ÍNDICE PREFACIO ........................................................................................................ 1 CAPÍTULO 1.- Optimización matemática en Economía ................................ 5 1.1.- Introducción ......................................................................................... 1.2.- Optimización matemática, toma de decisiones e investigación operativa....................................................................................................... 1.2.1.- El problema de optimización matemática. Conceptos básicos y elementos ............................................................................................. 1.2.2.- Diversas clasificaciones de los problemas de optimización matemática .............................................................................................. 1.2.3.- Máximos, mínimos y conceptos relacionados ............................. 1.2.4.- Evolución histórica...................................................................... 1.3.- Optimización matemática y teoría económica...................................... 1.3.1.- La metodología de la Economía, el axioma de racionalidad y la asignación óptima de recursos ............................................................ 1.3.2.- Matemáticas en Economía y Economía matemática.................... 1.3.3.- El principio de arbitraje............................................................... 1.4.- Optimización matemática y Econometría............................................. 1.4.1.- Métodos econométricos de optimización .................................... 1.4.2.- Comportamiento optimizador y conducta observable.................. 1.4.3.- Modelos de optimización y Economía experimental ................... 1.5.- Optimización matemática, decisiones reales y Economía aplicada ...... 1.5.1.- Optimización matemática aplicada a la realidad económica ....... 1.5.2.- Optimización matemática y evaluación de la eficiencia ..............
6 8 8 10 18 24 37 37 39 46 49 49 50 51 53 53 54
CAPÍTULO 2.- Elementos básicos de análisis convexo.................................. 57 2.1.- Introducción al análisis convexo .......................................................... 2.2.- Conjuntos convexos ............................................................................. 2.2.1.- Nociones previas ......................................................................... 2.2.2.- Concepto de conjunto convexo.................................................... 2.2.3.- Propiedades inmediatas ............................................................... 2.2.4.- Hiperplanos, semiespacios y otros conjuntos convexos .............. 2.3.- Conceptos y teoremas sobre hiperplanos de separación e hiperplanos soporte ...................................................................................... 2.3.1.- Concepto y teoremas sobre hiperplanos de separación................ 2.3.2.- Concepto y teorema del hiperplano soporte ................................ 2.4.- Envoltura convexa................................................................................ 2.4.1.- Nociones previas .........................................................................
FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA EN ECONOMÍA
58 60 60 62 65 68 72 72 75 78 78
I
Meneu, R.; Pérez-Salamero, J.M.; Ventura, M.
2.4.2.- Envoltura convexa de un conjunto: concepto y caracterización ....................................................................................... 2.5.- Funciones cóncavas y convexas .......................................................... 2.5.1.- Conceptos y relaciones inmediatas ............................................. 2.5.2.- Propiedades directas de la definición.......................................... 2.6.- Caracterizaciones de la concavidad y de la convexidad ...................... 2.6.1.- Caracterización gráfica ............................................................... 2.6.2.- Caracterización por conjuntos de nivel....................................... 2.6.3.- Caracterización de funciones cóncavas/convexas diferenciables ......................................................................................... 2.6.4.- Caracterización según el grado de homogeneidad ...................... 2.7.- Concavidad y convexidad en funciones compuestas ........................... 2.8.- Análisis convexo en optimización....................................................... Problemas resueltos ..................................................................................... Problemas propuestos ..................................................................................
81 92 92 99 103 103 105 109 122 126 131 137 145
CAPÍTULO 3.- Elementos avanzados de análisis convexo ............................ 147 3.1.- Análisis convexo generalizado ............................................................ 3.2.- Conjuntos estrictamente convexos ...................................................... 3.3.- Conos convexos .................................................................................. 3.3.1.- Noción de cono convexo y envoltura cónica .............................. 3.3.2.- Cono normal y cono dual. Propiedades de los conos duales ..... 3.4.- Sistemas lineales y teoremas de alternativa......................................... 3.5.- Funciones pseudocóncavas y pseudoconvexas.................................... 3.5.1.- Introducción a la concavidad y a la convexidad generalizada en funciones ........................................................................................... 3.5.2.- Funciones pseudocóncavas y pseudoconvexas. Conceptos y relaciones ............................................................................................... 3.5.3.- Propiedades y caracterizaciones de la pseudoconcavidad (pseudoconvexidad) ............................................................................... 3.6.- Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas .......................................... 3.6.1.- Conceptos y relaciones ............................................................... 3.6.2.- Propiedades................................................................................. 3.6.3.- Caracterización gráfica y por conjuntos de nivel ........................ 3.6.4.- Caracterización para funciones diferenciables............................ 3.6.5.- Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad en funciones compuestas y homogéneas......................................................................................... 3.7.- Análisis convexo generalizado en optimización.................................. 3.8.- Aplicaciones económicas .................................................................... 3.8.1.- Conos convexos en Economía: el modelo de producción lineal ....................................................................................................
II
148 149 153 153 157 161 169 169 170 175 181 181 190 193 198 209 218 223 223
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Índice
3.8.2.- Aplicación financiera de teoremas de alternativa a decisiones de inversión............................................................................................. 226 3.8.3.- Concavidad generalizada en problemas económicos................... 228 3.8.4.- Orden de preferencias convexo ................................................... 232 3.8.5.- Optimización por separación: Robinson Crusoe.......................... 234 Problemas resueltos...................................................................................... 236 Problemas propuestos................................................................................... 251 CAPÍTULO 4.- Programación no lineal I....................................................... 253 4.1.- Introducción ......................................................................................... 254 4.1.1.- La PNL en la teoría de la optimización ....................................... 254 4.1.2.- Enunciado y características del problema.................................... 256 4.1.3.- Distintas técnicas de resolución: gráfica, analítica y numérica.... 258 4.2.- Teoremas de existencia ........................................................................ 260 4.2.1.- Teorema de Weierstrass .............................................................. 260 4.2.2.- Otros teoremas de existencia con condiciones más débiles ......... 261 2 4.3.- Resolución gráfica en R ...................................................................... 265 4.4.- Condiciones geométricas de óptimo .................................................... 271 4.4.1.- Definiciones: dirección de mejora y dirección factible ............... 271 4.4.2.- Condiciones necesarias y condiciones suficientes de óptimo ...... 277 Problemas resueltos...................................................................................... 282 Problemas propuestos................................................................................... 289 CAPÍTULO 5.- Programación no lineal II ..................................................... 293 5.1.- Introducción ......................................................................................... 294 5.2.- Condiciones necesarias de óptimo ....................................................... 296 5.2.1.- Condiciones de Fritz-John ........................................................... 296 5.2.2.- Condiciones de Kuhn y Tucker ................................................... 298 5.2.3.- Condiciones necesarias de Kuhn y Tucker .................................. 300 5.3.- Cualificación de restricciones .............................................................. 303 5.3.1.- Generalidades sobre la cualificación de restricciones ................. 303 5.3.2.- Cualificaciones de restricciones más generales ........................... 305 5.3.3.- Cualificaciones de restricciones operativas ................................. 310 5.4.- Condiciones suficientes de óptimo....................................................... 313 5.4.1.- Teorema de suficiencia para un punto de Fritz John ................... 313 5.4.2.- Teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker .................................. 315 5.4.3.- Teoremas de suficiencia con condiciones menos fuertes............. 317 5.5.- Particularidades.................................................................................... 325 5.5.1.- Problemas con enunciados no estándar ....................................... 325 5.5.2.- Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad .............. 328
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III
Meneu, R.; Pérez-Salamero, J.M.; Ventura, M.
5.5.3.- Programación clásica: sin restricciones o con restricciones de igualdad.................................................................................................. 5.5.4.- Problema lineal: función y restricciones lineales ........................ 5.5.5.- Problema cuadrático: función cuadrática y restricciones lineales ................................................................................................... 5.6.- Aplicaciones económicas .................................................................... 5.6.1.- Maximización de la utilidad........................................................ 5.6.2.- Minimización de costes .............................................................. 5.6.3.- Maximización de beneficios ....................................................... Problemas resueltos ..................................................................................... Problemas propuestos ..................................................................................
331 335 338 339 339 341 344 347 355
CAPÍTULO 6.- Programación no lineal no diferenciable ............................. 359 6.1.-.Introducción ........................................................................................ 6.2.-.Clasificación de problemas no diferenciables ..................................... 6.2.1.- Problemas de optimización con funciones no diferenciables...... 6.2.2.- Problemas de optimización con variables discretas o no continuas ................................................................................................ 6.3.-.Punto de silla de la función lagrangiana.............................................. 6.3.1.- Definición de punto de silla de la lagrangiana ............................ 6.3.2.- Una caracterización de punto de silla de la lagrangiana ............. 6.3.3.- Relación entre PSL y optimalidad global.................................... 6.3.4.- Relación entre punto de Kuhn y Tucker, PSL y óptimo global... 6.4.-.Subdiferencial de una función en un punto y optimalidad................... 6.4.1.- Conceptos básicos: subgradiente y subdiferencial ...................... 6.4.2.- Subdiferencial y convexidad/concavidad de funciones............... 6.4.3.- Subdiferencial y optimización de problemas convexos/cóncavos................................................................................. 6.4.4.- Optimización de problemas con funciones localmente Lipschitz................................................................................................. 6.5.- Aplicaciones económicas .................................................................... 6.5.1.- Maximización de la utilidad........................................................ 6.5.2.- Minimización de costes .............................................................. 6.5.3.- Maximización de beneficios y otros problemas económicos ...... Problemas resueltos ..................................................................................... Problemas propuestos ..................................................................................
360 362 362 365 368 368 372 375 382 384 384 390 392 395 397 397 399 400 402 416
CAPÍTULO 7.- Dualidad en programación no lineal.................................... 419 7.1.- Introducción ........................................................................................ 420 7.2.- Conceptos básicos ............................................................................... 422 7.2.1.- Funciones primal y dual.............................................................. 422 IV
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Índice
7.2.2.- Problemas primal y dual .............................................................. 428 7.2.3.- Relaciones básicas entre los problemas primal y dual ................. 431 7.3.- Dualidad en problemas cóncavos/convexos ......................................... 440 7.3.1.- Dualidad en programación cóncava y en programación convexa................................................................................................... 440 7.3.2.- Dualidad en programación cuadrática ......................................... 442 7.3.3.- Dualidad en programación lineal................................................. 445 7.4.- Dualidad y convexidad generalizada.................................................... 450 7.5.- Interpretación económica del dual ....................................................... 452 7.5.1.- Interpretación económica de las variables duales........................ 452 7.5.2.- Interpretación económica del problema dual............................... 455 7.5.3.- Problema dual económico ........................................................... 458 Problemas resueltos...................................................................................... 460 Problemas propuestos................................................................................... 472 CAPÍTULO 8.- Análisis de sensibilidad en programación no lineal.............. 475 8.1.- Introducción ......................................................................................... 476 8.2.- Conceptos básicos................................................................................ 477 8.2.1.- Función de perturbación .............................................................. 477 8.2.2.- Función de perturbación y dualidad lagrangiana ......................... 483 8.2.3.- Teoremas de la envolvente .......................................................... 484 8.3.- Análisis de sensibilidad en Economía .................................................. 492 8.4.- Relaciones de dualidad en el análisis económico................................. 497 8.4.1.- Dualidad en la teoría del consumidor .......................................... 497 8.4.2.- Dualidad en la teoría de la empresa............................................. 502 Problemas resueltos...................................................................................... 509 Problemas propuestos................................................................................... 527 Bibliografía........................................................................................................ 531
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