SKKN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO (2016-2017)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường PTDT nội trú tỉnh Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO Người thực hiện: NGUYỄN PHI PHÚC Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục

Phương pháp dạy học bộ môn: Phương pháp giáo dục

TOÁN

Lĩnh vực khác: .......................................................

Có đính kèm: Mô hình Phần mềm

Phim ảnh

Hiện vật khác

Năm học: 2016-2017

ai l.c

om

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

gm

1. Họ và tên: NGUYỄN PHI PHÚC 3. Nam, nữ: Nam

ho nb us in es s@

2. Ngày tháng năm sinh: 01/01/1962

4. Địa chỉ: 74, Nguyễn Hoàng, Khu phố 1, thị trấn Trảng Bom, huyện Trảng Bom, tỉnh Đồng Nai. 5. Điện thoại:

0976.795.956

6. E-mail:

nguyenphi phuc@yahoo.com

7. Chức vụ: Hiệu trưởng

yn

8. Nhiệm vụ được giao : Quản lý nhà trường và giảng dạy bộ môn Toán lớp 12a4

ay k

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

em qu

9. Đơn vị công tác: Trường PTDT nội trú tỉnh

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán

:d

- Năm nhận bằng: 2006

eb o

ok

- Chuyên ngành đào tạo: Giải tích.

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

F

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

-P

D

- Số năm có kinh nghiệm: 31 năm

rd er

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Em ai

lO

Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ

om

Tên SKKN:GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO

ai l.c

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

ho nb us in es s@

gm

Bài toán giải phương trình chứa căn thức là dạng toán có mặt hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi toán máy tính cầm tay, toán internet và kỳ thi tuyển sinh vào Cao đẳng, Đại học, là dạng toán thường là hay và khó nhất trong đề thi.

Trong chương trình giảngdạy chohọcsinh thời lượng không nhiều, nhưng là một trong những chủ đề thật sự hấp dẫn đối với các em học sinh đam mê học toán và người dạy toán.Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề này là một vấn đề khó, đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm và tìm tòi nghiên cứu.

em qu

yn

Để tìm lời giải cho bài toán giải phương trình chứa căn thức có rất nhiều phương pháp và không có phương pháp nào giải được mọi bài toán. Tuy nhiên, trong chương trình giảng dạy cho học sinh phổ thông lớp các bài toán dùng phương pháp phân tích ra thừa số đi đến giải các phương trình đơn giản hơn là khá phổ biến. Vì vậy, việc định hướng cho các em tự tìm cách phân tích ra thừa số cho một số bài toán giải phương trình chứa căn thứclà cần thiết. Điều này giúp các em hứng thú hơn và kích thích các em học sinh tìm tòi, đào sâu hơn là các em bị chán nản khi không thể giải quyết được bài toán giải phương trình chứa căn thứcnào đó mà gặp phải.

ok

:d

ay k

Giải bài toán giải phương trình chứa căn thứcvới công cụ hổ trợ máy tính casiokhông những cungcấpthêmchohọcsinhmộtcông cụgiảitoán, màcòngiúpcủngcốcáckiếnthức cơ bản trong chương trình phổ thông đãhọc và kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán và giải quyết nhanh cho một số dạng toán trắc nghiệm.

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán giải phương trình không phải là đề tài có tính mới, nhưng nội dung trong đề tài này có tính mới đó là sử dụng máy tính cầm tay phân tích ra thừa số của một số các bài toán chứa căn thức phức tạp mà tôi chưa thấy tác giả nào khai thác, qua nhiều năm công tác giảng dạy bộ môn toán đã có một số kinh nghiệm mong muốn giúp các em học sinh chủ yếu phân tích hướng giải quyết vấn đề, biết sử dụng, khai thác kiến thức đã học và biết định hướng để giải quyết bài toán. Từ đó mong muốn các học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

- Mộttrong những nhiệm vụ dạy học môntoán chươngtrình phổ thông là hướng dẫn cho họcsinhbiết sử dụngmáy tính cầm tayđể giải toán, nghĩalà biết vận dụnglinh hoạt vàsáng tạo các kiến thứcvề máy tính cầm tay để giải quyết một số dạng toán trong quá trình học tập bộ môn toán.

ho nb us in es s@

gm

ai l.c

- Trong việc giảng dạy môn toán trong Nhà trường có rất nhiều dạng toán với sự hổ trợ máy tính cầm tay sẽ giải quyết rất hiệu quả, trong đó lớp các bài toán giải các phương trình có chứa căn thức là dạng toán thường gặp trong các kì thi, đối với đại đa số các em học sinh là bài toán khó, bởi vì việc dạy cho các em học sinh kỷ năng sử dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán trong Nhà trường đại đa số đội ngũ giảng dạy chưa tâm huyết với nhiều lý do, đa phần giảng dạy theo kinh nghiệm và hàn lâm, vì thế trong nhiều năm qua môn toán đối với các em học sinh là khó và khô khan, là nỗi “sợ hãi” cho một số đông các em học sinh trong những tiết học và trong những kỳ thi có môn toán, đó chính là những hạn chếcủa một số giải pháp dạy học toán không có sự hổ trợ của máy tính cầm tay trong một số đơn vị trường học.

om

- Trước sự đổi mới trong việc học tập bộ môn toán có kết quả cao không thể thiếu việc sử dụng có hiệu quả máy tính cầm tay, một công cụ hổ trợ đắc lực trong việc giải toán trong Nhà trường và các kỳ thi cho các em học sinh.

yn

Để khắc phục những hạn chế trên, giúp cho các em thực sự hứng thú học toán và cụ thể là giải được một lớp các bài toán giải phương trình chứa căn thức, trong những năm qua bản thân tôi đã thực hiện đề tài “Giải phương trình chứa căn thức bằng máy tính Casio”.

em qu

Giải pháp thực hiện trong đề tài này là giải pháp thay thế hoàn toàn mới chưa từng áp dụng trong đơn vị trước khi tôi thực hiện và có hiệu quả và bản thân tôi không biết đã có đơn vị nào sử dụng chưa.

ay k

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

-P

D

F

eb o

ok

:d

1. Kiến thức cần thiết 1.1. Sử dụng phím calc để lưu biểu thức 1.2. Sử dụng phím shift solve để dò tìm nghiệm 1.3. Sử dụng mode 7 (table) , shift solve để xét giá trị hàm số,dò tìm nghiệm 1.4. Sử dụng phím shift sto để lưu giá trị vào các biến 1.5. Phép chia biểu thức chứa các căn thức bậc 2 cho biểu thức chứa căn thức tương ứng Ví dụ 1: Thực hiện phép chia

Em ai

lO

rd er

7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1 2x +1 −1 Ta sử dụng máy xác định k , a, b sao cho P( x) =

7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1 = k 2 x + 1 + ax + b 2x + 1 −1

Bước 1: Tìm hệ số k - Chọn x để 2 x + 1 là số vô tỷ, ở đây ta chọn x = 1 khi đó 2 x + 1 = 3 - Nhập biểu thức 7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1 2x +1 −1

3 giá trị

ai l.c

2 3 = 2 (là tỷ số của 2 3 trong giá trị −5 + 2 3 với 3 2 x + 1 tại x = 1 )

- Xác định k =

ho nb us in es s@

Nên a = −3, b = −2 Vậy P( x) =

gm

Bước 2:Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức 7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1 − 2 2x +1 2x + 1 −1 Calc x = 1000 ta được −3002 = −(3x + 2)

7 x + 4 − (3x + 4) 2 x + 1 = 2 2 x + 1 − 3x − 2 2x +1 −1

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia P ( x) =

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 x −1 + x +1 +1

yn

Để ý x 2 − 1 = x − 1 × x + 1 Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

em qu

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 = m x + 1 + k x − 1 + ax + b x −1 + x +1 +1

:d

ay k

Bước 1: a) Tìm hệ số m - Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và x − 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 2 khi đó x + 1 = 3 và x − 1 = 1 - Nhập biểu thức

eb o

ok

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 x −1 + x + 1 + 1 Calc x = 2 ta được 2 3 → m = 2

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

b) Tìm hệ số k - Chọn x để x − 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 3 khi đó x − 1 = 2 và x + 1 = 2 - Nhập biểu thức 3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 − 2 x +1 x −1 + x + 1 + 1 Calc x = 3 ta được −1 + 2 → k = 1

Bước 2: Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức 3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 − 2 x +1 − x −1 x −1 + x +1 + 1 Calc x = 1000 ta được −1 Nên a = 0, b = −1

om

Calc x = 1 ta được −5 + 2 3

Vậy P( x) =

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 = 2 x + 1 + x −1 −1 x −1 + x + 1 + 1

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1

ai l.c

P( x) =

om

Ví dụ 3: Thực hiện phép chia

2

2 x +1 − x − 3

= k x 2 + 1 + ax + b

ho nb us in es s@

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1

gm

2 x2 + 1 − x − 3 Ta sử dụng máy xác định k , a, b sao cho

Bước 1: Tìm hệ số k - Chọn x để x 2 + 1 là số vô tỷ, ở đây ta chọn x = 1 khi đó - Nhập biểu thức 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2 x2 + 1 − x − 3 Calc x = 1 ta được −3 + 3 2 → k = 3

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2

yn

Bước 2: Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức

x2 + 1 = 2

− 3 x2 + 1

ay k

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2

2 x +1 − x − 3

= 3 x 2 + 1 − 3x + 1

:d

Vậy P( x) =

em qu

2 x +1 − x − 3 Calc x = 1000 ta được −2999 = −3000 + 1 = −3 x + 1 Nên a = −3, b = 1

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

ok

2. Phân loại các dạng bài toán 2.1. Loại 1:Phương trình có duy nhất 1 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: -Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng cách xác định nhân tử sau: Ta có x = α là nghiệmhữu tỷ mà g (α ) = a 3

g (α ) = a

Nếu trong phương trình có dạng +) + g ( x) → ( g ( x) − a) là biểu thức xác định nhân tử chung +) − g ( x) → ( g ( x) − a g ( x)) là biểu thức xác định nhân tử chung +) + 3 g ( x) → ( 3 g ( x) − a) là biểu thức xác định nhân tử chung +) − 3 g ( x) → ( g ( x) − a 2 3 g ( x)) là biểu thức xác định nhân tử chung Bài 1: Giải phương trình x + 1 − x − 1 − 2 3 x + 3 = 0 Hướng dẫn giải:

om

- Nhận xét khoảng nghiệm [1; +∞ ) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

ai l.c

F ( x) = x + 1 − x − 1 − 2 3 x + 3 start :1 end :10

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x=5 nên ta có 3

x+3 = 2

x =5

x =5

→ x −1− 2 x −1 =

→ x + 3− 43 x + 3 =

Ta có lời giải sau: x + 1− x −1 − 2 3 x + 3 = 0

⇔ 2x + 2 − 2 x −1 − 4 3 x + 3 = 0

x − 1( x − 1 − 2)

ho nb us in es s@

x −1 = 2

gm

step :1

3

x + 3( 3 x + 3 − 2)( 3 x + 3 + 2)

⇔ ( x − 1 − 2 x − 1) + ( x + 3 − 4 3 x + 3) = 0

⇔ ( x − 1 − 2 x − 1) + ( x + 3 − 4 3 x + 3) = 0

em qu

⇔

x − 1( x − 1 − 2) + 3 x + 3( 3 x + 3 + 2)( 3 x + 3 − 2) = 0 x −5 x −5 + 3 x + 3( 3 x + 3 + 2) =0 x −1 2 3 3 x −1 + 2 ( x + 3) + 2 x + 3 + 4

yn

⇔

⇔ x=5

:d

ay k

    3 3 x −1 x + 3( x + 3 + 2)   ⇔ ( x − 5) + =0 2  x −1 + 2 3  3 x + 3 + 2 x + 3 + 4 ( )   >0  

eb o

ok

Bài 2: Giải bất phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 > ( x + 8) x + 3 Hướng dẫn giải: + Giải bất phương trình ta phân tích nhân tử như bài toán phương trình tương ứng rồi sử dụng phương pháp xét dấu hoặc giải trực tiếp.

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = ( x + 8) x + 3 − 2 x − 14 − 3 x + 1 start : −1 end : 9 step :1

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x=1 Để ý

3x + 1 = 2

x =1

→ 3 x + 1 − 2 3 x + 1 = 3 x + 1( 3 x + 1 − 2)

(do trước căn là dấu âm)

Để ý

x+3 = 2

x =1

→ 3 x + 1 − 2 (do trước căn là dấu dương)

om

Ta có lời giải sau:

ai l.c

2 x + 14 + 3 x + 1 > ( x + 8) x + 3

⇔ 2( x + 8) x + 3 − 2 3 x + 1 − 4 x − 28 < 0

2( x + 8)( x − 1) 3 3x + 1( x − 1) + − 3( x − 1) < 0 x+3 +2 3x + 1 + 2  2( x + 8)  3 3x + 1 ⇔ ( x − 1)  + − 3 < 0 3x + 1 + 2   x+3 +2  2( x + 3) − 3 x + 3 + 4 3 3x + 1  ⇔ ( x − 1)  + <0 x+3 +2 3x + 1 + 2   2   3  23 2 x + 3 −    + 8 3 3x + 1  2 2 ⇔ ( x − 1)   + <0   x + 3 + 2 3 x + 1 + 2   >0   1 ⇔ − ≤ x <1 3

em qu

yn

ho nb us in es s@

⇔

gm

⇔ 2( x + 8)( x + 3 − 2) + 3 x + 1( 3 x + 1 − 2) − 3 x + 3 < 0

ok

:d

ay k

2.2. Loại 2:Phương trình có 2 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng phương pháp đồng nhất khi biết 2 nghiệm hữu tỷ là x = α , x = β thỏa n g ( x) = ax + b  n g ( x) = aα + b

eb o

Ta giải hệ  n

 g ( x) = aβ + b

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Bài 1: Giải phương trình 3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4 Hướng dẫn giải: 1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = 3 x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 start : −1 end : 9 step :1

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=1 nên ta có 3 x + 1 = ax + b

x =0 x =1

b = 1 ⇒ ⇒ 3x + 1 = x + 1 a = 1

5 x + 4 = ax + b

x =0 x =1

b = 2 ⇒ ⇒ 5x + 4 = x + 2 a =1

om

Ta có lời giải sau:

ai l.c

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4

⇒ 3x 2 − 3x =  3x + 1 − ( x + 1)  +  5 x + 4 − ( x + 2) 

ho nb us in es s@

gm

− x2 + x − x2 + x + 3x + 1 + ( x + 1) 5 x + 4 + ( x + 2)

⇒ 3x 2 − 3x =

    1 1 ⇒ (− x + x)  + + 3 = 0 3x + 1 + ( x + 1) 5 x + 4 + ( x + 2)  

 >0   2

⇒ − x2 + x = 0 ⇒ x = 0, x = 1 (thỏa)

Nhận xét: ta có thể đưa phương trình về phương trình bậc 4 để giải

em qu

yn

Bài 2: Giải phương trình ( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) = 3 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số start : −5 end : 5 step :1

ay k

F ( x) = ( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) − 3

ok

x 2 ( x 2 − 2) = ax + b

 2a + b = 2 a =1 ⇒ ⇒ ⇒ x =−1  − a + b = −1 b = 0 x=2

3

x 2 ( x 2 − 2) = x

eb o

3

:d

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm x=-1 và x=2 nên ta có

Ta có lời giải sau:

F

( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) = 3

D

⇔ ( 3 x 2 ( x 2 − 2) − x ) + x 2 − x − 2 = 0

Em ai

lO

rd er

-P

⇔ 3 x ( 3 x2 − 2 − 3 x ) + x2 − x − 2 = 0   3 2   x ⇔ ( x 2 − x − 2)  + 1 = 0  3 ( x 2 − 2) 2 + 3 x 2 − 2. 3 x + 3 x 2     >0 

⇔ x2 − x − 2 = 0

⇔ x = −1, x = 2

Bài 3: Giải phương trình x + 6 + 3 1 − x 2 − 4 1 − x − 5 x + 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm [ −1;1] do miền xác định của hàm số

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

om

F ( x) = x + 6 + 3 1 − x 2 − 4 1 − x − 5 x + 1 start : −1

ai l.c

end : 0 step : 0.1

gm

AC

ho nb us in es s@

start : 0 end :1 step : 0.1 AC start : 0.9 end :1 step : 0.01

Nhận thấy phương trình có nghiệm x = 0, x = 0.96 =

yn

24 25

x =0 x=

24 25

ay k

1 − x = ax + b

x=

 b =1  ⇒ 5 ⇒ 12 x + 1 = 5 x + 12  a = − 12  b =1  ⇒ 5 ⇒ 6 1 − x = −5 x + 6 a = − 6

em qu

x + 1 = ax + b

x =0

→ 2 x +1 + 1− x − 3 = 0

:d

Thực hiện phép chia

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3

ok

P( x) =

eb o

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = m x + 1 + k 1 − x + ax + b 1− x + 2 x +1 − 3

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và 1 − x là số hữu tỷ ở đây ta chọn x =

3 khi đó 4

x +1 =

7 và 2

Nhập biểu thức x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3 3 4

1 2

Calc x = ta được − + Tìm hệ số k

7 → m =1 2

x −1 =

1 2

24 nên ta có 25

3 khi đó 4

ở đây ta chọn x = −

x + 1 là số hữu tỷ 1− x =

7 và 2

x +1 =

1 2

om

Chọn x để 1 − x là số vô tỷ và

ai l.c

Nhập biểu thức

7 → k =1 2

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

ho nb us in es s@

3 4

Calc x = − ta được −1 +

gm

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 − x +1 1− x + 2 x +1 − 3

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 − x +1 − 1− x 1− x + 2 x +1 − 3 1 1 Calc x = ± , ± ,... ta được −1 2 3 Nên a = 0, b = −1

yn

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = x +1 + 1 − x −1 1− x + 2 x +1 − 3

Lời giải bài toán:

em qu

Vậy

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = 0

(

)(

x +1 + 1− x −1 = 0

:d

⇔

1− x + 2 x +1 − 3 = 0

(

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

(

1− x + 2

2

) =1 x + 1) = 9

x +1 + 1− x

eb o

⇒

⇒

)

1− x + 2 x +1 − 3 = 0

ay k

x +1 + 1− x −1

ok

⇔

2

2 1 − x 2 = −1 4 1 − x 2 = 4 − 3x

⇒ 25 x 2 − 24 x = 0 24 thỏa ⇒ x = 0, x = 25

2.3. Loại 3: Phương trình có 3 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng cách xác định nhân tử sau: Ta có x = x1 , x = x2 , x = x3 là nghiệm hữu tỷ mà Nếu trong phương trình có dạng

f ( x1 ) = 0

f ( x)

g ( x) →

n

f ( x1 ) = 0, f ( x2 ) = 0

n

g ( x3 ) = a

( (

3

) ( g ( x) − a ) ∨ ( g ( x ) − a

) là biểu thức xác g ( x) )

g ( x) − a ∨ g ( x ) − a g ( x) 23

ai l.c

+)

x2 là biểu thức xác định nhân tử chung x3

x = x1 g ( x ) → g ( x ) = ax + bx + c x = x2 là biểu thức xác định nhân tử x = x3 n

2

ho nb us in es s@

+)

gm

định nhân tử chung n

chung

Bài 1: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

em qu

yn

F ( x) = 2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1 start : −1 end : 8 step :1

Nhận thấy phương trình có 3 nghiệm x = 0, x = 1, x = 2 Để ý x 7 x + 2 có thừa số x x =1

 3= a+b a =1 → → → 7 x + 2 − ( x + 2) x = 2 4 = 2a + b b = 2

ay k

→ 7 x + 2 = ax + b

:d

Để ý ( x −1) 4x + 1 có thừa số (x -1) x=0

 1= b a = 1 → → → 4 x + 1 − ( x + 1) x = 2 3 = 2a + b b = 1

ok

→ 4 x + 1 = ax + b

eb o

Ta có lời giải sau:

2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1

F

⇔ x ( x + 2 − 7 x + 2 ) + ( x − 1)( x + 1 − 4 x + 1) = 0

x ( x 2 − 3 x + 2) ( x − 1)( x 2 − 2 x ) + =0 x + 2 + 7x + 2 x +1+ 4x +1

D -P

⇔

Em ai

lO

rd er

    1 1   ⇔ x( x − 1)( x − 2)  + =0 x + 2 + 7 x + 2 x + 1 + 4 x + 1

  1   > 0,∀x ≥− 4

⇔ x( x − 1)( x − 2) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2

2.4. Loại 4: Phương trình có nghiệm vô tỷ

om

f ( x) n g ( x) → n g ( x) = ax + b +)

ho nb us in es s@

gm

Bài 1: Giải phương trình (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm (0;1) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 start : 0 end :1 step : 0.1

