Bat bien gauge 04

Bất biến gauge - Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. SCholarpedia .

6. Lý thuyết gauge phi-Abel ( Non-Abelian gauge theories ) .

6.1 Lý thuyết trường cổ điển .

6.1.1 Dạng thành phần ( Component form ) 6.1.2 Trường gauge , hình học và lý thuyết lưới gauge .

Những khái niệm của các trường gauge và các đạo hàm hiệp biến có thể được dịch sang ngôn ngữ của hình học vi phân , dựa trên cơ sở các dạng vi phân . Trường gauge

tương

đương với dạng 1 – liên kết giá trị Lie tensor cường độ trường

và

tương đương với dạng 2 – độ

cong giá trị Lie

.

Theo thành phần của dạng vi phân , quan hệ (45)

có thể viết lại là Giống như mọi liên kết , liên kết gauge sinh ra vận chuyển song song , đây là phần đặc biệt quan trọng trong kết cấu của lý thuyết lưới gauge trong đó không – thời gian được thay bằng lưới rời rạc và trường gauge thay bằng các phần tử nhóm kết hợp với các đường nối . Ví dụ chúng ta hãy xét lưới gồm các điểm có tọa độ nguyên ( các vị trí lưới ) . Ứng mỗi cặp vị trí lân cận ta kết hợp với một phần tử nhóm , là điều mà trong bối cảnh này sẽ tuân theo quy luật của trường gauge . Cần nhớ ta vừa biểu thị vị trí lưới bằng . Khi đó phép biến đổi gauge được xác định bởi một tập các phần tử nhóm độc lập

trên mỗi vị trí lưới

; tác động của nó trên

trường gauge là Vận chuyển song song sẽ được hoàn thành bởi tích của các phần tử nhóm dọc theo đường cong trên lưới ( i.e đi theo các đường nối lưới ) .

Do không có mặt vật chất , các đại lượng bất biến gauge , bao gồm tác động lưới gauge , sẽ có dạng các vết của tích các biến kết nối dọc theo những vòng lặp đóng .

6.2 Lượng tử hóa của lý thuyết gauge phi Abel .

Trong lý thuyết Abel và gauge phi Abel không phải mọi thành phần của trường gauge đều có tính động học căn cứ theo bất biến gauge và sự lượng tử hóa dạng nón đơn là không thể xảy ra . Một yêu cầu được nói đến là việc chỉnh sửa gauge . Tuy nhiên , trái ngược với QED , dạng lượng tử hóa của lý thuyết gauge phi Abel không thể được dự đoán từ những biến định hướng đơn giản , ngay cả khi vắng mặt các trường vật chất .

Một sự mở rộng đơn thuần các ý tưởng này sẽ khiến cho QED bị phá sản . Sự lượng tử hóa chính quy theo thời gian hay trường gauge Weyl vẫn có thể áp dụng , nhưng sẽ dẫn đến một lý thuyết không có hiệp biến tương đối dạng hiển và có những đặc tính kỳ dị . Các phép biến đổi mà có thể được giải thích dễ dàng chỉ bằng ngôn ngữ của các trường tích phân sẽ cho phép vượt qua để đi đến các công thức hiệp biến dạng hiển .

6.3 Chỉnh sửa gauge theo các tích phân trường gauge .

Trái ngược với lý thuyết trường cổ điển , trong lý thuyết lượng tử gauge việc chỉnh sửa gauge là một vấn đề cơ bản . Thực vậy , do hàm bị tích trong các tích phân trường cho biết các quan sát khả dĩ vật lý là hằng số dọc theo các quỹ đạo gauge ( tập hợp các trường gauge thu được từ một biểu diễn bởi một phép biến đổi gauge ) , các tích phân trường thô sơ ( tổng của các hình thể trường ) là không được xác định . Việc chỉnh sửa gauge trở nên cần thiết , đó là , để tích phân chỉ trên một phân

đoạn của không gian trường gauge thì một cách lý tưởng là bao gồm chỉ một biểu diễn trên quỹ đạo . Do việc tổng quát hóa tính hình thức của QED , ta xác định phân đoạn gauge bằng một tập các phương trình có dạng , trong đó chỉ mục chạy trên các thành phần sinh của đại số Lie . Một cách thường xuyên , ta sẽ tích phân không chỉ trên phân đoạn gauge mà còn trên toàn thể lân cận của phân đoạn đó , bằng cách chỉnh sửa và bằng việc tích phân trên với một phân bố Gauss (phiếm hàm) .

