Matemáticas VI

Matemáticas VI Área económico-administrativa

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre Rocío Carrasco Navarro ISSUU © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.08/02/2021

Matemáticas VI Área económico-administrativa

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Rocío Carrasco Navarro

Revisión técnica José Juan Rey Meneses Luis Javier Velázquez Cerda Escuela Nacional Preparatoria, plantel 1, Gabino Barreda. UNAM.

Raquel Hernández Meneses Raquel Sánchez Pérez Bertha Eugenia Fiorella Socorro Tapia Valdés Escuela Nacional Preparatoria, plantel 8, Miguel E. Schulz. UNAM.

Judith Eugenia Barreiro Díaz Escuela Nacional Preparatoria, plantel 2, Erasmo Castellanos Quinto. UNAM.

Ernesto Ramírez Sánchez Norma Ramírez Sánchez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 9,

Nora Cecilia Chávez Pérez

Pedro de Alba. UNAM.

Escuela Nacional Preparatoria, plantel 4,

Jesús García Barrera

Vidal Castañeda y Nájera. UNAM.

Silvia Guadalupe Canabal Cáceres Luis Alberto Ramos Hernández Escuela Nacional Preparatoria, plantel 6, Antonio Caso. UNAM.

Universidad del Valle de México, campus Lomas Verdes.

Camilo Carreón Rodríguez Centro Universitario México, Escuela Superior de Economía, IPN.

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Matemåticas VI à rea económico-administrativa Primera edición HÊctor Manuel Vidaurri Aguirre Rocío Carrasco Navarro Director Higher Education LatinoamÊrica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial LatinoamÊrica: -HVŸV 0DUHV &KDF¾Q Editora: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael PÊrez Gonzålez Diseùo de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Š HomeArt / Shutterstock &RPSRVLFL¾Q WLSRJU£ȴFD Ediciones OVA

Š D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaùía de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0[LFR 7ROXFD QŸP RȴFLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de MÊxico.

Cengage LearningÂŽ es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrĂĄ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂŁČ´FR HOHFWUÂľQLFR R PHFÂŁQLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂľQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂľQ JUDEDFLÂľQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂľQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLÂľQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂľQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂľQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂľQ D H[FHSFLÂľQ GH OR SHUPLWLGR en el CapĂ­tulo III, ArtĂ­culo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂľQ ELEOLRJUÂŁČ´FD Vidaurri Aguirre, HĂŠctor Manuel y RocĂ­o Carrasco Navarro.

MatemĂĄticas VI. Ă rea econĂłmico-administrativa.

3ULPHUD HGLFLÂľQ ISBN: 978-607-526-99-00 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

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Contenido

Contenido Presentación

ix

Conoce tu libro

x

Acerca de los autores

xii

Unidad 1 Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

1.1

Aplicación

4

Definición de progresión y sus elementos

4

Progresiones aritméticas

7

Progresiones geométricas

9

Actividades 1.1

13

1.2 Suma de los primeros n elementos de una progresión Series aritméticas

16 20

Actividades 1.2

25 Depreciación

Actividades

Unidad 2 Introducción a las matemáticas financieras

31

34

Aplicación

36

Introducción

36

Actividades 2.1

39

Interés simple

39

Actividades 2.2

48

Actividad especial

El pagaré

50

Actividades

52

Actividad especial La tarjeta de crédito

53

Actividades

55

Actividad especial

2.3

28 30

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

2.2

15

Series geométricas

Actividad especial

2.1

2

Cetes

55

Actividades

56

Interés compuesto

57

Actividades 2.3

69

Actividad especial Actividades

Crecimiento lineal y crecimiento exponencial

72 73

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v

vi

Matemáticas VI

2.4

2.5

Tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva

74

Actividades 2.4

77

Anualidades vencidas

78

Actividades 2.5

92

Actividades especial

2.6

Amortización de una deuda

Actividades

97

Anualidades anticipadas

98

Actividades 2.6

107

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Unidad 3 Matrices y sus vínculos con modelos económico-administrativos

3.1

3.2

3.3

3.4

3.6

114 116

Introducción a las matrices

116

Actividades 3.1

118

Tipos de matrices

119

Actividades 3.2

122

Operaciones con matrices

122

Suma y resta de matrices

123

Multiplicación de una matriz por un escalar

125

Multiplicación de matrices

126

Actividades 3.3

129

Inversa de una matriz

130

Actividades 3.4

136 Criptografía

137

Actividades

142

Aplicaciones de las matrices

143

Actividades 3.5

152

Sistemas de ecuaciones lineales

158

Actividades 3.6

171

Actividad especial

Inversa de una matriz utilizando Gauss-Jordan

Actividad ¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Unidad 4 Aplicación de la derivada para el análisis de optimización

4.1

110

Aplicación

Actividad especial

3.5

95

174 177 178

182

Aplicación

184

Introducción al cálculo

184

Actividades 4.1

185

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Contenido

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

Límites

185

Actividades 4.2

189

La derivada y su interpretación geométrica

190

Actividades 4.3

194

Derivada de funciones algebraicas y trascendentes

196

Derivada de una constante

196

Derivada de una función elevada a un exponente

196

Derivada de una función multiplicada por una constante

198

Derivada de la suma y resta de funciones

199

Derivada del producto de dos funciones

202

Derivada del cociente de dos funciones

203

Regla de la cadena

206

Derivadas de funciones exponenciales

210

Actividades 4.4

214

Máximos y mínimos

221

Funciones crecientes y decrecientes

221

Valores máximos y mínimos de una función

223

Concavidad

225

Puntos de inflexión

227

Actividades 4.5

229

Aplicaciones a problemas de optimización

230

Actividades 4.6

234

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

236

Nota Cengage hace del conocimiento del lector que el contenido de los sitios web referidos en las diferentes ligas son responsabilidad exclusiva del titular de estos, y son referidas por Cengage de forma ejemplificativa. Por lo anterior, si el lector accede a estos sitios web, reconoce y acepta que Cengage no será responsable de cualquier violación de derechos de autor ni de cualquier otra naturaleza en el que pudiera incurrir el lector, liberando a Cengage de cualquier reclamación que pudiera iniciar en su contra, en el entendido que el lector deberá respetar los términos y condiciones aplicables por el titular del sitio al que el lector acceda.

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Dedicatoria A la memoria de mis padres, Rigoberto y Lolita.

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

A mis padres Alejandrina Navarro y J. Jesús R. Carrasco.

Rocío Carrasco Navarro

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Presentación

Presentación Una sociedad en constante cambio como la nuestra, llena de retos y demandas exige que los alumnos de bachillerato desarrollen competencias, habilidades, actitudes y conocimientos que les permitan vivir y convivir de manera positiva y responsable. Los estudiantes pueden adquirir este cúmulo de saberes por sí mismos, pero también bajo la guía de sus profesores, su familia y el círculo social que los rodea.

Considerando lo anterior, Cengage ha diseñado esta serie de libros de texto con el objetivo de cubrir las necesidades de los planes y programas de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), la cual forma parte del sistema de bachillerato de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

Los contenidos de la serie han sido concebidos y dirigidos cuidadosamente con la guía de expertos en la materia y con base en los programas oficiales de estudio para proporcionar elementos cognoscitivos, metodológicos y afectivos que permitan al estudiante profundizar en la comprensión de su medio natural y social, desarrollar su personalidad, definir su participación crítica y constructiva en la sociedad en que se desenvuelve, así como introducirse en el análisis de problemáticas relacionadas con las diferentes disciplinas científicas y tecnológicas, siempre con la perspectiva de incorporarse con éxito a los estudios superiores.

Algunas de las cualidades distintivas del modelo educativo de la ENP que se han manifiestado en los libros de esta serie son:

• La enseñanza está centrada en el alumno.

• El aprendizaje es sistemático, explícito y práctico, de manera que los alumnos construyen su propio conocimiento, desarrollan competencias para la identificación, el planteamiento, la resolución de problemas y la interpretación de resultados.

• Los contenidos se presentan de manera progresiva y organizada para que el alumno pueda darles sentido y significación.

• La complejidad de las actividades va en aumento unidad tras unidad. Además, permiten la reflexión y síntesis individual y colectiva.

• La evaluación está basada en la construcción de productos de aprendizaje para integrar la teoría con la práctica y así conseguir un aprendizaje significativo.

De manera particular, el libro de Matemáticas VI. Área económico-administrativa, dirigido a los alumnos de sexto año de bachillerato, se concibió tomando como base el objetivo general del programa en su formato de modalidad presencial, que es: El alumno analizará y aplicará conocimientos matemáticos para crear habilidades, razonamiento lógico y crítico en el área de Ciencias Sociales, así como un enfoque multidisciplinario con las áreas económica-administrativa, negocios internacionales o contables al estudiar y aplicar herramientas que brinden solución a los problemas y desafíos actuales, mediante el manejo de las progresiones, las matrices, las matemáticas financieras y el cálculo diferencial; adicionalmente se fomentará la búsqueda de información en fuentes confiables como soporte de una investigación, con apoyo de los recursos tecnológicos como el manejo de Hoja de cálculo, Wolfram, MalMath, Editex matemáticas Matrices, recursos educativos digitales abiertos, para contribuir a una formación sólida de los estudiantes.

Los contenidos de la obra están divididos en cuatro unidades, que son: Unidad 1. Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series Unidad 2. Introducción a las matemáticas financieras Unidad 3. Matrices y sus vínculos con modelos económico-administrativos Unidad 4. Aplicación de la derivada para el análisis de optimización La parte medular de este texto son los distintos tipos de ejercicios en los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad a través de ejercicios contextualizados. Matemáticas VI. Área económico-administrativa prepara al estudiante en la utilización de la información para responder preguntas y resolver problemas del mundo real.

Esperamos que esta obra sea una guía para los estudiantes que, además de impulsar la perspectiva de seguir con una carrera profesional, los prepare para la vida, la cual es congruente con el perfil de egreso de la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México.

Cengage Learning

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x

Matemáticas VI

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1

Entrada de unidad

Contenido

© Anton Violin / Shutterstock

En esta sección se muestra el tema central, así como el listado de los contenidos que se estudiarán en cada unidad.

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series 1.1 Definición de progresión y sus elementos Progresiones aritméticas Progresiones geométricas 1.2 Suma de los primeros n elementos de una progresión Series aritméticas Series geométricas

Los objetivos a desarrollar son que el alumno: • Identifique y utilice como herramienta el procedimiento de las sucesiones y series aritméticas y geométricas para la solución de problemas en situaciones reales.

• Explique e interprete los resultados obtenidos de las sucesiones y series aritméticas y geométricas en situaciones reales.

• Aplique las sucesiones y series en casos prácticos siguiendo los procedimientos de manera reflexiva, e identifique que cada uno de sus pasos contribuye a la solución de los ejercicios.

• Identifique y utilice como herramienta el procedimiento de las sucesiones aritméticas y geométricas para la solución de problemas de interés simple, de interés compuesto y de anualidades.

1.1

Definición de progresión y sus elementos

9

EJEMPLO 1.8

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 45, 37, 29, …, 275?

12

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Solución

En este caso se considera que la progresión es finita, ya que termina con el término a n 5275, el cual se encuentra en la posición desconocida n. Asimismo, la progresión tiene una diferencia común de 37 2 45 5 28.

Para calcular la posición del último término, se despeja n de la ecuación (1.1).

n5

a n 5 a 1 11 n 212 d a n 2 a 1 5 1 n 212 d a n 2 a1 5 n21 d a n 2 a1 11 n5 d Al sustituir los datos, se tiene que n5

275 245 11516 28

Por tanto, la progresión consta de 16 términos.

