EDUCACIÓN MATEMATICA ESTEBAN OPAZO MENDEZ PROFESOR DE EDUCACIÓN BÁSICA CON POSTÍTULO EN MENCIÓN EN MATEMÁTICA
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EDUCACIÓN MATEMATICA ESTEBAN OPAZO MENDEZ PROFESOR DE EDUCACIÓN BÁSICA CON POSTÍTULO EN MENCIÓN EN MATEMÁTICA
Números naturales El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico: IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,........} Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN. Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN. 5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN. No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN. Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN. 1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN. A. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición: Conmutatividad: Conmutatividad a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9. Asociatividad: Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis: 7+6=5+8 13 = 13 B. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación: Conmutatividad: Conmutatividad a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18. Asociatividad: Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis: 10 · 6 = 5 · 12 60 = 60 Elemento Neutro: Neutro a · 1 = a, con a perteneciente a IN. Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9... Distributividad: Distributividad a·(b + c) = a · b + a · c, con a, b y c pertenecientes a IN. Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6 5·9 = 15 + 30 45 = 45
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Números Cardinales Los números cardinales se representan por y corresponde al conjunto numérico compuesto por los siguientes números: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....} También podemos definir a los números cardinales como IN U {0}. La aparición del cero solucionó muchos de los problemas de notación numérica existentes, pero también trajo algunas dificultades, como el de las indeterminaciones en algunas operaciones. Por ejemplo:
es una cantidad no definida, también
.
Vea la numeración romana y conteste: ¿existe el cero? Sistema de numeración decimal Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de numeración decimal. 100.000.000 Cm Centena Millón
10.000.000 dedM
1.000.000
Decena deUm 100.000 Millón Unidad deCm 10.000 Millón Centena dm 1.000 de Mil Decena Um 100 de Mil Unidad c 10 de Mil Centena d
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Decena u Unidad Vemos que las unidades de los distintos órdenes se agrupan de diez en diez. Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número 7385. 7: Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000 3: Su orden es centenas y su valor de posición 300. 8: Su orden es decenas y su valor de posición 80. 5: Su orden es unidades y su valor de posición 5. O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.
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Adición de números naturales Dentro de la adición encuentro varios elementos: Los números que se suman en este caso el 9 y el 2, reciben el nombre de SUMANDOS. El resultado de la adición representado aquí por el 11 que tiene por nombre SUMA O TOTAL. Y el signo señalado por una cruz pequeña llamado SIGNO MÁS Cuando se resuelve una adición hay que tener presente: Los números que se suman o sea, los SUMANDOS, deben estar colocados correctamente es decir UNIDADES debajo de UNIDADES, DECENAS debajo de DECENAS, CENTENAS debajo de CENTENAS... Los objetos que se suman deben ser de una misma especie, no se puede sumar naranjas con carros, perros con muñecas, hombres con piñas. El resultado de la adición siempre tiene que ser mayor que los dos números que se su Orden de operación Si diésemos el ejercicio 2 + 3 · 4, a varios alumnos para resolver, y obtuviésemos de ellos dos resultados distintos, no nos cabría duda de que no todos dominan el orden de operatoria, fundamental para un buen desarrollo de cualquier ejercicio de matemática. Para aclararlo de inmediato es bueno decir que el resultado correcto del ejercicio dado es 14. El orden para operar es el siguiente: Paréntesis Multiplicaciones y Divisiones Sumas y Restas Por ejemplo, resolvamos la expresión 4 + 3·(9 - 2). Resolvemos en primer lugar la operatoria contenida en el paréntesis, lo que da 4 + 3·7. Luego, la multiplicación, obteniéndose 4 + 21. Finalmente la suma, siendo el resultado final 25. Del mismo modo debemos operar con números fraccionarios. Cuadrados y cubos de un número El producto 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 resulta 64. Y el de 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 es 65.536. Quizás no resulte muy difícil el obtener estos resultados, pero sí es tedioso escribir toda la operación. Para eso se creó una simbología que permite trabajar en forma más cómoda y rápida. Veámosla. 2·2·2·2·2·2= donde el 2 recibe el nombre de base y el 6 de exponente y se lee "2 elevado a 6" 4·4·4·4·4·4·4·4=
La base es 4 y el exponente 8 y se lee "4 elevado a 8".
