Rutin kepada bukan rutin

Masalah Bukan Rutin dalam Pembelajaran Matematik • Reka bentuk kurikulum matematik • Penyelesaian masalah • Kemahiran Berfikir Aras Tinggi • Masalah Rutin VS Masalah Bukan Rutin • Contoh soalan • Mari bina soalan bukan rutin

REKA BENTUK KURIKULUM MATEMATIK BIDANG PEMBELAJARAN

SIKAP DAN NILAI

PROSES • •

KEMAHIRAN

• • • •

Berminat untuk belajar matematik.

Menghargai keindahan dan kepentingan matematik.

Yakin dan tabah.

Sanggup belajar daripada kesilapan.

Berusaha ke arah ketepatan.

Sanggup belajar berterusan.

Penyelesaian masalah bermakna melibatkan diri dalam tugasan yang mana kaedah penyelesaian tidak diketahui terlebih dahulu.

NCTM 2001

Melalui penyelesaian masalah, murid boleh merasai kuasa dan kebergunaan matematik. Penyelesaian masalah adalah pusat kepada penyiasatan dan pengaplikasian, dan perlu terjalin dalam keseluruhan kurikulum matematik dengan menyediakan konteks pembelajaran serta menggunakan ideaidea matematik. “Through problem solving, students can experience the power and utility of mathematics. Problem solving is central to inquiry and application and should be interwoven throughout the mathematics curriculum to provide a context for learning and applying mathematical ideas.�

NCTM 2000, p. 256

Apakah keadaan dalam ‘Penyelesaian Masalah’?

Mengikut Michael E. Martinez,  Tiada formula untuk penyelesaian masalah.  Cara orang menyelesaikan masalah adalah berbeza.  Kesilapan tidak boleh dielak.  Penyelesai masalah perlu sedar proses keseluruhan dalam

menyelesaikan masalah.

 Keluwesan adalah penting (essential).  Ralat dan ketidakpastian sepatutnya dijangka.  Ketidakpastian harus dialami sekurang-kurangnya buat

sementara waktu sahaja.

KEMAHIRAN BERFIKIR ARAS TINGGI (KBAT)

Kemahiran berfikir aras tinggi biasanya merujuk kepada empat tahap kemahiran teratas dalam Taksonomi Bloom (Anderson & Krathwohl, 2001) iaitu mengaplikasi, menganalisis, menilai dan mencipta.

JENIS SOALAN DALAM MATEMATIK

“Masalah boleh diselesaikan dengan kaedah yang biasa murid gunakan dengan mereplikasikan kaedah yang dipelajari sebelumnya secara langkah demi langkah.”

“Penyelesaian masalah rutin menekankan penggunaan satu set prosedur yang diketahui atau yang ditetapkan (algoritma) untuk menyelesaikan masalah.”

“Masalah yang memerlukan analisis dan penaakulan matematik; Banyak masalah bukan rutin boleh diselesaikan dengan lebih daripada satu cara, dan mungkin mempunyai lebih daripada satu penyelesaian.”

KESEIMBANGAN

Tidak semua tugasan sama, tugasan yang berbeza menggalakkan tahap dan jenis pemikiran yang berbeza.

Tahap pemikiran yang mana apabila murid melibatkan diri akan menentukan tahap pembelajaran mereka.

Soalan Bukan Rutin memerlukan tahap kognitif yang lebih tinggi.

CUBA LIHAT DUA SOALAN INI

KBAR

KBAT

Apakah nombor yang boleh dibundarkan kepada 700?

CUBA LIHAT DUA SOALAN INI TUGASAN 1 KBAR

Maria membeli sekotak susu dengan harga RM1.55 dan sebungkus biskut dengan harga RM1.70. Berapakah jumlah wang yang dibayar oleh Maria?

TUGASAN 2

KBAT

Maria membeli sekotak susu dengan harga RM1.55 dan sebungkus biskut dengan harga RM1.70. Dia memberikan RM4.00 kepada jurujual. Berapakah bilangan syiling yang diterima oleh Maria sekiranya jurujual itu memberikannya beberapa syiling 5 sen, 10 sen dan 20 sen? Terangkan jawapan anda?

CUBA LIHAT DUA SOALAN INI

KBAT

TUGASAN 1 1. Cari perimeter segi empat tepat yang mempunyai panjang 8 meter dan lebar 17 meter.

2. Cari panjang sebuah segi empat tepat yang mempunyai luas 48 meter persegi dan lebar 6 meter.

Mamat ingin membina pagar bagi reban ayam yang berbentuk segi empat. Dia mempunyai 20 meter wayar pagar.

1.Apakah saiz segi empat yang boleh beliau hasilkan?

2.Bentuk manakah yang terbaik?

TUGASAN 2

KBAR

SOALAN RUTIN: Satu sisi empat mempunyai sudut-sudut 100°, 60°, and 130°.

Apakah nilai sudut yang keempat?  Boleh Dikembangkan Kepada:  Bolehkah sisi empat mengandungi empat sudut cakah?

Bagaimana anda tahu?  Bolehkah segi tiga mengandungi lebih daripada satu sudut cakah? Terangkan.  Bolehkah sisi empat mengandungi dua sudut cakah?

Sekiranya boleh, lukiskan rajah. Sekiranya tidak, terangkan.  Bolehkah sisi empat mengandungi tiga sudut cakah?

Sekiranya boleh, lukiskan rajah. Sekiranya tidak, terangkan.

PERBANDINGAN CIRI MASALAH RUTIN VS. BUKAN RUTIN MASALAH RUTIN •

•

MASALAH BUKAN RUTIN

Tidak memerlukan murid • untuk menggunakan kemahiran berfikir pada • aras tinggi.

• Operasi yang perlu digunakan adalah jelas.

•

Memerlukan kemahiran berfikir pada aras tinggi.

Meningkatkan kemahiran menaakul.

Jawapan dan prosedur yang perlu digunakan tidak serta merta jelas.

Mungkin terdapat lebih daripada satu cara penyelesaian dan strategi.

•

Mungkin terdapat lebih daripada satu jawapan.

• •

Lebih mencabar.

Berupaya membentuk murid yang kreatif dan inovatif.

Penyelesaian memerlukan lebih daripada membuat keputusan dan memilih operasi matematik.

Memerlukan masa yang sesuai untuk diselesaikan.

Menggalakkan perbincangan dalam kumpulan bagi mendapatkan penyelesaian.

• • •

Letakkan sama ada operasi + atau – dalam setiap kotak supaya ungkapan ini menghasilkan jumlah terbesar.

5

6

3

9

Berapakah perimeter suatu sisi empat yang mana mempunyai keluasan 100 meter persegi?

Johan dan Khatijah diminta untuk membahagi suatu nombor dengan 100. Secara tidak sengaja, Johan mendarab nombor berkenaan dengan 100 dan menghasilkan 450 sebagai jawapan beliau.

Khatijah pula melakukan operasi bahagi dengan betul.

Apakah jawapan yang Khatijah perolehi?

A.0.0045 B.0.045 C.0.45 D.4.5

TIMSS 2003 8th-Grade Mathematics Concepts and Mathematics Items 16

Apakah bentuk yang boleh dilukis di atas grid berukuran 5 cm x 5 cm untuk menghasilkan perimeter terbesar?

Rahim membina pola anak tangga menggunakan bentuk segi empat sama. Berikut adalah langkah-langkahnya.

Rajah menunjukkan dia menggunakan satu segi empat sama untuk Langkah 1, tiga segi empat sama untuk Langkah 2 dan enam segi empat sama untuk Langkah 3.

1. Berapakah bilangan segi empat yang harus digunakan untuk Langkah 4?

2. Berapakah bilangan segi empat sama yang terdapat dalam Langkah 10 sekiranya langkah ini dilanjutkan?

3. Seterusnya, cari jumlah bentuk segi empat sama yang digunakan untuk membentuk pola anak tangga dari Langkah 1 hingga Langkah 10.

Gambar menunjukkan sebuah rumah ladang yang mempunyai bumbung berbentuk piramid.

Di bawah adalah model bagi bumbung rumah ladang tersebut yang murid telah sediakan berserta ukurannya.

Lantai loteng dalam model, ABCD adalah sebuah sisi empat sama. Tiang dan alang yang menyokong bumbung adalah sisi blok EFGHKLMN (prisma segi empat). E terletak di tengah AT, F terletak di tengah BT, G terletak di tengah CT dan H terletak di tengah DT. Panjang semua sisi piramid dalam model itu adalah 12 m.

1. Hitungkan luas lantai loteng ABCD 2. Hitung panjang EF, salah satu sisi mengufuk blok itu.

Apakah persamaan antara nombor-nombor berikut?