Những đại lượng thủ tục này để bổ sung cho hoạt động một ( phi bất biến gauge ) thành phần chỉnh gauge, là một sự tổng quát hóa đại lượng (35)

Ngoài ra thật cần thiết để tích phân trên các trường gauge với một độ đo bảo đảm rằng các kết quả vật lý là độc lập với việc chọn lựa phân đoạn . Một độ đo như vậy đã được Faddeev và Popov (1967) chỉ ra và , trong trường hợp chuẩn Landau (Landau’s gauge) , bao gồm - như là một thừa số- giá trị tuyệt đối của định thức của một toán tử vi phân ( mà trong QED sẽ quy về một hằng số không cần thiết ) Đối với các trường gauge nhỏ , định thức có thể chọn là dương và có thể được viết theo dạng địa phương với việc đưa vào các trường fermion không spin phi vật lý , đó trường ảo Faddeev – Popov . Bất biến BRST ( Becchi Rouet Stora 1976 ) nổi bật trong bối cảnh này , như là sự thay thế cho bất biến gauge bị phá vỡ . Sau này ta có thể chứng minh rằng việc xây dựng như vậy sinh ra một lý thuyết phù hợp theo nghĩa của sự mở rộng nhiễu : trong lý thuyết nhiễu động , hàm bị tích trong trường tích phân sẽ được mở rộng dưới dạng hàm mật độ Gauss nhân với một chuỗi lũy thừa các thành phần tương tác .

Tuy nhiên bài toán tích phân trên phân đoạn gauge thích hợp có vẻ tinh vi hơn ở một mức độ phi nhiễu động . Thực vậy , người ta muốn phân đoạn cắt một lần , hoặc ít nhất , một số lần tương tự , tất cả các quỹ đạo gauge , nhưng điều này không phải là tình huống trong các lý thuyết gauge phi Abel , như lần đầu tiên được Gribov chỉ ra năm 1978 ( sau này ta gọi là phiên bản Gribov ) . Trường hợp đặc biệt , định thức Faddeev-Popov đổi dấu khi 2 phiên bản hòa vào nhau và , nếu giá trị tuyệt đối của định thức không mang giá trị thích hợp , độ đo tích phân sẽ không còn dương nữa . Một ý tưởng sau này là việc giới hạn tích phân đối với miền đóng chỉ một phiên bản Gribov , nhưng điều này là không dễ dàng trong tính toán thực hành . Định nghĩa duy nhất từng biết đến trong lý thuyết gauge thu được từ việc thay thế không thời gian continuum bằng một lưới dẫn đến sự phát triển lý thuyết lưới gauge . Sau này , ít nhất trong một phần thể tích hữu hạn , việc chỉnh sửa gauge là không cần thiết và bài toán Gribov có thể được bỏ qua .

7. Thuyết tương đối tổng quát Lý thuyết tương đối của Einstein về trường hấp dẫn , cũng được biết đến như là thuyết tương đối tổng quát , có những tính chất mà ở mức độ nào đó liên quan đến lý thuyết gauge . Ở đây , bất biến dưới phép vi hình ( diffeomorphism ) ( phép biến đổi tọa độ chính tắc địa phương ) trên đa tạp ( giả ) Riemann

, sẽ thay thế bất biến gauge . Trong bối cảnh

này , tensor liên kết Levi-Civita Christoffel ký hiệu

( với các thành phần

) , cái tạo ra vận chuyển song song , sẽ

tuân theo quy luật của trường gauge . Một số điểm lưu ý có trong phụ lục phần cuối bài viết này .

Những nét tương đồng với lý thuyết gauge gây nhiều sự chú ý hơn khi hình thức vielbein được giới thiệu , là cái được yêu cầu trong tình huống trường vật chất có spin . Vielbein là một cấu trúc phẳng địa phương trong không gian tiếp xúc với đa tạp .

Phép biến đổi gauge tương ứng với sự thay đổi cấu trúc địa phương ( phép biến đổi Lorentz địa phương ) . Bất biến gauge tương ứng với sự độc lập của các phương trình trường với việc chọn lựa cấu trúc địa phương . Cái từng được gọi là liên kết spin , là cái có thể được biểu diễn theo các thành phần của vielbein , sẽ tuân theo quy luật của trường gauge .

8. Lịch sử tóm tắt của bất biến gauge . * Gustav Kirchhoff sử dụng các thành phần của thế vector ( xem Kirchhoff 1857 , trang 530) , trong đó ông mở rộng công trình của Wilhelm Weber (1848) về cảm ứng điện từ . Trong bài báo này , Kirchhoff cũng lưu ý rằng thế vector và thế vô hướng thỏa mãn mối quan hệ mà trong ngôn ngữ hiện đại có thể gọi là điều kiện chỉnh sửa gauge . * Các dạng thành phần của phương trình Maxwell có thể tìm được từ các phương trình (54),(56),(112),(115) trong bài báo của Clerk W. Maxwell “ On physical lines of force ” ( Maxwell 1861-1962) . Maxwell , chịu ảnh hưởng từ William Thomson ( còn có tên là Lord Kelvin ) và George G. Stokes , đã biểu diễn trong phương trình (55) của bài báo trên , đại lượng ( theo ngôn ngữ hiện đại từ trường rất thích hợp đối với vật liệu tuyến tính ) , bằng các thành phần của rota của thế vector , được ký hiệu là . Các thành phần của thế vector , được chọn thỏa mãn các ràng buộc (57) , là cái trong ngôn ngữ hiện đại là điều kiện gauge

