CQFD 5e (6 pér./sem.) by Groupe De Boeck

Marc ANNOYE Annick VAN EERDENBRUGGHE

CQFD5-6P+4e-195_Manuel_Mise en page 1 18/04/13 15:37 Page1

Le manuel CQFD 5e contient la matière vue en classe de 5e année (6 périodes de maths par semaine) et est conforme aux programmes des différents réseaux de la Fédération Wallonie-Bruxelles.

u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre.

u La construction des savoirs se fait de manière guidée

u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques.

u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves

u Les exercices sont diversifiés et classés selon trois rubriques qui se rapportent à la compréhension de la théorie, à l’habileté procédurale ou à la résolution de problèmes.

6 PÉRIODES PAR SEMAINE

u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.

u Une mise en page structurée et en couleurs

u De nombreux exercices et problèmes

MANUEL

Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :

CQFD 5e CORRIGÉ Le corrigé contient les solutions de tous les exercices du manuel de 5e année.

CQFD 5e MANUEL PROJETABLE Les manuels de la collection CQFD sont disponibles en version projetable sur le Portail de Maths http://maths.deboeck.com

ISBN : 978-2-8041-7056-1

9782804170561 CQFD56

www.deboeck.com

Conception graphique : Primo&Primo

CQFD 5e, c'est également :

CQFD MATHS 5e

UNE COLLECTION DE MANUELS DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN

Marc ANNOYE Annick VAN EERDENBRUGGHE

6 PÉRIODES / SEMAINE

Marc ANNOYE Annick VAN EERDENBRUGGHE Avec la collaboration de Françoise Van Dieren

6 périodes / semaine

Pour toute information sur notre fonds, consultez notre site web : www.deboeck.com

Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits photographiques : © The Trustees of the British Museum (p. 244), © Apprendre à lire le monde, De Boeck, 2010, p. 115 (p. 386 ht) ; Fotolia : rufous (p. 4), Maxime Rabault (p. 7 ht), perfectmatch (p. 7 bas), Frank Jr (p. 27), Studiogriffon.com (p. 35), Maxim Tupikov (p. 37), Olga Drozdova (p. 38), photlook (p. 42), Lionel Le Jeune (p. 56), Richard Villalon (p. 60 ht), NIK (p. 60 bas), Gargonio (p. 62), Ezechiel (p. 63 ht), Zurich (p. 63 bas), Videowokart (p. 91 g), thierry burot (p. 91 d), mikushin (p. 95), beatrice prève (p. 104), beatrice prève (p. 144 ht), Frog 974 (p. 144 bas), ELISABETH GUTHMANN (p. 145), Georgios Kollidas (p. 146), sandra sabbe (p. 148), Sailorr (p. 158), Patrick Chazot (p. 160), PhG (p. 162), Pauli N. (p. 189), Adrian Beesley (p. 192), Mikael Damkier (p. 193), NLo (p. 198), Ynamaku (p. 200), Maxim Pavlov (p. 236), Kristin Speed (p. 239 bas), Finnegan (p. 240 ht), Oleksandr Bondar (p. 240 m), HamsterMan (p. 240 bas), Elenathewise (p. 246), Sergey Shlyaev (p. 249), Marc Rigaud (p. 268), Mikael29 (p. 272), Guillaume Besnard (p. 273), Mickaël Plichard (p. 276), Yveline Thouvenot (p. 277), alexandre zveiger (p. 278), Patrick J. (p. 279), Franco Di Meo (p. 292), Romain Quéré (p. 294 ht), Paco Ayala (p. 294 bas), ChristianFallini (p. 302), Jakub Halor (p. 307), Paul Heasman (p. 308), Julija Sapic (p. 312), Antonio Scarpi (p. 322), Cdrcom (p. 326), ChantalS (p. 327), Stocksolutions (p. 352 ht), Venemama (p. 352 bas), Alexi TAUZIN (p. 353), Kiwimage (p. 356), Dule964 (p. 357), pp76 (p. 358), Gautier Willaume (p. 385), Georgios Kollidas (p. 388), Coco (p. 390), OSCAR (p. 413 ht), Muro (p. 413 bas), Sven (p. 415 ht), Laure.C (p. 415 bas).

© De Boeck Éducation s.a., 2013 Rue des Minimes, 39, B-1000 Bruxelles Même si la loi autorise, moyennant le paiement de redevances (via la société Reprobel, créée à cet effet), la photocopie de courts extraits dans certains contextes bien déterminés, il reste totalement interdit de reproduire, sous quelque forme que ce soit, en tout ou en partie, le présent ouvrage. (Loi du 30 juin 1994 relative au droit d’auteur et aux droits voisins, modifiée par la loi du 3 avril 1995, parue au Moniteur du 27 juillet 1994 et mise à jour au 30 août 2000.)

La reprographie sauvage cause un préjudice grave aux auteurs et aux éditeurs. Le « photocopillage » tue le livre ! Imprimé en Italie Dépôt légal 2013/0074/180 ISBN 978-2-8041-7056-1

e r i a m m so Avant-propos Comment s’y prendre ? 1. Fonctions et graphiques

VI VIII 2

2. Suites

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

4. Limites et asymptotes

5. Continuité

146

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

160

7. Dérivées et applications

192

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

244

9. Orthogonalité dans l’espace

276

10. Produit scalaire dans le plan

292

11. Calcul vectoriel dans l’espace

308

12. Calcul matriciel

324

13. Géométrie analytique de l’espace

356

14. Systèmes d’équations

388

Annexes

419

Index

453

Table des matières

457

s o p o r p avantChaque fois que l’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Démontrer, Démystifier. Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces différents aspects de la formation mathématique alternent, se complètent… Pendant les quatre premières années de l’enseignement secondaire, les élèves ont progressivement développé leurs apprentissages. Ceux qui utiliseront ce manuel ont choisi le cours de mathématiques pour scientifiques1, à raison de 6 périodes par semaine. Élaboré dans le même esprit que les autres manuels de la collection, ce livre reflète notre souci de développer chez l’élève une formation mathématique rigoureuse par la maîtrise de ses connaissances et l’apprentissage de compétences telles que conjecturer, vérifier, argumenter, démontrer… tout en l’associant à la construction progressive de ses savoirs via le parcours présenté dans chaque chapitre : – l’introduction situe la matière à partir des acquis antérieurs et fait référence aux apports des mathématiciens et des différentes cultures au développement des mathématiques ; – l’exploration fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage de nouvelles notions et renvoie régulièrement à la synthèse et aux exercices ; – la synthèse, organisée en questions-réponses, fixe et structure les concepts, présente des théorèmes et leurs démonstrations ; – les exercices conduisent l’élève à maîtriser les aspects essentiels de la formation mathématique. Classés en trois rubriques, ils invitent l’élève à justifier ses démarches et à démontrer des propriétés, à acquérir une habileté procédurale, à utiliser ses acquis dans la résolution de problèmes. Les quatorze chapitres du manuel CQFD 5e (6 périodes/semaine) couvrent, de manière cumulative, l’ensemble des programmes des différents réseaux. Certains éléments ne concernent donc pas chacun de ceux-ci. C’est notamment le cas de certains chapitres entiers : le chapitre 8 « Parallélisme et incidence dans l’espace » répond au programme de la Fédération Wallonie-Bruxelles et à celui de la Ville de Bruxelles, le chapitre 10 « Produit scalaire dans le plan » à celui de la Fesec et à celui de la Province de Hainaut, le chapitre 13 « Géométrie analytique de l’espace2 » à celui de la Fesec et à celui de la Ville de Bruxelles. Des graphiques et tableaux figurant dans le manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués et peuvent être téléchargés gratuitement sur le site http://maths.deboeck.com. par le symbole Quelques exercices de dépassement figurent dans le manuel ; leur titre est précédé d’un astérisque (*). Une banque d’exercices se trouve en annexe, en fin de manuel ; les énoncés qui y figurent proviennent des examens d’entrée des facultés polytechniques de nos universités ou de l’Ecole royale militaire, ainsi que des Olympiades mathématiques.

1 Les textes en italique sont extraits du référentiel « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques » publié par le Ministère de la Communauté française. 2 Et donc aussi les applications liées à la géométrie analytique figurant dans le chapitre 14.

Avant-propos

Tout au long de la rédaction de ce manuel, nous avons été soutenus par Hugues Masy et Michelle Solhosse : leurs remarques, leurs suggestions, leurs relectures attentives ont enrichi notre texte. JeanLuc Gilon et Joël Wilemme ont participé aux séminaires qui préparaient la mise au point finale de chacun des chapitres. Leur expérience du terrain, leur compétence et leur assiduité ont contribué de manière décisive à la réalisation de ce projet. Nous remercions chaleureusement tous ces relecteurs et compagnons de travail. Nous ne pouvons pas passer sous silence les apports des coauteurs de la collection « Clic&Maths » et des manuels CQFD 5e (4 périodes/semaine) et CQFD 6e (4 périodes/semaine) : nous tenons à remercier Anne Bousson, Philippe Duvivier, Sabine Haussman et Jules Miewis dont les travaux antérieurs ont été à la base de certaines parties de ce manuel. Nous tenons également à remercier nos proches qui, par leur soutien, leur patience, leurs encouragements, leur aide, ont aussi contribué à l’aboutissement de ce projet. Les auteurs et collaborateur

Avant-propos

VII

? e r d n e r p y ’ s t n e m com Le manuel est structuré en 14 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique.

En analyse, la notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve chez Archimède qui avait recours à des suites géométriques pour approximer des aires et des volumes. Dans le chapitre 3 consacré aux nombres réels, on découvre la méthode d’héron d’AlexAndrie (ier siècle après J.-C.) qui utilise des procédés illimités pour extraire une racine carrée. On retrouve cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du xviie siècle) avec la méthode des indivisibles (cAvAlieri, Torricelli, PAscAl, robervAl ). Plus tard, bernoulli, newTon, moivre, sTirling et wAllis s’intéresse nt aux suites pour approcher des valeurs numériques. C’est à lAgrAnge (1736-1813) que l’on doit, semble-t-il, la notation indicielle.

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

exploration 1. Les épices de Marie Marie tient un commerce d’épices et de denrées exotiques. Elle y vend entre autres des mélanges d’épices qu’elle vend par sachets de 40 grammes. Elle propose trois types de mélanges décrits dans le tableau suivant. Mélange

En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

Bouquet garni

Gigot

Soupes

Thym

28 g

16 g

Laurier

28 g

16 g

Romarin

synthèse 3. Comment vérifier que deux droites sont orthogonales ? Théorème 9.2 – Critère d’orthogonalité de deux droites Deux droites sont orthogonales si et seulement si l’une est incluse dans un plan perpendiculaire à l’autre. d

1) Condition nécessaire Hypothèse

Droites a et b orthogonales Thèse

∃ α : a ⊂ α et b ⊥ α Démonstration

P b′

Soit P ∈ a . Par P, on trace b′// b , β = ( a , b′ ) , d ⊥ β et α = ( a , d ) . On a : • d est perpendiculaire à b′ ; en effet d ⊥ β , b′ ⊂ β et {P} = b′ ∩ d (théorème 9.1) ; • d est orthogonale à b ; en effet b′// b , {P} = b′ ∩ a et b′ ⊥ d ; • b ⊥ α ; en effet a ∩ d = {P} , a ⊂ α , d ⊂ α , b orthogonale à d, b orthogonale à a.

VIII

Comment s’y prendre ?

b fig. 11

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

exercices Expliciter les savoirs et les procédures

Les exercices Expliciter les savoirs et les procédures permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

2. Calculer un travail a.

Un monte-charge transporte un meuble de 50 kg du rez-de-chaussée au second étage d’une maison. La différence de niveau est de 6 m. Le travail à fournir est-il de 300 joules ou de 3 000 joules ?

La force de frottement moyenne qui agit sur une voiture est de 480 N. Quel est le travail effectué par la voiture lorsqu’elle se déplace de 3,5 km ?

exercices Appliquer une procédure Avec les exercices Appliquer 11. Limites de fonctions trigonométriques Calculer les limites suivantes. une procédure, tu acquiers un « savoir-faire » qui 3 sin x sin 2 x sin x 1) lim 5) lim 3) lim x→0 x→0 2 x x→0 4 x x s’appuie sur les énoncés et 1 − cos x tan x sin 3 x les méthodes découverts. 2) lim 4) lim 6) lim x→0 x→0 x→ 0 2x

exercices Résoudre un problème 14. Traduire une situation La société de télédistribution doit raccorder un nouveau client dont l’habitation est située à 65 m de la voirie. Il faut creuser une tranchée entre l’habitation et la boîte de raccordement située sur le trottoir à 50 m de l’entrée de la propriété (fig. 43). Le coût des travaux de terrassement s’élève à 5 €/m pour la tranchée creusée le long de la route et à 9 €/m pour la tranchée située sur la propriété. La société est libre de choisir le trajet du raccordement. La variable x désigne la distance de la boîte de raccordement à l’endroit où le câble pénètre dans la propriété. Écrire l’expression d’une fonction qui décrit le coût d’installation.

Les problèmes proposés mobilisent les concepts dans des situations variées.

Boîte de raccordement

50 m

fig. 43

exercices Résoudre un problème 13. Épargne Un artisan place les économies qu’il garde en vue de réaliser une rénovation de son atelier. Il dispose d’une somme de 3 000 €. Il souhaite répartir cette somme dans trois produits financiers d’une durée d’un an, en tenant compte des différents taux d’intérêt fixes liés à ces produits, mais aussi des possibilités de retrait anticipé que ceux-ci offrent en cas de besoin. Il envisage trois formules. Dans la première, il investit 500 € dans le produit financier A, 1 000 € dans le B et 1 500 € dans le C. Dans la deuxième, il investit 500 € dans chacun des produits A et B et 2 000 € dans le produit C. Dans la troisième, il investit 1 000 € dans chacun des produits. Pour ces trois formules, il calcule qu’il toucherait, au bout d’un an, des intérêts respectivement égaux à 36,5 €, 37 € et 35 €. Quels sont les taux d’intérêts des trois produits A, B et C ?

Comment s’y prendre ?

« (…) le souci majeur des mathématiciens est la conformité de leurs créations avec la logique, non avec la réalité. Cela ne veut toutefois pas dire que les inventions mathématiques n’ont aucun rapport avec les choses réelles. Elles en ont dans la plupart des cas, peut-être même dans tous. La concordance entre les idées mathématiques et la réalité est même si vaste et fermement démontrée que cela demande quelque éclaircissement. Soyez bien convaincus que cette concordance n’est pas la conséquence des efforts des mathématiciens pour être réalistes ; tout au contraire, leurs idées sont souvent abstraites et semblent initialement n’avoir aucun rapport avec le monde réel. Et pourtant les idées mathématiques sont bien appliquées en fin de compte dans la description de phénomènes réels. (…) Mon explication personnelle de cette coïncidence part de la supposition que l’imagination humaine est, littéralement, un sixième sens. (…) Nous percevons la réalité avec notre imagination, selon moi, de la même manière qu’avec nos cinq autres sens. (…) À la différence des autres scientifiques, qui observent la nature avec l’ensemble des cinq sens, les mathématiciens ne se servent pour cela que de leur seule imagination, presque exclusivement. » Michael Guillen Invitation aux mathématiques, Seuil, « Points Sciences », 1995.

1 fongcrtaiopnhsiques et

Jusqu’à présent, nous avons appelé fonction la relation qui lie une grandeur à une autre dont elle dépend : la vitesse d’un véhicule en fonction du temps, le volume d’une boîte en fonction d’une de ses dimensions, l’allongement d’une barre de métal en fonction de la température… Ces fonctions apparaissent sous forme de graphiques, de tableau x ou de formules (leur expression analytique). Le terme « fonction » a été introduit en 1692 par leibniz, philoso phe, scientifique, mathématicien, logicien, diplomate, juriste, bibliothécaire et philologue allema nd qui s’est attaché à développer la symbolique mathématique. C’est aussi lui qui a introd uit les termes « coordonnées », la notation du produit de a par b sous la forme a · b ou ab, et une définition logique de l’égalité. Depuis lors, la définition du concept de fonction a évolué à plusieurs reprises. Le lien entre l’expression d’une fonction et sa courbe représentative mène à l’élargissement de la notion. On admet des fonctions définies par morceaux puis des courbes qui ne peuvent être obtenues par des expressions analytiques. Au début du xxe siècle, les fonctio ns acceptent plusieurs variables, puis peuvent être définies sur un ensemble quelconque. Avec la théorie des ensembles, la notion de fonction recouvre toute relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier ne peut être en relation avec deux éléments distincts du second. Les outils dont on dispose aujourd’hui (calculatrices scientifiques et graphiques, tableurs et logiciels graphiques) permettent de réaliser rapidement des graphi ques de fonctions. Il faut apprendre à s’en servir pour visualiser des familles de fonctions, sélectionner la « bonne fenêtre », découvrir de nouvelles fonctions pour modéliser de nouvelles situati ons. On sera ainsi amené à élargir le stock des fonctions étudiées dans les classes précédentes, à combiner entre elles les fonctions de référence pour créer de nouvel les fonctions dont on étudiera les caractéristiques. Le monde des fonctions s’amplifie et se diversi fie ainsi, indépendamment des problèmes de grandeur.

Dans ce chapitre, l’étude des fonctions sera développée non seulem ent selon les besoins de ses applications, mais aussi selon la nécessité de sa construction théoriq ue. Les fonctions étudiées sont choisies parce qu’elles servent d’exemples et de contre-exemp les pour la construction de théorèmes qui s’articulent dans le cadre de l’analyse. Dans ce cadre, beaucoup de questions soulevées par l’étude de fonctions ont un point commun : l’apparition de l’idée d’infini. Ainsi par exemple, pour trouver la vitesse à un instant donné d’un mobile en mouvement non uniforme, on peut mesur er l’espace parcouru dans la seconde qui suit cet instant, mais, pendant cette seconde, sa vitesse a changé. Il faut donc considérer un intervalle de temps plus court. On passe au dixièm e de seconde, mais la même objection : sa vitesse a changé et il faut considérer un intervalle encore plus court. Pour trouver l’aire d’une surface courbe, on la remplit avec des polygones de plus en plus petits, de plus en plus nombreux, mais on n’arrive jamais au bout. En un certain sens, l’analyse est l’étude de l’infini ! Ce chapitre est un premier pas dans l’étude de l’analyse ; il y en a d’autres, qui font l’objet des chapitres 2 à 7.

n o i t a r o l p ex 1. Une boîte dans un morceau de carton Une boîte avec couvercle est découpée dans un morceau de carton de 20 cm sur 50 cm (voir fig. 1). Les parties blanches constituent la boîte, les parties colorées sont des déchets ou servent en partie à y découper les languettes de collage. Celles-ci ne sont pas détaillées sur la figure. On a appelé x, la hauteur de la boîte parce qu’elle peut varier, mais dès qu’une hauteur est choisie, il faut calculer les autres dimensions pour utiliser le carton selon les indications du schéma. x cm

20 cm

x cm

50 cm fig. 1

Observant les dimensions montrées par la fig. 1, un fabricant se demande si le volume d’une telle boîte est différent lorsque la hauteur change. Si c’est le cas, il veut savoir quelle est la hauteur qui permet de fabriquer une boîte qui a un volume plus grand que tous les autres. La fig. 2 est un dessin en perspective d’une boîte réalisée dans le morceau de carton représenté à la fig. 1, sa hauteur mesure x cm.

fig. 2

a. Utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel pour 1) estimer la hauteur de la boîte dont le volume est maximum, 2) estimer la (ou les) hauteur(s) d’une boîte qui a un volume de 900 cm³. b. Rédiger un court texte qui répond de façon précise aux questions du fabricant.

2. Coûts, recettes et profits Une entreprise fabrique des sièges en plastique moulé. Elle envisage l’achat d’une matrice pour fabriquer un nouveau modèle. Le coût de la matière première est de 12,5 UM1 (unités monétaires) par objet et les coûts fixes (appareillage, loyer, entretien) sont de 4 030 UM par mois. On prévoit de vendre chaque objet 28 UM.

1 L’UM est utilisée dans les cours d’économie pour garder le caractère de généralité du problème posé. Elle convient pour toutes les régions et ne subit pas les fluctuations du change.

1. Fonctions et graphiques

Synthèse 1

Au préalable il faut savoir ce que signifient certaines expressions, certaines notations. Seuil de rentabilité Le seuil de rentabilité d’un produit est le nombre d’unités qu’il faut vendre pour que les recettes soient égales aux coûts de production. Graphiquement, le seuil de rentabilité est l’abscisse du premier point de rencontre entre la fonction représentant les coûts de production et la fonction représentant les recettes. Lorsque le nombre d’unités vendues est plus petit que le seuil de rentabilité, l’entreprise essuie une perte et lorsqu’il est plus grand, la production entraîne un profit. Le seuil de rentabilité est le nombre d’unités pour lequel il n’y a ni perte, ni profit. Profit marginal Le profit marginal (noté Pm) au rang x est la variation de profit générée par la vente d’une unité supplémentaire Pm ( x) = P( x + 1) − P( x) . Coût unitaire (ou coût moyen) Le coût unitaire (noté Cu) pour la fabrication de x unités d’un produit est égal au coût total divisé par le nombre d’unités produites, soit Cu ( x) =

C( x) . x

a. Réaliser un support graphique que le chef d’entreprise utilisera lors d’une prochaine réunion pour décrire l’évolution, en fonction du nombre d’objets vendus : 1) du coût mensuel de production ; 2) des recettes mensuelles ; 3) des profits. b. Il s’attend à être interrogé sur le seuil de rentabilité, le coût unitaire et le profit marginal. Préparer son exposé. c. Répondre aux questions suivantes. 1) Quelle est la part des coûts fixes dans l’expression du coût moyen ? 2) Quelle doit être la production pour que le coût unitaire soit inférieur à 20 € ? 3) Calculer le coût unitaire pour une production de 260 objets.

Synthèses 2 à 4 Exercices 1, 2, 5 à 7, 14, 15

Exploration

3. La fonction homographique 1 − 2x . Il s’agit d’une fonction hoOn considère la fonction g( x) = x +1 mographique. Peut-on prévoir le graphique et les caractéristiques de cette fonction 1 à partir du graphique et des caractéristiques de la fonction f ( x) = ? x 1 − 2x 1 . La fig. 3 fournit les graphiques des fonctions f ( x) = et g( x) = x x +1 1 − 2x a. Écrire l’expression de la fonction g( x) = sous la forme x +1 n g( x) = + q (n, p, q ∈ R). x+ p b. Tracer les étapes intermédiaires qui permettent de passer du gra1 1 − 2x f ( x) = à celui de g( x) = . phique de x +1 x 1 sont les axes du repère. c. Les asymptotes de la fonction f ( x) = x Utiliser les transformations graphiques pour déterminer les asymptotes de la fonction g( x) . d. Soit h( x) =

7x + 2 . Déterminer les équations des asymptotes sans 3x − 5

tracer le graphique. y g(x) =

1 – 2x x+1

f(x) =

1 x

1 0

fig. 3

1. Fonctions et graphiques

Synthèse 5 Exercices 3, 8 à 11, 16 à 19

4. Des fonctions en chaîne A. Une céramiste diffuse ses réalisations par l’intermédiaire d’un décorateur. Chacune de ses œuvres lui demande moins de 200 heures de travail. Le prix d’achat (en €) d’une œuvre par le décorateur dépend du nombre d’heures prestées et des frais fixes de l’artisan. Le prix de vente en magasin fixé par le décorateur dépend du coût d’achat et tient compte des frais et du bénéfice du vendeur. Soient x le nombre d’heures prestées par la céramiste, A = − 0, 01x2 + 9 x + 52 , le prix d’achat pour le décorateur, V = 2,1 A + 3 , le prix de vente fixé par le décorateur. a. Exprimer le prix de vente en fonction du nombre d’heures prestées par la céramiste. b. Calculer le prix de vente affiché par le décorateur pour une œuvre réalisée en huit heures. Prix d’achat

Nombre d’heures

Prix de vente fig. 4

B. Un gaz est enfermé dans un volume que l’on peut comprimer, par exemple avec un piston. Le volume V (en m3) au temps t mesuré en secondes est donné par V ( t) = 0, 020 − 0, 001t2 où t varie entre 0 et 4 s. La pression en pascals est liée à ce volume par la formule 5432 . V a. Écrire l’expression de la fonction indiquant la pression en fonction du temps. p(V ) =

b. Utiliser cette expression pour déterminer à quel moment la pression sera de 1 092 100 Pa. c. Utiliser le graphique de cette fonction tracé par une calculatrice ou un logiciel pour déterminer le temps nécessaire depuis le début de l’observation pour que la pression double.

Les manomètres mesurent la pression ; ils sont gradués en bar ou en mbar (1 mbar = 100 Pa) Exploration

C. On considère deux fonctions f et g définies respectivement par f ( x) = 2 x − 3 et g( x) = x . On s’intéresse à l’expression de la fonction h définie en appliquant la fonction f à la variable x, puis la fonction g à l’image obtenue. Cette fonction g après f est notée h = g  f et son expression analytique est h( x) = g ( f ( x)) . Pour calculer l’image d’un réel par cette fonction h, on procède par étapes successives. Ainsi, pour trouver h(4), on calcule f (4), puis on applique la fonction g à l’image obtenue ; on a h(4) = g ( f (4)) . a. Calculer, lorsque c’est possible, les images par la fonction h des 7 réels 2, 3, , 0, 3 , –1. 2 b. Donner l’expression analytique de la fonction h = g  f et préciser son domaine de définition.

f ( x) = 2 x − 3 g( x) =

f ( 4) = 2 ⋅ 4 − 3 = 5 h(4) = g ( f (4)) = g(5) = 5 f

4 → 5 → 5 h=g°f

c. Peut-on écrire g  f = f  g ? Justifier. d. Préciser le domaine de définition de la fonction f  g . e. On donne f ( x) = 2 x2 − 1 et g( x) =

1 . Donner l’expression de x

chacune des fonctions composées f  g , g  f , f  f et g  g et préciser leur domaine de définition.

Synthèse 6 Exercices 12 et 13

f. On donne f ( x) = x2 et g( x) = x . Donner l’expression des fonctions composées f  g et g  f , et préciser leur domaine.

5. Décomposer des fonctions ou retrouver la chaîne François a oublié sa calculatrice scientifique à l’école et doit effectuer une suite de calculs pour terminer son devoir de mathématique. Pour représenter la fonction f ( x) = 2 x − 1 , il doit calculer une dizaine de points du graphique. Pour calculer f(5,34) avec sa calculatrice, il lui aurait suffi d’introduire la séquence

(

5,34

–

)

puis d’appuyer ↵ (enter). Muni d’une calculette non scientifique, il multiplie 5,34 par 2 et soustrait 1 du produit obtenu ; il calcule ensuite la racine carrée du résultat.

× 2 puis –1 × 2 puis 2x –1 – 1 2x – 1 2x – 1

La fig. 5 illustre la démarche pour la variable x. Quelles fonctions a-t-il utilisées pour effectuer cette suite de calculs ? La première fonction qui intervient dans la chaine de calculs est g, définie par g( x) = 2 x − 1 . On applique ensuite la fonction h, définie par h( x) = x . La fonction f est donc la composée de h après g, ce qui s’écrit f = h  g et f ( x) = h ( g( x)) .

x x x

2x f–

2x – 1

2xfig. 5 2x –– 11 2x 2x –– 1 1 2x – 1

Décomposer en fonctions usuelles les fonctions composées suivantes. a. f ( x) = (3 x − 1)3 b. f ( x) = 8

1 (3 x − 1)2

1. Fonctions et graphiques

Synthèse 7 Exercice 4

e s è h t n y s 1. Qu’est-ce qu’une fonction ? Quel vocabulaire utilise-t-on pour décrire une fonction ? Rappelons les définitions vues précédemment. Définition 1.1 – Fonction Une fonction réelle d’une variable réelle (fonction de R dans R) est une relation qui à tout réel fait correspondre au plus un réel. Définition 1.2 – Domaine de définition L’ensemble des réels qui ont une image par une fonction f de R dans R s’appelle domaine de définition de f ; il est noté dom f. Définition 1.3 – Racine d’une fonction On appelle racine ou zéro d’une fonction de R dans R tout réel dont l’image par cette fonction est nulle. Définition 1.4 – Fonction paire Une fonction f de R dans R est paire lorsque l’opposé de tout réel de son domaine de définition appartient aussi à celui-ci et qu’un tel réel et son opposé ont tous deux la même image. ∀ x ∈ dom f : ( − x) ∈ dom f et f ( − x) = f ( x) Le graphique de la fonction admet alors une symétrie orthogonale d’axe Oy (fig. 6). y

1 0

1 x

fig. 6

1 f ( x) = x2 − 1, 3 2

Synthèse

Définition 1.5 – Fonction impaire Une fonction f de R dans R est impaire lorsque l’opposé de tout réel de son domaine de définition appartient aussi à celui-ci et qu’un tel réel et son opposé ont des images opposées. ∀ x ∈ dom f : ( − x) ∈dom f et f ( − x) = − f ( x) Le graphique de la fonction admet alors une symétrie de centre (0 ; 0) (fig. 7). y

1 0

fig. 7

1 f ( x) = x3 4 Remarque Si une fonction est paire ou impaire, il suffit de réaliser son étude graphique sur R+ ; on obtient l’autre partie du graphique par symétrie. Définition 1.6 – Fonction croissante Soit f une fonction de R dans R. Soit A ⊂ dom f . On dit que f est croissante sur A si et seulement si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) Définition 1.7 – Fonction strictement croissante Soit f une fonction de R dans R. Soit A ⊂ dom f . On dit que f est strictement croissante sur A si et seulement si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

1. Fonctions et graphiques

f(x)

Pour deux points quelconques de A, si les valeurs de x augmentent …

f(x2)

… alors les valeurs de y augmentent

0 f(x1)

A fig. 8

Définition 1.8 – Fonction décroissante Soit f une fonction de R dans R. Soit A ⊂ dom f . On dit que f est décroissante sur A si et seulement si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Définition 1.9 – Fonction strictement décroissante Soit f une fonction de R dans R. Soit A ⊂ dom f . On dit que f est strictement décroissante sur A si et seulement si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Pour deux points quelconques de A, si les valeurs de x augmentent …

f(x) f(x1)

1 0 … alors les valeurs de y diminuent

f(x2)

A fig. 9

Synthèse

2. Comment comparer des fonctions à partir de leurs graphiques ? Définition 1.10 – Fonctions égales Deux fonctions f et g de R dans R sont égales si et seulement si : – elles ont même domaine de définition, – quel que soit le réel x de leur domaine : f ( x) = g( x) . Exemples 1) Soient f ( x) = −1 + x2 − 3 et g( x) =

x2 − 4

1 + x2 − 3

dom f = dom g =  ← ; − 3  ∪  3 ; → 

−1 +

(−1 + x −3 = 2

)(

x2 − 3 1 + x2 − 3 1 + x2 − 3

x2 − 4 1 + x2 − 3

Les fonctions f et g sont donc égales. 2) Soient f ( x) = 1 + x2 − 3 et g( x) =

x2 − 4 −1 + x2 − 3

(

)

dom f =  ← ; − 3  ∪  3 ; →  et dom g =  ← ; − 3  ∪  3 ; →  \ {−2 ; 2} . Après simplification, on trouve 1+

(−1 + x −3 = 2

)(

x2 − 3 1 + x2 − 3 −1 + x2 − 3

x2 − 4 −1 + x2 − 3

mais les fonctions ne sont pas égales car elles n’ont pas le même domaine de définition. y

Comparer les fonctions f et g, c’est résoudre une équation ou une inéquation de la forme f ( x) = g( x) , f ( x) ≤ g( x) ou f ( x) < g( x) . A. Déterminer tous les réels qui ont la même image par f et g est équivalent à résoudre l’équation f ( x) = g( x) . Exemple : résoudre − x2 + 5 = − x − 1 Graphiquement (fig. 10), on observe que les points (– 2, 1) et (3, – 4) sont communs aux deux graphiques. Leurs abscisses sont les solutions de l’équation f ( x) = g( x) . Algébriquement, on résout l’équation − x2 + 5 = − x − 1 ou x2 − x − 6 = 0 , dont les solutions sont x = −2 et x = 3 . Les fonctions f et g sont égales pour x = −2 ou x = 3 .

1. Fonctions et graphiques

g(x) = – x – 1

(–2 , 1)

f(x) = – x2 + 5

1 –2

3 1

(3 , – 4) fig. 10

B. Déterminer tous les réels dont l’image par f est inférieure à l’image par g est équivalent à résoudre l’inéquation f ( x) ≤ g( x) . En particulier, pour résoudre f ( x) ≤ 0 (ou f ( x) ≥ 0) ), on cherche les réels dont l’image est située en dessous ou sur l’axe Ox (au-dessus ou sur l’axe Ox). Exemple : résoudre x2 − 5 ≤ x + 1 Graphiquement (fig. 11), on observe qu’entre les abscisses – 2 et 3, les points du graphique de f sont situés en dessous ou sur les points de même abscisse du graphique de g. Tous les réels de l’intervalle [– 2, 3] vérifient l’inéquation. Algébriquement, on résout l’inéquation x2 − 5 ≤ x + 1 ou x2 − x − 6 ≤ 0 , dont l’ensemble des solutions est l’intervalle [– 2, 3], comme on peut le vérifier sur le tableau de signe ci-dessous. –2

x 2

x - x-6

y (3 , 4)

1 0

(–2 , –1)

3 –

f(x) = x2 – 5

g(x) = x + 1

fig. 11

C. Déterminer tous les réels dont l’image par f est strictement inférieure à l’image par g est équivalent à résoudre l’équation f ( x) < g( x) . y Exemple : résoudre x2 − 3 < x + 3 f(x) = x2 – 3 On observe sur les graphiques (fig. 12) qu’entre les abscisses – 2 et approximativement 2,3, les points du graphique de f sont situés en dessous des points de même abscisse du graphique de g. Tous les réels de l’intervalle ]– 2 ; 2,3[ vérifient l’inéquation.

(–2 , 1)

g(x) = x + 3

1 0

fig. 12

Certaines équations ou inéquations ne peuvent être résolues par les outils algébriques dont on dispose. Traduire ces équations ou inéquations en relations entre deux fonctions qu’on représente graphiquement permet d’approcher les solutions. On peut affiner la solution en remplaçant les approximations successives de la valeur estimée dans l’équation (inéquation) donnée.

Synthèse

3. Comment associer une modification de l’expression analytique à une transformation graphique ? Le tableau ci-dessous précise les transformations du graphique et des coordonnées associées aux modifications de l’expression d’une fonction. Si f (x) devient...

… alors le graphique de f subit une…

… et (x , y) devient…

f ( x + k)

translation horizontale de vecteur ( − k,0)

fig. 13

f ( x) + k

translation verticale de vecteur (0, k)

fig. 14

f ( - x)

symétrie orthogonale d’axe Oy

fig. 15

- f ( x)

symétrie orthogonale d’axe Ox

fig. 16

f ( k ⋅ x)

compression

( k > 1) ou étirement (0 <

)

(

fig. 17

)

compression 0 < k < 1 ou étirement

( x , k ⋅ y)

( k > 1) fig. 18

vertical de facteur k f ( x)

x   k , y

k <1

horizontal de facteur k k ⋅ f ( x)

( x − k , y) ( x , y + k) ( − x , y) ( x , − y)

(x, y )

symétrie orthogonale d’axe Ox pour la partie du graphique située sous cet axe et identité pour l’autre partie fig. 19

Exemples y

f1(x) = (x + 3)2

f(x) = x2

f1(x) = x2 + 3

–3

–3 +3 –3

x fig. 13

1. Fonctions et graphiques

f(x) = x2

x fig. 14

y y

f(x) = x – 1 f(x) = x – 1

f1(x) = – x – 1

1 0

f1(x) = – x – 1 fig. 16

fig. 15

f(x) = sin x

y x f1(x) = sin 2

f(x) = sin x

f1(x) =

1 sin x 2

×2 0

1 ×

fig. 17

1 2

fig. 18

f1(x) = |x2 – 2x – 3|

1 0

f(x) = x2 – 2x – 3 fig. 19

Synthèse

4. Comment additionner, multiplier ou diviser deux fonctions ? Soient f et g deux fonctions de R dans R. a. La somme f ( x) + g( x) existe si et seulement si f ( x) et g( x) ont un sens, c’est-à-dire pour les valeurs de x appartenant aux domaines des deux fonctions. Définition 1.11 – Somme de deux fonctions La somme des fonctions f et g, de R dans R, est la fonction f + g définie sur dom f ∩ dom g , telle que pour tout réel x de cet ensemble :

( f + g ) ( x) = f ( x) + g( x) Son graphique (fig. 20) peut s’obtenir à partir des graphiques des fonctions f et g en additionnant les ordonnées des points de même abscisse. f

f+g

g (f + g)(0) = –1 + 2 = 1 (0 ; 2) 1 0

1 (0 ; –1)

x fig. 20

b. Le produit f ( x) ⋅ g( x) existe si et seulement si f ( x) et g( x) ont un sens, c’est-à-dire pour les valeurs de x appartenant aux domaines des deux fonctions. Définition 1.12 – Produit de deux fonctions Le produit des fonctions f et g de R dans R est la fonction f ⋅ g , définie sur dom f ∩ dom g , telle que pour tout réel x de cet ensemble :

( f ⋅ g ) ( x) = f ( x) ⋅ g( x) Son graphique (fig. 21) peut s’obtenir à partir des graphiques des fonctions f et g en multipliant les ordonnées des points de même abscisse.

1. Fonctions et graphiques

c. Le quotient

f ( x) existe si et seulement si f ( x) et g( x) ont un sens, c’est-à-dire pour les vag( x)

leurs de x appartenant aux domaines des deux fonctions, sans être une racine de la fonction g. Définition 1.13 – Quotient de deux fonctions f , définie sur g (dom f ∩ dom g ) \ x ∈ dom g g( x) = 0 telle que pour tout réel x de cet ensemble :

Le quotient de deux fonctions f et g, de R dans R, est la fonction

{

}

f f ( x)  g  ( x) = g( x) Son graphique (fig. 22) peut s’obtenir à partir des graphiques des fonctions f et g en divisant les ordonnées des points de même abscisse. y (5 ; 8) f y f (5 ; 7)

(5 ; 4) g

(f · g)(5) = 7 · 0,5 = 3,5

(5 ; 3,5)

(5 ; 2) 1 0

1 0

f g

(5 ; 0,5)

 f  (5) = 8 = 2 4  g

f·g fig. 21

fig. 22

En résumé Fonction

Domaine

Expression

f+g

dom f ∩ dom g

f ⋅g

dom f ∩ dom g

( f + g ) ( x) = f ( x) + g( x) ( f ⋅ g ) ( x) = f ( x) ⋅ g( x)

f g

(dom f ∩ dom g ) \ {x ∈ dom g g( x) = 0}

f f ( x)  g  ( x) = g( x)

Synthèse

5. Qu’est-ce qu’une fonction homographique ? Une fonction homographique est une fonction de la forme f ( x) =

ax + b avec c ≠ 0 et cx + d

(a ; b) ≠ k(c ; d), k ∈ R. En effectuant la division euclidienne de ax + b par cx + d , l’expression de la fonction peut être n mise sous la forme f ( x) = + q . Son graphique s’obtient par transformation du graphique x+ p 1 de la fonction . C’est une hyperbole admettant une asymptote verticale d’équation x = − p et x une asymptote horizontale d’équation y = q . Exemple 2x + 3 . x −1 On effectue la division euclidienne, ce qui permet 5 d’écrire la fonction sous la forme f ( x) = 2 + . x −1 Pour tracer le graphique de cette fonction à partir de 1 celui de , on procède x par étapes successives décrites ci-après. Soit la fonction f ( x) =

1) Tracer le graphique de

2x + 3 -(2 x - 2)

1 (fig. 23). x

x -1 2

5 y

(1 , 1)

1 0

fig. 23

Translation horizontale de 1 unité vers la droite ou de vecteur (1 ; 0). y

1 2) On obtient le graphique de (fig. 24). x -1

(2 , 1)

1 0

fig. 24

1. Fonctions et graphiques

Étirement vertical de facteur 5 (les ordonnées sont multipliées par 5). y

3) On obtient le graphique de

5 (fig. 25). x -1

(2 , 5)

1 0

fig. 25

Translation verticale de 2 unités vers le haut ou de vecteur (0 ; 2). y

4) On obtient le graphique de

5 + 2 (fig. 26). x −1

(2 , 7)

1 0

fig. 26

Le graphique de la fonction f ( x) = 2 +

5 est une hyperbole. Elle a deux asymptotes : une x −1

horizontale AH ≡ y = 2 et une verticale AV ≡ x = 1. En vue de généraliser les conclusions de la démarche ci-dessus, on remarque qu’en effectuant la n a division euclidienne de ax + b par cx + d , la forme f ( x) = + q est telle que q = et que x+ p c d p= . c On peut donc affirmer que le graphique de la fonction homographique f donnée par ax + b d f ( x) = est une hyperbole admettant une asymptote verticale d’équation x = − et une cx + d c a asymptote horizontale d’équation y = . c Synthèse

6. Comment composer des fonctions ? Soient les fonctions f : x → f ( x) et g : x → g( x) . La composée « g après f » est la fonction h définie par h( x) = g ( f ( x)) ; la fonction g est appliquée à f ( x) . Cette fonction est notée g  f . ... et si f (x) appartient à dom g,

Si x appartient à dom f ...

x x

f (x)

alors x appartient à dom g ° f.

g( f (x)) h(x)

h=g°f À partir de deux fonctions données, on peut généralement construire deux fonctions composées, f  g et g  f . Ces deux fonctions ne sont pas souvent égales et peuvent avoir des domaines différents. Définition 1.14 – Composée de deux fonctions Soient f et g deux fonctions de R dans R.

{

}

La composée « g après f » est la fonction notée g  f définie sur x ∈ dom f f ( x) ∈ dom g et telle que pour tout réel x de cet ensemble :

( g  f ) ( x) = g ( f ( x)) Exemples 1) Soit f : x → f ( x) = 3 x − 1 et g : x →

La fonction « g après f » est la fonction g  f : x → g ( f ( x)) = 3 x − 1 . En effet, g ( f ( x)) = g (3 x − 1) = 3 x − 1 . Elle est définie pour x ≥

1 1  , donc dom g  f =  , + ∞  . 3 3 

La fonction « f après g » est la fonction f  g : x → f ( g( x)) = 3 x − 1 . En effet, f ( g( x)) = f

( x) = 3

x − 1 . Son domaine est R+.

2) Soit f : x → f ( x) = x2 et g : x →

La fonction « g après f » est la fonction g  f : x → g ( f ( x)) =

( )

En effet, g ( f ( x)) = g x2 =

x2 = x .

Elle est définie pour tout réel, donc dom g  f = R. La fonction « f après g » est la fonction f  g : x → f ( g( x)) = En effet, f ( g( x)) = f

1. Fonctions et graphiques

( x) = ( x)

= x . Son domaine est R+.

( x)

= x.

7. Comment décomposer une fonction ? Comment déterminer, à partir d’une fonction y = f ( x) donnée, des fonctions h et g telles que f = h  g ? f x f(x) x

g(x)

h( g(x))

Il y a plusieurs façons de décomposer une fonction donnée, mais on veille généralement à la décomposer en fonctions usuelles. Il faut parfois plus de deux fonctions pour décomposer une fonction donnée en fonctions usuelles. Exemple Soit la fonction f ( x) = sin 2 (3 x − 1) . Pour calculer la valeur de cette fonction en un réel, on procède par étapes successives : x

3x - 1

sin(3 x - 1)

sin 2 (3 x - 1)

Ainsi, pour x = 1, 2 , on a 1,2

3 ⋅ 1, 2 − 1 = 2, 6

sin 2, 6  0, 516

0, 5162  0, 266

La fonction g est définie par g( x) = 3 x − 1 . La fonction h donne le sinus d’un réel, donc h( x) = sin x . La fonction i élève un réel au carré, donc i ( x) = x2 .

(

)

On peut donc écrire f ( x) = i h ( g ( x)) ou f = i  h  g .

Synthèse

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Fonctions associées

On donne le graphique d’une fonction f (fig. 27). Voici quelques expressions obtenues à partir de celle de f. 1 f ( x) 2

f1 ( x) = f ( x) + 1

f2 ( x) =

f3 ( x) = − f ( x)

f4 ( x) = f ( x + 1)

−x f5 ( x) = f ( x − 1) − 2 f6 ( x) = f    2

1 0

Associer chaque graphique (fig. 28 à 33) à l’expression correspondante. fig. 27

1 0

fig. 28

fig. 30

fig. 29

1 1 0

1 1

fig. 31

1. Fonctions et graphiques

0 1

fig. 32

fig. 33

2. Domaines et opérations Les domaines de définition d’une fonction f et d’une fonction g sont respectivement [4 ; 7] et [5 ; 9]. Les racines de f sont 4 et 6, celles de g valent 6 et 7. Peut-on déterminer le domaine de définition et les racines des fonctions suivantes ? f a. f + g b. f ⋅ g c. g Si oui, calculer ces racines ; si non, montrer par des exemples qu’il peut y avoir différentes solutions possibles.

3. Fonctions homographiques On donne les expressions de quatre fonctions homographiques sous deux formes. Associer chaque expression donnée dans la première ligne à l’expression correspondante de la seconde ligne. f1 ( x) =

3x − 5 x −1

f2 ( x) =

g1 ( x) =

3 −2 2x + 1

g2 ( x) = −1 +

3x − 1 2x + 1 1 x −1

f3 ( x) =

− 4x + 1 2x + 1

f4 ( x) =

g3 ( x) =

−2, 5 3 + 2x + 1 2

g4 ( x) = 3 −

2− x x −1 2 x −1

4. Fonctions composées Décomposer les fonctions suivantes en fonctions usuelles. 1

a. f ( x) = (3 x + 2)

c. f ( x) =

b. f ( x) = tan (2 x − 1)

d. f ( x) = 4 x − 7

(2x + 1)

 x e. f ( x) = cos2    3 f. f ( x) =

1 x

Appliquer une procédure 5. Comparer des fonctions On demande de tracer dans un même repère les graphiques des fonc1 et i( x) = x . tions f ( x) = x , g( x) = x2 , h( x) = x a. Se référer aux graphiques pour vérifier les affirmations suivantes (x est un réel). Corriger les affirmations fausses. 1 . x

1) Si x > 2 , alors x2 > 4 .

4) Si x < −1 , alors x <

2) Si x2 > 1 , alors x > 1.

5) Si −1 < x < 2 , alors 1 < x2 < 4 .

3) Si 0 < x < 1 , alors

1 . x

6) Si

1 1 > − , alors x < −2 . x 2

Exercices

b. Déterminer l’ensemble des réels x dont le carré est strictement supérieur à l’inverse. c. Déterminer l’ensemble des réels x inférieurs ou égaux à leur carré. d. Ranger, dans l’ordre décroissant, les images d’un réel x supérieur à 1 par chacune des fonctions données.

6. Associer expression analytique et graphique A. Associer chaque graphique (fig. 34 à 36) à l’expression analytique correspondante. Justifier la réponse donnée en précisant les modifications successives du graphique d’une fonction usuelle. a. f ( x) = ( x + 1) − 2

c. f ( x) = 2 x

b. f ( x) = 5 x

d. f ( x) = x2 − 3 − 2

e. f ( x) =

1 ( x + 2)3 4

1 0

x fig. 34

fig. 36 fig. 35

1. Fonctions et graphiques

B. On donne le graphique des fonctions

f ( x) =

x et g( x) = x3 .

À partir d’un de ceux-ci, tracer celui des fonctions suivantes : f1 ( x) = 3 x

g1 ( x) = 2 − x3

f2 ( x) = − 2 x + 1

g2 ( x) = (2 x − 4)

g3 ( x) = 2 x3 − 4 3

g4 ( x) = (2 x − 1) − 1 3

7. Opérations sur les fonctions On donne dans un même repère les graphiques des fonctions f ( x) = x et g( x) = sin x . À partir de ces deux graphiques, construire ceux des fonctions suivantes : sin x a. h( x) = x + sin x c. j( x) = b. i( x) = x sin x x

8. Fonctions homographiques On donne les fonctions f1 ( x) =

2x − 1 1 − 3x 1 − 4x , f2 ( x) = et f3 ( x) = . 2x + 3 x−2 x −1

a. Transformer l’expression des fonctions suivantes pour faire appan raitre la forme f ( x) = + q ; donner ensuite les équations des x+ p asymptotes. b. Préciser les transformations qui permettent de tracer le graphique 1 de chaque fonction à partir du graphique de . Tracer un des x graphiques en utilisant cette méthode. c. Tracer les deux autres en déterminant directement les asymptotes et quelques points du graphique.

9. Retrouver l’expression d’une fonction homographique Écrire l’expression d’une fonction homographique : a. qui n’est pas définie en 3, s’annule en 2 et tend vers 1 pour de grandes valeurs de x ; 3 2 , s’annule en et dont le graphique b. qui n’est pas définie en 2 3 comprend le point (2 , 4).

10. Résoudre graphiquement équations ou inéquations Estimer graphiquement les solutions des équations et inéquations suivantes, puis vérifier algébriquement. 2− x = x+2 x+4 x 2 ≥ b. 2 x a.

c. x3 + 1 ≤ x2 − 5 x + 6 d. x2 + 2 x − 4 =

5x + 2 2x − 1 Exercices

11. Graphique et expression… Écrire l’expression de chaque fonction homographique à partir de son graphique (fig. 37 à 39). y

1 0

g 1

fig. 37

fig. 38

1 0

1 h

fig. 39

12. Associer ou composer des fonctions 2 On donne les fonctions f ( x) = x + 4 , g( x) = , h( x) = x i( x) = x3 − 1.

x et

a. Donner l’expression des fonctions suivantes. 1) h  f

3) f ⋅ g

5) g  i

2) g + i

4) i - f

6) h  g  f

b. Déterminer le domaine des fonctions indiquées en a. c. Déterminer les racines de ces mêmes fonctions. Remarque Les racines de certaines fonctions seront estimées par résolution graphique. 26

1. Fonctions et graphiques

13. Composer des fonctions Utiliser les graphiques des fonctions f (fig. 40) et g (fig. 41) pour calculer a. g ( f (0))

b. f ( g(0))

c. g ( f ( −1))

d. g ( f (8))

e. f ( g(10)) y

1 0

1 x

1 g

fig. 41

fig. 40

Résoudre un problème 14. Traduire une situation a. Le poste de vigie de la tour de contrôle1 d’un petit aéroport régional est situé à 25 m du sol. La distance du pied de la tour au début de la piste d’envol est de 120 m (fig. 42). La variable x désigne la distance parcourue sur la piste par un avion qui décolle. Écrire, en fonction de x, l’expression de la fonction qui décrit la distance entre l’avion et le poste de vigie.

25 m

120 m x fig. 42 1 Inspiré d’un exercice de swokowski, Analyse, traduit par M. Citta, De Boeck, 1993.

Exercices

b. La société de télédistribution doit raccorder un nouveau client dont l’habitation est située à 65 m de la voirie. Il faut creuser une tranchée entre l’habitation et la boîte de raccordement située sur le trottoir à 50 m de l’entrée de la propriété (fig. 43). Le coût des travaux de terrassement s’élève à 5 €/m pour la tranchée creusée le long de la route et à 9 €/m pour la tranchée située sur la propriété. La société est libre de choisir le trajet du raccordement. La variable x désigne la distance de la boîte de raccordement à l’endroit où le câble pénètre dans la propriété. Écrire l’expression d’une fonction qui décrit le coût d’installation.

Boîte de raccordement

50 m

fig. 43

15. Modéliser une situation (exercice partiellement résolu) Il arrive régulièrement, dans le cadre d’expériences scientifiques ou dans l’observation de certains phénomènes physiques, qu’on souhaite modéliser une table de données à l’aide d’une fonction mathématique, en vue d’interpoler certains résultats manquants ou de prévoir l’évolution d’une situation. L’allure de la représentation des données dans un repère peut nous guider dans le choix du type de fonction qui permettrait de modéliser la situation, sachant bien qu’il s’agit d’un modèle qui ne vérifie pas nécessairement parfaitement les « données » récoltées. Lorsque les données sont quasi alignées, on utilise généralement une droite de régression ; la droite de Mayer a été vue en troisième année et la méthode des moindres carrés sera approfondie en sixième année dans le cadre du chapitre « Régression linéaire ».

1. Fonctions et graphiques

Voici un exemple. L’entreprise1 Jupomme produit et commercialise du cidre en bouteilles. Au cours des derniers mois, elle a investi régulièrement en publicité et elle voudrait analyser les retombées sur son chiffre d’affaires. Le tableau suivant montre l’évolution du chiffre d’affaires en fonction de l’investissement en publicité. Montant investi en publicité (en milliers d’euros)

Chiffre d’affaires mensuel (en milliers d’euros)

53,5

a. Représenter les données dans un repère. y chiffre d’affaires (en milliers d’euros)

frais de publicité (en milliers d’euros) 1

x fig. 44

b. Observer les points obtenus. Quel type de fonction est suggéré ? La courbe passant par ces points est proche d’une parabole d’équation y = ax2 + bx + c . Sa concavité est tournée vers le bas, donc a<0. c. Déterminer l’expression d’une fonction qui modélise la situation et tracer le graphique de cette fonction dans le même repère. Pour déterminer les coefficients a, b et c, on peut supposer que : – la courbe passe par trois points donnés ; – le sommet est en (6 ; 54) et que la courbe passe par un des autres points.

1 D’après un exercice du BAC 2002.

Exercices

1) On choisit trois points, par exemple (2 ; 36), (5 ; 52) et (7 ; 53,5). En remplaçant dans l’équation y = ax2 + bx + c , on obtient un système (1) 4 a + 2b + c = 36  (2) 25a + 5b + c = 52 49 a + 7b + c = 53, 5 (3)  On peut éliminer c entre les deux premières et les deux dernières équations, ce qui donne 21a + 3b = 16  24 a + 2b = 1, 5 dont les solutions sont a = − 0, 91666 et b = 11, 75 . En remplaçant a et b par ces valeurs dans une des équations du premier système, on trouve c = 16,16666 . L’équation du modèle est alors y = − 0, 91666 x2 + 11, 75 x + 16,16666 (fig. 45) y

chiffre d’affaires (en milliers d’euros)

modèle 1

frais de publicité (en milliers d’euros) x

fig. 45

−b =6, 2) En supposant que le sommet est (6 ; 54), on obtient 2a donc b = −12a . L’équation du modèle serait alors y = ax2 − 12ax + c . En remplaçant x et y par les coordonnées du sommet, on obtient 36 a − 72a + c = 54 , donc c = 54 + 36 a , ce qui donne y = ax2 − 12ax + 36 a + 54 . 30

1. Fonctions et graphiques

En remplaçant x et y par les coordonnées d’un autre point, par exemple (3 ; 45), on obtient 9 a − 36 a + 36 a + 54 = 45 et donc a = −1 , b = 12 et c = 18 . L’équation d’un modèle possible serait (fig. 46). y

chiffre d’affaires (en milliers d’euros)

y = − x2 + 12 x + 18

modèle 2

frais de publicité (en milliers d’euros)

fig. 46

Le choix des points influence le résultat. On peut avoir une idée de la pertinence du modèle en calculant par exemple avec Excel, la distance verticale entre les points donnés et les points correspondant sur la courbe. Voici les résultats pour les deux modèles ci-dessus. Données

1er modèle

écart

2e modèle

écart

27,000

36,000

0,00002

43,167

1,83328

48,500

0,4999

52,000

0,00016

53,667

0,3331

53,5

53,500

0,00032

0,5

51,500

0,50042

somme des écarts

5,1672

9,5

Exercices

Sur base du critère de la somme des écarts minimale, le premier modèle est meilleur puisque la somme de ces écarts est plus petite. En général, on étudie la pertinence du modèle en calculant la somme des carrés des écarts. Dans le cas d’un modèle linéaire, la droite de régression est alors définie par la méthode des moindres carrés. 3) On peut aussi utiliser un tableur, tel Excel, ou une calculatrice graphique. Dans les deux cas, on introduit les données et on réalise un graphique. La visualisation du graphique permet de choisir le modèle. Dans la calculatrice, on choisit le modèle x2. Pour les données ci-dessus, la calculatrice utilisée affiche l’équation y = −1, 0744 x2 + 13, 2351x + 13, 5268 . On obtient alors 4,1846 pour la somme des écarts. Dans Excel, on demande d’ajouter une courbe de tendance polynomiale d’ordre 2 au graphique et d’afficher l’équation de cette courbe ainsi que le coefficient de détermination. Lorsque ce coefficient, noté r2, est proche de 1, les statisticiens considèrent que le modèle est pertinent. Pour les données du problème, on obtient la même équation que celle donnée par la calculatrice et le coefficient de détermination est r2 = 0,9951. 60 50 40 30

y = –1,0744x2 + 13,235x + 13,527 R² = 0,9951

20 10 0

fig. 47

d. Indiquer le montant minimum que l’entreprise devrait investir en publicité pour réaliser un chiffre d’affaires de 53 000 €. e. Les charges de l’entreprise lui imposent un chiffre d’affaires minimal de 50 000 €. Préciser à l’aide du graphique le montant de l’investissement dans la publicité qui entraînera un chiffre d’affaires supérieur à 50 000 €. f. Quel est le montant d’investissement en publicité que l’entreprise ne doit pas dépasser ?

1. Fonctions et graphiques

16. Coût unitaire de production Une entreprise a présenté dans un tableau le coût unitaire de fabrication d’un de ses produits en fonction de la quantité produite. Quantité produite Coût unitaire (en €)

2425

1524

1224

1073

926

882

852

826

803

a. Représenter le nuage de points. b. Trouver l’expression d’une fonction qui permet de modéliser l’évolution du coût unitaire de ce produit. c. Utiliser cette expression pour estimer le coût unitaire du produit lorsque l’entreprise fabrique 5 unités, 12 unités.

17. Tasse de thé Un thé est servi à 100° dans une pièce dont la température ambiante est de 20°. En attendant que la boisson refroidisse, on relève la température du thé toutes les quatre minutes. Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau suivant. Durée (min) Température (°C)

100

a. Introduire ces données dans un tableur, les représenter graphiquement et, en ajoutant une courbe de tendance polynomiale, rechercher la relation qui lie la température à la durée de l’observation. b. Utiliser cette relation pour calculer la température du thé après 18 minutes.

Exercices

18. Cours d’une obligation et taux d’intérêt1 Fin 2012, la Banque centrale européenne a décidé de racheter un grand nombre d’obligations d’État espagnoles2. Le but d’une telle opération est de faire baisser le taux d’emprunt de ce pays : l’achat de ses obligations entraîne simultanément une hausse de leur cours et une baisse des taux d’intérêt. Le graphique (fig. 48) montre, d’une part, le cours d’une obligation d’État espagnole avec un coupon – donnant droit à la perception d’intérêt – venant à échéance le 30 juillet 2015. D’autre part, il montre l’évolution du taux d’intérêt pour une obligation venant à échéance à la même date. Modéliser la situation par une fonction donnant, de manière approchée, le taux en fonction du cours.

19. Des bidons cylindriques

fig. 48

On construit des bidons cylindriques en métal d’une contenance de deux litres. On se demande quelles dimensions leur donner pour que la fabrication soit la moins coûteuse. On fait varier le rayon de la base et on observe comment évolue l’aire du bidon en fonction du rayon. a. Organiser la recherche à partir du tableau suivant. Rayon 5 cm

Hauteur

Aire des deux bases

Aire latérale

6 cm 7 cm 8 cm x cm 1 Sources Vos Investissements, octobre 2012. 2 Une obligation d’État est un titre délivré par un État contre paiement d’argent ; il donne droit par la suite à un remboursement du capital prêté et au paiement d’intérêt.

1. Fonctions et graphiques

b. Que représentent les graphiques de la fig. 49 ? c. Utiliser les graphiques donnés pour déterminer au mm près la valeur du rayon pour laquelle l’aire des deux bases est la même que l’aire latérale. d. Comment déterminer graphiquement la valeur du rayon du bidon dont la fabrication utilise le moins de métal ? e. Quelles sont les dimensions (au mm près) du bidon « le plus économique » ? y 1 200

y = f (x)

1 100 1 000

y = g (x)

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

10 11 12 x rayon de la base

fig. 49

Exercices

suites

Les suites numériques sont liées, d’une part, à la mathématiqu e de la mesure (mesures d’un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et, d’autre part, à l’analyse (une suite numérique est l’équivalent discret d’une fonction numérique). En analyse, la notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve chez Archimède qui avait recours à des suites géomé triques pour approximer des aires et des volumes. Dans le chapitre 3 consacré aux nombres réels, on découvre la méthode d’héron d’AlexAndrie (ier siècle après J.-C.) qui utilise des procéd és illimités pour extraire une racine carrée. On retrouve cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du xviie siècle) avec la méthode des indivisibles (cAvAlieri, Torricelli, PAscAl, robervA l). Plus tard, bernoulli, newTon, moivre, sTirling et wAllis s’intér essent aux suites pour approcher des valeurs numériques. C’est à lAgrAnge (1736-1813) que l’on doit, semble-t-il, la notation indicielle. Lorsque la suite va toujours en s’approchant de plus en plus de quelque quantité finie (...), on l’appelle suite convergente et, si on la continue à l’infini, elle devient égale à cette quantité. Par exemple, les suites 1 1 un = 1 – v n = 1+ n n convergent toutes deux vers 1. 2 suite (vn) décroissante 1 suite (un) croissante

1 2

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n

Parallèlement à ces études se développe une utilisation de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C’est le cas par exemple de suites d’entiers comme la suite de FibonAcci. À partir de la seconde moitié du xxe siècle, l’accès aux calcula trices et aux ordinateurs donne un nouveau souffle à l’étude des suites. Ces moyens permettent de traiter les suites de nombres qui apparaissent dans les dénombrements et le calcul des modes de croissance (d’un salaire, d’une population d’humains, d’insectes…), d’utiliser des algorit hmes qui conduisent à des approximations aussi précises que l’on veut. Dans ce chapitre, on étudiera les suites arithmétiques et les suites géométriques : comment écrire leur terme général, comment calculer la somme des termes d’une suite infinie. On apprendra aussi comment les mathématiques financières recourent aux propriétés des suites pour calculer le montant d’une capitalisation, une annuité…

D’après la légende, le roi de Perse proposa une récompense à l’invente ur du Chaturanga, ancêtre du jeu d’échecs. Ce dernier lui demanda de couvrir l’échiquier, à raison d’un grain de blé sur la première case, de deux grains sur la deuxième, de quatre grains sur la troisième et ainsi de suite en déposant sur chaque case deux fois plus de grains que sur la précédente. Le roi fut surpris par ce modeste souhait ! Et pourtant…

n o i t a r o l p ex 1. D’une configuration à une suite de nombres a. b. c. d.

fig. 1

1) Dessiner chaque fois le groupe de points qui vient juste après le dernier. 2) Compléter le tableau ci-dessous dans lequel n est le numéro du groupe et p est le nombre de points. n

100

p pour (a) p pour (b) p pour (c) p pour (d) 3) Quelle est, pour chaque cas, la règle qui permet de passer d’un groupe de points au groupe suivant ? 4) Pour chaque suite, écrire la formule qui permet de calculer p quand on connaît n.

2. L’échelle Un charpentier désire construire une échelle avec 9 échelons dont la longueur décroît uniformément de 48 cm à la base jusqu’à 36 cm au sommet. a. Déterminer la longueur des 7 échelons intermédiaires. b. Déterminer la longueur totale de bois nécessaire pour fabriquer les 9 échelons.

2. Suites

Synthèses 1 et 2 Exercice 1

3. Augmentation de salaire mensuel Voici l’évolution prévue du salaire mensuel d’un employé de l’an 2008 à l’an 2020. 1 950

Salaire en €

1 900 1 850 1 800 1 750 1 700 1 650 1 600 1 550 2006

Années 2008

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

a. Quand on connaît le salaire mensuel d’une année, comment trouver celui de l’année suivante ? b. Si le salaire continue à augmenter suivant la même loi, que vaudra-t-il en 2022 ?

fig. 2

Synthèses 3 et 4 Exercice 2

4. Vers une généralisation La fig. 3 présente les n premiers termes d’une suite arithmétique de raison r et de premier terme u1. a. Écrire une formule qui permet de calculer u7 connaissant u6. 1

u10

u11

+ 2r

...

n un

– 2r fig. 3

b. Écrire une formule qui permet de calculer u7 connaissant u8. c. Écrire une formule qui permet de calculer u7 connaissant u1. d. Écrire une formule qui permet de calculer r connaissant u2 et u11. e. Écrire une formule qui permet de calculer la somme Sn des n premiers termes.

Exploration

5. Vrai ou faux ? Justifier a. Dans une suite arithmétique, u12 est toujours le double de u6. b. Dans une suite arithmétique, un est la demi-somme (ou la moyenne arithmétique) de un – 1 et un + 1. c. Dans une suite arithmétique de raison r,

Synthèses 5 et 6. Exercices 6, 9 à 13

um − un = ( m − n) ⋅ r .

6. Le déboisement dans le monde On s’intéresse ici à des données fournies par le site IDD (Indicateurs pour un Développement Durable), qui distingue seulement deux catégories : les régions du globe situées au nord et celles situées au sud. On peut y voir que le taux de déboisement n’est pas uniforme dans les différentes parties du monde.

Le tableau ci-dessous présente des chiffres calculés à partir de données fournies par ce site et par celui de l’Organisation des Nations Unies pour l’alimentation et l’agriculture (FAO, 1999). Partie du monde

Superficie boisée en milliers d’hectares, début 1990

Variation annuelle en %

Nord

1 618 431

+ 0,1

Sud

1 892 296

– 0,7

Calculer les superficies boisées de chaque partie du globe, année après année jusque fin 1995.

2. Suites

Synthèses 7 à 9 Exercices 3, 8a, 14 à 17 Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques 4 à 7, 18

7. Le coût du forage Dans une région du Burkina Faso, plusieurs villages proches l’un de l’autre s’organisent en coopérative pour construire un puits d’eau potable. Ils contactent une compagnie de forage pour évaluer la profondeur de la nappe aquifère et tester la qualité de l’eau. L’entreprise chargée du forage communique son devis. Les prix sont donnés en UM1 (unités monétaires). Nombre de mètres

Coût du mètre supplémentaire

Coût du forage

100

104

204

108,16

312,16

112,49

424,65

116,99

541,63

121,67

663,30

126,53

789,83

131,59

921,42

136,86

1 058,28

142,33

1 200,61

Puits terminé… l’eau est accessible à tous (Îles de Paix au Burkina Faso).

a. Décrire comment évolue la suite des « coûts du dernier mètre », c’est-à-dire préciser l’opération qui permet de passer du coût d’un forage au coût de celui dont la profondeur vaut un mètre de plus. b. Quelle relation peut-on établir entre le prix du dixième mètre et celui du premier ? c. Si l’on veut calculer le prix pour un forage dont la profondeur ne figure pas dans le tableau, par exemple pour une profondeur de 25 m, il faut calculer S = 100 + 100 ⋅ 1, 04 + 100 ⋅ 1, 042 + 100 ⋅ 1, 043 + .... + 100 ⋅ 1, 0424 . C’est un calcul fastidieux. En se basant sur l’expression de S cidessus, on peut montrer que S − 1, 04 ⋅ S = 100 − 100 ⋅ 1, 0425 . En déduire la valeur de S. d. Et si l’entreprise qui a demandé le forage disposait d’un budget de 6 000 UM, quelle profondeur de forage pourrait-elle envisager ? Procéder par essais successifs avec une calculatrice scientifique.

1 Voir chap. 1 page 4.

Exploration

8. Vers une formule a. Comment calculer la somme 1 + q + q2 + q3 + suppose q ≠ 1) ?

…

+ qn−1

(on

b. Comment calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de terme initial u1 et de raison q (on suppose q ≠ 1) ?

9. Divisions successives d’un carré

Synthèse 10 Exercices 19, 20 Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques 21 à 27

On a colorié la moitié d’un carré de surface 1, ensuite la moitié de la surface restante… (fig. 4). a. Répéter la démarche autant que possible. b. Examiner la suite des aires coloriées, et déterminer vers quelle valeur vont tendre ces aires. c. Calculer la somme des aires.

fig. 4

10. Fondations Une machine de travaux publics enfonce un pieu en béton dans le sol. Au premier coup, le pieu pénètre de 2 m dans le sol. Ensuite, le pieu s’enfonce de moins en moins profondément. D’un coup à l’autre, la perte est de 20 %. a. Donner la formule exprimant la profondeur atteinte au nième coup. b. La profondeur maximale à laquelle cette machine peut enfoncer un pieu est-elle limitée ? Si oui, à quelle profondeur ?

11. Les vagues On considère C1, la courbe formée par deux demi-cercles de diamètre 1. C1 C2 C3 A

d1 = 1 fig. 5

2. Suites

1 , 2 1 ensuite C3, la courbe formée par les huit demi-cercles de diamètre , 4 … et ainsi de suite, indéfiniment.

ensuite C2, la courbe formée par quatre demi-cercles de diamètre

a. Écrire la suite des diamètres des demi-cercles, la suite des longueurs des courbes, le terme général de chaque suite. b. Si l’on met bout à bout toutes ces courbes, quelle est la longueur de la ligne obtenue ? c. Écrire et calculer la suite des aires des surfaces comprises entre chaque courbe et le segment [AB].

12. Tendre vers l’infini a. Vers quelle valeur tend la somme 1 + q + q2 + q3 + lorsque n tend vers l’infini ?

…

+ qn−1

b. Peut-on en déduire la valeur vers laquelle tend la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ?

13. Série harmonique On appelle série harmonique la somme 1 +

1 1 1 1 1 + + + ++ + ; 2 3 4 5 n

ses termes sont les inverses des entiers naturels non nuls. Une telle somme infinie converge-t-elle vers une valeur réelle, comme dans l’exploration 9 (« Divisions successives d’un carré »), ou va-t-elle continuer à grandir pour dépasser n’importe quel nombre réel ? Pour répondre à cette question, on groupe les termes de la manière suivante :  1  1 1+   +  +  2  3

1   1 1 1 1  1 1  +  + + +  +  + ... +  + ... 4 5 6 7 8 9 16

a. Caractériser le dernier terme de chaque groupement. b. Déterminer une règle donnant le nombre de termes qu’il y a dans chaque groupement. c. Montrer que la somme des termes d’un même groupement est tou1 1 1 1 1 jours supérieure1à+ .+ + + +  + +  2 3 4 5 n d. Conclure en montrant que la somme des n premiers termes dépasse n’importe quel nombre réel.

Synthèses 11 et 12 Exercices 8b, 28 à 37

Exploration

e s è h t n sy 1. Qu’est-ce qu’une suite ? Une suite numérique désigne généralement une liste ordonnée et infinie de nombres, « indiçable » par des valeurs de N0, c’est-à-dire dont les éléments peuvent être numérotés au moyen des nombres naturels strictement positifs. On parle parfois de suite numérique finie pour désigner une liste ordonnée et finie de nombres. Mais dans la suite du texte, on considèrera par convention que les mots « suite numérique » désignent une suite infinie. On utilisera les conventions de notation suivantes. Le premier terme d’une suite est noté u1 ; son nième terme, ou terme d’indice n, est noté un (la lettre u pouvant être remplacée par une lettre quelconque identifiant la suite considérée). La suite est alors notée (un)n ∈ N . 0

Une telle suite infinie peut généralement être définie : – par récurrence si un terme est exprimé en fonction du (ou des) terme(s) précédent(s) ; dans ce cas, il faut aussi donner le premier terme de la suite ; – par une formule explicite si le terme général un est exprimé en fonction de l’indice. Exemples a. La suite (un )n ∈N0 de terme général un =

n 1 2 3  est la suite  , , ,... . Pour 2 3 4  n +1

obtenir les termes de la suite, on a remplacé n successivement par 1, 2, 3… un b. La suite (un )n ∈N0 donnée par la formule de récurrence un+1 = et de premier 1 + un  2 3  terme u1 = 2 est la suite  2, , ,... .  3 4 

2. Comment définir une suite en utilisant la notion de fonction ? Une suite est déterminée lorsque pour chaque indice n on peut déterminer la valeur du nième terme. De plus, on peut souvent définir une suite numérique en exprimant le terme général en fonction de l’indice n. On peut donc assimiler une suite à une fonction définie sur N0. Définition 2.1 – Suite numérique On appelle suite numérique toute fonction partout définie sur N0 et à valeurs dans R. Elle sera notée sous la forme (un )n ∈N0 . Définition 2.2 – Terme et indice On appelle terme d’une suite numérique (un )n ∈N0 l’image d’un quelconque élément n de N0, le nombre n étant l’indice de ce terme. Le terme d’indice n est noté un.

2. Suites

3. Comment reconnaître une suite arithmétique et utiliser les notations appropriées ? Une suite numérique est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Chacun de ses termes, à partir du deuxième, est égal au précédent augmenté d’un nombre constant. On appelle raison la valeur constante de cette différence, c’est-à-dire le nombre constant (positif ou négatif) qu’il faut ajouter à un terme pour obtenir le suivant. On désigne la raison par la lettre r. Définition 2.3 – Suite arithmétique Soit r un nombre réel. On appelle suite arithmétique de raison r toute suite numérique (un )n ∈N0 telle que ∀n ∈ N0 : un+1 = un + r + (n − 1)r u1

u2 +r

...

Si r est positif, la suite est croissante, si r est négatif la suite est décroissante. La croissance d’une suite arithmétique est dite linéaire.

4. Comment représenter (ou reconnaître) une suite arithmétique dans un repère cartésien ? Le graphique d’une suite arithmétique est formé de points isolés et alignés. (un)

1 0

n (vn) fig. 6

La suite (un ) = (2, 5 ; 3 ; 3, 5 ; 4 ; 4, 5 ; 5 ; 5, 5 ; 6 ; 6, 5) est une suite arithmétique croissante, de raison strictement positive r = 0, 5 . La suite ( vn ) = (4 ; 3, 25 ; 2, 5 ; 1, 75 ; 1 ; 0, 25 ; − 0, 5 ; − 1, 25 ; − 2) est une suite arithmétique décroissante de raison strictement négative r = − 0, 75 .

Synthèse

5. Quelles sont les formules les plus utiles pour les suites arithmétiques ? Pour déterminer le terme d’indice n d’une suite arithmétique dont le premier terme est u1 et la raison r, on calcule un = u1 + ( n − 1) r. Un terme d’une suite arithmétique (à l’exception du premier) est la moyenne arithmétique des deux termes qui l’encadrent. u + un+1 . un = n−1 2 On peut déterminer la différence entre deux termes quelconques : um − un = ( m − n)r Les démonstrations ont été faites dans l’exploration 5.

6. Comment calculer rapidement la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ? u1

un − 1 = un − r

u2 = u1 + r u1

fig. 7

L’image de la double échelle, dessinée ci-dessus, suggère comment établir la formule de la somme Sn des n premiers termes d’une suite arithmétique. 2Sn = (u1 + un ) + (u2 + un−1 ) + (u3 + un− 2 ) + ... + (un + u1 )

(

= (u1 + un ) + (u1 + r + un − r ) + (u1 + 2r + un − 2r ) + ... + u1 + ( n − 1) r + un − ( n − 1) r = n (u1 + un )

En utilisant le symbole de sommation précède peut également s’écrire

∑, qui se lit « somme, pour i allant de 1 à n, de », ce qui i =1

2Sn =

∑ (u + u i

n+1− i

)

i =1 n

∑ (u + (i − 1) r + u 1

i =1 n

∑ (u + u ) 1

i =1

= n (u1 + un )

2. Suites

)

− ( i − 1) r

)

D’où : n (u1 + un ) 2

Sn =

7. Comment reconnaître une suite géométrique et utiliser les notations appropriées ? Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cela revient à dire que chacun de ses termes (supposés non nuls), à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par un nombre constant différent de 0. On appelle raison la valeur constante du rapport entre deux termes consécutifs, c’est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier un terme pour obtenir le suivant. On désigne la raison par la lettre q. Définition 2.4 – Suite géométrique Soit q un nombre réel non nul. On appelle suite géométrique de raison q toute suite numérique (un )n ∈N0 telle que ∀ n ∈ N0 : un ≠ 0 et un+1 = q ⋅ un . × q(n − 1)

u2 ×q

...

×q

q<0

0<q<1

q=1

q>1

u1 > 0

Suite ni croissante ni décroissante

Suite strictement décroissante

Suite constante

Suite strictement croissante

u1 < 0

Suite ni croissante ni décroissante

Suite strictement croissante

Suite constante

Suite strictement décroissante

Une suite géométrique de raison 1 a peu d’intérêt puisque tous ses termes sont identiques. On se limitera souvent aux suites de raison strictement positive et différente de 1.

Synthèse

8. Comment représenter une suite géométrique de raison positive dans un repère cartésien ? Le premier terme de la suite est négatif.

Le premier terme de la suite est positif.

1 (un)

n (vn)

1 0

(vn) 1

(un)

fig. 8

(

fig. 9

)

(

)

La suite (un ) = 1 ; 1, 2 ; 1, 44 ; ... ; 1, 29 ; ... est La suite (un ) = −1 ; − 1, 2 ; − 1, 44 ; ... ; − 1, 29 ;... est une suite géométrique croissante de raison 1,2. une suite géométrique décroissante de raison 1,2. La suite

( vn ) = (6 ; 3, 6 ; 2,16 ; ... ; 6 × 0, 69 ; ...)

(

)

La suite ( vn ) = − 6 ; − 3, 6 ; − 2,16 ; ... ; − 6 × 0, 69 ; ...

est une suite géométrique décroissante de rai- est une suite géométrique croissante de raison 0,6. son 0,6.

9. Quelles sont les formules les plus utiles pour les suites géométriques ? Pour calculer le terme d’indice n d’une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q, on calcule un = u1 ⋅ qn−1 (1) Pour calculer la raison q d’une suite géométrique dont le terme initial est u1 et le terme d’indice n est un, on isole q dans la formule (1). Dans une suite géométrique de termes strictement positifs, un terme (à l’exception du premier) est la moyenne géométrique des deux termes qui l’encadrent : un = un−1 ⋅ un+1 Le rapport entre deux termes quelconques d’une suite géométrique est donné par um = qm − n un

2. Suites

10. Comment calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ? Si on connaît la raison et le premier terme, on calcule la somme des n premiers termes d’une suite géométrique en se référant à la méthode suivante. On exprime la somme Sn des n premiers termes en fonction de ceux-ci. Sn = u1 + u2 + u3 +  + un

(1)

On multiplie les deux membres de l’égalité (1) par q ; dans le membre de droite, on multiplie chaque terme par q en utilisant la formule un+1 = q ⋅ un . On obtient alors l’égalité (2). qSn = u2 + u3 +  + un + un+1 (2) On soustrait ensuite membre à membre les égalités (1) et (2) pour obtenir l’égalité (3): Sn − qSn = (u1 + u2 + u3 +  + un ) − (u2 + u3 +  + un + un+1 ) Sn − qSn = u1 + (u2 + u3 +  + un ) − (u2 + u3 +  + un ) − un+1 Sn − qSn = u1 − un+1 (3) Ces calculs peuvent également s’écrire en utilisant les symboles de sommation : n

Sn =

∑u

(1)

i =1 n

qSn =

∑u

i +1

(2)

i =1

Sn − qSn =

∑

ui −

i =1

d’où

∑u

i +1

i =1

n+1

∑u − ∑u

Sn − qSn =

i =1

i= 2

Sn − qSn = u1 +

∑u − ∑u − u i

i= 2

n+1

i= 2

Sn (1 − q) = u1 − un+1 (3) Sn (1 − q) = u1 − qn u1 Pour autant que q ≠ 1, on obtient la formule Sn =

1 − qn u1 1− q

Remarque Si q = 1, on a Sn = nu1 .

Synthèse

11. Quelle est la limite d’une suite ? Lorsque n tend vers l’infini, ce qu’on écrit n → + ∞, la valeur des termes peut : – soit devenir supérieure à n’importe quel réel positif, pour autant que n dépasse une certaine valeur ; on dit alors que la limite de la suite est + ∞ ; – soit devenir inférieure à n’importe quel réel négatif, pour autant que n dépasse une certaine valeur ; on dit alors que la limite de la suite est − ∞ ; – soit devenir aussi proche que l’on veut d’une valeur réelle b, pour autant que n dépasse une certaine valeur ; on dit alors que la suite converge vers b et que le réel b est la limite de la suite ; – soit n’avoir aucun de ces comportements. Définition 2.5 – Limite d’une suite Soit (un )n ∈N0 une suite numérique, et soit un réel b. – On dit que + ∞ est la limite de la suite (un )n ∈N0 , et l’on note lim un = + ∞ , si et seulement si n→ +∞

(∀r ∈ 0+ )(∃m ∈ 0 ) : n > m ⇒ un > r

– On dit que − ∞ est la limite de la suite (un )n ∈N0 , et l’on note lim un = − ∞, si et seulement si n→ +∞

(∀r ∈ 0− )(∃m ∈ 0 ) : n > m ⇒ un < r

– On dit que b est la limite de la suite (un )n ∈N0 , et l’on note lim un = b , si et seulement si n→ +∞

(∀ε ∈ 0+ )(∃m ∈ 0 ) : n > m ⇒ un − b < ε Limite d’une suite arithmétique (un)n Œ N de raison r 0

– si r > 0 , la suite est strictement croissante et lim un = + ∞ n→ + ∞

– si r < 0 , la suite est strictement décroissante et lim un = − ∞. n→ + ∞

Limite d’une suite géométrique (un)n Œ N de raison q π 0 0

– si q ≤ −1 ; la suite (un )n ∈N0 n’a pas de limite ; – si 0 < q < 1 , lim un = 0 ; n→ + ∞ – si q = 1, la suite est constante et lim un = u1 ; n→ + ∞

– si q > 1 , et u1 > 0 la suite est croissante et lim un = + ∞ ; n→ + ∞

– si q > 1 , et u1 < 0 la suite est décroissante et lim un = − ∞ . n→ + ∞

Exemples a. Dans l’exploration 9 (« Divisions successives d’un carré »), on observe que la suite des 1 1 1 1  aires tend vers zéro. En effet, la suite des aires successives est  , , ,..., n ,... . 2 4 8  2 Lorsque n tend vers l’infini, celles-ci deviennent tellement petites qu’elles tendent vers zéro. On écrit lim

n→+ ∞

2. Suites

1 2n

=0.

b. Dans l’exploration 11 (« Les vagues »), on constate que les longueurs C1, C2, C3… sont toutes égales à p. La suite des longueurs est constante, et on peut donc dire qu’elle tend vers p. On observe sur la figure que les aires des surfaces comprises entre les courbes et le 1  1 1  diamètre tendent vers 0. La suite des diamètres 1 , , , ... , n−1 ,... est une suite  2 4  2 1 géométrique de premier terme 1 et de raison ; elle tend vers 0. La suite des aires 2 π p π π π  et de raison , ... , n+1 , ... est une suite géométrique de premier terme  , ,  4 8 16 4 2 1 ; elle tend vers 0. 2 1 c. La suite (2,1 ; 2, 01 ; 2, 001 ; 2, 0001 ; ...) de terme général un = 2 + n tend vers 2. En 10 1 =0. effet, lim n→+ ∞ 10 n d. La suite des puissances de 10 est une suite géométrique de raison 10 ; elle tend vers + ∞ .

12. Comment calculer la somme de tous les termes d’une suite ? Quelle est la somme u1 + u2 + u3 + u4 +  de tous les termes de la suite (un )n ∈N0 ? En pratique, comment additionner tous les termes jusqu’à l’infini ? Il faut d’abord préciser la signification d’une écriture telle que u1 + u2 + u3 + u4 +  . Pour une suite (un )n ∈N0, on peut calculer, si elle existe, la limite des sommes partielles : lim Sn . n→ +∞

La somme u1 + u2 + u3 + u4 +  de tous les termes de la suite (un )n ∈N0 est, par définition, la +∞

limite des sommes partielles ; elle est notée

∑u . i

i=1

Limite des sommes partielles d’une suite arithmétique (un)n Œ N de raison r 0

+∞

– si r > 0 ,

∑u

= lim Sn = + ∞

∑u

= lim Sn = − ∞

n→ + ∞

i =1

+∞

– si r < 0 ,

i =1

n→ + ∞

Limite des sommes partielles d’une suite géométrique (un)n Œ N de raison q π 0 0

– si q ≤ −1 , la suite ( Sn )n ∈N0 n’a pas de limite +∞ 1 − qn 1 – si 0 < q < 1 , ui = lim Sn = lim u1 = u1 n→ + ∞ n→ + ∞ 1 − q 1− q i =1

∑

Synthèse

+∞

– si q = 1 et u1 > 0 ,

∑u

= lim Sn = lim n ⋅ u1 = + ∞

∑u

= lim Sn = lim n ⋅ u1 = − ∞

i =1 +∞

– si q = 1 et u1 < 0 ,

i =1

n→ + ∞

– si q > 1 et u1 > 0 , la suite est strictement croissante et +∞

∑

1 − qn u1 = + ∞ n→ + ∞ 1 − q

ui = lim Sn = lim n→ + ∞

i =1

– si q > 1 et u1 < 0 , la suite est strictement décroissante et +∞

∑

1 − qn u1 = − ∞ n→ + ∞ 1 − q

ui = lim Sn = lim n→ + ∞

i =1

Exemples a. Dans l’exploration 9 (« Divisions successives d’un carré »), l’aire totale du carré est recouverte par les différentes surfaces obtenues. On en déduit que la somme des aires tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini, ce qui s’écrit 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + n + ... = 1 2 2 2 2 ou encore +∞

1 1 1 1 = lim  + 2 + 3 + ... + n  = 1 n→ + ∞  2 2 2 2 

∑u

i =1

Ce dernier résultat peut être obtenu en utilisant la formule : +∞

∑u

i =1

= lim Sn = n→ + ∞

1 1 1 u1 = ⋅ =1 1 2 1− q 1− 2

b. Dans l’exploration 11 (« Les vagues »), on constate que les longueurs C1, C2, C3… sont toutes égales à p. La suite des longueurs est constante, et la longueur totale tend vers l’infini. La somme des aires peut s’écrire

π1 1 1 1  + + ... + n + ... . On sait que la limite  +  2  2 22 23 2

de la somme entre parenthèses est 1 ; on en déduit que la limite de la somme des p aires est . 2

2. Suites

s e c i c r e x e Expliciter les savoirs et les procédures 1. Suites numériques Écrire les cinq premiers termes des suites suivantes définies par leur terme général. a. un = n2 − 1 b. un =

n −1 n+2

( n ≥ 1) ( n ≥ 1)

c. un = un−1 + 3 et u1 = −5 ( n ≥ 2) d. un = 2un−1 − 3 et u1 = 0, 5 ( n ≥ 2)

2. Représentation graphique d’une suite arithmétique Représenter dans des repères distincts les suites arithmétiques : a. (un )n ∈N de premier terme 4 et de raison 0,5. 0

b. ( vn )n ∈N de premier terme 10 et de raison –1. 0

3. Représentation graphique d’une suite géométrique Représenter dans des repères distincts les six premiers termes des suites géométriques suivantes. a. (un )n ∈N de premier terme 2 et de raison 1,2. 0

b. ( vn )n ∈N de premier terme 8 et de raison 0,5. 0

4. Suite arithmétique ou géométrique ? A. Les nombres suivants peuvent-ils être les termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique ? Justifier. Le cas échéant, donner la raison. a. 81 ; 54 ; 36 ; 24 ; 16 b. 62 ; 59,5 ; 57 ; 54,5 ; 52 a+ b ;b 2 B. Les suites définies dans l’exercice 1 sont-elles des suites arithmétiques, des suites géométriques, ou ni l’un ni l’autre ? c. a ;

Exercices

5. La « bonne » formule Pour calculer le quatorzième terme à partir du treizième et du quinzième, quelle formule faut-il utiliser : a. dans une suite arithmétique ? b. dans une suite géométrique ?

6. Une nouvelle formule Exprimer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique en fonction de son premier terme et de la raison.

7. Reconnaître une suite donnée Préciser si les représentations suivantes correspondent à des suites arithmétiques ou à des suites géométriques. Déterminer chaque fois la raison. a. Le nombre N de millions de bactéries (par unité de volume) présentes dans un bouillon de culture après x heures est donné dans le tableau ci-après. x (nombre d’heures)

N (nombre de millions de bactéries par unité de volume)

127

180

254

b. La production mensuelle (P) d’appareils électroménagers d’une entreprise durant l’année 2000. Mois

16 625

16 900

17 175

17 450

17 725

18 000

18 275

18 550

18 825

19 100

19 375

19 650

c. Un matériau a été soumis à des tests pour déterminer sa capacité d’absorption des rayons X. Pour ce faire, on a utilisé des plaques de différentes épaisseurs de ce matériau. On les a soumises à un faisceau de rayons X dont l’intensité est de 2,4 unités et l’on a mesuré l’intensité du faisceau de l’autre côté de la plaque. Le graphique (fig. 10) montre l’intensité du faisceau en fonction de l’épaisseur.

2. Suites

Intensité du faisceau à la sortie

2,8 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 0,0

Épaisseur du matériau (en cm) fig. 10

8. Démonstration a. Démontrer les formules de la synthèse 9. b. Se baser sur la définition 2.5 pour démontrer les résultats des limites de suites arithmétiques et géométriques (synthèse 11).

Appliquer une procédure 9. On connaît un terme et la raison d’une suite arithmétique A. On donne le premier terme u1 et la raison r, calculer u2 et u5. Exprimer un en fonction de n et calculer u100. a. u1 = 17 et r = 4 1 4 c. u1 = 3,8 et r = – 0,7 b. u1 = –1 et r =

B. Calculer u1 et u16 à partir des valeurs données. a. u3 = 2 et r = –3 b. u7 = 13 et r = –1,5 c. u9 =

11 4 et r = 3 3

Exercices

10. On connaît deux termes d’une suite arithmétique A. Écrire les huit premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier terme est 35 et le huitième terme est 112. B. Pour une suite arithmétique (un )n ∈N , calculer u1 et u15 à partir 0 des valeurs données. a. u7 = 25 et u12 = 45 b. u8 = 19 et u21 = − 0, 5 c. u13 = − 0, 34 et u2 = − 0, 01 d. u5 =

138 et u8 = 21 7

11. Quatre termes consécutifs d’une suite arithmétique La somme de quatre termes consécutifs d’une suite arithmétique est 35 et le quatrième vaut quatre fois le premier. Quels sont ces quatre nombres ?

12. Somme de termes d’une suite arithmétique Sn désigne la somme u1 + u2 + ... + un des n premiers termes d’une suite arithmétique. a. Calculer S12 si u1 = – 4 et r = 3. b. Calculer S100 si u10 = 10 et u1 000 = 100 000.

13. Faire des économies A. Au mois de janvier 2010, Vincent a économisé 12,50 € ; au mois de février, il a économisé 1,20 € de plus qu’en janvier ; au mois de mars, il a économisé 1,20 € de plus qu’en février ; … Il économise ainsi chaque mois 1,20 € de plus que le mois précédent. On note u1, l’économie de janvier 2010, u2, l’économie de février 2010, u3, l’économie de mars 2010… a. Comment noter l’économie réalisée en décembre 2011 ? b. Calculer u2, u3, u4, u5. c. Exprimer un en fonction de n.

2. Suites

d. Quelle somme Vincent a-t-il économisée en décembre 2011 ? e. Quelle somme totale Vincent a-t-il économisée de janvier 2010 à décembre 2011 ?

14. On connaît un terme et la raison d’une suite géométrique A. On donne le premier terme u1 et la raison q d’une suite géométrique (un )n ∈N . Calculer u2 et u3. Exprimer un en fonction de n et 0

calculer u10 dans les cas suivants. a. u1 = −7 et q = 3 b. u1 = 1500 et q = 1, 06 c. u1 = 10000 et q = 0,15 B. Calculer u1 et u10 à partir des valeurs données. a. u5 = 512 et q = 2 9 1 et q = 4 3 c. u4 = 0, 001 et q = 0, 2 b. u3 =

d. u2 = 7 et q = 3

15. On connaît deux termes d’une suite géométrique A. Écrire les cinq premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est 96 et le cinquième est 2304. B. Sachant que (un )n ∈N0 est une suite géométrique, calculer u1 et q dans les situations suivantes. a. u4 = 32768 et u7 = 64000 b. u2 = 392 et u5 = 49 c. u6 = 7012758, 654 et u2 = 5350000 C. Insérer cinq termes entre 2 et 31 250 pour obtenir sept termes consécutifs d’une suite géométrique.

Exercices

16. Quatre termes consécutifs d’une suite géométrique Le produit de quatre termes consécutifs d’une suite géométrique est 256 et le quatrième vaut quatre fois le premier. Quels sont ces quatre nombres ?

17. La raison Donner la raison et le premier terme d’une suite géométrique (un )n ∈N0 si on sait que u7 + u11 = 6 et u10 + u14 = 48 .

18. Inconnues… a. Déterminer la (ou les) valeur(s) de m pour que les trois réels 35 ; m ; 875 soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. b. Déterminer la (ou les) valeur(s) de m pour que les trois réels 35 ; m ; 875 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique. c. Déterminer la (ou les) valeur(s) de t pour que les trois réels 3t + 2 ; 4t – 3 ; 2t + 1 soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. d. Déterminer la (ou les) valeur(s) de x pour que les trois réels x2 ; 2x2 – 2 ; 2x – 3 soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. e. Déterminer la (ou les) valeur(s) de p pour que les trois réels 2p + 3 ; 5p – 4 ; 10p – 8 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique. f. Existe-t-il des triangles rectangles dont les côtés sont des termes consécutifs d’une suite géométrique ?

19. Somme de termes d’une suite géométrique On désigne par Sn la somme u1 + u2 + ... + un des n premiers termes d’une suite géométrique. a. Calculer S11 si u1 = −2 et q = 3. b. Calculer S8 si u2 = 10000 et q = 1,03 . c. Calculer S = 1 + 2 + 22 +  + 210.

2. Suites

20. Calculer une somme Calculer les sommes suivantes. 12

∑ (1 − 2i) i =1 n

∑ (3i − 2) i =1 n

∑ (5 ⋅ 2 ) i

i =1 n

∑ (3 ⋅ 4

+ 2i − 1)

i =1

21. Demi-cercles consécutifs La fig. 11 est constituée de demi-cercles dont les rayons forment une suite arithmétique. Le rayon du premier demi-cercle est noté R.

a. Calculer les aires A1, A2, A3… des surfaces comprises entre deux demi-cercles consécutifs et écrire une formule permettant de calculer l’aire de la surface An. Quel type de suite reconnaît-on ? b. Calculer les périmètres de ces mêmes surfaces. Écrire une formule générale pour calculer ces périmètres. La suite de ces périmètres est-elle géométrique ?

fig. 11

22. Calculatrice… prudence ! 1 et un+1 = 29un − 4 . 7 a. Calculer à la main les 10 premiers termes de cette suite.

On considère la suite définie par u1 =

b. Répéter la suite d’opérations × 29 − 4 = (ou enter) sur une calculatrice (non formelle) ou utiliser une fonction de cette calculatrice permettant d’effectuer ce calcul répétitif (par exemple RECUR sur certaines calculatrices). Que constate-t-on ? Comment l’expliquer ?

Exercices

Résoudre un problème 23. À toute allure ! Un cycliste descend une colline en parcourant 1,2 m durant la première seconde. Il roule de plus en plus vite : chaque seconde il parcourt 1,5 m de plus que la seconde précédente. a. Sachant que le cycliste atteint le bas de la colline en 11 secondes, calculer la distance totale parcourue. b. À quelle vitesse arrive-t-il en bas de la colline ?

24. Amortissement d’une voiture Un véhicule A, d’une valeur de 22 867 €, se déprécie à raison de 2,4 % par mois. Un véhicule B, d’une valeur de 18 294 €, se déprécie à raison de 1,8 % par mois. a. Au bout de combien de mois la valeur du véhicule A deviendra-telle inférieure à la moitié du prix de ce véhicule neuf ? b. À partir de quand la valeur du véhicule B sera-t-elle plus élevée que celle du véhicule A ? c. Quel est le taux annuel de dépréciation du véhicule A, arrondi au centième le plus proche ?

25. Équipement informatique À la naissance de leurs enfants, les parents d’Émilie et ceux de Claire ont convenu d’une formule d’épargne pour leurs enfants. Ceux d’Émilie ont placé 700 € sur un livret d’épargne rapportant 3,5 % l’an à intérêts composés1. Ceux de Claire ont décidé de mettre 350 € dans une tirelire et d’y ajouter 10 € au premier anniversaire, 20 € au deuxième, 30 € au troisième, et ainsi de suite. Chaque famille décide d’investir le montant de cette épargne dans un achat de matériel informatique pour un montant de 1 100 €. À quel anniversaire chacun des enfants pourra-t-il disposer de cet équipement ?

1 Chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.

2. Suites

26. Les prévisions de Malthus (1755-1834) En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants. mAlThus avait émis l’hypothèse suivante : – la population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmentant de 2 % par an ; – l’agriculture anglaise en 1800 permet de nourrir 10 millions d’habitants et son amélioration permet de nourrir 500 000 habitants supplémentaires par an, suivant une progression arithmétique. Calculer, selon l’hypothèse de Malthus, la population de l’Angleterre en 1900 et le nombre de personnes que pouvait nourrir l’agriculture anglaise en 1900. Déterminer à partir de quelle année l’agriculture anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise, toujours selon l’hypothèse de Malthus.

27. Un prêt particulier1 Un jeune ébéniste fraîchement diplômé emprunte à ses parents une somme de 12 000 € qui lui viendra bien à point pour son installation professionnelle. Il accepte de rembourser cette somme en 60 mois : il paiera chaque mois la même part du capital (amortissement), mais paiera de plus un intérêt de 0,4 % sur la partie du capital non encore remboursée. A. Utiliser un tableur pour compléter le tableau suivant sur les 60 mois de durée du prêt. Durée

Amortissement

Intérêt Mensualité Solde restant dû

1 mois 2e mois … B. En observant les différentes colonnes de ce tableau, indiquer si certaines suites de nombres sont des suites arithmétiques ou géométriques. Si oui, préciser le premier terme et la raison.

28. En zigzag Dans la fig. 12, les triangles sont équilatéraux.

a. Calculer : – la longueur de la ligne brisée ABC,

– la longueur de la ligne ADEFC, – la longueur de la ligne AGHIEJKLC. 1 Situation à traiter avec un tableur.

C fig. 12

Exercices

b. Écrire la longueur de la nième ligne. c. Vers quelle valeur tend la somme des longueurs si n tend vers l’infini ? d. Que vaut l’aire comprise entre chaque ligne et le segment [AC] ?

29. Balle magique Une balle est lancée d’une hauteur de 2 m. À chaque fois qu’elle touche le sol, elle rebondit jusqu’à 75 % de sa hauteur précédente. a. Quelle hauteur atteint la balle après le troisième rebond ? b. Quelle hauteur atteint la balle après le nième rebond ? c. Combien de fois la balle doit-elle rebondir avant que la hauteur soit inférieure à 15 cm ? d. Quelle est la distance parcourue par la balle quand elle s’arrête au sol ?

30. Réchauffement climatique a. Dans le premier numéro de 2007 (vol. 5, n° 1) du magazine Tunza1 consacré à la fonte des glaces, un des articles signale que « les glaciers perdent chaque année 3 % au moins de leur volume ». À la lecture de cet article, François en conclut que les glaciers perdent 30 % de leur volume en dix ans. La déduction de François est-elle correcte ? Justifier la réponse. b. La Suisse aussi est inquiète ! En dix ans, les glaciers suisses ont perdu 13 % de leur masse totale. Si leur disparition se poursuit à ce rythme, les conséquences seront importantes pour les écosystèmes et pour l’économie du pays. En supposant un taux de diminution constant, estimer le pourcentage de perte annuelle des glaciers suisses.

31. La « célèbre » suite de Fibonacci FibonAcci, de son vrai nom Léonard de Pise, est né en cette ville en 1175. Un problème de reproduction de lapins est à l’origine de la suite qui porte son nom2. 1 Magazine pour les jeunes du programme des Nations Unies pour l’environnement. Il peut être consulté sur le site www.unep.org dans la rubrique « Publications » (périodiques). 2 Si l’on possède initialement un couple de lapins, combien aura-t-on de couples en douze mois, si chaque couple engendre chaque mois un nouveau couple à compter de son deuxième mois d’existence ? Pour en savoir plus… De nombreux articles et livres sont disponibles sur la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Une recherche sur le web fournit de nombreuses références de sites consacrés à ces sujets.

2. Suites

Curieusement, les termes de la suite de Fibonacci se retrouvent dans les spirales de certaines plantes : les ananas ont 8 spirales d’écailles dans un sens et 13 dans l’autre, les cœurs des fleurs de tournesol 21 spirales de fleurons dans un sens et 34 dans l’autre, les pommes de pin ont 5 spirales d’écailles dans un sens et 8 dans l’autre… Des chercheurs qui étudient l’arrangement des feuilles ou des fleurs sur les végétaux ont pu montrer que la disposition selon la suite de Fibonacci était la plus efficace pour la croissance de ces plantes. Voici comment construire la suite de Fibonacci : les deux premiers termes de cette suite sont égaux à un ; chaque terme, à partir du troisième, est la somme des deux termes qui le précèdent. a. Écrire les dix premiers termes de la suite de Fibonacci. b. Écrire l’expression de un, lorsque n ≥ 3 .

c. On observe une nouvelle suite ( vn )n ∈N . Chaque terme 0 u de cette suite est défini par vn = n+1 . Écrire les dix un premiers termes de cette suite.

d. Justifier que vn+1 = 1 +

1 . vn

e. En observant le graphique (fig. 13) de la suite ( vn )n ∈N , 0

on constate que lorsque n devient infiniment grand, vn+1 est pratiquement égal à vn. vn

n fig. 13

Exercices

Par approximation, on peut remplacer vn+1 par vn : vn = 1 +

1 . vn

que l’on traite comme une équation d’inconnue vn. La racine positive de l’équation est notée j et appelée « nombre d’or ». Quelle est la valeur de j ? f. Voici deux propriétés remarquables de ce nombre j : son carré s’obtient en lui ajoutant 1 et son inverse en lui ôtant 1… Justifier ces propriétés. ϕ2 = ϕ + 1 1 = ϕ −1 ϕ Ce nombre intervient dans des constructions géométriques (pentagone, décagone, octaèdre, dodécaèdre). g. Voici une troisième suite ( wn )n ∈N , dont chaque terme est défini 0 de la manière suivante : wn =

un+2 . un

Quelle est la limite de cette suite ? h. Une autre curiosité : les puissances de j ! Elles sont toutes des expressions du 1er degré de j. Calculer j3, j4, j5, j6. Que remarquet-on à propos de la suite des puissances de j ?

32. Le carré tournant On part d’un carré de 10 cm de côté. On en trace un autre à l’intérieur en plaçant ses sommets comme indiqué sur la fig. 14 : chaque sommet est sur un côté du premier carré à une distance d’1 cm des sommets de ce dernier. On place de la même façon un troisième carré dans le deuxième, un quatrième dans le troisième et ainsi de suite, indéfiniment. Jusqu’où peut-on aller ainsi ? a. Quels sont les éléments de la figure qui restent communs à tous ces carrés ? b. La suite des aires du carré va-t-elle tendre vers 0 ? Démontrer.

2. Suites

fig. 14

33. Le flocon de von Koch (1870-1924) On considère un triangle équilatéral P1 dont le côté est de longueur 1. Pour construire le flocon de von Koch, on procède de la manière suivante : – diviser chaque côté en trois segments de même longueur et sur le segment central, construire un triangle équilatéral orienté vers l’extérieur de la figure (effacer la base de ce triangle) ; – répéter cette construction sur chacun des côtés du nouveau polygone obtenu. La fig. 15 représente les quatre premiers polygones obtenus P1, P2, P3 et P4. Vers quelles valeurs vont tendre la suite des aires, la suite des longueurs des côtés et la suite des périmètres des polygones ainsi obtenus ?

fig. 15

34. Constituer un capital Une personne veut se constituer un capital en versant le 1er janvier de chaque année, à partir de 2013, un montant de 2 000 €. La banque lui assure un intérêt annuel de 3 %. Les intérêts sont capitalisés, ils sont donc ajoutés au capital à la fin de chaque année. À quel montant s’élèvera ce capital juste après le 5e versement ?

Exercices

Justifier les résultats indiqués dans la première ligne puis compléter le tableau.

1er dépôt e

2 dépôt

1er janvier 2013

1er janvier 2014

1er janvier 2015

1er janvier 2016

1er janvier 2017

2000,00

2060,00

2121,80

2185,45

2251,02

2000,00

3 dépôt

2000,00

4 dépôt

2000,00

5 dépôt

2000,00 total

a. Caractériser la suite des nombres figurant dans la dernière colonne. b. Établir une formule donnant le capital obtenu juste après le 5e versement, sur base de chaque montant versé et du taux annuel. c. On constitue un capital Cn par n annuités constantes1 (a) placées au taux i par période. Établir une formule donnant la valeur de Cn sur base des valeurs de a, n et i. d. Résoudre les problèmes suivants. 1) On verse 1000 € chaque année pendant 10 ans. La capitalisation des intérêts est annuelle au taux annuel de 2,5 %. Calculer la valeur totale acquise par ces versements au moment du dernier versement. 2) Une personne veut se constituer un capital en versant chaque mois 100 € pendant 3 ans. La capitalisation est mensuelle au taux mensuel de 0,2 %. Calculer le capital constitué au moment du dernier versement et les intérêts acquis. 3) Une personne veut se constituer un capital de 6 000 € en vue d’un achat dans 3 ans. Elle souhaite verser un montant identique chaque semestre. La capitalisation est semestrielle au taux semestriel de 1,2 %. Calculer le montant d’un versement. 4) Monsieur Ygrec s’est constitué un capital de 9 000 € en versant sur un compte épargne 833 € au début de chaque année. Ce placement est rémunéré au taux annuel de 3 %. Calculer le nombre de versements de Monsieur Ygrec. 5) On effectue un placement de 6 000 € au taux de 3,5 %. Chaque année, on augmente le capital de 300 €. Après combien de temps le capital initial aura-t-il doublé ?

1 Cette expression désigne des versements égaux effectués à intervalles de temps égaux ; si le versement est mensuel, on parle de mensualité.

2. Suites

35. Rembourser un financement Le salon de l’auto bat son plein ; banques et concessionnaires proposent un financement à l’achat d’un véhicule neuf. Jean doit emprunter 15 000 € et sa banque lui propose un prêt au taux de 3,5 %, remboursable par 30 mensualités de 522,39 €. Le taux est un taux annuel effectif global (TAEG) qui couvre le loyer du montant prêté et tous les frais relatifs au prêt. Curieux, Jean veut comprendre comment sont calculées les mensualités. a. Comme le remboursement se fait par mensualités, il faut calculer le taux mensuel équivalent au TAEG communiqué, c’est-à-dire le taux mensuel qui, pour un même placement, donne au terme d’un an, le même capital. Lorsqu’ils sont équivalents, le taux annuel i et le taux mensuel t sont liés par la relation i = (1 + t)12 − 1 . Exprimer t en fonction de i, puis calculer le taux mensuel équivalent au TAEG de 3,5 %. b. Actualiser un montant signifie que l’on cherche sa valeur à un moment donné. Pour déterminer la valeur d’un capital C, n périodes avant le moment observé, on utilise la relation C− n = C(1 + i)− n . Pour le futur, on utilise la relation Cn = C(1 + i)n . Dans le cas du remboursement d’un financement, la somme de toutes les mensualités actualisées au moment de l’emprunt doit être égale au montant emprunté. Utiliser un tableur pour dresser un tableau dans lequel on indique la valeur actualisée des différentes mensualités et effectuer la somme des termes apparaissant dans la première colonne. Voici les premières et dernières lignes obtenues à l’aide d’Excel ; on constate que la somme des mensualités actualisées est inférieure au montant emprunté, ce qui est dû aux arrondis consécutifs. Valeur au moment 1re mensualité 2e mensualité 3e mensualité … 29e mensualité 30e mensualité de l’emprunt 1

520,90

519,40

517,92

…

480,73

479,35

522,39 522,39 522,39 … 522,39 522,39

14995,39

Pratiquement, la dernière mensualité est légèrement plus élevée pour compenser les « erreurs » d’arrondis accumulées. Dans ce cas-ci, la dernière mensualité s’élèvera à 527,41 €. c. Caractériser la suite qui apparait dans la première colonne et écrire une formule permettant de calculer la somme des mensualités sans passer par un tableau.

Exercices

d. Établir une formule permettant de calculer le montant des mensualités m en fonction du nombre n de mensualités et du TAEG. e. Voici la proposition de financement (fig. 16) placée par le vendeur sur le pare-brise d’une voiture neuve. 1) Utiliser un tableur pour analyser cette publicité à l’aide d’un tableau du même type que celui du point b. 2) Calculer la mensualité à payer si l’on souhaite rembourser le financement par 60 mensualités constantes (TAEG identique).

Financer l’achat de votre nouvelle voiture ? Exemple - Montant à financer : 10592,68 € - Remboursable en 59 mensualités de 119 € et une mensualité majorée de 5127 € - TAEG : 3,99 %

36. Le triangle de Sierpinski (1882-1969)

fig. 16

Le triangle de Sierpinski (fig. 17) est une fractale1 (terme créé par Benoit mAndelbroT en 1974) tout comme le flocon de von Koch. La figure de départ est un triangle équilatéral. Pour dessiner le triangle de Sierpinski, on répète les deux constructions suivantes sur chacun des petits triangles obtenus. a. Joindre deux à deux les milieux des cotés du triangle, ce qui définit quatre nouveaux triangles. b. Retirer le triangle central (en orange sur la figure de l’étape 1). Il y a maintenant trois petits triangles bleus qui se touchent deux à deux par un sommet. c. Répéter les opérations 1 et 2 pour chacun des triangles bleus.

Étape 1

Étape 2

Étape 3

1) Déterminer le nombre de triangles bleus pour chacune des quatre premières étapes. 2) Établir une formule donnant le nombre de triangles bleus à l’étape n en fonction du nombre obtenu à l’étape précédente. 3) On suppose que le côté du triangle initial est de 10 cm. Calculer d’étape en étape l’aire totale des parties colorées en bleu. Exprimer chaque terme de cette suite en fonction du précédent. Quelle est la limite de la suite obtenue ? 4) Pour ce même triangle initial, calculer d’étape en étape le périmètre total des triangles bleus. Exprimer chaque terme de cette suite en fonction du précédent, puis calculer la limite de la suite obtenue.

1 De nombreux documents sur les fractales sont disponibles sur Internet.

2. Suites

Étape 4 fig. 17

37. Tests psychotechniques Les tests psychotechniques comprennent souvent des suites de nombres à compléter. L’examinateur attend du candidat qu’il donne les termes suivants de la suite qui lui est proposée. Mais n’y a-t-il qu’une seule manière de compléter les suites données ? On demande de compléter la suite 2, 3, 5… d’au moins trois manières différentes… Ce ne seront sans doute pas les plus directes, mais c’est possible ! Et il y a une infinité de façons de compléter cette suite ! On sait qu’on peut définir les termes d’une suite à partir d’une expression (fonction) de l’indice n. On considère que chaque terme de la suite est obtenu à partir d’un polynôme du 3e degré en n, soit un+1 = an3 + bn2 + cn + d ( n ∈ N). Le premier terme de la suite est donné, c’est u1 = 2 , on en déduit d = 2. Le deuxième terme est 3 ; on a donc 3 = a + b + c + 2 ou a + b + c = 1. Le troisième terme 5 donne l’égalité 5 = a ⋅ 23 + b ⋅ 22 + c ⋅ 2 + 2 ou 8 a + 4 b + 2c = 3 . a + b + c = 1 Il faut donc résoudre un système d’équations  . 8 a + 4 b + 2c = 3 En soustrayant la première équation multipliée par 2 de la seconde 1 − 2b équation, on obtient 6 a + 2b = 1 ou a = . 6 En remplaçant a par sa valeur dans la première équation, on obtient 5 − 4b c= . 6 Les coefficients a et c dépendent tous deux de b ; on dit alors que le système est indéterminé (les systèmes seront étudiés dans le chapitre 14). À chaque valeur donnée à b correspond une expression pour le calcul des termes de la suite. 1 3 5 n + n + 2 , ce qui donne la suite 2, 6 6 3, 5, 9, 16, 27… Compléter cette suite jusqu’au 10e terme.

a. Ainsi pour b = 0, on a un+1 =

b. Donner les dix premiers termes de la suite obtenue lorsqu’on prend b = 1 ; b = −1 . c. Que se passe-t-il si on utilise un polynôme du second degré pour définir les termes ? d. Utiliser un polynôme du 4e degré pour compléter la suite 5, 7, 10, 12 …

Exercices

s é t é i r p o r p s e l a t n e m fonda s e r b m o des n réels

Les Pythagoriciens, au vie siècle avant J.-C., pensaient que les nombr es naturels étaient le principe d’explication de toutes choses et la géométrie avait comm e objectif principal la comparaison des grandeurs. Selon eux, les nombres naturels étaient des instruments assez puissants pour servir dans tous les cas à la comparaison de deux segme nts, de deux surfaces, de deux solides. Pour deux segments de droite par exemple, ils pensaient qu’il y avait toujours moyen de trouver un troisième segment, fût-il très petit, qui est contenu un nombr e entier de fois dans le premier et aussi dans le second. Un tel segment est appelé leur comm une mesure. La commune mesure permet de déterminer le rapport entre ces segments. Un rappor t s’écrit avec des naturels, pas de contradiction donc avec leurs croyances ! Or il se fait qu’un disciple de PyThAgore, Hippasus de méTAPon Te (environ 530 avant J.-C.), se rendit compte que ce n’était pas toujours le cas. Il en fit la découv erte à propos de l’étude de deux figures : le triangle rectangle isocèle et le pentagone régulie r. Les deux premières explorations de ce chapitre conduisent à faire soi-même cette étonnante découverte à propos du triangle rectangle isocèle et l’exercice 12, à propos du rapport entre la diagonale et le côté du pentagone régulier. Ces découvertes sont perturbantes : difficile en effet de penser qu’étant donné un segment et un autre choisi comme unité de mesure, il soit parfois impossible d’exprimer la mesure du premier à l’aide d’une fraction de l’unité. L’écriture décimale d’une calcula trice même très puissante n’y parvient pas ! Les Pythagoriciens conclurent que de tels rapports n’étaient pas des nombres. Ils séparèrent donc l’étude des nombres et celle de la géométrie. Cette distinc tion perdurera. euclide l’avait certainement à l’esprit quand il rédigea ses Éléments, qui furent longtemps la principale référence en géométrie. Les nombres auxquels il faut recourir pour comparer des segme nts incommensurables sont appelés irrationnels, une façon de dire qu’ils ne sont pas des « rapp orts entre naturels », mais qui peut aussi suggérer qu’ils sont des nombres « fous », non fondés sur la raison : le mot latin ratio signifiait à la fois « rapport » et « raison ». On caractérisait d’ailleu rs jadis une proportion par des rapports de même raison. Si de tels nombres sont difficiles à écrire, on comprend pourqu oi il n’est pas facile de calculer avec eux !

Une fois acquise la notion de nombre irrationnel, on dispos ait enfin d’un instrument pour mesurer une grandeur quelconque. Mais pour repérer tous les points d’une droite, et pour constituer ce que nous appelons les réels, il faut encore introd uire les nombres négatifs. Chez les mathématiciens indiens et arabes, puis chez les algébr istes européens du xvie siècle, les nombres négatifs étaient utilisés comme instruments de calcul et ne renvoyaient pas à une réalité. Le concept de nombre étant lié à la notion de quantité, difficile de concevoir des quantités plus petites que zéro ! Les nombres négatifs sont entrés dans l’usage des mathématiciens à la fin du xviie siècle seulement et on trouve des traces de résista nce à leur usage jusqu’en plein e xix siècle. Quand l’analyse a commencé à se développer, notamment avec les travaux de mathématiciens tels que FermAT, newTon, leibniz, la théorie était implicitement basée sur un « continuum » des nombres, non restreints à ceux pouvant s’écrire sous forme de quotients de nombres entiers. Mais leur réflexion a été focalisée sur la construction des concep ts tels que limites et dérivées, et la question des nombres infiniment petits les préoccupait plus que celle des nombres irrationnels. Ils se contentaient donc de travailler avec des approximatio ns rationnelles de ces nombres. Néanmoins, au fur et à mesure que des mathématiciens tels que cAuchy ou weiersTrAss tentèrent de construire une théorie plus précise, le manque de fondem ents dut être comblé. C’est ainsi qu’au xixe siècle, plusieurs mathématiciens (principaleme nt les Allemands dedekind et cAnTor) firent, chacun de leur côté, une construction axiomatique des nombres réels. L’enjeu était la réconciliation du discret (ce qui relève du compt age) et du continu. Après 1870, puisque la signification même du nombre a pris un sens beauco up plus étendu, la géométrie et les nombres étaient enfin réconciliés. C’est ainsi que la géomé trie tout entière a été rebâtie à partir des nombres. Dans les mathématiques d’aujourd’hui, on construit les nombres à partir de la théorie des ensembles, puis on s’en sert pour élaborer la géométrie et ce dans une approche axiomatique qui consiste à baser la théorie sur un ensemble le plus restreint possible d’énoncés supposés vrais a priori (sans avoir à être démontrés) et ensuite à démontrer toutes les autres propriétés de la théorie à partir de ceux-ci et de définitions. La notion de groupe apparaît pour la première fois dans les travaux d’Evariste gAlois (1811-1832) à propos de la résolution par radicaux de certaines équations algébriques. Cette notion connut alors un fort développement et apparaît désormais dans presque toutes les branches des mathématiques (même en géométrie !). Nous fig. 1 approcherons cette notion en examinant comment Le pentagramme était le signe de reconnaissance entre initiés pythagoriciens les propriétés des opérations dans les différents en(à partir de 530 avant J.-C.). Certains historiens des sembles de nombres permettent de prévoir si l’on mathématiques ont pensé que le premier nombre peut ou non résoudre certains types d’équations. irrationnel découvert est le nombre d’or et qu’il l’aurait été par application de l’algorithme d’Euclide au pentagramme (cette méthode est exposée à propos de l’exercice 12).

n o i t a r o l p ex 1. Des segments incommensurables a. Y a-t-il moyen de quadriller les deux petits carrés (fig. 2) et le grand avec un même pavé carré ? Indications Si un tel carreau existe, son côté c va un nombre entier de fois dans chacun des côtés du triangle. Soit m fois dans [AC] et n fois dans [BC]. – Pourquoi doit-on avoir m2 = 2n2 , avec m et n entiers ?

– Essayer de trouver un couple d’entiers qui vérifie cette égalité. – Sachant que la décomposition en facteurs premiers du carré d’un nombre entier contient un nombre pair de chacun de ses facteurs premiers, établir que cette égalité n’est jamais vérifiée pour des entiers.

Les segments [AC] et [BC] ne peuvent être mesurés avec une même unité, on dit qu’ils sont incommensurables. b. Démonter que le nombre dont le carré est 2 ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction (termes entiers). c. Les égalités suivantes peuvent-elles être vérifiées (parfois ? jamais ? souvent ?) pour des couples de naturels ? m2 = 7n2 d.

m2 = 9 n2

m3 = 2n3

m3 = 64 n3

7 est-il un nombre rationnel ?

C’est Hippasus de méTAPonTe (actif aux environs de 470 avant J.-C.) qui fut le premier à reconnaître l’inexistence d’une commune mesure entre le côté et l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle. La preuve de cette inexistence nous a été transmise par euclide : elle est proche de la preuve arithmétique par l’absurde que nous venons de travailler.

2. Encadrements par des fractions euclide décrit un algorithme qui permet de déterminer le rapport entre deux segments sans les mesurer. Voici comment il procède : il détermine d’abord une commune mesure entre les segments donnés en les considérant comme les côtés d’un rectangle. Pour ce faire, il porte la largeur dans la longueur. Si elle y va un nombre entier de fois, la largeur est la commune mesure. Si non, il porte le reste dans la largeur, puis le deuxième reste dans le premier et ainsi de suite.

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

triangle isocèle rectangle

fig. 2

fig. 3

a. Cette méthode a été appliquée au rectangle de longueur a et lara geur b (fig. 3). Déterminer le rapport . b b. L’algorithme d’Euclide (appelé aussi méthode du reste) conduit à écrire le rapport de deux segments sous la forme d’une fraction continue. Ainsi r a = 1+ 1 b b car b va une fois dans a, 1 1 = 1+ = 1+ r b 2+ 2 r1 r1 car r1 va deux fois dans b et le reste est r2 , = 1+

1 2+

1 r1 r2

= 1+

1 2+

1 3

car r2 va exactement trois fois dans r1. Pour alléger l’écriture, on écrit cette fraction continue sous la forme (1 , 2 , 3). Les réduites de cette fraction fournissent des valeurs approchées a du rapport . En effet b 1 1 3 1+ = 2 2

Les réduites d’une fraction continue (a, b, c, …) sont les fractions continues limitées (a), (a, b), (a, b, c) …

Exploration

c. L’étude de l’octogramme ( fig. 4 et 5) permet de déterminer la fraction continue qui correspond à 2 . a= 2

b=1

r1 r2

r3 r4 fig. 5

fig. 4

d. Décrire le processus infini qui se trouve dans cette figure. e. Si on prend b comme unité, la mesure de a est

a 2 = . b 1 Appliquons la méthode du reste aux segments a et b. On porte b dans a, il y va une fois, reste r1. On porte ensuite r1 dans b, il y va deux fois, reste r2 et ainsi de suite. Tous les restes successifs vont chacun deux fois dans le reste précédent. Il s’agit ici d’une « descente infinie » vers des restes de plus en plus petits. Écrire le rapport

2 sous forme de fraction continue.

f. Dès le vi siècle, ÂryAbhATA (476-550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrées. Utiliser les réduites des fractions continues pour calculer des valeurs approchées de 2 . Ce procédé peut-il toujours fournir une approximation avec une erreur inférieure à un réel strictement positif e donné ?

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

3. Le nombre p La méthode d’exhaustion d’Archimède permet de trouver des approximations successives du nombre p. Il s’agit de comparer la longueur du cercle de rayon 1 avec la longueur d’un polygone à n côtés inscrit dans ce cercle et d’un polygone à n côtés circonscrit à ce cercle. Archimède considérait que la longueur de la circonférence est comprise entre la longueur du périmètre du cercle inscrit et la longueur du périmètre circonscrit.

A c 2n

H cn C

A cn

fig. 6

Nous adoptons les notations suivantes : cn la longueur du côté du n-gone régulier inscrit, Cn la longueur du côté du n-gone régulier circonscrit

O a. Dans un cercle de rayon 1 (fig. 6), exprimer c2n en fonction de cn.

b. Calculer Cn en fonction de cn (fig. 7).

H cn c. Encadrer p à partir des hexagones réguliers inscrits et circonscrits B A c 2n à un cercle de rayon 1. C d. Passer au dodécagone régulier. e. Ce procédé peut-il toujours fournir une approximation de p avec une erreur inférieure à un réel strictement positif e donné ?

A cn A

Cn H

B B fig. 7

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 11 et 12

4. Écritures décimales a. Prévoir le centième chiffre après la virgule de l’écriture décimale 2617 . de 7 b. Pourquoi l’écriture décimale du quotient d’un naturel par le nombre 7 a-t-elle une période de moins de 7 chiffres après la virgule ? c. Comment peut-on caractériser l’écriture décimale d’un nombre rationnel ?

Synthèse 4 Exercices 4 à 6

5. Calculer à partir d’encadrements Les mesures réalisées dans le cadre d’expériences scientifiques ne sont jamais tout à fait exactes ; il faut pouvoir estimer l’erreur possible sur le résultat d’opérations effectuées à partir de données qui peuvent comporter des erreurs. C’est une figure géométrique (fig. 8) qui sert ici de support à une réflexion à propos des marges d’erreurs qui se produisent lorsqu’on calcule à partir d’encadrements. a. La fig. 8 est construite à partir d’un triangle équilatéral de côté 1. Écrire les encadrements à 10–2 près, puis à 10–3 près, puis à 10– 4 près de son périmètre (ligne noire sur la figure).

fig. 8 Exploration

Soient a et b les mesures de deux segments. b. Si l’erreur sur la mesure des segments est d’une unité, quelle est l’erreur sur le périmètre du rectangle construit sur ces segments ? Et si les mesures des segments étaient données à 10– n près ? c. Si l’erreur sur la mesure des segments est d’une unité, quelle est l’erreur sur l’aire du rectangle construit sur ces segments ? Et si les mesures des segments étaient données à 10– n près ?

Synthèse 5 Exercices 7 et 8

6. Valeur absolue La boulangerie du village est située le long d’une route rectiligne. La maison A est à 70 mètres de la boulangerie, la maison B à 30 mètres de cette même boulangerie. On sait aussi que cette boulangerie est située à égale distance entre les maisons B et C. Synthèse 6 Exercices 9 et 13

a. Quelles sont toutes les distances possibles entre A et B ? b. Quelles sont toutes les distances possibles entre A et C ?

7. Toutes les propriétés utilisées pour résoudre une équation a. Utiliser uniquement les propriétés de l’addition dans Z pour résoudre, étape par étape, l’équation (3 + x) + 2 = (8 + x) + x Indiquer chaque fois la propriété utilisée. b. Peut-on résoudre cette équation dans N ? c. Qu’en est-il pour une équation dans R du type ( a + x) + b = ( c + x) + x ,

Synthèse 7 Exercice 10

dans laquelle a, b et c sont des réels donnés ? d. Et si a, b et c ainsi que l’inconnue x représentent des vecteurs ?

8. Entre deux nombres a. Quel est le plus petit rationnel dans ]3 ; 3,01] ? Et le plus grand rationnel dans [3 ; 3,01[ ? b. Soient a et b deux nombres rationnels. Le nombre a +

b− a 2

est-il

un rationnel ou un irrationnel compris entre a et b ? Combien y a-t-il d’irrationnels compris entre a et b ? c. Soient a et b deux nombres irrationnels. Le nombre a +

b− a 2

est-

il un rationnel ou un irrationnel compris entre a et b ? Combien y a-t-il de rationnels compris entre a et b ?  ... et 7,08 ? d. Combien y a-t-il de nombres compris entre 7, 07999999 76

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

Synthèse 8

e s è h t n y s 1. Quels sont les axiomes des nombres réels ? Les nombres réels forment un ensemble, noté R, sur lequel sont définies deux opérations internes : – l’addition : à tout couple de réels (x ; y) correspond un réel appelé somme de x et y, noté x + y ; – la multiplication : à tout couple de réels (x ; y) correspond un réel appelé produit de x et y, noté x ∙ y ou xy. L’ensemble des réels est muni d’une relation « ≤ » : écrire x ≤ y , ou dire x est inférieur à y, signifie que le couple (x ; y) vérifie cette relation. Les éléments de R vérifient les énoncés suivants, appelés axiomes des réels ; ce sont des énoncés supposés vrais a priori, que l’on ne cherche pas à démontrer mais qui sont indispensables pour démontrer d’autres propriétés. Axiomes de l’addition (1) ∀ x, y, z ∈ R : x + ( y + z) = ( x + y) + z

L’addition des réels est associative.

(2) (∃ e ∈ R ) (∀ x ∈ R ) : e + x = x = x + e

L’addition des réels admet un élément neutre dont l’unicité peut être démontrée. L’unique valeur possible pour e est le réel noté 0.

(3) (∀ x ∈ R ) (∃ y ∈ R ) : y + x = 0 = x + y

Tout réel x admet un symétrique pour l’addition. Son unicité peut être démontrée. L’unique valeur possible est appelée « opposé de x » et notée ( -x) .

(4) ∀ x, y ∈ R : x + y = y + x

L’addition des réels est commutative.

Axiomes de la multiplication (1) ∀ x, y, z ∈ R : x ⋅ ( y ⋅ z) = ( x ⋅ y) ⋅ z

La multiplication des réels est associative.

(2) (∃ e′ ∈ R0 ) (∀x ∈ R ) : e′ ⋅ x = x = x ⋅ e′

La multiplication des réels admet un élément neutre dont l’unicité peut être démontrée. Cet élément unique est le réel 1.

(3) (∀ x ∈ R0 ) (∃ y ∈ R0 ) : y ⋅ x = 1 = x ⋅ y

Tout réel x non nul admet un symétrique pour la multiplication. Son unicité peut être démontrée. L’unique valeur possible est appelée « inverse de x » 1 ou x-1 . et notée x La multiplication des réels est commutative.

(4) ∀ x, y ∈ R : x ⋅ y = y ⋅ x (5) ∀ x, y, z ∈ R : x ⋅ ( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

La multiplication des réels est distributive par rapport à l’addition.

Synthèse

Axiomes de la relation d’ordre £ (1) ∀x ∈ R : x ≤ x

La relation ≤ dans R est réflexive.

(2) ∀ x, y, z ∈ R : ( x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z

La relation ≤ dans R est transitive.

(3) ∀ x, y ∈ R : ( x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y

La relation ≤ dans R est antisymétrique.

(4) ∀ x, y ∈ R : x ≤ y ou y ≤ x

La relation ≤ dans R est totale.

(5) ∀ x, y, z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z

La relation ≤ dans R est compatible avec l’addition des réels.

(6) ∀ x, y, z ∈ R : ( x ≤ y et 0 ≤ z) ⇒ x ⋅ z ≤ y ⋅ z La relation ≤ dans R est compatible avec la multiplication par un réel positif. La relation ≤ définie sur R est réflexive, transitive et antisymétrique ; c’est donc une relation d’ordre. Axiome d’Archimède

(∀ x, y ∈

)

x > 0 (∃ n ∈ ) : y ≤ n ⋅ x

Le symbole « » se lit tel que. À l’époque d’Archimède, où il était question de grandeurs et non de nombres, cet axiome était formulé comme suit : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. » Axiome des intervalles emboîtés (Cantor) Si – ( an )n ∈N et ( bn )n ∈N sont deux suites infinies de nombres réels 0

– ∀ n ∈ N0 : an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn , Alors (∃ x ∈ ) (∀n ∈ 0 ) : an ≤ x ≤ bn . En termes de suites et d’intervalles, cet axiome peut aussi s’énoncer comme suit : si on considère une suite d’intervalles fermés emboîtés an ; bn  telle que

(

)n∈N

∀ n ∈ N0 : an+1 ; bn+1  ⊂ an ; bn  , alors il existe au moins un réel x appartenant à tous les intervalles de la suite. x a1 a2 a3 a4

a5 a6… …b6 b5 b4 b3

L’axiome des intervalles emboîtés est également équivalent à chacune des affirmations suivantes : – dans R, toute suite croissante et majorée (c’est-à-dire dont les termes sont tous inférieurs à un même réel) possède une limite dans R ; – dans R, toute suite décroissante et minorée (c’est-à-dire dont les termes sont tous supérieurs à un même réel) possède une limite dans R.

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

Tous les axiomes des réels, à l’exclusion de l’axiome des intervalles emboîtés (et ses formes équivalentes), sont vérifiés par les nombres rationnels. Exemples 1) Si an et bn sont respectivement les approximations par défaut et par excès de p, à la nième étape dans l’exploration 3, alors il n’existe pas de rationnel x tel que pour tout naturel non nul n an ≤ x ≤ bn . 2) La suite 1 ; 1,01 ;1,01001 ; 1,010010001 ; 1,01001000100001 ; … est croissante et majorée et ne possède pas de limite rationnelle. 3) Quelle est la valeur du réel 0, 999999… ? Considérons la suite 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; … Cette suite est croissante et majorée par le réel 1. Elle possède une limite dans R ; cette limite est 1. On peut donc  écrire 0, 99999 ... = 1 . Voici une deuxième manière de justifier cette égalité. Considérons le réel 3 et son 1  inverse = 0, 33333 ... 3 On a 1  =1   3 ... = 1  donc 0, 99999   3 ⋅ 0, 33333 ... = 0, 99999 ... Voici une troisième justification de cette égalité : dès qu’on ajoute un réel aussi petit  soit-il (par exemple 0,00000001) à 0, 99999 ... , on obtient un nombre supérieur à 1. 3⋅

Remarque  indique que la période est 3. L’écriture 3 À partir des axiomes et des opérations d’addition et de multiplication, on peut définir les opérations de soustraction et de division, ainsi que l’inégalité stricte. a. Soustraction ∀ x, y ∈ R : x − y = x + ( − y) (somme de x et de l’opposé de y) b. Division ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R0 :

1 x = x ⋅ (produit de x par l’inverse de y) y y

c. Inégalité stricte ∀ x, y ∈ R : x < y si et seulement si x ≤ y et x ≠ y . Dans les classes précédentes, de nombreuses propriétés algébriques ont été admises ou établies intuitivement. À partir des axiomes des réels, on peut formuler rigoureusement toutes les définitions et démontrer toutes les propriétés.

Synthèse

2. Quelle est la portée de l’axiome des intervalles emboîtés ? L’axiome des intervalles emboîtés garantit que si l’on considère une suite d’encadrements successifs correspondant à des intervalles fermés, de telle sorte que chaque intervalle soit inclus dans le précédent, il existe au moins un réel appartenant à tous ces intervalles. En d’autres termes, il exprime que l’intersection de tous ces intervalles est non vide :

 a ; b  ≠ ∅ n

n∈N0

Mais il ne garantit pas que le réel appartenant à tous ces intervalles soit unique. Cette unicité est cependant garantie lorsque les encadrements deviennent aussi petits que l’on veut, c’est-à-dire si la longueur de l’intervalle peut être rendue inférieure à n’importe quel réel donné, pour autant que l’on choisisse n suffisamment grand. Théorème 3.1 – Propriété des intervalles emboîtés Si – à tout nombre naturel non nul k on associe deux nombres réels ak et bk, – ∀ k ∈ N0 : ak ≤ ak+1 ≤ bk+1 ≤ bk ,

– (∀ ε > 0) (∃ n ∈ N0 ) (∀ k ∈ N0 ) : k ≥ n ⇒ bk − ak < ε ,

alors (∃ ! x ∈ ) (∀n ∈ 0 ) : ak ≤ x ≤ bk .

En d’autres termes, sous ces hypothèses, il existe un et un seul réel x tel que

  a ; b  = {x} . k

k∈N0

3. Quels sont les sous-ensembles de l’ensemble des nombres réels ? – Les nombres naturels sont les nombres qui servent à dénombrer des ensembles finis, que ce soit des collections d’objets de la vie courante, ou des ensembles mathématiques. Ce sont les nombres 0, 1, 2, 3 ,4, 5… L’ensemble des nombres naturels est noté N. – Les nombres entiers sont les nombres naturels et leurs opposés. L’ensemble des nombres entiers est noté Z. – Les nombres rationnels sont les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient de x nombres entiers, c’est-à-dire sous la forme dans laquelle x est un nombre entier et y un y nombre entier non nul. Les nombres entiers sont tous des nombres rationnels. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. – Les nombres irrationnels sont tous les autres nombres réels.

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

Un diagramme (fig. 9) résume tout ceci. –4 1

235

cos 17°

3 7

sin 30° −2 0

−106

π 2

–3 8

– 27 −12,03 3 × 10–6

– 3

5 2

–7 fig. 9

4. Comment caractériser l’écriture décimale d’un nombre rationnel ou d’un nombre irrationnel? Les nombres rationnels sont les quotients d’entiers. Ils peuvent s’écrire sous forme de nombres décimaux périodiques (nombres qui, à partir d’un certain rang après la virgule, présentent une suite de chiffres qui se répète). En ce compris donc – ceux qui peuvent s’écrire sous forme de décimaux limités : les décimales suivantes sont « 0 », – les nombres entiers : tous les chiffres après la virgule sont « 0 ». Exemples 17 = 0, 2428571428571428571 ... La période est 428 571. 70 1  = 0, 25 = 0, 25000000000000000 .... La période est 0. 4 3  3 = = 3, 000000000000000 .... . La période est 0. 1 Les nombres irrationnels sont tous les autres nombres, donc tous les nombres s’écrivant sous forme de décimaux illimités non périodiques. Exemples π = 3,14159265… 2 = 1, 41421356… 5

− 4 = −1, 31950791…

Synthèse

5. Comment déterminer un encadrement d’une somme ou d’un produit ? Un encadrement conforme aux hypothèses de la propriété des intervalles emboîtés détermine un nombre réel.

(  ak ; bk  )k∈N est le réel r + s déterminé par (  ak + ck ; bk + dk  ) . k∈N

La somme de deux nombres réels r déterminé par

(  ck ; dk  )k∈N

et s déterminé par

On fera de même pour le produit de deux nombres positifs. Pour le produit de deux nombres réels quelconques, ou la différence entre ceux-ci, des problèmes de signes peuvent se poser. Ceci découle des propriétés suivantes : a. ∀u, v, x, y ∈ R : u ≤ v et x ≤ y ⇒ u + x ≤ y + v b. ∀u, v, x, y ∈ R + : u ≤ v et x ≤ y ⇒ ux ≤ yv Des propriétés analogues existent avec des inégalités strictes.

6. Qu’est-ce que la valeur absolue ? Quelles sont ses propriétés ? Définition 3.1 – Valeur absolue Soit un nombre réel x.  x si x ≥ 0 On appelle valeur absolue de x, le réel noté x , défini par x =  . − x si x ≤ 0 Propriétés a. ∀x ∈  : x = max {− x ; x} b. ∀x ∈  : x =

e. ∀x, y ∈  : x ≤ y ⇔ − y ≤ x ≤ y f. ∀x, y ∈  : x < y ⇔ − y < x < y

c. ∀x ∈  : x ≥ 0

g. ∀x, y ∈  : x + y ≤ x + y

d. ∀x ∈  : x = − x

h. ∀x, y ∈  : x ⋅ y = x ⋅ y

Remarque L’écriture x - y est appelée distance entre les réels x et y. Exemples 1) x ≤ 7 ⇔ −7 ≤ x ≤ 7 2) −12 + 3 ≤ −12 + 3

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

7. Qu’est-ce qu’un groupe ? L’addition des réels est une opération interne et partout définie (chaque couple de réels détermine une somme qui est également un nombre réel) et vérifie les axiomes 1 à 3 de l’addition. Ces propriétés sont aussi celles d’autres opérations dans d’autres ensembles comme, par exemple, l’addition des vecteurs. Lorsque ces propriétés sont vérifiées pour une opération dans un ensemble, on dit que celui-ci, muni de cette opération, est un groupe. On peut alors résoudre n’importe quelle équation comprenant des éléments de cet ensemble et l’opération concernée. Définition 3.2 – Groupe Soit un ensemble E muni d’une opération (ou loi) *. On dit que (E, *) a une structure de groupe si et seulement si – * est une opération interne et partout définie : ∀x, y ∈ E : x ∗ y ∈ E – * est associative : ∀x, y, z ∈ E : x ∗ ( y ∗ z) = ( x ∗ y) ∗ z – il existe un neutre dans E pour l’opération * : (∃ e ∈ E ) (∀x ∈ E ) : e ∗ x = x = x ∗ e – tout élément x de E possède un symétrique pour l’opération * :

(∀ x ∈ E ) (∃

y ∈ E) : x ∗ y = e = y ∗ x .

Définition 3.3 – Groupe commutatif Soit (E, *) un groupe. On dit que (E, *) est un groupe commutatif si et seulement si ∀ x, y ∈ E : x ∗ y = y ∗ x . Tous les groupes ne sont pas commutatifs. Exemples et contre-exemples 1) L’ensemble des nombres entiers Z muni de l’addition, noté (Z, +), est un groupe commutatif. 2) L’ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ∙), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative et admet un élément neutre (le nombre 1), 1 mais tout entier ne possède pas un inverse. En effet l’inverse de 7 est , qui n’est 7 pas un entier. L’équation 7 x = 1 n’a pas de solution dans Z. 3) L’ensemble des rationnels muni de la multiplication (Q, ∙) ne constitue pas un groupe, car le nombre 0 ne possède pas d’inverse pour la multiplication (il n’existe aucun nombre rationnel x tel que 0 ⋅ x = 1 ). 4) L’ensemble des nombres rationnels non nuls Q0, muni de la multiplication, est un groupe noté (Q0, ∙). 5) L’ensemble R muni de l’addition est un groupe commutatif. 6) L’ensemble des vecteurs du plan muni de l’addition (V, +) est un groupe commutatif.

Synthèse

8. Dénombrable ou continu ? Entre deux nombres réels distincts, quels qu’ils soient, il y a toujours une infinité de nombres réels. Entre les réels a et b, on peut insérer le réel c = ainsi de suite.

a+ b et poursuivre la démarche entre a et c, et 2

Il y a même une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels entre deux réels distincts. Les ensembles N, Z et Q sont infinis dénombrables car leurs éléments peuvent être appariés un à un avec les éléments de N. cAnTor (1845-1918) a démontré que l’ensemble R des nombres réels est non dénombrable. L’ensemble des réels a la puissance du continu : il n’y a pas de trou entre ses éléments. dedekind (1831-1916) a défini les nombres réels à partir de coupures sur la droite ; sa définition permet d’associer chaque nombre réel à un point d’une droite sur laquelle on a fixé une origine et une unité.

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

s e c i c r e x e Expliciter les savoirs et les procédures 1. Existe-t-il ? Existe-t-il un nombre réel strictement positif plus petit que tous les autres réels strictement positifs ? Justifier la réponse.

2. Les voisins a. S’il existe, quel est le plus petit nombre entier (rationnel, réel) strictement supérieur à 2 ? Justifier. b. S’il existe, quel est le plus grand nombre entier (rationnel, réel) strictement inférieur à 2 ? Justifier.

3. Somme, différence, produit ou quotient nombres rationnels et d’irrationnels Choisir des exemples et/ou des contre-exemples pour répondre aux questions suivantes. a. La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels sont-ils des rationnels ? b. La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres irrationnels sont-ils des irrationnels ? c. Qu’en est-il de la somme, de la différence, du produit et du quotient d’un nombre irrationnel et d’un nombre rationnel ?

Appliquer une procédure 4. Écritures décimales de fractions à termes entiers Soient les rationnels 11 11 3 11 3 13 1113 11 3 11 7313 11 3713 314 13 7313 14 713 10 714710 14 7914 10 14 910 14 10 910910 99 9 ; ;; ; ; ; ; ; ;; ; ;;; ; ;.;; ; ;. ;;; .; ; ;. .; . ; .; ; ; 3 37 378 378 340 378740 3 280 7840 87280 84075 40 8 280 40 75 280 40 75 280 75 280 75 75 280 7575 75 75 757575 a. Quels sont ceux qui peuvent s’écrire sous forme d’un décimal limité, ceux qui peuvent s’écrire sous forme d’un décimal illimité périodique ? b. Comment prévoir que le décimal est limité sans faire la division ? c. Lorsque le décimal est illimité, déterminer la période.

Exercices

5. Écriture fractionnaire de décimaux illimités périodiques Voici une procédure qui permet d’écrire le nombre 1, 31272727... sous forme de fraction à termes entiers. a = 1, 31272727... 104 a = 13127,2727... 102 a = 131,272727 ... 9 900 a = 13127,2727... − 131,272727... a=

13127 − 131 9 900

12996 361 = 9900 275

S’en inspirer pour écrire sous la forme d’une fraction (termes entiers) les nombres b, c et d. − 4, 377777777 , 32323232 … … bb==−−b44,=,377777777 377777777 … …;; c… c==; 332 332 c = ,,32323232 332 32323232 … …dd=… = 3d3,,=329999 329999 3 , 329999 …

6. Approximations rationnelles d’une racine carrée héron d’AlexAndrie (probablement 65-125 après J.-C.) a proposé une méthode pour calculer une approximation d’une racine carrée. Exemple pour

On sait que 3 est compris entre 1 et 2, donc 0 < 3 − 1 < 1. On a donc ( 3 − 1)2 < ( 3 − 1) et de manière générale ( 3 − 1)m+1 < ( 3 − 1)m . Comme vers 0.

3 − 1 < 1 , la suite de ses puissances entières tend

( 3 − 1) = 4 − 2 3 (4 − 2 3 ) = 28 − 16 3 (28 − 16 3 ) = 1552 − 896 2

1552 − 896 3  0 1552 3 896 a. Comparer cette valeur avec celle affichée par une calculatrice. b. Ce procédé peut-il toujours fournir une approximation avec une erreur inférieure à un réel strictement positif e donné ? c. Appliquer ce procédé pour calculer une valeur approchée de 86

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

7. Héron d’Alexandrie et les racines carrées Les mathématiciens du ier siècle maîtrisaient parfaitement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique, et savaient donc construire A (fig. 10). Pour estimer numériquement A par des encadrements, l’algorithme de Héron d’Alexandrie se base sur une suite de rectangles d’aire A ( A > 1) dont les côtés encadrent A .

A a On construit un premier rectangle d’aire A, puis un deuxième rectangle dont un des côtés est la moyenne arithmétique des côtés du rectangle précédent. On répète la démarche et ainsi, d’étape en étape, les dimensions des rectangles successifs tendent vers A .

A a fig. 10

a. La fig. 11 illustre le procédé de Héron pour estimer 18 , en partant d’un rectangle de dimensions 2 et 9. Écrire les encadrements successifs de 18 . 4,386363.....

3,272727…

4,103626943....

5,5

2 9

fig. 11

b. Justifier que la limite de la suite des encadrements successifs est bien 18 . c. Définir une fonction sur un tableur ou une calculatrice pour calculer à l’aide de cette méthode 650 et 7 . d. Pour estimer A à partir de la valeur de A et de celle d’une première approximation par excès a, on considère la suite ( xi )i ∈N dé0 1 A 1 A . Vérifier que cette finie par x1 =  a +  et xn+1 =  xn + 2 a 2 xn  suite est décroissante et minorée. Soit L la limite de cette suite ; montrer que L2 = A.

Exercices

8. Approximations décimales Sachant que 2,645 et 2,647 sont respectivement des approximations par défaut et par excès de 7 , 11 ,

1,3166 et 1,3167 de

-1,435 et -1,430 d’un nombre réel a, en déduire des approximations par défaut et par excès des nombres suivants. 7 a

7 + 11

c. - 7

7 - 11

d. a 7

f. a2

9. Valeurs absolues a. Écrire sans valeur absolue x − 1 + 2 x + 3 . b. Résoudre les équations et inéquations suivantes ; vérifier les solutions avec un logiciel graphique. 1) x − 2 = 5

5) x + 5 > 3

9) 5 x + 1 = x − 3

2) 3 x + 1 = −2

6) x2 − 4 > 2

10) x2 + 3 ≥ x2 − 4

3) x > 7

7) x2 + 6 ≥ 11

11) x2 − 3 ≤ 3

4) x < 7

8) x + 6 > x − 4

12) x2 + 3 ≤ 3

10. Groupes a. Les ensembles suivants, munis de l’addition, constituent-ils un groupe ? 1) 3N (l’ensemble des multiples de 3)   2n 2)  n ∈ Z  3  3)

{

}

3 + 2n n ∈ Z

b. Sachant a ∗ b = a + b + ab , (N ; ∗) est-il un groupe ?

Résoudre un problème 11. Racines irrationnelles Les nombres suivants sont-ils irrationnels ? Si oui, le prouver. a.

49 d.

5+ 7

3. Propriétés fondamentales des nombres réels

e. 5 +

( 7)

( n ∈ N)

12. Du pentagramme au nombre d’or a. Utiliser la méthode du reste pour rechercher la commune mesure pentagone régulier. entre le côté et la diagonale du

fig. 12

b. Se servir du résultat pour calculer la mesure de la diagonale d’un pentagone de côté 1 (ou une approximation de cette mesure). c. Comparer ce nombre aux solutions de l’équation x2 = x + 1 Note Cette valeur est appelée nombre d’or f (lu « phi ») en hommage au sculpteur grec PhidiAs qui s’en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes1.

13. Propriétés des valeurs absolues Prouver les propriétés suivantes. a. ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x + y ≤ x + y b. ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x − y ≤ x + y

1 Pour en savoir plus, voir le site http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/ truc_mat/textes/rectangle_dor.htm

Exercices

4 leimt aisteysmptotes Chacun a une idée intuitive de ce que signifie « tendre vers une limite » : la température d’une tasse de café qui se rapproche de plus en plus de celle du milieu ambiant, la longueur des polygones inscrits à un cercle qui se rapproche de plus en plus de la circonférence de celui-ci lorsque le nombre de côtés augmente, la surface d’une feuille de papier qui se rapproche de plus en plus de zéro lorsqu’on découpe de manière répétée la moitié de ce qui reste, la longueur de notre ombre qui semble augmenter sans fin quand le Soleil descend sur l’horizon… Les recherches et découvertes en Analyse se sont étendues au cours des xviie et xviiie siècles. Les travaux d’Isaac newTon (1643-1727) et de Gottfried Wilhelm leibniz (1646-1716) témoignent d’une intuition claire de la notion de limite. C’est au cours du e xix siècle qu’Augustin cAuchy (1789-1857) et Karl weiersTrAss (1815-1897) mettent en éviden ce la nécessité de définir rigoureusement les concepts et les termes mis en œuvre. C’est alors que l’on abandonne les « infinitésimaux », « fantômes en quantités défuntes » suivant la formu lation de berkeley1, au profit de la définition rigoureuse d’une limite. Dans le chapitre 3, on a constaté que les suites pouvaient posséd

er une limite :

– une suite arithmétique tend vers « plus l’infini » ou « moins l’infini

» ;

– une suite géométrique tend vers zéro ou vers l’infini. C’est dans ce cadre que l’on a découvert le « nombre d’or » associé

à la suite de Fibonacci…

On s’est aussi rendu compte que, dans certains cas, les résultats mathématiques ne recoupent pas l’intuition première.