EJEMPLO 1.9

Rodrigo decide trotar cierta distancia cada semana, de acuerdo con el siguiente programa diseñado por su médico: la primera semana trotará 150 metros por día; en la segunda semana deberá trotar 200 metros por día; en la tercera semana, 250 metros por día, y así sucesivamente, hasta llegar a 2 000 metros por día. ¿En qué semana estará trotando dos kilómetros diarios?

n5

Ejemplos

n5

d

11

n 5 25 términos

Se muestran claramente los pasos que deben seguirse para la resolución de problemas y ejercicios con base en los contenidos teóricos que se revisaron en la unidad.

La población de cierta ciudad crece en forma geométrica por un factor de 1.0178 cada año. Si a finales del año 2015 la población era de 5 750 000 habitantes, ¿cuál será la población a finales de 2020?

Solución

El número de habitantes forma una sucesión geométrica con r 5 1.0178. Si el año 2015 es el año 1, 2020 será el año 6; por tanto, la sucesión consta de seis términos.

Entonces, a6 5 5 750 000 11.01782621 a6 5 6 280 295 habitantes

EJEMPLO 1.15

Solución

a n 2 a1

log r

log 33 554 432 2 log2 11 log2

EJEMPLO 1.14

En este ejemplo se tiene una progresión aritmética con a1 5150, d 5 50, a n 5 2 000 y se debe calcular n. Por tanto, n5

log a n 2 log a 1

Por tanto,

En términos generales se dice que la depreciación de un bien como una máquina, un automóvil, mobiliario y equipo, etc., es la pérdida de valor de dicho bien como consecuencia de su desgaste con el paso del tiempo.

Una compañía constructora compra una pala mecánica en 103 000 dólares. Si el valor de la pala se deprecia cada año en 15%, ¿en qué año su valor será de 45 701.65 dólares?

11

2 000 150 115 38 semanas 50

Solución

Si el valor actual de la pala es de 103 000, dentro de un año su valor será 15% menos, esto es 103 000 2 (0.15)(103 000) 5 87 550 dólares

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es aquella en la cual cada término después del primero se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada razón común. Por ejemplo, la progresión 30, 90, 270, 810, …, es una progresión geométrica

1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

25

Al cabo de dos años su valor será Toma nota

Solución

Se tiene una suma cuyos términos forman una progresión geométrica infinita donde 1 a1 5 0.6 y r 5 5 0.1. Entonces, por la ecuación (1.5), se tiene 10 S5

0.6 0.6 6 2 5 5 5 1 0.01 0.9 9 3

Si la pala mecánica pierde 15% de su valor cada año, entonces al final de cada año la pala tiene un valor igual a 85% de su valor al inicio del año. Este es el motivo por el cual la razón común es 0.85.

87550 21 0.1521875502 5 74 417.50 dólares Se observa que los valores anuales forman la sucesión 103 000, 87 550, 74 417.50, …, la cual es una progresión geométrica con r 5 0.85 y donde 103 000 dólares es el valor inicial o valor en el tiempo t 5 0. Entonces, 87 550 dólares es el valor en el tiempo t 5 1, y así sucesivamente. Por tanto, se tiene una sucesión geométrica que empieza en cero, en lugar de 1, como es lo habitual.

2 Por tanto, se tiene que 0.666666…< .

3 Este ejemplo muestra cómo puedes obtener la fracción común equivalente a un decimal periódico dado.

Para saber más:

En los siguientes enlaces de internet* encontrarás explicaciones, ejemplos y ejercicios adicionales sobre sucesiones y series aritméticas y geométricas.

• Asesorías de matemáticas.com (2010). Sucesión aritmética. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=W0bkKBR0Q_I

Para saber más: Aquí se proporcionan fuentes electrónicas que permiten que los alumnos profundicen en los temas por medio de explicaciones, ejemplos y ejercicios adicionales.

• Asesorías de matemáticas.com (2010). Sucesión geométrica. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=aB_L1pM8FkE

Toma nota:

* Cengage hace del conocimiento del lector que el contenido de los sitios web referidos en las diferentes ligas son responsabilidad exclusiva del titular de estos, y son referidas por Cengage de forma ejemplificativa. Esta mención solo se usa con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

ACTIVIDADES 1.2 1. Calcula las primeras cuatro sumas parciales de la progresión definida por la fórmula:

b. a k 5 k

a. a n 5 3n 12

2. Calcula la quinta suma parcial de la progresión definida por la fórmula:

a. a n 5

4 n 12

b. a n 5

3 1n n

2

2 c. a k 5 (1 k)

3. Utilizando la fórmula apropiada calcula las siguientes series:

a. 70 1 80 1 90 1, …, 1 360

b. 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1, …, 1 4 194 304

4. Encuentra el valor de la suma de los 12 primeros términos de las progresiones siguientes:

a. 14,19.5, 25, 30.5, …

d. 1.018,1.018 2, 1.018 3, 1.018 4, …

e. 1.018 1,1.018 2 ,1.018 3 ,1.018 4 , …

4 8 f. 5, 2, , , …

5 25 5. El tercer término de una progresión aritmética es 15 y su diferencia común es 2. Encuentra el valor del primer término de la progresión y la suma de los primeros ocho términos. b. 115,108,101, 94, …

c. 211, 215, 219, 223, …

En esta sección se presentan conceptos o datos que pueden ser útiles para que los alumnos resuelvan las actividades o comprendan los procedimientos con mayor facilidad.

6. Obtén la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica definin 1 da por la fórmula a n 5 611.852 .

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xixi

Conoce tu libro Presentación

28

Uso de la calculadora

Para la parte de operaciones matemáticas que se abordan en este capítulo se muestra el uso de una calculadora inteligente en línea, que permite hacer cálculos para el área de matemáticas básicas como álgebra, trigonometría, precálculo, cálculo, álgebra lineal, entre otras.

Desde la calculadora de álgebra, asegúrate de que las funciones de álgebra lineal estén activas para que puedas realizar operaciones con matrices.

EJEMPLO 1

4 22 5 21 , B5 , calcula las siguientes operaciones.

1 8 23 6

Si A 5 a. A 1 B 1 b. A 2 Solución

a.

1.

Presiona la función para crear matrices la matriz A.

2.

Ingresa el valor de cada uno de los elementos de la matriz A y selecciona el signo 1.

y selecciona la dimensión de

3.

Ingresa la matriz B siguiendo los pasos 1 y 2 y presiona Enter para obtener el resultado.

9 3

1.

Presiona el icono

2.

Ingresa la matriz A y el valor de cada uno de sus elementos, como se vio en el inciso anterior, y obtén el resultado. 2 1

2 14

b.

para insertar el escalar

1 .

2

1 2

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Una de las leyendas más conocidas cuenta que el rey de un país árabe conoció un nuevo juego inventado por uno de sus súbditos, un filósofo llamado Seta, según algunos autores, o Sissa, según otros. El juego, llamado ajedrez, gustó tanto al monarca que decidió recompensar a Seta con cualquier cosa que este deseara: joyas, tierras, castillos, … Sin embargo, el filósofo lo rechazó todo y únicamente pidió como recompensa que por la primera casilla del ajedrez le diera 1 grano de trigo, por la segunda casilla 2 granos de trigo, por la tercera 4 granos de trigo, por la cuarta 8 granos y así, sucesivamente, duplicando los granos de trigo hasta cubrir las 64 casillas del tablero.

Al rey le pareció un premio bastante insignificante, pero admirado ante la humildad de Seta, accedió a lo que pedía, sin saber realmente el gran problema en que se estaba metiendo. a. ¿Cuántos granos de trigo debería recibir Seta por la casilla número 64? b. ¿Cuántos granos de trigo en total debería recibir Seta por las 64 casillas? c. Estimando que un kilogramo de trigo contiene aproximadamente 22 000 granos, ¿cuántos kilogramos representan los granos de trigo del inciso b? ¿Cuántas toneladas? d. De acuerdo con el Departamento de Agricultura de Estados Unidos en el ciclo comercial de julio de 2018 a junio de 2019 se produjeron 730.5 millones de toneladas de trigo en todo el mundo. ¿Cuántos ciclos anuales como el mencionado se necesitan para pagar la recompensa?

Uso de la calculadora En esta sección se muestran las secuencias de teclas de la aplicación matemática que el alumno debe conocer y que puede utilizar para resolver los ejercicios correspondientes a cada tema.

32. La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 52 y la

suma de los seis primeros términos de la misma progresión es 1 456. a. Encuentra la razón común y el primer término de la progresión. b. Escribe la fórmula que proporciona el término en la posición n; esto es, el n-ésimo término. c. Utiliza la fórmula obtenida para encontrar el décimo término de la progresión.

4

Actividad especial

EJEMPLO 2

Depreciación

152

Unidad 3

Matrices y sus vínculos con modelos económico-administrativos

3.5

ACTIVIDADES 3.5 1.

Karina tiene una tienda de productos infantiles y está haciendo un inventario.

Tiene 20 biberones, 30 chupones, 15 cobijas, 40 cajas de pañales y 30 paquetes de toallitas húmedas. Los biberones se venden en $25 cada uno, los chupones en $18 cada uno, las cobijas en $250 cada una, las cajas de pañales se venden en $100 cada una y el paquete de toallitas húmedas se vende en $50. ¿Cuál sería el ingreso de Karina si vendiera todos los productos que tiene en existencia?

4.

La siguiente matriz muestra las calificaciones obtenidas por Arleth, Daniel y Alexa en cada uno de los cuatro exámenes del curso de matemáticas. Los primeros dos exámenes valen 18% de su calificación, el tercero vale 24% y el cuarto vale 40%, calcula la calificación final de la materia de matemáticas de Arleth, Daniel y Alexa al final del semestre.

5.

José de Jesús tiene una tienda de artículos para caballero; vende carteras, chamarras, gorras, playeras y sombreros. En las siguientes matrices se muestran las ventas de José de Jesús por trimestres y el precio por unidad de cada producto.

Una empresa que fabrica ropa deportiva para niños, hombres y mujeres, en colores blanco, negro y gris, distribuye a tres sucursales diferentes las siguientes cantidades (en miles de piezas): Sucursal 1

H B lanco Negro Gris

Sucursal 2

H B lanco Negro Gris

Sucursal 3

N

M

N

Arleth Daniel Alexa

11 9 13 22 16 8 20 18 15 H

B lanco Negro Gris

M

8 12 10 17 20 13 15 16 11

M

N

10 13 12 19 18 7 17 20 12

2.

Una empresa michoacana determina que los costos, en miles de pesos, de adquirir y transportar ciertas cantidades de acero, aluminio y cobre desde los estados de Jalisco, Colima y Guanajuato están dados por las siguientes matrices: Jalisco

Ac Al Cu Costo M Costo T

16 18 72 7 7 9

Costo M Costo T

17 19 73 9 10 12

Colima

70 60 80 90 90 100 100 100 60 65 70 85

C

a. Escribe una matriz que represente la distribución total de ropa deportiva. b. La sucursal 1 te pide que incrementes la cantidad de ropa en 3% y la sucursal 2 te pide que la reduzcas en 1.5%. Encuentra las matrices que representan las nuevas cantidades de ropa para esas sucursales.

V5

enero-marzo abril-junio julio-septiembre octubre-diciembre

153

Aplicaciones de las matrices

3.

Ch

G

P

S

70 90 30 45 20 64 20 95 78 83 40 32 70 62 54 80 150 20 50 18

C Ch yP5 G P S

Actividades especiales Son actividades que incluyen la explicación de conceptos importantes, aplicaciones prácticas específicas relacionadas con el contenido de la unidad y ejemplos de resolución de problemas.

480 750 245 320 280

¿Cuál es el ingreso de José de Jesús al año?

6.

