Vestibular matemática

 Dados Tabelados não agrupados em classe – os valores da variável aparecem individualmente.

ESTATÍSTICA Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique. Os fenômenos estudados pela estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação, varia de uma observação para outra.

O conceito de população é intuitivo; trata-se do conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo.  Amostra – é um subconjunto da população;  Amostragem – são procedimentos para extração de amostras que representem bem a população;  Risco – é a margem de erro motivado pelo fato de investigarmos parcialmente (amostras) o universo (população);  População-alvo – é a população sobre a qual se faz inferências baseadas na amostra.  Espaço Amostral – o espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis resultados deste experimento.  Evento Aleatório – é qualquer subconjunto de um espaço amostral. É também resultado obtido de cada experimento aleatório, que não é previsível.

A Frequência de uma observação é o número de repetições desta observação, ou seja, quantas vezes determinado fenômeno acontece.

Este estudo tem como objetivo mostrar a organização, apresentação e análise gráfica de uma série de dados, matéria prima das distribuições de frequências e histogramas. Os dados podem ser classificados como:  Dados Brutos – são os dados originais, que ainda não se encontram prontos para análise, por não estarem numericamente organizados.

Considerando os dados da tabela anterior: Nº de aparelhos com defeito.

0 1 2 3 4 5 6 Total:

 Rol – são os dados brutos, organizados em ordem crescente ou decrescente.

Considerando o exemplo anterior, temos: J F M A M J J A S O N D 2011 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2012 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2013 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 2014 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6

06 11 09 08 08 05 01 48

Dados Tabelados agrupados em classe – os valores da variável não aparecem individualmente, mas agrupados em classe.

Nº de aparelhos com defeito.

Nº de meses.

0; 2 2; 4 4; 6 6; 8

17 17 13 01

Total:

48

As frequências, subdividimos em: - frequência simples ou absoluta

ni  -

são os valores

que realmente representam o número de dados de cada atributo ou classe. A soma das frequências simples é igual ao número total de dados.

- frequência relativa

 fi 

- são os valores das razões

entre as frequências simples e o número total de dados.

fi  - frequência acumulada

Número mensal de aparelhos defeituosos na empresa X: J F M A M J J A S O N D 2011 6 2 5 1 0 3 2 1 3 5 5 3 2012 5 4 2 1 3 4 1 4 5 4 0 1 2013 3 1 2 4 3 1 4 1 0 3 0 2 2014 2 2 0 3 1 4 2 0 1 1 5 2

Nº de meses.

ni n

N i 

- é o total das

frequências de todos os valores inferiores ou igual ao atributo ou classe.

- frequência acumulada relativa

Fi  - é a frequência

acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.

Fi 

Ni n

Exemplo de tabela de frequências para dados não agrupados em classes.

Uma pesquisa realizada com 20 famílias sobre a quantidade de carros, obtendo os seguintes resultados

#ORGULHODESERPRÓ |

1

N° DE VEÍCULOS

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi

0 1 2 3 4 Total

6 8 3 2 1 20

30% 40% 15% 10% 5% 100%

6 14 17 19 20 20

30% 70% 85% 95% 100% 100%

Exemplo de tabela de frequências para dados agrupados em classes.

Uma pesquisa realizada com um grupo de 20 pessoas sobre suas idades, obtendo os seguintes resultados: IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi 15% 25% 35% 20% 5% 100%

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni 3 8 15 19 20 20

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi 15% 40% 75% 95% 100% 100%

Os dados, agrupados em classes ou não, podem ser apresentados na forma de gráficos:  Gráfico de Setor (disco de pizza): a frequência absoluta de cada atributo ou classe é diretamente proporcional ao ângulo central de cada setor.

IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi 15% 25% 35% 20% 5% 100%

ÂNGULO CENTRAL 54° 90° 126° 72° 18° 360°

 Gráfico de Frequência Absoluta: pode ser construído um histograma ou ligando-se os pontos médios de cada classe, temos uma linha poligonal.

IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total 

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi 15% 25% 35% 20% 5% 100%

Gráfico de Frequência Acumulada: pode ser construído um histograma ou ligando-se os pontos médios de cada classe, temos uma linha poligonal.

2 | Pró Floripa

IDADES

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

3 8 15 19 20 20

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi 15% 40% 75% 95% 100% 100%

 

 Média Aritmética Simples X : é o quociente da divisão entre a soma dos valores da variável e a quantidade de valores somados. A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as medidas descritivas.

Para dados não tabelados, temos:



Moda

M o  :

é o valor que ocorre com maior

frequência em um conjunto de dados, e que é denominado valor modal. Baseado neste contexto, um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda. Neste caso, dizemos ser multimodais; caso contrário, quando não existe um valor predominante, dizemos que é amodal.

n

X

x i 1

Para dados não tabelados, temos que o valor modal é o predominante na distribuição, o que apresentar maior frequência absoluta.

i

n

Ex.: Nos valores abaixo, qual o valor modal?

x i  valor observado n  número total de observações.

onde:

3

4

4

5

6

Ex.: Suponha de o tempo de vida útil de 10 aparelhos de telefone são: 10

29

26

28

15

23

17

25

0

20

Qual a média de vida útil destes aparelhos?

10

X

x i 1

10

i



10  29  26  28  15  23  17  25  0  20 193   19,3 10 10

Para dados tabelados com intervalo de classe, temos: n

X onde:

x i 1

i

n

x i  ponto médio de cada classe n  número total de observações.

Ponto Médio da Classe

 xi 

- é, como o próprio nome já

diz, o ponto que divide o intervalo em duas partes iguais.

Para obter o pronto médio de uma classe, calculamos:

xi 

Linf  Lsup 2

 

3 15  5  25  7  35  4  45  1 55 20 45  125  245  180  55 650 Média X    32,5 20 20

 

8

9

9

9

10

11

12

Mo  9 Para dados tabelados com intervalo de classe, a moda não é percebida tão facilmente como nos casos anteriores. Para calcular o valor modal nestes casos, podemos utilizar o processo de Czuber.

  nmo  nant  M 0  Linf  hMo    n  n   n  n   mo ant mo post   onde constatamos: Classe Modal: Classe de maior frequência.

nmo  frequência simples da classe mo dal nant  frequência simples anterior à classe mo dal n post  frequência simples porterior à classe mo dal Linf  Limite i nferior da classe mo dal hM 0  Intervalo da classe mo dal Ex.: IDADES

Ex.:

Média X 

7

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

#ORGULHODESERPRÓ |

3

IDADES

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni 3 8 15 19 20 20

  f mo  f ant  Moda M o   Linf  hMo     f  f    f  f  ant mo post   mo   75  Moda M o   30  10    7  5  7  4   2  Moda M o   30  10     23 2 Moda M o   30  10   30  4  34 5  Mediana

M d  : divide o conjunto em duas partes iguais,

com o mesmo número de elementos. O valor da mediana encontra-se no centro da série estatística organizada, de tal forma que o número de elementos situados antes deste valor (mediana) é igual ao número de elementos que se encontram após este mesmo valor (mediana).

Para dados não tabelados temos duas possibilidades: com quantidade par e ímpar de termos.

- para uma série com número ímpar de itens: a mediana corresponde ao valor central.

 n  1 .  2 

n ímpar : a mediana será o termo de ordem 

n Md  frequência simples absoluta na classe mediana N ant  frequência acumulada anterior à classe mediana Linf  Limite i nferior da classe mediana hMd  Intervalo da classe mediana

n   N ant MedianaM d   Linf  hMd   2  n Md    20  8   MedianaM d   30  10   2  7      2 20 MedianaM d   30  10   30  7 7 230 MedianaM d    32,85 7

Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. Tanto a variância quanto o desvio padrão são medidas que fornecem informações complementares à informação contida na média aritmética. Estas medidas avaliam a dispersão do conjunto de valores em análise.

 

2  Variância  : Para calcularmos a variância, devemos

considerar os desvios de cada valor em relação à média aritmética. Depois, construímos uma espécie de média com os quadrados destes desvios.

Dados não tabelados:

n n  de ordem   e   1  2  2 .

M d  Linf  hMd

n   N ant  2  n Md  

     

onde temos: Classe Mediana: classe onde está o elemento mediano.

4 | Pró Floripa

2 

i 1

i

x



2

n 1

Dados com intervalo de classe:



Para dados tabelados com intervalo de classe, devemos primeiro localizar a classe mediana, para então calcularmos o seu valor pela fórmula:

 x n

- para uma série com um número par de itens: não há um único termo central, portanto a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais:

n par : a mediana será a média aritmética entre os termos

     

2

x 

2 i

 ni

n 1

  x i  ni   n 1 

   

2

onde temos que: - para dados agrupados sem intervalos de classe,

xi é o

valor da variável; - para dados agrupados com intervalos de classe,

xi é o

ponto médio da classe.

- para dados agrupados com intervalos de classe,

ni é a

frequência absoluta do intervalo de classe.  Desvio Padrão   : o desvio padrão determina a dispersão dos valores em relação à média e é calculado através da raiz quadrada da variância.

  2 Ao compararmos os desvios padrão de vários conjuntos de dados, podemos avaliar quais se distribuem de forma mais (ou menos) dispersa. O desvio padrão será sempre não negativo e será tão maior quanto mais dispersos forem os valores observados.

Ex.: Comparativo entre o rendimento de duas turmas A e B que tiveram a mesma média aritmética.

Turma A: Notas da 5 5 6 6 turma A Desvios -1 -1 0 0 Médios Quadrados +1 +1 0 0 dos Desvios Médios 55666677 XA 8 1  1  0  0  0  0 11  A2  8

A 

1 1 2   2 2 2

Turma B: Notas da turma B Desvios Médios Quadrados dos Desvios Médios

6

7

7

0

0

+1

+1

0

0

+1

+1



X A 6



2 



A 

A

2. (ENEM/2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico.

Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

1 2 2 2

0

5

6

7

7

7

8

8

-6

-1

0

+1

+1

+1

+2

+2

+36

+1

0

+1

+1

+1

+4

+4

05677788 8 36  1  0  1  11 4  4  B2  8 B  6 XB 

6

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é: a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00.



XB 6



2 6



B  6

B

1. (ENEM/2013) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor nota, atribuídas ao professor.

A nova média, em relação à média anterior, é: a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior, c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.

3.

(ENEM/2012) O gráfico apresenta o comportamento de

emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Disponível em: www.mte.gov.br. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado)

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5

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: a) 212 952. b) 229 913. c) 240 621. d) 255 496. e) 298 041.

4. (ENEM/2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009: Região Norte Nordeste Centro - Oeste Sudeste Sul

2005 2% 18% 5% 55% 21%

2006 2% 19% 6% 61% 12%

2007 2008 2009 1% 2% 1% 21% 15% 19% ' 7% 8% 9% 58% 66% 60% 13% 9% 11%

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste? a) 14,6% b) 18,2% c) 18,4% d) 19,0% e) 21,0%

5. (ENEM/2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.

As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Dia do mês Temperatur a (em º C) 1 15,5 3 14 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20 13 13,5 15 13,5 17 18 19 20 21 18,5 23 13,5 25 21,5 27 20 29 16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C. b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C. c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.

6 | Pró Floripa

d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.

6. (ENEM/2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Quantidade de Gols marcados partidas 0 5 1 3 2 4 3 3 4 2 5 2 6 1 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X. d) Z < X < Y. e) Z < Y < X.

7. (ENEM/2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols

8. (ENEM/2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

10. (ENEM/2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre: 2 2 a) 100 km e 900 km .

2 2 b) 1 000 km e 2 700 km .

2 2 c) 2 800 km e 3 200 km .

2 2 d) 3 300 km e 4 000 km .

2 2 e) 4 100 km e 5 800 km .

9. (ENEM/2010) Com o intuito de tentar prever a data e o valor do reajuste do próximo salário mínimo, José primeiramente observou o quadro dos reajustes do salário mínimo de abril de 2000 até fevereiro de 2009, mostrada a seguir. Ele procedeu da seguinte maneira: computou o menor e o maior intervalo entre dois reajustes e computou a média dos valores encontrados, e usou este resultado para predizer a data do próximo aumento. Em seguida, determinou o menor e o maior reajuste percentual ocorrido, tomou a média e usou este resultado para determinar o valor aproximado do próximo salário.

Produção Emissão de dióxido de carbono (em toneladas) (em partes por milhão - ppm) 1,1 2,14 1,2 2,30 1,3 2,46 1,4 2,64 1,5 2,83 1,6 3,03 1,7 3,25 1,8 3,48 1,9 3,73 2,0 4,00

Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.

Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80.

11. (ENEM/2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Outubro Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março Abril

Cotação R$ 83,00 R$ 73,10 R$ 81,60 R$ 82,00 R$ 85,30 R$ 84,00 R$ 84,60

Ano 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

De acordo com os cálculos de José, a data do novo reajuste do salário mínimo e o novo valor aproximado do mesmo seriam, respectivamente: a) fevereiro de 2010 e R$ 530,89. b) fevereiro de 2010 e R$ 500,00. c) fevereiro de 2010 e R$ 527,27. d) janeiro de 2010 e R$ 530,89. e) janeiro de 2010 e R$ 500,00.

12. (ENEM/2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.

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7

Investimen tos Bilaterais (em milhões de dólares) Ano Brasil na França França no Brasil 2003 367 825 2004 357 485 2005 354 1.458 2006 539 744 2007 280 1.214 Disponível em: www.cartacapital.com.br.

Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor: a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares.

13. (USP Escola Politécnica/2014) Uma amostra de 8 jardineiros, que trabalhavam em um bairro nobre da cidade, respondeu à pergunta sobre o preço cobrado por dia de trabalho. Os jardineiros foram designados por A, B, C, D, E, F, G, H, para não serem identificados. Suas respostas aparecem na seguinte tabela:

a) a média; b) a mediana.

15.

(UEG GO/2013) A professora Maria Paula registrou as

notas de sete alunos, obtendo os seguintes valores: 2, 7, 5, 3, 4, 7 e 8. A mediana e a moda das notas desses alunos são, respectivamente: a) 3 e 7 b) 3 e 8 c) 5 e 7 d) 5 e 8

16. (UPE/2013) Os dois conjuntos P e L, de 12 valores cada, representam, respectivamente, as idades das atletas das equipes de vôlei feminino da Seleção Brasileira nos Jogos Olímpicos de Pequim, em 2008 e nos Jogos Olímpicos de Londres, em 2012, respectivamente.

P: 21, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 31, 32, 38.

L: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 27, 27, 30, 30, 32.

Com base nessas informações, analise as seguintes afirmativas: I. A moda do conjunto P tem duas unidades a menos que a moda do conjunto L. II. A mediana do conjunto L é igual a 25,5 anos.

III. Como é de 27 anos a idade média no conjunto P, então o desvio médio desse conjunto é de 3,5 anos.

Está CORRETO o que se afirma, apenas, em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III

17. (UFPB/2013) Foi feita uma pesquisa com usuários de 4

O salário diário médio, a mediana e a moda dessa amostra valem, respectivamente, em reais: a) 90,00; 91,15; 95,00 b) 90,10; 91,20; 100,00 c) 90,30; 91,20; 100,00 d) 91,25; 92,50; 100,00 e) 91,25; 100,00; 98,00

14. (UEG GO/2013) As notas dos alunos de um curso de inglês estão registradas na seguinte tabela de frequências

Apresentando os cálculos, determine: 8 | Pró Floripa

empresas de telefonia móvel (celular), para avaliar a satisfação dos usuários e a eficiência tecnológica de cada empresa no item “ligação completada”. Nessa pesquisa, foram consultados 20 usuários de cada empresa, durante 5 dias consecutivos. A tabela a seguir mostra os números de ligações não completadas pelos usuários das 4 empresas, no período considerado.

Com base nas informações fornecidas e nos dados da tabela, considere as seguintes afirmativas em relação aos números de ligações não completadas, durante os 5 dias pesquisados: I. A empresa com a maior média dos números de ligações não completadas foi a OLÁ.

II. A empresa com a menor moda dos números de ligações não completadas foi a EXPERT. III. O 2º dia apresentou a maior média dos números de ligações não completadas.

IV. A mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa TOM é menor do que a mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa SIM. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I, II e III b) I e III c) I e IV d) II, III e IV e) I e II VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

18. (ENEM/2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades.

2 Os talhões têm a mesma área de 30 000 m e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 2 m ).

A variância das produções dos talhões expressa em 2 (sacas/hectare) é: a) 20,25. b) 4,50. c) 0,71 d) 0,50. e) 0,25.

19. (ENEM/2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos)

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

21. (USP Escola Politécnica/2014) Depois de serem avaliados os salários de estagiários de uma empresa, foram obtidos os dados que estão dispostos na seguinte tabela, em que f(x) é a probabilidade de um estagiário receber um salário mensal igual a x reais.

Sobre o salário esperado  e o desvio padrão , em reais, tem-se que: a)  = 400 e 110 <  < 120 b)  = 400 e 100 <  < 110 c)  = 410 e 90 <  < 100 d)  = 410 e 80 <  < 90 e)  = 420 e 70 <  < 80

Dados dos candidatos no concurso

ARITMÉTICA BÁSICA O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é: a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

20. (ENEM/2010) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b.

Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações:  O zero é múltiplo de todos os números.  Todo número é múltiplo de si mesmo.  Os números da forma 2k, k  N são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares.  Os números da forma 2k + 1, k  N são números ímpares. #ORGULHODESERPRÓ |

9

DIVISOR DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.

3º Passo: procede-se assim até se obter um número múltiplo de 7.

399  9  2 x 9 = 18

Exemplo: Divisores de 12 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

39 – 18 = 21

Observações:  O menor divisor de um número é 1.  O maior divisor de um número é ele próprio.

2–2=0

Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número, procede-se da seguinte forma: a)

Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Tomam-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade; c) Multiplicam-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 1 2 1 90 = 2 . 3 . 5 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo, 90 possui 12 divisores.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se for par.

Exemplos: 28, 402, 5128.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos: 18, 243, 3126.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00.

Exemplos: 5716, 8700, 198200.

Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.

Exemplos: 235, 4670, 87210.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3.

Exemplos: 24, 288, 8460.

Divisibilidade por 7 Processo prático: Veja o número 4137 1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu valor.

4137  7  2 x 7 = 14 2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que restou após a separação do último algarismo.

413 – 14 = 399

10 | Pró Floripa

21  1  2 x 1 = 2

Logo, 4137 é múltiplo de 7.

Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros.

Exemplos: 15320, 67000.

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9.

Exemplos: 8316, 35289.

Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero.

Exemplos: 5480, 1200, 345160.

NÚMEROS PRIMOS Um número p é classificado como primo quando possui apenas quatro divisores distintos: 1, -1, p e –p.

Por exemplos: primos positivos menores que 50: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Consequências:  Todo número inteiro é múltiplo de 1 e de si mesmo  0 é múltiplo de todo número inteiro  1 é divisor de todo número inteiro  1 e 0 NÃO são número primos Observação: Um número é denominado composto se não for primo.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.

Processo 1 (Listagem dos múltiplos): M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24]

Processo 2 (Fatoração simultânea): 6–8 2 3–4 2 3–2 2 3–1 3 1–1 3

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 2 .3 = 24

Processo 3 (Fatoração separada): 72=2³.3² 24=2².3¹ O MMC é o produto de todos os fatores primos dos dois números com seus expoentes e, quando um fator primo pertencer à fatoração dos dois, utiliza-se o maior expoente.

MMC(72, 24)= 2³.3² MMC(72, 24)= 72 MÁXIMO DIVISOR COMUM Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1(Listagem de divisores): D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

2

2

Processo 2 (fatoração simultânea): 36 = 2 .3 e 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

42 =

SUPERIMPORTANTE: Para dois números naturais a e b, tem-se que: MMC(a, b) . MDC(a, b) = a. b

1. (UFSC) Um país lançou, em 02/05/2000, os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro.

Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é:

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 c) 120 e) 230 b) 720 d) 340

3. Determine o número de divisores naturais dos números: a) 80

b) 120

4. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes?

5. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.

Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m c) 24 m e) 36 m b) 18 m d) 30 m

6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas c) 32 horas e) 320 horas b) 120 horas d) 360 horas

7. Três tábuas, medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá: a) 10 cm c) 8 cm e) 4 cm b) 6 cm d) 12 cm

8. Sejam os números 3

2

A = 2 .3 . 5

2

B=2 .3.5

2

3. O número de divisores naturais de 72 é:

Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem, respectivamente: a) 180 e 60 d) 1800 e 60 b) 180 e 600 e) n.d.a. c) 1800 e 600

a) 10 b) 11

9. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica o

respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 c) 100 e) 230 b) 120 d) 340

c) 12 d) 13

e) 14

1. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine: a) b) c) d)

M.M.C entre A e B M.D.C entre B e C M.M.C entre A, B e C M.D.C entre A, B e C

algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: a) 0 c) 4 e) 8 b) 2 d) 6

10. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 b) 401

c) 362 d) 201

e) n.d.a.

11. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três #ORGULHODESERPRÓ |

11

peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter?

12. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É 2

verdade que o número p – 1 é divisível por: a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6

*

Z _ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }  a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.

Q={x|x

13. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O x y z produto A.B é dado por: 2 .3 .5 , então x + y + z vale:

14. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é: a) 6 c) 15 e) 24 b) 12 d) 18

15. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é: a) 18 c) 210 e) 20 b) 21 d) 180

a * , com a  Z, b  Z } b

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.

São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros 2

c) decimais exatos ( 0,2 =

)

10

d) dízimas periódicas ( 0,333... =

1

)

3

As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).

Geratrizes de Uma Dízima Periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procedemos assim: a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto * N ( naturais sem o zero ) * N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }  a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros * Z = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } * Z + = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0}

12 | Pró Floripa

Exemplos: a) 0777...= 7 9 b) 0,333....= 3  1 9 3 c) 0,434343... = 43 99

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.

Exemplos: a) 0,3777... = 37  3  34  17 90

90

45

b) 0,32515151... = 3251 32  3219  1073 9900

9900

3300

Conjunto dos Números Irracionais Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo.

Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa. x 1 1 Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 2 2 2 x =1 +1 x=

{x  R| x < q} = ] -, q[

Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observações  O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}  O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }  O intervalo (   , +  ) representa o conjunto dos números reais (R)  (x, y) = ]x, y[ Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

2

Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural, inteiro, nem racional, surge então os números irracionais.

Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo: a)  = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz não exata Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.

QUADRO DE RESUMO

Q





Notação de conjunto. Exemplo: {x  R| 2 < x  3} Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x =  k Exemplo:

Veja outros exemplos: 1) {x  R| x > 2} = ]2, [

2) {x  R| x  1} = ] -, 1]

I

Z N

3) {x  R| 3  x < 4} = [3, 4[

Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.     

Propriedades em  Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simétrico: a + (– a) = 0 1 Inverso: a . = 1, a  0 a

INTERVALOS NUMÉRICOS Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .

Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:  {x  R| p  x  q} = [p, q]  {x  R| p < x < q} = ]p, q[  {x  R| p  x < q} = [p, q[  {x  R| p < x  q} = ]p, q]  {x  R| x  q} = [q, [  {x  R| x > q} = ]q, [  {x  R| x  q} = ] -, q]

1. Calcule o valor das expressões abaixo: a)  3  1  2  1   4 8  5 3  b)  2  3  : 1  4  5  3 

2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações: 2

I-x +4=0 2 II - x – 4 = 0 III - 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais. b) III é um número irracional. c) I e II são números reais. d) I e III são números não reais. e) II e III são números racionais. #ORGULHODESERPRÓ |

13

08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos, tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois.

16. o número 247 é um número primo.

3. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) b) c) d) e) f)

10. A expressão|2x – 1| para x <

{x  N| x é divisor de 12} {x  N| x é múltiplo de 3} {x  N| 2 < x  7} {x  Z| - 1  x < 3} {x| x = 2k, k  N} {x| x = 2k + 1, k  N}

a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1

1 é equivalente a: 2

d) 1 + 2x e) – 1

4. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... são respectivamente: a)

23 23 e 100 99

1 1 d) e 3 10

b)

20 43 e 99 99

e)

2 1 e 10 5

c)

23 43 e 99 198

EQUAÇÕES DO 1º GRAU - INEQUAÇÕES

0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:

DEFINIÇÃO Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

6. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... e c = 0,1414...,

RESOLUÇÃO Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.

Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação.

Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes.

5. (ACAFE) O valor da expressão , a.b 1 c quando 2

a=

c

-1

então a.b + c é igual a:

PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE

7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x.y é racional. b) y.y é irracional. c) x + y racional. d) x - y + 2 é irracional. e) x + 2y é irracional.

8.

(FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy?

a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y

d) entre y e 1 e) à direita de 1

9. Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39.

2 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b com b sendo um número ímpar, então a é par.

04. O número

14 | Pró Floripa

 7  5 2 é real.

Se: a = b então para m  a + m = b + m Se: a = b então para m  0  a . m = b . m INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b  0 ax + b  0 Nas inequações do 1º grau valem, também, os princípios aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b então para m  a + m > b + m Se: a > b então para m > 0  a . m > b . m Se: a > b então para m < 0  a . m < b . m

1. Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a  0 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)

c) x  1  2 x  3  10 3 4 d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 x  1 3x g)  2 8

10. Obtenha o maior de três números inteiros e

2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da

de automóveis, para veículos idênticos, são:  Agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado.  Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado.

Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO.

consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.

11. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 3  2 e 2x - 1  17; é:

equação 5x + 2m = 20

3. Resolva em R, o seguinte sistema: x  3 y  1  2 x  3 y  2

12. As tarifas cobradas por duas agências de locadora

13. (UFSC)A soma dos dígitos do número inteiro m tal que 4. Resolver em R as equações:

5 m + 24 > 5500 e 

a) b) c) d) e)

6x – 6 = 2(2x + 1) 2(x + 1) = 5x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 2(x – 2) = 2x – 4 3(x – 2) = 3x f) x  1  x  1 2 3 4

5. A solução da equação

x



x 1

3

a) x = – 2 b) x = – 3

14. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:

 x é:

2

c) x = 3 d) x = 2

6. (FGV–SP) A raiz da equação

e) x = 1

x 1



2x  1

 1 é:

4

16. (UFSC) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21?

Um número maior que 5.

Um número menor que – 11.

Um número natural.

Um número irracional.

Um número real.

17. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de

7. Determine a solução de cada sistema abaixo: a) 2 x  y  3 x  y  3

15. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será:

3

a) b) c) d) e)

8 m + 700 > 42 – m, é: 5

x y 5 b)   x  y  1

c) 3 x  y  1

 2 x  2 y  1

bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

8. Resolva em R as inequações: a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)

x  10 4



c)

1 3

3x 2



x 2



1 4

18. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha, em um de seus vagões, um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres, restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem?

2x  3y  21 9. O valor de x + y em  é: 7x  4y  1 #ORGULHODESERPRÓ |

15

2

2

a) 2x – 32 = 0

c) 2x – 5x – 3 = 0

2

b) x – 12x = 0

2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x. Para

EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: 2

ax + bx + c = 0

onde a, b e c são números reais e a  0.

RESOLUÇÃO 2 1º CASO: Se na equação ax + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim:

quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 d) 1 e 3 b) 0 e 2 e) 1 e 4 c) 0 e 1

3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, determine: a) x1 + x2 c)

1



x1

b) x1 . x2

1 x2

2

ax + c = 0 2 ax =  c 2 x = 

x=



S = 



c a

4. Resolva em R, as equações:

c  a

c c  ,   a a 2

2º CASO: Se na equação ax + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero, procede-se assim: 2

ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0, 

onde:

 = b2 – 4ac

Nessa fórmula,  = b – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação.

Pode-se ter as seguintes situações: 2

 

  

2

6. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 2



5. Os números 2 e 4 são raízes da equação: 2

b } a

b Δ 2a

2

x – 5x + 6 = 0 2 – x + 6x – 8 = 0 2 3x – 7x + 2 = 0 2 x – 4x + 4 = 0 2 2x – x + 1 = 0 2 4x – 100 = 0 2 x – 5x = 0

a) x – 6x + 8 = 0 d) x – 5x + 6 = 0 2 2 b) x + x – 6 = 0 e) x + 6x – 1 = 0 2 c) x – 6x – 6 = 0

3º CASO: Se na equação ax + bx + c = 0, a, b, c  0 aplica-se a fórmula de Bháskara:

x=

a) b) c) d) e) f) g)

> 0. Existem duas raízes reais e distintas = 0. Existem duas raízes reais e iguais < 0. Não há raiz real

= 0? a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

7. A soma e o produto das raízes da equação 6x + 9 = 0 são, respectivamente: a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5 b) 2 e 4 e) n.d.a. c) – 3 e 2

8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0.

Obtenha 1  1 x1

x2

RELAÇÕES DE GIRARD 2 Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax + bx + c, tem-se: x1 + x2 = 

b a

x1 . x2 =

c a

2

1

 1 9. Resolver em R a equação 2  x 1 x 1

10. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é: a)

1. Resolva, em reais, as equações: 16 | Pró Floripa

3

b) 2

c) 3

d) 1

e)

2

2

2x –

11. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. x1 e x2 são iguais 02. x1 + x2 = 3 3 04. x1 . x2 =  2 1 1  08. = –2 x1 x 2 2 2 16. x1 + x2 = 12 9 2 2 32. x1 .x2 + x1.x2 =  2

x  3 é:

12. A solução da equação x – 3 =

13. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais 2

2

que x + y + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6

ESTUDO DAS FUNÇÕES Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B. Formalmente: f é função de A em B  (x  A,  y  B | (x, y)  f) Em uma função, podemos definir alguns elementos.  Conjunto de Partida: A  Domínio: Valores de x para os quais existe y.  Contra Domínio: B  Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

14. Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23.

