/ TI"lfITflDO -DE,Eiplicaciones QeAritmética ORDENADASPOH (l{',o lJ de In st racd óo .. SupM:inttui)e11tt. ()e t:;.u.c,ió1'° p1Ál'>fíco J t!SC0!'( 1 l' n-:u.TO R Ít•o Tip . da Quintin Negrón Sanjurjo, Ponce . ¡ .¡jo:¡. - -
r. ' 1 1 ¡··· 511 1 t / Esta obr ita es propiecla<J de1 Autor , quien pe.rseguii:A. ante la Ley al que la r eimpr im a sin s u co nseotitniento. . .I . / ' I
flue<la de Ud. su reepetttoeo amigo, Q.B.S.M. Juncos, Junio 10 de lOO a. ,J
·¡ J. \ ./ DED1(0ATORIA.. •H /[01wrable .S•¿p e.r ir i. t omlente de pública 'lel J)istrit u de lfu.m.acao, Mr. Geo W. Noore. Reflpota.blc Seiior : En el tiempo que llevo <le profesor público en el Ui1:ttrito del oua l ee Ud Inspector , he podido convencerme de las que eo Ud. concurr e n. Como fun oionari o compotent.e y reoto, y como oahallero colto y fino se ha captado Ud . ..el aprecio de lo• puertorriqueiioH. Y piira dará Ud. una. prueba de mi eetimaoi6n, tengo el honor d e dedicarle cetsL humilde obrita, que, é. la vez. someto á eu muy iJaetr.ado juicio.
r'II ··' I' J , . } r a·tl HON . SUPERINfülOtNn OflNSTRUCCION PUBLICA Humacao, (P. R.) June, 26th J.QOB ; .Mr. Juan Cuevas Aboy. . . A ctin9 Principal . 1 Juncos, P. R. Dear Sir: llaviog bad t.hc honor to review tbe roo.n1111cript copy of yoar "Arithmctio Explications" whioh I find 1.0 he clear aud conciae, I take great plea u1rnre in rooommending it to and itt.uclent.8 as a yaluable help or kcy to Practical Arithmctio. • Yours very t r ul y Gto W. .M()()1'" Superintendent . .-Habiendo tenido el honor de tl.!visa r el manuscrito de sae u Explioaoiones de Aritméiica ", que enouentro cfarns y f couoisll8, tiengo gran placer en recomendarlas á los maestros y á los ostudiaotos como una gran ayuda para la "Aritmétio& Práctica"· 1 ·'
¡.. 1 1 •
Este eistema mo ha dado excelente resulllldo en mi larga. carr era profesional, y he obsCrvAdo con sat is faoció11 que los al umnoa bi•m ins t ruidos e n m1'oe prinuipio'4 han te rminado por ser verdaderos co nocedorCPI de Mig· aetura tan importante como lri Aritmética.
• Loe ecño r ca profeeores, tan proulo lea.u cstf\ obrita , habrán do juzgarln útil y neoeeario. µara loe nil'loA que est udien del 1;v. grsdo a l 6 ' juan.4uevas a&oy.
• 1 ,Nad& nuevo presento en esta obl'itD, que vublico sin pretensiones de oingúo género.
También oito y reeuelvo varioe problemas del texto ya menoionado, para que los niñoe puedan venc<:r la difioultad que lee impide re11o lv er lo11, ayud&ndo as( n.l maestro en fmproba labor. ·
Este opú.soulQ pondrá IÍ los nifioB que l o • estudien. b n ,aptitu<l de interpretar y resolver muchos problcmnA de la .tJ.ritmética Prdctica qGiO hoy se halla d,e t.extc. en las caouelae.
Ex.pongo Ja tcorfa que debe ' Rer conooi<ln por loR njños, y tambi úo el mod o do resolver ciertos problemaH, JoR que una vez sabidos por los eetudiRntes, hun de Her virles de modelo 6 ejemp lo para reaolver de igua.I clase que les fueren propuestos.· .
Nnmeráció n es la parte de la Aritmética que tieue por objeto expresar los números. 1 . Se llama oral, cuando se expresan por medio d o palabras •• Se denomina esc:rila, cuando se expresan t>or medio de oifrat1 6 guarÍ811loa . IJOfl: números !!e forman de unidades , eat.o es, sumando uno milR uno mé.fl. uno, etc. , Lae 01frae son dier. : 1 2 3 4 5 O 7 8 9 O. l.Je e8A8 oifrae ,o tiene valor alguno el cero, y se llama cifra indgnljicahva, airviondo para ocupar el lugar donde , falte 'lgím crdeh de unida<jes . Lae oifrae eignifi.oat.iJis tienen doe valorca : abaolftlo y relati,10. .
Aríbnética es la ciencia que irata. de loA números.
Cantidad ce lo que oonst.a de pa'\"tes que so nume( ran Ó· como 1m moritón de mauzano:1, un par¡He te 46 montHlas, una JJ<tr ecl, la 8t.tper,'ficie <le tnl terreu u.
Poede ,ser discreta y continúa. •
i ', ) 1 /1 /1 1 1 ¡1 J¡ I ., ¡: ,, 1 ¡ /11 1¡ TE 0 .- RI A .•.
PRELIMINARES '·
Unidad es todo lo que ww ó una, como un peso, una naranja. · La unidad á veces se compone de otras unidades iníeriotee, como un quintal, que se forma de cuatro arrfJ· bas; una vara, que consta de tree piés . . · Np.mero es el resultado de comparar l:i unidad con la cantidad. ·• ·
!: ,.. 1 -12. Valor es el reprcE1,Cnt.11 cada cifra por HU figura, como O, 8, V. Va lor relativo ea el que cada cifra por el lug1u :iue ooup:i, como SO, 80, 940. · Kn todo númt>ro la únioa cifrJ. quo tiene valor abt10lut.o c11 In que r.evresenta l&K unidadP.at simples. r Los números 1fü esuriben y se leen de izquierda á <lerecha . 1 .. leerlos se de derecha ú. · izquierda, c11v1d1éndoloa en seccioues de tres cifras llams.dae unidad, decena y centena. Si el ntirnoro onnat.a de uifras se clasifica en períodos de aeis cifrafl, y desp1;1ée se div1dun los perfocJ.oa Cll dos de á tret1 cifras Vol" medio de comas. En nuestro sititema '1.o numeraoión ee de d icz en diez, y por eso 80 llama cl¿¡mplo, decimal 6 · <lece1w1·io. DIVlSION DEL NÚJIIERO Numero entero es el que expreea. unidades en.Leras, 6 veeoA. Quebrado, ó fracción, e1:1. e l que expre&a una Q máe vartc8 de la.unidad , como Wl cua!·to de hora, ro• do />c•o•· t ¡¡ Mixto es el <1ue consta do entero y quebrado, oomo ij peeoe y medfo, ·a!:.. Simple Q..d rgito el que se escribe con uua sol& 0 1lra, COD\O 8, o. Compuet1to V polidfgito 4:8 el que 11c esoribe oou dos .; má8 oifrns, como 80, 236 . . Abstracto e& el que no dctcnnin11 la e@pe\,\ie, corno¡o. Concreto, es el que detcrmiu ;·1 1;u1 espeoie, como 20 v esos . Dos ú mú.s conoretos pucJen Mer hecomplejos é inoomvlejoe. llomog..;neos son loe de UJla misma CApeciE;, como n lihroP, 20 11bros , 100 libros. , -13son. loe.de e11peoi"es, como • libroa, 9 plumae, 95 1iHas. · , pomplojoa dif¡ltllot•.a especiel\,' pero d<; un miemo g4nero, eotf\O 6 7 meses, 6 dCas. . . Incomplejo conc·r e to de una i!ola espe\l1e, como a años. . • .,; • L$8 operaciOnes fun<.)am'ent.ales de la Aritmét ica sou. ': y .clivid'ir. · • 1 Sum&f es r eunir en und s.olo o l valor v1'fios f!ÚmeJ'08. . , Loe números para sumarse han de ·l\Cr J.. o. números que se dan p&ra sumar .. se .mmam/ps, y e l resaltado • . r , El signo que ee e mplea es una que se lee mas Para sumar. e'e uolocan los sumandos, Unos dehajo de otros, do modo que In• unidad c• d<> {,¡,ada orden, aé'"traza uua raya, y Be empieza A. sumar la dureoha. Se puéde Sumar por Ja izquierda cuando la euma dO ' cada columna no pase·Qe,..ueve. La operación de euruar iieue varias pruebas. NOTA.-Con respecto á. la prueba de eumar, es con1uo eefiorcs profesót'8· la enseiien prácticamente. , RESTAR Restar es averiguar la difercnuia que ha.1 eoiro 4ott númeroe homogé:.Jeot. Cona.ta de m.inuendo y austrr¡en<J.o. Minuendo es el nllmero cual se rCBt.a el sustraendo. ...l , • Su1traeocro es el número menor, que ec r .:: st.a. del minuendo. " El resultado se Hama ó clt:ferencia. El signo ea una rayi.ta ·uorizont.al quo ac lee man.oa.
