Calculo de Esfuerzos en un Eje

PROYECTO DISEÑO 3

CALCULO DE ESFUERZOS DE UN EJE

DISEÑO 3

PRESENTADO POR: OSCAR J. CARDONA LARA ANDRÉS M. ESCOBAR HERNAN CLAVIJO

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA LIC. DISEÑO TECNOLOGICO BOGOTA 2015 1

CONTENIDO 1.

RESUMEN............................................................................................................................... 3

2.

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 4

3.

JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................... 4

4.

OBJETIVOS ............................................................................................................................ 5

5.

MARCO TEORICO. .............................................................................................................. 5 5.1.

ESFUERZOS ..................................................................................................................... 5

5.2.

CIRCULO DE MOHR .................................................................................................... 10

6.

METODOLOGIA. ................................................................................................................ 13

7.

ANALISIS. ............................................................................................................................. 13

CONCLUSIONES. ...................................................................................................................... 212 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 23

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1. RESUMEN El presente documento describe el cálculo de esfuerzos en el eje de un tren reductor, como proyecto final de la asignatura de diseño, aplicando los conceptos adquiridos en torno al análisis de materiales desarrollados en la asignatura.

PALABRAS CLAVE: Tren de engranajes, torque, esfuerzo normal, esfuerzo cortante, flexión, Circulo de Mohr.

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2. INTRODUCCIÓN Los sistemas de elementos que están destinados a soportar o transferir cargas, se construyen con materiales específicos que sean acordes a la naturaleza de las fuerzas desarrolladas en cada componente. Es por ello que en el momento de diseñar un sistema mecánico, se debe tener en cuenta múltiples factores que intervienen en la decisión, de seleccionar características como dimensiones y materiales que suplan de forma efectiva las condiciones mencionadas.

En condiciones reales, dicho elemento debe hacer frente a más de un tipo de los esfuerzos mencionado, interesando a los autores determinar las condiciones presentes en un sistema mecánico denominado tren reductor, que previamente diseñado, se analiza para una condición particular de trabajo, que permite aplicar los conceptos adquiridos relacionados con el análisis de materiales.

3. JUSTIFICACIÓN El cálculo de esfuerzos en un sistema mecánico, permiten aplicar y profundizar los conocimientos adquiridos en el análisis de unos fenómenos que suceden en un material bajo carga y que por consiguiente producen efectos sobre el material de cada uno de los componentes que conforman el sistema.

Es por ello que los autores plantean el análisis de esfuerzos en un elemento mecánico previamente construido. Esto posibilita generar las experiencias y habilidades necesarias que le permitan a los autores del documento, formular y guiar situaciones problema en ambientes de aprendizajes en las que los estudiantes generen para sí aprendizajes significativos, como parte del componente pedagógico necesario para el futuro ejercicio docente.

Adicional permitirá este proyecto el fortalecimiento de habilidades, que les permitan a los docentes desempañarse posteriormente en situaciones que requieran el análisis de materiales y por qué no, orientar a los autores hacia el ejercicio personal de un proyecto más riguroso y extenso tomando este como punto de referencia y partida.

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4. OBJETIVOS Objetivo general: Analizar los esfuerzos mecánicos combinados, presentes en los elementos de eje de un tren reductor.

Objetivos específicos:  

Aplicar el cálculo de esfuerzos cortantes, y momentos flectores, con su respectiva representación grafica.

Aplicar lo aprendido del círculo de Mohr, para determinar esfuerzos máximos y comparar los valores obtenidos, con el círculo generado por un programa diseñado para este tipo de cálculos.

5. MARCO TEORICO. 5.1. ESFUERZOS Se puede considerar un sistema mecánico, como una estructura dinámica en la que está presente un “conjunto de cuerpos (…) interactuantes que pueden considerarse como transmisores de una fuerza” (Lisborg, 1965). Por tanto en cada elemento se presentan o manifiestan estas fuerzas, que a su vez las transfieren a otros elementos del sistema mecánico.

Estas fuerzas producen efectos particulares sobre cada uno de los elementos del sistema, que según la forma en que se aplican y la naturaleza geométrica del elemento, producen diferentes tipos de esfuerzo.

Entiéndase que el esfuerzo es la relación entre la fuerza aplicada sobre un elemento y una sección geométrica de dicho elemento. Por tanto existen diversas formas de calcular los esfuerzos, según la naturaleza geométrica de dicho elemento ya mencionada y la forma en que incide la fuerza sobre este.

