Enrique García: «La verdad hecha pedazos» by 3nriqu3G

«... la no-verdad tiene que ser reconocida como una condición de la vida y la verdad como el ‘tipo de error sin el cual el hombre no puede vivir’» Florencio González Asenjo

[I] – INTRODUCCIÓN: DE LA LÓGICA A LAS LÓGICAS La contradicción puede considerarse «núcleo duro y fuerza propulsora del movimiento dialéctico» [01] Constituye un tema central en el Sofista de Platón (427-347 a. J.C.), y en el libro Gama de la Metafísica de Aristóteles (384/383-322 a. J.C.). La filosofía se bifurcó «desde que Aristóteles con su método analítico se opuso al método dialéctico de Platón» [02]. Sendas trayectorias de la tradición filosófica griega sellaron el devenir. Los dialécticos siguieron el pensamiento de Platón, y adoptaron el «juego de los opuestos» como fundamento de su filosofía. Los analíticos siguieron el pensamiento de Aristóteles, y defendieron el análisis como la única forma legítima de ejercer «ciencia del pensamiento» En la Edad Media, la discusión pasó por Escoto Erígena (ca. 810–ca. 877) y por Nicolás de Cusa (1401-1464), entre los dialécticos; y por Alberto Magno (ca. 1200-1280), por Tomás de Aquino (1225-1274), por Buenaventura (1217/1221-1274), por Duns Escoto (12651308) y por Guillermo de Ockam (1280-1346/1349), entre los analíticos. En el siglo XIX, encontramos a Fichte (1762-1814), a Schelling (1775-1854), a Hegel (1770-1831), y a Marx (1818-1883), entre los dialécticos; y a Tredelenburg (1802-1872), a von Hartman (1842-1906) y a Frege (1848-1925), entre los analíticos. Pero, también encontramos, entre los no alineados, «... a los grandes críticos y opositores del sistema de Hegel que son Schopenhauer [1788-1860], Kierkegaard [1813-1855] y Nietzsche [18441900]» [03] [01] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Sobre a contradiçao, EDIPUCRS, Porto Alegre, Brasil, 1996, p. 9 [02] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 9. [03] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 9.

En el siglo XX dominan los pensadores de la razón fragmentada: Heidegger (18891976), Jaspers (1883-1969), Sartre (1905-1980), y Wittgenstein (1889-1951): «El sistema ... murió de una vez para siempre, la unidad de la razón quedó residiendo en casos, ... sólo se formulan subsistemas en los cuales las razones particulares son estudiadas en sus lógicas internas, todas ellas también particulares» [04] Pareciera que ya no hay más (una sola) Lógica (en singular y con mayúscula), y que apenas hay las lógicas (en plural, y con minúscula). Ya no tenemos razón y sistema, tenemos meros casos y fragmentos. Para revertir esta tendencia, se pensó «procurar reestablecer la unidad de la razón», ya que «es preciso reconstruir el gran mosaico del sentido del mundo, de su Historia y de nuestras vidas, so pena de callarlo todo para siempre bajo el signo del absurdo ...» [05] En nuestro medio, Florencio González Asenjo supo decir que procede que asumamos que los asuntos atómicos tengan uno o dos valores de verdad. Así, los asuntos, atómicos o moleculares, serán verdaderos, falsos, o verdaderos y falsos. Denominó a esos asuntos «antinomias verdaderas y falsas», y proclamó que su propósito inmediato consistía en ampliar el cálculo proposicional clásico, para incluir operaciones con antinomias [06]

[II] – ACERCA DE LA NO-CONTRADICCIÓN [¬(p ^ ¬p)] Hay una ley del pensamiento tradicional que establece que «una cosa no puede ser ella misma y su contrario, en el mismo aspecto y en el mismo momento». Su formulación lógica expresa que «es imposible que un enunciado sea a la vez verdadero y falso» [07] Afirma que hay un «principio cierto por excelencia ... : es imposible que el mismo atributo pertenezca y no pertenezca al mismo sujeto, en un tiempo mismo y bajo la misma relación ...» [08] Sin embargo, «ciertos filósofos ... pretenden que una misma cosa pueda ser y no ser, y que se pueden concebir simultáneamente los contrarios ... » [09] Pero «... no es posible que una misma cosa sea y no sea a un mismo tiempo ... y ... se puede refutar al que lo niegue ... Pero si se quiere demostrar ... que las proposiciones opuestas son igualmente verdaderas ..., será preciso tomar un objeto que sea idéntico a sí propio, en cuanto puede ser y no ser el mismo en uno solo y mismo momento, ... y ... , sin embargo, ... no sea idéntico» Además «... es preciso ... que cada una de las palabras sea conocida, que exprese una cosa, no muchas, sino una sola ...». Y es menester reconocer que, «... en cuanto al que dice que tal cosa es y no es, niega lo mismo que afirma, y por consiguiente afirma que la

[04] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., pp. 9 y 10. [05] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Ibíd., p. 10 [06] González Asenjo, Florencio; A calculus of antinomies, Notre Dame Journal of formal logic, volume VII, number 1, january 1966, p. 103, versión on line: http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ndjfl/1093958482 [07] Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [08] Aristóteles, Metafísica, IV, 3, Espasa Calpe, Madrid, España, 1988, p. 108.

palabra no significa lo que significa. Pero ... es imposible ... que la negación de la misma cosa sea verdadera. Si la palabra designa la existencia de un objeto, y esta existencia es una realidad, necesariamente es una realidad; pero lo que existe necesariamente no puede al mismo tiempo no existir. Es, por tanto, imposible que las afirmaciones opuestas sean verdaderas al mismo tiempo respecto del mismo ser» [10]

[III] – ACERCA DE LA CONTRADICCIÓN: (p ^ ¬p) La «contradictio», locución latina que significa acción de contradecir, objeción, que traduce el griego antíphasis, es afirmación y negación opuesta, y de aquí también antipathikós, contradictorio. Se trata de un género de oposición que existe entre afirmaciones incompatibles o inconsistentes. Aristóteles, en Categorías 11,b; en Interpretación 17,b; y en Metafísica IV,10, distinguió cuatro tipos de oposiciones: (a) entre cosas correlativas (doble y mitad), (b) entre contrarios (malo y bueno), (c) entre la privación y la posesión (salud y enfermedad), y (d) entre la afirmación y la negación, que son las dos posibilidades de todo enunciado. La contradicción se da entre dos enunciados, uno de los cuales es la negación respectiva del otro. El objetivo de las discusiones dialécticas entre los griegos consistía en lograr el reconocimiento de la verdad de una proposición contradictoria a la inicialmente propuesta por un interlocutor, consiguiendo la aceptación lógica de la tesis opuesta. La lógica procura impedir que se produzca la verdad de un enunciado y la de su contradictorio simultáneamente. Para ello, se vale del principio del tercero excluido (p v ¬p) o del principio de no contradicción [¬ (p ^ ¬p)]. La oposición lógica entre enunciados contradictorios exige que, si un enunciado es verdadero, el otro sea falso... y a la recíproca. Una aplicación característica de esto se observa entre la afirmación (o –en su caso- la negación) de un enunciado de tipo universal y su negación particular. Así, la contradicción existente entre el enunciado «todos los hombres son libres» y el enunciado «algún hombre no es libre», exige que de la verdad del segundo se deduzca la falsedad del primero, o bien que el segundo sea la refutación del primero. Por la misma razón, cualquier enunciado equivale a la negación de su contradictorio. Así, «algún hombre no es libre» equivale a «no es cierto que todos los hombres sean libres». El objetivo fundamental del estudio de la lógica consiste en saber evitar afirmaciones contradictorias en la construcción de razonamientos. Por imperio de la aplicación de la regla EASQ, un argumento que contenga premisas contradictorias es siempre formalmente válido, porque nunca sucede (ni podría suceder) que sus premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa. Pero esto representa un gran inconveniente: permite inferir cualquier tipo de conclusión.

[09] Aristóteles, Metafísica, IV, 4, 1006, Ibíd., p. 109. [10] Aristóteles, Metafísica, XI, 5, Ibíd., pp. 279 y 280.