2

02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x – 6x – 3 = 0, 9 2 2 então o valor de x1 .x2 + x1.x2 =  2 04. Se x e y são números reais positivos, tais que 2 2 x + y + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2 08. Se x é solução da equação 2

x –3+

x  3 = 2, então, o valor de x4 = 16 2

1

1

16. O valor de 8 3  16 2 é 5

15. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, raízes dessa equação, pode-se afirmar: 01. x1  x2 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 04. a soma das raízes dessa equação é 3 08. a soma dos inversos das raízes é 6 16. a equação não possui raízes reais

Observações:  A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im  C.D)  Podemos reconhecer, através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.  O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.

16. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: a) 3

b) 4

c) 8

d) 9

e) 1

17. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:

3 6 3 01. A maior raiz da equação x – x – 2 = 0 é 2 2 02. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2 2 04. As raízes da equação x – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 6 3 08. A soma das raízes da equação x – x – 2 = 0 é 3 2 16. A equação x – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais

18. Determine o valor de x que satisfaz as equações: a) x  1  3  x b) 2 x  x  1  2 3

Domínio = [a, b]

Imagem = [c, d]

Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído.

2 Por exemplo: considere a relação y = x , onde cada valor de x corresponde um único valor de y.

Assim, se x = 3, então y = 9. #ORGULHODESERPRÓ |

17

Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 2

Exemplo 2: Dada a função f(x) = x - 5x + 6. Determine o valor de f(-1).

2 Resolução: f(x) = x - 5x + 6, devemos fazer x = -1 2 f(-1) = (-1) - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12

4. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R  R ? a)

b) Exemplo 3: Dada a função f(x  1) = x . Determine f(5).

2 Resolução: f(x 1) = x , devemos fazer x = 6 2 f(6  1) = 6 f(5) = 36 2

Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

c)

1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições corretas: d)

e) 01. O domínio da função f é {x  R | - 3  x  3} 02. A imagem da função f é {y  R | - 2  y  3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio

2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1

c)

y=

3. Seja

3x  2

2x -1, se x  0  f ( x)  5, se 0  x  5  2  x  5x  6, se x 

corretas:

7 2x  7  x3 d) y = 2x  2 b) y =

.

5

Calcule o valor de: f ( 3)  f ( ) f ( 6)

18 | Pró Floripa

5. Assinale a soma dos números associados às proposições

01. O domínio da função f é {x  R | - 2  x  2} 02. A imagem da função f é {y  R | - 1  y  2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 16. A função é crescente em todo seu domínio

6. Determine o domínio das seguintes funções: 2 a) y = b) y = x  3 3x  9 c) y =

x6 x2

d) y =

3

x5

7. (UFSC) Considere as funções f: R  R e g: R  R dadas 1 3 2 por f(x) = x  x + 2 e g(x) =  6x + . Calcule f( ) + 5 2 5 g(1).

4 8. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e

B= {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}

b) 3 + f(x)

d) [f(x)]

3

14. (FGV-SP) Em uma determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª. Parcela fixa de R$ 10,00; 2ª. Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se em um determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu: a) 100,33 kWh d) entre 65 e 80 kWh b) mais de 110 kWh e) entre 80 e 110 kWh c) menos de 65 kWh

15. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado.

Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros corridos foi:

16. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,

g(x) = x

2

+ 2x  1 e h(x) = 7  x, o valor em módulo da expressão:  1  4 h    g  4   2  f ( 1)

9. (UFC) O domínio da função real y = x  2 é: x7

a) {x  R| x > 7} b) {x  R| x  2} c) {x  R| 2  x < 7} d) {x  R| x  2 ou x > 7}

17. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x)  15. Determine o valor de f(0).

18. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:

10. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

11. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

relacionado com o comprimento p, em centímetros, do seu

Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x  R, associa o elemento ax + b.

5 p  28 pé pela fórmula S = . Qual é o comprimento do pé 4 de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm

d) 29,5 cm e) 27,2 cm

12. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 d) f(x) = - 3x b) f(x) = 0,97x e) f(x) = 1,03x c) f(x) = 1,3x

Forma: f(x) = ax + b com a  0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

13. ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = (a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: 3 a) 3.f(x) c) f(x ) e) f(3) + f(x) #ORGULHODESERPRÓ |

19

Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.

Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2

Interceptos  Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b).  Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem b

coordenadas (  ,0). O ponto que o gráfico corta o a

D=

C.D. = 

Im = {2}

eixo x é chamado raiz ou zero da função.

RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0

f(x) = ax + b, a < 0

1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definidas em reais.

Determine a soma dos números associados às proposições corretas :

Função crescente

Função decrescente

Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1.

Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1).

Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x devese fazer y = f(x) = 0.

– 3x + 1 = 0 x=

1 3

Logo, o ponto em que o gráfico corta o eixo x tem

1 coordenadas ( , 0).

3

01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área.

2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter: 2 2 2 2 a) k  b) k  c) k  d)k   3 3 3 3

e)k  

2 3

3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).

1. Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1 D=

C.D. = 

Im = 

FUNÇÃO CONSTANTE Uma função f de R em R é constante se, a cada x  R, associa sempre o mesmo elemento k  R. D(f) = R e Im (f) = k Forma: f(x) = k

20 | Pró Floripa

2. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale, em módulo:

3. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:

a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

4. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, 3), então f(x) é: a) f(x) = x  3 d) f(x) = 2x  1 b) f(x) = x  4 e) f(x) = 3x  6 c) f(x) = 2x  5

5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

f (t )  f ( ) com t t 

 .

11. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:

12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416

13. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é:

6. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função

f(x) =

2x + k, deve-se ter: a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

7. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a  2b é igual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a.

8. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é: a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

2

a) A = x – 3x 2 b) A = - 3x + 9x 2 c) A = 3x – 9x

2

d) A = - 2x + 6x 2 e) A = 2x – 6x

14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.

Distância (em km )

9. O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo:

Pode-se afirmar que f(4) é igual a:

10. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida (x).

Assim, podemos afirmar:

Temp o (em horas)

Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km #ORGULHODESERPRÓ |

21

15. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 1

x

 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.  O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde: Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))

x

v



b e 2a

yv = 

 4a

Imagem da função quadrática

 } 4a   Se a < 0, então Im = {y  R| y   } 4a  Se a > 0, então Im = {y  R| y  

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada x 2  R associa o elemento ax + bx + c, com a  0 Forma: f(x) = ax + bx + c, com a  0 2

Resumo gráfico  >0

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada 2 pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x ). Assim, quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo Interceptos  O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)  Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º 2 grau ax + bx + c = 0, onde: b Δ x , onde   b 2  4ac 2a Se  > 0  Duas Raízes Reais Se  = 0  Uma Raiz Real Se  < 0  Não possui Raízes Reais Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola

22 | Pró Floripa



=0



<0

6. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é:

7. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] c) ]-, 4] b) [-5, 4] d) [-3, 1]

e) [-5, 3]

8. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) 2

1. Em relação à função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de  , é correto afirmar: 01. 2 e 4 são os zeros da função f 02. O vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais.

08. A imagem da função é: { y  R| y   1} 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.

2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem.

2 a) f:  , f(x) = x – 2x b) f:  ,

2

f(x) = – x + 4

c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x – 2x 2

3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de  .

Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): a) tenha duas intersecções com o eixo b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x

= x – 3x + 4. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza-se: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.

9. (UFSC) Seja f: R  R, definida por: f(x) = - x 2 , termine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.

02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais.

08. f(x) é decrescente em [0, + ) 16. Im(f) = { y  R  y  0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.

10. (ESAL-MG) A parábola abaixo é o gráfico da função f(x) 2

= ax + bx + c. Assinale a alternativa correta:

4. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do vértice e a imagem de cada função.

2 a) f:   , f(x) = x – 2x – 3 b) f:   , f(x) = (x + 2)(x – 4) 2 c) f:   , f(x) = – x + 2x – 1 2 d) f:   , f(x) = x – 3x

a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0

5. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as

11. Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 –

verdadeiras: 01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12).

02. As raízes de f são 2 e 6.

04. O domínio de f é o conjunto dos números reais.

08. O gráfico não intercepta o eixo x.

16. A imagem da função é { y  R| y   4 } 32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4) 64. A função é crescente em todo seu domínio.

d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

mx + m. Para que valores de m o gráfico de interceptar o eixo x em um só ponto?

f(x) irá

12. (UFPA) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) b) (1, 2)

c) (-1, 1) d) (0, 1)

e) (1, 0)

13. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) {  7} c) {  2 } 2

#ORGULHODESERPRÓ |

23

selecionam-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-solução.

d) {  2 7 }

b) { 0 }

14. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(1, 4). O valor de k + m em módulo é:

Exemplos: 2 a) resolver a inequação x – 2x – 3  0

15. (UFSC) Dada a função f: R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10. Determine o valor de a - 2b + 3c.

16. A equação do eixo de simetria da parábola de 2

equação y = 2x - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 d) y = 3,5 b) y = 5x + 7 e) x = 1,8 c) x = 2,5

S = {x  R | x  -1 ou x  3} ou S = ]-, -1]  [3, +[ b) resolver a inequação x – 7x + 10  0 2

17. O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é: a) – 3 c) – 2 e) – 1 b) – 4 d) 2 S = { x  R | 2  x  5} S = [2, 5]

18. (UFSC) Marque no cartão a única proposição correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:

2

c) resolver a inequação –x + 5x – 4 > 0

S = { x  R | 1 < x < 4} S = [1, 4] 01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x – 2

Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: a) f(x).g(x)  0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x)  0 d) f(x).g(x) < 0 Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação.

2

Exemplo: Resolver a inequação (x – 4x + 3) (x – 2) < 0

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE O

INEQUAÇÕES DO 2 GRAU Inequação do 2º grau é toda inequação da forma: ax2  bx  c  0  2 ax  bx  c  0  2 ax  bx  c  0 ax2  bx  c  0 

Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente,

24 | Pró Floripa

S = { x  R | x < 1 ou 2 < x < 3}

com a  0

Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma: a)

f(x) g(x)

0

b)

f(x) g(x)

>0

c)

f(x) g(x)

0

d)

f(x) g(x)

<0

Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e,

em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar g(x)  0.

Exemplo: Resolver a inequação x  4 x  3 0 x2 2

b) { x  R  -1 < x < 3 }

e) n.d.a.

c) { }

6. Resolva, em R, as seguintes inequações: 2

2

a) (x – 2x – 3).( – x – 3x + 4) > 0 2 2 b) (x – 2x – 3).( – x – 3x + 4)  0 2 c) (x – 3) (x – 16) < 0 3 d) x  x 3 2 e) x – 3x + 4x – 12  0

7. Resolva, em R, as seguintes inequações: a) x  5 x  6 0 x  16 b) x  5 x  6 2

2

2

x  16 2

c) S = { x  R | 1  x < 2 ou x  3}

0

x x  0 x 1 x 1

2 <1 x 1

d)

8. (ESAG) O domínio da função y =

d) (-, -1)  [1/2, 1) e) { }

a) (-, -1 ) b) (-1, ½] c) (-, ½]

1. Resolver em  as seguintes inequações:

1  2 x nos reais é: x2  1

2

a) x – 8x + 12 > 0 2 b) x – 8x + 12  0 2 c) x – 9x + 8  0

2. O domínio da função definida por f(x) =

x 2  3x  10 x6

é:

10. Resolver em  as seguintes inequações: 2

2

a) x – 4x + 5 > 0 c) x – 4x + 5 < 0 2 2 b) x – 4x + 5  0 d) x – 4x + 5  0

11. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4  – x2 + bx + c tem como

inequações:

solução o conjunto {x  | 0  x  3}, então b e c valem respectivamente: a) 1 e – 1 d) 0 e 1 b) – 1 e 0 e) 0 e 4 c) 0 e – 1

2

a) (x – 3)(2x – 1)(x – 4) < 0 b)

2

a) x – 6x + 9 > 0 c) x – 6x + 9 < 0 2 2 b) x – 6x + 9  0 d) x – 6x + 9  0

3. Determine o conjunto solução das seguintes

x  7 x  10 x4 2

9. Resolver em  as seguintes inequações: 2

a) D = {x  R| x  2 ou x  5}  {6}. b) D = {x  R| x  - 2 ou x  5}  {6}. c) D = {x  R| x  - 2 ou x  5} d) D = {x  R| x  - 2 ou x  7}  {6}. e) n.d.a.

0

12. (UNIP) O conjunto verdade do sistema  x  9 x  8  0 é:  2 x  4  0 2

4. Resolver em  as seguintes inequações: 2

a) b) c) d) e) f)

x – 6x + 8 > 0 2 x – 6x + 8  0 2 –x +9>0 2 x 4 2 x > 6x 2 x 1

5.

(Osec-SP)

a) ]1, 2] b) ]1, 4]

c) [2, 4[ d) [1, 8[

e) [4, 8[

13. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: a) { – 2

2;2 2}

d) (– ; 2

2)

função

b) [– 2

2;2 2]

e) (– ; 2

2]

f(x) =  x2  2x  3 , com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x  R  -1  x  3 } d) { x  R  x  3}

c) (– 2

2;2 2)

O

domínio

da

#ORGULHODESERPRÓ |

25

14. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x)= 100 (8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é: a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3

15. (FATEC) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x)  0 é: a) S = { x  R| - 2  x  0 ou 2  x  4} b) S = { x  R| 0  x  4} c) S = { x  R| x  - 2 ou x  4} d) S = { x  R| x  - 2 ou 0  x  2 ou x  4} e) S = { }

16. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x x3

a) { x  R  x > 15 e x < - 3} b) { x  R  x < 15 e x  - 3} c) { x  R  x > 0} d) {x  R  - 3 < x < 15} e) { x  R  - 15 < x < 15}

5

4

é:

2

3

18. (FUVEST) De x – x < 0 pode-se concluir que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) – 1< x < 0

 |x – y| = |y – x|  |x . y| = | x |. | y | 

x x  y y

 |a + b|≤ |a| + |b| (Desigualdade Triangular) Equação Modular Equação modular é a equação que possui a incógnita x em módulo.

Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3}

inequação (x 2x + 8)(x 5x + 6)(x 16) < 0 são: a) x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 c) 4 < x < 2 ou x > 4 2

x 2 | x |

Tipos de equações modulares:

17. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a 2



d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1

Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 x+2=6 ou x + 2= - 6 x=4 ou x=-8 S = {-8, 4} Exemplo 3: Resolva a equação |x - 3|= |4x - 1| x - 3 = 4x - 1 ou x - 3 = - (4x - 1) x - 4x = -1 + 3 ou x - 3 = -4x + 1 -3x = 2 ou x + 4x = 1 + 3 x = - 2/3 ou x = 4/5 S = { -2/3, 4/5} As equações modulares que apresentam soma ou subtração de módulos necessitam que seja realizado um estudo de sinal para a sua solução.

Exemplo 4: Resolva a equação |x - 1| + |x + 6| = 13

Em primeiro lugar deve ser feito os estudos de sinais de x-1ex+6

MÓDULO E FUNÇÃO MODULAR MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Módulo ou valor absoluto de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x.

Indicamos o módulo de x por | x |.  Para x ≤ –6 temos x –1 ≤ 0 e x +6 ≤ 0 então:

Definição

 x, se x  0 x  -x, se x  0

- (x - 1) - (x + 6) = 13 ⇔ x = – 9

Exemplos: a) como 3 > 0, então |3| = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3

Como x = – 9 satisfaz a equação original, então é solução.

Propriedades  |x|0 2 2  |x| =x

- (x - 1) + x + 6 = 13 ⇔ 7 = 13 (absurdo)

26 | Pró Floripa

 Para –6 ≤ x ≤ 1 temos x + 6 ≥ 0 e x – 1 < 0 então:

Logo, não há solução no intervalo [–6, 1]

 Para x ≥ 1 temos x + 6 ≥ 0 e x – 1 ≥ 0 então:

Como x = 4 satisfaz a equação original, então é solução.

Assim como vimos nas equações, as inequações modulares que apresentam soma ou subtração de módulos normalmente necessitam que seja feito um estudo de sinal.

S = {– 9, 4}

Exemplo: Resolva a inequação |3x - 12| + |5 - x| < 12

x - 1 + x + 6 = 13 ⇔ x = 4

| x | = k, com k = 0, então: x = 0 | x | = k, com k < 0, então: não há solução Exemplo 1: | x | = - 3 S= Exemplo 2: |x + 2| = -10 S= Inequação Modular Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x |  k, | x | > k, | x |  k denominam-se inequações modulares.

 Para x ≤ 4, temos 3x –12 ≤ 0 e 5 - x ≥ 0, então: - (3x - 12) + 5 - x < 12 ⇔ x > 5/4 S1 = [5/4, 4]  Para 4 ≤ x ≤ 5, temos 3x –12 ≥ 0 e 5 - x ≥ 0, então:

Tipos de inequações modulares:

3x - 12 + 5 - x < 12 ⇔ x < 19/2

| x | < k, com k > 0, então:  k < x <k Exemplos: | x | < 3  – 3 < x < 3 | x | < 10  – 10 < x < 10

S2 = [4, 5]

Exemplo 2: Resolva a inequação |x + 3|≤ 5 |x + 3|≤ 5 –5 ≤ x + 3 ≤ 5 –8 ≤ x ≤ 2 S = [–8, 2]

| x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k Exemplos: | x | > 3  x < – 3 ou x > 3 | x | > 10  x < –10 ou x > 10 Exemplo 2: Resolva a inequação |4x - 3|> 5. |4x - 3|> 5 4x – 3 < –5 ou 4x – 3 > 5 x < –1/2 ou x>2

 Para x ≥ 5, temos 3x –12 ≥ 0 e 5 - x ≤ 0, então: 3x - 12 - (5 - x) < 12 ⇔ x < 29/4 S3 = [5, 29/4] S = S1∪ S2 ∪ S3 = [5/4, 29/4] FUNÇÃO MODULAR Função modular é uma função de  em  que associa a cada elemento x do domínio ao elemento módulo de x do contradomínio, ou seja,  f ( x)  x, se x  0 f ( x)  x    f ( x)   x, se x < 0 Note que, com essa definição, temos o conjunto imagem da função f como sendo IM =  (reais não-negativos) Podemos ver o gráfico da função f definida acima como sendo a união das bissetrizes do primeiro e segundo quadrante do plano cartesiano.

S = {x ∈ R | x < –1/2 ou x > 2}

Podemos observar no gráfico acima que houve um “rebatimento da parte negativa” do gráfico. Atente para este outro exemplo: Vamos fazer o gráfico da função f ( x)  x  1 #ORGULHODESERPRÓ |

27

Começamos, primeiramente, a olhar para o gráfico da função.

f ( x)  x  1

Observem que, em pontilhado, está o gráfico já visto anteriormente da função

f ( x)  x  1 . Ao retirar 3 da

função, todos os valores foram diminuídos em 3, logo o gráfico sofre uma translação na vertical 3 unidades para baixo.

Porém, pela definição de módulo, todos os pontos cuja ordenadas são negativas devem ter um valor positivo. Por exemplo, na função f ( x )  x  1 , temos f ( 3)  2 .

Mas, na função modular

f (x)  x  1 , temos que

f (3)  2  2 , ou seja, os valores negativos “viram”

1. Resolva em  as seguintes equações e inequações: a) | x | = 3

f) |2x + 11| = 15 - |x - 8|

b) |2x – 1| = 7

g) |3x - 4| ≤ 17

positivos. Assim, o gráfico sofre o rebatimento abaixo.

2

c) |x –5x | = 6 2

h) |2x - 8| > 20

d) |x| – 5|x| + 4 = 0

i) |2x - 8| + |3x - 6| ≥ 6

e) |3x - 1| - |4x + 7|= 6

j) |5x - 15| - |4x -16|< 2

2. (UDESC) A soma das raízes distintas da equação x2  5x  6  x  3 é: Assim, obtemos o gráfico da função

f (x)  x  1 .

Exemplo 2: Observe o gráfico da função

f (x)  x²  8x  12 Em pontilhado temos o gráfico da f (x)  x ²  8 x  12 -

a) 10 b) 7 c) 0 d) 3 e) 4

3. (UFJF) O número de soluções negativas da equação 2

|5x – 6| = x é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. (UFSC – Modificada) verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:

Vamos analisar o gráfico de

f ( x)  x  1  3

O conjunto solução da equação modular |3 - 2x| = |x - 2| é S = {1}.

5. (UDESC) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = | x  1| 2 é:

28 | Pró Floripa

d) {3} e) { }

9. (FGV) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades: │x - 5│< 3 e │x - 4│ ≥ 1 é: a) 25 b) 13 c) 16 d) 18 e) 21

a)

10. A solução da inequação (2 x  1)  5 2

a) b) c) d) e)

b)

{x  | – 2  x  3} {x  | – 1  x  6} {x  | x  3} {x  | x  7} {x  | – 3  x  2}

11. (PUCRS) considerando a função f definida por 2

f (x) = x - 1, a representação gráfica da função g dada por g ( x ) = |  f  x  | 2 é:

c)

d)

e)

6. (Esc. Naval) A soma das raízes reais distintas da equação x  2  2  2 é igual a a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

12. (PUCRJ) Qual dos gráficos abaixo representa a função real f(x) | 3 x  1| ?

e) 8

7. (IFSC 2017 – Modificada) verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa: a) A função F: 

 definida por f(x)  | x  2 | 1 , possui

três raízes reais distintas

8. O conjunto de soluções da equação │x - 1│+│x - 2│= 3 é: a) {0,1} b) {0,3} c) {1,3} #ORGULHODESERPRÓ |

29

d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.

15. (UFGO) Os zeros da função f(x) = a) 7 e 8 b) 7 e 8

c) 7 e 8 d) 7 e 8

2x  1  3 são: 5

e) n.d.a.

16. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contido no

b)

conjunto solução da inequação a) b) c) d) e)

(1  x)  1?

2

{x  R  - 5  x  - 1} {x  R  - 4  x  0} {x  R  - 3  x  0} {x  R  - 2  x  0} Todos os conjuntos anteriores

17. (Eear 2017) Seja f(x) | x  3 | uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2 é a) 3 b) 4 c) 6 d) 7

c)

18. (Efomm) Determine a imagem da função f, definida por f(x) || x  2 |  | x  2 ||, para todo x ∈  conjunto dos números reais. a) b) c) d) e)

d)

Im(f) =  Im(f) = {y ∈  | y ≥ 0}.

Im(f) = {y ∈  | 0 ≤ y ≤ 4}.

Im(f) = {y ∈  | y ≤ 4}.

Im(f) = {y ∈  | y > 0}.

19. O gráfico que melhor representa a função real definida 4 | x  4 |, se 2  x  7 por  2 é  x  2x  2, se x  2 e)

13. A expressão|2x – 1| para x < a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1

1 é equivalente a: 2

a)

d) 1 + 2x e) – 1

14. Assinale a alternativa correta: 2

a) Se x é um número real, então x  |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b|

30 | Pró Floripa

b)

21. (UDESC 2016) A área da região fechada delimitada pelas funções f(x)  x , g(x)  x  2 e h(x)  x  3 , em unidades de área, é igual a: a) 1 c)

b)

1 2 2

c) d) 2 e) 2 2

22. (UEM) Sobre a equação x  5  x  1  C, em que d)

C é uma constante real e x  , assinale o que for correto.

01. Se C  0, a equação possui solução.

02. Se C  6, a equação possui infinitas soluções.

04. Se C  0, a equação possui apenas uma solução.

08. Se C  4, a solução será x  4.

16. Se C  10, a equação possui duas soluções. e)

23. (PUCRJ) Considere a função real f(x)  x  1  x  1.

O gráfico que representa a função é:

20. (UEG) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R

a)

A função f é dada por | 2x  2 |, se x  0 a) f(x)    | x  2 |, se x  0

b)

  | x | 2, se  1  x  2 b) f(x)   | 2 x  3 |, se x  1 e x  2  | x  1|, se x  0 c) f(x)   | x  2 |, se x  0   | x  2 |, se  1  x  2 d) f(x)   | 2x | 1, se x  1 e x  2

c)

#ORGULHODESERPRÓ |

31

f: A  B g: B  C Condição de Existência: Im(f) = D(g)

gof: A  C

Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Exercício resolvido: 2 Dadas as funções f(x) = x - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0

d)

Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero.

2

f(x) = x - 5x + 6 2 f(g(x)) = (x + 1) - 5(x + 1) + 6 2 Daí vem que f(g(x)) = x - 3x + 2.

Igualando a zero temos: 2 x - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2

e)

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Função injetora: Uma função f: A  B é injetora se e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos:

PARIDADE DE FUNÇÕES - FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA

f é injetora   x1, x2  A, x1  x2  f(x1)  f(x2)

FUNÇÃO PAR Uma função é par quando para valores simétricos de x temos imagens iguais, ou seja: f(x) = f(x),  x  D(f) Uma consequência da definição é: Uma função f é par se, e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Função sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

FUNÇÃO ÍMPAR Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x as imagens forem simétricas, ou seja: f(x) =  f(x),  x  D(f) Como consequência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano.

Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f: A  B e g: B  C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A  C tal que gof(x) = g(f(x)) DICA: De R  R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples.

FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função f de A em B. A função f 1 de B em A é a inversa de f, se e somente se: -1 -1 fof (x) = x, x  A e f o f (x) = x, x  B. -1 -1 Observe que A = D(f) = CD(f ) e B = D(f ) = CD(f) IMPORTANTE: f é inversível  f é bijetora

32 | Pró Floripa

Para encontrar a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y.

Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. (f(x) = x)

6. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).

7. Determine a função inversa de cada função a seguir: c) y = 2 x  1 , x  4 4 x4  2x 8. (UFSC) Seja a função f(x) = , com x  2, x2 determine -1 f (2). a) y = 2x – 3

Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa.

Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y x4 -1 f (x) = 2

1. Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2. Determine: a) f(g(x)) b) g(f(x))

c) f(g(3)) d) g(f(-2))

2. (UFSC) Considere as funções f, g: R  R tais que g(x) = 2x

b) y = x  2

9. (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = 2

-x + 3 e g(x) = x - 1. Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras.

01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3).

02. f é uma função crescente.

04. -1 e +1 são os zeros da função g.

08. Im(g) = { y  R  y  -1 }.

16. A função inversa da f é definida por -1 f (x) = -x + 3.

32. O valor de g(f(1)) é 3.

64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).

10. Dadas as funções: f(x) = 5  x e g(x) = x2 - 1, o valor de gof(4) é:

11. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2

+ 1 e g(f(x)) = 2x + 2x + 1. Calcule f(7).

2x + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é:

3. Se x  3, determine a inversa da função

12. (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x

2

f ( x) 

2x 1 x 3

 2 e f(g(x)) = 2x  3. Então g(f(x)) é definida por: a) 2x  1 c) 2x  3 e) 2x  5 b) 2x  2 d) 2x  4

13. (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) = 4. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

e) f(g(3)) f) g(f(1)) g) f(f(f(2)))

5. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x 2

6 e g(x) = x + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) =  fog x é: a) {x  R  x  -5 ou x  0} c) {x  R  x  -5} e) n.d.a.

b) {x  R  x  0} d) { }

2x  1 é: x3 a) f c) f

( x) =

x +3 2x - 1

(x) =

1 - 2x 3-x

-1 -1

b) f

-1

d) f

(x) =

-1

(x) =

2x + 1 x -3 3x + 1 2-x

e) nenhuma das anteriores

14. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de: a) f: [ – 3; 5]  [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 2 b) g: [2, 5]  [0,9] tal que g(x) = x – 4x + 4 2 c) h: [3, 6]  [–1, 8] tal que h(x) = x – 6x + 8

15. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é: a) - 2 c) 0

e) 14 #ORGULHODESERPRÓ |

33

b) 2

d) 6



16. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro grau,

Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < < 1), a relação de desigualdade se inverte. f(x) g(x) a > a  f(x) < g(x)

decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

17. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.

Calcule f(f(a)).

7 1. (UFSC) Dado o sistema  x

2 x y

18. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim

2  5

2

definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x – 6x + 1.

Determine a função f(x).

y

1  25

4

, o valor de  y  é:  x

2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 - 3.2x + 2 = 32, é:

EXPONENCIAL

3. Resolva, em R, as equações a seguir:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser x reduzida à forma a = b, com 0 < a  1.

Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em:  Igualdade de potência de mesma base. f(x) g(x) a = a  f(x) =g(x)  Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x)  a = b sendo * a e b  1 e a e b  R +. 

Função Exponencial f(x) = a (a > 1)  função crescente

x

1 16 x x d) 25.3 = 15 é:

x

x

a) 2 = 128

b) 2 =

c) 3  + 3 = 90 2x x+1 e) 2  2 + 1 = 0 x

1

x+1

4. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação 3.9x  26.3x  9 = 0, é: x

5. Dadas f(x) =  1  e as proposições:   2 I - f(x) é crescente II - f(x) é decrescente III - f(3) = 8 IV- ( 0,1 )  f(x)

podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras. b) somente II é falsa. c) todas são falsas. d) II e III são falsas. e) somente III e IV são verdadeiras.

