Analyse mathématique

Page 1

TR

2e ANNÉE

EX

ANALYSE

TS AI

MP/MP* PSI/PSI* PC/PC* PT/PT*

MATHÉMATIQUE Une approche historique

COURS EXERCICES CORRIGÉS 29 E 448 pages • Tout en couleurs

OLIVIER RODOT

L’auteur, Olivier RODOT

A

près une période de recherche en théorie spectrale dans le cadre de la géométrie non commutative, Olivier Rodot se passionne aujourd’hui pour l’histoire et la didactique des mathématiques. Responsable du département mathématiques des classes préparatoires de ­l’EPITA (école pour l’informatique et les techniques avancées), il stimule l’intérêt de ses étudiants en présentant le cours comme un conte semé d’anecdotes et de rebondissements. Dater et déterminer avec précision la source des théorèmes et de leurs démonstrations est un souci permanent. Il n’hésite pas à étudier avec ses élèves l’article fondateur d’un théorème, permettant d’acquérir du recul sur le thème étudié et de montrer parfois les maladresses de rédaction dues au langage mathématique de l’époque non encore parfaitement abouti.

Guide de lecture Chaque chapitre est précédé d'une courte introduction qui permet d'entrevoir l'intérêt concret des notions qui seront abordées.

12

Chapitre 1. Séries numériques

En effet, Achille met une seconde pour parcourir les 10 mètres le séparant initialement de la Tortue puis puis

1 100

1 10

seconde pour parcourir le mètre que la Tortue possède encore d’avance

seconde pour parcourir les

1 10

mètre que la Tortue dispose encore d’avance...

Ainsi le temps mis par Achille pour rattraper la Tortue vaut la « somme infinie » : 1+

1 1 1 1 + + + + ··· 10 100 1 000 10 000

Cette somme infinie sera notée, en termes de séries, sous la forme :

+∞ 1 10k

k=0

1.1

Introduction

u1

Son calcul est 13assez naturel :

n +∞ 1 1 − 10n+1 1 1 1 10 = lim = lim = Par exemple, dans le cas de deux sucres, le porte-à-faux maxi1 = 9 n→+∞ n→+∞ 1 − 1 10k 10k 1 − 10 10 k=0 k=0 mal vaut 1, car le deuxième sucre peut être placé avec son

➀

centre de gravité juste sur le bord de droite du premier (ce 10 Achille rattrape donc bien la Tortue au bout d’une durée égale à � 1.11 secondes. 9 qui fait un décalage u1 = 1 du premier sucre par rapport au

➁

deuxième). Avec trois sucres, il faut poser l’empilement précédent sur un troisième sucre de manière 1.1.2 Le paradoxe

des morceaux de sucre

à ce que l’empilement précédent ne bascule pas.

La série précédente est appelée série géométrique 2 . Il faut pour cela que le centre de gravité G de l’empilement des

G➀ ➁ ➂

deux premiers sucres soit à l’aplomb du bord droit troisième Uneduautre série célèbre donnant lieu à des paradoxes est la série harmonique 3 . sucre. 1 1 1 Considérons la somme 1 + + + · · · + + · · · 2 3 n On va donc calculer la position (horizontale) du centre de graL’intuition vité de l’empilement des deux premiers sucres. On notene xGpeut guère nous aider pour deviner si cette somme d’une infinité de nombres

est bord un nombre l’abscisse du centre de gravité mesuré à partir du gauchefini (c’est-à-dire un nombre réel), ou bien si elle est égale à +∞. Endes fait,abscisses elle est égale à +∞ et ce fait amène à des résultats étonnants dans des situations du sucre du bas. C’est bien entendu la moyenne

G➀ ➁

des centres des deux sucres :

xG

xG =

u1

u3 u4 u5

➁ ➂ ➃ ➄ ➅

G3 x3

présente maintenant. On dispose de N morceaux de sucre identiques et on souhaite savoir quel est le porte-

2. cf. p. 16. 3. cf. p. 19.

Généralisation

u2

physiques « concrètes », comme l’illustre le paradoxe des morceaux de sucre que l’on

à-faux maximal que l’on peut obtenir en les superposant. Le bloc des deux premiers sucres doit donc être décalé d’une On choisit une unité de longueur telle que la longueur des morceaux de sucre soit égale abscisse u2 = 21 de manière à ce que G soit à l’aplomb du bord à 2. droit du troisième sucre.

G➀ ➁ ➂

u2

1 3 (1 + 2) = 2 2

➀ Pour tout n ∈ N∗ , on note un le décalage du sucre numéro n

quand on pose ce sucre (et tous ceux qui sont au-dessus) sur un nouveau sucre (qui est, bien entendu, le sucre numéro n + 1).

Pour tout n ∈ N, on note Gn le centre de gravité de l’empile-

ment des n premiers sucres et xn l’abscisse de Gn mesurée par rapport au bord gauche du sucre numéro n.

On empile maintenant les sucres à la limite du basculement de manière à avoir systématiquement le porte-à-faux le plus important.

3

1.3

Séries à termes positifs

37

Exemple Considérons

�

un où pour tout n ∈ N, un =

Alors pour tout n ∈ N,

1 . n!

Pour chaque théorème, sont mentionnés le nom du mathématicien et l'année de la publication (ou de la démonstration).

n! un+1 1 = = un (n + 1)! n+1

un+1 Donc −−−−−→ 0 < 1 un n→+∞ d’où

� 1 converge via la règle de d’Alembert 16 . n!

1.3.10

Règle de Cauchy

Théorème 7 (règle de Cauchy (1821) 17,18 ) Soit (un ) une suite réelle strictement positive telle que √ n un −−−−−→ � où � ∈ R+ ∪ {+∞} n→+∞

Alors 19

⎧ � ⎪ ⎪ ⎨ � < 1 =⇒ un converge et ⎪ ⎪ � ⎩ � > 1 =⇒ un diverge

Démonstration Supposons � < 1 et soit λ ∈ R tel que � < λ < 1. Comme

√ n

un −−−−−→ �, on a n→+∞

� �√ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N n N =⇒ � n un − �� < ε

En particulier pour ε = λ − � > 0, on a

∀n ∈ N n N =⇒ � − λ <

√ n un − � < λ − �

√ Donc dès que n N , n un < λ soit un < λn . Or la série géométrique 16. 17. 18. 19.

�

λn converge car λ < 1 d’où

�

un converge.

68

On peut montrer que sa somme vaut e : cf. proposition 12 (p. 75). cf. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Debure frères, Paris, p. 132. cf. notice biographique p. 22. Finalement Comme pour la règle de d’Alembert (p. 34), si � = 1, la règle de Cauchy ne permet pas de conclure.

1.5.2

Chapitre 1. Séries numériques pour tout n ∈ N, |wn | 1 donc wn −−−�−−→ 0. D’où n→+∞

�

wn diverge.

Théorème de Mertens

Remarque Le théorème qui suit permet d’affiner le théorème de Cauchy (p. 65).

Less références précises de l'article où le théorème a été démontré sont données en note de pied de page.

Théorème 15 Soient

�

(théorème de Mertens (1875) 45 )

un une série numérique convergeant absolument et

on a

+∞ �

wn =

n=0

où pour tout n ∈ N, wn =

Les théorèmes moins connus ou plus difficiles sont repérables par leur fond rose. Franz Mertens

Dess notices biographiques, minutieusement documentées, jalonnent l'ouvrage et permettent de replacer les théorèmes dans leur contexte historique.

4

�

vn une série numé� wn converge et

rique convergente. Alors le produit de Cauchy de ces deux séries

(1840–1927)

�

� +∞ �

n=0

un

� � +∞ �

n=0

vn

�

up vq .

p+q=n

Franz Mertens poursuit ses études universitaires à la prestigieuse université de Berlin, bénéficie des cours de Kummer a , Weierstrass b et Kronecker c et obtient son doctorat en 1865. Il débute sa carrière la même année à l’université de Cracovie puis devient professeur à l’École polytechnique de Graz de 1884 à 1894. Il termine sa carrière à l’université de Vienne et septuagénaire, en tant que professeur émérite, il continue à dispenser des conférences ou séminaires à des futurs grands noms de l’histoire des sciences comme Erwin Schrödinger d . D’abord intéressé par la théorie du potentiel e , il poursuit des recherches en algèbre linéaire (notamment le déterminant f ) et en théorie des nombres g totalisant plus de cent articles.

a. cf. notice biographique p. 108 b. cf. notice biographique p. 256 c. cf. notice biographique p. 106 d. Erwin Schrödinger (1887-1961). e. cf. De functione potentiali duarum ellipsoidium homogeneorum, Journal de Crelle, 63, pp. 360-372 (1864). f. cf. Über windschiefe Determinanten, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, 96, pp. 1245-1255 (1887). g. cf. Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie, Journal de Crelle, 77, pp. 289-338 (1874).