A lo largo de la historia del pensamiento, la contradicción se aplicó tanto en el ámbito de la metafísica como en el de la ontología. Parménides de Elea (s. V a. J.C.), entre los presocráticos, fue el primero en proponer la comprensión de la totalidad bajo el principio de no contradicción: decir que «es necesario que lo que no es, exista de algún modo» es imposible, porque es contradictorio. Platón inició la tarea de compaginar la fuerza lógica del principio de no contradicción con la evidencia del cambio en la naturaleza: «el no ser también es de alguna manera» [11] Aristóteles entronizó, por un lado, la validez universal de este principio aplicado a todos los seres, «es imposible que una cosa sea y no sea», de modo que no hay otro principio más cierto que éste, pero, por otro lado, sostiene que «ser» se dice de muchas maneras. La solidez del principio, en sus vertientes lógica y ontológica, es innegable y, aún con los matices necesarios, ha permanecido inconmovible en el tiempo como fundamento de la racionalidad humana, con excepción de los sistemas dialécticos. Heráclito de Éfeso (ca. 550–ca. 480 a. J.C.), que explica el cambio como tensión de contrarios, es el iniciador de esta manera de pensar. Nicolás de Cusa (en La docta ignorancia) utiliza la noción de «coincidencia de opuestos» para describir la naturaleza divina infinita y aún la naturaleza del hombre como representación finita suya. En la dialéctica, tanto del idealismo de Fichte y de Hegel como del materialismo dialéctico de Marx, la contradicción vendrá a ocupar un puesto lógico y ontológico fundamental. No sólo es un momento dialéctico de la razón, sino que es también un momento de la dialéctica de la realidad, es decir como estadio del desarrollo del espíritu o (según Marx) como motor de la historia. Desde una perspectiva opuesta, Karl Popper (1902-1994) advierte sobre el peligro histórico y filosófico que entraña desestimar el principio de no contradicción.

[IV] – LA EXPANSIÓN DE UN NUEVO CAMPO DE CONOCIMIENTO La historia de la filosofía reciente registra unos cuantos hechos que certifican la importancia que alcanzaron las lógicas no-clásicas. Así es, (aa) en 1997 tuvo lugar (en Gent, Bélgica) el Primer Congreso Mundial sobre Paraconsistencia; (ab) en 2000 tuvo lugar (en San Sebastián, San Pablo, Brasil) el Segundo; y (ac) en 2003 tuvo lugar (en Toulouse, Francia) el Tercero. Cada uno de estos encuentros concentró un número creciente de investigadores. Paralelamente, la prestigiosa Mathematical Reviews, publicación mensual de la American Mathematical Society, que comúnmente presentaba reseñas de artículos provenientes de las más variadas y prestigiosas publicaciones, comienza a indagar qué es lo que hoy debe entenderse por matemática, al par que habilita una sección dedicada a la lógica paraconsistente. A partir del año 2000, la mencionada sección pasó a formar parte de un continente más amplio, el de las «lógicas que admiten inconsistencias», en cuyo seno se reunieron (entre otras) la «lógica paraconsistente» y la «lógica discursiva».

[11] Platón, Diálogos, Volumen V: Sofista 240, Biblioteca Básica Gredos, Barcelona, España, 2000, p. 389.

Cambios de ese tenor son frecuentes en el ámbito de las publicaciones científicas especializadas. De tanto en tanto, el comité editorial de la Mathematical Reviews, al igual que su similar alemana, la Zentralblatt für Mathematik, actualiza la taxonomía de la «matemática de nuestro tiempo», reordenando temáticas, suprimiendo algunos asuntos, o agregando otros que han sido considerados importantes. Se puntualiza allí que lo que es parte de una disciplina tan dinámica como la matemática, depende de múltiples factores y cambia con el transcurrir del tiempo. Pero, ¿qué representa el hecho de que las lógicas paraconsistentes figuren en una sección de la renombrada Mathematical Reviews?, ¿cómo debe juzgarse la realización de los congresos mencionados? Acaso, ¿estos hechos, medidos en términos científicos, no representan un cambio importante? Parece que las lógicas no-clásicas pasaron a constituir un tópico «oficialmente reconocido» de la matemática actual. Tanto el reconocimiento de la importancia, cuanto las perspectivas de esta especialidad lógica, se siguen de la expansión de un campo de conocimiento suficientemente amplio y fecundo que justifica la celebración de congresos y la difusión doctrinal sobreviniente.

