Alyk atomos14 15 by math-Ellinas

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A΄ Λυκείου Α΄ τεύχος

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Μαθηματικά Α΄ Λυκείου, A΄ Τεύχος Συγγραφή:

Αθανασίου Ανδρέας Αντωνιάδης Μάριος Γιασουμής Νικόλας Έλληνα Αγγέλα Ματθαίου Κυριάκος Μουσουλίδου – Νικολαΐδου Μαριλένα Παπαγιάννης Κωνσταντίνος Τιμοθέου Σάββας Φιλίππου Ανδρέας

Συντονιστής:

Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστημίου Κύπρου

Εποπτεία:

Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης

Γλωσσική επιμέλεια:

Παλάτου – Χριστόφια Μαριάννα, Λειτουργός Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Σχεδιασμός εξωφύλλου:

Σιαμμάς Χρύσης, Λειτουργός Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Συντονισμός έκδοσης:

Παρπούνας Χρίστος, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Α΄ έκδοση 2013 Β΄ έκδοση 2014 Εκτύπωση: © ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ISBN: Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

Πρόλογος Προλογίζω με ιδιαίτερη χαρά και ικανοποίηση την έκδοση σε δύο τεύχη του βιβλίου «Μαθηματικά Α΄ Λυκείου», που αποτελεί αξιόλογο βήμα στην προσπάθεια για αναβάθμιση του περιεχομένου των διδακτικών βιβλίων και τον εκσυγχρονισμό της παρεχόμενης Μαθηματικής παιδείας. Στην αρχή κάθε ενότητας γίνεται παράθεση των στόχων και οι μαθητές/τριες προϊδεάζονται ως προς το τι «θα μάθουμε». Ακολουθεί, στο «Έχουμε μάθει …», η παρουσίαση της αναγκαίας προϋπάρχουσας γνώσης που οι μαθητές/τριες πρέπει να διαθέτουν, κάτι που βοηθά τους/τις εκπαιδευτικούς στον καταρτισμό καλύτερης διαγνωστικής και διαμορφωτικής αξιολόγησης. Στη συνέχεια, οι νέες μαθηματικές έννοιες διερευνώνται με τρόπο που υποκινεί το ενδιαφέρον και την περιέργεια των μαθητών/τριών, όπως ορίζουν οι αρχές των Εκσυγχρονισμένων Αναλυτικών Προγραμμάτων των Μαθηματικών. Η προσπάθεια κλιμακώνεται με παραδείγματα και διαβαθμισμένες δραστηριότητες, με έμφαση στη λύση προβλήματος και στην ανάδειξη της τεχνολογίας ως αναπόσπαστου μέρους της Μαθηματικής εκπαίδευσης. Όλες οι εκδόσεις για τα Μαθηματικά των τελευταίων χρόνων βρίσκονται υπό συνεχή αξιολόγηση, διαμόρφωση και βελτίωση στη βάση της ανατροφοδότησης και των παρατηρήσεων που προέρχονται και από τους/τις μάχιμους/ες καθηγητές/τριες των Μαθηματικών. Αναμένω από τους διδάσκοντες/ουσες να εκφράσουν τις απόψεις τους και να υποβάλουν τις εισηγήσεις τους, τόσο σε σχέση με το περιεχόμενο του βιβλίου και το επίπεδο των ασκήσεων και δραστηριοτήτων όσο και σε σχέση με τον τρόπο προσέγγισης της ύλης. Όλο το υλικό που παράγεται για το μάθημα των Μαθηματικών αποσκοπεί στη βοήθεια τόσο των μαθητών/τριών, όσο και των καθηγητών/τριών, στην πορεία τους μέσα από τα Εκσυγχρονισμένα Αναλυτικά Προγράμματα, με στόχο το καλύτερο αποτέλεσμα. Είναι εμποτισμένο με τον σύγχρονο τρόπο σκέψης και προσηλωμένο στην προαγωγή και στην ανάδειξη των βασικών δεξιοτήτων των μαθητών/τριών μας, που αποτελεί πρώτιστο μέλημά μας. Η προσπάθεια συνεχίζεται και οι προοπτικές είναι λαμπρές. Ευχαριστώ θερμά όλους τους συντελεστές της παρούσας έκδοσης, εκπαιδευτικούς και επιθεωρητές και ιδιαίτερα τον κύριο Κωνσταντίνο Χρίστου, Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Κύπρου.

Σάββας Αντωνίου Αναπληρωτής Διευθυντής Μέσης Εκπαίδευσης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Σελίδα

Επανάληψη  Επανάληψη από το Γυμνάσιο

1. Διανύσματα

 Έννοια Διανύσματος

 Πράξεις Διανυσμάτων

2. Πραγματικοί Αριθμοί

 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

 Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη

 Ιδιότητες Διάταξης Πραγματικών Αριθμών

3. Κύκλος

 Θέση Δύο Κύκλων  Εγγεγραμμένες Γωνίες  Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης

71 77 81 88

4. Γραμμικά Συστήματα

 Επίλυση Εξίσωσης Α’- Βαθμού

 Λύση-Διερεύνηση Γραμμικών Συστημάτων

104

5. Τριγωνομετρία

119

 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας σε Κανονική Θέση

123

 Τριγωνομετρικός Κύκλος

130

 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

135

 Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

144

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

155

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

175

Επανάληψη

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

από το γυμνάσιο στο λύκειο.

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤. Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου 𝛢𝛣𝛤 και να δώσετε τις απαντήσεις σας στην πιο απλή μορφή.

2. Να τοποθετήσετε σε αριθμητική γραμμή τους πιο κάτω αριθμούς: √5

√5

√8

√29

3. Η οργανωτική επιτροπή μιας συναυλίας θέλει να τοποθετήσει 900 καθίσματα σε ένα κλειστό γήπεδο. Τα καθίσματα θα τοποθετηθούν σε τετράγωνη διάταξη. Πόσα καθίσματα θα τοποθετήσουν σε κάθε σειρά; 4. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν ενός κυκλικού χαλιού που έχει διάμετρο 10 𝑚. 5. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: (α)

2𝑥 − 6 = 4𝑥 − 2

(γ)

5(𝑥 + 3) = 5𝑥 + 3

(β)

3(𝑥 − 4) = 2𝑥 − 5 𝑎−1

(δ)

𝑎

+ = +

6. Να προσδιορίσετε τον αριθμό 𝜆 σε καθεμιά από τις πιο κάτω εξισώσεις, έτσι ώστε οι εξισώσεις να είναι αδύνατες. (α) (λ − 3)𝑥 = 7 (β) 3𝑥 + λ𝑥 + 6 = 15 − 6𝑥 7. Να προσδιορίσετε τον αριθμό 𝛼 σε καθεμιά από τις πιο κάτω εξισώσεις, έτσι ώστε οι εξισώσεις να είναι αόριστες. (α)

(α + 3)𝑥 = 0

(β)

α𝑥 = 6𝑥

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

8. Να εξετάσετε για ποιες πραγματικές τιμές του 𝑥 ορίζεται η καθεμιά από τις παραστάσεις: 𝛢 = √3𝑥 − 2

𝛣 = √20 − 5𝑥 9. Δίνονται οι ανισώσεις 3𝑥 − 4 ≥ 𝑥 − 2 και 2𝑥 + 3 < 13. (α) Να βρείτε τις λύσεις της κάθε ανίσωσης. (β) Να παραστήσετε τη κοινή λύση των δύο ανισώσεων στην ευθεία των

πραγματικών αριθμών. (γ) Ποια είναι η μικρότερη τιμή του 𝑥 που ικανοποιεί και τις δύο ανισώσεις; (δ) Να βρείτε 4 άλλες λύσεις που ικανοποιούν και τις δύο ανισώσεις. (ε) Να βρείτε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή του 𝑥 που ικανοποιεί και τις δύο

ανισώσεις. 10. Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πιο κάτω ευθειών και να τις παραστήσετε γραφικά: (α) 𝑦 = 𝑥 + 3 (β) 𝑦 = 2𝑥 (γ) 𝑦 = 3𝑥 − 2 (ε) 𝑦 = 2

(δ) 𝑦 + 3𝑥 = 1 (στ) 𝑥 = 3

11. Η ευθεία 𝑦 = 𝛼𝑥 περνά από το σημείο 𝛢(−1, 3). (α) Να υπολογίσετε την τιμή του 𝛼. (β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στην ευθεία 𝑦 = 𝑎𝑥. 12. Η γραφική παράσταση της ευθείας 𝑦 = −2𝑥 + 𝛽 περνά από το σημείο 𝛢(−2, 6). Να υπολογίσετε την τιμή του 𝛽. 13. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία: (α) (0,1) και (2,4) (β) (0,4) και (−1,4).

14. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα εξισώσεων: (α) 𝑦 = 3 + 𝑥 𝑥 + 2𝑦 = 6 (β) 𝑦 − 2𝑥 = 0 2𝑥 + 𝑦 = 3

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

15. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών: 𝜀1 : 𝑦 = 𝑥 − 1 και 𝜀2 : 𝑦 = 4𝑥 + 2, 𝑦 =𝑥−1 Να λύσετε το σύστημα { γραφικά. 𝑦 = 4𝑥 + 2

16. Nα βρείτε τα αναπτύγματα: (α) (𝑥 + 2)2 𝑥

(γ) (2 − 2)

(β) (2𝑥 − 3𝜓)2 (δ) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

(ε) (𝑥 + 4)3

(στ) (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)

17. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (𝑎 + 1)2 − (𝛼 + 1)(𝛼 − 1) = 2(𝛼 + 1).

18. Αν 𝑎 + 𝛽 = − 3 και 𝛼𝛽 = − 3 , να αποδείξετε ότι: (α) (β) (γ)

𝑎2 + 𝛽 2 =

43 9

(3𝑎 + 1) + (3𝛽 + 1)2 + 10(𝑎 + 𝛽) = 3

119 3

𝑎 + 𝛽 = − 27

19. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τις πιο κάτω παραστάσεις: (α) 2𝑥 3 − 2𝑥

(β) 𝑦 2 − 𝑥 2 − 10𝑦 + 25

(γ) 𝑎3 𝑥 3 − 𝛽 3 𝑥 3 + 𝑎3 − 𝛽 3

(δ) (𝑥 − 2𝑦)2 – (𝑥 + 3𝑦)2

20. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3𝑥 2 − 15𝑥 = 0

(β)

𝑥2 + 𝑥 = 6

(γ) (α − 2)(2α + 8) = −10

(δ)

3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

21. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

(α)

(β)

𝑥 2 +2𝑥 𝑥 2 +3𝑥+2 (𝛼+1)(𝛼−2)2 −4(𝛼+1) 𝛼 3 +𝛼 2

22. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α)

1 𝑥+1

2 𝑥−1

−

4 𝑥 2 −1

(β)

𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 2 + = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥 − 1 𝑥 + 3

(γ)

2𝑥 − 19 𝑥 5 − = 𝑥2 + 𝑥 − 6 2 − 𝑥 𝑥 + 3

23. Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που τα τετράγωνά τους έχουν άθροισμα 145. 24. Να δείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν από τη βάση του. 25. Το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 είναι ισοσκελές (𝛢𝛣 = 𝛢𝛤). Στις προεκτάσεις της 𝛣𝛤 παίρνουμε τα σημεία 𝛦, 𝛧 έτσι ώστε 𝛣𝛦 = 𝛤𝛧. Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛢𝛦𝛧 είναι ισοσκελές.

26. Με βάση το διπλανό σχήμα, να βρείτε: 4

(α) ποιος τριγωνομετρικός αριθμός της 𝐴̂ είναι ίσος με 5 . 4 (β) ποιος τριγωνομετρικός αριθμός της 𝛤̂ είναι ίσος με . 5

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

27. Να υπολογίσετε το 𝜎𝜐𝜈𝜃 και την 𝜀𝜑𝜃 οξείας γωνίας 𝜃̂ ενός ορθογωνίου 3

τριγώνου, όταν γνωρίζουμε ότι 𝜂𝜇𝜃 = 5.

28. Ο κύριος Αβραάμ θέλει να υπολογίσει το ύψος του δέντρου στον κήπο του. Τοποθέτησε τον εξάντα σε απόσταση 6 𝑚 από τον κορμό του δέντρου και υπολόγισε ότι το μέγεθος της γωνίας προς την κορυφή του δέντρου ήταν 64°. Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου. (Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί να υπολογιστούν κατά προσέγγιση 2 δεκαδικών ψηφίων).

29. Να υπολογίσετε τους άγνωστους 𝑥 και 𝑦 στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α)

8 cm

38° x

(β) 92 cm

60° y

30°

Επανάληψη από το γυμνάσιο στο λύκειο

Ενότητα

Διανύσματα

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε:

 Να ορίζουμε το διάνυσμα. 

Να ορίζουμε διανύσματος.



Να πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με αριθμό.

και

να

υπολογίζουμε

τις

συντεταγμένες

 Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα).

 Να προσθέτουμε και να αφαιρούμε διανύσματα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Λύση Προβλήματος ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΑΝΕΜΟΥ

Στην πόλη Ζετάουν σκέφτονται να εγκαταστήσουν ανεμογεννήτριες για την παραγωγή ηλεκτρισμού. Το συμβούλιο της Ζετάουν συνέλεξε πληροφορίες σχετικά με το ακόλουθο μοντέλο ανεμογεννήτριας:

Μοντέλο:

E-82

Ύψος του πύργου:

138 μέτρα

Αριθμός ελίκων:

Μήκος έλικα:

40 μέτρα

Μέγιστη ταχύτητα περιστροφής:

20 στροφές ανά λεπτό

Κόστος κατασκευής:

3 200 000 ζετς

Έσοδα:

0,10 ζετς ανά kWh που παράγεται

Κόστος συντήρησης:

0,01 ζετς ανά kWh που παράγεται

Αποδοτικότητα:

97% του χρόνου σε λειτουργία

Σημείωση: H κιλοβατώρα (kWh) είναι μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής ενέργειας.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Ερώτηση 1: Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω δηλώσεις για τις ανεμογεννήτριες E-82 προκύπτουν από τις πληροφορίες που παρέχονται. Να βάλετε σε κύκλο “Ναι” ή “Όχι” για κάθε δήλωση. Η δήλωση προκύπτει από τις πληροφορίες που παρέχονται;

Δήλωση

Το κόστος κατασκευής τριών ανεμογεννητριών θα είναι συνολικά μεγαλύτερο από 8 000 000 ζετς.

Ναι / Όχι

Το κόστος συντήρησης της ανεμογεννήτριας αντιστοιχεί περίπου στο 5% των εσόδων που αποφέρει η ανεμογεννήτρια.

Ναι / Όχι

Το κόστος συντήρησης της ανεμογεννήτριας εξαρτάται από τον αριθμό των kWh που παράγονται.

Ναι / Όχι

Ακριβώς 97 μέρες τον χρόνο, η ανεμογεννήτρια είναι εκτός λειτουργίας.

Ναι / Όχι

Ερώτηση 2: Η Ζετάουν θέλει να υπολογίσει το κόστος και το κέρδος που θα δημιουργηθεί από την εγκατάσταση ανεμογεννητριών. Ο δήμαρχος της πόλης προτείνει τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό του οικονομικού οφέλους, Κ σε ζετς, για μια περίοδο y χρόνων, αν εγκατασταθεί το μοντέλο ανεμογεννήτριας E-82. Κ = 400 000 y – 3 200 000 Κέρδος από την ετήσια παραγωγή ηλεκτρισμού

Κόστος εγκατάστασης της ανεμογεννήτριας

Με βάση τον τύπο που προτείνει ο δήμαρχος, ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος λειτουργίας της ανεμογεννήτριας, ώστε να καλυφθεί το κόστος εγκατάστασής της;

Α.

6 χρόνια

Β.

8 χρόνια

Γ.

10 χρόνια

Δ.

12 χρόνια

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Ερώτηση 3:

Σύμφωνα με τους κανονισμούς κατασκευής, η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους πύργους δύο ανεμογεννητριών αυτού του μοντέλου, πρέπει να είναι πέντε φορές το μήκος του περιστρεφόμενου έλικα. Η πρόταση του δημάρχου της πόλης για τον τρόπο τοποθέτησης των ανεμογεννητριών παρουσιάζεται στο διάγραμμα.

250 m

Η Ζετάουν αποφάσισε να αναγείρει μερικές ανεμογεννήτριες E-82 σε ένα τετράγωνο οικόπεδο (μήκος = πλάτος = 500 m).

250 m

 = πύργος ανεμογεννήτριας Σημείωση: Το διάγραμμα δεν είναι υπό κλίμακα.

Να εξηγήσετε για ποιον λόγο η εισήγηση του δημάρχου δεν πληροί τις προδιαγραφές. Να υποστηρίξετε τα επιχειρήματά σας με υπολογισμούς.

Ερώτηση 4:

Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα με την οποία κινούνται τα άκρα των περιστρεφόμενων ελίκων των ανεμογεννητριών; Να περιγράψετε την πορεία εργασίας σας και να δώσετε την απάντησή σας σε χιλιόμετρα ανά ώρα (km/h). Να αξιοποιήσετε τις πληροφορίες για το μοντέλο E-82.

PISA 2012

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Η Έννοια του Διανύσματος Διερεύνηση (1) Το παιχνίδι του σκακιού παίζεται μεταξύ δύο αντιπάλων που κινούν εναλλάξ τα κομμάτια τους πάνω σε µια τετράγωνη επιφάνεια που λέγεται "σκακιέρα”. Ο παίκτης µε τα λευκά κομμάτια αρχίζει το παιχνίδι. Ο αντικειμενικός σκοπός (στόχος) κάθε παίκτη είναι να «επιτεθεί» στον Βασιλιά του αντιπάλου του µε τέτοιο τρόπο, ώστε ο αντίπαλος να µην έχει κίνηση. Στο ξεκίνημα του παιχνιδιού ο ένας παίκτης έχει 16 ανοιχτόχρωμα κομμάτια (τα «λευκά κομμάτια») και ο άλλος έχει 16 σκουρόχρωμα κομμάτια (τα «µαύρα» κομμάτια).

ΚΟΜΜΑΤΙΑ

ΣΥΜΒΟΛΟ

ΑΡΧΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΗ ΣΚΑΚΙΕΡΑ

Βασιλιάς

Βασίλισσα Πύργος Αξιωματικός Άλογο Πιόνι

Το κάθε κομμάτι μπορεί να κινηθεί σε μια νέα θέση σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες (κανονικές κινήσεις) που διέπουν το σκάκι. Στα πιο κάτω σχήματα φαίνονται ο τρόπος που κινούνται η βασίλισσα, ο πύργος, το άλογο και ο αξιωματικός.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Η βασίλισσα κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο οριζόντια, κατακόρυφα και διαγώνια, ο πύργος κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο οριζόντια και κατακόρυφα, ο αξιωματικός κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο διαγώνια και το άλογο κινείται σε ένα από τα πλησιέστερα τετράγωνα από αυτό που βρίσκεται, αλλά όχι στην ίδια οριζόντια ή κατακόρυφη ή διαγώνιο.    

Στη σκακιέρα 𝛢 να τοποθετήσετε μια βασίλισσα στη θέση (𝑓, 7) και περιγράψετε την κίνηση της βασίλισσας σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στη σκακιέρα 𝛣 να τοποθετήσετε ένα άλογο στη θέση (𝑑, 4) και περιγράψετε την κίνηση του πύργου σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στη σκακιέρα 𝛤 να τοποθετήσετε έναν πύργο στη θέση (𝑐, 3) και περιγράψετε την κίνηση του πύργου σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στη σκακιέρα 𝛥 να τοποθετήσετε έναν αξιωματικό στη θέση (𝑒, 6) και περιγράψετε την κίνηση του αξιωματικού σε τρεις διαφορετικές θέσεις.

𝜜

𝜞

να να να να

𝜝

𝜟

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Διερεύνηση (2) Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ13_Έννοιες διανυσμάτων και πράξεις με διανύσματα_1.1»  Να επιλέξετε το εικονίδιο «Εκκίνηση», για να αρχίσει το αυτοκίνητο να κινείται με ορισμένη ταχύτητα και προς ορισμένη κατεύθυνση. Με το εικονίδιο «Εκκίνηση» μπορείτε να σταματήσετε το αυτοκίνητο.  Με τον δρομέα «Μέτρο» μεταβάλλεται η ταχύτητα με την οποία κινείται το αυτοκίνητο και με τον δρομέα «Διεύθυνση» περιστρέφεται το αυτοκίνητο και καθορίζεται η πορεία που θα ακολουθήσει.  Να επιλέξετε τα εικονίδια, «Τοίχος» και «Βαρέλι» και να οδηγήσετε το αυτοκίνητο ώστε να συγκρουστεί με το βαρέλι, αποφεύγοντας τους τοίχους.  Να περιγράψετε την κίνηση του αυτοκινήτου σε κάθε περίπτωση.

Μαθαίνω  Μονόμετρο μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που χαρακτηρίζεται μόνο από το μέτρο του. Για παράδειγμα, το μήκος, η μάζα, η θερμοκρασία είναι μονόμετρα μεγέθη.  Διανυσματικό μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που έχει μέτρο και κατεύθυνση. Για παράδειγμα, η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος.  Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα τα οποία συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο 𝛢 που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο 𝛣 που είναι ⃗⃗⃗⃗⃗ ή με 𝛼 . το τέλος του διανύσματος. Το διάνυσμα το συμβολίζουμε με 𝛢𝛣

⃗⃗ 𝜶

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

 Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία:  Διεύθυνση, την ευθεία 𝜀 που ορίζουν τα άκρα 𝛢, 𝛣 ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή.  Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το 𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ή αρχή το 𝛣 και τέλος το 𝛢 ( 𝛣𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ ). και τέλος το 𝛣 ( 𝛢𝛣  Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος 𝛢𝛣, το οποίο ⃗⃗⃗⃗⃗ |. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας θετικός συμβολίζουμε με |𝛢𝛣 αριθμός ή μηδέν. Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος .  Ένα διάνυσμα λέγεται μηδενικό, όταν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν. Το συμβολίζουμε με ⃗𝟎 και έχει μέτρο μηδέν.  Παράλληλα ή συγγραμμικά ονομάζονται τα μη-μηδενικά διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση.  Τα παράλληλα διανύσματα διακρίνονται σε δύο κατηγορίες:  Τα ομόρροπα τα οποία

έχουν την ίδια φορά.

 Τα αντίρροπα τα οποία έχουν αντίθετη φορά.

 Ίσα είναι τα διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. Αν 𝛼 , 𝛽 είναι δύο ίσα διανύσματα τότε γράφουμε 𝛼 = 𝛽 .

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

 Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη φορά. Για παράδειγμα στο παραλληλόγραμμο 𝛥𝛦𝛧𝛨 τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛨𝛧 είναι ίσα, ενώ τα ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ διανύσματα 𝛥𝛨 και 𝛧𝛦 είναι αντίθετα.

Επίσης, ισχύει ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛰 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛧 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛰 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛨 , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛰 = −𝛨𝛰 κ.λπ.  Παριστάνουμε ένα διάνυσμα 𝛼 σε σχέση με την κατεύθυνση που κινούμαστε για να μεταβούμε από το 𝛢 στο 𝛣, με 𝛢 την αρχή και 𝛣 το 𝑥 τέλος του διανύσματος 𝛼 , (𝛼 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 ), δηλαδή 𝛼 = (𝑦), όπου το 𝑥 παριστάνει την οριζόντια μετατόπιση και το 𝑦 την κατακόρυφη. Τα 𝒙, 𝒚 ⃗⃗ . ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος 𝜶 Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα το διάνυσμα α ⃗ έχει συντεταγμένες x = 5 και y = −2, γιατί το Α κινείται 5 μονάδες δεξιά και 2 μονάδες κάτω για να μεταβεί στο Β, 5 άρα α ⃗ = ( ). −2

𝑥  Αν 𝛼 = (𝑦), τότε το μέτρο του διανύσματος είναι |𝛼 | = √𝑥 2 + 𝑦 2 .  Τα ίσα διανύσματα έχουν ίδιες συντεταγμένες.  Τα αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετες συντεταγμένες.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παραδείγματα 1. Δίνεται το τετράγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥. (α) Να γράψετε δύο διανύσματα τα οποία έχουν ως αρχή το σημείο 𝛣. (β) Να γράψετε ένα διάνυσμα που να είναι ίσο με το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (γ) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥. Λύση: ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ έχουν ως αρχή το σημείο 𝛣. (α) Τα διανύσματα 𝛣𝛢 (β) Το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 είναι ίσο με το ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 , γιατί έχουν την ίδια διεύθυνση ως απέναντι πλευρές τετραγώνου, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο ως πλευρές τετραγώνου. ⃗⃗⃗⃗⃗ έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛢𝛥 (γ) Τα διανύσματα 𝛤𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗ φορά, δηλαδή είναι αντίρροπα και έχουν το ίδιο μέτρο (𝛤𝛣 𝛢𝛥, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣 = − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥). 2. Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛨𝛩 και ⃗⃗⃗⃗ 𝛪𝛫 . (α) Να γράψετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων. (β) Να υπολογίσετε το μέτρο των διανυσμάτων. (γ) Να βρείτε ένα ζεύγος ίσων διανυσμάτων και ένα ζεύγος αντίθετων διανυσμάτων.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Λύση: 2 (α) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = ( ). Για να μεταβούμε από το 𝛢 στο 𝛣, κινηθήκαμε 2 θέσεις 2 δεξιά (𝑥 = 2) και 2 θέσεις πάνω (𝑦 = 2). 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥 = ( ). Για να μεταβούμε από το 𝛤 στο 𝛥, κινηθήκαμε 3 θέσεις −2 δεξιά (𝑥 = 3) και 2 θέσεις κάτω (𝑦 = −2). −3 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧 = ( ). Για να μεταβούμε από το 𝛦 στο 𝛧, κινηθήκαμε 3 θέσεις 2 αριστερά (𝑥 = −3) και 2 θέσεις πάνω (𝑦 = 2). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2). Για να μεταβούμε από το 𝛨 στο 𝛩, κινηθήκαμε 2 θέσεις 𝛨𝛩 2 δεξιά (𝑥 = 2) και 2 θέσεις πάνω (𝑦 = 2). ⃗⃗⃗⃗ = (4). Για να μεταβούμε από το 𝛪 στο 𝛫, κινηθήκαμε οριζόντια 4 𝛪𝛫 0 θέσεις δεξιά (𝑥 = 4, 𝑦 = 0). 𝑥 (β) Το μέτρο ενός διανύσματος 𝛼 = (𝑦) είναι |𝛼 | = √𝑥 2 + 𝑦 2 . Άρα: 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 + 22 = √8 = 2√2 𝛢𝛣 = ( ) ⇒ |𝛢𝛣 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ = = ( 3 ) ⇒ |𝛤𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √32 + (−2)2 = √13 𝛤𝛥 −2 −3 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−3)2 + 22 = √13 𝛦𝛧 = = ( ) ⇒ |𝛦𝛧 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 + 22 = √8 = 2√2 𝛨𝛩 = ( ) ⇒ |𝛨𝛩 2 ⃗⃗⃗⃗ = (4) ⇒ |𝛪𝛫 ⃗⃗⃗⃗ | = √42 + 02 = 4 𝛪𝛫 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛨𝛩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ είναι ίσα, γιατί έχουν τις ίδιες (γ) Τα διανύσματα 𝛢𝛣 συντεταγμένες. ⃗⃗⃗⃗⃗ και ⃗⃗⃗⃗⃗ Τα διανύσματα 𝛤𝛥 𝛦𝛧 είναι αντίθετα, γιατί έχουν αντίθετες συντεταγμένες.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δραστηριότητες 1.

Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις περιγράφει μονόμετρο και ποια διανυσματικό μέγεθος; (α)

Ένα καρπούζι ζυγίζει 8 𝐾𝑔.

(β) (γ)

Το πλοίο κινείται με ταχύτητα 80 ναυτικά μίλια την ώρα νοτιοανατολικά του λιμανιού. Ο πυρετός μου έφθασε τους 390 𝐶.

(δ)

Το σπίτι του Αντρέα, βρίσκεται 1,5 𝛫𝑚 μακριά από το δικό μου.

(ε)

Το σπίτι του Αντρέα, βρίσκεται 1,5 𝛫𝑚 Δυτικά από το δικό μου.

(στ) Κοιμήθηκα μόνο 4 ώρες χθες.

Δίνεται το παραλληλόγραμμο 𝛦𝛧𝛨𝛩, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω ισότητες, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό.

(α)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛩𝛨

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(β)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛫 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛩𝛫

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(γ)

⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝛩𝛦 |𝛧𝛨

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(δ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛫 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛨

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Με βάση το πιο κάτω σχήμα: (α)

να βρείτε διανύσματα που είναι ίσα με το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣

(β)

να βρείτε διανύσματα που είναι αντίθετα με το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣

(γ)

να γράψετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων 𝛽 , 𝛿 , 𝜅, 𝜀 και να υπολογίσετε το μέτρο τους.

Στο σχήμα οι αποστάσεις μεταξύ όλων των διαδοχικών σημείων είναι ίσες με 1 𝑐𝑚.

(α) Να υπολογίσετε το μέτρο των διανυσμάτων: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛧, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛩 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛢, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛥, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛧, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛩, ⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛪 (β) Ποια από τα πιο πάνω διανύσματα είναι μεταξύ τους ίσα και ποια αντίθετα; (γ) Να γράψετε ένα διάνυσμα που είναι αντίρροπο του ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛦 και έχει μέτρο ⃗⃗⃗⃗⃗ . τριπλάσιο από το μέτρο του 𝛤𝛦

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Να σχεδιάσετε στο πιο κάτω σχήμα ένα διάνυσμα που: (α) είναι ίσο με το 𝑢 ⃗ και αρχίζει από το 𝛢. (β) είναι αντίθετο του 𝑣 και αρχίζει από το 𝐵. (γ) έχει μέτρο ίσο με το μέτρο του 𝑤 ⃗⃗ , χωρίς να είναι ίσο με το 𝑤 ⃗⃗ , και και έχει αρχή το 𝛤.

Στο σχήμα δίνεται το εξάγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥𝛦𝛧 με όλες τις πλευρές ίσες με 2 𝑐𝑚 και τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Αν 𝛧𝛤 ∥ 𝛦𝛥, 𝛢𝛥 ∥ 𝛧𝛦, 𝛦𝛣 ∥ 𝛥𝛤, να γράψετε δύο διανύσματα που: (α) είναι ίσα (β) είναι αντίθετα ⃗⃗⃗⃗⃗ (γ) είναι παράλληλα με το 𝛣𝛤 (δ) είναι αντίρροπα με το ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧 (ε) έχουν μέτρο 4𝑐𝑚.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Πράξεις με Διανύσματα Διερεύνηση Δύο παιδιά έχουν δέσει ένα καροτσάκι με δύο σχοινιά, όπως φαίνεται στην εικόνα. Θα τραβήξουν ταυτόχρονα τα σχοινιά, για να το μετακινήσουν. Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το καροτσάκι; Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ13_Έννοιες διανυσμάτων και πράξεις με διανύσματα_3.1» Αφού επιλέξετε το εικονίδιο να παρακολουθήσετε την κίνηση του καροτσιού σε διαδοχικά βήματα. Να περιγράψετε την κίνηση του καροτσιού.

Μαθαίνω  Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά διανύσματα, όταν το τέλος του πρώτου διανύσματος είναι η αρχή του δεύτερου. Τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 είναι διαδοχικά.  Άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του δεύτερου διανύσματος. Το άθροισμα των διανυσμάτων ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ είναι το διάνυσμα 𝛢𝛤 και γράφεται 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Αν έχουμε να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διανύσματα, τα οποία είναι ανά δύο διαδοχικά, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε το άθροισμά τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του τελευταίου. Το άθροισμα των διανυσμάτων ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ είναι το διάνυσμα 𝛢𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ και γράφεται 𝛢𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛤𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛥 𝛢𝛣

 Για να προσθέσουμε δύο μη διαδοχικά διανύσματα 𝛼 και 𝛽 σχεδιάζουμε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛽 τα οποία είναι 𝛼 και 𝛣𝛤 διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων 𝛼 και 𝛽 είναι: ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛤 𝛼 + 𝛽 = 𝛢𝛣

𝛼1 𝛽 𝛼 + 𝛽1  Αν 𝛼 = (𝛼 ) και 𝛽 = ( 1 ), τότε 𝛼 + 𝛽 = ( 1 ). 𝛽 𝛼 2 2 2 + 𝛽2 Σημείωση: Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα ⃗α και ⃗β χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ ΑΒ = ⃗α και ⃗⃗⃗⃗⃗ ΑΓ = ⃗β, τα οποία έχουν κοινή αρχή. Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Το διάνυσμα το οποίο έχει ως αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων και τέλος την απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

 Διαφορά δύο διανυσμάτων Η διαφορά του διανύσματος 𝛽 από το διάνυσμα 𝛼 συμβολίζεται με 𝛼 − 𝛽 και ορίζεται ως το άθροισμα του 𝛼 με το αντίθετο διάνυσμα του 𝛽 . 𝛼 − 𝛽 = 𝛼 + (−𝛽 ).

 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Αν 𝜆 είναι ένας πραγματικός αριθμός (𝜆 ≠ 0) και 𝛼 ένα μη μηδενικό διάνυσμα, ⃗⃗ και το συμβολίζουμε 𝝀 ∙ 𝜶 ⃗⃗ ένα διάνυσμα ονομάζουμε γινόμενο του 𝝀 επί το 𝜶 το οποίο:  είναι ομόρροπο του 𝛼 , αν 𝜆 > 0 και αντίρροπο του 𝛼 , αν 𝜆 < 0 και  έχει μέτρο |𝜆| ∙ |𝛼|. Σημείωση:  Το διάνυσμα 𝜆 ∙ 𝛼 είναι παράλληλο με το διάνυσμα 𝛼 .  Αν 𝜆 = 0 ή 𝛼 = ⃗0, τότε ορίζουμε ως 𝜆 ∙ 𝛼 το μηδενικό διάνυσμα ⃗0. 𝑥 𝜆∙𝑥  Αν το διάνυσμα 𝛼 = (𝑦), τότε το διάνυσμα 𝜆 ∙ 𝛼 = ( ). 𝜆∙𝑦

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παραδείγματα 1. Δίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 𝛢𝛣𝛤𝛥. Να βρείτε το διάνυσμα που αντιστοιχεί στα πιο κάτω: ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ (α) 𝛢𝛣 (β) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ (γ) 𝛣𝛰 𝛰𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝛰𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ (δ) 𝛢𝛰 (ε) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 Λύση: (α) (β) (γ) (δ) (ε)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛥𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛥𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛢𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛥𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛰𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛣𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛰 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝛰𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛰 ⃗⃗⃗⃗⃗ + (−𝛰𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝛢𝛰 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛰𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛰 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 + (−𝛢𝛤 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛢 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣

2. Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα 𝛼 , 𝛽 και 𝛾. (α) Να σχεδιάσετε τα διανύσματα: 𝛼 + 𝛽 και 𝛽 − 𝛾. (β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων 𝛼 + 𝛽 και 𝛽 − 𝛾. (γ) Να υπολογίσετε το μήκος των διανυσμάτων 𝛼 + 𝛽 και 𝛽 − 𝛾. Λύση: (α)

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

3 3 2 (β) 𝛼 = ( ) , 𝛽 = ( ), 𝛾 = ( ) 0 2 −1 𝛼+𝛽 = (

3+3 6 )=( ) 0+2 2

3−2 1 𝛽−𝛾 = ( )= ( ) 2 − (−1) 3 6 (γ) 𝛼 + 𝛽 = ( ) ⇒ |𝛼 + 𝛽 | = √62 + 22 = √40 = 2√10 2 1 𝛽 − 𝛾 = = ( ) ⇒ |𝛽 − 𝛾 | = √12 + 32 = √10 3 3. Στο σχήμα δίνεται το τετράπλευρο 𝛢𝛣𝛤𝛥 με 𝛫, 𝛬, 𝛭 και 𝛮 τα μέσα των πλευρών 𝛢𝛣, 𝛣𝛤, 𝛤𝛥 και 𝛢𝛥, αντίστοιχα. Αν ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝛽 και 𝛥𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝛾 : 2𝛼 , 𝛢𝛥 (α) Να αποδείξετε ότι ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 = −2𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 . ⃗⃗⃗⃗⃗ (β) Να εκφράσετε τα διανύσματα 𝛫𝛬 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛭 συναρτήσει των 𝛼 , 𝛽 και 𝛾. (γ) Τι παρατηρείτε για τα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛬 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛭; Λύση: (α) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛢 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 = −2𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛫𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛬 (β) 𝛫𝛬 = =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 2 ⃗ 2𝛼 2

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤

2 ⃗⃗ +2𝛾 ⃗ +2𝛽 ⃗ −2𝛼 2

= 𝛼−𝛼+𝛽+𝛾 =𝛽+𝛾 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛭 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛥 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛭 = =

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 2 ⃗⃗ 2𝛽 2

+ +

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 2 ⃗ 2𝛾 2

=𝛽+𝛾

⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛮𝛭 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ είναι ίσα. (γ) Τα διανύσματα 𝛫𝛬

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δραστηριότητες 1. Στο σχήμα δίνεται το πολύγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥𝛦. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω ισότητες, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό.

(α)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛤𝛢 𝛢𝛣

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(β)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(γ)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛥 𝛢𝛣

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(δ)

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛦 + 𝛢𝛥 𝛦𝛥

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(ε)

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛢𝛣 𝛢𝛦 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛥 + 𝛥𝛤

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

2. Στο σχήμα να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα που είναι ίσο με:

(α)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣

(β)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣

(γ)

⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛤𝛥 𝛢𝛣

(δ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛢

(ε)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤

(στ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

3. Στο σχήμα δίνονται δύο διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛱𝛲 = 𝑥 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛱𝛷 = 𝑦.

Να εκφράσετε τα πιο κάτω διανύσματα ως άθροισμα ή διαφορά των 𝑥, 𝑦. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (α) ⃗⃗⃗⃗⃗ (β) (δ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛲𝛴 𝛱𝛭 𝛷𝛬 (γ) 𝛨𝛥 (ε)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛩

(στ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛮

(ζ)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛮

(η)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛶𝛩

4. Να τοποθετήσετε τα σημεία 𝛢(3, −1) και 𝛣(1,4) σε ορθογώνιο σύστημα ⃗⃗⃗⃗⃗ + αξόνων. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες και το μέτρο του διανύσματος 𝛰𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ , όπου 𝛰 είναι η αρχή των αξόνων. 𝛰𝛣 0 3 0 5 5. Αν 𝛼 = ( ), 𝛽 = ( ), 𝛾 = ( ) και 𝛿 = ( ), να κατασκευάσετε τα 5 0 −2 0 διανύσματα 𝛼 + 𝛽 και 𝛾 + 𝛿 . 2 −3 2 6. Δίνονται τα διανύσματα 𝛼 = ( ), 𝛽 = ( ) και 𝛾 = ( ). Να υπολογίσετε 5 8 −2 τις συντεταγμένες των πιο κάτω διανυσμάτων: (α) 𝛼 − 𝛾 + 𝛽

(β) 𝛽 − 𝛼 + 𝛾

(γ) 2𝛼 + 𝛽

𝑥 −2 7. Δίνονται τα διανύσματα 𝛼 = ( ) και 𝛽 = ( ). Αν τα διανύσματα 𝛼 και 𝛽 −10 5 είναι παράλληλα, να υπολογίσετε την τιμή του 𝑥. 2 1 8. Δίνονται τα διανύσματα 𝛼 = ( ) και 𝛽 = ( ). Να υπολογίσετε το μέτρο του 3 2 διανύσματος 𝛾 = 5𝛼 − 3𝛽. 2 −3 9. Δίνονται τα διανύσματα 𝑥 = ( ) και 𝑦 = ( ). Να υπολογίσετε τις 1 4 συντεταγμένες του διανύσματος 𝑧, αν ισχύει η σχέση 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⃗0

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

10. Για καθένα από τα πιο κάτω σχήματα, να εκφράσετε το διάνυσμα 𝑥 ως άθροισμα ή διαφορά των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: (α)

(β)

(γ)

11. Στο σχήμα δίνεται το εξάγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥𝛦𝛧 με όλες τις πλευρές ίσες και τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Αν 𝛧𝛤 ∥ 𝛦𝛥, 𝛢𝛥 ∥ 𝛧𝛦, 𝛦𝛣 ∥ 𝛥𝛤 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛥 = 𝛽 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛦 = 𝛼 , να εκφράσετε τα πιο κάτω διανύσματα ως άθροισμα ή διαφορά των 𝛼, 𝛽 .

(α) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛢 (ε)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛤

(γ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛨𝛥

(δ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛨

(στ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛦

(ζ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛥

(η) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛢

(β)

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

12. Να σχεδιάσετε ισόπλευρο τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 και να βρείτε ένα διάνυσμα ίσο με: (α) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣 (β) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝛢𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ (γ) 𝛢𝛣 (δ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛢 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣

13. Στο σχήμα δίνεται το παραλληλόγραμμο 𝛢𝛣𝛤𝛥. Αν ⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝜅, 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝜆, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 𝛦𝛥 = 2𝛢𝛦 ⃗⃗⃗⃗⃗ , να εκφράσετε τα και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛥 = 2𝛤𝛧 πιο κάτω διανύσματα συναρτήσει των 𝜅 και 𝜆 :

(α)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤

(β)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥

(γ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤

(δ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛥

(ε)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛧

(στ)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛧 είναι παράλληλα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δραστηριότητες ενότητας

1. Να γράψετε ομοιότητες και διαφορές για τα διανύσματα 𝛼 , 2𝛼 και −3𝛼 .

2. Δίνεται τυχαίο τετράπλευρο 𝛢𝛣𝛤𝛥. Να αποδείξετε ότι: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥.

3. Δίνονται τα διανύσματα 𝛼 , ⃗⃗⃗ 𝛽, 𝛾, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να σχεδιάσετε τα πιο κάτω διανύσματα σε τετραγωνισμένο χαρτί, επεξηγώντας τη μέθοδο που ακολουθήσατε και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος. (α) 𝛼 + 𝛽 (β) 𝛽 + 𝛾 (γ) 𝛼 + 𝛼 + 𝛼 (δ) 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 (ε) 𝛼 − 𝛽 (στ)

𝛽−𝛾

(ζ) 𝛼 − 𝛽 + 𝛾 36

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

4. Στο σχήμα δίνονται δύο τετράγωνα τα 𝛢𝛣𝛤𝛥 και 𝛫𝛬𝛭𝛮, όπου 𝛫, 𝛬, 𝛭, 𝛮 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 και 𝛢𝛮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛽 , να είναι τα μέσα των 𝛢𝛣, 𝛣𝛤, 𝛤𝛥, 𝛢𝛥, αντίστοιχα. Αν 𝛢𝛫 εκφράσετε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛭, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛭, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 σε συνάρτηση των 𝛼 και 𝛽 .

5. Να τοποθετήσετε τα σημεία 𝛢(−1,1), 𝛣(2, −1) και 𝛤(2,3) σε ορθοκανονικό ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝛢𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ και να σύστημα αξόνων. Να κατασκευάσετε το διάνυσμα 𝛢𝛣 υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος και το μήκος του. ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. Δίνονται τα διανύσματα 𝛢𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ , όπως φαίνονται στο και 𝛤𝛥 σχήμα. Να αποδείξετε ότι ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛤 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 , χρησιμοποιώντας τη διαδικασία υπολογισμού του αθροίσματος δύο διαδοχικών διανυσμάτων. 7. Συμβολίζουμε με 𝑖 και 𝑗 τα διανύσματα που έχουν αρχή την αρχή των 1 0 αξόνων και συντεταγμένες ( ) και ( ) αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το μέτρο 0 1 του διανύσματος 𝛼 + 𝛽 , όπου 𝛼 = 3𝑖 − 2𝑗 και 𝛽 = 5𝑖 + 8𝑗 .

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

8. Στο σχήμα δίνεται το παραλληλόγραμμο 𝛢𝛣𝛤𝛥 με ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼 και 𝛥𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛽. Αν το 𝛥𝛤 σημείο 𝛧 είναι το μέσο της 𝛣𝛤 και 𝛢𝛦 ∶ 𝛦𝛣 = 1 ∶ 2, να εκφράσετε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛧 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛦 συναρτήσει των 𝛼 και 𝛽 . 9. Στο σχήμα δίνεται το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 με 𝛥 και 𝛦 να είναι τα μέσα των πλευρών 𝛢𝛣 και 𝛣𝛤, αντίστοιχα. Αν ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = 𝛼 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = 𝛽 : (α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛦 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 συναρτήσει των 𝛼 και 𝛽 . (β) Τι είδους τετράπλευρο είναι το 𝛢𝛥𝛦𝛤; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

10. Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα 𝛢𝛣 και ένα σημείο 𝛰 το οποίο δεν ανήκει στο 𝛢𝛣. Αν το σημείο 𝛭 είναι το μέσο του 𝛢𝛣, να αποδείξετε ότι ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛭 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢+𝛰𝛣 2

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού

⃗⃗⃗⃗⃗ = (3), όπου 𝛰 είναι η αρχή των αξόνων. Αν το 1. Δίνεται το διάνυσμα 𝛰𝛢 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ως προς άξονα διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢1 είναι το συμμετρικό του διανύσματος 𝛰𝛢 συμμετρίας τον άξονα των τετμημένων και το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢2 το συμμετρικό του διανύσματος ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢 ως προς άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων, να βρείτε το άθροισμα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢2 . Τι παρατηρείτε για τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢1 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢2 ; 2. Στο σχήμα δίνεται το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛥, 𝛣𝛤 3 𝛢𝛦 1 με = , = και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = 𝛼, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛥 = 𝛤𝛥

𝛦𝛥

𝛽. (α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝛦𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ σε συνάρτηση ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛤𝛥 𝛢𝛦 των 𝛼 και 𝛽 . 1 (β) Να δείξετε ότι ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛤 = 15 ( 6𝛼 + 7𝛽 ).

3. Στο σχήμα δίνεται το παραλληλόγραμμο 𝛢𝛣𝛤𝛥. Αν ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = 𝛼 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 = 𝛽, το σημείο 𝛧 είναι το μέσο του 𝛤𝛥 και το σημείο 𝛦 είναι σημείο της 𝛢𝛤 με 2

𝛢𝛦 = 3 𝛢𝛤, να αποδείξετε ότι τα σημεία 𝛣, 𝛦 και 𝛧 είναι συνευθειακά.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

4. Στο σχήμα δίνεται το τετράπλευρο 𝛢𝛣𝛤𝛥 και τα σημεία 𝛫, 𝛬, 𝛭 και 𝛮 είναι τα μέσα των πλευρών 𝛢𝛣, 𝛣𝛤, 𝛤𝛥 και 𝛥𝛢, αντίστοιχα. Αν ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 = 𝛼 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = 𝛽 και ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 = 𝛾: (α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛭 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛭 συναρτήσει των 𝛼 , 𝛽 και 𝛾. ⃗⃗⃗⃗⃗ συναρτήσει των 𝛼 και 𝛽 και στη (β) Να εκφράσετε το διάνυσμα 𝛢𝛬 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ συναρτήσει των 𝛼 και 𝛾. συνέχεια το διάνυσμα 𝛭𝛬 (γ) Να εκφράσετε το διάνυσμα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 συναρτήσει των 𝛼 και 𝛾. Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα διανύσματα ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 . Να χαρακτηρίσετε το τετράπλευρο 𝛫𝛬𝛭𝛮. (δ) Να αποδείξετε ότι ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛣 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 . 5. Να τοποθετήσετε τα σημεία 𝛣(−3, −3) και 𝛤(3, 9) σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου 𝛢, αν ισχύει ότι ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = −2 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 . 6. Να τοποθετήσετε τα σημεία 𝛢(1, 3) και 𝛣(3, 5) σε ορθοκανονικό σύστημα ⃗⃗⃗⃗⃗ και 𝛰𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗ . αξόνων και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων 𝛰𝛢 Αν 𝛭 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος 𝛢𝛣, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛭 και στη συνέχεια τις συντεταγμένες του σημείου 𝛭. Τι παρατηρείτε; Αν τα σημεία 𝛢 και 𝛣 έχουν συντεταγμένες (𝑥1 , 𝑦1 ) και (𝑥2 , 𝑦2 ), αντίστοιχα να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου Μ.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Ενότητα

Πραγματικοί Αριθμοί

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε:

 Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. 

Να υπολογίζουμε τη ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής 𝛲 𝑥 = 𝑥 𝜈 − 𝛼 και τη λύση της εξίσωσης της μορφής 𝑥 𝜈 − 𝛼 = 0.

 Τις ιδιότητες των ριζών θετικού πραγματικού αριθμού.  Να αναγνωρίζουμε και να υπολογίζουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. 

Να αποδεικνύουμε και να χρησιμοποιούμε τις βασικές ιδιότητες διάταξης των πραγματικών αριθμών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύση Προβλήματος ΛΕΙΧΗΝΕΣ Ένα από τα επακόλουθα της υπερθέρμανσης του πλανήτη μας είναι το λιώσιμο των πάγων. Δώδεκα χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων, αρχίζουν να αναπτύσσονται στους βράχους μικροσκοπικά φυτά που ονομάζονται λειχήνες. Κάθε λειχήνα αναπτύσσεται σε σχήμα περίπου κυκλικό. Ο παρακάτω τύπος χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η διάμετρος 𝛿 της λειχήνας σε σχέση με την ηλικία της. 𝛿 = 7,0√𝑡 − 12, 𝑡 ≥ 12 όπου 𝛿 η διάμετρος της λειχήνας σε 𝑚𝑚 και 𝑡 ο αριθμός των ετών που έχουν περάσει μετά το λιώσιμο των πάγων.

Ερώτηση 1: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, να υπολογίσετε τη διάμετρο που θα έχει μια λειχήνα, 16 έτη μετά το λιώσιμο των πάγων. Να γράψετε την απάντησή σας στον χώρο που ακολουθεί. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ερώτηση 2: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Η Άννα μέτρησε τη διάμετρο μιας λειχήνας που βρήκε σε κάποιο μέρος και είδε ότι ήταν 35 𝑚𝑚. Πόσα χρόνια έχουν περάσει από το λιώσιμο των πάγων σε αυτό το μέρος; Να εξηγήσετε πώς βρήκατε την απάντησή σας. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ερώτηση 3: ΛΕΙΧΗΝΕΣ Σε πόσα χρόνια από σήμερα, μια λειχήνα που τώρα έχει διάμετρο 35 𝑚𝑚 θα έχει διπλασιάσει τη διάμετρό της; Να εξηγήσετε πώς βρήκατε την απάντησή σας. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. PISA 2000

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διερεύνηση (1) 

Γιατί οι αριθμοί 16, 64, 100 ανήκουν στο σύνολο των τετράγωνων αριθμών; Ποια σχέση έχουν με το τετράγωνο; Να υπολογίσετε την πλευρά ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι 10,24 𝑐𝑚2 .



Γιατί οι αριθμοί 8, 27, 1000 ανήκουν στο σύνολο των τέλειων κύβων; Ποια σχέση έχουν με τον κύβο; Να υπολογίσετε την πλευρά ενός κύβου του οποίου ο όγκος είναι 1728 𝑐𝑚3.

Διερεύνηση (2) 

Να ανοίξετε το αρχείο «rizes_polyonymou».  Να μετακινήσετε τον δρομέα "𝜈" και τον δρομέα "𝛼", για να εμφανίσετε τη γραφική παράσταση της 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝜈 + 𝛼.  Να δώσετε κατάλληλες τιμές στα "𝜈" και "𝛼", για να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις της μορφής 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝜈 + 𝛼, που αναπαριστούν τα αντίστοιχα πολυώνυμα 𝑃 𝑥 και στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, σύμφωνα με το παράδειγμα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Πολυώνυμο 𝒙𝝂 + 𝜶 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏

Πολυώνυμο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 𝑃 𝑥 = 𝑥−1 𝑥+1

Εξίσωση

𝝂

Λύση εξίσωσης

𝑥2 = 1

𝑥 = 1, 𝑥 = −1

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏

𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 1

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟏

𝑃 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟏

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟏 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟏 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟏 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 + 𝟏

𝑥2 = −1

Δεν έχει πραγματικές λύσεις

𝑃 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥2 + 1 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 1 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1

 Τι παρατηρείτε;  Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, χωρίς να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Πολυώνυμο 𝒙𝝂 + 𝜶 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔

Πολυώνυμο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒

Εξίσωση

𝝂

Λύση εξίσωσης

𝑥4 = 16

𝑷 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 𝑷 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟗 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟖𝟏

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟖𝟏

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟔 + 𝟏

 Τι παρατηρείτε;

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μαθαίνω 

𝝂

Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού 𝛼 συμβολίζεται με √𝜶, όπου 𝜈 θετικός ακέραιος και είναι ο μη αρνητικός αριθμός 𝛽 ο οποίος, όταν υψωθεί σε δύναμη με εκθέτη 𝜈, δίνει τον 𝛼. 𝝂 𝜶 ≥ 𝟎 και 𝜷 ≥ 𝟎 √𝜶 = 𝜷 ⇔ 𝜷𝝂 = 𝒂

Σύμβολο Ριζικού

Δείκτης Ριζικού

𝜈

√𝛼

Υπόριζος Ποσότητα

𝝂−𝝄𝝈𝝉ή 𝝆ί𝜻𝜶 𝝉𝝄𝝊 𝜶

 Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι: 1

√𝑎 = 𝑎

𝜈

√𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 = 0

𝜈

√1 = 1



Ρίζα πολυωνύμου 𝛲 𝑥 είναι κάθε αριθμός 𝜌, τέτοιος ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για 𝑥 = 𝜌 να είναι ίση με 0, δηλαδή 𝛲 𝜌 = 0.



Διερεύνηση της εξίσωσης 𝒙𝝂 = 𝒂 (𝜈 θετικός ακέραιος) 𝝂

Αν 𝝂 είναι περιττός, τότε 𝒙𝝂 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = √𝒂 𝒂>𝟎

𝝂

Αν 𝝂 είναι άρτιος, τότε 𝒙𝝂 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = √𝒂 ή 𝒙 = − √𝒂 𝝂

𝝂

Αν 𝝂 είναι περιττός, τότε 𝒙𝝂 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = −√|𝒂| = − √−𝒂 𝒂<𝟎

Αν 𝝂 είναι άρτιος, τότε η εξίσωση 𝒙𝝂 = 𝒂 είναι αδύνατη. 𝒙𝝂 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = 0

𝒂=𝟎 

Για να υπολογίσουμε κατά πόσο υπάρχουν ρίζες ενός πολυωνύμου της μορφής 𝛲 𝑥 = 𝑥 𝜈 − 𝛼, μελετούμε κατά πόσο υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης 𝑥 𝜈 = 𝛼, με βάση τα πιο πάνω. ν

Σημείωση: Αν α ≥ 0 , τότε η √α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 𝑥 𝜈 = 𝑎. 4

Παράδειγμα: √81 = 3 (το 3 είναι η θετική λύση της εξίσωσης 𝑥 4 = 81)

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ



Ιδιότητες ριζών θετικού πραγματικού αριθμού 𝜈

𝜈

 ( √𝑎) = 𝑎, για κάθε 𝛼 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. 𝜈

 𝜈√𝑎 𝛽 = √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 για κάθε 𝛼, 𝛽 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. 𝜈

Από την ιδιότητα 𝜈√𝑎 𝛽 = √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 για κάθε 𝛼, 𝛽 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος προκύπτει ότι: 𝜈

𝜈 √𝑎1 ∙ 𝛼2 ∙∙∙ 𝛼𝜅 = 𝜈√𝑎1 ⋅ 𝜈√𝛼2 ∙∙∙ √𝛼𝜅 για κάθε 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝜅 ≥ 0

𝜈

𝜅

√𝑎𝜅 = √𝑎 ∙ 𝛼 ∙∙∙ 𝛼 = √𝑎 ∙ √𝑎 ∙∙∙ √𝑎 = ( √𝑎) , για κάθε θετικό ακέραιο 𝜅 𝜈

𝜈

√𝑎 𝜈 = ( √𝑎 ) = 𝑎 𝜈

𝜈

√𝛼 𝜈 𝛽 = √𝑎𝜈 ∙ √𝛽 = 𝛼 √𝛽

Παράδειγμα: 4

√405 = √34 ∙ 5 = 3 √5 𝜈



√𝑎

𝑎

𝜈

= √𝛽 για κάθε 𝑎 ≥ 0 και 𝛽 > 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. √𝛽

𝜈

Παράδειγμα: 3

√

= 27

√24

√27

2∙ √3 3

𝜇

𝜇𝜈 𝜈  √ √𝑎 = √𝑎 για κάθε 𝛼 ≥ 0 και 𝜇, 𝜈 θετικοί ακέραιοι.

Παράδειγμα: 3

√√5 = 6√5



𝜈𝜌

𝜈

√𝑎𝜇𝜌 = √𝑎𝜇 για 𝛼 ≥ 0 και 𝜇, 𝜈, 𝜌 θετικοί ακέραιοι.

Παράδειγμα: 10

√35 = √3

Απόδειξη Ιδιοτήτων: (α)

𝜈

( √𝑎) = 𝑎 για κάθε 𝛼 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. 𝜈

𝜈

Δηλαδή: Αφού √𝛼 = 𝑥 ⇔ 𝑥 𝜈 = 𝑎, τότε ( √𝑎) = 𝑥 𝜈 = 𝛼

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(β)

𝜈

𝜈 √𝑎 𝛽 = √𝑎 ⋅ √𝛽 για κάθε 𝛼, 𝛽 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. Απόδειξη: 𝜈

𝜈

Η παράσταση √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 είναι θετική √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 ≥ 0 , γιατί √𝑎 ≥ 0 και 𝜈√𝛽 ≥ 0. 𝜈

𝜈

Ισχύει ότι: ( √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 ) = ( √𝑎) ⋅ ( 𝜈√𝛽 ) = 𝑎 ⋅ 𝛽. 𝜈

𝜈

Αφού √𝛼 = 𝑥 ⇔ 𝑥 𝜈 = 𝑎, προκύπτει ότι 𝜈√𝑎 𝛽 = √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 . 𝜈

(γ)

√𝑎

𝜈

𝑎

= √𝛽 για κάθε 𝑎 ≥ 0 και 𝛽 > 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος. √𝛽

𝜈

Απόδειξη: 𝜈

√𝑎

Η παράσταση 𝜈

𝜈

√𝑎

είναι θετική

√𝛽 𝜈 𝜈 √𝑎

Ισχύει ότι: ( 𝜈 ) = √𝛽

𝜈

( √𝑎 )

( √𝛽 )

𝜈

√𝛽

𝜈

≥ 0 , γιατί √𝑎 ≥ 0 και 𝜈√𝛽 > 0.

𝑎

= 𝛽. 𝜈

√𝑎

𝜈

Αφού √𝛼 = 𝑥 ⇔ 𝑥 𝜈 = 𝑎 προκύπτει ότι (δ)

𝜈

𝑎

= √𝛽 . √𝛽

𝜈

𝜇 𝜈

√ √𝑎 = 𝜇𝜈√𝑎 για κάθε 𝛼 ≥ 0 και 𝜇, 𝜈 θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: 𝜇

𝜇

𝜈 𝜈 𝜈 Η παράσταση √ √𝑎 είναι θετική √ √𝑎 ≥ 0 , γιατί √𝑎 ≥ 0. 𝜇 𝜈

𝜇𝜈

Ισχύει ότι: ( √ √𝑎 )

𝜇 𝜈

𝜈

𝜈 = [( √ √𝑎 ) ] = ( √𝑎 ) = 𝑎. 𝜇

𝜇𝜈 𝜈 𝜈 Αφού √𝛼 = 𝑥 ⇔ 𝑥 𝜈 = 𝑎 προκύπτει ότι √ √𝑎 = √𝑎.

(ε)

𝜈𝜌

𝜈

𝜈𝜌

𝜈

√𝑎𝜇𝜌 = √𝑎𝜇 για 𝛼 ≥ 0 και 𝜇, 𝜈, 𝜌 θετικοί ακέραιοι. Απόδειξη: 𝜈𝜌

√𝛼 𝜇𝜌 = √𝛼 𝜇 ⇔ ( √𝑎𝜇𝜌 )

𝜈𝜌

𝜈

= ( √𝛼 𝜇 )

𝜈𝜌

𝜈 𝜌

𝜈

⇔ 𝛼 𝜇𝜌 = [( √𝛼 𝜇 ) ]

⇔ 𝛼 𝜇𝜌 = 𝛼 𝜇 𝜌 ⇔ 𝛼 𝜇𝜌 = 𝛼 𝜇𝜌 ή με βάση την ιδιότητα δ έχουμε 𝜈 𝜌

𝜈𝜌

√𝑎𝜇𝜌 = √ √ 𝛼 𝜇

𝜌

𝜈

= √𝑎𝜇

Σημείωση: Μπορούμε να αποδείξουμε τις ιδιότητες (β), (γ), (δ) και (ε), χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (α) την οποία έχουμε ήδη αποδείξει, για παράδειγμα: 𝜈

𝜈

𝜈 √𝑎 𝛽 = √𝑎 ⋅ √𝛽 για κάθε 𝛼, 𝛽 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος, υψώνουμε και τα δύο μέλη της ισότητας στη

𝜈

𝜈-οστή δύναμη και θα έχουμε: ( 𝜈√𝑎 𝛽 ) = ( √𝑎 ⋅ 𝜈√𝛽 ) ⇒ 𝛼𝛽 = ( √𝑎 ) ∙ ( 𝜈√𝛽 ) ⇒ 𝛼𝛽 = 𝛼𝛽.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παραδείγματα 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) √20

√22014

(β)

(γ) √2 ∙ √8 ∙ √4

(δ)

√80

(ε) √323

√2 ∙ √5

Λύση: (α) √20 = √4 ⋅ 5 = √4 ⋅ √5 = 2√5 (β) √22014 = √ 21007 6

= 21007

(γ) √2 ∙ √8 ∙ √4 = √2 ∙ 8 ∙ 4 = √64 = √26 = 2 3

(δ)

√80

√2 ∙ √5

= √10 = √8 = √23 = 2

(ε) √323 = √ 25

= √ 23

= 23 = 8

2. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις (άρρητες): 4

(β)

(α) √5 ⋅ √𝑥, 𝑥 ≥ 0

√8

(γ) √𝑥 3 ⋅ √𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0

√4

(δ) √4𝑥 4 ∙ √16𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0

Λύση: 4

(α) √5 ⋅ √𝑥 = √5𝑥 5

(β)

√8

√4

= √4 = √2 6

(δ) √4𝑥 4 ∙ √16𝑥 2 = √64𝑥 6 = 2𝑥

(γ) √𝑥 3 ⋅ √𝑥 2 = √𝑥 3 ⋅ 𝑥 2 = √𝑥 5 = 𝑥 3. Να κάνετε τις πράξεις:

(α)

√50 − √2

(β)

(5 − √𝑥)

(γ)

(√3 + 2√5)(√3 − 4√5)

(δ)

(2√3 + 4)

(ε)

+ 4−√3 4+√3

Λύση: (α) √50 − √2 = √2 ∙ 52 − √2 = 5√2 − √2 = 4√2 2

(β) (5 − √𝑥) = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ √𝑥 + (√𝑥) = 25 − 10√𝑥 + 𝑥 = 25 + 𝑥 − 10√𝑥 (γ) (√3 + 2√5)(√3 − 4√5) = 3 − 4√15 + 2√15 − 8 ⋅ 5 = −37 − 2√15 2

(δ) (2√3 + 4) = (2√3) + 2 ⋅ 2√3 ⋅ 4 + 42 = 4 ⋅ 3 + 16√3 + 16 = 28 + 16√3 (ε)

2 4+√3

+ 4−√3 =

2(4−√3)+2(4+√3) (4+√3)(4−√3)

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

8−2√3+8+2√3 42 −(√3)

= 16−3 = 13

4. Να μετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή. (α)

(β)

√3

3 1−√2

Λύση: (α) (β)

5 √3

⋅

√3 √3 3

5⋅√3 (√3)

5√3 3 3(1+√2)

4+√3

= 1−√2 ⋅ 4+√3 = (1− 1−√2

√2)(1+√2)

3(1+√2) 2 12 −(√2)

3(1+√2) 1−2

= −3(1 + √2)

5. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 𝑥 3 = 8

(β) 𝑥 3 = −8

(γ) 2 − 𝑥

= 81

Λύση: 3

𝜈

(α) 𝑥 3 = 8 ⇒ 𝑥 = √8 ⇒ 𝑥 = 2 (𝑎 > 0 και 𝜈 περιττός, τότε 𝑥 𝜈 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = √𝑎 ) 3

(β) 𝑥 3 = −8 ⇒ 𝑥 = − √8 ⇒ 𝑥 = −2 𝜈

𝜈

(𝑎 < 0 και 𝜈 περιττός, τότε 𝑥 𝜈 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = − √|𝑎| = − √−𝑎) 4

2 − 𝑥 = √81 𝑥 = −1 2−𝑥 = 3 ή (γ) 2 − 𝑥 4 = 81 ⇒ }⇒ } ⇒ ή ή 4 2 − 𝑥 = −3 𝑥=5 2 − 𝑥 = − √81 𝜈 𝜈 (𝑎 > 0 και 𝜈 άρτιος, τότε 𝑥 𝜈 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = √𝑎 ή 𝑥 = − √𝑎) 6. Να λύσετε την εξίσωση √𝑥 + 1 = 4. Λύση: Για να έχει πραγματική λύση η εξίσωση √𝑥 + 1 = 4, πρέπει 𝑥 + 1 ≥ 0, δηλαδή 𝑥 ≥ −1. 2

√𝑥 + 1 = 4 ⇒ (√𝑥 + 1) = 42 ⇒ 𝑥 + 1 = 16 ⇒ 𝑥 = 15 (𝑥 > −1, δεκτή) 7. Να λύσετε την εξίσωση √𝑥 2 − 7 = 3. Λύση: Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη δεύτερη δύναμη: 2

(√𝑥 4 − 7) = 32 ⇒ 𝑥 4 − 7 = 9 ⇒ 𝑥 4 − 16 = 0 ⇒ 𝑥 2 − 4 𝑥 2 + 4 = 0 𝑥 2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 𝑥 2 + 4 ≠ 0 Για να έχει πραγματική λύση η εξίσωση √𝑥 4 − 7 = 3, πρέπει 𝑥 4 − 7 ≥ 0 Για 𝑥 = ±2 τότε 𝑥 4 − 7 = 9 ≥ 0. Άρα και οι δύο τιμές του 𝑥 είναι δεκτές.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δραστηριότητες 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) (δ)

√𝛼 ∙ √𝑎3 , 𝛼 ≥ 0

√3 ∙ √9 ∙ √3

(β)

√32

(γ)

√5 6

√𝑥 4 , 𝑥 ≥ 0

(ε)

√48∙√15

(στ) √𝑥 ∙ √𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0

2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τους πιο κάτω ισχυρισμούς, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό.

(α)

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

𝟑 𝟑 𝟑

√ √ √𝟑 = 𝟗√𝟑 6

(β)

𝑥 √2 = √2𝑥 6 για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑥

(γ)

𝜈

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

𝑥

𝜈 √𝑥 ∶ √𝑦 = √𝑦 𝑥, 𝑦 > 0, 𝜈 φυσικός

(δ)

𝜈

𝜈 𝜈 √𝑥 + √𝑦 = √𝑥 + 𝑦 𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝜈 φυσικός

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(ε)

Για κάθε 𝑥 πραγματικό αριθμό ισχύει √𝑥 2 = 𝑥

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

√𝑥 2

(στ)

(√𝑥)

(ζ) (η)

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

= 1 για κάθε 𝑥 ≠ 0

Αν 𝑥 > 0, τότε ισχύει 6

1 √𝑥

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

√𝑥 𝑥

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

√𝑥 2 = √𝑥 για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑥

3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) √54

(β) √8𝛼 3 , 𝛼 ≥ 0

(ε) √√𝑥 7 , 𝑥 ≥ 0

(δ) √16𝑎4 , 𝛼 ≥ 0

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

(γ) √𝑥 5 , 𝑥 ≥ 0

(στ)

(√ √𝑥 2 ) , 𝑥 ≥ 0

4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 3

(α) Ο αριθμός √2 ∙ √3 ισούται με: Α.

Β. √6

√6

√23 ∙ 34

Γ.

Δ.

√24 ∙ 33

(β) Ο αριθμός

√32 √3

ισούται με:

Α. √3

Β. √3

Γ. √3

Δ.

√3

5. Να κάνετε τις πράξεις: 3

(α) ( √4 + √2 + 1)( √4 − 1)

(β) (2√75 + 3√48 − 9√3 + 3): √27

(γ) √21 + √13 + √7 + √4

(δ)

√5+2 √5−2

−

√5−2 √5+2

6. Να μετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή. (α)

(β)

3+√3

(γ)

√3−√2 3

𝑎−1 √𝑎−1

, 𝛼 ≥ 0 και 𝛼 ≠ 1

7. Να υπολογίσετε το 𝑥 3 , αν 𝑥 − 3 √7 = 4√7. 8. Αν 𝑥 = 1 + √2 και 𝑦 = 1 + √3, να δείξετε ότι οι παραστάσεις 𝛢 = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 3 και 𝐵 = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2 είναι ίσες. 912 +320

9. Να αποδείξετε ότι √911 +276 = 3. 10. Να αποδείξετε ότι ο (√𝛼 +

1 √

) είναι ρητός, αν ο 𝛼 είναι θετικός ρητός. 𝛼

11. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) √10 − 𝑥 = 4

(β) √2𝑥 − 8 = 2

(γ) √25 − 𝑥 2 − 3 = 0

12. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 𝑥 4 − 625 = 0 (δ) 𝑥 − 2

(β) 𝑥 5 + 32 = 0

(γ) 𝑥 5 − 81𝑥 = 0

− 216 𝑥 − 2 = 0

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Διερεύνηση 

Έχουμε μάθει ότι:  αν δύο δυνάμεις με την ίδια βάση είναι ίσες, τότε και οι εκθέτες τους είναι ίσοι, δηλαδή, 𝜶𝝁 = 𝜶𝝂 ⇔ 𝝁 = 𝝂, όπου 𝜇, 𝜈  ℕ, 𝛼 ≠ 0 και 𝛼 ≠ ±1 𝜈

𝜈

 ( √𝑎) = 𝑎, για κάθε 𝛼 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος Με βάση τα πιο πάνω:  αν 6𝑥 = 64 , τότε 𝑥 = 4 𝑥

 αν ( √4) = 4, τότε 𝑥 = 7  Να συμπληρώσετε τους πιο κάτω πίνακες, όπως τα λυμένα παραδείγματα. Τι παρατηρείτε; Διαδικασία υπολογισμού του 𝑥 √7 = 7

𝑥

(√7) = 7𝑥

⇔ 7 = 72𝑥 ⇔ 2𝑥 = 1

𝑥=

√3 = 3𝑥

1 2

√7 = 72

𝑥 =……..

√3 = 3⎕

𝑥 =……..

√3 = 3𝑥

√35 = 3𝑥

𝜈

√𝛼 𝜇 = 𝛼 𝑥

√3 = 3⎕

√35 = 3⎕

𝑥 =……..

𝜈

√𝛼 𝜇 = 𝛼⎕

𝜅

𝛼 𝑥 = √𝛼 7𝑥

𝑥=

1 2

𝑥 3

𝑥=

3𝑥

=7 =7

𝜅

𝛼

𝜅

( √3) = 3 𝜅 =……..

=𝛼

𝑥 =……..

𝜅 =……..

𝑥 =…….. 𝑥 𝜈

73 = √72

( √3) = 3

𝑥 =…….. 𝑥 4

2 3

( √7 ) = 72 𝜅=3

𝑥 =…….. 𝑥 4

𝜅

72 = √7

𝜅=2 2

2 3

𝜅

( √7) = 7

𝜅

( √35 ) = 3 𝜅 =……..

𝜇

𝜅

𝜈

( √𝛼 𝜇 ) = 𝛼 𝜇 𝜅 =……..

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μαθαίνω 

𝝁

Μια παράσταση της μορφής 𝜶𝝂 , όπου 𝛼 > 0, 𝜇 ακέραιος και 𝜈 θετικός ακέραιος, ονομάζεται δύναμη με ρητό εκθέτη. 𝝁

𝝂

Ορίζουμε ότι: 𝜶𝝂 = √𝒂𝝁 𝝁



Αν 𝜇, 𝜈 θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε 𝟎𝝂 = 𝟎.



Επίσης, για κάθε φυσικό 𝜈 και 𝛼 ≥ 0 ισχύει: 𝜶𝝂 = √𝜶



Αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και

𝟏

𝝂

για δυνάμεις με ρητό εκθέτη, δηλαδή: 𝝁

𝜿

𝝁 𝜿

𝒂 𝝂 ⋅ 𝒂𝝀 = 𝒂 𝝂 + 𝝀 𝜿 𝝁 𝝀 (𝜶𝝂 )

𝝁𝜿

= 𝜶 𝝂 ⋅𝝀

Ειδικότερα, όταν 𝛼 > 0 , ορίζουμε: 𝝁

−

𝜶

𝝁 𝝂

𝝁 𝜶−𝟏 𝝂

𝟏 𝝂 𝟏 𝟏 =( ) = 𝝁=𝝂 𝝁 𝜶 𝜶 𝝂 √𝜶 𝜈

𝜇

Παρατήρηση: Αν 𝜈 άρτιος και 𝜇 περιττός ισχύει ότι √𝑎𝜇 = 𝛼 𝜈 μόνο, όταν 𝛼 ≥ 0. Αν 𝜈 𝛼 < 0 η √𝑎𝜇 δεν ορίζεται, γιατί 𝛼 𝜇 < 0 (διότι 𝜇 περιττός).

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής: 1

(β) 8−3

(α) 42

(γ) 164

Λύση: 1

(α) 42 = √4 = 2 1 2

1 2

ή 4 = 22 3

(β) 8−3 = ( √8)

= 21 = 2

−2

= 2−2 = 22 = 4

(γ) 164 = ( √16) = 23 = 8 2. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής: 3

(α) 64−4 ⋅ 8−6 ⋅ 42

(β) 23 ∶ √2

Λύση: (α) 64−4 ⋅ 8−6 ⋅ 42 = 26 9 1

−

= 2−2−2+1 = 2−4 =

3 4

⋅ 23

−

1 6

⋅ 22

1 2

= 2−2 ⋅ 2−2 ⋅ 21

1 1 = 24 16

4 1

(β) 23 ∶ √2 = 23 : 23 = 23−3 = 23 = 2 3

3. Να λύσετε την εξίσωση 𝑥 3 = 9, 𝑥 ≥ 0 . Λύση: 3

Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην 2, ώστε ο εκθέτης του 𝑥 να γίνει 1: 2 3

3 2 2 3

𝑥 = 9 ⇔ ( 𝑥 ) = 92 ⇔ 𝑥 = 32

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3 2

⇔ 𝑥 = 27

4. Να γράψετε τη ρίζα √𝛼 2 σε μορφή δύναμης με ρητό εκθέτη, όταν ο α είναι πραγματικός αριθμός.

Λύση: Είναι γνωστό ότι η δύναμη με ρητό εκθέτη ορίζεται όταν η βάση είναι μη αρνητικός αριθμός. Έτσι, λοιπόν, όταν ο α είναι πραγματικός αριθμός, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 𝛼 ≥ 0, τότε 2

√𝛼 2 = 𝛼 3

Αν 𝛼 < 0 , τότε −𝛼 > 0 και 𝛼 = −|𝛼|, έχουμε: 3

√𝛼 2 = 3√ −|𝛼|

= √|𝛼|2 = |𝛼|3

Επομένως, είναι: 2

√𝛼 2

𝛼3

2 |𝛼|3

𝛼𝜈 𝑎 ≥ 0 𝛼𝜈 𝑎 < 0

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε με ακρίβεια τις πιο κάτω παραστάσεις: 1

(α)

325

(δ)

6254

(β)

2564

(ε)

10245

(γ)

(στ)

√(81)

(ζ)

(η)

−2

√(27)

(θ)

120

2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τους πιο κάτω ισχυρισμούς, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. 𝟏

𝟏

𝟐

(α)

𝟓𝝂 ∙ 𝟑𝝂 = 𝟏𝟓𝝂

(β)

𝑥 6 = 𝑥 2 για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑥.