A continuación se recopilan la descripción de cada tipo de esfuerzo estudiado y la ecuación que permite determinarlo.

Esfuerzo de Tensión: son fuerzas que tienden a separar las partículas de un cuerpo de entre sí, produciendo un estiramiento en dicho cuerpo.

Ilustración 1: Tensión

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La ecuación que permite determinar dicho esfuerzo es:

Donde F es la fuerza y A es el área de la sección sometida a tensión.

Compresión: son fuerzas que producen acercamiento o compactación entre las partículas de un cuerpo, generalmente manifestadas como una contracción.

Ilustración 2: Compresión

Aplica la misma ecuación para el esfuerzo de compresión, con la diferencia que en cálculos en donde se hacen manifiestas ambos esfuerzos, la de tensión asumirá un valor positivo y la de compresión un valor negativo.

Cortante o cizalla: son fuerzas de sentido contrario, no congruentes y aplicadas a un mismo plano de un objeto, que provocan el desplazamiento de un lado del plano sobre el otro.

Ilustración 3: Cizalla

Aplica la ecuación:

Ilustración 4 Esfuerzo cortante.

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Ahora bien, este tipo de esfuerzos produce una deformación angular del material antes de ser cortado, tal como se muestra en la siguiente figura:

Ilustración 5: Esfuerzo cortante y deformación angular

Para esta deformación, el valor del esfuerzo de corte, respecto al ángulo de deformación es:

Donde G es el modulo de rigidez del material o modulo de corte y γ es el ángulo de deformación mecánica, mediante la cual el material absorbe la fuerza aplicada expresado en radianes.

Torsión: Son fuerzas que tienden a cortar el material a partir de la aplicación de una fuerza no concurrente a dicho eje, que produce un desplazamiento angular de las partículas respecto al eje o perpendicular al eje.

Ilustración 6: Torsión

Esta torsión produce una deformación angular ϕ de un punto determinado (ilustración 7).

Ilustración 7: Deformación por torsión.

La deformación elástica de ese punto, se puede describir en función del diámetro de la pieza o en función de la longitud de la misma, siendo para este último caso el mismo fenómeno apreciado en la deformación por cortante en un material bajo esfuerzos cortantes, como en el caso de la 7

ilustración 5. Por tanto existe una relación entre las deformaciones angulares y sus correspondientes longitudes dada por la ecuación:

Donde R es el radio de la muestra, es el ángulo de torsión (en radianes) o deformación angular respecto al radio, L es la longitud y γ es la deformación angular (en radianes) respecto a la longitud.

La fuerza que se aplica en este caso, es conocida como el par de fuerza o fuerza de torsión aplicado sobre la pieza. Este tipo de fuerzas se describen como Momento de fuerza o momento de torsión (Hibbeler, 1992). Este momento de fuerza es mayor en tanto la distancia entre el punto de aplicación y el eje de giro tenga un valor máximo, es decir el radio de la muestra.

Ilustración 8: Máximo momento torsor.

Por tanto el esfuerzo cortante en este caso está dado por:

Donde T es el momento torsor (fuerza por distancia), R es el radio del cilindro y J es el momento de inercia que en el caso de una geometría circular es:

Es importante anotar que el momento de inercia J es necesario en este cálculo, ya que este valor describe el comportamiento de cada partícula del material, cuando se aplica un momento de fuerza, ya que dicha partícula igual que otras, ofrecerá una resistencia al movimiento ocasionado por la fuerza (con base a la ley de inercia de Newton).

El momento de inercia no será el mismo para diferentes geometrías, para lo cual es necesario tomar la ecuación respectiva a cada tipo de geometría, ya sea esta una de forma sencilla o 8

compleja, para lo cual se calculan los momentos de inercia de cada subfigura, y posteriormente, se obtiene el momento total, aplicando el teorema de ejes paralelos.

En síntesis, la ecuación para calcular el esfuerzo cortante por torsión es:

Donde M es el momento de fuerza producido por la fuerza actuante a una distancia del centroide de la sección, “c” es la distancia desde el centroide hacia el punto en el que se desea hallar el valor del esfuerzo, sin importar su geometría e I es el momento de inercia para la geometría de la sección que se analiza.

Flexión: son fuerzas que tienden a doblar un cuerpo, siendo aplicadas de forma perpendicular al eje de la pieza, cuya fuerza equivalente son momentos de fuerza aplicados en los extremos del eje de dicho cuerpo.