[V] – LO HEREDADO Y LO INNOVADO Fue Aristóteles quien estableció la primera sistematización de la lógica. No obstante algunas formulaciones posteriores (poco conocidas hasta los inicios del siglo XX), los principios básicos de la lógica aristotélica permanecerían sin alteraciones significativas hasta el siglo XIX. Kant (1724-1804) supo decir que, en materia de lógica, no habría nada más que agregar a lo ya expresado por Aristóteles. Sin embargo, a partir de mediados del siglo XIX, algunos matemáticos como Boole (1815-1864), como Frege, y como Peano (1858-1932), realizarían importantes contribuciones al desarrollo de la «lógica matemática». Así, la lógica se convirtió en una disciplina con características matemáticas, alcanzó un desenvolvimiento extraordinario, y se difundió ampliamente con las más variadas repercusiones en casi todos los campos del saber. Tal como se dijo precedentemente, entre los principios de la lógica clásica de cuño aristotélico fue proverbial el principio de no contradicción, que bien puede ser formulado de varias maneras. Una de ellas (a), proclama que entre dos proposiciones contradictorias, si una de ellas comporta la negación de la otra, la otra debe ser falsa [12] Dicho de otro modo, las proposiciones contradictorias no pueden ser simultáneamente verdaderas: una proposición que se formula como una conjunción de dos proposiciones contradictorias [13], no puede ser nunca verdadera [¬(p ^ ¬p)]. Existen, sin embargo, importantes razones como para evitar no sólo la presencia de proposiciones contradictorias en los argumentos, sino de contradicciones también. Técnicamente, si en un sistema deductivo basado en una lógica de [12] Por ejemplo: dado un cierto número natural n, entre la proposición «el número n es par», y la proposición «el número n no es par», una de ellas debe ser falsa. [13] Por ejemplo «el número n es par y el número n no es par».

raigambre clásica hay dos teoremas contradictorios (o si se derivase como conclusión una contradicción), todas las expresiones bien formadas de su lenguaje podrían ser demostradas. En un sistema así, todo podría (y puede) probarse. Un sistema de esta clase bien puede ser considerado como trivialmente [14] inconsistente, es decir que en ese sistema es posible deducir cualquier afirmación. Duns Escoto fue el primero en expresar esta idea mediante el principio conocido como Ex contradictione quodlibet (ECQ) o, Ex falsum sequitur quodlibet (EFSQ), que debe entenderse como «de lo absurdo puede derivarse una fórmula arbitraria» (EASQ), que conduce a la lógica intuicionista. Entre 1910 y 1913, el lógico polaco Lukasiewicz (1878-1956) [15] y el lógico ruso Vasiliev (1880-1940) llamarían la atención, cada quien por su lado, sobre el hecho de que, tal como sucediera con los axiomas de la geometría euclidiana, algunos principios de la lógica aristotélica, incluyendo al principio de no contradicción, podrían ser revisados. Como se sabe, el cuestionamiento del llamado quinto postulado de Euclides (s. IV-III a. de J.C.) [16], el famoso postulado de las paralelas, mostró su independencia respecto de los demás axiomas de la geometría euclidiana, pudiendo, en consecuencia, ser sustituido por alguna forma de negación. Esto dio origen a las llamadas «geometrías no-euclidianas», de importancia capital. En el campo de la lógica, Lukasiewicz se ciñó al análisis crítico del principio de no contradicción, en tanto que Vasiliev [17] llegó a desarrollar una silogística que limitaba el uso del referido principio. Los sistemas de da Costa (1929-) (quien definió las «lógicas C», una jerarquía sistémica con una infinidad de subsistemas) se extenderían mucho más allá del nivel proposicional. da Costa desarrolló cálculos proposicionales, cálculos de predicados con y sin igualdad, cálculos con descripciones, y teorías de conjuntos. Fue (y es) reconocido como el creador de las lógicas paraconsistentes [18], que han cristalizado formando tradición en Australia y en Brasil. [14] La propiedad de trivialización se suele presentar de las dos siguientes forma: (a) A, ¬A ¦- B; y (b) (A ^ ¬A) ¦- B. [15] Sus estudios enfocaron la lógica matemática, los problemas filosóficos relacionados con ella y la historia de la lógica. Para solucionar el problema de los futuros contingentes propuso la posibilidad de lógicas polivalentes y fue el primero en desarrollar la lógica trivalente. Junto con Tarski (1902-1983), en 1930 escribe Investigaciones sobre el cálculo proposicional, principal obra en la que desarrolla su concepción polivalente de la lógica. Cf.. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [16] Se lo considera como el gran sistematizador de la matemática del mundo antiguo, ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometría como un sistema formal axiomático-deductivo, que consta de definiciones, postulados, y teoremas. El texto ha servido de modelo para todo sistema axiomático. La importancia que adquirió Euclides de Alejandría deriva del método axiomático utilizado, que representa un modelo de lo que significa el rigor científico. Cf. Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM,Ibíd.. [17] Fue un discípulo de Lukasiewicz, S. Jaskowski (1906-1965), quien en 1949 construyó una lógica no trivial que podría ser aplicada a sistemas que contemplan contradicciones. El sistema de Jaskowski, conocido como lógica discursiva, se limitó a enfocar una parte de la lógica denominada de cálculo proposicional. Por su parte, el lógico brasileño Newton C. A. da Costa, por entonces profesor de la Universidad Federal del Paraná, fue quien, independientemente de Jaskowski, inició, a partir de la década del ’50, estudios tendientes a desarrollar sistemas lógicos que contuvieran contradicciones. [18] El término «paraconsistente», que significa «al lado de la consistencia», fue acuñado en 1976 por el filósofo peruano Francisco Miró Quesada (1918-), según se desprende (a) de la correspondencia