1 . 1 -12V:llor abs<liuto es el que rcprcR,Cnta cada cifra por RU 6gnl'3, como G, ·8, Q. ' . Valor relativo ea el que rt!preatenta cada cifra por el lugRr ooupa, como 80, 940. En t.o<lo nÚmf>ro 111. única ciCrJ. que tiene valor abf:io· luto efl IR que reµrcsenta IAH unidaJeaJ simples. / Lo!! números se escriben y se leen de izqoierda IÍ derecha. . _ . se de d.ereoha á izqoierda, thv1d1éndolos eo secc1oues de tres mfras llamsdae oni. dad, decena y Ct!ntona. 8'i el número consta de muoha.R cifras, se o)asi6ca 1lividiéndolo en verrodos <lo seis cifr:íi:i. y ae di· \'idcn los pedoJos en dos de á cifr-.lS por mt.>dio de c omas. 1!:11 nuestro U.e nameraoión se cuenta de rliuz en diez, y por se llama <lku}1lo, <ltXimal ó <kce· u a riu. DEL XÚMERO N nmcro cnt.ero es el que expresa ou.teras, co mo S vesoM. Quebrado , ú fracción, ea el que expresa u1fa ó más parte s de la.. unidad , como lm cuorlo d e hor", tru . ,octa-"°" d e ¡>e. •,.. t <! " · Mixto es e l que consta de enLcro y quebrado, como pes os y medio , 8 t· Simple ó t::8 el que se ceoribe oou una sola c ifra, co mo S, h . Compueslo ó polidtgito es el que ae escribe con doa ,; mil.s cifras, como so, 2 86. . AbsLracto ce el que oo determina la Ctipo\'ie, comos.o. Concreto, es el que cleLermiua AU espeoie, como 20 p es os. Doe ú m:í.e concretos pncJen Rer homogéneos, hete rogéneos, uomplcjoe é inoomplejvtt. , · Hon loe de una misma C11pccin, como o libro e, :.? O libr OB, 100 libr os. -13&00. loe .de difertntcl especi 0 eB, como • libros. 9 plumas, i6 •illaa. . , eoo 1.,. de dif)'tl'ot•.o especies,• pero de un miinuo\géoero, COfllO 9 i meees, 6 dlae. Incomplejo ifl eJ núme¡;o coo9reto de una eola espe-cie, oomo 8 años. ' • P..ulENT AL}':S. . opera.ciOnes fuodame1italee de la Aritmética sou: 11w11ar, rutar, 11t..ultiplica r , y <liuidir. ·. ,SumÍf ce reunir en und aolo el valor vapoe nunúmero s para sumarse 1 han de L<MJ números qu e ec dan para sumar 4 se Jmmandfls, y el resultado awna . . - • El signo se emplea es una cruz, que se lee mua Para sumar. e'C colocan los eumandos, une1s dehajo de otros, do modo qae 11!' corrbpondan las unid:ldcs Je orden, se •traza una y se empieza i&. sumar por la derecho. . Se puédc 'eumnr por la izquierda. cuando Ja euma. de · cada oolumna no pase ' 9e-<0tieve. La operación de eurua.r tiene varin.n pruebas. respecto á la prueba de es 100 los señores profeMch'9 · la ensenen príWtl cameote. RESTAR Restar es averiguar la diferencia que ha1 entre dos númerot1 llomogélleot. Consta de 1n.in.uendo y au.atraendo. Minuendo es el uluuero mayor, dél cual tte reHta el sustraendo. · 1 • • • Suet.raeudo 4e el número menor, que se r eata d e l minuendo. . .. El resultado oc <?iJeraicia . El eigno es una rayita. horizonl.al que .se lee '· ., . ' ' 1
.. • . . ·"' -14. La operacil1n de reatar .ee ejecuta e11cribiendo el . m1nDendo y debajo el eu11traendo, de modo que ae co· rresponda'n IM onidadea h , ca<Já- ·orden." y ee empieaa á restar por la dereoba. i ' ' · Si cifra dAI minuendo íu"8 1 menor que 80 se t6ma ·una unidad de la ae le agrega, teniéndo-de añadirla i. la cifra del ooatraen· ceros ·en el minuendo ee ' consideran cotoo diez. restar por Ja l1:quierda euando ,en el miceroA ni cifras que eeau menores que 808 del :· Ejemplo:• 4 6, 9 3 23, 5 2 }==' 3, 4 ·l 1 •Para probar In. o¡>cra¿ión de reatar, l!IC! a1101a ei. 8Ul'I· tr11éndo con la resta, y la suma .aprá igual .al minuendo. . · lfULTIPLICAR Mllltipli ar eA hallar un t.ercel\ número que l!lea res lo que el ecgando ee reepeoto de la · La rnultiplioaoión equivale á uoa euma abreviada Y oonet& t.érmin'o•: multiplicando y mullipli«0.d<>r'. Mult1phoando e& el nt\mero que ee h& de repetir taotaR vec:e11 .como anidad.es tiene el multiplicador. Mult1phoador es el número que indica laa veces qae ••ha de repetir el muhiplioando. El reeulwlo •• llama producto. El multipt;,,ando y' multiplioador ee <h!nominan ., -. -li>factorM, que significa hace.dore.a; y el se Ba1ita facto, que quiere decir h,,ec/i.o. orJen de los factores no altera el' producto. El signo 4e la multiplioaoión e• t¡n punto y tam· . biéo dos rayitas que se cortan obliouameot.e. X. Paro multiplio&r un dlgito pQt otro, basta saber la tabla de multiplicar. ' Para multiplicar un : compa.est.o por un dfgito se e&· oribe el dlgito deb•jo de las unidades del •oompaesto y se ma.ltiplioa por todas la.e cifras del número compueet.o. Para niultiplicar un por otro, se escribe el maltiplicando J el mllltii>licador, de modo que • ee correspondan las unidades de oa.cfa. orden, y t1e traza una raya, multiplicándose después cada cifra del multi· plicador por . todo el multiplio•ndo. · • Producto parcial es el qµe reeult.a de multiplicar cada cifra del multiplicador por todo el multiplicando. En una operaci ón de multiplicar ha.y l\.aqtos productos parcialee como cifras tiene el muJLiplioador.P,roducto t o tal es l..ª suma. de loa productos parcia• lee. La.·multiplicación se prueba invirtil\ndo el orden de los factores. y P!oduoto será. el mtsmo obtenido an· t.erionnente. ' • ' Ta:mbh'.m se prueba dividiendo el producto por cualquiera de los factores, y el cociente sed. ,el otro factor. La prueba mis rápida ee 0 pQ_r la deducción do ).. nueves. . Para ello se suman las cifras del multiplicando, por eus valoret1 absolutos, y 'de esa 1uma se el nuev,e vee-!s que en ella con.tenido. So hace lo mismo con el multipli(lador, y del produoLo de Bmbo• resulta.dos ae resta el' duove . .. \. · Desputa Be" hace Igual procedimiento oon <!,l pro · dueto, y ha de dar mismo_rjsult&do. . i ) ¡
