Situations multiplicatives. Problèmes de multiplication et de division - Cycle 3 by Canopé, académie de Lille

Comme dans leur précédent ouvrage*, les auteurs prennent le parti de considérer que c’est en variant les situations (situations additives dans le tome précédent ; situations multiplicatives dans ce tome – rappel : cet adjectif recouvre les problèmes de multiplication et de division) qu’on conduira l’élève à construire et étoffer ses représentations de la résolution « de problèmes relevant des quatre opérations » (programmes 2008 – item CE2), dont on observe de manière répétée les limites et difficultés sensibles à la fin de l’école élémentaire (toutes évaluations nationales confondues). Dans l’esprit de la collection « Outils pour les cycles », cet ouvrage s’inscrit résolument dans une perspective singulière : l’enseignement d’une notion sur la durée d’un cycle. Il est destiné davantage à un collectif d’enseignants ayant en charge le parcours des élèves dans le cycle 3 d’une même école qu’au seul maître d’une classe ou d’un niveau. C’est un principe qui engage solidairement toute une équipe d’école dès lors que les premiers apprentissages (multiplication et division) ont débuté au cycle 2 : impossible d’ignorer ce qui a été fait au CP et au CE1 dans la découverte de la multiplication, dans l’approche de la division (cela n’exclut pas, évidemment, les autres champs…). Le pari est de construire au cours du cycle 3 des catégories de problèmes, une typologie fondée sur la mémoire des problèmes que vont rencontrer les élèves au cours de leur parcours d’apprentissage. Celui-ci s’organise sur un mode très structuré : • une progression du CE2 au CM2 ; • des modules qui ne négligent aucune étape (découverte investissant et réinitialisant les apprentissages antérieurs, sans « évaluation » systématique qu’on réfute dans cette logique de construction, appropriation par l’entraînement, entretien au fil des trimestres de la scolarité) ; • des outils pour étayer le parcours des élèves les plus fragiles dans cette conquête. Les auteurs proposent une « modélisation » (au sens scientifique de ce terme) : la rencontre de nombreux problèmes fonde une organisation progressive qui implique les élèves dans la construction de catégories. C’est par un classement des problèmes rencontrés (le choix du maître est ainsi prépondérant) que les élèves construiront puis reconnaîtront des catégories types balisant une structuration explicitée dans cet ouvrage. La conscience de ces catégories est étayée par l’élaboration d’« affiches » supports (les outils proposés dans l’ouvrage ne sont que des exemples) et d’écrits mémoire sur les cahiers spécifiques que doit avoir un élève de cycle 3 dans ce domaine. Un cahier de cycle trouve ici tout son sens et sa justification : le travail de construction s’étale sur trois ans. L’enjeu est de parvenir à la conscience de quelques catégories adaptées à l’école élémentaire et caractéristiques de la classification théorisée par Gérard Vergnaud (voir la présentation de ses propositions en fin d’ouvrage). La progression de la notion de « situation multiplicative » est fondée sur la résolution de problèmes ; on engagera l’élève sur l’analyse des situations proposées, dans lesquelles il reconnaîtra progressivement des modèles antérieurs. • Léo a 36 billes dans la poche. Il en a trois fois moins que Juliette. Combien Juliette a-t-elle de billes ? • Léo achète 6 paquets de 12 chewing-gums. Combien a-t-il acheté de chewing-gums ? • 3 garçons et 4 filles vont danser. Combien de couples différents, composés d’une fille et d’un garçon, peuvent être formés ? • Un jardin rectangulaire a une longueur de 4 mètres et une largeur de 3 mètres. Quelle est l’aire du jardin ? La même opération, une écriture symbolique a × b = c, s’applique à ces problèmes. Les questions de sens, les situations sous-jacentes à chacun des problèmes, ne présentent en revanche aucune « ressemblance » : même si l’élève perçoit, comprend les transformations évoquées, il ne les associera pas facilement avec une seule et même écriture. Les obstacles consistent à croire que l’écriture se confond avec la description de la situation. Voici quelques raccourcis courants des théorèmes en acte de nos élèves : « Si je gagne, j’ai un +… si je perds, c’est un -… Le x c’est une somme réitérée, le : c’est la moitié ! ». Pour ne pas négliger le saut à opérer entre la compréhension de la situation (la transformation qu’évoque le problème) et le passage aux écritures symboliques utilisant les signes mathématiques, on propose le recours à une classification qui étoffera les références de l’élève et doit l’aider à distinguer dans son travail d’élève la part de compréhension de la situation (lecture de

Problèmes additifs et soustractifs – CP-CE1, coll. « Outils pour les cycles », SCÉRÉN/CRDP du Nord - Pas de Calais, 2009.