(γ)

(33 − 23 ) (93 + 63 + 43 ) = 1

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(δ)

Η εξίσωση 𝑥 3 = −27 είναι αδύνατη.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(ε)

Η εξίσωση 𝑥 3 = 𝛼 6 έχει ρίζες τις ±𝛼 2 για κάθε 𝛼 ∈ ℝ.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(στ)

Η εξίσωση 𝑥 3 = 𝛼 3 έχει μοναδική ρίζα τη 𝑥 = 𝛼 για κάθε 𝛼 ∈ ℝ.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

3. Να λύσετε τις εξισώσεις για πραγματικές τιμές του 𝑥: 3

(α) 𝑥 2 = 81, 𝑥 ≥ 0

(β) 𝑥 4 + 5 = 69, 𝑥 ≥ 0

(γ) 𝑥 3 + 3 = 4, 𝑥 ≥ 0 (ε) 3𝑥 + 1

2 5

(δ) 3𝑥 + 1 1

= 4, 𝑥 ≥ − 3

(στ)

5 2

= 32, 𝑥 ≥ − 3

5𝑥 − 1

4 3

= 256, 𝑥 ≥ 5

4. Να εκτελέσετε τις πράξεις και να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 1

(α)

44 1 86

(β) 64𝑥 3 : 27𝑥 −3

2 3

−

,𝑥 > 0

(γ) 81𝑥 −4 : 16𝑦 4

−

3 4

, 𝑥, 𝑦 > 0

5. Η απόσταση 𝑠 (σε 𝑚) ενός επιταχυνόμενου αυτοκινήτου δίνεται από τη σχέση 3

𝑠 𝑡 = 10𝑡 2 , όπου 𝑡 είναι ο χρόνος σε 𝑠𝑒𝑐. Να υπολογίσετε τον χρόνο που κινήθηκε το αυτοκίνητο, αν η απόσταση που κάλυψε είναι 640𝑚. 1

6. Να αποδείξετε ότι (2𝛼 2 + 𝛽 2 ) = 4𝛼 + 𝛽 + 4√𝛼𝛽 , 𝛼, 𝛽 ≥ 0. ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ιδιότητες Διάταξης πραγματικών αριθμών

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διερεύνηση 

Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο «AlykEn01_Anisotita1.ggb».  Οι δρομείς 𝛼 και 𝛽 όπου, 1 ≤ 𝛼 ≤ 6 ,2 ≤ 𝛽 ≤ 5 μεταβάλλουν τις διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλογράμμου 𝛢𝛣𝛤𝛥.

 Να δώσετε διάφορες τιμές στα 𝛼 και 𝛽, για να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. 𝜶

𝜷

𝜫=𝟐 𝜶+𝜷

𝜠=𝜶∙𝜷

 Να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή: (α) της περιμέτρου του ορθογώνιου παραλληλογράμμου (β) του εμβαδού του ορθογώνιου παραλληλογράμμου  Τι παρατηρείτε;  Αν 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, όπου 1 ≤ 𝑥 ≤ 6 , 2 ≤ 𝑦 ≤ 5, να υπολογίσετε την ελάχιστη 𝑥

και τη μέγιστη τιμή των 𝑥 − 𝑦 και 𝑦.  Τι παρατηρείτε;

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Μαθαίνω 

Ιδιότητα 1: Αν 𝒙 > 𝒚 𝜿𝜶𝜾 𝒚 > 𝒛 , 𝝉ό𝝉𝜺 𝒙 > 𝒛 για κάθε 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ (Μεταβατική ιδιότητα). Για παράδειγμα, αν 𝐴 > 6 και 6 > 𝛣, 𝜏ό𝜏𝜀 𝛢 > 𝛣.



Ιδιότητα 2: Αν 𝛼 > 𝛽 και 𝛾 > 𝛿, τότε 𝛼 + 𝛾 > 𝛽 + 𝛿 . (Μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες, όταν έχουν την ίδια φορά). Προσοχή! (Δεν μπορούμε να αφαιρούμε ανισότητες κατά μέλη). Παράδειγμα:  Από τις ανισώσεις 2 > 1 και 1 > −2 ισχύει 2 + 1 > 1 + −2 .  Από τις ανισώσεις 2 > 1 και 1 > −2 δεν ισχύει 2 − 1 > 1 − −2 .



Ιδιότητα 3: Αν 𝛼 > 𝛽 > 0 και 𝛾 > 𝛿 > 0, τότε 𝛼𝛾 > 𝛽𝛿. (Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισώσεις, όταν έχουν την ίδια φορά και είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί) Προσοχή! Δεν μπορούμε να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. Παράδειγμα: 1 1  Από τις ανισώσεις 3 > 2 και 1 > 5 ισχύει 3 ∙ 1 > 2 ∙ 5 1

 Από τις ανισώσεις 3 > 2 και 1 > 5 δεν ισχύει 

Ιδιότητα 4: 𝑎2 ≥ 0, για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑎. Για παράδειγμα 2𝑥 − 1 2 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ .



Ιδιότητα 5: 1 1 Αν 𝛼 , 𝛽 είναι ομόσημοι, τότε: 𝛼 ≤ 𝛽 ⟺ 𝛼 ≥ 𝛽.

> 1

2 1 5

Παράδειγμα: 1 1  5<6⟺5>6 1

 −1 < − 2 ⟺ −1 > −2 (Αντιστρέφοντας δύο ομόσημους αριθμούς, αλλάζει η φορά της ανισότητας) 

Ιδιότητα 6: Αν 𝛼, 𝛽 > 0 , 𝜈 ∈ ℕ , τότε: 𝛼 > 𝛽 ⟺ 𝛼 𝜈 > 𝛽 𝜈 . Για παράδειγμα, 5 < 6 ⟺ 5100 < 6100 .

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ



Αν 𝑎, 𝛽 ≥ 0 και 𝜈 θετικός ακέραιος, τότε ισχύει η ισοδυναμία 𝜈 𝜈 𝛼 < 𝛽 ⇔ √𝑎 < √𝛽



Αν 𝛼 > 1, 𝜇 < 𝜈 (𝜇, 𝜈 θετικοί ακέραιοι) ⇒ √𝑎 > √𝛼



Αν 0 < 𝛼 < 1, 𝜇 < 𝜈 (𝜇, 𝜈 θετικοί ακέραιοι) ⇒ √𝑎 < √𝛼



Για να συγκρίνουμε παραστάσεις με ρίζες, χρησιμοποιούμε μια από τις πιο κάτω ιδιότητες:

𝜇

𝜈

𝜇

𝜈

𝝂

𝟎 ≤ 𝒂 < 𝜷 ⇔ √𝒂 < 𝝂√𝜷 𝟎 ≤ 𝒂 < 𝜷 ⇔ 𝒂𝝂 < 𝜷𝝂 , 𝝂 > 𝟎 Απόδειξη Ιδιοτήτων Ιδιότητα 1: Αν 𝑥 > 𝑦 𝜅𝛼𝜄 𝑦 > 𝑧 , 𝜏ό𝜏𝜀 𝑥 > 𝑧 για κάθε 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ . Απόδειξη: Αν 𝑥 > 𝑦, τότε 𝑥 − 𝑦 > 0 και αν 𝑦 > 𝑧, τότε 𝑦 − 𝑧 > 0, τότε 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 > 0 ⟹ 𝑥 − 𝑧 > 0 ⟹ 𝑥 > 𝑧. Ιδιότητα 2: Αν 𝛼 > 𝛽 και 𝛾 > 𝛿, τότε 𝛼 + 𝛾 > 𝛽 + 𝛿 Απόδειξη: Αν 𝛼 > 𝛽, τότε 𝛼 − 𝛽 > 0 και αν 𝛾 > 𝛿, τότε 𝛾 − 𝛿 > 0, τότε α−β+γ−δ> 0⟹ α+γ > β+δ.

Ιδιότητα 3: Αν 𝛼 > 𝛽 > 0 και 𝛾 > 𝛿 > 0, τότε 𝛼𝛾 > 𝛽𝛿 Απόδειξη: Αν 𝛼 > 𝛽 > 0 και 𝛾 > 𝛿 > 0, τότε 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾 και 𝛽 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛿 (γιατί 𝛄 > 𝟎 Επομένως, 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛿 (Μεταβατική ιδιότητα)

Ιδιότητα 4: 𝑎2 ≥ 0, για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑎.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Απόδειξη: Αν 𝛼 ≥ 0 τότε 𝛼 ∙ 𝛼 ≥ 𝛼 ∙ 0 = 0. Άρα, 𝛼 2 ≥ 0 Αν 𝛼 < 0 ⟹ −𝛼 > 0. Άρα, −𝛼 ∙ −𝛼 > 0 ⟺ 𝛼 2 > 0. 1

Ιδιότητα 5: Αν 𝛼 , 𝛽 είναι ομόσημοι, τότε: 𝛼 ≤ 𝛽 ⟺ 𝛼 ≥ 𝛽 Απόδειξη: Αφού 𝛼 , 𝛽 είναι ομόσημοι, τότε ισχύει 𝛼𝛽 > 0 . 𝛼

𝛽

Άρα, 𝛼 ≤ 𝛽 ⟺ 𝛼𝛽 ≤ 𝛼𝛽 ⟺ 𝛽 ≤ 𝛼 ( διαιρoύμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με τον θετικό αριθμό 𝜶𝜷 .

Παραδείγματα 1. Αν 𝑥1 < 𝑥2 , να συγκρίνετε τις παραστάσεις (α) 3𝑥1 + 5 , 3𝑥2 + 5 (β)

−2𝑥2 +3 −2𝑥1 +3 7

Λύση: Για να συγκρίνουμε τις πιο πάνω παραστάσεις, παίρνουμε τη δεδομένη σχέση 𝑥1 < 𝑥2 και εφαρμόζουμε ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων. (α)

𝛼 < 𝛽 ⟺ 𝛼 ∙ 𝛾 < 𝛽 ∙ 𝛾, 𝛾 > 0

Αν 𝑥1 < 𝑥2 ⟺ 3 ∙ 𝑥1 < 3 ∙ 𝑥2

𝛼 <𝛽 ⟺𝛼+𝛾 <𝛽+𝛾

⟺ 3 ∙ 𝑥1 + 5 < 3 ∙ 𝑥2 + 5 (β)

𝛼 < 𝛽 ⟺ 𝛼 ∙ 𝛾 > 𝛽 ∙ 𝛾, 𝛾 < 0

Αν 𝑥1 < 𝑥2 ⟺ −2 ∙ 𝑥1 > −2 ∙ 𝑥2

𝛼 >𝛽 ⟺𝛼+𝛾 >𝛽+𝛾

⟺ −2 ∙ 𝑥1 + 3 > −2 ∙ 𝑥2 + 3 ⟺

−2𝑥1 +3 7

−2𝑥2 +3

𝛼<𝛽⟺

𝛼 𝛽 < ,𝛾 > 0 𝛾 𝛾

2. Αν 3 < 𝑥 < 4 και −5 < 𝑦 < −3, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: (α) (γ)

𝑥+𝑦 𝑥∙𝑦

(β) (δ)

𝑥−𝑦 𝑥 𝑦

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Λύση: (α)

3<𝑥<4 ⟹ 𝟑 + −𝟓 < 𝒙 + 𝒚 < 𝟒 + −𝟑 ⟹ −𝟐 < 𝒙 + 𝒚 < 𝟏. { −5 < 𝑦 < −3

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες 3<𝑥<4 3<𝑥<4 { ⟹{ ⟹ 𝟑 + 𝟑 < 𝒙 + −𝒚 < 𝟒 + 𝟓 −5 < 𝑦 < −3 3 < −𝑦 < 5 ⟹6<𝑥−𝑦 <9. Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη με −𝟏 και ακολούθως προσθέτουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη.

(β)

3<𝑥<4 3<𝑥<4 { ⟹{ ⟹ 𝟑 ∙ 𝟑 < 𝒙 ∙ −𝒚 < 𝟒 ∙ 𝟓 −5 < 𝑦 < −3 3 < −𝑦 < 5 ⟹ 9 < 𝑥 ∙ −𝑦 < 20 ⟹ 9 < −𝑥𝑦 < 20 ⟹ −𝟐𝟎 < 𝒙𝒚 < −𝟗

(γ)

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη ανισότητα με −𝟏 και ακολούθως πολλαπλασιάζουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη. (Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε δύο ανισότητες κατά μέλη, μόνο όταν όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί και οι δύο ανισότητες έχουν την ίδια φορά). Παρατήρηση:

(δ)

Αν το κάθε μέρος της ανισότητας 𝜶 < 𝒙 < 𝜷 πολλαπλασιαστεί με – 𝟏, τότε η ανισότητα μετατρέπεται σε −𝜷 < −𝒙 < −𝒂. 3<𝑥<4 3<𝑥<4 3<𝑥<4 { ⟹{ ⟹ {1 < − 1 < 1 −5 < 𝑦 < −3 3 < −𝑦 < 5 5 𝑦 3 𝟏

𝟏

𝟑

𝒙

𝟒

𝒙

𝟑

⟹ 𝟑 ∙ 𝟓 < 𝒙 ∙ (− 𝒚) < 𝟒 ∙ 𝟑 ⟹ 𝟓 < − 𝒚 < 𝟑 ⟹ − 𝟑 < 𝒚 < − 𝟓. Επειδή δεν μπορούμε να διαιρούμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη ανισότητα με −𝟏 και αντιστρέφουμε τους όρους της. Ακολούθως πολλαπλασιάζουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη και πολλαπλασιάζουμε ξανά με −𝟏.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δραστηριότητες 1.

Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τους πιο κάτω ισχυρισμούς, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν 𝜶 > 𝟑 και 𝜷 > 𝟐 τότε 𝜶𝜷 > 𝟔 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β)

Αν 𝜅 > 5 και 𝜆 > −2 τότε 𝜅 + 𝜆 > 1

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(γ)

Αν 𝛼 > −3 τότε 𝛼 2 > 9

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(δ)

Αν 𝛽 > 3 τότε 𝛼 > 3𝛽

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(ε)

Αν 𝛼 − 𝛽 > 0 και 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ+ τότε 𝛼 2 − 𝛽 2 > 0

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(στ)

Αν 𝛼 < 𝛽 < 0, τότε 𝛼 2 < 𝛽 2

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(ζ)

Αν 𝛼 2 > 𝛼𝛽, τότε 𝛼 > 𝛽

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(η)

Αν 𝛼 > 𝛽 και 𝛾 < 𝛿, τότε 𝛼 − 𝛾 > 𝛽 − 𝛿

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(θ)

𝑥 > 𝑦 ⇔ √𝑥 < 𝜈√𝑦 𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝜈 φυσικός

𝛼

𝜈

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: (α) Αν 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ με 𝛼 > 0 και 𝛽 > 0, τότε: Α. −𝛼𝛽 > 0

Β. 𝛼 − 𝛽 > 0

𝛼

Γ. 𝛼𝛽 < 0

Δ.

Γ. 𝑥 + 𝑦 ≥ 7

Δ. 𝑥 − 𝑦 ≤ −9

𝛽

(β) Αν 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ με 𝑥 ≤ −1 και 𝑦 ≥ 8, τότε: Α. 𝑥𝑦 ≤ −8

Β. 𝑥𝑦 ≥ −8

(γ) Αν 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0 και 𝑦 ∈ ℝ με 𝑥 ≥ 4 και 𝑦 ≤ −5, τότε: Α. 𝑥𝑦 < 0

Β.

1 𝑥

≥4

Γ. 𝑥 + 𝑦 ≤ −1

Δ. 𝑥 − 𝑦 ≤ 9

(δ) Αν 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0 και 𝑦 ∈ ℝ με 𝑥 ≥ 4 και 𝑦 ≤ −5, τότε: Α. 𝑥 2 ≤ 9

Β. 𝑦 2 ≤ 9

Γ. 𝑥 − 𝑦 ≤ 6

Δ.

1 𝑥

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο <, =, >, ώστε οι σχέσεις που θα προκύψουν να είναι αληθείς και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας: 3

−

(δ) 0,3 4.

3 5

−

… … 0,5

3 5

(ε)

2 2 − (7)

(γ) 0,77 … … 0,47 11

…… −

2 2 (9)

Αν 𝛼 = √10, 𝛽 = √2 και 𝛾 = √3 τότε: Α.. 𝛼 < 𝛽 < 𝛾

(β) 17−5 … … 15−5

(α) 245 … … 155

Β. 𝛼 < 𝛾 < 𝛽

Γ. 𝛾 < 𝛼 < 𝛽

Δ. 𝛽 < 𝛾 < 𝛼

Ε. 𝛽 < 𝛼 < 𝛾

Να συγκρίνετε τους πιο κάτω αριθμούς, αν ισχύει ότι 𝛼, 𝛽 είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με 𝛼 < 𝛽: (α) 𝐴 = 10𝑎 − 3, 𝐵 = 10𝛽 − 3 (β) 𝛤 = 4 − 3𝛼, 𝛥 = 4 − 3𝛽 (γ) 𝛦 = 2𝛼 2 + 3 , 𝛧 = 2𝛽 2 + 3 5

(δ) 𝛨 = 𝛼 − 1 , 𝛩 = 𝛽 − 1 (ε) 𝛫 =

1 √𝛼

,𝛬 =

1 √𝛽

Αν 0 < 𝛼 < 1, να αποδείξετε ότι 𝛼 2 < 𝛼.

Αν 𝑥, 𝑦 είναι θετικοί ακέραιοι και 𝑥 < 𝑦, να διατάξετε τους αριθμούς 1, 𝑦 , 𝑥 από τον

𝑥 𝑦

μικρότερο στον μεγαλύτερο. 8.

Αν 1 < 𝑥 < 3 και 2 < 𝑦 < 5, να αποδείξετε ότι: (α) 3 < 𝑥 + 𝑦 < 8

(β) 4 < 2𝑥 + 𝑦 < 11

(γ) −4 < 𝑥 − 𝑦 < 1

Αν 1 < 𝑥 < 2 και −2 < 𝑦 < −1, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις 2𝑥 + 3𝑦 , 𝑥𝑦 ,

𝑥

2𝑥

και − 3𝑦. 𝑦

10. Αν 𝑥 > 2 και 𝑦 > 3, να αποδείξετε ότι: (α) 𝑥𝑦 > 6

(β) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 > 0

11. Αν 𝑥 > 3 και 𝑦 < 2, να αποδείξετε ότι 𝑥 − 3 𝑦 − 2 < 0. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι 𝑥𝑦 + 6 < 2𝑥 + 3𝑦.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

12. Nα δώσετε κατάλληλο αντιπαράδειγμα, για να δείξετε ότι δεν ισχύουν οι πιο κάτω προτάσεις: (α) Αν 𝛼 < 𝛽 και 𝛾 < 𝛿 , τότε ισχύει 𝛼 − 𝛾 < 𝛽 − 𝛿 με 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ ℝ. (β) Αν 𝛼 < 𝛽 και 𝛾 < 𝛿 τότε ισχύει

𝛼 𝛾

𝛽 𝛿

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ ℝ ,με 𝛼 , 𝛾 ≠ 0

13. Να δείξετε ότι 3 < √30 < 4. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τους αριθμούς √30 και 3 6 − √30. 14. Αν 𝑥 < 𝑦 < 𝜔, να αποδείξετε ότι 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝜔 𝜔 − 𝑥 > 0. 15. Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει 32 𝑚 μήκος και 20 𝑚 πλάτος. Αν το λάθος στις μετρήσεις δεν ξεπερνά τα 10 𝑐𝑚 για κάθε διάσταση, να υπολογίσετε: (α) μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η περίμετρος του οικοπέδου (β) μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται το εμβαδόν του οικοπέδου.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να κάνετε τις πράξεις και να δώσετε την απάντησή σας στη μορφή 𝛼 + 𝛽√3 όπου 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: (α) (8 + √3)(2 − √3)

(β)

4+√3

2. Να απλοποιήσετε την παράσταση √200 − 2√18 − 3√32 + 4√50. 3. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3

(α) √3, √2

(γ) √10 + 2√15, √5 + √3

(β) 5 + √3, 3 + √5

4. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) √𝑥 − 2 = 5

(β) √𝑥 − 5 = −2

(γ) √5 − 𝑥 = 3

5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α)

12 √7+√5

(β)

(γ)

√4 1

√𝑥 2

√𝑥 7

,𝑥 > 0

6. Αν 3 < 𝑥 < 8, να βρείτε τις πιθανές τιμές του 𝑥 και του − 𝑥+1. 7. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ορθογώνιο 𝛢𝛣𝛤𝛨 με διαστάσεις 𝛢𝛣 = 𝑥 και 𝛣𝛤 = 2𝑦, από το οποίο έχουμε αφαιρέσει το τετράγωνο 𝛥𝛦𝛧𝛨 με πλευρά 𝑦. (α) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του σκιασμένου εμβαδού 𝛢𝛣𝛤𝛥𝛦𝛧 δίνεται από τη σχέση 𝛱 = 2𝑥 + 4𝑦. (β) Αν ισχύει ότι 5 < 𝑥 < 8 και 1 < 𝑦 < 2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του γραμμοσκιασμένου σχήματος. 6

8. Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις 𝛢 = (√2) , 𝛣 = ( √3) , 𝛤 = ( √6) . (α) Να δείξετε ότι 𝛢 + 𝛣 + 𝛤 = 23 3

(β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς √3, √6 και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6

9. Δίνονται οι αριθμοί 𝛢 = (√2) και 𝛣 = ( √2) . (α) Να δείξετε ότι 𝛢 − 𝛣 = 4 3

(β) Να διατάξετε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς: √2, 1, √2.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

10. Αν 𝑎1 = 3 + 2√2 και 𝑎2 = 3 − 2√2 , να αποδείξετε ότι: (α) 𝑎1 > 𝑎2

(γ)

(β) 𝑎1 𝑎2 = 1

1 𝑎1

+𝑎 =6 2

11. Να διατάξετε τους αριθμούς 𝛼, 𝛽, 𝛾 από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο, αν ισχύει 2007𝛼 = 2008𝛽 = 2009𝛾. 12. Αν 𝛼 > 𝛽, να συγκρίνετε τους αριθμούς 3𝛼 − 4𝛾 και 3𝛽 − 4𝛾. 13. Να συγκρίνετε τους αριθμούς √6 + √11, √6 − √11. Αν 𝜅 = √6 + √11 − √6 − √11, τότε: (α) να αποδείξετε ότι 𝜅 2 = 2 (β) να υπολογίσετε τα (𝜅 + √2)

2008

, (𝜅 − √2)

14. Αν 𝛼, 𝛽 > 0 και 𝛼 ≠ 𝛽, να αποδείξετε ότι

2008

𝛼√𝛼−𝛽√𝛽 √𝛼−√𝛽

. = 𝛼 + 𝛽 + √𝛼𝛽.

15. Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι παραστάσεις, να υπολογίσετε τις τιμές των 𝑥, 𝑦, 𝑧 όταν: √2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + √𝑦 − 3 + √𝑧 − 2 = 0.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Αν −3 < 𝑥 < 2 να απλοποιήσετε την παράσταση: 2

𝐴 = 4√ 𝑥 − 2

− 3√ 𝑥 + 3

+ √𝑥 2 + 4𝑥 + 4

2. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) √𝑥 + 10 = 2 − 𝑥

(γ) √𝑥 2 − 4 + √𝑥 − 2 = 0

(β) √3𝑥 − 𝑥 + 6 = 0

3. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή. 1 1 𝛢= , 𝐵= 1 1 1− 1− 1 1 1− 1− 1 √2 1− √2 4. Να αποδείξετε ότι αριθμός 2 − √2 είναι η κυβική ρίζα του αριθμού 20 − 14√2. 5. Στον πιο κάτω άξονα τα σημεία 𝛰, 𝛪, 𝛢 και 𝛣 παριστάνουν τους αριθμούς 0, 1 𝛼 και 𝛽 αντίστοιχα, όπου 0 < 𝛼 < 1 και 𝛽 > 1. Τα σημεία 𝛤, 𝛥, 𝛦, 𝛧, 𝛨 και 𝛩 παριστάνουν τους αριθμούς √𝛼, √𝛽, 𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛼 3 και 𝛽 3 , όχι όμως με τη σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία 𝛤, 𝛥, 𝛦, 𝛧, 𝛨 και 𝛩με τους αριθμούς που παριστάνουν.

𝛤

𝛥

𝛦

6. Αν 𝛼 < 𝛽, να αποδείξετε ότι 𝛼 <

𝛼+𝛽 2

𝛧

𝛨

𝛩

< 𝛽.

7. Να λύσετε τις εξισώσεις για πραγματικές τιμές του 𝑥: 5

(β) 𝑥 5 − 9𝑥 5 = 0

(α) 𝑥 6 + 𝑥 6 = 0

(γ) 𝑥 3 − 4𝑥 6 = 0

8. Αν 1 < 𝑥 < 𝑦, να διατάξετε από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τις αριθμητικές τιμές 𝑥

𝑦

των πιο κάτω παραστάσεων: √𝑦 , √𝑥 , 3

√𝑥−1 √𝑦−1 √𝑥+1 , , . √𝑦−1 √𝑥−1 √𝑦+1

9. Να αποδείξετε ότι √𝑥 2 − 3√𝑥𝑦 + √𝑦 2 > 0, 𝑥, 𝑦 > 0. 1

10. Αν 𝛼 > 0, να δείξετε ότι 𝛼 + 𝛼 ≥ 2. 11. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό 𝜈, για τον οποίο ισχύει:

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

0,009

> 999. 500−𝜈 69

12. Αν ο 𝜈 είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι

1 √𝜈+√𝜈+1

= √𝜈 + 1 − √𝜈.

Με τη βοήθεια του πιο πάνω ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να δείξετε ότι: 1 1 1 1 + + + ⋯+ =9 1 + √2 √2 + √3 √3 + √4 √99 + √100

13. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές του είναι 𝛢𝛣 = √𝛼 και 𝛢𝛤 = √𝛽. (α) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα 𝛣𝛤 του τριγώνου. (β) Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι √𝛼 + 𝛽 < √𝛼 + √𝛽. (γ) Για μη αρνητικούς αριθμούς 𝛼 και 𝛽, να αποδείξετε ότι: √𝛼 + 𝛽 ≤ √𝛼 + √𝛽. Πότε ισχύει η ισότητα; 𝛼

𝛼+𝑥

14. Αν 𝛼, 𝛽, 𝑥 θετικοί αριθμοί με 𝛼 < 𝛽, να δείξετε ότι 𝛽 < 𝛽+𝑥. 15. Αν 0 < 𝛼 < 𝛽, να συγκρίνετε τους αριθμούς: (α) 𝛢 =

𝛼2 +𝛽 2 𝛼+𝛽

, 𝛣=

𝛼2 −𝛽 2 𝛼−𝛽

𝛼3

(β) 𝛤 = 𝛽3 , 𝛥 = 1 1

(γ) 𝛦 = 𝛼+1 , 𝛧 = 𝛽+2 .

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ενότητα

Κύκλος

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: 

Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου.



Να αποδεικνύουμε και να εφαρμόζουμε εγγεγραμμένων και επίκεντρων γωνιών.



Να αποδεικνύουμε και να εφαρμόζουμε το Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

τις

σχέσεις

ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΠΟΡΤΑ Μια περιστρεφόμενη πόρτα περιλαμβάνει τρία φύλλα που περιστρέφονται σε έναν κυκλικό χώρο. Η εσωτερική διάμετρος αυτού του χώρου είναι 2 μέτρα (200 εκατοστόμετρα). Τα τρία φύλλα της πόρτας χωρίζουν τον χώρο σε τρεις ίσους τομείς. Οι πιο κάτω τρεις κατόψεις δείχνουν τα φύλλα της πόρτας σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Είσοδος

Φύλλα

200 cm

Έξοδος

Ερώτηση 1: ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΠΟΡΤΑ Ποιο είναι το άνοιγμα της γωνίας, σε μοίρες, που σχηματίζεται από δύο φύλλα της πόρτας;

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Ερώτηση 2: ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΠΟΡΤΑ Τα δύο ανοίγματα της πόρτας (τα διακεκομμένα τόξα στο διάγραμμα) έχουν το ίδιο μέγεθος. Στην περίπτωση που αυτά τα ανοίγματα είναι πολύ μεγάλα, τα περιστρεφόμενα φύλλα δεν μπορούν να σφραγίσουν τον χώρο και έτσι μπορεί να υπάρξει ελεύθερη ροή αέρα μεταξύ της εισόδου και της εξόδου, προκαλώντας ανεπιθύμητη απώλεια ή συσσώρευση θερμότητας. Αυτό φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.

Πιθανή ροή του αέρα σε αυτή τη θέση.

Ποιο είναι το μέγιστο μήκος του τόξου, σε εκατοστόμετρα (cm), που μπορεί να έχει κάθε άνοιγμα της πόρτας, ώστε να μην μπορεί να υπάρξει ελεύθερη ροή αέρα μεταξύ της εισόδου και της εξόδου;

Ερώτηση 3: ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΠΟΡΤΑ Η πόρτα κάνει 4 περιστροφές σε ένα λεπτό. Υπάρχει χώρος για δύο άτομα σε καθένα από τους τρεις τομείς. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ατόμων που μπορούν να εισέλθουν από την πόρτα στο κτήριο σε 30 λεπτά; PISA 2012

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Έχουμε Μάθει

Κύκλος

 Κύκλος ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση 𝑅 (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο 𝛫 (κέντρο) του επιπέδου. Γράφουμε για συντομία κύκλος (𝛫, 𝑅). Δύο κύκλοι με την ίδια ακτίνα είναι ίσοι.

Χορδή

 Χορδή κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του πάνω στον κύκλο. Παράδειγμα: η 𝛢𝛣 είναι χορδή του κύκλου.

 Διάμετρος κύκλου είναι η χορδή που περνά από το κέντρο του κύκλου. Η Διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη Το κέντρο 𝛫 του κύκλου είναι το μέσο κάθε διαμέτρου. Διάμετρος

Κάθε διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή κύκλου και έχει μήκος διπλάσιο από την ακτίνα (𝑅), δηλαδή 𝛤𝛥 = 2𝑅. Παράδειγμα: η 𝛤𝛥 είναι διάμετρος του κύκλου.  Δύο σημεία 𝛢 και 𝛣 του κύκλου χωρίζουν τον κύκλο σε δύο μέρη, που το καθένα ονομάζεται τόξο ΑΒ του κύκλου με άκρα 𝛢 και 𝛣.

Τόξο

͡ , όπου ͡ και ΑΝΒ Τα δύο τόξα συμβολίζονται ΑΜΒ Μ και Ν είναι ενδιάμεσα σημεία των αντίστοιχων τόξων.  Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη που ονομάζονται ημικύκλια. 

Κυκλικός Δίσκος

Κυκλικός δίσκος (Κ,R) είναι ο κύκλος μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Κάθε σημείο του κυκλικού δίσκου απέχει από το κέντρο Κ απόσταση μικρότερη ή ίση με την ακτίνα R.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Έχουμε Μάθει x Επίκεντρη γωνία

Αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης

Μέτρο Τόξου

Επίκεντρη γωνία ονομάζεται κάθε γωνία (𝑥𝑂̂𝑦) που έχει την κορυφή της στο κέντρο (Ο) του κύκλου.

O y

Το τόξο (ΒΓ) του κύκλου που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας επίκεντρης γωνίας (𝛣𝛰̂𝛤) ονομάζεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας και συμβολίζεται ως

B x

͡ . ΒΓ

Γ y

Το μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Tο μέτρο ενός τόξου το μετράμε σε μοίρες.

B x

Γ y

͡ =𝑥𝑂̂𝑦 = 50𝑜 Π.χ. το τόξο ΒΓ Στον ίδιο κύκλο (ή σε ίσους κύκλους ) Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου

σε ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν ίσα τόξα και αντίστροφα.

̂ 𝛧 = 𝛤𝛫 ̂ 𝛥 = 𝛢𝛰̂ 𝛣 ⇔ Ε͡ Ζ=Γ͡ Δ=Α͡ Β Π.χ. 𝛦𝛫 - σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

B Z

- Π.χ. Ε͡ Ζ=Γ͡ Δ=Α͡ Β ⇔ 𝛦𝛧 = 𝛤𝛥 = 𝛢𝛣

Εφαπτομένη

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο (A) ονομάζεται η ευθεία (𝜀) που έχει μόνο ένα κοινό σημείο (το Α) με τον κύκλο. Η εφαπτομένη είναι κάθετη της ακτίνας 𝛰𝛢 στο σημείο 𝛢 του κύκλου.

A O ε

Θέσεις σημείου ως προς κύκλο Θέσεις σημείου ως προς κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. (α) (𝛫𝛢) < 𝜌 ⇔ Το σημείο 𝛢 βρίσκεται μέσα στον κύκλο.

ρ A

(β) (𝛫𝛣) = 𝜌 ⇔ Το σημείο 𝛣 ανήκει στον κύκλο.

(γ) (𝛫𝛤) > 𝜌 ⇔ Το σημείο 𝛤 βρίσκεται εκτός κύκλου.

Θέσεις ευθείας ως προς κύκλο Ευθεία (𝜀) που βρίσκεται σε απόσταση 𝑑 από το κέντρο 𝛫 κύκλου ακτίνας 𝜌:

A d K

(α) 𝑑 < 𝜌 ⇔ Η ευθεία (𝜀) τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

(β) 𝑑 = 𝜌 ⇔ Η ευθεία (𝜀) εφάπτεται του κύκλου. Έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.

(γ) 𝑑 > 𝜌 ⇔ Η ευθεία (𝜀) είναι ξένη με τον κύκλο. Δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

d K

ρ ε

Απόστημα χορδής To κάθετο τμήμα 𝛫𝛤 που άγεται από το κέντρο 𝛫 προς τη χορδή 𝛢𝛣 λέγεται απόστημα της χορδής 𝛢𝛣 . 𝛫𝛤 ⊥ 𝛢𝛣

Γ K B

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Θέση Δύο Κύκλων Εξερεύνηση Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το μεσαιωνικό αστρονομικό ρολόι που βρίσκεται στην Πράγα της Τσεχίας. Το σημερινό ρολόι είναι ένα πιστό αντίγραφο του αρχικού, το οποίο καταστράφηκε στον 𝛣΄ Παγκόσμιο Πόλεμο. Να επιλέξετε δύο από τους κύκλους που εμφανίζονται και να εντοπίσετε τη θέση τους.

Διερεύνηση  

Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn03_Thesis2Kyklon.ggb». Να μετακινήσετε τον δρομέα 𝑑 για να μεταβάλετε την απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο κύκλων έτσι ώστε οι κύκλοι: (α) να έχουν δύο κοινά σημεία (β) να έχουν ένα κοινό σημείο (γ) να μην έχουν σημεία τομής



Ποια είναι η σχέση που συνδέει την απόσταση των δύο κέντρων με το άθροισμα και τη διαφορά των δύο ακτίνων;

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Μαθαίνω Διάκεντρος ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων

𝛿 = 𝛫𝛬

K δ

Θέση Δύο Κύκλων (𝜥, 𝑹) και (𝜦, 𝝆) με 𝑹 ≥ 𝝆 Θέση Αν δύο κύκλοι έχουν μόνο δύο κοινά σημεία (𝛢 𝜅𝛼𝜄 𝛣) τότε οι κύκλοι τέμνονται.

Αν δύο κύκλοι έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντρου είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων τους, τότε εφάπτονται εξωτερικά. Αν δύο κύκλοι, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντρου είναι ίσο με τη διαφορά των ακτίνων τους, τότε εφάπτονται εσωτερικά.

Συνθήκη

Σχήμα A ρ

R K

𝑅−𝜌 <δ<R+ρ

Λ B

𝑅+𝜌=𝛿

R A δ

𝑅−𝜌=𝛿

KδΛ ρ

Παρατήρηση: Αν 𝑅 = 𝜌 και 𝛿 = 0 τότε οι κύκλοι ταυτίζονται.

Αν δύο κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντρου είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των ακτίνων τους, τότε είναι ξένοι εξωτερικά. Ο ένας κύκλος βρίσκεται έξω από τον άλλο. Αν δύο κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντρου είναι μικρότερο από τη διαφορά των ακτίνων τους, τότε είναι ξένοι εσωτερικά. Ο ένας κύκλος βρίσκεται μέσα στον άλλο.

R K

𝑅+𝜌<𝛿

𝑅−𝜌>𝛿

R K δΛ ρ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Θεώρημα: Αν δύο κύκλοι (𝛫, 𝑅) και (𝛬, 𝜌) με 𝑅 > 𝜌 τέμνονται, ισχύει ότι R − ρ < δ < R + ρ , όπου 𝛿 = 𝛫𝛬.

Απόδειξη: Οι δύο κύκλοι τέμνονται με το 𝛢 να είναι ένα από τα σημεία τομής τους. Σε αυτή την περίπτωση σχηματίζεται το τρίγωνο 𝛢𝛫𝛬. 𝑅 >𝜌 ⇒𝑅−𝜌>0 Σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα R − ρ < δ < R + ρ.

R K

A ρ Λ

Η τριγωνική ανισότητα διδάχθηκε στη Γ’ Γυμνασίου

Παραδείγματα 1. Να βρείτε τη θέση των δύο κύκλων σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις (α)

Κύκλοι (𝛫, 4 𝑐𝑚) και (𝛬, 6 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 7 𝑐𝑚. Λύση: Α΄ τρόπος 𝑅 > 𝜌 άρα 𝑅 = 6𝑐𝑚 και 𝜌 = 4𝑐𝑚 𝑅 + 𝜌 = 6 + 4 = 10𝑐𝑚 , 𝑅 − 𝜌 = 2𝑐𝑚, 𝛿 = 7𝑐𝑚 R − ρ < δ < R + ρ άρα οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία. Β΄ τρόπος 𝑅 + 𝜌 = 6 + 4 = 10𝑐𝑚 , |𝑅 − 𝜌| = 2𝑐𝑚, 𝛿 = 7𝑐𝑚 |𝑅 − 𝜌| < δ < R + ρ άρα οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία

(β)

Κύκλοι (𝛫, 4 𝑐𝑚) και (𝛬, 6 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 10 𝑐𝑚 𝑅 + 𝜌 = 10𝑐𝑚 = 𝛿 άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

Δραστηριότητες 1. Να βρείτε τη θέση των δύο κύκλων σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις (α)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 5 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 8 𝑐𝑚

(β)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 5 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 10 𝑐𝑚

(γ)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 5 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 1 𝑐𝑚

(δ)

Κύκλοι (𝛭, 5 𝑐𝑚) και (𝛮, 8 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛭𝛮 = 3 𝑐𝑚

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

2. Δίνονται κύκλοι με κέντρο (𝛫, 7 𝑐𝑚) και (𝛬, 𝑥) και 𝛫𝛬 = 12 𝑐𝑚. Να υπολογίσετε την τιμή ή τις τιμές του 𝑥, έτσι ώστε οι κύκλοι: (α)

Να εφάπτονται εξωτερικά.

