Collection dirigée par Françoise Lucas
Ce guide est un outil bien utile pour expliquer les chiffres et les mots qui disent les nombres, et donc pour mieux calculer. Des approches nombreuses et complémentaires de la numération décimale aident l’enseignant à rendre les enfants de 2,5 à 12 ans plus performants en résolution de calculs. L’ouvrage propose : • des activités de construction du sens de l’écriture en chiffres et en mots des nombres ; • des procédures de calcul mental et écrit pour renforcer la maitrise du système décimal ; • du matériel pertinent pour comprendre notre système décimal. Enfin, un CD-Rom reprenant des documents en couleurs, du matériel, des prolongements et des activités supplémentaires accompagne l’ouvrage.
ans
pour mieux calculer
Élucider la numération pour mieux calculer
2,5/12
Élucider la numération
Une collection de livres-outils pour les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d'un même «nœud-matière» et d'un même réseau de compétences.
2,5/12 ans
Élucider
la numération pour mieux calculer Guide méthodologique avec CD-Rom et documents reproductibles Françoise LUCAS Chantal VAN PACHTERBEKE Nathalie VAN DIJK
NUMGP ISBN : 978-2-8041-6428-7
www.deboeck.com
SOMMAIRE
INTRODUCTION 1. 2. 3.
Math & Sens : une nouvelle collection Élucider la numérotation : un guide structuré Le projet
LA MATIÈRE 1. 2. 3. 4. 5.
L’univers des nombres Le nombre naturel Notre numération décimale Le calcul mental et écrit Les autres numérations
LA MÉTHODOLOGIE 1. 2.
Le matériel propice à une compréhension de la numération décimale Des liens entre l’éveil mathématique et l’éveil historique et géographique
ACTIVITÉS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11.
Découvrir les nombres avec les tout petits Organiser le beaucoup, le raconter, l’écrire Exprimer le beaucoup grâce aux échanges Exprimer les nombres grâce au matériel Cuisenaire Élaborer des images mentales grâce aux mains Lier les mots et les chiffres avec le matériel Montessori Découvrir la numération chinoise Découvrir la numération romaine Découvrir des matériels d’autrefois Les hiéroglyphes Égyptiens Les chimpus des Incas Les abaques à cailloux et les bouliers Travailler les nombres et le calcul grâce à ces matériels La virgule
LES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES BIBLIOGRAPHIE
sommaire
5
InTRODuCTIOn
1.
MATH & SEnS : unE nOuVELLE COLLECTIOn
Elle propose une conception et une organisation des apprentissages mathématiques pour les cycles de l’école maternelle et primaire. Son originalité réside dans sa visée « verticale ». Chaque livre de la collection s’attaque de manière articulée :
au développement d’un même réseau de compétences mathématiques tout au long de la scolarité maternelle et primaire ;
à la construction d’un même nœud-matière, ressource à ces compétences, également tout au long de la scolarité maternelle et primaire.
La collection s’inscrit résolument dans une pédagogie du SENS, au triple « sens » du terme.
Fabrication de signification par les enfants en recherche sur des matériaux « interpellants » et « parlants » qui leur donnent véritablement le goût des maths.
Continuité avec retour « cyclique » sur les mêmes compétences et matières dont le développement s’amplifie dans une même direction, clairement perçue par les enfants.
Construction des « pourquoi ? », des « à quoi ça sert ? », c’est-à-dire de l’utilité et de la pertinence des outils que l’enfant élabore, par de fréquentes analyses et prises de recul.
Math & Sens rejoint ainsi l’ambition de l’école actuelle de former des enfants réellement compétents. La reforme en cours depuis quinze ans et plus interpelle les enseignants dans leurs options pédagogiques sur l’apprentissage mais aussi dans leurs conceptions des contenus disciplinaires : il s’agit de passer d’ensembles de savoirs ponctuels, souvent étudiés pour eux-mêmes, à une réorganisation de ceux-ci autour de concepts et théorèmes fondamentaux, ressources au déploiement de compétences. Il s’agit de faire vivre des situations d’apprentissage qui mettent réellement l’enfant en construction, à la fois de ces concepts et théorèmes fondamentaux et des compétences qui en usent. Le concept de compétence dans l’enseignement s’est précisé et stabilisé au cours de ces quinze dernières années. Toutes les définitions se rejoignent aujourd’hui pour faire valoir trois pôles en interaction. Le sujet compétent, ici l’enfant avec son potentiel, est bien celui qui va pouvoir mobiliser, c’est-à-dire aller chercher, et METTRE EN RELATION de façon PERTINENTE certaines ressources pour atteindre le but recherché : des situations-problèmes à résoudre. Parmi ces ressources qui peuvent être de divers ordres (cognitives, matérielles, relationnelles, affectives, psychologiques, motrices...), il y a notamment les matières qui ne seront réellement mobilisables que si LE SENS en a été construit par l’enfant.
introduction
7
Math & Sens propose deux choses.
