Mathématiques en classe de troisième

SOMMAIRE n

n Textes officiels • Disciplines scientifiques et technologiques – Introduction commune...........................................................13 • Préambule pour le collège..............................................................................................................................26 • Programme de l’enseignement des mathématiques – Classe de troisième..................................................33 • Socle commun de connaissances et de compétences....................................................................................40

n Méthodes 1. Évaluation.......................................................................................................................................................45 2. Part du professeur de mathématiques dans l’évaluation du socle.................................................................47 3. Différenciation au sein de la classe................................................................................................................49 4. Expression et la maîtrise de la langue...........................................................................................................50 5. L’oral...............................................................................................................................................................52 6. Autonomie et prise d'initiative .......................................................................................................................57 7. Travaux de groupe..........................................................................................................................................59 8. Formation du citoyen......................................................................................................................................60 9. Apprentissage du cours de mathématiques...................................................................................................61 10. Différentes formes de calcul en troisième.....................................................................................................62 11. Travaux écrits des élèves...............................................................................................................................66 12. Histoire des arts.............................................................................................................................................68 13. Enseignement des probabilités......................................................................................................................70 14. Liaisons troisième-seconde............................................................................................................................76 15. Documents ressources...................................................................................................................................79 16. Progressions...................................................................................................................................................80

n Activités Tableau synoptique..............................................................................................................................................91 1. Fonctions.........................................................................................................................................................92 2. Statistiques...................................................................................................................................................109 3. Probabilités....................................................................................................................................................117 4. Calcul numérique...........................................................................................................................................134 5. Calcul littéral.................................................................................................................................................148 6. Figures planes...............................................................................................................................................156 7. Configurations de l’espace.............................................................................................................................173 8. Aires et volumes............................................................................................................................................183 9. Grandeurs composées..................................................................................................................................190 10. Activités de synthèse....................................................................................................................................196 11. Un brevet blanc.............................................................................................................................................219

n Médiagraphie • Sites de référence ....................................................................................................................................... 225 • Logiciels mathématiques libres ou gratuits............................................................................................... 226 • Bibliographie................................................................................................................................................ 228

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n MATHÉMATIQUES EN CLASSE DE TROISIÈME

5. L’oral Dans le prolongement de l’école primaire, la place accordée à l’oral reste importante. En particulier, les compétences nécessaires pour la validation et la preuve (articuler et formuler les différentes étapes d’un raisonnement, communiquer, argumenter à propos de la validité d’une solution) sont d’abord travaillées oralement en s’appuyant sur les échanges qui s’instaurent dans la classe ou dans un groupe, avant d’être sollicitées par écrit individuellement.

(Préambule pour le collège, 4.6).

Dans le socle commun de compétences et de connaissance, la place de l’oral se retrouve dans de nombreuses compétences.

On peut y lire que, pour l’élève, il s’agit de savoir : −− prendre la parole en public ; −− prendre part à un dialogue, un débat : prendre en compte les propos d’autrui, faire valoir son propre point de vue ; −− rendre compte d’un travail individuel ou collectif (exposés, expériences, démonstrations...) ; −− reformuler un texte ou des propos lus ou prononcés par un tiers ; −− adapter sa prise de parole (attitude et niveau de langue) à la situation de communication […].

L’élève doit être capable : −− d’utiliser les langages scientifiques à l’écrit et à l’oral […] ; −− de communiquer, d’échanger, de travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir son point de vue, négocier, rechercher un consensus, accomplir sa tâche selon les règles établies en groupe.