6. Resolva, em R, as inequações a seguir: a) 2  > 2 5x 1 2x + 8 b) (0,1)  < (0,1) x 1 3 c)  7  7     4 4 |x – 2| 7 d) 0,5 < 0,5 2x



(0 < a < 1)  função decrescente

1

x+1

2

7. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y = , é: 1 x

 1    243  3

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades:  Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. f(x) g(x) a > a  f(x) > g(x)

34 | Pró Floripa

a) ( , 5 [ c) ( , 5 [

b) ] 5, + ) d) ] 5, +  )

e) n.d.a.

8. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos:

a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4

loga b = x  a = b x

c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3

9. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que

2 x  2 x2 , então 2

 x

x

x

x2

é igual a:

10. A maior raiz da equação 4|3x  1| = 16 1 11. (ITA-SP) A soma das raízes da equação 9 x  2  14 x  1

3

é: x 1

12. A soma das raízes da equação  2   1  132x1 é:   2x

3

3

13. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x números reais e 0 < a  1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x.

02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).

04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.

14.

Determine

f ( x)  (1,4)

x 2 5

o

domínio

da

função

abaixo:

5  7

15. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.

01. A função f(x) = a , 1 < a < 0 e x  R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0) x

x

x

02. A solução da equação 2 .3 = intervalo [0, 1]

3

36 pertence ao

x

04. Dada a função f(x) = 4 , então D = R e Im = 08. A função f(x) = a

 2 x é crescente

R*

b

16.  1    1   a  b 2 2

y

x

5

3

(x  1 e y  1)

17. Resolver, em reais, as equações abaixo: x

x

x

Exemplos: x 2 x 1) log6 36 = x  36 = 6  6 = 6  x = 2 x 4 x 2) log5 625 = x  625 = 5  5 = 5  x = 4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém, dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)).

Quando a base é 10, costuma-se omitir a base na sua representação.

Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617).

Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: log ab = x se tenha : logaritmando positivo b > 0  Resumindo  base positiva a > 0 e a  1 base diferente de 1  Consequências da Definição Observe os exemplos: x 0 x 1) log2 1 = x  1 = 2  2 = 2  x = 0 x 0 x 2) log3 1 = x  1 = 3  3 = 3  x = 0 x 0 x 3) log6 1 = x  1 = 6  6 = 6  x = 0 loga 1 = 0

16. Determine o valor de x no sistema abaixo: x  y  x  y

Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.

2x

a) 5 + 0,2 = 5,2 b) 5.4 + 2.5 = 7.10

x

4) log2 2 = x  2 = 2  2 = 2  x = 1 x 1 x 5) log5 5 = x  5 = 5  5 = 5  x = 1 x

1

x

loga a = 1 6) log2 2 = x  2 = 2  x = 3 2 2 x 7) log5 5 = x  5 = 5  x = 2 3

3

x

m

loga a = m

LOGARITMOS I DEFINIÇÃO Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao x real x tal que a = b. (a > 0 e a  1 e b > 0)

8) 2 log2 4  x  2 2  x  x  4 9) 3 log3 9  x  32  x  x  9 a

log ab

b

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Logaritmo do Produto #ORGULHODESERPRÓ |

35

O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c

2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor de: a) log 6

b) log 8

c) log 5

d)log 18

Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.

b  loga b  loga c loga c Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. m

loga x = m . loga x 3

logb

Caso Particular 1 1 a  logb a n  . logb a n 1

Exemplo:

log10

3

2

= log10 2 3 

1 3

b)log0,250,25

c) log7 1

d)log0,25 128 13

4. Determine o valor das expressões abaixo 5 a) 3 loga a + loga 1 – 4 lg a a , onde 0 < a  1, é: b) lg 2 8  lg 9

1

 16.lg 625 5 é: 3 5. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor dos logaritmos abaixo: a)log 12 b)log 54 c) log 1,5 d) log 5 512

6. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o e) 1,107

7. (FEI-SP) A função f(x) = log (50  5x  x2) é definida para: a) x > 10 c) 5 < x < 10

b) 10 < x < 5 d) x < 5

e) n.d.a.

log10 2

Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18.

Resolução:

a) log2 512

valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107

Exemplos: a) log2 5 = 3. log2 5 -5 b) log3 4 = -5 log3 4

n

3. Determine o valor dos logaritmos abaixo:

2

log 18 = log(2.3 ) 2 log 18 = log 2 + log 3 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

8. (PUC-SP) Se lg 2 2 512  x , então x vale: 9. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, log

então

6 2 é igual a: 5

a) 0,12 b) 0,22

c) 0,32 d) 0,42

e) 0,52

10. (ACAFE-SC) Os valores de m, com  R, para os quais a 2

1. Com base na definição, calcule o valor dos seguintes logaritmos:

equação x – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são: a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m  3 d) 1  m  3 e) 1 < m < 3

a) log21024 b) log 0,000001

11. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = a , então log E é

c) log2 0,25

igual a:

d) log4

12. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, Então

13

128

3

b c 3

E é igual a:

36 | Pró Floripa

13. (UFSC) Se 14. Se x =

3

3lg x  y  lg125 , então o valor de x + y é:  lgx  lgy  lg14

360 ,

log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.

15. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Então o log

x. y  é igual a:

a) a + b/2 b) 2a + b c )a + b d)a+2b

e) a-b/2



(0 < a < 1)  função decrescente

16. Determine o domínio das seguintes funções: 2

a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x – 4)

17. Se x é a solução da equação 7

x

xx

x ...

 7 , calcule o valor da

expressão 2x + log7x – 1

7 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA a>1 loga x2 > loga x1  x2 > x1 0<a<1

LOGARITMOS II MUDANÇA DE BASE Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos, ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base.

loga x2 > loga x1  x2 < x1

1. Resolver as equações abaixo: 2

a) logx (3x - x) = 2 loga b =

lg c b lg c a

b) log4 (x + 3x - 1) = log4 (5x  1) 2

c) log2 (x + 2) + log2 (x  2) = 5

Como consequência, e com as condições de existência obedecidas, temos:

2. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s)

1 1) log B A  log A B

01. O valor do log0, 25 32 é igual a –

1 2 log A k B  log A B k

proposição(ões) verdadeira(s).

5

.

2 a

02. Se a, b e c são números reais positivos e x = b

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo).

Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem logaritmos com base negativa, e não existem logaritmos com logaritmando negativo.

1º Método: loga X = loga Y  X = Y 2º Método: loga X = M  X = a

M

log x = 3log a – 2log b –

1 2

2

3

, então c

log c.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se log b  a

log b c

.

log a c

x

x

08. O valor de x que satisfaz à equação 4 – 2 = 56 é x = 3.

2 3

2,3

>

2 3

1,7

Função Logarítmica f(x) = loga x  (a > 1)  função crescente #ORGULHODESERPRÓ |

37

diferentes de um, então tem-se loga b =

08. O valor de x que satisfaz à equação 4  2 = 56 é x=3 2  3 1 7 16.  2    2  x

3. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é: a)

a+ b a

b) a+ b

c)

a b

d)

b a

e)

a+ b 2

4. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: a) ½ b) 3

c) 4 d) 2/3

e) 2

 3

x

 3

12. (UFSC) O valor de x compatível para a equação log(x2  1) - log(x  1) = 2 é:

13. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. O conjunto solução da inequação 2 log (x 9)  log (3  x) é S = (, 4]  [3, +). x 02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < e .

5. Resolver, em R, as equações: a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2 c) log x  6 log x  9  0 d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x - 8)  log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x  3) + log5 (x  3) = 2 2

3

log b c log a c

x2

04. A equação e  e não possui solução inteira. x 08. Considere as funções f(x) = a e g(x) = logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.

3

x

6. (UFSC) A solução da equação: log2(x + 4) + log2(x – 3) =

16. log 360 = 3  log 2 + 2  log 3 + log 5.

log218, é:

32. Se log N =  3,412 então log

7. Resolver, em reais, as seguintes inequações:

14. Resolva a equação

a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x  3)  log1/2 4

resultado obtido por 4).

N =  6,824.

lg10 x  lg100 x  2 . (divida o

15. Assinale a soma dos números associados às

8. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a  1, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras.

01. O domínio da função f é R. 02. A função f é crescente em seu domínio quando a  (1, + ) 04. Se a = 1/2 então f(2) = 1 08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).

proposições corretas: 01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9.

02. A soma das raízes da equação.

1 + 2logx 2 . log4 (10  x) = 2 é 10. log x 4

log x

3

04. A maior raiz da equação 9 . x 3 = x é 9.

08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2.

16. Se logax = n e logay = 6n, então lg a 3 x 2 y é igual a 7n. x x 32. A solução da equação 2 .3 = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1].

16. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e

a:

Exponenciais, é correto afirmar que: 01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4 x -x 02. Se x = loge 3, então e + e = 10 3 04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então |log10a| < |log10b| t 08. Se z = 10 – 1, então z > 0 para qualquer valor real de t

11. (UFSC) Determine a soma dos números associados às

17. (ITA - SP) O conjunto dos números reais que verificam a

proposições verdadeiras:

inequação 3log x + log (2x + 3)  3 log2 é dado por: a) { x  R| x > 3 } b) { x  R| 1  x  3 } c) { x  R| 0 < x  1/2 } d) { x  R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.

2

9. (ACAFE) Se log3 K = M, então log9 K é: a) 2M 2 b) M

2

c) M + 2 d) 2M

e) M

10. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga 5 xy 3 é igual

01. O valor do log0,25 32 é igual a 

3

5

.

2 02. Se a, b e c são números reais positivos e a

3

então log x = 3 log a  2log b  1/2 log c.

2 b c 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c x=

38 | Pró Floripa

d)5,00

e)4,00

Resolução: O primeiro desconto será de 20% sobre o produto que custa R$ 50,00.

20% de 50 

MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO Antes de entrarmos no universo da matemática financeira mais conhecida (juros simples e compostos), precisamos trabalhar alguns conceitos básicos que irão facilitar o entendimento dos enunciados de exercícios, compreensão das fórmulas e a realização de cálculos.

Para melhor absorver todo esse conteúdo, ao estudar esta unidade veja calmamente os exercícios resolvidos e busque compreender cada termo. Vamos começar?

PORCENTAGEM Porcentagem é uma razão (comparação) que fazemos a grupos de 100, ou seja, uma razão cujo denominador é 100.

k% 

k 100

20  50  10 100

Assim, o cliente terá um desconto de R$ 10,00. Logo pagará R$ 40,00.

Se o cliente tivesse o cartão fidelidade, ainda receberia um desconto adicional de 10% sobre o valor de R$ 40,00 (após o desconto de 20%).

O desconto será 10% de 40 

10  40  4 . Ou seja, o 100

desconto seria de R$ 4,00. O cliente pagaria, então R$ 36,00. A economia adicional será a diferença entre os preços pagos com o cartão fidelidade e sem ele, ou seja, R$ 40,00 – R$ 36,00 = R$ 4,00.

Alternativa E.

Porcentagens são chamadas, também, de razão centesimal ou de percentual. Logo, podemos ver porcentagem da seguinte forma:

4% 

4  0, 04 100

17% 

17  0,17 100

Podemos, assim, calcular porcentagem de quantidades. Por exemplo, se quisermos calcular 5% de 80, podemos verificar que temos 5 partes das 100 em que o 80 foi divido. Em cálculos:

5% de 80  5  Lembrando que 5 

80  5  0,8  4 100

80 5   80  0, 05  80  4 .

100 100

Concluímos então que quisermos calcular k% de x, logo

k k % de x  x 100 Exercício resolvido (ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de: a) 15,00 b)14,00 c)10,00

AUMENTO, DESCONTO E O FATOR MULTIPLICATIVO Muitos exercícios envolvendo a matemática financeira trabalham com os conceitos de aumento e/ou desconto, como o exercício resolvido anteriormente. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Um produto custa 50 reais e sofre um aumento de 30%. Quanto passará a custar após o aumento?

Resolução:

30% de 50 

30  50  15 100

Logo temos R$ 50,00 + R$ 15,00 = R$ 65,00. Se quisermos resolver diretamente, teríamos o seguinte:

50 + 30% de 50  50  0,30  50 

1  0,30   50  1,30  50  65 Logo, se queremos calcular diretamente o valor do aumento podemos pensar em #ORGULHODESERPRÓ |

39

1,10  1, 20  50  

x + k % de x  1  k %   x

2 aumento

1  0, 23  36  1, 23  36  44, 28 A mesma ideia serve para o desconto, só que ao adicionar, devemos subtrair o valor da porcentagem. Do Exemplo 1, se fossemos calcular o desconto, teríamos que subtrair 15 reais dos 50 reais, obtendo o valor de 35 reais. De forma direta:

1 aumento

1,10 1, 20  50  1,32  50  66

De forma direta, vamos calcular um aumento de 23% no valor de 36 reais. Assim:

1 e 2 aumento

Note que, para calcular o aumento sucessivo diretamente, podemos seguir então fazer o seguinte:  Aumento de k%  Depois aumento de p%

1  k %  1  p%  x

50  30% de 50  50  0,30  50 

1  0,30   50  0, 7  50  35 Logo, se queremos calcular diretamente o valor do desconto podemos pensar em

x  k % de x  1  k %   x Agora analise este problema: Exemplo 2: Um produto custa 50 reais em uma determinada loja. No domingo ele sofre um aumento de 20% no seu valor. Na segunda-feira o dono, para lucrar mais, resolve aumentar novamente o produto com um aumento de 10%. Determine o valor do produto atualmente.

No exemplo 2, se aplicarmos a mesma ideia para desconto sucessivo, teríamos o valor do produto sendo:

0,9   0,8  50   2 desconto

0,9  0,8  50  0, 72  50  36

Resolução: 1° aumento:

2° aumento:

1 e 2 desconto

1  0, 20  50  1, 20  50  60

Logo, após o primeiro aumento o produto custa R$60,00.

Agora nosso cálculo do segundo aumento será em cima dos 60 reais, e não mais dos 50 reais anunciados.

1 desconto

O valor final do produto seria de R$36,00. Assim, de forma direta:

1  0, 20   1  0,10   50   0,8   0,9   50  0,72  50  36

1  0,10  60  1,10  60  66 .

IMPORTANTE: No caso acima, 0,72 não é o valor do desconto. O desconto é de 1 - 0,72 = 0,28.

Ou seja, 100% - 72% = 28%.

O produto custa, atualmente, 66 reais.

De modo geral: Se analisarmos nosso problema, podemos notar que houve o que chamamos de aumento sucessivo. Este tipo de problema é muito comum nos exercícios e podem ser calculados diretamente. Veja o mesmo problema de outra forma:

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 

Desconto de k% Depois desconto de p%

1  k %  1  p%  x

CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA  Principal, Capital Inicial ou Valor Presente (C) Chamaremos de “principal”, “capital inicial” ou “valor presente” a quantia tomada emprestada ou investida e sobre a qual incidirão juros.  Juros (J) Chamaremos de juros à remuneração recebida por quem aplicou ou paga por quem tomou dinheiro emprestado. Por exemplo, uma pessoa aplicou R$ 100 e, ao final de um certo tempo, resgatou este investimento por R$ 110, os juros recebidos foram R$ 10.

Tempo (t) 1° mês 2° mês 3° mês 4° mês 5° mês

Capital (C)

Juros (J)

100 100 100 100 100

10% 100  10 10% 100  10 10% 100  10 10% 100  10 10% 100  10

Montante (M) 100+10=110 110+10=120 120+10=130 130+10=140 140+10=150

Ao final de 5 meses, o investimento rendeu R$50,00 em Juros e o montante da aplicação de R$100 + R$50 = R$150,00.

Analisando a tabela acima, podemos definir uma fórmula para o Juros Simples.

 Montante, Valor de Resgate ou Valor Futuro (M) Chamaremos de montante à soma do capital inicial mais juros. No exemplo acima, o montante recebido pelo foi de R$ 110.  Taxa de Juros (i) Vamos exemplificar para explicar melhor o conceito: se um investidor aplicou R$ 100 e recebeu juros de R$ 10 ao final de um ano, a taxa de juros deste investimento foi 10% ao ano.

Vê-se assim que a taxa de juros está sempre relacionada a um período, seja ele o dia, o mês, o ano, etc. A taxa de juros pode ser expressa em notação percentual ou em notação decimal.

Temos dois regimes de juros mais estudados atualmente: Juros Simples e Juros Compostos.

JUROS SIMPLES No regime de juros simples, os exclusivamente sobre o capital inicial.

juros

incidem

Exemplo: Um investidor quer aplicar durante um período de 5 meses o valor de R$100,00 em um fundo de aplicação em regime de juros simples. A taxa de juros desse investimento é de 10% ao mês. Qual o valor do montante no final deste período?

Resolução: Vamos analisar primeiramente os dados da questão e montar uma tabela: Temos no problema: C = 100

t = 5 meses

i = 10% a.m.

No primeiro mês temos os juros incidente sobre o capital de 100 reais. Logo no primeiro mês temos 10% 100  10 .

No segundo mês, como o regime é de juros simples, a taxa continua sendo aplicada no capital inicia, logo:

M  J C J  C i t M  C 1  i  t  IMPORTANTE: Taxa de juros e tempo devem estar na mesma unidade.

E na fórmula anterior, a taxa é em notação decimal.

Resolvendo o mesmo exercício com a fórmula: C = 100

t = 5 meses

J  C i t J  100  0,10  5 J  50

i = 10% a.m.

M  J C J  50  100 J  150

Ou podemos resolver de forma direta usando:

M  C 1  i  t  M  100 1  0,10  5  M  150 JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, ao final de cada período de capitalização, os juros se incorporam ao capital inicial e passam a render juros também. É o chamado “juros sobre juros”.

Exemplo: Um investidor quer aplicar durante um período de 5 meses o valor de R$100,00 em um fundo de aplicação em regime de juros compostos. A taxa de juros desse investimento é de 10% ao mês. Qual o valor do montante no final deste período?

#ORGULHODESERPRÓ |

41

Resolução: Como na questão anterior, vamos analisar primeiramente os dados da questão e montar uma tabela: Temos no problema:

3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

(Dados: log7 = 0,84 e log 1,035 = 0,014)

C = 100

Resolução: Primeiramente vamos dispor os dados da questão:

t = 5 meses

i = 10% a.m.

No primeiro mês temos os juros incidente sobre o capital de 100 reais. Logo no primeiro mês temos 10% 100  10 .

No segundo mês, como o regime é de juros simples, a taxa agora é aplicada no valor do mês anterior, ou seja: Tempo (t) 1° mês 2° mês 3° mês 4° mês 5° mês

Capital (C) 100 110 121 133,10 146,41

Juros (J)

C = 500

M  C  1  i 

3500  500  1, 035 

100+10=110 110+11=121 121+12,10=133,10

10% 121  12,10 10% 133,10  13,31

7  1, 035 

t

i = 3,5% a.m.

t

3500  500  1  0, 035 

Montante (M)

10% 100  10 10% 110  11

M = 3500

t

t

log 7  log 1, 035

t

log 7  t  log 1, 035 0,84  t  0, 014 t  60

133,10+13,31=146,41

10% 146, 41  14, 641

146,41+14,641=161,051

Ao final de 5 meses, o investimento rendeu R$61,05 em Juros e o montante da aplicação de R$100 + R$61,05 = R$161,05. (desprezando a casa dos milésimos).

Analisando a tabela acima, podemos definir uma fórmula para o Juros Simples.

M  C  1  i 

t

J  M C

IMPORTANTE: Taxa de juros e tempo devem estar na mesma unidade.

E na fórmula anterior, a taxa é em notação decimal.

Uma outra observação é que, diferente dos juros simples, os juros compostos têm uma fórmula melhor definida para o montante. Se quiser calcular somente os juros, então:

COMPARAÇÃO ENTRE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS Pela diferença entre as fórmulas, o comportamento dos montantes obtidos com cada tipo de capitalização é diferente: a capitalização de juros simples tem comportamento proporcional (linear) enquanto a capitalização de juros compostos tem comportamento exponencial.

O gráfico abaixo ilustra o comparativo entre as duas formas em função do tempo:

t J  C  1  i   1  

Resolvendo o mesmo exercício com a fórmula:

C = 100

M  C  1  i 

t = 5 meses

i = 10% a.m.

t

M  100  1  0,10  M  100  1,10 

5

5

M  100 1, 61051 M  161, 051

1. (CFTRJ) Marcelo comprou um móvel de R$ 1.000,00, Exemplo: Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de

42 | Pró Floripa

de forma parcelada, com juros de 5% ao mês. Sabendo que

Marcelo pagou R$ 400,00 no ato da compra e o restante um mês depois, qual foi o valor dessa segunda parcela, 30 dias após a compra?

A taxa mensal de juros simples cobrada pelo Banco A e pelo Banco B, respectivamente, é: a) 8% a.m. e 10% a.m.

2. (IFSC) Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de

b) 18% a.m. e 13% a.m.

Geografia e Estatística), o rendimento médio mensal das famílias catarinenses é R$ 1.368,00.

Considerando-se que uma família pegou um empréstimo no valor de 30% de sua renda média mensal e vai pagar este empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto essa família pegou emprestado e qual o valor que a família irá pagar (montante final) se saldar essa dívida em 2 meses?

c) 6,4% a.m. e 12,5% a.m.

a) Pegou emprestado R$ 407,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 423,86. b) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94. c) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 424,90. d) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94. e) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 426,98.

3. (CFTMG) O gerente de um banco apresentou a um cliente, interessado em investir determinada quantia de dinheiro, quatro opções, conforme descritas no quadro abaixo.

Opção de investimento 1 2 3 4

Regime de Capitalização composto composto simples simples

Prazo (meses) 2 3 4 5

Taxa (a.m.)

2,0% 1,5% 2,0% 1,5%

A opção que proporcionará um maior rendimento ao cliente, considerando-se os prazos e taxas fixados pelo banco, será a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

d) 13% a.m. e 18% a.m. e) 10% a.m. e 8% a.m.

5. (Enem) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é     1 1   P 1   a)   2 i    i    1   1    100   100       1 1  b) P 1     i   2i     1  100   1  100       

    1 1    c) P 1  2 2 i     1  i   1  100     100    

    1 1 1  d) P 1      i   2i   3i     1  100   1  100   1  100              1 1 1   P 1    e)   2 3 i    i  i     1   1  1   100     100   100    

4. (IFSC) Analise as seguintes situações: 1. Seu João fez um empréstimo de R$ 1.000,00, no Banco A, a uma taxa de juros simples; após 4 meses, pagou um montante de R$ 1.320,00 e quitou sua dívida.

2. Dona Maria fez um empréstimo de R$ 1.200,00, no Banco B, a uma taxa de juros simples; após 5 meses, pagou um montante de R$ 1.800,00 e quitou a dívida.

1. (Ifsc 2015) Um futuro aluno de um dos cursos de engenharia do IFSC comprou um telefone celular smartphone sob as seguintes condições de pagamento: - O pagamento será efetuado em 6 parcelas; - A primeira parcela é de R$100,00;

Assinale a alternativa CORRETA. #ORGULHODESERPRÓ |

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- A partir da segunda parcela, o valor de cada parcela terá juros de 10  (log10 10)% em relação à parcela paga no mês anterior; Com base na situação exposta no enunciado, assinale a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S).

taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.

01) A taxa de juros é de 5% ao mês 02) O valor da quinta parcela é de R$120,00 04) O gráfico que representa o valor de cada parcela (em reais) em função do tempo (com medida em meses após a compra) é referente à função exponencial f(x)  100  [1  0,1 (log10 10)]x

08) Considerando-se que (1,1)6  1,77, pode-se garantir que todas as parcelas custam menos que R$177,00 16) O gráfico que representa o valor de cada parcela (em reais) em função do tempo (com medida em meses após a compra) é referente à função f(x)  (log10 10)  10  x  100

2. (Enem) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso.

Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de a) 2.075,00. b) 2.093,00. c) 2.138,00. d) 2.255,00. e) 2.300,00.

3. (IFSC) É CORRETO afirmar que a taxa de 10% ao mês de juros compostos do cartão de crédito é equivalente a uma anual de juros compostos: a) menor que 10% b) igual a 120% c) entre 50% e 100% d) maior que 120% e) igual a 10%

4. (ENEM) Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão

44 | Pró Floripa

Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês. b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês. c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês. d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês. e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.

5. (ENEM) O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 2011. A partir de então, o pagamento mensal não poderá ser inferior a 15% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 29 fev.

2012.

Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012, uma dívida de R$1.000,00 na fatura de seu cartão de crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura. Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra.

A dívida desse consumidor em 01/05/2012 será de a) R$ 600,00. b) R$ 640,00. c) R$ 722,50. d) R$ 774,40. e) R$ 874,22.

6. (ENEM)Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: • Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00.

• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais uma prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses.

• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.

• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00.

• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor), em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.

Após avaliar a situação do ponto financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

7. (Enem cancelado 2009) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês.

Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses.

Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é

a)

b)

c)

d)

e)

8. (ENEM) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

9. (ENEM) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses.

Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro.

Para ter o carro, João deverá esperar: a) dois meses, e terá a quantia exata. b) três meses, e terá a quantia exata. c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$225,00. d) quatro meses, e terá a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00.

10. (IFSC-Adaptada) Com base na leitura do texto abaixo, responda a questão.

Antes de analisar os dados abaixo, é importante lembrar que o Brasil ainda tem uma baixíssima renda per capita (por #ORGULHODESERPRÓ |

45

cabeça), de US$ 10.900 (em 2010). Porém, entre 2003 e 2011, por volta de 100 milhões de pessoas integravam a classe C, a chamada nova classe média, sendo que então quase 30 milhões deram um salto para ela, movimentando toda a economia, e especialmente no Nordeste. (...)

Ressalte-se ainda que o país deteve até 2012 o recorde mundial de taxas de juros cobradas de suas empresas e consumidores, mesmo com as reduções. Mesmo assim, um cartão de crédito ainda costumava cobrar mais de 10 % de juros mensais em 2013, quando em qualquer lugar do mundo essa taxa - ANUAL - já seria absurda.

Fonte: http://www.economiabr.com.br/Ind/Ind_consumo.htm.

Acesso: 10 abr. 2014. [Adaptado]

É CORRETO afirmar que uma dívida de R$ 500,00 no cartão de crédito, a uma taxa de juros de 10% ao mês de juros compostos, durante n meses, pode ser modelada pela seguinte função: a) y  500  (1,1)n b) y  (500)  1,1 n c) y  500  (1,1)  n d) y=5002  (1,1).n e) y=5002  1,1

11. (IFAL) Em 2000, certo país da América Latina pediu um empréstimo de 1 milhão de dólares ao FMI (Fundo Monetário Internacional) para pagar em 100 anos. Porém, por problemas políticos e de corrupção, nada foi pago até hoje e a dívida foi sendo “rolada” com a taxação de juros compostos de 8,5% ao ano. Determine o valor da dívida no corrente ano de 2015, em dólar. Considere (1,085)5  1,5. a) 1,2 milhões. b) 2,2 milhões. c) 3,375 milhões. d) 1,47 milhões. e) 2 milhões.

12. (UECE) Bruno fez um empréstimo de R$ 1.000,00 a juros simples mensais de 10%. Dois meses após, pagou R$ 700,00 e um mês depois desse pagamento, liquidou o débito. Este último pagamento, para liquidação do débito, foi de a) R$ 550,00. b) R$ 460,00. c) R$ 490,00. d) R$ 540,00.

46 | Pró Floripa

Nomenclatura Em

n

a = b, temos:

  

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que: am = a. a. a. a. a..... a.  m fatores 

a-n =

n

a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. Se n for ímpar então n a sempre Em

existe.

Propriedades  n a .n b  n a.b na

n

nb

 

a b

m

n m  a n m n.p m.p  a  a

 na

1 an

Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se:

 n m a  n.m a m



n

am  a n

Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente à primeira sem, no entanto, o radical no denominador.

 am.an = am + n 

Condição de existência



Casos Particulares a0 = 1 para a  0 a1 = a

n é o índice a é o radicando b é a raiz

am  a m n an

 (am)n = am.n  (a.b)n = an.bn n n   a   a n  b b

n

m

1º CASO: O denominador é do tipo a Neste caso, multiplica-se numerador e denominador pelo fator:

Potência de base 10 Sabe-se que: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000

n

anm .

2º CASO: O denominador é do tipo a  b Neste caso, multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator:

a b

Então 10n = 100...........00  n zeros Observe ainda que: 10-1 = 1 = 0,1 10 -2 10 = 1 = 0,01 10 2 10-3 = 1 = 0,001

1. Calcule:

Então 10–n = 0,000.............001  n casas decimais

2. Transforme cada expressão em uma única potência de

10 3

RADICIAÇÃO Definição b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.

a) 24 b) – 24 c) (– 2)

d) 17 e) 03 4

g) 3-2 4 h)  2    3

0

f) 214

base 3. a) 37 . 3-5 . 36 =

c) (34)2 =

2 5 b) 3 .3 =

d) 3 =

3

3

42

Representação n

a = b  bn = a #ORGULHODESERPRO | 1

3. Calcule: 3

a) 0,25

d)

b) 0,01

c) 3 125

f) 50  32  2 2  242

64

e)

 9 4

2 3

10. O valor da expressão 100.(0,1) é equivalente a: 0,01

a) 102

4. Racionalize: a) 3 2

c) 3 5 2

b) 5 5

2 5 3

d)

b) 103

c) 104

d) 105

e) 10

11. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n +(– 1)2n + 1 é zero.