(β)

Να τέμνονται.

(γ)

Να είναι ο ένας κύκλος μέσα στον άλλο.

3. Δίνεται κύκλος με κέντρο (𝛬, 10 𝑘𝑚) και κύκλος (𝛭, 18 𝑘𝑚). Να υπολογίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος 𝛭𝛬, ώστε οι δύο κύκλοι να τέμνονται. 4. Να βρείτε δύο παραδείγματα από την καθημερινή ζωή στα οποία να εντοπίζονται σχέσεις δύο κύκλων. 5. Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντρου των κύκλων (𝛫, 4𝑐𝑚) και (𝛬, 5𝑐𝑚), ώστε (α)

οι κύκλοι να εφάπτονται εξωτερικά,

(β)

οι κύκλοι να εφάπτονται εσωτερικά.

6. Να αποδείξετε ότι αν δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, τότε το μήκος της διακέντρου είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων τους. 7. Να δείξετε ότι το μήκος της διακέντρου είναι ίσο με τη διαφορά των ακτίνων τους, όταν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. 8. Να κατασκευάσετε τους κύκλους σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις και στη συνέχεια να βρείτε τη θέση των δύο κύκλων. (α)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 4 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 7 𝑐𝑚

(β)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 4 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 8 𝑐𝑚

(γ)

Κύκλοι (𝛫, 3 𝑐𝑚) και (𝛬, 4 𝑐𝑚) με απόσταση 𝛫𝛬 = 6 𝑐𝑚

9. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ και εφάπτονται εξωτερικά. Μια ευθεία (ε) εφάπτεται στους κύκλους στα σημεία Α και Β, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο 𝛫𝛢𝛣𝛬 είναι: (α)

Τραπέζιο, όταν οι κύκλοι είναι άνισοι.

(β)

Ορθογώνιο, όταν οι κύκλοι είναι ίσοι.

10. Να αποδείξετε ότι η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι η μεσοκάθετη της κοινής χορδής τους.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Εγγεγραμμένες Γωνίες Εξερεύνηση 

Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη μιας αίθουσας κινηματογράφου. Ένας φωτογράφος τοποθέτησε μια φωτογραφική μηχανή (𝛢), που έχει άνοιγμα φακού 36𝜊 , στο μέσο της τελευταίας σειράς έτσι ώστε να βλέπει όλη την οθόνη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη συνέχεια θα τοποθετήσει ακόμα μια φωτογραφική μηχανή (𝛣) με φακό ανοίγματος 72𝜊 . (α) Σε ποιες άλλες θέσεις θα μπορούσε να τοποθετήσει τη φωτογραφική μηχανή (𝛢) ώστε να βλέπει ολόκληρη την οθόνη; (β) Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετήσει τη φωτογραφική μηχανή (𝛣) ώστε να βλέπει ολόκληρη την οθόνη;

Διερεύνηση (1) 

Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn03_DGeoorthi.ggb».  Να μετακινήσετε την κορυφή Γ σε διάφορες θέσεις  Πότε νομίζετε ότι η γωνία Γ γίνεται ορθή;

Διερεύνηση (2) 



Να ανοίξετε το αρχείο « AlykEn03_DGeoEggegrammeniEpikentri.ggb» και να βρείτε τη σχέση που συνδέει το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας με το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης. Να ανοίξετε το αρχείο « AlykEn03_DGeoEggegrameniIdioToxo.ggb» και να βρείτε τη σχέση που συνδέει το μέτρο των εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Μαθαίνω x

Εγγεγραμμένη Γωνία είναι η γωνία (𝑥𝐴̂𝑦) που έχει κορυφή ένα σημείο 𝛢 του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου. Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν άπειρες εγγεγραμμένες γωνίες.

O y

Θεώρημα

Σχήμα

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.

⌃ = 1 BOΓ ⌃ π.χ. BAΓ 2

Γ Πορίσματα

Σχήμα B x

Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου. ̂Γ = 1 Β͡ Γ 𝜋. 𝜒. ΒΑ 2

O Γ y

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 𝜋. 𝜒. 𝐴̂ = 90𝑜

O Γ

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους. ̂Γ ̂ Δ = ΔΑ 𝜋. 𝜒. ΓΒ

A Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων ή του ίδιου κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους και αντίστροφα. ̂Δ = ΕΒ ̂ Ζ ⟺ Γ͡ Δ=Ε͡ Ζ π. χ. ΓΑ

Mεταξύ δύο παράλληλων ευθειών περιέχονται ίσα τόξα. 𝜋. 𝜒. 𝛢𝛣 ∥ 𝛤𝛥 ⇒Β͡ Γ = Α͡ Δ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης Θεώρημα: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.

2x Γ

Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛣𝛢̂𝛤 Περίπτωση Α: Το κέντρο Ο ανήκει σε μια πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας. Το τρίγωνο 𝛢𝛰𝛣 είναι ισοσκελές, γιατί 𝛢𝛰 = 𝛰𝛣 = 𝑅. Άρα 𝛢̂ = 𝛣̂ H 𝛰̂ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου 𝛢𝛰𝛣. Άρα, A 𝛰̂ = 𝛢̂ + 𝛣̂ ⇒ 𝛰̂ = 𝛢̂ + 𝛢̂ ⇒ 𝛰̂ = 2𝛢̂ ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛣𝛢̂𝛤

Περίπτωση Β: Το κέντρο 𝛰 βρίσκεται εντός της εγγεγραμμένης γωνίας. ̂1 + 𝛢 ̂2 Κατασκευάζουμε τη διάμετρο 𝛢𝛥 και προκύπτει ότι 𝛣𝛢̂𝛤 = 𝛢 ̂ ̂ ̂ και 𝛣𝛰𝛤 = 𝛰1 + 𝛰2 A 1 Εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 2 ̂1 = 2𝛢 ̂1 και 𝛰 ̂2 = 2𝛢 ̂2 . Δηλαδή : 𝛰 O ̂1 + 𝛰 ̂2 ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 𝛰 ̂1 + 2𝛢 ̂2 ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛢 ̂ ̂ ̂ 𝛣𝛰𝛤 = 2(𝛢1 + 𝛢2 ) ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛣𝛢̂𝛤

Περίπτωση Γ: Το κέντρο 𝛰 βρίσκεται εκτός της εγγεγραμμένης γωνίας. ̂1 − 𝛢 ̂2 Κατασκευάζουμε τη διάμετρο 𝛢𝛥 και προκύπτει ότι 𝛣𝛢̂𝛤 = 𝛢 ̂1 − 𝛰 ̂2 και 𝛣𝛰̂𝛤 = 𝛰 A 1 Εργαζόμαστε όπως στην περίπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 2 ̂1 = 2𝛢 ̂1 και 𝛰 ̂2 = 2𝛢 ̂2 . Δηλαδή 𝛰 O ̂1 − 𝛰 ̂2 ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 𝛰 ̂1 − 2𝛢 ̂2 ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛢 ̂1 − 𝛢 ̂2 ) ⇒ 𝛣𝛰̂𝛤 = 2(𝛢 𝛣𝛰̂𝛤 = 2𝛣𝛢̂𝛤

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

B 1 2

Δ Γ

B 1 2

Γ Δ

Παραδείγματα

1. Να υπολογίσετε τη γωνία 𝑥 στο διπλανό σχήμα. Λύση: Η εγγεγραμμένη γωνία 𝛣𝛢̂𝛤 βαίνει στο τόξο Β͡ Γ. ͡ Η επίκεντρη γωνία 𝛣𝛰̂𝛤 βαίνει επίσης στο τόξο ΒΓ. Άρα, 𝛣𝛢̂𝛤 = 𝛣𝛰̂𝛤 (θεώρημα εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας). 𝑥

⇒ 62𝜊 = 2 ⇒ 𝑥 = 124𝑜

2. Να υπολογίσετε τις γωνίες 𝑥 και 𝑦 στο διπλανό σχήμα. Λύση:

Οι γωνίες 𝛤̂ και 𝛥̂ είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο 𝛢𝛣. Άρα, 𝑥̂ = 31𝜊 . Οι γωνίες 𝛢̂ και 𝛣̂ είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο 𝛤𝛥. Άρα, 𝑦̂ = 52𝑜 .

y 52

Δ 3. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο παράλληλων χορδών περιέχονται ίσα τόξα. (Θεώρημα) Απόδειξη: Δεδομένο

𝛢𝐵 ∥ 𝛥𝛤 ⇒ 𝛢̂ = 𝛤̂ ͡ =ΒΓ ͡ 𝛤̂ = 𝛢̂ ⇒ΑΔ

(εντός εναλλάξ γωνίες ίσες)

(σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο αντιστοιχούν ίσα τόξα) Άρα, μεταξύ παράλληλων χορδών περιέχονται ίσα τόξα.

𝛢𝛣 ∥ 𝛤𝛥 (παράλληλες χορδές)

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

4. Να αποδείξετε ότι η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του (απόστημα) διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της (Πόρισμα μεσοκαθέτου).

Απόδειξη:

Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (𝛫, 𝜌), μια χορδή του 𝛢𝛣 και την κάθετη 𝛫𝛤 της 𝛢𝛣, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο 𝛭. Το 𝛫𝛤 είναι ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου 𝛫𝛢𝛣, αφού 𝛫𝛢 = 𝛫𝛣 = 𝜌. Άρα, 𝛫𝛤 είναι και διάμεσος και διχοτόμος. Η 𝛫𝛤 είναι διάμεσος της 𝛢𝛣 άρα διχοτομεί τη χορδή 𝛢𝛣. ̂ 𝛤 δηλαδή 𝛫 ̂1 = 𝛫 ̂2 , έτσι τα Η 𝛫𝛤 είναι διχοτόμος της 𝛢𝛫 ͡ = BM ͡ , αντίστοιχα τόξα είναι ίσα AM ͡ . αντίστοιχο τόξο ΑB

ρ 1 2

άρα ΚΓ διχοτομεί το

5. Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία που σχηματίζεται από δύο τέμνουσες του κύκλου, όταν αυτές τέμνονται εντός του κύκλου, είναι ίση με το άθροισμα των εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που περιέχονται από τη γωνία και την κατακορυφήν της γωνία (Θεώρημα). Δηλαδή 𝑥𝛢̂𝑦 = 𝐴𝛥̂𝛣 + 𝛦𝛣̂ 𝛥. Ε Απόδειξη: Αν 𝑥𝛢̂𝑦 είναι η γωνία μεταξύ των δύο τεμνουσών 𝛤𝛥 και 𝛣𝛦 A Δ Τότε, το ζητούμενο είναι 𝑥𝛢̂𝑦 = 𝛤𝛥̂𝛣 + 𝛦𝛣̂ 𝛥 Γ Η γωνία 𝑥𝐴̂𝑦 περιέχει το τόξο 𝛣𝛤 με αντίστοιχη εγγεγραμμένη τη 𝛥̂.

͡ με αντίστοιχη εγγεγραμμένη τη Η 𝛥𝛢̂𝛦, κατακορυφήν της 𝑥𝐴̂𝑦, περιέχει το τόξο ΕΔ γωνία 𝛣̂ . 𝑥𝛢̂𝑦 = 𝛥̂ + 𝛣̂

(Εξωτερική γωνία του τριγώνου 𝛢𝛣𝛥)

Άρα, 𝑥𝛢̂𝑦 = 𝐴𝛥̂𝛣 + 𝛦𝛣̂ 𝛥.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του 𝑥 και 𝑦 σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις: (α)

(β)

B 86

Γ (γ)

Γ B

(δ)

Γ B Γ Διάμετρος

(ε)

Γ A

(ζ)

y O

140

Β x

x 30

Γ (η)

Δ (θ)

x Γ

x 80

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις. Να υποστηρίξετε την απάντησή σας με παράδειγμα ή αντιπαράδειγμα. (α) Δύο εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. (β) Δύο εγγεγραμμένες γωνίες που είναι ίσες βαίνουν σίγουρα στο ίδιο τόξο. (γ) Αν μία εγγεγραμμένη γωνία είναι ορθή, τότε βαίνει σε ημικύκλιο. ̂ 𝛣 και 𝛤𝛬̂𝛥 είναι (δ) Σε κύκλους (𝛫, 4) και (𝛬, 8) αν οι επίκεντρες γωνίες τους 𝛢𝛫 αντίστοιχα ίσες, τότε και οι επίκεντρες βαίνουν σε ίσα τόξα. 3. Το ισοσκελές τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 (𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 = 4) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (𝛫, 𝜌). Αν η πλευρά 𝛣𝛤 του τριγώνου είναι διάμετρος του κύκλου να υπολογίσετε την ακτίνα κύκλου. 4. Στον διπλανό κύκλο δίνεται 𝛢𝛤 = 𝛥𝛤. Να αποδείξετε ότι 𝛣̂ = 𝛦̂ .

B Ε Γ 5. Κατασκευάζουμε κύκλο (𝛫, 5𝑐𝑚) και μια χορδή του 𝛢𝛣. Στην προέκταση της 𝛢𝛣 προς το 𝛣 παίρνουμε τμήμα 𝛣𝛤 = 5𝑐𝑚. H προέκταση του ευθυγράμμου τμήματος

⌃ = 3∙ΒΚΓ ⌃ . 𝛤𝛫 προς το 𝛫 τέμνει τον κύκλο, στο 𝛦. Να δείξετε ότι ΕΚΑ 6. Οι κορυφές τριγώνου 𝛢𝛣𝛤 είναι σημεία κύκλου. Η διχοτόμος της γωνίας 𝛢̂ τέμνει τον κύκλο στο 𝛥 και η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας του τριγώνου στο 𝛢 τέμνει τον κύκλο στο 𝛦. Να δείξετε ότι 𝛣𝛤 ⊥ 𝛦𝛥.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης Διερεύνηση  Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn03_DGeoXordiEfaptomeni.ggb» ή να κατασκευάσετε σε χαρτί έναν κύκλο (𝛫, 𝑅).  Να εγγράψετε στον κύκλο τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤(𝛢, 𝛣, 𝛤 σημεία του κύκλου).  Να φέρετε την εφαπτομένη 𝛣𝛥 του κύκλου στο σημείο 𝛣.  Να μετρήσετε τις γωνίες 𝛤𝛣̂ 𝛥 και 𝛤𝛢̂𝛣.  Ποια είναι η σχέση μεταξύ των γωνιών 𝛤𝛣𝛥 και 𝛤𝛢𝛣.  Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου σε διάφορες θέσεις.  Να αλλάξετε το μέγεθος του κύκλου.

Μαθαίνω Θεώρημα Χορδής και Εφαπτομένης Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή του κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής είναι ίση με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής

ω φ

Γ Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι 𝛣𝛢̂𝛤 = 𝛥𝛣̂ 𝛤. Φέρουμε τις ακτίνες 𝛫𝛣 και 𝛫𝛤. Tο τρίγωνο 𝛫𝛣𝛤 είναι ισοσκελές. Άρα 𝛫𝛤̂ 𝐵 = 𝛫𝛣̂ 𝛤 = 𝑥. A ̂ 𝐵 = 2𝜔. (Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της 𝛤𝐾 ω Κ εγγεγραμμένης) 𝑥 + 𝑥 + 2ω = 180ο (άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΒΚΓ) ⇒ x 2𝑥 + 2ω = 180ο ⇒ ο ο 𝑥 + ω = 90 ⇒ ω = 90 − 𝑥 (1) Γ 𝜊 ̂ 𝛫𝐵 𝛥 = 90 (Η ακτίνα είναι κάθετη με την εφαπτομένη) 𝑥 + 𝜑 = 90𝜊 ⇒ 𝜑 = 90𝜊 − 𝑥 (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι 𝜔 ̂ = 𝜑̂ ⇒ 𝛣𝛢̂𝛤 = 𝛥𝛣̂ 𝛤

Β φ Δ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Παραδείγματα 1. Από σημείο 𝛦 εκτός του κύκλου (𝛫, 𝜌) φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα 𝛦𝛢 και ΕΒ προς τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι 𝛦𝛢 = 𝛦𝛣 Λύση: A 𝛦𝛢 και 𝛦𝛣 είναι εφαπτόμενα τμήματα. E 𝛤𝛢 και 𝛤𝛣 είναι χορδές κύκλου. Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης προκύπτει ότι Γ 𝛦𝛢̂𝛣 = 𝛢𝛤̂ 𝛣 } ⇒ 𝛦𝛢̂𝛣 = 𝛦𝛣̂ 𝛢 𝛦𝛣̂ 𝛢 = 𝛢𝛤̂ 𝛣 Β Άρα, το τρίγωνο 𝛦𝛢𝛣 είναι ισοσκελές με 𝛦𝛢 = 𝛦𝛣. Παρατήρηση: Τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο έξω από τον κύκλο είναι ίσα μεταξύ τους. 2. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν 𝛢𝛥 και 𝛤𝛥 είναι εφαπτόμενα τμήματα στα 𝛢 και 𝛤, αντίστοιχα, να υπολογίσετε τις γωνίες 𝜔 ̂, 𝑦̂, 𝑧̂ .

ω Δ

Λύση: A α y Η γωνία Ζ σχηματίζεται από το εφαπτόμενο τμήμα 𝛤𝛥 και τη z χορδή 𝛢𝛤 και η γωνία 𝛣 βαίνει στο τόξο 𝛢𝛤. Άρα, από το Γ 62 θεώρημα χορδής και εφαπτομένης προκύπτει ότι 𝛣̂ = 𝛧̂ = 62𝑜 . 72 B Από το ίδιο θεώρημα προκύπτει ότι 𝑦̂ = 72𝑜 ε Τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο έξω από τον κύκλο είναι ίσα, δηλαδή 𝛢𝛥 = 𝛥𝛤. Άρα το τρίγωνο 𝛢𝛥𝛤 είναι ισοσκελές με 𝛼̂ = 𝛧̂ = 62𝜊 . 𝜔 ̂ + 𝛼̂ + 𝑧̂ = 180𝑜 ⇒ (άθροισμα γωνιών τριγώνου ΑΔΓ) 𝜊 𝜊 𝜊 𝜔 ̂ = 180 − 62 − 62 ⇒ 𝜔 ̂ = 56𝜊 . 3. Στο διπλανό σχήμα η γωνία 𝛢̂ βαίνει σε ημικύκλιο και η ευθεία (𝜀) είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 𝛤. Να υπολογίσετε τις τιμές A των 𝑥, 𝑦, 𝑧. y Λύση: 4x

Η γωνία 𝛢̂ βαίνει σε ημικύκλιο άρα 𝑦̂ = 90𝑜 .

∆

4𝑥 + 𝑥 + 90𝑜 = 180𝑜 (άθροισμα γωνιών ΑΒΓ ). 5𝑥 = 90𝑜 𝑥 = 18𝑜 Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης προκύπτει ότι 𝑧̂ = 𝛣̂ = 4𝑥 ⇒ 𝑧̂ = 72𝑜

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

x z

Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε την τιμή του 𝑥 και του 𝑦 για καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις,

αν (𝜀) είναι εφαπτομένη του κύκλου. (α)

(β)

A x

(γ)

x Δ

x 63

y (ε)

(ε)

129

A (ε)

2. Να κατασκευάσετε κύκλο (𝛫, 4𝑐𝑚) και να σχεδιάσετε μια χορδή του, 𝛢𝛣. Στο

σημείο 𝛣, να φέρετε την εφαπτομένη 𝛣𝛦, ώστε η γωνία 𝛦𝐵̂ 𝐴 = 70𝜊 . Να ̂ 𝛣. υπολογίσετε τη γωνία 𝛢𝛫

3. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που δημιουργείται από τη χορδή

𝛢𝛣 και την εφαπτομένη (𝜀) του κύκλου (𝛬, 𝜌) στο σημείο 𝛢, αν

͡ =5 ΑMB ͡ . Τα 𝛭 και 𝛫 είναι σημεία του κύκλου ισχύει ότι ΑKΒ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

A Λ K

(ε)

4. Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο 𝛫 και διάμετρο 𝛢𝛣 = 7𝑐𝑚. Να γράψετε ένα

σημείο 𝛤 στην περιφέρεια του κύκλου τέτοιο ώστε η γωνία 𝛣𝛢̂𝛤 = 30𝜊 . Να φέρετε την εφαπτομένη του κύκλου στο 𝛤 και να σημειώσετε με 𝛥 την τομή της εφαπτομένης με την προέκταση της 𝛢𝛣. Να δείξετε ότι το 𝛢𝛤𝛥 είναι ισοσκελές τρίγωνο. A E 5. Από σημείο 𝛦 εκτός κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη 𝛦𝛢, όπου 𝛢 είναι το σημείο επαφής, και την τέμνουσα 𝛦𝛤𝛣. Αν Γ 𝛢𝛣 = 𝛦𝛢, να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛢𝛤𝛦 είναι ισοσκελές. Β 6. Από σημείο 𝛢 που βρίσκεται εκτός του κύκλου (𝛫, 𝛲) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα 𝛢𝛣 και 𝛢𝛤. Αν η γωνία 𝛣𝛢̂𝛤 = 58𝜊 , να υπολογίσετε το τόξο 𝛣𝛤 που ̂ 𝛤. αντιστοιχεί στην κυρτή γωνία 𝛣𝛫 7. Στα άκρα της διαμέτρου 𝛢𝛣 ενός ημικυκλίου φέρουμε εφαπτόμενες. Η εφαπτομένη

του ημικυκλίου σε ένα σημείο 𝛤 τέμνει τις εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β, σε σημεία 𝛥 και 𝛦, αντίστοιχα. (α) Να δείξετε ότι η γωνία 𝛦𝛰𝛥 είναι ορθή. (β) Πού βρίσκεται το κέντρο του κύκλου που περνά από τα σημεία 𝛦, 𝛰, 𝛥; 90

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του 𝑥 και 𝑦 σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις

(α)

(β)

A 86

B O

(γ)

(δ)

(ε)

(στ)

Δ x 30

A B

Δ Γ

2. Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με A͡ B = 120𝑜 , B͡ Γ= 30𝜊 ,

Γ͡ Δ= 80𝜊 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου 𝛢𝛣𝛤𝛥. 3. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η κάτοψη του αγγλικού

μνημείου Stonehedge που είναι φτιαγμένο από βράχους. Τμήματα του μνημείου δημιουργούν δύο ομόκεντρους κύκλους. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες 𝑥 και 𝑦 είναι ίσες .

Στο διπλανό σχήμα δίνεται 𝛢𝛣𝛤𝛥𝛦 εγγεγραμμένο σε κύκλο. ͡ και ΕΒΓ ͡ (α) Να συγκρίνετε τα τόξα ABΔ ͡ =ΓΔ͡ (β) Να δείξετε ότι AΕ (γ) Να υπολογίσετε την τιμή του 𝑥

το

πεντάγωνο

B x A x Ε

x Γ x

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων δίνεται κύκλος με κέντρο το σημείο 𝛫(3,3) και

ακτίνα 𝑅 = 3 𝑐𝑚. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής 𝛢 και 𝛣 του κύκλου με τους άξονες 𝛰𝑥 και 𝛰𝑦, αντίστοιχα. Αν 𝛤 είναι σημείο της περιφέρειας του κύκλου με συντεταγμένες 𝛤(4, 𝛾), να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας 𝛢𝛤𝛣.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

6. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου 𝛢𝛣𝛤

B 4x

7. Δίνονται δυο ίσοι κύκλοι (𝛰, 𝜌) και (𝛫, 𝜌) με

𝛰𝛫 = 𝜌, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία 𝛢 και 𝛥. (α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο 𝛰𝛢𝛫 είναι ισόπλευρο. (β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου 𝛣𝛢𝛫.

⌃ =30˚ . Η εφαπτομένη 8. Δίνεται ημικύκλιο με διαμέτρο 𝛢𝛣 και μια χορδή του 𝛢𝛤 με ΓAΒ

του ημικυκλίου στο Γ τέμνει την ευθεία 𝛢𝛣 στο 𝛥. Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛢𝛤𝛥 είναι ισοσκελές. ̂ 𝛥 είναι 120𝜊 και η γωνία 9. Στο ακόλουθο σχήμα η επίκεντρη γωνία 𝛣𝛰 𝛤𝛣𝛢 είναι 15𝜊  (α) Να υπολογίσετε τη γωνία 𝛣𝛤𝛥. (β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ω είναι 45𝜊 .

10. Έστω κύκλος με κέντρο 𝛰 και ακτίνα 𝜌. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες 𝛰𝛢 , 𝛰𝛤 και

εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα 𝛢𝛣 με 𝛢𝛣 = 𝛰𝛤. (α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα 𝛢𝛰 και 𝛣𝛤 διχοτομούνται. (β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου 𝛢𝛣𝛰𝛤.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

̂ = 𝛤̂ = 90𝜊 ) στο οποίο η 𝛣𝛤 είναι η 11. Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο 𝛢𝛣𝛤𝛥 (𝛣 εφαπτομένη κύκλου με διάμετρο την 𝛢𝛥. Να αποδείξετε ότι 𝛢𝛣 + 𝛤𝛥 = 𝛢𝛥 12. Σε κύκλο με κέντρο 𝛫 είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤. Αν 𝛤𝑥 είναι η

εφαπτομένη του κύκλου στο 𝛤, να δείξετε ότι η 𝛢𝛤 είναι διχοτόμος της αμβλείας γωνίας 𝛣𝛤𝑥 △

⌃ = 30𝜊 και 𝛢𝛣 = 𝛢𝛤 , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. 13. Το ισοσκελές τρίγωνο AΒΓ με AΒΓ

Αν 𝛥 είναι τυχαίο σημείο της 𝛣𝛤 και η προέκταση της 𝛢𝛥 τέμνει τον κύκλο στο 𝛦, να ⌃ = AΕΒ ⌃ . δείξετε ότι AΒΓ 14. Δίνεται κύκλος (𝛫, 𝑅) και σημείο 𝛣 εκτός αυτού. Με κέντρο 𝛭 το μέσο του 𝛫𝛣 και

ακτίνα 𝛭𝛣 φέρουμε ημικύκλιο με διαμέτρο 𝛫𝛣 . Αν 𝛢 είναι το σημείο τομής του κύκλου (𝛫, 𝑅) με το ημικύκλιο, να υπολογίσετε τη γωνία 𝛫𝛢𝛣. Να εξηγήσετε γιατί η ευθεία που περνά από τα σημεία 𝛢 και 𝛣 είναι εφαπτομένη του κύκλου. 15. Στο σχήμα που ακολουθεί, η 𝛢𝑥 είναι εφαπτομένη του κύκλου (𝛰, 𝜌) στο σημείο του

Α και επιπλέον ισχύουν 𝛤𝛢̂𝑥 = 85° και ∆𝛣̂ 𝛢 = 40° . (α) Να αποδείξετε ότι 𝛣̂1 = 45° . (β) Να υπολογίσετε τη γωνία 𝜑̂ .

16. Οι κορυφές του τριγώνου 𝛢𝛣𝛤 είναι σημεία κύκλου. Η εφαπτομένη του κύκλου στο

𝛢 τέμνει την ευθεία 𝛣𝛤 στο 𝛦. Φέρουμε τη διχοτόμο 𝛢𝛥 του τριγώνου 𝛢𝛣𝛤. Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛦𝛢𝛥 είναι ισοσκελές. 17. Να αποδείξετε τα πιο κάτω θεωρήματα:

(α) Ευθεία που περνά από το κέντρο 𝛫 ενός κύκλου και είναι κάθετη προς τη χορδή 𝛢𝛣, τότε περνά από το μέσο 𝛮 της χορδής και από το μέσο 𝛭 του τόξου 𝛢𝛣. (β) Ευθεία που περνά από το κέντρο 𝛫 ενός κύκλου και από το μέσο 𝛮 μιας χορδής 𝛢𝛣, τότε είναι κάθετη στη χορδή και περνά από το μέσο 𝛭 του τόξου 𝛢𝛣. (γ) Ευθεία που περνά από το κέντρο 𝛫 ενός κύκλου και από το μέσο 𝛭 ενός τόξου 𝛢𝛣, τότε είναι μεσοκάθετη της χορδής 𝛢𝛣. (δ) Ευθεία που περνά από το μέσο χορδής 𝛢𝛣 και το μέσο του αντίστοιχου τόξου 𝛢𝛣, τότε περνά από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετη με τη χορδή 𝛢𝛣.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. (α) Να κατασκευάσετε ένα τραπέζιο με τις 4 κορυφές του να είναι σημεία κύκλου.

(β) Τι είδους τραπέζιο έχετε κατασκευάσει;

2. Δίνεται κύκλος με διάμετρο 𝛢𝛣 και εφαπτομένη 𝐵𝑥. Από ένα σημείο 𝛦 του κύκλου

φέρουμε τέμνουσα 𝛢𝛦 η οποία όταν προεκταθεί, τέμνει τη 𝛣𝑥 στο σημείο 𝛤. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 𝛦 τέμνει τη 𝛣𝑥 στο σημείο 𝛥. Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛤𝛥𝛦 είναι ισοσκελές.

3. Δύο ίσοι κύκλοι τέμνονται στα 𝛢 και 𝛣. Από το 𝛢 φέρουμε ευθεία που τέμνει τους

δύο κύκλους στα σημεία 𝛤 και 𝛥. Να δείξετε ότι το τρίγωνο 𝛣𝛤𝛥 είναι ισοσκελές.

4. Το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν 𝛢𝛥 είναι το ύψος του τριγώνου

και 𝛢𝛦 η διάμετρος του κύκλου, να δείξετε ότι 𝛣𝛢̂𝛦 = 𝛥𝛢̂𝛤.

5. Σε κύκλο φέρουμε χορδή 𝛢𝛤 και την εφαπτομένη του κύκλου 𝛢𝛥. Η διχοτόμος της

γωνίας 𝛥𝛢𝛤 τέμνει τον κύκλο στο σημείο 𝛦. Να δείξετε ότι το 𝛢𝛦𝛤 είναι ισοσκελές τρίγωνο.

6. Να αποδείξετε ότι η γωνία που δημιουργείται από δύο τέμνουσες ενός κύκλου οι

οποίες τέμνονται έξω από τον κύκλο, έχει μέτρο ίσο με τη διαφορά των δύο εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που περιέχει η γωνία.

7. Δίνεται τετράγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥 με πλευρά 𝛼. Με διάμετρο ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο μέσα

στο τετράγωνο και με κέντρο Α και ακτίνα α γράφουμε τόξο μέσα στο τετράγωνο . Από το Α φέρουμε ημιευθεία που τέμνει το τόξο στο σημείο Ζ και το ημικύκλιο στο σημείο 𝛦. Αν Ζ𝛨 ⊥ 𝛣𝛤, με Η σημείο της 𝛣𝛤 να αποδείξετε ότι 𝛧𝛦 = 𝛧𝛨.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΥΚΛΟΣ

Ενότητα

Γραμμικά Συστήματα

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε:



Να επιλύουμε και να διερευνούμε εξισώσεις πρώτου βαθμού.



Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα.



Να

ερμηνεύουμε

γραφικά

τη

λύση

ενός

γραμμικού συστήματος.



Να εξετάζουμε κατά πόσο ένα γραμμικό σύστημα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Λύση Προβλήματος

Πώληση εφημερίδων Στη Ζέτλαντ δύο εφημερίδες προτίθενται να προσλάβουν πωλητές. Οι πιο κάτω ανακοινώσεις παρουσιάζουν τον τρόπο αμοιβής των πωλητών της κάθε εφημερίδας. ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΑΣΤΕΡΙ ΧΡΕΙΑΖΕΣΑΙ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ; ΓΙΝΕ ΠΩΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΜΑΣ Αμοιβή: 0,20 ζετς για κάθε εφημερίδα για τα πρώτα 240 αντίτυπα που πωλείς σε μίαν εβδομάδα,

και επιπλέον 0,40 ζετς για κάθε επιπρόσθετο αντίτυπο εφημερίδας που πωλείς.

ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΚΑΛΗΜΕΡΑ ZEDLAND DAILY ΚΑΛΑ ΑΜΕΙΒΟΜΕΝΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΕΙ ΛΙΓΟ ΧΡΟΝΟ! WELL PAID JOB THAT TAKES LITTLE TIME! Όταν πωλείς την εφημερίδα Καλημέρα κερδίζεις 60 ζετς την επιπλέον Sell εβδομάδα the Zedlandκαι Daily and make 0,05 ζετς για κάθε αντίτυπο 60 zeds a week, plus an εφημερίδας που πωλείς. additional 0.05 zeds per newspaper you sell.

Ερώτηση 1: ΠΩΛΗΣΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΩΝ Ο Φάνης πωλεί κατά μέσο όρο 350 αντίτυπα της εφημερίδας Αστέρι κάθε εβδομάδα. Ποια είναι η μέση εβδομαδιαία αμοιβή του Φάνη; Ποσό σε ζετς: ........................................

Ερώτηση 2: ΠΩΛΗΣΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΩΝ Η Χριστίνα είναι πωλήτρια της εφημερίδας Καλημέρα. Μια εβδομάδα πληρώθηκε 74 ζετς. Πόσες εφημερίδες πώλησε εκείνη την εβδομάδα; Αριθμός αντιτύπων που πώλησε: ..........

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ερώτηση 3: ΠΩΛΗΣΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΩΝ Ο Γιάννης αποφάσισε να υποβάλει αίτηση, για να εργαστεί ως πωλητής σε μια εφημερίδα. Πρέπει να επιλέξει κατά πόσο θα εργαστεί στην εφημερίδα Αστέρι ή στην εφημερίδα Καλημέρα. Ποια από τις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις αναπαριστά ορθά πώς αμείβουν οι δύο εφημερίδες τους πωλητές τους; Να βάλεις σε κύκλο A, B, Γ ή Δ. B

Καλημέρα

Αστέρι

Εβδομαδιαίος μισθός (ζετς)

Αριθμός αντιτύπων που πωλήθηκαν

Αστέρι

Αριθμός αντιτύπων που πωλήθηκαν

Καλημέρα

Αστέρι Αριθμός αντιτύπων που πωλήθηκαν

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εβδομαδιαίος μισθός (ζετς)

Γ Εβδομαδιαίος μισθός (ζετς)

Καλημέρα

Αστέρι Αριθμός αντιτύπων που πωλήθηκαν

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Επίλυση εξίσωσης α’ βαθμού Διερεύνηση (α) Να γράψετε όλες τις εξισώσεις που προκύπτουν από τη (𝜆2 − 1)𝑥 = 𝜆 − 1, όταν το λ παίρνει τιμές από το σύνολο {−2, −1, 0, +1, +2} και να τις λύσετε.

(β) Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο Parametriki eksisosi. Δίνεται η εξίσωση 𝑦 = (𝜆2 − 1)𝑥 − 𝜆 + 1, 𝜆 ∈ {−2, −1, 0, +1, +2}. Να αναφέρετε για κάθε 𝜆 ∈ {−2, −1, 0, +1, +2} τη θέση της ευθείας με τον άξονα των 𝑥 και να τη συνδέσετε με το είδος της λύσης του (α) μέρους.

Παραδείγματα Μαθαίνω 

Κάθε εξίσωση της μορφής 𝛼𝑥 = 𝛽, με 𝑥 να είναι ο άγνωστος της εξίσωσης και α, β ∈ ℝ, να είναι σταθερoί αριθμοί, ονομάζεται εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο.



Η εξίσωση 𝛼𝑥 = 𝛽 , 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛽

 έχει μοναδική λύση τη 𝑥 = 𝛼 όταν 𝛂 ≠ 𝟎,  δεν έχει λύση (αδύνατη) όταν 𝜶 = 𝟎 𝜿𝜶𝜾 𝜷 ≠ 𝟎,

 έχει άπειρες λύσεις (αόριστη ή ταυτότητα) όταν 𝛂 = 𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝛃 = 𝟎 Για παράδειγμα η εξίσωση: (𝜆 − 2)(𝜆 + 1)𝑥 = 𝜆(𝜆 + 1), 𝜆 ∈ ℝ. 𝜆

o Έχει μοναδική λύση όταν 𝜆 ≠ 2 , 𝜆 ≠ −1 τη 𝑥 = 𝜆−2. o Αν 𝜆 = 2 η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0 ∙ 𝑥 = 6 (Αδύνατη). o Αν 𝜆 = −1, η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0 ∙ 𝑥 = 0 (Αόριστη). Σημείωση:  Η λύση μιας εξίσωσης ονομάζεται και ρίζα της εξίσωσης.  Όταν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης εκφράζονται με παραμέτρους, τότε η εξίσωση ονομάζεται παραμετρική και η διαδικασία εύρεσης των ριζών διερεύνηση.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1. Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση: (𝜇 − 1)𝑥 = 𝜇 + 4 , όταν 𝜇 ∈ {0,1,2,3}. Λύση: Το 𝜇 παίρνει μόνο τις τιμές από το σύνολο {0,1,2,3}. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση, όταν το 𝜇 − 1 ≠ 0, ή 𝜇 ≠ 1. Από τις 4 τιμές που μπορεί να πάρει το 𝜇 η εξίσωση θα έχει μόνο μία λύση όταν, 𝜇 = 0,2,3 . Η λύση της εξίσωσης θα είναι αριθμός της μορφής: 𝑥=

𝜇+4 , 𝜇 = 0,2,3 . 𝜇−1

Εξετάζοντας την κάθε περίπτωση ξεχωριστά, έχουμε:  

Για 𝜇 = 0, η εξίσωση γίνεται −1𝑥 = 4 και έχει μοναδική λύση το 𝑥 = −4. Για 𝜇 = 2, η εξίσωση γίνεται 1𝑥 = 6 και έχει μοναδική λύση το 𝑥 = 6.



Για 𝜇 = 3, η εξίσωση γίνεται 2𝑥 = 7 και έχει μοναδική λύση το 𝑥 = 2.



Για 𝜇 = 1, η εξίσωση γίνεται 0𝑥 = 5, που είναι αδύνατη (καμία λύση).

2. Να λύσετε και να διερευνήσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του𝜆(𝜆 ∈ ℝ). (α) (𝜆 − 2)𝑥 − 6 = 0. (β) 𝜆2 𝑥 − 2𝜆 = 25𝑥 − 10 Λύση: (α) Η παραμετρική εξίσωση (𝜆 − 2)𝑥 − 6 = 0, 𝜆 ∈ ℝ γράφεται στη μορφή: (𝜆 − 2)𝑥 = 6. 6

Αν 𝜆 ≠ 2 , 𝑥 = 𝜆−2 , 𝜆 ∈ ℝ (μοναδική λύση της εξίσωσης ). Αν 𝜆 = 2 η εξίσωση παίρνει τη μορφή: 0𝑥 = 6, (είναι αδύνατη στο ℝ). (β) Η παραμετρική εξίσωση 𝜆2 𝑥 − 2𝜆 = 25𝑥 − 10, 𝜆 ∈ ℝ, γράφεται, 𝜆2 𝑥 − 25𝑥 = 2𝜆 − 10 ⟺ (𝜆2 − 25)𝑥 = 2𝜆 − 10 ( μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή 𝛼𝑥 = 𝛽) Η εξίσωση έχει μοναδική λύση, όταν: 𝜆2 − 25 ≠ 0 ⟺ (𝜆 − 5)(𝜆 + 5) ≠ 0 ή 𝜆 ≠ ±5 (𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 0 ⟺ 𝐴 ≠ 0 και 𝛣 ≠ 0) H μοναδική λύση θα είναι: 𝑥 =

100

2𝜆−10 𝜆2 −25

2(𝜆−5)

= (𝜆−5)(𝜆+5) = 𝜆+5 , ∈ ℝ, 𝜆 ≠ ±5.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διερευνώντας για τις τιμές του λ, που δεν έχουμε μοναδική λύση, δηλαδή για 𝜆 = 5, 𝜆 = −5 έχουμε ακόμη δύο περιπτώσεις. Για 𝜆 = −5, προκύπτει η εξίσωση 0𝑥 = −20 (είναι αδύνατη εξίσωση). Για 𝜆 = 5, προκύπτει η εξίσωση 0𝑥 = 0 (ισχύει για κάθε 𝑥 ∈ ℝ , είναι ταυτότητα). 3. Για ποιες τιμές της παραμέτρου 𝜅 ∈ ℝ οι πιο κάτω εξισώσεις είναι αδύνατες; (α) 2𝜅𝑥 − 3𝜅 = 10 − 𝑥 , (β) (𝜅 − 4)𝑥 = 20 − 5𝜅. Λύση: (α) 2𝜅𝑥 − 3𝜅 = 10 − 𝑥 ⟺ (2𝜅 + 1)𝑥 = 10 + 3𝜅. Οι πιθανές τιμές του 𝜅 , ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη, είναι ακριβώς εκείνες για τις οποίες θα πρέπει να ισχύει: 2𝜅 + 1 = 0 και 10 + 3𝜅 ≠ 0. 1

Αν 2𝜅 + 1 = 0 έχουμε 𝜅 = − 2 , και 10 + 3𝜅 =

17 2

≠ 0.

Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο ℝ για 𝜅 = − 2. (β) Οι πιθανές τιμές του 𝜅, ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη, είναι ακριβώς εκείνες για τις οποίες θα πρέπει να ισχύει συγχρόνως: 𝜅 − 4 = 0 και 20 − 5𝜅 ≠ 0. Για 𝜅 − 4 = 0 ⟹ 𝜅 = 4 και το 20 − 5𝜅 = 20 − 5 ∙ 4 = 0. Δηλαδή για 𝜅 = 4, η εξίσωση(𝜅 − 4)𝑥 = 20 − 5𝜅 γίνεται 0𝑥 = 0 (αόριστη) και έτσι, η ζητούμενη εξίσωση δεν γίνεται ποτέ αδύνατη.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

101

Δραστηριότητες 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 15 − 6(2𝑦 + 1) = 3𝑦 (β) (γ)

4𝑥 3 7 5

−

𝑥−1 2

15𝜆−6 10

5𝑥

4−3𝜆 2

2. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις: (α)

Η εξίσωση 2𝑥 = 0 δεν έχει καμία λύση.

(β)

Η εξίσωση −(𝑥 − 6) − 𝑥 = 2(3 − 𝑥) είναι αόριστη.

(γ)

Η εξίσωση 0𝑥 = −2 είναι αδύνατη.

(δ)

Η εξίσωση (λ + 2)𝑥 = 10λ + 20 είναι ταυτότητα για 𝜆 = −2.

(ε)

Η εξίσωση (λ2 − 1)𝑥 = 2λ + 2 είναι αδύνατη για 𝜆 = −1.

(στ)

Η εξίσωση α𝑥 = β έχει πάντα λύση, αν 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

(ζ)

Αν η εξίσωση α𝑥 = β έχει λύση το 𝑥 = 3 και το 𝑥 = −3, τότε είναι ταυτότητα.

(η)

Η εξίσωση (λ − 8)𝑥 = λ + 8 είναι ταυτότητα για 𝜆 = 8.

(θ)

Αν η εξίσωση (λ − 2)𝑥 = λ + 1 έχει λύση τη 𝑥 = 4, τότε η τιμή του 𝜆 είναι 4.

3. Να απαντήσετε τις πιο κάτω ερωτήσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (α) Για ποια τιμή του 𝛼, η εξίσωση (1 − 𝛼 2 )𝑥 = 𝛼 + 1 είναι αδύνατη; (β) Ποια είναι η λύση της εξίσωσης (1 − 𝛼 2 )𝑥 = 𝛼 + 1, όταν 𝛼 = 3; 4. Να βρείτε την τιμή του 𝜇, ώστε η εξίσωση 4𝑥 − 6 = 𝜇𝑥 + 13μ (α) Να είναι αδύνατη. (β) Να είναι ταυτότητα. (γ) Να έχει λύση τη 𝑥 = 5.

102

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

5. Η εξίσωση (𝜆 − 3)𝑥 = 𝜆 + 12 έχει μοναδική λύση τη 𝑥 = −2. Να υπολογίσετε την τιμή του 𝜆. 6. Για ποιες τιμές της παραμέτρου 𝜇 , 𝜇 ∈ ℝ η εξίσωση: 𝜇 2 (𝑥 − 4) = 𝑥 + 4(2𝜇 + 1) (α) Είναι αδύνατη. (β) Είναι ταυτότητα. (γ) Έχει μοναδική λύση. 7. Να λύσετε και να διερευνήσετε τις πιο κάτω εξισώσεις για 𝜆 ∈ ℝ. (α) (𝜆 + 2)𝑥 = 𝜆2 − 4. (β) 𝜆2 (𝑥 − 1) + 3𝜆 = 𝑥 − 4. (γ) (𝜆2 − 𝜆 − 6)𝑥 = 𝜆2 − 4. 8. Να αποδείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των 𝑎 , 𝛽 ∈ ℝ η εξίσωση (𝑥 + 2𝛼)2 − (𝑥 − 2𝛽)2 = 4𝛼(2𝛼 + 2𝛽) έχει πάντα λύση. 9. Να αποδείξετε ότι, αν η εξίσωση (𝜆 − 3)𝑥 = 2𝜇 + 8 είναι ταυτότητα, τότε η εξίσωση (3𝜇 + 12)𝑥 = 2𝜆 είναι αδύνατη.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

103

Λύση-Διερεύνηση Γραμμικών Συστημάτων Διερεύνηση(1)  Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn02_Sistimata.ggb». Στο εφαρμογίδιο παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο ευθειών με εξισώσεις 𝑦 = λ1 𝑥 + β1 }. 𝑦 = 𝜆2 𝑥 + 𝛽2 (α)

Να βρείτε γραφικά τη λύση (αν υπάρχει) των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του λογισμικού.

Α)

𝑦 = 2𝑥 − 1 } 𝑦 =𝑥+3

Β)

𝑦 = 3𝑥 − 1 } 𝑦 =𝑥+1

Γ)

𝑦 = 3𝑥 − 1 } 𝑦 = 3𝑥 + 3

Δ)

𝑦 = 3𝑥 + 3 } 2𝑦 = 6𝑥 + 6

(β)

Να βρείτε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά.

(γ)

Να διατυπώσετε έναν κανόνα για την εύρεση του πλήθους των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (χωρίς να λύσετε το σύστημα). Να επιλέξετε το «Άλλες περιπτώσεις», για να εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις δύο 𝛼 𝑥 + 𝛽1 𝑦 = 𝛾1 ευθειών με εξισώσεις 1 }. 𝛼2 𝑥 + 𝛽2 𝑦 = 𝛾2 Να βρείτε γραφικά τη λύση (αν υπάρχει) των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του λογισμικού. Ε)

−3𝑥 + 2𝑦 = 1 } 3𝑥 + 𝑦 = 5

ΣΤ)

Η)

−2𝑥 + 𝑦 = −1 } 𝑥=3

Θ)

3𝑥 − 2𝑦 = 4 } 𝑦=4 2𝑦 = 8 } −3𝑥 = 3

Ζ)

3𝑥 − 2𝑦 = 3 } −6𝑥 + 4𝑦 = 5

Ι)

𝑥−𝑦 =3 } −2𝑥 + 2𝑦 = −6

Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά.

104

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διερεύνηση(2) Ο Κώστας υπολόγισε την τιμή του κάθε αντικειμένου στον πίνακα (1). Ο τρόπος που χρησιμοποίησε για τους υπολογισμούς του φαίνεται στον πίνακα (2). (α) Να εξηγήσετε τόσο λεκτικά όσο και αλγεβρικά τον τρόπο σκέψης του Κώστα, για να καταλήξει στα συμπεράσματά του, όπως φαίνονται στον πίνακα (2). (β) Ποια είναι η τιμή του κάθε αντικειμένου;

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ €40

€115

€169

ΠΙΝΑΚΑΣ 2

ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ €40

€35

€49

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

105

Μαθαίνω  Για τη διερεύνηση-λύση του συστήματος 𝜮: {

𝜜𝟏 𝒙 + 𝜝𝟏 𝒚 = 𝜞𝟏 με 𝜝𝟏 , 𝜝𝟐 ≠ 0 , 𝜜𝟐 𝒙 + 𝜝𝟐 𝒚 = 𝜞𝟐

οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν ισοδύναμα στη μορφή: { 𝜜

𝒚 = 𝝀𝟏 𝒙 + 𝜷𝟏 . 𝒚 = 𝝀𝟐 𝒙 + 𝜷𝟐

𝜜

όπου 𝝀𝟏 = − 𝜝𝟏 και 𝝀𝟐 = − 𝜝𝟐 , 𝜝𝟏 , 𝜝𝟐 ≠ 𝟎 είναι οι κλίσεις των δύο 𝟏

𝟐

ευθειών: Τότε το σύστημα 𝜮: (i)

Θα έχει μοναδική λύση, αν 𝝀𝟏 ≠ 𝝀𝟐 . (οι δύο ευθείες 𝜺𝟏 , 𝜺𝟐 τέμνονται σε ένα μόνο σημείο και η λύση του συστήματος είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των 2 ευθειών).

(ii)

Δεν θα έχει καμία λύση, αν 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 και 𝜷𝟏 ≠ 𝜷𝟐 . (Αδύνατο σύστημα) (οι δύο ευθείες 𝛆𝟏 , 𝛆𝟐 είναι παράλληλες).

(iii)

Θα έχει άπειρες λύσεις, αν 𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 και 𝜷𝟏 = 𝜷𝟐 . (οι δύο ευθείες 𝛆𝟏 , 𝛆𝟐 ταυτίζονται (συμπίπτουν)).

Σημείωση Αν στο γραμμικό σύστημα 𝜮: {

𝜜𝟏 𝒙 + 𝜝𝟏 𝒚 = 𝜞𝟏 το 𝜝𝟏 = 𝟎, τότε το σύστημα μπορεί να 𝜜𝟐 𝒙 + 𝜝𝟐 𝒚 = 𝜞𝟐

πάρει μία από τις μορφές: 𝑥=𝜅  𝛴1 : { 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝛽 , αν 𝜝𝟐 ≠ 𝟎 (Θα έχει μοναδική λύση, για οποιεσδήποτε τιμές των 𝜿, 𝝀, 𝜷). ή 𝑥=𝜅  𝛴2 : { 𝑥 = 𝜇 , αν 𝜝𝟐 = 𝟎 (θα έχει άπειρες λύσεις για 𝜿 = 𝝁, ενώ θα είναι αδύνατο για 𝜿 ≠ 𝝁). Ανάλογα, προκύπτουν αντίστοιχες μορφές συστημάτων αν 𝜜𝟏 = 𝟎 , ή 𝜜𝟐 = 𝟎.

106

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

𝛼1 𝑥 + 𝛽1 𝑦 + 𝛾1 𝑧 = 𝛿1 𝛼  Το σύνολο τριών εξισώσεων της μορφής { 2 𝑥 + 𝛽2 𝑦 + 𝛾2 𝑧 = 𝛿2 , ονομάζεται γραμμικό 𝛼3 𝑥 + 𝛽3 𝑦 + 𝛾3 𝑧 = 𝛿3 σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. (Οι συντελεστές 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 , 𝛾1 , 𝛾2 , 𝛾3 των αγνώστων 𝑥, 𝑦, 𝑧 και οι σταθεροί όροι 𝛿1 , 𝛿2 , 𝛿3 είναι πραγματικοί αριθμοί). Το σύστημα μπορεί να επιλυθεί με διαδοχικές απαλοιφές του ίδιου αγνώστου, ώστε να καταλήξουμε σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Παραδείγματα 1.

Για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ ℝ το σύστημα {

𝑥 + 𝜆𝑦 = 9 3𝑥 + 𝜆2 𝑦 = 27

(α) Έχει μοναδική λύση (β) Έχει άπειρες λύσεις (γ) Δεν έχει καμία λύση Λύση: 1

𝑦 = −𝜆 ∙ 𝑥 + 𝜆 𝑥 + 𝜆𝑦 = 9 Το σύστημα { γράφεται στη μορφή { 3 27 3𝑥 + 𝜆2 𝑦 = 27 𝑦 =− ∙𝑥+ 𝜆2

𝜆2

μόνο όταν 𝝀 ≠ 𝟎. 1

(α) Το σύστημα έχει μοναδική λύση, όταν − 𝜆 ≠ − 𝜆2 ⟹ 𝜆2 ≠ 3𝜆 ⟹ 𝜆 ≠ 0 και 𝜆 ≠ 3. 𝑥=9 (β) Αν 𝜆 = 0, το σύστημα γίνεται { και παριστάνει δύο ευθείες που 3𝑥 = 27 συμπίπτουν. Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. 𝑥 + 𝜆𝑦 = 9 Aν 𝜆 = 3, το σύστημα { γίνεται 3𝑥 + 𝜆2 𝑦 = 27 𝑥 + 3𝑦 = 9 𝑥 + 3𝑦 = 9 ⟺{ . 3𝑥 + 9𝑦 = 27 𝑥 + 3𝑦 = 9 (γ) Δεν υπάρχουν τιμές του 𝝀, ώστε το σύστημα να γίνεται αδύνατο. {

(Για 𝝀 = 𝟎 , 𝝀 = 𝟑 προκύπτουν συστήματα με άπειρες λύσεις, ενώ για 𝝀 ≠ 𝟎, 𝝀 ≠ 𝟑 προκύπτουν συστήματα με μοναδική λύση). 2. Να λύσετε το σύστημα 𝛴: {

𝜆𝑥 + 2𝑦 = 3 για λ ∈ ℝ. 𝑥+𝑦 =6

Λύση: 1ος τρόπος 𝜆

Οι δύο εξισώσεις μπορούν να γραφούν στη μορφή {

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

𝑦 = −2𝑥 + 2 . 𝑦 = −𝑥 + 6

107

Οι δύο εξισώσεις παριστάνουν ευθείες με κλίσεις 𝜆1 = −

𝜆 2

και 𝜆2 = −1. 𝜆

 Το σύστημα 𝛴 θα έχει μοναδική λύση, αν 𝜆1 ≠ 𝜆2 , δηλαδή − 2 ≠ −1 ⟹ 𝜆 ≠ 2 𝛴: {

𝜆𝑥 + 2𝑦 = 3 𝑥+𝑦 =6

⟺ {

𝜆𝑥 + 2𝑦 = 3 (πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί −2). −2𝑥 − 2𝑦 = −12

⟺ (𝜆 − 2)𝑥 = −9 (προσθέτουμε κατά μέλη) 9

⟺ 𝑥 = − 𝜆−2 , λ ≠ 2 , (αντικαθιστούμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις) 9

𝑥 = − 𝜆−2

} ⟺ − 𝜆−2 + 𝑦 = 6 ⟺ 𝑦 = 6 − (− 𝜆−2) 𝑥+𝑦 =6 9

⟺ 𝑦 = 6 − (− 𝜆−2) =

6λ−3 λ−2

, λ ≠ 2. 3

𝑦 = −𝑥 + 2 . 𝑦 = −𝑥 + 6 Το σύστημα είναι αδύνατο (καμία λύση), γιατί οι ευθείες είναι παράλληλες αφού 𝜆1 = 𝜆2 = −1 𝜅𝛼𝜄 𝛽1 ≠ 𝛽2 .

 Αν λ = 2 οι εξισώσεις γίνονται {

2ος τρόπος {

𝜆𝑥 + 2𝑦 = 3 𝜆𝑥 + 2𝑦 = 3 ⟺{ 𝑥+𝑦 =6 𝑦 =6−𝑥

𝜆𝑥 + 2(6 − 𝑥) = 3 ⟺ (𝜆 − 2)𝑥 = −9 (Μέθοδος της αντικατάστασης) 9

Αν λ ≠ 2 ⟹ 𝑥 = − 𝜆−2 και 𝑦 = 6 − 𝑥 = 6 + 𝜆−2 =

6λ−3 λ−2 9

Επομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση 𝑥 = − 𝜆−2, 𝑦 =

6λ−3 λ−2

με λ ≠ 2.

Η εξίσωση (𝜆 − 2)𝑥 = −9 είναι αδύνατη, όταν λ = 2 και επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. 3.

108

Να βρείτε την τιμή του κ, κ ∈ ℝ, ώστε το πιο κάτω σύστημα να έχει λύση και στη συνέχεια να αναφέρετε τη θέση των ευθειών που παριστάνουν οι τρεις εξισώσεις. 𝑥 + 3𝑦 = 10 { 𝜅𝑥 + 𝑦 = 2𝜅 . 2𝑥 + 5𝑦 = 17

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Λύση: 𝑥 + 3𝑦 = 10 −2𝑥 − 6𝑦 = −20 ⟺{ ⟺ 𝒚 = 𝟑 , 𝒙 = 𝟏. 2𝑥 + 5𝑦 = 17 2𝑥 + 5𝑦 = 17 Η λύση (1,3) θα πρέπει να επαληθεύει και την 3η εξίσωση 𝜅𝑥 + 𝑦 = 2𝜅. Επομένως, 𝜅 ∙ 1 + 3 = 2𝜅 ⟺ 𝜿 = 𝟑. Γεωμετρικά, έχουμε τις τρεις ευθείες: 𝑥 + 3𝑦 = 10 { 3𝑥 + 𝑦 = 6 να περνούν από το σημείο (1,3). 2𝑥 + 5𝑦 = 17 {

Σημείωση: Κάθε σύστημα, που έχει τουλάχιστον μία λύση, ονομάζεται συμβιβαστό.

Να

λύσετε

το

πιο

κάτω

σύστημα τριών εξισώσεων 𝑎+𝛽+𝛾 =2 { 2𝛼 + 5𝛽 = 10 −3𝛼 + 2𝛾 = 21

με

τρεις

αγνώστους

Λύση: Παρατηρούμε ότι η 2η εξίσωση δεν περιλαμβάνει τον άγνωστο 𝛾, οπότε απαλείφουμε το γ από την 1η και την 3η εξίσωση. Πολλαπλασιάζουμε επί −2 την 1η εξίσωση και προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις. 𝑎 + 𝛽 + 𝛾 = 2 −2 | ⟺ −3𝛼 + 2𝛾 = 21 1

−2𝑎 − 2𝛽 − 2𝛾 = −4 −3𝛼 + 2𝛾 = 21 −5𝛼 − 2𝛽 = 17

Επιλέγουμε τις δύο εξισώσεις με άγνωστους τα 𝛼 και 𝛽 και επιλύουμε ως προς 𝛼 και 𝛽 2𝛼 + 5𝛽 = 10 5 | −5𝛼 − 2𝛽 = 17 2

10𝛼 + 25𝛽 = 50 + −10𝛼 − 4𝛽 = 34 21𝛽 = 84 ⟺𝛽=4

Αντικαθιστούμε το 𝛽 = 4 στη 2𝛼 + 5𝛽 = 10 ⇒ 2𝛼 + 20 = 10 ⇒ 𝛼 = −5. Αντικαθιστούμε 𝛼 = −5, 𝛽 = 4 στην 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 2 ⇒ 𝛾 = 3. Επομένως, η λύση του συστήματος είναι (𝛼 = −5, 𝛽 = 4, 𝛾 = 3).

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

109

Δραστηριότητες 1. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των πιο κάτω συστήματων −3𝑥 + 2𝑦 = 6 𝑥 + 3𝑦 = 17 𝑥 + 3𝑦 = 10 (β) { (γ) { (α) { 3𝑥 − 2𝑦 = 12 2𝑥 + 6𝑦 = 34 𝑥 + 5𝑦 = 16 2. Να σημειώσετε στον πίνακα δίπλα από κάθε σύστημα, την κατάλληλη από τις πιο κάτω εκφράσεις: i. Έχει μοναδική λύση ii. Δεν έχει λύση iii. Έχει άπειρες λύσεις (α) {

𝒙=𝟎 𝒚=𝟐

(β) {

𝟐𝒚 = 𝟒 𝟑𝒚 = 𝟓

(γ) {

𝟐𝒙 = 𝟒 𝟑𝒙 = 𝟔

(δ) {

𝒙=𝟎 𝒚=𝟎

(ε) {

𝒙+𝒚=𝟎 𝒙+𝒚=𝟑

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 𝒙−𝒚=𝟐 𝒙+𝒚=𝟎 (ζ) { 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎 (στ) {

𝜆𝑥 + 3𝑦 = 6 έχει άπειρες λύσεις; 6𝑥 + 2𝑦 = 𝜅 − 2 4. Να διερευνήσετε και να λύσετε τα συστήματα για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, λ ∈ ℝ. 2𝑥 − 4𝑦 = −4 𝜆𝑥 + 𝑦 = 4 (α) { (β) { 𝑥 + 𝜆𝑦 = 5 𝑥 + 𝑦 = 4𝜆 𝜆𝑥 + 4𝑦 = 6 𝜆𝑥 + (𝜆 + 6)𝑦 = 6 (γ) { (δ) { 𝑥 + 2𝑦 = −2 𝑥 + 𝜆𝑦 = −2 3. Για ποιες τιμές των 𝜅 και 𝜆 το σύστημα {

110

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

5. Να γράψετε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, που (α) να έχει μοναδική λύση το (1, −3). (β) να είναι αδύνατο και η μία εξίσωσή του να είναι 𝑥 + 5𝑦 = 4. (γ) να έχει άπειρες λύσεις. 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των κ και λ , αν το σύστημα {

𝜅𝑥 + 𝜆𝑦 = 𝜆 − 2𝜅 + 35 έχει 2𝜆𝑥 + 𝜅𝑦 = 𝜅 + 3𝜆

λύση το (1, −1). 7. Να βρείτε την τιμή του 𝛼 και 𝛽 ώστε τα πιο κάτω συστήματα να έχουν την ίδια λύση (να είναι ισοδύναμα). 𝛼𝑥 + 2𝑦 = 8 2𝑥 + 5𝑦 = 9 { και { . 3𝑥 + 4𝑦 = 10 5𝑥 + 𝛽𝑦 = 3

8. Ποια από τα πιο κάτω συστήματα είναι συμβιβαστά; 3𝑥 + 19𝑦 = 2 (α) { 𝑥 + 2𝑦 = 5 𝑥 − 2𝑦 = 9 (γ) {

𝑥+𝑦 =0 2𝑥 + 𝑦 = 0

2𝑥 + 3𝑦 = 2 (β) { 𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 − 5𝑦 = 1 (δ) {

4𝑥 + 𝑦 = 0 12𝑥 + 3𝑦 = 0

𝜆𝑥 + 2𝑦 = 20 9. Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ℝ, ώστε το σύστημα: {−7𝑥 + 𝑦 = 12 να είναι συμβιβαστό. 7𝑥 + 5𝑦 = 18 10. Δίνονται οι ευθείες (𝜀1 ) και (𝜀2 ) με εξισώσεις 2𝑥 + 3𝑦 = 13 και 3𝑥 + 4𝑦 = 18, αντίστοιχα. Χωρίς να κατασκευάσετε τις ευθείες (α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους Α. (β) Να εξετάσετε κατά πόσο η ευθεία 5𝑥 − 𝑦 = 7 περνά από το σημείο Α. (γ) Να υπολογίσετε την τιμή του 𝜆, ώστε και η ευθεία 𝑦 = 𝜆𝑥 + 7 να περνά από το σημείο Α. 11. Να γράψετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με δύο αγνώστους που να είναι συμβιβαστό και ένα που να μην είναι συμβιβαστό, αν οι δύο από τις τρεις εξισώσεις −𝑥 + 𝑦 = 5 είναι: { . 𝑥 − 3𝑦 = −1

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

111

12. Να βρείτε πόσο κοστίζει το καθένα από τα πιο κάτω αντικείμενα. Οι συνολικές τιμές των αντικειμένων αναγράφονται οριζόντια. ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ €400

€634

€30 13. Το άθροισμα της μεγαλύτερης και της μικρότερης γωνίας ενός τριγώνου είναι διπλάσιο από την άλλη γωνία. Αν η μεγαλύτερη γωνία είναι 18𝜊 μεγαλύτερη από την αμέσως μικρότερη γωνία του τριγώνου, να υπολογίσετε τα μέτρα των τριών γωνιών του τριγώνου. 14. Η καμπύλη (𝛫) με εξίσωση 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾 = 0 περνά από τα σημεία με συντεταγμένες (−1,1), (5 ,1), (2, 4). (α) Να βρείτε τα 𝛼, 𝛽, 𝛾 και (β) Να αποδείξετε ότι το σημείο (2, −2 ) βρίσκεται πάνω στην καμπύλη (Κ). 15. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

112

𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 12 (α) { 3𝑥 + 2𝑧 = 5 4𝑧 = 4

𝑥 + 2𝑦 − 4𝑡 = −7 (β) { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 3 −𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 8

𝑥 + 𝑦 + 8𝑧 = 19 (γ) { 𝑥 + 8𝑦 + 𝑧 = 23 8𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 28

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝜔 = 1 (δ) { 4𝑥 + 3𝑦 − 8𝜔 = 1 𝑥 − 6𝑦 + 2𝜔 = −1

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Δραστηριότητες Ενότητας 1.

Δίνεται η εξίσωση: (𝜇 − 1)(𝜇 − 2)𝑥 = (𝜇 − 1)(𝜇 + 2), 𝜇 ∈ ℝ. Να λύσετε την εξίσωση όταν: (α) 𝜇 = 3 (β) 𝜇 = 2 (γ) 𝜇 = 1.

Δίνεται η εξίσωση: (𝜅 2 − 1)𝑥 = (𝜅 2 − 𝜅 − 2), 𝜅 ∈ ℝ. (α) Να λύσετε την εξίσωση για 𝜅 = 1 και για 𝜅 = −1. (β) Για ποιες τιμές του 𝜅 η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Δίνεται η εξίσωση: (𝜅 2 − 4)𝑥 = (𝜅 2 + 𝜅 − 6), 𝜅 ∈ ℝ. (α) Να βρείτε την τιμή του 𝜅 ∈ ℝ, (αν υπάρχει), ώστε η εξίσωση να έχει λύση το 𝑥 = 2. (β) Για ποιες τιμές του 𝜅 η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (γ) Για ποιες τιμές του 𝜅 η εξίσωση είναι αδύνατη; (δ) Για ποιες τιμές του 𝜅 η εξίσωση είναι αόριστη;

Να λύσετε την εξίσωση (𝜅 2 − 4𝜅 − 21)𝑥 = (𝜅 2 − 49) για όλα τα 𝜅 ∈ ℝ.

Nα λύσετε και να διερευνήσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του𝜆 ∈ ℝ. (α) 𝜆𝑥 − 10 = 5𝜆 + 2𝑥 (β) 𝜆2 (𝑥 − 1) + 14𝜆 = 12(3𝑥 + 4)

Η ηλεκτρική αντίσταση 𝑅 (σε Ωμ) ενός σύρματος καθαρού μετάλλου σχετίζεται με τη Θερμοκρασία 𝛩 (σε βαθμούς Κελσίου) από τον τύπο: 𝑅 = 𝑅0 (1 + 𝛽 ∙ 𝛩), όπου 𝛽, 𝑅0 θετικές σταθερές. (α) Για ποια θερμοκρασία ισχύει 𝑅 = 𝑅0 ; (β) Αν υποθέσουμε ότι η αντίσταση είναι μηδέν, όταν 𝛩 = −2730 𝐶 (απόλυτο μηδέν), να βρείτε την τιμή του 𝛽. (γ) Το ασημένιο σύρμα έχει αντίσταση 1,25 𝛺𝜇 στους 00 𝐶. Σε ποια θερμοκρασία θα έχει αντίσταση 2 𝛺𝜇;

Δίνεται τετράγωνο 𝛢𝛣𝛤𝛥 με εμβαδόν ίσο με 𝜅 2 𝑐𝑚2 . (α) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Μ που βρίσκεται μεταξύ των Α και Δ, ώστε να ισχύει: 𝛦𝛢𝛭𝛣 = 2𝛦𝛥𝛭𝛤 . (β) Να δείξετε ότι για κάθε θέση του σημείου Μ μεταξύ των Α και Δ ισχύει: 𝛦𝛢𝛭𝛣 + 𝛦𝛥𝛭𝛤 = 𝛦𝛣𝛭𝛤

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

113

(α) Να γράψετε το σύστημα και τη λύση που παριστάνουν οι ευθείες 𝜀1 και 𝜀2 στο διπλανό σχήμα. (β) Να γράψετε και μια τρίτη εξίσωση με δύο αγνώστους, ώστε να δημιουργείται μαζί με τις δύο προηγούμενες εξισώσεις ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 2 αγνώστους που να είναι συμβιβαστό.

Αν το σύστημα : {

(𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛽𝑦 = 5 έχει λύση το (2,1), να υπολογίσετε τις (𝛼 − 5)𝑥 + (−𝛼 + 𝛽)𝑦 = 10

τιμές των 𝛼 και 𝛽. 10.

Για ποιες τιμές του 𝜆 ∈ ℝ το σύστημα {

2𝑥 + 𝜆𝑦 = 2𝜆 𝜆𝑥 + 2𝑦 = 𝜆2

(α) Έχει μοναδική λύση (β) Έχει άπειρες λύσεις (γ) Δεν έχει καμία λύση 11.

Να διερευνήσετε και να λύσετε τα συστήματα για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ , λ ∈ ℝ. (α) {

𝜆𝑥 − 𝑦 = 𝜆 − 1 𝜆2 𝑥 − 2𝑦 = 𝜆

(β) {

𝑥 + 𝜆𝑦 = 𝜆 𝜆𝑥 + (𝜆 + 6)𝑦 = 3𝜆

12.

Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 40 𝑐𝑚. Αν το μήκος του ελαττωθεί κατά 2 𝑐𝑚 και το πλάτος του αυξηθεί κατά 2 𝑐𝑚, τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 8 𝑐𝑚2 . Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

13.

Ο Ανδρέας έχει διπλάσια ηλικία από τον αδελφό του Βασίλη. Τέσσερα χρόνια πριν ο Ανδρέας είχε τετραπλάσια ηλικία από τον Βασίλη. Να γράψετε δύο εξισώσεις που να συνδέουν τις ηλικίες του Ανδρέα και του Βασίλη και να τις παραστήσετε γραφικά. Να βρείτε τις ηλικίες των δύο παιδιών από τη γραφική παράσταση.

14.

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και το μήκος της διακέντρου τους είναι 40 𝑐𝑚. Αν οι ακτίνες των δύο κύκλων έχουν λόγο 2 προς 3, να βρείτε τα μήκη τους.

114

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

15.

Να εξετάσετε κατά πόσο τα συστήματα είναι συμβιβαστά.

2𝑥 + 3𝑦 = 5 (α) { 4𝑥 + 5𝑦 = 9 𝑥−𝑦 =2

16.

17.

18.

𝑥 + 5𝑦 = 0 2𝑥 − 5𝑦 = 15 (β) { 3𝑥 + 2𝑦 = 9 5𝑥 − 2𝑦 = 31

𝜅𝑥 + (𝜅 + 1)𝑦 = 11 𝑥 − 2𝑦 = 5 Να βρείτε την τιμή του κ ∈ ℝ, ώστε το σύστημα: { να είναι 3𝑥 + 4𝑦 = 5 συμβιβαστό. 𝑥 − 4𝑦 = 13 2𝑥 Αν το σύστημα: { − 3𝑦 = 11 είναι συμβιβαστό, να υπολογίσετε την τιμή της 𝜅𝑥 + 𝜆𝑦 = 10 παράστασης 𝛢 = 𝜅 2 + 9𝜆2 + 100 − 6𝜅𝜆. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −2 (α) { 𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 3 3𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 25

𝑥+𝑦+𝑡 =0 (β) { 2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑡 = 5 3𝑥 + 5𝑦 − 7𝑡 = −2

𝑎 − 2𝛽 + 3𝛾 = 0 (γ) { 2𝛼 − 3𝛽 − 𝛾 = 0 3𝛼 − 5𝛽 + 2𝛾 = 0

10𝑥 + 𝑦 + 𝜔 = 27 (δ) { 𝑥 + 10𝑦 + 𝜔 = 36 𝑥 + 𝑦 + 10𝜔 = 45

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

115

Ασκήσεις Εμπλουτισμού 1.

Αν η εξίσωση 𝑎(𝑥 + 1) + 𝛽(𝑥 + 2) = 4 έχει λύση το 𝑥 = 3, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 8𝛼 + 10𝛽.

Δίνεται η εξίσωση: 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3). Για ποιες τιμές του 𝑥 η εξίσωση είναι: (α) Αδύνατη; (β) Αόριστη;

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 𝛼 2 𝑥 + 1 = 𝑎4 − 𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ, έχει πάντα μοναδική λύση και να τη βρείτε.

Να λύσετε και να διερευνήσετε τις πιο κάτω ανισώσεις για όλα τα 𝜆 ∈ ℝ. (α) 𝜆2 (𝑥 − 3) = 𝑥 + 3𝜆 (β) (𝜆4 − 9𝜆2 )𝑥 + 3𝜆 − 𝜆2 = 0

Η εξίσωση (𝜅 2 − 𝜅 − 2)𝑥 = 𝜅 + 6 έχει μοναδική λύση το 𝑥 = 1. Να υπολογίσετε τις πιθανές τιμές του 𝜅.

Αν οι ευθείες {

𝑦 = 𝛼1 𝑥 + 𝛽1 είναι παράλληλες, να αναφέρετε το είδος του 𝑦 = 𝑎2 𝑥 + 𝛽2

συστήματος: 𝑦 = 𝛼1 𝑥 + 𝛽1 (α) { 𝑦 = 𝑎2 𝑥 + 𝛽2

(β) {

𝑦 = (𝛼1 + 1)𝑥 + 𝛽1 + 2 𝑦 = (𝑎2 + 1)𝑥 + 𝛽2 + 2

(γ) {

𝑦 = (𝛼1 + 1)𝑥 + 𝛽1 + 2 𝑦 = (𝑎2 + 1)𝑥 + 𝛽2 + 3

𝑦 = (𝛼 2 − 9)𝑥 + 𝛽 . Να βρείτε για ποιες τιμές των 𝑦 = 16𝑥 + 8 − 𝛽 πραγματικών αριθμών 𝛼 και 𝛽 οι ευθείες: (α) Τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. Δίνονται

οι ευθείες {

(β) Συμπίπτουν. (γ) Είναι παράλληλες.

116

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Να λύσετε και να διερευνήσετε πλήρως τα συστήματα αν 𝛼 , 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ. 𝑥+𝑦 =2 (α) { 𝛼𝑥 + 2𝑦 = 𝛽

(β)

{

𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛾 𝛼 𝑥 + 𝛽2𝑦 = 𝛾 2 2

Ο Ανδρέας για να αγοράσει μια σοκολάτα χρειάζεται ακόμη 51 σεντ, ενώ ο Γιάννης για να αγοράσει την ίδια σοκολάτα χρειάζεται ακόμη 45 σεντ. Αν και οι δύο μαζί ενώσουν τα λεφτά που κρατούν, τότε μπορούν να αγοράσουν τη σοκολάτα και να τους περισσέψουν και 2 σεντ. Να βρείτε πόσα λεφτά κρατούσε το κάθε παιδί και πόσο ήταν η αξία της σοκολάτας.

10. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 19 {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 19

Τι παρατηρείτε όταν έχουμε λιγότερες εξισώσεις από τους αγνώστους; 11. Να σχηματίσετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους που: (α) να έχει μοναδική λύση το (1,2,3). (β)

να έχει άπειρες λύσεις της μορφής (𝜆, 2𝜆, 3𝜆), 𝜆 ∈ ℝ.

(γ)

να είναι αδύνατο.