Cuando utilizamos el exponente 2, por ejemplo , aparte de leerlo como "siete elevado a 2", es más común leerlo como "7 al cuadrado" o "el cuadrado de siete" Cuando utilizamos el exponente 3, por ejemplo , aparte de leerlo como "cuatro elevado a 3", es más común leerlo como "4 al cubo" o "el cubo de cuatro" Para futuras operaciones es conveniente aprender los cuadrados hasta el 20 y los cubos hasta el 10.
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Criterios de divisibilidad Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Un número es divisible por 13 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13. Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17. Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.
Números primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12 es un número compuesto. El 2 es el único número primo que es par. La Criba de Eratóstenes Eratóstenes La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los pasos indicados: Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto. Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. O sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números. Los números encerrados son los números primos. Los restantes corresponden a los números compuestos, con excepción del 1 . www.clickmatematica.blogspot.com
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Factores primos de un número número Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos. Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48. 48
:2
24
:2
12
:2
6
:2
3
:3
1 Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = También se puede utilizar un diagrama de árbol. Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8.
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Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 = Mínimo común múltiplo (m.c.m. (m.c.m.) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará. Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18 12
18
:2
6
9
:2
3
9
:3
1
3
:3
1 El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 =
= 36
Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15 8
12
15
:2
4
6
15
:2
2
3
15
:2
1
3
15
:3
1
5
:5
1 El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120. Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor. Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48...} Múltiplos de 18: {18, 36, 54,...} El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36.
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Máximo común divisor (m.c.d.) (m.c.d.) El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos. Ejemplos: Obtengamos el m.c.d. entre 12 y 18 Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} El mayor divisor común de 12 y 18 es 6 Primos relativos Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es 1. Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3. Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1. Tablas de doble entrada ¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}? ¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar? Veamos. Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es 0. Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. Sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí que el resultado sea 0. Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación:
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·
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
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Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la asociatividad. Verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3) 3+3=2+0 2 = 2, se cumple Ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1) 2·1=3·2 2 = 2, se cumple. ¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo. Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto? Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los sistemas binarios. Fracciones compuestas Las fracciones compuestas son aquellas cuyo numerador y/o denominador son fracciones. Ejemplo: ; ; Aunque parecen expresiones difíciles, su resolución es sencilla. Basta con escribirlas como fracciones simples que ahora ejemplizo: que al resolverla se obtiene
=
Del mismo modo resolvemos las siguientes.
=
=
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También se pueden presentar fracciones compuestas que contenga en su numerador y/o denominador operaciones, las cuales deben desarrollarse en primer lugar para luego resolver como los casos anteriormente dados. Ejemplo:
Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad. Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto. Representemos las fracciones equivalentes
Y
Vemos que ambas fracciones representan la misma parte. Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Ejemplo: Amplifiquemos la fracción
Luego las fracciones
y
por 6 para obtener una fracción equivalente.
son equivalentes.
Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Ejemplo: Simplifiquemos la fracción
Luego las fracciones
por 3 para obtener una fracción equivalente.
son equivalentes. y
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Comparar fracciones Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor. Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador. Ejemplo: Comparemos
. La primera es mayor ya que 5 > 2.
Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común. Ejemplo: Comparemos las fracciones y Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a través de la amplificación. La fracción
la amplificaremos por 4 y la fracción
la amplificaremos por 3, obteniéndose
respectivamente, y
.
Como 9 > 8, la fracción mayor es
o sea >
.
Fracciones a decimales Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el numerador por el denominador. Así si queremos convertir
a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8
1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto Efectuemos ahora la transformación de
a forma decimal.