45. cf. Über die Multiplicationsregel für zwei unendliche Reihen, Journal de Crelle, 79, pp. 182-184.

Dess exercices corrigĂŠs sont s proposĂŠs Ă la fin de chaque chapitre. Les ĂŠnoncĂŠs sont facilement repĂŠrables par leur fond colorĂŠ. 120

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques

5. −1 un+1 3 3 2 1 1 1 1 1+ 1− +o =1− +o = 1+ = 1+ un n n n n n n n donc un converge via la règle de Duhamel. 1.4

Des questions de cours permettent de vĂŠrifier rapidement l'acquisition des points clĂŠs de chaque chapitre.

√ n + (−1)n √ n+a

Soit a ∈ R. On considère la suite (un ) dĂŠďŹ nie par un = ln

1. DĂŠterminer le plus petit entier n0 tel que un est dĂŠďŹ ni pour tout n n0 . 2. Pour n n0 , on pose vn =

√ √ n n+a

(−1)n , ĂŠtudier En ayant vĂŠriďŹ ĂŠ que pour tout n n0 , un = ln(vn ) + ln 1 + √ n la nature de un suivant les valeurs de a. C 1.4

1. un est dĂŠďŹ nie ssi

n + a > 0 et

c’est-Ă -dire ssi (n > −a

114

et

√ n + (−1)n √ >0 n+a

√ n + (−1)n > 0)

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques soit encore ssi (n > −a et n 2).

1.9 Soit Îą ∈ R. Alors

Si a > −2, n0 = 2 convient. Si a −2, n0 = E | − a| + 1 convient.

(−1)n nÎą

2. Soit n n0 .

a. converge ssi Îą > 1

un

b. converge ssi Îą < 1 c. converge ssi 0 < Îą < 1 d. diverge pour tout Îą

√ n (−1)n ln √ 1+ √ n n+a

= ln

√ n + (−1)n √ n+a

= ln

√ n (−1)n (−1)n √ = ln (vn ) + ln 1 + √ + ln 1 + √ n n n+a

Or

e. rien de ce qui prÊcède

vn =

=

n a = 1+ n+a n

−1 2

= 1−

a 3a2 +o + 2n 8n2

1 n2

1.10

a.

b.

c.

d.

(−1)n converge n

(−1)n converge absolument n

Less figures illustrent les dĂŠmonstrations chaque fois que nĂŠcessaire.

1 converge n ln(n)

(−1)n converge n ln(n)

e. rien de ce qui prÊcède

1.8.2

CorrigĂŠs

C 1.1

128

Soit (un )n∈N une suite rĂŠelle telle que pour tout n ∈ N, un ďż˝= 0 et

Alors a. b.

aire du rectangle bleu =

un converge

1 n lnÎą (n)

Z

n+1 n

dt t lnÎą (t)

1 n lnÎą (n)

un diverge

c. on ne peut rien dire de la nature de

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques

un+1 1 −→ un 4

un

1 (n+1) lnÎą (n+1)

aire du rectangle noir =

1 t lnÎą (t)

1 (n+1) lnÎą (n+1)

n

Ainsi

n+1

n

n+1

dt 1 âˆź car t lnÎą (t) +∞ n lnÎą (n)

n lnÎą (n)

5

Table des m atières 1 Séries numériques 1.1

1.2

1.3

6

11

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.1

Un paradoxe de Zénon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.2

Le paradoxe des morceaux de sucre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1

Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2

Somme et reste d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.3

Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.1

Premiers critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.2

Lemme de condensation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.3

Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.4

Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.5

Règle de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.3.6

Règle de Riemann généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3.7

Séries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.8

Critère de comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3.9

Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.10 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.3.11 Comparaison des règles de Cauchy et de d’Alembert . . . . . . . .

38

1.3.12 Règles de Raabe et Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.3.13 Règle de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.4

Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.4.1

Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.4.2

Règle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.4.3

Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.4.4

Sommation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.4.5

Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Produit de deux séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.5.1

Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

1.5.2

Théorème de Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

1.5.3

Théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

1.6

Valeur de la somme de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

1.7

Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

1.7.1

Théorème de Schlömilch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

1.7.2

Théorème de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

1.7.3

Généralisation des séries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

1.7.4

Généralisation des règles de Raabe et Duhamel . . . . . . . . . . .

92

1.7.5

Théorème d’Olivier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

1.7.6

Théorème de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

1.7.7

Théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.7.8

Théorème de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.7.9

Théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.5

1.7.10 Théorème de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.7.11 Règle de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1.8

1.9

Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1.8.1

Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.8.2

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2 Intégrales impropres

129

2.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.2

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.3

2.2.1

Définition d’une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.2

Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Fonctions de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.4.1

Critères de comparaison pour des fonctions positives . . . . . . . . 142

2.4.2

Critère intégral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Critères complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.5.1

Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5.2

Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.3

Intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.5.4

Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.5.5

Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.5.6

Généralisation des intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.7

Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.5.8

Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.5.9

Théorème d’Ermakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Intégrales définies dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.6.1

Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.6.2

Dérivabilité : théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.6.3

Intégrabilité : théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Intégrales impropres dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.7.1

Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.7.2

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.7.3

Intégrabilité : théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Quelques intégrales célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2.8.1

Intégrales d’Euler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.8.2

Intégrales de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.8.3

Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.8.4

Intégrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.9.1

Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2.9.2

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.10 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3 Suites de fonctions

8

231

3.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3.3

3.4

3.5

3.6

3.2.1

Suite de fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3.2.2

Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3.2.3

Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Propriétés de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.3.1

La convergence uniforme implique la convergence simple . . . . . . 244

3.3.2

Convergence uniforme et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.3.3

Convergence uniforme et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.3.4

Convergence uniforme et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.3.5

Convergence uniforme et intégrales définies . . . . . . . . . . . . . 253

3.3.6

Convergence uniforme et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.3.7

Convergence uniforme et intégrales impropres . . . . . . . . . . . . 260

3.3.8

Théorèmes de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Approximation des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3.4.1

Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.4.2

Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3.4.3

Approximation uniforme des fonctions continues . . . . . . . . . . 272

3.4.4

Approximation uniforme des fonctions continues et périodiques . . 277

3.4.5

Un raffinement du théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 283

Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 3.5.1

Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

3.5.2

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

4 Séries de fonctions

303

4.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4.2

Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

4.3

4.2.1

Définition d’une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

4.2.2

Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

4.2.3

Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4.2.4

Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

4.2.5

Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

4.2.6

Liens entre les différents types de convergence . . . . . . . . . . . . 315

Propriétés de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 4.3.1

Convergence uniforme et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9

4.3.2

Convergence uniforme et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

4.3.3

Convergence uniforme et intégrales définies . . . . . . . . . . . . . 321

4.3.4

Convergence uniforme et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.4

Une fonction continue sur R et dérivable nulle part . . . . . . . . . . . . . 323

4.5

Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.6

4.5.1

Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.5.2

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

5 Séries de Fourier 5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

10

349

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 5.1.1

Décomposition d’un signal en série de Fourier . . . . . . . . . . . . 349

5.1.2

Vibrations d’une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 5.2.1

Série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.2

Continuité par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.2.3

Coefficients de Fourier et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 357

5.2.4

L’espace D et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 5.3.1

Théorème de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.3.2

Théorème de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.4.1

Convergence en moyenne quadratique et théorème de Parseval . . 376

5.4.2

Théorème de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

5.4.3

Convergence simple : théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . 385

5.4.4

Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

5.4.5

Convergence en moyenne de Cesàro : deux théorèmes de Fejér . . . 396

Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 5.5.1

Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

5.5.2

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

un+1 un

Donc

d’oÚ

C pro rm gra e au mm e!

onf Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques o

52 =

− 12 −1 − 12 1 1 + 2n 1 1 1 1 1 + 1 + ¡ 1+ = 1+ n 2n n n 1 + n1

=

1 1 1 1 1 1− +O +O 1− 1+ 2n n n2 2n n2

un+1 1 =1− +O un n

1 n2

Donc, via la règle de Gauss,

1.4

un diverge.

