1.3 Séries à termes positifs 37 Exemple Considérons � un où pour tout n ∈ N, un = Alors pour tout n ∈ N, 1 . n! Pour chaque théorème, sont mentionnés le nom du mathématicien et l'année de la publication (ou de la démonstration). n! un+1 1 = = un (n + 1)! n+1 un+1 Donc −−−−−→ 0 < 1 un n→+∞ d’où � 1 converge via la règle de d’Alembert 16 . n! 1.3.10 Règle de Cauchy Théorème 7 (règle de Cauchy (1821) 17,18 ) Soit (un ) une suite réelle strictement positive telle que √ n un −−−−−→ � où � ∈ R+ ∪ {+∞} n→+∞ Alors 19 ⎧ � ⎪ ⎪ ⎨ � < 1 =⇒ un converge et ⎪ ⎪ � ⎩ � > 1 =⇒ un diverge Démonstration Supposons � < 1 et soit λ ∈ R tel que � < λ < 1. Comme √ n un −−−−−→ �, on a n→+∞ � �√ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N n N =⇒ � n un − �� < ε En particulier pour ε = λ − � > 0, on a ∀n ∈ N n N =⇒ � − λ < √ n un − � < λ − � √ Donc dès que n N , n un < λ soit un < λn . Or la série géométrique 16. 17. 18. 19. � λn converge car λ < 1 d’où � un converge. 68 On peut montrer que sa somme vaut e : cf. proposition 12 (p. 75). cf. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Debure frères, Paris, p. 132. cf. notice biographique p. 22. Finalement Comme pour la règle de d’Alembert (p. 34), si � = 1, la règle de Cauchy ne permet pas de conclure. 1.5.2 Chapitre 1. Séries numériques pour tout n ∈ N, |wn | 1 donc wn −−−�−−→ 0. D’où n→+∞ � wn diverge. Théorème de Mertens Remarque Le théorème qui suit permet d’aﬃner le théorème de Cauchy (p. 65). Less références précises de l'article où le théorème a été démontré sont données en note de pied de page. Théorème 15 Soient � (théorème de Mertens (1875) 45 ) un une série numérique convergeant absolument et on a +∞ � wn = n=0 où pour tout n ∈ N, wn = Les théorèmes moins connus ou plus difficiles sont repérables par leur fond rose. Franz Mertens Dess notices biographiques, minutieusement documentées, jalonnent l'ouvrage et permettent de replacer les théorèmes dans leur contexte historique. 4 � vn une série numé� wn converge et rique convergente. Alors le produit de Cauchy de ces deux séries (1840–1927) � � +∞ � n=0 un � � +∞ � n=0 vn � up vq . p+q=n Franz Mertens poursuit ses études universitaires à la prestigieuse université de Berlin, bénéﬁcie des cours de Kummer a , Weierstrass b et Kronecker c et obtient son doctorat en 1865. Il débute sa carrière la même année à l’université de Cracovie puis devient professeur à l’École polytechnique de Graz de 1884 à 1894. Il termine sa carrière à l’université de Vienne et septuagénaire, en tant que professeur émérite, il continue à dispenser des conférences ou séminaires à des futurs grands noms de l’histoire des sciences comme Erwin Schrödinger d . D’abord intéressé par la théorie du potentiel e , il poursuit des recherches en algèbre linéaire (notamment le déterminant f ) et en théorie des nombres g totalisant plus de cent articles. a. cf. notice biographique p. 108 b. cf. notice biographique p. 256 c. cf. notice biographique p. 106 d. Erwin Schrödinger (1887-1961). e. cf. De functione potentiali duarum ellipsoidium homogeneorum, Journal de Crelle, 63, pp. 360-372 (1864). f. cf. Über windschiefe Determinanten, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, 96, pp. 1245-1255 (1887). g. cf. Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie, Journal de Crelle, 77, pp. 289-338 (1874). 45. cf. Über die Multiplicationsregel für zwei unendliche Reihen, Journal de Crelle, 79, pp. 182-184.