2 : 3 = 0,66666... o sea un decimal periódico Convirtamos a decimal la fracción 1 : 6 = 0,166666... o sea un decimal semi periódico Multiplicación de decimales Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en los factores. Ejemplo: 0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345. Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,073365 y 0,053, siendo de 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales. Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como resultado final 0,00390345. www.clickmatematica.blogspot.com
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La explicación de este procedimiento es el siguiente: 0,07365 = y 0,053 = Efectuemos el producto ·
=
= 0,00390345
Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra. Ejemplo 0,0582 · 7300 582 · 73 = 42.486 Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600. Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras. Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86. Esto tiene la siguiente justificación: 0,0582 =
7300 = 73 · 100 y
Luego 0,0582 · 7300 =
73 · 100 = 582 · 73·
= 42.486 ·
·
= 424,86 =
División de decimales Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación Efectuemos la división 36 : 0,5 Esto es lo mismo que decir
fracción que podemos amplificar por 10 (basados en que 0,5 tiene un ,
solo decimal). Resulta, entonces, Efectuamos esta sencilla división 360 : 5. Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72. Si queremos comprobar que nuestro resultado está bien, debemos multiplicar 72 · 0,5 y obtener 36. Otro ejemplo: 3764 : 0,04 En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales. Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100. Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales? Dividamos 0,512 : 1,6. Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por 1.000. (3 decimales, 3 ceros) Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32. www.clickmatematica.blogspot.com
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Las divisiones con decimales tienen mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente: Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075 metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20) Tanto por ciento ciento Calcular el tanto por ciento, t %, de una cantidad A consiste en encontrar una cantidad B de forma que A y B estén en la misma proporción que 100 y t. Así, si el t % de una cantidad A es otra cantidad B, se verifica:
Por tanto, sin tener más que dos de estos datos se puede averiguar el tercero.
Decir que el t % de cierto de un conjunto de personas (cuya representación debe ser numérica) verifica algo, significa que de cada 100 individuos de ese conjunto, t cumplen dicha condición. Así, por ejemplo, si se dice que «el 25 % de las personas que forman un Parlamento son de la oposición», se está diciendo que de cada 100 parlamentarios, 25 son de la oposición. Si hay 100 parlamentarios, 25 son de la oposición Si hay 300 parlamentarios, 75 son de la oposición Ejercicio: cálculo de tantos por ciento ¿Cuál es el 25 % de 480? Resolución: En este caso A = 480 y t = 25. Se debe calcular B.
El 25% de 480 es 120. Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80. Resolución: Obsérvese que en este caso A = 320, B = 80 y se ha de calcular t.
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El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad. Resolución: t = 15
B = 54
En una clase de 30 alumnos, 8 practican la natación y 22 juegan al fútbol. Hallar el porcentaje de alumnos que practica cada deporte. Resolución:
El 26,6 % de los alumnos practica la natación.
El 73,3 % de los alumnos juega al fútbol. Aplicaciones del tanto por ciento El precio de un chaleco es de 5.800 pesos y sobre este precio se hace un 15 % de descuento. ¿Cuánto se pagará por él? Resolución: Se calcula el 15 % de 5 800 pesos:
Se resta el descuento del precio del chaleco: 5.800 - 870 = 4 930 pesos También se puede razonar de esta forma: Si se hace un 15 % de descuento, por el chaleco se paga el 85 % de su valor (100 - 15 = 85), es decir:
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Por una silla que marcaba 7 200 pesos se han pagado 6 336 pesos. ¿Qué tanto por ciento de descuento se ha efectuado?