---------------------..... r/ : 1 I' t' -16Ejemplo: S 4 8 X 7 3 6 o • 4 [> 4 3 6 o o 9, 4 a 4 8+3.+4+8= 23 meno• loo nuevi•=& Multivlios(lor 7+s=10 t oe Que ves= l •f> Xl=5 . · Producto 4=14 menos los nueves 7á que los niiios practiquen mucho los usoA y · abrcviaoioue11 de la multiplicaci ón . DIVIDIR Dividir, t\ división , es bu&oar un faotor , dados el producto y el otro factor. divisi ó n consta de doe términos : d1'viile11d<t y div1'sor, y el resultado se llama coc!ente. · División exacta ce la que no d& reaidoo1 Divisi ón inexacta es aquella en la que hay , El cociente es ;goa l al dividendo , cuando el divi1or eK lll ... El cociente resulta mayor que e.l dividendo, cuando e t-divisor ea menor que i..Unidad. El cociente es menor que el dividendo, cuando el divisor' es mayor que la unidad. · LlámM!e cociente completo el cocieatc entero_, máM el residuo partido 1>0r el divisor. , divh1ión se praeba maltlplicanclo el oooiente por e l divisor, agregando fli lo hubiere. . También 1e prueba sumando la1 oifra1 del coc1entc y restando el n..ueve. Se auman lae oiírae del divi11r y oe hace lo propio. ) ., '- 17Se multipli cRo ambos i;:csulLaclos, garle e l reefduo, ei lo hubiere, y r eatado el nneve, da.riL el mi1m;10 resqltado que el dividemlo meuoe el nu eve. Ejemp lo: ! 4 5 r.ooiente dividendo o 8 164 1 3 o --1-8-G 1 7 o ---1-6 r e efdu o. Dividendo menos los n\.lcve!f. ... . l>h•ieor menos Jos nuev es . . . Cociente meaos los nu eves . .. . 2 x 7, ;nh el residuo 10, ffo; aO . y deducidos los • nuevee, r es ultan 3, igual al rcsult.ado d e l dividend o. Est..'\ obrita no el.! extienrle en· lo referente á neos y abrevi noioncR do la mult.iplioaoi ón y div_isi ón, p orque loe eeiiorce profeeore@, co n eue explicac1ones, suplen la teorfa. · DEOIMALES Regla pina cscribi-t· ton · vrontitud fraccion es decimales. LR8 d Jcima• ocupan el primer lu gnr qe•pnés d el punto ; lu centéaimas, el Mgundo ; las milési.1 110.s, e l tercero; laa cliezmilt!.a imas, el cuarto; lnR cienm:ift1&ima:t, el quinto; las e l aexto; laR tliezmillonésima1, el st!ptimo ; lnR ciemnillonJsima8 e l octavo, y asf 1uccaivamente. f · Para escribir lns fraooionerr'dcCimn.les 1w calculo. el número ile cifras que necesita la fracción , comv l ctándo·
-18tic con ceÍOfl \os lugares que (alt:Hen, c11oríhi é ndoet• dichos orros entre el punto decimal y el núme·ro t¡11e l a. fracción . .Kjemplo: Si se dicta 2,008 cie nmilésimas, se tc11Jrá pn·e1 nte que par.i. escribir t.i ionmilétiimas se necc· 11itnn 1;i 11 cu cifras deoimaleR, y como 2, 008 son cuatro I ci(ratt, ha cl cpo n erse un cero después punto, para. 1¡ur la fr acción tenga l as ci(ras y Gcupc ol lu gar que le co rr esvonde . ].nego 2,008 cienmilésimas se escriben aisf: o.Q 2,ooa Otro ejernplo: Para esc ribir 20,G3.& cienmillom! ,'f imas . se dira : l.'8c rib1r cienmillo n ési mae son ucoe11arias uc/IU cifras dcQimales , y co r1\o 2U,Ul:\4 son cúico, ha ele escribi r eo tres coros despuó'J del punto, y de ede mudo quedari\n ocmyados • l os lugares de )tl8 contési11H1s y milésinuu1 , r esult.a.nJo completa la fracoión. Lueg o ..6aj cicnmillont!eiuuus se escriben adl : o. o o o 2 b, 6 3 4. SU.M AR Para'fracciones decimales Pe colocan de mo· 110 qne los formen co lumna y qne IM décimos, 4·entéeim;u1, mil\!1ümas eh.: . ise correepondi.•n · Dcepuée ele (1rdenadati las fra ccio n es se 8uman como l os enteros. RESTAR raro r cstftr se obec rva la. misma r egla y se il si focsen l'aracntéros. swnar y r estar decim31Cft pueden reduoiree las frac ciones a una denominación oC'mún, csio ei-, comple/ -10tar co n ceroe lM que tengan menos cifra· lo que en nada altera su valor. :MULTIPLICAR Pnra inultiplicn.r se pnocede como isi fuesitn enteros, teniéudose ouidn.do de Aep:uar uon el punto en el produoto, tant.as cifras co mo d eci males haya on ambos factores P. ara multiplicar no decima l por la unidad Heguidll <le ce r os, bo.st.'\ <',orrer l:' I pun11> tnnwa logares á. la den·· c ha. como ceros acompañen D. la uflidad; y s i no hubi ere núm ero euficient.C de dcoi m ale&, se i\gr.cg(mÍ.n ceros haf'tll uomp\etar, y on n bor r ar el punto deoima1, queda hech:l la. mu1tiplioaci ón, paesto que equivale Í\ correrfo á la derecha tantoA l ugares co mo rl eoimales hay en la fr RC· cióu . Ejemplo: O. 9 8 5 X 1 O, O O O = U 3 ó O Para nrnltipliuc.r un decimal por una. dt!cim1<, centésim.a, una milés1'ma, eto. en v.ez de corre r el punt o !t l:.\ d e r echa, se corro á la izquierda lugares como ..._üfraM tenga lafrnooión por ln oual se multipliua, CM.to eM, si se multiplica por o. l se cor re un lugar ; "¡ e.. por O.O l, dos lugares , y sucesivamente.
Ejemplo: O._¡I 8 X O. 1 es igual il O. O 4 8 Hágase saber al que. al rnu\tipli ca. r por un a <léiim.ct, equivale á. dJvidir por JO DIVllHR Parl\ dividir dccitnal ee se comp leta cou cero!! la fr!Wción que t.enga. monos uifras <lecimsles 1 y se pt'oc ede como s i fueeeo uuterus . o. ¡¡ 4 6 .;.- o. 1 ;, Se agreg!\ un cero 9. laR o. 1 5, y se tentlní O. 1 5 o. y borrando el punto del diduendo y divisor, lo que
-21la fracción que t.engr. mcuoA oiíra.e dcoimales, se' borrau los vuotos' y se .divide oomo los enteros; • v'ALU AOION DE DECIMALES Eu·ta valuach'u do decimales .se pueden presentar variot1 oaaos. · . 1 · lQ Si e l decimal ae refiere á. la. .ªº tl· p!iea el decimal por la w1 'idcul, i'eduo1da á. so 10med 1a.ta inferior. ,, •· _ 9Ejemplo: ¿ Qué tiempo_ es '\l . 1 B del ano . Se ..dirá: O. 78 multipÜcadas por 12 mcttcs. O. 7 8 X 1 2 1 5 6 7 B meses 9. s 6 3 o di•• dfM l 0. 8 0 2 4 horas hora• ....,..1...0, ...11""0,..6 O minutos rninut.o-• Luego o. 78 de I aüo son: ·o meses, 10 diM, 19 hora.a y 12 minutos. 2Q Caso. Si el decimal se refiere al entero, esto es, del 2 en adelante, .io multiplica· el decimal el entero. Ejemplo: ¿ Qué tiempo es 0.84 de ,5 anos? O. B 4 X • 5 d¡io• 4 . 2 o . l 2 meoeB mesee 2. 4 o -Ála•3 Q. dla• 1 2. o o " ·
3Q 8i hay decimales en ambos términoa, eeto es, •.m el dividendo y en el divisor, ae completa con ceroe (*) Por• lo• niiio• es muy coufas& y dificil la di· visión de decímn1cs ; pero una vez avrendidu y practi· cadas el!tae reglae:, llegan á conocerla con perfecoión.
2Q s¡ hay dec imales en el diviaor; se agregan a l di,·idendo tantm1 ceroa como deoimalee tenga e l diviaor, 11.e borran loa pantos y !e procede como loa enteros.
·' 1, 1, 11. 1 -:?Oequivale á multiplicar por ambos términos, rc1mlta 5 4 6 + 1 5 O 1 4 5 o t g o j) 6 o o 000 o J,nego o. ñ 4 u divirlidae por o. 1 5 dan pc,r cooien te 3. O 4 et1to es, a enteros con 64 ccntósimne. que el niiio oomprendo. el por qué de dividir dos fracciones rPsulrn un número mi!to, hó.gaMcle ·saber hien lp1e, como el cociente expresa el número de vcccM que divisor está contenido en el clividcndo, ol te :J. 6 4 demuestra que IBB O. 1 5 están cnnteuidue en o. 5 4 6, tres veces !/ 84 centdaimaa otrc1 11ez. Psra dividir dec imales por la unida1I de ce ros, .se corre el punto á Ja iz quierda tantos lugarca como ceros 8(:ompaiicn á la unidad. Ejemplo , : o. 4 1 o -;- 1 O O = o. O O 4 l 6 Para divirlir mixtos.- de enteros\ y decimales, se pueden presentar tre8 oasos. (*) Lo Si hay .peuimales en el dividendo, ae practica la operación como los enteroa, teniéndose cuidado de al ll egar al vunto decimal, colocarlo en el cociente.
Máximo Común Divisor de dos ó más núrueros et:t tJI número mayor que los divide exactamente. • Par& hallar e l Miu:imo Común Divisor de dos ó mÍls 11úmero8, "º dcscompo oeu los uúmerOs en eus factores p rim os y detipuée se busca e l producto que resulte de multiplicar Jos factoreR com unes· á todos los números.
Ejemplo : lillllcse cÍ M. C. D. de 18, 40 y 56 40 56 18 = 2 X 3' .20 28 40 = 2 3 X 10 ¡.( 56 = 2!'1 X El faolor 2 '' el único que es comlrn á 18, 40 y 56, l uego 2 °" el M. 'C. D. Caando se trata de hallar el M. C. D . de doe nútm.... ros solamente, ta.mbióo se hal!f dividiendo el númaro mayor por el menor, y si hay tesidao se divide el numero
-22J_.\cgo 0.84 de 5 años' son: 4 aiios, 2 meses, 12 df:is. ner . C\SO : Si el decimal se refiero á otr'o clcoimal, se multiplicnn hu\ dos decimales y ffC proc,clo como l!!iC ha explicado ya, según se refiera á Ja unidad 6 :.l mltero. ). Ejemplo: ¿Qué cantidad de onfé es o. 4 de O. 6 ele 8 qq? Se dirá: O. 4 X O. 6 = O. 2 4 Queda r edacido el problema á. decir ¿ qué cantidad de onf.l os O. 4 de 8 qq? O. 2 4 X e 4 @(lt----a.c¡-g 5 libras 3 4 o 1 ;j u libras li.00 También puede presentanC el caso Je \'aluar 1111 decimal referente A un mixto, ó ':i. un comp lejo. La reducción de fraccionee deoimale11 ú qucbra.dod comunes, deben a.prenderla lo s niñoe pr6ctiunmonte en e l encerado. NUMEROS PRIMOS, COMPUESTOS, POTENCIAS, M,Á..'l'.IMO COMÚN DIVISOH Y ll!ÍNI. llfÓ COMÚN MUiil' IPT.O. N primo es el que linícamontc Cfl divisible por el mi1m10 y e_or la unidad, oomo 2. 3. 5. 7. 11. 13. l 'r. 19. oto. . Nlamcro compuestQ es el que admite otros divi!fores, / .., 23 _.. I ú. más del rnisino 1lúmero y 13. unicl'\d, como .f. . G. 8. 9. JU. 12. 1-l. et.e; Llámase factor primo, e l que es número primo. Para hallal' los fBotorcM primos <le un núm ero , ee divide el número por 2. por 3, }JOt 5, lJ Or 'I, por 11, por ew. Poten cia de un núruero ce ol Jnoduoto de tnultiplipor Kf miemo una ó 'tnú.s veces. · Si ijC rnultipHc:1. vez por sf mismo es segwu:la ¡mtencia ú cuadrado. • Ejcmvlo: 4' = 4' x '= 16 se multiplica clos veces es tercera·J?otencia ó cubn . Ejemplo : {' = 4 x 4 x 4 = 64 ·
Ejcmµlo; equiv!l le á decir 3 .¿... 8 =
Denominadot ea el número que expresa las en que se divide la unidad.
CLAS!FICACION DE LOS QUEBRADOS
Ejemplo: Háll.eoe el M. C. M. de 16, 25 y 46. 16 5 25 46 16 = 2" 23 23 25 = 40 = 2 X 28 Producto: 2• x 6' X 23 = ,11,200, que •• el M. ·. C. M .• esto es/ el núrucro menor que es divi1:ible ex:u;t.a· mente por 16, 25 y 46. El M. C. M. Ae emplea también en 111 r<'duccion de quebrndod á ud oomún denominador.
Loe quebrados comuuee pucdeu ser propiofl é im propios; simples y compuestos ; homogéneos y heterogéneos.
Quebrado propio ee aquel cuyo numcra!;lor es me· nor que e l denom¡nador, como t, y entouccs es verdadc· ro quebrado. \ . impropio ce aquel cuyo numerador igual Ó mayor que el denomioadJr, como t f, y uo es un verdadero qaebrado. · ,,
-24por diCho residuo, y ee continúa b11et:i obtener 0001ente exacto. { · E jemplo: HállC11c el .61. C. D. de 20 y 12. Dividiendo 26 por 12, dA por cociente 2 y por reeiduo 2. Dividiendo 12 por 2, dá por couiente G. Lue· go. 2 csol M.C. D. de 26 y 12. · ..!......2 2 6 o El má.ximo común divisor ee emplea también en l:J. eimplifica.ción de quebradoB. Mínimo Común Múltiplo cle..doe ó más números ef!I el menor número que se divide exactamente por dichos números. Para. ha.llar el M. C. 1\1. de doe ó más números, se descomponen en sus factores primos, y suprimiendo loe factores que se repit.eu en distintos números, se for· ma con loe restantes un producto, q1,1e será. ei M. C. 1\1. que se busca, teniéudosc cuidado de escoger los ínt•tórl'w de mayor exponente. ... Llámase erponente el guarismo pequeio que se escribe A la derecha._ del número, indicando eu potenoia.
Todo quebrndo común representa también nna división indicada, en la que el tlamArado r es el dividendo, el clenoruinador es e l divisor, y ambos términos el ce.ciente.
QUE)3RADOS Número quebrado, ó" fracción, eti el que ex.presa partes de In unidad. Se llnnrn comlrn cuando In unidad se divide en cual quior número de partes, no sea la unid.ad seguicla de ceros, como f & • Se denomina deoimnl cuando la. unidad BQ divide on 10, JOO, 1000, etc partes igualeM, como o: ia 1 0..004. tos quebradoM provienen de dividir la unidad en un número ele partes iguafos. · Jl.;I quebrndo co nsta de numerador y denoÍpinndor. N umcrador CM el número que E'xpresn. la. parte11 que so toman de la unidad. · ·
-26· Todo_ q•1cbrado impro'pio puede componer nn entero ó c. n mixto. (;orupc-ne un entero cuando dividitlo el numerador por el ,Jenominlldor _1·10 J!jj;\ TIJMl ·luo, = e; Compone un mixto cuaudo dividido el uumerador pur e l denomina?or deja re1:1iduo, como J.(- = ¡; ¡ . ( (iucUrado sunple es el se refiere {¡, la uriidad como t de peso. Quebrado compueRto es el que se refiere á un ..°r,ºentequebrado ó ú. un mixto, como 9, (.iu 3bradoe homogéneos son lo s que ticuen un común denominador, como {t t.¡ . Quqbrados hewrogúuoo:! 13011 l os que tienen diferen· tes cleaouiinatlurcs cowo i &,. ' A entero se l e dtl la forllla de quebratlo poniéndosele por denominador la unidad, como f. ' ¡..uedc reducirse quuUrn.rlo, m11lt.iplic.'ludo dicho ente ro por el dl!nom1oador ' 1u e 1:1e indiqu e y se pone el mismo denominador. ' .1:!Jjemplo: e l entero 9 para reduoirlo b. ooi.avos por ejemvlo , se dirá: o x 8 -= ;.¡. ' Para n.>tluoir á. simple los ::¡ ,ucbrados comp.ucatos, es to .el!, cuando el quebrado se rl!tiere b. otro se mulLi pJican numeradores y deoomiaadoreg uo 1 mo f de ique eR igual -fr; Si el q.p.ebrado se refiere á. un entero entonces se el por el numer ador y 'se le pone el OJISmo denomrnador, como . d e 6 = +l· REDUOCION DE QUEBRADOS A UN COMUN DENOMIN.ADOH Para reducir quebrados ú. un comllll clenomíuador mult.ip l icn cada. numerador por tt'doa )os dores de los dcm.:\s menos por e l suyo, y de es te modo obucneo los nuevos numero.dores ; y para / -'27 hallar el denominador común se multipliC.:111 todos l os deuominadores. También se reduoen i\. u'n común de oominador por 'ne_dio del mlnimo cnmírn. mAlti]ifu, esto es, se halla e l mfntruo común múltiplo de los denonlina· dores, s_e divide por e l denominador do cada quebrado , y el comente que resulto se multipli e n p.or los té rmin os de coda quebrado. (*) .
