − 2 x = 3 − 2 x b) 4 − 5 x = x − 14 c) 3x − 1 = 4 x + 4 d) 2 x + 2 − 3x = 0 Oppgave 3.133 Løs likningene. a) 2 − 2 x = 4 x − 10 b) 3x − 8 = 4 + 2 x − 6 c) x + 2 − 2 x = x + 4 Oppgave 3.134 Løs likningene. a) 2 x + 1 = 3 ( 2 − x ) b) 2 ( x + 1) + 3x + 6 = 4 c) 2 x − 3 ( 2 − x ) = −2 x − 6 d) 4 − 5 ( x − 2 ) − 2 + 2 x = 0 Oppgave 3.135 Løs likningene. Sett prøve på svarene. 1 1 a) x + 2 = − x + 2 3 2 1 b) x − 3 = x + 6 4

⋅ ( 2x + y ) = 6 y

Finn de riktige tallene.

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 213

Oppgave 3.131 Løs likningene. a) 4 + 4 x = 2 x + 8 b) 5 x − 6 = 4 x − 5 c) 1 − x = x + 1 d) 3 − 3x = x − 5

213

23.03.2017 11:02:17

3.5 FORMLER

Oppgave 3.136 Løs likningene. 1 1 a) x + x = 7 2 5 3 1 b) x + 7 = x 2 3

Oppgave 3.150 La U være prisen i kroner uten merverdiavgift på en matvare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 15 %, er

Oppgave 3.137 Løs likningene. 1 1 a) x − 2 = x 2 4 1 5 1 b) x − = x 3 6 9 3.4 POTENSLIKNINGER

P = 1,15 ⋅ U a) Finn prisen på varen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 30 kr. b) Finn prisen på varen med merverdiavgift når prisen uten merverdiavgift er 90 kr.

Oppgave 3.140 Løs likningene. a) x 2 = 4 b) x 2 − 100 = 0 c) 2 x 2 = 72 d) x 2 = −4 e) 4 x 2 + 2 = 2 f) 3x 2 − 6 =12

Oppgave 3.151 La s være strekningen i kilometer som du har kjørt med bil på t timer. Hvis du holder jevn fart på 60 km/h, er

Oppgave 3.141 Løs likningene. a) 2 x 2 − 3 = x 2 + 1 b) 4 x 2 − 5 = 2 x 2 + 1 c) 4 x 2 + 5 = 2 x 2 + 1

Oppgave 3.152 En familie tar opp et lån på 650 000 kr. Etter t år er lånet redusert til

s = 60 ⋅ t a) Hvor langt kjører du på 2 timer? b) Hvor langt kjører du på 3,5 timer?

Oppgave 3.142 Løs likningene. a) 4 x 2 + 2 ( x − 1) + 2 = 2 x b) 2 x 2 − 2 ( x + 1) = x 2 + 2 − 2 x c) 3x 2 + 3 ( x − 1) + x 2 = 3x + 1

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 214

a) Hvor stort er lånet etter 5 år? b) Hvor stort er lånet etter 26 år? Oppgave 3.153 Line planter et kirsebærtre i hagen. Hun regner med at etter x år er høyden y av treet målt i meter y = 0,25x + 1,25

Oppgave 3.143 Løs likningene. a) x3 = 64 b) 4 x3 − 8 =100 c) 2 x3 − 6 = − 60 d) 5 x 4 + 8 =13

214

U = 650 000 − 25000 ⋅ t

a) Hvor høyt er treet etter 2 år? b) Hvor høyt er treet etter 5 år? c) Et kirsebærtre kan bli minst 25 år gammelt. Vurder om formelen holder over så lang tid. SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:22

