Cálculo Vectorial - Cliffor Herrera

Cálculo Vectorial

IV año de Matemáticas

Facilitador: Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Estelí, Abril 2023

Calculo diferencial de funciones reales de vaas vaables reales

Los tópicos del Cálculo Vectorial desarrollan en el estudiante capacidades y habilidades para realizar interpretaciones conceptuales geométricas y físicas, cálculos de límites, derivadas e integrales de funciones reales y vectoriales en varias variables, demostraciones de las propiedades generales del cálculo diferencial, integral y vectorial en varias variables Contempla la aplicación de las derivadas parciales a problemas de optimización, y de las integrales múltiples en la solución de problemas geométricos y físicos

coordenadas rectangulares en tres dimensiones

Límite y Continuidad de funciones reales de n variables reales

De acuerdo con Valle, (2009) “ un sistema de ejes coordenados rectangulares en el espacio consta de tres ejes perpendiculares dos a dos (denominados ejes coordenados) con el mismo origen” (p 52) Siendo conocido este sistema de tres dimensiones por tener longitud, altura y profundidad, comúnmente representados por X, Y, Z

Para conocer más acerca del tema, es necesario el desarrollo histórico del tema, al respecto Fernández, (2009) plantea:

La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas, que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales (p 6)

También, “la representación numérica de los conceptos de límite y continuidad se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes” (Fernández, 2009, p 19) Siendo, esta temática útil

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Jacobianos

Para Torres (1991): Sea k un campo y sea una aplicación polinómica, i e , F es tal que sus funciones co ordenadas

son polinomios en n variables

Si k es infinito y si F tiene inversa polinomial G ésta con funciones coordenadas g1, ,gn entonces el determinante de la matriz jacobiana

Integl de funciones reales de vaas vaables reales

Las funciones reales de varias variables reales son funciones de la forma

En este tema se van trabajar aspectos referentes a varias funciones y directamente la aplicación de conceptos ya estudiados, como integrales dobles y triples, sistema de cilindro y transformadas Estas temáticas son de interés para el cálculo de momentos y centro de masa de un sólido no homogéneo, centro de masa de una lámina no homogénea, volumen de un sólido, entre otros.

generalizable sustituyendo el intervalo [a,b] por una región n­dimensional en la que esté definida y acotada la función f.

Integral Doble y Triple según Riemann

Para Rojas, (2022) “ en lo que respecta al tópico integral doble de Riemann, comprendiendo tres niveles o dimensiones: el primero en lo concerniente a conocimiento ­ comprensión, el segundo, análisis ­ aplicación y el tercero, en síntesis – evaluación” (p 59)

Para Portaencasa, (1981) Al estudiar la integral doble, ya se indicó la posible generalización del concepto de integral de Riemann par a una región n­dimensional y se desarrolló par a n = 2, obteniéndose así la integral doble

De manera análoga , para n = 3 se obtendrá la integral triple, que podemos definir como a continuación se expone Consideremos la función U = f(x,y,z), definida y acotada en todos los puntos de un cierto dominio espacial V, limitad o por una superficie cerrada S Dividimos arbitrariamente el dominio V en dominios parciales que llamaremos celdas, representando dichos dominios, así como sus volúmene s por:

Transformación de integrales dobles a coordenadas Polares

Según Prieto y Vargas, (2004):

Las coordenadas polares corresponden a una manera alternativa de describir puntos geom ´etricos del plano En lugar de usar un par de ejes perpendiculares se selecciona un punto O (pivote) que llamamos polo y un rayo L que parte desde O y que llamamos eje polar (p 29)

Teorema

El concepto de integral definida de Riemann es

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Cálculo Veoal de funciones veoales de una vaable real

Funciones vectoriales

Según Bombal y Fierro, (1982)

Observación:

• Al vector r’(t) se le denomina vector tangente a la curva descrita por la curva C:r(t) en el punto siempre que r’(t) exista y r’(t) distinto de cero

• La recta tangente a Cr(t) en el punto se define como la recta que pasa por P y que es paralela al vector tangente r’(t)

• El vector unitario tangente es: T(t)=(r'(t))/|

r'(t)|

Se llaman funciones conjugadas de Young Se sigue que y son convexas, crecientes, no idénticamente nulas y continuas, excepto a lo más en un punto, a partir del cual la función debe ser igual a ∞ Además, verifican la desigualdad de Young:

Derivación de funciones vectoriales

Según establece Alva, (2012) “ una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores Esto quiere decir que podemos definir la función como:

• Al igual que las funciones de valores reales la segunda derivada de una función vectorial r es la derivada de r ’ es decir r ’’ = (r’)’

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