B gymnasiou a tomos 14 15 by math-Ellinas

ȊȆȅȊȇīǼǿȅ ȆǹǿǻǼǿǹȈ Ȁǹǿ ȆȅȁǿȉǿȈȂȅȊ

ƱƩĭƭƱƩƸƮƯƩ ƪƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ ƩƟ ĳıǙǓǏǑ

ȆǹǿǻǹīȍīǿȀȅ ǿȃȈȉǿȉȅȊȉȅ ȊȆǾȇǼȈǿǹ ǹȃǹȆȉȊȄǾȈ ȆȇȅīȇǹȂȂǹȉȍȃ

ƱįǈǇǌįĳǉǊƿ BƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ AƟ ƸıǙǓǏǑ ƷǒǅǅǐįĴǁ

ƩǈįǍįĲǂǏǒ ƩǍİǐǀįǑ ƩǍĳǕǍǉƿİǇǑ ƱƿǐǉǏǑ ĬǉįĲǏǒǌǁǑ ƲǉǊǘǋįǑ ƢǋǋǇǍį Ʃǅǅǀǋį ƱįĳǈįǂǏǒ ƯǒǐǉƿǊǏǑ ƱǏǒĲǏǒǋǂİǏǒ – ƲǉǊǏǋįƨİǏǒ ƱįǐǉǋǀǍį ƵįȷįǅǉƿǍǍǇǑ ƯǕǍĲĳįǍĳǂǍǏǑ ƸǉǌǏǈǀǏǒ ƷƿǄǄįǑ ĮǉǋǂȷȷǏǒ ƩǍİǐǀįǑ

ƷǒǍĳǏǍǉĲĳǁǑ

ƺǐǂĲĳǏǒ ƯǕǍĲĳįǍĳǂǍǏǑ ƯįǈǇǅǇĳǁǑ ƵįǍıȷǉĲĳǇǌǂǏǒ ƯǙȷǐǏǒ

ƫȷǏȷĳıǂį

ĭıǏĴǂǋǏǒ ƷĳǀǋǉǏǑ ƫȷǉǈıǕǐǇĳǁǑ ƱǀĲǇǑ ƫǊȷįǂİıǒĲǇǑ ƯǕĲĳǁ ƩǍĳǚǍǉǏǑ ƫȷǉǈıǕǐǇĳǁǑ ƱǀĲǇǑ ƫǊȷįǂİıǒĲǇǑ ƵįǍĳıǋǁ ƵįǍĳıǋǁǑ ƫȷǉǈıǕǐǇĳǁǑ ƱǀĲǇǑ ƫǊȷįǂİıǒĲǇǑ ƵįȷįǅǉƿǍǍǇ ƥǋǅį ƫȷǉǈıǕǐǁĳǐǉį ƱǀĲǇǑ ƫǊȷįǂİıǒĲǇǑ

ĬǋǕĲĲǉǊǁ ıȷǉǌǀǋıǉį

ƵįǋƿĳǏǒ – ƺǐǉĲĳǘĴǉį ƱįǐǉƿǍǍį ưıǉĳǏǒǐǅǘǑ ƹȷǇǐıĲǂįǑ ƩǍƿȷĳǒǎǇǑ ƵǐǏǅǐįǌǌƿĳǕǍ

ƷǓıİǉįĲǌǘǑ ıǎǕĴǙǋǋǏǒ

ƷǉįǌǌƿǑ ƺǐǙĲǇǑ ưıǉĳǏǒǐǅǘǑ ƹȷǇǐıĲǂįǑ ƩǍƿȷĳǒǎǇǑ ƵǐǏǅǐįǌǌƿĳǕǍ

ƷǒǍĳǏǍǉĲǌǘǑ ǀǊİǏĲǇǑ

ƵįǐȷǏǙǍįǑ ƺǐǂĲĳǏǑ ƷǒǍĳǏǍǉĲĳǁǑ ƹȷǇǐıĲǂįǑ ƩǍƿȷĳǒǎǇǑ ƵǐǏǅǐįǌǌƿĳǕǍ

ƩƟ ǀǊİǏĲǇ ƪƟ ǀǊİǏĲǇ ƫǊĳǙȷǕĲǇ © ƹƵƴƹƶĬƫƮƴ ƵƩƮ©ƫƮƩƷ ƯƩƮ ƵƴưƮƸƮƷƱƴƹ ƵƩƮ©ƩĬƼĬƮƯƴ ƮƲƷƸƮƸƴƹƸƴ ƯƹƵƶƴƹ ƹƵƭƶƫƷƮƩ ƩƲƩƵƸƹƳƭƷ ƵƶƴĬƶƩƱƱƩƸƼƲ ,6%1 ƷĳǏ ıǎǚĴǒǋǋǏ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁǈǇǊı įǍįǊǒǊǋǕǌǀǍǏ Ǔįǐĳǂ Ĳı ȷǏĲǏĲĳǘ ĳǏǒǋƿǓǉĲĳǏǍ ȷǐǏıǐǓǘǌıǍǏ įȷǘ İǉįǓıǂǐǉĲǇ įȷǏǐǐǉǌǌƿĳǕǍ ǓįǐĳǉǏǙ ƸǏ ǒȷǘǋǏǉȷǏ ȷǏĲǏĲĳǘ ȷǐǏǀǐǓıĳįǉ įȷǘ ǒȷıǙǈǒǍǇ İǉįǓıǂǐǉĲǇ İįĲǚǍ

ƵǐǘǋǏǅǏǑ ƵǐǏǋǏǅǂǆǕ ǌı ǉİǉįǂĳıǐǇ Ǔįǐƿ Ǌįǉ ǉǊįǍǏȷǏǂǇĲǇ ĳǇǍ ǀǊİǏĲǇ Ĳı İǙǏ ĳıǙǓǇ ĳǏǒ ǄǉǄǋǂǏǒ ªƱįǈǇǌįĳǉǊƿ BƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ« ȷǏǒ įȷǏĳıǋıǂ įǎǉǘǋǏǅǏ Ǆǁǌį ĲĳǇǍ ȷǐǏĲȷƿǈıǉį ǅǉį įǍįǄƿǈǌǉĲǇ ĳǏǒ ȷıǐǉıǓǏǌǀǍǏǒ ĳǕǍ İǉİįǊĳǉǊǚǍ ǄǉǄǋǂǕǍ Ǌįǉ ĳǏǍ ıǊĲǒǅǓǐǏǍǉĲǌǘ ĳǇǑ ȷįǐıǓǘǌıǍǇǑ ƱįǈǇǌįĳǉǊǁǑ ȷįǉİıǂįǑ ƷĳǇǍ įǐǓǁ Ǌƿǈı ıǍǘĳǇĳįǑ ǅǂǍıĳįǉ ȷįǐƿǈıĲǇ ĳǕǍ ĲĳǘǓǕǍ Ǌįǉ Ǐǉ ǌįǈǇĳǀǑ ĳǐǉıǑ ȷǐǏǖİıƿǆǏǍĳįǉ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǏ ĳǉ ª¬ ǈį ǌƿǈǏǒǌı« ƩǊǏǋǏǒǈıǂ ĲĳǏ ªƢǓǏǒǌı ǌƿǈıǉ ¬« Ǉ ȷįǐǏǒĲǂįĲǇ ĳǇǑ įǍįǅǊįǂįǑ ȷǐǏǗȷƿǐǓǏǒĲįǑ ǅǍǚĲǇǑ ȷǏǒ Ǐǉ ǌįǈǇĳǀǑ ĳǐǉıǑ ȷǐǀȷıǉ Ǎį İǉįǈǀĳǏǒǍ Ǌƿĳǉ ȷǏǒ ǄǏǇǈƿ ĳǏǒǑ ĳǉǑ ıǊȷįǉİıǒĳǉǊǏǙǑ ĲĳǏǍ ǊįĳįǐĳǉĲǌǘ ǊįǋǙĳıǐǇǑ İǉįǅǍǕĲĳǉǊǁǑ Ǌįǉ İǉįǌǏǐĴǕĳǉǊǁǑ įǎǉǏǋǘǅǇĲǇǑ ƷĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį Ǐǉ ǍǀıǑ ǌįǈǇǌįĳǉǊǀǑ ǀǍǍǏǉıǑ İǉıǐıǒǍǚǍĳįǉ ǌı ĳǐǘȷǏ ȷǏǒ ǒȷǏǊǉǍıǂ ĳǏ ıǍİǉįĴǀǐǏǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǉǀǐǅıǉį ĳǕǍ ǌįǈǇĳǚǍ ĳǐǉǚǍ ǘȷǕǑ ǏǐǂǆǏǒǍ Ǐǉ įǐǓǀǑ ĳǕǍ ƫǊĲǒǅǓǐǏǍǉĲǌǀǍǕǍ ƩǍįǋǒĳǉǊǚǍ ƵǐǏǅǐįǌǌƿĳǕǍ ĳǕǍ ƱįǈǇǌįĳǉǊǚǍ ƭ ȷǐǏĲȷƿǈıǉį ǊǋǉǌįǊǚǍıĳįǉ ǌı ȷįǐįİıǂǅǌįĳį Ǌįǉ İǉįǄįǈǌǉĲǌǀǍıǑ İǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ǌı ǀǌĴįĲǇ ĲĳǇ ǋǙĲǇ ȷǐǏǄǋǁǌįĳǏǑ Ǌįǉ ĲĳǇǍ įǍƿİıǉǎǇ ĳǇǑ ĳıǓǍǏǋǏǅǂįǑ ǕǑ įǍįȷǘĲȷįĲĳǏǒ ǌǀǐǏǒǑ ĳǇǑ ƱįǈǇǌįĳǉǊǁǑ ıǊȷįǂİıǒĲǇǑ ƥǋıǑ Ǐǉ ıǊİǘĲıǉǑ ǅǉį ĳį ƱįǈǇǌįĳǉǊƿ ĳǕǍ ĳıǋıǒĳįǂǕǍ ǓǐǘǍǕǍ ǄǐǂĲǊǏǍĳįǉ ǒȷǘ ĲǒǍıǓǁ įǎǉǏǋǘǅǇĲǇ İǉįǌǘǐĴǕĲǇ Ǌįǉ ǄıǋĳǂǕĲǇ ĲĳǇ ǄƿĲǇ ĳǇǑ įǍįĳǐǏĴǏİǘĳǇĲǇǑ Ǌįǉ ĳǕǍ ȷįǐįĳǇǐǁĲıǕǍ ȷǏǒ ȷǐǏǀǐǓǏǍĳįǉ Ǌįǉ įȷǘ ĳǏǒǑ ĳǉǑ ǌƿǓǉǌǏǒǑ ıǑ ǊįǈǇǅǇĳǀǑ ĳǐǉıǑ ĳǕǍ ƱįǈǇǌįĳǉǊǚǍ ƩǍįǌǀǍǕ įȷǘ ĳǏǒǑ İǉİƿĲǊǏǍĳıǑ ǏǒĲıǑ Ǎį ıǊĴǐƿĲǏǒǍ ĳǉǑ įȷǘǔıǉǑ ĳǏǒǑ Ǌįǉ Ǎį ǒȷǏǄƿǋǏǒǍ ĳǉǑ ıǉĲǇǅǁĲıǉǑ ĳǏǒǑ ĳǘĲǏ Ĳı ĲǓǀĲǇ ǌı ĳǏ ȷıǐǉıǓǘǌıǍǏ ĳǏǒ ǄǉǄǋǂǏǒ Ǌįǉ ĳǏ ıȷǂȷıİǏ ĳǕǍ įĲǊǁĲıǕǍ Ǌįǉ İǐįĲĳǇǐǉǏĳǁĳǕǍ ǘĲǏ Ǌįǉ Ĳı ĲǓǀĲǇ ǌı ĳǏǍ ĳǐǘȷǏ ȷǐǏĲǀǅǅǉĲǇǑ ĳǇǑ ǙǋǇǑ ƥǋǏ ĳǏ ǒǋǉǊǘ ȷǏǒ ȷįǐƿǅıĳįǉ ǅǉį ĳǏ ǌƿǈǇǌį ĳǕǍ ƱįǈǇǌįĳǉǊǚǍ įȷǏĲǊǏȷıǂ ĲĳǇ ǄǏǁǈıǉį ĳǘĲǏ ĳǕǍ ǌįǈǇĳǚǍ ĳǐǉǚǍ ǘĲǏ Ǌįǉ ĳǕǍ ǊįǈǇǅǇĳǚǍ ĳǐǉǚǍ ĲĳǇǍ ȷǏǐıǂį ĳǏǒǑ ǌǀĲį įȷǘ ĳį ƫǊĲǒǅǓǐǏǍǉĲǌǀǍį ƩǍįǋǒĳǉǊƿ ƵǐǏǅǐƿǌǌįĳį ǌı ĲĳǘǓǏ ĳǏ ǊįǋǙĳıǐǏ įȷǏĳǀǋıĲǌį ƫǂǍįǉ ıǌȷǏĳǉĲǌǀǍǏ ǌı ĳǏǍ ĲǙǅǓǐǏǍǏ ĳǐǘȷǏ ĲǊǀǔǇǑ Ǌįǉ ȷǐǏĲǇǋǕǌǀǍǏ ĲĳǇǍ ȷǐǏįǅǕǅǁ Ǌįǉ ĲĳǇǍ įǍƿİıǉǎǇ ĳǕǍ ǄįĲǉǊǚǍ İıǎǉǏĳǁĳǕǍ ĳǕǍ ǌįǈǇĳǚǍ ĳǐǉǚǍ ǌįǑ ȷǏǒ įȷǏĳıǋıǂ ȷǐǚĳǉĲĳǏ ǌǀǋǇǌƿ ǌįǑ ƭ ȷǐǏĲȷƿǈıǉį ĲǒǍıǓǂǆıĳįǉ Ǌįǉ Ǐǉ ȷǐǏǏȷĳǉǊǀǑ ıǂǍįǉ ǋįǌȷǐǀǑ ƫǒǓįǐǉĲĳǚ ǈıǐǌƿ ǘǋǏǒǑ ĳǏǒǑ ĲǒǍĳıǋıĲĳǀǑ ĳǇǑ ȷįǐǏǙĲįǑ ǀǊİǏĲǇǑ ıǊȷįǉİıǒĳǉǊǏǙǑ Ǌįǉ ıȷǉǈıǕǐǇĳǀǑ Ǌįǉ ǉİǉįǂĳıǐį ĳǏǍ ǊǙǐǉǏ ƯǕǍĲĳįǍĳǂǍǏ ƺǐǂĲĳǏǒ ƯįǈǇǅǇĳǁ ĲĳǏ ƵįǍıȷǉĲĳǁǌǉǏ ƯǙȷǐǏǒ

ƷƿǄǄįǑ ƩǍĳǕǍǂǏǒ ƩǍįȷǋǇǐǕĳǁǑ ©ǉıǒǈǒǍĳǁǑ ƱǀĲǇǑ ƫǊȷįǂİıǒĲǇǑ

ȫȠȬȤȠȱȪȧȠȨȜ

ȭɂɉɜɁȽ

ƫȷįǍƿǋǇǔǇ ƫȷįǍƿǋǇǔǇ įȷǘ ĳǇǍ ƩƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ

1. ƵǐįǅǌįĳǉǊǏǂ ƩǐǉǈǌǏǂ ƮİǉǘĳǇĳıǑ ©ǒǍƿǌıǕǍ

©ǒǍƿǌıǉǑ ƶǇĳǚǍ ǌı ƩǊǀǐįǉǏ ƫǊǈǀĳǇ

ƸıĳǐįǅǕǍǉǊǁ Ǌįǉ ƯǒǄǉǊǁ ƶǂǆį ƩǐǉǈǌǏǙ

ƮİǉǘĳǇĳıǑ ƶǉǆǚǍ

ƵǒǈįǅǘǐıǉǏ ĭıǚǐǇǌį

ƵǐįǅǌįĳǉǊǏǂ ƩǐǉǈǌǏǂ

2. ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ – ƱǏǍǚǍǒǌį

ƵǐƿǎıǉǑ ƱǏǍǕǍǙǌǕǍ

ƵǏǋǒǚǍǒǌį – ƵǐǘĲǈıĲǇ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ

ƵǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǘǑ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ

©ǉįǂǐıĲǇ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ

3. ĬıǕǌıĳǐǂį Ʒǒǌǌıĳǐǂį

103

ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

112

ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

117

ƶǘǌǄǏǑ

121

ƸıĳǐƿǅǕǍǏ

126

ƸǐįȷǀǆǉǏ

131

ƱǁǊǏǑ ƯǙǊǋǏǒ

138

ƫǌǄįİǘǍ ƯǒǊǋǉǊǏǙ ©ǂĲǊǏǒ

145

4. ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ ©ǐįĲĳǇǐǉǏĳǁĳǕǍ 157

5. ƵƩƶƩƶƸƭƱƩ

1. 1.

ŚüŴſůžźƈź

Ŵüƌ Ƅźſ ŗŌ řƅúſŴƃŲƁƅ

ȦȱȢȮȢȬȨȸȨ

ƫȷįǍƿǋǇǔǇ įȷǘ ĳǇǍ ƩƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ 1. Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ǌı ƷƼƷƸƴ ǁ ưƩĭƴƷ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǐǏĳƿĲıǉǑ, ǄƿǆǏǍĳįǑ Ĳı ǊǙǊǋǏ ĳǏǍ įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ǓįǐįǊĳǇǐǉĲǌǘ: į ƸǏ ƿǈǐǏǉĲǌį İǙǏ įǐǍǇĳǉǊǚǍ įǐǉǈǌǚǍ ıǂǍįǉ ȷƿǍĳǏĳı įǐǍǇĳǉǊǘǑ įǐǉǈǌǘǑ.

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

Ǆ ƸǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ıǍǘǑ ǈıĳǉǊǏǙ įǐǉǈǌǏǙ Ǌįǉ ıǍǘǑ įǐǍǇĳǉǊǏǙ ıǂǍįǉ ȷƿǍĳį įǐǍǇĳǉǊǘǑ įǐǉǈǌǘǑ

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

ǅ ƸǏ ǅǉǍǘǌıǍǏ İǙǏ ǏǌǘĲǇǌǕǍ įǐǉǈǌǚǍ ıǂǍįǉ ȷƿǍĳǏĳı ǈıĳǉǊǘ.

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

İ ƴ įǍĳǂǈıĳǏǑ ĳǏǒ +7 ıǂǍįǉ ĳǏ 7.

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

ı ƩǍ Ǉ įȷǘǋǒĳǇ ĳǉǌǁ ıǍǘǑ įǐǉǈǌǏǙ ıǂǍįǉ ǂĲǇ ǌı 8 ĳǘĳı Ǐ įǐǉǈǌǘǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ıǂǍįǉ ıǂĳı ĳǏ 8 ıǂĳı ĳǏ െ8.

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

2. Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ǌı ĳǏ ǊįĳƿǋǋǇǋǏ ĲǙǌǄǏǋǏ < , = , >, ǚĲĳı Ǎį ȷǐǏǊǙǔǏǒǍ įǋǇǈıǂǑ ĲǓǀĲıǉǑ į +12 … … െ 17 Ǆ െ4 … … െ 15 ǅ െ9 … … + 9

İ 0 … … െ 2

ı |െ4| … … |െ15|

Ĳĳ |െ9| … … 0

ǆ (െ2) ή (െ6) … … െ 4 + 16

Ǉ 24 ‫( ׷‬െ4) … … െ 3

3. Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į െ19 + 24

Ǆ െ32 െ 15

ǅ (+8) + (+13)

İ 4 + (െ11)

ı (െ10) െ (+13)

Ĳĳ െ5 െ (െ5)

ǆ (െ9) ή (െ8)

Ǉ (+25) ‫( ׷‬െ5)

ǈ െ8 ή (+3)

ǉ 0 ή (െ8)

ଵ

ǉǄ െ2 ଷ + 1 ହ

ଶ

ǉİ ቀെ2 ଺ቁ ‫ ׷‬ቀെ1 ସቁ

ǉį െ5 ସ െ 2 ସ ଵ

ǉǅ 3 ଺ ή ቀെ1 ଷቁ

ȦȱȢȮȢȬȨȸȨ

ଵ

ଷ

4. Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ǌı ĳǏǍ ǊįĳƿǋǋǇǋǏ įǐǉǈǌǘ: (െ2) െ į

െ2 + = െ4 Ǆ

‫( ׷‬െ2) = െ4 (െ2 + 6) ‫׷‬

5. Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į െ5 + 9 െ 6 + 2 ǅ

(െ2) ή

Ĳĳ

= െ4

(െ1) ή 24 ή

‫( ׷‬+12) = െ4

Ǆ +2 െ 6 + 8 + 0 െ 4 + 5 İ െ7 + (െ12) െ (+9) െ (െ4)

െ25 + (െ4) െ (െ9)

ı െ9 + (െ7) ή (+3) + 16

Ĳĳ (1 െ 15): (19 െ 12)

ǆ െ2 ή (െ4 + 7)

Ǉ െ7 + 6 ή (+4 െ 4)

ǈ െ5 ή (+2) െ 18 ‫( ׷‬െ3)

ǉ െ7 ή (െ4) െ (+12) + 8

Ʋį įǍįǋǙĲıĳı ĳǏǒǑ įǐǉǈǌǏǙǑ 32, 48 Ǌįǉ 80 Ĳı ǅǉǍǘǌıǍǏ ȷǐǚĳǕǍ ȷįǐįǅǘǍĳǕǍ ƷĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ߊ߈߂ Ǌįǉ ĳǏ ߃߈ߎ ĳǏǒǑ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ: į (െ2)ଶ Ǆ (+4)ଵ ǅ (െ3) ଷ

İ (െ6 + 5) ଶଶ

ଵ ଴

ଶ ଶ

ଵ

ı ቀെ ቁ ଼

Ĳĳ ቀെ ଶ + ଷቁ

Ʋį ǋǙĲıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ıǎǉĲǚĲıǉǑ į 4‫ ݔ‬+ 5 = 9

Ǆ െ3ߙ + 12 = 0

ǅ 3(2 െ ‫ )ݔ‬+ ‫ = ݔ‬6‫ ݔ‬െ 10

İ 7‫ ݔ‬െ 3(2‫ ݔ‬െ 5) = 20

ı 2(‫ ݔ‬െ 1) െ 3‫ = ݔ‬16 െ 3(‫ ݔ‬+ 2) Ĳĳ

఑ାଵସ + ଺

ଵ଴ି఑ ଷ

ଶ௬ ହ

ସ

ଶ

െଷ=ହ+

ହ௫ି଻ ଶ௫ା଻ െ ଷ ଶ

ହ௬ ଺

= 3‫ ݔ‬െ 14

Ʋį ǅǐƿǔıĳı İǂȷǋį įȷǘ Ǌƿǈı ǅǕǍǂį ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǇǑ Ǐǎıǂį, įǌǄǋıǂį Ǐǐǈǁ ıǒǈıǂį ȷǋǁǐǇǑ ǌǇ Ǌǒǐĳǁ ǌǇİıǍǉǊǁ ȧɚɒɏɍ ȞɘɋɜȽɑ

= െ4

ȠɜɁɍɑ ȞɘɋɜȽɑ

ȧɚɒɏɍ ȞɘɋɜȽɑ

98°

0°

270°

90°

180°

225°

81°

360°

ȠɜɁɍɑ ȞɘɋɜȽɑ

ȦȱȢȮȢȬȨȸȨ

10. Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ įǅǍǚĲĳǏǒ Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ: į

ı ߝଵ ‫ߝ צ‬ଶ

11. ƷĳǏǍ İǉȷǋįǍǘ ǊǙǊǋǏ ĳį ĲǇǌıǂį ߂, ߈, ߀ ıǂǍįǉ ĲǒǍıǒǈıǉįǊƿ į Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ‫ ݔ‬Ǌįǉ ‫ݕ‬. Ǆ Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲĳǏǉǓıǂį ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ i. ߈޿ ii. ޿߀ iii. ߀߂

12. ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ıǂǍįǉ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ Ǌįǉ Ǉ ޿ߊ İǉƿǌıĲǏǑ ƩǍ Ȟ෠ = 72° Ʋį Ǆǐıǂĳı į ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ‫ݔ‬, ‫ݕ‬. Ǆ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ ޿߁ Ǌįǉ ߀߁ ෡ଵ Ǌįǉ Ȝ ෡ଶ ෡, Ȝ ǅ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ȝ

ȦȱȢȮȢȬȨȸȨ

13. Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ߯, ߩ, ߙ, ߚ, ߛ Ĳĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį Ǌįǉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǕǍ ĳǐǉǅǚǍǕǍ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǉǑ ȷǋıǒǐǀǑ Ǌįǉ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒǑ į

14. ƷĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį ɂଵ ‫ צ‬ɂଶ , Ȝȝ ٣ ȜȞ Ǌįǉ ȝȟ İǉǓǏĳǘǌǏǑ ĳǇǑ ǅǕǍǂįǑ ȜȝȞ. Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı: į ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ Ǔ Ǆ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ߀ଵ , ߀ଶ , ߁ , ߂ ǅ ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߀߁ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǉǑ ǅǕǍǉǀǑ ĳǏǒ İ ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߀߂ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǉǑ ȷǋıǒǐǀǑ ĳǏǒ

15. ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ǏǐǈǏǊįǍǏǍǉǊǘ ĲǙĲĳǇǌį įǎǘǍǕǍ İǂǍıĳįǉ Ǉ ǅǐįĴǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ǌǉįǑ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ į Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ ĲǒǍĳıĳįǅǌǀǍıǑ ĳǕǍ ǊǏǐǒĴǚǍ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߁߀. Ǆ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߁߀. ǅ Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊį ĳǉǌǚǍ ĳǇǑ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ Ǌįǉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ ĳǙȷǏ ĳǇǑ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ (‫ݔ‬, ‫)ݕ‬ ƸǙȷǏǑ ĳǇǑ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ

ȦȱȢȮȢȬȨȸȨ

16. ©ǂǍıĳįǉ Ǉ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇ ǌı ĳǙȷǏ ‫ = ݕ‬2‫ ݔ‬െ 1. į Nį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ȷǂǍįǊį ĳǉǌǚǍ Ǌįǉ Ǎį ĳǇǍ ȷįǐįĲĳǁĲıĳı ǅǐįĴǉǊƿ Ǆ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ (0,0) įǍǁǊıǉ ĲĳǇ ǅǐįĴǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ .

17. ©ǂǍıĳįǉ Ǉ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇ ǌı ĳǙȷǏ ‫ = ݕ‬3‫ݔ‬. į Ʋį Ǆǐıǂĳı İǙǏ ĲǇǌıǂį ȷǏǒ Ǎį įǍǁǊǏǒǍ Ǌįǉ İǙǏ ĲǇǌıǂį ȷǏǒ Ǎį ǌǇǍ įǍǁǊǏǒǍ ĲĳǇ ǅǐįĴǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ Ǆ Nį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǇ ǅǐįĴǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ĲǒǍƿǐĳǇĲǇǑ ‫ = ݕ‬3‫ݔ‬.

18. ƢǍį ǊįĳƿĲĳǇǌį, ȷǏǒ ȷǕǋıǂ ǇǋıǊĳǐǏǍǉǊƿ ȷįǉǓǍǂİǉį, ȷǐǏĲĴǀǐıǉ 30% ǀǊȷĳǕĲǇ Ĳı ǘǋį ĳį įǍĳǉǊıǂǌıǍį ȷǏǒ ȷǕǋıǂ. į Ʋį ǅǐƿǔıĳı ĳǇ ĲǓǀĲǇ ȷǏǒ ĲǒǍİǀıǉ ĳǇǍ ĳǉǌǁ ȷǚǋǇĲǇǑ ‫ ݕ‬ǌı ĳǇǍ įǍįǅǐįĴǘǌıǍǇ ĳǉǌǁ ‫ݔ‬. Ǆ ƢǍį ǇǋıǊĳǐǏǍǉǊǘ ȷįǉǓǍǂİǉ ıǂǓı įǐǓǉǊǁ ĳǉǌǁ €80 ıǒǐǚ ƵǘĲį ǈį ȷǕǋǇǈıǂ ĳıǋǉǊƿ ǌı ĳǇǍ ǀǊȷĳǕĲǇ ǅ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ įǐǓǉǊǁ ĳǉǌǁ ǌǉįǑ ǇǋıǊĳǐǏǍǉǊǁǑ ǊǏǍĲǘǋįǑ ȷǏǒ ȷǕǋǁǈǇǊı ĳıǋǉǊƿ €280.

19. ƢǍįǑ ǀǌȷǏǐǏǑ ȷǚǋǇĲı ıǌȷǏǐıǙǌįĳį Ǌįǉ ıǉĲǀȷǐįǎı €40000 ƩǍ ĳǏ ǊǀǐİǏǑ ĳǏǒ ıǌȷǘǐǏǒ ǁĳįǍ 25% Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ įǎǂį ĳǕǍ ıǌȷǏǐıǒǌƿĳǕǍ

20. ƴ ǊǙǐǉǏǑ ƮƿǊǕǄǏǑ įǅǘǐįĲı ǀǍį įǒĳǏǊǂǍǇĳǏ €15000 Ǌįǉ ĳǏ ȷǚǋǇĲı €13200. ƵǘĲį ĳǏǉǑ ıǊįĳǘǍ ǆǁǌǉǕĲı

21. ƶǂǓǍǏǒǌı ǀǍį ǆƿǐǉ ǌǉį ĴǏǐƿ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷǉǈįǍǘĳǇĳį ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ıǍİıǓǏǌǀǍǕǍ ޿: Ǉ ǀǍİıǉǎǇ Ǎį ıǂǍįǉ ǌǉǊǐǘĳıǐǇ ĳǏǒ 7 ߀: Ǉ ǀǍİıǉǎǇ Ǎį ıǂǍįǉ ƿǐĳǉǏǑ įǐǉǈǌǘǑ ߁: Ǉ ǀǍİıǉǎǇ Ǎį ıǂǍįǉ ȷǐǚĳǏǑ įǐǉǈǌǘǑ ߂: Ǎį ǌǇǍ ıǂǍįǉ Ǉ ǀǍİıǉǎǇ Ǐ įǐǉǈǌǘǑ 5 ߃: Ǉ ǀǍİıǉǎǇ Ǎį ıǂǍįǉ ǌıǅįǋǙĳıǐǇ ĳǏǒ 6

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22. Ʒı ǀǍį ǅǒǌǍƿĲǉǏ 400 ǌįǈǇĳǚǍ ǀǅǉǍı ǀǐıǒǍį ǘĲǏǍ įĴǏǐƿ ĳǇǍ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǘǑ ĳǏǒǑ ǌı ĳį ıǎǁǑ įȷǏĳıǋǀĲǌįĳį ȪɊəɁȽ ȽɜɊȽɒɍɑ ȜɏɇɅɊɟɑ ɊȽɅɄɒɣɋ

޿ 100

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޿߀

į ƩǍ Ǐǉ ǌįǈǇĳǀǑ ȷǏǒ ǀǓǏǒǍ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǏǑ ޿߀ įȷǏĳıǋǏǙǍ ĳǏ 10% ĳǏǒ ĲǒǍǏǋǉǊǏǙ įǐǉǈǌǏǙ ǌįǈǇĳǚǍ ȷǏǒ ǀİǕĲįǍ įǂǌį Ǎį Ǆǐıǂĳı ȷǘĲǏǉ ǌįǈǇĳǀǑ ǀǓǏǒǍ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǏǑ ޿߀. Ǆ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ȷǏĲǏĲĳǘ ĳǕǍ ǌįǈǇĳǚǍ ȷǏǒ ǀǓǏǒǍ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǏǑ ߍ. ǅ Ʋį ȷįǐǏǒĲǉƿĲıĳı ĳį ȷǉǏ ȷƿǍǕ įȷǏĳıǋǀĲǌįĳį Ĳı ǀǍį ǊǒǊǋǉǊǘ İǉƿǅǐįǌǌį. İ ƩǍ ıȷǉǋǀǎǕ ĳǒǓįǂį ǀǍįǍ ǌįǈǇĳǁ, ȷǏǉį ıǂǍįǉ Ǉ ȷǉǈįǍǘĳǇĳį Ǎį i. ǀǓıǉ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǏǑ ޿, ii. ǌǇǍ ǀǓıǉ Ǐǌƿİį įǂǌįĳǏǑ ߍ.

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ŐƇƁƅúŸ úůŻŸż …

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ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ŐƇƁƅúŸ úůŻŸż « ȵɋȽɑ ɁɂɈȽɁɇɈɟɑ ȽɏɇɅɊɟɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɎɂɏɇɍɁɇɈɟɑ ɁɂɈȽɁɇɈɟɑǡ ɟɒȽɋ ɚɖɂɇ əɎɂɇɏȽ ɁɂɈȽɁɇɈə ɗɄɔɜȽ ɈȽɇ ȽɎɟ ɚɋȽ ɗɄɔɜɍ ɈȽɇ Ɋɂɒə ȽɎɍɒɂɉɂɜɒȽɇ ȽɎɟ ɚɋȽ ɂɎȽɋȽɉȽɊȾȽɋɟɊɂɋɍ ǼɒɊɛɊȽǽǤ Ȯɍ ɂɎȽɋȽɉȽɊȾȽɋɟɊɂɋɍ ǼɒɊɛɊȽǽ ɒɍɓ ȽɏɇɅɊɍɠ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɎɂɏɇɍɁɇɈɟ ɒɊɛɊȽǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ത ĳǏ 3 ıǂǍįǉ ĳǏ ȷıǐǉǏİǉǊǘ ĳǌǁǌį ĳǏǒ įǐǉǈǌǏǙ 0,333 … = 0, 3 തതതത ĳǏ 18 ıǂǍįǉ ĳǏ ȷıǐǉǏİǉǊǘ ĳǌǁǌį. െ34,23181818 … = െ34,2318

ȬɄɒɍɜ ɂɜɋȽɇ ɍɇ ȽɏɇɅɊɍɜ Ɏɍɓ ɊɎɍɏɍɠɋ ɋȽ ɀɏȽɔɍɠɋ ɐɒɄ Ɋɍɏɔɛ

ఓ ఔ

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ఓ ఔ

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ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

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┬й╟Й─▒╟Р─▒╟Щ╟Н╟З─▓╟З (1) ╞╖─│╟П╟Н ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖╟В╟Н─п╟К─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В╟Ж╟П╟Н─│─п╟Й ─░╟Т╟Н╞┐╟М─▒╟Й╟С ─│╟П╟Т 2 9 ╞╡╟Ъ╟С ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В─│─▒ ╟У╟Р╟З─▓╟Й╟М╟П╚╖╟П╟Й╟Ъ╟Н─│─п╟С ─│╟Й╟С ─│╟Й╟М╟А╟С ─│╟П╟Т ─░╟Й╚╖╟Л─п╟Н╟П╟Щ ╚╖╟В╟Н─п╟К─п ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟П 2рм╡рм┤ ╞▓─п ─п╟Н─п─┤╟А╟Р─▒─│─▒ ─░╟Й─п─┤╟П╟Р─▒─│╟Й╟К╟П╟Щ╟С ─│╟Р╟Ш╚╖╟П╟Т╟С ╚╖╟П╟Т ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В─│─▒ ╟Н─п ─│╟П ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ 9 ╞╡╟Ъ╟С ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В─│─▒ ╟У╟Р╟З─▓╟Й╟М╟П╚╖╟П╟Й╟Ъ╟Н─│─п╟С ─│╟Й╟С ─│╟Й╟М╟А╟С ─│╟П╟Т ╚╖╟В╟Н─п╟К─п ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟П 2рм╡рм┤ ╟К╞┐╟Н╟П╟Н─│─п╟С ╟М╟Ш╟Н╟П ╟М╟Й─п ─░╟Й─п╟В╟Р─▒─▓╟З 9 ╞┤ ╞й╟Л╟А╟О╟З╟С ╟Й─▓╟У╟Т╟Р╟В╟Ж─▒─│─п╟Й ╟Ш─│╟Й ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В ╟Н─п ╟Д╟Р─▒╟Й ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟П╟Т 2рм╡рм┤ ─░╟Й─п╟Й╟Р╟Ъ╟Н─│─п╟С ─│╟П 2рм╢рм┤ ╟М─▒ ─│╟П 2 ╞▓─п ─▒╟О─▒─│╞┐─▓─▒─│─▒ ─п╟Н ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П╟Р╟И╟Ш╟С ╟П ╟Й─▓╟У╟Т╟Р╟Й─▓╟М╟Ш╟С ─│╟П╟Т

9 ╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ─│╟П╟Т╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖╟В╟Н─п╟К─▒╟С ╟К─п╟Й ╟Н─п ╟Е─▒╟Н╟Й╟К─▒╟Щ─▓─▒─│─▒ ─│─п ─▓╟Т╟М╚╖─▒╟Р╞┐─▓╟М─п─│╞┐ ─▓─п╟С ╚Ю╔З╔Л╔Я╔К╔В╔Л╔Н ╔Б╔У╔Л╔Щ╔К╔В╔Ш╔Л рм╕

2 ╬о 2

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2╬о2╬о2╬о2╬о2╬о2╬о2

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▀Щрм╖ ╬о ▀Щрм╣ (3,1)рм╢ ╬о (3,1)рм╕ (р╡Ж3)рм╢ ╬о (р╡Ж3)рм╖ ╬о (р╡Ж3) рв╗ргЖ ╬о рв╗ргЗ ╚л╔Д╔Й╔Ь╔И╔Н ╔Б╔У╔Л╔Щ╔К╔В╔Ш╔Л

╚Ь╔Л╚╜╔Й╔а╔В╔Т╚╜╔З╟г

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╚Я╔а╔Л╚╜╔К╔Д =2╬о2╬о2╬о2

2рм╕

5рм╝ тАл ╫╖тАм5рм╢ рв╗ргЖ : рв╗ргЗ ╚Я╔а╔Л╚╜╔К╔Д ╔Р╔В ╔Б╔а╔Л╚╜╔К╔Д

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(7рм╢ )рм╕

(7рм╢ ) ┬╖ (7рм╢ ) ┬╖ (7рм╢ ) ╬о (7рм╢ )

╚Я╔а╔Л╚╜╔К╔Д 7рм╝

[▀Щ рм╖ ]рм╣ (рв╗ргЖ )ргЗ

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2)

ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ȷįǐƿİıǉǅǌį İǂǍıĳįǉ Ǉ įǍƿǋǒĲǇ ĳǏǒ 10ଷ Ĳı ǅǉǍǘǌıǍǏ ȷǐǚĳǕǍ ȷįǐįǅǘǍĳǕǍ 9

Ʋį įǍįǋǙĲıĳı ĳǏ 10ସ ǌı įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ĳǐǘȷǏ Ǌįǉ Ǎį ǅǐƿǔıĳı ĳǉǑ ȷįǐįĳǇǐǁĲıǉǑ ĲįǑ

9 ƱȷǏǐıǂĳı Ǎį Ǆǐıǂĳı ȷǚǑ ǈį įǍįǋǒǈıǂ ĳǏ 10ହ ǓǕǐǂǑ Ǎį ǊƿǍıĳı ĳǇǍ ȷǉǏ ȷƿǍǕ İǉįİǉǊįĲǂį

ƴ ƺǐǂĲĳǏǑ įǊǏǋǏǙǈǇĲı ĳį ȷǉǏ ȷƿǍǕ Ǆǁǌįĳį ǅǉį Ǎį įǍįǋǙĲıǉ ĳǇ İǙǍįǌǇ ȷǏǒ ĳǏǒǑ ǆǁĳǇĲı Ǐ ǊįǈǇǅǇĳǁǑ ĳǏǒ ƷĳǏ ĳıĳǐƿİǉǘ ĳǏǒ ǘǌǕǑ ǓǙǈǇǊı ǌıǋƿǍǉ Ǌįǉ ĳǚǐį İıǍ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ǘǋǏǉ Ǐǉ įǐǉǈǌǏǂ 9 ƱȷǏǐıǂĳı Ǎį Ǆǐıǂĳı ȷǏǉį İǙǍįǌǇ ǀǓıǉ įǍįǋǙĲıǉ Ǐ ƺǐǂĲĳǏǑ

9 Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊıǑ Ǌįǉ Ǎį ǅıǍǉǊıǙĲıĳı ĳį ĲǒǌȷıǐƿĲǌįĳƿ ĲįǑ ȞɇɋɟɊɂɋɍ ɐɂ ȜɋȽɉɠɂɒȽɇǣ ɁɠɋȽɊɄ (7 ή ‫)ݔ‬ସ

ȟɠɋȽɊɄ

7ή‫ݔ‬ή7ή‫ݔ‬ή7ή‫ݔ‬ή7ή‫= ݔ‬7ή7ή7ή7ή‫ݔ‬ή‫ݔ‬ή‫ݔ‬ή‫ݔ‬

7ସ ή ‫ ݔ‬ସ

(5 ή ߣ)ଶ (3 ή ‫ ݔ‬ή ‫)ݕ‬ଶ (ࢻ ή ࢼ)ࣇ ȫɄɉɜɈɍ ɐɂ ɁɠɋȽɊɄ ଷ ସ

ቀହቁ

ȜɋȽɉɠɂɒȽɇǣ

ȟɠɋȽɊɄ ଷ

ଷ

ଷ·ଷ·ଷ·ଷ

ቀହቁ · ቀହቁ · ቀହቁ · ቀହቁ = ହ·ହ·ହ·ହ

ଶ ଷ

ቀ௫ቁ

఑ ଷ

ቀହ ቁ

ࢻ ࣇ

ቀࢼቁ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ଷర ହర

ȧȽɅȽɜɋɘ ȞɇȽ ɋȽ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇəɐɍɓɊɂ ɁɓɋəɊɂɇɑ Ɋɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȾəɐɄǡ ȽɔɛɋɍɓɊɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȾəɐɄ ɈȽɇ ȾəɃɍɓɊɂ ɂɈɅɚɒɄ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɂɈɅɂɒɣɋǤ ȟɄɉȽɁɛǡ ࢻࣆ · ࢻࣇ = ࢻ ࣆାࣇ ɟɎɍɓ ߤ, ߥ Գ

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (+3)ଶ ή (+3)ସ = (+3)ଶାସ = (+3)଺ ȞɇȽ ɋȽ ɁɇȽɇɏɚɐɍɓɊɂ ɁɓɋəɊɂɇɑ Ɋɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȾəɐɄǡ ȽɔɛɋɍɓɊɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȾəɐɄ ɈȽɇ ȾəɃɍɓɊɂ ɂɈɅɚɒɄ ɒɄ ɁɇȽɔɍɏə ɒɍɓ ɂɈɅɚɒɄ ɒɍɓ ɁɇȽɇɏɚɒɄ ȽɎɟ ɒɍɋ ɂɈɅɚɒɄ ɒɍɓ ɁɇȽɇɏɂɒɚɍɓǤ ȟɄɉȽɁɛǡ ࢻࣆ ‫ ࣇିࣆ ࢻ = ࣇࢻ ׷‬ɟɎɍɓ ߤ, ߥ Գǡ ߤ > ߥ ɈȽɇ ߙ ് 0 ࢻࣆ ࢻࣇ

= ࢻ ࣆିࣇ

ɟɎɍɓ ߤ, ߥ Գǡ ߤ > ߥ ɈȽɇ ߙ ് 0

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (െ2)଺ ‫( ׷‬െ2)ଷ = (െ2)଺ିଷ = (െ2)ଷ ǁ (ିଶ)ల (ିଶ)య

= (െ2)଺ିଷ = (െ2)ଷ

ȞɇȽ ɋȽ ɓɗɣɐɍɓɊɂ ɊɜȽ ɁɠɋȽɊɄ ɐɂ ɚɋȽɋ ɂɈɅɚɒɄǡ ɓɗɣɋɍɓɊɂ ɒɄ ȾəɐɄ ɒɄɑ ɁɠɋȽɊɄɑ ɐɒɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɘɋ ɂɈɅɂɒɣɋǤ ȟɄɉȽɁɛǡ (ࢻࣆ )ࣇ = ࢻ ࣆ · ࣇ ɟɎɍɓ ߤ, ߥ Գ

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (2ହ )ସ = 2ହήସ = 2ଶ଴ ȞɇȽ ɋȽ ɓɗɣɐɍɓɊɂ ɚɋȽ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɐɂ ɂɈɅɚɒɄǡ ɓɗɣɋɍɓɊɂ ɈəɅɂ ɎȽɏəɀɍɋɒȽ ɒɍɓ ɀɇɋɍɊɚɋɍɓ ɐɒɍɋ ɂɈɅɚɒɄ ȽɓɒɟǤ ȟɄɉȽɁɛ, (ࢻ ή ࢼ)ࣇ = ࢻࣇ · ࢼࣇ ǡ ɟɎɍɓ ߥ Գ ɈȽɇ ߙ, ߚ ് 0

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (2 ή 3)ଽ = 2ଽ ή 3ଽ ȞɇȽ ɋȽ ɓɗɣɐɍɓɊɂ ɚɋȽ ɎɄɉɜɈɍ ɐɂ ɚɋȽɋ ɂɈɅɚɒɄǡ ɓɗɣɋɍɓɊɂ ɈȽɅɚɋȽ ȽɎɟ ɒɍɓɑ ɟɏɍɓɑ ɒɍɓ ɎɄɉɜɈɍɓ ɐɒɍɋ ɂɈɅɚɒɄ ȽɓɒɟǤ ࢻ ࣇ ࢼ

ȟɄɉȽɁɛǡ ቀ ቁ =

ࢻࣇ ࢼࣇ

, ɟɎɍɓ ߥ Գ ɈȽɇ ߚ ് 0

Ƶįǐƿİıǉǅǌį ଷ ଶ ଻

ଷమ

ቀ ቁ = ଻మ Ȝɋ Ɂɠɍ ɁɓɋəɊɂɇɑ Ɋɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȾəɐɄ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑǡ ɒɟɒɂ ɈȽɇ ɍɇ ɂɈɅɚɒɂɑ ɒɍɓɑ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍɇǤ ȟɄɉȽɁɛǡ ࢻࣆ = ࢻࣇ ֞ ࣆ = ࣇ ɟɎɍɓ ߤ, ߥ Գǡ ߙ ് 0 ɈȽɇ ߙ ് ±1

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (+5)௫ = (+5)ଶ ֞ ‫ = ݔ‬2

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį Ʋį ǅǐƿǔıĳı Ĳı ǌǏǐĴǁ ǌǉįǑ İǙǍįǌǇǑ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ

5ଷ · 5

(െ3)ଶ · (+3)ଷ

ଷ ଻

ଷ ଶ

ቀെ ହቁ : ቀെ ହቁ ǅ

3 · 9 ή 81

ı 3ହ + 7 ή 3ହ െ 3ହ + 2 ή 3ହ

ưǙĲǇ ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǉǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ĳǕǍ İǒǍƿǌıǕǍ į 5ଷ · 5 = 5ଷ · 5ଵ = 5ଷାଵ = 5ସ ଷ ଻

ଷ ଶ

ଷ ଻ିଶ

Ǆ ቀെ ହቁ : ቀെ ହቁ = ቀെ ହቁ

ଷ ହ

= ቀെ ହቁ

ĬǐƿĴǏǒǌı Ǌƿǈı įǐǉǈǌǘ ǕǑ ǅ 3 · 9 · 81 = 3ଵ · 3ଶ · 3ସ ଵାଶାସ = 3 İǙǍįǌǇ ǌı ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ = 3଻ İ (െ3)ଶ · (+3)ଷ = (+3)ଶ · (+3)ଷ ƵįǐįĳǇǐǏǙǌı ǘĳǉ İıǍ ǀǓǏǒǍ = (+3)ଶାଷ ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ ƫȷıǉİǁ ǉĲǓǙıǉ = (+3)ହ (െ3)ଶ = (+3)ଶ ǌȷǏǐǏǙǌı Ǎį įǍĳǉǊįĳįĲĳǁĲǏǒǌı ĳǏ (െ3)ଶ ǌı (+3)ଶ ǅǉį Ǎį ıĴįǐǌǘĲǏǒǌı ĳǇǍ ǉİǉǘĳǇĳį

ı 3ହ + 7 ή 3ହ െ 3ହ + 2 ή 3ହ

= = = =

(1 + 7 െ 1 + 2) ή 3ହ 9 ή 3ହ 3ଶ ή 3 ହ 3଻

Ʋį ǅǐƿǔıĳı ĳǉǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ Ĳı ǌǏǐĴǁ ǌǉįǑ İǙǍįǌǇǑ į

(5ସ )ଶ

଻ ଷ ସ ൬ቀെ ଻ቁ ൰

125ସ

ưǙĲǇ ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǉǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ĳǕǍ İǒǍƿǌıǕǍ

(5ସ )ଶ = 5 ସ ή ଶ = 5଼

൬ቀെ ቁ ൰ = ቀെ ቁ

125ସ = (5ଷ )ସ = 5 ଷ · ସ = 5ଵଶ

଻ ଷ ସ ଻

ଷ ସ·଻ ଻

ଷ ଶ଼ ଻

= ቀെ ቁ

ĬǐƿĴǏǒǌı ĳǏ 125 = 5ଷ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С рм╡ рм╡рм┤

─п сЙАр╡Ж рм╣сЙБ

╬о 5рм╡рм┤

╟Д

р░░

р╡лрм║р░о р╡п

(рм┐рм╢)р░▓ ╬о(рм┐рм╖)р░▓

╞░╟Щ─▓╟З ─м╟Й─п ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓╟П╟Т╟М─▒ ╚╖╟Й╟П ─▒╟Щ╟К╟П╟Л─п ─│╟П ─п╚╖╟П─│╟А╟Л─▒─▓╟М─п ╟К╞┐╟И─▒ ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С ─▒─┤─п╟Р╟М╟Ш╟Ж╟П╟Т╟М─▒ ╟Й─░╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С ─│╟Х╟Н ─░╟Т╟Н╞┐╟М─▒╟Х╟Н рм╡рм┤ рм╡ рм╡рм┤ ╞й─┤╟П╟Щ ╟Й─▓╟У╟Щ─▒╟Й ─п сЙАр╡Ж рм╣сЙБ ╬о 5рм╡рм┤ = сЙАр╡Ж рм╡ ╬о 5сЙБ рм╣ ▀Щ р░Ф ╬о ▀Ъ р░Ф = (▀Щ ╬о ▀Ъ)р░Ф рм╡рм┤ = (р╡Ж1) = +1 р░░ р░░ р░о р╡лрм║р░о р╡п р╡лрм║ р╡п ╞й─┤╟П╟Щ ╟Й─▓╟У╟Щ─▒╟Й ╟Д (рм┐рм╢)р░▓ ╬о(рм┐рм╖)р░▓ = [(рм┐рм╢)╬о(рм┐рм╖)]р░▓ ▀Щ р░Ф ╬о ▀Ъ р░Ф = (▀Щ ╬о ▀Ъ)р░Ф

рм║р░┤

= (рм╛рм║)р░▓

╟К─п╟Й

▀Щ р░У тАл ▀Щ ╫╖тАмр░Ф = ▀Щ р░Урм┐р░Ф

= 6рм╝ тАл ╫╖тАм6рм║

= 6рм╝рм┐рм║

= 6рм╢

= 36

┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С

╞▓─п ╟У─п╟Р─п╟К─│╟З╟Р╟В─▓─▒─│─▒ ╟М─▒ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╟Б ╞░╞й─н╞┤╞╖ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ─▓╟У╟А─▓─▒╟Й╟С ╟Д╞┐╟Ж╟П╟Н─│─п╟С ─▓─▒ ╟К╟Щ╟К╟Л╟П ─│╟П╟Н ─п╟Н─│╟В─▓─│╟П╟Й╟У╟П ╟У─п╟Р─п╟К─│╟З╟Р╟Й─▓╟М╟Ш ─п (р╡Ж2)рм╣ + (р╡Ж2)рм╖ = (р╡Ж2)рм╝

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д (р╡Ж5)рм╗ тАл( ╫╖тАмр╡Ж5)рм╖ = (р╡Ж5)рм╕

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Е 5рм╡рм┤ тАл ╫╖тАм3рм╢ = 5рм╝

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

─░ 2рм╖ ╬о 5рм╢ = 10рм╣

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

─▒ 3рм╗ тАл ╫╖тАм9 = 3рм╣

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

╞▒─▒ ─│╟З ╟Д╟П╟Б╟И─▒╟Й─п ─│╟Х╟Н ╟Й─░╟Й╟П─│╟Б─│╟Х╟Н ╟Н─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ╟Т╚╖╟Ш ╟М╟П╟Р─┤╟Б ╟М╟Й─п╟С ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С ─п 5рм╖ ┬╖ 5рм║ ╟Д

тАл▌ХтАмрм╕ тАл ╫╖тАмy ╟Е

(р╡Ж7)рм╣ тАл( ╫╖тАмр╡Ж7)рм╖

─▒

(0,1)рм╜ ┬Ш (0,1)рм╢ ┬Ш (0,1)рм╢

╟Ж

(11рм╣ тАл ╫╖тАм11рм╢ ) ╬о 11рм╖

╟И

(╚╜рм╣ ╬о ╚╜ ╬о ╚╜рм╕ ) тАл ╫╖тАм╚╜рм╜

─▓─│

╟З

╟Й

рм╡ рм╣

сЙАрм╖сЙБ ┬╖ сЙАрм╖сЙБ

(р╡Ж2)рм╕ ╬о (р╡Ж2)рм╢ тАл ( ╫╖тАмр╡Ж2)рм╖ 5рм╖ ┬╖ (5рм║ тАл ╫╖тАм5рм╕ ) (╚╛рм╡рм╣ тАл ╫╖тАм╚╛рм╖ ) ╬о (╚╛рм╗ тАл ╫╖тАм╚╛рм║ )

╞╕╟П pH ─▒╟Н╟Ш╟С ─░╟Й─п╟Л╟Щ╟М─п─│╟П╟С ╚╖─▒╟Р╟Й╟Е╟Р╞┐─┤─▒╟Й ─│╟З╟Н ╟П╟О╟Щ─│╟З─│╞┐ ─│╟П╟Т ─м╟Й─п ╟К╞┐╟И─▒ ╟М╟П╟Н╞┐─░─п ╚╖╟П╟Т ╟М─▒╟Й╟Ъ╟Н─▒─│─п╟Й ─│╟П pH ─▓─▒ ╟А╟Н─п ─░╟Й╞┐╟Л╟Т╟М─п ─п╟Т╟О╞┐╟Н─▒─│─п╟Й ╟З ╟П╟О╟Щ─│╟З─│╞┐ ─│╟П╟Т ╟К─п─│╞┐ 10 ─┤╟П╟Р╟А╟С ╞╕╟П pH ─│╟П╟Т ─п╚╖╟П─▓─│─п╟Е╟М╟А╟Н╟П╟Т ╟Н─▒╟Р╟П╟Щ ─▒╟В╟Н─п╟Й 7 ─▒╟Н╟Ъ ─│╟П pH ─│╟П╟Т ╟У╟Т╟М╟П╟Щ ╟Л─▒╟М╟П╟Н╟Й╟П╟Щ ─▒╟В╟Н─п╟Й 3 ╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ╚╖╟Ш─▓╟П ╚╖╟Й╟П ╟П╟О╟Щ ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П ╟У╟Т╟М╟Ш╟С ╟Л─▒╟М╟П╟Н╟Й╟П╟Щ ─п╚╖╟Ш ─│╟П ╟Н─▒╟Р╟Ш

╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ─│─п ╟К─▒╟Н╞┐ ╟М─▒ ─│╟П╟Н ╟К─п─│╞┐╟Л╟Л╟З╟Л╟П ─▒╟К╟И╟А─│╟З ╟Ъ─▓─│─▒ ╟Н─п ╟Й─▓╟У╟Щ╟П╟Т╟Н ╟П╟Й ╟Й─▓╟Ш─│╟З─│─▒╟С ─п 2рм╕ ╬о 2рм╡рм┤ = 2 ╟Е 2

╟Д (+2)рм╡рм╢ ╬о (+2) ─░ 7рм╖ ╬о 7 = 7

тАл ╫╖тАм2рм╖ = 2рм╗

─▒ (р╡Ж2)

╬о (р╡Ж2)

╟Ж (р╡Ж3)рм╢ ╬о (р╡Ж3) ╟И (+2)рм╖ ╬о (+2)

─░

тАл ╫╖тАм7рм╢

= (р╡Ж2)рм╡рм┤

─▓─│ (р╡Ж3,1)рм╕ тАл( ╫╖тАмр╡Ж3,1)

╬о (р╡Ж3) = (р╡Ж3)рм╝

╟З сЙАрм╣сЙБ ╬о сЙАрм╣сЙБ тАл ╫╖тАмсЙАрм╣сЙБ

= 16

рм╡ рм╖

╟Й 5

рм╡ рм╖

= (+2)рм╢рм┤

рм╡

= р╡Ж3,1 рм╡

= сЙАрм╣сЙБ

тАл ╫╖тАм5рм╖ = 25

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ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

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ଵ ଶ ିଷ Ǌįǉ ቀെ ቁ మ ଷ ଷ

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ଶ ିଶ

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ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

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2ଶ ή 2ିଷ ‫ ׷‬2ଶ = 2ଶା(ିଷ) ‫ ׷‬2ଶ = 2ିଵ ‫ ׷‬2ଶ = 2ିଵିଶ = 2ିଷ

ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǇǍ ǉİǉǘĳǇĳį ĳǏǒ ǅǉǍǏǌǀǍǏǒ İǒǍƿǌıǕǍ ǌı ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ Ǌįǉ įǊǏǋǏǙǈǕǑ ĳǇǍ ǉİǉǘĳǇĳį ĳǏǒ ȷǇǋǂǊǏǒ İǒǍƿǌıǕǍ ǌı ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ = (െ7)ଶି(ିଷ) ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǇǍ ǉİǉǘ(െ7)ଶ ‫( ׷‬െ7)ିଷ Ǆ

= (െ7)ଶାଷ ĳǇĳį ĳǏǒ ȷǇǋǂǊǏǒ İǒ= (െ7)ହ ǍƿǌıǕǍ ǌı ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ ǅ ƱıĳįĳǐǀȷǏǒǌı ĳǉǑ İǒǍƿǌıǉǑ ǌı ĳǇǍ ǂİǉį ǄƿĲǇ Ǌįǉ ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǉǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ଵ ିସ ଵ ିଷ = (െ2)ଷ ή (െ2)ସ ή (െ2)ିଵ ‫( ׷‬െ2)ଷ (െ2)ଷ ή ቀെ ଶቁ ή (െ2)ିଵ ‫ ׷‬ቀെ ଶቁ = (െ2)ଷାସା(ିଵ) ‫( ׷‬െ2)ଷ = (െ2)଺ ‫( ׷‬െ2)ଷ = (െ2)଺ିଷ = (െ2)଺ିଷ = (െ2)ଷ

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Ǆ (െ2)ଵ଴ ‫( ׷‬െ2)଻ െ (െ3)ଷ + (+1)ଽଽ ưǙĲǇ į Ĭǉį Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲǏǒǌı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǇǑ ȷįǐƿĲĳįĲǇǑ ȷǐǀȷıǉ Ǎį ıĴįǐǌǘĲǏǒǌı ĳǏǒǑ ǊįǍǘǍıǑ ȷǐǏĳıǐįǉǘĳǇĳįǑ ĳǕǍ ȷǐƿǎıǕǍ ƹȷǏǋǏǅǂǆǏǒǌı įǐǓǉǊƿ ĳǏ įȷǏĳǀǋıĲǌį ĳǇǑ ȷįǐǀǍǈıĲǇǑ ଶ ିଶ

(െ2)ିଷ െ (8 െ 9)ିଽ + ቀെ ቁ ଷ ଶ ିଶ

= (െ2)ିଷ െ (െ1)ିଽ + ቀെ ଷቁ ଵ ଷ

ଷ ଶ

= ቀെ ଶቁ െ (െ1)ଽ + ቀെ ଶቁ ଵ ଼ ଵ െ ଼

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┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С

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[(р╡Ж2)рм╢ ]тАУрм╢

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╞▓─п ─▒╚╖╟Й╟Л╟А╟О─▒─│─▒ ─│╟Р╟В─п ╟К╟Л╞┐─▓╟М─п─│─п ╟М─▒─│─п╟О╟Щ ─│╟П╟Т 0 ╟К─п╟Й ─│╟П╟Т 1 ╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟П╟Т ╟К╞┐╟И─▒ ╟К╟Л╞┐─▓╟М─п─│╟П╟С ╟Ш─│─п╟Н ╟Т╟Ф╟Х╟И─▒╟В ─▓─▒ ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З ╟М─▒ ─▒╟К╟И╟А─│╟З р╡Ж1 ╞╡╟П╟Й─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟З ─▓╟У╟А─▓╟З ╟М─▒─│─п╟О╟Щ ─│╟П╟Т ─п╟Р╟У╟Й╟К╟П╟Щ ╟К╟Л╞┐─▓╟М─п─│╟П╟С ╟К─п╟Й ─│╟П╟Т ╟К╟Л╞┐─▓╟М─п─│╟П╟С ╟Т╟Ф╟Х╟М╟А╟Н╟П╟Т ─▓─│╟З╟Н р╡Ж1

╞▓─п ─▓╟Т╟Е╟К╟Р╟В╟Н─▒─│─▒ ─│╟П╟Т╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟Щ╟С ─п 4рм┐рм╢ ╟К─п╟Й (р╡Ж4)рм╢ ╟Е 2рм╝ ╟К─п╟Й 3рм╝

╟Д 8рм╝ ╟К─п╟Й 16рм║ ─░ 2рм┐рм╝ ╟К─п╟Й 3рм┐рм╝

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ─п

р╡Ж3 ╬о (р╡Ж3)рм┐рм╢ ╟Д

6 р╡Ж (р╡Ж2 + 1)рм┐рм╣ ─░

рм╡ рм┐рм╢ + 3рм╢ р╡Ж рм╕ (р╡Ж3)рм╣ (р╡Ж3)рм╗

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сЙАр╡Ж сЙБ

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сЙАр╡Ж сЙБ

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рм╡ рм┐рм╖ рм╢ рм┤

(р╡Ж1)рм┐рм╖ + сЙА+ сЙБ

+ (р╡Ж2)рм┐рм╖ + 5

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р╡Ж (р╡Ж2)рм╢ р╡Ж (р╡Ж5)рм╢ тАл ╫╖тАмсЙА+2 сЙБ р╡Ж (р╡Ж3)рм╢

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╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟З╟С ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С ▐┐ = (р╡Ж1)рм┐рм╡ + (р╡Ж1)рм┐рм╢ + (р╡Ж1)рм┐рм╖ + тАл ┌отАм+ (р╡Ж1)рм┐рм╢рм┤рм╡рм╗ + (р╡Ж1)рм┐рм╢рм┤рм╡рм╝ ╞й╟Н тАл = ▌ФтАмр╡Ж2 ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟З╟С ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С

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рм╝рпл р░╖р░п рм╛рм╢р│г рплрм╛рм╡

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(р╡Ж1756)рм┤ (р╡Ж1)рм┐рм╝

╟Е

тАл ▌ФтАмрм╡рм╡ тАлрм┐ ▌Ф ╫╖тАмрм╖ тАл рм╝ ▌ФтАм, тАл р╡Н ▌ФтАм0

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рм╡ рм┐рм╣

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рм╡ рм╜р░п

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сЙАр╡Ж рм╢сЙБ

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╞к

╚╜рм╢ ╬о ╚╜рм╕

╚╜рм║ тАл ╫╖тАм╚╜

┬й

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(╚╜рм╖ )рм╢

╞▓─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф─▒─│─▒ ─▓─▒ ╟М╟П╟Р─┤╟Б ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С ╟М─▒ ╟М╟З ─п╟Р╟Н╟З─│╟Й╟К╟Ш ─▒╟К╟И╟А─│╟З ─│─п ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ─п

5рм╕ тАл ╫╖тАм5рм╝ ╟Д

5рм┐рм╖ ┬╖ 5рм║ ╟Е

6рм╗ тАл ╫╖тАм6рм┐рм╢

─▒

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╟Ж

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рм╡ рм╜

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╟З

╟Й

2рм┐рм╝ ┬╖ 8рм╖ ┬╖ 16

╟Й╟Д

╚╜рм┐рм╖ тАл ╫╖тАм╚╜рм╢ рм╗р░▓ рм╗р░нр░░ рм╡ рм╣

рм╡ рм┐рм╡рм╢

сЙА сЙБ ┬╖сЙА сЙБ рм╖ рм╖

рм╡ рм╕

(+2)рм╖ ╬о сЙА+ сЙБ рм╢

рм╡ рм┐рм╢

(р╡Ж3)рм┐рм╕ ╬о (р╡Ж3)рм╖ ╬о сЙАр╡Ж сЙБ рм╖

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟П╟Т тАл▌ФтАм, ╟Ъ─▓─│─▒ ╟Н─п ╟Й─▓╟У╟Щ╟П╟Т╟Н ╟П╟Й ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╟Й─▓╟Ш─│╟З─│─▒╟С (р╡Ж3)рм┐рм╣ ┬╖ (р╡Ж3)рпл = (р╡Ж3)рм╝ (р╡Ж0,2)рм╗ ┬╖ (р╡Ж0,2)рпл = (р╡Ж0,2)рм┐рм╣ ─п

╟Д

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рм╢ рм║

рм╢ рпл

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сЙА сЙБ ╬осЙА сЙБ = рм╣ рм╣ рм╢

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

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сЙА сЙБ рм╖

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┬╖ сЙАрм╗сЙБ = сЙАрм╗сЙБ

ƸıĳǐįǅǕǍǉǊǁ Ǌįǉ ƯǒǄǉǊǁ ƶǂǆį ƩǐǉǈǌǏǙ

ƫǎıǐıǙǍǇĲǇ ȰɎ ȢɖɝɄɣɔɎ Ȼɐɐɋɒɉɘ ɄɗɝɔɐɢɌɋɏɄɒ ɑɉ əɋ ɑɉɐɡəɋ əɟɒ ɄɖɎɌɑɪɒǤ ȰɎ ȱɚɌɄɇɦɖɉɎɔɎ ɝɖɋɗɎɑɔɕɔɎɔɧɗɄɒ ɝɄɐɣɏɎɄ əɄ ɔɕɔɣɄ ɈɎɡəɄɗɗɄɒ ɑɉ ɈɎɠɛɔɖɔɚɘ əɖɦɕɔɚɘǡ ɇɎɄ ɒɄ ɉɓɉəɠɗɔɚɒ əɎɘ ɎɈɎɦəɋəɉɘ əɟɒ ɄɖɎɌɑɪɒǤ ȴɎɘ ɈɎɄəɠɓɉɎɘ Ʉɚəɡɘ əɎɘ ɄɒɄɕɄɖɎɗəɔɧɗɄɒ ɑɉ ɏɔɚɏɏɣɈɉɘǤ Ȩ ɑɉɐɡəɋ əɟɒ ɈɎɠɛɔɖɟɒ əɖɦɕɟɒ ɈɎɠəɄɓɋɘ əɟɒ ɄɖɎɌɑɪɒ ɔɈɢɇɋɗɉ ɗəɋɒ əɄɓɎɒɦɑɋɗɋ əɟɒ ɄɖɎɌɑɪɒ ɗɉ ɕɔɐɐɡɘ ɏɄəɋɇɔɖɣɉɘǣ ɠɖəɎɔɚɘǡ ɕɉɖɎəəɔɧɘǡ əɖɣɇɟɒɔɚɘǡ əɉəɖɠɇɟɒɔɚɘǡ əɡɐɉɎɔɚɘǡ ɛɣɐɔɚɘ ɏǤɐɕǤ

Ʋį įǍįȷįǐįĲĳǁĲıĳı ĲǓǇǌįĳǉǊƿ ĳǏǒǑ ȷǀǍĳı ȷǐǚĳǏǒǑ ĳıĳǐƿǅǕǍǏǒǑ įǐǉǈǌǏǙǑ

ƵǘĲǏǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏǉ įǐǉǈǌǏǂ ǒȷƿǐǓǏǒǍ ǌǀǓǐǉ ĳǏ 100;

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı įǍ Ǐ įǐǉǈǌǘǑ 169 ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏǑ įǐǉǈǌǘǑ

Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ȷǚǑ ǌȷǏǐǏǙǌı Ǎį ıǎıĳƿǆǏǒǌı įǍ ǀǍįǑ įǐǉǈǌǘǑ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏǑ

ȰɎ ȱɚɌɄɇɦɖɉɎɔɎ ɄɒɄɏɠɐɚɞɄɒ ɦəɎǣ ȫɠɌɉ əɉəɖɠɇɟɒɔɘ ɄɖɎɌɑɦɘ ɗɝɋɑɄəɣɊɉəɄɎ Ʉɕɦ əɔɒ ɕɖɔɋɇɔɧɑɉɒɔ ɑɉ ɕɖɦɗɌɉɗɋ ɉɒɦɘ ǼɇɒɪɑɔɒɄǽǤ ȤɒɪɑɔɒɄɘ ȫɠɌɉ əɉəɖɠɇɟɒɔɘ ɄɖɎɌɑɦɘ ߥ ଶ ɉɣɒɄɎ ɣɗɔɘ ɑɉ əɔ ɠɌɖɔɎɗɑɄ əɟɒ ߥ ɕɖɪəɟɒ ɕɉɖɎəəɪɒ ɄɖɎɌɑɪɒǤ ȱɄɖɠɈɉɎɇɑɄǣ 5ଶ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

┬й╟Й─▒╟Р─▒╟Щ╟Н╟З─▓╟З ) ╞н ╟П╟Й╟К╟П╟Е╟А╟Н─▒╟Й─п ╞й╟Н─│╟Х╟Н╟В╟П╟Т ╟А╟У─▒╟Й ╟А╟Н─п╟Н ╟К╟Б╚╖╟П ─▓─│╟П ╚╖╟В─▓╟Х ╟М╟А╟Р╟П╟С ─│╟П╟Т ─▓╚╖╟Й─│╟Й╟П╟Щ ╟К─п╟Й ╟И╟А╟Л─▒╟Й ╟Н─п ─│╟П╟Н ─▒╚╖─▒╟К─│─▒╟В╟Н─▒╟Й ╞┤ ╟К╟Б╚╖╟П╟С ╚╖╟П╟Т ╟А╟У─▒╟Й ─▓╟Б╟М─▒╟Р─п ╟З ╟П╟Й╟К╟П╟Е╟А╟Н─▒╟Й─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ─▓╟У╟Б╟М─п─│╟П╟С ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Х╟Н╟В╟П╟Т ╟М─▒ ╟М╟Б╟К╟П╟С 12 ▌Й ╟К─п╟Й ╚╖╟Л╞┐─│╟П╟С 8 ▌Й ╞┤ ╟Н╟А╟П╟С ╟К╟Б╚╖╟П╟С ╚╖╟П╟Т ╟И╟А╟Л─▒╟Й ╟Н─п ╟К─п─│─п─▓╟К─▒╟Т╞┐─▓─▒╟Й ╟И─п ╚╖╟Р╟А╚╖─▒╟Й ╟Н─п ╟А╟У─▒╟Й ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н 225 ▌Йрм╢ ╟Н─п ╟А╟У─▒╟Й ─▓╟У╟Б╟М─п ─│─▒─│╟Р╞┐╟Е╟Х╟Н╟П ╟Б ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ╟К─п╟Й ─│╟П ╟М╟Б╟К╟П╟С ─│╟Х╟Н ╚╖╟Л─▒╟Т╟Р╟Ъ╟Н ─│╟П╟Т ╟Н─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ─п╟К╟А╟Р─п╟Й╟П╟Й ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В ╟М╟Й╟К╟Р╟Ш─│─▒╟Р╟П╟Й ─п╚╖╟Ш ─│╟П ╟М╟Б╟К╟П╟С ─│╟П╟Т ─▓╚╖╟Й─│╟Й╟П╟Щ 9

╞╡╟П╟Й─▒╟С ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П╟Й ─░╟Й─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ─│╟П╟Т ╟Н╟А╟П╟Т ╟К╟Б╚╖╟П╟Т ╟К─п╟Й ─│╟Й ─▓╟У╟Б╟М─п ╟И─п ╟А╟У─▒╟Й

┬й╟Й─▒╟Р─▒╟Щ╟Н╟З─▓╟З ) ╞╖─│╟П ─▓╟У╟Б╟М─п ─░╟В╟Н─▒─│─п╟Й ╟А╟Н─п╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟С ╟П ╟П╚╖╟П╟В╟П╟С ╟К─п─│─п─▓╟К─▒╟Т╞┐─▓─│╟З╟К─▒ ╟У╟Р╟З─▓╟Й╟М╟П╚╖╟П╟Й╟Ъ╟Н─│─п╟С 27 ╟М╟Й╟К╟Р╟Ш─│─▒╟Р╟П╟Т╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟Т╟С ─п╟К╟М╟Б╟С 1 ▄┐▌Й 9

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟П ╟М╟Б╟К╟П╟С ─│╟З╟С ─п╟К╟М╟Б╟С ─│╟П╟Т ╟М─▒╟Е╞┐╟Л╟П╟Т ╟К╟Щ╟Д╟П╟Т

╞▓─п ─▓╟У─▒─░╟Й╞┐─▓─▒─│─▒ ╚╖╟Ъ╟С ╟И─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П ╟К╟Щ╟Д╟П╟С ╟М─▒ 64 ╟М╟Й╟К╟Р╟П╟Щ╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟Т╟С

╞▓─п ─▒╟О─▒─│╞┐─▓─▒─│─▒ ╟К─п─│╞┐ ╚╖╟Ш─▓╟П ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В ╟Н─п ╟К─п─│─п─▓╟К─▒╟Т─п─▓─│─▒╟В ╟К╟Щ╟Д╟П╟С ╟М─▒ 216 ╟М╟Й╟К╟Р╟П╟Щ╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟Т╟С

╞▓─п ─▒╟О─▒─│╞┐─▓─▒─│─▒ ╟К─п─│╞┐ ╚╖╟Ш─▓╟П ╟М╚╖╟П╟Р─▒╟В ╟Н─п ╟К─п─│─п─▓╟К─▒╟Т─п─▓─│─▒╟В ╟А╟Н─п╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟С ╟М─▒ 300 ╟К─п╟Й ╟А╟Н─п╟С ╞┐╟Л╟Л╟П╟С ╟М─▒ 343 ╟М╟Й╟К╟Р╟П╟Щ╟С ╟К╟Щ╟Д╟П╟Т╟С (╞▒╚╖╟П╟Р─▒╟В─│─▒ ╟Н─п ╟У╟Р╟З─▓╟Й╟М╟П╚╖╟П╟Й╟Б─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟Й─▓─│╟Й╟К╟Б ─▓─п╟С).

╚з╚╜╔Е╚╜╔Ь╔Л╔Ш ┬Г

╚о╔В╔Т╔П╚╜╔А╔Ш╔Л╔З╔И╔Ы ╔П╔Ь╔Г╚╜ ╔К╔Д ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Н╔а ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔а ▀Щ (▀Щ р╡Т 0)╟б ╔Й╔Ъ╔А╔В╔Т╚╜╔З ╔Н ╔К╔Д ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Я╔С ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Я╔С ▀Ъ╟б ╔Н ╔Н╔О╔Н╔Ь╔Н╔С╟б ╔Я╔Т╚╜╔Л ╔У╔Ч╔Ш╔Е╔В╔Ь ╔Р╔Т╔Н ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔А╔Ш╔Л╔Н╟б ╔Б╔Ь╔Л╔В╔З ╔Т╔Н╔Л ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Я ╚╜╟д ╚в ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔Ш╔Л╔З╔И╔Ы ╔П╔Ь╔Г╚╜ ╔Т╔Н╔У ╚╜ ╔Р╔У╔К╚╛╔Н╔Й╔Ь╔Г╔В╔Т╚╜╔З ╔К╔В ╬╛╚╜╟д ╚о╔Н ╚╜ ╔Н╔Л╔Н╔К╔Щ╔Г╔В╔Т╚╜╔З ╔У╔О╔Я╔П╔З╔Г╔Н ╔И╚╜╔З ╔Т╔Н ╔Р╔а╔К╚╛╔Н╔Й╔Н ╬╛ ╔Н╔Л╔Н╔К╔Щ╔Г╔В╔Т╚╜╔З ╔П╔З╔Г╔З╔И╔Я╟д ▀й▀б▀Ю▀б▀в╔Я

╬╛╚╜

╔У╔О╔Я╔П╔З╔Г╔Н

╚н╔Т╔Д╔Л ╔У╔О╔Н╔Й╔Н╔А╔З╔Р╔Т╔З╔И╔Ы ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔К╔Д╔Ц╚╜╔Л╔Ы ╔У╔О╔Щ╔П╔Ц╔В╔З ╔Т╔Н ╔О╔Й╔Ы╔И╔Т╔П╔Н

╬╛рвЮ ╔А╔З╚╜ ╔Т╔Н╔Л ╔У╔О╔Н╔Й╔Н╔А╔З╔Р╔К╔Я ╔Т╔Д╔С ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔Ш╔Л╔З╔И╔Ы╔С ╔П╔Ь╔Г╚╜╔С╟д

╬╛▄╜ = ▀Ъ ╓Ю ▀Ъ рм╢ = ▀Щ ╟б ╔Я╔О╔Н╔У ▀Щ р╡Т 0 , ▀Ъ р╡Т 0 ╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╟Е╟Й─п─│╟В 13рм╢ = 169 ╬╛169 = 13,

р╢з

рм╜ рм╕

рм╖ рм╢

= ,

╟Е╟Й─п─│╟В

рм╖ рм╢ рм╢

рм╜ рм╕

сЙА сЙБ =

(0,5)рм╢ = 0,25 р╢е0,25 = 0,5 , ╟Е╟Й─п─│╟В ╚л╚╜╔П╚╜╔Т╔Ы╔П╔Д╔Р╔Д╟г H ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔Ш╔Л╔З╔И╔Ы ╔П╔Ь╔Г╚╜ ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Н╔а ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔а ╔Б╔В╔Л ╔Н╔П╔Ь╔Г╔В╔Т╚╜╔З╟б ╔А╔З╚╜╔Т╔Ь ╔Б╔В╔Л ╔У╔О╔Щ╔П╔Ц╔В╔З ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Я╔С ╔О╔Н╔У ╔Т╔Н ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔А╔Ш╔Л╔Я ╔Т╔Н╔У ╔Л╚╜ ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Я╔С╟д

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

╚л╔П╔Н╔Р╔Н╔Ц╔Ы╟и (р╡Ж9)рм╢ = 81╟б ╚╜╔Й╔Й╔Щ ╬╛81 р╡Н р╡Ж9

┬Г

╚Ь╔О╔Я ╔Т╔Н╔Л ╔Н╔П╔З╔Р╔К╔Я ╔Т╔Д╔С ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔Ш╔Л╔З╔И╔Ы╔С ╔П╔Ь╔Г╚╜╔С ╔Ъ╔Ц╔Н╔У╔К╔В╟г

┬╛ ╬╛рвЗрлЫ = |рвЗ|. ╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╬╛3рм╢ = |3| = 3 ╟К─п╟Й р╢е(р╡Ж3)рм╢ = |р╡Ж3| = 3 рлЫ

┬╛ ╚Ь╔Л ▄╜ р╡Т 0, ╔Т╔Я╔Т╔В р╡л╬╛рвЗр╡п = рвЗ ╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п рм╢

р╡л╬╛4р╡п = 4

┬Г ╚н╔Т╔Д╔Л ╔У╔О╔Н╔Й╔Н╔А╔З╔Р╔Т╔З╔И╔Ы ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔К╔Д╔Ц╚╜╔Л╔Ы ╔У╔О╔Щ╔П╔Ц╔В╔З ╔Т╔Н ╔О╔Й╔Ы╔И╔Т╔П╔Н

╚е╔У╚╛╔З╔И╔Ы ╔Ы ╔Т╔П╔Ь╔Т╔Д ╔П╔Ь╔Г╚╜ ╔В╔Л╔Я╔С ╔К╔Д ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Н╔а ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔а ╚╜╟б ╔Й╔Ъ╔А╔В╔Т╚╜╔З ╔Н ╔К╔Д ╚╜╔П╔Л╔Д╔Т╔З╔И╔Я╔С ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Я╔С ▀Ъ╟б ╔Н ╔Н╔О╔Н╔Ь╔Н╔С╟б ╔Я╔Т╚╜╔Л ╔У╔Ч╔Ш╔Е╔В╔Ь ╔Р╔Т╔Д╔Л ╔Т╔П╔Ь╔Т╔Д ╔Б╔а╔Л╚╜╔К╔Д╟б р░п ╔Б╔Ь╔Л╔В╔З ╔Т╔Н╔Л ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Я ╚╜╟д ╚в ╔И╔У╚╛╔З╔И╔Ы ╔П╔Ь╔Г╚╜ ╔Т╔Н╔У ╚╜ ╔Р╔У╔К╚╛╔Н╔Й╔Ь╔Г╔В╔Т╚╜╔З ╔К╔В ╬╛▀Щ ╟д р░п

╬╛▀Щ = ▀Ъ ╓Ю ▀Ъ рм╖ = ▀Щ ╟б ╔Я╔О╔Н╔У ▀Щ р╡Т 0 , ▀Ъ р╡Т 0

р░п

╬╛тАл▌ФтАм

╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╬╛8 = 2 ╟Е╟Й─п─│╟В

╔А╔З╚╜ ╔Т╔Н╔Л ╔У╔О╔Н╔Й╔Н╔А╔З╔Р╔К╔Я ╔Т╔Д╔С ╔И╔У╚╛╔З╔И╔Ы╔С ╔П╔Ь╔Г╚╜╔С╟д

р░п

р╢з

рм╝ рм╢рм╗

рм╢ рм╖

= ╟Е╟Й─п─│╟В

╬╛0,064 = 0,4 ╟Е╟Й─п─│╟В

р░п

┬Г

2рм╖ = 8 рм╢ рм╖ рм╖

сЙА сЙБ =

рм╝ рм╢рм╗

(0,4)рм╖ = 0,064

╚Ь╔О╔Я ╔Т╔Н╔Л ╔Н╔П╔З╔Р╔К╔Я ╔Т╔Д╔С ╔И╔У╚╛╔З╔И╔Ы╔С ╔П╔Ь╔Г╚╜╔С ╔Ъ╔Ц╔Н╔У╔К╔В╟г рлЬ

┬╛ ╚Ь╔Л ▄╜ р╡Т 0, ╔Т╔Я╔Т╔В р╡л рлЬ╬╛рв╗р╡п = рвЗ

╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п р░п

рм╖

р╡л ╬╛8р╡п = 8

╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟П╟Т╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟Щ╟С ─п

╬╛36 ╟Е

╟Д

╬╛121

╬╛0,36

╞░╟Щ─▓╟З ╞╗╞┐╟У╟Н╟П╟Т╟М─▒ ╟Н─п ╟Д╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ─│╟П╟Н ╟М╟З ─п╟Р╟Н╟З─│╟Й╟К╟Ш ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш ╚╖╟П╟Т ╟Ш─│─п╟Н ╟Т╟Ф╟Х╟И─▒╟В ─▓─│╟П ─│─▒─│╟Р╞┐╟Е╟Х╟Н╟П, ╟Н─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟В─▓╟П╟С ╟М─▒ ─│╟П╟Н ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш ─п╟Т─│╟Ш. ─п ╬╛36 = 6 ╟Е╟Й─п─│╟В 6рм╢ = 36 ╟Д ╬╛121 = 11

╟Е╟Й─п─│╟В 11рм╢ = 121

╟Е ╬╛0,36 = 0,6 ╟Е╟Й─п─│╟В

0,6рм╢ = 0,36

╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏǒǑ įǐǉǈǌǏǙǑ య į

ξ1 ǅ

య

ξ64

య

ξ0,001

ưǙĲǇ ƻƿǓǍǏǒǌı Ǎį ǄǐǏǙǌı ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ ȷǏǒ ǘĳįǍ ǒǔǕǈıǂ ĲĳǏǍ ǊǙǄǏ İǂǍıǉ įȷǏĳǀǋıĲǌį ǂĲǏ ǌı ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ įǒĳǘ య ǅǉįĳǂ 1ଷ = 1 į ξ1 = 1 య

Ǆ ξ64 = 4

ǅǉįĳǂ

ǅ యξ0,001 = 0,1 ǅǉįĳǂ

4ଷ = 64

0,1ଷ = 0,001

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ įǐǉǈǌǇĳǉǊǁ ĳǉǌǁ ĳǇǑ ȷįǐƿĲĳįĲǇǑ ඥ8ξ4

ưǙĲǇ ƩǐǓǉǊƿ ǒȷǏǋǏǅǂǆǏǒǌı ĳǇǍ ξ4 = 2 ƩǊǏǋǏǙǈǕǑ ǒȷǏǋǏǅǂǆǏǒǌı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǇǑ ȷįǐƿĲĳįĲǇǑ ඥ8ξ4 = ξ8 ή 2 = ξ16 = 4

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏǒǑ įǐǉǈǌǏǙǑ į

ξ64

ξ25

ξ0,36

య

െξ0,09

ξ0,0001

െට଺ସ

ଵ

ǉį

ξ343

ସ

ටଽ

య

ξ8

Ĳĳ

ඥ2,25

ξ0,16

ǉǄ

െ ටଶ଻

య

ଵ

ƭ ǏǐǅįǍǕĳǉǊǁ ıȷǉĳǐǏȷǁ ǌǉįǑ ĲǒǍįǒǋǂįǑ ǈǀǋıǉ Ǎį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıǉ 900 ǊįǈǂĲǌįĳį Ĳı ǀǍį ǊǋıǉĲĳǘ ǅǁȷıİǏ Ƹį ǊįǈǂĲǌįĳį ǈį ĳǏȷǏǈıĳǇǈǏǙǍ Ĳı ĳıĳǐƿǅǕǍǇ İǉƿĳįǎǇ ƵǘĲį ǊįǈǂĲǌįĳį ǈį ĳǏȷǏǈıĳǁĲǏǒǍ Ĳı Ǌƿǈı Ĳıǉǐƿ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ įǊǌǁ ǊǙǄǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ǘǅǊǏ 216 ݉݉ଷ

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǇǍ ǏǐǈǘĳǇĳį ǊįǈıǌǉƿǑ įȷǘ ĳǉǑ įȷįǍĳǁĲıǉǑ ȷǏǒ ǀİǕĲı Ǉ ưǂǆį ĲĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ įǉĳǉǏǋǏǅǚǍĳįǑ ĳǇǍ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ

į ξ36 = െ6

Ǆ ξ25 = 5

ǅ ඥ(െ3)ଶ = െ3

İ ξ64 = െ4

ଵ

య

ଵ

;ɸͿ ට଼ = ଶ

య

Ĳĳ ξെ64 = െ8

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǕǍ ȷįǐįĳƿĲıǕǍ į

ξ13ଶ

ඥ(െ11)ଶ

ξ26 ‫ ڄ‬26

య

൫ξ19 + 8൯

ଶ ହ ቆට2 ‫ ڄ‬ଷ ‫ ڄ‬ସቇ

ଷ

య

ଶ

ξ8 ‫ ڄ‬8 ‫ ڄ‬8

Ĳĳ

ඥ(െ3)ଶ + ඥ(െ9)ଶ య

ξ3଺

Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ǌı ƷƼƷƸƴ ǁ ưƩĭƴƷ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǐǏĳƿĲıǉǑ ǄƿǆǏǍĳįǑ Ĳı ǊǙǊǋǏ ĳǏǍ įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ǓįǐįǊĳǇǐǉĲǌǘ į ξ16 = 8

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

Ǆ ξ16 + 9 = 5

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

య

ǅ െ ξ8 = െ2 ଶ

İ ൫ξ36൯ = 36

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

ı ඥ(െ3)ଶ = 3

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ıǍǘǑ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ĳǏǒ ǏȷǏǂǏǒ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ıǂǍįǉ į 49 ܿ݉ଶ Ǆ 81 ܿ݉ଶ ǅ 121 ܿ݉ଶ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǕǍ ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ į ξ50 + 50

Ǆ െξ4 + 2ξ16

ǅ ඥ3ξ9

య İ ඥ4 ξ8

య

ı ξ1 + 3 + 4

య

ξ଼ Ĳĳ ට + ξ64 ଶ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

Ʋį İıǂǎıĳı ǘĳǉ య į ξ8 = ξ4

య

Ǆ ඥ(െ3 + 4)ଵଶ = ඥ(9 െ 2ଷ )

ƭ ȷǒǐįǌǂİį ĳǏǒ ƺǀǏȷį ıǂǍįǉ Ǉ ǌıǅįǋǙĳıǐǇ ĲĳǏǍ ǊǘĲǌǏ ƭ ǄƿĲǇ ĳǇǑ ȷǒǐįǌǂİįǑ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǇ ǌı ıǌǄįİǘǍ 52 900 ݉ଶ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ȷǋıǒǐƿǑ ĳǇǑ ǄƿĲǇǑ ĳǇǑ ȷǒǐįǌǂİįǑ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ ĳǕǍ ĲǊǉįĲǌǀǍǕǍ ĳıĳǐįǅǚǍǕǍ Ĳı ǊįǈǀǍį įȷǘ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį ĳǏǒ ǌǏĳǂǄǏǒ

Ȣ ȧɂɀəɉɄ ȫɓɏȽɊɜɁȽ ɒɄɑ ȞɈɜɃȽ ɛ Ʉ ȫɓɏȽɊɜɁȽ ɒɍɓ ȱɚɍɎȽǡ ɂɜɋȽɇ ɒɍ ȽɏɖȽɇɟɒɂɏɍ ɐɘɃɟɊɂɋɍ ɊɋɄɊɂɜɍ ȽɎɟ ɒȽ ɂɎɒə ɅȽɠɊȽɒȽ ɒɍɓ ȽɏɖȽɜɍɓ ɈɟɐɊɍɓǤ ȞɇȽ ɒɄɋ ȽɎɍɎɂɏəɒɘɐɛ ɒɄɑ ɖɏɂɇəɐɒɄɈȽɋ ͵Ͳ ɖɏɟɋɇȽ Ɂɍɓɉɂɇəɑ ȽɎɟ 100 ͲͲͲ ɂɏɀəɒɂɑ-Ɂɍɠɉɍɓɑǡ Ɏɍɉɉɍɜ ȽɎɟ ɒɍɓɑ ɍɎɍɜɍɓɑ ɎɚɅȽɋȽɋ ɈȽɒə ɒɄ ɁɇəɏɈɂɇȽ ɈȽɒȽɐɈɂɓɛɑ ɒɄɑǤ

ƵǏǉǏ ĲǓǁǌį ǈį ǀǓıǉ 173 ĲǊǉįĲǌǀǍį ĳıĳǐƿǅǕǍį

12. Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ ‫ ݔ‬ǘȷǏǒ ‫ > ݔ‬0, ǀĳĲǉ ǚĲĳı Ǎį ǉĲǓǙıǉ Ǉ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǉĲǘĳǇĳį ඨ‫ ݔ‬+ ට16 + ඥ92 െ ξ121 = 4

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ƮİǉǘĳǇĳıǑ ƶǉǆǚǍ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊį ࢻ

ࢼ

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ξࢻ

ඥࢼ

ξࢻ ή ඥࢼ

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ටࢼ

ξࢻ ඥࢼ

ξࢻ + ඥࢼ

ඥࢻ + ࢼ

૛૞ 16

૝

9 Ʋį ĲǒǅǊǐǂǍıĳı ĳį įȷǏĳıǋǀĲǌįĳį ĳǕǍ ĲĳǇǋǚǍ ξߙ ή ඥߚ Ǌįǉ ඥߙߚ Ƹǉ ȷįǐįĳǇǐıǂĳı 9 Ʋį ĲǒǅǊǐǂǍıĳı ĳį įȷǏĳıǋǀĲǌįĳį ĳǕǍ ĲĳǇǋǚǍ

ξఈ ඥఉ

ఈ ఉ

Ǌįǉ ට Ƹǉ

ȷįǐįĳǇǐıǂĳı 9 Ʋį ĲǒǅǊǐǂǍıĳı ĳį įȷǏĳıǋǀĲǌįĳį ĳǕǍ ĲĳǇǋǚǍ ξߙ + ඥߚ Ǌįǉ ඥߙ + ߚ Ƹǉ ȷįǐįĳǇǐıǂĳı 9 Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǉ ǉĲǓǙıǉ Ǌįǉ ǅǉį ĳǉǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ξߙ െ ඥߚ Ǌįǉ ඥߙ െ ߚ Ʋį ǅıǍǉǊıǙĲıĳı ĳį ĲǒǌȷıǐƿĲǌįĳƿ ĲįǑ.

9 Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ǉĲǓǙǏǒǍ Ǐǉ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ǉİǉǘĳǇĳıǑ Ǌįǉ ǅǉį ĳǉǑ ǊǒǄǉǊǀǑ ǐǂǆıǑ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ȧȽɅȽɜɋɘ ȤɁɇɟɒɄɒɂɑ ȬɇɃɣɋ ¾ ȮɂɒɏȽɀɘɋɇɈɛ ɏɜɃȽ Ǥ ඥߙߚ = ξߙ ή ඥߚ,

ߙ, ߚ ൒ 0.

ξఈ

ఈ

Ǥ ටఉ = , ඥఉ

ߙ ൒ 0, ߚ > 0.

¾ ȥɓȾɇɈɛ ɏɜɃȽ య

Ǥ యඥߙ ή ߚ = ξߙ · యඥߚ , య

య

ఈ

Ǥ ට = ఉ

ξఈ , ඥఉ

ߙ, ߚ ൒ 0.

ߙ ൒ 0, ߚ > 0.

య

ȜɎɟɁɂɇɌɄ ȤɁɇɟɒɄɒȽɑ(ܑ): ȧɂ ɁɂɁɍɊɚɋɍ ɟɒɇ ඥȽȾ ൒ 0 ɈȽɇ ξȽ ή ඥȾ ൒ 0ǡ ɓɗɣɋɍɓɊɂ ɒɍ ɈəɅɂ Ɋɚɉɍɑ ɒɄɑ (i) ɐɒɍ ɒɂɒɏəɀɘɋɍǤ ଶ

޿ఓଶ = ൫ඥȽ ‫ ڄ‬Ⱦ൯ = Ƚ ‫ ڄ‬Ⱦ ǡ ଶ

Ɋɂ Ƚ, Ⱦ ൒ 0Ǥ

ȞɇȽ Ɂɠɍ ɅɂɒɇɈɍɠɑ ȽɏɇɅɊɍɠɑ ޿ ɈȽɇ ߀ ɈȽɇ ߥ߳Գ ɇɐɖɠɂɇǣ Ȝɋ ޿௩ = ߀ఔ ɒɟɒɂ ޿ = ߀Ǥ

ଶ

߀ఓଶ = ൫ξȽ ‫ ڄ‬ඥȾ൯ = ൫ξȽ൯ ‫ ڄ‬൫ඥȾ൯ = Ƚ ‫ ڄ‬Ⱦ ǡ Ɋɂ Ƚ, Ⱦ ൒ 0Ǥ ȴɏȽǡ ɚɖɍɓɊɂ ɟɒɇ ޿ఓଶ = ߀ఓଶ Ǥ ȠɎɍɊɚɋɘɑǡ ޿ఓ = ߀ఓ ඥȽ ‫ ڄ‬Ⱦ = ξȽ ‫ ڄ‬ඥȾ ,

Ɋɂ Ƚ, Ⱦ ൒ 0Ǥ

ȜɎɟɁɂɇɌɄ ɇɁɇɟɒɄɒȽɑ (ܑܑ): ஑

ξ஑

ஒ

ඥஒ

ȧɂ ɁɂɁɍɊɚɋɍ ɟɒɇට ൒ 0 ɈȽɇ

൒ 0 ǡ ɓɗɣɋɍɓɊɂ ɒɍ ɈəɅɂ Ɋɚɉɍɑ ɒɄɑ (ii) ɐɒɍ

ɒɂɒɏəɀɘɋɍǤ ஑

ଶ

௔

޿ఓଶ = ቆට ቇ = ǡ Ɋɂ Ƚ ൒ 0, Ⱦ > 0 ஒ ஒ ξ஑

ଶ

߀ఓଶ = ൬ ൰ = ඥஒ

మ

൫ξ஑൯

మ

൫ඥஒ൯

஑

= ǡ ஒ

Ɋɂ Ƚ ൒ 0, Ⱦ > 0

ȴɏȽǡ ɚɖɍɓɊɂ ɟɒɇ ޿ఓଶ = ߀ఓଶ Ǥ ȠɎɍɊɚɋɘɑǡ ޿ఓ = ߀ఓ ξ஑ ඥஒ

஑

=ට , ஒ

Ɋɂ Ƚ ൒ 0, Ⱦ > 0Ǥ

ȭɄɊɂɜɘɐɄǣ ȧɂ ɎȽɏɟɊɍɇɍ ɒɏɟɎɍ ɊɎɍɏɍɠɊɂ ɋȽ ȽɎɍɁɂɜɌɍɓɊɂ ɒɇɑ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ (݅݅݅) ɈȽɇ (݅‫)ݒ‬ ɓɗɣɋɍɋɒȽɑ ɈȽɇ ɒȽ Ɂɠɍ ɊɚɉɄ ɐɒɄɋ ɒɏɜɒɄ ɁɠɋȽɊɄǤ

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С рм╡рм╕рм╕ ╟Д ╬╛18 ╬о ╬╛2 ─п р╢з

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─░ ─м╟Й─п ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П ╚╖╟З╟Л╟В╟К╟П ─│╟Х╟Н ─░╟Щ╟П ╟К╟Т╟Д╟Й╟К╟Ъ╟Н ╟Р╟Й╟Ж╟Ъ╟Н ╟М╚╖╟П╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓╟П╟Т╟М─▒ ─│╟З╟Н ╟К╟Т╟Д╟Й╟К╟Б ╟Р╟В╟Ж─п ─│╟П╟Т ╚╖╟З╟Л╟В╟К╟П╟Т ─│╟Х╟Н ─░╟Т╟П ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ъ╟Н р░п

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╞░╟Щ─▓╟З ─п 3╬╛7 + ╬╛5 р╡Ж ╬╛7 = 2╬╛7 + ╬╛5

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р░п

╟Е р╡л4╬╛2 + ╬╛16 р╡п тАл ╫╖тАм╬╛2 =

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+ р░п

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= 4+ ╬╛8 = 4+2 =6 ─░ р╡л2 р╡Ж 3╬╛2р╡пр╡л5 + ╬╛2р╡п = 10 + 2╬╛2 р╡Ж 15╬╛2 + 3╬╛2╬╛2 = 10 р╡Ж 13╬╛2 + 3 ╬о 2 = 10 р╡Ж 13╬╛2 + 6 = 16 р╡Ж 13╬╛2

┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С

╞▓─п ╟У─п╟Р─п╟К─│╟З╟Р╟В─▓─▒─│─▒ ╟М─▒ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╟Б ╞░╞й─н╞┤╞╖ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖╟Р╟П─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ╟Д╞┐╟Ж╟П╟Н─│─п╟С ─▓─▒ ╟К╟Щ╟К╟Л╟П ─│╟П╟Н ─п╟Н─│╟В─▓─│╟П╟Й╟У╟П ╟У─п╟Р─п╟К─│╟З╟Р╟Й─▓╟М╟Ш ─п

╬╛4▀Щ рм╢ = 2▀Щ, ▀Щ > 0

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д

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3 + ╬╛3 + ╬╛3

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╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

╟Д

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╬╛10 + ╬╛10 + ╬╛10

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32 + ╬╛9 ╬о ╬╛3

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╟Д

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ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

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╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

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©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2) ȳəɋɒ ȢɖɝɄɣɄ Ȣɣɇɚɕəɔǡ ɋ ɈɎɄɈɎɏɄɗɣɄ ɉɕɄɒɄɕɖɔɗɈɎɔɖɎɗɑɔɧ əɟɒ ɔɖɣɟɒ əɟɒ ɝɟɖɄɛɎɪɒ ɑɉəɠ əɋɒ ɕɐɋɑɑɧɖɄ əɔɚ Ȯɉɣɐɔɚǡ ɇɎɒɦəɄɒ ɑɉ ɡɒɄ ɦɖɇɄɒɔ ɕɔɚ ɔɒɔɑɄɊɦəɄɒ ɄɖɕɉɈɦɒɋǤ Ȩ ɄɖɕɉɈɦɒɋ ɢəɄɒ ɡɒɄ ɗɝɔɎɒɣ ϛɉ 13 ɏɦϛɅɔɚɘ ɗɉ ɏɄɌɔɖɎɗɑɡɒɉɘ ɌɡɗɉɎɘ ɕɔɚ ɝɪɖɎɊɄɒ əɔ ɗɏɔɎɒɣ ɗɉ 12 ɣɗɄ əϛɢϛɄəɄǡ ɦɕɟɘ ɛɄɣɒɉəɄɎ ɗəɔ ȳɝɢɑɄ 1Ǥ

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9 Ĭǉįĳǂ ǍǏǌǂǆıĳı ǘĳǉ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ȷǏǒ ǊįĳįĲǊıǙįǆįǍ ǌı ĳǏǍ ĳǐǘȷǏ įǒĳǘ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǌı Ǐǐǈǁ ĳǇ ǅǕǍǂį ĲĳǇǍ ǊǏǐǒĴǁ ߀;

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

╚з╚╜╔Е╚╜╔Ь╔Л╔Ш ┬Г ╚л╔У╔Е╚╜╔А╔Я╔П╔В╔З╔Н ╚г╔В╔г╔П╔Д╔К╚╜ ╚Л╚л╟д╚г╟д╚М ╚н╔В ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔Т╔П╔Ь╔А╔Ш╔Л╔Н╟б ╔Т╔Н ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔А╔Ш╔Л╔Н ╔Т╔Д╔С ╔У╔О╔Н╔Т╔В╔Ь╔Л╔Н╔У╔Р╚╜╔С ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔Ь╔Р╔Н ╔К╔В ╔Т╔Н ╔Щ╔Е╔П╔Н╔З╔Р╔К╚╜ ╔Т╔Ш╔Л ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔г╔Л╔Ш╔Л ╔Т╔Ш╔Л ╔Б╔а╔Н ╔И╔Щ╔Е╔В╔Т╔Ш╔Л ╔О╔Й╔В╔У╔П╔г╔Л ╔Т╔Н╔У╟д ╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╞╖─│╟П ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ─│╟Р╟В╟Е╟Х╟Н╟П ▐┐▀А▀Б (▀Бр╖а = 90┬░) ╟М─▒ ╟Т╚╖╟П─│─▒╟В╟Н╟П╟Т─▓─п ─│╟З ▀Ы ╟К─п╟Й ╟К╞┐╟И─▒─│─▒╟С ╚╖╟Л─▒╟Т╟Р╟А╟С ─│╟Й╟С ▀Щ ╟К─п╟Й ▀Ъ ╟Й─▓╟У╟Щ─▒╟Й ▀Щ рм╢ + ▀Ърм╢ = ▀Ы рм╢

┬Г ╚а╔О╔Ь╔Р╔Д╔С ╔З╔Р╔Ц╔а╔В╔З ╔И╚╜╔З ╔Т╔Н ╚╜╔Л╔Т╔Ь╔Р╔Т╔П╔Н╔Ф╔Н╟д ╚Я╔Д╔Й╚╜╔Б╔Ы╟б ╚╜╔Л ╔Р╔В ╔Т╔П╔Ь╔А╔Ш╔Л╔Н ╔Т╔Н ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔А╔Ш╔Л╔Н ╔Т╔Д╔С ╔К╔В╔А╚╜╔Й╔а╔Т╔В╔П╔Д╔С ╔О╔Й╔В╔У╔П╔Щ╔С ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔Ь╔Р╔Н ╔К╔В ╔Т╔Н ╔Щ╔Е╔П╔Н╔З╔Р╔К╚╜ ╔Т╔Ш╔Л ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔г╔Л╔Ш╔Л ╔Т╔Ш╔Л ╔Б╔а╔Н ╔Щ╔Й╔Й╔Ш╔Л ╔О╔Й╔В╔У╔П╔г╔Л╟б ╔Т╔Я╔Т╔В ╔Т╔Н ╔Т╔П╔Ь╔А╔Ш╔Л╔Н ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н╟д ╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╞╕╟П ─│╟Р╟В╟Е╟Х╟Н╟П ▐┐▀А▀Б ╟А╟У─▒╟Й ╚╖╟Л─▒╟Т╟Р╟А╟С ▐┐▀А = 5 ▄┐▌Й ▐┐▀Б = 3 ▄┐▌Й ╟К─п╟Й ▀А▀Б = 4 ▄┐▌Й ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ╟М─▒ ╟П╟Р╟И╟Б ╟Е╟Х╟Н╟Й╞┐ ─│╟З ▀Бр╖а, ╟Е╟Й─п─│╟В ╟Й─▓╟У╟Щ─▒╟Й ▐┐▀Арм╢ = ▐┐▀Б рм╢ + ▀А▀Б рм╢ 5 рм╢ = 4рм╢ + 3 рм╢ ┬Г ╚л╔У╔Е╚╜╔А╔Я╔П╔В╔З╚╜ ╔Т╔П╔З╔Щ╔Б╚╜ ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔К╔З╚╜ ╔Т╔П╔З╔Щ╔Б╚╜ ╔Ф╔У╔Р╔З╔И╔г╔Л ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔г╔Л ╚Л0 < ▀Щ < ▀Ъ < ▀Ы ╚М ╔О╔Н╔У ╔Р╔У╔Л╔Б╔Ъ╔Н╔Л╔Т╚╜╔З ╔К╔В ╔Т╔Д ╔Р╔Ц╔Ъ╔Р╔Д рв╗рлЫ + рв╝рлЫ = рв╜рлЫ ╟д ╚л╚╜╔П╚╜╔Т╔Ы╔П╔Д╔Р╔Д╟г ╚к╔З ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь ▀дрм╢ р╡Ж ▀е рм╢ , 2▀д ╬о ▀е ╔И╚╜╔З ▀дрм╢ + ▀е рм╢ ╚╜╔О╔Н╔Т╔В╔Й╔Н╔а╔Л ╔О╔У╔Е╚╜╔А╔Я╔П╔В╔З╚╜ ╔Т╔П╔З╔Щ╔Б╚╜ ╔Я╔Т╚╜╔Л ▀д, ▀е ╔Ф╔У╔Р╔З╔И╔Н╔Ь ╚╜╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь ╔К╔В ▀д, ▀е р╡Н 0 ╔И╚╜╔З ▀д > ▀е╟д ╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╞й╟Н ▀д = 2 ▀е = 1 ╟А╟У╟П╟Т╟М─▒ ╟Ш─│╟Й ▀Щ = 2рм╢ р╡Ж 1рм╢ = 3 ▀Ъ = 2 тАл ┌ДтАм2 тАл ┌ДтАм1 = 4 ▀Ы = 2рм╢ + 1рм╢ = 5 ╞┤╟Й ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В 3, 4, 5 ─п╚╖╟П─│─▒╟Л╟П╟Щ╟Н ╚╖╟Т╟И─п╟Е╟Ш╟Р─▒╟Й─п ─│╟Р╟Й╞┐─░─п

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

╚н╔Т╔Д╔Л ╔О╔З╔Н ╔О╔Щ╔Л╔Ш ╔О╔Й╔Щ╔И╚╜╟б ╔Д ╔Н╔О╔Н╔Ь╚╜ ╔Ц╔П╔Н╔Л╔Н╔Й╔Н╔А╔В╔Ь╔Т╚╜╔З ╔Т╔Н 1900 ▀и. ▀Х., ╚╜╔Л╚╜╔А╔П╔Щ╔Ф╔Н╔Л╔Т╚╜╔З ╔К╔В╔П╔З╔И╔Ъ╔С ╚л╔У╔Е╚╜╔А╔Я╔П╔В╔З╔В╔С ╔Т╔П╔З╔Щ╔Б╔В╔С ╔Я╔О╔Ш╔С╟г 1679 р╡Ж 2400 р╡Ж 2929.

