Ensayo sobre un Modelo Macroeconómico Ampliado by Yanod Marquez Aldana

Ensayo sobre un modelo macroeconómico ampliado Más allá de las síntesis neoclásica de Thomas Sargent

Yanod Márquez Aldana

Universidad Nacional de Colombia Thomas Sargent

Modelo Macroecon贸mico Ampliado

Thomas Sargent Tomado de www.cs. princeton.edu/.../Tom.Sargent.html

Yanod Mรกrquez Aldana

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Modelo Macroecon贸mico Ampliado

Yanod Márquez Aldana

Ensayo sobre un modelo macroeconómico ampliado y el diseño de un programa de análisis económico matemático

Yanod Márquez Aldana Doctor en Ciencias Económicas

Ciudad Universitaria, abril 29 de 2003 v

Modelo Macroecon贸mico Ampliado

Yanod Márquez Aldana

Resumen Este trabajo presenta el diseño y análisis del comportamiento de un modelo macroeconómico, en el cual se incluye el mercado de activos con una redefinición de la q de Tobin, el dinero endógeno, la tecnología y el gasto público en la función de producción, la relación entre salario y desempleo, una función de demanda de trabajo, la financiación, el ajuste vía precios y cantidades, y, finalmente, el ambiente de mercado abierto. El análisis estático demuestra que el modelo genera relaciones muy complejas y de difícil cálculo, aún dentro de un ambiente matemático lineal, con una gran dependencia de los parámetros y sin que existan relaciones neutras entre variables. El cálculo de la q de Tobin en función de la tasa de beneficio indica que el exceso de beneficio genera situaciones especulativas. Por lo demás, el modelo es estable, no es dicotómico, y el efecto del dinero no es neutro. Para enfrentar la complejidad del cálculo se diseñó el algoritmo SLYG Económica 1.0, el cual permite diseñar modelos económicos basados en sistemas de ecuaciones simultáneas, variando con facilidad los supuestos del modelo.

Summary This work presents the design and analysis of the behavior of a macroeconomic model, in the one which the q of Tobin, the endogenous money, the technology, the public expense in the production function, the relationship between wage and unemployment, a function of work demand, the financing, the adjustment via prices and quantities, and, finally, the atmosphere of open market. The static analysis demonstrates that the pattern generates very complex relationships and of difficult calculation, still inside a lineal mathematical atmosphere, with a great dependence of the parameters and without neuter relationships exists among variables. The calculation of the q of Tobin in function of the rate of benefit indicates that the excess of benefit generates speculative situations. Apart from this the pattern is stable, it is not dichotomic, and the effect of the money is not neuter. To face the complexity of the calculation was designed the algorithm SLYG Economica 1.0, which allows to design economic models based on systems of simultaneous equations, varying with easiness the suppositions of the pattern.

Palabras claves: teoría económica, macroeconomía, modelos, estática comparativa.

economía matemática,

Key words: economic theory, macroeconomics, mathematical economy, models, comparative static.

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Agradecimientos

La culminación de un proceso de formación como el de la Maestría en Ciencias Económicas, no es sólo el resultado de una aventura solitaria, implica además haberse sometido a la acción de muchos actores al interior de la Universidad y dentro de grupo social del que se hace parte. Algunos actuaron estableciendo exigencias y otros facilitando el resultado. A todos ellos debo mi gratitud, a los primeros porque me obligaron a escalar más alto y a los otros porque sin su ayuda no habría podido lograrlo. Los primeros me hacen recordar que la grandeza personal se mide más por las dificultades que se tiene que superar que por los éxitos obtenidos. A los segundos, a los profesores Álvaro Moreno y Luis Lorente, debo manifestarles que su guía entre el rigor académico y la amplitud conceptual me dieron una buena oportunidad de aprender y construir… …a César Cárdenas, mi compañero de fatiga …a Juan Carlos, mi amigo …a Pablo Yanod, mi hijo …a Myriam, mi esposa. … debo expresarles gratitud por siempre, pues sin su apoyo no sólo habría sido difícil sino imposible.

Yanod

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Tabla de Contenido

Introducción .................................................................................................................. 1 Capítulo 1 La modelación macroeconómica ............................................................ 5 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

La fundamentación microeconómica ................................................................................ 5 La endogeneidad del dinero............................................................................................... 9 El consumo.......................................................................................................................... 11 La tecnología ....................................................................................................................... 12 El gobierno como agente económico ............................................................................... 13 La q de Tobin ...................................................................................................................... 13 El ajuste vía precios y cantidades .................................................................................... 16 El salario y la demanda de trabajo .................................................................................. 16

Capítulo 2: El Modelo ................................................................................................ 20 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Las empresas....................................................................................................................... 20 Las familias ......................................................................................................................... 23 El agente externo ................................................................................................................ 24 El gobierno .......................................................................................................................... 25 Los bancos ........................................................................................................................... 25 Solución del sistema de ecuaciones ................................................................................. 31

Capítulo 3.El programa de análisis económico – matemático ........................... 35 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3.

Instalación ........................................................................................................................... 37 Definición del Modelo ....................................................................................................... 38 Depuración.......................................................................................................................... 42 Derivación ........................................................................................................................... 43 Solución del Sistema .......................................................................................................... 43 Prueba de estabilidad ........................................................................................................ 44 Ejemplo: Solución y pruebas del modelo de Sargent.................................................... 45 Preparación del modelo .............................................................................................................. 45 Derivación y Solución del Sistema ............................................................................................ 48 Prueba de estabilidad .................................................................................................................. 50

Conclusiones................................................................................................................ 54

Modelo Macroeconómico Ampliado Anexo A.

Pruebas de estabilidad, neutralidad y dicotomía ..........................................................56 A.1. A.2. A.3.

Anexo B.

Algoritmo gráfico ...............................................................................................................64 B.1. B.2. B.3. B.4. B.5. B.6. B.7.

Anexo C.

Prueba de estabilidad .........................................................................................................56 Prueba de neutralidad ........................................................................................................60 Prueba de dicotomía ...........................................................................................................62

Flujo General .......................................................................................................................65 Definición del Modelo ........................................................................................................66 Depuración ..........................................................................................................................67 Derivación ............................................................................................................................68 Solución del Sistema ...........................................................................................................69 Prueba de estabilidad .........................................................................................................70 Librerías y relaciones ..........................................................................................................71 Ejemplos de soluciones ....................................................................................................... 1

C.1. Variación del nivel de empleo con respecto a la variación de los bonos en el modelo ampliado. ............................................................................................................................................. 1 Anexo D.

CD ROM…................................................ contraportada D.1...................................................................................................... Notas sobre el autor D.2............................................. Ensayo sobre un Modelo Macroeconómico Ampliado D.3......................................................................................................... Resumen ejecutivo D.4............................................................................. SLYG Económica 1.0 (instaladores) D.5............ Ejemplos de modelación y solución en el programa SLYG Económica 1.0

1. Amplado.mex: Modelo y solución 2. Sargent.mes: Modelo Bibliografía .................................................................................................................... 7

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Introducción Uno de los propósitos de este trabajo es avanzar en el diseño de un modelo macroeconómico que permita representar la realidad de un entorno como el colombiano, de tal manera que se facilite el entendimiento de su realidad económica y realizar simulaciones en diferentes escenarios; por esta razón los supuestos se definen teniendo como objetivo principal la pertinencia con los hechos económicos. Se asumió el estudio con un modelo general, estático y simbólico, como base para estudios futuros con modelos intertemporales. El modelo macroeconómico se realizó partiendo del clásico presentado por Sargent (1979). Este se amplió para considerar el efecto de la q de Tobin en un mercado de activos, el dinero endógeno, los efectos de la tecnología y el gasto público en la producción, el efecto de la financiación en el consumo y el producto, el consumo autónomo, el ajuste vía precios y cantidades, la sustitución de la función de oferta de trabajo por una de demanda, la relación entre el salario y el desempleo, y, finalmente, el comportamiento de todo el modelo en un ambiente de mercado abierto. A pesar de que se introdujo una ecuación de distribución del ingreso, el modelo adolece de limitaciones tales como el supuesto de que las familias son iguales y tienen igual derecho de acceso a los beneficios de la actividad económica, lo cual impide analizar el efecto de la concentración del ingreso en un sector de la sociedad. El estudio de comportamiento del modelo se hizo con la metodología del análisis de estática comparativa, la cual estudia los hechos que le ocurren a un conjunto de variables endógenas en relación con otro conjunto de variables exógenas, en un momento del tiempo. Las variables endógenas son las determinadas por el modelo, en tanto que las exógenas se consideran predeterminadas y provenientes desde afuera del modelo. La importancia del análisis estático es la posibilidad de estudiar los valores alternativos de equilibrio que puedan tomar las variables endógenas como resultado de modificaciones en las exógenas. El análisis estático presupone la separación entre hechos presentes y futuros, de forma que no existan expectativas. Esto 1

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obliga a no considerar las variables cuya importancia sea despreciable en escenarios de corto plazo. El modelo en estudio es un sistema de ecuaciones estructurales que describen las relaciones económicas entre un grupo de variables, las cuales se presentan como identidades y funciones. El sistema se deriva para determinar, no la magnitud, sino el signo del cambio. Las variables exógenas se suponen funciones continuas por la derecha, en tanto que las endógenas se suponen capaces de saltar en un momento del tiempo, pasando así de un valor a otro por efecto del cambio en la variable exógena con la que se relaciona. Este tipo de sistema supone la existencia de equilibrio en un momento dado si las variables endógenas toman valores que permitan resolver todas las ecuaciones. Es notable que la existencia de un equilibrio estático no implique que las variables endógenas no cambien en el tiempo, puesto que un cambio en las variables exógenas induce a su vez uno en las endógenas. Otro aspecto notable es que mayores aproximaciones a la realidad requieran cada vez más variables y más ecuaciones. Con este solo hecho, aún dentro de un ambiente matemático lineal, el cálculo de soluciones para modelos analíticos, requiere un proceso largo y dispendioso para lograr soluciones y poder realizar los análisis correspondientes. De forma usual, en un cálculo manual, la solución para la derivada de cada variable endógena se halla mediante los siguientes pasos: 1.

2. 3. 4. 5.

Se expresan las ecuaciones en una forma reducida, que consiste en despejar las variables endógenas para explicarlas en función de las exógenas. Se deriva el sistema Se definen, por lo regular, dos variables endógenas para las cuales se calcula una solución. Se procede a eliminar por sustitución las derivadas de las variables endógenas diferentes a la que se busca. Se organiza un sistema cartesiano en el que se describe el comportamiento de las derivadas calculadas.

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Sin embargo este procedimiento manual no es muy útil cuando el sistema tiene un gran número de variables y de ecuaciones, puesto que el procedimiento se vuelve largo y dispendioso. Por esto, otro propósito es hacer uso del computador para que esas simulaciones puedan realizarse de forma ágil, con el fin de reducir el tiempo de cálculo de las soluciones y así facilitar una discusión. Una alternativa es recurrir a la programación con apoyo de computador, lo que permite usar métodos matriciales para calcular simultáneamente la solución para todas las incógnitas, como es el caso del método Gauss - Jordan, o el método Kramer para calcular soluciones particulares. En el caso de que se opte por el uso de una de las herramientas computables existentes en el mercado, resultan ser poco amigables y con limitaciones en el tratamiento de variables simbólicas. El imperativo de realizar simulaciones con resultados inmediatos, con escenarios complejos, condujo a enfrentar el diseño de una herramienta que facilitara esta labor. El resultado final fue el diseño tanto de un modelo macroeconómico ampliado, como el del diseño de un algoritmo que permite la modelación basada en sistemas de ecuaciones simultáneas, de tal forma que es posible variar ágilmente el escenario de supuestos sobre variables endógenas, exógenas o su conversión en constantes. Económica 1.0, es un algoritmo programado en Visual Studio .NET con aplicación de rutinas en Matlab. Se diseñó particularmente para obtener la solución al sistema de ecuaciones y para realizar pruebas de estabilidad en escenarios cambiantes. También tiene la posibilidad de someter esos sistemas a restricciones tales como hacerlas iguales entre sí o darles valores numéricos.

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Capítulo 1.

La modelación macroeconómica

1. La fundamentación microeconómica

Hablar de la microfundamentación de la macroeconomía no es cosa fácil ni de fácil consenso. Weintraub (1979) dice que la relación entre la teoría microeconómica y la macroeconómica “ha sido tormentosa”, que este aspecto “ha sido ignorado, descubierto, puesto en escena e ignorado otra vez; que la literatura está repleta de polémicas, llamadas a la acción, y técnicas preciosistas que oscurecen las ideas centrales”. Este autor plantea que la pregunta esencial es si las preocupaciones y modelos de la teoría microeconómica son lógicamente consistentes con las preocupaciones y modelos de la teoría macroeconómica. Para Jorge Iván González1 la respuesta es negativa, y cree que el debate está centrado en los enfoques de equilibrio y desequilibrio. El enfoque de equilibrio hace parte de la nueva macroeconomía clásica y se fundamenta en la microeconomía. Para J.I. González la nueva macroeconomía clásica “ha hecho énfasis en las técnicas instrumentales sin poner en tela de juicio sus propios instrumentos”. Uno de los ejemplos claros para este autor es lo expuesto por Sargent en su libro Macroeconomic theory, publicado en 1979 y reeditado en 19872. Para González “los supuestos no se definen teniendo como mira central su pertinencia económica sino, más bien, en función de la estabilidad de los modelos y de la consistencia lógica de la formalización matemática”. Este es el caso que se observa con respecto a los supuestos de relación capital-trabajo totalmente flexible, lo cual es un imposible práctico3. Este supuesto fue hecho para respaldar otro supuesto, el de total flexibilidad en el mercado de trabajo

/ Todas las citas de este autor corresponden a GONZÁLEZ Jorge Iván, 1994.

/ Todas las referencias de J.I. GONZÁLEZ sobre este autor corresponden a SARGENT, 1987.

3/Es

difícil imaginar una tecnología que supere la limitación en la relación hombre-máquina. Al mismo tiempo sólo puede trabajar un digitador - un computador, un conductor- un carro. Ese concepto es más cercano a la economía agrícola, en la que un número variable de personas pueden trabajar en un pedazo de tierra, pero no puede ser ilimitado.

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en un ambiente en el que el capital está fijo y no existe mercado de capitales. Incluso, los supuestos se establecen sin tener en cuenta la consistencia interna del modelo, dependiendo de las necesidades puntuales. Se supone, por ejemplo, que el ajuste de la economía ocurre exclusivamente vía precios. De ser así, ante un eventual exceso de demanda, el sistema productivo no responde incrementando la producción, por lo cual no se requiere la elasticidad en el mercado de trabajo. Otro ejemplo lo tenemos cuando Sargent presenta un modelo con los siguientes supuestos: se produce un único bien, se usa una tecnología igual para todas las empresas, y el capital es la acumulación de ese único bien. Luego, supone la inexistencia de un mercado de capitales sustentado en una especialización de las empresas que hace imposible que el capital usado por una no sirva para las otras. Esto es inconsistente con los supuestos anteriores puesto que esa especialización es incompatible la producción de un único bien. Para Sargent la función tecnológica agregada tiene la misma forma que la de una empresa individual. De esta manera se puede aplicar a la macro la herramienta micro del agente representativo, y la productividad marginal del conjunto de las empresas resulta ser igual al de cada una de ellas, por lo cual ambas equivalen al salario real. Algo similar ocurre con el “consumidor representativo”. González, siguiendo a Lippi en un ejercicio dinámico, demuestra que “si se parte de la individualidad del agente, la agregación no garantiza la consistencia macro”, y que “para lograr la consistencia macro se requiere imponer restricciones que equivalen a negar la individualidad del agente”. Respecto a los análisis de estabilidad, González -siguiendo esta vez a Samuelson en su estudio sobre el principio de correspondencia, que es la relación existente entre el análisis de estática comparativa y el análisis dinámico general- nos induce a pensar en el hecho de que, habiendo correspondencia entre el análisis estático y el dinámico, siendo el primero parte del segundo, lo aplicable al segundo es aplicable al primero. Por esto tampoco es consistente el modelo neoclásico en los análisis de estabilidad macroeconómica. El análisis de estabilidad expuesto por Sargent hace uso de ecuaciones diferenciales, las cuales se caracterizan por el manejo del tiempo en 6

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forma continua. Con esta condición logra que el modelo converja a una condición de estabilidad. Sin embargo, si se realiza el mismo ejercicio con ecuaciones en diferencia, el resultado cambia y por lo tanto el modelo no converge. De esto se deduce que los supuestos “determinan las condiciones del procesos de ajuste y las variables instrumentales”. A pesar de esto, Sargent no hace referencia a esta inconsistencia, aunque signifique errores en la política económica que se formule como consecuencia de los resultados. Otro aspecto que hace evidente el problema de la microfundamentación es el tema bancario. Según Graziani (1989), “la teoría micro de las firmas bancarias disfruta hoy de un excelente desarrollo”, “el único aspecto insastisfactorio es el análisis del exceso de reservas. Usualmente el exceso de reservas se hace depender de la llamada „volatilidad de los depósitos‟”, pero “una comprensión más profunda de la volatilidad de los depósitos, y de la consiguiente necesidad de reservas, sólo es posible cuando se considera el funcionamiento del sistema bancario en su conjunto, es decir, cuando deja de analizarse la empresa como una empresa totalmente aislada”, “sin embargo, ocurre con frecuencia que el razonamiento micro se traslada sin más al análisis macro”, no tienen en cuenta que “es incorrecto extender al sistema bancario como un todo el papel que desempeñan los depósitos a nivel de un banco individual”. Además, como ocurre con el modelo clásico presentado por Sargent, “en la mayoría de los modelos macroeconómicos ni siquiera aparecen los bancos como tales. La cantidad de dinero no se define como una deuda de las firmas con los bancos, sino como una deuda del gobierno con el resto de la economía. Esto supone que la base monetaria ha sido creada en su totalidad por los déficit del gobierno, mientras que ignora por completo la base monetaria que los bancos centrales proporcionan directamente a los bancos comerciales” (Graziani, 1989). González cree que aunque el debate sobre los microfundamentos de la macro se ha abandonado en los últimos años, no significa que el asunto esté resuelto, y que posiblemente ha terminado por aceptarse por puro cansancio, entre otras cosas porque “la academia oficial se consolidó alrededor del programa de investigación neowalrasiano”. Por el contrario, está más cerca de Thom

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cuando afirma que “Nosotros no podemos aspirar a integrar, a priori, los modelos locales en un sistema global”4 Lo expuesto confirma lo dicho anteriormente, la relación entre la micro y a macro es tormentosa y de difícil consenso, más aún si lo que requiere no son modelos “que siempre funcionen bien”, como se quejó Leijonhufvud 5, sino modelos que “den cuenta de la realidad”, como lo expresan con preocupación otros autores como Blanchard, Fisher y Kornai6. Para resumir, podemos decir que las principales críticas a la microfundamentación de la macro asumida por Sargent están relacionadas con la agregación, la estabilidad, el ajuste, la flexibilidad de la relación capital – trabajo y del mercado de trabajo, el nivel salarial, y el manejo del tiempo continuo. Queda puesta en la mesa la fuerte crítica de que estos modelos, como lo diría Weintraub, tienen un preciosismo matemático que oscurece las ideas. Los puntos expuestos aquí no representan una lista exhaustiva, otros serán discutidos más adelante. Sin embargo es necesario reconocer que se debe recurrir al análisis de las condiciones micro para poder explicar algunas condiciones macroeconómicas, pero esto sólo se puede hacer si relajamos algunos de los supuestos más ortodoxos de la microeconomía. A continuación se introducirán supuestos que permitan modelar algunos hechos económicos, los cuales requieren que se modifique el modelo de Sargent y relajar sus fundamentos microeconómicos, sin que necesariamente se deje de lado la microeconomía. Dentro de esa línea se pueden modificar los supuestos de exogeneidad del dinero, la equivalencia entre salario y producto marginal del trabajo, la exclusividad del ajuste por la vía precios, la existencia de una

/ Citado por GONZÁLEZ, 1994, p. 114.

/ Citado por WEINTRAUB, 1979.

/ Citado por GONZÁLEZ, 1994.

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función de oferta de trabajo en relación con el salario, el consumo definido por el ingreso y la tasa de interés real, y el supuesto de producción de un solo bien.

2. La endogeneidad del dinero

En el modelo clásico presentado por Sargent, la oferta de dinero es exógena y a cargo del gobierno. Esto es así porque, como se dijo antes, el modelo no incluye el sector bancario y por lo tanto el dinero circula directamente desde el gobierno a las familias por medio de un intercambio bonos-dinero. Por eso puede afirmar que M + B = 0. Sin embargo al introducir el sector bancario el dinero se vuelve endógeno, puesto que pueden modificar la oferta mediante cambios en la velocidad de circulación monetaria de V0 a V1, de tal forma que (p1= Vo•M/Q) < (p2 = V1•M/Q), Otra forma de expresar esa participación del sector bancario es la del multiplicador. De acuerdo con esta definición, los saldos reales M/p serán iguales a m•B, donde B es la base monetaria y m es el multiplicador bancario. La característica endógena del dinero queda más clara si consideramos que el incremento del multiplicador se origina en las alzas de la tasa de interés (r). Esta es una condición que podemos representar como: M/p = m(r)•B, donde mr > 0 Reforzando lo anterior, autores como Luis Lorente7 han demostrado que incluso el incremento de la base monetaria por parte del gobierno puede ser el resultado de la presión del sector privado ante la necesidad de financiar la expansión de la producción. La prueba está en que ha encontrado que hay mayor causalidad de precios a dinero que de dinero a precios. Los agentes económicos imponen condiciones de endogeneidad del dinero, superando por lo tanto la rigidez de la oferta exógena, sin alcanzar una elasticidad total. Por

/ Citado por Mario García (1994).

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esta razón la oferta monetaria no se puede dibujar como una línea vertical u horizontal, sino como una línea con pendiente negativa con respecto a la tasa de interés. Según Christopher J. Ingle (1991), esta discusión se ha dado desde que Keynes en 1930, en su Tratado sobre el dinero, afirmó que la oferta del dinero es endógena, aunque más tarde, quizá por simplicidad, no aplicó este concepto en la Teoría General8. Luego en 1959, el informe Radcliffe concluyó que en Gran Bretaña la oferta monetaria estaba determinada por los préstamos bancarios. Más tarde, los economistas postkeynesianos, como respuesta a las dificultades de la síntesis neoclásica representada por el modelo IS – LM y del monetarismo para explicar la relación dinero - economía real, desde finales de los años setentas centraron su atención en la teoría de la oferta de dinero endógena. Esta teoría se puede sintetizar en los siguientes puntos: 1. 2.

La demanda de crédito es, en general, satisfecha por los prestamistas. El banco central satisface generalmente cualquier necesidad de de reservas de los bancos por medio de la ventanilla o con operaciones de mercado abierto. Los bancos compensan parte de las limitaciones de reservas mediante el incremento de la velocidad de circulación del dinero, recurriendo a innovaciones financieras y tecnológicas.

De acuerdo con lo anterior, otra forma de representar la demanda de dinero es ponerla en función de los requerimientos de inversión, la cual depende a su vez de la q de Tobin, es decir, del índice de valoración del capital: M/p = m(I(q-1)). Para mejorar su inserción en el modelo, despejamos para dejar la inversión en función de las demás variables: I = I(q -1, M/p).

/ Basil Moore afirma que Keynes no aplicó este concepto en la Teoría General motivado por la necesidad de simplificar la exposición. Citado por Christopher J. Niggle, 1991. 8

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La acción de los bancos da lugar a la existencia de un crédito total mayor que el del ahorro, cuyo excedente constituye la financiación. Esto conduce a la posibilidad de que la tasa de inversión sea mayor que la de ahorro. Para Keynes la financiación no tiene nada que ver con el ahorro. Este sólo se puede usar una vez en tanto que la financiación “es un fondo rotatorio que puede ser usado una y otra vez”, originado en “operaciones contables que aseguran respaldo a los empresarios”. (Keynes, 1937a). Sólo cuando se cumpla el ciclo y la nueva producción permita saldar la cuenta de financiación, es que el ingreso igualará a la inversión y el consumo. Por eso para Keynes la financiación es un giro sobre ingresos futuros, en tanto que el ahorro es un giro sobre ingresos pasados. La importancia de la financiación hace necesario introducir una ecuación que represente el financiamiento neto. Aquí se representa como una función creciente respecto a la oferta monetaria y decreciente respecto al ahorro interno: Fn = Fn(M/p, s·Y), donde Fnm > 0, Fns < 0

3. El consumo

Sargent presenta el consumo agregado como una función del ingreso disponible y de la tasa de interés real, C = C(YD, r-pi), donde, dada una propensión a consumir, el consumo se incrementa si lo hace el ingresos disponible, y el consumo se reduce si sube la tasa de interés real. Esta ecuación tiene varios inconvenientes: presupone que la inversión equivale a una reducción del consumo, que el incremento de la tasa de interés induce la preferencia por ahorrar. Además excluye la posibilidad del consumo pagado con financiación y elude existencia del consumo autónomo. El incremento de la tasa de interés real puede inducir alternativamente actitudes diferentes, para algunos una mayor tasa de interés puede significar una oportunidad de mayor acumulación, pero para otros puede significar que se puede expandir el consumo actual puesto que con menos ahorro recibirán la misma renta en el futuro; el resultado final puede ser neutro. La inversión no 11

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necesariamente procede de la reducción del consumo actual, puede proceder de la financiación. La diferencia, como lo dijo Keynes, es que la financiación es un giro sobre ingresos futuros, en tanto que el ahorro es un giro sobre ingresos pasados (Keynes, 1937a). La existencia de la financiación hace posible que el ingreso actual se dedique completamente al consumo, en tanto que la inversión se puede hacer con la promesa de pagar con ingresos futuros. Pero la financiación hace también posible el incremento del consumo actual. Autores como Milton Friedman han hablado del “ingreso permanente para el consumo”, que no es otra cosa que el promedio de los ingresos presentes y futuros, con el cual las familias pueden mantener el consumo a un nivel equilibrado, a pesar de las fluctuaciones en el ingreso. Finalmente, a pesar de que el ingreso se reduzca a cero, una familia no puede dejar de consumir. Este consumo mínimo que ocurre cuando el ingreso es nulo, es el consumo autónomo. Estas conclusiones permiten presentar el consumo compuesto de una constante, el consumo autónomo (CA) más una función dependiente tanto del ingreso disponible como de la financiación: C = CA + C(YD, Fn)

4. La tecnología

Sargent9 no consideró en sus modelos el efecto de la tecnología en el nivel de producción. En este aspecto la teoría del crecimiento ha mejorado notablemente el entendimiento, por eso actualmente es difícil imaginar una función de producción sin la variable de tecnología que explique el crecimiento sostenido. Para un momento dado, el nivel de producción depende, no sólo del capital y trabajo, sino además por el efecto de los avances tecnológicos. Aquí se introduce la variable de tecnología (A) según el modelo de “aumento del trabajo”, es decir, donde la variable de tecnología multiplica la capacidad del trabajo, dado un nivel del mismo. La variación de (A) con respecto al nivel

/ Esta y las posteriores referencias corresponden SARGENT Thomas, 1979.

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tecnológico anterior es igual a la tasa de crecimiento (g). Para simplificar suponemos que la tasa (g) es constante, con este supuesto podemos representar el nivel de la variable (A) como una función de acumulación exponencial, y luego la introducimos en la función de producción: A A

A = A0 e gt

Q = Q (A•N, K)

5. El gobierno como agente económico

Si consideramos que el gobierno realiza una serie de actividades que hacen posible el nivel de la producción, de comercialización y de los precios, podemos incluirlo como uno de los factores de la producción y el impuesto considerarlo como el pago a uno de los factores. Cada vez que el gobierno construye una nueva carretera, hace posible el aumento de la velocidad y el tamaño de la circulación de mercancías. Cuando extiende una patente y garantiza que se respeten los derechos que implica, hace posible que la empresa invierta en investigación y desarrollo de productos y servicios que luego introduce en el mercado. Así la actividad gubernamental puede ser incluida dentro de la función de producción. En el modelo ampliado el gasto público se introduce afectando el trabajo a través de la variable de tecnología (A(G)), según el modelo de “aumento del trabajo”, de tal manera que el gasto público incrementa la productividad del trabajo, dado un nivel del mismo. La función de producción podemos presentarla entonces así: Q = Q(A(G)•N, K), donde QN, QK, AG > 0

6. La q de Tobin

La q de Tobin es el índice de valoración de las inversiones y como tal se puede obtener dividiendo el valor de la empresa (V) entre el costo de reposición del

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capital (p•K), q =

V . p*K

De aquí obtenemos V = q•p•K, el valor de las

acciones en términos de la q de Tobin, los precios y el capital. Sargent, siguiendo a Tobin (1969), obtiene la q relacionando el producto marginal, el costo marginal de producción y la tasa de interés real: q

r d r pi

(1) =

QK d r pi

r r

pi QK d = pi r pi

1 =q-1

Partiendo de (1) también concluye en una función general que involucra todas las variables allí contenidas: q

r d r pi

(1)

q(K,N, r – pi, ),

Concluye que la demanda de inversión se puede expresar así: I

I(q(K,N, r – pi, ) -1)

Otra forma de representar lo anterior es tomar la tasa de beneficio y dividirla por el costo marginal del dinero. Para esto procedemos a definir el beneficio ( como la tasa de beneficio (b) multiplicada por el valor de la empresa en el mercado (V), el cual incluye el capital real y el intangible. Este valor se puede reemplazar por su equivalente en términos de la q de Tobin y del costo de reposición del capital: = b•V = b•q•p•K = p•Q(N,K) – W•N – (r + d – pi)•p•K Para este caso asumimos que la tasa de beneficio (b) se obtiene por la operación de la empresa, en tanto que la tasa de interés real (r –pi) se paga por la inversión, sin importar quién sea el propietario de los recursos invertidos. Derivando con respecto al capital y dividiendo por los precios, obtenemos d

/ dK

= b•q•p = p•QK - (r + d – pi) •p

b•q = QK - (r + d – pi)

Obtenida la tasa de beneficio, se sustituye en la relación expuesta inicialmente. Luego combinando las dos obtenemos una tercera:

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r d r pi

q•(r –pi) – (r – pi) = b•q

b*q r pi

q -1 =

b*q r pi

q•(r – pi – b) = (r – pi)

r r

pi pi b

.donde (r – pi) es la tasa de rendimiento esperado sobre el capital y (b) es la tasa de rendimiento sobre el valor de las acciones, descontados los costos de producción.

q de Tobin

q de Tobin en función de la tasa de beneficio con r = 5 100 80 60 40 20 0

-20 -40 -60 -80 -100 3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

Tasa de beneficio

El gráfico muestra el comportamiento de la nueva ecuación, en la cual se ha asumido que la inflación es igual a cero. El gráfico representa una hipérbola, cuyas asíntotas son la abscisa y la paralela a la ordenada correspondiente al valor de la tasa de interés. El gráfico muestra que la q de Tobin crece exponencialmente en la medida que crece la tasa de beneficio, acercándose asintóticamente al valor de la tasa de interés. Para valores de beneficio igual o mayor que la tasa de interés, el comportamiento no corresponde a una economía real, puesto que representa un estado de valorización infinita o de destrucción de la economía, por lo cual no hay equilibrio. Por esta razón la ecuación debe restringirse sólo para cuando r > b. Una aproximación a la interpretación económica del comportamiento de la ecuación cuando la tasa de

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beneficio se aproxima al valor de la tasa de interés, es que a estos niveles los agentes económicos asumen un comportamiento especulativo.

7. El ajuste vía precios y cantidades

Sargent en su modelo considera el ajuste walrasiano (vía precios) y excluye el ajuste marshalliano (vía cantidades). Como se expresó en el punto 1.1, ese supuesto se establece sin tener en cuenta la consistencia interna del modelo. Un eventual exceso de la demanda, en el corto plazo puede inducir exclusivamente un ajuste vía precios debido a la restricción en el mercado de capitales. Pero ante un exceso de oferta las empresas deben ajustar su producción para evitar la acumulación de inventarios, lo que debe inducir a su vez una baja en la tasa de uso de la capacidad instalada y en el nivel de empleo. Por lo demás, si ante un exceso o defecto de la demanda no se aumenta o reduce la producción, el modelo no se requiere la elasticidad en el mercado de trabajo. Entonces, si bien en el corto plazo no se considera una reducción de la capacidad instalada, si podemos modelar el ajuste vía cantidades con la inclusión de una tasa de uso de la capacidad instalada (h). La tasa (h) depende a su vez del nivel de beneficio obtenido por los empresarios. Así tenemos que, para un momento dado, (h) puede tomar un valor entre 0 y 1, y su valor está en función de la tasa de beneficio: .h = h(b) , donde 0 <= h <= 1 y hb > 0 Ahora se puede obtener la función de producción que se incluirá en el modelo: Q = Q(A(G)•N, h(b)•K), donde QN, QK, AG, hb > 0

8. El salario y la demanda de trabajo

Sargent presenta el salario real como el equivalente al producto marginal del trabajo, en función del nivel de empleo y del capital (W/p = QN(N, K)). Sin

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embargo esta ecuación tan sólo representa el nivel máximo que puede adquirir el salario real, más allá del cual las empresas verían afectada su viabilidad económica, y sólo es posible que exista cuando hay pleno empleo y el desempleo es voluntario, dentro del supuesto de la existencia del mercado de trabajo. Por definición existe mercado cuando los oferentes pueden reducir su oferta ante una reducción de la demanda. Esto no ocurre con el trabajo. Una familia que no posee rentas de capital no puede dejar de ofrecer su fuerza de trabajo, pues la necesidad vital de sobrevivir le impide renunciar a su única fuente de ingresos. Por contraste, las empresas podrían cerrar si los salarios excedieran su viabilidad económica. De lo anterior se deduce que no es el mercado el que determina el precio del trabajo y que la demanda de trabajo no depende del salario. El nivel de la demanda de trabajo, entonces, depende de la demanda agregada de bienes y servicios, N = N(Y). Soportadas en lo anterior, las empresas están en libertad de fijar el nivel salarial a través del arbitraje, de acuerdo con la tasa de desempleo. Si se dan las condiciones de pleno empleo las empresas pagarán como salario un monto equivalente al producto marginal del trabajo (W/p= QN). Si no hay pleno empleo, con familias obligadas a vender su fuerza de trabajo, las empresas pueden aprovechar la oportunidad del arbitraje para ofrecer un salario por debajo de la tasa de productividad marginal del trabajo. Este es el conjunto de supuestos que subyace en la curva de Phillips. A. W. Phillips, construyó su famosa curva10 relacionando el nivel salarial con el nivel de desempleo, lo que implica que consideraba que el salario no es una proporción fija del producto

/ La curva de Phillips como una relación entre la inflación y el desempleo, en realidad no fue diseñada por Phillips sino por Irving Fisher, en un trabajo en el que, según el Journal of Political Economy, “redescubrió la curva de Phillips”. 10

Modelo Macroeconómico Ampliado

sino que está en relación con las condiciones existentes en la oferta de trabajo. La ecuación original de Phillips es w = constante – bU

.donde ( w ) es la variación del salario, (U) es la tasa de desempleo, y (b) es el parámetro que relaciona la variación del salario con el nivel de desempleo. Esta ecuación representó bien el comportamiento del salario para las décadas de 1950 y 1960, época en que los niveles de inflación se mantenían bajos. Más tarde Milton Friedman y Edmund Felps observaron que esta curva era inadecuada para representar el comportamiento del salario en condiciones de inflación propia de los años 70. De esto concluyeron que lo importante era el salario real y que era necesario introducir el efecto del cambio de los precios. Hasta aquí tenemos tres elementos que son importantes para definir una ecuación que determine el nivel salarial: el producto marginal del trabajo como el máximo que puede alcanzar el salario, la relación con el desempleo, y, finalmente, el efecto del cambio de los precios. Con estos elementos podemos corregir la ecuación que represente el salario real, para que explique el salario real como una función del producto marginal del trabajo y los precios, como lo hace Sargent, e incluyendo el efecto del desempleo. Para introducir esto último podemos recurrir a la forma de la ecuación ya probada por Phillips, con una constante a la que se le resta la tasa de desempleo multiplicada por un parámetro. Como el modelo es estático, las variables se incluyen en niveles: W/p = QN - e*(Ns – N) .donde QN es el producto marginal del trabajo, (e) es el parámetro que determina la respuesta salarial de los empresarios en relación con la tasa de desempleo, Ns es la fuerza de trabajo disponible, y N es el nivel de empleo. Agregando los demás elementos introducidos anteriormente en la función de producción, obtenemos: W/p = QN(A(G)•N, h(b)•K) – e*(Ns – N) donde QN, QK, AG, hb > 0 A diferencia de la ecuación original de Phillips, esta ecuación no contiene un elemento constante, pero la tasa de productividad marginal del trabajo sirve 18

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como límite, ganando además la flexibilidad necesaria para responder a los cambios de productividad del trabajo.

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Capítulo 2.

El Modelo

El modelo estudia el comportamiento agregado de cinco agentes, las empresas, las familias, los bancos, el agente externo, y el gobierno; los cuales interactúan en tres mercados: bienes, moneda nacional y divisas. La familia y la empresa representativa es la que tiene un comportamiento promedio, de tal forma que la variable agregada es el resultado de multiplicar, por ejemplo, el consumo o el producto promedio por el número de familias o empresas existentes. Se asume, para simplificar, que los bienes se ofrecen y se demandan conjuntamente en un paquete promedio, por lo cual el análisis se puede realizar dentro del modelo de “un solo bien”. Estos se producen bienes en el mercado interno de la economía, a una tasa Q por período de tiempo. El nivel del ingreso está representado la ecuación (1), en la que se relacionan los usos que se le dan al ingreso y la financiación: consumo, inversión privada, gasto público, exportaciones netas y depreciación: Y = C + I + G + Xn +

9. Las empresas

Las empresas existen en gran número y son competitivas. El nivel de producción depende del trabajo (N) y del capital (K). El trabajo es multiplicado por los avances tecnológicos (A), la cual además es afectada positivamente por el gasto público (G). Para ajustar el nivel de producción en el corto plazo las empresas pueden variar instantáneamente la tasa de uso (h) del capital, la cual puede adquirir un valor entre 0 y 1 como respuesta al nivel de la tasa de beneficio. Las empresas tienen en promedio la siguiente función de producción: Q = (A(G)•N, h(b)•K), donde QN, QK, AG, hb > 0 y 0 <= h <= 1 Uno de los supuestos, sujeto a la controversia, es que la función tecnológica es homogénea, lo cual supone rendimientos constantes a escala, con producto

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marginal positivo pero decreciente. Los bienes se venden y se compran en las cantidades deseadas al precio (p). Las empresas pueden variar instantáneamente su nivel de empleo, pagando un salario nominal (W). Por su parte, sin importar cuál sea la tasa de uso, el capital tiene un costo (r - pi)•p•K. La movilidad de capitales en relación con la tasa de beneficio (b) genera una valoración de activos representada en el índice q definido por Tobin, el cual expresa la relación existente entre el valor de la empresa en el mercado (V) y el valor de reposición del capital (p•K), q = V / p•K. De esta ecuación podemos despejar el valor de la empresa: V = q•p•K El beneficio de la actividad empresarial está dado por la diferencia entre el valor del producto y los costos de producción: = p•Q(A(G)•N, h(b)•K) – W•N – (r + d – pi)•p•K .donde p•Q es el valor de la producción, (W•N) es el costo laboral, y ((r + d – pi)•p•K) es el costo de uso del capital. De acuerdo con la ecuación (3) podemos expresar el beneficio en función de la q de Tobin y del valor de la empresa: b•V = b•q•p•K Igualando obtenemos: = b•V = b•q•p•K. = p•Q(A(G)•N, h(b)•K) – W•N – (r + d – pi)•p•K Derivando con respecto (K), para encontrar el beneficio marginal por unidad de capital, y dividiendo por los precios, podemos expresar el beneficio como la tasa de beneficio multiplicada por la q de Tobin: d

= b•q•p. = p•QK – (r + d – pi)•p.

b•q = QK – (r + d – pi) Otra forma de calcular la q de Tobin es con la relación existente entre la tasa de beneficio y el costo del dinero. Es decir, la relación que existe entre la tasa de 21

Modelo Macroeconómico Ampliado

rendimiento de una inversión y el costo de los recursos necesarios para realizar esa inversión. Para esto le damos dos tratamientos diferentes: La primera la obtenemos según la versión de Tobin: QK

r d r pi

QK d = r pi

r r

pi QK d 1 pi = r pi =q 1

La segunda se calcula haciendo el siguiente reemplazo: QK

r d r pi

u*q = r pi

Así obtenemos que q 1 =

u*q , y podemos calcular una nueva expresión para r pi

la q de Tobin: r

q= r

pi pi b

Las ecuaciones (4) y (5) expresan el índice de valoración. Queda claro que el valor de la empresa en el mercado (V) depende de la diferencia existente entre el beneficio obtenido y el costo del capital invertido. Si los accionistas son a su vez los dueños del capital, el monto que les corresponde como acumulación de capital por unidad de tiempo, el retorno total sobre activos, está dada por la suma de la tasa de beneficio sobre el valor accionario y la tasa de interés pagado sobre el costo de reposición del capital: Beneficio total = b•V + r•p•K = b•q•p•K. + (r - pi)•p•K = (b•q + r - pi)•p•K. La tasa de valoración del capital y la disponibilidad de crédito determinan la función de demanda de acumulación de capital: dK /dt = I = I(q-1, M/p), donde Iq, Im, > 0 Partiendo de b•q•p•K. = p•Q(A(G)•N, h(b)•K) – W•N – (r + d – pi)•p•K , derivando con respecto al trabajo y despejando, obtenemos una

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ecuación de la que deducimos que la productividad marginal del trabajo es igual al salario real: 0 = p•QN(A(G)•N, h(b)•K) – W W/p = QN(A(G)•N, h(b)•K), donde QNN < 0; QNK, NG, hb > 0 Esta ecuación representa el salario real en condiciones de pleno empleo. Siguiendo a Phillips, ajustamos la ecuación para relacionarla con el desempleo, para lo cual usamos la expresión (e*(Ns – N)), donde (Ns) es la fuerza de trabajo disponible, (N) es el nivel de empleo, y (e) es el parámetro que la relaciona la respuesta salarial de los empresarios frente al desempleo: W/p = QN(A(G)•N, h(b)•K) - e*(Ns – N), donde QNN < 0; QNK, AG, hb > 0

10. Las familias

Las familias tienen varias fuentes de ingresos, el salario (W), el beneficio de la actividad empresarial (b•q•p•K= b•V) y el pago por el uso del capital ((r pi)•p•K). Aquí se ha asumido que la tasa de beneficio de los bancos es nula, por lo cual las empresas productoras de bienes son la única fuente de beneficio para las familias. Una parte del ingreso se pierde por la reducción de la capacidad adquisitiva del dinero y de los bonos, causada por el proceso inflacionario (pi). Descontado lo anterior, con los impuestos y el costo de depreciación y obsolescencia, lo que resta es el ingreso disponible, el cual se puede, junto con la financiación (Fn), destinar a la inversión o al consumo. C = CA + C(Y – T- d•K – ((M + B)/p)•pi, Fn) donde (CA) es el consumo autónomo, (Y – T- d•K – ((M + B)/p)•pi) es el ingreso disponible y (Fn) es la financiación neta. Con los recursos ahorrados y los provenientes de la financiación, las familias pueden disponer de dinero (M) como medio de cambio, o invertir de forma exclusiva en bonos (B) y/o acciones (V). La capacidad del dinero como medio de cambio, el saldo real, está dada por cantidad en circulación dividida por el nivel de precios (M/p). Mantener bienes en forma de dinero no reporta beneficio alguno, pero si está 23

Modelo Macroeconómico Ampliado

sometido a la pérdida de poder adquisitivo causada por la inflación (pi), que es la tasa de variación de los precios por unidad de tiempo. Los bonos (B) son títulos de valor variable emitidos por el gobierno para captar el ahorro de las familias con el fin de pagar el déficit. Las acciones (V) son títulos que dan derecho a la propiedad de las empresas y al beneficio generado en su operación. Las empresas, las cuales no retienen beneficios, pueden optar por vender acciones o endeudarse con los bancos. En cualquier caso, las empresas pagan una tasa de interés real (r – pi) por el valor correspondiente a la inversión, y trasladan a los socios los beneficios (b•V) obtenidos en la operación de la empresa. El gobierno puede optar por el gasto (G) pagado con impuestos (T) o pagado con la emisión de bonos. Las familias a su vez, pueden optar por invertir su ahorro en bonos o en acciones. Las familias ofrecen su fuerza de trabajo a las empresas a cambio de un salario nominal (W), pero el nivel de empleo está determinado por la demanda de trabajo procedente de las empresas, la cual depende a su vez del nivel de la demanda agregada: N = N(Y), donde NY > 0

11. El agente externo

El agente externo compra y vende bienes en el mercado nacional, dejando un saldo comercial neto (Xn) a favor del marcado local. El nivel del flujo comercial y su saldo neto, dependen del producto (Q), de la tasa de cambio real (TCR) y del nivel del ingreso externo (Yx): Xn = Xn(Q, TCR, Yx), donde XnQ , XnTCR, XnYx > 0 Este agente también genera un flujo neto de recursos del ahorro externo (Sxn) para financiar actividades económicas en el mercado interno. Este flujo depende de las condiciones existentes en la actividad económica, cuyo estado se manifiesta a través del índice (q) de valorización de las acciones: Sxn = Sxn(q), donde Sxnq > 0 24

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La tasa real de cambio se determina endógenamente como respuesta al nivel de precios, tanto externo (px) como interno (p), y la tasa de cambio nominal. px* TCN p TCR =

De forma exógena se establece que el valor nominal de las exportaciones netas más el flujo neto de ahorro externo, deje un flujo neto de divisas (RI) igual a cero, por lo cual establecemos RI como constante: RI = p•Xn + Sxn = 0 Esta ecuación nos da un grado de libertad y nos permite usarlo para que el sistema determine endógenamente la tasa de cambio nominal (TCN).

12. El gobierno

El gobierno es uno de los agentes económicos y aporta el gasto público como factor de producción, cobra impuestos (T) y obtiene crédito de la banca central en forma de emisión (E) y de las familias en forma de bonos (B) Así el flujo de recursos del gobierno está dado por: T + (E + B)/p = G

13. Los bancos

El sistema bancario está integrado por el Banco Central y los bancos comerciales. El Banco Central emite dinero por concepto crédito para los bancos (CD), el señoreaje con destino al gobierno (E) y a la monetización de las reservas internacionales. Los bancos captan depósitos y obtienen crédito del Banco Central (CD), dan crédito a las empresas y a las familias. Con el dinero captado, los bancos abren cuentas de crédito para sus clientes. Como una parte de los depósitos en las cuentas de crédito no requieren ser retirados, los bancos pueden abrir nuevas cuentas, de tal manera que cada nueva cuenta incrementa la capacidad de crédito hasta alcanzar un monto igual a la base monetaria 25

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multiplicada por el factor (mr), el multiplicador bancario de la oferta monetaria, el cual depende de la tasa de interés. La base monetaria está conformada por el dinero emitido por el Banco Central (CD + E) y por las reservas internacionales convertidas en moneda nacional (RI): M = m(r)•(CD + E + RI), donde mr > 0 La oferta de dinero se iguala a su demanda. Esta demanda está en función de flujo de ingreso de los agentes en el período, de la tasa de interés y de la tasa de cambio nominal (TCN). A mayor ingreso mayor demanda, a mayor tasa de interés y de cambio menor demanda de dinero. M/p = md(Y, r, TCN), donde mdr

< 0, mdY, mdTCN > 0

La financiación neta es una función creciente de la oferta monetaria y decreciente del ahorro interno: Fn = Fn(M/p, s•Y), donde Fnm > 0 y Fns < 0 Hasta aquí hemos definido las ecuaciones y funciones que nos permiten calcular las variables que representan el pago de los diferentes sectores económicos, a excepción del pago por el dinero al sector bancario y a las familias que adquieren bonos, el cual es la tasa de interés real (r –pi). Ahora debemos buscar una que nos permita calcular esta tasa de interés. Para lograr esto podemos recurrir a una ecuación de distribución del ingreso real entre los factores. Ya se definió la tasa de beneficio (b•q•K), el pago al trabajo (W/p), el impuesto pagado al gobierno (T). A lo anterior de agregamos la depreciación – obsolescencia (d•K) y el interés pagado al sector bancario, luego despejamos (r – pi)•K: Y = W/p + T + b•q•K + (r – pi)•K + d•K (r – pi)•K = Y - W/p – T – b•q•K - d•K

Yanod Mรกrquez Aldana

Cuadro No. 1: Comparación de modelos Sargent A

Ampliado

Demanda Demanda Y=C+G+I+d K Y = C + G + I + Xn + d K C = C(Y–T–dK– ((M+B)/p)•pi+ q(K, N, r-pi, C = CA + C(Y –T– K – ((M+B) / p)•pi , Fn) )-1), r-pi) I = I(q -1, M/p) I = I(q(N,K,r-pi, )-1) Xn = Xn(Q, TCR, Yx)

Sargent B

Oferta Y = F(N,K) W/p = FN(N, K) .

Comportamiento de las variables

CYd, CF > 0

Consumo total

Iq, Im,> 0

Inversión

XnQ , XnTCR, XnYx > 0

Exportaciones netas

Ampliado Comportamiento de las Oferta variables Q = Q(A(G)•N, h(b)•K) AG ,QN, QK, hb > 0 QNN, < 0; AG ,QNK, hb W/p = QN(A(G)•N, h(b)•K) – e•(Ns – N) >0 QKK < 0; AG, QKN > 0 .b•q = QK(A(G)•N, h(b)•K) – (r + d – pi) hb > 0 V = q•p•K Y = W/p + b•K + ( r – pi)•K + T + d•K q = (r - pi) / (r – pi – b)

N = N(W/p)

N = N(Y)

Identidad o Función Demanda total

NY > 0

Identidad o Función Producto Productividad marginal del trabajo Tasa de beneficio Valor de las acciones Distribución del ingreso Índice de valorización de activos Demanda de trabajo

Yanod Márquez Aldana

Sargent C

Ampliado Monetaria

M / p = m(Y, r)

Monetaria M / p = md(Y, r, TCN)

Comportamiento de las variables

Identidad o Función

TCR = px • TCN / p

mdr < 0; mdy, mdTCN > 0 Demanda de dinero Oferta de dinero, mr > 0 donde CD + E + RI = Base monetaria. Fnm > 0, Fns < 0 Financiación neta Financiación con Sxnq > 0 ahorro externo Tasa de cambio real

RI = p•Xn + Sxn

RI = 0

M = m(r)•(CD + E + RI ) Fn = Fn(M/p, s•Y) Sxn = Sxn(q),

Flujo de reservas

Cuadro No. 2: Descripción de simbología utilizada No.

Símbolo

Descripción

Demanda agregada

Consumo

Inversión

Exportaciones netas

Producto

Nivel de empleo

Salario nominal

Parámetro que relaciona el salario real con el desempleo

Bonos

Valor de las empresas en el mercado

Tasa de interés

Moneda

Precios

Financiación neta

Sxn

Flujo neto de ahorro externo

TCR

Tasa de cambio real

TCN

Tasa de cambio nominal

Impuestos

Señoreaje

Gasto publico

Capital

Tasa de ahorro

Fuerza de trabajo disponible

Inflación

Crédito del Banco Central a los bancos

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Precio externo

Consumo autónomo

Ingreso externo

Tasa de depreciación y obsolescencia

Flujo de divisas

Cambio tecnológico

Parámetro que relaciona saldos reales y demanda monetaria

Multiplicador bancario, depende de la tasa de interés

Tasa de uso de la capacidad instalada

14. Solución del sistema de ecuaciones

Definidas las 17 ecuaciones estas nos permiten encontrar la solución de 17 variables endógenas en función de las variables exógenas y de las constantes. Variables endógenas: TCN,

Y, C, I, Xn, Q, N, W, b, V, q, r, M, p, Fn, Sxn, TCR,

Variables exógenas:

T, E, G, K, s, Ns, pi, CD, B, px

Constantes:

CA, Yx, d, RI

Parámetros especiales: A, md, m, h, e Las soluciones se obtuvieron siguiendo el modelo de Kramer, según el cual se parte del sistema matricial Aij • Xj = bi, donde Aij es la matriz de coeficientes, Xj el vector de derivadas de las variables endógenas, y bi es el vector independiente, conformado por las derivadas de la parte exógena. Luego se halla cada solución Xj = detAxj / detA. Derivado el sistema, se procedió sustituir los siguientes coeficientes en forma de polinomio con el fin de simplificar el cálculo: Z:2:13 = -C:1·pi·M/p^2 - C:1·pi·B/p^2 Z:6:11 = Q:N:N·A:G·G - e 31

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Z:8:8 = q + Q:K:K·h:b·K Z:9:7 = 1 - b·q Z:9:8 = -q·r + q·pi + q·b + b·q Z:9:9 = -b·r + b·pi + b·b Z:12:13 = -md:Y·Y + md:r·r + md:TCN·TCN Z:13:7 = -m:r·CD - m:r·E A pesar de la simplificación lograda por la sustitución anterior, las soluciones del modelo, en su mayor parte, resultan complejas y con fuerte dependencia de los parámetros, en condiciones tales que no está predeterminado el signo del efecto que sobre las variables endógenas causan los cambios en las variables exógenas. Para facilitar el análisis simbólico se organizaron los coeficientes de cada derivada exógena en forma de fraccionario, con el denominador y el numerador separados en parte positiva y parte negativa. Aquí se toma como ejemplo la salida más pequeña generadas por el modelo en estudio, la variación del nivel de empleo con respecto a la variación de los bonos, ðN / ðB, es igual N B

* B

= ((pi · Xn:TCR · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:9:9 + pi · Xn:TCR · TCN · md:TCN · Z:8:8 · Z:9:9) · px · K · C:1 + ((pi · Xn:TCR · Z:9:7 · Q:N:K · TCN · md:TCN + pi · Xn:TCR · Z:9:7 · Q:N:K · Z:12:13) · px · K · h:b · C:1 + (pi · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 + pi · Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN) · px · K · C:1 · q) · b + (C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · q · Z:9:9 + C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Q:N:K · h:b · Z:9:9 + C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Z:9:7 · Z:8:8 · b) · p) · p = (( - pi · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · TCN · md:TCN - pi · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · Z:12:13) · px · K · h:b · C:1 + ( - pi · Xn:TCR · Z:12:13 · Z:9:9 - pi · Xn:TCR · TCN 32

Yanod Márquez Aldana

· md:TCN · Z:9:9) · px · K · C:1 · q + ( - pi · Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN · Z:8:8 - pi · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 · Z:8:8) · px · K · C:1 · b + ( - C:1 · K · pi · Z:8:8 · Z:9:9 · Xn · md:TCN + (C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Z:9:7 · Q:N:K · h:b C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Z:9:7 · q) · b) · p) · p = Esta parte ocupa 2 páginas. = Esta parte ocupa 2 páginas11. A partir de este resultado no se puede concluir si ðN / ðB tiene signo negativo o positivo, puesto que el análisis resulta excesivamente complejo. En la cuadrícula de salida del conjunto de derivadas parciales, se sintetizan las relaciones resultantes del modelo entre las variables endógenas y exógenas, en la cual se puede observar que el resultado anterior se repite en todas las soluciones. La conclusión general es que al incluir la q de Tobin en un mercado de activos, el dinero endógeno, la tecnología, el gasto público en la función de producción, la relación entre salario y desempleo, la función de demanda de trabajo, la financiación, el ajuste vía precios y cantidades, en un ambiente de mercado abierto, las relaciones se vuelven complejas, a tal punto que no existen bloques recursivos, ni relaciones neutras entre ningún par de variables. Por estas razones el modelo no dicotomiza ni el dinero es neutro, aunque es notablemente estable, como queda demostrado en el Anexo C. Cuadro 2. Resumen de las derivadas parciales dT

dNs

dCD

dpi

dpx

dY dC dI dX n

/ La solución completa consta de nueve páginas y se incluye en el Anexo C,

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dQ d W Db dV Dr Dq dN dP d M dF n dS xn dT CR dT CN

Tiempo de Proceso Derivación general (modelo Ax = b) Sistema: 17 variables endógenas, 10 variables exógenas, 4 constantes, 4 parámetros especiales Duración: 19 segundos

Solución del sistema simbólico:

00 : 56 : 26

Conformación de derivadas parciales

04 : 35 : 00 aprox

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Capítulo 3.

El programa de análisis económico – matemático

SLYG12 Económica 1.0 es un algoritmo diseñado en Visual Studio .NET, que usa una interfase con Matlab. Su propósito es permitir la creación de sistemas ecuacionales en escenarios flexibles, permitiendo la modificación de las condiciones de las variables entre endógena y exógena, o convertirlas en constantes. Permite la definición de parámetros especiales, y establecer restricciones adicionales como hacer equivalencias entre variables, grupos de variables, y parámetros, o asignarles valor numérico. Construido el escenario deseado, permite hallar soluciones al sistema de ecuaciones y realizar pruebas de estabilidad, tanto de forma analítica como con valores numéricos. Dentro de los escenarios posibles están las pruebas de neutralidad y dicotomía.

SLYG Económica 1.0 dispone de un sistema de ayudas que permite familiarizarse fácilmente con las diferentes funciones del algoritmo y aprovechar al máximo todo su potencial.

SLYG Económica 1.0 permite realizar las siguientes tareas:

Definir por separado variables endógenas y exógenas, constantes y parámetros especiales usados en funciones.

/ Soluciones Lógicas Yayan Gaia (SLYG) es el logo usado para identificar los programas diseñados por el grupo familiar del autor. 12

Modelo Macroeconómico Ampliado

3. 4. 5.

Establecer el sistema de ecuaciones con identidades y funciones. Al establecer las funciones se describen los comportamientos, positivos o negativos, de sus derivadas. Permite restringir el sistema ecuacional mediante dos métodos: Convertir las variables endógenas en exógenas o constantes, y viceversa. Activar / desactivar una restricción del sistema, que consiste en dar valores numéricos a las variables y a los parámetros, o establecer como iguales unos a otros, o a un grupo de ellos.

Las restricciones permiten a su vez preparar el sistema ecuacional para las pruebas de dicotomía y neutralidad. 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

Derivar el sistema de ecuaciones Reemplazar coeficientes complejos por una constante en la matriz de coeficientes Solucionar el sistema derivado mediante el método matricial de Kramer. Definir los mercados y las variables para las pruebas de estabilidad. Realizar la prueba de estabilidad, tanto para el modelo básico como para el sometido a las restricciones necesarias para las pruebas de dicotomía y neutralidad. Almacenar el historial de tiempos de cálculo. Imprimir los principales resultados

La secuencia de solución es la siguiente: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Solución de las funciones del sistema de ecuaciones. Derivación del sistema Presentación del sistema en la forma Aij•Xj = bi, donde Aij es la matriz de coeficientes, Xj el vector de derivadas de las variables endógenas, y bi es el vector independiente, conformado por las derivadas de las variables exógenas. Cálculo del determinante de Aij, detA. Simplificación de detA. Sustitución del vector de coeficientes correspondiente a la derivada de la variable endógena dX i por el término independiente bi.

Yanod Márquez Aldana

7. 8. 9.

Cálculo del determinante de la matriz sustituida AXi, detAXi. Simplificación de detAXi. Cálculo de la solución dX i = detAXi / detA

10. 11.

Simplificación de dX i Separar derivada parcial de la variable endógena dX i respecto a una exógena dbj .

12. 13. 14. 15. 16.

Separación de la solución en numerador y denominador. Separación del numerador en parte positiva y negativa. Simplificación Separación del denominador en parte positiva y negativa Simplificación.

17.

Presentación de la solución en la forma

• dbj

15. Instalación

Características del computador para correr la aplicación: Procesador Athlon 1,1 GHz. Tarjeta principal MSI, BUS de 133 MHz, sonido y video. Memoria RAM Kingston de 512 Mb, PC 133. Sistema operativo Windows PRO XP. Matlab 6.5 No es recomendable un equipo de menor capacidad de proceso ni de memoria de trabajo que el referido, aunque se han hecho pruebas con resultados aceptables en un equipo con procesador Pentium III de 450 MHz, con 128 Mb de capacidad en memoria RAM, pero limitado a un modelo en el que los parámetros han sido sustituidos numéricamente. Para instalar el programa se introduce el CD en la unidad de CD Rom, este desplegará automáticamente la ventana de instalación, si esta no aparece, debe 37

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ir al explorador de archivos y ubicarse en la unidad de CD Rom, seleccionar el archivo Autorun.exe y dar la orden de ejecutar. SLYG Económica 1.0 despliega una pantalla que permite decidir si se desea instalar el programa o ver la documentación anexa, si el programa ya fue instalado, la opción de instalación estará deshabilitada. Para el correcto desempeño del programa, es recomendable instalar primero Matlab 6.5 y posteriormente SLYG Economica 1.0. Es recomendable que antes de trabajar con SLYG Económica 1.0 se inicie Matlab y se vuelva a cerrar, con el fin de que este actualice las librerías del sistema operativo.

16. Definición del Modelo

La primera pantalla permite optar por abrir un modelo previamente creado, o crear uno nuevo. Cuando se opta por crear un nuevo sistema de ecuaciones, aparece una pantalla con varias pestañas que dan acceso a cuadrículas donde se pueden definir las variables, constantes y parámetros especiales, así como las ecuaciones y las restricciones.

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Primera pestaña: Acceso para definir los datos generales, nombre y características. Segunda Pestaña: Acceso para definir las variables endógenas. Tercera pestaña: Acceso para definir las variables exógenas Cuarta pestaña:

Acceso para definir parámetros especiales

Quinta pestaña:

Acceso para definir las constantes

Sexta pestaña: endógena.

Acceso para definir las ecuaciones, una por cada variable

Séptima pestaña: Acceso para definir las restricciones.

En la barra de herramientas aparece los íconos que permiten acceder a diferentes acciones, como crear documento nuevo, abrir, guardar, imprimir, 39

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insertar o eliminar filas y restringir el sistema de ecuaciones. Adicionalmente permite endogenizar, exogenizar variables o convertirlas en constantes, y viceversa.

Las ventanas destinadas a las variables, constantes y parámetros especiales, constan de dos columnas, una para la variable a definir y otra para asignarle el nombre o descripción. Cuando de accede a la ventana destinada definir las ecuaciones, en la primera columna aparecen las variables endógenas, a continuación aparece la columna destinada a definir las ecuaciones. Al frente de cada variable endógena debe escribirse la identidad o función matemática con la que se propone hallar la solución de dicha variable. SLYG Económica 1.0 dispone de su propio lenguaje matemático denominado “economic-un”, el cual se usa para definir las funciones y las restricciones. Una identidad matemática se escribe igual que en cualquier otro programa, aunque el signo “por” que reconoce lo obtiene al transformar automáticamente el asterisco (*) en el punto de posición intermedia (• ): Y = C + G + I + Xn + d•K El lenguaje se hace específico cuando se escribe una función matemática. Q = Q(A•N,K;Q:N > 0, Q.K > 0) La primera parte se escribe como una función común: Q = Q(A•N,K A continuación se escribe punto y coma y se procede a describir el comportamiento de las derivadas, en el mismo orden de las variables: ;Q:N>0,Q:K>0) 40

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El parámetro se construye tomando la variable endógena descrita por la función, le siguen dos puntos y a continuación se escribe la variable o constante de que depende. En el ejemplo anterior el parámetro se construye así: la variable endógena definida Q, dos puntos , y la variable de la cual depende, N, o en su defecto un número o letra diferente: Q:N, Q:1 ó Q:z. Esto significa “la derivada de Q con respecto a N” o “la derivada de Q con respecto a 1”, etc. Si se escribe Q:N:N, para el programa significa “la segunda derivada de Q con respecto al nivel de empleo”. Cuando se requiera definir más de un parámetro, estos deben separarse mediante una coma “,”. Los parámetros especiales son aquellos que se requieren para relacionar las variables endógenas y las funciones, sin hacer uso la misma variable para describir la relación funcional. En el ejemplo anterior el parámetro de la función se construyó con la variable endógena y el paréntesis: Q = Q( … ). En este caso no es necesario definir adicionalmente el parámetro. Pero existen ocasiones en las que se prefiere usar algo diferente, como es el caso de W/p = m(Y,r :.. ). En este caso m es un parámetro especial y debe definirse en la ventana de los parámetros especiales. En la ventana destinada a las restricciones también aparecen dos columnas. La primera permite, mediante un desplegable, escoger la variable, la derivada de la variable o el parámetro al cual se desee asignar algún valor, o en su defecto escribir una manualmente. Para iniciar se requiere hacer uso de los botones que corresponden a las funciones insertar y eliminar filas, respectivamente. Para las restricciones el programa reconoce dos formas de asignar valores, una destinada a afectar el sistema de ecuaciones antes de ser derivado y otro para afectarlo después de ser derivado. Para el primer caso el valor se escribe sin paréntesis. En el segundo caso el valor, numérico o simbólico, se escribe entre paréntesis cuadrados: [B]. La restricción se activa mediante el botón que existe en la barra de herramientas. Para volver al modelo básico basta con desactivarlo oprimiendo el botón

. 41

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El programa permite la posibilidad de guarda el modelo en dos formatos de archivo diferentes. El formato de archivo estándar (“ *.mes ”) el cual almacena la información básica del modelo, y obliga a realizar todos los cálculos, cada vez que se revisa el modelo. El formato de archivo expandido (“ *.mex ”), guarda la información del modelo así como todos los cálculos realizados por Económica y Matlab, para que los procesos más complejos no deban ser realizados cada vez que se carga el modelo, mientras este último no halla sido modificado, disminuyendo el tiempo para la presentación final de resultados una vez calculado el modelo, este formato de archivo solo esta disponible en los modelos en los cuales se ha realizado el proceso de solución del modelo.

17. Depuración

Luego de definido el modelo, activando la restricción o no, se procede a dar la orden de depurar en la barra de herramientas, mediante el botón . La depuración consiste en verificar que se haya usado el léxico y la semántica correcta. Si existen errores lexicográficos o semánticos en la definición del modelo, aparecerán dos ventanas, una que describe el error y otra que permite la corrección del error. En ocasiones el error se genera en la falta de definición de una variable o constante; en este caso la corrección se tiene que realizar en la ventana correspondiente. Los errores pueden ser de dos tipos, los errores propiamente dichos, identificados con un ícono rojo y una X, los cuales deben ser obligatoriamente corregidos para que el sistema pueda ser derivado y las advertencias (warnings), identificados con un ícono amarillo y un signo de admiración, los cuales pueden ser omitidos.

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18. Derivación

Definido el modelo y superada la prueba de depuración, se procede a dar la orden de derivación mediante el botón de la barra de herramientas. Cuando el programa culmine el proceso de derivación, aparecerá una ventana con el sistema derivado en una presentación tipo A•X = b, la cual se puede imprimir, haciendo uso de los botones , los cuales permiten imprimir y generar la vista preliminar respectivamente. Luego de la derivación, se puede optar por resolver el sistema o realizar la prueba de estabilidad.

19. Solución del Sistema

Una vez se ha derivado el sistema de ecuaciones, en el formulario que muestra la matriz de derivadas, es posible realizar algunas sustituciones para simplificar los resultados. Para realizar las sustituciones de coeficientes muy extensos, basta con hacer doble Click sobre la celda del coeficiente y este será automáticamente remplazado por una constante Z que señalará la fila y la columna del coeficiente remplazado, Ej: Z1:2 identifica el coeficiente remplazado de la celda ubicada en la fila 1 y la columna 2. Oprimiendo el botón se procede a resolver el sistema. Lo primero que se despliega es una ventana con una matriz de dos entradas; en la vertical aparecen las variables endógenas y en la horizontal las exógenas. Señalando un cuadro y presionando la tecla de función F5 se ordena al programa que calcule la solución particular de una derivada endógena con la derivada exógena correspondiente. Si se presiona F6 se obtiene la solución de toda la fila, con F7 se soluciona la columna y con F8 se solucionan todas las derivadas parciales. En cada casilla resuelta aparece un logo que representa el tipo de solución hallado. Este logo

indica que la solución es del tipo Y

IG , donde tanto el numerador como el denominador se componen de una

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parte positiva y otra negativa. En caso de que la derivada parcial sea cero, este aparecerá en la casilla

Una vez calculada la solución del sistema, con todas las presentaciones parciales, la solución se puede guardar en un archivo “.mex”. Para guardarlo se procede de la siguiente manera: En la barra de herramientas se abre el desplegable “Archivo” Se selecciona el tipo de archivo “.mex” Se define el nombre del archivo Se oprime la opción guardar. Para la próxima ocasión que se abra este archivo podrá recuperarse la solución, sin que se requiera calcularla de nuevo.

20. Prueba de estabilidad

Para proceder a realizar la prueba de estabilidad, una vez se ha derivado el sistema de ecuaciones, desde el formulario que muestra la matriz de derivadas, se oprime el botón

, luego aparece una ventana en la cual se pueden

insertar filas o eliminarlas mediante los botones . Cada fila despliega tres columnas, la primera permite seleccionar en un desplegable la variable a probar, la segunda (demanda) y la tercera (oferta), permiten definir el mercado al que debe responder la variable seleccionada. Luego de definir las variables y mercados, se oprime nuevamente el botón . Se despliega una nueva ventana que muestra el sistema de ecuaciones diferenciales, en esta ventana se pueden realizar sustituciones de coeficientes complejos por constantes H de igual modo que en la matriz de coeficientes, con el fin de simplificar las soluciones. Una vez terminado este proceso el programa procede a calcular la matriz de coeficientes A y los valores propios del sistema.

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21. Ejemplo: Solución y pruebas del modelo de Sargent

El programa es muy eficiente cuando se trabaja con modelos no muy complejos, como es el caso del clásico estudiado por Sargent. A continuación se presenta de forma secuencial la preparación del modelo y el cálculo tanto de las soluciones como de las pruebas de estática comparativa.

3.1.1.

Preparación del modelo

Luego de abrir el programa, en el extremo izquierdo de la barra de herramientas se selecciona la opción “Nuevo modelo” . Seleccione la pestaña “General” en la cual se puede digitar nombre y algunas notas sobre la características del modelo.

Luego se procede a desplegar la pestaña “Variables endógenas” y se digitan los símbolos y la descripción de cada una de las variables w, N, Y, C, I, r, p cuyas derivadas serán definidas por el modelo.13

/ Obervemos que el salario real W/p, lo digitamos como w, puesto que para el programa la primera notación (W/p) corresponde a la división entre dos variables. En este caso estamos tratando de representar una sola. 13

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Se procede de igual forma para definir las variables exónenas K, M, B, G, T, pi, q, y la constante d (depreciación)14. Después se definen los parámetros especiales, que son aquellos símbolos que

representan la relación existente entre una y otra variable en una función, como es el caso de “F” en la función de producción, o “m” en la función de demanda monetaria. Luego se procede a establecer las ecuaciones, las cuales por lo general se escriben en la columna que queda frente a la variable endógena que es definida

/ El programa no maneja letras griegas.

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por esta ecuación. La ecuación se escribe completa, en forma de igualdad o de función, incluyendo los parámetros que relacionan las variables entre sí, con su correspondiente comportamiento ( > 0 ó < 0). Se procede luego a establecer las restricciones, igualando a cero la inflación, la derivada de la q de Tobin, y la sumatoria del dinero y los bonos. En este caso los paréntesis cuadrados indican que la restricción se aplicará después que se realice la derivación del sistema de ecuaciones. Por el contrario, si no se escriben corchetes, el programa realizará los cambios antes de derivar. Finalmente se activan las restricciones, para lo cual se oprime el botón la barra de herramientas.

Depuración Es posible cometer errores en el registro del modelo. Con la opción de depuración podemos identificar esos errores y corregirlos. Luego de oprimir el botón , aparecerá la ventana “Visualizador de errores”, en la cual se describen los errores encontrados. Cuando se oprime el renglón que contiene cada error, aparecerá en la parte superior una parte de la ventana en la que se muestra la ecuación que contiene el error. Si el error se puede subsanar en la misma ecuación, se puede proceder en esa ventana. En este caso el problema hay que corregirlo definiendo el parámetro en la ventana de parámetros

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especiales. Luego de registrar el parámetro y oprimir de nuevo el botón de depuración, si no hay más errores, desaparecerá el “Visualizador de errores”.

3.1.2.

Derivación y Solución del Sistema

Definido el modelo y superada la prueba de depuración, se procede a derivar el sistema mediante el botón de la barra de herramientas. El sistema derivado aparecerá en la presentación A•X = b. Se da la orden de resolver el sistema oprimiendo el botón . Desplegada la matriz de doble entrada, en la vertical aparecen las variables endógenas y en la horizontal las exógenas. Se

oprime Control + F3 para calcular el conjunto de derivadas parciales. La ventana de relaciones muestra una presentación sintética de las soluciones de cada derivada parcial, en la forma , la cual describe los componentes positivos y negativos tanto del denominador como del numerador. En los casos en que la relación es nula aparece

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En el cuadro se puede observar de forma general: 1.

De acuerdo con las restricciones establecidas, las derivadas de las variables exógenas M, B, pi q, no afectan a las variables endógenas, excepción hecha del efecto de la variación de la oferta monetaria que afecta los precios. La recursividad en bloques, en particular para las derivadas endógenas dw, dN y dY, característica del modelo clásico presentado por Sargent. Se puede deducir que las derivadas parciales dw, dN y dY son positivas, puesto que sólo tienen parte positiva en el numerador y el denominador. Además sólo dependen de de la variación del capital. El efecto de la variación de la oferta monetaria sobre los precios también es positiva. La variación del consumo, la inversión y los precios dependen de las variaciones del capital, el gasto público y los impuestos, sin que pero se pueda determinar el signo inmediatamente. Se requiere revisar los resultados en detalle.

Al desplegar las soluciones en detalle obtenemos los resultados para cada componente, con los cuales procedemos a realizar una adaptación para presentarlos en la forma que Sargent lo hizo. En los resultados calculados por

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Económica 1.0, debemos tener en cuanta que los signos de las variables están bien definidos: Alfa = F:N:K

- Beta = 0

Fi = 1+F:N:N·N:w

- Teta = 0

(W/p)

FNK * 1 N W * FNN

N W * FNK * 1 N W * FNN

N W * FN * FNK 1 N W * FNN

3.1.3.

K N >0 K

N W * FNN * FK N W * FN * FNK 1 N W * FNN

1 N W * FNN * FK 1 N W * FNN

N W * FN * FNK + FK 1 N W * FNN

w >0 K

Prueba de estabilidad

Se inicia la prueba oprimiendo el botón

, se insertan filas o eliminan

mediante los botones . S establecen las variables a probar, y la demanda y la oferta, del mercado al que debe responder la variable seleccionada. En la ecuación del ingreso sustituimos las variables por su equivalente en ecuaciones y luego se oprime nuevamente el botón

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El programa muestra el sistema de ecuaciones diferenciales. Haciendo doble click sobre la celda superior derecha de la matriz de coeficientes, se reemplaza el polinomio que acompaĂąa el B1:

Al aceptar aparece la matriz de coeficientes a la cual se le ha restado la matriz escalar de lambdas, el polinomio sustituido, el determinante y los valores propios del sistema.

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Realizando algunos cambios a los resultados, podemos obtener la misma presentación: H12 =

+ ·ß2·m:r - ß1·ß2·H12·M/p2

Para que los valores propios tengan parte real negativa se requiere que el coeficiente de y el término independiente sean positivos. El término independiente aparece como negativo, pero falta definir el signo de H12, que es el único que no se conoce. Procedemos entonces a verificar el signo de H12: H12 = – C 2 - Iq*qr - C1*qr *Iq* q + C1 * q r * Iq H12 = – C 2 - Iq*qr + C1*qr*Iq*( - q + 1) H12 = – C 2 - Iq*qr - C1*qr*Iq*(q - 1) H12 = – (C 2 + Iq*qr + C1*qr*Iq*(q - 1) ) < 0 Con este resultado sabemos que H12 tiene signo negativo y que el signo del término independiente se vuelve positivo, como se requiere. El Programa Económica 1.0 nos reporta la solución de los valores propios: 1=

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1 - 2 * ß2 * mr * p -

ß2 * (ß2 * m r * p 2 - 4 * q r * I q * C1 * q * M * ß1 4 * q r * I q * C1 * M * ß1 - 4 * C 2 * M * ß1 - 4 * q r * I q * M * ß1) p

2= 1 - 2 * ß2 * mr * p

ß2 * (ß2 * m r * p 2 - 4 * q r * I q * C1 * q * M * ß1 4 * q r * I q * C1 * M * ß1 - 4 * C 2 * M * ß1 - 4 * q r * I q * M * ß1) p

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Conclusiones

El modelo macroeconómico ampliado estudia el comportamiento agregado de cinco agentes económicos que interactúan en los mercados de bienes, moneda nacional y divisas. La familia y la empresa representativa son aquellas que tienen un comportamiento promedio. Por simplicidad se asume que los bienes se ofrecen y se demandan conjuntamente en un paquete promedio para que el análisis se pueda realizar dentro del modelo de “un solo bien”. En este modelo no existe una función de oferta de trabajo y por lo tanto el nivel salarial no afecta la disponibilidad de mano de obra; no existiendo un mercado de trabajo no puede determinar los niveles del salario y de la demanda de trabajo. El salario es flexible y se comporta de forma inversa con la tasa de desempleo, siendo su tope máximo un salario igual al producto marginal del trabajo. El modelo no supone el uso completo de toda la capacidad del capital instalado, y por el contrario permite que, dependiendo de la tasa de beneficio, la tasa de uso pueda ser reducida. Esto concuerda con la existencia de niveles de empleo y salarios flexibles. A su vez el ahorro no desempeña un papel importante en el nivel de inversión, por el contrario, la reducción del ahorro puede aumentar la demanda, y la inversión necesaria para responder a ese incremento puede ser realizado con recursos provenientes de la financiación. El modelo no es neutral y tampoco dicotomiza, lo que indica que el dinero ejerce efectos sobre las variables reales. Esto lo confirma la prueba de estabilidad, la cual demostró que el retorno al equilibrio luego de una perturbación, depende de la base y parámetros monetarios. El cálculo de la q de Tobin en función de la tasa de beneficio de las empresas, indica que una tasa de beneficio muy alta induce procesos especulativos. Si bien es cierto que se incluyó una ecuación de distribución del ingreso, esta no va más allá de describir las fuentes del ingreso familiar, por eso el modelo adolece del análisis del efecto que puede causar un ingreso diferencial. Sin embargo la existencia de una demanda autónoma, que no depende del nivel de

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ingreso, deja entrever la necesidad de generar sistemas que aseguren un nivel mínimo de consumo. El modelo macroeconómico ampliado en estudio es un sistema de ecuaciones que no tiene bloques recursivos, debido a que la demanda afecta el producto a través del gasto público y del nivel de empleo. A pesar de que no se supone pleno uso de la capacidad instalada y pleno empleo, el modelo está en equilibrio pues se hallan soluciones para todas las variables endógenas, las cuales tienen una fuerte dependencia de los parámetros. Por la complejidad de las soluciones no se pudo deducir el signo de las derivadas parciales, sin embargo es posible obtener información general valiosa para mejorar la comprensión del comportamiento. Las soluciones muestran que el modelo analítico complejo como el que se sometió a estudio, todas las variables exógenas afectan a todas las endógenas. Para enfrentar la complejidad del cálculo se desarrolló un algoritmo para facilitar la labor de diseño de modelos y de cálculo de las soluciones y la aplicación de las pruebas reconocidas en los estudios de estática comparativa. El algoritmo se diseñó en Visual Studio .NET, con aplicaciones de rutinas en Matlab. Este algoritmo permitió encontrar soluciones y realizar las pruebas típicas del análisis estático, con el manejo de escenarios cambiantes, y reduciendo además de forma notable el tiempo de proceso.

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Anexo A.

A.1.

Pruebas de estabilidad, neutralidad y dicotomía

Prueba de estabilidad

En este tipo de prueba, la derivada de la variable a estudiar respecto al tiempo se relaciona con la diferencia de las derivadas de la oferta y demanda por medio de un parámetro de valor positivo:

d(variable) / dt =

n(dD –

dO), donde

En este modelo se realizaron dos pruebas de estabilidad. En la primera de ellas se tuvo en cuenta el ajuste vía precios con los mercados de bienes y dinero. La segunda prueba de estabilidad se realizó para los tres precios para los cuales existen condiciones de mercado bienes, dinero y divisas: p, r y TCR. Finalmente se realizó una prueba de estabilidad incluyendo ajustes vía precios y cantidades en los mercados de bienes y dinero.

Estabilidad con precios y tasa de interés El resultado para los precios p y r fue el siguiente:

= -ß2*( p*mdr + mr*(CD + E)) = - ß2*( p*mdr + M) : < 0

= ß1*(C:1*pi*(M +B) - I:m*M)/p^2 definido

Signo

Para el lambda uno, la estabilidad depende del parámetro que relaciona la tasa de interés con el mercado monetario (ß2), del parámetro que relaciona la 56

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demanda monetaria con la tasa de interés (mdr), del nivel de precios (p) y de la oferta de dinero (mr*(CD + E) = M). Dado que el tiene signo negativo, el modelo es estable puesto que indica que ante un impacto desestabilizador, el modelo tiende a regresar al nivel de equilibrio. El lambda 2 tiene signo no definido, sin embargo para que exista estabilidad sólo se requiere que C:1*pi*(M + B) < I:m*M, de esa manera el signo se define como negativo. En este caso la estabilidad depende de la propensión a consumir, la inflación, el nivel monetario, los bonos, los precios y la elasticidad de la inversión respecto a la disponibilidad de crédito.

Estabilidad con precios, Interés y tasa de cambio real Realizada la prueba para los tres precios para los cuales existen condiciones de mercado p, r y TCR, se obtuvo que tiene condiciones de estabilidad en el 1, y esta depende de la elasticidad de la tasa de interés respecto al mercado monetario, los precios, la oferta monetaria y la elasticidad de la demanda de dinero con respecto a la tasa deinterés.

1 = -B2*(p*md:r + M) Estable

1 1 = 2 *B1*H1 + 2 * B12 * H12 - 4 * B3* Xn * B1* Xn :TCR

1 1 3 = 2 *B1*H1 - 2 * B12 * H12 - 4 * B3 * Xn * B1* Xn :TCR

Donde H1 = (C1*pi*(M+B) - Im*M)/p2 57

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Existen condiciones de estabilidad en el

, si se cumplen tres condiciones:

Que B12 * H12 > 4 * B3 * Xn * B1* Xn :TCR para que la raíz pertenezca a los reales, y Que

1 1 *B1*H1 sea positivo y menor que * B12 * H12 - 4 * B3 * Xn * B1* Xn :TCR 2 2

para que el lambda sea negativo. Que H1 sea negativo. Esta condición se cumple si C1*pi*(M+B) < Im*M.

Aquí la estabilidad, en H1, depende de la propensión a consumir, la inflación, el nivel monetario, los bonos, los precios y la elasticidad de la inversión respecto a la disponibilidad de crédito. Además depende del nivel de las exportaciones y de la elasticidad de las exportaciones respecto a los cambios en la tasa de cambio real.

Estabilidad con precios, producto y oferta monetaria

En la prueba de ajustes vía precios y cantidades para los tres mercados, con las variables p, Q, r y M.

1 2

*B1*H1

B12 * H12 - 2 * B1* H1* B3 * H3 B32 * H32

1 2

*B1*H1 + 1/2*B3*H3 -

1 2

1/2*B3*H3

1 2

4 * B4 * H2 * B1* H4

B12 * H12 - 2 * B1* H1* B3 * H3 B32 * H32

4 * B4 * H2 * B1* H4

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H1 = (C1*pi*(M+B) - Im*M)/p2 >< no definido H2 = md:Y*Y – md:r*r – md:TCN*TCN = md(Y – r – TCN) = M/p

H3 = -p*md:r - m:r*(CD + E + RI) = - (p*md:r + M)

H4 = -(C1*pi + I:m)/p <0

En este caso los lambdas corresponden a las dos soluciones de una ecuación cuadrática. Los signos de estos valores propios dependen del que tomen H1, H2, H3 y H4. Conociendo el signo de H1, H2, H3 y H4, podemos reescribir los lambdas y reordenar sus componentes:

1 B32 * H32

= -

1 2

B12 * H12

1 2

*B3*H3

1 2

*B3*H3

1 2

= -

2 * B1 * H1 * B3 * H3 4 * B4 * H2 * B1 * H4

B32 * H32

*B1*H1

1 2 -

*B1*H1

1 2

2 * B1 * H1 * B3 * H3 4 * B4 * H2 * B1 * H4

Si H1 > 0, para que 1 sea un real negativo se requiere que:

B32 * H32

B12 * H12

2 * B1* H1* B3 * H3

> 4 * B4 * H2 * B1* H4 , y 59

Modelo Macroeconómico Ampliado 1 2

1 2

*B3*H3 >

*B1*H1 +

B32 * H32

B12 * H12

2 * B1* H1* B3 * H3 4 * B4 * H2 * B1* H4

Si H1 < 0, para que 2 sea un real negativo se requiere solo que: B32 * H32

> B1

A.2.

* H12

2 * B1* H1* B3 * H3 *B4 * H2 * B1* H4

Prueba de neutralidad

La prueba de neutralidad consiste en multiplicar por un escalar todas las variables monetarias, con el fin verificar si las variables reales tienen el mismo valor de equilibrio inicial. Si el resultado es el mismo, el modelo es neutral. Para la prueba de neutralidad se multiplicaron las variables monetarias por un escalar (3, en este caso) CD, E, B, M, Sxn, RI, V, W, TCN y TCR.

Solucionado el sistema, comparamos la variación de la tasa de beneficio con respecto a la variación del flujo de inversión pública, forma:

N B

N , presentada en la B

* B . Tomamos las partes correspondientes al numerador,

del primer resultado (sin multiplicar):

- Nw · QNK · hb · K ·b · C1 · pi · ( - mdTCN · p^2 ·b · q · Xn - mdTCN · p^2 ·b · Xn mdTCN · p^2 · Xn · pi - XnTCR · px · pi · M - XnTCR · px · TCN · mdTCN · p - XnTCR · r · px · TCN · mdTCN · p - XnTCR ·b · px · M - XnTCR ·b · q · px · M)

Yanod Márquez Aldana

- Nw · QNK · hb · K ·b · C1 · pi · ( + mdTCN · p^2 · Xn + mdTCN · p^2 · Xn · r + XnTCR · px · M + XnTCR · px · pi · TCN · mdTCN · p + XnTCR · r · px · M + XnTCR ·b · px · TCN · mdTCN · p + XnTCR ·b · q · px · TCN · mdTCN · p)

Segundo resultado (multiplicado por 3):

- 9 · Nw ·b · QNK · hb · K · C1 · pi · ( - 3 · XnTCR · px · pi · M - 3 · XnTCR · px · TCN · mdTCN · p - 3 · XnTCR · r · px · TCN · mdTCN · p - 3 · XnTCR ·b · px · M - 3 · XnTCR ·b · q · px · M - mdTCN · p^2 ·b · q · Xn - mdTCN · p^2 ·b · Xn - mdTCN · p^2 · Xn · pi)

- 9 · Nw ·b · QNK · hb · K · C1 · pi · ( 3 · XnTCR · px · M + 3 · XnTCR · px · pi · TCN · mdTCN · p + 3 · XnTCR · r · px · M + 3 · XnTCR ·b · px · TCN · mdTCN · p + 3 · XnTCR ·b · q · px · TCN · mdTCN · p + mdTCN · p^2 · Xn + mdTCN · p^2 · Xn · r

Se observa que el resultado varió en los dos componentes del numerador por lo cual se puede concluir que el modelo no es neutral.

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A.3.

Prueba de dicotomía

La prueba de dicotomía se realizó cambiando las variables monetarias por sus equivalentes reales, M = md(Y,r,TCN)•p = m(r;m:r>0)·(CD+E+RI), e igualando a cero el señoraje (E = 0), sin eliminar del sistema las ecuaciones que determinan el mercado de dinero y de divisas. Se tomó la misma derivada parcial de los casos anteriores:

N B

* B

donde

Resultado del modelo sin sustituir:

= C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · Z:8:8 · Z:9:9 + (C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · Z:9:7 · q + C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · Q:N:K · h:b · Z:9:7) · b

= C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · q · Z:9:9 - C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · Z:9:7 · b · Z:8:8 C:1 · K · Xn:TCR · px · pi · Q:N:K · h:b · Z:9:9

Yanod Márquez Aldana

Resultado del modelo sustituido:

= pi · px · C1 ·b · K · hb · QNK · XnTCR · (1 + r)

= - pi · px · C1 ·b · K · hb · QNK · XnTCR · (pi + b + b · q) · Nw

Los resultados de los dos componentes del numerador son diferentes a los hallados en la solución no sustituida. Es notoriamente más sencillo el resultado del modelo en el que se sustituyó la oferta monetaria por su representación real. Esto indica que el modelo no dicotomiza, por lo cual en este modelo el dinero no es “un velo” y su existencia y forma de manejo inducen efectos en las variables reales.

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Anexo B.

Algoritmo gr谩fico

Yanod Márquez Aldana

B.1.

Flujo General

Inicio

Nuevo modelo

Abrir modelo

Definición del modelo

Depuración No

Correcto

Compilar

Derivar

Sistema matricial A·X=b

Opciones

Solución Kramer

Tabla de selección de soluciones

Prueba de Estabilidad

Matriz A Raíces características

Modelo Macroeconómico Ampliado

B.2.

Definición del Modelo

Inicio

Definición de variables endógena s

Definición de variables Exógenas

Definición de Constantes

Definición de Parámetros

Definición de Ecuaciones

Definición de Restriccione s

Si Restringir

Compilar Modelo restringido

Depurar modelo no restringido

Depurar modelo restringido

Correcto ?

Si Corrección errores

Derivar modelo no restringido

Correcto ?

Corrección errores

Derivar modelo restringido

Yanod Márquez Aldana

B.3.

Depuración

Inicio

Analizador lexicográfico

¿Correcto?

Analizador semántico

¿Correcto?

Mostrar – corregir errores

Fin

Modelo Macroecon贸mico Ampliado

B.4.

Derivaci贸n

Inicio

Interpretar funciones

Expandir ecuaciones

Derivar

Simplificar

Sistema matricial A路X=b

Yanod Márquez Aldana

B.5.

Solución del Sistema

Inicio

Solución Kramer

Tabla de soluciones

Salir

Fin

Opciones

Calcular

Factorizar exógena

derivada

Separar parámetros

Parámetros de relación

Modelo Macroecon贸mico Ampliado

B.6.

Prueba de estabilidad

Inicio

Definir mercados y variables

Calcular matriz de derivadas parciales

Matriz de derivadas

Calcular de valores propios del sistema

Mostrar valores propios del sistema

Fin

Yanod Márquez Aldana

B.7.

Librerías y relaciones

Matlab application type library

Main

Económica MlApp

Depurador

Operador Simbólico

Depurador.dl l

Simbolic.dll Librería de clases

- Administrador de ayudas Acceso registro

- Ventana progreso

Utilerias.dll Referencias.dll

Anexo C. C.1.

Ejemplos de soluciones Variación del nivel de empleo con respecto a la variación de los bonos en el modelo ampliado.

= (( - pi · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · TCN · md:TCN - pi · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · Z:12:13) · px · K · h:b · C:1 + ( - pi · Xn:TCR · Z:12:13 · Z:9:9 - pi · Xn:TCR · TCN · md:TCN · Z:9:9) · px · K · C:1 · q + ( - pi · Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN · Z:8:8 - pi · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 · Z:8:8) · px · K · C:1 · b + ( - C:1 · K · pi · Z:8:8 · Z:9:9 · Xn · md:TCN + (C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Z:9:7 · Q:N:K · h:b C:1 · K · pi · Xn · md:TCN · Z:9:7 · q) · b) · p) · p

(N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Fn:m · M · C:Fn · Q:N:K · h:b · K · Z:9:9 · Q:K:N · A:G + N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Q:N:K · h:b · K · Z:9:9 · Q:K:N · A:G · I:m · M) · G + (N:Y · Xn:TCR · px · Q:K:N · A:G · Z:13:7 · K · Z:9:9 · I:m · M + N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Fn:m · M · C:Fn · K · Q:K:N · A:G · Z:9:9) · G · q + ((Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · Fn:m · Xn:TCR · C:Fn · px · M + (Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · Xn:TCR · px · M · I:m) · b + (((Z:9:7 · 1

Modelo Macroeconómico Ampliado

Z:8:8 · Z:12:13 + N:Y · Z:9:7 · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:6:11) · Sxn:q · Xn:TCR + (Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Z:9:7 · Z:8:8 · Z:6:11) · Sxn:q · md:TCN · Xn:TCR · TCN) · px + ((Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Z:9:7 · Z:8:8 · Z:6:11) · Sxn:q · Fn:m · md:TCN · C:Fn + (Z:8:8 · Z:9:9 + N:Y · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Fn:m · md:r · Xn:TCR · C:Fn · px + md:Y · Xn:TCR · px · K · Q:N:K · h:b · Z:9:9 · Fn:m · C:Fn) · M + ((Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Z:9:7 · Z:8:8 · Z:6:11) · Sxn:q · md:TCN + (Z:8:8 · Z:9:9 + N:Y · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · md:r · Xn:TCR · px + md:Y · Xn:TCR · px · K · Q:N:K · h:b · Z:9:9) · M · I:m + ((Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 · pi · Z:12:13 + N:Y · Z:13:7 · pi · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Xn:TCR + (N:Y · Z:13:7 · pi · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11 + Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 · pi) · md:TCN · Xn:TCR · TCN) · px · C:1 + ((N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:9:8 · Sxn:q · TCN · md:TCN + N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:9:8 · Sxn:q · Z:12:13) · px · A:G · K + (N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N · Xn + N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Fn:m · C:Fn · Z:12:13 · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N + N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Fn:m · C:Fn · TCN · md:TCN · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N) · px · A:G · K · h:b + N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · K · Z:9:8 · Sxn:q · Fn:m · M · C:Fn + ((N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N · TCN · md:TCN + N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N · Z:12:13) · px · A:G · K · h:b + N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · K · Z:9:8 · Sxn:q · M) · I:m) · G + (md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:9:9 · I:m · M + md:Y · Xn:TCR · px · K · Fn:m · M · C:Fn · Z:9:9 + ((N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Fn:m · C:Fn · Z:12:13 · Q:K:N · Z:9:9 + N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:13:7 · Z:9:9 · Xn + N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · Fn:m · C:Fn · TCN · md:TCN · Q:K:N · Z:9:9) · px · A:G · K + (N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:13:7 · Z:9:9 · Z:12:13 + N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:13:7 · Z:9:9 · TCN · md:TCN) · px · A:G · K · I:m) · G) · q + (((N:Y · Z:13:7 · Z:12:13 · Z:9:8 · Z:6:11 + Z:9:8 · Z:13:7 · Z:12:13) · Fn:m · Xn:TCR · C:Fn + (Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · Xn:TCR · Xn + (Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · Fn:m · md:TCN · Xn:TCR · C:Fn · TCN) · px + md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:9:7 · Fn:m · M · C:Fn · Z:8:8 + (((N:Y · Z:13:7 · Z:12:13 · Z:9:8 · Z:6:11 + Z:9:8 · Z:13:7 · Z:12:13) · Xn:TCR + (Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · md:TCN · Xn:TCR · TCN) · px + md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:9:7 · Z:8:8 · M) · I:m + (N:Y · Xn:TCR · px · Q:K:N · A:G · md:r · Z:9:8 · K · I:m · M + N:Y · Xn:TCR · px · md:r · Fn:m · M · C:Fn · K · Q:K:N · A:G · Z:9:8 + (N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · pi · Z:12:13 · Q:K:N · Z:9:8 + N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · pi · TCN · md:TCN · Q:K:N · Z:9:8) · px · A:G · K · C:1) · G) · b + ((N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11 + Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9) · Fn:m · md:TCN · C:Fn · Xn + (Z:8:8 · Z:9:9 + N:Y · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · md:r · 2

Yanod Márquez Aldana

Xn:TCR · Xn · px + (Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · Z:12:13 + Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · TCN · md:TCN + md:Y · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · Xn) · px · K · h:b + Xn:Y · md:TCN · K · Fn:m · M · C:Fn · Z:8:8 · Z:9:9 + ((N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11 + Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9) · md:TCN · Xn + Xn:Y · md:TCN · K · Z:8:8 · Z:9:9 · M) · I:m + ((N:Y · Z:9:8 · Z:6:11 · Z:12:13 + Z:9:8 · Z:12:13) · Xn:TCR + (Z:9:8 + N:Y · Z:9:8 · Z:6:11) · md:TCN · Xn:TCR · TCN) · px · I:q + (Xn:TCR · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:9:9 + Xn:TCR · TCN · md:TCN · Z:8:8 · Z:9:9) · px · K · C:1 + (N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Z:2:13 · Q:N:K · h:b · K · Z:9:9 · Q:K:N · A:G + (N:Y · Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN · Q:N:K · Q:K:N + N:Y · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 · Q:N:K · Q:K:N) · px · A:G · K · h:b · I:q + N:Y · md:TCN · Z:13:7 · C:1 · pi · Q:N:K · h:b · K · Z:9:9 · Q:K:N · A:G · Xn) · G + (Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · TCN · md:TCN + Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · Q:N:K · Z:9:9 · Z:12:13) · px · K · h:b · s + ((Xn:TCR · Z:12:13 · Z:9:9 + Xn:TCR · TCN · md:TCN · Z:9:9 + md:Y · Xn:TCR · Z:9:9 · Xn) · px · K + (N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Z:2:13 · K · Q:K:N · A:G · Z:9:9 + (N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:9:7 · TCN · md:TCN + N:Y · Xn:TCR · Q:K:N · Z:9:7 · Z:12:13) · px · A:G · K · I:q + N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · Z:13:7 · C:1 · pi · K · Z:9:9 · Xn) · G + (Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · TCN · md:TCN · Z:9:9 + Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · Z:12:13 · Z:9:9) · px · K · s) · q + ((Z:9:8 · Z:13:7 + N:Y · Z:13:7 · Z:9:8 · Z:6:11) · Z:2:13 · Xn:TCR · px + (md:Y · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:8:8 · Xn + Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN · Z:8:8 + Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 · Z:8:8) · px · K + Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · Q:N:K · h:b · Fn:m · M · C:Fn + Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · Q:N:K · h:b · I:m · M + ((Z:13:7 · Z:9:8 · pi + N:Y · Z:13:7 · pi · Z:9:8 · Z:6:11) · md:TCN · Xn + (Xn:TCR · Z:9:7 · Q:N:K · Z:12:13 + Xn:TCR · Z:9:7 · Q:N:K · TCN · md:TCN) · px · K · h:b) · C:1 + ((N:Y · Xn:TCR · px · Q:K:N · md:r · Z:9:8 · Xn + N:Y · md:TCN · Q:K:N · Z:13:7 · Fn:m · C:Fn · Z:9:8 · Xn) · A:G · K + N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · Z:13:7 · I:m · Z:9:8 · K · Xn) · G + (Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN · Z:8:8 + Fn:s · C:Fn · Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13 · Z:8:8) · px · K · s + (Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · I:m · M + Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · Fn:m · M · C:Fn + (Xn:TCR · Z:9:7 · TCN · md:TCN + Xn:TCR · Z:9:7 · Z:12:13) · px · K · C:1) · q) · b + ((Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Z:9:7 · Z:8:8 · Z:6:11) · Z:2:13 · Sxn:q · md:TCN + (Z:8:8 · Z:9:9 + N:Y · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Z:2:13 · md:r · Xn:TCR · px + (1 + Xn:Y) · Z:9:9 · Z:8:8 · md:TCN · Xn · K + md:Y · Xn:TCR · px · K · Q:N:K · h:b · Z:9:9 · Z:2:13 + (Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Z:9:7 · Z:8:8 · Z:6:11) · md:TCN · Xn · I:q + C:1 · K · Xn · md:TCN · Q:N:K · h:b · Z:9:9 + (N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · K · Z:9:8 · Sxn:q 3

Modelo Macroeconómico Ampliado

· Z:2:13 + N:Y · md:TCN · Q:K:N · A:G · K · Z:9:8 · I:q · Xn) · G + Fn:s · s · C:Fn · K · Z:8:8 · Z:9:9 · Xn · md:TCN + (md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:2:13 · Z:9:9 + C:1 · K · Xn · md:TCN · Z:9:9) · q + (md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:9:7 · Z:2:13 · Z:8:8 + (1 + Xn:Y) · Z:9:7 · md:TCN · Q:N:K · Xn · K · h:b + C:1 · K · Xn · md:TCN · Z:9:7 · Z:8:8 + N:Y · Xn:TCR · px · md:r · Z:2:13 · K · Q:K:N · A:G · G · Z:9:8 + Fn:s · s · C:Fn · K · Xn · md:TCN · Z:9:7 · Q:N:K · h:b + ((1 + Xn:Y) · Z:9:7 · md:TCN · Xn · K + Fn:s · s · C:Fn · K · Xn · md:TCN · Z:9:7) · q) · b + (Xn:Y · md:TCN · K · Z:2:13 · Z:8:8 · Z:9:9 + (Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · Q:N:K · h:b · Z:2:13 + Xn:Y · md:TCN · K · Z:9:7 · Z:2:13 · q) · b) · p) · p) · p) · p

( - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 - N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Fn:m · Xn:TCR · C:Fn · px · M + (Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 - N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Xn:TCR · px · M · I:m + ( - N:Y · Xn:TCR · px · Q:K:N · A:G · Z:13:7 · Z:9:8 · K · I:m · M - N:Y · Xn:TCR · px · Z:13:7 · Fn:m · M · C:Fn · K · Q:K:N · A:G · Z:9:8) · G · b + ((( - Z:9:8 · Z:12:13 - N:Y · Z:9:8 · Z:6:11 · Z:12:13) · Sxn:q · Xn:TCR + ( N:Y · Z:13:7 · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11 - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 · Z:12:13) · Fn:m · Xn:TCR · C:Fn + ( - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 - N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Xn:TCR · Xn + (( - Z:9:8 - N:Y · Z:9:8 · Z:6:11) · Sxn:q · md:TCN · Xn:TCR + ( - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 - N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · Fn:m · md:TCN · Xn:TCR · C:Fn) · TCN) · px + (( - Z:9:8 - N:Y · Z:9:8 · Z:6:11) · Sxn:q · Fn:m · md:TCN · C:Fn - md:Y · Xn:TCR · px · K · Fn:m · C:Fn · Z:8:8 · Z:9:9) · M + ((( - N:Y · Z:13:7 · Z:12:13 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11 - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 · Z:12:13) · Xn:TCR + ( - Z:8:8 · Z:9:9 · Z:13:7 - N:Y · Z:13:7 · Z:8:8 · Z:9:9 · Z:6:11) · md:TCN · Xn:TCR · TCN) · px + (( - Z:9:8 - N:Y · Z:9:8 · Z:6:11) · Sxn:q · md:TCN - md:Y · Xn:TCR · px · K · Z:8:8 · Z:9:9) · M) · I:m + (( - N:Y · Xn:TCR · Z:9:7 · Sxn:q · Z:12:13 · Q:N:K · Q:K:N - N:Y · Xn:TCR · Z:9:7 · Sxn:q · TCN · md:TCN · Q:N:K · Q:K:N) · px · A:G · K · h:b + ( - N:Y · Xn:TCR · px · md:r · Fn:m · C:Fn · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N - N:Y · md:TCN · Z:9:7 · Sxn:q · Fn:m · C:Fn · Q:N:K · Q:K:N) · A:G · K · h:b · M + ( - N:Y · md:TCN · Z:9:7 · Sxn:q · Q:N:K · Q:K:N - N:Y · Xn:TCR · px · md:r · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N) · A:G · K · h:b · M · I:m + ( - N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · pi · TCN · md:TCN · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N - N:Y · Xn:TCR · Z:13:7 · pi · Z:12:13 · Q:N:K · Z:9:9 · Q:K:N) · px · A:G · 4

Yanod Márquez Aldana

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