08. A metade de 48 + 84 é 17.211

5. Determine o valor das expressões: a) 34

g) 4-2

12. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 

1   80 

3

2

1  8

a) 

2

3

 2  5

b) 

c) 



1    800 

2

d) 



3

8   10 

e) 

b) – 3

h)  5  2

c) (– 3)4

i) 24 + 1201 + 03 + 40

13. (FGV-SP) Qual o valor da expressão

d) 1201

j)

a.b 2 . a 1.b 2 . a.b 1 3 2 , quando a = 10 e b = 10 a  3 .b. a 2 .b 1 . a 1.b

4

( 2)

4

2 3  (2 ) 4 2 2

k)  2    3 

80

e) 0

3



1

2

 

 

4



2

b) 102

a) 106

c) 103

d) 109

e) 107

0

f) 500

6. Transforme cada expressão em uma única potência de base 2.

3 2 3 b) (2 ) .2

2

a)

4

7. Sendo A = 2 , obtenha: a) sucessor de A b) o dobro de A c) quádruplo de A

d) quadrado de A e) metade de A f) raiz quadrada de A

raízes:

b)

87

c)

82

4

d)

3

34 3

(abc)12 vale: a) 9912 b) 9921/2 c) 9928

d) 9988 e) 9999

16. Determine a soma dos números associados às c)

625

5

e) 81

0

16 5

d)

32

3

1

proposições corretas:

45  20  80 é equivalente a 3 15 .

5

01. A expressão

f) 3  0,125

02. O valor de 2  2  2  2  4 é 2

9. Racionalize: a) 5 2

 2n  2  2 n 1 2n 2  2 n 1

15. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então

8. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das

b)

3 4

100

4

n4

temos:

a) 25.23.27

a)

14. (FGV-SP) Simplificando a expressão 2

b)

1

6 3

2 | Pró Floripa

c) 2 3 5

d)

5 3 2

1

04. O valor de 8 3  16 2 é 4 08. Racionalizando 4 obtém-se 2

2

2 8 15 16. A expressão 3  5 é igual a 15 5 3

III) ax  ay  x  ay a IV) 1  1  10 0  2

13 12 13. Calculando 3  3 , encontra-se: 5

2 :2

a) 32 b) 34

3

c) 36 d) 38

e) n.d.a.

2

17. (UEL-PR) A expressão

1 1   1 é equivalente: 2 2 2 2

a) – 1

d)

b)

2 –2

c)

2+2

2

2 V) x  8 x  16  x  4 x4

b) 1 e) 3

c) 4

22. (IFSC 2012) O valor correto da expressão numérica

2 –1 e) 2 + 1

18. (UEL-PR) Seja o número real x =

a) 5 d) 2

E  102  103   104   8  81   104 é:

500  3 20  2  2 5 .

5 1

a) 58,0001. b) 8,000001. c) 100001,0001. d) 8. e) 80.

Escrevendo x na forma x = a + b c , tem-se que a + b + c é igual a:

23. (ISFC 2009-2) As calorias dos alimentos produzem

a) 5 b) 6

energia para o organismo. O hambúrguer de dois andares, por exemplo, possui 512 cal. Qual das alternativas abaixo expressa esse valor?

c) 7 d) 8

e) 9

a) 22  22  22  22  2. b) 2.2+2.2+2.2+2.2. c) ((((2)²)²)²).2. d) 2.2².2².2. e) 2²+2².2²+2²

19. (IFSC 2010) Observe as afirmações abaixo: a) 3  0 0 b)

0 0

c)

 4  2

d)

0 0 3

e)

10  5

f)

3²  4²  7

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo ABC

É correto afirmar que o número de afirmações verdadeiras é (são): a) 0 d) 5

20.  5   

b) 1 e) 2 (IFSC 2009) 9 8    10º é: 8 3 

O

c) 3 valor

da

expressão

a) Um número inteiro negativo. b) Um número racional menor que zero. c) Um número natural maior que três. d) Um número real positivo maior que dez. e) Um número irracional.

numérica

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:  

BC é a hipotenusa   B e C são os ângulos agudos

II) 5  16  3

___

Pelo teorema angular de Thales, prova-se que os ângulos   agudos são complementares, ou seja, B  C = 90º  

I) A metade de 2  2

___

AC e AB são os catetos

21. (IFSC 2011) Considere as sentenças abaixo: 10

____



5



RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e à hipotenusa.

COSSENO: cosseno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.

TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. #ORGULHODESERPRO | 3

2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:

Sendo assim, temos que:

b sen  = a

c cos  = a

b tg  = c

Observação: Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos  Tabela de arcos notáveis Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e obtemos dois triângulos retângulos isósceles.

Em resumo, temos:

a) 60°

b) 45°

c) 30°

d) 90°

e) n.d.a.

3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um

rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 =  e BP2P1 =  e que tg  = 2 e tg  = 4, a distância entre as margens (em metros) é:

4. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x: a)

12 X 30°

b) 6

60° X

c) x 5

45°

5. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a

1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:

Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4) a) 55 metros b) 15 metros

4 | Pró Floripa

d) 42 metros e) 51 metros

c) 45 metros

6. (UFSC) Em um vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

7. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. a) b cos  b) a cos 

c) a sen  d) b tg 

e) b sen 

12. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza___

se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

8. Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01. h =

2m

02. h =

3m

04. a = (1 + 3 ) m 08. O triângulo ACD é isósceles ____

16. O lado

AC mede 6m

9. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Em um certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.

Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

___

01. AC = 10km ___

02.

AD = 2,5 km ____

04. BC = 5 3 km

ˆ D mede 60° 08. O ângulo BA 16. A velocidade média do barco é de 15km/h

13. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x B

60°

30°

10. Determine o valor de x e y na figura abaixo:

C

D

A

AD = x

DC= x - 38

BD = y

11. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

#ORGULHODESERPRO | 5

4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é:

TEOREMA DOS COSSENOS Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

5.Determine o valor de x na figura abaixo:

6. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A

TEOREMA DOS SENOS

medida, em cm, do lado AB será: A

Em um triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

45°

30° C

B

7. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: A

1. Determine o valor de x na figura abaixo:

75°

O 60° C

B

2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

3. Determine o valor de x na figura abaixo:

01. O triângulo ABC é equilátero 02. O raio da circunferência vale 2cm ___

04. AB = 2 2 cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm

8. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°.

Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: a) 4 b) 11

6 | Pró Floripa

c) 3 d) 13

e) 4 2

9. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é: a) 5/6 c) ¾ b) 4/5 d) 2/3

e) 1/8

INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 10. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem, respectivamente, 8cm e 6cm, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) ½ b) 2/3

c) ¾ d) 4/5

ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

e) 5/6

11. (FUVEST-SP) Em uma circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado

___

BC

é igual ao raio da

circunferência. O ângulo B Â C mede: a) 15° b) 30°

c) 36° d) 45°

e) 60°

12. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ângulo L Â C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L B̂ C = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B? a) 2 2 b) 3

c) 2 3 d) 3 2

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos.

e) 4 2

13. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2cm, A D̂ C = 60° e A B̂ C = 90°.

D

A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência).

Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.

Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento

C

1 360

é igual a do comprimento da circunferência.

Logo, a circunferência tem 360º.

Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: B

A

O perímetro do quadrilátero, em cm, é: a) 11 b) 12

c) 13 d) 14

e) 15

1º = 60'

1'= 60''

 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido.

Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. Portanto: 360º 180º

 

2 rad  rad

CICLO TRIGONOMÉTRICO Quando, em uma circunferência de raio unitário, se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico.

#ORGULHODESERPRO | 7

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes.

ORIENTAÇÃO  Anti Horário  Positivo Horário  Negativo

TABELA

ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 360º, com k  Z.  Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 2, com k  Z.

SENO e COSSENO DE UM ARCO DEFINIÇÃO Considere o arco que possui extremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o ângulo central .

Note que: – 1  sen   1 e – 1  cos   1 Observação: Com o auxílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e cosseno de arcos do 2º, 3º e 4º quadrantes.

Equações trigonométricas em um intervalo dado Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros.

São exemplos de equações trigonométricas:

Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela extremidade M do arco sobre o eixo y.

Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x.

1) sen x = 1 2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas as equações trigonométricas, pois existe uma infinidade delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: x  a  2k (congruos)  sen x = sen a  x    a  2k (suplementares)

SINAIS

8 | Pró Floripa

8. Determine o valor da expressão sen 90. cos 0  cos180.sen 270 sen 2 0  cos 2 180

9. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: x  a  2k (congruos)  cos x = cos a  x   a  2k (suplementares)

a) 1º quadrante b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a.

10. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) b) c) d) e)

11. Resolver, no intervalo 0  x < 2, as seguintes

1. Expresse em radianos os seguintes arcos: a) 300º

b) 60º

equações:

c) 12º

2. Um arco de 200° equivale, em radianos, a: a)

2 3

b)

5 2

c) 4

d)

10 9

e) 6

geral dos arcos côngruos a:

d) cos x =

2 2

12. Sabendo que 0  x < 2, o conjunto solução da

b) 23 rad

equação: sen 2 x  3sen x  4 = 0 é:

6

4. Determine o valor de: a) b) c) d) e) f)

a) sen x = 1 b) cos x = 0 c) sen x =  1

2

3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão a) 930º

2m3 1m4 -1  m  1 2<m<3 0m1

a) {90º} b) {-90º} c) {270º} d) {180º} e) {30º}

sen 150° cos 150° sen 210° cos 210° sen 330° cos 330°

5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 admite solução. a) - 1  m  1 b) - 2  m  5 c) 2  m  3 d) 2 < m < 3 e) 1 < m < 2

13. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é: a) 100° b) 140º

c) 40º d) 80º

e) n.d.a.

14. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º? a) 270º b) 280º

6. Obter a medida, em graus, dos seguintes arcos: a) 2 3

b)  6

e) 310º

15. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:

7. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos: a) /24 b) /25

c) 290º d) 300º

c) /30 d) /25

e) 5/32

a) 135º b) 140º

c) 145º d) 150º

e) n.d.a.

#ORGULHODESERPRO | 9

16. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às 23h45min, vale: a) 189º30' b) 277º30'

c) 270º d) 254º45'

e) 277º50'

17. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir quando

y

37  2senx , é: 3

SINAIS

18. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação 2 sen x = 1 é: a) /6 b) /4

c) /3 d) /2

e) n.d.a.

19. (UM-SP)O menor valor positivo de x para o qual 9- cós x= 1 3

é:

a)

 6

b)

 4

c)

 3

d)

 2

e)

TABELA

2 3

20. Determinar o número de soluções da equação 2sen x cos x = sen x no intervalo 0  x < 2.

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA sen2  + cos2  = 1 (Relação Fundamental) A relação acima também vale para arcos com extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos230° = 1 sen2130° + cos2130° = 1 Convém lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos .

Logo, vale também relações do tipo: sen2 50° + sen2 40° = 1 sen 210° + sen2 80° = 1

TANGENTE DE UM ARCO DEFINIÇÃO Associa-se à circunferência trigonométrica mais um eixo, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

10 | Pró Floripa

EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA tg x = tg a

 x  a  2k

15. No intervalo 0  x < 2, a equação 3 tg2x + tg x = 0 possui quantas soluções?

 1. Sabendo que sen x = 2 e que  x   , calcule cos x: 2

3

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x = 2 a  1 são verdadeiras para todo x real, se e somente se: a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 c) a = 5 ou a = 1

d) a = 1 e) n.d.a.

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

3. Resolver, no intervalo 0  x< 2, a equação 2cos2x = – 3 sen x

sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

4. Determine o valor de: a) tg 120°

b) tg 210°

As demais Relações Trigonométricas com as condições de existência obedecidas são: sen x cotg x = 1 tg x =

c) tg 330°

tg x

cos x

5. Resolva no intervalo 0  x < 2 as seguintes equações: sec x = a) tg x =

3 3

1 cos x

cossec x =

b) tg2x – 1 = 0

1 sen x

A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas relações derivadas.

Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos: 1 + cotg2 x = cossec2 x

6. No intervalo

1 3  x  2 se sen x =  , calcule cos x.

3 2

7. (UFSC) O valor, em graus, do arco x

0x

 na 2

equação: 1  cos2x + sen x = 0 é:

8. O valor de tg 315° + tg 225° é: 9. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |

E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos: tg2 x + 1 = sec2 x Sinais das Funções Trigonométricas 1°Q 2°Q 3°Q seno e cossecante + +  cosseno e secante +   tangente e + +  cotangente

4°Q  + 

10. Resolva as seguintes equações no intervalo 0  x < 2 a) tg x =

b) tg2x + tg x = 0

3

1. Determine o valor de: 11. Determine m de modo que se obtenham, simultaneamente, sen x = m e cos x = 3  3m

12. No intervalo 0  x < 2, determine o número de soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.

13. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x – tg x + 2cos 3x para x =

b) 5/3

d) cossec 210° e) sec 315° f) cotg 300°

2. Sendo sen  =  4 e 3    2 , calcular: a) cos  b) tg 

2 5 c) cotg  d) sec 

e) cosec 

3 é: 4

14. (PUC-RS) O valor numérico de é: a) 5/2

a) cossec 30° b) sec 30° c) cotg 30°

c) 3/2

d) 2/5

sen

e) 0

x 3x  2tg  2 4 para x = 3 3 cos x

3. Determine o valor de: a) sec 60o

b) cossec 150o

c) cotg 315o

#ORGULHODESERPRO | 11

4. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com então tg x é: a) 3/4 b) 1/2 c) 4/5

x  4º quadrante,

e x  e xtg 4 x , então: sec x  tg 2 x.sec x

d) 3/4 e) 4/5

 5. (UFSC) Dados sen x = 3 e  x   , determine o valor 5 2 de:  32 tg x + 1

6.

(FGV-SP)

Simplificando-se

a

expressão

sena tga coseca , obtém-se: cosa cotga seca

a) 0 b) sec2a c) sen2a

12. (FATEC) Se x e y são números reais tais que y =

a) y = ex b) y = ex(1 + tg x)

.

x c) y = e cos x x d) y = e sec x

e) n.d.a

d) 1 e) tg2a

13. (IFSC – 2009) Uma rampa lisa de 40 metros de

7. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:

8. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:

comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal.

Uma pessoa que sobe completamente essa rampa inteira eleva-se: Dados: sem 30° = 1 ; cos 30° = 3 ; tg 30° = 3 .

2 2 3 a) 20 metros. b) 40 metros. c) 10 metros d) 34 metros. e) 16 metros.

sen30  cos120 cosec150  cotg330 

14. (IFSC -2012) Um triângulo retângulo tem hipotenusa

sec300  tg60  cotg225 

9. (UFCE) Para todo x  1º quadrante, a expressão (sec x -

igual 5cm e os catetos medindo um o dobro do outro. É correto afirmar que a medida de sua área, em cm², é:

tg x)(sec x + tg x)  sen2x é igual a: a) cos2x b) 1 + sen2x c) cos x - sen x

d) sec x + cos x e) n.d.a.

10. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. A medida em radianos de um arco de 225º é

11π rad.

6

02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para  16. Se tg x =

3



x

4

3

e x

4

.

4

, então o valor de

sen x – cos x é igual a

.

5

ou x =

.

6

6

11.

5

3 (UFSC) Dado sen x = e x  0   , calcule o valor  2  5

2 numérico da expressão:  sec x cotgx  cosecx tgx 



12 | Pró Floripa

6 senx cosec 2 x



das medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Sua aplicação estende-se a outros campos além da Matemática, como a Eletricidade, a Topografia e a Engenharia Civil. Por isso, consagrou-se como um conhecimento de valor extraordinário.

Leia atentamente as proposições a seguir a respeito de trigonometria e assinale no cartão-resposta a soma do(s) número(s) associado(s) à(s) proposição(s) correta(s): 01. As extremidades dos arcos de medidas  17 rad e

quadrantes.

02. As medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC

32. Se sen x  0, então cosec x  0.

64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0  x  2 é x = 

15. (IFSC-2009) A trigonometria tem por objetivo o cálculo

4  13 rad localizam-se, respectivamente, no I e IV 3

2 1

a) 5 . b) 10. c) 10 5 . d) 5. e) 8 5 .

1

são, respectivamente, Â =25°, B̂ =65° e Ĉ   . Assim, tem-se que 4  cos3   2  sen   equivale a 2.

04. Seu Miguel, diariamente, percorre vários quilômetros para levar os alunos para uma escola no outro lado do bairro. Ele parte de um ponto A e segue 22km em direção ao norte, até o ponto B. Daí, desloca-se 8km na direção leste, até o ponto C. Por fim, segue 16km para a direção sul, parando no ponto D. Com essas informações, pode-se afirmar que, ao retornar, seu

Miguel poderá economizar 26km, se o deslocamento for do ponto D para o ponto A, em linha reta.

08. Resolvendo-se a expressão A  5  sen 5   2tg   ,  2  4 tem-se que A   1 .

3 3 16. Sabe-se que cos x 

Sinais nos quadrantes

 1 , com rad < x <  rad, assim 2 2

o valor de  2  vale -1.  sec x 

16. A trigonometria é utilizada de forma bem ampla e constitui importante ferramenta de cálculo na Matemática em geral e em áreas como Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, entre outras.

Assinale no cartão-resposta a soma do(s) número(s) associado(s) à(s) proposição(ões) correta(s): 01. Se as medidas da hipotenusa e de um cateto de um triângulo retângulo são, respectivamente, 13 cm e 11 cm, pode-se afirmar que a medida, em dm, do terceiro lado desse triângulo representa um valor real menor que 2.

02. Os arcos de extremidades  37  e 23 são côngruos.  6  04.

O valor numérico da expressão sen90  cos180 y  cot g  30 é 2. tg 135 08. O conjunto imagem da função f(x)=-1+2cos(5x) é o intervalo real A = [-3;3].

16. Sabe-se que existe ao menos um arco no terceiro quadrante de modo que o valor do cosseno desse arco resulte -1,5.

Representação gráfica da função Vamos observar a variação do gráfico do seno para uma volta no ciclo, ou seja, para .

Observações:  A função é crescente no 1º e 4º quadrantes  A função é decrescente no 2º e 3º quadrantes  Imagem:  Período:  Domínio:  A função seno é ímpar Função do tipo Período da função: Função cosseno

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Definição: Dado um ângulo de medida , a função seno é a relação que associa a cada em R, o seno do ângulo .

Denotamos a função seno por .

Definição: Dado um ângulo de medida , a função cosseno é a relação que associa a cada em R, o cosseno do ângulo . Denotamos a função cosseno por .

Observe a figura abaixo:

Observe a figura abaixo:

O cosseno do ângulo O seno o ângulo

corresponde ao segmento

corresponde ao segmento

.

.

#ORGULHODESERPRO | 13

Sinais nos quadrantes

Sinais da tangente

Definição da função tangente Representação gráfica da função Vamos observar a variação do gráfico do cosseno para uma volta no ciclo, ou seja, para .

  Observando o ciclo e aplicando a definição de tangente, podemos concluir que:

Observações:  A função é crescente no 3º e 4º quadrantes  A função é decrescente no 1º e 2º quadrantes  Imagem:  Período: Gráfico da função tangente

 Domínio:  A função cosseno é par Função do tipo Período da função: Função Tangente Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tg (x).

Dado um arco AM , prolonga-se o segmento de modo a concorrer com o eixo das tangentes no ponto T. O comprimento do segmento será a tangente do arco dado Observe a figura:

Observações:  Domínio:  Imagem:  Período:  A função tangente é ímpar

Função do tipo Período da função: Função cotangente Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por: A tangente o ângulo

14 | Pró Floripa

é o segmento

com Observe a figura

A secante do ângulo Sinais da secante

A cotangente de é o segmento Sinais da cotangente

é o segmento

.

.

Definição da função Secante Definição da função cotangente  

  Gráfico da função secante

Gráfico da função cotangente

Observações 0bservações:  Domínio:  Imagem:  Período: Função Secante Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

Definimos a secante de um número real pela igualdade: sendo Observe o ciclo abaixo:

 Domínio:  Imagem:  Período: Função cossecante Definimos a função cossecante como a relação que associa a um x real, a cossecante de x, denotada por cossec (x).

Definimos a cossecante de um número real pela pela igualdade: sendo Observe o ciclo abaixo.

#ORGULHODESERPRO | 15

2. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:

A cossecante do ângulo

é o segmento

.

Sinais da cossecante

a) sen x b) 2. sen (x/2) c) 2 .sen x d) 2. sen 2x e) sen 2x

3. Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram representados pela função periódica  πt π  T(t)  24  3cos    , , em que t indica o tempo  6 3

Definição da função cossecante   Gráfico da função cossecante

(em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em °C) no instante t. O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente: a) 6 h, 25,5 C e 10 h. b) 12 h, 27 C e 10 h. c) 12 h, 27 C e 15 h. d) 6 h, 25,5 C e 15 h.

Observações

4. Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x.

 Domínio:

O conjunto imagem dessa função é o intervalo:

 Imagem:

a)[-3, 5] b) [3,5] c) [-3, 4] d) [3, 4] e) [-1, 1]

 Período:

5. O período da função dada por y = sen 1. Determine o período e o domínio da função .

a)  b) 2 c)

16 | Pró Floripa

 4

 2  e) 8 d)

é:

Nessa situação, o valor de a  b é

6. Observe o gráfico a seguir.

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 10

10. Suponha que, em determinado lugar, a temperatura A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é:

 2π(t  105)  T(t)  14  12sen  .

364   Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de

a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x d) y = sen 2x e) y = 2 sen x

7. Sendo

média diária T, em °C, possa ser expressa, em função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por

e

o valor da tg x é:

a)

a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março.

b)

11. (UFSC 2017) Em relação às proposições abaixo, é

c)

correto afirmar que:

d) e) 1

8. Uma população de P animais varia, aproximadamente, segundo a equação a seguir.

Considere que t é o tempo medido em meses e que 1º de janeiro corresponde a t = 0. Então, no período de 1º de janeiro a 1º de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge 750 são a) abril e outubro b) maio e novembro c) março e outubro d) março e novembro e) maio e setembro

01) O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 3 h 25 min é 47,5.

02) Dado qualquer número real t  0, a função real de

 2πx  variável real definida por f(x)  cos   satisfaz à  t  identidade f(x  t)  f(x).

04) Se x 

kπ , sendo k um número inteiro, então 2

sec 2 x  cossec 2 x  sec 2 x  cossec 2 x.

08) A equação sec x  2 apresenta duas soluções no intervalo 0  x  4π.

12. (UFSC 2015) A tabela abaixo apresenta a previsão do comportamento das marés para o dia 07/08/14 no Porto de Itajaí, em Santa Catarina.

9. O esboço do gráfico da função f(x)  a  b cos(x) é mostrado na figura seguinte.

HORA 00:38 06:02 12:02 19:47

ALTURA (m) 0,8 0,1 1,0 0,3

Em relação ao assunto e à tabela acima, é CORRETO afirmar que: 01) A partir da conjugação da força gravitacional entre os corpos do sistema Lua-Sol-Terra e da rotação da Terra em torno de seu eixo, é possível inferir que o movimento das marés é periódico e, como tal, pode ser representado por meio de uma função trigonométrica, seno ou cosseno. #ORGULHODESERPRO | 17

02) O período médio do comportamento das marés, no dia 07/08/14, é de, aproximadamente, 6,38 h.

04) A amplitude da função trigonométrica que representa o movimento das marés, segundo os dados da tabela, é de, aproximadamente, 0,45 m.

2π  2 π  .

08) O período da função y  sen4  5x  é 5 3   sen x 

16) Se E

2 , 2

então o valor da expressão

tg2 x  1

é

16. O domínio e o conjunto imagem da função definida por y = tg (2x), sendo D o domínio e I o conjunto imagem, são representados por:

2

sec x  1

01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.

02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.

04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.

08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.

2.

π 5 3 e cos y  com 0  x  13 5 2 3π 64 e .  y  2π, então cos(x  y)  65 2

32) Sabendo que sen x 

13. Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no inverno, esse fenômeno se inverte.

Já em outros lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É o caso de Ancara, na Turquia, onde a duração de luz solar L, em horas, no dia d do ano, após 21 de março, é dada pela função:

 2π  L(d)  12  2,8  sen  (d 80) 365   Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara. a) 12,8 e 12 b) 14,8 e 9,2 c) 12,8 e 9,2 d) 12 e 12 e) 14,8 e 12

14. Sendo x um arco do 2º quadrante e Sec x = - 3, então cossec x é:

a)

e e

c) d) e)

e e e

17. Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por  8π  P(t)  100  20cos  t  3  onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco.

Analise as afirmativas: I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.

II. A pressão em t  2 segundos é de 110mmHg. III. A amplitude da função P(t) é de 30mmHg. Está(ão) correta(s): a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III.

d) apenas II e III. e) I, II e III.

18. Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura abaixo, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um mesmo ângulo  com a horizontal.

a) b) c) d) e)

15. (UFSC) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno.

Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen que t é o tempo medido em horas.

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

18 | Pró Floripa

, em

Sabendo que o ângulo AB̂C também mede  e desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do prédio é dada pela expressão: d 2

 2

a) H  sen  cos 

b) H  d cos sen d c) H  tgsen 2

Arco metade Seja , então arco duplo teremos:

. Substituindo nas fórmulas do

d tg sec  2  e) H  dsen  sec  2

d) H 

Operações com arcos Seja e

e dois arcos. As igualdades , , não são válidas.

Soma de arcos

19. Sabendo que

e que

, calcule

.

20. Sabendo que Exemplo: Determine o .

Resolução Pela adição de arcos podemos representar .

, calcule

21. Dados Calcule por

e

. , a e b no 1º quadrante.

.

22. Determine a

.

Logo

23. Calcular o

Subtração de arcos

24. Demonstre que

. é uma identidade

em .

25. Resolva a equação Exemplo: Sendo

Logo Arco duplo

, calcular

.

26. Sendo

, calcule

27. Sendo

, com

. no 1º quadrante, calcule

.

.

28. Considere o triângulo com ângulos internos 120.

x, 45 e

2

O valor de tg (x) é igual a

a) 3  2. b) 4 3  7. c) 7  4 3. d) 2  3. e) 2  4 3.

29. Para a matriz quadrada

cos17 0 sen17  M   1 1 1  o sen28 0 cos28

valor do determinante de M10 é #ORGULHODESERPRO | 19

a) b) c)

a)

1 16 1 32 1 64

b) c)

d) 1 e)

d)

128 1 256

3 4 2 6 4 2 6 8

e) 1

30. Em um determinado sistema mecânico, as extremidades de uma haste rígida AB ficam conectadas, de forma articulada, a um motor e a um corpo, conforme ilustra a figura. Quando o motor é ligado, a haste imprime ao corpo um movimento oscilatório, e a distância horizontal x(t) do ponto B em cada instante t em relação a um ponto fixo O é dado pela expressão

x(t) 

1 4

33. Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre a qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 5 m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5°. Qual a distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da margem da outra via, conforme mostra a figura ?

1 3  sen (t)   cos (t) centímetros.

2 2

Nestas condições, a maior distância x(t), em centímetros, será igual a: Dados:

a)

π 1 cos    3 2

b)

3 π sen    2 3

c) d) ) e) 10

34. Um observador colocado a 25m de um prédio vê um edifício sob certo ângulo. Afastando-se em linha reta mais 50m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício? a)

1 2

d) 1  3 2

b) 3

e) 3

2

c) 1

31. O valor de a)

cos(105) é:

3 .

2

b) 2  6 . c) d) e)

a) b) c) d) e)

35. Para melhorar as condições de acessibilidade a uma clínica médica, foi construída uma rampa conforme indicada na figura. O comprimento horizontal c da rampa, em metros, pode ser expresso por

4 2 6 .

2 2 6 .

2 2 6 .

4

32. O valor de cos 735 é:

a) b)

20 | Pró Floripa

Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:

c) d) e)

36. Se 37. Se

e e

, calcule

.

, calcule o valor da

.

O triângulo ABC é retângulo em C, então: AB 2  AC2  BC2 Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos:

GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, numerados no sentido antihorário.

A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (x, y).

d AB   xB  x A  2   y B  y A  2

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. Observe a figura:

Pelo teorema de Tales, temos que AM = MB, logo, no eixo x tem-se:

xM  xA = x B  xM



xA  xB 2

xM 

no eixo y tem-se:

yM  yA = y B  yM



yM 

y A  yB 2

Desta forma as coordenadas do Ponto Médio terão as seguintes coordenadas: Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é chamado ordenada do ponto.

OBSERVAÇÕES:  Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua ordenada é nula.

P (xp, 0)  Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é nula.

P (0, yp)  Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais. xp = yp  Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. xp = - yp DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

 x  xB y A  yB  M A    2 2 

ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS COORDENADAS DO VÉRTICE Considere o triângulo abaixo: y B

yB

C

yC yA A

xA

xB

xC

x

Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C, podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: #ORGULHODESERPRO | 21

xA

A = 1. x B

2

xC

yA 1 yB 1 yC 1

OBSERVAÇÕES: xA y A 1 O determinante xB yB 1 foi tomado em módulo, pois xC y C 1 a área é indicada por um número positivo. xA y A 1  Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemos xC y C 1 que os pontos estão alinhados.