╚д╔О╔Д ╔Щ╔Ф ╚▒╔Ъ╔М╔Д╔З╔ж╔Ц╔Й╔О╔Ф ╔М╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д ╔б╔Э╔Ф╔Ъ╔Т ╔И╔Ф╔М╔Й╔г ╔г╔Ч╔Я╔Ш ╔Ф╔О ╔Х╔О╔Ф ╔Х╔Ф╔Р╔Р╔б╔Ш ╔И╔О╔Д╔Ы╔Ф╔Ц╔Й╔Щ╔О╔П╔б╔Ш ╔Д╔Х╔Ф╔И╔Й╔г╔У╔Й╔О╔Ш ╔Х╔Ф╔Ъ ╔б╔Э╔Ф╔Ъ╔Т ╔И╔Ф╔М╔Й╔г ╔З╔О╔Д ╔М╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д ╔Ч╔Щ╔Д ╚н╔Д╔М╔Л╔С╔Д╔Щ╔О╔П╔а╟д ╚░ ╔П╔Д╔М╔Л╔З╔Л╔Щ╔в╔Ш ┬О┬Л┬Х┬К┬Г ┬Е┬С┬Ц┬Ц ┬С┬С┬П┬Л┬Х ╚Л1852 р╡Ж 1940╚М ╔Ч╔Щ╔Ф ╔Е╔О╔Е╔Р╔г╔Ф ╔Щ╔Ф╔Ъ ╟▓ ┬К┬З ┬Ы┬Ц┬К┬Г┬Й┬С┬Ф┬З┬Г┬Р ┬Ф┬С┬Т┬С┬Х┬Л┬Ц┬Л┬С┬Р╔ЧтАЭ ╔Ч╔Ъ╔З╔П╔б╔Т╔Щ╔Ц╔Я╔Ч╔Й 367 ╔И╔О╔Д╔Ы╔Ф╔Ц╔Й╔Щ╔О╔П╔б╔Ш ╔Д╔Х╔Ф╔И╔Й╔г╔У╔Й╔О╔Ш╟и ╚│╔Щ╔О╔Ш ╔Д╔Х╔Ф╔И╔Й╔г╔У╔Й╔О╔Ш ╔Д╔Ъ╔Щ╔б╔Ш ╔Ч╔Ъ╔С╔Х╔Й╔Ц╔О╔Р╔Д╔С╔Е╔а╔Т╔Ф╔Т╔Щ╔Д╔О ╔Л ╔Д╔Х╔ж╔И╔Й╔О╔У╔Л ╔Х╔Ф╔Ъ ╔Д╔Х╔Ф╔И╔г╔И╔Й╔Щ╔Д╔О ╔Ч╔Щ╔Ф╔Т ┬З┬С┬Р┬Г┬Ф┬Ж┬С ┬Ж┬Г ┬Л┬Р┬Е┬Л ╚Л1452 р╡Ж 1519╚М╟б ╔Л ╔Д╔Х╔ж╔И╔Й╔О╔У╔Л ╔Щ╔Ф╔Ъ 20╔Ф╔Ъ ╔Х╔Ц╔Ф╔б╔И╔Ц╔Ф╔Ъ ╔Щ╔Я╔Т ╚и╟д╚▒╟д╚в╟д ┬Г┬П┬З┬Х ┬Д┬Ф┬Г┬П ┬Г┬Ф┬И┬Л┬З┬О┬Ж ╚Л1831 р╡Ж 1881╚М ╔П╔Д╔О ╔Ы╔Ъ╔Ч╔О╔П╔а ╔Л ╔Д╔Х╔ж╔И╔Й╔О╔У╔Л ╔Х╔Ф╔Ъ ╔б╔И╔Я╔Ч╔Й ╔Ф ╔С╔Й╔З╔а╔Р╔Ф╔Ш ╔С╔Д╔М╔Л╔С╔Д╔Щ╔О╔П╔ж╔Ш ╔Щ╔Л╔Ш ╔Д╔Ц╔Э╔Д╔О╔ж╔Щ╔Л╔Щ╔Д╔Ш ╔П╔Д╔О ╔М╔Й╔С╔Й╔Р╔О╔Я╔Щ╔в╔Ш ╔Щ╔Л╔Ш ╚д╔Й╔Я╔С╔Й╔Щ╔Ц╔г╔Д╔Ш ╚ж╔Ъ╔П╔Р╔Й╔г╔И╔Л╔Ш (~325 тАУ 265 ╔Х╟д╚╖╟д╚М╟б ╔Х╔Ф╔Ъ ╔Й╔г╔Т╔Д╔О ╔П╔Д╔О ╔Л ╔Д╔Ц╔Э╔Д╔О╔ж╔Щ╔Й╔Ц╔Л ╔З╔Т╔Я╔Ч╔Щ╔в ╔Д╔Х╔ж╔И╔Й╔О╔У╔Л╟д ╚│╔з╔С╔Ы╔Я╔Т╔Д ╔С╔Й ╔Щ╔Л╔Т ╔Х╔Д╔Ц╔а╔И╔Ф╔Ч╔Л╟б ╔Ф ╚▒╔Ъ╔М╔Д╔З╔ж╔Ц╔Д╔Ш╟б ╔С╔ж╔Р╔О╔Ш ╔Д╔Х╔Ф╔И╔Й╔г╔Э╔М╔Л╔П╔Й ╔Щ╔Ф ╔М╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д╟б ╔Х╔Ц╔ж╔Ч╔Ы╔Й╔Ц╔Й ╔М╔Ъ╔Ч╔г╔Й╔Ш ╔Ч╔Щ╔Ф╔Ъ╔Ш ╔М╔Й╔Ф╔з╔Ш ╔М╔Ъ╔Ч╔О╔а╔К╔Ф╔Т╔Щ╔Д╔Ш 100 ╔Е╔ж╔И╔О╔Д╟и ╚д╔О╟п ╔Д╔Ъ╔Щ╔ж╟б ╔Щ╔Ф ╔М╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д ╔Д╔Ъ╔Щ╔ж ╔Р╔б╔З╔Й╔Щ╔Д╔О ╔П╔Д╔О ╟╝╚й╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д ╔Щ╔Л╔Ш ╚ж╔П╔Д╔Щ╔ж╔С╔Е╔Л╔Ш╟╜╟д ╚┤╔Ф ╔М╔Й╔к╔Ц╔Л╔С╔Д╟б ╔ж╔Х╔Я╔Ш ╔Д╔Х╔Ф╔И╔Й╔О╔П╔Т╔з╔Й╔Щ╔Д╔О ╔Д╔Х╔ж ╔Й╔Ъ╔Ц╔в╔С╔Д╔Щ╔Д╟б ╔Щ╔Ф ╔З╔Т╔к╔Ц╔О╔К╔Д╔Т ╔Х╔Ц╔О╔Т ╔Д╔Х╔ж ╔Щ╔Ф╔Т ╚▒╔Ъ╔М╔Д╔З╔ж╔Ц╔Д ╔И╔О╔а╔Ы╔Ф╔Ц╔Ф╔О ╔Д╔Ц╔Э╔Д╔г╔Ф╔О ╔Р╔Д╔Ф╔г╟б ╔ж╔Х╔Я╔Ш ╔Ф╔О ╚к╔Т╔И╔Ф╔г╟б ╔Ф╔О ╚л╔О╔Т╔б╔К╔Ф╔О╟б ╔Ф╔О ╚г╔Д╔Е╔Ъ╔Р╔к╔Т╔О╔Ф╔О╟б ╔Ф╔О ╚в╔О╔З╔з╔Х╔Щ╔О╔Ф╔О ╔П╟д╔а╟д ╔А╔С╔Я╔Ш╟б ╔Ф╔О ╔Р╔Д╔Ф╔г ╔Д╔Ъ╔Щ╔Ф╔г╟б ╔ж╔Х╔Я╔Ш ╔Ы╔Д╔г╔Т╔Й╔Щ╔Д╔О╟б ╔И╔Й╔Т ╔Й╔г╔Э╔Д╔Т ╔Д╔Ч╔Э╔Ф╔Р╔Л╔М╔Й╔г ╔С╔Й ╔Щ╔Л╔Т ╔Д╔Х╔ж╔И╔Й╔О╔У╔в ╔Щ╔Ф╔Ъ╟д

╚Ь╔О╔Я╔Б╔В╔З╔М╔Д╟г ╚Я╔Ь╔Л╔В╔Т╚╜╔З ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔А╔Ш╔Л╔Н ╔К╔В ╔О╔Й╔В╔У╔П╔Щ (╚╜ + ╚╛)╟д

╚о╔Н ╔В╔К╚╛╚╜╔Б╔Я╔Л (▀Г) ╔Т╔Н╔У ╔Т╔В╔Т╔П╚╜╔А╔г╔Л╔Н╔У ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З╟г 1╔Д ╔О╔В╔П╔Ь╔О╔Т╔Ш╔Р╔Д╟г

2╔Д ╔О╔В╔П╔Ь╔О╔Т╔Ш╔Р╔Д╟г

╚а = ╚арм╡ + ╚арм╢ + ╚арм╖ + ╚арм╕

╚а = ╚арм╣ + ╚арм║ + ╚арм╗ + ╚арм╝ + ╚арм╜

╚а = ╚╜╚╛ + ╚╜╚╛ + ╚╜рм╢ + ╚╛рм╢

╚а= + + рм╢ рм╢ ╚а = ═┤╚╜╚╛ + ╔Арм╢

роСроТ

╚а = ═┤╚╜╚╛ + ╚╜рм╢ + ╚╛рм╢

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роСроТ рм╢

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╚┤╔П╚╜╟б ╔З╔Р╔Ц╔а╔В╔З╟г ═┤╚╜╚╛ + ╚╜рм╢ + ╚╛рм╢ = ═┤╚╜╚╛ + ╔Арм╢ ╚╜рм╢ + ╚╛рм╢ = ╔Арм╢

╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį Ʋį Ǆǐıǈıǂ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ‫ ݔ‬Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ į

ưǙĲǇ Ƹį ĳǐǂǅǕǍį ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉį ơǐį ǌȷǏǐǏǙǌı Ǎį ıĴįǐǌǘĲǏǒǌı ĳǏ ƵǒǈįǅǘǐıǉǏ ǈıǚǐǇǌį ଶ ଶ ଶ į

‫ = ݔ‬8 + 6 Ǆ

13ଶ = ‫ ݔ‬ଶ + 5ଶ ଶ ֜ ‫ = ݔ‬64 + 36 ֜ 169 = ‫ ݔ‬ଶ + 25 ֜ ‫ ݔ‬ଶ = 100 ֜ ‫ ݔ‬ଶ = 169 െ 25 ֜ ‫ ݔ‬ଶ = 144 ֜ ‫ = ݔ‬ξ100 ֜ ‫ = ݔ‬10 ܿ݉ ֜ ‫ = ݔ‬ξ144 ֜ ‫ = ݔ‬12 ܿ݉ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǏǉıǑ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳǐǉƿİıǑ įǐǉǈǌǚǍ ıǂǍįǉ ȷǒǈįǅǘǐıǉıǑ į 3, 4, 5 Ǆ 1,5 , 2, 2,5

ȮɄɋ ɂɌɜɐɘɐɄ ‫ ݔ‬ଶ = 100 ɂɎȽɉɄɅɂɠɍɓɋ Ɂɠɍ ɒɇɊɚɑ ɒɍɓ ‫ݔ‬ǣ ‫ = ݔ‬െ10 ɈȽɇ ‫ = ݔ‬10Ǥ ȠɎɂɇɁɛ ɒɍ ‫ ݔ‬ɂɜɋȽɇ ɒɍ ɊɛɈɍɑ ɒɄɑ Ɏɉɂɓɏəɑ ɒɍɓ ɒɏɇɀɣɋɍɓ Ɂɂɋ ɊɎɍɏɂɜ ɋȽ ɂɜɋȽɇ ȽɏɋɄɒɇɈɟǤ ȴɏȽǡ ɁɂɖɟɊȽɐɒɂ Ɋɟɋɍ ɒɄ ɅɂɒɇɈɛ ɒɇɊɛǤ

ưǙĲǇ į ƴǉ įǐǉǈǌǏǂ 3,4,5 ıǂǍįǉ ĴǒĲǉǊǏǂ įǐǉǈǌǏǂ ǌı 3 < 4 < 5 ơǐį ǈį ȷǐǀȷıǉ Ǎį ıǋǀǅǎǏǒǌı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ǉǊįǍǏȷǏǉıǂĳįǉ Ǉ ǆǇĳǏǙǌıǍǇ ĲǓǀĲǇ

ƹȷǏǋǏǅǂǆǏǒǌı ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǏǒ ǌıǅįǋǙĳıǐǏǒ ĴǒĲǉǊǏǙ įǐǉǈǌǏǙ 5ଶ = 25 Ǌįǉ ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ĳǕǍ ĳıĳǐįǅǚǍǕǍ ĳǕǍ İǙǏ ǌǉǊǐǘĳıǐǕǍ įǐǉǈǌǚǍ 3ଶ +4ଶ = 9 + 16 = 25

ƮĲǓǙıǉ 5ଶ = 3ଶ + 4ଶ ơǐį ǉǊįǍǏȷǏǉıǂĳįǉ Ǉ ǆǇĳǏǙǌıǍǇ ĲǓǀĲǇ, ıȷǏǌǀǍǕǑ Ǐǉ įǐǉǈǌǏǂ 3, 4, 5 įȷǏĳıǋǏǙǍ ȷǒǈįǅǘǐıǉį ĳǐǉƿİį Ǆ ƴǉ įǐǉǈǌǏǂ İıǍ ıǂǍįǉ ĴǒĲǉǊǏǂ Ǌįǉ ıȷǏǌǀǍǕǑ İıǍ įȷǏĳıǋǏǙǍ ȷǒǈįǅǘǐıǉį ĳǐǉƿİį

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ȷǐƿĲǉǍǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ Ĳĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį (į (Ǆ

;

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ‫ ݔ‬Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ į

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ĲǓǏǉǍǉǏǙ ȷǏǒ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉıǂ Ǐ ƩǍİǐǀįǑ ǅǉį Ǎį ȷıĳƿǎıǉ ĳǏǍ Ǔįǐĳįıĳǘ ĳǏǒ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǇǌƿĳǕǍ

Ʋį ȷįǐįĲĳǁĲıĳı Ĳı ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĲǙĲĳǇǌį ĲǒǍĳıĳįǅǌǀǍǕǍ ĳį ĲǇǌıǂį ޿, ߀, ߁ Ǌįǉ Ǎį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ į ޿(3,0), ߀(6,0), ߁(3,4) Ǆ ޿(െ3, െ2), ߀(4, െ2), ߁(െ3, 5)

ƢǍįǑ ǏǉǊǏİǘǌǏǑ ǅǉį Ǎį ĲǓǇǌįĳǂĲıǉ Ǐǐǈǁ ǅǕǍǂį ǊǘǄıǉ ĳǐǂį ǎǙǋį ǌǁǊǏǒǑ 3 ݉ 4 ݉ Ǌįǉ 5 ݉ ƷĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį ǌı įǒĳƿ ĲǓǇǌįĳǂǆıǉ ǀǍį ĳǐǂǅǕǍǏ Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ ıǂǍįǉ ĲǂǅǏǒǐǏǑ ǘĳǉ ǀǓıǉ ĲǓǇǌįĳǂĲıǉ Ǐǐǈǁ ǅǕǍǂį

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ ƩǍ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ǎį ıǍĳǏȷǂĲıĳı ĳǇǍ Ǐǐǈǁ ǅǕǍǂį į ޿߀ = 7 ݉, ‫ = ߁ܤ‬24 ݉, ޿߁ = 25 ݉ Ǆ ޿߀ = 2 ܿ݉, ߀߁ = 2 ܿ݉, ޿߁ = 4 ܿ݉

ƷĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį ޿߁ = 15 ݉, ޿߀ = 13 ݉ Ǌįǉ ߂߁ = 9 ݉ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

Nį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ‫ ݔ‬Ǌįǉ ‫ ݕ‬ĲĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį İǉǊįǉǏǋǏǅǚǍĳįǑ ĳǇǍ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ

ƢǍį Ǌįǋƿǌǉ ǌǁǊǏǒǑ 3 ݉ ǀĲȷįĲı Ǌįǉ ǀȷıĲı ĲĳǏ ǀİįĴǏǑ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį ƸǏ ĲǇǌıǂǏ ȷǏǒ ǀȷıĲı Ǉ ǊǏǐǒĴǁ ĳǏǒ įȷǀǓıǉ 90 ܿ݉ įȷǘ ĳǇ ǄƿĲǇ ĳǏǒ ǊįǋįǌǉǏǙ Ʋį Ǆǐıǂĳı Ĳı ȷǏǉǏ Ȯɍ ɁɇɎɉȽɋɟ ɎɏɟȾɉɄɊȽ ǙǔǏǑ ǀĲȷįĲı ĳǏ Ǌįǋƿǌǉ ɂɜɋȽɇ ɚɋȽ ȽɏɖȽɜɍ ɈɇɋɚɃɇɈɍ ɎɏɟȾɉɄɊȽ Ɏɍɓ ɀɏəɔɒɄɈɂ ɒɍ ʹͷͲ ɎǤȱǤ ɐɂ ɚɋȽ ɈɇɋɚɃɇɈɍ ȾɇȾɉɜɍ ȧȽɅɄɊȽɒɇɈɣɋǡ ɒɍ Ǯ ǯǤ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǐıǉǑ İǉįĴǏǐıĳǉǊǀǑ ȷǒǈįǅǘǐıǉıǑ ĳǐǉƿİıǑ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǚǍĳįǑ ĳǏǒǑ ĳǙȷǏǒǑ: ߙ = ߤଶ െ ߥ ଶ , ߚ = 2ߤ ή ߥ Ǌįǉ ߛ = ߤଶ + ߥ ଶ ǘȷǏǒ ߤ, ߥ ‫ א‬Գ Ǌįǉ ߤ > ߥ.

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ƵǐįǅǌįĳǉǊǏǂ ƩǐǉǈǌǏǂ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (1) Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĲĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳıĳǐįǅǕǍǉĲǌǀǍǏ Ǔįǐĳǂ ĳıĳǐƿǅǕǍį ‫ ܣ‬, ‫ ܤ‬, ߁ , ߂ Ǌįǉ ߃ ǌı ıǌǄįİǘǍ

޿: 0,25 ߬. ߤ. ߀: 1 ߬. ߤ. ߁: 2 ߬. ߤ. ߃: 4 ߬. ߤ.

ƵǏǉǏ ıǂǍįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ Ǌƿǈı ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2) ƭ Ǌǒǐǂį ƲǉǊǏǋǀĳĳį ȷįǐǁǅǅıǉǋı ǀǍįǍ ǊįǈǐǀĴĳǇ ĲǓǁǌįĳǏǑ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ȷǋıǒǐƿǑ 2,10 ݉ ǅǉį ĳǏ ĲįǋǘǍǉ ĳǇǑ ƭ ȷǘǐĳį ĳǇǑ ıǉĲǘİǏǒ ıǍǘǑ ĲȷǉĳǉǏǙ ǀǓıǉ ȷǋƿĳǏǑ 1 ݉ Ǌįǉ ǙǔǏǑ 2 ݉ 9 Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǐ ǊįǈǐǀĴĳǇǑ ıǂǍįǉ İǒǍįĳǘ Ǎį ȷıǐƿĲıǉ įȷǘ ĳǇǍ ȷǘǐĳį ĳǇǑ ıǉĲǘİǏǒ Ʋį İǉǊįǉǏǋǏǅǁĲıĳı ĳǇǍ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ ƱȷǏǐıǂĳı Ǎį İǉıǐıǒǍǁĲıĳı ĳǏ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ĲıǍƿǐǉǏ ǌı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ ǼB̴Ƞn2̴ Ǥ ǽ

9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ȷǐǏǑ ĳį İıǎǉƿ ĳǏǍ

İǐǏǌǀį ªƪƭƱƩƸƩ

ƯįĳįĲǊıǒǁǑ« Ǌįǉ Ǎį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷįǐįĳǇǐǁĲıǉǑ ĲįǑ

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©Ǉǋįİǁ 2,2ଶ < 5 < 2,3ଶ ơǐį 2,2 < ξ5 < 2,3 ơǐį 2,2 < ξ5 < 2,3 Ǉ ĳıĳǐįǅǕǍǉǊǁ ǐǂǆį ĳǏǒ 5 ıǂǍįǉ įǍƿǌıĲį ĲĳǏ 2,2 Ǌįǉ ĲĳǏ 2,3 ƫȷıǉİǁ Ǐ įǐǉǈǌǘǑ 5 ıǂǍįǉ ȷǉǏ ǊǏǍĳƿ ĲĳǏ 4,84 ȷįǐƿ ĲĳǏ 5,29, Ǉ ȷǐǏĲǀǅǅǉĲǇ Ĳı İǀǊįĳa ıǂǍįǉ 2,2. ơǐį ξ5 ؆ 2,2 ƫȷǏǌǀǍǕǑ

ଵାξହ ଶ

ଵାଶ,ଶ ଶ

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ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

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╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ╟М─▒ ─│╟П ╟К─п─│╞┐╟Л╟Л╟З╟Л╟П ─▓╟Щ╟М╟Д╟П╟Л╟П < , > , = ╟Ъ─▓─│─▒ ╟П╟Й ─▓╟У╟А─▓─▒╟Й╟С ╚╖╟П╟Т ╟И─п ╚╖╟Р╟П╟К╟Щ╟Ф╟П╟Т╟Н ╟Н─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ─п╟Л╟З╟И─▒╟В╟С рм╡ рм┐рм╖

─п

(р╡Ж1)рм┐рм╢рм┤рм╡рм║ тАж тАж (р╡Ж2016)рм┤

╟Д

р╡Ж(р╡Ж5)рм╢ тАж тАж сЙАр╡Ж рм╣сЙБ

╟Е

(р╡Ж2)рм┐рм╢рм┤рм┤рм╜ тАж тАж (+2)рм┐рм╢рм┤рм┤рм╜

─░

2рм╢ тАл ╫╖тАм4 тАж тАж 4 ╬о 2рм┐рм╢

╞▓─п ╟У╟Р╟З─▓╟Й╟М╟П╚╖╟П╟Й╟Б─▓─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Л╟З╟Р╟П─┤╟П╟Р╟В─▒╟С ─│╟П╟Т ╚╖╟В╟Н─п╟К─п ╟Е╟Й─п ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟Х╟Н ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Х╟Н ╟У╟Х╟Р╟В╟С ╟Н─п ╟К╞┐╟Н─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Р╞┐╟О─▒╟Й╟С ┬й╟Щ╟Н─п╟М╟З ╞й╚╖╟П─│╟А╟Л─▒─▓╟М─п ─п 81 ╬о 243 ╟Д 19683 ╬о 9 ╟Е 6561 тАл ╫╖тАм81 ─░

рм╣рм╖рм╡рм╕рм╕рм╡ рм╣рм╜рм┤рм╕рм╜

─▒

рм║рм╣рм║рм╡р░о рм╢рм╡рм╝рм╗

─▓─│

╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ╚╖╟П╟Й╟П ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│╟П ─│─▒╟Л─▒╟Т─│─п╟В╟П ╟Ф╟З─┤╟В╟П ─│╟П╟Т ─п╚╖╟П─│─▒╟Л╟А─▓╟М─п─│╟П╟С ─│╟З╟С ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С 3рм╢рм┤рм┤рм┤

3рм╡ 3рм╢ 3рм╖ 3рм╕ 3рм╣ 3рм║ 3рм╗ 3рм╝ 3рм╜ 3рм╡рм┤ 3рм╡рм╡ 3рм╡рм╢

3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441

╞▓─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф─▒─│─▒ 5 ─░╟Й─п─┤╟П╟Р─▒─│╟Й╟К╟П╟Щ╟С ─│╟Р╟Ш╚╖╟П╟Т╟С ╟М─▒ ─│╟П╟Т╟С ╟П╚╖╟П╟В╟П╟Т╟С ╟И─п ╟М╚╖╟П╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ╟Н─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П╟Н ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш ▌ГтАл ▌И▌Л▌Г▌Л▌ЛтАм10рм╡рм┤рм┤ ─▓─▒ ╟М╟П╟Р─┤╟Б ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ─│─п ╟К─▒╟Н╞┐ ╟М─▒ ─│╟П╟Н ╟К─п─│╞┐╟Л╟Л╟З╟Л╟П ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш ╟Ъ─▓─│─▒ ╟Н─п ╟Й─▓╟У╟Щ╟П╟Т╟Н ╟П╟Й ╟Й─▓╟Ш─│╟З─│─▒╟С ─п (р╡Ж2)рм╜ ╬о (р╡Ж2) ╬о (р╡Ж2) = (р╡Ж2)рм╡рм╢

╟Д (3рм╢ ) = 3рм┐рм╡рм╢

╟Е (+5)рм╕ ╬о (+5) ╬о (+5) = (+5)рм┐рм╡

─░ 5 ╬о 5рм╖ тАл ╫╖тАм5рм║ = 1

─▒ (+2)рм╕ ╬о (+2) = (+2)рм┐рм╝

─▓─│

рм╡ рм╢

рм╢р░нр░░ ╬о рм╢ рм╢р░▒ ╬о рм╢р░▓

= 2рм╣

╟З р╡л3 ╬о 3рм╢ р╡п тАл ╫╖тАм3рм┐рм╕ = 3рм╝

╟Ж (р╡Ж3)рм╕ ┬╖ (р╡Ж3) = сЙАр╡Ж рм╖сЙБ

╞▓─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф─▒─│─▒ ─▓─▒ ╟М╟П╟Р─┤╟Б ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С ╟Б ─░╟Т╟Н╞┐╟М─▒╟Х╟Н ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ─п

╟Д

5рм║ ╬о 5 тАл ╫╖тАм5рм┐рм╕

─░

9 ╬о 3рм┐рм╕ ╬о 27

11 ╬о 11рм┐рм╖ ╬о 11рм╣

╟Е

25 ╬о (р╡Ж5)рм╖

─▒

рм╡ рм╝

╟Ж

рм╢р░▓ тАл┌ДтАмрм╖р░▓ рм╖рм║

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9 ╬о 3рм╣ ╬о 27 + 3рм║ тАл ╫╖тАм3рм┐рм╕ + (3рм╣ )рм╢

╟Й

╬о 2рм╣

─▓─│

╟З

рм╡ рм╣ рм╡

(р╡Ж2)рм╖ ╬о сЙАр╡Ж сЙБ ╬о рм╢ рм╕ 2рм╡рм┤ ╬о

рм╕рм┤р░п рм╣р░п

рм╖р░┤

3рм╖ ╬о 27 + 2 ╬о 3рм╕ ╬о 3рм╢ + 7 ╬о р░о р╡Ж (3рм╢ )рм╖ рм╖

╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟Х╟Н ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Х╟Н рм╢ рм╢

рм╖ рм┐рм╡

рм╡рм╜ рм╡рм╗ ─п (р╡Ж3) тАл( ╫╖тАмр╡Ж3) р╡Ж сЙАр╡Ж рм╖сЙБ тАл ╫╖тАмсЙАр╡Ж рм╕сЙБ рм╡ рм┐рм╖

╟Д сЙАр╡Ж рм╢сЙБ ╟Е

─░

рм╡ рм┐рм╢

р╡Ж сЙА+ рм╣сЙБ

рм╣р░нр░о ╬ор╡лрм╢р░п ╬орм╣р░о р╡п

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р░░

(рм╣р░┤ ╬орм╢р░░ )р░о (рм┐рм╢)р░о рм┐(рм┐рм╢)р░нр░░ тАлрм┐( ╫╖тАмрм╢)р░нр░о (рм┐рм╡)р░ор░мр░мр░╡ рм┐(рм┐рм╢рм╛рм╕)р░п рм╡ рм╢

╞й╟Н ▀Щ = +2 ▀Ъ = р╡Ж1 ╟К─п╟Й ▀Ы = р╡Ж ╟Н─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟Х╟Н ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Х╟Н ─п ═╡╚╜ + 4(╚╜ + ╚╛)рм┐рм╢ ╟Д ╚╜рм┐рм╖ р╡Ж ╚╛рм╣ тАл ╫╖тАм╚╜рм┤ р╡Ж ╔Арм┐рм╢

╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

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─▒

р╡Ж╬╛9 = р╡Ж3 р░п ╬╛8 = ╬╛4 ╚░╩Ж ╬╛тАл = ▌ФтАм5, ╩П╩К╩П╔╕ тАл = ▌ФтАм10 ╞┤╟Й ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В 12, 9 , 13 ╚╖╟Т╟И─п╟Е╟Ш╟Р─▒╟Й─п ─│╟Р╟Й╞┐─░─п

─▓─│ ╬╛4▀Щ = 2 ╬о ╬╛▀Щ р░п ╟Ж р╢е▀Щ рм╖ ╬о ▀Ъ рм╖ = ▀Щ ╬о ▀Ъ

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖ ─п╚╖╟П─│─▒╟Л╟П╟Щ╟Н ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

▀Щ, ▀Ъ > 0

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤ ╞░╞й─н╞┤╞╖

▀Щр╡Т0 ▀Щ, ▀Ъ р╡Т 0

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╟Р╟В╟Ж─▒╟С рм╡ ─п ╬╛64 ╟Д р╢з

╟Е ╬╛1,21

─░ р╢е(р╡Ж5)рм╢

рм╜

р░п

─▒ ╬╛125

─▓─│ ╬╛5рм╖ ╬о 2рм╖

р░п

╟Ж р╢е4 ╬о ╬╛4

╟З р░п╬╛0,027

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─п╟Р╟Й╟И╟М╟З─│╟Й╟К╟Б ─│╟Й╟М╟Б ─│╟Х╟Н ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Х╟Н рм╢

рм╢

─п ▐┐ = р╡л╬╛2р╡п + р╡л╬╛5р╡п рм╢

р░п

рм╖

╟Д ▀А = р╡л╬╛6р╡п + р╡л╬╛7р╡п р╡Ж ╬╛8рм╢ ╟Е ▀Б = р╢е20╬╛125 р░п

╞й╟Н ▀Щ = 2 ▀Ъ = 4 ╟К─п╟Й ▀Ы = 9 ╟Н─п ─▒╟О─▒─│╞┐─▓─▒─│─▒ ╟К─п─│╞┐ ╚╖╟Ш─▓╟П ╟П╟Й ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟Р╟З─│╟П╟В ╟Б ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟Й р░п ─п

╟Д

╬╛▀Щ рм╖ + 1 ╬╛▀Щ ╟Е

р╢е▀Ъ + ▀Ы

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р╢е▀Ъ р╡Ж 3

р╢е▀Ъ рм╢ + ▀Ы

╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ╟М─▒ ─│─п ╟К─п─│╞┐╟Л╟Л╟З╟Л─п ─▓╟Щ╟М╟Д╟П╟Л─п <, >, = ╟Ъ─▓─│─▒ ╟Н─п ╚╖╟Р╟П╟К╟Щ╟Ф╟П╟Т╟Н ─п╟Л╟З╟И─▒╟В╟С ─▓╟У╟А─▓─▒╟Й╟С ╟Д

─п

╬╛30 ___ 6 ╬╛5 ___ ╬╛7 ╟Е

р░п

─░

─▒

р░п

─▓─│

╬╛8 ___ ╬╛4 ╬╛28 ___ ╬╛8

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

р░п

╬╛9 ___ ╬╛9

╬╛5 ___ 1,2

ƷĳǏ ĳıĳǐįǅǕǍǉĲǌǀǍǏ Ǔįǐĳǂ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳıĳǐƿǅǕǍį ǌı į ıǌǄįİǘǍ 8 ߬. ߤ. Ǆ ıǌǄįİǘǍ 10 ߬. ߤ. ǅ ǌı İǉįǅǚǍǉǏ 4 ߤ

Ʋį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıĳı Ĳı įǐǉǈǌǇĳǉǊǁ ǅǐįǌǌǁ ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ įǐǉǈǌǏǙǑ య య య ξ8 ξ29 ξ29 ξ5 ξ5 Ʋį Ǆǐıǂĳı ǀǍįǍ ǐǇĳǘ Ǌįǉ ǀǍįǍ ƿǐǐǇĳǏ įǐǉǈǌǘ ǌıĳįǎǙ ĳǕǍ įǐǉǈǌǚǍ 8 Ǌįǉ 9 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ ‫ ݔ‬Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ į

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǐǏĲǀǅǅǉĲǇ įǊıǐįǂǏǒ ĳǇǍ įȷǘĲĳįĲǇ ȷǏǒ ǀǓǏǒǍ ǌıĳįǎǙ ĳǏǒǑ Ǐǉ İǙǏ ǄƿǐǊıǑ ĳǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ ȷǏǒ ǄǐǂĲǊǏǍĳįǉ ĲĳǉǑ ǈǀĲıǉǑ ޿ Ǌįǉ ߀

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ƸǏ İǉȷǋįǍǘ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ įȷǏĳıǋıǂĳįǉ įȷǘ ǀǎǉ ǂĲį ĳıĳǐƿǅǕǍį ƩǍ Ǉ İǉįǅǚǍǉǏǑ ĳǏǒ Ǌƿǈı ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲǇ ǌı ξ2 Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ İǉįǅǕǍǂǏǒ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ

ƩǍ Ǐǉ ǊǏǐǒĴǀǑ ıǍǘǑ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ǄǐǂĲǊǏǍĳįǉ ȷƿǍǕ ĲĳǇǍ ȷıǐǉĴǀǐıǉį ıǍǘǑ ǊǙǊǋǏǒ ĳǘĳı ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ǏǍǏǌƿǆıĳįǉ ıǅǅıǅǐįǌǌǀǍǏ ƥǋį ĳį ĳǐǂǅǕǍį ȷǏǒ ıǂǍįǉ ıǅǅıǅǐįǌǌǀǍį ȷƿǍǕ Ĳı ǇǌǉǊǙǊǋǉį ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉį ĳǐǂǅǕǍį ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ıǂǍįǉ ıǅǅıǅǐįǌǌǀǍǏ Ǌįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ƩǍ ޿߁ = 8 ܿ݉ Ǌįǉ ߀߁ = 15 ܿ݉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ޿߀

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ǘĳǉ ĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ߄߃߁ ĲĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ǌı Ǐǐǈǁ ǅǕǍǂį ĳǇǍ ߄෠

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С ╞л╟М╚╖╟Л╟П╟Т─│╟Й─▓╟М╟П╟Щ рм╢рм╗

рм╡рм┤ рм╢

1 . ╞▓─п ╟Е╟Р╞┐╟Ф─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З ▐┐ = 0,3рм╖ ╬о (0,01 ╬о 9)рм╕ ╬о сЙАрм╡рм┤рм┤рм┤сЙБ ╬о сЙА рм╖ сЙБ ─▓─▒ ╟М╟П╟Р─┤╟Б ─░╟Щ╟Н─п╟М╟З╟С

2 . ╞й╟Н ╟П╟Й ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В тАл▌ФтАм, тАл ▌ХтАм─▒╟В╟Н─п╟Й ─п╟Н─│╟В─▓─│╟Р╟П─┤╟П╟Й ╟Н─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟З╟С ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С ▐┐ = [ (тАлрм┐ ▌Х рм╗ ▌ФтАмрм╢ )рм╢ тАл) рм╗ ▌Х▌Ф( ╫╖тАм╚Жрм╖ ]рм╢рм┤рм╡рм╣

3 . ╞▓─п ─░─▒╟В╟О─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ─▓╟У╟А─▓─▒╟Й╟С ─п

╟Д

╟Е

16рм╣рм┤ = 2рм╢рм┤рм┤ (р╡Ж25)рм╣рм┤рм┤ = 5рм╡рм┤рм┤рм┤

(рм╡рм┤рм╛рм╢рм┤рм╛рм╖рм┤рм╛тАл┌отАмрм╛рм╜рм┤)р░ор░мр░нр░п (рм╡рм╛рм╢рм╛рм╖рм╛тАл┌отАмрм╛рм╜)р░ор░мр░нр░п

= 10рм╢рм┤рм╡рм╖

4 . ╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟З╟С ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С ╚Ю ─п╟Н A = 11 ╬о 12рм╗ + 12рм╕ ╬о 12 ╬о 12рм╢

рм╢ рм╝ ╚Э = сЙА сЙБ ╬о 3рм╢ ╬о 3рм║ рм╖ рн╣ рм╡ рм╡ рм╗ ╚Ю= ╬осЙА р╡Ж сЙБ рн║ рм╢ рм╖

╟К─п╟Й

5 . ╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ─│╟Й╟М╟Б ─│╟З╟С ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З╟С ─п╟Н ╟П ─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ╞┐╟Р─│╟Й╟П╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С ╟К─п╟Й ╟П ╟Д ╚╖─▒╟Р╟Й─│─│╟Ш╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С (р╡Ж1)рм┐роС + (+1)рм┐роТ р╡Ж (р╡Ж1)роТ + 1 + ▀Щ рм╢рм┤рм╡рм╡ + (р╡Ж╚╜)рм╢рм┤рм╡рм╡

6 . ╞й╟Н ╟Н ─┤╟Т─▓╟Й╟К╟Ш╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С ╟Н─п ─░─▒╟В╟О─▒─│─▒ ╟Ш─│╟Й ╟П ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С 2р░Ф + 2р░Фрм╛рм╡ + 2р░Фрм╛рм╢ ─▒╟В╟Н─п╟Й ╚╖╟П╟Л╟Л─п╚╖╟Л╞┐─▓╟Й╟П ─│╟П╟Т 7

7 . ╞▓─п ─░─▒╟В╟О─▒─│─▒ ╟Ш─│╟Й ─п р╢и22 + р╢з7 + р╢е1 + ╬╛9 = 5

╬╛рм╕ ╟Д р╢з + ╬╛9 = 2 рм╢

8 . ╞▓─п ─п╚╖╟П─░─▒╟В╟О─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╟Й─░╟Й╟Ш─│╟З─│─▒╟С ╚╖╟П╟Т ─п─┤╟П╟Р╟П╟Щ╟Н ─│╟З╟Н ╟К╟Т╟Д╟Й╟К╟Б ╟Р╟В╟Ж─п р░п р░п р░п ─п р╢е▀Щ ╬о ▀Ъ = ╬╛▀Щ ╬о р╢е▀Ъ , ╟Д

р░И р╢зр░Й

р░п

╬╛р░И р░п р╢ер░Й

▀Щ, ▀Ъ р╡Т 0. ▀Щ р╡Т 0, ▀Ъ р╡Т 0 ▀Ъ р╡Н 0.

9 . ╞▓─п ╟К─п─│─п─│╞┐╟О─▒─│─▒ ╟К─п─│╞┐ ─п╟Щ╟О╟П╟Т─▓─п ─▓─▒╟Й╟Р╞┐ ─│╟П╟Т╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟П╟Щ╟С ▀Щ, ▀Щ рм╢ , ╬╛▀Щ ─п╟Н ─п

╟Д

╟Е

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▀Щ>1 ▀Щ=1 0<▀Щ<1 ▀Щ=0 ╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 1: ╚л╔П╚╜╔А╔К╚╜╔Т╔З╔И╔Н╔Ь ╚Ь╔П╔З╔Е╔К╔Н╔Ь

10 . Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ǘĳǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ıǍǘǑ ǉĲǘȷǋıǒǐǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ İǂǍıĳįǉ įȷǘ ĳǏǍ ĳǙȷǏ ߃ =

ఈ మ ξଷ ସ

ǘȷǏǒ ߙ ıǂǍįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ

ȷǋıǒǐƿǑ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ƷĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷǋıǒǐƿ ǉĲǘȷǋıǒǐǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ įǍ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲǏ ǌı 16ξ3 ܿ݉ଶ

11 . Ʋį įǍĳǉĲĳǏǉǓǂĲıĳı Ǌƿǈı ıǒǈǙǅǐįǌǌǏ ĳǌǁǌį ǌı ĳǏ įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ

ȠɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ȧɛɈɍɑ ɒɊɛɊȽ

޿߀ ߁߂ ߃߄ ߅߆ ߇߈

ξ18 ߤ. 3 ߤ. ξ13ߤ. ξ20 ߤ. ξ17 ߤ. ξ5 ߤ. ξ6 ߤ.

12 . Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ ‫ ݔ‬ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį

13 . Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ

ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ıǂǍįǉ ƿǐǐǇĳǏǑ įǐǉǈǌǘǑ ǄƿǆǏǍĳįǑ Ĳı ǊǙǊǋǏ ĳǏǍ ǊįĳƿǋǋǇǋǏ ǓįǐįǊĳǇǐǉĲǌǘ ƩǍ ‫ ݔ‬൒ 0 ĳǘĳı ƫǂǍįǉ ƿǐǐǇĳǏǑ įǐǉǈǌǘǑ į

ξ‫ݔ‬

ƵƴƸƫ ƯƩƵƴƸƫ ƵƩƲƸƴƸƫ

ξ‫ ݔ‬+ 4

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ƵƴƸƫ ƯƩƵƴƸƫ ƵƩƲƸƴƸƫ

ȠȨȪȮȢȮȜ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

14 . ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳį ޿߀߁ Ǌįǉ

޿߁߂ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉį ĳǐǂǅǕǍį Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ޿߂߄߃

15 . ƷĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį Ǌƿǈı

ıȷǘǌıǍǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ǀǓıǉ ǊƿǈıĳǇ ȷǋıǒǐƿ ĳǇǍ ǒȷǏĳıǂǍǏǒĲį ĳǏǒ ȷǐǏǇǅǏǙǌıǍǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ į Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ǒȷǏĳıǂǍǏǒĲįǑ Ǌƿǈı ĳǐǉǅǚǍǏǒ Ǆ ƵǘĲǏ ǈį ıǂǍįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ ĳǏǒ 20Ǐǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ

ȦȮȰȴȨȴȢ 1: ȫɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȜɏɇɅɊɍɜ

ȠȨȪȮȢȮȜ

ŗžŶŸŵȤżŽŰƂ ťŴȤŴƃƄůƃŸżƂ

ƷĳǇǍ ıǍǘĳǇĳį įǒĳǁ ǈį ǌƿǈǏǒǌı: Ʋį ǏǐǂǆǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį İǉįǊǐǂǍǏǒǌı ıǂİǇ įǋǅıǄǐǉǊǚǍ ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ ǘȷǕǑ ǌǏǍǚǍǒǌǏ Ǌįǉ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ Ʋį ǏǐǂǆǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį İǉįǊǐǂǍǏǒǌı ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǕǍ ǌǏǍǕǍǙǌǕǍ Ǌįǉ ĳǕǍ ȷǏǋǒǕǍǙǌǕǍ Ʋį ıǊĳıǋǏǙǌı ȷǐƿǎıǉǑ ǌǏǍǕǍǙǌǕǍ Ǌįǉ ȷǏǋǒǕǍǙǌǕǍ Ʋį ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ĳıǓǍǉǊǀǑ ǅǉį Ǎį ǊƿǍǏǒǌı įǍįǅǕǅǁ ǏǌǏǂǕǍ ǘǐǕǍ Ǌįǉ Ǎį įȷǋǏȷǏǉǏǙǌı įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ Ʋį įȷǏİıǉǊǍǙǏǒǌı įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ĳįǒĳǘĳǇĳıǑ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ ƱǏǍǚǍǒǌį

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ Ʋį ǌıǋıĳǁĲıĳı ĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį Ǌįǉ Ǎį įȷįǍĳǁĲıĳı ĳį ıǐǕĳǁǌįĳį

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ȷǏǒ ıǊĴǐƿǆoǒǍ ĳǉǑ ȷıǐǉǌǀĳǐǏǒǑ ĳǏǒ ǌȷǋı Ǌįǉ ĳǏǒ ǊǘǊǊǉǍǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ Ʃȷǘ ȷǘĲǏǒǑ ǘǐǏǒǑ įȷǏĳıǋıǂĳįǉ Ǉ Ǌƿǈı ȷįǐƿĲĳįĲǇ

ƵǏǉǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ Ǉ įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ȷıǐǉǌǀĳǐǏǒ įȷǏĳıǋıǂĳįǉ įȷǘ ǀǍįǍ ǌǘǍǏ ǘǐǏ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȧȽɅȽɜɋɘ

ȧɍɋɣɋɓɊɍ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɊɇȽ ȽɉɀɂȾɏɇɈɛ ɎȽɏəɐɒȽɐɄ Ɏɍɓ ɎɂɏɇɉȽɊȾəɋɂɇ Ɋɟɋɍ ɒɄɋ ɎɏəɌɄ ɒɍɓ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇȽɐɊɍɠ ɊɂɒȽɌɠ ȽɏɇɅɊɍɠ ɈȽɇ ɊɂɒȽȾɉɄɒɣɋ ɈȽɇ ɍɇ ɊɂɒȽȾɉɄɒɚɑ ɒɄɑ ɚɖɍɓɋ ɂɈɅɚɒɄ ɊɄ ȽɏɋɄɒɇɈɟ ȽɈɚɏȽɇɍ ȽɏɇɅɊɟ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį െ3‫ ݔ‬, ‫ ݔ‬ଶ , െ5 ,

Ȫ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɛɑ ͳ ɐɓɋɛɅɘɑ ɎȽɏȽɉɂɜɎɂɒȽɇ ɈȽɇ ɀɏəɔɍɓɊɂ Ɋɟɋɍ ɒɍ Ɉɠɏɇɍ ɊɚɏɍɑǤ

ȫȽɏəɁɂɇɀɊȽǣ 1‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ = ݕ‬ଶ ‫ݕ‬

ସ ܽߚ ଷ

െ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ ,

௔య ఉమ ଻

ȭɂ ɚɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ɍ ȽɏɇɅɊɄɒɇɈɟɑ ɎȽɏəɀɍɋɒȽɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɛɑ ɒɍɓ ɊɍɋɘɋɠɊɍɓǡ ɂɋɣ ɒɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɘɋ ɊɂɒȽȾɉɄɒɣɋ ɒɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ Ɉɠɏɇɍ ɊɚɏɍɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį െ2 ‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬

ƯǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ ƷǒǍĳıǋıĲĳǁǑ

Ȫɇ ȽɏɇɅɊɍɜ ɅɂɘɏɍɠɋɒȽɇ ɊɍɋɣɋɓɊȽ ɈȽɇ ɍɋɍɊəɃɍɋɒȽɇ ɐɒȽɅɂɏə ɊɍɋɣɋɓɊȽǤ Ȫ ȽɏɇɅɊɟɑ ɊɄɁɚɋ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɊɄɁɂɋɇɈɟ ɊɍɋɣɋɓɊɍǤ

Ȫ ɂɈɅɚɒɄɑ ɊɇȽɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛɑ ɉɚɀɂɒȽɇ ȾȽɅɊɟɑ ɒɍɓ ɊɍɋɘɋɠɊɍɓ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛ Ƚɓɒɛǡ ɂɋɣ ȾȽɅɊɟɑ ɒɍɓ ɊɍɋɘɋɠɊɍɓ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɟɉɂɑ ɒɇɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɚɑ ɒɍɓ ɉɚɀɂɒȽɇ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɂɈɅɂɒɣɋ ɒɘɋ ɊɂɒȽȾɉɄɒɣɋ ɒɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƸǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ െ2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ıǂǍįǉ 2Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ ǕǑ ȷǐǏǑ ‫ݔ‬ 1Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ ǕǑ ȷǐǏǑ ‫ݕ‬ 3Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ ǕǑ ȷǐǏǑ ‫ ݔ‬Ǌįǉ ‫ݕ‬

ȮȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋ ɒɍ ɜɁɇɍ Ɉɠɏɇɍ Ɋɚɏɍɑ ɍɋɍɊəɃɍɋɒȽɇ ɟɊɍɇȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį Ƹį ǌǏǍǚǍǒǌį െ8ߙ ଷ ߚ Ǌįǉ 2ߙ ଷ ߚ ıǂǍįǉ ǘǌǏǉį, ǅǉįĳǂ ǀǓǏǒǍ ĳǏ ǂİǉǏ ǊǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ (ߙ ଷ ߚ).

ȮȽ ɟɊɍɇȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋ ɒɍɋ ɜɁɇɍ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɛ ɉɚɀɍɋɒȽɇ ɜɐȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽǡ ɂɋɣ ɒȽ ɟɊɍɇȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋ ȽɋɒɜɅɂɒɍɓɑ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɚɑ ɉɚɀɍɋɒȽɇ ȽɋɒɜɅɂɒȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį Ƹį ǌǏǍǚǍǒǌį 2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬Ǌįǉ 2‫ ݔݕ‬ଶ ıǂǍįǉ ǂĲį Ƹį ǌǏǍǚǍǒǌį െ2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬Ǌįǉ +2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ıǂǍįǉ įǍĳǂǈıĳį

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ƶįǐƿİıǉǅǌį Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǏǉıǑ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌį Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ ĲǒǍĳıǋıĲĳǁ ĳǏ ǊǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ Ǌįǉ ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǏǒ Ǌƿǈı ǌǏǍǕǍǙǌǏǒ ǕǑ ȷǐǏǑ ǘǋıǑ ĳǉǑ ǌıĳįǄǋǇĳǀǑ ĳǏǒ) į

4‫ ߱ݔ‬+ 3‫ݕ‬

െ

ఉయ

‫ݕ ݔ‬

ఈమ

଻௫௬ మ ଼ ଶ ିହ

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െ3 5ߙ ‫ ڄ‬2ߚ

ưǙĲǇ: į ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ 4‫߱ݔ‬ଷ + 3‫ ݕ‬İıǍ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǅǉįĳǂ ȷıǐǉǀǓıǉ ĳǇǍ ȷǐƿǎǇ ĳǇǑ ȷǐǘĲǈıĲǇǑ ଻௫ య ௬ మ ଼ ଻ െ ଼ ଷ ଶ

Ǆ ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ െ ƷǒǍĳıǋıĲĳǁ

଻ ଼

= െ ‫ ݔ ڄ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǌı

ƯǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ ‫ݕ ݔ‬ ƪįǈǌǘ 5

ǅ ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ െ3 ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǌı ƷǒǍĳıǋıĲĳǁ െ3 ƪįǈǌǘ 0 İ ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ

ఈమ ఉయ

İıǍ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǅǉįĳǂ ĲǇǌıǉǚǍıĳįǉ

İǉįǂǐıĲǇ ǌıĳįǎǙ ĳǕǍ ǌıĳįǄǋǇĳǚǍ ĳǏǒ ı ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ‫ ݔ‬ଶ ‫ି ݕ‬ହ İıǍ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǅǉįĳǂ Ǐ ıǊǈǀĳǇǑ ĳǏǒ ‫ ݕ‬ıǂǍįǉ įǐǍǇĳǉǊǘǑ Ĳĳ ƭ ȷįǐƿĲĳįĲǇ 5ߙ ‫ ڄ‬2ߚ = 10ߙߚ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǌı ƷǒǍĳıǋıĲĳǁ 10 ƯǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ ߙߚ ƪįǈǌǘ 2

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ

ȵɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ɂɜɋȽɇ ɀɏȽɊɊɚɋɍ ɐɒɄɋ ɒɂɉɇɈɛ Ɋɍɏɔɛǡ ɟɒȽɋ ɈȽɇ Ɋɟɋɍ ɟɒȽɋ ɚɖɍɓɋ ɀɜɋɂɇ ɟɉɂɑ ɍɇ ɎɏəɌɂɇɑ ɊɂɒȽɌɠ ɐɒȽɅɂɏɣɋ ɈȽɇ ɊɂɒȽȾɉɄɒɣɋ Ɏɍɓ ɎɂɏɇɚɖɂɇǤ

Ʋį ĲǇǌıǉǚĲıĳı ª9» ĲĳǉǑ įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ȷǏǒ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌį

Ƒ Ƒ

+2‫ݔ‬

ଷ

െ ସ ߙߚ + 2߱ ଶ௫௬ మ ଷ

Ƒ Ƒ

3‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬

1234

௫௬ఠ ଺

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

3‫଻ ݕݔ‬

Ƒ Ƒ

‫ ݔ(ݔ‬+ 1) ఈ ହఉ

Ʋį ǅǐƿǔıĳı İǙǏ ǘǌǏǉį ǌǏǍǚǍǒǌį ǅǉį ǊįǈǀǍį įȷǘ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ į

7‫ݔ‬

ସ௫௬ ଽ

െ 3‫ ݕ‬ଶ ߱

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǐǉ ȷǉǏ ǊƿĳǕ įǋǅıǄǐǉǊǀǑ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌį ĲǒǌȷǋǇǐǚǍǏǍĳįǑ ǊįĳƿǋǋǇǋį ĳǉǑ İǙǏ ȷǐǚĳıǑ ĲĳǁǋıǑ ƩǍ ıǂǍįǉ ǌǏǍǚǍǒǌį Ǎį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı Ǌįǉ ĳǉǑ ǒȷǘǋǏǉȷıǑ ĲĳǁǋıǑ ĳǏǒ ȷǂǍįǊį ȟɂɋ ɂɜɋȽɇ ɊɍɋɣɋɓɊɍ

ȠɜɋȽɇ ɊɍɋɣɋɓɊɍ

ȭɓɋɒɂɉɂɐɒɛɑ

ȥɠɏɇɍ ȝȽɅɊɟɑ Ɋɚɏɍɑ

ାଷ௫ మ ଼

‫ݔ‬ଶ‫ݕ‬ଶ െ3‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ହ ଶ ଷ ‫ݕ ݔ‬ ଻

3ܽଶ ߚିଷ ଵ

െସߙ

©ǂǍıĳįǉ ĳǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ െ3‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬Ʋį Ǆǐıǂĳı į

ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǏǒ Ǆ İǙǏ ǘǌǏǉį ǌǏǍǚǍǒǌį ǌı ĳǏ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǅ ĳǏ įǍĳǂǈıĳǏ ĳǏǒ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ǌǏǍǕǍǙǌǏǒ İ ǀǍį ǌǏǍǚǍǒǌǏ ĳǏǒ ǂİǉǏǒ ǄįǈǌǏǙ ǌı ĳǏ ȷǉǏ ȷƿǍǕ įǋǋƿ ǘǓǉ ǘǌǏǉǘ ĳǏǒ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ߤ Ǌįǉ ߥ Ĳı Ǌƿǈı ȷıǐǂȷĳǕĲǇ ǚĲĳı ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǆıǙǅǇ ǌǏǍǕǍǙǌǕǍ Ǎį ıǂǍįǉ ǘǌǏǉį į 3ߙ ଶ , Ǆ 4‫ ݔ‬ସ ߱ఔ ,

െ 2ߙ ఔ + 6‫ ݔ‬ఓ ߱଺

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ȷǏǒ ȷıǐǉǅǐƿĴıǉ Ǉ ƫǉǐǁǍǇ ©ŐƇŸż ƃƅſƄŸžŸƃƄű െ2 ŽŴż úŸƄŴŵžźƄŰƂ ߙ ŽŴż ߚ ŚŲſŴż 2Ɓƅ ŵŴŻúƁƍ ƉƂ üɚƁƂ ߙ ŽŴż 5Ɓƅ ŵŴŻúƁƍ ƉƂ üɚƁƂ ߙ ŽŴż ߚ».

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ǌı ƷƼƷƸƴ ǁ ưƩĭƴƷ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǐǏĳƿĲıǉǑ ǄƿǆǏǍĳįǑ Ĳı ǊǙǊǋǏ ĳǏǍ įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ǓįǐįǊĳǇǐǉĲǌǘ į ƸǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ‫ ݕݔ‬ସ ǀǓıǉ ĲǒǍĳıǋıĲĳǁ ĳǏ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ 4 Ǆ ƸǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ 8‫ ݔ‬ସ ‫ ݕ‬ıǂǍįǉ ǌǇİıǍǉǊǏǙ ǄįǈǌǏǙ ǕǑ ȷǐǏǑ ‫ ݕ‬

ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ

ǅ ƸǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ 8‫ ݔ‬ସ ‫ ݕ‬ıǂǍįǉ 5Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ ǕǑ ȷǐǏǑ ‫ ݔ‬Ǌįǉ ‫ ݕ‬ İ ƸǏ ǊǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ ĳǏǒ ǌǏǍǕǍǙǌǏǒ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ 9ߚ ଷ ߛ ଶ ıǂǍįǉ ĳǏ ߚߛ ı Ƹį ǌǏǍǚǍǒǌį െ2ߙ ଶ ߚ Ǌįǉ +2ߙߚ ଶ ıǂǍįǉ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ įǍĳǂǈıĳį Ĳĳ ©ǙǏ ǘǌǏǉį ǌǏǍǚǍǒǌį ǀǓǏǒǍ ĳǏǍ ǂİǉǏ ƷƼƷƸƴ ưƩĭƴƷ Ǆįǈǌǘ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƵǐƿǎıǉǑ ƱǏǍǕǍǙǌǕǍ ©ǉıǐıǙǍǇĲǇ Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǉǑ ȷǒǐįǌǂİıǑ ǌı ĳį ǊįĳƿǋǋǇǋį ǌǏǍǚǍǒǌį Ǌįǉ Ǎį ıǎǇǅǁĲıĳı ĳǏǍ ĳǐǘȷǏ ȷǏǒ ıǐǅįĲĳǁǊįĳı

૛࢞૜

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ȧȽɅȽɜɋɘ ȴɅɏɍɇɐɊȽ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ȞɇȽ ɋȽ ɓɎɍɉɍɀɜɐɍɓɊɂ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ Ɂɠɍ ɛ Ɏɂɏɇɐɐɟɒɂɏɘɋ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɎɏɚɎɂɇ ɒȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ ɋȽ ɂɜɋȽɇ ɟɊɍɇȽ.

Ȯɍ əɅɏɍɇɐɊȽ Ɂɓɍ ȽɋɒɜɅɂɒɘɋ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɂɜɋȽɇ ɒɍ ɊɄɁɂɋɇɈɟ ɊɍɋɣɋɓɊɍǤ

Ȯɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɟɊɍɇɘɋ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɂɜɋȽɇ ɚɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ɟɊɍɇɍ Ɋɂ Ƚɓɒəǡ ɒɍ ɍɎɍɜɍ ɚɖɂɇ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɛ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɣɋ ɒɍɓɑ. Ȣ ɎɏɟɐɅɂɐɄ ɟɊɍɇɘɋ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ȽɋȽɀɘɀɛ ɍɊɍɜɘɋ ɟɏɘɋǤ ¾ Ȣ ɁɇȽɔɍɏə Ɂɠɍ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɊɂɒȽɒɏɚɎɂɒȽɇ ɐɂ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɍɓ ȽɋɒɜɅɂɒɍɓ ɒɍɓ ȽɔȽɇɏɂɒɚɍɓ. Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį 3‫ ݕ‬ଶ + 7‫ ݕ‬ଶ = (3 + 7)‫ ݕ‬ଶ = 10‫ ݕ‬ଶ

Ǌįǉ

3‫ ݕݔ‬ଶ െ (െ7‫ ݕݔ‬ଶ ) = 3‫ ݕݔ‬ଶ + 7‫ ݕݔ‬ଶ = 11‫ ݕݔ‬ଶ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȫɍɉɉȽɎɉȽɐɇȽɐɊɟɑ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ Ȯɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ ɂɜɋȽɇ ɚɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɘɑ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɛ ɒɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɘɋ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɣɋ ɒɍɓɑ ɈȽɇ ɘɑ Ɉɠɏɇɍ Ɋɚɏɍɑ ɒɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɘɋ Ɉɠɏɇɘɋ Ɋɂɏɣɋ ɒɍɓɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį (െ2ܽଶ ) ‫( ڄ‬3ߙߚ ସ ) = (െ2 ή 3) ‫ܽ ڄ‬ଶ ή ܽ ή ߚ ସ = െ6ܽଶାଵ ߚ ସ = െ6ܽଷ ߚସ ȟɇȽɜɏɂɐɄ ɊɍɋɣɋɓɊɘɋ ȞɇȽ ɋȽ ɁɇȽɇɏɚɐɍɓɊɂ Ɂɠɍ ɊɍɋɣɋɓɊȽǡ ɁɇȽɇɏɍɠɊɂ ɒɍɓɑ ɐɓɋɒɂɉɂɐɒɚɑ ɒɍɓɑ ɈȽɇ ɁɇȽɇɏɍɠɊɂ ɈȽɇ ɒȽ ɈɠɏɇȽ ɊɚɏɄ ɒɍɓɑǤ Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį

ଵଶ ή = െ3‫ ݔ‬ଶିଵ = െ3‫ݔ‬ ିସ ௫ ଼ఈ ఱ ఊ ଼ (4ܽଶ ߛ ଷ ) = మ య = ‫ܽ ڄ‬ହିଶ ή ߛଵିଷ ସ௔ ఊ ସ

12‫ ݔ‬ଶ ‫( ׷‬െ4‫= )ݔ‬ (8ߙ ହ ߛ) ‫׷‬

௫మ

= 2ߙ ଷ ߛ ିଶ =

ଶ௔య ఊమ

ȫȽɏȽɒɄɏɍɠɊɂ ɟɒɇ ɒɍ ɎɄɉɜɈɍ Ɂɠɍ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋ Ɂɂɋ ɂɜɋȽɇ Ɏəɋɒɍɒɂ ɊɍɋɣɋɓɊɍǤ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǌǏǍǕǍǙǌǕǍ į

3‫ ݕ‬ସ , െ4‫ ݕ‬ସ Ǆ

3ߙߚ ଶ , െ2ߙߚ ଶ , െ3ߙߚ ଶ ưǙĲǇ Ĭǉį Ǎį ǄǐǏǙǌı ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ǘǌǏǉǕǍ ǌǏǍǕǍǙǌǕǍ įĴǁǍǏǒǌı ǂİǉǏ ĳǏ ǊǙǐǉǏ ǌǀǐǏǑ Ǌįǉ ȷǐǏĲǈǀĳǏǒǌı ĳǏǒǑ ĲǒǍĳıǋıĲĳǀǑ ĳǏǒǑ. į 3‫ ݕ‬ସ + (െ4‫ ݕ‬ସ ) = (3 െ 4)‫ ݕ‬ସ = െ‫ ݕ‬ସ Ǆ 3ߙߚ ଶ + (െ2ߙߚ ଶ ) + (െ3ߙߚ ଶ ) = 3ߙߚ ଶ െ 3ߙߚ ଶ െ 2ߙߚ ଶ = െ2ߙߚ ଶ

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į (4‫ ݔ‬ଶ ‫ )ݕ‬ή (െ3‫ݔ‬y)

Ǆ (െ͵Ƚɀଷ )ଶ

ưǙĲǇ į (4‫ ݔ‬ଶ y) ή (െ3‫ݔ‬y) = (െ4 ή 3) ή ‫ ݔ‬ଶାଵ ή ‫ݕ‬ଵାଵ = െ12‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ Ǆ (െ͵Ƚɀଷ )ଶ = (െ3ߙߛ ଷ ) ή (െ3ߙߛ ଷ ) = +9ߙ ଶ ߛ ଺

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȠɔȽɏɊɟɃɍɓɊɂ ɒɄɋ ɇɁɇɟɒɄɒȽ ɒɘɋ ɁɓɋəɊɂɘɋ Ƚஜ ή Ƚ஝ = Ƚஜା஝ .

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į െ2ߙ ଶ ߚ ‫( ׷‬2ߙߚ)

Ǆ (െ12‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬െ6‫ ݔ‬ହ )

ưǙĲǇ ȠɔȽɏɊɟɃɍɓɊɂ ɒɄɋ ɇɁɇɟɒɄɒȽ ɒɘɋ ɁɓɋəɊɂɘɋ Ƚஜ ‫ ׷‬Ƚ஝ = Ƚஜି஝ .

į െ2ߙ ଶ ߚ ‫( ׷‬2ߙߚ) =

ିଶఈమ ఉ ଶఈఉ

Ǆ (െ12‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬െ6‫ ݔ‬ହ ) =

ଶ ଶ

= (െ ) ή ߙ ଶିଵ ή ߚଵିଵ = െߙ

ିଵଶ௫ య ି଺௫ ఱ

ଶ ௫మ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ Ʋį įǍĳǉĲĳǏǉǓǂĲıĳı Ǌƿǈı įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ĲĳǁǋǇǑ ޿ ǌı ĳo ƿǈǐǏǉĲǌƿ ĳǇǑ ĲĳǇ ĲĳǁǋǇ ߀ ȭɒɛɉɄ Ȝ

ȭɒɛɉɄ ȝ

į ‫ ݔ‬+ 3‫ ݔ‬െ 5‫ݔ‬

2‫ ݔ‬ଶ

Ǆ 4‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݔ‬ଶ

4‫ ݔ‬ଷ

ǅ 7‫ ݔ‬ଷ െ 4‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଷ

LLL

5‫ݔ‬

İ 7‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬ଶ

7‫ ݔ‬ଷ

െ‫ݔ‬

െ8‫ ݔ‬ଶ

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊıǑ ή

2‫ݔ‬

െ5

4‫ ݔ‬ଷ

2‫ݔ‬

3‫ݔ‬

16‫ ݔ‬ଶ

8‫ ݔ‬ଶ

െ32‫ ݔ‬ହ

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ

į 5‫ ݕ‬+ 3‫ ݕ‬െ 2‫ݕ‬

ǅ െ2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬ଶ

3‫ ݕݔ‬ଶ െ 12‫ ݕݔ‬ଶ + 4‫ ݕݔ‬ଶ

Ĳĳ

െ2Ⱦଶ + ଷ Ⱦଶ

3߱ଷ + 4߱ଷ െ 6

െ3ߙߚ െ 5ߙߚ + 6ߙߚ ଵ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į

2‫ ݔ‬ଶ ή ‫ ݔ‬ଷ

(െ3‫ ݔ‬ଶ ) ή (െ4‫ ݔ‬ଷ )

(െ3ܽଶ ) ή (െܽହ ) ή ܽ଺

2‫ݔ‬y ଶ ή (3‫ ݔ‬ସ ‫)ݕ‬

(െ2y) ή (െ3y ଶ ‫)ݔ‬

Ĳĳ

4‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ή (െ3‫ ݔ‬ଷ )

(2ܽߚ ଶ )ଶ

5Ƚଶ Ⱦଷ ή (െ2Ƚଷ Ⱦଶ ) (െ2‫ ݔ‬ଷ )ଶ ଷ

ଵ

ቀെ ߱ଶ ቁ ή ቀ ߱ቁ ସ ଺

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į (12Ƚଶ ) ‫( ׷‬2Ƚ)

Ǆ (െ12‫ ݔ‬ହ ) ‫( ׷‬െ6‫ ݔ‬ହ )

ǅ (െ6‫ݔ‬y ଶ ) ‫( ׷‬3‫)ݕ‬

İ (21ߙ ହ ߚ ଷ ) ‫( ׷‬െ3ߙߚ ଶ )

;ɸͿ (െ18‫ ݔ‬ସ y ଶ ) ‫( ׷‬െ3‫)ݕݔ‬

Ĳĳ (െ2‫ ݔ‬ଶ ߱) ‫( ׷‬െ4‫ ݔ‬ହ ߱ଶ )

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǚĲĳı Ǎį ıǂǍįǉ ǌįǅǉǊǘ ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ǏǐǉǆǘǍĳǉį Ǌƿǈıĳį Ǌįǉ İǉįǅǚǍǉį Ǎį ıǂǍįǉ ĳǏ ǂİǉǏ

െ‫ ݔ‬ଶ

‫ݔ‬ଶ െ2‫ ݔ‬ଶ

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į (2‫׷ ) ݔ‬ ସ

(2‫ ݔ‬ଶ )

+ 3‫ݔ‬

െ3‫ ݔ‬ଶ

Ǆ 4‫ ݔ‬+ (3‫()ݔ‬5‫)ݔ‬

ଶ

ǅ (6‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬െ2‫ )ݔ‬+ (െ3‫()ݔ‬െ2‫)ݔ‬

İ 2‫ ݕݔ‬+ (30‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ) ‫( ׷‬6‫ ݔ‬ଶ ‫)ݕ‬

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳį ǊıǍƿ ǚĲĳı Ǎį ǉĲǓǙǏǒǍ Ǐǉ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǉĲǘĳǇĳıǑ į

െ7‫ ݔ‬ଶ + = 3‫ ݔ‬ଶ Ǆ

4‫ ݔ‬ଶ y ଷ െ = െ5‫ ݔ‬ଶ y ଷ ǅ

െ (െ2ߚ ହ ) = െ6ߚହ

= െ25Ⱦଷ

Ĳĳ

ͷȾ ή

ͻȽߛ ଷ ή

= 9Ƚଶ ɀସ

8Ƚଷ െ 2Ƚଷ + 18‫ ݔ‬ଶ yହ ‫׷‬

= െ3Ƚଷ = െ3‫ݔ‬y ଶ

‫( ׷‬െ2y ହ ) = െ3‫ݔ‬y ଶ

TǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ıǂǍįǉ ǀǍį ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐįȷǀǆǉǏ ޿߀߁߂ (߀߁ = ޿߂) ƩǍ Ǉ ȷǋıǒǐƿ ߁߂ ıǂǍįǉ ĳıĳǐįȷǋƿĲǉį ĳǇǑ ޿߀ Ǌįǉ Ǐǉ ȷǋıǒǐǀǑ ߀߁ Ǌįǉ ޿߂ ıǂǍįǉ İǉȷǋƿĲǉıǑ ĳǇǑ ޿߀ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ĳǇǑ ȷıǐǉǌǀĳǐǏǒ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ĳǏ ǌǁǊǏǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ȷǋƿĳǏǑ 8‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ Ǌįǉ ıǌǄįİǘǍ 24‫ ݔ‬ହ ‫ ݕ‬ଷ Ǆ ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ǌǁǊǏǑ ǄƿĲǇǑ 2ܽଷ ߚଶ Ǌįǉ ıǌǄįİǘǍ 20ߙ ଷ ߚଷ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƵǏǋǒǚǍǒǌį ƵǐǘĲǈıĲǇ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ ©ǉıǐıǙǍǇĲǇ 1) ƢǍį ĲǙǍǏǋǏ įǋǅıǄǐǉǊǚǍ ȷǋįǊǉİǂǕǍ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉıǂĳįǉ ǅǉį ĳǇǍ įǍįȷįǐƿĲĳįĲǇ įǐǉǈǌǚǍ Ǌįǉ ǌıĳįǄǋǇĳǚǍ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊıǑ ƵǋįǊǂİǉǏ

ƩǍįȷįǐǉĲĳƿ

ƵǋįǊǂİǉǏ

ƩǍįȷįǐǉĲĳƿ

ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ +1

ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ െ1

ĳǇ ǌıĳįǄǋǇĳǁ ‫ݔ‬

ĳǏ įǍĳǂǈıĳǏ ĳǇǑ ǌıĳįǄǋǇĳǁǑ ‫ݔ‬

ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǇǑ ǌıĳįǄǋǇĳǁǑ ‫ݔ‬

ĳǏ įǍĳǂǈıĳǏ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ĳǇǑ ǌıĳįǄǋǇĳǁǑ ‫ ݔ‬

ƴ ƱǉǓƿǋǇǑ ǅǉį Ǎį ȷįǐǏǒĲǉƿĲıǉ ĳǇǍ ȷǐǘĲǈıĲǇ ĳǕǍ įǋǅıǄǐǉǊǚǍ ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ (‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 2) + (2‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3) İǏǙǋıǔı ǕǑ ıǎǁǑ

ơǐį (‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 2) + (2‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3) = 3‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 1 9 Ʋį ǌıǋıĳǁĲıĳı ĳǏ ǌǏǍĳǀǋǏ ȷǏǒ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǂǇĲı Ǐ ƱǉǓƿǋǇǑ Ǌįǉ Ǎį ȷıǐǉǅǐƿǔıĳı ĳǇ İǉįİǉǊįĲǂį 9 Ʊı ǄƿĲǇ ĳǏ ǌǏǍĳǀǋǏ ǌı ĳį ȷǋįǊǂİǉį ǁ ǌı ƿǋǋǏ ĳǐǘȷǏ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį (2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ 1) + (‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ )ݔ‬+ (3‫ ݔ‬െ 2) Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ

Ǽȝ̴Enʹ̴Athroisma̴Polionyma.ggb» Ǎį ǌıĳįǄƿǋıĳı ĳǏǒǑ İǐǏǌıǂǑ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ȷǚǑ ǒȷǏǋǏǅǂǆıĳįǉ ĳǏ

ƿǈǐǏǉĲǌį

įǋǅıǄǐǉǊǚǍ

ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ Ʋį İǉįĳǒȷǚĲıĳı ǀǍįǍ ǊįǍǘǍį ǅǉį ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ĳǕǍ įǋǅıǄǐǉǊǚǍ ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ

O ƱǉǓƿǋǇǑ Ǌįǉ Ǉ ƲǉǊǏǋǀĳĳį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǂǇĲįǍ ĳǏ ǌǏǍĳǀǋǏ ĳǕǍ ȷǋįǊǉİǂǕǍ Ǌįǉ ǅǉį ĳǇǍ įĴįǂǐıĲǇ ĳǕǍ įǋǅıǄǐǉǊǚǍ ȷįǐįĲĳƿĲıǕǍ (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 3) ƫǐǅƿĲĳǇǊįǍ ǕǑ ıǎǁǑ ƴ ƱǉǓƿǋǇǑ ĲǊǀĴĳǇǊı Ǎį įĴįǉǐǀĲıǉ ĳį ǘǌǏǉį ȷǋįǊǂİǉį ĳǏǒ įĴįǉǐıĳǀǏǒ įȷǘ ĳǏǍ ǌıǉǕĳǀǏ

ơǐį (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 3) = ‫ ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬

ƭ ƲǉǊǏǋǀĳĳį ĲǊǀĴĳǇǊı ǘĳǉ įǍĳǂ Ǎį įĴįǉǐǀĲıǉ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ȷǐǏĲǈǀĲıǉ ĳį įǍĳǂǈıĳį ȷǋįǊǂİǉį ĳǏǒ įĴįǉǐıĳǀǏǒ ĲĳǏǍ ǌıǉǕĳǀǏ (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 3) = (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) + (െ‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3)

ơǐį (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 3) = (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 3) + (െ‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3) = ‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ 9 Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ĳǉǑ İǙǏ İǉįİǉǊįĲǂıǑ Ǌįǉ ĳį įȷǏĳıǋǀĲǌįĳƿ ĳǏǒǑ Ƹǉ ȷįǐįĳǇǐıǂĳı

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȧȽɅȽɜɋɘ ȵɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ɅȽ ɉɚɊɂ ɟɒɇ ɂɜɋȽɇ ɀɏȽɊɊɚɋɍ ɈȽɒə ɒɇɑ ɔɅɜɋɍɓɐɂɑ ɁɓɋəɊɂɇɑ ɊɇȽɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛɑǡ Ƚɋ ɍɇ ɟɏɍɇ ɒɍɓ ɂɜɋȽɇ ɁɇȽɒɂɒȽɀɊɚɋɍɇ ɚɒɐɇ ɣɐɒɂ ɍɇ ɂɈɅɚɒɂɑ ɒɄɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛɑ Ƚɓɒɛɑ ɋȽ ɂɉȽɒɒɣɋɍɋɒȽɇǡ ɂɋɣ ɈȽɒə ȽɠɌɍɓɐɂɑ Ƚɋ ɍɇ ɂɈɅɚɒɂɑ ɒɄɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛɑ Ƚɓɒɛɑ ȽɓɌəɋɍɋɒȽɇǤ

ƸǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ǅǐƿĴıĳįǉ Ǌįĳƿ ĳǉǑ ĴǈǂǍǏǒĲıǑ İǒǍƿǌıǉǑ ĳǏǒ ‫ ݔ‬ǕǑ ıǎǁǑ 2‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 5

ȞɇȽ ɋȽ ɍɋɍɊəɐɍɓɊɂ ɚɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ɖɏɄɐɇɊɍɎɍɇɍɠɊɂ ɐɓɋɛɅɘɑ ɈɂɔȽɉȽɜȽ ɀɏəɊɊȽɒȽ ɒɍɓ ɂɉɉɄɋɇɈɍɠ ȽɉɔȽȾɛɒɍɓ ɛ ɊɇɈɏə ɀɏəɊɊȽɒȽ ɒɍɓ ɉȽɒɇɋɇɈɍɠ ȽɉɔȽȾɛɒɍɓǤ

ȝȽɅɊɟɑ ɂɋɟɑ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɊɇȽ ɛ Ɏɂɏɇɐɐɟɒɂɏɂɑ ɊɂɒȽȾɉɄɒɚɑǡ ɂɜɋȽɇ ɍ ɊɂɀȽɉɠɒɂɏɍɑ ȽɎɟ ɒɍɓɑ ȾȽɅɊɍɠɑ ɒɘɋ ɟɏɘɋ ɒɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį െ3‫ ݔ‬ଶ + 2‫ݔ‬ 2Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ 3‫ ݕݔ‬െ 2‫ ݔ‬ଷ + 3 3Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ

ȭɒɄɋ ɎȽɏɚɋɅɂɐɄ ɔȽɜɋɂɒȽɇ Ʉ ɊɂɒȽȾɉɄɒɛ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓǤ

ȧɂ p(2) ɐɓɊȾɍɉɜɃɍɓɊɂ ɒɄɋ ȽɏɇɅɊɄɒɇɈɛ ɒɇɊɛ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ p(‫ )ݔ‬ɀɇȽ ‫ = ݔ‬2. ȟɄɉǤ p(2) = 3 ‫ ڄ‬2ଶ െ 2 ‫ ڄ‬2 + 3 = 3 .4 െ 2 .2 + 3 = 12 െ 4 + 3 = 11

ȵɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ Ɋɂ Ɂɠɍ ɟɏɍɓɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɁɇɣɋɓɊɍ ɈȽɇ ɚɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ Ɋɂ ɒɏɂɇɑ ɟɏɍɓɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɏɇɣɋɓɊɍ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį İǉǚǍǒǌǏ െ‫ ݔ‬ଶ + 2 ĳǐǉǚǍǒǌǏ 3‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3

ȫȽɏəɁɂɇɀɊȽǣ p(‫ = )ݔ‬3‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3

Ȝ(‫ = )ݔ‬െ‫ ݔ‬ଶ + 2 Ȝ = െ‫ ݔ‬ଶ + 2

ȫɍɉɓɣɋɓɊɍ ɍɋɍɊəɃɍɓɊɂ ɒɄɋ ȽɉɀɂȾɏɇɈɛ ɎȽɏəɐɒȽɐɄ Ɏɍɓ ɂɜɋȽɇ əɅɏɍɇɐɊȽ ɊɄ ɟɊɍɇɘɋ ɊɍɋɘɋɠɊɘɋǤ ȮȽ ɊɍɋɣɋɓɊȽ Ɏɍɓ ȽɎɍɒɂɉɍɠɋ ɒɍ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ɉɚɀɍɋɒȽɇ ɟɏɍɇ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƭ įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ 2‫ ݔ‬ଶ െ 5 + 2‫ ݔ‬ıǂǍįǉ ǀǍį ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ƴǉ ǘǐǏǉ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ ıǂǍįǉ 2‫ ݔ‬ଶ , െ5 Ǌįǉ 2‫ݔ‬.

ȫɏɟɐɅɂɐɄ ɎɍɉɓɘɋɠɊɘɋ Ȯɍ əɅɏɍɇɐɊȽ Ɂɠɍ ɛ Ɏɂɏɇɐɐɟɒɂɏɘɋ ɎɍɉɓɘɋɠɊɘɋ ɂɜɋȽɇ ɚɋȽ ɋɚɍ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ Ɋɂ ɟɏɍɓɑ ɒȽ ȽɅɏɍɜɐɊȽɒȽ ɒɘɋ ɟɊɍɇɘɋ ɟɏɘɋ ɒɘɋ ɁɍɐɊɚɋɘɋ ɎɍɉɓɘɋɠɊɘɋǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį (2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 2) + (‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݔ‬+ 1) = 2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 2 + ‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݔ‬+ 1 = 2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬െ 4‫ ݔ‬+ 2 + 1 ȥəɋɍɓɊɂ ȽɋȽɀɘɀɛ ɟɊɍɇɘɋ ɟɏɘɋ = 3‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݔ‬+ 3 (2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 2) െ (‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݔ‬+ 1) = 2‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 2 െ ‫ ݔ‬ଶ + 4‫ ݔ‬െ 1 = 2‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 4‫ ݔ‬+ 2 െ 1 = ‫ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 1

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ©ǂǍıĳįǉ ĳǏ ĳǐǉǚǍǒǌǏ ޿ = 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3 ߀ = 3‫ ݔ‬െ 2 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ‫ ܣ‬+ ‫ܤ‬

Ǌįǉ ĳǏ İǉǚǍǒǌǏ

Ǆ ޿ െ ߀

ưǙĲǇ ƩǍĳǉǊįǈǉĲĳǏǙǌı ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį į ‫ ܣ‬+ ‫( = ܤ‬4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3) + (3‫ ݔ‬െ 2) = 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3 + 3‫ ݔ‬െ 2 = 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3‫ ݔ‬+ 3 െ 2 ƯƿǍǏǒǌı įǍįǅǕǅǁ ǘǌǏǉǕǍ = 4‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 1 ǘǐǕǍ. ǁ

ĭį ǌȷǏǐǏǙĲįǌı Ǎį ȷǐǏĲǈǀĲǏǒǌı ǊįĳįǊǘǐǒĴį ĳį İǙǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌį 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3 (+) + 3‫ ݔ‬െ 2 4‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 1

ƵǐǏĲǈǀĳǕ ĳǏǒǑ ǘǌǏǉǏǒǑ ǘǐǏǒǑ

Ǆ ƩǍĳǉǊįǈǉĲĳǏǙǌı ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ‫ ܣ‬െ ‫( = ܤ‬4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3) െ (3‫ ݔ‬െ 2) = 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3 + (െ3‫ ݔ‬+ 2) = 4‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 3 െ 3‫ ݔ‬+ 2 = 4‫ ݔ‬ଶ െ 8‫ ݔ‬+ 5

ƵǐǏĲǈǀĳǏǒǌı ĳǏǒǑ įǍĳǂǈıĳǏǒǑ ǘǐǏǒǑ ƯƿǍǏǒǌı įǍįǅǕǅǁ ǘǌǏǉǕǍ ǘǐǕǍ

2. ©ǂǍıĳįǉ ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ߮(‫ = )ݔ‬2‫ ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଶ + 5 į Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ Ǆ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ߮(െ1) ưǙĲǇ į ƴ ǄįǈǌǘǑ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ ıǂǍįǉ Ǐ ǌıǅįǋǙĳıǐǏǑ įȷǘ ĳǏǒǑ ǄįǈǌǏǙǑ ĳǕǍ ǘǐǕǍ ĳǏǒ ơǐį ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ıǂǍįǉ 3Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ Ǆ Ĭǉį Ǎį ǄǐǏǙǌı ĳǏ ߮(െ1) įǍĳǉǊįǈǉĲĳǏǙǌı ĳǏ ‫ ݔ‬ǌı െ1 Ǌįǉ ǊƿǍǏǒǌı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ. ©Ǉǋįİǁ ߮(െ1) = 2(െ1)ଷ െ (െ1)ଶ + 5 ߮(െ1) = 2(െ1) െ (+1) + 5 ߮(െ1) = െ 2 െ 1 + 5 ߮(െ1) = +2

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ

Ʋį İǉįĳƿǎıĳı Ǌįĳƿ ĳǉǑ ĴǈǂǍǏǒĲıǑ İǒǍƿǌıǉǑ ĳǏǒ ‫ ݔ‬ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǏǋǒǚǍǒǌį Ǌįǉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǏǒǑ į

޿ = ‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଷ + 3‫ ݔ‬ଶ െ 2

‫ = ܤ‬4‫ ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ସ െ 2‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 1

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į

െ5݊ଶ + (4݊ଶ + 7)

(‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3) + (2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 3)

(߱ଶ + 2) െ (െ2߱ଶ + 3߱)

(3݊ଶ + 2) െ (െ2݊ଶ + 2݊ + 1)

(‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݕ‬+ 1) െ (2‫ ݕ‬ଶ െ 7‫ ݕ‬+ 1)

Ĳĳ

(‫ ݔ‬ଶ െ 4‫ ݕݔ‬+ 3) + (‫ ݔ‬ଶ + 3‫)ݕݔ‬

©ǂǍǏǍĳįǉ ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ޿ = 5‫ ݔ‬ଷ െ 2‫ ݔ‬+ 7 ‫ = ܤ‬5‫ ݔ‬ଷ െ 2‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݔ‬+ 4 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳį ıǎǁǑ į ޿ + ߀ ǅ ޿ െ ‫ܤ‬

െ޿

©ǂǍǏǍĳįǉ ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ‫ ݔ = )ݔ(݌‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 4 ‫ = )ݔ(ݍ‬3‫ ݔ‬െ 5 Ǌįǉ ‫ ݔ = )ݔ(ݎ‬ଷ + ‫ ݔ‬+ 1 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷįǐįĲĳƿĲıǉǑ į

‫(݌‬2)

‫(ݎ‬െ1)

‫ )ݔ(ݎ‬+ ‫)ݔ(݌‬

‫ )ݔ(݌‬െ ‫)ݔ(ݍ‬

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳį ǊıǍƿ ĲĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǉĲǘĳǇĳıǑ: į ൫

െ 8‫ ݔ‬െ

Ǆ (݊ଶ + 3) + ൫ ǅ (‫ ݔ‬ଶ + İ ൫െ2‫ ݔ‬ଷ +

൯ + ൫9‫ ݔ‬ଶ െ

+ 8൯ = 12‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݔ‬+ 4

+ 3൯ = െ݊ଶ +

+ 3 ) െ (‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬+ െ 7൯ െ ൫

)=‫ݔ‬

+ 7‫ ݔ‬ଶ +

൯ = െ4‫ ݔ‬ଷ + 14‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬െ 10

ƵǏǉǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ȷǐǀȷıǉ Ǎį ȷǐǏĲǈǀĲǏǒǌı ĲĳǏ 2ߙ ଶ + 5ߙ + 7 ǅǉį Ǎį ǀǓǏǒǌı ƿǈǐǏǉĲǌį 8ߙ ଶ + 4ߙ െ 5

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǚĲĳı Ǎį ıǂǍįǉ ǌįǅǉǊǘ ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌį ǏǐǉǆǘǍĳǉį Ǌƿǈıĳį Ǌįǉ İǉįǅǚǍǉį Ǎį ıǂǍįǉ ĳǏ ǂİǉǏ

ૡ࢞૛ െ ૚

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࢞૛ + ૞࢞ െ ૟

૟࢞૛ െ ૛࢞ + ૚

į Ʋį ǅǐƿǔıĳı ǌǉį įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ Ǎį ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǇǑ ĳǐǂĳǇǑ ǅǕǍǂįǑ ĳǏǒ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳǐǉǅǚǍǏǒ Ǆ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ĳǐǉǚǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ įǍ ‫ = ݔ‬15

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƵǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǘǑ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ 1) ƴ ǊǙǐǉǏǑ ƮƿǊǕǄǏǑ ǈǀǋıǉ Ǎį įǍįǊįĳįĲǊıǒƿĲıǉ ĳǏǍ ǊǁȷǏ ĳǏǒ ĲȷǉĳǉǏǙ ĳǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ĲǓǁǌį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǌı İǉįĲĳƿĲıǉǑ 6 ݉ Ǌįǉ 12 ݉ ĭį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıǉ ǓǋǏǏĳƿȷǇĳį Ǌįǉ ȷıǐǉǌıĳǐǉǊƿ ĳǏǒ ǓǋǏǏĳƿȷǇĳį ǈǀǋıǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıǉ İǉƿİǐǏǌǏ įȷǘ ǌȷıĳǘǍ ȷǋƿĳǏǒǑ (‫ )ݔ‬

9 Ʋį ǅǐƿǔıĳı ǌǉį įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ Ǎį ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ İǉįİǐǘǌǏǒ 9 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ȷıǐǉǏǓǁǑ ȷǏǒ ǈį ǊįǋǒĴǈıǂ ǌı ǓǋǏǏĳƿȷǇĳį 9 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǊǘĲĳǏǑ ĳǇǑ įǍįǊįǂǍǉĲǇǑ įǍ Ǐ İǉƿİǐǏǌǏǑ įȷǘ ǌȷıĳǘǍ ǈį ĲĳǏǉǓǂǆıǉ €20 ĳǏ ĳıĳǐįǅǕǍǉǊǘ ǌǀĳǐǏ ıǍǚ Ǐ ǓǋǏǏĳƿȷǇĳįǑ ǈį ĲĳǏǉǓǂǆıǉ €35 ĳǏ ĳıĳǐįǅǕǍǉǊǘ ǌǀĳǐǏ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ 2) Ƹį ȷǉǏ ǊƿĳǕ įǋǅıǄǐǉǊƿ ȷǋįǊǂİǉį ǊįǋǙȷĳǏǒǍ ıȷǉĴƿǍıǉį ǕǑ ıǎǁǑ

ƵǋįǊǂİǉǏ

ƯįǋǙȷĳıǉ

ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǌı ȷǋıǒǐƿ 1 ǌǏǍƿİį

ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǌı ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǌı İǉįĲĳƿĲıǉǑ ȷǋıǒǐƿ 1 Ǌįǉ ‫ ݔ‬ǌǏǍƿİıǑ ‫ ݔ‬ǌǏǍƿİıǑ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƭ ƯǕǍĲĳįǍĳǂǍį ǅǉį ĳǏǍ ǒȷǏǋǏǅǉĲǌǘ ĳǏǒ ǅǉǍǏǌǀǍǏǒ ‫ ݔ(ݔ‬+ 2) ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǂǇĲı ĳǏ ǌǏǍĳǀǋǏ ǌı ĳį įǋǅıǄǐǉǊƿ ȷǋįǊǂİǉį ǕǑ ıǎǁǑ ŨƁ ŶżſƌúŸſƁ ‫ ݔ(ݔ‬+ 2) ŴſƄżƃƄƁżƇŸŲ ƃŸ ƁɚŻƁŶƎſżƁ úŸ ŷżŴƃƄůƃŸżƂ ‫ ݔ‬ŽŴż (‫ ݔ‬+ 2). şŴžƍüƄƁƅúŸ Ƅźſ ŸüżƆůſŸżŴ ƄƁƅ ƁɚŻƁŶƉſŲƁƅ úŸ ƄŴ ŴſƄŲƃƄƁżƇŴ üžŴŽŲŷżŴ. ŎɚŴ

‫ ݔ(ݔ‬+ 2) = ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬

9 Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ ǊįǋǙȷĳıĳįǉ Ǉ ıȷǉĴƿǍıǉį ǌı ĳį ĲǒǅǊıǊǐǉǌǀǍį ȷǋįǊǂİǉį ȷǏǒ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ĲĳǇǍ ıǉǊǘǍį 9 Ʋį ıǐǌǇǍıǙĲıĳı ĳǏ ǌǏǍĳǀǋǏ ĳǕǍ ȷǋįǊǉİǂǕǍ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ĳǕǍ ǉİǉǏĳǁĳǕǍ ĳǏǒ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǏǙ

ȧȽɅȽɜɋɘ ȫɍɉɉȽɎɉȽɐɇȽɐɊɟɑ ɊɍɋɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ȞɇȽ ɋȽ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇəɐɍɓɊɂ ɚɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ Ɋɂ ɚɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇəɃɍɓɊɂ ɒɍ ɊɍɋɣɋɓɊɍ Ɋɂ ɈəɅɂ ɟɏɍ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ ɈȽɇ ɎɏɍɐɅɚɒɍɓɊɂ ɒȽ ɀɇɋɟɊɂɋȽ Ɏɍɓ ɎɏɍɈɠɎɒɍɓɋǤ

ȞɇȽ ɒɍɋ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇȽɐɊɟ ɒɘɋ ɎɍɉɓɘɋɠɊɘɋ ɖɏɄɐɇɊɍɎɍɇɍɠɊɂ ɒɄɋ ɂɎɇɊɂɏɇɐɒɇɈɛ ɇɁɇɟɒɄɒȽ.

Ƶįǐƿİıǉǅǌį (െ2‫ ݔ( ڄ )ݔ‬+ 1) = (െ2‫ )ݔ( ڄ )ݔ‬+ (െ2‫ ڄ )ݔ‬1 = െ2‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ݔ‬ ȫɍɉɉȽɎɉȽɐɇȽɐɊɟɑ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍǤ ȞɇȽ ɋȽ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇəɐɍɓɊɂ Ɂɠɍ ɎɍɉɓɣɋɓɊȽǡ ɎɍɉɉȽɎɉȽɐɇəɃɍɓɊɂ ɈəɅɂ ɟɏɍ ɒɍɓ ɂɋɟɑ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɈəɅɂ ɟɏɍ ɒɍɓ əɉɉɍɓ ɈȽɇ ɎɏɍɐɅɚɒɍɓɊɂ ɒȽ ɀɇɋɟɊɂɋȽ Ɏɍɓ ɎɏɍɈɠɎɒɍɓɋǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį (ߙ െ 2) ‫ ܽ( ڄ‬+ 4) = ߙ ‫ ܽ( ڄ‬+ 4) െ 2 ‫ ܽ( ڄ‬+ 4) = ߙ ଶ + 4ܽ െ 2ߙ െ 8 = ߙ ଶ + 2ߙ െ 8

ȜɉɀɂȾɏɇɈɛ ɒȽɓɒɟɒɄɒȽ ɂɜɋȽɇ ɈəɅɂ ɇɐɟɒɄɒȽ ȽɋəɊɂɐȽ ɐɂ Ɂɠɍ ȽɉɀɂȾɏɇɈɚɑ ɎȽɏȽɐɒəɐɂɇɑǡ Ʉ ɍɎɍɜȽ ȽɉɄɅɂɠɂɇ ɀɇȽ ɟɉɂɑ ɒɇɑ ɒɇɊɚɑ ɒɘɋ ɊɂɒȽȾɉɄɒɣɋ Ɏɍɓ Ɏɂɏɇɚɖɂɇ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį ߱(‫ ݔ‬+ ‫ ݔ ڄ ߱ = )ݕ‬+ ߱ ‫ݕ ڄ‬

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȹɒȽɋ ɚɖɍɓɊɂ ɋȽ ȽɎɍɁɂɜɌɍɓɊɂ ɊɇȽ ɒȽɓɒɟɒɄɒȽ ɊɎɍɏɍɠɊɂ ɋȽ ɌɂɈɇɋɛɐɍɓɊɂ ȽɎɟ ɒɍ ɚɋȽ Ɋɚɉɍɑ (޿ߤ) ɈȽɇ ɈəɋɍɋɒȽɑ ɒɇɑ ɎɏəɌɂɇɑ ɋȽ ɈȽɒȽɉɛɌɍɓɊɂ ɐɒɍ əɉɉɍ Ɋɚɉɍɑ (߀ߤ). ࢡࣆ = … = ࢢࣆ ࢢࣆ = ‫ࣆࢡ = ڮ‬ ȧɎɍɏɍɠɊɂǡ ɂɎɜɐɄɑǡ ɈəɋɍɋɒȽɑ ɒɇɑ ɎɏəɌɂɇɑ ɐɂ ɈəɅɂ Ɋɚɉɍɑ ɒɄɑ Ɍɂɖɘɏɇɐɒə ɋȽ ɁɂɜɌɍɓɊɂ ɟɒɇ ɒȽ Ɂɠɍ ɊɚɉɄ ɇɐɍɠɋɒȽɇ Ɋɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ɎȽɏəɐɒȽɐɄǤ ȟɄɉȽɁɛǣ ࢡࣆ = ࢣ ɈȽɇ ࢢࣆ = ࢣ ɒɟɒɂ ࢡࣆ = ࢢࣆ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǏǙǑ ȷǏǋǒǕǍǙǌǕǍ Ǆ 2‫ ݔ(ݔ‬െ 1) į ‫ ݔ(ݔ‬+ 3) ǅ

െ‫ ݕ(ݔ‬+ 1)

(‫ ݔ‬+ 1)(‫ ݔ‬െ 3)

ưǙĲǇ Ĭǉį Ǎį ıǊĳıǋǀĲǏǒǌı ĳǏǒǑ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǏǙǑ ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǇǍ ıȷǉǌıǐǉĲĳǉǊǁ ǉİǉǘĳǇĳį į ‫ ݔ(ݔ‬+ 3) = ‫ ݔ‬ଶ + 3‫ݔ‬ Ǆ 2‫ ݔ(ݔ‬െ 1) = 2‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ݔ‬ ǅ െ‫ ݕ(ݔ‬+ 1) = െ‫ ݕݔ‬െ ‫ݔ‬ İ (‫ ݔ‬+ 1)(‫ ݔ‬െ 3) = ‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ‬+ ‫ ݔ‬െ 3 = ‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬െ 3

ƯƿǍǏǒǌı įǍįǅǕǅǁ ǘǌǏǉǕǍ ǘǐǕǍ

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ĳǇǍ ĳįǒĳǘĳǇĳį (ߙ + 1)(ߙ + 1) െ 1 = ߙ(ߙ + 2) ưǙĲǇ ƩƟ ĳǐǘȷǏǑ ƳıǊǉǍƿǌı įȷǘ ĳǏ ƩƟ ǌǀǋǏǑ ǅǉį Ǎį ĴǈƿĲǏǒǌı ĲĳǏ ƪƟ ǌǀǋǏǑ ޿ʅ ߤɚߣߧ߫ = (ߙ + 1)(ߙ + 1) െ 1 ƯƿǍǏǒǌı ĳǏǍ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǘ = ߙ ଶ + 1ߙ + 1ߙ + 1 െ 1 Ǌįǉ ĲĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį įǍįǅǕǅǁ = ߙ ଶ + 2ߙ ǘǌǏǉǕǍ ǘǐǕǍ ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı = ߙ(ߙ + 2) ĳǇǍ ıȷǉǌıǐǉĲĳǉǊǁ ǉİǉǘĳǇĳį. = ‫ܤ‬ᇱ ߤɚߣߧ߫ ǁ ƪƟ ĳǐǘȷǏǑ ƩǍįȷĳǙĲĲǏǒǌı Ǌįǉ ĳį İǙǏ ǌǀǋǇ ĳǇǑ ǉĲǘĳǇĳįǑ ޿ʅ ߤɚߣߧ߫ = (ߙ + 1)(ߙ + 1) െ 1 = ߙଶ + ߙ + ߙ + 1 െ 1 = ߙ ଶ + 2ߙ

ƯƿǍǏǒǌı ĳǏǍ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǘ Ǌįǉ ĲĳǇ ĲǒǍǀǓıǉį įǍįǅǕǅǁ ǘǌǏǉǕǍ ǘǐǕǍ

‫ܤ‬ᇱ ߤɚߣߧ߫ = ߙ(ߙ + 2) = ߙ ଶ + 2ߙ

ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǇǍ ıȷǉǌıǐǉĲĳǉǊǁ ǉİǉǘĳǇĳį

ơǐį ޿ʅ ߤɚߣߧ߫ = ‫ܤ‬ᇱ ߤɚߣߧ߫ = ߙ ଶ + 2ߙ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǏǙǑ į ‫ ݔ(ݔ‬+ 1)

Ǆ ‫(ݔ‬െ‫ ݔ‬+ 5)

ǅ 5ߜ(ߜ ଶ െ 3ߜ)

İ െ6‫ ݔ(ݔ‬െ 5)

ı െܽߚ(ܽ െ ߚ)

Ĳĳ 2‫(ݕݔ‬3‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕݔ‬ଶ )

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǏǒǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǏǋǋįȷǋįĲǉįĲǌǏǙǑ į (‫ ݔ‬+ 1)(‫ ݔ‬+ 2) Ǆ (߱ + 4)(߱ + 3) ǅ (ߢ െ 4)(ߢ + 4)

İ (ߚ + 3)ଶ

ı (‫ ݕ‬െ 2)(4 െ ‫)ݕ‬

Ĳĳ (‫ ݕ‬െ 1)ଶ

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳį ǊıǍƿ ĲĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǉĲǘĳǇĳıǑ: į

3‫ ݔ‬ή ൫2 +

ή (‫ ݔ‬+ 3) =

4‫ ݔ‬ହ ή ൫

(‫ ݐ‬+ 1)(

൫

+ 12‫ ݔ‬ଶ

൯=

+ 12‫ ݔ‬ଶ

െ 2‫ݕݔ‬൯ = 20‫ ଺ ݔ‬െ + 3)=‫ ݐ‬ଶ +

+ 3൯(‫ ݕ‬െ 2) = ‫ ݕ‬ଶ +

+3 െ

1į ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į (‫ ݔ‬+ 2)(‫ ݔ‬െ 2) െ (3‫ ݔ‬െ 5)

Ǆ ‫ ݔ(ݔ‬െ 1)(1 + ‫)ݔ‬

ǅ 2‫ ݔ‬ଶ െ (‫ ݔ‬+ 3)(‫ ݔ‬െ 3)

İ (4‫ ݔ‬െ 1)(4‫ ݔ‬+ 2) െ (4‫ ݔ‬ଶ + 3)

ƩǍ ޿(‫ = )ݔ‬4‫ ݔ‬െ 5 Ǌįǉ ߀(‫ ݔ = )ݔ‬െ 1 Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į

2 ή ޿(‫)ݔ‬ Ǆ

‫ )ݔ(ܣ‬ή ‫)ݔ(ܤ‬ ǅ

[‫])ݔ(ܤ‬ଶ

޿(‫ )ݔ‬+ ‫ )ݔ(ܣ‬ή ‫)ݔ(ܤ‬

2 ή ޿(‫ )ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ή ‫)ݔ(ܤ‬

Oǉ ǌįǈǇĳǀǑ ĲĳǏ ǌƿǈǇǌį ĳǏǒ ƷǓıİǉįĲǌǏǙ Ǌįǉ ƸıǓǍǏǋǏǅǂįǑ ǈį ǊįĳįĲǊıǒƿĲǏǒǍ ǈǁǊıǑ ǅǉį ĳǇǋıǓıǉǐǉĲĳǁǐǉǏ ƭ ǊįĳįĲǊıǒǁ ĳǏǒǑ ǈį ıǂǍįǉ ǀǍį ǎǙǋǉǍǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ȷįǐįǋǋǇǋıȷǂȷıİǏ įǍǏǉǊĳǘ įȷǘ ȷƿǍǕ ƭ ǄƿĲǇ ĳǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋıȷǉȷǀİǏǒ ĲǙǌĴǕǍį ǌı ĳǉǑ ǏİǇǅǂıǑ ĳǏǒ ǊįǈǇǅǇĳǁ ȷǐǀȷıǉ Ǎį ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǇ Ǌįǉ ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ 5 ܿ݉ ǌıǅįǋǙĳıǐǏ įȷǘ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ǄƿĲǇǑ ĳǇǑ Ʋį Ǆǐıǂĳı ǌǉį įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ Ǎį ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǇǍ ıǎǕĳıǐǉǊǁ ıȷǉĴƿǍıǉį ĳǏǒ ǊǏǒĳǉǏǙ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ƷĳǏ ĲǓǁǌį İǂǍıĳįǉ Ǉ ȷǐǘĲǏǔǇ ıǍǘǑ İǕǌįĳǂǏǒ ĲĳǏ ǏȷǏǂǏ ǒȷƿǐǓıǉ ǌǉį ȷǘǐĳį Ǌįǉ ǀǍį ȷįǐƿǈǒǐǏ Ʋį Ǆǐıǂĳı ǌǉį įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ Ǎį ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĳǏǂǓǏǒ ĲĳǇǍ ȷǐǘĲǏǔǇ įǒĳǁ

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳįǒĳǘĳǇĳıǑ į (ߙ െ 1)ଶ + 2ߙ = (ߙ െ 1)(ߙ + 1) + 2 Ǆ (‫ ݔ‬െ ‫ ݔ()ݕ‬+ ‫ )ݕ‬+ 2‫ ݕ‬ଶ = (‫ ݔ‬െ ‫)ݕ‬ଶ + 2‫ݕݔ‬ ǅ (ߙ + ߚ)(ߙ + ߚ) െ ߚ(2ܽ + ߚ) = (ߙ െ ߚ)(ߙ + ߚ) + ߚ ଶ

ƩǍ ‫ݔ‬y = 1 Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ įǐǉǈǌǇĳǉǊǁ ĳǉǌǁ ĳǇǑ ȷįǐƿĲĳįĲǇǑ ‫ ݔ( = ܣ‬െ ‫ ݔ()ݕ‬െ ‫ )ݕ‬െ (‫ ݔ‬ଶ െ 9) െ ‫ ݕ‬ଶ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ȷǉǈįǍǀǑ İǉįĲĳƿĲıǉǑ ıǍǘǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 20ߚ ଶ + 4ߚ ƴ ƩǍĳǚǍǇǑ ǉĲǓǒǐǂǆıĳįǉ ǘĳǉ įǍ ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ܲ(‫ )ݔ‬ıǂǍįǉ 2Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ Ǌįǉ ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ܳ(‫ )ݔ‬ıǂǍįǉ 3Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ ĳǘĳı ĳǏ ǅǉǍǘǌıǍǏ ܲ(‫ )ݔ‬ή ܳ(‫ )ݔ‬ǈį ıǂǍįǉ 6Ǐǒ ǄįǈǌǏǙ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǇǍ ǏǐǈǘĳǇĳį ĳǏǒ ǉĲǓǒǐǉĲǌǏǙ ĳǏǒ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ ǘǅǊǏ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ǊįĲǏǍǉǏǙ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǉįǂǐıĲǇ ƵǏǋǒǕǍǙǌǕǍ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ ƭ Ʋƿǅǉį ǒȷǏǋǘǅǉĲı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳǏǑ ƴ ǌǉǊǐǘǑ ĳǇǑ įİıǋĴǘǑ ǘǌǕǑ ǀǐǉǎı Ǌįĳƿ ǋƿǈǏǑ ǅƿǋį ĲǏǊǏǋƿĳįǑ ĲĳǏ ĳıĳǐƿİǉǘ ĳǇǑ ƭ Ʋƿǅǉį ǈǀǋıǉ Ǎį ǎįǍįǅǐƿǔıǉ ĳǇǍ ƿĲǊǇĲǇ Ĳı Ǌįǈįǐǁ Ĳıǋǂİį ĳǏǒ ĳıĳǐįİǂǏǒ ĳǇǑ ǘǌǕǑ ǊƿȷǏǉǏǉ įǐǉǈǌǏǂ İıǍ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ȷǋǀǏǍ 9 ƵǚǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıǉ ĳǉǑ İǉįĲĳƿĲıǉǑ įȷǘ ĳį İıİǏǌǀǍį ȷǏǒ ĴįǂǍǏǍĳįǉ

ȝȞ = ȟȠ ŚƁɚŻ = ŴÂŵ x Â x- = 4x3- x

2‫ ݔ‬ଶ ܿ݉

2‫ ݔ‬െ 1 ܿ݉

ŚƁɚŻ = ŴÂŵ x Â x- = x -x+8x-4 = x + 7x - 4

‫ ݔ‬+ 4 ܿ݉

EƃƅſƁžżŽƌ = ŚƁɚŻ + ŚƁɚŻ = (4x3 - x + x + 7x - = 4x3 - x + x + 7x - 4 = 4x3 + 7x - 4

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

ȧȽɅȽɜɋɘ

ȟɇȽɜɏɂɐɄ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ȞɇȽ ɋȽ ɁɇȽɇɏɚɐɍɓɊɂ ɚɋȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ Ɋɂ ɚɋȽ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ɁɇȽɇɏɍɠɊɂ ɒɍɋ ɈəɅɂ ɟɏɍ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɒɍ ɊɍɋɣɋɓɊɍ ɈȽɇ ɎɏɍɐɅɚɒɍɓɊɂ ɒȽ ɎɄɉɜɈȽ Ɏɍɓ ɎɏɍɈɠɎɒɍɓɋǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį (12‫ ݔ‬ହ െ 6‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬2‫ ݔ‬ଷ ) = (12‫ ݔ‬ହ ‫ ׷‬2‫ ݔ‬ଷ ) െ (6‫ ݔ‬ଷ ‫ ׷‬2‫ ݔ‬ଷ ) = 6‫ ݔ‬ଶ െ 3

ࢤ(࢞): ȟɇȽɇɏɂɒɚɍɑ ࢾ(࢞)ǣ ɁɇȽɇɏɚɒɄɑ ࣊(࢞)ǣ ɎɄɉɜɈɍ ࣏(࢞): ɓɎɟɉɍɇɎɍ

ȟɇȽɜɏɂɐɄ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ Ɋɂ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ Ȝɋ ɚɖɍɓɊɂ Ɂɠɍ ɎɍɉɓɣɋɓɊȽ ߂(‫ )ݔ‬ɈȽɇ ߜ(‫ )ݔ‬Ɋɂ ߜ(‫ ് )ݔ‬0 ɈəɋɍɓɊɂ ɒɄ ɁɇȽɜɏɂɐɄ ȟ(‫ ׷ )ݔ‬Ɂ(‫ )ݔ‬ɒɟɒɂ ɓɎəɏɖɂɇ ɚɋȽ ɊɍɋȽɁɇɈɟ Ƀɂɠɀɍɑ ɎɍɉɓɘɋɠɊɘɋ ߨ(‫ )ݔ‬ɈȽɇ ߭(‫)ݔ‬ǡ ɀɇȽ ɒȽ ɍɎɍɜȽ ɇɐɖɠɂɇǣ ࢤ(࢞) = ࢾ(࢞) ‫ )࢞(࣊ ڄ‬+ ࣏(࢞) ȋȮȽɓɒɟɒɄɒȽ ɒɄɑ ȠɓɈɉɂɜɁɂɇȽɑ ɁɇȽɜɏɂɐɄɑȌ

Ȥɐɖɠɂɇ ɟɒɇ ɍ ȾȽɅɊɟɑ ɒɍɓ ࢤ(࢞) ɂɜɋȽɇ ɜɐɍɑ Ɋɂ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ȾȽɅɊɣɋ ɒɍɓ ࢾ(࢞) ɈȽɇ ɒɍɓ ࣊(࢞)Ǥ

ɟɎɍɓ ɒɍ ߭(‫ )ݔ‬ɊɎɍɏɂɜ ɛ ɋȽ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ ɊɄɁɚɋ ɛ ɚɖɂɇ ȾȽɅɊɟ ɊɇɈɏɟɒɂɏɍ ȽɎɟ ɒɍɋ ȾȽɅɊɟ ɒɍɓ ߜ(‫)ݔ‬.