1, 16, 49, 25, 4, 36, 9 Jelaskan jawapan anda menggunakan grid segi empat sama di bawah.

Dalam satu konsert rock, padang yang berukuran 100 m x 50 m telah dikhaskan untuk penonton. Tiket habis dijual dan padang tersebut penuh dengan penonton yang berdiri.

Yang manakah antara berikut, menggambarkan anggaran jumlah penonton yang hadir?

A. 2 000 B. 5 000 C. 20 000 D. 50 000 E. 100 000

Dalam satu pesta jualan murah besar-besaran, syarikat Gudang Sdn. Bhd memaparkan iklan “Potongan separuh harga untuk semua barangan”.

Pada satu waktu-waktu tertentu semasa pesta jualan ini dijalankan, pihak syarikat memaparkan pula iklan ‘Happy Hour’ yang memaparkan “potongan 10% daripada harga jualan” Tasya dan Nizam yang berada di pesta jualan berkenaan masing-masing menyatakan perkiraan mereka semasa ‘happy hour’. Tasya menyatakan, “Jumlah potongan adalah sebanyak 60%”, manakala Nizam menyatakan, “Jumlah potongan adalah kurang daripada 60%”.

1) Antara pernyataan Tasya dan Nizam, peryataan siapakah yang benar?

Jelaskan.

2) Sekiranya pada ‘happy hour’ tersebut, Tasya dan Nizam masing-masing membeli sepasang baju kurung dan baju batik pada harga RM80 setiap satu, berapa ringgit Tasya dan Nizam dapat jimatkan?

Ali dan Abu menjual kuih di pasar.

Setiap daripada mereka menjual sebanyak 30 biji kuih setiap seorang. Ali menjual pada kadar 2 biji kuih dengan harga RM1.00, manakala Abu menjual pada kadar 3 biji kuih dengan harga RM1.00.

Pada setiap akhir jualan, Ali mendapati pulangannya adalah sebanyak RM15.00, manakala Abu mendapati pulangannya adalah sebanyak RM10.00.

Perbandingan transaksi jual beli antara Ali dan Abu diwakilkan dalam jadual di sebelah.

2

RM1.00

3

RM1.00

4

RM2.00

6

RM2.00

6

RM3.00

9

RM3.00

8

RM4.00

12

RM4.00

10

RM5.00

15

RM5.00

12

RM6.00

14

RM7.00

18

RM6.00

16

RM8.00

21

RM7.00

18

RM9.00

24

RM8.00

20

RM10.00

27

RM9.00

22

RM11.00

30

RM10.00

24

RM12.00

26

RM13.00

28

RM14.00

30

RM15.00 Ali

Abu

Pada suatu hari, Abu tidak dapat menjual di pasar, dan meminta Ali untuk membantunya untuk menjual kuih-kuihnya. Bagi menunaikan permintaan Ali dan keperluan dirinya sendiri, Ali bercadang untuk menjual 60 biji kuih-kuih ini pada kadar 5 biji kuih dengan harga RM2.00.

Soalan 1 Adakah cadangan ini membolehkan Ali mendapatkan hasil yang sama di akhir jualan? Terangkan jawapan anda.

Soalan 2 Beri cadangan bagaimana Ali masih dapat menjual dengan kadar 5 biji kuih dengan harga RM2.00, tetapi mendapat pulangan yang sama dengan jualan Ali dan Abu apabila dijual secara berasingan.

Jelaskan.

ComScore Inc., sebuah syarikat pengukuran yang utama dalam dunia digital telah mengeluarkan analisis mereka berkenaan tempat pemasaran dalam talian menggunakan enjin pencari di Amerika Syarikat. Berikut adalah jadual berkenaan statistik perbandingan penguasaan syarikat-syarikat laman enjin pencari utama dunia, iaitu Google, Microsoft, Yahoo!, Ask Network, dan AOL dari bulan Jun 2013 sehingga Julai 2013.

Julai 2013 67.0% 17.9% 11.3% 2.7% 1.2%

Perubahan

Google Microsoft Yahoo!

Ask Network AOL

Jun 2013 66.7% 17.9% 11.4% 2.7% 1.3%

Julai 2013 12,976 3,460 2,187 516 239

Perubahan

Google Microsoft Yahoo!