Resolución: 7 200 - 6 336 = 864 La proporción en este caso es:
El descuento ha sido del 12 %. Sobre un artículo se hace un descuento del 8 % y se paga un total de 1 564 pesos. ¿Cuál era su precio inicial? Resolución: Precio inicial - 8 % de precio inicial = 1 564
La factura de una reparación doméstica asciende a 4 800 pesos y sobre esta cantidad se aplica un 12 % de impuesto. ¿Cuánto se pagará finalmente? Resolución: Se calcula el 12 % de 4 800:
En total se pagará 4 800 + 576 = 5 376 pesos En un trimestre, el consumo de agua de una familia ha sido de 69 metros cúbicos, y cada metro cúbico cuesta 35 pesos. Al importe del agua consumida se le añade un 6 % de impuestos, y además, la factura sufrió un recargo de un 20 % por haberse pagado fuera de plazo. ¿Cuánto se pagó al final? Resolución: Importe del agua: 69 metros cúbicos · 35 pesos por cada metro cúbico = 2 415 pesos 6 % sobre 2 415 pesos: www.clickmatematica.blogspot.com
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20 % sobre 2 560 pesos;
Total factura: 2 560 + 512 = 3 072 pesos Tabla de equivalencias equivalencias A mis alumnos le insisto bastante en la conveniencia de aprender a trabajar con decimales, fracciones y porcentajes basados en la siguiente tabla de equivalencias: Fracción
Decimal
Porcentaje
0,5
50% %
0,25
25%
0,2
20%
0,125
12,5%
0,1
10%
0,01
1%
0,75
75%
Por lo tanto, si nos piden el 20% de 30, sabemos que 20% equivale a
o sea la quinta parte de 30, ,
por lo que resulta 6. El 12,5% de 24, significa la octava parte de él, lo que da 3. El 75% de 40, significa el triple de la cuarta parte de 40, o sea 40:4 que es 10 y por 3, dando como resultado 30. www.clickmatematica.blogspot.com
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El
del 25% de 36 es la tercera parte de la cuarta parte de 36, o sea 36:4 = 9 y 9 : 3 = 3. % También es conveniente tener claro que cuando se pide el: 100% es la misma cantidad, o sea el 100% de 78 es 78. 150% es 1,5 veces la cantidad 200% el doble de la cantidad, o sea el 200% de 37 es 37·2 = 74. 300% el triple de la cantidad. Intereses
Se llama interés al beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, capital, durante un cierto tiempo. Es decir, el interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. El interés que produce un capital depende del tiempo que esté invertido o prestado, de forma que el interés I producido por un capital C es directamente proporcional al tiempo que esté invertido, y también directamente proporcional al capital C. Entre el interés que produce un capital en un periodo de tiempo y el capital inicial hay, por tanto, una cierta relación. Ejemplo: Imagínese que se hace un préstamo de 5 000 pesos con el acuerdo de que al cabo de un año se han de devolver 150 pesos más de la cantidad prestada. El interés es de 150 pesos y el capital 5 000 pesos
0,03 es el tanto por uno que representa 150 de 5 000, que equivale al 3 %. Relación: 150 es el 3 % de 5 000. Esto quiere decir que de cada 100 pesos prestados, al cabo de un año tendrá que devolver 103; 100 serán para devolver el préstamo y 3 de intereses. Se dice que el dinero está prestado a una tasa del 3 %. Tasa de interés o crédito Se llama tasa de interés o rédito al tanto por ciento al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, es decir, al cociente entre el interés producido y el capital, en una unidad de tiempo. Equivale al interés que producen 100 pesos durante un año, y es un valor fijo. Generalmente se toma como unidad de tiempo el año; en caso contrario, ha de especificarse. La tasa anual de interés se representa por I y viene expresada como un porcentaje (5 %, por ejemplo) o como su equivalente en forma decimal o tanto por uno (0,05). En los cálculos se utiliza generalmente esta última expresión, aunque la información se transmita en forma de tanto por ciento. Ejercicio: Calcular la tasa de interés a que está invertido un capital de 40 000 pesos si en un año se han convertido en 43 200 pesos. www.clickmatematica.blogspot.com
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Resolución: El interés producido ha sido: 43 200 - 40 000 = 3 200 pesos.
Es decir, la tasa es del 8 %.
