mixing

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

Suspension diphasique liquide-solide en cuve agitée : une corrélation de prédiction de la qualité du mélange sur la base de simulations numériques validées sur mesures expérimentales MACQUERON Corentina, WILLIAM Johanna a AREVA Projets 1 rue des hérons, 78180, Montigny-le-Bretonneux

Résumé Une modélisation diphasique liquide-solide d’une cuve agitée est réalisée avec le logiciel Fluent 15.0 et validée par comparaison à des mesures expérimentales (nombre de puissance et profils de fraction volumique de solide). La qualité du mélange, définie par le RSD (Relative Standard Deviation : écart-type relatif de la fraction volumique de solide), est étudiée en fonction des principaux paramètres du système : vitesse d’agitation, diamètre de cuve, angle d’inclinaison des pales, viscosité dynamique de la phase liquide et diamètre, masse volumique et fraction volumique moyenne des particules. Sur la base des résultats des 250 simulations numériques réalisées avec la modélisation validée sur des mesures expérimentales de la littérature, une corrélation permettant de prédire le RSD (exprimé en pourcentage) en fonction des différents paramètres avec une précision de l’ordre de ±10 points de RSD est proposée.

Une approche par réseau de neurones artificiels est également présentée et permet une précision de l’ordre de ±5 points de RSD. Enfin, il est montré que la corrélation, construite sur un design de cuve et d’agitateur spécifique, peut être appliquée avec une précision raisonnable dans une optique de prédimensionnement à d’autres designs tant qu’ils restent du même type (écoulement axial vers le bas avec phase liquide newtonienne avec D/T = ½ et présence de contre-pales).

Mots-clés : Agitation – Diphasique – RSD – Corrélation – Réseau de neurones

1. Introduction L’évaluation de la qualité d’un mélange liquide-solide en cuve agitée en fonction des différents paramètres mis en jeu (design et taille de cuve, design de l’agitateur, caractéristiques de la suspension) est un enjeu majeur pour les industriels. Il existe des corrélations permettant d’estimer la vitesse minimale d’agitation pour la mise en suspension ou la non redéposition des particules (Zwietering, 1958 ; Mersmann et al., 1998) mais ces corrélations ne concernent que le domaine des « basses » vitesses où la qualité du mélange est faible. Pour les « hautes » vitesses permettant d’obtenir une meilleure qualité de mélange (la qualité pouvant être définie par le RSD (Relative Standard Deviation, écart-type relatif de la fraction volumique de solide dans l’intégralité de la cuve)) la littérature est peu fournie et indique que la construction d’une corrélation est difficile (Kresta, 2016). Pour déterminer les conditions d’agitation permettant d’obtenir une suspension de grande qualité, l’industriel est donc contraint d’avoir recours soit aux essais soit à la modélisation. Les essais taille réelle sont un idéal technique rarement rendu possible pour des raisons pratiques, économiques ou techniques (difficulté voire impossibilité d’obtenir une cartographie complète du champ de concentration), notamment sur les cuves de grande taille. L’industriel doit alors avoir recours à des essais maquette qu’il doit extrapoler selon des critères de scale-up dont la validité n’est pas toujours clairement établie. La modélisation permet de s’affranchir des contraintes pratiques expérimentales mais reste encore un outil relativement onéreux, complexe à mettre en œuvre et pouvant être sujet à caution (ce type de modélisation doit faire l’objet d’une validation préalable). Dans le cadre de cette problématique, AREVA a validé des modélisations réalisées avec le logiciel Fluent 15.0 (ANSYS, 2013b) par comparaison à des données expérimentales produites en interne dans le cadre d’une étude préliminaire (Macqueron et al., 2015). Dans le présent article, AREVA poursuit le travail de qualification sur la base de données expérimentales issues de la littérature (Tsz-Chung Mak, 1992) et présente une étude numérique pour établir une corrélation permettant de quantifier la qualité du mélange d’une suspension liquide-solide en fonction des principaux paramètres significatifs. Cette corrélation est construite sur les résultats de 250 simulations numériques sur le dispositif de Tsz-Chung Mak et est ensuite testée sur d’autres types de dispositifs.

N° Article-1

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

2. Dispositif expérimental Le dispositif expérimental retenu pour la validation de la modélisation ainsi que pour la construction de la corrélation est celui de Tsz-Chung Mak (1992) en raison de sa simplicité et de sa bonne représentativité des systèmes industriels « classiques ». Les principales caractéristiques de la cuve (figure 1) sont les suivantes : • Diamètre de cuve : T = 0,61 m • hauteur : H = T • hauteur de dégagement : C = T/4 • fond torisphérique (R = T, r = T/10) • 4 contre-pales • volume : 0,165 m3

θ

θ

Figure 1. Schéma de la cuve et de l’agitateur

Les principales caractéristiques de l’agitateur (4 pales droites rectangulaires inclinées à 45°, mono-étage) sont indiquées dans le tableau 1 et sur la figure 1. Le nombre de puissance de l’agitateur monté dans la cuve est de 1,52 (calculé en considérant la masse volumique moyenne de la suspension).

Tableau 1. Caractéristiques de l’agitateur D (m) 3,10E-01

W (m) 8,60E-02

χ (m) 3,40E-03

Hb (m) 6,10E-02

Hod (m) 5,70E-02

L’eau à température ambiante sert de phase liquide. Les caractéristiques de la phase solide (billes de verre (sable) de sphéricité ~0,8) sont les suivantes : • masse volumique : 2600 kg/m3 à 2650 kg/m3 • diamètre : 150 µm à 210 µm (médiane : 180 µm) • concentration : 14% volumique (30% massique) La puissance est mesurée au moyen d’un couple-mètre (précision : ± 2%). La fraction volumique de solide φ est mesurée avec une sonde conductimétrique présentée sur la figure 2. Cette sonde permet de mesurer la concentration solide sur une plage de 5% à 50% en volumique et est capable de détecter une variation de concentration de 1% après calibration.

Figure 2. Sonde conductimétrique positionnée à une distance T/6 de la paroi et à T/6,1, T/3,1, T/2, T/1,5 et T/1,2 de la surface

N° Article-2

RÊcents Progrès en GÊnie des ProcÊdÊs, NumÊro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

La fraction volumique est mesurĂŠe aux cinq positions indiquĂŠes en rouge sur la figure 2. Le RSD expĂŠrimental est calculĂŠ sur la base de ces cinq points de mesure avec la formule (1) : đ?‘…đ?‘…đ?‘…đ?‘…đ?‘…đ?‘… =

1

ďż˝

1

đ?œ‘đ?œ‘đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š đ?‘›đ?‘›âˆ’1

2

1

∑đ?‘›đ?‘›đ?‘–đ?‘–=1ďż˝đ?œ‘đ?œ‘đ?‘–đ?‘– − đ?œ‘đ?œ‘đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š ďż˝ ďż˝2 (avec n = 5 ici)

(1)

3. ModĂŠlisation

3.1 GÊomÊtrie et maillage La gÊomÊtrie est rÊalisÊe avec le logiciel DesignModeler 15.0 (ANSYS, 2013a) (figure 3). Pour des raisons de symÊtrie, seul un quart de la cuve est rÊalisÊ. Le maillage (~800 000 cellules) est rÊalisÊ avec le logiciel ANSYS Meshing 15.0 (ANSYS, 2013c) avec des raffinements de couche limite sur toutes les parois solides (5 couches prismatiques, Êpaisseur de la première maille : 1 mm) afin d’assurer des valeurs de y+ (distance adimensionnelle à la paroi) compatibles avec l’utilisation des lois de parois (~35 en moyenne et ~130 au maximum) (figure 3).

Figure 3. Cuve avec symĂŠtries ÂŤ reconstruites Âť sous Fluent Ă gauche, maillage sur un plan de symĂŠtrie pĂŠriodique au centre et zoom sur le maillage en paroi de cuve Ă droite

3.2 Hypothèses, modèles physiques et paramètres numÊriques Les principales hypothèses, modèles physiques et paramètres numÊriques du modèle sont les suivants : • le système est supposÊ être en rÊgime permanent • la rotation de l’agitateur est reprÊsentÊe par la mÊthode Multiple Reference Frame (MRF) (hypothèse de  rotor statique ) (ANSYS, 2013b) • la turbulence est reprÊsentÊe par le modèle k-ξ realizable mixture avec l’option enhanced wall treatment (ANSYS, 2013b) • la phase solide est reprÊsentÊe par le modèle eulÊrien granulaire avec les modèles de SyamlalO’Brien, Lun et al. et Schaeffer pour la viscositÊ granulaire (les particules ne sont pas suivies individuellement, elles sont reprÊsentÊes par une phase continue s’interpÊnÊtrant avec la phase liquide et sont caractÊrisÊes par la fraction volumique locale de solide) (ANSYS, 2013b) • les particules sont supposÊes parfaitement sphÊriques et leur diamètre est supposÊ Êgal à 180 ¾m (valeur mÊdiane de la population de particules retenue par Tsz-Chung Mak) • la masse volumique des particules est supposÊe Êgale à 2630 kg/m3 (valeur retenue par Tsz-Chung Mak) • la viscositÊ dynamique de l’eau est supposÊe Êgale à 0,001 Pa.s (fluide newtonien) et la masse volumique de l’eau est supposÊe Êgale à 1000 kg/m3 (valeurs à ~20°C (Sacadura, 2009)) • le coefficient de traÎnÊe des particules est reprÊsentÊ par le modèle de Gidaspow avec correction turbulente de Brucato (ANSYS, 2013b) • la force de portance est nÊgligÊe • la force de dispersion turbulente (FDT) est reprÊsentÊe par le modèle Diffusion-in-VOF (ANSYS, 2013b) N° Article-3

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France • • • • •

la sonde de mesure de concentration, supposée ne pas perturber le champ de concentration locale, n’est pas représentée la surface libre est supposée plane et est représentée par une paroi sans frottement le couplage vitesse-pression retenu est le couplage Coupled (ANSYS, 2013b) le schéma de discrétisation en espace retenu est le schéma QUICK (ANSYS, 2013b) le modèle est résolu en pseudo-transient en pseudo pas de temps automatique (ANSYS, 2013b)

3.3 Validation 3.3.1 Nombre de puissance Les nombres de puissance déterminés par la modélisation via le couple sur l’agitateur sont indiqués dans le tableau 2. L’écart par rapport à la valeur déterminée expérimentale (1,52) est faible (2% au maximum en tenant compte de l’incertitude). La modélisation apparaît donc validée en termes de capacité à reproduire la puissance dissipée par l’agitation.

Tableau 2. Nombre de puissance N (RPM) Np (-) Écarts à la mesure

60 1,51 -1%

90 1,51 -1%

120 1,52 0%

150 1,53 1%

180 1,56 3%

210 1,58 4%

240 1,58 4%

270 1,58 4%

300 1,58 4%

3.3.2 Fraction volumique Les profils de fraction volumique de solide déterminés par la modélisation sont comparés à ceux mesurés expérimentalement sur les figures 4 et 5. Des écarts apparaissent mais la modélisation apparaît capable de reproduire correctement la dynamique de la suspension, aussi bien qualitativement que quantitativement.

L’évolution du RSD est notamment très bien reproduite, avec un écart maximal ne dépassant pas 5 points de RSD (exprimé en pourcentage) comme le montre la figure 6. Une dégradation de la qualité des résultats numériques apparaît toutefois à « bas » régime (60 RPM) (figure 4). À « bas » régime, la désactivation de la force de dispersion turbulente (FDT) comme proposé dans les travaux de Tamburini et al. (2014) suite à des constatations similaires permet d’améliorer considérablement la représentativité de la modélisation (figure 4 et 6). Cette vitesse de 60 RPM étant proche et inférieure à la vitesse de non redéposition au sens de Mersmann et al. (NAS (« Avoidance of Settling »), ici de 72 RPM), il est proposé de considérer cette dernière comme un critère en-dessous duquel la force de dispersion turbulente doit être désactivée. La physique à « bas » régime apparaît donc différente de la physique à « haut » régime (Tamburini, 2014). Des investigations complémentaires pourraient être menées mais, d’un point de vue pratique, la modélisation est considérée comme validée en termes de reproduction du champ de concentration aux vitesses supérieures à ce critère. La présente étude ayant précisément pour objectif d’étudier la qualité de la suspension au-delà des « basses » vitesses au sens de Zwietering et de Mersmann et al., ce critère n’est pas limitant et la FDT sera activée pour l’intégralité des calculs présentés dans la suite de cette étude. Un exemple de champ de fraction volumique obtenu par la modélisation à 120 RPM est donné sur la figure 6.

Figure 4. Comparaison des profils de fraction volumique mesurés et calculés – 60 RPM (sans force de dispersion turbulente à gauche, avec force de dispersion turbulente à droite)

N° Article-4

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

Figure 5. Comparaison des profils de fraction volumique mesurés et calculés De gauche à droite et de haut en bas : 90, 120, 150, 180 RPM

Figure 6. Variation du RSD avec la vitesse d’agitation à gauche et exemple de champ de fraction volumique (-) obtenu par la modélisation (120 RPM) à droite

4. Qualité du mélange 4.1 Corrélation globale La qualité du mélange (RSD) a été étudiée en réalisant 250 simulations numériques avec le modèle validé au § 3. Les paramètres d’entrée étudiés sont les suivants : • Vitesse d’agitation (N) variant de ~NAS à ~5 NAS • Diamètre de la cuve (T) variant de 0,61 m à 6,50 m (scale-up en similitude géométrique parfaite) • Angle d’inclinaison des pales (θ) variant de 30° à 45° • Diamètre des particules (Dp) variant de 40 µm à 1000 µm • Écart relatif de masse volumique des particules par rapport à la phase liquide (Δρ/ρ) variant de 1,5 (ρS = 2500 kg/m3) à 9 (ρS = 10000 kg/m3) • Fraction volumique moyenne des particules (φ) variant de ~0,5% à 30% • Viscosité dynamique de la phase liquide (μ) variant de 4,74.10-4 Pa.s à 1.10-2 Pa.s (fluide newtonien) N° Article-5

RÊcents Progrès en GÊnie des ProcÊdÊs, NumÊro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

Le RSD est dÊsormais calculÊ non plus en cinq points comme prÊcÊdemment (formule (1)) mais sur l’intÊgralitÊ du volume de la cuve avec la formule (2) : ������ =

1

đ?œ‘đ?œ‘đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š

2

1

ďż˝ âˆ­ďż˝đ?œ‘đ?œ‘(đ?‘‰đ?‘‰) − đ?œ‘đ?œ‘đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š ďż˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‰đ?‘‰

(2)

Parmi les 250 calculs, environ la moitiÊ a ÊtÊ rÊalisÊe sur la base de la configuration prÊsentÊe au § 2 en ne modifiant qu’un seul paramètre à la fois afin de bien visualiser les variations du RSD. Une autre moitiÊ a ÊtÊ rÊalisÊe en modifiant plusieurs voire tous les paramètres à la fois afin de croiser les effets et d’obtenir un ensemble de configurations raisonnablement variÊ.

Sur la base de l’ensemble des rÊsultats, une corrÊlation a ÊtÊ obtenue par rÊgression multivariable (moindres carrÊs) afin de permettre de prÊdire la qualitÊ du mÊlange (RSD). Il apparaÎt que la dÊpendance multivariable du RSD peut être approchÊe avec une bonne prÊcision par le produit de fonctions d’une seule variable. Par construction, cette structure mathÊmatique nÊglige les Êventuelles interactions entre les paramètres. La prise en compte de ces interactions pourrait permettre d’amÊliorer la prÊcision de la corrÊlation mais les rÊsultats ont ÊtÊ jugÊs satisfaisants en l’Êtat. La corrÊlation construite est la suivante : ������ = ���� �� (en %)

Avec : đ?›źđ?›ź = 603 847,37 đ?›žđ?›ž = −2,033

(3)

(4) (5) ����

đ?›˝đ?›˝ = đ?‘ đ?‘ Ă— đ?‘“đ?‘“1 (đ?‘‡đ?‘‡) Ă— đ?‘“đ?‘“2 ďż˝đ??ˇđ??ˇđ?‘?đ?‘? ďż˝ Ă— đ?‘“đ?‘“3 ( ) Ă— đ?‘“đ?‘“4 (đ?œ‡đ?œ‡) Ă— đ?‘“đ?‘“5 (đ?œ‘đ?œ‘) đ?‘“đ?‘“1 (đ?‘‡đ?‘‡) = đ?‘‡đ?‘‡ 0,809 đ?‘“đ?‘“2 ďż˝đ??ˇđ??ˇđ?‘?đ?‘? ďż˝ = đ??ˇđ??ˇđ?‘?đ?‘? −0,735 đ?›Ľđ?›Ľđ?›Ľđ?›Ľ

đ?œŒđ?œŒ

đ?›Ľđ?›Ľđ?›Ľđ?›Ľ −0,513

đ?‘“đ?‘“3 ďż˝ ďż˝ = ďż˝ ďż˝ đ?œŒđ?œŒ

(6) (7) (8) (9)

đ?œŒđ?œŒ 0,18

(10) đ?‘“đ?‘“4 (đ?œ‡đ?œ‡) = đ?œ‡đ?œ‡ đ?‘“đ?‘“5 (đ?œ‘đ?œ‘) = 69574,98đ?œ‘đ?œ‘ 6 − 68045,96đ?œ‘đ?œ‘ 5 + 26995,72đ?œ‘đ?œ‘ 4 − 5516,34đ?œ‘đ?œ‘ 3 + 610,77đ?œ‘đ?œ‘ 2 − 33,39đ?œ‘đ?œ‘ + 1,36 (11)

La figure 7 prÊsente les valeurs de RSD obtenues par la modÊlisation en fonction de la variable β et montre qu’un très bon accord est obtenu (coefficient de corrÊlation R2 = 0,96). La figure 7 montre Êgalement que la corrÊlation construite permet de bien retrouver les rÊsultats de la modÊlisation 3D avec une prÊcision de l’ordre de ¹10 points de RSD (exprimÊ en pourcentage).

Figure 7. CorrÊlation du RSD avec la variable β à gauche et comparaison entre les prÊdictions de la corrÊlation et les rÊsultats de la modÊlisation 3D à droite

Les sections suivantes prÊsentent les variations du RSD en fonction des diffÊrents paramètres pris isolÊment pour une meilleure visualisation des rÊsultats.

N° Article-6

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

4.2 Diamètre de cuve Une partie des résultats des études en scale-up est présentée sur la figure 8. La dépendance en exposant 0,809 du diamètre de cuve est proche de l’exposant correspondant dans la formule de Zwietering (0,85).

Figure 8. Influence du diamètre de cuve

4.3 Diamètre de particule Une partie des résultats des études sur le diamètre de particule est présentée sur la figure 9. La dépendance en exposant -0,735 du diamètre de particule est notablement différente de celle de la formule de Zwietering (-0,2), soulignant la différence qui peut exister entre les physiques de « bas » et de « haut » régimes.

Figure 9. Influence du diamètre de particule

4.4 Masse volumique de particule Une partie des résultats des études sur la masse volumique de particule est présentée sur la figure 10. Les résultats sont présentés en fonction de l’écart relatif de la masse volumique de la particule et de la phase liquide (de manière analogue aux formules de Zwietering et de Mersmann et al.). La dépendance en exposant -0,513 est proche de l’exposant correspondant dans la formule de Zwietering (-0,45).

Figure 10. Influence de la masse volumique de particule

4.5 Viscosité dynamique de la phase liquide Une partie des résultats des études sur la viscosité dynamique de la phase liquide est présentée sur la figure 11. La dépendance en exposant 0,18 de la viscosité dynamique est très différente de celle de la N° Article-7

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

formule de Zwietering (-0,1), soulignant la différence qui peut exister entre les physiques de « bas » et de « haut » régimes.

Figure 11. Influence de la viscosité dynamique de la phase liquide

4.6 Fraction volumique moyenne de solide Une partie des résultats des études sur la fraction volumique moyenne de solide est présentée sur la figure 12. La figure 12 montre également que la variation du RSD avec la fraction volumique passe par un maximum. Ce maximum est rencontré pour une valeur de fraction volumique quelque peu variable mais généralement proche de 7,5%. Cette dépendance, approchée ici avec un bon accord par un polynôme d’ordre 6 (formule (11)), est très différente de celle de la formule de Zwietering en exposant -0,13), soulignant la différence qui peut exister entre les physiques de « bas » et de « haut » régimes.

Figure 12. Influence de la fraction volumique moyenne de particules

Une explication possible à cette variation non monotone pourrait être due à un double effet antagoniste de la concentration. À faibles concentrations (<~7,5%), les particules se rencontrent rarement et n’interagissent donc pas, et plus le taux de présence de particules augmente, plus le système a logiquement besoin d’énergie pour les agiter (RSD croissant). À fortes concentrations (>~7,5%), les particules se rencontrent plus fréquemment, augmentant ainsi la viscosité apparente de mélange. Or, plus la viscosité est élevée et meilleur est l’entraînement des particules et donc l’homogénéité (RSD décroissant, figure 11). Des tests non détaillés ici montrent que, pour des concentrations supérieures ou égales à ~7,5%, il est possible de corréler avec un très bon accord le RSD avec soit la viscosité de la phase liquide et la fraction volumique prises séparément, soit avec une unique variable : la viscosité apparente de mélange, fonction de la viscosité de la phase liquide et de la fraction volumique (Krieger et Dougherty, 1959). Le fait que deux variables puissent être réduites à une seule tout en conduisant à une très bonne corrélation semble bien indiquer qu’elles se comportent de manière relativement similaire. Il est à noter cependant que la corrélation classique de la vitesse de sédimentation d’une particule en milieu concentré (Richardson et Zaki, 1954) ne fait que diminuer lorsque la concentration augmente (aucun comportement en « cloche » n’est observé) mais la sédimentation en milieu concentré n’est pas totalement comparable à de l’agitation en milieu concentré. Des travaux expérimentaux et numériques complémentaires pourraient être menés pour approfondir le sujet.

4.7 Angle d’inclinaison des pales Les résultats des études sur l’angle d’inclinaison des pales sont présentés sur la figure 13. La dépendance du RSD étant faible (relativement aux variations observées en fonction des autres paramètres présentés

N° Article-8

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

précédemment) l’effet de l’angle d’inclinaison des pales sur le RSD sera par la suite négligé dans un souci de garder une structure la plus simple possible pour la corrélation. L’effet de l’angle d’inclinaison des pales sur le nombre de puissance (et donc la consommation énergétique) est en revanche considérable, comme le montre le tableau 3. L’étude pourrait donc être poursuivie avec des valeurs en-deçà de 30° à la recherche d’un optimum technico-économique.

Figure 13. Influence de la fraction volumique moyenne de particules Tableau 3. Nombre de puissance θ (deg) Np (-)

30 ~0,70

35 ~0,95

40 ~1,24

45 ~1,56

4.8 Application de la corrélation à différents designs de cuve et d’agitateur La corrélation étant construite sur un design de cuve et d’agitateur relativement classique et donc de grande application pratique, sa validité sur d’autres designs pose néanmoins question. Afin de juger de sa robustesse, la corrélation est donc confrontée à d’autres designs de cuve et d’agitateur notablement différents (en termes de nombre d’étages d’agitation, de nombre de puissance et d’élancement de cuve par exemple) étudiés dans le cadre de précédentes études AREVA. Les autres designs (appelés HRB-1, HRB2, HRB-3 et RCB) sont présentés succinctement sur la figure 14 et sont tous en D/T = ½. Tous les designs sont à écoulement axial vers le bas, qui est le domaine d’application visé pour la corrélation. Les designs HRB-1 et HRB-2 sont à pales droites (comme le design de référence) tandis que les designs RCB et HRB-3 sont à pales vrillées. Dans ces configurations, le diamètre de cuve varie de 0,69 m à 6,50 m, le diamètre de particule varie de 40 µm à 544 µm, la fraction volumique moyenne varie de ~0,5% à 12%, la masse volumique des particules varie de 2500 kg/m3 à 4500 kg/m3 et la viscosité dynamique varie de 6,5.10-4 Pa.s à 1,1.10-3 Pa.s (~50 configurations complémentaires).

Figure 14. Design de gauche à droite : HRB-1 – HRB-2 – RCB – HRB-3 Np de gauche à droite : 0,62 – 1,27 – 0,28 – 0,18 H/T de gauche à droite : 0,68 – 1,1 – 1,23 – 0,68

Les résultats obtenus sur ces différents designs sont tracés sur la figure 15 en fonction de la variable β définie précédemment (sans réaliser de fitting complémentaire). Malgré une certaine dispersion, la corrélation reste satisfaisante (R2 = 0,84). Il peut donc être considéré que la corrélation proposée est

N° Article-9

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

applicable dans une optique de prédimensionnement à tout système d’agitation à écoulement axial vers le bas avec phase liquide newtonienne avec D/T = ½ et présence de contre-pales.

Figure 15. Validation de la corrélation sur différents designs de cuve et d’agitateur

Une suspension liquide-solide est généralement considérée comme homogène lorsque le RSD est inférieur ou égal à 20% (Tamburini, 2012). Une telle valeur de RSD est atteinte d’après la corrélation pour une valeur de β de 160 et la dispersion observée peut conduire à retenir un intervalle de 125 à 195.

Cet intervalle peut être considéré comme un critère d’homogénéité en phase de prédimensionnement, à conforter par la suite par des essais ou des modélisations.

4.9 Réseau de neurones artificiels Un traitement des résultats numériques par réseau de neurones artificiels (deep learning – apprentissage profond) a également été réalisé en complément de la régression multivariable présentée au § 4.1 afin d’étudier le potentiel de ce type d’approche. Le réseau de neurones a été réalisé en Python avec le logiciel Keras (Chollet, 2015). Les caractéristiques du réseau (3 couches de 36 neurones par couche et 1 couche de 1 neurone en sortie) ont été choisies afin d’obtenir de bonnes capacités d’apprentissage et de prédiction en aveugle (éviter l’overfitting – surapprentissage) tout en minimisant le nombre de neurones (principe du rasoir d’Ockham). Le réseau a été entraîné à reproduire le RSD en fonction des paramètres d’entrée (N, T, Dp, Δρ/ρ, μ, φ) sur une sélection aléatoire de 80% des données puis ses capacités de prédiction ont été validées en aveugle sur les 20% de données restantes. Les résultats sont présentés sur la figure 16, qui montre la très bonne performance du deep learning sur cette application, l’erreur commise étant réduite à environ ±5 points de RSD (aussi bien sur la prédiction sur les données d’apprentissage que sur la prédiction en aveugle) contre environ ±10 points précédemment pour la corrélation. L’amélioration de la prédiction pourrait être due en partie au fait que le réseau de neurones permet de tenir compte des éventuelles interactions entre les paramètres contrairement à la corrélation précédente qui les néglige par construction.

Figure 16. Comparaison des prédictions du réseau de neurones avec les résultats de la modélisation 3D

N° Article-10

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France

5. Conclusion Il est montré dans le cadre de ce travail qu’une modélisation diphasique liquide-solide en cuve agitée avec le logiciel Fluent 15.0 permet de bien reproduire la puissance dissipée par l’agitation et le champ de concentration solide dans la cuve pour des vitesses d’agitation supérieures à la vitesse limite de maintien en suspension des particules au sens de Mersmann et al. (1998). Pour des vitesses inférieures à ce critère, le pouvoir prédictif de la modélisation se dégrade mais peut néanmoins être amélioré en désactivant la force de dispersion turbulente, comme l’ont également montré Tamburini et al. (2014).

La qualité du mélange a été étudiée en fonction des principaux paramètres du système : vitesse d’agitation, diamètre de cuve, angle d’inclinaison des pales, viscosité dynamique de la phase liquide et diamètre, masse volumique et fraction volumique moyenne des particules (environ 250 simulations numériques réalisées avec la modélisation validée sur mesures expérimentales). Sur la base des résultats de modélisation, une corrélation permettant de prédire le RSD (exprimé en pourcentage) en fonction des différents paramètres avec une précision de l’ordre de ±10 points de RSD est proposée. Une approche par réseau de neurones artificiels, permettant une précision de l’ordre de ±5 points de RSD, est également présentée. Enfin, il est montré que la corrélation, bien que construite sur un design de cuve et d’agitateur spécifique, peut être appliquée avec une précision raisonnable dans une optique de prédimensionnement à d’autres designs tant qu’ils restent du même type (écoulement axial vers le bas avec phase liquide newtonienne avec D/T = ½ et présence de contre-pales).

6. Perspectives De nombreuses autres caractéristiques géométriques de la cuve et de l’agitateur pourraient être étudiées, comme le nombre, la largeur et le vrillage des pales, le nombre d’étages d’agitation, les ratios D/T et C/T, etc. pour étendre le domaine de validité de la corrélation ou la modifier le cas échéant afin d’éventuellement la proposer, à terme, comme outil de prédimensionnement dans une base documentaire d’ingénierie (type Techniques de l’Ingénieur). Il pourrait également être envisagé d’optimiser complètement le design de l’agitateur pour minimiser à la fois le Np et le RSD (optimum technicoéconomique). Des travaux complémentaires pourraient également être menés afin de mieux cerner la phénoménologie de la dépendance à la fraction volumique moyenne de particules (courbe en « cloche »).

Nomenclature FDT QUICK RSD C D Dp H Hb Hod N NAS Np R, r T W y+ α, β, γ φ χ μ ρS ρL θ

Force de Dispersion Turbulente Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics Relative Standard Deviation dégagement diamètre d’agitateur diamètre de particule hauteur de cuve hauteur de moyeu diamètre de moyeu vitesse d’agitation vitesse d’agitation minimale (non redéposition) nombre de puissance rayon de courbure diamètre de cuve largeur de pale distance adimensionnelle à la paroi coefficients de la corrélation fraction volumique de particules épaisseur de pale viscosité dynamique masse volumique de particule masse volumique de fluide angle d’inclinaison des pales

Références Chollet, F. (2015). Keras: Deep Learning Library for Theano and TensorFlow. https://keras.io/ DesignModeler 15.0. (2013). Canonsburg : ANSYS.

N° Article-11

(m) (m) (m) (m) (m) (m) (RPM, RPS) (RPM, RPS) (-) (m) (m) (m) (-) (-) (m) (Pa.s) (kg/m3) (kg/m3) (°)

Récents Progrès en Génie des Procédés, Numéro 110 - 2017 ISSN: 1775-335X ; ISBN: 978-2-910239-85-5, Ed. SFGP, Paris, France Fluent 15.0. (2013). Canonsburg : ANSYS. Kresta, S. M., Etchells III, A. W., Dickey, D. S., Atiemo-Obeng, V. A. (2016). Advances in Industrial Mixing. A Companion to the Handbook of Industrial Mixing. Hoboken : Wiley. p. 386.

Krieger, I. M., Dougherty, T. J. (1959). A mechanism for non-newtonian flow in suspensions of rigid spheres.

Transaction of the Society of Rheology, vol. 3, pp.137-152.

Macqueron, C., William, J., Le Gall, R., Demarthon, R., Piot, G., Ragouilliaux, A. (2015). Waste homogenisation tank: experimental validation of a numerical study. In : Proceedings of Global. Paris : SFEN, paper 5204.

Mersmann, A., Werner, F., Maurer, S., Bartosch, K. (1998). Theoretical prediction of the minimum stirrer speed in mechanically agitated suspensions. Chemical Engineering and Processing, vol. 37 (issue 6), pp. 503-510.

Meshing 15.0. (2013). Canonsburg : ANSYS. Richardson, J. F., Zaki, W. N. (1954). Sedimentation and fluidisation: part 1, Transactions of the Institution of Chemical Engineers, vol. 32, pp. 35-41 Sacadura, J. F. (2009). Initiation aux transferts thermiques. 8ème édition. Paris : Tec&Doc, p. 430.

Tamburini, A., Brucato, A., Cipollina, A., Micale, G., Ciofalo, M. (2012). CFD Predictions of Sufficient Suspension Conditions in Solid-Liquid Agitated Tanks. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, vol. 13 (issue 6), pp. 427-443.

Tamburini, A., Cipollina, A., Micale, G., Brucato, A., Ciofalo, M. (2014). Influence of drag and turbulence modelling on CFD predictions of solid liquid suspensions in stirred vessels. Chemical Engineering Research and Design, vol.

92 (issue 6), pp. 1045-1063.

Tsz-Chung Mak, A. (1992). Solid-liquid mixing in mechanically agitated vessels. PhD. University of London.

Zwietering, T. N. (1958). Suspending of solid particles in liquid by agitators. Chemical Engineering Science, vol. 8 (Issues 3-4), pp. 244-253.

Remerciements Les auteurs tiennent à remercier Ronan Le Gall, Grégoire Piot et Mokhtar Djeddou.

Solid-liquid suspension in stirred vessel: a correlation to predict the mixing quality based on experimentally validated numerical simulations MACQUERON Corentina*, WILLIAM Johanna a AREVA Projets 1 rue des hérons, 78180, Montigny-le-Bretonneux

Abstract A two-phase solid-liquid stirred vessel modeling is performed with the FLUENT 15.0 software and validated by comparison to experimental data (power number and solid volume fraction profiles). The mixing quality, defined by the RSD (Relative Standard Deviation of the solid volume fraction), is studied as a function of the main setup parameters: stirring speed, vessel diameter, pitch blade angle, liquid dynamic viscosity and diameter, density and average volume fraction of the particles. On the basis of the 250 numerical simulations performed with the experimentally validated model, a correlation to predict the RSD as a function of the different parameters with an accuracy of ±10 points of RSD (expressed in percentage) is proposed. An artificial neural network approach, allowing for an accuracy of ±5 points of RSD is also presented. Finally, it is shown that the correlation, built on a specific vessel and agitator design, can be applied as a pre-sizing to other designs with a reasonable accuracy, provided those designs are of the same type (newtonian axial downward pumping with D/T = ½ and presence of baffles).

Keywords: Mixing – Two-phase – RSD – Correlation – Neural network

*

Authors(s) to whom the correspondence should be sent : corentin.macqueron@areva.com

N° Article-12