´Indice general 1. Lecci´ on 1
Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´ on por eliminaci´ on gaussiana 1 1. 2.
3.
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . a. Algoritmo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . b. Una visi´ on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Sobre el ´ algebra lineal en la teor´ıa econ´omica
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1 3 4 10 18 18
2. Lecci´ on 2
Matrices y determinantes
29
1. 2. 3.
30 32 34 34 36 38 47 58 62 63 64 68 73 84
4. 5.
6. 7.
La noci´ on de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Algebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Multiplicaci´ on de un escalar por una matriz . . . . . . . c. Multiplicaci´ on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Matrices particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . a. Determinantes 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Determinantes 3×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Determinantes n × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Primer modelo lineal formal en la teor´ıa econ´omica: sobre las tasas de intercambio (Cournot (1838)) . . . . . . vii
84
3. Lecci´ on 3
Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´ on por matriz inversa 1. 2. 3.
4.
93
La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´ alculo de la matriz inversa mediante el m´etodo gaussiano . . . C´ alculo de la matriz inversa mediante determinantes (regla de Cramer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Determinantes de matrices particionadas . . . . . . . . . b. Inversas de matrices particionadas . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Una “visi´ on lineal” en la teor´ıa del valor: la teor´ıa de la imputaci´ on de von Wieser (1889) . . . . . . . . . . . . .
94 100 108 116 117 121 121
4. Lecci´ on 4
Vectores 1. 2. 3.
4.
5.
El concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . Norma de un vector en Rn . . . . . . . . . . . . . . . ´ Angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Proyecci´ on de un vector sobre otro . . . . . . b. Producto cruz de vectores . . . . . . . . . . . Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Rectas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Planos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. El modelo de equilibrio general Walras-Cassel
131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1918)
. . . . . . . . . .
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132 139 143 150 151 157 157 161 166 166
5. Lecci´ on 5
Bases y dimensi´ on 1.
2. 3. 4. 5.
Definici´ on de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las nociones de base y dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . Bases ortonormales para Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases para el espacio-soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. El an´ alisis insumo-producto de Leontief (1936) . . . . .
179 180 186 189 196 196 209 215 219 219
on 6 6. Lecci´ Transformaciones lineales 1.
235
Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2. 3. 4. 5. 6.
a. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . N´ ucleo e imagen: dos subespacios asociados a una transformaci´ on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . a. El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura de los conjuntos de transformaciones lineales . . . . Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. El modelo de equilibrio general de Von Neumann (1932)
247 251 258 264 272 277 281 281
7. Lecci´ on 7
Diagonalizaci´ on en Rn 1. 2. 3. 4. 5. 6.
293
Valores propios y vectores propios de una transformaci´on lineal Diagonalizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalizaci´ on de matrices sim´etricas: el teorema espectral . . Formas cuadr´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Breve nota sobre la diagonalizaci´on en bloques de Jordan . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. El modelo te´orico de Sraffa (1960) . . . . . . . . . . . .
293 299 307 310 319 323 323
on 8 8. Lecci´ Conjuntos convexos 1. 2. 3.
Noci´ on de conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´ on a la programaci´on lineal . . . . . . . . . . . . Contexto econ´ omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Sobre la noci´on de convexidad en econom´ıa . . . . . b. Tres modelos lineales b´asicos de la teor´ıa econ´omica
341 . . . . .
. . . . .
341 350 356 356 357
Bibliograf´ıa
387
Respuestas
409
´ Indice alfab´ etico
431