8. (Cescea-SP) O ponto do eixo das abscissas, equidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0)

d) D(0,2) e) E(4,0)

9. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, 7) e C(2, 1)

10. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2), determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

11. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos 1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: a) distância entre A e B b) Ponto Médio do segmento AB

2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é equidistante dos pontos

(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: a) equilátero b) escaleno c) isósceles

d) retângulo e) n.d.a.

A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P.

12. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em

3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); C(4,5). O

módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:

valor da medida da mediana AM do triângulo ABC é: a) 3 c) 5 c) 7 b) 4 d) 6

4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo.

13. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) (-1,2), (5,0), (7,4) b) (2,2), (2,0), (4,4) c) (1,1), (3,1), (5,5) d) (3,1), (1,1), (3,5)

14. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é:

5. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: a) 3 a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes

b) 2

c) -3

d) 1

e) 3 2

15. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: a) 3

b) 2,5

c) 2

d) 4

e) 5

pares.

e) o ponto ( 3 + 1, quadrantes pares.

3 + 1) pertence à bissetriz dos

6. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:

7. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13

22 | Pró Floripa

d) -1 ou 10 e) 2 ou 12

16. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em unidades de área, é:

17. (IFSC- 2013) A localização de três cidades (A, B e C), situadas em uma planície, pode ser representada no plano cartesiano ortogonal pelos pontos A (4,2), B (9,2) e C (9,14).

Considerando essas informações, assinale no cartãoresposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas.

01. A distância entre as cidades A e B é maior que a distância entre as cidades B e C.

02. O triângulo ABC, que tem como vértices cada uma das cidades, é escaleno.

04. O triângulo ABC, que tem como vértices cada uma das cidades, é retângulo em B. 08. A distância entre as cidades A e C é maior que a distância entre as cidades A e B. 16. As cidades estão localizadas sobre uma mesma reta do plano cartesiano.

32. Os pontos A, B e C pertencem à circunferência cuja

COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR DA RETA Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta.

Vejamos, agora, o significado geométrico deles.

Coeficiente Linear O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo y.

2

equação é  x  13    y  22  25 . 

2

4

Coeficiente Angular Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo , onde  indica a inclinação da reta em relação ao eixo x.

ESTUDO DA RETA Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação podemos determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque:  A Equação Geral  A Equação Reduzida EQUAÇÃO GERAL DA RETA A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de 3 pontos.

Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y). x y 1 A, B e P estão alinhados se e só se: xA y A 1  0 xB yB 1

x Desenvolvendo x A xB

y 1 y A 1  0 temos: yB 1

x . yA + xA . yB + y . xB  yA . xB  x . yB  y . xA = 0

m = tg  ou m  yB  y A

xB  x A

Casos Particulares Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.

Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido.

(yA  yB) x + (xB  xA) y + xAyB  xByA = 0 a b c Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Pode-se obter a equação reduzida da reta isolando-a na equação geral y.

Veja: ax + by + c = 0 by = ax  c a c a c y  substituindo  por m e  por n temos: b b b b y = mx + n

Equação Reduzida da Reta

Equação do Feixe de Retas Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: y  yo = m(x  xo)

No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta.

#ORGULHODESERPRO | 23

5. Considere a reta r indicada pela figura abaixo

Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 9), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta

01. A equação da reta r é y = x – 1 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 45o 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de coordenadas (1,0)

6. Determine a equação da reta r indicada abaixo:

2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo: a) r: 2x + 3y + 1 = 0 b)

7. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: a) 3 b) 3,25 c)

d) 2 e) 9

c) 2 13

8. (Fac.Moema-SP) Os coeficientes linear e angular da reta 2x  3y + 1 = 0 são, respectivamente: a) 2 e 3 b) 2/3 e 1

c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3

e) n.d.a.

3. Determine a equação da reta representada pela figura abaixo:

9. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular 3.

10. Considere as retas r e s indicadas abaixo:

4. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, - 3), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta

24 | Pró Floripa

Determine a soma proposições corretas:

dos

números

associados

às

01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 04. o ponto de intersecção das retas r e s possui coordenadas (2, 1) 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)

11. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo ponto P(a,b).

O valor de a + b é:

12. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.

Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta r de equação 5x + 2y  6 = 0.

Resolução: d  5.4  2.3  6  d  20  d  4 5 4 2  32 Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.

13. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(-1,1), B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um quadrado. É correto afirmar que: 01. a origem do sistema de coordenadas está no interior do quadrado.

02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente angular ½.

04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a diagonal BD do quadrado.

08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no pont (0, -4).

16. o centro do quadrado é o ponto (1,3).

1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:

Determinar: a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta r. b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é perpendicular à reta r.

ESTUDO DA RETA POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS No plano cartesiano, duas retas r e s podem ser:  Concorrentes  Paralelas  Coincidentes Considere as retas r e s de equações: r = m1x + n1 e s = m2 x + n 2 Assim, podemos ter as seguintes situações:  PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2  PARALELAS COINCIDENTES: m1 = m2 e n1 = n2  CONCORRENTES m1  m2

2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de equação y = 2x + 5.

3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (1, -2) é 17.

02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam no ponto  0 7  é 25/7. 

5

04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .

08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.

16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta r é 20.

 CONCORRENTES E PERPENDICULARES: m1 . m2 =  1 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela expressão:

4. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: a) são paralelas b) são coincidentes #ORGULHODESERPRO | 25

c) são concorrentes, mas não perpendiculares. d) interceptam-se no 1º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares.

c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0

12. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:

5. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:

13. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:

a) 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0 c) 5x – y + 10 = 0

6. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: a) – 2

b) 2

c) – 6

d) 6

e) – 3

7. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e C(4,1). A altura em relação à base BC mede:

8. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:

01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).

02. o ponto C é (0, 3 ).

2

a) k = 0 b) k = 4

c) k = 8 d) k = 0 ou k = 8

e) k = -4 ou k = 8

9. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.

10. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale

04. a distância entre r e s é 3.

08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente, 1 , 1 e –2.

2 2 16. a equação da reta t é y = –2x + 6.

32. a equação da reta horizontal que passa por A é x = 0.

64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.

a(s)

proposição(ões) verdadeira(s).

GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.

02. A reta s e a reta r são perpendiculares.

04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa 4 .

5

08. A distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta r é de

2

unidades.

DEFINIÇÃO Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de um plano  que se equidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência.

R C 

2

16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eixo das abscissas é igual a 3 unidades de área.

10

11. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equação da reta suporte da outra diagonal é: a) 2x - 3y - 1 = 0 b) 2x + 3y - 7 = 0

26 | Pró Floripa

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência.

Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas:

(x  )2 + (y  )2 = R2. Em relação à circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições:

Equação Reduzida (x  a)2 + (y  b)2 = R2 Exemplo: Determine equação da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5): Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9 Caso Particular Se a circunferência possuir centro na origem, então a equação (x  )2 + (y  )2 = R2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2 Equação Geral A Equação Geral da circunferência é obtida Desenvolvendose a equação reduzida. Veja: (x  a)2 + (y  b)2 = R2 x2  2ax + a2 + y2  2by + b2 = R2 x2 + y2  2ax  2by + a2 + b2  R2 = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 onde: A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2 Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5) Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 (x  2)2 + (y  5)2 = 9 x2  4x + 4 + y2  10y + 25  9 = 0 Logo, a equação geral é x2 + y2  4x  10y + 20 = 0 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do 2º grau completa. x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0

Para determinar a posição do ponto P em relação à circunferência, substituem-se as coordenadas de P na equação da circunferência. Assim, podemos ter:  (xP  )2 + (yP  )2  R2 < 0  P interior à circunferência  (xP  )2 + (yP  )2  R2 = 0  P pertence à circunferência  (xP  )2 + (yP  )2  R2 > 0  P exterior à circunferência Reta e Circunferência Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x  )2 + (y  )2 = R2 . Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:

Para determinar a posição da reta r em relação à circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. Assim, teremos uma equação do 2º Grau. Então, se:   < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção)   = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção)   > 0  reta secante (existem dois pontos de intersecção) Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações.

Posições relativas entre duas circunferências Sejam

e

duas circunferências, contidas em um mesmo

plano, de centros

e

e raios

e

, respectivamente.

Então temos: Circunferências exteriores

Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se:  Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero.  Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.  A2 + B2  4AC > 0 POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA

Circunferências tangentes Tangente externa

Ponto e Reta Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência

#ORGULHODESERPRO | 27

Tangente interna

Circunferências secantes

1. Determinar a equação da circunferência na forma reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:

Circunferências concêntricas

a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5 c) C(3, 0) e R = 5

d) C(0, 3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3

2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: Duas circunferências são concêntricas se, e somente se . Em outras palavras .

Circunferências Coincidentes

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -2x 2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da e

circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.

02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8.

04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes.

08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio

Exemplo: Determinar a posição relativa entre as circunferências e .

Resolução O centro e raio O centro e raio

de de

são são

e

. e

.

2 é tangente externamente à circunferência C. 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-se afirmar que o ponto P é exterior à C.

Temos: Assim

. Logo

e

são exteriores.

4. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e tangente aos eixos coordenados é: a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2 d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4

28 | Pró Floripa

5. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: a) 2 b) – 3 c) 3 d) – 2 e) – 1

c) 2 d) 32 e) n.d.a.

13.(UFSC) Considere a circunferência C:

x  42   y  32  16 e a reta r:

4x + 3y  10 = 0.

Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

6. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante b) segundo quadrante c) terceiro quadrante

d) quarto quadrante e) eixo x

7. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma

01. r  C = .

02. O centro de C é o ponto (3, 4).

04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto.

08. A distância da reta r ao centro de C é menor do que 4.

16. A função y dada pela equação da reta r é decrescente.

14. Determine a posição relativa as circunferências

circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C1 é: a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0 b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0 c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0 d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0

15. As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e

0. Determinar a área da região limitada por . c) 5 d) 3

x2 + y2

- 16x - 12y = 0 são:

8. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 - 4x = a) 4 b) 2

e . ( Gabarito Tangente exteriores)

a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas.

e) n.d.a.

16. No plano cartesiano, a circunferência com centro no

9. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma circunferência, é:

ponto C = (3, 4) e raio r = 5 intercepta os eixos do sistema em: a) nenhum ponto b) 1 ponto c) 2 pontos d) 3 pontos e) 4 pontos

17. Sejam as equações das circunferências,

a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 16

C1 : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 e C2 : (2x - 1)2 + 4(y - 1)2 = 1 Sobre as sentenças

10. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo x + 2

y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento

11. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a:

I. C1 e C2 têm raios iguais a 1.

II. As circunferências C1 e C2 são tangentes e o ponto de tangência é (0, 1).

III. O centro da circunferência C1 pertence à circunferência C2. devemos dizer que,

a) 3 b) 3 c) 2 3

d) 6 e) 2 2

12. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente à circunferência. a) 16 b) 4

a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) todas são verdadeiras. e) todas são falsas.

18. Considere as circunferências C1: x2 - 10x + y2 - 8y + 32 = 0 #ORGULHODESERPRO | 29

C2: x2 - 16x + y2 - 14y + 104 = 0 É correto afirmar que: ( ) São circunferências concêntricas. ( ) A circunferência C1 tem centro em (5, 4). ( ) A circunferência C2 tem raio igual a 4 unidades. ( ) A reta que passa pelos centros das circunferências tem equação y = x - 1. ( ) As circunferências são tangentes internamente. ( ) As circunferências interceptam-se nos pontos (5,7) e (8,4).

19. A equação da circunferência com centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por a) x2 + (y - 3)2 = 0. b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4. c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8. d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16. e) x2 + (y - 3)2 = 8.

ESTUDO DAS SECÇÕES CÔNICAS As cônicas representam uma família de figuras derivadas do cone, através da intersecção de um plano com um cone reto, como a circunferência, parábola, elipse e hipérbole.

Estuda da parábola Denomina-se parábola o conjunto dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d do plano.

20. (UFSC) Verifique a afirmação abaixo.

Se duas circunferências têm um único ponto em comum, então a posição relativa entre elas é tangente e a distância entre seus centros é igual à soma das medidas de seus raios. ( Gabarito: Afirmação Falsa)

21. Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas 2 2 são dadas pelas equações (x  3)  (y  1)  10

2

2

e (x  3)  y  13, respectivamente.

A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é

     

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Elementos O ponto F é chamado de foco da parábola; A reta d é denominada reta diretriz; O ponto V chama-se vértice da parábola; A reta que passa por V e F chama-se eixo de simetria; O eixo de simetria e a reta diretriz são perpendiculares no ponto D; O ponto V é o ponto médio do segmento FD, isto é, VF = VD.

22. Quanto à posição relativa, podemos classificar as 2 2 2 2 circunferências (x  2)  (y  3)  9 e x  y  8x  15  0 a) secantes. b) tangentes internas. c) tangentes externas. d) externas. e) internas.

23. A circunferência de centro externamente a circunferência raio igual a a) 16 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4

30 | Pró Floripa

(8, 4)

que tangencia

x2  y2  4x  8y  16

possui

Equação da parábola

Ou

Equação da hipérbole e estudo da elipse Denomina-se elipse o conjunto de pontos de um plano, sendo dados dois pontos e (focos) e um segmento de medida 2a em que .

Estudo de elipse Denomina-se elipse o conjunto de pontos de um plano, sendo dados dois pontos e (focos) e um segmento de medida 2a em que .

Equação da elipse

1. Determine a equação das parábolas que verificam as seguintes condições. a) Foco (6,0) e diretriz x = -6. b) Foco (0, -4) e diretriz y = 4.

Ou

2. (UDESC) A equação da elipse que descreve a curva que passa pelos pontos A(0,3) e B(2,0) é:

3. Determine a distância focal da hipérbole de equação Excentricidade da elipse Excentricidade da elipse é a razão entre a semi-distância focal e o semieixo maior. É o número e, tal que , em que , pois .

Quando a excentricidade cresce, a elipse torna-se mais achatada; quando decresce, a elipse torna-se menos achatada. Pode-se dizer que uma circunferência é uma elipse de excentricidade nula.

Estudo da hipérbole Denomina-se hipérbole o conjunto de pontos de um plano cuja diferença, em módulo, das distâncias de e é constante e menor que a distância entre esses dois pontos dados.

.

4. Determine a distância focal e a excentricidade da hipérbole de equação

.

5. Quantos pontos têm em comum a parábola e a circunferência a) 2 pontos b) 1 ponto c) 4 pontos d) 3 pontos e)n.d.a.

#ORGULHODESERPRO | 31

?

fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas?

5. Determine dois números, sabendo que a soma deles é

NÚMEROS PROPORCIONAIS RAZÕES E PROPORÇÕES Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade.

Então, dados dois números, a e b, denomina-se razão ao a quociente de a por b e indica-se por . b Observação a A razão é usualmente lida assim: “a está para b”. b A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Representação a c  onde: a, d = extremos b, c = meios b d a c A expressão  lê-se assim: a está para b assim como c b d está para d.

Observações Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.  A e B são diretamente proporcionais se: a b c   k k é a constante de proporção. d e f a b c ab c Propriedade:    d e f def 

A e B são inversamente proporcionais se: a.d=b.e=c.f=k a b c Propriedade: a . d = b . e = c . f =   1 1 1 d e f

2 .

3 6. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e y 1  : x 3 60 e que a razão entre eles é

7. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

8. Divida o número 360 em partes proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6.

9. Divida o número 220 em partes inversamente 2 3 4 , e .

3 4 7 10. A diferença entre as idades de duas pessoas é de 15 anos e a razão entre elas está na mesma proporção de 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.

proporcionais aos números

11. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) são diretamente proporcionais, para que se verifique a igualdade 9 x 5   , os valores de x e y devem ser, respectivamente: y 8 20 a) 2 e 36 d) 5 e 35 1 1 b) e e) n.d.a.

4 5 c) 2 e 5

12. (F.Carlos Chagas) Se as sequências (a, 2, 5) e (3, 6, b) 1. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrêla é:

2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é 42 3 .

4 3. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7.

e que a razão entre eles é

b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

são de números inversamente proporcionais e a + m.b = 10, então m é igual a: a) 0,4 c) 2,0 e) 5,0 b) 1,0 d) 2,5

13. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? a) – 2 c) 0,5 e) 3 b) 0 d) 2

14. (UFMG) Sabendo-se que x  y  z  18 e que x y z   , o valor de x é: 2 3 4

15. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As 4. Em uma universidade, foram inscritos 3.450 candidatos

medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2,

para o curso de Odontologia. Sabendo que foram #ORGULHODESERPRÓ | 1

3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é:

Ângulo Obtuso:

16. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60

Dois ângulos  e  podem ser:

não foram vacinadas, e 92 das vacinadas morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é: 1 1 4 4 a) b) c) d) e) n.d.a.

4 5 1 5

17. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m. x Y 1 2 2 p m 8

18. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25

a) complementares:  +  = 90° b) suplementares:  +  = 180° c) replementares:  +  = 360° Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal

litros de gasolina. Determine as razões das medidas: a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura

GEOMETRIA PLANA ÂNGULOS Ângulo é a região formada por duas semirretas que têm a mesma origem (vértice).

TRIÂNGULOS Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados O ângulo formado é o ângulo AÔB, no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice UNIDADES ANGULARES Sistema Sexagesimal (Grau) 1 da circunferência.

360 Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´

1 grau é

Quanto aos ângulos

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura. Ângulo Agudo:

Ângulo Reto:

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a o lado maior, temos: 2 2 2  a < b + c  triângulo acutângulo 2 2 2  a = b + c  triângulo retângulo 2 2 2  a > b + c  triângulo obtusângulo ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A + B + C = 180°

2 | Pró Floripa

Triângulo Equilátero

b) 135° c) 100° d) 175°

6. Determine o valor de x na figura abaixo: r//s

25º

130º

Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°

x

Triângulo Retângulo

s

7. Nas figuras abaixo, o valor de x é: a)

b)

c)

d)

1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x  10 e x  50 . Encontre o valor de um deles.

2. Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então, esse ângulo mede: a) 30° c) 60° b) 45° d) 80°

e) 15°

3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x. a) r //s

8. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y

b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo equilátero.

9. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, do arco x é:

4. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x  40 e 6x  20 . O valor do ângulo é: a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

5. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede: a) 45°

10. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: a) 100° b) 36° c) 80° b) 144° e) n.d.a. #ORGULHODESERPRÓ | 3

11. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença x  y é:

r // s // t 23

o

r

s

y

t 112

o

x

12. (UFSC) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. A

18.(Mackenzie) Na figura abaixo, a e b são retas paralelas.

medida do ângulo y, em graus, é:

13. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 142° c) 148° e) 152° b) 144° d) 150°

A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α é a) um número primo maior que 23. b) um número ímpar. c) um múltiplo de 4. d) um divisor de 60. e) um múltiplo comum entre 5 e 7.

14. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em graus do ângulo 3 é:

ESTUDO DOS POLÍGONOS

a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100

ELEMENTOS

15. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 2 está para 5, calcule em graus a medida do ângulo:

16. Na figura, o valor de x é: CLASSIFICAÇÃO Os polígonos podem ser classificados quanto ao número de lados. Dentro dessa classificação, os mais conhecidos são:

17. (UFPE) Na figura a seguir o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento mede, em graus:

4 | Pró Floripa

      

Triângulos - 3 lados Quadriláteros - 4 lados Pentágono - 5 lados Hexágono - 6 lados Heptágono - 7 lados Octógono - 8 lados Eneágono - 9 lados

    

Decágono - 10 lados Undecágono – 11 lados Dodecágono - 12 lados Pentadecágono – 15 lados Icoságono - 20 lados

Triângulo Equilátero

h

Observação Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).

NÚMERO DE DIAGONAIS O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão:

Quadrado

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n  3) é dado pela expressão: Si = 180º (n-2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n  3) é sempre igual a 360° Observações  Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:

 Sendo n o número de lados de um polígono e sendo n par, então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.  Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

POLÍGONOS REGULARES Um polígono é regular quando tem lados e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

Nomenclatura  é o lado do polígono R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Hexágono Regular

1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono.

Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

2. Em um icoságono regular ABCD, calcule: a) a soma dos ângulos internos. b) a soma dos ângulos externos. c) cada ângulo interno e externo

3. (UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo.

Calcule o perímetro do hexágono. #ORGULHODESERPRÓ | 5

E

20

D

b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo 1 3 C

F 1 2 B 3 4. Num quadrado de lado 10 cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a: a) 5 2 d) 20 2 A

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo

e) 3 2

b) 10 c) 10 2

5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de um

10. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa

hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

circunferência mede 2 6 cm. Determine a medida da altura do triângulo.

a) 3 b) 2

a) 2 2

c) 4 d) 3

e) 2,5

b)

c) 3 2

2

d) 2

e) n.d.a.

11. (ACAFE) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20 cm, é: a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm

6. O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono d) heptágono b) pentágono e) não existe c) triângulo

7. (PUCRJ) Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? ° a) 24 ° b) 30 ° c) 36 ° d) 40 ° e) 45

8. (G1-ifba) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 10 2 cm. O comprimento dessa circunferência é: a) 10 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 7 cm

12. (Unicamp) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: a) 15 diagonais d) 30 diagonais b) 20 diagonais e) 35 diagonais c) 25 diagonais

13. (G1 - ifsc) Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm. Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de: a) 90 cm. b) 180 cm. c) 120 cm. d) 100 cm. e) 150 cm.

14.(MACK-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 d) 135 b) 104 e) 152 c) 119

9. Dado um círculo de raio 10cm, determine:

15. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado

a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo

“a”. A diagonal AB mede: A a) 2a b) a 2

a 3 2 d) a 3 c)

6 | Pró Floripa

B

e)

2a 2 3

Se o ângulo Ê mede 50° e os ângulos FDE e BCG são congruentes, então o ângulo  mede: a) 115° b) 65° c) 130° d) 95° e) 125°

16. (ACAFE) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: a)

2

c) 2 2

b)

3

d) 2 3

e)

3 2

17. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: a) 90 c) 110 e) 150 b) 100 d) 120

CIRCUNFERÊNCIA ELEMENTOS Raio: segmento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.

18. (UFRGS) Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura abaixo. ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência.

Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40°, como indicado na figura.

Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Ângulo Inscrito: circunferência.

ângulo

que

tem

vértice

na

Propriedade:

19. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S): 01. Um polígono regular de 17 lados possui uma diagonal que passa pelo centro da circunferência circunscrita a ele.

02. Se um polígono tem todos os seus ângulos congruentes entre si e se ele está inscrito em uma circunferência, então ele é regular.

04. Se o perímetro do quadrado inscrito numa circunferência é de 8 cm então a área do quadrado circunscrito a essa circunferência é de 8 cm².

08. O polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono.

20. (Udesc) Na figura abaixo tem-se que BC é congruente

Consequências

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

a AG ; DE é congruente a EF e AB é paralelo a CG .

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Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

Quadrilátero Inscrito na circunferência k é a constante de proporção ou constante de semelhança.

Observação As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

A  C  180

B  D  180

Triângulo Retângulo – relações métricas SEGMENTOS TANGENTES

TEOREMA DE PITOT Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:

Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.

Seus elementos são:  a: hipotenusa  b e c: catetos  h: altura relativa à hipotenusa  n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações Métricas Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: 2 2 2  a = b + c (teorema de Pitágoras)  a.h = b.c 2  b = a.n 2  c = a.m 2  h = m.n 

AB + DC = AD + BC

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se (e somente se) os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos:

8 | Pró Floripa

1. Determine o valor de x em cada caso abaixo: a)

b)

x

20° O

C

c)

3x

A

150°

O

B

2. Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo:

a) 25° b) 30°

c) 50° d) 75º

e) 100°

7. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos arcos (AC) mede: C

x 40°

40°

B

A

3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC

8. (FUVEST) O valor de x na figura a seguir é:

( AB 8, AC 9 e BC  7 ). Então, x vale: A

x 2 3 10

9. (UFSC) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas B

a) 1,5 b) 2,8

C

P x c) 3,0 d) 4,6

condições, determine o valor de x + y.

C 10

e)5,0

E 15

congruentes. Então, o valor de x é:

x

10

4. Na figura abaixo, os ângulos CÂD e A B̂ D são A

y

D

18

B

10. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na

a) 42 b) 32

c) 21 d) 60

e) 10

circunferência de centro O é: a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135°

5. Nas figuras abaixo, determine o valor de x:

11. Na figura a seguir, AB é um arco da circunferência que

6. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é:

mede 70°. A medida do ângulo x, formado pela interseção das cordas AC e BD é: a) 45° b) 50° c) 65° d) 60° e) 40°

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12. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.

Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo.

17. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD dividido

13. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de

em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´

tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.

18. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: C

14. Sendo O, o centro da circunferência circunscrita no

P

Q

pentágono abaixo, calcule x + y.

A

a) 4

b) 8

c) 12

M

N

d) 14

B

e) 16

19. Na figura abaixo, as circunferências de centros A e B 15. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: x+1

têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD.

2x

3x

3x + 1

16. (UFSC) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:

Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK’ = 18 km.

10 | Pró Floripa

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS TRIÂNGULOS QUAISQUER

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m: A

E

QUADRILÁTEROS Paralelogramo

D

10 F 2 B

C

a) 4 b) 5 c) 2 5 d) 5 2

e) 6

2. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e

A = a.h

circunscrita a um quadrado de lado 3 é: a) 2,25 b) 5 c) 4 d) 2 e) 8

3. (UFSC) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 12cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo.

2 Nessas condições, determine a área (em cm ) do quadrado.

4. A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: C

4 120° B

a) CÍRCULO E SUAS PARTES Círculo A = R

3

A

3

b) 2 3 c) 3 d) 4 3

e) 6

5. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito circunferência de raio 2 a) 3 3 cm 2 b) 3 2 cm 2 c) 2 3 cm

2

numa

2 é igual a: 2 d) 2 2 cm

e) n.d.a.

6. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10 cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

Coroa Circular A =  (R – r ) 2

2

Setor Circular

7. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido 2

A = απR 360

em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da área de C.

#ORGULHODESERPRÓ | 11

B

a) 1/6 b) 1/7

C

c) 1/8 d) 1/9

e) 1/10

12. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e

A

Com base nessas informações, é correto afirmar: 2 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m .

02. A área de A é 1/6 da área de C. 2 04. A área de A é 24m .

08. Um dos lados de A mede 2m.

16. Um dos lados de C mede 8m.

circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6 cm é igual a: A

O

8. (Acafe) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado 2 é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm , é igual a: a) 4  π  2. b) 8  π  4 .

B

C

13. (Enem) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.

c) 8  π  2. d) 4  π  4 .

9. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango 2 de área 8cm A

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

(Considere 3,0 como aproximação para π. ). O maior valor possível para R, em metros, deverá ser :

P

M

B

C

N

A medida, em graus, do ângulo BNP é: a) 15 c) 45 e) 60 b) 30 d) 75

a) 16

b) 28

c) 29

d) 31

e) 49

10. (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de

14. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC

lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.

medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4  2

15. (Udesc) O projeto de uma casa é apresentado em

b) 4  3 c) 6 d) 4  5 e) 2(2  2)

11. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: D

A

12 | Pró Floripa

C

E

F

G

B

forma retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a Figura.

Sabendo que a área do banheiro (WC) é igual a 3m² e que as áreas dos quartos 1 e 2 são, respectivame nte, 9m² e 8m², então a área total do projeto desta casa, em m², é igual a: a) 24 b) 35 c) 44 d) 60 e) 80

16. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce: a) 14% b) 14,4% d) 44%

c) 40%

e) 144%

17. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência 2 C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm a área do círculo limitado pela circunferência C2.

18. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.

2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal.

Determine o número de vértices.

Relação de Euler: V + F = A + 2

3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular

Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

de aresta l.

Poliedros Regulares Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.

4. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) 12 c) 18 e) 24 b) 15 d) 20

#ORGULHODESERPRÓ | 13

5. (CEFET–PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais.

Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 3240° c) 3840° e) 4060° b) 3640° d) 4000°

13. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um

6. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais

14. (UEMA) A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e,

e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 6 c) 5 e) 8 b) 4 d) 3

7. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 c) 8 e) 12 b) 6 d) 10

8. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças: I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.

II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.

III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras.

9. Some as alternativas corretas: 01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices.

02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas.

04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas.

08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces.

16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.

10. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?

11. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 c) 540 e) 900 b) 360 d) 720

12. (UFRGS) Um octaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas.

14 | Pró Floripa

poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas formam os vértices.

Quando cheio, o poliedro é similar a uma esfera.

O número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de futebol são, respectivamente: a) 80 e 60 b) 90 e 60 c) 80 e 50 d) 70 e 40 e) 90 e 50

15. (UERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura. Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma V + F + A é igual a: a) 102 b) 106 c) 110 d) 112

16. (UPF) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de um octaedro regular, cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces do octaedro truncado é: a) 2160° b) 5760° c) 7920° d) 10.080° e) 13.680°

17. (UEPG) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o que for correto.

01. O número de arestas é 50.

02 O número de faces quadrangulares é a metade do número de faces triangulares.

04 O número de ângulos tetraédricos é o dobro do número de ângulos pentaédricos.

08 A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos.

16 O número de ângulos tetraédricos é 5.

18. (Uece) Se, em um tetraedro, três das faces que possuem um vértice comum V, são limitadas por triângulos retângulos e as medidas das arestas da face opostas ao vértice V são respectivamente 8 cm, 10 cm e 12 cm, então as medidas, em cm, das outras áreas são:

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos da base.

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.

a) 3 6 ,

10 , 3 10 .

6 , 5 3 , 9. c) 2 5 , 3 6 , 8. d) 2 2 , 10 , 2 3 . b)

No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais à altura.

Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base.

PRISMAS DEFINIÇÃO Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases, e as demais faces em forma de paralelogramos.

Área da Base: É a área do Polígono que está na base Área Lateral: SL = n.l.h Área Total: ST = 2SB + SL Volume: V = SB.h ELEMENTOS BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; BCB´C; CDC´D´; ……

ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´ e EE´ ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma.

ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ; D´E´ e E´A´ NOMENCLATURA O nome do prisma se dá através da figura da base.

1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm, determine: a) a área total do prisma b) o volume do prisma

2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular 2 cm 3

2

de aresta da base é 42 3 cm . A medida, em cm , da área lateral desse prisma é:

 Prisma Triangular: As bases são triangulares.  Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.  Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos Observação: Se o polígono da base for regular, o prisma também será chamados de Regular.

3. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

4. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área total 2

de (96 + 2 3 ) cm . Sabe-se que a aresta da base mede 2cm.

A medida, em centímetros, da altura do prisma é:

5. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de altura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é: 3 3 a) 3 m d) 3 m CLASSIFICAÇÃO De acordo com sua inclinação, um prisma pode ser:

3

b) 3 3 m 3 c) 9 m

3

e) 8 3 m

#ORGULHODESERPRÓ | 15

6. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é 6 cm e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em 3 cm :

13. (Enem) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

7. (UFRRJ) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é:

Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2m³ desse tipo de silo.

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260.

a) 12 cm b) 11 cm c) 10 cm d) 5 cm e) 6 cm

14. (Uerj) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a água.

8. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% d) diminui 8% b) aumenta 15% e) não se altera c) aumenta 108%

9. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura 3 do prisma é de 6 cm, então o volume desse prisma, em cm , é:

10. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, 2

cuja altura mede 3m e com área total de 80 m . O lado dessa base quadrada mede:

11. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF, e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos 3 que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm ) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

12. (FCC-SP) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB = 17 cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a 2 área total desse prisma, em cm , é: a) 1852 b) 1016 c) 926 d) 680 e) 508

16 | Pró Floripa

Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com área igual a 32 5 dm2 .

O volume total, em dm3 , de água contida nesse cubo é: a) 128 b) 132 c) 116 d) 144 e) 180

15. (UFRGS) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. O volume desse sólido é a) 64 b) 128 c) 256 d) 512 e) 1024

16. (Uepg) Uma caixa A em a forma de um prisma regular triangular e uma caixa B tem a forma de um prisma hexagonal regular. Se o lado da base da caixa A tem o dobro da medida do lado da base da caixa B, assinale o que for correto.

2 01) A razão entre as áreas da base de A e B é .

3 02) Se a altura de A for a metade da altura de B, então, o volume de B é igual ao triplo do volume de A. 04) Para que os volumes sejam iguais, a altura de B deve ser o dobro da altura de A. 08) Se as alturas das caixas são iguais, a área lateral de B é o dobro da de A.

Volume: V = a.b.c 2 2 2 2 Diagonal: D = a + b + c 2 2 Relação Auxiliar: (a + b +c) = D + ST CUBO – Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Todas as faces são quadrados Fórmulas

17. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) VERDADERA(S): 01) Um pote para guardar alimentos tem a forma de um prisma reto de base triangular. Sua base é um triângulo retângulo e suas dimensões formam uma progressão aritmética de razão 5 cm. Se sua altura mede 10 cm, então a área total desse prisma é 750 cm².

02) Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base triangular cuja aresta da base mede 3,5 cm.

Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então sua 2 área lateral é igual a 220,5 cm .

04) A expressão matemática, em função de x (x>1), para o cálculo da capacidade do prisma reto de base hexagonal representado na figura a seguir, é

3 3 3 2 3 x  x  x.

4 2 4 08) O MMA é uma modalidade de luta que mistura várias artes marciais. O ringue onde ocorre a luta tem a forma de um prisma octogonal regular. Suas faces laterais são constituídas de uma tela para proteção dos atletas. Se considerarmos a aresta da base com medida igual a 12 m e a altura do prisma igual a 1,9 m, para cercar esse ringue seriam necessários 182,4 m² de tela.

Área Total: S T  6

2

Volume: V  3 Diagonais: d 

2

D

3

1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é 3

24m . Sabendo que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.

2. No cubo da figura, área da secção o ABCD é

2

8 cm .

Calcule o volume do cubo.

C

TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos e as faces opostas são retângulos congruentes.

Possui três dimensões:  comprimento (a)  largura (b)  altura (c) Fórmulas Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)

3. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o





perímetro do quadrilátero ABCD mede 8 1  2 cm.

3

Calcule o volume do cubo em cm .

4. (UFSC) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em 2 dm , a área total desse paralelepípedo.

5. (FGV-SP) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quantos mestros deve ser aumentada a sua aresta para que seu 3 volume seja 216 m ?

6. (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm #ORGULHODESERPRÓ | 17

de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A 3 terça parte do volume da caixa, em cm , é:

7. (Enem) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.

Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? a) 10 viagens. b) 11 viagens. c) 12 viagens. d) 24 viagens. e) 27 viagens.

12. (Fgvrj) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em dm3 , da caixa assim obtida é a) 80x  36x2  4x 3 b) 80x  36x2  4x 3 c) 80x  18x2  x 3 d) 80x  18x2  x 3 e) 20x  9x2  x 3

13. (Enem) A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um 8. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto retângulo 2

é de 376 m e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta.

9. (Uepb) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2 3 m tem capacidade igual a: a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros d) 2.000 litros e) 1.000 litros

10. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

2

01. A área do triângulo ABC é 2 dm .

02. AD  2 6 dm.

04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.

08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 3 dm 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.

11. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

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paralelepípedo reto retângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente, 4 m, 3m e 2,5 m. É necessária a impermeabilização de todas as faces externas dessa caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4 litros. Informou, ainda, que cada litro impermeabiliza uma área de 17.700 cm² e são necessárias 3 demãos de produto para garantir um bom resultado.

Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço igual a: a) 9. b) 13. c) 19. d) 25. e) 45.

14. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) VERDADERA(S): 01) No paralelepípedo abaixo, a medida de sua diagonal é expressa por uma função quadrática.

02) A caçamba de um caminhão basculante tem a forma de um paralelepípedo e as dimensões internas da caçamba estão descritas na figura.

Uma construtora precisa deslocar 252 m³ de terra de uma obra para outra.

Dessa forma, com esse caminhão serão necessárias exatamente 25 viagens para realizar esse deslocamento.

04) É mais vantajoso para o consumidor comprar uma barra de goiabada, na forma de paralelepípedo retângulo, com 8 cm x 6 cm x 9 cm e que custa R$

2,16, do que outra de mesma forma, com 6 cm x 5 cm x 8 cm e que custa R$ 0,96.

08) Quando se aumenta a medida da aresta de um cubo, o seu volume aumenta na mesma proporção que sua área total.

15. (Acafe) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 2 m de comprimento, 1 m de largura e 5 m de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 3/4 da altura.

O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 4.500 b) 1.500 c) 5.500 d) 6.000

 Pirâmide quadrangular  a base é um quadrado

 Pirâmide Pentagonal  a base é um pentágono

16. (Enem) O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de competição tem uma profundidade uniforme de 3 m, que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o movimento) contra uma superfície e o regresso no sentido contrário, atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas.

Pirâmides Regulares Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular.

Elementos e Formulário

Disponível em: http://desporto.publico.pt. Acesso em: 6 ago. 2012.

Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor mais próximo de a) 20% b)25% c) 47% d) 50% e) 88%

17. (Ufrgs) Uma caixa com a forma de um paralelepípedo

retangular tem as dimensões dadas por x, x  4 e x  1. Se o volume desse paralelepípedo é 12, então a soma das medidas das dimensões da caixa é igual a: a) 14 b) 9 c)8 d)10 e)1

PIRÂMIDES DEFINIÇÃO Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

     

aresta da base - ℓ aresta lateral -aℓ altura – h apótema da base – ab apótema da pirâmide – ap Raio da circunferência circunscrita – R

Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as seguintes relações: Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base Área Lateral: SL = n.

.ap 2

(para bases quadradas)

Área Total: ST = SB + SL SB.h Volume V: 3 Relações Auxiliares na Pirâmide

aP2  H2  ab2 NOMENCLATURA Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.

Observe alguns exemplos.  Pirâmide Triangular  a base é um triângulo

2

  a 2  ap2    2

a 2  H2  R2

SEMELHANÇA DE PIRÂMIDES Ao traçarmos um plano paralelo à base de uma pirâmide, teremos a formação de uma outra pirâmide, que é semelhante à primeira. #ORGULHODESERPRÓ | 19

Dessa forma, podemos relacionar as medidas da pirâmide maior com a pirâmide menor, através de razões de semelhança. arestas da base : alturas : apótemas das pirâmides : arestas laterais

01) A área lateral da pirâmide é o dobro da área da base.

02) A área total da pirâmide é o triplo da área da base.

04) A área de uma face lateral da pirâmide é a sexta parte de sua área total.

08) A razão das áreas total e lateral dessa pirâmide é um número fracionário.

16) O volume dessa pirâmide é 108 3 cm³ .

8. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. Então, a sua altura mede: a) 1 c) 3 e) n.d.a. b) 2 d) 4

9. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

Além disso, a parte inferior da pirâmide é chamada de Tronco de Pirâmide. Podemos calcular o volume desse tronco a partir da subtração dos volumes calculados anteriormente , ou usando a seguinte fórmula:

10. (UECE) Se o volume de um cubo de 6 cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:

11. (UTFPR) Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, respectivamente:

1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e

a) 6 3 m2 e 6 3 m3 .

a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.

b) 3 3 m2 e 3 3 m3 .

2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja

d) 2 3 m2 e 5 3 m3 .

altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede 12 m?

e) 4 3 m2 e 8 3 m3 .

3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base 2 e a secção assim feita tem 64 m de área. Qual a altura da pirâmide?

4. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm.

3 Determine, em cm , o volume dessa pirâmide.

5. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a 2 área total, em cm , dessa pirâmide.

c) 5 3 m2 e 2 3 m3 .

12. (Ufsm) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10 mm e a aresta da base mede 12 mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 78 mm³. O volume, em mm³, dessa peça é igual a: a) 1.152 b) 1.074 c) 402 d) 384 e) 306

6. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta

13. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular

lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm. O volume, em 3 cm , é:

de aresta igual a 4 cm.

2 a) 4 3 cm 2 b) 8 3 cm 2 c) 12 3 cm

7. (Uepg) Uma pirâmide quadrangular regular tem 36 cm² de área da base. Sabendo que a altura da pirâmide tem 3 3 cm , assinale o que for correto.

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2

d) 16 3 cm 2 e) 24 3 cm

14. (Vunesp) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 1 2 5 3 a) V b) V c) V d) V 3 6 4 2

c)

32 2 cm3 .

3

d) 32 cm3 . e)

e)

3 V 8

15. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) VERDADERA(S): 01) Numa pirâmide de base quadrada cujo lado mede 8 cm e cujas arestas laterais medem 9 cm, a altura mede 7 cm.

02) A geometria da molécula diz respeito à posição dos núcleos dos átomos ligantes em relação ao átomo central e é fator preponderante para determinar suas propriedades. Eugênio, professor de química, utilizou canudinhos rígidos de 10 cm de comprimento para mostrar aos alunos que a geometria molecular do metano (CH4), em estado gasoso, é tetraédrica.

Considerando que a medida da aresta de um tetraedro é de 10 cm, é possível afirmar que seu volume é

250 2 cm³.

3 04) Fatos históricos relatam que o ícone da Renascença, Leonardo da Vinci, no século XV, idealizou uma espécie de paraquedas. O protótipo teria o formato de uma pirâmide regular de base quadrangular, como mostra a figura. Recentemente, recriaram o modelo, construindo uma pirâmide com o mesmo formato, cujas arestas medem 6 m. Portanto, para fechar as laterais, usaram 36 3 m² de material.

V

08) Uma fábrica lançou uma nova linha de bombons de chocolate. A quantidade de chocolate necessária para a fabricação de um bombom maciço em forma de octaedro regular, conforme a figura 4000 abaixo, é de cm³.

3

64 3 cm .

3

18. (Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm³. b) 189 cm³. c) 192 cm³. d) 216 cm³. e) 540 cm³.

CILINDRO, CONE e ESFERA CILINDRO DE REVOLUÇÃO Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.

Elementos

16. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3 cm, e o apótema dessa pirâmide, 4 cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em 2 m.

-4 -2 -4 -2 -4 a) 6.10 b) 6.10 c) 12.10 d) 12.10 e) 15.10

17. (UFPR) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?

16 3 cm3 . a) 3

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base, dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h Fórmulas Considere um cilindro reto.

b) 16 3 cm3 . #ORGULHODESERPRÓ | 21

Área da Base: SB = r Área Lateral: SL = 2rh Área Total: ST = 2.SB + SL 2 Volume: V = r h 2

pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um semicírculo em torno de um de seus diâmetros.

Secção Meridiana A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro equilátero. (g = h = 2r) 2R

Secção de uma esfera Qualquer plano  que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r.

h

CONE DE REVOLUÇÃO Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a hipotenusa é a geratriz do mesmo.

d é a distância entre o plano  e o centro da esfera.

R é o raio da esfera. r é o raio da secção.

2 2 2 Relação: R = r + d Fórmulas

Fórmulas da esfera 2 Superfície esférica: As = 4R volume: V = 4 πR 3 3

1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27 dm3

Área da Base: SB = r Área Lateral: SL = rg Área Total: ST = SB + SL 2

e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm

2

Volume: V =

πr h 3

1 3 do volume em m de um cone de  revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 2 20 m .

2. (UFSC) Determinar 2

2

2

Relação auxiliar: g = h + r Secção Meridiana No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles.

Quando a secção meridiana for um triângulo equilátero teremos um cone equilátero ( g = 2r )

h

g

2R

ESFERA Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também

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e) 3dm

3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: π 3 3 a) 102 cm d) 40  cm 3 π 3 3 b) 80 cm e) 80  cm 3 3 c) 160cm

4. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a 2

uma esfera de 16π cm de superfície é:

12. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de 5. (UFSC) A área lateral de um cilindro equilátero é de 1 do volume desse cilindro é:  6. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, 15 de cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em 2

3

36m . O valor, em m , de



3

cm , de ferro que sobrou após a modelagem, é:

7. (Enem) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual.

Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0

8. (Ufg) Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando planificado, fornece um semicírculo com 10 cm de raio. Para o cone, que representa o formato do chapeuzinho, a) o raio da base é 10 cm. b) a área da base é 50 cm². c) a área lateral é 25 cm² 25 π cm2 . d) a geratriz mede 5 cm. e) o volume é

125 3 cm³.

3

9. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. (UFSC) Um cilindro reto tem 63cm3 de volume.

Sabendo que o raio da base mede 3 cm, determine, em centímetros, a sua altura.

11. (UEMG) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto.

Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00. Considerando-se π  3, o valor da embalagem que terá o menor custo será: a) R$ 0,36. b) R$ 0,27. c) R$ 0,54. d) R$ 0,41.

hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos.

Qual é o volume do sólido de revolução gerado?

3 3 a) 3 2 cm d) 27  cm 3 3 b) 9  cm e) 1/3  cm 3 c) 18  cm

13. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 128 π cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c) 33. d) 66.

14. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é 2. O valor de

1 do volume da esfera, inscrita nesse 3

cubo, é: 6

15. (Udesc) Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2, conforme mostra a figura a seguir.

Se os volumes desses sólidos são representados, respectivamente, por Vol(S1) e Vol(S2), é correto afirmar: a) Vol S1   Vol S2  se e somente se h  2r . b) Vol S1   Vol S2  se e somente se r  2h . c) Vol S1   Vol S2  para quaisquer valores de r e h. d) Vol S1   Vol S2  para quaisquer valores de r e h. e) Vol S1   Vol S2  para quaisquer valores de r e h.

16. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) VERDADERA(S): 01. Um filtro de café tem a forma de um cone cuja medida interna de seu diâmetro é 20 cm. Se a medida interna da geratriz é 26 cm, então a capacidade é menor que 2L. 02. No último inverno, nevou em vários municípios de Santa Catarina, sendo possível até montar bonecos de neve. A figura ao lado representa um boneco de neve cuja soma dos raios das esferas que o constituem é igual a 70 cm. O raio da esfera menor é obtido descontando 60% da medida do raio da esfera maior. Então, o volume do boneco de neve considerado é igual a 288 dm³.

04. Para a festa de aniversário de sua filha, Dona Maricota resolveu confeccionar chapéus para as crianças. Para tanto, cortou um molde com a forma de semicírculo cujo raio mede 20 cm. Ao montar o molde, com o auxílio de um adesivo, gerou um cone cuja área lateral é igual à área do molde. Dessa forma, a altura desse cone é igual a 10 3 cm. #ORGULHODESERPRÓ | 23

(4, 7, 10, 13, ...........)

08. Se uma esfera com volume igual a 288 cm³ está inscrita num cilindro equilátero, então a altura do cilindro é 12 cm.

17. (Imed) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro reto de volume igual a 54 π m3 . Supondo que esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao dobro do raio, o volume desse cubo, em m³, é igual a: a) 108. b) 144. c) 216. d) 225. e) 343.

Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor se mantém igual a 3. Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas.

DEFINIÇÃO Chama-se progressão aritmética uma sequência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r.

Veja que para a sequência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário que: a2  a1 = a3  a2 = ...... an  an1 = ..... = r Veja os exemplos:

18. (Uem) Um aluno pretende fazer dois cones de papel utilizando, para fazer a lateral do primeiro cone, um setor circular de ângulo π 4 rad e 8 cm de raio e, para o

a) a sequência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois, 5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3.

segundo, um setor circular também de ângulo π 4 rad e 4 cm de raio.

Assinale o que for correto.

b) a sequência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois, 4 – 1  5 – 4.

01. A área do círculo que forma a base do primeiro cone será o dobro da área do círculo que forma a base do segundo cone.

02. A razão entre os comprimentos do raio da base e da geratriz, em ambos os cones, será a mesma.

04. A área do setor circular usado para fazer o primeiro cone será o quádruplo da área do setor circular usado para fazer o segundo cone.

08. O volume do primeiro cone será o dobro do volume do segundo cone.

16. A altura do primeiro cone será de 7 cm.

19. (Ufrgs) Em uma caixa, há sólidos geométricos, todos de mesma altura: cubos, cilindros, pirâmides quadrangulares regulares e cones. Sabe-se que as arestas da base dos cubos e das pirâmides têm a mesma medida; que o raio da base dos cones e dos cilindros tem a mesma medida. Somando o volume de 2 cubos e de 2 cilindros, obtêm-se 180 cm³. A soma dos volumes de 3 cubos e 1 cone resulta em 110 cm³, e a soma dos volumes de 2 cilindros e 3 pirâmides resulta em 150 cm³.

O valor da soma dos volumes, em cm³, de um cubo, um cilindro, dois cones e duas pirâmides é: a) 150. b) 160. c) 190. d) 210. e) 240.

CLASSIFICAÇÃO DA P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo: r > 0  P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 r < 0  P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 r = 0  P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. Considere a sequência (a1, a2, a3......an). Partindo da definição temos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r an = a1 + (n – 1).r Importante: Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do termo geral temos: an = a1 + (n – 1)r (1) ak = a1 + (k – 1)r (2) Subtraindo-se (1) de (2) vem: an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r an – ak = (n – 1 – k + 1) r an = ak + (n – k)r Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever: an = ak + (n – k).r Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r

PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONCEITOS INICIAIS Vamos considerar a sequência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n inteiro positivo. Temos: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.

24 | Pró Floripa

Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios:  Três termos em P.A. :x–r. x.x+r  Quatro termos em P.A : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r



Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r

Propriedades da P.A. Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades: Um termo qualquer, excetuando os extremos, é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior. a a an  n1 n1 2

Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) 11 

8  14 2

b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

5. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a 2 a) 3,0 m .

2 b) 2,0 m .

2 c) 1,5 m .

2 d) 3,5 m .

6. (FGV-SP) A sequência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão

Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.

aritmética. Sua razão é:

Observação: Se dois termos ap e aq são equidistantes dos extremos temos: p+q=n+1

respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:

Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são equidistantes dos extremos ou não.

Por exemplo, numa sequência de 50 termos, a 16 e a35 são equidistantes dos extremos, pois 16 + 35 = 50 + 1.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A. SOMA DOS TERMOS DA P.A. a a  Sn   1 n .n  2  

7. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são 8. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 110.

9. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98 obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale:

10. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:

11. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é dada por: 2 a) n b) 2n c) n/2 d) 2n – 1

e) n

3

12. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é: a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840

1. A sequência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:

2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da P.A. 3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição

13. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos

correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1 e 1995, é 01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900

14. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e

4. (Espcex (Aman) 2013) Em uma progressão aritmética, a soma Sn de seus n primeiros termos é dada pela expressão Sn  5n2  12n, com n 



termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros termos é  5. O valor do 1º termo é:

623 é:

15. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é: a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56

. A razão dessa progressão é

a) –2 #ORGULHODESERPRÓ | 25

16. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado do quadrado mede: a)

2 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e)

n é o número de termos q é a razão da P.G.

q

2

17. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é: a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80

18. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A.

19. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.

20. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo.

21. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

22. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo primeiro termo e último termo são, respectivamente, 7 e 17 é:

23. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na

a2 a3 a4 a    n a 1 a 2 a 3 a n 1

CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 1º caso: a1 > 0 Se q > 0  P.G. crescente  ( 2, 6, 18, 54,...)

Se q = 1  P.G. constante  ( 5, 5, 5, 5,...)

Se 0 < q < 1  P.G. decrescente  ( 256, 64, 16,...)

2º caso: a1 < 0 Se q > 0  P.G. decrescente (-2, -10, -50,..)

Se q = 1  P.G. constante  ( -3, -3, -3,...)

Se 0 < q < 1  P.G. crescente  ( -40, -20, -10,...)

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior.

Isso ocorre quando q < 0.

TERMO GERAL Considere a sequência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da definição temos: a2 = a1.q 2 a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q 2 3 a4 = a3.q = a1.q .q = a1.q n-1 an = a1.q Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak, podemos dizer que:

qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:

am = ak.q

m-k

24. (Fgv) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente).

O número total de cadeiras é: a) 250 b) 252 c) 254 d) 256 e) 258

Representação de três termos em P.G.

x , x , xq q PROPRIEDADES 1ª Propriedade Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja: 2

a2 = a1.a3

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DEFINIÇÃO É uma sequência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG. Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an Onde: a1 é o primeiro termo a2 é o segundo termo a3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo

26 | Pró Floripa

ou

2

an = an - 1.an + 1

2ª Propriedade Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos.

Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).

Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 Interpolação Geométrica Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G.

Soma dos termos de uma P.G. finita A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: Sn 

a) (x + 1; x + 4; x + 10) b) (4x, 2x + 1, x – 1)

7. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o

a1 ( q n  1) an .q  a1  q 1 q 1

último é 486. Calcular a razão dessa P.G.

Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1

8. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a

Soma dos termos de uma P.G. infinita Dada uma P.G. com: n   e an  0, sua soma pode ser calculada pela expressão: a 0 < |q| < 1 S 1

a soma de seus termos é 14 e o produto 64? a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1

soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.

9. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde

1 q

10. (UFCE) A solução da equação a) 37

Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão:

b) 40

c) 44

x

d) 50

x x x      60 é: 3 9 27

e) 51

11. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é: a) 567

b) 670

c) 728

d) 120

e) n.d.a.

1. (Espm 2013)

Para que a sequência (9,  5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro

2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486

dessa P.G. é:

3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que a razão vale 2, o valor do quinto termo é: a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56

4. A solução da equação:

x

x x x     15 é: 3 9 27

5. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. A razão da P.A. em que a1 =  8 e a20 = 30 é r=2.

02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299.

04. O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e a7 =

3

é

16

08. A soma dos termos da P.G.  5, 5 , 5 ,...  é 10.  2 4



6. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as sequências representem três números consecutivos em P.G. #ORGULHODESERPRÓ | 27

NOÇÃO INTUITIVA “O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são analfabetos.

REGRA DE TRÊS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento de uma delas implica no aumento da outra na mesma razão.

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00 3 kg de alimento custam R$ 45,00 5kg de alimento custam R$ 75,00 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento der uma delas implica na diminuição da outra na mesma razão.

Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias 4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS Regra de Três Simples Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo “duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste no seguinte:  Identificar as grandezas envolvidas no problema.  Nas situações dadas (em relação às grandezas) dispô-las em colunas.  Verificar se são GDP ou GIP.  Montar a proporção correspondente.  Resolver a proporção.

Regra de Três Composta Regra de três composta é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior (Regra de três simples), levando em consideração apenas o item da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à que possui a variável. A montagem e resolução da proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Três Simples).

PORCENTAGEM As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.

13 27 Exemplo: ; ; etc.

100 100

Cálculo de uma porcentagem Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 25 pois 25% = = 0,25 100 Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 Definição Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa “por cento”.

1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o preço de 25Kg do mesmo produto?

2. Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em quanto tempo será construída a mesma casa?

3. Calcular: a) 60% de 30 b) 30% de 20 c) 20% de 300

d) 20% de 20% 2 e) (20%) f) 4%

4. Em uma cidade, 240 000 jovens representam 30% da população. Então a população da cidade é de: a) 500 000 habitantes d) 800 000 habitantes b) 600 000 habitantes e) 900 000 habitantes c) 700 000 habitantes

5. Se trinta litros de um combustível custa R$ 16,95, quantos custará oitenta litros do mesmo combustível?

6. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo 10 pedreiros levarão para construí-la?

7. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-se: para quantos dias terão suprimentos, considerando-os inalteráveis?

8. Calcular as seguintes porcentagens: a) 25% de 80 b) 4% de 50 c) 120% de 200 d) 0,15% de 400

e) 20% de 30% 2 f) (5%) g) 49%

#ORGULHODESERPRÓ | 1

9. Em uma sala de 80 alunos, 24 foram aprovados. A porcentagem de reprovação foi de: a) 30% c) 50% e) 70% b) 40% d) 60%

10. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas as provas. O percentual de abstenção foi:

11. Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%? a) 110,00 c) 114,00 b) 112,00 d) 116,00

e) 98,00

12. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale: a) 0,00027 b) 0,0027

c) 0,00009 d) 0,009

e) n.d.a.

34.000,00, sendo a primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá lucrando se fizer a compra parcelada.

02. Obter 7 acertos em uma prova de 12 questões é um desempenho inferior a obter 6 acertos em uma prova de 10 questões, porém superior a obter 5 acertos em uma prova de 9 questões.

04. Duplicando-se o lado de um triângulo equilátero, sua área fica também duplicada.

08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia e levam 5 dias para fazer determinado trabalho, então 3 impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) trabalhando 8 horas por dia levarão 6 dias para fazer o mesmo trabalho.

20. (IFSC – 2012) Um automóvel de uma fábrica é vendido

13. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: a) 4 gatos c) 2 gatos e) 6 gatos b) 3 gatos d) 5 gatos

14. Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia constroem uma residência em cento e oitenta dias.

Quantos operários serão necessários para fazer a mesma residência, trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias? a) 18 c) 19 e) 21 b) 10 d) 20

para uma revendedora por R$ 18.000,00. Essa revendedora vende este mesmo automóvl ao consumidor por R$ 25.560,00. É correto afirmar que a porcentage m de aumento, aplicada pela revendedora sobre o preço de fábrica, foi de: a) 0,40%. b) 70%. c) 35%. d) 40%. e) 42%.

15. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão consumidos em quantos dias? a) 12 c) 14 e) 16 b) 13 d) 15

FATORIAL

16. (UFSC) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 2

de parede. Para pintar uma parede de 72m , gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda lata, em porcentagem, é:

Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se por n! a expressão: n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). ......... . 3 . 2 . 1

17. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00.

Determine o percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

18. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o volume de água evaporada.

Assim temos: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2 1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)

Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator 18. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) conveniente. Veja: proposição(ões) correta(s).

8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!

01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês.

Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que 4! pode ser pago a vista ou em três parcelas de R$

2 | Pró Floripa

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!

Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}, quantos números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?

Resolução: A5,3 = 5  5432  60

5! n ! = n. (n  1).(n  2) !

 5  3

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado desta forma:

1. Calcular o valor de:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes, de modo que:

2. Resolver as equações:

E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa

2

Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.

a) 10 

b) 12!11!

8

11!

a) (n  3) ! = 720

b) n  3  20 n  1

3. Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e

Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades de o evento ocorrer.

Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares?

ARRANJO Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os pares ordenados a partir do conjunto K.

4. Quantas placas para identificação de veículos podem ser

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3) Observe que esses agrupamentos diferem :  Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3)  (1,4)  Pela ordem dos elementos: (1, 3)  (3, 1) A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n elementos tomados p a p, e é indicado por An , p .

Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n disponíveis.

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO Arranjo com repetição

A* n,p = np Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ? * 3 Resolução: A 5, 3 = 5 = 125 Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.

Arranjo sem repetição (Simples) Anp  

n n  p

confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos números com quatro algarismos distintos podemos formar a partir do conjunto K?

1. Calcular

5 .

3 2 

2. Resolver as equações abaixo: a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600

c) (n - 2)! = 720

3. Ache a solução da equação x  1!  12 ( x  3)!

4. De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D? a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080

5. Em uma olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? a) 199 c) 4.950 e) 10.000 b) 200 d) 9.900

6. Telefones de uma cidade possuem 6 dígitos (sendo que o primeiro número nunca é zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no número de telefones? #ORGULHODESERPRÓ | 3

a) 81.10

5

b) 8100

c) 90000

d) 90.10

3

7. Qual o valor de n que satisfaz a equação  n  1  n  5 n  2

Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem repetição, estamos montando grupos com todos os elementos disponíveis. Dizemos que esse tipo de agrupamento é denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por Pn. Considere, então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações com esses elementos são: (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), (3, 2, 1).

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO

8. Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1 9. (UFPA) Simplificando 1 n2 b) n + 1 c) n+2 a)

n  1 n obtém-se: n  2

d)

m  1m 1 e tendo em vista que  m  2 10

m > 0, o valor de m é:

12. (F.Dom Bosco-DF) A expressão 3! 2! 2! É equivalente à b) 7!

c) 5!

d) 5!

Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 Logo, pode-se formar 24 números com 4 algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.

11. Se (n  6)! = 720 então n é igual a:

expressão: a) 12!

Pn = n!

Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os números usando os algarismos { 2, 5, 6, 7}.

1 n 1

e) n

10. (FSBEF-DF) Sendo

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S, C e O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é dado por:

e) 4!

13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares. Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 c) 9.562 b) 2.024 d) 12.144 e) 13.824

14.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras que compõem a palavra VASCO. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um deles repete  vezes, outro  vezes e assim por diante, até que um elemento repita  vezes. O número de permutações possíveis é dado pela expressão:

(UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:

15. (PUC-SP) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de palíndromos com cinco algarismos é: a) 450 d) 2500 b) 1000 e) 5000 c) 900

n Pn....    

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA. Resolução: n = 5 3, 2 P5

=3

=2

= 5 =10 3 2

Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras que compõem a palavra ARARA.

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III - COMBINAÇÕES TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II - PERMUTAÇÕES 4 | Pró Floripa

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.

Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes elementos. {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.

Observe que esses agrupamentos diferem:

8. Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento).

 Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}  {1, 4}  Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}

9. O valor de x em Cx,3 = 35, é:

Esses tipos de agrupamentos são chamados de COMBINAÇÃO de n elementos tomados p a p, e são indicados por Cnp ou Cp .

10. Quantas comissões constituídas por 4 pessoas

Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo subconjunto de p elementos.

11. Em uma circunferência são tomados 8 pontos distintos.

n

FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é dado pela expressão:

a) 12 b) 10

c) 7 d) 8

e) 9

podem ser formadas com 10 alunos de uma classe? a) 210 c) 240 e) 200 b) 120 d) 100

Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é:

n!

Cn,p  (n  p)!p!

12. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com um grupo de 10 pessoas?

Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas escolhidas entre as 10, logo: 10 10987 C10,3 =   120 10  3 3

7 321

Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas com um grupo de 10 pessoas.

afirmações: I - O número total deles é 720.

II - O número dos que terminam com a letra A é 25.

III - O número dos que começam com EN é 24.

Então apenas: a) a afirmação I é verdadeira. b) a afirmação II é verdadeira. c) a afirmação III é verdadeira. d) as afirmações I e II são verdadeiras. e) as afirmações I e III são verdadeiras.

13. (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra 1. Quantos são os anagramas das palavras: a) ROMA b) ESCOLA c) BANANA. d) MATEMATICA

2. Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que aparecem as letra E e X sempre juntas?

3. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas

NÚMERO, em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, é: a) 12 c) 48 e) 72 b) 36 d) 60

14. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:

15. Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O número

com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?

de comissão de 4 membros, de modo que em cada comissão figure pelo menos um rapaz, é:

4. Marcam-se 8 pontos distintos em uma circunferência.

16. Ao terminar determinada reunião, os presentes

Quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos obter?

cumprimentam-se mutuamente com aperto de mão. Os cumprimentos totalizaram um número de 66. Desta forma, quantas pessoas estiveram presentes na reunião?

17. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o 5. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}.

6. Quantos números diferentes se obtêm ao permutar os algarismos do número 336.223?

7. Quantos são os anagramas da palavra SAPO?

segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 72 c) 36 e) 18 b) 63 d) 27

18. (UFRN) Se o número de combinações de n+2 elementos 4 a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na razão de 14 para 3, então n vale: #ORGULHODESERPRÓ | 5

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

NÚMEROS BINOMIAIS

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

Dados dois números naturais n e p, denomina-se número binomial de n sobre p e indicado por  n ao número

Primeira Propriedade Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.

definido por:

Segunda Propriedade O último elemento de cada linha é igual a 1.

 p

n = n!   p p! (n  p)!  

com n  N, p  N e n  p

Podemos concluir de imediato que:  n a    1  0

 n b)    n  1

 n c)    1  n

NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados complementares quando a soma dos denominadores (classes) é igual ao numerador.

Exemplos:

a)  n e  n   p  n  p

Terceira Propriedade Em uma linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais. (binomiais complementares) Quarta Propriedade Cada binomial  n da linha n é igual à soma de dois  p

binomiais da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p - 1).  n  1  n  1  n           p  1  p   p 

b)  5  e  5   2 3    

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS Dois números binomiais complementares são iguais. k  p

Então se  n   n  ou   k

 p

k  p  n 

RELAÇÃO DE STIFFEL  n  1  n  1  n Veja que  5  5  6              p  1  p   p  3  4  4

TRIÂNGULO DE PASCAL Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma coluna.

Col0 Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col 6

Quinta Propriedade n A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2 .

Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3

0

1 1 +1 1 + 2 + 1 1 + 3 + 3 + 1

=2 1 =2 2 =2 3 =2

linha 0

 0    0

linha 1

 1   1      0  1

linha 2

 2  2  2        0  1   2

linha 3

 3  3  3  3          0  1   2  3

linha 4

 4  4  4  4  4            0  1   2  3  4

2. Ache o conjunto solução da equação

linha 5

 5  5  5  5  5  5              0  1   2  3  4  5

3. Calcule o valor de:

linha 6

 6  6  6  6  6  6  6                0  1   2  3  4  5  6

a)



Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

6 | Pró Floripa

1. Calcule A, sendo A =  4   8   9  10  0

7

7 

p 0

 

  p 

b)

10

10

p 0



  p 



c)

 2

8

8 

p 3

 

  p 

 7

1   n  3    21  2 

4. Resolva a equação: 14  14  15  4  5     

x   

BINÔMIO DE NEWTON 5. Calcule E, sendo E =

 5  3  5  7 .          2  3  0  1 

6. (UECE) A soma das soluções da equação  18  18      é:  6   4 x  1

a) 8

b) 5

c) 6

d) 7

7. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na igualdade:  17    17   m  1 5

8. Calcule

Observe que: n O número de termos do desenvolvimento de (a + b) é n + 1. n Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b) formam o triângulo de Pascal.

Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b crescem de 0 a n.

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n

 2m  6

5

  p p0

9. Resolva a equação:

 8  8  9          6  7  x  3

10. (Mack-SP) O valor de  7  7   7   7   7   7 é:              2  3  4  5  6  7

a) 128

b) 124

c) 120

Observe abaixo os desenvolvimentos: 0  (a + b) = 1 1  (a + b) = 1a + 1b 2 2 2  (a + b) = 1a + 2ab + 1b 3 3 2 2 3  (a + b) = 1a + 3a b + 3ab + 1b 4 4 3 2 2 3 4  (a + b) = 1a + 4a b + 6a b + 4ab + 1b 5 5 4 3 2 2 3 4 5  (a + b) = 1a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + 1b

Com base nessas observações, podemos generalizar o n desenvolvimento de (a + b) . Veja: d) 116

e) 112  n  n  n  n  a  bn    anb 0    an-1b1    an  2b 2    a 0bn  0  1  2  n n

11. (Mack-SP) Considere a sequência de afirmações:  15   15  I.      1   3 

 15   15  II.       2   13 

Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b) é dado pela expressão:  n Tp1     anp bp  p

 15   15  III.       3x   6 

Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: a) F, F, V c) F, V, F b) F, V, V d) F, F, F e) V, V, V 6

 8

1. Desenvolver o binômio (x + 2)4.

12. (U.C.-MG) O resultado de

  p é igual a:

2. Determinar o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)6.

a) 216

d) 247

3. Determinar o termo independente no desenvolvimento

p 2

b) 238

c) 240

e) 256

13. (UNESP) Seja n um número natural tal que  10  10   11 . Então:        4   n  1  4 

a) n = 5

b) n = 4

4

de (2x + 3) .

4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (4x  3y)

6

c) n = 3

d) n = 2

14. (FGV-SP) Sabendo-se que  m  m + 1  m   x e    y entao   é: p p + 1      p + 1

a) x + y

b) x - y c) y - x

d) x - p

5. Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no e) y – p

7

desenvolvimento de (x + 2) .

6. Ache o termo independente de x no desenvolvimento de (2x  1) .

6

7. Se a soma dos coeficientes do binômio  a  b 64, então o valor de m é: #ORGULHODESERPRÓ | 7

m1

é

8. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o número de n

termos do binômio (x + a) é: a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par

e) ímpar

9. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do n

desenvolvimento do binômio (x + a) é: 2 n a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n e) 2

10. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do

EVENTO É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

No exemplo anterior, ao lançarmos uma moeda e um dado de 6 faces, o resultado ser coroa e um número par é um subconjunto do espaço amostral, logo é um evento.

PROBABILIDADE É a chance de ocorrer um determinado evento.

Ao lançarmos uma moeda, temos A probabilidade de o resultado ser coroa é

.

m

desenvolvimento de (2x + 3y) . O valor de m! é: a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3

11. (CEFET-PR) O 4º termo do desenvolvimento de (x + 2) 6 é: 3 a) 80x

b) 80x

4

c) 40x

5

d) 320x

3

e) 160x

3

12. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numéricos do 8

desenvolvimento de  3x2  2  ? 

PROPRIEDADES Seja um espaço amostral finito e equiprovável, correspondente a um experimento aleatório. Valem as seguintes propriedades: 1ª A probabilidade de um evento certo é igual a 1; 2ª A probabilidade de um evento impossível é 0; 3ª Se um evento distinto do impossível e também distinto do certo, então .

x

13. (FAAP-SP) O sexto termo do desenvolvimento de (x + 2 8

) pelo binômio de Newton é: 3 3 3 a) 48x b)10752x c) 1792x

3

d) 3584x

14. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de 1   3x    x

a) -405

5

é: b) -90

c) -243

d) -27

e) -81

1. Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?

2. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo?

3. Na tabela seguinte está representada a distribuição por

PROBABILIDADE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Um prêmio será sorteado entre 20 alunos de uma sala de aula. Os alunos foram numerados de 1 a 20, e os números foram marcados em 20 cupons idênticos.

O professor retira um cupom. O número sorteado pode ser 1, 2, 3, 4, 5, ..., 19, 20. Trata-se de um experimento cujo resultado não pode ser previsto com certeza. Dizemos que se trata de um experimento de natureza aleatória.

Podemos citar vários experimentos aleatórios:  Lançamento de uma moeda;  Sortearmos 6 números em um concurso da MegaSena;  Retirarmos uma carta de um baralho.

ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo: Ao lançarmos uma moeda e um dado de 6 faces o espaço amostral será:

8 | Pró Floripa

turno dos alunos do curso de Economia de uma faculdade.

Manhã Noite Homens 20 23 Mulheres 25 12 Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual é a probabilidade de que seja uma mulher?

4. De um baralho comum, com 52 cartas, extraímos, ao acaso, uma carta. Qual é a probabilidade de não sair um ás?

5. (OSEC) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: a) 1/3 b)1/2 c)1/4 d)1/12 e)n.d.a

6. (PUCCamp) Em um grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. Escolhidas ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela: a) pertencer aos três clubes é 3/5.

b) pertencer apenas ao clube C é zero. c) pertencer a dois clubes, pelo menos, é 60%. d) não pertencer ao clube B é 40%. e)n.d.a

7. (CESGRANRIO) Os 240 cartões de um conjunto são numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um cartão desse conjunto, a probabilidade de se obter um cartão numerado com um múltiplo de 13 é: a)12/240 b) 3/40 c) 1/26 d)1/13 e)1/6

8. (UEL) Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para

Dados os polinômios: n n-1 2 P1(x) = a nx + a n - 1x + ..... + a 2x + a 1x + a0 e n n-1 2 P2(x) = b nx + b n - 1x + ..... + b 2x + b 1x + b0 A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais.

Indicamos por P1 (x)  P2 (x) Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; = b0

a 2 = b2 ;

a 1 = b1 ;

a0

Vale ressaltar que, se P1 e P2 são idênticos, para qualquer valor de x eles assumem o mesmo valor numérico.

Em símbolos: P1 (x)  P2 (x)  P1 (x) = P2 (x)

três das quais serão distribuídos prêmios iguais. A probabilidade de que você seja um dos premiados é: a)1/10 b)1/5 c)3/10 d)1/3 e)2/5

9. (PUCRJ) Jogamos dois dados comuns. Qual a

1. Encontre o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 + 2x3

probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10? a)1/12 b)1/11 c)1/10 d)2/23 1/6

 x + 3x  3 para x =  3.

10.(UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não

Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º grau.

viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é: a)1/6 b)4/9 c)2/11 d)5/18 e)3/7

3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números

2

2. Dado o polinômio P(x) = (a2  4)x2 + (a + 2)x + 3.

reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

4. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 – 5, calcule: a) P(0)

POLINÔMIOS DEFINIÇÃO Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de polinômio na variável x toda expressão da forma: n

n-1

P(x) = a nx + a n - 1x

2

+ ..... + a 2x + a 1x + a0

NOMENCLATURA COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0. n n-1 2 TERMOS: a nx , a n - 1x , ..... a 2x , a 1x, a0 TERMO INDEPENDENTE: a0 n é um número natural e indica o grau do polinômio se a n for diferente de zero.

b) P(1)

c) P(2)

5. Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo que P(-2) = - 4, determine o valor de m.

6. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b 2

+ 1 e P2(x) = 10x + 158x + 29 são polinômios idênticos, determine o valor da expressão: a + b + c.

7. O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).

8. Se

x 1 A B , então 2A + B é igual a:   x 2  2 x  24 x  4 x  6

a) -3/2 b) 1/2

c) 1

d) 3/2

e) -1

Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do polinômio.

VALOR NUMÉRICO Valor Numérico de um polinômio P(x) é o valor que se obtém substituindo a variável x por um número  e efetuando as operações indicadas.

Observação: Quando P() = 0 dizemos que  é a raiz do polinômio.

Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio 2 P(x) = x - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.

POLINÔMIOS IDÊNTICOS

9. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

10. (PUC-SP) Efetuando a soma de ax2  b e c , obtemos

x 1 x 1 x  3 a expressão . Os valores de a, b e c são  x 2  1 x  1

respectivamente: a) 0, 1, -3 c) -1, 1, 1 b) 1, -1, -3 d) 1, 2, -1 e) 2, 1, -2 #ORGULHODESERPRÓ | 9

11. (ABC-SP) Em um polinômio P(x) de 3º grau, o 3

coeficiente de x é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P(1) é:

12. (UFRGS) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é 2 2 a) 2x + 3x – 6 c) 6x - x 2 2 b) 6x - 2 d) 3x + x e) x + 3x

13. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinômios de graus 4, 6 e

 Se  Se

e e

, então z é um número imaginário puro. , então z é nulo.

Adição de números complexos: Quando tivermos dois números complexos na forma algébrica, ou seja, e , devemos realizar a soma de forma que parte real some com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

Sendo assim:

3, respectivamente, o grau de (F + G).H será: a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30

14. (IFSC – 2008) O estudo dos polinômios é importante na matemática e tem aplicações nas áreas de geometria, cálculo diferencial e integral, engenharias, física, entre outras. Assinale no cartão-resposta a soma do(s) número(s) associado(s) à(s) proposição(ões) CORRETA(s): 01. A soma dos quadrados das raízes da equação

x 3  5 x 2  7 x  3 vale 10.

02.

Sendo

4 x  2  a x  3  5  b x  cx  3x  3 3

3

2

com

a, b, c  Z, a expressão 3 a 2  bc vale -1.

04. Determinando os valores de a, b, c  Z e calculando o valor da expressão a  b  c , obtém-se 7.

Exemplo: Se tivermos

e

, então:

Subtração de números complexos: Da mesma forma que é feita a adição, para subtrair, relacionaremos a partes reais entre sim, bem como as partes imaginárias.

08. Seja P(x) um polinômio divisível por x-1. Dividindo P(x) por x  x , obtém-se o quociente x  3 e o resto R(x). Se R(4)=10, o coeficiente de grau 1 de P(x) é -1.

16. Sabe-se que 1 a 3 são raízes do polinômio Px   x 4  5 x 3  5 x 2  5 x  6 , então podemos afirmar que as outras raízes são complexas.

2

2

NÚMEROS COMPLEXOS Quando vamos resolver equações do tipo nos deparamos com . Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação para representar esse número. Com isso, o resultado da equação anterior seria . Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

Dessa forma, um número complexo, que costumamos representar por z tem a forma

Exemplo: Se tivermos

e

, então:

Multiplicação de números complexos: Agora, quando queremos realizar a multiplicação entre dois números complexos, devemos realizar a distributiva entre esses dois números. Além disso, devemos lembrar que .

Dessa forma, se e , teremos:

Exemplo: Se

e

, então:

.

Assim,

é a parte real de z e é a parte imaginária de z.

Chamaremos de conjugado de

o número

Casos especiais:  Se

, então z é um número real.

10| Pró Floripa

Divisão de números complexos: Quando tivermos a divisão de dois números complexos , devemos buscar uma forma de que o denominador não tenha a unidade imaginária. Assim,

devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

b)

2. Calcule as potências de :

Representação geométrica dos números complexos Podemos representar um números complexo graficamente, utilizando o Plano de Argand-Gauss. O plano é formado por duas retas perpendiculares, onde o eixo horizontal representa o eixo Real e o eixo vertical representa o eixo Imaginário. Sendo assim, o número complexo será representado da seguinte maneira:

a) b) c) d) e) f)

3. Calcule: a) b) c) d)

4. Escreva na forma trigonométrica os números complexos abaixo: a) b) O segmento de reta OZ é chamado de modulo do número complexo e comumente denotado por Aplicando um simples teorema de pitágoras, temos que O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x. e Assim, temos que

5. (Unitau) A expressão

é igual a:

a) b) c) d) e)

6. (Unitau) O módulo de

é:

a) b) c) d) e)

Operações na forma algébrica: Multiplicação:

Divisão: Potenciação:

7. (Unitau) Determine o valor de k, de modo que, seja imaginário puro: a) b) c)

1

d) e) 1

8. (UEL) A forma algébrica do número complexo a)

1. Resolver em : a)

b) c) #ORGULHODESERPRÓ | 11

é:

d)

15. (UFRN) O número complexo

e)

a) b) c) d)

9. (UEL) Seja argumento

um número complexo de modulo 2 e . O conjugado de z é:

a)

16. (PUCPR) Sabendo-se que o complex

b)

à expressão a) b) c) d) e)

c) d) e)

. Se

, no qual

, então:

(Mackenzie)

A solução da equação é um complex z de modulo:

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

12. (UFRS) O número

será um

número real não nulo para: a) b) c) d) e) de

é:

Onde: P(x) é o dividendo D(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto OBSERVAÇÕES:  O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e de D(x), ou seja, gr(Q) = gr(P)  gr(D)  Se R(x) for um polinômio nulo, apontamos que P(x) é divisível por D(x), dizemos, então, que a divisão é exata.

c) d) e)

12| Pró Floripa

D(x) Q(x)

 P(x)  D(x) . Q(x) + R(x)  gr(R) < gr(D) ou R(x)  0

b)

de z, será dado por: a) b) c) d) e)

Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não identicamente nulos, dividir P(x) por D(x) equivale a obter os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que: P(x) R(x)

a)

14. (Unesp) Se

e

. O argumento do número complexo

6 8 18 12 10

13. (UFRS) A forma

satisfaz é igual a:

é: a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

11.

, então

17. (UFAL) Sejam os números complexos 10. (UEL) Seja o número complexo

a) b) c) d) e)

é igual a:

, então o conjugado

MÉTODO DA CHAVE (ALGORITMO DE EUCLIDES) O método das chaves é um dos quais podemos obter o quociente entre dois polinômios. Para isso, devemos seguir os seguintes procedimentos:  Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as potências decrescentes de x.

 Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).  Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos de P(x).  Continuamos o processo até que haja um resto de grau inferior que o de D(x).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de 3 2 2 P(x) = 4x  2x + 6x  10 por D(x) = 2x + 3x + 2 Resolução:

TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo ax + b é o valor numérico de P(x) para b b x =  , ou seja P(  ). a a b Observe que  é a raiz do divisor. a

Esse teorema nos permite achar o resto de uma divisão sem que haja a necessidade de aplicar o método das chaves ou o método de Descartes.

Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio 2 P(x) = 2x + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x  3 Resolução: A raiz do divisor é 3, logo, para determinarmos o resto da divisão de P(x) por D(x), basta calcular P(3). Daí vem: 2 P(x) = 2x + 3x + 1 2 P(3) = 2(3) + 3(3) + 1 P(3) = 28

Observe que: 4x  2x + 6x  10 = (2x + 3x + 2) . (2x  4) + (14x  2) 3

2

2

Dividendo

Divisor

Quociente

Resto

TEOREMA DE D'ALEMBERT Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e somente se, P(  b ) = 0. Veja por exemplo que o polinômio a

MÉTODO DE DESCARTES Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a determinar é um Método que consiste na obtenção dos coeficientes do quociente e do resto com o auxílio da seguinte identidade de Polinômios: P(x)  D(x) . Q(x) + R(x) onde gr(Q) = gr(P)  gr(D) e gr(R) < gr(D) Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do 4 3 2 polinômio P(x) = x  x  2x  x + 3 por 3 2 D(x) = x  3x + 2 Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P)  gr(D) gr(Q) = 4  3 = 1 Isso nos permite escrever: 2

R(x) = cx + dx + e e Q(x) = ax + b Aplicando a identidade, temos: P(x  D(x) . Q(x) + R(x) x  x  2x  x + 3  (x  3x + 2) . (ax + b) + cx + dx + e 4

3

2

3

2

2

x  x  2x  x + 3  ax + (b  3a)x + (c  3b)x + (2a + d)x + (2b + e) 4

3

2

4

3

Daí vem: a  1 b  3a  1  c  3b  2 2a  d  1  2b  e  3

3

Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o 3 2 polinômio P(x) = x  x + mx  12 seja divisível por x  3.

Resolução: Para que P(x) seja divisível por x  3, deve-se ter P(3) = 0. Então 3 2 P(x) = x  x + mx  12 3 2 P(3) = (3)  (3) + m(3)  12 0 = 27  9 + 3m  12  6 = 3m 2 = m Logo, para a divisão ser exata devemos ter m =  2 TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Se um polinômio P(x) é divisível por (x  a) e por (x  b), então P(x) é divisível por (x  a).(x  b).

4 3 2 Observe que o polinômio P(x) = x + 2x  6x  5x + 2 é divisível por (x + 1).(x  2), uma vez que ele é divisível separadamente por (x + 1) e (x  2).

DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir um polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um exemplo.

Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de 3 2 P(x) = 2x  x + 4x  1 por (x  3) Resolução:

resolvendo o sistema, temos:

a = 1, b = 2, c = 4, d =  3, e =  1 Logo:

2

P(x) = x  3x + 2 é divisível por (x + 2) pois P(2) = 0.

1º Passo Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e segundo os expoentes decrescentes de x na chave.

2

1

4

1

Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x  3x  1 2

#ORGULHODESERPRÓ | 13

2

d) 2x + x – 7 3 2 e) 2x + x + 3x – 1

2º Passo Coloca-se à esquerda a raiz do divisor.

3

1

2

2. Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 + 3x3 +

1

4

ax  4x + 12 seja divisível por x + 2x  x + 3?

2

1

2

2

3. ( UFSM ) O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é:

3º Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x) 3

3

a) 0

b) – 1

c) – 2

d) 141

e) n.d.a.

1

4

2 4º Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo desse último. + 3

1 5

2 2

x

4

x

2

1

2

5

4

2

8x + 32 por x + 3.

5. (UECE) Se na divisão do polinômio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 2

por 3x + 2x - 1 o quociente é Q(x), então o valor de Q(3) é:

6. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1

1

3

por Q(x) = 4x + 1 é: a) x – 5 c) x + 5 b) x - 1 d) 4x - 5

5º Passo Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma o resultado com o próximo coeficiente de P(x) de forma análoga ao último passo, e assim sucessivamente. + 3

4. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio 3x 3 +

e) 4x + 8

7. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 3

2

3

2

+ 3x + ax - 4x + 12 seja divisível por x + 2x - x + 3?

8. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da 3

2

divisão do polinômio P(x) = x + mx - 2x + 1 por x + 3 seja 43.

1

19

9. (UFSC) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível por 2x2 + 5x - 2, então o valor de a - b é: 3 x

2

1

4

1

2

5

19

56

10. (Mack-SP) Um polinômio desconhecido, ao ser dividido por x – 1, deixa resto 2; e, ao ser dividido por x – 2, deixa resto 1. Então, o resto da divisão desse polinômio por (x - 1) (x - 2) é: a) x – 3 c) x + 3 e) -x + 5 b) -x + 3 d) x - 5

Terminando assim o processo, temos: raiz

coeficientes de 2

5

19

coeficientes de Q(x)

11. (UFBA) O resto da divisão de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x P(x)

1 por (x + 1) é 4, se p é igual a: a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10

56

e) -7/3

12. (FGV-SP) O resto da divisão do polinômio 2x5 - 15x3 + 2

R(x)

Como gr(Q) = 2 [gr(P)  gr(D)] temos que Q(x) = 2x + 5x + 19 e resto R(x) = 56 2

12x + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é: 2 a) x - 2x + 5 c) x - 4 b) -6 d) 1

e) 0

13. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinômio 3

2

2

P(x) = x + 4x + ax + b divisível por (x + 1) são, respectivamente: a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.

1. (FUVEST) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por x – 3 é: 3

2

a) 2x – 11x + 23x – 68 3 2 b) 2x – 11x + 33x + 109 3 2 c) 2x – 11x + 33x – 109 14| Pró Floripa

Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação 3 2 ax + bx + cx + d = 0. Valem as seguintes relações: b  x1  x2  x3   a  d  x1 x2 x3   a  c  x1 x2  x1 x3  x2 x3  a 

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DEFINIÇÃO Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo P(x) = 0, ou n

a nx + a n - 1x    

n-1

2

+ ..... + a 2x + a 1x + a0 = 0

EQUAÇÃO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação n n-1 a nx + a n - 1x + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes relações: an1  a1  a2 an   an   an 2 a a  a a a a  a a a 1 3 1n 2 3 n1 an  a  1 2 n  an 3  a1a2a3 an 2  an1 an   a n   n a0 a  a  a  an    1 an  1 2 3

onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos n é um número natural x é a variável O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x)

Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo número , tal que P() = 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação polinomial de grau n (n  1) tem pelo menos uma raiz complexa.

Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.

DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM UM PRODUTO DE FATORES DO 1º GRAU Como uma consequência do Teorema Fundamental podese afirmar que todo polinômio de grau n pode ser escrito na forma: P(x) = an(x  1).(x  2)(x  3)....... .(x  n) onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x).

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de vezes que ela se repete no conjunto solução.

Genericamente, pode-se dizer que o número  é raiz de multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se e n somente se, P(x) = (x  ) . Q(x), com Q()  0.

TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z = a  bi também é raiz dessa equação.

Consequências:  Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu conjugado (a  bi) terá também multiplicidade k.  Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real, pois o número de raízes não reais é sempre par.

RELAÇÕES DE GIRARD São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de uma equação polinomial.

2

Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax + bx + c = 0. Valem as seguintes relações:

b  x1  x2   a  x  x  c  1 2 a

1. O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como: a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) c) P(x) = x(x + 1)(x + 3)

d) P(x) = x(x – 2)(x +4) e) (x) = x(x – 1)(x + 5)

2. Resolver a equação x3  12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que x = 2 é uma das raízes.

3. Determine a menor raiz da equação x3  15x2 + 66x  80 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A.

4. (ACAFE) A equação polinomial cujas raízes são 2, 1 e 1 é: 3 a) x + 4x + x  2 = 0 3 b) x  x  2 = 0 3 2 c) x + 2x  3x  2 = 0

d) x + 2x  x  2 = 0 3 e) x + 2x + 1 = 0 3

2

5. (FGV-SP) A equação 2x3  5x2  x + 6 admite uma raiz igual a 2. Então, as outras duas raízes são: a) 3/2 e 1 c) 3 e 1 b) 2 e 1 d) 3/2 e 1

e) 3/2 e 2

6. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação 3

2

2x - 17x + 32x - 12 = 0 é igual a ½, determine a soma das outras duas raízes.

