Didáctica de la Matemática II

EDUCACIÓN BÁSICA 7MO "A"

a l e d a c i t c á d i D I I a c i t á m e Mat

Estudiante: Cristina Castillo Docente: Jaime E. Chillogallo O.

La disciplina es el puente entre las metas y los logros.

UNIDAD I

Preliminares Álgebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

Notación Algebraica Los símbolos usados en Álgebra para representar cantidades son los números y las letras.

Fórmulas La fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

CARÁCTER DEL ÁLGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMÉTICA En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados.

En álgebra para lograr la generalización las cantidades se representan por medio de letras las cuales pueden representar todos los valores.

SIGNOS DEL ÁLGEBRA Los Signos empleados en Álgebra son de tres clases: Signos de Operación, signos de relación y signos de agrupación.

Coeficiente En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado. coeficiente del otro factor, existen coeficientes numéricos y coeficientes literales.

Signos de Operación En Álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: Suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y extracción de raíces.

Signos de Relación Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. =, que se lee igual a. >, que se lee mayor que. <, que se lee mayor que.

Signos de Agrupación Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo .

CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o ¡nodo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y -.

Valor absoluto y valor relativo Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y el valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo.

Cantidades aritméticas y algebraicas Cantidades aritméticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por lis números.

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio del signo.

NOMENCLATURA ALGEBRAICA Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Término Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -

Clases de términos Término entero es el que no tiene denominador.

Término fraccionario es el que tiene denominador literal.

Término racional es el que no tiene radical.

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto.

Términos heterogéneos son los que tienen distinto grado absoluto.

El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra.

Clasificación de las expresiones algebraicas Monomio

Polinomio

El Grado

Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

De un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Clases de polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, fraccionario cuando alguno de sus términos tienen letras en el denominador, racional cuando no contiene radicales, irracional cuando no contiene radical, homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.

Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos lo exponentes sucesivos de dicha letra.

Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo

Ordenar un polinomio Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.

Término independiente de un polinomio con relación a una letra Es el término que no tiene dicha letra.

Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

Reducción de términos semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Regla: Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejercicio 7. Reducir:

2. Reducción de términos semejantes de distinto signo Regla: Se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejercicio 8. Reducir:

3. Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos Regla: Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo termino los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

Ejercicio 9. Reducir:

Criterios de divisibilidad Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Criterio de divisibilidad del 2 Un número es divisible entre 2 si termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8), es decir, si el número es par.

Por ejemplo: 234 es divisible entre 2, porque termina en 4.

2758 es divisible entre 2, porque termina en 8.

Criterio de divisibilidad del 3 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Por ejemplo: 45 es divisible entre 3, porque 4+5=9, y 9 es múltiplo de 3 (9=3·3).

35472 es divisible entre 3, porque 3+5+4+7+2=21, y 21 es múltiplo de 3 (21=3·7).

Criterio de divisibilidad del 5 Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.

Por ejemplo: 325 es divisible entre 5, porque termina en 5.

23670 es divisible entre 5, porque termina en 0.

Criterio de divisibilidad del 6 Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez, es decir, cuando es par y divisible entre 3.

Por ejemplo: 162 es divisible entre que es una cifra par) 318 es divisible entre que es una cifra par)

6, porque es divisible entre 2 (termina en 2, y entre 3 (1+6+2=9, que es múltiplo de 3).

6, porque es divisible entre 2 (termina en 8, y entre 3 (3+1+8=12, que es múltiplo de 3).

Criterio de divisibilidad del 9 Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Por ejemplo: 1845 es divisible entre 9, porque 1+8+4+5=18, y 18 es múltiplo de 9 (18=9·2).

39744 es divisible entre 3, porque 3+7+4+4=18 (el 9 no lo hemos sumado), y 18 es múltiplo de 9 (18=9·2).

Criterio de divisibilidad del 10 Un número es divisible entre 10 si termina en 0.

Por ejemplo: 340 es divisible entre 10, porque termina en 0.

23480 es divisible entre 10, porque termina en 0.

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

Ejercicio 10.

Reducir los polinomios siguientes

Valor numérico Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados efectuar después las operaciones indicadas.

Ejercicio 11.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a =1, b =2, c = 3, m =1/2, n =1/3, p =1/4:

Valor numérico de expresiones compuestas Ejercicio 12.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a =3, b =4, c = 1/3, d =1/2, m =6, n =1/4:

Ejercicio 13.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, m = 1/2, n = 2/3, p = 1/4, x= 0

SUMA La suma o adicción

Carácter general de la suma algebraica

Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma)

En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución.

Regla general para sumar Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

1

Suma de monomios Ejercicio 15. Sumar:

2

Suma de polinomios Ejercicio 16.

Hallar la suma de:

3

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios Ejercicio 18.

Hallar la suma de:

rsión e v n Co nes o i c c ra de f tas mix

Ejercicio 19.

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a= 2, b= 3, c= 10, x= 5, y= 4, m= 2/3, n= 1/5

RESTA

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y de uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).

Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.

1

Resta de monomios Ejercicio 20.

De:

Restar:

Regla general para restar Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.

2

Resta de polinomios

Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de sus términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos

Ejercicio 21.

De:

Ejercicio 22.

Restar:

Ejercicio 23.

De:

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios Ejercicio 24.

De:

Ejercicio 25.

Restar:

Ejercicio 26.

Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a=1, b=2, c=3, x=4, y=5, m= 3/2, n= 2/5

Suma y restas combinadas Sumas y restas combinadas de polinomios con coeficientes enteros.

Ejercicio 27.

Ejercicio 28.

Ejercicio 29.

UNIDAD II

Signos de agrupación Los signos de agrupación o paréntesis son de cuatro clases: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra.

Uso de los signos de agrupación Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad.

1

Supresión de signos de agrupación

Regla general para suprimir signos de agrupación 1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

2. Para suprimir signos de agrupación precedido del signo - se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

Ejercicio 31.

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:

Ejercicio 32..

Simplificar, suprimiendo los signos reduciendo términos semejantes:

de

agrupación

y

Multiplicación La multiplicación es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar la tercera cantidad, llamada producto.

El orden delos factores no altera el producto. Es la ley conmutativa de la multiplicación Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Esta es la ley asociativa de multiplicación.

Ley de los signos La multiplicación es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar la tercera cantidad, llamada producto.

Distinguiremos dos casos:

1

Signo del producto de dos factores: En este caso la regla es: signos iguales dan + y signos diferentes dan -

2

Lo anterior lo podemos resumirlo diciendo que:

+ por + da + - por - da + + por - da - por + da -

El signo del producto de más de dos factores El signo del producto de varios factores es + cuando tiene el número par de factores negativos o ninguno.

El signo del producto de varios factores es - cuando tiene un número impar de factores negativos.

Ley de los exponentes

Para multiplicar potencias dela misma base se escribe la misma base y se pone por exponente la suma de los exponentes de los factores

Ley de los coeficientes

El producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

3a x 4b = 3 x 4 x a x b = 12ab

Casos de la Multiplicación Distinguiremos tres casos: Multiplicación de monomios Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de polinomios

1 Multiplicación de monomios: Regla: Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores, el signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.

Ejercicio 35.

Multiplicar: