Comme dans leur précédent ouvrage*, les auteurs prennent le parti de considérer que c’est en variant les situations (situations additives dans le tome précédent ; situations multiplicatives dans ce tome – rappel : cet adjectif recouvre les problèmes de multiplication et de division) qu’on conduira l’élève à construire et étoffer ses représentations de la résolution « de problèmes relevant des quatre opérations » (programmes 2008 – item CE2), dont on observe de manière répétée les limites et difficultés sensibles à la fin de l’école élémentaire (toutes évaluations nationales confondues). Dans l’esprit de la collection « Outils pour les cycles », cet ouvrage s’inscrit résolument dans une perspective singulière : l’enseignement d’une notion sur la durée d’un cycle. Il est destiné davantage à un collectif d’enseignants ayant en charge le parcours des élèves dans le cycle 3 d’une même école qu’au seul maître d’une classe ou d’un niveau. C’est un principe qui engage solidairement toute une équipe d’école dès lors que les premiers apprentissages (multiplication et division) ont débuté au cycle 2 : impossible d’ignorer ce qui a été fait au CP et au CE1 dans la découverte de la multiplication, dans l’approche de la division (cela n’exclut pas, évidemment, les autres champs…). Le pari est de construire au cours du cycle 3 des catégories de problèmes, une typologie fondée sur la mémoire des problèmes que vont rencontrer les élèves au cours de leur parcours d’apprentissage. Celui-ci s’organise sur un mode très structuré : • une progression du CE2 au CM2 ; • des modules qui ne négligent aucune étape (découverte investissant et réinitialisant les apprentissages antérieurs, sans « évaluation » systématique qu’on réfute dans cette logique de construction, appropriation par l’entraînement, entretien au fil des trimestres de la scolarité) ; • des outils pour étayer le parcours des élèves les plus fragiles dans cette conquête. Les auteurs proposent une « modélisation » (au sens scientifique de ce terme) : la rencontre de nombreux problèmes fonde une organisation progressive qui implique les élèves dans la construction de catégories. C’est par un classement des problèmes rencontrés (le choix du maître est ainsi prépondérant) que les élèves construiront puis reconnaîtront des catégories types balisant une structuration explicitée dans cet ouvrage. La conscience de ces catégories est étayée par l’élaboration d’« affiches » supports (les outils proposés dans l’ouvrage ne sont que des exemples) et d’écrits mémoire sur les cahiers spécifiques que doit avoir un élève de cycle 3 dans ce domaine. Un cahier de cycle trouve ici tout son sens et sa justification : le travail de construction s’étale sur trois ans. L’enjeu est de parvenir à la conscience de quelques catégories adaptées à l’école élémentaire et caractéristiques de la classification théorisée par Gérard Vergnaud (voir la présentation de ses propositions en fin d’ouvrage). La progression de la notion de « situation multiplicative » est fondée sur la résolution de problèmes ; on engagera l’élève sur l’analyse des situations proposées, dans lesquelles il reconnaîtra progressivement des modèles antérieurs. • Léo a 36 billes dans la poche. Il en a trois fois moins que Juliette. Combien Juliette a-t-elle de billes ? • Léo achète 6 paquets de 12 chewing-gums. Combien a-t-il acheté de chewing-gums ? • 3 garçons et 4 filles vont danser. Combien de couples différents, composés d’une fille et d’un garçon, peuvent être formés ? • Un jardin rectangulaire a une longueur de 4 mètres et une largeur de 3 mètres. Quelle est l’aire du jardin ? La même opération, une écriture symbolique a × b = c, s’applique à ces problèmes. Les questions de sens, les situations sous-jacentes à chacun des problèmes, ne présentent en revanche aucune « ressemblance » : même si l’élève perçoit, comprend les transformations évoquées, il ne les associera pas facilement avec une seule et même écriture. Les obstacles consistent à croire que l’écriture se confond avec la description de la situation. Voici quelques raccourcis courants des théorèmes en acte de nos élèves : « Si je gagne, j’ai un +… si je perds, c’est un -… Le x c’est une somme réitérée, le : c’est la moitié ! ». Pour ne pas négliger le saut à opérer entre la compréhension de la situation (la transformation qu’évoque le problème) et le passage aux écritures symboliques utilisant les signes mathématiques, on propose le recours à une classification qui étoffera les références de l’élève et doit l’aider à distinguer dans son travail d’élève la part de compréhension de la situation (lecture de
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Problèmes additifs et soustractifs – CP-CE1, coll. « Outils pour les cycles », SCÉRÉN/CRDP du Nord - Pas de Calais, 2009.
INTRODUCTION
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