Ιστορία των μαθηματικών by math-Ellinas

περιεχόμενα πρόλογος του Ian Stuart 6 εισαγωγή 8

έτος μηδέν 9

παρατηρητές του ουρανού 15

το πυθαγόρειο θεώρημα 21

τα στοιχεία 27

δέκα υπολογιστικοί κανόνες 33

μαθηματικές σούτρες 39

το σπίτι της σοφίας 45

οι ελεύθερες σπουδές 51

η προοπτική της αναγέννησης 59

μαθηματικά για τον κοινό πλούτο 67

ο γάμος της άλγεβρας και της γεωμετρίας 77

το ωρολογιακό σύμπαν 85

τα μαθηματικά σε κίνηση 99

ωκεανοί και αστέρια 111

η πεμπτοβάθμια εξίσωση 119

νέες γεωμετρίες 125

οι διάλεκτοι της άλγεβρας 133

πεδία δράσης 139

συλλαμβάνοντας το άπειρο 147

2.0

ζάρια και γονίδια 153

2.1

πολεμικά παιχνίδια 159

2.2,

μαθηματικά και μοντέρνα τέχνη 165

2-3

κώδικες μηχανής 173

2-4

χάος και πολυπλοκότητα 179 ευχαριστίες και επιλεγμένη βιβλιογραφία 188 ευρετήριο

190

εισαγωγή «Και σε τι χρησιμεύει ένα βιβλίο», σκέφτηκε η Αλίκη, «χωρίς εικόνες και διάλογους;» Λούις Κάρολ, Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων, 1865

Αυτό το βιβλίο δημιουργήθηκε γιατί δεν υπήρχε. Αναζητούσα ένα τρόπο να αναπαραστήσω την ιστορία των μαθηματικών με κάποιο προσιτό τρόπο. Αντί να ξεναγήσω τον αναγνώστη μου σε μια σειρά μεγάλων θεωρημάτων, επέλεξα να δείξω παραστατικά τους στενούς δεσμούς που είχαν οι μαθηματικές επιστήμες με τα ενδιαφέροντα και τις φιλοδοξίες των πολιτισμών, στους κόλπους των οποίων αναπτύχθηκαν. Σκέφτηκα ότι αυτό θα μπορούσε καλύτερα να επιτευχθεί αν συνδύαζα την παραστατική πλευρά των μαθηματικών με τα γραπτά σχόλια των ίδιων των επιστημόνων, ταξινομημένα ανάλογα με τις ιστορικές περιόδους και τις αντίστοιχες θεμελιώδεις εξελίξεις των μαθηματικών ιδεών. Οι περιορισμοί του χώρου και του χρόνου σημαίνουν ότι δεν μπορώ να αφηγηθώ ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών. Αναγκαστικά λοιπόν, αυτό το βιβλίο παρουσιάζει επιλεγμένα επεισόδια μιας ιστορίας που παρακολουθεί τις τύχες μερικών απ' τους μεγαλύτερους πολιτισμούς του κόσμου. Απ' την αρχή τους, τα μαθηματικά ήταν παρόντα σε κάθε πλευρά της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εμπόριο, γεωργία, θρησκεία, πόλεμος - σε όλα είναι αισθητή η επιρροή των μαθηματικών και όλα με τη σειρά τους έχουν απασχολήσει τους μαθηματικούς. Και όμως η ιστορία των μαθηματικών παραμένει κατά μέγα μέρος κρυμμένη από τη ματιά του μελετητή. Εγώ θα έφτανα στο σημείο να πω ότι η εξέλιξη της επιστήμης, της φιλοσοφίας και των μαθηματικών, συγγενών μεταξύ τους κλάδων, είναι πολύ πιο σημαντική για την ιστορία της ανθρωπότητας απ' ό,τι μια απαρίθμηση ηγεμόνων και πολέμων. Σε μια κοινωνία με έξοχα επιστημονικά επιτεύγματα, ελπίζω ότι αυτό το βιβλίο θα συνεισφέρει στη δημιουργία ενός πολιτισμού της επιστήμης. Οι επιστήμες και ιδιαίτερα τα μαθηματικά ποτέ δεν διέθεταν την αστραφτερή δημόσια εικόνα που είχαν οι τέχνες και έτσι δεν αιχμαλώτιζαν τις καρδιές και τα μυαλά των ανθρώπων με τον ίδιο τρόπο. Κάποια αλληλεπίδραση έχει ήδη υπάρξει δεδομένου ότι έννοιες όπως η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική, η τεχνική νοημοσύνη και το θεώρημα της μη πληρότητας έχουν γίνει αναπόσπαστο μέρος της σύγχρονης σκέψης. Όμως όταν οι μαθηματικοί μιλάνε για την ομορφιά του αντικειμένου τους, αυτό θεωρείται συχνά ότι δεν είναι παρά η αμήχανη εκδήλωση του υποτυπώδους συναισθηματισμού ενός ανθρώπου που έχει μείνει πολύν καιρό απομονωμένος στο γυάλινο πύργο του. Ωστόσο, η χρήση των υπολογιστών έχει κάνει την ομορφιά των μαθηματικών προσιτή σε όλους. Αντικείμενο των μαθηματικών δεν είναι τα δυσνόητα σύμβολα. Είναι οι ιδέες: ιδέες για το χώρο, το χρόνο, τους αριθμούς, τις σχέσεις. Είναι η επιστήμη των ποσοτικών σχέσεων, που η ολοένα και αυξανόμενη πολυπλοκότητα τους αντικατοπτρίζει την τάση του ανθρώπου να αναζητά τη γνώση. Και όλες οι ιδέες γεννιούνται από εικόνες του νου. Με τη συνεχώς αυξανόμενη ισχύ των υπολογιστών, τα μαθηματικά αναβαπτίστηκαν σε εικονιστική επιστήμη. Οι ιδιόμορφες κατασκευές που απαντώνται στα χαοτικά και στα πολύπλοκα συστήματα παρακάμπτουν το δάσος των συμβόλων και προσφέρουν στον καθένα τη δυνατότητα να αντικρίσει ανάγλυφο το μαθηματικό τοπίο. Γεννιέται μια καινούργια αισθητική που συνδυάζει τη μαθηματική ακρίβεια με την αισθητική ευαισθησία. Ένα μεγάλο μέρος αυτού του βιβλίου σκοπό έχει να καταδείξει ότι αυτό το μίγμα υπήρχε πάντα, άλλοτε σε μικρό και άλλοτε σε μεγάλο βαθμό. Οι δύο αυτές κουλτούρες έχουν περάσει μια μεγάλη περίοδο μνηστείας, η οποία όμως ακόμα δεν έχει οδηγήσει στο χορό του Ησαΐα.

< πήλινη πινακίδα με λογαριαΤο κάθε βιβλίο πρέπει να έχει ένα πρώτο κεφάλαιο με μια εναρκτήρια φράση. Η ιστορία σμούς σε σφηνοειδή γραφή από το 5εν είναι κάτι τόσο τακτικό και νοικοκυρεμένο και η αναζήτηση της πρώτης χρήσης των αριθμών είναι ένα ταξίδι στις ομιχλώδεις απαρχές της ανθρώπινης ζωής και του πολιτισμού. Οι αρχαιολόγοι και οι μελετητές προσπαθούν να ανασυστήσουν το παζλτης προϊστορίας μας από μερικές πήλινες πινακίδες. Οι καινούργιες ανακαλύψεις δεν είναι μόνο καινούργιες ψηφίδες σ' αυτό το παζλ, αλλά μπορούν να αλλάξουν ριζικά την όλη εικόνα του παρελθόντος και τη σχέση μας μ' αυτό. Πρέπει να το έχουμε αυτό υπόψη, καθώς θα εξετάζουμε μερικές απ' τις παλαιότερες μαρτυρίες μαθηματικής δραστηριότητας και, στη συνέχεια, τους μαθηματικούς πολιτισμούς της Μεσοποταμίας και της Αιγύπτου. Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μία περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35000 π.Χ. Μοιάζει με τα «ημερολογιακά ραβδιά» που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το 30000 π.Χ. φέρει 55 εγκοπές σε δυο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων. Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήματα είναι το αποκαλούμενο Κόκαλο Ισάνγκο, που βρέθηκε στις όχθες της λίμνης Έντουαρντς, ανάμεσα στην Ουγκάντα και στη Λαϊκή Δημοκρατία του Κονγκό. Έχει χρονολογηθεί γύρω στο 20000 π.Χ. και μοιάζει να είναι κάτι παραπάνω από πίνακας θηραμάτων. Μικροσκοπική ανάλυση αποκάλυψε πρόσθετες εγκοπές, οι οποίες μπορούν να συσχετισθούν με τις φάσεις της σελήνης. Δεδομένης της σημασίας της πρόβλεψης της πανσελήνου, πιθανόν για λατρευτικούς λόγους αλλά σίγουρα για τον εξαιρετικά πρακτικό λόγο της νυχτερινής ορατότητας, δεν ήταν καθόλου παράξενο που οι νεολιθικοί άνθρωποι έδιναν τόση σημασία στην καταγραφή των μεταλλαγώντου μεγάλου ρολογιού του ουρανού. Στην πραγματικότητα, μέσω της αστρονομίας, της αστρολογίας ή της κοσμολογίας, ο ουρανός άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών. Απ' τη Μεσοποταμία, τη γη μεταξύ των ποταμών Ευφράτη και Τίγρη, έχουμε γραπτά αρχεία που εκτείνονται μέχρι το 3500 π.Χ. περίπου. Η περιοχή κατακτήθηκε κατά καιρούς από διάφορους λαούς. Οι παλαιότεροι, Σουμέριοι και Ακκάδες, έδωσαν τη θέση τους στους τεχνίτες του σιδήρου Χεπαίους, οι οποίοι υπέκυψαν στους τρομερούς Ασσύριους. Ακολούθησαν οι Χαλδαίοι και ο περίφημος βασιλιάς τους Ναβουχοδονόσωρ, ώσπου κατακτήθηκαν κι εκείνοι απ' τους Πέρσες, οι οποίοι με τη σειρά τους υποτάχθηκαν στις στρατιές του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Το κέντρο εξουσίας ήταν αρχικά στην Ουρ και μετά στη Νινευή και στη Βαβυλώνα. Τα κυριότερα μαθηματικά στοιχεία προέρχονται απ' την Παλιά Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία (1900-1600 π.Χ.), όπου έχουμε σουμεριακές και ακκαδικές επιδράσεις, και από τη δυναστεία των Σελευκιδών του 4ου αι. π.Χ., όπου είναι εμφανείς οι ελληνικές και βαβυλωνιακές επιδράσεις. Λόγω της μεγάλης σημασίας που είχε η Βαβυλώνα σε όλη αυτή την περίοδο, τα τότε μαθηματικά είναι γνωστά ως βαβυλωνιακά. Το σημερινό δεκαδικό σύστημα είναι ένα σύστημα θεσιακού συμβολισμού με βάση το 10 - με άλλα λόγια, 10 μονάδες της μιας αριθμητικής θέσης αντιστοιχούν με 1 μονάδα της αμέσως ανώτερης, οπότε η θέση ενός ψηφίου καθορίζει την αξία του. Τα παλαιότερα γραπτά που έχουμε δείχνουν ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα εξηνταδικό σύστημα, με βάση δηλαδή το 60. Έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Έτσι, π.χ.,

Α Βαβυλωνιακή μαθηματική πινακίδα με πίνακα πολλαπλασιασμού. Ο πηλός ήταν άφθονος στη Μεσοποταμία και οι πινακίδες χρησιμοποιούνταν από τους μαθητές σαν τετράδια. Όσο ο πηλός παρέμενε νωπός, μία πράξη μπορούσε να σβηστεί και να γραφτεί μία καινούργια. Τις στεγνές πινακίδες τις πετούσαν, αλλά μερικές τις χρησιμοποιούσαν στα θεμέλια κτιρίων, όπου και ανακαλύφθηκαν πολλούς αιώνες αργότερα.

όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. Από το 2000 π.Χ. αναπτύχθηκε ένα θεσιακό σύστημα συμβολισμού, το οποίο χρησιμοποιούσε δύο σύμβολα, το τ για 1 και το < για 10 διατηρώντας πάντα την εξηνταδική βάση. Έτσι, το 75 γραφόταν τ<ττπτ. Το αριθμητικό αυτό σύστημα ήταν εξαιρετικά ανεπτυγμένο, δεδομένου ότι είχε και εξηνταδικά κλάσματα, αλλά δεν είχε σύμβολο για το μηδέν. Συστηματικός θεσιακός συμβολισμός χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στη Νέα Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία, τον 6ο αι. π.Χ., οπότε όταν διαβάζουμε παλαιούς βαβυλωνιακούς αριθμούς, πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεχτικοί, γιατί η τάξη μεγέθους των συμβόλων μπορεί να γίνει μόνο με βάση τα συμφραζόμενα. Π.χ. χωρίς σύμβολο για το μηδέν θα είχαμε μεγάλη δυσκολία να ξεχωρίσουμε μεταξύ τους τους αριθμούς 18,108 και 180. Δεν ξέρουμε γιατί οι Βαβυλώνιοι επέλεξαν να χρησιμοποιήσουν ένα τέτοιο σύστημα· ωστόσο, είναι εύχρηστο στους υπολογισμούς και άντεξε στη δοκιμασία του χρόνου, κυρίως στη χρήση της βάσης του 60 για λεπτά και δευτερόλεπτα, στη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών. Τα υλικά τεκμήρια για τα βαβυλωνιακά μαθηματικά είναι σε μορφή πήλινων πινακίδων με σφηνοειδείς επιγραφές. Η χρήση τους ήταν διαδεδομένη και έχουν επιβιώσει εκατοντάδες χιλιάδες δείγματα, από μικρά θραύσματα έως ολόκληρες πλάκες μεγέθους χαρτοφύλακα. Ο πηλός ήταν άφθονος και για όση ώρα έμενε νωπός μπορούσε κανείς να σβήσει ένα υπολογισμό και να ξαναρχίσει από την αρχή. Μόλις ο πηλός σκλήραινε, η πινακίδα ήταν άχρηστη και ή την πετούσαν ή τη χρησιμοποιούσαν σαν δομικό υλικό. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί αντιμετωπίζονταν όπως και σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ειδικότητα στους μαθηματικούς πίνακες και μας έχουν αφήσει αρκετούς εξαιρετικά λεπτομερείς πίνακες αντίστροφων, τετραγώνων, κύβων και ανώτερων ακόμα δυνάμεων - οι οποίες ήταν χρήσιμες στον υπολογισμό του τόκου των δανείων. Οι μαθηματικοί πίνακες έχουν σήμερα στην ουσία καταργηθεί, καθώς έχουν αντικατασταθεί από υπολογιστικές μηχανές, αλλά η σημασία που είχαν στη διευκόλυνση των υπολογισμών εκτείνεται ιστορικά μέχρι εκείνες τις πήλινες πινακίδες. Οι Βαβυλώνιοι ήταν πάρα πολύ καλοί στην Άλγεβρα, αν και τα προβλήματα και οι μέθοδοι επίλυσης εκφράζονταν καθαρά ρητορικά - με λέξεις δηλαδή και όχι με σύμβολα. Έλυναν εξισώσεις δευτέρου βαθμού με αυτό που στην ουσία είναι η δική μας μέθοδος της «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Η αιτιολόγηση της διαδικασίας αυτής βασιζόταν στο γεγονός ότι μία ορθογώνια έκταση μπορεί να αναδιαταχτεί για να σχηματίσει τετράγωνο. Μερικές εξισώσεις ανώτερου βαθμού επιλύονταν είτε με αριθμητικές μεθόδους, είτε απλοποιώντας τις με τέτοιο τρόπο ώστε να ανάγονται σε γνωστούς τύπους. Στη Γεωμετρία είχαν μεθόδους για να βρίσκουν το εμβαδόν επιπέδων σχημάτων και πολλά προβλήματα τα έλυναν αλγεβρικά. Τους άρρητους αριθμούς, οι οποίοι παριστάνονται με άπειρα δεκαδικά ψηφία, τους χειρίζονταν αριθμητικά περικόπτοντας το κλασματικό εξηνταδικό ανάπτυγμα. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα, V5 = 2.236067 ..., όπου οι τρεις τελείες δηλώνουν ότι η δεκαδική ανάπτυξη συνεχίζεται επ' άπειρον. Αν κόψουμε αυτό το νούμερο σε δύο δεκαδικά ψηφία παίρνουμε τον αριθμό 2,23, σε αντίθεση με τον 2,24 που είναι η πιο κοντινή προσέγγιση. Μερικές φορές ο κομμένος και ο προσεγγιστικός αριθμός δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, όπως π.χ. το V5 που με τρία δεκαδικά ψηφία δίνει και στις δύο περιπτώσεις 2,236. Δεν έχει βρεθεί καμία αναφορά στην

πιθανή άπειρη φύση τέτοιων αναπτυγμάτων, αλλά μία πινακίδα αναγράφει μία πάρα πολύ καλή προσέγγιση του V2, η οποία στο εξηνταδικό σύστημα δίδεται ως 1 ;24,51,10, δηλαδή με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων. Δεν αναφέρεται ο τρόπος υπολογισμού, αλλά μία μέθοδος, η οποία φέρει το όνομα του Ήρωνα, ενός Έλληνα μαθηματικού του Ίουαι.μ.Χ.,δύο χιλιάδες χρόνια αργότερα, δίνει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. Οι Βαβυλώνιοι επίσης έκαναν εκτεταμένη χρήση του πυθαγόρειου θεωρήματος χίλια χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα. Τα παλιά βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν και ανεπτυγμένα και κατάλληλα για τα πρακτικά καθήκοντα της λογιστικής, της τήρησης των οικονομικών και για την έκφραση μέτρων και σταθμών. Μερικά από τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν τότε δείχνουν ότι υπήρχε και θεωρητική παράδοση. Θα πάρουμε μία ιδέα γι' αυτήν όταν θα εξετάζουμε τη βαβυλωνιακή Αστρονομία. Στις τέσσερις χιλιετίες που κράτησε ο πολιτισμός τους, οι Αιγύπτιοι άφησαν ελάχιστες ενδείξεις για τη μαθηματική τους επιστήμη. Ο πάπυρος είναι ευαίσθητο υλικό και είναι θαύμα που κάποιοι πάπυροι διατηρήθηκαν μέχρι σήμερα. Οι δύο κύριες πηγές μας είναι οι πάπυροι του Ριντ και της Μόσχας. Υπάρχουν επίσης αρκετά ήσσονος σημασίας ντοκουμέντα αλλά και απεικονίσεις σε τάφους και ναούς, που δείχνουν εμπορικές και διοικητικές πράξεις, οι οποίες φυσιολογικά πρέπει να απαιτούσαν μαθηματικές δεξιότητες. Ο πάπυρος του Ριντ γράφτηκε γύρω στο 1650π.Χ. από έναν γραφέα ονόματι Αχμής, ο οποίος εξηγεί ότι αντιγράφει ένα πρωτότυπο δύο αιώνες παλαιότερο. Η εισαγωγική φράση ισχυρίζεται ότι το κείμενο είναι «μία πλήρης μελέτη όλων των πραγμάτων, μία εις βάθος ανάλυση όλων όσων υπάρχουν, αποκάλυψη όλων των σκοτεινών μυστι>· Ο πάπυρος του Ριντ ανακαλύφθηκε στα μέσα του 19ου αιώνα, μάλλον στις Θήβες. Αγοράστηκε στο Λούξορ από τον Α. Χ. Ριντ για να πουληθεί αργότερα στο Βρετανικό μουσείο από τους εκτελεστές της διαθήκης του. Το πρόβλημα που εικονίζεται είναι η εύρεση του εμβαδού ενός τριγωνικού κομματιού εδάφους.

Α Ανάγλυφο αιγυπτιακής στήλης με αριθμούς, από το Ναό του Καρνάκ.

κών». Σε μας αυτή η φράση μπορεί να φαίνεται λίγο υπερβολική, αλλά μπορεί απλώς να δείχνει ότι η τέχνη του γραφέα ήταν προνόμιο μιας επίλεκτης ελίτ. Ο πάπυρος περιλαμβάνει 87 προβλήματα και τις λύσεις τους και είναι γραμμένος σε κοινή ιερατική γραφή και όχι στην περίτεχνη ιερογλυφική που χρησιμοποιούσαν κατά κανόνα για διακοσμητικές επιγραφές. Τα περισσότερα προβλήματα είναι υπολογισμοί, όπως το μοίρασμα ενός αριθμού καρβελιών σε ένα δεδομένο αριθμό ανθρώπων. Υπάρχει και μία μέθοδος υπολογισμού του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου. Όλες οι λύσεις συνοδεύονται από πρακτικά, λυμένα παραδείγματα1 δεν αναφέρονται πουθενά γενικοί τύποι. Ο πάπυρος της Μόσχας καλύπτει περίπου τα ίδια πράγματα, αλλά περιλαμβάνει και υπολογισμούς του όγκου μίας κόλουρης πυραμίδας και ενός άλλου σχήματος που μάλλον είναι η επιφάνεια ενός ημισφαιρίου. Δύο χαρακτηριστικά της αιγυπτιακής χρήσης των αριθμών μας κάνουν αμέσως εντύπωση. Το πρώτο είναι ότι όλοι οι υπολογισμοί βασίζονται μόνο στην πρόσθεση και στον πίνακα πολλαπλασιασμού του 2 και το δεύτερο είναι η προτίμηση τους για μοναδιαία κλάσματα ( 1/2,1Λ κ.λπ.). Ο πολλαπλασιασμός συνεπώς αποτελείται από επανειλημμένους διπλασιασμούς (και αν είναι απαραίτητο ημιδιπλασιασμούς), και μετά πρόσθεση των απαραίτητων ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Π .χ., για να πολλαπλασιάσει το 19 με το 5 ο γραφέας έγραφε / 1 19 2 38 / 4 76 και μετά, εφόσον 1 +4=5, προσθέτοντας το 19 και το 76 παίρνουμε 95, το οποίο είναι το αποτέλεσμα του 19 επί 5. Η διαίρεση γινόταν με ανάλογο τρόπο, αλλά τώρα υπήρχε και η δυνατότητα κλασματικής λύσης. Εδώ ακριβώς χρησιμοποιούνται οι κλασματικές μονάδες. Ο τρόπος με τον οποίο οι Αιγύπτιοι δήλωναν μια κλασματική μονάδα ήταν η τοποθέτηση μίας οριζόντιας γραμμής πάνω από τον αριθμό: έτσι το 1Α γραφόταν 5. Δεν υπήρχε σύμβολο για τα δικά μας 2Α ή για άλλο κλάσμα εκτός από τα %. Ο πάπυρος του Ριντ αρχίζει με έναν πίνακα κλασμάτων της μορφής 21η, όπου το n είναι περιττός αριθμός, αναλυμένος σε μοναδιαία κλάσματα. Έτσι, το 2Α ισούται με 1Λ και Υι6, οπότε αν κάποιο πρόβλημα είχε μία λύση, που εμείς σήμερα θα τη γράφαμε 2/s, οι Αιγύπτιοι γραφείς την έγραφαν ως 3ί5. Είναι ακόμα δύσκολο να καταλάβουμε, πώς ένα τέτοιο σύστημα μπορούσε να λειτουργήσει σε πρακτικό επίπεδο, αν και είναι προφανές ότι λειτουργούσε. Αναμένονται ωστόσο περισσότερες ανακαλύψεις για να μπορέσουμε να διευκρινίσουμε την προέλευση του. Μία πιθανότητα είναι ότι στους αριθμητικούς υπολογισμούς που είχαν σχέση με κληρονομιές ή διανομή προϊόντων, οι κλασματικές μονάδες χρησιμοποιούνταν γιατί έδιναν απόλυτη ακρίβεια και όχι προσεγγίσεις. Οι Αιγύπτιοι δεν είχαν νόμισμα, οπότε οι συναλλαγές γίνονταν χρησιμοποιώντας άλλα προϊόντα ως μέτρα, συνήθως το ψωμί ή την μπύρα. Αυτό φαίνεται στο πρόβλημα του πάπυρου του Ριντ, όπου το ζητούμενο είναι το μοίρασμα 9 καρβελιών σε 10 ανθρώπους. Σήμερα εμείς θα υπολογίζαμε ότι ο καθένας θα έπρεπε να πάρει 9 /ιο του καρβελιού και θα τα μοιράζαμε κόβοντας Υ™ από κάθε καρβέλι, έτσι ώστε 9 άνθρωποι θα έπαιρναν από9/™ ενός καρβελιού και ο δέκατος θα έπαιρνε 9 κομμάτια του Υ». Η λύση που δίνει ο πάπυρος είναι 9/κ> = % +γ5 +Υ™, αυτό απαιτεί πολύ περισσότερα κοψίματα στα ψωμιά, αλλά η θετική του πλευρά είναι ότι ο καθένας από τους 10 ανθρώπους θα πάρει όχι μόνο την ίδια αναλογία ψωμιού αλλά και ίδια κομμάτια με όλους τους άλλους.

Τον όγκο τον δήλωναν με τμήματα του ιερογλυφικού που αναπαριστούσε το μάτι του Ώρου. Βλέπουμε εδώ τον διττό ρόλο μιας κάστας ιερέων που ήταν ταυτόχρονα στελέχη της διοίκησης αλλά και θρησκευτικοί λειτουργοί. Ο Ώρος ήταν ο θεός-γεράκι και το μάτι ήταν εν μέρει ανθρώπινο και εν μέρει γερακίσιο. Κάθε στοιχείο του ιερογλυφικού αναπαριστούσε ένα κλάσμα από το Ά έως το'/«, και έτσι, με διάφορους συνδυασμούς, μπορούσαν να αναπαραστήσουν όσα εξηκοστά τέταρτα ήθελαν. Όμως το μάτι του Ώρου είχε και μυστικιστική σημασία. Ο Ώρος ήταν ο μόνος γιος της Ίσιδας και του Όσιρι και ορκίστηκε να εκδικηθεί το θάνατο του πατέρα του από το δολοφονικό χέρι του αδελφού του Σηθ. Στη διάρκεια μιας από τις άπειρες μάχες τους, ο Σηθ έβγαλε το μάτι του Ώρου, το έκοψε σε έξι κομμάτια και το σκόρπισε σε όλη την Αίγυπτο. Ο Ώρος επέστρεψε το κομπλιμέντο ευνουχίζοντας τον Σηθ. Ο θρύλος λέει ότι επενέβησαν οι θεοί και όρισαν τον Ώρο βασιλιά της Αιγύπτου και θεό προστάτη των Φαραώ, δίνοντας ταυτόχρονα οδηγίες στον Θωθ, θεό της σοφίας και της μαγείας, να επανασυναρμολογήσει Λέγουν ότι ο Βασιλιάς μοίρασε τη χώρα σε όλους τους Αιγυπτίτο μάτι του Ώρου, το οποίο έτσι έγινε το σύμβολο ους δίνοντας στον καθένα ένα ίσο κομμάτι γης και όρισε ότι ^ ολότητας, του οραματισμού, της αφθονίας και αυτό θα ήταν η πηγή του εισοδήματος του για το οποίο θα πλήτης γονιμότητας. Οι γραφείς, που οπροοτάτης ρωνε ετήσιο φόρο. Και όποιος έχανε από πλημμύρα μέρος της βεό^°^ ή™° Θ7ωθ> Χρησιμοποιούσαν το φυλά/ νΐ' Γ Λ 'τϊ ' ττ ' χτο για να συμβολιζουντις κλασματικές μονάδες, γης του πήγαινε στον Σεσωστρι [τον Φαραώ Ραμσή II, περί- Λέγεταιοτικαποιαμέραέναςμαθητευόμενοςγρα. που 1300π.Χ ) και έλεγε τι του είχε συμβεί. Τότε ο Βασιλιάς φεαςπαρατηρησεστοδάσκαλότουότιτοσύνολο έστελνε επιθεωρητές οι οποίοι μετρούσαν το τμήμα κατά το των κλασμάτωντου ματιού του Ώρου δενέδινετη οποίο είχε μειωθεί η γη, ώστε να πληρώνει αναλογικά μικρό- μονάδα αλλά «/«. Ο δάσκαλος απάντησε ότι το υποτερο φόρο από εκείνον που του είχε επιβληθεί αρχικά. Από αυτό λειπόμενο'/« ήταν η αμοιβή του Θωθ σε όποιον νομίζω έμαθαν οι Έλληνες την τέχνη της γεωμετρίας· το ημεγραφέα ζητούσε και δεχόταντην προστασία του. ρολόγιο και το ηλιακό ρολόι ήρθαν στην Ελλάδα όχι από την Οι γνώσεις μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά Αίγυπτο αλλά από την Βαβυλωνία. περιορίζονται αναγκαστικά απ' την έλλειψη ευρημάτων. Είναι πολύ εύκολο λοιπόν να πιστέψει κανείς Ηρόδοτος, Ιστορία, II, μέσα 5ου αι. π.Χ. ότ, τα μαθηματικά των Αίγυπτίων δεν είχαν φτάσει το επίπεδο των Βαβυλωνίων. Ομως μια τέτοια γνώμη θα ήταν εντελώς αδικαιολόγητη, ιδιαίτερα αν λάβουμε υπόψη μας την ακρίβεια της κατασκευής των πυραμίδων και την αποτελεσματική διοίκηση μιας τόσο μεγάλης αυτοκρατορίας. Μερικά από τα στοιχεία που έχουμε αφήνουν να διαφαίνονται σημαντικά αποτελέσματα, όπως π.χ. ο όγκος μιας κόλουρης πυραμίδας, αλλά παραμένει ασαφές εάν αυτό ήταν ένα αποτέλεσμα που το προκάλεσε το ενδιαφέρον που είχαν για τις πυραμίδες, ή μέρος ενός εξελιγμένου, αλλά χαμένου στη συνέχεια συστήματος γνώσεων. Οι αρχαίοι Έλληνες υποστήριζαν ότι τα μαθηματικά τους, και ιδιαίτερα η Γεωμετρία, είχαν προέλευση αιγυπτιακή. Αυτό όμως που μας κάνει εντύπωση σήμερα δεν είναι η ομοιότητα ανάμεσα στα αιγυπτιακά και στα ελληνικά μαθηματικά αλλά οι τεράστιες διαφορές στο ύφος και στο βάθος και, μπορούμε να συμπεράνουμε, στην κατανόηση. Φαίνεται ότι τα «σκοτεινά μυστικά» του Αχμή παραμένουν σκοτεινά μέχρι και σήμερα.

< Το ημερολόγιο της πέτρας του ήλιου των Αζτέκων, που ανακαλύφθηκε το 16ο αι., αναπαριστά τον Τοναϊτούχ, πέμπτο ήλιο και σύμβολο της σημερινής εποχής. Μερικοί πιστεύουν ότι η αστρονομική γνώση των Αζτέκων κληρονομήθηκε από παλαιότερους κέντροαμερικανικούς πολιτισμούς, όπως οι Ολμέκοι και οι Μαγιάς.

Ένα μεγάλο μέρος των πρώιμων μαθηματικών αναπτύχθηκε για το εμπόριο και τη γεωργία αλλά υπήρχε και κάποια σχέοη με θρησκευτικές πρακτικές και με την κι'νηοη των ουρανών. Η κατασκευή ημερολογίων ήταν στην ουσία δουλειά αστρονόμων-ιερέων, και η χαρτογράφηση του ουρανού χρειαζόταν ειδικά μαθηματικά για να αναπτυχθεί. Καθώς οι περισσότερες αρχαίες κοσμολογίες ήταν γεωκεντρικές, ο όρος «πλανήτης» αναφέρεται στον Ήλιο, στη Σελήνη και σε πέντε ορατούς πλανήτες, δεδομένου ότι ο Ουρανός, ο Ποσειδώνας και ο Πλούτωνας ανακαλύφθηκαν σχετικά πρόσφατα. Σε όλα τα πλάτη και τα μήκη της Γης, οι διάφοροι πολιτισμοί κατέγραφαν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και κατασκεύαζαν ημερολόγια, οπότε όλοιτους έπρεπε να βρουν τρόπους να συμβιβάσουν τους δύο πιο σημαντικούς κύκλους -τον σεληνιακό μήνα και το ηλιακό έτος. Ο πολιτισμός των Μαγιάς στην Κεντρική Αμερική, ο οποίος έχει τις ρίζες του γύρω στο 1000 π.Χ., πέρασε την κλασσική του περίοδο από το 300 μέχρι το 900 μ.Χ. Ελάχιστα γραπτά γλίτωσαν από τις Ισπανικές εισβολές από το 1519 και μετά (το πιο σημαντικό είναι το χειρόγραφο που είναι γνωστό με το όνομα Κώδικας της Δρέσδης, που περιέχει αστρονομικούς πίνακες), αλλά ευτυχώς οι Μαγιάς μας άφησαν και ανάγλυφες επιγραφές. Κάθε 20 χρόνια ανήγειραν πέτρινες στήλες, όπου κατέγραφαν την ημερομηνία της κατασκευής, σημαντικά γεγονότα των προηγούμενων είκοσι ετών και τα ονόματα των ευγενών και των ιερέων. Τα ιερογλυφικά που χρησιμοποιούσαν για αυτές και για άλλες επιγραφές ήταν στυλιζαρισμένες απεικονίσεις θεοτήτων των Μαγιάς. Αλλά για αριθμούς συχνά χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα που τώρα είναι γνωστό με το όνομα «τελείες και παύλες». Σ' αυτό το θεσιακό συμβολικό σύστημα μία τελεία σήμαινε «ένα» και μία οριζόντια παύλα σήμαινε «πέντε», με ένα σύμβολο για το μηδέν που έμοιαζε με αχιβάδα. Το σύστημα φαίνεται πως ήταν σε χρήση από το 400 π.Χ. και ήταν στην ουσία εικοσαδικό, δηλαδή με βάση το είκοσι, αν εξαιρέσουμε μία ανωμαλία στην τρίτη θέση. Ένα πραγματικό εικοσαδικό σύστημα θα είχε στις διαδοχικές τάξεις μεγέθους τις τιμές 1,20, 202,203 κ.ο.κ., αλλά το σύστημα των Μαγιάς χρησιμοποιούσε τη ν ακολουθία 1,20, 18x20,18χ202 κ.ο.κ. Αυτό ασφαλώς έκανε τους διάφορους υπολογισμούς πολυπλοκότερους αλλά από το γεγονός ότι 18x20=360 μπορούμε να καταλάβουμε τη σημασία που απέδιδαν στο ημερολογιακό τους σύστημα οι Μαγιάς. Οι Μαγιάς είχαν 3 ημερολόγια. Το ιερό έτος είχε 260 ημέρες σε δύο επικαλυπτόμενους κύκλους: έναν κύκλο με τους αριθμούς 1 έως 13 και έναν άλλον, 20ήμερο κύκλο θεοτήτων. Έτσι η κάθε ημέρα στο ιερό έτος καθοριζόταν μοναδικά από έναν αριθμό και μία θεότητα. Αυτό το ημερολόγιο δεν είχε και πολύ μεγάλη χρησιμότητα για τους γεωργούς, γι' αυτό και χρησιμοποιούσαν κι ένα δεύτερο, πολιτικό, που είχε 365 μέρες, δηλαδή 18 μήνες των 20 ημερών συν 5 επιπλέον ημέρες, που ήταν γνωστές σαν «περίοδος χωρίς όνομα». Το ιερογλυφικό γι' αυτή την τελευταία περίοδο παριστούσε το χάος και την αταξία και οποιοσδήποτε γεννιόταν μία από αυτές τις μέρες ήταν υποτίθεται καταραμένος για όλη του τη ζωή. Ένα τρίτο, που χρησιμοποιούσαν για μετρήσεις σε βάθος χρόνου, βασιζόταν σε μια χρονολόγηση που ξεκινούσε από τις 12 Αυγούστου 3013 π.Χ. και είχε κύκλους 360 ημερών. Υπήρχαν και κύκλοι θυσιών από 4,9 και 819 ημέρες, έτσι ένα μεγάλο μέρος του χρόνου των γραφέων αναλωνόταν στον υπολογισμό των ημερολογίων και των σημαντικών ημερομηνιών. Χωρίς καμία προφανή χρήση κλασμάτων ή τριγωνομετρίας, οι Μαγιάς ήταν ικανοί να κάνουν εξαιρετικά ακριβείς προβλέψεις βασισμένες σε έναν τεράστιο πλούτο συσσωρευ-

Α Σύγχρονο αντίγραφο ενός φορητού βυζαντινού ηλιακού ρολογιού και ημερολογίου του 6ου αι. Η πίσω πλευρά του οργάνου αποκαλύπτει έναν εξαιρετικά πολύπλοκο μηχανισμό μοχλών, ανάλογο με αυτόν που βρέθηκε στο πρωτότυπο.

μένων αστρονομικών παρατηρήσεων. Π .χ., οι αστρονόμοι των Μαγιάς ισχυρίζονταν ότι 149 σεληνιακοί μήνες ισούνται με 4400 μέρες, κάτι που αντιστοιχεί σε έναν σεληνιακό μήνα 29,5302 ημερών-πολύ κοντά στο αποδεκτό σήμερα 29,53059.0 Κώδικας της Δρέσδης περιλαμβάνει πίνακες σεληνιακών και ηλιακών εκλείψεων και μελλοντικών θέσεων της Αφροδίτης, που την αποκαλούσαν Αυγερινό και Αποσπερίτη. Σχεδόν τίποτα άλλο δεν είναι γνωστό για τη μαθηματική αστρονομία των Μαγιάς. Το αιγυπτιακό ημερολόγιο χρησιμοποιούσε ακριβώς την ίδια μέθοδο με εκείνο των Μαγιάς, δηλαδή 12 μήνες των 30 ημερών και 5 επιπλέον μέρες στο τέλος του έτους. Οι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που διαίρεσαν την ημέρα σε 24 μονάδες, αν και δεν είναι σαφές, πότε η ώρα απέκτησε σταθερή διάρκεια. Χρησιμοποιούσαν κάτι που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «εποχιακές» ώρες, διαιρώντας την περίοδο της ημέρας και της νύχτας σε 12 μονάδες την καθεμία, οι οποίες άλλαζαν, καθώς άλλαζε το μέγεθος της ημέρας και της νύχτας στη διάρκεια του χρόνου. Οι Αιγύπτιοι είχαν μία δική τους ομάδα μικρών αστερισμών, τους «δεκανούς», που ανέτειλαν με διαφορά 10 ημερών. Στους Ελληνιστικούς χρόνους αυτοί οι δεκανοί συνδυάζονταν με το βαβυλωνιακό ζωδιακό κύκλο, έτσι ώστε ο κάθε ζωδιακός αστερισμός, που καταλάμβανε 30° του ουρανού, χωριζόταν περαιτέρω σε 3 δεκανούς. Οι δεκανοί απεικονίζονται στα ταβάνια βασιλικών ναών και σε καπάκια σαρκοφάγων του Μεσαίου Βασιλείου (περ. 2100-800 π.Χ.). Ωστόσο έχει αποδειχθεί δύσκολη η ταύτιση των δεκανών με γνωστά αστέρια. Μόνη εξαίρεση ο Σείριος, του οποίου η ανατολή σήμαινε την ετήσια πλημμύρα στο Νείλο, που ήταν απαραίτητη για την άρδευση της πεδιάδας. Σε μεταγενέστερους τάφους βρίσκουμε μία πιο περίτεχνη απεικόνιση άστρων σε ένα σύστημα πλέγματος, και υπάρχει ένας Δημοτικός πάπυρος της Ελληνιστικής περιόδου, που βοήθησε πολύ στην αποκρυπτογράφηση των επιγραφών. Ωστόσο, φαίνεται ότι οι τεχνίτες που πρόσθεταν αυτές τις απεικονίσεις στους τάφους έκαναν πολλές καλλιτεχνικές υπερβάσεις στην ερμηνεία των αστρονομικών πληροφοριών, γιατί τα αρχικά σχέδια από τα οποία παράχθηκαν οι τελικές εικόνες ήταν στην πραγματικότητα πιο ακριβή. Δεν παραδίδονται γραπτές μαρτυρίες για αστρονομικές παρατηρήσεις ή για παραγωγή πινάκων από τους Αιγυπτίους· ακόμα και ο Πτολεμαίος, ο οποίος παραθέτει τις πηγές του για την αρχαία αστρονομία, δεν αναφέρει καμιά αιγυπτιακή πηγή. Από την πτώση της Ασσυριακής αυτοκρατορίας μέχριτους Ελληνιστικούς χρόνους οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν μία πολύ αποτελεσματική προβλεπτική αστρονομία. Ο Πτολεμαίος αναφέρει ότι από τον 8ο αι. π.Χ. υπήρχαν πλήρεις κατάλογοι σεληνιακών εκλείψεων αλλά ελάχιστα αξιόπιστα πλανητικά δεδομένα. Το βαβυλωνιακό ημερολόγιο ήταν καθαρά σεληνιακό' η πρώτη μέρα του μήνα συνέπιπτε με την εμφάνιση του φεγγαριού, και κάθε μέρα διαρκούσε από δύση σε δύση. Ενδιαφέρονταν κυρίως να προβλέπουν την εμφάνιση της νέας σελήνης και τη διάρκεια του μήνα - 29 ή 30 μέρες. Όμοια τους απασχολούσε η

Α Αστρονόμοι του Μεσαίωνα χρησιμοποιούν έναν αστρολάβο, εφεύρεση που αποδίδεται στους αρχαίους Έλληνες η οποία τελειοποιήθηκε από Άραβες επιστήμονες και μαθηματικούς.

πρώτη εμφάνιση των πλανητών πολύ μεγάλη σημασία για τις παλαιότερες πινακίδες έχει η Αφροδίτη. Για να μπορούν να παράγουν «εφημερίδες», όπως ονομάζονται οι πίνακες των πλανητικών θέσεων, η περιοχή του ζωδιακού χωριζόταν σε τρεις ζώνες 12 συγκεκριμένων αστερισμών και οι πλανητικές θέσεις δίνονταν σε σχέση με τα αστέρια. Υπάρχουν επίσης πίνακες ανατολής και δύσης για τους αστερισμούς. Εφημερίδες σώζονται από την εποχή των Σελευκιδών, ιδιαίτερα για τη σελήνη αλλά και για τους άλλους πλανήτες. Ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα αυτής της περιόδου ήταν η ανάλυση της φαινόμενης κίνησης του Ήλιου και της Σελήνης, απαραίτητη για τον καθορισμό της αρχής του κάθε μήνα. Οι Βαβυλώνιοι ανακάλυψαν ότι η γωνία ανάμεσα στον ορίζοντα και στην εκλειπτική, τη φαινόμενη τροχιά του ηλίου στον ουρανό, μεταβάλλεται στη διάρκεια του χρόνου. Επίσης, η τροχιά της Σελήνης αποκλίνει περιοδικά από την εκλειπτική περίπου 5° σε κάθε πλευρά. Επιπλέον, τα δύο ουράνια σώματα κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες. Αυτές οι περιοδικές αλλαγές, οι οποίες είναι ημιτονοειδείς μεταβολές, εκφράστηκαν κατά προσέγγιση, αλλά με μεγάλη ακρίβεια, από τις αποκαλούμενες «συναρτήσεις ζιγκ-ζαγκ». Αυτές αντιμετωπίζονταν αριθμητικά ως ανερχόμενες και κατερχόμενες ακολουθίες αριθμών. Πολλές βαβυλωνιακές πινακίδες με ασκήσεις στις αριθμητικές προόδους μπορεί να ήταν προετοιμασία για τη δημιουργία ηλιακών και σεληνιακών πινάκων, που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν την εμφάνιση της νέας Σελήνης, μέχρι και τρία χρόνια προκαταβολικά. Από τα στοιχεία που έχουμε, φαίνεται ότι χρησιμοποιούσαν μεθόδους μαθηματικής παρεμβολής για να ομαλοποιούν τις τροχιές των πλανητών σε σχέση με τις πραγματικές παρατηρήσεις. Η πτολεμαϊκή θεωρία ακολουθούσε την ακριβώς αντίθετη τακτική, προσπαθώντας να κατασκευάσει ένα όσο το δυνατόν ακριβέστερο πλανητικό μοντέλο, από το οποίο να μπορεί να συνάγει τις πλανητικές θέσεις. Δεν είναι σαφές ποια ήταν η ύστερη βαβυλωνιακή πλανητική θεωρία· τα παλιά αρχεία δείχνουν ένα γεωκεντρικό σύμπαν με κυκλικές πλανητικές τροχιές. Στον ελληνικό κόσμο, ο Αρίσταρχος (320-250 π.Χ.) πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό σύστημα, πιθανότατα βασιζόμενος στους υπολογισμούς του ότι ο ήλιος ήταν με μεγάλη διαφορά το μεγαλύτερο ουράνιο σώμα. Όμως η θεωρία του δεν έπιασε εκείνη την εποχή και δεν ξαναεμφανίστηκε παρά μόνο τον 16ο αι. Η ελληνική πλανητική θεωρία κυριαρχήθηκε από την άποψη του Αριστοτέλη (384-322 π.Χ.), ότι οι πλανήτες ακολουθούν τέλεια κίνηση, σε κυκλικές τροχιές, με σταθερή ταχύτητα. Αυτή η φιλοσοφική θέση εξακολούθησε να είναι δημοφιλής παρά τις σαφέστατες ενδείξεις για μεταβλητές ταχύτητες, ανάδρομες κινήσεις και διακυμάνσεις στη φαινόμενη λαμπρότητα των πλανητών. Αυτές οι αναντιστοιχίες μεταξύ θεωρίας και παρατήρησης επιλύθηκαν με την εισαγωγή των επικύκλων: ένας πλανήτης δεν περιφερόταν γύρω από τη γη αλλά σε περιφέρειες κύκλων (επικύκλων) των οποίων τα κέντρα διέγραφαν περιφέρειες κύκλων με κέντρο τη Γη (φέροντες). Μ' αυτό το τέχνασμα, η σταθερή ταχύτητα του πλανήτη γινόταν μεταβλητή, άρα συμφωνούσε με την παρατήρηση, ενώ ταυτόχρονα κρατούσε τους πλανήτες μέσα σε κυκλικά «κελύφη», αν όχι τέλειες κυκλικές τροχιές. Αυτό το σύστημα βρήκε την πιο τέλεια έκφραση του στο έργο του Πτολεμαίου. Πριν ασχοληθούμε με τον Πτολεμαίο, πρέπει να αναφέρουμε τον πιο διάσημο από τους προκατόχους του, τον Ίππαρχο (190-120 π.Χ.), έναν μαθηματικό από τη Νίκαια της Μικρός Ασίας. Εθεωρείτο ο μεγαλύτερος αστρονόμος της εποχής του και είναι ο θεμελιωτής της αστρονομίας με βάση τις ελληνικές γεωμετρικές αρχές. Εφάρμοσε τη διαίρεση

$014$.

>· Διάγραμμα του πτολεμαϊκού σύμπαντος από το βιβλίο Breve compendia de la esfera y de la arte de navigar, του Martin Cortes de Albacar (1551), μία μελέτη κοσμολογίας και ναυσιπλοΐας.

if Capitulo fe*to be la inmuta^ Midadbelatterra» accrcaoe moaer fc Uiicm

antiguo0comotrae®rtflotUe0fiifi* JJf tieronqlatieirafemouia nobcimo nimtlto recto mas cereat>el weofo tcirculartnente el qual erroi an el

του κύκλου σε 360° ως βάση της τριγωνομετρίας, διαιρώντας κάθε μοίρα σε 60'. Η μελέτη του για το θέμα περιλάμβανε έναν πίνακα χορδών (μια χορδή είναι στην ουσία το διπλάσιο ημίτονο της μισής γωνίας) των οποίων οι τιμές υπολογίστηκαν για έναν κύκλο με ακτίνα 3438', που απαιτούνταν για να εξασφαλίσει μία περιφέρεια 360x60 = 21600'. Αυτοί οι πίνακες μοιάζουν πολύ με εκείνους των ινδικών μαθηματικών κι έδωσαν τη δυνατότητα στον Ίππαρχο να περιγράψει τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων με μεγαλύτερη ακρίβεια. Έφτιαξε ένα μοντέλο της κίνησης του Ήλιου και της Σελήνης χρησιμοποιώντας ένα γεωκεντρικό σύστημα επικύκλων. Ο Ίππαρχος παραδεχόταν ότι τα δεδομένα του δεν ήταν αρκετά ακριβή για να μπορεί να περιγράψει τις τροχιές των άλλων πλανητών. Δυστυχώς, από τα έργα του σώζεται ένα πολύ μικρό μέρος, με αποτέλεσμα και αυτός όπως και πολλοί άλλοι Έλληνες αστρονόμοι να επισκιαστούν από τον Πτολεμαίο. Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (85-165 μ.Χ.) έζησε στην Αλεξάνδρεια και ξέρουμε ότι άρχισε να κάνει αστρονομικές παρατηρήσεις εκεί στις 26 Μαρτίου του 127. Πολύ λίγα γνωρίζουμε για την οικογενειακή κατάσταση ή τις ακριβείς ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του. Άφησε πολλά γραπτά, το πιο γνωστό από τα οποία ονομάζεται Σύνταξις. Η μεγάλη εκτίμηση που είχαν οι Άραβες σ' αυτό το βιβλίο όταν το μετάφρασαν στη γλώσσα τους γύρω στο 820 μ.Χ., του έδωσε το όνομα AI-Majisti (To Μέγιστο) με αποτέλεσμα να γίνει αργότερα γνωστό σαν Almagest, όταν μεταφράστηκε στα Λατινικά. Η Αλμαγέστη του Πτολεμαίου ήταν για την Αστρονομία ό,τιταΐτοιχεί'ατου Ευκλείδη για τη Γεωμετρία. Έριξε δηλαδή στην αφάνεια όσα είχαν προηγηθεί, κρατώντας μόνο τα ιστορικά σχόλια του ίδιου. Αρχίζει με μία εισαγωγή για την τριγωνομετρία και τις χορδές, και συνεχίζει με μία λεπτομερή θεωρία για τις κινήσεις του ήλιου, αποδίδοντας του κυκλική τροχιά, αλλά τοποθετώντας τη Γη λίγο πιο πέρα από το κέντρο της τροχιάς, η οποία καταλάμβανε μία θέση, που εκείνος ονόμαζε έκκεντρο. Στη θεωρία του για την κίνηση της Σελήνης, ο Πτολεμαίος δανείζεται πολλά στοιχεία απ' τον Ίππαρχο και βελτιώνει το μοντέλο των επικύκλων επίσης συνδυάζοντας τις κινήσεις του Ήλιου και τις Σελήνης, μελετά τις εκλείψεις τους. Ακολουθεί η πεποίθηση ότι η σφαίρα των σταθερών αστέρων, το εξωτερικό κέλυφος του Ελληνιστικού κόσμου, είναι πράγματι σταθερό, εφόσον οι παρατηρήσεις του Πτολεμαίου συμφωνούσαν με εκείνες του Ιππάρχου, που είχαν γίνει 200 χρόνια νωρίτερα. Μετά από έναν εκτεταμένο κατάλογο πάνω από 1000 αστεριών, ο Πτολεμαίος έρχεται στις τροχιές των υπολοίπων 5 πλανητών. Η ιδιοφυής του σύλληψη περιλαμβάνει ένα σημείο που ονομάζει εξισωτή το οποίο απείχε από τη Γη όσο και το έκκεντρο, αλλά από την άλλη πλευρά. Ο Πτολεμαίος κατασκευάζει τον κύκλο ενός πλανήτη έτσι ώστε να έχει σταθερή ταχύτητα καθώς περιφέρεται γύρω από τον εξισωτή. Με την κοσμολογία να έχει φύγει τόσο μακριά από την Αριστοτέλεια τελειότητα, θα μπορούσαμε να αναρωτηθούμε γιατί εξακολούθησαν να παραμένουν αυτοί οι φιλοσοφικοί περιορισμοί. Το θέμα είναι ότι μία Γη που περιφερόταν γύρω απ' τον ήλιο δεν ταίριαζε με την τότε αντίληψη για τη γήινη δυναμική: τότε πίστευαν ότι εάν η Γη δεν ήταν ακίνητη, οι άνθρωποι θα εκσφενδονίζονταν από την επιφάνεια της στο διάστημα. Το πτολεμαϊκό μοντέλο είναι με μεγάλη διαφορά η πιο πετυχημένη προσπάθεια προβλεπτικής αστρονομίας που αναπτύχθηκε ποτέ, ικανής να αναπαραστήσει τις παρατηρούμενες τροχιές των πλανητών, ακόμα και τις ανάδρομες. Οποιεσδήποτε αποκλίσεις ήταν συνήθως μέσα στα περιθώρια ανεκτού σφάλματος των οργάνων παρατήρησης. Το σύστημα αμφισβητήθηκε σοβαρά το 16ο αι., μετά από 1400 χρόνια αδιαμφισβήτητης αυθεντίας της Αλμαγέστης.

< Μεσαιωνικό ξυλόγλυπτο που μνημονεύει τη συνεισφορά των Πυθαγορείων στη μουσική. Η ανακάλυψη της σχέσης ανάμεσα στους αριθμούς και στα μουσικά διαστήματα εξακολουθεί να αντηχεί στην έννοια της αρμονίας των σφαιρών. V Η βαβυλωνιακή πινακίδα που σήμερα είναι γνωστή με το όνομα Πλίμπτον 322 είναι ένα από τα πιο καλά μελετημένα μαθηματικά ευρήματα της αρχαιότητας. Σήμερα θεωρείται ότι είναι πίνακας κλασματικών πυθαγόρειων τριάδων, πάνω από χίλια χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα.

Υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα που σχεδόν όλοι το έχουμε δει στο σχολείο. Τώρα φέρει το όνομα του Πυθαγόρα, αλλά ήταν γνωστό στην αρχαιότητα πολύ πριν γεννηθεί ο Πυθαγόρας. Η ύπαρξη του θεωρήματος μας δίνει την ευκαιρία να συγκρίνουμε τα μαθηματικά στυλ και να δούμε τι απασχολούσε μερικούς από τους μαθηματικούς των διαφόρων αρχαίων πολιτισμών. Το πυθαγόρειο θεώρημα: για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρών πλευρών ισούται με το τετράγωνο της μακρύτερης πλευράς. Είναι δυνατόν να σχηματιστούν τέτοια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Το πιο φημισμένο είναι το τρίγωνο με πλευρές μήκους 3,4 και 5 υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων πυθαγόρειων τριάδων, όπως ονομάζονται, π.χ. οι 5,12,13 και 7,24,25 οι οποίες ήταν ήδη γνωστές στην αρχαιότητα. Ένα από τα πιο συναρπαστικά βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα είναι η πινακίδα που είναι γνωστή τώρα με το όνομα Πλίμπτον 322 και φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης. Έχει 4 στήλες και 15 σειρές αριθμών και μοιάζει να είναι ατελής· μπορεί να είναι θραύσμα μεγαλύτερης πινακίδας. Είναι σήμερα γενικά αποδεκτό ότι αποτελεί έναν κατάλογο κλασματικών πυθαγόρειων τριάδων. Μία τέτοια λεπτή τεχνική πρέπει να σήμαινε ότι οι Βαβυλώνιοι καταλάβαιναν το πυθαγόρειο θεώρημα ήδη από την περίοδο 1800-1650 π.Χ., περισσότερο από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα. Αυτή η ερμηνεία υποστηρίζεται και από μία ακόμα πινακίδα που βρέθηκε κοντά στη Βαβυλώνα και χρονολογείται από

λ Απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος όπως παρουσιάζεται στο Κινέζικο Τσόου ηέι Σουαντσίνγκ (το πρωτότυπο χειρόγραφο θεωρείται ότι ανάγεται στην περίοδο 400-200 π.Χ.). Αυτή η απόδειξη βασίζεται στο τρίγωνο 3,4,5 - μία πυθαγόρεια τριάδα γνωστή στην αρχαιότητα, για την οποία ισχύει η σχέση (32 + V = 52).

την ίδια εποχή, ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα του θεωρήματος που είναι γνωστά σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα για γεωμετρικούς υπολογισμούς και για να βρίσκουν λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, αν και αυτού του είδους η Άλγεβρα ήταν προφορική μάλλον παρά συμβολική. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι οι Βαβυλώνιοι μπορεί να είχαν αναπτύξει μία πρώιμη μορφή τριγωνομετρίας. Η Βεδική περίοδος του ινδικού πολιτισμού θεωρείται γενικά ότι άρχισε γύρω στην αρχή της πρώτης χιλιετίας π.Χ. Αυτή η περίοδος είδε την επικράτηση της ινδικής κουλτούρας και θρησκείας μέσω ιερών κειμένων όπως οι Βέδες και οι Ουπανισάδες αλλά και κανόνων κοινωνικής συμπεριφοράς όπως ο Κώδικας του Μανού. Τα μαθηματικά της εποχής καταγράφονται στις Ιουλβασούτρες, που είναι συμπλήρωμα των Βεδικών κειμένων, και δεν είναι καθόλου περίεργο που ένα μεγάλο τους μέρος είναι αφιερωμένο στα μαθηματικά που χρειάζονται για τη διασφάλιση της ομοιογένειας στους λατρευτικούς κανόνες. Ο όρος σουλβα κατέληξε να σημαίνει το σχοινί ή το κορδόνι που χρησιμοποιούσαν για να μετρούν τις διαστάσεις των βωμών. Τρεις εκδοχές αυτών των κειμένων έχουν φτάσει μέχρι εμάς, η παλαιότερη από τις οποίες ανάγεται στην περίοδο 800-600 π.Χ. Ένα απλοποιημένο πυθαγόρειο θεώρημα διατυπώνεται από τον Μπαουνταγιάνα ως εξής: «το σχοινί το οποίο τεντώνεται από γωνία σε γωνία ενός τετραγώνου παράγει ένα τετράγωνο διπλάσιο από το αρχικό». Μία υστερότερη, πιο γενική διατύπωση δίνεται από τον Κατιαγιάνα: «το σχοινί της διαγωνίου ενός τετραγώνου δημιουργεί ένα εμβαδόν ίσο προς αυτό που δημιουργούν η κάθετη και η οριζόντια πλευρά μαζί». Δεν δίδεται καμία απόδειξη, αλλά περιγράφονται αρκετές πρακτικές εφαρμογές. Υπήρχαν κανόνες που έλεγαν ότι οι βωμοί έπρεπε να έχουν εμβαδά που να είναι ακέραια πολλαπλάσια άλλων βωμών του ίδιου τύπου και η επιτακτική ανάγκη ακρίβειας σήμαινε ότι οι γεωμετρικές μέθοδοι ήταν προτιμότερες από τις αριθμητικές. Για παράδειγμα, εάν κάποιος χρειάζεται να διπλασιάσει το εμβαδόν ενός τετραγώνου, είναι πολύ πιο απλό να κατασκευάσει ένα τετράγωνο του οποίου οι πλευρές να είναι διαγώνιοι ενός δεδομένου τετραγώνου, παρά να προσπαθεί να βρει το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της αρχικής πλευράς με το V2. Οι Ινδοί είχαν εξαιρετικές μεθόδους για τον υπολογισμό του Λ/2, αλλά για θρησκευτικούς λόγους ήταν επιτακτική ανάγκη η απόλυτη ακρίβεια. Ένας απλός υπολογισμός δεν ήταν αρκετός. Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο που γνωρίζουμε είναι το Τσόου πει Σουαντσίνγκ (Κανόνας γνωμονικών υπολογισμών της δυναστείας Τσόου), που θεωρείται ότι γράφτηκε μεταξύ του 500 και του 200 π.Χ., αλλά βασίζεται σε ένα κείμενο της δυναστείας Σανγκ, πιθανότατα 500 χρόνια παλαιότερο. Όπως δηλώνει το όνομα του κειμένου, ασχολείται κυρίως με την αστρονομία· περιλαμβάνει και μερικές εισαγωγικές αρχές αριθμητικής και γεωμετρίας. Γράφτηκε μια εποχή που είναι γνωστή με το όνομα Περίοδος των Πολεμικών Βασιλείων, που είναι μία περίοδος αστάθειας μεταξύ των δυναστειών Τσόου και Χαν, ίσως από κάποιον από τους πολλούς περιοδεύοντες φιλοσόφους, που οι πολύτιμες συμβουλές τους ήταν περιζήτητες από τους κατά τόπους φεουδάρχες. Ο πιο διάσημος από αυτούς τους φιλοσόφους ήταν ο Κομφούκιος, με τη φιλοσοφία του περί ενότητας και σταθερότητας, που μπορεί να θεωρηθεί αντίδραση στους ταραγμένους αυτούς καιρούς. Το πρώτο μέρος αυτών των γνωμονικών υπολογισμών είναι ένας διάλογος ανάμεσα στον Τσόου Κουνγκ και έναν προεστό ονόματι Σανγκ Κάο, στον οποίο συζητούν τις ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων. Διατυπώνεται το πυθαγόρειο θεώρημα, γνωστό με το

>· Το πυθαγόρειο θεώρημα σε αραβικό κείμενο. Η απόδειξη που δίδεται είναι εκείνη του Ευκλείδη με το χαρακτηριστικό διάγραμμα «ανεμόμυλος», το οποίο καταδεικνύει γεωμετρικά την απόδειξη.

όνομα κόου κου, και ακολουθεί μία γεωμετρική επίδειξη. Χρησιμοποιείται μία μέθοδος που ονομάζεται «συσσώρευση ορθογωνίων», με ένα διάγραμμα που δείχνει την εφαρμογή της μεθόδου για τρίγωνο με πλευρές 3,4 και 5, τη μικρότερη πυθαγόρεια τριάδα. Η επέκταση σε άλλα μήκη πρέπει να ήταν προφανής στον αναγνώστη, αλλά η πρώτη γενική και καθαρή διατύπωση έγινε μόλις τον 3ο αι. μ.Χ. Ένας τέτοιος συγγραφέας, ο Λίου Χούι, δίνει μία δεύτερη γεωμετρική απόδειξη χρησιμοποιώντας την αρχή της «συμπληρωματικότητας του έξω και του μέσα», στην οποία τα δύο μικρότερα τετράγωνα κόβονται με τέτοιο τρόπο ώστε να κατασκευάζουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Ο κανόνας ότι κόοι^+κοι/^σιάν2 (το δικό μας α2 +β2 = y2) εφαρμοζόταν σε πάρα πολλά προβλήματα. Το θεώρημα ήταν μεγάλης σημασίας στα κινεζικά μαθηματικά, καθώς αποτελούσε τη βάση άλλων μεθόδων, όπως της εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας και της επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού. Ένα κλασικό πρόβλημα, γνωστό με το όνομα «πρόβλημα του σπασμένου μπαμπού», εμφανίστηκε πολύ αργότερα στα ευρωπαϊκά βιβλία, πιθανότατα μεταναστεύοντας προς τη Δύση μέσω της Ινδίας και του αραβικού κόσμου. Και φτάνουμε τελικά στον μύθο που λέγεται Πυθαγόρας (περ. 580-500 π.Χ.). Ίσως δεν είναι τυχαίο ότι ο Πυθαγόρας ήταν σχεδόν σύγχρονος του Βούδα, του Κομφούκιου, του Μαχαβίρα, του Λάο Τσε και ίσως του Ζωροάστρη. Το μίγμα μαθηματικών και μυστικισμού που καλλιέργησε έχει απόηχους ακόμα και σήμερα, κυρίως μέσω της εξέλιξης του τον 3ο αι. π.Χ., του Νεοπλατωνισμού. Ο πραγματικός Πυθαγόρας παραμένει άγνωστος. Οι αναφορές σ' αυτόν είναι συχνότατα προκατειλημμένες, και ακόμα και ο Αριστοτέλης, λιγότερο από 200 χρόνια αργότερα, δεν καταφέρνει να μας δώσει μία καθαρή εικόνα γι' αυτόν. Το σημαντικό στον Πυθαγόρα και στους οπαδούς του είναι η μαθηματική τους φιλοσοφία. Η πεποίθηση τους ότι τα μαθηματικά είναι η μία και μοναδική πηγή αληθινής γνώσης έφτασε μέχρις εμάς μέσω φιλοσόφων και μαθηματικών όπως ο Πλάτωνας, ο Πλωτίνος, ο Ιάμβλιχος και ο Πρόκλος (411 -485 μ.Χ.), και αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του Νεοπλατωνισμού, ο οποίος βρήκε αργότερα διάφορες εκφάνσεις στη Δυτική σκέψη. Αφού μαθήτευσε στους Αιγυπτίους και στους Χαλδαίους, ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα, σ' αυτό που τώρα είναι η νότια Ιταλία, όπου ίδρυσε σχολή. Αυτή η σχολή έμοιαζε περισσότερο με μυστική εταιρεία ή λατρεία, όπου ένα μέρος της γνώσης ήταν προνόμιο μόνο μερικών μυημένων εκλεκτών. Οι Πυθαγόρειοι ζούσαν κοινοβιακή ζωή με έναν πολύ αυστηρό κώδικα ηθικής και συμπεριφοράς, ο οποίος περιλάμβανε την πίστη στη μετεμψύχωση και αυστηρή προσήλωση στη χορτοφαγία. Καθώς δεν άφησε γραπτά, δεν μπορούμε παρά να υποθέσουμε ποια μαθηματικά ευρήματα μπορούν να αποδοθούν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Υπάρχουν πολύ συχνές αναφορές στους Πυθαγόρειους, κάτι που δείχνει ότι τα μέλη της σχολής του έπαψαν αργότερα να τηρούν την απαγόρευση δημοσίευσης των ευρημάτων τους, την οποία είχε επιβάλει ο δάσκαλος τους. Μία από τις βασικές διδασκαλίες της σχολής του Πυθαγόρα ήταν ότι οι αριθμοί ήταν τα πάντα και ότι τίποτα δεν μπορούσε να νοηθεί ή να γνωσθεί χωρίς αυτούς. Ο πιο σημαντικός αριθμός γι' αυτούς ήταν το δέκα, ή τετρακτύς, γιατί ήταντο άθροισμα του 1 +2+3+4, δηλαδή του αριθμού των σημείων που χρειάζονται για τη δημιουργία των διαστάσεων του σύμπαντος: το ένα είναι το αδιάστατο σημείο το οποίο γεννά τις άλλες διαστάσεις· δύο σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν μία γραμμή, η οποία έχει μία διάσταση1 τρία σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν ένα δισδιάστατο τρίγωνο και τέσσερα

οημεία μπορούν να ενωθούν για να φτιάξουν το τρισδιάστατο τετράεδρο. Η τετρακτύς έγινε το σύμβολο των Πυθαγορείων, οι οποίοι προχώρησαν πολύ περισσότερο από οποιοδήποτε προηγούμενο αριθμητικό μυστικισμό στην κατασκευή ενός σύμπαντος, στο οποίο οι αριθμοί είχαν και φιλοσοφικό και αποκαλυπτικό ρόλο. Σε αυτούς επίσης αποδίδεται η αριθμητική ανάλυση της μουσικής, και εδώ η τετρακτύς συμβόλιζε τις βασικές αναλογίες ανάμεσα στις νότες, αρχίζοντας από τον λόγο 1:2 για την οκτάβα. Η όλη έννοια της αρμονίας των σφαιρών προέρχεται από αυτήν την αριθμολογία της μουσικής, η οποία έμελλε να επηρεάσει το πλανητικό μοντέλο του Κέπλερ παραπάνω από 2000 χρόνια αργότερα. Ωστόσο, το όνομα του Πυθαγόρα είναι περισσότερο γνωστό από το ομώνυμο θεώρημα, που -όπως είδαμε- ήταν στην πραγματικότητα γνωστό από πολύ νωρίτερα. Θεωρείται ότι ο Πυθαγόρας έμαθε τον κανόνα αυτόν από έναν πολιτισμό που δεν αναφέραμε καθόλου σε σχέση με αυτόν: τους Αιγυπτίους. Πράγματι, οι ελληνικές πηγές αναφέρονται συχνά στην Αίγυπτο ως τόπο προέλευσης των γεωμετρικών τους γνώσεων και είναι κρίμα που δεν έχουμε καθόλου αιγυπτιακές πηγές που να αποδεικνύουν τη γνώση του πυθαγόρειου θεωρήματος. Ο Αριστοτέλης αποδίδει στους Πυθαγόρειους την πρώτη απόδειξη ότι η V2 είναι άρρητη. Εάν πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με βάση και ύψος μήκους 1, τότε η υποτείνουσα θα είναι μήκους Λ/2. Στη γλώσσα των ελληνικών μαθηματικών, οι Πυθαγόρειοι προσπαθούσαν να εκφράσουν το λόγο της υποτείνουσας προς το μοναδιαίο μήκος, ή V2:1 όπως θα γράφαμε σήμερα, ως λόγο ακεραίων. Αντίθετα από το τρίγωνο (3,4,5), στο οποίο ο λόγος οποιονδήποτε δύο πλευρών είναι λόγος ακεραίων αριθμών, αυτό δεν ήταν δυνατόν να επιτευχθεί με το συγκεκριμένο τρίγωνο. Η υποτείνουσα και η μοναδιαία πλευρά ήταν ασύμμετρες, εάν παίρναμε δηλαδή έναν διαβαθμισμένο χάρακα, τότε οι δύο πλευρές δεν θα μπορούσαν να μετρηθούν ακριβώς από αυτόν. Και δεδομένου ότι η μοναδιαία πλευρά είναι ρητή, τότε η υποτείνουσα είναι άρρητη σε σχέση με αυτή. Ο ιστορικός Διογένης λέει ότι αυτή η ανακάλυψη έγινε από τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, μέλος της Πυθαγόρειας σχολής, και ότι οι συνάδελφοι του τον πήγαν σηκωτό στη θάλασσα και τον πέταξαν στο νερό για να τον εκδικηθούν που κατέστρεψε την αντίληψη τους ότι τα πάντα μπορούσαν να εκφραστούν ως ακέραιοι αριθμοί ή αναλογίες ακεραίων. Αυτή η ιστορία θεωρείται σήμερα μάλλον υπερβολική, αλλά τόσο η σχέση ανάμεσα στα σύμμετρα και στα ασύμμετρα μήκη όσο και η σχέση μεταξύ των ρητών και των άρρητων αριθμών έχει πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά. Και όμως, για να φτάσουμε σε έναν ορισμό των αρρήτων συναρτήσει ρητών θα έπρεπε να περάσουν ακόμα 2000 χρόνια (κεφ. 19). Το πιο εντυπωσιακό στην ελληνική αντιμετώπιση του πυθαγόρειου θεωρήματος είναι η μέθοδος απόδειξης, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου ΙτωνΣτοιχειωντου Ευκλείδη. Μία πολύ γενική γεωμετρική απόδειξη, που χρησιμοποιεί μία αλληλουχία κατασκευών, οι οποίες μεταμορφώνουν τα δύο μικρότερα τετράγωνα σε δύο ορθογώνια, που τοποθετούνται μαζί για να σχηματίσουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Παρουσιάζεται χωρίς καμία αναφορά σε αριθμητικές τιμές, και το χαρακτηριστικό διάγραμμα-«ανεμόμυλος», που συνοδεύει την απόδειξη βρίσκεται αργότερα στα μαθηματικά πολλών ευρασιανών πολιτισμών. Και πράγματι, ο Πρόκλος σχολίαζε ότι, «ενώ θαυμάζω αυτούς που πρώτα παρατήρησαν την ισχύ αυτού του θεωρήματος, θαυμάζω ακόμα περισσότερο τον συγγραφέα των Στοιχει'ων». Ωστόσο, το όνομα που συνδέθηκε μ' αυτό το θεώρημα είναι εκείνο του Πυθαγόρα και η έλξη την οποία ασκεί το πυθαγόρειο ιδανικό του μαθηματικού σύμπαντος εξακολουθεί να ζει.

< Σελίδα από αντίγραφο των Στοιχεϊωντου Ευκλείδη που ανήκε στον Νεύτωνα, με ιδιόχειρες σημειώσεις στα περιθώρια. V Εικονογράφηση προμετωπίδας της έκδοσης των έργων του Απολλώνιου από τον Έντμοντ Χάλλεϋ, 1710, που απεικονίζει την κλασική ιστορία του φιλοσόφου Αρίστιππου, ο οποίος ναυάγησε σε μια ακτή της Ρόδου και δήλωσε ότι στο νησί κατοικούν πολιτισμένοι άνθρωποι μόλις είδε γεωμετρικά σχήματα στην άμμο.

Οι Έλληνες κάνουν την εμφάνιση τους στην ιστορία ως εισβολείς από το βορρά που κατέλαβαντο χώρο ανάμεσα στο Ιόνιο και οτο Αιγαίο πέλαγος. Έδειξαν ακόρεστη διάθεση να μάθουν απ' τους παλαιότερους γείτονες τους και να ξεπεράσουν τη σοφία των Αιγυπτίων και των Μεσοποταμιών που κληρονόμησαν. Ο ελληνικός κόσμος συνδεόταν περισσότερο με πολιτιστικούς παρά φυλετικούς δεσμούς. Μπορεί να χωριστεί σε δύο μεγάλες φάσεις, 1 που οριοθετούνται μεταξύ τους από τον Αλέξανδρο τον Μέγα από την άποψη των μαθηματικών αυτές οι φάσεις μπορούν να ονομαστούν Αθηναϊκή και Αλεξανδρινή περίοδος. Οι πρώτοι Ολυμπιακοί αγώνες έγιναν το 776 π.Χ., εποχή που η ελληνική λογοτεχνία ήδη διέθετε έργα όπως του Ομήρου και του Ησιόδου, αλλά για τα μαθηματικά των Ελλήνων δεν γνωρίζουμε τίποτα πριν από τον 6ο αι. π.Χ. Ο τίτλος του πρώτου Έλληνα μαθηματικού προσιδιάζει μάλλον οτο Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-548 π.Χ.) ο οποίος λέγεται ότι έδωσε τις πρώτες αποδείξεις διαφόρων γεωμετρικών θεωρημάτων προετοιμάζοντας έτσι το μεγάλο, παραγωγικό αποδεικτικό σύστημα του Ευκλείδη. Ωστόσο η γνώση που έχουμε για τα ιστορικά μαθηματικά και γι' αυτή την περίοδο γενικά έχει μεγάλη δόση ιστορικής ασάφειας. Όχι μόνο δεν υπάρχουν γραπτά που να έχουν σωθεί από εκείνη την εποχή, αλλά αναγκαζόμαστε να βασιστούμε σε σχόλια γραμμένα μέχρι και χίλια χρόνια μετά από τα περιστατικά τα οποία υποτίθεται ότι περιγράφουν. Τον 4ο αι. π.Χ., η Αθήνα υπήρξε το κέντρο της μεσογειακής πνευματικής ζωής, με την ίδρυση της Ακαδημίας του Πλάτωνα και το Λύκειο του Αριστοτέλη. Ο ρόλος του Πλάτωνα στην ιστορία των μαθηματικών παραμένει συζητήσιμος. Δεν άφησε δικά του μαθηματικά γραπτά, αλλά επηρέασε πάρα πολύ τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Στην Πολιτεία διατείνεται ότι τα μαθηματικά θα έπρεπε να αποτελούν θεμελιώδη γνώση για τους μελλοντικούς ηγέτες και στον Τίμαιο βρίσκουμε ένα είδος παραλλαγμένης πυθαγόρειας θεωρίας, όπου τα πλατωνικά στερεά συσχετίζονται με τα τέσσερα στοιχεία και το δωδεκάεδρο είναι σύμβολο ολόκληρου του σύμπαντος. Η επίδραση του Αριστοτέλη δεν ήταν πάντα θετική για τα μαθηματικά. Η απαίτηση του για λογικές εξηγήσεις είχε θετική επίδραση, αλλά η άρνηση του να αντιμετωπίσει τη χρήση του απείρου και των απειροοτών, σε συνδυασμό με την αντίληψη του ότι η τέλεια κίνηση είναι η κίνηση που γίνεται σε κύκλους και ευθείες γραμμές, γιατί αυτά τα δύο σχήματα είναι τα μόνα τέλεια, μπορεί να θεωρηθεί μάλλον αρνητική. Η Ακαδημία και το Λύκειο ήταν και οι δύο σημαντικά κέντρα μαθηματικής διδασκαλίας και έρευνας. Ο Αριστοτέλης ήταν δάσκαλος του Μ. Αλεξάνδρου, του οποίου η αυτοκρατορία στον κολοφώνα της δόξας της απλωνόταν μέχρι τη βόρεια Ινδία. Μετά το θάνατο του, η απέραντη αυτοκρατορία του διασπάστηκε και μοιράστηκε στους στρατηγούς του. Όμως, ένα από τα μέρη στα οποία διαιρέθηκε η αυτοκρατορία αναδείχθηκε σε κέντρο μάθησης υπό τη φωτισμένη μοναρχία του Πτολεμαίου Α' - η καινούργια πόλη της Αλεξάνδρειας με το μουσείο της και την περίφημη βιβλιοθήκη. Η Αλεξάνδρεια δεν θα αργούσε να υποσκελίσει την Αθήνα σ' αυτή τη δεύτερη περίοδο του κλασικού ελληνικού πολιτισμού, που έμεινε στην ιστορία με το όνομα Χρυσός αιώνας των ελληνικών μαθηματικών. Το πιο σημαντικό έργο στην ιστορία των ελληνικών μαθηματικών είναι αναμφίβολα τα Στοιχεία του Ευκλείδη (περ. 325-265 π.Χ.). Παρά τη μεγάλη του φήμη, ελάχιστα είναι γνωστά για τη ζωή του Ευκλείδη, ούτε καν ο τόπος γέννησης του. Ξέρουμε από ένα εδάφιο του μεταγενέστερου σχολιαστή Πρόκλου ότι ο Ευκλείδης δίδαξε στην Αλεξάνδρεια κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου και ότι όταν ο αυτοκράτορας του ζήτησε να

>· Μεσαιωνικό λατινικό αντίγραφο από τα αραβικά, που συνήθως αποδίδεται στον Αδελάρδο του Μπαθ, αλλά είναι πιθανότατα ένα επιπλέον αντίγραφο. Οι προτάσεις εδώ απλώς διατυπώνονται με τη βοήθεια διαγραμμάτων. Τα μόνα σχόλια σχετικά με αποδείξεις βρίσκονται στο βιβλίο Ι του χειρογράφου, κάτι που ενισχύει την άποψη ότι οι γνώσεις γεωμετρίας κατά το Μεσαίωνα περιορίζονταν μόνο στα απλούστερα βιβλία των Στοίχείων.