1 berkeley (1685-1753), évêque et philosophe irlandais ; en 1734, il publia L’Analyste, une critique des fondations de la science qui influença le développement ultérieur des mathématiques.

Dans ce chapitre, – on utilise ce qu’on sait des suites infinies pour étudier certaines fonctions et analyser leur comportement lorsque x tend vers l’infini ou lorsque x tend vers un nombre réel (fig. 1) ; – on apprend à élaborer des définitions dépourvues de toute ambiguïté pour les utiliser ensuite dans des démonstrations. Avec ce travail, on franchit une étape importante dans la formation : on apprend comment s’élabore une théorie, on entre de plain-pied dans le formalisme mathématique !

y tend y vers + ∞

x tend vers – ∞

x tend vers + ∞ 1

x tend vers 2, x < 2

01 2 y tend vers – ∞

x x tend vers 2, x > 2 fig. 1

n o i t a r o l p ex 1. Suites de nombres a. Déterminer le nombre vers lequel converge chaque suite. Justifier. 1) 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; … 2) 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; … 3) 2,5 ; 2,25 ; 2,125 ; … 4) 7,4 ; 7,49 ; 7,499 ; 7,4999 ; … 5) – 7,1 ; – 6,9 ; – 7,01 ; – 6,99 ; – 7,001 ; – 6,999 ; … 6) – 7,1 ; – 7,01 ; – 7,001 ; – 7,0001 ; … 7)

1 1 1 1 ; ; ; ; ... 2 3 4 5

b. Trouver deux suites de nombres qui convergent vers le réel a, l’une par valeurs inférieures et l’autre par valeurs supérieures à ce réel, 1) si a = 0 2) si a = – 2,5 3) si a = 11

2. Un pendule en mouvement Un pendule oscille dans un plan vertical autour d’une position d’équilibre. La position du pendule t secondes après un passage à la position d’équilibre correspond à une graduation e (t) sur l’arc de cercle que parcourt ce pendule (fig. 2). Dans un modèle théorique, la valeur de e(t) est donnée par e(t) = sin (3,02t). a. Écrire l’expression de la vitesse moyenne du pendule entre l’instant où il passe à sa position d’équilibre et l’instant t où il monte après être passé par celle-ci. b. Utiliser un logiciel de calcul pour dresser un tableau des vitesses moyennes. Choisir au moins une dizaine de valeurs de t différentes, de plus en plus proches de 0.

e(t1)

c. Réaliser un graphique (de préférence avec un logiciel adéquat). d. Estimer la vitesse du pendule au moment où il passe à la position d’équilibre.

4. Limites et asymptotes

équilibre

e(t2) fig. 2

3. Tableaux de nombres, suites et limites a. Les fonctions f1 ( x) =

, f2 ( x) =

sont-elles définies en tout réel ? b. Pour étudier empiriquement le comportement d’une fonction à proximité d’un réel qui n’appartient pas au domaine de définition, on peut procéder comme suit : si cela est possible, on construit une ou plusieurs suites de valeurs de x, appartenant au domaine et tendant vers ce réel, et on observe la suite de leurs images. On revient alors au problème de la limite d’une suite. Compléter les tableaux ci-dessous ( x (x > 0)

f1 ( x) =

tab. 1 et tab. 2).

x (x < 0)

f2 ( x) =

x (x > 0)

f2 ( x) =

1 x2

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 – 0,00001 – 0,000001 …

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

Synthèse 1

0 tab. 2

tab. 1

4. Limites à gauche et à droite a. La fonction f ( x) =

est-elle définie en tout réel ? x3 b. Compléter le tableau ci-dessous ( tab. 3) ou utiliser un tableur. x (x < 0)

1 3

x (x > 0)

– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 – 0,00001 – 0,000001 …

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

0–

1 x3

x<0

x tend vers 0, en restant strictement inférieur à 0.

x>0 x tend vers 0, en restant strictement supérieur à 0.

On écrit x→0

–

x → 0+

tab. 3

Exploration

c. La limite lim f ( x) existe-t-elle ? Si oui, que vaut-elle ? x→0

d. À partir de ce tableau, on constate que, lorsque x tend vers 0 en restant strictement inférieur à 0, f(x) prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, celles-ci devenant même aussi grandes que l’on veut. On peut ainsi estimer que les images de x par la fonction f tendent vers – ∞ lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement inférieures à 0. C’est la « valeur » – ∞ ainsi trouvée que l’on appelle limite de la fonction f lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement inférieures à 0. On l’appelle aussi limite à gauche de la fonction f lorsque x tend vers 0. On note : lim f ( x) = lim−

x→ 0 −

x→ 0

1 x3

= −∞ .

Expliquer pourquoi cette limite est appelée limite « à gauche ». e. Utiliser une notation analogue pour décrire le comportement de la fonction f lorsque x tend vers 0, en étant strictement supérieur à 0 (limite à droite). f. Quelles sont les limites à gauche et à droite de la fonction 1 g( x) = 4 lorsque x tend vers zéro ? x g. Associer chaque graphique (fig. 3 à 5) à une ou plusieurs des limites ci-après : 1) lim− f ( x) = − ∞

3) lim f ( x) = − ∞

5) lim+ f ( x) = − ∞

7) lim f ( x) = 1

2) lim− f ( x) = + ∞

4) lim f ( x) = + ∞

6) lim+ f ( x) = + ∞

8) lim f ( x) = 0

x→ 0 x→ 0

x→ 0

x→1

1 0

x→ 0

1 0

fig. 3

fig. 4

h. Voici trois graphiques de fonctions (fig. 6 à 8). Dans chaque cas, écrire en termes de limites le comportement de la fonction lorsque x tend vers le réel a.

4. Limites et asymptotes

fig. 5

a=1 y

a=2 y

a = –2 y

1 0

x 1 0

1 x

d3 fig. 6

fig. 7

fig. 8

i. Les droites d1, d2, d3 sont appelées asymptotes verticales (AV). Quelles sont les équations de ces asymptotes ? Dégager des règles permettant de trouver les équations de telles asymptotes à partir de l’expression analytique de la fonction.

Synthèse 2 Exercice 1 (a, b)

5. Pression et volume d’un gaz Deux moles d’oxygène sont contenues dans un volume de 0,48 m3 à une température de 293 K. On veut ensuite laisser ce gaz se répandre dans un volume beaucoup plus grand, tout en maintenant la température constante. D’après la loi des gaz parfaits, que l’on considère nRT où P est applicable ici, la pression d’un gaz est donnée par P = V la pression en pascals, n le nombre de moles, R la constante des gaz parfaits (8,315 J · mol–1 · K–1) et T est la température en kelvins (température absolue). a. Exprimer la pression de ces deux moles d’oxygène en fonction du volume dans lequel elles se répandent. Construire le graphique correspondant. b. Si le volume disponible était de plus en plus grand vers quelle valeur la pression tendrait-elle ? c. D’après le modèle, pourrait-on diminuer la pression autant que l’on veut ?

6. Tendre vers l’infini a. Soient les fonctions f1 ( x) = x2 , f2 ( x) = x3 , f3 ( x) =

1 x2

et f4 ( x) =

1 x3

Quelles sont les limites de ces fonctions lorsque x tend vers « + ∞ » et vers « − ∞ » ?

Exploration

b. Quelles sont les limites en + ∞ et en − ∞ des fonctions f ( x) = g( x) =

1 xn

( n ∈ N0 ) ?

( n ∈ 0 ; k ∈ ) ? xn c. Associer chacun des graphiques (fig. 9 et 10) à une ou plusieurs des limites suivantes : 1) lim f ( x) = 0

3) lim+ f ( x) = + ∞

5) lim f ( x) = −1

2) lim− f ( x) = − ∞

4) lim f ( x) = + ∞

6) lim f ( x) = − ∞

x→+ ∞

x→ 0

x→+ ∞

x→ 0

7) lim f ( x) = 0

x→− ∞

x→−1

y 1

–2

–1

x –1

fig. 9 fig. 10

d. Voici deux graphiques de fonctions (fig. 11 et 12). Dans chaque cas, écrire en termes de limites le comportement de la fonction en + ∞ et − ∞ . y d1

1 0

fig. 11

fig. 12

e. Les droites d1 et d2 sont appelées asymptotes horizontales (AH). Quelles sont les équations de ces asymptotes ? Comment prévoir l’allure du graphique à partir de ces équations ? f. Quelles sont les équations des asymptotes verticales du graphique de la fig. 12 ?

4. Limites et asymptotes

Synthèses 3 et 4 Exercices 1 (c, d), 2(a à e), 3

7. Quand les suites ne suffisent plus… a. Soit la fonction π . x tab. 4). Quel résultat ce taCompléter le tableau de valeurs ( π   bleau suggère-t-il pour lim  x + cos  ? x→ 0  x f ( x) = x + cos

x + cos

π x

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

–1 – 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 – 0,00001 – 0,000001 …

0–

x + cos

π x

tab. 4

b. Retrouvera-t-on le même résultat si on considère une autre suite de réels x qui tendent vers 0 ? tab. 5) ou utiliser un tableur.

Si oui, remplir le tableau ( Si non, justifier. x

x + cos

π x

3 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003 …

–3 – 0,3 – 0,03 – 0,003 – 0,0003 – 0,00003 – 0,000003 …

0–

x + cos

π x

tab. 5

c. Réaliser un graphique, de préférence avec un logiciel adéquat, en choisissant judicieusement la fenêtre.

Exploration

8. Définition en « epsilon delta » Ce qui précède a permis de découvrir la notion de limite. Pour lever toute ambiguïté, il est nécessaire de définir les limites rigoureusement. Soit la fonction 1 x −1

f ( x) = 3 + 2 ( x − 1) sin

non définie en 1. Le graphique (fig. 13) suggère cependant une limite : lorsque x tend vers 1, son image tend vers 3. En d’autres termes

1   lim  3 + 2 ( x − 1) sin  = 3, x − 1 x→ 1  ce qui signifie que f(x) peut être aussi proche que l’on veut de 3, pour autant que x soit suffisamment proche de 1. Si l’on veut que la distance entre f(x) et 3 soit strictement inférieure à 0,01, quelle doit être la distance entre x et 1 ?

1 0

x fig. 13

Indication Répondre à cette question revient à trouver une distance maximale d entre x et 1 qui garantisse que f ( x) − 3 < 0, 01 . On a f ( x) − 3 = 2 ( x − 1) sin

1 x −1

= 2 ( x − 1) ⋅ sin

1 x −1

< 2 x −1 De plus, 2 x − 1 < 0, 01 est vérifiée dès que x − 1 < 0, 005 . Prenons δ = 0, 005 . On a donc alors x − 1 < δ ⇒ f ( x) − 3 < 2 x − 1 < 0, 01 . a. Justifier la suite des inégalités. b. Peut-on choisir une autre valeur pour d pour satisfaire à la même condition ? c. Déterminer un autre réel d pour que f ( x) − 3 < 0, 0001 . d. Trouver un réel d pour que cette distance puisse être rendue strictement inférieure à un réel strictement positif quelconque e, la valeur de d étant exprimée en fonction de e, dont elle dépend.

4. Limites et asymptotes

Synthèse 5 Exercices 4 et *12

9. Combien de limites ? Est-il possible de définir une fonction f telle que lim f = 2 et lim f = 4 ? x→1

x→1

Synthèses 6 et 7 Exercice 5

Justifier. Indication Utiliser la définition 4.4.

10. Le « théorème du sandwich » Pour la fonction f donnée dans l’exploration 8, montrer que a. pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a 5 − 2 x ≤ f ( x) ≤ 1 + 2 x , b. pour tout réel x strictement inférieur à 1, on a Synthèse 8 Exercice 6

1 + 2 x ≤ f ( x) ≤ 5 − 2 x. c. En quoi cela aurait-il pu être utile pour déterminer lim f ( x) ? x→1

11. Limites et opérations a. Réaliser, dans un même système d’axes, le graphique d’une fonction f telle que lim f ( x) = 3 ainsi que celui d’une fonction g telle

y = g(x)

x→−2

que lim g( x) = 2 . x→ − 2

Estimer graphiquement la valeur de lim ( f ( x) + g( x)) . x→ − 2

b. S’appuyer sur les fig. 14 et 15 ou sur des exemples judicieusetab. 6) donnant ment choisis pour compléter le tableau ( lim ( f ( x) + g( x)) .

y = f(x) + g(x)

1 0

x→ α

y = f(x)

Dans ce tableau, m et p sont des réels et α ∈R , lim ( f ( x) + g( x))

x→α

lim g( x)

x→α

lim f ( x)

fig. 14

x→α

- ∞

+ ∞

- ∞

y = g(x)

p + ∞ tab. 6

Peut-on remplir toutes les cases ?

c. Est-il vrai que

y = f(x) + g(x)

1 y = f(x)

lim ( f ( x) + g( x)) = lim f ( x) + lim g( x)

x→ α

si les limites considérées sont réelles ? Si oui, peut-on prolonger à R l’addition définie sur l’ensemble des réels pour que cette formule soit valable lorsqu’au moins une de ces limites est infinie ?

fig. 15

Exploration

d. Construire un tableau analogue au précédent pour un produit de deux fonctions puis pour un quotient. Synthèse 9 Exercices 11 et 17

12. Limites d’une fonction polynôme On considère la fonction f ( x) = x4 + 3 x3 − 2 x + 1 , dont on donne le graphique (fig. 16). On s’intéresse au comportement de cette fonction lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ .

a. Vérifier graphiquement que lim f ( x) = + ∞ et lim f ( x) = + ∞ . x→ + ∞

x→ − ∞

Pour comprendre, et surtout généraliser, le résultat de ces limites, on met en évidence la plus haute puissance de x et on s’inspire des limites obtenues dans l’exploration 6 pour écrire le résultat.

(

1 0

)

  3 2 1  lim x4 + 3 x3 − 2 x + 1 = lim x4 1 + − 3 + 4  = lim x4 = + ∞ x →+ ∞ x →+ ∞  x x x  x →+ ∞ fig. 16

tendent vers 0

(

)

Appliquer la même démarche pour calculer lim x4 + 3 x3 − 2 x + 1 , x→− ∞

lim (7 x3 − 5 x + 2) et lim (7 x3 − 5 x + 2) .

x→ + ∞

x→ − ∞

b. En généralisant les résultats observés, quelle règle peut-on formuler à propos de la limite d’une fonction polynôme lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ ?

13. Limites d’une fonction rationnelle en un réel Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes. On souhaite calculer les limites de ces fonctions en des réels pour lesquels elles ne sont pas définies. a. On considère la fonction f ( x) =

x2 − 5 . Son domaine de définition x−2

est R \ {2} =] − ∞, 2 [ ∪ ] 2, + ∞[ . La fonction est définie pour des réels très proches de 2. Que deviennent les images lorsque x tend vers 2 ? Pour répondre à cette question, on peut procéder comme suit. 1) Construire une table de valeurs de la fonction pour observer les images de deux suites de réels tendant vers 2. Compléter le tab. 7) ou utiliser un tableur. tableau (

100

4. Limites et asymptotes

Synthèse 10 Exercices 7A et 13 (Série1)

x (x < 2)

x (x > 2)

x2 - 5 x-2

1,9 1,99 1,999 1,9999 …

2,1 2,01 2,001 2,0001 …

2–

x2 - 5 x-2

tab. 7

2) Écrire les résultats en termes de limites. Pratiquement, on procède comme suit. lim x→ 2

x2 − 5 22 − 5 −1 = =« » x−2 2−2 0

-1 n’existe pas. En pratique, on 0 -1 » pour signiconviendra1 néanmoins d’écrire « 0

Le quotient

y 2 lim x − 5 = + ∞ x→2 x − 2 −

fier que le numérateur tend vers -1 tandis que le dénominateur tend vers 0. Pour déterminer la limite de cette fonction (à gauche et à droite dans le cas présent), il faut aussi savoir, selon le cas, si le dénominateur tend vers 0 en prenant des valeurs strictement positives ou en prenant des valeurs strictement négatives. Cette information est notée par 0+ ou 0- . On étudie donc le signe du dénominateur de la fonction.

1x<2 0

x>2 x

2 lim x − 5 = − ∞ x−2

x → 2+

fig. 17

x x–2

–

x −5 −1 = « − » = +∞ x→ 2 x − 2 0 2 x −5 −1 = « + » = −∞ lim x→ 2+ x − 2 0 lim−

x2 − 5 n’existe pas. x→ 2 x − 2 On observe que le graphique de la fonction (fig. 17) se rapproche de plus en plus de la droite d’équation x = 2 , sans la toucher. Cette droite est une asymptote verticale au graphique de la fonction. D’où lim

k entre guillemets. On fera de même 0 dans tous les cas de limites correspondant à une indétermination, dans lesquels on est amené à écrire une somme, une différence, un produit ou un quotient qui n’existe pas. 1 On suit ici l’usage consistant à mettre la forme

Exploration

101

3) Appliquer la même démarche pour calculer lim

5x − 1

x→3 ( x − 3)2

b. Le graphique de la fig. 18 est celui de la fonction f ( x) =

x2 − 5 x + 6 2

x − 3x + 2

– Quel est le domaine de définition de cette fonction ?

0 1

x (2 , −1)

– Observer le graphique pour déterminer lim x→ 2

– Calculer lim x→ 2

x2 − 5 x + 6 x2 − 3 x + 2 x2 − 5 x + 6 x2 − 3 x + 2

fig. 18

En calculant cette limite on obtient une forme «

0 », qui exprime 0

que le numérateur et le dénominateur tendent vers 0. Cette écriture n’est pas celle d’un nombre réel, ni même d’un quotient défini dans  . C’est une forme indéterminée. On ne peut en déduire la valeur de la limite cherchée, ni même son existence. On peut cependant simplifier l’expression

qui donne

x2 − 5 x + 6 x2 − 3 x + 2

par x - 2 , ce

x-3 x−3 . On considère alors la fonction g( x) = défix -1 x −1

nie en tout réel de dom f, mais aussi en 2. Sur dom f, les fonctions f et g coïncident. Mais ces fonctions ne sont pas égales : elles n’ont pas le même domaine de définition. c. Calculer lim g( x) . x→ 2

On peut démontrer que la limite de g( x) lorsque x tend vers 2 est la même que celle de la fonction f ( x) =

x2 − 5 x + 6 x2 − 3 x + 2

Le graphique de g comprend le point (2 ; – 1) puisque cette dernière est définie en 2 : elle vaut – 1 en 2. Le graphique de la fonction f (fig. 18) est identique à celui de la fonction g, si ce n’est qu’il a un « trou » au point (2 ; – 1).

102

4. Limites et asymptotes

Synthèse 11 Exercices 7B (1 à 3) et 13 (Série 2), 18

14. Limites d’une fonction rationnelle en l’infini a. Soit f ( x) =

3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6

Si on applique les règles de calcul des limites des fonctions polynômes lorsque x tend vers + ∞ ou vers - ∞, on constate que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers + ∞. On note : lim f ( x) = «

x→+ ∞

L’écriture «

+∞ » +∞

+∞ » est une forme indéterminée, elle ne permet pas +∞

de connaître la valeur de la limite. y

1 0

fig. 19

L’observation du graphique de la fonction (fig. 19) laisse supposer que lim f ( x) = 3 et lim f ( x) = 3 .

x→+ ∞

x→− ∞

La droite d’équation y = 3 est asymptote horizontale au graphique de la fonction. Comment peut-on obtenir ces résultats à partir de l’expression analytique ?

Exploration

103

b. On considère la fonction f ( x) =

8x 3 x2 + 1

Observer son graphique (fig. 20) pour estimer lim

x→− ∞

8x 3 x2 + 1

et lim

x→+ ∞

8x 3 x2 + 1

1 0

Comment peut-on obtenir ces résultats à partir de l’expression analytique de la fonction ? Quelle est l’équation de l’asymptote horizontale de cette fonction ?

fig. 20

c. Observer le graphique (fig. 21) de la fonction f ( x) =

x2 − 5 . x−2

Quelles sont les limites de cette fonction lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ ? Peut-on obtenir ces résultats par calcul ? y

1 0

fig. 21

15. Asymptote oblique Une nouvelle revue a été mise sur le marché en janvier 2008. L’évolution du nombre d’abonnés en fonction du nombre de mois écoulés depuis le lancement a été modélisée par la fonction f ( x) = 0, 25 x + 5 −

1 , x +1

dans laquelle x est le nombre de mois écoulés et f(x) le nombre de centaines d’abonnés. Le graphique (fig. 22) montre l’évolution du nombre d’abonnés sur les quinze premiers mois.

104

4. Limites et asymptotes

Synthèses 12 et 13 Exercices 13 (Séries 3 à 8) et 14

Nombre d’abonnés (en centaines)

f (x)

Nombre d’abonnés

4,75

475

5,17

517

8 7

3 2

…

Augmentation du nombre d’abonnés

Nombre de mois

…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

fig. 22

tab. 8

a. Combien y a-t-il d’abonnés après un mois, deux mois, trois mois, un an, deux ans ? b. Après combien de temps le nombre d’abonnés dépasse-t-il 1 200 unités ? (procéder par approximations successives avec une calculatrice). c. Compléter le

tab. 8.

d. Au fil du temps, l’augmentation mensuelle du nombre d’abonnés semble se stabiliser. Estimer à quelle valeur. e. Tracer la droite d’équation y = 0, 25 x + 5 sur la fig. 22. Cette droite est appelée asymptote oblique du graphique de f(x). f. On peut traduire le fait qu’une droite d’équation y = mx + p est asymptote au graphique de la fonction y = f ( x) par la proposition suivante : lorsque x tend vers + ∞ ou vers - ∞, la différence entre les ordonnées des points de même abscisse de la fonction et de la droite tend vers zéro. Ecrire cela en termes de limites. Vérifier cette proposition pour la fonction f ( x) = 0, 25 x + 5 −

1 x +1

et la droite y = 0, 25 x + 5 . g. Montrer que, si une droite d’équation y = mx + p est asymptote au f ( x) f ( x) graphique d’une fonction f, alors lim = m ou lim = m. x→ − ∞ x x→ + ∞ x h. Montrer qu’une droite d’équation y = mx + p est asymptote au graphique d’une fonction f si et seulement si lim ( f ( x) − mx) = p x→ − ∞

ou lim ( f ( x) − mx) = p . x→ + ∞

i. Vérifier les formules établies en g. et h. pour la fonction 1 f ( x) = 0, 25 x + 5 − . x +1

Synthèses 14 à 16 Exercices 2 (f et g), 8 à 10, 15 et 16, 19 à 22

Exploration

105

e s è h t n sy 1. Comment cerner la notion de limite en un réel ? On considère une fonction f de R dans R et un réel a. a. Dire qu’« un réel b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a », ou que « f(x) tend vers b lorsque x tend vers a », signifie que f(x) peut s’approcher aussi près que l’on veut de b pour autant que x soit suffisamment proche de a. y y = f(x)

f (x)

fig. 23

b. Dire que « + ∞ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a », ou que « f(x) tend vers + ∞ lorsque x tend vers a », signifie que f(x) peut atteindre une valeur aussi grande que l’on veut, pour autant que x soit suffisamment proche de a. y +∞

AV ≡ x = a f(x)

y = f(x)

106

4. Limites et asymptotes

fig. 24

c. Dire que « - ∞ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a », ou que « f(x) tend vers - ∞ lorsque x tend vers a », signifie que f(x) peut atteindre des valeurs négatives aussi petites (grandes en valeur absolue) que l’on veut, pour autant que x soit suffisamment proche de a. y

y = f(x)

x O

f(x)

AV ≡ x = a

–∞

fig. 25

De telles limites sont notées lim f ( x) . x→ a

Pour découvrir lim f ( x) , on peut déterminer des suites de valeurs de x appartenant à dom f qui x→ a

convergent vers le réel a et examiner la suite de leurs images. On peut construire • une suite de réels appartenant à dom f inférieurs à a (x → a–) dont le terme d’indice n est 1 a- n , 10 • une suite de réels appartenant à dom f supérieurs à a (x → a+) dont le terme d’indice n est 1 a+ n 10 et pour chacune de ces suites on observe la suite des images par f correspondantes. Exemple Soit f ( x) = x (x < 1)

2x − 5

( x − 1)2

2x − 5

( x − 1)

; dom f =  \ {1} y

2x − 5

x (x > 1)

( x − 1)2 – 280 – 29 800 – 2 998 000 – 299 980 000 … −∞

0,9 0,99 0,999 0,9999 …

– 320 – 30 200 – 3 002 000 – 300 020 000 …

1,1 1,01 1,001 1,0001 …

1–

−∞

1 0

lim 2x − 5 2 = − ∞ (x − 1)

x → 1–

lim 2x − 5 2 = − ∞ (x − 1)

x → 1+

fig. 26

Synthèse

107

On écrit : lim

x→ 1

2x − 5

( x − 1)2

=− ∞ .

La droite d’équation x = 1 est asymptote verticale (AV) au graphique de f ( x) = Remarque

2x − 5

( x − 1)2

Le choix des suites de réels appartenant au domaine de définition de la fonction est arbitraire. Des choix de suites différents amènent parfois des résultats différents. En tel cas, aucun de ces résultats n’est la limite de la fonction pour x tendant vers a. Il est donc nécessaire de construire une définition rigoureuse de la limite (voir synthèse 5).

2. Qu’est-ce que la « limite à droite » et la « limite à gauche » d’une fonction en un réel ? La limite à gauche d’une fonction f en un réel a est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de x proches de a et strictement inférieures à a. On note lim− f ( x) ou lim f ( x) . x→ a x< a

x→ a

La limite à droite d’une fonction f en a est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de x proches de a et strictement supérieures à a. On note lim+ f ( x) ou lim f ( x) . x→ a x >a

x→ a

Certaines fonctions ont des limites différentes à gauche et à droite du réel a ; en tel cas lim f ( x) x→ a

n’existe pas, mais on peut spécifier lim− f ( x) et lim+ f ( x) . x→ a

x→ a

Exemples 2x − 5 ; dom f =  \ {−3} x+3 C’est une fonction homographique. a. Soit f ( x) =

lim 2x − 5 = + ∞ x+3

– x → (–3)

Par lecture graphique (fig. 27), on peut écrire 2x − 5 = + ∞ et x+3 AV ≡ x = − 3 . lim

x→ ( −3)−

lim

x→ ( −3)+

2x − 5 =− ∞ x+3

Ces limites sont différentes, donc 2x − 5 n’existe pas. lim x→ ( −3) x + 3

108

4. Limites et asymptotes

1 –3

0 1

lim 2x − 5 = − ∞ x+3

+ x → (–3)

fig. 27

 x + 3 si x ≤ 2 b. Soit f ( x) =  ; dom f = R .  x − 3 si x > 2 lim− f ( x) = f (2) = 5 et lim+ f ( x) = 2 − 3 = −1. x→ 2

x→ 2

lim f ( x) ≠ lim+ f ( x) donc lim f ( x) n’existe

x→ 2−

x→ 2

pas.

fig. 28

3. Comment découvrir la limite d’une fonction en l’infini ? Pour découvrir • lim f ( x) , on peut construire une suite de puissances de 10 et observer la suite de leurs x→ + ∞

images ; • lim f ( x) , on peut construire une suite d’opposés de puissances de 10 et observer la suite de x→ − ∞

leurs images. Pour des fonctions simples, cela permet généralement de trouver aisément la valeur d’une telle limite. On retiendra notamment que, pour n ∈N0 , lim

x→ ±∞

1 xn

pour n ∈N0 et k ∈R , lim

x→ ±∞

k xn

=0.

Dire que lim f ( x) = b signifie que f(x) peut être aussi proche que l’on veut de b, pour autant que x→ + ∞

x soit suffisamment grand. Dire que lim f ( x) = b signifie que f(x) peut être aussi proche que l’on veut de b, pour autant que x→ − ∞

x soit suffisamment petit (x négatif suffisamment grand en valeur absolue). Dire que lim f ( x) = + ∞ signifie que f(x) peut prendre des valeurs supérieures à n’importe quel x→ + ∞

réel positif, pour autant que x soit suffisamment grand. Dire que lim f ( x) = − ∞ signifie que f(x) peut prendre des valeurs inférieures à n’importe quel x→ + ∞

réel négatif, pour autant que x soit suffisamment grand.

Synthèse

109

On exprime de manière analogue les significations de lim f ( x) = + ∞ et lim f ( x) = − ∞ . x→ − ∞

x→ − ∞

Exemple Soit f ( x) =

2x − 5 ; dom f = R \ {−3} . x+3

2x − 5 x+3

– 10 – 100 – 1 000 –1 0 000 – 100 000 – 1 000 000 …

3,57 2,11 2,011 2,0011 2,00011 2,000011 …

10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

1,15 1,89 1,989 1,9989 1,99989 1,999989 …

- ∞

+ ∞

On écrit : lim

x→ −∞

y lim 2x − 5 = 2 x→−∞ x + 3 AH ≡ y = 2

d2 1 0

lim 2x − 5 = 2 x→+∞ x + 3

d1 fig. 29

2x − 5 2x − 5 = 2 et lim =2 . x→ +∞ x + 3 x+3

La droite d2 est asymptote horizontale au graphique de f ( x) =

2x − 5 . x+3

4. La variable d’une fonction peut-elle tendre vers n’importe quel nombre réel ou n’importe quel élément infini ? a. Pour que la limite de f(x) lorsque x tend vers un réel a existe, ce réel a ne doit pas nécessairement appartenir au domaine de définition de f. Mais il est nécessaire (et non suffisant) que la fonction f soit définie pour des valeurs de x aussi proches que l’on veut de ce réel a. Pour n’importe quelle valeur strictement positive d donnée, on peut alors trouver au moins un élément de ce domaine à une distance de a strictement inférieure à ce réel d . Définition 4.1 – Adhérence d’un réel à un ensemble Soit A inclus dans R. Soit un réel a.

(

)

+ On dit que a adhère à A si et seulement si ∀ δ ∈ R0 (∃ x ∈ dom f ) : x − a < δ .

Exemple Les réels – 2 et 5 sont adhérents à l’intervalle ] − 2 ; 5 [ .

110

4. Limites et asymptotes

b. Pour que la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞ puisse exister, il faut (mais il ne suffit pas) que la fonction f soit définie pour des réels x aussi grands que l’on veut, c’est-à-dire que dom f doit être non majoré. Suite à l’introduction de + ∞ et − ∞ dans la théorie, on remplace les notations ]← ; a[ et ]b ; →[ par ]− ∞ ; a[ et ]b ; + ∞[ . Définition 4.2 – Ensemble majoré Soit A inclus dans R. On dit que A est majoré si et seulement si il existe au moins un nombre réel supérieur à tous les éléments de A. Exemple L’intervalle A = ] 3 ; 1000] est majoré ; l’intervalle B = [ − 7; + ∞ [ est non majoré. Lorsqu’un ensemble A inclus dans R est non majoré, on dira, par convention, que + ∞ adhère à A. c. Pour que la limite de f(x) lorsque x tend vers −∞ puisse exister, il faut (mais il ne suffit pas) que la fonction f soit définie pour des réels aussi petits que l’on veut, c’est-à-dire que dom f doit être non minoré. Définition 4.3 – Ensemble minoré Soit A inclus dans R. On dit que A est minoré si et seulement si il existe au moins un nombre réel inférieur à tous les éléments de A. Exemple L’intervalle A = [ − 8 ; 500 [ est minoré ; l’intervalle B = ] − ∞ ; π [ est non minoré. Lorsqu’un ensemble A inclus dans R est non minoré, on dira, par convention, que - ∞ adhère à A. Exemples a. Le domaine de définition de la x −1 fonction f ( x) = 2 (fig. 30) x − x−6 est R \ {−2 ; 3} . Les réels –2 et 3 n’appartiennent pas à dom f mais adhèrent à dom f. En fait, tous les − ∞ réels adhèrent à dom f. Il en est de même pour + ∞ et − ∞ .

1 –2

+∞ 1

fig. 30

Synthèse

111

 π b. Le domaine de définition de la fonction tan est \  + kπ k ∈  . Les réels de 2   π la forme + kπ ( k ∈  ) n’appartiennent pas à dom tan mais y adhèrent ; il en est 2 de même pour + ∞ et - ∞. 1

est ]− ∞ ; − 1[ ∪ ]1; + ∞[ . x2 − 1 Les réels 1 et –1 n’appartiennent pas à dom g mais y adhèrent ; il en est de même pour + ∞ et - ∞. c. Le domaine de définition de la fonction g( x) =

5. Comment définir les limites ? Les définitions de limites présentées ici correspondent à différents cas déjà rencontrés. Les définitions correspondant aux autres cas seront construites dans le cadre des exercices. Définition 4.4 – Limite réelle en un réel Soit une fonction f de  dans  , et soient deux réels a et b. b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f

(

)(

)

+ + 2) ∀ε ∈  0 ∃ δ ∈  0 (∀x ∈ dom f ) : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε

On note : lim f ( x) = b . Les fig. 31 à 33 illustrent la définition1. x→ a

On choisit e > 0

Cette construction est valable pour tout e > 0 ; dès lors lim f ( x) = b

Il faut trouver un d > 0 tel que x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε

x→ a

y = f(x)

y b

b+ε

… f(x) est ici

y = f(x)

y b+ε

b b–ε

b–ε O

x fig. 31

x a–δ a a+δ Quand x est ici … fig. 32

1 Source : Analyse concepts et contextes, Vol. 1, Stewart, De Boeck.

112

4. Limites et asymptotes

y = f(x)

O a–δ

x a+δ

fig. 33

La fig. 34 montre un contre-exemple pour lequel lim f ( x) x→ a n’existe pas

y = f(x)

Aucun réel b ne peut être la limite de f ( x) lorsque x tend b + ε vers a. En effet, pour la valeur d’e choisie, l’image par f de b l’intervalle ] a − δ ; a + δ [ ne peut pas être contenue dans un intervalle ]b − ε ; b + ε[ , et ce quel que soit le choix de d b–ε et de b.

a–δ a a+δ fig. 34

Définition 4.5 – Limite égale à + • en un réel Soit une fonction f de R dans R, et soit un réel a. +∞ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f

(

)(

)

+ + 2) ∀s ∈ R0 ∃δ ∈ R0 (∀x ∈ dom f ) : x − a < δ ⇒ f ( x) > s

On note : lim f ( x) = + ∞ . x→ a

lim f(x) = +∞ x→a

x a–δ

a+δ fig. 35

Synthèse

113

Définition 4.6 – Limite égale à - • en un réel Soit une fonction f de R dans R, et soit un réel a. –∞ est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f

(

)(

)

2) ∀s ∈ R0− ∃δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ) : x − a < δ ⇒ f ( x) < s On note : lim f ( x) = −∞ . x→ a

a–δa a+δ

s lim f(x) = – ∞ x→a

fig. 36

Définition 4.7 – Limite réelle en + • Soit une fonction f de R dans R, et soit un réel b. b est la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞ si et seulement si 1) dom f est non majoré

(

)(

)

2) ∀ε ∈  +0 ∃ r ∈  +0 (∀x ∈ dom f ) : x > r ⇒ f ( x) − b < ε On note : lim f ( x) = b (fig. 37). x→ + ∞

lim f(x) = b

b+ε

x → +∞

b b–ε

x fig. 37

114

4. Limites et asymptotes

Définition 4.8 – Limite réelle en - • Soit une fonction f de R dans R, et soit un réel b. b est la limite de f(x) lorsque x tend vers − ∞ si et seulement si 1) dom f est non minoré

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃ r ∈ R0− (∀x ∈ dom f ) : x < r ⇒ f ( x) − b < ε On note : lim f ( x) = b . x→− ∞

6. Une limite est-elle toujours unique ? Dans les exemples rencontrés, lorsque la limite d’une fonction donnée en un réel donné existe, elle est unique. Cette unicité fait l’objet du théorème 4.1. La démonstration de ce théorème peut être faite à titre d’exercice pour le cas réel (exercice 11). Par convention, la notation R désigne l’ensemble R ∪ {− ∞ ; + ∞} . Théorème 4.1 – Unicité de la limite Soit une fonction f de R dans R et soient α, b, b′ ∈R . Si b et b9 sont limites de f(x) lorsque x tend vers a, alors b = b9.

7. Comment transformer les définitions des limites en un réel pour obtenir celles des limites à gauche et à droite ? Pour définir la limite à gauche et la limite à droite en un réel, il faut remplacer dom f respectivement par dom f ∩] − ∞ ; a [ et dom f ∩] a ; + ∞[ dans les définitions 4.4 à 4.6. Définition 4.9 – Limite à gauche, cas réel Soit une fonction f de R dans R, et soient deux réels a et b. On dit que b est la limite à gauche de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si : 1) a adhère à dom f ∩] − ∞ ; a [

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ∩] ← ; a[) : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε .

Définition 4.10 – Limite à droite, cas réel Soit une fonction f de R dans R, et soient deux réels a et b. On dit que b est la limite à droite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si : 1) a adhère à dom f ∩] a ; + ∞ [

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ∩] a ; + ∞ [) : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε .

Synthèse

115

Les définitions de limites infinies en un réel (définitions 4.5 et 4.6) doivent être adaptées de manière analogue, pour définir des limites à gauche et à droite infinies. Remarque Les limites à gauche (à droite) sont des limites à part entière et tous les théorèmes concernant les limites peuvent leur être appliqués. Théorème 4.2 – Limites à gauche et à droite distinctes Soit une fonction f de R dans R, soit un réel a. Si la limite à droite de f(x) lorsque x tend vers a et la limite à gauche de f(x) lorsque x tend vers a existent (dans R ) et sont distinctes, alors la limite de f(x) lorsque x tend vers a n’existe pas. Exemple Soit la fonction f dont le graphique est donné (fig. 38). Le réel – 1 est adhérent au domaine de cette fonction ; on a lim − f ( x) = 2 et lim + f ( x) = 4 . x → −1

x → −1

lim f(x) = 4

x → –1+

lim f(x) = 2

x → –1–

Ces limites sont différentes ; lim f ( x) n’existe pas. x → −1

1 0

x fig. 38

8. Comment déterminer une limite par encadrement ou comparaison ? A. Le théorème du sandwich, également appelé théorème de l’étau, permet, sous certaines conditions, de déterminer la limite d’une fonction encadrée par deux autres, à partir de la limite de ces deux dernières. Théorème 4.3 – Théorème du sandwich Soient f, g, h trois fonctions de R dans R. Soit α ∈R. Si • a adhère au domaine de définition de f, • pour tout x de dom f suffisamment proche de a, g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) • lim g( x) = lim h( x) , x→ α

x→ α

alors

lim f ( x) = lim g( x) = lim h( x)

x→ α

116

4. Limites et asymptotes

x→ α

Exemple y

sin x x→ +∞ x

On souhaite calculer lim On pose :

sin x −1 1 ; g( x) = ; h( x) = x x x dom f = dom g = dom h = R0 Puisque f ( x) =

∀x ∈ R0+ : et que lim

x→ + ∞

−1 sin x 1 ≤ ≤ x x x

fig. 39

−1 1 = lim = 0 x x→ + ∞ x

on peut appliquer le théorème du sandwich : sin x −1 1 = lim = lim =0 x→ + ∞ x x→ + ∞ x x→ + ∞ x lim

Par la condition « pour tout x de dom f suffisamment proche de a, g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) », on entend : « il existe I : – un intervalle ouvert comprenant a, si α ∈R, – une demi-droite réelle ]r ; + ∞[ ( r ∈ R) , si α = + ∞ , – une demi-droite réelle ]− ∞ ; r[ ( r ∈ R) , si α = − ∞ ,

tel que

(dom f ∩ I ) ⊂ (dom g ∩ dom h) et tel qu’en outre

∀x ∈ dom f ∩ I : g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) . B. Cas d’une limite infinie Théorème 4.4 – Théorème de comparaison Soient f, g deux fonctions de R dans R. Soit α ∈R . Si • a adhère au domaine de définition de f, • pour tout x de dom f suffisamment proche de a, g( x) ≤ f ( x) • lim g( x) = + ∞ , x→ α

alors lim f ( x) = lim g( x) = + ∞

x→ α

On peut écrire un énoncé analogue avec f ( x) ≤ h( x) et lim h( x) = − ∞ . x→ α

Synthèse

117

Remarque La condition « pour tout x de dom f suffisamment proche de a, g( x) ≤ f ( x) » peut, dans le cadre d’une théorie formalisée, être explicitée de manière analogue à ce qui a été fait pour le théorème du sandwich.

9. Quelles sont les règles de calcul dans et leurs applications aux limites ? On calcule généralement une limite sans construire un tableau de valeurs. Dans les tableaux qui suivent, le symbole a désigne un élément de R, les écritures m et p désignent des nombres réels. Dans le cas des formes indéterminées (FI), la connaissance des limites de f et de g ne permet pas de déduire directement la limite du résultat de l’opération. Somme de deux fonctions Pour autant que a adhère au domaine de définition de f + g et que lim f ( x) et lim g( x) existent x→ α

x→ α

dans R, le tableau (tab. 9) indique la valeur de lim ( f ( x) + g( x)) , sauf pour les cases où il est x→ α indiqué « FI ». lim f ( x)

lim ( f ( x) + g( x))

x→α

lim g( x)

x→α

−∞

+∞

−∞

m+ p

+∞

tab. 9

Les indéterminations sont du type « ( + ∞ ) + ( − ∞ ) ». Le tableau (tab. 9) donne également la somme des éléments de R, sauf pour les formes indéterminées où cette somme n’existe pas. Le prolongement de l’addition dans R a été construit de manière à pouvoir énoncer le théorème suivant. Théorème 4.5 – Limite d’une somme Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit α ∈R . Si • a adhère au domaine de définition de f + g • lim f ( x) + lim g( x) est défini dans R x→ α

x→ α

alors lim ( f ( x) + g( x)) = lim f ( x) + lim g( x)

x→ α

118

4. Limites et asymptotes

x→ α

Produit de deux fonctions Pour autant que a adhère au domaine de définition de f ∙ g et que lim f ( x) et lim g( x) existent x→ α

x→ α

dans R, le tableau (tab. 10) indique la valeur de lim ( f ( x) ⋅ g( x)) , sauf pour les cases où il est x→α indiqué « FI ». lim f ( x)

x→α

lim ( f ( x) ⋅ g( x))

x→α

−∞ p<0 0 p>0

lim g( x)

x→α

+∞

−∞

m<0

m>0

+∞

+∞ +∞ FI −∞ −∞

+∞ m⋅ p 0 m⋅ p −∞

FI 0 0 0 FI

−∞ m⋅ p 0 m⋅ p

−∞

+∞

+∞ FI +∞ +∞ tab. 10

Les indéterminations sont du type « ∞ ⋅0 ».

Le tableau (tab. 10) donne également le produit des éléments de R, sauf pour les formes indéterminées où ce produit n’existe pas. Le prolongement de la multiplication dans R a été construit de manière à pouvoir énoncer le théorème suivant. Théorème 4.6 – Limite d’un produit Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit α ∈R . Si • a adhère au domaine de définition de f · g • lim f ( x) ⋅ lim g( x) est défini dans R x→ α

x→ α

alors

lim ( f ( x) ⋅ g( x)) = lim f ( x) ⋅ lim g( x)

x→ α

Quotient de deux fonctions f Pour autant que a adhère au domaine de définition de , le tableau (tab. 11) indique la valeur g f ( x) de lim , sauf pour les cases où il est indiqué « FI » ou « ±∞ ou / ». Cette dernière indication x→ α g( x) signifie qu’en tel cas la limite vaut + ∞ ou − ∞ ou n’existe pas. lim

x→α

lim g( x)

x→α

lim f ( x)

f ( x) g( x)

x→α

−∞

m<0

m>0

+∞

−∞

+∞

0 m p

p<0

0 m p

± ∞ ou /

p>0

−∞

± ∞ ou / m p

+∞

± ∞ ou / m p

± ∞ ou /

+∞

tab. 11 Synthèse

119

∞ 0 » et « ». ∞ 0 Lorsqu’il est indiqué « ±∞ ou / », la limite, si elle existe, ne peut être égale qu’à + ∞ou − ∞ . Une étude du signe du dénominateur permet alors de déterminer le signe de l’infini. Les cinq formes indéterminées sont du type «

Le tableau (tab. 11) du quotient donne également le quotient des éléments de R, sauf pour les formes indéterminées et pour les cas où il est indiqué « ±∞ ou / » où le quotient n’existe pas. Le prolongement de la division dans R a été construit de manière à pouvoir énoncer le théorème suivant. Théorème 4.7 – Limite d’un quotient Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit α ∈R . Si • a adhère au domaine de définition de lim f ( x)

•

x→ α

lim g( x)

f g

est défini dans R ,

x→ α

alors lim

x→ α

lim f ( x) f ( x) x→ α = g( x) lim g( x) x→ α

Composée de deux fonctions Théorème 4.8 – Limite d’une fonction composée Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soient α, β ∈R. Si • a adhère au domaine de définition de g  f • lim f ( x) = β x→ α

• lim g( y) existe dans R y→ β

alors

lim ( g  f ) ( x) = lim g( y) x→ a

120

4. Limites et asymptotes

f(x) = y

β = lim y x→α

y→ β

g(f(x)) = g(y) lim g(f(x)) = lim g(y) x→α

y→β

fig. 40

10. Comment calculer les limites d’une fonction polynôme ? Limite en un réel Une fonction polynôme est définie en tout réel a. Pour ces fonctions, lim f ( x) = f ( a) . x→ a

Il n’y a donc pas de difficulté à calculer la limite d’un polynôme en un réel. Pour la plupart des fonctions simples, lorsque a appartient à dom f, on a lim f ( x) = f ( a) . Mais x→ a

ce n’est pas toujours le cas. On étudiera cette problématique dans le chapitre suivant. Limite en l’infini Pour calculer les limites en + ∞ et en − ∞ d’un polynôme, on utilise les propriétés des limites en + ∞ et en − ∞ d’une puissance, données ci-dessous pour un naturel n non nul : Si n est pair

lim xn = + ∞

x→± ∞

lim xn = + ∞

Si n est impair

x→ + ∞

lim xn = − ∞

x→ − ∞

Quel que soit n

lim

x→ ± ∞

1 xn

Théorème 4.9 – Limite en l’infini d’une fonction polynôme La limite en + ∞ ou en − ∞ d’une fonction polynôme est la limite en + ∞ ou en − ∞ de son terme de plus haut degré. Les étapes de la démarche ont été explicitées dans l’exploration. Exemple Soit f ( x) = 7 x3 − 5 x + 2 ; dom f = R. • Limite en + ∞ lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim 7 x3 = 7 ⋅ ( + ∞) = + ∞

x→ +∞

• Limite en − ∞ lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim 7 x3 = 7 ⋅ ( − ∞) = − ∞

x→ −∞

Synthèse

121

11. Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle en un réel a ? Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes. f f et un réel a adhérent à dom . g g f ( x) f ( x) Voici comment on procède pour calculer lim . On remplace x par a dans et on exax→ a g( x) g( x) Soit une fonction rationnelle

mine la fraction obtenue. Premier cas : g(a) π 0 Dans ce cas, lim

x→ a

f ( x) f ( a) = . g( x) g( a)

Exemple x2 − 5 x→ 4 x − 2

Calculer lim

x2 − 5 16 − 5 11 = = x→ 4 x − 2 4−2 2

lim

Deuxième cas : g(a) = 0 et f(a) π 0 f ( a) n’est pas défini dans R. g( a) b. Si elle existe, la limite vaut − ∞ ou + ∞. Il en est de même pour les limites à gauche et à droite. Mais, le cas échéant, il faut déterminer le signe de l’infini. Pour ce faire, on étudie le signe du dénominateur pour des valeurs proches de a. a. Dans ce cas, le quotient

c. Calculer les limites de la fonction à gauche et à droite de a, en tenant compte du tableau de signe et du signe du numérateur. Exemple Calculer a. b.

lim

x→ ( −3)

lim

x→ ( −3)

2x − 5 x+3

2x − 5 −11 =« » x+3 0 –3

x x+3

–

2x − 5 −11  = « − » = + ∞ x→ ( −3) x + 3  0 c.  2x − 5 −11 = « + » = − ∞ lim +  x→ ( −3) x + 3 0 lim

−

On en conclut que

122

4. Limites et asymptotes

lim 

x→( −3)

2x − 5 = ±∞ x+3

2x − 5 n’existe pas. x→ ( −3) x + 3 lim

Troisième cas : g(a) = 0 et f(a) = 0 a. On obtient lim

x→ a

f ( x) f ( a) 0 = = « » (forme indéterminée). g( x) g( a) 0

b. Factoriser le numérateur et le dénominateur pour faire apparaitre le facteur ( x − a) car le réel a est racine de f ( x) et g( x) . Simplifier la fraction par ( x − a) . c. Calculer la limite en a en utilisant l’expression simplifiée. Exemple

y 2

x −9 x→−3 x + 3

Calculer lim

1 0

x2 − 9 0 a. lim =« » x→−3 x + 3 0

b. et c. ( x − 3) ( x + 3) x2 − 9 = lim x→ − 3 x + 3 x→ − 3 ( x + 3) lim

= lim ( x − 3) = −6 x→ − 3

2 lim x − 9 = − 6 x+3

x → –3

Le point (– 3, – 6) est un point « point vide », un «trou » dans le graphique de la fonction f.

fig. 41

On retiendra les résultats ci-dessous. Soit n un naturel non nul. Si n est pair

lim x→ 0

lim−

Si n est impair

x→ 0

lim+

x→ 0

1 xn 1 n

x 1 x

1 0+ 1 −

= −∞

= +∞

0 1 0

= +∞

lim

x→ a

( x − a)

lim−

x→ a

lim+

x→ a

( x − a)

( x − a) n

1 0+

= =

1 0− 1 0+

= +∞

= −∞ = +∞

Synthèse

123

12. Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle en + • ou en - • ? Règle dite « du plus haut degré » La limite en + ∞ ou en − ∞ d’une fonction rationnelle est la limite en + ∞ ou en − ∞ du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. 1er cas : le degré du numérateur est strictement supérieur au degré du dénominateur. Les limites en + ∞ et en − ∞ sont égales à + ∞ ou à − ∞ (non respectivement). 2e cas : le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur. Les limites en + ∞ et en − ∞ sont toutes deux égales au quotient des coefficients des termes de plus haut degré respectivement du numérateur et du dénominateur. 3e cas : le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Les limites en + ∞ et en − ∞ sont toutes deux égales à 0. Exemples − x2 + 5 x − 7 −x2 = lim a. x→ + ∞ x→ + ∞ x x−3 lim

= lim ( − x) = − ∞. x→ + ∞

− x2 + 5 x − 7 −x2 = lim x→ − ∞ x→ − ∞ x x−3 lim

= lim ( − x) = + ∞. x→ − ∞

lim

x→ + ∞

lim

x→ − ∞

lim

x→ + ∞

lim

x→ − ∞

124

4. Limites et asymptotes

3 x2 − 7 x + 2 2

x − x−6 3 x2 − 7 x + 2 2

x − x−6 −3 x 2

x +1

−3 x 2

x +1

3 x2

= lim

x→ + ∞

= lim

3 x2

x→ − ∞

−3 x

x2 −3 = lim =0 x→ + ∞ x x→ + ∞

= lim

−3 x

x2 −3 = lim =0 x→ − ∞ x x→ − ∞

13. Comment utiliser la règle du binôme conjugué pour lever une indétermination ? Dans le cas de fonctions irrationnelles, il peut souvent être utile d’utiliser la formule ( a + b) ⋅ ( a − b) = a2 − b2

pour lever une indétermination. Exemple En voulant calculer

lim

( 2x − 3x − 2

x→ + ∞

)

2 x2 + 5 x ,

on peut être amené à écrire lim

x→ + ∞

( 2x − 3x −

)

2 x2 + 5 x = « ( + ∞ ) − ( + ∞ ) »

ce qui est correspond à une forme indéterminée. Une mise en évidence de la plus grande puissance de x donnerait également une indétermination : lim

x→ + ∞

( 2x − 3x − 2

)

  3 5  2 x2 + 5 x = lim  x  2 − − 2 +   x→ + ∞   x x 

= « ( + ∞) ⋅ 0 » On peut dès lors procéder comme suit :

( 2x − 3x − 2x + 5x ) ( 2x − 3x − 2x + 5x ) ( 2x − 3x + = lim lim

x→ + ∞

= lim

x→ + ∞

= lim

x→ + ∞

−8 2 2

2 x2 + 5 x

)

2 x2 − 3 x + 2 x2 + 5 x

x→ + ∞

= lim

(2 x2 − 3 x) − (2 x2 + 5 x) 2 x2 − 3 x + 2 x2 + 5 x −8 x 2 x2 − 3 x + 2 x2 + 5 x −8 x  3 5 x  2− + 2+  x x  = −2 2

Synthèse

125

14. Comment définir une asymptote au graphique d’une fonction ? Une droite est asymptote au graphique d’une fonction lorsque le graphique de cette fonction s’approche de plus en plus de cette droite quand x tend vers plus ou moins l’infini, ou quand y tend vers plus ou moins l’infini. Définition 4.11 – Asymptotes Soit une fonction f de R dans R. Soient a, b, m et p des nombres réels. Le graphique de f admet • une asymptote verticale (AV) d’équation x = a si et seulement si lim f ( x) = ± ∞ ou lim− f ( x) = ± ∞,

x→ a+

x→ a

• une asymptote horizontale (AH) d’équation y = b si et seulement si lim f ( x) = b (AH à droite ou en + ∞)

x→ +∞

ou lim f ( x) = b (AH à gauche ou en − ∞), x→ −∞

• une asymptote oblique (AO) d’équation y = mx + p si et seulement si

( ) lim ( f ( x) − ( mx + p)) = 0 (AO à gauche ou en − ∞). x→ − ∞ lim f ( x) − ( mx + p) = 0 (AO à droite ou en + ∞)

x→ + ∞

y = mx + p y = f(x) f(x) – (mx + p) O

fig. 42

Remarque Dans le cas particulier où m = 0 , l’asymptote oblique est une asymptote horizontale.

126

4. Limites et asymptotes

15. Comment déterminer l’équation de l’asymptote oblique d’une fonction à partir de son expression analytique ? Théorème 4.10 – Formules de Cauchy Soit f une fonction de R dans R. Soit la droite d d’équation y = mx + p . 1) Si la droite d est une asymptote oblique au graphique de f, alors lim

x→ + ∞

f ( x) f ( x) = m ou lim =m x → − ∞ x x

2) La droite d est une asymptote oblique au graphique de f si et seulement si lim ( f ( x) − mx) = p ou lim ( f ( x) − mx) = p

x→ + ∞

x→ − ∞

Démonstration 1) lim

x→ ± ∞

f ( x) f ( x) − ( mx + p) + mx + p = lim x→ ± ∞ x x lim ( f ( x) − ( mx + p)) mx + p x→ ± ∞ = + lim x→ ± ∞ lim x x x→ ± ∞

0 +m=m ±∞ 2) La droite d ≡ y = mx + p est une asymptote oblique au graphique de f =

si et seulement si

lim ( f ( x) − ( mx + p)) = 0

x→ ± ∞

si et seulement si

lim ( f ( x) − mx) − p = 0

x→ ± ∞

si et seulement si

lim ( f ( x) − mx) = p .

x→ ± ∞

Exemple Soit f ( x) = m = lim

3 x2 . 2− x 3 x2

= −3 2 x − x2  3 x2  p = lim  + 3 x x→ ± ∞  2 − x  x→ ± ∞

3 x2 + 6 x − 3 x2 = −6 x→ ± ∞ 2− x On a AO ≡ y = −3 x − 6 = lim

Dans le cas de fonctions rationnelles, on peut utiliser la division euclidienne, et, pour toute fonction, on peut utiliser les formules de Cauchy. Ces formules sont également valables pour les asymptotes horizontales (m = 0). C’est particulièrement utile quand on raisonne avec une valeur de m qui dépend de paramètres et pourrait donc être nulle. Synthèse

127

16. Comment déterminer en pratique les asymptotes d’une fonction polynôme ou rationnelle ? A. Le graphique d’une fonction polynôme de degré strictement supérieur à 1 n’a jamais d’asymptote. Remarque Le graphique d’une fonction constante ou d’une fonction du premier degré est une droite, qui doit être considérée comme sa propre asymptote. B. Les fonctions rationnelles peuvent avoir trois types d’asymptotes. Asymptote verticale Le graphique d’une fonction rationnelle admet une asymptote verticale d’équation x = a si et seulement si le réel a est racine du dénominateur sans être racine du numérateur. Pour déterminer les asymptotes verticales et le comportement de la fonction à proximité de celles-ci, ainsi que les « points vides» (« trous ») du graphique d’une fonction rationnelle, on calcule la limite de cette fonction en chacun des réels qui annulent le dénominateur. Asymptote horizontale Le graphique d’une fonction rationnelle possède une asymptote horizontale si et seulement si le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur. La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale au graphique d’une fonction si et seulement si le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Asymptote oblique Le graphique d’une fonction rationnelle a une asymptote oblique si le degré du numérateur est supérieur d’une unité au degré du dénominateur. L’équation de l’asymptote oblique peut être déduite du quotient de la division euclidienne ou déterminée par les formules de Cauchy (théorème 4.10). y

Exemples a. Soit f ( x) = lim

x→ ± ∞

3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6

= lim

x→ ± ∞

; dom f = R \ {−2 , 3} .

3 x2 x2

1 0

Le graphique de la fonction (fig. 43) a une asymptote horizontale AH ≡ y = 3 .

On a aussi AV1 ≡ x = −2 et AV2 ≡ x = 3 . b. Soit f ( x) =

−3 x

; dom f = R . x2 + 1 −3 x −3 x = lim lim 2 x→ ± ∞ x + 1 x→ ± ∞ x 2 −3 = lim =0 x→ ± ∞ x AH ≡ y = 0 (fig. 44)

fig. 43 y 1 0

fig. 44

128

4. Limites et asymptotes

c. Soit f ( x) =

− x2 + 5 x − 7 ; dom f = R \ {3} x−3

− x2 + 5 x − 7 −x2 = lim x→ + ∞ x→ + ∞ x x−3

lim

= lim ( − x) = − ∞. x→ + ∞

− x + 5x − 7 −x2 = lim x→ − ∞ x→ − ∞ x x−3 lim

= lim ( − x) = + ∞. x→ − ∞

On a

1 0

– x² + 5x – 7 x – 3 x² – 3x

–x + 2

2x – 7 – 2x + 6 –1 fig. 45

1 f ( x) = − x + 2 − (fig. 45) x−3 L’équation de l’asymptote oblique est y = − x + 2 , car lim

x→ ±∞

1 =0. x−3

Synthèse

129

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Tableaux de valeurs Retrouver les limites suivantes à l’aide d’un tableau de valeurs. a. lim− x→ 2

5x − 6 = −∞ x−2

lim −

x→( −1)

3x 2

( x + 1)

= −∞

lim

x→− ∞ ( x + 1)2

d. lim

3 x3

x→+ ∞ ( x + 1)3

2. Compléter les bulles Traduire les situations suivantes en termes de limites. Écrire l’équation des asymptotes. a.

2) 4) 2) 1

1 0

fig. 46

fig. 47

130

4. Limites et asymptotes

y 1)

y 3)

1 0

Ď&#x20AC; 4

fig. 48

fig. 49

y 1)

5) 4) 1

x 8)

fig. 50

1 1 0

2) 2)

fig. 51

fig. 52

Exercices

131

3. Même limite en zéro ? a. Pour chacun des graphiques (fig. 53 et 54), conjecturer lim f ( x) . x→0

fig. 53

fig. 54

1 et graphiques sont ceux des fonctions f1 ( x) = 2 x 1 f2 ( x) = 2 . Associer chaque expression au graphique corresx + 0,1 pondant et corriger s’il y a lieu la réponse donnée en a.

b. Les

c. Représenter la fonction f2(x) dans une fenêtre graphique adéquate.

4. Définitions formelles a. La synthèse 5 présente un certain nombre de définitions formelles des limites. En s’inspirant de celles-ci, donner une définition de chacune des limites suivantes : 1) lim f ( x) = − ∞

3) lim f ( x) = + ∞

2) lim f ( x) = − ∞

4) lim f ( x) = + ∞

x→ + ∞

x→ − ∞

x→ + ∞

x→ − ∞

b. Utiliser les définitions formelles des limites pour vérifier les résultats suivants : 1) lim (2 x + 1) = 3 x →1

2) lim− x→2

4 = −∞ x−2

π   3) lim  ( x − 1) cos  = 0 ; x →1 x − 1 4) lim ( x + sin x) = + ∞ x→ + ∞

5. Limite à droite et limite à gauche a. Démontrer que, pour une fonction f de  dans , et pour un réel a, si lim f ( x) et lim+ f ( x) existent, elles sont égales. x→ a

x→ a

b. Si lim f ( x) et x→ a

lim f ( x) existent toutes deux, sont-elles aussi

x → a−

égales ?

132

4. Limites et asymptotes

c. En déduire que, si lim− f ( x) et lim+ f ( x) existent et sont disx→ a

x→ a

tinctes, lim f ( x) n’existe pas. x→ a

6. Utiliser un encadrement Certaines des limites de l’exercice 4b pourraient-elles être calculées en utilisant le théorème du sandwich ? Le cas échéant, effectuer ces calculs.

7. Des résultats à justifier Justifier les résultats suivants en détaillant la démarche de calcul ou en énonçant la règle appliquée. a. Limites de fonctions polynômes  x3  1) lim  − 5 x2 + 1 = + ∞ x→ + ∞  3 

(

x→ + ∞

)

2) lim 5 x2 − 4 x3 + 2 = + ∞ x→ − ∞

(

)

3) lim −3 x4 + 8 x − 2 = − ∞

(

)

4) lim 2 x3 + 7 x = − ∞ x→ − ∞

b. Limites de fonctions rationnelles 1) lim

3 x2 − 5 x − 2 x2 − 5 x + 6

x→ 2

2) lim− x→−1

3) lim

x→ 1

4 x3 − 2 x + 1 = +∞ x→− ∞ 3x − 4

= −7

3 x2 + 7 x + 5 2

x − 2x − 3 x2 + x − 2

x3 − x2 + x − 1

4) lim

= +∞

5) lim

3 2

6) lim

x→+ ∞

x→− ∞

8x − 5 x2 + 4

4 x3 − 2 x2 + 1 1 − x3

= −4

8. Asymptotes… oui ou non ? Observer l’expression analytique de la fonction et préciser quel(s) type(s) d’asymptote admet son graphique. a. f ( x) =

− 4x 2

x +1

b. f ( x) =

1− x x−5

c. f ( x) = 2 x −

1 +1 3x

9. Est-ce possible ? a. Le graphique de la fonction y = f ( x) peut-il couper une asymptote verticale ? b. Peut-il couper une asymptote horizontale ou une asymptote oblique ? Si oui, donner un exemple. Si non, argumenter la réponse. c. Combien d’asymptotes verticales, horizontales et obliques est-il possible de trouver pour une même fonction ?

Exercices

133

10. Un peu d’imagination Inventer l’expression analytique d’une fonction dont le graphique admet les asymptotes données. a. AV ≡ x = 2 et AH ≡ y = −1 b. AV ≡ x = −1 et AO ≡ y = 3 x + 1 c. AV1 ≡ x = −1, AV2 ≡ x = 2 , AH ≡ y = 2 .

11. *Démonstrations a. Unicité de la limite ; cas réel (cas particulier du théorème 4.1) Démontrer : Soit une fonction f de R dans R et soient a, b, b′ ∈R . Si b et b′ sont limites de f(x) lorsque x tend vers a, alors b = b′ . b. Démontrer le théorème 4.5. c. Démontrer le théorème 4.8.

12. *Variations sur une définition de limite a. Synthétiser en quelques lignes l’idée essentielle du texte suivant. En consultant différents ouvrages mathématiques de référence, on découvre plusieurs manières de définir les limites1. Par exemple, pour la limite réelle d’une fonction en un réel a, on trouve des définitions qui diffèrent selon les auteurs, et qui ne sont absolument pas équivalentes. Les différences sont souvent liées au fait que l’on considère les valeurs de la variable proches de a, mais distinctes de a ou que l’on considère les valeurs proches de a, a compris. En d’autres termes, cela correspond au fait que l’on exige que la variable tende vers a sans l’atteindre, ou non. On peut ainsi trouver des définitions équivalentes à la définition suivante. Définition A Soit une fonction f de R dans R, et soient deux réels a et b, b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f \ {a}

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃ δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ) : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε On trouve d’autres définitions, par exemples équivalentes à la définition ci-après2. 1 En dehors d’exercices, comme celui-ci, qui invitent à réfléchir aux implications d’un choix de définition par rapport à un autre, les définitions de référence pour les exercices de ce manuel seront toujours uniquement celles figurant dans les synthèses. 2 Identique à la définition 4.4 figurant à la synthèse 5 (p. 112).

134

4. Limites et asymptotes

Définition B Soit une fonction f de R dans R, et soient deux réels a et b, b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃ δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ) : x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε La différence entre la définition A et la définition B réside essentiellement (mais pas uniquement) dans l’expression 0 < x − a < δ que l’on trouve dans la première. Cette expression a pour conséquence que la valeur de l’image de a n’affecte en rien l’existence ou la valeur de la limite, ce qui n’est pas le cas lorsqu’on écrit simplement x − a < δ comme dans la définition A. L’expression 0 < x − a < δ se trouvait dans la définition historique donnée par Karl Weierstrass (1815-1897), un mathématicien allemand. Celui-ci a introduit ce type de définition formelle des limites, en s’affranchissant des expressions vagues que l’on trouvait chez ses prédécesseurs (comme « s’approcher indéfiniment »). D’autres mathématiciens utilisèrent des définitions semblables à la définition A en utilisant aussi l’expression 0 < x − a < δ . La définition B est par contre équivalente à celles que l’on retrouve dans des ouvrages publiés sous d’autres noms faisant également autorité dans le monde des mathématiques, par exemple Nicolas BourBaki. De telles définitions ont souvent supplanté les définitions plus proches de la définition historique de Weierstrass. Cela entre autres parce qu’elles sont compatibles avec la définition de limite telle qu’elle a été généralisée à d’autres contextes que celui lié aux nombres réels dans le cadre d’une branche des mathématiques appelée topologie. Une autre raison est que la définition B permet d’éviter un certain nombre d’exceptions à certaines propriétés, et enlève la nécessité d’ajouter des hypothèses supplémentaires à des théorèmes pour en assurer la validité. Dans les théories où on utilise la définition B pour définir la limite réelle d’une fonction en un réel, la définition A est parfois introduite pour définir une variante de ce concept, appelée limite épointée, à côté d’autres comme la limite à gauche ou la limite à droite. Le terme de limite épointée n’est pas utilisé dans les ouvrages mathématiques où le concept même de limite est basé sur une définition analogue à la définition A. (On peut cependant lire dans des commentaires à propos de ces ouvrages que les auteurs de ceux-ci « travaillent avec une limite épointée »). Le monde de l’enseignement universitaire est divisé : dans les universités, on enseigne des définitions tantôt équivalentes à la définition A, tantôt équivalentes à la définition B. D’autres éléments peuvent également varier dans les définitions de limites. Différents choix sont possibles et valables. Mais l’essentiel, lorsqu’on rédige une présentation théorique du concept de limite, est d’être cohérent. Exercices

135

b. Entre les définitions A et B, il y a une autre différence que celle concernant 0 < x − a < δ . Laquelle ? Expliquer sa raison d’être. c. Élaborer un exemple de fonction telle qu’un nombre soit la limite de cette fonction en un réel donné, si on se réfère à la définition A, mais pas si on se réfère à la définition B. Trouver un autre exemple où un nombre est la limite d’une fonction en vertu de la définition B mais pas en fonction de la définition A. d. Si on se référait à la définition A, et non à la définition B (pour laquelle on a opté dans le présent ouvrage), le théorème pour la limite d’une fonction composée, rédigé comme suit (pour le cas « réel »), serait-il valable ? Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit a un réel qui adhère à dom ( g  f ) \ {a} .

Si lim f ( x) = b (où b ∈  ) alors lim ( g  f ) ( x) = lim g( y) x→ a

x→ a

y→ b

Si oui, le démontrer, si non donner un contre-exemple. e. Si, dans l’enseignement en Belgique francophone, les programmes de mathématiques et les autres référentiels ne précisent pas quelle variante de la notion de limite doit être utilisée, cela n’a pas toujours été le cas en France : on a retrouvé des instructions précises à ce sujet jusque dans le Bulletin Officiel publié par le Ministère de l’Éducation nationale. On a même vu des changements dans les instructions de l’Éducation nationale contraindre des professeurs de mathématiques français à modifier la définition de limite dans leurs cours, et engendrant parfois débats et polémiques. Voici un extrait1 d’un programme de mathématiques français datant de 1991 dans lequel on cite une propriété des limites : « Lorsque f possède une limite en un point a de son intervalle2 de définition alors cette limite est f(a). » La définition de limite, à laquelle il fallait, à ce moment, se référer pour comprendre cet énoncé, était-elle analogue à la définition A ou à la définition B ?

Appliquer une procédure 13. Quelques calculs Pour autant qu’elles existent, calculer les limites suivantes. À défaut, calculer, si possible, les limites à gauche et à droite correspondantes. Série 1

(

a. lim x2 + 3 x − 4 x→3

)

(

x→ − ∞

1 Bulletin officiel du 2 mai 1991. 2 Sic (il s’agit ici du domaine de définition).

136

4. Limites et asymptotes

)

b. lim −5 x2 − 6 x + 2

(

)

c. lim 3 x2 + 7 x − 3 x→ + ∞

Série 2 x2 − 4

a. lim

− x2 + 2 x

x→2

x→ − 2

2 x2 − 5 x − 7

b. lim

x → − 1 3 x2

+ 2x − 1

h. lim

x3 − 2 x2 + 3 x − 6 − x4 − 5 x2 + 4

x→2

i. lim

x3 + 3 x2 + 6 x + 4

x→ − 2

− x4 + 2 x3 + 3 x2

x→ −3

x2 + 2 x

f. lim

−5 x3 + 3 x2 + 2 x

x →1

( x + 2)4 − x4 + 2 x3 + 3 x2

x→ −3

2 x3 + 5 x2 − 4 x + 3

g. lim

2 x3 + 5 x2 − 4 x + 3

e. lim

2 x3 + 5 x2 − 4 x + 3

c. lim

− 4 x3 + 2 x2 − x + 7

d. lim

2 x4 + 3 x3 − x2 − 3 x − 1 − x4 + x3 + x2 + x + 2

x → −1

Série 3 5 x2 − 3 x + 4

a. lim

x→ + ∞

2 x2 + 3 x + 11

x→− ∞

3 x5 − 2 x3 + 4 x − 2

b. lim

d. lim

3 x6 + 9 x + 3

x→− ∞

5 x5 + 2 x4 + 3 x2 − x + 2

c. lim

x→ + ∞

e. lim

− x4 − 3 x3 − 2 x

6 x3 − 2 x2 + 3 x x + 2 x −2 x3 + 2 x2 + 3 x + 3

x→− ∞

4 x6 + 5 x3 − 9 x + 2

f. lim

−2 x4 − 3 x2 + 3 x

x→+ ∞

5 x2 x − 2 x2 − 4 x + 4 − x x − 3x + x + 1

Série 4 a. lim

( 7x − 4x

b. lim

( 7 x + 2x + x −

c. lim

( 8x

x→+ ∞

x→− ∞

)

+ x2 + 5

d. lim

( 3x − 4 x − 9 x −

3 x5 − 9 x3 + 2 x

e. lim

( 12x − 2x + 6 −

4 x4 + x3 + 1

x→+ ∞

x4 + 3 x2 + x

)

x→− ∞

+ 3 x2 + 2 x − 7 x4 − 7 x2 + 2

)

(

)

f. lim 2 x + 1 + 4 x4 + x2 + 1 − 4 x4 − 3 x2 + 6 x→+ ∞

)

Série 5 a. Exercice résolu lim

x→ − ∞

5 x2 − 7 x − x2 + 9 2 x + 4 x2 − 7

=«

(+ ∞ ) − (+ ∞) » (forme indéterminée) (− ∞ ) + (+ ∞ )

(

 7 9  x  5 − − 1 + 2  ⋅ 2 x − 4 x2 − 7 x x  

= lim

x→ − ∞

(2 x +

)(

4 x2 − 7 2 x − 4 x2 − 7

)

  7 9  7  − x  5 − − 1 + 2  ⋅ 2x ⋅ 1 + 1 + 2  x x  x   

= lim

(

)

4 x2 − 4 x2 − 7

x→ − ∞

 7 9   7  −2 x2  5 − − 1 + 2  ⋅ 1 + 1 + 2  x x   x   = lim x→ − ∞ 7 −∞ ⋅ 5 −1 ⋅2 = −∞ = 7

(

)

Exercices

137

Si l’on avait traité le dénominateur en adoptant la procédure utilisée au numérateur, on aurait eu une indétermination du type « ( − ∞) ⋅ 0 » . C’est pour cela que l’on a utilisé la méthode du binôme conjugué. Prévoir une telle indétermination n’est pas impossible à la lecture de l’énoncé. Mais, à ce stade, ce n’est pas indispensable : on peut, au besoin, utiliser la méthode du binôme conjugué après un premier essai ayant conduit à une telle indétermination. x2 + 4 − 4 x2 − 1

b. lim

x2 − 2 x

x→ + ∞

x→ − ∞

x4 + 3 x − 3 x2 + 3

c. lim

x2 − 3 − x2 + 7

g. lim

x2 + 1

x→ + ∞

x + 5 x2 + 2

x→ − ∞

x4 + x − x4 + 2 x

d. lim

2 x4 + x3 − 2 x4 − 3 x3

f. lim

x2 + x2 − 4

x→ − ∞

x2 − 1 − x2 − 3 −3 x + 1

e. lim

x + x2 − 9

x→ − ∞

Série 6 1  a. lim  x2 sin  x→ 0  x

(

c. lim

x2 + 7 x

x→ + ∞

(

b. lim ( x − 3) cos x2 + x + 4 x→3

x sin (1 − x)

))

Série 7 a. lim

x3 + 2 x2 − x − 2 x2 + x − 2

x →1

b. lim

x→5

x2 − 3 x + 2

(

)

c. lim x − 5 x + 3 d. lim

x→ + ∞

e. lim

x→ + ∞

f. lim

x→ + ∞

138

2 x3 − 7 x2 + 4

x − 3 (2 x + 1)

x → 3 2 x3

x − 6x + 5

x→ − ∞

h. lim

2 x4 + x3 + 9 x + 2

g. lim

1 − 4 x2 2

x +7 2 x2 + 5 x + 1 3 x4 + 2 x3 − 5 x2 + 3 4 x2 + x + 1 x2 − 5 x + 4

4. Limites et asymptotes

2 x2 + 5 x + 1

i. lim

3 x2 − 2 x + 3

x→ + ∞

j. lim

2 x2 + 3 x + 1 x2 − 5 x + 6

x→3

k. lim

4 x2 + 2 x + 3 x

x→ − ∞

l. lim

x→ − ∞

− 7 x2 + 7

(3 x − 2)2

( 4 x − 3x − 2

x2 + 3

)

m. lim

x→ − ∞

4 x2 + 2 x − 1 2x − 2

4 x2 + x + 3 sin x x→ − ∞ 3x − 2

2 x2 + 7 x − 3

r. lim

x2 − 2 x + 1

x→ 1

x2 + 8 x + 16

x2 + 3 x − 4 x2 + 3

s. lim

x + x − 12

x→ − 4

x2 − 5 x + 4

x→ 3

n. lim

o. lim

4 x2 + x + 1

q. lim

x + x2 + 1

x→ − ∞

 2 x2 − 3 x − 2 x+8  p. lim  +  2 x→ 2  x−4 x −4

t. lim

x→ ± ∞

(

x2 + x − x2 − 1

)

* Série 8 2− 36+ x x→2 x−2

d. lim

a. lim

x→ ± ∞

b. lim  9 x2 + 2 x − x→ + ∞ 

(

c. lim 1 − x − 3 1 − x x→ + ∞

)

9 x2 + 3 x  

(

 e. lim  x→ − ∞  

1+ x − 3 x x4 + 2 x x2 + 1

)

 3 x2 − 2  5x + 3  

Indication Pour les énoncés contenant des racines cubiques, on peut, au besoin, utiliser la formule ( a − b)( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 que l’on peut aisément vérifier.