¾ ȹɒȽɋ ߭(‫ = )ݔ‬0ǡ Ʉ ɁɇȽɜɏɂɐɄ ߂(‫ )ݔ(ߜ ׷ )ݔ‬ɂɜɋȽɇ ɒɚɉɂɇȽ ɈȽɇ ɒɍ ɎɍɉɓɣɋɓɊɍ ߜ(‫ )ݔ‬ɂɜɋȽɇ ɎȽɏəɀɍɋɒȽɑ ɒɍɓ ɎɍɉɓɘɋɠɊɍɓ ߂(‫)ݔ‬.

Ƶįǐƿİıǉǅǌį ‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 4

‫ݔ‬െ1 ‫ݔ‬+4

©ǉįǉǐıĳǀǏǑ ߂(‫ ݔ=)ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 4 İǉįǉǐǀĳǇǑ ߜ(‫ ݔ = )ݔ‬െ 1

‫ڭ‬ 0

ȷǇǋǂǊǏ

ߨ(‫ ݔ = )ݔ‬+ 4

ǒȷǘǋǏǉȷǏ ߭(‫ = )ݔ‬0

ƭ İǉįǂǐıĲǇ ıǂǍįǉ ĳǀǋıǉį ơǐį ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ‫ ݔ‬െ 1 ıǂǍįǉ ȷįǐƿǅǏǍĳįǑ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ ‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 4.

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╞▓─п ╟К╞┐╟Н─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Р╞┐╟О─▒╟Й╟С ─п (15▀Щ рм╕ р╡Ж 3▀Щ рм╖ ) тАл( ╫╖тАм3▀Щ рм╖ ) ╟Д

рм╢рм╕рпл р░░ рпм р░о рм┐рм╖рм┤рпл р░п рпм рм┐рм║рпл р░о рпм

╞░╟Щ─▓╟З ╞л─┤─п╟Р╟М╟Ш╟Ж╟П╟Т╟М─▒ ─│╟З╟Н ─▒╚╖╟Й╟М─▒╟Р╟Й─▓─│╟Й╟К╟Б ╟Й─░╟Й╟Ш─│╟З─│─п ─п (15▀Щ рм╕ р╡Ж 3▀Щ рм╖ ) тАл( ╫╖тАм3▀Щ рм╖ ) =

рм╡рм╣р░И р░░ рм╖р░И р░п

р╡Ж

рм╖рпФ р░п рм╖рпФ р░п

= 5▄╜ р╡Ж 1 ╟Д

рм╢рм╕рпл р░░ рпм р░о рм┐рм╖рм┤рпл р░п рпм рм┐рм║рпл р░о рпм

рм╢рм╕рпл р░░ рпм р░о рм┐рм║рпл р░о рпм

рм╖рм┤рпл р░п рпм

┬й╟Й─п╟Й╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ╟К╞┐╟И─▒ ╟Ш╟Р╟П ─│╟П╟Т ╚╖╟П╟Л╟Т╟Х╟Н╟Щ╟М╟П╟Т ╟М─▒ ─│╟П ╟М╟П╟Н╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П ┬й╟Й─п╟Й╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ╟К╞┐╟И─▒ ╟Ш╟Р╟П ─│╟П╟Т ╚╖╟П╟Л╟Т╟Х╟Н╟Щ╟М╟П╟Т ╟М─▒ ─│╟П ╟М╟П╟Н╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П

р╡Ж рм┐рм║рплр░о рпм

= р╡Ж4тАл ▌ФтАмрм╢ тАл ▌ХтАм+ 5тАл▌ФтАм ╞▓─п ╟К╞┐╟Н─▒─│─▒ ─│╟Й╟С ╚╖╟Р╞┐╟О─▒╟Й╟С ─п (▄╜рм╢ р╡Ж 4▄╜) тАл ▀Щ( ╫╖тАмр╡Ж 4) ╟Д (6тАл ▌ФтАмрм╢ + 3 + 5тАл( ╫╖ )▌ФтАм2тАл ▌ФтАм+ 1) ╞░╟Щ─▓╟З

─п ─м╟Р╞┐─┤╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П╟Н ─░╟Й─п╟Й╟Р─▒─│╟А╟П ╟К─п╟Й ─│╟П╟Н ─░╟Й─п╟Й╟Р╟А─│╟З ╟К─п─│╞┐ ─│╟Й╟С ─┤╟И╟В╟Н╟П╟Т─▓─▒╟С ─░╟Т╟Н╞┐╟М─▒╟Й╟С ─│╟П╟Т тАл▌ФтАм. ▀Щ рм╢ р╡Ж 4▀Щ

▀Щр╡Ж4 ▀Щ

┬й╟Й─п╟Й╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ─│╟П╟Н ╚╖╟Р╟Ъ─│╟П ╟Ш╟Р╟П ─│╟П╟Т ─░╟Й─п╟Й╟Р─▒─│╟А╟П╟Т ╟М─▒ ─│╟П╟Н ╚╖╟Р╟Ъ─│╟П ╟Ш╟Р╟П ─│╟П╟Т ─░╟Й─п╟Й╟Р╟А─│╟З ─░╟З╟Л─п─░╟Б

р░Ир░о р░И

= ▀Щ, ╟Е╟Й─п ╟Н─п ╟Д╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ─│╟П╟Н

╚╖╟Р╟Ъ─│╟П ╟Ш╟Р╟П ─│╟П╟Т ╚╖╟З╟Л╟В╟К╟П╟Т ▀Щ рм╢ р╡Ж 4▀Щ р╡Ж▀Щ рм╢ + 4▀Щ

▀Щр╡Ж4

▀Щ рм╢ р╡Ж 4▀Щ р╡Ж▀Щ рм╢ + 4▀Щ 0

▀Щр╡Ж4

▀Щ

╞╡╟П╟Л╟Л─п╚╖╟Л─п─▓╟Й╞┐╟Ж╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П ▄╜ ╟М─▒ ─│╟П╟Н ─░╟Й─п╟Й╟Р╟А─│╟З ▄╜ р╡Ж 4 ╟К─п╟Й ─п─┤─п╟Й╟Р╟П╟Щ╟М─▒ ─│╟П ─п╚╖╟П─│╟А╟Л─▒─▓╟М─п ▄╜рм╢ р╡Ж 4▄╜ ─п╚╖╟Ш ─│╟П╟Н ─░╟Й─п╟Й╟Р─▒─│╟А╟П ─░╟З╟Л─п─░╟Б ╚╖╟Р╟П─▓╟И╟А─│╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П ─п╟Н─│╟В╟И─▒─│╟П ╚╖╟П╟Л╟Т╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П р╡Ж▄╜рм╢ + 4▄╜. ╞╡╟Р╟П─▓╟И╟А─│╟П╟Т╟М─▒ ─│─п ─░╟Щ╟П ╚╖╟П╟Л╟Т╟Ъ╟Н╟Т╟М─п ╟К─п╟Й ╟Д╟Р╟В─▓╟К╟П╟Т╟М─▒ ─│╟П ╞┐╟И╟Р╟П╟Й─▓╟М╞┐ ─│╟П╟Т╟С, ╚╖╟П╟Т ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│╟П ╚╖╟Р╟Ъ─│╟П ╟М─▒╟Р╟Й╟К╟Ш ╟Т╚╖╟Ш╟Л╟П╟Й╚╖╟П. ╞й─┤╟П╟Щ ─│╟П ╟Т╚╖╟Ш╟Л╟П╟Й╚╖╟П ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟М╟З─░╟А╟Н ╟З ─░╟Й─п╟В╟Р─▒─▓╟З ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│╟А╟Л─▒╟Й─п

╞б╟Р─п ─│╟П ╚╖╟З╟Л╟В╟К╟П ─│╟З╟С ─░╟Й─п╟В╟Р─▒─▓╟З╟С ─▒╟В╟Н─п╟Й ▀Щ ╟К─п╟Й ─│╟П ╟Т╚╖╟Ш╟Л╟П╟Й╚╖╟П 0. ╞о─▓╟У╟Щ─▒╟Й ▀Щ(▀Щ р╡Ж 4) = ▀Щ рм╢ р╡Ж 4▀Щ ╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 2: ╞й╟Л╟Е─▒╟Д╟Р╟Й╟К╟А╟С ╞╡─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С

Ǆ ĬǐƿĴǏǒǌı ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ĳǏǒ İǉįǉǐıĳǀǏǒ Ǌįǉ ĳǏǒ İǉįǉǐǀĳǇ Ǌįĳƿ ĳǉǑ ĴǈǂǍǏǒĲıǑ İǒǍƿǌıǉǑ ĳǏǒ ‫ݔ‬. 6‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 3

2‫ ݔ‬+ 1 3‫ݔ‬

©ǉįǉǐǏǙǌı ĳǏǍ ȷǐǚĳǏ ǘǐǏ ĳǏǒ İǉįǉǐıĳǀǏǒ ǌı ĳǏǍ ȷǐǚĳǏ ǘǐǏ ĳǏǒ İǉįǉǐǀĳǇ İǇǋįİǁ

଺௫ మ ଶ௫

= 3‫ݔ‬,

ǅǉį Ǎį

ǄǐǏǙǌı ĳǏǍ ȷǐǚĳǏ ǘǐǏ ĳǏǒ ȷǇǋǂǊǏǒ 6‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 3 െ 6‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬

2‫ ݔ‬+ 1 3‫ݔ‬

ƵǏǋǋįȷǋįĲǉƿǆǏǒǌı ĳǏ 3‫ ݔ‬ǌı ĳǏǍ İǉįǉǐǀĳǇ 2‫ ݔ‬+ 1 Ǌįǉ įĴįǉǐǏǙǌı ĳǏ įȷǏĳǀǋıĲǌį 6‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬įȷǘ ĳǏǍ İǉįǉǐıĳǀǏ İǇǋįİǁ ȷǐǏĲǈǀĳǏǒǌı ĳǏ įǍĳǂǈıĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ െ6‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬.

6‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 3 െ6‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ +2‫ ݔ‬+ 3

2‫ ݔ‬+ 1 3‫ݔ‬

ƵǐǏĲǈǀĳǏǒǌı ĳį İǙǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌį Ǌįǉ ǄǐǂĲǊǏǒǌı ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌƿ ĳǏǒǑ ȷǏǒ ıǂǍįǉ ĳǏ ȷǐǚĳǏ ǌıǐǉǊǘ ǒȷǘǋǏǉȷǏ.

ĭıǕǐǏǙǌı ĳǏ ȷǐǚĳǏ ǌıǐǉǊǘ ǒȷǘǋǏǉȷǏ ǕǑ ǍǀǏ İǉįǉǐıĳǀǏ Ǌįǉ ıȷįǍįǋįǌǄƿǍǏǒǌı ĳǇǍ ȷǉǏ ȷƿǍǕ İǉįİǉǊįĲǂį 6‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 3 െ6‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ +2‫ ݔ‬+ 3 െ2‫ ݔ‬െ 1 +2

2‫ ݔ‬+ 1 3‫ ݔ‬+ 1

ାଶ௫

©ǉįǉǐǏǙǌı ଶ௫ = 1

ƵǏǋǋįȷǋįĲǉƿǆǏǒǌı 1(2‫ ݔ‬+ 1) = 2‫ ݔ‬+ 1 ƵǐǏĲǈǀĳǏǒǌı െ2‫ ݔ‬െ 1 Ǌįǉ ǄǐǂĲǊǏǒǌı ĳǏ ǍǀǏ ǌıǐǉǊǘ ǒȷǘǋǏǉȷǏ

ƭ İǉįİǉǊįĲǂį ĳıǐǌįĳǂǆıĳįǉ įĴǏǙ ĳǏ ǌıǐǉǊǘ ǒȷǘǋǏǉȷǏ ıǂǍįǉ ǌǉǊǐǘĳıǐǏǒ ǄįǈǌǏǙ įȷǘ ĳǏǍ İǉįǉǐǀĳǇ ơǐį ĳǏ ȷǇǋǂǊǏ ĳǇǑ İǉįǂǐıĲǇǑ ıǂǍįǉ 3‫ ݔ‬+ 1 Ǌįǉ ĳǏ ǒȷǘǋǏǉȷǏ 2. ƮĲǓǙıǉ (2‫ ݔ‬+ 1)(3‫ ݔ‬+ 1) + 2 = 6‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 3

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ

1į ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į (4‫ ݔ‬ଷ െ 12‫( ׷ )ݔ‬െ2‫)ݔ‬

Ǆ (െ12‫ ݕݔ‬ଶ + 24‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬6‫)ݔ‬

ǅ (െ12߱ଵ଴ + 6߱ହ ) ‫( ׷‬6߱ହ )

İ (െ12ߢ ଷ ߣଶ + 15ߢߣସ ) ‫( ׷‬3ߢ ଷ ߣଷ )

ı (ܽߚ െ ܽߛ + ܽߜ) ‫( ׷‬െߙ) ǆ

௫ మ ାଷ௫ିସ ௫

Ĳĳ (െ4‫ ݔ‬ଷ + 5‫ ݔ‬ସ + 6‫ ݔ‬ହ ) ‫( ׷‬െ2‫ ݔ‬ଶ ) Ǉ

଺௔ఉమ ାଷఈఉିଽఈమ ఉ ଷఈఉ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ʋį İǉǏǐǈǚĲıĳı ĳį ǋƿǈǇ ĲĳǉǑ İǉįǉǐǀĲıǉǑ ȷǏǒ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ȷǋįǂĲǉǏ

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ İǉįǉǐǀĲıǉǑ į (ʹȽ െ 4) ‫( ׷‬Ƚ െ 2) Ǆ (‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ( ׷ )ݔ‬െ 3) ǅ (Ƚଷ െ 3Ƚଶ ) ‫( ׷‬Ƚ െ 3) İ (6ߢ ଶ െ ͵Ɉ) ‫ʹ( ׷‬Ɉ െ 1)

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ İǉįǉǐǀĲıǉǑ į (‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 4) ‫ ݔ( ׷‬െ 1)

Ǆ (ܽଶ െ ܽ െ 6) ‫ ߙ( ׷‬െ 3)

ǅ (߱ଶ െ 2߱ െ 8) ‫ ߱( ׷‬െ 4)

İ (ߚ ଶ + 3ߚ + 1) ‫ ߚ( ׷‬+ 1)

ı (2ߢ ଶ െ 3ߢ + 3) ‫( ׷‬2ߢ + 1)

Ĳĳ (9ߚ ଶ + 6ߚ + 1) ‫( ׷‬3ߚ + 1)

Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳį ǊıǍƿ ĲĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ İǉįǉǐǀĲıǉǑ

଺ఈయ ି

ିଶఈ

଺ఈ య ఉమ ି

ଵ

=2ߙ ଶ െ ௔ െ ିଶఈఉ

ఉ

‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ െ‫ ݔ‬ଶ + +4‫ ݔ‬െ +8 0

ହ

=െ3ߙ ଶ ߚ+ + İ

‫ݔ‬െ2 ‫ݔ‬+4

+ 2‫ ݔ‬െ + 3‫ݔ‬ +5‫ ݔ‬െ +5 +1

‫ݔ‬െ1 3‫ ݔ‬+

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ĳǏ ǏȷǏǂǏ ǘĳįǍ İǉįǉǐıǈıǂ ǌı ĳǏ (‫ ݔ‬+ 5) İǂǍıǉ ȷǇǋǂǊǏ (3‫ ݔ‬െ 1) Ǌįǉ ǒȷǘǋǏǉȷǏ 3

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ĳǏ ǏȷǏǂǏ ǘĳįǍ İǉįǉǐıǈıǂ ǌı ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ (‫ ݔ‬ଶ + 1) İǂǍıǉ ȷǇǋǂǊǏ (3‫ ݔ‬+ 5) Ǌįǉ ǒȷǘǋǏǉȷǏ െ1

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ (ܽ െ 4) ıǂǍįǉ ȷįǐƿǅǏǍĳįǑ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ (ߙ ଶ െ 5ߙ + 4)

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ į ǅǉį Ǎį ıǂǍįǉ ĳǀǋıǉį Ǉ İǉįǂǐıĲǇ (‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ ߙ) ‫ ݔ( ׷‬െ 4)

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƫǍǘĳǇĳįǑ Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į 2‫ ݔ‬ଶ + 4߰ െ 7‫ ݔ‬ଶ + 5߰

Ǆ ߙ ή ߙ ଷ ή ߙ ସ

ǅ 3ߚ ଶ ή ߚ ସ

İ (4߱ଷ )(2߱ହ )

ı (+3ߙ ଷ ߚ)(െ5ߙ ଶ ߚସ )

Ĳĳ (െ3ߙߛ ଶ )(െ2ߙ)(4ߛ)

ǆ (െ33ߙ ଷ ߚ) ‫( ׷‬െ11ߙߚ)

Ǉ (14‫ ݕ‬ଶ ‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬െ2‫ ݔ‬ଶ ‫)ݕ‬

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǐƿǎıǉǑ į ‫ ݐ‬ଶ െ 8‫ ݐ‬+ 1) + (3‫ ݐ‬ଶ + ‫ ݐ‬െ 7)

Ǆ (െ3݊ଶ + ݊) െ (3݊ଶ + ݊)

ǅ 3‫ ݔ‬ଶ (‫ ݔ‬െ 2߰)

İ 2‫ ݔ(ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3)

ı (10‫ ݔ‬ଶ െ 12‫ ݔ‬ଷ ) ‫( ׷‬െ2‫ ݔ‬ଶ )

Ĳĳ (ܽଶ ߚ െ 2ߚ ଷ ) ‫( ׷‬െ2ߚ ଶ )

ǆ (ܽ + 2)(ߙ െ 2)

Ǉ (‫ ݔ‬+ ‫ ݔ()ݕ‬+ ‫)ݕ‬

ǈ െ3߱ଶ + (3߱ଶ + 7߱)

ǉ (‫ ݔ‬െ 3)(‫ ݔ‬െ 3)

©ǂǍǏǍĳįǉ ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ‫ = )ݔ(݌‬2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 3 ‫ ݔ = )ݔ(ݍ‬െ 5 Ǌįǉ ‫ ݔ = )ݔ(ݎ‬+ 1 Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į

r(‫ )ݔ‬െ p(‫)ݔ‬

r(‫ )ݔ‬+ p(‫ )ݔ‬+ q(‫)ݔ‬

p(‫ )ݔ‬ή q(‫)ݔ‬

p(‫ ׷ )ݔ‬q(‫)ݔ‬

q(3)

Ĳĳ

p(െ1)

Ʋį ǊƿǍıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ İǉįǉǐǀĲıǉǑ į

ସ଴௬ మ ି଺଴௫௬ ଶ଴௬ మ

ସ௫௬ మ ି଺௫௬ ଶ௫௬

ǅ ( ‫ ݕ‬ଶ െ 10‫ ݕ‬+ 20) ‫ ݕ( ׷‬െ 5) İ ( 8‫ ݔ‬ଶ െ 16‫ ݔ‬+ 6) ‫( ׷‬2‫ ݔ‬െ 3) ı (െ5‫ ݔ‬+ 2‫ ݔ‬ଶ + 6) ‫ ݔ( ׷‬െ 2) ƩǍ ߮(‫ = )ݔ‬2‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 9 Ǎį įȷǏİıǂǎıĳı ǘĳǉ į ߮(െ3) = ߮(2) Ǆ 3߮(1) + ߮(3) = 0

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

╞▓─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ─│─п ╟К─▒╟Н╞┐ ╟Ъ─▓─│─▒ ╟Н─п ╟Й─▓╟У╟Щ╟П╟Т╟Н ╟П╟Й ╟Й─▓╟Ш─│╟З─│─▒╟С ─п р╡Ж12▀Ъ рм╢ +

+ ▀Ъ рм╢ = 3▀Ъ рм╢

╟Д тАл ▌ХтАмрм╕ р╡Ж тАл ▌ХтАмрм╢ + ╟Е

= тАл ▌ХтАмрм╕ + 7тАл ▌ХтАмрм╢

╬о (р╡Ж2▀Щ▀Ъ рм╖ ) = р╡Ж2▀Щ рм╕ ▀Ърм╕

─░ 3тАл▀▒▌ХтАмрм╢ р╡Ж

= 2тАл▀▒▌ХтАмрм╢

рм╢ рм╣

─▒ сЙАр╡Ж тАл ▌ФтАмрм╖ ▀гсЙБ ╬о

─▓─│ (р╡Ж24▀Ъ рм╖ ▀Ы рм╢ ) тАл╫╖тАм

рм╕ рм╕ рм╣ тАл▀▒ ▀г ▌ФтАм рм╡рм╣

рм╖р░Й р░К

╟Ж

тАл ( ╫╖тАм3▀в рм║ ▀д) = р╡Ж4▀в▀дрм║

╟З

╬о (▀в рм╖ р╡Ж

╟И 3▀Щ▀Ъ ╬о р╡л▀Ъ рм╖ р╡Ж ╟Й р╡лр╡Ж12▀▒рм╢ +

) = ▀в рм╣ + 7▀в рм╢ р╡Ж 27▀Щ рм╢ ▀Ъ

р╡п= р╡птАл╫╖тАм

= р╡Ж6▀▒ + 1

╞▓─п ─▒╚╖╟Й╟Л╟А╟О─▒─│─▒ ─│╟З╟Н ╟П╟Р╟И╟Б ─п╚╖╞┐╟Н─│╟З─▓╟З ─▓─│╟Й╟С ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ╚╖─▒╟Р╟Й╚╖─│╟Ъ─▓─▒╟Й╟С ─п ╞╡╟П╟Й─п ─п╚╖╟Ш ─│╟Й╟С ─п╟К╟Ш╟Л╟П╟Т╟И─▒╟С ─п╟Л╟Е─▒╟Д╟Р╟Й╟К╟А╟С ╚╖─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟М╟П╟Н╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П ┬й ╟К─п╟М╟Й╞┐ ─п╚╖╟Ш ─│╟Й╟С ╚╖╟Р╟П╟З╟Е╟П╟Щ╟М─▒╟Н─▒╟С ╟Д ╞╡╟П╟Й╟П ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│╟П ─п╟Н─│╟В╟И─▒─│╟П ╟М╟П╟Н╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П ─│╟П╟Т р╡Ж3▀Щ▀Ъ рм╢ ╞й 4▀Щ

╞й р╡Ж3▀Щ рм╢ ▀Ъ

╞к. ▀Щ рм╢ + 9

рм╡

╞к р╡Ж рм╖ ╚╜╚╛рм╢

─м р╡Ж2▀Щ рм╕ р╡Ж 2

┬й ╟К─п╟Н╟А╟Н─п ─п╚╖╟Ш ─│─п ╚╖╟Р╟П╟З╟Е╟П╟Щ╟М─▒╟Н─п

─м 3▀Щ▀Ъ рм╢

╟Е ╞┤ ╟Д─п╟И╟М╟Ш╟С ─│╟П╟Т ╚╖╟П╟Л╟Т╟Х╟Н╟Щ╟М╟П╟Т 6▀Щ + 3▀Щ рм╖ р╡Ж 7 + 6▀Щ рм╕ ─▒╟В╟Н─п╟Й ╞й 7

╞к 4

─м 3

┬й 8

─░ ╞╕╟П ╟М╟П╟Н╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П р╡Ж7тАл ▌ФтАмр░Ирм╛рм╢ тАл ▌ХтАмрм╖ ─▒╟В╟Н─п╟Й 8╟П╟Т ╟Д─п╟И╟М╟П╟Щ ╟Х╟С ╚╖╟Р╟П╟С тАл ▌ФтАм╟К─п╟Й тАл▌ХтАм ╟Ш─│─п╟Н ╞й ▀Щ = 1

╞к ▀Щ = 3

─м ▀Щ = р╡Ж3

┬й ▀Щ = 2

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│╟П ╚╖╟П╟Л╟Т╟Ъ╟Н╟Т╟М╟П ─│╟П ╟П╚╖╟П╟В╟П ─п╟Н ─░╟Й─п╟Й╟Р─▒╟И─▒╟В ╟М─▒ ─│╟П (3▀Щ + 1) ─░╟В╟Н─▒╟Й ╚╖╟З╟Л╟В╟К╟П (▀Щ р╡Ж 2) ╟К─п╟Й ╟Т╚╖╟Ш╟Л╟П╟Й╚╖╟П р╡Ж5

╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟П ╟Т╚╖╟Ш╟Л╟П╟Й╚╖╟П ─│╟З╟С ─░╟Й─п╟В╟Р─▒─▓╟З╟С (▀Щ рм╢ р╡Ж 3▀Щ р╡Ж 4) тАл ▀Щ( ╫╖тАмр╡Ж 1)

╚ж╚о╚░╚┤╚и╚┤╚в 2: ╞й╟Л╟Е─▒╟Д╟Р╟Й╟К╟А╟С ╞╡─п╟Р─п─▓─│╞┐─▓─▒╟Й╟С

Ʋį İıǂǎıĳı ǘĳǉ ĳǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ (5‫ ݕ‬+ 2) ıǂǍįǉ ȷįǐƿǅǏǍĳįǑ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ 25‫ ݕ‬ଶ + 20‫ ݕ‬+ 4

ƵǏǉǏ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ ǀǓıǉ ȷįǐƿǅǏǍĳıǑ ĳǏ (3‫ ݔ‬+ 1) Ǌįǉ ĳǏ (‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ )ݔ‬

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳįǒĳǘĳǇĳıǑ į (߱ െ 2)(߱ + 2) െ ߱(߱ + 8) = െ4(1 + 2߱) Ǆ 2‫ ݔ‬+ (‫ ݔ‬െ 2)(‫ ݔ‬+ 3) = ‫ ݔ(ݔ‬+ 3) െ 6 ǅ (2‫ ݔ‬ଶ െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ + 1) = (‫ ݔ‬െ 2)(‫ ݔ‬+ 2) İ (‫ ݔ‬+ ‫)ݕ‬ଶ െ 4‫ ݔ( = ݕݔ‬െ ‫)ݕ‬ଶ

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ǘĳǉ Ǉ İǉįĴǏǐƿ ĳǕǍ ĳıĳǐįǅǚǍǕǍ İǒǏ İǉįİǏǓǉǊǚǍ ĴǒĲǉǊǚǍ įǐǉǈǌǚǍ ǉĲǏǙĳįǉ ǌı ĳǏ ƿǈǐǏǉĲǌƿ ĳǏǒǑ ƢǍįǑ ĳıǓǍǂĳǇǑ ǀǓıǉ ǀǍį ǅǒįǋǂ ĲǓǁǌįĳǏǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ ǌı ǌǁǊǏǑ ߙ Ǌįǉ ȷǋƿĳǏǑ ߚ ĭǀǋıǉ Ǎį Ǌǘǔıǉ įȷǘ Ǌƿǈı ǅǕǍǂį ĳǏǒ ǅǒįǋǉǏǙ ǀǍį ǊǏǌǌƿĳǉ ĲǓǁǌįĳǏǑ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ǌı ȷǋıǒǐƿ ‫ ݔ‬ į Ʋį Ǆǐıǂĳı ǌǉį įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ Ǎį ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ıǍįȷǏǌıǂǍįǍĳǏǑ ǅǒįǋǉǏǙ Ǆ ƩǍ ߙ = 80 ܿ݉, ߚ = 40 ܿ݉ Ǌįǉ ‫ = ݔ‬10 ܿ݉ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ǅǒįǋǉǏǙ ǌıĳƿ ĳǏ Ǌǘǔǉǌǘ ĳǏǒ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ ȷǉǈįǍǀǑ İǉįĲĳƿĲıǉǑ ıǍǘǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 2ܽଶ + 4ܽ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ǅǐįǌǌǏĲǊǉįĲǌǀǍǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ įǍ ȟȢȡȠ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ȷǋıǒǐƿǑ ‫ ݔ‬െ 1 Ǌįǉ ȜȝȞȟ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ İǉįĲĳƿĲıǕǍ 2‫ ݔ‬+ 1 Ǌįǉ 2‫ ݔ‬െ 1

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƫǌȷǋǏǒĳǉĲǌǏǙ Ʋį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳǏǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǂǍįǊį ǌı ĳį ǊįĳƿǋǋǇǋį ǌǏǍǚǍǒǌį

െ3‫ݔ‬

െ

െ :

=‫ݔ‬

= 10‫ ݔ‬ଶ

2‫ ݔ‬ଶ

= െ7‫ݔ‬

െ

4‫ݔ‬

6‫ݔ‬

= 11‫ ݔ‬ଶ

ή = 9‫ݔ‬

= 2‫ݔ‬

ƴ ƷƿǄǄįǑ įǍįǊƿǋǒǔı ǘĳǉ ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǍǘǑ İǉǔǁĴǉǏǒ įǐǉǈǌǏǙ ȷǏǒ ĳıǋıǉǚǍıǉ Ĳı ȷǀǍĳı ıǂǍįǉ ǀǍįǑ įǐǉǈǌǘǑ ȷǏǒ ĳıǋıǉǚǍıǉ Ĳı 25 Ǌįǉ ǅǉį ıǊįĳǏǍĳƿİıǑ ǀǓıǉ ĳǏ ǅǉǍǘǌıǍǏ ĳǏǒ ǔǇĴǂǏǒ ĳǕǍ İıǊƿİǕǍ ıȷǂ ĳǏ ǔǇĴǂǏ įǒĳǘ įǒǎǇǌǀǍǏ Ǌįĳƿ ǀǍį ©Ǉǋįİǁ ߃ ߂ ߊ ‫ ݔ(ݔ‬+ 1)

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ǅǉįĳǂ ǉĲǓǙıǉ įǒĳǘ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ ߙ įǍ ǉĲǓǙıǉ ǘĳǉ ߏ(െ1) = ߏ(+1) ǘȷǏǒ ߏ(‫ = )ݔ‬5‫ ݔ‬ଷ + 3ߙ‫ ݔ‬ଶ + (ߙ െ 2)‫ ݔ‬ ȥ ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳį ޿߀߁߂ Ǌįǉ ߈߉ߊߋ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍį ǌı ௫ ȷǋıǒǐǀǑ ߈߉ = ‫ ݔ‬+ 1 Ǌįǉ ޿߀ = + 2

Ȧ ƣ

ଶ

į Ʋį İıǂǎıĳı ǘĳǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ĲǊǉįĲǌǀǍǇǑ ıȷǉĴƿǍıǉįǑ ıǂǍįǉ ଷ௫ మ ିଵଶ . ସ

ǂĲǏ ǌı

Ǆ ƩǍ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ĲǊǉįĲǌǀǍǇǑ ıȷǉĴƿǍıǉįǑ ıǂǍįǉ ǂĲǏ ǌı 9 ߬. ߤ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ ĳǕǍ ĳıĳǐįǅǚǍǕǍ

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

Ʊǉį ıĳįǉǐıǂį ȷǕǋıǂ ǀǍįǍ ĲǒǅǊıǊǐǉǌǀǍǏ ĳǙȷǏ ǔǒǅıǂǏǒ įǎǂįǑ €600 Ǌįǉ ıǊĳǉǌƿ ǘĳǉ Ĳı ǀǍįǍ ǓǐǘǍǏ ǈį ȷǏǒǋǁĲıǉ 2000 ĳǀĳǏǉį ǔǒǅıǂį ƩǍ įǒǎǁĲıǉ ĳǇǍ ĳǉǌǁ Ǌįĳƿ ‫ߩ߭ߝ ݔ‬ɣ ıǊĳǉǌƿĳįǉ ǘĳǉ ǈį ǓƿĲıǉ 5‫ ݔ‬ȷıǋƿĳıǑ Ʋį ǅǐƿǔıĳı ĳǇǍ įǋǅıǄǐǉǊǁ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ȷǏǒ ıǊĴǐƿǆıǉ ĳǉǑ ıǉĲȷǐƿǎıǉǑ ĳǇǑ ıĳįǉǐıǂįǑ ǌıĳƿ ĳǇǍ įǙǎǇĲǇ ĳǇǑ ĳǉǌǁǑ

6. Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ǘĳǉ Ǉ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ଶ ஑మ ିଵ ቁ ଶ

ቀ

െ

(஑మ ି஑)(஑ା஑మ ) (ଵି஑మ ) െ ସ ସ

ıǂǍįǉ ĳǏ ǌǇİıǍǉǊǘ ȷǏǋǒǚǍǒǌǏ

ƴǉ İǉįĲĳƿĲıǉǑ ıǍǘǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ıǂǍįǉ ߙ െ 3 Ǌįǉ ߙ + 3 ƩǍ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ıǂǍįǉ 16 ܿ݉ଶ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ Ǌįǉ ĳǏ ȷǋƿĳǏǑ ĳǏǒ

Ʋį įȷǏİıǂǎıĳı ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳįǒĳǘĳǇĳıǑ į (‫ ݔ‬+ ߰ + ߱)ଶ = ‫ ݔ‬ଶ + ߰ ଶ + ߱ଶ + 2‫ ߰ݔ‬+ 2‫ ߱ݕ‬+ 2‫߱ݔ‬ ௔ିଶఉ ଶ ቁ ଷ

Ǆ ቀ

ఈାଶఉ ଶ ቁ ଷ

െቀ

=െ

଼ఈఉ ଽ

ǅ (ߙ ଶ െ ߚ ଶ )[(ߙ െ ߚ)ଶ + 2ߙߚ] = ߙ ସ െ ߚ ସ İ (߰ + 2)ଷ െ 6(߰ + 1)ଶ = ߰ ଷ + 2

ଵ ஒ

ଶ

ଵ ଶ ஒ

Ʋį İıǂǎıĳı ǘĳǉ Ǉ ȷįǐƿĲĳįĲǇ ቀ + Ⱦቁ െ ቀȾ െ ቁ ıǂǍįǉ įǍıǎƿǐĳǇĳǇ ĳǏǒ ߚ Ǌįǉ įǊǏǋǏǙǈǕǑ Ǎį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǇǑ ȷįǐƿĲĳįĲǇǑ ଵଶ ଷସ ଶ + ቁ ଷସ ଵଶ

ቀ

ଷସ ଵଶ ଶ െ ቁ ଵଶ ଷସ

െቀ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏǍ Ǆįǈǌǘ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ ܲ(ܽ) = 2010ܽଵ଴ + 2ܽ(2ܽଷ െ 2009)ହ

ȷɐȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊȽ ɂɜɋȽɇ ɒȽ ɎɍɉɓɣɋɓɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋ ȽɈɏɇȾɣɑ ɒɍɓɑ ɜɁɇɍɓɑ ɟɏɍɓɑ.

100

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ߙ, ߚ, ߛ ǚĲĳı ĳį ȷǏǋǒǚǍǒǌį ܲ(‫( = )ݔ‬െ5‫ ݔ‬ଶ + 4‫ ݔ‬െ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 1) + (3‫ ݔ‬ଶ + ‫ )ݔ‬Ǌįǉ ܳ(‫ ݔܽ = )ݔ‬ଶ + ߚ‫ ݔ‬+ ߛ Ǎį ıǂǍįǉ ǂĲį

ȦȮȰȴȨȴȢ 2: ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ

řŸƉúŸƄȤŲŴ ȠȨȪȮȢȮȜ 3

ƷĳǇǍ ıǍǘĳǇĳį įǒĳǁ ǈį ǌƿǈǏǒǌı

Ʋį ǏǐǂǆǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿǆǏǒǌı ĲǒǌǌıĳǐǉǊƿ ĲǓǁǌįĳį ĲǓǁǌįĳį ǌı ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ Ǌįǉ ĲǓǁǌįĳį ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ Ʋį įǍįǅǍǕǐǂǆǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿǆǏǒǌı ǄįĲǉǊƿ ıǂİǇ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǕǍ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǐǘǌǄǏǑ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ Ʋį įȷǏİıǉǊǍǙǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǉǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ǄįĲǉǊǚǍ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǕǍ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǐǘǌǄǏǑ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ ĲĳǇǍ ıȷǂǋǒĲǇ ȷǐǏǄǋǇǌƿĳǕǍ Ʋį įǍįǊįǋǙȷĳǏǒǌı Ǎį įȷǏİıǉǊǍǙǏǒǌı Ǌįǉ Ǎį ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǙȷǏǒǑ ǅǉį ĳǇǍ ıǙǐıĲǇ ĳǏǒ ıǌǄįİǏǙ Ǌįǉ ĳǇǑ ȷıǐǉǌǀĳǐǏǒ ıȷǂȷıİǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂǆǏǒǌı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ Ǌįǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ǊǙǊǋǏǒ Ǌįǉ ǌıǉǊĳǘǅǐįǌǌǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ

Ʋį ıȷǉǋǙǏǒǌı ȷǐǏǄǋǁǌįĳį ȷǏǒ ıǌȷıǐǉǀǓǏǒǍ ĲǓǀĲıǉǑ ǌıĳįǎǙ įǊĳǂǍįǑ İǉįǌǀĳǐǏǒ ıǌǄįİǏǙ Ǌįǉ ǌǁǊǏǒǑ ȷıǐǉĴǀǐıǉįǑ ǊǙǊǋǏǒ

Ʋį İǉıǐıǒǍǏǙǌı Ǌįǉ Ǎį ıĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĲǓǀĲıǉǑ ǌıĳįǎǙ ĳǕǍ İǉįĲĳƿĲıǕǍ ıȷǂȷıİǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ Ǌįǉ ĳǏǒ ıǌǄįİǏǙ ĳǏǒǑ

ŐƇƁƅúŸ úůŻŸż … ȧɂɐɍɈəɅɂɒɍɑ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍɓ ɒɊɛɊȽɒɍɑ ޿߀ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ Ʉ ɂɓɅɂɜȽ ߝଵ Ɏɍɓ ɂɜɋȽɇ ɈəɅɂɒɄ ɐɒɍ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ɒɊɛɊȽ ޿߀ ɈȽɇ Ɏɂɏɋə ȽɎɟ ɒɍ Ɋɚɐɍ ɒɍɓǤ ¾ ȥəɅɂ ɐɄɊɂɜɍ ɒɄɑ ɊɂɐɍɈȽɅɚɒɍɓ ɂɋɟɑ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍɓ ɒɊɛɊȽɒɍɑǡ ɇɐȽɎɚɖɂɇ ȽɎɟ ɒȽ əɈɏȽ ɒɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƩǍ ߝଵ ǌıĲǏǊƿǈıĳǏǑ ĳǏǒ ޿߀ Ǌįǉ ĳį ߁, ߂ ıǂǍįǉ İǙǏ ĲǇǌıǂį ĳǇǑ ǌıǂį ĳǇǑ ĳǘĳı ޿߁ = ߁߀ Ǌįǉ ޿߂ = ߂߀.

߁෠ + ߂መ = 360ఖ

ȠɜɁɄ ɒɏɇɀɣɋɘɋ Ɋɂ ȾəɐɄ ɒɇɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓɑ ȭɈȽɉɄɋɟ ɂɜɋȽɇ ɒɍ ɒɏɜɀɘɋɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɒɇɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ əɋɇɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߀ ് ߀߁ ് ޿߁ ȤɐɍɐɈɂɉɚɑ ɂɜɋȽɇ ɒɍ ɒɏɜɀɘɋɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ Ɂɠɍ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɜɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߀ = ޿߁ ɐɂɑǤ ȤɐɟɎɉɂɓɏɍ ɂɜɋȽɇ ɒɍ ɒɏɜɀɘɋɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɈȽɇ ɒɇɑ ɒɏɂɇɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɜɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߀ = ޿߁ = ߀߁ ȟɂɓɒɂɏɂɠɍɋɒȽ ɐɒɍɇɖɂɜȽ ɒɏɇɀɣɋɍɓ ȟɇəɊɂɐɍɑ ɒɏɇɀɣɋɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ɒɊɛɊȽ Ɏɍɓ ɂɋɣɋɂɇ ɊɇȽ Ɉɍɏɓɔɛ ɂɋɟɑ ɒɏɇɀɣɋɍɓ Ɋɂ ɒɍ Ɋɚɐɍ ɒɄɑ ȽɎɚɋȽɋɒɇ ɎɉɂɓɏəɑǤ Ⱥɗɍɑ ɒɏɇɀɣɋɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɈəɅɂɒɍ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ɒɊɛɊȽ Ɏɍɓ ɔɚɏɂɒȽɇ ȽɎɟ ɊɇȽ Ɉɍɏɓɔɛ ɒɍɓ ɒɏɇɀɣɋɍɓ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ Ɏɍɓ Ɏɂɏɇɚɖɂɇ ɒɄɋ ȽɎɚɋȽɋɒɇ Ɏɉɂɓɏə ɒɍɓ (ȾəɐɄȌǤ ȟɇɖɍɒɟɊɍɑ ɒɏɇɀɣɋɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ɒɊɛɊȽ Ɏɍɓ ɁɇɖɍɒɍɊɂɜ ɊɇȽ ɀɘɋɜȽ ɒɍɓ ɒɏɇɀɣɋɍɓǡ ɌɂɈɇɋə ȽɎɟ ɒɄɋ Ɉɍɏɓɔɛ ɒɄɑ ɀɘɋɜȽɑ ɒɍɓ ɈȽɇ ɈȽɒȽɉɛɀɂɇ ɐɒɄɋ ȽɎɚɋȽɋɒɇ ɎɉɂɓɏəǤ ¾ ȭɂ ɇɐɍɐɈɂɉɚɑ ɒɏɜɀɘɋɍ ɒɍ ɠɗɍɑ Ɏɍɓ Ƚɋɒɇɐɒɍɇɖɂɜ ɐɒɄ ȾəɐɄ ɂɜɋȽɇ ɈȽɇ ɁɇɖɍɒɟɊɍɑ ɈȽɇ ɁɇəɊɂɐɍɑǤ ¾ ȭɂ ɇɐɟɎɉɂɓɏɍ ɒɏɜɀɘɋɍ ɈəɅɂ ɠɗɍɑ ɂɜɋȽɇ ɈȽɇ ɁɇəɊɂɐɍɑ ɈȽɇ ɁɇɖɍɒɟɊɍɑǤ

102

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ʒǒǌǌıĳǐǂį ƫǎıǐıǙǍǇĲǇ ©ǂȷǋį ĴįǂǍıĳįǉ ǀǍį ĲǊǂĳĲǏ ıǍǘǑ ǅǋǙȷĳǇ ȷǏǒ ǈį ĳǏǍ ǄǏǇǈǁĲıǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıǉ ǌǉį ȷǐǏĳǏǌǁ 9 Ƹǉ ȷįǐįĳǇǐıǂĳı ǅǉį ĳį ĲǇǌıǂį ޿, ߀, ߁, ߂, ߃, ߄, ߕ Ǌįǉ ߖ;

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (1

Ʋį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį (ߝ) ȷǏǒ Ǎį ǓǕǐǂǆıǉ ĳǏ ĲǓǁǌį Ĳı İǙǏ ǌǀǐǇ ǀĳĲǉ ǚĲĳı ǘĳįǍ İǉȷǋǚĲǏǒǌı ĳǏ Ǔįǐĳǂ ĲĳǏ ǏȷǏǂǏ ıǂǍįǉ ĲǓıİǉįĲǌǀǍǏ Ǌįĳƿ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ıǒǈıǂįǑ ı ĳį İǒǏ ǌǀǐǇ Ǎį ĳįǒĳǉĲĳǏǙǍ 9 ƵǘĲıǑ ĳǀĳǏǉıǑ ıǒǈıǂıǑ ǌȷǏǐıǂĳı Ǎį Ǆǐıǂĳı

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ «B_En3_SymetriaʹǤggb»Ǥ

ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ

9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ޿ ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǀǍį ĳǒǓįǂǏ ĲǓǁǌį

Ǌįǉ Ǎį

9 ƵǏǉį ĲǓǀĲǇ ĲǒǍİǀıǉ ĳį ĲǇǌıǂį ĳǏǒ ǊǘǊǊǉǍǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ ǌı ĳį ĲǇǌıǂį ĳǏǒ ǌȷǋı ĲǓǁǌįĳǏǑ

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ «B_En3_SymetriaͳǤ ggb» 9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ޿ Ǌįǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǀǍį ĳǒǓįǂǏ ĲǓǁǌį 9 ƵǏǉį ĲǓǀĲǇ ĲǒǍİǀıǉ ĳį ĲǇǌıǂį ĳǏǒ ǊǘǊǊǉǍǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ ǌı ĳį ĲǇǌıǂį ĳǏǒ ǌȷǋı ĲǓǁǌįĳǏǑ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

103

ȧȽɅȽɜɋɘ ȭɓɊɊɂɒɏɜȽ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɐɄɊɂɜɍ ȭɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɂɋɟɑ ɐɄɊɂɜɍɓ ࢡ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɐɄɊɂɜɍ Ȫ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɐɄɊɂɜɍ ޿Ԣ Ɏɍɓ ȽɋɛɈɂɇ ɐɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ޿ߍ Ɋɂ ޿ߍ = ߍ޿ʅǤ Ȯɟɒɂ ɉɚɊɂ ɟɒɇ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ ޿ ɈȽɇ ޿ʅ ɂɜɋȽɇ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈə Ɋɂ Ɉɚɋɒɏɍ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɒɍ ߍǤ

¾ ȹɒȽɋ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ A ɈȽɇ ޿ʅ ɂɜɋȽɇ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈə ɘɑ Ɏɏɍɑ Ɉɚɋɒɏɍ

ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ߍǡ ɒɟɒɂ ɒɍ Ɉɚɋɒɏɍ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɂɜɋȽɇ ɒɍ Ɋɚɐɍ ɒɍɓ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍɓ ɒɊɛɊȽɒɍɑ޿޿ԢǤ ȭɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɂɋɟɑ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ࢳ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɐɄɊɂɜɍ ߍ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɐɖɛɊȽ ߑʅ Ɏɍɓ ɁɄɊɇɍɓɏɀɂɜɒȽɇ ȽɎɟ ɒɍ ɐɠɋɍɉɍ ɒɘɋ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɣɋ ɐɄɊɂɜɘɋ ɒɍɓ ߑ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɍ ߍǤ Ȯɟɒɂ ɉɚɊɂ ɟɒɇ ߑ ɈȽɇ ߑʅ ɂɜɋȽɇ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈə Ɋɂ Ɉɚɋɒɏɍ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɒɍ ߍǤ

ȥɚɋɒɏɍ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɂɋɟɑ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɂɜɋȽɇ ɚɋȽ ɐɄɊɂɜɍ ߍǡ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɍ ɍɎɍɜɍ ɒɍ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɒɍɓ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɒȽɓɒɜɃɂɒȽɇ Ɋɂ ɒɍ ɜɁɇɍ ɒɍ ɐɖɛɊȽǤ ȟɄɉȽɁɛǡ ɟɉȽ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ ɒɍɓ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɚɖɍɓɋ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɟǡ ɘɑ Ɏɏɍɑ ߍǡ Ɏəɋɘ ɐɒɍ ɜɁɇɍ ɐɖɛɊȽǤ

ȭɓɊɊɂɒɏɜȽ ɘɑ Ɏɏɍɑ əɌɍɋȽ ȭɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɒɍɓ ɐɄɊɂɜɍɓ ࢬ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɊɇȽ ɂɓɅɂɜȽ ߝ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɐɄɊɂɜɍ ߊʅ, ɟɒȽɋ ɒȽ ߊ ɈȽɇ ߊʅ ɇɐȽɎɚɖɍɓɋ ȽɎɟ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ߝ ɈȽɇ ߊߊʅ ٣ ߝǤ Ȯɟɒɂ ɉɚɊɂ ɟɒɇ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ ߊ ɈȽɇ ߊʅ ɂɜɋȽɇ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈə Ɋɂ əɌɍɋȽ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ߝǤ ¾ ȹɒȽɋ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ ߊ ɈȽɇ ߊʅ ɂɜɋȽɇ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈə ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ߝǡ Ʉ ɂɓɅɂɜȽ ߝ ɂɜɋȽɇ Ʉ ɊɂɐɍɈəɅɂɒɄ ɒɍɓ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍɓ ɒɊɛɊȽɒɍɑ ߊߊԢǤ

ȭɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɒɍɓ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ࢳ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ߝ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɐɖɛɊȽ ߑʅ Ɏɍɓ ɁɄɊɇɍɓɏɀɂɜɒȽɇ ȽɎɟ ɒɍ ɐɠɋɍɉɍ ɒɘɋ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɣɋ ɐɄɊɂɜɘɋ ɒɍɓ ȭǡ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɂǤ Ȯɟɒɂ ɉɚɊɂ ɟɒɇ ɒȽ ɐɖɛɊȽɒȽ ȭ ɈȽɇ ȭԢ ɚɖɍɓɋ əɌɍɋȽ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ɂǤ

ȴɌɍɋȽɑ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ ɂɋɟɑ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɂɜɋȽɇ ɊɇȽ ɂɓɅɂɜȽ ߝǡ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɍɎɍɜȽ ɒɍ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɒɍɓ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɐɓɊɎɜɎɒɂɇ Ɋɂ ɒɍ ɜɁɇɍ ɒɍ ɐɖɛɊȽǤ ȟɄɉȽɁɛ ɟɉȽ ɒȽ ɐɄɊɂɜȽ ɒɍɓ ɐɖɛɊȽɒɍɑ ɚɖɍɓɋ ɐɓɊɊɂɒɏɇɈɟ ɘɑ Ɏɏɍɑ ɒɄɋ ɂɓɅɂɜȽ ߝ Ɏəɋɘ ɐɒɍ ɐɖɛɊȽǤ

104

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ©ǂǍıĳįǉ ǊǙǊǋǏǑ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ƴ į Ʋį İıǂǎıĳı ǘĳǉ Ǌƿǈı ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ǌı ǀǍį ƿǋǋǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏ ǊǀǍĳǐǏ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ Ǆ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǘĲǏǒǑ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ǀǓıǉ Ǐ ǊǙǊǋǏǑ ưǙĲǇ į ƩǐǊıǂ Ǎį įȷǏİıǂǎǏǒǌı ĳǏǍ ȷǉǏ ȷƿǍǕ ǉĲǓǒǐǉĲǌǘ ǅǉį ǀǍį ĳǒǓįǂǏ ĲǇǌıǂǏ ޿ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ Ƹǘĳı ǈį ǌȷǏǐǏǙǌı Ǎį ȷǏǙǌı ǘĳǉ ǉĲǓǙıǉ ǅǉį Ǌƿǈı ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ Ƶǐƿǅǌįĳǉ įǍ ǊįĳįĲǊıǒƿĲǏǒǌı ǀǍįǍ ǊǙǊǋǏ ߍ, ߩ) Ǌįǉ ȷƿǐǏǒǌı ǀǍį ĳǒǓįǂǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ޿ ĳǘĳı Ǉ ıǒǈıǂį ȷǏǒ ȷıǐǍƿ įȷǘ ĳǏ ޿ Ǌįǉ ĳǏ ߍ ǈį ĳǀǌǍıǉ ĳǏǍ ǊǙǊǋǏ Ĳı ǀǍį ƿǋǋǏ ĲǇǌıǂǏ ޿ʅ. ƸǏ ޿ʅ ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ ޿ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏ ߍ įĴǏǙ ޿޿ʅ ıǂǍįǉ Ǉ İǉƿǌıĳǐǏǑ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ Ǌįǉ ߍ޿ = ߍ޿ʅ = ߩ. Ǆ Ʒı ǀǍįǍ ǊǙǊǋǏ Ǌƿǈı ıǒǈıǂį ȷǏǒ ȷıǐǍƿ įȷǘ ĳǏ ǊǀǍĳǐǏ ĳǏǒ İǉƿǌıĳǐǏǑ ıǂǍįǉ ƿǎǏǍįǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏǒ ơǐį Ǐ ǊǙǊǋǏǑ ǀǓıǉ ƿȷıǉǐǏǒǑ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ. ƢǍį įȷǘ ĳį įǌǉǍǏǎǀį ǁ ĲǏǋįǍǂǍǇ DPLQR DFLG DODQLQH ǀǓıǉ İǙǏ ǌǏǐĴǀǑ ߑ߯. 1 (ODHYR Ǌįǉ ߑ߯. 2 (GH[WUǏ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǇǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ȷǏǒ ȷįǐǏǒĲǉƿǆǏǒǍ Ǐǉ İǙǏ ǌǏǐǉįǊǀǑ ĳǏǒǑ İǏǌǀǑ ǘȷǕǑ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ĲĳǏ ıȷǂȷıİǏ ƷǓ ƷǓ

ưǙĲǇ ƴǉ İǙǏ ǌǏǐǉįǊǀǑ İǏǌǀǑ ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǀǑ ǌı ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ įĴǏǙ Ǌƿǈı ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ߑ߯. 1 ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ǌı ǀǍį ĲǇǌıǂǏ ĳǏǒ ߑ߯. 2 ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

105

Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǇǌƿĳǕǍ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ

Ĭǉį Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲǏǒǌı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ ǊįĳįĲǊıǒƿǆǏǒǌı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ Ǌƿǈı ĲǇǌıǂǏ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ.