Nhận thấy trong khoảng (0.7;0.8) có 1 nghiệm duy nhất - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

yn

(2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0 Cho x = 0.7 ta có nghiệm x = 0.723... lưu A

em qu

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

:d

ay k

F ( X ) = A − A2 + AX start : −4 end : 4 step : 0.5 Kiểm tra thấy X = −2, F ( X ) = −1 là 2 giá trị hữu tỷ

ok

Ta có biểu thức liên hợp căn thức là: x − x 2 − 2 x + 1 . Nên

eb o

(2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

⇒ (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1)( x − x 2 − 2 x + 1 + 2 x − 1) = 0 ⇒ (2 x − 1)(10 x 2 − 10 x + 2) + (8 x 2 − 8 x + 1)( x − x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ 20 x3 − 30 x 2 + 4 x − 2 + (8 x 2 − 8 x + 1)

⇒ (5 x 2 − 5 x + 1)(4 x − 2 − ⇒ (5 x 2 − 5 x + 1)

−(5 x 2 − 5 x + 1)

8x 2 − 8x + 1

)=0 x − x2 + 2 x −1

(4 x − 2) x − x 2 + 1 x − x2 + 2x −1

=0

+ Giải phương trình 5 x 2 − 5 x + 1 = 0 nghiệm x =

+ Giải phương trình (4 x − 2) x − x 2 + 1 = 0

Cách 1:

x − x2 + 2 x −1

5+ 5 thỏa 10

=0

om

α g ( x) + ax + b

ai l.c

Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng mode 7 (table), các nút shift solve để xác định nhân tử

(4 x − 2) x − x 2 + 1 = 0

om

⇒ 16 x 4 − 32 x 3 + 20 x 2 − 4 x + 1 = 0

−8 x 2 + 8 x − 1 x − x2

ho nb us in es s@

f '( x ) =

f '( x) = 0 ⇔ −8 x 2 + 8 x − 1 = 0 ⇔ x = f (0) = f (1) = 1, f ( ⇒

gm

Cách 2: Xét hàm số f ( x) = (4 x − 2) x − x 2 + 1 Mxđ D = [ 0;1]

ai l.c

⇒ 16( x 2 − x) 2 + (2 x − 1) 2 = 0 (vn)

2± 2 4

2− 2 3 2+ 2 1 )= , f( )= 4 2 4 2

1 3 ≤ f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ 0;1] 2 2

:d

ay k

em qu

yn

Nên phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình 12 x + 2 x − 1 = 3 x + 9 Hướng dẫn giải: - Dò tìm được 2 nghiệm là x=1 và x=14.965…là nghiệm vô tỷ, nghiệm này ta tìm 1 phương trình bậc 2 hoặc x = ax + b, x − 1 = ax + b hết sức phức tạp khó thực hiện do hệ số rất lớn nếu ta sử dụng mode 7 (table) nên ta chuyển về phương trình bậc 4 có nghiệm hữu tỷ để giải.

Ta có:

ok

12 x + 2 x − 1 = 3 x + 9

eb o

⇒ 144 x + 4( x − 1) + 48 x 2 − x = 9 x 2 + 54 x + 81

-P

D

F

⇒ 48 x 2 − x = 9 x 2 − 94 x + 85 ⇒ 2304( x 2 − x) = 81x 4 + 8836 x 2 + 7225 − 1692 x 3 + 1530 x 2 − 15980 x ⇒ 81x 4 − 1692 x 3 + 8062 x 2 − 13676 x + 7225 = 0 ⇒ ( x − 1)(9 x − 25)(9 x 2 − 154 x + 289) = 0

Em ai

lO

rd er

77 + 16 13 thỏa 9 Bài 3: Giải phương trình x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 ⇒ x = 1, x =

Hướng dẫn giải: 1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

ai l.c

om

F ( x) = x 2 + 4 x + 3 − ( x + 1) 8 x + 5 − 6 x + 2 start : −1 end : 9 step :1

x2 + 4 x + 3 − ( x + 1) 8x + 5 − 6 x + 2 = 0

F ( X ) = 8 A + 5 + AX G ( X ) = 6 A + 2 + AX start : −4 end : 4 step : 0.5

ho nb us in es s@

Cho x = 4 ta có nghiệm x = 4.236067977... lưu A - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

gm

Nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất trong khoảng (4;5) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

Kiểm tra thấy X = −1, F ( X ) = 2, G( X ) = 1 là 2 giá trị cần xác định Ta có biểu thức liên hợp các căn thức trong bài toán là:

)(

8x + 5 − x − 2 ,

)

6x + 2 − x −1

yn

(

em qu

Lưu ý: Ta còn có một cách dựa đoán biểu thức liên hợp các căn thức trong bài toán như sau: A = 4.236067977... → 8 A + 5 = 6.236067977..., 6 A + 2 = 5.236067977...

ay k

→ 8 A + 5 = A + 2, 6 A + 2 = A + 1

Ta có lời giải sau:

:d

x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2

ok

⇒ ( x + 1)( x + 2 − 8 x + 5 ) + ( x + 1 − 6 x + 2 ) = 0

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

    x +1 1   2 ⇒ ( x − 4 x − 1)  + =0 + 2 + 8 + 5 + 1 + 6 + 2 x x x x

  1   > 0,∀x ≥− 3   ⇒ x = 2+ 5∨ x = 2− 5 Kiểm tra lại chỉ có nghiệm x = 2 + 5 thỏa

Bài 4: Giải phương trình 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x 2 − 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm [ −1; +∞ ) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

F ( x) = 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x 2 − 1

om

start :1

ai l.c

end :10 step :1 AC

gm

start :11

ho nb us in es s@

end : 20 step :1

Nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất trong khoảng (3;4) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 0 Cho x = 4 ta có nghiệm x = 3.398111694... lưu A

Tìm nhân tử ta có cách sau:

Cách 1: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số F ( X ) = 2 A + 1 + AX

em qu

yn

G ( X ) = 2 A − 1 + AX start : −4 end : 5 step : 0.5

3 2

ay k

Ta có: 2 x + 1 − 3x = −6, 2 x − 1 − x = −2 ⇒ ( x + 1 − 2 x − 1 + 1) là nhân

eb o

ok

:d

tử chung Cách 2: Phương pháp đổi dấu trước căn Tìm nghiệm liên hợp với A qua phương trình đổi dấu trước căn sau: 7 x + 2 − 6 x + 1 + 8 x − 1 − 8(−1)(−1) x 2 − 1 = 0 có nghiệm x = 1.046332751... lưu B

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Ta có: A + B = → A=

40 40 , AB = ,A> B 9 9

A + B + ( A + B)2 − 4 AB 20 + 4 7 = 2 9

  29 + 4 7 =  x +1 = 9  →   x − 1 = 11 + 4 7 =  9

→

(

)

(2

)

7 +1

2

3

(

7 +2 3

)

=

2 7 +1 3

=

7 +2 3

2

x + 1 − 2 x − 1 + 1 là nhân tử chung

Thực hiện phép chia

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 x +1 − 2 x −1 + 1

om

P( x) =

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

gm

ho nb us in es s@

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và x − 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 2 khi đó x + 1 = 3 và x − 1 = 1 Nhập biểu thức

ai l.c

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = m x + 1 + k x + 1 + ax + b x + 1 − 2 x −1 + 1

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 − 1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 2 ta được 1 + 3 3 → m = 3

em qu

yn

Tìm hệ số k Chọn x để x − 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 3 khi đó x − 1 = 2 và x + 1 = 2 Nhập biểu thức

ay k

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 − 3 x +1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 3 ta được 3 − 2 2 → k = −2

ok

:d

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x2 − 1 − 3 x + 1 + 2 x −1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 1000 ta được 3 Nên a = 0, b = 3

Vậy

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 3 x +1 − 2 x −1 + 3 x +1 − 2 x −1 +1

Lời giải bài toán: 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 0 ⇔

(

  2 x − 1 + 3  = 0 x + 1 − 2 x − 1 + 1  3 x + 1 −   >0  

)

⇔ x +1 +1 = 2 x −1

⇔ 2 x + 1 = 3x + 6, x ≥ 1 ⇔ 9 x 2 − 40 x + 32 = 0, x ≥ 2

20 + 4 7 9

ho nb us in es s@

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0 Cho x = −1 ta có nghiệm x = −0.632... lưu A Cho x = 2 ta có nghiệm x = 2.632... lưu B 5 Ta có: A + B = 2, AB = − , A < B 3

gm

ai l.c

Bài 5: Giải phương trình 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) kiểm tra các khoảng nghiệm Nhận thấy phương trình có nghiệm trong 2 khoảng (-1;0) và (2;3) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

om

⇔ x=

Cách 1.Đưa về phương trình bậc 4 Cách 2. Xác định nhân tử chung và thực hiện phép chia căn thức Tính giá trị x 2 + 1 tại A, B A2 + 1 = 1.183... lưu C, B2 + 1 = 2.816... lưu D 10 ,C < D 3

yn

Ta có: C + D = 4, CD =

em qu

Khi đó: A là nghiệm lớn của phương trình

3+ 2 6 3A − 3 → 6= 3 2

ay k

3x 2 − 6 x − 5 = 0 → A =

C là nghiệm lớn của phương trình

ok

Nên

:d

3 x 2 − 12 x + 10 = 0 → C =

eb o

A2 + 1 =

6+ 6 A+3 = 3 2

A+3 → 2 x 2 + 1 − x − 3 là nhân tử chung 2

(

)

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Sử dụng phép chia căn thức ta được 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0

⇔ (2 x 2 + 1 − x − 3)(3 1 − 3x + 1) = 0 x 2 + >0 2

⇔ 2 x +1 = x + 3 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 5 = 0, x ≥ −3 ⇔x=

3± 2 6 3

Bài 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 = 0 (1) Hướng dẫn giải: Cách 1: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

F ( x) = 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

om

start : −1

ai l.c

end : 9 step :1 AC end : 20 step :1

ho nb us in es s@

gm

start :10

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng (-1;0), (5;6) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 = 0 Cho x = −1 ta có nghiệm x = −0.541381265... lưu A Cho x = 5 ta có nghiệm x = 5.541381265... lưu B

Tìm nhân tử ta có cách sau:

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung

ay k

→

em qu

F ( X ) = A2 − A + 1 + X A + 1 start : −4 end : 5 step : 0.5

yn

Cách 1.1: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số

Cách 1.2: Tính giá trị các căn

:d

A2 − A + 1 = 1.354427901..., B 2 − B + 1 = 5.11522483...

ok

A + 1 = 0.6772139506..., B + 1 = 2.557612415...

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

2 A + 1 = 1.354427901... = A2 − A + 1 →  2 B + 1 = 5.11522483... = B 2 − B + 1

→

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung

Cách 1.3: Ta có: A + B = 5, AB = −3, A < B → A=

5 − 37 5 + 37 , B= 2 2

 7 − 37 7 + 37  , B +1 = A +1 = → 2 2  2 2  A − A + 1 = 14 − 2 37 , B − B + 1 = 14 + 2 37 2  A − A + 1 = 2 A + 1 →  B 2 − B + 1 = 2 B + 1

→

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 x2 − x + 1 − 2 x + 1

ai l.c

P ( x) =

om

Thực hiện phép chia căn thức

2

x − x +1 − 2 x +1

= m x 2 − x + 1 + k x + 1 + ax + b

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để

ho nb us in es s@

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

gm

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

x 2 − x + 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ

ở đây ta chọn x = 3 khi đó x 2 − x + 1 = 7 và Nhập biểu thức

x +1 = 2

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

yn

x2 − x + 1 − 2 x + 1 Calc x = 3 ta được −1 + 2 7 → m = 2

em qu

Tìm hệ số k

Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và

x + 1 = 2 và

ay k

ở đây ta chọn x = 1 khi đó Nhập biểu thức

x 2 − x + 1 là số hữu tỷ

:d

2 x2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 2

− 2 x2 − x + 1

ok

x − x +1 − 2 x +1 Calc x = 1 ta được 3 − 2 → k = −1

x2 − x +1 = 1

eb o

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 2

x − x +1 − 2 x +1 Calc x = 1000 ta được 1 Nên a = 0, b = 1

− 2 x2 − x +1 + x +1

2 2 3 Ta có: 2 x + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x + 1 = 2 x 2 − x + 1 − x + 1 + 1

x − x +1 − 2 x +1

Vậy (1) ⇔

(

)(

)

x2 − x + 1 − 2 x + 1 2 x2 − x + 1 − x + 1 + 1 = 0

 x2 − x + 1 = 2 x + 1 ⇔  2 x 2 − x + 1 = x + 1 − 1

(thỏa)

ho nb us in es s@

Cách 2: Đặt a = x 2 − x + 1 ≥ 0, b = x + 1 ≥ 0 → a 2 + b2 = x 2 + 2 Nên (1) trở thành: 2a 2 + (1 − 5b)a + 2b 2 − 2b = 0

ai l.c

5 ± 37 2

gm

⇒x=

om

 x2 − 5x − 3 = 0  2 ⇒ 5  39  2  −2 x + 1 = 4 x − 5 x + 4 =  2 x − 4  + 19 > 0 (VN ) 

⇔ ( a − 2b)(2a − b + 1) = 0

⇔ (1 − b)(a − 1)(a + b + 2) = 0 ⇔ a = 1∨ b = 1

Vậy (4) ⇔

)(

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 2 x 2 − x + 1 − x + 1 + 1 = 0 ta đã giải ở cách 1

(x

(1) ⇔

2

em qu

yn

Bài 7: Giải bất phương trình x 2 + x + x − 2 ≥ 3( x 2 − 2 x − 2) (1) Hướng dẫn giải: Điều kiện xác dịnh: x ≥ 1 + 3 Với điều kiện trên ta có: + x ) ( x − 2) − x2 + 4x + 2 ≥ 0

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số 2

:d

start :1 + 3 end : 9

+ x ) ( x − 2) − x2 + 4 x + 2

ay k

(x

F ( x) =

ok

step : 0.5

eb o

Nhận thấy phương trình có1 nghiệm trong khoảng (6.2;6.7) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

-P

D

F

(x

+ x ) ( x − 2) − x2 + 4x + 2 = 0

Cho x = 6.2 ta có nghiệm x = 6.605551275... lưu A Tìm nhân tử ta có cách sau: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số

rd er

F ( X ) = A2 + XA start : −9 end : 9 step :1

lO

Em ai

2

→ ( x 2 − 6 x − 4 ) là nhân tử chung

Nên (1) ⇔ ⇔

(x

2

+ x ) ( x − 2 ) − 2 ( x + 1) − ( x 2 − 6 x − 4 ) ≥ 0, x ≥ 1 + 3

x 3 − 5 x 2 − 10 x − 4

(x

2

+ x ) ( x − 2 ) + 2 ( x + 1)

− ( x 2 − 6 x − 4 ) ≥ 0, x ≥ 1 + 3

ai l.c

om

    x +1 2  ⇔ ( x − 6x − 4) − 1 ≥ 0, x ≥ 1 + 3   2 2 ) + 2 ( x + 1)  ( x + x ) ( x −    <0   ⇔ x 2 − 6 x − 4 ≤ 0, x ≥ 1 + 3

Bài tập tự luyện Bài 1. Thực hiện phép chia sau

2. P( x) = 3. P( x) =

3 x 2 − 3 x + 2 + ( x 2 + x − 2) x + 1 x x +1 + 2x − 2 2

4 x + 9 x + 8 − (5 x + 8) x 2 + x + 1 x2 + x + 1 −1

3x 2 − x − 8 + (3x − 4) x 2 − 1 2 x2 −1 + x + 2

yn

1. P ( x) =

ho nb us in es s@

gm

⇔ 1 + 3 ≤ x ≤ 3 + 13

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 x +1 − 2 x −1 + 1

5. P( x) =

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3

em qu

4. P( x) =

ay k

Bài 2.Giải các phương trình và bất phương trình sau

:d

1. 6 x − 8 − (3x − 1) x 2 − x − 1 = 0

ok

2. 5 x 2 − 4 x − 2 − 2(2 x − 1) 2 x 2 − 3 = 0

eb o

3. 4 x 2 + 9 x + 8 − (5 x + 8) x 2 + x + 1 = 0 4. 4 x 2 + 5 x + 1 − (5 x + 7) x 2 − 1 = 0

F

5. 3 x 2 − x − 8 + (3x − 4) x 2 − 1 < 0

-P

D

6. 3x 2 + 3x + 4 − (3x + 4) x 2 + 1 = 0

rd er

7. 7 x 2 + 6 x + 3 − (5 x + 3) x 2 − x + 1 = 0

Em ai

lO

8. 7 x 2 + 10 x + 5 − (5 x + 4) x 2 + 1 ≥ 0

9. 4 x 2 + 4 x + 12 − ( x + 13) x 2 + 1 = 0

10. 2 x + 4 + x + 3 − 4 3 x + 7 = 0 IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, giúp các em học sinh tham gia tốt các kỳ thi máy tính cầm tay, toán internet và các kỳ thi vào Cao đẳng và Đại học do đó các em học sinh hứng thú, tích cực, tự giác trong học tập hơn.

ho nb us in es s@

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

gm

om

ai l.c

- Trong những năm qua, trường PTDT nội trú tỉnh về mặt bằng tuyển sinh đầu vào chất lượng thấp, đại đa số các em là đồng bào dân tộc không có điều kiện học tập tốt như các em học sinh ở các trường THPT khác, nhưng trong những năm qua bản thân được giao nhiệm vụ giảng dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi các kỳ thi các em đã đạt nhiều kết quả cao như đạt giải nhì kỳ thi toán internet cấp tỉnh, huy chương đồng toán internet cấp Quốc gia và nhiều giải khác trong các kỳ thi toán máy tính cầm tay....

Có thể đưa vào chương trình học với chuyên đề vận dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán trong các trường THPT. VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Thế Thạch và Nguyễn Trường Chấng (Dịch và Biên soạn kèm theo máy). Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570 ES

yn

2. Các đề thi Đại học-Cao đẳng, đề thi máy tính cầm tay...

em qu

VII. PHỤ LỤC

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

ok

:d

ay k

Không

NGƯỜI THỰC HIỆN

ai l.c

Năm học: .....................................

gm

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Họ và tên giám khảo 1: ............................................................ Chức vụ: ........................................ Đơn vị: ..............................................................................................................................................

yn

Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................

em qu

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1. Tính mới

ay k

...........................................................................................................................................................

Điểm: …………./6,0.

ok

:d

...........................................................................................................................................................

2. Hiệu quả

eb o

...........................................................................................................................................................

F

........................................................................................................................................................... Điểm: …………./8,0.

-P

D

3. Khả năng áp dụng

rd er

...........................................................................................................................................................

lO

...........................................................................................................................................................

Em ai

om

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Điểm: …………./6,0.

Nhận xét khác (nếu có): ...................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................

GIÁM KHẢO 1

ai l.c

Năm học: .....................................

gm

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ hai

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Họ và tên giám khảo 2: ............................................................ Chức vụ: ........................................ Đơn vị: ..............................................................................................................................................

yn

Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................

em qu

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1. Tính mới

ay k

...........................................................................................................................................................

Điểm: …………./6,0.

ok

:d

...........................................................................................................................................................

2. Hiệu quả

eb o

...........................................................................................................................................................

F

........................................................................................................................................................... Điểm: …………./8,0.

-P

D

3. Khả năng áp dụng

rd er

...........................................................................................................................................................

lO

...........................................................................................................................................................

Em ai

om

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Điểm: …………./6,0.

Nhận xét khác (nếu có): ...................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................

GIÁM KHẢO 2

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

gm

Năm học: .....................................

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................

- Phương pháp giáo dục

- Lĩnh vực khác: ........................................................

yn

- Quản lý giáo dục

em qu

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị

Trong Ngành

-P

D

F

eb o

ok

:d

ay k

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây) - Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây) - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Em ai

lO

rd er

Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT

Trong ngành

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành Xếp loại chung: Xuất sắc

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

Khá

Đạt

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

om

ai l.c

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Không xếp loại THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

rd er

lO

Em ai D

-P F eb o :d

ok em qu

ay k yn

ho nb us in es s@

gm

ai l.c

om

Háşżt

om

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

ai l.c

Đơn vị Trường PTDT nội trú tỉnh

ho nb us in es s@

gm

Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

yn

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO

em qu

Người thực hiện: NGUYỄN PHI PHÚC Lĩnh vực nghiên cứu:

ay k

Quản lý giáo dục

Phương pháp dạy học bộ môn:

:d

Phương pháp giáo dục

TOÁN

eb o

ok

Lĩnh vực khác: .......................................................

F

Có đính kèm:

Phim ảnh

Hiện vật khác

Em ai

lO

rd er

-P

D

Mô hình Phần mềm

Năm học: 2016-2017

ai l.c

om

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

IV. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

gm

10. Họ và tên: NGUYỄN PHI PHÚC 12. Nam, nữ: Nam

ho nb us in es s@

11. Ngày tháng năm sinh: 01/01/1962

13. Địa chỉ: 74, Nguyễn Hoàng, Khu phố 1, thị trấn Trảng Bom, huyện Trảng Bom, tỉnh Đồng Nai. 14. Điện thoại:

0976.795.956

15. E-mail:

nguyenphi phuc@yahoo.com

16. Chức vụ: Hiệu trưởng

yn

17. Nhiệm vụ được giao : Quản lý nhà trường và giảng dạy bộ môn Toán lớp 12a4

ay k

V. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

em qu

18. Đơn vị công tác: Trường PTDT nội trú tỉnh

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán

:d

- Năm nhận bằng: 2006

eb o

ok

- Chuyên ngành đào tạo: Giải tích.

VI. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

F

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

-P

D

- Số năm có kinh nghiệm: 31 năm

rd er

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Em ai

lO

Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp tọa độ

om

Tên SKKN:GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO

ai l.c

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

ho nb us in es s@

gm

Bài toán giải phương trình chứa căn thức là dạng toán có mặt hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi toán máy tính cầm tay, toán internet và kỳ thi tuyển sinh vào Cao đẳng, Đại học, là dạng toán thường là hay và khó nhất trong đề thi.

Trong chương trình giảngdạy chohọcsinh thời lượng không nhiều, nhưng là một trong những chủ đề thật sự hấp dẫn đối với các em học sinh đam mê học toán và người dạy toán.Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề này là một vấn đề khó, đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm và tìm tòi nghiên cứu.

em qu

yn

Để tìm lời giải cho bài toán giải phương trình chứa căn thức có rất nhiều phương pháp và không có phương pháp nào giải được mọi bài toán. Tuy nhiên, trong chương trình giảng dạy cho học sinh phổ thông lớp các bài toán dùng phương pháp phân tích ra thừa số đi đến giải các phương trình đơn giản hơn là khá phổ biến. Vì vậy, việc định hướng cho các em tự tìm cách phân tích ra thừa số cho một số bài toán giải phương trình chứa căn thức là cần thiết. Điều này giúp các em hứng thú hơn và kích thích các em học sinh tìm tòi, đào sâu hơn là các em bị chán nản khi không thể giải quyết được bài toán giải phương trình chứa căn thứcnào đó mà gặp phải.

ok

:d

ay k

Giải bài toán giải phương trình chứa căn thứcvới công cụ hổ trợ máy tính casiokhông những cungcấpthêmchohọcsinhmộtcông cụgiảitoán, màcòngiúpcủngcốcáckiếnthức cơ bản trong chương trình phổ thông đãhọc và kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán và giải quyết nhanh cho một số dạng toán trắc nghiệm.

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán giải phương trình không phải là đề tài có tính mới, nhưng nội dung trong đề tài này có tính mới đó là sử dụng máy tính cầm tay phân tích ra thừa số của một số các bài toán chứa căn thức phức tạp mà tôi chưa thấy tác giả nào khai thác, qua nhiều năm công tác giảng dạy bộ môn toán đã có một số kinh nghiệm mong muốn giúp các em học sinh chủ yếu phân tích hướng giải quyết vấn đề, biết sử dụng, khai thác kiến thức đã học và biết định hướng để giải quyết bài toán. Từ đó mong muốn các học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

- Mộttrong những nhiệm vụ dạy học môntoán chươngtrình phổ thông là hướng dẫn cho họcsinhbiết sử dụngmáy tính cầm tayđể giải toán, nghĩalà biết vận dụnglinh hoạt vàsáng tạo các kiến thứcvề máy tính cầm tay để giải quyết một số dạng toán trong quá trình học tập bộ môn toán.

ho nb us in es s@

gm

ai l.c

- Trong việc giảng dạy môn toán trong Nhà trường có rất nhiều dạng toán với sự hổ trợ máy tính cầm tay sẽ giải quyết rất hiệu quả, trong đó lớp các bài toán giải các phương trình có chứa căn thức là dạng toán thường gặp trong các kì thi, đối với đại đa số các em học sinh là bài toán khó, bởi vì việc dạy cho các em học sinh kỷ năng sử dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán trong Nhà trường đại đa số đội ngũ giảng dạy chưa tâm huyết với nhiều lý do, đa phần giảng dạy theo kinh nghiệm và hàn lâm, vì thế trong nhiều năm qua môn toán đối với các em học sinh là khó và khô khan, là nỗi “sợ hãi” cho một số đông các em học sinh trong những tiết học và trong những kỳ thi có môn toán, đó chính là những hạn chế của một số giải pháp dạy học toán không có sự hổ trợ của máy tính cầm tay trong một số đơn vị trường học.

om

- Trước sự đổi mới trong việc học tập bộ môn toán có kết quả cao không thể thiếu việc sử dụng có hiệu quả máy tính cầm tay, một công cụ hổ trợ đắc lực trong việc giải toán trong Nhà trường và các kỳ thi cho các em học sinh.

yn

Để khắc phục những hạn chế trên, giúp cho các em thực sự hứng thú học toán và cụ thể là giải được một lớp các bài toán giải phương trình chứa căn thức, trong những năm qua bản thân tôi đã thực hiện đề tài “Giải phương trình chứa căn thức bằng máy tính Casio” .

em qu

Giải pháp thực hiện trong đề tài này là giải pháp thay thế hoàn toàn mới chưa từng áp dụng trong đơn vị trước khi tôi thực hiện và có hiệu quả và bản thân tôi không biết đã có đơn vị nào sử dụng chưa.

ay k

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

rd er

-P

D

F

eb o

ok

:d

1. Kiến thức cần thiết 1.1. Sử dụng phím calc để lưu biểu thức 1.2. Sử dụng phím shift solve để dò tìm nghiệm 1.3. Sử dụng mode 7 (table) , shift solve để xét giá trị hàm số, dò tìm nghiệm 1.4. Sử dụng phím shift sto để lưu giá trị vào các biến 1.5. Phép chia biểu thức chứa các căn thức bậc 2 cho biểu thức chứa căn thức tương ứng Ví dụ 1: Thực hiện phép chia P( x) =

7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1

Em ai

lO

2x +1 −1 Ta sử dụng máy xác định k , a, b sao cho

7 x + 4 − (3x + 4) 2 x + 1 = k 2 x + 1 + ax + b 2x + 1 −1

Bước 1: Tìm hệ số k - Chọn x để 2 x + 1 là số vô tỷ, ở đây ta chọn x = 1 khi đó 2 x + 1 = 3 - Nhập biểu thức 7 x + 4 − (3x + 4) 2 x + 1 2x +1 −1

- Xác định k =

2 3 3

= 2 (là tỷ số của 2 3 trong giá trị −5 + 2 3 với

3 giá trị

ai l.c

2 x + 1 tại x = 1 )

7 x + 4 − (3 x + 4) 2 x + 1

ho nb us in es s@

− 2 2x +1 2x + 1 −1 Calc x = 1000 ta được −3002 = −(3x + 2)

Nên a = −3, b = −2 7 x + 4 − (3x + 4) 2 x + 1 2x +1 −1

= 2 2 x + 1 − 3x − 2

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia P ( x) =

gm

Bước 2: Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức

Vậy P( x) =

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 x −1 + x +1 +1

yn

Để ý x 2 − 1 = x − 1 × x + 1 Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

em qu

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 = m x + 1 + k x − 1 + ax + b x −1 + x +1 +1

:d

ay k

Bước 1: c) Tìm hệ số m - Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và x − 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 2 khi đó x + 1 = 3 và x − 1 = 1 - Nhập biểu thức

eb o

ok

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 x −1 + x + 1 + 1 Calc x = 2 ta được 2 3 → m = 2

lO

rd er

-P

D

F

d) Tìm hệ số k - Chọn x để x − 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 3 khi đó x − 1 = 2 và x + 1 = 2 - Nhập biểu thức

Em ai

om

Calc x = 1 ta được −5 + 2 3

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 − 2 x +1 x −1 + x + 1 + 1 Calc x = 3 ta được −1 + 2 → k = 1

Bước 2: Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức 3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 − 2 x +1 − x −1 x −1 + x +1 + 1 Calc x = 1000 ta được −1 Nên a = 0, b = −1

Vậy P( x) =

3x + x + 1 + 3 x 2 − 1 = 2 x + 1 + x −1 −1 x −1 + x + 1 + 1

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1

ai l.c

P( x) =

om

Ví dụ 3: Thực hiện phép chia

2

2 x +1 − x − 3

= k x 2 + 1 + ax + b

ho nb us in es s@

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1

gm

2 x2 + 1 − x − 3 Ta sử dụng máy xác định k , a, b sao cho

Bước 1: Tìm hệ số k - Chọn x để x 2 + 1 là số vô tỷ, ở đây ta chọn x = 1 khi đó - Nhập biểu thức 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2 x2 + 1 − x − 3 Calc x = 1 ta được −3 + 3 2 → k = 3

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2

yn

Bước 2: Tìm hệ số a, b - Nhập biểu thức

x2 + 1 = 2

− 3 x2 + 1

ay k

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 2

2 x +1 − x − 3

= 3 x 2 + 1 − 3x + 1

:d

Vậy P( x) =

em qu

2 x +1 − x − 3 Calc x = 1000 ta được −2999 = −3000 + 1 = −3 x + 1 Nên a = −3, b = 1

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

ok

2. Phân loại các dạng bài toán 2.1. Loại 1: Phương trình có duy nhất 1 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng cách xác định nhân tử sau: Ta có x = α là nghiệm hữu tỷ mà g (α ) = a 3

g (α ) = a

Nếu trong phương trình có dạng +) + g ( x) → ( g ( x) − a) là biểu thức xác định nhân tử chung +) − g ( x) → ( g ( x) − a g ( x)) là biểu thức xác định nhân tử chung +) + 3 g ( x) → ( 3 g ( x) − a) là biểu thức xác định nhân tử chung +) − 3 g ( x) → ( g ( x) − a 2 3 g ( x)) là biểu thức xác định nhân tử chung Bài 1: Giải phương trình x + 1 − x − 1 − 2 3 x + 3 = 0 Hướng dẫn giải:

- Nhận xét khoảng nghiệm [1; +∞ ) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

3

x+3 = 2

x =5

x =5

→ x −1− 2 x −1 =

→ x + 3− 43 x + 3 =

Ta có lời giải sau: x + 1− x −1 − 2 3 x + 3 = 0

x − 1( x − 1 − 2)

ho nb us in es s@

x −1 = 2

gm

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x=5 nên ta có

ai l.c

om

F ( x) = x + 1 − x − 1 − 2 3 x + 3 start :1 end :10 step :1

3

x + 3( 3 x + 3 − 2)( 3 x + 3 + 2)

⇔ 2x + 2 − 2 x −1 − 4 3 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1 − 2 x − 1) + ( x + 3 − 4 3 x + 3) = 0

⇔ ( x − 1 − 2 x − 1) + ( x + 3 − 4 3 x + 3) = 0

em qu

⇔

x − 1( x − 1 − 2) + 3 x + 3( 3 x + 3 + 2)( 3 x + 3 − 2) = 0 x −5 x −5 + 3 x + 3( 3 x + 3 + 2) =0 x −1 2 3 3 x −1 + 2 ( x + 3) + 2 x + 3 + 4

yn

⇔

⇔ x=5

:d

ay k

    3 3 x −1 x + 3( x + 3 + 2)   ⇔ ( x − 5) + =0 2  x −1 + 2 3  3 x + 3 + 2 x + 3 + 4 ( )   >0  

eb o

ok

Bài 2: Giải bất phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 > ( x + 8) x + 3 Hướng dẫn giải: + Giải bất phương trình ta phân tích nhân tử như bài toán phương trình tương ứng rồi sử dụng phương pháp xét dấu hoặc giải trực tiếp.