Ilustración 9: Flexión

Ilustración 10: Momentos producto de la flexión

En estas condiciones, el material bajo deformación presenta esfuerzos respecto a un elemento denominado fibra neutra, que permanece con una longitud constante, mientras que la cara cóncava del material (A´ - B´ ilustración 7) presenta una deformación negativa, y la cara convexa (A - B ilustración 7) presenta una deformación positiva.

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Ilustración 11: Deformación por flexión.

Si se tiene que el esfuerzo respecto de la deformación es:

Entonces se establece que la cara cóncava presenta un esfuerzo de compresión y la cara convexa un esfuerzo de tensión.

La ecuación que permite determinar los esfuerzos en un punto dado de una viga o elemento a flexión es:

5.2. CIRCULO DE MOHR Este es un método grafico que permite determinar las tensiones a las que se somete un cuerpo en diferentes puntos, ya sean estas bidimensionales o tridimensionales, bajo unas condiciones particulares que por lo general no son ideales, es decir se manifiesta un esfuerzo por cargas compuestas que por otro método seria muy complejo de determinar debido a la complejidad de la pieza. Esto es posible seleccionando una sección muy pequeña de volumen sobre la que actúan las cargas de forma crítica determinándose en este los esfuerzos a los que se ve sometida dicha pieza.

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Este círculo permite determinar en un ángulo determinado, los esfuerzos cortantes maximos y esfuerzos normales máximos y mínimos.

Ilustración 12: Círculo de Mohr

Es de notar que cuando los esfuerzos cortantes son los máximos, el esfuerzo normal mínimo y máximo tendrán igual valor, teniéndose un esfuerzo normal promedio y cuando el esfuerzo cortante es igual a cero, los esfuerzos normales tendrán obtendrán sus mayores valores.

Esto es en razón de que el esfuerzo cortante, es producto de las resultantes de los esfuerzos normales es decir, las fuerzas normales no están perpendiculares a las caras del segmento de pieza seleccionado; por tanto para que el valor cortante sea igual a cero, los planos sobre los que actúan las fuerzas normales, deben estar perpendiculares, a las caras de dicha sección de pieza o diferencial de volumen.

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Ilustración 13: Planos esfuerzos normales y cortantes

Los valores del circulo de Mohr, se calculan con las siguientes ecuaciones, previamente seleccionando unos valores de esfuerzo cortante τ y esfuerzo normal σx, que proporciona la coordenada M (ilustración 12) y el mismo τ, con un σy, que proporciona la coordenada del punto N. Esfuerzo promedio: es la distancia del punto OC:

Radio: es la distancia CM = CN cuyo valor corresponde al máximo valor del esfuerzo cortante:

Esfuerzo normal Máximo: es el mayor valor de esfuerzo normal, cuando el esfuerzo cortante es igual a cero:

Esfuerzo normal mínimo: es el menor valor del esfuerzo, cuando el esfuerzo cortante es igual a cero:

Angulo del plano: es el valor del ángulo del plano, sobre el que actúan los esfuerzos normales, en el círculo este tiene un valor de 2ϕ, siendo necesario despejarlo, quedando de la siguiente forma:

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6. METODOLOGIA. Ya con los conceptos previamente mencionados, se procede a realizar el análisis de los elementos mecánicos siguiendo la siguiente secuencia:     

Determinar las características dimensionales de cada elemento del aparato.

Hallar las fuerzas, momentos de fuerza y torques en cada elemento.

Comparar dichos valores para determinar los elementos críticos.

Realizar el cálculo de esfuerzos al que está sometido dicho elemento.

Sugerir materiales y/o dimensiones que se ajusten a dichas condiciones de esfuerzo.

Como el mecanismo se compone de ejes, los esfuerzos a buscar son:  

Esfuerzos mecánicos, producto de la flexión.

Esfuerzos cortantes.

7. ANALISIS. Determinándose las características dimensionales, se elabora un diagrama en el que se describen las dimensiones de los elementos del tren de engranes:

Ilustración 14: Proyección Sup. Tren de engranajes.

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Ilustración 15: Proyección Lateral Der

El numero de dientes de cada engrane corresponde de la siguiente forma, siendo para todos el modulo 1,5: # dientes 12 18 48

Diámetro Primitivo 18 28 72

Radio Primitivo 9 14 36

Angulo de presión 20o 20o 20o

Se tiene que en la polea se aplica un peso de 500 gr inicialmente.

Con este dato y los valores del numero de dientes de los engranes, se calcula los torques en cada uno de los ejes.

Eje 5: Con una masa de 0,5 kg, la fuerza es de 5 N (se toma como valor de aceleración 10m/s2).

Como: T = F*d, y el diámetro de la polea es de 20mm entonces:

Eje 4: Se calcula con base en la relación entre torque y número de dientes entre cada eje, dada por:

Reemplazando los valores respectivos a cada eje y despejando T4: 14

Realizándose igual proceso para los siguientes ejes, se tienen los siguientes valores de torque: Eje 3: T = 0,0031 N*m Eje 2: T = 0,78 *103N*m Eje 1: T = 0,195 * 103 N*m Con estos valores y sabiendo que los diámetros de los ejes es igual a todos los casos, se establece la prioridad de cálculo de esfuerzos para el eje 5, el cual es el que presenta un mayor valor de torque.

Se procede a identificar las fuerzas en el 5:

Ilustración 16: Diagrama de fuerzas eje 5

La fuerza distribuida es producto de una polea que se encuentra sobre dicho eje y los puntos de apoyo cuyo espesor es pequeño y se consideran como fuerzas puntuales. La fuerza con valor 0,474 N es la componente vertical de la fuerza manifestada en un engranaje ubicado en ese sitio del eje. Esta fuerza es calculada como sigue: Si el torque en el engranaje es de 0,05N/m, la fuerza ejercida por el engranaje cuyo diámetro primitivo es de 36mm, es:

Ahora bien, ese valor es aplicado sobre el engranaje, con un ángulo denominado ángulo de presión, que para el engrane del eje tiene un valor de 20o.

Por tanto el valor de la componente vertical es: 15

Ilustración 17: Componentes fuerza engranaje

Con este valor determinado, se realiza el análisis del eje, de las fuerzas cortantes, y los momentos flectores. Para ello se determinan las reacciones en los puntos A y B, mediante sumatoria de Momentos: Ay: .

Despejando Ay, y hallando By: Ay = 7,17N By = 1,696N

Se procede a realizar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores, para lo cual se realiza el análisis por sección es decir, se realiza el corte en cada punto donde se aplica una fuerza, obteniéndose los valores de fuerzas cortantes y momentos flectores.

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Se obtiene los siguientes diagramas:

Ilustración 18: Diagrama fuerzas cortantes y momentos flectores

Con los diagramas se selecciona un punto crítico en el que se concentran los momentos flectores y las fuerzas cortantes para hallar los esfuerzos, siendo este la sección con un momento de -0,125Nm. Luego se determinan las fuerzas y momentos en ese punto:

Ilustración 19: Selección punto con esfuerzos críticos

Se toma el plano xz sobre el que se procede a realizar el análisis.

Donde Mx es el momento flector = -0,125 Nm, el cual produce una tensión Fy; el momento My = 0,05Nm produce un esfuerzo cortante, junto con Fz = 5N. Con las fuerzas identificadas se plantean las ecuaciones para esfuerzo mecánico, por flexión:

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Donde C es el radio del eje igual a 3mm y M es el momento flector hallado para el diagrama: 0,125Nm Reemplazando en la ecuación:

Ahora se procede a hallar los esfuerzos cortantes, con la siguiente ecuación:

Reemplazando:

Con los datos obtenidos, se procede a dibujar el Círculo de Mohr, para determinar los esfuerzos máximos a los que está sometido dicho punto:

Ilustración 20: Círculo de Mohr calculado.

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La distancia OC es igual al esfuerzo promedio, calculándose de la siguiente forma:

El radio es calculado como sigue:

Este valor corresponde al máximo esfuerzo cortante τ.

Hallando los máximos esfuerzos mecánicos:

Realizados los cálculos, se comparan con los obtenidos a partir de un programa que grafica el círculo de Mohr, siendo este MD-Solids:

Ilustración 21: Circulo de Mohr obtenido en MD-Solids

Con base en los datos obtenidos para los esfuerzos máximos, se procede a realizar una indagación de materiales, cuyos valores de fluencia se aproximen, previamente determinado el factor de 19

seguridad, y sugerir un material, y/o dimensiones mínimas que permitan soportar los esfuerzos en ese punto determinado, que se considera el más crítico.

Se selecciona el factor de seguridad en un valor de 1,2.

Por tanto el máximo valor permitido de esfuerzo normal es de:

Donde es el valor del esfuerzo en laboratorio del material, factor de seguridad.

es el valor calculado y Fs es el

Hallando el máximo valor permitido para el esfuerzo cortante:

Revisando las tablas de materiales disponibles en el texto de “Mecánica de Materiales” (Beer, Johnston, & Dewolf, 2004) , se busca un material que se ajuste a los valores solicitados.

Material Aluminio Aleacion1100 (99%) Nylon Moldeado PVC

Esfuerzo Tensión Fluencia 95 Mpa

Esfuerzo cortante Fluencia

45 Mpa 45 Mpa

Sin valor Sin valor

55 Mpa

Estableciendo una comparación entre el valor del esfuerzo de los tres materiales seleccionados y los obtenidos en los cálculos con factor de seguridad, se puede decidir la selección de cualquiera de los tres materiales.

Como análisis adicional, se calcula el diámetro del eje en dicha sección, en función del valor de esfuerzo de torsión para el aluminio, no realizándose en los otros materiales por desconocerse dicho valor. Para ello toma como referencia el valor del esfuerzo normal 4,164 Mpa que es mayor al obtenido por esfuerzo cortante 2,4 Mpa. Se usa la siguiente ecuación:

Sabiendo que el Momento en esa sección del eje es de 0,125 Nm (pag 17), y el esfuerzo mecánico limite seleccionado, será el del aluminio 95 Mpa con el factor de seguridad aplicado:

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. Con estos valores se despeja c en la ecuación y en el momento de inercia I teniéndose:

Reemplazando:

Por tanto el diámetro mínimo es de 2 mm (c es el radio considerando la geometría circular del eje), para la sección donde está presente el mayor esfuerzo mecánico.

Ahora si se calcula dicho diámetro en función del esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante aplicada en dicho punto, con el mismo material, se tendrá que el esfuerzo cortante del material es de 55Mpa, el cual es superior al calculado con un valor de 1,355Mpa (pág. 18).

Aplicando el factor de seguridad:

Usando la ecuación para el esfuerzo cortante máximo por torsión y despejando c:

Reemplazando los valores, donde T es igual a 0,05Nm (pág. 14) se tiene:

El diámetro obtenido es de 1,6 mm.

La diferencia entre los valores de diámetro obtenidos es de apenas 0,4mm

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CONCLUSIONES.

El análisis del eje realizado en este documento, permite determinar que este tipo de elementos se encuentran bajo cargas combinadas, situación que incide de forma notable en los valores de esfuerzos a los que está sometida una pieza y que es necesario calcular por los métodos abordados en este documento, que de lo contrario, arrojan valores numéricos diferentes que alteran la selección de materiales y dimensiones en el diseño de una pieza, trayendo como consecuencia una falla de la misma, con las respectivas perdidas.

El método de cálculo grafico de fuerzas cortantes y momentos flectores, es una importante herramienta que permite tomar decisiones sobre las dimensiones de la pieza a diseñar, ya que proporciona información para localizar puntos críticos, en los que se manifiestan los mayores esfuerzos y donde es muy probable que la pieza falle. Esto en conjunto con el Círculo de Mohr permite determinar de forma más precisa las condiciones bajo las cuales se ve sometida la pieza ya descritas, ya que proporciona los valores máximos de los esfuerzos cortantes y mecánicos, resultado de la combinación de cargas producto de momentos y fuerzas.

La realización de este proyecto genera experiencias de aprendizaje que resultan útiles a los docentes en formación, en tanto que permiten una construcción personal de los conocimientos abordados y una apropiación significativa, mediante la cual se desarrollan las habilidades cognitivas que permitan asumir problemas con igual o mayor complejidad, proporcionando un punto de partida para la resolución de dichos problemas. A su vez esta experiencia enriquece y alimenta la reflexión pedagógica en torno al análisis de materiales, como un medio tecnológico para la solución de problemas manifiestos en la selección de materiales y diseño de los elementos, que permitirá desarrollar actividades educativas que aporten conocimientos y experiencias significativas para futuros estudiantes. Adicional permite establecer posibles direcciones de desempeño futuro, adicionales a las actividades docentes.

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BIBLIOGRAFÍA

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Dewolf, J. T. (2004). Mecánica de Materiales Sexta Edicion.

Mexico: McGraw-Hill Interamericana.

Hibbeler, R. C. (1992). Mecanica para Ingenieros Estatica (Sexta ed.). Mexico: Compania Editorial Continental, S.A. de C.V. Lisborg, N. (1965). Principios fundamentales de diseño de estructuras. Londres: Compañia Editorial Continental S.A. Moore, F. (2001). Comprensión de las estructuras en arquitectua. Mexico: McGrawHill.

Mott, R. L. (2009). Resistencia de materiales. Mexico: Pearson Educacion.

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