του υποδείξει ένα σύντομο τρόπο για να μάθει γεωμετρία, εκείνος απάντησε, «Δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος προς τη γεωμετρία». Η φήμη των Στοίχείων επισκιάζει μερικές φορές το γεγονός ότι ο Ευκλείδης έγραψε και πολλά άλλα έργα για ζητήματα οπτικής, αστρονομίας, μηχανικής και μουσικής. ΌμωςταΣτοίχει'α παρέμειναν το βασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας για πολλούς αιώνες, εξαλείφοντας στην ουσία την ανάγκη χρήσης παλαιότερων βιβλίων, με αποτέλεσμα να μην έχουν επιβιώσει αντίγραφα τους. Όπως όλα τα εγχειρίδια, μεγάλο μέρος των Στοιχείων δεν είναι παρά σταχυολόγηση πολλών άλλων πηγών και πρέπει να είμαστε ευγνώμονες στον Ευκλείδη για τη συγκέντρωση τους σε ένα γενικά αποδεκτό μοντέλο λογικού παραγωγικού συστήματος θεωρημάτων και αποδείξεων. Τα Στοιχεία δεν αποτελούν σύνοψη όλων των ελληνικών μαθηματικών, μόνο του στοιχειώδους τμήματος τους. Δεν περιλαμβάνονται οι μέθοδοι υπολογισμού αλλά ούτε και πιο προχωρημένα μαθηματικά ζητήματα, όπως οι κωνικές τομές. Ταΐτοιχεία διαιρούνται σε 13 βιβλία και καλύπτουν τη στοιχειώδη επιπεδομετρία, τη θεωρία των αριθμών, τη θεωρία των ασύμμετρων και τη στερεομετρία. Αρχίζουν απότομα με έναν κατάλογο 23 ορισμών, όπως π.χ. «Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος» (Σημεΐον εστίν, ου μέρος ούθέν) και «Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος»(Γραμμή δε μήκος άπλατίς). Ακολουθούν 5 αιτήματα και 5 «κοινές έννοιες», από τα οποία το περίφημο πέμπτο αίτημα έχει τη δική του ανεξάρτητη ιστορία. Κάθε κεφάλαιο αρχίζει με πρόσθετους ορισμούς σχετικούς με το υπό διαπραγμάτευση θέμα. Για τον Ευκλείδη, οι ορισμοί ήταν πιο αυταπόδεικτοι από τα αιτήματα, αν και για μας σήμερα όλα μπαίνουν στην κατηγορία των αξιωμάτων. Τα αιτήματα είναι κατά κανόνα πρακτικές διαδικασίες, όπως «η χάραξη μίας ευθείας γραμμής από ένα σημείο προς άλλο σημείο», ενώ ο τέταρτος ορισμός δηλώνει ότι «Ευθεία είναι μια γραμμή που κείται εξίσου ως προς τα σημεία της» (Ευθεία γραμμή εστίν, ήτις εξ ϊσου τοις εφ' εαυτής σημείοις κείται). Συνολικά, βλέπουμε εδώ τον περιορισμό της γεωμετρίας σε μεθόδους κατασκευής με τον κανόνα και τον διαβήτη. Αυτά τα δύο απλά εργαλεία αποτέλεσαν τις λογικές γεννήτριες του όλου συστήματος, δεδομένου ότι ο κύκλος και η ευθεία γραμμή είναι τα πιο τέλεια σχήματα. Οι Έλληνες χρησιμοποίησαν και άλλες «μηχανικές» μεθόδους κατασκευής, αλλά τα Στοίχεια δεν ασχολούνται μ' αυτές. Τα βιβλία I-IV ασχολούνται με γεωμετρικές κατασκευές επιπέδων σχημάτων, δηλαδή τετραπλεύρων, τριγώνων, κύκλων και πολυγώνων που κατασκευάζονται με τη βοήθεια κύκλων. Έχει υποστηριχθεί ότι μέρη αυτώντων βιβλίων, ιδιαίτερα το II, παραπέμπουν σ' ένα είδος αλγεβρικής γεωμετρίας, όπου οι γεωμετρικές κατασκευές παίζουν το ρόλο των αλγεβρικών πράξεων. Είτε αυτό ισχύει είτε όχι, αυτό που είναι εμφανές είναι ότι τουλάχιστον σ' αυτά τα πρώτα θεωρήματα ο Ευκλείδης ασχολείται μόνο με καθαρά γεωμετρικές έννοιες. Ο όρος «μέγεθος» χρησιμοποιείται παντού για να υποδηλώσει οποιοδήποτε γεωμετρικό αντικείμενο -ένα ευθύγραμμο τμήμα ή σχήμα- και τα θεωρήματα ασχολούνται με τις κατασκευές αυτών των μεγεθών και τις σχέσεις ανάμεσα τους. Δεν γίνεται χρήση αριθμητικών εννόων, όπως το μήκος, κι έτσι το τετράγωνο, π.χ., αντιμετωπίζεται ως γεωμετρική κατασκευή που προκύπτει από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Πουθενά δεν δηλώνει ο Ευκλείδης ότι το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι το γινόμενο των πλευρών του αυτό έρχεται πολύ αργότερα. Άρα τα μεγέθη είναι η πιο βασική έννοια των Στοίχείων, το θεμέλιο όλου του έργου. Απ' αυτή την άποψη είναι ενδιαφέρον ότι η απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος γίνεται μέσω της ανακατασκευής σχημάτων, ενώ η χρήση των πράγμα-

τικών εμβαδών που περιέχουν θα μπορούσε να δώσει μία πολύ διαφορετική απόδειξη. Το V είναι η γενική θεωρία των αναλογιών όπως πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Εύδοξο. Μέλος της Ακαδημίας του Πλάτωνα, ο Εύδοξος ο Κνίδιος (περ. 408-355 π.Χ.) ήταν ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς της εποχής του. Στο ενεργητικό του έχει δύο θεμελιώδεις ανακαλύψεις: τη θεωρία των αναλογιών και τη μέθοδο της εξάντλησης. Το φαινομενικό αδιέξοδο των ασύμμετρων παρακάμφθηκε κατά μεγάλο μέρος δεδομένου ότι μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γινόμενα και τα πηλίκα τους μέσω των αναλογιών του Ευδόξου. Ο Ευκλείδης παραθέτει ικανό αριθμό κανόνων για τις αναλογίες και για τις προϋποθέσεις χρήσης τους. Η χρήση λόγων αντί κλασμάτων είχε μερικά πλεονεκτήματα. Μπορούσε κανείς να διατυπώσει κανόνες όπως «ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι ανάλογος με τα τετράγωνα των διαμέτρων τους» και να χρησιμοποιήσει αυτό τον κανόνα σε κάποια θεωρήματα χωρίς να χρειαστεί να καταφύγει στη χρήση του η, το οποίο είναι άρρητο. Επίσης, ο λόγος δύο μεγεθωντου ίδιου τύπου είναι χωρίς διάσταση, και έτσι μπορεί να συγκριθεί αναλογικά με άλλους λόγους, όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Έτσι ο λόγος ήταν η βασικότερη σχέση μεταξύ μεγεθών και η θεωρία των αναλογιών έδινε τη δυνατότητα σε διαφορετικούς λόγους να συγκριθούν μεταξύ τους. Το VI πραγματεύεται την ομοιότητα των σχημάτων και περιέχει μία γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος που δεν περιορίζεται στα τετράγωνα που κατασκευάζονται απ' τις πλευρές του τριγώνου, αλλά επεκτείνεται σε οποιοδήποτε κατασκευάσιμο σχήμα. Έτσι εάν κατασκευάσουμε ημικύκλια με διάμετρο την κάθε πλευρά του τριγώνου, τότε το αθροισμάτων δύο μικρότερων ημικύκλιων ισούται με το μεγαλύτερο. Η θεωρία των αριθμών περιλαμβάνεται στα βιβλία VII-IX. Για τον Ευκλείδη, «αριθμοί» ήταν οι ακέραιοι. Από τους ορισμούς του VII βλέπουμε ότι η αντιμετώπιση των αριθμών γίνεται ουσιαστικά γεωμετρικά. Ο Ευκλείδης λέει ότι «ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του μικρότερου όταν μπορεί να μετρηθεί απ' αυτόν» και ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου. Υπάρχει επίσης ο περίφημος κανόνας, γνωστός με το όνομα ευκλείδειος αλγόριθμος, για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών ή, με τα λόγια του Ευκλείδη, «του μεγαλύτερου κοινού μέτρου μεταξύ δύο μεγεθών». Στο IX βρίσκουμε την περίφημη απόδειξη, η οποία, με σύγχρονη ορολογία, δηλώνει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Στην πραγματικότητα, ο Ευκλείδης σκόπιμα αποφεύγει την αναφορά στο άπειρο. Δηλώνει ότι «οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε δεδομένο πλήθος πρώτων αριθμών» και προχωρεί στην απόδειξη αυτού του θεωρήματος για μόνο τρεις δεδομένους πρώτους. Η απαραίτητη επέκταση στους υπόλοιπους πρώτους αριθμούς θεωρείται αυτονόητη. Σ' αυτό το βιβλίο αναφέρεται και ένας κανόνας κατασκευής τέλειων αριθμών. Τέλειος αριθμός είναι αυτός για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Ο πρώτος τέλειος αριθμός είναι το 6, κι ο δεύτερος είναι το 28 (με διαιρέτες τους 1,2,4,7 και 14 που το άθροισμα τους είναι 28). Το Χ είναι μία λεπτομερής ανάλυση των διαφόρων αρρήτων μηκών, όπου βρίσκουμε την έννοια της ασυμμετρίας μεταξύ γενικών μεγεθών να ανάγεται στην έννοια της αρρητότητας μεταξύ μηκών (και τετραγώνων). Εάν θεωρήσουμε μία ευθεία γραμμή, η οποία να ορίζεται ως ρητή, τότε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή ασύμμετρη ως προς αυτή λέγεται ότι είναι άρρητη. Μακροσκελείς αποδείξεις παρατίθενται για όλους τους διαφόρους τύπους των αρρήτων, από απλές τετραγωνικές ρίζες μέχρι συμπλέγματα ριζών, όπωςπ.χ. V(Va+V)8). Η

A To παλίμψηστο του Αρχιμήδη είναι ένα βυζαντινό χειρόγραφο του 10ου αι. το οποίο είχε ξυστεί για να γραφτεί από πάνω ένα λειτουργικό κείμενο, κάτι που συνέβαινε συχνά όταν υπήρχε έλλειψη χαρτιού. Το μισοσβησμένο κείμενο ανασυστήθηκε με τη βοήθεια ηλεκτρονικών μέσων για να διαπιστωθεί ότι πρόκειται για ένα χαμένο έργο του Αρχιμήδη, τη Μέθοδο (Εφοδος).

εξέταση των διαφόρων τρόπων αριθμητικής έκφρασης των αρρήτων είναι αποκαλυπτική για τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν τότε. Ο συμβολισμός που υπήρχε βασιζόταν στον ευκλείδειο αλγόριθμο, αλλά αν και η παράσταση στην οποία κατέληγε για έναν συγκεκριμένο άρρητο ήταν χρήσιμη, δεν υπήρχε απλή μέθοδος για να εκφράσει αθροίσματα ή γινόμενα με τον ίδιο τρόπο. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το Λήμμα 1 (λήμμα=προκαταρκτικό θεώρημα) , το οποίο βρίσκει δύο τετράγωνα που το άθροισμα τους να είναι και αυτό τετράγωνο - το πυθαγόρειο θεώρημα από τη σκοπιά της θεωρίας των αριθμών χωρίς καμία αναφορά στην απόδειξη που παρατίθεται στο τέλος του Ι. Σ' αυτό το βιβλίο υπονοείται σαφώς ότι αυτές οι αριθμητικές και γεωμετρικές μέθοδοι δεν είναι παρά ένα προοίμιο για πιο προχωρημένα προβλήματα, όπως η εύρεση εμβαδών και τα προβλήματα τετραγωνισμού. Μπορεί επίσης να σημειωθεί ότι οι άρρητοι στους οποίους γίνεται αναφορά μπορούν όλοι να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη -π.χ. δεν υπάρχουν κυβικές ρίζες. Η εκτενέστατη ταξινόμηση των αρρήτων αποκτά νόημα στα τελευταία κεφάλαια των Στοιχείων, όπου επανεμφανίζονται σε σχέση με τα κανονικά πολύεδρα. Τα τελευταία τρία βιβλία των Στοιχείων ασχολούνται με τη στερεομετρία και χρησιμοποιούν τη μέθοδο εξάντλησης του Ευδόξου για την εύρεση με αυστηρό μαθηματικό τρόπο εμβαδών και όγκων μέσω αλλεπάλληλων προσεγγίσεων. Ο Αρχιμήδης απέδωσε στον Εύδοξο την πρώτη απόδειξη ότι ο όγκος του κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου ενός κυλίνδρου με ίση βάση και ύψος, και μεγάλο μέρος του XII θεωρείται ότι βασίζεται στην εργασία το Ευδόξου. Το XIII κλείνει με την απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πλατωνικά στερεά, τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν από τρίγωνα, τετράγωνα και πεντάγωνα. Όλα τα στερεά κατασκευάζονται μέσα σε μία σφαίρα και υπολογίζονται τα αποστήματα - αποστάσεις από το κέντρο, των πλευρών των στερεών. Εδώ επανεμφανίζονται οι άρρητοι που περιγράφονται στο Χ. Και πέφτει η αυλαία μιας συμφωνίας σε 13 μέρη. Τα Στοιχεία υπήρξαν το πιο σημαντικό εγχειρίδιο όλωντων εποχών. Αντιγράφτηκε και ξαναντιγράφτηκε με σχόλια πάνω σε προηγούμενα σχόλια, μεταφράστηκε και προσαρμόστηκε στις ανάγκες και στην κουλτούρα διάφορων πολιτισμών. Είναι σχεδόν αδύνατον να ανασυστήσει κανείς το αρχικό έργο του Ευκλείδη, καθώς ολοκληρωμένα αντίγραφα έχουμε μόνον μετά τον 9ο αι. μ.Χ., αλλά η εκτίμηση στην οποία το είχαν φαίνεται απ' το ότι όχι μόνο επέζησε αλλά και έσβησε όλα τα άλλα Στοιχεία που είχαν προηγηθεί. Η Αλεξάνδρεια παρέμεινε κέντρο μάθησης για αρκετό καιρό. Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (262-190 π.Χ.) που την αποκαλούσε κοιτίδα της γεωμετρίας, σπούδασε και δίδαξε εκεί. Το πιο σημαντικό του έργο είναι μια εξελιγμένη γεωμετρική μελέτη, Τα κωνικά. Κωνικές τομές λέγονται τα σχήματα που προκύπτουν αν κόψει κανείς έναν κώνο υπό διάφορες γωνίες: ο κύκλος, η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή. Εκεί σπούδασε ο Αρχιμήδης, αλλά και ο Πτολεμαίος και ο Διόφαντος (περ. 250 μ.Χ.). Τον 4ο αι. μ.Χ. η λάμψη της Αλεξάνδρειας σβήνει και περιορίζονται οι προσωπικές ελευθερίες. Η Υπατία (περ. 370-415), κόρη του Θεωνά του Αλεξανδρέως, πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία, ήταν επικεφα^ της Πλατωνικής σχολής στην Αλεξάνδρεια καθώς το όλο και ισχυρότερο Χριστιανικό κίνημα δεν ανεχόταν αυτό που θεωρούσε ειδωλολατρική επιστήμη και φιλοσοφία. Θανατώθηκε από έναν όχλο φανατισμένων Χριστιανών, κάτι που θεωρείται η αρχή του τέλους για την Αλεξάνδρεια της γνώσης και της μάθησης. Όσο για τα μαθηματικά, το κέντρο βάρους είχε μετακινηθεί ανατολικά, στη Βαγδάτη.

·< Εικονογράφηση προμετωπίδας ενός δημοφιλούς κειμένου τβυ 16ου αι., τουΣουανφά Τουντσούνγκ (Γενική πηγή υπολογιστικών μεθόδων). Το κεφάλαιο που τιτλοφορείται «Συζητήσεις μεταξύ καθηγητή και μαθητή σχετικά με δύσκολα προβλήματα» πραγματεύεται τη χρήση του άβακα για μαθηματικούς υπολογισμούς.

Ο κινεζικός πολιτισμός πρωτοαναπτύχθηκε στις όχθες του Πανγκτσέ και του Κίτρινου ποταμού κατά την περίοδο του μυθικού βασιλείου των Σιά, το 2000 π.Χ. Η δυναστεία των Σανγκ κράτησε από το 1520 ως το 1030 π.Χ., οπότε τη θέση της πήραν οι εισβολείς Τσόου, οι οποίοι, τον 8ο αι. π.Χ. άρχισαν ήδη να χάνουν τον έλεγχο των εδαφών τους. Από το 400 έως το 200 π.Χ., αυτό που κάποτε ήταν αυτοκρατορία, διαλύθηκε σε ένα μωσαϊκό αντιμαχόμενων κρατών. Σ' αυτή την περίοδο, που είναι γνωστή σαν Περίοδος των Πολεμικών Βασιλείων, ανάγεται το πρώτο καθαρά μαθηματικό κείμενο, το Τσόου πει σουαντσι'νγκ (Κανόνας γνωμονικών υπολογισμών της δυναστείας Τσόου). Αυτή ήταν ή περίοδος του Κομφούκιου, ενός από τους πολλούς περιπλανώμενους σοφούς, που ζούσαν στην κόψη του ξυραφιού συμβουλεύοντας τους ντόπιους ηγεμόνες. Η επανένωση της Κίνας υπό τον αυτοκράτορα Τσ'ιν σήμαινε απ' τη μια μεριά το εκ νέου χτίσιμο του Μεγάλου Τείχους, απ' την άλλη το χωρίς λόγο και αιτία κάψιμο βιβλίων. Στη διάδοχη δυναστεία των Χαν, από το 200 περίπου π.Χ. μέχρι το 200 μ.Χ., οι λόγιοι προσπαθούσαν να ανακαλύψουν χειρόγραφα που είχαν σωθεί απ' την καταστροφική μανία των Τσ'ιν και συχνά έγραφαν παλιά βιβλία από μνήμης. Ένα μαθηματικό κείμενο με μεγάλη επιρροή, το Τσιουτσάνγκ σουανσού (Υπολογιστικές οδηγίες σε εννέα κεφάλαια) όπως και τα σχόλια για τους Γνωμονικούς υπολογισμούς ανήκουν σ' αυτή την περίοδο. Το επόμενο σημαντικό κείμενο εμφανίστηκε τον 7ο αι., όταν την περίοδο των δυναστειών Σουέι (518-617) καιΤανγκ (618-907) μια εκπαιδευτική μεταρρύθμιση όρισε ότι τα μαθηματικά έπρεπε να διδάσκονται στο σχολείο για τους Γιους του Κράτους. Το βιβλίο που χρησιμοποιούσαν ήταν το Σουαντσίνγκ σι σου (Δέκα υπολογιστικοί κανόνες), το οποίο συγκέντρωνε τα πιο σημαντικά έργα της εποχής, χωρίς να εξαιρούνται οι Γνωμονικοί υπολογισμοί και τα Εννέα κεφάλαια. Η σημασία του παρέμεινε αμείωτη για αρκετούς αιώνες. Τον 7ο αι. επίσης έγινε το τεράστιο έργο της ένωσης των δύο κύριων ποταμών της Κίνας με το Μεγάλο Κανάλι, ένα θαύμα μηχανικής δεινότητας. Ο λαός τελικά επαναστάτησε δυσφορώντας για τις σκληρές συνθήκες ζωής, που είχαν επιβληθεί κατά τη διάρκεια της κατασκευής του καναλιού, καιη βραχύβια δυναστεία Σουέι σύντομα έδωσε τη θέση της στη δυναστεία Τανγκ. Η πρωτεύουσα των τελευταίων, η Τσανγκ'αν εξελίχθηκε σε πνευματική γέφυρα ανάμεσα στην Κίνα και στην Κεντρική Ασία, παίζοντας παρόμοιο ρόλο με την άλλη κοσμοπολίτικη πόλη πέρα μακριά στη Δύση, τη Βαγδάτη. Τα 300 χρόνια της δυναστείας των Τανγκ γνώρισαν την εφεύρεση της τυπογραφίας και της πυρίτιδας. Η περιήγηση μας τελειώνει με τη δυναστεία των Σουνγκ, η οποία κράτησε μέχριτατέλη του 13ου αι. Ας ρίξουμε τώρα μια ματιά στα Εννέα κεφάλαια. Το κινεζικό ενδιαφέρον για τα μαγικά τετράγωνα φαίνεται να συνδέεται περισσότερο με τη μαντεία παρά με τα μαθηματικά. Ο μύθος λέει ότι ο αυτοκράτορας Γιου του 3000 π.Χ. απέκτησε δύο διαγράμματα, ένα από ένα μαγικό δράκοντα με μορφή αλόγου που αναδύθηκε από τον Κίτρινο ποταμό και ένα άλλο από το καβούκι μιας χελώνας που βρέθηκε στον Λο, έναν παραπόταμο του Κίτρινου ποταμού. Οι πρώτες εικόνες του μαγικού σταυρού και τετραγώνου ανάγονται στον 10ο αι. και μέχρι τον 13ο αι. τα μόνα μαγικά τετράγωνα που συζητούνται έχουν διαστάσεις όχι μεγαλύτερες από 3x3. Ήδη όμως οι υποτιθέμενες μαγικές τους ιδιότητες έχουν πάψει να αναφέρονται και ο Γιανγκ Χούι επικεντρώνεται στις αριθμητικές ιδιότητες ορισμένων αριθμητικών τετραγώνων και κύκλων. Στην πραγματικότητα, οι Άραβες μαθηματικοί γνώριζαν τα μαγικά τετράγωνα από τον 9ο αι. και πρόσφατα βρέθηκε στο Σι'αν ένα αραβικό μαγικό τετράγωνο από την εποχή των Μογγόλων (1279-1368).

^ To πρόβλημα του σπασμένου μπαμπού, από το βιβλίο του Γιανγκ· Χούι Σίανγκτσίέ Τσιουτσάνγκ σουανφά (1261), λεπτομερής σχολιασμός των υπολογιστικών μεθόδων των Εννέα κεφαλαίων. Το παραγόμενο ορθογώνιο τρίγωνο χρησίμευε σε μία ολόκληρη σειρά προβλημάτων, μεταξύ των οποίων και το πυθαγόρειο.

Α Μία σελίδα από το βιβλίο Σιγιουάν Γίουτσιάντου Τσου Σιτσίε (1303), σε ελεύθερη μετάφραση «Ο πολύτιμος καθρέφτης των τεσσάρων αγνώστων», στην οποία φαίνεται η μέθοδος των πινάκων για την αριθμητική επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων.

Τα Ew/έα κεφάλαια κατέχουν κεντρική θέση στα κινεζικά μαθηματικά. Το αρχικό είναι αδύνατον να διαχωριστεί από τη μάζα των μεταγενέστερων σχολίων ο σχολιαστής του 3ου αι. Λίου Χούι δηλώνει ότι μεγάλο μέρος του βιβλίου ξαναγράφτηκε στην εποχή του και ότι προστέθηκε σ' αυτό νέο υλικό ενώ παραλείφθηκε κάποιο άλλο. Η πιο παλαιά εκδοχή του κειμένου που σώζεται σήμερα είναι του 13ου αι. αλλά είναι αποσπασματική· μια πληρέστερη έκδοση έχει φτάσει μέχρις εμάς από τον 18ο αι. Κάτι ανάλογο δηλαδή με την έλλειψη των ελληνικών κειμένων, μόνο που εδώ η χρονική απόσταση ανάμεσα στα υπάρχοντα χειρόγραφα και στα πρωτότυπα που υποτίθεται ότι αντιγράφουν είναι μάλλον μεγαλύτερη. Τα Εννέα κεφάλαια περιέχουν 246 προβλήματα. Το καθένα αρχίζει με τη διατύπωση του προβλήματος, η οποία ακολουθείται από την αριθμητική απάντηση και μια μέθοδο επίλυσης. Δεν δίδονται λογικές εξηγήσεις ή αποδείξεις. Μεγάλο μέρος του έργου αποτελείται από προβλήματα πρακτικών υπολογισμών, όπως π.χ. η κατανομή της γης, η μοιρασιά προϊόντων και η διαχείριση κατασκευαστικών έργων μεγάλης κλίμακας. Θα εξετάσουμε τώρα τη μέθοδο εξαγωγής τετραγωνικών ριζών και επίλυσης εξισώσεων. Οι υπολογισμοί γίνονταν με τη διάταξη ραβδοειδών αριθμών σε έναν άβακα. Μερικές φορές ο άβακας είχε τη μορφή ειδικά κατασκευασμένου πλέγματος, αλλά μερικά κείμενα αναφέρουν ότι μπορούσε να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε επιφάνεια. Το σημαντικό ήταν η διάταξη των ράβδων κατά τη διάρκεια του υπολογισμού, η οποία επέτρεπε τη συνέχιση ενός μερικού υπολογισμού από εκεί που είχε διακοπεί, κάτι ιδιαίτερα σημαντικό για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων. Οι απαντήσεις καταγράφονταν ακριβώς όπως εμφανίζονταν στον άβακα. Το σύστημα αριθμητικής γραφής που προκύπτει είναι δεκαδικό θεσιακού συμβολισμού, αλλά τα ψηφία 1 έως 9 κατασκευάζονταν χρησιμοποιώντας ένα αθροιστικό σύστημα με κάθετες ράβδους για κάθε μονάδα και ένα οριζόντιο για το πέντε. Μερικές πηγές έχουν αναπαραστάσεις όπου οι διευθύνσεις των ράβδων αλλάζουν, αλλά το 5 είναι πάντα κάθετο στις μονάδες, κάτι που ασφαλώς βοηθούσε στη διδασκαλία και επιτάχυνε τους υπολογισμούς. Η χρήση ειδικού συμβόλου για το 5 μεταφέρεται αργότερα στον άβακα, η χρήση του οποίου φαίνεται να γενικεύεται μόλις τον 16ο αι.. Όπως και οι Βαβυλώνιοι, οι Κινέζοι δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν. Η διάταξη των ράβδων πρέπει να άφηνε κενό στη θέση του μηδενός, αλλά αυτό δεν μεταφερόταν στη γραπτή απάντηση, με αποτέλεσμα να προκύπτει μόνο από τα συμφραζόμενα αν ένας αριθμός ήταν 18,108 ή 1800. Ήδη τον 8ο αι. βλέπουμε σε μια μετάφραση ινδικού κειμένου να χρησιμοποιείται μια τελεία στη θέση του μηδενός. Το κυκλικό μηδέν εμφανίζεται πολύ αργότερα, τον 13ο αι., μαζί με μια τετραγωνισμένη εκδοχή του, η οποία σχηματίζεται εύκολα από τις ράβδους. Το πρώτο βήμα στην εξαγωγή τετραγωνικών και κυβικών ριζών είναι η εμπειρική εύρεση της τάξης μεγέθους της ρίζας και μετά ο υπολογισμός των ψηφίων κατά σειρά. Στο παράδειγμα των Εννέα κεφαλαίων υπολογίζεται η V71824. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 200 και στο 300, οπότε πρόκειται για έναν τριψήφιο αριθμό αβγ, όπου α=2. Το πρόβλημα είναι η εύρεση του β και του ν. Η αιτιολόγηση της αριθμητικής διαδιακασίας που δίνει ο Λίου Χούι βασίζεται σε μια γεωμετρική μέθοδο, όπου το τετράγωνο χωρίζεται με ένα συγκεκριμένο τρόπο. Γνωρίζοντας ότι η ρίζα είναι 200 και κάτι, αφαιρούμε το τετράγωνο 200x200 από το διάγραμμα, αφήνοντας μια περιοχή σχήματος L, η οποία ονομάζεται «γνώμονας». Μετά βρίσκουμε τη μεγαλύ-

A 0 Λίου Χούι, σχολιαστής των Εννέα κεφαλαίων που έζησε τον 3ο αι., περιέγραψε μία μέθοδο εξάντλησης για τον κατά προσέγγιση προσδιορισμό της τιμής του π. Αυτό το διάγραμμα του λογίου Τάι Τσεν (1724-1777) δείχνει τη μέθοδο με την οποία προσεγγίζεται ένας κύκλος με εγγεγραμμένα πολύγωνα.

τερη δυνατή τιμή σε δεκάδες που χωράει στον γνώμονα, δηλαδή το 60, οπότε σχηματίζεται ένας καινούργιος γνώμονας. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να βρεθεί η λύση. Αν η απάντηση δεν είναι ακέραιος, ή συνεχίζεται η διαδικασία για τη ν εύρεση όσων δεκαδικών ψηφίων θέλουμε, ή δίδεται το υπόλοιπο με τη μορφή κλάσματος. Η ίδια τεχνική χρησιμοποιείται για την εύρεση κυβικών ριζών με την αντίστοιχη κατάτμηση ενός κύβου. Αυτή η γεωμετρική τεχνική ισοδυναμεί με τη χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος, του οποίου οι αριθμητικοί συντελεστές αντιστοιχούν στο γνωστό σήμερα τρίγωνο του Πασκάλ. Η χρήση αυτής της αλγεβρικής μεθόδου ήταν ήδη διαδεδομένη τον 11 ο αι. και ίσως ακόμη νωρίτερα επιτρέποντας στους Κινέζους τον υπολογισμό οποιασδήποτε νυοστής ρίζας ήθελαν. Επίσης, είναι άγνωστο αν το τρίγωνο του Πασκάλ προερχόταν από ινδικές πηγές ή ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα. Το κάθε βήμα στην εξαγωγή μιας τετραγωνικής ρίζας απαιτεί την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αντίστοιχα, η εξαγωγή ριζών ανώτερης τάξης, όπως π.χ. κυβικών ριζών, απαιτεί την επίλυση εξισώσεων ανώτερου βαθμού, ή πολυωνύμων, όπως π.χ. τριτοβάθμιων. Μια παρόμοια μέθοδος με αυτήν 'της εξαγωγής ριζών μπορούσε λοιπόν να χρησιμοποιηθεί και για την επίλυση οποιουδήποτε πολυωνύμου χωρίς το γεωμετρικό πλαίσιο των γνωμόνων. Όπως και σε άλλους πολιτισμούς, η εύρεση μιας ρίζας ήταν συνήθως αρκετή, και δεν γνωρίζουμε αν οι Κινέζοι ήξεραν ότι ένα πολυώνυμο μπορούσε να έχει πολλαπλές λύσεις. Οι εξισώσεις δεν γράφονταν με τη βοήθεια κάποιας μεταβλητής όπως το χ, αλλά εκφράζονταν με τη βοήθεια των αριθμητικών συντελεστών, οι οποίοι τοποθετούνταν κατάλληλα στον άβακα. Δεν φαινόταν να τους απασχολεί αν τα δεκαδικά μέρη της λύσης ήταν πεπερασμένα ή άπειρα - ο αλγόριθμος δούλευε καλά και στις δυο περιπτώσεις και ο υπολογισμός σταματούσε όταν θεωρούσαν ότι το αποτέλεσμα είχε την απαιτούμενη ακρίβεια. Τα Εννέα κεφάλαια περιλαμβάνουν και προβλήματα τα οποία επιλύνονται με συστήματα γραμμικών εξισώσεων με περισσότερους από έναν άγνωστους. Ο Λίου Χούι δηλώνει στο σχόλιο του ότι η γενική μέθοδος επίλυσης είναι δύσκολο να εξηγηθεί χωρίς κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα. Στη μέθοδο, οι συντελεστές του συστήματος των εξισώσεων παριστάνονται με ραβδοειδείς αριθμούς τοποθετημένους σε παράταξη, σαν να πρόκειται για πίνακα. Οι αριθμοί μετά αναδιατάσσονται, έτσι ώστε να εξαλειφθούν μερικοί απ' τους συντελεστές, αφήνοντας εκπεφρασμένες αριθμητικές λύσεις. Η μέθοδος αυτή είναι ουσιαστικά πανομοιότυπη με τη σύγχρονη μέθοδο που είναι γνωστή ως απαλοιφή του Γκάους, από το όνομα του Καρλ Φρήντριχ Γκάους, αν και οι Κινέζοι δεν ανέπτυξαν την ιδέα της ορίζουσας ενός πίνακα, οπότε είναι ίσως σωστότερο να θεωρούμε τη διάταξη των ράβδων ως παράταξη. Υπάρχουν και σημαντικά έργα σχετικά με τις απροσδιόριστες εξισώσεις, οι οποίες έχουν παραπάνω από μία και μερικές φορές άπειρες λύσεις. Δύο τύποι προβλημάτων παρουσιάζονται: ο κυριότερος είναι το πρόβλημα του υπολοίπου, και ο άλλος είναι γνωστός με το όνομα «το πρόβλημα των εκατό πουλιών». Το πρόβλημα των εκατό πουλιών εμφανίζεται με διάφορες μορφές στον μεσαιωνικό κόσμο σε ευρωπαϊκά, αραβικά και ινδικά κείμενα. Όπως αναφέρεται στουςΔεκα κανόνες, τα κοκόρια κοστίζουν 5τσιαν, οι κότες 3 και τα τρία κοτόπουλα 1. Εάν αγοραστούν εκατό πουλιά για 100 τσιαν, πόσα από κάθε είδος πουλιού μπορούν να αγοραστούν; Τρεις λύσεις δίδονται, μία απ' τις οποίες είναι 4 κοκόρια, 18 κότες και 78 κοτόπουλα. (Λείπει η λύση όπου έχουμε 25 κότες και 75

Α Εικονογράφηση προμετωπίδας από το βιβλίο Σιγιουάν Γιουτσιάντου Τσου Σιτσίε (1303) η οποία δείχνει αυτό το οποίο αργότερα έγινε γνωστό ως τρίγωνο του Πασκάλ, τρεις και πλέον αιώνες πριν γεννηθεί ο Πασκάλ.

κοτόπουλα αλλά καθόλου κοκόρια). Οι απαντήσεις που δίνονται είναι σωστές, αλλά οι εξηγήσεις που τις συνοδεύουν δεν χαρακτηρίζονται από ιδιαίτερη αυστηρότητα. Το πρόβλημα των υπολοίπων, ωστόσο, δίνει και αποτέλεσμα και μία γενική μέθοδο, πάλι όμως χωρίς δικαιολόγηση. Το πρόβλημα, όπως αναφέρεται στα Εννέα κεφάλαια, υποθέτει την ύπαρξη ενός άγνωστου αριθμού αντικειμένων τα οποία, «εάν μετρηθούν ανά τριάδες, περισσεύουν δύο, εάν μετρηθούν ανά πεντάδες, περισσεύουν τρία και εάν μετρηθούν ανά επτάδες περισσεύουν δύο». Ο σκοπός είναι να βρεθεί ο αριθμός των αντικειμένων. Η λύση η οποία δίδεται είναι περισσότερο διαδικαστική παρά εξηγητική· στην ουσία, το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη των αριθμών 3,5 και 7. Κατά περίεργο τρόπο, η επόμενη φορά που αναφέρονται αυτά τα προβλήματα είναι τον 13ο αι. στο έργο του Τσ'ιν Τσιουσάο. Γεννημένος στο Αν γιουέ, το οποίο τώρα βρίσκεται στο Σετσουάν, ο πατέρας του Τσ'ιν Τσιουσάο κατείχε μία σειρά από διοικητικές θέσεις, μία απ' τις οποίες ήταν υποδιευθυντής της βιβλιοθήκης του παλατιού. Ο Τσ'ιν Τσιουσάο σπούδασε στην Αστρονομική Εταιρεία της πρωτεύουσας Χανγκτσόου, αλλά συμμετείχε στην πολεμική προσπάθεια για την απόκρουση των Μογγόλων εισβολέων το 1234. Ήταν δέκα χρόνια αθλιότητας όπως έλεγε ο ίδιος. Επανεμφανίζεται το 1244 να κατέχει μια δημόσια θέση στην επαρχία του Τσιανκάνγκ, το τωρινό Νανκίνγκ, αλλά αργότερα αποσύρεται για τρία χρόνια για να θρηνήσει το θάνατο της μητέρας του. Είναι πιθανόν να έγραψε σ' αυτή συγκεκριμένα την περίοδο το Σουσου Τσιουτσάνγκ, η δομή του οποίου είναι παρόμοια μετουςΑεκα κανόνες, αν και το έργο του είναι πολύ πιο βαθύ και πολύπλοκο. Το Σούσου Τσιουτσάνγκ περιγράφει τις μεθόδους επίλυσης μιας επιμέρους ισοτιμίας και ενός συστήματος ταυτόχρονων ισοτιμιών όπως είναι και το πρόβλημα των υπολοίπων. Οι ισοτιμίες είναι ίσως καλύτερα γνωστές με τη μορφή της αριθμητικής μέτρου ή της ωρολογιακής αριθμητικής και οι λύσεις που δίδονται αντιστοιχούν σ' αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα των κινεζικών υπολοίπων. Ο Τσ'ιν Τσιουσάο λέει ότι έμαθε τη μέθοδο απ' τους κατασκευαστές ημερολογίων του Γραφείου Αστρονομίας στο Χανγκτσόου, αλλά ότι κι εκείνοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα χωρίς να τον καταλαβαίνουν. Ο κανόνας άρχισε να χρησιμοποιείται για να επιλύσει προβλήματα που παρουσιάζονταν στη χρήση διαφορετικών κύκλων, όπως ο σεληνιακός μήνας, το ηλιακό έτος και ο τεχνητός εξηνταδικός κύκλος. Ακόμη και ο Γκάους, ο οποίος ξαναανακάλυψε τη μέθοδο 5 αιώνες αργότερα, χρησιμοποίησε προβλήματα ημερολογιακών κύκλων σαν παραδείγματα. Δεν είναι σαφές πού βρήκε ο Τσ'ιν Τσιουσάο στην πραγματικότητα τον κανόνα του. Μάλλον πρόκειται για μια γνήσια νεωτερική ιδέα από έναν μαθηματικό πρώτης τάξεως ο οποίος πήγαινε πολύ μακρύτερα από την παράδοση των σχολιασμών. Ήταν χαρακτηριστικό παράδειγμα της πανάρχαιας κινεζικής παράδοσης που ήθελε να χρησιμοποιούνται τα μαθηματικά για να επιλύουν προβλήματα της καθημερινής ζωής.

< Λειπομέρεια αστρολόγων που χρησιμοποιούν έναν αστρολάβο κα| πίνακες πλανητικών θέσεων στην κατάρτιση του ωροσκοπίου κατά τη γέννηση του Ταμερλάνου (13361405), του μελλοντικού αυτοκράτορα των Μονγόλων.

Τα παλαιότερα στοιχεία για τα μαθηματικά στην Ασία προέρχονται από τον πολιτισμό της Χαράππα της κοιλάδας του Ινδού γύρω στο 3000 π.Χ. Τα παλαιότερα ντοκουμέντα, αν και είναι δύσκολο να αποκρυπτογραφηθούν, φαίνεται να ασχολούνται κυρίως με εμπορικούς λογαριασμούς καθώς και μέτρα και σταθμά, με ειδική αναφορά σε μια δική τους προχωρημένη τεχνολογία κατασκευής τούβλων. Γύρω στο 1500 π.Χ. ο πολιτισμός της Χαράππα καταλύθηκε από εισβολείς που ήρθαν απ' το βορρά. Αυτοί οι αποκαλούμενοι Άρειοι ήταν ένας ποιμενικός λαός που μιλούσε μια ινδοευρωπαϊκή γλώσσα, τον πρόδρομο των σανσκριτικών και πολλών άλλων από τις σύγχρονες γλώσσες του κόσμου. Η πρώτη κωδικοποίηση οποιασδήποτε γλώσσας έγινε από τον μεγάλο γραμματολόγο Πανίνι τον 4ο αι. π.Χ., ο οποίος μόνος του μετέτρεψε τα σανσκριτικά σε μία ρωμαλέα και εκλεπτυσμένη γλώσσα ικανή να κωδικοποιήσει τις σκέψεις της χερσονήσου για παραπάνω από 2000 χρόνια. Εάν τα ελληνικά μαθηματικά γεννήθηκαν από τη φιλοσοφία, τότε τα ινδικά μαθηματικά έχουν τις ρίζες τους στη γλωσσολογία. Η πρώιμη Βεδική λογοτεχνία είναι κυρίως θρησκευτική και τελετουργική. Πιο σημαντικά για το μαθηματικό τους περιεχόμενο είναι τα παραρτήματα των κυρίως Βεδών, που είναι γνωστά με το όνομα Βεδάνγκα. Αυτά είναι γραμμένα σαν σούτρες -μικροί ποιητικοί αφορισμοί, ιδιαίτερα δημοφιλείς στη σανσκριτική λογοτεχνία, οι οποίοι προσπαθούν να δώσουν την ουσία κάποιου επιχειρήματος με τον πιο συμπυκνωμένο και εύληπτο τρόπο. Οι Βεδάνγκες ταξινομούνται σε έξι τομείς: φωνητική, γραμματική, ετυμολογία, στιχουργική, αστρονομία και τελετουργική. Οι δύο τελευταίοι τομείς είναι αυτοί οι οποίοι μας αποκαλύπτουν την εικόνα των μαθηματικών της εποχής. Η βεδάνγκα της αστρονομίας ονομάζεται Τζίοτισούτρα, ενώ εκείνη που ασχολείται με τους τελετουργικούς κανόνες είναι γνωστή με το όνομα Καλπασούτρα, μέρος της οποίας είναι η Σουλβασούτρα, η οποία ασχολείται με την κατασκευή βωμών. Οι πρώτοι στίχοιτης Σουλβασούτρα γράφτηκαν περίπου το 800-600 π.Χ., πριν απ' την κωδικοποίηση των σανσκριτικών απ' τον Πανίνι. Η γεωμετρία ξεπήδησε από την ανάγκη συμμόρφωσης προς τους Βεδικούς κανόνες για το μέγεθος, το σχήμα και τον προσανατολισμό των βωμών. Η απόλυτη ακρίβεια ήταν το ίδιο σημαντική για την επιτυχία της κάθε τελετουργίας όσο και η ορθή προφορά των στίχων. Η γεωμετρία εκφράζεται με τρεις κατά βάση τρόπους: εντελώς συγκεκριμένα γεωμετρικά θεωρήματα' μεθόδους κατασκευής διαφόρων σχημάτων βωμών και αλγορίθμους σχετικούς με τις πρώτες δύο κατηγορίες. Το πιο σημαντικό θεώρημα που αναφέρεται είναι το πυθαγόρειο για ορθογώνια τρίγωνα. Ένα παράδειγμα μπορεί να δείξει πώς τα θεωρητικά συμπεράσματα εξυπηρετούσαν τις καθημερινές, πρακτικές ανάγκες. Χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα, είναι πάντα δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν να είναι διπλάσιο από το εμβαδόν κάποιου δεδομένου τετραγώνου. Αν όμως αρχίζουμε από δύο πραγματικά τετράγωνα -υφασμάτινα λόγου χάρη- ποιος είναι ο ενδεικνυόμενος τρόπος να τα κόψουμε και επανασυναρμολογώντας τα κομμάτια να σχηματίσουμε το μεγαλύτερο τετράγωνο; Αν και αυτού του τύπου η κατασκευή δεν αναφέρεται ρητά στις Σουλβασούτρες, έχουμε συγκεκριμένες ενδείξεις ότι τουλάχιστον ο προβληματισμός υπήρχε. Ένα στοιχείο που έχουμε είναι ο προσεγγιστικός υπολογισμός του V2, ο οποίος είναι ακριβής μέχριτο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο: «αυξάνουμε το μέτρο κατά 1Α και αυτό το τρίτο με το Ατού εαυτού του μείον το ΊΜ αυτού του τετάρτου». Αυτό θα σήμαινε κόψιμο ενός απ' τα τετράγωνα σε

*· ΣκηνηαπότηνΛκμπαρναμέ, εικονογραφημένο χρονικό του . τέλους του 16ου αι. της Ινδίας των Μούγολπου αναπαριστά την γέννηση του Ταμερλάνου, του Μογγόλου αυτοκράτορα που απόγονος του ίδρυσε αργότερα την αυτοκρατορία των Μούγαλ.

κατάλληλα ορθογώνια και ταξινόμηση τους γύρω απ' το άλλο τετράγωνο για την κατασκευή ενός τετραγώνου διπλάσιου εμβαδού. Αυτή η προσέγγιση έχει ομοιότητες με την κινεζική γεωμετρία και η τιμή που βρίσκεται είναι πολύ κοντά σε εκείνη των Βαβυλωνίων. Δεδομένης της γενικής χρήσης που έχουν λάβει τα ινδοαραβικά νούμερα στο σημερινό δεκαδικό θεσιακό σύστημα γραφής, αξίζει να ρίξουμε μια ματιά στην πρώιμη ιστορία των ινδικών αριθμών. Νούμερα σε αλφάβητο Χαρόστι βρίσκονται σε επιγραφές του 4ου αι. π.Χ. Πρόκειται για ειδικά σύμβολα για το 1,το4,το 10 και το 20· τα νου μέρα μέχρι το 100 κατασκευάζονται αθροιστικά. Τα παλαιότερα ίχνη Βραχμανικών αριθμών ανάγονται στον 3ο αι. π.Χ. και βρίσκονται στις στήλες Ασόκα, που είναι σκορπισμένες παντού στην Ινδία, και είναι πολύ πιο ανεπτυγμένοι καθώς περιλαμβάνουν ειδικά σύμβολα για πολλαπλάσια του 10 και για το 100 καθώς και για υψηλότερες δυνάμεις του 10. Οι αριθμοί Μπακσαλί είναι άγνωστης παλαιότητας αλλά εάν είναι σωστή η θεωρία ότι είναι του 3ου μ.Χ. αι., τότε είναι το παλαιότερο γνωστό θεσιακό σύστημα που στα ψηφία του περιλαμβάνει ένα ειδικό σύμβολο για το 0. Με δέκα μόνο σύμβολα, ήταν δυνατόν να εκφράσει κανείς οποιονδήποτε αριθμό, όσο μεγάλος και να ήταν. Οι αριθμοί του Γκουάλιορτου 9ου αι. μ.Χ. μοιάζουν πολύ με τους δικούς μας και περιέχουν την πρώτη εμφάνιση του μηδενός σε ινδική επιγραφή. Έξω από την Ινδία, αλλά μέσα στην πολιτιστική της ακτίνα, έχουμε μία επιγραφή των Χμερ στην Καμπότζη που χρονολογείται από το 683 μ.Χ. και περιλαμβάνει το 0. Η κλασική περίοδος των ινδικών μαθηματικών άρχισε στα μέσα της πρώτης χιλιετίας. Μεγάλο μέρος της Ινδίας είχε ενσωματωθεί στην αυτοκρατορία των Γκούπτα, οι οποίοι ενθάρρυναν τις επιστήμες και τις τέχνες. Οι μαθηματικές έρευνες διεξάγονταν σε τρία κέντρα: Στο Κουσούμ Πούρα, την αυτοκρατορική πρωτεύουσα, στο Ουτζάιν στα βόρεια και στη Μυσόρη στα νότια. Οι δυο πιο σημαντικοί μαθηματικοί αυτής της περιόδου είναι ο Αριαμπάτα (476-550), συγγραφέας της Αριαμπατίγια, και ο Βραχμαγκούπτα (598-670), ο οποίος το 628 έγραψε τη βραχμασπουτασιδχάντα («Το Άνοιγμα του Σύμπαντος»). Το θέμα και των δύο ήταν η μαθηματική αστρονομία και η ανάλυση των εξισώσεων. Η Αριαμπατίγια είναι γραμμένη σε 33 στροφές που αρχίζουν με μία ευχή και συνεχίζουν με αλγορίθμους υπολογισμού τετραγώνων, κύβων, τετραγωνικών και κυβικών ριζών στη συνέχεια, 17 στίχοι ασχολούνται με τη γεωμετρία και 11 με την αριθμητική και την άλγεβρα. Ο δέκατος στίχος δίνει την τιμή του π ως λόγο του 62832:20000, το οποίο αντιστοιχεί με 3,1416, την πιο ακριβή τιμή του π για 1000 χρόνια. Το έργο επίσης περιλαμβάνει ένα πίνακα ημίτονων. Αντίθετα από τη πτολεμαϊκή χρήση της χορδής ως βασικού μέτρου, οι Ινδοί χρησιμοποιούσαν το μισό της χορδής και το εξέφραζαν συναρτήσει της ακτίνας. Συνεπώς, με διαφορά ενός σταθερού παράγοντα, τα ινδικά ημίτονα είναι πιο κοντά στην σημερινή έννοια του όρου. Διαιρώντας το τεταρτοκύκλιο σε 24 ίσα μέρη και ξεκινώντας από γνωστές τιμές και τύπους, όπως π.χ. ημ30°=1/2, ο Αριαμπάτα υπολόγισε ένα πίνακα ημίτονων για γωνίες από 3° 45'. Έχει επίσης στο ενεργητικό του έναν τύπο για προσέγγιση του ημίτονου οποιασδήποτε γωνίας χωρίς τη χρήση πινάκων, η οποία είναι γενικά ακριβής για δύο δεκαδικά ψηφία. Αργότερα, ο Βραχμαγκούπτα έδωσε έναν τύπο παρεμβολής χρησιμοποιώντας μία αριθμητική μέθοδο διαφορών για να βρει τα ημίτονα των ενδιάμεσων γωνιών. Η τριγωνομετρία εξελίχθηκε ακόμα περισσότερο από τους Αραβες στο Βορρά και από τους μαθηματικούς της Κεράλα στο Νότο. Οι Άραβες και μετά η Δύση γνώρισαν τα ινδικά μαθηματικά και την αστρονομία μέσα από τη μετάφραση της Βραχμασπουτασιδχάντα.

Α Αστρονόμοι παρατηρούν τα αστέρια με θεοδόλιχο, όργανο ικανό να μετράει κατακόρυφες και οριζόντιες αποστάσεις, και συμβουλεύονται σανσκριτικά κείμενα αστρονομίας και τριγωνομετρίας, γνωστά με το όνομα Σιδχάντες.

Ο Βραχμαγκούπτα ήταν ένας από τους πιο γνωστούς εκπροσώπους της σχολής του Ουτζάιν. Η βραχμασποοτασίδχσντα του είναι μία ολοκληρωμένη πραγματεία για την αστρονομική γνώση της εποχής. Μερικά από τα μαθηματικά κεφάλαια ασχολούνται με την απροσδιόριστη ανάλυση, η οποία παρατηρείται στους ημερολογιακούς υπολογισμούς και στην αστρονομία. Ο Αριαμπάτα έλυσε απροσδιόριστες γραμμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο που περιγράφεται στα Στοίχεία για να μειώσει το μέγεθος των συντελεστών, έως ότου οι εξισώσεις να μπορούν εύκολα να λυθούν με τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Ο Βραχμαγκούπτα δίνει έναν αλγόριθμο για ακέραιες λύσεις εξισώσεων της μορφής ox2±y=y2, οι οποίες γεωμετρικά παριστάνουν υπερβολές. Στην Ευρώπη αυτή η σχέση έγινε γνωστή ως εξίσωση του Πελ. Αυτές οι μέθοδοι τελειοποιήθηκαν από τον Μπάσκαρα II σε μία «κυκλική» μέθοδο με το όνομα τσακραβάλα. Δίνει λύση σε ένα περίφημο πρόβλημα, την εξίσωση ΘΊχ2-!-1 =f. Αυτό είναι το πρόβλημα που ο Πιερ Φερμά έθεσε ως πρόκληση τον 17ο αι. για να βρεθεί η λύση από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ 100 χρόνια αργότερα· και πάλι, ο αλγόριθμος της τσακραβάλα είναι πολύ πιο αποτελεσματικός. Οι μικρότερες λύσεις είναιχ=226.153.980 και y=1.766.319.049. Ούτε η Αριαμπατίγια ούτε η Βραχμασπουτασιδχάντα αποδεικνύουν τα αποτελέσματα που παρουσιάζουν, Όμως αυτό δεν σημαίνει ότι οι συγγραφείς τους αγνοούσαν τις αποδείξεις ή δεν ένιωθαν την ανάγκη να καταδείξουν την ισχύ των κανόνων που παρέθεταν. Η σημασία του να αποδεικνύει κανείς τα αποτελέσματα του θεωρείται ότι ξεκινάει από τον Μπάσκαρα, ο οποίος απέρριψε την πρόταση των μαθηματικών των Ζάίν να θεωρείται η V10 ως προσεγγιστική τιμή του π γιατί, αν και αριθμητικά είναι πάρα πολύ κοντά στην πραγματική, αυτή η τιμή δεν προκύπτει από καμιά πράξη. Έτσι, η απλή παράθεση κάποιων αποτελεσμάτων και μεθόδων πρέπει να ενισχύεται από τις ανάλογες αποδείξεις, οι οποίες με τη σειρά τους οδηγούν σε πιο αυστηρές λύσεις. Ο Μπάσκαρα II (1114-1185) ήταν ο πιο διακεκριμένος μαθηματικός του Ουτζάιν και

είχε συνδέσειτο όνομα του με κάποιες έννοιες οι οποίες πολύ αργότερα θα επηρέαζαν την εξέλιξη του απειροστικού λογισμού. Τα χειρόγραφα του τυπώνονταν και κυκλοφορούσαν ακόμα τον 19ο αι. Μια πλευρά της ινδικής αστρονομίας ήταν η μελέτη της στιγμιαίας κίνησης των πλανητών και ιδιαίτερα της σελήνης. Έγιναν εξαιρετικά ακριβής μετρήσεις των εκλείψεων, και έτσι οι μελλοντικές εκλείψεις μπορούσαν να προβλεφθούν με απόλυτη σχεδόν ακρίβεια. Και ο Αριαμπάτα και ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιούσαν για αυτό έναν τύπο, αλλά ο Μπάσκαρα II επέκτεινε το αποτέλεσμα φτάνοντας σε κάτι που μοιάζει να είναι το διαφορικό του ημίτονου. Στο Σιδχαντασιρομάνι υπάρχει μία «απειροστή» μονάδα μέτρησης, το τροΰτι, ίσο με 1/33.750 του δευτερολέπτου. Αυτός ο πρόδρομος του απειροστικού λογισμού περιοριζόταν στην αστρονομία και δεν φαίνεται να γενικεύτηκε ποτέ ή να εφαρμόστηκε σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Στη διατύπωση του απειροστικού λογισμού του, ο Νεύτωνας έκανε μεγάλη χρήση των απείρων σειρών. Ιδιαίτερα χρήσιμη ήταν η προσέγγιση των ημίτονων και των συνημίτονων με κατάλληλα πολυώνυμα απείρων όρων και ειδικά στην Κεράλα βρίσκουμε ανάλογες εξελίξεις. Μετά από τον Μπάσκαρα II, οι Ινδοί μαθηματικοί έκαναν ελάχιστη πρόοδο και η χώρα έπεσε σε πολιτική αναταραχή. Ωστόσο, η νοτιοδυτική Ινδία παρέμεινε εν πολλοίς έξω από αυτές τις αναταραχές και ανέπτυξε τα μαθηματικά της ακόμη περισσότερο ανάμεσα στον 14ο και στο 17ο αι. Η Κεράλα ήταν κέντρο θαλάσσιου εμπορίου και το περιβάλλον ήταν κοσμοπολίτικο. Η ιστορία του ρόλου της Κεράλα στη διακίνηση των ιδεών απομένει ακόμα να γραφτεί, αλλά μερικά μαθηματικά επιτεύγματα αποδεικνύουν ότι εκείτο μαθηματικά έπαιζαν κυρίαρχο ρόλο. Ο Μαδχάβααπότο Σανγκαμαγκράμα (περ. 1340-1425), γνωστός στους μεταγενέστερους αστρονόμους με το όνομα Γκολαβίντ, ή «Κύριος των Σφαιρών», ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Τα έργα του σχετικά με τις άπειρες σειρές έχουν χαθεί, αλλά γίνεται εκτεταμένη αναφορά σ' αυτά από τους μεταγενέστερους συγγραφείς, κυρίως του 16ου αι. Πολλά ευρήματα που έχουν πάρει το όνομα Ευρωπαίων μαθηματικών θα πρέπει ίσως να βάλουν δίπλα στο όνομα τους και το όνομα του Μαδχάβα. Σ' αυτά περιλαμβάνονται οι άπειρες πολυωνυμικές αναπτύξεις ημίτονων και συνημίτονων, που έχουν αποδοθεί στον Νεύτωνα, καθώς και οι προσεγγιστικοί τύποι μικρών γωνιών, οι οποίες είναι μέρος των γενικών σειρών του Τέυλορ. Αυτές επέτρεψαν τη σύνταξη τριγωνομετρικών πινάκων με την επιθυμητή ακρίβεια· οι πίνακες του Μαδχάβα ήταν ακριβείς μέχρι το όγδοο δεκαδικό ψηφίο. Βρίσκουμε επίσης και διάφορες άπειρες σειρές που εκφράζουν την τιμή του π. Μία, δοσμένη σε στίχο, δείχνει πώς ορισμένα αντικείμενα χρησιμοποιούνταν παραδοσιακά στη θέση των αριθμών με σκοπό να βοηθούν την απομνημόνευση: Θεοί [33], μάτια [2], ελέφαντες [8], φίδια [8], φωτιές [3],τρία [3], ιδιότητες [3], βίδες [4], ναξάτρες [27], ελέφαντες [8], και χέρια [2] - οι σοφοί λένε ότι αυτό είναι το μέτρο της περιφέρειας όταν η διάμετρος του κύκλου είναι 900.000.000.000. Εάν διαβάσουμε τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά και διαιρέσουμε με τη διάμετρο παίρνουμε την τιμή του π με ακρίβεια 11 δεκαδικών ψηφίων. Αυτή η ευχέρεια στη χρήση των απείρων σειρών θυμίζει μία σύγχρονη διάνοια από την Κεράλα, τον Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (1887-1920), του οποίου οι εκπληκτικές επιδόσεις του εξασφάλισαν υποτροφία στο πανεπιστήμιο του Καίμπριτζ.

-< Από τα παλαιότερα όργανα τέτοιου τύπου, αυτός ο αραβικός. αστρολάβος κατασκευάστηκε από τον Άχμαντ ιμττν Χαλάφ τον 9ο αι. στο Ιράκ. Ο αστρολάβος είναι ένα είδος αναλογικού υπολογιστή, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του χρόνου και για την πρόβλεψη της θέσης των ουρανίων σωμάτων, αλλά και για τοπογραφικές μετρήσεις.

Τον 7ο αι. μ.Χ. η Αραβική χερσόνησος γέννησε μία καινούργια μονοθεϊστική θρησκεία, ή οποία έμελλε να απλωθεί μέσα στον Χριστιανικό και στον Περσικό κόσμο. Το έτος 622 ο προφήτης Μωάμεθ έφυγε από τη Μέκκα και ζήτησε καταφύγιο στη Μεδίνα. Οκτώ χρόνια αργότερα επέστρεψε επικεφαλής ενός στρατού και μπήκε στη Μέκκα θριαμβευτής. Εμπνεόμενοι από τα αποκαλυπτικά οράματα του Μωάμεθ, οι οπαδοί του διέδωσαν το μήνυμα του Κορανίου και ίδρυσαν μία ισλαμική αυτοκρατορία, η οποία στον κολοφώνα της απλωνόταν από την Κόρδοβα μέχρι τη Σαμαρκάνδη. Στην αρχή, την αυτοκρατορία κυβερνούσε η δυναστεία των Ομεγιάδων με πρωτεύουσα τους τη Δαμασκό. Το 750 επικράτησαν οι Αββασίδες, οι οποίοι μετέφεραν την πρωτεύουσα στη Βαγδάτη, ενώ οι Ομεγιάδες κατέφυγαν σε ισπανικό έδαφος, όπου ίδρυσαν ένα κολοβό χαλιφάτο. Οι χαλίφηδες των Αββασιδών θέλησαν να χτίσουν την καινούργια Αλεξάνδρεια στη Βαγδάτη, όπου ίδρυσαν ένα αστεροσκοπείο, μία βιβλιοθήκη και ένα ερευνητικό κέντρο που το ονόμασαν Μπάιτ αλ-Χίκμα (Σπίτιτής σοφίας). Ξεκίνησε μία τεράστια μεταφραστική προσπάθεια για την απόδοση στα αραβικά όλης της πολύτιμης γνώσης που υπήρχε εκείνην την εποχή. Στις αραβικές μαθηματικές επιστήμες μπορούμε να δούμε τις επιρροές των βαβυλωνιακών, ινδικών και ελληνικών ιδεών. Η σύνθεση και ή ανάπτυξη τους οδήγησε σε θεμελιώδεις ανακαλύψεις, ιδιαίτερα στην άλγεβρα και στην τριγωνομετρία. Αν και ο αλγεβρικός συμβολισμός όπως τον εννοούμε σήμερα ήταν μία πολύ μεταγενέστερη ευρωπαϊκή εξέλιξη, η αλγεβρική σκέψη οφείλεται κατά κύριο λόγο στους Άραβες μαθηματικούς. Τα πρώιμα μαθηματικά μπορούν συχνά να ερμηνευθούν αλγεβρικά, αλλά η σαφής παραδοχή του γεγονότος ότι τα γεωμετρικά προβλήματα μπορούν να εκφραστούν αλγεβρικά, ότι οι γεωμετρικές διαδικασίες μπορούν να μεταφραστούν σε αλγεβρικούς αλγόριθμους, ότι οι αλγεβρικές μέθοδοι μπορούν να επεκταθούν πέρα από τις γεωμετρικές τους ρίζες - αυτά όλα είναι συνεισφορά των Αράβων. Ένα σημαντικό έργο στην ιστορία της άλγεβρας είναι τα Αριθμητικά του Διόφαντου του Αλεξανδρέως (περ. 200-περ. 284). Δεν είναι ακόμα σίγουρο πότε έζησε ο Διόφαντος, αν και η επίλυση ενός μαθηματικού αινίγματος, που υποτίθεται ότι αναγραφόταν στον τάφο του, δίνει την ηλικία του θανάτου του. Ία Αριθμητικά θεωρούνται μία καινούργια κατεύθυνση στα ελληνικά μαθηματικά, με επίκεντρο την επίλυση ορισμένων και απροσδιόριστων εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους, χωρίς αναφορά σε γεωμετρικές αιτιολογήσεις. Ο περιορισμός σε ακέραιες λύσεις είναι σήμερα ένας τομέας των μαθηματικών γνωστός ως διοφαντικές εξισώσεις, π.χ. η αναζήτηση πυθαγόρειωντριάδων. Ο Διόφαντος χρησιμοποίησε επίσης μία βραχυγραφική αλγεβρική σημειογραφία, ενδιάμεσο στάδιο μεταξύ μιας ρητορικής και μιας πλήρως συμβολικής άλγεβρας. Αυτό το έργο μεταφράστηκε και μελετήθηκε πολύ από τους Άραβες μαθηματικούς. Ο Αμπού Τζαφάρ Μουχάμαντ ιμπν Μούσα αλ-Χουαρίζμι (περ. 780-850) είναι ένας από τους σημαντικότερους Άραβες μαθηματικούς. Το όνομα του δηλώνει ότι προερχόταν από το Χουαρίζμ της Κεντρικής Ασίας. Φαίνεται ότι πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του οπή Βαγδάτη, όπου διορίστηκε αρχιβιβλιοθηκάριος του νεοϊδρυθέντος Σπιτιού της σοφίας. Η αλγεβρική του πραγματεία Χισάμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα, «Λογισμός αποκατάστασης και εξισορρόπησης», θα επηρέαζε αργότερα πολύ την Ευρώπη · στην πραγματικότητα, η δική μας λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από τη λατινική μεταγραφή της λέξης αλ-τζαμπρ. Στόχος του ήταν να λύσει πρακτικά προβλήματα στο εμπόριο, στις κληρονομιές και τη

>· Τουρκικό χειρόγραφο του 16ου αι. Το Ζουμπντάτ αλ-Ταβαρίκ (Θησαυρός της ιστορίας) του Λοκμάν, τονίζει τη μυστικιστική πλευρά της μουσουλμανικής κοσμολογίας. Κάθε ένας από τους «πλανήτες» αντιστοιχεί σε έναν προφήτη, στους οποίους περιλαμβάνονται οι Μωυσής και Ιησούς. Πέρα από τους ζωδιακούς και σεληνιακούς οίκους βλέπουμε το βασίλειο των αγγέλων, οι οποίοι φαίνεται να στρέφουν το Σύμπαν.

Α Ο Τακιγιουντίν στο αστεροσκοπείο του στον Γαλατά, εικονογράφηση από την Σαχενσαχναμέ (Το Βιβλίο του Βασιλέως των Βασιλέων) του Λοκμάν, του 16ου αι. Αξιοσημείωτο είναι το πλήθος των μαθηματικών και αστρονομικών οργάνων που χρησιμοποιούνται, μεταξύ των οποίων ένας αστρολάβος, τετράντες, γνώμονας και διαβήτης και στην επάνω αριστερή γωνία μία διόπτρα. Έχοντας ιδρυθεί το 1574 το αστεροσκοπείο αυτό δεν ευδοκίμησε πολλά χρόνια, δεδομένου ότι οι αστρολογικές του προβλέψεις δεν ήταν δημοφιλείς.

χρήση της γης. Τα κεφάλαια τα σχετικά με την άλγεβρα καλύπτουν γραμμικές και δευτεροβάθμιες εξισώσεις - οι όροι «αποκατάσταση» και «εξισορρόπηση» αναφέρονται σε αλγεβρικούς χειρισμούς. Ο αλ-Χουαρίζμι ταξινομεί τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις σε έξι διαφορετικούς τύπους. Αντί να γράψει μία γενική μορφή δευτεροβάθμιας εξίσωσης όπως την ξέρουμε σήμερα αχ2+βχ+γ=0 με άγνωστο το χ και συντελεστές τα α, β καιγ, η άλγεβρα του απαιτεί όλοι οι συντελεστές και όλες οι λύσεις να είναι θετικές. Ο τρόπος με τον οποίο είναι γραμμένη η παραπάνω εξίσωση θα ήταν για κείνον αδιανόητος, γιατί το άθροισμα θετικών όρων δεν θα μπορούσε ποτέ να ισούται με το μηδέν και τις εξισώσεις ox2+j8x=y και αχ2+γ=)3χθατις κατέτασσε σε δύο διαφορετικούς τύπους. Για κάθε τύπο εξίσωσης δίδονται αλγεβρικές λύσεις ακολουθούμενες από μία γεωμετρική απόδειξη, η οποία πιθανότατα χρησιμοποιεί συμπεράσματα του Ευκλείδη, αλλά έχει και ομοιότητες με τις βαβυλωνιακές και τις ινδικές μεθόδους. Οι γεωμετρικές αποδείξεις των αλγεβρικών μεθόδων είναι ακόμα ρητορικές: ο αλ-Χουαρίζμι δεν ανέπτυξε κάποια συμβολική γλώσσα, αλλά η ευκολία με την οποία μετακινούμαστε ανάμεσα στα βασίλεια της άλγεβρας και της γεωμετρίας μοιάζει πολύ διαφορετική από το ελληνικό στυλ. Την εποχή του αλ-Καράτζι (953-περ. 1029), οι Άραβες μαθηματικοί προσπαθούσαν ήδη να απελευθερώσουν την άλγεβρα από τη γεωμετρική σκέψη και να τη μετατρέψουν σε μία γενικότερη τεχνική αριθμητικού χειρισμού αγνώστων. Ο αλ-Καράτζι ίδρυσε μία

V Ο Νάσιρ αλ-Ντιν αλ Τούσι (1201-1274) στο αστεροσκοπείο που ίδρυσε στη Μαράγα οτο σημερινό Αζερμπαϊτζάν. Πέρσες και Κινέζοι αστρονόμοι συνεργάστηκαν οτο αστεροσκοπείο, το οποίο είχε έναν τετράντα τοίχου μήκους 4 μέτρων και μία εξαιρετική βιβλιοθήκη. Μετά από 12 χρόνια παρατηρήσεων, ο αλ-Τούσι δημοσίευσε τους Ιλχανίκούς πίνακες πλανητικών και αστρικών θέσεων.

σημαντική σχολή άλγεβρας στη Βαγδάτη. Το βασικό του σύγγραμμα είναι το αλ-Φάχρι, . στο οποίο ορίζει ανώτερες δυνάμεις και τα αντίστροφα τους, επεξεργαζόμενος κανόνες εξεύρεσης των γινομένων τους, αν και παραλείπει να ορίσει ότιχ°= 1. Στη συνέχεια εξετάζει αθροίσματα δυνάμεων, ή πολυωνύμων, και δίνει τον κανόνα ανάπτυξης ενός διωνύμου. Το θεώρημα του διωνύμου και ο συνακόλουθος πίνακας συντελεστών, γνωστός σήμερα ως τρίγωνο του Πασκάλ, παράγεται κατά πολύ ενδιαφέροντα τρόπο από έναν επαγωγικό κανόνα. Δεν είναι εντελώς μια τυπική απόδειξη με επαγωγή, αλλά δεν παύει να είναι μία αριθμητική και αλγεβρική μέθοδος χωρίς καμιά αναφορά στη γεωμετρία. Την εποχή του Γκιγιάθ αλ-Ντιν Αμπού'λ-ΦατχΟυμάρ ιμπν Ιμπραχίμ αλ-Νισαμπούρι αλΧαγιάμι, γνωστού ως Ομάρ Χαγιάμ (1048-1131), οι Σελτζούκοι Τούρκοι είχαν καταλάβει τη Βαγδάτη ιδρύοντας εκεί ένα ορθόδοξο μουσουλμανικό σουλτανάτο. Έχοντας σπουδάσει στη Νισαπούρ, το 1070 ο Χαγιάμ άφησε αυτή την εύθραυστη πολιτική κατάσταση για τη σχετική ηρεμία της Σαμαρκάνδης - στο σημερινό Ουζμπεκιστάν. Αν και είναι πιο γνωστός ως ποιητής και συγγραφέας των Ρουμπαγιάτ, ήταν κυρίως επιστήμονας και φιλόσοφος. Στη Σαμαρκάνδη έγραψε την 'Αλγεβρα του, το σημαντικότερο κεφάλαιο της οποίας ήταν η επίλυση κυβικών εξισώσεων με γεωμετρικό τρόπο. Η ιδέα του ήταν ότι η λύση των τριτοβάθμιων εξισώσεων θα μπορούσε να προκύψει από τα σημεία τομής δύο κωνικών τομών, με τις οποίες ήταν εξοικειωμένος από τη μετάφραση του Απολλώνιου που είχε κάνει. Π.χ., μία εξί3 σωση της μορφής χ +αχ=ν μπορούσε να επιλυθεί βρίσκοντας τα σημεία τομής ενός κατάλληλα κατασκευασμένου κύκλου και μίας παραβολής. Ταξινόμησε ορισμένες τριτοβάθμιες εξισώσεις και τις λύσεις τους, δίνοντας αλγεβρικές μεθόδους απλοποίησης κάποιων πολύπλοκων κυβικών εξισώσεων σε γνωστούς τύπους ή σε ακόμα απλούστερους τύπους δευτεροβάθμιων. Αν κι αυτό ίσως μοιάζει ένα βήμα προς τα πίσω στην εξέλιξη της άλγεβρας, υπάρχουν αρκετά σημεία, που κάνουν τη συνεισφορά του Χαγιάμ μοναδική. Σχολιάζει ότι οι αρχαίοι δεν παραδίδουν τίποτε σε σχέση με την επίλυση τριτοβάθμιων εξισώσεων, και πρέπει να υποθέσουμε ότι είχε πρόσβαση στις καλύτερες βιβλιοθήκες της χώρας. Επίσης δηλώνει ότι δεν μπορεί να βρεθεί γεωμετρική λύση για κυβικές εξισώσεις με τη μέθοδο του κανόνα και του διαβήτη, κάτι το οποίο αποδείχθηκε οριστικά μετά από 700 χρόνια. Ήταν ο πρώτος που κατάλαβε ότι οι τριτοβάθμιες εξισώσεις μπορούσαν να έχουν παραπάνω από μία λύση, αλλά δεν αντελήφθη ότι θα μπορούσαν να είχαν τρεις. Ο Χαγιάμ αναγνωρίζει ότι το έργο του δεν έχει ολοκληρωθεί και θέτει σαν στόχο μία εξολοκλήρου αλγεβρική λύση για τις εξισώσεις τρίτου ή και ανώτερου βαθμού, ανάλογη με τον τύπο των δευτεροβάθμιων. Η λύση αυτή έπρεπε να περιμένει την ιταλική Αναγέννηση. Η αναλυτική γεωμετρία του Χαγιάμ ήταν η αποκορύφωση της συγχώνευσης των αλγεβρικών και γεωμετρικών γνώσεων των Αράβων. Το επόμενο σημαντικό βήμα έγινε πολύ αργότερα, από τον Ντεκάρτ (Καρτέσιος). Η αστρονομία ήταν στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος των Αράβων μαθηματικών και οι πρόοδοι που έκαναν στην τριγωνομετρία τους έδωσαν τη δυνατότητα να κατασκευάσουν πολύ πιο ακριβείς αστρονομικούς πίνακες. Το ισλαμικό θρησκευτικό τυπικό υποστήριζε τα μαθηματικά, γιατί ήταν απαραίτητη η ακρίβεια στην τήρηση των κανόνωντης πίστης. Το Ισλαμικό ημερολόγιο βασιζόταν στους σεληνιακούς μήνες, που ο καθένας τους άρχιζε με την πρώτη εμφάνιση του σεληνιακού μηνίσκου μετά από τη νέα Σελήνη. Οι πέντε καθημερινές προσευχές έπρεπε να γίνονται σε ώρες που ρυθμίζονταν από τη θέση του ήλιου: π.χ. η απογευματινή προσευχή έπρεπε να γίνεται όταντο μήκος της σκιάς που ρίχνει ένα αντικεί-

μενο το μεσημέρι, μεγαλώνει κατά ένα μήκος ίσο προς το ύψος του. Και οι πιστοί έπρεπε να προσεύχονται στραμμένοι προς την κατεύθυνση της Κάαμπα στη Μέκκα. Και οι τρεις αυτοί κανόνες απαιτούσαν γνώση των ουρανίων και πλανητικών κινήσεων αλλά και επίγειας γεωγραφίας. Αρχικά υπήρχαν μέθοδοι παρατήρησης, βασισμένες σε πίνακες ελληνικής και ινδικής προέλευσης, που επέτρεπαν την κατά προσέγγιση τήρηση των απαιτούμενων κανόνων οι Άραβες όμως βελτίωσαν κατά πολύ τους πίνακες και τις μεθόδους αυτές και τον 13ο αι. τα τζαμιά απασχολούσαν επαγγελματίες αστρονόμους, οι οποίοι χρησιμοποιούσαν με μεγάλη επιδεξιότητα αστρολάβους, τετράντες και ηλιακά ρολόγια. 'Ηταν σαφές ότι κάθε πρόοδος στις αστρονομικές μετρήσεις απαιτούσε ακριβείς τριγωνομετρικούς πίνακες. Ας δούμε αυτές τις προόδους μέσα από τις μεθόδους που χρησιμοποιούσαν για την εύρεση του ημίτονου της 1 °. Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη είχαν όλα οριστεί κατάλληλα και ήταν γνωστοί Δεν κατάφερα να αφοσιωθώ στην εκμάθηση της άλγεβρας πολλοί τύποι, όπως εκείνος του ημίτονου του αθροίκαι να συγκεντρωθώ για πολύ καιρό σ' αυτήν εξαιτίας των σματος και της διαφοράς δύο γωνιών. Ξεκινούσαν εμποδίων που μου επιφύλαξε ο χρόνος· γιατί δεν έχουμε πια από τα ημίτονα που ήταν με ακρίβεια γνωστά από <3 ανθρώπους με γνώση παρά μόνο μια ολιγομελή ομάδα με πάρα γεωμετρικούς υπολογισμούς, όπως π.χ. ημ60°= /2 ή ημ30°='Α, και μετά χρησιμοποιούσαν τους τύπους πολλά προβλήματα, που η μόνη τους έγνοια στη ζωή είναι να της μισής γωνίας κόβοντας τις γωνίες στα δύο, αρπάξουν την ευκαιρία, όταν ο χρόνος κοιμάται, να αφοσιωθούν ώσπου έφταναν μέχρι τη γωνία της 1 °, ή πάρα πολύ στην έρευνα και στην τελειοποίηση μιας επιστήμης... κοντά σ' αυτή. Ο Αμπού'λ-Ουάφα (940-998) ξεκίνησε από τη γνωστή τιμή του ημ60° και υπολόγισε και το Ομάρ Χαγιάμ, Πραγματεία περί παρουσίασης ημ72°, οπότε με τον κατάλληλο τύπο κατάφερε να αλγεβρικών προβλημάτων, περίπου 1070 υπολογίσει το ημ12°. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της μισής γωνίας κατέβηκε μέχρι το ημ(1 °30') και ημ45'. Καθώς αυτές οι δύο γωνίες είναι πολύ κοντινές η μία στην άλλη, υπέθεσε ότι οι ενδιάμεσες τιμές μπορούσαν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση γραμμικές, οπότε μία απλή αριθμητική μέθοδος θα έδινε την απαιτούμενη τιμή του ημ1 °. Με παρόμοιες τεχνικές, ο Αμπού'λΟυάφα κατάφερε να φτιάξει έναν πλήρη πίνακα με γωνίες που έφταναν το πλησιέστερο 1Α° ή 15' στο εξηνταδικό σύστημα. Πέτυχε ακρίβεια 5 εξηνταδικών ή 8 δεκαδικών θέσεων. Το επόμενο μεγάλο βήμα περίμενε 300 χρόνια, αν και η θεωρία ήταν ήδη εκεί. Τότε η Βαγδάτη βρισκόταν υπό μογγολικό ζυγό κι ο αυτοκράτορας Ούλουγκ Μπεγκ (1395-1449) έφτιαχνε το επιστημονικό του κέντρο στη Σαμαρκάνδη. Ο αλ-Κάσι (1380-1429),πρώτος διευθυντής του νέου αστεροσκοπείου της πόλης, βελτίωσε εντυπωσιακά την ακρίβεια των πινάκων των ημίτονων. Χρησιμοποιώντας τοντύπο της τριπλής γωνίας για τα ημίτονα, κατασκεύασε μία κυβική εξίσωση για να βρει το ημ1 ° συναρτήσει του ημ3°. Μετά, μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, υπολόγισε το ημ1 ° μέχρι 9 εξηνταδικά ψηφία, που αντιστοιχούν με 16 δεκαδικά. Ο υπόλοιπος πίνακας μπορούσε να συμπληρωθεί με τις ήδη γνωστές μαθηματικές σχέσεις, αλλά αυτός ο υπολογισμός για την εποχή εκείνη ήταν αληθινό κατόρθωμα. Μία παρόμοια μέθοδο χρησιμοποίησε ο Γιοχάνες Κέπλερ 200 χρόνια μετά. Παράλληλα με την αύξηση της αριθμητικής ακρίβειας, οι Άραβες τελειοποίησαν τον αστρολάβο - ως όργανο παρατήρησης και ως αναλογικό υπολογιστή που μέσω του ουρανού έβρισκε την ώρα. Όμως, το άστρο της Βαγδάτης έδυε, καθώς νέοι εισβολείς, οι Οθωμανοί Τούρκοι, μετέφεραν την πρωτεύουσα και το κέντρο των επιστημών στην Κωνσταντινούπολη.

< Εικόνα από την προμετωπίδα του βιβλίου Margarita philosophica (1503), του Γκρέγκορ Ράις, που αναπαριστά τις εφτά Ελεύθερες Σπουδές: λογική, ρητορική, γραμματική, αριθμητική, μουσική, γεωμετρία και αστρονομία. Οι δύο μορφές στη βάση της εικόνας είναι ο Αριστοτέλης και ο Σενέκας.

Το έτος 529 μ.Χ. ο χριστιανός Ρωμαίος αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε τις ειδωλολατρικές φιλοσοφικές σχολές. Ανάμεσα τους και την Ακαδημία των Αθηνών. Χίλια χρόνια ελληνικών μάθη ματικών πήραν τέλος και πολλοί λόγιοι τράβηξαν ανατολικά για τη ν πνευ ματικά ακμαιότερη Περσική Αυτοκρατορία. Διακόσια χρόνια πριν, ο Μέγας Κωνσταντίνος είχε κάνει τον Χριστιανισμό επίσημη θρησκεία του ρωμαϊκού κόσμου και είχε μεταφέρει το κέντρο της εξουσίας απάτη Ρώμη στην Κωνσταντινούπολη. Οι πνευματικές και κοσμικές δυνάμεις για λίγο συνενώθηκαν στον πρώτο αυτοκράτορα της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, τον Καρλομάγνο (742-814). Τότε, η Κωνσταντινούπολη ήταν τμήμα της ανερχόμενης Βυζαντινής Αυτοκρατορίας, και η Βαγδάτη ήταν η επιστημονική πρωτεύουσα του κόσμου. Ως ηγέτης της δυτικής ευρωπαϊκής αυτοκρατορίας, ο Καρλομάγνος ανησυχούσε για τη ν πνευματική κατωτερότητα της Χριστιανοσύνης και ενθάρρυνε εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις με κέντρο τα καθεδρικά σχολεία, τις οποίες είχε αναλάβει ο Αλκουίνος του Γιορκ (735-804), επικεφαλής του σχολείου της αυλής του Καρλομάγνου στο Άαχεν, ο οποίος ανέπτυξε την καρολίγγεια μικρογράμματη γραφή - βάση του σημερινού λατινικού αλφαβήτου. Με το θάνατο του Καρλομάγνου, οι τρεις αλληλοσπαρασσόμενοι γιοι του ξαναδιαίρεσαντην Ευρώπη. Η εκπαίδευση γι' αυτούς δεν ήταν πρώτη προτεραιότητα, ωστόσο όμως στα θρησκευτικά σχολεία και τα μοναστήρια διατηρήθηκε ένα μικρό αλλά υπαρκτό ρεύμα επιστημοσύνης. Το περιεχόμενο των εφτά ελευθέρων σπουδών είχε ήδη καθοριστεί από τη ρωμαϊκή εποχή. Χωριζόταν στο τρίπτυχο γραμματική, ρητορική και λογική, και στο τετράπτυχο γεωμετρία, αριθμητική, αστρονομία και μουσική. Μπορεί να φαίνεται ότι τα μαθηματικά έπαιζαν σημαντικό ρόλο σ' αυτό το πρόγραμμα σπουδών, αλλά στην πραγματικότητα το επίπεδο κατανόησης ήταν στοιχειώδες. Ο Βοήθιος (περ. 480-524), ίσως ο επιφανέστερος μαθηματικόςπου παρήγαγε ο ρωμαϊκός κόσμος, καθόρισε τα βασικά κείμενα για κάθε κλάδο του τετράπτυχου. Η Αριθμητική του ήταν μια απλή περίληψη ενός έργου της ύστερης Αλεξανδρινής εποχής, της Εισαγωγής στην Αριθμητική του επιφανούς πυθαγόρειου Νικόμαχου (περ. 60-120 μ.Χ. )· η Γεωμετρία βασιζόταν στα 4 πρώτα βιβλία του Ευκλείδη χωρίς τις αποδείξεις· η Αστρονομία ήταν μία υπεραπλουστευμένη εκδοχή της Αλμαγέστης του Πτολεμαίου' και η Μουσική ήταν ένα συμπίλημα ελληνικών πηγών. Το πρόγραμμα αυτό έμοιαζε σχεδιασμένο για να διατηρήσει τη γνώση στα χαμηλότερα δυνατά επίπεδα και όχι για να αποτελέσει εφαλτήριο για καινούργιες ανακαλύψεις. Η χρήση των μαθηματικών περιοριζόταν στην τήρηση του ημερολογίου και στον υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα, καθώς και για τα δύο απαιτούνταν γνώσεις αστρονομίας. Η επιστημονική επανενεργοποίηση της λατινικής Ευρώπης ήταν αποτέλεσμα της αμοιβαίας ώσμωσης που γινόταν κατά μήκος των συνόρων μεταξύ του χριστιανικού και του ισλαμικού κόσμου. Εμπνευσμένοι από τον προφήτη Μωάμεθ και τις διδασκαλίες του Κορανίου οι Άραβες βγήκαν ορμητικοί από τη χερσόνησο τους για να κατακτήσουν την Περσική και τη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία της Ανατολής. Τα σύνορα με τη λατινική Ευρώπη εκτείνονταν από τη νότια Ισπανία και τη Σικελία ως τις ανατολικές επαρχίες. Ιδιαίτερα στην Ισπανία, και συγκεκριμένα στο Τολέδο, διεξαγόταν ένας πνευματικός διάλογος ανάμεσα στους δύο πολιτισμούς, που ταυτόχρονα βρίσκονταν σε μόνιμη αντιπαράθεση μεταξύ τους. Είναι σχεδόν θαύμα το ότι υπήρξε ένα τέτοιο κλίμα ακαδημαϊκής ανοχής σε μία περίοδο που γνώρισε δύο αιώνες σταυροφοριών. Το Τολέδο, πριν καταληφθεί από τους Άραβες τον 8ο αι., για να ανακαταληφθεί από τους χριστιανούς στα τέλη του 11 ου αι., υπήρξε πρωτεύουσα των Βησιγότθων. Η

>· Αναπαράσταση αστρονομίας από το βιβλίο του Γκρέγκορ Ράις Margarita philosophica (1503). Η μορφή κρατάει έναντετράντα ο οποίος, με τη βοήθεια αστρονομικών πινάκων, μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να μετρήσει το γεωγραφικό πλάτος και την ώρα της ημέρας.

Α Αστρονόμος του 14ου αι. που χρησιμοποιεί ένα Horologium cum fistula (Ωρολόγιον μετά σωλήνος), μία διόπτρα στραμμένη προς τον πολικό αστέρα για τη νυχτερινή παρακολούθηση της ώρας. < Αναπαράσταση γεωμετρίας από το βιβλίο Margarita phi/osophica του Γκρέγκορ Ράις (1503). Η εικόνα δείχνει την πρακτική φύση της γεωμετρίας, από την κατασκευή ενός τετράντα μέχρι την τοπογραφική παρατήρηση, την ξυλουργική και την αρχιτεκτονική.