Pour une vraie pédagogie de l’oral, l’enseignant doit favoriser les discussions argumentées et les animer sans se substituer à l’élève et en se faisant le plus discret possible. Afin d’encourager les échanges, il convient de : –– solliciter en permanence tous les élèves et les pousser à la prise de parole même pour une réponse imparfaite ou hésitante qui doit être écoutée, entendue et éventuellement complétée par les camarades ; –– utiliser l’oral pour aider à la compréhension comme le signale le Préambule pour le collège, 4.6 : certaines formulations orales peuvent constituer une aide à la compréhension. Par exemple, il est plus facile, pour un élève, de concevoir que 2/3 plus 5/3 est égal à 7/3 en verbalisant sous la forme « deux tiers plus cinq tiers est égal à sept tiers », plutôt qu’en oralisant l’écriture symbolique « 2 sur 3 plus 5 sur 3 égale 7 sur 3 » ; –– apprendre aux élèves à écouter pour analyser et corriger les erreurs, tâche qui incombe d’abord aux camarades de classe ; –– favoriser le débat argumenté entre élèves par des énoncés appropriés ; –– enrichir le langage des élèves en leur montrant l’intérêt d’un vocabulaire précis et riche, en les faisant reformuler et corriger (exemple intéressant des figures téléphonées) ; –– travailler sur l’erreur pour faire comprendre qu’elle est inhérente à tout apprentissage et permet de progresser.

Par ailleurs, il faut laisser le temps de la réflexion, ne pas exiger des réponses trop rapides et tolérer du bruit lors de travaux de groupes pour permettre le débat argumenté. Les interrogations orales de début de cours sont pour chaque élève un moyen d’apprendre et de s’évaluer. Pourquoi ne pas travailler les capacités d’analyse critique des élèves en les entraînant à évaluer la prestation de celui qui est interrogé et à la noter ?

En classe de troisième, la place de l’oral est d’autant plus importante qu’elle peut avoir un rôle décisif pour l’orientation, en particulier vers les filières professionnelles où la compétence « S’exprimer à l’oral dans une relation de communication (dialogue, échanges, écoute, respect de l’autre) » est souvent prise en compte lors du processus d’affectation.

De même, aider les élèves s’orientant vers une seconde générale et technologique à préparer un oral d’examen (baccalauréat) est important. Pour de multiples raisons, il peut donc être intéressant de proposer des « oraux » de façon occasionnelle ou plus régulière, selon les moyens dont disposent les établissements.

On peut ainsi aider les élèves en travaillant : –– la voix (niveau sonore, débit, ton non monocorde) ; –– le regard (regarder son auditoire, être attentif aux réactions suscitées) ; –– la gestuelle (savoir contrôler son attitude, éviter raideur, nervosité, gestes inutiles, rester calme, posé…).

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MÉTHODES n

Face à l’examinateur, il est en effet important de convaincre : –– en s’impliquant de façon dynamique ; –– en étant clair et précis en évitant pour cela un vocabulaire imprécis, inadapté, non rigoureux ; –– en montrant le cheminement de son travail et de sa pensée ; –– en n’hésitant pas à reformuler, à insister sur les points forts ; –– en étant attentif aux réactions de l’examinateur ; –– en n’hésitant pas à corriger ses erreurs et en n’oubliant pas de conclure.

Quelques exemples de sujets qui peuvent être proposés à l’oral Sujet 1 • Première partie : Restitution organisée de connaissances Soient a, b, c et d quatre nombres (b ≠ 0 ; c ≠ 0 et d ≠ 0). a b

On pose A = , B =

c c et D = . b d

Que valent A + B, A – B, A × B, A ÷ B ?

Comment calculer A + D ?

• Deuxième partie : application Calculer et donner la valeur exacte la plus simple possible des nombres suivants : 3 2 3 3 10 + 5 A = 2 − ; B = − × et C = .

2 5 2 5 10 − 5 • Question BONUS On appelle « téléviseur 16/9 » un téléviseur dont la longueur de l’écran est égale aux Pour un tel téléviseur, calculer la longueur de l’écran lorsque la largeur est 41,4 cm.

16 de sa largeur.

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Sujet 2 • Première partie : Restitution organisée de connaissances Rappeler les différentes règles pour le calcul du produit de deux relatifs.

Peut-on connaître : –– Le signe de la somme de deux nombre négatifs ?

–– Le signe du quotient de deux nombres négatifs ?

–– La somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif ?

Donner un exemple simple dans chaque cas.

• Deuxième partie : application Préciser en le justifiant le signe des expressions suivantes : E = ( −5) × 7 × ( −5) × ( −2) × π

F = ( −5) × ( −7 ) × 5 × ( −2) × π × ( −7 ) G = ( −1) et H = ( −1) × ( −3) × ( −2) 13

12

Sujet 3 • Première partie : Restitution organisée de connaissances Que signifient les mots somme, différence, quotient et produit ?

Les nombres a et b sont deux entiers. Connaissant le chiffre des unités de a et le chiffre des unités de b, peut-on connaître le chiffre des unités de la somme de a et b ? du produit de a par b ? Donner des exemples et justifier la réponse.

Si de plus, le chiffre des unités de a est plus grand que le chiffre des unités de b, peut-on connaître le chiffre des unités de a − b ? Donner des exemples et justifier la réponse.

53

MÉTHODES n

PROGRESSION 1 Activités numériques Septembre

Octobre jusqu’aux vacances)

(

Novembre

Décembre (jusqu’aux vacances)

Janvier

Février (jusqu’aux vacances)

Mars

Avril (jusqu’aux vacances)

Nombres entiers, PGCD Vocabulaire, critères de divisibilité, PGCD (diviseurs communs, soustractions successives, divisions successives).

Applications (nombre premiers entre eux, fractions irréductibles, problèmes).

Le point sur les calculs Fractions (quatre opérations, enchaînements, problèmes).

Puissances (généralités, puissances de 10).

Calcul littéral 1 Programme de calcul, calculer une expression.

Développer et réduire : distributivité, produit de deux parenthèses… … Produits remarquables (formules, utiliser en géométrie, calcul mental, programmes).

Les racines carrées Définition.

Simplification (applications : calcul d’une expression, valeur exacte par Pythagore)… … Sommes algébriques.

Produits et quotients.

Développer et réduire.

Les fonctions 1 : généralités Exemple pratique.

Vocabulaire.

Calcul littéral 2 Mettre un nombre ou une lettre en facteur.

Mettre une expression en facteur.

Factoriser en utilisant un produit remarquable.

Les équations Équations du premier degré. Équation « produit nul ». Équation carrée.

Les probabilités Vocabulaire.

Notion de probabilité (une épreuve).

Propriétés.

Exemple d’expérience à deux épreuves (arbre, tableau).

Les fonctions 2 Étude d’un exemple (vocabulaire, fonction linéaire, fonction affine). Étude des fonctions linéaires (calculs, représentation, détermination…).

Activités géométriques

Informatique

Théorème de Thalès Énoncés.

Applications (calcul de longueurs, 2 droites non parallèles).

G1 : Geogebra, Thalès cas croisé.

TG1 : soustractions successives.

TG2 : algorithme d’Euclide.

La réciproque.

Agrandissement, réduction.

Stat1 : effectifs, diagrammes.

Stat2 : fréquences, effectifs cumulés.

TG3 : calcul littéral.

Les solides : généralités Les différents types.

Aires et volumes.

Les unités.

Stat3 : moyennes.

Stat4 : médianes.

AG1 : géométrie et calcul littéral.

Stat5 : quartiles.

Stat6 : étendue, synthèse.

Les solides : sections Sections d’un pavé droit (plan parallèle à une face, à une arête, dessiner en vraies grandeurs, calculer).

Sections d’un cylindre (plan parallèle à la base, plan parallèle à l’axe).

Section d’une pyramide ou d’un cône (représentation, propriété).

Agrandissement, réduction (effet sur les longueurs, les aires, les volumes).

La trigonométrie Les formules.

Calculer une longueur.

Calculer un angle. …

AG2 : une fonction découlant d’un problème de géométrie.

TG4 : image, antécédent.

TG5 : approche graphique de solution d’équation.

TG6 : résoudre une équation.

Proba1 : simulation lancer de dé.

Proba2 : lancer d’une pièce.

