Portafolio calculo by ALBERTO GONZALEZ 3B

INTRODUCCION

Conforme a los temas que hemos visto a través del curso en este cuarto parcial aprendimos una forma de derivada la cual se debe de igualar a cero para asi poder implementar la formula con la que podemos resolverla. Gracias a la máxima y la mínima podremos graficar estos resultados para así poder tener una forma visual de poder observar los efectos que estos resultados contraen

INDICE MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA

MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - , a + ) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - , a + ). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b , b + ) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b , b + ). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.

A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.

CONSECUENCIAS

1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0. No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.

Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).

Máximos y mínimos Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos locales Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0 Mínimos locales Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Estudiar los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2 Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

MÁXIMO ABSOLUTO Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b=0

Máximo y mínimo relativo Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08

b = -3.08

Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una función EJEMPLO 1 f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4)

Mínimo (1, 0)

EJEMPLO 2 Hallar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

EJEMPLO 3

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0

Mínimo

f"(1) = − 6 < 0

Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

EJEMPLO 4

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2) 4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 0 4 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2

− 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)

Mínimo(0, 3)

EJEMPLO 5 Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2 Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos

Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA CURVA.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de

Tipo intuitivo. Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.

Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava) Teorema es

convexa

cóncava

posible punto de inflexión en cuando

[Será punto de inflexión

]

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad

1) Calculamos

2) Resolvemos la ecuación 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

4) Estudiamos el signo de ello tomamos un punto negativo.

en cada uno de los intervalos anteriores. Para

del intervalo y comprobamos si

es positivo o

Si es positivo, la función es convexa en ese intervalo Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo Calcular puntos de inflexión

Las soluciones de la ecuación son los candidatos a puntos de inflexión. A cada candidato "c" le aplicamos la 3ª derivada: Si

es punto de inflexión

no podemos asegurar nada.

EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXION:

Punto de inflexión(0, 0) 4.

f(x) = x 3 − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 . Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión. f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión (2) CONCAVIDAD

BIBLIOGRAFIAS

MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN (LOCAL Y ABSOLUTO) http://www.sectormatematica.cl/contenidos/maxymin.htm http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN www.dervor.com/derivadas/maximos mimimos

www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos

PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion

http://matematicasies.com/Curvatura-concavidad-y-convexidad

EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf

CONCLUSION

En base a las derivadas podemos resolver tanto el máximo y mínimo de una función con la cual podemos graficar para así comprobar de qué manera es que esta se presenta de una forma más fácil, al igual que los puntos de concavidad que son los que nos ayudan de igual manera a graficar en los planos cartesianos los problemas de derivadas que se nos presentan.