12. Αν το σύστημα {

𝛼1 𝑥 = 𝛽1 𝛼 , 𝛼 , 𝛽 , 𝛽 ∈ ℝ είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι 𝛼2 𝑥 = 𝛽2 1 2 1 2

𝛼1 𝛽2 − 𝛼2 𝛽1 = 0.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

117

13. Να λύσετε το σύστημα 1 1 5 + = 𝑥 𝑦 6 1 1 7 𝛴1 : + = 𝑦 𝑧 12 1 1 3 { 𝑧+𝑥 =4 14. Ένας τριψήφιος αριθμός έχει άθροισμα ψηφίων 16. Αν αλλάξουμε το ψηφίο των μονάδων με το ψηφίο των εκατοντάδων, προκύπτει αριθμός κατά 198 μεγαλύτερος. Αν αλλάξουμε το ψηφίο των δεκάδων με το ψηφίο των μονάδων, προκύπτει αριθμός κατά 27 μικρότερος. Να βρείτε τον αριθμό. 15. Να υπολογίσετε τα 𝛼, 𝛽 και 𝛾 αν για τη συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 4 + 𝛽𝑥 2 + 𝛾 ισχύει 𝑓(1) = 0 , 𝑓(2) = 6 και 𝑓(3) = 56.

118

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ενότητα

Τριγωνομετρία

Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε:

 Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

 Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών.  Τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο. 

Τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και να εξετάζουμε, αν μια συνάρτηση είναι περιοδική.

 Τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.  Τις σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών που έχουν άθροισμα ή διαφορά 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

119

Τριγωνομετρία

120

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Λύση Προβλήματος ΠΛΟΙΑ ΜΕ ΠΑΝΙΑ Ενενήντα πέντε τοις εκατό του παγκόσμιου εμπορίου, διακινείται θαλάσσια, από περίπου 50 000 πετρελαιοφόρα, φορτηγά πλοία και πλοία μεταφοράς εμπορευματοκιβωτίων. Τα περισσότερα από αυτά τα πλοία χρησιμοποιούν πετρέλαιο για την κίνησή τους.

Οι μηχανικοί σχεδιάζουν να αναπτύξουν μηχανισμούς αεροδυναμικής υποστήριξης των πλοίων. Η εισήγησή τους εστιάζεται στη χρήση πανιών στα πλοία, ώστε να αξιοποιείται η δύναμη του ανέμου. Αυτό θα οδηγήσει σε μείωση της κατανάλωσης αργού πετρελαίου και της επίδρασης των καυσίμων στο περιβάλλον. Ερώτηση 1: ΠΛΟΙΑ ΜΕ ΠΑΝΙΑ Ένα πλεονέκτημα της χρήσης πανιών ναυσιπλοΐας είναι ότι το πανί υπερίπταται σε ύψος 150 m. Σε αυτό το ύψος, η ταχύτητα του ανέμου είναι κατά προσέγγιση 25% μεγαλύτερη από την ταχύτητα στο κατάστρωμα του πλοίου. Με ποια, κατά προσέγγιση, ταχύτητα πνέει ο άνεμος στο πανί, όταν η ταχύτητα του ανέμου στο κατάστρωμα ενός πλοίου μεταφοράς εμπορευματοκιβωτίων είναι 24 km/h; Α Β Γ Δ Ε

6 km/h 18 km/h 25 km/h 30 km/h 49 km/h

Ερώτηση 2: ΠΛΟΙΑ ΜΕ ΠΑΝΙΑ Πόσο περίπου πρέπει να είναι το μήκος του σχοινιού του πανιού, για να ρυμουλκεί το πλοίο υπό γωνία 45° και να βρίσκεται κατακόρυφα σε ύψος 150 m, όπως φαίνεται στο διάγραμμα; Α 173 m Β 212 m Γ 285 m Δ 300 m

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σχοινί

150 𝑚 45°

90°

Σημείωση: Το διάγραμμα δεν είναι υπό κλίμακα. © by skysails

121

Ερώτηση 3: ΠΛΟΙΑ ΜΕ ΠΑΝΙΑ Λόγω του υψηλού κόστους του αργού πετρελαίου, το οποίο κοστίζει 0,42 ζετς το λίτρο, οι ιδιοκτήτες του πλοίου Νέο Κύμα σκέφτονται να εξοπλίσουν το πλοίο τους με πανιά ναυσιπλοΐας. Υπολογίζεται ότι ένα τέτοιο πανί, μπορεί να περιορίσει την κατανάλωση αργού πετρελαίου συνολικά γύρω στο 20%. Όνομα: Νέο Κύμα Είδος: Μεταφοράς εμπορευματοκιβωτίων Μήκος: 117 μέτρα Πλάτος: 18 μέτρα Χωρητικότητα: 12 000 τόνοι Μέγιστη ταχύτητα: 19 κόμβοι Ετήσια κατανάλωση πετρελαίου χωρίς τη χρήση πανιού: περίπου 3 500 000 λίτρα

Το κόστος εξοπλισμού του πλοίου Νέο Κύμα με ένα πανί είναι 2 500 000 ζετς. Μετά από πόσα χρόνια η εξοικονόμηση από την κατανάλωση αργού πετρελαίου θα καλύψει το κόστος του πανιού; Να υποστηρίξεις την απάντησή σου με τους απαραίτητους υπολογισμούς. Αριθμός ετών: ......................................... PISA 2012

122

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Γωνία σε Κανονική Θέση Το Ακτίνιο ως Μονάδα Μέτρησης Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας σε Κανονική Θέση

Διερεύνηση (1) 

Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Motorcycles.ggb».  Οι μοτοσυκλετιστές 𝛢 και 𝛣 βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία πάνω στον θετικό ημιάξονα 𝛰𝑋 και κινούνται κυκλικά γύρω από την αρχή των αξόνων 𝛰.  Τα κουμπιά

ξεκινούν και σταματούν την κίνηση των μοτοσυκλετιστών.  Να επιλέξετε τα πιο πάνω κουμπιά διαδοχικά και να περιγράψετε τη θέση του κάθε μοτοσυκλετιστή και τον τρόπο που κινείται.

Διερεύνηση (2) 

Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Rad.ggb».  Να επιλέξετε τον δρομέα με την ένδειξη «𝑅» για να αλλάξετε την ακτίνα του κύκλου.  Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου 𝛤𝛥 για διάφορες τιμές της ακτίνας «𝑅» και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. 𝒂 𝜶° 𝑹 𝜸 = 𝟐𝝅𝑹 ∙ ° 𝟑𝟔𝟎 𝟓𝟕, 𝟐𝟗𝟓𝟕𝟖° 2,3 2,3

 Τι παρατηρείτε για το μήκος του τόξου;

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

123

Μαθαίνω 

Μια γωνία λέγεται ότι είναι σε κανονική θέση, αν η αρχική της πλευρά συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων.



Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε θετικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται θετική γωνία.



Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή σύμφωνα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε αρνητικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται αρνητική γωνία. π.χ.



Το μέτρο μιας γωνίας μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ. π.χ. −725°, 22,76°, 399°, 1028°, …

124



Τόξο ενός ακτινίου (𝟏 𝒓𝒂𝒅) λέγεται ένα τόξο 𝛢𝛣 ενός κύκλου με ακτίνα 𝑅 που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα 𝑅 του κύκλου.



Ακτίνιο (𝟏 𝒓𝒂𝒅) είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ



Από τον ορισμό προκύπτει η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών: 𝜶 𝝁 = 𝝅 𝟏𝟖𝟎 Όπου 𝜇 είναι το μέτρο σε μοίρες και 𝛼 το μέτρο σε ακτίνια (𝑟𝑎𝑑) μιας γωνίας 𝜔. Απόδειξη: Έστω ότι μια γωνία 𝜔 είναι 𝜇° και 𝛼 𝑟𝑎𝑑. Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας 𝑅 είναι 2𝜋𝑅, οπότε η γωνία 360° είναι ίση με 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 Η γωνία 1 𝑟𝑎𝑑 είναι ίση με

360 2𝜋

μοίρες

Επομένως η γωνία 𝛼 𝑟𝑎𝑑 είναι ίση με 𝛼 ∙

180 μοίρες. 𝜋

Επειδή η γωνία 𝜔 είναι 𝜇°, ισχύει ότι 𝜇 = 𝛼 ∙



180 , 𝜋

οπότε έχουμε:

Παράδειγμα: 𝛼 Αν 𝜃 = 135°, τότε η γωνία σε ακτίνια είναι ίση με: 𝜋 =

135 180

𝛼 𝜋

⇔𝛼=

𝜇 180

3𝜋 4

𝑟𝑎𝑑

Η γωνία 𝜃 είναι σε κανονική θέση και το σημείο 𝛢(𝑥, 𝑦), το οποίο διαφέρει από την αρχή των αξόνων 𝛰(0,0), είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Η απόσταση του σημείου 𝛢(𝑥, 𝑦) από την αρχή των αξόνων είναι ίση με 𝜌, όπου 𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝜌 > 0. Αν η γωνία 𝜃 είναι οξεία, τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 𝜽 είναι: 𝜼𝝁𝜽 =

𝒚 𝝆

𝝈𝝊𝝂𝜽 =

𝒙 𝝆

𝜺𝝋𝜽 =

𝒚 𝒙

Παράδειγμα: Στο σχήμα το σημείο 𝛢(4,3) είναι στην τελική πλευρά της γωνίας 𝜃. 𝜌 = √32 + 42 = 5 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 𝜃 είναι: 𝑦

𝑥

𝑦

𝜂𝜇𝜃 = 𝜌 = 5, 𝜎𝜐𝜈𝜃 = 𝜌 = 5 και 𝜀𝜑𝜃 = 𝑥 = 4

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

125

Οι ορισμοί για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 𝜃 είναι συνεπείς με τους ορισμούς που έχουν δοθεί για την οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο. Γενικεύοντας τα πιο πάνω, ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας 𝜃.

𝒚

𝜼𝝁𝜽 = 𝝆

𝒙

𝝈𝝊𝝂𝜽 = 𝝆

𝒚

𝜺𝝋𝜽 = 𝒙

όπου 𝝆 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 , 𝝆 > 𝟎 Παράδειγμα: Στο σχήμα το σημείο 𝛢(−4,3) είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας 𝜃. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 𝜃 είναι: 𝑦 3 𝑥 −4 4 𝜂𝜇𝜃 = 𝜌 = 5, 𝜎𝜐𝜈𝜃 = 𝜌 = 5 = − 5 και 𝑦

𝜀𝜑𝜃 = 𝑥 = −4 = − 4 

Συνεφαπτομένη της γωνίας 𝜃 ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό 1 , 𝜀𝜑𝜃 ≠ 0 και τον συμβολίζουμε με 𝝈𝝋𝜽, δηλαδή: 𝜀𝜑𝜃

𝝈𝝋𝜽 = 

Τέμνουσα της γωνίας 𝜃 ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό και τον συμβολίζουμε με 𝝉𝜺𝝁𝜽, δηλαδή: 𝝉𝜺𝝁𝜽 =



𝟏 𝜺𝝋𝜽

126

, 𝜎𝜐𝜈𝜃 ≠ 0

𝟏 𝝈𝝊𝝂𝜽

Συντέμνουσα της γωνίας 𝜃 ορίζουμε τον τριγωνομετρικό 1 , 𝜂𝜇𝜃 ≠ 0 και τον συμβολίζουμε με 𝝈𝝉𝜺𝝁𝜽, δηλαδή: 𝜂𝜇𝜃 𝝈𝝉𝜺𝝁𝜽 =



1 𝜎𝜐𝜈𝜃

αριθμό

𝟏 𝜼𝝁𝜽

Η κλίση 𝝀 της ευθείας (𝜀) ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας 𝜔 που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των τετμημένων, δηλαδή 𝝀 = 𝜺𝝋𝝎, 𝟎° ≤ 𝝎 < 𝟏𝟖𝟎°.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Παραδείγματα 1. Να γράψετε δύο ζεύγη γωνιών οι οποίες είναι στην κανονική τους θέση και έχουν την ίδια τελική πλευρά και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση: Η γωνία 120° έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία −240°, αφού −240° = −360° + 120°.

Η γωνία 315° έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία 675°, αφού 675° = 360° + 315°.

2. Να εκφράσετε τη γωνία 60° σε ακτίνια. Λύση: 𝛼

Θέτουμε στον τύπο 𝜋 = Άρα 60° =

𝜋 3

𝜇 , 180

όπου 𝜇 = 60 και έχουμε

12𝜋 5

𝑟𝑎𝑑 σε μοίρες.

𝛼 𝜋

60 180

𝜋

⇔ 𝛼 = 3.

𝑟𝑎𝑑.

3. Να εκφράσετε τη γωνία Λύση: Θέτουμε στον τύπο 12𝜋 Άρα 5

𝛼 𝜋

𝜇 , 180

όπου 𝛼 =

12𝜋 5

και έχουμε

12𝜋 5

𝜋

𝜇 180

⇔𝜇=

12∙180 5

= 432°.

𝑟𝑎𝑑 = 432°.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

127

4. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 𝜃.

Λύση: Έχουμε το σημείο (−3, 4) με συντεταγμένες 𝑥 = −3 και 𝑦 = 4. Για να υπολογίσουμε το 𝜂𝜇𝜃 και το 𝜎𝜐𝜈𝜃, υπολογίζουμε την απόσταση 𝜌 του σημείου από την αρχή των αξόνων: 𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(−3)2 + 42 = √25 = 5 Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών έχουμε: 𝑦

𝜂𝜇𝜃 = 𝜌 = 5 𝑥

𝜎𝜐𝜈𝜃 = 𝜌 = 𝑦

𝜎𝜏𝜀𝜇𝜃 = 𝜂𝜇𝜃 = −3

= −5 4

𝜀𝜑𝜃 = 𝑥 = −3 = − 3

4 5

𝜏𝜀𝜇𝜃 = 𝜎𝜐𝜈𝜃 = 1

𝜎𝜑𝜃 = 𝜀𝜑𝜃 =

1 −

1 4 − 3

3 5

=4 5

= −3 3

= −4

5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο (−3, 4) και σχηματίζει γωνία 45° με τον άξονα των τετμημένων.

Λύση: Η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝛽. 𝜆 = 𝜀𝜑45° = 1 ⇒ 𝑦 = 1 ∙ 𝑥 + 𝛽 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝛽 . Οι συντεταγμένες του σημείου (−3, 4) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Άρα, έχουμε 4 = −3 + 𝛽 ⇒ 𝛽 = 4 + 3 = 7. Η εξίσωση της ευθείας είναι η 𝑦 = 𝑥 + 7.

128

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Δραστηριότητες 1. Να κατασκευάσετε τις πιο κάτω γωνίες σε κανονική θέση. 𝜋 (α) 100° (γ) 450° (β) − 𝑟𝑎𝑑

(δ) −210°

2. Να γράψετε δύο γωνίες που έχουν την ίδια τελική πλευρά με τις πιο κάτω γωνίες: 7𝜋 (α) 135° (β) −20° (γ) 𝑟𝑎𝑑 6

3. Να εκφράσετε τις γωνίες 30° , 45°, 90°, 120° σε ακτίνια. 4. Να εκφράσετε τις γωνίες

5𝜋 7𝜋 3𝜋 3

, 5𝜋 σε μοίρες.

5. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται οι γωνίες 𝜔 και 𝜑.

(α) Να συμπληρώσετε την πρόταση: Αν 𝛢𝛰̂𝛬 = 𝜔 τότε 𝜑 = ................ (β) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας 720° + 𝜔, αν είναι σε κανονική θέση. (γ) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας −360° + 𝜔, αν είναι σε κανονική θέση. 6. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 𝜃.

7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία περνά από την αρχή των αξόνων (0,0) και σχηματίζει γωνία 135° με τον άξονα των τετμημένων. 8. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία 3𝑥 + √3 𝑦 + 1 = 0 με τον άξονα των τετμημένων.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

129

Τριγωνομετρικός Κύκλος Διερεύνηση 

Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_TrigKyklos.ggb».  Δίνεται κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία ακεραία μονάδα.  Να επιλέξετε τον δρομέα «𝜔» για να δώσετε διάφορες τιμές στη γωνία 𝜔.  Να παρατηρήσετε τις τιμές των « 𝛨, 𝛴, 𝛦 » και να τις συνδέσετε με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 𝜂𝜇𝜔, 𝜎𝜐𝜈𝜔 και 𝜀𝜑𝜔.

Μαθαίνω  Τριγωνομετρικός κύκλος ονομάζεται ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία μονάδα.  Οι άξονες 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦′ χωρίζουν τον κύκλο σε τέσσερα τεταρτημόρια: 1ο τεταρτημόριο 0° < 𝜔 < 90° 2ο τεταρτημόριο 90° < 𝜔 < 180° 3ο τεταρτημόριο 180° < 𝜔 < 270° 4ο τεταρτημόριο 270° < 𝜔 < 360°

130

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

 Η τελική πλευρά μιας γωνίας 𝜔 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦) (𝛰𝛭 = 𝜌 = 1), τότε ισχύει: 𝝈𝝊𝝂𝝎 = 𝒙 = τετμημένη του σημείου 𝜧 𝜼𝝁𝝎 = 𝒚 = τεταγμένη του σημείου 𝜧  Από τα πιο πάνω προκύπτει −𝟏 ≤ 𝝈𝝊𝝂𝝎 ≤ 𝟏 και −𝟏 ≤ 𝜼𝝁𝝎 ≤ 𝟏 Ο άξονας των τετμημένων ονομάζεται άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξονας τεταγμένων ονομάζεται και άξονας ημιτόνων.

ότι: και των των

Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο 𝛰𝛣𝛭 έχουμε: 𝑦 𝑦 𝛣𝛭 𝜂𝜇𝜔 = 𝛰𝛭 = 𝜌𝛭 = 1𝛭 = 𝑦 𝜎𝜐𝜈𝜔 =

𝛰𝛣 𝛰𝛭

𝑥𝛭 𝜌

𝑥𝛭 1

=𝑥

 Η προέκταση της τελικής πλευράς μιας γωνίας 𝜔 η οποία τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦), τέμνει και την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο (1, 0), στο σημείο 𝛢, τότε ισχύει: 𝜏𝜀𝜏𝛼𝛾𝜇έ𝜈𝜂 𝜏𝜊𝜐 𝜎𝜂𝜇𝜀ί𝜊𝜐 𝛭 𝜀𝜑𝜔 = τεταγμένη του σημείου 𝛢 = 𝜏𝜀𝜏𝜇𝜂𝜇έ𝜈𝜂 𝜏𝜊𝜐 𝜎𝜂𝜇𝜀ί𝜊𝜐 𝛭  Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο (1, 0) ονομάζεται και άξονας των εφαπτομένων. Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο 𝛰𝛤𝛢 έχουμε: 𝑦 𝛢𝛤 𝜀𝜑𝜔 = 𝛰𝛤 = 1𝛢 = 𝑦𝛢

 Για να βρούμε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών 𝜂𝜇𝜔, 𝜎𝜐𝜈𝜔 και 𝜀𝜑𝜔, μελετούμε το πρόσημο των συντεταγμένων του σημείου τομής 𝛭(𝑥, 𝑦) της τελικής πλευράς της γωνίας 𝜔 με τον τριγωνομετρικό κύκλο.  Αν η γωνία 𝜔 έχει τελική πλευρά στο 1ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦) έχει 𝑥 > 0 και 𝑦 > 0. Συνεπώς, 𝜼𝝁𝝎 > 𝟎, 𝝈𝝊𝝂𝝎 > 𝟎, 𝜺𝝋𝝎 > 𝟎  Αν η γωνία 𝜔 έχει τελική πλευρά στο 2ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦) έχει 𝑥 < 0 και 𝑦 > 0. Συνεπώς, 𝜼𝝁𝝎 > 𝟎, 𝝈𝝊𝝂𝝎 < 𝟎, 𝜺𝝋𝝎 < 𝟎

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

131

 Αν η γωνία 𝜔 έχει τελική πλευρά στο 3ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦) έχει 𝑥 < 0 και 𝑦 < 0. Συνεπώς, 𝜼𝝁𝝎 < 𝟎, 𝝈𝝊𝝂𝝎 < 𝟎, 𝜺𝝋𝝎 > 𝟎  Αν η γωνία 𝜔 έχει τελική πλευρά στο 4ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦) έχει 𝑥 > 0 και 𝑦 < 0. Συνεπώς, 𝜼𝝁𝝎 < 𝟎, 𝝈𝝊𝝂𝝎 > 𝟎, 𝜺𝝋𝝎 < 𝟎  Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί 𝝈𝝉𝜺𝝁𝝎, 𝝉𝜺𝝁𝝎 και 𝝈𝝋𝝎 έχουν το ίδιο πρόσημο με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 𝜂𝜇𝜔, 𝜎𝜐𝜈𝜔 και 𝜀𝜑𝜔, αντίστοιχα.

 Με βάση τα πιο πάνω η εύρεση του προσήμου των τριγωνομετρικών αριθμών συνοψίζεται στον πιο κάτω μνημονικό κανόνα όπου:  Στο 1ο τεταρτημόριο όλοι οι τριγωνομετρικοί

αριθμοί

είναι

θετικοί (𝚶+ ).  Στο 2ο τεταρτημόριο θετικό είναι μόνο το ημίτονο (𝚮 + ) και η συντέμνουσα.  Στο 3ο τεταρτημόριο θετική είναι μόνο η εφαπτομένη (𝚬+ ) και η συνεφαπτομένη.  Στο 4ο τεταρτημόριο θετικό είναι μόνο το συνημίτονο (𝚺 + ) και η τέμνουσα.

132

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 0° τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο (1,0). Άρα, 𝜂𝜇0° = 0 (τεταγμένη του (1, 0)) 𝜎𝜐𝜈0° = 1 (τετμημένη του (1, 0)) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 90° τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο (0,1). Άρα, 𝜂𝜇90° = 1 (τεταγμένη του (0, 1)) 𝜎𝜐𝜈90° = 0 (τετμημένη του (0, 1)) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 180° τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο (−1,0). Άρα, 𝜂𝜇180° = 0 (τεταγμένη του (−1,0)) 𝜎𝜐𝜈180° = −1 (τετμημένη του (−1,0)) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 270° τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο (0, −1). Άρα, 𝜂𝜇270° = −1 (τεταγμένη του (0, −1)) 𝜎𝜐𝜈270° = 0 (τετμημένη του (0, −1)) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 360° τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο (1,0). Άρα, 𝜂𝜇360° = 0 (τεταγμένη του (1,0)) 𝜎𝜐𝜈360° = 1 (τετμημένη του (1,0))

𝜼𝝁 𝝈𝝊𝝂

𝟎° 0 1

𝟗𝟎° 1 0

𝟏𝟖𝟎° 0 −1

𝟐𝟕𝟎° −1 0

𝟑𝟔𝟎° 0 1

2. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας με μέτρο 117°. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 117° είναι στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα: 𝜂𝜇117° > 0 𝜎𝜐𝜈117° < 0 𝜀𝜑117° < 0 𝜏𝜀𝜇117° < 0 𝜎𝜏𝜀𝜇117° > 0 𝜎𝜑117° < 0

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

133

Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω σχέσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) (β) (γ)

Αν 𝜼𝝁𝜽 και 𝝈𝝊𝝂𝜽 είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε και η 𝜺𝝋𝜽 είναι αρνητικός αριθμός Δεν υπάρχει γωνία 𝜽 για την οποία να ισχύει 𝝈𝝊𝝂𝜽 < 𝟎 και 𝝉𝜺𝝁𝜽 > 𝟎. 𝝅 Αν 𝜽 ∈ [− 𝟐 , 𝟎], τότε το 𝝈𝝊𝝂𝜽 > 𝟎. Αν 𝜺𝝋𝜽 > 𝟎 και 𝝈𝝉𝜺𝝁𝜽 < 𝟎, τότε η τελική πλευρά της γωνίας 𝜽 είναι στο 4ο τεταρτημόριο.

(δ)

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

2. Το ημίτονο μιας γωνίας 𝜃 δεν μπορεί να είναι ίσο με: (α)

𝟏

(β) − 2

𝟐

(γ)

2 2

(δ) -

1 2

(ε)

3 2

3. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών με μέτρο 236°, −52°,

3𝜋 7

,−

4𝜋 3

4. Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας 𝜃, αν: (α) 𝜂𝜇𝜃 > 0 και 𝜎𝜐𝜈𝜃 < 0 (β) 𝜀𝜑𝜃 < 0 και 𝜎𝜐𝜈𝜃 < 0 (γ) 𝜏𝜀𝜇𝜃 > 0 και 𝜂𝜇𝜃 < 0 5. Αν ισχύει 𝜋 < 𝑥 <

134

3𝜋 2

, να αποδείξετε ότι 2𝜎𝜑𝑥 − 3𝜎𝜐𝜈𝑥 > 0.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Σχέσεις Μεταξύ των Τριγωνομετρικών Αριθμών που έχουν Άθροισμα ή Διαφορά 𝟎°, 𝟗𝟎°, 𝟏𝟖𝟎°, 𝟐𝟕𝟎°, 𝟑𝟔𝟎°

Διερεύνηση 

Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «AlykEn05_Trigonometriki_Synartisi.ggb» Δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος στο αριστερό μέρος της οθόνης.  Να επιλέξετε το «𝜂𝜇𝑥», στο δεξιό μέρος της οθόνης.  Να επιλέξετε τον δρομέα «𝛼» και να δώσετε διάφορες τιμές για τη γωνία 𝑥. Στη συνέχεια να επιλέξετε το « Εμφάνιση Γραφικής Παράστασης».  Να παρατηρήσετε τη γραφική παράσταση που εμφανίζεται.  Να επαναλάβετε τη διαδικασία επιλέγοντας το «𝜎𝜐𝜈𝑥» και το «𝜀𝜑𝑥», στο δεξιό μέρος της οθόνης και να παρατηρήσετε τη γραφική παράσταση που εμφανίζεται σε κάθε περίπτωση.  Να δώσετε μια συγκεκριμένη τιμή στη γωνία 𝑥, έτσι ώστε 0° < 𝑥 < 90° και να καταγράψετε τις τιμές των 𝜂𝜇𝑥, 𝜎𝜐𝜈𝑥, 𝜀𝜑𝑥 που εμφανίζονται στο αριστερό μέρος της οθόνης. Στη συνέχεια να καταγράψετε τις τιμές των 𝜂𝜇𝑥, 𝜎𝜐𝜈𝑥, 𝜀𝜑𝑥 για γωνίες που έχουν άθροισμα ή διαφορά 0°, 90°, 180°, 270°, 360° με τη γωνία 𝑥. Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση;

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

135

Mαθαίνω 

Μια συνάρτηση 𝑓 με πεδίο ορισμού το 𝛢, 𝛢 ⊆ ℝ, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός 𝛵 > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε 𝑥𝜖𝛢 να ισχύει: i. (𝑥 + 𝛵)𝜖𝛢, (𝑥 − 𝛵)𝜖𝛢 και ii. 𝑓(𝑥 + 𝛵) = 𝑓(𝑥 − 𝛵) = 𝑓(𝑥) Ο πραγματικός αριθμός 𝛵 λέγεται περίοδος της συνάρτησης 𝑓.



Όπως έχει οριστεί το 𝜂𝜇𝑥 στον τριγωνομετρικό κύκλο, η γωνία 𝑥 μετριέται σε ακτίνια (𝑟𝑎𝑑), για κάθε τιμή της γωνίας 𝑥 αντιστοιχεί μια μόνο τιμή του 𝜂𝜇𝑥. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση 𝒇(𝒙) = 𝜼𝝁𝒙 με πεδίο ορισμού το ℝ και πεδίο τιμών το [−1, 1] (−1 ≤ 𝜂𝜇𝑥 ≤ 1).  Οι γωνίες 𝑥 και 2𝜅𝜋 + 𝑥, 𝜅𝜖ℤ έχουν την ίδια τελική πλευρά. Επομένως 𝜂𝜇𝑥 = 𝜂𝜇(2𝜅𝜋 + 𝑥). Έτσι οι τιμές του 𝜂𝜇𝑥 επαναλαμβάνονται οι ίδιες σε διαστήματα πλάτους 2𝜋. Δηλαδή η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝜂𝜇𝑥 είναι περιοδική με περίοδο 2𝜋, όπου 2𝜋 είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2𝜋), ∀ 𝑥𝜖ℝ.  Η γραφική παράσταση της 𝑓(𝑥) = 𝜂𝜇𝑥, 𝑥𝜖ℝ δίνεται από το πιο κάτω σχήμα:



Όπως έχει οριστεί το 𝜎𝜐𝜈𝑥 στον τριγωνομετρικό κύκλο, η γωνία 𝑥 μετριέται σε ακτίνια (𝑟𝑎𝑑), για κάθε τιμή της γωνίας 𝑥 αντιστοιχεί μια μόνο τιμή του 𝜎𝜐𝜈𝑥. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση 𝒇(𝒙) = 𝝈𝝊𝝂𝒙 με πεδίο ορισμού το ℝ και πεδίο τιμών το [−1, 1] (−1 ≤ 𝜎𝜐𝜈𝑥 ≤ 1).  Οι γωνίες 𝑥 και 2𝜅𝜋 + 𝑥, 𝜅𝜖ℤ έχουν την ίδια τελική πλευρά. Επομένως 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 𝜎𝜐𝜈(2𝜅𝜋 + 𝑥). Έτσι οι τιμές του 𝜎𝜐𝜈𝑥 επαναλαμβάνονται οι ίδιες σε διαστήματα πλάτους 2𝜋. Δηλαδή η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝜎𝜐𝜈𝑥 είναι περιοδική με περίοδο 2𝜋, όπου 2𝜋 είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2𝜋), ∀ 𝑥𝜖ℝ.

136

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

 Η γραφική παράσταση της 𝑓(𝑥) = 𝜎𝜐𝜈𝑥, 𝑥𝜖ℝ δίνεται από το πιο κάτω σχήμα:



𝜋

Από τον ορισμό της εφαπτομένης γίνεται φανερό πως σε κάθε γωνία 𝑥𝜖ℝ με 𝑥 ≠ 𝜅𝜋 + , 2 𝜅𝜖ℤ, η γωνία 𝑥 μετριέται σε ακτίνια (𝑟𝑎𝑑), αντιστοιχεί ακριβώς ένας αριθμός 𝑦 ως 𝜋 εφαπτομένη. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥, 𝑥𝜖ℝ με 𝑥 ≠ 𝜅𝜋 + 2 , 𝜅𝜖ℤ. Το πεδίο τιμών της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥 είναι το ℝ. 𝜋  Επειδή η 𝜀𝜑𝑥 = 𝜀𝜑(𝑥 + 𝜅𝜋) ∀ 𝑥𝜖ℝ με 𝑥 ≠ 𝜅𝜋 + 2 , 𝜅𝜖ℤ, τότε η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥 είναι περιοδική με περίοδο 𝜋. 𝜋  Η γραφική παράσταση της 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥, 𝑥𝜖ℝ με 𝑥 ≠ 𝜅𝜋 + 2, 𝜅𝜖ℤ δίνεται από το πιο κάτω σχήμα:

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

137

 Γωνίες με άθροισμα 𝟎° (αντίθετες): Οι τελικές πλευρές δύο αντίθετων γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία 𝛭 και 𝛭′ συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(−𝝎) = −𝛽 = −𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂(−𝝎) = 𝛼 = 𝝈𝝊𝝂𝝎 𝜺𝝋(−𝝎) =

𝜂𝜇(−𝜔) 𝜎𝜐𝜈(−𝜔)

− 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔

= −𝜺𝝋𝝎

 Γωνίες με άθροισμα 𝟗𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 90° − 𝜔. Από τα ίσα τρίγωνα 𝛰𝛢𝛭 και 𝛰𝛣𝛭′ έχουμε 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(𝛽, 𝛼), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟗𝟎° − 𝝎) = 𝛼 = 𝝈𝝊𝝂𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟗𝟎° − 𝝎) = 𝛽 = 𝜼𝝁𝝎 𝜺𝝋(𝟗𝟎° − 𝝎) =

𝜂𝜇(90°−𝜔) 𝜎𝜐𝜈(90°−𝜔)

𝜎𝜐𝜈𝜔 𝜂𝜇𝜔

= 𝝈𝝋𝝎

 Γωνίες με άθροισμα 𝟏𝟖𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 180° − 𝜔. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(−𝛼, 𝛽). Τα σημεία 𝛭 και 𝛭′ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των ημιτόνων. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟏𝟖𝟎° − 𝝎) = 𝛽 = 𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟏𝟖𝟎° − 𝝎) = −𝛼 = −𝝈𝝊𝝂𝝎 𝜺𝝋(𝟏𝟖𝟎° − 𝝎) =

138

𝜂𝜇(180°−𝜔) 𝜎𝜐𝜈(180°−𝜔)

𝜂𝜇𝜔 −𝜎𝜐𝜈𝜔

= −𝜺𝝋𝝎

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

 Γωνίες με διαφορά 𝟗𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 90° + 𝜔. Από τα ίσα τρίγωνα 𝛰𝛢𝛭 και 𝛰𝛣𝛭′ έχουμε 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(−𝛽, 𝛼), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟗𝟎° + 𝝎) = 𝛼 = 𝝈𝝊𝝂𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟗𝟎° + 𝝎) = −𝛽 = −𝜼𝝁𝝎 𝜺𝝋(𝟗𝟎° + 𝝎) =

𝜂𝜇(90°+𝜔) 𝜎𝜐𝜈(90°+𝜔)

𝜎𝜐𝜈𝜔 −𝜂𝜇𝜔

= −𝝈𝝋𝝎

 Γωνίες με διαφορά 𝟏𝟖𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 180° + 𝜔. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(−𝛼, −𝛽). Τα σημεία 𝛭 και 𝛭′ είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του κύκλου. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟏𝟖𝟎° + 𝝎) = −𝛽 = −𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟏𝟖𝟎° + 𝝎) = −𝛼 = −𝝈𝝊𝝂𝝎 𝜺𝝋(𝟏𝟖𝟎° + 𝝎) =

𝜂𝜇(180°+𝜔) 𝜎𝜐𝜈(180°+𝜔)

−𝜂𝜇𝜔 −𝜎𝜐𝜈𝜔

= 𝜺𝝋𝝎

 Γωνίες με άθροισμα 𝟐𝟕𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 270° − 𝜔. Από τα ίσα τρίγωνα 𝛰𝛢𝛭 και 𝛰𝛣𝛭′ έχουμε 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(−𝛽, −𝛼), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟐𝟕𝟎° − 𝝎) = −𝛼 = −𝝈𝝊𝝂𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟐𝟕𝟎° − 𝝎) = −𝛽 = −𝜼𝝁𝝎 𝜺𝝋(𝟐𝟕𝟎° − 𝝎) =

𝜂𝜇(270°−𝜔) 𝜎𝜐𝜈(270°−𝜔)

−𝜎𝜐𝜈𝜔 −𝜂𝜇𝜔

= 𝝈𝝋𝝎

 Γωνίες με διαφορά 𝟐𝟕𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 270° + 𝜔. Από τα ίσα τρίγωνα 𝛰𝛢𝛭 και 𝛰𝛣𝛭′ έχουμε 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(𝛽, −𝛼), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟐𝟕𝟎° + 𝝎) = −𝛼 = −𝝈𝝊𝝂𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟐𝟕𝟎° + 𝝎) = 𝛽 = 𝜼𝝁𝝎 𝜺𝝋(𝟐𝟕𝟎° + 𝝎) =

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

𝜂𝜇(270°+𝜔) 𝜎𝜐𝜈(270°+𝜔)

−𝜎𝜐𝜈𝜔 𝜂𝜇𝜔

= −𝝈𝝋𝝎

139

 Γωνίες με άθροισμα 𝟑𝟔𝟎°: Οι γωνίες είναι της μορφής 𝜔 και 360° − 𝜔. Οι τελικές πλευρές των γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία 𝛭(𝛼, 𝛽) και 𝛭′(𝛼, −𝛽) συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: 𝜼𝝁(𝟑𝟔𝟎° − 𝝎) = −𝛽 = −𝜼𝝁𝝎 𝝈𝝊𝝂(𝟑𝟔𝟎° − 𝝎) = 𝛼 = 𝝈𝝊𝝂𝝎 𝜺𝝋(𝟑𝟔𝟎° − 𝝎) =

𝜂𝜇(360°−𝜔) 𝜎𝜐𝜈(360°−𝜔)

− 𝜂𝜇𝜔 𝜎𝜐𝜈𝜔

= −𝜺𝝋𝝎

Σημείωση: Με τους πιο πάνω τύπους μπορούμε να εκφράσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας με τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Η διαδικασία αυτή λέγεται αναγωγή στο α′ τεταρτημόριο.

Παράδειγμα 1. Στο

σχήμα

δίνεται

γραφική

παράσταση 𝜋

της

𝑦 = 𝜂𝜇𝑥,

συνάρτησης

−4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋. Το σημείο 𝛢 έχει συντεταγμένες ( 6 , 2). Να γράψετε την τετμημένη 1

των σημείων 𝛣, 𝛤 και 𝛥, αν γνωρίζουμε ότι η τεταγμένη τους είναι ίση με 2.