Coulomb . Maxwell cũng dùng các thành phần thế vector trong bài báo trước “ On Faraday’s lines of force ” ( Maxwell , 1855, trang 202) trong đó chúng được gọi là các hàm electro-tonic và ký hiệu bằng . * Trong một loạt các bài báo , Hermann von Helmholtz phân tích các công trình trước đó của W. Weber , F.E.Neumann và các cộng sự về lực điện từ trong các phần tử dòng . Helmholtz đã trình bày một họ các thế vector phụ thuộc một tham số thực và thực hiện các khảo sát ban đầu rằng trong khi các dạng vi phân của từ năng trong các phần tử dòng phụ thuộc vào giá trị tham số , thì kết quả năng lượng tích hợp lại không phụ thuộc vào giá trị tham số , hay , nói theo ngôn ngữ hiện đại , là bất biến gauge . * Hermann Weyl giới thiệu trong 3 bài báo năm 1918-1919 khái niệm về bất biến quy mô địa phương , được gọi là Massstab Invarianz trong 2 bài báo đầu , và Eich Invarianz trong bài báo thứ ba . Eich Invarianz , ban đầu được dịch là chuẩn bất biến và sau này thành bất biến chuẩn ( gauge ) . * Nỗ lực của Weyl về việc thống nhất lực hấp dẫn và điện từ , mà đỉnh điểm năm 1919 trong cuốn sách “ Raum,Zeit und Materie ” ( Không gian , Thời gian và Vật chất ) đã không thành công . Từ các công trình của Schrodinger (1922) , Fock (1927) , London (1927) , Weyl (1928) cho rằng các hàm sóng lượng tử thay đổi bởi một thừa số pha dưới phép biến đổi gauge và quy mô thực nguyên thủy của Weyl phải được thay thế bằng một sự đổi pha bao hàm thế vector điện từ trường 4 chiều thông thường . *Những năm 1930-1959 chứng kiến sự ra đời của QED ( Điện động lực học lượng tử ) , thuyết lượng tử mở rộng lý thuyết Maxwell cổ điển . Rất nhiều nhà khoa học đã đóng góp cho nỗ lực này như P. Dirac , V. Weisskopf , J. Schwinger , S. Tonomoga , F.J. Dyson và R.P. Feymann .

* Năm 1954 , Yang và Mills đã giới thiệu những trường gauge phi Abel . Sau đó Ronald Shaw đã đề cập đến chủ đề tương tự trong luận án tiến sĩ không công bố của ông dưới sự hướng dẫn của A. Salam .

Tham khảo · · · · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

Aharonov, Y and Bohm, D (1959). Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory. Physical Review 115: 485-491.

Darrigol, O (1999). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-850593-0 Becchi, C; Rouet, A and Stora, R (1976). Renormalization of gauge theories. Annals of Physics 98: 287-321.

Ehrenberg, W and Siday, R E (1949). The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics. Proc. Phys. Soc. B62: 8-21. doi:10.1088/0370-1301/62/1/303.

Faddeev, L D and Popov, V N (1967). Feynman diagrams for the Yang-Mills field. Physics Letters B25: 29-30.

Feynman, R P (1948). Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics. Review of Modern Physics 20(2): 367-387.

Fock, V (1927). Über die invariante Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen für einen geladenen Massenpunkt. Zeitschrift für Physik 39: 226-232. doi:10.1007/bf01321989. English translation in (Taylor 2001).

Gribov, V N (1978). Quantization of non-Abelian gauge theories. Nuclear Physics B 139: 1-19.

Helmholtz, H (1870). Ueber die Bewegungsgleichungen der Elektricität für ruhende leitende Körper. Journal für die reine und angewandte Mathematik 72: 57-129. doi:10.1515/crll.1870.72.57.

Jackson, J D and Okun, L B (2001). Historical roots of gauge invariance. Review of Modern Physics 73: 663. arXiv:hep-ph/0012061 Jackson, J D (2002). From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations. American Journal of Physics 70: 917.arXiv:physics/0204034 Kirchhoff, G (1857). II. Ueber die Bewegung der Elektricität in Leitern Annalen der Physik und Chemie 102: 529-544.doi:10.1002/andp.18571781203. Reprinted in Gesammelte Abhandlungen von G.Kirchhoff (J. A. Barth, Leipzig 1882), p. 154-168.

