Mathématiques en classe de sixième

SOMMAIRE n n Textes officiels • Disciplines scientifiques et technologiques - Introduction commune .............................................................11 • Préambule pour le collège .............................................................................................................................. 24 • Programme de l’enseignement des mathématiques - Classe de sixième ...................................................... 31

• Socle commun de connaissances et de compétences ..................................................................................... 37 n Méthodes 1. Enseignement des mathématiques en cycle 3 ................................................................................................43 2. Articulation école-collège ...............................................................................................................................45 3. Tâches complexes ...........................................................................................................................................49 4. Automatisation et entraînement .....................................................................................................................51 5. Apprentissage de l’espace du primaire au collège .........................................................................................54 6. Donner du sens aux apprentissages ...............................................................................................................56 7. Grandeurs et mesures, organisation et gestion de données ..........................................................................58 8. Organisation et gestion de données. Proportionnalité ...................................................................................59 9. Différenciation au sein de la classe et PPRE ..................................................................................................60 10. Apprentissage du cours de mathématiques....................................................................................................61 11. Expression et maîtrise de la langue ...............................................................................................................62 12. L’oral ...............................................................................................................................................................64 13. Travaux de groupe ..........................................................................................................................................66 14. Les différentes formules de calcul .................................................................................................................67 15. Usage des TUIC ...............................................................................................................................................70 16. Travaux écrits des élèves ................................................................................................................................72 17. Progressions ...................................................................................................................................................80

n Activités Tableau synoptique................................................................................................................................................ 85 • Organisation et gestion de données 1. Proportionnalité ............................................................................................................................................. 86 2. Organisation et gestion de données ................................................................................................................94 • Nombres et calculs 3. Nombres entiers et décimaux .......................................................................................................................106 4. Fractions .......................................................................................................................................................108 5. Opérations .....................................................................................................................................................114 • Géométrie 6. Figures planes ...............................................................................................................................................129 7. Symétrie orthogonale ...................................................................................................................................145 8. Espace............................................................................................................................................................162 • Grandeurs et mesures 9. Longueurs, masses, durées ..........................................................................................................................174 10. Angles .........................................................................................................................................................184 11. Aires.............................................................................................................................................................189 12. Volumes ......................................................................................................................................................200 • 13. Activités de synthèse .................................................................................................................................. 204

n Médiagraphie • Sites de référence ............................................................................................................................................ 223 • Logiciels mathématiques libres ou gratuits .....................................................................................................224 • Bibliographie ................................................................................................................................................... 226

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n MATHÉMATIQUES EN CLASSE DE SIXIÈME

11. Expression et maîtrise de la langue L’ÉTYMOLOGIE ET LA FORMATION DES MOTS MATHÉMATIQUES AU SERVICE DES APPRENTISSAGES De l’école primaire à l’université, l’acquisition de connaissances s’accompagne dans toutes les disciplines de l’apprentissage d’un lexique spécifique. Les mathématiques ne font pas exception : des mots comme « diamètre », « polygone », « rectangle », sont utilisés par les enseignants qui en donnent le sens, le plus souvent en associant directement le mot au concept visé. Ce n’est que très rarement qu’une étude linguistique, portant non sur le sens mais sur la formation même des mots, est réalisée à l’apparition de ces nouveaux termes. Pourtant, lier ces deux apprentissages favorise le développement de la maîtrise de la langue ainsi que celui des concepts désignés par ces mots.

Dès l’école, l’élève rencontre de nombreux mots spécifiques au cours de son activité mathématique. Pour la majorité des enfants, chacun de ces mots semble exister indépendamment des autres mots de la langue, qu’il soit mathématique ou plus généraliste. Cette impression participe d’ailleurs à la création d’un cloisonnement dans l’esprit de certains, entre « monde mathématique » et « réalité du quotidien ». L’abondance de ces mots spécifiques, dont la compréhension et la mémorisation sont attendues, place très (trop) souvent l’élève sous le poids de la langue. Or, les mots obéissent à certains principes généraux de formation dont la découverte peut permettre d’émettre des conjectures sur le sens pour soulager la mémoire de l’élève. « Carré – kilomètre – triangle – hauteur – dixième – périmètre – largeur – côté – losange – polygone – inégal – angle » sont des mots rencontrés par les élèves dès le début des apprentissages mathématiques. Ces mots ne sont pas tous formés de la même façon. On peut les classer en trois catégories principales : –– les mots « simples » Ces mots peuvent être considérés comme un tout, non sécable en parties plus élémentaires. Dans la liste ci-dessus, « carré », « côté », « losange », « angle » sont des mots simples.