Susana, Carolina y Paola desean comprar delineadores, labiales, esmaltes, rímel y mascarillas humectantes. En las siguientes tablas se muestra la cantidad de piezas que quiere comprar cada quien, así como los precios unitarios por mayoreo y menudeo. ¿Cuánto gastarán Susana, Carolina y Paola al realizar su compra por mayoreo y menudeo? ¿Cuánto dinero ahorrarían si compraran por mayoreo?

Ac Al Cu

Guanajuato

Ac Al Cu Costo M Costo T

19 18 75 8 9 8

Cantidad Delineadores

Labiales

Precios

Esmaltes

Cuando se adquiere un bien, un automóvil, por ejemplo, este comienza a perder valor y a dicha pérdida de valor se le conoce como depreciación. Es decir, el valor del automóvil, en este caso, se reduce cada año desde el momento en que se compra o se pone en operación.

La depreciación, por tanto, se refiere a una disminución periódica en el valor de un bien. Ejemplos de bienes que sufren depreciación debido al uso, al desgaste o a los cambios tecnológicos son: edificios, maquinaria, equipo de cómputo, mobiliario de oficina, automóviles, entre otros.

Las causas de la depreciación se deben, fundamentalmente, al uso de los bienes, lo cual hace que sufran un desgaste natural que va disminuyendo su vida operativa, hasta que, finalmente, quedan obsoletos o inservibles y deben ser reemplazados al final de su vida útil, teniendo que invertir en ello cierta cantidad de dinero llamada costo de reemplazo.

Rímel

Mascarillas

May

Men

Susana

2

5

3

2

12

29

42

Carolina

3

4

6

6

5

12

25

Paola

5

8

7

3

9

5

15

8

25

9

25

¿Cuál es el costo total de adquirir y trasladar estos materiales al estado de Michoacán?

Actividades En esta sección el alumno desarrollará su habilidad para razonar y analizar situaciones que le serán útiles en la resolución de problemas y lo involucrará activamente en su proceso de aprendizaje.

178

Unidad 3

Matrices y sus vínculos con modelos económico-administrativos

UNIDAD 3 4

1. Si A 5

0 1 8 2 , B5 4 6 9 3

0.2 0.7 0.9 0.3 y 0.1 0.4

5 7 21 C 5 3 24 1 , 6 4 23

E5

2. ¿Qué valores deben asignarse a las variables para que se cumplan las siguientes igualdades?

Los ejercicios de ¡Prepárate para tus exámenes! están diseñados para simular un examen típico acerca de los conceptos estudiados en la unidad.

2 4 6 , F5

21 5 3a 5 5 2 3 2 2b

resuelve las operaciones a continuación.

x 15 8 7 8 9 6 5 9 z 23 y 3 5 3

b) D 2 2G

b)

c)

1 3r s 21 4 7 u

5. Calcula, si es posible, la inversa de las siguientes matrices. a) P 5

1 2 3 4

b) Q5

0 2 4 0

c) R 5

Tequila

1 2 1 2

d) S 5

0

10 G 5 3 0 4, H 5 20 30

e) T 5

1 2 0 2 2 3 0 3 3

1

2

Una empresa tequilera produce tequila blanco, oro, reposado y añejo en tres presentaciones diferentes: botellas de 200 ml, 750 ml y 1 litro. Estos productos se distribuyen quincenalmente a dos sucursales diferentes en las siguientes cantidades: Sucursal 1

15 11 23 10 7 5 E 5 13 18 29 , F 5 0 9 6 , 21 27 14 0 0 8

0 1 2 0

Botella

Blanco

Oro

Reposado

Añejo

200 ml

270

160

200

70

750 ml

480

215

320

190

1 litro

700

570

630

300

Botella

Blanco

Oro

Reposado

Añejo

200 ml

250

180

275

100

750 ml

530

200

390

210

1 litro

650

420

980

470

2 Sucursal 2

0 3

Frutos rojos

90

144

130

180

90

110

220

Si la tonelada de aguacate se vende en 62 000 pesos, la de jitomate en 45 000 pesos y la de frutos rojos en 98 000, ¿cuáles serán los ingresos semanales de la empresa con la venta de estos productos?

3x11 x21 2x4 56 7.

g) B(C 5 J )

300

Japón

3x1 2 x3 53

f) (G 1 D)A

Jitomate

125

Canadá

x1 12x2 18x3 512

f) x1 1 x 21x 31 x4 5 6 2x1 1 x2 x3 5 3

e) FE

Aguacate

Estados Unidos

e) x1 1 2x21 3x3 5 9 2x1 x2 1 x3 5 8

d) EF

5 0 0 7 3 0 , 10 9 1

País/ Producto

x2 1 x3 5 1 3x2 13x3 5 3

c) AC 1 D

3. Clasifica las siguientes matrices de acuerdo con su tipo.

5 0 0 C 5 7 3 0 , D 5 2 1 2 7 29 10 9 1

5x1 16x2 17x3 5 8 9x1 110x2 111x3 5 12 d)

a) Escribe en forma matricial la distribución total de botellas de tequila por quincena. b) Si en una quincena la sucursal 1 pide el triple de producto y la sucursal 2 pide un incremento de 5%, encuentra las matrices que representan las nuevas cantidades de botellas para cada sucursal.

8. Una empresa exporta semanalmente productos agrícolas mexicanos a Estados Unidos, Canadá y Japón. Los productos más demandados son el aguacate, el jitomate y los frutos rojos, que se exportan en las siguientes cantidades (en toneladas).

x1 12x2 13x3 5 4

c)

a) B 1 H

t 12 1 9 6 22 22 5 8 2v 7 4 w 13 25

1 0 1 3 1 , B5 , C5 0 1 0 5 6

3x2 16x3 512

6x1 12x2 18x3 5 24

1 1 0 , 3 , G5 0 1 7

a)

A5

2 2 x1 1 x2 5 4 b) 10x1 15x2 120x3 525 3x1 14x3 5 22

18 21 16 22 0 H 5 9 14 7 , J 5 3 25 30 12 6 21 4

3) c13 , c 21, c 24 , c 32

x1 12x2 14x3 5 6

a)

2 1 4 3 4 6 , B 5 21 6 3 , 5 7 12 0 12 15

3 21 21 0 C5 0 5 , D5 5 7 24 7

a) determina la dimensión de cada de una de las matrices. b) encuentra los siguientes elementos: 1) a11, a14 , a 23 , a32 2) b22 , b33 , b31, b12

¡Preparate para tus exámenes!

6. Resuelve los sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan.

4. Dadas las siguientes matrices, A5

179

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Tequila

9. Una empresa nacional especializada en alimento premium para mascotas produce cinco artículos diferentes para los que utiliza cuatro materias primas. El consumo de materia prima en kilogramos para obtener una unidad de cada artículo se muestra en la tabla: Materia prima

Artículo

1

2 27

3

4

1

76

2

58

18

22

62

3

63

24

16

36

55

41

4

55

31

20

43

5

42

28

35

57

El precio en pesos por kilogramo de cada materia prima es: Materia prima

Precio en pesos

1

64

2

78

3

59

4

31

Determina el costo de producir cada artículo.

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Matemáticas VI

Acerca de los autores Héctor M. Vidaurri Aguirre Estudió Ingeniería Química en la Universidad de Guadalajara. Ejerció durante un periodo en la iniciativa privada, pero la mayor parte de su vida profesional la ha dedicado a la docencia universitaria.

Desde 1993 se ha desempeñado como profesor del Departamento de Matemáticas y Física del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Universidad Jesuita de Guadalajara, Jalisco, donde imparte las materias de Fundamentos matemáticos de las finanzas, cálculo diferencial, cálculo integral e Ingeniería económica. Actualmente, también es profesor de Matemáticas financieras e Ingeniería económica en las áreas de licenciatura y posgrado en la Universidad Panamericana; campus Guadalajara, asimismo ha impartido cursos sobre temas financieros en diversas escuelas de capacitación empresarial.

Ha sido instructor externo en el área de las matemáticas financieras del Instituto Serfin, dependiente del entonces banco Serfin (hoy Banco Santander) y autor de diversos artículos sobre matemáticas financieras aplicadas a diversos aspectos de la vida cotidiana, que fueron publicados por el periódico Mural.

Asimismo es autor de los libros Matemáticas financieras, séptima edición; Ingeniería económica básica, y Decisiones financieras, todos publicados por Cengage Learnig Editores.

Rocío Carrasco Navarro Estudió Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica en el Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI) de la Universidad de Guadalajara. Recibió el grado de maestra y doctora en Ciencias en Ingeniería Eléctrica con orientación en Control automático por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (CINVESTAV) del Instituto Politécnico Nacional en 2010 y 2014, respectivamente.

Actualmente es profesora en el Departamento de Matemáticas y Física del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Universidad Jesuita de Guadalajara, Jalisco, donde imparte las materias de cálculo integral, cálculo multivariable y Matemáticas administrativas. También imparte el curso de Análisis estadístico multivariable a nivel de maestría, así como Estadística avanzada y Métodos multivariados en la investigación a nivel de doctorado.

Sus temas de interés para investigación son, entre otros, Machine learning, Control inteligente y Ciencia de datos.

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Matemáticas VI Área económico-administrativa

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UNIDAD

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Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

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Contenido 1.1 Definición de progresión y sus elementos Progresiones aritméticas Progresiones geométricas 1.2 Suma de los primeros n elementos de una progresión Series aritméticas Series geométricas

Los objetivos a desarrollar son que el alumno: • Identifique y utilice como herramienta el procedimiento de las sucesiones y series aritméticas y geométricas para la solución de problemas en situaciones reales.

• Explique e interprete los resultados obtenidos de las sucesiones y series aritméticas y geométricas en situaciones reales.

• Aplique las sucesiones y series en casos prácticos siguiendo los procedimientos de manera reflexiva, e identifique que cada uno de sus pasos contribuye a la solución de los ejercicios.

• Identifique y utilice como herramienta el procedimiento de las sucesiones aritméticas y geométricas para la solución de problemas de interés simple, de interés compuesto y de anualidades.

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

En este capítulo vas a estudiar el tema de las progresiones y series, en especial las progresiones y series aritméticas y geométricas. Este tema tiene una gran aplicación en áreas tan diversas como las finanzas, la economía, las ciencias de la computación, la ingeniería, la física, entre otras. Asimismo, es una herramienta fundamental para deducir muchas de las fórmulas que se usan en las matemáticas de las finanzas.

Aplicación Una hoja de papel tiene, en promedio, un grosor de 0.01 cm. Si doblas una hoja de papel, su grosor será de 0.02 cm. Si vuelves a doblar la hoja, su grosor será de 0.04 cm.

Es decir, cada vez que la hoja de papel se dobla a la mitad, su grosor se duplica. a. Si doblas seis veces la hoja de papel, ¿cuál será su grosor? b. Calcula el grosor de la hoja de papel después de 15 dobleces. Expresa el resultado en metros. c. ¿Crees que se pueda doblar una hoja de papel 15 veces? Intenta doblar una hoja de papel, ¿cuántas veces puedes hacerlo?

1.1

Toma nota A las progresiones también se les llama sucesiones o secuencias.

Definición de progresión y sus elementos

Una progresión, sucesión o secuencia es un conjunto ordenado de números reales formados de acuerdo con una regla. Cada número de la progresión recibe el nombre de término. Así, el conjunto 10, 22, 34, 46, …, es una progresión cuya regla es que cada término después del primero se obtiene sumando 12 al término anterior. Los puntos suspensivos indican que los números que forman la progresión continúan hasta el infinito siguiendo el patrón establecido.

El conjunto 5, 10, 20, 40, 80, …, es una progresión cuya regla es que cada término, después del primero se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. ¿Puedes decir cuál es la regla utilizada en la progresión 900, 360, 144, 57.6, …, y cuál sería el término que sigue?

Si representamos con a1 al primer término de una progresión, con a2 al segundo término, con a3 al tercer término, y así sucesivamente, entonces podemos escribir la progresión como: a1, a2, a3, a4, …, an, …, El término an, el cual se encuentra en la posición n, se llama término n-ésimo.

Debido a que las progresiones contienen, en general, un número infinito de términos, al término n-ésimo le siguen el término n-ésimo más uno, el n-ésimo más dos, etc. Esto es, a1, a2, a3, a4, …, an, an11, an12, …,

Toma nota Los números naturales son aquellos que se usan para contar los elementos de un conjunto dado. Esto es, 1, 2, 3, 4, …

Como a cada número natural n le corresponde un número an, una progresión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos o números naturales. Observa que n es la variable independiente y an es la variable dependiente.

En ocasiones es conveniente iniciar una progresión con n igual a cero, en vez de n igual a uno. De esta forma, los términos de la progresión serían: a0, a1, a2, a3, a4, …, an, …, Esta situación se presenta en problemas de aplicación donde se conoce un valor inicial,

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1.1

Definición de progresión y sus elementos

que se considera a0. Cuando esto sucede, en lugar de tener n términos en la progresión se tienen 1n 1 12 términos.

A menudo las progresiones se designan mediante una fórmula que da el valor del n-ésimo término para cualquier número entero positivo n. Así, la fórmula an55n 2 6 define una progresión cuyos primeros seis términos son: a1 5 5112 2 6 5 21 a2 5 5122 2 6 5 4 a3 5 5132 2 6 5 9 a4 5 5142 2 6 5 14 a5 5 5152 2 6 5 19 a6 5 5162 2 6 5 24 Escribimos la progresión como 21, 4, 9, 14, 19, 24, …, Si quisiéramos calcular el vigesimoquinto término de la progresión, entonces n 5 25 y se obtiene: a25 5 5(25 ) 2 6 5 119 Si por alguna circunstancia la progresión anterior comenzara con n 5 0 en lugar de n 5 1, entonces los seis primeros términos serían: a0 5 5(0) 2 6 5 26 a1 5 5(1) 2 6 5 21 a2 5 5(2) 2 6 5 4 a3 5 5(3) 2 6 5 9 a4 5 5(4) 2 6 5 14 a5 5 5(5) 2 6 5 19 Esto es, 26, 21, 4, 9, 14, 19, …

EJEMPLO 1.1

Escribe los primeros cinco términos, así como el decimosegundo término, de la pro5 . gresión definida por la fórmula a k 5 k1 3 Solución

a1 5

5 5 5 113 4

a2 5

5 5 5 51 213 5

a3 5

5 5 5 313 6

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5

6

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

a4 5

5 5 5 4 13 7

a5 5

5 5 5 513 8

a 12 5

5 5 1 5 5 1213 15 3

5 5 5 5 1 La progresión sería: , 1, , , , …, ,…

4 6 7 8 3

Observa cómo los subíndices de una progresión constituyen el dominio de esta y sirven para indicar la ubicación de un término en una progresión dada. La variable n no es exclusiva para indicar el n-ésimo término, también se pueden utilizar otras variables como k, j, etc. Así, por ejemplo, la progresión del ejemplo 1.1 también se puede escribir como ak 5

5 . k1 3

EJEMPLO 1.2

Calcula los términos que se encuentran en las posiciones 20 y 40 de la progresión definida mediante la fórmula a k 5 k 1 k 212.

Solución

Para calcular el término que se encuentra en la posición número 20, hacemos que k 5 20. a 20 5 20 1 20 212 5 201192 5 380 Para calcular el término en la posición 40, hacemos que k 5 40. a 40 5 40 (40 21) 5 40(39) 51 560

EJEMPLO 1.3

La población en Francia en 2019 era de 67 millones de habitantes. Considerando una tasa de crecimiento de 0.4% anual, el número de habitantes, en millones, al cabo de n n años a partir de 2019 viene dado por la fórmula Pn 5 671 1.004 2 . Calcula cuántos habitantes tendrá Francia dentro de a. 5 años. b. 12 años.

Solución 5

a. Si n 5 5, entonces P5 5 671 1.0042 5 68.35 millones de habitantes 12 b. Si n 5 12, entonces P12 5 671 1.0042 5 70.29 millones de habitantes

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1.1

Definición de progresión y sus elementos

EJEMPLO 1.4

Respecto al ejemplo anterior, ¿en cuántos años se tendrá una población de 75 millones de habitantes?

Solución

En este caso es necesario despejar n de la fórmula. Como n aparece como exponente, el despeje se lleva a cabo utilizando logaritmos.

Aplicando un logaritmo decimal en ambos lados de la ecuación, se tiene n

log Pn 5 log 367 11.0042 4 Al aplicar las propiedades de los logaritmos a la expresión anterior, se tiene log Pn 5 log 671n log1.004 Por tanto, n5

log Pn 2 log 67 log1.004

Al sustituir Pn por 75, n5

log 75 2 log 67 5 28.26 años log1.004

Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es aquella en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada diferencia común. Por ejemplo, la progresión 20, 24, 28, 32, 36, 40, …, es una progresión aritmética cuya diferencia común es 4, ya que 20 1 4 5 24, 24 1 4 5 28, 28 1 4 5 32, y así sucesivamente. La progresión 210, 200, 190, 180, 170, …, es una progresión aritmética con diferencia común de 210.

Las progresiones aritméticas también se llaman sucesiones aritméticas.

A partir de la definición anterior se tiene que en toda progresión aritmética la diferencia común se obtiene restándole a un término cualquiera el término anterior.

Si la diferencia común en una progresión es positiva se dice que la progresión es creciente. Si la diferencia común es negativa la progresión es decreciente. Por ejemplo, la progresión 4, 7, 10, 13, 16, …, es creciente; mientras que la progresión 20, 15, 10, 5, …, es decreciente.

Sea a1, a2, a3, a4, …, an, …, una progresión aritmética y sea d su diferencia común.

Por definición, es posible escribir a1 5 a1 a2 5 a1 1 d a3 5 a2 1 d 5 1a1 1 d2 1 d 5 a1 1 2d a4 5 a3 1 d 5 1a1 1 2d2 1 d 5 a1 1 3d a5 5 a4 1 d 5 1a1 1 3d2 1 d 5 a1 1 4d … … an 5 a1 1 (n 2 1)d

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7

8

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

El n-ésimo término se obtuvo al observar que el coeficiente numérico de d en cada término es uno menos que el correspondiente número de orden del término. Por tanto, el n-ésimo término de una progresión aritmética está dado por la siguiente ecuación: an 5 a1 1 (n 2 1) d

(1.1)

EJEMPLO 1.5

Encuentra el trigésimo noveno término de la progresión aritmética 31, 36, 41, 46, …

Solución La diferencia común se obtiene restándole a un término cualquiera el término anterior.

Por tanto, para la progresión dada la diferencia común es d 5 36 2 31 5 5.

Al sustituir a1 5 31, d 5 5 y n 5 39 en la ecuación (1.1), resulta a39 5 311 1 39 21) 5 5 221

EJEMPLO 1.6

El noveno término de una progresión aritmética es 0 y su diferencia común es 27.5.

Calcula el primer término.

Solución

Al despejar a1 de la ecuación (1.1) se obtiene a1 5 a n 2 1 n 212d Al sustituir a n 5 a9 5 0, n 5 9 y d 5 27.5, se tiene a1 5 0 2 1 9 212 127.52 52 182127.52 5 60

EJEMPLO 1.7

El primer término de una progresión aritmética es 30 y el décimo término es 60.

Encuentra la diferencia común.

Solución

Se despeja d de la ecuación (1.1). a n 5 a1 11 n 212 d a n 2 a1 5 1 n 212 d a n 2 a1

5d

n 21 Por tanto, al sustituir los datos se tiene d5

60 2 30 10 5 10 21 3

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1.1

Definición de progresión y sus elementos

EJEMPLO 1.8

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 45, 37, 29, …, 275?

Solución

En este caso se considera que la progresión es finita, ya que termina con el término a n 5275, el cual se encuentra en la posición desconocida n. Asimismo, la progresión tiene una diferencia común de 37 2 45 5 28.

Para calcular la posición del último término, se despeja n de la ecuación (1.1). a n 5 a 1 11 n 212 d a n 2 a 1 5 1 n 212 d a n 2 a1 d

5 n21

n5

a n 2 a1 d

11

Al sustituir los datos, se tiene que n5

275 245 11516 28

Por tanto, la progresión consta de 16 términos.

EJEMPLO 1.9

Rodrigo decide trotar cierta distancia cada semana, de acuerdo con el siguiente programa diseñado por su médico: la primera semana trotará 150 metros por día; en la segunda semana deberá trotar 200 metros por día; en la tercera semana, 250 metros por día, y así sucesivamente, hasta llegar a 2 000 metros por día. ¿En qué semana estará trotando dos kilómetros diarios?

Solución

En este ejemplo se tiene una progresión aritmética con a1 5150, d 5 50, a n 5 2 000 y se debe calcular n. Por tanto, n5 n5

a n 2 a1 d

11

2 000 150 115 38 semanas 50

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es aquella en la cual cada término después del primero se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada razón común. Por ejemplo, la progresión 30, 90, 270, 810, …, es una progresión geométrica

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9

10

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

cuya razón común es 3, ya que 30 3 3 5 90, 90 3 3 5 270, 270 3 3 5 810. La pro1 .

2

gresión 500, 250, 125, 62.5, …, es una progresión geométrica con razón común

A las progresiones geométricas también se les llama sucesiones geométricas.

En toda progresión geométrica se tiene que la razón común es igual a la división de un término cualquiera entre el término anterior.

Al igual que en las progresiones aritméticas, las progresiones geométricas pueden ser crecientes o decrecientes. Las crecientes son aquellas en las cuales cada término es mayor que el anterior; mientras que en las decrecientes cada término es menor que el anterior.

Sea a1, a2, a3, a4, …, an, …, una progresión geométrica, con a1 2 0 y sea r su razón común, donde r 2 0. Por definición, a1 5 a1 a2 5 a1r a3 5 a2r 5 1a1r2r 5 a1r2 a4 5 a3r 5 1a1r22r 5 a1r3 a5 5 a4r 5 1a1r32r 5 a1r4 … … an 5 a1rn21 El n-ésimo término se obtuvo al observar que el exponente de r en cada término es uno menos que el correspondiente número de orden del término. Por tanto, el n-ésimo término de una progresión geométrica está dado por la siguiente ecuación: a n 5 a1 r n2 1

(1.2)

EJEMPLO 1.10

Encuentra el decimoctavo término de la progresión geométrica 11, 22, 44, 88, …

Solución

La razón común se obtiene al dividir un término cualquiera entre el término anterior.

22 Por tanto, la razón común de la progresión dada es r 5 52 .

11 Al sustituir a1 5 11, r 5 2 y n 5 18 en la ecuación (1.2), resulta a18 5 1112 1 2 1821 2 5 11121 2 17 2 51 441 792

EJEMPLO 1.11

¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica cuya razón común es 23 y a9 5118 098?

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1.1

Definición de progresión y sus elementos

Solución

Para calcular el primer término se despeja a1 de la ecuación (1.2). Esto es a1 5

an r n21

Como r 5 23, n 5 9 y an 5 a9 5 118 098, se tiene: a1 5

118 098 518 1 232 921

EJEMPLO 1.12

3 Calcula la razón común de una progresión geométrica cuyo primer término es y el 5 4 096 séptimo término es .

1 215 Solución

Se despeja r de la ecuación (1.2). a n 5 a1 r n21 r n21 5 r5

an a1 n21

an a1

Por tanto

r5

r5

7 1

4 096 1 215 6 4 096 5 3 729 5

4 3

EJEMPLO 1.13

Encuentra cuántos términos hay en la progresión 2, 4, 8, 16, 32, …, 33 554 432.

Solución

La progresión es geométrica y finita con r 5 2. Para calcular el número de términos que hay en la progresión, se despeja n de la ecuación (1.2). a n 5 a1 r n

1

log a n 5 log a1 1 1 n 212 log r log a n 2 log a1 5 1 n 212 log r log a n 2 log a1 log r

5 n 21

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11

12

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

n5

log a n 2 log a 1 log r

11

Por tanto, n5

log 33 554 432 2 log2 11 log2

n 5 25 términos

EJEMPLO 1.14

La población de cierta ciudad crece en forma geométrica por un factor de 1.0178 cada año. Si a finales del año 2015 la población era de 5 750 000 habitantes, ¿cuál será la población a finales de 2020?

Solución

El número de habitantes forma una sucesión geométrica con r 5 1.0178. Si el año 2015 es el año 1, 2020 será el año 6; por tanto, la sucesión consta de seis términos.

Entonces, a6 5 5 750 000 11.01782621 a6 5 6 280 295 habitantes

EJEMPLO 1.15

En términos generales se dice que la depreciación de un bien como una máquina, un automóvil, mobiliario y equipo, etc., es la pérdida de valor de dicho bien como consecuencia de su desgaste con el paso del tiempo.

Una compañía constructora compra una pala mecánica en 103 000 dólares. Si el valor de la pala se deprecia cada año en 15%, ¿en qué año su valor será de 45 701.65 dólares?

Solución

Si el valor actual de la pala es de 103 000, dentro de un año su valor será 15% menos, esto es 103 000 2 (0.15)(103 000) 5 87 550 dólares Al cabo de dos años su valor será Toma nota Si la pala mecánica pierde 15% de su valor cada año, entonces al final de cada año la pala tiene un valor igual a 85% de su valor al inicio del año. Este es el motivo por el cual la razón común es 0.85.

87550 21 0.1521875502 5 74 417.50 dólares Se observa que los valores anuales forman la sucesión 103 000, 87 550, 74 417.50, …, la cual es una progresión geométrica con r 5 0.85 y donde 103 000 dólares es el valor inicial o valor en el tiempo t 5 0. Entonces, 87 550 dólares es el valor en el tiempo t 5 1, y así sucesivamente. Por tanto, se tiene una sucesión geométrica que empieza en cero, en lugar de 1, como es lo habitual.

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1.1

Definición de progresión y sus elementos

Al utilizar la fórmula para calcular n, obtenida en el ejemplo 1.13, se tiene n5 n5

log a n 2 log a 1 log r

11

log 45 701.65 2 log103 000 115 6 log 0.85

Como la progresión comienza en cero, entonces el sexto término de la progresión corresponde al quinto año. Por tanto, el valor de 45 701.65 dólares se tiene al cabo de cinco años de haber comprado la pala.

ACTIVIDADES 1.1 1. Encuentra los primeros seis términos de cada una de las siguientes progresiones:

6

a. a n 5 6n 12

d. a k 5 ln(k 11)

b. a n 5 n (n 2 2 7)

e. a k 5

1 k2

h. a k 5

k2 ek

c. a n 5 51 0.62 n 21

f. a n 5

4 2n

i. a k 5

1 212 k11k 2 k 11

g. a n 5

1 n 1121 n 2 2 n 1 62

1 n 112 2 , comenzando 2 con n 5 0. Asimismo, calcula el valor del término número cien.

2. Escribe los primeros seis términos de la progresión a n 5

3. Calcula los términos que se encuentran en las posiciones 50 y 100 de la progresión

definida como a n 5 n 1n 2 2021 n 1 52 .

4. Calcula los términos que se encuentran en las posiciones 19 y 20 de la pro-

gresión definida mediante la ecuación a n 5

(22) n11 . n 11

5. Menciona si las siguientes progresiones son aritméticas, geométricas o ninguna

de estas. Si la progresión es aritmética o geométrica, calcula el término que sigue.

135 405 , ,… h. 80, 260, 45, 2 a. 12, 18, 24, 30, 36, …

4 16 b. 2, 3, 5, 7, 11, 13, … i. 310, 295, 275, 250, 210, … c. 16, 80, 400, 2 000, 10 000, …

242 218 226 d. 21, 1, 22, 2, 23, 3, 24, 4, … j. 70, ,… , , 78, 3 3 3 e. 500, 1 150, 2 645, 6 083.5, … k. 120, 101.5, 83, 64.5, 46, … f. 150, 110, 90, 80, 75, … g.

7 7 7 7 , , , ,…

5 10 20 40

6. Encuentra el decimoprimer término de la progresión aritmética 18, 21.7, 25.4,

29.1, …

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13

14

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

7. Para la progresión 120, 131, 142, …, calcula el valor del término en la posición

50.

8. ¿Cuál es el vigesimoctavo término de la progresión 2x, 12x 1 62, 12x 1 122,

12x 1 182, …?

9. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 13 térmi-

nos, la diferencia común es de 15 y el valor del último término es 90.

10. Una progresión aritmética consta de 75 términos, el último término es el 975 y

su diferencia común es de 12.5. Calcula el primer término.

11. ¿Cuántos términos tiene la progresión 220, 2 27, 2 34, …, 2713?

12. Una progresión aritmética con diferencia común de 11.75 empieza con el número

10 y termina con el número 762. Calcula de cuántos términos consta la progresión.

13. ¿Cuál es la diferencia común de una progresión aritmética que empieza en 0 y

cuyo término vigesimoquinto es 168?

14. Calcula la diferencia común de la progresión aritmética que empieza en 250 y

termina en 440, sabiendo que consta de 50 términos.

15. Encuentra el decimoquinto término de la progresión geométrica 24, 44.4,

82.14, 151.959, …

16. ¿Cuál es el octavo término de la progresión 10, 26, 3.6, 22.16, …?

17. Calcula el vigesimotercer término de la progresión 5a, 5.75a, 6.6125a, …

18. Calcula el primer término de una progresión geométrica que consta de 13 tér-

minos, donde a 13 5116.415322 y la razón común es 1.25.

19. Calcula el primer término de la progresión geométrica que consta de 10 térmi-

nos y a 10 5 0.666992623, r 5 0.956.

20. ¿Cuántos términos tiene cada progresión?

a. 1, 3, 9, 27, …, 4 782 969? b. 2m, 4m, 8m, 16m, …, 262 144m ?

21. Una progresión aritmética con r 51.1087 empieza con el número 100 y termina

con el número 2 732 692.125. Calcula de cuántos términos consta la progresión.

22. Calcula la razón común de la progresión geométrica que consta de 20 términos,

donde el primer término es 12 y el último es 226 602.05384.

23. Si en una progresión geométrica se tiene que a 1 51 000 y a 18 51.014959227,

¿cuál es la razón común?

24. Una ciudad tiene actualmente 3 275 000 habitantes. Si la población crece en

1.8% cada año, el número de habitantes al cabo de n años viene dado por la n ecuación Pn 5 3 275 000 11.018 2 . Calcula: a. ¿Cuántos habitantes tendrá la ciudad dentro de 1, 2, 3, 4 y 20 años? b. ¿En cuántos años se tendrá una población de 4 204 169 habitantes?

25. Una empresa fabrica un videojuego cuyas ventas están incrementándose de

acuerdo con la ecuación S 5100 (1.1) n, donde S son las ventas en miles de videojuegos, y n es el tiempo en años, donde n 5 0 corresponde al año 2019. Calcula: a. Las ventas para 2024. b. ¿En qué año las ventas serán de 133 100 videojuegos?

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

26. Con base en el ejemplo 1.9 calcula qué distancia trotará Rodrigo por día en la

semana 30.

27. Con base en el ejemplo 1.14 calcula en qué año se tendrán 6 859 498 habitantes.

28. Si el precio del kilogramo de gas LP se incrementa 11 centavos cada mes, ¿cuál

será el precio de un cilindro de gas de 30 kilogramos dentro de un año, si actualmente cuesta $510?

29. El dólar se cotiza hoy en $19.60 a la venta. Suponiendo que su precio aumenta

en promedio cinco centavos por semana, ¿en cuántas semanas estará en $20.50?

30. Se compra un automóvil nuevo en $345 000. Si el valor del automóvil se depre-

cia en 20% cada año, ¿en qué año su valor será de $57 880? ¿Cuál será el valor del automóvil al cabo de cinco años?

31. La población de cierto suburbio crece en 3% cada año. Si la población actual es

de 453 000 habitantes, ¿cuántos habitantes se tendrán al cabo de 10 años?

32. Resuelve el problema de la hoja de papel que se dobla, que se presentó al inicio

de este capítulo.

33. Cierto cultivo tiene 10 000 bacterias al inicio y aumenta 12% cada hora. ¿En

cuánto tiempo habrá 2 890 022 bacterias?

34. Una pequeña empresa estima que sus utilidades aumentarán en 75 000 dólares

cada año. Si la utilidad en el primer año fue de 258 000 dólares, ¿en qué año se tendrá una utilidad de 708 000 dólares?

35. Una escalera del ahorro es un método sencillo que permite crear el hábito

del ahorro y lograr, de esta manera, una meta financiera. Consiste en ahorrar cada semana, cada quincena o cada mes una cantidad determinada, la cual se va incrementando poco a poco en cada periodo durante un tiempo definido de antemano.

Antonio tiene como propósito de año nuevo y como reto ahorrar $100 al final de la primera quincena de enero e ir incrementando la cantidad en $50 cada quincena, durante todo el año. Esto es, Antonio ahorrará $100 al final de la primera quincena, $150 en la segunda quincena, $200 en la tercera y así, sucesivamente, durante 24 quincenas. ¿Qué cantidad deberá ahorrar en la quincena número 12? ¿Y en la quincena número 24?

36. Resuelve el ejercicio anterior si Antonio empieza con $100 en la primera quin-

cena e incrementa la cantidad en 10% cada quincena.

1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

A la suma de los términos de una progresión se le llama serie. La serie puede ser infinita o finita, según se base en una progresión finita o infinita. Por ejemplo, la serie de la progresión de números impares 1, 3, 5, 7, 9, …, es: 11315171…

En general, para la progresión a 1, a 2 , a 3 , a 4 …, a n , …, la serie es a 1 1a 2 1a 3 1a 4 1 …1a n 1 …

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15

16

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

El símbolo Sn representa la suma o serie finita de los primeros n términos de la progresión. Así, para la progresión a 1, a 2 , a 3 , a 4 , …, a n , …, se tiene S1 5 a1 S 2 5 a 1 1a 2 S 3 5 a 1 1a 2 1a 3 … …

S n 5 a 1 1a 2 1a 3 1…1a n donde S1 se llama primera suma parcial, S2 es la segunda suma parcial, S3 es la tercera suma parcial, etc. Sn es la n-ésima suma parcial. La progresión S 1, S 2 , S 3 , S 4 , …, Sn, …, se llama sucesión de sumas parciales.

EJEMPLO 1.16

Calcula las primeras cuatro sumas parciales de la progresión definida por la fórmula n 1 an 5a b .

2 Solución

Los primeros cuatro términos de la progresión son: 1

1 1 a1 5 a b 5 2 2 2

1 1 a 2 5a b 5 2 4 3

1 1 a 3 5a b 5 2 8 4

1 1 a45a b 5 2 16 Por tanto, las primeras cuatro sumas parciales son: 1 S 15 a 1 5 5 0.5 2 1 1 3 S 2 5 a 1 1a 2 5 1 5 5 0.75 2 4 4 1 1 1 7 S 3 5 a 1 1a 2 1a 3 5 1 1 5 5 0.875 2 4 8 8 1 1 1 1 15 S 4 5 a 1 1a 2 1a 3 1a 4 5 1 1 1 5 5 0.9375 2 4 8 16 16 La progresión de sumas parciales es 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375,…

Series aritméticas La suma de los términos de una progresión aritmética recibe el nombre de serie aritmética. Así, por ejemplo, la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, 10, …, forma la serie aritmética 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1. . .

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresiĂłn

A continuaciĂłn se procede a deducir una fĂłrmula para calcular la suma de los n primeros tĂŠrminos de una progresiĂłn aritmĂŠtica.

Sea a 1, a 2 , a 3 , a 4 â&#x20AC;Ś, a n ,â&#x20AC;Ś una progresiĂłn aritmĂŠtica con diferencia comĂşn d, y sea S n 5 a 1 1a 2 1a 3 1a 4 1â&#x20AC;Ś1a n la n-ĂŠsima suma parcial.

Como: a 1 5 a1 a 2 5 a 1 1d a 3 5 a 1 12d â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś a n22 5 a n 2 2d a n21 5 a n 2 d an 5an Entonces S n 5 a 11(a 1 1d ) 1(a 112d ) 1â&#x20AC;Ś1(a n 2 2d ) 1(a n2 d ) 1 a n

(1)

Escribiendo los tĂŠrminos del segundo miembro de la ecuaciĂłn (1) en orden inverso se tiene S n 5 a n 11 a n 2 d 2 1 1 a n2 2d 2 1â&#x20AC;Ś11 a 1 2d 2 11 a 11d 2 1a 1

(2)

Al sumar las ecuaciones (1) y (2), desaparecen todos los tĂŠrminos que contienen d, obteniĂŠndose el siguiente resultado: 2 S n 5 1 a1 1a n 2 11 a1 1a n 2 11 a1 1a n 2 1â&#x20AC;Ś11 a1 1a n 2 11 a1 1a n 2 11 a1 1a n 2 Es decir, 2 S n 5 n 1 a1 1a n 2 donde n es el nĂşmero total de binomios en la suma. Al despejar Sn se obtiene la fĂłrmula general para calcular la suma de los n primeros tĂŠrminos de una progresiĂłn aritmĂŠtica: n S n 5 a 1 1a n (1.3) 2

1

2

EJEMPLO 1.17

Calcula la suma de los primeros 150 tĂŠrminos de la progresiĂłn aritmĂŠtica 214, 26, 2, 10, â&#x20AC;Ś SoluciĂłn

La progresiĂłn tiene una diferencia comĂşn de d 5 26 2 (214) 5 8 y el tĂŠrmino nĂşmero 150 es: a 150 5 214 1(150 21)(8) 51 178 Al sustituir n 5150, a 1 5214 y a 150 51 178 en la ecuaciĂłn (1.3) se tiene S 150 5

150 214 11 178 5 87300 2

Por tanto, la suma de los primeros 150 tĂŠrminos de la progresiĂłn es 87 300.

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17

18

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

EJEMPLO 1.18

Encuentra la suma de todos los números pares del 500 al 1 000.

Solución

Este problema consiste en hallar la suma de los términos de la progresión aritmética 500, 502, 504, 506, …, 1 000. La progresión tiene una diferencia común igual a 2.

El número de términos que forman la progresión es n5

a n 2 a1 d

115

1 000 2 500 115 251 2

Por tanto, S 251 5

251 1500 11 0002 5188 250 2

EJEMPLO 1.19

El último término de una progresión aritmética que consta de 35 términos es 251. Si la suma de los 35 términos es 4 620, calcula el primer término y la diferencia común de la progresión.

Solución

El primer término se calcula despejando a1 de la fórmula (1.3): Sn 5

n a1 1an

2

2S n 5 a1 1a n n 2S a1 5 n 2 a n n Al sustituir los valores numéricos se obtiene a1 5

2S n (2)(4 620) 2 an 5 n 35

251513

La diferencia común se calcula despejando d de la fórmula (1.1): d5

a n 2 a1 n 21

5

a 35 2 a 1 1121

5

251213 57 35 21

EJEMPLO 1.20

Sandra debe pagar un préstamo de $29 700 mediante pagos mensuales de la siguiente forma: $800 el primer mes, $900 el segundo mes, $1 000 el tercer mes y así, sucesivamente. ¿Cuántos pagos mensuales deberá realizar Sandra para liquidar el préstamo? ¿Cuál es el valor del último pago?

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

Solución

Los pagos mensuales forman una progresión aritmética, con a 1 5 800 y d 5100. Al sustituir los datos en la ecuación (1.1), se tiene: a n 5 800 1 1 n 212100

(1)

En la ecuación (1) hay dos incógnitas, por lo que es imposible calcular el número de términos, n, o el último término, an. Si la ecuación (1) se sustituye en la ecuación (1.3), se tiene que Sn 5

1

2

n n a 1 1a n 5 3800 1800 1 1 n 21211002 4 2 2

Como S n 5 29700, entonces, n 29700 5 3800 1800 1 1n 12 11002 4 2 Simplificando, 29 700 5 50 n 2 1750 n es decir, 50 n2 1 750 n 2 29 700 5 0 La ecuación anterior es una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, la cual se puede resolver mediante la fórmula general, como se muestra a continuación. n5

n5

2b 6 b 2 2 4ac 2a

2750 6 7502 2 415021229 7002 21502 n5

2 750 6 6 502 500

n5

100 2750 6 2550 100

Por tanto, n 1 518 n 2 5233 Puesto que n debe ser entero positivo, entonces se deben realizar 18 pagos mensuales.

Conocido el valor de n, el valor del último pago se calcula con la ecuación (1):

a18 5 800 1118 2 12100 5 $2 500

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19

20

Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Series geométricas La suma de los términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica. Así, por ejemplo, la progresión geométrica 9, 18, 36, 72, …, forma la serie geométrica 9 1 18 1 36 1 72 1 …

A continuación se procede a deducir una fórmula para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.

Sea a1, a2, a3, a4 …, an, …, una progresión geométrica con razón común r, y sea Sn 5 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 … 1 an la n-ésima suma parcial.

Como: a 15 a 1 a 25 a1 r a 35 a 1 r 2 a 45 a1 r 3 … … a n 5 a 1 r n21 Entonces, S n 5 a 1 1a 2 1a 3 1a 4 1…1a n Al sustituir a 1, a 2 , a 3 , a 4 , …, a n en la igualdad anterior, se tiene que S n 5 a1 1a1 r 1a1 r 2 1a1 r 3 1…1a1 r n22 1a1 r n21

(1)

Multiplicando por r ambos lados de la ecuación (1), se tiene que r S n 5 a1 r 1a1 r 2 1a1 r 3 1a1 r 4 1…1a1 r n211a1 r n

(2)

Al restar la ecuación (2) de la ecuación (1) todos los términos intermedios se eliminan y se obtiene la siguiente expresión: S n 2 r S n 5 a1 2 a1 r n Factorizando ambos lados de la igualdad anterior, se tiene S n 112 r2 5 a1112r n 2 Despejando Sn, Sn 5

a1112 r n 2 12 r

(1.4)

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

EJEMPLO 1.21

Para la progresión geométrica 6, 9, 13.5, 20.25, …, encuentra la suma de los 15 primeros términos.

Solución

El primer término es 6 y la razón común es se tiene S 15 5

9 51.5. Sustituyendo en la ecuación (1.4) 6

611 1.515 2 611 437.89389042 5 5 5242.726685 1 1.5 0.5

EJEMPLO 1.22

La suma de los 15 primeros términos de una progresión geométrica es 3 749.22. Si la razón común es 0.75, encuentra el primer término.

Solución

Al despejar a1 de la ecuación (1.4), se tiene a1 5

S n 11 r2 1 rn

Al sustituir los datos se tiene que a1 5

(3749.22)(12 0.75) 5 950 12 (0.75) 15

EJEMPLO 1.23

Para la progresión 18, 14.4, 11.52, 9.216, …, ¿cuántos términos son necesarios para que al sumarlos el resultado sea 88.96237?

Solución

La progresión es geométrica con r 5 0.8. Al sustituir los datos en la ecuación (1.4), se tiene 88.96237 5

18112 0.8 n 2 12 0.8

Por tanto, 188.96237211 0.82 51 0.8 n 18 Esto es, 0.8 n 51

188.962372 112 0.82 18

0.8 n 5 0.01152922222

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la igualdad anterior, ln0.8 n 5 ln 0.01152922222 Por las leyes de los logaritmos se tiene n ln 0.8 5 ln 0.01152922222 Por tanto, n5

ln0.01152922222 5 20 términos ln0.8

EJEMPLO 1.24

Gerardo decide ahorrar una cantidad variable de dinero cada semana, en una alcancía de “cochinito” que le regalaron sus padres, de la siguiente forma: al final de la primera semana guarda $10, al final de la segunda guarda $11, al final de la tercera guarda $12.10 y así, sucesivamente. ¿Qué cantidad total habrá ahorrado al final de un año?

Solución

La cantidad ahorrada cada semana forma la progresión geométrica 10, 11, 12.10, …, con razón común igual a 1.10. Si un año consta de 52 semanas, entonces por la ecuación (1.4), se tiene que S 52 5

11021121.10 52 2 121.10

S 52 5 $14 104.29

EJEMPLO 1.25

Lourdes compra a crédito unos audífonos inalámbricos que de contado cuestan $3 728.

La compra es a meses sin intereses y será liquidada de la siguiente manera: $100 al final del primer mes, $112 al final del segundo mes, $125.44 al final del tercero y así, sucesivamente. Es decir, cada pago es 12% mayor que el pago anterior. Calcula cuántos pagos mensuales deberá realizar Lourdes, así como el valor del último pago.

Solución

Los pagos mensuales forman una progresión geométrica con razón común r 5 1.12.

Asimismo, como se conoce la suma de todos los pagos mensuales, entonces se debe calcular n de la ecuación (1.4).

Al sustituir los datos en la ecuación (1.4), se tiene S n 5 3728 5

110021121.12 n 2 121.12

1 3728211 1.122 5 11 1.12 n 2 100

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

Entonces 1.12 n 51

1 3728211 1.122 5 5.4736 100

Por tanto, n log1.12 5 log 5.4736 n5

log 5.4736 515 log1.12

Lourdes deberá realizar 15 pagos mensuales crecientes. El valor del último pago será: a 15 5100 (1.12) 15 1 5 $488.71

Hasta ahora se han tratado únicamente ejercicios y problemas donde se utiliza la ecuación (1.4) para obtener la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica. Sin embargo, existen problemas cuya solución viene dada por una suma con una cantidad infinita de términos que forman una progresión geométrica. En este caso surge la pregunta: ¿es posible sumar un número infinito de términos? La respuesta es: no. Entonces, ¿qué significa una suma con un número infinito de términos? Una suma infinita de términos, si existe, es un valor al cual se acerca o tiende la suma a medida que la cantidad de términos que se están sumando se hace cada vez más y más grande; es decir, la suma infinita es el límite de la sucesión de sumas parciales cuando n tiende a infinito.

Así, por ejemplo, en la siguiente progresión de sumas parciales se observa que a 1 1 1 1 1 1 medida que los términos de la progresión geométrica 1, , , , , , , …, se 2 4 8 16 32 64 suman uno a uno, la suma parece aproximarse al 2: S15 1 1 S 2 511 51.5 2 1 1 S 3 511 1 51.75 2 4 1 1 1 S 4 511 1 1 51.875 2 4 8 1 1 1 1 S 5 511 1 1 1 51.9375 2 4 8 16 1 1 1 1 1 S 6 511 1 1 1 1 51.96875 2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 1 S 7 511 1 1 1 1 1 51.984375 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 51.992188 S 8 511 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 La suma de los términos de una progresión geométrica infinita se llama serie geométrica infinita. Si a 1, a 2 , a 3 , a 4 , …, es una progresión geométrica infinita con razón

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

común r, donde r es diferente de cero; entonces a 1 1a 2 1a 3 1…, es una serie geométrica infinita.

