Gioi thieu ve phương trinh vi phân chương 5

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 –

HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

PHẦN 1 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

1

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

2

-Một số kiến thức cần thiết .

Lý thuyết tổng quát -Hệ thống phương trình vi phân .

-Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .

Trần hồng Cơ .

01/08/2013 .

********************************************************* ******************* This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

1 . Một số kiến thức cần thiết .

1.1 Hệ thống phương trình tuyến tính . +Nhắc lại hệ thống phương trình tuyến tính (1)

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

3

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

4

Ma trận mở rộng của hệ có dạng

+Hạng của ma trận A ký hiệu r(A) = r là số vector dòng ( hoặc cột ) lớn nhất độc lập tuyến tính của A .

Ta tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi Gauss-Jordan theo dòng ( hoặc cột ) .

Ví dụ :

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Thực hành Maple bằng lệnh >Rank(

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

) ;

http://cohtran.blogspot.com

5

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính .

Xét trường hợp m = n thì Anxn là ma trận vuông cấp n .

(1) có dạng

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

6

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Tương ứng với -Nếu r(A) = r(A|B) = r = n thì nghiệm X duy nhất .

-Nếu r(A) = r < r(A|B) thì vô nghiệm X .

-Nếu r(A) = r(A|B) = r < n thì vô số nghiệm X . +Định thức của ma trận vuông Anxn ký hiệu det(A) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

7

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ : Tính định thức của ma trận

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

8

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

9

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

10

+Sự liên quan giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và định thức .

Xét hệ (1) : AX = B .

-Hệ có nghiệm duy nhất nếu det(A) ¹ 0 .

-Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm nếu det(A) = 0 .

Trong trường hợp hệ là thuần nhất i.e AX -Hệ có nghiệm duy nhất X -Hệ có vô số nghiệm X ¹

= 0

0

=

0

.

nếu det(A) =/= 0 .

nếu det(A) = 0 .

1.2 Trị đặc trưng và vector đặc trưng . +Nhắc lại về đa thức đặc trưng . Cho ma trận vuông Anxn , ta nói đa thức đặc trưng của A là det(A -mI) với I là ma trận đơn vị cấp n .

-Phương trình đặc trưng của A là det(A - mI) = 0 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

11

-Trị đặc trưng của ma trận A là nghiệm m tìm được từ phương trình đặc trưng .

Nghiệm m có thể là thực - rời , thực - bội cấp p , phức , phức -căn bậc n , phức - bội cấp p (xem Chương 4-Phần 1 . 2.1.2 ) .

-Vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m của ma trận A là nghiệm X thỏa AX = mX .

Ví dụ : Tìm trị và vector đặc trưng của ma trận sau

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Vector đặc trưng tương ứng với m = 2 .

Giải AX = 2X Cohtran MMPC – VN

. http://cohtran.blogspot.com

12

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

2 .Lý thuyết tổng quát Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

13

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

14

-Hệ thống phương trình vi phân .

2.1 Hệ thống phương trình vi phân cấp 1 . +Hệ thống phương trình vi phân gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm và các đạo hàm của ẩn hàm .

Việc giải hệ thống này là khảo sát biểu thức của ẩn hàm ( nghiệm ) và biến độc lập ở dạng hiển , dạng ẩn ( hoặc tham số ) và bằng hình thức giải tích , giải số hay đồ thị . +Nếu hệ phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp 1 của ẩn hàm ta nói đây là hệ thống phương trình vi phân cấp 1 . Trong phần tiếp theo ta sẽ khảo Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

sát hệ thống phương trình cấp 1 - hiển theo đạo hàm có dạng sau đây (2)

Hoặc rút gọn

2.2 Bài toán Cauchy và định lý tồn tại duy nhất nghiệm . +Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp 1 được phát biểu

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

15

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Định lý Picard - Lindelof :

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

16

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Các hàm y = (yk(x,C1,..,Cn)) xác định trên miền W Ì D´U, với các hằng số Ck , k =1,..,n được xác định duy nhất thỏa mãn (2) gọi là nghiệm tổng quát của hệ .

-Nghiệm thỏa định lý Picard-Lindelof ta gọi là nghiệm duy nhất của hệ .

-Nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất được gọi là nghiệm kỳ dị .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

17

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ : Chứng minh rằng

Lời giải .

Thay biểu thức của y1 và y2 vào hệ thống phương trình ,

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

18

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Để ý rằng các hằng số C1 và C2 được xác định duy nhất theo y1 , y2 .

2.3 Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp cao và hệ thống phương trình vi phân .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

19

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+ Xét phương trình vi phân cấp cao

Đây chính là hệ thống phương trình vi phân (2) .

Ví dụ :

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

20

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

3 .Lý thuyết tổng quát -Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

3.1 Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

21

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm bậc nhất và các đạo hàm của ẩn hàm .

(3)

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

22

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

23

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Để viết dưới dạng ma trận

+Khi h(t) = 0 ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

24

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Khi h(t) = 0 và các hàm aij(t) = const ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

Ví dụ :

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

25

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

3.2 Tập nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . +Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t)

(4)

Với A(t) là ma trận các hàm aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D . +Giả sử hệ nghiệm của (4) là { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) độc lập tuyến tính , mỗi yk(t) có thể viết ở dạng vector ( y1k(t) y2k(t) ... ynk(t) ) khi đó một số tính chất của hệ nghiệm như sau .

-Nghiệm tổng quát của (4) yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n ) -Hệ nghiệm { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) còn gọi là hệ cơ sở của (4) có cấu trúc một không gian vector .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

26

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

-Để một hệ nghiệm của (4) là hệ cơ sở thì điều kiện cần và đủ là định thức Wronski của nó khác 0 .

3.3 Nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . +Như đã nói ở phần trên hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t) + Cohtran MMPC – VN

h(t)

(3) http://cohtran.blogspot.com

27

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Với A(t) là ma trận các hàm aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D . +Nếu biết nghiệm riêng của hệ không thuần nhất ( ký hiệu là yR ) và nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng ( ký hiệu là yTN ) thì nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất ( ký hiệu yTQ ) sẽ là yTQ

= yR + yTN

+Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên tham số . Đặt { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) là hệ cơ sở của hệ tuyến tính thuần nhất . Khi đó yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n ) Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

28

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất được tính từ biểu thức

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

29

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

3.4 Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

30

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

31

+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng y(t)' = A.y(t) +

h(t)

(5)

Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D . +Nếu h(t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . y(t)' = A.y(t)

(6)

+Phương trình đặc trưng của (6) là det( A - mI ) = 0 . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng mk , k = 1, 2 ... .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

32

+Nghiệm của phương trình này là nghiệm đặc trưng mk của hệ , vector đặc trưng tương ứng là vk(t) , tìm được bằng cách giải phương trình Avk(t) =mk . vk(t). +Một số trường hợp của trị đặc trưng như sau : a. Thực -rời .

Nếu các mk , k = 1,2,..., n là thực và rời nhau thì hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t) là độc lập tuyến tính . Hệ nghiệm của (6) cũng độc lập tuyến tính và có dạng uk(t) = exp(mk t).vk(t) b. Phức .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

33

Nếu có mk = a + ib là trị đặc trưng với vector đặc trưng tương ứng là vk(t) thì a - ib cũng là trị đặc trưng của hệ . Khi đó 2 nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ sẽ là uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt] uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt] c. Thực - bội .

Nếu có mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) và một trị đặc trưng m là thực - bội cấp p của hệ . Khi đó nghiệm của hệ được biểu diễn bởi Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Trần hồng Cơ 09/08/2013.

------------------------------------------------------------------------------------------Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

34

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 2 .

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

35

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

36

-Phương pháp ma trận .

-Phương pháp toán tử .

-Phương pháp biến đổi Laplace .

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .

Trần hồng Cơ .

20/08/2013 .

********************************************************* ******************* This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

37

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

1. Phương pháp ma trận . +Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng y(t)' = A.y(t) +

h(t)

(1)

Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D cho trước . +Khi h(t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

y(t)' = A.y(t)

38

(2)

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) .

1.1 Nghiệm thuần nhất .

Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) .

Cách tìm nghiệm thuần nhất .

Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng | A - mI | = 0 . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m . +Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ... của hệ .

Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(t) tương ứng với nghiệm mk bằng cách giải phương trình Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Avk(t) =mk . vk(t). +Các trường hợp của trị đặc trưng gồm : a. Thực -rời . +Các mk , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t) là độc lập tuyến tính . Hệ nghiệm của (2) có dạng uk(t) = exp(mk t).vk(t) Ví dụ 1 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

39

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

40

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

41

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

42

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

43

b. Phức .

Trị đặc trưng phức mk = a + ib với vector đặc trưng tương ứng là vk(t) thì a - ib cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt] uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} = exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt] Ví dụ 2 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

44

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

45

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

46

c. Thực - bội . Hệ có một trị đặc trưng m là thực - bội cấp p và mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

tương ứng là vj(t) . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận ( A - mI ) v = vj-1(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

47

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ 3 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

48

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

49

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

50

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

51

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Khi đó

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

52

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

53

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

54

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

55

d. Thực - phức .

Hệ có một số trị đặc trưng mi , i = 1,2 ,..., k là phức và mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a. và b ( hoặc c. tùy theo các dạng của trị đặc trưng ).

Ví dụ 4 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

56

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

57

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

58

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

59

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

1.2 Nghiệm riêng .

Nghiệm riêng yR của hệ (1) được tìm sau khi đã có nghiệm thuần nhất yTN của (2) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

60

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Khi đó nghiệm tổng quát của (1) ký hiệu yTQ là tổ hợp nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng . yTQ = yR + yTN Cách tìm nghiệm riêng .

Xét hệ y(t)' = A.y(t) + h(t) (1) Bước 1 . Tìm nghiệm thuần nhất yTN , có thể viết dưới dạng vector như sau

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

61

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

62

Bước 2 . Tìm nghiệm riêng yR bằng phương pháp biến thiên tham số . Các bạn tham khảo thêm các mục sau : Chương 2 - Phần 2 . 2 - 2.3 ; Chương 4 - Phần 1 . 4 - 4.1 ; Chương 4 - Phần 4 . 2 - 2.3.3 . Nghiệm riêng của (1) được giả thiết có dạng y(t) = U(t) C(t) Đạo hàm hai vế theo biến t , ta có y'(t) = U'(t) C(t) + U(t) C'(t) = A.y(t) + h(t) (*) Thay U'(t) = A.U(t) và y(t) = U(t) C(t) vào (*) U(t) C'(t) + A.U(t) C(t) = A.U(t) C(t) + h(t) Vậy U(t) C'(t)

=

h(t)

Þ C ' (t ) = U (t ) -1 h(t ) Tích phân hai vế theo biến t , thu được hàm C(t)

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ 5. Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

63

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

64

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

65

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

66

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

67

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Kiểm tra bằng Maple

Dưới đây là Worksheet của bài toán Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

68

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

> U:=Matrix(<<exp(-3*t),-exp(-3*t)>|<4*exp(2*t),exp(2*t)>>); ( -3 t ) (2 t) ée 4 e ùú ê U := ê ( -3 t ) (2 t) ú ê-e ú e ë û > U1:=simplify(MatrixInverse(U));

é 1 ( 3 t ) -4 e ( 3 t )ù ê e ú ê5 ú 5 ê ú U1 := ê ú ê1 ( -2 t ) 1 ( -2 t ) ú êê e úú e 5 ë5 û

> h := <exp(t),-exp(t)>;

> C1:=simplify(MatrixVectorMultiply(U1,h));

t ée ù ê h := ê t úú ë -e û

(4 t)

ée C1 := êê ê 0 ë

> C := <int(C1[1],t),int(C1[2],t)>;

> yR:=simplify(MatrixVectorMultiply(U,C));

ù ú úú û

é1 e ( 4 t )ù ê ú ú C := êê4 ú ê 0 ú ë û é 1 t ù ê e ú ê 4 ú ú yR := êê ú ê 1 tú êê - e úú ë 4 û

> with(DEtools): > sys1:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)}; d d sys1 := { y1( t ) = y1( t ) + 4 y2( t ), y2( t ) = y1( t ) - 2 y2( t ) } dt dt Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

69

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . > dsolve(sys1,{y1(t),y2(t)}); { y1( t ) = _C1 e

( -3 t )

+ _C2 e

(2 t)

, y2( t ) = -_C1 e

( -3 t )

TRẦN HỒNG CƠ .