Tipos Tipos de interés Imagínese la siguiente situación: dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, y con una misma tasa de interés i. Al cabo de un año, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital invertido. En el segundo año, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, etc. Cada año retira los intereses producidos por su capital C durante ese año. En cambio, al cabo del primer año, el individuo B no retira el interés, lo invierte junto al capital anterior durante un año más. Y así sucesivamente. En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C. En el segundo caso, el capital varía, aumenta. La siguiente tabla resume la situación: Interés simple y compuesto compuesto Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la persona A es un interés simple. Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo. El interés de la persona B en el ejemplo, es un interés compuesto. Fórmula del interés simple El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i: I=C·i ·t donde i está expresado en tanto por uno y t en años. Ejercicio: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. www.clickmatematica.blogspot.com
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Resolución: Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I = 25 000·0,06·4 = 6 000
? = C·i·t
El interés es de 6 000 pesos Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución:
? = C·i·t
Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Resolución:
I = ?·i·t El saldo medio ha sido de 48 500 pesos Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Resolución: Los intereses han ascendido a: 22
400
-
20
000
= I = C·?·t
2
400
pesos
Aplicando la fórmula I = C · i · t
La tasa de interés es del 12 %. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? www.clickmatematica.blogspot.com
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Resolución: Aplicando la fórmula I = C · i · t 12 000 = 300 000 =: 0,08 · t I = C·i·?
El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.
Fórmula del interés compuesto compuesto Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año. Durante el primer año el capital C produce un interés I1 = C · i . El capital final será: C1 = C + Ci = C(1 + i) Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será: C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i + 1) = = C · (1 + i)2 Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn, Cn = C (1 + i)n Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial: I = Cn - C = C (1 + i)n - C, y sacando factor común C:
La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn: Cn = C (1 + i )n
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Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años: Si los periodos de conversión son semestrales,
Si los periodos de conversión son trimestrales,
Ejercicio: Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
Resolución: Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n ? = C( 1 + i )n
C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de 1 763 194 pesos. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolución:
Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es:
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1 583 945 = C (1 + 0,05)14 1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C:
El capital inicial fue de 800 000 pesos. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos. Resolución: Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4 2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4
1 + i = 1,1199999 i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999
0,12
La tasa de interés ha sido del 12 %. Anualidad Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago. Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada. Anualidad ordinaria En una anualidad ordinaria simple, los pagos se efectúan periódicamente según un cierto intervalo de pago que coincide con los periodos de interés y, además, cada pago se realiza al final del primer intervalo, el segundo al final del segundo intervalo, etc. ¿Cómo calcular el capital, valor final, en que se convierte una anualidad en un cierto periodo de tiempo?
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Ejercicio: Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 pesos anuales durante 4 años al 5 % de interés. Resolución: Como es una anualidad ordinaria, el primer pago se efectuará al final del primer año. Los 10.000 pesos del primer pago estarán invertidas durante 3 años, puesto que la anualidad es de 4 años y ya ha transcurrido uno. Luego el primer pago gana intereses durante 3 años. Al final del plazo de la anualidad, esos 10.000 pesos se habrán convertido en 10 000 (1 + 0,05)3 = 11 576,25 pesos Por el mismo razonamiento, el segundo pago produce intereses durante dos años, por lo que se convierte en 10 000 (1 + 0,05)2 = 11 025 pesos El tercer pago produce intereses durante 1 año: 10 000 (1 + 0,05) = 10 500 pesos Y el último pago coincide con el final del plazo de la anualidad, por lo que no produce ningún interés. Llamando V al valor final de la anualidad: V = 11 576,25 + 11 025 + 10 500 + 10 000 = 43 101 V = 43 101 pesos Se observa que el valor final de la anualidad es la suma de los valores finales de cada uno de los pagos invertidos a interés compuesto hasta el final del plazo de la anualidad. Fórmula del valor final de una anualidad ordinaria Sea R el pago periódico de una anualidad ordinaria, i la tasa de interés por periodo de interés, n el número de intervalos de pago (igual al número de periodos de interés por ser una anualidad ordinaria) y V el valor final de dicha anualidad. El primer pago R se convertirá en R (1 + i )n - 1, puesto que está invertido durante (n - 1) periodos de interés. El segundo pago R, se convertirá en R (1 + i )n - 2 El penúltimo pago se convertirá en R (1 + i )1 El último pago será R. El valor final será: V = R + R (1 + i ) + R (1 + i )2 + ... + R (1 + i )n - 2 + R (1 + i )n - 1 www.clickmatematica.blogspot.com
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Como puede observarse, se ha obtenido la suma de n términos de una progresión geométrica de razón (1 + i) y término inicial, R. Aplicando
la
fórmula
de
la
suma
de
los
n
primeros
términos
de
una
progresión
Ejercicio: ¿En cuánto se convierte una anualidad ordinaria de 5 000 pesos anuales, durante 6 años, al 3 %? Resolución:
Al final de cada año se depositan en el banco 150 000 pesos. Si el banco paga el 7 % anual, ¿cuánto dinero habría inmediatamente después del 5º año? ¿Y después del 8º? Resolución:
Al final del 5.º año habría 862 611 pesos.