Ask Network AOL

Jun 2013 12,823 3,434 2,197 524 253

0.3% 0.0% -0.1% -0.1% -0.1%

1% 1% 0% -2% -5%

Jadual A: Peratusan Syer pasaran Amerika Syarikat pada bulan Julai 2013 berbanding bulan Jun 2013

Jadual B : Bilangan carian yang dibuat dalam pasaran Amerika Syarikat pada bulan Julai 2013 berbanding bulan Jun 2013 (dalam bilion)

(Sumber: http://comscore.com/insights/Press_Releases/2013/8/comScore_Releases_July_2013_U.S._Search_Engine_Rankings)

Soalan 1 Seorang murid cuba memahami jadual yang disediakan di atas.

Pada pemerhatian murid ini, Jadual A menunjukkan penambahan peratusan penguasaan Google sebanyak 0.3%, manakala Jadual B menunjukkan perubahan penambahan peratusan oleh Google sebanyak 1%.

Terangkan mengapa terdapat perbezaan di antara dua jadual di atas.

Soalan 2 Murid ini juga menyatakan bahawa peratusan perubahan dalam Jadual B tidak memberi gambaran yang tepat.

Terangkan mengapa murid ini berkata demikian.

Mari buat soalan bukan rutin Menggunakan kerangka PISA 2015 Kandungan

Konteks

Kuantiti

Peribadi

Data dan ketidakpastian

Pekerjaan

Perubahan dan Perkaitan

Saintifik

Ruang dan Bentuk

Kemasyarakatan

Konteks Peribadi

Pekerjaan

Berfokus kepada aktiviti peribadi, kekeluargaan, atau rakan sebaya.

Ilustrasi bagi konteks peribadi seperti persediaan makanan, membeli belah, permainan, kesihatan peribadi, pengangkutan peribadi, sukan, percutian, jadual peribadi, dan perbelanjaan peribadi.

Berfokus kepada dunia pekerjaan. Ilustrasi bagi konteks pekerjaan seperti pengukuran, mengira kos barangan suatu projek, penggajian, kawalan mutu, inventori, rekabentuk seni bina, dan kerja-kerja yang berkaitan untuk membuat keputusan. Sektor pekerjaan termasuk aras pekerjaan peringkat rendah sehinggalah pekerjaan peringkat profesional.

Saintifik

Kemasyarakatan

Berkaitan dengan aplikasi matematik kepada dunia sebenar dan isu serta topik yang berkaitan dengan sains dan teknologi. Ilustrasi bagi konteks saintifik seperti cuaca dan iklim, ekologi, perubatan, sains angkasa, genetik, pengukuran, dan dunia matematik sendiri.

Berfokus kepada komuniti, sama ada bersifat tempatan, kebangsaan atau antarabangsa. Ilustrasi bagi konteks kemasyarakatan seperti sistem pilihan raya, pengangkutan awam, urus tadbir awam, dasar awam, demografik, pengiklanan, perangkaan kebangsaan dan ekonomi. Fokus masalah adalah dalam perspektif sesebuah komuniti.

PISA

Proses Matematik

Memformulasikan situasi secara matematik

KSSM

Menyelesaikan masalah Berkomunikasi

Menggunakan konsepkonsep matematik, fakta, prosedur, dan penaakulan Mentafsir, menggunakan dan menilai hasil matematik

Membuat perkaitan Membuat perwakilan

CADANGAN FORMAT BAHAN LATIHAN SOALAN RUTIN KANDUNGAN KONTEKS

SOALAN BUKAN RUTIN

SENARAI SEMAK CIRI SOALAN BUKAN RUTIN Memerlukan kemahiran berfikir pada aras tinggi.

Meningkatkan kemahiran menaakul.

Jawapan dan prosedur yang perlu digunakan tidak serta merta jelas.

Terdapat lebih daripada satu cara penyelesaian dan strategi.

Berupaya membentuk murid yang kreatif dan inovatif Terdapat lebih daripada satu jawapan.

Penyelesaian memerlukan lebih daripada membuat keputusan dan memilih operasi matematik.

SOALAN REFLEKSI 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Apakah perbezaan di antara KBAT dengan KBAR? Apakah perbezaan di antara masalah rutin dengan masalah bukan rutin?

Kenapa perlu berubah kepada masalah bukan rutin?

Kenapa perlu melibatkan konteks dalam memberikan soalan bukan rutin, (tidak sekadar kandungan)?

Bagaimana untuk menukar soalan rutin kepada soalan bukan rutin?

Adakah pengajaran dan pembelajaran akan berubah apabila soalan sebegini diberikan kepada murid?