D’une part, des outils pour les enseignants, comportant, pour l’ensemble du maternel et du primaire, et par matière : un cadre de réflexion théorique éclairant les choix méthodologiques faits et les contenus mathématiques développés, des situations de recherche pour les enfants et des activités d’apprentissage opérationnelles pour plusieurs cycles en continuité, des analyses de réactions et productions d’enfants, des pistes d’évaluation formative, et toute autre indication qui serait utile à l’enseignant.... Pour chaque « nœud-matière » (sauf la résolution de problèmes), et pour concrétiser la verticalité et la continuité des apprentissages, un seul outil enseignant couvre, selon les nécessités propres à la matière, les 3 ou 4 cycles de l’enseignement maternel et primaire. Ce guide méthodologique contient des documents reproductibles par l’enseignant pour les enfants, en fonction des besoins spécifiques. Le répertoire d’activités d’apprentissage proposé ne se veut pas exhaustif. Il cherche à couvrir les aspects les plus essentiels de la construction visée (matière et compétence) ou à donner diverses approches de l’apprentissage visé. Chaque enseignant stimulé par ce répertoire pourra l’amplifier d’idées nouvelles et complémentaires , et créer son propre chemin avec les enfants.
D’autre part, et selon la compétence et la matière visées en apprentissage, des outils à l’usage des élèves, structurés par cycle. Sous forme de cahiers de recherche à partir de situations à résoudre et de matériels à manipuler, qui permettent la construction puis l’organisation (structuration) des savoirs mis en évidence. Ces cahiers, avec dossiers de recherche, sont utilisés par les enfants accompagnés de leur enseignant. Ils leur permettent de vivre et d’organiser leurs apprentissages dans un support structuré et attrayant, et d’être ainsi plus conscients et autonomes. (3 cahiers pour la construction de la multiplication et des tables ainsi que leur utilisation en calcul mental et écrit) (Quelques dossiers de recherche sur CD-Rom). Ou sous forme de documents reproductibles (en version papier ou version CD-Rom) annexés à l’outil méthodologique et fournis par l’enseignant à ses élèves en fonction des besoins. *
Âge théorique Belgique
3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans 10 ans 11ans 12 ans
Ac 1M 2M 3M 1P 2P 3P 4P cycle 1
Suisse
cycle 2
introduction
cycle 2 apprentissages fondamentaux
1M 2M 1P 2P 3P 4P cycle 1
8
cycle 3
cycle 2
cycle 3
M = maternel
P = primaire
EE = école enfantine
cycle 4
MPS MMS MGS CP CE1 CE2 CM1 CM2 cycle 1 apprentissages premiers
Québec
cycle 2
Ac = Accueil
cycle 4
1EE 2EE 1P 2P 3P 4P 5P 6P cycle 1
France
cycle 3
5P 6P
cycle 3 approfondissements
5P 6P cycle 4
PS, MS, GS = petite, moyenne, grande section CP cours préparatoire CE cours élémentaire CM cours moyen
2. ÉLuCIDER LA nuMERATIOn pOuR MIEux CALCuLER1
Ce document commence par un sommaire présentant les grands chapitres abordés : il est délibérément succinct afin de montrer l’organisation générale. Une table des matières complète et détaillée figure en tête de chaque partie. Elle est repérable facilement car elle figure sur un fond gris.
Le chapitre « LES ACTIVITÉS », sans doute celui qui vous intéresse en priorité, est organisé en onze tiroirs d’activités traversant les diverses numérations et recourant à divers ma ériels aidant à la compréhension de notre système décimal. Chaque tiroir d’activités commence par une table des matières mentionnant l’enjeu global d’apprentissage qui y est poursuivi, la liste des activités et la progression d’obstacle en obstacle à travers cette suite d’activités. Titre du tiroir Enjeu d’apprentissage Les activités
Les obstacles
– – – –
– – – –
Nom de l’activité Plan Compétence visée Matière en construction Organisation Matériel Espace Temps Déroulement, consignes
Réflexion méthodologique
Démarche d’enfants
Ces activités sont opérationnelles pour vos classes. Le répertoire des activités est très vaste. Vous disposez ainsi de multiples approches complémentaires de la numération. À vous de faire votre choix dans ces approches et de construire votre propre cheminement avec votre public d’enfants.
Pour les choisir et les articuler au mieux, pour en découvrir toutes les richesses, vous pouvez consulter les chapitres cadrant ce répertoire d’activités. LA MATIÈRE – qui se déplie en cinq volets importants : l’univers des nombres, les nombres naturels, notre numération décimale, le calcul mental et écrit, les autres numérations ; – qui explicite les notions les plus élémentaires mais aussi les plus complexes ; – qui offre beaucoup d’illustrations concrètes, des idées d’activités aussi ; – qui propose en appendice sur le CD-Rom des notions à creuser, des analyses de matériels, des documents à utiliser avec les enfants (images de nombres,…). LA MÉTHODOLOGIE – qui explicite les propriétés des matériels utiles pour construire et comprendre la numération décimale et qui les présente en progression (matériels de plus en plus proches de l’abstraction chiffrée au fil des cycles). – qui développe trois façons de faire le lien entre éveil mathématique et éveil historique et géographique. LE MATÉRIEL REPRODUCTIBLE, sous forme de CD-Rom, fournit des compléments matières, des compléments d’activités et des supports colorés destinés à faciliter le travail de la préparation des activités.
1
L’ouvrage est orthographié selon les règles de la nouvelle orthographe.
introduction
9
Vous le constatez donc, les différents chapitres sont complémentaires. À vous de voir quelle porte d’entrée vous ouvrez : commencer par lire les référents théoriques pour mieux cerner la matière, ou lire les activités pour tenter des essais pratiques, ou faire un va-et-vient entre les deux. Dès lors, installez-vous bien, prenez du papier quadrillé, un crayon, veillez à ce qu’on ne vous dérange pas (trop), et bonne découverte !
3. LE pROJET 3.1. naissance du projet Les nombres sont omniprésents dans notre quotidien et à l’école. Avoir une bonne appréciation de leur valeur, pouvoir les mettre en relation sont des compétences indispensables pour accéder au calcul. Il faut sortir de la perception des nombres comme des ensembles d’unités disloquées et aller vers la perception des nombres comme des totalités qui ont une FORME et qui sont elles-mêmes constituées d’autres totalités. Pour cerner des quantités, des nombres et pouvoir calculer sur ceux-ci, ils doivent être des entités organisées en sous quantités, perçues rapidement, vues dans la tête (images mentales). De tout temps les hommes ont essayé de communiquer les quantités et les nombres le plus efficacement possible. Ils ont inventé des systèmes d’organisation, d’énonciation et de représentation multiples. Notre système décimal est issu de cette longue recherche. S’il est adopté universellement aujourd’hui, il n’en reste pas moins complexe aux yeux de bon nombre d’enfants à l’école. Il est essentiel d’en élucider toutes les arcanes, d’aider à la maîtrise des petits comme des grands nombres, des entiers comme des nombres à virgule par un travail sérieux, approfondi et en continuité intra et inter cycles2. C’est ce que propose cet ouvrage avec de multiples portes d’entrée, de nombreux matériels, la référence à diverses numérations anciennes ou d’autres civilisations d’aujourd’hui, pour mieux comprendre notre décimalité. 3.2. Auteurs et collaborateurs du projet Le travail d’exploration de la numération décimale, des numérations tant sur le plan théorique que pratique est considérable. Les auteurs ont mis quelque sept ans pour aboutir notamment en mettant les activités à l’épreuve de classes d’enfants. Françoise LUCAS : professeur de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles pendant 30 ans, détachée au service pédagogique de la fédération de l’enseignement fondamental dans le réseau libre durant 7 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire, collaboratrice dans la conception et l’élaboration du site pédagogique « la salle des profs », actuellement à nouveau en service comme professeur dans les Hautes Écoles.
2
10
Continuité à l’intérieur d’un cycle et entre les cycles.
introduction
Nathalie VAN DIJK : institutrice maternelle depuis 20 ans et maitre de formation pratique en Haute École en section maternelle depuis 6 ans ; formatrice dans le cadre de la formation continue, auteur d’un mémoire remarquable d’école supérieure de pédagogie : « Quête d’une ombre, quête du nombre ! Projet d’apprentissages en 1re et 2e maternelles », présenté en juin 2005. Chantal VAN PACHTERBEKE : professeur de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles depuis 24 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire. Elle est initiatrice du projet, car en recherche depuis 15 ans sur ce domaine de la numération, assurant notamment de nombreuses lectures relatives à l’histoire de la numération et assurant de nombreuses expérimentations avec des enfants de classes du primaire. Au début et en cours de projet, des collaborations précieuses ont été apportées. Christian LALLEMANT, qui a fait sa carrière d’instituteur à St Berthuin à Malonne. Il a, à de très nombreuses reprises, mené avec ses différentes classes les expérimentations d’un bon nombre d’activités de cet ouvrage, nous renvoyant des critiques judicieuses et constructives. Éric GRIGNARD, enseignant, maitre d’apprentissage à l’école Roi Baudouin de Spa, pratiquant dans toutes les classes et apportant une aide aux enfants en quête de compréhension. Toujours enthousiaste pour expérimenter des séquences et prêt à rebondir sur les trouvailles des enfants qui ouvrent souvent de multiples portes. Le groupe des MATHOPHILES, groupe de professeurs de mathématique et de didactique des mathématiques inter Hautes Écoles. Ce groupe se réunit cinq fois par an pour des échanges de pratiques et de compétences. Ce groupe est un lecteur assidu et critique de nos productions. Pour découvrir au mieux la continuité des apprentissages proposés dans ce livre et en choisir, en combiner, en transformer les richesses, nous vous invitons aussi à travailler en équipe. 3.3. Intérêt de l’outil
Un référent matière solide , rapatriant de façon fouillée et actualisée des notions « faussement » élémentaires comme celles de nombres3, de dénombrement, de schème mais aussi des notions plus complexes comme l’organisation de toutes les sortes de nombres, les fonctionnements des diverses numérations, le sens des procédés de calcul mental ou écrit.
Une réflexion méthodologique mettant en exergue de façon très pratique – les matériels utiles et les liens à faire entre eux pour élucider vraiment la complexité de notre mode d’expression des nombres et – les liens à faire, par cette matière spécifique, avec l’éveil historique et géographique.
Un répertoire d’activités qui propose beaucoup de matériels et d’approches complémentaires pour cheminer lentement mais sûrement vers plus de maîtrise de la décimalité. Il est impossible de tout faire. Chaque enseignant,en fonction de son public et de ses intérêts, peut choisir des approches pour un chemin cohérent avec les enfants. Un tiroir d’activités particulièrement fourni pour le cycle 2,5-5. Il s’agit de répondre à la curiosité naturelle des enfants de ce cycle pour les chiffres et les nombres en se mettant en perspective avec les cycles suivants.
Un matériel reproductible sur CD-Rom, qui serait fastidieux à réaliser sans cela.
3
Nombres de diverses sortes !
introduction
11
LA MATIÈRE
1.
L’unIVERS DES nOMbRES
L’univers des nombres est vaste et complexe. Nous vous proposons ici de regarder les nombres de manière large d’abord pour apprécier cet univers dans sa globalité. Nous nous limiterons ici à quelques explicitations des arcanes de cet univers. (Cf. les appendices matières pour les lecteurs qui veulent en savoir plus). Nous développerons , dans ce point et les suivants, de façon plus détaillée, les différents aspects et la numération des nombres qui nous intéressent principalement : les entiers positifs et les non entiers positifs.
1.1. un unIVERS IMMEnSE ET VARIÉ Lorsque nous évoquons l’idée de nombres, automatiquement, nous les percevons sous leur forme chiffrée. Nous savons qu’ils sont nombreux et de diverses sortes. Certains sont d’usage courant dans la vie quotidienne et d’autres sont davantage présents dans des domaines, des disciplines, des professions spécifiques. La liste suivante illustre cette immensité et cette variété de l’univers des nombres. – 1
3 2
32
– 2,5
1 3
0,4285714…
3 10
0,33…
2– 5
30 %
– 5
5 – 2
√¯2
6 – 3
5348075
0,375
5,1 × 108
π
21 3
0,010020003…
3√¯2¯7
3 8
25
– √¯2¯5
5 – 9
...
– 0,1011011101… 7
1.2. un unIVERS ORGAnISAbLE En REGARDAnT L’ÉCRITuRE CHIffRÉE Si nous essayons de mettre un peu d’ordre dans ce « tout en vrac », en regardant l’allure chiffrée de ces nombres, diverses catégories nous reviennent à l’esprit, suggérées par notre environnement (nombres négatifs comme dans les températures) ou par des souvenirs scolaires (nombres décimaux périodiques, quotient dans certaines divisions). – Les nombres positifs et les nombres négatifs. – Les nombres entiers et les nombres non entiers. – Les nombres à virgule. – Les nombres décimaux. – Les nombres décimaux limités ou illimités, illimités périodiques ou non périodiques. – Les nombres fractions. – Les nombres avec exposant, puissances. – Les nombres avec racines. – Les nombres comme π. – … Les qualificatifs ici donnés aux nombres sont effectivement induits par l’allure de leur écriture chiffrée. Des liens sont à faire entre eux. Cela s’impose lorsque nous essayons de réaliser un classement selon l’ensemble de ces différentes dénominations. Par ailleurs, dans les écritures données ci-dessus, plusieurs évoquent le même nombre, explicitant ainsi les liens à établir. 1 = 0,33… 3
32 = 25
3 = 0,375 8
5 – 2,5 = – 2
3 = 30 % 10
21 =7 3
– 5 = – √¯2¯5
1. L’unive r s de s nombr e s
15
Le double tri, positifs/négatifs, entiers/non entiers, amorce le classement assez facilement sous forme de tableau à deux entrées. Nombres positifs
Nombres négatifs
Nombres entiers Nombres non entiers
Mais les qualificatifs suivants et certains nombres posent question. – Qu’appelle-t-on « nombre décimal » ? Cette appellation, souvent limitée aux nombres à virgule en base dix, estelle adéquate ? Un nombre entier comme 32 n’est-il pas décimal ? – Les fractions semblent liées aux dits « décimaux » limités ou illimités mais périodiques. Pourquoi ? Un non périodique ne peut-il s’écrire sous forme de fraction ? – Ok pour les puissances positives : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, mais que signifie une puissance négative ? – Comment se calculent les nombres racines ? Que valent-ils ? – π est souvent approché par 22 , une fraction, ou par 3,14, un décimal limité. Mais π, c’est quoi comme nombre ? 7 Cf. Appendices matières. – – – – –
A1. Les nombres décimaux ou à virgule. A2. Les fractions et les nombres à virgule. A3. Les puissances. A4. Les racines. A5. Le nombre Pi.
Nous le voyons, nous ne sommes pas au bout de nos peines lorsque nous essayons d’organiser cet univers. Les questions posées appellent des développements parfois complexes.
1.3. un unIVERS ORGAnISAbLE En S’AppuYAnT SuR LE SEnS, LA fOnCTIOn DES nOMbRES 1.3.1. Des ensembles de nombres où de plus en plus d’opérations sont possibles Un autre angle d’attaque pour organiser cet univers de nombres est de s’appuyer sur leur signification, sur leur fonction. C’est à l’école que nous les avons découvertes. La mathématique ensembliste (dite moderne) s’est mêlée de ce domaine selon un cheminement précis, rigoureux dont nous ne développerons pas les détails. Il nous en reste les dénominations suivantes. – – – – –
16
Les nombres naturels (N). Les nombres relatifs (Z). Les nombres rationnels (Q). Les nombres irrationnels (I). Les nombres réels (R).
L a ma t iÈ r e
LA MÉTHODOLOGIE
Activité 2.2. Organisons le « beaucoup » pour pouvoir le raconter. Activité 2.4. Cherchons qui gagne.
Cf. Math et Sens, Explorer les grandeurs, se donner des repères, D.Colantonio, M.Larsimont, F.Lucas. Ces deux activités sont proposées aux jeunes enfants du maternel et du début Activité 2.2. Mesurons des longueurs. Activité 2.3. Organisons nos mesures de longueurs en systèmes. du primaire. L’enseignant les confronte volontairement à des quantités Activité2.4. Exprimons la grandeur de surfaces. très grandes (du beaucoup) qu’ils ne savent pas dénombrer. Ils vont devoir Activité 2.5. Organisons nos mesures de superficie. inventer un moyen de déterminer ce beaucoup. Ils vivent cet obstacle des grandes quantités comme les premières civilisations (civilisation de l’entaille, Par ces activités, les enfants sont confrontés à la complexité du mesurage et à la nécessité de se donner des repères dans l’univers des grandeurs pour des mains, des cailloux…). communiquer. Les deux séquences d’activités se mènent sans précipitation. Les civilisations de monde entier ont pratiqué le mesurage de diverses – Les enfants vont essayer des moyens à leur portée mais inefficaces: manières avec des étalons très différents et des unités sans concordance compter, mettre en correspondance terme à terme, faire des piles… nécessairement. C’est à la révolution française que s’est amorcé un choix – Le « un à un » étant inadéquat, l’idée de paquets, de regroupements d’unités communes avec des liens décimaux. Cette évolution est donc assez va surgir. Mais c’est encore aux enfants de réaliser qu’il faut se mettre récente et s’est poursuivie lors de ces deux derniers siècles. d’accord sur un même nombre de base pour opérer des regroupements Les activités sur les longueurs et les superficies veulent donner aux enfants comparables. l’occasion de refaire ce même chemin. – Enfin, le fait de « tomber » sur encore beaucoup de groupements Ils mesurent, expriment des longueurs, des superficies au moyen de conduit à la nécessité de faire des groupements de groupements. – legos de différentes longueurs et couleurs, Là, l’enseignant donne un coup de pouce en proposant des supports – pailles de différentes longueurs et couleurs, structurant itératifs : 5 séries de 5 équipes de 5 photos ; camions de 4 – post-it de différentes tailles et couleurs ou caddies, de 4 caisses de 4 pommes…. – carrés de différentes tailles et couleurs.
Les concepts mathématiques se sont construits progressivement pour répondre à des questions laissées sans solutions satisfaisantes, avec des avancées, des retours en arrière, des oppositions, des rejets, des adoptions…un peu comme lorsqu’on apprend, que l’on doute, on résiste, on commence à entrevoir des pistes plus prometteuses, on s’engage, on avance. C’est ce cheminement qu’il est intéressant de faire revivre en raccourci par les enfants mais avec les mêmes questions de fond, les mêmes obstacles sur lesquels nos ancêtres se sont cognés. En numération En mathématique La construction progressive de l’organisation du beaucoup avec la Mesurer longtemps avec des étalons naturels puis passer au conventionnel. notion d’itération.
2.1. REVIVRE En CLASSE CE QuE LES CIVILISATIOnS OnT COnSTRuIT
2. DES LIEnS EnTRE L’ÉVEIL MATHÉMATIQuE ET L’ÉVEIL HISTORIQuE ET GÉOGRApHIQuE
2. d es l ien s en tre l’év eil ma théma t ique e t l’é ve il hist orique e t gé ographique
109
110
L a mé t h od oLogie
XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
2×
2×
Le contour de la forme
mesure
La superficie de la forme
Cette construction lente et progressive permet véritablement aux enfants de comprendre ce qu’est un système d’unités de mesure efficace.
Les enfants doivent recourir, alors, à différents étalons pour préciser l’encadrement. La progression suivante leur permet de comprendre les choix successifs qui pallient les manques ou difficultés des étalons précédents : – un système avec différents étalons sans lien, – un système avec des étalons toujours dans le même rapport (par exemple : 2x), – un système avec le rapport 10 entre les étalons, – le système des unités conventionnelles.
Ils découvrent que le mesurage ne tombe pas juste, que son résultat s’exprime selon une fourchette, un encadrement : 15 post-it < superficie de la PUB < 24 post-it
2 3 2 3 3 4 En classe, il s’agit de ne pas brûler les étapes, ne pas aller trop vite à 4 0 0 l’instar du temps que les civilisations ont mis pour aboutir à notre système décimal hyper efficace. Ceci évite aussi d’engager les enfants sur un usage mécanique des abaques conventionnels sans vraiment en comprendre le sens.
Il s’agit bien de mettre les enfants en situation de construire progressivement les principes de la numération de position. 1. Grouper les objets toujours selon un même nombre de base x. 2. Pratiquer l’échange de x objets contre un nouvel objet de valeur supérieure.
– Les activités 3.1. Jouons, pratiquons des échanges, comparons nos scores, feront faire un pas de plus. Il s’agira de dépasser l’organisation du beaucoup pour le transformer en quelque chose de plus gérable grâce aux échanges.
XXXXX XXXXX XXXXX
LES ACTIVITÉS
1.9. COnSTRuISOnS L’HORLOGE : LES 60 TRAITS DES SuMÉRIEnS Plan COMPÉTENCE VISÉE Comprendre le nombre dans ses différents aspects : exprimer un grand nombre (en l’organisant en tas de 5).
MATIÈRE EN CONSTRUCTION – Perception du regroupement répété des 5 traits pour arriver à 60. – Perception de la structure nécessaire d’un grand nombre pour pouvoir l’exprimer. – Prise de conscience des traces actuelles de certaines civilisations.
ORGANISATION Matériel – Une horloge. – 60 petites pailles. – Une grande affiche. – Des écritures chiffrées de 1 à 12. – Une feuille et un crayon d’écriture. Espace et groupements – En petit groupe classe de 2e mat. Temps – À proposer en 2/3 séances d’ateliers.
DÉROULEMENT ET CONSIGNES Intention d’apprentissage : « Par cet atelier, vous allez découvrir que l’horloge avec ses 60 petits traits est organisée par des petits paquets de traits et cela, plusieurs fois. » L’enseignant raconte l’histoire des Sumériens à partir du livre « Jouons avec les chiffres ». Il leur présente l’horloge avec ses 60 minutes qui a gardé en elle une trace des Sumériens. 1- Observation de l’horloge en vue d’en fabriquer une Consignes – Regardez cette horloge. – Dites de quoi nous aurons besoin pour la fabriquer.
Cycle 2,5 / 5 ans
On devra placer des lignes. Il faut faire les aiguilles, mettre des chiffres. 2- Organisation des lignes et des chiffres de l’horloge L’enseignant distribue au groupe 60 petites pailles et la grande affiche. Consigne – Dites comment nous allons organiser ces petits traits. Les enfants observent l’horloge et émettent des hypothèses : au bord, l’un contre l’autre…. Ils essayent les hypothèses énoncées. L’enseignant attire l’attention des enfants sur la présence des chiffres et distribue les étiquettes des écritures chiffrées de 1 à 12. Consigne – Cherchez combien de petits traits il nous faut, pour arriver à l’étiquette chiffrée suivante sans compter celle de départ. L’enseignant fait référence au jeu des poissons, à d’autres jeux où on ne compte pas la case sur laquelle on se trouve. Consigne – Essayez, ensemble, de fabriquer l’horloge. Grâce à leurs observations, les enfants regroupent les 60 traits par paquets de 5 et placent une étiquette chiffre tous les 5 traits. L’enseignant attire leur attention sur l’ordre d’apparition des étiquettes chiffrées autour de l’horloge et les encourage à les mettre en ordre, en ligne, selon l’ordre stable de la litanie. Il fait comparer avec d’autres outils porteurs d’écritures chiffrées stables et ordonnées: latte graduée, calendrier. 3- Dessin individuel de l’horloge fabriquée. L’enseignant distribue à chacun une feuille et un crayon d’écriture. Consigne – Dessinez l’horloge fabriquée.
1 . d é couvrir les n omb res au f il de s civilisat ions ave c le s t out pe t it s
157
Réflexions et outils méthodologiques
AFIN DE SITUER CE TYPE D’ACTIVITÉ, interrogeons-nous sur ce qui s’est passé bien avant notre numération actuelle. Partons à la rencontre de la civilisation des Sumériens.
Nous possédons, comme témoins, des documents fort anciens désignés sous le nom de tablettes et qui servirent de « papier ». Il s’agit de petites plaques en argile sèche, comportant un certain nombre de marques en creux, de tailles et de formes diverses, ainsi que des dessins. Les signes de numération étaient imprimés alors que les signes d’écriture étaient tracés. Les marques en creux correspondent aux différentes classes d’unités consécutives de la numération écrite sumérienne. Ce sont donc les plus « vieux » chiffres connus de l’histoire. Au lieu de compter par dizaines, centaines et milliers, les Sumériens ont opté pour la base 60. Notre culture a visiblement gardé la trace d’une telle base puisque nous l’utilisons encore pour exprimer la mesure du temps en heures, minutes et secondes, ou celle des arcs et des angles en degrés. À partir des chiffres de base, on figurait les neuf premiers nombres entiers en répétant le signe de l’unité autant de fois qu’il le fallait. Pour 20, 30, 40, 50, on répétait autant de fois le chiffre de la dizaine. Pour 120, 180…on reproduisait autant de signes de la soixantaine que …
158
Pourquoi faire découvrir cette base et dans quel but ? Pour permettre de faire le lien avec des objets de la vie courante et de lointaines civilisations. Les découvertes effectuées par les Sumériens constituent une étape importante dans notre numération. Il ne faut pas passer à côté, d’autant plus que de nombreuses traces de leur époque sont toujours présentes dans nos vies d’aujourd’hui. Il est clair que les enfants ne vont pas dénombrer jusqu’à 60 mais ils vont plutot organiser un grand nombre en plus petits nombres. Cette activité est à rapprocher : – de l’activité où l’on gagne beaucoup de jetons (= fenetres) ou de pommes que l’on organise en plusieurs trains ou en camions de chaque fois le même nombre de wagons ou de caisses et de chaque fois le même nombre de fenêtres, ou de pommes ; – d’une activité ultérieure d’observation de la succession des chiffres sur des objets de la vie courante en y observant la même régularité que l’affichage sur l’horloge : les chiffres se suivent comme quand on compte. Ici, l’enseignant doit encourager les enfants à bien regarder et à exprimer les régularités observées sur l’horloge. Les écritures chiffrées des heures se suivent. Il y a le même nombre de traits entre chaque écriture chiffrée. Cela recommence tout le temps car on tourne en rond (temps cyclique). Il est intéressant que la quantité de base avec laquelle travaillaient les Sumériens soit grande : équivalente au nombre de pailles données. La base des Sumériens était 60, la nôtre est 10, mais d’autres ont aussi existé (5, 12, …). Il est intéressant, tout au long de la scolarité maternelle et début du primaire, de rencontrer des bases différentes afin de permettre aux enfants de constater qu’un grand nombre peut être représenté par groupements de petites quantités. Cela permettra de mieux comprendre la base décimale dans notre système de numération actuelle.
L e s a c t ivité s
Démarches possibles d’enfants 1- La recherche en collectif. Les enfants étaient ravis de jouer aux petits Sumériens qui essayaient de construire une horloge. Les idées fusaient de toutes parts. Pour construire l’horloge, on aura besoin d’aiguilles, d’un rond, de chiffres, de lignes ! Ils ont eu besoin d’aide quand il s’agissait de réaliser l’organisation des petits traits. Au départ, ils les étalaient sans respecter une répétition du nombre de traits entre les différentes heures. L’enseignante leur a proposé une observation collective. On compte les traits. Oh! un chiffre…un autre chiffre … Puis, ils proposent de regrouper par 6. On n’obtient pas les 12 heures mais seulement 10. L’enseignante leur a donné un coup de pouce. On ne compte pas le trait qui est sur le chiffre de départ ! On compte à partir du trait suivant, comme sur le plateau du jeu des poissons. 2- Les dessins individuels.
Ici, Gauthier a expliqué son dessin en montrant chaque Ici, Chloé a expliqué qu’il y avait vraiment beaucoup de petits groupe de 5 traits. traits.
1 . d é couvrir les n omb res au f il de s civilisat ions ave c le s t out pe t it s
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10.1. ORDOnnOnS LES nOMbRES
Cycles 8-10 et 10-12
Plan COMPÉTENCE VISÉE – Dire, lire et écrire des nombres dans notre numération décimale de position, en comprenant son principe : ici, en confrontant aux principes de la numération incas. – Lire une trace du passé, la comprendre : ici, analyser les cordelettes à nœuds des incas.
Espace et groupement – Collectif et individuel ou par binôme. – Groupes de 3-4-enfants. Temps Deux séances.
MATIÈRE EN CONSTRUCTION
CONSIGNES ET DÉROULEMENT
– L’ordre croissant ou décroissant des nombres entiers jusque 1000 (ou plus si cycle 4). – La visualisation et la verbalisation du passage au rang supérieur ou inférieur. – La comparaison de deux nombres, de même rang : afin de déterminer lequel est le plus grand, on les compare rang par rang, en commençant par la gauche ; de rang différent : dans ce cas, c’est le nombre qui a le rang le plus élevé qui est le plus grand.
Intention d’apprentissage : « En vous appuyant sur divers matériels, vous allez pouvoir formuler la règle de comparaison de deux nombres entiers. »
ORGANISATION
Consigne 1
Matériel Première partie (1- Ordonner des chimpus) – les chimpus 3-30-300-1-10-100-450-23-409-536-56 (éventuellement, des nombres plus grands si cycle 4). – les étiquettes correspondantes (Matrice 10.1.-1.): 3 - 30 - 300 - 1 - 10 - 100 - 450 - 23 - 409 - 536 - 56 Il faut prévoir minimum 1 chimpu et 1 carton nombre pour 2 enfants. En ajouter si nécessaire. – Éventuellement, d’autres matériels de numération : boulier, cailloux (ou graines) dans abaque, hiéroglyphes, matériel géométrique, pommes (caisses-caddies-camions)… Deuxième partie (2- Construire une règle de comparaison de nombres) Par groupe de 3-4 enfants : Matrice 10.1.-2 ou – les 2 chimpus (ou dessins de chimpu) 1010 et 758 – les chimpus (ou dessins de chimpu) 200 et 199 – les chimpus (ou dessins de chimpu) 23 et 32. Choisir éventuellement des nombres plus grands en fonction des capacités des enfants.
1- Ordonner des chimpus Les enfants se sont regroupés autour d’une grande table sur laquelle se trouvent onze chimpus qui représentent respectivement les nombres 3 - 30 - 300 - 1 - 10 - 100 - 450 - 23 - 409 - 536 - 56 (*) 1. Classer par rang
– Classez ces chimpus en trois parties et expliquez votre classement. Les enfants classent : les chimpus à une corde (= nombre à 1 rang) ; les chimpus à deux cordes(= nombre à 2 rangs) ; les chimpus à trois cordes (= nombre à 3 rangs) . 2. Repérer le bon chimpu Les nombres (*) sont représentés sur des petits cartons (Matrice 10.1.-1.). Par deux, les enfants reçoivent un petit carton et doivent retrouver le chimpu qui y correspond. Attention, on montre le chimpu, mais on ne le prend pas car il y aurait de moins en moins de chimpus parmi lesquels choisir ! Lors de ce travail, l’enseignant interpelle sur les rangs du nombre, liés au classement des chimpus et sur le rôle du zéro. 3. Ordonner les chimpus On mélange les 11 chimpus. Chaque enfant retourne à sa place. On donne à chaque groupe de deux enfants, un chimpu au hasard.
10. tra v a iller les nombre s e t le calcul gr âce à ce s mat é rie ls
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Consigne 2 – Vous allez coller vos chimpus au tableau, du plus petit au plus grand. Tour à tour, les enfants viennent coller (à l’aide d’un papier collant) leur chimpu au tableau. Quelques réflexions émergent. « – Plus on a de cordes, plus le nombre est grand. – Quand on a le même nombre de cordes, plus on a de nœuds sur beaucoup de cordes, plus le nombre est grand. » Un travail similaire est fait sur les étiquettes nombres. « – Plus on a de rangs, plus le nombre est grand. – Pour 2 nombres de même rang, plus le chiffre du rang le plus élevé est grand, plus le nombre est grand. » 2- Construire une règle de comparaison de nombres 1. Observation à partir des chimpus puis de divers matériel – On distribue les 2 chimpus (ou dessins voir matrice10.1.-2) 1010 et 758 à chaque groupe. Consignes 3
On réfléchit : – on montre les représentations des nombres « – Le chimpu qui contient plus de nœuds sur le plus de cordes est celui qui ….. – Avec nos chiffres les chiffres les plus élevés dans les rangs les plus élevés représentent… » – On peut répéter la même consigne pour des nombres comme 3457 ; 3475 ; 4357 et 7435. Les diverses constatations peuvent être consignées au fur et à mesure au tableau. 2. Transferts de nos observations à nos chiffres Que deviennent nos constatations lorsqu’on se retrouve face à des nombres écrits en chiffres ? Nous parlerons de rang au lieu du nombre de cordes ou colonne de l’abaque à cailloux, ou nom de l’élément du matériel géométrique ou pommes (cube-réglette-plaquette ou camion-caddie-caisse-pomme), et de chiffres au lieu du nombre de nœuds ou nombre de boules, de cailloux, d’éléments identiques (cf. activité 9.2.5.).
– Trouvez quel est le chimpu qui représente le plus grand nombre. – Expliquez pourquoi.
On arrivera à une conclusion du style : « Lorsqu’on a deux nombres de même rang, pour pouvoir les comparer, on compare les chiffres rang par rang en commençant par la gauche. »
Il s’agit, ici, de prendre conscience que ce n’est pas le nombre de nœuds qui importe, mais le nombre de cordes prises dans le nœud. En écriture chiffrée, ce n’est pas la valeur des chiffres qui est importante, mais leur position, leur rang.
3. Exerçons-nous sur les grands nombres Pour les enfants du cycle 10-12, il est intéressant de poursuivre cette activité en comparant des grands nombres sur différents supports. Les règles de comparaison restent identiques.
– On distribue les 2 chimpus (ou dessins, ou autre matériel → voir matrice 10.1.-2) 200 et 199 à chaque groupe avec la même consigne. Ici encore, ce n’est pas le nombre de nœuds (ou hiéroglyphes, cailloux, boules,…) qui importe. La différence entre ces 2 chimpus n’est que d’une unité. Pourtant, ils nous apparaissent bien différents. – Finalement, on distribue les 2 chimpus (ou dessins, ou autre matériel → voir matrice 10.1.-2) 23 et 32 à chaque groupe, toujours avec la même consigne. Dans ce cas, le nombre de nœuds (ou hiéroglyphes, cailloux, boules, éléments du matériel…) est identique. Il faut bien regarder le nombre de cordes (ou sorte d’hiéroglyphes, colonnes où se trouvent les cailloux, tiges où sont activées les boules,…).
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L e s a c t ivité s
Réflexions et outils méthodologiques 1- Ordonner des chimpus
Lors du travail « Repérer le bon chimpu », faire ressortir les points importants. « J’ai reçu l’étiquette 23. Je regarde dans laquelle des trois parties de mon classement? » Solution : « dans les chimpus à deux cordes ». Les enfants faisaient cela spontanément. « J’ai reçu l’étiquette 409, je trouve le chimpu correspondant. À quoi correspond le zéro sur le chimpu? » Dans cette activité, « Classer par rang » et « Repérer le bon chimpu » peuvent être transformés de la manière suivante : – placer les enfants par groupe de 3-4. – donner, à chaque groupe d’enfants, des chimpus et des étiquettes nombres tels que certains chimpus n’aient pas leur étiquette nombre correspondante et que certains nombres n’aient pas leur chimpu correspondant. Voici alors la consigne qui remplace le classement par rang et le repérage – Observez le matériel. – Sans rien retirer au matériel, ajoutez ce qu’il faut pour qu’il soit complet.
Lorsque cette activité a été testée, on n’a travaillé que sur le support du chimpu. On aurait pu également décider de représenter ces étiquettes nombres 3 - 30 - 300 - 1 - 10 - 100 - 450 - 23 - 409 - 536 - 56 sur d’autres matériels comme le boulier, les cailloux (ou graines) dans abaque, les hiéroglyphes, le matériel géométrique, les pommes (étiquettes « caisses »-« caddies »-« camions »), … Un travail de réflexion intéressant serait de faire prendre conscience aux enfants que, sur les matériels qui conservent les grandeurs, on voit les choses plus clairement CAR un nombre plus grand est plus gros.
2- Construire une règle de comparaison de nombres
Il est intéressant de varier au maximum le matériel. Comme précédemment, le matériel qui conserve les grandeurs est beaucoup plus visuel. Si les enfants n’ont plus besoin du matériel, c’est qu’il a pris vie dans leur tête. Inutile de les obliger à le prendre, sauf, bien sûr, si des erreurs persistent. Pour le travail sur les grands nombres, on ne pourra plus utiliser le matériel géométrique, ni les camions de pommes. Ces deux matériels ne permettent pas la représentation des nombres au-dessus de 10 000.
Démarches possibles d’enfants Activité menée dans une classe de 3e primaire et en type 8, âgés de 10 à 12 ans 54.
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Lors de l’expérimentation de cette activité, tout a été fait sans erreur, et par les enfants de 3e primaire et également par les enfants du type 8.
Activité testée par Annick Eloy à l’école primaire de Gentinnes, et par José Pirson de l’école primaire spéciale type 8 de Saint Berthuin de Malonne.
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