INTRODUCTION

Introduction

l’énoncé, interprétation de la situation) et celle de l’usage des écritures mathématiques symboliques qu’il commence à utiliser. Le saut à opérer ne doit conduire ni à une confusion des deux composantes, ni à négliger l’une d’elles. Le travail sur la compréhension est souvent très présent dans les séquences d’apprentissage de la résolution de problèmes ; les auteurs de cet ouvrage éclairent la zone très peu explorée du symbolisme que recouvrent les écritures mathématiques dans un enseignement, programmé, progressif… et limité : l’ambition ici n’est pas de transposer l’ensemble des classes retenues par Gérard Vergnaud mais de sélectionner celles qui sont à la base de cette notion de « situations multiplicatives » sur laquelle se fonde l’édifice mathématique que les élèves poursuivront au collège. Cet ouvrage constitue ainsi un outil permettant une mise en œuvre structurée des indications données dans les programmes de 2008. La progression est construite en cohérence avec les tableaux donnant des « repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages » (tableaux dont la place, en fin de programme, a sans doute nui à leur retentissement dans le quotidien des pratiques de l’école). La logique de cet ouvrage s’inscrit dans ces « repères pour la progressivité des apprentissages ». Si dans ces tableaux, les colonnes distribuent le travail annuel dans les différents champs, il est indispensable d’en avoir une conscience « horizontale », une lecture permettant de repérer les sauts à accompagner chaque année, les liens entre les écritures, le calcul, les mesures, la résolution de problème, sans lesquels il est impossible de concevoir son enseignement : les auteurs ont fait le choix de donner du contenu à ces liens, à ces sauts. Dans cette logique, on n’explore pas au cycle 3 un terrain vierge dans le champ multiplicatif. Extraits du tableau des repères de la progressivité au CP et CE1 : • Au CP – Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. – Connaître la table de multiplication par 2. • Au CE1 – Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. – Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. – Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). – Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements. Il faut être au clair sur les connaissances en calcul mental, sur la reconnaissance subtile (groupements et partage), sur les situations de découverte qui ont été à la base de ces acquisitions au CP et CE1. Enfin, sur le niveau d’usage des signes et des écritures mathématiques auquel sont parvenus les élèves que l’enseignant de CE2 a en charge au moment de s’engager, dès le début de l’année, dans la construction de cette notion dans une logique de consolidation.

Jean-Jacques Calmelet Inspecteur de l’Éducation nationale Chargé de la mission mathématiques pour le département du Nord

Cette suite d’ouvrages, qui sera prochainement complétée par une proposition sur l’enseignement de la proportionnalité au cycle 3, est un accompagnement remarquable de la mise en œuvre des programmes et de la démarche professionnelle attendue dans le fonctionnement collectif des équipes d’école et de cycle en mathématiques. Le point de vue novateur est à la fois professionnel (il constitue un outil commun aux enseignants du cycle 3), didactique (il étaie une progression rigoureuse des apprentissages de notions mathématiques et du rapport entre le sens et les écritures rendu explicite) et pédagogique (les outils et notions sont construits avec les élèves, la modélisation menée avec eux).

Module 1 LA MULTIPLICATION

SÉQUENCE 1 Problèmes du type multiplication SPÉCIFICITÉS ET ENJEUX DE CETTE SÉQUENCE Au CE2, l’élève va devoir automatiser le processus d’utilisation du signe « x » dans les diverses situations multiplicatives qui lui seront proposées et sa non-utilisation dans les autres situations. La justification va lui permettre de prendre conscience de ses procédures. Les élèves de CE2 auront également à apprendre la commutativité de la multiplication ; c’est pourquoi des situations de recherche du nombre d’objets disposés selon des configurations rectangulaires sont introduites lors de cette première séquence (la disposition rectangulaire d’objets est sans doute une des situations les plus probantes pour faire construire aux élèves la propriété de commutativité). Remarque : il ne faut cependant pas confondre la recherche du nombre d’éléments disposés selon une configuration rectangulaire et les problèmes multiplicatifs du type produit cartésien, configuration rectangulaire, qui seront introduits au CM2.

La relation entre multiplication et division est en outre plus complexe que celle qui lie l’addition et la soustraction, puisque le quotient de la division euclidienne de a par b peut ne pas être exact*. C’est pour approcher cette notion de reste que l’on présentera, dès ce premier module portant sur la structure multiplication, des situations où l’élève aura à interpréter un reste.

Éric Roditi, université Paris Descartes http://eroditi.free.fr/Enseignement/PE1/ S5%20multiplicatifs.pdf

Enfin, au CM1 et au CM2, une extension du sens de la multiplication devra être effectuée avec l’utilisation des nombres décimaux. Si rien n’indique dans les programmes de 2008 le domaine de validité de l’utilisation des nombres décimaux, certaines difficultés émergent lors de leur emploi : • multiplicande non entier ; • multiplicateur non entier et en particulier compris entre 0 et 1. Les programmes de cycle 3 précisent que le multiplicande peut être décimal mais que le multiplicateur doit rester entier. Lorsque le produit sera décimal (c’est-à-dire lorsque le multiplicande le sera), se posera la question de l’interprétation du reste. En résumé, l’objectif spécifique de cette séquence sera donc d’utiliser la multiplication pour résoudre un problème de multiplication ; il s’agira également de faire comprendre aux élèves la commutativité de cette opération et de leur faire commencer à interpréter un reste dans une situation multiplicative.

MULTIPLICATION

TYPE ET FORME DE PROBLÈMES

Exemple : Léo achète 6 paquets de 12 chewing-gums. Combien a-t-il acheté de chewing-gums ? Recherche du cardinal d’une collection organisée en parties équipotentes.

ORGANISATION DE LA SÉQUENCE 1 Problèmes du type multiplication Parcours d’enseignement et itinéraire d’apprentissage de l’élève Objectif de la séquence : savoir résoudre les problèmes multiplicatifs du type multiplication par l’utilisation d’une écriture multiplicative. PROGRESSION DES SÉANCES  SÉANCE 3

SÉANCE 4

Problème de découverte

Entraînement

Création d’outils de résolution

Utilisation du signe « x ».

Mise en relation de l’addition itérée et de la multiplication.

Mise en place d’outils de résolution.

Entraînement

SÉANCE 5

SÉANCE 6

Réinvestissement

Problème de découverte

Atelier renforcement.

Mise en évidence de la commutativité de la multiplication.

Jeu de Yam's

Les enveloppes

Hors contexte connu

La planche à clous

Cardinal sans reste

Mise en œuvre d’une procédure générique ou spontanée pour exprimer le cardinal d’une collection organisée en parties équipotentes.

Représentation de l’analogie des procédures (connue  inconnue / spontanée  générique).

Séance 3

Contexte

Jeu de Yam's

Activité mentale de l’élève

Multiplication

Passerelle vers une autre séance

Descriptif de la situation

Type de problème

Type de situation

SÉANCE 2

Particularité

SÉANCE 1

Conceptualisation Évolution des Association du geste des procédures en procédures mental « a fois b » à (connue  inconnue / fonction d’un type de la multiplication et à spontanée  problème et non d’un son écriture « a × b ». générique). contexte.

Séance 5 ou Séance 6

Institutionnalisation d’un théorème en acte : la commutativité de la multiplication et l’équivalence des gestes mentaux « a fois b » et « b fois a ».

Module 1

Objectif de la séquence : savoir résoudre les problèmes multiplicatifs du type multiplication par l’utilisation d’une écriture multiplicative. PROGRESSION DES SÉANCES  SÉANCE 7

SÉANCE 7

Problème de découverte

Recherche d’une position à atteindre

Recherche d’un effectif total avec un reste à interpréter

SÉANCE 9

Entraînement

SÉANCE 10

SÉANCE 11

SÉANCE 12

Réinvestissement

Évaluation

Création d’énoncés

Évaluation différenciée

Multiplication

Le triple saut

Les crayons

Hors contexte connu

Cardinal sans reste

Cardinal avec reste

Cardinal ou ordinal avec ou sans reste

Mise en œuvre d’une procédure spontanée ou générique pour exprimer une position à atteindre après 3 sauts.

Mise en œuvre d’une procédure spontanée ou générique pour exprimer un effectif global nécessitant l’interprétation d’un reste.

Évolution des procédures (connue  inconnue / spontanée  générique).

Séance 10 ou Séance 11

Séance 11

LA MULTIPLICATION

ORGANISATION DE LA SÉQUENCE 1 Problèmes du type multiplication Parcours d’enseignement et itinéraire d’apprentissage de l’élève

SÉANCE 1 Situation proposée

RECHERCHE DE LA VALEUR D’UNE PART DANS UN PROBLÈME DU TYPE DIVISION-PARTAGE

Les allumettes

Type de séance Appropriation

Niveau d’enseignement CE2

Présentation de la situation Chaque groupe d’élèves dispose de boîtes d’allumettes vides et d’une réserve d’allumettes (auxquelles on a coupé le bout souffré) au nombre compris entre 100 et 1000. Il s’agit de répartir équitablement les allumettes dans les boîtes.

Compétences visées * Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Objectifs les capacités des élèves à chercher, raisonner, prouver, formuler leur raisonnement, * Développer argumenter pour résoudre les problèmes multiplicatifs du type division-partage. amener à utiliser une division pour résoudre un problème de recherche de la valeur d’une * Les part dans une situation de partage. Tâche de l’élève en œuvre une procédure de raisonnement pour trouver le nombre d’allumettes dans * Mettre chaque boîte. Matériel • Boîtes d’allumettes (3 / 5 / 7 par binôme). • Allumettes (294 / 235 / 201 par binôme). • Calculatrice.

Repères pour le maître et aides à envisager au cours de la séance Le maître devra s’attacher à identifier et à analyser les erreurs de procédure. • Les élèves ne parviennent pas à s’engager dans une procédure : le maître doit les aider à « raconter » le problème pour qu’ils en saisissent le sens. Quels sont les objets en jeu ? Que doit-on faire avec ces objets ? Combien y a-t-il d’allumettes ? Combien y a-t-il de boîtes ? Faire déposer une, deux, trois, quatre allumettes dans chaque boîte (faire quatre tours en comptant : 1, 2, 3 / 4, 5, 6 / 7, 8, 9 / 10, 11, 12). Doit-il y avoir autant d’allumettes dans chaque boîte ? Quand s’arrête-t-on de partager les allumettes ? • Pour ces mêmes élèves, le maître doit favoriser le passage à une procédure spontanée afin qu’ils traitent les informations, il les amène à schématiser la situation (il est recommandé de ne pas induire le dessin). Schématiser les 3 boîtes et les faire remplir par une représentation de 100 allumettes, de 10 allumettes et d’une allumette seule. • Les élèves produisent un schéma erroné : le maître leur demande de représenter, dans un nouveau schéma, les éléments du problème ; par questionnement, il leur propose d’organiser les relations qui régissent ces éléments. Questionner les élèves sur l'opportunité de représentation avec un nombre aussi élevé d'objets. • Les élèves produisent un schéma correct et communiquent le résultat : le maître leur demande par quelle opération ils pourraient résoudre ce problème en se référant à leur schéma. Faire écrire en chiffre le nombre d’allumettes de chaque boîte ; faire correspondre les nombres d’allumettes par boîte avec une écriture symbolique (mathématique). • Les élèves utilisent une procédure spontanée telle que l’addition itérée 67 + 67 + 67 = 201 : les inviter à évoquer le nombre de fois où le nombre 67 est écrit et faire écrire mathématiquement cette évocation sémantique.

Module 2

PHASE 1 APPROPRIATION DU PROBLÈME (ORAL / COLLECTIF) Les élèves travaillent par deux. On veillera aux variables de la constitution des groupes. Le maître a préparé des réserves comportant un certain nombre d’allumettes : 294 (groupe 3) / 235 (groupe 2) / 201 (groupe 1). Chaque binôme dispose d’une telle réserve, de boîtes d’allumettes vides : 7 (groupe 3) / 5 (groupe 2) / 3 (groupe 1), et d’une feuille par élève pour écrire les réponses. Consigne : « Vous devez écrire le nombre d'allumettes contenues dans la réserve. » Actions observées chez les élèves : recherche et comptage. Les résultats sont consignés au tableau : 294 (groupe 3) / 235 (groupe 2) / 201 (groupe 1). Consigne : « Vous allez devoir partager équitablement vos allumettes dans vos boîtes. » Les résultats sont consignés au tableau : 287 (groupe 3) / 230 (groupe 2) / 198 (groupe 1). Consigne : « Maintenant, sans partager réellement les allumettes mais en cherchant sur votre feuille, vous allez devoir me donner le nombre d’allumettes qu’il y aura dans chaque boîte. » Identiﬁcation de la tâche à accomplir par les élèves Trouver l’inconnue : le nombre d’allumettes présentes dans chaque boîte.

PHASE 2 RECHERCHE (ÉCRIT / INDIVIDUEL) Consigne : « Cherchez le nombre d’allumettes qu’il y aura dans chaque boîte. » Actions observées chez les élèves : • dessin des 3 boîtes et pointage des allumettes ; • bonds sur la droite numérique ; • partage des dizaines et des unités (calcul réfléchi) ; • soustraction itérée de 7 (G3), 5 (G2), 3 (G1) ; • addition itérée de 7 (G3), 5 (G2), 3 (G1) ; • essais de produits de 7 (G3), 5 (G2), 3 (G1) ; • utilisation de la multiplication par 10  (G3) : 7 x 10 = 70, 7 x 100 = 700, 7 x 50 = 350 ; • multiplication à trou ; • division. Les élèves utiliseront le matériel pour valider leur réponse. Cela leur permettra en outre d’envisager d’autres procédures de résolution ou de rejeter une procédure inadaptée à la situation. Ils pourront aussi utiliser la multiplication comme moyen de validation : 42 x 7 = 294 (G3)

PHASE 3 MISE EN COMMUN DES PROCÉDURES (ORAL / COLLECTIF) L’objectif de cette mise en commun est d’associer le geste mental « combien à chaque fois ? » d’une situation de partage à une situation de division par l’intermédiaire de l’écriture d’une division. Cette écriture (a : b = c) mise en évidence à l’issue de la mise en commun, ne sera pas exigée de tous les élèves lors de la prochaine production. Consigne : « Qu’avez vous trouvé et comment avez vous trouvé ? » 1er CAS : ÉLÈVES DU GROUPE 1 OU DU GROUPE 2 EN PROCÉDURE SPONTANÉE Les élèves explicitent leur stratégie : • pour trouver le nombre d’allumettes d’une boîte, j’enlève 5 (G2) / 3 (G1) allumettes (ou des multiples de 5 et de 3) à mon nombre total d’allumettes jusqu’à ce que j’arrive à 0 ; • pour trouver le nombre d’allumettes d’une boîte (G2), je partage mes 23 dizaines en 5 ce qui me fait 4 dizaines puis je partage mes 35 unités (obtenues avec mes 3 dizaines restantes) en 5 ce qui me fait 7 unités. Donc j’aurai 47 allumettes dans chaque boîte. Les élèves qui ont utilisé les mêmes procédures mais avec des données numériques différentes sont invités à donner leur réponse et à ré-expliciter pour mettre en évidence l’analogie des procédures. D’autres procédures significatives peuvent ici apparaître (voir phase 2) ; une trace de chacune d’elles est conservée au tableau.

LA DIVISION

Déroulement

2e CAS : ÉLÈVES EN PROCÉDURE GÉNÉRIQUE Les élèves explicitent leur stratégie dans le cas du recours à la multiplication à trou : on cherche à savoir « combien on a dans chaque boîte » c’est-à-dire à partager 294 en 7 (G3). Cela peut être traduit oralement par « on a 7 fois n allumettes » et syntaxiquement par « n x 7 = 294 ». • Les élèves ayant utilisé immédiatement la division sont invités à expliquer pourquoi ils ont associé cette opération à cette situation : ils savent que le signe « : » indique un calcul correspondant à un partage (vu au CE1). • C’est souvent un moment d’institutionnalisation du signe « : » comme symbole désignant le fait de trouver « combien à chaque fois », c’est-à-dire de trouver le résultat d’un partage.

PHASE 4 STRUCTURATION (ORAL / COLLECTIF) Le savoir précédemment construit est nommé : la division est l’opération qui permet de déterminer le résultat d’un partage, c’est-à-dire de trouver la réponse à la question « combien à chaque fois ? ». L’écriture « a : b » conduit donc à trouver le résultat du partage de a en b parts égales. Le rattachement du signe « : » à une situation de partage pourra être explicité et institutionnalisé par l’enseignant à ce moment de la séance ; il sera justifié et débattu avec les élèves. On met le signe « : » entre 294 et 7 pour signifier que 294 a été partagé en 7 parts égales. Le signe « : » sert donc à chercher « le nombre que l’on a à chaque fois » lors d’un partage. La division acquiert ainsi le statut d’objet explicite après avoir été un outil implicite de résolution d’une situation de partage ; elle servira d’outil explicitement lié à un contexte lors de la phase d’entraînement suivante. La maîtrise de ce nouvel outil de calcul pourra être améliorée lors de séances de calcul réfléchi, où la division sera donnée hors contexte (comme dans les évaluations nationales au CE1). Mais c’est seulement au terme de toute la séquence d’apprentissage que la division deviendra objet et outil explicite.

PHASE 5 ENTRAÎNEMENT (ÉCRIT / INDIVIDUEL) La même situation est proposée avec d’autres nombres. Énoncés différenciés • Partager 531 allumettes en 9 boîtes. • Partager 496 allumettes en 8 boîtes. • Partager 266 allumettes en 7 boîtes. • Partager 306 allumettes en 6 boîtes. • Partager 155 allumettes en 5 boîtes. • Partager 124 allumettes en 4 boîtes. • Partager 369 allumettes en 3 boîtes.