Lagrange J L (1788). Mécanique analytique. Chez La Veuve Desaint, Libraire (Paris) reedited in Œuvres de Lagrange, J-A Serret ed., Paris (1867).

London, F (1927). Quantenmechanische Deutung der Theorie von Weyl Zeitschrift für Physik 42: 375-389. doi:10.1007/bf01397316. English translation in (Taylor 2001).

Maxwell, J C (1855). On Faraday's Lines of Force Transactions of the Cambridge Philosophical Society X(I): 1455-228. Scanned copy from blazelabs.com.

Maxwell, J C (1861-62). On Physical Lines of Force. Philosophical Magazine. Scanned copy from Wikimedia commons.

Noether, E (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachr. d. König. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse, 235–257. English translation by Tavel MA (1971), Transport Theory and Statistical Physics. 1(3):183–207. arxiv.org/abs/physics/0503066.

· · · ·

· ·

· · · ·

Schrödinger, E (1922). Über eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines einzelnen Elektrons Zeitschrift für Physik 12: 13-23. doi:10.1007/bf01328077.

Schrödinger, E (1926). An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules. Physical Review 28: 1049 - 1070.

Schwinger, J editor (1958). Selected papers on Quantum Electrodynamics. Dover Publications, New York.

Shaw, R (1955). The problem of particle types and other contributions to the theory of elementary particles. Cambridge Ph. D. Thesis. Unpublished. Advisor: A. Salam. A partial reprint can be found in (Taylor 2001).

Taylor, J C editor (2001). Gauge Theories in the Twentieth Century. Imperial College Press, London.

Weber, W (1848). I. Elektrodynamische Maassbestimmungen Annalen der Physik und Chemie 73: 193-240. Shortened version of the 1846 paper published in the Abhandlungen der Königlichen Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig.

Weyl, H (1918). Sitzber. Preuss Akad. Wiss. : 465. Weyl, H (1918). Math. Z. 2: 384. Weyl, H (1919). Ann. Phys. 59: 101.

Weyl, H (1919). Raum, Zeit und Materie. Verlag von Julius Springer, Berlin. Scanned copy from Internet Archive.

Weyl, H (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik Hirzel , Lepzig.

Yang, C N and Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.

Tài liệu đọc thêm · · · · · · ·

Faddeev, L D and Slavnov, A A (1991). Gauge Fields. Introduction to quantum theory. (2nd edition). Addison-Wesley Publishing Company, T. ISBN 0201524724.

Frankel, T (2003). The Geometry of Physics: An Introduction (2nd edition). Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521539277.

Itzykson, C and Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory. Dover Publications, New York. ISBN 0486445682 Lai, C H ed. (1981). Gauge Theory of Weak and Electromagnetic Interactions. World Scientific Publishing, Singapore. ISBN 978-9971830236 't Hooft, G (2005). 50 years of Yang-Mills theory World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-256007-0.

Weinberg, S (1996). The quantum theory of fields. Vol. 2: Modern Applications. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521550025 Zinn-Justin, J (2002). Quantum Field Theory and Critical Phenomena (4th edition). Oxford University Press, Oxford. ISBN 0198509235

Phụ lục .

Bổ sung về thuyết tương đối tổng quát .

Lưu ý : Trong phụ lục này ta sử dụng các quy ước về tổng trên , tổng dưới lặp lại theo các chỉ số .

Với một kết nối affine trên một đa tạp vi phân , Vận chuyển song song của các trường tensor vi phân có thể được xác định tại địa phương với việc sử dụng các đạo hàm hiệp biến. Ví dụ, dạng của đạo hàm hiệp biến tác động trên trường vector

là

Khi đó tensor độ cong Riemann được định nghĩa bởi bởi hoặc ở dạng thành phần Vết hiệp biến của độ cong sinh ra các tensor Ricci Trong một đa tạp (giả) Riemann ta có thể sử dụng các metric tensor

(Nghịch đảo của nó là

hiệp biến của tensor Ricci

) để có vết

và có được độ cong vô hướng

.

Trong trường hợp đặc biệt kết nối Levi-Civita (metric, torsion) trên một (giả) đa tạp Riemann, kết nối và, do đó, các tensor Riemann, tensor Ricci và độ cong vô hướng có thể được thể

hiện hoàn toàn theo các thành phần của tensor

; ví dụ,

tensor Ricci sau đó biến đổi thành một tensor đối xứng.

Trong trường hợp không có vật chất , các phương trình chuyển động cổ điển của thuyết tương đối tổng quát đối với các tensor metric

có dạng

Những phương trình này có thể được bắt nguồn từ tác động Einstein-Hilbert ,

trong đó g( x ) là định thức của tensor metric và ta giả định một đa tạp giả -Riemann 4 chiều với dấu metric .

Những phương trình này có thể được khái quát hóa để bao gồm một hằng số vũ trụ và trường vật chất.

: