INDICE PRIMER PARCIAL
EVALUCION
DE FUNCIONES RELACION Y FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES GUIA DE EXAMEN PRIMER PARCIAL
VECTORES
INDICE SEGUNDO PARCIAL FUNCION
POR PARTES CASO DE LIMITES APLICACIÓN DE LA DEFINICION DE LIMITES DE UNA FUNCION Y SUS PROPIEDADES LIMITE EN EL INFINITO GUIA DE EXAMEN SEGUNDO PARCIAL
INDICE TERCER PARCIAL LIMITE
DE FUNCIONES EXPONENCIALES RAZON DE CAMBIO PROMEDIO FORMULARIO RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO DERIVADA DE FUNCIONES
INDICE CUARTO PARCIAL DERIVADA
DE ORDEN SUPERIOR TRABAJO ESPECIAL
INTRODUCCION Conforme a los temas que hemos visto a través del curso en este cuarto parcial aprendimos una forma de derivada la cual se debe de igualar a cero para asi poder implementar la formula con la que podemos resolverla. Gracias a la máxima y la mínima podremos graficar estos resultados para así poder tener una forma visual de poder observar los efectos que estos resultados contraen
INDICE MAXIMOS
Y MINIMOS DE UNA
FUNCIÓN EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - , a + ) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - , a + ). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b , b + ) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b , b + ). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.
A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.
Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.
CONSECUENCIAS
1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0. No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.
Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da.
Máximos y mínimos Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0 Mínimos locales Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0
CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Estudiar los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2 Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
MÁXIMO ABSOLUTO Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
b=0
Máximo y mínimo relativo Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
a = 3.08
b = -3.08
Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una función EJEMPLO 1 f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4)
Mínimo (1, 0)
EJEMPLO 2 Hallar los máximos y mínimos de:
Tenemos un mínimo en x = 3
Mínimo(3, 27/4)
En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.
EJEMPLO 3
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f"( − 1) = 6 > 0
Mínimo
f"(1) = − 6 < 0
Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)
EJEMPLO 4
Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.
f(−2) = (−2) 4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 0 4 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2
4
− 8 · 2² + 3 = − 13
Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)
Mínimo(0, 3)
EJEMPLO 5 Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2 Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos
Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA CURVA.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de Tipo intuitivo. Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.
Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava) Teorema es
convexa
en
es
cóncava
en
posible punto de inflexión en cuando
[Será punto de inflexión
]
Calcular los intervalos de concavidad y convexidad
1) Calculamos
y
2) Resolvemos la ecuación 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.
4) Estudiamos el signo de ello tomamos un punto negativo.
en cada uno de los intervalos anteriores. Para
del intervalo y comprobamos si
Si es positivo, la función es convexa en ese intervalo Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo
es positivo o
Calcular puntos de inflexión
Las soluciones de la ecuación son los candidatos a puntos de inflexión. A cada candidato "c" le aplicamos la 3ª derivada: Si
es punto de inflexión
Si
no podemos asegurar nada.
EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXION:
1.
2.
1.
Punto de inflexión(0, 0) 2.
f(x) = x 3 − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 . Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión. f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexi贸n (2) CONCAVIDAD
1.
2.
1.
2.
BIBLIOGRAFIAS
MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN (LOCAL Y ABSOLUTO) http://www.sectormatematica.cl/contenidos/maxymin.htm http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html
PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html http://matematicasies.com/Curvatura-concavidad-y-convexidad
EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf
CONCLUSION
En base a las derivadas podemos resolver tanto el máximo y mínimo de una función con la cual podemos graficar para así comprobar de qué manera es que esta se presenta de una forma más fácil, al igual que los puntos de concavidad que son los que nos ayudan de igual manera a graficar en los planos cartesianos los problemas de derivadas que se nos presentan.
INDICE PRIMER PARCIAL PROGRAMA
EN C++
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROCAMERICANO A.C
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
LIC. MAT. OFELIA IZQUIERDO VALLADARES
INTEGRANTES:
CATANA PONCE ABRAHAM FLORES CHEVALIER KARLA LORENA CHONG ARELLANO CARLO ADRIAN CORONEL CARRILLO IVAN DANIEL GONZALEZ MARTINEZ JOSE ALBERTO
3º “B” INGENIERIAS
PROYECTO INTEGRADOR
ALGORITMO
Este algoritmo esta diseñado en el en programa C++ para desarrollar el tema de derivada de orden superior que consiste en hayllar la derivada n-esima de una función f(x) dada. En nuestro programa se puede obtener la tercera derivada de cualquier función es decir: 𝑓(𝑥)𝐼𝐼𝐼 . #include <stdio.h> #include <math.h> #include <conio.h> #include<windows.h> int main(void) { int i,ter; char func; printf("
Programa de triple derivada");
printf("\n\n escriba el numero de terminos:"); scanf("%d",&ter); int base[ter], expon[ter];
//captura de bases y exponentes de cada termino for (i=1; i<= ter ; i++) { printf("\n Escriba la base del termino %d:", i); scanf("%2i",&base[i]); printf("\n Escriba el exponente del termino %d:", i); scanf("%2i",&expon[i]);
} int nbase[ter],nexpon[ter],x; //derivacion for (x=1;x<=3;x++) { for (i=1;i<=ter;i++) { nbase[i]=base[i]*expon[i]; nexpon[i]=expon[i]-1; if (nexpon[i]<0) { nexpon[i]=0; } base[i]=nbase[i]; expon[i]=nexpon[i]; } } //escritura del resultado printf("\n\n Resultado = "); for(i=1;i<=ter;i++) { if (nexpon [i] == 0) { if (nbase[i]>=0) printf("+") ; printf("%d",nbase[i]); }
else { if (nbase[i]>0) printf("+") ; printf("%dx^%d",nbase[i], nexpon[i]) ; } } printf("\n\n Presione cualqier tecla para salir") ; getch(); }
IMPORTANCIA DE LOS ALGORITMOS Un algoritmo es un conjunto de pasos lógicos y estructurales que nos permiten dar solución a un problema. Un problema es resuelto algorítmicamente, si se puede escribir un programa que pueda producir la respuesta correcta de forma que para cualquier posible entrada, el programa puede ser ejecutado el tiempo (finito) suficiente para resolverlo y cuenta además con el espacio requerido para resolverlo. No podemos apartar nuestra vida cotidiana los algoritmos, ya que al realizar cualquier actividad diaria los algoritmos están presentes aunque pasan desapercibidos, por ejemplo : Al levantarnos cada día para hacer nuestras labores hacemos una serie de pasos una y otra vez; eso es aplicar un algoritmo La importancia de un algoritmo radica en desarrollar un razonamiento lógico matemático a través de la comprensión y aplicación de metodologías para la resolución de problemáticas, estas problemáticos bien pueden ser de la propia asignatura o de otras disciplinas como matemáticas, química y física que implican el seguimiento de algoritmos, apoyando así al razonamiento critico deductivo e inductivo. Algunos softwares que trabajan con las revidas:
Math Mechanixs Math Mechanixs es una ayuda a la formación o un programa de hoja de cálculo. Funciona utilizando un editor matemático (en oposición a un editor de texto) que le permite escribir las expresiones matemáticas similares a la forma en que iba a escribir en una hoja de papel. El software utiliza una interfaz de documentos múltiples de modo que usted puede trabajar en soluciones múltiples al mismo tiempo. Hay una función de calculadora científica absoluta combinada con un módulo de imagen integrados y ventana de lista de funciones, para que usted pueda seguir fácilmente las variables y funciones definidas.
Derive Es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que podemos definir como programas para ordenadores personales (PC) que sirven para trabajar con matemáticas usando las notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el número „pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que consideran sólo una aproximación (3'1415...). Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas, integrales, límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener capacidades gráficas (representación de curvas y funciones) y, por supuesto, capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor de las calculadoras.
Maple 8 Es un programa desarrollado desde 1980 por el grupo de Cálculo simbólico de la Universidad de Waterloo, Canadá. Maple 8 es una programa de computación científica con las siguientes características generales:
Realiza cálculos de tipo numérico y algebraicos. Posee capacidad gráfica en 2D y 3D. Cuenta con una gran colección de Funciones Numéricas Es un lenguaje de programación avanzada con una sintaxis similar al FORTRAN, PASCAL o C. Permite realizar documentos técnicos. El usuario puede crear hojas de trabajo interactivas basadas en cálculos matemáticos en las que puede cambiar un dato o una ecuación y actualizar las soluciones inmediatamente. Empleando herramientas como los estilos o los hipervínculos permite traducir y exportar documentos a otros formatos. Permite al usuario definir sus propias funciones y programas.
FUENTES:
http://informatica-101desastre.blogspot.mx/2012/04/importancia-de-losalgoritmos.html http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa1/algoritmos.pdf http://www.mathmechanixs.com/ http://www.upv.es/derive/general.htm
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