1 (2 t) + _C2 e } 4

> sys2:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t)+exp(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)-exp(t)}; d d sys2 := { y1( t ) = y1( t ) + 4 y2( t ) + e t, y2( t ) = y1( t ) - 2 y2( t ) - e t } dt dt > dsolve(sys2,{y1(t),y2(t)}); ( -3 t ) ( -3 t ) (2 t) 1 1 (2 t) 1 _C2 + e _C1 - e t } { y1( t ) = e _C2 + e _C1 + e t, y2( t ) = -e 4 4 4

Trần hồng Cơ .

09/09/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

70

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 3 .

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .

-Phương pháp toán tử .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

71

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

72

-Phương pháp biến đổi Laplace .

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .

Trần hồng Cơ .

09/09/2013 .

********************************************************* ******************* Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

2. Phương pháp toán tử .

Nhắc lại : Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng y(t)' = A.y(t) +

h(t)

(1)

Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) ; h(t) là vector cột ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D cho trước . +Nếu h(t) = 0 (1) thành hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . y(t)' = A.y(t) (2) Trong Chương 5 - Phần 2 chúng ta đã xét đến phương pháp ma trận , tìm nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng cho dạng (1) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

73

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

74

+Trong mục này ta khảo sát cách giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t) + bằng phương pháp toán tử .

2.1 Nghiệm thuần nhất .

h(t)

(3)

+Cách tìm nghiệm thuần nhất cho (3) không giống như Chương 5 Phần 2 -1 - 1.1 . Đối với dạng (1) hoặc (2) biểu thức nghiệm thuần nhất có được là nhờ vào phương trình đặc trưng của (1) : | A - mI | = 0 .

Nghiệm đặc trưng có thể là dạng thực rời , phức , thực - bội , thực phức , từ đó tìm được vector đặc trưng vk(t) tương ứng . + Xét hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng y(t)' = A(t).y(t) + h(t) (3) Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

nghiệm thuần nhất được tìm bằng phương pháp toán tử với các bước sau đây .

Bước 1 . Tìm dạng toán tử của hệ (1) , gọi s(D) là ma trận toán tử tương ứng . Tính định thức det[s(D)] .

Bước 2 . Thay D bằng m , xét phương trình s(m) = 0 , nghiệm của phương trình này chính là nghiệm đặc trưng của hệ Ví dụ 1 . ( Thực – rời ) Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

75

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

76

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Thay D bằng m , nghiệm phương trình đặc trưng s(m) = 0 chính là nghiệm của det[s(D)] = 0 .

Cohtran MMPC – VN

77

cũng

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ 2 . ( Phức ) Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

78

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

79

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

80

2.2 Nghiệm riêng .

2.2.1 Nhắc lại về toán tử vi phân .

Xem lại Chương 4 - Phần 2 . 1.2.2 các công thức toán tử vi phân ngược . *Các công thức thường dùng .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

81

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược hàm mũ và hàm lượng giác .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

82

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

83

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

2.2.2 Cách tìm nghiệm riêng .

Nghiệm riêng yR của hệ (3) sẽ được tìm sau khi đã có nghiệm thuần nhất yTN . Nghiệm tổng quát của (3) ký hiệu yTQ là tổ hợp nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng . yTQ = yR + yTN Cách tìm nghiệm riêng .

Xét hệ y(t)' = A(t).y(t) + h(t) (3) Với s(D) là ma trận toán tử của hệ . +Bước 1 .

Tạo ma trận s(D1) bằng cách thay cột thứ nhất của s(D) bằng h(t) .

Tính định thức s(D1) .

Tạo ma trận s(D2) bằng cách thay cột thứ hai của s(D) bằng h(t) .

Tính định thức s(D2) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

84

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Bước 2 .

Nghiệm riêng y1 = det[s(D1) ] / det [s(D)] Nghiệm riêng y2 = det[s(D2) ] / det [s(D)] .

