TRIÂNGULOS
Cristina Pape
2019
DEFINIÇÃO DE TRIÂNGULO ( TRES ÂNGULOS) No plano, o triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Os vértices de um triângulo são representados por letras maiúsculas e os lados são representados por letras minúsculas.
Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.
TRIÂNGULOS
O TRIÂNGULO NÃO POSSUI DIAGONAIS B )A área do triângulo é A = b x h/2; c) O perímetro é a soma dos três lados. d) Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois e maior que a sua diferença. E ) a soma dos ângulos internos é igual a 180°. f) A medida de um ângulo externo qualquer é igual à soma das medidas dos dois ângulos não adjacentes a ele.
TODO TRIÂNGULO TEM:
BASE OU LADO – É o lado do triângulo em que se supõe que ele assente. AB, AC ou BC. Sempre serão três. VÉRTICE – É o ponto de encontro dos lados. C, B , A . Sempre são três. Os vértices são representados por letras maiúsculas (A, B e C) e os lados, por letras minúsculas (a, b, c). ALTURA – é a medida de um lado ao vértice oposto, num ângulo de 90° na base e serão sempre três.
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO
Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura.
MEDIANAS : SEMPRE SÃO TRÊS Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. É um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice.
O ponto de encontro das medianas chama-se BARICENTRO (Ê o centro de gravidadetriângulo
BISSETRIZ : SÃO SEMPRE 3 Bissetriz é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.
O ponto sempre interno de encontro das bissetrizes de um triângulo chama-se INCENTRO, e é o ponto usado para inscrever uma circunferência.
MEDIATRIZ : SÃO SEMPRE TRÊS É a perpendicular traçada pelo meio de cada lado do triângulo. O ponto de encontro das mediatrizes chama-se CIRCUNCENTRO. É o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos A e B distintos. O traçado da mediatriz determina, consequentemente, o ponto médio de um segmento AB
CEVIANAS SÃO INFINITAS NOS TRIÂNGULOS
São linhas que, partindo do vértice, tocam em um ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vértice. Em um triângulo existem infinitas CEVIANAS.
O triângulo retângulo, devido à sua larga aplicação, tem nomes especiais para as CEVIANAS: HIPOTENUSA e CATETOS.
QUANTO AOS ÂNGULOS Os triângulos podem ser classificados de acordo com seus lados e seus ângulos internos. Além disso, um triângulo pode ser mais de um tipo ao mesmo tempo
Triangulo Retângulo Possui um ângulo interno reto ( com 90° ) Os demais ângulos são chamados de complementares, cuja soma é igual a 90º. No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os lados adjacentes e oposto ao ângulo são chamados de catetos.
Triângulo Acutângulo : Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo obtusângulo Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
ALTURA DOS TRIÂNGULOS
Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto.
Triângulo acutângulo
O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC.
Triângulo retângulo
Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG.
Triângulo obtusângulo
A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do Δ
TEOREMA DE PITÁGORAS
É uma relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo.
Afirma que: “em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c)
TRIÂNGULOS SEMELHANTES: Ângulos iguais e diferentes proporções
TRIÂNGULOS EQUIVALENTES Possuem a mesma base com alturas diferentes ( seria o vértice em outra posição?), o que significa que jamais serão equiláteros.
QUANTO ÀS DIMENSÕES DOS LADOS:
a)Equilátero : Os três lados possuem dimensões iguais ,
Um triângulo equilátero é todo triângulo em que os três lados são iguais [Geometria euclidiana|, triângulos equiláteros também são
equiangulares, isto é, todos os três ângulos internos são congruentes um com o outro e medem 60°
b)Isósceles : Possui dois lados com dimensões iguais
Um triângulo é isósceles, se, e somente se, ele tem 2 lados iguais. Obs.: Entende-se, nessa definição, que o triângulo tenha pelo menos dois lados iguais. . É claro que um triângulo retângulo pode ter os catetos de mesma medida; trata-se de um triângulo retângulo e isósceles.
c)Escaleno : Tem os três lados com dimensões diferentes
Triângulo escaleno é um polígono que possui três lados, todos com medidas diferentes. Assim sendo, os triângulos escalenos não são polígonos regulares e nem possuem eixo de simetria. O perímetro de um triângulo escaleno é encontrado somando todos os lados e o valor da soma dos seus ângulos internos é igual a 180º.
TRIÂNGULO SAGRADO DOS ANTIGOS EGÍPCIOS
Manter sempre a proporção 3 : 4 : 5 3 x 5 = 15 cm 4 x 5 = 20 cm 5 x 5 = 25 cm
RELACÃO DO TRIÂNGULO DE PASCAL E SIERPINSKI
O triângulo de Pascal se constrói de cima para baixo, da seguinte maneira: 1 – O primeiro elemento é sempre 1 2 – A fileira seguinte é formada por dois elementos, sendo cada um o número 1. 3 – Nas fileiras subsequentes haverá um elemento a mais que na anterior, com a propriedade que o primeiro e o ultimo serão sempre o numero 1. Os elementos interiores serão o resultado da soma do elemento que se situa acima dele e o adjacente da fila superior.
TRIÂNGULO DE PASCAL UMA FORMA DE REPRESENTAR
COMEÇANDO A INTERFERIR NO TRIÂNGULO
Algumas propriedades: 1.
O triângulo é simétrico
2.
Os números de cada fila coincidem com os coeficientes do
desenvolvimento do binômio (1+x)^n Para chegarmos ao Triângulo de Sierpinski, tomemos o triângulo de Pascal e desenhemos uns triângulos sobre o mesmo da seguinte maneira. Se colorirmos os triângulos que contem números pares e os que não têm números, obteremos o triângulo de Sierpinski.
Publicação sem fins lucrativos