TG7 : fonctions sin et cos (relations trigonométriques).

… Compléments (triangle équilatéral, TG8 : problème de tarifs. carré, 30°, 45°, 60°).

G2 : angles au centre, angles inscrits.

Les angles Rappels (configurations, angles et triangles, angles et parallèles).

Angles au centre, angles inscrits.

81

91

Brevet blanc x

x

x

1-2-3-5-6- 2-4-5-67-8-9 8-9

2-3

1

2

1-3-4-6-8

5-7-8

1-4-7-9

1-3-5

1-2-3-56-10

1-3-4-7-10

6

3-6-7-9

6

6

1

14

2-6

2-3-10

5-6

5

3-4-5

8

3

10

9

1

2-3

3-6-7-8

2-3-7

1-4

1-9

12

2-3-7

1-7-8

3

Ressources Thèmes de Travaux de sur site convergence groupe

1-3 - 4 -9 1-11-14 10-11

TICE

2-3-4-6

7-8

8-10-11-13

4-7

1-4

9

2-3-6

13-14

2-3-5-6

Ouverture culturelle

6

1

Aires et volumes 1-2-3-4-7

Grandeurs composées Activités de synthèse

7-8

1-6

Configurations de l’espace

Figures planes

Calcul littéral

1

2-3

Calcul numérique

1-7-8

3-14

Interdisciplinarité

5-9

8

6

Oral

Probabilités

Statistiques

Fonctions

Connaissance des métiers

7

7-11-12

7

7

Activités ludiques

x

2-4-5-6-9

1-4

3-4-6-7

2-3-7-8

6-7-9

12

2-3-6-7-811-14

4-10

6

10-11-12

Liaison 3e - 2de

5-8

5-6-7-11

Calcul mental

3-4-5

2-4-9-11

2-3-7-8

3-7-8

7-8-14

Problèmes à prise d’initiative

Tableau synoptique

ACTIVITÉS : AIRES ET VOLUMES n

8. Aires et volumes ACTIVITÉ 1 : L’OR BLEU Objectifs : promotion d’un comportement économe.

Prérequis : conversions d’unités, proportionnalité, pourcentages, construction et lecture de diagrammes, échelles.

Partie 1 : Il convient de construire avec les élèves le tableau ci-dessous pour effectuer les conversions demandées. m3 kL

hL

dm3 daL

L

dL

cm3 cL

mm3 mL

1. Le volume d’eau nécessaire pour produire 1 kg de coton est de 5,3 m3. Exprimer cette quantité en L. 2. Il faut 500 L d’eau pour fabriquer 1 kg de papier. Exprimer ce volume d'eau en m3.

Source : CNRS - Dossier scientifique : l’eau

Partie 2 : 1. Le tableau ci-dessous représente la répartition de la consommation en eau des foyers français. a. Représenter la situation par un diagramme circulaire sans oublier d’indiquer le titre et la légende.

Ce travail peut être mené sur tableur. On peut amener les élèves à dire que les lignes apparaissant sur fond rouge correspondent aux postes de consommation pouvant utiliser l’eau de pluie, conformément à la législation française.

Bains et douches W.C. Linge Vaisselle Préparation de la nourriture Usages domestiques divers Lavage de la voiture et arrosage du jardin

39 % 20 % 12 % 10 % 6% 6% 6%

Eau à boire

1%

Source : Cemagref, ENGEES, Ministère chargé de l’écologie - 2002

b. Une famille de quatre personnes consomme 120 m3 d’eau par an. Quelle quantité d’eau en L les bains et douches représentent-ils pour cette famille de quatre personnes sur une année ?

2. Durant une journée pluvieuse de novembre, il est tombé 38 mm d’eau. a. Quelle est alors la quantité d’eau en L tombée sur une surface horizontale de 1 m2 ? b. Sans faire de calculs, quelle quantité d’eau de pluie en L peut-on récupérer par m2 de surface horizontale si l’on sait qu’il est tombé 26 mm d’eau ?

1m 38 mm 1m

183