Contenido detallado

Capítulo P

Preparación para el cálculo 1

P.1 Gráficas y modelos 2

P.2 Modelos lineales y razones de cambio 10

P.3 Funciones y sus gráficas 19

P.4 Repaso de funciones trigonométricas 31

Ejercicios de repaso 41

Solución de problemas 44

Capítulo 1

Límites y sus propiedades 45

1.1 Una mirada previa al cálculo 46

1.2 Determinación de límites de manera gráfica y numérica 52

1.3 Cálculo analítico de límites 63

1.4 Continuidad y límites laterales 74

1.5 Límites infinitos 87

Proyecto de trabajo: Gráficas y límites de funciones trigonométricas 94

Ejercicios de repaso 95

Solución de problemas 98

Capítulo 2

Derivación

2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 100

2.2 Reglas básicas de derivación y razones de cambio 110

2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 122

2.4 La regla de la cadena 133

2.5 Derivación implícita 144

Proyecto de trabajo: Ilusiones ópticas 151

2.6 Razones de cambio relacionadas 152

Ejercicios de repaso 161

Solución de problemas 164

Capítulo 3

99

Aplicaciones de la derivada 165

3.1 Extremos en un intervalo 166

3.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio 174

3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 181

Proyecto de trabajo: Funciones polinomiales pares de cuarto grado 190

3.4 Concavidad y criterio de la segunda derivada 191

3.5 Límites al infinito 199

3.6 Un resumen del trazado de curvas 209

3.7 Problemas de optimización 219

Proyecto de trabajo: Tiempo mínimo 228

3.8 Método de Newton 229

3.9 Diferenciales 235

Ejercicios de repaso 242

Solución de problemas 246

Capítulo 4

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 248

4.2 Área 258

4.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 270

4.4 Teorema fundamental del cálculo 281

4.5 Integración por sustitución 296

Proyecto de trabajo: Probabilidad 308

Ejercicios de repaso 309

Solución de problemas 312

Capítulo 5

5.1 La función logaritmo natural: derivación 314

5.2 La función logaritmo natural: integración 324

5.3 Funciones inversas 333

5.4 Funciones exponenciales: derivación e integración 342

5.5 Otras bases distintas de e y aplicaciones 352

Proyecto de trabajo: Usar utilidades gráficas para estimar la pendiente 361

5.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 362

5.7 Funciones trigonométricas inversas: derivación 373

5.8 Funciones trigonométricas inversas: integración 382

5.9 Funciones hiperbólicas 390

Proyecto de trabajo: Mapa de Mercator 399

Ejercicios de repaso 400

Solución de problemas 404

Capítulo 6

6.1 Área de una región entre dos curvas 406

6.2 Volumen: método de los discos 416

6.3 Volumen: método de las capas 427

Proyecto de trabajo: Saturno 435

6.4 Longitud de arco y superficies de revolución 436

6.5 Trabajo 447

Proyecto de trabajo: Pirámide de Kufhu 455

6.6 Momentos, centros de masa y centroides 456

6.7 Presión y fuerza de un fluido 467

Ejercicios de repaso 473

Solución de problemas 476

Capítulo 7

Técnicas de integración e integrales impropias 477

7.1 Reglas básicas de integración 478

7.2 Integración por partes 485

7.3 Integrales trigonométricas 494

Proyecto de trabajo: El producto de Wallis 502

7.4 Sustitución trigonométrica 503

7.5 Fracciones parciales 512

7.6 Integración numérica 521

7.7 Integración por tablas y otras técnicas de integración 528

7.8 Integrales impropias 534

Ejercicios de repaso 545

Solución de problemas 548

Capítulo 8

Funciones de varias variables 549

8.1 Introducción a las funciones de varias variables 550

8.2 Límites y continuidad 562

8.3 Derivadas parciales 572

8.4 Diferenciales 582

8.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 589

8.6 Derivadas direccionales y gradientes 597

8.7 Planos tangentes y rectas normales 609

Proyecto de trabajo: Flora silvestre 617

En este capítulo de Cálculo vectorial es posible visualizar algunas gráficas en REALIDAD AUMENTADA

8.8 Extremos de funciones de dos variables 618

8.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 626

Proyecto de trabajo: Construcción de un oleoducto 633

8.10 Multiplicadores de Lagrange 634

Ejercicios de repaso 642

Solución de problemas 646

Capítulo 9

Integración múltiple 647

9.1 Integrales iteradas y área en el plano 648

9.2 Integrales dobles y volumen 656

9.3 Cambio de variables: coordenadas polares 668

9.4 Centro de masa y momentos de inercia 676

Proyecto de trabajo: Centro de presión sobre una vela 683

9.5 Área de una superficie 684

Proyecto de trabajo: Área de una superficie en coordenadas polares 690

En este capítulo de Cálculo vectorial es posible visualizar algunas gráficas en REALIDAD AUMENTADA

9.6 Integrales triples y aplicaciones 691

9.7 Integrales triples en otras coordenadas 702 Proyecto de trabajo: Esferas deformadas 708

9.8 Cambio de variables: jacobianos 709

Ejercicios de repaso 716

Solución de problemas 720

Apéndices A1

Apéndice A: Demostración de teoremas seleccionados A2

Apéndice B: Tablas de integración A3

Apéndice C: Repaso de precálculo (En línea)*

Apéndice D: Rotación y la ecuación general de segundo grado (En línea)*

Apéndice E: Números complejos (En línea)*

Apéndice F: Aplicaciones en los negocios y la economía (En línea)*

Apéndice G: Ajuste de modelos a conjuntos de datos (En línea)*

Respuestas a los problemas con numeración impar R1

Índice analítico I1

Índice de aplicaciones IA1

* Este material se encuentra disponible en línea. Consulte términos y condiciones con su representante Cengage.

Prefacio

Les presentamos la nueva edición de Cálculo diferencial e integral. Esta obra cuenta con novedosos recursos que le ayudarán a entender y dominar el cálculo. Este texto incluye características que hacen de él una valiosa herramienta de aprendizaje para los estudiantes y de enseñanza para los profesores.

Cálculo diferencial e integral, de Ron Larson y Bruce Edwards, proporciona instrucciones claras, matemáticas precisas y la amplia cobertura que usted espera de su curso.

La obra le ofrece acceso gratuito a LarsonCalculus.com— Un sitio web complementario con recursos para apoyar la enseñanzaaprendizaje (disponible solo en inglés).

Usted tiene acceso a videos en los que se explican los conceptos o las pruebas del libro, explorar ejemplos, ver gráficas tridimensionales, descargar artículos de revistas especializadas y mucho más.

Este material está basado en la obra completa en inglés, pero cuenta con material disponible que le ayudará en sus clases.

Caracter Sticas

NUEVO Las grandes ideas del cálculo Hemos añadido una nueva característica para ayudarlo a descubrir y entender las Grandes ideas del cálculo. Esta característica, que se denota por el icono , tiene cuatro partes.

• Las notas Grandes ideas del cálculo ofrecen una visión general de los principales conceptos del capítulo y cómo se relacionan con los conceptos que ha estudiado previamente. Estas notas aparecen casi al principio y también en el repaso del capítulo.

• En cada sección y en el repaso del capítulo, asegúrese de hacer los ejercicios de Repaso de conceptos y los de Exploración de conceptos. Estos le ayudarán a desarrollar su conocimiento del cálculo con mayor profundidad y claridad. Trabaje en estos ejercicios para desarrollar y fortalecer su comprensión de los conceptos.

• Para seguir explorando el cálculo, haga los ejercicios de Construcción de conceptos al terminar y repasar cada capítulo. Estos ejercicios no solamente le ayudarán a expandir su conocimiento y uso del cálculo, sino que lo prepararán para aprender los conceptos de capítulos posteriores.

Repaso de conceptos

1. ¿Todas las funciones son también relaciones? ¿Todas las relaciones son también funciones? Explique.

2. Explique los significados de dominio y rango

3. de aciones transfo de básicos tipos tres los son ¿Cuáles funciones?

4. coeficiente del criterio del casos cuatro los Describa principal.

Exploración de conceptos dos que funciones tengan la derivada señalada. (Hay más de una respuesta visite MathGraphs.com (disponible solo en inglés).

ideas Grandes del cálculo

Se usarán los conceptos en este capítulo a lo largo del estudio del cálculo. Tome el tiempo necesario para comprender completamente cada concepto ahora para que pueda aplicarlo más tarde. Asegúrese de completar todos los ejercicios conceptuales en este texto: repaso, exploración y construcción de conceptos. Estos ejercicios están denotados por

Construcción de conceptos

75. Considere la función

F ( x) x 0 sen 2 t dt valúeE (a) F en x 0, p 6, p 3, p 2, 2p 3, 5p 6 y p. ¿Son los valores de F crecientes o decrecientes? Explique su respuesta.

(b) Utilice las capacidades de integración de una calculadora para graficar F y y1 sen2 t en el intervalo 0 t p calculadora una de derivación de capacidades las Utilice (c) para graficar F . ¿Cómo se relaciona esta gráfica con la gráfica del inciso (b)?

(d) Verifique que sen 2 t es la derivada de y = 1 2 t 1 4 sen2t

Grafique y y escriba un párrafo corto acerca de como esta gráfica se relaciona con las gráficas de los incisos (b) y(c).

Conjuntos de ejercicios ACTUALIZADOS

Los conjuntos de ejercicios han sido examinados de manera cuidadosa y extensa para asegurar que sean rigurosos, relevantes y que incluyan los tópicos que los lectores nos han sugerido. Los ejercicios han sido nombrados y organizados a fin de que usted vea las relaciones entre los ejemplos y los ejercicios. Los ejercicios de la vida real, desarrollados paso a paso, refuerzan las habilidades de solución de problemas y el dominio de conceptos al darle la oportunidad de aplicarlos en situaciones cotidianas.

Proyectos de trabajo

En secciones específicas aparecen proyectos que le ayudarán a explorar las aplicaciones relacionadas con los tópicos que se encuentre estudiando. Todos estos proyectos ofrecen características interesantes y atractivas para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera colaborativa.

Aperturas de capítulo ACTUALIZADAS

Cada apertura de capítulo destaca aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios.

Objetivos de sección

Las listas con viñetas al inicio de cada sección señalan los objetivos de aprendizaje para que usted sepa qué contenidos se presentarán a continuación.

Teoremas

Los teoremas proporcionan el marco conceptual para el cálculo. Estos se enuncian claramente y están separados del resto del capítulo mediante recuadros que contribuyen visualmente a una lectura más dinámica. Por lo general se acompañan de pruebas que también aparecen en el sitio LarsonCalculus.com

Definiciones

Como en el caso de los teoremas, las definiciones se destacan mediante recuadros que contribuyen a una mejor referencia visual y están enunciadas claramente a través de una redacción precisa y formal.

Exploraciones

Las exploraciones proporcionan desafíos únicos para estudiar conceptos que no se han abordado formalmente en el libro y que le permiten aprender mediante el descubrimiento, así como introducir otros tópicos relacionados con los que se estudian en cada sección. Explorar los temas de esta manera lo alienta, como se dice comúnmente, a pensar fuera de la caja.

Comentarios ACTUALIZADOS

Estas pistas y consejos refuerzan o expanden los conceptos, le enseñan cómo estudiar matemáticas, lo previenen acerca de errores comunes, abordan casos especiales o muestran soluciones alternativas a un ejemplo. Hemos añadido algunos Comentarios para ayudar a los estudiantes que necesitan una tutoría más profunda en álgebra.

Notas históricas y biografías ACTUALIZADAS

Las notas históricas dan información acerca de los fundamentos del cálculo. Las biografías le presentan personajes que crearon e hicieron contribuciones a esta disciplina. En LarsonCalculus.com están disponibles muchas más.

Proyecto De Trabajo

Gráficas y límites de funciones trigonométricas f (x) = sen x x cuando x tiende a 0 es 1. f en el intervalo –p ≤ x ≤ p, gráfica a confirmar dicho teorema. numéricamente el valor de este límite. g(x) = sen x tangente en el punto (0, 0) y estime visualmente su pendiente. une a (x, sen x) con (0, 0) x = 0.1 y x = recta tangente a g en el punto (0, 0). h(x) = cos x. ¿Cuál límites para calcular analíticamente dicha pendiente.

(d) Sea (x, sen x) un punto en la gráfica de g cercano a (0, 0).

(f) Calcule la pendiente de la recta tangente a k(x) = tan x en el punto (0, 0).

3.1 Extremos en un intervalo

Definir extremos de una función en un intervalo. Definir extremos relativos de una función en un intervalo abierto. Encontrar los extremos en un intervalo cerrado.