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = ( x + 8) x + 3 − 2 x − 14 − 3x + 1 start : −1 end : 9 step :1

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x=1 Để ý

3x + 1 = 2

x =1

→ 3x + 1 − 2 3x + 1 = 3x + 1( 3x + 1 − 2)

(do trước căn là dấu âm)

Để ý

x+3 = 2

x =1

→ 3x + 1 − 2 (do trước căn là dấu dương)

om

Ta có lời giải sau:

ai l.c

2 x + 14 + 3 x + 1 > ( x + 8) x + 3

⇔ 2( x + 8) x + 3 − 2 3 x + 1 − 4 x − 28 < 0

2( x + 8)( x − 1)

3 3x + 1( x − 1)

− 3( x − 1) < 0 x+3 +2 3x + 1 + 2  2( x + 8)  3 3x + 1 ⇔ ( x − 1)  + − 3 < 0 3x + 1 + 2   x+3+2  2( x + 3) − 3 x + 3 + 4 3 3x + 1  ⇔ ( x − 1)  + <0 x+3 +2 3x + 1 + 2   2   3  23 2 x + 3 −    + 8 3 3x + 1  2 2 ⇔ ( x − 1)   + <0   x + 3 + 2 3 x + 1 + 2   >0   1 ⇔ − ≤ x <1 3 +

em qu

yn

ho nb us in es s@

⇔

gm

⇔ 2( x + 8)( x + 3 − 2) + 3 x + 1( 3 x + 1 − 2) − 3 x + 3 < 0

ok

:d

ay k

2.2. Loại 2: Phương trình có 2 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng phương pháp đồng nhất khi biết 2 nghiệm hữu tỷ là x = α , x = β thỏa n g ( x) = ax + b  n g ( x) = aα + b

eb o

Ta giải hệ  n

 g ( x) = aβ + b

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Bài 1: Giải phương trình 3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4 Hướng dẫn giải: 1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = 3 x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 start : −1 end : 9 step :1

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=1 nên ta có 3 x + 1 = ax + b

x =0 x =1

b = 1 ⇒ ⇒ 3x + 1 = x + 1 a = 1

5 x + 4 = ax + b

x =0 x =1

b = 2 ⇒ ⇒ 5x + 4 = x + 2 a =1

om

Ta có lời giải sau:

ai l.c

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4

⇒ 3x 2 − 3x =  3x + 1 − ( x + 1)  +  5 x + 4 − ( x + 2) 

ho nb us in es s@

gm

− x2 + x − x2 + x + 3x + 1 + ( x + 1) 5 x + 4 + ( x + 2)

⇒ 3x 2 − 3x =

    1 1 ⇒ (− x + x)  + + 3 = 0 3x + 1 + ( x + 1) 5 x + 4 + ( x + 2)  

 >0   2

⇒ − x2 + x = 0 ⇒ x = 0, x = 1 (thỏa)

Nhận xét: ta có thể đưa phương trình về phương trình bậc 4 để giải

em qu

yn

Bài 2: Giải phương trình ( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) = 3 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số start : −5 end : 5 step :1

ay k

F ( x) = ( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) − 3

ok

x 2 ( x 2 − 2) = ax + b

 2a + b = 2 a =1 ⇒ ⇒ ⇒ x =−1  − a + b = −1 b = 0 x=2

3

x 2 ( x 2 − 2) = x

eb o

3

:d

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm x=-1 và x=2 nên ta có

Ta có lời giải sau:

F

( x − 1) 2 + 3 x 2 ( x 2 − 2) = 3

D

⇔ ( 3 x 2 ( x 2 − 2) − x ) + x 2 − x − 2 = 0

Em ai

lO

rd er

-P

⇔ 3 x ( 3 x2 − 2 − 3 x ) + x2 − x − 2 = 0   3 2   x ⇔ ( x 2 − x − 2)  + 1 = 0  3 ( x 2 − 2) 2 + 3 x 2 − 2. 3 x + 3 x 2     >0 

⇔ x2 − x − 2 = 0

⇔ x = −1, x = 2

Bài 3: Giải phương trình x + 6 + 3 1 − x 2 − 4 1 − x − 5 x + 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm [ −1;1] do miền xác định của hàm số

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

ai l.c

ho nb us in es s@

gm

AC start : 0 end :1 step : 0.1

om

F ( x) = x + 6 + 3 1 − x 2 − 4 1 − x − 5 x + 1 start : −1 end : 0 step : 0.1

AC start : 0.9 end :1 step : 0.01

Nhận thấy phương trình có nghiệm x = 0, x = 0.96 =

yn

24 25

x =0 x=

24 25

ay k

1 − x = ax + b

x=

 b =1  ⇒ 5 ⇒ 12 x + 1 = 5 x + 12  a = − 12  b =1  ⇒ 5 ⇒ 6 1 − x = −5 x + 6 a = − 6

em qu

x + 1 = ax + b

x =0

→ 2 x +1 + 1− x − 3 = 0

:d

Thực hiện phép chia

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3

ok

P( x) =

eb o

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = m x + 1 + k 1 − x + ax + b 1− x + 2 x +1 − 3

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và 1 − x là số hữu tỷ ở đây ta chọn x =

3 khi đó 4

x +1 =

7 và 2

Nhập biểu thức x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3 3 1 7 Calc x = ta được − + → m =1 4 2 2

Tìm hệ số k

x −1 =

1 2

24 nên ta có 25

3 khi đó 4

ở đây ta chọn x = −

x + 1 là số hữu tỷ 1− x =

7 và 2

x +1 =

1 2

om

Chọn x để 1 − x là số vô tỷ và

ai l.c

Nhập biểu thức

ho nb us in es s@

gm

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 − x +1 1− x + 2 x +1 − 3 7 3 Calc x = − ta được −1 + → k =1 2 4

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 − x +1 − 1− x 1− x + 2 x +1 − 3 1 1 Calc x = ± , ± ,... ta được −1 2 3 Nên a = 0, b = −1

yn

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = x +1 + 1 − x −1 1− x + 2 x +1 − 3

Lời giải bài toán:

em qu

Vậy

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 = 0

(

)(

x +1 + 1− x −1 = 0

:d

⇔

1− x + 2 x +1 − 3 = 0

(

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

(

1− x + 2

2

) =1 x + 1) = 9

x +1 + 1− x

eb o

⇒

⇒

)

1− x + 2 x +1 − 3 = 0

ay k

x +1 + 1− x −1

ok

⇔

2

2 1 − x 2 = −1 4 1 − x 2 = 4 − 3x

⇒ 25 x 2 − 24 x = 0 24 thỏa ⇒ x = 0, x = 25

2.3. Loại 3: Phương trình có 3 nghiệm hữu tỷ Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng cách xác định nhân tử sau: Ta có x = x1 , x = x2 , x = x3 là nghiệm hữu tỷ mà Nếu trong phương trình có dạng

f ( x1 ) = 0

f ( x)

g ( x) →

n

f ( x1 ) = 0, f ( x2 ) = 0

n

g ( x3 ) = a

( (

3

) ( g ( x) − a ) ∨ ( g ( x ) − a

) là biểu thức xác g ( x) )

g ( x) − a ∨ g ( x ) − a g ( x) 23

ai l.c

+)

x2 là biểu thức xác định nhân tử chung x3

x = x1

g ( x ) → g ( x ) = ax + bx + c x = x2 là biểu thức xác định nhân tử n

2

ho nb us in es s@

+)

x = x3

chung

Bài 1: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

em qu

yn

F ( x) = 2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1 start : −1 end : 8 step :1

Nhận thấy phương trình có 3 nghiệm x = 0, x = 1, x = 2 Để ý x 7 x + 2 có thừa số x x =1

 3= a+b a =1 → → → 7 x + 2 − ( x + 2) x = 2 4 = 2a + b b = 2

ay k

→ 7 x + 2 = ax + b

:d

Để ý ( x −1) 4x + 1 có thừa số (x -1) x=0

 1= b a = 1 → → → 4 x + 1 − ( x + 1) x = 2 3 = 2a + b b = 1

ok

→ 4 x + 1 = ax + b

eb o

Ta có lời giải sau:

2 x 2 + 2 x − 1 = x 7 x + 2 + ( x − 1) 4 x + 1

F

⇔ x ( x + 2 − 7 x + 2 ) + ( x − 1)( x + 1 − 4 x + 1) = 0

x ( x 2 − 3 x + 2) ( x − 1)( x 2 − 2 x ) + =0 x + 2 + 7x + 2 x +1+ 4x +1

D -P

⇔

    1 1   ⇔ x( x − 1)( x − 2)  + =0 x + 2 + 7 x + 2 x + 1 + 4 x + 1

  1   > 0,∀x ≥− 4

rd er lO

Em ai

gm

định nhân tử chung n

⇔ x( x − 1)( x − 2) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2

2.4. Loại 4: Phương trình có nghiệm vô tỷ

om

f ( x) n g ( x) → n g ( x) = ax + b +)

ho nb us in es s@

gm

Bài 1: Giải phương trình (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm (0;1) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số F ( x) = (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 start : 0 end :1 step : 0.1

Nhận thấy trong khoảng (0.7;0.8) có 1 nghiệm duy nhất - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

yn

(2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0 Cho x = 0.7 ta có nghiệm x = 0.723... lưu A

em qu

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

:d

ay k

F ( X ) = A − A2 + AX start : −4 end : 4 step : 0.5 Kiểm tra thấy X = −2, F ( X ) = −1 là 2 giá trị hữu tỷ

ok

Ta có biểu thức liên hợp căn thức là:

x − x 2 − 2 x + 1 . Nên

eb o

(2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1) x − x 2 = 0

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

⇒ (2 x 2 − 2 x + 1)(2 x − 1) + (8 x 2 − 8 x + 1)( x − x 2 − 2 x + 1 + 2 x − 1) = 0 ⇒ (2 x − 1)(10 x 2 − 10 x + 2) + (8 x 2 − 8 x + 1)( x − x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ 20 x3 − 30 x 2 + 4 x − 2 + (8 x 2 − 8 x + 1)

⇒ (5 x 2 − 5 x + 1)(4 x − 2 − ⇒ (5 x 2 − 5 x + 1)