Ví dụ 3 . ( Phức ) Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

85

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

86

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

87

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Tìm nghiệm riêng của hệ . Tạo ma trận s(D1) bằng cách thay cột thứ nhất của s(D) bằng h(t) . Tính định thức s(D1) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

88

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

89

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

90

Tạo ma trận s(D2) bằng cách thay cột thứ hai của s(D) bằng h(t) . Tính định thức s(D2) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

91

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

92

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Ví dụ 3 . ( Thực – rời ) Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

93

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

94

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

95

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

96

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Lưu ý : Công thức Euler được áp dụng khi tìm nghiệm riêng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính , nhờ đó việc tính toán sẽ dễ dàng hơn .

Ví dụ 5 . ( Phức ) Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

97

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

98

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

99

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Các bạn có thể tìm nhanh biểu thức nghiệm riêng của hệ bằng công thức Euler .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

100

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

101

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

102

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

103

2.3 Phương pháp biến thiên tham số .

2.3.1 Nhắc lại về phương pháp biến thiên tham số .

Xem lại Chương 4 - Phần 1 . 4. về nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .

Các bước chính như sau +Tìm nghiệm thuần nhất yTN của phương trình vi phân đã cho . +Nghiệm riêng có dạng yR = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t) + ... với {y1(t), y2(t), ... } là tập nghiệm thuần nhất , {u1(t), u2(t), ... } là tập ẩn hàm cần tìm . +Tìm định thức Wronski của hệ này và kiểm tra xem có phải là hệ cơ sở hay không .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Thiết lập và giải hệ thống phương trình tuyến tính với ẩn hàm là {u1(t)', u2(t)' , ... } +Tích phân theo biến độc lập các ẩn hàm này ta có {u1(t) , u2(t) , ...} +Trả về biểu thức nghiệm riêng

yR = u1(t)y1(t) +

u2(t)y2(t) + ...

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính có dạng : yTQ = yTN + yR .

2.3.2 Ví dụ minh họa .

Ví dụ 6 . ( Phức ) Giải hệ Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

104

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

105

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Tìm biểu thức A(t)' và B(t)' Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

106

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

107

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là

Trần hồng Cơ .

20/09/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

108

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 4 .

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .

-Phương pháp toán tử .

-Phương pháp biến đổi Laplace .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

109

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

110

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .

Trần hồng Cơ .

25/09/2013 .

********************************************************* ******************* This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

3. Phương pháp biến đổi Laplace .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Xét hệ thống y(t)' = A.y(t) +

h(t)

(1)

Với A = [ aij ] , ( i,j = 1,2,...,n ) ; h(t) = ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) trong đó hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D cho trước . +Khi h(t) = 0 (1) có dạng thuần nhất . y(t)' = A.y(t)

(2)

Trong Chương 5 - Phần 3 chúng ta đã xét đến phương pháp toán tử , tìm nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng cho dạng (1) . +Phần sau đây ta khảo sát phương pháp biến đổi Laplace giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

111

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

y(t)' = A(t).y(t) +

TRẦN HỒNG CƠ .

h(t)

112

(3)

+Các bạn có thể xem lại lý thuyết phép biến đổi Laplace và Laplace ngược ở Chương 4 - Phần 3 . 1 và 2 . Ví dụ minh họa cho phương pháp này được trình bày ở 3.2 .

3.1 Nội dung tổng quát . +Nói chung phương pháp biến đổi Laplace cho (1) gần giống như cách giải ở 3.2 . Các bước cụ thể như sau : Bước 1 . Áp phép biến đổi Laplace vào 2 vế của các phương trình trong hệ (1) đưa về hệ đại số các ảnh Y(sj) = L{yj(t)}, j = 1,2,...,n .

Bước 2 . Tìm nghiệm đại số Y(sj) bằng phương pháp Cramer .

Bước 3 . Áp phép biến đổi ngược vào Y(sj) ta tìm lại được hàm gốc yj(t) , j = 1,2,...,n .

3.2 Một số công thức thông dụng .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

113

+Phép biến đổi Laplace .

Hàm gốc f(t) có biến thực t qua phép biến đổi Laplace thành ảnh F(s) có biến là số thực s .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Bảng Laplace .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

114

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

115

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

116

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

117

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

+Phép biến đổi Laplace ngược . Hàm ảnh F(s) với biến thực s qua phép biến đổi ngược Laplace sẽ có hàm gốc thu được là f(t) .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

118

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

119

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

120

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

121

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

122

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

123

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

3.3 Ví dụ minh họa . +Ví dụ 1. Giải hệ

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

124

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

125

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

126

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

127

+Phương pháp Laplace cho phép ta tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân phức tạp chẳng hạn như vế phải chứa đạo hàm cấp cao theo biến độc lập , vế trái có chứa hàm gián đoạn , hàm bậc thang hoặc trơn từng khúc .

Ví dụ 2 . Giải hệ sau đây

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

128

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Tìm X(s) và Y(s) bằng Maple Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

129

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

130

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Trần hồng Cơ .

28/09/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

131

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

132

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 5 .

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Ứng dụng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .

-Phương pháp toán tử .

-Phương pháp biến đổi Laplace .

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

133

tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .

Trần hồng Cơ .

01/10/2013 .

********************************************************* ******************* This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Ứng dụng của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

1.1 Bài toán dao động trượt ngang . +Xét bài toán dao động trượt ngang không cản của nhà 2 tấm phẳng dưới tác động của hệ lực F1(t) và F2(t) với mô hình như sau

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Về mặt tổng quát , tầng thứ j ( j = 1,...,n ) được xem như một tấm phẳng cứng có khối lượng mj , chịu tải ngoài là Fj(t) , độ cứng và hệ số cản kết hợp giữa tầng j và tầng ( j -1 ) được cho bởi kj và cj .

Chuyển vị của tầng j ký hiệu là xj(t) .

Phương trình chuyển động của hệ có dạng Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

134

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

135

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Xét trường hợp đặc biệt với n = 2 , m1 = m2 = m , k1 = k2 = k , F1(t) = F2(t) = macosWt . Ta thu được

1.2 Bài toán dao động dọc . +Xét bài toán dao động dọc của ghế trong xe hơi có mô hình như sau

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

136

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Gọi chuyển vị , khối lượng xe và ghế lần lượt là x1(t) , x2(t) , m1 và m2 , độ cứng lò xo và cản nhớt tương ứng là k1 , k2 và c1 , c2 . Phân tích lực cho hệ thống , theo định luật Newton 2 .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

137

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

1.2 Bài toán mạch điện . +Xét bài toán mạch điện có mô hình như sau

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

138

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Tại nút A , cường độ dòng điện trong mạch thỏa mãn iC = iL + iR , xét mạch điện bên trái nút A ta có V1(t) = vR + vC vR = R.iR và Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

139

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

t

1 vC = ò iCdt C -¥

TRẦN HỒNG CƠ .

t

nên

1 V1 (t ) = R.iR + ò iCdt C -¥

Đạo hàm 2 vế , thu được

dV1 (t ) d (iC - iL ) 1 =R + iC . dt dt C

Xét mạch điện bên phải nút A ta có vR

= vL + V2(t) <=>

R.iR

= L.iL'(t) + V2(t)

hay

diL (t ) R.(iC - iL ) - L. = V2 (t ) dt

Vậy hệ phương trình vi phân xác định iC và iL được viết

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

140

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

diL(t ) dV1 (t ) ì diC (t ) 1 ïï R. dt + C . iC (t ) - R. dt = dt í ï R.iC (t ) - L. diL(t ) - R.iL(t ) = V (t ) 2 ïî dt 2. Bài tập áp dụng .

2.1 Phương pháp ma trận . +Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp ma trận .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

141

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

142

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

2.2 Phương pháp toán tử . +Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp toán tử .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

143

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

144

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

2.3 Phương pháp Laplace . +Giải các hệ phương trình vi phân sau bằng phương pháp Laplace .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

145

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

146

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Cohtran MMPC – VN

TRẦN HỒNG CƠ .

http://cohtran.blogspot.com

147

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

TRẦN HỒNG CƠ .

Trần hồng Cơ .

14/10/2013 .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

Cohtran MMPC – VN

http://cohtran.blogspot.com

148