Extremos de una función

En el cálculo, se dedica mucho esfuerzo para determinar el comportamiento de una función f en un intervalo I. ¿f tiene un valor máximo en I? ¿Tiene un valor mínimo? ¿Dónde es creciente la función? ¿Dónde es decreciente? En este capítulo se aprenderá cómo las derivadas pueden ser utilizadas para responder estas preguntas. También se verá por qué estas preguntas son importantes en las aplicaciones de la vida real.

Definición de extremos

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a c.

1. f(c) es el mínimo de f en I si f c f x para toda x en I

2. f(c) es el máximo de f en I si f c f x para toda x en I Los mínimos y máximos de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en el intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo también reciben el nombre de mínimo absoluto y máximo absoluto, o mínimo global y máximo global en el intervalo. En un intervalo dado, los puntos extremos pueden ocurrir en puntos interiores o en sus puntos finales (vea la figura 3.1). A los puntos extremos que se encuentran en los puntos finales se les llama puntos extremos finales

Una función no siempre tiene un mínimo o un máximo en un intervalo. Por ejemplo, en la figura 3.1(a) y (b), es posible ver que la función f x x 2 1 tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo cerrado [–1, 2], pero no tiene un máximo en el intervalo abierto (–1, 2). Además, en la figura 3.1(c) se observa que la continuidad (o la falta de la misma) puede afectar la existencia de un extremo en un intervalo. Esto sugiere el siguiente teorema. (Aunque el teorema de los valores extremos es intuitivamente creíble, su demostración no se encuentra dentro del objetivo de este libro.)

TEOREMA 3.1 El teorema del valor extremo Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un máximo en el intervalo.

Exploración cada caso, ¿los valores de x son exactos o aproximados? Explique.

Determinación de los valores mínimo y máximo El teorema del valor extremo (al igual que el teorema del valor intermedio) es un teorema de existencia porque indica la existencia de valores mínimo y máximo, pero no muestra cómo determinarlos. Use la función para valores extremos de una herramienta de graficación con el fin de encontrar los valores mínimo y máximo de cada una de las siguientes funciones.

Tecnología

A lo largo del libro se muestran recuadros sobre la tecnología que le enseñan cómo utilizarla para resolver problemas. Estos consejos también le advierten sobre las posibles trampas en el uso de la tecnología.

Ejercicios del tipo ¿Cómo lo ve?

Un ejercicio de este tipo en cada sección presenta un problema que deberá resolver mediante una inspección visual aplicando los conceptos aprendidos durante la lección.

Aplicaciones ACTUALIZADAS

Para responder la pregunta: “¿Cuándo podría aplicar este conocimiento?”, se han incluido en el libro ejercicios cuidadosamente seleccionados. Estas aplicaciones provienen de diversas fuentes, ya sea eventos de la actualidad, datos sobre el mundo, aplicaciones en la industria y más, todos ellos relacionados con un amplio abanico de intereses. Entender qué es o qué puede llegar a ser el cálculo favorece un entendimiento más completo del material.

Desafíos del Examen Putnam

Este tipo de preguntas aparecen en secciones muy específicas. Estas retarán su entendimiento y aumentarán los límites de su comprensión sobre el cálculo.

Caracter Stica Relevante

La nueva edición de Cálculo diferencial e integral cuenta con una nueva característica que estamos seguros resultará muy atractiva y práctica a los estudiantes y profesores.

Podrán identificar las imágenes que se pueden visualizar en Realidad Aumentada porque estarán indicadas con un recuadro.

En la mayoría de las imágenes tridimensionales incluidas en los capítulos de Cálculo vectorial en la obra, se proporciona una función en forma explícita de modo que pueda utilizarse alguna aplicación de Realidad Aumentada para visualizarla.

Las gráficas en tres dimensiones pueden visualizarse mejor utilizando alguna aplicación de Realidad Aumentada (AR, por sus siglas en inglés), por ejemplo, GeoGebra.

Los capítulos que incluyen esta nueva característica (8 y 9) podrán ser identificados porque en el contenido aparecerá este diferenciador

En este capítulo de Cálculo vectorial es posible visualizar algunas gráficas en REALIDAD AUMENTADA

Los invitamos a probar este nuevo recurso en el estudio del Cálculo vectorial.