Dicho de una manera poco académica, una lógica es paraconsistente si puede fundamentar sistemas deductivos inconsistentes, o sea, sistemas no triviales [19] que admiten tesis contradictorias en general y, en particular, una contradicción. En términos comparativos: si la lógica clásica concibe que

Como campo de investigación, la lógica paraconsistente se desarrolló intensamente, habiendo llamado la atención de gran número de pensadores en todo el mundo. En Brasil (en gran medida por la influencia de da Costa) comienza a desarrollarse una línea de pensamiento fuerte, cultivada por lógicos de renombre internacional y extendida por casi todo el país. Es importante destacar que sistemas diferentes a los de da Costa, igualmente abarcativos de inconsistencias, fueron elaborados con posterioridad por investigadores australianos, belgas, norteamericanos, japoneses, italianos y brasileños. Algunos cultores de esos sistemas alternativos consideran que la lógica clásica debería ser sustituida por los sistemas alternativos. Es el caso del gran matemático holandés Brouwer (1881-1966), quien, a comienzos del siglo XX, sostuvo que la matemática tradicional debería ser reemplazada por la intuicionista, que él había desarrollado. No es la opinión de da Costa. Para da Costa, la lógica clásica (que califica como la «madre de todas las lógicas») tiene valor permanente en su campo de aplicación, y no tiene por qué ser reemplazada. Así, a pesar de ser el creador de las lógicas paraconsistentes, da Costa no asegura que ellas sean las únicas verdaderas, sino que su aplicación está indicada en pos del mejor entendimiento de ciertos fenómenos, de su tratamiento en áreas específicas del saber. En síntesis, para que un sistema constituya una lógica paraconsistente, debería satisfacer al menos las siguientes condiciones: (a) el principio de no contradicción no debe ser válido, esto es: ¦= ¬(A ^ ¬A); (b) la regla ECQ (Ex contradictione quodlibet) no debe

que mantuvieron Miró Quesada y da Costa, y (b) la propuesta que formulara en el Tercer Simposio Latinoamericano sobre Lógica Matemática, celebrado en el mismo año. [19] En el sentido de que no todas las fórmulas tenidas como expresiones bien formadas de su lenguaje, sean teoremas del sistema.

ser una inferencia válida, es decir (A ^ ¬A) ¦= B; y (c) las leyes y reglas de la lógica clásica compatibles con A, ¬A ¦- B y con (A ^ ¬A) ¦- B deben continuar siendo válidas [20]