Ejemplo: · Redúzcase ú. homogéneos los · quebrado8 Ht · . . . mfuimo oomún de 4, 8 y 7 es 50, que d 1v1dulo por <:ad.a d enornrnedor' y multiplicado el co· oiéute por lus dos térruinos de cada quebrado, da .tt tt if y fnua probar que la ope rabióu está bieu f y qnt! loe quehrados no han alLcrWo de "valor, simpli· ffqueae los nuevos <tu ebra.dos y darán t y t·
NOTA:-Pnra reducir los quebradoA Íl un oomírn dC· medio del M. C. M., luego de hallad o ésto y por los puede suprimirse la mult1phoa o16r\ del ooc1eute por loe miemos denomina· dores, y só lo multiplicarlo por los numeradores. obtenidos . serán. nu"!Pradores, y coman sera el ifU1tono c0t1w1i 1111í.lüplci
ALTERACIONES DE LOS QUEBHAUOS Un quebradQ aumenta de si se multiplica e l numer.idor ó so divide el denominador . Un quebrado disminofe si so divide él numerador se multiplica el denominador. ' No alte ra 110 valor un quebrado- uuando su11 dos tér· mioos se multipíioa'! ó ee Jividbn por un mismo númer o.
Cuando los quebrados son homogóneos 11erá may o r el que tenga mayor numerador. · __ cuando los quebrados son hetcrogéoCos serA mayor (*) Hágase practicar ésto é. IÓs niüos.
Para sumnr un enteco con un quebrado He 1uult1plioa el entero po r el deno111i11ador del quebrado. ee le agrega e l y se le pone por denominador el clcl quebrado. ' . I gua l proccdim icn&.o ec em¡.i lea. p:irn reducir un mixto á quebrado. • . Para. sumar oámcrns mixtos, Ri lot:i quebrados sn n homogéneos, se eumau lo e quebrados y dcspnós los enaiiadicmlo á los enteros lo que resulte d? la suma de los quebrados, esto es, los enteros que oontengan.
Opei·aciones de quebrados
RES"f¡\R
SUMAR
Ejemplo: Simpliffqucse e l quebrado H . So d iv i ilcn por 3 ::ambos tóru1iaoa y se tendrá 'ff-· Para. simpliliuarlo por medio del M. C. D. se halla. e l máximo co r111í11 divisor de 1'5 y lS y será 15 18. ·la = 3 X 5 .3 18 = 2 x 3' El M . V. D. "" 3 .. dividiendo 15 y 18 vor 3, tcndremoo t. (") Para convertir un quebrado en ot ro 1dc mayor dcno· minach'.111, se divido oJ denomin:idor que HC dé , por el uomiundor d e l quebrado, y el coc.ient.e que se obt.enga. 1:1c: muJtivlica vor el numerador y el denoruiuador. (") lltlg.,e que .los niños vrn otiq uon muclio los 1l os proucdimicntos en la redacción de quebrarlo1:1 á un común y en la aim¡.diticaci 6 n. · ,-29Ejem¡.il o: R edl1zr:l!!C el quebrado ! ó la expresión :!O 20 por e l denominador y el coc.ieotc .. multiplica por e l num e rador y por e l clenomrnador, 1í ,.i:rea
• -28el <1ue le falte ;ncoos para vall"r la unidad ; pero para tuayor seguridad, sobre todÓ si son muchos loR quebra..dot11 Ct conveniente reducirlos á un común <leuomioador, y se precit!a cuá l ea mayor. ()ua11<10 los quebrados son hete rogéneos y tienE'n ) un mismo numcm<lor, t1 e rú. mayor e l que tonga menor dc110111iuador. :lIMPLIFIUACION DE QUEBtiADO!l
Pnrn r <·eLar c1ofl qu e brados, si so n h omogéneos, tic rci11t.11.n los numcradon.!8 1 y 8. la resta so le p o ne el dcno· minador con11'1y. .
Para. un quebrado de un entero, se Je toma una unidad a1 entero y se reduce ii. quebrad o para poder restar. J
Cuando los quebrados son bomog\,neos 1:1e los uumcraJore1J, y {\ la suma ac le pou.:i el denom111ador común. , Si son flC r cd llocn á. un dcootttinador y IM eum.an como en el .oaso .
Sirupliticnr queLrados e11; reducirlos ú. otroade términos menores, pero de igual valor. Los queb rad os se simp1ifican · dividiend.o sua rloB terruinos por 2. pnr :J, por 5 etc., rJ sea ulirninaudo loa factoroM que sea.u co1111111cs al numcrBdor y Jenominn<lor. Ln simpliticaciúu 11c obtiene.., también dividicr1do ambo!! tónui nos por su m.cl.virno co1n1í11. dinisor. .
Para ref!tar dos mixtos; Si los quebrados son h o( '•
MULTIPLICAR · 'Parn multiplicar doP quehradoH ,e multi)'lican los numer,a.dores y d'enominadoreA entre si. Pnr..L ur1 entero por Ú11 qurbrado y viceversa, se ruulttphca el entero p_or e l numerador, y ·el producto se parte p1Jr t!I denominador.
J,a división de quebrados, entero por quebrado , <1uebrado por entero, y mixtos, también se rceuclve multiplicando el dit1idenclo. por el rcufproco dt:I NOTA : Explfquese éoto Íl loo niñoo. l ., -31KECIPROCOS
3Q Si He rcticrc {l. otro quebrado, 88 multiplican lus lJUebrados cutre sr, y procede por el oaso que co rrc epon da. · · · ., ' \\ 1
2Q 8i el quebrado se 1·etiere tí un entero, se tiplica e l cnterp por el numerador y el producto 88 divi<le por e l deno1binador.
Por e j emplo : el rccfprQco ce f y p:ira probar 4uc ce asr. b!Uita ambos quebrados y dará por produoto tH- esto es ·l. •
Pa.m oUwuer e l rcofprooo d6· uh nÓmoro mixto, se retluoe á. quebrado, y dcRpuée se invi erten los términos del c¡uebraJo, como se ha explicado. :Ejemplo: lllisquese el recíproco de 8 i· Reducicntlo el. mixto ú. quebrado se teudra lf-, luego el recfprooo ........ '
V ALU AR QUEB RADOS
-30mogéneOR fle re1ünn loe qnebra'tlos y dcFJJUés lo" eutcrnl'I. Si.el qudtrado clcl rnstrncndo fut>rc mnyor, l!C toma º."ªunidad al entero del minuendo y ec le agrega, rcdu· ctda á. qut!brado, al quebrado que lo acompaña para po· der restar. Para rePtnr un mixto de nn entero, 11.c le toma una unidad ni ent.e ro minuendo y flC reduce ti quebrado, quedando la operación reducida á restar dott mixtos. Para r 0 •st.ar un eutPro de un mixto. se rest.an Jo¡.¡ · y b. la resta se le agrega el quebrado.
DIVIDIR Para clivirlirdos quQ.brado111 multiplit.:Rn f"n rruz .
J,liuna.s c uu número rcc{proco de oti'o nú.m e r o cuan do e l producl.Q de lott dos es l a unidad ó sea. l. Por cjomplo : i) ' X ! = = 1, lu ego t ce rcdproco de 6 1 y 5 Cti rc1Jfprooo de t,. El rcofproco de un entero ea la unidad V sea. 1, dividido por dicho ent.cro, est.o si el reolprouo de 8, ¡1or ed l dividido pot 8, t_,ndremo.s ,, luego t cJ el rcorvroco des, y 8 lo ce 41: .;. El rccfproco de uu quebr21.do c.s el quebrado inver- • tido, esto es, el numerador en lug.ir del y é oLe en, el lugar de aquél.
Para multiplicar mixtos, se re1luccl1 á qucbrodos y se multiplican como toles quebrados.
Para dividir un ente ro por un quebrado, se le diL al c11tero la form:t de quebrado y se multipli<'an en cruz, lo que equivale á. multiplicar e l entero por el denominador del quebrad\> y partir el producto por el numerador. Para dividir un quebrado por un entere, se Je rlá. al entero Ja forma de quebrado, y l!le multiplican en cruz. Pnra dividir mixtos, .sé reducen ó. quebrados y se dividen como tales. '
Para valuat que-brados pueden prctmntarse tres 03808 •
lQ Si el quebrado se refiere á la unidad, se redu ce la unidad ó. la especie inferior, se multiplica por el riumerador y e l producto se divide por e l denominador.