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƵǉǏ ǊƿĳǕ İǂǍǏǍĳįǉ İǉƿĴǏǐıǑ ĲǇǌįǂıǑ ǊǐįĳǚǍ Ʋį Ǆǐıǂĳı ǘȷǏǒ ǒȷƿǐǓǏǒǍ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ į

ȧɎȽɖəɊɂɑ İ

ȫȽɉȽɍɠ

106

ȠɉɉəɁȽ

ȠɉȾɂɒɜȽ Ĳĳ

ȥɠɎɏɍɑ

ȟȽɋɜȽ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ǊįǈıǍǘǑ įȷǘ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ı

Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳį ĲǒǌǌıĳǐǉǊƿ ĳǕǍ ĲǊǉįĲǌǀǍǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ ǅǉį Ǌƿǈı ȷıǐǂȷĳǕĲǇ į

ƵƿǍǕ ĲĳǏǍ ƿǎǏǍį ĳǕǍ ȷǐįǅǌįĳǉǊǚǍ įǐǉǈǌǚǍ Ǎį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıĳı į İǒǏ įǐǉǈǌǏǙǑ ߙ Ǌįǉ ߚ ǚĲĳı Ǎį ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǏǂ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ െ3, Ǆ ǀǍįǍ įǐǉǈǌǘ ߛ ȷǏǒ Ǎį ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘǑ ǌı ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ ߙ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏ ǌǇİǀǍ ǅ ĳǏǍ įǐǉǈǌǘ Ǐ ǏȷǏǂǏǑ ıǂǍįǉ ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǕǍ įǐǉǈǌǚǍ ߚ Ǌįǉ ߛ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǏǉį įȷǘ ĳį ǔǇĴǂį ǀǓǏǒǍ į ǀǍįǍ ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ Ǆ İǙǏ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ǅ ǊįǍǀǍįǍ ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ

Ʒı ǀǍįǍ ȷǐǏĲǏǌǏǉǕĳǁ ıǊǌƿǈǇĲǇǑ ǎǉĴįĲǊǂįǑ ȷįǐǏǒĲǉƿǆǏǍĳįǉ İǉƿĴǏǐıǑ ǊǉǍǁĲıǉǑ ĳǕǍ įǈǋǇĳǚǍ ƴǉ ǊǉǍǁĲıǉǑ ȷǏǒ ǊƿǍıǉ Ǐ įǈǋǇĳǁǑ įǐǉĲĳıǐƿ įǍĳǉǅǐƿĴǏǍĳįǉ įǊǐǉǄǚǑ Ǐǉ ǂİǉıǑ įȷǘ ĳǏǍ įǈǋǇĳǁ įȷǀǍįǍĳǂ ĳǏǒ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏǍ ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǕǍ İǙǏ ĴǉǅǏǙǐǕǍ ǌı ĳǇ ǄǏǁǈıǉį ĳǕǍ ıǐǅįǋıǂǕǍ ĳǏǒ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ǌįǉ įǊǏǋǏǙǈǕǑ Ǎį ıȷǉǄıǄįǉǚĲıĳı ĳǇǍ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ ǌı ĳǇǍ ıȷǉǋǏǅǁ ıǌĴƿǍǉĲǇǑ ĳǏǒ ƿǎǏǍį Ʋį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁĲıĳı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ «ȝ_En3_symmetria_kath Ǥ ǽǤ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

107

Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߀߁ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ į ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߁ Ǆ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߂ ǅ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߊ ȷǏǒ ıǂǍįǉ ǌǀĲǏ ĳǏǒ ߀߁

ƸǏ ĲǓǁǌį ߑʅ ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ ߑ ǌı ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ Ʋį ĲǓıİǉƿĲıĳı ĳǏǍ ƿǎǏǍį ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ Ĳı Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ į

ƴ ƩǋǀǎǇǑ ǊįĳįĲǊıǙįĲı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǓǁǌįĳǏǑ ǕǑ ȷǐǏǑ 4 İǉįĴǏǐıĳǉǊƿ ĲǇǌıǂį ĳǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ Ʋį Ǆǐıǂĳı ǕǑ ȷǐǏǑ ȷRǉǏ ĲǇǌıǂǏ ıĴƿǐǌǏĲı Ĳǒǌǌıĳǐǂį ǅǉį Ǎį ȷǐǏǊǙǔǏǒǍ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį į

108

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ƭ ƫǙį ǀǓıǉ ĲǓıİǉƿĲıǉ ĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį Ƹǉ ǏİǇǅǂıǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ǀİǕĲı ĲĳǇ İǉȷǋįǍǁ ĳǇǑ ǅǉį Ǎį ȷǐǏǊǙǔıǉ ĳǏ İıǙĳıǐǏ ĲǓǁǌį

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǘĲǏǒǑ Ǌįǉ ȷǏǉǏǒǑ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ǀǓıǉ ǀǍį į ĲǊįǋǇǍǘ ĳǐǂǅǕǍǏ Ǆ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐǂǅǕǍǏ ǅ ǉĲǘȷǋıǒǐǏ ĳǐǂǅǕǍǏ

Ʋį ĲǓıİǉƿĲıĳı ǌǂį ıǒǈıǂį ߝ Ǌįǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǀǍį ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐǂǅǕǍǏ ߂߃߄ ǌı ߂߃ = ߂߄ = 5 ܿ݉ Ǌįǉ ߂መ = 40° ǀĳĲǉ ǚĲĳı Ǉ ıǒǈıǂį ߝ Ǎį ıǂǍįǉ ƿǎǏǍįǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ įǒĳǏǙ

Ʋį ĲǓıİǉƿĲıĳı ǀǍį ǉĲǘȷǋıǒǐǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ Ǌįǉ ĳǉǑ İǉįǌǀĲǏǒǑ ĳǏǒ ޿߂, ߀߃ Ǌįǉ ߁߄ Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ Ǐǉ İǉƿǌıĲǏǉ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ į ıǂǍįǉ ƿǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏǒ Ǆ ıǂǍįǉ İǉǓǏĳǘǌǏǉ Ǌįǉ ǙǔǇ ĳǏǒ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

109

ƸƫƸƶƩƵưƫƹƶƩ

ŐƇƁƅúŸ úůŻŸż …

Ȝɋ ࢿ૚ ɈȽɇ ࢿ૛ ɂɜɋȽɇ Ɂɠɍ ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑ ɂɓɅɂɜɂɑ ɍɇ ɍɎɍɜɂɑ ɒɚɊɋɍɋɒȽɇ ȽɎɟ ɊɜȽ ɒɏɜɒɄ ɂɓɅɂɜȽ ࢿ ࢿ૜ , ɒɟɒɂǣ ¾ ɍɇ Ǽɂɋɒɟɑ ɂɋȽɉɉəɌǽ ɀɘɋɜɂɑ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑǡ Ƶįǐƿİıǉǅǌį

ߛො = ߠ෠

¾ ɍɇ Ǽɂɋɒɟɑ ɈȽɇ ɂɎɜ ɒȽ Ƚɓɒəǽ ɀɘɋɜɂɑ ɂɜɋȽɇ ɎȽɏȽɎɉɄɏɘɊȽɒɇɈɚɑǡ Ƶįǐƿİıǉǅǌį

ߝƸ + ߛො = 180°

¾ ɍɇ Ǽɂɋɒɟɑ – ɂɈɒɟɑ ɈȽɇ ɂɎɜ ɒȽ Ƚɓɒəǽ ɀɘɋɜɂɑ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį

ߙො = ߠ෠

Ȯɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɀɘɋɇɣɋ ɂɋɟɑ ɒɏɇɀɣɋɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ 180°Ǥ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƷĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ ޿መ + ߀෠ + ߁෠ = 180ఖ Ȯɍ Ɏɍɉɠɀɘɋɍ Ɏɍɓ ȽɎɍɒɂɉɂɜɒȽɇ ȽɎɟ 4 Ɏɉɂɓɏɚɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏɍǤ ɇ ɜɐɍ Ɋɂ 360°Ǥ Ȯɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɀɘɋɇɣɋ ɂɋɟɑ ɒɂɒɏȽɎɉɂɠɏɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ 360°Ǥ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƷĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂ ޿መ + ߀෠ + ߁෠ + ߂መ = 360ఖ

110

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ȧɚɒɏɄɐɄ ɒɏɇɀɣɋɘɋ ɈȽɇ ɒɂɒɏȽɎɉɂɠɏɘɋ Ȯɂɒɏəɀɘɋɍ ࢰ࣎ࢿ࣎࣋ࢻࢽɣࣇࣉ࣏ = ૝ ή ࢻ ࡱ࣎ࢿ࣎࣋ࢻࢽɣࣇࣉ࣏ = ࢇ૛ ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ ࢰட஡஘டஓன஝ɜட஥ = ૛ࢇ + ૛ࢼ = ૛(ࢻ + ࢼ) ࡱட஡஘டஓன஝ɜட஥ = ࢇ ή ࢼ

ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

ࢰ஠஑஡஑஛஛஗஛டஓ஡əஜஜட஥ = ૛ࢻ + ૛ࢼ = ૛(ࢻ + ࢼ)

ࡱ஠஑஡஑஛஛஗஛டஓ஡əஜஜட஥ = ࢼ ή ࣏ ƸǐǂǅǕǍǏ ࢰத஡ஙஓɣ஝ட஥ = ࢻ + ࢼ + ࢽ

ࡱத஡ஙஓɣ஝ட஥ =

ࢼή࣏ ૛

ȫɓɅȽɀɟɏɂɇɍ ȣɂɣɏɄɊȽ ȋȫǤȣǤȌ ȭɂ ɍɏɅɍɀɣɋɇɍ ɒɏɜɀɘɋɍǡ ɒɍ ɒɂɒɏəɀɘɋɍ ɒɄɑ ɓɎɍɒɂɜɋɍɓɐȽɑ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɒɂɒɏȽɀɣɋɘɋ ɒɘɋ Ɂɠɍ ɈəɅɂɒɘɋ Ɏɉɂɓɏɣɋ ɒɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį

ߙ ଶ = ߚଶ + ߛ ଶ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

111

ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ

ƸǏ ƯǉǍǀǆǉǊǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳįǅǊǐƿǌ ıǂǍįǉ ǀǍį įǐǓįǂǏ ƯǉǍǀǆǉǊǏ ȷįǉǓǍǂİǉ ȷǏǒ įȷǏĳıǋıǂĳįǉ įȷǘ 7 ǊǏǌǌƿĳǉį ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį Ʋį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁĲıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_tagramǤggbǽǤ 9 Ʋį įǍįǅǍǕǐǂĲıĳı ǊƿǈıǍį įȷǘ ĳį ǊǏǌǌƿĳǉį ĳǏǒ ĳįǅǊǐƿǌ 9 Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǘĲǏ ĳǏ İǒǍįĳǘǍ ȷıǐǉĲĲǘĳıǐį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǚǍĳįǑ Ǌƿǈı ĴǏǐƿ ǘĲį ǊǏǌǌƿĳǉį ĳǏǒ ĳįǅǊǐƿǌ ǈǀǋıĳı 9 Ʋį İǚĲıĳı ǀǍįǍ ǏǐǉĲǌǘ ǅǉį ĳǏ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ǌįǉ Ǎį ȷıǐǉǅǐƿǔıĳı ĳǉǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ȷǏǒ ǀǓıǉ ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ įǒĳǘ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ

Ʒı ǀǍį ĴǙǋǋǏ Ǔįǐĳǂ ǁ Ǌįǉ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ȷįǐƿǋǋǇǋıǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝଷ ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍıǉ ĳǉǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ĳĳį ĲǇǌıǂį ޿ Ǌįǉ ߀ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝସ ȷįǐƿǋǋǇǋǇ ǌı ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝଷ ȷǏǒ ĳǀǌǍıǉ ĳǉǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ĳĳį ĲǇǌıǂį ߂ Ǌįǉ ߁ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂ Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B̴Ƞn3_ParallilogrammoǤggb»Ǥ

112

Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ Ǌįǉ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ

Ʋį ĲǒǅǊǐǂǍıĳı ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ıǒǈǙǅǐįǌǌǕǍ ĳǌǇǌƿĳǕǍ ޿ߍ ǌı ߍ߁ Ǌįǉ ߂ߍ ǌı ߍ߀

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ȧȽɅȽɜɋɘ ȫȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ

ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏɍ ɂɎɜɎɂɁɍ ɐɖɛɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɒɇɑ ȽɎɚɋȽɋɒɇ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑǤ

Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߀ ‫߂߁߀޿ ֜ ߁߀ צ ߂޿ ߡߙߢ ߁߂ צ‬ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ȯɍ ɐɄɊɂɜɍ ɒɍɊɛɑ ɒɘɋ ɁɇȽɀɘɋɜɘɋ ɒɍɓ ɎȽɏȽɉɉɄɉɍɀɏəɊɊɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ Ɉɚɋɒɏɍ ɒɍɓ ɎȽɏȽɉɉɄɉɍɀɏəɊɊɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ƷĳǏ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ޿߀߁߂ ƸǏ ߍ ıǂǍįǉ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǇǑ ĳǏǌǁǑ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ޿߁ Ǌįǉ ߂߀ ֜ ơǐį ĳǏ ߍ ıǂǍįǉ ĳǏ ǊǀǍĳǐǏ ĳǏǒ ޿߀߁߂ #

ȭɂ

ɈəɅɂ ɎȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍ ɇɐɖɠɍɓɋ ɍɇ Ɏɇɍ Ɉəɒɘ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑǣ Ȫɇ ȽɎɚɋȽɋɒɇ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߀ = ߂߁ ߢߙߡ ޿߂ = ߀߁ Ȫɇ ȽɎɚɋȽɋɒɇ ɀɘɋɜɂɑ ɒɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿መ = ߁෠ ߢߙߡ ߀෠ = ߂መ Ȫɇ ɁɇȽɀɣɋɇɍɇ ɒɍɓ ɁɇɖɍɒɍɊɍɠɋɒȽɇǡ ɁɄɉȽɁɛ ɒɍ Ɉɚɋɒɏɍ ɒɍɓ ɎȽɏȽɉɉɄɉɍɀɏəɊɊɍɓ ɂɜɋȽɇ ɒɍ Ɋɚɐɍ ɒɘɋ ɁɇȽɀɘɋɜɘɋ ɒɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ߍ޿ = ߍ߁ ߢߙߡ ߍ߀ = ߍ߂

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ƷĳǏ ĲǓǁǌį ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ߢ, ߱, ߰ Ǌįǉ ߮

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

113

ưǙĲǇ ƸǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ơǐį ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ȷǋıǒǐǀǑ ĳǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ. ޿߀ = ߂߁ ֜ 5ߢ െ 8 = 3ߢ + 4 ֜ 2ߢ = 12 ֜ߢ=6 ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǂ ĳǏǒ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍĳįǉ. ߂ܱ = ߍ߀ ֜ 2߰ െ 7 = ߰ + 7 ֜ ߰ = 14 ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ. ߀෠ = ߂መ ֜ ߱ + 22° = 60° ֜ ߱ = 60° െ 22° ֜ ߱ = 38° ޿ߍ෠߂ = ܱ޿መ߀ + ޿߀෠ܱ ıǎǕĳıǐǉǊǁ ǅǕǍǂį ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿ߍ߀

֜ 59° = ܱ޿መ߀ + 22° ֜ ܱ޿መ߀ = 59° െ 22° ֜ ܱ޿መ߀ = 37° ֜ ߮ = 37° ıǍĳǘǑ ıǍįǋǋƿǎ ǌı ĳǇǍ ܱ޿መ߀

ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ĳR ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ ޿߀߁߂ Ǆ ĳR ǙǔǏǑ ‫ ݔ‬ȷǏǒ įǍĳǉĲĳǏǉǓıǂ ĲĳǇǍ ȷǋıǒǐƿ ޿©

ưǙĲǇ į ‫ܧ‬௮௯௰௱ = ߚ ή ߭ = 6 ή 3 = 18 ܿ݉ଶ Ǆ ‫ܧ‬௮௯௰௱ = ‫ ݔ‬ή 4 ֜ 18 = ‫ ݔ‬ή 4 ֜ 4‫ = ݔ‬18 ֜ ‫ = ݔ‬18 ‫ ׷‬4 ֜ ‫ = ݔ‬4,5 ܿ݉

114

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƩǍ ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ǎį ĲǒǌȷǋǇǐǚĲıĳı ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ į ƩǍ ޿߀ = 8 ܿ݉ ĳǘĳı ߂߁ = ‫ڮ‬ Ǆ ƩǍ ߀߂ = 18 ܿ݉ ĳǘĳı ߀߃ = ‫ڮ‬ ǅ ƩǍ ߂޿መ߀ = 101° ĳǘĳı ߀߁෠ ߂ = ‫ڮ‬ İ ƩǍ ޿߀෠߁ = 80° ĳǘĳı ‫ܣܤ‬መ߂ = ‫ڮ‬

ƩǍ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ƸǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ ߀߁ Ǌįǉ ޿߂ Ǆ ƸǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ

ƩǍ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ıǒǈǙǅǐįǌǌǕǍ ĳǌǇǌƿĳǕǍ ޿ߍ Ǌįǉ ߀߂

ƩǍ ޿߀߁߂ Ǌįǉ ޿߃߄߅ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌį Ǎį İıǂǎıĳı ǘĳǉ ߄෠ = ߁෠

Ʋį ȷıǐǉǅǐƿǔıĳı ȷǚǑ ǈį ǌȷǏǐǏǙĲįĳı Ǎį ĲǒǍıǓǂĲıĳı ĳǇǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǊįĳįĲǊıǒǁ ǅǉį Ǎį ĲǒǌȷǋǇǐǕǈıǂ ǀǍį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

115

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǕǍ į

ƢǍį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 120 ܿ݉ଶ Ǌįǉ ǙǔǏǑ 15 ܿ݉ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇ ǄƿĲǇ ȷǏǒ įǍĳǉĲĳǏǉǓıǂ ĲĳǏ ǙǔǏǑ įǒĳǘ

ƢǍį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ǀǓıǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏ 26 ܿ݉ Ǌįǉ Ǉ ǌǂį ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ıǂǍįǉ 8 ܿ݉ ƩǍ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ıǂǍįǉ 20 ܿ݉ଶ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳį ǙǔǇ ĳǏǒ

ƵǏǉıǑ ıǂǍįǉ Ǐǉ ĲǒǍĳıĳįǅǌǀǍıǑ ĳǇǑ ĳǀĳįǐĳǇǑ ǊǏǐǒĴǁǑ įǍ Ǐǉ ĳǐıǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ıǍǘǑ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ ıǂǍįǉ (െ1,1) (2,1) Ǌįǉ (0, െ4);

116

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ©ǉıǐıǙǍǇĲǇ

ƴǉ ǏǉǊǏİǘǌǏǉ ǈǀǋǏǒǍ Ǎį ıȷǉǄıǄįǉǚĲǏǒǍ ǘĳǉ ǌǂį ǊįĳįĲǊıǒǁ ĲǓǁǌįĳǏǑ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǏǒ ǀǓıǉ ĲǓǁǌį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ 9 ƵǏǉıǑ ĲǓǀĲıǉǑ ǍǏǌǂǆıĳı ǘĳǉ ȷǐǀȷıǉ Ǎį ıǎıĳƿĲǏǒǍ ǅǉį Ǎį ıȷǉǄıǄįǉǚĲǏǒǍ ǘĳǉ Ǉ ǊįĳįĲǊıǒǁ ǀǓıǉ ĲǓǁǌį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ;

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2

Ʒı ǀǍį ĴǙǋǋǏ Ǔįǐĳǂ ǁ Ǌįǉ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı İǙǏ ǊƿǈıĳıǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍǏǍĳįǉ Ĳı ĲǇǌıǂǏ ޿ Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝଷ ‫ߝ צ‬ଵ ȷǏǒ ĳǀǌǍıǉ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝଶ ĲĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߀ Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝସ ‫ߝ צ‬ଶ ȷǏǒ ĳǀǌǍıǉ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝଵ ĲĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߂ Ǌįǉ ĳǇǍ ߝଷ ĲĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߁ . Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_OrthogonioǤggb»Ǥ

9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ 9 ƵǏǉıǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ǀǓıǉ ǀǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ 9 Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ǒȷƿǐǓǏǒǍ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ȷǏǒ İıǍ ǉĲǓǙǏǒǍ ĲĳǏ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

117

╚з╚╜╔Е╚╜╔Ь╔Л╔Ш ┬Г ╚к╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔О╚╜╔П╚╜╔Й╔Й╔Д╔Й╔Я╔А╔П╚╜╔К╔К╔Н ╔Ы ╔О╔З╔Н

╚╜╔О╔Й╔Щ ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔Н╔Л╔Н╔К╔Щ╔Г╔В╔Т╚╜╔З ╔Т╔Н ╔Т╔В╔Т╔П╔Щ╔О╔Й╔В╔У╔П╔Н ╔О╔Н╔У ╔Ъ╔Ц╔В╔З ╔И╚╜╔З ╔Т╔З╔С ╔Т╔Ъ╔Р╔Р╔В╔П╔З╔С ╔А╔Ш╔Л╔Ь╔В╔С ╔Т╔Н╔У ╔Н╔П╔Е╔Ъ╔С╟д

┬Г ╚е╔Щ╔Е╔В ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔И╚╜╔З ╔О╚╜╔П╚╜╔Й╔Й╔Д╔Й╔Я╔А╔П╚╜╔К╔К╔Н╟д ╚н╔Т╔Н ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔Н╔З ╔Б╔З╚╜╔А╔г╔Л╔З╔Н╔Ь ╔Т╔Н╔У ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔Ь╔Р╔В╔С ╔И╚╜╔З ╔Б╔З╔Ц╔Н╔Т╔Н╔К╔Н╔а╔Л╔Т╚╜╔З╟д ╚┤╔П╚╜╟б ╚к╚Ь = ╚к╚Ю = ╚к╚Э = ╚к╚Я.

┬Г ╚н╔В ╔И╔Щ╔Е╔В ╔Н╔П╔Е╔Н╔А╔г╔Л╔З╔Н ╔З╔Р╔Ц╔а╔Н╔У╔Л ╔Н╔З ╔О╔З╔Н ╔И╔Щ╔Т╔Ш ╔З╔Б╔З╔Я╔Т╔Д╔Т╔В╔С╟г

╚╣╔Й╔В╔С ╔Н╔З ╔З╔Б╔З╔Я╔Т╔Д╔Т╔В╔С ╔О╔Н╔У ╔З╔Р╔Ц╔а╔Н╔У╔Л ╔Р╔Т╔Н ╔О╚╜╔П╚╜╔Й╔Й╔Д╔Й╔Я╔А╔П╚╜╔К╔К╔Н╟д ╚к╔З ╔Б╔З╚╜╔А╔г╔Л╔З╔Н╔Ь ╔Т╔Н╔У ╔В╔Ь╔Л╚╜╔З ╔Ь╔Р╔В╔С╟д ╞╡─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╞╖─│╟П ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ▐┐▀А▀Б▀В ▐┐▀Б = ▀А▀В

╞╡─п╟Р─п─░─▒╟В╟Е╟М─п─│─п ╞╖─│╟П ─░╟Й╚╖╟Л─п╟Н╟Ш ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ▐┐▀А▀Б▀В ─░╟В╟Н╟П╟Н─│─п╟Й ▐┐▀А = 4 ▄┐▌Й ▀А▀Б = 3 ▄┐▌Й ╟К─п╟Й ▐┐▀ВсИШ▀А = 65┬░. ╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─п ─│─п ╟М╟Б╟К╟З ─│╟Х╟Н ─│╟М╟З╟М╞┐─│╟Х╟Н ▀А▀В, ▄▒тАл▄дтАм, ▀Н▀Б ▀в▀Щ▀б ▀Н▐┐ ╟Д ─│╟П ╟М╟А─│╟Р╟П ─│╟Х╟Н ╟Е╟Х╟Н╟Й╟Ъ╟Н ▀▒ ╟К─п╟Й ▀о ╞░╟Щ─▓╟З ╞╕╟П ─│╟Р╟В╟Е╟Х╟Н╟П ▐┐▀А▀Б ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П ╞б╟Р─п ╟Й─▓╟У╟Щ─▒╟Й ─│╟П ╚╖╟Т╟И─п╟Е╟Ш╟Р─▒╟Й╟П ╟И─▒╟Ъ╟Р╟З╟М─п (▐┐▀Б)рм╢ = (▐┐▀А)рм╢ + (▀А▀Б)рм╢

╓Ь (▐┐▀Б)рм╢ = 4рм╢ + 3рм╢ ╓Ь (▐┐▀Б)рм╢ = 16 + 9 ╓Ь (▐┐▀Б)рм╢ = 25 ╓Ь ▐┐▀Б = ╬╛25 ╓Ь ▐┐▀Б = 5 ▄┐▌Й

118

╚а╚и╚к╚о╚в╚о╚Ь 3: ╚Ю╔В╔Ш╔К╔В╔Т╔П╔Ь╚╜

ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ Ǌįǉ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍĳįǉ ޿߁ = ߀߂ = 5 ܿ݉ ௮௰ = 2,5 ܿ݉ ޿ߍ = ߍ߁ = ߍ߀ = ߍ߂ = ଶ

ƴǉ ȷǋıǒǐǀǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ıǂǍįǉ ȷįǐƿǋǋǇǋıǑ ޿߂ ‫ ߁߀ צ‬ơǐį ߮ො = 65° ıǍĳǘǑ ıǍįǋǋƿǎ ǌı ĳǇ ޿߂መ߀

ƸǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ߁ߍ߀ ıǂǍįǉ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ įĴǏǙ ߀ߍ = ߍ߁: ߍ߀෠߁ = ߍ߁෠ ߀ = ߮ො = 65° ߱ ෝ = 2߮ො = 130° ĳǐǉǅǚǍǏǒ ߁ߍ߀)

(Ǉ

߱ ෝ

ıǂǍįǉ

ıǎǕĳıǐǉǊǁ

ǅǕǍǂį

ĳǏǒ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƩǍ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ǌįǉ (4‫ݔ‬ ޿߁ = െ 60) ܿ݉ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ‫ ݔ‬

߀߂ = (30 െ ‫ ݉ܿ )ݔ‬

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ȷǏǒ ĴįǂǍǏǍĳįǉ ĲĳǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ޿߀߁߂ įǍ ߚመ = 30°

Ʒı ǏǐǈǏǊįǍǏǍǉǊǘ ĲǙĲĳǇǌį įǎǘǍǕǍ Ǎį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıĳı ĳį ĲǇǌıǂį ޿(1,1), ߀(5,1), ߁(5,3), ߂(1,3) Ʋį Ǆǐıǂĳı į ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǏǒ ޿߀߁߂ Ǆ ĳǏ ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏǒ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǏǒ ޿߀߁߂ ƸǏ ޿߀߁߂ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ıǂǍįǉ ǀǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳǏǒ ǏȷǏǂǏǒ Ǐǉ İǉįǅǚǍǉıǑ ĳǀǌǍǏǍĳįǉ ĲĳǇǍ įǐǓǁ ĳǕǍ įǎǘǍǕǍ Ʋį Ǆǐıǂĳı į ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ޿߀ Ǌįǉ ߀߂ Ǆ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǏǒ ޿߀߁߂

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

119

ƴ ƮƿǊǕǄǏǑ ǉĲǓǒǐǂǆıĳįǉ ǘĳǉ ǀǍį ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ȷǏǒ ǀǓıǉ İǙǏ ǏǐǈǀǑ ǅǕǍǂıǑ Ǌįǉ ǀǍį ǆıǒǅƿǐǉ ȷįǐƿǋǋǇǋıǑ ıǒǈıǂıǑ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǏǍ ǉĲǓǒǐǉĲǌǘ ĳǏǒ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ İǉįĲĳƿĲıǉǑ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ǌı ıǌǄįİǘǍ 72 ݉ଶ įǍ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ıǂǍįǉ İǉȷǋƿĲǉǏ įȷǘ ĳǏ ȷǋƿĳǏǑ ĳǏǒ

ƢǍį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ǀǓıǉ ĳǏ ǂİǉǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ǂİǉį ȷıǐǂǌıĳǐǏ ǌı ǀǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ȷǏǒ ǀǓıǉ İǉįĲĳƿĲıǉǑ 6 ݀݉ Ǌįǉ 4 ݀݉ ƩǍ Ǉ ǌǂį ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ȷįǐįǋǋǇǋǏǅǐƿǌǌǏǒ ıǂǍįǉ 5 ݀݉ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳį ǙǔǇ ĳǏǒ Ƹǉ ȷįǐįĳǇǐıǂĳı ȟɠɍ ɂɎɜɎɂɁȽ ɐɖɛɊȽɒȽ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋ ɒɍ ɜɁɇɍ ɂɊȾȽɁɟɋ ɉɚɀɍɋɒȽɇ ɇɐɍɁɠɋȽɊȽ ɛ ɇɐɂɊȾȽɁɇɈəǤ

ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ ıǂǍįǉ ǉĲǏİǙǍįǌǏ ǌı ĳǐǂǅǕǍǏ ƭ ȷıǐǂǌıĳǐǏǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ıǂǍįǉ 24 ܿ݉ Ǌįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ 8 ܿ݉ ƭ ǄƿĲǇ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ıǂǍįǉ ĳıĳǐįȷǋƿĲǉį įȷǘ ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇ ǄƿĲǇ Ǌįǉ ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǊǉįĲǌǀǍǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ

120

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ƶǘǌǄǏǑ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (1) ƴǉ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǐƿǄİǏǉ ıǂǍįǉ İǒǍįĳǘǍ Ǎį ıǍǕǈǏǙǍ ǌı ǄǂİıǑ ǅǉį Ǎį ǊįĳįĲǊıǒįĲĳǏǙǍ İǉƿĴǏǐį ĲǓǁǌįĳį 9 Ʋį ȷıǐǉǅǐƿǔıĳı ȷǚǑ ǈį ǌȷǏǐǏǙĲįĳı Ǎį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁĲıĳı ĳǉǑ ǐƿǄİǏǒǑ ǅǉį Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǀǍįǍ ǐǘǌǄǏ ǀǓıĳı ĲĳǇ İǉƿǈıĲǁ ĲįǑ ǘĲıǑ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǐƿǄİǏǒǑ ǓǐıǉƿǆıĲĳı .

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2) Ʒı ǀǍį ĴǙǋǋǏ Ǔįǐĳǂ ǁ Ǌįǉ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǀǍį ıǒǈǙǅǐįǌǌǏ ĳǌǁǌį ޿߈ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǊǙǊǋǏ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĳǏ ޿ Ǌįǉ įǊĳǂǍį ޿߈ Ʋį ĲǇǌıǉǚĲıĳı İǙǏ ĲǇǌıǂį ߀ Ǌįǉ ߂ ĲĳǏǍ ǊǙǊǋǏ, ǀĳĲǉ ǚĲĳı ĳį ĲǇǌıǂį ޿, ߀, ߂ Ǎį ǌǇǍ ıǂǍįǉ ĲǒǍıǒǈıǉįǊƿ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı İǙǏ ǊǙǊǋǏǒǑ ǌı įǊĳǂǍį ޿߈ Ǌįǉ ǊǀǍĳǐǏ ĳį ĲǇǌıǂį ߀ Ǌįǉ ߂ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʋį ǏǍǏǌƿĲıĳı ߁ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǏǌǁǑ ĳǕǍ İǙǏ ǊǙǊǋǕǍ Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂

Ʋį įǍǏǂǎıĳı «B_En3_Romvos.ggb», ǅǉį Ǎį ǉİǉǘĳǇĳıǑ ȷǏǒ ǀǓıǉ ǀǍįǑ ǐǘǌǄǏǑ

ĳǏ įǐǓıǂǏ İǉıǐıǒǍǁĲıĳı ĳǉǑ

Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ

ƵǏǉį ıǂǍįǉ Ǉ ĲǓǀĲǇ ǌıĳįǎǙ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ޿߁ Ǌįǉ ߀߂;

Ƹǉ ĲǓǀĲǇ ǀǓıǉ Ǉ İǉįǅǚǍǉǏǑ ޿߁ ǌı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ޿ Ǌįǉ ߁;

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

121

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (3) Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_EmvadoRomvou.ggb».

9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ Ǌįǉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ǀǍįǍ ĳǙȷǏ ǅǉį ĳǏǍ ǒȷǏǋǏǅǉĲǌǘ ĳǏǒ ıǌǄįİǏǙ ĳǏǒ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǚǍĳįǑ ĳǉǑ İǉįǅǕǍǂǏǒǑ ĳǏǒ

ȧȽɅȽɜɋɘ ȬɟɊȾɍɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɈȽɇ ɒɇɑ ɒɚɐɐɂɏɇɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɜɐɂɑ.

ȥəɅɂ ɏɟɊȾɍɑ ɂɜɋȽɇ ɈȽɇ ɎȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍǤ

ȭɂ ɈəɅɂ ɏɟɊȾɍ ɇɐɖɠɍɓɋ ɍɇ Ɏɇɍ Ɉəɒɘ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ:

9 ȹɉɂɑ ɍɇ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ Ɏɍɓ ɇɐɖɠɍɓɋ ɐɒɍ ɎȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍǤ

Oɇ ɁɇȽɀɣɋɇɍɇ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ ɁɇɖɍɒɍɊɍɠɋɒȽɇ ɈəɅɂɒȽ ɈȽɇ ɁɇɖɍɒɍɊɍɠɋ ɒɇɑ ɀɘɋɜɂɑ ɒɍɓǤ

122

9 Ȫɇ ɁɇȽɀɣɋɇɍɇ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ ɂɜɋȽɇ ɈəɅɂɒɂɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߁ ٣ ߀߂ 9 Ȫɇ ɁɇȽɀɣɋɇɍɇ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ ɁɇɖɍɒɍɊɍɠɋ ɒɇɑ ɀɘɋɜɂɑ ɒɍɓ. Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߁ İǉǓǏĳǏǌıǂ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ޿መ Ǌįǉ ߁෠ ©Ǉǋįİǁ, ߁޿መ߀ = ߁޿መ߂ Ǌįǉ ޿߁෠ ߂ = ޿߁෠ ߀ ƷĳǏǍ ǐǘǌǄǏ ǉĲǓǙıǉ ǘĳǉ Ǐǉ įȷǀǍįǍĳǉ ǅǕǍǂıǑ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ ơǐį ߁޿መ߀ = ߁޿መ߂ = ޿߁෠ ߂ = ޿߁෠ ߀ Ǌįǉ ޿߀෠߂ = ߁߀෠߂ = ߁߂መ߀ = ޿߂መ߀.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ȯɍ ɂɊȾȽɁɟɋ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ Ɋɂ ɁɇȽɀɘɋɜɍɓɑ ߜଵ ɈȽɇ ߜଶ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ ɒɍ ɄɊɇɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɘɋ ɁɇȽɀɘɋɜɘɋ ɒɍɓǤ ࡱ஡ɟஜஒட஥ =

ࢾ૚ ή ࢾ૛ ૛

Ȯɍ ɂɊȾȽɁɟɋ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ ɊɎɍɏɂɜ ɋȽ ɓɎɍɉɍɀɇɐɒɂɜ ɈȽɇ ɘɑ ɂɊȾȽɁɟɋ ɎȽɏȽɉɉɄɉɍɀɏəɊɊɍɓǣ ࡱ஡ɟஜஒட஥ = ࢻ ή ࣏ (߭ = ߭ଵ = ߭ଶ )

Ȣ ɎɂɏɜɊɂɒɏɍɑ ɒɍɓ ɏɟɊȾɍɓ Ɏɉɂɓɏəɑ ߙ ɂɜɋȽɇ ɜɐɄ Ɋɂ ɒɍ ɒɂɒɏȽɎɉəɐɇɍ ɒɄɑ Ɏɉɂɓɏəɑ ɒɍɓǤ

ࢰ஡ɟஜஒட஥ = ૝ ή ࢻ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ©ǂǍıĳįǉ ǀǍįǑ ǐǘǌǄǏǑ ޿߀߁߂ ǌı ǅǕǍǂį ‫ܣ‬መ = 40° Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ Ǌįǉ Ǎį İǉǊįǉǏǋǏǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ Ǐǉ İǉįǅǚǍǉǏǂ ĳǏǒ ĳǀǌǍǏǍĳįǉ Ǌƿǈıĳį ưǙĲǇ ޿߀߁߂ ǐǘǌǄǏǑ ƿǐį ޿߂ ‫ ߁ܤ צ‬ ޿መ + ߀෠ = 180° Ǐǉ ޿መ Ǌįǉ ߀෠ ıǂǍįǉ ıǍĳǘǑ Ǌįǉ ıȷǂ ĳį įǒĳƿ ǅǕǍǂıǑ

֜ ߀෠ = 180° െ 40° ֜ ߀෠ = 140° ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ ޿መ = ߁෠ = 40° Ǌįǉ ߂መ = ߀෠ = 140° ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ߱ ෝ=

஻෠ ଶ

ଵସ଴ι ଶ

= 70° Ǌįǉ ߮ො =

෡ ௮ ଶ

ସ଴ι ଶ

= 20°

߱ ෝ + ߮ො + ޿ߍ෠߀ = 180° ƿǈǐǏǉĲǌį ǅǕǍǉǚǍ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ Ʃƴƪ

֜ ޿ߍ෠߀ = 180° െ (70° + 20°) ֜ ޿ߍ෠߀ = 90° ֜ Ǐǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ĳǀǌǍǏǍĳįǉ Ǌƿǈıĳį.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

123

©ǂǍıĳįǉ Ǐ ǐǘǌǄǏǑ ޿߀߁߂ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ߍ ƩǍ Ǉ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ıǂǍįǉ 5 ܿ݉ Ǌįǉ Ǉ İǉįǅǚǍǉǏǑ ޿߁ = 8 ܿ݉ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǘ ĳǏǒ

ưǙĲǇ ƷĳǏǍ ǐǘǌǄǏ Ǐǉ İǉįǅǚǍǉǏǂ ĳǏǒ ıǂǍįǉ ǊƿǈıĳıǑ Ǌįǉ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍĳįǉ ơǐį ௮௰ ଼ = = 4 ܿ݉ ߍ޿ = ଶ

ଶ

ƸǏ ޿ߍ߀ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ơǐį, ǉĲǓǙıǉ ĳǏ ƵǒǈįǅǘǐıǉǏ ǈıǚǐǇǌį (ߍ߀)ଶ = (޿߀)ଶ െ (ߍ޿)ଶ ֜ (ߍ߀)ଶ = 5ଶ െ 4ଶ ֜ (ߍ߀)ଶ = 25 െ 16 ֜ (ߍ߀)ଶ = 9 ֜ ߍ߀ = ξ9 ֜ ߍ߀ = 3 ܿ݉ ֜ ߂߀ = 6 ܿ݉

߃௮௯௰௱ =

ߜଵ ή ߜଶ ޿߁ ή ߂߀ 8 ή 6 = = = 24 ܿ݉ଶ 2 2 2

ߎ = 4 ή ߙ = 4 ή 5 = 20 ܿ݉

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ©ǂǍıĳįǉ ǀǍįǑ ǐǘǌǄǏǑ ޿߀߁߂ ƸǏ ߃ ıǂǍįǉ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǇǑ ĳǏǌǁǑ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ ƩǍ ޿߁ = (2‫ ݔ‬+ 3) ݉, ߀߁ = 10 ݉ Ǌįǉ ߀߃ = 8 ݉ Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ĳǇ ǅǕǍǂį ޿߃෠ ߂, Ǆ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ޿߀, ߃߂ Ǌįǉ ޿߁, ǅ ĳǇǍ ĳǉǌǁ ĳǏǒ ‫ ݔ‬ ƩǍ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ǀǍįǑ ǐǘǌǄǏǑ ߀޿መ߂ = 2޿߂መ߁ Ǌįǉ ߀߁ = 10 ܿ݉, Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ޿߂መ߁, ߀߁෠ ߂, ޿߂መ߀, ߀޿መ߁ Ǌįǉ ‫ܧܣ‬෠ ‫ܤ‬, Ǆ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ

124

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ǐǘǌǄǏǒ ǌı İǉįǅǕǍǂǏǒǑ 24 ݉ Ǌįǉ 10 ݉

ƢǍįǑ ǐǘǌǄǏǑ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 24 ܿ݉ଶ Ǌįǉ Ǉ ǌǉį İǉįǅǚǍǉǘǑ ĳǏǒ ǉĲǏǙĳįǉ ǌı 8 ܿ݉ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ƿǋǋǇ İǉįǅǚǍǉǘ ĳǏǒ

ƴ ǓįǐĳįıĳǘǑ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǓǁǌįĳǏǑ ıǂǍįǉ ǐǘǌǄǏǑ ǌı İǉįǅǕǍǂǏǒǑ 12 ݀݉ Ǌįǉ 16 ݀݉ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǏǒ ǓįǐĳįıĳǏǙ Ǌįǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ıȷǉĴƿǍıǉƿǑ ĳǏǒ

ƭ ǌǉį İǉįǅǚǍǉǏǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ıǂǍįǉ ĳıĳǐįȷǋƿĲǉį įȷǘ ĳǇǍ ƿǋǋǇ ƸǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ıǂǍįǉ 128 ܿ݉ଶ . Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ İǉįǅǕǍǂǏǒǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ

ƢǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǀǓıǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏ 56 cm Ǌįǉ ıǂǍįǉ ǉĲǏİǙǍįǌǏ ǌı ǐǘǌǄǏ ƩǍ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ıǂǍįǉ ıǎįȷǋƿĲǉǏ įȷǘ ĳǏ ȷǋƿĳǏǑ ĳǏǒ Ǌįǉ Ǉ ǌǂį İǉįǅǚǍǉǏǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲǇ ǌı 16 cm, Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı į ĳǇǍ ƿǋǋǇ İǉįǅǚǍǉǏ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ Ǆ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ

Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǊǉįĲǌǀǍǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ į

޿߀߁߂ ǐǘǌǄǏǑ ߁߂߃߄ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

޿߀߁߂ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ߃߆߅߄ ǐǘǌǄǏǑ

125

ƸıĳǐƿǅǕǍǏ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (1) Ʒı ǀǍį ĲǇǌıǂǏ ıǍǘǑ įǒĳǏǊǉǍǇĳǘİǐǏǌǏǒ ǈį ǊįĳįĲǊıǒįĲĳıǂ ǌǉį İǉįĲĳįǙǐǕĲǇ ǌı ǀǍįǍ ƿǋǋǏ įǒĳǏǊǉǍǇĳǘİǐǏǌǏ ƴ ǌǇǓįǍǉǊǘǑ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉıǂ ĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǋǏǅǉĲǌǉǊǘ ǅǉį Ǎį İǉıǐıǒǍǁĲıǉ ǘǋį ĳį ȷǉǈįǍƿ ĲǓǁǌįĳį ĳǇǑ İǉįĲĳįǙǐǕĲǇ ȷǏǒ ǌȷǏǐǏǙǍ Ǎį ȷǐǏǊǙǔǏǒǍ 9 Ʋį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁĲıĳı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ «B_En3_diastavrosi.ggb» ǅǉį Ǎį Ǆǐıǂĳı ǘǋıǑ ĳǉǑ İǒǍįĳǀǑ ȷıǐǉȷĳǚĲıǉǑ İǉǊįǉǏǋǏǅǚǍĳįǑ ĳǉǑ įȷįǍĳǁĲıǉǑ ĲįǑ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2) Ʒı ǀǍį ĴǙǋǋǏ Ǔįǐĳǂ ǁ Ǌįǉ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı İǙǏ ǊƿǈıĳıǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍǏǍĳįǉ Ĳı ĲǇǌıǂǏ ޿ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ǊǙǊǋǏ ǌı ǊǀǍĳǐǏ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ޿ ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍıǉ ĳǉǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ĳĳį ĲǇǌıǂį ߀ Ǌįǉ ߂ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʃȷǘ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߀ Ǎį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝଷ ‫ߝ צ‬ଶ Ʃȷǘ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ߂ Ǎį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝସ ‫ߝ צ‬ଵ Ʋį ǏǍǏǌƿĲıĳı ߁ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ ĳǏǌǁǑ ĳǇǑ ıǒǈıǂįǑ ߝସ ǌı ߝଷ Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂ 9 ƵǏǉıǑ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ǀǓıǉ ǀǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ

126

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_Tetragono.ggb».

Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǐǉ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ĳǏǒ ǐǘǌǄǏǒ Ǌįǉ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ǉĲǓǙǏǒǍ Ǌįǉ ĲĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ Ʋį Ǌįĳįǅǐƿǔıĳı ĳǉǑ ȷįǐįĳǇǐǁĲıǉǑ ĲįǑ

ȧȽɅȽɜɋɘ Ȯɂɒɏəɀɘɋɍ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɒɇɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɜɐɂɑ ɈȽɇ ɒɇɑ ɀɘɋɜɂɑ ɒɍɓ ɍɏɅɚɑ.

ȥəɅɂ ɒɂɒɏəɀɘɋɍ ɂɜɋȽɇ ɎȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍǡ ɍɏɅɍɀɣɋɇɍ ɈȽɇ ɏɟɊȾɍɑǤ

ȭɂ ɈəɅɂ ɒɂɒɏəɀɘɋɍ ɇɐɖɠɍɓɋ ɍɇ Ɏɇɍ Ɉəɒɘ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ:

9 ȹɉɂɑ ɍɇ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ Ɏɍɓ ɇɐɖɠɍɓɋ ɐɒɍ ɎȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍǡ ɐɒɍ ɍɏɅɍɀɣɋɇɍ ɈȽɇ ɐɒɍɋ ɏɟɊȾɍǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį ޿߁ ٣ ߀߂ Ǌįǉ ޿ߍ = ߀0 = ߁ߍ = ߂ߍ ƷĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǘǋıǑ Ǐǉ ǅǕǍǂıǑ ıǂǍįǉ ǏǐǈǀǑ ơǐį ߁޿መ߀ = ߁޿መ߂ = ޿߁෠ ߂ = ޿߁෠ ߀ = ޿߀෠߂ = ߁߀෠߂ = ߁߂መ߀ = ޿߂መ߀ = 45°.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

127

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ©ǂǍıĳįǉ ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ޿߀߁߂ ǌı ȷǋıǒǐƿ 10 ܿ݉ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ߀߂, ޿ߍ Ǌįǉ ĳǇ ǅǕǍǂį ޿߀߂ ưǙĲǇ ƷĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ޿߀߁߂ ǉĲǓǙıǉ ߀߁ = ߁߂ = 10 ܿ݉. ƫĴįǐǌǘǆǏǒǌı ĳǏ ȷǒǈįǅǘǐıǉǏ ǈıǚǐǇǌį ĲĳǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ߀߁߂ (߀߂)ଶ = (߂߁)ଶ + (߀߁)ଶ ֜ (߀߂)ଶ = 10ଶ + 10ଶ ֜ (߀߂)ଶ = 100 + 100 ֜ (߀߂)ଶ = 200 ɛ ߀߂ = ξ100 ή 2 ƮİǉǘĳǇĳıǑ ǐǉǆǚǍ

֜ (߀߂) = ξ200 ܿ݉ ߀߂ = 10ξ2 ܿ݉ ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍĳįǉ Ǌįǉ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ ֜ ‫= ܱܣ‬

௮௰ ଶ

௯௱ ଶ

ଵ଴ξଶ ଶ

= 5ξ2 ܿ݉

ƢǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǉĲıǌǄįİǉǊǘ ǌı ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ȷǏǒ ǀǓıǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏ 30 ܿ݉ Ǌįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ıǂǍįǉ İǉȷǋƿĲǉǏ ĳǏǒ ȷǋƿĳǏǒǑ ĳǏǒ Ʋį Ǆǐıǈıǂ Ǉ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ưǙĲǇ Ƹį İǙǏ ĲǓǁǌįĳį ıǂǍįǉ ǉĲıǌǄįİǉǊƿ ơǐį, ǉĲǓǙıǉ ߃ఖఘఏ. = ߃ఛఌఛఘ.