Al final del 8.º año habría 1 538 970 pesos. Sistema métrico decimal Es el conjunto de medidas que se derivan del metro. Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10. Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa (peso).
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1. Unidades de Longitud. La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltiplos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del metro son: Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
Km. Hm. Dm. m. dm. cm. mm.
1.000 m. 100 m. 10 m. 1 m. 0,1 m. 0,01 m. 0,001 m
2. Unidades de Superficie. La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m2. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien. Los múltiplos y submúltiplos del m2 son: Kilómetro cuadrado Hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado metro cuadrado decímetro cuadrado centímetro cuadrado milímetro cuadrado
Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
3. Unidades de Volumen. La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m3. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del m3 son: Kilómetro cúbico Hectómetro cúbico Decámetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico
Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3
1.000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,00000000 m3
4. Unidades de Capacidad. La unidad de estas medidas es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del litro son: www.clickmatematica.blogspot.com
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Kilólitro Hectólitro Decálitro Litro Decílitro Centilitro Mililitro
Kl. Hl. Dl. l. dl. cl. ml.
1.000 l. 100 l. 10 l. 1 l. 0,1 l. 0,01 l. 0,001 l.
5. Unidades de Peso. La unidad de estas medidas es el gramo. Las medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del gramo son: Kilógramo Hectógramo Decágramo Gramo Decígramo Centígramo Milígramo
Kg. Hg. Dg. g. dg. cg. mg.
1.000 g. 100 g. 10 g. 1 g. 0,1 g. 0,01 g. 0,001 g.
Ángulos y su clasificación Ángulo: Abertura formada por dos rayos. Clasificación de los ángulos: ángulos Ángulo Agudo: Agudo Mide más de 0º y menos de 90º. Ángulo Recto: Recto Mide 90º. Ángulo Obtuso: Obtuso Mide más de 90º y menos de 180º. Ángulo Extendido: Extendido Mide 180º. Ángulo Convexo: Convexo Mide más de 180º y menos de 360º Ángulo Completo: Completo Mide 360º. Relaciones entre ángulos Ángulos complementarios: complementarios Son los que suma 90º. Ángulos suplementarios: suplementarios Son los que suman 180º. Ángulos consecutivos o contigüos: contigüos Tienen un lado común. Ángulos adyacentes: adyacentes Ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Tiene la propiedad de ser suplementarios. Ángulos opuestos por el vértice: vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo. Ángulos entre paralelas Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo: www.clickmatematica.blogspot.com
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Ángulos correspondientes: correspondientes Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Ángulos alternos internos: internos Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Ángulos alternos externos: externos Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: 1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. Triángulos Los triángulos son polígonos de tres lados. Las propiedades fundamentales del triángulo son: son 1) La suma de sus ángulos interiores es 180º. 2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º. 3) Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Los triángulos se clasifican: clasifican Según sus lados en: Equiláteros: Tienen sus tres lados iguales. Isósceles: Tienen dos lados iguales. Escalenos: Tienen sus tres lados desiguales. Según sus ángulos en: Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos. Rectángulos. Tienen un ángulo recto. Obtusángulos: Tienen un ángulo obtuso.