32 0 30 81
el cií'nlo. 4,036 -¡( 60, _ IO,OOO *20: 61. 60, que •• loe * 2U pet1c..a, 01 centavos y 60 centéaimH d e centa\'o, ó también t 29. 02 aproximando la fracció.n. 4-Q Si ae ronoce el precio de 1.000 unidad.ea Re moltiplioa por el precio y•• divide el producto por 1.000. Ejemplo: 18 ,490 tabacos á • 6 millar. ! 3, 406 X 6 ,\!.OOÓ = • 80 . 016 Ó lellD. 80. 98 OQ Si el precio de Ju 1,opo unidades PB centavos ee l.lace lo mismo qoe en el caeó anterior y el produ cto •• divide por J ,ooo Y, deopuéo por 100, ó oca por 100, 000.
Ejemplo: RcdíÜc11nAe á simp l t¡s los tres quebrad os t y 'I . 07 T fT 1Q2Q3Q } X, = .. 4 t X l1,, = X 4n.tJ = = i- iL os que lll'ad oa comu n eH se redu cen á d cci maleA. divid iendo e l num C' r ndor por el denornindd o r . ('w) l\Iodo práctico de resolvn algunos proble1na s PARA NI:Sos DE 2 o y 3e r . GHADO 1Q CuanCo se conoce el valor d'c un número de unidade.s, .Y ae desta sa.bc r e l otro número cua lquiera , m.ult1phca e l valor por el num e ro Je unidades c ayo vtc mo se dPsca conoce r, y el producto se d\vide por el núm ero de unidades cuyo precio ae conoce. (*) So bre los números recfprocos y lo• qu ebrad os comp lej os, h e cons ultado la Aritm ét ica práctica, y he procurado aens exp licacio ncR de modo que cs l éu al nlcaucc de la ticrua inteligencia Je laa niños. : breros valen X =. el precio que Pe es el de 100 unida dee, multiplioa poi el precio-y el produ c\o •• divid e por 100. , Ejemplo : libros á..a 1 el ciento ¿q ué valen? • X 1 = *185. 4 3 3Q Si el precio de las 100 umdades es centav o11 , ee procede lo miPmo, pE>to dividiendo el producto •>ec ea p or .100, ó aea 1 0,000. , Ejl'mplo: 4,036 mauzanae á 60 centa\'OB
-32QUEBRADOS 1COMPLEJ08 · L! iO masc quebrado co mplej o el qu e, é n e! num em· dor, ó ea el d e no minad o r , ó en amboo términos, tie ne quebrado. Ejemplo : ., t .!,' 6-t- 7f redu cir á simple un qnebr tv1o complejo M.C. mult1phca e l nnrutrador var e l recfproco del rl e nomin ador.
80
••
Si aó 11 om
· 1 ¿cuánto valddn so'eombreroi"'? -· . . 120
.
) / • . · Ejemplo
NOTA: Loa problemao números l, 21 3, 4, 5 y 6 pueden resolverse, averiguando lo que vale la unidad. Hágaoe que 101 niños practiquen ambo• prooedimientoe. ,-3ú e(ectoe comprados, y e l oooiente,. unido al precio de compra, eerá el vrecio de venta. . Ejemplo : Juan oompró 148 qq. arroo/1 *.7 el qq. y deoea vendbrlos ganando 1 296 ¿ á qué precio ha d<r vender? 148 El cociente f 2 mÍl8 8 7 quc es el' precio de compra, hacen • 9, que oerá el preoio de venta. • ()uaodo conooido lo ae gana en un mes, se desea saber lo que corrreapond'e á cletormiuado número dA dtae se multiplica el número de , díae por lo que se gana en n'n meo, y e l produotO oo divide por loe 80 dfas del mea. Ejemplo: Un 1'27 meooualeo ¿cuánto le oorreaponde en 11 .. 11 X 27 ,;_· , . P. 90 : 80 3Q Para hallar e l perfmetro de un triángulo, un cu11drado, un reot.ángulo ó cualquiera otra superficie limitada por vc.rias lfncas suman lae longitudes de esas Uneao ó lados. Para ballar el /lroa de llll t1 iángulo se mnltiplica la baoe por la mitad de la altura.
6Q El área de un roptángulo ,oe averigua muhipli· cando el largo por el auoho.
f¡ • 1 34 1 Ej•mplo: 28,962 alfileree á 80 centavo•)!I 1 28 1 962 X 80 • IOO,OOO = i 23. 16. 960, •.>oean •23.17 OQ Cuando 10 conooe el valor de quintal .. y oe deeea aaber el de libraa, le multiplica por el preoio, y el produoto oe divide por lpO. , Ejen¡plo: 68 libraa de café á e 17 68 X 1 7 _ • 9 iO . 7Q Parn reducir varaa ooadradaa á piéa cuadrados oe multiplica por g piéo Piéo ' á varaa ' oe divi¡le por 9. c--Pié1 ' á pulgadB8 • oe multiplica por IH pulg•dao '. --Pulgadao 'á piés' oe divide por lH . Vano oúbioao a pitia oúbicoo ae multipliaa por 27 . Piéo oúbioóo á vano cóbio&o 10 divide por 27. , ..-Piéa ' á palgadae • ae multiplica por l. 728. ·-Pulgadaa ' á piéo • ae divide por !.728 pulgadao cúbioao que tiene el pié cúbico. (•) PARA Nti<OS DE 4Q GRADO lQ Cuando en la compra y venta oe determina la ganancia. que eo deeea obtener, y ae quiere averi¡uar el precio de venta, ee divide la ganancia por el número de (•) Llámeoe la atención á 101 niñoo los exponenteo.
7Q El área de un lrape9io se baila multiplicando su altura por Ja mitad de ls euma de sus bases. · 8Q .El t.rea de no trape&0ide ee hal.la. B,!:lmand<? área.,, de loe d\)19 trié.nguloe en qµe se d1v1de por medio de una diagonal. hra hallar el lrea.... proximada de un terreno que por sus cuatro ladoe tiene número dietínto de varae \' 'I
5Q El área de un cuadrado oe halla elevando el la' do al cuadrado.
Ejemplo: Se quiere repartir t 1500 ·entre A. B. C. y D. de mod,o que á A. le deo tanto• t 16 como 8 á B., como 7 /l. C. y como á D. ¿Cuánto fo oorreoponde á cada ano? 1, 500 = . =SO 15+8+7+20 . 50 .,
-36ó metro!. se suman los ladbs opuestos, se sacan las mi. wles y •• multiplican. (•)
Ejemplo : ¡,Cuál será Ja •uper6cie total de lao Cu&·_ Lro paredes en una sMa que mide a metro11 de largo por 4.50 metros do ancho; y 6 metroa de altura? El perfmetro es 25 me1.ros, luego 25, mo.ltlplicado por 5 motroe de altura, dan 125 metros ·cuadrados de total de laa c uatro paredes. " , 3Q Cuando se desea oaber la longitud de la Unen mas que puede trazarse en on piRo 6 oua1quiera •uperfi010 que teoga la 6gara de un cuadrado ó un reo· tángulo, so elevan al cuadrado el largo y el ancho y deo· (*) U o ter-reno de eRa figura se rfa un trape1oide; pero aí bailarse aa área, se obtiene por el pfooedimtento ya explicado. · " / ' -37pués de sumados los resultados Aé extrae la raiz cuadra. Ejemplo : ¿Qué longitud tendrá la linea máo larga {¡ue puede trazarse en el piso de una sala que tiene 12 metros de largo 'por O de Cuadrado del largo 12 X 12 = IH m Cuadrado del ancho o X ,o = sr . 225J-;;;-f.E5 l 2X 6 00 Lá Une• tendrá 15 metroo.
Ejemplo: ¿Cuánta. looaa de 40.oentfmetroo de lar go por 80 de ancho se nooeait&rin para enlosar eJ piso de una aala que mide 12 metros de largo por s de ancho!' Superficie de Ja ••Ja : 12 x 8 = 96 ro' Superfioie de ana losa 40 x 30= l. 200 centímetros cuadrados. Reduciendo 1011 "96 metros 01111.drados á centfmetro11, cuadrados tundremos · 1 96 X 10,000 = SOO looao. 1, 200 2Q Para hallar la oaper6oie total dc'las porede• de una sala, se maltiplio" el perímetro de la sala por la altura de las paredes. .
·En qué se funda eote problema ? tin que la Uuea mayor que puede trazarse en esBB superfici es es la diagonal, y ésta viene á ser la hipotenusa, si se trata de un cuadrado ó un rectángulo, y sabido es que la longitud <le la hipoteouoa oe halla extrayendo la raíz cuadrada de. la suma de los cuadrados de los catetos.
PROBLEMAS PARA NiR08 DE 5 y 6 GRADO 1 10 Cuando se desea enlosar 6 enladrillar una su- / perfioie, se divide el área de esa 1Juperfioie por el área <le una losa ó ladrillo .
4Q Cuando se divide una cantidad entre dos ó mh personas, de modo que ó. cada uuo le correspond& igual número de veces las cfi.ntidadcs que se determinen, ae divide la cantid.ad por la suma de los númeroa gue se refieren. rí los cantidadea clic/un, y-el oociente indicará el mime• i·o de vecea qtte á cada i-ual curr68ponde.
Ejemplo : el" mismo anterior. 12 X 6 x.u piée cuadrado1 1 y dividid -? por 2, que CH e l a.nabo de alfombra, y reeultan 324: piéB cu&dradoe, que dividir por a piéo lineales que tiene la yard• bnoal, da por reoultado 108 yardao de 6 se,., ( l¡ll X 6 X Comprobo\,ión: 2) 3 = 108. Para demoetrarque con 1ºª yardag <le alfombra, que tenga 2 piéade anobo, 1e oubre una supcrfioie de f2 yarda• OQadradao, baota re:iuoir lao 108 á pi.;. y -.
, . 1 1¡ -38A A. lo c,orrceponde 30 \vecee 15 ó sean AlJ .,, ao 8 11 ,, A ( ' . 11 ao 7 ,, ,, A .D. ,, ao 20,, ,, Tou.l • 450 "240 "210,, 600 1,500 5 Cuando se determina el tanto por oiento que !le ha gastado de uua cantidad, y Jo que re11ta, y "ª de sea 111aber la cantidad que antee había, ae multiplica. la cantidad quo qued• por 100, y el praduolo oe diYide poi· el tau to por ciento que se ha dejado de gaetar.
Se calcula uo tror.o de afombra que tenga una da 6 un metro de largo y oe multiplica por el ancho que tenga, y oe halla de eoe modo Ja ouper8cie del trozo.. He· cho ee diYide la eoperfioie del pieo por la del trozo y:i dicho, y eerá el número de yardu ó metro• que habri de adqdriroe. / ' _...39 -
Ejemplo: Un nifio gaotó el 60 por 100 de ou diue· ro y lo quedaron ti 8 ¿cuánto dine{o tenfa ? Si gaotó el 60 por eienlo Je quedó el 40. Luego 8 X 100 .__4_0__ = • 20 Comprobaeión : El 60 por 100 de 20, eo 12, gaotado. El 40 por 100 de 20, eo 8, dinoro que oobró. 'J'ot.al a 20, dioero qne ant.ea tenfa. . 6 hay qne alfombrar ó ent.apizar un plOo ó oualqutera otra ouperfieie, y Ja alfombra ó t.ela ó . papel, oe veade por yardao ó metro• ¿qué oe baoc?
Ejemplo: ¿Cuántas yardu de alfombra de doo pieo de ancho se neceeit.an para el de ur)a sal& que rnirlc 12 yardao de. largo ¡ior 6 de ancho f Superfi cie del pis{12 X 6 )= 72 Superficie del trozo ya caluulado de alCombra : piés de J&rgo. multiplicado por j de ancho, igual á piée cuadrado.e . , . , . ' · Redt'uuanec las 72 ysrd!l.8 oua'dradu del piso a P!ée cuadrado• y serán 6•8 piés y ,divfdase ·por lo• 6 pito; c1tadradoe del tror.o de alfombra, y se obtendrá el resultado, esto eo, s:I!' = 108 ·yardao ?••¡iaohará e l comerciante. De modo que para c ubrir uoa. superficie de 72 ya.rd'ls ouad rad&e ee nooeeit.a.n 108 yardas de longituil do alfombra. co n 2 de ancho. . • ' Hay otro procedimiento , que · ee et siguiente : Sa multipliCJ< el largo del piso por ol •ocho, y el producto se reduce á l& especie inmediata inferior, medida cuadrada , dividi e ndo después por el número que exvretia el ancho de Ja alfombra . El.res ultado obtenido oe divide por el número de unidades de eepeoic inferior lineales por 1rnpueéto.
Si dió al mayor 1\-, le quedaron t; pero como al segundo hijo le di6 t de t le tocó ¡. Para saber lo qua le oo rre1tpond e IÍ 1& hija se resta. i_de t , y so tendrá t -t = tf = t, J,uego á J,, hija le d lÓ !Esta operación se Sumando f + t + t y dará t = 1, eeto ee, Ja pro1nedad . Hágase saber al oif!o que el quebrado t puede reducirse !\ la expresión nove nos. y eer6. ;, y ael los tree quebrados son homogéneos. 5 ". Pág . uo.- Núm. 4. A y B. aoo pintorce que t rabajan por igual sueldo. Si A trabajó 4 t d!a• y B 5 *pintando una casa , ¿qué parte del dinero nioibirá cada hombre ? Se oumao 4 i y 5 *y darán 9 t; =9 tAhois queda red ucido el problema á aveTiguar parte de 9 t aon -\ t y 5 t.p . if Luego tendremoo: 9 t Y:o:f quebrndos eomplejoo. .1
·. -40multiplicar por loa 2 piés dt anoho, dividiendo de•· pqéa por 9 pi<• cuadrado• que tiene la 108 X 3 X 2 0 = 72 yardas oua<!rad3'1. NOTA:-Una vez que 101 niño1:1 comprcnd•n 1011 prob lema& de este librito, r. sepan bi en' faR reglas para su resoluci ó n, no tendrán d16oultad alguna. pArn 10!!1 de . igµal clue que les fueren propuestos. .Expliead6n de algunos problemas de la Aritmética Práctica iQ Pág. 1 2;-Núm . 17 . Si un edifioi9 vale i 6000 ¿qué cantirlad de dinero recibirá un hombre por t de ou parte oi pooee t del edificio? Si se le pagan t rle t clel ed ifioio aer/rn 1•, 6 oea del valor, que son ! 3,000. 2 ". Pág. 13S-Núm. 19. Un hómbre invirtió .¡. de au oapit.al en fondos p(1blicoe, t de lo quo le. quedú, en acciones rle banco, y el resto, t a,ooo en inmueblla. ¿En oud.nto coueistfa. su uapit.al? • . Si invirtió ¡, Je queilaron t• y ai del rceto gaotó le quedaron t. luego t X t = ff = t Y como el problema queda reduoido á a... eriguar de .q ué oantidad eo 8,000 lao t partea, oe dirá ( 8000 ..¡. 4) 'X 9 = t 18,000. a<; Púg. 138.-Níim. 18. El dueño do un buque dió de htc á eu hij o, y , ., ). -uvendió · t de lo que le quedó, en 2000. iCuúl era el valor del buque? Si dió ¡ , le quedaron l · y si de ese resto •endi ó t .. la vendiáa fué t x t 6 eea h "; y como la venen 8 tendremos ( 2,000 ..¡. 5) X 32 = $ 1 2 ,8 00. 4". Psg . 13s.-Núm. 22. Un hombre di ó ó. su hijo m"yor *de su propiedad , ,\-del resto ó. au segundo l1ijo, y el r esto /lea hija. ¿ Cuól ea Ja parte de la propiedad que reoibió lá bija ?
-42Para reducir est.oa colnplejos á simples se multipli· can numeradores poi' el rocfJJrOco de sus denomina,]ores. · i& = tff = ·m= tt A recibi ó H y B recibió tf. Hágaoe notar á loe niiíoe qirc el quebrado -,h ee el reofproco de ,Y.. y quo por eso se cxpreaa invertido. Pág. uo. -Núm. o. Emilio y Leoooio compraron un bote; Emilio pag ó 5 tanto como JJeonoio. Si el bote co111tó t 06, ¿cuánto pagó cada uno? Si Emilio pagó 5 partee y Leoncio l parte, resu Ita que Emilio pagó t de ' ou, y Leoncio t de • 90. Queda reducido el problema á avorii¡uar qué cantidad de loe i OG son loe quebrado• 6 también valuar loe quebradoe. go 0 x v = *80 Do : 1 = • 16 7 Pág. 140.-Núm. 7. Si Emilio pagó por el bote 2 t veces tanto como Lconcio, y oonvinieron en usarlo en proporción de lo pagado, ¿qué parte del tiempo puede cada uno uear el bote? Si Einilio pagó 2 t veces tanto como Leonoio, en· tre lae doe pagaron B t de partee, luego eete problema / -43eo reduce á averiguar quó parte de .3 'so i¡ 2 y 11 1¡uo es la parte que pagó I.coucio. Se resuelve asr : l 1 X .\l,- = <; a t - ' Emilio . y Leouoio t · B Pág. 140.-Núm. B. Se pagaron t 160 por un caba? Jo con su., silla. tii el precio de la oilla fué t del prepio del caballo ¿ cuál fué el cooto del caba ll o, y cuíil el de la silla? Si la oilla coetó t del precio del caballo, entonces caballo y si11a costaron .l,f·. Se averigua d e qu é cantidad eo l fiO lbi .l,/1 y oe ten· drá pso ..;. JO) x 7 = 105, que ee el precio del ollba.:. llo; y a.verigualldo Rhora cuánto ce -t de f 10 5, ae ol;lton· drá el valor de la eilla, ó eea 105 X 3 --7- = ¡45. 'l'ambién se halla el valor <le la eilla, restando 10 5, valor del caballo, de loo t 150 . o 0 Pág. us.-Núm. 40 . . 1
Alfonao puede cava r uria zanja en 10 d{ae, Balbinu en 12 dls,a y Carlos en 15 dJae. ¿Que parte de la zanj:. trabaj'aee ,8 dlae. Balbino .¡ dla• y Si alfonao cava la;zanja en 10 ellas, cn\•arfa en a
NOTA.-Hágaeele sab<Ír al niño 'lue el quebrado tt son las 10 pulgadas, erpreeadae en piés.
44-'dfas 1ªo; Balbino, en 4 cavarla ¡\ ; y Carlos ou 5 Jfas Se redo.ce á uoa operación de sumar quebrados. -,ªo + l 'J + rt = que ea la parte de la zau ) ja que qucdar!a cavada. MEDIDA DE LA MADERA Cuando las tablas tienen pulgada, ó menos, de espesor, se su medida multiplicando el largo, expreAado en p1és, por cl ancho reducido ó pulgadas, y el producto de ambos n(lmcros se divide por 12. Ejemplo : ¿ Qué número dé piéo de tabla hay en uua tabla de 18 piéo de largo por 16 pulgadas de 18 X 16 12 = 24 piés. ¿Cómo se halla la meuida de la madera escuadrada si la• Labia• tienen m/18 de una pulgada de eopeaor ? Se multiplica el largo, expresado en . viés por el ancho cxprettado en_ pulgadas, y el producto se multiplica }JOr el eepc1:1or también expresado en pulgadas, dividiendo deepués ¡'Or 12. Ejemplo de la "Aritmética Práutioa ", pág. 184núm. 6. ¿Cuántos piée de tabla h•y en 80 viguetas de 10 pul· gadae por 2 pulgada• y 18 piée de largo ? 18 X lO X 2 = 30 piée oada vigueta, 12 lfUC multiplicados por las SO viguetas, dan UOO piée. ¿ De qué otro modo se resuelve ? / -45:le m1lhiplica el largo tabla, eo piée, por el ancho también expreeado ea piéa, y el producto se multiplica por el espesor expresado en pulgada&. Et m ·ismo problema anterior : Se ciirtí. 18 x H X 2 = .l!. 0 11 ' x 2 = 30 piés, que multiplicados por las 30 viguet.ae dan 900. pit!s. MEDIDA DE LA MAD-ERA P01i METROS Cuando la tabla tiene 26 miltmetroe de espesor, ó menos, se multiplica el largo por e l anbho expresados en wetros. .Ejemplo : ¿ Qué número de metros tiene ona tabla. de 6 metros de largo, 30 ooutímetros de a.noY,o y 25 milfmAtros de grueso ? 6 x 30 = J.80 ósea !. 8 metros . (*) E:epllq1te<B á los niftoa sobre laa cifrWJ 2"" ha.y qtt• deparar en. el vroducto . Si el espesor CK de más de 25 entonces se multiplica el largo por el ancho l!Xpresados en metros, y e1e producto se por el espesor eu miltmetros, y el result.aJo se d1v1do por 25. . Ejemplo : ¿ Qué numero de metro• hay en vigueta de; m. de largo 16 oen. de ancho y 75 m1m. de grueso ? 7 X lü X 76 = S.. 15 metroe. g¡; (*) Aritmética Elemen¡al Wentworth.
Cuerd.is lL acres se multiplica por o. 07128 acrea. Aore11 il cuerdas ae multiplica pnr 1.0296! ouerdn. Leguae á kilómetroe ee multiplioa por i. 57270 km. Kilómetro• á leguae por 0.17945 legua. Leguae á milla• por 3.462'.3 millae. Millae ii. leguas por 0. 28879 legua. Kilómetros á millas por 0.62138 milla. Millae á kilórnetroe por l. 60983 kilómetros . ... / . -47· Qué medida ec 'e mplea para longitudee muy pequeñaa?6 · Se usau unH roglae de uno ó des deofmetros, las cuales se divideu en centlmetros y mitrmetros. ¿Y pala dislanoias, ó longitudee mayores? ·
Se usan unas reglas do l. 2, 4 y G metros, y para los trabajos ngrimemmr se emplean cadenas ó omtas metálicas de 10 á. 20 metroit. ;,Y -cuál se usa p:ira distancias muy g1andes? El Kilómetro y el llliriámctro. .J . 1
Cuerdas de terreno A bectAreas ae multiplica por o. 39804 bcotórea. . Heoúreaa á cuerdas se multiplica por 2.5.f426 cuer· das. . 11eas. Cuerdoe á áre.. ee multiplica por 39. 304 área. Heotáre á acreo ae multiplica por 2.47IIO aorcs . Acrea á hcotáre.. ee multiplica por 0.1 0468 heclá·
1 ,¡ .¡··: -46Eote cj'eiuplo y el onte;ior oou tomadoo fio la Arit. mética Elemental. SISTEMA MÉTRICO
Para reduoir metros á 'Varas se multiplica por 1 . 196 vara. Vana ii metroe,.se multiplica por 0 . 836 metro. Metros cuadrados á varae cuadradas se multiplica 1>or J..(ZJ lfi vara'. Varas, á mctroe:i se multipJioa vor 0.6087 m :t. Metroe cúbicos á var.aa cúbicaa so multiplica. por 1. 7121 vara cúbica. Varae 3 6. metrosª Re multiplica pqr 0.584 vara 3 • Litros para lfquido á cuartiltos se multiplica por l. 9835 cuartillo . · Cuartillos á litros ••multiplica por 0.504 litro. Kilógramoe á librna ee multiplica por !.000 y ee divide por 460. · · Libra• A kilógramoe oe multiplica por 480 y se di · vide por 1000.·
-48lllEDIDAS lllÉTRICAS 1QU E SUSTITUYEN A LAS ANTIGUAS. El metro sustituye á )a \•arri. El dec!metro al pié. El ocnthnetro ó. la pulgada. El Kilómetro, al cuarto de legua. El Miriámetro, á la legua .. E l litro, al ounrtillo. El J(il óg ramo. ó. la libra. El tirea '1 la cue rda de terreno. DIFERENCIA ENTRE LA YARDA Y J.A V ARA CON RESPECTO AL METRO 1 metro = 1.196 vara. 1 metro = J.0036 yarda. 1 metro'= 1.43115 1 metro!!= 1.196 yarda 3 l metro:s= 1.7121 vara 3 l metro'= 1.308 yarda'. / -4U1 vara :e:: o.830 metro. 1 arda = o.914:19 metro:i. 1 = 0.608'1 · 1 y¡ir<la'= 0.836'1netro; 1 varn3 = o.584 metro · 1 yarda:s= o.7045 mutro :i . Una yanla haco 1.01139 vara , Una vara es igual á O.Ul4 yarda. Una milla tiene 1700 yartlas . . ..___ la pógina 20 , H1 \ca s, donde hay ooo, léase 600. donde dice: o..;84 vaEn ls página 46, 12, rasª, léase O.E>84 metro . .J.
--· / . ' / . .J ...