–– les mots obtenus par dérivation Dans la langue française, on peut créer des mots nouveaux en ajoutant un préfixe ou un suffixe à un radical. Parmi les exemples ci-dessus, « hauteur », « dixième », « largeur » et « inégal » entrent dans cette catégorie.

–– les mots obtenus par « composition savante » La composition savante de mots consiste à concaténer deux éléments provenant généralement d’une langue ancienne (le grec ou le latin le plus souvent) ayant chacun un sens propre dans cette langue et dont le sens commun contribue au sens du mot ainsi composé. Les mots « kilomètre », « triangle », « périmètre », « polygone » ont été fabriqués de la sorte (certains dès l’Antiquité, comme « triangle » qui provient du latin triangulum).

La grande richesse des mots issus d’une composition savante et leur fréquence en mathématiques (étonnante a priori pour les élèves) invite à une attention plus soutenue. Prendre le temps d’analyser collectivement un mot (nouveau ou pas) permet aux élèves de donner du sens non seulement à ce mot lui-même, mais aussi au concept abordé. Ainsi, au cycle 3 et à l’entrée en sixième, de nombreux élèves confondent les termes d’aire et de périmètre. Les formules apprises par cœur et appliquées parfois sans discernement ne les aident pas vraiment.

L’élève qui aura rencontré le mot « périmètre » et découvert ses deux parties péri- (autour) et -mètre (mesure) construira davantage le sens de la notion et risquera moins de la confondre avec celle d’aire.

L’accroissement du nombre de mots savants rencontrés par les élèves en mathématiques nécessite de leur part un effort de mémoire qui peut être facilité par la décomposition des mots et la mémorisation du sens d’un nombre réduit d’éléments. Les élèves peuvent ainsi émettre des conjectures sur le sens de nombreux mots nouveaux.

Le sens ainsi décodé des mots contribue aussi à renforcer la compréhension des concepts qu’ils désignent. Le professeur, par l’attention particulière qu’il porte avec les élèves aux nouveaux termes rencontrés : –– propose à sa classe une démarche scientifique pour explorer les mots savants et découvrir leur formation, éveillant ainsi la curiosité des élèves (encore grande au début du collège !) sur le sens de ces mots puis la façon dont ils sont formés ; –– construit progressivement un outil pratique avec les élèves pour utiliser les éléments connus dans d’autres disciplines ; –– habitue les élèves à analyser spontanément les mots savants rencontrés et à mobiliser le corpus d’éléments de mots déjà vus, ce qui contribue à leur mémorisation définitive.

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MÉTHODES n

Cette démarche liée à la formation des mots peut se mener à tout moment selon les connaissances réelles et pratiques des élèves, les modalités et le contenu étant ajustés en fonction de la situation d’apprentissage et du niveau d’enseignement.

Pour enrichir cette démarche, le professeur peut proposer (seul ou en collaboration avec un professeur de français) plusieurs activités tout au long de son enseignement disciplinaire : –– réaliser une collection de mots mathématiques : ces mots « compliqués » peuvent être stockés dans une « boîte à mots mathématiques » collective ou un lexique individuel, au fur et à mesure des rencontres (cette collection pourra constituer le corpus de départ d’analyse pour un éventuel travail en français) ; –– déclencher une recherche : on peut demander aux élèves de dénommer un objet nouveau quand le besoin apparaît ; inversement, on peut interroger sur le sens d’un mot à partir de l’examen de sa composition ; –– classer des mots : le classement proposé par les élèves peut être basé sur leurs propres critères (souvent d’ordre sémantique : formes géométriques, nombres…) ou sur la formation des mots (la manière dont ils se terminent ou commencent…) ; –– l’usage fréquent d’un dictionnaire de langue, puis la création d’un dictionnaire mathématique dans le but d’enrichir le vocabulaire et de donner davantage de sens aux concepts désignés par les mots employés.

Ainsi la recherche de l’étymologie du mot « angle » permet-elle de faire le lien avec l’objet mathématique lui-même. En effet, « angle » vient du grec agkôn qui signifie coude (le mot anglais ankle qui désigne la cheville a d’ailleurs la même racine) et on peut visualiser les différents types d’angles à l’aide du bras et de l’avant-bras. Pour une recherche simple de l’étymologie des principaux termes mathématiques employés au collège, on pourra se référer au Dico de mathématiques (collège et CM2) de Stella Baruk.