Κόρδοβα έγινε πρωτεύουσα του ιβηρικού Αραβικού κράτους και οι Ομεγιάδες ηγέτες της είχαν σχέδια να ξεπεράσουν την Αββασιδική Βαγδάτη σε λαμπρότητα και επιστημοσύνη. Το Σουλτανάτο της Γρανάδας, όπως ήταν γνωστό το τελευταίο οχυρό της ισλαμικής Ισπανίας, συνέχισε να υπάρχει μέχρι το 1492, όταν οι μουσουλμάνοι και οι Εβραίοι εκδιώχθηκαν από την καθολική Ισπανία. Αυτό το δυτικό προπύργιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας πέτυχε να γίνει αντίβαρο της Βαγδάτης και κέντρο τεχνών και επιστημών. Χριστιανοί, Μουσουλμάνοι και Εβραίοι συνεργάστηκαν για να δημιουργήσουν ένα corpus σημαντικών έργων σ' όλες τις μεγάλες γλώσσες. Έγιναν αμφίδρομες μεταφράσεις μεταξύ αραβικών, λατινικών, ελληνικών, εβραϊκών και καστιλιάνικων. Για την Ευρώπη, αυτή υπήρξε μια περίοδος ανάκτησης των χαμένων ελληνικών μαθηματικών και των πρωτότυπων αραβικών και ινδικών ανακαλύψεων. Ο κοσμοπολίτικος χαρακτήρας του Τολέδου του 11 ου και 12ου αι. φαίνεται από τα ονόματα μερικών από τους σημαντικότερους λογίους της εποχής: Ροβέρτος του Τσέστερ, Μάικλ Σκοτ, Χέρμαν της Κορινθίας, Πλάτων του Τίβολι, Ευγένιος του Παλέρμο, Ροδόλφος της Μπρυζ, Ιωάννης της Σεβίλλης, Γεράρδοςτης Κρεμόνα και Αδελάρδοςτου Μπαθ. Ο Αδελάρδος του Μπαθ (1075-1160) είναι πιθανότατα ο πιο φημισμένος μεταφραστής. Υποθέτουμε ότι έμαθε τα αραβικά στη Σικελία, που είχε περάσει από τον αραβικό έλεγχο στο νορμανδικό έναν αιώνα πριν, έχοντας όμως διατηρήσει το ισλαμικό πνεύμα μάθησης. Μετέφρασε τους αστρονομικούς πίνακες του αλ-Χουαρίζμι το 1126, τα Στοιχεία του Ευκλείδη το 1142 από τα αραβικά στα λατινικά και την Αλμαγέστη του Πτολεμαίου από τα ελληνικά στα λατινικά γύρω στο 1155. Ελάχιστα είναι γνωστά για τη ζωή του Αδελάρδου, εκτός από το ότι ταξίδεψε πολύ στη Γαλλία, στην Ιταλία και την Τουρκία. Ο μεγαλύτερος μεταφραστής ήταν ίσως ο Γεράρδος της Κρεμόνας (1114-1187), στον οποίο αποδίδονται πάνω από 85 μεταφράσεις. Πήγε στο Τολέδο αρχικά για να μάθει αραβικά με σκοπό να διαβάσει τη ν Αλμαγέστη του Πτολεμαίου, που δεν είχε ακόμα μεταφραστεί στα λατινικά. Παρέμεινε εκεί για την υπόλοιπη ζωή του μεταφράζοντας έργα μαθηματικών, επιστήμης και ιατρικής. Ανάμεσα τους, μία αναθεωρημένη εκδοχή του αραβικού αντιγράφου των Ιτοίχειωντου Ευκλείδη μεταφρασμένο από τον Θάμπιτιμπν Κούρα, κατά πολύ βελτιωμένη σε σχέση με την προηγούμενη εργασία του Αδελάρδου. Η πρώτη μετάφραση της άλγεβρας του αλ-Χουαρίζμι έγινε το 1145 από τον Ροβέρτο του Τσέστερ. Τότε μπήκαν στις ευρωπαϊκές γλώσσες πολλές λέξεις που τώρα είναι εξαιρετικά κοινές, είτε λόγω παρανόησης της τεχνικής ορολογίας είτε λόγω κακής μεταγραφής. Λέξεις όπως «αλγόριθμος» και «άλγεβρα» ήταν παραφθορά των λέξεων «αλ-Χουαρίζμι» και «αλ-Γζαμπρ» από τον πλήρη τίτλο της Άλγεβρας του, Χισαμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα. Στον πλήρη αραβικό τίτλο ο όρος αλ-τζαμπρ σημαίνει «αποκατάσταση» και αναφέρεται ειδικά στη μέθοδο μεταφοράς των αρνητικών όρων στο άλλο μέρος μίας εξίσωσης. Και άλλες λέξεις, όπως το ναδίρ, το ζενίθ, το zero και το cipher, προέρχονται από εκείνη την περίοδο. Αυτές οι μεταφράσεις δεν άργησαν να ξυπνήσουν τη διάθεση για απόκτηση νέων γνώσεων. Τα πρωτοχριστιανικά εκκλησιαστικά δόγματα είχαν αφομοιώσει μεγάλη δόση πλατωνικής φιλοσοφίας αλλά, παρόλα αυτά, το 529 μ.Χ. ο Ιουστινιανός έκλεισε την Πλατωνική Ακαδημία στη Αθήνα, 900 χρόνια μετά την ίδρυση της, φοβούμενος την ειδωλολατρική φιλοσοφία που καλλιεργούσε. Την ίδια περίπου εποχή, η αριστοτέλεια λογική είχε οτρογγυλοκαθίσει στο τρίπτυχο του Βοήθιου. Ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης είχαν συνδεθεί στενά, με διαφορετικό τρόπο ο καθένας, με τη χριστιανική θεολογία. Η κριτική αναμόχλευση της

A 0 Ριχάρδος του Γουόλιγκφορντ (περ. 1292-1336). Μαθηματικός και αστρονόμος της Οξφόρδης, που αργότερα έγινε αββάς του Σαιντ Όλμπανς. Εδώ εικονίζεται να κατασκευάζει ένα όργανο, πιθανότατα αστρολάβο, με τη βοήθεια ενός διαβήτη. ·< Χάρτης του ουρανού με τα σημεία του ζωδιακού κύκλου, από τον Καταλανικό Ατλαντα του Αβραάμ Κρέσκες. 14ος αι.

ελληνικής επιστήμης και φιλοσοφίας φάνηκε σε πολλούς σαν μία ακόμα επίθεση κατά της αυθεντίας της ίδιας της Εκκλησίας. Ο Αριστοτέλης είχε γράψει για πάρα πολλά επιστημονικά θέματα, όπως μηχανική, οπτική και βιολογία. Δυστυχώς, μολονότι τόνιζε την ανάγκη της παρατήρησης, πολλές από τις θεωρίες του έμοιαζαν να αντικρούουν την άμεση εμπειρία. Αντίθετα, ο Πλάτωνας έγραψε σχετικά λίγα πράγματα για την επιστήμη και συχνά περιφρονούσε την πρακτική της εφαρμογή, αλλά τόνιζε, παρ' όλα αυτά, την πρωτοκαθεδρία των μαθηματικών στην περιγραφή του σύμπαντος. Για τον Αριστοτέλη, τα μαθηματικά ήταν υποταγμένα στη φυσική. Η κατάσταση μπερδευόταν ακόμα περισσότερο από τις μεταφράσεις των αραβικών και των ελληνικών έργων, τα οποία αντέκρουαν το ένα το άλλο. Τα σημαντικότερα κέντρα σπουδών εκείνη την εποχή ήταν το Παρίσι και η Οξφόρδη και εμείς θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα το κίνημα που έγινε γνωστό ως σχολή Μέρτον με έδρα το ομώνυμο κολέγιο στην Οξφόρδη. Η επιστημονική μέθοδος, που βρισκόταν ακόμα στα σπάργανα, θα έδινε στα μαθηματικά ρόλο πρωταγωνιστή. Αυτή η νέα φιλοσοφία ορθολογικής αναζήτησης ξεκίνησε με τον Ρόμπερτ Γκροστέστ (1168-1253). Έχοντας σπουδάσει στο κολέγιο Μέρτον, έγινε καγκελάριος του πανεπιστημίου (1215-1221), λέκτορας των Φραγκισκανών στην Οξφόρδη (1229-1235) και επίσκοπος του Λίνκολν, στην ενορία του οποίου βρισκόταν η Οξφόρδη. Τα μαθηματικά είναι στην ουσία θεολογικά ουδέτερα, αλλά ο συνδυασμός μαθηματικών και φυσικής αποτελούσε μεγάλη πρόκληση για τα καθιερωμένα κοσμολογικά δόγματα. Ένα καλό παράδειγμα γι' αυτό είναι η μεσαιωνική επιστήμη της οπτικής. Ο Γκροστέστ δείχνει κάποιες νεοπλατωνικές τάσεις στη σημασία που αποδίδει στο φως ως βάση ολόκληρου του σύμπαντος. Είχε μία κοσμολογική θεωρία που σήμερα μας θυμίζει τη Μεγάλη Έκρηξη, σύμφωνα με την οποία το σύμπαν ξεκίνησε σαν μία αστραπή φωτός και μετά συμπυκνώθηκε σε ύλη καθώς επεκτεινόταν. Γενικά, ακολουθούσε τους Άραβες συγγραφείς, όπως τον αλ-Χάιθαμ (πιο γνωστό από την εκλατινισμένη εκδοχή του ονόματος του, Αλχάζεν), προτιμώντας τους από τους Έλληνες, όπως τον Αριστοτέλη. Ισχυριζόταν ότι το φως ήταν ένας υλικός παλμός διαδιδόμενος μέσω του αέρα σε ευθεία γραμμή, περίπου όπως και ο ήχος. Και τα δύο ταξίδευαν με σταθερή ταχύτητα, αλλά ήταν σαφές ότι το φως ταξίδευε γρηγορότερα. Πειραματίστηκε με διάφορα είδη

Α Κρικωτή σφαίρα από το βιβλίο αστρονομίας Margarita philosophies του Γκρέγκορ Ράις (1503). Δείχνει τη γη οτο κέντρο και τους βασικούς κύκλους όπως την εκλειπτική στην ουράνια σφαίρα. Η χρήση της ήταν κυρίως διδακτική.

φακών και περιέγραψε τη χρήση τους για τη μεγέθυνση αντικειμένων. Οι Άραβες έφτιαχναν φακούς τον 11 ο αι., και στη βόρεια Ιταλία του 13ου αι. κατασκεύαζαν ματογυάλια, αν και όχι τόσο καλής ποιότητας. Ο Γκροστέστ θεωρούσε ότι το ουράνιο τόξο παραγόταν από ένα σύννεφο που λειτουργούσε σαν φακός, διαθλώντας το φως στην είσοδο και την έξοδο του, σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, ο οποίος θεωρούσε ότι ήταν αποτέλεσμα αντανάκλασης του φωτός σε σταγονίδια νερού. Ο σημαντικότερος μαθητής του Γκροστέστ, ο Ρογήρος Βάκων (1214-1294), προχώρησε παρακάτω, αναλύοντας το φαινομενικό κέντρο του ουρανίου τόξου, τη διάμετρο του και τη σχετική του θέση ως προς τον ήλιο και τον παρατηρητή. Θεωρούσε επίσης ότι το ουράνιο τόξο παραγόταν από εσωτερική διάθλαση σε κάθε ξεχωριστή σταγόνα παρά σε ολόκληρο το σύννεφο. Τα γραπτά του Βάκωνα-γνωστού τότε με το όνομα Ντόκτορ Μιράμπιλις (Δόκτωρ Θαύμα)- καλύπτουν ένα τεράστιο πεδίο μαθηματικών και επιστήμης. Οι προχωρημένες απόψεις του για την κατασκευή υποβρυχίων και αεροπλάνων μπορούν να συγκριθούν με τις πολύ μεταγενέστερες του Λεονάρντο Ντα Βίντσι (1452-1519). Στα τέλη του 13ου αι., ο γερμανός συγγραφέας Θεοδώριχος του Φράιμπεργκ (t περ. 1311) πειραματίστηκε με σφαιρικά γυάλινα δοχεία γεμάτα νερό και με κρυστάλλινες σφαίρες, με τις οποίες προσομοίαζε τις υδάτινες σταγόνες. Οι παρατηρήσεις του τον οδήγησαν στη θεωρία για την εσωτερική διάθλαση του φωτός και για τον διαχωρισμό των χρωμάτων στο εσωτερικό της σταγόνας ή του γυαλιού, η οποία τώρα συνήθως αποδίδεται στον Ντεκάρτ, αλλά βλέπουμε ότι 300 χρόνια πριν απ' αυτόν οι μεσαιωνικοί επιστήμονες είχαν κάνει ανάλογες προόδους στην επιστήμη της οπτικής. Για πολλούς επιστήμονες, το άστρο του Αριστοτέλη είχε αρχίσει να δύει. Ο Βάκων έγραψε, «Αν είχα τη δύναμη να διαφεντέψω τα έργα του Αριστοτέλη, θα τα είχα ρίξει όλα στην πυρά». Θεωρούσε ότι εμπόδιζαν την πρόοδο γιατί στηρίζονταν περισσότερο στα φιλοσοφικά δόγματα παρά στην εμπειρική παρατήρηση. Οι ειλικρινείς αυτές ιδέες του τον έστειλαν στη φυλακή, όπως και πολλούς άλλους διανοούμενους της εποχής. Ο Γουλιέλμος του Όκαμ (περ. 1288-1349) συνέχισε την επίθεση κατά του Αριστοτέλη υποστηρίζοντας ότι η θεολογία και η φυσική φιλοσοφία θα έπρεπε να διαχωριστούν, γιατί η μία πραγματευόταν την εξ αποκαλύψεως γνώση ενώ η άλλη την εμπειρία. Η αρχή -σήμερα γνωστή ως «Ξυράφι του Όκαμ» που είχε ήδη διατυπωθεί από τον Γκροστέστ- είναι ότι στην επιστήμη πρέπει να ψάχνουμε για την απλούστερη λύση που ταιριάζει με τα γεγονότα. Η κατηγορία που απηύθυναν στη θεολογία και στη σχολαστική φιλοσοφία ήταν ότι και οι δυο προσπαθούσαν να εξηγήσουν τη φυσική πραγματικότητα μέσω ενός συμπερασματικού συστήματος που ξεκινούσε από απόλυτες υποθέσεις. Αυτό που αναζητούσαν όμως οι επιστήμονες του Μεσαίωνα ήταν μια επαγωγική μέθοδος αξιοποίησης των πειραματικών δεδομένων για τη διατύπωση υποθέσεων, οι οποίες, εκφρασμένες στη γλώσσα των μαθηματικών, θα επέτρεπαν την συναγωγή επαληθεύσιμων συμπερασμάτων. Είναι προφανές, ότι οι επιστήμονες του Μεσαίωνα έκαναν σοβαρή προσπάθεια να δομήσουν μία εφαρμόσιμη εμπειρική φιλοσοφία. Ο πρόωρος θάνατος του Γουλιέλμου του Όκαμ το 1349 οφειλόταν στον Μαύρο Θάνατο, που θέριζε τότε την Ευρώπη. Δεν είναι σαφές αν η πανώλης ήταν η μοναδική αιτία για την παρακμή των μαθηματικών και της επιστήμης, ή αν η μετέπειτα θρησκευτική αναγέννηση φίμωσε όλα τα φιλελεύθερα και επαναστατημένα στόματα. Όποιος και να ήταν ο λόγος, το μεσαιωνικό επιστημονικό πνεύμα κόπηκε πριν προλάβει να ανθίσει και θα περνούσαν άλλα 200 χρόνια πριν μπορέσει να ξανασηκώσει κεφάλι.

·< Άλμπρεχτ Ντύρερ. Πραγματεία περί μετρήσεων με διαβήτη και χάρακα (Νυρεμβέργη, 1525), με πέτασμα και πλέγμα που χρησιμοποιούσαν για τη ζωγραφική εικόνων με προοπτική.

Από πολλούς έχει γραφτεί ότι η ιταλική Αναγέννηση ήταν η καθοριστική περίοδος για τη δημιουργία μιας νέας ευρωπαϊκής συνείδησης. Η στροφή προς την κλασική παιδεία συνδυάστηκε με μία επιθυμία να ξεπεραστεί η απλή μίμηση και να ερευνηθούν καινούργιες ιδέες, τεχνοτροπίες και ερευνητικές μέθοδοι. Η αλληλεπίδραση μεταξύ τέχνης και γεωμετρίας και ειδικά η χρήση της προοπτικής δείχνουν καθαρά αυτές τις καινούργιες κατευθύνσεις. Το νατουραλιστικό στυλ, που είναι χαρακτηριστικό της Αναγέννησης, υπήρχε στην τέχνη και πριν από την εφαρμογή της προοπτικής, αλλά η προοπτική έδωσε μια επιπλέον διάσταση ρεαλισμού ενσωματώνοντας και τυπικά την οπτική του θεατή μέσα στη δομή του πίνακα. Η προοπτική ήταν πολύ σημαντική και για τους αρχιτέκτονες. Η αναβίωση του κλασικού στυλ στην αρχιτεκτονική βασίστηκε κυρίως στο De architecture (Περί αρχιτεκτονικής) του Βιτρούβιου από τον 1 ο αι. μ.Χ. και στην ανανεωμένη μελέτη των κλασικών κτιρίων που εξακολουθούσαν να υπάρχουν. Οι πρώτοι συγγραφείς που ασχολήθηκαν με την προοπτική, όπως ο Φίλιππο Μπρουνελέσκι (1377-1446) και ο Λεόν Μπατίστα Αλμπέρτι (14041472), συνδύαζαν τα πρακτικά μαθηματικά των κτιστών και των αρχιτεκτόνων με γεωμετρικές κατασκευές, αλλά αυτό που γενικά θεωρείται ως πρώτο έργο γραμμένο ειδικά για την προοπτική στη ζωγραφική είναι το De prospective pingenti (Περίτης προοπτικής στη ζωγραφική) του Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα (περ. 1412-1492). Ο Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα ήταν γιος ενός καταστηματάρχη του Σαν Σεπόλκρο, κοντά στη Φλωρεντία, και, σκοπεύοντας μάλλον να αναλάβει την επιχείρηση της οικογέ-

Α Από το Ημερολόγιο των βοσκών (Λονδίνο, 1506), αυτό το ξυλόγλυπτο έρχεται σε ζωηρή αντίθεση με τις τότε τάσεις εφαρμογής της προοπτικής στη ζωγραφική. ·* Οι μετρητές. Φλαμανδικός πίνακας του 16ου αι. με μία σειρά από μαθηματικά όργανα. Μοιάζει πολύ με την ιταλική παράδοση της διδασκαλίας πρακτικών μαθηματικών στα αποκαλούμενα «Scuole α" abbacco».

νειας, μελέτησε μαθηματικά σε ένα από τα πολλά σχολεία πρακτικών μαθηματικών που είχαν αρχίσει να ξεπηδούν το ένα μετά το άλλο στην Ιταλία εκείνης της εποχής. Έδειξε μεγάλο ταλέντο και θα μπορούσε να είχε γίνει επαγγελματίας μαθηματικός, αλλά αποφάσισε να μαθητεύσει κοντά σε έναν τοπικό ζωγράφο. Ο μοναδικός συνδυασμός των ικανοτήτων του έκανε τον Πιέρο έναν από τους λίγους που κατάφεραν να αφήσουν εποχή και στην τέχνη και στα μαθηματικά. Έζησε ελάχιστο χρόνο στη Φλωρεντία, γι' αυτό και τα περισσότερα έργα του βρίσκονται σε μικρές πόλεις όπως το Ουρμπίνο. Μόνο τρεις δικές του μελέτες έχουν φτάσει μέχρι τις μέρες μας, χωρίς συγκεκριμένη χρονολογία και με άγνωστο τίτλο. Πριν εξετάσουμε τη δουλειά του σε σχέση με την προοπτική, αξίζει να σχολιάσουμε μία καινοτομία στη γεωμετρία. Σ' αυτόν αποδίδεται η εκ νέου ανακάλυψη πέντε αρχιμήδειων στερεών, που ονομάζονται έτσι γιατί τον 4ο αι. μ.Χ. ο αλεξανδρινός μαθηματικός Πάππος απέδωσε την ανακάλυψη τους στον Αρχιμήδη. Σύμφωνα με τον Κέπλερτο 1619, υπάρχουν 13 αρχιμήδεια στερεά συνολικά, των οποίων οι έδρες αποτελούνται από περισσότερα του ενός είδους κανονικά πολύγωνα· 5 απ' αυτά κατασκευάζονται περικόπτοντας τις ακμές των πλατωνικών στερεών. Πριν από τον Πιέρο αυτά τα στερεά περιγράφονταν μόνο ρητορικά, απλώς δηλώνοντας τα απαιτούμενα πολύγωνα, αλλά αυτός περιγράφει την κατασκευή τους και τα απεικονίζει. Δεν τα απεικονίζει όλα με την απαιτούμενη ακρίβεια, αλλά το βήμα που έκανε ήταν γιγάντιο, μια εποχή που τα βιβλία πρακτικής γεωμετρίας συχνά απεικόνιζαν τα στερεά εντελώς σχηματικά - για παράδειγμα ένας κώνος απεικονιζόταν σαν ένα τρίγωνο τοποθετημένο πάνω σ' έναν κύκλο. Το έργο του Πιέρο επανεμφανίστηκε στο De divina proportione (Περί των θείων αναλογιών) του Λούκα Πατσιόλι. Το βιβλίο εκδόθηκε στη Βενετία το 1509 και περιλάμβανε εικονογραφήσεις από τον φίλο του Πατσιόλι, Λεονάρντο Ντα Βίντσι (1452-1519) και ένα έκτο αρχιμήδειο στερεό το ρομβοκυβοκτάεδρο. Το Περί προοπτικής σώζεται σε χειρόγραφα του 15ου αι. στα λατινικά και στην τοσκανική διάλεκτο. Η εισαγωγή λέει ότι ασχολείται μόνο με τη χρήση της προοπτικής στη ζωγραφική. Αλλά ο Πιέρο και οι σύγχρονοιτου έβλεπαντους κανόνες της προοπτικής ως μέρος της ευρύτερης επιστήμης της οπτικής. Οι κατασκευές δεν ασχολούνται μόνο με τη δημιουργία νατουραλιστικών εικόνων-το θέμα είναι ότι για να φαίνονται οι εικόνες φυσικές, πρέπει να υπακούουν στους κανόνες που καθορίζουν το πώς βλέπει το μάτι τον κόσμο. Το μάτι του παρατηρητή λοιπόν είναι στο κέντρο του όλου έργου. Εάν ένας πίνακας απεικονίζει μια σκηνή όπως φαίνεται μέσα απ' το άνοιγμα ενός παραθύρου, υπάρχει μόνο ένα σημείο του χώρου, απ' το οποίο ο θεατής έχειτη σωστή οπτική. Τα μάτια του θεατή πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο ύψος με τον ορίζοντα της εικόνας και να εστιάζουν στο σημείο φυγής. Οι διατέμνουσες που βοηθούν στην απόδοση της σμίκρυνσης των αντικειμένων με την απόσταση, συναντιούνται σ' ένα σημείο του ορίζοντα. Αυτό το σημείο βρίσκεται φυσιο-

Α Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα, Η μαστίγωση του Χριστού, όπου φαίνονται πολλά από τα στοιχεία της πραγματείας του Περί προοπτικής, όπως το πλακόστρωτο pavimento και αρχιτεκτονικά στοιχεία.

λογικά έξω από το πλαίσιο της εικόνας, και η απόσταση ανάμεσα σ' αυτό και στο σημείο φυγής είναι η ιδανική απόσταση του θεατή από το επίπεδο της εικόνας. Το Περί προοπτικής είναι γραμμένο με ευκλείδειο τρόπο, θεωρήματα ακολουθούμενα από αποδείξεις, όπως και σταΣτοίχεια. Ο Πιέρο δίνει μια σειρά κατασκευών, οι οποίες προβάλλουν την «τέλεια» μορφή στο επίπεδο της εικόνας, δημιουργώντας έτσι την «αλλοιωμένη» εικόνα, όπως πρέπει να παριστάνεται σ' αυτό το επίπεδο, με τις οπτικές γραμμές να εστιάζουν στο μάτι του θεατή. Ξεκινάει απ' την κατασκευή ενός τετράγωνου πατώματος, προχωράει σ' ένα πάτωμα με πλάκες, ένα pavimento, για να δείξει πώς πρέπει οι πλάκες να φαίνονται μικρότερες, όσο απομακρύνονται από τον θεατή. Μετά εξετάζει κι άλλα πολύγωνα, δίνοντας και το κανονικό τους σχήμα αλλά και την «αλλοιωμένη» τους μορφή, όπως φαίνονται υπό γωνία. Συνεχίζει με τα πρίσματα, από τον κύβο μέχρι διάφορα επιμήκη οχήματα, όπως το εξαγωνικό πρίσμα, και με το πρόβλημα της απόδοσης μιας κιονοστοιχίας σε προοπτική. Τελειώ-

Α Άλμπρεχτ Ντύρερ, Πραγματεία περί μετρήσεων με διαβήτη και χάρακα (Νυρεμβέργη, 1525), όπου φαίνετε η αλλαγή στο μέγεθος των γραμμάτων σε μία στήλη έτσι ώστε να είναι ευανάγνωστα από το έδαφος. >· Μιχαήλ Άγγελος, Η Δευτέρα Παρουσία. Από το έδαφος, οι μεγαλύτερες μορφές που βρίσκονται ψηλότερα φαίνονται να έχουν το ίδιο μέγεθος όσο και οι χαμηλότερες. Η κατασκευή είναι ίδια με εκείνη της στήλης του Ντύρερ σ' αυτή τη σελίδα.

νει με μια σειρά από εικόνες ανθρώπινων κεφαλιών από διαφορετικές γωνίες. Το έργο του Πιέρο αργότερα τελειοποιήθηκε και χρησιμοποιήθηκε από ζωγράφους, αρχιτέκτονες αλλά και σκηνογράφους του θεάτρου. Η επίδραση της προοπτικής στη ζωγραφική της εποχής εκείνης έχει προκαλέσει αρκετές συζητήσεις. Τη βλέπουμε πριν απ' τον Πιέρο σε εικόνες όπως Ο Ευαγγελισμός του Ντομένικο Βενετσιάνο και Η μάχη του Σαν Ρομάνο του Πάολο Ουτσέλο. Τη συναντάμε στη Μαστίγωση του Χριστοί/του Πιέρο, έργο που μπορεί να θεωρηθεί ως πρακτική εφαρμογή της θεωρίας του, αλλά στον δικό του Ευαγγελισμό βλέπουμε ότι για λόγους θρησκευτικής σκοπιμότητας, οι φιγούρες απεικονίζονται συχνά πολύ μεγαλύτερες απ' ό,τι θα ήταν σε έναν καθαρά νατουραλιστικό πίνακα, για να τονιστεί η σημασία τους. Ο Μιχαήλ Άγγελος διατεινόταν ότι δεν του περίσσευε χρόνος για μαθηματική ακρίβεια και προτιμούσε να βασίζεται στο «διαβήτη των ματιών του». Ωστόσο, η Καπέλα Σιξτίνα έχει εικονογραφηθεί με αυστηρή τήρηση της προοπτικής1 και στη Δευτέρα Παρουσία ο Μιχαήλ Άγγελος ζωγραφίζει τις φιγούρες στο πάνω μέρος της εικόνας πολύ μεγαλύτερες από τις άλλες που βρίσκονται χαμηλότερα για να αντισταθμίσει το γεγονός ότι η απόσταση του θεατή απ' αυτές είναι μεγαλύτερη, κάτι που χάνεται όταν βλέπει κανείς τον πίνακα σαν εικόνα σε βιβλίο. Αν και οι καλλιτέχνες έμαθαν πολύ γρήγορα τη νέα τεχνική, η καλλιτεχνική οπτική δεν θυσιάστηκε στη μαθηματική καθαρότητα. Τον 16ο αι. ο Πιέρο είχε μείνει στη μνήμη περισσότερο ως μαθηματικός παρά ως καλλιτέχνης. Η πραγματεία του δεν εκδόθηκε ποτέ κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, αλλά κυκλοφορούσε σε χειρόγραφο και το περιεχόμενο της αναφερόταν συχνά σε εκδόσεις άλλων. Όμως, πολλοί θεωρούσαν τις κατασκευές των πιο πολύπλοκων σχημάτων ιδιαίτερα δύσκολες και συνήθως τις παρέλειπαν. Αυξήθηκε το ενδιαφέρον για την κατασκευή οργάνων παρόμοιων με αυτά που χρησιμοποιούσαν οι τοπογράφοι για να μπορούν οι καλλιτέχνες να αναπαριστούν τα αντικείμενα με προοπτική. Η Πραγματεία περί μετρήσεων με διαβήτη και χάρακα του Αλμπρεχτ Ντύρερ παρουσιάζει αρκετά απ' αυτά τα εργαλεία. Στα περισσότερα απ' αυτά ένα τεντωμένο νήμα αναπαριστούσε την οπτική γραμμή και έτεμνε ένα πλαίσιο με κινητό σταυρόνημα' η εικόνα κατασκευαζόταν σημείο-σημείο. Εναλλακτικά, ο καλλιτέχνης μπορούσε να βλέπει τη σκηνή μέσα από ένα τετράγωνο πλέγμα, το οποίο ήταν κάτι σαν σύστημα συντεταγμένων. Ένα τέτοιο εργαλείο ήταν ήδη σε χρήση για την αναλογική μεγέθυνση σχεδίων που επρόκειτο να ζωγραφιστούν. Ο Αλμπρεχτ Ντύρερ (1471 -1528) ήταν ένα από τα δεκαοχτώ παιδιά μιας ουγγρικής οικογένειας της Νυρεμβέργης και σκόπευε αρχικά να ακολουθήσει το επάγγελμα του πατέρα του, που ήταν κοσμηματοπώλης. Όμως στα 13 του έγινε σαφές ότι είχε ταλέντο ζωγραφικής, οπότε άρχισε να ασχολείται με τη ζωγραφική και την ξυλογλυπτική ως μαθητευόμενος. Στις αρχές της δεκαετίας του 1490 άρχισε να ταξιδεύει και να αναπτύσσει την ιδέα μιας νέας τέχνης βασισμένης στην επιστήμη των μαθηματικών. Όταν γύρισε στη Νυρεμβέργη άρχισε να μελετά τα έργα του Ευκλείδη, του Βιτρούβιου, του Πατσιόλι και του Αλμπέρτι. Αργότερα επισκέφθηκε τον Πατσιόλι στη Μπολώνια και σχεδίαζε να γράψει ένα μεγάλο δικό του έργο για τα μαθηματικά και την τέχνη. Την εποχή που έφτιαξε το περίφημο χαρακτικό του /Μελαγχολία (1514), η φήμη του είχε παγιωθεί. Είχε δεχτεί παραγγελίες από τον Φρειδερίκο το Σοφό, Εκλέκτορα της Σαξονίας, και τον Μαξιμιλιανό Α', τον αυτοκράτορα της Αγίας Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, και είχε και ένα δικό του, εξαιρετικά πετυχημένο τυπογραφείο. Τελείωσε την πραγματεία Περί αναλογιών το 1523, αλλά θεώ-

ρώντας ότι τα μαθηματικά που είχε χρησιμοποιήσει ήταν υπερβολικά προχωρημένα για τους αναγνώστες του, το απλοποίησε και το ξαναέβγαλε με τίτλο Πραγματεία περί μετρήσεων, που εκδόθηκε το 1525. Εκτός από κάποια παλαιότερα βιβλία εμπορικής αριθμητικής, αυτό ήταν το πρώτο βιβλίο μαθηματικών που τυπώθηκε στα γερμανικά, αναγορεύοντας τον Ντύρερ σ' έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της Αναγέννησης. Το μεγαλύτερο μέρος του έργου αφορούσε την επιπεδομετρία και τη στερεομετρία και περιλάμβανε μεθόδους κατασκευών και ένα κεφάλαιο περί προοπτικής· μεγάλο μέρος του αφιερώνεται στην απεικόνιση με κάτοψη και κατατομή στερεών αντικειμένων - ένας κλάδος των μαθηματικών που τώρα είναι γνωστός ως παραστατική γεωμετρία με μεγάλη πρακτική σημασία για τους αρχιτέκτονες και τους μηχανικούς. Ο γάμος της προοπτικής γεωμετρίας με τις κωνικές τομές -τομές ενός κώνου που παράγουν σχήματα όπως ο κύκλος, η έλλειψη και η παραβολή- οδήγησε σε ένα καινούργιο κλάδο των μαθηματικών, την προβολική γεωμετρία. Ο Ζιράρ Ντεζάργκ (15911661), πλούσιος και μορφωμένος κάτοικος της Λυών, εξέδωσε ελάχιστα πράγματα στη ζωή του αλλά παρακολουθούσε τις μαθηματικές εξελίξεις μέσω ενός κύκλου αλληλογραφίας που διατηρούσε ο μαθηματικός, ιερέας και φιλόσοφος Μαρέν Μερσέν. Το 1639 κυκλοφόρησε ένα εξαιρετικά δύσκολο κείμενο με τίτλο Πρόχειρο σχεδίασμα περί κωνικών τομών σε 50 μόνο αντίτυπα για συγκεκριμένους παραλήπτες. Η βάση της προοπτικής γεωμετρίας είναι ότι από το σημείο θεώρησης του θεατή η «τέλεια» και η «αλλοιωμένη» φιγούρα φαίνονται ίδιες. Η επέκταση αυτής της διαπίστωσης πέρα από το επίπεδο ενός πίνακα σημαίνει ότι μία αρχική εικόνα μπορεί να προβληθεί σε έναν άπειρο αριθμό επιπέδων εξακολουθώντας να φαίνεται αναλλοίωτη στον σταθερό παρατηρητή. Ο Ντεζάργκ ερεύνησε ποιες ιδιότητες των εικόνων παρέμεναν αμετάβλητες μετά από έναν τέτοιο προβολικό μετασχηματισμό. Ένα από τα επιτεύγματα του ήταν η ενοποίηση των κωνικώντομών και η αντιμετώπιση τους ως προβολικών μετασχηματισμών του κύκλου κατά μήκος ενός φωτεινού κώνου - ένας γερτός κύκλος όντως φαίνεται σαν έλλειψη. Η ομορφιά αυτής της προσέγγισης βρίσκεται στο ότι έχοντας διατυπώσει ένα θεώρημα για μία κωνική τομή, ας πούμε τον κύκλο, το μόνο που απέμενε να γίνει ήταν η εκτέλεση της κατάλληλης προβολής καιεπανερμηνείαςτου θεωρήματος. Ωστόσο, το επίτευγμα του Ντεζάργκ ήταν μάλλον η ανάπτυξη μιας νέας μεθόδου Όταν όμως οι μεγάλοι και ευφυείς καλλιτέχνες βλέπουν τα παρά η διατύπωση πρωτοποριακών θεωρημάτων. Ο αδέξια αυτά έργα, έχουν απόλυτο δίκιο να οικτίρουν την τυφλόΡενέ Ντεκάρτ, του οποίου η αλγεβρική γεωμετρία τητα αυτών των ανθρώπων · καθότι η ορθή κρίση δεν απεχθάνεείχε αποδειχθεί τόσο ισχυρό εργαλείο, πρότεινε στσ ται τίποτε περισσότερο από έναν πίνακα ζωγραφισμένο με Ντεζάργκ να μεταφέρει την εργασία του σε αλγεπερισσή,φροντίδα και επιμέλεια, αλλά χωρίς τεχνικές γνώσεις. βΡ'κή μορφή για να είναι πιο σαφής. Αργότερα, ο Ο μόνος λόγος, για τον οποίο οι ζωγράφοι αυτού του είδους δεν ίδιος ο Ντεκάρτ παραδέχθηκε ότι αυτή η γνώμη αφσ , ' ,'Λ ,, , , ,, , ,Λ ρούσε περισσότερο το στυλ παρά το περιεχόμενο, έχουν συναίσθηση του σφάλματος τους είναι ότι δεν έχουν μάθει Όμωςταμαθηματικά ακολουθούσαν ήδη άλλο ^ γεωμετρία, δίχως την οποία κανείς δεν μπορεί να γίνει η να δρόμΑκαιτο έργοτου Ντεζάργκ παραμελήθηκε. Η είναι απόλυτος καλλιτέχνης· ωστόσο ευθύνη για αυτό έχουν οι προβολική του γεωμετρία και η παραστατική γεωμεδιδάσκαλοι τους, οι οποίοι επίσης αγνοούν αυτή την τέχνη. τρία του Ντύρερ επανεμφανίστηκαν στο προσκήνιο Άλμπρεχτ Ντύρερ, Η τεχνητής μέτρησης, 1525 αργότερα, στις αρχές του 19ου αι.

< Αυτή η προμετωπίδα από το 2ο μισό του 16ου αι. ήταν εξαιρετικά ι δημοφιλής και χρησιμοποιήθηκε στην αγγλική μετάφραση των Στοιχεί'ωντου Ευκλείδη απότονΧένρυ Μπίλινγκσλυ το 1570 με εισαγωγή για τα μαθηματικά του Τζον Ντη. Η συγκεκριμένη αναπαράσταση είναι από την πραγματεία περί μουσικής του Τόμας Μόρλεϋ.

Η Ευρώπη του 16ου αι. υποσχόταν άπειρες δυνατότητες. Οι προηγούμενοι δύο αιώνες είχαν συγκλονίσει την ήπειρο με κάμποσες φυσικές καταστροφές αλλά και άλλες, δημιουργημένες απ' τον ίδιο τον άνθρωπο: ο Μαύρος Θάνατος στα μέσα του 14ου αι. εξόντωσε τον μισό σχεδόν πληθυσμό χωρίς να κάνει διακρίσεις ανάμεσα σε αριστοκράτες και πληβείους, πλούσιους και φτωχούς· ο εκατονταετής πόλεμος μεταξύ Αγγλίας και Γαλλίας άφησε τους πληθυσμούς εξαντλημένους σωματικά και ηθικά' και το 1453η κατάληψη της Κωνσταντινούπολης απ' τους Οθωμανούς Τούρκους σήμανε το τέλος της Βυζαντινής αυτοκρατορίας. Παράλληλα, βλέπουμε την άνθηση της ιταλικής αναγέννησης και της ανθρωπιστικής παράδοσης, η οποία συνδύαζε το θαυμασμό για την αρχαιότητα με μία πρωτοφανέρωτη εμπιστοσύνη για τις ατομικές ελευθερίες και τη μόρφωση. Η εφεύρεση της τυπογραφίας και της χαρακτικής σήμαινε ότι οι καινούργιες ιδέες μπορούσαν να διαδοθούν πολύ πλατύτερα απ' ό,τι παλαιότερα. Η Ευρώπη έστρεψε το βλέμμα και στον υπόλοιπο κόσμο οπότε άρχισαν να γίνονται όλο και περισσότερα ταξίδια εξερεύνησης, κατάκτησης και εμπορίου. Όμως η ναυσιπλοία χρειαζόταν ακριβείς χάρτες των θαλασσών και του ουρανού και το εμπόριο χρειαζόταν μια αποτελεσματική μορφή λογιστικής - τίποτα απ' αυτά δεν ήταν επαρκώς ανεπτυγμένο εκείνη την εποχή. Η άλγεβρα, η τριγωνομετρία, οι γεωμετρικές προβολές, οι λογάριθμοι και ο απειροστικός λογισμός ή δεν είχαν ακόμα αναπτυχθεί αρκετά ή δεν είχαν καν εμφανιστεί. Πριν εξετάσουμε αυτές τις εξελίξεις αξίζει να σταθούμε λίγο στο αυξανόμενο κύρος των μαθηματικών εκείνης της εποχής. Όπως είδαμε πρωτύτερα, τα μαθηματικά ήταν αναπόσπαστο συστατικό της μοναστηριακής εκπαίδευσης με το τετράπτυχο της αριθμητικής, γεωμετρίας, αρμονίας και αστρονομίας. Όμως, η δουλική υποταγή στα αρχαία κείμενα και οι ελάχιστες απαιτήσεις των εκκλησιαστικών αρχών περιόριζαν ό,τι μπορούσε να επιτευχθεί μέσα στη σχολαστική παράδοση. Τον όρο mathematicus τον χρησιμοποιούσαν αδιάκριτα για τους μαθηματικούς και τους αστρολόγους (ο Κέπλερ παραπονιόταν ότι έβγαζε πολύ περισσότερα χρήματα καταστρώνοντας αστρολογικούς χάρτες παρά απ' την αστρονομική του εργασία). Αν και δεν υπήρχαν ακόμα επαγγελματίες μαθηματικοί, η οικονομική ανάπτυξη της Ευρώπης δημιούργησε την ανάγκη για ένα ευρύ φάσμα ατόμων καταρτισμένων στην αριθμητική, που μπορούσαν να χειριστούν οικονομικές και εμπορικές υποθέσεις. Αυτά τα πόστα τα καταλάμβαναν περισσότερο άτομα απ' τις συντεχνίες και τα εργαστήρια των τεχνιτών παρά από τα πανεπιστήμια. Στην Αναγέννηση, τα παιδιά των εμπόρων μάθαιναν στοιχειώδη μαθηματικά στα σχολεία ή στα εργαστήρια. Εδώ ακριβώς άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρύτερα τα ινδοαραβικά νούμερα. Οι καινούργιοι αριθμοί είχαν αρχίσει να αφομοιώνονται τον 12ο αι. με μεταφράσεις στα λατινικά αραβικών κειμένων, και το 1202 είδε το φως η έκδοση του Liber Abbaci (Βιβλίο του Αββακα) του Λεονάρντο της Πίζας (περ. 1180-περ. 1250), γνωστού με το όνομα Φιμπονάτσι. Ενώ σήμερα θεωρείται ένας απ' τους ακρογωνιαίους λίθους της μαθηματικής επιστήμης, τότε δεν ήταν τόσο δημοφιλές όσο το πιο στοιχειώδες Algorismus Vulgaris του Ιωάννη του Χάλιφαξ (περ. 1200-1256), πιο γνωστού με το όνομα Σακρομπόσκο. Ο τίτλος Liber Abbaci είναι, φοβάμαι, παραπλανητικός. Ο όρος «Abbacus», με δύο b, αναφέρεται στις υπολογιστικές μεθόδους με τα νέα αριθμητικά ψηφία και δεν έχει καμία σχέση με τον υπολογιστικό πίνακα που γνωρίσαμε με το όνομαΛβακας. Επειδή υπήρχε πράγματι αντιζηλία ανάμεσα στους υποστηρικτές των δύο μορφών υπολογισμού, είναι καλύτερα να χρησιμοποιούμε τον

>· Το κάστρο της γνώσης (1556), κείμενο κοσμολογίας του Ρόμπερτ, Ρέκορντ. Αυτή η προμετωπίδα δείχνει τους παιδαγωγικούς στόχους του Ρέκορντ και τον θρίαμβο της λογικής επί της αυθεντίας. Η άγνοια στέκεται επισφαλώς πάνω σε μία σφαίρα, σε αντίθεση με τη γνώση, που στέκεται σταθερά και σίγουρα πάνω στη βάση της.

Α Γαλλικό κείμενο του 16ου αι. αναφερόμενο οτη θεωρία και τη χρήση της σταυρωτής ράβδου, ενός οργάνου που χρησιμοποιούσαν στη μέτρηση του ύψους του ήλιου και του πολικού αστέρα, ώστε να μπορούν οι ναυτικοί να υπολογίζουν το γεωγραφικό τους πλάτος στη θάλασσα.

όρο «αλγοριστής» για τους οπαδούς της τεχνικής του Άββακα, και «αβακιστής» για κάποιον που εξακολουθούσε να προτιμά τον άβακα, δηλαδή τον μετρικό πίνακα. Κάποιος που γνώριζε τους κανόνες του Άββακα ήταν γνωστός με τον όρο «Maestro d'Abbaco». Στο Liber Abbaci ο Φιμπονάτσι έδωσε μεγάλη σημασία στα εμπορικά μαθηματικά. Στο διεθνές εμπόριο, οι έμποροι έπρεπε να αντιμετωπίζουν δεκάδες διαφορετικά συστήματα μέτρων και σταθμών και να χειρίζονται μετατροπές μεταξύ διαφόρων νομισμάτων, γι' αυτό και χρειαζόταν μία αποτελεσματική μέθοδος υπολογισμού για να αποφεύγονται τα σοβαρά σφάλματα. Το 1494 ο Λούκα Πατσιόλι εξέδωσε τη Summa, γνωστή σήμερα ως το πρώτο έργο που περιλάμβανε μεθόδους πρακτικής λογιστικής, όπως π.χ. τηντήρηση βιβλίων εσόδων-εξόδων. Το βιβλίο επίσης περιλάμβανε και μια σύνοψη των χρήσιμων μαθηματικών της περιόδου, περιλαμβανομένης της αριθμητικής, της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Η παλαιότερη τυπωμένη αριθμητική είχε βγει μερικά χρόνια πριν, το 1478, στο Τρεβίζο από ανώνυμο συγγραφέα. Ο συμβολισμός ήταν ακόμα ρευστός εκείνη την περίοδο, μετά κλάσματα να παριστάνονται ακόμα εξηνταδικά ή ως κλασματικές μονάδες. Τα δεκαδικά κλάσματα έγιναν δημοφιλή τον 16ο αι., αν και τα εξηνταδικά παρέμεναν στους αστρονομικούς υπολογισμούς, και η υποδιαστολή διαδόθηκε κυρίως από τον Νέπερ. Η τάση να γράφουν στην τοπική διάλεκτο και όχι στα λατινικά έκανε τα μαθηματικά εγχειρίδια προσιτά σε μεγαλύτερο κοινό, αν και ταυτόχρονα εμπόδιζε τη διάδοση τους πέρα απ' τα γλωσσικά σύνορα. Ο Άνταμ Ρήζε προωθούσε τα ινδοαραβικά νούμερα στη γερμανική γλώσσα. Ο Ρόμπερτ Ρέκορντ (περ. 1510-1558) ήταν ίσως ο πρώτος εκλαϊκευτής των μαθηματικών. Έγραψε τα πρώτα του μαθηματικά βιβλία στα μητρικά του αγγλικά, και το έργο του για την αριθμητική, Η βάση των επιστημών (1543) παρέμεινε σε κυκλοφο-

ρία για παραπάνω από 150 χρόνια. Τα περισσότερα απ' τα βιβλία του ήταν γραμμένα σε , μορφή διαλόγου και περιελάμβαναν διαγράμματα και παραδείγματα απαραίτητα για τους παιδαγωγικούς σκοπούς που εξυπηρετούσε - από πολλές απόψεις ήταν σαν ένα μοναχικό εξερευνητικό ταξίδι. Το πιο δημοφιλές του βιβλίο είναι Το ακονιστήρι του πνεύματος (1557), ένα βιβλίο στοιχειώδους άλγεβρας στο οποίο βρίσκουμε την πρώτη χρήση του =, του σημείου της ισότητας. Κι αφού οι έμποροι απ' τα πλοία βγάζουν πλούτη δίκιο θα 'χω να αρχίσω απ' τη συντεχνία ετούτη. Τα πλοία στη θάλασσα με πανιά και με κουπιά, τα βρήκαν και τα φτιάξαν γεωμετρικά μυαλά. Αβάκια κι άγκυρες, τροχαλίες και πυξίδες, τις βρήκε η τέχνη η γεωμετρική κι εκείνες. Κι αν πεις για τα βαρούλκα και τ' άλλα μέρη, κι αυτά η γεωμετρία τα 'χει καταφέρει. Μαραγκοί, χαράκτες, ξυλουργοί κι οικοδόμοι, ζωγράφοι, γλύπτες κι άλλοι πολλοί ακόμη, Κεντήστρες, χρυσοχόοι, αν έχουνε μυαλό, στη γεωμετρία το χρωστάν το χάρισμα αυτό. Το κάρο και τ' αλέτρι που τραβάν ίσες γραμμές η γεωμετρία τα φκιάνει, αλλά και οι δουλειές των παπουτσήδων των ραφτών με φιοριτούρες διάφορες δεν πιάνουν φράγκο αν δεν έχουνε αναλογίες άψογες. Κι οι υφάντρες με γεωμετρία κάνουνε το δικό τους, της φαντασίας άβακα έχουν τον αργαλειό τους. Ο τροχός που γυρνά, η πέτρα που λιανίζει, ο μύλος που με το νερό και τους μοχλούς γυρίζει, Είναι δουλειές της γεωμετρίας παράξενες και θαυμαστές κι αν δεν της είχαμε, μόνοι μας δεν θα τις βρίσκαμε ποτές. Κι όλα όσα γίνονται με μέτρα και σταθμά, χωρίς απόδειξη γεωμετρική, ποιος θα τα πάρει σοβαρά; Και τα ρολόγια πούγιναν τις ώρες για να λένε, την πιο μεγάλη εφεύρεση που έγινε ποτέ, τώρα που τα 'χουν όλοι κανείς δεν τα προσέχει, την τέχνη που 'χουν μέσα τους κανείς δεν την αμείβει. Μα αν ήταν να 'ναι σπάνια κι έφτιαχνε κάποιος ένα με γεωμετρία άψογη, θα το μάθαιναν όλοι πως απ' τις τέχνες όλες πιο χρήσιμη είναι μία, και το όνομα αυτής, Γεωμετρία. Ρόμπερτ Ρέκορντ, Ο δρόμος για τη γνώση, 1551 Σ' αυτά τα λόγια μπορούμε να διακρίνουμε τις δύο αντίθετες απόψεις για τα μαθηματικά που έχουν μακρά ιστορία: τα μαθηματικά σαν χρηστικό εργαλείο και σαν αισθητική σπουδή. Ο Ρέκορντ ήταν σθεναρός υποστηρικτής της υπεροχής της λογικής απέ-

ναντι στην αυθεντία, θεωρώντας ότι τα μαθηματικά ήταν η ευγενής τέχνη της αναζήτη, σης της αληθινής γνώσης. Μια τέτοια στάση μπορεί να μην ήταν αρεστή σε πολλούς και, αν και είχε τη θέση του ελεγκτή του νομισματοκοπείου του Μπρίστολ και του επιθεωρητή ορυχείων και νομισμάτων της Ιρλανδίας, ο Ρέκορντ πέθανε στη φυλακή, πιθανότατα για κάποιες άστοχες πολιτικά δηλώσεις του. Σύγχρονος και συνάδελφος του Ρέκορντ, ο Τζον Ντη (1527-1608), έκανε μια ανάλογα εντυπωσιακή καριέρα που ακολουθήθηκε από κατακόρυφη πτώση. Ήταν και οι δύο σύμβουλοι ναυσιπλοΐας και χαρτογραφίας στην Εταιρεία Ρωσικού Εμπορίου (Muscovy Company) και ο Ντη έγραψε το Η τέλεια τέχνη της ναυσιπλοΐας το 1577. Ωστόσο, το ενδιαφέρον του ήταν περισσότερο στραμμένο στις απόκρυφες επιστήμες και ο ίδιος θεωρείται το κυριότερο Ελισαβετιανό κεφάλαιο στη νεοπλατωνική παράδοση της Αναγέννησης. Οι μελέτες του περιλάμβαναν τη ν Καμπάλα (την εβραϊκή μυστικιστική παράδοση) και την αλχημεία. Κατείχε τη θέση του αστρολόγου της Ελισάβετ πριν ακόμα ανέβει στο θρόνο, έβγαζε ωροσκόπια και έδινε συμβουλές σχετικά με ημερολογιακές μεταρρυθμίσεις. Η φήμη του τον έκανε αγαπητό και μισητό ταυτόχρονα στο παλάτι, και μολονότι ήταν σύμβουλος της Βασίλισσας, μερικές φορές ένιωθε ότι η εύνοια της δεν τον κάλυπτε αρκετά. Συχνά αισθανόταν την ανάγκη να υπερασπιστεί τον εαυτό του δημόσια, υποστηρίζοντας με πάθος ότι οι μελέτες του ήταν για το καλό του βασιλείου. Πράγματι, όταν γύρισε από ένα ταξίδι στην Ευρώπη, του έταξαν να του δώσουν τιμητική σύνταξη, η οποία ποτέ δεν εκταμιεύτηκε κι έτσι πέθανε στην ψάθα το 1608. Μία απ' τις πιο διάσημες διακηρύξεις για την αξία των μαθηματικών βρίσκεται στον πρόλογο που έγραψε ο Ντη για τα Στοιχεία του Ευκλείδη σε μετάφραση του Χένρυ Μπίλινγκσγκλυ, ο οποίος αργότερα έγινε δήμαρχος του Λονδίνου. Αυτή είναι η πρώτη κανονική έκδοση των Στοιχείων στα αγγλικά και το κείμενο το επιμελήθηκε κατά πάσα πιθανότητα ο ίδιος ο Ντη. Ο Τζον Νέπερ δεν ήταν επαγγελματίας μαθηματικός αλλά Σκωτσέζος ευγενής, Βαρώνος του Murchiston, και περνούσε τον περισσότερο χρόνο του ασχολούμενος με τις υποθέσεις του κτήματος του. Όμως βρήκε το χρόνο να γράψει για πολλά θέματα και συνέδεσε το όνομα του με την αντιπαπική θεολογία. Αν και τα ινδοαραβικά νούμερα ήταν τότε πια σε κοινή χρήση, οι υπολογισμοί γίνονταν με πένα και χαρτί και οι άνθρωποι αναζητούσαν τρόπους να επιταχύνουν κάποιες χρονοβόρες πράξεις. Ο Νέπερ έχει στο ενεργητικό του δύο εφευρέσεις, οι οποίες διευκόλυναν πολύ τους υπολογισμούς -τα κόκαλα του Νέπερ και τους λογαρίθμους. Τα κόκαλα του Νέπερ, επίσης γνωστά και ως νεπέρειες ράβδοι, ήταν κομμάτια ξύλου πάνω στα οποία ήταν σκαλισμένοι οι πίνακες του πολλαπλασιασμού, και μπορούσε κάποιος, αν διαταχθούν κατάλληλα να εκτελέσει μακροσκελείς πολλαπλασιασμούς με μεγάλη ταχύτητα. Οι ράβδοι στην ουσία μετέτρεπαν τους μεγάλους πολλαπλασιασμούς σε απλές προσθέσεις. Η εφεύρεση των λογαρίθμων επίσης προήλθε από την επιθυμία για μεγαλύτερη ταχύτητα. Πολλοί μαθηματικοί είχαν παρατηρήσει τη σχέση ανάμεσα στις αριθμητικές και τις γεωμετρικές σειρές και ότι το γινόμενο δύο δυνάμεων μπορούσε να αναχθεί στο άθροισμα των εκθετών. Ο Νέπερ συνειδητοποίησε ότι αυτό ισχύει για όλες τις δυνάμεις και συνέταξε έναν πίνακα νεπέριων λογαρίθμων ο οποίος εμφανίστηκε στο βιβλίο του Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Περιγραφή του θαυμάσιου κανόνα των λογαρίθμων) του 1614. Η αρχική του ιδέα δεν χρησιμοποιούσε αριθμητική βάση: απλώς, διαίρεσε τη μονάδα σε 107 μέρη, κάτι που του έδωσε αρκετά ψηφία για τους

λ Αναπαράσταση της αριθμητικής από το βιβλίο του Γκρέγκορ Ράις Margarita Philosophica (1503). Η μετάβαση από τον ρωμαϊκό άβακα οτη χρήση των ινδοαραβικών αριθμών ήταν εξαιρετικά αργή, με αιώνες αντιζηλίας ανάμεσα στα δύο συστήματα. Και πράγματι, τα καινούργια νούμερα ήταν τόσο δύσκολο να αφομοιωθούν, που εάν γυρίσετε την εικόνα ανάποδα θα παρατηρήσετε ότι ο υπολογισμός που έχει απεικονίσει ο καλλιτέχνης είναι χωρίς νόημα!

περισσότερους υπολογισμούς. Μετά όρισε τη σχέση Λ/= 10'(0,9999999)L, όπου το ί. είναι ο λογάριθμος του Ν. Αυτό έδινε το λογάριθμο του 107 ως Ο και το λογάριθμο του 9999999 ως 1 · οι ενδιάμεσοι αριθμοί έπαιρναν τιμές μεταξύ Ο και 1. Οι πίνακες του έδιναν τους λογαρίθμους τριγωνομετρικών συναρτήσεων και όχι φυσικών αριθμών, κι αυτό γιατί ο βασικός του στόχος ήταν η διευκόλυνση των σχοινοτενών υπολογισμών που ήταν απαραίτητοι στην αστρονομία και στη ναυσιπλοΐα. Ένας απ' τους μεγαλύτερους θαυμαστές του Νέπερ ήταν ο Χένρυ Μπριγκς, καθηγητής γεωμετρίας στην Οξφόρδη. Συμφώνησαν μεταξύ τους ότι ο πίνακας θα ήταν πολύ πρακτικότερος, εάν κατασκευαζόταν με βάση το ότιλογΐ =0 και λογ10=1. Αλλά ο Νέπερ πέθανε το 1617 και έτσι ανέλαβε ο Μπριγκς να καταρτίσει τον πρώτο λογαριθμικό πίνακα με βάση το 10, όπως είναι γνωστός σήμερα. Αυτός ο πίνακας ήταν για τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 1000'το 1624ο Μπριγκς τον επέκτεινε στο 100.000, με ακρίβεια 14 ψηφίων. Το πλεονέκτημα της σταθερής βάσης ήταν ότι η αφαίρεση του παράγοντα 10' από τους υπολογισμούς αποκάλυπτε τον θεμελιώδη κανόνα των λογαρίθμων - ότι ο λογάριθμος του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των αριθμών αυτών. Οι σημερινοί υπολογιστές έχουν κάνει τους πίνακες των λογαρίθμων, των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστροφων περιττούς, όπως και τους λογιστικούς κανόνες, αλλά εκείνη την εποχή οι πίνακες του Μπριγκς έγιναν δεκτοί με ενθουσιασμό γιατί συντόμευαν εντυπωσιακά τους υπολογισμούς. Οι ναυτικοί, οι οποίοι είχαν να χειριστούν ημίτονα και συνημίτονα, ανακάλυψαν ότι ένας τυπικός πολλαπλασιασμός δύο επταψήφιων αριθμών σήμαινε εύρεση των αντίστοιχων λογαρίθμων στους πίνακες, μία πρόσθεση και μετά εύρεση του αντίστροφου στους πίνακες, ο οποίος τους έδινε τη ζητούμενη απάντηση. Πριν απ' τη χρήση των πινάκων, εάν ένας πολλαπλασιασμός χρειαζόταν μια ολόκληρη ώρα, το αποτέλεσμα που έβρισκες ήταν μία ώρα καθυστερημένο σε σχέση με την πραγματική σου γεωγραφική θέση. Αυτή η καθυστέρηση τώρα περιοριζόταν σε μερικά λεπτά. Ο Φραγκίσκος Βάκων (1561-1626) δεν ήταν ούτε μαθηματικός ούτε επιστήμονας κι όμως, όπως ο Πλάτωνας, είχε τεράστια επίδραση στη φιλοσοφία της επιστημονικής δραστηριότητας. Κατά τη διάρκεια της βασιλείας της Ελισάβετ υπηρέτησε στη Βουλή των Κοινοτήτων και στη θέση του βασιλικού συμβούλου, αν και χωρίς πραγματικό χαρτοφυλάκιο. Όταν ανέβηκε στο θρόνο ο Ιάκωβος Α', η καριέρα του απογειώθηκε, καθώς

·< Χανς Χόλμπαϊν ο νεότερος, Οι πρεσβευτές (1533). Οι Γάλλοι πρεσβευτές είχαν πάει στην αυλή του Ερρίκου του Η' προοτιαθώντας να τον πείσουν να μην διαζευχθεί την Αικατερίνη της Αραγωνίας. Τα μαθηματικά όργανα συμβολίζουν τη μάθηση που περιέχεται στο τετράπτυχο αλλά και την ισχύ που παρέχει αυτή η γνώση. V Σελίδα από το βιβλίο του Τζων Νέπερ ASftmeifca logarithmica του 1628, που συμπληρώθηκε και εκδόθηκε μετά το θάνατο του από τον Χένρυ Μπριγκς, καθηγητή γεωμετρίας στην Οξφόρδη. Αυτή η έκδοση χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Τσαρλς Μπάμπιτζ στην ανάλυση του των σφαλμάτων του πίνακα.

κατέλαβε μία σειρά από σημαντικές θέσεις με αποκορύφωμα τη θέση του Λόρδου Καγκελάριου το 1618. Σε μια εποχή όπου η διαφθορά ήταν ενδημική, φαίνεται περίεργο ότι ο Βάκων κατηγορήθηκε για δωροδοκία το 1621. Παρ' όλα αυτά, ο Ιάκωβος εξακολουθούσε να του πληρώνει τη σύνταξη του και η πτώση έμοιαζε περισσότερο να έχει πληγώσει την περηφάνια του παρά την τσέπη του. Τα βιβλία του ήταν η αιχμή του δόρατος για την άποψη ότι η φυσική φιλοσοφία έπρεπε να γίνει πρωταρχικό μέλημα της κυβέρνησης και του στέμματος. Τα βιβλία Η προαγωγή της μάθησης (1605) και Η μεγάλη αποκατάσταση (1620) ήταν αφιερωμένα στον Ιάκωβο και τον καλούσαν να γίνει προστάτης της επιστήμης. Τα γραπτά του Βάκωνα επηρέασαν μελλοντικούς επιστήμονες όπως ο Νεύτωνας και ο Χάλλεϋ, έβαλαν τις βάσεις της αγγλικής συνεισφοράς στην επιστημονική επανάσταση και ενέπνευσαν την ίδρυση της Βασιλικής Εταιρείας. Η θέση του επίσης σήμαινε ότι η επιστήμη είχε έναν υπερασπιστή με πολιτική και οικονομική επιρροή. Η γνώση ήταν δύναμη και αναγνωρίστηκε ότι η επιστήμη μπορούσε να χρησιμεύσει για την αύξηση της ευημερίας και του κοινού πλούτου, όπως ανέλυσε ο Βάκων στο Novum Organum (1620). Ο Βάκων είχε την τάση να βλέπει τα μαθηματικά πρακτικά και ωφελιμιστικά - τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης και ένα εργαλείο στη διάθεση της. Ωστόσο είχε τον κοινό νου και τη διορατικότητα να προβλέψει ότι τα μαθηματικά αυτά καθαυτά δεν ήταν μια στατική επιστήμη και ότι το μέλλον θα έβλεπε την ανάπτυξη καινούργιων κλάδων. Η χρήση των μαθηματικών απ' τους εμπόρους, τους ναυτικούς και τους επιστήμονες σήμαινε στην ουσία δημιουργία μεγαλύτερου πλούτου για το έθνος. Η προώθηση των μαθηματικών δεν ήταν πια απασχόληση κάποιων πανεπιστημιακών δασκάλων αλλά συστράτευση σε έναν εθνικό σκοπό. Κανένα κράτος, κανένας άνθρωπος ή παιδί δεν κερδίζει σε σοφία αν δεν μαθαίνουν όλοι τους αριθμούς απ' τα μικρά τους χρόνια. Κι οι αριθμοί έχουνε τέτοια δύναμη για πλούσιους και φτωχούς που όποιος δεν ξέρει να μετρά άνθρωπος δεν λογιέται παρά ζώο: γιατί τι άλλο παρά κτήνος και τούβλο μοναχό είναι όποιος δεν κατέχει τη μόνη τέχνη που αρμόζει στους ανθρώπους, γιατί υπάρχουν ζώα που ξεπερνάνε τους ανθρώπους σε πολλά, αλλά κανένα δεν ξέρει να μετρά, μόνο το ανθρώπινο μυαλό. Κι αφού οι αριθμοί είναι από ζώο σε άνθρωπο η μόνη διαφορά, ελάτε όλοι να μάθετε την τέχνη της αρίθμησης, αν θέτε να μπείτε στο στρατό ή να γενείτε σπουδαίοι και τρανοί. Όπου κι αν μένεις, σε παλάτι ή σε χωριό, κι αν έχεις επιλέξει με φυσική, φιλοσοφία και νομικά τον καιρό σου να περνάς, σίγουρος να 'σαι πως δίχως την τέχνη αυτή ποτέ δε θα προκόψεις. Κι αν πεις για την αστρονομία και τη γεωμετρία επίσης, κοσμογραφία, γεωγραφία και άλλες επιστήμες, και μουσική με μελωδίες γλυκές, χωρίς αυτή την τέχνη ούτε στο τόσο δα δε θα μπορέσεις να τις γνωρίσεις.

Δε θα μπορέσεις να γίνεις λογιστής ή τοπογράφος, ούτε ένα άθροισμα δε θα μπορείς να βγάλεις, αν λείπουν οι αριθμοί Αλλά άμα θες μ' εμπόριο να ασχοληθείς, μούσα σου ετούτο το βιβλίο θα γενεί, γιατί έχει μέσα όλους τους κανόνες κι εσύ διαλέγεις όποιους θες. Κι αν είσαι και τεχνίτης, όσα μέσα σ' αυτό θα βρεις θα κάνουν τη δουλειά πιο αλαφριά και το μυαλό σου κοφτερό. Κι αν είσαι ό,τι άλλο από βοσκός, βαρύ θα 'ναι για σένα να κάνεις τη δουλειά σου χωρίς των αριθμών την συνδρομή. Να απαριθμήσω τις ωφέλειες που φέρνουν οι αριθμοί θα 'παίρνε χρόνο ατέλειωτο, γι' αυτό κι εγώ θα πω μια τελευταία φράση μόνο που όλα τα ιστορεί, Πέτρα ακατέργαστη είναι ο άνθρωπος χωρίς την τέχνη αυτή. Τόμας Χύλλες, Η τέχνη της κοινής αριθμητικής, 1600

>· Το εξαιρετικά δημοφιλές αυτό εργαλείο υπολογισμών, τα «κόκαλα» ή οι νεπέρειες ράβδοι, ήταν αρχικά κατασκευασμένο από ξύλινα ή φιλντισένια τετράπλευρα ραβδιά. Σ' αυτή την εξελιγμένη κατασκευή, τα ραβδιά είναι πακτωμένα σ' ένα πλαίσιο και μπορούν να περιστραφούν. Η συσκευή αυτή μετέτρεπε τους μακροσκελείς πολλαπλασιασμούς σε μία σειρά από απλές προσθέσεις.

< Λεπτομέρεια από την Οπτική του Νεύτωνα (1704). Μία μικρή πραγματεία που είχε προστεθεί οτην οπτική ως παράρτημα ήταν η Απαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθμού, οτην οποία ο Νεύτωνας παραθέτει τα 72 διαφορετικά είδη κυβικών συναρτήσεων σχεδιάζοντας τις καμπύλες για τις περισσότερες από αυτές. Για πρώτη φορά βλέπουμε τη χρήση αξόνων τεμνομένων υπό ορθή γωνία και τη χρήση αρνητικών συντεταγμένων.

Απ' την εποχή των Ελλήνων και μετά τα μαθηματικά ήταν χωρισμένα σε δύο κλάδους, τη * γεωμετρία και την αριθμητική. Η μία πραγματευόταν μεγέθη, η άλλη αριθμούς. Ποτέ όμως δεν υπήρξε σαφής διαχωρισμός ανάμεσα στις δύο, και έχουμε δει ότι οι διάφοροι πολιτισμοί έδειχναν προτίμηση στον ένα κλάδο ή στον άλλο ανάλογα με τα ενδιαφέροντα τους. Θα περιγράψουμε την ανάπτυξη της άλγεβρας και τις σχέσεις της με τη γεωμετρία μέσα από την ιστορία της επίλυσης της εξίσωσης τρίτου βαθμού - αυτό που με 3 ί σημερινά σύμβολα γράφουμε: αχ +|3χ +νχ+δ=0. Η λέξη αλ-τζαμπρ (αποκατάσταση), παρμένη από τον τίτλο της πραγματείας του αλΧουαρίζμιΧίσάμπ αλ-τζαμπρ ου'αλ-μουκάμπαλα (κεφ. 7) είναι η λέξη που έδωσε τη δική μας «άλγεβρα». Ο αλ-Χουαρίζμι έγραψε την άλγεβρα του χωρίς να χρησιμοποιεί καθόλου σύμβολα και τις επιλύσεις των εξισωσεωντις έδινε ρητορικά. Στις δυνάμεις των αγνώστων έδινε 2 3 ονόματα, όπωςπ.χ. σέι (πράγμα) για το χ, μαλ (πλούτος) για το χ και κα'μπ (κύβος) για το χ . Τα ονόματα που έδιναν στις δυνάμεις δεν ήταν σταθερά και στο βιβλίο του Liber abbaci του 1202 (κεφ. 10) ο Φιμπονάτσι χρησιμοποιούσε μεταφράσεις από τα αραβικά αλλά και μερικά 3 ονόματα δικά του, όπωςπ.χ. το όνομα radix για τη ρίζα και cubus για το χ . To Liber abbaci ήταν πολύ σημαντικό έργο, γιατί βοήθησε τα μέγιστα στη διάδοση των ινδοαραβικών αριθμών καθώς περιέγραφε τα «εννέα ινδικά ψηφία» και το «zephirum», ή μηδέν. Το κείμενο του αλ-Χουαρίζμι, γραμμένο στο πρώτο μισό του 9ου αι., διαιρεί τις λύσεις των δευτεροβάθμιων εξισώσεων σε έξι τύπους, περιορίζοντας και τους αριθμητικούς συντελεστές και τις τελικές λύσεις σε θετικές τιμές (κεφ. 7). Οι λύσεις υποστηρίζονται από γεωμετρικές αναπαραστάσεις, οι οποίες είναι οτην ουσία ίδιες με τη συμπλήρωση του τετραγώνου των Βαβυλωνίων (κεφ. 1). Τον 11 ο αι. ο Ομάρ Χαγιάμ ανακάλυψε μια γεωμετρική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων τρίτου βαθμού μέσω της εύρεσης των σημείωντομής δύο κωνικώντομών π.χ., η επίλυση της εξίσωσης x3+ox=y μπορεί να βρεθεί από την τομή ενός κύκλου και μίας παραβολής. Αλλά και πάλι οι συντελεστές και οι λύσεις είναι όλοι θετικοί αριθμοί. Ο Χαγιάμ δεν βρήκε τη γενική αλγεβρική λύση της κυβικής εξίσωσης, αλλά η εφαρμογή της ελληνικής γεωμετρίας στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ήταν ασφαλώς εξαιρετικά προχωρημένη. Με τα δικά του λόγια, «οι άλγεβρες είναι γεωμετρικά γεγονότα τα οποία μπορούν να αποδειχθούν». Ελπίδα του ήταν να βρεθεί μια αμιγώς αλγεβρική λύση για την κυβική εξίσωση απ'τους μαθηματικούς του μέλλοντος. Δυστυχώς, η Άλγεβρα του αλ-Χαγιάμ δεν ήταν ένα από τα πολλά αραβικά βιβλία που μεταφράστηκε στα λατινικά. Μια γενική αλγεβρική λύση για την τριτοβάθμια εξίσωση -δηλαδή μια πεπερασμένη σειρά αλγεβρικών βημάτων που οδηγούν σε πλήρεις λύσεις- βρέθηκε όντως, αλλά την εποχή της ιταλικής Αναγέννησης, σχεδόν 400 χρόνια αργότερα. Διάφορες προσεγγιστικές λύσεις ήταν ήδη γνωστές. Το 1225, π.χ., ο Φιμπονάτσι εξέδωσε μία πραγματεία για την κυβική εξίσωση που έδινε μια προσεγγιστική τιμή για μία ιδιαίτερη περίπτωση, αλλά δυστυχώς χωρίς καμία μέθοδο. Κοιτάζοντας την ιστορία της κυβικής εξίσωσης, βυθιζόμαστε στον ανταγωνιστικό κόσμο της αναγεννησιακής Ιταλίας. Η δημοσίευση νέων ευρημάτων ήταν σπάνια, καθώς η μη αποκάλυψη αυτών των μυστικών ανέβαζε το γόητρο των μαθηματικών στα μάτια των προστατών τους. Η ανταλλαγή γνώσεων έπαιρνε τη μορφή αγώνων, στους οποίους οι μαθηματικοί προκαλούσαν ο ένας τον άλλο με σειρές ερωτήσεων. Όποιος κέρδιζε σε τέτοιους αγώνες, έβλεπε τη φήμη του να ανεβαίνει κατακόρυφα. Η επίλυση της κυβικής και της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης δημοσιεύθηκε για πρώτη

Α Αυτό το κείμενο του 16ου αι. θεωρεί ακόμα απαραίτητο να δώσει στον αναγνώστη του την αντιστοιχία μεταξύ των ρωμαϊκών και των κοινών αριθμών. Οι ρωμαϊκοί αριθμοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ακόμη και στις μέρες μας, μόνο που η χρήση τους είναι περιορισμένη.

φορά απ' τον Τζιρολάμο Καρντάνο (1501 -1576) στο βιβλίο του Ars magna (1545). Ωστόσο, ούτεη μία ούτε η άλλη λύση ήταν εύρημα του ίδιου του Καρντάνο. Η πρώτη πραγματική λύση ήταν του Σιπιόνε ντελΦέρρο (περ. 1465-1526), καθηγητή μαθηματικών στην Μπολώνια. Αλλά εκείνος, αντί να δημοσιεύσει τη λύση του, προτίμησε να την αφήσει κληρονομιά στον μαθητή του Αντόνιο Μαρία Φιορ. Ο Φιορ θεώρησε ότι αυτό του άνοιγε τις πύλες της επιτυχίας και του πλούτου και άρχισε να προκαλεί τους μαθηματικούς σε αγώνες επίλυσης προβλημάτων. Ωστόσο, ο Φιορ ήταν μάλλον μέτριος μαθηματικός και βασιζόταν σε ένα και μοναδικό όπλο. Ο μαθηματικός Νικολό Φοντάνα (περ. 1500-57) καλύτερα γνωστός με το όνομα Ταρτάλια, «τραυλός», από το ελάττωμα ομιλίας που απέκτησε όταν ένα σπαθί του έκοψε την άκρη της γλώσσας στη γαλλική πολιορκία της Μπρέσια, δούλευε και εκείνος στο ίδιο θέμα. Το 1555 ο Φιορ και ο Ταρτάλια αντιμετώπισαν ο ένας τον άλλο και τη νύχτα της 12ης Φεβρουαρίου ο Ταρτάλια ισχυρίστηκε ότι έλυσε κι εκείνος την εξίσωση τρίτου βαθμού. Ο Ταρτάλια κέρδισε τον αγώνα επιλύοντας όλα τα προβλήματα του Φιορ, ενώ ο Φιορ δεν μπόρεσε να λύσει ούτε ένα πρόβλημα του Ταρτάλια. Εκείνη την εποχή, την τριτοβάθμια εξίσωση δεν τη θεωρούσαν μία μοναδική και ενιαία εξίσωση, αλλά τη διαιρούσαν σε τύπους, ανάλογα με το ποιοι όροι της εξισώνονταν με ποιους, περίπου όπως και οι τύποι της δευτεροβάθμιας εξίσωσης του αλ-Χουαρίζμι. Φαίνεται λοιπόν ότι ο Ταρτάλια δεν είχε λύσει μόνο τον μοναδικό τύπο εξίσωσης του Φιορ αλλά και αρκετούς από τους άλλου τύπους. Τα νέα για τη νίκη του Ταρτάλια έφτασαν στα αυτιά του Καρντάνο, ο οποίος μετά από προσπάθειες έπεισε τον Ταρτάλια να αποκαλύψει το μυστικό του, με αντάλλαγμα μία συστατική επιστολή για έναν πιθανό χρηματοδότη. Ωστόσο, στη συνάντηση τους στο Μιλάνο το 1539, ο Ταρτάλια έβαλε τον Καρντάνο να ορκισθεί ότι δεν θα δημοσιεύσει ποτέ τη λύση, την οποία του έδωσε με τη μορφή ενός δυσνόητου ποιήματος. Όμως, ο Καρντάνο ανακάλυψε αργότερα, ότι ο γαμπρός του Ντελ Φέρρο είχε στην κατοχή του το αρχικό χειρόγραφο και ζήτησε την άδεια να το διαβάσει. Εκείνος κι ο βοηθός του Λουντοβίκο Φερράρι (1522-65) είχαν κάνει αρκετά βήματα προς την επίλυση της γενικής μορφής της κυβικής αλλά και της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης. Ο Καρντάνο εκτιμούσε τη δουλειά του Ταρτάλια αλλά έχοντας ανακαλύψει ότι είχε προηγηθεί ο Φέρρο, δεν θεωρούσε ότι δεσμευόταν από τον όρκο μυστικότη-

τας που είχε δώσει. Ο Ταρτάλια εξοργίστηκε με αυτή την προδοσία και αποφάσισε να εκδι\r\Qti γράφοντας ένα βιβλίο, στο οποίο έλεγε τη δική του πλευρά της ιστορίας. Ακολούθησε μια μακροχρόνια και πικρόχολη διαμάχη, στην οποία ο Φερράρι, εξαιρετικός μαθηματικός ο ίδιος, πήρε το μέρος του δασκάλου του. Το 1548, ο Ταρτάλια, μέχρι τότε ταπεινός καθηγητής μαθηματικών στη Βενετία, αναγορεύτηκε λέκτορας στην Μπρέσια. Αποφάσισε ότι εάν προκαλούσε τον Φερράρι, αυτό θα του έφερνε περισσότερη δόξα και θα ικανοποιούσε την εκδικητική του μανία, αλλά είχε υποτιμήσει σοβαρά τον βοηθό του Καρντάνο, και αναγκάστηκε να αποχωρήσει άρον-άρον, πριν τελειώσει ο αγώνας. Τα πράγματα δεν είχαν πάει καθόλου καλά για τον Ταρτάλια και οι αρχές της Μπρέσια αρνήθηκαν να καταβάλουν το μισθό του, οπότε εκείνος γύρισε στην παλιά του δουλειά στη Βενετία. Αντίθετα απ' τον Ταρτάλια, ο οποίος προερχόταν από φτωχή οικογένεια και πάντα έψαχνε τη σιγουριά της χρηματοδότησης, ο Καρντάνο απέκτησε αρκετή φήμη και σημαντική περιουσία, η οποία όμως ήταν εξαιρετικά επισφαλής. Ο Καρντάνο ήταν τυπικός άνθρωπος της εποχής του - μαθηματικός, γιατρός, αστρολόγος, χαρτοπαίκτης και αιρετικός. Ο ιατρικός σύλλογος αρνιόταν επί δεκαπέντε χρόνια να τον κάνει δεκτό στους κύκλους του, δήθεν επειδή ήταν παιδί ενός παράνομου δεσμού, αλλά στην ουσία επειδή είχε τη φήμη του στρυφνού και αθυρόστομου ανθρώπου. Αν και λίγο έλειψε να χρεοκοπήσει από τη μανιώδη χαρτοπαιξία του, κατάφερε να στήσει ένα πολύ πετυχημένο ιδιωτικό ιατρείο, ενώ ταυτόχρονα δίδασκε ιατρική στο Μιλάνο και στην Παβία από το 1543 ως το 1552. Τον κάλεσαν στη Σκωτία για να θεραπεύσει τον αρχιεπίσκοπο του Αγίου Ανδρέα. Όταν επέστρεψε ονομάστηκε καθηγητής ιατρικής στο πανεπιστήμιο της Παβίας, έχοντας στον ενεργητικό του την αποθεραπεία του αρχιεπισκόπου, όμως η επαγγελματική του επιτυχία υπονομευόταν από τη θυελλώδη οικογενειακή του ζωή. Δεν κατάφερε να σώσει τον αγαπημένο του μεγαλύτερο γιο, ο οποίος εκτελέστηκε για τη δολοφονία της άπληστης γυναίκας του, μη μπορώντας να πληρώσει το εξωφρενικό ποσό που ζητούσε η οικογένεια της για ηθική ικανοποίηση. Αναγκάστηκε να φύγει απ' την Παβία και έγινε καθηγητής στην Μπολώνια. Μετά, ο μικρότερος γιος του έκλεψε απ' το σπίτι του πατέρα του για να πληρώσει ένα χαρτοπαιχτικό χρέος. Αυτή τη φορά ο απελπισμένος Καρντάνο κατέδωσε το γιο του, ο οποίος και εξορίστηκε. Ο Καρντάνο δεν είχε αποκτήσει πολλούς φίλους στην Μπολώνια και το 1570 τον συνέλαβαν ως αιρετικό, γιατί είχε βγάλει το ωροσκόπιο του Ιησού Χριστού και είχε επαινέσει τον αυτοκράτορα Νέρωνα. Κατά περίεργο τρόπο, τον κάλεσαν στη Ρώμη, όπου ο ίδιος ο Πάπας συμφώνησε να τον στηρίξει οικονομικά. Το κουσούρι της χαρτοπαιξίας τον πήγαινε μια επάνω και μια κάτω, αλλά σίγου ρα αποτέλεσε τη βάση για ένα βιβλίο που έγραψε σχετικά με τις πιθανότητες. Η αυτοβιογραφία του είναι μια ειλικρινής μαρτυρία για μια εκπληκτική ζωή στην αιχμή μιας μαθηματικής επανάστασης. Η επιτυχημένη αντιμετώπιση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Καρντάνο ήταν στην ουσία μία εφαρμογή της «συμπλήρωσης του κύβου», ανάλογη με τη μέθοδο συμπλήρωσης του τετραγώνου. Ωστόσο, η διατύπωση ήταν ακόμα σαν του αλ-Χουαρίζμι, με μακροσκελείς ρητορικές εξηγήσεις και κατάταξη σε τύπους, δεδομένου ότι οι αρνητικοί συντελεστές δεν ήταν ακόμα αποδεκτοί. Μεταμορφώνοντας τις πιο πολύπλοκες κυβικές εξισώσεις σε απλούστερους επιλύσιμους τύπους, κατάφερε να ξεπεράσει τον Ντελ Φέρρο και τον Ταρτάλια. Ο Καρντάνο παρατήρησε επίσης ότι μερικές φορές, σε κάποια ενδιάμεσα στάδια της λύσης, παρουσιαζόταν η τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών. Δεν μπορούσε να

κρύψει τη δυσφορία του απέναντι σ' αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς, αλλά αν και θεω»ρούσε αυτές τις διατυπώσεις άνευ νοήματος, δεν τις απέρριψε ασυζητητί. Σε μία περίπτωση μάλιστα είχε την υπομονή να προχωρήσει παρακάτω, οπότε όταν πολλαπλασίασε αυτό που σήμερα ονομάζουμε συζυγείς μιγαδικούς, το αποτέλεσμα που πήρε ήταν σωστό. Διατύπωσε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες μία εξίσωση τρίτου βαθμού έχει μιγαδικές λύσεις, αλλά δεν προχώρησε στη μελέτη αυτού του καινούργιου είδους αριθμού. Το 1572, Ο Ραφαέλ Μπομπέλι (1526-περ. 1572) δημοσίευσε τηνΛ\νεβοά του, στην οποία επέκτεινε το πεδίο των αριθμών για να περιλάβει τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες και μιγαδικούς αριθμούς. Έκανε ένα πολύ μεγάλο βήμα προς την αλγεβρική λύση γεωμετρικών προβλημάτων και αντίστροφα, αλλά δυστυχώς οι λύσεις αυτές δεν έγιναν γνωστές στους συγχρόνους του, καθώς ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου παραλείφθηκε από τους εκδότες και έπρεπε να περιμένει τον 20ό αι. για να εκδοθεί για πρώτη φορά ολόκληρο. Στην Ευρώπη η ανάπτυξη της άλγεβρας πήγαινε παράλληλα με τη χρήση των καινούργιων ινδοαραβικών αριθμών. Το 1494 εκδόθηκε το Summa de arithmetica, geometrica, proportion! et proportionalita του Αββά Λούκα Πατσιόλι, που θεωρείται ση μέρα το πρώτο βιβλίο άλγεβρας. Η άλγεβρα του Πατσιόλι ήταν ακόμα μείγμα ρητορικών και αλγεβρικών εξηγήσεων (γνωστή ως «συντομογραφική»). Ο άγνωστος της εξίσωσης συχνά αναφερόταν ως cosa (=πράγμα) στα λατινικά και αργότερα coss στα γερμανικά. Η αποκαλούμενη «κοσική» τέχνη αναπτύχθηκε ταχύτατα στη Γερμανία του 16ου αι. μέσα από έργα όπως Die Coss, γραμμένο το 1524 από τον περίφημο Rechensmeister'fwm\iPrfp (1492-1559). Πολλά απ' τα σύμβολα που τώρα θεωρούμε αλγεβρικά άρχισαν να χρησιμοποιούνται εκείνη την >· Η Απαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθμού του Νεύτωνα ήταν θρίαμβος για την αλγεβρική και την αναλυτική γεωμετρία, καθώς χρησιμοποιούσε τον απειροστικό λογισμό για την ανακάλυψη καινούργιων ιδιοτήτων των καμπυλών. Εδώ βλέπουμε αλγεβρικές παραστάσεις για τα εμβαδά που ορίζονται από τις υπό μελέτη καμπύλες.