Elementos secundarios del triángulo Altura: Altura Segmento perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto. En un triángulo existen tres alturas y la intersección entre ellas recibe el nombre de Ortocentro. Según el tipo de triángulo, el ortocentro esta fuera, dentro o sobre un lado del triángulo. www.clickmatematica.blogspot.com
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Mediatrices o Simetrales: Simetrales Rectas perpendiculares a cada lado del triángulo en su punto medio. Su intersección, llamado circuncentro, es un punto que equidista de los vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita. Bisectrices: Bisectrices Segmentos que dividen al ángulo del vértice en dos partes iguales. Las bisectrices del triángulo se intersectan en un punto del triángulo llamado Incentro, y que es el centro de la circunferencia inscrita. Transversales de gravedad o Medianas: Medianas Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro o Centro de Gravedad, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto. Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Su propiedad fundamental es que la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Paralelogramos que son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos. Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades: Los lados opuestos tienen la misma longitud. Los ángulos opuestos son iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio. Trapecios, rapecios que son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos. Trapezoides rapezoides, oides que son cuadriláteros sin lados paralelos. Los paralelógramos Los paralelogramos se dividen en tres clases: Cuadrados Cuadrados, adrados que tienen los cuatro ángulos iguales (rectos) y los cuatro lados iguales. Sus diagonales son de igual medida, perpendiculares entre sí, bisectrices de los ángulos rectos, se dimidian mutuamente y cada una de ellas mide el lado por raíz cuadrada de 2. Rectángulos, Rectángulos que tienen los cuatro ángulos iguales (rectos) y sus lados opuestos iguales. Sus diagonales son iguales y se dimidian mutuamente Rombos Rombos, mbos que tienen los cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales. Sus diagonales son perpendiculares, bisectrices de los ángulos de los vértices, una dimidia a la otra y viceversa. Romboides, que tiene sus lados opuestos iguales y sus ángulos opuestos iguales. De sus diagonales se puede decir que una dimidia a la otra y viceversa. Los trapecios Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos. Hay tres tipos de trapecios: Los trapecios rectángulos que tienen dos ángulos rectos. Los trapecios isósceles, isósceles cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud. Los trapecios escalenos, escalenos que tiene todos sus lados de distinta medida. www.clickmatematica.blogspot.com
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Los trapecios trisoláteros, que tiene tres lados iguales Los trapezoides No tiene lados paralelos y pueden ser simétricos o asimétricos. El trapezoide simétrico tiene la forma de una cometa (volantín), teniendo dos pares de lados iguales. Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos de los vértices. Circunferencia Circunferencia y círculo La circunferencia es una figura plana cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro. El círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia. Semicircunferencia: Semicircunferencia Mitad de una circunferencia. Semicírculo: Semicírculo Mitad de un círculo. Elementos principales de la circunferencia: Radio: Radio Segmento que une el centro del círculo con un punto de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuerda Diámetro: Diámetro Es la cuerda de mayor longitud, pasa por el centro y equivale al doble del radio. Arco: Arco Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Secante: Secante Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos. Tangente: Tangente Recta que intersecta a la circunferencia en un punto. Flecha o Sagita: Sagita Segmento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el punto medio del arco comprendido menor. Ángulo del centro: centro Ángulo formado por dos radios. Ángulo inscrito: inscrito Ángulo formado por dos cuerdas que tienen como punto común un punto de la circunferencia. Ángulo semisemi-inscrito inscrito: crito Ángulo formado por una cuerda y el rayo tangente en uno de sus extremos. Sector circular: circular Parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido por ellos. Segmento circular: circular Parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco que comprende. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia:
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Corona o Anillo: Anillo Parte del círculo comprendida entre dos círculos concéntricos. www.clickmatematica.blogspot.com
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