Oppgave 3.154 Martha sitter av og til barnevakt. Hun får 60 kr i reisepenger pluss 120 kr per time for ei vakt. a) Hvor mye får Martha utbetalt når hun en kveld sitter barnevakt i 4 timer? b) Finn en formel som forteller hvor mye Martha får utbetalt for ei vakt på x timer. c) Ei uke satt Martha barnevakt 3 kvelder. Finn en formel for hvor mye hun da fikk utbetalt når hun i alt satt barnevakt i x timer. Oppgave 3.155 Kaja og Vebjørn selger tørkepapir og doruller til inntekt for idrettslaget. De tjener 50 kr per solgte pakke med doruller. a) Kaja tjener i alt 1200 kr på tørkepapiret, dessuten selger hun 18 pakker med doruller. Hvor mye har hun tjent i alt på salget? b) Vebjørn tjener i alt 1000 kr på tørkepapiret. Sett opp en formel for inntekten y når han i tillegg selger x pakker med doruller. Oppgave 3.156 Gunnar skal flytte sand med ei bestemt trillebår. Hvis han fyller trillebåra med x kilogram sand, må han løfte med en kraft T målt i newton (N), der T = 2,3x + 26

a) Han fyller trillebåra med 30 kg sand. Hvor stor kraft må han løfte trillebåra med? b) Hvor stor kraft må han løfte med hvis han fyller trillebåra med 40 kg sand? Oppgave 3.157 Sigurd skal flytte noen steiner på tomta si. Dersom han løfter en stein med masse x kg rett opp, må han bruke en kraft K målt i newton (N), der K = 9,8x a) Finn kraften K når x er 1) 16 kg 2) 50 kg Sigurd velger å bruke et langt spett når han skal flytte steinene. Han legger spettet under steinen og en mindre stein under spettet slik figuren viser. T

Hvis steinen han skal flytte, har massen x kilogram, bruker Sigurd en kraft T målt i newton, der T = 1, 7 x − 17 b) Hvor stor kraft må han bruke hvis steinen har massen 1) 25 kg 2) 50 kg 3) 100 kg c) Sammenlikn svaret i oppgave a1 med svaret i oppgave b3. Hva finner du?

215

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 215

23.03.2017 11:02:23

3.6 FORMLER OG LIKNINGER

Oppgave 3.160 Jan-Erik er ute og jogger. Han løper med jevn fart. Etter x minutter har han tilbakelagt y meter, der y = 200x Bruk formelen til å finne hvor lang tid Jan-Erik bruker på å løpe 3000 m.

Oppgave 3.163 En familie leier ei hytte til 950 kr per døgn. I tillegg må de betale 350 kr for vask av hytta. Etter x døgn er beløpet y i kroner som de må betale, gitt ved y = 950x + 350 Hvor lenge bodde de på hytta når de betalte 4150 kr for oppholdet? Oppgave 3.164 I 100 g spiselig torsk er det 18,1 g protein og 0,3 g fett. Energiinnholdet målt i kilojoule (kJ) er gitt ved formelen E = 17 ⋅ P + 38 ⋅ F

Oppgave 3.161 La U være prisen i kroner uten merverdiavgift på en kinobillett, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdiavgiften er 10 %, er P = 1,10 ⋅ U Bruk formelen til å finne prisen uten merverdiavgift når prisen på kinobilletten med merverdiavgift er 110 kr. Oppgave 3.162 Hodehåret vårt vokser 0,44 mm per dag. a) Hvor langt vokser håret på ei uke? Rund av svaret til nærmeste hele millimeter. b) Hvor langt vokser da håret på ett år (52 uker)? c) I løpet av U uker vokser håret L millimeter, der L = 3⋅U Lise ønsker seg langt hår. Bruk formelen og finn hvor mange uker Lise må vente når hun ønsker at håret skal bli 24 cm lengre.

216

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 216

der P er mengden protein i gram og F mengden fett i gram. a) Hvor mye energi er det i 100 g spiselig torsk? b) Hvis vi ønsker å regne ut energiinnholdet i torsken, målt i kilokalorier (kcal), kan vi bruke formelen E = 4, 2 ⋅ C Her er E energiinnholdet i torsken målt i kilojoule og C energiinnholdet målt i kilokalorier. Finn energiinnholdet i torsken målt i kilokalorier. Oppgave 3.165 Geir, Guri og Guro er på tur. På campingplassen der de bor, koster det 60 kr per time å leie en robåt. I tillegg må de betale 25 kr per person for å leie redningsvest. a) Sett opp en formel for beløpet y i kroner som de må betale når de leier båt og redningsvester i t timer. b) Hvor lenge leide de båt og redningsvester når de i alt betalte 795 kr?

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:24

Oppgave 3.166 I denne oppgaven ser vi bort fra renter. a) Kjersti har spart 6000 kr og fortsetter å spare 600 kr hver måned. 1) Hvor mye har hun spart til sammen etter 9 måneder? 2) Finn en formel for beløpet S i kroner som hun har spart etter x måneder. b) Frank har 16 800 kr og bruker 700 kr hver måned. 1) Hvor mye har han igjen etter 9 måneder? 2) Finn en formel for beløpet B i kroner som han har igjen etter x måneder. Oppgave 3.167 Simen skal ta bilsertifikat. Kjøreskolen «Tut og kjør» tar 600 kr per time, i tillegg må Simen betale 14 000 kr for trafikalt grunnkurs, førstehjelpskurs, glattkjøring osv. a) Finn en formel som viser hvor store de totale utgiftene y i kroner blir når Simen har x kjøretimer. b) Det viste seg at utgiftene til førerkort kom på 30 800 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Simen hadde.

a) Finn en formel for antallet liter vann y som er i bassenget etter x timer. b) Bassenget tar 200 000 L. Hvor lang tid går det før bassenget er fullt? c) Bassenget tømmes for vann. Det renner ut 500 L vann i timen. Finn en formel for antallet liter y som er igjen i bassenget etter x timer. Oppgave 3.169 Et bildekk er 205 mm bredt. Det passer på en felg med diameter på 16 tommer. h

a) En tomme er 2,54 cm. Hvor stor er diameteren på felgen? Skriv svaret både i centimeter og i millimeter. b) Høyden på dekket er 55 % av bredden. Finn denne høyden i millimeter. c) Diameteren D til hele hjulet kan vi skrive som D = d + 2⋅h

Oppgave 3.168 På en videregående skole skal de fylle et tomt svømmebasseng med vann. De fyller i 1000 L vann i timen.

der d er diameteren på felgen og h er høyden på dekket. Finn diameteren til hjulet. Skriv svaret i millimeter. d) Hjulene på en annen bil har diameteren D = 576 mm. Diameteren til felgen er på 15 tommer. Finn høyden h på dekket.

217

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 217

23.03.2017 11:02:25

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 3.200 Regn ut. a) 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 c) 32 − 23

b) 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 d) −3 ( 9 − 6 ) + 32

Oppgave 3.201 Regn ut. a) 3 ⋅ 4 − 2 + 3

b) 6 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4

Oppgave 3.202 Regn ut potensene. 2 3 a) 22 b) 14 c) ( −5 ) d) ( −3) Oppgave 3.203 Gjør overslag og finn ut hvilket alternativ som er mest riktig for regnestykket 2,15 ⋅ 1, 8982. 1) 2 2) 3 3) 8 4) 12 Oppgave 3.204 Bruk gangetegn sammen med plusstegn eller minustegn og sett sammen tallet 17 ved å bruke tallene 3, 4 og 5. Det er to måter å gjøre det på. Oppgave 3.205 Tallet 17 kan skrives som 4 ⋅ 4 + 4 : 4. Skriv hvert av tallene fra og med 1 til og med 9 på tilsvarende måte ved hjelp av fire 4-tall og tegnene +, −, ⋅, : og eventuelt parenteser. Oppgave 3.206 Tenk på et fritt valgt tall. Legg til 3. Multipliser svaret med 2. Trekk fra det tallet du tenkte på. Legg til 4. Trekk fra det tallet du tenkte på. a) Hva blir det endelige svaret? b) Vis at du alltid vil få det samme svaret, uansett hvilket tall du begynner med.

Oppgave 3.207 Trekk sammen. a) 5 x − 2 x + 3 y − 5 y + x b) 3 ( x + 2 y ) − 3 ( 4 x − 3 y ) Oppgave 3.208 Trekk sammen. a) 2a − 3b − 4a + 5b − 2b b) 2 ( a + b ) − 2 ( a − b ) Oppgave 3.209 Hvilket alternativ er riktig hvis A = 4, B = 6 og C = 24? 1) A = B + C 3) A = B ⋅ C 5) A =

B C

2) A = C − B C 4) A = B

Oppgave 3.210 Vi vet at a + 2b = 5 og c = 3. Hva er da verdien av a + 2 (b + c ) 3.2

Oppgave 3.211 Løs likningene. a) 3 ( x + 2 ) − 4 x = 5 1 1 b) x + x = 5 2 3 Oppgave 3.212 Vurder om løsningen av likningen er riktig. 4 x + 4 = −2 ( x − 1) 4 x + 4 = −2 x − 2 4 x + 2 x = −2 − 4 6 x = −6 x = −1 3.3

3.1

218

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 218

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:30

Oppgave 3.213 Løs likningene. a) 4 x + 2 ( x + 1) = 8 3 1 b) x + x − 2 = 3 4 4

Oppgave 3.218 Eva går på et treningssenter der hun betaler 200 kr per måned i fast avgift. I tillegg betaler hun 20 kr per gang. a) En måned trener hun på senteret 10 ganger. Hvor mye må hun da betale for den måneden? b) Sett opp et uttrykk for kronebeløpet y som hun betaler i alt når hun trener x ganger i måneden.

Oppgave 3.214 Løs likningene. 1 a) ( 9 x − 3) − 3 = 4 − x 3 b) 4 x 2 = −16 c) x3 − 2 = 6

Oppgave 3.219 Sammenhengen mellom fahrenheitgrader x og celsiusgrader y er gitt ved

Oppgave 3.215 Løs likningen x 2 − 64 = −x 2 + 64

3.4

Oppgave 3.216 Massetettheten T til en gjenstand med massen m og volumet V er gitt ved m T= V En sylinder av aluminium har massen 54 g og volumet 20 cm3. Regn ut massetettheten til aluminium. Oppgave 3.217 Linda skal knytte et bånd rundt pakken slik figuren viser. Hun vil ha 30 cm ekstra for å lage sløyfe på pakken. Sett opp et uttrykk som viser hvor langt bånd hun trenger.

12x

5 ( x − 32 ) 9

a) Hvor mange celsiusgrader er 32 fahrenheitgrader? b) Hvor mange celsiusgrader er 50 fahrenheitgrader? 3.5

Oppgave 3.220 Anders betaler 400 kr per klipp hos frisøren. a) Sett opp en formel som viser beløpet y som Anders må betale for x klipp. b) Anders kjøper seg en klippemaskin. Den kostet 2400 kr. Hvor mange ganger må Anders klippe seg før han har spart inn klippemaskinen? Oppgave 3.221 En bil har en dieseltank på 60 L. Bilen bruker 0,5 L diesel per mil. a) Sett opp en formel som viser hvor mye diesel y det er igjen på tanken etter x mil. b) Hvor langt kan bilen kjøre hvis tanken er full når bilen starter? 3.6

219

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 219

23.03.2017 11:02:32

MED HJELPEMIDLER Oppgave 3.300 Bruk en lommeregner eller et annet digitalt hjelpemiddel og regn ut. a) 5 − 2 ⋅ ( 3 − 5 ) b) 52 − 3 ⋅ 23 1 3 1 9 22 c) − + d) ⋅ 5 10 2 11 27 Oppgave 3.301 Per, Pål og Espen har vunnet tre småpremier. Premiene er på 60 kr, 42 kr og 54 kr. De skal dele premiene likt, og Per slår inn dette på kalkulatoren sin: 60 + 42 + 54/3. Han finner da ut at de skal ha 120 kr hver. 0

2 5

3 120

a) Hva er galt i utregningen til Per? b) Hvor mye skal hver av dem ha? c) Forklar hvordan du kan regne ut svaret på oppgave b i hodet. 3.1

Oppgave 3.302 • Tenk på et tall og legg til 5. • Gang svaret med 2. • Trekk fra 4. • Del på 2. • Trekk fra tallet du tenkte på. a) Hvilket tall får du? b) Tenk på et nytt tall og gjør utregningene i kulepunktene ovenfor en gang til. Hvilket tall får du? c) Tenk på et nytt tall. Tegn en firkant som symbol for det tallet du tenker på, og en strek for hvert tall du legger til. Når du tenker på et tall og legger til 5, får du altså | | | | |.

220

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 220

Husk at å gange med 2 er det samme som å doble det du har. Sett en strek over det du tar bort. Hvor mange firkanter og streker har du når du har gjort alle utregningene i innledningen til oppgaven? d) Kall det tallet du tenker på, for x og vis ved regning at du alltid vil få det samme svaret til slutt. 3.2

Oppgave 3.303 Tom og Trine strever med å løse oppgaven nedenfor. Eva er fire år eldre enn Knut, og Per er tre år yngre enn Knut. Til sammen er de 34 år gamle. Hvor gamle er Eva, Per og Knut? Trine foreslår at de skal skrive opp navnene etter stigende alder, og så skrive aldersforskjellene mellom navnene. Da får hun denne figuren: +3 +4 Per Knut Eva «Ja!» sier Tom. «Da kan vi skrive alderne slik:» Per: P

Knut: P + 3 Eva: P + 7

a) Forklar hvorfor oppstillingen til Tom er riktig. b) Skriv opp en likning for summen av alderne til Per, Knut og Eva. c) Løs likningen og regn ut hvor gamle hver av de tre personene er. d) Bruk en tilsvarende framgangsmåte som den Trine og Tom brukte, og løs oppgaven nedenfor. Knut er 12 cm lavere enn Jens og 16 cm høyere enn Cecilie. Sammenlagt er de 5,30 m høye. Finn høyden til hver av dem.

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:33

Oppgave 3.304 Fire hele tall følger etter hverandre. Det første tallet er x. a) Skriv de tre neste tallene. Summen av de fire tallene er 58. b) Skriv opp en likning som viser summen av de fire tallene. c) Finn tallene. 3.3

Oppgave 3.305 Anna skal ha gjester og vil helsteke en laks i ovn. I en tabell ser hun at den spiselige delen av en hel laks er på 65 %. Når den er renset, er resten svinn. a) Hvor mange prosent er svinnet på? b) Hvor stor brøkdel av fisken er spiselig? c) En hel laks veier 3,1 kg. Hvor mange kilogram er den spiselige delen på? d) Anna betalte til sammen 306,90 kr for laksen. Finn kiloprisen. e) Det er til sammen 7 personer som skal spise fisk. Tre av personene spiser dobbelt så mye fisk som hver av de andre gjestene. Når de er ferdige med å spise, er det 2 hg spiselig fisk igjen. Hvor mange gram fisk spiste hver av dem som spiste mest? Oppgave 3.306 a) En gullbarre er på 400 unser. 1 unse gull er 31,1 g. Hvor mye veier da en gullbarre? Gi svaret i kilogram (kg). Massetettheten T til en gjenstand med massen m og volumet V er gitt ved T=

m V

Vetle finner en klump han mener er av reint gull. Klumpen har volumet 0,25 dm3 og massen 4,0 kg. Gull har massetettheten 19,32 g/cm3. b) Kan denne klumpen være av reint gull? Oppgave 3.307 En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 − 0, 75 x a) Hvor mange liter rommer bensintanken? b) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 30 mil? c) Hvor mange mil kan de kjøre før tanken er tom?

Oppgave 3.308 Vi fyller varmt drikke på ei termosflaske. Termosflaska holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i termosflaska T = 90 − 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i termosflaska etter 20 minutter? c) Hva er temperaturen i termosflaska etter en halv time? 3.5

221

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 221

23.03.2017 11:02:34

Oppgave 3.309 Ved Lillevik trafikkskole er utgiftene U i kroner til førerkort for bil når eleven bruker x kjøretimer, gitt ved U = 620x + 19 000 a) Ola var elev ved denne trafikkskolen, og utgiftene til førerkortet ble 36 980 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Ola hadde. b) Ida var også elev ved denne kjøreskolen, og utgiftene til førerkortet ble 30 780 kr. Finn ved regning hvor mange kjøretimer Ida hadde.

Oppgave 3.310 For å lage en trapp som er god å gå i, kan arkitektene bruke formelen i = 61 − 2 ⋅ o Her er o målet på opptrinnet i centimeter, og i er målet på inntrinnet i centimeter.

Oppgave 3.311 Jeppe har drukket alkohol og har en promille på 1,8. Han regner med at promillen avtar med 0,15 per time. a) Hvor høy promille har Jeppe i kroppen etter 6 timer? b) Finn en formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timer. c) Hvor lang tid har det gått når promillen er 0,3? d) Når er alkoholen helt ute av kroppen hans? Oppgave 3.312 Ellen trenger å leie en bil noen dager. Det koster 1200 kr i faste utgifter og 8 kr per kjørte kilometer. a) Hva koster det Ellen å kjøre 120 km? b) Finn en formel som viser kostnaden K i kroner for x kjørte kilometer. c) Hvor langt kan Ellen kjøre for 3600 kr? Oppgave 3.313 I en hoppkonkurranse i en liten skibakke ble denne formelen brukt til å regne ut lengdepoengene for et hopp på x meter: y = 60 + ( x − 30 ) ⋅ 4 a) Hvor mange lengdepoeng får en skihopper som hopper 30 meter? b) Hvor mange lengdepoeng får en skihopper som hopper 35 meter? c) Henrik fikk 52 lengdepoeng for sitt hopp. Hvor langt hoppet han?

o i

a) Regn ut hvor stort inntrinnet er når opptrinnet er 15 cm. b) Regn ut hvor stort opptrinnet er når inntrinnet er 30 cm.

222

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 222

Oppgave 3.314 Olga, Oddny og Oda er til sammen 72 år. Olga og Oddny er like gamle, mens Oda er dobbelt så gammel. Hvor gamle er hver av jentene? Løs oppgaven ved hjelp av en likning.

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:35

Oppgave 3.315 Hans Petter er på kanotur. Han padler med jevn fart, og t minutter etter at han begynte å padle, er han y meter fra mål, der y = 7500 − 50t a) Hvor langt skal Hans Petter padle? b) Finn ved regning hvor lang tid Hans Petter har brukt når han er 6 km fra mål. c) Hvor lang tid tok det fra han begynte å padle til han var helt framme? Oppgave 3.316 Sammenhengen mellom styrken S, dosen D og mengden M av en medisin er gitt ved formelen D = S ⋅M Øystein er sykepleier på et sykehjem. Noen pasienter får en bestemt type medisin med styrken 3,1 mg/mL. a) En pasient skal ha 25 mL av medisinen. Hvor stor dose får pasienten? b) En annen pasient skal ha en dose på 53 mg. Hvor stor mengde skal Øystein gi av medisinen? c) En tredje pasient skal ha en dose på 0,02 g. Hvor stor mengde skal denne pasienten ha av medisinen?

Oppgave 3.317 Bendik Friluftstuen holder på å bygge ny hytte. Han har leid en konteiner som han bruker til å kaste avfall i mens han bygger. Månedsleien er 400 kr/md. inkl. merverdiavgift. I tillegg koster det 2500 kr pluss 25 % merverdiavgift å levere og tømme konteineren. a) Hvor mye må Bendik betale i alt for dette når han har leid konteineren i én måned? I tillegg til leie, levering og tømming av konteineren må Bendik betale for selve avfallet. Når han leverer x kg avfall, er kronebeløpet som han i alt må betale, gitt ved y = 1, 50 x + 3525 b) Hvor mye må Bendik betale i alt når han leverer 760 kg avfall? c) Inge N. Tåkeheim holder også på med hyttebygging. Utgiftene hans for å levere selve avfallet er 4875 kr. Hvor mange kilogram avfall er det i konteineren til Inge? Oppgave 3.318 Ei jente på 60 kg bruker ca. 33 kJ per minutt når hun jogger. Før hun begynner å jogge, drikker hun en porsjonspakning av en type melkedrikk som inneholder 1001 kJ per porsjon. a) Hvor lenge må hun jogge for å bruke opp energien i en slik porsjonspakning? Skriv svaret i minutter og sekunder. Energibehovet for en kvinne som er i ro, er ca. 9200 kJ per døgn. b) Hvor mange porsjonspakninger av melkedrikken måtte hun drikke for å dekke hele døgnbehovet for energi dersom melkedrikken var den eneste energikilden?

223

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 223

23.03.2017 11:02:35

Oppgave 3.319 I 2016 var folkemengden i verden 7,3 milliarder. Noen hevder at x år etter 2016 kommer folkemengden i milliarder til å være F = 7, 3 + 0, 05 ⋅ x a) Finn ved regning når folkemengden er 8,0 milliarder. b) Finn ved regning når folkemengden er fordoblet i forhold til i 2016. c) Ut fra FNs befolkningsstatistikk kan vi regne med at folkemengden blir 9 milliarder i år 2050. Hvordan stemmer det med uttrykket ovenfor? d) Hva er folkemengden akkurat nå ut fra dette uttrykket? På nettsiden http://www.worldometers. info/no/ finner vi et anslag over folketallet i verden akkurat nå, ut fra oppdatert statistikk og en mer avansert metode for beregning av folketallet. e) Hva er folketallet i verden akkurat nå ifølge denne nettsiden? Skriv svaret som antall milliarder med én desimal. f) Sammenlikn og kommenter svarene i oppgave d og e. Oppgave 3.320 På et bilhjul er felgdiameteren d = 381 mm. (Det svarer til 15 tommer.) Høyden på selve dekket er h = 98 mm. h

a) Regn ut diameteren D til bilhjulet. Gi svaret i millimeter (mm). b) Sett opp en formel for diameteren D uttrykt ved diameteren til felgen, d, og høyden på dekket, h. c) Bruk formelen til å finne høyden på dekket på et bilhjul med diameter 632 mm når felgen har diameter 406 mm (16 tommer). Oppgave 3.321 I denne oppgaven får du bruk for formelen E = 17 ⋅ P + 17 ⋅ K + 38 ⋅ F E står for energiinnholdet målt i kJ, P står for gram med protein, K står for gram med karbohydrat, og F står for gram med fett i en bestemt matvare. 100 g appelsinjus inneholder 0,7 g protein, 10,4 g karbohydrat og 0,2 g fett. a) Finn energiinnholdet i 100 g jus. Skriv svaret i kJ. Vi regner at 100 g svarer til 1 dL jus. b) Hva blir energiinnholdet i en kartong jus som rommer 0,5 L av samme type jus som i oppgave a? c) 1 kcal = 4,2 kJ. Hvor mange kcal er 260 kJ? d) Kefir har et energiinnhold på 260 kJ per 100 mL. Hva vil energiinnholdet i et glass med 2 dL kefir, være? Skriv svaret i kJ.

3.6

224

Sinus1P-Y_2017_BOOK.indb 224

SINUS 1P-Y | Algebra

23.03.2017 11:02:37