La serie de una progresión geométrica se calcula mediante la ecuación (1.4), Sn 5

a 1112 r n 2 12 r

, la cual se puede reescribir como Sn 5

a1 12 r

(12 r n )

(1)

Si la razón común r se encuentra entre 21 y 1, es decir, que 21 , r , 1 con r Z 0, entonces el valor numérico de rn disminuye cuando n se incrementa y se puede hacer arbitrariamente pequeño haciendo que n sea suficientemente grande. Por tanto, si n tiende a infinito, r n tiende a 0 y la expresión entre paréntesis tiende a 1. Entonces, el valor de Sn tiende a S, que es el valor de la suma geométrica infinita. Por tanto, la ecuación (1) se escribe como S5

a1 12 r

,

donde

21, r , 1 y r Z 0

(1.5)

EJEMPLO 1.26

Utiliza la ecuación 1.5 para comprobar que el valor de la suma infinita 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1, …, dada anteriormente es igual a 2.

2 4 8 16 32 64 Solución

1 y, como r está entre 21 y 1 se utiliza la ecuación (1.5) para 2 encontrar el valor límite de la suma. Esto es, Puesto que a 1 5 1 y r 5

S5

1

1 2 1 5 0.5 5 12 2

EJEMPLO 1.27

Calcula la suma de la sucesión geométrica infinita 7, 10.5, 15.75, 23.625, …, Solución

Como r 51.5 y este valor no se encuentra en el intervalo de 21 a 1, la suma es infinita.

EJEMPLO 1.28

Un número decimal cuyos dígitos se repiten indefinidamente es un ejemplo de una serie geométrica infinita cuya suma se puede calcular. Por ejemplo, 0.66666… se puede escribir como 0.6 1 0.06 1 0.006 1 0.0006 1, … Calcula el valor de la suma.

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

Solución

Se tiene una suma cuyos términos forman una progresión geométrica infinita donde 1 a1 5 0.6 y r 5 5 0.1. Entonces, por la ecuación (1.5), se tiene 10 S5

0.6 6 2 0.6 5 5 5 1 0.01 0.9 9 3

2 Por tanto, se tiene que 0.666666… < .

3 Este ejemplo muestra cómo puedes obtener la fracción común equivalente a un decimal periódico dado.

Para saber más:

En los siguientes enlaces de internet* encontrarás explicaciones, ejemplos y ejercicios adicionales sobre sucesiones y series aritméticas y geométricas.

• Asesorías de matemáticas.com (2010). Sucesión aritmética. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=W0bkKBR0Q_I • Asesorías de matemáticas.com (2010). Sucesión geométrica. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=aB_L1pM8FkE * Cengage hace del conocimiento del lector que el contenido de los sitios web referidos en las diferentes ligas son responsabilidad exclusiva del titular de estos, y son referidas por Cengage de forma ejemplificativa. Esta mención solo se usa con fines ilustrativos para el aprendizaje de los estudiantes.

ACTIVIDADES 1.2 1. Calcula las primeras cuatro sumas parciales de la progresión definida por la fórmula:

a. a n 5 3n 12

b. a k 5 k

2. Calcula la quinta suma parcial de la progresión definida por la fórmula:

4 3 1n 2 2 b. a n 5 c. a k 5 (1 k) n 12 n 3. Utilizando la fórmula apropiada calcula las siguientes series: a. 70 1 80 1 90 1, …, 1 360 b. 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1, …, 1 4 194 304 a. a n 5

4. Encuentra el valor de la suma de los 12 primeros términos de las progresiones siguientes:

a. 14,19.5, 25, 30.5, …

d. 1.018,1.018 2, 1.018 3, 1.018 4, …

e. 1.018 1,1.018 2 ,1.018 3 ,1.018 4 , …

4 8 c. 211, 215, 219, 223, … f. 5, 2, , , …

5 25 5. El tercer término de una progresión aritmética es 15 y su diferencia común es 2. Encuentra el valor del primer término de la progresión y la suma de los primeros ocho términos. b. 115,108,101, 94, …

6. Obtén la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica definin 1 da por la fórmula a n 5 611.852 .

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

7. ¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer término es 135,

el último es 280 y la suma es 6 225?

8. ¿Cuántos términos tiene una progresión geométrica cuyo primer término es

2 000, el segundo término es 2 190 y la suma de los términos es 164 832.7557?

9. Calcula la razón común de una progresión geométrica si a 1 5 38 000 y

S 36 5 2 053 609.63 .

10. La suma de los 100 términos de una progresión aritmética es 8 175. Si el último

término es 156, ¿cuál es el primer término?

11. El sexto término de una progresión aritmética es 90 y el decimosexto es 180.

Calcula el primer término y la suma de los 16 primeros términos de la progresión.

12. Encuentra la suma de todos los múltiplos de 6, comenzando en 6 y terminando

en 240.

13. Una progresión aritmética que consta de 14 términos comienza con 226. Si la

suma de sus 14 términos es cero, calcula el último término y, posteriormente, escribe la progresión completa para que veas por qué la suma de los términos es cero.

14. Calcula la suma de la progresión geométrica infinita dada.

a. 7,

14 28 56 , , ,…

3 9 27

b. 3, 4,

16 64 256 , , ,…

3 9 27

15. Obtén la fracción común equivalente al decimal periódico dado.

a. 0.45454545 …

b. 0.72222222 …

16. Martha solicita a un banco un préstamo personal que deberá pagar en dos años,

mediante abonos mensuales, de la siguiente forma: $300 el primer mes, $336 el segundo mes, $376.32 el tercer mes y así, sucesivamente. Calcula el valor del último pago así como la cantidad total pagada al término de los dos años.

17. Un trabajador debe pagar una deuda de $22 200 en pagos mensuales durante

un año con la condición de que cada mes pagará $100 más que el mes anterior. ¿Cuánto debe pagar el primer mes? ¿Cuánto el último mes?

18. Agustín debe pagar un préstamo bancario de $83 500 mediante pagos mensua-

les de la siguiente forma: $1 800 el primer mes, $2 050 el segundo mes, $2 300 el tercer mes, $2 550 el cuarto mes y así, sucesivamente. ¿Cuántos pagos mensuales deberá realizar Agustín para liquidar el préstamo? ¿Cuál es el valor del último pago?

19. Alberto compró un terreno en abonos que debe pagar de la siguiente forma: $1

el primer mes, $3 el segundo mes, $9 el tercer mes, $27 el cuarto mes y así, sucesivamente. ¿Cuánto le costó el terreno si se debe pagar en 13 meses? ¿Cuál es el valor del último pago?

20. Fernando quiere ahorrar dinero para comprarse una cámara digital que cuesta

$10 190. Con este fin piensa depositar en una alcancía $1 al final de esta quincena, $2 al final de la segunda quincena, $4 al final de la tercera quincena, $8 al final de la cuarta quincena y así, sucesivamente. ¿En cuántas quincenas tendrá el dinero suficiente para comprar la cámara?

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1.2

Suma de los primeros n elementos de una progresión

21. El dueño de una refaccionaria automotriz desea poner en exhibición las latas

de aceite en forma de pirámide, con 26 latas en la primera fila, 25 latas en la segunda fila, 24 latas en la tercera fila y así, sucesivamente, hasta que quede una sola lata en la parte superior. ¿Cuántas latas de aceite necesita para la presentación?

22. Jorge acepta un empleo con un salario inicial de $210 000 anuales. Se conviene

que recibirá un aumento de $8 400 al final del primer año y lo mismo en años sucesivos, hasta el final del décimo año. ¿Cuál será su ingreso total en los 11 años?

23. Una compañía alcanzó ventas por 1.5 millones de dólares en su primer año de

operación. Si las ventas tuvieron un aumento promedio de 10% por año a partir de entonces, calcula las ventas de la compañía en el sexto año y sus ventas totales durante los primeros seis años de operación.

24. Los padres de una niña de 10 años han acordado depositar $1 500 en una cuen-

ta bancaria a nombre de ella el día que cumpla 11 años y duplicar el monto del depósito cada año subsiguiente hasta que cumpla 18 años, inclusive. a. ¿Cuánto tendrán que depositar en el cumpleaños número 18 de su hija? b. ¿Qué cantidad de dinero tendrá la joven en su cumpleaños número 18, sin considerar el interés ganado?

25. Una persona toma 100 miligramos de un medicamento cada 24 horas. Si 75%

del medicamento acumulado se elimina a diario por medio de la orina, ¿qué cantidad de medicamento se habrá acumulado en el organismo de la persona después de 12 días?

26. Una pelota rueda sobre un plano inclinado y recorre dos metros durante el primer

segundo. En cada segundo posterior recorre 3.5 metros más que en el segundo inmediato anterior. ¿Qué distancia habrá recorrido durante los primeros ocho segundos?

27. Beatriz y Ramón se acaban de casar y deciden ahorrar $1 000 cada mes el pri-

mer año de su matrimonio, $1 100 cada mes del segundo año, $1 210 cada mes del tercer año y así, sucesivamente. Calcula la cantidad total que habrán ahorrado al final del décimo año, sin considerar el interés que habrán ganado por su ahorro.

28. Deduce una fórmula que proporcione la suma de los primeros n números pares,

es decir, 214 16181…1n y utilízala para calcular la suma de los primeros 300 números pares.

29. Deduce una fórmula para calcular la suma de los primeros n números naturales,

es decir, 1121314 151…1n y utilízala para calcular la suma de los números del 1 al 1 000.

30. En los ejercicios 34 y 35 sobre la escalera del ahorro, de las actividades 1.1,

calcula la cantidad total obtenida por Antonio al final del año.

31. Leyenda del ajedrez.

El ajedrez es un juego que goza de enorme popularidad y existen innumerables leyendas sobre su invención, la mayoría de ellas de origen árabe.

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Una de las leyendas más conocidas cuenta que el rey de un país árabe conoció un nuevo juego inventado por uno de sus súbditos, un filósofo llamado Seta, según algunos autores, o Sissa, según otros. El juego, llamado ajedrez, gustó tanto al monarca que decidió recompensar a Seta con cualquier cosa que este deseara: joyas, tierras, castillos, … Sin embargo, el filósofo lo rechazó todo y únicamente pidió como recompensa que por la primera casilla del ajedrez le diera 1 grano de trigo, por la segunda casilla 2 granos de trigo, por la tercera 4 granos de trigo, por la cuarta 8 granos y así, sucesivamente, duplicando los granos de trigo hasta cubrir las 64 casillas del tablero.

Al rey le pareció un premio bastante insignificante, pero admirado ante la humildad de Seta, accedió a lo que pedía, sin saber realmente el gran problema en que se estaba metiendo. a. ¿Cuántos granos de trigo debería recibir Seta por la casilla número 64? b. ¿Cuántos granos de trigo en total debería recibir Seta por las 64 casillas? c. Estimando que un kilogramo de trigo contiene aproximadamente 22 000 granos, ¿cuántos kilogramos representan los granos de trigo del inciso b? ¿Cuántas toneladas? d. De acuerdo con el Departamento de Agricultura de Estados Unidos en el ciclo comercial de julio de 2018 a junio de 2019 se produjeron 730.5 millones de toneladas de trigo en todo el mundo. ¿Cuántos ciclos anuales como el mencionado se necesitan para pagar la recompensa?