ƢĲĳǕ ߙ, ߚ Ǐǉ İǉįĲĳƿĲıǉǑ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ Ǌįǉ ‫ ݔ‬Ǉ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ߎఖఘఏఖఊ. = 30 ֜ 2(ߙ + ߚ) = 30 ֜ ߙ + ߚ = 15 ֜ 2ߚ + ߚ = 15 ֜ 3ߚ = 15 ֜ ߚ = 5 ܿ݉ ֜ ߙ = 2ߚ ֜ ߙ = 10 ܿ݉ ߃ఖఘఏ. = ߃ఛఌఛఘ. ߙ ή ߚ = ‫ݔ‬ଶ ֜ 5 ή 10 = ‫ ݔ‬ଶ ֜ ‫ ݔ‬ଶ = 50 ֜ ‫ = ݔ‬ξ50 ܿ݉

128

‫ = ݔ‬ξ25 ή 2 (ƮİǉǘĳǇĳıǑ ǐǉǆǚǍ

‫ = ݔ‬5ξ2 ܿ݉

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ ƷĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌį ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ĳǉǌǀǑ ĳǕǍ ‫ݔ‬ Ǌįǉ ߰

ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǌı ȷǋıǒǐƿ 2 ܿ݉ Ʋį Ǆǐıǂĳı į ĬǕǍǂıǑ ǌı ǌǀĳǐǏ 90° Ǆ ĬǕǍǂıǑ ǌı ǌǀĳǐǏ 45° ǅ ƫǒǈǙǅǐįǌǌį ĳǌǁǌįĳį ǌı ǌǁǊǏǑ 2 ܿ݉ İ ƫǒǈǙǅǐįǌǌį ĳǌǁǌįĳį ǌı ǌǁǊǏǑ ξ8 ܿ݉ ı ƫǒǈǙǅǐįǌǌį ĳǌǁǌįĳį ǌı ǌǁǊǏǑ ξ2 ܿ݉ Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ ǀǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǂǍįǉ Ǌįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ǌįǉ ǐǘǌǄǏǑ

ƩǍ ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǌı İǉįǅǚǍǉǏ ޿߁ = ξ18 Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ ĳǏǒ

Ʋį Ǆǐıǂĳı İǙǏ ǏǌǏǉǘĳǇĳıǑ Ǌįǉ İǙǏ İǉįĴǏǐǀǑ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǕǍ ĲǓǇǌƿĳǕǍ į ƸıĳǐƿǅǕǍǏ – ƶǘǌǄǏǑ, Ǆ ƸıĳǐƿǅǕǍǏ – ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ, ǅ ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ – ƶǘǌǄǏǑ Ʋį ȷǐǏĲİǉǏǐǂĲıĳı įǍ Ǌįǈıǌǉƿ įȷǘ ĳǉǑ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ȷǐǏĳƿĲıǉǑ ǉĲǓǙıǉ ƯƩƵƴƸƫ ƵƩƲƸƴƸƫ ƵƴƸƫ į ƢǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǂǍįǉ Ǌįǉ ǐǘǌǄǏǑ. Ǆ ƢǍį ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ıǂǍįǉ Ǌįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǅ ƢǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ıǂǍįǉ Ǌįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ İ ƸǏ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ıǂǍįǉ ǀǍį ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ı ƭ İǉįǅǚǍǉǏǑ ıǍǘǑ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ǓǕǐǂǆıǉ ĳǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ Ĳı İǙǏ ǉĲǏĲǊıǋǁ ĳǐǂǅǕǍį ©ǂǍıĳįǉ ǀǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ǌįǉ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐǂǅǕǍǏ ߍ޿߀ ǌı ‫ߍܣ‬෠߀ = 90° Ǌįǉ ߍ޿ = ߍ߀ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳį ĲǒǌǌıĳǐǉǊƿ ĲǇǌıǂį ޿ʅ Ǌįǉ ߀ʅ ĳǕǍ ޿ Ǌįǉ ߀ įǍĳǂĲĳǏǉǓį ǕǑ ȷǐǏǑ ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ĳǏ ߍ Ǌįǉ Ǎį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǏǒ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǏǒ ޿߀޿ʅ߀ʅ ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

129

©ǂǍǏǍĳįǉ ĳį ĲǙǍǏǋį Ʃ ƸǐǂǅǕǍį ƪ ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌį Ĭ ƯįǍǏǍǉǊƿ ȷǏǋǙǅǕǍį ĳį ȷǏǋǙǅǕǍį ȷǏǒ ǀǓǏǒǍ ǘǋıǑ ĳǉǑ ȷǋıǒǐǀǑ ĳǏǒǑ ǂĲıǑ Ǌįǉ ǘǋıǑ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒǑ ǂĲıǑ) Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı įǍ ǒȷƿǐǓıǉ ǊƿȷǏǉǏ ĲǓǁǌį ĲĳǇ ĲǊǉįĲǌǀǍǇ ȷıǐǉǏǓǁ ĳǕǍ ĲǒǍǘǋǕǍ Ǌįǉ įǍ Ǎįǉ ȷǏǉǏ ĲǓǁǌį ıǂǍįǉ įǒĳǘ į

A B

A B ī

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǊǉįĲǌǀǍǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ ޿߄߃߁ įǍ Ǉ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲǇ ǌı ĳǇ İǉįǅǚǍǉǏ ĳǏǒ ǏǐǈǏǅǕǍǂǏǒ ޿߀߁߂

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ȷǚǑ ǈį ǌıĳįǄǋǇǈıǂ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ Ǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏǑ ıǍǘǑ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ įǍ İıǊįȷǋįĲǉįĲĳıǂ Ǉ ȷǋıǒǐƿ ĳǏǒ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ Ǌįǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǕǍ 7 ĲǓǇǌƿĳǕǍ ȷǏǒ įȷǏĳıǋǏǙǍ ĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳƿǅǊǐįǌ įǍ ޿߁ = 4 ܿ݉.

130

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ƸǐįȷǀǆǉǏ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (1) Ʒı ǀǍį ĴǙǋǋǏ Ǔįǐĳǂ ǁ Ǌįǉ ǌı ĳǇ ǓǐǁĲǇ ǋǏǅǉĲǌǉǊǏǙ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı İǙǏ ȷįǐƿǋǋǇǋıǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝଷ ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍıǉ ĳǉǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ĳĳį ĲǇǌıǂį ޿ Ǌįǉ ߀ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʋį Ĵǀǐıĳı ıǒǈıǂį ߝସ Ǎį ǌǇǍ ıǂǍįǉ ȷįǐƿǋǋǇǋǇ ǌı ĳǇǍ ߝଷ ) ȷǏǒ Ǎį ĳǀǌǍıǉ ĳǉǑ ıǒǈıǂıǑ ߝଵ Ǌįǉ ߝଶ Ĳĳį ĲǇǌıǂį ߂ Ǌįǉ ߁ įǍĳǂĲĳǏǉǓį Ʋį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ĳǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ޿߀߁߂

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_Trapezio.ggb». 9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ 9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǏǍ İǐǏǌǀį ǚĲĳı Ǉ ǅǕǍǂį ߂ Ǎį ǅǂǍıǉ Ǐǐǈǁ Ǌįǉ Ǎį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ 9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǏǍ İǐǏǌǀį ǁ Ǌįǉ ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ ǚĲĳı Ǐǉ ǅǕǍǂıǑ ߂ Ǌįǉ ߁ Ǎį ǅǂǍǏǒǍ ǂĲıǑ Ʋį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳǏǒ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǏǒ

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ (2) Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B_En3_EmvadoTrapeziou.ggb». 9 Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ Ǌįǉ Ǎį Ǆǐıǂĳı ǀǍįǍ ĳǙȷǏ ǅǉį ĳǏǍ ǒȷǏǋǏǅǉĲǌǘ ĳǏǒ ıǌǄįİǏǙ ĳǏǒ ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǚǍĳįǑ ĳį ǌǁǊǇ ĳǕǍ ǄƿĲıǚǍ ĳǏǒ Ǌįǉ ĳǏǒ ǙǔǏǒǑ ĳǏǒ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

131

ȧȽɅȽɜɋɘ ȮɏȽɎɚɃɇɍ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ Ɋɟɋɍ ɒɇɑ Ɂɠɍ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑ.

Ȫɇ ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑ Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓ ɍɋɍɊəɃɍɋɒȽɇ Ⱦəɐɂɇɑ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓǤ Ȣ ȽɎɟɐɒȽɐɄ ɒɘɋ Ɂɠɍ ɎȽɏəɉɉɄɉɘɋ Ɏɉɂɓɏɣɋ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɠɗɍɑ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓǤ

ȠɜɁɄ ɒɏȽɎɂɃɜɘɋ ¾ Ȯɍ ɒɏȽɎɚɃɇɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɊɇȽ ɍɏɅɛ ɀɘɋɜȽ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɍɏɅɍɀɣɋɇɍ ɒɏȽɎɚɃɇɍ.

¾ Ȯɍ ɒɏȽɎɚɃɇɍ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɒɇɑ ɊɄ ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑ

Ɏɉɂɓɏɚɑ ɒɍɓ ɜɐɂɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɇɐɍɐɈɂɉɚɑ ɒɏȽɎɚɃɇɍǤ

ȭɂ ɈəɅɂ ɇɐɍɐɈɂɉɚɑ ɒɏȽɎɚɃɇɍ ɇɐɖɠɍɓɋ ɍɇ Ɏɇɍ Ɉəɒɘ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ: Ȫɇ ɎɏɍɐɈɂɜɊɂɋɂɑ ɐɂ ɈəɅɂ ȾəɐɄ ɀɘɋɜɂɑ ɒɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɂɑ (޿መ = ‫ܤ‬෠ ɈȽɇ ߁෠ = ߂መ). Ȫɇ ɁɇȽɀɣɋɇɍɜ (޿߁ = ߀߂).

ɒɍɓ

ɂɜɋȽɇ

ɜɐɂɑ

Ȯɍ ɂɊȾȽɁɟɋ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍ Ɋɂ ɒɍ ɀɇɋɟɊɂɋɍ ɒɍɓ ɄɊɇȽɅɏɍɜɐɊȽɒɍɑ ɒɘɋ Ⱦəɐɂɣɋ ɒɍɓ ɂɎɜ ɒɍ ɠɗɍɑ ɒɍɓǤ ࡱ࣎࣋ࢻ࣊ࢿࣀɜࣉ࣏ =

(ࢼ૚ + ࢼ૛ ) (ࢼ૚ + ࢼ૛ ) ή ࣏ ή࣏= ૛ ૛

Ȣ ɎɂɏɜɊɂɒɏɍɑ ɒɍɓ ɒɏȽɎɂɃɜɍɓ ɂɜɋȽɇ ɜɐɄ Ɋɂ ɒɍ əɅɏɍɇɐɊȽ ɒɘɋ ɒɂɐɐəɏɘɋ Ɏɉɂɓɏɣɋ ɒɍɓǤ

ࢰ࣎࣋ࢻ࣊ࢿࣀɜࣉ࣏ = ࢼ૚ + ࢼ૛ + (ࢡࢤ) + (ࢢࢣ)

132

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ȧɎɍɏɍɠɊɂ ɋȽ ɍɊȽɁɍɎɍɇɛɐɍɓɊɂ ɒȽ ɒɂɒɏəɎɉɂɓɏȽ ɐɠɊɔɘɋȽ Ɋɂ ɒɇɑ ɇɁɇɟɒɄɒɂɑ Ɏɍɓ ɚɖɍɓɋǡ ɘɑ ɂɌɛɑ:

Ȱ ȦɚɏɐɉɣɈɋɘǡ ɗəɄ ȳəɔɎɝɉɣɄ ȋ350 ߨ. ߕ. ), ɇɎɄ ɒɄ ɔɖɣɗɉɎ əɄ ɈɎɠɛɔɖɄ ɉɣɈɋ əɟɒ əɉəɖɄɕɐɉɧɖɟɒ ɓɉɏɣɒɋɗɉ Ʉɕɦ əɔ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɔ ɕɔɚ ɗɚɇɏɉɒəɖɪɒɉɎ ɦɐɉɘ əɎɘ ɎɈɎɦəɋəɉɘǡ əɔ əɉəɖɠɇɟɒɔǤ ȥɋɐɄɈɢǣ ȴɉəɖɠɇɟɒɔ ɉɣɒɄɎ əɔ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɔ ɕɔɚ ɡɝɉɎ ɦɐɉɘ əɎɘ ɕɐɉɚɖɡɘ əɔɚ ɣɗɉɘ ɏɄɎ ɦɐɉɘ əɎɘ ɇɟɒɣɉɘ ɔɖɌɡɘǤ Ȣɒ ɡɝɉɎ ɦɐɉɘ əɔɚ əɎɘ ɇɟɒɣɉɘ ɔɖɌɡɘǡ Ʉɐɐɠ ɔɎ ɕɐɉɚɖɡɘ Ɉɉɒ ɉɣɒɄɎ ɣɗɉɘǡ ɉɣɒɄɎ ɈɋɐɄɈɢ ǼɉəɉɖɔɑɢɏɉɎɘǽǡ əɔ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɔ ɔɒɔɑɠɊɉəɄɎ ɔɖɌɔɇɪɒɎɔǤ Ȱ ɖɦɑɅɔɘ ɉɣɒɄɎ əɔ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɔ ɉɏɉɣɒɔ ɕɔɚ ɡɝɉɎ əɎɘ ɕɐɉɚɖɡɘ əɔɚ ɣɗɉɘ Ʉɐɐɠ əɎɘ ɇɟɒɣɉɘ əɔɚ ɦɝɎ ɔɖɌɡɘǤ ȲɔɑɅɔɉɎɈɡɘ ɉɣɒɄɎ əɡɐɔɘ əɔ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɔ ɕɔɚ ɡɝɉɎ əɎɘ ɄɕɡɒɄɒəɎ ȋɦɝɎ ɦɐɉɘȌ ɕɐɉɚɖɡɘ əɔɚ ɣɗɉɘ ɏɄɎ əɎɘ ɄɕɡɒɄɒəɎ ɇɟɒɣɉɘ ɣɗɉɘǤ ȲɔɑɅɔɉɎɈɢǡ ɈɋɐɄɈɢǡ ɉɣɒɄɎ əɄ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɄ ɕɔɚ ɔɒɔɑɠɊɔɚɑɉ ɕɄɖɄɐɐɋɐɦɇɖɄɑɑɄǤ ȴɖɄɕɡɊɎɄǡ əɡɐɔɘǡ ɔɒɔɑɠɊɔɒəɄɎ ɦɗɄ əɉəɖɠɕɐɉɚɖɄ Ɉɉɒ ɅɖɣɗɏɔɒəɄɎ ɗəɎɘ ɕɎɔ ɕɠɒɟ ɏɄəɋɇɔɖɣɉɘǤ

Ƶįǐįİıǂǅǌįĳį ©ǂǍıĳįǉ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐįȷǀǆǉǏ ޿߀߁߂ ෡ = 125° ǌı ޿߀ ‫߂߁ צ‬, ޿߂ = ߀߁ Ǌįǉ Ȝ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ߀෠, ߁෠ Ǌįǉ ߂መ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

133

ưǙĲǇ ƸǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ĳǐįȷǀǆǉǏ ơǐį ޿߀ ‫ ߁߂ צ‬ ޿መ + ߂መ = 180° Ǐǉ ıǍĳǘǑ ıȷǂ ĳį įǒĳƿ ǅǕǍǂıǑ ıǂǍįǉ ȷįǐįȷǋǇǐǕǌįĳǉǊǀǑ ֜ ߂መ = 180° െ ޿መ = 180° െ 125° ֜ ߂መ = 55° ߁෠ = ߂መ = 55° Ǌįǉ ޿መ = ߀෠ = 125° (ĳǏ ޿߀߁߂ ıǂǍįǉ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐįȷǀǆǉǏ

ƷĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį İǂǍıĳįǉ ĳǐįȷǀǆǉǏ ǌı ǄƿĲıǉǑ 13 ܿ݉, 20 ܿ݉ Ǌįǉ ıǌǄįİǘǍ 99 ܿ݉ଶ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ ưǙĲǇ ‫ܧ‬ఛఘఈగఌ఍ɜఖజ = 99 =

(ఉభ ାఉమ )ήజ ଶ

(ଶ଴ାଵଷ)ήజ ଶ

֜ 99 =

ଷଷήజ ଶ

֜ 99 ή 2 = 33 ή ߭ ֜߭=

99 ή 2 33

֜߭ =3ή2 ֜ ߭ = 6 ܿ݉ ƢǍį ĳǐįȷǀǆǉǏ ǀǓıǉ ǄƿĲıǉǑ 4 ܿ݉ Ǌįǉ 6 ܿ݉ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ įǍ ĳǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ ıǂǍįǉ ǉĲǏİǙǍįǌǏ ǌı ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ȷǏǒ ǀǓıǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏ 20 ݉ ưǙĲǇ ߎఛఌఛఘəఊఠఔఖజ = 4ܽ = 20 ݉

‫ܧ‬ఛఌఛఘఈఊɣఔఖజ = ߙ ଶ

֜ ܽ = 20 ‫ ׷‬4

‫ܧ‬ఛఌఛఘఈఊɣఔఖజ = 5ଶ

֜ ܽ = 5 ܿ݉

‫ܧ‬ఛఌఛఘఈఊɣఔఖజ = 25 ܿ݉ଶ

ƸǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ Ǌįǉ Ǐ ǐǘǌǄǏǑ ıǂǍįǉ ǉĲǏİǙǍįǌį ֞ ‫ܧ‬ఛఘఈగఌ఍ɜఖజ = ‫ܧ‬ఛఌఛఘఈఊɣఔఖజ ֜

(ࢼ૚ ାࢼ૛ )ήజ

(଺ାସ)ήజ

ଵ଴ήజ ଶ

ଶ ଶ

= 25

֜ 5 ή ߭ = 25 ֜ ߭ = 25 ‫ ׷‬5 ֜ ߭ = 5 ܿ݉

134

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ Ĭǉį ǊįǈǀǍį įȷǘ ĳį įǊǘǋǏǒǈį ǉĲǏĲǊıǋǁ ĳǐįȷǀǆǉį Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǀĳǐǏ ĳǕǍ ǅǕǍǉǚǍ ĳǏǒǑ į

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǐǉ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǉİǉǘĳǇĳıǑ ıǂǍįǉ İǒǍįĳǘǍ Ǎį ǉĲǓǙǏǒǍ ǅǉį ǀǍį ĳǐįȷǀǆǉǏ į ƸǐıǉǑ ȷǋıǒǐǀǑ ǂĲıǑ Ǆ Ʊǉį ȷǋıǒǐƿ, ıǊĳǘǑ įȷǘ ĳǉǑ ǄƿĲıǉǑ, Ǎį ıǂǍįǉ ǌıǅįǋǙĳıǐǇ įȷǘ ĳǉǑ ǄƿĲıǉǑ ǅ ƸǐıǉǑ ǏǐǈǀǑ ǅǕǍǂıǑ İ ƤĲıǑ ǄƿĲıǉǑ ı ©ǙǏ ȷǋıǒǐǀǑ ǂĲıǑ ǓǕǐǂǑ Ǎį ıǂǍįǉ ĳǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ ǉĲǏĲǊıǋǀǑ

Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǉ Ĳǒǌǌıĳǐǂį ȷįǐǏǒĲǉƿǆǏǒǍ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐį ĲǇǌıǉǚǍǏǍĳįǑ 9 ĲĳǉǑ ǊįĳƿǋǋǇǋıǑ ǈǀĲıǉǑ ĲǙǌĴǕǍį ǌı ĳǏ ȷįǐƿİıǉǅǌį ȥȽɋɚɋȽ ȫȽɏȽɉɉɄɉɟɀɏȽɊɊɍ

ȴɌɍɋɂɑ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ 1 2 3 4 ȫɂɏɇɐɐɟɒɂɏɍɓɑ

ȵɖɂɇ Ɉɚɋɒɏɍ ɐɓɊɊɂɒɏɜȽɑ

ȪɏɅɍɀɣɋɇɍ ȬɟɊȾɍɑ Ȯɂɒɏəɀɘɋɍ ȤɐɍɐɈɂɉɚɑ ȮɏȽɎɚɃɇɍ

ƴ ƵįǍįǅǉǚĳǇǑ įǊǏǋǏǒǈıǂ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ Ǆǁǌįĳį ǅǉį Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıǉ ǀǍį ǉĲǏĲǊıǋǀǑ ĳǐįȷǀǆǉǏ Ʋį ıǎǇǅǁĲıĳı ĳǏǍ ĲǒǋǋǏǅǉĲǌǘ ĳǏǒ 1ɍ ȝȢȧȜ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

2ɍ ȝȢȧȜ

3ɍ ȝȢȧȜ

135

5. ƢǍį ǌǀǐǏǑ ĳǏǒ ǌȷǋı ĳıĳǐįȷǋıǙǐǏǒ ıǂǍįǉ ǊǐǒǌǌǀǍǏ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǉ ıǂİǏǒǑ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ǈį ǌȷǏǐǏǙĲı Ǎį ıǂǍįǉ

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳǐįȷıǆǂǕǍ į

ƵǘĲǏ ıǂǍįǉ ĳǏ ǙǔǏǑ ĳǐįȷıǆǂǏǒ ȷǏǒ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 36 ܿ݉ଶ Ǌįǉ ǄƿĲıǉǑ 8 ܿ݉ Ǌįǉ 4 ܿ݉

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ ޿߀߁߂ (޿߀ ോോ ߂߁) ǌı ‫ = ܤܣ‬12 ܿ݉, ‫ = ߁ܤ‬10 ܿ݉, ߁߂ = 20 ܿ݉ Ǌįǉ ޿መ = 90°

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳǐįȷıǆǂǕǍ į

ƢǍį ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ ޿߀߁߂ (޿መ = ߂መ = 90° ǀǓıǉ ߁෠ = 45°, ޿߂ = 4 ܿ݉ Ǌįǉ ߃௮௯௰௱ = 28 ܿ݉ଶ Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǉǑ ǄƿĲıǉǑ ĳǏǒ ĳǐįȷıǆǂǏǒ

136

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ȞɂɘɊɂɒɏɜȽ

ƯƹƯưƴƷ

ŐƇƁƅúŸ úůŻŸż«

ȥɠɈɉɍɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɐɠɋɍɉɍ ɒɘɋ ɐɄɊɂɜɘɋ ɒɍɓ ɂɎɇɎɚɁɍɓ Ɏɍɓ ȽɎɚɖɍɓɋ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȽɎɟɐɒȽɐɄ ܴ ȋȽɈɒɜɋȽȌ ȽɎɟ ɚɋȽ ɐɒȽɅɂɏɟ ɐɄɊɂɜɍ ߈ ȋɈɚɋɒɏɍȌ ɒɍɓ ɂɎɇɎɚɁɍɓǤ ȞɏəɔɍɓɊɂ ɀɇȽ ɐɓɋɒɍɊɜȽ ɈɠɈɉɍɑ (߈, ܴ) ɈȽɇ ɂɋɋɍɍɠɊɂ ɒɍɋ ɈɠɈɉɍ Ɋɂ Ɉɚɋɒɏɍ ɒɍ ߈ ɈȽɇ ȽɈɒɜɋȽ ܴǤ ¾ ȟɠɍ ɈɠɈɉɍɇ Ɋɂ ɒɄɋ ɜɁɇȽ ȽɈɒɜɋȽ ɂɜɋȽɇ ɜɐɍɇǤ ȱɍɏɁɛ ɈɠɈɉɍɓ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɍ ɂɓɅɠɀɏȽɊɊɍ ɒɊɛɊȽ Ɏɍɓ ɚɖɂɇ ɒȽ əɈɏȽ ɒɍɓ Ɏəɋɘ ɐɒɍɋ ɈɠɈɉɍǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį Ǉ ޿߀ ıǂǍįǉ ǓǏǐİǁ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ

ȟɇəɊɂɒɏɍɑ ɈɠɈɉɍɓ ɂɜɋȽɇ Ʉ ɖɍɏɁɛ Ɏɍɓ Ɏɂɏɋə ȽɎɟ ɒɍ Ɉɚɋɒɏɍ ɒɍɓ ɈɠɈɉɍɓǤ Ȯɍ Ɉɚɋɒɏɍ ߈ ɒɍɓ ɈɠɈɉɍɓ ɂɜɋȽɇ ɒɍ Ɋɚɐɍ ɈəɅɂ ɁɇȽɊɚɒɏɍɓǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį Ǉ ߁߂ ıǂǍįǉ İǉƿǌıĳǐǏǑ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ ȥɓɈɉɇɈɟɑ ɁɜɐɈɍɑ ȋȥǡ Ȍ ɂɜɋȽɇ ɍ ɈɠɈɉɍɑ ɊȽɃɜ Ɋɂ ɒɍ Ɋɚɏɍɑ ɒɍɓ ɂɎɇɎɚɁɍɓ Ɏɍɓ ɎɂɏɇɈɉɂɜɂɇǤ ȥəɅɂ ɐɄɊɂɜɍ ɒɍɓ ɈɓɈɉɇɈɍɠ ɁɜɐɈɍɓ ȽɎɚɖɂɇ ȽɎɟ ɒɍ Ɉɚɋɒɏɍ ȥ ȽɎɟɐɒȽɐɄ ɊɇɈɏɟɒɂɏɄ ɛ ɜɐɄ Ɋɂ ɒɄɋ ȽɈɒɜɋȽ Ǥ

ȟɠɍ ɐɄɊɂɜȽ ޿ ɈȽɇ ߀ ɒɍɓ ɈɠɈɉɍɓ ɖɘɏɜɃɍɓɋ ɒɍɋ ɈɠɈɉɍ ɐɂ

p ɒɍɓ Ɂɠɍ ɊɚɏɄǡ Ɏɍɓ ɒɍ ɈȽɅɚɋȽ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ ɒɟɌɍ AB ɈɠɈɉɍɓ Ɋɂ əɈɏȽ ޿ ɈȽɇ ߀Ǥ

ȠɎɜɈɂɋɒɏɄ ɀɘɋɜȽ ɂɜɋȽɇ Ʉ ɀɘɋɜȽ ɒɄɑ ɍɎɍɜȽɑ Ʉ Ɉɍɏɓɔɛ ɂɜɋȽɇ ɒɍ Ɉɚɋɒɏɍ ɒɍɓ ɈɠɈɉɍɓǤ Ȯɍ ɒɟɌɍǡ Ɏɍɓ ȾɏɜɐɈɂɒȽɇ ɐɒɍ ɂɐɘɒɂɏɇɈɟ ɒɄɑ ɀɘɋɜȽɑ ɍɋɍɊəɃɂɒȽɇ Ƚɋɒɜɐɒɍɇɖɍ ɒɟɌɍ ɒɄɑ ɂɎɜɈɂɋɒɏɄɑǤ Ƶįǐƿİıǉǅǌį

p ıǂǍįǉ ĳǏ įǍĳǂĲĳǏǉǓǏ ĳǘǎǏ ĳǇǑ ıȷǂǊıǍĳǐǇǑ ‫ݔܭݕ ס‬ ƸǏ AB p Ǌįǉ Ǉ ‫޿ס‬Ưƪ ǄįǂǍıǉ ĲĳǏ ĳǘǎǏ AB

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

137

ƱǁǊǏǑ ƯǙǊǋǏǒ

ƫǎıǐıǙǍǇĲǇ Ʋį ĲǒǆǇĳǁĲıĳı ĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ǊıǂǌıǍǏ ȰɎ ɄɖɝɄɣɔɎ Ȼɐɐɋɒɉɘ ɇɒɪɖɎɊɄɒ Ʉɕɦ əɋɒ ɉɕɔɝɢ əɔɚ ȢɖɎɗəɔəɡɐɋ ɦəɎ ɋ Ȥɋ ɉɣɒɄɎ ɗɛɄɎɖɎɏɢǤ Ȱ ȦɖɄəɔɗɌɡɒɋɘ ɑɉ ɡɒɄ ɕɉɣɖɄɑɄ ɕɔɚ ɡɝɉɎ ɑɉɣɒɉɎ ɗəɋɒ ȪɗəɔɖɣɄǡ ɑɕɦɖɉɗɉ ɒɄ ɑɉəɖɢɗɉɎ əɋɒ ɕɉɖɎɛɡɖɉɎɄ ɏɄɎ əɋɒ ɄɏəɣɒɄ əɋɘ Ȥɋɘ ɑɉ ɄɏɖɣɅɉɎɄ Ʉɕɖɦɗɑɉɒɋ ɇɎɄ əɄ ɑɡɗɄ əɋɘ ɉɕɔɝɢɘ ɉɏɉɣɒɋɘǤ Ȱ ȦɖɄəɔɗɌɡɒɋɘ ɈɎɠɅɄɗɉ ɗɉ ɡɒɄɒ ɄɖɝɄɣɔ ɕɠɕɚɖɔǡ ɗəɋ ɅɎɅɐɎɔɌɢɏɋ əɋɘ ȢɐɉɓɠɒɈɖɉɎɄɘǡ ɇɎɄ ɡɒɄ ɕɋɇɠɈɎ ɗəɋ ȳɚɢɒɋǡ ɗəɔ ɔɕɔɣɔ əɔ ϛɉɗɋϛɡɖɎ əɋɘ 21ɋɘ Ȫɔɚɒɣɔɚǡ ɔɎ Ʉɏəɣɒɉɘ əɔɚ ȼɐɎɔɚ ɡɕɉɛəɄɒ ɏɠɌɉəɄ ɗəɋ ɇɋ ɏɄɎ ɛɪəɎɊɄɒ əɔɒ ɕɠəɔ əɔɚǡ ɝɟɖɣɘ ɒɄ Ʉɛɢɒɔɚɒ ɏɄɑɣɄ ɗɏɎɠǤ ȴɋɒ ɣɈɎɄ ɋɑɉɖɔɑɋɒɣɄǡ ɑɡəɖɋɗɉ əɋ ɇɟɒɣɄ əɋɘ ɗɏɎɠɘ ɉɒɦɘ ɔɅɉɐɣɗɏɔɚǡ ɕɔɚ ɗɝɋɑɄəɎɊɦəɄɒ ɗəɎɘ 12 əɔ ɑɉɗɋɑɡɖɎ ɗəɋɒ ȢɐɉɓɠɒɈɖɉɎɄǤ Ȣɚəɢ ɢəɄɒ 7,20°Ǥ ȷɖɉɎɄɊɦəɄɒ ɒɄ ɑɉəɖɢɗɉɎ əɋɒ ɄɕɦɗəɄɗɋ əɋɘ ȢɐɉɓɠɒɈɖɉɎɄɘ ɏɄɎ əɋɘ ȳɚɢɒɋɘ ȋɕɔɚ ɅɖɣɗɏɔɒəɄɎ ɗəɔɒ ɣɈɎɔ ɑɉɗɋɑɅɖɎɒɦȌǤ ȴɋɒ ɉɕɔɝɢ əɔɚ ȦɖɄəɔɗɌɡɒɋǡ Ɉɉɒ ɚɕɢɖɝɉ ɄɏɖɎɅɢɘ ɑɡɌɔɈɔɘ ɑɡəɖɋɗɋɘ əɦɗɔ ɑɉɇɠɐɟɒ ɄɕɔɗəɠɗɉɟɒǤ ȳɧɑɛɟɒɄ ɑɉ əɋɒ ɕɄɖɠɈɔɗɋǡ ɔ ȦɖɄəɔɗɌɡɒɋɘ ɄɒɡɌɉɗɉ ɗɉ ɉɕɄɇɇɉɐɑɄəɣɉɘ ɅɄɈɎɗəɡɘ ɒɄ əɋɒ ɚɕɔɐɔɇɣɗɔɚɒ ɏɄɎ əɔ Ʉɕɔəɡɐɉɗɑɠ əɔɚɘ əɔ ɗɚɒɡɏɖɎɒɉ ɑɉ əɎɘ ɉɏəɎɑɢɗɉɎɘ Ʉɖɝɋɇɪɒ ɏɄɖɄɅɄɒɎɪɒǤ ȴɔ əɉɐɎɏɦ əɔɚ ɄɕɔəɡɐɉɗɑɄ ɢəɄɒ ɦəɎ ɋ ɄɕɦɗəɄɗɋ ȢɐɉɓɠɒɈɖɉɎɄɘ – ȳɚɢɒɋɘ ɎɗɔɧəɄɎ ɑɉ 5000 ɗəɠɈɎɄǡ ɔɕɦəɉ ɋ ɕɉɖɎɛɡɖɉɎɄ əɋɘ Ȥɋɘ ɕɖɔɏɧɕəɉɎ ɣɗɋ ɑɉ 252000 ɗəɠɈɎɄǡ ɈɋɐɄɈɢ ɑɉ 39690 ݇݉Ǥ ȭɉ ɗɋɑɉɖɎɒɡɘ ɈɔɖɚɛɔɖɎɏɡɘ ɑɉəɖɢɗɉɎɘ ɕɖɔɏɧɕəɉɎ ɕɟɘ ɋ ɕɉɖɎɛɡɖɉɎɄ əɋɘ Ȥɋɘ ɉɣɒɄɎ 40048 ݇݉Ǥ

Nį ǓǐǇĲǉǌǏȷǏǉǁĲıĳı ĳǏ «B_En3_EratoshenesǤggb» ǅǉį Ǎį ȷıǐǉǅǐƿǔıĳı ĲǒǌǌįǈǇĳǁ ĲįǑ ȷǚǑ ıǐǅƿĲĳǇǊı Ǐ ƫǐįĳǏĲǈǀǍǇǑ ǅǉį Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıǉ ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǇǑ ĬǇǑ.

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Ʋį ıǐǅįĲĳıǂĳı ǌı ȷįǐǘǌǏǉǏ ĳǐǘȷǏ ǅǉį Ǎį ǌıĳǐǁĲıĳı ĳǇǍ įǊĳǂǍį ĳǇǑ ǅǇǑ ƱȷǏǐıǂĳı Ǎį Ǆǐıǂĳı ǒǋǉǊǘ ĲĳǇ İǉıǙǈǒǍĲǇ www ea gr/ep/mobile/era/index html

138

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139

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140

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7. ƭ įǊĳǂǍį ĳǇǑ ĬǇǑ ıǂǍįǉ ȷıǐǂȷǏǒ 6400 ‫݉ܭ‬. Nį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ƮĲǇǌıǐǉǍǏǙ

8. ƸǏ İǀǍĳǐǏ EDREDE ǁ įǋǋǉǚǑ ĳǏ įǍƿȷǏİǏ İǀǍĳǐǏ ĴǒĳǐǚǍıǉ ǊǒǐǂǕǑ Ĳı ȷıǐǉǏǓǀǑ ĳǇǑ ƲǘĳǉįǑ ƩĴǐǉǊǁǑ ǊįǈǚǑ Ǌįǉ ĲĳǇǍ ƩǒĲĳǐįǋǂį Ǌįǉ ĲĳǇǍ ƮǍİǂį ƸǏ İǀǍĳǐǏ EDREDE ǆıǉ ĳǏǒǋƿǓǉĲĳǏǍ 3000 ǓǐǘǍǉį ƸǏ ǙǔǏǑ ĳǏǒ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ǎıȷıǐƿĲıǉ ĳį 25 ݉ Ǌįǉ Ǉ İǉƿǌıĳǐǏǑ ĳǏǒ ǊǏǐǌǏǙ ĳǏǒ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ĴĳƿĲıǉ ĳį 12 ݉ Ʋį ıǊĳǉǌǁĲıĳı ȷǘĲį ƿĳǏǌį ǌı ƿǍǏǉǅǌį ǓıǐǉǚǍ ȷıǐǂȷǏǒ 1,60 ݉ ǈį ǓǐıǉƿǆǏǍĳįǍ, ǅǉį Ǎį įǅǊįǋǉƿĲǏǒǍ ǀǍį ĳǀĳǏǉǏ İǀǍĳǐǏ ǌı İǉƿǌıĳǐǏ 12 ݉.

9. ƸǏ ǌǁǊǏǑ ĳǘǎǏǒ ȷǏǒ ǄįǂǍıǉ Ĳı ǅǕǍǂį 120° ıǂǍįǉ ǂĲǏ ǌı 2ߨ ܿ݉. Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ ƭ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį İǏǈıǂ ĲǒǍįǐĳǁĲıǉ ĳǏǒ ߨ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

143

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ĳǘǎǕǍ ߀߁ Ǌįǉ ߂߃ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį.

Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǇǌƿĳǕǍ p ĳıĳįǐĳǏǊǙǊǋǉǏ į '=

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ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

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9 Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ıǂǍįǉ İǒǍįĳǘǍ ǌı ǀǍįǍ ȷǐǏǄǏǋǀį Ǎį ĴǕĳǂĲıǉ ǊƿȷǏǉǏǑ ƴưƴ ĳǏǍ ǓǚǐǏ ƩǍ ǘǓǉ Ǎį ǌıǋıĳǁĲıĳı ĳǉǑ ȷǐǏİǉįǅǐįĴǀǑ ĳǏǒ ǌǇǓįǍǉǊǏǙ Ǌįǉ Ǎį ȷǐǏĳıǂǍıĳı İǙǏ İǉįĴǏǐıĳǉǊǏǙǑ ĳǐǘȷǏǒǑ ǌı ĳǏǒǑ ǏȷǏǂǏǒǑ ǈį ǌȷǏǐǏǙĲįǍ Ǎį ĳǏȷǏǈıĳǇǈǏǙǍ Ǐǉ ȷǐǏǄǏǋıǂǑ ǅǉį Ǎį ĴǕĳǂǆıĳįǉ Ǐ ǓǚǐǏǑ ƵǘĲǏǉ ȷǐǏǄǏǋıǂǑ ǈį ǓǐıǉįĲĳǏǙǍ ƴ ǊǙǐǉǏǑ ƱǉǓƿǋǇǑ ǀǓıǉ ĲĳǇ İǉƿǈıĲǇ ĳǏǒ ȷǐǏǄǏǋıǂǑ ĲĳǏǒǑ ǏȷǏǂǏǒǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ǐǒǈǌǂĲıǉ ĳǘĲǏ ĳǇǍ įǊĳǂǍį (0 െ 25 ݉) ǘĲǏ Ǌįǉ ĳǇ ǅǕǍǉƿ (0 െ 360°) ĲĳǇǍ ǏȷǏǂį ǌȷǏǐǏǙǍ Ǎį ȷǐǏǄƿǋǋǏǒǍ ĳǏ ĴǕǑ ĳǏǒǑ.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

145

©ǉıǐıǙǍǇĲǇ

Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ įǐǓıǂǏ «B̴Ƞn3_EmvȥȮ̴ȧȮǤggb»Ǥ

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ȧɚɒɏɍ ɀɘɋɜȽɑ ɘ

10 ܿ݉ 10 ܿ݉ 10 ܿ݉ 10 ܿ݉ 10 ܿ݉

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146

ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

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147

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ƩǊĳǂǍį ĳıĳįǐĳǏǊǒǊǋǂǏǒ ܴ = 8 Ǌįǉ ƩǊĳǂǍį ǇǌǉǊǒǊǋǂǏǒ ‫ = ݎ‬4 į ߃ఙ఑ఐఈఙఓɚఔఎచ = ߃ఖఘఏ. െ ൫߃ఛఌఛఈఘఛ. + ߃ఎఓఐ఑. ൯ ߃ఖఘఏ. = (޿߀) ή (޿߂) = 8 ή 16 = 128 ܿ݉ଶ ‫ܧ‬ఛఌఛఈఘఛ. = ‫ܧ‬ఎఓఐ఑ = ȱɏɄɐɇɊɍɎɍɇɍɠɊɂ ɐɒɇɑ ɎɏəɌɂɇɑǣ Ɏ ؆ 3,14

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గ௥ మ ଶ

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ଵ଺గ ଶ

= 16ߨ ܿ݉ଶ

= 8ߨ ܿ݉ଶ

߃ఙ఑ఐఈఙఓɚఔఎచ = ߃ఖఘఏ. െ ൫߃ఛఌఛఈఘఛ. + ߃ఎఓఐ఑. ൯ = 128 െ (16ߨ + 8ߨ) = (128 െ 24ߨ)ܿ݉ଶ ؆ (128 െ 24 ή 3,14) ܿ݉ଶ = 52,64ܿ݉ଶ Ǆ Ĭǉį Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲǏǒǌı ĳǇǍ ȷıǐǂǌıĳǐǏ ĳǏǒ ĲǊǉįĲǌǀǍǏǒ ĲǓǁǌįĳǏǑ ȷǐǏĲǈǀĳǏǒǌı ĳį ǌǁǊǇ p + %* p = ߃߀ + ߂߁ + ߛ ߎఙ఑ఐఈఙఓɚఔఎచ = ߃߀ + ߂߁ + (' ఛఌఛఈఘఛ. + ߛఎఓఐ఑. ߛఛఌఛఈఘఛ . = ߛఎఓఐ఑ . =

ଶగோ ସ

ଶగή଼ ସ

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ߎఙ఑ఐఈఙఓɚఔఎచ = ߃߀ + ߂߁ + ߛఛఌఛఈఘఛ. + ߛఎఓఐ఑. = 16 + 8 + (4ߨ + 4ߨ) = (24 + 8ߨ) ܿ݉ ؆ (24 + 8 ή 3,14) = 49,12 ܿ݉

148

ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳıǑ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ǊǙǊǋǏǒ į ǌı įǊĳǂǍį 10 ܿ݉, Ǆ ǌı İǉƿǌıĳǐǏ 10 ݉݉, ǅ ǌı ǌǁǊǏǑ ȷıǐǉĴǀǐıǉįǑ 12,56 ܿ݉, İ ǌı ǌǁǊǏǑ ȷıǐǉĴǀǐıǉįǑ ͳʹɎ ܿ݉. Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǇǍ įǊĳǂǍį ǊǙǊǋǏǒ įǍ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ıǂǍįǉ 36ߨ ݉ଶ . 3. ƸǏ ıǌǄįİǘǍ ıǍǘǑ ǊǙǊǋǏǒ ıǂǍįǉ ǂĲǏ ǌı 9ߨ ܿ݉ଶ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǇǑ ȷıǐǉĴǀǐıǉƿǑ ĳǏǒ. ƢǍįǑ ǊǒǊǋǉǊǘǑ ĳǏǌǀįǑ ǅǕǍǂįǑ 30° ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 3ߨ ݉² Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ įǊĳǂǍį ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ 5. Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ĲǊǉįĲǌǀǍǏǒ ǌǀǐǏǒǑ ǊǒǊǋǉǊǏǙ İįǊĳǒǋǂǏǒ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǓǁǌįĳǏǑ įǍ ߩ = 2 ܿ݉ Ǌįǉ ܴ = 4 ܿ݉. 6. ƢǍįǑ ǊǙǊǋǏǑ ǀǓıǉ ıǌǄįİǘǍ 144ߨ ܿ݉². Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ ĳǘǎǏǒ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ ȷǏǒ įǍĳǉĲĳǏǉǓıǂ Ĳı ıȷǂǊıǍĳǐǇ ǅǕǍǂį 60°. 7. ƴ ƲǉǊǘǋįǑ ǉĲǓǒǐǂǆıĳįǉ ǘĳǉ įǍ ĳǐǉȷǋįĲǉįĲĳıǂ Ǉ įǊĳǂǍį ıǍǘǑ ǊǙǊǋǏǒ ǈį ĳǐǉȷǋįĲǉįĲĳıǂ Ǌįǉ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ Ǌįǉ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǏǍ ǉĲǓǒǐǉĲǌǘ ĳǏǒ 8. ƴ ǒįǋǏǊįǈįǐǉĲĳǁǐįǑ ıǍǘǑ įǒĳǏǊǉǍǁĳǏǒ ǀǓıǉ ǌǁǊǏǑ 55 ܿ݉ ƸǏ ĲǇǌıǂǏ ȷıǐǉĲĳǐǏĴǁǑ įȷǀǓıǉ įȷǘ ĳǏ ǋƿĲĳǉǓǏ ǊįǈįǐǉĲǌǏǙ 15 ܿ݉. ƩǍ Ǐ ǒįǋǏǊįǈįǐǉĲĳǁǐįǑ İǉįǅǐƿĴıǉ ǅǕǍǂį 135° Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǇǍ ıȷǉĴƿǍıǉį ȷǏǒ Ǌįǈįǐǂǆıǉ 9. ƴ ǊǙǐǉǏǑ ƵįǙǋǏǑ İǉįǈǀĳıǉ 10 ݉ ĲǙǐǌį ǅǉį Ǎį ȷıǐǉĴǐƿǎıǉ ǀǍįǍ ǓǚǐǏ ǅǉį ĳǏǍ ĲǊǙǋǏ ĳǏǒ ĭǀǋıǉ Ǎį ıȷǉǋǀǎıǉ ĳǏ ĲǓǁǌį ǌı ĳǇ ǌıǅįǋǙĳıǐǇ ıȷǉĴƿǍıǉį ȷǏǒ ǌȷǏǐıǂ Ǎį ȷıǐǉĴǐƿǎıǉ. Ƹǉ ĲǓǁǌį ȷǐǀȷıǉ Ǎį ıȷǉǋǀǎıǉ ǊǙǊǋǏ ǁ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ; Ʊǉį ǊǒǊǋǉǊǁ ȷǋįĳıǂį ǀǓıǉ įǊĳǂǍį ܴ = 36 ݉ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ƢǍįǑ ȷǐǏǄǏǋǀįǑ ıǂǍįǉ ĳǏȷǏǈıĳǇǌǀǍǏǑ ĲĳǏ ǊǀǍĳǐǏ ĳǇǑ ȷǋįĳıǂįǑ Ǌįǉ ıǊȷǀǌȷıǉ İǀĲǌǇ ĴǕĳǘǑ ȷǏǒ ĴǕĳǂǆıǉ ǀǍįǍ ǊǒǊǋǉǊǘ ĳǏǌǀį ǅǕǍǂįǑ 50°. į Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ȷǋįĳıǂįǑ Ǆ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǇǑ ȷǋįĳıǂįǑ ȷǏǒ İıǍ ĴǕĳǂǆıĳįǉ ƭ įȷƿǍĳǇĲǁ ĲįǑ ǌȷǏǐıǂ Ǎį İǏǈıǂ ĲǒǍįǐĳǁĲıǉ ĳǏǒ ߨ

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

149

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150

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ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

151

5. ƢǍį ǌǀǐǏǑ ĳǕǍ ǌȷǋı ĳıĳǐįȷǋıǙǐǕǍ ıǂǍįǉ ǊǐǒǌǌǀǍǏ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ Ĳĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı ĳǉ ıǂİǏǒǑ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ǈį ǌȷǏǐǏǙĲı Ǎį ıǂǍįǉ ĳǏ ǊįǈǀǍį

6. Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ Ǐǉ įǊǘǋǏǒǈıǑ ȷǐǏĳƿĲıǉǑ ıǂǍįǉ įǋǇǈıǂǑ į Ưƿǈı ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ıǂǍįǉ Ǌįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ Ǆ Ưƿǈı ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǐǘǌǄǏǑ ǅ Ưƿǈı ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ İ Ưƿǈı ǐǘǌǄǏǑ ıǂǍįǉ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ı Ưƿǈı ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ Ĳĳ Ưƿǈı ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ıǂǍįǉ ȷįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ 7. Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĳǏǒ İǉȷǋįǍǏǙ ĲǓǁǌįĳǏǑ į

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152

ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

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╞╕╟П ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ╟К╟Т╟К╟Л╟Й╟К╟П╟Щ ─│╟П╟М╟А─п ╟Е╟Х╟Н╟В─п╟С 45┬░ ─▒╟В╟Н─п╟Й 20,═┤═╖╔О ▄┐▌Йрм╢ ╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟П ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ─│╟П╟Т ╟К╟Щ╟К╟Л╟П╟Т ─▓─│╟П╟Н ╟П╚╖╟П╟В╟П ─п╟Н╟Б╟К─▒╟Й ╟П ─│╟П╟М╟А─п╟С ╞╕╟Р─▒╟Й╟С ╟П╟М╟Ш╟К─▒╟Н─│╟Р╟П╟Й ╟К╟Щ╟К╟Л╟П╟Й ╟А╟У╟П╟Т╟Н ─п╟К─│╟В╟Н─▒╟С ╔П, ═┤╔П, ═╡╔П ─п╟Н─│╟В─▓─│╟П╟Й╟У─п ╞й╟Н ╚Юрм╡ , ╚Юрм╢ , ╚Юрм╖ ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│─п ╟М╟Б╟К╟З ─│╟З╟С ╚╖─▒╟Р╟Й─┤╟А╟Р─▒╟Й─п╟С ─│╟Х╟Н ─│╟Р╟Й╟Ъ╟Н ╟К╟Щ╟К╟Л╟Х╟Н ╟К─п╟Й ╚арм╡ , ╚арм╢ , ╚арм╖ ─│╟П ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ─│╟П╟Т╟С ─п╟Н─│╟В─▓─│╟П╟Й╟У─п ╟Н─п ─▓╟Т╟М╚╖╟Л╟З╟Р╟Ъ─▓─▒─│─▒ ─│╟П╟Н ╚╖╟В╟Н─п╟К─п ╚арм╡ ╚арм╖ ╚Юрм╡ ╚Юрм╖ ╚арм╢ ╚арм╡ ╚Юрм╢ ╚Юрм╡

╞в╟Н─п╟С ╟К╟Щ╟К╟Л╟П╟С ╟А╟У─▒╟Й ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ╟В─▓╟П ─п╟Р╟Й╟И╟М╟З─│╟Й╟К╞┐ ╟М─▒ ─│╟П ╟М╟Б╟К╟П╟С ─│╟П╟Т ╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟П ╟М╟Б╟К╟П╟С ─│╟З╟С ─п╟К─│╟В╟Н─п╟С ─│╟П╟Т p ╞╖─│╟П ─░╟Й╚╖╟Л─п╟Н╟Ш ─▓╟У╟Б╟М─п ▐┐▀А▀Й▀В ─│╟Р─п╚╖╟А╟Ж╟Й╟П ╟К─п╟Й $% ╟З╟М╟Й╟К╟Щ╟К╟Л╟Й╟П. ╞▓─п ╟Д╟Р─▒╟В─│─▒ ─│╟П ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ╟К─п╟Й ─│╟З╟Н ╚╖─▒╟Р╟В╟М─▒─│╟Р╟П ─│╟П╟Т ─▓╟К╟Й─п─▓╟М╟А╟Н╟П╟Т ─▓╟У╟Б╟М─п─│╟П╟С.

╞▓─п ╟Т╚╖╟П╟Л╟П╟Е╟В─▓─▒─│─▒ ─│R ─▒╟М╟Д─п─░╟Ш╟Н ╟К─п╟Й ─│╟З╟Н ╚╖─▒╟Р╟В╟М─▒─│╟Р╟П ─│╟Х╟Н ─▓╟К╟Й─п─▓╟М╟А╟Н╟Х╟Н ─▒╚╖╟Й─┤─п╟Н─▒╟Й╟Ъ╟Н ─▓─│─п ╚╖─п╟Р─п╟К╞┐─│╟Х ─│─▒─│╟Р╞┐╟Е╟Х╟Н─п ╚╖╟Л─▒╟Т╟Р╞┐╟С 10 ▄┐▌Й ╞╕─п ─│╟Ш╟О─п ─▓─│─п ╚╖╟Й╟П ╟К╞┐─│╟Х ─▓╟У╟Б╟М─п─│─п ─▒╟В╟Н─п╟Й ╟З╟М╟Й╟К╟Щ╟К╟Л╟Й─п ╟Б ─│─▒─│─п╟Р─│╟П╟К╟Щ╟К╟Л╟Й─п ╞╕╟П ▀И ─▒╟В╟Н─п╟Й ─│╟П ╟М╟А─▓╟П ─│╟З╟С ╚╖╟Л─▒╟Т╟Р╞┐╟С ▀А▀Б. ╟Д

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153

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Ʋį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǕǍ ȷǋıǒǐǚǍ Ǌįǉ ĳǕǍ İǉįǅǕǍǂǕǍ ĳǕǍ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĳıĳǐįȷǋıǙǐǕǍ Ǌįǉ Ǎį ĳį ǓįǐįǊĳǇǐǂĲıĳı ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǏ ıǂİǏǑ ĳǏǒǑ į

3. ƵǉǏ ǊƿĳǕ İǂǍǏǍĳįǉ İǙǏ ǂĲį ĳıĳǐƿǅǕǍį ǌı ȷǋıǒǐǀǑ ǌǁǊǏǒǑ Ƚ + Ⱦ. ƸǏ ȷǐǚĳǏ ǓǕǐǂǆıĳįǉ Ĳı İǙǏ ǌǉǊǐǘĳıǐį ĳıĳǐƿǅǕǍį Ǌįǉ İǙǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉį Ǌįǉ ĳǏ İıǙĳıǐǏ Ĳı ǀǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ Ǌįǉ ĳǀĲĲıǐį ǂĲį ǏǐǈǏǅǚǍǉį ĳǐǂǅǕǍį ƺǐǇĲǉǌǏȷǏǉǚǍĳįǑ ĳį ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǓǁǌįĳį Ǎį įȷǏİıǂǎıĳı ĳǏ ƵǒǈįǅǘǐıǉǏ ĭıǚǐǇǌį

154

ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

ƸǀĲĲıǐį ǂĲį ǏǐǈǏǅǚǍǉį Ǌįǉ ǀǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǏȷǏǈıĳǏǙǍĳįǉ ǓǕǐǂǑ Ǎį ıȷǉǊįǋǙȷĳǏǍĳįǉ ǅǉį Ǎį İǇǌǉǏǒǐǅǁĲǏǒǍ ǀǍį ƿǋǋǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǘȷǕǑ ĴįǂǍıĳįǉ ĲĳǏ İǉȷǋįǍǘ ĲǓǁǌį ƩǍ ĳǏ Ǌƿǈı ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ǀǓıǉ ȷıǐǂǌıĳǐǏ 40 ܿ݉, Ǎį ǒȷǏǋǏǅǂĲıĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ǌıǅƿǋǏǒ ĳıĳǐįǅǚǍǏǒ

5. Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ «ƪ_En3B6\PHWULD ggb« Ʋį ǌıǋıĳǁĲıĳı ĳǏ ĲǓǁǌį Ǌįĳƿ ĳǇǍ ȷıǐǉĲĳǐǏĴǁ ĳǏǒ į ƵǏǉį ıǂǍįǉ Ǉ ĲǓǀĲǇ ĳǇǑ ǈǀĲǇǑ ĳǏǒ įǐǓǉǊǏǙ ĲǓǁǌįĳǏǑ ǌı ĳǇǍ ĳıǋǉǊǁ ĳǏǒ ǈǀĲǇ Ǆ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı įǍ ĳǏ ĲǓǁǌį ȷįǐǏǒĲǉƿǆıǉ Ĳǒǌǌıĳǐǂį ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǏ ߍ.