[VI] – MÚLTIPLE APLICABILIDAD DE LAS LÓGICAS PARACONSISTENTES La lógica paraconsistente no se limita a circunscribir sus aplicaciones a cuestiones meramente teóricas o filosóficas. Uno de los campos más fértiles donde ha florecido, ha sido en la ciencia de la computación, en la ingeniería y hasta en la medicina. En inteligencia artificial, por ejemplo, fue usada [21] en el diseño de sistemas especiales de uso médico. En ese campo se pueden imaginar situaciones en las que un paciente puede «entrevistarse» con un computador y, mediante preguntas y respuestas, el computador puede llegar a diagnosticar, en su caso a distancia, y hasta indicar y llevar adelante la terapia asistida correspondiente: un experto que trabaje con un programador de software puede crear un programa que emule una consulta entre médico y paciente. La experiencia, las ideas y la pericia de los mejores médicos, abogados, y especialistas se ponen a disposición de una audiencia mucho más amplia. Con un sistema de avanzados expertos, el médico tratante podría discutir el problema con cualquier experto de renombre, a cualquier hora del día. El software proporcionaría las recomendaciones orientadas hacia tantísimas situaciones de la medicina individual o colectiva [22] En la elaboración de tales sistemas, que deben ser desarrollados en lenguajes mediante los cuales se puedan extraer conclusiones (inferencias) a partir de ciertas premisas, los científicos en general entrevistan a varios médicos especialistas. Acumulan la información convenientemente organizada en gigantescos bancos de datos modulados y dispuestos en red que contienen las opiniones relevadas y la casuística asociada, y a partir de ese banco de datos el sistema extrae conclusiones valiéndose de las reglas de la lógica. Empero, debido a la gran complejidad característica de la ciencia médica, en la decisión de los médicos reside cierto ejercicio discrecional de la profesión, lo que genera la presencia de opiniones divergentes, cuando no abiertamente contradictorias, sobre un cuadro clínico impreciso. Si en el banco de datos se almacenó información que se contradijera reflejando opiniones contrapuestas y, además, el sistema opera con la lógica clásica, puede producirse una contradicción que determina la trivialidad del sistema como un todo. Para poder considerar programas que operen bases de datos que contengan información contradictoria, es aconsejable recurrir a la lógica paraconsistente, para controlar el riesgo de trivialización emergente. Se puede demostrar que las lógicas paraconsistentes (en verdad ciertas teorías de conjuntos que de ellas se originan) generalizan

[20] Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Buenos Aires, Argentina, 2003, p.161. [21] Por V. S. Subrahmanian, de la Universidad de Siracusa, en los Estados Unidos, en la década del ’80. [22] Burrus, Daniel y Gittines, Roger; Tecnotendencias (traducción al español de Alejandro Tiscornia), Editorial Atlántida, Buenos Aires, Argentina, 1994, p. 100.

la teoría de conjuntos borrosos [23] (fuzzy sets). Eso trae aparejado otra variedad de aplicaciones, permitiendo que se construyan mecanismos que permiten considerar una variedad de comandos mucho más abarcantes que los antiguos «sí» y «no». Ensayos análogos de aplicaciones se han llevado a cabo en materia de control de calidad, robótica, control de tráfico aéreo, secuenciación del genoma humano, y cirugía asistida de alta complejidad. Varios otros asuntos relacionados con las lógicas paraconsistentes podrían ser mencionados. Entre ellos, la aplicación a la ciencia del Derecho de las lógicas paraconsistentes deónticas [24]. En las lógicas deónticas, nociones como «obligatorio» y «permitido» pueden ser tratadas formalmente, y esos operadores pueden ser interpretados como obligatoriedad o permisividad ante la ley, o en conformidad con algún sistema ético. El reciente desenvolvimiento de lógicas cuánticas paraconsistentes, el análisis de cuestiones que contemplan creencia y aceptabilidad, entre otros, constituyen ejemplos importantes de uso de esas lógicas. Importa mencionar también que han sido desarrolladas las bases de una «matemática paraconsistente». Tales estudios se hallan encuadrados en el campo de la matemática pura. El tema es promisorio y con seguridad alcanzará relevancia en el medio científico, en la medida en que se vayan encontrando nuevas aplicaciones.

[VII] – UNA LÓGICA DISTINTA DE LA (LÓGICA) CLÁSICA La debilidad de la negación de las lógicas paraconsistentes y la admisibilidad de contradicciones ha permitido emplear la lógica paraconsistente, en particular la de da Costa, en el campo de la psicología, específicamente en el análisis de la teoría freudiana sobre el inconsciente. Uno de los primeros sistemas de lógica paraconsistente surgió en 1954, cuando Florecio González Asenjo [25], publicó un artículo titulado La verdad, la antinomicidad y los procesos mentales, que constituye uno de los primeros esbozos de sus estudios iniciados en La Plata y finalizados en Washington. El sistema de F. G. Asenjo es conocido como lógica

[23] Lógica multivalente que permite obtener valores intermedios para poder redefinir evaluaciones convencionales como sí/no, como verdadero/falso, o como blanco/negro. Las nociones como «más bien caliente» o «poco frío» pueden formularse matemáticamente y ser procesadas por computadora. De esta forma se ha realizado un intento de aplicar una forma más humana de pensar en la programación de computadoras. La lógica borrosa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor en la Universidad de California. [24] Es la lógica que trata de «enunciados deónticos» que, o son normas o son enunciados sobre normas. Antiguamente identificada con la «lógica de las normas», se tiende ahora a diferenciar la lógica deóntica (de enunciados descriptivos sobre normas) de la «lógica de las normas» (de enunciados prescriptivos, que son normas). Se construye con los operadores deónticos «es obligatorio» (O) y «está permitido» (P), que se añaden a enunciados construidos según la lógica de enunciados, aunque con reglas propias de inferencia. Su estructura refleja la de la lógica modal, siendo en realidad una rama de la misma. Los mejores estudios de lógica deóntica de la época moderna se deben al finlandés Georg Henrik von Wright (1916-2003). [25] «... sostiene que la no-verdad tiene que ser reconocida como una condición de la vida y la verdad como el ‘tipo de error sin el cual el hombre no puede vivir’» Cf. Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Ibíd., p. 182.

antinómica trivalente [26] (LA). Da cuenta de proposiciones antinómicas, es decir, de contradicciones. El tercer valor de verdad, además del verdadero (V) y del falso (F), es interpretado como verdadero y falso (V & F). Las matrices (que coinciden plenamente con las matrices del sistema LP propuesto con posterioridad por Priest, y que involucran los mismos resultados) correspondientes son las siguientes:

González Asenjo establece una correlación entre antinomicidad y procesos mentales. Parafraseando a Freud (1856-1939), sostiene que (a) las ideas más contradictorias pueden coexistir y tolerarse mutuamente; que (b) impulsos contrarios existen en la vida mental sin cancelarse ni disminuir; y que (c) la negación no es una línea divisoria que separa tajantemente opuestos contradictorios. Es precisamente a estos efectos que propone el tercer valor (V & F), a pesar de que, en lugar de desarrollar formalmente el sistema correspondiente, se extiende en un análisis de la antinomicidad de la vida mental y hasta esboza una clasificación tipológica de las antinomias mentales [27] González Asenjo ha investigado las trayectorias de la ontología formal, es decir sobre el aspecto de la ontología general que estudia las ideas primitivas (categorías), mediante las cuales aprehendemos conceptualmente la realidad. Tales ideas primitivas, en cuanto que suponen actos de pensamiento, poseen necesariamente un lado noético y un lado noemático. Noético representa el factor inteligente de la experiencia que nos permite interrogar con sentido a la realidad. Noemático participa en la constitución de las objetividades de la conciencia; son auténticas presencias de lo real tal como es aprehendido por cada nóesis categorial ordenadora: «... las categorías ... no sólo son las ‘puertas y ventanas’ conceptuales de la conciencia, sino también aspectos de la realidad misma que por ella asoma o irrumpe [la conciencia] ... En esta línea de pensamiento ... ninguna adquisición de la sabiduría humana se anula por un nuevo logro; lejos de ello cada nueva ontología supone

[26] Los sistemas lógicos con más de dos valores se denominan sistemas lógicos multivalentes o lógicas multivalentes; así, trivalente se denomina al sistema lógico o a la lógica que opera con tres valores.

necesariamente las anteriores, de cuyas limitaciones es deudora» [28] La ontología formal es ontología porque proviene y se dirige hacia lo real. Es, además formal, por cuanto es aplicable. Pero supone la perfectibilidad del ser. Admite que el mundo que puede describir sólo posee una región indefinida en común con el mundo existente, cuya delimitación progresiva dentro de esquemas más amplios constituye el tema de los venideros. No es la apariencia de los entes lo que cuenta, sino el esfuerzo por aprehenderlos en su ser con la mayor justeza.

[VIII] – CONCLUSIÓN: NO HAY UNA (SOLA) LÓGICA (QUE SEA) VERDADERA «¿Qué lógica elegir -dice F. G. Asenjo- de las innumerables que ... nos ofrecen con igualdad de validez ...? El principio del tercero excluido ha dado lugar ... a una ramificación de la lógica y de la matemática. Hay lógicas que admiten otros valores además de la verdad y la falsedad. Hay lógicas de clases, lógicas de relaciones, lógicas combinatorias, lógicas algebraicas abstractas, lógicas probabilísticas, lógicas de lenguajes formalizados, etc. En virtud de ... ello, el ... concepto de verdad posee hoy un carácter ... más convencional ... Lejos ... de estar constituida por leyes necesarias e indubitables, la lógica posee un carácter fundamentalmente contingente... Nos enfrentamos con un repertorio de lógicas a nuestra disposición. Una ... es la lógica aristotélica, por ninguna razón sistemática ... más verdadera que las demás ...» ¿Con esto está comprometida la noción de ontología formal? «Sí; la existencia de un objeto genérico y el valor de verdad de la significación correspondiente están limitados a la teoría lógica dentro de la cual hemos derivado una proposición, eventualmente falsa en otro sistema. El ser de los objetos genéricos deja su apariencia absoluta y necesaria y se convierte en el ser dentro de determinada teoría y [en el] no-ser dentro de otra ...» [29] En cambio «una teoría que a toda información que afirma agrega también la negación de esta información -dice Popper- no suministra ninguna información en absoluto. Una teoría que contiene una contradicción es, por consiguiente, totalmente inútil como teoría» [30] En síntesis, no hay una (sola) lógica (que sea) verdadera. Distintos sistemas lógicos pueden ser útiles en el abordaje de diferentes aspectos de los tantos campos del conocimiento: «Actualmente hay que aceptar una forma de pluralismo lógico, en el cual varios sistemas (igualmente incompatibles entre ellos) pueden convivir, cada uno prestándose al esclarecimiento o fundamentación de un determinado concepto o área del [27] Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Ibíd., p. 182. [28] González Asenjo, Florencio; El todo y las partes-Estudios de ontología formal, Editorial Tecnos, Madrid, España, 1962, pp. 16 y 17. [29] González Asenjo, Florencio; El todo y las partes-Estudios de ontología formal, Ibíd., p. 8 [30] Popper, Karl R; El desarrollo del conocimiento científico, Editorial Paidós, Buenos Aires, Argentina, 1979, p. 367.

saber sin que eso nos presente un problema», porque «... al final, la metalógica que rige todo eso es paraconsistente» [31]

[IX] – BIBLIOGRAFÍA

[01] Cirne-Lima, Carlos R. V.; Sobre a contradiçao, EDIPUCRS, Porto Alegre, Brasil, 1996. [02] Burrus, Daniel y Gittines, Roger; Tecnotendencias (traducción al español de Alejandro Tiscornia), Editorial Atlántida, Buenos Aires, Argentina, 1994. [03] Cortés Morató, Jordi y Martínez Riu, Antoni; Diccionario de filosofía en CD-ROM, Editorial Herder S.A., Barcelona, España, 1996. [04] González Asenjo, Florencio; A calculus of antinomies, Notre Dame Journal of formal logic, Volume VII, Number 1, January 1966, versión on line: http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ndjfl/1093958482 [05] González Asenjo; Florencio; Antinomicity and the axiom of choice, Logic and Logical Philosophy, Volume 4 (1996), 53–95; versión on line: http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ndjfl/1093958482 [06] González Asenjo, Florencio; El todo y las partes-Estudios de ontología formal, Editorial Tecnos, Madrid, España, 1962. [07] Jacquette, Dale; A companion to philosophical logic, Blackwell Publishers Inc., Massachusetts, USA, 2002. [08] Krause, Décio; A lógica paraconsistente, versión on line: http://www.cfh.ufsc.br/~nel/paraconsistente.html [09] Ojeda Aciego, Manuel; Lógica, Matemática, Deducción Automática, versión on line: http://sevein.matap.uma.es/~aciego/TR/gaceta.pdf [10] Omodeo, Eugenio G.; Brevissimi cenni di storia della logica, versión online: http://www.univ.trieste.it/~eomodeo/Informatica0405/cenniStorici.pdf [11] Palau, Gladys; Introducción a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Buenos Aires, Argentina. 2003. [12] Peña, Lorenzo; Introducción a las lógicas no-clásicas, versión on line: http://www.ifs.csic.es/sorites/lp/books/inlonocl.pdf

[31] Krause, Décio; La lógica paraconsistente, Universidad Federal de Santa Catarina, República Federativa del Brasil, mayo de 2004, versión on line www.cfh.ufsc.br/~dkrause.