περίοδο, το + και το - στη Γερμανία, το = στην Αγγλία. Η μετάβαση από μία ρητορική άλγεβρα, μέσα από διάφορα στάδια επιμέρους συντομογραφιών, μέχρι μια τυποποιημένη, ξεκάθαρη, συμβολική άλγεβρα κράτησε μερικούς αιώνες. Ένα μεγάλο πρόβλημα ήταν ο ρόλος που έπαιζαν οι μεγαλύτερες δυνάμεις απ' τον κύβο. Καθώς οι αλγεβρικές μέθοδοι έπρεπε να παραπέμπουν σε γεωμετρικές αποδείξεις και οι φυσικές διαστάσεις είναι τρεις, δεν φαινόταν λογικό να προσπαθεί να αποδώσει κανείς νόημα στην τέταρτη δύναμη ή σε κάποια μεγαλύτερη. Οι όροιπου χρησιμοποιούσαν αντανακλούν αυτόντον προβληματισμό, καθώς τηντέταρτη δύναμη συχνά την ονόμαζαν «τετράγωνο του τετραγώνου». Στα μεσάτου 16ου αι. ο Ρόμπερτ Ρέκορντ θεώρησε απαραίτητο να δικαιολογήσει τη χρήση υψηλότερων δυνάμεων, λέγοντας ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου, του οποίου οι πλευρές είναι οι ίδιες αποτέλεσμα τετραγωνισμού αριθμών, είναι στην ουσία ένας αριθμός υψωμένος στηντέταρτη δύναμη, από το οποίο προκύπτει καιη ονομασία τετράγωνο του τετραγώνου. Το οριστικό διαζύγιο από μία καθαρά γεωμετρική προσέγγιση ήρθε με την έκδοση του La Geometrie του Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650). Αυτό το σημαντικό έργο ήταν ένα απλό παράρτημα στο βιβλίο Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences (Λόγος περί της μεθόδου για την καλή καθοδήγηση του λογικού μας και την αναζήτηση της αλήθειας στις επιστήμες), και συχνά παραλειπόταν από τις μεταγενέστερες εκδόσεις. Σκοπός του Ντεκάρτ στονΛόγο ήταν η επεξεργασία μιας φιλοσοφίας της επιστήμης που θα οδηγούσε στην ορθή γνώση για το σύμπαν, την ύλη και την κίνηση. Μ ία σωστή περιγραφή του συ μπαντος με τη γλώσσα Αν λοιπόν θέλουμε να λύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα, πρώτα των μαθηματικών απαιτούσε η γλώσσα η ίδια να υποθέτουμε τη λύση δεδομένη και ονομάζουμε όλα τα ευθύγραμμα βασίζεται σε στέρεα θεμέλια. Παρά το όνομα της, η τμήματα που βοηθούν στην κατασκευή του - γνωστά και άγνωστα. Γεωμετρία είναι στην ουσία ένας γάμος άλγεβρας και Μετά, χωρίς να κάνουμε διακρίσεις ανάμεσα σε γνωστά και γεωμετρίας, αυτό που σήμερα είναι γνωστό με το ov άγνωστα ευθύγραμμα τμήματα, προσπαθούμε να αναλύσουμε τα °Ma αναλυτική γεωμετρία· αποδεικνύει τις αντιδεδομένα μας με έναν τρόπο που να αναδεικνύει όσο πιο φυσικά ™W^ ^^u γεωμετρικών κατασκευών και αλγε/ ι , , , Λ / / / βρικων πράξεων και οι καμπύλες περιγράφονται από γίνεται τις σχέσεις ανάμεσα σ αυτές τις ευθείες, ώσπου να μπορεΛ % / / n / εξισώσεις. Ο Ντεκάρτ έσπασε την παράδοση θεωρωσουμε να εκφράσουμε ένα μοναδικό μέγεθος με δυο τρόπους. ^τ[ςδυνάμ£ΐςαπλούςαρώμούς ^όχιγεωμε. Η

Αυτό μας δίνει μια εξίσωση (με έναν άγνωστο), εφ όσον οι όροι της μιας απ' τις δύο εκφράσεις είναι ίσοι με εκείνους της άλλης. Ντεκάρτ, Γεωμετρία, 1637

ά αντικείμενα: το χ2 δεν ήταν πια ένα εμβαδόν αλλά ένας αριθμός υψωμένος στη δεύτερη δύναμη·

τρικ

™ γεωμετρικό του αντίστοιχο ήταν η παραβολή, και όχι το τετράγωνο. Αυτό απελευθέρωσε την άλγεβρα από την υποχρέωση της ομοιογένειας των διαστάσεων, που απαιτούσε κάθε όρος μιας εξίσωσης να έχει τις ίδιες διαστάσεις. Βρίσκουμε π.χ. εκφράσεις όπωςχχχ+ααχ=|8/3β, έτσι ώστε ο κάθε όρος να παριστάνει μία κυβική οντότητα. Ο Ντεκάρτ αντίθετα δεν είχε κανένα πρόβλημα να συζητήσει καμπύλες οποιασδήποτε δύναμης χ". Αυτή η αλλαγή ήταν τόσο δραστική που σήμερα πια στα μαθηματικά δεν μας περνάει καν απ' το μυαλό ότι το χ2 θα μπορούσε να αναπαριστά ένα πραγματικό τετράγωνο. Η άλγεβρα του Ντεκάρτ φαίνεται οικεία στο σημερινό μάτι καθώς χρησιμοποιεί τα πρώτα γράμματα του αλφαβήτου για συντελεστές και τα τελευταία για μεταβλητές. Το μόνο σύμβολο που φαίνεται περίεργο είναι η χρήση του <* στη θέση του σημερινού =. Η κυβική εξίσωση μπορούσε τώρα να λυθεί από τεμνόμενες κωνικές τομές, όπως και

>· Η Απαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθμού, παράρτημα της Οπτικής του Νεύτωνα (1704), δείχνει ότι ο γάμος άλγεβρας και γεωμετρίας είχε φτάσει σε μία μορφή που είναι σήμερα αναγνωρίσιμη. Το κάθε σημείο του επιπέδου δηλωνόταν από μία συντεταγμένη (χ, y), η τιμή της οποίας ικανοποιούσε την εξίσωση που απεικόνιζε.

στη μέθοδο του αλ-Χαγιάμ, τώρα όμως μπορούσε κανείς ακόμα και να την κατασκευάσει. Ο Ντεκάρτ έδωσε ιδιαίτερη σημασία στην αντιοτοίχιση των αλγεβρικών πράξεων με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, έτσι ώστε η μέθοδος του Καρντάνο έπαψε να είναι πια ένα πρόβλημα «συμπλήρωσης του κύβου» και έγινε πρόβλημα μετασχηματισμού της κυβικής καμπύλης. Ο Ντεκάρτ απελευθέρωσε έτσι τη γεωμετρία απ' τους περιορισμούς που έθεταν οι κατασκευές με τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Πολλά στοιχεία της σημερινής αλγεβρικής γεωμετρίας δεν βρίσκονται στη Γεωμετρία του Ντεκάρτ, όπως οι άξονες συντεταγμένων, οι τύποι για αποστάσεις μεταξύ σημείων ή για γωνίες μεταξύ ευθειών. Εάν θυμηθούμε τον τίτλο του έργου, μέσα στο οποίο βρίσκεται η Γεωμετρία, θα ήταν ίσως σωστό να θεωρήσουμε ότι η σημασία του Ντεκάρτ έγκειται στο ότι έδωσε στους μελλοντικούς μαθηματικούς μια νέα μέθοδο ή γλώσσα, με την οποία να διατυπώνουν τα μαθηματικά προβλήματα και μια ασφαλή ισοτιμία μεταξύ αλγεβρικών και γεωμετρικών μεθόδων. Όταν ο κύβος και τα πράγματα μαζί είναι ίσα με ένα σταθερό αριθμό, βρες μου δυο άλλους αριθμούς με διαφορά το σταθερό. Κι ύστερα φρόντισε το γινόμενο τους να είναι ίσο με τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων. Το υπόλοιπο λοιπόν που βρίσκεις αν αφαιρέσεις τις κυβικές ρίζες θα είναι ίσο με το αρχικό σου πράγμα. Στη δεύτερη απ' αυτές τις πράξεις, όταν ο κύβος παραμείνει μόνος, θα τηρήσεις τις εξής διαδικασίες: Ευθύς να διαιρέσεις τον αριθμό σε δύο μέρη ώστε το ένα επί το άλλο να δίνει ακριβώς τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων. Μετά, απ' τα δύο τούτα μέρη αν πάρεις το άθροισμα των κυβικών ριζών, θα έχεις βρει αυτό που ψάχνεις. Ο τρίτος απ' τους υπολογισμούς αυτούς λύνεται με τον δεύτερο, αν δείξεις λίγη προσοχή, καθώς από τη φύση τους είναι σχεδόν όμοιοι. Αυτά τα πράγματα τα βρήκα, βήμα το βήμα, το έτος χίλια πεντακόσια τριάντα τέσσερα, με βάσεις στέρεες και δυνατές, στην πόλη που βρέχεται απ' τη θάλασσα. Λύση της κυβικής εξίσωσης, όπως την έδωσε στον Καρντάνο οΤαρτάλιατο 1546.

·< Από το βιβλίο L'atmosphere metereologiepopulaire-tou Καμίγ Φλαμαριόν (Παρίσι, 1888). Αυτό το χαρακτικό, που μιμείται την τεχνοτροπία του 16ου αι., παριστάνει την έξοδο από το Μεσαίωνα και τη θεώρηση των δυνάμεων που κινούν το Σύμπαν. V Κελλάριος.Αί/asCoe/esf/s, 1660, εικονογράφηση του πλανητικού συστήματος του Κοπέρνικου. Έχουν συμπεριληφθεί και οι άγνωστοι στον Κοπέρνικο δορυφόροι του Δία, που τους ανακάλυψε αργότερα ο Γαλιλαίος.

Το 16ο αι., η Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (κεφ. 2) εξακολουθούσε να είναι η βασική πηγή πληροφοριών για τις τροχιές των πλανητών. Το πτολεμαϊκό σύστημα με το δύσκαμπτο πλαίσιο επικύκλων και φερόντων επιβίωσε με διάφορες μορφές για 2000 περίπου χρόνια, ίσως επειδή η ακρίβεια των τριγωνομετρικών πινάκων που χρησιμοποιούσαν τότε και τα δεδομένα της παρατήρησης που ήταν σε θέση να συλλέξουν δεν ήταν αρκετά ακριβή ώστε να μπορούν να καταδείξουν τις εγγενείς ατέλειες του συστήματος. Οι γυάλινες σφαίρες με την τέλεια κυκλική τους κίνηση που είχε προτείνει ο Αριστοτέλης έδωσαν τη θέση τους σε τάγματα αγγέλων - ουράνια πνεύματα τα οποία έστρεφαν τα ουράνια σώματα. Ο Πτολεμαίος θεωρούσε ότι τα μαθηματικά υπήρχαν για να «σώσουν τα φαινόμενα», όχι να τα εξηγήσουν, και ο ίδιος κατάφερε να συνδυάσει με επιτυχία τις φιλοσοφικές απαιτήσεις του Αριστοτέλη με τα δεδομένα της παρατήρησης. Η επανάσταση που επρόκειτο να γίνει θα κινούσε κυριολεκτικά Γη και Ουρανό. Μία βασική πτυχή αυτής της επανάστασης ήταν ο ρόλος των μαθηματικών - η ακρίβεια ενός μαθηματικού μοντέλου έχει κάποια σχέση με τη φυσική πραγματικότητα ή όχι; Ένα από τα πιο προφανή προβλήματα του πτολεμαϊκού συστήματος είναι ότι καθώς ένας πλανήτης κινείται γύρω από τον επίκυκλό του, η απόσταση του από τη Γη μεταβάλλε-

Α Μία σελίδα από το De revolutionibus (1543) του Κοπέρνικου που δείχνει τον Ήλιο στο κέντρο και τους πλανήτες με τη σωστή σειρά, με τους απλανείς αστέρες στο έξω κέλυφος. Οι επίκυκλοιπου χρειάστηκε ο Κοπέρνικος για να «σώσει τα φαινόμενα» δεν απεικονίζονται εδώ.

ται σημαντικά, οπότε και το φαινόμενο μέγεθος του στον ουρανό θα έπρεπε να αλλάζει, με προφανέστερη περίπτωση εκείνη της Σελήνης. Από αυτή την ιδέα ξεκίνησε πιθανότατα ο Νικόλαος Κοπέρνικος (14731543) για να προτείνει ένα ηλιοκεντρικό σύμπαν. Ο Κοπέρνικος παρακολούθησε το περίφημο πανεπιστήμιο της Κρακοβίας και σπούδασε και στην Ιταλία πριν καταλάβει θέση εφημέριου στο Frauenberg, μια μικρή πόλη στις ακτές της Βαλτικής. Το σύστημα του Κοπέρνικου στην πραγματικότητα δεν διέφερε και τόσο πολύ από το πτολεμαϊκό, δεδομένου ότι και οι δικές του τροχιές ήταν κυκλικές και κινούνταν πάνω σε επικύκλους. Ωστόσο, λόγω της τοποθέτησης του Ήλιου στο κέντρο, ο αριθμός των απαραίτητων κύκλων αρχικά μειώθηκε, στη συνέχεια όμως, καθώς ο Κοπέρνικος επεξεργαζόταν τις λεπτομέρειες του μοντέλου του, ο αριθμός τους έγινε πολύ μεγαλύτερος από του πτολεμαϊκού. Το κοπερνίκειο σύστημα επίσης καθόρισε σωστά τη σειρά των πλανητικών τροχιών από τον Ήλιο και έδωσε τη δυνατότητα να υπολογιστούν οι σχετικές αποστάσεις του κάθε πλανήτη απ' τον Ήλιο. Η φαινόμενη ανάδρομη κίνηση των πλανητών μπορούσε τώρα πια να εξηγηθεί από το γεγονός της σχετικής κίνησης τους ως προς την κινούμενη Γη, και όχι από την κίνηση σε επικύκλους ως προς μία ακίνητη Γη. Το περίφημο έργο του De Revolutionibus Orbium Coelestium (Πα τις περιφορές των ουρανίων σωμάτων) δημοσιεύτηκε το 1543, χρονιά του θανάτου του, και αυτό με αρκετούς ενδοιασμούς εκ μέρους του. Ο Κοπέρνικος έδωσε το όνομα του σε μία επανάσταση, στην οποία φαίνεται να έλαβε μέρος παρά τη θέληση του. Οι ιδέες που πρότεινε στο De Revolutionibus προοιωνίζονται στο Commentariolus, ένα χειρόγραφο γραμμένο στις αρχές του 1510, το οποίο προώθησε σε μερικά μόνο επιλεγμένα πρόσωπα. Ο σκοπός του έμοιαζε να είναι η αναμόρφωση του πτολεμαϊκού συστήματος με σκοπό να το τελειοποιήσει και να το κάνει πιο ελληνικό! Το παράπονο του ήταν ότι το μοντέλο του Πτολεμαίου απαιτούσε από τους πλανήτες να κινούνται με μεταβαλλόμενη ταχύτητα κατά μήκος των επικύκλων, ενώ ο Κοπέρνικος θα προτιμούσε να μείνει προσηλωμένος στην τελειότητα της αριστοτέλειας κίνησης με τις σταθερές της ταχύτητες και τους τέλειους κύκλους. Αυτές οι απαιτήσεις τον οδήγησαν στη διατύπωση υποθέσεων που από τη δική μας σκοπιά, σχεδόν 500 χρόνια αργότερα, τον κάνουν να φαίνεται πολύ σύγχρονος. Αυτές οι υποθέσεις περιλάμβαναν την τοποθέτηση του Ήλιου στο κέντρο του σύμπαντος και την περιστροφή της Γης γύρω απ' αυτόν αλλά και περί τον άξονα της. Αυτό το ηλιοκεντρικό πρότυπο, ωστόσο, δεν ήταν λιγότερο δύσκαμπτο από το πτολεμαϊκό, καθώς είχε 34 επικύκλους έναντι 40, και αυτό για εφτά ουράνια σώματα επιπλέον της ουράνιας σφαίρας. To Commentariolus ήταν μόνο ένα προσχέδιο που ο Κοπέρνικος σκόπευε να αναπτύξει αργότερα. Όμως, έδειχνε όλο και πιο απρόθυμος να το δημοσιεύσει, παρά την υποστήριξη της εκκλησίας, με πρώτο και καλύτερο το Βατικανό. Το 1514 κάλεσαν τον Κοπέρνικο να συμμετάσχει στη Σύνοδο του Λατερανού για την αναθεώρηση του ημερολογίου, αλλά αρνήθηκε λέγοντας ότι το ημερολόγιο δεν μπορούσε να αναθεωρηθεί σωστά πριν καθοριστούν επακριβώς οι κινήσεις των πλανητών. Σε τελευ-

ταία ανάλυση, δεν ήταν καθόλου σίγουρος γιατο οικοδόμημα που είχε κατασκευάσει, ·> δεδομένου ότι δεν είχε καμιά απτή απόδειξη ότι το σύστημα του ήταν καλύτερο ή ακριβέστερο από του Πτολεμαίου. Είχε βασιστεί στους αστρονομικούς πίνακες των αρχαίων και είχε κάνει ίσως και μερικές δικές του παρατηρήσεις. Αυτό που οδήγησε τελικά στην έκδοση του De Revolutionibus στη Νυρεμβέργη, ήδη τότε Λουθηρανή πόλη, ήταν ο ενθουσιασμός και οι προσπάθειες ενός νεόκοπου θαυμαστή του, του Ρέτικους. Ωστόσο, λίγο πριν εμφανιστεί το βιβλίο, ο Ρέτικους μετακινήθηκε από το Πανεπιστήμιο του Wittenberg στη Λειψία και η εκτύπωση ανατέθηκε στον Αντρέας Οζιάντερ, έναν από τους συνιδρυτές του Λουθηρανισμού. Τότε ακριβώς μπήκε στο βιβλίο ο περίφημος «Πρόλογος», γραμμένος κατά πάσα πιθανότητα από τον Οζιάντερ. Ο «Πρόλογος» στην ουσία προειδοποιούσε τον αναγνώστη: η αλήθεια ή μη του κοπερνίκειου συστήματος δεν ήταν σοβαρό ζήτημα: οι συγκρίσεις μεταξύ διαφόρων συστημάτων είχαν σαν στόχο την επιλογή εκείνου που θα έκανε τους υπολογισμούς ευκολότερους· οι πραγματικές ουράνιες κινήσεις ήταν κάτι που θα προσδιοριζόταν από άλλα, φιλοσοφικά και θεολογικά κριτήρια. Για να ήμαστε δίκαιοι, παρόμοιες αμφιβολίες είχε και ο ίδιος ο Κοπέρνικος, αλλά ο «Πρόλογος» μπήκε στο βιβλίο μάλλον για να κατευνάσει τον Μαρτίνο Λούθηρο, ο οποίος ήταν εξαιρετικά εχθρικός προς την κοπερνίκεια άποψη, και όχι το Βατικανό, το οποίο φαινόταν να ενθαρρύνει τις υποθέσεις του Κοπέρνικου. Δεν πρέπει επίσης να ξεχνάμε ότι το έργο του Κοπέρνικου δεν μπήκε στον κατάλογο των αιρετικών βιβλίων του Βατικανού παρά μόνο όταν η Αντιμεταρρύθμιοη εδραιώθηκε, περίπου 80 χρόνια μετά την έκδοση του. To Commentariolus είχε προβάλει πολύ τολμηρούς ισχυρισμούς, τους οποίους άφησε μετέωρους το De Revolutionibus. Στην τελική της Στόχος μου είναι να καταδείξω ότι η ουρανιά μηχανή δεν εκδοχή>ηθεωρίατου ΚθπέΡνικου είχε πιο πολλούς είναι κάποιο θείο και ζωντανό ον, αλλά ένα είδος ωρολογιακού επικύκλουςαπότηνπτολεμαϊκή και οι πλανήτες μηχανισμού (και όποιοι πιστεύουν ότι τα ρολόγια έχουν ψυχή, τώρα περιστρέφονταν όχι γύρω από τον Ήλιο αλλά βλέπουν στη λειτουργία τους τη δόξα του δημιουργού τους), στο γύρω από σημεία απομακρυσμένα απ' αυτόν (χωρίς νατο μέτρο που οι διάφορες κινήσεις εκτελούνται από μια απλούξέΡει °ίδι0£!'Κατά κάποιοντρόπο προοιώνιζε στατη μαγνητική και φυσική δύναμη, όπως και όλες οι κινήσεις ^np^m φύση των πλανητικών τροχιών, οι \Γ ' ,' , Τ, ! > Μ Ο Ι * rC/Λ ' οποίες είναι ελλειπτικές, μετον Ηλιο να καταλαμβατου ρολογιού προκαλούνται από ένα απλό βαρίδι. Θέλω επίσης ν£[όχιτοκέντροτηςέλλειψηςι Q^μία απ<τις να δείξω ότι αυτά τα φυσικά αίτια μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια της αριθμητικής και της γεωμετρίας.

εστίες της). Ένα θετικό στη θεωρίατου ήταν η σωστή απόδοση της φαινόμενης ανάδρομης κίνησης των πλανητών στη σχετική κίνηση των πλανητών Γιοχάνες Κέπλερ, Γράμμα στονΧέρβαρτ, καιτης Γης Το βιβλίο απετυχεπαταγωδώς. Εκείνη 10 Φεβρουαρίου 1605 -^εποχή, η κίνηση της Γης και του ουρανού ήταν δύο εντελώς διαφορετικές κατηγορίες φαινομένων. Ωστόσο, ο Κοπέρνικος ήταν πεπεισμένος ότι η Γη πράγματι κινείται και η τραγωδία του ήταν ότι δεν είχε καταφέρει να εξηγήσει ούτε στον εαυτό του το πώς. Το όνομα του Κοπέρνικου παρέμεινε στη μνήμη των ανθρώπων χάρις στην έκδοση των αστρονομικών πινάκων του το 1551. To De Revolutionibus κυριολεκτικά καταποντίστηκε. Ο διστακτικός μας εφημέριος είχε άθελα του ανάψει ένα βραδύκαυστο φιτίλι, το οποίο θα είχε εκρηκτικές συνέπειες. Ο Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630), ένθερμος υποστηρικτής του Κοπέρνικου, εξοργίστηκε από τον ανώνυμο «Πρόλογο», ο οποίος έδινε στον ανύποπτο

> Το μοντέλο του Κέπλερ για τα κιβωτισμένα πλατωνικά στερεά από το Mysterium cosmographicum (1596) ήταν η πρώτη του προσπάθεια να εξηγήσει τις σχετικές αποστάσεις ανάμεσα στους πλανήτες. Η εξώτερη σφαίρα παριστάνει τον Κρόνο, και μέσα της έχει έναν εγγεγραμμένο κύβο. Μια σφαίρα εγγεγραμμένη στον κύβο παριστάνει την τροχιά του Δία και ούτω καθ' εξής μέχρι την τροχιά του Ερμή.

αναγνώστη την εντύπωση ότι είχε γραφτεί οπό τον ίδιο τον Κοπέρνικο. Ο Κέπλερ είχε το θάρρος να επαναστατήσει κατά της τυραννίας της ελληνικής αστρονομίας. Είχε περάσει άσχημα παιδικά χρόνια και είχε εύθραυστη υγεία, αλλά η πνευματική του διαύγεια τον έκανε να ξεχωρίζει, οπότε το νεότευκτο Προτεσταντικό κράτος ανέλαβε τα έξοδα της μόρφωσης του. Ήθελε να γίνει παπάς, αλλά οι υπεύθυνοι της θεολογικής σχολής του Πανεπιστημίου του Τύμπινγκεν είχαν προφανώς αντιληφθεί καλύτερα την πραγματική του φύση και του ανέθεσαντη θέση του Mathematicus στο Γκρατς η οποία είχε μείνει κενή. Ο Κέπλερ ανήκει σε μια μεταβατική φάση της επιστημονικής εξέλιξης. Οι γνώμες του για την άστρο-

λογία άλλαζαν κατά τη διάρκεια της ζωής του: δεν είχε καμία αμφιβολία ότι οι πλανήτες •επηρέαζαν κατά κάποιοντρόπο το ανθρώπινο πνεύμα, αλλά δεν μπορούσε να εξηγήσει πώς γινόταν αυτό. Τα έργα του είναι μια εκπληκτική μαρτυρία για τις εξελισσόμενες ιδέες ενός επιστήμονα, με όλα τα αδιέξοδα να παραμένουν αδιέξοδα. Το 1595, καθώς δίδασκε σε μία τάξη, ο Κέπλερ είχε το πρώτο του όραμα κοσμικής αρμονίας. Είχε σχεδιάσει στον πίνακα ένα σχήμα που περιλάμβανε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με τον εγγεγραμμένο και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Ξαφνικά συνειδητοποίησε ότι ο λόγος των δύο κύκλων ήταν ο ίδιος με τον λόγο των τροχιών του Κρόνου και του Δία όπως ήταν τότε γνωστές. Αυτή η ξαφνική έμπνευση τον οδήγησε στο περίφημο μοντέλο του των κιβωτισμένων πλατωνικών στερεών. Ήταν γνωστό από την εποχή του Ευκλείδη ότι υπήρχαν μόνο 5 τέλεια στερεά και τώρα υπήρχαν 6 γνωστοί πλανήτες (στους οποίους περιλαμβανόταν η Γη αλλά όχι ο Ήλιος και η Σελήνη). Για κάθε στερεό μπορούσε κανείς να κατασκευάσει μία περιγεγραμμένη σφαίρα που άγγιζε κάθε κορυφή του στερεού και μία εγγεγραμμένη σφαίρα που άγγιζε τα κέντρα των αντίστοιχων εδρών του στερεού. Εάν ο Κέπλερ μπορούσε να βάλει στη σωστή σειρά τα στερεά, θα κατέληγε με μία κατασκευή σαν ρωσική κούκλα και οι σφαίρες θα αντιστοιχούσαν στις τροχιές των πλανητών. Είχε

·< Τυχών βράχιος και Ροδόλφος Β'στηνΠράγα, Έντουαρντ'Εντερ, 1855. Ο Τυχών εξηγεί τη χρήση μιας ουράνιας σφαίρας. Στις αρχές του 17ου αι., το αστεροσκοπείο του Τύχωνα έκανε τις πιο ακριβείς μετρήσεις του ουρανού και τα στοιχεία του θα τα χρησιμοποιούσε αργότερα ο Κέπλερ για τη διατύπωση της θεωρίας των ελλειπτικών τροχιών.

μεθύσει με την ιδέα και με τον τρόπο που αυτή τη συνταίριαζε τη μαθηματική ακρίβεια με την κοσμική αρμονία. Δημοσίευσε τα ευρήματα του στο Mysterium cosmographicumτo 1596, σε ηλικία μόλις 25 ετών. Στην εισαγωγή, υποστήριζε για πρώτη φορά δημόσια το ηλιοκεντρικό σύστημα, συμβάλλοντας έτσι στη διαιώνιση της φήμης του Κοπέρνικου. Αν και ο Κέπλερ ακολούθησε τη συμβουλή να μην αφιερώσει ένα ολόκληρο κεφάλαιο στον συμβιβασμό του κοπερνίκειου συστήματος με τις Γραφές, δήλωνε στο έργο του ότι το ηλιοκεντρικό σύστημα δεν ήταν μόνο θεωρία αλλά και φυσική πραγματικότητα. Αυτό που πίστευε δεν ήταν ότι τα στερεά αυτά υπήρχαν στην πραγματικότητα, αλλά ότι η όλη διάταξη του σύμπαντος ήταν έργο του ίδιου του Μεγάλου Αρχιτέκτονα. Μετά από διάφορες μεταφυσικές εικοτολογίες σχετικά με θέματα όπως η πυθαγόρεια αρμονία των σφαιρών, το Mysterium cosmographicum ξαφνικά αλλάζει μοτίβο και αρχίζει να διαβάζεται σαν σύγχρονο βιβλίο μαθηματικής φυσικής. Ο συγγραφέας περιγράφει όλους τους συλλογισμούς και τα λογικά συμπεράσματα, στα οποία είχε οδηγηθεί. Π .χ., ο Κρόνος απέχει από τον Ήλιο διπλάσια απόσταση απ' ό,τι ο Δίας αλλά κάνει δυόμισι φορές περισσότερο για να συμπληρώσει μία περιστροφή. Άρα ο Κρόνος δεν είναι απλώς μακρύτερα αλλά κινείται και πιο αργά. Ο Κέπλερ αναζητεί μία φυσική λύση απορρίπτοντας την πιθανότητα οι άγγελοι που σπρώχνουν τον Κρόνο να είναι κουρασμένοι επειδή είναι πιο μακριά από τον Ήλιο. Βρίσκουμε εδώ τις πρώτες αναφορές σε ένα είδος βαρυτικής δύναμης που εκπορεύεται από τον Ήλιο και μειώνεται με την απόσταση. Η πηγή αυτής της δύναμης ήταν ο ίδιος ο Θεός με τη μορφή του Πατρός, ο οποίος εκπέμπει το Άγιο Πνεύμα σε ολόκληρο το σύμπαν. Ο Δημιουργός, ο οποίος μέχρι τότε είχε εξοριστεί στο υπερουράνιο βασίλειο του, τώρα ξαφνικά βρέθηκε να κατοικεί στην καρδιά του Ηλιακού Συστήματος. Στο τέλος, το Mysterium cosmographicum επιστέφει σε αστρολογικά ζητήματα με τον Κέπλερ να βγάζει το ωροσκόπιο της ημέρας της Δημιουργίας, Κυριακή 27 Απριλίου του 4977 π.Χ. Ήταν ένα ελαττωματικό αριστούργημα: η θεωρία των κιβωτισμένων στερεών ήταν εσφαλμένη, και η κατά Κέπλερ εκδοχή της βαρύτητας δεν έδινε σωστά αποτελέσματα. Ο Κέπλερ το ήξερε πολύ καλά αυτό αλλά, πεπεισμένος ότι ήταν κοντά στην αλήθεια, συνέχισε να πειραματίζεται. Αυτό που χρειαζόταν ο Κέπλερ ήταν ένας ακριβής πίνακας αστρονομικών παρατηρήσεων, και υπήρχε κάποιος που είχε ένα τέτοιον πίνακα - ο Τυχών Βράχιος. Όταν έλαβε το βιβλίο του Κέπλερ, ο Τυχών αναγνώρισε τη μεγαλοφυία του νεαρού και τρία χρόνια αργότερα ο Κέπλερ βρέθηκε στην Πράγα ως βοηθός του Τύχωνα. Οι δύο χαρακτήρες δεν θα μπορούσαν να είναι πιο διαφορετικοί. Ο Τυχών, με την περίφημη χρυσή μύτη του να αντικαθιστά ένα κομμάτι που είχε χάσει σε μία μονομαχία, ήταν επιδεικτικός τύπος και είχε βάλει στόχο της ζωής του να αποκτήσει ακριβή γνώση των ουρανών ο Κέπλερ ήταν παθιασμένος με τον μυστικισμό της φυσικής. Ο Τυχών διέθετε το καλύτερο αστεροσκοπείο και όλα τα στοιχεία που χρειαζόταν ο Κέπλερ. Ωστόσο, είχε και μία δική του πλανητική θεωρία, που όχι μόνο αρνιόταν να τη δημοσιεύσει αλλά δεν την αποκάλυπτε ούτε καν στους συναδέλφους του ή τους βοηθούς του. Ο Τυχών είχε μείνει έκθαμβος από μία έκλειψη που είχε παρατηρήσει στα νιάτα του, αλλά αυτό που του είχε κάνει τη μεγαλύτερη εντύπωση ήταν το γεγονός ότι οι αστρονόμοι την είχαν προβλέψει. Το 1600 οι δύο άνδρες τελικά συναντήθηκαν και ο Κέπλερ ανέλαβε να ελέγξει τα δεδομένα της πιο δύσκολης και δύστροπης τροχιάς, εκείνης του Άρη. Οι σχέσεις των δύο ήταν πάντα τεταμένες και ο Τυχών, ο πειραματιστής που βρισκόταν στη δύση του βίου του, ήξερε ότι έπρεπε να ορίσει κληρονόμο της

δουλειάς του τον νεαρό Κέπλερ, έτσι ώστε να μπορέσει να σχεδιάσει το καινούργιο σύμπαν. Ο ένας ήταν απαραίτητος για τον άλλο. Μετά από 18 μήνες ο Τυχών πέθανε και ο Κέπλερ κατέλαβε τη θέση του Mathematicus στην αυλή του Ροδόλφου Β'. Τα δεδομένα της παρατήρησης ήταν τώρα δικά του, αλλά η μετατροπή των αριθμών σε τροχιές χρειαζόταν χρόνο. Το 1609 ο Κέπλερ δημοσίευσε το magnum opus του, την Astronomia nova. Όπως και η παλαιότερη δουλειά του, σκοπός αυτού του βιβλίου δεν ήταν να διδάξει, αλλά να καταγράψει κάθε σκίρτημα της δημιουργικής φαντασίας του συγγραφέα - ο αναγνώστης είναι σαν να ακούει πότε κραυγές χαράς και πότε κραυγές απογοήτευσης καθώς ο Κέπλερ αγωνίζεται να δαμάσει τον Άρη. Η δυσκολία της αρειανής τροχιάς είναι ότι έχει τη μεγαλύτερη ελλειπτικότητα απ' όλες και για αυτό το λόγο διαφοροποιείται σημαντικά απ' την ιδανική κυκλική τροχιά. Ωστόσο, έμελλε να αποτελέσει το κλειδί για όλες τις άλλες τροχιές. Ο Κέπλερ δεν μπορούσε να αρχίσει να επισωρεύει επικύκλους επί επικύκλων, όπως είχαν κάνει οι αστρονόμοι πριν από αυτόν. Έργο του δεν ήταν να «σώσει τα φαινόμενα» αλλά να ανακαλύψει τους νόμους της πλανητικής κίνησης και να τους εκφράσει με τη γλώσσα της γεωμετρίας. Ο θρίαμβος της Astronomia nova ήταν η οριστική διαπίστωση της ελλειπτικότητας των πλανητικών τροχιών με τον Ήλιο σε μία από τις δύο εστίες της έλλειψης - αυτός είναι ο πρώτος νόμος του Κέπλερ (η λέξη «εστία» χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τον Κέπλερ με αυτή την έννοια). Οι χορογραφημένες πλανητικές πιρουέτες της αρχαίας αστρονομίας αντικαταστάθηκαν από κομψές ελλείψεις. Σε αυτό το βιβλίο παρουσίασε ο Κέπλερ και το δεύτερο νόμο που φέρει το όνομα του: ότι οι πλανήτες διαγράφουν ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Επίσης, πλησιάζει εκπληκτικά στη θεωρία της βαρύτητας παραλληλίζοντας την με την αμοιβαία έλξη των μαγνητών και αποδίδοντας σωστά τις παλίρροιες στην έλξη της Σελήνης, αναγνωρίζοντας ότι αυτή η ίδια βαρυτική έλξη κρατάει τις θάλασσες στην επιφάνεια της Γης και δεν τις αφήνει να πετάξουν στο διάστημα. Ωστόσο, δεν φτάνει μέχρι το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου, αν και γνώριζε ότι η ένταση του φωτός ακολουθούσε έναν παρόμοιο νόμο1 αυτό θα το ανακάλυπτε αργότερα ο Νεύτωνας. Έχοντας ανακαλύψει τις πραγματικές τροχιές των πλανητών, εξακολουθούσε να μην είναι ικανοποιημένος, γιατί δεν μπορούσε να συλλάβει τις πραγματικές δυνάμεις που προκαλούσαν αυτές τις κινήσεις, και ποτέ δεν ανακάλυψε ο ίδιος γιατί οι τροχιές αυτές είναι ελλειπτικές. Τώρα πια είχαν οριστικά εκλείψει απ' την αστρονομία οι αόρατοι άγγελοι που έσπρωχναν τα ουράνια σώματα χωρίς να τους σπρώχνει κανείς. Το καινούργιο σύμπαν ήταν ο βασίλειο της γεωμετρίας και των δυνάμεων. Το 1618 ο Κέπλερ επέστρεψε στο λάίτμοτίφ της ζωής του με την έκδοση του Harmonice mundi, ένα μείγμα μαθηματικών, φυσικής και μυστικισμού -το τέλειο πυθαγόρειο όνειρο. Εδώ βρίσκουμε τον τρίτο νόμο πλανητικής κίνησης του Κέπλερ: ότι το τετράγωνο της περιόδου της περιστροφής είναι ανάλογο με τον κύβο της μέσης απόστασης από τον Ήλιο. Οι τρεις νόμοι μαζί έκρυβαν μέσα τους τη θεωρία της βαρύτητας, που η εκπεφρασμένη της μορφή του είχε διαφύγει. Το βιβλίο του Epitome astronomiae Copernicanae (1618-21) μια πλήρης παρουσίαση της κεπλερικής αστρονομίας, όχι μόνον για τον Άρη αλλά για όλους τους γνωστούς πλανήτες, ήταν στην πραγματικότητα η πιο σπουδαία αστρονομική πραγματεία από την εποχή της/Αλμανέοτης του Πτολεμαίου. Όμως ο Κέπλερ ήταν τουλάχιστον μία γενιά μπροστά από τους συγχρόνους του, οι οποίοι συνέχιζαν να χρησιμοποιούν τα δόγματα του Πτολεμαίου. Ακόμα και ο Γαλιλαίος στο

Α Αστρονόμοι παρατηρούν έκλειψη, του Αντουάν Καρόν (115299), ίσως εκείνη του 1599 που τόσο είχε εντυπωσιάσει τον νεαρό Τύχωνα.

βιβλίο Διάλογος για τα δύο κύρια κοσμικά συστήματα χρησιμοποιούσε ακόμα κύκλους και επικύκλους. Φαίνεται ότι ο Κέπλερ και ο Γαλιλαίος ποτέ δεν συναντήθηκαν, αν και ήταν σύγχρονοι. Το 1597 ο Κέπλερ έστειλε ένα αντίγραφο του Mysterium cosmographicum στο Γαλιλαίο. Την ίδια εποχή ο Γαλιλαίος απέφευγε να υποστηρίξει δημόσια τις απόψεις του Κοπέρνικου. Η στάση του απέναντι στον Κέπλερ ήταν στην καλύτερη περίπτωση μικροπρεπής και στη χειρότερη καθαρά υπονομευτική: παρίστανε το φίλο του Κέπλερ ενώ ταυτόχρονα απέφευγε να του στείλει το νέο τηλεσκόπιο που εκείνος ζητούσε και αντίγραφα των δικών του έργων, προτιμώντας να γίνεται αρεστός σε πιθανούς μελλοντικούς χρηματοδότες παρά στον επιστήμονα συνάδελφο του. Το 1609 ο Γαλιλαίος άρχισε τις περίφημες παρατηρήσεις του με το καινούργιο τηλεσκόπιο που είχε εφεύρει. Ένα τέτοιο τηλεσκόπιο δώρισε στη Γερουσία της Βενετίας, η οποία του διπλασίασε το μισθό και τον όρισε δια βίου καθηγητή στην Πάδουα. Μέσα σε ένα χρόνο είχε αυξήσει την ισχύ του τηλεσκοπίου και είχε εκδώσει το Siderus nuncius (Αγγελιοφόρος των αστεριών). Οι παρατηρήσεις του Γαλιλαίου απεκάλυψαν ότι η Σελήνη δεν ήταν μία τέλεια σφαίρα με λεία επιφάνεια αλλά ήταν γεμάτη βουνά, ο πλανήτης Αφροδίτη περνούσε φάσεις όπως και η Σελήνη και ο Δίας είχε το δικό του σύστημα δορυφόρων. Πίστευε μάλιστα ότι ο Κρόνος ήταντριπλός πλανήτης γιατί μέσα από το πρωτόγονο τηλεσκόπιο του οι δακτύλιοι του έδειχναν σαν δύο ξεχωριστοί όγκοι, δεξιά και αριστερά από το δίσκο του πλανήτη. Ο Γαλιλαίος ορίστηκε μαθηματικός των Μεδίκων. Τιμήθηκε στη Ρώμη εκλεγόμενος στην Academia dei Lincei, την πρώτη επιστημονική εταιρεία παγκοσμίως, και είχε άριστε σχέσεις με τους Ιησουίτες. Είχε γίνει σταρ για την εποχή του, και καθώς προτιμούσε να γράφει στη λαϊκή γλώσσα και όχι στα λατινικά, τα έργα του διαδόθηκαν ευρύτατα στην Ιταλία. Η Εκκλησία ανησυχούσε, γιατί το κοπερνίκειο σύστημα φαινόταν να αντιβαίνει σε κάποιες ερμηνείες των Γραφών, αλλά οι Ιησουίτες ήταν έτοιμοι να δεχθούν την αλήθεια του ηλιοκεντρικού συστήματος, εάν μπορούσε να βρεθεί κάποια ατράνταχτη απόδειξη. Δεν θα ήταν άλλωστε η πρώτη φορά που το δόγμα θα έπρεπε να αλλάξει στο φως των νέων επιστημονικών δεδομένων, όπως είχε γίνει κάποτε και με τη σφαιρική φύση της Γης.. Οι Ιησουίτες είχαν επαληθεύσει όλες αυτές τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου και εξακολουθούσαν να υποστηρίζουν την εργασία του Κέπλερ. Πολλά βιβλία έχουν γραφτεί για την τραγωδία που ακολούθησε, έτσι θα αναφερθώ σ' αυτήν πολύ σύντομα. Η Εκκλησία

δέχτηκε ότι το σύστημα του Κέπλερ ήταν σωστό και «έσωζε τα φαινόμενα» με μεγαλύτερη ακρίβεια από ό,τιτο σύστημα του Πτολεμαίου, αλλά δεν υπήρχε ακόμα κανένας καλός λόγος για να πιστεύουν ότι αυτή η απίθανη νοητική σύλληψη ανταποκρινόταν στη φυσική πραγματικότητα. Για να ανατρέψουν απόψεις αιώνων και να θέσουν σε κίνηση την επανεκπαίδευση των μαζών, ώστε να δεχθούν αυτή την καινούργια εικόνα του κόσμου, έπρεπε να βρεθούν περισσότερες αποδείξεις. Σφοδρά αντέδρασαν στην προοπτική οποιασδήποτε τέτοιας αλλαγής οι πολλοί και ισχυροί θεολόγοι που πίστευαν στο αριστοτέλειο δόγμα, τους οποίους ο Γαλιλαίος είχε εντελώς επιπόλαια σαρκάσει χρησιμοποιώντας εξαιρετικά εμπρηστική γλώσσα. Υπερόπτης και λάτρης της δημοσιότητας, ο Γαλιλαίος φλέρταρε με τον πλούτο και τα προνόμια, αλλά όταν αυτή η υποστήριξη έπαψε να του παρέχεται, ελάχιστοι φίλοιτού έμειναν στους ακαδημαϊκούς κύκλους. Το 1616 ο Γαλιλαίος είχε υποσχεθεί να μην συζητήσει τη θεωρία του Κοπέρνικου ποτέ και για κανένα λόγο, αλλά το 1632 αγνόησε την υπόσχεση του εκδίδοντας το βιβλίο Διάλογος για τα δύο κύρια κοσμικά συστήματα. Επρόκειτο στην ουσία για ένα κοπερνίκειο μανιφέστο και περιείχε κάμποσες ελάχιστα συγκεκαλυμμένες επιθέσεις εναντίον κάποιων από τους πιο ισχυρούς θεολόγους της εποχής. Η υπομονή του Βατικανού είχε εξαντληθεί και ο Γαλιλαίος κλήθηκε αμέσως στη Ρώμη. Μέσα σε ένα χρόνο είχε ανασκευάσει τις απόψεις του και είχε ουσιαστικά τεθεί σε κατ' οίκον περιορισμό. Συνέχισε παρόλα αυτά να ζει σχετικά άνετα και να δέχεται πολλούς επισκέπτες, αλλά του είχε απαγορευθεί να δημοσιεύει οτιδήποτε ή να διδάσκει αφηγήσεις της εποχής λένε ότι το ηθικό του είχε καταρρακωθεί. Είχε εκτιμήσει εσφαλμένα και την επιρροή του αλλά και την αλλαγή στη γενική διάθεση του κόσμου. Τώρα ήταν η εποχή της Αντιμεταρρύθμισης και της Ιεράς Εξέτασης και το θρησκευτικό σχίσμα της Ευρώπης ήταν ιδιαίτερα σκληρό κι από τις δυο πλευρές. Ο Κέπλερ πέρασε πολλά χρόνια υπερασπιζόμενος τη μητέρα του, την οποία κατηγοΗ φιλοσοφία είναι γραμμένη σ' αυτό το μεγάλο βιβλίο. ρούσαν για μαγεία, και είχε εγκαταλείψει την Πράγα Εννοώ το σύμπαν, το οποίο είναι συνεχώς μπροστά μας ανοι- για την Αυστρία, όταν ξέσπασε ο Τριακονταετής χτό. Αλλά κανείς δεν μπορεί να το κατανοήσει, αν δεν μάθει Πόλεμος. Ο Κοπέρνικος και ο Κέπλερ είχαν δουλέπρώτα να καταλαβαίνει τη γλώσσα και να ερμηνεύει το άλφαΨει μεσασε συνθήκες σχετικής ελευθερίας και μποβητο με το οποίο είναι γραμμένο. Είναι γραμμένο στη γλώσσα Ρούσαν να γράφουν ό,τι ήθελαν υπότηνπροϋπό, ., , „ , , θέση ότι δεν θα έθεταν υπό αμφισβήτηση τη θρηΛ των μαθηματικών και το αλφάβητο του είναι τα τρίγωνα οι σκ£^κήαυθεντίαΤο|ησουϊτικό ^^ κύκλοι και τα αλλά γεωμετρικά σχήματα, που χωρίς αυτά δεν μπορεί κανείς να διαβάσει ούτε μία του λέξη· χωρίς αυτά είναι σαν να περιφέρεται κανείς σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο,

manum προσπαθούσε να συμβιβάσει τις επιστημονικές ελευθερίες σε μια περίοδο όπου το ιησουϊτικό τάγμα ήταν ο κύριος μοχλός της Ιεράς Εξέτασης. Η ισχύς που είχε επενδυθεί στον Παπισμό και Γαλιλαίος, Ο αναλυτής, 1623 QJQ Βατικανό είχε αποκτήσει μία μεταφυσική νομιμότητα μέσα από ένα ιεραρχικό μοντέλο του σύμπαντος. Αυτή την ισχύ δεν την απειλούσε μόνο η Μεταρρύθμιση αλλά και η καινούργια φυσική· η κατάπνιξη του συστήματος του Κοπέρνικου δεν έγινε από άγνοια, αλλά από καθαρή ανάγκη. Αυτό φαίνεται και από το γεγονός ότι λίγο μετά από τη δίκη του Γαλιλαίου, οι Ιησουίτες δίδασκαν το κοπερνίκειο σύστημα, για να εντυπωσιάσουν με την προβλεπτική του ικανότητα λαούς σε μακρινές χώρες, όπως η Κίνα και η Ιαπωνία. Στα τελευταία του χρόνια ο Γαλιλαίος κατάφερε, παρά τις δυσκολίες, να γράψει το Ro

βιβλίο Θεωρίες και μαθηματικές αποδείξεις σχετικά με δύο νέες επιστήμες, το οποίο βγήκε * λαθραία από την Ιταλία και τυπώθη κε στο Λέυντεν. Εδώ επιστρέφει στο θέμα της μηχανικής, που ήταν και η αρχική του έμπνευση, και στην ανάλυση της επιτάχυνσης. Η παλιά ανάλυση που είχε κάνει για το εκκρεμές είχε δείξει ότι ο χρόνος που απαιτείται για κάθε ταλάντωση είναι ανεξάρτητος από το πλάτος της ταλάντωσης αλλά και από το βάρος της ταλαντούμενης σφαίρας και ότι εξαρτάται μόνο από το μήκος του εκκρεμούς, και συγκεκριμένα είναι ανάλογος προς τη ν τετραγωνική του ρίζα. Τα Αυτά λοιπόν περί της αυθεντίας της Αγίας Γραφής. Τώρα πειράματάτου με κυλιόμενα σώματα σε διάφορα όσον αφορά τις γνώμες των αγίων σχετικά με θέματα της φύσης, απαντώ με μια λέξη, ότι αυτό που μετρά στη θεολογία είναι το ο» ο ' ' ' ' ·\ ' ' βαροςτηςαυθεντιαςενωαυτοπουμετραστηφιλοσοφιαειναιτο βάρος της λογικής. Αρα άγιος ήταν ο Λακταντιος, που δεν δεχο-

επίπεδα KQL

^ ^ν ^^mtia*τον °δήΎησαν ^μαντικές ανακαλύψεις: on η ταχύτητα ενός σώματος είναι ανάλογη προς το χρόνο για τον οποίο βρίσκεταισεκίνηοηκαιότιηδιανυόμενηαπόσταση ^ow^Τότε είναανάλογηπροςτοτετράγωνοτου

σεδυο

ταν τη σφαιρικότητα της Γης- άγιος ήταν και ο Αυγουστίνος, που τευόταν γενικά ότι ένα βαρύτερο σώμα έπεφτε πι0 παραδεχόταν τη σφαιρικότητα, αλλά δεν δεχόταν την ύπαρξη γρήγορα από ένα ελαφρύ, αλλά ο Γαλιλαίος απέΠιο ζωής στους αντίποδες. Αγία είναι και η εκκλησία των ημερών δείξε ότι αυτό ήταν λάθος, δηλώνοντας ότι αν δεν μας, που παραδέχεται τη μικρότητα της Γης αλλά αρνείται την υπήρχε η αντίσταση του αέρα, όλα τα σώματα θα κίνηση της: πιο άγια όμως απ' όλα αυτά είναι για μένα η αλήθεια, έπεφταν με την ίδια ταχύτητα. Στην πράξη, μία σιδεόταν εγώ, και να με συγχωρούν όλοι οι σοφοί της εκκλησίας, απόΡένια μπάλα κανονιού έπεφτε πολύ γρηγορότερα δεικνύω μετά από μελέτη ότι η Γη είναι σφαιρική, ότι κατοικείται αποένα ΨτεΡ°< αλλάαυτοδεν Πταν αποτέλεσμα της δα κι από τούτη αλλά κι απ' την άλλη πλευρά, και ότι είναι μικρή και ' Ψ°Ράς βάρους μεταξύτους αλλά της διαφορετιασήμαντη και πλανιέται ταχύτατα ανάμεσα στα αστέρια. Κ^ επίδΡασης της αντίσταοηςτου αέρα - μία μικρή μπάλα με το ίδιο βάρος όπως και το φτερό θα έπεφτε Κέπλερ, Astronomia nova, Εισαγωγή, 1609 το ίδιο γρήγορα όσο και η μπάλα του κανονιού. Ο Γαλιλαίος είχε διακρίνει δύο διαφορετικές δυνάμεις και αυτό θα οδηγούσε στην ανάλυση της τροχιάς ενός βλήματος. Χωρίζοντας την οριζόντια και την κάθετη συνιστώσα, ανακάλυψε ότι η τροχιά ενός βλήματος είναι παραβολή. Αυτό οδήγησε σε νέες ανακαλύψεις στη βαλλιστική με μεγάλη χρησιμότητα για το στρατό. Γεννημένος τη χρονιά που πέθανε ο Γαλιλαίος, ο Ισαάκ Νεύτωνας συγκέντρωσε όλα αυτά τα διάσπαρτα στοιχεία σε μία ενοποιημένη θεωρία. Για να καταλάβουμε τη σύγχυση που επικρατούσε εκείνη την εποχή, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι ακόμα υπήρχαν δύο μηχανικές, η γήινη και η ουράνια. Για τον Κέπλερ, οι πλανήτες είχαν ελλειπτικές τροχιές και τους κινούσε μία μυστηριώδης μαγνητική δύναμη που εκπορευόταν από τον Ήλιο, ενώ η αδράνεια των πλανητών τους επιβράδυνε σε σχέση με την περιστροφή του Ήλιου. Για τον Γαλιλαίο, οι πλανήτες είχαν κυκλικές τροχιές, γιατί αυτή η κίνηση του φαινόταν εγγενής και τέλεια, και η αδράνεια στην πραγματικότητα διατηρούσε τους πλανήτες σε κίνηση. Η σύγχυση μεγάλωσε όταν ο Ντεκάρτ ανακοίνωσε, σε μία επεξεργασία του μοντέλου του Κέπλερ, ότι η αδράνεια έκανε τα σώματα να ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή και ότι οι τροχιές των πλανητών κάμπτονταν από δίνες του ηλιακού συστήματος. Οι πρωτοπόρες ανακαλύψεις του Γαλιλαίου σε σχέση με την επιτάχυνση και τη γήινη μηχανική δεν έμοιαζαν να έχουν καμιά σχέση με την ουράνια μηχανική. Δεν υπήρχε συμφωνία για τους ορισμούς βασικών φυσικών εννοιών, όπως η μάζα και το βάρος, η αδράνεια και η ορμή, η δύναμη και η ενέργεια, ο μαγνητισμός και η βαρύτητα.

> Σχέδια του Γαλιλαίου για τους δορυφόρους του Δία, στους οποίους έδωσε το ονομάτων Μεδίκων, προς τιμήντωνχρηματοδοτώντου, από τοSiderusnuncius (1610).Σεμια εποχή που το γεωκεντρικό σύστημα εξακολουθούσε να βασιλεύει, η ανακάλυψη του Γαλιλαίου ήταν απόδειξη ότι ένας πλανήτης μπορούσε να αποτελεί ο ίδιος κέντρο μιας τροχιάς.

Το 1687, μετά από πολλά παρακάλια και οικονομική υποστήριξη από τον Έντμοντ * Χάλλεϋ, ο Νεύτωνας δημοσίευσε το βιβλίο Philosophiae naturalis principia mathematica, αυτό που έγινε γνωστό γενικότερα σαν Principia. Χρειάστηκε να εκδοθεί το βιβλίο άλλες δυο φορές πριν αναγνωριστεί γενικά η μεγάλη του αξία στη δεκαετία του 1720. Σ' αυτό το κεφάλαιο θα αναφερθώ μόνον στη μηχανική τωνPrincipia, αφήνοντας για το επόμενο τα μαθηματικά. Τα Principia περιλαμβάνουν τους τρεις περίφημους νευτώνειους νόμους της κίνησης. Με την παραδοσιακή σειρά, (αν και όχι με τη σειρά που εμφανίστηκαν στο βιβλίο) ο πρώτος νόμος δηλώνει ότι «κάθε σώμα που βρίσκεται σε ηρεμία ή σε ομαλή κίνηση, θα συνεχίσει να παραμένει σ' αυτή την κατάσταση, ωσότου εφαρμοστεί πάνω σ' αυτό κάποια δύναμη» - υποστηρίζοντας έτσι τη θέση του Ντεκάρτ και παραδεχόμενος τη δυνατότητα στατικής αλλά και δυναμικής ισορροπίας δυνάμεων. Ο δεύτερος νόμος δηλώνει ότι «η επιτάχυνση ενός σώματος είναι ανάλογη και έχει την ίδια φορά με τη δύναμη που ασκείται επάνω του», αυτό που σήμερα εκφράζουμε με τον τύπο F = my. Και ο τρίτος νόμος είναι ότι «η αμοιβαία αντίδραση δύο σωμάτων που έρχονται σε επαφή είναι πάντα ίση και αντίθετη». Ο Νεύτωνας μελετά διάφορους τύπους δυναμικών πεδίων, μεταξύ αυτών και το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου της βαρύτητας. Το αριστούργημα του ήταν η ταύτιση των δυνάμεων του Κέπλερ και του Γαλιλαίου. Στο βιβλίο III ίων Principia με τίτλο «Το σύστημα του κόσμου», βρίσκουμε τα βασικά εδάφια, όπου ταυτίζει τη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα που πέφτει με τη δύναμη που ασκείται στους πλανήτες που βρίσκονται σε τροχιά. Με μιας, οι δύο επιστήμες είχαν γίνει μία - η γήινη και η ουράνια μηχανική ακολουθούσαν τους ίδιους ακριβώς νόμους. Και η αόρατη κόλλα που κρατούσε τα πάντα μαζί έμοιαζε να είναι αυτή η μυστηριώδης δύναμη της βαρύτητας. Ο Νεύτωνας θεωρείται ότι υπήρξε εφευρέτης ή συνεφευρέτης του απειροστικού λογισμού, αλλά οι αποδείξεις στα Principia είναι όλες γεωμετρικές, αν και τα διαγράμματα συχνά παριστάνουν απειροστικές αλλαγές σε δυνάμεις και κινήσεις, δείχνοντας ότι η παραγόμενη τελικά κίνηση θα έπρεπε να θεωρείται ομαλή και όχι σαν μία σειρά από απότομες σπασμωδικές αλλαγές. Υπήρχαν ακόμα μερικά άλυτα προβλήματα στην κοσμολογία του Νεύτωνα. Δεν υπήρχε κανείς προφανής λόγος να κινούνται όλοι οι πλανήτες προς την ίδια κατεύθυνση, ούτε μπορούσε να εξηγηθεί η παραμονή τους σε αυτές τις συγκεκριμένες τροχιές και όχι σε κάποιες άλλες. Όσο για την πραγματικότητα της βαρύτητας, ο ίδιος ο Νεύτωνας δυσκολευόταν να πιστεύει ότι μία τόσο ισχυρή δύναμη μπορούσε να επιδρά από τόσο μακριά χωρίς να μεσολαβεί κάποιο υλικό μέσο. Δεν πίστευε ότι ήταν δυνατόν να υπάρχει τέτοια επίδραση μέσα από το κενό του διαστήματος γι' αυτό και θεωρούσε ότι υπήρχε ένα μέσο, ο αιθέρας, μέσα από τον οποίο μεταδιδόταν αυτή η δύναμη - αν και παρέμενε αδιευκρίνιστο εάν ο αιθέρας ήταν ο ίδιος φτιαγμένος από κάποιο υλικό. Το όραμα των αγγέλων που έσπρωχναν τους πλανήτες είχε αντικατασταθεί από ένα παγκόσμιο πνεύμα. Επίσης εάν η βαρύτητα ήταν τόσο διαδεδομένη, τότε όλα τα αντικείμενα πρέπει να ασκούσαν ελκτική δύναμη το ένα πάνω στο άλλο, και το Σύμπαν αργά ή γρήγορα θα κατέρρεε. Ακόμα και ο Νεύτωνας αναγκάστηκε να βάλει μέσα στην εικόνα τον Θεό, σαν ένα είδος προστάτη του Σύμπαντος, που απέτρεπε αυτήντην εφιαλτική κατάληξη. Ολόκληρη αυτή η θεωρία της βαρύτητας θα μπορούσε να έχει εύκολα απορριφθεί, εάν το μαθηματικό μοντέλο της βαρύτητας δεν ταίριαζε με τα πραγματικά δεδομένα της παρατήρησης: η φυσική πραγματικότητα ταίριαζε με την ανάλυση των φυσικών υποθέ-

σεων. Το σύστημα των δινών του Ντεκάρτ τελικά εγκαταλείφθηκε, γιατί η θεωρία της βαρύτητας δούλευε καλύτερα. Τα μαθηματικά δεν έσωσαν μόνο τα φαινόμενα. Η καινούργια μηχανική έφερνε μαζί της και ένα νέο κλάδο μαθηματικών -τον απειροστικό λογισμό. Θα δούμε τώρα την ιστορία της εφεύρεσης του. Εγώ ο Γαλιλαίος, γιος του θανόντος Βιτσέντζο Γκαλιλέι, Φλωρεντινός, εβδομηκοντούτης, κλητευθείς ενώπιον αυτού του δικαστηρίου και γονυπετής ενώπιον σας, Εξοχότατε και Αγιότατε Μεγάλε Καρδινάλιε Ιεροεξεταστή κατά της εξαπλώσεως των αιρέσεων στον χριστιανικό κόσμο, έχοντας εμπρός μου και αγγίζοντας με τα χέρια μου τις Ιερές Γραφές, ορκίζομαι ότι πάντοτε πίστευα, πιστεύω και με τη βοήθεια του Θεού πάντοτε θα πιστεύω όλα όσα υποστηρίζονται, διδάσκονται και κηρύσσονται από την Αγία Καθολική και Αποστολική Εκκλησία. Αλλά επειδή -μετά από ρητή εντολή της παρούσης Ιεράς Αρχής να εγκαταλείψω εντελώς τη λανθασμένη άποψη ότι ο ήλιος είναι ακίνητος και αποτελεί το κέντρο του κόσμου και ότι η γη δεν είναι κέντρο του κόσμου και κινείται, και να μην υποστηρίζω ή διδάσκω με οποιοδήποτε τρόπο, προφορικό ή γραπτό, το ανωτέρω λανθασμένο δόγμα, και αφού είχα προειδοποιηθεί ότι το εν λόγω δόγμα είναι αντίθετο προς τις γραφές- έγραψα και τύπωσα ένα βιβλίο στο οποίο πραγματεύομαι αυτό το νέο και ήδη καταδικασθέν δόγμα προβάλλοντας επιχειρήματα υπέρ της ισχύος του χωρίς να τα αποδεικνύω, με αποτέλεσμα να θεωρηθώ από το ιερό δικαστήριο ύποπτος αφέσεως, δηλαδή, ότι πιστεύω ότι οι ήλιος είναι το κέντρο του κόσμου και ακίνητος και ότι η γη δεν είναι το κέντρο του κόσμου και κινείται: επιθυμών ως εκ τούτου να καθησυχάσω τις Εξοχότητές σας και όλους τους πιστούς Χριστιανούς ως προς τη φριχτή αυτή υποψία, την οποία δικαίως τρέφουν εναντίον μου, ειλικρινώς και με απροσποίητη πίστη αποκηρύσσω μετά βδελυγμίας τα προρρηθέντα σφάλματα και τις αιρέσεις. Δημόσια αποκήρυξη του ηλιοκεντρικού συστήματος από τον Γαλιλαίο το 1633

·< Λεπτομέρεια από το Βιβλίο 1, Πρόταση 1, Θεώρημα 1 - Prindpia του Νεύτωνα (1687).

Είδαμε στο κεφ. 12 ότι ο Νεύτωνας και ο Κέπλερ σχεδίασαν τις πλανητικές τροχιές με , γεωμετρικό τρόπο. Ωστόσο, οι ελλείψεις αυτές καθαυτές δεν έχουν φυσική ύπαρξη στο χώρο1 είναι οι αόρατες τροχιές που διαγράφουν οι πλανήτες. Θα ήταν άρα πολύ χρήσιμο, εάν βρισκόταν ένα μαθηματικό εργαλείο που θα περιέγραφε τους πλανήτες σε κίνηση αντί να κατασκευάζονται οι τροχιές τους γεωμετρικά ένα-ένα σημείο. Όσοι προσπάθησαν να περάσουν από μία σειρά ευθύγραμμων κινήσεων σε μια γνήσια και ομαλή τροχιά επανέφεραν στο προσκήνιο το προβλημάτων απειροστών και του απείρου. Πριν περάσουμε στην εφεύρεση του απειροστικού λογισμού, αξίζει να δούμε λίγο τις προσπάθειες που προηγήθηκαν για την αντιμετώπιση προβλημάτων εμβαδού και κλίσεων καμπυλών. Ίχνη αυτού του πρώιμου απειροστικού λογισμού βρίσκονται ακόμα και στον Αρχιμήδη, ο οποίος είχε αναπτύξει δύο μεθόδους εύρεσης εμβαδών που περικλείονται από καμπύλες γραμμές, τη γεωμετρική και τη μηχανική. Ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα που απασχόλησαν τους αρχαίους ήταν η εύρεση του εμβαδού του κύκλου, το λεγόμενο πρόβλημα του τετραγωνισμού του. Σε μία μικρή πραγματεία του με τίτλο Κύκλου μέτρησις, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει δύο σημαντικές προτάσεις, πρώτον ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση ίσου μήκους με την περιφέρεια του κύκλου και ύψος ίσο με την ακτίνα του, κάτι που αντιστοιχεί απόλυτα με τον τύπο πι*, χωρίς όμως να χρειάζεται να εκφράσουμε το n αριθμητικά. Η δεύτερη σημαντική πρόταση ήταν μία απόδειξη ότι η αριθμητική τιμή του π βρίσκεται μεταξύ του 3 V? και του 31%ι. Και στις δύο περιπτώσεις, η γεωμετρική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε ήταν η χάραξη εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων του κύκλου · μετά, με συνεχή διπλασιασμό του αριθμού των πλευρών τους, τα πολύγωνα τείνουν να ταυτιστούν με την περιφέρεια του κύκλου. Και όχι μόνον αυτό, αλλά τα δύο πολύγωνα τείνουν να πλησιάσουν το ένατο άλλο, «στριμώχνοντας», κατά κάποιο τρόπο, τον κύκλο μεταξύ τους, έτσι ώστε, αν φανταστούμε τη διαδικασία αυτή να συνεχίζεται επ' άπειρον (το όριο των μαθηματικών), τα εμβαδά των πολυγώνων θα τείνουν να ταυτιστούν με το εμβαδόν του κύκλου. Για να βρει την τιμή του π, ο Αρχιμήδης άρχισε περιγράφοντας και εγγράφοντας εξάγωνα και σταμάτησε τη διαδικασία του διπλασιασμού των πλευρών όταν είχε φτάσει σε ένα πολύγωνο με 96 πλευρές, αν και θα μπορούσε να συνεχίσει μέχρι να φτάσει οποιοδήποτε επίπεδο ακρίβειας ήθελε. Η διαδικασία αυτή βασίστηκε στη μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου (κεφ. 4), αλλά ο Αρχιμήδης αποφεύγει να δηλώσει ρητά, ότι τα πολύγωνα μετατρέπονται κατά κάποιον τρόπο σε κύκλους, φτάνοντας στην απόδειξη μέσω ενός μακροσκελούς λογικού επιχειρήματος. Αυτή η επιφυλακτικότητα είναι κατανοητή, δεδομένου ότι έτσι αποφεύγει το νοητικό άλμα που χρειάζεται για να ταυτίσει ένα πολύγωνο με έναν κύκλο - δύο σχήματα που, κατά τους Έλληνες, δεν είχαν καμιά σχέση μεταξύ τους. Η μηχανική μέθοδος του Αρχιμήδη παραδίδεται στη Μέθοδο (Έφοδος), ένα μεγάλο γράμμα που είχε στείλει στον Ερατοσθένη και που θεωρούνταν χαμένο μέχρι το 1906 που βρέθηκε στην Κωνσταντινούπολη. 'Ηταν σε μορφή παλίμψηστου -περγαμηνή του 10ου αιπου περιείχε αρχικά διάφορα εργάτου Αρχιμήδη, αλλά είχε αργότερα ξυστεί, πρόχειρα ευτυχώς, με σκοπό να χρησιμοποιηθεί για τη γραφή προσευχών, και έτσι τα έργα μπόρεσαν να ανασυσταθούν. (Η περγαμηνή αυτή πουλήθηκε το 1998 για $2.000.000 σε δημοπρασία). Η μέθοδος που χρησιμοποιεί ο Αρχιμήδης είναι στην ουσία η αποδόμηοη ενός εμβαδού σε γραμμές, και κατόπιν ο μετασχηματισμός και η αναδόμηση τους σε άλλο εμβαδόν. Ο ακρι-

Α Κελλάριος, Ουράνιος άτλαντας, 1660. Αυτό το πλούσια εικονογραφημένο έργο εξέταζε τις διάφορες πλανητικές θεωρίες της εποχής. Μέσα σε ελάχιστα χρόνια τα Principle (1687) του Νεύτωνα θα ανέτρεπαν τη μαθηματική φυσική και την πλανητική θεωρία.

βής μετασχηματισμός γινόταν χρησιμοποιώντας τους αρχιμήδειους κανόνες για τη λειτουργία ενός μοχλού. Στην ουσία, ο Αρχιμήδης ισορροπούσε ένα γνωστό εμβαδόν με ένα άγνωστο, οπότε η θέση του υπομόχλιου καθόριζε και τη σχέση των μεγεθών τους - εξ ου και ο όρος «μηχανική». Αν και ο Αρχιμήδης ισχυριζόταν ότι η μέθοδος αυτή ήταν χρήσιμη στην εύρεση νέων αποτελεσμάτων, γνώριζε ότι δεν είχε καμία αποδεικτική αξία, οπότε όταν θέλησε να παρουσιάσει συγκροτημένα τα συμπεράσματα του επέστρεψε στη γεωμετρική μέθοδο. Το βασικό πρόβλημα βρισκόταν στην υπόθεση ότι ένα εμβαδόν μπορούσε να αποτελείται από αδιαίρετες γραμμές, γιατί μια γραμμή είναι ένα μήκος χωρίς πλάτος, μια μονοδιάστατη οντότητα, και όσο πυκνά κι αντις φανταστούμε μαζί, το άθροισμα τους εξακολουθεί να είναι μονοδιάστατο και όχι δισδιάστατο. Παρ' όλους τους ενδοιασμούς του, ο Αρχιμήδης κατάφερε να υπολογίσει σωστά αρκετά εμβαδά και όγκους, όπως το εμβαδόν ενός παραβολικού τμήματος και το κέντρο βάρους στερεών, όπως π.χ. του κώνου. Στις αρχές του 17ου αι. είχε τεθεί το πρόβλημα της κατασκευής μιας σειράς καμπυλών, της εύρεσης των μηκών τους, των εμβαδών που διέγραφαν και των όγκων που παράγονταν από την περιστροφή τους. Το κίνητρο ήταν μια σειρά από μηχανικά προβλήματα στατικής και δυναμικής. Η εύρεση του κέντρου βάρους ενός αντικειμένου με

A 0 αστρονόμος και ο αστρολόγος από το έργο του Ρόμπερτ Φλαντ, Utriusque cosmi historia (1617-24), ένα εκτεταμένο έργο σχετικά με την αρμονία του σύμπαντος που συνδύαζε τις φυσικές και τις πνευματικές επιστήμες μέσω αναλογιών μεταξύ μακρόκοσμου και μικρόκοσμου.

μαθηματικό τρόπο ήταν απαραίτητη για την εκτίμηση της ευστάθειας του, κάτι που ενδιέφερε άμεσα την αρχιτεκτονική και τη ναυπηγική. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησαν ήταν στην ουσία οι ίδιες με εκείνες του Αρχιμήδη, αλλά σιγά-σιγά έγινε κατανοητό ότι, παρά τα λογικά προβλήματα, οι μέθοδοι που περιλάμβαναν αδιαίρετα μεγέθη ή απειροστά έδιναν αποτελέσματα πολύ ευκολότερα από ό,τι οι γεωμετρικές μέθοδοι. Τα μαθηματικά δεν μπορούσαν πια να αποφύγουν την ενασχόληση τους με τις έννοιες του απείρου και του απειροστού -της Σκύλλας και της Χάρυβδης των ελληνικών μαθηματικών. Ο Κέπλερ είχε χρησιμοποιήσει απειροστικές μεθόδους για να υπολογίσει το εμβαδόν που διαγράφεται από έναν πλανήτη σε ελλειπτική τροχιά. Στο βιβλίο Stereometria doliorum (Μέτρηση του όγκου των βαρελιών, 1615), υπολόγισε ακόμα πιο εντυπωσιακά τον όγκο ενός κρασοβάρελου χρησιμοποιώντας άπειρο αριθμό απειροστικών διατομών. Ο Γαλιλαίος πίστευε στην πραγματική ύπαρξη του απείρου και σαν παράδειγμα ανέφερε τον κύκλο, τον οποίο θεωρούσε πολύγωνο με άπειρο αριθμό πλευρών. Την ίδια περίοδο, ο Μποναβεντούρα Καβαλιέρι (1598-1647), μαθητής του Γαλιλαίου και καθηγητής μαθηματικών οτη Μπολώνια από το 1629, δημοσίευσε έναντόμο σχεδόν 700 σελίδων για τις μεθόδους εύρεσης εμβαδών και όγκων. Στο βιβλίο του Geometria indivisibilibus continuorum (Γεωμετρία των αδιαιρέτων συνεχών, 1635) ανέλυε τα εμβαδά σαν να αποτελούνταν από αδιαίρετες γραμμές και τους όγκους σαν να αποτελούνταν από αδιαίρετα εμβαδά. Η πιο γενική ανακάλυψη του ήταν ο τύπος για το εμβαδόν της μορφής y=x' για κάθε ακέραια τιμή του ν.

Ας εξετάσουμε τώρα τις προσπάθειες που προηγήθηκαν του απειροστικού λογισμού για την εύρεση εφαπτόμενων σε καμπύλες. Ο Πιερ ντε Φερμά (1601 -65) κατέληξε σε ορισμένα σημαντικά συμπεράσματα, αλλά δεντα δημοσίευσε κανονικά. Προτίμησε να βασιστεί στη διάδοση τους μέσω του δικτύου της αλληλογραφίας των μαθηματικών που είχε θέσει σε ενέργεια και διατηρούσε ο Μαρέν Μερσέν (1588-1648). Ο Φερμά βρήκε μεθόδους υπολογισμού εφαπτόμενων για κάθε σημείο μιας πολυωνυμικής καμπύλης, καθώς και του μεγίστου και του ελαχίστου. Ανακάλυψε εκ νέου τους κανόνες του Καβαλιέρι για εμβαδά κάτω από καμπύλες της μορφής/=χ", επεκτείνοντας τους και για αρνητικές τιμές του ν. Η μόνη ανώμαλη περίπτωση ήταν το ν = -1, για το οποίο ήταν γνωστό ότι η λύση ήταν η λογαριθμική συνάρτηση. Οι μέθοδοι που χρησιμοποίησε ο Φερμά ήταν πολύ κοντά σε αυτές που χρησιμοποιούμε ακόμα στον διαφορικό λογισμό, μόνο που εκείνος δεν χρησιμοποίησε την έννοια της οριακής προσέγγισης. Σε κανένα από τα γραπτά του για την απειροστική ανάλυση δεν αναφέρει την κατεξοχήν ιδιότητα της, που είναι ότι η εύρεση των εφαπτόμενων και των εμβαδών είναι στην ουσία αντίστροφες πράξεις. Ούτε μπόρεσε να επεκτείνει το είδος των συναρτήσεων που λύνονταν με τις μεθόδους του. Η πληθώρα μεθόδων που προηγήθηκαν του απειροστικού λογισμού σύντομα αποκρυσταλλώθηκε σε ένα νέο κλάδο των μαθηματικών. Όπως συμβαίνει συχνά στην ιστορία, ό,τι θεωρείται επαναστατικό υπάρχει ήδη στην περιρρέουσα ατμόσφαιρα, περιμένοντας να το συλλάβει κάποιος και να το διατυπώσει κατάλληλα. Εδώ, η επινόηση του απειροστικού λογισμού αποδίδεται σε δύο άνδρες, στον Ισαάκ Νεύτωνα και στον Γκότφριντ Λάιμπνιτς. Όπως σε κάθε κοινή ανακάλυψη, υπήρχε και τώρα η υποψία ότι ένας από τους δύο είχε στην πραγματικότητα φτάσει πρώτος στο στόχο. Διάφοροι ψίθυροι άρχισαν να διαδίδονται σ' ολόκληρη την Ευρώπη για τη σχετική διαμάχη. Ο Ισαάκ Νεύτωνας γεννήθηκε τα Χριστούγεννα του 1642, χρονιά θανάτου του Γαλιλαίου. Το 1661 μπήκε στο Trinity College του Καίμπριτζ, από όπου αποφοίτησε το 1664. Για τα δύο επόμενα χρόνια το κολλέγιο παρέμεινε κλειστό εξαιτίας της πανούκλας και ο Νεύτωνας επέστρεψε στο πατρικό του σπίτι στο Lincolnshire. Αργότερα έγραψε ότι τότε συγκεκριμένα έκανε τις περίφημες ανακαλύψεις του για τις άπειρες σειρές, για τη βαρύτητα και για τον απειροστικό λογισμό. Αυτό φαινόταν μάλλον υπεραπλουοτευμένο, αλλά το 1669 έγραψε το De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (Ανάλυση εξισώσεων με απειράριθμους όρους), όπου πραγματευόταν τις άπειρες δυναμοσειρές όπως ακριβώς και τις πεπερασμένες, και αργότερα επέκτεινε το διωνυμικό θεώρημα για οποιαδήποτε ρητή δύναμη. To De analysi επίσης περιείχε και την πρώτη διατύπωση απειροστικού λογισμού, βασισμένη σε μία μέθοδο παρόμοια με του Φερμά, αλλά με την επιπλέον ισχύ που της έδινε η γνώση των απείρων σειρών. Ήταν επίσης η πρώτη φορά που η εύρεση του εμβαδού παρουσιαζόταν σαν το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης. Το 1671 ο Νεύτωνας έγραψε ακόμα μία εργασία γι' αυτό που τώρα ονόμαζε ροές και ρέοντα. Σε αυτό το έργο θεώρησε ταχ καιχ ως ρέοντα συναρτήσει του χρόνου, των οποίων οι ρυθμοί μεταβολής ή ροές ήταν χ και/. Τις ποσότητες ή ρέοντα, των οποίων οι ρυθμοί μεταβολής είναιχ και/τις σημείωσε μεχ'καιγ'. Ο Νεύτωνας έφτασε σε αυτές τις ιδέες θεωρώντας τη γραμμή ως γεωμετρικό τόπο ενός σημείου που ταξιδεύει στο χώρο. Ο χρόνος παίζει το ρόλο του αόρατου χρονομέτρη σ' αυτή την εικόνα και δεν παρουσιάζεται ως ξεχωριστή μεταβλητή ί. Είναι κρίμα που ο Νεύτωνας κράτησε όλες του τις σημειώσεις

για τον εαυτό του καθώς παρουσίαζε μερικά από τα συμπεράσματα του μόνο σε συναδέλ·» φουςτου.ΤοΟβ3Π3/χ5/ δεν εκδόθηκε παρά μόνο το 1711 και μία περιγραφή της μεθόδου των ροών εμφανίστηκε στα αγγλικά το 1736. Η πρώτη του δημόσια παρουσίαση εμφανίζεται σε πολύ στεγνή και δυσπρόσιτη γλώσσα στα Principle το 1687. Τα Principia μοιάζουν να μην έχουν και πολύ μεγάλη σχέση με τον απειροστικό λογισμό, δεδομένου ότι ο Νεύτωνας παρουσίαζε όλη του τη μαθηματική φυσική με γεωμετρικούς όρους. Η πεισματική του αντίρρηση να δημοσιεύσει μπορεί να εξηγηθεί από την απέχθεια του για τις δημόσιες αντιπαραθέσεις και τις αντιδικίες που πιθανόν να ακολουθούσαν, όπως είχε συμβεί παλαιότερα μεταξύ του ιδίου και του Ρόμπερτ Χουκ για ζητήματα οπτικής (ο Νεύτωνας περίμενε πρώτα τον θάνατο του Χουκ για να δημοσιεύσει την Οπτική του). Ακόμα και τα Principia δεν θα είχαν δει το φως της δημοσιότητας, αν δεν τον ενθάρρυνε προς αυτήν την κατεύθυνση και δεν τον ενίσχυε χρηματικά ο Έντμοντ Χάλλεϋ. Όποιοι και να ήταν οι λόγοι, το μόνο που ήθελε ο Νεύτωνας ήταν να τον αφήνουν ήσυχο να δουλεύει. Αυτή η ιδιορρυθμία θα τον οδηγούσε στην πιο έντονη αντιπαράθεση που είχε ποτέ στη ζωή του. Στα Principia υπάρχει το κεφάλαιο «Η μέθοδος των πρώτων και των τελικών λόγων των μεγεθών», που δίνει γεωμετρικές αποδείξεις των βασικών ιδεών του για τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, ενώ ένα άλλο κεφάλαιο παρουσιάζει τα ευρήματα του σχετικά με ό,τι αυτός αποκαλούσε «moment of any genitum», που εμείς τώρα ονομάζουμε το διαφορικό ενός όρου. Δεδομένου ότι αυτή είναι η πρώτη δημόσια παρουσίαση του νέου απειροστικού λογισμού, δεν είναι περίεργο που εκτός από ελάχιστους μαθηματικούς, η επιστημονική κοινότητα στην αρχή απογοητεύτηκε. Ο Νεύτωνας περνούσε απ' τις γεωμετρικές αποδείξεις στις γενικές διατυπώσεις, χωρίς τις ενδιάμεσες αλγεβρικές πράξεις. Στο κείμενο παραδεχόταν ότι αυτή η μέθοδος έμοιαζε με εύκολη λύση, αλλά αποφάσισε να την προτιμήσει γιατί φοβόταν ότι η απόδειξη μέσω αδιαιρέτων δεν ήταν μαθηματικά δόκιμη. Ο Νεύτωνας δεν ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τη διαφόριοη και την ολοκλήρωση, ήταν όμως ο πρώτος που δημιούργησε ένα σταθερό πλαίσιο, όπου οι δύο αυτές πράξεις ήταν αντίστροφες. Με τη δουλειά του στις άπειρες σειρές Και τι είναι αυτές οι ροές; Οι ταχύτητες των ανεπαίσθητων επέκτεινε κατά πολύ τους τύπους των συναρτήσεων αυξήσεων. Και τι είναι αυτές οι ανεπαίσθητες αυξήσεις; Δεν είναι , , , / , , , ούτε πεπερασμένες ποσότητες ούτε ποσότητες απεφα μικρές, αλλά ούτε και τίποτα. Τότε γιατί να μην τις ονομάσουμε τα φαντάσματα των ποσοτήτων που αναχώρησαν;

που

μπορούσε να χειριστεί. Ας δούμε το πρόβλημα που αντιμετώπιζε ο Νευτωνας.Εάνπάρουμεέναοημείοπάνωσεμία

θελήσουμε να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης σ' αυτό, μπορούμε να πάρουμε ένα δεύτερο σημείο κοντά στο πρώτο και να ενώσουμε Επίσκοπος Μπερκλευ, Ο αναλυτής, 1734 _, , , τα δυο με μια ευθεία. Μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα δύο αυτά σημεία ορίζουν την υποτείνουσα· τότε ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών του τριγώνου μας δίνει την κλίση της ευθείας που ενώνει τα σημεία. Αν φανταστούμε το δεύτερο σημείο να πλησιάζει αργά προς το πρώτο, βλέπουμε ότι η κλίση πλησιάζει όλο και περισσότερο να γίνει εφαπτομένη, ενώ παράλληλα το τρίγωνο μας γίνεται όλο και μικρότερο. Αν φανταστούμε αυτά τα δύο σημεία να συναντιούνται, θα έχουμε μεν φτάσει στην εφαπτομένη αυτή καθαυτή, το τρίγωνο μας όμως θα έχει εξαφανιστεί και οι δύο πλευρές που μας έδιναν την αριθμητική κλίση θα έχουν μηδενιστεί. Μένουμε δηλαδή με έναν λόγο καμπυληκαι

< Βιβλίο 1, Πρόταση 20, Πρόβλημα 12 απόταPrinciple. Περιγράφει διάφορες τροχιές από την εστία μίας έλλειψης. Ο Νεύτωνας είχε δείξει πιο πριν ότι η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή υπάγονται στο νόμο του αντίστροφου τετραγώνου.