14. Discussions Discuter les limites suivantes en fonction du paramètre r ( r ∈ R ) . a. lim

2 x − 3r

x → 2 3x

b. lim

x→ 0

− 12

r + x2 + r 2 −2 + x2 + 4

c. lim

x→ 0

d. lim

x→ r

3r + 9 − x2 r + r 2 − x2 r rx − x2 r − rx

Exercices

139

15. À chaque fonction, son graphique Déterminer les asymptotes des fonctions suivantes, puis associer chaque fonction à son graphique. Série 1 f1 ( x) = f4 ( x) =

2x + 3

f2 ( x) =

x +4 3

x + x + x −1 x

f5 ( x) =

f3 ( x) = 1 +

x −4 x3 − x2 + 5 x − 1 x2 + 1

f6 ( x) =

cos 3 x x

x2 − 3 x + 4 x −1

y 1

1 0

0 1

fig. 56 fig. 55

fig. 57

fig. 58 y

1 0

fig. 60 fig. 59

140

4. Limites et asymptotes

Série 2 f1 ( x) = x + x2 − 1

f2 ( x) = 2 x + x2 − 1

f3 ( x) = x x2 − 1

f4 ( x) = x − x2 − 1

f5 ( x) = − x + x2 − 1

f6 ( x) = x +

x2 − 1 x y

1 0

fig. 61 fig. 62

1 0

1 x fig. 64

fig. 63

1 0

1 1

fig. 66 fig. 65

Exercices

141

16. À la limite ? Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, calculer, si elles existent, les limites en plus ou moins l’infini, les limites en les réels qui adhèrent au domaine de définition sans lui appartenir. À défaut calculer les limites à gauche et à droite correspondantes, si elles existent. Écrire l’équation de toutes les asymptotes. Esquisser le graphique. f1 ( x) = f2 ( x) = f3 ( x) = f4 ( x) =

2x + 1 x−5

f6 ( x) =

f7 ( x) =

x2 − 16 4x + 1 2x + 3 3− x x2 − 2 x

f5 ( x) = x3 − 2 x2 + x − 5

f8 ( x) =

3 x2 + 1 x2 + x − 6 2 x2 + 3 x − 1 x+2 x−4 x2 − 6 x + 9

f9 ( x) = 4 x2 + 3 x − 2 x + 1 f10 ( x) =

4+ x x2 + 2 x + 8

f11 ( x) = f12 ( x) = f13 ( x) =

2 x2 − 5 x + 3 2− x 3 x + 4 x2 + 2 x + 6 9 x2 − 4

f15 ( x) = 3 x + 5 − 9 x2 + 2 x − 1

17. Appliquer ou ne pas appliquer un théorème ? Voici deux fonctions définies sur R : 1   x sin si x ≠ 0 f :R → R : x →  x 0 si x = 0 si x ≠ 0 2 g :R → R : x →  si x = 0 0 Peut-on appliquer le théorème de la limite d’une fonction composée pour calculer lim ( g  f ) ( x) ? x→ 0

Si oui, calculer la limite demandée en utilisant le théorème cité, sans déterminer la formule analytique de la composée. Établir ensuite cette formule analytique et utiliser cette dernière pour calculer la limite cherchée. Si non, dire quelle hypothèse du théorème n’est pas vérifiée. Calculer ensuite la limite demandée à partir de l’expression de la composée.

4. Limites et asymptotes

x2 − 9

f14 ( x) = 3 x4 + 2 x − 3 x4 + 5 x − 7

Résoudre un problème

142

x3 + 3 x2 − 4 x − 12

18. Une fonction… trois graphiques ? On a demandé à un logiciel graphique de représenter la fonction (40 + x16 )2 − 1600 . En modifiant la fenêtre graphique, on a f ( x) = x16 obtenu les fig. 67 et 68. Surprenant ! D’autant plus que le graphique de la fonction est celui de la fig. 69. y

fig. 67

0,1

fig. 68

fig. 69

a. Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau suivant et, d’après celui-ci, estimer la valeur de lim f ( x) . x→0

Valeur approchée de f (x)

0,6

– 0,6

0,5

– 0,5

0,4

– 0,4

0,3

– 0,3

0,2

– 0,2

0,1

– 0,1

0,01

– 0,01

Valeur approchée de f (x)

b. Calculer lim f ( x) . x→0

Quel est le résultat correct : celui qui vient d’être calculé, ou celui obtenu à partir du tableau ? c. Les résultats des calculs effectués avec la calculatrice sont affichés avec p chiffres, mais la calculatrice utilise n (n > p) chiffres pour effectuer les calculs. Le nombre n est le plus grand entier qui donne un résultat égal à 1 en effectuant le calcul suivant : 10n + 1 – 10n. On demande : – de déterminer ce nombre n pour la calculatrice utilisée,

Exercices

143

– de calculer x16, – d’effectuer x16 + 40, – d’utiliser ces résultats pour expliquer le « phénomène » rencontré. Remarque Le même « phénomène » se produit lorsqu’on utilise un logiciel graphique.

19. Eau salée Une citerne de grande capacité contient 150 l d’eau de pluie. On y verse de l’eau salée concentrée à 10g/l, à la vitesse de 20 l par minute. a. Quelle est la concentration C(t) de sel, en g/l, après t minutes ? b. Vers quelle valeur tend cette concentration C(t) lorsque le temps écoulé tend à devenir très grand ? c. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

20. Prix de revient Le service de photocopies a proposé le tarif suivant pour l’impression et la reliure de syllabus destinés aux élèves : 0,03 € par photocopie et 1,35 € pour la reliure à spirale et les couvertures plastifiées. a. Exprimer, en fonction du nombre de pages, le coût d’un syllabus et le prix de revient d’une page. b. Tracer le graphique de cette dernière fonction et interpréter, dans ce contexte, la signification des asymptotes.

21. Club de loisirs Un nouveau club de loisirs a été créé en janvier 2004. L’évolution du nombre de membres en fonction du nombre de mois écoulés depuis la fondation du club peut être modélisée par la fonction f ( x) =

1 1 , x+3− 4 x+2

dans laquelle x est le nombre de mois et f ( x) le nombre de centaines de membres. a. Combien y avait-il de membres à la création du club ? après un mois ? après un an ? b. Combien de mois faut-il pour que le nombre de membres soit supérieur à 1 000 ? c. Tracer le graphique de la fonction f. d. Le président du club a déclaré qu’après un certain nombre de mois, le nombre d’adhérents croît régulièrement d’environ 25 personnes 144

4. Limites et asymptotes

par mois. Expliquer cette affirmation à partir de l’expression analytique de la fonction et du graphique.

22. En parachute Tout corps en chute libre avec freinage de l’air est soumis à deux forces : celle de son poids P = m ∙ g (g = 9,81 m/s2) et la force de freinage de l’air (en N) qui vaut kv2 où v (en m/s) est la vitesse du corps et k (en Ns2/m2) est une constante de freinage qui dépend des caractéristiques du corps. Pour une vitesse faible, la force de freinage est négligeable et l’accélération du corps vaut approximativement la valeur bien connue de l’accélération de la pesanteur : 9,81 m/s2. Mais plus la vitesse augmente, plus la force de freinage augmente. Plus celle-ci grandit, plus elle se rapproche du poids du corps et la force résultante tend alors vers 0, d’où l’accélération tend également vers 0. Une parachutiste, d’une masse de 100 kg avec son équipement, saute d’un avion. Elle tombe en chute libre avant d’ouvrir son parachute. D’après une modélisation physique du phénomène tenant compte de ce qui précède, on a établi le graphique de la fig. 70. Il donne la vitesse (en m/s) en fonction du temps (en s) pour cette parachutiste. On y observe une asymptote, ainsi qu’une droite donnant la vitesse que l’on obtiendrait si, en négligeant le freinage, on considérait l’accélération constante. D’après les informations fournies, estimer la valeur de la constante k (en Ns2/m2). v(t) 100

t 20 fig. 70

Exercices

145

é t i u n i t n o c

Le mathématicien suisse euler (1707-1783) considérait comme continue une fonction définie par une seule expression analytique. Il appelait « mixte » une fonction déterminée par au moins deux expressions différentes, comme la fonction f définie par f ( x) = 2 x + 3 si x < 2 , et f ( x) = 4 x − 5 si x ≥ 2 . Dans une fonction ainsi définie par morceaux, le graphique présente généralement une « rupture », mais ce n’est pas toujours le cas.

Leonhard EulEr

1 0

Par la suite, on a considéré qu’une fonction continue était une fonction pour laquelle le graphique ne présentait pas de « rupture », si ce n’est une ruptur e liée au domaine de définition de la fonction. La continuité d’une fonction était associée au tracé du graphique « sans lever le crayon ». Cela correspondait à une certaine idée intuitive, mais dont on ne pouvait pas mathématiquement se contenter. La continuité d’une fonction en un réel exprime aussi qu’on peut valablement approximer l’image de celui-ci par l’image d’une valeur approchée de ce réel. Augustin cAuchy (1789-1857) expliquait en 1823, dans son cours à l’École polytechnique, qu’une fonction continue est une fonction qui variait peu lorsque sa variable variait peu. Il utilise les infiniment petits pour introduire le concept de continuité. L’erreur ainsi commise peut devenir aussi petite que l’on veut pour autant que l’on réduise suffisamment l’erreur sur le nombre dont on veut calculer l’image . C’est ce qu’exprimait le mathématicien tchèque Bernard bolzAno (1781-1848) lorsqu’il a défini comme suit la notion de continuité : « La fonction f (x) varie suivant la loi de continuité pour la valeur x si la différence | f(x + w) − f(x) | peut être rendue plus petite que toute valeur donnée. » En 1817, il publie un mémoire intitulé Démonstration purement analytique du théorème : entre deux valeurs quelconques qui donnent deux résultats de signes opposés se trouve au moins une racine réelle de l’équation. Cette propriété semblait évidente géométriquement pour les mathématiciens jusqu’au début du xixe siècle ; Bolzano s’applique à en donner une démonstration rigoureuse. Bernard Bolzano Cette première approche de la continuité appelle une définition plus formelle. Le choix de cette définition varie parfois d’un auteur à l’autre, ce qui aura d’ailleurs un impact sur ce que l’on appelle, ou non, « fonction contin ue en un réel » dans certains cas particuliers.

Dans ce chapitre, on définit la notion de continuité en un réel et sur un ensemble. On découvre ensuite les principaux théorèmes relatifs à cette notion.

n o i t a r o l p ex 1. Une fonction discontinue Certaines fonctions présentent des « sauts » dans leur graphique, pour des réels qui appartiennent à leur domaine de définition. En voici un exemple. Les tarifs de parking d’un centre commercial sont donnés dans le tableau qui suit. a. Tracer le graphique de la fonction P( t) donnant le prix à payer (en €) en fonction de la durée de parking t (en heures). b. Écrire, en termes de limites, le comportement de la fonction quand t tend vers 2, quand t tend vers 4, et quand t tend vers 4,3. Durée (t) en heures

Prix P( t)

1 quart d’heure

gratuit

≤ 1 heure

1,5 €

≤ 2 heures

3€

≤ 3 heures

4,20 €

≤ 4 heures

4,70 €

≤ 5 heures

5,20 €

2. Quelques fonctions particulières On donne les fonctions si x = 2 1 f1 : x →  2 si x ≠ 2  x si x = 2 0  f2 : x →  1 sin x − 2 si x ≠ 2 si x = 2 1  f3 : x →  sin ( x − 2) si x ≠ 2   x−2 si x < 2 2 x − 3 f4 : x →  si x ≥ 2 3 x + 1 x + 1 f5 : x →  x − 2

148

5. Continuité

si x ≤ 2 si x > 2

a. Pour chacune des fonctions données, les images des valeurs approchées de 2 sont-elles proches de l’image de 2 ? Utiliser la calculatrice pour calculer les images d’approximations successives de 2. b. Déterminer, si possible, un réel d tel que les images des réels de l’intervalle ] 2 − δ ; 2 + δ [ appartiennent à l’intervalle ] f (2) − 0, 01; f (2) + 0, 01 [ . c. Même question si l’on veut qu’elles appartiennent à l’intervalle ] f (2) − ε ; f (2) + ε [ où e est un réel strictement positif quelconque, limitant l’erreur admissible. d. Reformuler la première question posée et la réponse, en termes de limites. Utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel pour observer le graphique de ces fonctions. Préciser, pour chacune de ces fonctions, en quels réels elle est continue.

Synthèses 1 à 5 Exercices 1, 2, 4 à 9, *13

3. Une valeur intermédiaire Soit f : x → x5 + x3 + 1. a. Calculer les images de 0 et –1. b. Y a-t-il une racine de f dans l’intervalle ] − 1; 0 [ ?

c. Calculer f ( − 0, 5) . En déduire un intervalle, plus petit que le précédent, qui contienne une racine de f. En déduire un procédé pour déterminer une racine de f à un dix millième près.

Synthèse 6 Exercices 3, 10 et 11

4. Image d’un intervalle a. Soit f : x → f ( x) = x2 . Déterminer l’image par f de chacun des intervalles suivants 1) [1; 4] , [1; 4[ , ]1; 4] , ]1; 4[ 2)

[ −1; 3] , [ −1; 3[ , ]−1; 3] , ]−1; 3[

b. Soit la fonction partie entière de x, notée E( x) . Quelle est l’image par cette fonction des intervalles [0 ;1] , [0 ;1[ , ]0 ;1] , ]0 ;1[ ?  −π π  c. Quelles sont les images de l’intervalle  ;  par les fonctions  4 2 sin x et cos x ? d. L’image d’un intervalle fermé par une fonction f de R dans R estelle un intervalle fermé ? Si oui, justifier la réponse ; sinon, préciser quelle(s) hypothèse(s) supplémentaire(s) permettrai(en)t de répondre positivement.

Synthèse 7 Exercice 12

Exploration

149

e s è h t n sy 1. Qu’appelle-t-on fonction continue en un réel ? Définition 5.1 – Continuité en un réel Soit une fonction f de R dans R, et un réel a. f est continue en a si et seulement si on vérifie successivement les deux critères suivants : 1) a ∈ dom f 2) lim f ( x) = f ( a) x→ a

2. Comment vérifier qu’une fonction est continue ? Pour prouver que la fonction définie par f ( x) = 2 x + 3 est continue en 4 (4 ∈ dom f), il faut établir que lim f ( x) = f (4) = 11. x→ 4

Pour ce faire, on ne peut pas se contenter de calculer cette limite de manière habituelle : lim f ( x) = lim (2 x + 3) = 2 ⋅ 4 + 3 = 11 .

x→ 4

En procédant ainsi, on utilise le fait que la limite en 4 de la fonction est égale à l’image de 4 par cette fonction. Cela revient à postuler que la fonction est continue. Or, ici, c’est ce qu’il faut établir. Pour démontrer que lim f ( x) = f (4) ,

x→ 4

il y a lieu d’utiliser la définition de limite. Sachant que dom f = R , il faut établir que 1) 4 adhère à R.

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃δ ∈ R0+ (∀x ∈ R ) : x − 4 < δ ⇒ f ( x) − f (4) < ε La condition 1 est vérifiée puisque 4 ∈R . La condition 2 peut s’écrire

(∀ε ∈ R ) (∃δ ∈ R ) (∀x ∈ R) : x − 4 < δ ⇒ 2x + 3 − 11 < ε + 0

ou encore

+ 0

(∀ε ∈ R ) (∃δ ∈ R ) (∀x ∈ R) : x − 4 < δ ⇒ 2x − 8 < ε . + 0

150

5. Continuité

+ 0

Soit ε ∈ R0+ . On doit trouver une valeur de d telle que

Si on pose δ =

( ∀x ∈ R ) :

x − 4 < δ ⇒ 2x − 8 < ε

( ∀x ∈ R ) :

x−4 < δ ⇒ 2 x−4 < ε

ε , on a 2

( ∀x ∈ R ) :

x − 4 < δ ⇒ 2 x − 4 < 2 ⋅ δ = ε.

En pratique, on détermine une valeur d, qui dépend généralement de e. Cette valeur de d permet de conclure. Le théorème 5.1 constitue un critère équivalent à la définition 5.1 ; il permet de généraliser la démarche ci-dessus. Théorème 5.1 – Critère de continuité Soit une fonction f de R dans R, et un réel a : f est continue en a si et seulement si on vérifie successivement les deux critères suivants : 1) a ∈ dom f

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃ δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ) : x − a < δ ⇒ f ( x) − f ( a) < ε

3. Qu’est-ce que la continuité d’une fonction sur un ensemble de réels ? Définition 5.2 – Continuité sur un ensemble Soit une fonction f de R dans R, et soit un ensemble E inclus dans dom f. On dit que f est continue sur E si et seulement si f est continue en tout réel appartenant à E. L’ensemble E est souvent un intervalle. Remarque L’ensemble des réels en lesquels la fonction f est continue est appelé domaine de continuité de f et noté domc f .

Synthèse

151

4. Qu’est-ce qu’une fonction partout continue ? Définition 5.3 – Fonction partout continue Soit une fonction f de R dans R. On dit que f est partout continue1, si et seulement si f est continue en tout réel de son domaine de définition. Les fonctions polynômes (en ce compris les fonctions constantes et du premier degré), la fonction inverse, les fonctions racine nième ainsi que les fonctions trigonométriques sont partout continues. Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions partout continues sont partout continues. Exemple La fonction f : x → 1 − x2 est continue sur [– 1 ; 1] c’est-à-dire sur son domaine de définition. Elle est donc partout continue (fig. 1). y 1

–1

fig. 1

5. Qu’est-ce que la continuité à gauche et la continuité à droite ? Définition 5.4 Soit une fonction f de R dans R, et un réel a : f est continue à gauche en a si et seulement si on vérifie successivement les deux critères suivants : 1) a ∈ dom f 2) lim− f ( x) = f ( a) x→ a

1 Par abus de langage, on dit souvent « f est continue ».

152

5. Continuité

Définition 5.5 Soit une fonction f de R dans R, et un réel a : f est continue à droite en a si et seulement si on vérifie successivement les deux critères suivants : 1) a ∈ dom f 2) lim+ f ( x) = f ( a) x→ a

Exemple La fonction 2 x − 3  f : x → − x + 4 − x + 5 

si x < 2 si 2 ≤ x ≤ 3 si 3 < x

est continue à droite en 2 et continue à gauche en 3 (fig. 2). y 3 2 1 –3

–2

–1 0 –1

–2 –3 –4 fig. 2

Synthèse

153

6. Quels sont les théorèmes principaux concernant la continuité ? Théorème 5.2 – Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction de R dans R. Soient a, b appartenant à dom f, soit k ∈R. Si 1) f est continue sur [a ; b] 2) f ( a) < k < f ( b) ou f ( a) > k > f ( b) alors il existe un nombre réel c appartenant à ]a ; b[ tel que f ( c) = k . Interprétation graphique : la droite y = k coupe le graphique de la fonction f en au moins un point (fig. 3). Le théorème ne serait plus vrai si l’on n’exigeait pas que la fonction f soit continue sur [a ; b], ni même si l’on n’exigeait que la continuité de f sur ]a ; b[ (fig. 4).

f(b)

f(b) f(c) = k f(a)

k a

f(a)

fig. 3

fig. 4

Par contre, le théorème reste vrai si, à la dernière ligne de l’énoncé, on remplace ] a ; b [ par [ a ; b]. Lorsque k = 0 , le théorème des valeurs intermédiaires affirme que la fonction f a au moins une racine dans l’intervalle ]a ; b[. Ce cas particulier, appelé souvent théorème de Bolzano, s’énonce comme suit. Théorème 5.3 – Théorème de Bolzano Soit f une fonction de R dans R et a, b appartenant à dom f. Si 1) f est continue sur [a ; b] 2) f ( a) ⋅ f ( b) < 0 alors il existe un nombre réel c appartenant à ] a ; b[ tel que f ( c) = 0 .

f(a) c a

f(b)

fig. 5

154

5. Continuité

Remarques 1) La seconde condition signifie que f ( a) et f ( b) sont de signes différents. 2) Le théorème affirme l’existence d’au moins une racine, mais ne dit rien quant au nombre de racines. 3) Si f ( a) ⋅ f ( b) > 0 , on ne peut rien affirmer ; cela ne signifie pas qu’il n’y a pas de racine entre a et b. 4) Les théorèmes 5.2 et 5.3 restent vrais si on remplace la première hypothèse par f est continue sur ]a ; b[ et f est continue à droite en a et à gauche en b.

7. L’image d’un intervalle fermé par une fonction est-elle un intervalle fermé ? Théorème 5.4 – Image d’un intervalle fermé L’image d’un intervalle fermé par une fonction de R dans R continue sur cet intervalle est un intervalle fermé (fig. 6). n f ([a ; b]) m

[a ; b]

fig. 6

Remarque Une fonction continue sur un intervalle fermé admet un maximum et un minimum sur cet intervalle. L’image d’un intervalle ouvert par une fonction de R dans R, continue sur cet intervalle, n’est pas nécessairement un intervalle ouvert (fig. 7). Le théorème ne serait plus vrai si l’on n’exigeait pas que la fonction f soit continue sur [a ; b] (fig. 8). n

n f(]a ; b[) = ]m ; n]

f ([a ; b]) = [m ; n[ m m

]a ; b[

fig. 7

[a ; b]

fig. 8

Synthèse

155

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Fonctions continues ou non continues en 0 Les fonctions suivantes sont-elles continues en 0 ? Esquisser le graphique. 2 x + 3 a. f : x →  2  x 5 x − 3 b. f : x →  2 4 x − 3 4 c. f : x →  2 3( x + 4)

si x < 0 si x ≥ 0 si x < 0 si x ≥ 0 si x = 0 si x ≠ 0

2. Appliquer la définition pour démontrer a. Démontrer que la somme de deux fonctions de R dans R continues en 2 est aussi une fonction continue en 2. b. Démontrer que le produit de deux fonctions de R dans R partout continues est une aussi une fonction partout continue. c. Démontrer que le quotient de deux fonctions de R dans R partout continues est aussi une fonction partout continue.

3. Quelques propriétés des fonctions continues Démontrer les propriétés suivantes. a. Si une fonction f est continue sur [a ; b], alors

(∃ c, d ∈ [ a ; b] ) (∀ x ∈ [ a ; b] ) : f ( c) ≤ f ( x) ≤ f ( d) b. Si une fonction f est continue sur [a ; b] et si ∀ x ∈ [ a ; b] , f ( x) ≠ 0 , alors f est de signe constant sur ]a ; b[. c. Si deux fonctions f et g sont continues sur [a ; b], et si g( a) - f ( a) et g( b) - f ( b) sont de signes contraires, alors il existe au moins un réel c compris entre a et b, tel que f ( c) = g( c) .

156

5. Continuité

Appliquer une procédure 4. Fonctions continues ou non continues Déterminer si les fonctions suivantes sont continues. 0  a. f : x →  1 sin x 0  b. f : x →  1  x sin x

si x = 0

4  d. f : x →  4 − x − x  x−2 

si x ≠ 0

si x ≠ 2

1  e. f : x →  1 + sin x − 1 − sin x  x 

si x = 0 si x ≠ 0

3  c. f : x →  4 − − 4 x + 12   8 − x − −2 x + 7

si x = 2

si x = 0 si x ≠ 0

si x = −1 si x ≠ −1

5. Quelle(s) valeur(s) pour le paramètre ? Déterminer la (les) valeur(s) du paramètre a pour que la fonction f soit continue. ( ax)2 − a a. f : x →   ax + 4

si x ≤ 2 si x > 2

 ax2 − a  b. f : x →  ( ax + 3) sin x  x 

si x ≤ 0 si x > 0

6. Démontrer Utiliser le critère de continuité pour démontrer que les fonctions suivantes sont continues en a. a. f ( x) = 4 x − 1 (avec a = 3 ) b. f ( x) = x2 (avec a = 2 ) c. f ( x) = x (avec a ∈R) d. Une fonction constante définie sur R (avec a ∈R)

7. Continuité des fonctions polynômes et des fonctions rationnelles a. Se baser sur les exercices 2 b et 6 c pour démontrer par récurrence qu’une fonction puissance f ( x) = xn ( n ∈ N0 ) est partout continue. b. Démontrer qu’une fonction polynôme est partout continue. c. Démontrer qu’une fonction rationnelle (quotient de polynômes) est partout continue.

Exercices

157

8. Procédés itératifs Utiliser sur la calculatrice un procédé itératif basé sur le théorème des valeurs intermédiaires (ou de Bolzano) pour déterminer : a. à 0,001 près, la racine comprise entre –2 et 1 de la fonction f : x → x7 + x4 + 3 ; π π dont la tangente b. à 10–3 près, le nombre réel situé entre − et 2 2 vaut 3 ; c. à 0,0001 près, la ou les solutions de l’équation cos x = x.

Résoudre un problème 9. Les lois de l’attraction terrestre On sait qu’à la surface de la Terre l’intensité, en newtons (N), de la force de gravitation exercée sur un corps est d’environ 9, 81 ⋅ mc ( mc étant la masse de ce corps, en kilogrammes). Mais cette force peut varier significativement si cette masse se déplace à des distances variables par rapport au centre de la Terre. Elle est donnée, en newtons, en fonction de la distance d au centre de la Terre, en mètres, par

sachant que

 G mT mc  d2 F ( d) =   G mT mc d R3 

si d ≥ R si d < R

 Nm2  – G est la constante de gravitation universelle  G = 6, 67 ⋅ 10−11 , kg 2   – mT est la masse de la Terre (en kg), – mc la masse du corps qui subit l’attraction terrestre (en kg), – R le rayon de la Terre (en m). Lorsqu’un corps se déplace de sorte que sa distance au centre de la Terre varie, peut-il y avoir un endroit où la force de gravitation change brusquement ? Si oui, où ? Justifier la réponse.

10. Intersection de graphiques Soient les fonctions f ( x) = 4 x7 + 3 x6 + 5 x + 1 et g( x) = 2 x4 − x3 + 2 x − 1 . Montrer que les graphiques cartésiens de ces deux fonctions ont au moins un point d’intersection dont l’abscisse est strictement comprise entre –1 et 1.

158

5. Continuité

11. Racine positive et racine négative Soit la fonction h( x) = 4 x6 + 5 x4 + 3 x2 − 3 . a. Montrer que cette fonction a au moins une racine positive et une racine négative. b. Montrer que 5 est l’image d’au moins un nombre positif et au moins un nombre négatif.

12. Une histoire d’intervalle Soit f une fonction de R dans R. a. Si ∀x ∈ [1 ; 3] , 2 < f ( x) < 5, montrer qu’il existe alors deux réels m et n appartenant à l’intervalle ]2 ; 5[ tels que ∀x ∈ [1 ; 3] : m ≤ f ( x) ≤ n ∀x ∈ [1 ; 3] : m ≤ f ( x) ≤ n . b. Existe-t-il deux réels p et q appartenant à l’intervalle ]2 ; 5[ tels que ∀x ∈ ]1 ; 3[: p < f ( x) < q ?

13. *Deux définitions qui ne veulent peut-être pas dire la même chose1 Des auteurs d’ouvrages de référence utilisent une définition de limite réelle d’une fonction en un réel non équivalente à celle retenue dans ce manuel (définition 4.4) mais similaire à la définition suivante (définition A) : Soit une fonction f de R dans R, et soient deux réels a et b, b est la limite de f (x) lorsque x tend vers a si et seulement si 1) a adhère à dom f \ {a}

(

)(

)

2) ∀ε ∈ R0+ ∃ δ ∈ R0+ (∀x ∈ dom f ) : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε (voir exercice 12 du chapitre 4).2 Certains de ces auteurs font néanmoins usage d’une définition de la continuité similaire à celle donnée dans la synthèse 1 de ce chapitre 5 (définition 5.1). Mais, cette dernière définition garde-t-elle encore la même signification si, pour la limite, on se réfère à la définition A plutôt qu’à la définition 4.4 ? Si oui, le démontrer. Si non, donner un contre-exemple (fonction continue ou non continue en un même réel, selon la définition de limite à laquelle on se réfère).

1 En dehors d’exercices, comme celui-ci, qui invitent à réfléchir aux implications d’un choix de définition par rapport à un autre, les définitions de référence pour les exercices de ce manuel seront toujours uniquement celles figurant dans les synthèses. 2 Cet exercice 13 ne peut être effectué que par des élèves ayant préalablement réalisé l’exercice 12 du chapitre 4.

Exercices

159

s n o i t c n o f des s e u q i r t é trigonom s n o i t a u q aux é

Le mot trigonométrie, utilisé pour la première fois en 1595 par l’Allemand PiTiscus, désigne l’étude des triangles : en grec, trigonos signifie « triangle » et metron , « mesure ». À l’origine, la trigonométrie se travaillait, non dans les triangles rectangles, mais dans le cercle en lien avec l’astronomie. Les débuts du développement de la trigonométrie se perdent dans la nuit des temps : les astronomes babyloniens qui ne pouvaient mesurer que les angles ont créé un outil leur permettant de passer des mesures d’angles aux mesures de longueurs pour calculer les distances entre les planètes et les étoiles. On leur doit probablement le principe des cadrans solaires. Le développement de l’astronomie fut ensuite l’œuvre des mathématiciens grecs. ArisTArque (310-230 avant J.-C.) a tenté d’évaluer les diamètres de la Lune et du Soleil et donna une estimation de leurs distances à la Terre. hiPPArque (≈ 180-125 avant J.-C.), appelé par ses contemporains « Père de l’astronomie », peut être considéré comme le fondateur de la trigonométrie. En utilisant de manière systématique le cercle de 360°, héritage de Babyloniens, il construit une table de cordes : il associe un angle au centre à la longueur de la corde interceptée dans un cercle. Il inventa l’astrolabe. On lui doit aussi le calcul de la distance Terre-Lune avec une erreur inférieure à 2 %, ainsi que la détermination du rayon et de la circonférence de l’astre de la nuit. Il faut aussi citer PTolémée (85165) dont l’ouvrage Almageste fut à la base de toutes les tables astronomiques parues jusqu’au xiie siècle. Un de ses théorèmes est l’objet d’un exercice de ce chapitre.

Cadran solaire : l’ombre du bâton donne une approximation de l’heure.

A Sinus de l’arc AB B

fig. 1

Les astronomes indiens utilisent les demi-cordes à la place des cordes. Ils appellent demicorde (fig. 1) la moitié de la corde interceptée par l’angle double . Le mot sinus est utilisé pour désigner la fonction qui associe arc et demi-corde. AryAbhATA (476-5 50), pionnier de l’astronomie indienne, crée la première table des sinus, très proche des tableaux de nombres que nous construisons dans le cadre de l’étude des fonctions. Les Indien s utilisaient les ombres pour calculer la hauteur du Soleil. L’astronomie se développe alors dans le monde arabe qui a accès, après traduction, aux ouvrages venant d’Inde et à l’Almageste de Ptolémée. L’astronome persan hAbAsh Al-hAsib (mort centenaire vers 870) serait le premier à avoir utilisé la notion d’omb re, proche de notre tangente et outil idéal pour mesurer les hauteurs. Il dresse une table de telles « ombres ». C’est à Al-biruni (973-1050), mathématicien d’origine iranien ne, qu’on doit le choix du rayon unité pour le cercle trigonométrique. La trigonométrie se développe dans le cadre de l’astronomie et, jusqu’au e xiii siècle, trigonométrie et astronomie seront toujours traitées ensemble. Les tables trigonométriques et le théorème d’Al-kAshi (1350-1429) apparaissent au xive siècle. Au xiie siècle, de nombreux ouvrages mathématiques sont traduit s en latin ; les connaissances en astronomie pénètrent ainsi en Europ e. La trigonométrie se développe sous l’impulsion de plusieurs mathé maticiens et astronomes. Les notations sin, cos et tan se généralisent. On retiendra entre autres l’apport de René descArTes (1596-1650) qui utilisa le sinus pour étudier la réfraction de la lumière et celui de Joseph Fourier (1768-1830) connu pour ses travaux sur la décompositio n de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagaRené DEscartEs tion de la chaleur ; il est fréquemment cité comme le premier à avoir présenté l’effet de serre. Au xviiie siècle, l’étude de la propagation du son dans un solide fut reliée aux ondes, images des vibrations sonores.

Joseph FouriEr

Aujourd’hui, les applications de la trigonométrie sont diverse s dans de nombreux domaines : acoustique, optique, électronique, médec ine (scanner, IRM…), météorologie, géographie (marées…), cryptographi e…

Dans ce chapitre, on construit de nouvelles fonctions par manip ulation des fonctions trigonométriques vues en quatrième : elles sont utilisées pour décrire un mouvement périodique, un mouvement circulaire, l’intensité d’un son ou d’un courant alternatif. Les nouvelles formules établies permettront de résoudre des équati

ons.

n o i t a r o l p ex 1. La grande roue Pour décrire un mouvement circulaire, on peut observer comment évolue la hauteur (par rapport au sol) d’une nacelle de roue foraine. Dans ce contexte, il s’agit d’établir une relation entre la hauteur du point observé et la durée de l’observation tout en tenant compte des caractéristiques de la roue (ses dimensions, sa vitesse de rotation) et de la position initiale du point observé. Un forain nous a communiqué les caractéristiques de sa grande roue : 30 m de diamètre, point le plus haut à 32,5 m, 20 nacelles et 40 tours à l’heure. a. Exprimer la vitesse de rotation de cette roue en degrés par seconde, puis en radians par seconde. b. La fig. 2 schématise la grande roue et indique la position initiale du point observé (P), s’y référer pour compléter le tableau suivant. Durée t (en sec.)

Angle

30°

Distance du point par rapport au sol

30º

15 30 60 90 tab. 1

c. Exprimer la hauteur du point P en fonction de la durée t de l’observation. d. Le graphique de la fig. 3 est celui de la fonction trouvée en c). 40

h(t)

30 20 10

100 110

t fig. 3

162

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

B 0

15 fig. 2

Transformer la fig. 3 pour obtenir le graphique du mouvement d’une grande roue de 24 mètres de diamètre, sachant : – qu’elle tourne deux fois moins vite que la précédente, – que le point observé se trouve à sa position la plus haute au temps 0,

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 7 à 10, 16 à 18

– que sa position la plus basse se trouve à 4 m du sol.

2. Limites des fonctions trigonométriques a. Est-ce que lim sin x existe ? x→± ∞

b. Peut-on tirer les mêmes conclusions pour lim cos x et x→± ∞ lim tan x ? x→± ∞

c. Pour des valeurs de x, en radians et proches de 0, les techniciens remplacent sin x par x. Ils considèrent que sin x ≈ x . Cela est par exemple utilisé dans l’étude du mouvement d’un pendule tel que celui de l’exploration 2 du chapitre 4. Lorsque le fil du pendule fait un angle a par rapport à la verticale, on peut décomposer le poids du pendule (force d’intensité P, vue comme un vecteur P de norme P) en deux autres forces. On le remplace en effet par une somme de deux vecteurs. L’un (Pn) est parallèle au fil. C’est la force normale. L’autre (Pt) est orienté dans la direction de la tangente à la trajectoire circulaire du pendule ; c’est la force tangentielle. (fig. 4)

e(t1) équilibre

e(t2) α Pn P

Montrer que l’intensité de celle-ci est donnée par P sin a . d. Pour étudier le mouvement du pendule dans le cas de petites oscillations, on considère généralement que l’intensité de cette force tangentielle peut être approximée par P ⋅ α , pour autant que a soit exprimé en radians.

fig. 4

L’étude du mouvement du pendule se base alors sur cette formule de la force tangentielle. La pratique consistant à remplacer sin x par x pour des valeurs de x en radians et proches de 0 peut être expliquée à l’aide d’une limite, même si cela n’en constitue pas une démonstration. On peut en sin x = 1 , avec x en radians et différent de 0. effet vérifier que lim x→ 0 x sin x , on est amené à écrire Lorsqu’on tente de calculer lim x→0 x sin x sin 0 0 lim =« » = « » . C’est une forme indéterminée. x→ 0 x 0 0 Contrairement à ce qui a été fait par ailleurs, notamment dans le cas des fonctions rationnelles, on ne peut pas factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier la fraction.

Exploration

163

On peut construire un tableau de valeurs. x (x < 0) – 0,5 – 0,2 – 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 …

sin x x 0,95885108

0–

x (x > 0)

sin x x

0,5 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 …

0,95885108

0+ tab. 2

Compléter le tab. 2 (ou utiliser un tableur) et écrire les résultats en termes de limites. Le graphique de cette fonction (fig. 5 et fig. 6) illustre ce résultat. y 1 –3π

–2π

–π

2π

3π

4π x fig. 5

y 1 –1

x fig. 6

3. Égal ? Différent ? 3p 2p 5p a. Utiliser la calculatrice pour déterminer cos , cos et cos 7 7 7 puis comparer : 3π 2π 5p + cos et cos , 7 7 7 3π 2π p cos − cos et cos . 7 7 7 cos

b. Choisir deux réels a et b et comparer : sin a + sin b et sin ( a + b) sin a - sin b et sin ( a - b)

164

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

Synthèse 4 Exercice 11

4. Découvrir une formule a. Sur le cercle trigonométrique de la fig. 7, on a placé les points A (cos a, sin a) , B (cos b, sin b) , C (cos ( a − b), sin ( a − b)) , P (1, 0) . C(cos (a – b) , sin (a – b))

B(cos b , sin b) b

a–b

P(1 , 0)

a A(cos a , sin a)

fig. 7 2

Traduire l’égalité AB = CP en calculant les distances entre les points à partir de leurs coordonnées. b. Développer et simplifier l’égalité obtenue pour établir la formule cos ( a − b) . c. En utilisant la formule cos ( a − b) , les formules d’angles associés et le fait que a + b = a − ( − b) , établir les formules des nombres trigonométriques de la somme et de la différence de deux angles. 1) cos ( a + b) 2) sin ( a − b)

3) tan ( a − b)

4) tan ( a + b)

Synthèse 5 Exercices 4, 5, 12A

5. Découvrir d’autres formules a. Utiliser les formules d’addition pour calculer 1) sin 2a 2) cos 2a 3) tan 2a 1 + cos 2a 2 2) Établir de manière analogue une formule donnant sin 2 a .

b. 1) Vérifier cos2 a = c. Calculer

1) cos ( a + b) + cos ( a − b)

2) cos ( a + b) − cos ( a − b) 3) sin ( a + b) + sin ( a − b)

Synthèses 6 à 10 Exercices 12B, 13, 19 et 20

Exploration

165

6. Résoudre une équation trigonométrique a. On donne la fonction x f ( x) = 2 cos  − 3 et son graphique (fig. 8).

π  4

y y = 1,2 1 0

π 2

1) Calculer la période de cette fonction.

fig. 8

2) Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de son graphique avec la droite d ≡ y = 1, 2 ? 3) Résoudre l’équation et représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique.

Synthèses 11 à 14 Exercices 6 et 14 (séries 1 à 4)

b. Reprendre les données de l’exploration 1 et observer le mouvement du point P pendant un tour de roue. Pendant combien de temps ce point est-il situé à plus de 30 m ?

7. Déplacer une armoire Deux personnes doivent faire passer un meuble par une porte d’une hauteur de 2,20 m. La hauteur du meuble est de 2,50 m et sa largeur de 1,50 m. Elles décident d’incliner l’armoire pour franchir la porte.

2m 20

h(α)

a. Écrire l’expression d’une fonction h indiquant la hauteur de l’armoire en fonction de l’angle a (voir fig. 9). b. Traduire la situation à l’aide d’une inéquation d’inconnue a , exprimant une condition pour que le meuble passe la porte.

α fig. 9

c. Tracer le graphique de la fonction h, par exemple avec une calculatrice graphique ou un logiciel adapté, en travaillant sur l’intervalle adéquat. d. Le graphique suggère que la fonction h peut s’écrire sous la forme h (α ) = r sin ( x + ϕ ) . Déterminer les valeurs de r et de j. À quelles mesures géométriques (angles, longueurs…) correspondent ces paramètres ? e. Déterminer l’angle maximum sous lequel il faut incliner l’armoire pour franchir la porte.

166

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

Synthèses 15 et 16 Exercices 14 (séries 5 et 6), 15, 21 à 24

e s è h t n y s 1. Quelles sont les caractéristiques de la fonction A sin (w t + j) + b ? La fonction f ( t ) = A sin (ωt + ϕ ) + b permet de décrire un phénomène périodique de type sinusoïdal. On conviendra de ne considérer que des valeurs de A et de w positives. Dans l’exemple de la roue qui tourne à vitesse angulaire constante, une telle fonction décrit la distance au sol d’un point fixe de la roue en mouvement. On parle de mouvement circulaire uniforme ou de mouvement harmonique. Que représentent les paramètres A, w, j et b dans l’expression et f ( t ) = A sin (ωt + ϕ ) + b ? Paramètres

Exemple : la grande roue

A est l’amplitude. L’amplitude est la demi-diffé- A est le rayon de la grande roue : 15 m. rence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction. w est la vitesse angulaire ou la pulsation, expri- w est la vitesse angulaire : 40 tours par heure cormée en radian par seconde. respond à une vitesse de 4°/s ou π rad/s = 0, 0698 rad/s . 45 j est la phase1 à l’origine exprimée en radians.

La position de départ est de 30° par rapport à π l’horizontale. En radians, cela donne ϕ = . 6

b est le décalage vertical.

b est la distance du centre de la roue au sol : 17,5 m.

La fonction qui décrit le mouvement du point P de la grande roue est π  π f ( t ) = 17, 5 + 15 sin  t+ .  45 6 La période T est la durée nécessaire pour effec- La roue effectue un tour complet en 90 secondes. tuer un cycle. La période est liée à la vitesse angu- C’est sa période. laire par la relation 2π T= (en secondes) ω La fréquence f est le nombre de périodes par 1 tour. Sa seconde ; elle est liée à la période par la relation En une seconde, la roue parcourt 90 1 1 fréquence est donc . f = (en hertz) 90 T Le déphasage est la valeur de t correspondant à π la phase nulle. Il s’obtient en résolvant w t + j = 0, Le déphasage de la roue est t = − 6 = −7, 5 s. ce qui donne π −ϕ 45 t= (en secondes) ω

De manière générale, la phase est la valeur de w t + j.

Synthèse

167

On quitte le mouvement sinusoïdal pour envisager la fonction sous une forme plus générale d’expression f ( x) = a sin ( mx + p) + b . Elle est caractérisée par : – son amplitude a , 2π , m −p – son déphasage h = , m – son décalage vertical b. – sa période T =

2. Comment calculer les différents paramètres de la fonction f (t) = A sin (w t + j) + b et les repérer sur le graphique ? π  Exemple : f ( t ) = 2 sin  3t +  + 1  3 f (t) Amplitude

1 Déphasage π

Décalage vertical

Période fig. 10

Amplitude A = 2 Période 3T = 2π, donc T = Phase à l’origine : ϕ =

2π 3

π 3

Le déphasage est la solution de l’équation 3t + Le décalage vertical est la valeur de b : b = 1.

168

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

π −π = 0 , ce qui donne t = ≈ − 0, 35 s. 3 9

3. Comment construire le graphique de f (x) = a sin (m x + p) + b à partir du graphique de la fonction g (x) = sin x ? Le graphique de la fonction f ( x) = a sin ( mx + p) + b peut être construit à partir du graphique de la fonction g ( x) = sin x en utilisant les règles de manipulation de graphique vues en quatrième. Exemple : construire le graphique de f ( x) = 2 sin (3 x + 4) + 1 Première étape Construire le graphique de f1 ( x) = sin 3 x en compressant horizontalement d’un facteur 3 le graphique de la fonction g ( x) = sin x . y g(x) = sin x

1 f1(x) = sin 3x

fig. 11

Deuxième étape Calculer le déphasage h = −

4 . 3

  4 Construire le graphique de f2 ( x) = sin  3  x +   = sin (3 x + 4) , par translation 3    4  horizontale de vecteur  − ; 0 du graphique de f1 ( x) = sin 3 x .  3  y f1(x) = sin 3x

1 f2(x) = sin (3x + 4)

fig. 12

Synthèse

169

Troisième étape Construire le graphique de f3 ( x) = 2 sin (3 x + 4) en étirant verticalement d’un facteur 2 le graphique de la fonction f2 ( x) = sin (3 x + 4) . y

f2(x) = sin (3x + 4)

f3(x) = 2 sin (3x + 4) fig. 13

Quatrième étape

Construire le graphique de f ( x) = 2 sin (3 x + 4) + 1 par translation verticale de vecteur (0 , 1) du graphique de la fonction f3 ( x) = 2 sin (3x + 4) . f(x) = 2 sin (3x + 4) + 1

f3(x) = 2 sin (3x + 4) fig. 14

170

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

4. Quelles sont les limites des fonctions trigonométriques ? Fonctions sinus et cosinus Les fonctions sin et cos sont des fonctions de période 2p dont les valeurs oscillent toujours entre –1 et 1 ; elles n’ont pas de limite en l’infini. Fonction tangente La fonction tan est une fonction de période p ; elle n’a pas de limite en l’infini. On a lim− tan x = + ∞ et

x→

π 2

lim+ tan x = − ∞

x→

π 2

Comme la fonction tan est périodique de période p (manuel CQFD 4e, p. 65), on en déduit que le graphique de la fonction tangente admet des asymptotes verticales dont les équations sont π x = + kπ ( k ∈  ) . 2 Une limite particulière lim

x→0

Soit f ( x) =

sin x =1 x

sin x sin x . Le réel 0 adhère à dom f = R0, il y a donc un sens à calculer lim . x →0 x x

a. En comparant les graphiques des fonctions f ( x) = sin x , g ( x) = x et h ( x) = tan x (fig. 15)  π sur l’intervalle  0,  , on constate que  2 sin x < x < tan x y

y = tan x

y=x y = sin x

π 4

fig. 15

On divise les trois membres de cette double inégalité par sin x, strictement positif sur l’intervalle considéré, et on en déduit successivement que

Synthèse

171

x 1 < sin x cos x sin x cos x < <1 x sin x ≤ lim+ 1 (théorème du sandwich p. 118) lim+ cos x ≤ lim+ x→ 0 x→ 0 x→ 0 x sin x 1 ≤ lim+ ≤1 x→ 0 x sin x lim =1 x→ 0 + x 1<

On peut également observer le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. On admet, d’après la fig. 16, que

 < AT MB < AM

 π et donc que , pour x ∈ 0 ;  , on a :  2

sin x < x < tan x .

x B

 π  b. Si x ∈  − ; 0  , on a  2  sin x sin ( − x) = x −x sin ( − x) sin x lim− = lim + = 1. x→ 0 ( − x )→ 0 x ( − x) On peut en conclure que lim x→ 0

fig. 16

sin x = 1. x

Remarque Ceci ne constitue pas une véritable démonstration car on se base en partie sur des observations graphiques.

5. Comment exprimer le sinus, le cosinus et la tangente d’une somme ou d’une différence de deux angles ? (formules d’addition) sin ( a + b) = sin a ⋅ cos b + sin b ⋅ cos a

cos ( a + b) = cos a ⋅ cos b − sin a ⋅ sin b tan ( a + b) =

tan a + tan b 1 − tan a ⋅ tan b

sin ( a − b) = sin a ⋅ cos b − sin b ⋅ cos a

cos ( a − b) = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b tan ( a − b) =

Les formules ont été démontrées dans l’exploration 4.

172

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

tan a − tan b 1 + tan a ⋅ tan b

6. Comment exprimer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle double ? (formules de duplication) Pour démontrer ces formules, on remplace b par a dans les formules d’addition. Cela a été fait dans l’exploration 5. sin 2a = 2 sin a ⋅ cos a 2

tan 2a =

cos 2a = cos a − sin a

2 tan a 1 − tan 2 a

7. Comment exprimer le carré d’un sinus ou d’un cosinus en fonction du cosinus de l’angle double ? (formules de Carnot) Pour démontrer ces formules, dans la formule de cos 2a, on exprime cos2 a en fonction de sin 2 a , ou vice-versa, en utilisant la formule fondamentale. Cela a été fait dans l’exploration 5. cos2 a =

1 + cos 2a 2

sin 2 a =

1 − cos 2a 2

8. Comment exprimer le sinus, le cosinus 2 tan et la tangente d’un angle en fonction 2 sin a = de la tangente de l’angle demi ? (formules en tangente de l’angle demi) a 1 + tan 2

2 a a a 2 tan 2 tan 1 − tan 2 2 2 2 sin a = tan a = cos a = 2 a 2 a 2 a 1 + tan 1 − tan 1 + tan 2 2 2 2 a 1 − tan 2 cos a = 2 a 1 + tan 9. Comment transformer un produit de nombres trigonométriques en une somme 2

ou une différence ?

À partir de l’exploration 5 (c) et de démarches analogues, on établit les formules suivantes. 1 sin ( a − b) + sin ( a + b) 2 1 cos a cos b = cos ( a − b) + cos ( a + b) 2 1 sin a sin b = cos ( a − b) − cos ( a + b) 2 sin a cos b =

(

)

(

)

Synthèse

173

10. Comment transformer une somme ou une différence de nombres trigonométriques en un produit ? (formules de Simpson) Dans l’exploration 5, on a établi que sin ( a + b) + sin ( a − b) = 2 sin a ⋅ cos b . p +pq+ q p − q p − q On pose p = a + b et q = a − b dans l’égalité ci-dessus, ; on sincep qui + sinentraine q = 2 sina = coset b = 2 2 2 2 obtient la première formule de Simpson. p+ q p− q sin ptype − sindeq démarche. = 2 cos sin Les autres formules sont établies en utilisant un même 2 2 p+ q p− q p+ q p− q cos p + cos q = 2 cos cos sin p + sin q = 2 sin cos 2 2 2 2 p− q p+ q p+ q p− q cos p − cos q = −2 sin sin sin p − sin q = 2 cos sin 2 2 2 2 p+ q p− q cos cos p + cos q = 2 cos sin ( p + q) 2 2 tan p + tan q = cos p cos q p+ q p− q cos p − cos q = −2 sin sin 2 2 tan p − tan q = sin ( p − q) cos p cos q

11. Comment résoudre une équation trigonométrique élémentaire ? Équation sin x = r

(−1 ≤ r ≤ 1)

π–a

Équation cos x = r

(−1 ≤ r ≤ 1)

π+a

Équation tan x = r ( r ∈ R )

r 0

r 0 r

–a fig. 17

fig. 18 fig. 19

On détermine la valeur de a (en radians) avec la calculatrice (voir mode d’emploi) ou on utilise les valeurs connues et les règles concernant les angles associés. L’équation s’écrit alors sin x = sin a Ses solutions sont x = a + 2kπ x = ( π − a) + 2kπ

174

L’équation s’écrit alors cos x = cos a Ses solutions sont

( k ∈ Z)

x = a + 2kπ x = − a + 2kπ

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

L’équation s’écrit alors tan x = tan a Ses solutions sont

( k ∈ Z)

x = a + kπ

( k ∈ Z)

Exemples π 3  . 1) Équation sin  2 x +  =  5 2 3 π π π  Puisque = sin , l’équation s’écrit sin  2 x +  = sin .  2 3 5 3 Ses solutions sont celles des équations π π = + 2kπ 5 3 π π 2 x + = π − + 2kπ 5 3 2x +

( k ∈ Z)

fig. 20

7π  π + kπ k ∈ Z  . L’ensemble des solutions est S =  + kπ ; 30 15  Les solutions sont représentées sur le cercle trigonométrique (fig. 20). 2) Équation cos (2 x + 1) = cos (3 x − 2)

Les solutions de l’équation trigonométrique sont les solutions des équations 2 x + 1 = 3 x − 2 + 2kπ

( k ∈ Z). 2 x + 1 = − (3 x − 2) + 2kπ 1 2kπ   S = 3 + 2kπ ; + k ∈ Z  (fig. 21) 5 5   π  3) Équation tan  2 x +  = − 3  5 −π . L’équation s’écrit On sait que − 3 = tan 3 π   −π  tan  2 x +  = tan  .   3  5 Les solutions de l’équation trigonométrique sont les solutions des équations π = 5  − 4π S= +  15 2x +

−π + kπ ( k ∈ Z) 3 kπ  k ∈ Z  (fig. 22) 2 

1 0

fig. 21

1 0

fig. 22

Synthèse

175

4) Équation tan (2 x + 1) = tan (3 x − 2) Les solutions de l’équation trigonométrique sont les solutions des équations 2 x + 1 = 3 x − 2 + kπ

( k ∈ Z)

pour autant que ces solutions respectent les conditions d’existence des tangentes, à savoir 2x + 1 ≠

π π + kπ ( k ∈ Z) et 3 x − 2 ≠ + kπ ( k ∈ Z) 2 2

1 0

Remarque Si une solution de 2 x + 1 = 3 x − 2 + kπ ( k ∈ Z) vérifie une de ces conditions d’existence, elle vérifie automatiquement l’autre.

{

fig. 23

}

S = 3 + kπ k ∈ Z (fig. 23)

12. Comment utiliser les formules trigonométriques pour résoudre une équation ? Exemples 1

1) Équation sin 2 x + sin x = 0 2 sin x cos x + sin x = 0

sin x (2 cos x + 1) = 0

sin x = 0 ou cos x = − x = kπ ou

x=±

1 2

1 0

2π + 2kπ 3

Cette équation peut aussi être résolue en utilisant les angles associés.

fig. 24

sin 2 x = − sin x sin 2 x = sin ( − x)

2 x = − x + 2kπ ou 2 x = π − ( − x) + 2kπ

3 x = 2kπ ou x=

2kπ 3

x = π + 2kπ x = π + 2kπ

On peut alors représenter les solutions sur le cercle trigonométrique (voir fig. 24) ou les vérifier sur le graphique de la fonction f ( x) = sin x + sin 2 x .  2kπ   2kπ  ; (2k + 1) π k ∈ Z  =  ; kπ k ∈ Z  S=  3   3 

176

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

2) Équation sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 On utilise une formule de Simpson : sin 2 x + (sin x + sin 3 x) = 0

sin 2 x + 2 sin 2 x cos ( − x) = 0 sin 2 x (1 + 2 cos x) = 0

1 0

sin 2 x = 0 ou cos x = − 0, 5 2x = kπ ou x = ±

2π + 2kπ 3

( k ∈ Z)

2π   π + 2kπ k ∈ Z  S = k ; ± 2 3  

fig. 25

13. Comment résoudre une équation réductible au second degré ? Exemple Équation 2 cos2 x − 3 cos x − 2 = 0 On pose t = cos x , ce qui donne 2t2 − 3t − 2 = 0 dont les solutions sont t = 2 ou t = −

1 . 2

Ce qui revient à cos x = 2 ou cos x = −

1 2

L’équation cos x = 2 est impossible. Les seules solutions sont celles de l’équation cos x = − 2π 2π + 2kπ ou x = + 2kπ ( k ∈ Z) 3 3   2π + 2kπ k ∈ Z  (fig. 26) S = ± 3  

1 : 2

x=−

Remarque

fig. 26

Dans un énoncé tel que cos2 x − sin 2 x − 3 cos x − 1 = 0 , on peut éliminer le terme en sin 2 x en utilisant la formule fondamentale.

Synthèse

177

14. Comment résoudre une équation homogène en sin x et cos x ? Une équation est dite homogène en sin x et cos x lorsque la somme des degrés de sinus et de cosinus est identique dans les différents termes. Exemple Équation sin x cos2 x + sin 2 x cos x − 2 sin3 x = 0

(

)

sin x cos2 x + sin x cos x − 2 sin 2 x = 0 , sin x = 0 ou cos2 x + sin x cos x − 2 sin 2 x = 0 On traite successivement ces deux équations. a. sin x = 0 dont les solutions sont x = kπ ; b. dans l’équation cos2 x + sin x cos x − 2 sin 2 x = 0 , on divise par la plus haute puissance de cos x , car cos x ≠ 0 . En effet, si cos x = 0 , l’équation se réduit à 2 sin 2 x = 0 ce qui est impossible lorsque cos x = 0 . sin x sin 2 x −2 =0 cos x cos2 x On pose ensuite t = tan x , ce qui donne successivement 1+

−2t2 + t + 1 = 0 t = 1 ou t = −

1 2

tan x = 1 ou tan x = −

0 1 2

π + kπ ou x = − 0, 46 + kπ ( k ∈ Z) 4 π   S =  kπ ; − 0, 46… + kπ ; + kπ k ∈  (fig. 27) 4   x=

178

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

fig. 27

15. Comment résoudre l’équation a cos x + b sin x = c (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) ? B

Pour résoudre l’équation a cos x + b sin x = c , il faut transformer le premier membre pour ne faire apparaitre qu’un seul nombre trigonométrique. La transformation appliquée est basée sur la fig. 28. Considérons a > 0 et b > 0. Le triangle ABC est rectangle en A, les côtés de l’angle droit sont de longueur a et b, l’hypoténuse de longueur r, q est la mesure de l’angle  ACB et a celle de l’angle formé par le côté AC et l’horizontale.

a α A

Les propriétés des triangles rectangles et des angles à côtés perpendiculaires permettent d’écrire

θ α D

a cos α + b sin α = BD (1).

fig. 28

Dans le triangle rectangle BAC, on a r=

a2 + b2 et tan θ =

a . b

Le triangle BDC est rectangle en D ; on peut donc écrire r sin (α + θ ) = BD (2). On a donc a cos α + b sin α = r sin (α + θ ) . On pourrait vérifier que le résultat est généralisable. Conclusion Les équations a cos x + b sin x = c et r sin ( x + θ ) = c , avec r = sont équivalentes.

a2 + b2 et tan θ =

a , b

Remarque Ces équations n’ont de solution que si Exemple

c ≤ 1 , c’est-à-dire si c2 ≤ a2 + b2 . r

Équation cos x + 3 sin x = 1 3 a π = dont on déduit θ = . 6 b 3 π  L’équation donnée est équivalente à l’équation 2 sin  x +  = 1  6 On pose r =

a2 + b2 = 2 et tan θ =

π 1  sin  x +  =  6 2 x+

π π = + 2kπ 6 6

π 5π = + 2kπ 6 6 2π x = 2kπ ou x= + 2kπ 3   2π S = 2kπ ; + 2kπ k ∈ Z  3   ou

Synthèse

179

16. Comment résoudre une inéquation trigonométrique ? Pour résoudre une inéquation trigonométrique de la forme sin ( mx + p) < a , cos ( mx + p) < a , tan ( mx + p) < a , on utilise le support du cercle trigonométrique. Exemple : résoudre sin 3 x <

Démarche 1) On trace un cercle trigonométrique et on porte sur l’axe correspondant le point de graduation a.

5π 6

2) On détermine les points du cercle qui vérifient la condition donnée.

1 1 2

3) En tenant compte de l’orientation sur le cercle, on précise les valeurs des extrémités de l’arc de cercle sur lequel sont situées les solutions de l’inéquation.

Sur l’axe des sinus (fig. 29), on 1 porte la graduation et on 2 détermine les deux points du cercle qui correspondent aux 1 angles dont le sinus est . 2 Les extrémités de l’arc de cercle 5p 13p sont et . 6 6

fig. 29

4) On écrit les inégalités correspondant aux valeurs déterminées à partir du cercle.

5π 13π + 2kπ < 3 x < + 2kπ 6 6

5) On encadre x pour déterminer les solutions de l’inéquation.

5π π 13π π + 2k < x < + 2k 18 3 18 3

6) On écrit l’ensemble des solutions.

  5π π 13π π S = x ∈ + 2k < x < + 2k ; k ∈  18 3 18 3   π 13π π  5π =  18 + 2k 3 ; 18 + 2k 3   k∈ 



180

13π 6

1 2

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Reconnaître les paramètres d’une fonction sinusoïdale Préciser l’amplitude, le déphasage, la période, la fréquence et le décalage vertical pour chacune des fonctions suivantes.  2π  a. f ( t) = sin  t  5 

 π  c. f ( t) = 2 sin  ( t − 1) + 3  12 

π  b. f ( t) = 3 sin  2πt +   2

d. f ( t) =

1 π  cos  πt −  − 1  2 4

 πt π  e. f ( t) = − 2 sin  −   2 3 t  f. f ( t) = 3 sin  − 2π + 1 2 

2. Utiliser un tableur ou un logiciel graphique Pour observer l’influence des différents paramètres sur le graphique de f ( x) = a sin( mx + p) + b , procéder comme suit. a. À l’aide d’un tableur ou d’un logiciel, représenter graphiquement la fonction. b. Faire varier les paramètres en se référant au tableau ci-après (un traitement par Excel et par Geogebra est décrit en annexe). a

de – 2 à 2

de – 3 à 3

de - p à p

p 2

–2 à 2

3. Au parc d’attraction La grande roue de Walibi a un diamètre de 50 m, son point le plus haut est situé à 55 m et elle effectue un tour en 120 secondes. Quelle est l’expression de la fonction qui permet de décrire la distance au sol d’un point de cette grande roue ?

Exercices

181

4. Une autre démonstration a. Calculer la distance entre les points A et B (fig. 30) comme longueur d’un côté d’un triangle quelconque. b. Calculer la distance entre les points A et B comme distance entre deux points. c. Comparer les résultats obtenus et en déduire la formule cos ( a − b) . y A(cos a , sin a)

c B(cos b , sin b)

1 1 a 0

b 1

x fig. 30

5. Un théorème de Ptolémée (Almageste, Livre I, ch. 9)

Le théorème qui suit servit à Ptolémée pour établir des tables de cordes et des formules trigonométriques. Énoncé La somme des produits des côtés opposés d’un quadrilatère cyclique1 est égale au produit des diagonales.

A b a 0

a. Soit le quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O. Démontrer le théorème. b. [AC] est un diamètre du cercle de centre O (fig. 31) et a, b, c et d sont les angles repris sur cette figure. Vérifier que le théorème de Ptolémée permet d’établir la formule sin ( a + b) = sin a cos b + sin b cos a . c. Énoncer la réciproque de ce théorème. Est-elle vraie ? Si oui, démontrer ; sinon, donner un contre-exemple.

182

Quadrilatère convexe dont les quatre sommets sont situés sur un même cercle.

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

c d C

fig. 31

6. Résoudre une équation élémentaire Résoudre les équations suivantes dans R et reporter les solutions sur le cercle trigonométrique. a. Sans calculatrice. 1) 1 − cos x = 0

4) tan 2 x = 3

2) 2 sin x + 1 = 0

π  5) 3 tan  x +  = − 3  4

3) 2 cos x + 3 = 0

6) 5 cos x = 7

b. Avec calculatrice. 1) 3 sin x − 1 = 0

3) 2 tan ( x + 0, 38) = 1, 4

2) 4 sin x − 3 = 0

π 1  4) 2 sin  x +  =  4 2

Appliquer une procédure 7. Construire un graphique Construire les graphiques des fonctions suivantes au départ du graphique de sin x ou de cos x. π  a. f ( x) = 2 sin  4 x −  + 1  3 b. f ( x) =

2 3π   cos  2 x +   3 4

Peut-on exprimer la fonction donnée au point b. sous la forme d’une fonction sinusoïdale f ( x) = a sin ( mx + p) + b ?

8. Associer graphique et expression analytique Associer chaque expression analytique à son graphique (fig. 32 à 37), en précisant les caractéristiques (amplitude, déphasage, période, décalage vertical) de chaque fonction. π  f1 ( x) = 3 sin  2 x +   5

3π   f3 ( x) = sin  2 x +  −2  4

f5 ( x) = 2 sin x − 4

1 sin (3 x) + 1 2

π  f4 ( x) = 2 sin  x +  + 2  3

 x f6 ( x) = 4 sin   + 1  2

f2 ( x) =

Exercices

183

y 1

1 0

π 2

0 x

fig. 32

fig. 33 y

1 π 2

fig. 34 y

y 0

π 2

1 0

π 2

fig. 35

fig. 36 y

1 0

π 2

fig. 37

184

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

9. Trouver l’expression d’une fonction Déterminer l’expression analytique des fonctions dont on donne le graphique. y

1 π 2

fig. 38 y

1 π 2

fig. 39

10. Chercher les racines Préciser le domaine de définition et calculer les racines des fonctions suivantes.  a. f ( x) = sin  2 x − 

π 1 + 6 2

2π   c. f ( x) = tan  − x +   3

3π   b. f ( x) = cos  2 x +   4

d. f ( x) = 2 x − sin(2 x − 3) − 3

11. Limites de fonctions trigonométriques a. Calculer les limites suivantes. sin 2 x x→0 x

3) lim

tan x x→0 x

4) lim

1) lim 2) lim

3 sin x x→0 4 x

sin x x→0 2 x

5) lim

sin 3 x x→0 2 x

6) lim

1 − cos x x→ 0 x Exercices

185

b. Calculer. 1 x→0 sin x

1) lim

2) lim

π x→ 2

1 cos x

3) lim

3π x→ 2

1 cos x

1 − cos x x→0 sin x

4) lim

5) lim

π x→− 4

2x tan x + 1

6) lim cos x→+∞

7) lim ( x + sin x) x→− ∞

1 x

12. Utiliser les formules pour calculer des nombres trigonométriques A.

a. Utiliser les valeurs particulières et une des formules pour calculer la valeur exacte. p 5p 7) sin 5) tan 1) sin 15° 3) cos 150° 12 12 7p 6) sin 435° 2) tan 75° 4) cos 12 b. Calculer les nombres trigonométriques des angles (a + b) et 1 (a – b) sachant que sin a = − 0, 4 (180° < a < 270°) et cos b = (0° < b < 90°) 3 1 cos b = (0° < b < 90°) . 3 B.

a. Calculer sin 2a , cos 2a et tan 2a sachant que sin a = 0, 6 et que a représente un angle aigu. 5 b. Calculer sin 2a , cos 2a et tan 2a sachant que tan a = et que 3 3π π< a< . 2

13. Identités trigonométriques Tester l’exactitude des identités suivantes pour des valeurs particulières des variables. Si l’égalité est vraie, démontrer que l’identité est vérifiée pour tous les nombres réels qui vérifient les conditions d’existence éventuelles des expressions qui s’y trouvent. Série 1 π  1 + tan a  a. tan  a +  =  4  1 − tan a b.

186

tan( a − b) + tan b = tan a 1 − tan( a − b) tan b

e. tan 3a = f.

3 tan a − tan3 a 1 − 3 tan 2 a

1 cos x + sin x = cos x − sin x cos 2 x

c. sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a

g. cos x (2 sin x − cos x) = sin 2 x − sin 2 x − cos 2 x

d. cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a

1 − cos 2a + sin 2a = tan a 1 + cos 2a + sin 2a

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

Série 2 a. cos a = 1 − 2 sin 2

(

a 2

)

e. sin 6 x 1 − tan 4 3 x = 2 tan 3 x − 2 tan 3 3 x

b. cos 2a3 = 2 cos2 a3 − 1

f. cos2 2 x − cos2 4 x = sin 2 x sin 6 x

c. 2 cos2 x + 2 = 1 − sin 2 x

g. sin 7 x + sin 3 x = sin 6 x + sin 4 x

(

)

d. sin 8 x tan 8 x 1 − tan 4 4 x = 4 tan 2 4 x

h. sin 3 x + sin x + sin 5 x + sin 7 x = 2 cos x (sin 2 x + sin 6 x)

Série 3 sin a (1 + cos 2a)

a. sin 2 2a + cos 2a + cos2 2a = 2 cos2 a

b. 2 cos3 3 x − 2 cos 3 x sin 2 3 x = cos 3 x + cos 9 x

h. 2 tan 2 x = 1 − cos 2 x + sin x

sin 2a

= cos a

cos3 x tan3 x 2 − sin 2 2 x + = 2 sin x 1 + tan x sin 2 x

i. tan x cos2 x − sin 2 x = 1 − tan 2 x sin x cos x

cos 4 x = cos2 x − sin 2 x − 2 sin x cos x cos 2 x + sin 2 x

j. sin 3 x + sin x = 4 sin x cos2 x

(

) (

)

e. − sin 2 2 x − sin 2 x + sin 8 x + 1 = cos2 x + cos 5 x sin 3 x k. tan a sin 2a = 1 − cos 2a l. tan 2 a =

f. cos2 3 x − cos 6 x = sin 2 3 x

1 − cos 2a 1 + cos 2a

* Série 4 a. cos 7α + 2 sin 3α sin 4α = cos α sin 3 x + sin 5 x 2 c. cos2 3 x − sin 2 3 x = −2 sin 4 x sin 2 x + cos 2 x

b. sin 2 x cos 3 x + sin 2 x cos x =

 d. cos z sin ( y − x) = sin  − x − 

π  sin ( z − y) + cos ( π − y) sin ( x − z) 2

14. Équations trigonométriques Résoudre les équations trigonométriques dans R et, lorsque cela est possible, reporter toutes les solutions sur le cercle trigonométrique. Série 1 1 − cos x =2 1 + cos x

a. sin 2 x − cos x = 0

b. sin 2 x = 2 sin x

π  e. sin  x2 −  = cos 5 x  2

c. cos (3 x + 2) = sin (2 x − 5)

Exercices

187

Série 2 π π + cos x sin = 0, 5 7 7 b. 2 cos x = 3 sin x 1 c. tan 2 x = 1 + tan x a. sin x cos

d. tan (5 x + 2) = tan ( −2 x + 1) e. cos x tan ( −3 x + 2) = sin x f.

π 2  = tan  x +  π  7 1 − tan tan x 4

Série 3 a. cos 4 x − cos 2 x + sin 3 x = 0

d. sin 2 x − sin 3 x = cos 4 x − cos x

b. cos x + cos 2 x + cos x = 0

e. cos 5 x + sin x + sin 7 x − cos 3 x = 0

c. tan 3 x + tan 2 x + tan x = 0 Série 4 a. 3 cos2 x + 5 cos x − 2 = 0

c. cos2 x + cos x + 5 = 3 sin 2 x + 2

b. 8 sin 2 x − 2 sin x − 3 = 0

d. tan 2 ( x − 2) + tan ( − x + 2 + π ) = 2

Série 5 a. 2 sin x + 5 cos x = −3

c. sin x + 2 cos x = 3 2

b. 2 sin x − 3 cos x = 3

d. sin x + 3 cos x = 2

Série 6

(

)

(

)

a. sin (2 x + 1) = sin (3 x − 2)

e. cos x2 − 3 x + 1 = sin x2 + 3 x − 1

b. 2 cos2 x + 3 cos ( x + π ) = 2

f. cos x sin5 x − cos4 x sin 2 x = 0

π 3  c. cos  2 x +  =  5 2 d. cos3 x sin x − cos2 x sin 2 x + cos x sin 3 x = 0

2 −3 cos x h. 4 sin x − cos 2 x = 1 g. 2 tan 2 x =

15. Inéquations trigonométriques Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. a. sin x <

1 2

b. cos (3 x − 4) <

− 3 2

c. cos (2 x − 7) > −3

188

π  > −3 5

π 2  d. sin  3 x −  ≥  9 2

 g. tan  4 x − 

e. cos (5 x + 2) ≤ 0,15

h. sin (6 x + 3) ≤ −1

f. tan (5 x − 3) < 7

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

Résoudre un problème 16. Un tunnel ferroviaire1 La coupe d’une montagne a un profil sinusoïdal et on décide d’y construire une voie ferrée comme indiqué dans le croquis ci-dessous (fig. 38) :

250 m

Tunnel 50 m

O Entrée

700 m

Pont fig. 38

1) Trouver des expressions pour les paramètres a, b, c, d qui correspondent avec le profil y = f ( x) du type : y = a sin( bx + c) + d et avec les mesures indiquées sur le croquis (expliquer le raisonnement). 2) Donner une expression pour les longueurs t1 du tunnel et p1 du pont (sur l’axe y = 0 ) en fonction des paramètres a, b, c, d. Calculer ensuite la valeur de t1 et p1 à 1 mètre près. 3) On décide alors de rehausser la voie ferrée de 50 mètres. Calculer la nouvelle valeur de t2 du tunnel et de p2 à 1 mètre près.

17. Un mouvement d’oscillation Un pendule fait un mouvement d’oscillation. La valeur de l’écart qu’il fait par rapport à la position d’équilibre est donnée en fonction du temps par une fonction sinusoïdale. La valeur maximale de cet écart est de 3 cm. La période d’oscillation est de 0,98 secondes. À l’instant t = 0,32 s, le pendule atteint l’écart maximum de 3 cm. À quel instant était-il passé la dernière fois au point situé à michemin entre cette position où il atteint l’écart maximum et la position d’équilibre ? Quels sont les trois prochains instants où il repassera à la position à mi-chemin évoquée ci-dessus ?

18. Propriétés des angles d’un triangle Si a, b et g sont les mesures des angles d’un triangle, montrer qu’elles vérifient les égalités suivantes : a. tan 1

α γ α β β γ tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2

Source : examen d’entrée de l’UCL (juillet 2010).