−(5 x 2 − 5 x + 1)

8x 2 − 8x + 1

)=0 x − x2 + 2 x −1

(4 x − 2) x − x 2 + 1 x − x2 + 2x −1

=0

+ Giải phương trình 5 x 2 − 5 x + 1 = 0 nghiệm x =

+ Giải phương trình (4 x − 2) x − x 2 + 1 = 0

Cách 1:

x − x2 + 2 x −1

5+ 5 thỏa 10

=0

om

α g ( x) + ax + b

ai l.c

Phương pháp: - Ta có thể đưa về phương trình đa thức để phân tích nhân tử hoặc tìm nhân tử thực hiện phép chia căn thức - Hoặc sử dụng mode 7 (table), các nút shift solve để xác định nhân tử

(4 x − 2) x − x 2 + 1 = 0

om

⇒ 16 x 4 − 32 x 3 + 20 x 2 − 4 x + 1 = 0

−8 x 2 + 8 x − 1 x − x2

ho nb us in es s@

f '( x ) =

f '( x) = 0 ⇔ −8 x 2 + 8 x − 1 = 0 ⇔ x = f (0) = f (1) = 1, f (

⇒

gm

Cách 2: Xét hàm số f ( x) = (4 x − 2) x − x 2 + 1 Mxđ D = [ 0;1]

ai l.c

⇒ 16( x 2 − x) 2 + (2 x − 1) 2 = 0 (vn)

2± 2 4

2− 2 3 2+ 2 1 )= , f( )= 4 2 4 2

1 3 ≤ f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ 0;1] 2 2

:d

ay k

em qu

yn

Nên phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình 12 x + 2 x − 1 = 3 x + 9 Hướng dẫn giải: - Dò tìm được 2 nghiệm là x=1 và x=14.965…là nghiệm vô tỷ, nghiệm này ta tìm 1 phương trình bậc 2 hoặc x = ax + b, x − 1 = ax + b hết sức phức tạp khó thực hiện do hệ số rất lớn nếu ta sử dụng mode 7 (table) nên ta chuyển về phương trình bậc 4 có nghiệm hữu tỷ để giải.

Ta có:

ok

12 x + 2 x − 1 = 3 x + 9

eb o

⇒ 144 x + 4( x − 1) + 48 x 2 − x = 9 x 2 + 54 x + 81

-P

D

F

⇒ 48 x 2 − x = 9 x 2 − 94 x + 85 ⇒ 2304( x 2 − x) = 81x 4 + 8836 x 2 + 7225 − 1692 x 3 + 1530 x 2 − 15980 x ⇒ 81x 4 − 1692 x 3 + 8062 x 2 − 13676 x + 7225 = 0 ⇒ ( x − 1)(9 x − 25)(9 x 2 − 154 x + 289) = 0

Em ai

lO

rd er

77 + 16 13 thỏa 9 Bài 3: Giải phương trình x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2

⇒ x = 1, x =

Hướng dẫn giải: 1 - Nhận xét khoảng nghiệm  − ; +∞  do miền xác định của hàm số

 3



- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

ai l.c

om

F ( x) = x 2 + 4 x + 3 − ( x + 1) 8 x + 5 − 6 x + 2 start : −1 end : 9 step :1

x2 + 4 x + 3 − ( x + 1) 8x + 5 − 6 x + 2 = 0

F ( X ) = 8 A + 5 + AX G ( X ) = 6 A + 2 + AX start : −4 end : 4 step : 0.5

ho nb us in es s@

Cho x = 4 ta có nghiệm x = 4.236067977... lưu A - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

gm

Nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất trong khoảng (4;5) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

Kiểm tra thấy X = −1, F ( X ) = 2, G( X ) = 1 là 2 giá trị cần xác định Ta có biểu thức liên hợp các căn thức trong bài toán là:

)(

8x + 5 − x − 2 ,

)

6x + 2 − x −1

yn

(

em qu

Lưu ý: Ta còn có một cách dựa đoán biểu thức liên hợp các căn thức trong bài toán như sau: A = 4.236067977... → 8 A + 5 = 6.236067977..., 6 A + 2 = 5.236067977...

ay k

→ 8 A + 5 = A + 2, 6 A + 2 = A + 1

Ta có lời giải sau:

:d

x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2

ok

⇒ ( x + 1)( x + 2 − 8 x + 5 ) + ( x + 1 − 6 x + 2 ) = 0

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

    x +1 1   2 ⇒ ( x − 4 x − 1)  + =0 + 2 + 8 + 5 + 1 + 6 + 2 x x x x

  1   > 0,∀x ≥− 3   ⇒ x = 2+ 5∨ x = 2− 5 Kiểm tra lại chỉ có nghiệm x = 2 + 5 thỏa

Bài 4: Giải phương trình 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x 2 − 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Nhận xét khoảng nghiệm [ −1; +∞ ) do miền xác định của hàm số - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

F ( x) = 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x 2 − 1

om

start :1 end :10

ai l.c

step :1 AC

gm

start :11 end : 20

ho nb us in es s@

step :1

Nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất trong khoảng (3;4) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 0 Cho x = 4 ta có nghiệm x = 3.398111694... lưu A

Tìm nhân tử ta có cách sau:

Cách 1: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số F ( X ) = 2 A + 1 + AX

em qu

start : −4

yn

G ( X ) = 2 A − 1 + AX end : 5 step : 0.5

3 2

ay k

Ta có: 2 x + 1 − 3 x = −6, 2 x − 1 − x = −2 ⇒ ( x + 1 − 2 x − 1 + 1) là nhân

eb o

ok

:d

tử chung Cách 2: Phương pháp đổi dấu trước căn Tìm nghiệm liên hợp với A qua phương trình đổi dấu trước căn sau: 7 x + 2 − 6 x + 1 + 8 x − 1 − 8(−1)(−1) x 2 − 1 = 0 có nghiệm x = 1.046332751... lưu B

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Ta có: A + B = → A=

40 40 , AB = ,A> B 9 9

A + B + ( A + B) 2 − 4 AB 20 + 4 7 = 2 9

  29 + 4 7 =  x +1 = 9  →   x − 1 = 11 + 4 7 =  9

→

(

)

(2

)

7 +1

2

3

(

7 +2 3

)

=

2 7 +1 3

=

7 +2 3

2

x + 1 − 2 x − 1 + 1 là nhân tử chung

Thực hiện phép chia

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 x +1 − 2 x −1 + 1

om

P( x) =

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

gm

ho nb us in es s@

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và x − 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 2 khi đó x + 1 = 3 và x − 1 = 1 Nhập biểu thức

ai l.c

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = m x + 1 + k x + 1 + ax + b x + 1 − 2 x −1 + 1

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 − 1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 2 ta được 1 + 3 3 → m = 3

em qu

yn

Tìm hệ số k Chọn x để x − 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ ở đây ta chọn x = 3 khi đó x − 1 = 2 và x + 1 = 2 Nhập biểu thức

ay k

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 − 3 x +1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 3 ta được 3 − 2 2 → k = −2

ok

:d

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x − 1 − 8 x2 − 1 − 3 x + 1 + 2 x −1 x + 1 − 2 x −1 + 1 Calc x = 1000 ta được 3 Nên a = 0, b = 3

Vậy

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 3 x +1 − 2 x −1 + 3 x +1 − 2 x −1 +1

Lời giải bài toán: 7 x + 2 + 6 x + 1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 = 0 ⇔

(

  2 x − 1 + 3  = 0 x + 1 − 2 x − 1 + 1  3 x + 1 −   >0  

)

⇔ x +1 +1 = 2 x −1

⇔ 2 x + 1 = 3x + 6, x ≥ 1 ⇔ 9 x 2 − 40 x + 32 = 0, x ≥ 2

20 + 4 7 9

ho nb us in es s@

9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0 Cho x = −1 ta có nghiệm x = −0.632... lưu A Cho x = 2 ta có nghiệm x = 2.632... lưu B 5 Ta có: A + B = 2, AB = − , A < B 3

gm

ai l.c

Bài 5: Giải phương trình 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0 Hướng dẫn giải: - Dùng mode 7 (table) kiểm tra các khoảng nghiệm Nhận thấy phương trình có nghiệm trong 2 khoảng (-1;0) và (2;3) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

om

⇔ x=

Cách 1. Đưa về phương trình bậc 4 Cách 2. Xác định nhân tử chung và thực hiện phép chia căn thức Tính giá trị x 2 + 1 tại A, B A2 + 1 = 1.183... lưu C, B2 + 1 = 2.816... lưu D 10 ,C < D 3

yn

Ta có: C + D = 4, CD =

em qu

Khi đó: A là nghiệm lớn của phương trình

3+ 2 6 3A − 3 → 6= 3 2

ay k

3x 2 − 6 x − 5 = 0 → A =

C là nghiệm lớn của phương trình

ok

Nên

:d

3 x 2 − 12 x + 10 = 0 → C =

eb o

A2 + 1 =

6+ 6 A+3 = 3 2

A+3 → 2 x 2 + 1 − x − 3 là nhân tử chung 2

(

)

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

Sử dụng phép chia căn thức ta được 9 x 2 + 8 x + 3 − (9 x + 7) x 2 + 1 = 0

⇔ (2 x 2 + 1 − x − 3)(3 1 − 3x + x 2 + 1) = 0 >0 2

⇔ 2 x +1 = x + 3 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 5 = 0, x ≥ −3 ⇔x=

3± 2 6 3

Bài 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 = 0 (1) Hướng dẫn giải: Cách 1: - Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số

F ( x) = 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

om

start : −1 end : 9

ai l.c

step :1 AC

gm

start :10 step :1

ho nb us in es s@

end : 20

Nhận thấy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng (-1;0), (5;6) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 = 0 Cho x = −1 ta có nghiệm x = −0.541381265... lưu A Cho x = 5 ta có nghiệm x = 5.541381265... lưu B

Tìm nhân tử ta có cách sau:

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung

ay k

→

em qu

F ( X ) = A2 − A + 1 + X A + 1 start : −4 end : 5 step : 0.5

yn

Cách 1.1: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số

Cách 1.2: Tính giá trị các căn

:d

A2 − A + 1 = 1.354427901..., B 2 − B + 1 = 5.11522483...

ok

A + 1 = 0.6772139506..., B + 1 = 2.557612415...

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

2 A + 1 = 1.354427901... = A2 − A + 1 →  2 B + 1 = 5.11522483... = B 2 − B + 1

→

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung

Cách 1.3: Ta có: A + B = 5, AB = −3, A < B → A=

5 − 37 5 + 37 , B= 2 2

 7 − 37 7 + 37  , B +1 = A +1 = → 2 2  2 2  A − A + 1 = 14 − 2 37 , B − B + 1 = 14 + 2 37  A2 − A + 1 = 2 A + 1 →  B 2 − B + 1 = 2 B + 1

→

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 là nhân tử chung 2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 x2 − x + 1 − 2 x + 1

ai l.c

P ( x) =

om

Thực hiện phép chia căn thức

2

x − x +1 − 2 x +1

= m x 2 − x + 1 + k x + 1 + ax + b

Bước 1: Tìm hệ số m Chọn x để

ho nb us in es s@

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

gm

Ta sử dụng máy xác định m, k , a, b sao cho

x 2 − x + 1 là số vô tỷ và x + 1 là số hữu tỷ

ở đây ta chọn x = 3 khi đó x 2 − x + 1 = 7 và Nhập biểu thức

x +1 = 2

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1

yn

x2 − x + 1 − 2 x + 1 Calc x = 3 ta được −1 + 2 7 → m = 2

em qu

Tìm hệ số k

Chọn x để x + 1 là số vô tỷ và

x + 1 = 2 và

ay k

ở đây ta chọn x = 1 khi đó Nhập biểu thức

x 2 − x + 1 là số hữu tỷ

:d

2 x2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 2

− 2 x2 − x + 1

ok

x − x +1 − 2 x +1 Calc x = 1 ta được 3 − 2 → k = −1

x2 − x +1 = 1

eb o

Bước 2: Tìm hệ số a, b Nhập biểu thức

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

2 x 2 + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x3 + 1 2

x − x +1 − 2 x +1 Calc x = 1000 ta được 1 Nên a = 0, b = 1

− 2 x2 − x +1 + x +1

2 2 3 Ta có: 2 x + 4 + x 2 − x + 1 − 2 x + 1 − 5 x + 1 = 2 x 2 − x + 1 − x + 1 + 1

x − x +1 − 2 x +1

Vậy (1) ⇔

(

)(

)

x2 − x + 1 − 2 x + 1 2 x2 − x + 1 − x + 1 + 1 = 0

 x2 − x + 1 = 2 x + 1 ⇔  2 x 2 − x + 1 = x + 1 − 1

(thỏa)

ho nb us in es s@

Cách 2: Đặt a = x 2 − x + 1 ≥ 0, b = x + 1 ≥ 0 → a 2 + b2 = x 2 + 2 Nên (1) trở thành: 2a 2 + (1 − 5b)a + 2b 2 − 2b = 0

ai l.c

5 ± 37 2

gm

⇒x=

om

 x2 − 5x − 3 = 0  2 ⇒ 5  39  2  −2 x + 1 = 4 x − 5 x + 4 =  2 x − 4  + 19 > 0 (VN ) 

⇔ ( a − 2b)(2a − b + 1) = 0

⇔ (1 − b)(a − 1)(a + b + 2) = 0 ⇔ a = 1∨ b = 1

Vậy (4) ⇔

)(

(

)

x 2 − x + 1 − 2 x + 1 2 x 2 − x + 1 − x + 1 + 1 = 0 ta đã giải ở cách 1

(x

(1) ⇔

2

em qu

yn

Bài 7: Giải bất phương trình x 2 + x + x − 2 ≥ 3( x 2 − 2 x − 2) (1) Hướng dẫn giải: Điều kiện xác dịnh: x ≥ 1 + 3 Với điều kiện trên ta có: + x ) ( x − 2) − x2 + 4x + 2 ≥ 0

- Dùng mode 7 (table) Nhập hàm số 2

:d

start :1 + 3 end : 9

+ x ) ( x − 2) − x2 + 4 x + 2

ay k

(x

F ( x) =

ok

step : 0.5

eb o

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm trong khoảng (6.2;6.7) - Dùng phím shift solve sau khi nhập phương trình

-P

D

F

(x

+ x ) ( x − 2) − x2 + 4x + 2 = 0

Cho x = 6.2 ta có nghiệm x = 6.605551275... lưu A Tìm nhân tử ta có cách sau: Dùng mode 7 (table) nhập hàm số

rd er

F ( X ) = A2 + XA start : −9 end : 9 step :1

lO

Em ai

2

→ ( x 2 − 6 x − 4 ) là nhân tử chung

Nên (1) ⇔ ⇔

(x

2

+ x ) ( x − 2 ) − 2 ( x + 1) − ( x 2 − 6 x − 4 ) ≥ 0, x ≥ 1 + 3

x 3 − 5 x 2 − 10 x − 4

(x

2

+ x ) ( x − 2 ) + 2 ( x + 1)

− ( x 2 − 6 x − 4 ) ≥ 0, x ≥ 1 + 3

ai l.c

om

    x +1 2  ⇔ ( x − 6x − 4) − 1 ≥ 0, x ≥ 1 + 3   2 2 ) + 2 ( x + 1)  ( x + x ) ( x −    <0   ⇔ x 2 − 6 x − 4 ≤ 0, x ≥ 1 + 3

Bài tập tự luyện Bài 1. Thực hiện phép chia sau

7. P( x) = 8. P( x) =

3 x 2 − 3 x + 2 + ( x 2 + x − 2) x + 1 x x +1 + 2x − 2 2

4 x + 9 x + 8 − (5 x + 8) x 2 + x + 1 x2 + x + 1 −1

3x 2 − x − 8 + (3x − 4) x 2 − 1 2 x2 −1 + x + 2

yn

6. P ( x) =

ho nb us in es s@

gm

⇔ 1 + 3 ≤ x ≤ 3 + 13

7 x + 2 + 6 x +1 − 8 x −1 − 8 x2 −1 x +1 − 2 x −1 + 1

10. P( x) =

x + 6 − 5 x + 1 − 4 1 − x + 3 1 − x2 1− x + 2 x +1 − 3

em qu

9. P( x) =

ay k

Bài 2.Giải các phương trình và bất phương trình sau

:d

1. 6 x − 8 − (3x − 1) x 2 − x − 1 = 0

ok

2. 5 x 2 − 4 x − 2 − 2(2 x − 1) 2 x 2 − 3 = 0

eb o

3. 4 x 2 + 9 x + 8 − (5 x + 8) x 2 + x + 1 = 0 4. 4 x 2 + 5 x + 1 − (5 x + 7) x 2 − 1 = 0

F

5. 3 x 2 − x − 8 + (3x − 4) x 2 − 1 < 0

-P

D

6. 3x 2 + 3x + 4 − (3x + 4) x 2 + 1 = 0

rd er

7. 7 x 2 + 6 x + 3 − (5 x + 3) x 2 − x + 1 = 0

Em ai

lO

8. 7 x 2 + 10 x + 5 − (5 x + 4) x 2 + 1 ≥ 0

9. 4 x 2 + 4 x + 12 − ( x + 13) x 2 + 1 = 0

10. 2 x + 4 + x + 3 − 4 3 x + 7 = 0 IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, giúp các em học sinh tham gia tốt các kỳ thi máy tính cầm tay, toán internet và các kỳ thi vào Cao đẳng và Đại học do đó các em học sinh hứng thú, tích cực, tự giác trong học tập hơn.

ho nb us in es s@

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

gm

om

ai l.c

- Trong những năm qua, trường PTDT nội trú tỉnh về mặt bằng tuyển sinh đầu vào chất lượng thấp, đại đa số các em là đồng bào dân tộc không có điều kiện học tập tốt như các em học sinh ở các trường THPT khác, nhưng trong những năm qua bản thân được giao nhiệm vụ giảng dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi các kỳ thi các em đã đạt nhiều kết quả cao như đạt giải nhì kỳ thi toán internet cấp tỉnh, huy chương đồng toán internet cấp Quốc gia và nhiều giải khác trong các kỳ thi toán máy tính cầm tay....

Có thể đưa vào chương trình học với chuyên đề vận dụng máy tính cầm tay trong việc giải toán trong các trường THPT. VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

3. Nguyễn Thế Thạch và Nguyễn Trường Chấng (Dịch và Biên soạn kèm theo máy). Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570 ES

yn

4. Các đề thi Đại học-Cao đẳng, đề thi máy tính cầm tay...

em qu

VII. PHỤ LỤC

Em ai

lO

rd er

-P

D

F

eb o

ok

:d

ay k

Không

NGƯỜI THỰC HIỆN

ai l.c

Năm học: .....................................

gm

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ nhất

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Họ và tên giám khảo 1: ............................................................ Chức vụ: ........................................ Đơn vị: ..............................................................................................................................................

yn

Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................

em qu

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1. Tính mới

ay k

...........................................................................................................................................................

Điểm: …………./6,0.

ok

:d

...........................................................................................................................................................

2. Hiệu quả

eb o

...........................................................................................................................................................

F

........................................................................................................................................................... Điểm: …………./8,0.

-P

D

3. Khả năng áp dụng

rd er

...........................................................................................................................................................

lO

...........................................................................................................................................................

Em ai

om

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Điểm: …………./6,0.

Nhận xét khác (nếu có): ...................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................

GIÁM KHẢO 1

ai l.c

Năm học: .....................................

gm

Phiếu đánh giá của giám khảo thứ hai

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Họ và tên giám khảo 2: ............................................................ Chức vụ: ........................................ Đơn vị: ..............................................................................................................................................

yn

Số điện thoại của giám khảo: ............................................................................................................

em qu

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: 1. Tính mới

ay k

...........................................................................................................................................................

Điểm: …………./6,0.

ok

:d

...........................................................................................................................................................

2. Hiệu quả

eb o

...........................................................................................................................................................

F

........................................................................................................................................................... Điểm: …………./8,0.

-P

D

3. Khả năng áp dụng

rd er

...........................................................................................................................................................

lO

...........................................................................................................................................................

Em ai

om

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Điểm: …………./6,0.

Nhận xét khác (nếu có): ...................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................

GIÁM KHẢO 2

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

gm

Năm học: .....................................

ho nb us in es s@

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: .............................................................................................................. ...........................................................................................................................................................

Họ và tên tác giả: ................................................................ Chức vụ: ............................................. Đơn vị: ..............................................................................................................................................

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................

- Phương pháp giáo dục

- Lĩnh vực khác: ........................................................

yn

- Quản lý giáo dục

em qu

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị

Trong Ngành

-P

D

F

eb o

ok

:d

ay k

4. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây) - Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

5. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây) - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

6. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Em ai

lO

rd er

Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT

Trong ngành

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành Xếp loại chung: Xuất sắc

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

Khá

Đạt

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

om

ai l.c

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– ................................, ngày tháng năm

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị .....................................

–––––––––––

Không xếp loại THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

rd er

lO

Em ai D

-P F eb o :d

ok em qu

ay k yn

ho nb us in es s@

gm

ai l.c

om