Cette démarche développe de nombreuses compétences dans le cadre de la maîtrise de la langue et trouve tout son sens dans l’activité mathématique. Elle favorise le transfert des compétences et des connaissances sur la formation des mots savants dans de nombreuses disciplines (notamment scientifiques) : la mémorisation est facilitée, les erreurs de compréhension sont réduites, ce qui constitue un gain de temps précieux. Les élèves de sixième, spontanés et volontaires pour la plupart, prennent goût et plaisir à cette recherche autour de la langue en raison de sa fonction pratique, mais surtout par la curiosité qu’elle éveille.

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MÉTHODES n

PROGRESSION 2 Activités géométriques

Activités numériques

Septembre

La règle et l’équerre : Vocabulaire de géométrie.

Droites perpendiculaires.

Les nombres entiers et décimaux : désignations, ordre avec axe gradué, valeurs approchées décimales.

Octobre

Droites parallèles.

Les nombres entiers et décimaux : opérations (addition, soustraction et multiplication). Tables.

Novembre

Le compas : Cercles, report de longueurs, périmètres et unités.

Problèmes.

Ordre de grandeur.

Décembre

Le rapporteur : Les angles.

Parallélépipèdes rectangles : Étude géométrique, patrons, perspective cavalière.

Division euclidienne.

Multiples et diviseurs.

Divisibilité par 2,4, 5, 3 et 9.

Problèmes.

Janvier

Symétrie axiale : Définition, constructions.

Division décimale (valeur approchée, diviser par 10, 100, 1 000…).

Février

Médiatrice d’un segment, propriétés de conservation.

Bissectrice d’un angle.

Les fractions : caractérisation, axe gradué, fractions équivalentes.

Mars

Les aires (donner du sens avant les formules).

Figures clés : Produit d’un entier ou décimal par un quotient.

Triangles usuels et quadrilatères usuels (rectangle, losange « Petits » problèmes. et carré).

Avril

Construction de figures usuelles et complexes.

Bilan gestion de données : Tableaux

Mai

Les aires (synthèse avec formules).

Bilan proportionnalité : Problèmes, pourcentages…

Juin

Parallélépipèdes rectangles : Volumes.

Bilan gestion de données, diagrammes en bâtons, circulaires, semi-circulaires, graphiques cartésiens).

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n MATHÉMATIQUES EN CLASSE DE SIXIÈME

12. Volumes ACTIVITÉ 1 : BRIQUE DE LAIT Objectif : proposer une situation d’optimisation.

Prérequis : volume du pavé droit, aire du rectangle et unités de volume et de capacité.

Le bureau d’études d’une société laitière propose trois possibilités pour les dimensions d’une nouvelle brique devant contenir exactement 1 L de lait bio :

Brique A : 5 cm, 10 cm et 20 cm.

Lait h

Brique B : 5 cm, 12 cm et 15 cm.

Brique C : 5 cm, 8 cm et 25 cm.

l

L

Tu pourras t’aider des tableaux situés au bas de la page pour répondre aux questions suivantes : 1. Tu es le chef de ce bureau d’études et lors d’une réunion de travail, deux collègues te disent : Jérémy : « Nous nous sommes trompés pour les dimensions d’une des briques de lait qui ne pourra pas convenir. » Béatrice : « Pour les deux autres, il faudra garder celle qui utilise la plus petite surface d’emballage. » Quelle brique finalement vas-tu retenir pour la fabrication ? Explique.

2. Alors que tout semble prêt pour la fabrication, deux autres collègues disent : David : « Je suis certain que l’on peut concevoir une brique de 1 L encore plus écologique… » Olga : .« Oui mais tu oublies qu’il faut absolument garder la dimension de 5 cm afin que les enfants puissent facilement prendre dans leur main la brique de lait » David : « Même en gardant la dimension de 5 cm, je suis sûr qu’on peut fabriquer une brique de 1 L plus écologique ! » Quelles peuvent être les dimensions de la brique de lait à laquelle pense David ? Explique.

Formulaire Volume d’un pavé droit de dimensions L, l, h

V=L l h

Aire d’un rectangle de dimensions L et l

A=L l

Tableau de conversion des unités de volume et de capacité m3 kL

hL

dm3 daL

L

dL

cm3 cL

mm3 mL

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