32. La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 52 y la

suma de los seis primeros términos de la misma progresión es 1 456. a. Encuentra la razón común y el primer término de la progresión. b. Escribe la fórmula que proporciona el término en la posición n; esto es, el n-ésimo término. c. Utiliza la fórmula obtenida para encontrar el décimo término de la progresión.

Actividad especial Depreciación Cuando se adquiere un bien, un automóvil, por ejemplo, este comienza a perder valor y a dicha pérdida de valor se le conoce como depreciación. Es decir, el valor del automóvil, en este caso, se reduce cada año desde el momento en que se compra o se pone en operación.

La depreciación, por tanto, se refiere a una disminución periódica en el valor de un bien. Ejemplos de bienes que sufren depreciación debido al uso, al desgaste o a los cambios tecnológicos son: edificios, maquinaria, equipo de cómputo, mobiliario de oficina, automóviles, entre otros.

Las causas de la depreciación se deben, fundamentalmente, al uso de los bienes, lo cual hace que sufran un desgaste natural que va disminuyendo su vida operativa, hasta que, finalmente, quedan obsoletos o inservibles y deben ser reemplazados al final de su vida útil, teniendo que invertir en ello cierta cantidad de dinero llamada costo de reemplazo.

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Actividad especial

El costo original de un activo menos la depreciación acumulada a una fecha determinada se llama valor en libros y representa el valor que aún tiene el bien en los registros contables de la empresa. Por ejemplo, al final del primer año, el valor en libros de un bien determinado es igual al costo original menos la depreciación de ese año.

El valor en libros no tiene relación alguna con el valor de mercado, ya que el valor en libros se determina con base en el precio original del bien, mientras que el valor de mercado tiende a ser superior debido a la inflación y algunos otros factores.

Cuando un bien ha llegado al final de su vida útil por lo general conserva algún valor, así sea como chatarra. Este valor recibe el nombre de valor de salvamento o valor de desecho. En ocasiones, el valor de salvamento puede ser cero.

Para el cálculo de la depreciación de un bien se utilizan diferentes métodos, siendo el método de la línea recta el más utilizado. Además, este método es el único que admite el gobierno federal para el cálculo de la depreciación. En el ejemplo 1.15 se trató un problema de depreciación utilizando el método del porcentaje fijo.

El método de la línea recta consiste en considerar que la depreciación anual de un determinado bien es la misma durante cada año de su vida útil. A continuación, se muestra un ejemplo.

EJEMPLO 1

Una empresa compra una máquina en $150 000 a la cual se le estima un valor de salvamento de $20 000 al final de su vida útil, que es de cinco años. Calcula la depreciación anual, así como el valor en libros para cada año transcurrido.

Solución

La depreciación total es el valor inicial menos su valor de salvamento, esto es, $150 000 2 $20 000 5 $130 000 Por tanto, la depreciación anual será de 130 000 5 $26 000 5 El resultado anterior significa que la máquina pierde valor a razón de $26 000 cada año.

Como podrás observar, la máquina pierde valor en forma de progresión aritmética, siendo la depreciación anual la diferencia común. El valor en libros forma una sucesión aritmética de seis términos, considerando al valor inicial como primer término, como se muestra a continuación: 150 000, 124 000, 98 000, 72 000, 46 000, 20 000 El valor en libros para un año particular se puede obtener mediante la ecuación (1.1). Así, por ejemplo, el valor en libros al final del tercer año es a 4 5150 000 1(4 21)(226 000) 5 $72 000 Para obtener el resultado anterior se calculó el cuarto término de la progresión, el cual corresponde al tercer año de vida útil de la máquina.

Una práctica común en los problemas de depreciación consiste en elaborar una tabla de depreciación; esto es, una tabla que muestra la depreciación anual, la depreciación acumulada y el valor en libros de un bien, año por año, de su vida útil.

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

EJEMPLO 2

Elabora la tabla de depreciación para el ejemplo 1.

Solución

El valor en libros de la máquina después de un año será de $150 000 2 $26 000 5 $124 000; después de dos años será $150 000 2 (2)($26 000) 5 $98 000, y así, sucesivamente. La depreciación acumulada al término de un año dado, se obtiene al sumar las depreciaciones anuales hasta ese año.

La tabla de depreciación se muestra a continuación: Depreciación anual

Depreciación acumulada

1

$26 000

$ 26 000

$124 000

2

$26 000

$ 52 000

$ 98 000

3

$26 000

$ 78 000

$ 72 000

4

$26 000

$104 000

$ 46 000

5

$26 000

$130 000

$ 20 000

Fin de año 0

Valor en libros $150 000

La tabla muestra cómo disminuye el valor en libros, mientras la depreciación acumulada aumenta.

La depreciación acumulada total al cabo de cinco años se puede calcular mediante la ecuación (1.3), como se muestra a continuación.

5 S 5 5 1 26 000 126 0002 5 $130 000 2

El nombre dado a este método de depreciación se debe al hecho de que se obtiene una línea recta al graficar el tiempo transcurrido contra la depreciación acumulada y/o el valor en libros. Si la gráfica es tiempo contra depreciación acumulada, entonces la línea recta tiene pendiente positiva; si la gráfica es tiempo contra valor en libros, entonces la línea recta tiene pendiente negativa.

ACTIVIDADES 1. Investiga.

a. Otras causas que producen la depreciación de los bienes, además de la mencionada en el texto. b. ¿Qué otros métodos de depreciación existen? c. ¿Cuáles son las principales deficiencias del método de la línea recta?

2. Se compra un equipo de cómputo para diseño

gráfico en $32 800. Se estima que su vida útil será de cuatro años y tendrá un valor de salvamento de

$4 000. ¿Cuál es la depreciación anual? Elabora la tabla de depreciación.

3. Antonio compra un automóvil nuevo para traba-

jarlo como taxi. El automóvil costó $370 000 y se estima que su vida útil será de cinco años. Calcula la depreciación anual y elabora la tabla de depreciación considerando un valor de desecho de 15% del precio de compra.

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¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

UNIDAD 1 4

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Progresiones 1.

2.

Para cada una de las siguientes progresiones, menciona cuál es la regla que se utiliza en su formación y cuál es el término que sigue. a) 120, 105, 90, 75, . . . b) 52, 130, 325, 812.5, . . . c) 20, 41, 83, 167, . . .

Escribe los primeros cinco términos, así como el vigésimo término, de las progresiones definidas con las siguientes fórmulas. a) a n 5 5n 2 3 4n b) a n 5 3n 11 c) a n 5 (n 1 2)(n 2 1)

3.

Una empresa fabrica bocinas inalámbricas y sus ventas se incrementan de acuerdo con la ecuación S 5 275(1.12) n, donde S son las ventas anuales en miles de bocinas, n es el tiempo en años y n 5 0 corresponde al año 2020. Calcula: a) Las ventas para los años 2020 y 2025. b) ¿En qué año las ventas serán de 607 937 bocinas?

Progresiones aritméticas

9.

Un pequeño negocio de tintorería estima que sus utilidades aumentarán en $3 200 cada mes. Si la utilidad en el primer mes fue de $32 000, ¿en cuánto tiempo tendrá una utilidad de $86 400?

Progresiones geométricas 10. Encuentra el séptimo término de la progresión 23,

6, 212, 24, . . .

11. Si en una progresión geométrica a 6 5

3 1 y r5 , 2 3

encuentra el valor del primer término.

12. La progresión geométrica 25, . . ., 2 560 consta de

10 términos. Encuentra la razón común.

13. ¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica

1 ?

256 14. La población de una ciudad ha aumentado en forma de progresión geométrica. Si en 2015 la población constaba de 1 780 000 habitantes y en 2020 era de 1 994 335 habitantes, ¿cuál fue el porcentaje de crecimiento por año?

256, 64, …,

15. Una empresa compra una máquina nueva en

$1 410 000. Si el valor de la máquina se deprecia 13% cada año, ¿en qué año su valor será de $702 774?

4.

Encuentra el trigésimo cuarto término de la progresión 14, 20, 26, 32, . . .

5.

Encuentra el primer término de la progresión aritmética cuya diferencia común es 23.5 y el término número 15 es 224.

16. Encuentra la suma de los primeros 60 términos de

Encuentra la diferencia común de una progresión aritmética donde a 1 513 y a 10 5103.

enero ahorró $700 y en cada mes posterior ahorró $200 más que el mes precedente?

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 5 13 2, ,…, 2 ?

3 3 8. Si el precio de un kilogramo de uvas se incrementa cada semana en $1.50, ¿cuál será el precio del kilogramo dentro de 10 semanas? El precio actual es de $45.

18. Arturo debe $52 000, los cuales pagará de la si-

6.

7.

Series aritméticas

la progresión aritmética 20, 32, 44, 56, . . .

17. ¿Cuánto ha ahorrado una persona en un año, si en

guiente forma: $1 000 al final del primer mes, $1 500 al final del segundo mes, $2 000 al final del tercer mes, y así sucesivamente. ¿En cuántos meses liquidará la deuda?

19. Encuentra la suma de los números pares del 30 al

60, inclusive.

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Unidad 1

Introducción a modelos socioeconómicos a través de progresiones y series

Series geométricas 20. Encuentra la suma de los primeros 15 términos de

la progresión geométrica 300, 60, 12, 2.4, . . .

21. La suma de los primeros 18 términos de una pro-

gresión geométrica es 1 310 715. Si la razón común es 2, encuentra el valor del primer término de la progresión.

22. Diana debe $175 000, los cuales pagará de la si-

guiente forma: $5 000 al final del primer mes, $5 369.50 al final del segundo mes, $5 766.31 al final del tercer mes, 6 192.44 al final del cuarto mes, y así sucesivamente. ¿En cuántos meses liquidará la deuda?

23. Fernando compró una casa que pagará en 15 años

con pagos mensuales. Si la mensualidad del primer mes fue de $3 000 y las mensualidades siguientes crecerán 1% cada mes, ¿cuál es la cantidad total que se paga por la casa? ¿Cuál es el valor del último pago?

24. Una persona pagó $2 172.72 por un paquete de

libros. Si el primer libro costó $160, el segundo $176, el tercero $193.60, y así sucesivamente, ¿cuántos libros compró?

25. Encuentra la suma de la progresión geométrica in-

finita 16, 8, 4, 2, . . .

26. ¿Cuál es la fracción equivalente que corresponde al

decimal periódico infinito 3.181818 . . .?

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Matemáticas VI. Área económico-administrativa, de la Serie ENP-UNAM, es un texto que atiende y cumple con los objetivos, contenidos y sugerencias del plan de estudios vigente, cuyo propósito es desarrollar habilidades, razonamiento lógico y crítico en el área de Ciencias Sociales, así como un enfoque multidisciplinario en las áreas económico-administrativas mediante el estudio y la aplicación de herramientas que brinden solución a los problemas y desafíos actuales, con base en el manejo de las progresiones, las matrices, las matemáticas financieras y el cálculo diferencial.

La estructura de cada unidad permite que el alumno se involucre en el proceso de aprendizaje y en la comprensión de los conceptos matemáticos, lo que le da la oportunidad de aplicar inmediatamente las técnicas aprendidas. Las explicaciones detalladas de la solución de problemas le permitirán concentrarse en un tipo específico de problema y mejorar sus habilidades de comunicación. La parte medular del texto la conforman los distintos tipos de ejercicios con los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad.

Los contenidos de la obra están divididos en cuatro unidades, que son: • Unidad 1. Introducción a modelos socioeconómicos a través de progre-

siones y series.

• Unidad 2. Introducción a las matemáticas financieras.

• Unidad 3. Matrices y sus vínculos con modelos económico-administrativos.

• Unidad 4. Aplicación de la derivada para el análisis de optimización.

Matemáticas VI. Área económico-administrativa prepara al estudiante en la utilización de la información para responder preguntas y resolver problemas del mundo real.

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