7. (UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30: a) b) c) d)

somadas dão 6 e multiplicadas dão 30 somadas dão -6 e multiplicadas dão 30 somadas dão 6 e multiplicadas dão -30 somadas dão -6 e multiplicadas dão –30 #ORGULHODESERPRÓ | 15

e) são 5, -2 e –3

As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || Exemplos.: A =  2 0 3 A 2 x 3 (lê-se: A dois por três)  6 9 5

3

2

8. (Med ABC-SP) As raízes da equação x - 9x + 23x -15 = 0 estão em progressão aritmética. Suas raízes são: a) 1, 2, 3 c) 1, 3, 5 e) 3, 6, 9 b) 2, 3, 4 d) 2, 4, 6

A=

9. (Mackenzie) Uma raiz da equação x3  4x2 + x + 6 = 0 é igual a soma das outras duas. As raízes são: a) 2,  2 e 1 d) 1,  1 e  2 b) 3,  2 e 1 e) 1, 2 e  3 c) 2,  1 e 3

10. (MACK-SP) O determinante da matriz

2 1 1 6 0 6

A3 x 2 (lê-se: A três por dois)

NOTAÇÕES

 a a  c 0 b c  ,    1 0 1 

onde

a, b, e c são raízes da equação x  5x + 4 = 0, é: 3

2 8  7 A 2 x 4 (lê-se: A dois por quatro) 6  1 0 3  

A = 3

2

11. (SANTA CASA) Sabe-se que a equação: 4x3  12x2  x + k = 0, onde k  , admite duas raízes opostas. O produto das raízes dessa equação é: a)  12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12

12. (ITA-SP) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0 de coeficientes reais, cujas raízes estão em P.G. Qual das relações é verdadeira?

2 3 3 a) p = r.q d) p = r.q 3 3 b) 2p + r = q e) q = r.p 2 2 c) 3p = r . q

13. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

3 2 01. A equação polinomial x  2x  4x + 1 = 0 possui as 2 2 2 raízes a, b e c. Logo, a soma a + b + c é igual a 12.

6 4 2 02. O resto da divisão do polinômio x  x + x por x + 2 é 52.

4 3 2 04. Dado o polinômio p(x) = x + 8x + 23x + 28x + 12 é correto afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x).

2 08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x + (a  b + c) x + (b + 2c  6) seja identicamente nulo, o valor de c é 4.

Notação Explícita Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.

Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser representada assim:

 a11 a  21 A = a 31     a m1

a12 a 22 a 32  a m2

a13 a 23 a 33  a m3

    

a 1n  a2n   * a 3n  com m e n  N   a mn 

Notação Condensada Podemos, também, abreviar essa representação da seguinte forma: A = [aij] m x n Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que: i  {1, 2, 3,......m} (indicador da linha) j  {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna) CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A, temos: a) MATRIZ LINHA se m = 1 Exemplo:

A1x3 3 1 2

b) MATRIZ COLUNA se n = 1  1 

Exemplo: A4x1 =   2 

 5     0   

c) RETANGULAR se m  n

2 3 1 Exemplo: A2 x 3 =   

 9 4 0

MATRIZES DEFINIÇÃO Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n  1, é uma disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

16| Pró Floripa

d) QUADRADA se m = n Exemplo: A2x2 3 6 5 8   Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de linhas for igual à quantidade de colunas.

Pode-se dizer então que ela é n x n ou simplesmente de ordem n.

Possui duas diagonais:  diagonal principal (quando i = j para todo aij)  diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem da matriz.

TIPOLOGIA Matriz Transposta Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos, de forma ordenada, as linhas pelas colunas. Representa-se t por: A ou A'  2 9 2 3 1  At =   Exemplo: A2 x 3 =  3x2  3 4  9 4 0       1 0 OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n. 

t

Se A = A , então A é dita SIMÉTRICA

 2 3 5 Exemplo: A =  3 1 8     5 8 0   

Se A =  A , então A é dita ANTISIMÉTRICA (A indica matriz oposta de A que se obtém trocando o sinal dos seus elementos) t

0 

1  3 

3 

4

Exemplo: A =  1 0  4  

0 

Matriz Identidade Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.  1 0 0 1 0   Exemplos: I2 =  I = 3   0 1 0 0 1      0 0 1 Pode se indicar a matriz identidade por:

1, para i = i

Matriz Triangular É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j. 3  1 5  4 0 0     Exemplos: 0 4  7    1 2 0  0 0 1  9 1 8 IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES É efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes das matrizes. (válido para matrizes de mesma ordem).

Propriedades: 1) A + B = B + A (propriedade comutativa) 2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa) 3) A + O = A (elemento neutro) t t t 4) (A + B) = A + B PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtém multiplicando-se todo elemento de A por k.

Propriedades: Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma ordem, valem as seguintes propriedades: 1) x . (yA) = (xy) . A 2) x . (A + B) = xA + xB 3) (x + y) . A = xA + yA

1. A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei aij =

In = [aij] , aij = 

0, para i  j

IMPORTANTE: A matriz identidade é neutra na multiplicação de matrizes.

Matriz Nula Uma matriz é dita nula quando todos os seus elementos forem iguais a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes.

Matriz Diagonal É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i  j.

 1 0 0   Exemplo: A = 0 4 0    0 0 3

2i  j, se i  j Então, A se escreve:   3, se i  j

2. (UFSC) Dadas as matrizes: A =  2 x  1  3y 

0

4

1   x  z

 x 0   12 4     1 6

e B= 

t

Se A = B , o valor de x.y.z é:

3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica, é: 5 2 y  1  2   x 1 0  5 2  6  

A =  2

a) 6

b) 12

c) 15

d) 14

e) 0

#ORGULHODESERPRÓ | 17

12. Uma matriz se diz antissimétrica se At = A. Nessas condições, se a matriz A é antissimétrica, então, x + y + z é igual a:

4. Escreva, na forma explícita, cada matriz abaixo: a) A = (aij)2x2, com aij = i + j 2 b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j

y z  0  3  1 3 0 

a) 3

1 se i  j c) A = (aij)3x2, com aij =  i2  se i  j 2 se i = j d) A = (aij)2x3, com aij =  2 + j, se i  j

5. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2

x

A=  2

b) 1

d) 1

c) 0

e) 3

13. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica

x 3

definida por aij =

3i  j, se i  j o valor da expressão 2a23 + 3a22 - a21 é: 6  7, se i  j i2  j, se i  j 

=

A

z  1 2 

0 3

a) – 2

A

t

. Assim, se a matriz A =  2  1 2 y  é simétrica, então x + y + z é igual a: x 4 

se

b) – 1

c) 1

d) 3

e) 5

14. (U.Católica de Salvador - BA) Uma matriz quadrada A, t

6. (UFOP-MG) Observe a matriz  1 0 0 

2 3 . x 4  0 y

Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y.

7. Considere as matrizes A =  2 1  3  log x  2

 2 5

eB= A=B

5 y 2 7

   

1  3

1  - 1

t

0  1

  4

0  2

-2 3

a) - 2

0

1

1

  1

b) - 1

-1 1

c) - 1

1 8  . Determine o valor de x + y de modo que  16 7 

1

0

0

d)

1 0  3

  0 

1

-2

0

3

-3 0

  3  3

2 2 2

  0

2 1

e) 2 0 3

8. Considere as matrizes A =  2

1e B =  3  0

 0 1

3    2

a) Obter a matriz X tal que A + X = B b) Obter as matrizes X e Y tal que:

X  Y  3A  X  Y  B

3

15. Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e: 4  a

M= 

 a   b

a 12 a 13  . b  2 a 23   c 2c  8

Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente: a) – 4, – 2 e 4 b) 4, 2 e – 4 c) 4, –2 e – 4

9. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:  2 1 3   5x  2 1   6       0   y  2 1   5  1  3y

10. (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij) 3 x 3, onde aij = 2i - 3j é igual a: a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6

11. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i  j ou aij = i  j se i < j.

18| Pró Floripa

t

de ordem n, se diz antissimétrica se A = -A , onde A é a matriz transposta de A. Nessas condições, qual das matrizes seguintes é antissimétrica?

d) 2, – 4 e 2 e) n.d.a.

  1 7 e B =  3  1 , 4 0   2 4     X  A X  2 B , é igual a:  2 3

16. Sendo A = que

17. Dadas as matrizes: A =  3 2 

então a matriz X, tal

 1  2 2 , o  eB=  4  0 4

produto dos elementos da segunda linha de

1 4

a) 1

b) 1

c) 0

d) 2

B

1 2

A

é:

e) 2

18. Dadas as matrizes A

 x y x 6  4 x  y e sendo 3A = B + C,   B=  C=   z w  - 1 2w z+ w 3 

então: a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10 c) x + y  z  w = 0

d) x + y  z  w = 1 e) x + y + z + w > 11

Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o próprio elemento a11 e se indica por: det A = |a11| = a11 2ª ORDEM

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O produto de A por B é a matriz C = [c ik]m x p, de tal forma que os elementos cik são obtidos assim:

3ª ORDEM

cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk n

ou seja:

a b j 1

ij

jk

para todo i  {1, 2, ........, m} e todo k 

{1, 2,...,p}.

Exemplo: Considere as matrizes

 3 0  1  eB=   2 1 9

A= 

 3  . Determine A.B 2

1. Dadas as matrizes A =  2

1  5 3 .  4 3 e B =  - 1 0     

Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da seguinte forma: A.B =

 3 1  09 3 3  02    2 1  19 2 3  12 

e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B

3. Calcule os determinantes: a)

Observações: 1) Na multiplicação de matrizes geralmente A.B  B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se comutam.

3 4 2 5

b)

4. Calcule o determinante:

2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0.

DETERMINANTES DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar a ela, através de certas operações, um número real chamado determinante da matriz.

Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por a12  é a matriz A, a 22 

a indicamos o determinante de A por det A = 11 a 21

t

definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é:

PROPRIEDADES 1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C 3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A

 a11 a  21

t

c) A .B t t d) B .A

2. (UFSC) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes

  3  9 A.B =    7  4

duas barras verticais. Assim, se

Determine: a) A.B b) B.A

a12 a 22

2 0 2 1 4 3 3 6 1

5. (UEL-PR) Sobre as sentenças: I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.

II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.

III - O produto de matrizes A 2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 2 x 2. É verdade que a) somente I é falsa b) somente II é falsa c) somente III é falsa d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas

6. Se  3

2  a 1 =  5 7 , então a + b é igual a:      1  4   2 b   5 9

7. Dadas as matrizes A = CÁLCULO 1ª ORDEM

4 2 1 3

 1 1 e B =  0 1  , para A.B      0 0  0  1

temos a matriz: #ORGULHODESERPRÓ | 19

8. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes: A =  2 x e B = 1  1 seja uma matriz simétrica, é:  3 

1

0 

1 

t t t t B =  2 0  1 Sejam M = ( A + B ).(A  B ), onde A e B

9. (UFSC) Dada a equação matricial:

1 1

 4 2 x  z   4 x        O valor da expressão 5x + 4y + z   1 3 0   3     2        y 4 2   1  3y  é:

b)  5  2 3 1

3

são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto dos elementos mij com i = j da matriz M é:

19. Se A =

2 1 2    , então A + 2A  11 I, onde I é a  4  3

matriz identidade de ordem 2, é igual a:

10. Calcule os seguintes determinantes: a) 4  3 6 1

 1 0   2 1     1 2

18. (UFSC) Considere as matrizes A = 

c) 3 2 5

20. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante t

da matriz C = A x B seja igual a 602, onde:

4 1 3 2 3 4

t A = 1 2  3 , B = x  1 8  5 e B é a matriz transposta

4 1 

11. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de

2 

 2 

7

4 

de B.

2

ordem 2 e aij = j - i , o determinante da matriz A é:

12. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz

21. (UFSC) Em R,a solução da equação

A = (aij)2 x 2, onde aij = 0, se i  j

 i  j, se i  j

13. O valor de x na equação

2 3 1 x 1 x  15 2 0 1

é:

22. (MACK) O conjunto solução de

2 x 3 = 175 é: 2 x 4 1 3 x

1 x 1 1 1 1 x 1

a) { x  R| x  1} c) { 1 } b) { 0,1 }



1 1 é: x 1

e) { 0 } d) { -1}

23. (MACK-SP) Sejam as matrizes A =  1

2  3 4 ,  eB=   3 4  1 2

14. (CESCEM) O produto M.N da matriz M = N = 1 1 1 : a) não se define b) é a matriz identidade de ordem 3 c) é uma matriz de uma linha e uma coluna d) é uma matriz quadrada de ordem 3 e) não é uma matriz quadrada

 1 pela    1    1

15. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam. 0 3 3 3  

matriz

e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então, det X vale: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

a a  e a 2   

1ª PROPRIEDADE

O valor de a é:

16. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaçam a equação matricial

Exemplo: 0

3 9 0 8 3  0 0 4 1

 4  3  x 1   4  2       3   5 4   y 2  7 

0 2 ;  0  1 3    4  1 2

17. (UFSC) Dadas as matrizes: A =  1

 2  1 1    ; C =  1 0 0 e seja P = (2A - C).B.  0 3 0  0 1 0      4 2 1  0 0 1

B = 

Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P.

20| Pró Floripa

Casos onde o determinante é nulo 1º Se uma matriz possui uma fila de elementos iguais a zero.

2º Se uma matriz possui duas filas iguais.

Exemplo:

2 8 2 3 5 3 0 1 6 1

3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais.

Exemplo:

2 3 5 4 6 10  0 7 0 3

4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear de duas outras.

Exemplo:

3 5 1 0 4 2 0 3 9 3

2 4 2 1 3

 det A = 15

INVERSÃO DE MATRIZES

2ª PROPRIEDADE Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número k, o determinante da nova matriz fica multiplicado por k.

Exemplo:

0 3 0    1 3 2   2 2  1

primeira, obtemos A': A' =

5.2 5.4  5.2  10 1 3

Consequências No cálculo dos determinantes, é possível colocar o fator comum em evidência.

18 6 12 3.6 3.2 3.4 6 2 4 1 5 0  1 5 0  3. 1 5 0  3.(-72) = -216 3 4 1 3 4 1 3 4 1 (72) Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um n número k o determinante fica multiplicado pelo número k . n

det(k.A) = k .detA 3ª PROPRIEDADE Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante muda de sinal.

4ª PROPRIEDADE O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

3 9 8 Exemplo: 0 4 5  12 0 0 1 5ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja:

Sejam A e B duas matrizes quadradas.

Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A. e -1 indicamos por A .

-1

-1

Logo: A . A = A . A = In PROPRIEDADES DA INVERSA  (A ) = A -1 -1 -1  (A.B) = B . A 1 -1  det A = -1 -1

det A

Observações:  Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for diferente de zero, sendo assim, chamada de inversível.  Uma matriz que não admite inversa é chamada de singular.  Se a matriz A é inversível, então, ela é quadrada.  Se a matriz A é inversível, então, a sua inversa é única.

Observação: O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes é trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas de n equações e n incógnitas.

Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse cálculo.

TEOREMA Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A  0, então a inversa de A é: A

–1

=

1 . A det A

Onde A representa a matriz adjunta.

det(A.B) = det(A).det(B)

Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos cofatores de A.

6ª PROPRIEDADE O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

Consequência Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, podese aplicar:

7ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE JACOBI) Se somarmos, a uma fila de A, uma outra fila previamente multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A', tal que det A' = det A  4  1 2   det A = 15 5  1  2 2  1

bij =

1 C . ji det A

onde Cji é o cofator do elemento aij

Exemplo: A =  1

Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à

1. Sabe-se que

a b c

d e f

g . Determine o valor de h 2 i

#ORGULHODESERPRÓ | 21

2a  3d 2b  3e 2c  3 f

4g 4h 4i

2  5  2 d)  5

 1  3 

a) 

2. Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu

0    3

 3 1  c)  2 5 2 1   3 1  e)   5  2 b) 

 5  3 

determinante é igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.

11. O maior elemento da inversa da matriz A =  2 1

3. Determine a inversa das seguintes matrizes:

a) 2 b) 5/6

3 1 b)    5 2

1 5 a)    2 0

4. Determine o valor de x de modo que a matriz

 2 3    x 9

seja singular

c) 1/5 d) 1/6

e) 1/3

12. (UFVIÇOSA) Sejam as matrizes A =  1 2

2e M =  6



 x 1

4  é:  5

 1  , onde x e y são números reais e M é a matriz  y 

inversa de A. Então o produto x.y é: a) 3/2

5. Sabendo que

a d

g

b c

h 2 i

e f

, calcule

2 a 3d

g

2 b 3e 2c 3 f

h i

1 72 81 0 2 200 0 0 3

é igual a:

7. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações.

I - O determinante de uma matriz não se altera, quando são trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.

II - O determinante de uma matriz com linhas proporcionais é nulo.

III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um número real p,não nulo,o determinante da nova matriz fica dividido por p.

Quais são as verdadeiras? a) I b) II c) I e II d) II e III e) todas são verdadeiras

d) 3/4

e) 1/4

 x 1 real, é inversível se, e somente se: b) x = 1

d) x   1

c) x = -1

14. Considere a matriz A = 3

x  . Sabendo que det A- 1 1 x  2 

= 0,25, então x : a) 0 b) – 2 c) 2

d) 4

e) – 1

15. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a: a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27

16. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =  2 1 4   . Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:   1 0 2    0 1 6

a) 24

8. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde  1 se i  j aij =  calcular o determinante do i  j se i  j t produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( A .A t ), onde A é a matriz transposta de A.

9. (Unisinos-RS) O valor de um determinante é 48.

Dividimos a 2ª linha por 8 e multiplicamos a 3ª coluna por 6, então o novo determinante valerá:

10. (UFRGS) A inversa da matriz A =  3

1  é:  5 2

22| Pró Floripa

c) 1/2

1 x 13. (UCSal-BA) A matriz   , na qual x é um número

a) x = 0

6. (UFRN) O determinante

b) 2/3

b) 12

c) -6

d) -12

e) -24

17. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que: 1  0 A 0  0

5 1 3  -1 0   2 2 4  3 4 eB=   1 2 0 3 1   0 0 4   2 1

0 0 1 3

0  0 0  2 

O valor do determinante de A.B é: a) 192 b) 32 c) -16 d) 0 e) n.d.a.

18. (F.M.Santos-SP) O determinante

1 2 3 4 5

0 2 2 2 1

0 0 0 0 1 0 3 2 2 3

0 0 0 0 3

é:

a) -12

b) 10

c) 9

d) 0

32. A transposta de A é   1  2

e) n.d.a.

2 .  2  5 4    2 4  5

19. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e I =  1 0  . Chamam-se autovalores de A as raízes da   0 1

equação det (A – xI) = 0. Obtenha os autovalores de A =  1 4  2 3   

20. (FGV-SP) Considere as matrizes A =  4

 4

eB=

m n p

  p

a m

4 b

n

c

SISTEMAS LINEARES

 . Se o determinante da matriz A é igual a 2,  3

a 3

b 3 c

então o determinante da matriz B é igual a: a) 3/2

b) 2/3

c) –

3

d) – 3/2

e) – 2/3

21. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij = 4, se i  j . Então é correto afirmar:  0, se i  j 01. det (A) = 64 t 02. (A).(A ) é uma matriz quadrada de ordem 6 04. det(2A) = 8 det(A) t 08. det(A)  det(A ) 2 16. A = 16 0 0 

admita inversa são: a) 0 e 3 c) 1 e 2 b) 1 e – 1 d) 1 e 3

23. (UFPB) Se a matriz

0 1 1 3  k 3

não

e) 3 e – 1

 2 x  5  x não é invertível, então,    5  x

o valor de x em módulo é:

24. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por  1 i  j para  i  j -1 aij =  o determinante de A é: 0 para  i  j

25. (IFSC – 2012) A respeito da matriz 2  2 , analise as proposições e assinale no 2 5  4   2  4 4 

A=  1

cartão-resposta a soma da(s) correta(s).

01. A matriz A é simétrica.

02. A matriz A é singular. 9

04. A inversa da matriz A é   2  2

a11x1  a12 x2  a1n xn  b1 a x  a x  a x  b  21 1 22 2 2n n 2       a x  a x  a x  b m2 2 mn n n  m1 1

Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema é homogêneo.

Solução de um Sistema Linear Denomina-se solução de um sistema a sequência de números reais (1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.

Sistemas Equivalentes Dois Sistemas são ditos equivalentes se, e somente se:  São Possíveis e admitem as mesmas soluções, ou  São Impossíveis.

16 16 0    16 16 16

22. Os valores de k para que a matriz A =  1 k 1 

DEFINIÇÃO Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equações lineares com n incógnitas.

 2 2 .

1 0 0 1

08. O determinante da matriz A é 33.

16. A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 3x3.

Classificação de um Sistema Linear Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o número de soluções que ele apresenta. Sendo assim, ele pode ser: DETERMINADO (1 solução) POSSÍVEL INDETERMINADO (infinitas soluções) IMPOSSÍVEL Não Admite Solução REGRA DE CRAMER A Regra de Cramer consiste em um método para resolvermos sistemas Lineares de n equações e n incógnitas.

Seja o sistema a11x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 1 22 2 2n n 2       a x  a x   a x  b n2 2 nn n n  n1 1

Para obtermos a solução para esse sistema, vamos fazer alguns cálculos. Acompanhe: det S Determinante associado à coeficientes das incógnitas.

matriz

formada

pelos

#ORGULHODESERPRÓ | 23

det S =

3. (FGV-SP) O sistema linear  x  y  2 z  0 admite

a11 a12  a1n a 21 a 22  a 2n    an1 an 2  ann

det Xi Determinante associado à matriz obtida a partir de S, trocando a coluna dos coeficientes de X i, pela coluna dos termos independentes do sistema. det X1 =

b1 a12  a1n b2 a22  a2n    bn an2  ann

det X2 =

a11 b2  a1n a21 b2  a2n    an1 bn  ann

 x  y  z  0 x  y  z  0 

solução trivial, se: a)  = - 2 c)  = 2 e)   b)   - 2 d)   2

4. (USF-SP) Resolvendo o sistema

a11 a12  b1

det Xn = a21 a22  b2    an1 an2  bn

A solução do Sistema é dada por: x1 

det X1 det S

x2 

det X 2 det Xn  xn  det S det S

Veja que só é possível aplicar a Regra de Cramer em sistemas n x n em que det S  0. Esses sistemas são denominados normais.

Discussão com base na regra de Cramer (2x2) 1) Quando det S  0, o sistema é possível e determinado.

2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema é possível e indeterminado.

3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais determinantes for diferente de zero, os sistema é impossível.

IMPORTANTE: O sistema homogêneo é sempre possível.

x  y  z  9  , 2x  y  z  11 x  y  z  1 

obtém-se

y igual a:

5. (UFRGS) Dado o sistema de equações lineares sobre 2x  y  z  4

R x  3 y  2z  4 os valores de x, y e z que constituem sua  4 x  y  z  0 

solução: a) formam uma progressão geométrica b) formam uma progressão aritmética c) são iguais entre si d) não existem e) têm uma soma nula

6. (FGV-SP) O sistema de equações

2x  5y  10    x  2 y  3

é

equivalente a:  2 5   x   10  a)   .      1 2   y   3   2 -1  x   10  c)   .      5 -2   y   3 

 -2 -5   x   10  b)   .      1 2   y   3   -2 1  x   10  d)        -5 2  y   3 

7. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é: x  3y  4 z  1  x  y  az  2 x  y  2 z  3 

1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas: a) 4 x  3 y  11

 2 x  5 y  1

b)  x  y

3

 2 x  2 y  6

8. (UFSC) Determine o valor de m para que o sistema, abaixo, admita infinitas soluções: mx  2 y  z  0  x  my  2 z  0 3x  2 y  0 

c)  x  y  1

 3 x  3 y  2

2.

x  y  z   Dado o sistema de equações lineares x  y  z  1 x  y  z  1 

com ,   R, então o sistema é determinado se: a) se   -1 d) se  = -1 e  = 1 b) se  = -1 e   1 e) se  = -1 e  = -1 c) se   1

24| Pró Floripa

9. (UEPG-PR) O sistema linear ax  y  3z  3  x  y  z  2 é: 3x  2y  4z  b  01. impossível para a 2 e b = 5 02. impossível para a = 2 e b  5 04. possível e determinado para a = 2  b  R 08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5

16. possível e determinado para a  2

produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo.

Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00.

10. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear x  ay  z  0  ax  y  az  0 x  ay  z  0 

assinale a alternativa correta:

a) O sistema admite uma infinidade de soluções para qualquer a real. b) O sistema não admite solução de a = 1. c) O sistema admite uma única solução se a = 3. d) O sistema admite somente a solução trivial. e) O sistema admite uma única solução se a = 1.

11. (FEI-SP) Se o sistema

3x  2y  z  1  0  mx  4y  2z  2  0 2x  my  3z  2  0 

admite uma única solução, então: a) m   6 b) m   2 c) m   8

d) m   4 e) m   3

13. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. x

x

4

4 x

x

04. A soma das raízes da equação 4 x x = 0 é 8.

08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.

3x  2y  0 é indeterminado.

16. O sistema  x  y  0

14. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às proposições verdadeiras.

2 2 4 1

3 5 8 2

Unidades de y vendidas 5

2

4

1

3

5

6

08. A solução da equação

Unidades Faturamento de z bruto vendidas 3 R$ 35.000,00 2 R$ 15.000,00 5 R$ 50.000,00

2 4 1 éx=1 2 4 x 0 3 1 2

15. (UFSC) Assinale as proposições corretas.

12. (UFSC) Considere o sistema S1: x  3y  0 - 2x - 6y  0 determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. O par ordenado (15,5) é uma solução do sistema S1.

02. O sistema S1 é possível e determinado.

04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa pela origem.

2x  6y  0 08. O sistema S2:  é equivalente ao  - 10x - 30y  0 sistema S1.

1 01. A matriz 4  5 3

Unidades Mês de x vendidas 1 1

0 1  não possui inversa.  1  0

02. Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele.

04. Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada

01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do x  2y  9 sistema  3x  6y  27 02. A matriz A = (aij)13, tal que aij = i –3j é A =  2  5  8 .

04. A soma dos elementos da inversa da matriz 1 1 é igual a 2. 0 1  

t

08. Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se A = -A, t sendo A a transposta da matriz A. Nessas condições, pode-se afirmar que a matriz 0 0 1 0 0 0  é antissimétrica.   1 0 0 

16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2. 3  6  1 , 3x 5,     0 2 

1 2

1  , 19   x   6 

32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições, pode-se afirmar que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

16. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).

01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e é de ordem m x p.

02. Se um sistema de equações possui mais equações do que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).

04. A terna (2, 1, 0) é solução do sistema x  2 y  3z  4 2 x  y  2 z  3   3x  y  z  7 6x  2 y  2 z  14

08. Três pessoas foram a uma lanchonete. A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 (um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1 (um) guaraná e comeu 2(dois) pastéis e pagou R$ 5,00. A terceira tomou 2 #ORGULHODESERPRÓ | 25

(dois) guaranás e comeu 2(dois) pastéis e pagou R$ 7,00.

Então, pelo menos, uma das pessoas não pagou o preço correto.

17. (FUVEST) O sistema linear  x log 2  y log 3  a   x log 4  y log 9  a

a) b) c) d) e)

tem solução única se a = 0 tem infinitas soluções se a = 2 não tem solução se a = 3 tem infinitas soluções se a = 4 tem solução única se a = 9

18. (IFSC – 2008) “Augustin Louis Cauchy, em produção matemática, talvez seja insuperável, com seus vários livros e 789 artigos publicados, alguns bastante longos. Em 1812, pela primeira vez na história, Cauchy usou o termo determinante como o sentido matemático atual.” (IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações: 2ª série do Ensino Médio. 2. Ed. São Paulo: Atual, 2004. p. 237). Assinale no cartão resposta a soma

do(s) número(s) associado(s) à(s) proposição(ões) CORRETA(S) relativamente ao tema matrizes e determinantes: 01. A lei de formação da matriz A=  1 0  1 é A= 7 

a 

ij 2 x 3

1

1 

2i  j , se i  j  i .   1 , se i  j  i 2  3 j , se i  j  2

3 2  2 0  1 0

02. O determinante da matriz A=  1

4 0 0 2

5 4 é -8.

0  0

x  y  2z  3 04. O sistema  x  y  1  0 é classificado como SPI cujas  2 x  y  3z  4  soluções são do tipo S{(1-z, 2-z, z)}.

08. João construiu um sistema de equações lineares para resolver o seguinte problema: “Ao se organizar uma caravana com 12 automóveis, cada automóvel poderá levar um ou dois casais, em um total de 16 casais.” João encontrou o número x de automóveis que deverão transportar 1 casal e o número y de automóveis que deverão transportar 2 casais. Ao multiplicar o valor de x pelo valor de y, João obteve o número 32.

16. Maria, Marta e Lázaro foram ao supermercado. Maria comprou 1kg de feijão, 2kg de arroz e 3kg de trigo, pagando R$23,00; Marta comprou 2kg de feijão, 5kg de arroz e 6kg de trigo, pagando R$50,00; Lázaro comprou 2kg de feijão, 3kg de arroz e 4kg de trigo, pagando R$36,00. Pode-se afirmar que o preço de 1kg de feijão + 1kg de arroz + 1kg de trigo neste supermercado custa R$13,00 (considere que João, Marta e Lázaro tenham comprado produto das mesmas marcas).

26| Pró Floripa