Exercices

189

b. sin 2 γ = cos2 β − cos2 α + 2 cos α sin β sin γ c. 1 + cos 2α + cos(2β + 2γ ) + cos( 2α + 2β + 2γ ) = 4 cos α cos(β + γ )cos(α + β + γ ) d.

cos a cos b cos c + + =2 sin b sin c sin c sin a sin a sin b

19. Des triangles rectangles a. Soit un triangle tel que tan

γ sin γ = 2 sin α + sin β

où a, b, g sont les mesures de ses angles. Montrer que ce triangle est rectangle. b. Montrer que si, dans un triangle, les tangentes de deux angles sont inverses l’une de l’autre, ce triangle est nécessairement1 rectangle.

20. Des ondes sur une corde vibrante Une onde se propage le long d’une corde. L’écart (en mètres) que fait, à un temps t, un point d’abscisse x par rapport à sa position moyenne 2 vaut 3 ⋅ 10− 4 sin (2 x − 4t ) (x est mesuré en mètres et t en secondes). Pour une autre onde cet écart vaut 3 ⋅ 10− 4 sin (2 x + 4t ) (x est mesuré en mètres et t en secondes). Si ces deux ondes se superposaient, l’écart d’un point serait la somme des écarts produits individuellement par chacune des ondes. Montrer que le point situé à l’abscisse x = 0,05 effectuerait alors un mouvement harmonique (mouvement périodique décrit par une fonction sinusoïdale) et donner l’expression analytique de la fonction décrivant ce mouvement.

21. Entrée au port Dans le port, la hauteur h du niveau de l’eau varie avec les marées. Cette hauteur peut être modélisée par la fonction π h( t) = 2, 5 sin t + 5. La hauteur h est exprimée en mètres et t 6 est le nombre d’heures après minuit. a. Une jauge à l’entrée du port indique le niveau de l’eau. À quelle heure le niveau d’eau atteint-il 4 m ? b. À quelle heure le niveau de l’eau est-il minimum ? c. Un bateau ne peut rentrer au port ou en sortir que si le niveau d’eau est supérieur à 6 m. De combien de temps dispose-t-il dans la journée pour effectuer l’une de ces manœuvres ?

190

Source : examen d’admission de l’EPL (juillet 2010).

Celle qu’il a lorsqu’il n’y a pas d’onde sur la corde.

6. Des fonctions trigonométriques aux équations

22. Altitude d’une montgolfière Aurore et Pierre observent l’envol d’une montgolfière à bord de laquelle se trouve l’un de leurs copains. Aurore et Pierre se sont placés à 100 m du point d’envol et la montgolfière s’est élevée verticalement. Lorsque le bas de la nacelle est à 50 m d’altitude, ils l’aperçoivent sous un angle a. Le ballon poursuit son ascension verticale. De combien de mètres at-il progressé lorsqu’ils voient le bas de la nacelle sous un angle 2a ? On suppose que les yeux des observateurs sont situés à 1,6 m du sol.

23. Chaud et froid L’ensemble des relevés de température au cours d’une journée se prête parfois à une modélisation par une fonction de la forme f ( t) = A sin(ωt + ϕ ) + b , dans laquelle t est le temps exprimé en heures et f ( t) la température en degrés Celsius. Dans ce cas, minuit correspond à t = 0 et on suppose que la température décroit dans les premières heures de relevés. a. Quelle est la fonction qui modélise l’évolution de la température d’une journée durant laquelle le maximum est de 10 °C et le minimum, atteint à 3h, est de – 2 °C ? b. Quelle était la température à minuit ? c. Pendant combien de temps a-t-il gelé ? d. Pendant quelles périodes de la journée a-t-on eu une température supérieure à 8 °C ?

24. Ombre sur la grande roue La grande roue d’un parc d’attractions a un diamètre de 60 m, son point le plus haut est situé à 62 m et elle effectue un tour en 150 secondes. Le Soleil, situé dans le plan de la roue, se trouve à 35° au-dessus de l’horizon1. Les nacelles se déplacent vers le côté où se trouve le Soleil lorsqu’elles passent au point le plus haut. À chaque tour, combien de temps faut-il à une nacelle, après le passage au point le plus bas de son parcours, pour que son ombre se trouve à 30 mètres de ce point ?

1 Les rayons du Soleil font un angle de 35° avec tout plan horizontal.

Exercices

191

dérivées s n o i t a c i l et app

On sait que pour étudier une fonction du second degré dont on connaît l’expression analytique, il faut rechercher son maximum ou son minimum, déterm iner ses intervalles de croissance ou de décroissance et tracer la parabole correspondante. Le fait que la parabole possède un axe de symétrie facilite beaucoup les choses. Mais comm ent s’y prendre pour des fonctions polynômes d’un degré supérieur à 2 ou pour des fonctio ns dont l’expression est plus élaborée ?

Pour assurer la sécurité des enfants, ce toboggan ne peut présente r ni bosse ni creux anguleux. La courbe, vue de profil, peut être modélis ée par deux courbes qui, à l’endroit où elles se raccordent, ont même tangente ou par une courbe polynomiale à tangente horizontale au départ et à l’arrivée

La notion de dérivée qui sera découverte dans ce chapitre perme t d’étudier la croissance ou la décroissance de nombreuses fonctions. L’idée sous-jacente étant de remplacer l’étude de la croissance entre deux points du graphique par celle de la pente d’une droite qui passe par ces points, de choisir ensuite des points de plus en plus proches pour en arriver à étudier la « croissance en un seul point » ! On calcule donc la pente de la tangente à la courbe en ce point. Cette intuition servira de fil conducteur pour mettre en place la définition de la dérivée. Le calcul des extrema en est directement déduit. Après des prémices au siècle précédent, la notion de nombr e dérivé a vraiment vu le jour au e xvii siècle dans les écrits de l’Anglais newTon et de l’Allemand leibniz.

Newton aborde la dérivée dans l’étude du mouvement des corps, tandis que Leibniz cherche à résoudre des problèmes de tangentes par les « infiniment petits ». Newton désigne ce que nous appelons la dérivée par le mot « fluxion » qu’il définit comm e « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». Grâce à ces découvertes, l’analyse a progressé à grands pas en dépit du fait que, comme dans les périodes précédentes, l’imagination avait pris le pas sur la rigueu r. De mémorables controverses eurent lieu à l’époque à propos des « infiniment petits » , ces quantités que l’on pouvait considérer comme nulles ou non nulles selon les opportunités. La relative absence de rigueur de cette période peut être expliqu ée par le fait que, même si les nombres irrationnels étaient connus, les nombres réels n’étaie nt pas constitués en un système logiquement cohérent. De même pour les notions de fonction et de continuité.

Pour calculer la vitesse instantanée d’un mobile, on observe l’espace parcouru sur des intervalles de temps de plus en plus petits…

En 1797, dans son livre Théorie des fonctions analytiques, lAgrAng e introduit le mot « dérivée » et la notation f ′(x) qu’il définit comme limite du taux de variation. Le xixe siècle, tout en produisant des résultats, a été celui où l’analy se a résolu ses problèmes de fondement. Les domaines d’application de la dérivée sont nombreux. On peut citer, entre autres, les sciences (étude des mouvements en physique, de la vitesse de réaction en chimie…), l’économie (tendance des marchés et variation des coûts…), le monde technique (conce ption de ponts, raccordement de courbes…).

n o i t a r o l p ex 1. Variation et taux de variation À la suite d’une pollution de l’eau de distribution, de nombreux habitants d’une petite ville ont souffert de troubles digestifs. Des relevés quotidiens ont permis de modéliser l’évolution du nombre de malades par la fonction N( t) = 24t2 − t3 + 50 où N( t) représente le nombre de personnes malades t jours après le début de l’observation. N(t) 2 200 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

24 t (en jours)

fig. 1

a. Pour calculer la variation du nombre de personnes souffrantes et le taux moyen de variation sur chaque période d’observation, tableau suivant. compléter le Durée de l’observation jusqu’au 3e jour entre le 3e et 6e jour entre le 6e et le 9e jour entre le 9e et le 12e jour 194

7. Dérivées et applications

Variation du nombre total de personnes malades N(3) − N(0) = 239 − 50 = 189

Taux moyen de variation N(3) − N(0) 189 = = 63 3 3

On constate que, pour une même durée d’observation, les taux moyens de variation ne sont pas constants. b. Quelle différence y a-t-il entre variation du nombre de malades et taux moyen de variation du nombre de malades ? c. Quelle est la variation du nombre de malades pendant les douze premiers jours de l’observation ? d. Calculer le taux moyen de variation du nombre de malades sur ces douze premiers jours. e. Calculer le taux moyen de variation du nombre de malades entre le douzième et le dix-huitième jour de l’observation. f. Comment peut-on représenter un taux moyen de variation sur le graphique (fig. 1) ?

2. De la sécante à la tangente Dans les graphiques ci-dessous (fig. 2 et 3), les taux de variation sur l’intervalle [a , b] sont identiques. Cependant, ces deux graphiques présentent des différences. Comment peut-on traduire ces différences ? y

y B

fig. 2

x fig. 3

Pour se faire une idée de la variation d’une fonction selon les différents endroits de la courbe, on peut imaginer une main tendue qui suit le graphique dessiné sur le tableau. Elle s’incline au fur et à mesure de sa « promenade » le long de la courbe. La main figure une droite tangente à la courbe qui se déplace le long de cette courbe (en annexe, illustration en Geogebra).

Exploration

195

a. Sur les fig. 4 et 5, un logiciel graphique a ajouté quelques tangentes en certains points des courbes. y

y B

fig. 4

fig. 5

Observer ces graphiques. Quel lien peut-on établir entre la pente des tangentes et le sens de variation des fonctions ?

b. Il est difficile de déterminer la pente d’une droite dont on ne connaît qu’un seul point. On imagine donc que le point B (fig. 6) s’approche du point A jusqu’à se confondre avec lui et on observe le mouvement correspondant de la sécante AB. Que devient la pente de la sécante lorsque B se rapproche de A ?

f (a + h)

f (a)

c. On connaît l’expression de la pente de la sécante AB. Quelle est l’expression de la pente de la tangente en A ?

a+h

fig. 6

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 5A, 6 et 7

3. De la tangente à la fonction dérivée Soit f ( x) = −2 x2 + 3 x . a. Calculer la pente de la tangente au point (1 ; 1) du graphique de f. b. Le point ( a ; f ( a)) est un point quelconque du graphique de f. Déterminer l’expression de la pente de la tangente en ce point. c. Utiliser le résultat obtenu pour calculer la pente de la tangente aux points d’abscisse a = 2 , a = −1 , a = 0, 75 . d. Écrire l’expression de la fonction qui donne, en fonction de l’abscisse x, la pente de la tangente en n’importe quel point du graphique de f ( x) = −2 x2 + 3 x . 196

7. Dérivées et applications

4. Vitesse instantanée Un oscillateur est constitué d’une masse accrochée à un ressort. Si on tire la masse vers le bas et qu’on la relâche, elle va se mettre à osciller autour de sa position d’équilibre ou position au repos. On peut graduer la droite verticale le long de laquelle la masse oscille. On convient de placer l’origine de la graduation à la position d’équilibre et d’orienter la droite du bas vers le haut. La graduation correspondant à la position de la masse à un instant t est l’élongation E(t) de l’oscillateur. Celle-ci varie et on peut généralement l’exprimer en fonction du temps par une fonction sinusoïdale. Le mouvement d’un oscillateur est exprimé par la fonction

E( t) = sin 1, 21 t (t en secondes, E(t) en cm) a. Calculer la vitesse moyenne de l’oscillateur entre les instants t = 0, 52 et t = 0, 96 , ainsi qu’entre les instants t = 1,11 et t = 1, 27 . b. Écrire une formule pour calculer la vitesse moyenne entre deux instants t1 et t2. c. Utiliser cette formule pour calculer la vitesse moyenne entre les instants t = 1, 33 et t = 2, 03 . Comment interpréter le signe de la réponse ? d. Que constaterait-on, si on calculait successivement la vitesse moyenne entre les instants : • t = 1 et t = 1,1 ; • t = 1 et t = 1, 01 ; • t = 1 et t = 1, 001, puis entre les instants t = 1 et t = 1 + h , en considérant des durées h de plus en plus proches de 0 ? e. Peut-on exprimer par une limite la vitesse instantanée à l’instant t = 1 ? f. Peut-on généraliser ce résultat pour exprimer la vitesse instantanée de l’oscillateur à un instant t quelconque ? g. Comment peut-on traduire géométriquement ce résultat sur le graphique de la fonction E( t) ?

Exploration

197

5. L’accélération d’une voiture Le graphique (fig. 7) exprime, en fonction du temps t (en secondes), la vitesse v( t) (en m/s) d’une voiture qui accélère. v(t) 30

16 t

fig. 7

a. La variation de vitesse par unité de temps correspond à l’accélération de cette voiture. Comment peut-on estimer graphiquement l’accélération moyenne de la voiture entre les instants t = 1 et t = 16 ? Entre les instants t = 1 et t = 3 ? b. Sur le graphique, comment pourrait-on traduire géométriquement l’accélération instantanée au temps t = 1 ? c. Comment pourrait-on l’exprimer par une limite ? d. Généraliser les résultats des questions b et c pour un temps t quelconque.

6. Dérivée de fonctions usuelles

Synthèse 4 Exercice 8

a. Observer les graphiques suivants (fig. 8 et 9) et écrire l’expression de leur fonction dérivée. y

f (x) = x

1 f (x) = 2

1 0

fig. 8

198

7. Dérivées et applications

fig. 9

b. Utiliser la définition du nombre dérivé pour établir la formule analytique des dérivées des fonctions suivantes : f1 ( x) = x2 , f2 ( x) = x3 , f3 ( x) = 5 x2 , f4 ( x) =

1 , x

f5 ( x) = sin x , f6 ( x) = cos x Indication Pour les deux dernières fonctions, factoriser le numérateur en utilisant la formule de Simpson. c. Vérifier que le résultat observé en a peut être obtenu par la démarche utilisée en b.

Synthèses 5 et 6 Exercices 5B, *12

7. Dérivée et opérations sur les fonctions a. Soient les fonctions f ( x) = x2 et g( x) = 3 x . Calculer ( f + g )′ ( x) et comparer le résultat avec f ′( x) + g ′( x) . Conjecturer une règle concernant la dérivée de la somme des deux fonctions. Vérifier celle-ci en appliquant la définition de la dérivée à la fonction f + g . b. Soient les fonctions f ( x) = x2 + 2 x + 1 et g( x) =

1 . x

Calculer ( f ⋅ g ) ( x) et ( f ⋅ g )′ ( x) . Comparer le résultat avec l’expression f ′( x) ⋅ g ′( x) . Que peut-on en conclure ? Trouver une formule pour la dérivée d’un produit en appliquant la définition de la dérivée à la fonction f ⋅ g . c. 1) Transformer f ( x) = sin 2 x à partir d’une formule trigonométrique et calculer la dérivée du produit obtenu. 2) Décomposer f ( x) = sin 2 x sous la forme f ( x) = h ( g( x)) . 3) Se baser sur le résultat obtenu en 2 et sur les exemples A et B de l’exploration 4 (« Des fonctions en chaîne ») du chapitre 1 pour conjecturer parmi les formules suivantes celle(s) qui pourrait (pourraient) donner la dérivée de la composée « g après f » : ( g  f )′ ( x) = g ′( x) ⋅ f ′( x) ( g  f )′ ( x) = ( g ′  f ′ ) ( x) ( g  f )′ ( x) = g ′ ( f ( x)) ⋅ f ′( x) ( g  f )′ ( x) = ( g ′  f ) ( x) + ( g  f ′ ) ( x)

Synthèses 7 et 8 Exercices 13 à 16

Exploration

199

8. Quelques fonctions non dérivables… y

a. On donne le graphique (fig. 10) de la fonction f ( x) = x2 − 1 . Au point d’abscisse x = −1, il est possible de tracer deux « tangentes ». Le point (– 1 ; 0) est appelé point anguleux.

Quelles sont les pentes de ces « tangentes » ? b. Observer le graphique (fig. 11) de la fonction f ( x) =

1 x

fig. 10

x+2.

Le point (– 2 ; 0) est un point à tangente verticale. Quelle est la pente de la tangente au point d’abscisse x = −2 ? y

1 0

Synthèse 9

x fig. 11

9. Vers le théorème de Lagrange a. Le graphique de la fig. 12 indique en m/s la vitesse instantanée d’un train à grande vitesse. Déterminer l’accélération moyenne entre les instants t = 200 et t = 800 . Y a-t-il un instant où l’accélération instantanée est égale à cette accélération moyenne ? En sera-t-il toujours ainsi dans des situations analogues ? 100

v(t)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

fig. 12

200

7. Dérivées et applications

b. Déterminer le taux de variation de la fonction f (fig. 13) entre les valeurs a et b. Existe-t-il un ou plusieurs réels en lesquels la dérivée est égale à ce taux de variation ? y

f f(b)

f(a) 1 a 1

b x

fig. 13

c. En est-il de même pour les fonctions g et h (fig. 14 et fig. 15) ? y

h h(b) g

h(a) 1

g(a)=g(b)

a 1

fig. 15

fig. 14

d. Proposer un énoncé de théorème correspondant à la propriété découverte ci-dessus. e. Donner un énoncé simplifié correspondant aux cas particuliers suivants (fig. 16 et fig. 17). y

g f g(a)=g(b)

f(a)=f(b)

1 1 0

a 1

b x

fig. 16

Synthèse 10

fig. 17

Exploration

201

10. Dérivée et croissance On donne, dans un même repère, les graphiques (fig. 18) de la x3 fonction f ( x) = − 2 x2 + 3 x + 1 et de sa dérivée f ′( x) = x2 − 4 x + 3 . 3

f′

a. Vérifier que f ′( x) est bien l’expression de la dérivée de la fonction f. b. Quelle correspondance peut-on établir entre la croissance de la fonction f et le signe de f ′ ?

c. Comment prévoir les extrema d’une fonction f à partir de l’expression analytique de sa dérivée ?

f fig. 18

Synthèses 11, 12 et 15 Exercices 9, 17

11. Et si l’on poursuivait… a. Une courbe (fig. 19) peut tourner sa concavité vers le haut ou vers le bas.

Préciser la position des tangentes par rapport à la courbe :

vers le bas

1) lorsque la concavité est tournée vers le bas ; 2) lorsque la concavité est tournée vers le haut. b. On appelle fonction dérivée seconde de f, et on note f ′′ , la fonction dérivée de f ′ . La fig. 20 montre, dans un même repère, les graphiques de x3 f ( x) = − 2 x2 + 3 x + 1 et de f ′′( x) = 2 x − 4 . 3

1) Vérifier que f ′′( x) est bien l’expression de la dérivée seconde de la fonction f. 2) Quelle correspondance peut-on établir entre le sens de la concavité de la courbe y = f ( x) et une caractéristique de f ′′ ?

202

7. Dérivées et applications

vers le haut

x fig. 19

3) Quelle est la particularité du point d’abscisse 2 ? y f″

1 0

Synthèses 13 et 15 Exercices 10, 11, 18 à 22, 24 à 45

f fig. 20

12. Vers la règle de L’Hospital On donne le graphique des fonctions f et g (fig. 21) et de leurs tangentes en (3 ; 0). Observer le graphique de chaque fonction et celui de sa tangente pour des valeurs de x de plus en plus proches de 3. Conjecturer un lien entre la valeur de lim x→3

f ( x) g( x)

et les pentes de ces deux tangentes. y f

4 3 2 1

g 0

6 x

Synthèse 14 Exercice 23

fig. 21

Exploration

203

e s è h t n sy 1. Comment calculer la variation et le taux de variation d’une fonction entre deux points ? Lorsque x varie de a à b, la différence b - a , notée D x ou h, est appelée variation de la variable x entre a et b.

y f (b)

On considère la fonction y = f ( x) . La variation correspondante de la variable y est la différence ∆y

∆y = f ( b) − f ( a) (fig. 22). Puisque x varie ainsi de a à a + h (fig. 23), on peut aussi noter ∆y = f ( a + h) − f ( a) . Le taux (moyen) de variation sur l’intervalle [ a ; a + h] est le quotient ∆y f ( a + h) − f ( a) = . ∆x h

∆x 0

f (a)

fig. 22 y

f (a)

∆x=h

Graphiquement, le taux moyen de variation est la pente de la droite passant par les points A ( a ; f ( a)) et B ( a + h ; f ( a + h)) qu’on appelle sécante.

∆y

a+h x

f (a + h)

fig. 23

2. Comment définir le nombre dérivé d’une fonction en un réel ? Le taux instantané (ou taux ponctuel) de variation d’une fonction en un réel a est f ( a + h) − f ( a) lim . h→ 0 h Si cette limite existe et n’est pas infinie, le nombre réel auquel elle est égale est appelé nombre dérivé de f en a. On dit alors que la fonction f est dérivable en a. Graphiquement, le nombre dérivé de f en a est la pente de la tangente (non verticale) au graphique de f en son point d’abscisse a. Lorsque B s’approche de A (fig. 24), la sécante BA pivote autour du point A et tend vers la tangente en ( a ; f ( a)) . 204

7. Dérivées et applications

f (a+h) f (a)

a+h x

fig. 24

Définition 7.1 – Fonction dérivable Soit f une fonction de R dans R et a ∈ dom f . On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim

h→ 0

f ( a + h) − f ( a) existe dans R. h

Définition 7.2 – Nombre dérivé Soit a ∈ dom f tel que f soit dérivable en a. f ( a + h) − f ( a) est appelée nombre dérivé de f en a et notée f ′( a) . La limite lim h→ 0 h Remarque Au vu de la définition, il est clair qu’une fonction n’est pas dérivable en un réel isolé1 de son domaine.

3. Comment écrire l’équation d’une tangente ? Comment la tracer ? La tangente au graphique de f au point ( a ; f ( a)) est une droite passant par ce point et dont la pente est f ′( a) . Son équation est y T ≡ y − f ( a) = f ′( a) ⋅ ( x − a) . a

Exemple Écrire l’équation de la tangente à la courbe y = x3 − 2 x + 1 en son point d’abscisse a = 1, 5 .

+ 4,75

f (1, 5) = 1, 375 f ′( x) = 3 x2 − 2, donc f ′(1, 5) = 4, 75 L’équation de la tangente est T1,5 ≡ y − 1, 375 = 4, 75 ( x − 1, 5) ≡ y = 4, 75 x − 5, 75

1 0

La fig. 25 illustre le tracé de la tangente, connaissant un point et sa pente.

x fig. 25

4. Comment définir la fonction dérivée d’une fonction f ? Définition 7.3 – Domaine de dérivabilité Soit f une fonction de R dans R. On appelle domaine de dérivabilité de f l’ensemble des réels en lesquels f est dérivable. Le domaine de dérivabilité de f, noté domd f, est égal au domaine de définition de f ou inclus dans celui-ci. 1 Un réel x est un élément isolé d’un ensemble de réels E si et seulement s’il n’adhère pas à E \ {x}.

Synthèse

205

Définition 7.4 – Fonction dérivée Soit f une fonction de R dans R. On appelle fonction dérivée de f, la fonction f ′ . – dont le domaine de définition est le domaine de dérivabilité de f, – qui à chaque élément x de cet ensemble fait correspondre le nombre dérivé de f en x. Cette fonction f ′ est souvent simplement appelée dérivée de f. Le domaine de dérivabilité de f est égal au domaine de définition de f ′ : dom d f = dom f ′ . Exemple Soit la fonction f ( x) = 2 x2 − 3 x ; dom f = R. Taux de variation de f entre x et x + h :

(

2 f ( x + h) − f ( x) 2 ( x + h) − 3 ( x + h) − 2 x − 3 x = h h 2

)

2 x2 + 4 xh + 2h2 −3 x − 3h −2 x2 + 3 x h h (4 x + 2h − 3) = = 4 x + 2h − 3 h

Fonction dérivée : f ′( x) = lim (4 x + 2h − 3) = 4 x − 3 ; dom f ′ = R. h→ 0

(

)

′ En pratique, on notera souvent 2 x2 − 3 x = 4 x − 3 .

5. Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles ? Fonction f ( x)

Fonction f ′( x)

k (constante)

k′ = 0

x′ = 1

k⋅ x

( k ⋅ x)′ = k

( x2 ) ′ = 2 x

( xn )′ = n ⋅ xn−1

1 x

 1  ′ −1   = 2 x x

206

( x )′ = 2 1x

sin x

(sin x)′

= cos x

cos x

(cos x)′

= − sin x

tan x

(tan x)′

7. Dérivées et applications

1 cos2 x

Pour établir ces formules, on utilise la définition du nombre dérivé. Exemple Calculer la dérivée de f ( x) = x2 ( x ∈ R ) . Taux de variation entre x et x + h :

( x + h)2 − x2 h

( x + h)

Fonction dérivée :

f ′( x) = lim

h→ 0

− x2

2x h + h 2 = 2x + h h

= lim (2 x + h) = 2 x . h→ 0

( )

On note alors f ′( x) = x2 ′ = 2 x . Les autres formules seront démontrées à titre d’exercice (ex. 5B).

6. Quel lien y a-t-il entre dérivabilité et continuité ? Théorème 7.1 – Dérivabilité et continuité Soit f une fonction de R dans R et un réel a appartenant à dom f. Si la fonction f est dérivable en a, alors la fonction f est continue en a. Démonstration

lim f ( x) = lim ( f ( x) − f ( a) + f ( a)) x→ a

x→ a

= lim ( f ( x) − f ( a)) + lim f ( a) x→ a

x→ a

 f ( x) − f ( a)  = lim  x − a) + f ( a) (  x→ a  x− a f ( x) − f ( a) ⋅ lim ( x − a) + f ( a) = lim x→ a x→ a x− a = f ′( a) ⋅ 0 + f ( a)

= f ( a)

Les égalités ci-dessus sont notamment justifiées par les théorèmes sur la limite d’une somme et la limite d’un produit, par la définition du nombre dérivé et par le fait que f soit dérivable en a.

fig. 26

Le théorème ci-dessus exprime qu’une fonction ne peut être dérivable en un réel si elle n’est pas continue en ce réel. Mais le contraire n’est cependant pas vrai. La fig. 26 donne le graphique de la fonction valeur absolue f ( x) = x . Cette fonction est continue en 0, mais n’est pas dérivable en 0 car lim− f ( x) = −1 et lim+ f ( x) = 1. x→ 0

x→ 0

Synthèse

207

7. Comment dériver la somme, le produit, le quotient de fonctions ? Somme de deux fonctions Théorème 7.2 – Dérivée d’une somme Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit un réel x appartenant à dom f ∩ dom g et non isolé dans cet ensemble. Si les fonctions f et g sont dérivables en x, alors la fonction f + g est dérivable en x, et

( f + g )′ ( x) = f ′( x) + g ′( x) . Démonstration Le taux de variation de f + g entre x et x + h (où h est un réel non nul tel que x + h ∈ dom f ∩ dom g ) est donné par ( f + g )( x + h) − ( f + g )( x) [ f ( x + h) + g( x + h)] − [ f ( x) + g( x)] = h h f ( x + h) − f ( x) + g( x + h) − g( x) = h f ( x + h) − f ( x) g( x + h) − g( x) = + h h D’où la dérivée de f + g :

( f + g )′ ( x) = lim h→ 0

( f + g ) ( x + h) − ( f + g ) ( x)

h f ( x + h) − f ( x) g( x + h) − g( x) = lim + lim h→ 0 h→ 0 h h = f ′( x) + g ′( x)

Les égalités ci-dessus sont justifiées par la définition de la dérivée et par le théorème de la limite d’une somme. Les hypothèses du théorème 7.2 garantissent que les hypothèses du théorème de la limite d’une somme sont remplies. Produit de deux fonctions Théorème 7.3 – Dérivée d’un produit Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit un réel x appartenant à dom f ∩ dom g et non isolé dans cet ensemble. Si les fonctions f et g sont dérivables en x, alors la fonction f ⋅ g est dérivable en x et

( f ⋅ g )′ ( x) = f ′( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) .

208

7. Dérivées et applications

Démonstration Le taux de variation de f ⋅ g entre x et x + h (où h est un réel non nul tel que x + h ∈ dom f ∩ dom g ) est donné par les égalités suivantes (un artifice de calcul permet de faire apparaître les taux de variation de f et g) :

( f ⋅ g ) ( x + h) − ( f ⋅ g ) ( x) = [ f ( x + h) ⋅ g( x + h)] − [ f ( x) ⋅ g( x)] h

h f ( x + h) ⋅ g( x + h) − f ( x) ⋅ g( x + h) + f ( x) ⋅ g( x + h) − f ( x) ⋅ g( x) = h f ( x + h) − f ( x)) ⋅ g( x + h) f ( x) ( g( x + h) − g( x)) ( + = h h f ( x + h) − f ( x) g( x + h) − g( x) = ⋅ g( x + h) + f ( x) ⋅ h h

D’où la dérivée de f ⋅ g :

( f ⋅ g )′ ( x) = lim h→ 0

( f ⋅ g ) ( x + h) − ( f ⋅ g ) ( x)

h g( x + h) − g( x)   f ( x + h) − f ( x)   = lim  ⋅ g( x + h) + lim  f ( x) ⋅   h→ 0  h→ 0  h h = f ′( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)

Les égalités ci-dessus sont justifiées par la définition de la dérivée, les théorèmes de la limite d’un produit et d’une somme, ainsi que par le fait que toute fonction dérivable en un réel est continue en ce réel (cela permet d’affirmer que lim g( x + h) = g( x) ). Les hypoh→ 0

thèses du théorème 7.3 garantissent que les hypothèses des théorèmes utilisés dans sa démonstration sont remplies. Remarque En particulier, on peut également affirmer que, pour toute constante réelle k,

( k ⋅ f )′ ( x) = k ⋅ f ′( x) Il suffit, pour établir cela, de considérer que multiplier la fonction f par un réel k revient à multiplier cette fonction par une fonction constante et d’appliquer le théorème 7.3. Quotient de deux fonctions Théorème 7.4 – Dérivée d’un quotient Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit un réel x appartenant à dom f ∩ dom g, non isolé dans cet ensemble et tel que g( x) ≠ 0 . Si les fonctions f et g sont dérivables en x, alors la fonction

f est dérivable en x et g

 f ′ f ′( x) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) .  g  ( x) = g 2 ( x)

Synthèse

209

Démonstration f entre x et x + h (où h est un réel non nul tel que g ( x + h) ∈ dom f ∩ dom g et g( x + h) ≠ 0 ) est donné par les égalités suivantes (un artifice de calcul permet de faire apparaître les taux de variation de f et g) :

Le taux de variation de

f f f ( x + h) f ( x) − ( x + h) − ( x) g g g( x + h) g( x) = h h

D’où la dérivée de

f : g

f ( x + h) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g( x + h) h ⋅ g( x) ⋅ g( x + h)

f ( x + h) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g( x + h) h ⋅ g( x) ⋅ g( x + h)

f ( x + h) − f ( x) g( x + h) − g( x) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ h h . = g( x) ⋅ g( x + h)

f f x + h) − ( x) ( ′ f g g  g  ( x) = lim h→ 0 h g( x + h) − g( x)   f ( x + h) − f ( x) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ lim   h→ 0  h h = lim ( g( x) ⋅ g( x + h)) h→ 0

g( x + h) − g( x) f ( x + h) − f ( x) ⋅ lim g( x) − lim f ( x) ⋅ lim lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h = h→ 0 g( x) ⋅ lim g( x + h) h→ 0

f ′( x) ⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) g 2 ( x)

Les égalités ci-dessus sont justifiées par la définition de la dérivée, par les théorèmes de la limite d’un quotient, d’un produit et d’une somme, ainsi que par le fait que toute fonction dérivable en un réel est continue en ce réel : cela permet d’affirmer que lim g ( x + h) = g ( x) . h→ 0

Les hypothèses du théorème 7.4 garantissent que les hypothèses des théorèmes utilisés dans la démonstration sont remplies. Remarque En particulier,  1′ − g ′( x)  g  ( x) = g 2 ( x) .

210

7. Dérivées et applications

On utilise communément les formules de dérivées données dans la deuxième colonne du tableau suivant. Il faut néanmoins remarquer que, telles qu’écrites ci-dessous, elles ne sont formellement valables que si les domaines de définition des membres de gauche et de droite sont identiques. En cas de doute, on se réfèrera aux théorèmes 7.2 à 7.4. Les formules ci-dessous sont aussi un moyen mnémotechnique pour mémoriser les formules, conceptuellement différentes, intervenant dans les énoncés de ces théorèmes. Fonction

Dérivée

Exemple

f+g

( f + g )′ = f ′ + g ′

( x2 + 4 x)′ = 2 x + 4

f ⋅g

( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′

(3x ⋅ cos x)′

f g

 f  ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g′  g  = g2

2  5 x − 1 ′ 5 ⋅ x − (5 x − 1) ⋅ 2 x 2 − 5 x =  2  = x x4 x3

( k ⋅ f )′ = k ⋅ f ′

(3 ⋅ x2 ) ′ = 3 ⋅ 2 x = 6 x

k⋅ f

= 3 ⋅ cos x + 3 x ⋅ ( − sin x)

8. Comment dériver les fonctions composées ? Théorème 7.5 – Dérivée de la composée de fonctions Soient f et g deux fonctions de R dans R. Soit un réel x appartenant à dom ( g  f ) et non isolé dans cet ensemble. Si la fonction f est dérivable en x, et si g est dérivable en f ( x) , alors la fonction g  f est dérivable en x et ( g  f )′ ( x) = g ′ ( f ( x)) ⋅ f ′( x) . Ce théorème est admis sans démonstration. Exemples

(

)

a. Calculer la dérivée de f ( x) = sin x2 + 1 . « carré + 1 » x

« sinus » x2 + 1

sin (x2 + 1)

Le nombre dérivé en un réel x de la fonction f ( x) = sin( x2 + 1) est le produit : – du nombre dérivé de la fonction sinus en g( x) et – du nombre dérivé de g( x) = x2 + 1 en ce réel x.

(sin ( x

)

(

)

+ 1) ′ = sin ′( x2 + 1) ⋅ x2 + 1 ′ = cos( x2 + 1) ⋅ (2 x) = 2 x ⋅ cos( x2 + 1)

Synthèse

211

(

b. Calculer la dérivée de f ( x) = 3 x2 − 7 x

)

« polynôme » g

« cube » h

3x2 – 7x

(3x2 – 7x)3

3 ′ f ′( x) =  3 x2 − 7 x   

(

( = 3 (3 x

)

) ( ) − 7 x ) ⋅ (6 x − 7 )

2 = 3 3 x2 − 7 x ⋅ 3 x2 − 7 x ′ 2

9. En quels points une fonction peut-elle être non dérivable ? Une fonction continue dont le graphique admet une tangente verticale ou deux « tangentes » (deux demi-tangentes) n’est pas dérivable aux points de contact avec ces « tangentes ». Les abscisses de ces points sont des réels appartenant au domaine de continuité de la fonction, mais pas à son domaine de dérivabilité. La fig. 27 montre une fonction qui n’est dérivable ni en A, ni en B, ni en C. Le point A de la fig. 27 est ce qu’on appelle un point du graphique à tangente verticale. Le point B est un point de rebroussement. Le point C est un point anguleux. y

1 0

1 B C

fig. 27

Définition 7.5 – Tangente verticale Soit f une fonction de R dans R et soit un réel a en lequel f est continue. On dit que f admet une tangente verticale en ( a ; f ( a)) si et seulement si lim

h→ 0

212

7. Dérivées et applications

f ( a + h) − f ( a) existe et est infinie. h

Remarque La droite d’équation x = a est alors une tangente verticale au graphique de f. Définition 7.6 – Point de rebroussement Soit f une fonction continue de R dans R et soit un réel a en lequel f est continue. On dit que f admet un point de rebroussement en ( a ; f ( a)) si et seulement si lim−

h→ 0

f ( a + h) − f ( a) f ( a + h) − f ( a) et lim+ existent, sont distinctes et toutes deux infinies. h→ 0 h h

Définition 7.7 – Point anguleux Soit f une fonction continue de R dans R et soit un réel a en lequel f est continue. On dit que f admet un point anguleux en ( a ; f ( a)) si et seulement si lim

h→ 0 −

f ( a + h) − f ( a) f ( a + h) − f ( a) et lim+ existent dans R, h→ 0 h h sont distinctes et non toutes deux infinies.

10. Peut-on trouver une tangente parallèle à une sécante donnée ? Théorème 7.6 – Théorème de Lagrange Si une fonction f de R dans R est continue sur [ a ; b] et dérivable sur ] a ; b[ alors ∃ c ∈ ] a ; b[ : f ′( c) =

f ( b) − f ( a) b− a

Ce théorème est admis sans démonstration. y f

fig. 28

Interprétation graphique

Sous les hypothèses données, il existe au moins un réel c de ] a ; b[ tel que la tangente au graphique de f au point ( c ; f ( c)) soit parallèle à la droite comprenant les points ( a ; f ( a)) et ( b ; f ( b)) .

Synthèse

213

Théorème 7.7 – Théorème de Rolle Soit une fonction f de R dans R continue sur [ a ; b] et dérivable sur ] a ; b[ .

Si f ( a) = f ( b) alors ∃ c ∈ ] a ; b[ : f ′( c) = 0 .

Ce théorème est un cas particulier du théorème de Lagrange. y

fig. 29

Interprétation graphique

Sous les hypothèses données, il existe au moins un réel c de ] a ; b[ tel que la tangente au graphique de f au point ( c ; f ( c)) soit parallèle à l’axe Ox.

11. Qu’est-ce qu’un maximum ou un minimum local d’une fonction ? Une fonction admet un maximum local en un élément a de son domaine de définition lorsque l’image de cet élément est supérieure aux images des réels proches de a. De manière analogue, elle admet un minimum local en cet élément a de son domaine de définition lorsque l’image de cet élément est inférieure aux images des réels proches de a.

Dans la fig. 30, M est un maximum local en c et m est un minimum local en d.

Le maximum ou le minimum absolu d’une fonction, s’il existe, est respectivement la plus grande ou la plus petite valeur de toutes les images des éléments du domaine de définition de cette fonction.

Remarque Les termes extremum local (ou absolu) désignent un maximum ou un minimum local (ou absolu).

fig. 30

Définition 7.8 – Maximum local Soient f une fonction de R dans R et a ∈ dom f . Le réel f(a) est un maximum local de f en a si et seulement si il existe un intervalle ouvert I comprenant a tel que ∀x ∈ I ∩ dom f : f ( x) ≤ f ( a)

214

7. Dérivées et applications

Définition 7.9 – Minimum local Soit f une fonction de R dans R et a ∈ dom f . Le réel f ( a) est un minimum local de f en a si et seulement si il existe un intervalle ouvert I comprenant a tel que ∀x ∈ I ∩ dom f : f ( x) ≥ f ( a)

12. Quel est le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée ? L’étude du signe de la dérivée d’une fonction f de R dans R permet souvent de connaître le sens de variation de cette fonction.

( )

a. Si f ′( x) > 0 sur un intervalle inclus dans dom f ′ , alors f est strictement croissante  sur cet intervalle.

( )

b. Si f ′( x) < 0 sur un intervalle inclus dans dom f ′ , alors f est strictement décroissante  sur cet intervalle. c. Si f ′ s’annule en a et change de signe en a, la fonction présente un maximum ou un minimum local en a. x

Signe de f ′

−

Signe de f ′

−

Variations de f

min

Variations de f

Max

Théorème 7.8 – Lien entre signe de la dérivée et croissance Soit f une fonction de R dans R dérivable sur un intervalle (ou une demi-droite) I. Si ∀x ∈ I : f ′( x) > 0 alors f est strictement croissante sur I. Démonstration Soient x1 , x2 ∈ I tels que x1 < x2 .

Comme x1 , x2 ∈ I , on a [ x1 , x2 ] ⊂ I . Dès lors, puisque f est dérivable sur I, f est dérivable sur ] x1 , x2 [ et est continue sur [ x1 , x2 ] (théorème 7.1). Donc, par le théorème de Lagrange, ∃ c ∈ ] x1 ; x2 [ : f ′( c) =

f ( x2 ) − f ( x1 ) . x2 − x1

Par hypothèse, ∀x ∈ I : f ′( x) > 0 . Or c ∈ ] x1 ; x2 [ ⊂ I , donc f ′( c) > 0 . Ce qui implique

f ( x2 ) − f ( x1 ) >0. x2 − x1

Comme x1 < x2 et donc que x2 − x1 > 0 , on en déduit f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 , c’est-à-dire f ( x1 ) < f ( x2 ) .

Synthèse

215

Ce qui précède montre que ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Ce qui signifie que f est strictement croissante sur ] a ; b[ (définition 1.7). Les énoncés des théorèmes correspondant aux items b et c sont l’objet de l’exercice 8.

13. Qu’est-ce que la concavité d’une fonction ? Comment la déterminer ? Définition 7.10 – Concavité tournée vers le haut Soit f une fonction de R dans R dérivable sur un intervalle I ⊂ dom f . La fonction f tourne sa concavité vers le haut

sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.

Définition 7.11 – Concavité tournée vers le bas Soit f une fonction de R dans R dérivable sur un intervalle I ⊂ dom f . La fonction f tourne sa concavité vers le bas

sur I si et seulement si f ′ est décroissante sur I.

Définition 7.12 – Point d’inflexion f ( a + h) − f ( a) h→ 0 h existe dans R , est un point d’inflexion si en ce point la concavité change de sens.

Un point ( a ; f ( a)) du graphique d’une fonction f continue en a, tel que lim

Remarque Il existe d’autres définitions de la concavité, stipulant que la dérivée est strictement croissante (décroissante) ou ne faisant pas référence à la dérivée de la fonction considérée. La dérivée seconde d’une fonction f est la dérivée de sa dérivée f ′. La dérivée seconde de f est notée f ″. Son signe permet souvent de déterminer le sens de la concavité du graphique de f. a. Si f ′′ > 0 sur un intervalle inclus dans dom f ′′ , alors la concavité de f est tournée vers le haut sur cet intervalle (en vertu de la définition 7.10 et du théorème 7.8). b. Si f ′′ < 0 sur un intervalle inclus dans dom f ′′ , alors la concavité de f est tournée vers le bas sur cet intervalle (justification analogue à la précédente). c. Si f ′′ s’annule en a et change de signe en a, la fonction présente un point d’inflexion (PI) en a. x Signe de f ″

a −

Concavité

0 PI

x +

Signe de f ″ Concavité

a +

−

Remarque Le point A du graphique de la fig. 27 est un point d’inflexion à tangente verticale.

216

7. Dérivées et applications

14. Comment calculer une limite en utilisant les dérivées ? 0 » 0 dans le calcul de certaines limites. Elle porte le nom de règle de L’Hospital, bien qu’elle ait été découverte par le mathématicien suisse bernoulli (1667-1748).

a. La règle découverte dans l’exploration 12 permet de lever des indéterminations du type «

Théorème 7.9 – Règle de L’Hospital (1re forme) Soit un réel a appartenant à un intervalle ]m ; n[ .

Soient f et g deux fonctions de R dans R dérivables sur ]m ; n[ \ {a} .

Si • lim f ( x) = lim g( x) = 0 x→ a

x→ a

• ∀ x ∈ ]m ; n[ \ {a} : g ′( x) ≠ 0 • lim

x→ a

f ′( x) existe dans R g ′( x)

alors lim

x→ a

f ( x) f ′( x) = lim . g( x) x→ a g ′( x)

Exemple lim

x→ 0

− x + sin 2 x 2

x + x cos x

=«

0 » 0 ′

(− x + sin x) = lim −1 + 2 sin x cos x = −1 = −1 = lim ′ 2 x + cos x − x sin x 1 ( x + x cos x) 2

x→ 0

b. Une variante du théorème est utile pour calculer une limite dans le cas d’une indétermination ∞ du type « » . ∞ Théorème 7.10 – Règle de L’Hospital (2e forme) Soit un réel a appartenant à un intervalle ]m ; n[ .

Soient f et g deux fonctions de R dans R dérivables sur ]m ; n[ \ {a} .

Si • lim g( x) = − ∞ ou lim g( x) = + ∞ x→ a

x→ a

• ∀ x ∈ ]m ; n[ \ {a} : g ′( x) ≠ 0 • lim

x→ a

f ′( x) existe dans R , g ′( x)

alors lim

x→ a

f ( x) f ′( x) = lim g( x) x→ a g ′( x)

Synthèse

217

Exemple lim x→

π 2

−3 + tan 4 x 2

2 + tan x

=«

+∞ » +∞

= lim

(−3 + tan x) (2 + tan x)′

x→

π 2

4 tan3 x

′

= lim

x→

π 2

(

)

cos2 x = lim 2 tan 2 x = + ∞ π 2 tan x x→ cos2 x

Remarque Les hypothèses du théorème 7.10 n’exigent pas que lim f ( x) = ±∞ , mais, en pratique, on x→ a

ne l’utilisera généralement que dans ce cas. Le théorème est inutile dans une limite du k ( k ∈ R) qui est nulle. type ±∞ c. Il existe des variantes de la règle de L’Hospital, valables pour les limites à droite et à gauche, et pour des limites vers plus l’infini et vers moins l’infini. Exemples 1) lim+ x→ 0

x3 + 2 x 4

x + sin x

=«

0 » 0

= lim+ x→ 0

lim−

x→ 0

x3 + 2 x 4

x + sin x

=«

+ sin x

x→ 0

x3 + 2 x

)′

)

′

= lim+ x→ 0

3 x2 + 2 3

4 x + 2 sin x cos x

2 0+

= +∞

0 » 0

= lim−

d’où lim

+ 2x

+ 2x 2

)′

+ sin x

)

′

= lim− x→ 0

3 x2 + 2 3

4 x + 2 sin x cos x

2 0−

= −∞

n’existe pas. x + sin 2 x 1 1 − cos x =«0 » 2) lim 1 x→+ ∞ 0 sin x ′ −1 1 1  1 sin − cos 1 sin   2 x x x x = 0 =0 = lim = lim = lim ′ 1 1 x→+ ∞ −1  x →+ ∞ x→+ ∞ 1  1  cos cos   sin 2 x   x x  x x→ 0

218

7. Dérivées et applications

15. Quelles sont les situations que l’on modélise par un calcul de dérivée ? La notion de dérivée peut s’appliquer chaque fois qu’on découvre qu’une grandeur est le taux de variation instantané d’une autre. Voici quelques exemples… Fonction

Variable

f ( x)

Dérivée f ′( x) = lim

h→ 0

f ( x + h) − f ( x) h

distance parcourue

temps

vitesse instantanée

temps

accélération instantanée

volume

temps

débit

coût de production

quantité produite

coût marginal

concentration d’un réactif

temps

vitesse de réaction

longueur d’une barre métallique température

coefficient de dilatation

On utilisera la dérivée chaque fois qu’on doit résoudre un problème d’optimisation qui consiste à déterminer la valeur minimale ou la valeur maximale d’une grandeur qui dépend d’une grandeur variable. Voici quelques exemples : – coût minimal de production d’objets en fonction de la quantité produite ; – volume maximal d’une boîte en fonction d’une de ses dimensions, sous certaines contraintes ; – aire maximale d’un rectangle inscrit dans un demi-cercle de rayon donné ; – …

Synthèse

219

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Lecture sur le graphique Indiquer sur la suivantes :

fig. 31 ce que représentent les expressions

y = f (x)

h ; f ( a) ; f ( a + h) ; f ( a + h) − f ( a) ; f ( a + h) − f ( a) f ( a + h) − f ( a) ; lim h→ 0 h h

2. Variations a. Calculer Dy et

Dy Dx

– lorsque x varie de 2 à 1,6 dans la fonction f ( x) = x2 + 5 x − 8 ; – lorsque x varie de 1,2 à 2,7 dans la fonction f ( x) =

2x − 4 x2 + 1

a+h

x fig. 31

b. Comment interpréter graphiquement les résultats obtenus ?

3. Terminologie Parmi les expressions suivantes : nombre dérivé, dérivée, fonction dérivée, variation, vitesse moyenne, vitesse ponctuelle, rythme moyen, taux d’accroissement, pente de la sécante, pente de la tangente, débit instantané, coût moyen, valeur en un point de la fonction dérivée ; a. quelles sont celles qui sont équivalentes à « taux de variation instantané » ? b. quelles sont celles qui sont équivalentes à « taux de variation moyen » ?

4. Vrai ou faux On donne quelques tangentes au graphique d’une fonction (fig. 32). Observer les pentes des tangentes et indiquer la réponse correcte. a. f ′( − 0, 5) = 0, 45 ou f ′( − 0, 5) = − 0, 45 b. f ′(1, 5) = 1 ou f ′(1, 5) = 0 c. f ′(3) = 3 ou f ′(3) = −3

1 0

x fig. 32

220

7. Dérivées et applications

5. Utiliser la définition A. Utiliser la définition pour calculer, s’il existe, le nombre dérivé de f en a. a. f ( x) = 4 x − 3

a = −2

a=0

2 b. f ( x) = − 8 x + 1

a =1

a=3

a = −1

a=2

a=0

e. f ( x) = 2 x + 6

a=5

a = −3

f. f ( x) = sin (2 x + 3)

a=2

a=π

c. f ( x) =

x2 3x d. f ( x) = x −1

1 2

B. Démontrer les formules de dérivation des fonctions usuelles (synthèse 5, p. 206).

6. Exploiter un graphique Observer les graphiques (fig. 33 à 35) pour déterminer, s’ils existent, les nombres dérivés demandés. Écrire les équations des tangentes représentées. y

1 0

0 1

fig. 34 fig. 35

fig. 33

f ′( 0 ) =

f ′(1) =

f ′( 0 ) =

f ′( − 1) =

7. Tangente au graphique d’une fonction

f ′( 0 ) =

f ′(1) = y

On donne le graphique (fig. 36) de la fonction f et trois égalités relatives à cette fonction.

Utiliser les égalités pour tracer trois tangentes sur le graphique fig. 36. de la

9 f (1 + h) − f (1)  1 f ′( −2) = 0 ; f ′  −  = − ; lim =∞  2 4 h→ 0 h

fig. 36 Exercices

221

8. Associer fonction et dérivée On donne les graphiques de cinq fonctions (fig. 37 à 41) et le graphique de quatre fonctions dérivées (fig. 42 à 45). Associer chaque fonction à sa dérivée. y

π 2

f2 1 0

fig. 39

fig. 38 fig. 37 y

1 1

π 2

fig. 42

fig. 41 y

fig. 40

1 1

0 x

g3 π 2

1 0

fig. 44 fig. 43

9. Sens de variation et signe de f ′ Écrire les énoncés des théorèmes correspondant aux items b et c de la synthèse 12, p. 215. Les démontrer.

222

7. Dérivées et applications

fig. 45

10. Des mots, des graphiques ; le signe de f 9 et celui de f 0… On donne six graphiques (fig. 46 à 51), six expressions et six informations à propos des signes de f ′ et f ′′ . Associer graphique, expression et information correspondantes. f (x)

f (x)

f (a)

a 

x fig. 46

fig. 47

fig. 48

b f (x)

f (x)

f (a)

x d

fig. 49

fig. 50

fig. 51

Voici les six expressions E1 : f croît de plus en plus vite,

E4 : f admet un minimum en ( a , f ( a)) ,

E2 : f a un maximum en ( a , f ( a)) ,

E5 : f décroît de plus en plus vite,

E3 : f décroît de moins en moins vite,

E6 : f croît de moins en moins vite.

et les six informations… a. f ′ > 0 et f ′′ < 0

d. f ′ > 0 et f ′′ > 0

b. f ′( a) = 0 et f ′′( a) < 0

e. f ′ < 0 et f ′′ < 0

c. f ′ < 0 et f ′′ > 0

f. f ′( a) = 0 et f ′′( a) > 0

Exercices

223

11. Graphique et tableau de variations Pour chacune des fonctions f dont on donne le graphique (fig. 52 à 55), on demande de préciser : – le domaine de définition de la fonction, – les équations des éventuelles asymptotes, – les coordonnées des extrema, – le signe de la dérivée première f ′ , – les coordonnées des points critiques (points d’inflexion, points de rebroussement, points anguleux…), et de présenter les résultats dans un tableau de variation de la fonction. y

y 1 0

1 0

fig. 53

fig. 52 y

1 0

fig. 55 fig. 54

224

7. Dérivées et applications

Indication : lim± f ′( x) = ± ∞ x→1

12. *Une fonction discontinue presque partout Soit la fonction f définie par • f ( x) = x2 si x est un nombre rationnel ; • f ( x) = − x2 si x est un nombre irrationnel. Quel est le domaine de dérivabilité de cette fonction ? Quelle est sa dérivée ?

Appliquer une procédure 13. Fonction dérivée Calculer la fonction dérivée des fonctions f définies par les expressions suivantes. Simplifier au maximum l’expression obtenue. Série 1 a. 4x b. -

x 3

c. − x + 4

d. 2 x2 − 5 x + 7

g. −5 x3 + 4 x2 + 23 x2 − 1

e. −5 x3 + 4 x2 + 2 x − 3

h. x2 + x3 x

f. − x + 4 x − 1

i. (1 + x3 ) 3 x4 + 2 x3

Série 2

(

)

a. x4 − 1 (2 x + 3)

(

)(

(

2 x3 + 3 x2 − 5 x − 3

b. x3 − 5 x 2 x2 − 4 c. d.

) )

2 x3 x2 - 1

4 x2 + 2 3x − 5

7 x2 − x 3x + 5

7 x2 − 3 x + 4 9x − 3

4 x2 + 3 x − 1 2x + 1

4 7

x + 2x − 3 3x + 3 3 x2 − 10 x 8 x2 + 6 x + 1 2 x2 + x − 3 x2 + 2 x + 4 5x + 4

Série 3 a. x + cos x

d. sin x cos x

2 + sin x 2 + cos x

b. 3 sin x - 2 cos x

e. x2 cos x

cos x + sin x 1 + cos x

c. 2 sin x + 3 cos x

f. cos x + sin x tan x

x sin x − cos x x cos x + sin x

Exercices

225

14. Dérivée de fonctions composées Calculer la fonction dérivée des fonctions f définies par les expressions suivantes. Simplifier au maximum l’expression obtenue. Série 1

(

a. (3 x + 4)

(

b. x − x c.

)

2 3

+ 3x + x

)

Série 2 a.

x2 - 4 x

)

d. 4 x3 + 2 x2 + 3 x − 1

2x − 3

(2x + 1)2

(4 x

x +2

)

+ 2 x2 + 3 x − 1

2+ x 2− x x2 + 3 x + 2 4x − 4 3x − 4 x2 + 2

Série 3 a. tan 4x

d. sin 2 (3 x + 2)

b. cos (2 x − 4)

e. cos3 2x

(

c. sin 2 x2 + 3 x − 4

)

(

f. (2 x − 2)cos 3 x2 − 4

Série 4 a. (4 x - 3) 2 x2 - 5

3x + 2 x +1

b. x

c. 2tan x

1 x

d. x2 sin e. f.

226

cos3 x 3 x + 2 sin x 2x + 1

k. 2

7. Dérivées et applications

( x − 3) x + 3 x3 1 - tan 2 x 3

(

)

2 + sin 2 x2 + 1 5 + sin x 5 − sin x 2x - 1

(1 - sin x)2

(

(2x − 3)3

−4

)

 x2 + 3  h.    4x − 1

l. 3 tan sin3 x

)

 2 x 2 − 5 x + 1 i.    6x + 3 

15. Équation de tangentes Écrire l’équation de la tangente au graphique de la fonction f au point d’abscisse a. a. f ( x) = x2 + 5 x − 2

a =1

b. f ( x) = x2 ( x + 2)

a = −1

c. f ( x) = 5 x + 3

a=3

5x + 1 x 1 + sin x e. f ( x) = 1 + cos x

d. f ( x) =

a=3 a=

π 2

16. À chaque fonction, sa dérivée… Associer chaque fonction f donnée par son graphique (fig. 56 à 59) avec l’expression de sa dérivée g. Justifier. g3 ( x) = −1 g4 ( x) = 2 x − 1

g1 ( x) = 6 x − 3 x2 g2 ( x) = −2 x y

1 f2

fig. 57

fig. 56 y

fig. 58

fig. 59 Exercices

227

17. Graphique de la dérivée a. À partir d’une fonction f, il est possible de tracer l’allure du graphique de sa fonction dérivée f ′ même si on n’en connaît pas l’expression. Après avoir repéré les points du graphique de f où la pente est nulle, on détermine approximativement la pente de la tangente en quelques points du graphique en utilisant le quadrillage du graphique (fig. 60) ou la variation de pente (la pente augmente ou diminue) entre deux points. On relie ensuite les points obtenus (fig. 61). Voici un exemple. y

1 0

fig. 60

f′

1 0

fig. 61

228

7. Dérivées et applications

fig. 62 à 64.

Appliquer cette technique aux graphiques des y 3

2 1 –1

0 –1

–2

fig. 62

fig. 63 y

1 0

fig. 64

b. On donne le graphique de la dérivée d’une fonction f ( fig. 65). Dans le même repère, tracer cette fonction sachant que f (0) = 1 et −1 f (2) = . 3 y

1 0

fig. 65 Exercices

229

18. Approximation affine (exercice partiellement résolu)

a. On donne la fonction f ( x) = −2 x3 + 7 x2 − 9 et on demande de trouver une valeur approchée de f (2,1) et de f (1, 99) sans utiliser la calculatrice. Les fig. 66 et 67 donnent une partie du graphique de cette fonction à proximité du point (2 ; 3) . Lorsqu’on agrandit suffisamment le graphique, la portion de courbe observée est très proche d’un segment de droite. La fonction donnée est dérivable en tout réel et f ′( x) = − 6 x2 + 14 x . La courbe passe très près de sa tangente au point (2 ; 3) . Cette observation permet de calculer des valeurs approchées d’images de réels très proches de 2.

1 0

fig. 66

L’équation de la tangente au point (2 ; 3) est y − 3 = 4 ⋅ ( x − 2) . Pour calculer f (2,1) , on remplace x par 2,1 dans l’équation de la tangente. On trouve alors y = 3 + 4 ⋅ 0,1 = 3, 4 . Cette valeur est une approximation de f (2,1) : f (2 , 1) ≈ 3 + 4 ⋅ 0,1

fig. 67

f (2 , 1) ≈ 3, 4 Procéder de la même manière pour calculer f (1, 99) . Pratiquement : si la fonction f est dérivable en a, on peut approcher la valeur de f ( a + h) pour des valeurs de h proches de 0 en calculant l’ordonnée du point d’abscisse a + h sur la tangente f ( a + h) ≈ f ( a) + h ⋅ f ′( a) b. Utiliser cette méthode pour calculer les valeurs des fonctions suivantes aux points indiqués. f1 ( x) =

x+3

f2 ( x) =

1 x +1

x = 1, 01

x = 0, 99

x = 3, 01

x = 2, 99

c. Justifier les approximations affines suivantes à proximité de 0. Utiliser la calculatrice pour estimer l’erreur commise lorsque x = 0, 03 . 1) (1 + x) ≈ 1 + 4 x 4

230

1+ x ≈ 1+

x 2

7. Dérivées et applications

1 ≈ 1− x 1+ x

4) sin x ≈ x

19. Calculer les racines d’une fonction (exercice partiellement résolu) Dans cet exercice, on découvre la méthode de NewtonRaphson, qui permet généralement de déterminer, en quelques étapes, une racine d’une fonction dérivable.

Le graphique de la fig. 68 permet de visualiser le procédé : on cherche le point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à la courbe y = f ( x) au point A ( x1 ; f ( x1 )) . Vérifier que x 2 = x 1 −

f ′( x 1 ) f ( x1 )

. y = f (x)

On répète le processus en considérant la tangente au point B, ce qui donne x3 , et ainsi de suite…

La suite x1 , x2 , x3 , ... converge généralement vers la racine cherchée. On répète le procédé jusqu’à obtenir la valeur de la racine avec la précision demandée.

fig. 68

On notera cependant que la méthode décrite ici ne donne pas toujours la réponse attendue. Pour s’en convaincre, on peut par exemple redessiner le graphique de la fig. 68 en le modifiant de telle sorte que la tangente en B coupe l’axe des abscisses en x1 . Une telle situation n’est pas impossible, et bien d’autres cas de figure sont tels que la suite considérée ci-dessus ne converge pas vers la racine cherchée. a. Déterminer, avec 4 décimales exactes, la racine de la fonction f ( x) = x3 − 2 x − 5 sur l’intervalle [ 2 ; 3] . Cette fonction polynôme est partout dérivable ; elle s’annule entre 2 et 3 car les images de ces deux réels sont de signes contraires : f (2) = −1 et f (3) = 16 . On calcule la dérivée de f : f ′( x) = 3 x2 − 2 . On présente les résultats successifs dans un tableau qui peut être construit avec un tableur. Étapes

f ′( xi )

f(xi)

xi+1

2,36

3,424256

14,7088

2,12719678

0,37109985

11,5748984

2,09513604

0,00652663

11,168785

2,09455167

2,1461E-06

11,1614401

2,09455148

2,327E-13

11,1614377

2,09455148

La racine de la fonction peut être estimée à 2,0945.

Exercices

231

b. Déterminer les racines des fonctions suivantes avec une précision d’au moins 5 décimales. f1 ( x) = x3 − x − 1 sur l’intervalle [1; 2] f2 ( x) = x3 + 3 x + 1 sur l’intervalle [ −1; 0] f3 ( x) = x − cos x sur l’intervalle [0 ;1]

20. Points critiques Pour chaque fonction donnée, déterminer les points critiques et préciser leur nature : maximum, minimum, point d’inflexion, point où la dérivée n’existe pas… 1) f ( x) = x3 − 3 x2 − 9 x + 1 2) f ( x) =

3) f ( x) = 2 x4 − 3 x2

4) f ( x) = x2 +

x +1

x3 + x2

5) f ( x) =

1 x

6) f ( x) =

x3 − x2

21. Synthétiser des informations pour dessiner un graphique a. Dessiner le graphique d’une fonction f qui vérifie les informations suivantes, et décrire le comportement de cette fonction aux points critiques. 1) dom f = R0 2) AO− ∞ ≡ y = x + 4 et AO+ ∞ ≡ y = 2 x − 8 3) lim− f ( x) = − ∞ ; lim+ f ( x) = 3 ; lim− f ′( x) = − ∞ ; x→ 0

x→ 0

lim f ′( x) = 0 ; lim f ( x) = 0 ; lim− f ′( x) = − ∞ ; lim+ f ′( x) = + ∞

x→ 0 +

x→ 3

4) On donne le tableau de signe de f ′ et de f ′′ . –2

x signe de f ′ signe de f ′′

+ _

0 _

0 − _

–

−

b. Les informations données permettent-elles d’affirmer que la fonction est continue ?

232

7. Dérivées et applications

22. Réaliser un graphique (exercice partiellement résolu) Étudier les variations et réaliser le graphique de la fonction x2 − 3 x + 2 f ( x) = . x2 Démarche

Étude de f ( x) =

x2 − 3 x + 2 x2

1) Déterminer le domaine de défini- dom f = R0 tion de la fonction, ses racines et ses Racines de f : x1 = 1 ; x2 = 2 éventuelles asymptotes, puis étudier x2 − 3 x + 2 2 le signe de f. = + = + ∞ , donc lim 2 x→ 0 x 0 Remarque x2 − 3 x + 2 Si la fonction est paire (impaire) lim = 1 , donc AH ≡ x2 ou périodique, on peut l’étudier x→ ± ∞ sur un domaine restreint suffix 0 - ∞ sant pour étendre l’étude au dosigne de f(x) + / + maine tout entier.

AV ≡ x = 0 y =1 1

+ ∞

2 -

 x2 − 3 x + 2  ′ 3 x − 4 f ′( x) =   = x2 x3  

2) Calculer f ′( x) .

Racine de f ′ : x = 3) Étudier son signe.

4 3 - ∞

signe de f 9(x)

4 3

0 -

+ ∞

 3 x − 4  ′ − 6 x + 12 f ′′( x) =  =  x3  x4

4) Calculer f ′′( x) .

Racine de f ′′ : x = 2 5) Étudier son signe.

- ∞

0 +

signe de f ′′( x)

+ ∞

2 +

6) Dresser un tableau récapitulatif, y indiquer les variations de f et la concavité du graphique x

- ∞

4 3

+ ∞

signe de f ′( x)

signe de f ′′( x)



+∞ /+∞



min



↑ ∪

AV x=0

↑ ∪

-1 8

↑ ∪

∩ ↓

y =1

–

variations de f signe de f(x)

AH y =1

1 f ′(2) = 4 0

+ Exercices

233

7) Construire le graphique de la fonction après avoir calculé les coordonnées de quelques points supplémentaires et dessiné les tangentes aux points d’inflexion, points anguleux, points de rebroussement. y

fig. 69

Étudier les variations et réaliser le graphique des fonctions suivantes. Série 1 a. f ( x) = x3 − 2 x2 − 2 x + 1 b. f ( x) = x4 − 2 x3 + x − 1

f. f ( x) =

x3 − 8 x2 + 2 x + 1 g. f ( x) = 5 x + 10

c. f ( x) = x4 − 2 x3 + 3 x − 1

h. f ( x) =

d. f ( x) = x2 + 3 x − 2

e. f ( x) =

x3 + 1 x3 − 1

4 x3 − 4

f ( x) =

1 2

2x + 3x + 2 15 x + 1

(3x − 1)2 ( x − 1)3 f ( x) = x2 − 1

Série 2 a. f ( x) = sin 2 x + 2 cos x b. f ( x) = 2 cos

1 x

c. f ( x) =

cos x − 1 sin x − 1

d. f ( x) =

tan x − 1 tan x + 1

Série 3 x2 − 6 x + 5

a. f ( x) =

b. f ( x) = 2 − x2 + 6 x − 5

c. f ( x) = 3 x (2 − x)

d. f ( x) = 3 x + 9 x2 − 4

Série 4 a. f ( x) = 2 x ⋅ 2 x − 3 b. f ( x) = 234

2 x3 − 6 x2

7. Dérivées et applications

c. f ( x) =

x3 − 2 x2 + x

d. f ( x) = 3 8 − x3

23. Règle de L’Hospital Calculer les limites suivantes en utilisant, s’il y a lieu, la règle de L’Hospital. a. lim x→

2 − 2 cos x

3π 4

b. lim

x→ 2

c. lim x→0

tan x − 1

x2 − 4 sin πx 2x 2

sin x

d. lim x→

π 2

sin x − 1 cos x

πx + 3 tan 2x − 3 e. lim x→+ ∞ 2x + 1 f.

lim

x→+ ∞

x cos x 3

x −1

 x2  g. lim  x2 tan x + 3π  cos x  x→ 2

h. lim

π x→ 4

lim x→ 0

2 x + tan 2 x 3 x + tan 2 x 2 x + x−2 4 x + x− 4

Résoudre un problème 24. Bougies artisanales Une classe crée une mini-entreprise pour fabriquer et vendre des bougies à la cire d’abeille. L’élève chargé de la comptabilité estime que les coûts fixes (matériel, assurance…) s’élèvent à 60 € et que les coûts variables qui dépendent de la quantité q de bougies fabriquées sont : 2, 5q - 0, 01q2 (en euros). Les élèves ne souhaitent pas produire plus de 125 bougies. a. Exprimer le coût total (CT) de production en fonction du nombre de bougies fabriquées. b. Quel est le coût moyen (CM) des 100 premières bougies produites ? c. Les économistes désignent par coût marginal (Cm) le coût engendré par la fabrication d’une unité supplémentaire ; on a donc Cm = CT ( q + 1) − CT ( q) Calculer Cm (100) c’est-à-dire le supplément de coût engendré par la fabrication de la 101e bougie. d. Écrire la dérivée du coût total et calculer CT ′ (100) . Comparer le résultat avec Cm (100) . Les économistes utilisent donc la dérivée du coût total pour approcher le coût marginal et admettent : Cm ( x) = CT ′ ( q) . Note Comme on ne peut fabriquer des fractions d’objets, la plupart des fonctions rencontrées en économie sont discontinues. Cependant les économistes traitent les fonctions de coût comme des fonctions continues pour éviter notamment les graphiques qui seraient des ensembles de points « non reliés ». Exercices

235

25. Un entonnoir Un entonnoir est constitué d’une partie conique et d’un embout de sortie (un petit tuyau de quelques centimètres). La hauteur de la partie conique est de 8 cm et le rayon supérieur est de 4 cm. Cet entonnoir est rempli avec de l’eau, qu’on laisse ensuite se déverser en tenant l’entonnoir « droit » (c’est-à-dire en maintenant son axe vertical). À quelle vitesse descend le niveau de l’eau au moment où il atteint une hauteur de 6 cm dans la partie conique sachant qu’à ce moment, l’eau s’écoule avec un débit de 40 cm3/s ?

26. Toboggan La fig. 70 représente le profil d’un toboggan destiné à de jeunes enfants. La hauteur du toboggan est de 2 m et sa longueur de 4 m. Pour des raisons de sécurité, les pentes au départ et à l’arrivée doivent être horizontales. y

x fig. 70

a. Déterminer l’expression d’une fonction du 3e degré dont le graphique donne l’allure du toboggan ; cette fonction doit vérifier les contraintes de sécurité. b. Sans avoir répondu à la question ci-dessus, peut-on néanmoins affirmer qu’il y a au moins un endroit du toboggan où l’inclinaison correspond à une pente descendante de 50 % ?

27. Façonnage d’une gouttière Pour réaliser une gouttière, un entrepreneur plie une feuille de zinc large de 36 cm en trois parties égales (fig. 71 et 72). Sous quel angle doit-il réaliser le pli pour que la capacité de la gouttière soit maximale ?

α fig. 71

236

7. Dérivées et applications

fig. 72

28. Histoire de coût Une entreprise produit et commercialise une poudre à lessiver. La capacité maximale de production s’élève à 80 tonnes. On désigne par q le nombre de tonnes produites. Le coût total de production est exprimé en euros :

euros Cm

CT ( q) = 0, 05q3 − q2 + 11q + 2450 . a. Calculer le coût marginal engendré par la production de la 51e tonne. b. Calculer CT′ (50) ; évaluer l’erreur commise, en pourcentage du coût total, quand on remplace le coût marginal par le nombre dérivé.

c. L’entreprise peut-elle prévoir que la fonction CT atteindra un maximum ? d. À l’aide du graphique, estimer la production pour laquelle le coût moyen CM est minimum ; vérifier que le coût marginal est égal au coût moyen pour cette quantité.

50 0

q en tonnes fig. 73

29. Le cerf-volant Utilisé à des fins militaires, plaisir des enfants ou passion d’adultes en compétition, le cerf-volant, créé en Asie, a gagné toutes les parties du monde. Aujourd’hui, les cerfs-volants sont de formes variées pour augmenter leur aérodynamisme ou simplement figuratifs pour la joie des nombreux spectateurs présents lors des démonstrations. Les cerfs-volants les plus simples sont constitués d’un plan de toile (ou d’une feuille de papier) tendu sur un croisillon de baguettes. Les baguettes extérieures du cerf-volant (fig. 74) sont de longueurs a et b ( a ≠ b ). Quelles doivent être les longueurs des diagonales pour que la surface du cerf-volant soit la plus grande possible ? Indication Exprimer l’aire du cerf-volant en fonction de l’angle q formé par les deux baguettes extérieures.

a θ

fig. 74 Exercices

237

30. Une citerne d’eau de pluie Soucieuse de récolter l’eau de pluie, une personne décide d’acquérir une citerne cylindrique d’une contenance de 10 000 litres. Elle souhaite l’enfouir. a. Quelles doivent être les dimensions de la citerne pour que l’aire totale (aire latérale plus aire des deux bases) soit minimale ? b. Pour enfouir la citerne, il faudra faire creuser un trou de base carrée. Son côté sera supérieur de 30 cm au diamètre de la citerne et sa profondeur sera supérieure de 25 cm à la hauteur de la citerne. Calculer le prix du travail sachant que le devis mentionne un coût de 70 € au m3 enlevé.

31. Poutre et résistance On doit découper une poutre de section rectangulaire dans un tronc d’arbre circulaire d’un diamètre de 50 cm. Calculer les dimensions de cette section pour que la poutre offre une résistance maximale : a. à la compression ; b. à la flexion. Indication La résistance d’une poutre à la compression est proportionnelle à l’aire de sa section transversale, sa résistance à la flexion est proportionnelle au produit de la largeur de la section par le carré de sa hauteur.

32. Hyperbole On considère l’hyperbole d’équation xy = 3 dans un repère orthonormé du plan. a. Montrer que le point de contact de toute tangente à cette hyperbole est le milieu du segment joignant les deux points d’intersection de cette tangente avec les axes de coordonnées. b. Un mobile ponctuel se déplace sur cette hyperbole. Lorsqu’il passe au point d’abscisse 1 de l’hyperbole, son abscisse se déplace à une vitesse de 2 unités par seconde. À quelle vitesse se déplace alors son ordonnée ?

33. Problème d’échelle Une échelle de 10 m est adossée à un mur ; ses pieds sont posés à 1 m du mur. On tire le bas de l’échelle pour le faire glisser sur le sol. Ses pieds s’éloignent ainsi du mur à raison de 10 cm par seconde. a. À quelle vitesse le haut de l’échelle glisse-t-il le long du mur lorsque le bas est à 3 m du mur ? b. À quel moment la vitesse de déplacement du haut de l’échelle estelle la plus grande ? 238

7. Dérivées et applications

34. Station d’épuration Deux industries projettent de financer ensemble la construction d’une station de traitement des eaux. Des égouts collecteurs relieront les deux usines à la station. Les distances séparant chaque usine de la route bordant la future station sont consignées dans la fig. 75. a. Déterminer la longueur totale, L( x) , des égouts collecteurs. b. Déterminer la position de la station d’épuration pour que la longueur totale des égouts soit minimale. Préciser cette longueur totale minimale. Usine A

Usine B 4 km 2 km

Station

x 6 km fig. 75

35. Dans le désert Une jeep se trouve dans le désert, en dehors de toute piste ou route, à égale distance de deux petites localités reliées par une piste rectiligne non asphaltée. La voiture se trouve à 20 km de cette piste. Ces deux localités se trouvent à 30 km l’une de l’autre. Le conducteur doit se rendre le plus vite possible à l’une de ces deux villes. Il se déplace à 20 km/h à travers le désert, à 40 km/h sur la piste. À quelle distance de sa ville de destination doit-il rejoindre la piste pour y arriver le plus rapidement possible ?

Exercices

239

36. Traverser ou contourner ? Un marcheur se trouve au bord d’un lac circulaire de 2 km de diamètre et doit se rendre le plus rapidement possible au point de la rive diamétralement opposé. Il hésite entre contourner le lac à pied à une vitesse de 5 km/h, ou prendre sa barque, qui se trouve à côté de lui, pour traverser le lac à une vitesse de 2,5 km/h. Mais le plus rapide serait peut-être de partir en barque jusqu’à un autre point de la rive et de continuer à pied ? Quelle solution sera la plus rapide ? Si c’est la troisième, dans quelle direction (angle par rapport à la direction du diamètre menant au point opposé) doit-il naviguer ?

37. Deux avions Un avion vole au-dessus d’une plaine maritime à une vitesse 800 km/h et se trouve à une altitude de 6 000 mètres. Il se trouve à la verticale d’un point se trouvant précisément à 4 km à l’est de la ville de Furnes et se déplace exactement vers l’ouest. Au même instant, un autre avion se trouve précisément à 6 km au sud de cette ville, à une altitude de 4 000 m, et se déplace exactement vers le nord à une vitesse de 900 km/h. Quelle sera la plus petite distance entre les deux avions ?

38. Un réservoir conique Un réservoir conique, sans couvercle, est placé pointe vers le bas et son axe est vertical. Sa capacité théorique est de 9 000 litres. Pour des questions de coût, on souhaite que la paroi de ce récipient soit minimale. Quelles dimensions faut-il lui donner ?

240

7. Dérivées et applications

39. Prix de l’immobilier La société immobilière Résidence de l’Estran met en location 30 appartements dans un immeuble en digue de mer sur la côte belge. Si elle fixe le loyer du mois d’août à 800 € par semaine, tous les appartements sont en général loués. Par expérience, elle sait que chaque fois qu’elle augmente son loyer de 40 €, il y a en moyenne un appartement de moins qui est loué. À quel montant doit-on fixer le loyer pour que le montant total hebdomadaire des loyers soit le plus grand possible ?

40. Consommation électrique La prévision de consommation d’électricité dans une grande ville est établie chaque jour pour le lendemain. Cette prévision est, bien sûr, basée sur la consommation antérieure, les prévisions météorologiques, les événements exceptionnels, l’horaire légal d’été ou d’hiver… Ainsi, par une après-midi de février, la prévision de la demande en électricité est donnée par la relation f (t) = –2,25t4 + 30t3 – 94,5t2 + 5 840

en MW (mégawatt)

dans laquelle t exprime le nombre d’heures après 12h ; 0 ≤ t ≤ 8. a. À quelle(s) heure(s) prévoit-on des extrema de demande d’électricité ? b. À quelle heure prévoit-on la consommation minimale de l’aprèsmidi ? Quelle sera sa puissance ? c. À quelle heure prévoit-on la consommation maximale absolue? Que vaudra-t-elle ?

41. Un rectangle et un demi-disque On donne le cercle de centre C dont le diamètre [MN] mesure 4 cm (fig. 76). On place, sur le segment [MN] et à égale distance de C, deux points distincts A et B. On considère la surface colorée représentée sur la fig. 76 (rectangle complété par un demi-disque). a. À quelle distance de C faut-il placer les points A et B pour que M l’aire de la surface colorée soit maximale ?

b. Résoudre le problème lorsque le cercle donné est de rayon r.

fig. 76

Exercices

241

42. Emballage cadeau Un commerçant1 vend des friandises dans des boîtes qui ont la forme d’un parallélépipède rectangle à base carrée, dont le côté mesure 10 cm et la hauteur 8 cm. Pour présenter ces boîtes de manière originale, il a demandé à un fabricant de lui procurer des emballages qui ont la forme d’une pyramide régulière à base carrée. Le côté de la base de la pyramide ne peut être supérieur à 20 cm. Quelles doivent être les dimensions de la pyramide pour que son volume soit minimal ? Quel est ce volume ? S

O x

x fig. 77

43. Cônes et autres volumes… a. Étudier les variations du volume, de l’aire latérale et de l’aire totale d’un cône de révolution inscrit dans une sphère de rayon r. b. La hauteur d’un cône de révolution est de 24 cm ; le rayon de sa base mesure 8 cm. Quelles sont les dimensions du cylindre de volume maximum inscrit dans ce cône ?

242

D’après Bac STI 1999.

7. Dérivées et applications

44. Une droite deux fois tangente ? La fig. 78 donne le graphique de la fonction f ( x) = x4 + 4 x3 + 4 x2 − x − 2 et la tangente au point ( −2 ; 0) . Cette droite semble être tangente en un autre point du graphique. Vérifier. y

fig. 78

45. Paramètre et extremum Quelle(s) valeur(s) faut-il donner aux paramètres m et p pour que : a. la fonction f ( x) =

m − 3 x + 3 x2 admette un maximum et un mini3x − 4

mum en deux réels dont la différence vaut 12 ? b. la fonction g( x) = 9 x3 + px − 2 n’admette aucun extremum ? c. la fonction f ( x) =

mx2 − 5 x 2 x2 − 4 x − 6

ait un maximum en x = 2 ?

Exercices

243

e m s i l é l l a r pa e c n e d i c n i et e c a p s e ’ l dans

La géométrie est utilisée de manière constante en construction , en architecture, dans la menuiserie… Elle fournit le cadre théorique pour certains aspect s de la cartographie, de l’astronomie, de la physique. Dans tous ces domaines, la géométrie se rapporte à des objets de l’espace à trois dimensions (les objets les plus simples ont une hauteur, une longueur et une largeur). La géométrie dans l’espace présente donc une difficu lté particulière : pour étudier ces objets et communiquer à leur propos, on passe le plus souven t par une représentation plane à deux dimensions. Celle-ci permet de décrire l’espace, mais en perdant certaines informations.

Scenes in a theatre tea-house, Hishikawa Moronobu, British Museum . La peinture japonaise du xvii e siècle utilise la perspective parallèle. On peut vérifier que les lignes de la cloison centrale par exemple sont exactement parallèles. Or, elles donnent l’impression d’être diverge ntes. Ceci vient de ce que la représentation de la réalité la plus proche de notre vision est la perspective à point de fuite. Curieusement, nous avons une meilleur e impression de parallélisme lorsque les droites concourent vers un point de fuite. La perspective parallèle permet aussi de ne pas réduire la taille des personnages représentés à l’arrière-plan.

Diverses techniques de représentation ont été utilisées au cours de l’histoire. Certaines ont été mises au point principalement par des peintres. C’est le cas de la perspective à point de fuite à l’époque de la Renaissance en Italie. D’autres ont été progressivement élaborées par des architectes, des inventeurs ou des stratèges. C’est le cas de la perspective cavalière, utilisée pour établir les plans de fortifications militaires, d’où son nom : le cavalier est, en matière de fortification, une construction de terre, située en arrière d’autre s constructions et plus haute qu’elles, de manière à les dominer. Dans toutes les questions de géométrie dans l’espace que nous étudierons ici, nous utiliserons la perspective parallèle. C’est ainsi que l’on nomme, dans le cadre de la géométrie, différentes sortes de perspectives basées sur une projection parallèle (les points de l’espace sont projetés sur un plan parallèlement à une direction donnée). La perspective cavalière en est une forme particulière. Il nous faut à présent construire un cadre plus abstrait de notion s et de propriétés qui dépassent et englobent les solides familiers : examiner d’abord les positio ns relatives des droites et des plans pour revenir ensuite à des constructions plus complexes. On apprendra par exemple comment construire exactement l’ombre d’un objet, comment déterm iner la section plane d’un cube ou d’une pyramide. On apprendra à rédiger des démonstrations de géométrie, tel qu’on le fait dans le cadre d’une théorie axiomatique, à partir d’axiomes et d’autres théorèmes.

Et que penser de ceci ?

Triangle de Penrose Peut-on construire cet objet ? Pourquoi ?

n o i t a r o l p ex 1. Du parallélépipède aux positions relatives de droites et de plans Les arêtes d’une boîte sont des segments de droites et ses faces sont des parties de plans. On s’en sert ici pour recenser toutes les positions relatives de plans et de droites dans l’espace. La photo de la boîte est une image en perspective centrale. Elle correspond à notre vision de l’objet. Dans ce type de perspective, le parallélisme de droites est-il conservé ? La fig. 1 est une représentation en perspective parallèle. L’observateur est situé en haut à droite. Les arêtes cachées sont représentées par des pointillés. a. Les sommets du parallélépipède déterminent plusieurs droites. Examiner deux à deux les droites AB, AE, CG, HF, DB et BG et préciser si elles sont parallèles, sécantes ou non coplanaires. Les droites non coplanaires sont appelées droites gauches. b. Les différentes faces de cette boîte sont des parties de plans. Repérer deux paires de plans parallèles et deux paires de plans sécants. c. Caractériser la position des droites DB, EG, HB par rapport au plan ABC. H

G F

E D

fig. 1

2. Intersection ou illusion ? a. Sur cette représentation d’un parallélépipède rectangle (fig. 2), les droites AH et EG ont un point commun. Et dans la réalité ? H

G F

E D

246

C B

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

fig. 2

b. La fig. 3 est une représentation en perspective cavalière de deux bâtons en appui sur le mur et sur le sol. Les bâtons se touchent-ils ? Indication – Projeter les extrémités des bâtons sur le sol. – Situer les bâtons l’un par rapport à l’autre. β

B D

α C A

fig. 3

3. Déterminer un plan a. On plante des piquets dans le sol pour surélever une planche. Que se passe-t-il si on plante deux piquets, trois ou quatre piquets ? b. Si les trois pieds d’un tabouret sont de longueurs différentes, est-il instable ou simplement incliné ? c. Deux points de l’espace déterminent un segment. Déterminent-ils aussi une droite, un plan, un cercle, une sphère ? d. Et si on donne trois points, quatre points ? e. Et si on donne deux droites sécantes, deux droites parallèles ?

Exploration

247

4. Vrai ou faux ? Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Fournir un exemple ou un contre-exemple à partir d’éléments d’un parallélépifig. 4) ou d’une pyramide ( fig. 5) qu’il faut pède rectangle ( éventuellement compléter. Si nécessaire, recourir à une maquette. Les lettres minuscules grecques représentent des plans, les lettres minuscules latines représentent des droites, les lettres majuscules latines représentent des points. A

B C

fig. 4

fig. 5

a. Lorsque deux plans distincts ont une intersection non vide, celleci est une droite. b. Deux plans peuvent n’avoir aucun point commun. c. Une droite peut n’avoir aucun point commun avec un plan. d. Si deux plans sont sécants, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. e. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’une seule droite parallèle à un plan donné. f. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’une seule droite parallèle à une droite donnée. g. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’un seul plan parallèle à une droite donnée. h. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’un seul plan parallèle à un plan donné. i. Si (a // b et b // g), alors a // g. j. Si (d // e et e // f ), alors d // f. k. Si (a // d et d // b), alors a // b. l. Si la droite d est incluse dans le plan a et est parallèle au plan b, alors les plans a et b sont parallèles.

248

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

Synthèses 1 à 4

5. Positions relatives de trois plans a. Trouver dans la classe trois plans qui se coupent en un seul point.

b. La fig. 6 peut-elle représenter un objet de l’espace en perspective parallèle ? c. On considère trois plans sécants deux à deux, selon des droites d’intersection supposées distinctes. Les deux figures (fig. 7 et 8) représentent deux situations possibles. Démontrer qu’il n’y en a pas d’autre.

Indication Utiliser le théorème 8.2 pour montrer que les droites d, e et f ne peuvent être que parallèles ou concourantes. A

P A

fig. 6

d′

d″

d′ E Synthèses 5 à 8 Exercices 1 à 9

d″ C fig. 7

fig. 8

6. Point de percée et sections planes Le soleil qui pénètre dans une pièce laisse une tache lumineuse sur le sol ou sur un mur. Le Soleil étant très éloigné de la Terre, on considère que ses rayons sont parallèles entre eux. a. Sur la photo ci-contre ( fig. 9), on a relié un point précis à son ombre pour repérer la direction des rayons solaires. Une mouche s’est arrêtée sur la vitre au point A. Déterminer son ombre sur le sol.

fig. 9

Exploration

249

b. Le soleil entre dans la pièce par une baie vitrée rectangulaire. On connaît l’image A1 du point A (fig. 10). La trace lumineuse laissée sur le sol est une section plane du prisme de lumière. Justifier les constructions qui ont permis de tracer l’image de la baie vitrée sur le sol (fig. 11). C

fig. 11

fig. 10

c. Sur cette photo, la trace lumineuse de la baie vitrée apparaît sur le fig. 12 et 13. sol et sur le mur. La photo est modélisée par les Reconstituer et expliquer les étapes de la construction.

fig. 12

Synthèses 9 à 12 Exercices 10 à 20

fig. 13

250

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

e s è h t n sy 1. Comment caractériser et représenter un plan de l’espace ? Une droite de l’espace ? Dans l’espace, comme en géométrie plane, une droite comprend une infinité de points mais est déterminée par deux points distincts. Elle est notée par une lettre latine minuscule, telle que d, e, f ... Un plan est souvent désigné par une lettre grecque (minuscule), telle que p, a, b… ou par trois de ses points. Pour représenter graphiquement un plan, on utilise généralement un parallélogramme, mais parfois une autre figure comme un triangle. Les propriétés fondamentales des droites et des plans de l’espace sont les suivantes. Certaines sont des axiomes. On notera cependant que le choix des axiomes a une part d’arbitraire. Il peut y avoir plusieurs jeux d’axiomes possibles pour baser une même théorie. Parmi les énoncés proposés ici, ceux présentés comme axiomes correspondent néanmoins à un choix assez classique lorsqu’on construit une théorie axiomatique de la géométrie dans l’espace. La liste des axiomes ci-dessous n’est pas exhaustive. Axiome 8.1 Une droite et un plan comprennent une infinité de points. Axiome 8.2 Deux points distincts de l’espace appartiennent à une et une seule droite. Axiome 8.3 Trois points distincts non alignés appartiennent à un et un seul plan. Axiome 8.4 Si deux points distincts appartiennent à une droite et à un plan donnés, la droite est incluse dans le plan. Axiome 8.5 Un point de l’espace appartient à une et une seule droite parallèle à une droite donnée. Axiome 8.6 Si deux plans ont un point en commun, ils en ont au moins un autre. Dans un plan donné, toutes les propriétés de la géométrie plane restent vraies. Théorème 8.1 – Caractérisation d’un plan a. Un et un seul plan contient une droite donnée et comprend un point donné n’appartenant pas à cette droite. b. Un et un seul plan contient deux droites sécantes données. c. Un et un seul plan contient deux droites parallèles distinctes données.

Synthèse

251

Un plan de l’espace est déterminé : – soit, par trois points distincts non alignés (fig. 14), – soit, par une droite et un point n’appartenant pas à cette droite (fig. 15), – soit, par deux droites sécantes (fig. 16), – soit, par deux droites parallèles distinctes (fig. 17). On note (A, a) le plan déterminé par le point A et la droite a et (a, b) le plan déterminé par les droites a et b.

A B

fig. 15

Plan (A, d1)

C fig. 14

Plan ABC

d5 fig. 16

Plan (d2, d3)

252

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

Plan (d4, d5)

fig. 17

2. Quelles sont les positions relatives de deux droites ? En géométrie plane, deux droites sont soit sécantes soit parallèles (on considère qu’une droite est toujours parallèle à elle-même). Ces positions relatives se présentent aussi dans l’espace. Deux droites parallèles de l’espace sont toujours incluses dans un même plan (on dit qu’elles sont coplanaires), et il en est de même pour deux droites sécantes (théorème 8.1). Mais, dans l’espace, deux droites peuvent être à la fois non parallèles et non sécantes. On dit qu’elles sont gauches. Définition 8.1 – Droites gauches Deux droites sont dites gauches si elles ne sont ni sécantes ni parallèles. Théorème 8.2 Dans l’espace, si deux droites sont gauches, elles ne sont pas coplanaires. En effet, si elles étaient coplanaires, en vertu de la géométrie plane, applicable dans ce plan, elles seraient soit parallèles soit sécantes. Elles ne pourraient donc pas être gauches. Exemples Les droites HB et DF, situées dans le plan DBF, sont sécantes en M. Les droites EG et AC sont parallèles. Les droites AH et FC sont gauches. H

G F

E D

M C B fig. 18

Synthèse

253

3. Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un plan ? Définition 8.2 – Droite et plan parallèles On dit qu’une droite et un plan sont parallèles – et on note d // a (ou a // d) – lorsque : – soit, cette droite ne possède aucun point commun avec ce plan ( d ∩ α = ∅) , – soit, elle est incluse dans ce plan ( d ⊂ α ) .

Définition 8.3 – Droite sécante à un plan On dit qu’une droite d est sécante à un plan a lorsqu’elle possède exactement un point commun avec ce plan (d ∩ α = { A}). Remarque Lorsqu’une droite est sécante à un plan, on dit aussi qu’elle perce ou qu’elle coupe le plan. Théorème 8.3 – Positions relatives d’une droite et d’un plan Si on considère un plan et une droite de l’espace, – soit, cette droite et ce plan sont parallèles, cette droite étant incluse dans ce plan (fig. 19), – soit, la droite et le plan sont parallèles et disjoints (fig. 20), – soit, la droite est sécante à ce plan (fig. 21). incluse

parallèle (disjointe)

sécante d

B A

A α

fig. 19

fig. 20

fig. 21

Démonstration Si une droite d a au moins deux points communs avec un plan a, elle y est incluse (axiome 8.4) et d // a (définition 8.2). Dans le cas contraire, elle peut n’en avoir qu’un seul ou aucun. – Si d ∩ α = ∅ alors d // a (définition 8.2). – Si d ∩ α = { A} alors d coupe a (définition 8.3). Conclusion Une droite est donc toujours soit parallèle (fig. 19 et 20) soit sécante (fig. 21) à un plan donné.

254

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

4. Quelles sont les positions relatives de deux plans ? Définition 8.4 – Plans parallèles Deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsqu’ils sont confondus. On note : a // b ou b // a. Définition 8.5 – Plans sécants Deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite. Remarque Si une droite d est l’intersection des plans a et b, on dit que a coupe b (ou que b coupe a) suivant la droite d. Théorème 8.4 Si deux plans distincts ont un point commun, ils contiennent une droite commune comprenant ce point. Hypothèse Soient a et b deux plans distincts et A ∈ (α ∩ β ) . Thèse ∃ d : d ⊂ α , d ⊂ β et A ∈ d . Démonstration A ∈ (α ∩ β ) , donc ∃ B ∈ (α ∩ β ) : B ≠ A (axiome 8.6). Soit d = AB . On a A ∈ (α ∩ β ) et B ∈ (α ∩ β ) . Donc d ⊂ α , d ⊂ β (axiome 8.4) et A ∈ d .

α β

fig. 22

Synthèse

255

Théorème 8.5 Dans l’espace, deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants. Hypothèse Soient a et b deux plans et α ≠ β . Thèse On a soit a // b, soit a et b sécants. Démonstration 1er cas : a « b = ∆, donc a // b (définition 8.4). 2e cas : a « b π ∆ ; ils ont au moins un point commun et contiennent donc une même droite d. – Si α ∩ β ne comprend pas d’autre point que ceux de la droite d, alors α ∩ β = d ; donc a et b sont sécants (définition 8.5). – Si α ∩ β comprend au moins un autre point que ceux de la droite d, alors a et b contiennent la droite d et comprennent tous les deux un même point n’appartenant pas à d. Or, un seul plan peut contenir une droite donnée et comprendre un point donné n’appartenant pas à cette droite (théorème 8.1). Dès lors, a = b, et a // b (définition 8.4). Théorème 8.6 Si un plan p coupe un plan a suivant une droite d, alors il coupe tout plan parallèle à a suivant une droite e parallèle à d.

e α

fig. 23

Théorème 8.7 Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. d

β fig. 24

256

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

5. Quelles sont les positions relatives de trois plans ? Théorème 8.8 Si trois plans sont sécants deux à deux, alors les trois droites d’intersection sont soit sécantes, soit parallèles. F γ e

α E

d P

d C

e γ

fig. 25

β C

fig. 26

Hypothèse Soient trois plans a, b et g : α ∩ β = d , β ∩ γ = e , α ∩ γ = f Thèse

On a soit ( d //e et e//f ) , soit d, e et f ont un seul point commun. Démonstration 1er cas : les trois droites d’intersection sont distinctes Dans le plan b, les droites d et e ne peuvent être que parallèles ou sécantes. a. Supposons d //e . Si f //\ d , alors f ∩ d ≠ ∅ et f //\ e , car e//d , d’où f ∩ e ≠ ∅ . – Soit f coupe d et e en un même point, et donc les droites d et e sont sécantes, ce qui contredit le fait que ces droites sont parallèles, – Soit f les coupe en deux points distincts alors f ⊂ β (axiome 8.3), ce qui est impossible puisque f = α ∩ γ et que f serait alors également l’intersection des plans a et b et celle des plans b et g ce qui contredirait le fait que les trois droites d’intersection sont distinctes. Ainsi, supposer f non parallèle à d (donc aussi non parallèle à e) mène à une contradiction ; on conclut que les droites d, e et f sont parallèles. b. Supposons d et e sécantes en P. – P ∈ d donc P ∈ α . – P ∈ e donc P ∈ γ .

Synthèse

257

P appartient aux plans a et g, et donc à leur intersection, la droite f (théorème 8.5). Les trois droites sont donc concourantes en P. Il n’y a pas d’autre point commun, sinon les trois droites seraient confondues, ce qui contredirait l’hypothèse d ≠ e , e ≠ f , d ≠ f . Remarque Cette démonstration est appelée démonstration par l’absurde. Dans une telle démonstration, on suppose que la proposition à démontrer est fausse et on montre que cette supposition est « absurde », car, par exemple, en contradiction avec une des hypothèses. On prouve ainsi que la supposition est fausse, et donc que la proposition est vraie. 2e cas : les trois plans sont sécants selon la même droite1 Dans ce cas, les trois droites e, f et g sont parallèles confondues. On montre aisément qu’il n’y a pas d’autre cas. Si deux des trois intersections d, e et f sont égales, la troisième est nécessairement égale aux deux premières.

6. Qu’est-ce qu’une condition nécessaire et/ou suffisante ? Exemples – Le quadrilatère ABCD est un carré est une condition suffisante (CS) pour qu’il soit un losange. – Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme est une condition nécessaire (CN) pour qu’il soit un losange. – Le quadrilatère ABCD est à la fois un rectangle et un losange est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour qu’il soit un carré. Condition nécessaire et suffisante La propriété P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) de la propriété Q signifie : Si P se réalise, alors Q se réalise aussi (CN : P ⇒ Q), ET pour que Q se réalise, il faut que P se réalise aussi (CS : Q ⇒ P). Notations « P est une CNS de Q » s’écrit P ⇔ Q ou « P ssi Q ».

1 Cela ne contredit pas l’hypothèse : que les trois plans soient sécants deux à deux signifie formellement que chaque paire de deux plans choisie parmi les trois plans est constituée de deux plans sécants. C’est bien le cas si les trois plans sont sécants selon la même droite.

258

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

7. Quelles sont les propriétés liées au parallélisme dans l’espace ? Théorème 8.10 – Critère de parallélisme d’une droite et d’un plan Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. d

e α

1. Condition nécessaire

fig. 27

Hypothèse d est une droite parallèle au plan a. Thèse d est parallèle à une droite de a. Démonstration 1er cas : d Ã a ; elle est parallèle à elle-même, donc parallèle à une droite de a. 2e cas : d « a = ∆ Soit A ∈α . Le point A et la droite d déterminent un plan b (théorème 8.1). Les deux plans a et b ont un point commun A, ils ont donc une droite commune e (théorème 8.5). Les droites d et e sont coplanaires et ne sont pas sécantes, sinon la droite d aurait un point commun avec le plan a. Les deux droites d et e sont donc parallèles.

2. Condition suffisante Hypothèse La droite d est parallèle à une droite e du plan a. Thèse La droite d est parallèle au plan a. Démonstration Par hypothèse, d //e , donc d et e sont coplanaires. 1er cas : d Ã a, donc d//a (définition 8.2). 2e cas : d À a, donc les droites d et e parallèles distinctes déterminent un plan b et β ≠ α . La droite e est commune aux deux plans et e = α ∩ β (théorème 8.3). La droite d ne perce pas le plan a, sinon les droites d et e auraient un point commun alors qu’elles sont parallèles distinctes. La droite d est donc parallèle au plan a.

Synthèse

259

Théorème 8.11 – Critère de parallélisme de deux plans Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

1. Condition nécessaire

Hypothèse Plans a et b, a // b. Thèse Deux droites sécantes de a sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de b.

α c d

Démonstration 1er cas : a = b

Deux droites sécantes de a sont respectivement égales et donc parallèles à elles-mêmes, qui sont deux droites sécantes de b. 2e cas : a // b et a π b 1) Soient : – A ∈ α et B ∈ β , – a et b deux droites sécantes incluses dans a et comprenant A,

– γ = ( B, a) et π = ( B, b) . Les plans g et b : – ne peuvent être parallèles disjoints car ils contiennent tous deux le point B, – ne peuvent être confondus, car, en tel cas, b contiendrait a ce qui contredirait l’hypothèse α // β et α ≠ β . Les plans g et b sont donc sécants (théorème 8.3) ; soit c = β ∩ π . 2) On montre de manière analogue que les plans p et b sont aussi sécants ; soit d = β ∩ γ . 3) On a c ∩ d ≠ ∅ (car B ∈ c ∩ d ) et c ≠ d (car c = d impliquerait a // b, alors qu’elles sont sécantes).

a A

b c

a A

b c

Donc c ∩ d = {B} . 4) Les droites a et c, incluses dans le plan g ne fig. 28 peuvent être sécantes, car leur point d’intersection appartiendrait à a et à b, ce qui contredirait l’hypothèse α // β et α ≠ β . Dès lors : a // c. 5) De manière analogue : b // d. Les droites sécantes a et b incluses dans a sont donc respectivement parallèles aux droites sécantes c et d incluses dans b.

260

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

2. Condition suffisante Hypothèse Plans a et b, a et b droites sécantes de a, c et d droites sécantes de b, a // c, b // d. a b

α c β

d fig. 29

Thèse a // b. Démonstration Pour montrer a // b, il suffit de montrer qu’ils ne peuvent être sécants (démonstration par l’absurde). Supposons α ∩ β = e . On ne peut avoir simultanément e // c et e // d, ce qui entraînerait c // d. Or, c et d sont sécantes par hypothèse. 1er cas : e // c Or, c ⊂ β et e ⊂ β ; donc c ∩ e ≠ ∅ . Soit c ∩ e = {C} . – On a C ∈α , car C ∈ e et e ⊂ α . – On a c // a et C ∈ c . La droite c est donc l’unique parallèle à a comprenant C (axiome 8.5). De plus a ⊂ α . Selon la géométrie plane, il n’existe, dans ce plan a, qu’une parallèle à a passant par C. Celle-ci ne peut être que la droite c, qui est donc incluse dans a. Les droites sécantes c et e sont donc incluses dans a et dans b. Comme une paire de droites sécantes déterminent un et un seul plan, a = b. Ce qui contredit l’hypothèse a et b sécants. 2e cas : e // d Ce cas peut se traiter de manière analogue au précédent : cette supposition contredit aussi l’hypothèse a et b sécants. Conclusion Comme supposer a et b sécants mène à une contradiction, les plans a et b sont parallèles.

Synthèse

261

8. Que devient le théorème de Thalès dans l’espace ? Les droites a et b ne sont pas coplanaires

Les droites a et b sont coplanaires a b

B′

A′

B′ C′

A″

B″

B″ C″ fig. 30

AA′ AA′′

Le rapport

BB ′ BB ′′

fig. 31

AA′ AA′′

AC ′ AC ′′

A′ C ′ A′′ C ′′

A′ C ′ (fig. 31) est égal aux deux autres parce que les droites AA′ et AC′ qui A′′ C ′′

coupent les plans sont coplanaires. Théorème 8.12 Trois plans parallèles découpent sur deux droites de l’espace des segments homologues proportionnels. Théorème 8.13 Si des points partagent dans le même rapport des segments de droites compris entre deux plans parallèles, alors tous ces points sont situés dans un plan parallèle aux deux plans donnés.

262

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

9. Quelles sont les propriétés de la perspective parallèle ? Lorsqu’on étudie les propriétés de figures dans l’espace, on réfléchit souvent à partir de représentations en perspective parallèle. Certaines propriétés des solides et des figures de l’espace sont conservées, d’autres pas. Lorsque l’on dit qu’une propriété est conservée, cela signifie qu’elle est présente dans la réalité et sur sa représentation, quelles que soient les positions des éléments concernés. La perspective parallèle conserve les propriétés d’incidence, le parallélisme des droites et les rapports entre segments d’une même droite. Ces propriétés sont détaillées dans le tableau. Si, dans la réalité…

… alors, sur une représentation en perspective parallèle, …

A ∈d

l’image de d comprend l’image de A.

A, B et C sont alignés

les images de A, B et C sont alignées.

d1 // d2

image de d1 // image de d2.

P appartient à d1 et d2 ( d1 ≠ d2 )

l’intersection des images de d1 et d2 est l’image de P pour autant que les images de d1 et d2 ne soient pas confondues.

A, B et C appartiennent à d et

AB BC

les images de A, B et C appartiennent à l’image de d et les rapports entre les longueurs des images correspondantes est k.

Attention ! Ce tableau se lit de gauche à droite. Ainsi, par exemple, à trois points alignés dans un dessin en perspective parallèle ne correspondent pas nécessairement trois points alignés dans la réalité. Notons par ailleurs que : – trois points non alignés dans un dessin en perspective parallèle sont toujours non alignés dans la réalité ; – deux droites qui se coupent sur un dessin en perspective parallèle ne sont pas nécessairement sécantes dans la réalité ; – deux droites parallèles sur la représentation ne le sont pas nécessairement dans la réalité ; – les longueurs et les amplitudes ne sont pas conservées. Seules les mesures de segments ou d’angles situés dans un plan frontal (un plan parallèle au plan sur lequel on projette) sont représentées en vraie grandeur ou à l’échelle.

Synthèse

263

10. Comment déterminer le point de percée d’une droite dans un plan ? Pour déterminer le point d’intersection d’une droite d dans un plan a, on procède de la manière suivante : d – définir un plan auxiliaire p, contenant la droite d π et sécant au plan a ; – déterminer la droite b commune aux plans p et a ; – s’il existe, le point cherché est le point d’intersection des droites d et b. Concrètement, le choix du plan auxiliaire p est guidé par les données du problème : il faut pouvoir déterminer son intersection avec le plan a.

fig. 32

Exemple Les rayons lumineux projettent l’image d’une fenêtre sur le sol. Dans la figure (fig. 33), on connaît A1, projection sur le sol du point A. On cherche B1, la projection du point B. Pour déterminer le point de percée de la droite projetante d dans le sol, on choisit comme plan auxiliaire un plan projetant comprenant le point B.

A′

Pour ce faire : – on mène par B la parallèle à AA′ (axiome 8.5) ; on trouve B ′ qui est un point du sol ;

B d

B′

d′

fig. 33 – par B ′, on mène d′ parallèle à A′A1 (axiome 8.5) ; la droite d ′ est incluse dans le plan du sol et dans le plan auxiliaire (théorème 8.5).

Le point d’intersection B1 des droites d et d ′ est le point de percée de la droite d dans le plan du sol.

11. Comment déterminer l’intersection de deux plans ? Deux possibilités : – repérer deux points distincts dont on peut montrer qu’ils appartiennent chacun aux deux plans. Cela revient parfois à chercher les points de percée de deux droites d’un de ces plans dans l’autre plan ; – repérer un point commun aux deux plans et la direction de la droite d’intersection en se référant aux propriétés de la figure.

264

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

12. Comment déterminer la section d’un polyèdre par un plan ? La section d’un polyèdre par un plan, si elle existe, est soit un sommet, soit une arête, soit un polygone dont les côtés sont déterminés par l’intersection de faces du polyèdre avec ce plan. Le plan de section ne coupe pas nécessairement toutes les faces du polyèdre. Exemples a. Section d’un parallélépipède par un plan PQR Dans cet exemple (fig. 34), les points P, Q et R, situés sur les arêtes du parallélépipède, sont des points de la section. 1) Par R, on mène, dans la face arrière, une parallèle à PQ (théorème 8.7) qui coupe l’arête [HD] en un point S situé dans la face gauche. 2) On trace [SP]. 3) Le quadrilatère PQRS est la section cherchée. H

S E P

F R

C fig. 34

b. Section d’une pyramide par un plan MNP Dans cet exemple (fig. 35), les points M, N et P situés sur les arêtes du tétraèdre sont des points de la section. 1) On cherche le point d’intersection Q de la droite MN et de l’arête AC du tétraèdre (droites sécantes dans le plan SAC). 2) On trace la droite QP qui coupe l’arête BC en R (théorème 8.9). 3) On trace [RM] dans le plan SBC. 4) Le quadrilatère MNPR est la section cherchée. S M N C A Q P

R B

fig. 35

Synthèse

265

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Réalité ou illusion ? Ces solides, dont les faces sont supposées planes (fig. 36 à 39), paraissent « normaux » et pourtant, dans la réalité, il est impossible de les construire. Expliquer pourquoi. a.

fig. 36

fig. 37

fig. 39

fig. 38

2. Droites et plan On donne un parallélépipède (fig. 40). Préciser les positions relatives des droites AC, AF, HF, DH, GP, HE et EA par rapport au plan GDB. Justifier chaque réponse.

G H

3. Démontrer des théorèmes D

Démontrer le critère de parallélisme suivant : deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à l’autre.

5. Combien de droites ? Combien de plans ? Réaliser une figure pour illustrer chaque réponse. a. On donne trois points. Combien y a-t-il de droites passant par ces points pris deux à deux ? Justifier. b. Même question si on donne quatre points. c. On donne quatre points. Combien y a-t-il de plans passant par ces points pris trois à trois ? Justifier. 266

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

E C

Démontrer les théorèmes 8.6 et 8.7 (page 256).

4. Un nouveau critère

B P

A fig. 40

6. Positions relatives de droites On donne deux droites a et b. Les points A et B, distincts, appartiennent à la droite a et les points C et D, distincts, sont situés sur le droite b. Quelles sont les positions relatives des droites AC et BD lorsque : a. les droites a et b sont parallèles ? b. les droites a et b sont sécantes ? c. les droites a et b sont gauches ? Réaliser une figure pour illustrer chaque réponse.

7. Droites gauches On donne deux droites gauches. Peut-on trouver : a. un plan parallèle à une des droites et comprenant l’autre ? b. un plan parallèle à chacune de ces droites ? Expliquer et justifier chaque étape de la construction.

8. Polygones ? Les sommets des polygones ( même plan ? Justifier.

fig. 41 à 44) sont-ils situés dans un D A

D A

C B

fig. 42

fig. 41

C C D

D B

A fig. 43

fig. 44

Exercices

267

9. Vrai ? Faux ? Préciser si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Si la proposition est vraie, la démontrer. Dans le cas contraire, trouver un contre-exemple dans une figure (parallélépipède ou tétraèdre). a. Si la droite a est parallèle au plan p, toute droite parallèle à p est parallèle à a. b. Si la droite a est parallèle au plan p, toute droite non parallèle à a est non parallèle à p. c. Si la droite a est parallèle au plan p, tout plan qui contient a est parallèle à p. d. Si les plans a et b sont parallèles, toute droite incluse dans a est parallèle à toute droite incluse dans b. e. Si les plans a et b sont parallèles, tout plan qui coupe a, coupe b. f. Si les droites a et b sont gauches et si les droites a et c sont parallèles, alors les droites b et c sont gauches.

Appliquer une procédure 10. Ombre au soleil a. On donne le dessin d’un piquet OB et de son fig. 45), construire l’ombre sur ombre OB′ ( le sol d’un autre piquet. Justifier les étapes de la construction.

B′

fig. 45

b. Construire l’ombre sur le sol et sur la caisse d’un bâton vertical fig. 46). ( Construire ensuite l’ombre de la caisse sur le sol.

fig. 46

268

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

c. Construire l’ombre sur le sol et sur les caisses d’un bâton vertical fig. 47). (

fig. 47

d. Un cube est posé sur le sol, on connaît l’ombre d’une de ses arêtes fig. 48). Dessiner son ombre sur le sol. (

fig. 48

e. On donne l’ombre d’une arête d’un cube. ( siner l’ombre de ce cube sur le sol.

fig. 49). Des-

11. Au-delà du cube

fig. 49

fig. 50 et 51) sont formés de

Ces parallélépipèdes rectangles ( deux cubes.

a. Tracer l’intersection de ce solide et du plan p parallèle à MNP passant par le point X. b. Tracer l’intersection du cube d’arêtes [AB] et [CG] et du plan p. Justifier les étapes de la construction. XE

H D

M P

H P

G C fig. 50

C G fig. 51 Exercices

269

12. Objet tranchant Un tétraèdre en matière synthétique est traversé par une lame d’acier. fig. 52). Justifier les étapes de la Compléter le dessin de la lame ( construction.

B A C

Résoudre un problème

fig. 52

13. Section plane d’un tétraèdre (exercice partiellement résolu)

Déterminer la section plane du tétraèdre ABCD par le plan PQR.

a. Exercice résolu (fig. 53 et 54)

Les données et les points découverts au cours des étapes successives de la construction sont encodés dans un tableau qui met en évidence l’appartenance des points aux différents plans du tétraèdre. ABC

ABD

ACD

BCD

C A

R B

fig. 53

Dès qu’un plan d’une face contient deux points de la section, on peut tracer l’intersection du plan de section avec cette face ([PQ] dans ACD et [QR] dans BCD).

D P

Dans le plan ADC, on cherche l’intersection X des droites PQ et AC. Ce point X est aussi situé dans le plan ABC ; on le joint au point R. L’intersection de XR et AB est un point du plan de section, c’est le point Y.

C A R

La section est donc le quadrilatère PQRY. b. Exercices non résolus (

Y B

fig. 55 à 58)

1) P ∈ [AB] ; Q ∈ [AC] ; R ∈ [AD]

fig. 54

2) P ∈ [AB] ; Q ∈ [DC] ; R ∈ [AD]

A P

270

C A P

fig. 55

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

fig. 56

3) P ∈ [AB] ; Q ∈ [AC] ; R ∈ face ADB

4) P ∈ BC ; Q ∈ DC ; R ∈ [AC] D

R Q

A P

fig. 57 P

fig. 58

14. Section plane d’un cube (exercice partiellement résolu) Déterminer la section plane du cube ABCDA′B′C′D′ par le plan PQR. a. Exercice résolu Les données et les points découverts au cours des étapes successives de la construction sont encodés dans un tableau qui met en évidence l’appartenance des points aux différentes faces du cube. Haut

Bas

Gauche

Droite

Avant

Arrière

P ∈ [ C ′D ′ ] ; Q ∈ [ A′ B ′ ] ; R ∈ [ BC ] P

D′ Q

A′

C′

B′

Q S

S T

La face supérieure du cube contient deux points de la section, on peut donc tracer l’intersection du plan de section avec cette face, le segment [PQ].

R A

B fig. 59

D′

Le point R est dans la face inférieure. Par le théorème 8.7, on sait que [RS] // [PQ]. Dans la face avant, on trace [QS], et dans la face arrière, [PT] // [QS]. La section est PQSRT.

A′

C′

P B′

T D A

C R S

B fig. 60 Exercices

271

b. Exercices non résolus (

fig. 61 à 64)

1) P ∈ [ AA′ ] ; Q ∈ [ BB ′ ] ; R ∈ [ CC ′ ]

2) P ∈ AA′ ; Q ∈ CC ′ ; R ∈ [ BB ′ ]

C′

D′ A′

Q P

B′ R

D′

C′

A′

B′

Q D

D fig. 61

3) P ∈ face ( ADD ′ ) ; Q ∈ [ B ′ C ′ ] ; R ∈ [ C ′D ′ ] R

D′

C B

C′

D′

C′

A′

B′

B′ R

15. Section d’une poutre On coupe cette pièce métallique par le plan défini par les points A, B fig. 65). et C. Colorier la section obtenue (

B C

fig. 65

272

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

C B fig. 64

fig. 63

fig. 62

4) P ∈ [ A′ B ′ ] ; Q ∈ [ AD] ; R ∈ [ CC ′ ]

A′

16. Ombre d’une pyramide Cette pyramide régulière ( fig. 66) a une base carrée dans le plan du sol. Les points A et B sont dans un même plan horizontal, le point A′ est l’ombre du point A. Tracer l’ombre de cette pyramide sur le sol. A B

A′ fig. 66

17. Ombre du campanile A′

Le Campanile de la place Saint-Marc, à Venise (Il Campanile di San Marco) a été construit au xvii e siècle. Haut de 98 mètres, il servait de phare aux navigateurs. À son sommet, une statue de l’Archange Gabriel indique le sens du vent.

a. Compléter le dessin ( pointillés.

fig. 67

fig. 67) en traçant les arêtes cachées en

b. Trouver l’ombre de ce clocher sachant que le point A′ est l’ombre de l’extrémité de la statue placée en haut du clocher.

Exercices

273

18. Ceci n’est pas (nécessairement) un cube On considère un parallélépipède non (nécessairement) rectangle. Soient : – M et N, deux sommets situés sur une même arête, – R et S, les milieux de deux autres arêtes comprenant respectivement un des sommets M et N ; les points R et S trouvent sur la même face du parallélépipède, – P un sommet (distinct de N) se trouvant sur la troisième arête issue de N. Montrer que le plan RSP est parallèle à l’arête MN.

19. Démontrer Les points M, N et P sont situés sur les arêtes SA, SB et SC de la pyramide SABC (fig. 68). S

M P C A N B

fig. 68

a. On désigne par I l’intersection de MN et AB, par J l’intersection de NP et BC et par K l’intersection de MP et AC. Compléter la fig. 68. Démontrer que, s’ils existent, les points I, J et K sont alignés. b. Quelle conclusion peut-on formuler dans le cas où MP et AC sont parallèles? Tracer la figure. c. Que peut-on dire si les points I, J et K n’existent pas ?

274

8. Parallélisme et incidence dans l’espace

20. Pyramide de Khéops Mesurer la hauteur de la pyramide de Khéops en mesurant uniquement les distances mesurables sur le sol à un moment où le soleil ne projette pas une ombre dans un axe perpendiculaire à un côté, c’est possible. La taille de Thalès est 1,80 m et la longueur de son ombre est de 2 m. Au même moment, l’ombre du sommet de la pyramide est située à 27 m du côté ombragé et à 36 m du côté adjacent le plus proche (fig. 69). Un côté de la base de la pyramide vaut 230,4 m. Trouver dans ces conditions la hauteur de la pyramide.

T h A

T′

S′

Thalès

A 36 m 27 m

230,4 m

B fig. 69

Exercices

275

é t i l a n o g o orth e c a p s e ’ l s dan

La perpendicularité et l’orthogonalité sont particulièrement présente s dans l’architecture, qu’elle soit moderne ou beaucoup plus ancienne.

En géométrie de l’espace, on a déjà défini et étudié l’incidence et le parallélisme. Mais il y a un aspect qui n’a pas été évoqué : la perpendicularité. Elle est pourtant omniprésente : les pieds d’une table sont perpen diculaires au sol, les arêtes d’une boîte de sucres en morceaux sont perpendiculaires entre elles, les clous à enfoncer perpendiculairement au mur… La verticalité et l’horizontalité sont des notions très familières et pourtant elles réservent des surprises : les droites verticales sont perpendiculaires aux plans horizontaux. Mais les droites horizontales sont-elles nécessairement perpendiculaires aux plans verticaux ?

Il nous faudra intégrer ces notions dans le cadre de la théorie de la géométrie de l’espace, en étudiant les propriétés des droites et des plans perpendiculai res. On étudiera aussi la relation d’orthogonalité, qui s’applique aux droites perpendiculaires et également à des droites gauches. Ce faisant, on poursuit une construction théorique dans laquell e les démonstrations de nouvelles propriétés s’appuient sur celles déjà établies. L’étude de l’orthogonalité prend support sur l’exploration des propriétés spécifiques de solides comme le cube, le parallélépipède, le tétraèdre. Parfois au départ de l’observation de l’environnement familier.

n o i t a r o l p ex 1. Un parallélépipède rectangle Soit un parallélépipède rectangle ABCDA′B′C′D′ (fig. 1). D′ A′ D A

C′ B′ C B

fig. 1

a. Quelles sont, dans ce parallélépipède, les arêtes perpendiculaires à la droite AB ? b. On dit que deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Quelles arêtes du parallélépipède sont orthogonales à la droite AB ? c. Préciser si les paires suivantes de droites sont des paires de droites orthogonales non perpendiculaires, perpendiculaires, ni l’un ni l’autre. 1) AB et BC′

3) DC et A′B

5) DB et CC′

2) AD et CC′

4) A′D et BC′

6) DC et D′B′

Synthèse1 Exercice 1

2. Portes et fenêtres a. On place une longue latte sur le sol d’une pièce d’habitation (fig. 2). Est-il toujours possible de trouver une position de la porte pour que son bord inférieur soit parallèle à la latte ? En déduire un lien entre l’axe de rotation de la porte et les droites situées dans le plan du plancher. b. Étudier les positions relatives du plan du sol (a) et du plan (b) d’une fenêtre basculante dont l’axe de rotation est horizontal. c. Même question à propos des positions relatives du plan b et du plan d’un mur qui ne contient pas la fenêtre.

fig. 2

278

9. orthogonalité dans l’espace

d. Boris place une porte dans le mur de pierre d’une maison ancienne qu’il restaure. Après avoir percé le mur et avant de fixer le chambranle, il veut s’assurer que l’axe des charnières est bien vertical. Il pose son équerre de menuisier le long du mur, entre le sol et le chambranle comme le montre la fig. 3. Lorsque la porte est placée, il s’aperçoit qu’il y a un frottement. Comment aurait-il pu l’éviter (on suppose que le chambranle fourni est bien d’équerre) ? e. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan.

Synthèse 2

fig. 3a

fig. 3b

3. Un prisme Dans le prisme droit ABCDA′B′C′D′, les droites AA′, BB′, CC′ et DD′ sont perpendiculaires au plan de la base supérieure ABCD (fig. 4). D

C A

D′

C′ A′

B′

fig. 4

a. Voici cinq affirmations. Certaines d’entre elles sont-elles une condition suffisante ou une condition nécessaire d’une autre ? Certaines de ces affirmations sont-elles équivalentes ? 1) Les plans ABB′ et BB′C sont perpendiculaires. 2) Les droites AB et BC sont perpendiculaires. 3) Les droites A′B′ et B′C sont perpendiculaires. 4) Les droites A′B et BB′ sont perpendiculaires. 5) Les droites A′B et B′C′ sont perpendiculaires. b. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante de perpendicularité entre deux plans.

Synthèses 3 et 4 Exercices 2 et 3

Exploration

279

4. Perpendiculaire commune à deux droites gauches A. On considère un tétraèdre régulier SABC (fig. 5). 1) Quelle est la position relative de deux arêtes opposées ? 2) De quelle propriété jouit la droite MP qui joint les milieux de deux arêtes opposées ? Démontrer. S

P C A M B

fig. 5

B. On souhaite construire la perpendiculaire commune entre deux droites gauches quelconques. Est-ce toujours possible ? Voici comment procéder. Soient deux droites gauches a et b. a. Existe-t-il toujours un plan b parallèle à la droite a qui contienne la droite b ? Justifier. b. Par un point quelconque de la droite a, tracer une perpendiculaire d au plan b ; soit D le point de percée de d dans a. Par D, mener une droite e parallèle à la droite a. Les droites b et e sont-elles sécantes ? Justifier. c. Comment poursuivre la construction pour obtenir une droite p perpendiculaire commune aux droites a et b ? Cette droite p est-elle unique ? Justifier.

Synthèse 5 Exercice 4

5. Lieu des points équidistants de deux points donnés On considère le tétraèdre régulier de la fig. 5. a. Déterminer l’ensemble des points de l’espace équidistants des sommets A et B. Caractériser cet ensemble. b. Quelle est la relation entre la droite AB et cet ensemble ?

280

9. orthogonalité dans l’espace

Synthèses 6 et 7 Exercices 5 à 11

e s è h t n y s On complète ici la théorie relative à la géométrie dans l’espace vue dans le chapitre 8 ou en quatrième année. La synthèse du chapitre 8 est un texte de référence ; elle permet, au besoin, de retrouver les éléments de théorie utiles pour aborder ce chapitre 9.

1. Qu’appelle-t-on droites orthogonales dans l’espace ? Définition 9.1 – Droites orthogonales Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si une parallèle à l’une comprenant un point de l’autre est perpendiculaire à cette autre. La notation a ⊥ b signifie que les droites a et b sont orthogonales (ou perpendiculaires si elles sont coplanaires). d Les droites d et e (fig. 6) sont orthogonales ( d ⊥ e ) ; en effet, si e ∩ f = { A} et d // f , on a e ⊥ f . La définition se rattache à la notion de perpendicularité entre deux droites coplanaires, étudiée dans le cadre de la géométrie plane.

fig. 6

2. Comment définir la perpendicularité entre une droite et un plan ? Comment la vérifier ? Définition 9.2 – Droite perpendiculaire à un plan Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. d a

a′

c′

b′

fig. 7

Synthèse

281

Propriétés 1. Il n’existe qu’une seule droite perpendiculaire à un plan donné et comprenant un point donné. 2. Il n’existe qu’un seul plan perpendiculaire à une droite donnée et comprenant un point donné. Ces propriétés sont admises. Théorème 9.1 – Critère de perpendicularité d’une droite et d’un plan Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. d

a′

a b′

α P

fig. 8

1) Condition nécessaire Hypothèses Droite d et plan a : d ⊥ α ; droites a et b sécantes : a ⊂ α et b ⊂ α . Thèse d orthogonale à a et à b. Démonstration Immédiat en vertu de la définition 9.2 2) Condition suffisante 1er cas : d est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan Hypothèses Droite d et plan a : d ∩ α = {P} ; droites a′ et b′ : a′ ⊂ α ; b′ ⊂ α ; a′  b′ = {P} ; d ⊥ a′ ; d ⊥ b′ . Thèse d⊥α. Démonstration Il faut montrer que d est orthogonale à toute droite c de a. Pour cela, il suffit de montrer que d est perpendiculaire à c′ , la parallèle à c comprenant P. Soient Q et R, deux points distincts, appartenant à d et équidistants de P. Soit une droite e : e ⊂ α , P ∉ e , e // a ’ , e // b ’ et e // c ’ . Soient e ∩ a ’ = { A} , e ∩ b ’ = { B} et e ∩ c ’ = {C} .

282

9. orthogonalité dans l’espace

•

• •

QA = RA car les triangles QPA et RPA sont isométriques : ils ont tous deux un angle droit (en P), compris entre des côtés de même longueur ( [ PA] commun et PQ = RP ). QB = RB car les triangles QPB et RPB sont isométriques (justification analogue).  = RBA  car les triangles QAB et RAB QBA sont isométriques puisque leurs côtés sont égaux deux à deux.

Q a′ c

c′

C b′

fig. 9

•

 = RBC  (car QC = RC car les triangles QAC et RAC sont isométriques ; en effet, QBC  = 180° − QBA  et RBC  = 180° − RBA  ) et les côtés respectifs de ces angles sont égaux QBC deux à deux.

•

 = RPC  , car les triangles QPC et RPC sont isométriques puisque leurs côtés sont QPC égaux deux à deux.

•

 = RPC  = 90° , en effet QPC  + RPC  = 180° puisque P, Q et R sont alignés. QPC Dès lors d ⊥ c′ , ce qui suffit à établir que d ⊥ α .

2 cas : d est orthogonale à deux droites sécantes du plan d

Hypothèses Droite d et plan a Droites a et b sécantes : a ⊂ α , b ⊂ α et d orthogonale à a et à b. Thèse d⊥α

a′

a b′

α P

Démonstration • Il faut montrer que d est sécante au plan a (par l’absurde).

fig. 10

Si d // a, alors d // d′, d′ ⊂ a, et donc d′ ⊥ a et d′ ⊥ b, ce qui entraîne a // b. Ce qui contredirait a et b sécantes. • Soient a′ et b′ : P ∈ a′, P ∈ b′, a′ // a, b′ // b . On a a′ ⊂ α , b′ ⊂ α, a′ ∩ b′ = {P} . Par le 1er cas, on en déduit d ⊥ a′ et d ⊥ b′ et donc d ⊥ α .

Synthèse

283

3. Comment vérifier que deux droites sont orthogonales ? Théorème 9.2 – Critère d’orthogonalité de deux droites Deux droites sont orthogonales si et seulement si l’une est incluse dans un plan perpendiculaire à l’autre. 1) Condition nécessaire

Hypothèse Droites a et b orthogonales Thèse ∃ α : a ⊂ α et b ⊥ α Démonstration

Soit P ∈ a . Par P, on trace b′// b , β = ( a , b′ ) , d ⊥ β et α = ( a , d ) .

a β

P b′

On a : • d est perpendiculaire à b′ ; en effet d ⊥ β , b′ ⊂ β et {P} = b′ ∩ d (théorème 9.1) ; • d est orthogonale à b ; en effet b′// b , {P} = b′ ∩ a et b′ ⊥ d ;

• b ⊥ α ; en effet a ∩ d = {P} , a ⊂ α , d ⊂ α , b orthogonale à d, b orthogonale à a.

2) Condition suffisante Hypothèses Droites a et b, plan a : a ⊂ α et b ⊥ α . Thèse

a et b sont orthogonales ( a ⊥ b) . Démonstration b orthogonale à a ; en effet b ⊥ α et a ⊂ α (définition 9.2).

284

9. orthogonalité dans l’espace

fig. 11

4. Comment définir la perpendicularité entre deux plans ? Comment la vérifier ? Définition 9.3 – Plans perpendiculaires Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un contient une droite perpendiculaire à l’autre.

d α β

fig. 12

Théorème 9.3 – Critère de perpendicularité de deux plans Deux plans a et b, sécants suivant une droite d, sont perpendiculaires si et seulement si les intersections de tout plan g perpendiculaire à d, avec respectivement a et b, sont deux droites perpendiculaires. 1) Condition nécessaire

Hypothèses α ⊥ β ; α ∩ β = d ; γ ⊥ d ; α ∩ γ = e ; β ∩ γ = f Thèse e⊥ f Démonstration e Puisque α ⊥ β , le plan b contient une droite g perpendiculaire à a (définition 9.3).

g γ

Puisque g ⊥ α et e ⊂ α , on a g ⊥ e (définition 9.2).

fig. 13

Puisque d ⊥ γ et e ⊂ γ , on a d ⊥ e (définition 9.2). Les droites g et d sont sécantes ; en effet g ⊂ b, d ⊂ b et g ⊥ d car g ⊥ a et d ⊂ a. La droite e est donc orthogonale à deux droites sécantes g et d incluses dans b . Par le théorème 9.1, on a e ⊥ β . Puisque e ⊥ β et f ⊂ β , on a e ⊥ f (définition 9.2).

Synthèse

285

2) Condition suffisante Hypothèses α ∩ β = d ; γ ⊥ d ; α ∩ γ = e ; β ∩ γ = f ; e ⊥ f Thèse α⊥β Démonstration Puisque γ ⊥ d et e ⊂ γ , on a e ⊥ d (définition 9.2). Puisque e ⊥ d , e ⊥ f et que d et f sont deux droites sécantes incluses dans b , on a e ⊥ β (théorème 9.1). Puisque e ⊥ β et e ⊂ α , on a α ⊥ β (définition 9.3).

5. Comment construire une perpendiculaire commune à deux droites gauches et montrer qu’elle est unique ?

Théorème 9.4 Il existe une et une seule droite perpendiculaire à deux droites gauches données. Hypothèse Deux droites gauches a et b. Thèse

Il existe une et une seule droite p, perpendiculaire à a et à b. Construction 1) Construire par b un plan b // a . 2)

Construire par a un plan α ⊥ b .

Déterminer le point de percée de b dans a et par ce point mener dans a une perpendiculaire p à a.

d a

A C

Démonstration 1) Soit B ∈ b et par B, a′//a (axiome 8.4).

a′ B

fig. 14

Soit b le plan défini par les droites sécantes a′ et b (théorème 8.1). On a b // a , car a // a′ et a′ ⊂ β (théorème 8.11). Et a ∩ β = ∅ , car sinon a ⊂ b (vu que b // a), ce qui est impossible puisque a et b sont gauches et b ⊂ β .

286

9. orthogonalité dans l’espace

Soit A ∈ a et par A, d ⊥ β ; soit α = ( a , d ) . On a α ⊥ β (définition 9.3). La droite d perce le plan b en D. Soit e = α ∩ β ; on a e // a, car e ⊂ β et a // b . La droite b coupe le plan a ; dans le cas contraire, on aurait b // e et donc b // a , ce qui est impossible puisque a et b sont gauches.

Soit b ∩ α = {C} . Par C, on mène p : p ⊂ α et p // d .

La droite p est perpendiculaire aux droites a et b. En effet, p // d et d ⊥ β , donc p ⊥ b et p ⊥ a′ . Puisque a′ // a , on a p ⊥ a . De plus les droites p et a sont sécantes en E car toutes deux contenues dans le plan a.

Supposons qu’il existe une droite q, autre perpendiculaire commune aux droites a et b, telle que q ∩ a = {E′} et q ∩ b = {C′}. On aurait p // q (voir exercice 2), et donc p et q coplanaires. Dès lors, a = EE′ et b = CC′ seraient coplanaires, ce qui est impossible car a et b sont gauches.

6. Comment définir la distance d’un point à un plan ? d’un point à une droite ? Définition 9.4 – Distance d’un point à un plan La distance d’un point à un plan est la longueur du segment qui joint ce point au pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan. Par un point donné, on ne peut tracer qu’une seule perpendiculaire à un plan donné. La distance du point au plan est la longueur du segment joignant le point au point de percée de la perpendiculaire dans le plan.

B α

d( A , α) = AB

fig. 15

Définition 9.5 – Distance d’un point à une droite La distance d’un point à une droite est la longueur du segment qui joint ce point au pied de la perpendiculaire menée à la droite par ce point. On sait qu’il n’existe qu’un seul plan perpendiculaire à une droite donnée comprenant un point donné. Le point de percée de la droite dans le plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite donnée. d ( A , a ) = AB

a A B α fig. 16

Définition 9.6 – Distance entre deux droites gauches La distance entre deux droites gauches est la longueur du segment défini par les points d’intersection de ces droites avec leur perpendiculaire commune. Sur la fig. 14, d( a , b) = EC . Synthèse

287

7. Quel est le lieu des points équidistants de deux points donnés ? Théorème 9.5 Le lieu des points équidistants de deux points distincts A et B de l’espace est le plan perpendiculaire à la droite AB comprenant le milieu du segment [ AB] .

La démonstration se fait en deux parties. 1)

Tout point équidistant de A et de B appartient au plan p, perpendiculaire à la droite AB et comprenant le milieu de [ AB] .

Hypothèses

Points A et B, A ≠ B ; M milieu de [ AB]

point P : PA = PB ;

fig. 17

p : M ∈ π et π ⊥ AB . Thèse P∈p Démonstration Les triangles PAM et PBM sont isométriques (trois côtés  = PMB  égaux deux à deux), donc PMA

P A M

 = PMB  = 90° . Les points A, M et B sont alignés, donc PMA Ainsi PM ⊥ AB donc PM // p (exercice 2) or M ∈ p, donc PM ⊂ p et P ∈ p. 2)

Tout point du plan p, perpendiculaire à la droite AB et comprenant le milieu de [ AB] , est équidistant de A et de B. Hypothèses

B π fig. 18

M milieu de [ AB] ; p : M ∈ π et π ⊥ AB ; P∈π Thèse PA = PB Démonstration  = PMB  = 90° ) Les triangles PAM et PBM sont isométriques car ils ont un angle égal ( PMA compris entre deux côtés de même longueur ( [ PM ] commun et MA = MB ). Donc PA = PB . Définition 9.7 – Plan médiateur Le plan médiateur d’un segment [ AB] (A ≠ B) est le plan perpendiculaire à la droite AB comprenant le milieu de ce segment (fig. 17).

288

9. orthogonalité dans l’espace

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Combien d’arêtes ? Dans un cube, on choisit une arête. Combien d’arêtes du cube sont respectivement : a. parallèles à l’arête choisie ? b. perpendiculaires à celle-ci ? c. orthogonales à celle-ci ? d. gauches avec celle-ci ?

2. Démonstrations Démontrer les propriétés géométriques classiques suivantes. a. Par un point donné, on ne peut mener qu’une seule droite perpendiculaire à un plan donné. b. Par un point donné, on ne peut mener qu’un seul plan perpendiculaire à une droite donnée. c. Si une droite est perpendiculaire à deux plans, ces deux plans sont parallèles. d. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l’autre. e. Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. f. Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan parallèle à l’un est perpendiculaire à l’autre. g. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’un est parallèle à l’autre. h. Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même troisième, leur intersection est perpendiculaire à ce troisième. i. Deux plans sont parallèles si et seulement si l’un d’eux est perpendiculaire à une droite perpendiculaire à l’autre. j. Si une droite et un plan sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux. k. Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.

Exercices

289

Appliquer une procédure 3. Plans perpendiculaires et parallélépipède rectangle Dans le parallélépipède rectangle de la fig.19, les faces BCGF et ADHE sont des carrés. On considère tous les plans déterminés par trois sommets de ce parallélépipède.

H E

a. Préciser les plans perpendiculaires à chacun des plans suivants : HDC, AEH, EFC, FCD. Justifier. b. Rechercher le plan : 1) contenant DG et perpendiculaire au plan ABF ;

3) contenant BG et perpendiculaire au plan AFC. Justifier les réponses.

4. Perpendiculaire commune Dans un cube d’arêtes parallèles AE, BF, CG et DH, on demande de construire une perpendiculaire commune aux droites : c. DE et CF

e. CE et BG

b. EF et CH

d. DH et CE

f. DE et CH

Justifier les constructions.

5. Plans médiateurs dans un cube Dans un cube représenté en perspective cavalière, tracer a. le plan médiateur d’une diagonale d’une face de ce cube ; b. le plan médiateur d’une diagonale du cube ; c. le plan médiateur du segment reliant un sommet de la base inférieure au centre de la base supérieure. Justifier.

Résoudre un problème 6. Un problème de cube Soit un cube. On appelle A un de ses sommets et on considère le plan a défini par les trois sommets reliés à A par une arête du cube. Démontrer que la diagonale AB du cube est perpendiculaire au plan a.

290

9. orthogonalité dans l’espace

F D

2) contenant BG et perpendiculaire au plan ADH ;

a. BC et EH

C B

fig. 19

7. Tétraèdre et triangles isocèles Soit un tétraèdre MNPQ (polyèdre à quatre faces triangulaires). On suppose que les triangles MNP et MNQ sont isocèles respectivement en P et Q1. Démontrer que la droite PQ est orthogonale à MN.

8. Plans sécants, plans perpendiculaires dans un cube On considère un cube d’arêtes parallèles AE, BF, CG et DH. La longueur de ses arêtes est de 4 cm. Le point O est le centre de la base supérieure EFGH. a. Dessiner le cube en perspective cavalière. b. Démontrer que OD est l’intersection des plans EDG et HDB. c. Dessiner le rectangle DBFH en vraie grandeur et y placer le point O, puis démontrer que les droites HB et OD sont perpendiculaires. d. Démontrer que HB est orthogonale au plan DEG.

9. Pyramide et orthogonalité Dans une pyramide régulière SABCD à base carrée, on appelle O le centre de la base ABCD. Le point M est le milieu de l’arête [ AD] . Démontrer que AD est perpendiculaire au plan SOM.

10. Théorème des trois perpendiculaires Si, par un point, on mène deux droites, l’une perpendiculaire à un plan, l’autre perpendiculaire à une droite de ce plan, alors cette dernière droite est perpendiculaire au plan des deux perpendiculaires. Démontrer le théorème en envisageant les deux cas possibles : 1) le point est situé dans le plan ; 2) le point est extérieur au plan.

11. L’Atomium L’Atomium est formé de neuf boules. Huit de celles-ci correspondent aux sommets d’un cube (leur centre se trouve sur un des sommets de celui-ci) dont une diagonale est verticale par rapport au sol. La dernière boule se trouve au centre du cube sur l’axe vertical qui joint la boule inférieure à la boule supérieure. a. Prouver que, à l’exception de la boule centrale, les trois boules directement reliées à la boule supérieure sont dans un même plan horizontal (ou, plus exactement, leurs centres respectifs sont dans un même plan horizontal). b. Prouver que les milieux2 de tous les tubes reliant deux boules autres que celle de l’axe vertical (boule inférieure, boule centrale, boule supérieure) se trouvent dans un même plan. 1 2

Un triangle ABC est isocèle en A si et seulement si |AB| = |AC|.

Nous appelons « milieu du tube reliant deux boules » le milieu du segment joignant les centres des boules considérées.

Pièce de deux euros frappée à l’occasion de la réouverture de l’Atomium après rénovation.

Exercices

291

e r i a l a c s t i produ n a l p e l s dan

Jadis, de tels wagonnets étaient tractés par des chevaux qui circulaient à côté des rails. Le concept de produit scalaire dérive directement du calcul du travail de la force exercée dans de telles situations.

Que ce soit en physique ou en mathématiques, un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une « mesure ». Pour un vecteur-force, cette mesur e correspond à l’intensité de la force ; pour un vecteur-déplacement, il s’agit de la distance entre la position initiale et la position finale d’un mobile. En mathématique, on parle de l’origin e et de l’extrémité du vecteur associé à une translation. En physique, la somme vectorielle correspond à la composée de forces ou à la succession de déplacements ; en mathématiques, elle est notamment associé e à la composée de translations. Dans ce chapitre, on découvre une nouvelle opération entre deux vecteurs : le produit scalaire. Alors que la somme de deux vecteurs ou le produit d’un vecteu r par un réel sont des vecteurs, le produit scalaire de deux vecteurs est un réel. Ce concept, apparu au xixe siècle, est né de la physique pour calcule r le travail d’une force qui déplace son point d’application. Le mot « scalaire » fut donné par hAmilTon (1853) ; il signifie ici « numérique » et vient du latin scalaris (« escalier, échelle »). Dans un contexte vectoriel, ce qualificatif permet de distinguer les « objets vecteurs » des « objet s nombres ». Aujourd’hui, le produit scalaire est utilisé dans de nombreux domai nes de la physique : énergie et moment cinétique scalaire d’un solide, hydrodynamique, circula tion et flux d’un champ électrique, électromagnétisme… Le produit scalaire intervient en mathématiques pour résoudre des problèmes de géométrie dans l’espace comme dans le plan : il permet d’étudier les distances, les angles et la perpendicularité. Dans ce chapitre, on définit le produit scalaire à partir d’un exemp le fondamental : le concept apparaît en dynamique avec le travail d’une force.

Timbre émis par l’Irlande en 2005 pour commémorer l’année mondia le de la Physique et le bicentenaire de la naissance de William Rowan Hamilton (1805-1 865).

n o i t a r o l p ex 1. Travail d’une force Le tracteur qui déplace sa remorque effectue un travail. En physique, lorsqu’une force est exercée sur un mobile avec un déplacement de son point d’application, on définit le travail W (en joules) comme l’énergie fournie au mobile (travail moteur), comptée positivement (représentée par un nombre positif) ou au contraire l’énergie enlevée au mobile (travail résistant), comptée négativement (mesurée par un nombre négatif). Lorsque la force appliquée F est dirigée dans la direction et le sens du déplacement d, le travail est donné par le produit de la grandeur (en mètres) du déplacement d par la grandeur (en newtons) de la force appliquée F. Il s’agit d’un travail moteur : on fournit de l’énergie au corps sur lequel la force s’applique. Ainsi par exemple, si un tracteur exerce une force de 1 800 newtons pour faire avancer la remorque de 100 mètres, le travail est de 180 000 joules. W = 1 800 N × 100 m = 180 000 J Si la force appliquée F est dirigée dans la direction du déplacement d, mais dans le sens contraire à celui-ci, on fera de même mais on assignera un signe négatif au produit trouvé. Ce signe exprime qu’il s’agit d’un travail résistant : on enlève de l’énergie au corps sur lequel la force s’applique. C’est le cas notamment lorsque le mouvement est freiné par des forces de frottement. Voici un autre exemple. Si un cycliste freine dans la descente avec une force de 50 newtons pour un déplacement de 10 mètres, il y a un travail résistant W = -50 · 10 = -500 J. W = -50 N × 10 m = -500 J

294

10. Produit scalaire dans le plan

Jadis, pour acheminer du charbon depuis le site de la mine vers l’extérieur, on utilisait un cheval de trait.

Comme le cheval tracte le wagonnet dans une direction qui n’est pas celle des rails, il ne faut tenir compte que de la composante efficace de cette force, c’est-à-dire celle dans la direction du déplacement, si l’on suppose que l’on a décomposé le vecteur selon la direction du déplacement et la direction orthogonale à celui-ci. C’est la grandeur (en newtons) de cette composante efficace qui doit être prise en compte pour calculer le travail effectué. 1 800 N

a. Calculer le travail effectué par le cheval, si la force est de 1 800 N et la distance parcourue de 100 m (fig. 1). b. Calculer le travail si l’angle est de 45°, la force de 1 500 N et la distance de 350 m. c. Calculer le travail effectué par un homme qui retient un chariot avec une force de 20 N dans une descente (fig. 2) lorsque la distance parcourue est de 50 m.

30º 100 m

fig. 1

fig. 2

d. Quelle est la valeur du travail exercé par le fil qui suspend un lustre immobile ? e. Quelle est la valeur du travail si un corps se déplace à vitesse constante sans subir de force ?

Exploration

295

2. Définition géométrique du produit scalaire Dans l’exploration 1, on a pu constater que le travail d’une force peut être déterminé à partir du vecteur déplacement d et du vecteur F exprimant la force appliquée. Cette opération, qui, à deux vecteurs donnés, fait correspondre un nombre est appelée produit scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit de la grandeur algébrique de l’un par la grandeur algébrique de la projection de l’autre sur lui. Ainsi donc le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (et non pas un vecteur) que l’on obtient à partir de la formule u  v =  u  ⋅  v  ⋅ cos q dans laquelle q est l’angle entre les vecteurs u et v. s

r w u

fig. 3 Synthèse 1 Exercices 1, 2, 5 (a, b), 6

a. Dans un octogone régulier de côté 2 ( fig. 3), calculer les produits scalaires suivants : r  s, r  t, w  r, w  s et r  u. b. Montrer que w  ( r + s ) = w  r + w  s.

3. Calcul du produit scalaire a. Calculer u  v sachant que  u  = 6,4 ;  v  = 4,5 et θ = 31, 4° (fig. 4).

b. Calculer v  u. c. Calculer r  s sachant que  r  = 3,5 ;  v  = 5 et θ = 200° . d. Calculer q sachant que  r  = 3 ;  v  = 2 et r  s = 4,6. u

e. Est-il possible que  r  = 3 ;  s  = 2 et r  s = 7 ?

Comparer le produit scalaire u  v au produit des normes  u  ⋅  v . Démontrer. f. Déterminer 3(u  v ) et (3u)  v sachant que  u  = 6,4 ;  v  = 4,5 et θ = 31, 4° (fig. 4). Conjecturer une règle générale et la démontrer. g. Calculer u  u sachant que  u  = 3. Conjecturer une règle générale et la démontrer. 296

10. Produit scalaire dans le plan

θ O

v fig. 4

4. Produit scalaire dans un repère orthonormé a. Dans la fig. 5, les vecteurs u (3 , 1) et v (2 , 3) du plan sont représentés dans un repère orthonormé d’origine O. Calculer le produit scalaire de ces vecteurs en fonction de leurs composantes.

Indication Décomposer OA et OB en fonction des vecteurs unitaires OI et OJ.

b. Généraliser le résultat découvert au point a en énonçant une propriété et démontrer.

c. Déterminer l’angle q entre les vecteurs u (3 , 1) et v (2 , 3). Établir une formule générale pour déterminer l’angle q entre deux vecteurs non nuls dont on connaît les composantes.

A u

I fig. 5

Synthèses 2 à 4 Exercices 3, 5 (c, d), 7

5. Produit scalaire et orthogonalité Les vecteurs u (1,5 ; 1) et v (– 2 ; 3) représentés dans un repère orthonormé (fig. 6) sont orthogonaux car q = 90°.

y B

a. Calculer u  v à partir des composantes des vecteurs et en utilisant la définition géométrique. b. Généraliser ce résultat. c. Le produit scalaire de deux vecteurs du plan r et s est nul. Peut-on en déduire que ces vecteurs sont orthogonaux ? Démontrer.

v J

θ u

x fig. 6

Synthèse 5 Exercices 4, 8 et 9

6. Théorème d’Al Kashi On considère un triangle quelconque ABC. a. Écrire une relation vectorielle entre les côtés de ce triangle. b. Démontrer la règle des cosinus en utilisant le carré scalaire de chaque membre de cette relation.

Synthèse 6 Exercices 10 à 16

Exploration

297

e s è h t n sy 1. Qu’est-ce que le produit scalaire de deux vecteurs ? a. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est le produit de leurs normes par le cosinus de l’angle q compris entre eux.  . On admet que cet angle ne L’angle q entre deux vecteurs AB et AC non nuls est l’angle BAC dépend pas des représentants choisis pour les vecteurs. b. Le produit scalaire de deux vecteurs, dont un au moins est le vecteur nul, est égal à 0. Définition 10.1 – Produit scalaire Le produit scalaire u  v des vecteurs u et v non nuls du plan est le nombre u  v =  u  ⋅  v  ⋅ cos q où q est l’angle entre les vecteurs u et v. Lorsque u = 0 ou v = 0, le produit scalaire u  v est nul. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (et non pas un vecteur) qui dépend uniquement de la longueur de ces deux vecteurs et, s’ils sont non nuls, de l’angle qu’ils forment. Exemples

u u

40º

160º

v fig. 7

v fig. 8

Le produit scalaire des vecteurs u de longueur 6 et v de longueur 7, formant entre eux un angle de 40° (fig. 7) est 6 ⋅ 7 ⋅ cos 40° = 32,174. Le produit scalaire des vecteurs u de longueur 4,5 et v de longueur 3,2, formant entre eux un angle de 160° (fig. 8) est 4,5 ⋅ 3,2 ⋅ cos 160° = -13,532.

298

10. Produit scalaire dans le plan

2. Quelles sont les propriétés du produit scalaire ? Théorème 10.1 – Produit scalaire et projection orthogonale Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est égal au produit scalaire des vecteurs AB et AE où E est la projection orthogonale de C sur la droite AB. C C

θ E

fig. 9

fig. 10

AB  AC =  AB  ⋅  AC  ⋅ cos q = AB  AE

 AB  ⋅  AE  si AB et AE sont de même sens (fig. 9)

=

- AB  ⋅  AE  si AB et AE sont de sens opposés (fig. 10)

Théorème 10.2 – Propriétés du produit scalaire Quels que soient les vecteurs u, v et w du plan et le réel k, on a : (1) k ⋅ (v  w) = (k ⋅ v )  w

Associativité mixte

(2) u  (v + w) = u  v + u  w

Distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition de vecteurs

(3) u  v = v  u

Commutativité (ou symétrie)

(4) u  u =  u 2 et u = u i u

Norme d’un vecteur et produit scalaire

(5) u  v ≤  u  ⋅  v 

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Remarque u  u peut se noter u2, appelé carré scalaire de u. La propriété (4) peut dès lors aussi s’écrire u2 =  u 2 et u = u2

Synthèse

299

3. Comment calculer un produit scalaire en fonction des composantes des vecteurs dans un repère orthonormé ? Théorème 10.3 – Produit scalaire dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé, le produit scalaire des vecteurs du plan u (xu ; yu) et v (xv ; yv) est u  v = (xu ; yu)  (xv ; yv) = xuxv + yuyv Conséquence Dans un repère orthonormé  u  = xu2 + yu2 . Exemple Soient A(3 ; 2) et B(– 1 ; 4) et les vecteurs u = OA et v = OB (fig. 11). y B(–1 ; 4)

A(3 ; 2)

v J

u  v = (3 ; 2)  (–1 ; 4) = –3 + 8 = 5  u  =

9 + 4 = 13

 v  =

1 + 16 = 17

fig. 11

4. Comment calculer l’angle entre deux vecteurs ? Si les vecteurs u et v du plan sont tous deux non nuls et que q est l’angle entre ces deux vecteurs, on déduit de la définition du produit scalaire u v . cos θ = u ⋅ v Théorème 10.4 – Cosinus de l’angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé Soient u(xu ; yu) et v(xv ; yv) deux vecteurs du plan, dans un repère orthonormé. On a cos θ =

300

10. Produit scalaire dans le plan

xu xv + yu yv xu2

+ yu2 ⋅

xv2 + yv2

5. Comment définir l’orthogonalité de vecteurs ? Définition 10.2 – Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs du plan u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. On note u ⊥ v. Conséquences 1) Deux vecteurs non nuls du plan AB et CD sont orthogonaux si et seulement si les droites AB et CD sont perpendiculaires. 2) Le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

6. Comment exprimer le théorème d’Al Kashi en utilisant le produit scalaire ? C

Soit un triangle ABC (fig. 12). Par définition de la somme vectorielle, on a BC = BA + AC. En appliquant le produit scalaire, on obtient : BC  BC = (BA + AC)  (BA + AC)

BC2 = BA2 + 2BA  AC + AC2 BC2 = BA2 - 2AB  AC + AC2 Par définition du produit scalaire, cette égalité devient :

c fig. 12

BC2 = BA2 - 2 AB  ⋅ AC  ⋅ cos q + AC2 BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB  ⋅ AC  ⋅ cos q On retrouve le théorème de Pythagore généralisé, appelé aussi théorème de Al Kashi, vu en quatrième : a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ . Remarque Lorsqu’un vecteur est désigné par deux points (u = AB ), la norme de ce vecteur est égale à la distance entre les deux points, on peut doncAB écrire = d(AB A , B = ) = AB .

Synthèse

301

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Nombre ou vecteur ? a. 3u + v

d. (u + v)  (u - v )

b. (3u  v) ⋅ w

e. (u  (u + v )) ⋅ (r - s )

c. ( v  w) ⋅ 3u

f. (3u + 2 v)  w

2. Calculer un travail a. Un monte-charge transporte un meuble de 50 kg du rez-de-chaussée au second étage d’une maison. La différence de niveau est de 6 m. Le travail à fournir est-il de 300 joules ou de 3 000 joules ? b. La force de frottement moyenne qui agit sur une voiture est de 480 N. Quel est le travail effectué par la voiture lorsqu’elle se déplace de 3,5 km ?

3. Représenter et/ou démontrer a. Démontrer les propriétés du produit scalaire énoncées dans la synthèse 2. Réaliser les figures correspondantes. 1 2 2 u + v − v−u 2 1 2 2 ui v =  u + v − u − v 2

b. Démontrer u i v =

2



2



4. Vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé. a. Montrer que le vecteur v(2 ; 5) est un vecteur orthogonal au vecteur u(5 ; -2). b. Quelle est la forme générale des composantes de tous les vecteurs orthogonaux au vecteur u(5 ; -2) ?

302

10. Produit scalaire dans le plan

Appliquer une procédure 5. Calculer un produit scalaire a. Calculer le produit scalaire des vecteurs AB et CD si :  = 30° ; 1) AB de norme 5, AC de norme 8 et BAC  = 110° . 2) AB de norme 3, AC de norme 4 et BAC b. Calculer le produit scalaire des vecteurs u et v qui forment entre eux un angle q. 1)  u  = 3,  v  = 2 et q = 60º

3)  u  = 1,  v  = 3 et q = 30º

5)  u  = 3,  v  = 7 et q = 0º

2)  u  = 4,  v  = 5 et q = 45º

4)  u  = 2,  v  = 6 et q = 90º

6)  u  = 8,  v  = 2 et q = 180º

c. Calculer le produit scalaire des vecteurs AB et CD (fig.13 à 15). Les mailles carrées ont une unité de côté. D B D

C A

B fig. 13

fig. 15

fig. 14

d. Calculer le produit scalaire des vecteurs u et v, dont on donne les composantes dans un repère orthonormé. 1) u (– 2 ; 3) et v (4 ; – 2) 2) u (7 ; – 3) et v (2 ; – 1) 3) u (0 ; 1) et v (1 ; 0) 4) u (a ; b) et v (b - a ; a - b) 5) u (a - b ; a + b) et v (a ; b)

6. Produit scalaire et triangle équilatéral Dans un triangle équilatéral ABC de côté 1, P est le milieu de [ BC ] , Q le milieu de [ AC ] et R le milieu de [ AB] . Calculer les produits scalaires suivants. 1) AB  AC

3) BP  AB

5) PR  PQ

7) BC  BQ

2) AB  BC

4) CR  AB

6) AR  AB

8) AP  RP

Exercices

303

7. Angles entre vecteurs a. Calculer l’angle entre les vecteurs u et v, dont on donne les composantes dans un repère orthonormé.

1) u (4 ; 3) et v (5 ; 2) 2) u (- 3 ; 1) et v (7 ; 2) b. Calculer les amplitudes des angles du triangle ABC (fig. 16), ainsi que les longueurs de ses côtés.

8. Vecteurs orthogonaux Vérifier si les vecteurs u et v, dont on donne les composantes dans un repère orthonormé, sont orthogonaux. a. u (- 2 ; -3) et v (2 ; 3) b. u (2 ; 3) et v (- 6 ; 4)  66 33  44 −−88 c. uu ;;  et et vv ;;   55 77  77 55  d. u = AB et v = CD, définis par les points A(3 ; 5), B(2 ; 2), C(- 2 ; 5) et D(1 ; 4).

9. Vecteurs orthogonaux et paramètres a. Pour quelle(s) valeur(s) de m, les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ? 1) u (1 ; -2) et v (m ; 1) 2) u (m ; 2m) et v (1 ; m) b. Quelle(s) valeur(s) faut-il donner à k pour que les deux vecteurs u et v soient orthogonaux ? 1) u (-3k ; 5) et v (2 - k ; k + 6) 2) u (2k2 - 1 ; k) et v (-5k ; 3k - 4) c. Pour quelles valeurs de a et de b les vecteurs u (2a + 3; 7) et v (8 ; 5b + 3) sont-ils orthogonaux ?

Résoudre un problème 10. Produit scalaire et triangle Dans un triangle quelconque ABC, le point M est le milieu de [ BC ] . Vérifier les égalités. 2

a. AB i AC = AM − 2

BC 4

b. AB − AC = 2 MA i BC 2

c. AB + AC = 2 AM + 304

2 1 BC (théorème de la médiane) 2

10. Produit scalaire dans le plan

1 0

C fig. 16

11. Retrouver des propriétés de géométrie plane

a. Dans le cercle de centre O (fig. 17), les points A et B sont diamétralement opposés.

Calculer le produit scalaire AP  BP en fonction de u et v.

Quelle conclusion peut-on tirer du résultat ? O

Énoncer la propriété géométrique correspondante. b. Soit un cercle de diamètre [ AB] et comprenant le point C, différent de A et de B (fig. 18). Utiliser le produit scalaire pour démontrer que le triangle ABC est rectangle.

fig. 17

c. Dans un triangle ABC (fig. 19), on trace les hauteurs issues des sommets B et C. Ces hauteurs se coupent au point H. C

On considère les vecteurs u = AB, v = AC et w = AH.

– Calculer u  (v – w). – Vérifier AH  BC = 0.

Énoncer la propriété géométrique correspondante. A

fig. 18

w v

u H

B C

fig. 19

12. Démontrer des propriétés a. On donne un triangle ABC, rectangle en C. Soit D, le pied de la hauteur issue de C. Soit E, le pied de la hauteur du triangle ADC issue de D. Soit F, le pied de la hauteur du triangle BDC issue de D. Démontrer que AC  EF = - AC  CD et que BC  FE = -BC  CD. b. Retrouver la formule de cos ( a − b) à partir du produit scalaire des vecteurs OA et OB. y A(cos a , sin a)

c B(cos b , sin b)

1 1 a 0

b 1

fig. 20 Exercices

305

13. Cinq points et un vecteur1 On donne quatre points A, B, C et D dans le plan. a. Montrer que si M est un point du plan, le vecteur v = 4MA + 3MB – 5MC – 2MD est indépendant du point M. b. Montrer que si le vecteur v de a. est nul (v = 0), le nombre x = 4 MA 2 + 3 MB 2 - 5 MC 2 – 2 MD 2 est aussi indépendant de M.

14. Les clés La fig. 21 est réalisée avec un logiciel de dessin. Si l’on pointe un endroit précis de cette image avec la souris, le logiciel indique les coordonnées du point correspondant. L’origine du repère est le coin inférieur gauche de l’écran. D’après les éléments fournis par la fig. 22, peut-on savoir si on peut superposer ces clés en utilisant la fonction « tourner de 90° » (éventuellement suivie d’une translation) ?

B(20 ; 90) A(40 ; 50)

fig. 21

D(190 ; 80) C(150 ; 60)

fig. 22

15. Le funiculaire Un funiculaire est un chemin de fer qui escalade une forte pente. Les wagons sont mus à l’aide d’un câble (en B) situé entre les deux rails (A). Comme c’est le cas du funiculaire installé à Spa, le wagon unique a souvent la forme d’une cabine d’ascenseur. La cabine est soumise aux actions de trois forces qui s’équilibrent : T, la tension du câble ; P, le poids du funiculaire ; R, la réaction des rails (supposée orthogonale à la pente : on néglige tout frottement). On montre en physique que lorsque le câble entraîne la cabine dans un mouvement à vitesse constante, la somme de ces forces est nulle : T + P + R = 0. a. Représenter la situation par un schéma, en deux dimensions dans un plan vertical, et y représenter les forces en présence. 1 Examen d’admission ULg 2001/2011.

306

10. Produit scalaire dans le plan

b. Si l’angle de pente des rails du funiculaire est de 30° par rapport à l’horizontale, et la masse de la cabine de 1,5 tonne, comment se décompose le poids P qui équilibre la réaction des rails R et la tension du câble T ? c. Si le dénivelé est de 120 m, calculer le travail que doit fournir le moteur qui tire le câble pour hisser une cabine d’une masse de 1,5 tonne. d. Généraliser la situation en exprimant un tel travail en fonction de la masse, de la longueur du déplacement et de l’angle de la pente.

16. Le train de charbon Un train de charbon d’une masse totale de 1 800 tonnes descend une pente de 2 %. Il parcourt une distance de 2 500 mètres. Le train roule à la vitesse maximale autorisée. Quel est le travail résistant nécessaire si l’on veut que le train maintienne une vitesse constante ?

Exercices

307

l e i r o t c e v calcul e c a p s e ’ l s dan

La position des avions dans l’espace aérien est suivie sur les écrans de la tour de contrôle.

Vers le milieu du xixe siècle, le calcul vectoriel est étendu à l’espac e : en 1843, par le mathématicien et physicien irlandais hAmilTon (1805-1865), puis, en 1844, par le mathématicien allemand grAssmAnn (1809-1877). Le calcul vectoriel est un outil apprécié des physiciens dès le e xix siècle, comme en témoigne le physicien et mathématicien écossais mAxwell (1831-1879) dans la préface d’une réédition de son Manuel d’Électricité et de Magnétisme (A Treatise on Electri city and Magnetism, 1873) : « Mais souvent en physique, pour raisonner, et non plus pour calculer, il est désirable d’éviter l’introduction explicite des coordonnées cartésiennes, et il est avanta geux de fixer son attention sur un point de l’espace pris en lui-même, et non plus sur ses trois coordonnées, sur la grandeur et la direction d’une force, non sur ses trois composantes. Cette manière d’envisager les quantités géométriques et physiques est plus naturelle que l’autre, et se présente d’abord à l’esprit ; néanmoins les idées qui en découlent ne reçurent pas leur entier développement, jusqu’au jour où Hamilton fit un deuxième grand pas dans l’étude de l’espac e, par l’invention de son calcul des Quaternions. »1 Il est néanmoins utile d’utiliser les composantes des vecteurs.

Pour définir la position d’un point dans un plan muni d’un repère , on utilise l’abscisse et l’ordonnée. Ces deux coordonnées permettent de définir les deux compo santes des vecteurs du plan. Le monde physique est à trois dimensions. À partir d’une origine fixée arbitrairement, on définit un repère en ajoutant un troisième axe de coordonnées, celui des cotes ou altitudes. Dans un repère donné, la position d’un point de l’espace est fixée par ses trois coordonnées. Cela permet de définir les trois composantes d’un vecteur de l’espace. Dans ce chapitre, on généralise à l’espace la notion de vecteur rencontrée dans le plan. La définition du produit scalaire est étendue à l’espace et permet d’étudi er les distances, les angles et l’orthogonalité.

1 Source : Mediamaths, « Le calcul vectoriel et son histoire ».

n o i t a r o l p ex 1. Se repérer dans l’espace Pour repérer la position de l’aimant déposé sur la table, on peut le situer par rapport aux trois plans du local de classe : à 1 m du mur latéral, à 1,2 m du mur du fond et à 80 cm du sol. a. Justifier par un théorème de géométrie synthétique que ces trois plans ont un seul point commun. Ce point commun O est choisi pour origine d’un système d’axes (fig. 1) formé de trois droites graduées non coplanaires : l’axe Ox des abscisses, l’axe Oy des ordonnées et l’axe Oz des cotes. Dans un système d’axes donné, tout point A de l’espace est caractérisé par le triplet ( xA ; yA ; zA ) de ses coordonnées.

b. Quelles sont les coordonnées du point B représentant l’aimant dans le repère donné (fig. 1), si les axes sont gradués en mètres ?

c. Calculer la distance du point B à l’origine O du repère. Comment calculer la distance d’un point A ( xA ; yA ; zA ) à l’origine du repère ?

d. Écrire les coordonnées des sommets du parallélépipède OABCDEFG dessiné dans le repère orthonormé de la fig. 2. e. Déterminer les coordonnées du point M, milieu de [ AG ] . f. Calculer les distances OE et OF . z

E y

F O

A x

y C

B fig. 2

x fig. 1

Synthèse 1 Exercice 6

310

11. Calcul vectoriel dans l’espace

2. Utiliser des outils pour visualiser dans l’espace a. Un cube est un outil pour visualiser un repère orthonormé dans l’espace. Trois arêtes d’un même sommet déterminent un tel repère, comme indiqué dans la figure (fig. 3). z zM M(xM ; yM ; zM) 1 1

1 xM x

fig. 3

Dans un tel repère, un point M de l’espace est représenté par ses coordonnées (xM ; yM ; zM). b. Un trièdre trirectangle identique à celui représenté sur la photo ci-contre permet de « voir » plus facilement un repère dans l’espace. Repérer dans le trièdre ainsi construit les axes Ox, Oy et Oz du repère ainsi que les plans xOy, yOz, et zOx.

3. Vecteurs de l’espace a. Quelle est la définition d’un vecteur dans le plan ? b. Étendre la définition de vecteur à l’espace. c. Définir la somme de deux vecteurs de l’espace. d. On donne trois vecteurs u, v et w non coplanaires ( fier que (u + v) + w = u + (v + w).

fig. 4). Véri-

v w

fig. 4 Exploration

311

4. Composantes d’un vecteur Des aiguilleurs du ciel relèvent les positions de deux avions par rapport à la tour de contrôle. Au moment de l’observation, le premier, qui vient de décoller, se trouve à 1 km dans la direction Est, 4 km dans la direction Nord et à une altitude de 700 m. Le second, qui va atterrir, est à 5 km direction Est, 6 km direction Nord et à une altitude de 4 200 m.

À tout moment, on peut décrire la position d’un avion par rapport à la tour de contrôle (origine) par un vecteur dont la première composante est la position selon un axe Ouest-Est, la deuxième selon un axe Sud-Nord et la troisième est l’altitude. À tout moment, on peut également décrire la position d’un avion par rapport à l’autre par un vecteur dont la première composante est la position selon un axe Ouest-Est du deuxième avion par rapport au premier, la deuxième selon un axe Sud-Nord et la troisième est la différence d’altitude par rapport au premier. a. Décrire la position de chaque avion au moment de l’observation sous la forme (a ; b ; c), en exprimant les composantes en km. b. Représenter le vecteur-position de chaque avion dans un orthonormé dont l’origine est la tour de contrôle.

repère

c. Calculer la distance de chaque avion par rapport à la tour de contrôle. d. Représenter le vecteur joignant la position du premier avion par rapport au second et donner les composantes de ce vecteur. e. Quelle opération vectorielle doit-on effectuer pour retrouver le vecteur évoqué en d. à partir des vecteurs-position des deux avions ? f. Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; –1 ; 2) et repère et calcuB(2 ; 3 ; –1). Représenter ces points dans un tel ler les composantes du vecteur u = AB.

312

11. Calcul vectoriel dans l’espace

Synthèses 2 et 3 Exercices 1 à 4, 7 et 8

5. Produit scalaire dans l’espace a. Soient u et v deux vecteurs de l’espace (fig. 5). Justifier que le produit scalaire de ces deux vecteurs peut être défini de la même manière que le produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. v

u fig. 5

b. Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs u(1 ; – 1 ; 2) et v (2 ; 3 ; – 1). Calculer u  v en fonction des composantes des vecteurs. Indication Si i, j et k sont les vecteurs unités de chaque axe du repère, u s’écrit alors u = 1 ⋅ i + (– 1) ⋅ j + 2 ⋅ k. c. Calculer la distance entre les deux avions rencontrés dans l’exploration 4.

6. Produit scalaire et orthogonalité a. Soient deux vecteurs u et v non nuls orthogonaux représentés par OA et OB dans le repère orthonormé de la fig. 6. Établir la relation entre les composantes de vecteurs orthogonaux à partir de la définition du produit scalaire des vecteurs u et v. b. Vérifier si les vecteurs u (– 1 ; 2 ; 3) et v (1 ; 2 ; – 1) sont orthogonaux. z A(xA ; yA ; zA)

1 O 1

1 B(xB ; yB ; zB)

Synthèses 4 à 6 Exercices 5, 9 à 21

fig. 6 Exploration

313

e s è h t n y s 1. Comment repérer un point dans l’espace ?1 Un repère orthonormé de l’espace est constitué des trois axes perpendiculaires deux à deux, de même origine et gradués avec la même unité. Pris deux à deux, ces trois axes définissent trois plans orthogonaux deux à deux : les plans xOy, yOz et zOx. Pour déterminer les coordonnées du point P dans un repère donné (fig. 7), – on projette le point P sur le plan xOy, parallèlement à l’axe Oz. On obtient P ′ ; – on projette P ′ sur Ox parallèlement à Oy, ce qui donne xP ; – on projette P ′ sur Oy parallèlement à Ox pour avoir yP ; – par P, on mène une parallèle à P ′O. On obtient zP . Les trois nombres xP , yP et zP, dans cet ordre, sont les coordonnées du point P. Elles sont écrites sous la forme du triplet ( xP ; yP ; zP ) . Si les coordonnées d’un point sont toutes trois non nulles, ce point est le sommet d’un parallélépipède construit sur ses coordonnées. Pour représenter le point A ( xA ; yA ; zA ) ,

– on place d’abord le point A′ ( xA ; yA ; zA ) dans le plan xOy ; – on place le point A″ de cote zA sur l’axe Oz ; – le point A est le quatrième sommet du parallélogramme1 de sommets A′O A″ (fig. 8). z zP 1 1

xP x

yP y

P′

fig. 7

z A″ zA 1 1 xA x

A′

fig. 8

1 Dans un repère orthonormé, c’est en réalité un rectangle, représenté par un parallélogramme en perspective parallèle.

314

11. Calcul vectoriel dans l’espace

2. Comment caractériser les vecteurs de l’espace ? Il s’agit ici d’étendre à l’espace la notion de vecteur vue en géométrie plane. Tout comme dans le plan, un vecteur de l’espace est caractérisé par deux points, ou par une direction, un sens et une longueur. Celle-ci est la norme du vecteur. Définition 11.1 – Norme d'un vecteur La norme du vecteur u = AB est la longueur du segment [ AB] : ∙ u ∙ = ∙AB ∙ = ∙AB∙

 Si les points A et B sont confondus, le vecteur AB est le vecteur nul, noté 0 . Deux vecteurs non nuls AB et CD sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme, c’est-à-dire si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (si A, B, C et D sont alignés, le parallélogramme est dit dégénéré). Choix arbitraire de l’origine d’un vecteur Pour tout point A de l’espace et pour tout vecteur u, il existe un et un seul point B de l’espace tel que AB = u. Définition 11.2 – Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles Soient les points A, B et C. La somme des vecteurs AB et BC est définie par la relation de Chasles : AC = AB + BC. Soient les points A, B, C et D ; l’égalité AD = AB + AC signifie que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Groupe commutatif (V ; +) L’ensemble V des vecteurs (de l’espace) muni de l’addition est un groupe commutatif : 1) ∀ u, v ∈ V : (u + v) ∈ V

Loi interne partout définie

2) ∀ u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w

Loi associative

3) ∀ v ∈ V : 0 + v = v + 0

0 est élément neutre

4) (∀ u ∈ V) (∃ v ∈ V) : v + u = 0 = u + v

Loi symétrisable : le symétrique de u est appelé opposé de u et noté – u

5) ∀ u, v ∈ V : u + v = v + u

Loi commutative

Définition 11.3 – Produit d’un vecteur par un réel Le produit d’un vecteur u par un réel r non nul est un vecteur : – de même direction que u ; – de même sens que u si r > 0 et de sens contraire si r < 0 ; – de norme ∙ r ∙ ⋅ ∙ u ∙. Le produit d’un vecteur u par 0 est le vecteur nul.

Synthèse

315

Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel La multiplication d’un vecteur par un réel jouit des propriétés suivantes : 1) (∀ r, s ∈ R) (∀ v ∈ V) : r ⋅ (s ⋅ v) = (r ⋅ s) ⋅ v)

Associativité mixte

2) ∀ v ∈ V : 1 ⋅ v = v

Le réel 1 est neutre à gauche

3) (∀ r ∈ R) (∀ v ∈ V) : r ⋅ v = 0 ⇔ (r = 0 ou v = 0)

Produit nul

4) (∀ r, s ∈ R) (∀ v ∈ V) : (r + s) ⋅ v = r ⋅ v + s ⋅ v

Distributivité par rapport à l’addition des réels

5) (∀ r ∈ R) (∀ u, v ∈ V) : r ⋅ (u + v) = r ⋅ u + r ⋅ v

Distributivité par rapport à l’addition des vecteurs

Définition 11.4 – Vecteurs parallèles Deux vecteurs u et v non nuls sont parallèles s’il existe un réel k ≠ 0 tel que v = k ⋅ u. Le vecteur nul 0 est parallèle à tous les vecteurs de l’espace. Points alignés et points coplanaires 1) Trois points A, B et C distincts sont alignés si et seulement s’il existe un réel k ≠ 0 tel que AC = k ⋅ AB. 2) Quatre points A, B, C et D, tels que A, B et C soient non alignés, sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels r et s tels que AD = r ⋅ AB + s ⋅ AC.

3. Comment calculer et utiliser les composantes d’un vecteur de l’espace dans un repère ? Les composantes du vecteur u = OM sont les coordonnées ( xM ; yM ; zM ) du point M.

Soient les points A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) et le vecteur u = AB. a. Les composantes du vecteur AB sont ( xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) .

 xA + xB yA + yB zA + zB  ; ; b. Les coordonnées du point M milieu de [ AB] sont  2 2 2  . Soient u(xu ; yu ; zu) et v (xv ; yv ; zv) deux vecteurs de l’espace, et soit k un nombre réel.

a. Les composantes de u + v sont ( xu + xv ; yu + yv ; zu + zv ) .

b. Les composantes de k ⋅ u sont ( k ⋅ xu ; k ⋅ yu ; k ⋅ zu ) .

316

11. Calcul vectoriel dans l’espace

4. Comment définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace ? La définition du produit scalaire dans le plan peut être étendue aux vecteurs de l’espace, car deux vecteurs peuvent toujours avoir des représentants de même origine (synthèse 2), ce qui permet de déterminer l’angle q entre ces deux vecteurs. L’angle q entre deux vecteurs AB et AC  . On admet que cet angle ne dépend pas des représentants choisis pour non nuls est l’angle BAC les vecteurs. Définition 11.4 – Produit scalaire Le produit scalaire des vecteurs u et v de l’espace est noté u  v : – si u = 0 ou v = 0, u  v = 0 – si u ≠ 0 et v ≠ 0, u  v = ∙ u ∙ ⋅ ∙ v ∙ ⋅ cos q (q est l’angle entre les vecteurs u et v ) (fig. 9). v

fig. 9

Produit scalaire dans un repère orthonormé de l’espace Dans un repère orthonormé de l’espace, le produit scalaire des vecteurs u(xu ; yu ; zu) et v (xv ; yv ; zv) est u  v = xu xv + yuyv + zuzv. Les propriétés du produit scalaire dans l’espace sont identiques aux propriétés du produit scalaire dans le plan. Propriétés du produit scalaire Quels que soient les vecteurs u, v et w de l’espace et le réel k, on a : 1) k ⋅ (v  w) = (k ⋅ v)  w

Associativité mixte

2) u  v = v  u

Commutativité (ou symétrie)

3) u  ( v + w ) = u  v + u  w

Distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition de vecteurs

4) u2= u  u = ∙ u ∙2 et ∙ u ∙ = u2

Norme d’un vecteur et produit scalaire

5) u  v ≤ ∙ u ∙ ⋅ ∙ v ∙

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Synthèse

317

5. Comment calculer la norme d’un vecteur, la distance entre deux points dans un repère orthonormé ? De ce qui précède, on déduit la formule suivante. Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé de l’espace Dans un repère orthonormé de l’espace, la norme du vecteur u(xu ; yu ; zu) est donnée par : 2 2 2 ∙ u ∙ = u2 = xu + yu + zu

Puisque la distance entre les points A ( xA ; yA ; zA ) et B ( xB ; yB ; zB ) est la norme du vecteur AB, il en résulte que : AB = AB = AB2 = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2 .

6. Comment calculer l’angle entre deux vecteurs ? Comme dans le plan, si les vecteurs u et v de l’espace sont tous deux non nuls, l’angle θ entre ces deux vecteurs est donné par u v . cos θ = u ⋅ v Cosinus de l’angle entre deux vecteurs de l’espace dans un repère orthonormé Soient u(xu ; yu ; zu) et v (xv ; yv ; zv) deux vecteurs non nuls de l’espace, dans un repère orthonormé. On a : cos θ =

xu xv + yu yv + zu zv 2

xu + yu2 + zu2 . xv2 + yv2 + zv2

7. Comment vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux ? Comme dans le plan, deux vecteurs u et v de l’espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Vecteurs orthogonaux dans un repère orthonormé de l’espace Soient u(xu ; yu ; zu) et v (xv ; yv ; zv), dans un repère orthonormé. u⊥v si et seulement si xu ⋅ xv + yu ⋅ yv + zu ⋅ zv = 0 .

318

11. Calcul vectoriel dans l’espace

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Vecteurs dans un parallélépipède Dans le parallélépipède rectangle ci-contre (fig. 10) :

H E

a. calculer AB + DH + EH ;

b. justifier que (BA + DB + BF) et FC sont parallèles.

2. Points alignés ? Points coplanaires ?

B fig. 10

a. Les points A(1 ; 2 ; 3), B(2 ; –1 ; 4) et C(3 ; – 4 ; 5) sont alignés. Justifier. b. Soient quatre points A, B, C et D, avec A, B, C non alignés. Ces quatre points sont coplanaires si et seulement si AD = r ⋅ AB + s ⋅ AC. Démontrer. c. On donne les trois points A(1 ; –2 ; 0), B(0 ; 1 ; 3) et C(–1 ; 2 ; 1). 1) Vérifier que ces trois points ne sont pas alignés. 2) Quelle valeur faut-il donner à m pour que le point D(2 ; –3 ; m) appartienne au plan ABC ?

3. Coordonnées des points particuliers Dans un repère de l’espace, on donne les points A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) et C ( xC ; yC ; zC ) non alignés. Établir une relation vectorielle pour calculer les coordonnées : a. du point M, milieu du segment [ AB] ; b. du point G, centre de gravité du triangle ABC.

4. Vecteurs dans un cube Voici un cube ABCDEFGH (fig. 11). H

a. Compléter les égalités suivantes. 1) CD + CG =

3) EF + BF =

2) AE + FG =

4) AC + HD =

b. Placer les points M, N et P définis par : 1 1 3) AN = BF + BC 1) AM = CG + FG 2 2 1 1 2) EP = AB + AC 2 2

G F

C B fig. 11 Exercices

319

5. Vecteurs orthogonaux a. Les vecteurs v (1 ; 2 ; – 5) et u (3 ; 1 ; 1) sont-ils orthogonaux ? Justifier. b. Si u et v sont orthogonaux, alors ∙ u + v ∙2 = ∙ u ∙ 2 + ∙ v ∙2. Démontrer. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

Appliquer une procédure 6. Placer des points On donne les points A(1 ; – 1 ; 2) et B(3 ; 4 ; 1). a. Utiliser une feuille quadrillée pour représenter ces points dans un repère orthonormé de l’espace. Calculer les coordonnées du point C, milieu du segment [ AB] . b. Calculer la distance des points A, B et C à l’origine du système d’axes.

7. Calculer des composantes de vecteurs On donne les points A(1 ; 2 ; – 1), B(2 ; 1 ; 0), C(3 ; 2 ; – 7) et D(1 ; 1 ; 1). Soient u = AB et v = CD. 1 a. Calculer les composantes et la norme des vecteurs suivants. 2 1) u 3) u + v 2 1 5) - u + v 3 2 2) v 4) 2u - 3v 2 1 BM = AC . b. Calculer les coordonnées du point M tel que 3 2

8. Points alignés ? coplanaires ? a. ABCDA′B′C′D′ est un parallélépipède. G est le centre de gravité du triangle A′BC′. Vérifier que les points B′, D et G sont alignés. b. Les points A, B, C, D et E de l’espace sont tels que AE + 2BE = 0 et CE + 3DE = 0. Vérifier que les points A, B, C et D sont coplanaires.

9. Calculer un produit scalaire a. Soient u (– 1 ; 3 ; 0) et v (1 ; – 5 ; 2). Calculer u  v. 1 3  b. Soient A(– 1 ; 2 ; 3), B(0 ; 4 ; – 1), C(1 ; – 2 ; 3), D  −2 ; ;  .  2 2 1) Calculer AB  CD. 2) Calculer les coordonnées d’un point E situé sur la droite AB et tel que AE  AB = 4. c. On donne trois vecteurs u, v et w tels que u + v + w = 0. Calculer u  v + v  w + w  u si ∙ u ∙ = 2, ∙ v ∙ = 1 et ∙ w ∙ = 5. 320

11. Calcul vectoriel dans l’espace

10. Angles entre deux vecteurs Calculer l’angle q entre les vecteurs u et v donnés. a. u (– 2 ; 2 ; 1) et v (– 1 ; 2 ; 4) b. u (– 2 ; 0 ; 3) et v (1 ; 2 ; – 3)

11. Vecteurs orthogonaux et paramètres a. Déterminer a et b pour que le vecteur w (1 ; a ; b) soit orthogonal aux vecteurs u et v. b. Pour quelle(s) valeur(s) de k les vecteurs u (3k + 1 ; 2 ; k) et v (2k2 ; 2k + 1 ; 2) sont-ils orthogonaux ? c. Pour quelle(s) valeur(s) de a et de b les vecteurs u (a ; b + 3 ; 5 + a) et v (b ; – a + 4 ; 2 + b) sont-ils orthogonaux ?

12. Parallèles ? Orthogonaux ? On donne les points A(1 ; 2 ; – 1), B(– 3 ; m ; 1), C(2 ; – 1 ; 2) et D(0 ; 2 ; 3). Quelle valeur faut-il donner à m pour que a. les vecteurs AB et CD soient parallèles ? b. les vecteurs AB et CD soient orthogonaux ?

13. Produit scalaire et cube Les points A, B, C, D, E, F, G et H sont les sommets d’un cube d’arête 2 (fig. 12). Calculer les produits scalaires suivants : a. AB  GH

d. AD  DB

b. AE  FG

e. AF  HC

H E

G F

c. AC  AG A

fig. 12

14. Produit scalaire et tétraèdre Les points S, A, B et C sont les sommets d’un tétraèdre régulier1 d’arête 2 (fig. 13). M est le milieu de [AB] et N le milieu de [SC]. Calculer les produits scalaires suivants. a. AB  BC

d. MN  AB

b. AC  BS

e. MN  SC

c. MC  MS En déduire des propriétés d’orthogonalité dans le tétraèdre régulier.

S N C

A M

B fig. 13

1 Les faces sont des triangles équilatéraux.

Exercices

321

Résoudre un problème 15. Section d’un cube

Dans un repère orthonormé, on donne un cube ABCDEFGH (fig. 14) ; les coordonnées du sommet A sont (4 ; 0 ; 0).

a. Préciser les coordonnées des autres sommets du cube.

b. Le point I est le milieu de [ AE ] et J le milieu de [GC ] . Justifier que les points H, I, J et B sont coplanaires.

c. Calculer l’aire du quadrilatère HIBJ.

J y

D C

16. Molécule de méthane

A B fig. 14

La molécule de méthane (CH4) est composée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydrogène. Cette molécule est représentée par un tétraèdre régulier ; l’atome de carbone (C) est équidistant des quatre atomes d’hydrogène placés aux sommets A, B, D et E du tétraèdre.

a. Vérifier que le tétraèdre ABDE inscrit dans le cube d’arête 2 (fig. 15) est un tétraèdre régulier.

b. L’atome de carbone est au centre du cube. Calculer l’angle des liaisons chimiques représentées par les segments qui joignent l’atome de carbone aux atomes d’hydrogène.

C D B

fig. 15

17. Problèmes de cubes a. Les arêtes du cube de la fig. 16 mesurent 4 cm. On considère le point I situé sur l’arête [ AB] à 1 cm du point B et le point J situé sur l’arête [GC ] à 1 cm du point G.

Montrer que la droite EJ est perpendiculaire au plan HFI.

2) Montrer que les plans MNH et BCP sont parallèles. 322

11. Calcul vectoriel dans l’espace

b. Soit un cube ABCDEFGH. Les points M, N et P sont les milieux respectifs de [ AB] , [ CD] et [ EF ] . 1) Montrer que la droite CP est parallèle au plan MNH.

A I

B fig. 16

18. Un quadrilatère dans l’espace Soient M, N, P, Q quatre points distincts de l’espace. Soient : – le point A appartenant au segment [MN] et quatre fois plus éloigné de N que de M ; – le point B appartenant au segment [MQ] et quatre fois plus éloigné de Q que de M ; – le point C appartenant au segment [PQ] et quatre fois plus éloigné de Q que de P ; – le point D appartenant au segment [NP] et quatre fois plus éloigné de N que de P. Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

19. Des parallélépipèdes a. Soit un parallélépipède ABCDA′B′C′D′ (non nécessairement rectangle). Soient : – P le milieu du côté [BB′] ; – Q le milieu du côté [AD] ; – R le milieu du segment [BC′] ; Montrer que les segments [PQ] et [AR] se coupent en leur milieu. b. Soit un parallélépipède ABCDA′B′C′D′. Soient : – P appartenant à l’arête [AA′] et deux fois plus éloigné de A′ que de A ; – Q appartenant à l’arête [CC′] et deux fois plus éloigné de C que de C′ ; – R tel que B soit le milieu du segment [RB′] ; – S tel que D′ soit le milieu du segment [SD]. Montrer que les segments [PQ] et [RS] se coupent en leur milieu.

20. Ensemble de points On donne deux points distincts A et B. Déterminer l’ensemble des points M tels que MA  MB = 0 dans le plan, puis dans l’espace.

21. Varier les outils pour démontrer Reprendre les exercices 18 et 19 du chapitre 8 et les exercices 6 à 10 du chapitre 9. Refaire les démonstrations en utilisant le calcul vectoriel.

Exercices

323

calcul matriciel

En mathématique, on appelle matrice un tableau de nombres qui sert à synthétiser des informations numériques et à traduire certains concepts en termes calculatoires et donc opérationnels. C’est le cas de certaines transformations du plan : à chaque transformation élémentaire, on associe une matrice puis, grâce au calcul matriciel, on peut calculer (c’est-à-dire prévoir sans faire aucun dessin) quel est le résultat de la composition de plusieurs transformations. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisen t les matrices. Le calcul matriciel est un outil indispensable en économie (matrice de production, de commandes, de stocks…), en démographie ou en biologie pour étudier l’évolution d’une population, en cryptographie pour écrire un message codé, en imagerie médicale, en recherche opérationnelle… Les domaines d’application ne manquent pas. En physique, on utilise des matrices appelées matrices d’iner tie pour étudier la rotation d’un corps autour de son centre de gravité. On utilise aussi des matric es en optique, en mécanique quantique… Couplées aux outils de calcul modernes, les matrices permettent l’automatisation d’un certain nombre de démarches mathématiques. Actuellement, l’imagerie numérique nécessite de lourds calculs matriciels. Le site http://blog.kleinproject.org/?p=719 &lang=fr explique comment les matrices sont utilisées pour numériser une image et comment utiliser le calcul matriciel pour transformer une image.

La matrice correspondant à Felix le Chat Les nombres 1 et 0 décrivent les cases blanches et les cases noires. Pour décrire une image avec des nuances de gris, chaque élément détermine l’intensité du pixel correspondant. Pour des raisons pratiques, la majorité des archives numériques actuelles utilisent des nombres entiers compris entre 0 (pour un pixel noir, couleur d’intensité minimale) et 255 (pour un pixel blanc, couleur d’intensité maximale), ce qui donne un total de 256 = 28 nuance s de gris différentes (ce nombre est acceptable pour des images de sites Internet, par exemple).

Les premiers éléments du calcul matriciel remontent à leibniz (1646-1716), l’un des fondateurs de l’analyse. Dans ses travaux, il a développé la théorie des déterminants pour faciliter la résolution des équations linéaires. En 1750, crAmer approfondit cette théorie, en présentant la méthode de Cramer. Dans les années 1800, gAuss met au point ce que nous appelons actuellement le produit de deux matrices, développé ensuite par eisensTe in (1823-1852). D’autres mathématiciens, comme cAuchy (1789-1857), jouero nt un rôle dans le développement du calcul avec des tableaux de nombres. Mais ce sont les mathé maticiens sylvesTer et cAyley qui utilisent pour la première fois le terme « matrice » pour désign er de tels tableaux. C’est avec eux que les matrices acquièrent le statut d’objets mathématiques ayant leur identité propre. En 1858, cAyley (1821-1895) publie un Mémoire sur la théorie des matric es qui peut être considéré comme le véritable acte de naissance de cette dernière. Dans ce chapitre, on étudiera quelques applications linéaires qui

se prêtent au calcul matriciel.

n o i t a r o l p ex 1. Construire une matrice des achats Dans deux succursales d’une entreprise, il faut régulièrement se procurer différents produits et matériels de nettoyage. Les quantités des différents produits à acheter pour la première quinzaine de septembre sont les suivantes : Tableau des achats – 1re quinzaine de septembre Nombre

Bidons de savon liquide

Bidons de nettoyant pour vitres

Paquets de chiffons

Paquets d’éponges à récurer

Namur

Liège

Succursale

a. Pour chacune des succursales, déterminer le coût total de l’ensemble des produits, achetés à un fournisseur qui pratique les prix suivants : bidon de savon liquide à 2 €, bidon de nettoyant pour vitres à 1,50 €, paquet de chiffons à 0,75 € et paquet d’éponges à récurer à 1,25 €. b. Pour chacune des succursales, exprimer le coût de l’ensemble des produits en fonction des prix d’achat p1, p2, p3 et p4 de chacun des produits mentionnés. Pour la deuxième quinzaine de septembre, les quantités achetées sont les suivantes : Tableau des achats – 2e quinzaine de septembre Nombre

Bidons de savon liquide

Bidons de nettoyant pour vitres

Paquets de chiffons

Paquets d’éponges à récurer

Namur

Liège

Succursale

c. Répondre aux questions a et b pour cette deuxième quinzaine. d. Donner le tableau des achats pour l’ensemble du mois, et répondre aux questions a et b pour l’ensemble du mois. e. Donner une règle générale pour déterminer le tableau des achats pour l’ensemble de deux périodes successives à partir des tableaux établis pour chacune de ces deux périodes.

326

12. Calcul matriciel

f. Les informations numériques des tableaux ci-dessus peuvent être résumées par une matrice des achats. Celle pour la première quinzaine de septembre est le tableau :  4 2 3 2    5 1 3 3 Présenter les achats pour l’ensemble du mois sous la forme d’une somme de matrices.

Synthèses 1 et 2

2. Coupage de lambics Théophile produit de la gueuze artisanale. Il procède au coupage de lambics, bières produites par fermentation spontanée sous l’action de bactéries1. Le coupage consiste à mélanger des lambics jeunes et vieux ; mis en bouteille, le mélange subit une seconde fermentation pour produire de la gueuze. Théophile mélange des lambics d’un, deux et trois ans d’âge. Le tab.1 présente les prix au litre, chez deux fournisseurs, des différents lambics qu’il veut utiliser. Ets. Van L.

Ets Van W.

1,25

Lambic de 2 ans

1,20

1,25

Lambic de 3 ans

1,75

1,50

Lambic d’1 an

tab. 1

Il veut produire quatre types de gueuze. Le tab. 2 indique les proportions (quantités en litres de chaque type de lambic pour un litre de mélange) des différents lambics utilisés dans la fabrication de chaque gueuze. Lambic d’1 an

Lambic de 2 ans

Lambic de 3 ans

Gueuze 1

0,3

0,4

Gueuze 2

0,2

0,5

0,3

Gueuze 3

0,2

0,4

Gueuze 4

0,3

0,4

0,3 tab. 2

a. Construire un tableau présentant le prix d’un litre de mélange pour chacune des gueuzes et pour chaque fournisseur.

1 Notamment les Brettanomyces bruxellensis et les Brettanomyces lambicus.

Exploration

327

b. Si on modifiait les différentes valeurs reprises dans les tab. 1 et 2, on obtiendrait évidemment un autre tableau en a. Dans les tab. 3 et 4, les données sont présentées sous forme de valeurs algébriques doublement indicées, selon les lignes et les colonnes. Construire un tableau analogue à celui demandé en a en utilisant les données des tab. 3 et 4. Ets. Van L.

Ets. Van W.

Lambic d’1 an

l11

l12

Lambic de 2 ans

l21

l22

Lambic de 3 ans

l31

l32 tab. 3

Lambic d’1 an

Lambic de 2 ans

Lambic de 3 ans

Gueuze 1

g11

g12

g13

Gueuze 2

g21

g22

g23

Gueuze 3

g31

g32

g33

Gueuze 4

g41

g42

g43

Synthèses 3 à 5 Exercice 1 (a à g), 7

tab. 4

3. Transformations du plan dans un repère a. Dans un repère orthonormé d’origine O, les coordonnées d’un point P du plan peuvent être exprimées sous la forme (r cos j ; r sin j) où r est un nombre positif. Que représentent r et j que l’on appelle « coordonnées polaires » de P ? b. Écrire, sous forme d’un système, deux égalités exprimant, en fonction de r, j et a, respectivement l’abscisse x′ et l’ordonnée y′ du point P′, image de P par une rotation de centre O et d’angle a. Pour rappel, une rotation de centre C et d’angle (orienté) a est une transformation du plan qui, à tout point P de celui-ci, fait corres est égal à a. pondre le point P′ tel que l’angle orienté PCP′ c. Donner ensuite, pour une rotation de centre O et d’angle a, des équations exprimant respectivement x′ et y′, toutes deux en fonction de l’abscisse x et de l’ordonnée y du point P. d. En plaçant adéquatement les axes, exprimer par de telles équafig. 1) tions deux rotations différentes qui laissent la figure ( invariante (autrement dit, des rotations qui envoient la figure sur elle-même). fig. 1

328

12. Calcul matriciel

e. Une homothétie de centre O et de rapport r (non nul) est la transformation du plan qui à tout point P fait correspondre le point P′ tel que OP′ = r ⋅ OP. Tracer l’image de la figure ( et de rapport 2.

fig. 2) par l’homothétie de centre O

Peut-on exprimer une telle transformation du plan par un système d’équations analogue à celui utilisé pour la rotation ci-dessus, à savoir un système où x′ et y′ sont exprimés comme sommes de multiples des valeurs x et y ? Les transformations du plan correspondant à de tels systèmes sont des transformations linéaires du plan.

fig. 2

4. Composer des transformations a. Pour deux transformations du plan t et r, la composée t  r est la transformation du plan qui à tout point P fait correspondre le point t ( r( P ) ) . Déterminer une rotation et une homothétie dont la composée est la similitude qui envoie la figure F sur la figure F ′ (fig. 3).

F′

O fig. 3

b. Peut-on exprimer cette similitude par un système d’équations ? c. Quelle est l’image du carré unité O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(1 ; 1), C(0 ; 1) par cette similitude ? d. Les transformations linéaires du plan peuvent être caractérisées par les coefficients de x et de y qui figurent dans ces équations. On peut placer ces coefficients dans une matrice. Ainsi, une rotation de centre O et d’angle a est caractérisée par la matrice  cos α − sin α     sin α cos α  – Quelle est l’image du carré unité O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(1 ; 1), C(0 ; 1) par cette rotation ? – Quelles sont les matrices des transformations linéaires évoquées aux points d, e de l’exploration 3 et au point a de l’exploration 4 ?

Exploration

329

e. Quelle est l’image du carré unité O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(1 ; 1), C(0 ; 1) par la matrice de la composée t  r dans laquelle t et r sont les transformations linéaires du plan caractérisées respectivement par les matrices  4 5  1 5   et   ?  3 2  2 1 Quelle est la matrice qui correspond à la composée t  r ? f. De manière générale, quelle est la matrice correspondant à la composée t  r où t et r sont les transformations linéaires du plan caractérisées respectivement par les matrices  t11   t21

t12   r11  et  t22   r21

r12   ? r22 

g. La composée d’une certaine transformation linéaire du plan suivie d’une homothétie de centre O est définie par la matrice  4 3  .  2 1 Quelle est l’image du carré unité O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(1 ; 1), C(0 ; 1) par cette composée ? Écrire la matrice correspondant à la composée de la même transformation suivie d’une homothétie de centre O de rapport double de la précédente. h. Déterminer les matrices correspondant respectivement aux rotations de 30° et de –30° de centre O. Multiplier la première par la seconde et vice versa. i. Même question pour les homothéties de centre O et de rapports 2 1 et . 2

5. Transformations de l’espace La fig. 4 représente le cube unité dans un repère orthonormé. 1 0 0    La matrice M =  0 1 0  transforme les points A, B et C comme  0 0 −1   suit : (1 ; 0 ; 0 ) → (1 ; 0 ; 0 )

(0 ; 1 ; 0) → (0 ; 1 ; 0) ( 0 ; 0 ; 1) → ( 0 ; 0 ; − 1)

a. Déterminer les images des autres points du cube unité. b. Quelle est la transformation définie par la matrice M ?

330

12. Calcul matriciel

E U y

O A x

B D fig. 4

c. Quelle est la transformation définie par la matrice N ? 1 0 0   N =  0 −1 0  0 0 1   d. Quelle est la matrice qui représente la symétrie par rapport au plan yOz ?

Synthèses 6 à 9 Exercices 2, 8, 14 et 15

6. Déterminant et matrice inverse A. Les fig. 5 à 7 donnent l’image du carré unité O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(1 ; 1), C(0 ; 1) par une transformation linéaire a du plan. y

B′

B′ C′

A′

C′ C′ A′

1 O 0

x fig. 5

O 0

1 O 0

A′

x fig. 7

fig. 6

a a. Écrire la matrice A =  11  a21 transformation a.

a12   correspondant à chaque a22 

b. Calculer l’aire du « parallélogramme image ». c. L’expression a11 a22 - a21 a12 est appelée déterminant de la matrice A d’ordre 2. Conjecturer un lien entre les aires calculées et les valeurs de a11 a22 - a21 a12 . d. Émettre une hypothèse sur la signification du signe de a11 a22 - a21 a12 .

Exploration

331

B. Pour autant qu’elle existe, on considère la transformation linéaire b du plan, de matrice B, telle que, pour tout point P du plan,

( b  a) ( P ) = ( a  b) ( P ) = P . a. Que valent les produits AB et BA ? b. Si elle existe, écrire la matrice B correspondant aux fig. 5 à 7. c. On donne une matrice A d’ordre 2. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante pour qu’existe une matrice B telle 1 0 AB = BA =  . 0 1 C. Les fig. 8 à 10 donnent l’image du cube unité OADBCFUE (fig. 4) par une transformation linéaire a de l’espace.  a11  a. Écrire la matrice A =  a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  correspondant à chaque a33 

transformation a. b. Calculer le volume de chaque « parallélépipède image ». Indications 1) Pour les parallélépipèdes représentés sur les fig. 8 et 9, observer dans quel plan se trouve la base OA′D′B′ et repérer la distance entre les deux plans des bases. 2) Dans le parallélépipède représenté sur la fig. 10, les points C′ et D′ sont confondus ; quelle conclusion peut-on en tirer à propos du volume du parallélépipède ? z

U′

C′(0 ; 0 ; 4) D′(0 ; 0 ; 8)

E′

F′

U′

F′

1 O=O′ 0

B′(0 ; –2 ; 4) 1

C′(–2 ; 4 ; 2) O=O′

A′(2 ; 0 ; 0)

B′(2 ; 2 ; 0) x

12. Calcul matriciel

1 0 1

D′ fig. 8

332

A′(0 ; 2 ; 4)

E′

fig. 9

U′

z F′

E′

C′ = D′ (–2 ; 6 ; 6) B′(–1 ; 2 ; 4) A′(–1 ; 4 ; 2) 1 O = O′ x

fig. 10

c. L’expression

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a23 a32 a11 est appelée déterminant de la matrice A d’ordre 3. Conjecturer un lien entre les volumes calculés et les valeurs de cette expression. d. Émettre une hypothèse sur la signification du signe du déterminant de A. D. Pour autant qu’elle existe, on considère la transformation linéaire b du plan, de matrice B, telle que, pour tout point P du plan, ( b  a) ( P ) = ( a  b) ( P ) = P . a. Que valent les produits AB et BA ? b. Si elle existe, écrire la matrice B correspondant aux fig. 8 à 10. c. On donne une matrice A d’ordre 3. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante pour qu’existe une matrice B telle 1 0 0   AB = BA =  0 1 0  . 0 0 1  

Synthèses 10 à 13 Exercices 1(h ; i), 3 à 6, 9 à 13, 16 à 20

Exploration

333

e s è h t n y s 1. Qu’est-ce qu’une matrice ? Définition 12.1 – Matrice de genre p × n Une matrice A, de genre p × n , est un tableau de nombres réels, comprenant p lignes et n colonnes ( p, n ∈N0 ). La place d’un élément (ou d’un terme) dans ce tableau est désignée par un double indice, le premier indiquant la ligne et le second la colonne où se trouve l’élément. Ainsi, a35 désigne l’élément se trouvant au croisement de la 3e ligne et de la 5e colonne. Le terme général est désigné par aij .

( )

 a11  a21 A=  ...   ap1

a12 a22 ... a p2

... a1n   ... a2n  ... ...   ... apn 

Cette matrice est aussi notée ai j , avec 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n . Exemple −2 0 3, 5   4   La matrice A =  4, 2 3 − 4 7  est une matrice de genre 3 × 4.  0, 25 0, 5 1 2   Remarque Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle.

2. Comment additionner deux matrices ? Pour additionner deux matrices de même genre, on additionne les termes correspondants (à l’intersection de la même ligne et de la même colonne) des deux matrices. Exemple −2 0 3, 5   2 3 1 3  6 1 1 6, 5   4       4 , 2 3 − 4 7 + 2 2 − 4 , 5 9 = − 6 , 2 5 8 , 5 16        0, 25 0, 5 1 2   4, 25 5 3 2   4, 5 5, 5 4 4  

334

12. Calcul matriciel

Définition 12.2 – Somme de deux matrices Soient A et B deux matrices de genre p × n dont les éléments sont notés respectivement ai j et bi j (1 ≤ i ≤ p ,1 ≤ j ≤ n ). La somme des matrices A et B est la matrice de genre p × n notée A + B dont les éléments ci j sont donnés par ci j = ai j + bi j .

3. Comment multiplier une matrice par un réel ? Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque élément de la matrice par ce réel. Exemple −2 0 3, 5   8 − 4 0 7   4     2 ⋅  4, 2 3 − 4 7  =  8, 4 6 − 8 14   0, 25 0, 5 1 2   0, 5 1 2 4   Définition 12.3 – Produit d’une matrice par un réel Soit A une matrice de genre p × n dont les éléments sont notés ai j (1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ n ). Le produit du réel r et de la matrice A est la matrice de genre p × n notée r ⋅ A dont les éléments cij sont donnés par cij = r ⋅ aij

4. Comment effectuer le produit de deux matrices ? Le produit d’une matrice A de genre m × n et d’une matrice B de genre n × p est une matrice C de genre m × p :

A ⋅  B =  C  ( m× n) ( n× p) ( m× p) Pour calculer l’élément cij, on effectue la somme des produits terme à terme des éléments de la iième ligne de la première matrice et de la jième colonne de la seconde matrice. Exemple 2 −2 0 3, 5    4   5 A ⋅ B =  4, 2 3 −4 7  ⋅ 2  0, 25 0, 5 1 2    4

3  1 0  1

Synthèse

335

L’élément c32 du produit se calcule comme suit : c32 = 0, 25 ⋅ 3 + 0, 5 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 3, 25 . En faisant de même pour les autres éléments, on trouve : 2 −2 0 3, 5   4 5  4, 2 3 − 4 7  .   2 2   0, 25 0, 5 1 4

3  12 13, 5  1   = 43, 4 22, 6  0   13 3, 25  1

Définition 12.4 – Produit de deux matrices Soient A une matrice de genre m × n dont les éléments sont notés ai k (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ k ≤ n ) et B une matrice de genre n × p dont les éléments sont notés bk j (1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ j ≤ p ). Le produit des matrices A et B est la matrice de genre m × p , notée A ⋅ B ou encore AB, dont les éléments ci j sont donnés par ci j =

∑a

i k bk j

k =1

Remarque La multiplication des matrices n’est pas commutative. Exemples  2 1 1 3  1 3 1   17 6 5 10  1)    ⋅  4 1 0 2 =   2 1 3   3 2 4 1  17 9 14 11     2 1 1 3    1 3 1  4 1 0 2  ⋅  2 1 3  n’existe pas.   3 2 4 1     1 2 1 4 9    39 33  2)    ⋅ 5 1 =   0 2 3   2 3   16 11     1 2  1 8 15    1 4 9   = 5 1 ⋅    0 2 3   5 22 48    2 14 27   2 3       4 7   3 1 12 11 3)  ⋅ =   2 3   0 1  6 5   3 1  4 7  14 24   ⋅ =   0 1  2 3   2 3 

336

12. Calcul matriciel

5. Qu’est-ce que la transposée d’une matrice ? La transposée d’une matrice de genre p × n est la matrice de genre n × p dont les colonnes sont égales aux lignes de la matrice de départ, prises dans le même ordre. Définition12.5 – Transposée d’une matrice Soit une matrice A de genre p × n dont les termes sont notés ai j (1 ≤ i ≤ p ;1 ≤ j ≤ n) . La transposée de A, notée tA, est la matrice de genre n × p dont les termes bj i (1 ≤ j ≤ n ;1 ≤ i ≤ p) sont donnés par bji = aij . Exemple  2 1 3 La transposée de la matrice   de genre 2 × 3 est la matrice  4 5 6 de genre 3 × 2 .

2 4   1 5 3 6  

6. Qu’est-ce qu’une application linéaire ? On considère deux ensembles A et B pour lesquels il existe une loi d’addition et une loi de multiplication par un réel (multiplication scalaire). Nous avons rencontré de tels ensembles : celui des vecteurs ou celui des couples de réels. Une application linéaire de A vers B est une application f telle que ∀ x, y ∈ A, ∀ λ, µ ∈ R : f (λ ⋅ x + µ ⋅ y) = λ ⋅ f ( x) + µ ⋅ f ( y) Exemples 1) Dans le plan (ou dans R2), une rotation de centre O et d’angle orienté a est une application linéaire. 2) Dans l’espace (ou dans R3), une homothétie de centre O et de rapport k est une application linéaire. Une application linéaire de Rn dans Rp, qui à un n-uple ( x1 ; x2 ;...xn ) fait correspondre un p-uple ( y1 ; y2 ;... y p ) , peut être définie par des équations du type  y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn  y = a x + a x + ... + a x 21 1 22 2 2n n  2  ...   y p = ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn  dans lesquelles les aij sont des réels constants. Généralisation Cela peut être étendu à des applications linéaires entre d’autres ensembles, en utilisant les coordonnées des éléments de ces ensembles.

Synthèse

337

7. Qu’est-ce que la matrice des coefficients d’une application linéaire ? La matrice des coefficients d’une application linéaire définie par  y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn  y = a x + a x + ... + a x 21 1 22 2 2n n  2  ...   y p = ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn 

(1)

est la matrice  a11  a21 A=  ...   ap1

a12 a22 ... a p2

... a1n   ... a2n  ... ...   ... apn 

constituée des coefficients des équations définissant cette application. Le système (1) est équivalent à l’équation matricielle  y1   a11     y2  =  a21  ...   ...     y p   ap1

a12 a22 ... a p2

... a1n   x1    ... a2n   x2  ... ...   ...    ... apn   x p 

8. Qu’est-ce qu’une matrice carrée ? Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Ce nombre est appelé ordre de la matrice. Exemple 1 2 0   La matrice  0 3 2  est une matrice (carrée) d’ordre 3. 1 0 4  

9. Qu’appelle-t-on matrice unité ? Définition 12.6 – Matrice unité La matrice unité d’ordre n, notée In, est la matrice carrée d’ordre n dont tous les éléments sont nuls à l’exception des éléments aii de la diagonale principale.

338

12. Calcul matriciel

Exemple 1 0 0   La matrice  0 1 0  est la matrice unité d’ordre 3, notée I3. 0 0 1    1 0 0  x  x Cette matrice est telle que  0 1 0  y =  y .       0 0 1  z   z  Une matrice unité correspond à une application linéaire identité, c’est-à-dire à une application linéaire qui envoie sur lui-même tout élément de l’ensemble sur lequel elle est définie. Une matrice unité est aussi appelée matrice identité. Selon les circonstances, une matrice unité est, pour le produit matriciel : 1) un élément neutre à droite : pour une matrice A de genre m × n , on a A ⋅ I n = A ; 2) un élément neutre à gauche : pour une matrice B de genre n × p , on a I n ⋅ B = B ; 3) un élément neutre : pour une matrice carrée C d’ordre n, on a C ⋅ I n = C = I n ⋅ C .

10. Qu’est-ce que le déterminant d’une matrice carrée ? Comment le calculer ? Définition 12.7 – Déterminant d’une matrice Le déterminant d’une matrice carrée A est un réel associé à cette matrice ; il est noté dét A ou A . Le déterminant : – d’une matrice d’ordre 1 est égal à la valeur de son unique terme ; a – de la matrice  11  a21

a12  a11  d’ordre 2 est le réel a22  a21

 a11  – de la matrice  a21 a  31

a12 a22 a32

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a12 = a11 a22 − a21 a12 ; a22

a13   a23  d’ordre 3 est le réel a33 

a13 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a23 a32 a11 a33

On peut associer un déterminant à toute matrice carrée d’ordre supérieur à 3. Exemple 1 3 = 1 ⋅ 2 − 5 ⋅ 3 = −13 5 2

Synthèse

339

CalCul

du déterminant d’une matriCe d’ordre

par la

« règle de SarruS »

Pour calculer un déterminant par la règle de Sarrus, on recopie les deux premières colonnes à la droite du déterminant, on effectue la somme des produits des termes des diagonales « descendantes » et on en soustrait les produits des termes des diagonales « montantes ». Exemple + 33 44 22 CalCul

+ 00 22 11 -

+ 11 33 00 −2) ⋅ 4 ⋅ 0 = −9 . -−11 44 22 = 3 ⋅ 2 ⋅ ( −2) + 0 ⋅ ( −1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ ( −1) ⋅ 3 − (− -−22 22 11 -

du déterminant d’une matriCe par la méthode des CofaCteurs

Le mineur d’un terme d’une matrice est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne auxquelles appartient ce terme. Le cofacteur d’un terme d’une matrice est égal au mineur de ce terme si la somme des indices de celui-ci est paire, et à l’opposé de ce mineur si cette somme est impaire. Définition 12.8 – Mineur et cofacteur On appelle mineur d’un élément ai j d’une matrice carrée A, le déterminant de la matrice carrée obtenue en supprimant la iième ligne et la jième colonne de la matrice A. On appelle cofacteur de ce même élément le produit du mineur de cet élément et de ( −1) Exemple  2 6 3   Soit la matrice A =  1 4 1  .  0 5 1   Le mineur du terme a22 = 4 vaut

2 3 = 2 ⋅1 − 0 ⋅ 3 = 2 . 0 1

Le cofacteur de ce même terme est ( −1)

Le mineur de a23 = 1 vaut

12. Calcul matriciel

⋅2 = 2.

2 6 = 10 . 0 5

Le cofacteur de a23 vaut ( −1)

340

2+ 2

2+ 3

⋅ 10 = −10 .

i+ j

Déterminant et cofacteurs Le déterminant d’une matrice est égal à la somme des produits de chaque élément d’une même rangée (ligne ou colonne) par son cofacteur. Exemple  2 6 3   Soit A =  1 4 1  .  0 5 1   En développant les cofacteurs suivant les termes de la 2e colonne, on obtient : 2 6 3 | A | = 1 4 1 = 6 ⋅ ( −1) + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 = 7 0 5 1 Remarque La règle de Sarrus n’est valable que pour le calcul d’un déterminant d’ordre 3 ; la décomposition selon les cofacteurs peut être utilisée pour calculer le déterminant de n’importe quelle matrice, y compris d’ordre supérieur.

11. Quelles sont les propriétés des déterminants ? Soit A une matrice carrée. a. Si on permute deux lignes ou deux colonnes de A, on obtient une matrice B telle que B = − A . b. Si on multiplie par un même réel r tous les éléments d’une même ligne (colonne) de A, on obtient une nouvelle matrice B telle que B =r A c. Si on remplace chaque élément d’une ligne (colonne) de A par la somme de celui-ci et de multiples des éléments correspondants des autres lignes (colonnes), on obtient une nouvelle matrice B telle que B = A . d. Le déterminant d’une matrice et celui de sa transposée sont égaux. e. Le déterminant de A est nul ( A = 0 ). 1)

si tous les éléments d’une ligne (ou colonne) de A sont nuls,

si les éléments de deux lignes (ou colonnes) de A sont proportionnels ou identiques,

si les éléments d’une ligne (ou colonne) de A sont égaux à la somme de multiples (combinaison linéaire) des éléments correspondants des autres lignes (colonnes).

Synthèse

341

Exemple (propriété c) 4 3 5 1 2 3 = 4 ⋅ (4 − 3) − 3 ⋅ (2 − 6) + 5 ⋅ (1 − 4) = 1 2 1 2 4 3 5 4 + 4⋅3 − 3⋅5 3 5 1 3 5 1 2 3 = 1+ 4⋅ 2 − 3⋅3 2 3 = 0 2 3 = 1 2 1 2 2 + 4 ⋅1 − 3 ⋅ 2 1 2 0 1 2 L’application de la propriété a permis de calculer rapidement le déterminant en appliquant la méthode des cofacteurs à la première colonne. Les autres propriétés peuvent être vérifiées sur des exemples à titre d’exercice.

12. Qu’est-ce que l’adjointe d’une matrice carrée ? Définition 12.9 – Matrice adjointe L’adjointe d’une matrice carrée A d’ordre n est la transposée de la matrice des cofacteurs de A, c’est-à-dire la transposée de la matrice d’ordre n obtenue en remplaçant chaque élément de A par son cofacteur. . Cette matrice adjointe sera notée adj A ou A Exemple  2 6 3   Soit A =  1 4 1  .  0 5 1   En remplaçant chaque élément par son cofacteur, on obtient la matrice  −1 −1 5     9 2 −10   −6 1 2   En transposant cette dernière, on a  2 6 3   adj  1 4 1  = 0 5 1  

342

12. Calcul matriciel

−6  −1 −1 5   −1 9  9 2 −10 =  −1 2 1     2   5 −10 2   −6 1

13. Qu’est-ce que la matrice inverse d’une matrice carrée ? Comment la déterminer ? Définition 12.10 – Matrice inverse La matrice inverse d’une matrice carrée A d’ordre n est la matrice A-1 d’ordre n telle que A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n . Exemple  1 0 2   L’inverse de la matrice  0 1 2  est la matrice 1 1 0   En effet 0, 5   0, 5 − 0, 5   0, 5   − 0, 5 0, 5  0, 25 0, 25 − 0, 25   

 1 0 2   0 1 2 1 1 0  

0, 5   0, 5 − 0, 5   − 0 , 5 0 , 5 0, 5  .   0, 25 0, 25 − 0, 25   

0, 5   1 0 2   0, 5 − 0, 5     0, 5   0 1 2   − 0, 5 0, 5  1 1 0   0, 25 0, 25 − 0, 25     

1 0 0   0 1 0 0 0 1  

Lorsque la matrice inverse d’une matrice donnée existe, elle est unique. On dit alors que la matrice est inversible. Dans l’exemple ci-dessus, la matrice inverse de la matrice A est donnée. Mais il faut pouvoir la calculer. Théorème 12.1 – Produit d’une matrice et de son adjointe Si A est une matrice carrée de déterminant non nul, alors A ⋅ adj A = ( adj A ) ⋅ A = A ⋅ I n Ce théorème peut être démontré à titre d’exercice pour les matrices d’ordre 2 et d’ordre 3. Théorème 12.2 – Matrice carrée inversible Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice carrée A soit inversible est que dét A ≠ 0. On a alors

A −1 =

adj A A

On obtient la matrice inverse d’une matrice carrée A de déterminant non nul en divisant chaque élément de la matrice adjointe par le déterminant de cette matrice A.

Synthèse

343

Exemple (on utilise les résultats obtenus dans les exemples précédents)

−1

 2 6 3   =  1 4 1  0 5 1  

−1

−6   −1 9 1  1 =  −1 2 7   5 −10 2 

 −1  7  −1 =  7   5   7

9 7 2 7 −10 7

−6  7  1  7   2   7 

1 0 0   On peut vérifier que A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A =  0 1 0  . 0 0 1   Remarques Une matrice carrée de déterminant nul ne possède pas de matrice inverse. On dit qu’elle n’est pas inversible ou qu’elle est singulière. Une matrice est dite régulière si son déterminant est non nul.

344

12. Calcul matriciel

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Les écritures ont-elles un sens ? On donne les matrices :  −3 3 5  4 0 8 1 9  1 5 2       A =  1 2 3  ; B =  5 2 6  ; C =   ; D =  6 5  . 3 4 2    2 1 2  2 7 1  3 2       Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Justifier. a. A ⋅ B

d. B ⋅ C

g. tD ⋅ C

b. A + B

e. C ⋅ D

h. ∙A∙ + B

c. C + D

f. D ⋅ C

i. ∙A∙ ⋅ B

2. Matrice d’une application linéaire À tout point de coordonnées ( x1 ; x2 ; x3 ) , une transformation de l’espace fait correspondre un point de coordonnées ( y1 ; y2 ; y3 ) , définie par les équations suivantes :  y1 = 3 x1 + 4 x2 + 2 x3   y2 = x1 + 3 x2 + 4 x3  y = 4 x + 2x − 2x 1 2 3  3 Écrire cette transformation sous forme d’un produit matriciel.

3. Vrai ou faux ? Pour cinq matrices A, B, C, D et F, les écritures ci-dessous ont du sens. Peut-on dire que : a. AB + CD = F + DC ⇔ A = FB−1 ? b. AB = C ⇔ A = B−1C ? c. si AB est une matrice nulle, alors A ou B est une matrice nulle ? Justifier la réponse et corriger les énoncés au besoin.

4. Matrices et groupes a. L’ensemble des matrices de genre 3 × 3 , muni de la loi d’addition, forme-t-il un groupe ? Et muni de la loi de multiplication ? b. Mêmes questions pour l’ensemble des matrices de genre 3 × 4 .

Exercices

345

c. En cas de réponse négative à une question posée en a ou en b, dire si on peut obtenir un groupe en ne considérant qu’une partie des ensembles de matrices donnés. d. En cas de réponse positive aux questions précédentes, le groupe considéré est-il commutatif ?

5. Comme une mise en évidence Est-il vrai que, quel que soit le réel a, l’égalité suivante est vérifiée ? 3a a 5a 2a 3a 5a −11a 3a 2a 5a 2a 3a

4a 3 9a 2 = a⋅ 5a −11 2a 5

1 3 3 2

5 5 2 3

4 9 5 2

Si la réponse est positive, la justifier ; sinon, corriger l’égalité.

6. La règle de Sarrus Calculer les déterminants des matrices suivantes, si cela a un sens. 2 1 0 3 2 1 3 2   A= ; B = 1 2 3 ; C =   .  1 4 5 4 1 2 1 4  

Appliquer une procédure 7. S’exercer à calculer Soient les matrices : 2 1 5  3 0 8 1 9 1 3 2       A =  6 5 5  ; B =  0 2 3  ; C =   ; D =  6 5  ; 3 6 4   2 0 4  2 5 1  3 2       b 0 1 5   2 2 − a 4       2− a 5  ; G =  1  . E =  6 5 + c 0  ; F =  6  b  2  2a 0 1  b b(2 − a)      Calculer. a. A + B

e. CE

i. FE

m. A2

b. A + F

f. EA

j. CA + t E

n. E3

346

c. C + D

g. DA

k. (A + B + F) ⋅ E

o. E2 + CD

d. CD

h. FG

l. G ⋅ (DC – EF)

p. (DC)2

12. Calcul matriciel

8. Transformations du carré unité La fig. 11 montre l’image du carré unité OABC par plusieurs transformations du plan.

Dans chaque cas, écrire la matrice qui représente la transformation. e.

C′ O

B′

A′

C′

B′

A′

B′

C′

A′

B′

C′ A′

C′

B′

A′

h. A′ B′

B′

A′

O C′

C′

B′

O A′ fig. 11

Exercices

347

9. Calcul de déterminants1 Calculer le déterminant des matrices suivantes en utilisant la méthode la plus directe. Écrire la réponse sous la forme la plus simple possible. 7 9 1   a.  2 −3 0  5 6 4  

 1 1 2a    f.  a a a  1 2 3   

 a 4( a − 2) 3 3b + 1    2a 2( a − 2) 1 2b  k.   3a ( a − 2) −1 −2 + b    9   5a ( a − 2) 2

19 1 5    b. 19 −1 5  19 1 −5   

1  g.  a  2 a

 sin a sin b sin( a + b)cos( a − b)    l.  sin b sin a sin( a + b)cos( a − b)   cos a cos b cos( a + b)cos( a − b)   

2  1 c.  2  1 

 sin θ cos θ  h.    cos θ − sin θ 

 a2 b2 c2    m.  bc ac ab   b + c a + c a + b  

0, 5 2   sin α   i.  sin 2α cos α 3   0 0 2  

 a + d a 2   n.  b + 2d b 4   c + 3d c 6   

 a −3 1  j.  1 a −3a    0 1 a  

 1 + 4 a + 5b + c  3 + 2a + c o.   3 + 4 a + 3c   3 + 5b + c

 3  d.  1   1 

5  3 2  −5  

2 3 −2

2  3 3  3 2 

 a a 3   e.  a b a  1 a 0  

1 a a3

2a   a  a2 

4 5 2 0 4 0 0 5

10. Déterminant nul Déterminer les valeurs de m qui annulent le déterminant suivant : 3m 6m + 1 m m −1 4m m m + 2 m + 2 2m − 1

1 Les exercices 9 m et 9 n sont adaptés des examens d’admission de l’U.L.B. (juillet 1997 et juillet 2001).

348

12. Calcul matriciel

1  1 3  1 

11. Déterminant de Vandermonde (mathématicien français, 1735-1796) a. Démontrer que 1 a a2 1 b b2 = ( a − b) ( b − c) ( c − a) 1 c

b. Utiliser la formule de Vandermonde pour calculer les déterminants suivants. 1 1 1 1) 1 2 3 1 4 9

a a

2) b b c

1 4 1 3) 4 9 16 1 -8 27 64 -2

12. Inversion de matrices Calculer, si elle existe, l’inverse des matrices suivantes.  2 1 a.    3 5

 2 1 3   e.  −2 0 4   5 1 3  

0, 5 2   sin α   i.  sin 2α cos α 3   0 0 2  

 2 1 1   b.  1 −1 5   3 1 1  

 1 1 2a    f.  a a a  1 2 3   

 1 + 4 a + 5b + c  3 + 2a + c j.   3 + 4 a + 3c   3 + 5b + c

2  c.  1  1 

1  g.  a  2 a

 a 4( a − 2) 3 3b + 1    2a 2( a − 2) 1 2b  k.   3a ( a − 2) −1 −2 + b    9   5a ( a − 2) 2

 3  d.  1   1 

5   2  2  

2 3 1

2  3 3  3 2 

1 a a3

2a   a  a2 

1 a 3   h.  a a a  1 a 0  

4 5 2 0 4 0 0 5

1  1 3  1 

 sin θ cos θ  l.    cos θ − sin θ 

Exercices

349

13. Exprimer un déterminant en fonction d’une seule variable1 Sachant que a + b + c = 2 p , calculer, en fonction de p, le déterminant a- p b c a b- p c . a b c- p

Résoudre un problème 14. Matrices et symétries de l’espace a. Soient Mx, My, Mz les matrices correspondant aux symétries par rapport aux plans2 x = 0, y = 0, z = 0, notées respectivement sx, sy, sz, et soit un point P(1 ; 2 ; 3). – Déterminer les coordonnées de P ’ = s x ( P ) et de P ’’ = s y ( P ’ ) . – Calculer le produit N = M x ⋅ M y . 1   b. Multiplier N par la matrice  2  , représentant le point P, et com 3 menter les résultats.   c. Écrire les images des sommets du cube unité (fig. 12) par la transF formation définie par : 1 0 0   M = 0 0 1 . 0 1 0   Quelle est cette transformation ? d. Quelle est la transformation telle que, dans le cube unité (fig. 12), l’on ait : ( A) → (0 , 1 , 0) ( B) → (1 , 0 , 0) (C ) → (0 , 0 , 1) Écrire la matrice correspondante. e. Dans l’espace, le point P ( x ; y ; z) est envoyé sur le point P ′ ( x ′ ; y′ ; z′ ) par : 1) une homothétie de centre O et de rapport 3 ; 2) une symétrie de centre O ; 3) une symétrie orthogonale d’axe Oz ; 4) une symétrie orthogonale par rapport au plan xOy ; 1 Examen d’admission U.L.B. (juillet 1998). 2 Le plan d’équation x = 0 est le plan yOz.