SĂŠries Ă termes quelconques

Dans ce paragraphe, on considère des sĂŠries Ă termes quelconques, c’est-Ă -dire de terme gĂŠnĂŠral de signe non constant. Parmi toutes les sĂŠries Ă termes quelconques, il existe deux grandes familles pour lesquelles des thĂŠorèmes existent : il s’agit des sĂŠries alternĂŠes et des sĂŠries absolument convergentes.

1.4.1

SĂŠries alternĂŠes

DĂŠďŹ nition 6 Soit (un ) une suite rĂŠelle. On dit que (un ) est alternĂŠe s’il existe une suite rĂŠelle (an ) positive telle que pour tout n ∈ N, un = (−1)n an oĂš pour tout n ∈ N, un = (−1)n+1 an . On dit qu’une sĂŠrie numĂŠrique un est alternĂŠe si la suite (un ) est alternĂŠe. Remarque (un ) est alternĂŠe lorsque le produit de deux termes consĂŠcutifs de la suite est nĂŠgatif (c’est-Ă -dire que deux termes consĂŠcutifs de la suite sont de signes contraires). Exemple Par exemple,

(−1)n n

est une suite alternĂŠe.

11

1.4 e au !SÊries à termes quelconques m r e fo Con gramm pro 1.4.2 Règle de Leibniz

53

ThÊorème 12 (règle de Leibniz (1682) 34,35 ) Soit (un ) une suite rÊelle alternÊe. Si |un | est dÊcroissante et converge vers 0 alors 1.

un converge.

2. ∀n ∈ N, Rn |un+1 |

un . oĂš Rn est la suite des restes associĂŠe Ă

Remarque Leibniz n’Êvoque en 1682 qu’une sĂŠrie alternĂŠe particulière :

+∞ (−1)n donnant le rap2n + 1

k=0

port exact entre l’aire d’un disque et celle de son carrÊ circonscrit 36 .

Le cas gĂŠnĂŠral du thĂŠorème ci-dessus n’apparaĂŽt qu’en 1821 dans le cours de Cauchy 37,38 .

DĂŠmonstration Comme (un ) est alternĂŠe, il existe une suite (an ) positive telle que pour tout n ∈ N,

un = (−1)n an ou un = (−1)n+1 an . Les deux cas se traitant d’une façon similaire, on peut supposer par exemple que pour tout n ∈ N, un = (−1)n an . Comme |un | est dĂŠcroissante et converge vers 0, (an ) est dĂŠcroissante et converge vers 0. 1. Notons (Sn ) la suite des sommes partielles associĂŠes Ă

un . Alors (S2n ) est dĂŠ-

croissante et (S2n+1 ) est croissante. En eet pour tout n ∈ N, S2n+2 − S2n

=

k=0

= 34. 35. Acta 36. 37. 38.

12

2n+2

(−1)k ak −

2n

(−1)k ak

k=0

a2n+2 − a2n+1 0

car (an ) est dĂŠcroissante

aussi appelĂŠe critère spĂŠcial des sĂŠries alternĂŠes. cf. De vera proportione circuli ad quadratumcircumscriptum in numeris rationalibus expressa, Eruditorum, 1, pp. 41-46. cf. proposition 13 (p. 76). cf. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Debure frères, Paris, p. 144. cf. notice biographique p. 22.

54

C pro rm gra e au mm e! Né à Leipzig, Gottfried Leibniz est le fils de Friedrich onf Chapitre 1. Séries numériques o

Leibniz (1597-1652) et de sa troisième épouse Catharina Schmuck. Son père, professeur de philosophie morale à l’université de la ville, décède alors qu’il n’a que 6 ans. Il étudie les rudiments du latin à l’école mais, sans doute dans l’idée de lire les ouvrages de son père, il approfondit seul la connaissance de cette langue de sorte que nombre de ses textes seront rédigés en latin. Ses exceptionnelles facultés intellectuelles lui permettent d’entrer, à 15 ans, à l’université de Leipzig. Il y étudie principalement la théologie, le droit et la philosophie, disciplines dont l’enseiGottfried Leibniz gnement est alors très réputé dans cette université. Il publie dès 1666 son ambitieuse Dissertation sur l’art combina(1646–1716) toire a dans laquelle il envisage un « alphabet des pensées humaines » c’est-à-dire des nombres, des lettres, des couleurs et des sons élémentaires capables de générer toutes les combinaisons possibles dans toutes les disciplines créant ainsi un système universel de raisonnement. Il obtient finalement son doctorat en droit à 20 ans en 1667. C’est lors de son séjour à Paris entre 1672 et 1676 qu’il étudie scrupuleusement les mathématiques et invente le calcul différentiel et intégral (indépendamment de Newton). Il utilise la première fois la notation (un long « s » pour désigner le mot « summa ») b dans un manuscrit du 29 octobre 1675 c. Il expose ensuite les règles de dérivation (en introduisant notamment la notation dy/ dx) d’une somme, d’un produit et d’un quotient et introduit la notion d’extremum dans un remarquable article publié en 1684 d. Outre les mathématiques, il publie des essais en philosophie, logique, métaphysique et établit une impressionnante correspondance (plus de 15 000 lettres !) avec les plus grands érudits de son temps. Pourtant, excepté son fidèle secrétaire, il meurt dans une solitude complète et seul Fontenelle e lui rend hommage lors d’un discours à l’Académie française en 1717.

a. Dissertatio de arte combinatoria [...], J.-S. Fickium et J.-P. Seuboldum, Lipsiae [Leipzig]. b. Le terme « intégrale » est dû à Johann Bernoulli (1667-1748). c. Cette notation n’est toutefois publiée qu’en 1686 dans De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, Acta Eruditorum, 5, pp. 292-300. d. Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum, 3, pp. 467-473. e. Bernard Le Bovier de Fontenelle (1657-1757).

D’autre part pour tout n ∈ N, S2n+3 − S2n+1

=

2n+3 k=0

=

k

(−1) ak −

2n+1

(−1)k ak

k=0

a2n+2 − a2n+3 0 car (an ) est décroissante

En outre (S2n − S2n+1 ) converge vers 0 car pour tout n ∈ N, S2n − S2n+1 = a2n+1 .

13

1.4 55 e au !SÊries à termes quelconques m r e o f Con gramm Donc (S ) et (S ) sont adjacentes et donc convergent vers une même limite S. 2n 2n+1 pro Donc (Sn ) converge Êgalement vers S d’oÚ

un converge.

2. Via les rĂŠsultats de la première partie de la preuve, on a pour tout n ∈ N, S2n+1 S S2n . Donc pour tout n ∈ N,

u2n+1 = S2n+1 − S2n R2n = S − S2n D’oĂš, comme S − S2n 0, pour tout n ∈ N, on a R2n |u2n+1 |

(∗)

De mĂŞme pour tout n ∈ N,

0 R2n+1 = S − S2n+1 S2n+2 − S2n+1 = u2n+2 Donc pour tout n ∈ N, R2n+1 |u2n+2 |

(∗∗)

Via (∗) et (∗∗), on en dĂŠduit que pour tout n ∈ N, Rn |un+1 |.

Exemple ConsidĂŠrons la sĂŠrie

un oĂš pour tout n ∈ N∗ , un =

(−1)n n

Alors (un ) est une suite alternĂŠe. De plus |un | est dĂŠcroissante et converge vers 0. Donc la sĂŠrie Leibniz.

(−1)n n

(appelÊe sÊrie harmonique alternÊe) converge via la règle de

1 Notons que la sĂŠrie diverge n (−1)n converge. mais que la sĂŠrie n

1.4.3

Sn

n

1

sommes partielles d’une sÊrie alternÊe

Convergence absolue

DĂŠďŹ nition 7 On dit qu’une sĂŠrie numĂŠrique

14

un converge absolument si la sĂŠrie

|un | converge.

C pro rm gra e au mm e!

onf Chapitre 1. Séries numériques o

56 Exemple Par exemple la série converge.

� (−1)n n2

converge absolument car la série de Riemann

� 1 n2

Un des intérêts de la convergence absolue est la propriété suivante.

Proposition 8 Soit

�

un une série numérique convergeant absolument. Alors

�

un converge.

Démonstration � Supposons que un converge absolument. ⎧ ⎧ ⎨ u ⎨ −u si u 0 n n n − = = Notons pour tout n ∈ N, u+ et u n n ⎩ 0 ⎩ sinon 0

� � � −� + − Alors u+ n et un sont positives et pour tout n ∈ N, |un | = un + un

De plus, pour tout n ∈ N, u+ n |un | et

�

De même, pour tout n ∈ N, u− n |un | donc

�

converge via la proposition 4 (p. 20).

− Or pour tout n ∈ N, un = u+ n − un , donc

�

si un 0 sinon

|un | converge par hypothèse donc

�

u+ n

u− n converge via la proposition 4 (p. 20).

un converge.

Exemple � sin(n)

converge car elle converge absolument. n2 � � � 1 � � 1 ∗ � sin(n) � En effet pour tout n ∈ N , � 2 � 2 et converge. n n n2 Par exemple la série

Remarques

1. La réciproque de la proposition est fausse comme l’illustre le contre-exemple sui� (−1)n vant : la série (alternée) converge (cf. paragraphe précédent) mais ne n �1 diverge. converge pas absolument car n

15

1.4 e au !SĂŠries Ă termes quelconques m r e fo +∞ +∞ Con gramm o un 2. Si un converge absolument, on a un pr n=0

57 (∗)

n=0

n n uk et en passant à la En eet, par l’inÊgalitÊ triangulaire, on a : uk k=0

k=0

limite quand n tend vers +∞, on a immĂŠdiatement (∗).

DĂŠďŹ nition 8 Une sĂŠrie convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Proposition 9 Soit Îą ∈ R. Alors

(−1)n nÎą

converge �⇒ ι > 0

DĂŠmonstration (−1)n (−1)n − − − ďż˝ − − → 0 donc diverge. nÎą nÎą n→+∞ (−1)n 1 est dĂŠcroissante et converge vers 0. Si Îą > 0, la suite Îą = n nÎą

Si Îą 0,

Donc

(−1)n

1.4.4

nÎą

converge via la règle de Leibniz.

Sommation des relations de comparaison

Proposition 10 Soient (un ) et (vn ) deux suites rĂŠelles telles que (vn ) est positive et Alors, en notant (Rn ) et et vn , on a

(Rnďż˝ )

vn converge. les suites des restes associĂŠes respectivement Ă un

1. un = o(vn ) =⇒ Rn = o Rn�

2. un = O(vn ) =⇒ Rn = O Rnďż˝ 3. un âˆź vn =⇒ Rn âˆź Rnďż˝ +∞

16

+∞

C pro rm gra e au mm e!

onf Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques o

58 DĂŠmonstration

1. On a un = o(vn ) c’est-Ă -dire un = Îľn vn avec Îľn −−−−−→ 0. n→+∞

Soit Îľ > 0. Alors il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n N =⇒ |un | < Îľ vn .

vn converge, via la proposition 4 (p. 20), un converge absolument donc converge via la proposition 8 (p. 56). D’oĂš Rn est bien dĂŠďŹ nie. De plus

Comme

+∞ +∞ +∞ n N =⇒ uk |uk | < Îľ vk k=n+1

k=n+1

k=n+1

soit encore n N =⇒ Rn < ξ Rn� Donc Rn = o Rn� .

2. On a un = O(vn ) c’est-Ă -dire un = kn vn avec (kn ) bornĂŠe. Donc il existe K > 0 tel que pour tout n ∈ N, kn K. Ainsi, pour tout n ∈ N, |un | Kvn . +∞ +∞ +∞ D’oĂš pour tout n ∈ N, uk |uk | < K vk k=n+1

k=n+1

k=n+1

soit encore Rn < K Rnďż˝ donc Rn = O Rnďż˝ .

3. On a un âˆź vn . Donc un − vn = o(vn ). +∞

D’oĂš, via les rĂŠsultats du 1, Rn − Rnďż˝ = o Rnďż˝ donc Rn âˆź Rnďż˝ +∞

Exemple 1 1 1 âˆź 2 donc, comme converge, on a, via la proposition prĂŠcĂŠdente, n(n + 1) +∞ n n2 +∞

k=n+1

soit encore

+∞

k=n+1

+∞ 1 1 âˆź 2 +∞ k k(k + 1) k=n+1

+∞ 1 1 1 − âˆź k 2 +∞ k k+1 k=n+1

17

1.4 e au !SĂŠries Ă termes quelconques m r e fo Con gramm +∞ +∞ 1 1 1 pro Or − = donc k=n+1

k

k+1

n+1

k=n+1

59 1 1 1 âˆź âˆź k 2 +∞ n + 1 +∞ n

Proposition 11

Soient (un ) et (vn ) deux suites rĂŠelles telles que (vn ) est positive et

vn diverge.

Alors, en notant (Sn ) et (Tn ) les suites des sommes partielles associĂŠes respective ment Ă un et vn , on a 1. un = o(vn ) =⇒ Sn = o Tn ) 2. un = O(vn ) =⇒ Sn = O Tn 3. un âˆź vn =⇒ Sn âˆź Tn . +∞

+∞

DĂŠmonstration 1. On a un = o(vn ) c’est-Ă -dire un = Îľn vn avec Îľn −−−−−→ 0. n→+∞

Soit Îľ > 0. Alors il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n N =⇒ |un | <

Îľ vn 2

(∗)

Donc, via (∗), pour tout n ∈ N, n n N n Sn = uk |uk | = |uk | + |uk | k=0

<

N

k=0

Or, comme

k=0

|uk | +

k=0

n Îľ vk 2 k=N +1

vn diverge, Tn −−−−−→ +∞ donc n→+∞

<

k=N +1

N

k=0 N

k=0

|uk | +

|uk |

Tn

−−−−−→ 0. n→+∞

Donc il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n N =⇒ ďż˝

ďż˝

Soit N = Max N, N . ��

ďż˝

Îľ Tn 2

N

k=0

|uk | <

Îľ Îľ Alors pour tout n ∈ N, n N �� =⇒ Sn < Tn + Tn = Îľ Tn . 2 2 Donc Sn = o Tn .

18

Îľ Tn 2

C pro rm gra e au mm e!

onf Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques o

60

2. On a un = O(vn ) c’est-Ă -dire un = kn vn avec (kn ) bornĂŠe. Donc, il existe K > 0 tel que pour tout n ∈ N, kn K. Ainsi, pour tout n ∈ N, |un | Kvn . n n n uk |uk | K vk = K Tn Donc pour tout n ∈ N, Sn = k=0

k=0

k=0

D’oÚ Sn = O Tn .

3. On a un âˆź vn . Donc un − vn = o(vn ). +∞

D’oĂš, via les rĂŠsultats du 1, Sn − Tn = o Tn donc Sn âˆź Tn +∞

Exemple 1 1 1 âˆź et diverge donc via la proposition prĂŠcĂŠdente, ln 1 + n +∞ n n n n 1 1 âˆź ln 1 + k +∞ k k=1

Or

n

k=1

Donc

n n 1 k+1 = = ln(k + 1) − ln(k) = ln(n + 1) ln 1 + ln k k k=1

n

k=1

1.4.5

k=1

k=1

1 âˆź ln(n + 1) âˆź ln(n) +∞ k +∞

Règle d’Abel

ThĂŠorème 13 (règle d’Abel (1826) 39,40 ) Soient (un ) et (vn ) deux suites rĂŠelles telles que 1. (un ) est dĂŠcroissante et converge vers 0. n 2. La suite vk est bornĂŠe. k=0

Alors

un vn converge m¡(m−1)

m¡(m−1)¡(m−2)

39. cf. Untersuchungen ßber die Reihe : 1 + m ¡x+ ¡ x2 + ¡ x3 + ¡ ¡ ¡ , Journal 1 1¡2 1¡2¡3 de Crelle, 1, pp. 311-339 40. parfois appelÊe règle de Lejeune-Dirichlet (cf. Vorlesung ßber Zahlentheorie, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1863).

19

1.4 e au !Séries à termes quelconques m r e fo Con gramm pro

61

Malgré

sa disparition précoce à 26 ans, les travaux du norvégien Niels Abel sont à marquer d’une pierre blanche dans l’histoire des mathématiques. À 15 ans, il a déjà étudié les œuvres d’Euler a et de d’Alembert b et son professeur, Bernt Holmboe, impressionné par les dons du jeune homme, l’encourage à lire les travaux de Lagrange c et Laplace d et surtout l’aide à financer ses études à l’université après le décès de son père qui a laissé sa famille dans la misère. Suite à la publication de ses premiers articles Niels Abel sur des équations fonctionnelles et intégrales, il obtient une (1802–1829) bourse lui permettant de voyager et de rencontrer en 1825 et 1826 Gauss e et Crelle f fondateur d’un des journaux mathématiques majeurs du XIXe siècle g . C’est à cette époque qu’il publie ses premiers résultats sur les intégrales elliptiques et son fameux article prouvant l’impossibilité de la résolution des équations du cinquième degré par radicaux. Il arrive à Paris au cours de l’été 1826 mais est déçu par sa rencontre avec Cauchy h qui le reçoit plutôt froidement. Dans une lettre à son ancien professeur Holmboe écrite quelques mois auparavant, il dénonce l’inexactitude du théorème de Cauchy sur la continuité de la somme d’une série de fonctions continues i . Désabusé par le peu d’intérêt manifesté à l’égard de ses travaux, il quitte finalement Paris pour retourner à Berlin, mais sa santé s’altère et il meurt de la tuberculose à 26 ans, alors que Crelle vient de lui obtenir un poste de professeur à Berlin. a. cf. notice biographique p. 78. b. cf. notice biographique p. 35. c. Pierre-Simon (de) Laplace (1749-1827). d. Joseph-Louis (de) Lagrange (1736-1813). e. cf. note biographique p. 51. f. August Leopold Crelle (1780-1855). g. Journal für die reine und angewandte Mathematik cité dans la suite de cet ouvrage sous le nom de Journal de Crelle. h. cf. notice biographique p. 22. i. cf. p. 319.

Démonstration Montrons que la suite des sommes partielles

Notons pour tout n ∈ N, Vn = De plus, on a : n �

k=0

20

n �

vk . Alors

k=0

uk vk = u0 v0 +

n �

k=1

�

n �

uk vk

k=0

�

converge.

⎧ ⎪ ⎨ v0 = V0

⎪ ⎩ v =V −V n n n−1 si n 1

uk vk = u0 V0 +

n �

k=1

� � uk Vk − Vk−1

1.7

com De plé s po99 peu ur al ment plu ler u s s lo n in  !

Compléments

Remarque

Dans le théorème 22 (p. 97), la décroissance de la suite (un ) est nécessaire comme le montre le contre-exemple suivant : soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N par ⎧ 1 ⎪ ⎨ si n est une puissance de 2 n un = ⎪ ⎩ 0 sinon La série

�

1.7.6

� � 1 . un converge et pourtant un n’est pas un o n

Théorème de Pringsheim

Théorème 23 (Pringsheim (1889) 74 ) Soit (un ) une suite réelle strictement positive telle que �

un diverge. � � n � converge où (Sn )n 1 = uk est la suite

un α Sn Sn−1 � des sommes partielles associée à un . Alors pour tout α ∈ R∗+ ,

�

k=1

Démonstration Soit α ∈ R∗+ . Comme

�

un diverge, Sn −−−−−→ +∞. n→+∞

Donc il existe N ∈ N tel que n N =⇒ Sn > 1. Comme la série

�

� Sn − Sn−1 un = est à termes positifs, il suffit de montrer α α Sn Sn−1 Sn Sn−1

que la suite de ses sommes partielles est majorée. Soient p ∈ N∗ tel que

1 < α et n N + 1 p

1/p

α Alors Sn−1 < Sn−1 donc

Sn − Sn−1 Sn − Sn−1 < α 1/p Sn Sn−1 Sn Sn−1

(∗)

74. cf. Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Mathematische Annalen, 35, pp. 297-394.

21

nts Des me100 n ĂŠ pl ller u in  ! m a o c our s lo p u plu pe

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques

Alfred Pringsheim, issu d’une famille juive très aisĂŠe,

rĂŠvèle très tĂ´t des dons en musique et en mathĂŠmatiques. Bien qu’excellent pianiste, ami de Richard Wagner, il dĂŠcide ďŹ nalement d’entamer des ĂŠtudes supĂŠrieures en mathĂŠmatiques tout d’abord Ă l’universitĂŠ de Berlin puis Ă Heidelberg oĂš il soutient sa thèse en 1872 sous la direction d’un ĂŠlève de Weierstrass, spĂŠcialiste des fonctions elliptiques. Il effectue toute sa carrière Ă l’universitĂŠ de Munich (jusqu’en 1922). Mais, Hitler ayant accĂŠdĂŠ au pouvoir en 1933, les mesures antisĂŠmites l’obligent Ă vendre son magniďŹ que manoir et Ă Alfred Pringsheim se sĂŠparer de son exceptionnelle collection de faĂŻences italiennes de la Renaissance. Il obtient nĂŠanmoins l’au(1850–1941) torisation d’Êmigrer en Suisse en 1939. Il publie entre 1916 et 1932 les cinq parties (en deux volumes) de son ouvrage sur les thĂŠories des nombres et des fonctions a . De son mariage avec la comĂŠdienne Hedwig Dohm, il a quatre ďŹ ls b et une ďŹ lle Katharina dite Katia c (1883-1980) qui ĂŠpousa le cĂŠlèbre ĂŠcrivain Thomas Mann (1875-1955) en 1905. a. Vorlesungen Ăźber Zahlen- und Funktionenlehre., B.G. Teubner, Leipzig b. dont Klaus (1883-1972) chef d’orchestre et compositeur et Peter (1881-1963) physicien professeur d’universitĂŠ. c. ou Katja.

Comme pour tout x ∈ ]0, 1], 1 − xp = (1 − x) 1 + x + ¡ ¡ ¡ + xp−1 p(1 − x) on a, via (∗∗) appliquĂŠe Ă x =

Sn−1 Sn

1/p

1/p Sn−1 Sn−1 , 1− p 1 − 1/p Sn Sn

donc Sn − Sn−1 1/p

p

Sn−1

Sn − Sn−1

p

Sn − Sn−1 p Îą Sn Sn−1

soit encore 1/p

Donc via (∗), on a

22

1/p

Sn Sn−1

Sn Sn−1

(∗∗)

1/p

1−

1 1/p

Sn−1

1 1/p

Sn−1

−

−

Sn−1 1/p

Sn

1 1/p

Sn

1 1/p

Sn

1.7

com De plĂŠ s p101 peuour al ment plu ler u s sl n proposi- oin  !

ComplĂŠments

1

est convergente (vers 0) donc via la or comme Sn −−−−−→ +∞, 1/p n→+∞ Sn 1 1 tion 7 (p. 27) − 1/p converge donc la suite de ses sommes partielles est 1/p Sn−1 Sn majorĂŠe. Finalement la suite des sommes partielles associĂŠe Ă Sn − Sn−1 Îą Sn Sn−1

converge.

Sn − Sn−1 Îą Sn Sn−1

est majorĂŠe donc

Exemple ConsidĂŠrons la suite (un ) = La sĂŠrie

1 . n

un diverge avec Sn âˆź ln(n) (cf. exemple p. 60). +∞

Via le thĂŠorème prĂŠcĂŠdent, pour tout Îą > 0, ln(n − 1) âˆź ln(n), +∞

1.7.7

1 Îą+1

n ln

(n)

1 converge et comme n ln(n) lnÎą (n − 1)

converge : on retrouve ainsi le thÊorème de Bertrand.

ThĂŠorème d’Abel

ThĂŠorème 24 (Abel 75 (1828) 76,77 ) Soient Îą ∈ R et (un ) une suite rĂŠelle strictement positive telle que un diverge. n un Alors converge ssi Îą > 1 oĂš (S ) = uk est la suite des sommes n n 1 SnÎą k=1 partielles associĂŠe Ă un . Remarque Ce thĂŠorème fut d’abord montrĂŠ partiellement par Abel 78 en 1828, puis entièrement par Dini en 1867 79 avant que l’on retrouve ďŹ nalement l’ÊnoncĂŠ complet d’Abel en 1881. 75. 76. 77. 78. 79.

parfois appelĂŠ thĂŠorème d’Abel-Dini (cf. la remarque suivant le thĂŠorème). cf. Note sur un mĂŠmoire de M. L. Olivier, Journal de Crelle, 3, pp. 79-81. cf. ĂŠgalement Sur les sĂŠries, Ĺ’uvres complètes, 2, pp. 197-205. cf. notice biographique p. 61. cf. Sulle serie a termini positivi, Ann. univ. Toscana, 9, pp. 41-76.

23

nts Des me102 n ĂŠ pl ller u in  ! m a o c our s lo u p u plDĂŠmonstration pe

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques

Supposons Îą > 1. Soit n ∈ N tel que n 2. Comme

un est une sĂŠrie Ă termes positifs, (Sn ) est croissante donc Sn Sn−1 .

Îąâˆ’1 Ainsi SnÎą = Sn SnÎąâˆ’1 Sn Sn−1 donc 0 <

un un Îąâˆ’1 SnÎą Sn Sn−1

Or via le thÊorème de Pringsheim (p. 99), un converge. Snι

un Îąâˆ’1 converge car Îą − 1 > 0 donc Sn Sn−1

Supposons Îą = 1. un diverge. Sn un un converge. Alors −−−−−→ 0. Supposons que Sn Sn n→+∞ un un un − ln 1 − âˆź converge. Or − ln 1 − donc Sn +∞ Sn Sn

Montrons par l’absurde que

Or pour tout n 2, un Sn − (Sn − Sn−1 ) − ln 1 − = − ln = ln(Sn ) − ln(Sn−1 ) Sn Sn

ln(Sn ) − ln(Sn−1 ) converge. D’oĂš, via la proposition 7 (p. 27), ln(Sn ) et donc (Sn ) converge vers une limite ďŹ nie ce qui est absurde sachant que un diverge par hypothèse. Donc

Supposons Îą < 1. Comme un diverge, Sn −−−−−→ +∞. n→+∞

Donc il existe N ∈ N tel que n N =⇒ Sn > 1.

Soit n N . Alors SnÎą < Sn donc

un un > >0 Îą Sn Sn

or, via le cas Îą = 1 ĂŠtudiĂŠ prĂŠcĂŠdemment,

24

un un diverge donc diverge. Sn SnÎą

1.7 1.7.8

com De plĂŠ s p103 peuour al ment plu ler u s s lo n in  !

ComplÊments ThÊorème de Dini

ThĂŠorème 25 (Dini (1867) 80 ) Soient Îą ∈ R et (un ) une suite rĂŠelle strictement positive telle que un converge ssi Îą < 1 Alors Îą Rn−1 associĂŠe Ă

un .

oĂš Rn =

+∞

uk

k=n+1

un converge.

est la suite des restes

DĂŠmonstration un . Supposons Îą < 1. Notons (Sn ) la suite des sommes partielles associĂŠe Ă Comme un converge (vers sa somme S), Rn = S − Sn −−−−−→ 0. n→+∞

Donc il existe N ∈ N tel que n N =⇒ Rn < 1. un Comme la sĂŠrie est Ă termes positifs, il suďŹƒt de montrer que la suite de ses Îą Rn−1

sommes partielles est majorĂŠe. Soient p ∈ N∗ tel que Îą < 1 −

1− 1 1 Îą et n N + 1. Alors Rn−1 > Rn−1p donc p

un un < 1− 1 Îą Rn−1 Rn−1p or un = Rn−1 − Rn donc un 1− 1

=

Rn−1p

Rn−1 − Rn 1/p Rn−1 = Rn−1

D’oĂš, via (∗), on a un < Îą Rn−1

(∗)

Rn 1/p Rn−1 1− Rn−1

Rn 1/p Rn−1 1− Rn−1

(∗∗)

Comme pour tout x ∈ ]0, 1], 1 − xp = (1 − x) 1 + x + ¡ ¡ ¡ + xp−1 p(1 − x)

(∗ ∗ ∗)

80. cf. Sulle serie a termini positivi, Ann. univ. Toscana, 9, pp. 41-76.

25

nts Des me104 n ĂŠ pl ller u in  ! m a o c our s lo p u plu pe

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques

Originaire

de Pise, Ulisse Dini poursuit d’abord des ĂŠtudes Ă l’École normale supĂŠrieure de sa ville natale puis obtient une bourse en 1865 lui permettant d’Êtudier Ă Paris. Il y rencontre notamment Bertrand a et Hermite b , entame une activitĂŠ intense de recherche concrĂŠtisĂŠe par la publication la mĂŞme annĂŠe de plusieurs articles Ă Paris c et Ă Rome d . Il obtient dès son retour en Italie en 1866 un poste Ă l’universitĂŠ de Pise. Il s’implique non seulement dans la pĂŠdagogie des mathĂŠmatiques en occupant très jeune diUlisse Dini verses chaires importantes, mais aussi du cĂ´tĂŠ adminis(1845–1918) tratif en ďŹ nissant recteur de l’universitĂŠ en 1888. Parallèlement Ă sa carrière scientiďŹ que, il entame très tĂ´t une brillante carrière politique et est ĂŠlu sĂŠnateur au Parlement en 1892. En 1908, il a la grande joie d’être nommĂŠ directeur de son ancienne École normale supĂŠrieure jusqu’à son dĂŠcès en 1918. Ses recherches concernent principalement les fonctions de la variable rĂŠelle e , les sĂŠries de Fourier f mais aussi les suites de fonctions pour lesquelles il approfondit la connaissance de la convergence uniforme g .

a. cf. notice biographique p. 31. b. Charles Hermite (1822-1901). c. cf. Sur les surfaces Ă courbure constante nĂŠgative, et sur celles applicables sur les surfaces Ă aire minima, C. R. Acad. Sc., 60, pp. 340-341. d. cf. Sulle superďŹ cie nelle quali la somma dei due raggi di curvatura principale è costante, Ann. di Mat. pura ed applicata, 7, pp. 5-18. e. cf. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, T. Nistri, Pisa (1878). f. cf. Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale, T. Nistri, Pisa (1880). g. cf. thĂŠorèmes 51 (p. 264) et 52 (p. 266).

on a, via (∗ ∗ ∗) appliquĂŠe Ă x =

Rn Rn−1

1/p

,

1/p Rn Rn 1− p 1− Rn−1 Rn−1 donc

D’oĂš, via (∗∗), on a

Rn 1− Rn−1

1/p 1/p Rn−1 p Rn−1 − Rn1/p

un 1/p p Rn−1 − Rn1/p Îą Rn−1

1/p est convergente donc via la proposition 7 (p. 27) Or comme Rn −−−−−→ 0, Rn n→+∞ 1/p Rn−1 − Rn1/p converge donc la suite de ses sommes partielles est majorĂŠe.

26

qu Des Chapitre 1. Séries numériques

112

de estion cou s rs

1.2 Soit (un ) une suite réelle strictement positive telle que

un+1 −−−−−→ 0 un n→+∞

Alors un −−−−−→ 0. n→+∞

a. vrai b. faux

1.3 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles strictement positives tels que un+1 vn+1 · Alors un vn a. un converge b.

vn converge et

un diverge

c. on ne peut rien dire quant à la nature de

1.4 Soit (un ) une suite réelle telle que a. vrai

un

(un+1 − un ) converge. Alors (un ) converge.

b. faux

1.5 Soit (un )n∈N une suite réelle positive et décroissante quelconque. Alors a. b.

(−1)n un converge (−1)n un diverge

c. on ne peut rien dire sur la nature de

(−1)n un

27

Dest1.8 ns Questions de cours o i s rs quee coCu1.2 d Soit (u ) une suite réelle strictement positive telle que u n

115

n+1

un

−−−−−→ 0 n→+∞

Alors un −−−−−→ 0. n→+∞

a. vrai b. faux C 1.3 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles strictement positives tels que un+1 vn+1 un vn

vn converge et

Alors a. b.

un converge un diverge

c. on ne peut rien dire quant à la nature de C 1.4 Soit (un ) une suite réelle telle que a. vrai

un

(un+1 − un ) converge. Alors (un ) converge.

b. faux C 1.5 Soit (un )n∈N une suite réelle positive et décroissante quelconque. Alors a. b.

(−1)n un converge (−1)n un diverge

c. on ne peut rien dire sur la nature de

(−1)n un

C 1.6 Soit (un ) une suite réelle strictement positive. Alors a.

28

un converge =⇒

nun converge

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques ex Des

120 1.4

√ n + (−1)n √ Soit a ∈ R. On considère la suite (un ) dĂŠďŹ nie par un = ln n+a

cor ercice rigĂŠ s s

1. DĂŠterminer le plus petit entier n0 tel que un est dĂŠďŹ ni pour tout n n0 . 2. Pour n n0 , on pose vn =

√ √ n n+a

(−1)n , ĂŠtudier En ayant vĂŠriďŹ ĂŠ que pour tout n n0 , un = ln(vn ) + ln 1 + √ n la nature de un suivant les valeurs de a. C 1.4 1. un est dĂŠďŹ nie ssi

n + a > 0 et

√ n + (−1)n √ >0 n+a

√ n + (−1)n > 0)

c’est-Ă -dire ssi (n > −a

et

soit encore ssi (n > −a

et n 2).

Si a > −2, n0 = 2 convient. Si a −2, n0 = E | − a| + 1 convient. 2. Soit n n0 . un

√ n + (−1)n √ = ln n+a

=

√ n (−1)n ln √ 1+ √ n n+a

√ n (−1)n (−1)n = ln (vn ) + ln 1 + √ = ln √ + ln 1 + √ n n n+a Or vn =

donc ln (vn )

n a = 1+ n+a n

−1 2

= 1−

3a2 a + 2 +o = ln 1 − 2n 8n 3a2 1 a + 2− = − 2n 8n 2

3a2 a + 2 +o 2n 8n

1 n2

1 n2

a 3a2 − 2 2n 8n

2

+o

1 n2

29

Desc1.9 es Exercices corrigés c i r s exe rrigé d’où co ln (vn ) = −

121

3a2 a a2 + 2 − 2 +o 2n 8n 8n

1 n2

=−

a2 a + 2 +o 2n 4n

1 n2

Ainsi a (−1)n (−1)n a2 1 √ =− + ln 1 + un = ln (vn ) + ln 1 + √ + 2 +o 2n 4n n2 n n (−1)n = Or ln 1 + √ n

(−1)n (−1)2n (−1)3n √ +o √ − + n 2n 3n n

1 √ n n

1 (−1)n 1 (−1)n √ √ − + √ +o n 2n 3n n n n a2 1 1 √ D’autre part = o + o 4n2 n2 n n (−1)n (−1)n 1 1 a √ + √ + √ +o − D’où un = − 2n 2n 3n n n n n =

=

a + 1 (−1)n (−1)n √ + √ +o − 2n n 3n n

1 √ n n

Si a + 1 = 0 c’est-à-dire si a = −1 alors (−1)n (−1)n + √ +o un = √ n 3n n Or

1 √ n n

(−1)n 1 √ est une série alternée convergente car √ est décroissante et n n

tend vers 0.

(−1)n √ +o Notons wn = 3n n Alors |wn | ∼

+∞

or

1 n

3 2

1 √ n n

1 1 √ = 3 3n n 3n 2

converge. Donc

Finalement

30

wn converge absolument donc converge.

un somme de deux séries convergentes converge.

Chapitre 1. SĂŠries numĂŠriques ex Des

122 Si a ďż˝= −1 alors

a+1 2n

diverge et

via ce qui prÊcède. Donc

(−1)n (−1)n √ +o √ + n 3n n

1 √ n n

cor ercice rig s converge ĂŠs

un , somme d’une sÊrie divergente et d’une sÊrie convergente, diverge.

1.5 Soient (a, b) ∈ R . DĂŠterminer la nature de la sĂŠrie de terme gĂŠnĂŠral un = 2

n+a n+b

n2

C 1.5 Il s’agit d’une sĂŠrie Ă termes positifs. Utilisons la règle de Cauchy. a n n 1 + √ n+a n n un = = n n+b b 1+ n donc

ea √ n un −−−−−→ b = ea−b n→+∞ e

D’oĂš, via la règle de Cauchy, on a : • si ea−b < 1 c’est-Ă -dire a < b alors • si ea−b > 1 c’est-Ă -dire a > b alors

un converge un diverge

• si ea−b = 1 c’est-Ă -dire a = b alors un = 1 donc lim(un ) ďż˝= 0 d’oĂš 1.6 ConsidĂŠrons la sĂŠrie de terme gĂŠnĂŠral un oĂš un = a ∈ R∗+ et Îą ∈ R.

un diverge

nι avec (1 + a)(1 + a2 ) ¡ ¡ ¡ (1 + an )

1. Étudier les cas a > 1 et a = 1 via la règle de d’Alembert. 2. Étudions Ă prĂŠsent le cas a < 1. a. Montrer que

ln(1 + an ) converge.

b. Montrer qu’il existe un rĂŠel k tel que un âˆź knÎą +∞

c. En dĂŠduire la nature de

un .

31

Index A

B

Abel, 312, 319, 323

Baire

notice biographique, 61

notice biographique, 312

règle d’, 60, 167

Bernoulli (Daniel), 78

théorèmes d’, 72, 101

Bernoulli (Johann), 54, 78

transformation d’, 62 absolue convergence — d’une intégrale impropre, 151 convergence — d’une série de fonctions, 314 convergence — d’une série numérique, 55 Alembert (d’), 51, 350 notice biographique, 35 règle de, 34

Bernstein, 232, 284 lemme de, 274 notice biographique, 270 polynômes de, 232, 269 théorème de, 274 Bertrand, 87, 104 fonctions de, 148 fonctions de — généralisées, 158 intégrales de, 148 intégrales de — généralisées, 158 notice biographique, 31 séries de, 30

Almansi, 374

séries de — généralisées, 86–92

alternée(s)

théorèmes de, 31, 148

critère spécial des séries, 53 série, 52 Apéry, 74

Bessel, 248 inégalité de, 370 notice biographique, 370 théorème de, 370

32

430

Index

bêta (fonction — d’Euler), 190

règle de, 37

Bézier, 256

suite de, 97

courbe de, 233, 271 courbe de — cubique, 271

théorèmes de, 41, 42, 65, 144 Cesàro, 376

courbe de — linéaire, 271

convergence en moyenne de, 396

courbe de — quadratique, 271

notice biographique, 39

cubique de, 233, 271

théorème de, 38

notice biographique, 272 Bézout, 358

changement de variable dans les intégrales impropres, 146

Bianchi, 177

Chebyshev, 31

Biot, 31, 204

classe (C 1 par morceaux), 385

Bois-Reymond (du), 108, 376

coefficients (de Fourier), 357, 362

notice biographique, 382 théorème de, 381 Boltzmann, 84

comparaison critère de — logarithmique, 33 critères de — pour les intégrales impropres, 142

Bonnet, 87 Bouquet, 319

critères de — pour les séries, 26

Briot, 319

des règles de Cauchy et de d’Alembert, 38–44

C

intégration des relations de —, 152–

Cantor, 106, 108, 250 notice biographique, 250

157 sommation des relations de —, 57–60

Carathéodory, 399

condensation (lemme de — de Cauchy), 21

Carleman

constante (d’Euler), 28

notice biographique, 84 théorème de, 83 Catalan, 39 Cauchy, 25, 61, 319

continue par morceaux, 355 uniformément —, 161 continuité

critère de Cauchy, 165

par morceaux, 355

critère intégral de, 144

uniforme, 161

lemme de condensation de, 21

convergence

lemme de l’escalier de, 41

absolue d’une intégrale impropre, 151

notice biographique, 22

absolue d’une série de fonctions, 314

produit de, 64

absolue d’une série numérique, 55

33

431 d’une série numérique, 15

notice biographique, 104

en moyenne de Cesàro, 396

théorèmes de, 103, 264, 266

en moyenne quadratique, 376

Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358

normale d’une série de fonctions, 313

condition de, 365

semi- — d’une série numérique, 57

espace de, 365

simple d’une série de fonctions, 307

intégrales de, 195–200

simple d’une suite de fonctions, 235

notice biographique, 196

uniforme d’une série de fonctions, 308

noyau de, 386

uniforme d’une suite de fonctions, 238

théorèmes de, 195, 387

corde(s)

Duhamel, 31

équation des — vibrantes, 350

notice biographique, 48

problème des — vibrantes, 350

règle de, 47

vibration d’une — de guitare, 350–353

règle de Raabe et — généralisée, 92–96

courbe de Bézier, 233, 271

E

cubique, 271

égalité (de Parseval), 378

linéaire, 271

Ermakov (théorème d’), 169

quadratique, 271

espace (préhilbertien), 363

Crelle, 61

Euler, 45, 61, 74 constante d’, 28

critère(s) de Cauchy, 165

fonction Γ d’, 189

de comparaison

fonction B d’, 190

pour les intégrales impropres, 142

intégrales d’, 189–193

pour les séries, 26

notice biographique, 78 théorèmes d’, 77, 193

de comparaison logarithmique, 33 intégral de Cauchy, 144 spécial des séries alternées, 53 cubique (de Bézier), 233, 271

F Fejér, 376, 383, 401 notice biographique, 399

D

noyau de, 397

Dedekind, 250

théorèmes de, 398, 401

définie (forme), 363

Fermat, 108, 196

Diderot, 35

fonction(s)

Dini, 87, 177

34

B d’Euler, 190

432

Index

Γ d’Euler, 189

H

de Bertrand, 148

Hadamard, 284

de Bertrand généralisées, 158

Halley (comète de), 370

de Riemann, 139

Hardy (notation de), 88

Fontenelle, 54

harmonique (série), 12, 19

forme

Heine, 256

définie, 363

notice biographique, 162

hermitienne, 363

théorèmes de, 162, 253, 321

positive, 363

Hermite, 104

sequilinéaire, 363

hermitienne (forme), 363

Fourier, 104, 196, 359, 382, 399 coefficients de, 357, 362 notice biographique, 358 Fresnel intégrales de, 203–212 notice biographique, 204 théorème de, 203 Fubini notice biographique, 177 théorèmes de, 175, 184, 186

Hettner, 256 Hilbert, 69, 250, 270 Holmboe, 61, 319

I inégalité de Bessel, 370 de Wirtinger, 374 intégrale(s) d’Euler, 189–193 de Bertrand, 148 de Bertrand généralisées, 158

G Galois, 106 gamma (fonction — d’Euler), 189 Gauss, 35, 61, 162, 196 intégrale de, 200–203

de Dirichlet, 195–200 de Fresnel, 203–212 de Gauss, 200–203 de Lejeune-Dirichlet, 195–200 définie dépendant d’un paramètre, 171

loi de, 130

double, 175, 184, 186

notice biographique, 51

eulériennes, 189–193

règle de, 49 théorème de, 200 géométrique (série), 12, 16 Gudermann, 239

intégration des relations de comparaison, 152–157 par parties dans les intégrales impropres, 145

35

433

J

noyau de, 386

Jacobi, 248

théorèmes de, 195, 387 lemme(s)

K

de Bernstein, 274

Kantorovich

de condensation de Cauchy, 21

notice biographique, 284

de l’escalier de Cauchy, 41

théorème de, 284

de Riemann, 371, 388

Koch (von), 84

de Riemann-Lebesgue, 371, 388

Kolmogorov, 270, 284 Kronecker, 68, 106, 108, 162

M

notice biographique, 106

Mérimée (Prosper), 204

théorème de, 105

Mann (Thomas), 100

Kummer, 68, 162 notice biographique, 108

McCarthy, 323 Mertens

règle de, 109

notice biographique, 68

théorème de, 107

théorème de, 68 Mittag-Leffler, 84

L

Monge, 358

Lacroix, 379

Montel, 284

Lagrange, 22, 61, 304, 358

morceaux

Landau, 399

continue par, 355

Laplace, 22, 61, 200

continuité par, 355

Lebesgue

de classe C 1 par, 385

lemmes de Riemann-, 371, 388

Morgan (de), 87

théorèmes de Riemann-, 371, 388

moyenne

Leibniz

convergence en — de Cesàro, 396

notice biographique, 54

convergence en — quadratique, 376

règle de, 53 théorème de, 173

N

Lejeune-Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358 Newton, 54 condition de, 365

normale (convergence — d’une série de fonctions), 313

espace de, 365 intégrales de, 195–200 notice biographique, 196

36

noyau de Dirichlet, 386

434

Index

de Fejér, 397

notice biographique, 45

de Lejeune-Dirichlet, 386

règle de, 44 règle de — et Duhamel généralisée, 92–

O

96

Olivier (théorème d’), 97

Rademacher, 69

orthogonal (projecteur), 368

règle(s) d’Abel, 60, 167

P

de Cauchy, 37

paradoxe de Zénon, 11, 130

de d’Alembert, 34

Parseval, 74, 378

de Duhamel, 47

égalité de, 378

de Gauss, 49

théorème de, 378

de Kummer, 109

Poisson, 359, 379

de Leibniz, 53

Pólya, 264

de Raabe, 44

polynôme(s)

de Raabe et Duhamel généralisée, 92–

de Bernstein, 232, 269

96

trigonométrique, 277, 369

de Riemann, 28

positive (forme), 363

de Riemann généralisée, 29

préhilbertien (espace), 363

régularisée (d’une fonction), 365

Pringsheim

reste (d’une série), 17, 307

notice biographique, 100

Riemann fonctions de, 139

théorème de, 99

lemmes de, 371, 388

produit de Cauchy, 64

lemmes de — -Lebesgue, 371, 388

de deux séries, 64

notice biographique, 25

produit scalaire, 363

règle de, 28

projecteur (orthogonal), 368

règle de — généralisée, 29 séries de, 24

Q

théorèmes de, 371, 388

quadratique

théorèmes de — -Lebesgue, 371, 388

convergence en moyenne, 376

S R Raabe

Schlömilch notice biographique, 81

37

435 théorème de, 80 Schmidt, 399

Taylor, 304

Schrödinger, 68, 84

formule de, 304

Schwarz, 108, 256, 320, 399

série de, 305

Seidel, 320 notice biographique, 248 théorèmes de, 248, 318 série(s)

Tchebychev, 31 théorème(s) d’Abel, 72, 101 d’Ermakov, 169

à termes positifs, 20

d’Euler, 77, 193

alternée, 52

d’Olivier, 97

critères de comparaison, 26

de Bernstein, 274

de Bertrand, 30

de Bertrand, 31, 148

de Bertrand généralisées, 86–92

de Bessel, 370

de Riemann, 24

de Carleman, 83

définition, 15, 306

de Cauchy, 21, 41, 42, 65, 144

géométrique, 12, 16

de Cesàro, 38

harmonique, 12, 19

de Dini, 103, 264, 266

reste, 17

de Dirichlet, 195, 387

somme, 17

de du Bois-Reymond, 381

trigonométrique, 354

de Fejér, 398, 401

sesquilinéaire (forme), 363

de Fresnel, 203

simple

de Fubini, 175, 184, 186

convergence — d’une série de fonctions, 307 convergence — d’une suite de fonctions, 235 sommation des relations de comparaison, 57–60 somme(s)

38

T

de Gauss, 200 de Heine, 162, 253, 321 de Kantorovich, 284 de Kronecker, 105 de Kummer, 107 de Leibniz, 173 de Lejeune-Dirichlet, 195, 387

d’une série, 17, 307

de Mertens, 68

exemples de calculs de, 74–80

de Parseval, 378

partielles d’une série, 15, 306

de Pringsheim, 99

Stolz, 175

de Riemann, 371, 388

Szegö, 264

de Riemann-Lebesgue, 371, 388

436

Index

de Schlömilch, 80 de Seidel, 248, 318 de Toeplitz, 69 de Weierstrass, 255, 273, 278, 313, 322, 323 de Wirtinger, 374 Toeplitz notice biographique, 69 théorème de, 69 transformation d’Abel, 62 trigonométrique (polynôme), 277, 369

U uniforme continuité, 161 convergence — d’une série de fonctions, 308 convergence — d’une suite de fonctions, 238

W Weierstrass, 68, 100, 106, 108, 162, 270, 312, 313, 320, 401 notice biographique, 256 théorèmes de, 255, 273, 278, 313, 322, 323 Wirtinger inégalité de, 374 notice biographique, 375 théorème de, 374

Z Zénon (paradoxe de), 11, 130

39

C

et ouvrage tout en couleurs développe une étude originale et approfondie du programme d’analyse de 2e année des classes préparatoires.

• Le texte écrit dans un style aéré permet à tous les étudiants, quel que soit leur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension et l’assimilation des notions abordées. • Des questions de cours et des exercices dont les corrigés sont très détaillés permettent de vérifier l’acquisition des points clés de chaque chapitre. • L’auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte historique : les théorèmes sont systématiquement datés, leurs sources précises indiquées et des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des mathématiciens cités. • En plus du programme officiel, l’ouvrage aborde des théorèmes plus difficiles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement des sujets classiques. L’ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l’Agrégation. Olivier Rodot est responsable du département Mathématiques des classes préparatoires de l’EPITA.

LES

Conception graphique : Primo&Primo

+

+ Strictement conforme au programme + De nombreux exercices corrigés + Texte abondamment illustré pour faciliter la compréhension + Tout en couleurs

978-2-8041-6230-6

PREANA2

www.deboeck.com

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.