Λύση: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση 𝑦 = 𝜂𝜇𝑥 είναι περιοδική και ισχύει ότι 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2𝜋), ∀ 𝑥𝜖ℝ. Τα σημεία 𝛢, 𝛣, 𝛤, 𝛥 έχουν την ίδια τεταγμένη. Άρα βρίσκονται στην τομή της 1 ευθείας 𝑦 = 2 και της συνάρτησης 𝑦 = 𝜂𝜇𝑥. Το σημείο 𝛣 βρίσκεται 2𝜋 μονάδες δεξιά του σημείου 𝛢. Άρα η τετμημένη του είναι 𝜋 13𝜋 ίση με 2𝜋 + 6 = 6 . Το σημείο 𝛤 βρίσκεται 2𝜋 μονάδες αριστερά του σημείου 𝛢. Άρα η τετμημένη του 𝜋 −11𝜋 είναι ίση με −2𝜋 + 6 = 6 . Το σημείο 𝛥 βρίσκεται 4𝜋 μονάδες αριστερά του σημείου 𝛢. Άρα η τετμημένη του 𝜋 −23𝜋 είναι ίση με -4𝜋 + 6 = 6 . 140

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

2. Να γράψετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας: (δ) 𝜏𝜀𝜇(−120°) (α) 𝜂𝜇187° (β) 𝜎𝜐𝜈294° (γ) 𝜀𝜑123° Λύση: (α) 𝜂𝜇187° = 𝜂𝜇(180° + 7°) = −𝜂𝜇7° Η γωνία 187° έχει την τελική πλευρά της στο 3ο τεταρτημόριο. Άρα το 𝜂𝜇187° είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 𝜂𝜇(180° + 𝜔) = −𝜂𝜇𝜔. (β) Α′ τρόπος: 𝜎𝜐𝜈294° = 𝜎𝜐𝜈(270° + 24°) = 𝜂𝜇24° Η γωνία 294° έχει την τελική πλευρά της στο 4ο τεταρτημόριο. Άρα το 𝜎𝜐𝜈294° είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 𝜎𝜐𝜈(270° + 𝜔) = 𝜂𝜇𝜔. Β′ τρόπος: 𝜎𝜐𝜈294° = 𝜎𝜐𝜈(360° − 66°) = 𝜎𝜐𝜈66° Η γωνία 294° έχει την τελική πλευρά της στο 4ο τεταρτημόριο. Άρα το 𝜎𝜐𝜈294° είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 𝜎𝜐𝜈(360° + 𝜔) = 𝜎𝜐𝜈𝜔. (γ) Α′ τρόπος: 𝜀𝜑123° = 𝜀𝜑(180° − 57°) = −𝜀𝜑57° Η γωνία 123° έχει την τελική πλευρά της στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα η 𝜀𝜑123° είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 𝜀𝜑(180° − 𝜔) = −𝜀𝜑𝜔. Β′ τρόπος: 𝜀𝜑123° = 𝜀𝜑(90° + 33°) = −𝜎𝜑33° Η γωνία 123° έχει την τελική πλευρά της στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα η 𝜀𝜑123° είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 𝜀𝜑(90° + 𝜔) = −𝜎𝜑𝜔. (δ) Α′ τρόπος: 1

𝜏𝜀𝜇(−120°) = 𝜎𝜐𝜈(−120°) = 𝜎𝜐𝜈120° = 𝜎𝜐𝜈(90°+30°) = −𝜂𝜇30° = −𝜎𝜏𝜀𝜇30° 1

Γνωρίζουμε ότι 𝜏𝜀𝜇(−𝜔) = 𝜎𝜐𝜈(−𝜔) Η γωνία 120° έχει την τελική πλευρά της στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα το 𝜎𝜐𝜈120° είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 𝜎𝜐𝜈(90° + 𝜔) = −𝜂𝜇𝜔. Β′ τρόπος: 1

𝜏𝜀𝜇(−120°) = 𝜎𝜐𝜈(−120°) = 𝜎𝜐𝜈120° = 𝜎𝜐𝜈(180°−60°) = −𝜎𝜐𝜈60° = −𝜏𝜀𝜇60° 1

Γνωρίζουμε ότι 𝜏𝜀𝜇(−𝜔) = 𝜎𝜐𝜈(−𝜔) Η γωνία 120° έχει την τελική πλευρά της στο 2ο τεταρτημόριο. Άρα το 𝜎𝜐𝜈120° είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 𝜎𝜐𝜈(180° − 𝜔) = −𝜎𝜐𝜈𝜔. 1

3. Να λύσετε την εξίσωση 𝜂𝜇𝑥 = 2, αν 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°. Λύση: 1 = 𝜂𝜇30° 2 Γνωρίζουμε ότι 𝜂𝜇(180° − 𝜔) = 𝜂𝜇𝜔, άρα ισχύει 𝜂𝜇(180° − 30°) = 𝜂𝜇30° 1 𝜂𝜇𝑥 = 2, άρα 𝑥 = 30° ή 𝑥 = 150°. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

141

Δραστηριότητες 1. Αν για τη γωνία 𝑥 ισχύει 0° ≤ 𝑥 ≤ 180°, να συμπληρώσετε τις πιο κάτω προτάσεις: (α) Αν 𝜂𝜇𝑥 = 𝜂𝜇60°, τότε 𝑥 =…………….. (β) Αν 𝜎𝜐𝜈𝑥 = −𝜎𝜐𝜈20°, τότε 𝑥 =…………….. (γ) Αν 𝜀𝜑𝑥 = −𝜀𝜑30°, τότε 𝑥 =……………. 2. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης 𝛢 τον ίσο του τριγωνομετρικό αριθμό από τη στήλη 𝛣. 𝛢 α.

ημ140°

β.

συν140°

γ.

εφ140°

1. 2. 3. 4. 5. 6.

α.

β.

𝛣 ημ40° συν40° εφ40° −ημ40° −συν30° −εφ40° γ.

3. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω σχέσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥, τότε 𝑓(𝑥 + 2𝜋) = 𝑓(𝑥), 𝑥𝜖ℝ με 𝑥 ≠ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 𝜋 𝜅𝜋 + 2 (β) Αν 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 𝛼, τότε 𝜎𝜐𝜈(𝑥 + 3𝜋) = 𝛼, όπου 𝑥𝜖ℝ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 3𝜋

13𝜋

(γ) Αν τα σημεία 𝛢( 8 , 𝛼) και 𝛣(− 8 , 𝛽) είναι σημεία της ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ γραφικής παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 𝜂𝜇𝑥, τότε 𝛼 = 𝛽. (δ) 4. Να γράψετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας: (β) 𝜎𝜐𝜈(−288°) (γ) 𝜀𝜑(−80°) (α) 𝜂𝜇375° (δ) 𝜎𝜏𝜀𝜇220° 5. Να δικαιολογήσετε με κατάλληλες πράξεις την ορθότητα των πιο κάτω ισοτήτων:

142

(α) 𝜂𝜇 (𝜔 − 𝜋) = −𝜂𝜇𝜔 2

(β) 𝜏𝜀𝜇 4𝜋 = 𝜏𝜀𝜇 (− 𝜋) 3 3

(γ) 𝜎𝜐𝜈(𝜃 − 𝜋) = 𝜎𝜐𝜈(𝜋 − 𝜃)

(δ) 𝜎𝜏𝜀𝜇 (3𝜋 + 𝜔) = −𝜏𝜀𝜇𝜔 2

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

6. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν 𝜼𝝁𝜽 = 𝟎, 𝟕𝟔, τότε 𝜼𝝁(−𝜽) = −𝟎, 𝟕𝟔

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(β) Αν 𝝈𝝊𝝂(𝟑𝟔𝟎° − 𝜽) = 𝟎, 𝟐𝟖, τότε 𝝈𝝊𝝂𝜽 = −𝟎, 𝟐𝟖.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(γ) Αν 𝜺𝝋𝜽 = 𝟏, 𝟑, τότε 𝜺𝝋(𝝅 + 𝜽) = 𝟏, 𝟑.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

(δ) Αν 𝝈𝝉𝜺𝝁𝜽 > 𝟎, τότε 𝝈𝝉𝜺𝝁(𝟏𝟖𝟎° + 𝜽) > 𝟎.

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

7. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις στο διάστημα 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°: (α) 2𝜂𝜇𝑥 − √2 = 0

(β)

𝜎𝜐𝜈𝑥 = −𝜂𝜇25°

(γ)

𝜀𝜑𝑥 = −√3

(δ) 𝜏𝜀𝜇𝑥 = 𝜏𝜀𝜇120°

(ε)

𝜂𝜇𝑥 − 2 = 0

(στ)

𝜎𝜑𝑥 − 1 = 0

8. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 𝜋

3𝜋

𝛢 = 𝜂𝜇(𝜋 + 𝛼) − 𝜎𝜐𝜈 ( 2 + 𝛼) + 𝜎𝜐𝜈(2𝜋 − 𝛼) + 𝜀𝜑 ( 2 − 𝛼) 𝛣 = 𝜎𝜑(𝛼 − 2𝜋) ∙ 𝜎𝜐𝜈 (𝛼 −

3𝜋 2

) + 𝜎𝜐𝜈(𝛼 + 2𝜋) − 2𝜂𝜇(𝛼 − 𝜋) 𝜋

9. Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝜀𝜑𝑥, 𝑥𝜖[−4𝜋, 4𝜋] με 𝑥 ≠ 𝜅𝜋 + 2 . Τα σημεία 𝛢, 𝛣, 𝛤, 𝛥 και 𝛦 έχουν την ίδια τεταγμένη και η τετμημένη του σημείου 𝛢 είναι 𝑥 =

2𝜋 7

. Η

τετμημένη των σημείων 𝛣 και 𝛤 είναι θετική και η τετμημένη των σημείων 𝛥 και 𝛦 είναι αρνητική. Να βρείτε τις πιθανές τιμές των τετμημένων των σημείων 𝛣, 𝛤, 𝛥 και 𝛦.

10. Αν 𝛢, 𝛣, 𝛤 είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, να δείξετε ότι: (α) 𝜂𝜇

𝛢+𝛣 2

𝛤

= 𝜎𝜐𝜈 2

(β) 𝜎𝜐𝜈(𝛢 + 𝛣) = −𝜎𝜐𝜈𝛣 (γ) 𝜀𝜑(2𝛢 + 2𝛣) = −𝜀𝜑2𝛤

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

143

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Διερεύνηση 

Στο σχήμα δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος. Η τελική πλευρά της γωνίας 𝜔 τέμνει τον κύκλο στο σημείο 𝛭(𝛼, 𝛽). (α) Να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 𝜂𝜇𝜔 και 𝜎𝜐𝜈𝜔, συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου 𝛭. (β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 𝜂𝜇𝜔 και 𝜎𝜐𝜈𝜔.

(γ) Να ελέγξετε κατά πόσο η σχέση που βρήκατε στο (β) είναι δυνατόν να γενικευθεί και στις περιπτώσεις κατά τις οποίες η γωνία 𝜔 ανήκει στο 2ο , 3ο και 4ο τεταρτημόριο.

144

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μαθαίνω  Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας 𝜔 προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες (βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες). Οι σχέσεις αυτές ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή της γωνιάς 𝜔. 𝜼𝝁𝟐 𝝎 + 𝝈𝝊𝝂𝟐 𝝎 = 𝟏 Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(x, y). x = συνω y = ημω ΟΜ = 1 και (ΟΜ)2 = |x|2 + |y|2 ⇒ x2 + y2 = 1 ⇒ συν2 ω + ημ2 ω = 1 𝜺𝝋𝝎 =

𝜼𝝁𝝎

, 𝝈𝝊𝝂𝝎 ≠ 𝟎

𝝈𝝊𝝂𝝎

Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας 𝜔 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 𝛭(𝑥, 𝑦). 𝑦 𝜂𝜇𝜔 𝜀𝜑𝜔 = 𝑥 = 𝜎𝜐𝜈𝜔 𝝈𝝋𝝎 = Απόδειξη: 1 𝜎𝜑𝜔 = 𝜀𝜑𝜔 =

𝝈𝝊𝝂𝝎 𝜼𝝁𝝎

, 𝜼𝝁𝝎 ≠ 𝟎

𝜎𝜐𝜈𝜔 𝜂𝜇𝜔

𝝉𝜺𝝁𝟐 𝝎 = 𝟏 + 𝜺𝝋𝟐 𝝎 Απόδειξη: 𝜂𝜇 2 𝜔

1 + 𝜀𝜑 2 𝜔 = 1 + 𝜎𝜐𝜈2 𝜔 =

𝜎𝜐𝜈 2 𝜔+ 𝜂𝜇 2 𝜔 𝜎𝜐𝜈 2 𝜔

1 𝜎𝜐𝜈 2 𝜔

= 𝜏𝜀𝜇 2 𝜔

𝝈𝝉𝜺𝝁𝟐 𝝎 = 𝟏 + 𝝈𝝋𝟐 𝝎 Απόδειξη: 1 + 𝜎𝜑 2 𝜔 = 1 +

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

𝜎𝜐𝜈 2 𝜔 𝜂𝜇 2 𝜔

𝜂𝜇 2 𝜔+𝜎𝜐𝜈 2 𝜔 𝜂𝜇 2 𝜔

1 𝜂𝜇 2 𝜔

= 𝜎𝜏𝜀𝜇 2 𝜔

145

Παραδείγματα 3

1. Αν 𝜂𝜇𝜃 = 5 και 90° < 𝜃 < 180°, να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 𝜃. Λύση: 1

𝜎𝜏𝜀𝜇𝜃 = 𝜂𝜇𝜃 ⇒ 𝜎𝜏𝜀𝜇𝜃 =

3 5

𝜂𝜇 2 𝜃 + 𝜎𝜐𝜈 2 𝜃 = 1 ⇒ 𝜎𝜐𝜈 2 𝜃 = 1 − 𝜂𝜇 2 𝜃 3 2

⇒ 𝜎𝜐𝜈 2 𝜃 = 1 − (5) = 25 4

⇒ 𝜎𝜐𝜈𝜃 = ± 5 Η τελική πλευρά της γωνίας 𝜃 ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο (90° < 𝜃 < 180°). Άρα, 4

το 𝜎𝜐𝜈𝜃 < 0 ⇒ 𝜎𝜐𝜈𝜃 = − 5. 1

𝜏𝜀𝜇𝜃 = 𝜎𝜐𝜈𝜃 ⇒ 𝜏𝜀𝜇𝜃 = 3 5 4 − 5

𝜂𝜇𝜃

𝜀𝜑𝜃 = 𝜎𝜐𝜈𝜃 = 𝜎𝜑𝜃 =

𝜎𝜐𝜈𝜃 𝜂𝜇𝜃

4 5 3 5

−

4 − 5

= −4

= −4 4

= −3 1

2. Να αποδείξετε την ταυτότητα 𝜀𝜑𝑥 + 𝜎𝜑𝑥 = 𝜂𝜇𝑥∙𝜎𝜐𝜈𝑥. Λύση: 𝜂𝜇𝑥

𝜀𝜑𝑥 + 𝜎𝜑𝑥 = 𝜎𝜐𝜈𝑥 + =

𝜎𝜐𝜈𝑥 𝜂𝜇𝑥

𝜂𝜇 2 𝑥+ 𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 𝜂𝜇𝑥∙𝜎𝜐𝜈𝑥

𝜂𝜇(180°+𝛼)

3. Να δείξετε ότι 𝜎𝜐𝜈(180°−𝛼) −

1 𝜂𝜇𝑥∙𝜎𝜐𝜈𝑥 𝜎𝜐𝜈(180°−𝛼) 𝜂𝜇(180°−𝛼)

= 𝜂𝜇𝛼 𝜎𝜐𝜈𝛼 .

Λύση: 𝜂𝜇(180°+𝛼) 𝜎𝜐𝜈(180°−𝛼)

−

𝜎𝜐𝜈(180°−𝛼) 𝜂𝜇(180°−𝛼)

−𝜂𝜇𝛼 −𝜎𝜐𝜈𝛼 𝜂𝜇𝛼

−

= 𝜎𝜐𝜈𝛼 + = =

146

−𝜎𝜐𝜈𝛼

𝜂𝜇𝛼 𝜎𝜐𝜈𝛼 𝜂𝜇𝛼

𝜂𝜇 2 𝛼+𝜎𝜐𝜈 2 𝛼 𝜂𝜇𝛼 𝜎𝜐𝜈𝛼 1 𝜂𝜇𝛼 𝜎𝜐𝜈𝛼

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 𝜑 στις πιο κάτω περιπτώσεις: 5

(α) 𝜎𝜐𝜈𝜑 = 13, 0° < 𝜑 < 90° 37 3𝜋

(β) 𝜎𝜏𝜀𝜇𝜑 = − 12, (γ) 𝜀𝜑𝜑 =

< 𝜑 < 2𝜋

, 180° < 𝜑 < 270°

𝑥

2. Αν 𝜎𝜑𝜔 = 5 και 0° < 𝜔 < 90°, να εκφράσετε συναρτήσει του 𝑥 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 𝜂𝜇𝜔 και 𝜏𝜀𝜇𝜔. 4

3. Αν 𝜀𝜑𝜃 = 3 και 180° < 𝜃 < 270°, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 𝛢 =

4𝜎𝜑𝜃−5𝜂𝜇𝜃 3𝜏𝜀𝜇𝜃

4. Αν 𝜂𝜇𝛼 = 5 και 𝜎𝜐𝜈𝛼 < 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 𝛢 = 10𝜎𝜐𝜈(180° + 𝛼) + 3𝜀𝜑(180° − 𝛼). 5. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α)

𝜂𝜇𝑥 𝜎𝜑𝑥 = 𝜎𝜐𝜈𝑥

(β)

𝜀𝜑𝑥(𝜎𝜑𝑥 + 𝜀𝜑𝑥) = 𝜏𝜀𝜇 2 𝑥

(γ)

𝜎𝜑𝑥(𝜏𝜀𝜇𝑥 + 𝜀𝜑𝑥) = 𝜎𝜏𝜀𝜇𝑥 + 1

(δ)

𝜂𝜇𝜔(𝜎𝜏𝜀𝜇𝜔 − 𝜂𝜇𝜔) = 𝜎𝜐𝜈 2 𝜔

(ε)

𝜀𝜑 2 𝜃 𝜎𝜏𝜀𝜇 2 𝜃 − 𝜀𝜑 2 𝜃 = 1

(στ)

𝜂𝜇𝑥 𝜎𝜐𝜈𝑥+ 𝜂𝜇𝑥

(ζ)

(𝜂𝜇𝜑+ 𝜎𝜐𝜈𝜑)2

𝜎𝜐𝜈𝑥+ 𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 𝜎𝜐𝜈𝜑

(η)

𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 𝜂𝜇𝑥

(θ)

(1+𝜀𝜑𝑥)2

𝜏𝜀𝜇𝛼 −

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

= 𝜏𝜀𝜇𝜑 + 2𝜂𝜇𝜑

+ 𝜂𝜇𝑥 = 𝜎𝜏𝜀𝜇𝑥

𝜏𝜀𝜇𝑥

(ι)

= 𝜀𝜑𝑥

= 𝜏𝜀𝜇𝑥 + 2𝜂𝜇𝑥 𝜀𝜑 2 𝛼 𝜏𝜀𝜇𝛼

= 𝜎𝜐𝜈𝛼

147

6. Αν 𝜂𝜇15° =

√2 4

(√3 − 1) και 𝜂𝜇75° =

√2 4

(√3 + 1) να υπολογίσετε:

(α) το 𝜎𝜐𝜈15° (β) την 𝜀𝜑15° 7. Να απλοποιήσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: 𝛢=

𝛣=

𝜀𝜑(180°−𝜃)𝜎𝜐𝜈(180°−𝜃)𝜀𝜑(90°−𝜃) 𝜂𝜇(90°+𝜃)𝜎𝜑(90°−𝜃)𝜀𝜑(𝜃−270°) 𝜋 2 7𝜋 𝜋 𝜂𝜇(𝜋−𝑥)𝜎𝜐𝜈(𝑥− )𝜀𝜑(− +𝑥) 2 2

𝜎𝜐𝜈(3𝜋+𝑥)𝜂𝜇(𝑥+ )𝜎𝜑(𝜋−𝑥)

8. Αν 3𝜂𝜇 2 𝑥 + 6𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 = 5, να δείξετε ότι 𝜀𝜑 2 𝑥 = 2 9. Να εκφράσετε την 𝜀𝜑𝑥 συναρτήσει του 𝜂𝜇𝑥 (0° < 𝑥 < 90°) μόνο. 10. Αν 𝑥 = 3𝜎𝜐𝜈𝜔 και 𝑦 = 3𝜂𝜇𝜔, να δείξετε ότι 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9.

11. Να υπολογίσετε τη γωνία 𝜃, αν 0° < 𝜃 < 180° και

𝜂𝜇(180°−𝜃)𝜀𝜑(90°−𝜃)𝜂𝜇(−𝜃) 𝜀𝜑(180°−𝜃)𝜎𝜐𝜈(180°+𝜃)

= −

√3 . 2

12. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: 𝜋

(α) (1 + 𝜂𝜇𝑥) [1 + 𝜎𝜐𝜈 (2 + 𝑥)] = 𝜎𝜐𝜈2 𝑥 (β) (𝜏𝜀𝜇𝑥 + 1)[𝜏𝜀𝜇(−𝑥) − 1] = 𝜀𝜑2 𝑥

13. Να εξετάσετε κατά πόσο υπάρχουν τιμές του 𝑥 για τις οποίες: (α) Να ισχύει συγχρόνως 𝜂𝜇𝑥 = 0 και 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 0 (β) Να ισχύει συγχρόνως 𝜂𝜇𝑥 = 1 και 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 1 1

(γ) Να ισχύει συγχρόνως 𝜂𝜇𝑥 = 3 και 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 3 (δ) Να ισχύει συγχρόνως 𝜂𝜇𝑥 =

√2 2

και 𝜎𝜐𝜈𝑥 = − 𝑥2

√2 . 2

𝑦2

14. Αν 𝑥 = 𝛼𝜂𝜇𝜃 και 𝑦 = 𝛽𝜎𝜐𝜈𝜃, να δείξετε ότι 𝛼2 + 𝛽2 = 1.

148

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

15. Να αποδείξετε ότι: 3𝜋

𝜋

(α) 𝜂𝜇(𝜋 − 𝑥) + 𝜂𝜇 ( 2 + 𝑥) + 𝜂𝜇(𝑥 − 𝜋) − 𝜂𝜇 (𝑥 − 2 ) = 0 𝜋

3𝜋

(β) 𝜎𝜐𝜈 ( 2 + 𝛼) + 𝜂𝜇(𝜋 − 𝛼) − 𝜂𝜇(−𝛼) + 𝜎𝜐𝜈 ( 2 − 𝛼) = 0 (γ)

𝜂𝜇(𝜋+𝛼)𝜎𝜐𝜈(

3𝜋 3𝜋 −𝛼)𝜀𝜑( +𝛼) 2 2

𝜂𝜇(2𝜋−𝛼)

= 𝜎𝜐𝜈𝛼

(δ) 𝜂𝜇𝜔 + 𝜎𝜏𝜀𝜇(90° − 𝜔) + 𝜂𝜇(180° + 𝜔) + 𝜎𝜏𝜀𝜇(270° − 𝜔) = 0

16. Να αποδείξετε ότι

5𝜋 7𝜋 −𝜔)∙𝜎𝜐𝜈( +𝜔) 2 2 5𝜋 7𝜋 𝜎𝜑(5𝜋+𝜔)∙𝜂𝜇(7𝜋−𝜔)∙𝜎𝜐𝜈( −𝜔)∙𝜎𝜑( +𝜔) 2 2

𝜂𝜇(5𝜋+𝜔)∙𝜎𝜐𝜈(7𝜋−𝜔)∙𝜂𝜇(

= 𝜂𝜇 2 𝜔 − 1.

17. Η βέλτιστη οπτική γωνία σε ένα θέατρο εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως το ύψος της οθόνης, η κλίση της αίθουσας, η θέση του καθίσματος, το ύψος του ματιού ενός καθήμενου θεατή. Για να επιλέξει ένας θεατής την «καλύτερη θέση», χρειάζεται να μετρήσουμε την απόσταση του ματιού από την κορυφή της σκηνής. Για το συγκεκριμένο θέατρο που φαίνεται στην εικόνα, η απόσταση του ματιού από την κορυφή της σκηνής υπολογίζεται από τον τύπο 𝑑2 = (20 + 𝑥𝜎𝜐𝜈𝜃)2 + (20 − 𝑥𝜂𝜇𝜃)2 , όπου 𝑥 είναι η διαγώνια απόσταση της θέσης ενός θεατή από το οριζόντιο δάπεδο. (α) Να αποδείξετε ότι ο πιο πάνω τύπος είναι ισοδύναμος με τον τύπο: 𝑑 2 = 800 + 40𝑥(𝜎𝜐𝜈𝜃 − 𝜂𝜇𝜃 ) + 𝑥 2 (β) Να υπολογίσετε την απόσταση 𝑑, αν 𝜃 = 18° και ο θεατής κάθεται στην 8η σειρά και η υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σειρών είναι 0,9144 𝑚.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

149

Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 𝜋

𝜋

3𝜋

𝜂𝜇 ( 2 + 𝛼) + 𝜎𝜐𝜈 (2 + 𝛼) + 𝜂𝜇 ( 2 + 𝛼) + 𝜎𝜐𝜈 ( 2 + 𝛼) = 3𝜋

𝜋

Α. −2𝜂𝜇 ( 2 + 𝛼)

Β. 2𝜎𝜐𝜈 ( 2 + 𝛼)

Γ. 0

Δ. 𝜂𝜇𝛼

Ε. −𝜎𝜐𝜈𝛼

2. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α)

(β)

(γ)

𝜎𝜐𝜈𝑥 𝜂𝜇𝑥

𝜂𝜇𝑥 𝜎𝜐𝜈𝑥

𝜂𝜇2 𝑥− 𝜎𝜐𝜈2 𝑥 𝜂𝜇3 𝑥+ 𝜎𝜐𝜈3 𝑥

+ =

𝜎𝜏𝜀𝜇𝑥

𝜏𝜀𝜇𝑥

𝜏𝜀𝜇𝑥+ 𝜎𝜐𝜈𝑥 𝜂𝜇𝑥

𝜂𝜇𝑥− 𝜎𝜐𝜈𝑥 1− 𝜂𝜇𝑥 𝜎𝜐𝜈𝑥

 1800    . 1800    . 1800   

  360    . 90    . 180    0

  2

3. Στο σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 + 𝜀𝜑𝛼 και 1 − 𝜀𝜑𝛼, με 0° < 𝛼 < 90°. Να εκφράσετε το 𝜂𝜇𝜃 και το 𝜎𝜐𝜈𝜃 συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας 𝛼 και να δώσετε την απάντησή σας στην πιο απλή μορφή. 4. Να εκφράσετε τα μήκη των τμημάτων 𝛼, 𝛽, 𝛾 και 𝛿, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα, συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας 𝜃.

150

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

5. Αν 0o    90 και

 (180   )   (360   )   (90   ) 1  , να υπολογίσετε τη  ( )  (270   ) 2

γωνία θ.

6. Να δικαιολογήσετε με κατάλληλες πράξεις την ορθότητα των πιο κάτω ισοτήτων: (α) 𝜂𝜇3𝜋 = 𝜂𝜇𝜋

(β) 𝜎𝜐𝜈 (29𝜋) = 𝜎𝜐𝜈 (5𝜋) 6 6

(γ) 𝜀𝜑(−𝜋 − 3) = −𝜀𝜑(𝜋 + 3)

(δ) 𝜎𝜏𝜀𝜇(630° − 𝜔) = −𝜏𝜀𝜇𝜔

7. Αν 𝛢(1,1) και 𝛣(7,1) είναι κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου 𝛢𝛣𝛤, να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής 𝛤. 8. Στο σχήμα δίνονται δύο κάθετες ευθείες 𝜀1 και 𝜀2 . Να γράψετε μια σχέση μεταξύ των γωνιών 𝜔 και 𝜑 και να αποδείξετε ότι το γινόμενο των κλίσεων των δύο ευθειών είναι ίσο με −1 (𝜆1 ∙ 𝜆2 = −1).

9. Αν 𝜀𝜑𝛼 = 3𝜀𝜑𝛽, να αποδείξετε ότι

10. Αν

3𝜋 2

𝜀𝜑𝛼+𝜀𝜑𝛽 1−𝜀𝜑𝛼∙𝜀𝜑𝛽

4𝜂𝜇𝛽∙𝜎𝜐𝜈𝛽 1−4𝜂𝜇2 𝛽

< 𝑥 < 2𝜋, να δείξετε ότι 𝜂𝜇𝑥 ∙ 𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 + 2𝜂𝜇𝑥 ∙ 𝜎𝜐𝜈𝑥 + 𝜂𝜇𝑥 + 𝜀𝜑𝑥 < 0

11. Αν 5𝜋 < 𝑥 <

11𝜋 2

, να δείξετε ότι 𝜀𝜑𝑥 − 𝜂𝜇𝑥 > 𝜎𝜐𝜈𝑥 − 𝜎𝜑𝑥.

𝜋

12. Αν 0 < 𝑥 < 2 , να διατάξετε από τον μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς 𝜂𝜇𝑥+1 1−𝜎𝜐𝜈𝑥

0, 𝜂𝜇𝑥−1 , 1+𝜎𝜐𝜈𝑥.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

151

13. Να αποδείξετε ότι: (α) 𝜀𝜑1° ∙ 𝜀𝜑2° ∙ 𝜀𝜑3° ∙∙∙ 𝜀𝜑87° ∙ 𝜀𝜑88° ∙ 𝜀𝜑89° = 1 (β) (𝜂𝜇1° − 𝜎𝜐𝜈1°) + (𝜂𝜇2° − 𝜎𝜐𝜈2°) + ⋯ + (𝜂𝜇89° − 𝜎𝜐𝜈89°) = 0 14. Να δείξετε ότι η πιο κάτω παράσταση έχει τιμή ανεξάρτητη του 𝑥, 𝜋

𝛢 = 𝜂𝜇 2 (𝜋 − 𝑥) + 𝜎𝜐𝜈(𝜋 − 𝑥)𝜎𝜐𝜈(2𝜋 − 𝑥) + 2𝜂𝜇 2 ( 2 − 𝑥). 15. Αν 𝜂𝜇𝑥 + 𝜎𝜐𝜈𝑥 = 𝛼, (α) Να δείξετε ότι 𝜂𝜇𝑥 ∙ 𝜎𝜐𝜈𝑥 =

𝛼2 −1 2

(β) Με τη βοήθεια των πιο πάνω να υπολογίσετε συναρτήσει του 𝛼 τις παραστάσεις: (i) (ii) (iii) 𝜋

1 𝜂𝜇𝑥

+ 𝜎𝜐𝜈𝑥

𝜀𝜑𝑥 + 𝜎𝜑𝑥 𝜂𝜇 3 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈 3 𝑥 𝜋

16. Αν 𝜀𝜑 (3 − 𝑥) + 𝜀𝜑 ( 6 + 𝑥) = 5, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 𝜋

𝜋

𝛢 = 𝜀𝜑 2 ( 3 − 𝑥) + 𝜀𝜑 2 ( 6 + 𝑥). 17. Να βρείτε για ποιες τιμές του 𝑥 ισχύει η ισότητα 𝜂𝜇𝑥 =

152

√3 , 2

όταν −6𝜋 < 𝑥 < 2𝜋.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1

1. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 με ύψος 𝛢𝛨, ώστε 𝜂𝜇𝛣̂ = 3 και 𝜀𝜑𝛤̂ = 3. Να περιγράψετε τον τρόπο που εργαστήκατε, για να κατασκευάσετε το τρίγωνο 𝛢𝛣𝛤 και να υπολογίσετε το 𝜂𝜇(𝛣𝛢̂𝛨) και το 𝜎𝜐𝜈(𝛤𝛢̂𝛨). 2. Να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων: (α) 𝛢 = 3𝜎𝜐𝜈𝑥 + √3 (β) 𝛣 = −3𝜂𝜇𝑥 + 𝜋 3. Να αποδείξετε ότι: (α) 𝜂𝜇 4 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈 4 𝑥 = 1 − 2𝜂𝜇 2 𝑥 ∙ 𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 (β) 𝜂𝜇 6 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈 6 𝑥 = 1 − 3𝜂𝜇 2 𝑥 ∙ 𝜎𝜐𝜈 2 𝑥 (γ) Η παράσταση 2(𝜂𝜇 6 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈 6 𝑥) − 3(𝜂𝜇 4 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈 4 𝑥) έχει τιμή ανεξάρτητη του 𝑥, δηλαδή είναι σταθερή. 4. Να αποδείξετε ότι: 𝜀𝜑(𝜋 + 𝑥) 0< <1 𝜀𝜑𝑥 + 𝜎𝜑(𝜋 + 𝑥)

5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι 45° < 𝛢𝛰̂𝛣 < 60°. Αν 𝛰𝛢 = 𝑥, να υπολογίσετε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του 𝑥.

𝜋

1+𝜂𝜇𝑥

1−𝜂𝜇𝑥

6. Αν − 2 < 𝑥 < 2 , να αποδείξετε ότι √1−𝜂𝜇𝑥 − √1+𝜂𝜇𝑥 = 2𝜀𝜑𝑥. 𝜋

7. Αν 0 ≤ 𝑥 < 2 , να αποδείξετε ότι

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

√1+𝜎𝜐𝜈𝑥+√1−𝜎𝜐𝜈𝑥 √1+𝜎𝜐𝜈𝑥−√1−𝜎𝜐𝜈𝑥

1+𝜂𝜇𝑥 𝜎𝜐𝜈𝑥

𝜎𝜐𝜈𝑥 1−𝜂𝜇𝑥

153

8. Να υπολογίσετε τις τιμές του 𝑥 για τις οποίες η συνάρτηση 𝜋

𝑓(𝑥) = 3 − 2𝜎𝜐𝜈( 3 − 2𝑥) γίνεται ελάχιστη ή μέγιστη. 9. Η παλίρροια σε µια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση µε τη 𝜋

συνάρτηση 𝑦 = 3 ⋅ 𝜂μ( 6 𝑡), όπου 𝑦 το ύψος των υδάτων σε μέτρα και 𝑡 ο χρόνος σε ώρες. Να υπολογίσετε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη.

10. Με τον δέκτη ενός ραδιοφώνου επιλέγεις έναν ραδιοφωνικό σταθμό ρυθμίζοντας τη συχνότητα. Ένας δέκτης περιέχει ένα πηνίο 𝐿 και έναν πυκνωτή 𝐶, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο κατά τον χρόνο 𝑡 δίδεται από τον τύπο 𝐿(𝑡) = 𝑘𝜂𝜇 2 (2𝜋𝐹𝑡) και η ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή κατά τον χρόνο 𝑡 δίδεται από τον τύπο 𝐶(𝑡) = 𝑘𝜎𝜐𝜈 2 (2𝜋𝐹𝑡), όπου 𝐹 είναι η συχνότητα του ραδιοφωνικού σταθμού και 𝑘 είναι σταθερός αριθμός. Η συνολική ενέργεια 𝛦 στο κύκλωμα δίνεται από τον τύπο 𝛦(𝑡) = 𝐿(𝑡) + 𝐶(𝑡). Να αποδείξετε ότι η ενέργεια 𝛦 είναι σταθερή. 𝜋

11. Στο διπλανό σχήμα είναι 𝛰𝛢 = 𝛰𝛣 = 𝛰𝛤 = 1 𝑚 και 𝛣𝛰̂𝛤 = 4 ακτίνια. (α)

Να υπολογίσετε το μήκος των 𝛰𝛨 και 𝛢𝛨 και στη συνέχεια να δείξετε ότι 𝜎𝜐𝜈(𝛣𝛢̂𝛤) =

2+√2 2(𝛢𝛤)

(β)

Να βρείτε το είδος του τριγώνου 𝛢𝛤𝛣 και στη συνέχεια να δείξετε ότι: 𝛢𝛤 𝜎𝜐𝜈(𝛣𝛢̂𝛤) = .

(γ)

Να αποδείξετε ότι: 𝜋 (i) 𝛣𝛢̂𝛤 =

(ii)

154

𝜋

𝜎𝜐𝜈 8 =

√2+√2 2

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Επανάληψη Σελίδα 7 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1.

𝛢𝛣 = 5, 𝛢𝛤 = 5, 𝛣𝛤 = 5√2

√5, √8, √5, √29, √29

10𝜋 𝑚, 25𝜋 𝑚2

(α) 𝑥 = −2 (β) 𝑥 = 7

(γ) Αδύνατη (δ) Αόριστη

(α) 𝜆 = 3

(β) 𝜆 = −9

(α) 𝛼 = −3

(β) 𝛼 = 6

8. 9.

10.

𝛢: 𝑥 ≥

2 , 3

𝐵: 𝑥 ≤ 4

(α) 𝑥 ≥ 1, 𝑥 < 5 (β) 1 ≤ 𝑥 < 5 (γ) 𝑥 = 1 (α)

(γ)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

(δ) 1, 3 , 3, 4,98 (ε) 𝑥 = 4 (β)

(δ)

155

(ε)

11.

(α) 𝑎 = −3

12.

𝛽=2

13.

(α) 𝑦 =

14.

(−1, −2)

15.

(α) 𝑥 = 0, 𝑦 = 3, (β) 𝑥 = 4 , 𝑦 = 2

16.

19.

20.

156

(στ)

3𝑥 2

(β) (−2, 6), (0,0)

(β) 𝑦 = 4

(α) 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 (β) 4𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2 (γ) (α) (β) (γ) (δ) (α) (β)

(δ) 𝑥 2 − 9 (ε) 𝑥 3 + 12𝑥 2 + 48𝑥 + 64 (στ) 4𝑥 2 − 1

𝑥2 4

− 2𝑥 + 4 2𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑦 − 5 − 𝑥)(𝑦 − 5 + 𝑥) (𝛼 − 𝛽)(𝛼 2 + 𝛼𝛽 + 𝛽 2 )(𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) −5𝑦(2𝑥 + 𝑦) (γ) 𝛼 = −3 ή 𝛼 = 1 𝑥 =0ή 𝑥 =5 1

𝑥 = −3 ή 𝑥 = 2

(δ) 𝑥 = − 3 ή 𝑥 = 2

𝑥 𝑥+1

(β)

21.

(α)

22.

(α) 𝑥 = 1, απορρίπτεται (β) 𝑥 = −3 απορρίπτεται, 𝑥 = −2 (γ) 𝑥 = −3 απορρίπτεται, 𝑥 = 3

23.

8, 9

26.

(α) 𝜎𝜐𝜈𝛢 = 5

27.

𝜎𝜐𝜈𝜃 = 5, 𝜀𝜑𝜃 = 4

28.

12,30 𝑚

29.

(α) 𝑥 = 12,99 𝑐𝑚, 𝑦 = 10,24 𝑐𝑚 (β) 𝑥 = 79,67 𝑐𝑚, 𝑦 = 46 𝑐𝑚

𝛼+2 𝛼

(β) 𝜂𝜇𝛤 = 5 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Διανύσματα Σελίδα 24 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2.

(α) Μονόμετρο (β) Διανυσματικό (α) ΣΩΣΤΟ (β) ΛΑΘΟΣ

(γ) Μονόμετρο (ε) Διανυσματικό (δ) Μονόμετρο (στ) Μονόμετρο (γ) ΣΩΣΤΟ (δ) ΣΩΣΤΟ

(α) 𝜃⃗, 𝜅⃗

(β) 𝜂⃗, 𝜆⃗

0 −4 (γ) 𝛽⃗ = ( ), |𝛽⃗ | = 3, 𝛿⃗ = ( ) , |𝛿⃗| = √17 −3 −1 2 2 |𝜅 𝜅⃗ = ( ) , ⃗| = √5, 𝜀⃗ = ( ), |𝜀⃗| = 2 0 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1, |𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1, (α) |𝛥𝛦 | = 1, |𝛥𝛧| = 2, |𝛥𝛩| = 4, |𝛣𝛢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 2, |𝛣𝛧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 2, |𝛮𝛪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 4, |𝛫𝛩 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4 |𝛣𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝛣𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝛣𝛢 (β) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝐸 = 𝛣𝛤 𝛥𝛦 = −𝛣𝛢

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛥 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛧, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛥 = −𝛫𝛩 𝛥𝛧 = −𝛫𝛩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛧 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛩 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛧 = −𝛮𝛪 𝛥𝛩 = −𝛮𝛪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (γ) 𝛬𝛨

(α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛰 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (β) 𝛰𝛧, 𝛦𝛥 (γ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛰, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (δ) 𝛢𝛥, 𝛣𝛤 (ε) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛤 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛦

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

157

Σελίδα 32 Απαντήσεις

Δραστηριότητα

(α) (β) (γ) (δ) (ε)

ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥⃗ (α) 𝛲𝛴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥⃗ + (γ) 𝛱𝛭 2𝑦⃗ (ε) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛩 = −2𝑥⃗ (ζ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛫𝛮 = −2𝑥⃗ − 2𝑦⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4) 𝛰𝛢 + 𝛰𝛣 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛰𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √42 + 32 |𝛰𝛢

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦⃗ (β) 𝛷𝛬 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑥⃗ + 2𝑦⃗ (δ) 𝛨𝛥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (στ) 𝛤𝛮 = −4𝑦⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (η) 𝛶𝛩 = −2𝑥⃗ − 4𝑦⃗

= √25 = 5

158

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

7. 8. 9. 10.

11.

12.

13.

−3 (α) 𝛼⃗ − 𝛾⃗ + 𝛽⃗ = ( ) 15 −3 (β) 𝛽⃗ − 𝛼⃗ + 𝛾⃗ = ( ) 1 1 (γ) 2𝛼⃗ + 𝛽⃗ = ( ) 18 𝑥=4 |𝛾⃗| = √2 1 𝑧⃗ = ( ) −5 (α) 𝑥⃗ = 𝛼⃗ − 𝛽⃗ (β) 𝑥⃗ = −𝛽⃗ + 𝛼⃗ − 𝛾⃗ (γ) 𝑥⃗ = −𝛼⃗ + 𝛽⃗ ή 𝑥⃗ = 𝛽⃗ + 𝛾⃗ ή 𝑥⃗ = −𝛼⃗ + 𝛿⃗ (α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛢 = −𝛽⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝛽⃗ (β) 𝛧𝛤

(γ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛨𝛥 = 𝛼⃗

(δ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛨 = −𝛼⃗ + 𝛽⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝛼⃗ + 𝛽⃗ (ε) 𝛥𝛤

(στ)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼⃗ + 𝛽⃗ (ζ) 𝛧𝛥 (α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 ⃗ (β) 0⃗ (γ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (δ) 𝛣𝛢

(α) (β) (γ)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = 6(𝜅⃗ + 𝜆⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 = 6𝜆⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 = 6𝜅⃗

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛣𝛦 = 2𝛼⃗ − 2𝛽⃗

(η) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛢 = −𝛼⃗ − 𝛽⃗

(δ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛥 = 4𝜆⃗ (ε) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛧 = 4𝜅⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (στ) 𝛦𝛧 = 4(𝜅⃗ + 𝜆⃗)

159

Σελίδα 36

Δραστηριότητες Ενότητας

Δραστηριότητα

Απαντήσεις

Τα διανύσματα ⃗α⃗ και 2α ⃗⃗ είναι ομόρροπα και το μέτρο του 2α ⃗⃗ είναι διπλάσιο του ⃗α⃗. Το διάνυσμα −3α ⃗⃗ είναι αντίρροπο των ⃗α⃗ και 2α ⃗⃗ και το μέτρο του είναι τριπλάσιο του ⃗α⃗. (α)

(β)

(γ)

(δ)

160

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

(ε)

(στ)

(ζ)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛥 = 2𝛽⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛭 = −𝛼⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛭 = 𝛽⃗ + 𝛼⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 = 𝛼⃗ − 𝛽⃗ 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛣 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = ( ), |𝛢𝛣 𝛢𝛤 | = 4 −4

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

161

8 𝛼⃗ + 𝛽⃗ = ( ) 6 ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼⃗ + 𝛽 , 𝛥𝛧 2

⃗⃗⃗

𝛽 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛧𝛦 = 2 − 3 𝛼⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗+𝛽 𝛼 𝛽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝛽⃗ + 𝛼⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (α) 𝛤𝛣 𝛢𝛦 = 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 = 𝛽⃗ (β) Το 𝛢𝛥𝛦𝛤 είναι τραπέζιο } ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛤 ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 ⃗⃗⃗ 𝛽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛦 = 2

Σελίδα 39 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2.

0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛰𝛢2 = ( ) , είναι αντίθετα 0 1 1 2 (α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛦 = 𝛽⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛦𝛣 = − 𝛽⃗ + 𝛼⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛤𝛥 == − 𝛼⃗ + 3

3 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝛽 −𝛾

(α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛤 = 𝛽⃗ − 𝛾⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝛭 = 4.

(β) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛬 =

⃗⃗⃗ ⃗⃗+𝛽 𝛼

, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 =

2 ⃗⃗−𝛾 ⃗⃗ 𝛼

, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛢𝛭 =

8 15

𝛽⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝛽 +𝛾 2

(γ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 = 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 και ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛭𝛬 ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛮𝛫 , το 𝛫𝛬𝛭𝛮 είναι παραλληλόγραμμο. 5.

𝐴(−1,1) 𝛭(2,4), 𝛭(

162

𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 , ) 2 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Πραγματικοί Αριθμοί Σελίδα 51 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2. 3. 4.

(α) 2 (β) 3 (α) ΛΑΘΟΣ (β) ΣΩΣΤΟ (γ) ΣΩΣΤΟ (α) 3∙∛2 (β) 2𝛼 ∙ √2𝛼

(α) 𝛥

(α) √2 + 1 (β)

6. 7. 11. 12.

(α)

3 6

(ε) 𝑥 ∙ √𝑥 5 (στ) 𝑥 ∙ √𝑥

(γ) 5 (δ) 8 ∙ √5

13+√3 3−√3

√𝑥

(ζ) ΣΩΣΤΟ (η) ΛΑΘΟΣ

(γ) 𝑥 ∙ √𝑥 3 (δ) 2𝛼 ∙ √2𝛼 (β) 𝛢

(ε) √𝑥 (στ)

(γ) 12 (δ) 𝛼 (δ) ΛΑΘΟΣ (ε) ΛΑΘΟΣ (στ) ΣΩΣΤΟ

(β) √3 + √2

(γ) √𝛼 + 1

(β) 12

(γ) -4,4

2401 (α) −6

(γ) −3, 0, 3 (δ) 2, 8

(α) −5, 5 (β) −2

Σελίδα 57 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2. 3. 4. 5.

(α) (β) (γ) (α) (β)

2 64 32

(δ) 5 (ε) 16

ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ

(γ) ΣΩΣΤΟ (δ) ΛΑΘΟΣ

(στ)

(ζ)

512

(γ) 1 (δ) 1

(α) 1

(β)

(η) 1 (θ) 32 (ε) ΣΩΣΤΟ (στ) ΣΩΣΤΟ

729

(α) 9 ∙ √9 (β) 256

(ε)

31 3

(στ) 13

(γ)

9𝑥 4

8𝑥 3 𝑦 3 27

16 𝑠𝑒𝑐

Σελίδα Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2. 3.

(α) (β) (γ) (α) (β)

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΛΑΘΟΣ 𝛥 𝛥 (α) >

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

(δ) ΛΑΘΟΣ (ε) ΣΩΣΤΟ (στ) ΛΑΘΟΣ

(ζ) ΛΑΘΟΣ (η) ΣΩΣΤΟ (θ) ΛΑΘΟΣ (γ) 𝛢 (δ) 𝛥

(γ) >

(ε) < 163

(δ) >

(α) 𝛢 < 𝛣 (β) 𝛤 > 𝛥

(γ) 𝛦 < 𝛧 (δ) 𝛨 > 𝛩

5. 7.

(β) <

𝑥

(ε) 𝛫 > 𝛬

𝑦

, 1, 𝑥 𝑦

𝑥

−4 < 2𝑥 + 3𝑦 < 1

−4 < 𝑥𝑦 < −1

−2𝑥 3𝑦

4 3

(α) Αν 2 < 3 και −1 < 0 δεν ισχύει: 2 − (−1) < 3 − 0

12. 13.

−2 < 𝑦 < − 2

(β) Αν 2 < 3 και −3 < −1 δεν ισχύει: 3

2 −3

3 −1

6 − √30 < √30 (α) 103,60 ≤ 𝛱 ≤ 104,40 (β) 634,81 ≤ 𝛦 ≤ 645,21

15.

Σελίδα 67 Δραστηριότητες Ενότητας Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2.

(α) 13 − 6√3

(β) 8 − 2√3

12√2 3

(α) √3 > √2 (β) 5 + √3 > 3 + √5 (γ) √10 + 2√15 > √5 + √3

(α) 27

164

(α) 6√7 − 6√5 1

(β) 36

5 √2

(γ)

√𝑥 7 𝑥

< 𝑥 < 3, −9 < − 𝑥+1 < − 2 8

(β) 14 < 2𝑥 + 4𝑦 < 24

(β) √3 = √9 > √6

(β) 1, √2, √2

11.

𝛾<𝛽<𝛼

12.

3𝛼 − 4𝛾 > 3𝛽 − 4𝛾

13.

(β) 23012 , 0

15.

(γ) −22

5. 6.

(β) Αδύνατη

𝑥 = −11, 𝑦 = 3, 𝑧 = 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 69

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2. 3.

−5𝑥 + 6 − 3(𝑥 + 3)√𝑥 + 3, −3 < 𝑥 < −2 𝛢={ 5𝑥 − 6 − 3(𝑥 + 3)√𝑥 + 3, −2 < 𝑥 < 2 (α) 𝑥 = −1 (β) 𝑥 = 12 (γ) 𝑥 = 2 𝛢 = 1 − √2, 𝛣 = 𝛤 𝛼3

7. 8. 11.

√2 2

𝛥 𝛼2

𝛦 √𝛼

𝛧 √𝛽

𝛨 𝛽2

𝛩 𝛽3

(α) 𝑥 = 0 (β) 𝑥 = 0 ή 𝑥 = 243 (γ) 𝑥 = 0 ή 𝑥 = 16 √𝑥−1 √𝑦−1

𝑥

, √𝑦 ,

√𝑥+1 √𝑦+1

𝑦

, √𝑥 ,

√𝑦−1 √𝑥−1

𝜈 = 492

13.

(α) 𝛣𝛤 = √𝛼 + 𝛽

15.

(α) 𝛢 < 𝛣 (β) 𝛤 < 𝛥 (γ) 𝛦 > 𝛧

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

165

Κύκλος Σελίδα 86 Απαντήσεις

Δραστηριότητα

(α) (β) (γ) (δ)

Εφάπτονται Εξωτερικά, ένα κοινό σημείο. Εξωτερικοί ο ένας στον άλλο, κανένα κοινό σημείο. Ο Κ εσωτερικός του Λ, κανένα κοινό σημεία. Εφάπτονται Εσωτερικά, ένα κοινό σημείο.

(α) 𝑥 = 5 𝑐𝑚 (β) 5 𝑐𝑚 < 𝑥 < 19 𝑐𝑚 (γ) 𝑥 > 19 𝑐𝑚

8 𝑘𝑚 < 𝑀𝛬 < 28 𝑘𝑚

(α) 9 𝑐𝑚

(β) 1 𝑐𝑚

Σελίδα 86 Δραστηριότητα 1. 2. 3.

Απαντήσεις

(α) 𝑥 = 40𝑜 (δ) 𝑥 = 34𝑜 (η) 𝑥 = 150𝜊 (α) Ορθό (γ) Ορθό

(β) 𝑥 = 43𝑜 (ε) 𝑥 = 40𝑜 , 𝑦 = 60𝑜 (θ) 𝑥 = 100𝑜 , 𝑦 = 120𝑜 (β) Λάθος (δ) Λάθος

(γ) 𝑥 = 90𝑜 (ζ) 𝑥 = 32𝜊

𝑅 = 2√2 𝑐𝑚

Σελίδα 90 Δραστηριότητα

166

Απαντήσεις

(α) 𝑥 = 54𝑜 , 𝑦 = 56𝑜

̂ 𝐵 = 140𝑜 𝐴𝐾

30𝑜

̂ 𝛤 είναι 61𝜊 Το τόξο ΒΓ που αντιστοιχεί στην 𝛣𝛫

(β) Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του 𝛥𝛦.

(β) 𝑥 = 117𝑜

(γ) 𝑥 = 51𝜊 , 𝑦 = 102𝑜

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 91

Δραστηριότητες Ενότητας

Δραστηριότητα

Απαντήσεις

(α) 𝑥 = 172𝜊 , (δ) 𝑥 = 120𝑜

𝐴 = 55𝑜 , 𝐵 = 105𝑜 , 𝛤 = 125𝜊 , 𝛥 = 75𝜊

(α) Τα τόξα είναι ίσα (γ) 𝑥 = 108𝑜

𝛢𝛤̂ 𝛣 = 45𝜊

𝛢̂ = 80𝜊 , 𝛣̂ = 60𝜊 , 𝛤̂ = 40𝜊

̂ = 60𝜊 , 𝛣̂ = 30𝜊 (β) 𝛢̂ = 90𝜊 , 𝛫

(α) 𝛣𝛤̂ 𝛥 = 60𝜊

10.

(β) 𝛢̂ = 𝛰̂ = 135𝜊 , 𝛣̂ = 𝛤̂ = 45𝜊 𝛫𝛢̂𝛣 = 90𝜊 . Η ακτίνα 𝛫𝛢 είναι κάθετη με την 𝛢𝛣 στο σημείο Α του κύκλου άρα η 𝛢𝛣 είναι εφαπτομένη

14. 15.

(β) 𝑥 = 180 (ε) 𝑥 = 30𝜊

(γ) 𝑥 = 66𝜊 , 𝑦 = 72𝑜 (στ)𝑥 = 147𝜊

𝜑̂ = 95𝜊

Σελίδα 159 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 1.

Απαντήσεις

(β) ισοσκελές τραπέζιο

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

167

Γραμμικά Συστήματα Σελίδα 102 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1.

2. 3. 4. 5. 6.

(α) (β) (γ) (α) (β) (γ) (α) (β) (α) (β) (γ)

𝑦 = 5. Αδύνατη εξίσωση ( καμία λύση). Αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις). ΛΑΘΟΣ (δ) ΣΩΣΤΟ (ζ) ΣΩΣΤΟ ΣΩΣΤΟ (ε) ΛΑΘΟΣ (η) ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ (στ) ΛΑΘΟΣ (θ) ΛΑΘΟΣ 𝑎=1 1 𝑥 = −2 𝜇=4 Δεν υπάρχει 𝜇 ∈ ℝ έτσι ώστε να είναι ταυτότητα. 7 𝜇= 9

𝜆 = −2 (γ) 𝜇 ≠ ±1 (α) 𝜇 = 1 (β) 𝜇 = −1 (α) Μοναδική λύση 𝑥 = 𝜆 − 2 , όταν 𝜆 ≠ −2. Αόριστη εξίσωση για 𝜆 = −2. 𝜆−4

(β) Μοναδική λύση 𝑥 = 𝜆−1 , όταν 𝜆 ≠ ±1 . Αόριστη εξίσωση για 𝜆 = −1. Αδύνατη εξίσωση για 𝜆 = 1. 𝜆−2

(γ) Μοναδική λύση 𝑥 = 𝜆−3 , όταν 𝜆 ≠ −2. Αόριστη εξίσωση για 𝜆 = −2. Αδύνατη εξίσωση για 𝜆 = 1.

Σελίδα 110 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1. 2. 3.

(α) Μοναδική λύση (α) Μοναδική λύση (β) Δεν έχει λύση (γ) Άπειρες λύσεις (δ) Μοναδική λύση 𝜅 =6,

(β) Καμία λύση

(ε) Δεν έχει λύση (στ) Μοναδική λύση (ζ) Άπειρες λύσεις

𝜆=9 −2𝜆+10

(γ) Άπειρες λύσεις

(α) Μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜆+2 , 𝑦 = 𝜆+2 , για 𝜆 ≠ −2. Για 𝜆 = −2 , το σύστημα είναι αδύνατο. (β) Μοναδική λύση: 𝑥 = −4 , 𝑦 = 4𝜆 + 4 , για 𝜆 ≠ 1. Για 𝜆 = 1 , το σύστημα έχει άπειρες λύσεις: 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 4 − 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ. 10

𝜆+3

(γ) Μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜆−2 , 𝑦 = − 𝜆−2 , για 𝜆 ≠ 2. Για 𝜆 = 2 , το σύστημα είναι αδύνατο. 8𝜆+12

5. 168

−2𝜆−6

(δ) Μοναδική λύση: 𝑥 = (𝜆−3)(𝜆+2) , 𝑦 = (𝜆−3)(𝜆+2) , για 𝜆 ≠ 3 , 𝜆 ≠ −2. 𝑥 + 𝑦 = −2 𝑥 + 5𝑦 = 4 𝑥 + 𝑦 = −2 (α) { (β) { (γ) { 𝑥−𝑦 =4 2𝑥 + 2𝑦 = −4 𝑥 + 5𝑦 = 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

𝜅 = 5 , 𝜆 = −10

𝛼 = 3 , 𝛽 = −7

(α) (β) (γ) (δ)

9. 10.

11.

12.

Συμβιβαστό ( Μοναδική λύση 𝑥 = 2 , 𝑦 = 1 ) Δεν είναι συμβιβαστό Είναι Συμβιβαστό ( Έχει μοναδική λύση το 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0 ) Είναι Συμβιβαστό ( Έχει άπειρες λύσεις ) 𝜆 = −10

(α) 𝛢(2,3) (β) Η ευθεία περνά από το 𝛢 (γ) 𝜆 = −2 Συμβιβαστό: −𝑥 + 𝑦 = 5 {𝑥 − 3𝑦 = −1 𝑥 + 𝑦 = −9 Ποντίκι: €10 Υπολογιστής: €312 Τάπλετ: €78

13.

420 , 600 , 780

14.

𝛼 = −3 , 𝛽 = 6 , 𝛾 = 1

15.

Μη Συμβιβαστό: −𝑥 + 𝑦 = 5 {𝑥 − 3𝑦 = −1 𝑥 + 𝑦 = −10

(γ) 𝑥 = 3 , 𝑦 =

(α) 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 , 𝑧 = 1 5 11 (β) 𝑥 = − 3 , 𝑦 = −10 , 𝑡 = − 3

(δ) 𝑥 = 2 , 𝑦 =

16 12 , 𝑧= 7 7 1 1 ,𝜔 = 4 3

Σελίδα 113 Δραστηριότητες Ενότητες Δραστηριότητα 1. 2. 3. 4.

Απαντήσεις

(β) Αδύνατη (γ) Αόριστη εξίσωση εξίσωση (α) Για 𝜅 = 1 , η εξίσωση είναι αδύνατη, ενώ για 𝜅 = −1 η εξίσωση είναι αόριστη. (β) 𝜅 ≠ ±1 (γ) 𝜅 = −2 (α) 𝜅 = 2 , 𝜅 = −1 (δ) 𝜅 = 2. (β) 𝜅 ≠ ±2 𝜅+7 Για 𝜅 ≠ −3 , 7 μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜅+3 Για 𝜅 = −3 η εξίσωση είναι αδύνατη. Για 𝜅 = 7, η εξίσωση είναι αόριστη. (α) 𝑥 = 5

5(𝜆+2)

(α) Για 𝜆 ≠ 2 , μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜆−2 Για 𝜆 = 2 , η εξίσωση είναι αδύνατη

𝜆−8

(β) Για 𝜆 ≠ ±6 , μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜆+6 Για 𝜆 = −6 , η εξίσωση είναι αδύνατη. Για 𝜆 = 6, η εξίσωση είναι αόριστη. (α) 𝛩 = 00 𝐶 1 (β) 𝛽 = 273 (γ) 𝛩 = 163,80 𝐶

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

169

7. 8. 9.

(α) Το Μ βρίσκεται στα (α) {

(α) (β) (γ) (α) (β) (γ)

11.

13.

𝑥+𝑦 =5 Λύση: (3,2)

(β) { 𝑦 = 2 𝑥 𝑥 − 𝑦 = −1

Μοναδική λύση για 𝜆 ≠ ± 2 Άπειρες λύσεις για 𝜆 = −2 και για 𝜆 = 2 Για καμία τιμή του 𝜆 . 1 Μοναδική λύση 𝑥 = − 𝜆 , 𝑦 = −𝜆, για 𝜆 ≠ 0 , 𝜆 ≠ 2 Αν 𝜆 = 0 το σύστημα είναι αδύνατο. Αν 𝜆 = 2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Μήκος 13 𝑐𝑚, Πλάτος 7 𝑐𝑚. Aν 𝑥 ηλικία Ανδρέα και 𝑦 ηλικία 𝑥 = 2𝑦 Βασίλη { 𝑥 − 4 = 4(𝑦 − 4)

14.

𝑅1 = 16 𝑐𝑚 ,𝑅2 = 24 𝑐𝑚. (α) Δεν είναι συμβιβαστό (β) Δεν είναι συμβιβαστό

15. 16.

𝜅=6

17. 18.

𝑦 = 2𝑥

της απόστασης από το Α στο Μ.

𝑎 = 55 , 𝛽 = −35

10.

12.

𝑥+𝑦 = 5

2 3

𝛢 = 200 (α) 𝑥 = 2 , 𝑦 = −1 , 𝑧 = 3 (β) 𝑥 = 1 , 𝑦 = −1 , 𝑡 = 0

(γ) 𝛼 = 11𝑡 , 𝛽 = 7𝑡 , 𝛾 = 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ. (δ) 𝑥 = 2 , 𝑦 = 3 , 𝜔 = 4

Σελίδα 116 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 1.

8𝛼 + 10𝛽 = 8

(α) Αδύνατη για 𝑥 = 2.

(α) Αν το 𝜆 ≠ ±1 η εξίσωση έχει μοναδική λύση: 𝑥 = 𝜆−1 Aν 𝜆 = −1 η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις Aν 𝜆 = 1 η εξίσωση είναι αδύνατη. (β) Αν το 𝜆 ≠ ±3 , 𝜆 ≠ 0 , η εξίσωση έχει μοναδική λύση: 1 𝑥= 𝜆(𝜆 + 3) Αν 𝜆 = 0 , ή 𝜆 = 3,η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Αν 𝜆 = −3, η εξίσωση είναι αδύνατη.

(β) Αόριστη για 𝑥 = 1 3𝜆

170

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

(α) 𝜅 = −2 ή 𝜅 = 4

(α) Αδύνατο σύστημα (β) Αδύνατο σύστημα (γ) Αδύνατο σύστημα αν, 𝛽1 ≠ 𝛽2 + 1 αν 𝛽1 = 𝛽2 + 1, οπότε το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις

(α) 𝛼 ≠ ±5 (β) 𝛼 = ±5 και 𝛽 = 0. (γ) 𝛼 = ±5 και 𝛽 ≠ 0 𝛽−4 2𝑎−𝛽 (α) Μοναδική λύση: 𝑥 = 𝛼−2 , 𝑦 = 𝛼−2 για 𝛼 ≠ 2. Για 𝛼 = 2 και 𝛽 = 4 η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Για 𝛼 = 2 και 𝛽 ≠ 4 η εξίσωση είναι αδύνατη. (β) Μοναδική λύση: 𝑥 =

𝛽𝛾(𝛽−𝛾) 𝛼𝛽(𝛽−𝛼)

,𝑦 =

𝛼𝛾(𝛾−𝛼) για 𝛼 𝛼𝛽(𝛽−𝛼)

≠ 𝛽, και

𝛼 , 𝛽 ≠ 0. Αν 𝛼 = 𝛽 ≠ 𝛾 και 𝛼 ≠ 0 το σύστημα είναι αδύνατο Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις όταν 𝛼 = 0 και 𝛽 = 𝛾, ή όταν 𝛽 = 0 και 𝛼 = 𝛾. Αν 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

9. 10.

11.

13.

Αξία σοκολάτας: €98, Ανδρέας: €47, Γιάννης: €53 (α) Αδύνατο (β) Άπειρες λύσεις της μορφής: (−4𝑧 + 17 , 3𝑧 − 5, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ. 𝑥+𝑦+𝑧 =6 (α) {𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥−𝑦+𝑧 =2 𝑥+𝑦−𝑧 =0 (β) {𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 − 𝑦 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10 (γ) { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 = 2 ,𝑦 = 3 ,𝑧 = 4

14.

Ο 3-ψήφιος είναι: 385

15.

𝛼 = 1 , 𝛽 = −3 , 𝛾 = 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

171

Τριγωνομετρία Σελίδα 129 Απαντήσεις

Δραστηριότητα

(α) Η τελική πλευρά της γωνίας 100° είναι στο 2ο τεταρτημόριο 𝜋 (β) Η τελική πλευρά της γωνίας − 𝑟𝑎𝑑 είναι στο 4ο τεταρτημόριο 4

(γ) Η τελική πλευρά της γωνίας 450° ταυτίζεται με το θετικό

ημιάξονα των τεταγμένων (δ) Η τελική πλευρά της γωνίας -210° είναι στο 2ο τεταρτημόριο (α) 360° + 135° = 495°, −720° + 135° = −585° (β) −360° − 20° = −380°, 1080° − 25° = 1055°

(γ) 6𝜋 −

7𝜋 6

𝑟𝑎𝑑, −4𝜋 +

=−

17𝜋 6

𝑟𝑎𝑑

300°, 210°, 270°, 900° (α) 𝛰𝛬 → τελική πλευρά της 𝜔 , 𝛰𝛢 → αρχική πλευρά της 𝜔 𝜑 = 360° + 𝜔 (β) Αρχική πλευρά: 𝛰𝛢, Τελική πλευρά: 𝛰𝛬 (γ) Αρχική πλευρά: 𝛰𝛢, Τελική πλευρά: 𝛰𝛬

𝑟𝑎𝑑, 4 𝑟𝑎𝑑, 2 𝑟𝑎𝑑,

𝜂𝜇𝜃 = −

√2 , 𝜎𝜐𝜈𝜃 2

𝜎𝜏𝜀𝜇𝜃 = −√2,

𝑦 = −𝑥

120° ή

2𝜋

7𝜋

𝜋

29𝜋

𝜋

=−

𝑟𝑎𝑑

√2 , 𝜀𝜑𝜃 2

= 1,

𝜏𝜀𝜇𝜃 = −√2,

𝜎𝜑𝜃 = 1

2𝜋 3

Σελίδα 134 Απαντήσεις

Δραστηριότητα (α) (β) (γ) (δ)

1. 2.

172

ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΛΑΘΟΣ

−2 𝜂𝜇236° < 0, 𝜎𝜐𝜈236° < 0, 𝜀𝜑236° > 0, 𝜏𝜀𝜇236° < 0, 𝜎𝜏𝜀𝜇236° < 0, 𝜎𝜑236° > 0 𝜂𝜇(−52°) < 0, 𝜎𝜐𝜈(−52°) > 0, 𝜀𝜑(−52°) < 0, 𝜏𝜀𝜇(−52°) > 0, 𝜎𝜏𝜀𝜇(−52°) < 0, 𝜎𝜑(−52°) < 0 3𝜋 3𝜋 3𝜋 3𝜋 3𝜋 3𝜋 𝜂𝜇 > 0, 𝜎𝜐𝜈 > 0, 𝜀𝜑 > 0, 𝜏𝜀𝜇 > 0, 𝜎𝜏𝜀𝜇 > 0, 𝜎𝜑 > 0 7 7 7 7 7 7 4𝜋 4𝜋 4𝜋 4𝜋 4𝜋 𝜂𝜇 (− ) > 0, 𝜎𝜐𝜈 (− ) < 0, 𝜀𝜑 (− ) < 0, 𝜏𝜀𝜇 (− ) < 0, 𝜎𝜏𝜀𝜇 (− ) > 0, 3 3 3 3 3 4𝜋 𝜎𝜑 (− ) < 0 3 (α) 2ο τεταρτημόριο (β) 2ο τεταρτημόριο (γ) 4ο τεταρτημόριο

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Σελίδα 142 Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1.

(α) 60° ή 120°

α. 1

(α) ΣΩΣΤΟ

(α) (β) (α) (β)

β. 5

Για τα σημεία 𝛣 και 𝛤:

−𝜀𝜑80° −𝜎𝜏𝜀𝜇40°

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ (δ) 𝑥 = 120° ή 𝑥 = 240° (ε) ΑΔΥΝΑΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ (𝜎𝜏)𝑥 = 45° ή 𝑥 = 225°

9𝜋 16𝜋 23𝜋 7

7 26𝜋 7

,−

7 19𝜋 7

,−

12𝜋 7

,−

5𝜋 7

147 Απαντήσεις 13

, 𝜎𝜐𝜈𝜑 =

8 , 𝜏𝜀𝜇𝜑 15

5√𝑥 2 +25

𝜂𝜇𝜔 =

𝛢 = −5

𝛢 = 10

𝑥 2 +25

, 𝜂𝜇𝜑 = 13 , 𝜎𝜏𝜀𝜇𝜑 = 12 , 𝜀𝜑𝜑 =

5 12

(β) 𝜂𝜇𝜑 = − (γ) 𝜎𝜑𝜑 =

, 𝜏𝜀𝜇𝜔

35 37

, 𝜏𝜀𝜇𝜑 =

17 = − , 𝜎𝜐𝜈𝜑 8 √𝑥 2 +25 = 𝑥

37 35

12 5

, 𝜀𝜑𝜑 = −

8 − , 𝜂𝜇𝜑 17

, 𝜎𝜑𝜑 = 12 12 35

, 𝜎𝜑𝜑 = −

15 − , 𝜎𝜏𝜀𝜇𝜑 17

35 12

17 − 15

(α) 𝜎𝜐𝜈15° =

√2 4

(√3 + 1)

(β) 𝜀𝜑15° = 2 − √3

𝛢 = −1, 𝛣 = 𝜎𝜑2 𝑥

𝜀𝜑𝑥 =

11.

𝜃 = 30°

17.

(γ) (δ) (γ) (δ)

𝐴 = 𝜎𝜐𝜈𝛼 + 𝜎𝜑𝛼 , 𝛣 = 2(𝜂𝜇𝛼 + 𝜎𝜐𝜈𝛼)

(α) 𝜏𝜀𝜇𝜑 =

(γ) ΛΑΘΟΣ

𝜂𝜇15° −𝜎𝜐𝜈18°

Δραστηριότητα 1.

γ. 6

(β) ΛΑΘΟΣ

Για τα σημεία 𝛥 και 𝛦: − Σελίδα

(γ) 150°

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ (α) 𝑥 = 45° ή 𝑥 = 135° (β) 𝑥 = 115° ή 𝑥 = 245° (γ) 𝑥 = 120° ή 𝑥 = 300°

(β) 20°

𝜂𝜇𝑥 √1− 𝜂𝜇2 𝑥

(β) 𝑑 = 31,707 𝑚

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΩΝ

173

Σελίδα 150

Δραστηριότητες Ενότητας Απαντήσεις

Δραστηριότητα 1.

𝛤

𝜂𝜇𝜃 =

𝛼 = 𝜂𝜇𝜃, 𝛽 = 𝜀𝜑𝜃, 𝛾 = 𝜏𝜀𝜇𝜃, 𝛿 = 𝜎𝜐𝜈𝜃

𝜃 = 60°

𝛤(4,3√3 + 1) ή 𝛤(4, −3√3 + 1)

12.

√2(𝜎𝜐𝜈𝛼+𝜂𝜇𝛼) , 2

𝜂𝜇𝑥+1

𝜎𝜐𝜈𝜃 =

√2(𝜎𝜐𝜈𝛼−𝜂𝜇𝛼) 2

1−𝜎𝜐𝜈𝑥

, 0, 1+𝜎𝜐𝜈𝑥 𝜂𝜇𝑥−1 (β)

15.

2𝛼

16.

𝛢 = 23

17.

−

ii.

𝛼2 −1

iii.

𝛼2 −1

𝛼(3−𝛼2 ) 2

17𝜋 16𝜋 11𝜋 10𝜋 5𝜋 4𝜋 𝜋 2𝜋 ,− ,− ,− ,− ,− , , 3 3 3 3 3 3 3 3

Σελίδα 153 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Απαντήσεις

Δραστηριότητα

(α) −3 + √3 ≤ 𝛢 ≤ 3 + √3 (β) −3 + 𝜋 ≤ 𝛣 ≤ 3 + 𝜋

2. 5. 8.

√2 2

<𝑥<2

Ελάχιστη όταν 𝑥 = Μέγιστη όταν 𝑥 =

9. 11.

174

−6𝜅𝜋+𝜋 ,𝜅 ∈ ℤ 6 −6𝜅𝜋−2𝜋 −6𝜅𝜋+4𝜋 ή𝑥 = ,𝜅 6 6

∈ℤ

6𝑚 √2

(α) 𝛰𝛨 = 2 , 𝛢𝛨 = (β) Ορθογώνιο

2+√2 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ

∊

ανήκει

∉

δεν ανήκει

∀

για κάθε

∃

υπάρχει

∪

ένωση συνόλων

∩

τομή συνόλων

⊂

γνήσιο υποσύνολο

⊆

υποσύνολο

∅ ή{ }

κενό σύνολο

ίσον

≠

άνισο

≡

ταυτοτικά ίσο

≅

κατά προσέγγιση ίσο

ℕ

φυσικοί αριθμοί {1,2,3,4, . . . }

ℕ0

φυσικοί αριθμοί και το μηδέν {0,1,2,3,4, . . . }

ℤ

ακέραιοι αριθμοί {0, ±1, ±2, ±3, ±4, . . . }

ℤ+

θετικοί ακέραιοι αριθμοί {1,2,3,4, . . . }

ℤ−

αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί {−1, −2, −3, −4, . . . }

ℚ

ρητοί αριθμοί {α/β: α,β∈Z και β≠0}

ℚ+

θετικοί ρητοί αριθμοί

ℚ+ 0

θετικοί ρητοί αριθμοί και το μηδέν

ℚ

αρνητικοί ρητοί αριθμοί

ℝ

πραγματικοί αριθμοί

⇒

απλή συνεπαγωγή

⟺

διπλή συνεπαγωγή / ισοδυναμία

⊥

κάθετες

∥

παράλληλες

−

Υπολογιστική Αριθμομηχανή

Ίσον (Βρίσκει την τιμή της παράστασης)

Υποδιαστολή

∙ ΕΧΡ

Εκθέτης δύναμης με βάση το 10

Ans

Επαναφορά τελευταίου αποτελέσματος

𝑥

𝑥𝑦

Δύναμη Ποντίκι (Mouse)

Ενεργοποίηση της εντολής που βρίσκεται πάνω από κάθε κουμπί Επανεκκίνηση υπολογιστικής

DEL

Σβήσε το τελευταίο ψηφίο ή εντολή

Abs

Απόλυτη τιμή (μόνο σε μερικές υπολογιστικές)

(-)

Εισαγωγή Πρoσήμου −

SHIFT

nd ή 2 F

a b/c

SD

2 3

a b/c

Κλάσμα Μετατροπή Κλάσματος  Δεκαδικό

CLR

Σβήσιμο μνήμης

M+

Πρόσθεσε τον αριθμό στη μνήμη

M-

Αφαίρεσε τον αριθμό από τη μνήμη

Ανακάλεσε τον αριθμό της μνήμης

Πράξη

Εντολές υπολογιστικής

3+4 2,34 – 1,1 3 ∙ 2 2

4 =

∙

3 x

5 ∙ 10

3 +

3+4 7

–

∙

ΕΧP

a b/c

ή 3

SHIFT

√4

a b/c

2 ∙ (7 − 3) 2 − (−3)

4 =

2 ┘3 ┘4

5 –

)

3 =

Ans

–

( (-)

(-)

)

2𝑋(7 − 3)

8 =

2𝛸𝛢𝑛𝑠 8 2 − (−3) 5 |−3|

3 =

3 1 4

SD ή

Ανάκληση μνήμης 3 ∙ (9 − 6: 2) − 6: (9 − 6: 2)

–

4 =

√4

(

Abs

πράξης 9−6∶2

a b/c

2 x

|−3| Αν 0,25 αποτέλεσμα μιας

5 X² =

2 ∙ (7 − 3)

ή 5𝛸103 5000

3┘4

4 =

√

3 4

4 =

2 3

ή 2

5𝛦3

3 =

a b/c

1.24 6

2.34 – 1.1 3𝑋2

2 =

2 𝑥𝑦 5

3 4

Στην οθόνη

a b/c

SHIFT

Υπολογισμός και αποθήκευση 9 –

3 Χ

Μ –

9– 6∶ 2𝛭+ 6

2 = Μ+ 6 ÷ Μ =

3𝛸𝛭– 6∶ 𝛭 17

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 1°- 89° Γωνία

ημω

συνω

εφω

Γωνία

ημω

συνω

εφω

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 28° 27° 28° 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 38° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 44°

0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695

0,999 0,999 0,999 0,998 0,996 0,395 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719

0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 0,348 0,404 0,424 0,445 0,466 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 0,869 0,900 0,933 0,966

46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° 59° 60° 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 74° 75° 76° 77° 78° 79° 80° 81° 82° 83° 84° 85° 86° 87° 88° 89°

0,720 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,914 0,921 0,927 0,934 0,940 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,988 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 0,999 0,999

0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 0,485 0,470 0,454 0,438 0,423 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 0,242 0,225 0,203 0,191 0,174 0,156 0,139 0,122 0,105 0,087 0,070 0,052 0,035 0,018

1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,748 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,333 4,705 5,145 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290

45°

0,707

1,000