6. ƷĳǏ ȷǉǏ ǊƿĳǕ ĲǙĲĳǇǌį įǎǘǍǕǍ Ǎį ĳǏȷǏǈıĳǁĲıĳı ĳį ĲǇǌıǂį ޿(െ1,3), ߀(1,4) Ǌįǉ ߁(1,2). į Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĲǓǁǌį ޿ʅ߀ʅ߁ʅ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿߀߁ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߝ. Ǆ Ʋį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĲǓǁǌį ߂߃߄ ĳǏǒ ĳǐǉǅǚǍǏǒ ޿ʅ߀ʅ߁ʅ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǏ ĲǇǌıǂǏ (0,0). ǅ Ʋį ıǎıĳƿĲıĳı Ǌįĳƿ ȷǘĲǏ ĳį ĳǐǂǅǕǍį ޿߀߁ Ǌįǉ ߂߃߄ ıǂǍįǉ ĲǒǌǌıĳǐǉǊƿ.

ȠȨȪȮȢȮȜ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

155

7. Ʋį įǍǏǂǎıĳı ĳǏ ıĴįǐǌǏǅǂİǉǏ «ƪ_En3_Symetria ggb» į Ʋį ǌıĳįǊǉǍǁĲıĳı ĳǏǍ İǐǏǌǀį ߮. Ǆ Ʋį ȷįǐįĳǇǐǁĲıĳı ĳǉǑ İǉƿĴǏǐıǑ ǈǀĲıǉǑ ĳǏǒ ߪ߯ɛߤߙ߬ߧ߫ 1 Ĳı ĲǓǀĲǇ ǌı ĳǏ ߪ߯ɛߤߙ 2.

8. Ʊı ĳǇ ǄǏǁǈıǉį ĳǏǒ ıĴįǐǌǏǅǉİǂǏǒ ªƪBEn Bpi.JJE», Ǎį ıǎǇǅǁĲıĳı ĳǇ İǉįİǉǊįĲǂį ȷǐǏĲǀǅǅǉĲǇǑ ĳǏǒ įǐǉǈǌǏǙ ߨ.

Ʋį ĲǓıİǉƿĲıĳı ĳǐǂǅǕǍǏ ޿߀߁ Ǌįǉ Ǎį ǊįĳįĲǊıǒƿĲıĳı ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĲǇǌıǂǏ ߂ ĳǏǒ ޿ ǕǑ ȷǐǏǑ ߀ ǊįǈǚǑ Ǌįǉ ĳǏ ĲǒǌǌıĳǐǉǊǘ ĲǇǌıǂǏ ߃ ĳǏǒ ߂ ǕǑ ȷǐǏǑ ĳǇǍ ıǒǈıǂį ߀߁ Ʋį İǉǊįǉǏǋǏǅǁĲıĳı ǅǉįĳǂ ĳį ĳǐǂǅǕǍį ߀߂߃ Ǌįǉ ߀߃޿ ıǂǍįǉ ǉĲǏĲǊıǋǁ

ƢǍį ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ǌı ıǌǄįİǘǍ 16 ܿ݉ଶ ǀǓıǉ ĳǉǑ ǊǏǐǒĴǀǑ ĳǏǒ Ĳı ǊǙǊǋǏ Ʋį Ǆǐıǂĳı ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ǊǙǊǋǏǒ

156

ȦȮȰȴȨȴȢ 3: ĬıǕǌıĳǐǂį

ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ ƩƟ ĳıǙǓǏǒǑ

ȈȤȠȜȚțȒ ȋȡȠȞȚȐ – 14

158

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

ƫƵƩƲƩưƭƻƭ

Ʃȷǘ ĳǇǍ ƩƟ ĬǒǌǍįĲǂǏǒ

ƫƵƩƲƩưƭƻƭ ƩƵƴ ƸƭƲ ƩƟ ĬƹƱƲƩƷƮƴƹ ©ǐįĲĳǇǐǉǘĳǇĳį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

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ƷƼƷƸƴ

2. į

Ĳĳ

3. į

Ĳĳ

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െ23

ƷƼƷƸƴ

െ47

െ7

െ13

72 ଶ

െ1 ଵହ

ǉǄ

െ24

ǉǅ

െ5 ଵ଼

ହ

ǉİ

1 ଶଵ

4. į

െ2

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െ20

Ĳĳ

െ2

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െ7

5. į

0 െ14 െ4

6. ߊ߈߂(32,48,80) = 16 7. į

ହ

߃߈ߎ(32,48,80) = 480 Ǆ

ǉį

଻ െ7 ଵଶ

െ27

ଵ ଷ଺

8. į

‫ = ݔ‬1

ܽ = 4

‫ = ݔ‬2

‫ = ݔ‬5

‫ = ݔ‬6

Ĳĳ

‫ = ݕ‬െ4

ߢ = 0

‫ = ݔ‬7

Ĳĳ

9. į

ƩǌǄǋıǂį

ƱǇİıǍǉǊǁ

ƱǇ Ǌǒǐĳǁ

ƴǐǈǁ

ƫǒǈıǂį

ƴǎıǂį

ƵǋǁǐǇǑ

10. į

ߙ = 55°

‫ = ݔ‬35°, ‫ = ݕ‬145°

‫ = ݔ‬20°

‫ = ݔ‬65°, ‫ = ݕ‬115°

11. į

‫ = ݔ‬60°, ‫ = ݕ‬60° i.

įǊĳǂǍį

Ĳĳ

ƱǇ Ǌǒǐĳǁ ǅ ߜ = 22°

ii.

ǓǏǐİǁ

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

iii. İǉƿǌıĳǐǏǑ

159

тАл = ▌ФтАм4, тАл = ▌ХтАм3

13. ─п

тАл = ▌ФтАм72┬░ ▀й = 108┬░ ─▓╟К─п╟Л╟З╟Н╟Ш ╟П╟О╟Т╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П

╟Д

14. ─п

тАл = ▌ФтАм40┬░

╟Д

▀Щ = 45┬░ ▀Ъ = 45┬░ ▀Ы = 135┬░ ╟Й─▓╟П─▓╟К─▒╟Л╟А╟С ╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П р╖врм╡ = ▀А р╖врм╢ = 30┬░ ▀Бр╖а = 30┬░ ▀ВсИШ = 30┬░ ▀А

╟Е

╟П╟Р╟И╟П╟Е╟Ъ╟Н╟Й╟П

─░

╟Й─▓╟П─▓╟К─▒╟Л╟А╟С

─п

▐┐(0,3) ▀А(р╡Ж3,0) ▀Б(0,0) ╟Е

тАл ▌Ф = ▌ХтАм+ 3

15.

╟Д

р╖врм╢ = 18┬░ ▀Ар╖а = 72┬░, р╖в ▐┐рм╡ = ▐┐

12. ─п

тАл▄зтАмрпорп░рпп = 4,5 ▀м. ▀д.

╟Д

╟Е

▐┐▀Б = 8, ▀А▀Б = 2

16. ╟Д

╞╕╟П (0,0) ─░─▒╟Н ─п╟Н╟Б╟К─▒╟Й ─▓─│╟З ╟Е╟Р─п─┤╟Й╟К╟Б ╚╖─п╟Р╞┐─▓─│─п─▓╟З ─│╟З╟С ─▓╟Т╟Н╞┐╟Р─│╟З─▓╟З╟С

18. ─п

тАл = ▌ХтАмрм╡рм┤ тАл ▌ФтАм

19.

тВм32000

20.

12%

21.

▄▓(тАл = )▄гтАм1

рм╗

22. ─п

╟Д

рм╡

╞л╞▓╞┤╞╕╞н╞╕╞й 1

рм╡

▄▓(тАл = )▄дтАмрм╢ ,

40 ╟М─п╟И╟З─│╟А╟С

╟Е тАл = ▌ХтАмтВм56

тАл = ▌ФтАмтВм400

рм╣

▄▓(▀Б) = рм╢ ,

╟Д

▄▓(▀В) = рм║ , i.

═╛╔╖═┐

▄▓(▀Г) = 0

рм╡ рм╕

ii.

╞╡╟Р─п╟Е╟М─п─│╟Й╟К╟П╟В ╞й╟Р╟Й╟И╟М╟П╟В ╞о┬й╞о╞┤╞╕╞н╞╕╞л╞╖ ┬й╞╣╞▓╞й╞▒╞л╞╝╞▓

┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─п 1. 2.

╞╖─▒╟Л╟В─░─п

╞й╚╖─п╟Н─│╟Б─▓─▒╟Й╟С

─п

╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤

─░

╞░╞й─н╞┤╞╖

─▒ ╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤

─п

5рм╜

─░

╟Ж

╟Е ╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д

тАл ▌ХтАмрм╖

сЙАрм╖сЙБ

─▒

(0,1)рм╡рм╖

11рм║

╟З

5рм╣

╟И ▄╜рм╡

╟Е 10

рм╡ рм╡рм┤

─▓─│ (р╡Ж2)рм╖

▀Ърм╡рм╖

10рм╕

─п

╟Д

─░

─▒

6, 4

╟Ж

╟З

╟Й

─▓─│ 3 ╟И 1

─п

3рм║

─░

сЙАр╡Ж рм╕сЙБ

─▒ 2рм╖ ╬о ▄╜рм║

─▓─│ ▄╜рм╡рм╗

╟Ж

тАл рм╗ ▌ФтАм╬о тАл ▌ХтАмрм╢рм╝

╟З ▄╜рм╜ ╬о ▀Ърм╡рм╣

─п

7рм╖

╟Д

160

╟Д ▀Щ рм╢ рм╖ рм╝

╟Е (р╡Ж7)рм╢

╟Й

рм╗ рм╡рм┤

╟Е тАл ▌ФтАмрм╢рм┤

▀Щ рм╡рм╣ ╬о ▀Ъ рм║

╟Е

i. ii.

╞┤╟К─│─п╚╖╟Л─п─▓╟Й╞┐╟Ж─▒─│─п╟Й 27-╚╖╟Л─п─▓╟Й╞┐╟Ж─▒─│─п╟Й

╚Э╩Е ╚Ю╚п╚з╚и╚Ь╚н╚д╚к╚п: ╚Ь╔О╚╜╔Л╔Т╔Ы╔Р╔В╔З╔С ╚Я╔П╚╜╔Р╔Т╔Д╔П╔З╔Н╔Т╔Ы╔Т╔Ш╔Л ╚Ь╩Е

10.

Ǆ 100000

100000

ı 1

Ĳĳ

64 3ଵ଴

5ହ

Ǆ (+2)ଵଷ

(െ3)ଵଵ

ı (െ2)଻

Ĳĳ

(െ2)ଽ

Ǉ (െ3)଺

2ହ

Ǆ 2଼

7ସ ଷ

11.

12.

İ 3 ଷ

2 ή3 ή

(െ7)଼

ଽ

Ǆ 2 ή 3 ή Ǆ

‫ = ݔ‬9

ଷ

(െ7)଻

ଵ

െ ଷଶ

(െ7)ଵଵ 3଺ ή (െ7)ଵଷ

‫ = ݔ‬2

2. 4. 5.

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

ଵ ଶ଻

ଶହ ଽ

ƷƼƷƸƴ

1 8ߙ ଷ ưƩĭƴƷ

ưƩĭƴƷ

ଵ െ ଷ ଻ଵ ଻ଶ

െ11

1 16 ǅ ưƩĭƴƷ

Ĳĳ

+ ସ

്

3ଶ

3଴

3଺

3ିସ

3ସ

Ĳĳ

3ି଺

‫ ܤ‬

5ଷ

6ଽ

5଻

Ĳĳ

ଵ ସ ቀହቁ ଵ ହ ቀ௔ቁ (െ5)଼

3଻

ǉį

2ହ

ǉǄ

ቀ+ ቁ ଶ ‫ = ݔ‬13

‫ = ݔ‬െ12

‫ = ݔ‬െ7

‫ = ݔ‬െ1

10. 11.

12.

ଵ ଵ

ǅ +34

ଷ

1 25

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

ଵ ଼

ቀ ቁ ଻ 3ଵ

(െ3)ଵ

161

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

Ĳĳ

0,4

ưƩĭƴƷ

ƷƼƷƸƴ

ưƩĭƴƷ

ƷƼƷƸƴ

Ĳĳ

ưƩĭƴƷ

Ĳĳ

8 5 3 ưƩĭƴƷ

ƷƼƷƸƴ

ȫ = 28 ܿ݉

ȫ = 36 ܿ݉

ȫ = 44 ܿ݉

Ĳĳ

ߙ = 6 ݉݉

4. 5.

10. 11.

0,6

1,5 1 െ 8

െ0,3 2 3

0,01 1 െ 3

ǉį

ǉǄ

ƷƼƷƸƴ

230 ݉ 5,8,13,20 ƷĳǏ 13ఖ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ (13ଶ + 4 = 173)

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

Ʒıǋǂİį 41

ƷƼƷƸƴ

ưƩĭƴƷ

7ξ2

12ξ5 + ξ2

2ξ10 + ξ10

య

3 + 2ξ3

Ĳĳ 6

ii. ߁

iii.

iv.

150 1 2 ߀

޿ = 19

2 ߀ = െ3 3

߁ = 1

162

Ǆ 10

య

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

6. 7.

߃ = 45 ܿ݉ଶ

߃ = 10ξ6 ܿ݉ଶ ߎ = ൫4ξ3 + 10ξ2൯ ܿ݉

ߎ = 12ξ5 ܿ݉

‫ܧ‬ఛఌఛఘəఊఠఔఖజ = 4 ή ‫ܧ‬ఖఘఏఖఊఠఔɜఖజ

െ1 ii.

‫ = ݑ‬64 ݇݉/݄

‫ = ݑ‬96 ݇݉/݄

4 െ ξ2 iii.

െ1

‫ = ݑ‬160 ݇݉/݄

ƴǐǈǘǑ Ǐ ĲǒǋǋǏǅǉĲǌǘǑ

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

į 25߬. ߤ.

100߬. ߤ.

į ‫ = ݔ‬15 ܿ݉

‫ = ݔ‬20 ܿ݉

ǅ ‫ = ݔ‬8 ܿ݉

‫ = ݔ‬24 ܿ݉

‫ = ݔ‬50 ݉

6. 7. 8. 9. 10.

Ʒıǋǂİį

߃ = 432 ܿ݉ଶ

߃ = 48 ܿ݉ଶ

ߎ = 36 ܿ݉ ƸǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ

ߎ = 84 ܿ݉ ƸǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ıǂǍįǉ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ

ƮĲǓǙıǉ ĳǏ Ƶĭ İǇǋįİǁ 5ଶ = 3ଶ + 4ଶ į

ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳǐǂǅǕǍǏ ǌı ߀෠ = 90‫ ל‬

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

2,65

1,87

11,18

1,44

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

163

╞й╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С

─о╟Т─▓╟Й╟К╟Ш╟С ╞й╟К╟А╟Р─п╟Й╟П╟С ╘│ ╘║

╞╢╟З─│╟Ш╟С ╘╖

╞б╟Р╟Р╟З─│╟П╟С ╞╡╟Р─п╟Е╟М─п─│╟Й╟К╟Ш╟С ╘╣р╡Ж╘╖ ╘╣

8,4

рм╖ рм╣

р╡Ж╬╛25

рм╢рм╕ рм╣

р┤др┤др┤д 8, р┤д17

╬╛6

р░п

╬╛5

р░п

р╡Ж ╬╛7 ╬╛36

р░п

╬╛27

р╡Ж╬╛20

0,44444

╔О

9 9

3. 4. 5. 6. 7.

─п

╟Д

╟Е

─░

─▒

─▓─│

╞╡ ╟У ▄╜ = 51 ▀Ъ = 59 ─п

╟Д

╟Е

─░

╞░╞┐╟И╟П╟С ─░╟Й╟Ш─│╟Й ╟Е╟Й─п ╚╖─п╟Р╞┐─░─▒╟Й╟Е╟М─п ╬╛25 = 5 ╚╖╟П╟Т ─▒╟В╟Н─п╟Й ─┤╟Т─▓╟Й╟К╟Ш╟С ─п╟Р╟Й╟И╟М╟Ш╟С ─п

7, ╬╛50, 9, ╬╛85

╟Д

╟Е

5, ╬╛38, 7, ╬╛91 р┤др┤др┤др┤д 7р┤д р╢е0,23 р┤др┤др┤др┤др┤д 47 0,474

─п

╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д

╞░╞й─н╞┤╞╖

─░

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤

─▒

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤

─п

тАл ▌ФтАм╪Ж 5,8 ▌Й

╟Д

тАл ▌ФтАм╪Ж 2,5 ▌З▌Й

11.

─п

▀А▀Б = ╬╛50

╟Д

▀А▀Б = ╬╛41

12.

23 ╟В╟Н─│╟Ж─▒╟С

13.

▐┐▀Б ╪Ж 297,32 ▌Й

14.

▀А▀Б = 13 ▄┐▌Й ▐┐▀А = 15 ▄┐▌Й

164

╟Е

╞╖╞╝╞╖╞╕╞┤

╟Е

тАл ▌ФтАм╪Ж 2,8 ▌Й

╚Э╩Е ╚Ю╚п╚з╚и╚Ь╚н╚д╚к╚п: ╚Ь╔О╚╜╔Л╔Т╔Ы╔Р╔В╔З╔С ╚Я╔П╚╜╔Р╔Т╔Д╔П╔З╔Н╔Т╔Ы╔Т╔Ш╔Л ╚Ь╩Е

┬й╞╢╞й╞╖╞╕╞н╞╢╞о╞┤╞╕╞н╞╕╞л╞╖ ╞л╞▓╞┤╞╕╞н╞╕╞й╞╖ ┬й╟Р─п─▓─│╟З╟Р╟Й╟Ш─│╟З─│─п 1.

2. 3. 5.

╞╖─▒╟Л╟В─░─п 61

╞й╚╖─п╟Н─│╟Б─▓─▒╟Й╟С

─п

рм╡ + рм╜

─░

р╡Ж64

╟Ж

+ рм╕рм╜

╟Й

─п

╟Д >

╟Е

─░ =

─п

19683

╟Д 177147

─░

─▒ 19683

─п

╟Д р╡Ж6

─░

─▒ р╡Ж12

╟Ж

р╡Ж6

╟З 2

─п

╟Д 5

╟Е р╡Ж5рм╣

─░

3рм╡

─▒ 2рм╢

─▓─│ сЙАр╡Ж сЙБ рм╢

╟Ж

6рм╕

╟З 2рм╡рм╜

╟Й

3рм╝

─п

рм╡ 9 рм╖

╟Д р╡Ж32

╟Е

10000

─░ 0

рм╡

рм╖

╟Д +1 ─▒ +25 ╟З 0

рм╡

╟Е р╡Ж рм╝ рм╡

─▓─│ + рм╝ ╟И +16

╟Е 81 ─▓─│ 1 ╟Е р╡Ж6 ─▓─│ 2

рм╡рм╡

рм╡ рм╕

╟И 3рм╡рм╡

рм╗ р╡Ж2 рм╝

─п

+10

╟Д

─п

╞░╞й─н╞┤╞╖

╟Д ╞┤╞╢─н╞┤

╟Е ╞┤╞╢─н╞┤

─░

╞░╞й─н╞┤╞╖

─▒ ╞░╞й─н╞┤╞╖

─▓─│ ╞┤╞╢─н╞┤

╟Ж

╞┤╞╢─н╞┤

10.

11. 12. 13.

─п

╟Д

рм╡ рм╖

─░

─▒

╟Ж

╟З

0,3

─п

╟Д

╟Е 10 ╟Е ╬╛13 ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟С

╟Е 1,1 ─▓─│ 10

─п

╬╛

╬╛2 ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟С

╟Д

р░п

─░

╟Р╟З─│╟Ш╟С

─▒

5, ╟Р╟З─│╟Ш╟С

─п

╟Д

╟Е =

─░

─▒

─▓─│ >

╬╛9 ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟С

15.

р░п

16.

╞╡ ╟У тАл = ▌ФтАм╬╛70 ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟С ╟К─п╟Й тАл = ▌ХтАм8,3 ╟Р╟З─│╟Ш╟С

р░п

─▓─│ ╬╛25 ╞┐╟Р╟Р╟З─│╟П╟С

р░п

╬╛5 , ╬╛8 ╬╛5 , ╬╛29 ╬╛29

╚г╩Н ╚д╚╡╚н╚о╚в╚│╚к╚░╚╡: ╚░╩Л╔▓╩Ж╩П╔╝╩Н╔╕╔┐╩О ╚┤╩М╔▓╩Н╩П╔╗╩М╔┐╩Й╩П╔╝╩П╩Ш╩Ж ╚░╩Ъ ╩П╔╕╩С╩Ц╩Й╩Р╩О

165

17.

18.

߃޿ ؆ 25 ݉

19.

‫ = ݕ‬ξ13

20.

Ǆ ‫ = ݔ‬ξ1184

‫ = ݔ‬ξ48

‫ = ݔ‬ξ464

޿߀ = 17 ܿ݉

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

(0,3)ଵଶ

11.

߀ = 2଼

߁ = 6

޿߀ = ξ13 ߤ.

߁߂ = ξ17 ߤ.

߈߇ = ξ18 ߤ.

߃߄ = ξ20 ߤ.

ܽ = 8 ܿ݉

17.

13.

16.

‫ = ݔ‬8 ܿ݉

15.

޿ = 12଼

12. 14.

Ʒıǋǂİį 66

߅߆ = 3 ߤ.

ξߙ, ߙ, ߙ ଶ

ξߙ = ߙ = ߙ ଶ

ߙ ଶ , ߙ, ξߙ

ξߙ = ߙ = ߙ ଶ

‫ = ܧ‬34 ܿ݉ଶ į

ƯƩƵƴƸƫ

ƵƴƸƫ

ƯƩƵƴƸƫ

ξ21, ξ20, 1

ƫƲƴƸƭƸƩ 2

ƩǋǅıǄǐǉǊǀǑ ƵįǐįĲĳƿĲıǉǑ ƩưĬƫƪƶƮƯƫƷ ƵƩƶƩƷƸƩƷƫƮƷ -ƱƴƲƼƲƹƱƩ

166

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

ƱǏǍǚǍǒǌį +2‫ݔ‬, 3‫ ଻ ݕݔ‬,

௫௬ఠ ଶ௫௬ మ , ଷ , ଺

1234

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

©ıǍ ıǂǍįǉ

ƫǂǍįǉ

ƷǒǍĳı-

ƯǙǐǉǏ

ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǌǏǍǚǍǒǌǏ ǋıĲĳǁǑ ǌǀǐǏǑ

ƪįǈǌǘǑ

ାଷ௫ మ ଼

ଷ ଼

‫ ݔ‬ଶ

‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ

െ3‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ହ

െ3

‫ ݔ‬ଷ ‫ ݕ‬ହ

െ ସ

ଶ ଷ ‫ݕ ݔ‬ ଻

+ 4

3ܽଶ ߚିଷ ଵ

െ ସ ߙ

ଵ

Ƶ Ǔ 2‫ ݔ‬ଶ ‫ݕ‬, െ ସ ‫ ݕݔ‬ଷ

ଵ

ߥ = 2

ưƩĭƴƷ

ǅ ƷƼƷƸƴ

ưƩĭƴƷ

Ĳĳ ƷƼƷƸƴ

ǅ 3‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬

Ƶ Ǔ 4‫ ݕ‬ଷ

ߤ = 4, ߥ = 6

െ2ߙ ଶ ߚଷ

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ Ǆ

v ή

Ʒıǋǂİį

ǅ ii

İ i

2‫ ݔ‬

4‫ ݔ‬ଷ

െ15‫ ݔ‬

16‫ ݔ‬ଶ

8‫ ݔ‬

4‫ି ݔ‬ଵ

െ40‫ ݔ‬ଶ

െ32‫ ݔ‬ହ

2‫ ݔ‬

െ5

3‫ ݔ‬

6‫ ݔ‬ଶ

8‫ ݔ‬ଶ

16‫ ݔ‬ଷ

െ16‫ ݔ‬ସ

െ8‫ ݔ‬ଶ

3. 4.

6‫ ݕ‬

െ2ߙߚ

െ5‫ ݕݔ‬ଶ

7߱ଷ െ 6

Ĳĳ

െ ଷ ߚ ଶ

2‫ ݔ‬ହ

12‫ ݔ‬ହ

3ߙ ଵଷ

6‫ ݔ‬ହ ‫ ݕ‬ଷ

6‫ ݕ‬ଷ ‫ݔ‬

Ĳĳ

െ10ܽହ ߚହ

െ12‫ ݔ‬ହ ‫ ݕ‬

4‫଺ ݔ‬

4ܽଶ ߚ ସ

6ܽ

െ

ఠయ ଼

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

‫ ݔ‬ଶ ହ

െ2‫ ݕݔ‬

െ7ܽସ ߚ

167

6‫ ݕ ݔ‬

ଵ ଶఠ௫ య

Ĳĳ

ଷ

െ‫ ݔ‬ଶ

െ6‫ ݔ‬ଶ

‫ݔ‬ଶ

െ2‫ ݔ‬ଶ

െ4‫ ݔ‬ଶ

െ5‫ ݔ‬ଶ

2‫ ݔ‬ଶ െ3‫ ݔ‬ଶ

;ɲͿ

4‫ ݔ‬ଶ

;ɴͿ 19‫ ݔ‬ଶ

10‫ ݔ‬ଶ

െ5ߚ ଶ

Ĳĳ

;ɶͿ

3‫ ݔ‬ଶ

;ɷͿ

7‫ ݕݔ‬

9‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ

െ8ߚ ହ

െ9ߙ ଷ

െ6‫ ݕݔ‬ଷ

ߙߛ

6‫଻ ݕݔ‬

9. ߎ = 9‫ ݔ‬ 10.

3‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬

20ߚ

െ‫ ݔ‬ଷ + 3‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 2

െ݊ଶ + 7

5݊ଶ െ 2݊ + 1

10‫ ݔ‬ଷ െ 2‫ ݔ‬ଶ െ 11‫ ݔ‬+ 11

2‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݔ‬+ 3

െ‫ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଷ െ 2‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 1

3‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ 6

3߱ଶ െ 3߱ + 2

െ‫ ݕ‬ଶ + 6‫ ݕ‬

Ĳĳ

2‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕݔ‬+ 3

െ5‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬െ 7

െ1

‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 5

‫ ݔ‬ଶ െ 5‫ ݔ‬+ 9

į ቀ 3‫ ݔ‬ଶ െ 8‫ ݔ‬െ 4 ቁ + (9‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬+ 8) = 12‫ ݔ‬ଶ െ 9‫ ݔ‬+ 4 Ǆ (݊ଶ + 3) + ቀ െ2݊ଶ + 3ቁ = െ݊ଶ + 6 ǅ (‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 3) െ (‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 3 ) = ‫ ݔ‬

İ ቀെ2‫ ݔ‬ଷ + 21‫ ݔ‬ଶ െ 7ቁ െ ቀ 2‫ ݔ‬ଷ + 7‫ ݔ‬ଶ + െ5‫ ݔ‬+ 3 ቁ = െ4‫ ݔ‬ଷ + 14‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬െ 10

6ߙ ଶ െ ߙ െ 12

8‫ ݔ‬ଶ െ 1

3‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݔ‬

4‫ ݔ‬ଶ + 4‫ ݔ‬െ 5

‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬െ 6

5‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬െ 2

9‫ ݔ‬ଶ െ 3‫ ݔ‬+ 2

6‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬+ 1

7‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 4

2‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 3

168

‫( = ܣ‬െ7‫ ݔ‬+ 181)°

‫ = ܣ‬76°, ߀ = 31°, ߁ = 73°

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

െ2‫ ݔ‬ଶ + 6

െ ఒ + ఑మ

ସ

ହఒ

െ2‫ ݕ‬ଶ + 4‫ ݔ‬ଶ

െߚ + ߛ െ ߜ

ସ

2. 3.

‫ ݔ‬+ 3 െ ௫ Ǉ

ଶ െ6‫ ݔ‬+ 3 3ܽଶ െ 1 8ܽ െ 4 į 2 Ǆ

‫ ݔ‬

į ‫ ݔ‬െ 4

ı ߢ െ 2,

߭ = 5

ǅ െ2߱ହ + 1 Ĳĳ 2‫ ݔ‬െ

ܽ + 2

ܽଶ

߱ + 2

Ĳĳ

െ 3‫ ݔ‬ଷ

2ߚ + 1 െ 3ߙ

ହ௫ మ ଶ

3ߢ

ߚ + 2,

߭ = െ1

3ߚ + 1

଺ఈ య ି ଷ ିଶఈ ଷఈ

ଵ

=2ߙ ଶ െ ௔ െ

ଶ ଷ

଺ఈ య ఉ మ ି ଵ଴ఈ ିଶఈఉ ହ =െ3ߙ ଶ ߚ+ ିଶఈఉ ఉ

+ 1

‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 8 െ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬ +4‫ ݔ‬െ 8 െ4‫ ݔ‬+ 8 0

‫ ݔ‬െ 2

3‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬െ 4 െ3‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬ +5‫ ݔ‬െ 4 െ5‫ ݔ‬+ 5 +1

‫ ݔ‬+ 4

‫ ݔ‬െ 1 3‫ ݔ‬+ 5

ଶ

3‫ ݔ‬+ 14‫ ݔ‬െ 2

3‫ ݔ‬ଷ + 5‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 4

ƫǂǍįǉ ȷįǐƿǅǏǍĳįǑ ĳǏǒ ȷǏǋǒǕǍǙǌǏǒ įǒĳǏǙ

ߙ = െ12

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

െ5‫ ݔ‬ଶ + 9‫ ݕ‬

଼ܽ

8଼߱

െ15ߙ ହ ߚହ

3ߙ ଶ

െ7‫ ݕݔ‬

4‫ ݐ‬ଶ െ 7‫ ݐ‬െ 6

െ6݊ଶ

2‫ ݔ‬ଷ െ 4‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬

െ5 + 6‫ ݔ‬

Ʒıǋǂİį

ߙ ଶ െ 4

Ǉ ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

ǅ 3ߚ ଺ Ĳĳ 24ߙ ଶ ߛ ଷ ǅ 3‫ ݔ‬ଷ െ 6‫ ݔ‬ଶ ߰ ௔మ

Ĳĳ െ ଶఉ + ߚ ǈ 7߱

169

‫ ݔ‬ଶ െ 6‫ ݔ‬+ 9

െ2‫ ݔ‬ଶ + 4

4. 6.

2‫ ݔ‬+ 11, ߭ = 52 ଷ௫ ௬

2‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬െ 7

െ2

2‫ ݕ‬െ 3

2െ

4‫ ݔ‬െ 2,

2‫ ݔ‬െ 1, ߭ = 4

14ߚ ଶ

8‫ ݕ‬ଶ

‫߱ݕ‬ଶ

െ ଷ ‫ߣݔ‬ସ ߱

െ12ߢ ଻ ߤ଻

ߢଶ,

2߱,

Ǆ ߁

İ ߀

2߱

3ߙ ଶ െ 5ߙ െ 7

ߙ െ 2,

11.

3‫ ݔ‬ଷ െ 5‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬ ߙߚ െ 4‫ ݔ‬ଶ ȫ. ɖ. 1, 2ܽଶ + 4ܽ 2, ܽଶ + 2ܽ ܽ, 2ܽ + 4 5‫ ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬

16.

‫ ݕ‬െ 5,

߭ = െ5

ǅ ܽଷ ߚ

ଶ

Ĳĳ െ8ߚ ଶ ߛ ଷ ǈ 9ߙ,

െ7

3ߙߚ ସ

߭ = െ6 2800 ܿ݉ଶ

15.

ǅ 2‫ ݔ‬ଷ െ 9‫ ݔ‬ଶ െ 8‫ ݔ‬+ 15 Ĳĳ െ2

14.

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

ܽ = െ3 Ǆ

߈߉ = 5 ߤ. ,

޿߀ = 4 ߤ.

1200000 + 1000‫ ݔ‬െ 5‫ ݔ‬ଶ

ߙ = 5 ܿ݉,

10.

ߢɚߩߜߧ߫ = 300‫ ݔ‬െ 5000

11.

ܽ = െ3 ߚ = 7 ߛ = െ4

ߚ = 8 ܿ݉

170

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

ƫƲƴƸƭƸƩ

ĬıǕǌıĳǐǂį ƷƹƱƱƫƸƶƮƩ

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

Ƶ Ǔ ߙ = െ6, ߚ = 0

1,8,0

ǅ 2 ,4, 5, 6, 7, 9

ǅ ߀

11.

ǊįǍǀǍį

ǅ 3

ߛ = +6

+3 İ

ƵƩƶƩưưƭưƴĬƶƩƱƱƴ

Ʒıǋǂİį

8 ܿ݉

߀߁ = ޿߂ = 63 ܿ݉

6. 7. 8. 9.

9 ܿ݉

޿ߍ = 9 ܿ݉ ߃ = 24 ܿ݉ଶ į

ߎ = 22 ܿ݉ ߚ = 8 ܿ݉ ߭ଵ = 4 ܿ݉ ߭ଶ = 2,5 ܿ݉ (3, െ4) ɛ (െ3, െ4) ɛ (1,6)

101° ޿መ ߁෠=109° ߀෠ ߂መ=71°

߀߂ = 24 ܿ݉

߃ = 84 ݉ଶ ߎ = 42 ݉

100°

߃ = 90 ݀݉ଶ ߎ = 48 ݀݉

‫ = ݔ‬18 ܿ݉ ߚመ = ߛො = ߣመ = ߞመ = 30° ߙො = ߤƸ = ߜመ = ߝƸ = 60° ߥƸ = ߧො = 60° ߦመ = ߩො = 120°

(3,2)

ߎ = 20 ߤ.

ߤɛߢߧ߫ = 6 ݉

ߨߣə߬ߧ߫ = 12 ݉

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

171

7. 8. 9.

߭ଵ = 4,8 ݀݉ ߭ଶ = 4,8 ݀݉ ߚ = 16 ܿ݉ ߭ = 4 ܿ݉ ‫ = ܧ‬൫10ξ50 െ 25൯ ݉ଶ ǁ ߃ = ൫50ξ2 െ 25൯ ݉ଶ

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

90°

60°, 120°, 30°, 60°, 90°

޿߀ = 10 ݉, ߂߃ = 8 ݉, ޿߁ = 12 ݉ ߎ = 40 ܿ݉

‫ = ܧ‬120 ݉ଶ

ߎ = 52 ݉

‫ = ݔ‬4,5 ݉

ߜ = 6 ܿ݉

ߎ = 40 ݀݉

‫ = ܧ‬96 ݀݉ଶ

ߜଵ = 8 ܿ݉

ߜଶ = 32 ܿ݉

ߜଵ = 12 ܿ݉

ߎ = 40 ܿ݉

‫ = ܧ‬192 ܿ݉ଶ

‫ = ܧ‬216 ܿ݉ଶ

4. 6.

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

‫ = ݔ‬7 ܿ݉ ߰ = 45° į

޿መ = ߀෠ = ߁ = ߂መ = ޿ߍ෠߂ = ߂ߍ෠ ߁ = ߁ߍ෠߀ = ߀ߍ෠޿ = 90°

߀޿መ߁ = ߁޿መ߂ = ޿߂መ߀ = ߀߂መ߁ = ߂߁෠ ޿ = ޿߁෠ ߀ = ޿߀෠߂ = 45°

޿߂ = ߂߁ = ߀߁ = ޿߀ = 2 ܿ݉

޿߁ = ߀߂ = ξ8 ܿ݉

޿ߍ = ߍ߂ = ߍ߁ = ߍ߀ = ξ2 ܿ݉

޿߀ = ߀߁ = ߁߂ = ߂޿ = 3 ܿ݉ į

ƵƩƲƸƴƸƫ

ƯƩƵƴƸƫ

ƵƩƲƸƴƸƫ

ƮĲǘȷǋıǒǐǏ ĳǐǂǅǕǍǏ

ƸıĳǐƿǅǕǍǏ

߃ = 5 ݉ଶ

10.

ƭ ȷıǐǂǌıĳǐǏǑ ǈį İıǊįȷǋįĲǉįĲĳıǂ ıǍǚ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ǈį ıǊįĳǏǍĳįȷǋįĲǉįĲĳıǂ

11.

ߎ௮௯௰ = ߎ௰௯௱ = ൫4ξ2 + 4൯ ܿ݉, ‫ = ܧ‬4 ܿ݉ଶ ߎ௮௴௵ = ߎ௯௲௳ = ൫2ξ2 + 2൯ ܿ݉, ‫ = ܧ‬1 ܿ݉ଶ ‫ = ܧ‬2 ܿ݉ଶ ߎ௵௴௲௯ = 4ξ2 ܿ݉,

172

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

‫ = ܧ‬2 ܿ݉ଶ ߎ௴௷௶ = ൫4 + 2ξ2൯ ܿ݉, ߎ௲௶௱௳ = ൫4 + 2ξ2൯ ܿ݉, ‫ = ܧ‬2 ܿ݉ଶ

ƸƶƩƵƫƬƮƴ

Ʒıǋǂİį

෡ = 85° ߆෠ = ߅ ߃෠ = ߄෠ = 95°

෡ = ߉መ = 100° ߈ ෡ = 80° ߇መ = ߊ

ƲƩƮ

ǅ ƴƺƮ

ƴƺƮ

ƲƩƮ

ơǎǏǍıǑ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ ƢǓıǉ ƯįǍǀǍį 1 2 3 4 ƵıǐǉĲĲǘĳıǐǏǒǑ ǊǀǍĳǐǏ ĲǒǌǌıĳǐǂįǑ 9 ƵįǐįǋǋǇǋǘ- 9 ǅǐįǌǌǏ 9 ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ 9 9 ƶǘǌǄǏǑ 9 9 ƸıĳǐƿǅǕǍǏ 9 9 ƮĲǏĲǊıǋǀǑ ƸǐįȷǀǆǉǏ

ƸǒǓįǂǏ ĳıĳǐƿȷǋıǒǐǏ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ĳıĳǐƿǅǕǍǏ ĳǐįȷǀǆǉǏ

߃ = 25 ܿ݉ଶ

߃ = 246 ܿ݉ଶ

߃ = 35 ߬. ߤ.

߃ = 25 ߬. ߤ.

߭ = 6 ܿ݉

‫ = ܧ‬96 ܿ݉ଶ ‫ = ܧ‬28 ܿ݉ଶ į

ߎ = 24 ܿ݉ ߚଵ = 5 ܿ݉ ߚଶ = 9 ܿ݉

10. 11.

‫ = ܧ‬112 ܿ݉ଶ ߎ = 56 ܿ݉

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

߁ = 20ߨ ܿ݉ ؆ 62,8 ܿ݉

20ߨ ݉ ؆ 31,4 ݉

;ɲͿ

Ʒıǋǂİį

ܴ = 4 ܿ݉

ܴ = 0,55 ݉

1000 ĲĳǐǏĴǀǑ

߁ = 40192 ݇݉

24 ƿĳǏǌį

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

;ɴͿ

ܴ = 8 ܿ݉

173

߁ = 6ߨ ܿ݉

10.

į ߛ௯௰ =

11.

ହగ ଷ

į ߎ = ቀ6 +

ଶହగ ଺

ܿ݉

ଷగ ቁ ܿ݉ ଶ

Ǆ ߎ = (20 + 6ߨ) ܿ݉

ǅ ߎ = (8 + 2ߨ) ܿ݉

12.

ƷǒǍǏǋǉǊǘ ǌǁǊǏǑ ȷıǐǂĴǐįǎǇǑ 72,22 ݉.

13.

31 ĴǏǐǀǑ

ߛ௱௲ =

ܿ݉

ߎ = (24 + 3ߨ) ܿ݉

ƯǘĲĳǏǑ €920,81

Ʒıǋǂİį

į ߃ = 100ߨ ؆ 314 ܿ݉ଶ

Ǆ ߃ = 25ߨ ؆ 78,5 ݉݉ଶ

ǅ ߃ = 4ߨ ؆ 12,56 ܿ݉ଶ

İ ߃ = 36ߨ ؆ 113,04 ܿ݉ଶ

ܴ = 6 ݉

߁ = 6ߨ ܿ݉

ܴ = 6 ݉

‫ = ܧ‬12ߨ ܿ݉ଶ

ߛ = 4ߨ ܿ݉

ƩǍ ĳǐǉȷǋįĲǉįĲĳıǂ Ǉ įǊĳǂǍį ǈį ıǍǍǉįȷǋįĲǉįĲĳıǂ ĳǏ ıǌǄįİǘǍ ĳǏǒ ƩǍ ĳǐǉȷǋįĲǉįĲĳıǂ Ǉ įǊĳǂǍį ǈį ĳǐǉȷǋįĲǉįĲĳıǂ ĳǏ ǌǁǊǏǑ ĳǏǒ

߃ = 1050ߨ ܿ݉ଶ = 3297 ܿ݉ଶ

Ƶǐǀȷıǉ Ǎį ıȷǉǋǀǎıǉ ǊǙǊǋǏ

10.

11.

߃௮ = 1296 ܿ݉ଶ ߃௯ = 1256 ܿ݉ଶ ơǐį ȷǐǀȷıǉ Ǎį ȷǐǏĳǉǌǁĲǏǒǍ ĳǇǍ ƩƟ ȷǐǏĲĴǏǐƿ

12.

į ‫( = ܧ‬36 െ 8ߨ) ܿ݉ଶ

Ǆ ‫ = ܧ‬2ߨ ܿ݉ଶ

ǅ ‫ = ܧ‬60 ܿ݉ଶ

İ ‫( = ܧ‬57 െ 9ߨ)ܿ݉ଶ

ı ‫( = ܧ‬40 െ 6ߨ) ܿ݉ଶ

Ĳĳ

‫ܧ‬గఒఈఛఌɜఈచ = 1296ߨ ݉ଶ

‫ܧ‬ఋఌఔ ఝఠఛఐ఍ఌఛఈఐ = 1116ߨ ݉ଶ

‫( = ܧ‬64ߨ െ 96) ܿ݉ଶ

174

Ʒıǋǂİį

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

‫ = ݔ = ݖ‬119 ‫ = ݕ‬61

‫ = ݖ‬53 ‫ = ݕ‬37 ‫ = ݔ‬90

ߎ = 30 ߤ. į

5 ܿ݉

8 ܿ݉

3 ܿ݉

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

42°

84°

Ĳĳ

96°

ƵįǐįǋǋǇǋǘ- ƴǐǈǏǅǚ- ƸıĳǐƿƶǘǌǄǏǑ ǅǐįǌǌǏ ǍǉǏ ǅǕǍǏ ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ȷǋıǒǐǀǑ ıǂǍįǉ ȷįǐƿǋǋǇǋıǑ 9 9 9 9 ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ 9 9 ƴǉ ȷǋıǒǐǀǑ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ 9 9 ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ ĳǀǌǍǏǍĳįǉ Ǌƿǈıĳį 9 9 ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ȷǋıǒǐǀǑ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ 9 9 9 9 ƴǉ įȷǀǍįǍĳǉ ǅǕǍǂıǑ ıǂǍįǉ ǂĲıǑ 9 9 9 9 ƴǉ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ıǂǍįǉ 90° 9 9 9 9 9 9 ©ǒǏ İǉįİǏǓǉǊǀǑ ǅǕǍǂıǑ ıǂǍįǉ ƵįǐįȷǋǇǐǕǌįĳǉǊǀǑ ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍĳįǉ 9 9 9 9 9 9 ƴǉ İǉįǅǚǍǉǏǉ İǉǓǏĳǏǌǏǙǍ ĳǉǑ ǅǕǍǂıǑ ĳǏǒ ƵįǐįǋǋǇǋǘǅǐįǌǌǏ ƴǐǈǏǅǚǍǉǏ į

ƶǘǌǄǏǑ Ǆ

5. 6.

ƻƫƹ©ƭƷ

Ǆ ƩưƭĭƭƷ

ƩưƭĭƭƷ

ƻƫƹ©ƭƷ

ı ƩưƭĭƭƷ

Ĳĳ

ƩưƭĭƭƷ

‫ = ܧ‬120 ݉ଶ ߨߣə߬ߧ߫ = 4 ܿ݉ ߎ = 40 ܿ݉ ߃ = 120 ݉ଶ ߎ = 52 ݉ ߚଵ = 10 ܿ݉ ߚଶ = 20 ܿ݉

8. 9. 10. 11. 12.

ܴ = 10 ݉݉ ߁ = 20ߨ ݉݉

߃ = 162ߨ ܿ݉ଶ

13. 14.

15. 16. 17.

݉݉

݉݉ଶ

୻భ ୻మ

୻య ୻భ

୉భ ୉మ

୉య ୉భ

ଵ ଶ

ଵ ସ

ܴ = 2 ߃ = (22 + 2ߨ) ݉ଶ ߎ = (16 + 2ߨ) ݉ ଶହగ ‫ = ܧ‬ቀ100 െ ଶ ቁ ܿ݉ଶ į

ߎ = (30 + 5ߨ) ܿ݉ ǅ

ଵ଴గ ଷ ହ଴గ = ଷ

ߛ=

‫( = ܧ‬100 െ 25ߨ) ܿ݉ ߎ = 10ߨ ܿ݉ ଶ

‫( = ܧ‬100 െ 25ߨ) ܿ݉ଶ ߎ = (20 + 5ߨ) ܿ݉ ‫=ܧ‬

଻ହగ ସ

ܿ݉ଶ

ߎ = ቀ10 + ଵହగቁ ܿ݉ ଶ

ȣʍ ȤȵȭȮȢȳȪȰȵ: Ȱʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ȴʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆ Ȱʚ ʏɸʑʖʉʐʎ

175

ƩȷįǍĳǁĲıǉǑ

޿߀ = ߂߁ = ξ45 ޿߂ = ߀߁ = ξ20 ޿߁ = ߀߂ = ξ65 ޿߀߁߂ ǏǐǈǏǅǚǍǉǏ ޿߀ = ߂߁ = ޿߂ = ߀߁ = ξ20 ޿ߍ = 5 ޿߁ = ߀߂ = 2ξ10 ޿߀߁߂ ĳıĳǐįǅǕǍǏ

Ʒıǋǂİį

߈߇ = ξ18 ߤ.

‫ = ܧ‬400 ܿ݉ଶ

10.

‫ = ܧ‬8ߨ ܿ݉ଶ

߃߄ = ξ20 ߤ.

176

ȝʅ ȞȯȧȨȜȭȤȪȯ: ȜɎȽɋɒɛɐɂɇɑ ȟɏȽɐɒɄɏɇɍɒɛɒɘɋ Ȝʅ

ȧȜȣȢȧȜȮȤȥȜ ȭȯȧȝȪȦȜ ‫ג‬

ȽɋɛɈɂɇ

‫ב‬

Ɂɂɋ ȽɋɛɈɂɇ

‫׊‬

ɀɇȽ ɈəɅɂ

‫׌‬

ɓɎəɏɖɂɇ

‫׫‬

ɚɋɘɐɄ ɐɓɋɟɉɘɋ

‫ת‬

ɒɍɊɛ ɐɓɋɟɉɘɋ

‫ؿ‬

ɀɋɛɐɇɍ ɓɎɍɐɠɋɍɉɍ

‫ك‬

ɓɎɍɐɠɋɍɉɍ

‫ ׎‬ɛ { }

Ɉɂɋɟ ɐɠɋɍɉɍ

ɜɐɍɋ

്

əɋɇɐɍ

‫ؠ‬

ɒȽɓɒɍɒɇɈə ɜɐɍ

ɈȽɒə ɎɏɍɐɚɀɀɇɐɄ ɜɐɍ

ɔɓɐɇɈɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ {1,2,3,4, . . . }

Գ଴

ɔɓɐɇɈɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ ɈȽɇ ɒɍ ɊɄɁɚɋ {0,1,2,3,4, . . . }

ȽɈɚɏȽɇɍɇ ȽɏɇɅɊɍɜ {0, ±1, ±2, ±3, ±4, . . . }

Ժା

ɅɂɒɇɈɍɜ ȽɈɚɏȽɇɍɇ ȽɏɇɅɊɍɜ {1,2,3,4, . . . }

Ժି

ȽɏɋɄɒɇɈɍɜ ȽɈɚɏȽɇɍɇ ȽɏɇɅɊɍɜ {െ1, െ2, െ3, െ4, . . . }

ɏɄɒɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ {Ƚ/Ⱦ: Ƚ,Ⱦ‫ א‬ɈȽɇ ȾβͲȔ

Էା

ɅɂɒɇɈɍɜ ɏɄɒɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ

Էା ଴

ɅɂɒɇɈɍɜ ɏɄɒɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ ɈȽɇ ɒɍ ɊɄɁɚɋ

ି

ȽɏɋɄɒɇɈɍɜ ɏɄɒɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ

ɎɏȽɀɊȽɒɇɈɍɜ ȽɏɇɅɊɍɜ

ȽɎɉɛ ɐɓɋɂɎȽɀɘɀɛ

฻

ɁɇɎɉɛ ɐɓɋɂɎȽɀɘɀɛ / ɇɐɍɁɓɋȽɊɜȽ

ɈəɅɂɒɂɑ

‫צ‬

ɎȽɏəɉɉɄɉɂɑ

ƹȷǏǋǏǅǉĲĳǉǊǁ ƩǐǉǈǌǏǌǇǓįǍǁ

ȷɐɍɋ ȋȝɏɜɐɈɂɇ ɒɄɋ ɒɇɊɛ ɒɄɑ ɎȽɏəɐɒȽɐɄɑȌ

ȯɎɍɁɇȽɐɒɍɉɛ

· ȵɍɆ

ȠɈɅɚɒɄɑ ɁɠɋȽɊɄɑ Ɋɂ ȾəɐɄ ɒɍ ͳͲ

Ans

ȠɎȽɋȽɔɍɏə ɒɂɉɂɓɒȽɜɍɓ ȽɎɍɒɂɉɚɐɊȽɒɍɑ

‫ݔ‬

‫ݔ‬௬

ȟɠɋȽɊɄ ȫɍɋɒɜɈɇ ȋ Ȍ

ȠɋɂɏɀɍɎɍɜɄɐɄ ɒɄɑ ɂɋɒɍɉɛɑ Ɏɍɓ ȾɏɜɐɈɂɒȽɇ Ɏəɋɘ ȽɎɟ ɈəɅɂ ɈɍɓɊɎɜ ȠɎȽɋɂɈɈɜɋɄɐɄ ɓɎɍɉɍɀɇɐɒɇɈɛɑ

DEL

ȭȾɛɐɂ ɒɍ ɒɂɉɂɓɒȽɜɍ ɗɄɔɜɍ ɛ ɂɋɒɍɉɛ

Abs

ȜɎɟɉɓɒɄ ɒɇɊɛ ȋɊɟɋɍ ɐɂ ɊɂɏɇɈɚɑ ɓɎɍɉɍɀɇɐɒɇɈɚɑȌ

(-)

ȠɇɐȽɀɘɀɛ ȫɏoɐɛɊɍɓ െ

SHIFT

nd ǁ 2 F

a b/c

SÙD

2 3

a b/c

ȥɉəɐɊȽ ȧɂɒȽɒɏɍɎɛ ȥɉəɐɊȽÙ ȟɂɈȽɁɇɈɟɑ

CLR

ȭȾɛɐɇɊɍ ɊɋɛɊɄɑ

M+

ȫɏɟɐɅɂɐɂ ɒɍɋ ȽɏɇɅɊɟ ɐɒɄ ɊɋɛɊɄ

M-

ȜɔȽɜɏɂɐɂ ɒɍɋ ȽɏɇɅɊɟ ȽɎɟ ɒɄ ɊɋɛɊɄ

ȜɋȽɈəɉɂɐɂ ɒɍɋ ȽɏɇɅɊɟ ɒɄɑ ɊɋɛɊɄɑ

ȫɏəɌɄ

Ƞɋɒɍɉɚɑ ɓɎɍɉɍɀɇɐɒɇɈɛɑ

3+4 2,34 – 1,1 3 ή 2 2

4 =

3 x

ହ

5 ή 10

3 +

ȭɒɄɋ ɍɅɟɋɄ 3+4 7

–

6 2

ȵɍP

ଷ ସ

a b/c

ଷ

SHIFT

2 3

a b/c

ǁ ξ4 5

ଶ

2 ή (7 െ 3) 2 ή (7 െ 3) 2 െ (െ3) |െ3| ƩǍ 0,25 įȷǏĳǀǋıĲǌį ǌǉįǑ

2ସ

4 =

2 ŋ3 ŋ4 2 5

–

)

3 =

Ans

–

Abs

( (-)

ଶ

25 7

ଷ

4 =

ξ4

(

(-)

)

2ܺ(7 െ 3)

8 =

2ߕ޿݊‫ݏ‬ 8 2 െ (െ3) 5 |െ3|

3 =

3 ଵ ସ

SÙ ÙD ǁ

ƩǍƿǊǋǇĲǇ ǌǍǁǌǇǑ 3 ή (9 െ 6: 2) െ 6: (9 െ 6: 2)

a b/c

2 x

ȷǐƿǎǇǑ 9െ6‫׷‬2

5 X² =

–

ǁ 5ߕ103 5000

3ŋ4

4 =

ହ

ଷ ସ

ǁ 3 a b/c 4 = 2ସ

ǁ 2

5߃3

3 =

ହ

ଷ

1.24 3ܺ2

2 =

2 ‫ݔ‬௬ 5

2.34 – 1.1

a b/c

SHIFT

ƹȷǏǋǏǅǉĲǌǘǑ Ǌįǉ įȷǏǈǇǊıǒĲǇ 9 –

3 ɍ

ɀ –

9– 6‫ ׷‬2ߊ+ 6

2 = ɀн 6 ÷ ɀ =

3ߕߊ– 6‫ߊ ׷‬ 17