δύο μηδενικών ο οποίος παρ' όλα αυτά μας δίνει μία πραγματική τιμή! Στη γλώσσα του Νεύ. τωνα, ο λόγος δύο μεγεθών που τείνουν στο μηδέν είναι ένα τρίτο μέγεθος. Προς το παρόν, τα ευρήματα του απειροστικού λογισμού ικανοποιούσαν τον Νεύτωνα και η τεράστια χρησιμότητα τους εξασφάλιζε την άμεση πρακτική εφαρμογή τους, αλλά οι αμφιβολίες για τη βασιμότητα της θεμελίωσης τους δεν έπαψαν να υπάρχουν, και το προβλημάτων μαθηματικώντου απείρως μεγάλου και του απείρως μικρού συνέχισε να επανέρχεται κατά καιρούς. Λίγο μετά το θάνατο του Νεύτωνα, ο φιλόσοφος επίσκοπος Μπέρκλεϋ δημοσίευσε μία καυστική κριτική σχετικά με τον απειροστικό λογισμό στο βιβλίο του Ο αναλσιης, το οποίο, αν και τόνιζε διάφορα λογικά προβλήματα που ήταν γνωστά στους μαθηματικούς, ήταν γεμάτο θρησκευτικό φανατισμό και κατηγορούσε τους μαθηματικούς για έλλειψη πίστης στο Θεό επειδή πίστευαν σε «φαντάσματα των ποσοτήτων που αναχώρησαν». Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646-1716) γεννήθηκε στη Λειψία όπου σπούδασε θεολογία, νομικά, φιλοσοφία και μαθηματικά. Το πανεπιστήμιο αρνήθηκε να του επιτρέψει να κάνει διδακτορικό στα νομικά, γιατί ήταν υπερβολικά νέος, μόλις 20 ετών. Αναγκάστηκε έτσι να πάει στη Νυρεμβέργη, όπου αυτή τη φορά αρνήθηκε ο ίδιος την προσφορά έδρας στη Νομική, προτιμώντας τη διπλωματική καριέρα στην υπηρεσία του οίκου του Ανοβέρου. Συχνά αναφέρεται ως ο τελευταίος homo universalis, με έντονο ενδιαφέρον για τη λογική και για τη θεμελίωση μιας παγκόσμιας γλώσσας. Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι η γλώσσα του απειροστικού λογισμού που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι κατά μέγα μέρος επινόηση του Λάιμπνιτς. Οι όροι «διαφορικός λογισμός» και «ολοκληρωτικός λογισμός» είναι δικοί του όπως και τα σύμβολα dy/dx και Jdx. Η διπλωματική ιδιότητα του έδινε πολλές ευκαιρίες να ταξιδέψει. Το 1673 επισκέφτηκε το Λονδίνο, όπου έγινε μέλος της Βασιλικής Εταιρείας, και τρία χρόνια αργότερα επέστρεψε για να επιδείξει την καινούργια υπολογιστική του μηχανή. Δεν συναντήθηκε με τον Νεύτωνα, αλλά ένα μεγάλο μέρος του καυγά που ακολούθησε εστιαζόταν στο εάν ο Λάιμπνιτς κατά τη διάρκεια εκείνης της επίσκεψης είχε την ευκαιρία να δει τα χειρόγραφα του De analysi. Σύντομα οι δύο άνδρες άρχισαν να αλληλογραφούν, ανταλλάσσοντας απόψεις σχετικά με τις άπειρες σειρές. Μολονότι ο απειροστικός λογισμός του Λάιμπνιτς προέκυψε κι αυτός από την ανάλυση των σειρών, πήρε διαφορετική μορφή: τον είχε μαγέψει το πρόβλημα της πρόσθεσης απείρων σειρών. Όσο ήταν στο Παρίσι, έθεσε στον εαυτό του το πρόβλημα της εύρεσης του αθροίσματος των αντίστροφων των τριγωνικών αριθμών, με γενικό τύπο 2/[ν(ν+ 1)]. Είχε τη διορατικότητα να τον αναλύσει σε διαφορά δύο όρων, δηλαδή 2[ι/ν-ΐ/(ι/ + 1)], οπότε γράφοντας τους πρώτους όρους της σειράς έγινε προφανές ότι όλοι οι όροι απαλείφονταν εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο. Η επέκταση του αθροίσματος σε άπειρο αριθμό όρων έδινε το αποτέλεσμα 2.0 Λάιμπνιτς ασχολήθηκε λίγο και με πολλές άλλες σειρές αποκτώντας εμπειρία στο κατά πόσον ήταν συγκλίνουσες ή αποκλίνουσες. Μετά συνειδητοποίησε ότι το πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης μιας καμπύλης μπορούσε να αναχθεί στην εύρεση του λόγου των διαφορών των τετμημένων και των τεταγμένων, δηλαδή τωνχ και y, καθώς αυτές γίνονταν άπειρα μικρές και ότι η εύρεση των ολοκληρωμάτων αναγόταν στην εύρεση του αθροίσματος των τεταγμένων, ή του εμβαδού απειροελάχιστων ορθογωνίων, από τα οποία απαρτιζόταν η περιοχή κάτω από την καμπύλη. Και όπως τα αθροίσματα και οι διαφορές που είχε υπολογίσει στις αριθμητικές σειρές ήταν αντίστροφα μεγέθη, έτσι και τα προβλήματα της διαφόρισης και της ολοκλήρωσης ήταν

επίσης αντίστροφα. Όλα στηρίζονταν στο χαρακτηριστικό απειροστικό τρίγωνο, το ίδιο , τρίγωνο που είχε περιγράψει ο Νεύτωνας ως «λόγο των ανεπαίσθητων μεγεθών». Βασική έννοια στη συλλογιστική του Λάιμιτνιτς ήταντο διαφορικό αχτο οποίο παριστούσε την απειροστική διαφορά της τιμής του χ. Για μία συνάρτηση y=f (χ), η κλίση δινόταν από το dy/dx και ο τετραγωνισμός από το Jydx. To σύμβολο του ολοκληρώματος θα μπορούσε να διαβαστεί και ως άθροισμα των ορθογωνίων με πλευρές y και dx. Τα χειρόγραφα του Λάιμπνιτς χρονολογούνται από το 1675. Μετά από μερικές αλλαγές που έκανε στο συμβολισμό, δημοσίευσε τα συμπεράσματα του σε δύο άρθρα, ένατου 1684 και ένα του 1686, στο περιοδικό Acta Eruditorum, του οποίου ήταν συνιδρυτής. Βρίσκουμε εδώ τα βασικά θεωρήματα του απειροστικού λογισμού, περιλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος ότι η διαφόριοη και η ολοκλήρωση είναι αντίστροφες διαδικασίες. Ο Λάιμπνιτς τόνιζε ότι ο νέος απειροστικός λογισμός παρείχε ένα γενικό αλγόριθμο για την επίλυση προβλημάτων διαφόριοης και ολοκλήρωσης για πληθώρα συναρτήσεων, περιλαμβανομένων και των υπερβατικών, έναν όρο που επινόησε ο Λάιμπνιτς για να κατατάξει συναρτήσεις όπως οι ημχ και λογχ, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν ως δυναμοσειρές, αλλά δεν αποτελούν λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων. Τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε ο Λάιμπνιτς ήταν παρόμοια με εκείνα του Νεύτωνα, με τη διαφορά ότι εκείνος δεν τα είχε δημοσιεύσει. Η διαμάχη που ξέσπασε σχετικά με την πατρότητα του απειροστικού λογισμού δηλητηρίασε τη ζωή και των δύο ανδρών. Αν εξετάσουμε μόνο τις ημερομηνίες των δημοσιεύσεων, η πρώτη έκδοση των Principle βγήκε το 1687, μετά απ' τα άρθρα του Λάιμπνιτς στα Acta Eruditorum. Ο Νεύτωνας είχε στείλει αντίγραφο των Principle στον Λάιμπνιτς νομίζοντας ότι εκείνος βρισκόταν στο Ανόβερο. Ο Λάιμπνιτς, που τότε βρισκόταν στην Ιταλία, διάβασε μία παρουσίαση του βιβλίου το 1689 στα Acta και βασιζόμενος στην παρουσίαση, έγραψε μερικές ακόμα εργασίες σχετικά με τη μηχανική και την οπτική, στις οποίες οπωσδήποτε κάτι είχε πάρει από τα έργα του Νεύτωνα. Ωστόσο, αυτό που έκανε τους περισσότερους Ευρωπαίους να αποδώσουν την επινόηση του απειροστικού λογισμού στον Λάιμπνιτς ήταν η μεγάλη επιτυχία των άρθρων του που είχαν ήδη δημοσιευτεί στην Ευρώπη. Το 1699, ένας μαθηματικός της σειράς, σε μια δημοσίευση του που παρουσιάστηκε μάλιστα στη Βασιλική Εταιρεία, υπαινίχθηκε ότι ο Λάιμπνιτς είχε κλέψει τις ιδέες του από τον Νεύτωνα. Αμέσως ξεκίνησε ένας πόλεμος λέξεων. Ο Λάιμπνιτς χρησιμοποιούσε τα Acta σαν φερέφωνο του, ενώ ο Νεύτωνας είχε την υποστήριξη της Βασιλικής Εταιρείας, η οποία έστησε και μία δήθεν ανεξάρτητη επιτροπή για να ερευνήσει το ζήτημα. Το 1705 στα Acta εμφανίστηκε μία κακή κριτική για το τελευταίο βιβλίο του Νεύτωνα και το 1712 η επιτροπή της Βασιλικής Εταιρείας αποφάσισε ότι ο Νεύτωνας ήταν ο πραγματικός εφευρέτης του απειροστικού λογισμού. Το 1726, μετά το θάνατο του Λάιμπνιτς, ο Νεύτωνας αφαίρεσε από την τρίτη έκδοση των Principia οποιαδήποτε αναφορά στον Λάιμπνιτς. Εάν ο Νεύτωνας είχε δημοσιεύσει το De analyst το 1669, όλη αυτή η θλιβερή ιστορία θα είχε αποφευχθεί. Οι Βρετανοί διατήρησαν τον νευτώνειο απειροστικό λογισμό των ροών και των ρεόντων μέχρι τις αρχές του 19ου αι., αλλά η εξέλιξη του απειροστικού λογισμού σε ένα απίστευτα ισχυρό εργαλείο έγινε στην ηπειρωτική Ευρώπη και μάλιστα στη γλώσσα του Λάιμπνιτς. Τα τελευταία του χρόνια ο Νεύτωνας τα πέρασε υπηρετώντας σε διάφορες δημόσιες θέσεις. Το 1696 διορίστηκε Φύλακας του Νομισματοκοπείου και αναγορεύτηκε σε Μάγι-

Α Γουίλιαμ Μπλεικ, Νεύτωνας (1795) «Γιατί ο Βάκων κι ο Νεύτωνας, ντυμένοι το άχαρο ατσάλι τους, απειλούν την Αλβιόνα με τη φρίκη τους...» Γουίλιαμ Μπλέικ Ιερουσαλήμ, κεφάλαιο 1.

στρο το 1699 γιατί κατάφερε να αναμορφώσει ριζικά το σύστημα και να στείλει πολλούς παραχαράκτεςστηναγχόνη.Το 1701 εκπροσώπησε το Πανεπιστήμιο του Καίμπριτζστο Κοινοβούλιο για δεύτερη φορά. Το 1699 έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών ο δεύτερος ξένος μετά τον Λάιμπνιτς. Το 1703 εξελέγη πρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας και συνέχισε να επανεκλέγεται μέχριτο θάνατο του. Το 1705 χρίστηκε ιππότης από τη Βασίλισσα Awa. Είναι θαμμένος στο Αββαείο του Γουεστμίνοτερ και σύμφωνα με τον Βολταίρο «έζησε τιμημένος από τους συμπατριώτες του και θάφτηκε σαν βασιλιάς που απολάμβανε την αγάπη των υπηκόων του». Ο Λάιμπνιτς εξακολούθησε να αναπτύσσει τα ευρύτατα ενδιαφέροντα του στη φιλοσοφία, τη θρησκεία και τη γενική λογική (προοιωνίζοντας έτσι τον Τζωρτζ Μπουλ - κεφ. 17), βρίσκοντας χρόνο το 1700 να συμβάλει στην ίδρυση της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου και να κάνει παρόμοια σχέδια για την Αγία Πετρούπολη, τα οποία υλοποιήθηκαν μετά το θάνατο του. Το 1714 φαινόταν ότι θα κατέληγε τελικά να ζήσει στο Λονδίνο, δεδομένου ότι ο εργοδότης του είχε οριστεί πρώτος ανοβεριανός βασιλιάς της Αγγλίας. Όμως, μετά από τις άψογες υπηρεσίες που είχε προσφέρει ως διπλωμάτης, ιστορικός, νομικός και δάσκαλος, του ζήτησαν να παραμείνει στη βιβλιοθήκη και να ξεμπερδέψει το δαιδαλώδες βασιλικό οικογενειακό δένδρο. Ίσως κάποιος υπαινίχτηκε στο βασιλιά ότι δεν θα ήταν και πολύ σοφό ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς να συχνάζουν στην ίδια Αυλή. Και για να τελειώσουμε το κεφάλαιο αυτό με μια πιο ευχάριστη νότα, το 1701, απαντώ-

ντας σε μια ερώτηση της βασίλισσας της Πρωσίας, ο Λάιμπνιτς είπε: «αν εξετάσουμε τη μαθηματική γνώση από την αρχή του κόσμου μέχριτην εποχή μας, το έργο του σερ Ισαάκ είναι παραπάνω από το μισό του συνόλου». Και σε ένα γράμμα που είχε γράψει στον Λάιμπνιτς το 1676, ο Νεύτωνας δηλώνει ότι «η μέθοδος του τελευταίου για τον υπολογισμό συγκλινουσών σειρών είναι σαφώς εξαιρετικά περίτεχνη και θα αρκούσε μόνον αυτή για να αποδείξει τη μεγαλοφυία του εφευρέτη της, ακόμα και αν δεν είχε γράψει τίποτα άλλο». Ευτυχώς, η ιστορία θα τους θυμάται και τους δύο σαν μεγαλοφυίες. Όλα αυτά που έδειξα για τις καμπύλες γραμμές και τις επιφάνειες που περικλείουν εύκολα μπορούν να εφαρμοστούν στις καμπύλες επιφάνειες και στο εμβαδόν των στερεών. Αυτά τα λήμματα προτάσσονται για να αποφευχθεί η βαρετή και πολύπλοκη διαδικασία της εις άτοπον απαγωγής, στην οποία κατέφευγαν οι παλιοί γεωμέτρες. Γιατί με τη μέθοδο των αδιαιρέτων οι αποδείξεις είναι βραχύτερες· αλλά επειδή η υπόθεση των αδιαιρέτων μοιάζει κάπως απότομη, άρα λιγότερο γεωμετρική, επέλεξα να περιορίσω τις αποδείξεις των ακολούθων προτάσεων στα πρώτα και τελικά αθροίσματα και στους λόγους των μεγεθών τη στιγμή που εμφανίζονται και τη στιγμή που εξαφανίζονται, δηλαδή στα όρια τους, και έτσι να προτάξω, όσο πιο σύντομα γίνεται, την κατάδειξη αυτών των ορίων. Γιατί έτσι αποδεικνύεται το ίδιο πράγμα με τη μέθοδο των αδιαιρέτων και απ' τη στιγμή που αυτές οι αρχές έχουν καταδειχθεί, μπορούν να χρησιμοποιηθούν με μεγαλύτερη ασφάλεια. Άρα, όποτε στο εξής θεωρώ ότι κάποιες ποσότητες αποτελούνται από επιμέρους στοιχεία ή χρησιμοποιώ μικρές καμπύλες αντί για ευθείες, δεν θα εννοώ αδιαίρετες, αλλά ανεπαίσθητες διαιρετές ποσότητες· όχι αθροίσματα και λόγους ορισμένων μερών, αλλά όρια αθροισμάτων και λόγων η δε ισχύς αυτών των αποδείξεων πάντοτε εξαρτάται από τη μέθοδο που εκτίθεται στα προηγηθέντα λήμματα. Μπορεί να προβληθεί η αντίρρηση ότι δεν υπάρχει η τελική αναλογία ανεπαίσθητων ποσοτήτων γιατί η αναλογία, πριν εξαλειφθούν οι ποσότητες, δεν είναι τελική, ενώ όταν εξαλείφονται, δεν υπάρχει καν. Αλλά με το ίδιο επιχείρημα, θα μπορούσε να υποστηριχθεί, ότι ένα κινητό που φτάνει κάπου και ακινητοποιείται δεν έχει τελική ταχύτητα" γιατί η ταχύτητα, πριν φτάσει στον προορισμό του το κινητό, δεν είναι η τελική, ενώ όταν έχει φτάσει είναι μηδενική. Αλλά η απάντηση είναι εύκολη· γιατί με τον όρο «τελική ταχύτητα» εννοούμε εκείνη με την οποία κινείται το σώμα όχι πριν φτάσει στον προορισμό του, όπου παύει η κίνηση, ούτε αφού φτάσει, αλλά τη στιγμή που φτάνει· δηλαδή την ταχύτητα, με την οποία το σώμα φτάνει στην τελευταία του θέση και με την οποία παύει η κίνηση. Αντίστοιχα, με τον όρο «τελικός λόγος των ανεπαίσθητων ποσοτήτων» εννοούμε τον λόγο των ποσοτήτων όχι πριν εξαφανιστούν ούτε μετά, αλλά των τιμών με τις οποίες εξαφανίζονται. Παρομοίως, ο πρώτος λόγος εμφανιζομένων ποσοτήτων είναι εκείνος με τον οποίο ξεκινάει η ύπαρξη τους. Επίσης, το πρώτο και τελικό άθροισμα είναι η τιμή με την οποία το άθροισμα αρχίζει και παύει να υπάρχει. Νεύτωνας, Principle, Scholium, Μέρος 1, Βιβλίο 1,1726

< Πέτρους Απιάνους, Εισαγωγή στη γεωγραφία, 1533, βασισμένο οτη Γεωγραφία του Πτολεμαίου. Η εικόνα δείχνει τις διάφορες χρήσεις της σταυρωτής ράβδου για την εύρεση ουράνιων και γήινων αποστάσεων.

> Η γαλλική Carte Pisane, περ. 1290, ο παλαιότερος ευρισκόμενος πορτολανικός χάρτης που δείχνει ναυτικές διαδρομές στην Ευρώπη και στη Μεσόγειο.

Η χαρτογραφία είχε απασχολήσει όλους τους παλιούς πολιτισμούς. Είτε για την κατα, σκευή κτιρίων, είτε για φορολογικούς ή πολεμικούς λόγους, η δουλειά του τοπογράφου είναι ένα από τα παλαιότερα επαγγέλματα που απαιτούσαν γνώσεις πρακτικών μαθηματικών. Ένα άγαλμα του 2200 π.Χ. που παριστάνει τον Γκουτέα, ηγέτη της Σουμεριακής πόλης Λαγκάς, δείχνει τον τοπογράφο να κρατάει ένα σχέδιο υπό κλίμακα του ναού στο Νινγκίρσου, μαζί μ' έναν χάρακα κι ένα εργαλείο γραφής. Αυτό είναι το παλιότερο γνωστό παράδειγμα σχεδίου υπό κλίμακα. Σε βαβυλωνιακές πήλινες πινακίδες, αιγυπτιακούς παπύρους και κινεζικά μεταξωτά υφάσματα βρίσκουμε χάρτες του τότε γνωστού κόσμου. Οι Ρωμαίοι συνέχισαν την ελληνική παράδοση στις μετρήσεις, και το Co/pus agrimensorum καθόρισε τους κανόνες της τοπογραφίας και της σχεδίασης χαρτών υπό κλίμακα. Στη χαρτογράφηση μικρών περιοχών, μπορούμε να αισθανόμαστε ασφαλείς όταν υποθέτουμε ότι η περιοχή είναι επίπεδη, αλλά καθώς προχωράμε σε μεγάλες εκτάσεις, η καμπυλότητα της Γης αρχίζει να παίζει σημαντικό ρόλο. Δεν είναι σαφές πότε ακριβώς συνειδητοποίησαν οι άνθρωποι ότι η Γη είναι σφαιρική· σε μερικές παραδόσεις θεωρείται ότι κατοικείται μόνο το ένα ημισφαίριο. Ο Ερατοσθένης, αρχιβιβλιοθηκάριος στην Αλεξάνδρεια από το 240 π.Χ., έφτιαξε τον πρώτο γνωστό χάρτη με επιστημονική μέθοδο, με παραλλήλους και μεσημβρινούς σε ανισομερές πλέγμα. Οι σύγχρονοι'του δεν έδειξαν να συγκινούνται, με αποτέλεσμα να περάσουν 400 ολόκληρα χρόνια πριν εμφανιστεί το πρώτο βασικό εγχειρίδιο χαρτογραφίας, η Γεωγραφία του Κλαύδιου Πτολεμαίου (περ. 150 μ.Χ.). Εκεί διαβάζουμε ότι η Γη είναι σφαιρική αλλά κατοικείται μόνο στο ένατηςημισφαί-

>· Η Μεσόγειος και η Βόρειος Αφρική από έναν παγκόσμιο χάρτη του 1500 κατασκευασμένο από τον Χουάν ντε λα Κόσα, ο οποίος ταξίδεψε με τον Χριστόφορο Κολόμβο το 1492.

« uaimlSiL '"'

pio και ότι η περιφέρεια της γης είναι 180.000 στάδια, τιμή πολύ λιγότερο ακριβής από τα 250.000 στάδια που έδινε ο Ερατοσθένης (1 στάδιο θεωρείται ίσο προς 160 μέτρα περίπου) . Η μεγάλη συνεισφορά της Γεωγραφίας ήταν ότι έθεσε τις βάσεις της προβολής μίας σφαίρας σε μια επίπεδη επιφάνεια. Ο χάρτης του Πτολεμαίου ανανεώθηκε απ' τον αλ-Χουαρίζμι (κεφ. 7), που βασίστηκε μεν στις γνώσεις του Πτολεμαίου ως προς τη Μεσόγειο, αλλά βελτίωσε σημαντικά την ακρίβεια των χαρτών της Κεντρικής Ασίας. Η προβολή της σφαιρικής γης σε έναν επίπεδο χάρτη συνεπάγεται πάντα κάποια παραμόρφωση και η κύρια φροντίδα του χαρτογράφου είναι να καθορίσει ποια στοιχεία θα παραμορφωθούν περισσότερο και ποια λιγότερο. Οι σύμμορφες προβολές ελαχιστοποιούν τις παραμορφώσεις γωνιών και σχημάτων, οι ισεμβαδικές προβολές διατηρούν τις σχέσεις των επιφανειών και οι ισαπέχουσες προβολές διατηρούν τις αποστάσεις. Επίσης, όπως θα δούμε στη συνέχεια, οι προδιαγραφές για τους χάρτες της ξηράς δεν συμπίπτουν με εκείνες που ισχύουν για τους χάρτες της θάλασσας. Με την ανάπτυξη της Ευρωπαϊκής ναυτιλίας και του εμπορίου από το 1300 και μετά, βρίσκουμε πορτολανικούς χάρτες (από την ιταλική λέξη portolano, η οποία αρχικά σήμαινε τις γραπτές οδηγίες του καπετάνιου), οι οποίοι σχεδιάζονταν πάνω σε ένα δίκτυο ευθειών, ή λοξοδρομικων καμπυλών, για να βοηθούν τους ναυτικούς στο σχεδιασμό των ταξιδιών τους στην Ευρώπη και τη Μεσόγειο. Αυτοί οι χάρτες σχεδιάζονταν κυρίως στη Βενετία, στη Γένοβα και στη Μαγιόρκα και ήταν εξαιρετικά ακριβείς, αν και δεν είναι σαφές εάν κατασκευάζονταν με βάση κάποια συγκεκριμένη προβολική μέθοδο. Η έκταση της χρήσης της πυξίδας, κινεζικής εφεύρεσης, αλλά και το επίπεδο της αστρονομικής ναυσιπλοΐας εκείνη την περίοδο είναι ζητήματα, στα οποία δεν έχει δοθεί ακόμα συγκεκριμένη απάντηση. Όμως, με την ανακάλυψη της Αμερικής και την

>· Χάρτης του κόσμου του 1513 σύμφωνα με τη Γεωγραφία του Πτολεμαίου, η οποία μόλις πρόσφατα είχε επανεκδοθεί στην Ευρώπη. V Σετ μαθηματικών οργάνων κατασκευασμένων το 1701 στη Ρώμη απότον D. Lusuerg. Μια τόσο περίτεχνη συλλογή, που περιλάμβανε έναν γεωμετρικό τετράντα, ένα παγκόσμιο ηλιακό ρολόι και ένα σετ νεπέρειων ράβδων πρέπει να ήταν φτιαγμένη για κάποιον πλούσιο πελάτη ως συλλεκτικό αντικείμενο και όχι για πρακτική χρήση.

πρώτη εκτύπωση της Γεωγραφίας του Πτολεμαίου, τέθηκαν οι βάσεις για την κατασκευή ενός σωστού χάρτη του κόσμου. Η Γεωγραφία του Πτολεμαίου επανεμφανίστηκε στην Ευρώπη τον 15ο αι. και πρωτοτυπώθηκε στην Μπολώνια το 1477. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης χρησιμοποιήθηκαν διάφορα είδη προβολών, συχνά για αισθητικούς λόγους, όπως π.χ. ο δημοφιλής ωοειδής χάρτης του κόσμου που πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Φραντσέσκο Ροσέλι το 1508. Αυτές οι προβολές βασίζονταν σε γραφικές μεθόδους κατασκευής και όχι σε τριγωνομετρικούς τύπους. Ο Γεράρδος Μερκάτορ (1512-94), γνωστός ως «Πτολεμαίος της εποχής μας», σχεδίασε την πρώτη προβολή ειδικά για ναυτικούς. Ο Μερκάτορ σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της Λουβέν, και αφού πήρε το πτυχίο της φιλοσοφίας, συνέχισε με μαθηματικά, αστρονομία και χαρτογραφία. Έγινε επίσης χαράκτης και κατασκευαστής οργάνων. Από τα μέσα της δεκαετίας του 1530 σχεδίασε μια σειρά από χάρτες, μεταξύ των οποίων χάρτες της Φλάνδρας και της Παλαιστίνης. Το 1544 φυλακίστηκε ως αιρετικός, αλλά απελευθερώθηκε σύντομα μετά από έντονες πιέσεις του πανεπιστημίου, αναγκάστηκε όμως να μεταβεί στο Ντούισμπουργκτου Δουκάτου της Κλέβης, που σήμερα ανήκει στη Γερμανία, όπου διορίστηκε κοσμογράφος της αυλής από τον Δούκα Γουλιέλμο το 1564. Στην πόλη αυτή σχεδίασε το 1569 την περίφημη προβολή Μερκάτορ για το χάρτη του κόσμου. Η καινοτομία αυτής της προβολής είναι ότι παρουσιάζει τις γραμμές σταθερού προσανατολισμού σαν ευθείες, πράγμα που έκανε τη χάραξη πορείας για τους ναυτικούς πολύ ευκολότερη. Σε μία σφαίρα, εάν ένα πλοίο ταξιδεύει με σταθερό

προσανατολισμό (εκτός εάν κατευθύνεται προς ένα από τα τέσσερα σημεία του ορίζοντα) η γενική του πορεία θα είναι μία καμπύλη πάνω στη σφαίρα' στην πραγματικότητα, εάν ήταν δυνατόν να ταξιδεύει κανείς με σταθερή πορεία συνεχώς, θα κατέληγε να κινείται σε σπειροειδή τροχιά προς έναν απ' τους πόλους. Η προβολή όμως αυτών των λοξοδρομικών καμπυλών σε ευθείες γραμμές διευκολύνει σημαντικά το έργο του πλοηγού. Ένα άλλο πλεονέκτημα είναι ότι η προβολή Μερκάτορ διατηρεί τις γωνίες, έτσι ώστε η αλλαγή πορείας κατά 30°, ας πούμε, σημαίνει ότι η καινούργια καμπύλη θα σχηματίζει γωνία 30° με την προηγούμενη. Από τότε μέχρι σήμερα, αυτού του τύπου η προβολή είναι η πιο διαδεδομένη, αν και παραμορφώνει σημαντικά τα σχήματα σε υψηλότερα πλάτη και πολλοί θα ήθελαν να την αντικαταστήσουν με μία ισεμβαδική προβολή, όπως η πιο πρόσφατη που πήρε το όνομα του Άρνο Πήτερς. Η μαθηματική ανάλυση της προβολής Μερκάτορ δόθηκε για πρώτη φορά από τον Έντουαρντ Ράιτ στο Ορισμένα σφάλματα της ναυσιπλοΐας (1599). Την ίδια χρονιά εκδόθηκε και ο παγκόσμιος χάρτης του Ράιτ, βασισμένος στην προβολή Μερκάτορ, στο βιβλίο Οι βασικοί θαλάσσιοι δρόμοι του Ρίχαρτ Χάκλοϊτ. Η αυξημένη γνώση της γήινης αλλά και της ουράνιας σφαίρας έκανε πολύ δημοφιλή την παραγωγή διπλών υδρογείων -συχνά ως εποπτικών μέσων διδασκαλίας αλλά και ως συμβόλων της καινούργιας γνώσης- στις οποίες μία γήινη σφαίρα συχνά περικλειόταν μέσα σε μία συναρθρωμένη ουράνια σφαίρα. Με την αυξημένη ακρίβεια των αστρονομικών παρατηρήσεων και την πρόοδο των μεγάλων έργων τριγωνισμού στη Γαλλία, Βρετανία και άλλες Ευρωπαϊκές χώρες, οι παγκόσμιοι χάρτες χρειάζονταν συνεχώς ενημέρωση. Όμως για να δημιουργήσει κανείς ακριβείς χάρτες και για να καταγράψει με ακρίβεια >· Χάρτης του κόσμου από το Atlas, sive cosmografica meditationes (1585) του Μερκάτορ. Ο Μερκάτορ ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη «άτλας» με αυτή την έννοια και οι διάφορες εκδόσεις του περιλαμβάνουν χάρτες συγκεκριμένων χωρών αλλά και ενημερωμένους παγκόσμιους Χάρτες.

Α Γαλλικό σχέδιο του 16ου αι. που δείχνει έναν ναυτικό να σημαδεύει ένα αστέρι για να βρει το πλάτος του. Αυτός ο πρωτόγονος θεοδόλιχος μπορούσε να μετρήσει και κατακόρυφες αλλά και οριζόντιες γωνίες.

την πορεία των πλοίων, έπρεπε να υπάρχουν ακριβείς μετρήσεις γεωγραφικού πλάτους και γεωγραφικού μήκους για συγκεκριμένα γνωστά μέρη. Το γεωγραφικό πλάτος ήταν πάντα αρκετά εύκολο να βρεθεί - ήταν το ίδιο με το ύψος του πολικού αστέρα. Κατά τη διάρκεια της ημέρας μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τη θέση του ηλίου, προσαρμοσμένη με βάση τους πίνακες απόκλισης, οι οποίοι έδιναν τη γωνιακή απόσταση του ήλιου από τον ισημερινό για κάθε μέρα του χρόνου. Το γεωγραφικό μήκος όμως, ήταν πάντα πολύ πιο δύσκολο να βρεθεί. Η θεωρία ήταν γνωστή: εάν παίρναμε έναν βασικό μεσημβρινό σαν βάση για τη μέτρηση του χρόνου, η μετακίνηση κατά 15° σε μήκος από τον μεσημβρινό αντιστοιχούσε με διαφορά μίας ώρας σε τοπικό χρόνο από τη γεωγραφική θέση του μεσημβρινού. Ο τοπικός χρόνος μπορούσε να βρεθεί αστρονομικά ή με κάποιο ηλιακό ρολόι, αλλά για να το κάνεις αυτό έπρεπε να ξέρεις ταυτόχρονα το χρόνο στον μεσημβρινό. Μία πιθανή λύση θα ήταν η χρήση της σελήνης σαν ένα είδος νυχτερινού ρολογιού, που θα μετρούσε τις ώρες καθώς διέσχιζε τον ουρανό. Αλλά η φαινόμενη κίνηση της Σελήνης είναι εξαιρετικά ανώμαλη και μια τέτοια μέθοδος θα ήταν πρακτική μόνο εάν ο πλοηγός είχε έναν πίνακα της κίνησης της Σελήνης που να καλύπτει πολλά χρόνια. Γι' αυτό το σκοπό ιδρύθηκε το Βασιλικό Αστεροσκοπείο του Γκρήνουιτςτο 1675. Σχεδόν 100 χρόνια αργότερα, το 1677, ο Βασιλικός αστρονόμος Νέβιλ Μάσκελιν, δημοσίευσε το Ναυτικό αλμανάκ, το οποίο περιελάμβανε πίνακες σεληνιακών αποστάσεων ανά τρεις ώρες για έναν ολόκληρο χρόνο. Ήδη όμως το ναυτικό χρονόμετρο του Τζων Χάρισον είχε σχεδόν τελειοποιηθεί και σύντομα έγινε η ενδεδειγμένη μέθοδος εύρεσης του γεωγραφικού μήκους στη θάλασσα. Με ένα ρολόι ακριβείας στο πλοίο που να δείχνει σταθερά το χρόνο στο μεσημβρινό, το πρόβλημα αναγόταν στην εύρεση του τοπικού χρόνου με ηλιακή ή με αστρική παρατήρηση, οπότε η διαφορά ανάμεσα στους δύο χρόνους έδινε το γεωγραφικό μήκος στο οποίο βρισκόταν το πλοίο.

V Φορητό δίπτυχο ηλιακό ρολόι και πυξίδα που κλείνει σαν βιβλίο. Είναι από ελεφαντόδοντο, φέρει επιγραφή με το όνομα του κατασκευαστή οργάνων Πάουλ Ράινμαν και προέρχεται από τη Νυρεμβέργη του 1599.0 σπάγκος που παίζει το ρόλο του γνώμονα μπορούσε να ρυθμιστεί για διάφορα γεωγραφικά πλάτη, ενώ οι μεταλλικοί γνώμονες ήταν ακριβείς μόνο για το γεωγραφικό πλάτος, για το οποίο ήταν κατασκευασμένοι.

Οι προβολές έγιναν ακόμη πιο πολύπλοκες καθώς πλήθαιναν τα στοιχεία που έδειχναν ότι η γη δεν ήταν τέλεια σφαίρα αλλά σφαιροειδές πεπλατυσμένο στους πόλους. Οι θεωρητικοί υπολογισμοί του Νεύτωνα στα Principia που αποδείκνυαν την πλάτυνση της Γης επιβεβαιώθηκαν τελικά πειραματικά. Εάν η Γη ήταν πεπλατυσμένη στους πόλους, τότε το μήκος της μιας μοίρας του γεωγραφικού πλάτους θα αύξανε καθώς κινούμαστε από τον ισημερινό προς τους πόλους και το ίδιο θα έκανε και η επιτάχυνση της βαρύτητας. Οργανώθηκαν αποστολές για να μετρήσουν και τα δύο αυτά μεγέθη. Το 1735 η Ακαδημία των Παρισίων αποφάσισε να στείλει αποστολές στη Λαπωνία και στο Περού για να μετρήσει οποιεσδήποτε διαφορές μεταξύ 1 ° πλάτους κοντά στον πόλο και στον ισημερινό. Η κλασική εργασία του Κρίστιαν Χώυχενς σχετικά με το απλό εκκρεμές έδειχνε ότι η περίοδος ταλάντωσης του σχετιζόταν με την τιμή της βαρυτικής επιτάχυνσης. Αποκλίσεις είχαν παρατηρηθεί ήδη από το 1672, όταν ένα εκκρεμές που σήμαινε τα δευτερόλεπτα στο Παρίσι έπρεπε να κοντύνει για να κρατάει τον ίδιο χρόνο στο Καγιέν. Δυστυχώς, οι ατελείς μετρήσεις συχνά οδηγούσαν σε ασύμβατα αποτελέσματα, μερικά από τα οποία έδειχναν ότι η Γη ήταν όχι πεπλατυσμένη στους πόλους αλλά επιμηκυσμένη. Το 1832 ο Αμερικάνος αστρονόμος Ναθάνιελ Μπόουντιτς είχε στη διάθεση του 52 μετρήσεις από ολόκληρο τον κόσμο, από τη Λαπωνία μέχρι το Ακρωτήριο της Καλής Ελπίδας. Στη μετάφραση του βιβλίου του Λαπλάς Traite de Mecanique Celeste που έκανε ο ίδιος πρόσθεσε την ανάλυση αυτώντων ευρημάτων και προσδιόρισε τον βαθμό πλάτυνσης της Γης στο 1/297, μια τιμή που θα γινόταν αποδεκτή διεθνώς σχεδόν εκατό χρόνια αργότερα. Αυτού του είδους οι αποκλίσεις από την τέλεια σφαίρα αποτέλεσαν το κίνητρο για τη δημιουργία μιας μορφής τριγωνομετρίας η οποία να ξεπερνά το επίπεδο και τη σφαίρα και να αντιμετωπίζει αποτελεσματικά όλα τα σφαιροειδή γενικά. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου επάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι μεγαλύτερο από 180°, αλλά η υπεροχή ποικίλλει ανάλογα με τη θέση, αν η επιφάνεια είναι ένα κοινό σφαιροειδές. Ο Αντριάν-ΜαρίΛεζάντρ (1752-1833) έκανε εξαιρετική δουλειά πάνω στο ζήτημα αυτό και το 1799 κατέληξε σ' έναν τύπο που συσχέτιζε τις πλευρές ενός τριγώνου με την υπεροχή του από τις 180°. Στη συνέχεια, με απειροστικές μεθόδους ορίστηκαν νέες προβολές, στις οποίες οι απαιτούμενες παραμορφώσεις μπορούσαν να οριστούν με συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους. Ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (1728-77) δημοσίευσε το 1772 μία σειρά από διαφορετικές προβολές, μία από τις οποίες, η σύμμορφη κωνική προβολή, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα. Σ' αυτή την προβολή η Γη προβάλλεται σ' έναν κώνο ο οποίος αγγίζει τη σφαίρα στον «βασικό παράλληλο»· ο κώνος μπορεί μετά να απλωθεί σε έναν επίπεδο χάρτη. Τα εργαλεία της δουλειάς τελειοποιούνταν συνεχώς. Ο αστρολάβος, ελληνικό εργαλείο βελτιωμένο απ' τους Αραβες, ήταν ένα είδος αναλογικού υπολογιστή. Περιστρέφοντας ένα δίσκο πάνω στον οποίο ήταν χαραγμένη μία προβολή του ουρανού και οι τροχιές διαφόρων ουρανίων σωμάτων, μπορούσε

Α Ο Αστρονόμος του Γιοχάνες Βερμέερ, 1668. Με βελτιωμένα τηλεσκόπια και πρόσβαση στο νότιο ημισφαίριο, οι αστρονόμοι πρόσθεσαν νέα αοτέρια στους ουρανούς. Γήινες και ουράνιες σφαίρες χρησιμοποιούνταν ευρύτατα ως εποπτικά μέσα αλλά και ως διακοσμητικά σύμβολα της καινούργιας γνώσης.

κανείς να υπολογίσει τις ώρες ανατολής και δύσης. Κάθε προβολή αφορούσε ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος, έτσι ώστε ένας αστρολάβος πουλιόταν μαζί με τους δίσκους του, έναν για κάθε διαφορετικό γεωγραφικό πλάτος. Ο αστρολάβος μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ύψους και του αζιμουθίου διαφόρων ουρανίων σωμάτων, να υπολογίζει το χρόνο καινά μετρά τις αστρονομικές αποστάσεις. Η χρήση του ύψους και του αζιμουθίου ως γενικά αποδεκτών μεγεθών οφειλόταν στους Άραβες. Ως ύψος οριζόταν η γωνία από τον ορίζοντα και ως αζιμούθιο η γωνιακή απόσταση από τον μεσημβρινό. Τα ηλιακά ρολόγια ήταν ένας κοινός τρόπος εύρεσης του χρόνου, που χρησιμοποιούσε είτε τις αλλαγές στο ύψος του ήλιου κατά τη διάρκεια της ημέρας είτε τις αλλαγές στο αζιμούθιο του. Τα περισσότερα ηλιακά ρολόγια έπρεπε να προσανατολίζονται με τη βοήθεια μιας πυξίδας, αλλά σιγά-σιγά η κατασκευή τους έγινε πιο προσεγμένη, δεδομένου ότι λάμβαναν υπόψη τις αλλαγές στην ταχύτητα της κίνησης του ήλιου στον ουρανό. Τον 17ο αι. κατασκευάστηκαν παγκόσμια ηλιακά ρολόγια που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε γεωγραφικό πλάτος, αν και κάθε φορά έπρεπε να ρυθμίζονται διαφορετικά. Ο αστρολάβος του ναυτικού, μια πάρα πολύ απλή κατασκευή, αντικαταστάθηκε απότοντετράντα. Οιτετράντες, εξάντες και άλλα σχετικά όργανα που χρησιμοποιούσαν οι ναυτικοί, οι αστρονόμοι και οι τοπογράφοι έγιναν όλο και πιο ακριβείς με τη χρήση οπτικών εργαλείων και κλιμάκων με πιο λεπτές διαβαθμίσεις. Οι αυξανόμενες απαιτήσεις ακρίβειας στις επίγειες, θαλάσσιες και ουράνιες μετρήσεις σήμαιναν την κατακόρυφη αύξηση του αριθμού των πράξεων που έπρεπε να εκτελούνται. Η προσθήκη δεκαδικών ψηφίων για λόγους ακριβείας σήμαινε πιο χρονοβόρες πράξεις. Η χρήση των λογαρίθμων από τον 17ο αι. και μετά ήταν σημαντική πρακτική εξέλιξη. Οι ναυτικοί είχαν πίνακες τριγωνομετρικών συναρτήσεων και λογαρίθμων που διευκόλυναν τους υπολογισμούς, αν και οι πίνακες αυτοί συνέχιζαν να πάσχουν από τυπογραφικά λάθη. Η σύντμηση του χρόνου, ενίοτε εις βάρος της ακρίβειας, επιτεύχθηκε με την εφεύρεση του λογαριθμικού κανόνα, ο οποίος ήταν ήδη σε χρήση τον 18ο αι. Ήδη τότε η άποψη που υπήρχε για τον κόσμο ήταν πολύ διαφορετική από εκείνη του Πτολεμαίου - η Γη δεν ήταν παρά ένας απλός πλανήτης, ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές σε τροχιά γύρω απ' τον ήλιο. Στο δεύτερο μισό του 20ού αι. μπορέσαμε τελικά να δούμε τη Γη από κάποιο σημείο ψηλά πάνω απ' την επιφάνεια της, όταν οι τεχνητοί δορυφόροι άρχισαν να χαρτογραφούν τη μεταλλασσόμενη γεωγραφία του πλανήτη μας απ' την τροχιά τους.

·< Η γενική δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο λύσεις που βρίσκονται από τον πασίγνωστο τύπο, που όλοι μαθαίνουμε στο σχολείο. Ανάλογοι τύποι για την επίλυση της κυβικής καιτηςτεταρτοβάθμιας εξίσωσης ανακαλύφθηκαν τον 16ο αι. Όμως τέτοιος τύπος αλγεβρικής λύσης δεν μπόρεσε να βρεθεί για την πεμπτοβάθμια εξίσωση. Κάποιοι υποπτεύονταν ότι τέτοια λύση δεν υπήρχε, αλλά αυτό αποδείχθηκε τελικά μόλις τον 19ο αι.

Τον 16ο αι. οι μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά στους μιγαδικούς αριθμούς σχεδόν τυχαία (κεφ. 11). Τον 18ο αι. οι μιγαδικοί αριθμοί είχαν ήδη καθιερωθεί ως επέκταση των πραγματικών, αλλά ο χειρισμός τους συχνά εξακολουθούσε να οδηγεί σε ολισθήματα όπως στο Vollstandige Anleitung zur Algebra (Πλήρης εισαγωγή στην άλγεβρα, 1770) όπου ο Όυλερ έγραψε ότι V-2xV-3 =V6 και όχι -V6, προκαλώντας μεγάλη σύγχυση σε μερικούς μεταγενέστερους συγγραφείς. Ο ίδιος ο Γκάους, στο περίφημο πόνημα του για τη θεωρία των αριθμών Disquisitiones arithmeticae (Αριθμητικές έρευνες, 1801), απέφευγε τη χρήση των αποκαλούμενων «φανταστικών αριθμών». Για μας, το πιο σημαντικό μέρος αυτού του έργου είναι η πρώτη στην ιστορία απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της 'Αλγεβρας. Ο Γκάους είχε απόλυτη συναίσθηση της σπουδαιότητας αυτού του θεωρήματος και έδωσε μερικές ακόμα αποδείξεις στη διάρκεια της ζωής του. Το 1849, ωστόσο, ξαναδούλεψε την πρώτη του απόδειξη, χρησιμοποιώντας αυτή τη φορά μιγαδικούς αριθμούς. Το θεώρημα λέει σε σύγχρονη ορολογία ότι οποιαδήποτε πεπερασμένη πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές έχει μία τουλάχιστο ν μιγαδική λύση. Αυτή η απόδειξη έδινε οριστικά αρνητική απάντηση στο παλιό ερώτημα, εάν οι λύσεις πολυωνύμων ανωτέρου βαθμού καθιστούσαν αναγκαία την κατασκευή αριθμών υψηλότερης τάξης των μιγαδικών. Ένα από τα πιο ακανθώδη αλγεβρικά προβλήματα της εποχής ήταν το κατά πόσο το πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο με αλγεβρικές μεθόδους - δηλαδή με έναν πεπερασμένο αριθμό αλγεβρικών πράξεων. Στο σχολείο μαθαίνουμε σήμερα τον τύπο επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ήδη από τον 16ο αι. υπάρχουν παρόμοιες μέθοδοι για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού (κεφ. 11). Ωστόσο, όλες οι προσπάθειες να βρεθεί μια ανάλογη μέθοδος για την εξίσωση 5ου βαθμού κατέληξαν σε αδιέξοδο. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας φαίνεται να απαντά θετικά στο ερώτημα, αλλά δε θα πρέπει να ξεχνάμε, ότι ενώ το θεώρημα αυτό εγγυάται την ύπαρξη λύσεων, δεν λέει τίποτε για τη δυνατότητα ακριβούς υπολογισμού αυτών των λύσεων μέσω τύπων (προσεγγιστικές αριθμητικές και γραφικές μέθοδοι ήδη υπήρχαν). Εδώ μπαίνουν στη σκηνή δύο μαθηματικές ιδιοφυΐες που είχαν και οι δύο τραγική κατάληξη. Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ (1802-29) γεννήθηκε σε ένα μικρό χωριό στη Νορβηγία, μία χώρα κατεστραμμένη μετά από χρόνια πολέμου με την Αγγλία και τη Σουηδία, και ήταν γόνος μιας πολυμελούς και φτωχής οικογένειας. Ένας διορατικός δάσκαλος τον βοήθησε να τελειώσει το σχολείο, αλλά σε ηλικία 18 ετών έχασε τον πατέρα του και φορτώθηκε τις ευθύνες της οικογένειας. Το 1824 δημοσίευσε μια εργασία, στην οποία κατέληγε, ότι η πεμπτοβάθμια εξίσωση δεν μπορούσε να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους και το ίδιο συνέβαινε με όλα τα πολυώνυμα ανώτερου βαθμού. Ο Άμπελ πίστευε ότι αυτή η ανακάλυψη θα ήταν το εισιτήριο του για την ακαδημαϊκή καριέρα που ονειρευόταν, οπότε έστειλε την εργασία του στον Γκάους στο πανεπιστήμιο του Γκαίτινγκεν δυστυχώς, φαίνεται ότι ο Γκάους δεν βρήκε χρόνο να κόψει τις σελίδες του φυλλαδίου (εκείνη την εποχή αυτό το έκανε ο αναγνώστης και όχι ο τυπογράφος) και έτσι δεν το διάβασε ποτέ. Το 1826 η νορβηγική κυβέρνηση έδωσε τελικά στον Άμπελ τη δυνατότητα να ταξιδέψει στην Ευρώπη. Φοβούμενος ότι δεν θα κέρδιζε τίποτα επισκεπτόμενος προσωπικά τον Γκάους, απέφυγε το Γκαίτινγκεν και πήγε στο Βερολίνο. Εκεί έπιασε φιλίες με τον Αουγκούστ Λέοπολντ Κρέλλε (1780-1855), μηχανικό και μαθηματικό σύμβουλο

του Πρωσικού Υπουργείου Παιδείας, ο οποίος ετοιμαζόταν να εκδώσει το Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Περιοδικό για τα καθαρά και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά) . Ο Άμπελ είχε τώρα ένα τρόπο να κάνει τις εργασίες του ευρύτερα γνωστές, δεδομένου μάλιστα ότι συμμετείχε ενεργά στους πρώτους τόμους του περιοδικού, το οποίο πολύ γρήγορα κατάφερε να καθιερωθεί στους επιστημονικούς κύκλους. Μέσα σ' αυτά που δημοσίευσε ήταν και μία αναλυτική εκδοχή της απόδειξης ότι η εξίσωση 5ου βαθμού δεν είναι επιλύσιμη. Μετά έφυγε για το Παρίσι, όπου βρέθηκε σε απόγνωση, γιατί δεν υποστηρίχθηκε όσο περίμενε από τους Γάλλους μαθηματικούς. Πλησίασε τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (1789-1857), που τότε ήταν πρώτο όνομα στη μαθηματική ανάλυση αλλά εξαιρετικά δύσκολος χαρακτήρας. Σύμφωνα με τον ίδιο τον Άμπελ, «Ο Κωσύ είναι τρελός και κανείς δεν μπορεί να κάνει τίποτα γι αυτό, δυστυχώς όμως είναι ο μόνος που ξέρει πώς πρέπει να αντιμετωπίζει κανείς τα μαθηματικά». Αν παραβλέψουμε τις ταπεινώσεις που υπέφερε ο Άμπελ στα χέρια του Γκάους και του Κωσύ, μπορούμε να πούμε ότι η απόδειξη του για την πεμπτοβάθμια εξίσωση έγινε ευρύτερα γνωστή και τράβηξε την προσοχή μεγάλων μαθηματικών αλλά και πολλών τρελών. Ο Άμπελ γύρισε στη Νορβηγία με την υγεία του σοβαρά κλονισμένη από τη φυματίωση. Συνέχισε να στέλνει υλικά στον Κρέλλε, αλλά πέθανε το 1829, χωρίς να αντιληφθεί ποτέ ότι είχε ήδη γίνει διάσημος. Δύο μέρες μετά από το θάνατο του, έφτασε στο σπίτι του μία προσφορά για καθηγητική θέση στο Βερολίνο. Ο Άμπελ είχε αποδείξει, ότι γενικά οποιοδήποτε πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού από τον τέταρτο δεν μπορούσε να επιλυθεί με ριζικά όπως οι τετραγωνικές ρίζες, οι κυβικές ρίζες ή ρίζες υψηλότερης τάξης. Ωστόσο, οι συγκεκριμένες προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ορισμένες ειδικές περιπτώσεις μπορούσαν να επιλυθούν και η μέθοδος της επίλυσης βρέθηκαν αργότερα από τον Γκαλουά. Η ζωή του Εβαρίστ Γκαλουά (1811-1832) ήταν σύντομη και συναρπαστική. Εξαιρετικά προικισμένος μαθηματικός αλλά άστατη και εκρηκτική προσωπικότητα που την έκαναν ακόμα πιο ακραία μια σειρά από αδικίες. Ήταν αμείλικτος με όσους θεωρούσε λιγότερο ταλαντούχους απ' τον εαυτό του, αλλά ταυτόχρονα τον εξόργιζε η κοινωνική αδικία που επέβαλλαν οι άνθρωποι της εξουσίας. Πρωτοενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά όταν διάβασε τα Στοιχεία γεωμετρίας του Λεζάντρ (ένα βιβλίο που βγήκε το 1794 και για 100 χρόνια ήταν το βασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας). Μετά καταβρόχθισε κυριολεκτικά τα γραπτά του Λαγκράνζ και τελευταία του Άμπελ. Ο ενθουσιασμός, η αυτοπεποίθηση και η ανυπομονησία του είχαν σχεδόν καταστροφική επίδραση στις σχέσεις του με τους καθηγητές του και τους εξεταστές. Συμμετέχοντας στους διαγωνισμούς για την Ecole Polytechnique, λίκνο των γαλλικών μαθηματικών, ο απροετοίμαστος Γκαλουά απέτυχε παταγωδώς. Η πικρία του απαλύνθηκε για ένα διάστημα, όταν γνώρισε έναν καινούργιο μέντορα που αναγνώρισε το ιδιαίτερο ταλέντο του. Τον Μάρτιο του 1829 ο Γκαλουά δημοσίευσε την πρώτη του εργασία για τα συνεχή κλάσματα, κρατώντας για τον εαυτό του την πιο σημαντική του δουλειά. Ο Γκαλουά υπέβαλε αυτές τις καινούργιες ανακαλύψεις στην Ακαδημία Επιστημών, αλλά ο Κωσύ, που είχε υποσχεθεί να τις παρουσιάσει, το ξέχασε. Και το χειρότερο, έχασε και το χειρόγραφο. Η δεύτερη αποτυχία του Γκαλουά να μπει στην Ecole Polytechnique ήδη ανήκει στο μαθηματικό φολκλόρ. Όντας συνηθισμένος να χειρίζεται πολύπλοκες ιδέες με το

μυαλό, εξοργίστηκε απ' τον σχολαστικισμό των εξεταστών. Συνειδητοποιώντας ότι η προφορική εξέταση πήγαινε απ' το κακό στο χειρότερο, άρπαξε ένα σπόγγο και τον πέταξε στα μούτρα ενός απ' τους εξεταστές. Λίγο μετά, αυτοκτόνησε ο πατέρας του εξαιτίας μιας κληρικαλικής συνωμοσίας εναντίον του. Η κηδεία του εξελίχθηκε σε διαδήλωση. Το Φεβρουάριο του 1830 ο Γκαλουά έγραψε τρεις ακόμα εργασίες και τις υπέβαλε στην Ακαδημία Επιστημών, στο διαγωνισμό για το Μεγάλο Βραβείο των Μαθηματικών. Ο τότε γραμματέας Ζοζέφ Φουριέ πέθανε πριν προλάβει να τις διαβάσει, και μετά το θάνατο του δεν μπόρεσαν να βρουν τα χειρόγραφα. Οι τόσες αλλεπάλληλες απογοητεύσεις θα είχαν κάμψει τις αντοχές οποιουδήποτε ανθρώπου. Φυσικό ήταν λοιπόν να επαναστατήσει ο Γκαλουά κατά ενός συστήματος που αρνιόταν να τον δεχτεί στους κόλπους του και είχε επιπλέον δολοφονήσει τον πατέρα του. Μπήκε δυναμικά στην πολιτική τασσόμενος φανατικά με το μέρος των αντιβασιλικών - καθόλου σοφή επιλογή για τη Γαλλία του 1830. Σε μία τελευταία απελπισμένη προσπάθεια, έστειλε ένα μνημόνιο στον Σιμεόν-Ντενί Πουασόν, ο οποίος απάντησε ζητώντας του περαιτέρω αποδείξεις. Δεν ξαναπροσπάθησε. Το 1831 ο Γκαλουά συνελήφθη δύο φορές, μία φορά για μια υποτιθέμενη συνωμοσία κατά της ζωής του βασιλιά Λουδοβίκου Φιλίππου και μία φορά προληπτικά, επειδή οι αρχές περίμεναν εξέγερση των αντιβασιλικών! Καταδικάστηκε σε εξάμηνη φυλάκιση με μία κατασκευασμένη κατηγορία, ότι δήθεν φορούσε παράνομα τη στολή ενός διαλυμένου τάγματος πυροβολικού, στο οποίο κάποτε ανήκε. Βγαίνοντας με αναστολή, είχε μια ερωτική περιπέτεια που το μόνο που κατάφερε ήταν να αυξήσει την απογοήτευση του. Τα γράμματα του στον αφοσιωμένο φίλο του Σεβαλιέ μιλούν γι' αυτή την ψυχική του ταλαιπωρία. Στις 29 Μαΐου 1832 αποδέχτηκε μία πρόκληση σε μονομαχία για λόγους που ποτέ δεν έγιναν γνωστοί. «Πεθαίνω και γι αυτό φταίει μια ξεφτιλισμένη πόρνη. Η ζωή μου τελειώνει σε μια άθλια μονομαχία», γράφει σ' ένα «γράμμα σ' όλους τους αντιβασιλικούς». Το πιο γνωστό και φημισμένο έργο του Γκαλουά γράφτηκε βιαστικά τη νύχτα πριν απ' τη μονομαχία. Στα περιθώρια έχει γράψει βιαστικά πολλές φορές «Δεν έχω χρόνο1 δεν έχω χρόνο», καθώς ήταν αναγκασμένος να αφήσει σε άλλους το έργο της συμπλήρωσης των ενδιάμεσων βημάτων που ήταν απαραίτητα για την πλήρη κατανόηση των συμπερασμάτων του. Εκείνος προσπάθησε να καταγράψει την ουσία των ανακαλύψεων του - την αρχή αυτού που σήμερα ονομάζεται Θεωρία του Γκαλουά. Παρέδωσε τη διαθήκη του στον Σεβαλιέ, ικετεύοντας τον να «ζητήσεις από τον Πακόμπι ή τον Γκάους να πουν ανοιχτά τη γνώμη τους, όχι για το αν η θεωρία του ήταν σωστή, αλλά για το αν κατά τη γνώμη τους είχε κάποια βαρύτητα». Νωρίς το πρωί, ο Γκαλουά πήγε να αντιμετωπίσει τον αντίπαλο του. Διάλεξαν πιστόλια στα εικοσιπέντε βήματα. Ο Γκαλουά τραυματίστηκε και πέθανε το επόμενο πρωί στο νοσοκομείο, σε ηλικία μόλις είκοσι ετών. Ο Γκαλουά ανέπτυξε την προηγούμενη δουλειά του Λαγκράνζ και του Κωσύ, αλλά καθώς δούλευε την περίφημη λύση της εξίσωσης 5ου βαθμού, κατέληξε σε μια πιο γενική μέθοδο. Δεν εξέταζε τόσο την αρχική εξίσωση ή την γραφική της ερμηνεία όσο τη φύση των ίδιων των ριζών. Για να απλοποιήσει τα πράγματα, ο Γκαλουά διερευνούσε μόνο ανάγωγες πεμπτοβάθμιες εξισώσεις, δηλαδή αυτές που δεν ήταν δυνατόν να παραγοντοποιηθούν σε πολυώνυμα χαμηλότερου βαθμού (καθώς όπως έχουμε δει οι πολυωνυμικές εξισώσεις μέχρι τον 4ο βαθμό έχουν συγκεκριμένους τύπους, με τους οποίους βρίσκονται οι ρίζες τους). Γενικά, ανάγωγο πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές είναι αυτό που δεν μπο-

ρεί να παραγοντοποιηθεί σε απλούστερα πολυώνυμα με ρητούς επίσης συντελεστές. Π .χ., το ()f-1) μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε (x-1)(x'+xl+)?+x+1), ενώ το (if-2) είναι ανάγωγο. Σκοπός του Γκαλουά ήταν να προσδιορίσει τις συνθήκες, υπό τις οποίες όλες οι λύσεις ενός γενικού ανάγωγου πολυωνύμου μπορούν να βρεθούν συναρτήσει ριζικών. Το κλειδί βρισκόταν στην ανακάλυψη ότι οι ρίζες οποιασδήποτε ανάγωγης αλγεβρικής εξίσωσης δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά μπορούν να εκφραστούν η μία συναρτήσει της άλλης. Αυτές οι σχέσεις μορφοποιήθηκαν μέσα σε μια ομάδα όλωντων δυνατών μεταθέσεων, την αποκαλούμενη συμμετρική ομάδα των ριζών - για την εξίσωση 5ου βαθμού αυτή η ομάδα περιλαμβάνει 5!=5x4x3x2x1 = 120 στοιχεία. Ο μαθηματικός μηχανισμός της θεωρίας του Γκαλουά είναι εξαιρετικά περίπλοκος και αυτός ίσως είναι ο λόγος που άργησε τόσο πολύ να καθιερωθεί. Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης από τις αλγεβρικές λύσεις εξισώσεων στην αλγεβρική δομή της αντίστοιχης ομάδας μεταθέσεων, ο Γκαλουά κατάφερε να προβλέψει την επιλυσιμότητα μιας εξίσωσης από τις ιδιότητες αυτής της ομάδας. Κι όχι μόνο αυτό, αλλά η θεωρία του επεξεργάστηκε μια μέθοδο, με την οποία μπορούσαν να βρεθούν και οι ίδιες οι ρίζες. Σε σχέση με την πεμπτοβάθμια εξίσωση, ο Ζοζέφ Λιουβίλ (1809-82), ο οποίος το 1846 δημοσίευσε μεγάλο μέρος της εργασίας του Γκαλουά στο περιοδικό Journal de Mathematiques Pures etAppliquees (Περιοδικό για τα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά), σημείωσε ότι ο Γκαλουά είχε αποδείξει το «υπέροχο θεώρημα» ότι, «για να είναι επιλύσιμη με ριζικά μία ανάγωγη εξίσωση που ο βαθμός της είναι πρώτος αριθμός, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι όλες οι ρίζες να είναι ρητές συναρτήσεις οποιωνδήποτε δύο απ' αυτά». Επειδή αυτό δεν είναι δυνατόν να γίνει για την εξίσωση 5ου βαθμού, η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να λυθεί με ριζικά. Μέσα σε τρία χρόνια ο μαθηματικός κόσμος είχε χάσει δύο απ' τα λαμπρότερα καινούργια αστέρια του. Ακολούθησε μία περίοδος αλληλοκατηγοριών και περισυλλογής και τα ονόματα των Άμπελ και Γκαλουά κέρδισαν την αναγνώριση που εδικαιούντο μόνο μετά θάνατον. Το 1829 ο Καρλ Γιακόμπι έμαθε για το «χαμένο» χειρόγραφο του Άμπελ μέσω του Λεζάντρ και το 1830 ξέσπασε διπλωματικό επεισόδιο, όταν ο Νορβηγός πρόξενος στο Παρίσι απαίτησε να βρεθεί η εργασία του Άμπελ. Ο Κωσύ βρήκε τελικά το μνημόνιο, μόνο και μόνο για να το ξαναχάσει η ομάδα επιμελητών της Ακαδημίας! Την ίδια χρονιά ο Αμπελ μοιράστηκε μετά θάνατον με τον Γιακόμπι το βραβείο των μαθηματικών. Το μνημόνιο του τελικά δημοσιεύτηκε το 1841.0 Λιουβίλ επιμελήθηκε μερικά από τα χειρόγραφα του Γκαλουά. Στην εισαγωγή της έκδοσης οικτίρει την ακαδημία γιατί είχε απορρίψει την εργασία του Γκαλουά ως ιδιαιτέρως δυσνόητη, με τη φράση, «η σαφήνεια είναι ασφαλώς απολύτως απαραίτητη, όταν προσπαθεί κανείς να οδηγήσει τον αναγνώστη πέρα απ' την πεπατημένη και να του δείξει μια ανεξερεύνητη χώρα». Και συνεχίζει, «ο Γκαλουά δεν υπάρχει πια! Ας αφήσουμε τώρα τη στείρα κριτική· ας αφήσουμε όλα τα αρνητικά και ας κοιτάξουμε τα θετικά». Το προϊόν της σύντομης ζωής του Γκαλουά δεν ξεπερνάει τις 60 σελίδες. Η διαμάχη συνέχισε να σοβεί. Ο επιμελητής του μαθηματικού περιοδικού για υποψηφίους της Ecole Normal και της Ecole Polytechnique σχολίασε σχετικά με την υπόθεση Γκαλουά ότι, «ένας υποψήφιος ανώτερης ευφυΐας χάνεται όταν τον εξετάσει κάποιος με κατώτερη ευφυΐα. Hie ego barbarus sum quia non intelligo illis [επειδή δεν με καταλαβαίνουν, είμαι βάρβαρος]».

Πρώτα απ' όλα, η προμετωπίδα αυτού του πονήματος δεν βαρύνεται με ονόματα, ιδιότητες, τίτλους χαι ελεγείες, με σκοπό να ευαρεστηθεί κάποιος άθλιος πρίγκιπας να ανοίξει το πορτοφόλι του - με τη συνεχή απειλή να το ξανακλείσει μόλις σταματήσει ο λιβανωτός. Δεν θα δείτε γραμμένη με χαρακτήρες τρεις φορές μεγαλύτερους απ' το κείμενο την ταπεινή εκδήλωση σεβασμού προς κάποιο πρόσωπο υψηλά ιστάμενο στην επιστημονική ιεραρχία, κάποιο σοφό προστάτη - κάτι απαραίτητο (αναπόφευκτο θα έλεγα) για έναν εικοσάχρονο νεαρό που επιθυμεί να γράψει. Δεν λέω σε κανέναν ότι οφείλω στις συμβουλές και στις παροτρύνσεις του όλα τα καλά που περιέχει η εργασία μου. Δεν το λέω, γιατί θα ήταν ψέμα. Αν θα ήθελα να απευθύνω το λόγο στους μεγάλους του κόσμου, ή τους μεγάλους της επιστήμης (στην εποχή μας η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο τάξεων ανθρώπων είναι μάλλον ανεπαίσθητη) , ασφαλώς δεν θα ήταν για να τους ευχαριστήσω. Στους μεν οφείλεται το ότι δημοσίευσα την πρώτη από αυτές τις εργασίες τόσο καθυστερημένα, στους δε ότι την έγραψα στη φυλακή, ένα μέρος εντελώς ακατάλληλο για διανοητική εργασία, και θαυμάζω τον εαυτό μου για την αυτοσυγκράτηση που έδειξε κρατώντας το στόμα του κλειστό μπροστά στην κακεντρέχεια των ηλιθίων και αδαών ελπίζω η λέξη «αδαείς» να μη θεωρηθεί ιδιαίτερα απρεπής, δεδομένου ότι οι αντίπαλοι μου είναι κατ' εμέ τόσο αναξιοπρεπείς. Δεν είναι του παρόντος να αναφερθώ στους λόγους, για τους οποίους βρέθηκα στη φυλακή, αλλά πρέπει οπωσδήποτε να πω ότι τα χειρόγραφα μου χάθηκαν επανειλημμένως απ' τα συρτάρια των αξιότιμων μελών του Ινστιτούτου, αν και ειλικρινά δεν μπορεί να χωρέσει στο μυαλό μου μια τέτοια επίδειξη απερισκεψίας εκ μέρους εκείνων που έχουν στη συνείδηση τους το θάνατο του Άμπελ. Όσο για μένα, που είμαι εντελώς ασήμαντος σε σύγκριση μ' εκείνον τον έξοχο μαθηματικό, αρκεί να πω ότι η θεωρία μου για τις εξισώσεις κατατέθηκε σε χειρόγραφο στην Ακαδημία Επιστημών τον Φεβρουάριο του 1830, ότι αποσπάσματα της είχαν ήδη σταλεί το 1829, ότι δεν έγινε καμιά αναφορά σ' αυτήν και ότι κατέστη αδύνατον να βρεθεί το χειρόγραφο. Γκαλουά, αδημοσίευτος πρόλογος, 1832

Από τότε που εμφανίστηκαν τα Ιτοίχεία του Ευκλείδη τον 3ο αι. π.Χ. όλοι πίστευαν ότι η , ευκλείδεια γεωμετρία (κεφ.4) ήταντο τελειότερο μαθηματικό σύστημα που είχε εμφανιστεί ποτέ. Βασισμένο στις πιο απλές υποθέσεις, καταφέρνει να δομήσει ένα θεαματικό οικοδόμημα μαθηματικών θεωρημάτων. Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταντο αρχετυπικό αξιωματικό συμπερασματικό σύστημα. Ωστόσο, αυτός ο ναός της γεωμετρίας είχε ένα μικρό ψεγάδι, κάτι σαν φαγούρα που δεν άφηνε τους μαθηματικούς να ησυχάσουν. Το διαβόητο σήμερα 5ο αίτημα του Ευκλείδη δηλώνει ότι «Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες, δημιουργεί εντός και επίτα αυτά γωνίες με άθροισμα λιγότερο από δύο ορθές, τότε αυτές οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν προς την πλευρά αυτών των γωνιών, κάποτε θα συναντηθούν» (Και έαν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών έλάσσονας ποιή, έκβαλλομένας τας δύο ευθείας έπ' άπειρον συμπίπτειν, εφ' α μέρη είσίν αί των δύο ορθών ελάσσονες). Γνωστό ως το αξίωμα των παραλλήλων, δηλώνει με απλά λόγια ότι εάν δύο γραμμές δεν είναι παράλληλες, τότε κάπου τέμνονται. Όλοι συμφωνούσαν ότι η πρόταση αυτή ήταν μεν αληθινή, αλλά φαινόταν υπερβολικά πολύπλοκη για να μπορεί κανείς να την κατατάξει στα αιτήματα, στις θεμελιώδεις δηλαδή αρχές, στις οποίες εδράζονται τα Στοιχεία. Έγιναν λοιπόν αρχικά πολλές προσπάθειες να αποδειχθεί ότι η πρόταση αυτή ήταν θεώρημα και ότι μπορούσε να συναχθεί από άλλα αξιώματα. Πολλοί νόμισαν κατά καιρούς ότι είχαν καταφέρει να το αποδείξουν, αλλά η προσεκτική ανάλυση των αποδείξεων αυτών έδειχνε πάντα ότι οι νέες υποθέσεις στις οποίες στηρίζονταν, δεν ήταν στην ουσία παρά επαναδιατυπώσεις του 5ου αιτήματος. Η αντικατάσταση του από κάτι προφανέστερο αποδεικνυόταν δύσκολη επιχείρηση. Οι μαθηματικοί συνέχισαν παρ' όλα αυτά να ερευνούν το 5ο αξίωμα, ιδιαίτερα ο αλΧαγιάμ τον 11 ο αι. και ο Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τούσι τον 13ο, που η λατινική μετάφραση των έργωντους ενέπνευσε τον Ιησουίτη μαθηματικό ΤζιΔεν πρέπει να επιχειρήσεις αυτή την προσέγγιση των παραλρολάμο Σακέρι (1667-1733). Λίγο πριν πεθάνει ο λήλων. Αυτό τον δρόμο τον ξέρω καλά μέχρι το τέλος του. ΔιέΣακέρι έβγαλε ένα βιβλίο με τίτλο Euclides ab omni σχισα αυτή την απύθμενη νύχτα που έσβησε κάθε φως και χαρά naevo vindicatus (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από λάθη), στο οποίο προσπαθούσε να αποδείξει το απ' τη ζωή μου. Σε ικετεύω, άφησε ήσυχη την επιστήμη των αίτημα των παραλλήλων με τη μέθοδο της εις άτοπαραλλήλων... Νόμιζα ότι θυσίαζα τον εαυτό μου εν ονόματι της πον απαγωγής. Κατασκεύασε αυτό που σήμερα αλήθειας. Ήμουν έτοιμος να γίνω ο μάρτυρας που θα αφαιρούσε είναι γνωστό ως «τετράπλευρο του Σακέρι» με δυο το προπατορικό αμάρτημα της γεωμετρίας και θα την απέδιδε ζευγάρια «παράλληλων» ευθειών και τρεις διαφορεκαθαρή στην ανθρωπότητα. Πέρασα τερατώδεις και απίστευτες τικές υποθέσεις ως προς το άθροισμα των εσωτεριταλαιπωρίες· τα ευρήματα μου είναι πολύ καλύτερα από εκείνα κών γωνιών του τετραπλεύρου: ότι δηλαδή το πολλών άλλων, αλλά δεν έχω ακόμα ικανοποιηθεί απολύτως... άθροισμα τους ήταν ή μικρότερο ή ίσο ή μεγαλύΑποτραβήχτηκα απαρηγόρητος, οικτίροντας τον εαυτό μου και τερο από τέσσερις ορθές γωνίες ή 360°. Εάν μποτην ανθρωπότητα. ρούσε να αποδείξει ότι η πρώτη και η τρίτη υπόθεση Γράμμα από τον Βόλφγκανγκ στο γιο του, Πάνος Μπόλυαϊ κατέληγαν σε λογική ανακολουθία, τότε θα είχε αποδείξει ότι η μεσαία υπόθεση, η οποία ήταν ισοδύναμη με το αξίωμα των παραλλήλων, ήταν η μόνη συνεπής με τον εαυτό της γεωμετρία. Ο Σακέρι εύκολα απέρριψε την τρίτη υπόθεση, καθώς οδηγούσε σε λογικές αντιφάσεις. Ωστόσο, η πρώτη υπόθεση δεν οδηγούσε σε λογικά προβλήματα. Στην πραγματικότητα μάλιστα, με βάση αυτό το νέο αξίωμα, ο Σακέρι άρχισε να αποδεικνύει το ένα

< Κύκλος όριο /ντου Μ.ΚΈσερ (1898-1972). Καλλιτεχνική αναπαράσταση της υπερβολικής γεωμετρίας, μιας δισδιάστατης μη ευκλείδειας γεωμετρίας που προτάθηκε από τον Φέλιξ Κλαιν (1849-1925) ως εναλλακτική λύση για την ψευδοσφαίρα του Ευγένιου Μπελτράμι. Σ' αυτή τη γεωμετρία, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180° και το αξίωμα των παραλλήλων του Ευκλείδη δεν ισχύει.

θεώρημα μετά το άλλο. Διαπίστωσε ότι μπροστά στα μάτια του είχε αρχίσει να χτίζεται η * πρώτη μη ευκλείδεια γεωμετρία - όμως εκείνος αρνιόταν να το πιστέψει. Ας μην ξεχνάμε ότι σκοπός του ήταν να αναιρέσει την εγκυρότητα αυτής της υπόθεσης και όχι να κατασκευάσει μια καινούργια γεωμετρία. Σ' αυτό το σημείο αποφάσισε να θυμηθεί την εκκλησιαστική του παιδεία, οπότε απέρριψε αυτή τη νέα γεωμετρία με θεολογικά επιχειρήματα. Οι μαθηματικοί του μέλλοντος θα ήταν Δεν έχω ακόμα κάνει την ανακάλυψη, αλλά ο δρόμος λιγότερο δύσπιστοι από κείνον. Αυτ που ακολουθώ οδηγεί σχεδόν με ασφάλεια στο στόχο, αν ή Π Mavfa μ ετο5ο °#wMa είΧε βαθύτερη έννοια που Π1 βέβαια ένας τέτοιος στόχος είναι εφικτός. Δεν τον έχω · ίΥαινεπολύπι°πεΡααπότΊ λ°ΥιΚΙί αγγίξει ακόμα, αλλά έχω βρει πράγματα τόσο εκπλη^θαρότητα. Αυτό που διακυβευόταν εδώ ήταν η ,'Γ. , , φυσητουιδιουτουχωρου.Ηευκλειδειαγεωμετρια κτικα, που με έχουν αφήσει ενεο. fe) a ήταν κρίμα να ^ , , ,, Γr η * / «. δεν ήτανμονο ένα συνεκτικό και αυστηρό μάθημαn χαθούν όλα αυτά, όπως θα παραδεχτείς και ο ίδιος, αγά- ^σύστημαήτανοτρόποςμετονοποίοήταν πητε μου πατερά, όταν τα δεις. Το μονό που μπορώ να πω τώρα είναι ότι δημιούργησα έναν καινούργιο και διαφορετικό κόσμο απ' το^τίποτα. Όσα σου έχω στείλει ως τώρα δεν είναι παρά ένας χάρτινος πύργος μπροστά σ' αυτό το κάστρο. Γράμμα από τον Πάνος στον πατέρα του Βόλφγκανγκ

ημένος ο ίδιος ο χώρος - η συντομότερη διαδομ δρομή μεταξύ δύο σημείων ήταν μια ευθεία γραμμή, όχι μόνο στη θεωρία αλλά και στην πράξη. Ωστόσο όμως, υπήρχε ήδη μια γνωστή γεωμετρία, στην οποία ακόμα και αυτό δεν ήταν σωστό, η κλασική σφαιρική γεωμετρία. Η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που ενώνει αυτά τα δύο σημεία. Επίσης το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου πάνω σε μία σφαίρα είναι μεγαλύτερο από 180°. Οπότε προς τι όλη αυτή η φασαρία; Η ουσία ήταν η διάκριση μεταξύ εγγενών και εξωγενών ιδιοτήτων μιας γεωμετρίας. Εξωγενείς ιδιότητες είναι αυτές οι οποίες μπορούν να συναχθούν απ' έξω απ' το σύστημα· εγγενείς είναι αυτές οι οποίες συνάγονται εσωτερικά. Π.χ., οι κανόνες της σφαιρικής γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν μέσω της παρατήρησης μιας σφαίρας απ' έξω, όπως όταν κρατάμε μία σφαίρα στο χέρι μας, αλλά πώς μπορούμε να πούμε από καθαρά γεωμετρική άποψη, εάν ζούμε πάνω σε μια σφαίρα ή όχι; Μπορούμε να πούμε γεωμετρικά εάν ζούμε σε επίπεδη γη ή σε σφαιρική; Ή, για να το πούμε αλλιώς, υπάρχουν εγγενείς ιδιότητες οι οποίες να είναι διαφορετικές για το επίπεδο απ' ό,τι είναι για τη σφαίρα; Αυτές οι σχετικά απλές έννοιες είναι σημαντικές, όταν θέλουμε να καταλάβουμε την πραγματική φύση του τρισδιάστατου χώρου, όπου έχουμε πρόσβαση μόνο σε εγγενείς ιδιότητες. Ο Γιόχαν ΧάινριχΛάμπερτ (1728-77) έφτασε πολύ κοντά σε ένα πλήρες μη ευκλείδειο σύστημα. Στο βιβλίο του Θεωρία παράλληλων γραμμών (1766) χρησιμοποίησε μια μέθοδο παρόμοια με του Σακέρι για να δείξει ότι τα τρία σενάρια αντιστοιχούσαν στη δυνατότητα ύπαρξης ενός τριγώνου, του οποίου οι γωνίες να είναι μικρότερες, ίσες ή μεγαλύτερες από 180°. Απέδειξε επίσης, ότι η σφαιρική γεωμετρία εμπίπτει στηντρίτη περίπτωση και υπέθεσε ότι η πρώτη περίπτωση πρέπει να αντιστοιχεί στη γεωμετρία μίας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Αντικαθιστώντας την πραγματική ακτίνα με μία φανταστική έφτασε σε θεωρήματα και τύπους, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν υπερβολική γεωμετρία, στην οποία τα γνωστά ημχ και συνχ αντικαθίστανται από υπερημχ και υπερσυνχ. Έτσι, αν και η ιδέα φαίνεται από φυσική άποψη εξωφρενική, η μαθηματική

>· Ταινία Μέμπιους//του Μ.ΚΈσερ (1898-1972). Η ταινία Μέμπιους ήταν ένας απ' τους πρώτους εξωτικούς τοπολογικούς χώρους με μία μοναδική επιφάνεια φραγμένη από μία μόνο πλευρά. Δύο ταινίες Μέμπιους μαζί σχημάτιζαν ένα μπουκάλι Κλαιν (βλ. σελ. 132)

της έκφραση ήταν απόλυτα ορθή. Οι υποθέσεις του Λάμπερτ, όπως αποκαλύφθηκε αργότερα, δεν απείχαν πολύ απ' την αλήθεια. Στις αρχές του 19ου αι., όταν όλες οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αξιώματος είχαν καταλήξει σε αποτυχία, οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να εξετάζουν την πιθανότητα να υπάρχουν και μη ευκλείδειες, συνεπείς με τον εαυτό τους γεωμετρίες. Σ' ένα ακόμα καταπληκτικό σενάριο ταυτόχρονης ανακάλυψης, δύο άγνωστοι έως τότε μαθηματικοί παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο. Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1793-1856) ήταν γιος ενός χαμηλόβαθμου δημοσίου υπαλλήλου στη Ρωσία ο οποίος πέθανε όταν ο Νικολάι ήταν εφτά χρονών, αφήνοντας μία χήρα και τρεις γιους σε πολύ δύσκολη οικονομική κατάσταση. Μετακομίζοντας στο Καζάν, τα παιδιά αρίστευαν στα μαθήματα και ο Νικολάι περισσότερο απ' όλους. Μπήκε στο καινούργιο τότε Πανεπιστήμιο του Καζάν σε ηλικία δεκατεσσάρων ετών, όπου ήρθε σε επαφή με διακεκριμένους καθηγητές, Γερμανούς κυρίως. Σε ηλικία εικοσιενός ετών ο Λομπατσέφσκι διορίστηκε βοηθός και δύο χρόνια αργότερα τακτικός καθηγητής. Καθώς ήταν υπομονετικός, μεθοδικός και εξαιρετικά εργατικός, κέρδισε την εκτίμηση των συναδέλφων του, οι οποίοι τον φόρτωναν με όλωντων ειδών τις άχαρες διοικητικές δουλειές. Βρέθηκε έτσι να είναι, εκτός των άλλων, βιβλιοθηκάριος αλλά και έφορος του χαώδους μουσείου του πανεπιστημίου. Χωρίς βοηθούς, έκανε όλη τη δουλειά μόνος του, βάζοντας τάξη και στη βιβλιοθήκη και στο μουσείο. Το 1825 η κυβέρνηση διόρισε επιτέλους έναν επαγγελματία έφορο στο πανεπιστήμιο, ο οποίος χρησιμοποίησε τις πολιτικές του διασυνδέσεις για να προωθήσει τον Λομπατσέφσκι στην κορυφή της ιεραρχίας. Το 1827 ονομάστηκε πρύτανης του πανεπιστημίου και με τη συνηθισμένη φιλοτιμία του άρχισε να αναδιοργανώνει το προσωπικό, να φιλελευθεροποιεί τη διδασκαλία καινά βελτιώνει την υλική υποδομή. Μια σημαντική ενέργεια του ήταν η ίδρυση ενός αστεροσκοπείου. Το πανεπιστήμιο ήταν η ζωή του και το λάτρευε. Το 1830, όταν η πόλη του Καζάν χτυπήθηκε από τη χολέρα, ο Λομπατσέφκσι διέταξε όλους τους φοιτητές, το προσωπικό και τις οικογένειες τους να κλειστούν μέσα στο χώρο του πανεπιστημίου. Με τους αυστηρούς κανόνες υγιεινής που επέβαλε, κατάφερε να έχει μόνο 16 νεκρούς από τους 660 έγκλειστους. Το 1846, σε αναγνώριση προφανώς της ακούραστης δουλειάς του για το καλό του Πανεπιστημίου του Καζάν, η κυβέρνηση εντελώς ανεξήγητα τον καθαίρεσε από πρύτανη και του αφαίρεσε και την έδρα του καθηγητή. Οι συνάδελφοίτου και οι φίλοι έκαναν έντονες παραστάσεις στις αρχές αλλά μάταια. Η όραση του είχε τώρα πια αρχίσει να τον εγκαταλείπει, αλλά εκείνος συνέχιζε τις μαθηματικές του έρευνες. Την τελευταία του δημοσίευση αναγκάστηκε να την υπαγορεύσει, καθώς ήταν πια σχεδόν ολοκληρωτικά τυφλός. Το 1826 ο Λομπατσέφσκι υπέβαλε την πρώτη του εργασία στο πανεπιστήμιο (στα γαλλικά, που τότε ήταν η γλώσσα της εκπαίδευσης), στην οποία προδιέγραψε μερικές απ' τις ιδέες του για τη γεωμετρία αλλά ο Αγγελιαφόρος του Καζάν χρειάστηκε τρία ολόκληρα χρόνια για να δημοσιεύσει τις Αρχές γεωμετρίας. Έτσι, η επίσημη χρονολογία γέννησης της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, τουλάχιστον στη μορφή που την παρουσίασε ο Λομπατσέφσκι, είναι το 1829. Στην εργασία του δήλωνε ότι το 5ο αίτημα δεν μπορούσε να αποδειχθεί και κατασκεύαζε μια καινούργια γεωμετρία αντικαθιστώντας το αίτημα αυτό με ένα άλλο. Υιοθέτησε στο σύνολο του αυτό που ο Σακέρι και ο Λάμπερτ είχαν μόνο υποπτευθεί

και κατασκεύασε μια γεωμετρία, το ίδιο αυστηρή και λογική όσο και η ευκλείδεια. Ακόμα και για τον ίδιο τον Λομπατσέφσκι, μερικά απ' τα θεωρήματα στα οποία κατέληξε έμοιαζαν αντίθετα με την κοινή άποψη περί χώρου γι αυτό και ονόμασε την ανακάλυψη του «φανταστική γεωμετρία». Όμως δεν είχε καμία αμφιβολία για τη σημασία της εργασίας του. Ανάμεσα στο 1835 και στο 1838 εκδόθηκε στα ρωσικά το βιβλίο του Λ/έες βάσεις της γεωμετρίας και το 1840 το Γεωμετρικές έρευνες πάνω στη θεωρία των παραλλήλων στα γερμανικά. Με βάση αυτό το βιβλίο, ο Γκάους σύστησε τον Λομπατσέφσκι στην Επιστημονική Εταιρεία του Γκαίτινγκεν, μέλος της οποίας έγινε το 1842. Ωστόσο, ο Γκάους αρνήθηκε να υποστηρίξει επίσημα την εργασία του Λομπατσέφσκι, συμβάλλοντας έτσι στην αργή διάδοση στη μαθηματική κοινότητα αυτών των επαναστατικών ιδεών. Αυτό για τον Λομπατσέφσκι ήταν μεγάλη απογοήτευση, ιδιαίτερα τώρα που είχε απολυθεί από το πανεπιστήμιο και ένιωθε ότι επρόκειτο να τυφλωθεί. Το 1855 το τελευταίο του βιβλίο, Η πανγεωμετρια εκδόθηκε ταυτόχρονα στα γαλλικά και στα ρωσικά. Ο Λομπατσέφσκι, «ο Κοπέρνικος της γεωμετρίας», πέθανε την επόμενη χρονιά. Η φυσική ερμηνεία της μη ευκλείδειας γεωμετρίας έγινε από τον Ευγένιο Μπελτράμι (1835-1900) που απέδειξε ότι η επιφάνεια της ψευδοσφαίρας ικανοποιούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι αλλά και την προγενέστερη εργασία του Λάμπερτ. Το καινούργιο αίτημα του Λομπατσέφσκι μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Ας φανταστούμε μία ευθεία γραμμή που προεκτείνεται επ' άπειρον και ας πάρουμε ένα σημείο στο χώρο που να μη βρίσκεται πάνω σ' αυτή τη γραμμή. Το αίτημα του Ευκλείδη λέει ότι απ' αυτό το σημείο μπορεί να αχθεί μία και μόνο γραμμή, η οποία να είναι παράλληλη με την πρώτη. Ο Λομπατσέφσκι λέει ότι από αυτό το σημείο μπορούν να αχθούν πολλές γραμμές και όλες αυτές να είναι παράλληλες προς την αρχική, με την έννοια ότι δεν συναντιούνται μαζί της πουθενά. Εάν εκφράσουμε αυτή την ιδέα με μαθηματικούς όρους, καταλήγουμε σε μία περίεργη μεν αλλά εντελώς λογική και συνεκτική γεωμετρία. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες τέτοιες γεωμετρίες, που η καθεμιά τους εξαρτάται από τη «γωνία του παραλληλισμού». Η απροθυμία του Γκάους να προωθήσει την εργασία του Λομπατσέφσκι μπορεί να αποδοθεί στην επιθυμία του να κρατήσει ίσες αποστάσεις από τον Λομπατσέφσκι και απ' το φίλο του Φάρκας Μπόλυαϊ, του οποίου ο γιος Πάνος (1802-60) είχε αναπτύξει, παράλληλα με τον Λομπατσέφσκι, μία μη ευκλείδεια γεωμετρία. Ο Φάρκας ήταν καθηγητής μαθηματικών σ' ένα χωριό στην Ουγγαρία (που τώρα βρίσκεται στη Ρουμανία) και είχε παθιαστεί με τη ν προσπάθεια να αποδείξει το 5ο αίτημα. Όταν συνέχισε ο γιος του το έργο αυτό, θεώρησε ότι ματαιοπονεί και του έγραψε λέγοντας «για τ' όνομα του θεού, σε ικετεύω, παράτα τα. Αυτό το πάθος είναι χειρότερο κι απ' το πάθος του αισθησιασμού, γιατί μπορεί

Α Η επιφάνεια Ρήμαν της συνάρτησης (ζ2-1)"4. Για να πάρουμε μια ιδέα της επιφάνειας του Ρήμαν, σε ένα μιγαδικό επίπεδο δύο διαστάσεων ο αριθμός i=V-1 μπορεί να ερμηνευθεί ως μία αριστερή στροφή 90°. Τέσσερις τέτοιες στροφές του σημείου (1,0) το έφερναν πίσω εκεί που ξεκίνησε, δηλαδή ί4 = 1, όμως ο Ρήμαν προσπάθησε να διακρίνει αυτά τα δύο δημιουργώντας πολλαπλά επισωρευμένα σαν θημωνιά, μιγαδικά επίπεδα τα οποία συνδέονται δημιουργώντας ένα σχήμα σαν ανοιχτήρι μπουκαλιών.

να σου στερήσει το χρόνο σου, την υγεία σου, την ψυχική σου ηρεμία και την ευτυχία σου». Ο Γιάνος δεν πείστηκε απ' αυτές τις αποστροφές, αλλά συνέχισε απτόητος τις έρευνες του, για να φτάσει το 1829 στα ίδια σχεδόν συμπεράσματα με τον Λομπατσέφσκι. Ο Μπόλυαϊ ανέπτυξε αυτό που ονόμαζε ο ίδιος την «απόλυτη επιστήμη του χώρου» πάνω στις ίδιες αρχές με τον Λομπατσέφσκι. Ο πατέρας του δημοσίευσε αυτή την εργασία σαν παράρτημα σε μία δική του πραγματεία. Το έργο έχει χρονολογία 1829, την ίδια με το άρθρο του Λομπατσέφσκι, αλλά δεν τυπώθηκε παρά μόνο το 1832. Στριμωγμένο κάπου στο τέλος ενός παλαιομοδίτικου βιβλίου, μπορεί να είχε μείνει εντελώς άγνωστο, εάν ο Φάρκας δεν ήταν φίλος του Γκάους, στον οποίο έστειλε ένα αντίγραφο. Η αντίδραση του Γκάους ήταν να εκφράσει στεγνά την επιδοκιμασία του, αλλά να αρνηθεί τη δημόσια στήριξη του, δηλώνοντας ότι εάν επαινούσε την εργασία αυτή, θα ήταν σαν να επαινεί τον εαυτό του, δεδομένου ότι είχε και ο ίδιος τις ίδιες απόψεις από χρόνια. Ο Γιάνος στενοχωρήθηκε σφοδρά απ' αυτή την απάντηση φοβούμενος ότι θα του έκλεβαν τις ιδέες και αρνήθηκε να δημοσιεύσει οτιδήποτε άλλο. Η απροθυμία του Γκάους να αναγνωρίσει το έργο των Λομπατσέφσκι και Μπόλυαϊ μοιάζει να πηγάζει από καθαρή παραξενιά. Ναι, ο Γκάους είχε ασφαλώς σκεφτεί αυτά τα προβλήματα, αλλά δεν υπάρχει κανένα στοιχείο που να μας λέει ότι είχε εξερευνήσει όλες τις πτυχές μιας μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Η βοήθεια ενός τόσο καταξιωμένου

V Επιφάνεια Ρήμαν της συνάρτη4 4 σης (ζ )"" , όπου ζ μιγαδικός. Η διάλεξη που έδωσε ο Ρήμαν το 1854 έδωσε νέες και ευρύτερες προοπτικές για το αντικείμενο της γεωμετρίας, αποκαλούμενος γι' αυτό «νέος Ευκλείδης».

προσώπου θα μπορούσε κάλλιστα να έχει σώσει την καριέρα του Μπόλυαϊ και την υγεία του Λομπατσέφσκι. Ο ίδιος ο Γκάους είχε προσεγγίσει το θέμα από μία εντελώς διαφορετική σκοπιά. Κοιτώντας τις γραμμές μιας επιφάνειας, κατέληξε στο θεώρημα ότι η «καμπυλότητα» μιας επιφάνειας είχε να κάνει με τη χρησιμοποιούμενη μετρική (δηλαδή με τη μαθηματική έκφραση που επρόκειτο να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων). Ο Γκάους απέδειξε ότι η καμπυλότητα ήταν ανεξάρτητη απ' το χώρο στον οποίο υπήρχε η επιφάνεια· ήταν μία εγγενής ιδιότητα που σχετιζόταν με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια τέτοια επιφάνεια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι ομοιότητες με τη μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι εμφανείς. Δύο χιλιάδες χρόνια προσπαθειών απόδειξης του 5ου αιτήματος κατέληξαν τελικά στην ολική κατάρρευση του συστήματος. Η ειρωνεία του θέματος είναι ότι η ανακάλυψη γεωμετριών, στις οποίες το αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη δεν ισχύει, δικαίωνε τον Ευκλείδη, που το συμπεριέλαβε ως αναγκαίο αξίωμα σε πείσμα της εμφανούς πολυπλοκότητας του. Η ευκλείδεια γεωμετρία παρέμενε λογικά συνεπής με τον εαυτό της, ήταν όμως μία από τις πολλές δυνατές γεωμετρίες, και δεν ήταν καθόλου προφανές ότι ήταν η κατεξοχήν γεωμετρία του χώρου. Η αυξανόμενη συνειδητοποίηση των εγγενών ιδιοτήτων του χώρου γινόταν όλο και πιο σημαντική ως μέθοδος έρευνας της πραγματικής γεωμετρίας του χώρου, καθώς δεν υπήρχε κανένας τρόπος να εξερευνήσουμε αυτή τη γεωμετρία εξωγενώς! Και δεν ήταν καθόλου απίθανο να μεταβαλλόταν η γεωμετρία σε ένα χώρο αντιπαράθεσης και επίδειξης παραδοξοτήτων, αν δεν εμφανιζόταν ένας μαθηματικός, που όρισε τη γεωμετρία με έναν εντελώς καινούργιο τρόπο. Ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν (1826-66), γιος πάστορα, πέρασε στην ανέχεια τα παιδικά του χρόνια, αλλά εξασφάλισε καλές σπουδές στο Βερολίνο και στο Γκαίτινγκεν, όπου το 1854 έγινε βοηθός καθηγητή. Για να καταλάβει αυτή τη θέση, έπρεπε να κάνει μια διάλεξη επί διδακτορία. (Habilitationsschrift). Αυτή ήταν η πιο εντυπωσιακή διάλεξη που έχει γίνει ποτέ στην ιστορία των μαθηματικών. Η διατριβή, με τίτλο «Περίτων υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία» περιέγραφε με τους ευρύτερους δυνατούς όρους τι συνιστά την γεωμετρία ως αντικείμενο. Αυτή η αντίληψη απείχε παρασάγγας από τον κανόνα και το διαβήτη του Ευκλείδη. Ο Ρήμαν όριζε τη γεωμετρία ως τη μελέτη των πολλαπλοτήτων - φραγμένων ή μη χώρων οσωνδήποτε διαστάσεων (ακόμη και άπειρων), μαζί με ένα σύστημα συντε-

Α Ετρουσκική Αφροδίτη: κόκκινο (1986, NCSA) Εικόνα τρισδιάστατης προβολής μιας επιφάνειας τεσσάρων διαστάσεων. Τοπολογικά αντίστοιχη με το μπουκάλι του Κλαιν, αυτό το εκπληκτικό σχήμα ονομάστηκε έτσι λόγω της προφανούς ομοιότητας του με γυναικεία φιγούρα. V Γυάλινο μπουκάλι Κλαιν, με μία μόνο επιφάνεια και κανένα σύνορο αυτό είναι πολύ δύσκολο να αναπαρασταθεί τρισδιάστατο, όμως μπορεί κανείς να τη διασχίσει εκεί όπου η επιφάνεια κόβει τον εαυτό της.

ταγμένων και μία μετρική για τον ορισμό της βραχύτερης απόστασης μεταξύ δύο σημείων. Στην τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία η μετρική παριστάνεται απ' τον τύπο ds2=ay+dy2+dz2,TO διαφορικό αντίστοιχο του πυθαγόρειου θεωρήματος. Αυτές οι πολλαπλότητες είναι ο ίδιος ο χώρος, χωρίς εξωτερικό σύστημα αναφοράς. Η καμπυλότητα του χώρου οριζόταν έτσι απολύτως ως συνάρτηση εγγενών ιδιοτήτων των πολλαπλοτήτων σε οποιοδήποτε είδος χώρου. Για τον Ρήμαν, αντικείμενο της γεωμετρίας ήταν η μελέτη συνόλων διατεταγμένων νυάδων και των κανόνων διάταξης τους1 οι ιδέες του για τον χώρο ήταν τόσο γενικές ώστε να μοιάζουν μη χωρικές και οποιαδήποτε σχέση μεταξύ μεταβλητών να μπορεί να θεωρηθεί ως «χώρος». Εάν ένα σύστημα δεν είναι εφοδιασμένο με μετρική, τότε βρισκόμαστε σ' έναν κλάδο των μαθηματικών που είναι γνωστός ως τοπολογία, η οποία μελετά τον τρόπο, με τον οποίο οι περιοχές του χώρου συνδέονται μεταξύ τους. Ο Ρήμαν είχε εφεύρει εργαλεία, τα οποία τώρα βρίσκονται στην εργαλειοθήκη όλων των μαθηματικών. Δεν είναι να εκπλήσσεται κανείς που στη συγκεκριμένη περίπτωση ακόμα κι αυτός ο φειδωλός Γκάους εκφράστηκε με ενθουσιώδη λόγια για τη δουλειά κάποιου άλλου. Μέσα σ' αυτή τη γενικευμένη γεωμετρία του Ρήμαν, η ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι παρά το διάστημα που ορίζεται από σταθερή καμπυλότητα Ο' η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι έχει καμπυλότητα -1 και η σφαιρική γεωμετρία καμπυλότητα +1. Αν και ο Ρήμαν μπορούσε να θεωρηθεί ο νέος Ευκλείδης, το όνομα του συνδέθηκε με μία πολύ συγκεκριμένη γεωμετρία, εκείνη της ερμηνείας του επιπέδου ως απεικόνισης μιας σφαίρας. Ο Ρήμαν ασχολήθηκε αργότερα και με τη θεωρητική φυσική, όπου η γενική μελέτη των καμπυλόγραμμων μετρικών χώρων άνοιξε το δρόμο για τη Γενική Σχετικότητα. Ο χώρος στον οποίο ζούμε δεν ήταν πια ευκλείδειος και τώρα είχαμε τα μαθηματικά εργαλεία για να εξερευνήσουμε την πραγματική γεωμετρία του σύμπαντος. Σ τη γεωμετρία βρίσκω ορισμένες ατέλειες που θεωρώ ότι ευθύνονται για το ότι αυτή η επιστήμη, αν εξαιρέσουμε τη μετάβαση της στην ανάλυση, δεν έχει κάνει καμιά πρόοδο από τότε που μας παραδόθηκε απ' τον Ευκλείδη. Σ' αυτές τις ατέλειες θεωρώ ότι κατατάσσεται η ασάφεια στις βασικές έννοιες των γεωμετρικών μεγεθών και στον τρόπο παρουσίασης της μέτρησης αυτών των μεγεθών και τελικά το τεράστιο κενό στη θεωρία των παραλλήλων, που όλες οι μέχρι τώρα προσπάθειες των επιστημόνων δεν κατάφεραν να γεφυρώσουν. Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι, Η θεωρία των παραλλήλων, 1840

< Αναπαράσταση με πίνακες των κουατερνίων του Χάμιλτον, τα οποία έπαιξαν σημαντικό ρόλο στη θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού και της κβαντομηχανικής.

Είδαμε στο κεφ. 11 πώς η άλγεβρα απελευθερώθηκε από τα διαοτατικά δεσμά της γεωμει τρίας και πώς, από τον Ντεκάρτ και μετά, τα σύμβολα της άλγεβρας -τα γνωστά μας χ και y- μπορούσαν να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε αριθμητική τιμή και να συνδυαστούν με οποιονδήποτε τρόπο ήταν σύμφωνος με τους κανόνες της αριθμητικής. Σ' αυτό το κεφάλαιο θα δούμε την εξέλιξη της άλγεβρας όταν οι Βρετανοί δέχθηκαν και επέκτειναν τις μεθόδους που είχαν αναπτυχθεί στην ηπειρωτική Ευρώπη. Βασικό της χαρακτηριστικό ήταν η μεγάλη ανάπτυξη διαφορετικών αλγεβρικών διαλέκτων που οδήγησαν τελικά σε μία ριζική επανεκτίμηση του ίδιου του αντικειμένου των μαθηματικών. ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΝΔΗΠΟΤΕ ΑΡΙΘΜΟ Χ, Υ ΚΑΙ Ζ.

x+y=y+x xy=y-x χ+0=χ χ·1 =χ x-fy+z) =xy+x-z

η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική - το άθροισμα δύο αριθμών είναι ανεξάρτητο από τη σειρά με την οποία προστίθενται ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός η πρόσθεση έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, το μηδέν, το οποίο αφήνει κάθε αριθμό αμετάβλητο ο πολλαπλασιασμός έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, τη μονάδα, η οποία αφήνει όλους τους αριθμούς αμετάβλητους ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση

Η ανάλυση στη Βρετανία είχε μείνει πίσω σε σχέση με την υπόλοιπη Ευρώπη. Ο λόγος γι' αυτό ήταν η σημειογραφία των ροών του Νεύτωνα και η μειονεκτικότητά της ως προς το συμβολισμό του Λάιμπνιτς, dy/dx. Η αλλαγή πλεύσης των Βρετανών, αν και αρχικά αντιμετωπίστηκε με επιφυλακτικότητα, έδωσε μερικά εξαιρετικά και σημαντικά αποτελέσματα. Το 1817, όταν ο Τζωρτζ Πήκοκ (1791 -1858) ορίστηκε εξεταστής στις πτυχιακές του Καίμπριτζ η διαφορική σημειογραφία τελικά αντικατέστησε οριστικά τα σύμβολα του Νεύτωνα. Όπως είπε ο Τσαρλς Μπάμπιτζ, σκοπός της Αναλυτικής Εταιρείας, που ιδρύθηκε το 1813 ήταν να προωθήσει «τις αρχές του καθαρού d-ισμού απέναντι σ' αυτές που εκφράζει η αρτηριοσκλήρωση του πανεπιστημίου που είχε μείνει στην dot-age του Νεύτωνα (βλ. κεφ. 13)»· ένας άλλος σκοπός της εταιρείας ήταν «να κάνει τον κόσμο σοφότερο απ' ό,τι τον βρήκαμε». Στο βιβλίο του Πραγματεία περί άλγεβρας (1830), ο Πήκοκ έκανε προσπάθεια να θεμελιώσει την άλγεβρα ως «αποδεικτική επιστήμη». Το πρώτο βήμα ήταν ο διαχωρισμός της αριθμητικής άλγεβρας από τη συμβολική άλγεβρα: τα στοιχεία της αριθμητικής άλγεβρας ήταν οι αριθμοί και οι αριθμητικές πράξεις, ενώ η συμβολική άλγεβρα ήταν «μία επιστήμη, η οποία εξετάζει τους συνδυασμούς συμβόλων και σημείων μόνο σύμφωνα με ορισμένους νόμους, οι οποίοι είναι εντελώς ανεξάρτητοι από τις συγκεκριμένες τιμές που έχουν τα ίδια τα σύμβολα». Αυτή η φαινομενικά ασαφής δήλωση άνοιξε το δρόμο για την αλγεβρική έρευνα γενικά. Υπερνικώντας πάρα πολλές δυσκολίες και επιδεικνύοντας εξαιρετική ευφυΐα, ένας άγνωστος μέχρι τότε δάσκαλος του δημοτικού από το Λίνκολν, ο Τζωρτζ Μπουλ (181564), έγραψε αυτό που σήμερα θεωρείται το πρώτο έργο μαθηματικής λογικής. Ο Μπουλ είχε γίνει φίλος με τον Αύγουστο Ντε Μόργκαν, τον οποίο υποστήριξε σε μία αντιπαράθεση που είχε με τον Σκωτσέζο φιλόσοφο Σερ Γουίλιαμ Χάμιλτον (1788-1856) για ζητήματα λογικής. Αυτός ο Χάμιλτον δεν έχει καμία σχέση με τον Ιρλανδό Σερ Γουίλιαμ

καταλαβαίνει εντελώς τις συνέπειες των προτάσεων του: έχοντας διαπιστώσει την ομοιότητα μεταξύ της μονής και της διπλής άλγεβρας, πίστευε ότι δεν ήταν δυνατή η ύπαρξη τριπλής ή τετραπλής. Σ' αυτό θα έκανε πολύ μεγάλο λάθος. Παρόλο που οι γονείς του είχαν πεθάνει όταν ήταν μικρός, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον έδειξε την ευφυΐα του πάρα πολύ νωρίς. Μεγάλο γλωσσικό ταλέντο, ήξερε να διαβάζει ελληνικά, εβραϊκά και λατινικά στην ηλικία των πέντε ετών. Μπήκε στο Trinity College του Δουβλίνου και όσο ήταν ακόμα προπτυχιακός φοιτητής, στην ηλικία των 22 ετών, διορίστηκε βασιλικός αστρονόμος της Ιρλανδίας, διευθυντής του αστεροσκοπείου του Ντάνσινκ και καθηγητής της αστρονομίας. Ένα από τα αγαπημένα του θέματα ήταν ότι ο χώρος και ο χρόνος ήταν άρρητα συνδεδεμένοι μεταξύ τους, με τη γεωμετρία να είναι η επιστήμη του χώρου και την άλγεβρα να είναι η επιστήμη του χρόνου. Το 1 833 παρουσίασε στη Βασιλική Ιρλανδική Ακαδημία την οριστική του θεωρία για τους μιγαδικούς αριθμούς α+ίβ ως διατεταγμένα ζεύγη (α,/3) με τις κοινές σήμερα γεωμετρικές ερμηνείες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:

Μετά, προσπάθησε να επεκτείνει το σύστημα των δισδιάστατων μιγαδικών αριθμών σε τρεις διαστάσεις. Εκ πρώτης όψεως αστό φαινόταν αρκετά εύκολο - δεν είχε παρά να ορίσειζ=α +/β+/ν, με μήκος ίσο προς V^+jS'+y2). Ο ορισμός της πρόσθεσης ήταν αρκετά εύκολος, αλλά ο πολλαπλασιασμός δεν λειτουργούσε: δεν μπορούσε να αντιμετατεθεί. Αυτό το πρόβλημα και οι αριθμοί υψηλότερης τάξης τον απασχόλησαν για δέκα ολόκληρα χρόνια. Μετά, στις 16 Οκτωβρίου 1843, καθώς περπατούσε με τη γυναίκα του στο Royal Canal, του ήρθε μία ξαφνική έμπνευση: να χρησιμοποιήσει τετράδες και όχι τριάδες καινά εγκαταλείψει τον αντιμεταθετικό νόμο. Έτσιη τετράδα είναιζ=α+/β+/ν+/(δ όπου P=f*=ijk=-'\. Αυτό σήμαινε ότι ij=k αλλά ji=-k, οπότε η αντιμεταθετική ιδιότητα είχε χαθεί. Ωστόσο, η κατασκευή αυτή ήταν συνεπής ως προς τον εαυτό της και μια νέα άλγεβρα είχε δημιουργηθεί. Ο Χάμιλτον σταμάτησε σαν κεραυνοβολημένος και χάραξε μ' ένα μαχαίρι τον τύπο σε μια πέτρα της γέφυρας Broughton. Εκείνη την ημέρα πληροφόρησε τη Βασιλική Ιρλανδική Ακαδημία ότι επιθυμούσε να παρουσιάσει μια εργασία σχετικά με τα κουατέρνια, όπως ονόμασε τις τετράδες του, στην επόμενη συνεδρίαση. Η σημασία των παραπάνω δεν έγκειται τόσο στη δημιουργία μιας καινούργιας άλγεβρας όσο στην ελευθερία που έδωσε στους μαθηματικούς να κατασκευάσουν και άλλες άλγεβρες. Επίσης, ήταν η πρώτη λεπτομερής θεωρία αυτού που σήμερα ονομάζουμε μη αντιμεταθετικές άλγεβρες. Η μη αντιμεταθετική ιδιότητα σήμαινε ότι στις τρεις διαστάσεις μία γενική αλληλουχία δύο περιστροφών δίνει διαφορετικά αποτελέσματα, ανάλογα με τη σειρά με την οποία επιτελείται, αντίθετα απ' ότι συμβαίνει στις δύο διαστάσεις. Ο Χάμιλτον πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του αναπτύσσοντας αυτή τη νέα άλγεβρα, και δημοσιεύοντας το έργο Δαλέξεις νια τα κουατέρνια το 1853. Μεγάλο μέρος της δουλειάς του ήταν αφιερωμένο στις εφαρμογές των κουατερνίων στη γεωμετρία, στη διαφορική γεωμετρία και στη φυσική. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, ο Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ διατύπωσε τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του σε κουατερ-

νικό συμβολισμό. Ο Χαμιλτον πίστευε ακράδαντα, σχεδόν παθιασμένα, ότι τα κουατέρνια έκρυβαν το μυστικό της πλήρους περιγραφής των νόμων του σύμπαντος. Πέθανε το 1865 πριν ολοκληρώσει τα Στοίχεία κουατερνίων, ένα βιβλίο που επιμελήθηκε και εξέδωσε ο γιος του αργότερα. Όχι μόνο απαλλάχθηκε η άλγεβρα από τα δεσμά της γεωμετρίας εκείνη την περίοδο, αλλά και η γεωμετρία απαλλάχτηκε από τις έννοιες του χώρου (κεφ. 16). Η άλγεβρα και η γεωμετρία αντιμετωπίζονταν όλο και περισσότερο σαν καθαρά αφηρημένες κατασκευές ενώ η οικεία αριθμητική άλγεβρα απ' τη μια μεριά και η δισδιάστατη και τρισδιάστατη γεωμετρία απ' την άλλη, δεν ήταν παρά μερικές περιπτώσεις. Σ' αυτό τον τομέα των νέων αλγεβρών βρίσκουμε τα αμερικανικά μαθηματικά να κάνουν την εμφάνιση τους με τους πόνους της γέννας ενός καινούργιου έθνους. Ο Μπέντζαμιν Πηρς (1809-90), καθηγητής μαθηματικών στο Χάρβαρντ και διευθυντής του Γεωδαιτικού Ινστιτούτου, επηρεάστηκε πολύ απ' την εργασία του Χαμιλτον και την προώθησε ευρύτατα στις Η.ΠΑ Ο Πηρς άρχισε να κατασκευάζει πίνακες για 162 διαφορετικές άλγεβρες. Η κάθε άλγεβρα ξεκινούσε με δύο έως έξι στοιχεία, τα οποία μπορούσαν να συνδυαστούν με δύο πράξεις, με τον πολλαπλασιασμό να έχει την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση. Όλες οι άλγεβρες είχαν ένα μηδενικό ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση αλλά όχι κατ' ανάγκη τη μονάδα ως ουδέτερο στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό. Κάθε μία απ' αυτές τις «γραμμικές προσεταιρίστηκες άλγεβρες» αναπτυσσόταν σε ΠΡΟΤΑΣΗΙ πίνακα. Παίρνει κανείς μια ιδέα για την οικονομική κατάσταση των Η. Π .Α. εκείνη τη ν εποχή από το Όλες οι λειτουργίες της γλώσσας ως οργάνου της λογικής γεγονός ότι ένας καθηγητής του Χάρβαρντ το 1870 μπορούν να εκτελεστούν από ένα σύστημα σημείων, το οποίο ήταν αναγκασμένος να εκδώσει το έργο του, που αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: το είχε γράψει με το χέρι μια κυρία, σε εκατό μόνο λιθογραφικά αντίτυπα. Ο γιος του Μπέντζαμιν, ο Ιόν: Κυριολεκτικά σύμβολα όπως x, y κλπ., τα οποία αναΤσαρλς Σάντερς Πηρς (1839-1914), συνέχισε την παριστούν τα αντικείμενα της αντίληψης μας. εργασία του πατέρα του και απέδειξε ότι μόνο σε τρεις από αυτές τις 162 άλγεβρες οριζόταν η 2ον: Σημεία πράξεων όπως τα +, -, Χ, τα οποία αναπαριπράξη της διαίρεσης με μοναδικό τρόπο: στην αριθμητική άλγεβρα, στην άλγεβρα των μιγαδικών στούν τις λειτουργίες εκείνες του μυαλού, με τις οποίες οι αριθμών και στην άλγεβρα των κουατερνίων. Πίσω έννοιες των πραγμάτων συνδυάζονται ή αναδιατάσσονται για στην Αγγλία, ο Γουίλιαμ Κίνγκντον Κλίφορντ (1845να σχηματίσουν καινούργιες έννοιες που περιλαμβάνουν τα ίδια 79) ανέπτυξε αυτό που σήμερα είναι γνωστό με το στοιχεία. όνομα άλγεβρες του Κλίφορντ, ιδιαίτερα τις οκτωνικές και τις δικουατερνικές άλγεβρες, κυρίως για 3ον: Το σημείο της ισότητας, = . να μελετήσει την κίνηση στον μη ευκλείδειο χώρο. Όλα αυτά απέχουν πάρα πολύ από τη μοναδική Και αυτά τα σύμβολα της λογικής υπόκεινται σε συγκεκριάλγεβρα της αρχής του αιώνα. μένους νόμους, οι οποίοι εν μέρει συμφωνούν και εν μέρει διαΗ ιστορία εδώ χωρίζεται σε πολλές παράλληφωνούν με τους νόμους των αντίστοιχων συμβόλων της επιστήλες και αλληλοδιασταυρούμενες διαδρομές. Οι μης της άλγεβρας. οπαδοί του Μπουλ εφάρμοζαν τα μαθηματικά στη λογική δημιουργώντας έτσι μια άλγεβρα της λογιΤζωρτζ Μπουλ, Η διερεύνηση των νόμων της σκέψης, 1854

κής, ενώ ο Τζιουζέπε Πεάνο και αργότερα ο Μπέρτραντ Ράσελ, προσπάθησαν να συνάγουν τα μαθηματικά από τη λογική, μία απόπειρα που θα μπορούσε να ονομαστεί λογικισμός. 'Αλλοι, αναστατωμένοι από την εμφάνιση τόσων πολλών καινούργιων μαθηματικών δομών, άρχισαν να αναζητούν τα στέρεα θεμέλια των μαθηματικών - κάτι που θα μπορούσε να στηρίξει το όλο οικοδόμημα. Οι πρακτικές συνέπειες αυτής της αναζήτησης θα εξεταστούν στο κεφ. 23. Ανάμεσα στα ήσσονος σημασίας αλλά εντυπωσιακά χαρακτηριστικά των μαθηματικών είναι η άσαρκη και σκελετική κατασκευή των προτάσεων τους· η ιδιαίτερη δυσκολία, πολυπλοκότητα και ένταση των λογικών τους προτάσεων η απόλυτη ακρίβεια των αποτελεσμάτων τους· η καθολικότητα τους· η πρακτική τους αυθεντία. Είναι εύκολο να μιλάει κανείς με ακρίβεια για ένα γενικό θέμα. Ωστόσο, πρέπει κανείς να εγκαταλείψει οποιαδήποτε φιλοδοξία βεβαιότητας. Είναι εξίσου εύκολο να είσαι βέβαιος. Αρκεί να είσαι επαρκώς ασαφής. Δεν είναι τόσο δύσκολο να είσαι αρκετά ακριβής και αρκετά βέβαιος ταυτόχρονα για κάποιο πολύ εξειδικευμένο θέμα. Αλλά να ενώσεις, όπως κάνουν τα μαθηματικά, την τέλεια ακρίβεια και το αλάθητο της πράξης με την χωρίς όρια καθολικότητα, είναι κάτι εξαιρετικά σημαντικό. Ωστόσο, δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι όλες αυτές οι ιδιότητες των μαθηματικών είναι αναπόφευκτη συνέπεια του γεγονότος ότι τα μαθηματικά είναι η μελέτη της υποθετικής αλήθειας. Τσαρλς Σάντερς Πηρς (1839-1914), Η ουσία των μαθηματικών, περ. 1870

·< Ηλεκτρομαγνητικά δυναμικά πεδία που δείχνουν την αμοιβαία άπωση μεταξύ δύο ηλεκτροδίων διαφορετικού μεγέθους αλλά ίδιας πολικότητας, από το βιβλίο Πραγματεία ηλεκτρισμού και μαγνητισμού (1873) του Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ.

Από τα μέσα του 18ου αι., οι εξελίξεις στον απειροστικό λογισμό συμβάδιζαν με τις προόδους στη μαθηματική ανάλυση των φυσικών φαινομένων, και ιδιαίτερα της κίνησης. Τα θέματα περιλάμβαναν τη θερμοδυναμική, την ουράνια μηχανική, την υδροδυναμική και τις έρευνες σχετικά με το φως, τον ηλεκτρισμό και το μαγνητισμό. Αυτά όλα αντιμετωπίζονταν με τη διατύπωση κατάλληλων διαφορικών εξισώσεων, που περιέγραφαν τα φαινόμενα, και με την ανάπτυξη των απαραίτητων μεθόδων επίλυσης αυτών των εξισώσεων. Η δυσκολία εύρεσης μοναδικών λύσεων οδήγησε στην ανάπτυξη προσεγγιστικών μεθόδων. Αν και τα παραπάνω φαινόμενα έμοιαζαν να είναι διαφορετικά ως προς το φυσικό περιεχόμενο, όλα είχαν κάποια σχέση με το μέσο του χώρου. Από την εποχή των Principia του Νεύτωνα και μετά μάχονταν πολλά επιχειρήματα σχετικά με την πραγματικότητα της «δράσης εκ του μακρόθεν» - πώς ήταν δυνατόν π.χ. να επιδρά η βαρύτητα πάνω στα σώματα μέσα από τις αχανείς αποστάσεις του διαστήματος. Η βαρύτητα και ο μαγνητισμός ήταν άραγε δύο διαφορετικές μορφές της ίδιας δύναμης, ή ήταν εντελώς διαφορετικά φαινόμενα; Ίσως το διάστημα να ήταν γεμάτο από κάποιο είδος ύλης, γνωστής ως αιθέρα. Αν ήταν όντως έτσι, τι ήταν αυτός ο αιθέρας και ποιες ήταν οι ιδιότητες του; Για να δώσω μια ιδέα γι' αυτούς τους πολυσχιδείς προβληματισμούς, θα επικεντρωθώ στην ιστορία της δυναμικής θεωρίας και στη σχέση της με τον ηλεκτρομαγνητισμό. Ο απειροστικός λογισμός του Λάιμπνιτς διευρυνόταν για να μπορεί να χειριστεί παραπάνω από μία μεταβλητές, έτσι ώστε παράλληλα με τις καμπύλες y=f (χ) για το επίπεδο, να μπορούν να μελετηθούν και καμπύλες του τύπου z=f(x,y) για τον χώρο. Αυτό ήταν εφικτό με την εισαγωγή των μερικών διαφορικών εξισώσεων, στις οποίες η κάθε μεταβλητή μπορούσε να διαφοριστεί ανεξάρτητα από τις άλλες. Η αλληλεπίδραση σωματιδίων σε κίνηση μπορούσε να αναπαρασταθεί από διαφορικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις έλπιζαν ότι θα δώσουν τις διαγραφόμενες τροχιές. Οι αρχικές νευτώνειες λύσεις που έδιναν τις ελλειπτικές μορφές των πλανητών είχαν συναχθεί μετά από κάποιες αρκετά χονδροειδείς απλουστεύσεις, όπως π.χ. την υπόθεση ότι ο ήλιος και οι πλανήτες ήταν σημειακές μάζες και ότι ο κάθε πλανήτης μπορούσε να μελετηθεί ανεξάρτητα από όλους τους άλλους. Τώρα που οι αρχικές αντιρρήσεις για το ηλιοκεντρικό μοντέλο και τις μη κυκλικές τροχιές είχαν πια ξεπεραστεί, μπορούσε να ξεκινήσει η δουλειά που θα έκανε το μοντέλο πιο ακριβές και πιο λεπτομερειακό. Μία τεχνική ήταν η μελέτη των ενεργειακών αλλαγών μέσα σ' ένα δυναμικό σύστημα. Η δυναμική θεωρία ήταν ο μαθηματικός τρόπος έκφρασης της φυσικής ιδέας της διατήρησης της ενέργειας. Η ουράνια μηχανική ένιωσε έντονους κραδασμούς όταν ανακαλύφθηκε ότι οι πλανήτες δεν ακολουθούσαν τελικά εντελώς ελλειπτικές τροχιές, αλλά απέκλιναν από την ιδανική τροχιά τους. Στην πραγματικότητα, πλήθαιναν τα στοιχεία που έδειχναν ότι τίποτα στο ηλιακό σύστημα δεν ακολουθούσε ομαλή τροχιά. Αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη της θεωρίας των διαταραχών, σύμφωνα με την οποία η τροχιά ενός πλανήτη δεν ήταν αποτέλεσμα μόνο της αλληλεπίδρασης του πλανήτη και του ήλιου αλλά επίσης της αλληλεπίδρασης του πλανήτη με όλους τους άλλους πλανήτες. Αυτό έκανε τη μαθηματική ανάλυση εξαιρετικά δύσκολη, καθώς τώρα υπήρχαν πάρα πολλές μεταβλητές. Το πρόβλημα των τριών σωμάτων πήρε κεντρική θέση στον προβληματισμό των επιστημόνων: ακόμα και για ένα απλοποιημένο σύστημα όπως η Γη, ο Ήλιος και η Σελήνη, δεν υπήρχε ακριβής λύση. Όμως το 1747, ο Όυλερ επεξεργάστηκε μια καινούργια τεχνική, με την οποία οι

>· Τόμας Ράιτ, Πρωτότυπη θεωρία ή νέες υποθέσεις περί σύμπαντος, βασισμένες στους νόμους της φύσης, που επιλύει με μαθηματικές αρχές τα γενικά φαινόμενα της ορατής δημιουργίας και ιδιαίτερα του Γαλαξία, 1710. Αυτή η εικόνα αναπαριστά άπειρα σύμπαντα με το μάτι της Θείας Πρόνοιας στο κέντρο του καθενός.

•

αποστάσεις μεταξύ των πλανητών μπορούσαν να βρεθούν κατά προσέγγιση για οποιαδήποτε χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας αναπτύγματα τριγωνομετρικών σειρών. Ο Λέοναρντ Όυλερ (1707-83) είναι ο πολυγραφότερος ίσως μαθηματικός όλων των εποχών. Στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας βοηθήθηκε κάπως από τον Γιόχαν Μπερνούλι (Η οικογένεια Μπερνούλι παρήγαγε πολλές γενιές διακεκριμένων μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί μια πραγματική μαθηματική δυναστεία). Το 1727 ο Όυλερ έγινε μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης που είχε μόλις ιδρυθεί από την Αικατερίνη τη Μεγάλη. Το 1733 ο Ντανιέλ Μπερνούλι, γιος του Γιόχαν, γύρισε στη Βασιλεία έχοντας εγκαταλείψει την έδρα των μαθηματικών στην Αγία Πετρούπολη προς όφελος του νεαρού Όυλερ. Ένα χρόνο αργότερα ο Όυλερ παντρεύτηκε1 έκανε δεκατρία παιδιά, από τα οποία επέζησαν μόνο τα πέντε. Αργότερα έγραψε ότι μερικές από τις πιο ιδιοφυείς ανακαλύψεις

του τις έκανε κρατώντας ένα μωρό στην αγκαλιά και έχοντας πολλά άλλα να παίζουν γύρω του. Όμως η όραση του άρχισε να τον εγκαταλείπει. Το 1740 έγραφε ότι είχε πάψει να βλέπει απ'το δεξί μάτι και το 1771 ήταν πια εντελώς τυφλός. Το 1741 αποδέχτηκε τη ν πρόσκληση του Φρειδερίκου του Μεγάλου να πάει στο Βερολίνο, όπου μερικά χρόνια αργότερα έγινε ο πρώτος διευθυντής μαθηματικών στη νεοϊδρυθείσα Ακαδημία Επιστημών. Ο Όυλερ επέστρεψε στην Αγία Πετρούπολη το 1766, όπου παρά το οξύ πλέον πρόβλημα της όρασης του, έγραψε περισσότερα απ' τα μισά έργα του έχοντας την ανιδιοτελή βοήθεια πολλών πανεπιστημιακών βοηθών αλλά και μία παροιμιώδη μνήμη. Τα εργάτου Όυλερ καλύπτουν στην ουσία όλους τους τομείς των μαθηματικών, ακόμα και πρακτικές δουλειές όπως η χαρτογραφία, η ναυπηγική, η κατασκευή ημερολογίων και η οικονομία. Όμως η βασική του συνεισφορά στα μαθηματικά -που τον έκανε και διάοημοήταν η έκθεση των βάσεων της μαθηματικής ανάλυσης και της αναλυτικής μηχανικής, κυρίως στα έργα Εισαγωγή στην ανάλυση των απειροστών (1748) και Θεωρία της κίνησης των στερεών σωμάτων (1765) και σε διάφορα άλλα σχετικά με τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό. Ολόκληρη η γλώσσα των συναρτήσεων είναι δική του, όπως το σύμβολο f (χ) και πάρα πολλά κοινά σήμερα μαθηματικά σύμβολα όπως το π για τον λόγο της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο του, το e για τη βάση των φυσικών λογαρίθμων, το i για τη V-1 και το Σ για την άθροιση. Γι' αυτόν η θεωρία των αριθμών, η γεωμετρία και η ανάλυση ήταν αλληλοσυμπληρούμενοιτομείς στοντρόπο περιγραφής των φυσικών φαινομένων. Η θεωρία των διαταραχών οδήγησε σε πιο ακριβή αποτελέσματα για τις πλανητικές τροχιές, αλλά και στο θεωρητικά πολύ ανησυχητικό συμπέρασμα ότι δεν υπήρχε κανένας λόγος οι πλανήτες να παραμείνουν στις σημερινές τους τροχιές. Οι μικρές μεταπτώσεις μπορούσαν εύκολα να μεγεθυνθούν σε σημείο που ένας πλανήτης να φύγει κάποια στιγμή εντελώς από την τροχιά του - ήταν σαν να ξαναέπιαναν δουλειά εκείνα τα αγγελικά όντα που κάποτε συγκρατούσαν τους πλανήτες στις τροχιές τους. (Τον 20ό αι. ανακαλύφθηκε ότι η δυναμική του ηλιακού συστήματος μπορούσε να εξηγηθεί από τη θεωρία του χάους - κεφ. 24). Οι εξισώσεις που ήταν απαραίτητες για την περιγραφή της πλανητικής κίνησης αύξαναν και σε αριθμό και σε πολυπλοκότητα. Στη Γαλλία προτιμούσαντις αναλυτικές μεθόδους από τις γεωμετρικές, κάτι που οδήγησε σε ακόμα πιο δύσκαμπτες εξισώσεις. Η αναλυτική προσέγγιση σφραγίστηκε απ' τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (1736-1813), που ανέπτυξε ένα σύστημα εξισώσεων γνωστό ως «λαγκρανζιανή εξίσωση». Στο έργο του Αναλυτική μηχανική (1788), μέσα σε πεντακόσιες ολόκληρες σελίδες, δεν είχε περιλάβει ούτε ένα διάγραμμα. Το 1799 ο Λαπλάς έβγαλε τον πρώτο τόμο του εγκυκλοπαιδικού Πραγματεία ουράνιας μηχανικής, όπου έδινε ιδιαίτερη έμφαση στη δυναμική θεωρία και στη θεωρία των διαταραχών. Πολλές από τις εξελίξεις στη Γαλλία έγιναν μια εποχή που ελάχιστοι μαθηματικοί μπορούσαν να αποφύγουν τους πολιτικούς κλυδωνισμούς της Γαλλικής Επανάστασης. Ο νεαρός Ωγκυστέν Λουί Κωσύ (1789-1857) απέφυγε τις χειρότερες ακρότητες της Γαλλικής Επανάστασης, καθώς η οικογένεια του έφυγε προσωρινά απ' το Παρίσι. Αφού τελείωσε την Ecole Polytechnique δούλεψε στην προετοιμασία της Ναπολεόντειας εισβολής στην Αγγλία. Αυτό όμως που πραγματικά ήθελε να κάνει ήταν να αφοσιωθεί στα μαθηματικά. Μετά από αρκετές απογοητεύσεις, διορίστηκε βοηθός καθηγητής στην έδρα της ανάλυσης της Ecole Polytechnique. Ο Κωσύ ήταν πολυγραφότατος: τα βασικά του έργα είναι το Εγχειρίδιο ανάλυσης (1821) και τα Μαθήματα διαφορικού λογισμού (1829). Τα απαντά του γεμί-

\ s. », . ·

> ζουν 27 μεγάλους τόμους. Όμως, στο π'Ολπτκό κλφα'της Γαλλίας των αρχών του 19ου αι. οι « φανατικές καθολικές απόψεις του δεν γίνονταν ευμενώς δεκτές από πολλούς συναδέλφους του και οι σχέσεις του μαζί τους ήταν συχνά εξαιρετικά τεταμένες. Επειδή υποστήριξε τους Ιησουίτες στη διαμάχη τους με την Ακαδημία Επιστημών και αρνήθηκε να δηλώσει αφοσίωση στο καινούργιο καθεστώς του 1830, απολύθηκε απ' τη θέση του και ακολούθησε στην εξορία τον Κάρολο Γ. Όταν γύρισε στη Γαλλία εξαιρέθηκε από τις κρίσεις για την έδρα των μαθηματικών στο College de France, παρά το ότι ήταν με μεγάλη διαφορά ο καλύτερος υποψήφιος. Τις πανεπιστημιακές του θέσεις τις ξαναπήρε το 1848, όταν ανατράπηκε ο Λουδοβίκος Φίλιππος. Μεταξύ του 1840 και του 1847 ο Κωσύ έβγαλε το τετράτομο έργο Ασκήσεις ανάλυσης και μαθηματικής φυσικής. Ο Κωσύ βοήθησε να τεθούν οι βάσεις για την πραγματική και τη μιγαδική ανάλυση, η οποία αποτελεί τη βάση της μαθηματικής φυσικής. Η γαλλική μέθοδος προσεγγιστικής λύσης συναρτήσεων μέσω κολοβών δυναμοσειρών, με την ελπίδα ότι αν αύξαναν τον αριθμό των όρων, θα αυξανόταν και η ακρίβεια της λύσης, ήταν πολύ δύσχρηστη. Π.χ.,το 1860 ο ΣαρλΝτελωναί δημοσίευσε μια τερατώδη εξίσωση που έπιανε ένα ολόκληρο κεφάλαιο, την οποία ακολουθούσαν περίπου 60 μέθοδοι εκτίμησης όρων. Το 1834, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον υπέβαλε μια εργασία στη Βασιλική Εταιρεία στην οποία παρουσίαζε τη συνάρτηση που τώρα είναι γνωστή με το όνομα Χαμιλτονιανή. Σε μία και μόνη χαρακτηριστική εξίσωση περιέγραφε την κίνηση οποιουδήποτε αριθμού σημειακών μαζών που βρίσκονταν σε κίνηση μέσα σ' ένα δυναμικό. Κι όχι μόνο αυτό, αλλά όπως εξήγησε ο ίδιος ο Χάμιλτον, η εξίσωση του έδινε και τη μέθοδο επίλυσης της, αντίθετα απ' ό,τι έκανε η λαγκρανζιανή εξίσωση, η οποία συχνά δεν είχε καν λύσεις. Από τα μέσα του 19ου αι. οι μέθοδοι και η γλώσσα της δυναμικής θεωρίας μεταμορφώθηκαν από τις καινοτομίες του Ρήμαν στη γεωμετρία (κεφ. 16). Ο νέος τομέας των μαθηματικών, που έγινε γνωστός ως διαφορική γεωμετρία, επέκτεινε τις έννοιες του απειροστικού λογισμού στον τρισδιάστατο χώρο. Οι διάφορες γεωμετρικές οντότητες, όπως σημεία, καμπύλες και επιφάνειες, περιγράφονταν μέσω διανυσμάτων ενώ δυναμικές έννοιες όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η ενέργεια μπορούσαν να περιγραφούν με συναρτήσεις και τελεστές που δρουν επάνω τους. Στις τρεις διαστάσεις υπάρχουν τρεις διαφορετικοί διανυσματικοί τελεστές: ο τελεστής κλίσης (γνωστός και ως grad) ο οποίος μεταβάλλει την αριθμητική συνάρτηση f (x,y,z) σε ένα διάνυσμα1 ένας τελεστής στροβιλισμού (curl), ο οποίος μεταβάλλει ένα διάνυσμα σε ένα άλλο διάνυσμα· και ένας αριθμητικός τελεστής (div) ο οποίος μεταβάλλει ένα διάνυσμα σε μία αριθμητική συνάρτηση. Και πράγματι, καθώς η κάθε μεταβλητή μέσα σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούσε να αντιμετωπιστεί ως «διάσταση» του συστήματος, η εργασία του Ρήμαν για τους χώρους περισσότερων διαστάσεων έκανε τη διαφορική γεωμετρία το τέλειο εργαλείο για την περιγραφή φυσικών συστημάτων μέσα σε ένα ενιαίο πλαίσιο. Ήταν με τους όρους της διαφορικής γεωμετρίας που ο Μάξγουελ διατύπωσε τη θεωρία του για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Στα μέσα του 19ου αι. υπήρχαν ήδη πολλά πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα για τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό. Στη δεκαετία του 1780 ο Τσαρλς Κουλόμπ είχε ανακαλύψει πειραματικά ότι η ηλεκτροστατική δύναμη μεταξύ δύο φορτισμένων σωματιδίων ακολουθούσε το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου. Οι επιστήμονες μπορούσαντώρα να εφαρμόσουν στα ηλεκτροστατικά φαινόμενα μερικά από τα μαθηματικά μοντέλα που είχαν αναπτυχθεί στη μελέτη των βαρυτικών δυνάμεων. Το 1812, οΣιμεόν-Ντενι'Πουασόνανπμε-

τώπισε την ηλεκτροστατική με τρόπο που θύμιζε την Ουράνια μηχανική του Λαπλάς της προηγούμενης δεκαετίας. Υπέθεσε ότι ο ηλεκτρισμός ήταν αποτέλεσμα δύο ρευστών με αντίθετο φορτίο, τα οποία υπήρχαν σε όλα τα σώματα, όπου όμοια σωματίδια απωθούνται και ανόμοια έλκονται. Ένα χρόνο αργότερα κατέληξε σε μία μερική διαφορική εξίσωση, γνωστή τώρα ως «εξίσωση του Πουασόν», που συσχετίζει το δυναμικό με την πυκνότητα του φορτίου. Το 1820, ο Χανς Κρίστιαν Έροτεντ ανακάλυψε τον ηλεκτρομαγνητισμό δείχνοντας ότι ένα σύρμα μέσα από το οποίο περνούσε ηλεκτρικό ρεύμα μπορούσε να προκαλέσει την ταλάντωση μιας μαγνητικής βελόνας. Αυτή η ανακάλυψη έκανε τον Αντρέ Μαρί Αμπέρ να μελετήσει την αλληλεπίδραση μεταξύ ηλεκτρισμού και μαγνητισμού, για την οποία εφεύρε τον όρο «ηλεκτροδυναμική». Απέδειξε μαθηματικά ότι η ηλεκτρομαγνητική δύναμη ακολουθούσε το νόμο του αντίστροφου τετραγώνου, όπως ακριβώς και η ηλεκτροστατική . Ο Μάικλ Φάραντεϊ ανεκάλυψε το φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής και έδειξε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός ήταν άρρηκτα συνδεδεμένοι μεταξύ τους. Ωστόσο, οι θεωρίες της φυσικής εκείνη την εποχή δεν ήταν ακόμη σε θέση να εξηγήσουν ικανοποιητικά τα φαινόμενα. Η ιδεατού Αμπέρπ.χ. για την ύπαρξη μικρών ηλεκτρικών δινών στον αιθέρα οι οποίες ήταν το μέσον μετάδοσης του μαγνητισμού ήταν προβληματική, όπως άλλωστε και το αντίστοιχο μοντέλο του Ντεκάρτ για τη ν πλανητική κίνηση. Αναλύοντας τη βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ Γης και Σελήνης, οι αστρονόμοι συνειδητοποίησαν ότι λόγω του μεγέθους τους και της μεταξύ τους απόστασης, τα δύο αυτά ουράνια σώματα δεν μπορούσαν πλέον να εκλαμβάνονται ως σημειακές μάζες: ήταν πλέον απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επίδραση ολόκληρης της μάζας. Για ένα οποιοδήποτε σημείο στη Γη, η επίδραση της βαρύτητας της σελήνης ήταν συνάρτηση του όγκου, της μάζας αλλά και του σχήματος. Η σχέση μεταξύ των δυνάμεων στο εσωτερικό ενός σώματος και στην επιφάνεια του εκφράστηκαν μαθηματικά ως σχέση μεταξύ του ολοκληρώματος του όγκου και του ολοκληρώματος της επιφάνειας. Η σχέση αυτή κωδικοποιήθηκε το 1828 στο θεώρημα του Γκρην, από το όνομα του Τζωρτζ Γκρην, ο οποίος σπούδασε μαθηματικά στο Καίμπριτζ, όπου και δίδαξε αργότερα. Αυτό το θεώρημα, το οποίο ανέπτυξε ο Γκρην για τα ηλεκτρομαγνητικά δυναμικά, μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και για τα βαρυτικά δυναμικά. Το 1873 ο Μάξγουελ έβγαλε το βιβλίο Πραγματεία ηλεκτρισμού και μαγνητισμού, στο οποίο οι βασικές έννοιες είναι τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία κατά Φάραντεϊ. Ο Μάξγουελ προσπάθησε να αποφύγει την εμπλοκή σε αντεγκλήσεις σχετικά με την ύπαρξη ή τη μη ύπαρξη του αιθέρα και την πραγματική φύση του χώρου υιοθετώντας

< Μαγνητικές δυναμικές γραμμές όπως τις φωτογράφισε ο ΣυλβάνουςΤόμσοντο 1878.Ταδυναμικά πεδία δημιουργούνται από ρευματοφόρους αγωγούς κάθετους στο επίπεδο της εικόνας. V Φωτογραφία θετικής ηλεκτρικής εκκένωσης παρμένη το 1892 από τον 'Αλαν Άρτσιμπαλντ Κάμπελ Σουίντον.

μια εντελώς καινούργια προσέγγιση. Η θεωρία του αποφεύγει να βασιστεί σε μικροσκο, πικές έννοιες όπως το φορτίο ή το ηλεκτρικό ρεύμα που τότε δεν ήταν ακόμα επαρκώς κατανοητές, αλλά στηρίζεται σε μία μακροσκοπική προσέγγιση, υποθέτοντας την ύπαρξη πεδίων, τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους αλλά και με το μέσο, μέσα από το οποίο διαδίδονται. Για τον Μάξγουελ, ο χώρος ήταν ένα ελαστικό συνεχές και μπορούσε έτσι να μεταδώσει την κίνηση από σημείο σε σημείο. Λόγω αυτή της ελαστικότητας, το ίδιο το μέσο μπορούσε να αποθηκεύσει κινητική και δυναμική ενέργεια. Έκανε εκτεταμένη χρήση της δυναμικής θεωρίας και της διαφορικής γεωμετρίας, γράφοντας αρχικά τις εξισώσεις του με τον συμβολισμό των κουατερνίωντου Χάμιλτον και μετά στο καρτεσιανό τους αντίστοιχο. Αυτός που μετέγραφε τις εξισώσεις του Μάξγουελ στη διανυσματική μορφή με την οποία χρησιμοποιούνται σήμερα ήταν ο Όλιβερ Χήβισαϊντ. Η θεωρία του Μάξγουελ και η παρουσίαση της δεν έγιναν αμέσως αποδεκτές. Ο Τ.Τ. Τόμσον κατηγόρησε τον Μάξγουελ για «μυστικισμό» σε σχέση με τις θεωρίες του για τα πεδία, κάτι που θυμίζει την αντίστοιχη αντιμετώπιση του Νεύτωνα, όταν πρότεινε τη θεωρία του για τη βαρύτητα. Αυτή η περίοδος ήταν περίοδος σύγχυσης ως προς την πραγματική φύση του χώρου, και πολλοί φυσικοί προσάρμοσαν τις εξισώσεις του Μάξγουελ για να ικανοποιήσουν τις θεωρίες που εκείνοι προτιμούσαν. Το 1861 ο Μάξγουελ υπολόγισε ότι η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων πλησίαζε πολύ την ταχύτητα του φωτός, κάτι που τον ώθησε να εντάξει το φως στο ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Το 1888 ο Χάινριχ

Α Φωτογραφία θετικής ηλεκτρικής εκκένωσης παρμένη το 1892 από τον 'Αλαν Άρτσιμπαλντ Κάμπελ Σουίντον.

Χερτς δικαίωσε τη θεωρία του Μάξγουελ αποδεικνύοντας πειραματικά την ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Ταυτόχρονα, τα πειράματα των 'Αλμπερτ Μάικελσον και Έντουαρντ Μόρλεϋ έδειξαν ότι εάν υπήρχε αιθέρας, τότε θα έπρεπε να μην τον επηρεάζει καθόλου η κίνηση ενός σώματος μέσα απ' αυτόν, είτε επρόκειτο για πλανήτη είτε για μία δέσμη φωτός. Οι παλιές αντιρρήσεις για την εκ του μακρόθεν επίδραση εξαφανίστηκαν ενδίδοντας στα πειραματικά δεδομένα. Μία εκ βάθρων αναθεώρηση της έννοιας του χώρου και του χρόνου έγινε το 1905 από τον 'Αλμπερτ Αϊνστάιν. Δύο απ' τις πρώτες χρήσεις των εξισώσεων του Μάξγουελ ήταν ο τηλέγραφος κι ο ασύρματος. Ο Χήβισαιντ μεταμόρφωσε το αντικείμενο με την εξίσωση του τηλεγράφου, η οποία λάμβανε υπόψη την αυτεπαγωγή κατά τη μετάδοση μέσω αγωγών, κάτι που είχαν παραβλέψει όλοι οι υπόλοιποι. Αυτό οδήγησε στην κατασκευή επαγωγικών πηνίων, που ενίσχυαν το επίπεδο του σήματος κατά μήκος καλωδίων όπως το υπερατλαντικό. Το 1902 ο Γουλιέλμος Μαρκόνι κατάφερε να μεταδώσει ένα ραδιοσήμα στην άλλη πλευρά του Ατλαντικού. Αυτό έθεσε τους μαθηματικούς φυσικούς μπροστά στο πρόβλημα της ακριβούς περιγραφής του τρόπου με τον οποίο ταξίδευαν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα γύρω απ' την ατμόσφαιρα της Γης, ιδιαίτερα όταν ο δέκτης βρισκόταν πέρα από τον οπτικό ορίζοντα του πομπού. Η βιομηχανία των τηλεπικοινωνιών βασίστηκε στα ευρήματα των πρωτοπόρων για να εξελιχθεί στη συνέχεια με ταχύτατους ρυθμούς.

< To 1890 ο Ιταλός μαθηματικός και καθηγητής λογικής Τζιουζέπε Πεάνο (1858-1932) προβλημάτισε τους συγχρόνους του προτείνοντας μία καμπύλη η οποία γέμιζε ολόκληρο το επίπεδο, ένα μονοδιάστατο δηλαδή αντικείμενο που κάλυπτε μία δισδιάστατη επιφάνεια. Αυτό είναι ένα παράδειγμα μίας τέτοιας καμπύλης.

Για πολλούς αιώνες, μαθηματικοί και φιλόσοφοι πάλευαν με την έννοια του απείρου. Ο τρό, μος των Ελλήνων για τα πραγματικά άπειρα και το αντίστροφο τους, τα απειροστά, επανεμφανιζόταν περιοδικά με χαρακτηριστικότερο παράδειγμα τους ορισμούς του απειροστικού λογισμού. Τον 19ο αι. αντιμετωπίστηκε τελικά το πρόβλημα κατά μέτωπο. Πολλοί κλάδοι των μαθηματικών αναπτύχθηκαν μέσα από τη συσσωρευμένη εργασία πολλών εγκεφάλων, αλλά η μάχη κατά του απείρου και η συνακόλουθη δημιουργία της θεωρίας των συνόλων ήταν έργο ενός μόνο ανθρώπου, του Γκέοργκ Κάντορ. Το έναυσμα ήταν η ολοένα αυξανόμενη χρήση απείρων σειρών και οι αμφιβολίες που υπήρχαν για την εγκυρότητα τους. Αυτός που επαναδιατύπωσε τις βασικές έννοιες του απειροστικού λογισμού στη γλώσσα της αριθμητικής αντί της γεωμετρίας ήταν ο Κωσύ (γνωστή ως αριθμητικοποίηση της ανάλυσης). Αντιστρέφοντας στην ουσία την ελληνική αντίληψη ότι η γεωμετρία είχε την πρωτοκαθεδρία, ως ο πλέον αυστηρά θεμελιωμένος μαθηματικός κλάδος, στόχος του 19ου αι. έγινε ο επαναπροσδιορισμός της ανάλυσης κατ' εικόνα και ομοίωση της αριθμητικής. Αυτό έγινε δυνατό με την αυξανόμενη χρήση συναρτήσεων πολλαπλών μεταβλητών και συναρτήσεων μιγαδικών μεταβλητών, που η οπτικοποίησή τους ήταν αδύνατη. Το 1822 ο Ζοζέφ Φουριέ (1768-1830) εξέδωσε το κλασικό του έργο/Αναλυτ«ί) θεωρία της θερμότητας. Αναλύοντας τη ροή της θερμότητας, έλυσε τη διαφορική εξίσωση στην οποία κατέληξε με αυτό που σήμερα ονομάζουμε σειρές Φουριέ. Κατ' αυτόν, οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί από μια άπειρη σειρά ημίτονων και συνημίτονων όχι μόνον οι ομαλές συνεχείς συναρτήσεις αλλά ακόμα και εκείνες με ασυνέχειες ή άλματα. Ωστόσο, κάποιοι άρχισαν να αμφισβητούν τη σύγκλιση των απείρων σειρών προς την απαιτούμενη συνάρτηση και ο Λεζέν Ντίριχλετ απέδειξε ότι αυτό συμβαίνει κάτω από ορισμένους περιορισμούς. Η όλη έννοια της συνάρτησης γενικεύτηκε στη συνέχεια από τον Ντίριχλετ, που όρισε ότι οποιοσδήποτε κανόνας συνέδεε το χ με το y μπορούσε να θεωρηθεί συνάρτηση - χωρίς να είναι απαραίτητο να διατυπωθεί με κάποια αναλυτική έκφραση ή εξίσωση. Π.χ., ο Ντίριχλετ κατασκεύασε μία «τρελή συνάρτηση», την οποία όρισε ωςν=α αντο χ είναι ρητός καιγ=β αντοχ είναι άρρητος. Αυτή η συνάρτηση, που σήμερα θα χαρακτηριζόταν «παθολογική», ήταν ασυνεχής σε κάθε σημείο της, άρα δεν ήταν διαφορίσιμη πουθενά, ενώ το αν είχε ολοκλήρωμα έγινε αντικείμενο έντονης αντιπαράθεσης. Το πρόβλημα δεν μπορούσε να λυθεί αν δεν ξεκαθαριζόταν τι ακριβώς ήταν οι άρρητοι αριθμοί. Όταν ο Γαλιλαίος ανέλυε το φαινόμενο της επιτάχυνσης, διαπίστωσε ότι αν πάρουμε την άπειρη σειρά των φυσικών αριθμών 1,2,3... και υψώσουμε στο τετράγωνο καθέναν από αυτούς παίρνουμε τη σειρά 1,4,9... Ο κάθε αριθμός της δεύτερης σειράς βρίσκεται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με κάθε αριθμό της πρώτης, άρα οι δύο αυτές σειρές πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό όρων. Όμως, στη δεύτερη λείπουν κάποιοι αριθμοί, άρα λογικά θα έπρεπε να έχει λιγότερους όρους από την πρώτη. Ένα από τα δύο μπορούσε να συμβαίνει: ή αυτά τα δύο άπειρα ήταν ίδια, ή υπήρχαν διαφόρων ειδών άπειρα. Ο Μπέρνχαρτ Μπολτσάνο (1781 -1848), ιερέας από την Πράγα, ανέπτυξε ενδιαφέρουσες ιδέες, που δυστυχώς παρέμειναν άγνωστες για πολλά χρόνια. Είχε συλλάβει μία παρόμοια αριθμητικοποίηση του απειροστικού λογισμού με εκείνηντου Κωσύ, ο οποίος κατά τη διάρκεια της εξορίας του στην Πράγα συναντήθηκε με τον Μπολτσάνο μία φορά. Στο βιβλίο του Παράδοξα του απείρου, που εκδόθηκε δύο χρόνια μετά το θάνατο του, ο Μπολτσάνο έδειξε ότι παράδοξα σαν εκείνα που είχε επισημάνει ο Γαλιλαίος ήταν συνηθισμένα όχι μόνο

V Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (18621943) πρότεινε στον Πεάνο μία παρόμοια καμπύλη που γέμιζε όχι το επίπεδο αλλά τον χώρο: μία μονοδιάστατη δηλαδή γραμμή που κάλυπτε έναν τρισδιάστατο κύβο. Αυτές όπως και άλλες ανάλογες, φαινομενικά παράλογες ιδέες έκαναν τους μαθηματικούς να εξετάσουν από πιο κοντά την φύση των αριθμών, την έννοια του χώρου και την ασαφή έννοια του απείρου.

στους φυσικούς αριθμούς αλλά και στους πραγματικούς. Π.χ., ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους μίας μονάδας εμπεριέχει τον ίδιο αριθμό πραγματικών όσο και ένα ευθύγραμμο τμήμα διπλάσιου μήκους, κάτι που αντιβαίνει στην κοινή λογική. Αυτός ο Βοημός φιλόσοφος φαίνεται να έφτασε πολύ κοντά στη διαπίστωση ότι το άπειρο των πραγματικών αριθμών είναι διαφορετικού τύπου από το άπειρο των φυσικών. Είχε κι αυτός τη δική του συνεισφορά στον αυξανόμενο κατάλογο παθολογικών συναρτήσεων, συναρτήσεων δηλαδή που κατάφερναν να σπάσουντους καθιερωμένους κανόνες του απειροστικού λογισμού. Αυτή η διττή ενασχόληση με τις ιδιότητες των συναρτήσεων και των αριθμών δεν ήταν τυχαία. Εάν οποιαδήποτε συνάρτηση μπορούσε να εκφραστεί μέσω μιας άπειρης σειράς, όπως του Φουριέ π.χ., τότε ήταν απαραίτητο να διασφαλιστεί η σύγκλιση της σειράς στη συνάρτηση για κάθε τιμή του χ, αυτό δηλαδή που αποκαλούμε σημειακή σύγκλιση. Καθώς αυτός ο έλεγχος για κάθε σειρά είναι μια εξαιρετικά ανιαρή και άχαρη διαδικασία, προτάθηκαν διάφορα κριτήρια σύγκλισης, που όλα τους απαιτούσαν μια πολύ καθαρή αντίληψη σχετικά με τις άπειρες συγκλίνουσες ακολουθίες αριθμών. Ο Κωσύ, με την ελληνοπρεπή του απέχθεια για τα πραγματικά άπειρα, μπλέχτηκε σε έναν φαύλο κύκλο ορίζοντας κάπου τους άρρητους αριθμούς ως όριο μιας ακολουθίας ρητών και αλλού ακριβώς το αντίστροφο. Ο Καρλ Βάιεροτρας προσπάθησε να απαλλάξει τους άρρητους από την εξάρτηση τους από τα όρια επιχειρώντας να τους ορίσει όχι ως όριο μίας ακολουθίας αλλά ως την ίδια την ακολουθία. Στο μεταξύ, ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν αναμόρφωσε την έννοια του ολοκληρώματος σε αυτό που σήμερα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις μαθηματικών. Η συνάρτηση Ντίριχλετ που προαναφέραμε δεν περιείχε ακόμα ολοκληρώματα τύπου Ρήμαν. Συνεισφέροντας στο σπορ της εύρεσης παθολογικών συναρτήσεων, ο Ρήμαν βρήκε μία δική του, που είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία, αλλά το ολοκλήρωμα της όχι μόνον υπάρχει αλλά είναι συνεχής συνάρτηση, η οποία με τη σειρά της δεν έχει παράγωγο για άπειρα επίσης σημεία. Το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού άρχισε και αυτό με τη σειρά του να αμφισβητείται. Αυτό που χρειαζόταν ήταν μια πραγματική κατανόηση του τι ήταν ένας άρρητος αριθμός, και ως εκ τούτου ένας σαφής ορισμός ενός πραγματικού αριθμού. Μέχρι το 1850 ίσχυαν δύο διαφορετικές κατηγοριοποιήσεις των πραγματικών αριθμών: ρητοί και άρρητοι' αλγεβρικοί και υπερβατικοί. Οι ρητοί ήταν αριθμοί του τύπου m/n, δηλαδή οποιοδήποτε θετικό ή αρνητικό κλάσμα περιλαμβανομένων των ακεραίων και του μηδενός. Οι άρρητοι ήταν αριθμοί που δεν ήταν ρητοί, όπως π.χ. η Λ/2 ή το π. Αλγεβρικοί αριθμοί ήταν οι αριθμοί που αποτελούσαν λύσεις πεπερα^ σμένων πολυωνυμικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές, κάτι που περιλάμβανε αριθμούς όπως το λ/2 αλλά όχι το π. Υπερβατικοί ήταν οι αριθμοί που δεν ήταν αλγεβρικοί. Βλέπουμε αμέσως ότι και οι άρρητοι και οι υπερβατικοί ορίζονταν μέσω του τι δεν είναι και

Α Αυτές οι ανακλαστικές σφαίρες είναι ένα παράδειγμα αυτόομοιότητας. Η κεντρική σφαίρα γεννάει άλλες σφαίρες μισής ακτίνας από την ίδια, η καθεμία από τις οποίες γεννάει επιπλέον σφαίρες με την ίδια διαδικασία. Εάν συνεχίσουμε έτσι, το εμβαδόν των επιφανειών τείνει προς το άπειρο, ενώ ο συνολικός όγκος παραμένει φραγμένος και πεπερασμένος.

δεν ήταν καθόλου σαφές εάν είχαν δικές τους ιδιότητες. Το 1872 εκδόθηκαν διάφορα έργα σχετικά με το θέμα από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ (1831-1916) και τον Γκέοργκ Κάντορ (18451918), που εκείνη τη χρονιά είχαν δεθεί με στενή φιλία. Δούλευαν σε μικρά ιδρύματα -ο Ντέντεκιντ στο Πολυτεχνείο του Brunswick, απ' όπου καταγόταν, και ο Κάντορ στο πανεπιστήμιο της Halle- αλλά το έργο τους θα είχε τεράστια επίδραση στον κόσμο των μαθηματικών. Το ερώτημα του Ντέντεκιντ ήταν: στην ευθεία των πραγματικών αριθμών ποια ήταν η διαφορά μεταξύ ενός ρητού και ενός αρρήτου; Ο Λάιμπνιτς, π.χ., θεωρούσε ότι η «συνέχεια» των σημείων μιας ευθείας είχε σχέση με την πυκνότητα τους· δηλαδή, για οποιαδήποτε δύο σημεία της ευθείας υπήρχε πάντοτε ένα τρίτο ανάμεσα τους. Ωστόσο, οι ρητοί έχουν τη ν ίδια ιδιότητα χωρίς να σχηματίζουν ένα συνεχές. Εγκαταλείποντας τη ν προσπάθεια να βρει τρόπους συγκόλλησης σημείων για να σχηματίσει ένα συνεχές, ο Ντέντεκιντ αντέστρεψε τη διαδικασία και προσπάθησε να καθορίσει τη συνέχεια ορίζοντας τομές σ' ένα ευθύγραμμο τμήμα. Φανταστείτε τη ν ευθεία των αριθμών σαν ένα στερεό σωλήνα απείρου μήκους γεμάτο με τους διατεταγμένους ρητούς αριθμούς. Μία τομή του σωλήνα θα μας δώσει δύο τμήματα, αςτα ονομάσουμε Α και Β, και θα μας αποκαλύψει δύο διατομές, τα άκρα των συνόλων Α και β. Κοιτάζοντας τις εκτεθειμένες αυτές πλευρές μπορούμε να διαβάσουμε τους αριθμούς που μας δείχνουν. Αν δεν μας δείχνουν κανέναν αριθμό τότε η τομή έχει γίνει σε έναν άρρητο. Έτσι ο Ντέντεκιντ όρισε τους άρρητους όχι ως ακολουθίες αλλά με τη βοήθεια αυτών των συνόλων Α και β. Οι ιδιότητες της συνέχειας ή των ορίων μπορούσαν έτσι να διατυπωθούν συναρτήσει της αριθμητικής και όχι απειροστών γεωμετρικών εννοιών. Ο Μπέρτραντ Ράσελ (1872-1970) παρατήρησε αργότερα ότι τα δύο σύνολα Α και β ορίζονται το ένα συναρτήσει του άλλου, άρα μόνο ένα απ' αυτά είναι λογικά αναγκαίο, οπότε ένας άρρητος αριθμός μπορούσε να οριστεί μόνο συναρτήσει του συνόλουΛ (ή Β).

Επιστρέφοντας στο πρόβλημα του απείρου, ο Ντέντεκιντ είδε στα παράδοξα του Μπολτσάνο όχι μια ανωμαλία αλλά έναν ορισμό. Κατάλαβε ότι ένα σύνολο είναι άπειρο εάν είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολο του · δηλαδή εάν ένα υποσύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το σύνολο στο οποίο περιέχεται. Π.χ., το σύνολο {2,4,6...} είναι υποσύνολο του {1,2,3...}, και μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με αυτό. Δύο χρόνια μετά από την έκδοση του βιβλίου του Ντέντεκιντ, το 1874, ο Γκέοργκ Κάντορ παντρεύτηκε και πήγε με τη γυναίκα του για το μήνα του μέλιτος στο Interlaken, όπου συναντήθηκε με τον Ντέντεκιντ. Την ίδια χρονιά ο Κάντορ δημοσίευσε μία από τις πιο επαναστατικές εργασίες του. Συμφώνησε με τον ορισμό που είχε δώσει ο Ντέντεκιντ για τα άπειρα σύνολα, αλλά είδε επίσης ότι δεν ήταν όλα τα άπειρα ίσα μεταξύ τους. Ο Κάντορ ξεκίνησε από την παρατήρηση ότι ένα σύνολο που μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με κάποιο σύνολο φυσικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Αυτό είναι προφανές για τα πεπερασμένα σύνολα, αλλά ο Κάντορ επέκτεινε την έννοια της αριθμησιμότητας στα άπειρα. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών είναι «αριθμήσιμα άπειρο», και εάν ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με αυτό είναι επίσης αριθμήσιμα άπειρο. Π.χ., αν και οι ακέραιοι αριθμοί φαίνεται να εξαφανίζονται στο άπειρο και από τη θετική και από την αρνητική κατεύθυνση, είναι και αυτοί αριθμήσιμα άπειροι, όπως φαίνεται εάντους αναδιατάξουμε με τον εξής τρόπο: {Ο,+1 ,-1,+2,-2...}. Επίσης, όπως κάθε πεπερασμένο σύνολο έχει μια τιμή γνωστή ως πληθικότητα (κάτι σαν μέγεθος του συνόλου) , ο Κάντορ θεώρησε ότι και τα άπειρα σύνολα έχουν έναν πληθικό αριθμό. Δύο άπειρα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο αν μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ τους. Είδαμε παραπάνω ότι οι ρητοί αποτελούν ένα πυκνό σύνολο, κάτι που δεν συμβαίνει με τους ακέραιους, καθώς δεν υπάρχει πάντα κάποιος τρίτος ακέραιος μεταξύ δύο άλλων - π.χ. δεν υπάρχει ακέραιος μεταξύ του 1 και του 2. θα ήταν λοιπόν λογικό το σύνολο των ρητών να έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από εκείνο των ακεραίων. Ωστόσο, το 1873 ο Κάντορ ανακάλυψε ότι αυτό δεν ίσχυε. Κατατάσσοντας τους ρητούς με έναν συγκεκριμένο τρόπο, ανακάλυψε μία μέθοδο, με την οποία μπορούσαν να τεθούν σε ένα προς έναν αντιστοιχία με τους φυσικούς. Μετά από αυτή την ανακάλυψη θα ήταν πολύ εύκολο να πιστέψει κανείς ότι όλα τα άπειρα σύνολα αριθμών έχουν όντως την ίδια πληθικότητα. Ο Κάντορ απέδειξε ότι αυτή η άποψη ήταν λάθος με το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα. Υπέθεσε ότι οι πραγματικοί μεταξύ του Ο και του 1 είναι αριθμήσιμοι και μπορούν να μπουν στη σειρά εκφραζόμενοι ως δεκαδικοί με άπειρα ψηφία: π.χ., το 0,2 μπορούσε να γραφτεί με τη μορφή 0,1999999... Μετά κατασκεύασε ένα αριθμό ο οποίος διέφερε από τον πρώτο κατά το πρώτο δεκαδικό ψηφίο, από το δεύτερο κατά το δεύτερο και ούτω καθ' εξής. Αυτός ο νέος αριθμός ήταν διαφορετικός από όλους τους δεδομένους αριθμούς, των οποίων η διάταξη είχε υποτεθεί πλήρης, άρα οι πραγματικοί αριθμοί δεν ήταν αριθμήσιμοι. Το σύνολο των πραγματικών είχε μεγαλύτερο πληθάριθμο από εκείνον των ρητών. Ο Κάντορ έδειξε επίσης ότι ακόμα και οι αλγεβρικοί αριθμοί, μία τάξη αριθμών πολύ γενικότερη από τους ρητούς, έχουν τον ίδιο πληθάριθμο με τους φυσικούς. Άρχισε σιγά-σιγά να φαίνεται ότι το συνεχές των πραγματικών αριθμών γινόταν «πυκνότερο» από την ύπαρξη των υπερβατικών. Κατά κάποιο τρόπο, οι περισσότεροι αριθμοί ήταν υπερβατικοί. Κανείς δεν είχε δει ποτέ έναν υπερβατικό αριθμό' η ύπαρξη τους αποδείχθηκε το 1851

από τον Ζοζέφ Λιουβίλ. Το 1882 αποδείχθηκε από τον Φέρντιναντ Λίντεμαν ότι ο παλιός μας φίλος, το π, ήταν υπερβατικός, κάτι που έδινε οριστικά αρνητική απάντηση στο παμπάλαιο ερώτημα εάν είναι δυνατός ο τετραγωνισμός του κύκλου με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη. Αλλά ο Κάντορ δεν είχε πει ακόμα την τελευταία του λέξη. Σε ένα γράμμα στον Ντέντεκιντ το 1877 απέδειξε αυτό που ο Ντέντεκιντ απλώς υποπτευόταν: ότι ο πληθάριθμος του συνόλου των σημείων οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος είναι ίσος με τον πληθάριθμο οποιουδήποτε άλλου. Άρα ένα ευθύγραμμο τμήμα μοναδιαίου μήκους εμπεριέχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ολόκληρη την ευθεία των αριθμών. Ακόμα πιο εκπληκτική ήταν η ανακάλυψη ότι αυτό είναι ανεξάρτητο από τις διαστάσεις του χώρου: το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με το μοναδιαίο τετράγωνο ή τον μοναδιαίο κύβο - δηλαδή τον ίδιο αριθμό σημείων με ολόκληρο τον τρισδιάστατο χώρο. Στο γράμμα του στον Ντέντεκιντ γράφει ο Κάντορ, «το βλέπω, αλλά δεντο πιστεύω». Δυστυχώς, και πολλοί άλλοι δεν το πίστευαν. Το 1895 ο Κάντορ διατύπωσε τις επεξεργασμένες απόψεις του δημιουργώντας μία καινούργια αριθμητική οντότητα, τους υπερπεπερασμένους πληθικούς αριθμούς. Παριστάνει το αριθμήσιμα άπειρο με το σύμβολο Ν0 (το οποίο προφέρεται «άλεφ μηδέν») και το πρώτο μη αριθμήσιμο σύνολο με το Χ [. Μετά ακολουθεί μία άπειρη αλληλουχία υπερπεπερασμένων αριθμών, που ο καθένας τους είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του προηγουμένου συνόλου. Όσο για το σύνολο Ν,, ο Κάντορ υπέθεσε ότι ήταν ισοδύναμο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή είναι η περίφημη Υπόθεση του Συνεχούς, η οποία παραμένει αναπόδεικτη μέχρι σήμερα. Παρά την πρωτοποριακή του δουλειά, ο Κάντορ ποτέ δεν κατάφερε να εκπληρώσει τη φιλοδοξία του να γίνει καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Υπεύθυνος γι' αυτό ήταν ο Λέοπολντ Κρόνεκερ, ο παλιός καθηγητής του στο Βερολίνο. Ο Κρόνεκερ ήταν αντίθετος με το νέο κλάδο των μαθηματικών που είχε επινοήσει ο Κάντορ και χρησιμοποιούσε επιχειρήματα του τύπου «ο θεός έφτιαξε τους ακεραίους. Όλα τα υπόλοιπα είναι έργα του ανθρώπου». Η παραγωγική του φιλία με τον Ντέντεκιντ διακόπηκε το 1882, όταν ο Ντέντεκιντ δεν αποδέχτηκε την πρόσκληση να διδάξει μαζί με τον Κάντορ στη Halle, αν και η φιλία τους αναζωογονήθηκε το 1897, όταν συναντήθηκαν σε κάποιο συνέδριο. Ο Ντέντεκιντ ήταν ικανοποιημένος στην επαρχία του, όπου αφιέρωνε τον περισσότερο χρόνο του στην επιμέλεια των Ατάντωντου Ντίριχλετκαιτου Γκάους, πρώην καθηγητώντου, και του Ρήμαν,του μεγάλου συγχρόνου του. Ο Κάντορ παρέμεινε στο πανεπιστήμιο της Halle. To 1884 έπαθε την πρώτη κρίση κατάθλιψης, που θα ήταν μόνιμη σύντροφος του στα τελευταία του χρόνια. Παραιτήθηκε λίγο πριν από την αρχή του πολέμου και πέθανε το 1918 σε ένα ψυχιατρείο της Halle. Οι αντιδράσεις που αντιμετώπιζε δεν ήταν ό,τι καλύτερο για την ψυχική του υγεία. Ωστόσο έζησε αρκετά για να δει τις ιδέες του να αναγνωρίζονται ως «το πιο εκπληκτικό προϊόν μαθηματικής σκέψης» σύμφωνα με τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς των αρχών του 20ού αι. «Κανείς δεν μπορεί να μας διώξει από τον παράδεισο τον οποίο δημιούργησε για μας ο Κάντορ». Η εργασία του Κάντορ αποδείχθηκε εξαιρετικά καρποφόρα για πολλούς κλάδους των μαθηματικών, εγκαινιάζοντας μεταξύ άλλων μία καινούργια οπτική της θεωρίας της ολοκλήρωσης συναρτήσει του μέτρου των συνόλων, της έννοιας δηλαδή από την οποία είχε ξεκινήσει. Επίσης βρήκε ότι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης του Ντίριχλετ είναι το β.

< Η εξίσωση αναπαριστά την κατανομή Γκάους, γνωστή ως κωδωνοειδής καμπύλη, που περιγράφει τη μεταβλητότητα των χαρακτηριστικώντου πληθυσμού. Είναι επίσης γνωστή ως κανονική κατανομή γιατί είναι κανονικοποιημένη, καλύπτει δηλαδή ολόκληρο τον πληθυσμό, κάτι που εκφράζεται μαθηματικά από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα της είναι ίσο με τη μονάδα.

Η μελέτη των πιθανοτήτων όπως τις ξέρουμε σήμερα πρωτοεμφανίστηκε τον 17ο αι. Ωστόσο, η μελέτη των συνδυασμών και των μεταθέσεων αντικειμένων ή γεγονότων έχουν πολύ μακριά ιστορία. Μεγάλο ενδιαφέρον είχαν δείξει οι Ινδοί, ιδιαίτερα οι μαθηματικοί των Ζάίν, ήδη από το 300 π.Χ. Οι Ζάίν διερευνούσαν τα ζητήματα αυτά για θρησκευτικούς λόγους, ενώ για την πλειοψηφία των μεταγενέστερων συγγραφέων το κίνητρο ήταν συνήθως η ανάλυση των τυχερών παιχνιδιών - η πρόβλεψη πιθανών εκβάσεων και ο καθορισμός των κανόνων του σωστού παιχνιδιού. Καθώς οι πιθανότητες άρχισαν να αναμιγνύονται με τη στατιστική, αναπτύχθηκαν νέες μέθοδοι ανάλυσης δεδομένων στις φυσικές αλλά και στις κοινωνικές επιστήμες. Αν και ποτέ δεν έφυγε εντελώς από τα πράσινα τραπέζια, η στατιστική την εποχή του Διαφωτισμού ήταν ένα μαθηματικό εργαλείο άσκησης δημοσιονομικής πολιτικής και διασφάλισης της ηθικής και κοινωνικής ισότητας. Η θρησκεία των Ζαΐν αναπτύχθηκε στην Ινδία περίπου την ίδια εποχή με τον Βουδισμό και η μαθηματική της λογοτεχνία ανάγεται στον 3ο και 4ο αι. π.Χ. Οι Ζαΐν έδειχναν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τον χειρισμό των αριθμών ιδιαίτερα των πολύ μεγάλων. Τους απασχολούσαν οι διαφορετικοί τύποι απείρων αριθμών καθώς και οι μέθοδοι γένεσης τους όπως και οι μέθοδοι συνδυασμού απείρων αριθμών με διαφορετικούς τρόπους. Διερευνούσαν ζητήματα όπως οι διάφοροι τρόποι συνδυασμού των πέντε αισθήσεων. Ενδιαφέρον για τις μεταθέσεις διαπιστώνεται και στις Βέδες όπου αναφέρονται τρόποι συνδυασμού συλλαβών σε ποιητικές συνθέσεις και προσευχές. Στη Μυσόρη του 9ου αι. ο μαθηματικός των Ζαΐν Μαχαβίρα (περ. 850) διερεύνησε περαιτέρω το ζήτημα και διατύπωσε τους τυπικούς κανόνες συνδυασμών και μεταθέσεων που ισχύουν μέχρι και σήμερα. Η μελέτη των συνδυασμών και των μεταθέσεων είναι σήμερα γνωστή ως συνδυαστική. Κοσμολογική και μυστικιστική χρήση της συνδυαστικής βρίσκουμε στον Καταλανό φιλόσοφο και μυστικιστή του 13ου αι. ΡαμόνΛουλ(1232-περ. 1316). Αλλά αυτά τα γραπτά φαίνεται ότι δεν έτυχαν της προσοχής των τότε μαθηματικών. Το πραγματικό ενδιαφέρον προήρθε από την πιο γήινη απασχόληση της χαρτοπαιξίας. Η Θεία Κωμωδία του Δάντη αναφέρει το «παιχνίδι της τύχης» το οποίο παίζεται με τρία ζάρια, τα οποία ρίχνει ο ένας παίκτης και ο άλλος μαντεύει το άθροισμα τους. Ένα ποίημα του 13ου αι., De vetula, ενός ποιητή γνωστού ως ψευδο-Οβίδιου απαριθμεί τους 56 διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούν να πέσουν τα ζάρια. Και τα δύο έργα έγιναν αφορμή για διάφορες παρατηρήσεις σχετικά με τους μαθηματικούς κανόνες του παιχνιδιού. Η προϊστορία αυτού του ζητήματος πιθανότατα τελείωσε με το Liber de ludo a/eae (Βιβλίο παιχνιδιών με ζάρια) του Καρντάνο το οποίο, ενώ εκδόθηκε μετά το θάνατο του, το 1663, είχε γραφτεί 100 χρόνια νωρίτερα και ασχολείται με τοντρόπο καθορισμού δίκαιων στοιχημάτων στα ζάρια και στα χαρτιά. Η θεωρία των πιθανοτήτων διευρύνθηκε σημαντικά με την αλληλογραφία ανάμεσα στον Μπλαιζ Πασκάλ και Πιερ ντε Φερμάτο 1654, όπου ανέλυσαν το αποκαλούμενο πρόβλημα πόντων του χαρτοπαίκτη, το οποίο αφορά τη διαίρεση της κάσας ανάμεσα σε δύο παίκτες, όταν ένα παιχνίδι ζαριών παραμένει ανολοκλήρωτο. Αυτό είναι ένα πρόβλημα που αντιμετώπισαν πολλοί Ιταλοί μαθηματικοί της Αναγέννησης, περιλαμβανομένων των Πατσιόλι, Καρντάνο και Ταρτάλια, χωρίς κανείς από αυτούς να μπορέσει να καταλήξει σε μια ολοκληρωμένη λύση. Ο Φερμά προτίμησε μία μέθοδο βασισμένη στην απαρίθμηση όλων των δυνατών εκβάσεων και βρίσκοντας τον νικητή για καθεμία απ' αυτές. Οι υπολογισμοί γίνονται εξαιρετικά μακροσκελείς καθώς αυξάνεται ο αριθμός των παιχνιδιών και ο

Πασκάλ επέλεξε τη μέθοδο του προσδοκώμενου. Στην Πραγματεία του αριθμητικού τριγώνου διασαφήνισε τη σχέση μεταξύ των αριθμών του τριγώνου του Πασκάλ και των απαιτούμενων συνδυασμών. Κάθε γραμμή του τριγώνου δίνει τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος: η τρίτη γραμμή, π.χ.,. δίνει του αριθμούς 1,3,3,1, οι οποίοι είναι οι συντελεστές του αναπτύγματος (α + β)3 = α3 + 3α2/3 + 3α/32 + β3.0 αριθμός 3 στον δεύτερο όρο δείχνει ότι υπάρχουν τρεις συνδυασμοί που δίνουν α2β, δηλαδή ααβ, αβα και βαα. Χρησιμοποιώντας την κατάλληλη σειρά στο τρίγωνο του Πασκάλ, εύκολα μπορούσε να επιλύσει το πρόβλημα της διαίρεσης της κάσας. Εάν ο παίκτης Α χρειάζεται δύο γύρους για να κερδίσει ενώ ο παίκτης Β χρειάζεται τρεις, ο ένας από τους παίκτες πρέπει να κερδίσει μέσα σε τέσσερις τουλάχιστον γύρους- από τη σειρά 1,4,6,4,1 στο τρίγωνο του Πασκάλ, η κάσα θα πρέπει να διαιρεθεί με λόγο (1 + 4 + 6): (4 +1) ή 11:5. Αυτά τα προβλήματα τα αντιμετώπιζαν συνήθως με λόγους και όχι με πιθανότητες. Η πρώτη θεωρητική αντιμετώπιση των πιθανοτήτων με τιμές μεταξύ Ο και 1 έγινε από τον Γιάκομπ Μπερνούλι στο βιβλίο του Ars conjectandi (Τεχνητής υπόθεσης) που εκδόθηκε μετά το θάνατο του, το 1713. Εκεί ο Μπερνούλι έδειξε ότι οι πιθανότητες μπορούσαν να υπολογιστούν από παρατηρούμενες συχνότητες και προσπάθησε να βρει το ανώτατο όριο αριθμού δοκιμών που ήταν απαραίτητες για να είναι κανείς «ηθικά βέβαιος» ότι έχει εκτιμήσει σωστά τις πιθανότητες. Δυστυχώς, οι αυστηρές προϋποθέσεις που έθεσε οδήγησαν σε πολύ ψηλές τιμές για τον αριθμό δοκιμών που χρειαζόταν: π.χ., για να είναι κανείς 99,9% σίγουρος ότι έχει βρει το σωστό λόγο της επιλογής εγχρώμων σφαιρών σε ένα κουτί χρειάζονταν 25.500 δοκιμές. Αυτή η διαδικασία αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Αβραάμ ντε Μουάβρ, ο οποίος σωστά όρισε την κανονική κατανομή ως το όριο της διωνυμικής καταλήγοντας σε πολύ λογικότερες τιμές για τις δοκιμές που ήταν απαραίτητες στην πειραματική προσέγγιση των πραγματικών πιθανοτήτων. Ο ντε Μουάβρ επίσης έβγαλε και αρκετές εκδόσεις του βιβλίου του /Ασφάλειες ζωής, το οποίο εφάρμοζε αυτές τις ανακαλύψεις στην τιμολογιακή πολιτική των ασφαλιστικών συμβολαίων. Το κίνητρο για την εφαρμογή των πιθανοτήτων στα δημογραφικά δεδομένα προήλθε από μία απρόσμενη κατεύθυνση. Για μια ακόμα φορά στρέφουμε την προσοχή μας στους ουρανούς. Οι αστρονόμοι που προσπαθούσαν να καθορίσουν τις ακριβείς τροχιές των πλανητών ήταν αναγκασμένοι να βασιστούν σε ένα αριθμό παρατηρήσεων που η κάθε μία είχε και ένα περιθώριο σφάλματος. Η κάθε μέτρηση έδινε μια ελαφρώς διαφορετική εξίσωση για τηντροχιά ενός πλανήτη, με αποτέλεσμα να είναι εξαιρετικά δύσκολος ο ακριβής υπολογισμός της τροχιάς από ένα σύνολο δεδομένων. Το πρόβλημα ήταν γνωστό από την εποχή του Κέπλερ και του Γαλιλαίου. Η γενική ιδέα ήταν να βρεθεί μία καμπύλη που θα ελαχιστοποιούσε το σύνολο των σφαλμάτων. Το 1805 αυτή η μέθοδος αποκρυσταλλώθηκε από τον Λεζάντρ στο βιβλίο Α/έες μέθοδοι για τον καθορισμό των τροχιών των κομητών ως η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Ανέλυε με σαφήνεια το πρόβλημα και έδινε και μια γενική μέθοδο που ήταν πρακτικά εφαρμόσιμη. Το 1809 ο Γκάους δημοσίευσε τη δική του μέθοδο στο βιβλίο Θεωρία κίνησης ουρανίων σωμάτων, ισχυριζόμενος ότι τη χρησιμοποιούσε ήδη από το 1795 και ξεκινώντας έτσι μία διαμάχη με τον Λεζάντρ ως προς την πατρότητα της μεθόδου. Είναι γεγονός ότι το 1801 ο Γκάους πρέπει να χρησιμοποίησε μία τέτοια μέθοδο για να υπολογίσει τη ν τροχιά της Δήμητρας, ενός αστεροειδούς που είχε μόλις ανακαλυφθεί, βασιζόμενος σε ελάχιστες αποσπασματικές παρατηρήσεις που είχαν γίνει νωρίτερα

εκείνη τη χρονιά. Έδειξε επίσης ότι η κατανομή των σφαλμάτων περιγραφόταν από αυτό , που σήμερα ονομάζεται κανονική κατανομή ή καμπύλη Γκάους, γενικεύοντας έτσι τα προηγούμενα συμπεράσματα του ντε Μουάβρ. Το επιχείρημα του Γκάους ήταν ότι αυτή η κατανομή έκανε τη μέση παρατήρηση την πιο πιθανή. Αμέσως μετά ο Λαπλάς πρότεινε μία ακόμα ισχυρότερη σχέση: ότι όποια και να ήταν η κατανομή σφαλμάτων των επί μέρους μετρήσεων, οι μέσοι όροιτους έτειναν προς μία κανονική κατανομή. Έδειξε επίσης ότι οι εκτιμήσεις ελαχίστου τετραγώνου του Λεζάντρ επίσης έτειναν προς την ίδια κατανομή. Οι αστρονόμοι αμέσως είδαν τη χρησιμότητα της μεθόδου, ειδικά επειδή τα σφάλματα στις αστρονομικές παρατηρήσεις ήταν ο κανόνας, καθώς τα προκαλούσε όχι μόνον η ατέλεια των οργάνων αλλά και η παραμόρφωση του φωτός από τις διαταραχές της ατμόσφαιρας. Το 1812 ο Λαπλάς δημοσίευσε τη μεγάλη του πραγματεία/Αναλυτί/ο) θεωρία των πιθανοτήτων, η οποία ήταν μία σύνθεση όλωντων μέχριτότε εξελίξεων για μία ολόκληρη γενιά παρέμεινε το κυρίως βιβλίο για το θέμα. Στο κοινωνικό πεδίο, η θεωρία των πιθανοτήτων θεωρήθηκε ότι αποτελεί τον «λογισμό της ορθολογικής συμπεριφοράς». Το 1814 ο Λαπλάς είπε ότι οι πιθανότητες δεν ήταν παρά η κοινή λογική μεταφρασμένη σε μαθηματικούς τύπους. Οι μαθηματικοί του Διαφωτισμού πίστευαν ότι τα φωτισμένα άτομα ενεργούσαν ορθολογικά και ότι οι πιθανότητες έδιναν στις μάζες ένα ποσοτικό μέτρο, με το οποίο μπορούσαν τουλάχιστον να μιμηθούν τη συνετή συμπεριφορά των αρίστων. Τελικός στόχος ήταν μια γενική σταθερά ανθρώπινης συμπεριφοράς1 η μελέτη των τυχερών παιχνιδιών δεν ήταν παρά ένας τρόπος εύρεσης των εργαλείων που επέτρεπαν τη λήψη ορθολογικών αποφάσεων σε έναν κόσμο αβεβαιότητας. Π.χ., ο Λαπλάς και άλλοι μελέτησαν την πιθανότητα που είχε ένα σώμα ενόρκων με ορισμένο αριθμό μελών να καταλήξει σε λανθασμένη ετυμηγορία. 'Αλλοι πάλι διανοητές δεν συμφωνούσαν εντελώς με το ορθολογικό πνεύμα της Γαλλικής Επανάστασης. Ο Τζων Στιούαρτ Μιλ πίστευε ότι τη λογική την εξυπηρετούσε καλύτερα η παρατήρηση και το πείραμα παρά οι καθαρά ορθολογικές υποθέσεις των πιθανοτήτων. Ο Αντόλφ Κετελέ, Βέλγος μαθηματικός και αστρονόμος, συμπλήρωσε τον κρίκο που έλειπε μεταξύ της στατιστικής για αστρονομικούς σκοπούς και της κοινωνικής στατιστικής. Η ιδέα της κανονικής κατανομής βρισκόταν στη βάση της αντίληψης του για τον «μέσο άνθρωπο», γύρω από τον οποίο θα κατανέμονταν τα χαρακτηριστικά των πραγματικών ανθρώπων, όπως ακριβώς συσσωρεύονταν γύρω από την πραγματική θέση ενός αστεριού οι ατελείς επιμέρους μετρήσεις της θέσης του. Έτσι, η απόκλιση από αυτήν τη θεωρητική νόρμα έφτασε να θεωρείται σαν ένα είδος σφάλματος. Ο Κετελέ θεώρησε ότι ήταν έργο του κράτους να συλλέξει και να αναλύσει δημογραφικά δεδομένα, έτσι ώστε ο «κοινωνικός φυσικός» να μπορέσει να ανακαλύψει κοινωνικούς νόμους ανάλογους με τους νόμους της φύσης, όπως π.χ. την αρχή της διατήρησης της «ηθικής ενέργειας». Αναζήτησε τη δικαίωση της θεωρίας του στο γεγονός ότι οι ρυθμοί γεννήσεων, θανάτων, γάμων και εγκληματικότητας έμοιαζαν να παραμένουν σταθεροί από χρόνο σε χρόνο, αν και διέφεραν απ' τη μία χώρα στην άλλη, δείχνοντας έτσι ότι οι διάφορες κοινωνικές ομάδες διέθεταν σταθερές, αν και ελαφρά διαφορετικές μεταξύ τους, «κοινωνικές φυσικές». Τέτοιου είδους κοινωνικά δεδομένα υπήρχαν από τον 17ο αι. Το 1662 ο Τζων Γκρωντ δημοσίευσε το βιβλίο του Φυσικές και πολιτικές παρατηρήσεις βασισμένο στη στατιστική ανάλυση των δελτίων θνησιμότητας του Λονδίνου, τα οποία δημοσιεύονταν

κάθε βδομάδα και αποτελούσαν το βαρόμετρο για την πιθανή εκδήλωση επιδημιών, » οπότε ο κόσμος θα έπρεπε να εγκαταλείψει την πόλη. Το 1693 ο αστρονόμος Έντμοντ Χάλλεϋ δημοσίευσε έναν πίνακα ζωής βασισμένο στα δελτία θνησιμότητας για την πόλη του Μπρέσλαου, που τα δεδομένα τους ήταν πολύ ακριβέστερα από εκείνα που είχε στη διάθεση του ο Γκρωντ. Ο Χάλλεϋ κατάφερε να αποδείξει ότι η τότε κυβέρνηση πουλούσε πολύ φτηνά τις ασφάλειες ζωής. Αλλά η μαθηματική στατιστική μπορεί να θεωρηθεί εξέλιξη του δεύτερου μισού του 19ου αι., που συγκέρασετις στατιστικές μεθόδους των αστρονόμων και τη συλλογή στοιχείων από τους ασφαλιστές. Η βιομετρική παράδοση ιδρύθηκε από τον ξάδελφο του Κάρολου Δαρβίνου Φράνσις Γκώλτον (1822-1911), ο οποίος χρησιμοποίησε στατιστικές μεθόδους στην ανάλυση των κοινωνικών δεδομένων και των κληρονομικών χαρακτηριστικών. Ο κύριος στόχος του αποκαλούμενου κινήματος της ευγονικής ήταν η βελτίωση του ανθρώπινου είδους μέσω επιλεκτικής αναπαραγωγής, και η στατιστική παρείχε ένα μέσο ποσοτικής αποτίμησης της εξέλιξης και βοηθούσε στη βελτίωση της. Ο Γκώλτον Δεν γνωρίζω τίποτε ικανότερο να εξάψει τη φαντασία από εφάρμοσε την κανονική κατανομή όχι τόσο ως την υπέροχη μορφή κοσμικής τάξης που εκφράζει ο «νόμος της «καμπύλη σφάλματος», όσο ως μέτρο μεταλλαγής, συχνότητας σφάλματος». Αν οι Έλληνες τον γνώριζαν θα τον συνειδητοποιώντας από τη θεωρία του Δαρβίνου για είχαν προσωποποιήσει και θεοποιήσει. Βασιλεύει γαλήνιος ^εξέλιξη μέσω φυσικής επιλογής ότι η βιολογική i , , , ' , , μεταβλητότητα χρειαζόταν τη δική της ξεχωριστή >Γ. και ταπεινός μέσα στην πιο άναρχη σύγχυση. Οσο μεγαλύτερο ανάλυση καιότιδεν ήταν δυνατόν να τη βλέπε. το πλήθος και η αναρχία τόσο σταθερότερη η εξουσία του. κανείςσανέναεξελικτικό σφάλμα από κάποια εξιδαΕίναι ο ύψιστος νόμος του παραλογισμού. Κάθε φορά που νικευμένη κανονική μορφή, θεωρούμε ένα μεγάλο δείγμα χαοτικών στοιχείων και προΟ Γκώλτον εισήγαγε τις έννοιες της παλινδρόσπαθούμε να τα ταξινομήσουμε κατά μέγεθος, ανακαλύ- Μησης και της συσχέτισης. Η στατιστική έννοιατης πτουμε ότι σε όλη τη διαδικασία ενυπήρχε ευθύς εξαρχής μια "^δρό ξεπήδησε από τη μελετητών μπ,ζε, , λιων. Ο Γκώλτον χώρισε μια παρτίδα σπορών σε 7 υπεροχή μορφή κανονικότητας. ομάδεςανάλογαμ£τομεγεθόςτους.Οιmopm φυτών που παράχθηκαν έδειξαν την ίδια μεταβλητότητα, ή διακύμανση, μεγέθους σε όλες τις ομάδες. Το μέσο μέγεθος σπόρου για όλη την παρτίδα παρέμενε σταθερό αλλά οι μέσοι όροι των επιμέρους ομάδων είχαν απομακρυνθεί από τις τιμές των πατρικών φυτών, πλησιάζοντας τον μέσο όρο της παρτίδας. Ο μέσος όρος έτσι «παλινδρομούσε» προς τον μέσο όρο του πληθυσμού. Το 1885 ο Γκώλτον είχε πια καταλάβει το φαινόμενο της παλινδρόμησης και το 1889 εισήγαγε τη συγγενή έννοια της συσχέτισης. Διαβαθμίζοντας κατάλληλα δύο σχετιζόμενες μεταβλητές και καταγράφοντας τις τιμές τους, ο Γκώλτον ανακάλυψε ένα αδιάστατο μοναδικό μέγεθος που θα μπορούσε να αποτελεί τον δείκτη συσχετισμού των δύο μεταβλητών. Αυτός ο συντελεστής συσχέτισης μπορούσε να κυμαίνεται ανάμεσα στο +1, τέλεια θετική συσχέτιση, και το -1, τέλεια αρνητική συσχέτιση. Ένας συντελεστής κοντά στο Ο σήμαινε έλλειψη συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Από μόνος του ο συντελεστής δεν αποδείκνυε καμία αιτιατή σχέση μεταξύ των μεταβλητών, αλλά μπορούσε να δικαιολογήσει τη διεξαγωγή πειραμάτων για την ανακάλυψη κάποιου τέτοιου μηχανισμού. Ο Γκώλτον ήταν για την κληρονομικότητα της συνεχούς μεταλλαγής αυτό που ήταν ο

Σερ Φράνσις Γκώλτον, Φυσική κληρονομά, 1889

Μέντελ για τη διακριτή μεταλλαγή, αν και ο καθένας δούλευε αγνοώντας την ύπαρξη του άλλου. Ο Γκρέγκορ Μέντελ σπούδασε μαθηματικά και φυσική και η μελέτη που είχε κάνει το 1865, η οποία προοιώνιζε την ύπαρξη των γονιδίων, ανακαλύφθηκε από τους βιομέτρες το 1900. Προκάλεσε μεγάλη αναστάτωση με αποτέλεσμα οι φανατικοί δαρβινιστές του βιομετρικού κινήματος να απορρίψουν την έννοια του γενετικού υλικού. Ο Πήρσον θεώρησε την ιδέα υπερβολικά μεταφυσική και δεν μπορούσε με τίποτα να καταλάβει πώς μία διακριτή οντότητα μπορούσε να επιδεικνύει συνεχή χαρακτηριστικά. Το ζήτημα δεν λύθηκε παρά μόνο το 1918, όταν ο Φίσερ απέδειξε ότι εάν θεωρηθεί ο αριθμός των γονιδίων αρκετά μεγάλος, το μοντέλο του Μέντελ μπορούσε να παράγει συσχετισμούς σαν αυτούς που μελετούσαν οι βιομέτρες. Αυτό ήταν ανάλογο με τη διακριτή διωνυμική κατανομή, η οποία έτεινε προς την κανονική κατανομή όσο αυξανόταν ο αριθμός των μετρήσεων. Τα φιλοσοφικά επιχειρήματα είναι πέρα από το σκοπό αυτού του βιβλίου, αλλά είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι η στατιστική δεν αναπτύχθηκε σαν ανεξάρτητος κλάδος των μαθηματικών. Η εξέλιξη της και τα εργαλεία που χρησιμοποιούσε είχαν βαθιές ρίζες στις κοινωνικές ανησυχίες. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του ο Γκώλτον χρηματοδότησε μία έδρα Ευγονικής (τώρα Ανθρώπινης Γενετικής) στο University College του Λονδίνου. Ο πρώτος καθηγητής ήταν ο Καρλ Πήρσον (1857-1936) και μετά ο Ρόνολντ Έιλμερ Φίσερ (1890-1962). Το 1901 ο Πήρσον και ο Γκώλτον εξέδωσαν το περιοδικό Biometrika, το οποίο έγινε το κυρίαρχο έντυπο στο χώρο της στατιστικής. Στις σελίδες του βρίσκουμε όχι μόνο τις θεωρίες του τελευταίου για την παλινδρόμηση και τη συσχέτιση αλλά και το κριτήριο του χ2 του Πήρσον που αναπτύχθηκε το 1900, το οποίο επέλυε το πρόβλημα του κατά πόσο μία θεωρητική κατανομή «ταίριαζε» επαρκώς μετά δεδομένα τα οποία περιέγραφε. Το 1908 ο Γ.Σ. Γκόσετ, ένας βιολόγος που δούλευε στη ζυθοποιία Guinness στο Δουβλίνο, εισήγαγε την κατανομή t για μικρά δείγματα. Έγραψε με το ψευδώνυμο «φοιτητής» και το κριτήριο t πολλές φορές ονομάζεται ακόμα «κριτήριο του φοιτητή». Ένα μεγάλο μέρος της δουλειάς του Πήρσον επικαλύφθηκε από την αντίστοιχη δουλειά του Φίσερ, ο οποίος εισήγαγε την ανάλυση της διασποράς, μία τεχνική που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της εγκυρότητας των πειραματικών δεδομένων, ιδιαίτερα σε πειράματα τυχαίου δείγματος, όπως είναι αυτά που χρησιμοποιούνται στη γεωργία για τον έλεγχο των λιπασμάτων. Η μέθοδος βασιζόταν στον μαθηματικό διαχωρισμό των πραγματικών «αποτελεσμάτων» από τα τυχαία «σφάλματα»· εάν κάποιο πείραμα καταλήγει σε ένα πραγματικό αποτέλεσμα, τότε η μέθοδος δείχνει την ισχύ του αποτελέσματος σε σχέση με το σφάλμα. Το 1920 η στατιστική ήταν ήδη για τους μαθηματικούς ένα θεμιτό αντικείμενο έρευνας, που οδηγούσε σε μεγαλύτερη ακρίβεια και πιο έξυπνες μεθόδους. Οι ιδέες του Φίσερ για τον πειραματικό σχεδιασμό και την ανάλυση της διασποράς ήταν το βασικό θέμα στο βιβλίο του Ο σχεδιασμός ενός πειράματος (1936) και βρήκαν μεγάλη διάδοση στην Αγγλία και στις ΗΠΑ. Άλλαξαν ριζικά την πειραματική προσέγγιση σε επιστήμες με αντικείμενο τόσο ρευστό που να μην επιδέχεται εργαστηριακή προσομοίωση.

-< Το σκάκι είναι πιθανότατα το πιο δημοφιλές παιχνίδι στρατηγι- , κής στον κόσμο. Ο Τζων Φορμπς Νας απέδειξε ότι παρά την πολυπλοκότητα του, το σκάκι έχει μία βέλτιστη στρατηγική. Η ανακάλυψη μιας τέτοιας στρατηγικής θα έκανε το σκάκι ένα ακόμα τετριμμένο παιχνίδι όπως η τρίλιζα.

Οι άνθρωποι πάντα έπαιζαν και η κάθε εποχή είχε το δικό της αγαπημένο παιχνίδι. Τα περισσότερα είναι μίγμα επιδεξιότητας και τύχης, και πραγματικά καλός παίκτης είναι εκείνος που μετά από πολλά διαδοχικά παιχνίδια και σκαμπανεβάσματα της τύχης καταφέρνει να βγει αλώβητος. Υπάρχουν όμως μερικά παιχνίδια που αφήνουν ελάχιστα πράγματα στην τύχη - δεν έχουν ούτε ζάρια ούτε κρυφά χαρτιά. Αυτά είναι όσα βασίζονται στην καθαρή στρατηγική και η μελέτη τους είναι το αντικείμενο της θεωρίας των παιγνίων. Υπάρχουν επίσης άλλα που είναι κυριολεκτικά θέμα ζωής ή θανάτου. Καθώς τα σφάλματα τακτικής κοστίζουν λιγότερο σε ένα εικονικό πεδίο μάχης, οι διάφοροι στρατηγικοί εγκέφαλοι πάντα κατέφευγαν σε παιχνίδια πολέμου για να ασκήσουν τις δεξιότητες τους. Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι το σκάκι και το γιαπωνέζικο γκο είναι στην ουσία εξιδανικευμένα παιχνίδια πολέμου. Δεν είναι επίσης περίεργο που η πρώτη πρακτική εφαρμογή της θεωρίας των παιγνίων έγινε στην ανάλυση ενός νέου είδους πολέμου, που θα μπορούσε να είναι ο τελευταίος. Τον 19ο αι. οι Πρώσοι επινόησαν ένα παιχνίδι που λεγόταν Kriegspiel, κυριολεκτικά «παιχνίδι πολέμου». Παιζόταν σε μία σκακιέρα και ήταν καθαρά θέμα τακτικής. Με τον καιρό έγινε πιο ρεαλιστικό και απέκτησε και έναν διαιτητή ο οποίος αποφάσιζε σε περιπτώσεις κρίσεων με τη βοήθεια πινάκων δεδομένων από πραγματικές μάχες. Οι στρατιωτικές επιτυχίες του πρωσικού στρατού αποδίδονταν κυρίως στην υψηλού επιπέδου στρατηγική του, η οποία αναπτύχθηκε μέσα από προσομοιώσεις Kriegspiel. To παιχνίδι διαδόθηκε σε άλλες χώρες, όπως επίσης στην Αμερική και την Ιαπωνία. Η ήττα της Γερμανίας στον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο έθεσε απότομο τέρμα στη μυθοποίηση των αποτελεσμάτων του παιχνιδιού. Άρχισε να γίνεται φανερό ότι η γρήγορη εξέλιξη των καινούργιων όπλων και των συστημάτων εφοδιασμού σήμαινε ότι ολόκληρη η βάση της στρατιωτικής στρατηγικής έπρεπε να αναθεωρηθεί. Έτσι οι στρατιωτικοί είχαν ανάγκη τους μαθηματικούς και τους επιστήμονες, όχι μόνο για να αναπτύξουν στρατιωτική υποδομή αλλά και για συμβουλές στρατιωτικής φύσεως - που μέχρι τώρα ήταν αποκλειστικά δουλειά στρατηγών με πολύ μεγάλες γνώσεις στρατιωτικής ιστορίας. Αυτό έγινε ιδιαίτερα αισθητό μετά από τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, οπότε η συνείδηση ότι οι υπερδυνάμεις κατείχαν όπλα μαζικής καταστροφής άλλαξε εντελώς τους κανόνες της στρατιωτικής αναμέτρησης. Τα επιτραπέζια παιχνίδια με φιγούρες ιππικού και πυροβολικού έμοιαζαν πια προϊστορικά. Όμως τα στρατιωτικά παιχνίδια εξακολούθησαν να αναλύονται μαθηματικά με την ελπίδα να προκύψουν θεωρίες πρακτικά εφαρμόσιμες. Ο Εμίλ Μπορέλ, Γάλλος μαθηματικός και υπουργός ναυτιλίας στη δεκαετία του '20, έγραψε τη Θεωρία τωι/παίγνι'ωντου, στην οποία ανέλυε πράγματα όπως η μπλόφα στο πόκερ και η εφαρμογή των μαθηματικώντων παιγνίων στην οικονομία και στην πολιτική. Η επιρροή του Μπορέλ φαίνεται στο σημαντικό βιβλίο Θεωρία παιγνίων και οικονομική συμπεριφορά που εκδόθηκε το 1944 γραμμένο από έναν Ούγγρο μαθηματικό τον Τζων φον Νόυμαν και έναν αυστριακό οικονομολόγο, τον Όσκαρ Μόργκενστερν, που και οι δύο ήταν καθηγητές τότε στο Πρίνστον. Παρουσίαζαν τη θεωρία των παιγνίων σαν ένα πιθανό μοντέλο οικονομικής αλληλεπίδρασης. Ο οικονομολόγοι άργησαν να αφομοιώσουν αυτή την καινούργια θεωρία, η οποία στην πρώτη της εκδοχή είχε περισσότερη σχέση με τη στρατιωτική στρατηγική. Ο Γιάνος φον Νόυμαν (1903-57), αργότερα γνωστότερος ως Τζων φον Νόυμαν, γεννήθηκε στη Βουδαπέστη και έδειξε από νωρίς τεράστιες μαθηματικές ικανότητες. Το 1921 κέρδισε μία από τις λίγες θέσεις που υπήρχαν για Εβραίους στο Πανεπιστήμιο της Βούδα-

πέοτης, απ' όπου πήρε διδακτορικό το 1926 με μία εργασία για τη θεωρία των παιγνίων, αν και δεν είχε παρακολουθήσει ούτε μία παράδοση. Στο μεταξύ έζησε στο Βερολίνο και τη Ζυρίχη μελετώντας χημεία, το αγαπημένο αντικείμενο σπουδώντου πατέρα του, ενώ παράλληλα συνέχιζε τις μαθηματικές του σπουδές με μαθηματικούς όπως ο Χέρμαν Βάιλ και ο Τζωρτζ Πόλυα. Αργότερα σπούδασε με τον Ντάβιντ Χίλμπερτ στο Γκαίτινγκεν. Το 1930 πήγε στο Πρίνστον και το 1933 έγινε ένας από τους πέντε πρώτους μαθηματικούς που έγιναν μέλη του νεοϊδρυθέντος Ινστιτούτου Ανωτέρων Σπουδών, όπου και θα περνούσε την υπόλοιπη ζωή του. Παραιτήθηκε από τις θέσεις του στη Γερμανία όταν ανέλαβαν την εξουσία οι Ναζί και αποφάσισε να εγκατασταθεί στην Αμερική, όχι σαν πρόσφυγας αλλά επειδή θεωρούσε ότι εκεί υπήρχαν περισσότερες ευκαιρίες. Από το 1940 κατείχε διάφορες θέσεις συμβούλου κυρίως σε στρατιωτικά θέματα, δούλεψε στο Λος Άλαμος στον τομέα της κβαντικής μηχανικής για την παραγωγή της ατομικής βόμβας και το 1955 διορίστηκε στην Επιτροπή Ατομικής Ενέργειας. Από την εποχή της Ζυρίχης, ο Πόλυα αφηγείται ότι, «ο Τζόνυ ήταν ο μόνος φοιτητής που πραγματικά φοβόμουν. Αν στη διάρκεια της παράδοσης ανέφερα κάποιο από τα πολλά άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, ήταν πολύ πιθανό, μόλις τελείωνε το μάθημα, να ερχόταν να με βρει ο φον Νόυμαν με έτοιμη τη λύση γραμμένη πρόχειρα πάνω σε ένα κομμάτι χαρτί». Πέθανε το 1957 από καρκίνο και οι φίλοι του αφηγούνται ότι ο μεγάλος του καημός ήταν ότι έχανε τις πνευματικές του ικανότητες μετά από μία ολόκληρη ζωή που προσπαθούσε να τις καλλιεργήσει. Οι πιο αξιομνημόνευτες εργασίες του είναι οι σχετικές με τη θεωρία των παιγνίων, την κβαντική μηχανική και τους υπολογιστές. Ο απλούστερος τύπος παιχνιδιού είναι το παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος για δύο παίκτες και δύο στρατηγικές - ένα παιχνίδι στο οποίο δύο απόλυτα λογικοί παίκτες παίζουν με σκοπό να κερδίσουν, οπότε το σύνολο του κέρδους είναι Ο, δηλαδή ό,τι κερδίζει ένας παίκτης το χάνει ο άλλος. Ένα διασκεδαστικό παράδειγμα είναι γνωστό ως το παιχνίδι «μοίρασμα του κέικ». Ένα κοινό σενάριο σε πολλά νοικοκυριά είναι η διαίρεση ενός κέικ ανάμεσα σε δύο παιδιά, ώστε κανένα από τα δύο να μην νιώθει ότι το άλλο έχει πάρει μεγαλύτερο κομμάτι. Η λύση είναι μία διαδικασία δύο βημάτων: το ένα παιδί κόβει το κέικ στη μέση και το δεύτερο επιλέγει πρώτο το κομμάτι του. Και τα δύο παιδιά θα θέλανε το μεγαλύτερο κομμάτι, αλλά βλέποντας λογικά ότι το κάθε παιδί αναγνωρίζει τη λαιμαργία του άλλου, υπάρχει μία βέλτιστη λύση. Το πρώτο παιδί πρέπει να κόψει το κέικ με τον πιο δίκαιο τρόπο που μπορεί, γιατί εάν το ένα κομμάτι είναι πολύ μεγαλύτερο, τότε το δεύτερο παιδί αναμφίβολα θα διαλέξει αυτό. Η αποκαλούμενη θεωρία ελαχίστου-μεγίστου (minimax) που ανέπτυξε ο φον Νόυμαν λέει ότι υπάρχει ένα «σημείο αυχένα» ή βέλτιστη λύση, όπου και οι δύο παίκτες θα είναι εξίσου ικανοποιημένοι. Η θεωρία επεκτάθηκε για να περιλάβει πάνω από δύο παίκτες και καθώς αυξανόταν ο αριθμός των παικτών, η εφαρμογή της θεωρίας γινόταν όλο και πιο δύσχρηστη. Ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου πραγματεύεται τα παίγνια σε συνάρτηση με πίνακες απόδοσης για τους παίκτες, και καθώς ο αριθμός των παικτών αυξάνεται, οι πίνακες γίνονται όλο και μεγαλύτεροι απαιτώντας για τον υπολογισμό τους τεράστιες μήτρες. Στη δεκαετία του '40 ο Τζων Φορμπς Νας επέκτεινε τη θεωρία του φον Νόυμαν σε παίγνια μη μηδενικού αθροίσματος. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το χρηματιστήριο: μπορεί να υπάρχουν κερδισμένοι και χαμένοι ανάμεσα στους παίκτες, αλλά το συνολικό ποσό χρημάτων επίσης μεταβάλλεται, καθώς η κεφαλαιοποίηση της αγοράς αυξάνεται. Ο Νας ανακάλυψε ότι τα παίγνια με μη μηδενικό άθροισμα είχαν επίσης μία λύση ισορροπίας. Γεν-

νήθηκετο 1928 στη Δυτική Βιρτζίνια, τελείωσε το Carnegie Institute of Technology και έκανε το διδακτορικό του στο Πρίνοτον, υποβάλλοντας τη διατριβή του για τα μη-συνεργατικά παιχνίδια το 1950. Ταυτόχρονα, υπέβαλε μία εργασία, για την οποία, το 1994, κέρδισε το Νόμπελ της Οικονομίας. Από το 1951 δίδαξε στο ΜΙΤ όπου έκανε πρωτοποριακή έρευνα στη γεωμετρία, στις πολλαπλότητες Ρήμαν και στον ευκλείδειο χώρο. Το 1959 αυτός ο πολλά υποσχόμενος μαθηματικός αρρώστησε από σχιζοφρένεια. Τις εμπειρίες του και την ανάρρωση του στα μέσα της δεκαετίας του 70 τα περιέγραψε ο ίδιος προσωπικά στο παγκόσμιο συνέδριο ψυχιατρικής το 1996. Συνέχισε να παράγει εξαιρετικό έργο, ακόμα και τον καιρό που ήταν έγκλειστος στο νοσοκομείο, σε τομείς όπως η γεωμετρία, η τοπολογία και οι διαφορικές εξισώσεις. Σήμερα εργάζεται στη γεωμετρία του χώρου. Η εργασία του Νας έδειξε ότι υπάρχουν σενάρια όπου η βέλτιστη έκβαση δεν είναι η πιο προφανής ενέργεια. Γνωστό παράδειγμα είναι το αποκαλούμενο δίλημμα του φυλακισμένου που το σκέφτηκε ο Μέλβιν Ντρέσερ και το ερμήνευσε ο 'Αλμπερτ Τάκερ σε μία διάλεξη του σε φοιτητές ψυχολογίας. Το σενάριο έχει αλλάξει κάπως λόγω των πολλών αφηγητών που ακολούθησαν, αλλά στην αρχική του μορφή ο Τάκερ εξηγεί ότι δύο άντρες έχουν συλληφθεί για κάποιο αδίκημα και τοποθετούνται σε διαφορετικά κελιά. Αν ομολογήσει μόνο ο ένας, θα ανταμειφθεί, ενώ ο άλλος θα τιμωρηθεί' αν και οι δύο ομολογήσουν, θα τιμωρηθούν και οι δύο· αν κανείς δεν ομολογήσει, θα αφεθούν και οι δύο ελεύθεροι. Η ουσία του διλήμματος είναι ότι η βέλτιστη έκβαση είναι να μείνουν και οι δύο σιωπηλοί, οπότε θα απελευθερωθούν και οι δύο, αλλά ο φόβος ότι μία τέτοια στρατηγική μπορεί να στραφεί εναντίον τους, αν ο άλλος ομολογήσει, ίσως τους οδηγήσει στην ομολογία, περίπτωση στην οποία θα τιμωρηθούν και οι δύο. Με τέτοια στρατηγικά παιχνίδια και σενάρια στο μυαλό αναζητήθηκαν εφαρμογές στον χώρο των διαπραγματεύσεων σε στρατιωτικό, επιχειρηματικό ή προσωπικό επίπεδο. Πειραματικά ανακαλύφθηκε ότι οι άνθρωποι είχαν έντονη την αίσθηση της θεωρητικά βέλτιστης λύσης και ότι η παραμικρή παρασπονδία αμέσως οδηγούσε στην αντίδραση της άλλης πλευράς, το γνωστό μας πανάρχαιο οφθαλμόν αντί οφθαλμού. Υπάρχουν παιχνίδια για τα οποία υπάρχει η βέλτιστη στρατηγική, και μόλις αυτή βρεθεί το παιχνίδι γίνεται στην ουσία τετριμμένο. Π .χ. η τρίλιζα είναι ένα πολύ δημοφιλές παιδικό παιχνίδι, αλλά από τη στιγμή που η στρατηγική της έγινε κατανοητή και ο κάθε παίκτης παί*· Αυτή είναι η αρχική θέση των Εξελιγμένα)!/ εικονικών πλασμάτων του Καρλ Σιμς (1994). Τα πλάσματα, που είναι γνωστά με το χαϊδευτικό όνομα «blockies», εμπλέκονται σε ένα παιχνίδι ελέγχου του πράσινου κύβου. Είναι αποτελέσματα προσομοίωσης μιας δαρβινικής διαδικασίας μέσω της οποίας τα σώματα τους και η συμπεριφορά τους εξελίσσονται για να φτάσουν κάποια στιγμή να εκτελούν ορισμένες ενέργειες.

ζει ορθολογικά, τότε όλες οι παρτίδες καταλήγουν σε ισοπαλία και το ενδιαφέρον χάνεται. Ο Νας απέδειξε ότι ακόμα και το σκάκι έχει μία βέλτιστη στρατηγική, αλλά είναι τόσο πολύπλοκο, που αυτή η βέλτιστη στρατηγική δεν έχει ακόμα βρεθεί, ούτε καν σε σημείο που να μπορεί να πει εάν η κάθε παρτίδα θα καταλήξει σε ισοπαλία ή σε νίκη για τα λευκά. Εάν κάποτε βρεθεί αυτή η βέλτιστη στρατηγική, τότε το σκάκι θα γίνει και αυτό βαρετό και τετριμμένο όπως και η τρίλιζα. Υπήρχε κάποια βέλτιστη στρατηγική για τα πυρηνικά όπλα; Για μερικά χρόνια η Αμερική ήταν η μόνη πυρηνική δύναμη, αλλά ο φόβος ότι η Ρωσία θα κατασκεύαζε το δικό της πυρηνικό οπλοστάσιο οδήγησε μερικούς διανοητές όπως ο φον Νόυμαν και ο Μπέρτραντ Ράσελ να υποστηρίξουν ένα άμεσο πρώτο πυρηνικό χτύπημα εναντίον της και την ίδρυση ενός παγκόσμιου κοινοβουλίου που θα επέβαλε παγκόσμια ειρήνη. Αυτό δεν εφαρμόστηκε και έτσι η πολιτική σύντομα άλλαξε. Έγινε πολιτική αποτροπής και εξασφαλισμένης αμοιβαίας καταστροφής (MAD). Αυτού του είδους οι στρατηγικές αναπτύσσονταν κατά κανόνα στους μυστικοπαθείς κόλπους διανοητών της εταιρίας RAND. Η εταιρεία RAND ιδρύθηκε το 1945 με χρήματα που είχαν περισσέψει από την πολεμική προσπάθεια. Αρχικά ήταν τμήμα του ερευνητικού προγράμματος Douglas Aircraft αλλά το 1948 επανιδρύθηκε στην ουσία ως μη κερδοσκοπική οργάνωση χρηματοδοτούμενη από τον στρατιωτικό και τον επιχειρηματικό τομέα. Είναι ένα τυπικό think tank, μία συγκέντρωση δηλαδή εγκεφάλων που η βασική τους δουλειά είναι να «διανοούνταιτο αδιανόητο». Τα αρχικά RAND σήμαιναν «έρευνα και ανάπτυξη», με έμφαση στην εθνική στρατηγική σε έναν πυρηνικό κόσμο. Όλοι οι μαθηματικοίτων ΗΠΑ στις δεκαετίες '40 και '50 που προαναφέρθηκαν κάποια εποχή δούλεψαν εκεί. Ο Νας τους εισήγαγε σε μία σειρά από παιχνίδια, που περιλάμβαναν και το Kriegspiel. Η λογιστική του πολέμου μελετήθηκε με ακρίβεια και αναπτύχθηκαν ασφαλείς μηχανισμοί για τη ν αποτροπή οποιουδήποτε τυχαίου χτυπήματος. Με τον φόβο παρόντα και στις δύο πλευρές του αναπτυσσόμενου οπλοστασίου, η στρατηγική οφθαλμός αντί οφθαλμού έμοιαζε εντελώς απίθανη - το πυρηνικό παιχνίδι μπορούσε να παιχθεί μία και μόνη φορά. Η έντονη αντιπαράθεση των υπερδυνάμεων για δύο γενεές άφησε τα σημάδια της στον πληθυσμό και στους ηγέτες του. Διανοούμαι το αδιανόητο σήμαινε δεν αφήνω καμία πλευρά να διαπράξει το αδιόρθωτο. Η RAND λειτουργούσε περισσότερο σαν πανεπιστήμιο και λιγότερο σαν στρατιωτικός ^ Σε κάθε γενιά, επιβιώνουν τα πιο πετυχημένα πλάσματα και αναπαράγονται με μεταλλάξεις και ανασυνδυασμούς στο γενετικό υλικό των απογόνωντους. Όταν ο κύκλος επιλογής κα; μεταλλαγής συνεχιστεί για πολλές γενιές, οι πετυχημένες στρατηγικές «εφευρίσκονται» αυτόματα, χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση. Ο πράσινος κύβος είναι τώρα μέσα στα όρια.

οργανισμός. Οι άνθρωποι της είχαν την ελευθερία να ακολουθούν τα δικά τους ιδιόρρυθμα στυλ ζωής και η έδρα της ήταν ανοικτή 24 ώρες το εικοσιτετράωρο. Η RAND είχε και το δικό της πολύ πετυχημένο εκδοτικό τμήμα. Ένα από τα πιο δημοφιλή βιβλία που έβγαλε το 1954 ήταν το The Compleat Strategyst του Τζων Γουίλιαμς, μία εκλαϊκευτική παρουσίαση των εφαρμογών της θεωρίας των παιγνίων γραμμένη με το μαύρο χιούμορ που ήταν της μόδας στην οργάνωση. Τώρα υπάρχουν πολλά άλλα think tanks που οφείλουν την ύπαρξη τους στην επιτυχία της RAND, όμως κανένα από αυτά δεν είχε και δεν έχει στους κόλπους του τόσους πολλούς μαθηματικούς που η μόνη τους δουλειά να είναι η αφηρημένη σκέψη. Σε αυτού του είδους τα στρατηγικά παιχνίδια χρησιμοποιείται η ορολογία της συνεργασίας και της αποστασίας. Η θεωρία των παιγνίων υπέστη αργότερα έντονη κριτική λόγω του κυνισμού με τον οποίο αντιμετωπίζει τους ανθρώπους ως άτομα που ενδιαφέρονται μόνο για το δικό τους καλό, αλλά μεταγενέστερες μελέτες έδειξαν ότι οι στρατηγικές που ακολουθούν οι άνθρωποι στην καθημερινή τους ζωή όντως αντανακλούν την αντίληψη που έχουν για το σχετικό κέρδος. Σε ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος η ισοπαλία θα άφηνε τους δύο παίκτες στο ίδιο σημείο από το οποίο θα είχαν ξεκινήσει, όταν όμως το παιχνίδι είναι μη μηδενικού αθροίσματος, όπως το χρηματιστήριο, το κέρδος και η απώλεια είναι σχετικά, και το παιχνίδι έχει περισσότερο να κάνει με τη μεγιστοποίηση του προσωπικού κέρδους παρά με τη νίκη κατά κάποιου αντιπάλου. Η συνεργασία έτσι γίνεται πιο συνηθισμένη εάν και οι δύο πλευρές κερδίζουν από τη συναλλαγή. Αν και αρχικά άργησε να αναπτυχθεί, η θεωρία των παιγνίων είναι τώρα πια ακέραιο τμήμα της ανάλυσης της οικονομίας της αγοράς. Μία πρόσφατη χρήση ήταν το παγκόσμιο φαινόμενο της εκχώρησης δημοσίων επιχειρήσεων στον ιδιωτικό τομέα εξασφαλίζοντας έτσι πολύτιμα έσοδα και ανοίγοντας καινούργιες αγορές για ανάπτυξη. Ολόκληρη η παγκόσμια αγορά είναι μία συνεχώς μεταλλασσόμενη σκηνή συνεργασιών και ανταγωνισμών - ένας κόσμος της θεωρίας των παιγνίων. Προτείνω να εξετάσουμε το ζήτημα, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;»... Η νέα μορφή του προβλήματος μπορεί να περιγραφεί συναρτήσει ενός παιχνιδιού που το λέμε «παιχνίδι μίμησης». Παίζεται με τρία πρόσωπα, έναν άντρα (Α), μία γυναίκα (Β), και έναν ανακριτή (Γ) που μπορεί να είναι οποιουδήποτε φύλου. Ο ανακριτής βρίσκεται σε ένα δωμάτιο χωριστά από τους άλλους δύο. Αντικείμενο του παιχνιδιού για τον ανακριτή είναι να καταλάβει ποιος από τους άλλους δύο είναι ο άντρας και ποιος είναι η γυναίκα... το αντικείμενο του Α στο παιχνίδι είναι να παραπλανήσει τον Γ... Για να μην μπορούν να βοηθήσουν οι φωνές τον ανακριτή, οι απαντήσεις πρέπει να είναι γραπτές, ή ακόμα καλύτερα, γραμμένες στη γραφομηχανή. Το ιδανικό στήσιμο είναι να υπάρχει από ένα τηλέτυπο σε κάθε δωμάτιο... Το αντικείμενο του παιχνιδιού για τον τρίτο παίκτη (Β) είναι να βοηθήσει τον ανακριτή... Μπορεί να προσθέσει πράγματα όπως «εγώ είμαι γυναίκα μην τον ακούς αυτόν!» στις απαντήσεις της, αλλά κάτι τέτοιο δεν θα βοηθούσε καθόλου, δεδομένου ότι και ο άντρας θα μπορούσε να κάνει την ίδια ακριβώς δήλωση. Ρωτάμε τώρα, «τι θα συνέβαινε αν τη θέση του Α σ' αυτό το παιχνίδι την έπαιρνε μία μηχανή;» Ο ανακριτής θα κατέληγε σε λανθασμένη απάντηση με την ίδια συχνότητα όπως αν το παιχνίδι παιζόταν ανάμεσα σε έναν άντρα και σε μία γυναίκα; Αυτά τα ερωτήματα αντικαθιστούν το αρχικό μας, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;» Άλαν Τιούρινγκ, Can a Machine Think?, 1950

·< Τζιάκομο Μπάλλα, Αφηρημένη ταχύτητα - το αυτοκίνητο πέρασε, ι 1913.0 Μπάλλα ήταν ένας από αυτούς που είχε υπογράψει το Φουτουριστικό Μανιφέστο του 1910, το οποίο δήλωνε ότι «ο παγκόσμιος δυναμισμός πρέπει να αποδίδεται στη ζωγραφική σαν μία δυναμική αίσθηση».

Ο 20ός αι. γνώρισε μια έκρηξη επιστημονικών ανακαλύψεων και τεχνολογικών εξελίξεων σε όλες τις φυσικές, βιολογικές και ανθρωπιστικές επιστήμες. Κατά τη διάρκεια του Διαφωτισμού οι άνθρωποι πίστεψαν ότι η συσσωρευμένη γνώση θα τους έδινε απεριόριστη εξουσία πάνω στη φύση και θα τους απελευθέρωνε από τον καθημερινό μόχθο. Οι αντιδράσεις των καλλιτεχνών σ' αυτές τις εξελίξεις δεν ήταν πάντα θετικές. Θυμηθείτε μόνο την απόρριψη του νευτώνειου ωρολογιακού σύμπαντος από τον Γουίλιαμ Μπλέικ. Στις αρχές του 20ού αι. η άποψη μας για το σύμπαν άλλαξε ριζικά - με τη σχετικότητα και την κβαντομηχανική ξανακέρδισε το μυστήριο του και τη μαγεία του. Ωστόσο, καθώς οι επιστημονικές και πολιτικές εξελίξεις συγκρούστηκαν σε δύο παγκοσμίους πολέμους, εμείς οι άνθρωποι αναγκαστήκαμε να επανεκτιμήσουμε τη θέση μας στο σύμπαν. Ίσως στο μέλλον να μπορέσουμε να αναπτύξουμε τη σοφία μας στο ίδιο μέτρο με τη γνώση μας. Στα προηγούμενα κεφάλαια εξέτασα το ρόλο των μαθηματικών σ' αυτές τις εξελίξεις . Εδώ θα επικεντρωθώ στην επίδραση των μαθηματικών, που πολλές φορές πηγαίνουν χέρι-χέρι με τη νέα φυσική, στον πολιτισμό γενικά και στις τέχνες. Η τέχνη είναι κατά κανόνα καθρέφτης φιλοσοφικών αναζητήσεων αλλά και προσωπικών αντιδράσεων καλλιτεχνών στο μεταβαλλόμενο τεχνολογικό περιβάλλον. Φυσικά, τα μαθηματικά δεν είναι η κύρια, πόσο μάλλον η μόνη, επίδραση για πολλά πολιτιστικά κινήματα. Είναι ενδιαφέρον παρ' όλα αυτά να εξετάσουμε αυτούς τους τομείς στους οποίους τα μαθηματικά έπαιξαν ιδιαίτερο και σημαντικό ρόλο. Η χρήση μαθηματικών όρων σε καλλιτεχνικά ζητήματα δείχνει ότι κάποιοι καλλιτέχνες υιοθέτησαν τη γλώσσα και τις ιδέες των μαθηματικών μεταμορφώνοντας τες μέσα απ' το πρίσμα της καλλιτεχνικής ζωής. Πολλά απ' τα καλλιτεχνικά κινήματα που ξεπήδησαν τις πρώτες δύο δεκαετίες του 20ού αι. ενστερνίστηκαν τη γλώσσα και τις ιδέες των καινούργιων γεωμετριών που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς. Η ζωγραφική και η γλυπτική είναι από τη φύση τους τέχνες που ασχολούνται με την καλλιτεχνική έκφραση σε δύο και τρεις διαστάσεις αντίστοιχα. Αυτό περιορίζει τη δυνατότητα πλήρους αναπαράστασης του κόσμου και της ανθρώπινης ύπαρξης. Σε τι βοήθησαν οι καινούργιες γεωμετρίες τους νέους τρόπους έκφρασης; Κατά την ιταλική Αναγέννηση τα μαθηματικά της προοπτικής επέτρεψαν τη ρεαλιστικότερη αναπαράσταση των τριών διαστάσεων σε μια δισδιάστατη επιφάνεια. Η προοπτική διεύρυνε τη γλώσσα της ζωγραφικής και οι καλλιτέχνες έμαθαν γρήγορα τους καινούργιους κανόνες. Αργότερα, έσπασαν συνειδητά τους κανόνες αυτούς για αισθητικούς και εικαστικούς λόγους. Τον 20ό αι., ο Κυβισμός, ο Φουτουρισμός και ο Σουρεαλισμός συμβιβάστηκαν με τις έννοιες των καινούργιων γεωμετριών, όπως η μη ευκλείδεια γεωμετρία και ο πολυδιάστατος χώρος, ιδιαίτερα η τέταρτη διάσταση. Τα πρώτα χρόνια του αιώνα οι καινούργιες γεωμετρίες είχαν σημαντική επίδραση στους επιμέρους καλλιτέχνες, μεγαλύτερη από ό,τι στα κινήματα συνολικά, Κατά τα τέλη της δεκαετίας του 1920 η χρονική τέταρτη διάσταση της θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν κέρδισε τις εντυπώσεις, αλλά πριν απ' αυτό είχαν υπάρξει πολλές συζητήσεις σχετικά με μια τέταρτη διάσταση του χώρου. Οι μαθηματικές επαναστάσεις στη γεωμετρία έγιναν στα μεσάτου 19ου αι. με την ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας ταυτόχρονα από τον Λομπατσέφσκι και τον Μπόλυαϊ γύρω στα 1830 (κεφ. 16). Το 1854 ο Μπέρνχαρντ Ρήμαν έβγαλε το θεμελιώδες σύγγραμμα του «Περί των υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία», το

Α Ντέιβιντ Μπόμπεργκ, Στο αμπάρι, 1913-14. Σύνθεση γραμμικών ανθρώπινων μορφών πίσω από πλέγμα. Η αποσπασματικότητα των μορφών τους προσδίδει έναν έντονο δυναμισμό.

οποίο έθεσε τις βάσεις για τη μαθηματική έρευνα των πολυδιάστατων χώρων και για πειράματα φυσικής σε σχέση με την αληθινή γεωμετρία του χώρου. Η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν μία μόνο απ' τις πολλές δυνατές γεωμετρίες. Η πραγματική γεωμετρία του χώρου αυτή καθαυτή ήταν και εξακολουθεί να είναι θέμα των μαθηματικών και της φυσικής, ταυτόχρονα όμως άρχισε να διερευνάται από τους καλλιτέχνες η γεωμετρία των αντιλήψεων και των αναπαραστάσεων. Εάν κοιτάξουμε πρώτα την ιδέα της επέκτασης των τριών διαστάσεων του χώρου σε τέσσερις, αμέσως προκύπτει το πρόβλημα της αναπαράστασης. Η κοινή αναλογία είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείται με τόση επιτυχία στο βιβλίο του Έντγουιν Άμποτ Επιπεδοχώρος (1844), το οποίο μελετά τις αντιλήψεις των δισδιάστατων όντων που ζουν σε μία επίπεδη χώρα όταν τους επισκέπτεται ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Μια ανάλογη οπτική βρίσκουμε στα εργάτου Κλωντ Μπράγκντον όπως π.χ. στο Man the Square: A Higher Space Parable (1912). Πρόκειται για τη διαισθητική αντίληψη ολόκληρου του αντικειμένου εξετάζοντας διαδοχικές φέτες ή διατομές του. Έτσι, όσον αφορά τη ζωγραφική ως μέσον, η αντίληψη του πλήρους αντικειμένου, είτε αυτό υπάρχει σε τρεις είτε σε τέσσερις διαστάσεις, απαιτούσε μία σειρά από διατομές ή πολλαπλές εικόνες του από διάφορα προοπτικά σημεία. Αυτός είναι στην πραγματικότητα ένας από τους τρόπους με τον οποίο αναπαριστούσαν οι κυβιστές τα αντικείμενα τους. Την προοπτική την έβλεπαν σαν εμπόδιο και την απέρριπταν διότι τους έδινε μία πολύ περιορισμένη και στενή άποψη των πραγμάτων. Η διάκριση που έκανε ο φιλόσοφος Ιμμά-

νουελ Καντ ανάμεσα στην αντίληψη των αντικειμένων και στα ίδια τα αντικείμενα βρισκόταν » στη βάση των πολύπλευρων μορφών του κυβισμού. Στην πραγματικότητα, η τέταρτη διάσταση γνώριζε μία σειρά από διατυπώσεις που ξεπερνούσαντα αυστηρά μαθηματικά και τις συνηθισμένες διαστάσεις του χώρου: για κάποιους ήταν το πλατωνικό βασίλειο των ιδεών, του μυστικισμού, του παράλογου. Με λίγα λόγια, η τέταρτη διάσταση απελευθέρωνε τον καλλιτέχνη και του έδινε τη δυνατότητα να εξερευνήσει την πραγματικότητα πέρα από την τρισδιάστατη προοπτική. Αυτή την ελευθερία την εκμεταλλεύτηκαν όχι μόνον οι κυβιστές αλλά και οι ιταλοί φουτουριστές, που το ιδρυτικό τους μανιφέστο του 1909 ήταν κατά ένα μέρος πολιτικό και κατά ένα μέρος καλλιτεχνικό, εκθειάζοντας τον μοντερνισμό, την εκβιομηχάνιση και την τεχνολογία. Καλλιτέχνες όπως ο Ουμπέρτο Μποτσιόνι, ο Τζίνο Σεβερίνι και ο Τζιάκομο Μπάλλα εξέφραζαν τον δυναμισμό της τέταρτης διάστασης. Ο πιο γνωστός μαθηματικός εκείνη την εποχή στη Γαλλία ήταν ο Ανρύ Πουανκαρέ, διανοούμενος που τα γραπτά του ξεπερνούσαν τα Ας φανταστούμε για μια στιγμή ένα οποιοδήποτε τρισδιάμαθηματικά και έμπαιναν σε τομείς όπως η πολιστατο σώμα, ένα αφρικανικό λιοντάρι, π.χ., μεταξύ δύο στιγμών τική, η παιδεία και η ηθική. Το 1906 έγινε πρόεδρος της ύπαρξης του. Μεταξύ του λιονταριού LO, ή λιονταριού τη χροτης Ακαδημίας Επιστημών και τα γραπτά του, τα νίκη στιγμή Τ = Ο, και του λιονταριού L1 ή του τελικού λιονταριού, οπ°ία γνώριζαν ευρύτατη διάδοση, έφερναν τη παρεμβάλλεται μία απειρία αφρικανικών λιονταριών, διαφορετι- Ψυοικήκαιτα μαθηματικά στο επίκεντρο της πνευκών όψεων και μορφών. Αν τώρα θεωρήσουμε το σύνολο που δημι- ^οηκή ς ^H Φ^οσοφία του για τη σχετικότητα , >Λ / ·» ' /ι ' της γνώσης και η επικέντρωση του στη δημιουρουργειταιαπολαταμερητουλιονταριουσεολεςτιςστιγμεςκαι γική;λ^άτηςμαθηματικής δραστηριότητας, τις θέσεις του και μετά προσπαθήσουμε να αποδώσουμε την περί- περΛαμβανομένου και του ρόλου της υποσυνείδηκλείουσα επιφάνεια, καταλήγουμε σε ένα υπερλιοντάρι προικι- -^ς εκκόλαψης δύσκολων προβλημάτων σε αντίσμένο με εξαιρετικά ντελικάτα και λεπτά μορφολογικά χαράκτηθέση με μία καθαρά λογική γραμμή σκέψης, είχε ριστικά. Αυτές τις επιφάνειες τις ονομάζουμε λιθοχρονικές. πολύ μεγάλη επίδραση στις αρχές του 20ού αι. Εξίσου ίσως σημαντική ήταν η επίδραση στους κυβιΟσκαρ Ντομινγκεζ, «Το πέτρωμα του χρόνου», 1942 OTlKQUq κύκλους£νόςμάχλονάγνω(κου ^ κού, του Μωρίς Πρενσέ, ασφαλιστή και ερασιτέχνη ζωγράφου, ο οποίος εξερευνούσε τα μαθηματικά της μη ευκλείδειας γεωμετρίας με τους ζωγράφους Ζαν Μέτσινγκερ και Χουάν Γκρις. Το 1905 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, υπάλληλος τότε στο γραφείο ευρεσιτεχνιών, ανακοίνωσε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας· το 1916, καθηγητής πλέον, δημοσίευσε τη Γενική Θεωρία. Στα τέλη της δεκαετίας του 1920, η τέταρτη διάσταση ως διάσταση του χώρου είχε σχεδόν πλήρως αντικατασταθεί από την ιδέα της χρονικής τέταρτης διάστασης. Οχρόνος, και ως εκ τούτου η κίνηση, έγιναν ζητήματα πρώτιστης σημασίας για καλλιτέχνες όπως οι Μαρσέλ Ντυσάν και Ουμπέρτο Μποτσιόνι, π.χ. στο γλυπτό του τλευταίου Μοναδικές μορφές συνέχειας στον χώρο (1913), αλλά και για τον Φρανκ Κούπκα και την αφηρημένη τέχνη του Καζιμίρ Μάλεβιτς. Ο κυβισμός ιδρύθηκε από τον Πάμπλο Πικάσο και τον Ζωρζ Μπρακ. Οι δεσποινίδες της Αβινιόντου 1907 ήταν ο πρώτος κυβιστικός πίνακας. Η πιο γόνιμη περίοδος του κυβισμού είχε πια τελειώσει το 1922 και οι εκπρόσωποι'του είχαν αποκλίνει από την αρχικά κοινή τεχνοτροπία. Αν και τον θεωρούσαν ενιαία σχολή τέχνης, πάντα υπήρχαν διαφορές ανάμεσα στους εκπροσώπους της και στο φιλοσοφικό υπόβαθρο και στην πρακτική εφαρ-

μογή. Ο ίδιος ο Πικάσο φαίνεται να μην έχει επηρεαστεί καθόλου από μαθηματικές ιδέες, , δηλώνοντας ότι εμπνεύστηκε κατά κύριο λόγο από τις μετακινούμενες προοπτικές του Σεζάν και την τεχνοτροπία της αφρικανικής τέχνης και γλυπτικής. Τον Μπρακτον απασχολούσαν ιδιαίτερα οι γεωμετρικές αναπαραστάσεις και στην πραγματικότητα ο όρος «κυβισμός» είναι δικός του. Παράλληλα υπήρχε και μία τάση ανανεωμένου ενδιαφέροντος για πιο παραδοσιακές γεωμετρικές θεωρήσεις της προοπτικής και της δομής. Το 1912 έγινε στο Παρίσι μια σημαντική έκθεση με τίτλο Χρυσή τομή, αναφορά στην κλασσική αναλογία που απαντάται συχνά στην αρχιτεκτονική και στην τέχνη. Εκείνη την εποχή, ζωγράφοι όπως ο Γκρις και ο Ζακ Βιγιόν πλησίασαν μία εντελώς αφηρημένη και γεωμετρική μορφή κυβισμού απογυμνωμένη από οποιαδήποτε παραστατική έκφραση. Η επίδραση της μη ευκλείδειας γεωμετρίας στην τέχνη των αρχών του 20ού αι. είναι πολύ πιο δύσκολο να εκτιμηθεί από ό,τι εκείνη της τέταρτης διάστασης. Το πρόβλημα μπορεί να πηγάζει από τη δυσκολία αναπαράστασης των μη ευκλείδειων χώρων. Ο ιταλός μαθηματικός Ευγένιος Μπελτράμι (1835-1900) έφτιαξε ένα φυσικό μοντέλο της ψευδοσφαίρας που αναπαριστούσε τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Και μόνη η γνώση της ύπαρξης της μη ευκλείδειας γεωμετρίας θα αρκούσε για να κεντρίσει την καλλιτεχνική φαντασία αλλά ο τυπικός μαθηματικός της χαρακτήρας την έκανε ίσως απρόσφορη ως έννοια σε σύγκριση με την καλλιτεχνική ελευθερία που υποσχόταν η τέταρτη διάσταση. Ζωγράφοι όπως ο Ντυσάν είχαν μεγάλη επιρροή στους κύκλους τους, αλλά ήταν μειοψηφία, όταν προσπαθούσαν να πείσουν τους καλλιτέχνες να μελετήσουν μαθηματικά και φυσικές επιστήμες. Η μη ευκλείδεια γεωμετρία, ωστόσο, επηρέασε τον ιδρυτή του νταντά Τριστάν Τζαρά και τους σουρεαλιστές. Το 1936 ο ζωγράφος Σαρλ Σιρατό δημοσίευσε το Διαστατικό μανιφέστο. Παραθέτοντας τις θεωρίες του Αϊνστάιν ως μία από τις εμπνεύσεις του, το μανιφέστο δηλώνει ότι η τέχνη έχει εξελιχθεί σε μία νέα διάσταση «εμπνευσμένη από την καινούργια αντίληψη του κόσμου». Η ζωγραφική έπρεπε να αφήσει το επίπεδο και να επεκταθεί στον χώρο, οδηγώντας έτσι σε διαστατικές κατασκευές και εγκαταστάσεις πολυμέσων. Παρότρυνε τη «γλυπτική να εγκαταλείψει τον κλειστό, ακίνητο και νεκρό χώρο, δηλαδή τοντρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, και να στρέψει την καλλιτεχνική της έκφραση στον τετραδιάστατο χώρο του Χέρμαν Μινκόφσκι». Το μανιφέστο έφερε τις υπογραφές ενός εντυπωσιακού αριθμού σημαντικών καλλιτεχνών. Η δήλωση αυτή είναι συμβατή και με τις δύο βασικές ερμηνείες της τέταρτης διάστασης, δηλαδή ως διάστασης χώρου και πνεύματος και ως διάστασης χρόνου. Γενικά όμως, ελάχιστοι ζωγράφοι μετά από τη δεκαετία του '30 έδειξαν ενδιαφέρον είτε για την τέταρτη διάσταση του χώρου ή για τον μη ευκλείδειο χώρο, αν εξαιρέσουμε βέβαια τους σουρεαλιστές. Ο Αντρέ Μπρετόν θεωρούσε ότι οι νέες γεωμετρίες ταίριαζαν ιδανικά με τα επιχειρήματα του για τον νέο «υπερρεαλισμό». Αν και η υπερρεαλιστική θεωρία του Μπρετόν βασίστηκε κατά μέγα μέρος στην ανάλυση του Φρόιντ για το υποσυνείδητο, την απασχολούσαν και οι υψηλότερες διαστάσεις, καθώς ο τετραδιάστατος χωροχρόνος συνδυαζόταν με υψηλότερες διαστάσεις του παράλογου ή του υποσυνείδητου. Αυτό το ενδιαφέρον το βλέπουμε στους τίτλους μερικών έργων, όπως Νεαρός άντρας μαγεμένος από το πέταγμα μίας μη ευκλείδειας μύγας (1942} του Μαξ Ερνστ, και στο περιεχόμενο κάποιων άλλων, όπως π.χ. στα περίφημα «ρευστά» ρολόγια του Σαλβαδόρ Νταλί

Α Σαλβαδόρ Νταλί, 7ο μυστήριο του ΜυσηκούΔείπνου, 1955. Η ευκλείδεια γεωμετρία συνέχισε να εμπνέει τους καλλιτέχνες. Εδώ βλέπουμε τον Μυστικό Δείπνο να λαμβάνει χώρα μέσα σε ένα κανονικό δωδεκάεδρο, το πλατωνικό σύμβολο του σύμπαντος.

αλλά και σε άλλα του έργα όπως Η εμμονή της μνήμης (1931), στον υπερκύ βο, το τετραδιάστατο αντίστοιχο του κύβου στη Σταύρωση (Corpus Hypercubicus) του 1954.0 πιο επιστημονικός από τους σουρεαλιστές ήταν ο Όσκαρ Ντομίνγκεζ, ο οποίος, εργαζόμενος στη γλυπτική, μαγεύτηκε από τη ζωή των αντικειμένων στο χρόνο. Οι ιδέες του για «λιθοχρονικές επιφάνειες» φαίνεται να πλησιάζουν πολύ τα γλυπτά του Μποτσιόνι. Το 1939 ο Ντομίνγκεζ είχε ήδη κατασκευάσει μια σειρά από έντονα χωρικούς «κοσμικούς» πίνακες που οι πολυεδρικές τους μορφές έχουν συγκριθεί με γεωμετρικά μοντέλα εκτεθειμένα στο ινστιτούτο Ανρύ Πουανκαρέ σε φωτογραφίες του Μαν Ρέι για την υπερρεαλιστική έκθεση του 1936. Για μία αληθινά μαθηματική και αισθητική αναπαράσταση των μη ευκλείδειων γεωμετριών, θα έπρεπε να περιμένουμε την ισχύ των υπολογιστών. Οι νέες πολυδιάστατες και μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ξεκίνησαν τη ζωή τους ως αφηρημένες μαθηματικές θεωρίες, δεν χρησιμοποιήθηκαν μόνο στην καινούργια φυσική αλλά αποτέλεσαν έμπνευση για καλλιτεχνικά και φιλοσοφικά κινήματα, τα οποία επιζητούσαν την ανατροπή των καθιερωμένων τρόπων σκέψης. Στον κόσμο της τέχνης αυτές οι εκφράσεις πήραν πολλές και διαφορετικές μορφές που κυμαίνονταν από το πνευματικό έως το αναρχικό - πολλές φορές συνδυάζοντας και τα δύο. Η εγκα-

τάλειψη της ευκλείδειας γεωμετρίας ως το χωρικό υπόδειγμα σήμαινε ότι ο χώρος έδινε νέες προοπτικές στη ζωή και στο σύμπαν. Οι νέοι καλλιτέχνες υφίστανται έντονη κριτική διότι ασχολούνται με τη γεωμετρία. Και όμως τα γεωμετρικά σχήματα είναι η ουσία της ζωγραφικής. Η γεωμετρία, η επιστήμη του χώρου, οι διαστάσεις της και οι σχέσεις των αντικειμένων μεταξύ τους πάντα καθόριζαν τους κανόνες της ζωγραφικής. Έως τώρα, οι τρεις διαστάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας ήταν επαρκείς για το ανήσυχο πνεύμα των καλλιτεχνών που ήθελαν να αναπαραστήσουν το άπειρο. Οι νέοι καλλιτέχνες δεν διατείνονται, τουλάχιστον όχι περισσότερο από τους παλαιότερους, ότι είναι γεωμέτρες. Πρέπει να ειπωθεί όμως ότι η γεωμετρία για τις πλαστικές τέχνες είναι ότι είναι και η γραμματική για την τέχνη του συγγραφέα. Σήμερα οι επιστήμονες δεν περιορίζονται στις τρεις διαστάσεις του Ευκλείδη. Οι ζωγράφοι με απόλυτα φυσικό τρόπο, διαισθητικά θα μπορούσε να πει κανείς, άρχισαν να ασχολούνται με αυτές τις καινούργιες δυνατότητες που πρόσφερε ο χώρος, οι οποίες, στη γλώσσα των σημερινών ατελιέ, αναφέρονται με τον όρο: η τέταρτη διάσταση. Αν τη δούμε από την πλευρά των πλαστικών τεχνών, η τέταρτη διάσταση μοιάζει να ξεπηδάει από τις τρεις γνωστές διαστάσεις: αναπαριστά την απεραντοσύνη του χώρου διαιωνιζόμενη σε όλες τις κατευθύνσεις οποιαδήποτε στιγμή. Είναι ο χώρος αυτός καθαυτός, η διάσταση του απείρου' η τέταρτη διάσταση δίνει στα αντικείμενα την πλαστικότητα τους. Δίνει στα αντικείμενα τις σωστές διαστάσεις τους συνολικά, ενώ στην ελληνική τέχνη, π.χ., ένας κάπως μηχανικός ρυθμός συστηματικά καταστρέφει τις αναλογίες. Η ελληνική τέχνη είχε μία καθαρά ανθρωποκεντρική αντίληψη της ομορφιάς. Θεωρούσε ότι ο άνθρωπος είναι το μέτρο της τελειότητας. Όμως η τέχνη των νέων ζωγράφων θεωρεί ως ιδανικό της το άπειρο σύμπαν, και με αυτό το ιδανικό στο μυαλό οφείλουμε να κατασκευάσουμε μία καινούργια νόρμα τελειότητας, μία νόρμα η οποία να επιτρέπει στον ζωγράφο να διαμορφώνει τα αντικείμενα του σύμφωνα με τον βαθμό πλαστικότητας που επιθυμεί να τους δώσει ... Τελικά οφείλω να πω ότι η τέταρτη διάσταση... εκφράζει τις φιλοδοξίες και τα προαισθήματα πολλών νέων καλλιτεχνών που παρατηρούν τη γλυπτική των Αιγυπτίων, των Νέγρων και της Ωκεανίας, διαλογίζονται με επίκεντρο διάφορες επιστημονικές ανακαλύψεις και ζουν προσδοκώντας την υπέρτατη τέχνη. Γκιγιώμ Απολλιναίρ από το «Η σύγχρονη ζωγραφική», Les soirees de Paris, Απρίλιος 1972

< Ένας απ' τους πρώτους υπολογιοτές εφευρέθηκε απ' τον Μπλαιζ Πασκάλτο 1642. Η πρόσθεση γινόταν στρέφοντας τους τροχούς με κάτι μυτερό, αλλά για τις άλλες πράξεις το μηχάνημα ήταν εξαιρετικά δύσχρηστο.

Α Μεσαιωνικά λογιστικά ραβδιά σαν αυτά που χρησιμοποιούσαν στο αγγλικό Υπουργείο Οικονομικών μέχρι το 1826, οπότε αναβάθμισαν την τεχνολογία τους σε χαρτί και μελάνι. Τα ποσά που εισέρεαν στο υπουργείο χαράσσονταν στο πλάι των ραβδιών τα οποία μετά χωρίζονταν σε δυο κομμάτια, ένα για κάθε κόμμα.

Στην ιστορία των μαθηματικών υπήρξαν κατά καιρούς δίπολα με αυξομειούμενη σχετική σημασία, όπως π.χ. η σχέση ανάμεσα στην αριθμητική και τη γεωμετρία ή ανάμεσα στα καθαρά και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αλλο ένα ζεύγος αντιθέτων είναι τα αλγοριθμικά και τα «αναλυτικά» μάθη ματικά. Τα τελευταία ασχολούνται περισσότερο με τη ν ενυπάρχουσα δομή και με τα «ωραία θεωρήματα», ενώ τα πρώτα με τις διαδικασίες που είναι απαραίτητες για την επίτευξη πρακτικών λύσεων. Γνωρίζουμε π.χ. ότι έχουν χρησιμοποιηθεί διάφορες μέθοδοι, ή αλγόριθμοι, για την εύρεση αρρήτων όπως το V2 σε διάφορα αριθμητικά συστήματα. Η έρευνα για τον εντοπισμό της πιο αποδοτικής απ' αυτές τις διαδικασίες, αυτής δηλαδή που επιτρέπει την επίτευξη του αναγκαίου βαθμού ακρίβειας με το μικρότερο δυνατό αριθμό βημάτων, είναι το βασικό αντικείμενο των αλγοριθμικών μαθηματικών. Αρχικά ο όρος «αλγόριθμος» αναφερόταν στην εκτέλεση υπολογισμών με ινδοαραβικά ψηφία σε αντιπαράθεση με τους υπολογισμούς που γίνονταν στον άβακα. Καθώς η χρήση του τελευταίου άρχισε να φθίνει στην Ευρώπη και καθώς οι υπολογισμοί γίνονταν όλο και πιο εκτενείς και απαιτητικοί, έγινε αισθητή η ανάγκη για μηχανικούς υπολογιστές. Ήδη τον 17ο αι. μαθηματικοί όπως ο Πασκάλ, ο Ντεκάρτ και ο Λάιμπνιτς ονειρεύονταν μία παγκόσμια γλώσσα που θα μπορούσε να κωδικοποιήσει όλα τα μαθηματικά προβλήματα και να δώσει μεθόδους επίλυσης κατάλληλες για μηχανική εφαρμογή. Οι ίδιοι κατασκεύασαν διάφορους μηχανικούς υπολογιστές. Το όραμα του Λάιμπνιτς για έναν παν-λογισμό ξεπερνούσε κατά πολύ τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό καθώς περιλάμβανε κωδικοποιήσεις ικανές να κρίνουν προβλήματα επιστήμης, ηθικής και νομοθεσίας. Η ισχύς οποιουδήποτε αποδοτικού αλγορίθμου μπορεί να αυξηθεί σημαντικά εάν χρησιμοποιηθούν υπολογιστικές μηχανές. Όμως, ο μηχανολογικός εξοπλισμός συναντήθηκε με το λογισμικό μόλις τον 20ό αι. ΟΤσαρλς Μπάμπιτζ (1791-1871) πρώτος σχεδίασε τη «μηχανή διαφορών» το 1819 και κατασκεύασε ένα πρότυπο που λειτούργησε το 1822. Φιλοδοξούσε να βελτιώσει την ταχύτητα αλλά και την ακρίβεια των διαφόρων μαθηματικών πινάκων, όπως π.χ. των λογαρίθμων. Η βρετανική κυβέρνηση στήριξε την κατασκευή μιας τέτοιας μηχανής, που θα ήταν ικανή να παράγει πίνακες μεγάλης ακρίβειας για ασφαλιστική, διοικητική και επιστημονική χρήση. Όμως το 1834 το πρόγραμμα είχε ξεπεράσει κατά πολύ τον προϋπολογισμό του και είχε μείνει απελπιστικά πίσω. Αν και η αφοσίωση του Μπάμπιτζ στο πρόγραμμα και η οικονομική διαχείριση του ποτέ δεν αμφισβητήθηκαν, η κυβέρνηση άρχισε να καθυστερεί συστηματικά την καταβολή των επιδοτήσεων. Ο Μπάμπιτζ είχε ήδη αρχίσει να ασχολείται με το σχεδιασμό της «αναλυτικής μηχανής», του πραγματικού προγόνου του σημερινού κομπιούτερ. Ένα χαρακτηριστικό στοιχείο της ήταν ο διαχωρισμός σε αποθηκευτικό χώρο, όπου φυλάσσονταν οι αριθμοί κατά τη διάρκεια των πράξεων, και μονάδα επεξεργασίας, όπου γίνονταν οι αριθμητικές πράξεις. Η είσοδος και η έξοδος ήταν κωδικοποιημένες με διάτρητες κάρτες όπως και ο μηχανισμός που διεκπεραίωνε το πρόγραμμα. Η έξοδος κατευθείαν σε εκτυπωτή ήταν μια απ' τις επιθυμητές εξελίξεις όπως και η προσάρτηση στο σύστημα μιας ατμομηχανής που θα αυτοματοποιούσε την όλη διαδικασία. Όμως η «αναλυτική μηχανή» δεν φτιάχτηκε ποτέ και το 1842 η κυβέρνηση αποφάσισε να διακόψει τη χρηματοδότηση της μηχανής διαφορών. Οι πικρόχολες απόψεις του Μπάμπιτζ για την κατάντια της βρετανικής επιστήμης επιβεβαιώθηκαν πανηγυρικά. Φοιτητής ακόμα υπήρξε ένας απ' τους συνιδρυτές της Αναλυτικής Εταιρείας, που στόχευε να ανεβάσει το επίπεδο της διδασκαλίας των μαθηματικών στο Καίμπριτζ, έτσι ώστε να πλησιάσει εκείνο της ηπειρωτικής Ευρώπης. Το 1830 εξαπέ-

λύσε μια σφοδρή επίθεση κατά του επιπέδου της βρετανικής επιστήμης, κατηγορώντας γι' »αυτό τον απομονωτισμό της Βασιλικής Εταιρείας. Αποτέλεσμα ήταν η ίδρυση της Βρετανικής Ένωσης για την Προώθηση της Επιστήμης. Δυστυχώς η οικονομίστικη αντιμετώπιση του εγχειρήματος του Μπάμπιτζτο καταδίκασε στην αφάνεια για 100 περίπου χρόνια. Όπως είχε προβλέψει ο Μπάμπιτζ, η εξέλιξη των κομπιούτερ στηρίχτηκε κυρίως στην ανάγκη επιτάχυνσης των πράξεων που εκτελούσαν τότε οι μηχανικοί υπολογιστές. Η πρώτη αυτόματη υπολογιστική μηχανή κατασκευάστηκε στο Χάρβαρντ με χρηματοδότηση της IBM γύρω στα 1940.0 πρώτος ηλεκτρονικά προγραμματιζόμενος υπολογιστής ήταν ο Κολοσσός που κατασκευάστηκε το 1943 με τη συνεργασία του Τιούρινγκ και του φον Νόυμαν και αποτελούσε μέρος του βρετανικού προγράμματος αποκρυπτογράφησης στο Bletchley Park. Όμως το μηχάνημα που θα επηρέαζε τη μελλοντική δομή των υπολογιστών ήταν το ENIAC (Ηλεκτρονικός αριθμητής ολοκληρωτής και υπολογιστής) του Πανεπιστημίου της Πενσυλβανίας περίπου την ίδια εποχή. Ο φον Νόυμαν πίστευε ότι ο ENIAC, που αρχικά είχε κατασκευαστεί για να υπολογίζει πίνακες βαλλιστικής, θα μπορούσε να κάνει μερικούς απ' τους υπολογισμούς που απαιτούσε το Σχέδιο Μανχάταν, αλλά τελικά κατέληξε να προτείνει ο ίδιος ένα νέο είδος μηχανήματος με πρόγραμμα αποθήκευσης, τον EDVAC (Αυτόματος ηλεκτρονικός υπολογιστής διακριτών μεταβλητών). Αυτή η κατασκευή θα είχε πέντε κύρια συστατικά μέρη: είσοδο, έξοδο, μονάδα ελέγχου, μνήμη και αριθμητική μονάδα. Ο υπολογιστής αποθηκευμένου προγράμματος ονομάζεται έτσι γιατί το πρόγραμμα και τα αριθμητικά στοιχεία φυλάσσονται στη μνήμη όσο η μονάδα επεξεργασίας εκτελεί μια αλληλουχία εντολών. Ο πρώτος πρακτικός υπολογιστής αυτού του τύπου κατασκευάστηκε στη Βρετανία το 1949 και λεγόταν EDSAC (Αυτόματος υπολογιστής αποθήκευσης ηλεκτρονικής υστέρησης) . Ακολούθησαν αρκετά μηχανήματα στις ΗΠΑ και στη Βρετανία, και στη δεκαετία του >· Το Μουσείο Επιστημών του Λονδίνου κατασκεύασε το 1991 την πρώτη πλήρη μηχανή διαφορών για να τιμήσει τα 200 χρόνια απ' τη γέννηση του Τσαρλς Μπάμπιτζ. Αποτελείται από 4000 μέρη και ζυγίζει πάνω από 2,5 τόνους. Η μηχανή όπως την είχε συλλάβει ο Μπάμπιτζ θα ήταν ένας πλήρως αυτοματοποιημένος υπολογιστής με δυνατότητα εκτυπώσεων και μια ατμομηχανή για ενεργειακή πηγή.

Α Αναπαράσταση του Κολοσσού, αποκωδικοποιητή ηλεκτρονικού υπολογιστή στο Bletchley Park (1997). Ήταν ο πρώτος ηλεκτρονικά προγραμματιζόμενος υπολογιστής στον κόσμο και βοήθησε τους κρυπτογράφους να σπάσουντον γερμανικό κώδικα Λόρεντς κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου.

'60 η αρχιτεκτονική αποθηκευμένου προγράμματος είχε ήδη επικρατήσει. Η αντικατάσταση των λυχνιών από ημιαγωγούς αύξησε την ταχύτητα και την αξιοπιστία. Παρά τις ομοιότητες με τα σχέδια του Μπάμπιτζ, αυτές οι εξελίξεις έγιναν χωρίς η δουλειά του να είναι γνωστή. Είναι προφανές ότι η εφεύρεση των υπολογιστών οφείλεται σε καθαρά πρακτικές ανάγκες των επιχειρήσεων, του κράτους, της κρυπτογραφίας και της επίλυσης εξισώσεων στη μαθηματική φυσική. Οι υπολογιστές αποθηκευμένου προγράμματος είχαν διαχωρίσει το μηχανολογικό εξοπλισμό απ' το λογισμικό του. Οι πρώτες εργασίες πάνω στα προγράμματα, σε αλγορίθμους δηλαδή που εκτελούν συγκεκριμένους υπολογισμούς, έγιναν όχι για πρακτικούς λόγους αλλά για να διευκολύνουν τη μελέτη της λογικής των τυπικών συστημάτων. Η κοινή αριθμητική είναι το πιο γνωστό παράδειγμα τέτοιου συστήματος. Έχει ένα αυστηρά ορισμένο σύνολο συμβόλων και συγκεκριμένες διαδικασίες χειρισμού αυτών των συμβόλων έτσι ώστε ένα πρόβλημα να οδηγείται στη λύση του. Αυτά καθαυτά τα σύμβολα δεν σημαίνουν απολύτως τίποτα, εκτός αν υπαχθούν στους κανόνες του τυπικού συστήματος. Π.χ. αν θέλω να επαληθεύσω ότι ABmBAeBEB, έχω διάφορες μεθόδους ή αλγορίθμους που μπορώ να χρησιμοποιήσω για να κάνω τις πράξεις. Αυτό γίνεται προφανέστερο, αν γράψω την παραπάνω σχέση με άλλα σύμβολα: 12x21 =252. Βλέπουμε ότι τα σύμβολα που χρησιμοποιώ δεν έχουν καμιά σημασία - αυτό που μετράει είναι ότι η αλήθεια μιας πρότασης, στη συγκεκριμένη περίπτωση μιας αριθμητικής πράξης, μπορεί να αποδειχτεί ξεκινώντας από γνωστά αξιώματα. Και πράγματι, αντιστρέφοντας την κοινή χρήση των γραμμάτων για τον συμβολισμό συναρτήσεων, οι αριθμοί δεν χρειάζεται να δηλώνουν ποσότητες, αλλά μπορούν να χρησιμοποιούνται και σαν τελεστές. Αυτό είναι σημαντικό στη μετάβαση από υπολογιστικές μηχανές σχεδιασμένες για την επίλυση ενός συγκεκριμένου είδους προβλήματος σε υπολογιστές γενικής χρήσης. Σε έναν σύγχρονο υπολογιστή, οποιαδήποτε εντολή, π.χ. να εμφανίσει μια κόκκινη κουκίδα σε ένα συγκεκριμένο σημείο της οθόνης, αποτελείται στην ουσία από μια σειρά αριθμών. Στην πραγματικότητα, ολόκληρο το πρόγραμμα, απ' τη στιγμή που κωδικοποιείται σε δυαδικό σύστημα, δεν είναι παρά ένας μοναδικός (πολύ μεγάλος) αριθμός. Η εγγενής απλότητα των υπολογιστών συχνά παραβλέπεται λόγω της μεγάλης προόδου που έχουν κάνει αυτά τα μηχανήματα σε ταχύτητα και ισχύ. Ο ΚουρτΓκέντελ (1906-78) δημοσίευσε το 1931 μια εργασία με τίτλο «Περίτωντυπικά αναποκρίσιμων προτάσεων στο Principle Mathematica και στα σχετικά συστήματα», στην οποία έδινε μια μέθοδο απόδοσης ενός μοναδικού αριθμού σε κάθε πρόταση που ήταν δυνατόν να εκφραστεί μέσα σε ένα τυπικό σύστημα. Ακόμα και η απόδειξη της ισχύος μιας πρότασης μπορούσε να εκφραστεί με τη μορφή μιας μοναδικής σειράς φυσικών αριθμών με τρόπο που, όταν δίνεται μια τέτοια σειρά βασικών συμβόλων, να μπορεί να βρεθεί ποια έχουν νόημα και ποια όχι. Το πρώτο απ' τα δύο κλασικά συμπεράσματα στα οποία κατέληγε, γνωστά σήμερα με το όνομα «Θεωρήματα της μη πληρότητας», είναι ότι κάθε αξιωματικό σύστημα, ακόμα και στοιχειώδες όπως το αριθμητικό συστημάτων ακεραίων, περιέχει προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι είναι αληθείς ή ψευδείς μέσα στο ίδιο το σύστημα. Αυτό είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογο με το γλωσσικό δίλημμα «αυτή η πρόταση είναι λανθασμένη». Η ύπαρξη τέτοιων «αναποκρίσιμων» προτάσεων έδειξε ότι το πρόγραμμα αξιωματοποίησηςτων μαθηματικών που είχαν ξεκινήσει ο Μπέρτραντ Ράσελ και ο Άλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ ήταν αδιέξοδο. Ο Γκέντελ απογοήτευσε και τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, ο οποίος προσπαθούσε να κατασκευάσει μια πλήρη και συνεπή ως προς τον εαυτό

της αριθμητική, δηλαδή χωρίς εσωτερικές αντιφάσεις. Το δεύτερο συμπέρασμα του Γκέντελ έδειξε ότι ίσχυε ακριβώς το αντίθετο: αν το σύστημα είναι συνεπές, δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του μέσα απ' τον ίδιο του τον εαυτό. Εν ολίγοις, μπορούμε να πούμε ότι η αριθμητική είναι μη πλήρης. Μετά από ένα τόσο ισχυρό σοκ, δεν χρειάζεται φυσικά να πούμε ότι οι μαθηματικοί εγκατέλειψαν τα μεγαλεπήβολα σχέδια για την ενοποίηση των μαθηματικών και επικεντρώθηκαν στο πώς οι διάφορες μορφές αξιωματοποίησης οδηγούσαν σε διαφορετικά συστήματα. Ο λόγος ύπαρξης μιας μαθηματικής γλώσσας είναι να μας δίνει τη δυνατότητα να απαντάμε σε ερωτήματα, οπότε οι συζητήσεις στράφηκαν στις διαδικασίες μέσω των οποίων η αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων είναι αναμφισβήτητη. Οι μαθηματικοί τώρα πια μιλούσαν για υπολογισιμότητα και όχιγιααποκρισιμότητα. Παράλληλα με την ενασχόληση με τους αλγορίθμους ήρθε και η γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης. Κατά τον πιο γενικό ορισμό, μια συνάρτηση f είναι μια αυθαίρετη αντισΓοιχία μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων. Μια συνάρτηση θεωρείται υπολογίσιμη, αν υπάρχει αλγόριθμος που οδηγεί στο αποτέλεσμα f (χ) για το δεδομένο χ, και αν αυτό είναι δυνατόν για κάθε τιμή του χ, για την οποία ορίζεται η f, δηλαδή για το πεδίο ορισμού της. Μόνον όταν επινοήθηκαν παθολογικές συναρτήσεις κατά τα τέλη του 19ου αι. κατάλαβαν οι μαθηματικοί ότι δεν ήταν όλες οι συναρτήσεις υπολογίσιμες. Η προσοχή τους έτσι στράφηκε στους υπολογιστικούς αλγόριθμους. Ήταν εύκολο να διαπιστώσει κανείς, αν ένας δεδομένος αλγόριθμος μπορούσε να υπολογίσει με ακρίβεια μια συνάρτηση. Αν όμως ένας τέτοιος αλγόριθμος δεν μπορούσε να βρεθεί και έμπαινε κάποιος στον πειρασμό να αποδείξει ότι η ύπαρξη του ήταν αδύνατη, τότε το πρώτο που θα χρειαζόταν θα ήταν ένας ακριβής ορισμός της έννοιας του αλγόριθμου. Η δημοσίευση του Γκέντελ περιείχε και διάφορες ιδέες σχετικά με τις αναδρομικές συναρτήσεις, όπου η επιθυμητή συνάρτηση προσεγγίζεται μέσω μιας αλληλουχίας αυστηρά ορισμένων ενδιάμεσων συναρτήσεων. Αυτές οι έννοιες αποδείχτηκαν πολύ παραγωγικές στον ορισμό των υπολογιστικών αλγορίθμων. Το 1936 ο Αλόνσο Τσερτς στο Πρίνστον και ο Αλαν Τιούρινγκ στο Καίμπριτζ δημοσίευσαν ανεξάρτητα ο ένας απ' τον άλλον τις απόψεις τους για την υπολογισιμότητα και στη συνέχεια ο Τιούρινγκ απέδειξε ότι οι δύο προσεγγίσεις ήταν στην ουσία ταυτόσημες. Ο ορισμός του αλγόριθμου που έδωσε ο Τιούρινγκ βασιζόταν σε ένα μηχανικό μοντέλο υπολογισμού, το οποίο βαφτίστηκε απ' τον Τσερτς «Μηχανή Τιούρινγκ». Το καυτό ερώτημα αν υπήρχε αλγόριθμος που να μπορεί να αποδείξει ότι ένας δεδομένος τύπος ισχύει ή όχι απαντήθηκε αρνητικά. Αυτά τα αποτελέσματα, σε συνδυασμό με τα θεωρήματα του Γκέντελ, έθαψαν οριστικά κάθε ελπίδα ότι κάποια μέρα κάποιο κομπιούτερ θα μπορούσε να διακρίνει την αλήθεια απ' το ψέμα σε όλες τις μαθηματικές προτάσεις. Ωστόσο, η επικέντρωση στους αλγορίθμους οδήγησε στην αλματώδη εξέλιξη του λογισμικού, το οποίο άνοιξε μια καινούργια εποχή στη μαθηματική φυσική. Τα υπολογιστικά μαθηματικά αντιμετώπισαν κατά μέτωπο την πρόκληση των παλαιών προβλημάτων της δυναμικής, όπως π.χ. τη σταθερότητα του Ηλιακού Συστήματος, και έστρεψαν την προσοχή τους στα βιολογικά συστήματα και στηνπολύπλοκη δυναμική της ίδιας της ζωής. Η Αναλογική Αρχή. Όλα τα υπολογιστικά αυτόματα ανήκουν σε δυο μεγάλες κλάσεις με τρόπο που είναι αμέσως προφανής και πού... μεταφέρεται στους ζώντες οργανισμούς. Μιλώ για την ταξινόμηση σε αναλογικές και ψηφιακές μηχανές. Ας εξετάσουμε πρώτα την αναλογική αρχή. Μια υπολογιστική μηχανή μπορεί να

Α Τροχιές σωματιδίων από τον Μεγάλο Ευρωπαϊκό Θόλο του CERN. Οι υπολογιστές έχουν φτάσει σε τέτοιες ταχύτητες και υπολογιστική ισχύ που βοηθούν τους φυσικούς να εξερευνήσουν τις θεμελιακές δυνάμεις της φύσης. Πολύ λιγότερη ισχύς χρειάστηκε για να παραχθεί το βιβλίο που διαβάζετε!

βασίζεται στην αρχή ότι οι αριθμοί αναπαριστώνται από ορισμένα φυσικά μεγέθη... Τα ρεύματα μπορεί να πολλαπλασιαστούν αν τα διοχετεύσεις στους δύο μαγνήτες ενός δυναμόμετρου προκαλώντας έτσι μια περιστροφική κίνηση. Η περιστροφή μπορεί μετά να μεταμορφωθεί σε ηλεκτρική αντίσταση με τη βοήθεια ενός ροοστάτη· και τελικά η αντίσταση μπορεί να μεταμορφωθεί σε ρεύμα αν συνδεθεί σε δύο πηγές σταθερού (και διαφορετικού) ηλεκτρικού δυναμικού. Το σύνολο που προκύπτει είναι ένα «μαύρο κουτί» όπου διοχετεύονται δύο ρεύματα και παράγεται ένα ρεύμα ίσο με το γινόμενο τους... Η Ψηφιακή Αρχή. Μια ψηφιακή μηχανή λειτουργεί με τη συνηθισμένη αρχή της αναπαράστασης αριθμών με σύνολα ψηφίων. Αυτός είναι επί τη ευκαιρία και ο τρόπος που χρησιμοποιούμε όλοι μας για τους προσωπικούς μας μη μηχανικούς υπολογισμούς, όπου εκφράζουμε τους αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα. Ας μη νομισθεί όμως ότι οι ψηφιακοί υπολογισμοί πρέπει να είναι οπωσδήποτε δεκαδικοί. Οποιοσδήποτε ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας μπορεί να αποτελέσει βάση ενός ψηφιακού συμβολισμού για τους αριθμούς. Το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) είναιτοπιοκοινό, και όλες οι ψηφιακές μηχανές που έχουν φτιαχτεί μέχρι σήμερα με αυτό το σύστημα λειτουργούν. Είναι ωστόσο πιθανό ότι τελικά θα επικρατήσει το δυαδικό (βάση 2) σύστημα. Ήδη τώρα είναι υπό κατασκευή αρκετές μηχανές βασισμένες σ' αυτό. Τζων φον Νόυμαν, Η γενική και λογική θεωρία των αυτομάτων, 1948

< Μια εικόνα δημιουργημένη από υπολογιστή που δείχνει τη σταθερότητα ενός δυναμικού συστήματος σε μικρές διαταραχές χρησιμοποιώντας τον λεγόμενο εκθέτη Λιαπούνοφ. Οι έντονες καμπύλες αναπαριστούν περιοχές αυξημένης σταθερότητας, ενώ οι ενδιάμεσες περιοχές δείχνουν τα σημεία όπου οι διάφοροι ελκυστές αγωνίζονται να κυριαρχήσουν στο σύστημα. Το χρώμα του βάθους παριστάνει τις χαοτικές περιοχές.

Στις αρχές του 19ου αι., τα μαθηματικά είχαν ήδη γίνει το κατ' εξοχήν αναλυτικό και λογικό , αντικείμενο σπουδών στα τέλη του αιώνα, έμοιαζε περισσότερο μεθηριοτροφείο μαθηματικών τεράτων, όπως οι συνεχείς συναρτήσεις χωρίς εφαπτόμενες. Στη δυναμική, το πρόβλημα των τριών σωμάτων -λυδία λίθος της σταθερότητας του Ηλιακού Συστήματος- εξακολουθούσε να μην έχει σταθερές λύσεις και ο Ανρύ Πουανκαρέ, αναλύοντας μια μερική λύση, είχε διαβλέψει μια εξαιρετικά περίπλοκη δομή. Βλέποντας το όλο ζήτη μα όχι τόσο από αναλυτική όσο από γεωμετρική σκοπιά, οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτό που έμοιαζε με απερίγραπτο κυκεώνα είχε πάρα πολλές ομοιότητες με τον προφανή κυκεώνα του πραγματικού κόσμου. Τα μαθηματικά τέρατα δεν ήταν τελικά παρά οι φύλακες των σπηλαίωντου Αλαντίν που έκρυβαν καινούργια και υπέροχα μαθηματικά αντικείμενα. Η είσοδος σ' αυτό τον κόσμο γινόταν μόνο μέσω των υπολογιστών, οι οποίοι έγιναν τα εργαστήρια των νέων αλγοριθμοκεντρικών μαθηματικών. Οι ανακαλύψεις που έγιναν έτσι δυνατές προώθησαν με τη σειρά τους την αναλυτική σκέψη και οδήγησαν στην παραδοχή ότι τα «απλά» συστήματα στα οποία ήταν συνηθισμένοι οι μαθηματικοί δεν ήταν παρά η κορυφή ενός πραγματικά γιγάντιου παγόβουνου. Το όνομα που είναι συνώνυμο με τον τομέα της κλασματοειδούς (fractal) γεωμετρίας είναι εκείνο του Μπενουά Μάντελμπροτ, καθηγητή σήμερα του Γέιλ και πρώην στελέχους της IBM. To ενδιαφέρον του γι' αυτό που αργότερα ονόμασε φράκταλς άρχισε το 1951 και κορυφώθηκε το 1977 με το βιβλίο του Η κλασματοειδής γεωμετρία της φύσης. Πολλά έχουν γραφτεί για τα κλασματοειδή και οι ροκοκό εικόνες τους είναι πασίγνωστες. Η ιδέα του «ελκυστή» ήταν γνωστή στη δυναμική - π.χ. η τροχιά ενός πλανήτη είναι ένας ελλειπτικός ελκυστής, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαταραχές της διατηρούνται μέσα σε συγκεκριμένα όρια. Στη λύση των πολυωνύμων με αριθμητικές μεθόδους, αν οι διαδοχικές προσεγγίσεις συγκλίνουν σε μια λύση, τότε η λύση αυτή είναι ένας ελκυστής. Μερικές φορές μια ρίζα που είναι γνωστό απ' τη γραφική παράσταση ότι υπάρχει δεν μπορεί να προσεγγιστεί από την επαναληπτική διαδικασία· αυτού του είδους η ρίζα ονομάζεται «απώστης». Σε ένα χαοτικό σύστημα, όπως η τυρβώδης ροή αέρα, ο ελκυστής είναι ένα κλασματοειδές και είναι γνωστός με τον όρο παράξενος ελκυστής. Μόλις μάθουμε να βλέπουμε τα πράγματα σωστά, ανακαλύπτουμε χαοτική συμπεριφορά ακόμα και στις απλούστερες καταστάσεις. Η λογιστική εξίσωση διαφορών ζ=λζ(1-ζ) είναι μια απλή δευτεροβάθμια με μία μόνο παράμετρο, το λ. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες, όπως άλλωστε θα περίμενε κανείς, αλλά αν χρησιμοποιήσουμε την επαναληπτική μέθοδο, ανακαλύπτουμε μερικές εκπληκτικές ιδιότητες. Για τις περισσότερες τιμές του λ η επαναληπτική διαδικασία «εκρήγνυται» και αποκλίνει στο άπειρο. Αν όμως αρχίσουμε απ' το λ= 1 και κατόπιν σιγά-σιγά αυξάνουμε την τιμή, ανακαλύπτουμε ότι η επανάληψη δεν αποκλίνει ούτε και συγκλίνει προς μια μοναδική τιμή: αντίθετα, κυμαίνεται ανάμεσα σε κάποιες συγκεκριμένες τιμές. Σε κάποιο σημείο το σύστημα γίνεται χαοτικό με τους αριθμούς να χοροπηδάνε ολόγυρα άναρχα. Εάντώρα επεκταθούμε στους μιγαδικούς, το πραγματικό ευθύγραμμο τμήμα αναπτύσσεται για να αποκαλύψει μια κλασματοειδή δομή. Με έναν απλό μετασχηματισμό, η εξίσωση των διαφορών μετατρέπεται σε μια άλλη δευτεροβάθμια, τηνζ=ζ2-/π. Η επαναληπτική διαδικασία είναι απλή αλλά, αν την κάνει κανείς με το χέρι, εξαιρετικά βαρετή. Μετη βοήθεια του υπολογιστή, ο Μάντελμπροτ ήταν ο πρώτος που τύπωσε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως «σύνολο Μάντελμπροτ» για την περίπτωση που το ζ είναι μιγαδικός

*· Κουατερνιανό σύνολο Ζυλιά. Το σύνολο Ζυλιά σχετίζεται στενά » με το σύνολο Μάντελμπροτ. Εδώ οι διαδοχικές επαναλήψεις γίνονται χρησιμοποιώντας όχι μιγαδικούς αλλά τα κουατέρνια του Χάμιλτον. Αυτή η τρισδιάστατη διατομή ενός τετραδιάστατου κλασματοειδούς γίνεται καλύτερα αντιληπτή όταν κινείται στην οθόνη.

αριθμός. Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι πράγματι ένα σύνολο αριθμών και η αρχική μονόχρωμη εκτύπωση του έδειξε σε μαύρο εκείνες τις τιμές του m για τις οποίες η επανάληψη δεν απέκλινε στο άπειρο - ήταν δηλαδή φραγμένη. Η απίστευτα λεπτή κατασκευή με τις χαρακτηριστικά οδοντωτές εκβλαοτήσεις να απλώνονται σαν αστραπές αποκαλύφθηκε σιγά-σιγά καθώς οι εκτυπωτές και οι κάρτες γραφικών αποκτούσαν όλο και μεγαλύτερη ανάλυση. Αυτό το απλό σύστημα έδειχνε πολλά απ' τα χαρακτηριστικά που προσπαθούσε να συγκεντρώσει ο Μάντελμπροτ. Η αυτο-ομοιότητα, που είναι τόσο χαρακτηριστική στα κλασματοειδή, γίνεται φανερή αν χρησιμοποιήσουμε έναν υπολογιστή για να μεγεθύνουμε κάποιο μικρό μέρος τους, τότε βλέπουμε ότι μοιάζει με το όλον. Επιστρέφοντας στην εξίσωση των διαφορών, για μιγαδικές τιμές του λ οι διαδοχικές επαναλήψεις παράγουν αυτό που ο Μάντελμπροτ αρέσκεται να αποκαλεί «δράκοντες». Τα επίφοβα τέρατα της μαθηματικής ανάλυσης είχαν ξαναγεννηθεί σαν όμορφες παρουσίες και ήταν καλοδεχούμενα στην οικογένεια των μαθηματικών. Η λέξη «χάος» μπορεί εύκολα να παρερμηνευτεί, καθώς στην καθημερινή γλώσσα είναι συχνά συνώνυμη με την «αταξία». Όμως, η θεωρία του χάους είναι απόλυτα αιτιοκρατική: το σύνολο Μάντελμπροτ θα είναι πάντα το ίδιο και οποιαδήποτε αρχική τιμή z πάντα θα οδηγεί στην ίδια επαναληπτική ακολουθία. Η διαφορά ανάμεσα σε ένα χαοτικό σύστημα και σε ένα τυχαίο είναι ότι η τυχαιότητα δεν έχει δομή - είναι δηλαδή το μαθηματικό ανάλογο των παρασίτων. Το χάος, αντίθετα, είναι δομημένο, αν και με πολύπλοκο και φευγαλέο τρόπο. *· Χαρούμενος Ενόν του Μπράιαν Μελούν, στο Κέντρο Γεωμετρίας του Πανεπιστημίου της Μινεσότα, 1993. Ο κλασματοειδής χάρτης του Ενόν δίδεται από την εξίσωση Η (x,y) = Iff-ay+b,x), όπου a και b αυθαίρετες παράμετροι. Γιαβ=0, ο χάρτης εκφυλίζεται στη μονοδιάστατη λογιστική εξίσωση. Η εικόνα εδώ δείχνει σημεία που είναι φράγματα κάτω από επαναλήψεις τόσο του χάρτη Ενόν όσο και του αντιστρόφου του.

Όμως, αν και η γένεση ενός κλασματοειδούς είναι αιτιοκρατική διαδικασία, δεν είναι προβλέψιμη: δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μας πληροφορεί εκ προοιμίου αν ένα σημείο είναι μέσα στο σύνολο Μάντελμπροτ ή όχι - ο μόνος τρόπος να το διαπιστώσει κανείς αυτό είναι να εφαρμόσει την επαναληπτική διαδικασία. Οι έγχρωμες αποδόσεις των κλασματοειδών είναι μια εποπτική ένδειξη του πόσα επαναληπτικά βήματα χρειάζεται ένα σημείο για να τείνει προς μια πολύ μεγάλη τιμή, ενώ τα περίπλοκα σχήματα με γειτονικά σημεία διαφορετικού χρώματος δείχνουν ότι αυτά τα σημεία, στο τέλος, θα αποκλίνουν σημαντικά. Είναι γεγονός, ότι ένα σημείο στην οθόνη ενός υπολογιστή δεν είναι παρά ένα πίξελ πεπερασμένων διαστάσεων, οπότε όσο ανεβαίνει η ανάλυση, τόσο πιο καθαρά φαίνονται οι περίπλοκες λεπτομέρειες του οχήματος. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο είναι τόσο δύσκολο να προβλεφθούντα χαοτικά συστήματα. Αν και η επαναληπτική μέθοδος είναι αιτιοκρατική, είναι πολύ ευαίσθητη στις αρχικές τιμές, οπότε όταν χρησιμοποιείται για την προσομοίωση πραγματικών συστημάτων, τα σφάλματα των αρχικών μετρήσεων μεγεθύνονται. Το γεγονός ότι πολλά φυσικά δυναμικά συστήματα συμπεριφέρονται χαοτικά παραμένει ένα απ' τα μυστήρια του σύμπαντος στο οποίο ζούμε. Η θεωρία του χάους μπορεί να φαίνεται ότι παρουσιάζει το σύμπαν σαν ένα μάλλον καταθλιπτικό και ασταθές μέρος, που η μοίρα του είναι να καταρρεύσει κάτω απ' την ανελέητη τυραννία του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής. Κι όμως, το σύμπαν είναι γεμάτο στέρεες κατασκευές, από τους μετρονομικούς παλμούς των πάλσαρς μέχριτις έξοχες σπείρες ενός μορίου DNA. Η φαινομενικά ακάθεκτη πορεία της εντροπίας ανακόπτεται, τουλάχιστον τοπικά -το άρωμα ξαναμπαίνει στο μπουκάλι του. Η μελέτη του πώς προκύπτουν τέτοιες σταθερές δομές είναι το αντικείμενο της αποκαλούμενης θεωρίας της πολυπλοκότητας. Η μελέτη των πολύπλοκων συστημάτων καλύπτει τώρα πολλούς τομείς, όπως τη θεωρία του χάους, την τεχνητή νοημοσύνη, τα αναδυόμενα συστήματα και τα αυτόματα. Ο άνθρωπος κλειδί που συνένωσε όλους αυτούς τους τομείς ήταν ο Τζωρτζ Α. Κάουαν. Το 1942, ο Κάουαν, ειδικός στη χημεία των ραδιενεργών στοιχείων, βρισκόταν στο Πανεπιστήμιο του Σικάγου, όπου ο Ιταλός φυσικός Ενρίκο Φέρμι κατασκεύαζε τον πρώτο ατομικό αντιδραστήρα - οι σύμμαχοι φοβούνταν ότι οι Γερμανοί είχαν ήδη αρχίσει την κατασκευή της ατομικής βόμβας. Τα πρώτα πειράματα του Φέρμι και η θεωρητική του δουλειά αφορούσαν τη δυνατότητα πρόκλησης μιας αλυσιδωτής αντίδρασης με αρκετή ενέργεια ώστε να οδηγήσει σε έκρηξη. Στη συνέχεια, ο Κάουαν δούλεψε στο Σχέδιο Μανχάταν και μετά τον πόλεμο τέθηκε επικεφαλής του τμήματος έρευνας στα εργαστήρια του Λος Άλαμος. Η ομάδα Κάουαν ανέλυσε τα στοιχεία της πρώτης ατομικής έκρηξης στη Ρωσία και ο ίδιος συμμετείχε στο Bethe Panel, μια μυστική ομάδα επιστημόνων με αποστολή την παρακολούθηση των πυρηνικών δυνατοτήτων της Ρωσίας για περίπου 30 χρόνια. Σ' αυτήν την περίοδο τον απασχολούσαν όλο και περισσότερο προβλήματα επιστήμης και κυβερνητικής πολιτικής. Θεωρούσε ότι οι παραδοσιακές μέθοδοι εκπαίδευσης δεν έδιναν στους επιστήμονες τα κατάλληλα εφόδια που θα τους επέτρεπαν να δουν την ευρύτερη σχέση μεταξύ των διαφόρων επιστημονικών κλάδων ή να συνδέσουν την επιστήμη με ευρύτερα ζητήματα πολιτικής, οικονομίας, περιβάλλοντος και ηθικής. Το 1982 ο Κάουαν εγκατέλειψε το Λος Άλαμος καθώς κλήθηκε να συμμετάσχει στο επιστημονικό συμβούλιο του Λευκού Οίκου. Ταυτόχρονα βολιδοσκοπούσε τους συναδέλφους του σχετικά με το όνειρο του να φτιάξει ένα κέντρο αφιερωμένο σε μια πιο ολιστική μελέτη των θετικών επιστημών.

Α Λεκάνη έλξεως - ομογενές ΚΑ. Κάθε κόμβος αυτού του γραφήματος αναπαριοτά ένα στιγμιότυπο ενός ολόκληρου σύμπαντος κυτταρικών αυτομάτων (ΚΑ) και συνδέεται με τη διάδοχη κατάσταση στο επόμενο χρονικά βήμα του εξελισσόμενου σύμπαντος. Φαίνεται ότι τα ομογενή ΚΑ και το σύμπαντους συγκλίνει ταχύτατα προς τη λεκάνη έλξεως.

Η αύξηση της ισχύος των υπολογιστών οδήγησε τους επιστήμονες στην εξερεύνηση πολύπλοκων εξισώσεων ως προς το πλήθος των παραμέτρων αλλά και μη γραμμικών εξισώσεων. Τα μαθηματικά ως τώρα είχαν κατά κύριο λόγο ασχοληθεί με γραμμικές εξισώσεις. Αυτή η προσέγγιση, αν και γενικά πετυχημένη, είχε αρχίσει τώρα να φρενάρει την ακριβή αντιμετώπιση πιο περίπλοκων συστημάτων. Όμως, οι υπολογιστές δεν νοιάζονταν κατά πόσον τροφοδοτούνταν με γραμμικές ή μη εξισώσεις - έβγαζαν αριθμητικές λύσεις σε γραφική μορφή και με τέτοια ταχύτητα που οι επιστήμονες και οι μαθηματικοί ήταν σαν να έχουν στη διάθεση τους ένα νέο ψηφιακό εργαστήριο. Μόνο με τις μη γραμμικές εξισώσεις μπορούμε να δούμε τις φευγαλέες σχέσεις μεταξύ μεταβλητών που μέχριτώρατις θεωρούσαμε ανεξάρτητες. Έγιναν αρκετές συνεργασίες μεταξύ φυσικών και βιολόγων, και το Λος Άλαμος άνοιξε και το δικό του κέντρο για μη γραμμικά συστήματα. Όμως, το βασικό αντικείμενο του Λος Άλαμος παρέμενε η πυρηνική φυσική, οπότε ο Κάουαν χρειάστηκε να ψάξει αλλού για να μπορέσει να εκμεταλλευτεί τα αρχικά του ευρήματα και να επεκταθεί ταυτόχρονα και σε άλλους τομείς. Οι συνάδελφοι του Κάουαν ήταν εξαιρετικά δεκτικοί στην ιδέα της ίδρυσης ενός νέου ινστιτούτου με τις προδιαγραφές που είχε προτείνει, αλλά εκείνη την εποχή το τεράστιο εύρος του οράματος του δυσκόλευε πολύ τον ακριβή προσδιορισμό του αντικειμένου του ιδρύματος. Τα πράγματα άλλαξαν ριζικά, όταν έγινε μέλος της ομάδας ο Μάραιη Γκελ-Μαν. Θεωρητικός φυσικός πρώτης γραμμής, ήταν αυτός που είχε ονομάσει «κουαρκ» τη νέα γενιά υποατομικών σωματιδίων παίρνοντας τη λέξη από το Ξύπνημα του Φίνεγκαντου Τζόυς. Ήταν ένας απ' τους κύριους υποστηρικτές της Μεγάλης Ενοποιημένης Θεωρίας, που φιλοδοξούσε να θέσει τις θεμελιακές δυνάμεις της φύσης μέσα σε ένα ενιαίο, συνεκτικό πλαίσιο. Τώρα ήθελε να προχωρήσει ακόμη παραπέρα, σε μια Μεγάλη Ενοποιημένη Θεωρία των Πάντων, απ' τους αρχαίους πολιτισμούς μέχρι την ανθρώπινη συνειδητότητα. Κατάφερε να μετατρέψει το ενδιαφέρον για το Ινστιτούτο σε απτή πραγματικότητα. Το 1984 συστήθηκε επίσημα ως Ινστιτούτο Ρίο Γκράντε, αφού το «Ινστιτούτο Σάντα Φε» που θα προτιμούσαν, το είχε ήδη μια θεραπευτική μονάδα. Μέχρι τα τέλη του χρόνου το Ινστιτούτο είχε οργανώσει τα πρώτα του σεμινάρια στο Σχολείο Αμερικανικής Έρευνας της Σάντα Φε. Η χρηματοδότηση προήλθε από διάφορους οργανισμούς, αλλά καθώς ο ίδιος ο Κάουαν είχε κερδίσει μια μικρή περιουσία στη δεκαετία του '60 στήνοντας την Εθνική Τράπεζα Λος Άλαμος, το πρόβλημα της συγκέντρωσης χρημάτων ήταν κάθε άλλο παρά αξεπέραστο. Έγινε σαφές σ' αυτή την πρώτη συνάντηση, ότι μερικά απ' τα καλύτερα μυαλά στους διάφορους κλάδους είχαν πολλούς κοινούς προβληματισμούς και γνώσεις να ανταλλάξουν. Κυρίως για τα αναδυόμενα συστήματα: η συνειδητοποίηση ότι το όλον είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των μερών, ότι από την αλληλεπίδραση πολλών παραγόντων -σωματιδίων, ανθρώπων, μορίων ή νευρώνων- αναδύεται μια πολυπλοκότητα που δεν είναι αμέσως εμφανής από τις ιδιότητες των επιμέρους παραγόντων. Ο επιστημονικός αναγωγισμός φαινόταν να δουλεύει καλύτερα από πάνω προς τα κάτω, από πολύπλοκα συστήματα προς απλούστερες μονάδες, ενώ ήταν λιγότερο πετυχημένος όταν κατευθυνόταν από κάτω προς τα πάνω, από απλές μονάδες προς πιο περίπλοκες δομές. Ο αρχικός ενθουσιασμός δεν μεταφράστηκε αμέσως σε πλήρη οικονομική κάλυψη, αλλά το νέο κέντρο κατάφερε τουλάχιστον να ιδιοποιηθεί το όνομα της επιλογής του και να ονομαστεί Ινστιτούτο Σάντα Φε. Ο πρώτος μεγάλος χορηγός προήλθε, όπως αναμενόταν άλλωστε, από τον κόσμο της οικονομίας.

Α Λεκάνη έλξεως - Πολύπλοκο ΚΑ. Αναπαράσταση της εξέλιξης ενός πολύπλοκου σύμπαντος κυτταρικών αυτομάτων (ΚΑ). Η σύγκλιση είναι πιο αδύναμη και πιο αργή απ' ό,τι στα ομογενή ΚΑ και το γράφημα δείχνει χαρακτηριστικούς ελικοειδείς σχηματισμούς. Στο γράφημα ενός χαοτικού ΚΑ οι διακλαδώσεις θα ήταν λεπτότερες.

Οι τράπεζες και οι επενδυτικοί οργανισμοί ανησυχούσαν όλο και περισσότερο για την » ανικανότητα της παραδοσιακής οικονομικής θεωρίας να κάνει ακριβείς προβλέψεις σχετικά με την εξέλιξη του οικονομικού συστήματος. Το 1987 ο καινούργιος γενικός διευθυντής της Citicorp βρήκε την ευκαιρία να χρηματοδοτήσει μια ερευνητική ομάδα οικονομολόγων και φυσικών υπό την αιγίδα του Ινστιτούτου. Ορισμένα φυσικά συστήματα είχαν τα ίδια χαράκτηριστικά με τα κοινωνικά συστήματα: παρουσίαζαν παρόμοια μαθηματική συμπεριφορά, και τα μαθηματικά ήταν εκείνα των πολύπλοκων συστημάτων. Αυτά τα συστήματα είναι γνωστά ως πολύπλοκα προσαρμοστικά συστήματα, χαρακτηρίζονται από διάφορους -αρνητικούς και θετικούς- μηχανισμούς ανάδρασης και περιλαμβάνουν συστήματα όπως το ανοσοποιητικό, η ανάπτυξη του εμβρύου, οι διάφορες οικολογίες, οι οικονομικές αγορές και τα πολιτικά κόμματα. Η πολυπλοκότητα προκύπτει από ένα μίγμα ανταγωνιστικών και συνεταιριστικών τάσεων, καθώς αυτού του είδους τα συστήματα βρίσκονται μόνιμα σε κατάσταση δυναμικής ισορροπίας, ακροβατώντας μεταξύ τάξης και χάους. Το πιο εκπληκτικό ήταν ότι ενώ αυτά τα συστήματα λειτουργούσαν σύμφωνα με πολύ απλούς κανόνες, οι πολύπλοκοι σχηματισμοί προέκυπταν από τις αλληλεπιδράσεις απλών δομικών στοιχείων χωρίς να υπάρχουν προκαθοριζόμενα πρότυπα. Η πολυπλοκότητα ήταν ένα αναδυόμενο φαινόμενο και το Ινστιτούτο της Σάντα Φε είχε πια καταλάβει μια σταθερή θέση στο χάρτη. Ένα παράδειγμα των παραπάνω είναι το αυτόματοι/. Ένας «κόσμος» από αυτόματα γνωστός με το όνομα «παιχνίδι της ζωής» αναπτύχθηκε το 1970 απ' τον Τζων Κόνγουεϊ, μαθηματικό του Καίμπριτζ. Παρά το όνομα του, δεν ήταν παιχνίδι αλλά σύμπαν σε μικρογραφία, όπου σε ένα πλέγμα δύο διαστάσεων τοποθετήθηκαν αναπτυσσόμενα κύτταρα. Όταν τα κύτταρα πολλαπλασιάστηκαν, το κάθε κύτταρο ζούσε ή πέθαινε ανάλογα με τον αριθμό των ζωντανών γειτονικών κυττάρων - αν ήταν πάρα πολλά πέθαινε απ' το συνωστισμό, αν ήταν πολύ λίγα μαράζωνε από μοναξιά. Μόλις τέθηκε σε λειτουργία, αυτό το σύμπαν άρχισε να παρουσιάζει μια τεράστια ποικιλία σχημάτων, όπως παλλόμενα διαμάντια, πεταλούδες και φιγούρες που έμοιαζαν να γλιστρούν απ' τη μια άκρη του τοπίου στην άλλη. Ο Τζων φον Νόυμαν είχε αρχίσει να ερευνά τα κυτταρικά αυτόματα ήδη απ' τη δεκαετία του '40, αλλά η εργασία του παρέμεινε ημιτελής· η τελική επιμέλεια και έκδοση της έγινε το 1966, σχεδόν 10 χρόνια μετά το θάνατο του. Είχε αποδείξει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κυτταρικό αυτόματον που μπορούσε να αναπαράγει τον εαυτό του - δηλαδή η αναπαραγωγή δεν ήταν αποκλειστικότητα των ζώντων οργανισμών και ότι το λογισμικό ήταν ανεξάρτητο απ' τη μηχανή, είτε επρόκειτο για υπολογιστή είτε για μυαλό. Η ανακάλυψη του Φράνσις Κρικ και του Τζέιμς Γουότσοντο 1953 για τη δομή του DNAταίριαζε με την ανάλυση του φον Νόυμαν για τις μαθηματικές ιδιότητες ενός αυτοαναπαραγόμενου συστήματος. Το 1984 ο Στέφεν Βόλφραμ παρατήρησε ότι τα αυτόματα έχουν έντονες ομοιότητες με τη μη γραμμική δυναμική. Ταξινόμησε τα κυτταρικά αυτόματα σε 4 «καθολικές κατηγορίες». Οι κατηγορίες Ι και II έδιναν στατικές λύσεις μετά από έναν μικρό αριθμό κύκλων ζωής. ΗΙ κατέληγε σε μια σταθερή και άκαμπτη δομή ενώ η II σε μια δομή σταθερή μεν αλλά περιοδική. Η III ήταν ένα χαοτικό σύστημα χωρίς ορατή δομή και η IV περιλάμβανε το παιχνίδι της ζωής και άλλα συστήματα αναδυόμενης τάξης. Ο Κρίστοφερ Λάνγκτον διερεύνησε ακόμα περισσότερο αυτή την ταξινόμηση και ανακάλυψε ότι ένα σύστημα που περνούσε απ' τη μια κατάσταση σε άλλη, όπως π.χ. ο πάγος που γίνεται νερό, περνούσε απ' τη ν τάξη στην πολυπλοκότητα και μετά στο χάος. Τα κυτταρικά αυτόματα αναγγέλθηκαν ως νέα μορφή ζωής. Υπό ορισμένες συνθήκες,

>· Αυτός ο δράκος του Μάντελμπροτ αναδύεται απ' τη συνάρτηση , 2 f(z)=z -m, όπου ζ σημείο του μιγαδικού επιπέδου και m η μεταβαλλόμενη τιμή. Το μαύρο μέρος του επιπέδου δείχνει τις τιμές του ζ για τις οποίες η συνάρτηση τείνει προς το άπειρο καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων τείνει και αυτός προς το άπειρο.

μπορούσαν να αναπαραχθούν και να συμπεριφερθούν σαν υπολογιστές, χωρίς να μιμούνται τη μηχανή που τρέχει το πρόγραμμα, αλλά ενεργώντας σαν αυτό που ο φον Νόυμαν και ο Τιούρινγκ θα ονόμαζαν «πανυπολογιστη». Το παιχνίδι της ζωής έδειξε ότι αυτό που χαρακτηρίζουμε ως ζωή παρατηρείται σε μια κατάσταση κάπου μεταξύ τάξης και χάους, μια κατάσταση πολυπλοκότητας μέσα σε ένα απόλυτα ρυθμισμένο σύμπαν. Το 1990 το Ινστιτούτο της Σάντα Φε είχε γίνει παγκόσμιο κέντρο έρευνας για τα πολύπλοκα συστήματα. Ίσως είναι ακόμα νωρίς για να εκτιμήσουμε τη συνολική προσφορά του, όμως ένα είναι σίγουρο: η ίδια η φύση των μαθηματικών έχει αλλάξει, προ-

Α Στιγμιότυπα από δύο σύμπαντα κυτταρικών αυτομάτων. Το χρώμα του κάθε πίξελ ή κυττάρου (κελιού), δηλώνει την κατάσταση του, η οποία μπορεί να αλλάξει στο επόμενο χρονικά βήμα, ανάλογα με την κατάσταση των κελιών που το περιβάλλουν. Αρχίζοντας από ένα τυχαία τοποθετημένο σύμπαν, τέτοιοι απλοί κανόνες μπορούν να δημιουργήσουν εξελισσόμενα συστήματα με πολύπλοκες δομές κάπου ανάμεσα στην τάξη και στο χάος.

καλώντας ριζική αλλαγή στη φιλοσοφία μας για τη ζωή και για τη δομή του σύμπαντος. Το ωρολογιακό σύστημα του Νεύτωνα έχει πεθάνει και τη θέση του έχει πάρει ένα εξελικτικό μοντέλο αλληλοσυνδεόμενης πολυπλοκότητας. Τα μαθηματικά εξακολουθούν να είναι τόσο απρόβλεπτα όσο και η ίδια η ζωή. Γιατί πολλές φορές ακούμε ότι η γεωμετρία είναι «ψυχρή» και «άχαρη»; Ένας λόγος είναι η αδυναμία της να περιγράψει το σχήμα ενός σύννεφου, ενός βουνού, μιας ακτής ή ενός δέντρου. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός δεν είναι επίπεδος ούτε οι αστραπές ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή. Γενικότερα, ισχυρίζομαι ότι πολλά σχήματα της φύσης είναι τόσο ακανόνιστα και κατακερματισμένα που αν τα συγκρίνουμε με τα ευκλείδεια, ...βλέπουμε ότι η φύση δεν είναι απλώς πιο πολύπλοκη, αλλά επιδεικνύει ένα εντελώς άλλο επίπεδο πολυπλοκότητας. Το πλήθος των φυσικών σχημάτων και μεγεθών είναι πρακτικά άπειρο. Η ύπαρξη αυτών των σχημάτων μας προκαλεί να μελετήσουμε τις μορφές που παρέλειψε ο Ευκλείδης θεωρώντας τις «άμορφες», να διερευνήσουμε τη μορφολογία του «άμορφου». Οι μαθηματικοί παραδοσιακά περιφρονούσαν αυτήν την πρόκληση και συστηματικά απέφευγαν την ενασχόληση τους με τη φύση, εφευρίσκοντας θεωρίες άσχετες με οτιδήποτε βλέπουμε ή αισθανόμαστε. Η λέξη φράκταλ (fractal) προέρχεται απ' το λατινικό fractus και το ρήμα frangere που σημαίνει «σπάζω, δημιουργώ ακανόνιστα θραύσματα». Είναι φυσικό -και ταιριάζει με τις ανάγκες μας- το fractus να σημαίνει «τεμαχισμένος» αλλά και «ακανόνιστος». Είμαι σίγουρος ότι οι επιστήμονες θα εκπλαγούν και θα χαρούν συνάμα ανακαλύπτοντας ότι πολλά σχήματα στα οποία έδιναν διάφορα απαξιωτικά ονόματα (ακανόνιστο, βλογιοκομμένο, ρυτιδιασμένο, στρεβλό, σκουληκαντέρα, βόστρυχος κ.ά.) τώρα μπορούν να μελετηθούν με τη δέουσα επιστημονική αυστηρότητα και ακρίβεια. Μπενουά Μάντελμπροτ, Η κλασματοειδής γεωμετρία της φύσης, 1977

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή Άιβορ Γκράτταν-Γκίνες για την ολόθερμη υποστήριξη του σε ό,τι επιχείρησα μέχρι τώρα καθώς και για την υπομονή του και τις πολύτιμες συμβουλές του σε σχέση με το κείμενο. Όποια σφάλματα παραμένουν είναι προφανώς δικά μου. Ευχαριστώ επίσης τον Πήτερ Τάλλακ για την ενθουσιώδη υποστήριξη της ιδέας του βιβλίου και τον Τομ Γουάιτινγκ για τη βοήθεια του στην υλοποίηση της. Πολλά επίσης οφείλω στην Ομάδα Μαθηματικών και Στατιοτικής του Πανεπιστημίου του Middlesex και σε πολλά μέλη της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών όπως και σε συμβουλές που έλαβα από μέλη σχετικών λιστών του διαδικτύου. θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τους φίλους που κράτησαν τη φλόγα αναμμένη τα τελευταία χρόνια: Αϊλήν Μπάρλεξ, Μπεν Ντίκι, Γιούρι Γκάμπριελ, Πήτερ Γκρήσιαν, Ντέιβ Τζάκσον, Κρις Μασλάνκα, Ντέιβιντ Πρινς, Τζων Ρονέυν και Ντέιβιντ Σίνγκμαστερ. Βραβείο συνολικής προσφοράς πηγαίνει στους γονείς μου και η ταπεινή μου συγγνώμη σε όσους άθελα μου παρέλειψα. Υπάρχουν πολλές γενικές ιστορίες των μαθηματικών. Η Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, με επιμελητή τον Άιβορ Γκράτταν-Γκίνες, περιλαμβάνει εκτεταμένες βιογραφίες ανά κεφάλαιο. Πιο προσιτές στο μέσο βαλάντιο είναι οι The Fontana History of the Mathematical Sciences του Άιβορ Γκράτταν-Γκίνες, Α History of Mathematics του Καρλ Μπόυερ, A History of Mathematics του Φλόριαν Κατζόρι, Α History of Mathematics, An Introduction Βίκτορ Κατς και τα Mathematical Thought from Ancient to Modern Times και Mathematics in Western Culture του Μόρρις Κλαιν. Ο Χάουαρντ Ηβς έχει γράψει μια σειρά από αποσπασματικές ιστορίες μαθηματικών με τελευταίο το Return to Mathematical Circles. Γενικές εισαγωγές στα αρχαία και μη ευρωπαϊκά μαθηματικά είναι τα: The Crest of the Peacock του Τζωρτζ Γκεβεργκήζ Τζόζεφ και Science Awakening του Μ.Λ. βαν ντερ Βέρντεν. Για τα ελληνικά μαθηματικά υπάρχει το A History of Greek Mathematics του Σερ Τόμας Λ. Χηθ όπως και οι διάφορες μεταφράσεις του περιλαμβανομένων των Στοιχείων του Ευκλείδη. Για τα μεσαιωνικά μαθηματικά, Aristotle to Galileo του Α.Κ. Κρόμπι (σε επανέκδοση με τίτλο Medieval and Early Modern Science) και τα Physical Science in the Middle Ages και A Source Book in Medieval Science του Έ. Γκραντ, και το The Beginnings of Western Science του Ν.Κ. Λίντμπεργκ. Πατά αναγεννησιακά μαθηματικά The Invention of Infinity του J.V. Field σχετικά με την προοπτική. Για την επανάσταση στην αστρονομία υπάρχουν πολλά πρωτότυπα έργα που μεταφράζονται τώρα, όπως π.χ. Η Αρμονία του κόσμου του Γιοχάνες Κέπλερ και Δύο ι/έες επιστήμες του Γκαλιλέο Γκαλιλέι. Η πιο συναρπαστική αφήγηση της ιστορίας από τον Κοπέρνικο ως τον Γαλιλαίο είναι το The Sleepwalkers του Άρθουρ Κέστλερ. Για μια λεπτομερή παρουσίαση του Απειροστικού Λογισμού βλ. το The Concepts of the Calculus του Καρλ Μπόυερ. Υπάρχουν πολλά έργα σχετικά με την επιστημονική επανάσταση. Για μια περιγραφή του κοινωνικού κλίματος το Ingenious Pursuits της Λίζας Ζαρντίν και το The Revolution in Science 1500-1750 του Α. Ρ. Χωλ και για ενδιαφέρουσες συζητήσεις το On Giants1s Shoulders του Μέλβιν Μπραγκ. Για τη χαρτογραφία και την αστρονομία δύο καλογραμμένα εικονογραφημένα βιβλία είναι τα The Image of the World και The Mapping of the Heavens, και τα δύο του Πήτερ Γουίτφιλντ. Κάποια κεφάλαια του δικού του Landmarks in Western Science είναι επίσης αξιομνημόνευτα. Μια αξιοσημείωτη ιστορία των πρώτων βημάτων στις πιθανότητες και στη στατιστική είναι το Games, Gods and Gambling του Φ.Ν. Ντέιβιντ και για τις πιο πρόσφατες εξελίξεις το The Empire of Chance σε επιμέλεια Γκρεγκ Γκίγκρενζερ.

Για τη λογική και τους υπερβατικούς αριθμούς το έργο του Μ. Ράσελ The Principles of Mathematics είναι σε γενικές γραμμές προσιτό, το Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite του Τ. Ντόμπεν και From Frege to Godel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931, σε επιμέλεια του Τ.Β. Χάιγενορτ είναι επίσης χρήσιμα. Για τους υπολογιστές, The Computer, from Pascal to von Neumann του Χέρμαν Γκόλντστιν αναφέρει πολλές προσωπικές ιστορίες από την εποχή των πρώτων βημάτων στους υπολογιστές και το A Computer Perspective των Τσαρλς και Ρέι Ημς είναι πλούσια εικονογραφημένο. Για την κρυπτογραφία, The Code Book του Σάιμον Σινγκ. Για την εικαστική αναπαράσταση των μαθηματικών επιστημών, σύγχρονων και ιστορικών, αξιόλογα είναι τα ακόλουθα: The Fourth Dimension και Duchamp in Context της Λίντα Νταλρύμπλ Χέντερσον, Science oMrt του Μάρτιν Κεμπ, Artful Science του Μ.Μ. Στάφορντ, Sacred Geometry του Ρ. Λώλορ, The Visual Mind της Μισέλ Έμμερ, Godel, Escher and Bach του Ντάγκλας Ρ. Χόφστατερ. Υπάρχουν επίσης πρακτικά συνεδριάσεων, όλα διαθέσιμα στο διαδίκτυο, «Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science» (1998, 1999), «NEXUS: Architecture and Mathematics» (1996, 1998) και «ISAMA 99» (International Society of Art, Mathematics and Architecture). Για τα μαθηματικά των πολύπλοκων συστημάτων και του χάους υπάρχουν πολλά δημοφιλή βιβλία που περιλαμβάνουν και την ιστορική προοπτική των θεμάτων αυτών. Τα The Fractal Geometry of Nature του Μ. Μάντελμπροτ και Chaos του Τ. Γκλάικ είναι εξαιρετικά, όπως και τα Frontiers of Complexity των Πήτερ Κάβενυ και Ρότζερ Χάιφιλντ και Complexity του Μίτσελ Γουόλντροπ. Υπάρχουν και μερικές συλλογές πρωτότυπων μαθηματικών κειμένων, μεταξύ άλλων τα The History of Mathematics, A Reader των Τζων Φώβελ και Τζέρεμυ Γκρέι, το Classics of Mathematics του Ρόναλντ Κάλιντζερ, The Treasury of Mathematics της Ενριέτας Μίντονικ, Α Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 του Ν.Τ. Στρόικ, On Mathematics and Mathematicians του Ρ.Ε. Μόριτς, The World of Mathematics του Τζέιμς Νιούμαν και το Mathematical Maxims and Minims του Ν. Ρόουζ. Και τελικά, το βιβλίο που μου έδωσε την έμπνευση για την παρούσα εργασία, δημοφιλές στη δεκαετία του '60 αλλά εξαντλημένο σήμερα, είναι το Mathematics in the Making του Λάνσελοτ Χόγκμπεν. Αξιόλογοι διαδικτυακοί τόποι είναι η σελίδα για την ιστορία των μαθηματικών του St Andrew's University, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ με πολλούς δεσμούς για άλλους τόπους στο διαδίκτυο. Η σελίδα του Eric Weisstein «World of Mathematics» είναι χρήσιμη πηγή σύγχρονων μαθηματικών όρων και ιδεών με μερικές ιστορικές αναφορές, http://mathworld.wolfram.com/ «Vismath» για τα εικαστικά μαθηματικά, http://members.tripod.com/vismath/ και το Κέντρο Γεωμετρίας, http://www.geom.umn.edu και ένα μουσείο μαθηματικών στην Ιαπωνία, http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/indexE.html Η σελίδα της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών είναι: http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/ CD με επίκεντρο τα εικαστικά μαθηματικά είναι τα Art and Mathematics και Life, the Universe and Mathematics, και τα δύο της Virtual Image. Επίσης το Escher Interactive από την Thames and Hudson Digital. To βίντεο VideoMath Festival at ICM98, σε έκδοση Σπρίνγκερ παρουσιάζει ένα ευρύ φάσμα σύγχρονων έργων.

ευρετήριο

Οι αριθμοί σε πλάγια γραφή αναφέρονται σε εικόνες άβακας 68-70, 174 Αδελάρδος του Μπαθ 55 Αζτέκοι J6 Αίγυπτος 12-14,73, 17, 26, 112 Αϊνστάιν, Άλμπερτ 146, 166, 168, 170 άλγεβρα 55, 134-8' αναλυτική γεωμετρία και 81, 82, 83· Αραβες και 469, 78' αριθμητική 134, 135-7· μη αντιμεταθετική 136-7· πεμπτοβάθμια εξίσωση 120-3' σύμβολα 82, 134'του Μπουλ 135' τριτοβάθμιες εξισώσεις 49, 7881,82-4 αλγόριθμοι 31-2, 55, 174, 176-7, 180 Αλεξάνδρεια 28, 32, 112 αλ-Καράτζι 48-9 αλ-Κάσι 50 Αλκουίνος του Γιορκ 52 Αλμπέρτι, Λεόν Μπατίστα 60,64 αλ-Τούσι, Νάσιρ αλ-Ντιν 49, 126 αλ-Χουαρίζμι 46-8, 55, 78, 79,80, 113 Αμπελ, Νιλς Χένρικ 120-1, 123 Αμπέρ, Αντρέ-Μαρ( 144 Άμποτ, Έντουιν 167 Αμπου'λ-Ουάφα 50 Avαγέwηση 59-66, 68, 78, 114, 154, 166 άπειρο 102, 148-52 απειροστικός λογισμός 44, 96, 103-8, 140, 1489, 174 Απολλώνιος ο Περγαίος 32,49 Άραβες 25, 34, 42, 46-50, 52-5,58,68, 117 Αριαμπάτα 42, 43, 44 αριθμητική 73, 78, 148,176 αριθμοί: αλγεβρικοί 149' άρρητοι 26, 31-2,14951,174· μιγαδικοί 120' πρώτοι 31'τέλειοι 31' υπερβατικοί 149-50, 151-2 Αρίοταρχος 18

Αριστοτέλης 18, 24, 26, 28, 57, 55-7, 58, 86 αρχιμήδειο στερεά 61 Αρχιμήδης 32, 32, 61, 1001,102 αστρολάβος 78, 39, 45, 117, 118 αστρονομία 16-20, 43, 43, 44, 47-9, 48-50, 53, 55, 86-94, 86-7, 89-90, 93, 96, 155-7 αυτόματα 185, 787 Αχμής 12, 14 Βαβυλώνιοι 10-12, 77,17, 18, 22-3, 22, 40, 46, 78, 112 Βαγδάτη 32, 34, 46, 50,

52,55 Βάιερστρας, Καρλ 149 Βάκων, Ρονήρος 58 Βάκων, Φραγκίσκος 73-5 βαρύτητα 91, 92, 96, 140, 144 Βεδάνγκα 40 βιομετρική κίνηση 157-8 Βιτρούβιος 60, 64 Βοήθιος 52 Βόλφραμ, Στήβεν 185 Βράχιος, Τυχών 90, 91 Βραχμαγκούπτα 42, 43, 44 Βυζαντινή Αυτοκρατορία 77, 32, 68 Γαλιλαίος 92-5, 96-8, 97, 102, 148, 155 γενετική 157-8 Γεράρδος της Κρεμόνας 55 γεωγραφικό μήκος 11516, 118 γεωγραφικό πλάτος 11516, 118 γεωμετρία 54, 78' αναλυτική 49,82-4· διαφορική 143' ευκλείδεια 28-32, 126-127, 131-2· ινδική 401 κλασματοειδής 1803,787,782' μη ευκλείδεια 126-32, 166, 170-2' προβολική 66' σφαιρική 127· υπερβολική 127 Γιακόμπι, Καρλ 122, 123 Γιανγκ Χούι 34, 35 Γκαλιλέο Γκαλιλέι, βλ. Γαλιλαίος Γκαλουά, Εβαρίοτ 121-4

Γκάους, Καρλ Φρήντριχ 37, 38, 120, 128-30, 132, 152, 155-6 Γκελ-Μαν, Μάραιη 184 Γκέντελ, Κουρτ 176, 177 Γκόσετ, Γ.Σ. 158 Γκρην, Τζωρτζ 144 Γκρις, Χουάν 168, 170 Γκροοτέστ, Ρόμπερτ 57-8 Γκρωντ, Τζων 156 Γκώλτον, Φράνσις 157,158 Γουλιέλμος του Όκαμ 58 δεκαδικό σύστημα 10 διάστημα 140, 146, 167 Διογένης 26 Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς 32,46 δυναμικά πεδία 140, 142-3 Ελλάδα 14, 18, 26, 28-32, 40,46,52, 112 «εννέα κεφάλαια» 34-8, 35 Ερατοσθένης 112, 113 Ερνστ, Μαξ 170 Έρστεντ, Χανς Κρίστιαν 144 Έσερ, Μάουριτς 6, 725, 729 Εύδοξος ο Κνίδιος 31, 32, 100 Ευκλείδης 20,26,27,28-32, 43, 48, 52, 55, 62, 64, 67, 72,90,126,129,170 εφημερίδες 17-18 Ζαΐν43, 154 Ζυλιά, σύνολα 181 ηλεκτρομαγνητισμός 739, 140, 143-6, 744 ηλιακά ρολόγια 117-18, 777 Ήλιος 18, 20, 49, 58, 86-8, 87,91-2,95,115-16, 118,140-1 ημερολόγια 75,16-17,77, 49,87 ημερολογιακά ραβδιά 10, 774 Ηρόδοτος 14 Ηρών 12 Θαλής ο Μιλήσιος 28 Θεοδώριχος 58 θεσιακά συστήματα 1011, 16,42

θεωρία παιγνίων 160-4 Ινδία 23, 40-4, 46, 154 Ίππαρχος 18-20 Ίππασος ο Μεταπόντιος 26 Ισάνγκο, κόκαλο 10 Ισπανία 52-5 Καβαλιέρι, Μποναβεντούρα 102-3 Καντ, Ιμμάνουελ 167-8 Κάντορ, Γκέοργκ 148, 150, 151-2 Κάουαν, Τζωρτζ 183, 184 Καρντάνο, Τζιρολάμο 7981,84, 154 Κελλάριος 86, 707 Κέπλερ, Γιοχάνες 26, 50, 61,68,88-92,89,93, 94,95, 100, 102, 155 Κετελέ, Αντόλφ 156 Κίνα 23-4, 34-8, 35, 40, 112 κίνηση, νόμοι της 95 Κλαιν, μπουκάλι του 132 Κλαιν, Φέλιξ 726 κλάσματα 13, 70 κλασματοειδή (φράκταλς) 180-3, 787, 782, 185 Κλίφορντ, Γουίλιαμ Κ(νγκντον 137 Κομφούκιος 23, 34 Κόνγουεϊ, Τζων 185 Κοπέρνικος, Νικόλαος 878,91,93,94 Κρέλλε, Αουγκούοτ Λέοπολντ 120-1 Κρέσκες, Αβραάμ 56 Κρόνεκερ, Λέοπολντ152 κυβισμός 166, 167-70 κωνικές τομές 66 Κωσύ, Ωγκυστέν-Λουί 121, 122, 123, 142-3, 148-9 Λαγκράνζ, Ζοζέφ-Λουί 43, 121, 122, 142 Λάιμπνιτς, Γκότφριντ 103, 107-8, 109, 150, 174 Λάμπερτ, Γιόχαν Χάινριχ 117, 127, 128, 129 Λάνγκτον, Κρίοτοφερ 185 Λαπλάς, Πιερ117, 142, 144, 156 Λεζάντρ, Αντριάν-Μαρί 117, 121, 123, 155, 156 Λεονάρντο ντα Βίντσι 58, 61,66

Λεονάρντο της Πίζας, βλ. Φιμπονάτσι Λίου Χούι 36, 37, 37 Λιουβίλ, Ζοζέφ 123, 152 λογαριθμικός κανόνας 118 λογάριθμοι 72-3, 75, 118, 174 λογική 135, 137-8 Λοκμάν 47, 48 Λομπατσέφσκι, Νικολάι Ιβάνοβιτς 128-9, 130, 132, 166 Λουλ, Ραμόν 154 Μαγιάς, πολιτισμός των 16-17 μαγικά τετράγωνα 34 Μαδχάβα 44 Μάντελμπροτ, Μπενουά 180-2, 187 Μάξγουελ, Τζέημς Κλαρκ 136, 740, 143, 144-6 Μαρκόνι, Γουλιέλμος 146 Μάσκελιν, Νέβιλ116 Μαχαβίρα 154 Μελούν, Μπράιαν 182 Μέμπιους, ταινία 729 Μέντελ, Γκρέγκορ 157-8 Μερκάτορ, Γεράρδος 114-15,775 Μερσέν, Μαρέν 66, 103 Μέρτον, κολέγιο 57 Μεσοποταμία 10-12 μηδέν 11, 36, 42 Μιχαήλ Άγγελος 64, 65 Μόργκενστερν, Όσκαρ 160 Μόσχα, βλ. πάπυρος της Μόσχας Μουάβρ, Αβραάμ ντε 155, 156 μουσική 27, 26 Μπάλλα, Τζιάκομο 765, 168 Μπάμπιτζ, Τσαρλς 134, 174-5, 775, 176 Μπάσκαρα II 43-4 Μπελτράμι, Ευγένιος 726, 129, 170 Μπέρκλεϋ, Επίσκοπος 104,107 Μπερνούλι, Γιάκομπ 155 Μπερνούλι, Γιόχαν 141 Μπερνούλι, Ντανιέλ 141 Μπλέικ, Γουίλιαμ 709, 166 Μπολτσάνο, Μπέρνχαρτ 148-9, 151

Μπόλυαϊ, Πάνος 126-7, 129-30 166 Μπόλυαϊ, Φάρκας 129 Μπομπέλι, Ραφαέλ 81 Μπόμπεργκ, Ντέιβιντ 767 Μπόουντιτς, Ναθάνιελ 117 Μπορέλ, Εμίλ 160 Μποτσιόνι, Ουμπέρτο 168, 171 Μπουλ, Τζωρτζ109, 135, 137 Μπράγκντον, Κλωντ 167 Μπρακ, Ζωρζ 168, 170 Μπρετόν, Αντρέ 170 Μπριγκς, Χένρυ 73 Νας, Τζων Φορμπς 760, 161-3 ναυσιπλοία 70, 73, 11217, 113-18 νεολιθική εποχή 10 νεοπλατωνιστές 55, 57, 72 Νέπερ, Τζων 70, 72-3, 75, 76 Νεύτωνας, Ισαάκ 27, 44, 75,77,87,83,92,95-6, 99, 100, 103-10, 705, 706, 109, 116, 140, 145 Νικόμαχος 52 Νιούτον, βλ. Νεύτωνας Νταλί, Σαλβαδόρ 170-1, 777 Ντε Μόργκαν, Αύγουστος 135-6 Ντεζάργκ, Ζιράρ 66 Ντεκάρτ, Ρενέ 49, 58, 66, 82-4, 95, 96, 144, 174 ντελ Φέρρο, Σιπιόνε 79-80 Ντελωναί, Σαρλ 143 Ντέντεκιντ, Ρίχαρντ 150-2 Ντη, Τζων 67, 72 Ντίριχλετ, Λεζέν 148, 152 Ντομίνγκες, 'Οσκαρ 168, 171 Ντρέσερ, Μέλβιν 162 Ντύρερ, Άλμπρεχτ 59, 646,64 Ντυσάν, Μαρσέλ 168, 769,170 Όυλερ, Λέοναρντ 120, 140-2 παιχνίδι της ζωής 185 παιχνίδια πολέμου 160, 163

πάπυρος της Μόσχας 12-3 Πασκάλ, Μπλαιζ 154-5, 173, 174 Πασκάλ, τρίγωνο του 37, 38,49 Πατσιόλι, Λούκα 61, 64, 66,70,81, 154 Πεάνο, Τζιουζέπε 138,748 πεμπτοβάθμια εξίσωση 120-3 Πήκοκ, Τζωρτζ 134, 135 Πηρς, Μπέντζαμιν 137 Πηρς, Τσαρλς Σάντερς 137 Πήρσον, Καρλ 158 Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα 60-4, 62, 63 πιθανότητες, θεωρία πιθανοτήτων 154-6 Πικάσο, Πάμπλο 168-70 πλανήτες 16,17-18, 20, 44, 86-94, 86, 89, 95, 96, 97, 100, 140-1, 142,155 Πλάτων 24, 28 πλατωνικά στερεά 61, 89, 90 Πλίμπτον 322 πινακίδα 22, 22 Πόλυα, Γκέοργκ 161 πολυπλοκότητα, θεωρία της πολυπλοκότητας 183-6 πορτολανικοί χάρτες 772, 113 Πουανκαρέ, Ανρύ 168, 180 Πουασόν, Σιμεόν-Ντενί 144 Πρενσέ, Μωρίς 168 προβολική γεωμετρία 66 Πρόκλος 24, 26, 28-30 προοπτική 60-6, 62, 166-8 Πτολεμαίος, Κλαύδιος 17, 18, 20, 32, 42, 52, 55, 86,87,88,92,93, 11214, 774

Πυθαγόρας 22, 24-6 πυθαγόρειο θεώρημα 12, 21-6,25,30-1,40, 131

Ράις, Γκρέγκορ 57, 53, 54, 58, 73 Ράιτ, Έντουαρντ 115 Ράιτ, Τόμας 747 Ραμανουτζάν, Σρινιβάσα 44 RAND, Εταιρεία 163-4

Ράσελ, Μπέρτραντ 738, 150-1, 163, 176 Ρέκορντ, Ρόμπερτ 69, 702,82 Ρήζε, Άνταμ 70, 81 Ρήμαν, επιφάνεια 730,737 Ρήμαν, Μπέρνχαρτ 131-2, 143, 149, 152, 166-7 Ριντ, πάπυρος του 12-13, 72 Ριχάρδος του Γουόλινγκφορντ 57 Ροβέρτος του Τσέοτερ 55 Ρωμαίοι 52, 112 Σακέρι, Τζιρολάμο 126-7, 128 Σακρομπόσκο 68 ΣάνταΦε, Ινστιτούτο 1845, 186 Σελήνη 10, 17-18, 20, 44, 49,86,92,93, 116, 144 Σιμς, Καρλ 762, 763 Σιρατό, Σαρλ 170 σκάκι 759, 160, 163 Σουανφά τουντσούνγκ 33 Σουλβασούτρα 23, 40 Σουρεαλισμός, βλ. Υπερρεαλισμός στατιστική 154-8 Στερεά του Αρχιμήδη 61 συναρτήσεις 177 συνδυαστικά μαθηματικά 154 σύνολα, θεωρία συνόλων 148,152 συστήματα αρίθμησης: ινδοαραβικό 42, 68, 72, 78,81· ρωμαϊκό 79 Τάκερ, Άλμπερτ 162 Ταμερλάνος 40, 41 Ταρτάλια 79-80, 84, 154 «τελείες και παύλες» 16 τέταρτη διάσταση 167-8, 170 τετραγωνικές ρίζες 36-7 τέχνη 60-6, 166-72 Τιούρινγκ, Άλαν 164, 175, 177, 185 Τολέδο 52-5 τριγωνομετρία 18-20, 23, 42,50, 117 Τσερτς, Αλόνζο 177 Τσ'ιν Τσιουσάο 38 Τσόου πει σουαντσίνγκ 23-4, 23, 34

Τσου σιτσιέ 38, 38 Υπατία 32 υπερρεαλισμός 166,170-1 υπολογιστές 135, 174-8, 775, 776, 780, 183-4 υπολογιστικές μηχανές 773, 174 Φάραντεϊ, Μάικλ 144 Φερμά, Πιερντε43, 103, 154-5 Φέρμι, Ενρίκο 183 Φερράρι, Λουντοβίκο 7980 Φιμπονάτσι 68-70, 78 Φιορ, Αντόνιο Μαρία 79 Φίσερ, Ρόναλντ Έιλμερ 158 Φλαμαριόν, Καμίγ 85 Φλαντ, Ρόμπερτ 702 Φον Νόυμαν, Τζων 160-1, 163, 175, 178, 185 Φουριέ, Ζοζέφ 122, 148 φουτουρισμός 166, 168 φως 57-8 Χαγιάμ, Ομάρ 49, 50, 78, 84, 126 Χάκλοϊτ, Ρίχαρτ 115 Χάλλεϋ, Έντμοντ 28, 75, 95, 104, 156-7 Χάμιλτον, Γουίλιαμ Ρόουαν 135, 136-7, 143 χάος, θεωρία του χάους 142, 180, 182-3 Χαράππα, πολιτισμός των 40 Χάρισον, Τζων 116 χάρτες 112-15, 772-75 Χερτς, Χάινριχ 145-6 Χήβισαϊντ, Όλιβερ 145-6 Χίλμπερτ, Ντάβιντ 749, 152, 161, 176 Χόλμπαϊν, Χανς ο Νεότερος 74 χρόνος 116, 117-18, 146, 168 Χύλλες, Τόμας 76 Χώυχενς, Κρίστιαν 117 Ώρος 13-14