350

12. Calcul matriciel

E U y

O A x

B D fig. 12

5) la transformation identique ; 6) une symétrie orthogonale d’axe Ox suivie d’une symétrie de centre O. Écrire la matrice de chaque transformation.

15. Rotations de l’espace a. Déterminer les images du cube unité (fig. 12) par une rotation d’un quart de tour autour de l’axe Oy (le sens de cette rotation est celui du tire-bouchon pointé vers l’origine et placé le long de l’axe des y) (fig. 13).

Utiliser les résultats pour écrire la matrice de cette transformation. b. Déterminer les matrices qui représentent les quarts de tour respectivement autour des axes Ox et Oz (le sens de ces rotations est celui du tire-bouchon pointé vers l’origine et placé le long de l’axe).

c. Quelle est la transformation représentée par la matrice x 0 0  1   M =  1 cos α − sin α  ?  0 sin α cos α   

fig. 13

16. Groupe de transformations a. L’ensemble des transformations linéaires du plan qui laissent invariante la figure F (fig. 14), muni de la loi de composition «  », est-il un groupe ? Un groupe commutatif ? b. Qu’en est-il de l’ensemble des matrices de ces transformations linéaires, muni de la loi de multiplication « ⋅ » ? y

1 0

fig. 14

Exercices

351

17. Achat de gravier Une entreprise possède trois succursales, situées à Hendremont, Trevillers et Houves-la-Neuve. Chaque succursale doit, au cours de la semaine prochaine, se procurer du gravier de quatre qualités différentes. Ce gravier peut être acheté à différentes entreprises dont les tarifs (prix à la tonne) figurent dans le tableau suivant.

S.p.r.l. Graviers Van K.

Construct & Co

s.a. Établissements H. H.

Qualité 1

44,5

45,3

43,9

Qualité 2

39,5

40,5

41,5

Qualité 3

37,9

36,9

45,4

Qualité 4

37,5

37,2

43,2

Le second tableau indique les quantités de gravier, exprimées en tonnes, à acheter par chacune des succursales au cours de la semaine prochaine. Qualité 1

Qualité 2

Qualité 3

Qualité 4

Hendremont

Trevillers

Houves-la-Neuve

Utiliser le calcul matriciel pour présenter le montant total des achats à effectuer la semaine prochaine par chacune des succursales, en fonction du fournisseur choisi.

18. *Reproduction de rongeurs De petits rongeurs vivant dans des marais se reproduisent de la manière suivante. Chaque année, les femelles en âge de procréer donnent le jour en moyenne à 5,6 femelles lorsqu’elles sont âgées d’un an et à 9,2 femelles lorsqu’elles sont âgées de deux ans. Elles ne vivent pas plus longtemps. Mais sur les femelles naissant une année, seules vivent 49 % encore l’année suivante. Et parmi les femelles d’un an, seules 32 vivent encore l’année d’après. a. Pour la nième année de l’observation : – an représente le nombre de naissances de jeunes femelles ; – bn représente le nombre de femelles d’un an ; – cn le nombre de femelles de deux ans. Écrire un système d’équations permettant, en fonction de ces nombres, d’exprimer les nombres an+1 , bn+1 cn+1 analogues pour l’année suivante. 352

12. Calcul matriciel

b. La population de femelles de la nième année peut être exprimée par  an    une matrice colonne de la forme  bn  . Utiliser un produit matric   n  an+1    ciel pour obtenir la matrice colonne  bn+1  décrivant la populac   n+1   an    tion de femelles l’année suivante en fonction de  bn  . c   n Remarque La réponse à cette question fait intervenir une autre matrice, appelée matrice de Leslie. C’est une matrice démographique permettant de décrire l’évolution d’une population ; elle fait intervenir le taux de fécondité, le taux de survie… c. Utiliser les résultats obtenus en a pour écrire un système d’équations permettant de retrouver la population de l’année précédente si on connaît la population d’une année donnée. d. Utiliser un produit matriciel pour obtenir la matrice-colonne  an−1     bn−1  décrivant la population de femelles de l’année (n – 1) en c   n−1   an    fonction de la matrice-colonne  bn  . c   n e. À partir des données décrivant la population de femelles d’une année, exprimer par un seul produit matriciel les données concernant la population de femelles : – deux ans plus tard ; – trois ans plus tard.

19. *Migration de populations Un cours d’eau sépare une ville en deux quartiers : « Rive Gauche » et « Rive Droite ». Ces dernières années, on a pu constater, de manière récurrente, qu’annuellement : – environ deux pour cent de la population du quartier « Rive Gauche » migre vers le quartier « Rive Droite » ; – un pour cent de la population du quartier « Rive Droite » migre vers le quartier « Rive Gauche » ;

Exercices

353

– un demi pour cent de la population du quartier « Rive Gauche » et un tiers de pour cent de celle du quartier « Rive Droite » migrent vers la campagne environnante ; – la population de la campagne environnante migre à raison d’un pour cent vers le quartier « Rive Gauche » et de deux tiers de pour cent vers le quartier « Rive Droite ». De plus, la balance des décès et des naissances apporte une augmentation de population d’un pour cent pour la campagne environnante, d’un demi pour cent pour le quartier « Rive Gauche » et d’un tiers de pour cent pour le quartier « Rive Droite ». a. En négligeant toute autre variation de population, donner une estimation des trois populations dans trois ans sachant qu’actuellement la population est de 20 000 habitants pour le quartier « Rive Gauche », de 15 000 habitants pour le quartier « Rive Droite » et de 20 000 habitants pour la campagne environnante. b. Comment se répartissait la population il y a un an ? Il y a deux ans ?

20. *Pyramide des âges Dans un pays, on peut établir une classification de la population selon la tranche d’âge à laquelle elle appartient. Chaque tranche d’âge regroupe la population qui au moins atteint la limite d’âge inférieure et qui, au jour près, a un âge strictement inférieur à la limite supérieure de la classe. Tranche d’âge

Population

0-20 ans

503 297

20-40 ans

500 246

40-60 ans

490 741

60-80 ans

375 492

80-100 ans

104 732

100-120 ans

Le tableau suivant indique le taux de natalité au cours des vingt années à venir dans la population se trouvant actuellement dans chacune des tranches d’âge. Un taux de 0,372 signifie par exemple que, sur mille personnes se trouvant actuellement dans la tranche d’âge considérée, on peut estimer à 372 le nombre d’enfants qu’elles auront pendant une durée de vingt ans à compter de ce jour.

354

Tranche d’âge

Taux de natalité dans les vingt ans

0-20 ans

0,372

20-40 ans

0,340

40-60 ans

0,002

60-80 ans

80-100 ans

100-120 ans

12. Calcul matriciel

Le troisième tableau indique le taux de mortalité au cours des vingt années à venir, dans la population se trouvant actuellement dans chacune des tranches d’âge. Un taux de 0,006 signifie par exemple que, sur mille personnes se trouvant actuellement dans la tranche d’âge considérée, on peut estimer à 6 le nombre d’individus qui mourront pendant une durée de vingt ans à compter de ce jour. Tranche d’âge

Taux de mortalité dans les vingt ans

0-20 ans

0,006

20-40 ans

0,019

40-60 ans

0,231

60-80 ans

0,721

80-100 ans

0,999

100-120 ans

a. En se basant sur les taux actuels et en négligeant les flux migratoires, donner une estimation de la répartition de la population dans quarante ans, selon les mêmes classes d’âges. b. Estimer la répartition de la population, il y a vingt ans.

Exercices

355

13 géomlyétitqruiee

ana e c a p s e ’ l de

La géométrie analytique, autrefois appelée « méthode algébrique », repose sur l’usage de coordonnées et sur l’application du calcul algébrique, voire de l’analyse, pour traiter de questions géométriques. Dans l’Antiquité, les astronomes repéraient déjà les étoiles à l’aide de coordonnées et observaient des liens entre celles-ci pour tenter de comprendre les mouvements des astres. Archimède et APollonius de Perge, deux Grecs nés au troisième siècle avant notre ère, développèrent des calculs utilisant deux coordonnées pour étudier des problèmes de géométrie plane. Apollonius étudia un certain nombre de courbes, et établit, entre autres, l’équation de la parabole. Au xive siècle, Nicolas oresme représenta graphiquement le lien entre deux grandeurs intervenant dans un même phénomène, appelant latitude et longitu de les deux coordonnées utilisées dans ces représentations graphiques. Il s’agissait certes de la démar che inverse de la précédente. Mais, lorsque les œuvres d’Archimède et d’Apollonius furent traduit es en latin à la fin du xvie siècle, on ouvrit la porte à une possible symbiose entre ces deux façons de raisonner qui se sont nourries l’une de l’autre. descArTes (1596-1650) et FermAT (1601-1665), mathématiciens français, contribuèrent fortement au développement de la géométrie analytique au xviie siècle. Pour décrire des courbes mathématiques et faciliter les raisonnements, ils utilisèrent des liens algébr iques entre les coordonnées de leurs points. Les principes développés ne différaient pas fondam entalement de ceux d’Archimède et d’Apollonius, mais c’est la généralisation du procédé qui marqu a un pas essentiel dans le développement de la géométrie analytique, même s’ils se limitèrent aux courbes dont on pouvait écrire des équations algébriques.

Un nouveau pas capital fut l’extension à l’espace : la géométrie analytique ne concernait précédemment que les courbes planes. Les éléments géométriques les plus simples (droites et plans) ne furent décrits dans le cadre de la géométrie analytique qu’apr ès les courbes du second degré : paraboles, ellipses, etc. On a en effet longtemps continué à les traiter selon la géométrie classique, quitte à parfois mêler les deux types de géométrie. C’est lAgrAnge (1736-1813) qui, dans la seconde moitié du xviiie siècle, établit les équations de plans et de droites. Il contribua également à l’usage systématique des trois axes de coordonnées. monge (1746-1818) établit les équations d’un grand nombre de surfaces et résolut de multip les problèmes grâce à la géométrie analytique. Il contribua grandement à la naissance de la géomé trie analytique moderne. Le développement de cette branche de la géométrie s’est poursu ivi au cours des siècles suivants. On étudia de nouvelles courbes et des surfaces algébriques, on développa des principes généraux susceptibles de s’appliquer à toutes les courbes. On résolut de nombreux problèmes grâce à la géométrie analytique. L’algèbre est resté un outil indispensabl e en géométrie analytique, mais cette dernière s’est enrichie grâce à l’utilisation de concep ts liés à l’analyse, tels les dérivées, et au calcul vectoriel. Dans ce chapitre, on établit les équations de droites et de plans de l’espace ; les figures sont caractérisées en termes de coordonnées des points qui leur appart iennent. Les courbes et surfaces paramétrées sont décrites par des équations paramétrique s à un ou deux paramètres. Les équations cartésiennes sont des relations entre les coordonnées d’un point d’un plan ou d’une surface ; les courbes – et en particulier les droites – sont des interse ctions de deux surfaces. On pense ici aux courbes de niveau, intersections de la surface de la terre avec des plans horizontaux, ou aux « vues en tranche » prises par les scanners en imager ie médicale… Les techniques abordées permettent de résoudre algébriquement des problèmes d’incidence, de parallélisme, d’orthogonalité, de calculer des distances. Mais une grande partie des problèmes d’intersection seront étudiés dans le chapitre 14 consacré aux systèmes d’équations linéaires.

5 – 10

0–5

–5 – 0

–10 – –5

–5

–15 – –10

–10 2

–15

Image du cerveau par scanner ; le plan de coupe est indiqué sur l’image inférieure.

–1 –4

–3

–2

–1 0 1 ordonnées (y)

–4

abscisses (x)

cotes (z)

10 – 15

Graphique du plan d’équation z = x + 2y réalisé par Excel. Les différentes zones colorées correspondent aux régions du plan dont la cote (valeur de z) est indiquée dans la légende.

n o i t a r o l p ex 1. Une vitesse constante Un cycliste se déplace à vitesse constante le long d’une route. On a représenté son vecteur-vitesse lorsqu’il passe à la position A indiquée sur la photo. Le vecteur-vitesse d’un mobile à un instant donné est un vecteur dont la direction et le sens indiquent la direction et le sens du mouvement et dont la grandeur mesurée en m/s indique la vitesse du mobile, au sens courant du terme. Pour un mouvement où le vecteur-vitesse v est constant, celui-ci peut être donné par v = d où d est un vecteur-déplacement, joignant deux Dt positions successives du mobile, et où Dt est la durée du déplacement entre ces deux positions. Dans un tel mouvement, le vecteur-vitesse indique la valeur du vecteur-déplacement correspondant à une unité de temps. On mesure le temps t sur une échelle de temps, dans laquelle t = 0 correspond au passage du cycliste au point A.

Pour le cycliste représenté, donner une formule exprimant, en fonction de t, le vecteur AP joignant le point A à la position P du cycliste à l’instant t. Quelle est la caractéristique géométrique de la trajectoire obtenue ? E

2. Trois types d’équations de droites

On considère le parallélépipède quelconque ABCDEFGH (fig. 1). a. À quelle droite appartient le point P si

1) AP = l ⋅ AB ? 2) AP = l ⋅ AC ? 3) AP = AE + l ⋅ AC ? 4) AP = AB + l ⋅ BH ? b. Le point P est situé sur la diagonale [AG]. Exprimer le vecteur AP, en fonction de AG si P est B 1) le milieu de la diagonale, 2) situé à une distance de A double de sa distance à G. c. Le point P est situé sur la droite AG. Exprimer le vecteur AP, en fonction de AG si P est trois fois plus loin de G que de A lorsque 1) P est entre A et G, 2) A est entre G et P.

358

13. Géométrie analytique de l’espace

fig. 1

d. On définit un repère de l’espace sur les arêtes du parallélépipède (fig. 2). Dans ce repère, on a D ( 0 ; 0 ; 0 ) , A (1 ; 0 ; 0 ), C ( 0 ; 2 ; 0 ) et H ( 0 ; 0 ; 3) . Les coordonnées du point P sont ( x ; y ; z ).

z H

Traduire la relation AP = l ⋅ AG en termes de composantes de vecteurs, et en déduire l’expression de chaque coordonnée de P.

e. Soient les points P ( x ; y ; z ) , dont les coordonnées, dans un repère orthonormé, sont données par le système x = 1 + λ   y = −1 + 2λ . z = 1 − λ  1) Représenter, dans un repère orthonormé, l’ensemble A des points P vérifiant le système donné. Quelle est la nature de cet ensemble ?

fig. 2

Synthèses 1 à 4 Exercice 5 (série 1)

2) Éliminer l entre les équations du système. Caractériser les points vérifiant les équations obtenues.

3. Découvrir des équations de plans A. On considère un parallélépipède rectangle OABCDEFG (fig. 3) et un point P de l’espace. a. À quel plan du parallélépipède appartient le point P si

1) AP = l AB + m OA ? 2) AP = l AB + m AE ? 3) AP = l AE + m OC ? b. Le point P est situé dans le plan AEC. Exprimer le vecteur AP en fonction des vecteurs AE et AC si P est :

1) le centre de gravité du rectangle ACGE, 2) le centre de gravité du triangle AEC, 3) situé aux deux tiers de [AG] à partir de A,

fig. 3

4) au milieu de [GC], 5) sur la droite GE. B. On définit un repère orthogonal de l’espace sur les arêtes du parallélépipède (fig. 4). Dans ce repère, on a O ( 0 ; 0 ; 0 ) , A ( 2 ; 0 ; 0 ) , C ( 0 ; 3 ; 0 ) et D ( 0 ; 0 ; 4 ). Les coordonnées du point P sont E ( x ; y ; z) .

z D(0 ; 0 ; 4)

On donne AP = l ⋅ AG + m ⋅ AE (1). a. À quel plan appartient le point P ? b. Traduire la relation (1) en termes de composantes de vecteurs et en déduire l’expression de chaque coordonnée de P. c. Répondre aux mêmes questions pour un point Q défini par la relation BQ = l ⋅ DE + m ⋅ BD x

1 1O A(2 ; 0 ; 0)

y 1

C(0 ; 3 ; 0) B

fig. 4

Exploration

359

C. Soient les points P ( x ; y ; z ) dont les coordonnées, dans un repère orthonormé, sont données par le système x = 1 + λ + µ   y = 3λ + 3µ .  z = 4µ  a. À quel plan appartiennent ces points P ?

Synthèses 5 à 7 Exercice 6 (série 1)

b. Éliminer l et m entre les équations pour n’obtenir qu’une seule équation, relation entre les différentes coordonnées du point P.

4. Caractériser des ensembles de points de l’espace On a représenté des plans et des droites de l’espace dans un repère orthonormé (fig. 5 à 12). a. Donner les coordonnées de trois points de chaque ensemble représenté. 2

z 1

1 1

x plan Oxy

fig. 5

droite d confondue avec l’axe Oy

fig. 7

x plan parallèle au plan Oxy fig. 6

1 1

droite parallèle à l’axe Oz et située dans le plan Oyz

13. Géométrie analytique de l’espace

fig. 8

360

x fig. 9

fig. 10

1 y

x fig. 12

fig. 11

b. Choisir dans les équations ci-dessous celle(s) qui caractérise(nt) les plans et les droites représentées dans les fig. 5 à 12. 1) z = 2

x = 0 3)  y = 1

x + y = 1 5)  z = 1

x = 1 7)  y = 1

2) x = 1

4) z = 0

x = 0 6)  z = 0

8) y = x

c. Quels sont les ensembles de points de l’espace qui vérifient les équations suivantes ? 1) x = 0

3) z = −1

2) x = y = 0

x = 0 4)  z = 2

5) x + y = 1 Exercice 1

5. Une affaire de déterminant Soit le plan p défini par les trois points A(1 ; 3 ; 4), B(4 ; 5 ; 2) et C(3 ; 2 ; 1) ; soit P ( x ; y ; z ) un point quelconque de ce plan. a. Écrire des équations paramétriques du plan, exprimant les composantes du vecteur AP en fonction des composantes de deux vecteurs directeurs du plan. b. Écrire les composantes de chacun de ces vecteurs sur une ligne d’une matrice d’ordre 3, puis calculer le déterminant de cette matrice. c. Que représente la relation obtenue en exprimant que le déterminant est nul ? d. Soit Q(1 ; 2 ; 3). Utiliser la relation obtenue pour vérifier si Q ∈ π .

Synthèses 8 et 9

e. Écrire une équation cartésienne du plan p.

Exploration

361

6. Une droite perpendiculaire à un plan Soient les points A(1 ; 2 ; 5), B(3 ; 9 ; 1) et C(–1 ; 1 ; 3). On considère la droite AB et le plan p perpendiculaire à AB et comprenant le point C. a. Soit P(x ; y ; z) un point quelconque du plan p. Quelle relation existe-t-il entre les vecteurs AB et CP ? b. Calculer le produit scalaire AB • CP et écrire une équation cartésienne du plan p. c. Les points D(1 ; 1 ; 4) et E(3 ; –1 ; 2) appartiennent-ils au plan p ?

Synthèses 10 et 11 Exercices 5 (série 2), 6 (série 2) et 7

7. Représenter un plan dans un système d’axes Dans un système d’axes orthonormés, on donne le plan α ≡ x + y + z = 4 . a. Tracer le système d’axes et placer les points d’intersection entre chacun des axes et le plan a .

Synthèse 12 Exercice 3

b. Déterminer la trace du plan a sur chacun des plans du repère.

8. Traduire le parallélisme et l’orthogonalité Examiner chacune des propositions suivantes. Si elle est vraie, la justifier ; si elle est fausse, donner un contre-exemple. a. Soit π ≡ ax + by + cz = 0 , avec (a ; b ; c) ∙ (0 ; 0 ; 0). La droite d de vecteur directeur (2a ; 2b ; 2c) est parallèle au plan p. x = 2 + λ  est parallèle au plan α ≡ x + 2 y + z = 3. b. La droite d ≡  y = −2λ  z = −1 + 3λ   x = 3 − 2λ x = 1 + µ   c. Les droites d1 ≡  y = 1 + λ et d2 ≡  y = −3 + 2µ sont orthogonales.  z = −2 − 3λ z = 5   x = λ + µ  d. Les plans α ≡ 3 x − 2 y + z − 1 = 0 et β ≡  y = 1 − λ + µ sont parallèles.  z = 2 − 5λ − µ  x − 1 2y + 1 2 − z = = est sécante au plan 3 2 3 π ≡ 2x − 3 y + 4z = 7 .

e. La droite d ≡

362

13. Géométrie analytique de l’espace

Synthèses 13 à 15 Exercices 8 à 11, 13 à 21

9. Calculer la distance d’un point à une droite a. On donne un cube ABCDEFGH, dont l’arête est de longueur 2 ( fig. 13), et le point P, centre de la face supérieure du cube. Ajouter dans la figure du cube les éléments nécessaires pour calculer la distance du point P à l’arête [ AB] . H

P E

D A

C B fig. 13

b. Calculer cette distance. c. Définir, par rapport à la droite AB, la position du plan dans lequel on travaille. d. Dans un repère orthonormé, calculer la distance du point A (1 ; 1 ; 1) à la droite  x = 11 + 2λ  d ≡  y = 18 + 5λ.  z = 4 − 2λ 

Synthèse 16 Exercices 4, 12, 22 et 23

Exploration

363

e s è h t n y s 1. Qu’est-ce qu’une équation vectorielle d’une droite de l’espace ? Comment la déterminer ? Dans le plan ou dans l’espace, une droite est déterminée lorsque l’on en connaît deux points distincts ou un point et sa direction. Définition 13.1 – Vecteur directeur d’une droite On appelle vecteur directeur d’une droite d tout vecteur défini par deux points distincts de la droite. Tout vecteur CD, multiple non nul du vecteur AB défini par les points A et B de la droite d, est aussi un vecteur directeur de cette droite, même si les points C et D n’appartiennent pas à droite d ; ils sont alors situés sur une droite parallèle à d.

B C

fig. 14

Soit la droite d définie par un point A et un vecteur directeur u (fig. 14). La droite d est l’ensemble des points P tels que AP = l ⋅ u ; autrement dit, P ∈ d ⇔ ∃ λ ∈ R : AP = lu L’équation AP = l ⋅ u caractérise tous les points de la droite d dont on connaît un point A et un vecteur directeur u. On l’appelle équation vectorielle de la droite d on écrit d ≡ AP = lu (1)

λu

P fig. 15

Remarque Si la droite d est définie par deux points distincts A et B, le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite ; on a alors d ≡ AP = lAB.

364

13. Géométrie analytique de l’espace

2. Comment déterminer un système d’équations paramétriques d’une droite ? Dans un repère dans l’espace, on considère le point A ( xA ; yA ; zA ) et le vecteur u( xu ; yu ; zu ) .

Soit P ( x ; y ; z) un point quelconque de l’espace. Il appartient à la droite d définie par le point A et un vecteur directeur u si et seulement si il vérifie l’équation (1) pour une valeur réelle de l. L’équation (1), traduite en termes de composantes de vecteurs, s’écrit

( x − xA ; y − yA ; z − zA ) = λ ( xu ; yu ;

zu )

Cette dernière équation peut être écrite sous forme d’une équation matricielle ou d’un système. Ce système est un système d’équations paramétriques de la droite d, comprenant le point A ( xA ; yA ; zA ) et de vecteur directeur u ; on écrit  xu   x − xA    d ≡ y − yA = λ  yu       z   z − zA  u

 x − xA = λ xu  d ≡  y − yA = λ yu (2) z − z = λ z A u 

Exemple Équations paramétriques de la droite d comprenant A (2 ; 3 ; 9) et B (4 ; 5 ; 2) . u = AB = (2 ; 2 ; − 7)  x − 2 = 2λ  d ≡  y − 3 = 2λ  z − 9 = −7λ 

 x = 2 + 2λ  d ≡  y = 3 + 2λ  z = 9 − 7λ 

3. Comment déterminer des équations cartésiennes d’une droite ? En éliminant l entre les équations du système (2), on obtient des équations cartésiennes de la droite d, définie par un point A ( xA ; yA ; zA ) et un vecteur directeur u( xu ; yu ; zu ) . 1. Si xu ≠ 0, yu ≠ 0 et zu ≠ 0, alors d ≡

x − xA y − yA z − zA = = xu yu zu

Si la droite d est définie par les points A ( xA ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; zB ) et si

( yB − yA ) ≠ 0

et ( zB − zA ) ≠ 0 , alors AB ≡

( xB − xA ) ≠ 0 ,

x − xA y − yA z − zA . = = xB − xA yB − yA zB − zA

Synthèse

365

 x = xA  2. Si xu = 0, yu ≠ 0 et zu ≠ 0, alors d ≡  y − yA z − zA =  y zu  u On obtient un système analogue si • xu ≠ 0, yu = 0 et zu ≠ 0 • xu ≠ 0, yu ≠ 0 et zu = 0.  x = xA 3. Si xu = 0, yu = 0 et zu ≠ 0, alors d ≡  .  y = yA  x − xA = 0  La troisième équation du système d’équations paramétriques  y − yA = 0 peut en effet être z − z = λ z A u 

supprimée. Pour tout point P ( x ; y ; z) de l’espace, cette équation est vérifiée pour une et une seule valeur de l : celle obtenue en isolant l dans cette équation. On ne pouvait pas éliminer les équations analogues dans les cas précédents, car il y en avait plusieurs : pour tout point donné, elles n’étaient pas nécessairement vérifiées pour une même valeur de l. On obtient des résultats analogues si : • xu ≠ 0, yu = 0 et zu = 0 ; • xu = 0, yu ≠ 0 et zu = 0. Exemples 1) Équations cartésiennes de la droite d comprenant le point A (8 ; 3 ; 2) et de vecteur directeur u (2 ; 0 ; 1) . x−8 = z−2  d≡ 2  y = 3  x − 2z = 4 d≡ y = 3 2) Équations cartésiennes de la droite AB comprenant les points A(2 ; 5 ; - 1) et B(2 ; 5 ; 4) AB = (0 ; 0 ; 5) x = 2 AB ≡  y = 5 Il s’agit dans cet exemple d’une droite parallèle à l’axe Oz.

366

13. Géométrie analytique de l’espace

4. Comment écrire des équations paramétriques d’une droite dont on connaît des équations cartésiennes ? Le procédé le plus simple est de choisir une des coordonnées comme paramètre. Exemple 2 x + 3 y − z = 1 Soit d ≡  x + y + z = 2 On pose, par exemple, z = λ . 2 x + 3 y = 1 + λ  Le système donné devient  x + y = 2 − λ z = λ   x = 5 − 4λ  On obtient finalement d ≡  y = −3 + 3λ . z = λ  On en déduit que u ( − 4 ; 3 ; 1) est un vecteur directeur de d.

5. Qu’est-ce qu’une équation vectorielle d’un plan de l’espace ? Dans l’espace, un plan peut être déterminé par trois points distincts non alignés. Ces trois points distincts, pris deux à deux, définissent des vecteurs non nuls et non parallèles. Définition 13.2 – Vecteurs directeurs d’un plan On appelle vecteur directeur d’un plan tout vecteur défini par deux points distincts de ce plan. L’expression couple de vecteurs directeurs d’un plan désigne deux vecteurs directeurs non parallèles de ce plan. Pour déterminer un plan de l’espace, on peut aussi considérer deux droites sécantes ; ces deux droites ont un point commun et leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles, ce qui implique que l’on peut aussi déterminer un plan de l’espace par un point et un couple de vecteurs directeurs. Soit un plan p défini par un point A et un couple (u ; v) de vecteurs directeurs (fig. 16). Le plan p est l’ensemble des points P de l’espace tels que AP = l ⋅ u + m ⋅ v ; autrement dit, v u

λu P ∈ π ⇔ ∃ λ, µ ∈ R : AP = lu + mv

A π

µv fig. 16

Synthèse

367

La relation AP = lu + mv caractérise tous les points du plan p dont on connait un point A et un couple (u ; v) de vecteurs directeurs. On l’appelle équation vectorielle du plan p et on écrit p ≡ AP = lu + mv (3) Remarque Si le plan p est défini par trois points distincts non alignés A, B et C (fig. 17), l’équation (3) s’écrit p ≡ AP = lAB + mAC C µAC A π

BB λAB

fig. 17

6. Comment déterminer un système d’équations paramétriques d’un plan ? Dans un repère dans l’espace, on considère un plan p défini par un point A ( xA ; yA ; zA ) et un couple de vecteurs directeurs u( xu ; yu ; zu ) et v( xv ; yv ; zv ). Soit P ( x ; y ; z) un point quelconque de l’espace. L’équation vectorielle p ≡ AP = lu + mv est une condition nécessaire et suffisante pour que P appartienne à p . Traduite en composantes de vecteurs, elle devient

( x − xA

; y − yA ; z − zA ) = λ ( xu ; yu ; zu) + µ(xv ; yv ; z v ) .

Cette dernière équation peut être écrite sous forme d’équation matricielle ou d’un système appelé système d’équations paramétriques du plan p ; on écrit  xu   xv   x − xA      π ≡ y − yA = λ yu + µ  yv         z   z   z − zA  u v

 x − xA = λ ⋅ xu + µ ⋅ xv  ou π ≡  y − yA = λ ⋅ yu + µ ⋅ yv z − z = λ ⋅ z + µ ⋅ z A u v 

Exemple Équations paramétriques du plan p comprenant les trois points A (1 ; 3 ; 7) , B (5 ; 2 ; 1) et C (7 ; 8 ; 9) . u = AB = (4 ; − 1 ; − 6) ; v = AC = (6 ; 5 ; 2) .

On obtient

368

13. Géométrie analytique de l’espace

 x = 1 + 4λ + 6µ  π ≡  y = 3 − λ + 5µ  z = 7 − 6λ + 2µ 

7. Comment déterminer une équation cartésienne d’un plan dont on connaît un système d’équations paramétriques ? On élimine les paramètres l et m entre les équations paramétriques du plan pour obtenir une seule équation dans laquelle il n’y aura plus de paramètre ; cette équation est appelée équation cartésienne du plan. Exemples  x = 1 + 4λ + 6µ  1. Soit π ≡  y = 3 − λ + 5µ .  z = 7 − 6λ + 2µ  On peut éliminer l entre les deux premières équations en multipliant la seconde par 4 et en remplaçant la première par leur somme, ce qui donne un système équivalent au précédent.  x + 4 y = 13 + 26µ   y = 3 − λ + 5µ  z = 7 − 6λ + 2µ  Par une méthode analogue, on élimine l entre la 2e et la 3e équation, ce qui donne  x + 4 y = 13 + 26µ   y = 3 − λ + 5µ  z − 6 y = −11 − 28µ  On élimine m entre la 1re et la 3e équation et on obtient 28 x − 44 y + 26z = 78   y = 3 − λ + 5µ On obtient

14 x − 22 y + 13z = 39   y = 3 − λ + 5µ

π ≡ 14 x − 22 y + 13z = 39 .

Attention Dans cette technique d’élimination des paramètres, il faut veiller à ne pas prendre deux fois le même groupe d’équations.  x = 1 + 2λ + 5µ  2. Soit π ≡  y = 6 − λ − 2µ .  z = 7 + 3λ  On élimine m entre les deux premières équations et on obtient 2 x + 5 y = 32 − λ   y = 6 − λ − 2µ  z = 7 + 3λ 

Synthèse

369

On élimine l entre la première et la 3e équation ; on a 6 x + 15 y + z = 103   y = 6 − λ − 2µ  z = 7 + 3λ  π ≡ 6 x + 15 y + z = 103 .

On obtient

8. Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan à l’aide d’un déterminant ? Un système d’équations paramétriques d’un plan p peut s’écrire sous forme matricielle (synthèse 5)  xu   xv   x − xA      π ≡ y − yA = λ yu + µ  yv  (4)        z   z   z − zA  u v  x − xA Considérons la matrice M =  y − yA   z − z A

xu yu zu

xv  yv  .  zv 

Puisque u et v sont des vecteurs non parallèles du plan, ils sont non nuls et non multiples l’un de l’autre. De même, leurs composantes ne sont pas toutes nulles simultanément et ne sont pas proportionnelles. Dès lors, les deux dernières colonnes de la matrice M ne sont pas entièrement nulles et ne sont pas proportionnelles. Par contre, l’écriture (4) signifie que les composantes du vecteur AP sont des sommes de multiples (ou combinaisons linéaires) des composantes des vecteurs u et v. La première colonne de la matrice M est donc combinaison linéaire des deux autres colonnes, ce qui entraîne (propriété e, synthèse 11, page 341) que x − xA y − yA z − zA

xu yu zu

xv yv = 0 (5) zv

Cette équation est une équation cartésienne du plan p, comprenant le point A ( xA ; yA ; zA ) et de vecteurs directeurs non parallèles u( xu ; yu ; zu ) et v( xv ; yv ; zv ). Un point P ( x ; y ; z) de l’espace est un point du plan p si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation (5). On écrit x − xA π ≡ y − yA z − zA

xu yu zu

xv yv = 0 zv

x − xA π≡ xu xv

y − yA yu yv

z − zA zu = 0 zv

Remarque On écrit sans difficulté une équation cartésienne du plan p comprenant trois points non alignés en remplaçant les composantes des vecteurs u et v par celles des vecteurs AB et AC.

370

13. Géométrie analytique de l’espace

9. Qu’appelle-t-on forme canonique de l’équation cartésienne d’un plan ? En développant les différentes formules établies pour l’équation cartésienne d’un plan et en réduisant les termes semblables, on obtient toujours une équation de la forme ax + by + cz = d . Une telle expression est appelée forme canonique de l’équation cartésienne d’un plan. Les trois réels a, b, c ne peuvent être simultanément nuls, car l’équation serait alors équivalente à 0=d. – Si d ≠ 0 , l’équation ne serait vérifiée par les coordonnées d’aucun point de l’espace. – Si d = 0 , l’équation serait vérifiée par les coordonnées de tous les points de l’espace. Remarques 1) Une telle équation n’est pas unique. Elle peut toujours être remplacée par une équation équivalente. 2) Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + cz = d, avec ( a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0), est l’équation cartésienne d’un plan. Conséquence Dans la synthèse 3, on a observé qu’une droite est déterminée par un système de deux équations du premier degré. Un tel système n’est pas unique. On peut voir une droite comme l’intersection de deux plans (fig. 18). Tout point de la droite appartient à chacun de ces deux plans et vérifie le système d’équations formé par leurs équations cartésiennes. Pour une droite donnée, le choix des deux plans n’est pas unique. Un système d’équations cartésiennes d’une droite e peut donc s’écrire sous la forme

 ax + by + cz = d e≡  a ′ x + b′ y + c ′ z = d ′

π′

fig. 18 avec ( a ; b ; c) ≠ k ( a′ ; b′ ; c′ ) sinon les deux plans seraient parallèles entre eux et leur intersection ne serait pas une droite. Tout système de cette forme détermine une et une seule droite.

Synthèse

371

10. Qu’est-ce qu’un vecteur normal à un plan ? Un vecteur n, normal à un plan p, est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan. Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à ce plan (fig. 19). En effet, les droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles entre elles (chapitre 9, exercice 2k). Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan, et donc en particulier à deux droites sécantes de ce plan. Un plan, défini par deux droites sécantes, l’est donc aussi par un point et un vecteur normal. d

fig. 19 Définition 13.3 On appelle vecteur normal à un plan, tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire à ce plan.

11. Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ? On suppose qu’on travaille dans un repère orthonormé. On considère un plan p dont on connait un vecteur normal n ( a ; b ; c) et un point A ( xA ; yA ; zA ) ; soit alors un point B, B ≠ A , tel que n = AB. La droite AB est donc une droite perpendiculaire au plan p. On considère un point P de l’espace. 1er cas : P Œ p (fig. 20) – Si P ≠ A, alors AP ⊂ π et AP ⊥ AB ; donc AB ⊥ AP ou n ⊥ AP. – Si P = A , alors AP = 0 et donc AP ⊥ n, puisque le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. 2e cas : P œ p

B π

n P

fig. 20 On pourrait montrer que la droite AP ne serait pas perpendiculaire à AB et donc que les vecteurs AB = n et AP ne seraient pas orthogonaux.

372

13. Géométrie analytique de l’espace

Conséquence Un point P de l’espace appartient au plan p si et seulement si AB ⊥ AP si et seulement si n ⊥ AP si et seulement si n • AP = 0 si et seulement si a( x − xA ) + b( y − yA ) + c( z − zA ) = 0 si et seulement si ax + by + cz = axA + byA + czA . Ce qui permet d’énoncer le théorème suivant. Théorème 13.1 Dans un repère orthonormé, soit un plan p comprenant le point A ( xA ; yA ; zA ) et de vecteur normal n = ( a ; b ; c) .

Un point P ( x ; y ; z) de l’espace appartient à p si et seulement si a ( x − xA ) + b ( y − yA ) + c ( z − zA ) = 0 c’est-à-dire si et seulement si ax + by + cz = axA + byA + czA

Cette dernière équation est une équation cartésienne du plan p. On note : π ≡ ax + by + cz = axA + byA + czA Exemple Soit le plan p, de vecteur normal n (3 ; 9 ; 4) et comprenant A (2 ; 5 ; 8) dans un repère orthonormé. π ≡ 3 ( x − 2) + 9 ( y − 5) + 4 ( z − 8) = 0 π ≡ 3 x + 9 y + 4 z = 83 Théorème 13.2 Soit, dans un repère orthonormé, un plan p dont une équation cartésienne est ax + by + cz = d avec ( a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0) .

Le vecteur de composantes ( a ; b ; c) est un vecteur normal à p.

Démonstration Si on considère un vecteur n ( xn ; yn ; zn ) normal à p et un point A( xA ; yA ; zA ) de p, l’équation xn x + yn y + zn z = xn xA + yn yA + zn zA est aussi une équation cartésienne de p. Comme les équations ci-dessus sont équivalentes, car vérifiées par les mêmes valeurs des coordonnées ( x ; y ; z) des points du plan, les coefficients de x, y et z qui y figurent sont proportionnels. Le triplet ( a ; b ; c) est donc un multiple non nul de ( xn ; yn ; zn ). Il correspond donc aux composantes d’un multiple non nul du vecteur n ; c’est un autre vecteur normal au plan p.

Synthèse

373

12. Comment représenter un plan dont on connaît l’équation cartésienne ? Soit π ≡ ax + by + cz = d . Les coefficients a, b et c sont tous trois non nuls : le plan p coupe chacun des axes du repère. Exemple

Un ou deux coefficients sont nuls : le plan est parallèle à un axe ou à un plan du repère. Exemple Soit π ≡ 4 x + 3z = 12 .

Soit π ≡ 4 x + 6 y + 3z = 12 . Ce plan coupe l’axe Ox en A(3 ; 0 ; 0), l’axe Oy en B(0 ; 2 ; 0) et l’axe Oz en C(0 ; 0 ; 4). Le plan est représenté par sa trace sur les trois plans du repère (fig. 21).

Ce plan coupe l’axe Ox en A(3 ; 0 ; 0) et l’axe Oz en C(0 ; 0 ; 4). Il est parallèle à l’axe Oy (fig. 22).

B y

374

13. Géométrie analytique de l’espace

1 y

A x

fig. 21

fig. 22

13. Comment traduire le parallélisme ? On donne…

On demande…

Sur quelles propriétés se baser ?

… une droite d1

… une droite d2 telle que d2 // d1

Tout vecteur directeur de d1 est un vecteur directeur de d2.

… une droite d

… un plan p

… un plan p1

… un plan p tel que d//p

… une droite d telle que d//p

… un plan p 2 tel que p 2 // p1

1) Un vecteur directeur de d est un vecteur directeur du plan p. 2) Un vecteur directeur de d est orthogonal à un vecteur normal au plan p. 1) Un vecteur directeur de p est un vecteur directeur de la droite d. 2) Un vecteur normal à p est orthogonal à un vecteur directeur de d. 1) Un couple de vecteurs directeurs de p1 est un couple de vecteurs directeurs de p 2. 2) Un vecteur normal au plan p1 est un vecteur normal au plan p 2.

14. Comment traduire la perpendicularité ou l’orthogonalité ? On donne… … une droite d1

… une droite d

… un plan p

… un plan p1

On demande…

Sur quelles propriétés se baser ?

… une droite d2 telle que d2 ⊥ d1

Tout vecteur directeur de d2 est orthogonal aux vecteurs directeurs de d1.

… un plan p tel que π ⊥ d

Un vecteur directeur de d est un vecteur normal au plan p.

… une droite d telle que d ⊥ π

Un vecteur normal à p est un vecteur directeur de d.

… un plan p 2 tel que π 2 ⊥ π1

Un vecteur normal au plan p1 est orthogonal à tout vecteur normal au plan p 2.

Synthèse

375

15. Comment reconnaître le parallélisme ou la perpendicularité de plans à partir de leurs équations cartésiennes ? Soient les plans π ≡ ax + b y + cz = d et π ′ ≡ a′ x + b′ y + c′ z = d ′. – Plans parallèles : π // π ′ ⇔ ∃ k ∈ R : ( a ; b ; c) = k ( a′ ; b′ ; c′ ). Exemple : les plans π ≡ 3 x + 4, 5 y + 4 z = 3 et π ′ ≡ 6 x + 9 y + 8z = 1 sont parallèles car 2 ⋅ (3 ; 4, 5 ; 4) = (6 ; 9 ; 8) . – Plans perpendiculaires (dans un repère orthonormé) : π ⊥ π ′ ⇔ aa′ + bb′ + cc′ = 0 Exemple : les plans p ≡ 3x + 2y – z = 1 et p ′ ≡ – x + 4y + 5z = 0 sont perpendiculaires car 3 ⋅ (–1) + 2 ⋅ 4 – 1 ⋅ 5 = 0.

16. Comment calculer la distance d’un point à un plan ou à une droite ? Le repère est orthonormé. La distance d’un point à un plan (à une droite) est la distance minimale entre ce point et un point du plan (de la droite). a. La distance du point P au plan p est la distance de ce point à sa projection orthogonale sur p (fig. 23). Pour la calculer, il faut : – écrire des équations paramétriques de la droite d passant par P et perpendiculaire au plan p ; – calculer les coordonnées de Q, point de percée de d dans le plan p ; – calculer la distance PQ = ( xP − xQ )2 + ( yP − yQ )2 + ( zP − zQ )2 . P

π Q fig. 23 b. La distance du point P à la droite d est la distance de ce point à sa projection orthogonale sur d (fig. 24). Pour la calculer, il faut : – écrire une équation cartésienne du plan p passant par P et perpendiculaire à la droite d ; – calculer les coordonnées de Q, point de percée de d dans le plan p ; – calculer la distance PQ . P d Q π 376

13. Géométrie analytique de l’espace

fig. 24

s e c i c r e ex Pour tous les exercices, l’espace est rapporté à un repère orthonormé.

Expliciter les savoirs et les procédures 1. Travailler dans le repère Utiliser le trièdre des plans du repère ou le cube unité pour résoudre les exercices suivants. a. Donner des équations cartésiennes des plans et des axes d’un repère de l’espace. b. Écrire une équation cartésienne du plan : 1) p1 parallèle au plan Oxy et situé 3 unités en dessous de celui-ci ; 2) p 2 parallèle au plan Oyz et comprenant le point (4 ; − 3 ; 2) ;

3) p3 perpendiculaire à l’axe Oz au point (0 ; 0 ; 6) ;

4) p 4 parallèle au plan Oxz et situé 6 unités derrière celui-ci. c. Écrire des équations cartésiennes de la droite : 1) d1 parallèle à l’axe Oz et passant par le point (1 ; 2 ; 3) ; 2) d2 perpendiculaire au plan Oxz et passant par le point (−1 ; 2 ; 4) .

2. Vrai ou faux ? Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifier. a. Le vecteur n est normal au plan p signifie que n est un vecteur directeur d’une droite d parallèle au plan p. b. Si π ≡ ax + by + cz + d = 0 (a, b et c non tous nuls), alors le vecteur n ( a ; b ; c) est normal au plan p.  2 x − 4 y + 3z − 1 = 0 c. Le système  est un système d’équations car3 x − 6 y + 4, 5z + 7 = 0 tésiennes d’une droite. d. Deux plans sont parallèles si un vecteur directeur de l’un est un vecteur directeur de l’autre.

3. Trace d’un plan a. Représenter la trace du plan α ≡ 3 x + 2 y + 2z = 6 sur les plans du repère.

Exercices

377

b. On donne les points d’intersection A, B et C d’un plan p avec les trois axes du repère : A (1 ; 0 ; 0) , B (0 ; 3 ; 0) et C (0 ; 0 ; − 2) . Vériy z fier que l’équation x + − = 1 est une équation du plan p. 3 2 c. Soient trois réels non nuls a, b et c. Déterminer les points d’interx y z section du plan π ≡ + + = 1 avec les axes du repère. a b c

4. Des formules à justifier a. On donne les équations de deux plans π1 ≡ a1 x + b1 y + c1z = d1 et π 2 ≡ a2 x + b2 y + c2 z = d2 . Les plans p1 et p 2 sont perpendiculaires si et seulement si a1 a2 + b1b2 + c1c2 = 0 . b. La distance du point P ( xP ; yP ; zP ) au plan π ≡ ax + by + cz = d axP + byP + czP est donnée par . a2 + b2 + c2 c. La distance h de l’origine au plan comprenant les points A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) est donnée par

1 h2

1 a2

1 b2

1 c2

Appliquer une procédure 5. Équations de droites Écrire des équations vectorielle, paramétriques et cartésiennes de la droite : Série 1 a. comprenant le point u ( −1 ; 2 ; − 1) ;

A (2 ; − 1 ; 3)

et de vecteur directeur

b. comprenant les points A (3 ; − 1 ; 2) et B (2 ; 1 ; − 1) ; c. comprenant le point v ( −1 ; 0 ; 2) ;

A (2 ; − 1 ; 3)

et de vecteur directeur

d. comprenant le point w (2 ; 0 ; 0 ) .

A (2 ; − 1 ; 3)

et de vecteur directeur

Série 2 a. d’intersection des plans Oxy et π ≡ 3 x − 2 y + z = 1 ; b. comprenant le point π ≡ 2 x − y + 3z + 4 = 0 .

378

M (1 ; 0 ; − 1)

13. Géométrie analytique de l’espace

et orthogonale au plan

6. Équations de plans Écrire des équations vectorielle, paramétriques et cartésienne du plan : Série 1 a. comprenant le point B (4 ; − 1 ; − 1) et de vecteurs directeurs u (3 ; − 1 ; − 4) et v ( −1 ; 2 ; 4) ; b. comprenant le point A ( −1 ; 2 ; − 3) et de vecteurs directeurs w (1 ; 0 ; 1) et v ( −1 ; 2 ; 4) ; c. comprenant le point A ( −1 ; 2 ; − 3) et parallèle à la droite comprenant les points B (2 ; − 3 ; 1) et C (3 ; 1 ; − 1) ainsi qu’à celle de vecteur directeur w (1 ; 0 ; 1) ; d. comprenant le point  x = 2λ − 5µ + 4  π ≡  y = 5λ + µ − 1  z = −λ − µ + 3 

A (2 ; 1 ; 4 )

parallèle

plan

e. contenant l’axe Ox et comprenant le point P ( −1 ; 2 ; 3) ; f. comprenant les points A (2 ; − 1 ; 1) et B (3 ; 1 ; 2) et parallèle à l’axe Oy. Série 2

a. comprenant les points A (3 ; − 1 ; 2) , B (4 ; − 1 ; − 1) et C (2 ; 0 ; 2) (indication : vérifier d’abord que les trois points ne sont pas alignés) ; b. comprenant le point A (2 ; − 1 ; − 1) et de vecteur normal n (1 ; 0 ; 1) ; c. comprenant le point A (2 ; − 1 ; 3) et perpendiculaire à une droite de vecteur directeur u (3 ; − 1 ; − 4) ; d. comprenant le point π ≡ 2 x − 3 y + 5z = 1 ;

A (1 ; − 1 ; − 2)

parallèle

plan

e. comprenant le point A (7 ; 9 ; − 3) et perpendiculaire à la droite  x = −λ + 1  d ≡  y = 2λ − 1  z = 3λ + 4  A (1 ; 2 ; 3) , perpendiculaire au plan  x = 2λ + 4  π ≡ 2 x − 3 y + 5z = 1 et parallèle à la droite d ≡  y = 5λ − 1  z = −λ + 3 

f. comprenant le point

Exercices

379

7. Vecteur normal Déterminer un vecteur normal aux plans :  x = 4λ + 2µ − 2  a. α ≡  y = 3λ − µ + 4  z = −λ + µ − 5 

 x = 2λ + 4µ  b. β ≡  y = 5λ + µ − 1 .  z = −λ + 2µ + 4 

8. Intersections a. Déterminer le point de percée, dans le plan γ ≡ 4 x − 3 y + z − 1 = 0 ,  x = −λ + 3  de la droite d ≡  y = 4λ + 2  z = 2λ − 1  b. Déterminer le point de percée, dans le plan γ ≡ 2 x + 5 y − z = 2 , de  x = 4λ − 5  la droite d ≡  y = 5λ + 4  z = 3λ − 2  c. Déterminer le point de percée, dans le plan π ≡ 2 x − y + 3z − 2 = 0 , de la droite comprenant les points A ( −2 ; 1 ; 2) et B (0 ; 3 ; 2) . d. Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites y −1 z −1 x−2 z−4 = y−3 = . d1 ≡ x − 1 = = et d2 ≡ 2 4 2 3 e. Déterminer la valeur du paramètre a pour que le point P (4 a ; 3a + 2 ; − a) appartienne au plan α ≡ 2 x + y − z − 3 = 0 . x = 3 + λ  x = −1 + λ   f. Quelle est la position des droites d1 ≡  y = λ et d2 ≡  y = 2 − 2λ ?  z = 1 + 3λ  z = 4 + 3λ  

9. Plans parallèles ? Plans perpendiculaires ? Parmi les équations suivantes, préciser celles qui définissent des plans parallèles et celles qui définissent des plans perpendiculaires. a. π1 ≡ 2 x − 3 y + 5z = 7

e. π5 ≡ 2 x − 5 y + z = 3

b. π 2 ≡ −3 x − y + 2z = 1

f. π6 ≡ 3 x + y − 2z = 8

c. π3 ≡ x − y − z = 2

g. π7 ≡ 2 x − 4 z + 3 = 0

d. π 4 ≡ x − 2z = 5

h. π8 ≡ x + 2z = −3

10. Parallélisme a. Déterminer des équations cartésiennes de la droite d comprenant  x = −1 + 5λ  le point P (4 ; 3 ; − 1) et parallèle à la droite e ≡  y = 2 + 2λ .  z = −5 − 4λ 

380

13. Géométrie analytique de l’espace

 x = −2 + 3λ  est parallèle au plan b. Vérifier que la droite d ≡  y = 1 − 4λ  z = −5 + 4λ  π ≡ 4 x − 3 y − 6z − 5 = 0 . 5 x − 3 y + 2z − 5 = 0 c. Vérifier que la droite d ≡  est incluse dans le 2 x − y − z − 1 = 0 plan π ≡ 4 x − 3 y + 7z − 7 = 0.  x = −2 + 3λ  d. Déterminer la valeur de s pour que la droite d ≡  y = 1 − 4λ soit  z = −5 + 4λ  parallèle au plan π ≡ sx − 3 y + z − s = 0. e. Les trois droites d, e et f ont respectivement pour équations : d ≡ x−2=

y + 3 z −1 x +1 y + 4 z − 2 = ; e ≡ = = ; 2 3 2 3 2 f ≡ x+4 =

y−2 z+3 = 4 2

1) Donner une équation cartésienne du plan p contenant d et parallèle à f. 2) Donner des équations cartésiennes de la droite g parallèle à f et s’appuyant sur d et e.

11. Orthogonalité a. Déterminer m pour que les droites d1 ≡ x−2 z = y+2 = soient orthogonales. d2 ≡ 2 m

x+2 y = = z + 1 et 3 2

b. Déterminer m pour que les plans π1 ≡ x + my − z + 5 = 0 π 2 ≡ 2mx − y + 2z = 0 soient perpendiculaires.

c. Déterminer des équations paramétriques et cartésiennes de x+2 y = = z + 1 et la perpendiculaire commune aux droites d1 ≡ 3 2  x = 4 + 3λ  d3 ≡  y = 1 − 2λ .  z = −5 − 4λ 

12. Distances Calculer la distance : a. du point A (0 ; 3 ; 2) au plan π ≡ z = 0 ; b. du point B ( −2 ; − 4 ; 3) au plan α ≡ 2 x − y + 2z + 3 = 0 ; c. entre les plans parallèles α ≡ 2 x + 3 y − z + 1 = 0 et β ≡ 2 x + 3 y − z − 5 = 0 ;

Exercices

381

 x = 5 + 3r  d. du point C (2 ; 3 ; − 1) à la droite d ≡  y = 2r ;  z = −25 − 2r   x = −2 + 3r  e. du point P (4 ; 3 ; 2) à la droite d ≡  y = 1 − 4 r ;  z = −5 + 4 r   x = 4 + 3r  f. du point Q (5 ; − 3 ; 1) à la droite e ≡  y = 5 − 7r ; z = 6 + r  x + 2 y +1 = = z +1 ; 3 2 h. entre le plan π ≡ 4 x − 3 y + 7z − 7 = 0 et le point S (2 ; − 4 ; 5) ;

g. du point R (4 ; − 1 ; − 2) à la droite f ≡

i. entre le plan α ≡ 2 x + 3 y − z = 2 et le point T ( −1 ; 3 ; 2) ;

 x = 1 + 3r + s j. entre le plan β ≡  y = 5 − 7r + 3s et le point U ( − 4 ; 1 ; 2) ;  z = −2 + r − s  k. entre le point V (4 ; 5 ; 1) et le plan médiateur du segment [WX ] , si on a W (1 ; 2 ; 3) et X (2 ; 4 ; 1) .

Résoudre un problème 13. Section plane d’un cube On considère un cube OABCDEFG dont les arêtes sont de longueur 3. a. Dessiner le cube. b. Placer sur les arêtes les points P, Q et R définis par les relations 2 2 1 AB, FQ FG, DR == DG suivantes : AP = AB DG . AP = AB 3 3 3 c. Construire la section plane du cube par le plan PQR. d. Vérifier la précision du tracé de la section en calculant les coordonnées des points d’intersection de ce plan avec les arêtes du cube.

14. Trois perpendiculaires1 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on donne les points M (1 ; 0 ; 0) , P (2 ; 3 ; 0) et Q (1 ; 2 ; 2) .

1 Extrait partiel d’une question de l’examen d’admission de l’ULB (septembre 1997).

382

13. Géométrie analytique de l’espace

On considère : – la perpendiculaire d1 à la droite OM, contenue dans le plan OPQ ; – la perpendiculaire d2 à la droite OP, contenue dans le plan OMQ ; – la perpendiculaire d3 à la droite OQ, contenue dans le plan OMP. Montrer que ces trois droites sont dans un même plan et déterminer l’équation cartésienne de ce plan.

15. Perpendicularité dans un cube1 On donne un cube de côté L. On nomme A, B, C et D les quatre sommets consécutifs d’une des faces du cube et A′, B′, C′ et D′ ceux de la face parallèle. Ces points sont disposés de façon à ce que les segments [ A, A′ ], [ B, B′ ], [C, C ′ ] et [ D, D′ ] soient des arêtes du cube. a. Démontrer que les plans AB ′ D ′ et C ′DB sont parallèles. b. Démontrer que la droite A′ C est perpendiculaire au plan AB ′ D ′ : c. Si on désigne par T la projection orthogonale du point C sur le plan AB ′ D ′ (c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire à ce plan issue de C), démontrer que la longueur du segment [ A′, T ] vaut le tiers de celle du segment [ A′, C ].

16. Tétraèdre On donne trois points A (3 ; 0 ; 3) , B (3 ; 3 ; 0) et C (0 ; 3 ; 3) . Ces trois points forment un tétraèdre avec l’origine du système d’axes. a. Représenter ce tétraèdre. b. Ce tétraèdre est-il régulier ? Justifier la réponse. c. Calculer la distance du point O (0 ; 0 ; 0) au plan ABC.

17. Encore un tétraèdre2 Soit un tétraèdre ABCD dont les coordonnées des sommets sont 3   A (0 ; 4 ; 2) , B (3 ; 1 ; 5) , C  −1 ; ; − 6 et D (6 ; − 2 ; 1) .   2 On demande : a. l’équation cartésienne du plan contenant la base ABC ; b. de donner les équations paramétriques de la hauteur issue de D et perpendiculaire au plan ABC, et de calculer les coordonnées du point de percée dans ce même plan ; c. de calculer les coordonnées du point H, projection orthogonale de C sur AB dans le triangle ABC ; d. de donner la plus petite des hauteurs du tétraèdre. 1 Examen d’admission, Faculté polytechnique de Mons. 2 Examen d’admission, Faculté polytechnique de Mons.

Exercices

383

18. Lieu de pieds1 a. Quelles sont (en fonction de a) les coordonnées du pied Q de la perpendiculaire abaissée du point W ( a ; a + 1 ; a − 1) sur le plan p d’équation 2 x + ay + az + a3 + 4 = 0 ? b. Montrer que ces pieds, lorsque a parcourt R, sont tous situés sur une même droite d, dont on déterminera des équations. c. Déterminer sur quelle partie de la droite d ils sont situés.

19. Cerf-volant

Dans le plan Oxy, on trace un carré OABC de côté 2. Sur l’axe Oz on considère le point D de cote 2. La pyramide OABCD est représentée sur la fig. 25. 1) Le plan p, passant par le point O et orthogonal à la droite DB, coupe l’arête AD en E, DB en F et CD en G. Vérifier que le quadrilatère OEFG est un « cerf-volant », c’est-à-dire un quadrilatère ayant deux paires de côtés adjacents égaux.

D G F E C

2) Vérifier que les diagonales du cerf-volant sont perpendiculaires. 3) Dessiner le quadrilatère OEFG en vraie grandeur. x

20. Sélection Une épreuve de sélection est organisée dans le cadre d’un jeu télévisé. Les candidats doivent répondre à trois questionnaires, cotés sur 20, mais avec des pondérations différentes. Le premier questionnaire porte sur l’histoire des sciences et des techniques (pondération 2), le deuxième sur la géographie de l’Europe (pondération 1) et le dernier comprend des questions de culture générale (pondération 2). Un candidat est sélectionné s’il a obtenu au moins 50 points sur 100.

z D(0 ; 0 ; 20) M

G R

F C(0 ; 20 ; 0)

a. Dans quelle partie de l’espace sont situés les points P ? b. Dans quelle partie de l’espace sont situés les points associés aux candidats ayant obtenu 50 points ? c. Dans la fig. 26, on a tracé la section du cube OABCDEFG de côté 20, par le plan d’équation 2 x + y + 2z = 50 . Quelles sont les notes des candidats représentés par les côtés du polygone ? 1 Sous-questions a et b : examen d’admission ULg, septembre 2001. 13. Géométrie analytique de l’espace

fig. 25

A(20 ; 0 ; 0) Les notes possibles d’un candidat dans T x chacune des matières sont représentées par les variables x (histoire des sciences et techniques), y (géographie) et z (culture générale). Un point P( x ; y ; z) est associé à chaque candidat.

384

Q B

fig. 26

d. Quelle est la partie de l’espace qui correspond aux candidats qui ont réussi la sélection ? e. Vu le faible taux de réussite, le jury décide de ramener la note globale de sélection à 40 points. Refaire le graphique en tenant compte de cette nouvelle donne.

21. L’usine de Karim Karim dirige une entreprise. Il souhaite faire des travaux dans son usine.

Un réservoir, contenant un produit nécessaire à son activité, va être placé en hauteur, au-dessus du pan de toiture se trouvant à l’extrémité droite de la photo. Un tuyau sera branché à la sortie du réservoir à 9 mètres au-dessus du niveau du sol. Cette extrémité du tuyau se trouvera à la verticale d’un point du sol situé, dans le bâtiment, à 3,50 mètres du mur latéral visible à l’extrémité droite de la photo (le mur où il y a les fenêtres à petits carreaux bleu clair) et à 5,75 mètres du pignon gris. Ce tuyau rejoindra en ligne droite un point se trouvant dans le bâtiment précisément à 2,25 mètres au-dessus du sol, à 10,75 mètres du pignon, juste sous le faîte du toit au-dessus duquel se trouve le réservoir. Un autre tuyau partira de la même extrémité du réservoir. Parallèlement au pignon et parallèlement au versant opposé de ce même toit, il descendra en ligne droite jusqu’à un point se trouvant précisément à un mètre du sol. Le faîte du toit se trouve à 8,75 mètres au-dessus du sol. Chacun des deux pignons gris visible sur la photo a une largeur de 12,30 mètres. Le bord inférieur de la toiture, au-dessus des fenêtres à carreaux bleu clair, se trouve 6,20 mètres au-dessus du sol. a. Situer avec précision où les tuyaux traverseront la toiture, ainsi que la position exacte du point d’arrivée du deuxième tuyau. b. Quel angle les deux tuyaux font-ils entre eux ?

Exercices

385

22. Droites gauches et distance On donne deux droites gauches d1 et d2 . On demande de déterminer des équations de la perpendiculaire commune à d1 et d2 , puis de calculer la distance entre ces droites. a. d1 ≡

x 1− y z x −1 3 − y z −1 = = = = et d2 ≡ 2 4 2 3 2 4

x = 0 4 x − z = 0 b. d1 ≡  et d2 ≡  y z 3 + 2 = 0 3 y − z = 5 

23. Courbes de niveau EN PLAN 1/10 000 ligne de coupe

EN COUPE 150 145 140 altitude en m 1/1 000

Lorsqu’on coupe une surface de l’espace par un plan d’équation z = k , on obtient une courbe plane. Cette courbe plane, projetée dans le plan Oxy, est appelée courbe de niveau k. Cette représentation est utilisée en géographie pour représenter les reliefs et la profondeur des lacs et océans. Le relief étudié est coupé à intervalles réguliers par des plans horizontaux, qui sont projetés sur le plan de niveau zéro. Lorsqu’on se promène le long d’une courbe de niveau, on ne change pas d’altitude.

135 130 125 120

Les courbes isothermes et isobares 115 des cartes météorologiques sont construites sur le même principe ; les premières donnent les points de même température, les secondes les points de même pression atmosphérique.

distance en m 1/10 000

a. Voici la représentation, réalisée par un tableur, d’une surface conique (fig. 27) et de ses courbes de niveau (fig. 28). Les légendes, à droite des graphiques, permettent d’y repérer les zones comprises entre deux courbes de niveau. Expliquer pourquoi les courbes de niveau sont des cercles concentriques équidistants.

4-5

3-4

2-3

2 1

1 0 4 –3 –2 –1 –5 –-4 –1 0 –2 –3

–1 1

–5 5

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

fig. 27

386

13. Géométrie analytique de l’espace

fig. 28

b. Dessiner les courbes de niveau d’une demi-sphère de 5 cm de rayon et d’un cylindre droit de 5 cm de rayon (les plans de coupe sont distants d’un cm). c. L’indice de masse corporelle est une grandeur qui permet d’estimer la corpulence d’une personne. Il est aussi appelé indice de QuételeT, du nom du célèbre mathématicien et statisticien belge Adolphe quéTeleT (1796-1874). Cet indice est calculé en fonction de la taille et de la masse de la personne observée. Il s’obtient par poids la relation IMC = (poids1 en kg et taille en m). Le tableau 2 taille ci-contre (source OMS) donne une interprétation de cet indice pour des personnes de taille normale âgées de 18 à 65 ans. On désigne le poids par la variable x, la taille par la variable y et l’IMC par la variable z. Représenter dans un plan Oxy les courbes de niveau de la surface x z = 2 pour faire apparaître sur le graphique les interprétations y de l’IMC ( 25 ≤ x ≤ 120 ; 1, 4 ≤ y ≤ 2,1 ). Interprétation de l’IMC –2

IMC (kg · m )

Interprétation

moins de 16,5

dénutrition

16,5 à 18,5

maigreur

18,5 à 25

corpulence normale

25 à 30

surpoids

30 à 35

obésité modérée

35 à 40

obésité sévère

plus de 40

obésité morbide ou massive

1 Il s’agit de la masse.

Exercices

387

s e m è t s y s s n o i t a u q d’é

La résolution de problèmes par des équations simultanées, notam ment du premier degré, est un domaine traité depuis l’Antiquité, ainsi qu’en attestent de nombreuses tablettes babyloniennes et le papyrus de Rhind. À la fin du xvie siècle, on représente les inconnues, mais aussi les coefficients, par des lettres. On cherche alors des méthodes générales permettant d’exprimer les inconnues des systèmes d’équations en fonction des coefficients. La règle de Cramer, du nom du mathématicien suisse Gabriel crAmer (1704-1752), bien que valable uniquement pour les systèmes d’équations du premier degré qui ont une solution unique, est particulièrement efficace, comme on pouvait déjà le lire dans une édition française d’un ouvrage1 du mathématicien Leonhard euler, parue à Lyon à la fin du xviiie siècle : « M. Cramer a donné à la fin de son Introduction à l’analyse des lignes courbes une très belle règle pour déterminer immédiatement et sans passer par les opérations ordinaires la valeur des inconnues de ces sortes d’équations, en quelque nombre que soient ces inconnues ». gAuss, dans les Recherches arithmétiques, propose une méthode de résolution des systèmes basée sur l’élimination des inconnues. On sait aujourd’hui que cette méthode était déjà connue en Chine au iiie siècle de notre ère. L’invention des matrices au xixe siècle permet de systématiser les méthodes de résolution des systèmes linéaires. Les puissants outils de calcul dont on dispose aujourd’hui permettent de résoudre des systèmes comportant un très grand nombre d’équations et d’inconnues.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien, physicien et astronome allemand. Une méthode de résolution de systèmes porte son nom.

1 Éléments d’algèbre par M. Léonard Euler, traduits de l’alleman d, avec des notes et des additions : De l’analyse déterminée (sic), Bruyset ainé & Compagnie, Lyon, An III de l’ère républic aine (1794 ou 1795).

Actuellement, les problèmes, traduits en systèmes d’équations du premier degré, relèvent de différents domaines : le traitement numérique du signal qui étudie les techniques de traitement, d’analyse et d’interprétation des signaux numérisés, l’optimisation linéaire, l’analyse numérique, ou encore la géométrie. Dans ce chapitre, on apprendra d’abord à résoudre des problèmes tirés de contextes pratiques tels qu’ils figurent dans les précis de mathématiques les plus ancien s. Il s’agit de déterminer la valeur de grandeurs liées entre elles : prix, quantités vendues, mesur es de temps, de pression. Lorsque ces liens peuvent être exprimés par des équations du premier degré, l’ensemble des équations prises en compte forme ce que l’on appelle un systèm e linéaire. Le problème revient alors à déterminer les valeurs des différentes variables qui, ensem ble, vérifient toutes ces équations. C’est ce que l’on appelle résoudre le système. Des liens peuvent être faits entre les systèmes d’équations et la géométrie. On a vu dans le chapitre précédent que l’appartenance d’un point à une droite ou à un plan pouvait se traduire par une ou des équations. Les problèmes d’intersection peuven t être résolus en cherchant les valeurs des coordonnées qui vérifient les différentes équations des objets géométriques concernés. Cela revient à résoudre un système. Réciproquement, un système d’équations linéaires à deux ou trois inconnues peut être visualisé géométriquement. Droites et plans s’expriment par de telles équati ons et les différentes configurations géométriques permettent de réfléchir au nombre de solutio ns d’un système d’équations linéaires.

n o i t a r o l p ex 1. Les épices de Marie Marie tient un commerce d’épices et de denrées exotiques. Elle y vend entre autres des mélanges d’épices qu’elle vend par sachets de 40 grammes. Elle propose trois types de mélanges décrits dans le tableau suivant. Mélange

Bouquet garni

Gigot

Soupes

Thym

28 g

16 g

Laurier

28 g

16 g

Romarin

Il lui reste pour l’instant 600 g de thym, 480 g de laurier et 160 g de romarin. Elle veut, en attendant le prochain arrivage, préparer un certain nombre de paquets de mélanges en utilisant dans la mesure du possible toutes les épices disponibles. Combien de sachets de chaque type devrait-t-elle préparer ? a. Traduire le problème en équations. b. Exprimer, dans une équation, une inconnue en fonction des deux autres. c. Dans les deux autres équations, remplacer cette inconnue par l’expression obtenue en b pour éliminer une des inconnues. d. Continuer la résolution en éliminant une deuxième inconnue entre les deux équations restantes. e. Une autre démarche pour résoudre le problème consiste : – à voir le tableau ci-dessus comme une matrice ; – à exprimer sous forme d’une matrice-colonne les trois quantités d’épices que Marie possède en stock ; – à chercher la valeur de la matrice colonne reprenant le nombre de paquets de chacun des mélanges que l’on peut réaliser. Résoudre le problème en partant d’une égalité faisant intervenir ces trois matrices. f. Interpréter les solutions mathématiques pour donner une solution cohérente avec l’énoncé du problème.

390

14. Systèmes d’équations

Synthèses 1 à 4 Exercices 1 à 5

2. Problèmes d’intersection a. Étudier les positions relatives des trois plans donnés si leurs équations sont les suivantes : 1) α ≡ 3 x + 2 y + 3z = 5, β ≡ 2 x − 5 y − 3z = 25 , γ ≡ 2 x + 3 y − z = −11 . 2) α ≡ 3 x + 2 y + 3z = 5, β ≡ 2 x − 5 y − 3z = 25, δ ≡ 4 x − 10 y − 6z = −3. 3) α ≡ 3 x + 2 y + 3z = 5, β ≡ 2 x − 5 y − 3z = 25, ϕ ≡ 6 x + 4 y + 6z = 10 . b. Déterminer leur intersection.

3. Des matrices pour résoudre des problèmes d’intersection On a découvert dans l’exploration 2 que chercher l’intersection de trois plans revient à résoudre un système formé des trois équations de ces plans. a. Réécrire chaque système utilisé dans l’exploration 2 sous la forme  x d’une équation matricielle d’inconnue  y .    z b. La matrice carrée intervenant dans les différents systèmes obtenus est-elle inversible ? c. Que peut-on dire des solutions des systèmes dans les cas où cette matrice est inversible ? d. Si la matrice est inversible, calculer la solution du système. e. Que peut-on dire des solutions des systèmes lorsque la matrice n’est pas inversible ?

Synthèses 5 à 9 Exercices 6 à 24

Exploration

391

e s è h t n sy 1. Qu’est-ce qu’un système d’équations linéaires ? Un système de p équations linéaires à n inconnues est un système de la forme  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ...  ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn = bp  dans lequel les aij et bi sont des réels constants, et x1 , x2 ,... xn les inconnues. Résoudre le système consiste à déterminer les valeurs de chacune des inconnues x1 , x2 ,... xn qui, simultanément, vérifient toutes les équations du système ; une valeur d’une inconnue n’est jamais en elle-même une solution du système. Définition 14.1 – Solution d’un système Soient aij et bi des nombres réels (1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ n ).  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 Une solution d’un système  est un n-uple ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) de ...  ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn = bp  réels dont les composantes vérifient simultanément les p équations du système. On note généralement S l’ensemble des solutions du système. Dans les applications pratiques, les inconnues x1 , x2 , ... xn peuvent être notées au moyen de lettres diverses. Définition 14.2 – Systèmes équivalents Des systèmes d’équations sont équivalents s’ils ont même ensemble de solutions. On peut notamment passer d’un système à un système équivalent : • en multipliant les deux membres d’une équation par un même réel non nul ; • en ajoutant aux deux membres d’une équation les deux membres d’une autre équation multipliés par un même coefficient réel ; • en supprimant une équation équivalente à une autre ; • en permutant deux équations.

392

14. Systèmes d’équations

2. Comment résoudre un système d’équations par la méthode de substitution ? La méthode, vue précédemment pour un système de deux équations à deux inconnues (CQFD 3e, page 73), consiste à isoler une inconnue dans une des équations du système et à la remplacer par son expression dans les autres équations. Après avoir réduit les termes des équations, on répète le procédé avec une autre inconnue autant de fois que nécessaire. D’étape en étape, on obtient des systèmes équivalents au système d’origine. Cette méthode est commode lorsque le coefficient d’au moins une inconnue est égal à 1 dans au moins une équation. Elle peut cependant s’appliquer à tout système d’équations. Exemples a) Résoudre 3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −5  2 x1 − 5 x2 − 3 x3 = 4 2 x + 3 x − x = 12 2 3  1 Méthode

Résolution

Isoler x3 dans la 3 équation.

3 x1 + 2 x2 + 3( −12 + 2 x1 + 3 x2 ) = −5 Remplacer x3 par son expression dans les 2 x1 − 5 x2 − 3( −12 + 2 x1 + 3 x2 ) = 4 deux autres équations.  x = −12 + 2 x + 3 x 1 2  3 Réduire les termes des équations. Les deux 9 x + 11x = 31 1 2 premières équations n’ont plus que deux  −2 x1 − 7 x2 = −16  inconnues  x = −12 + 2 x + 3 x 1 2  3 Isoler l’une de ces inconnues dans l’une des  16   2 équations (ici, on isole x2 dans la 2e équa- 9 x1 + 11 − x1 +  = 31  7 7  tion).  2 16 Substituer l’expression de x2 dans la pre-  x2 = − x1 + 7 7  mière équation.  x3 = −12 + 2 x1 + 3 x2   Réduire les termes et résoudre la première  x = 1 1 équation.  2 16   x2 = − x1 + 7 7   x3 = −12 + 2 x1 + 3 x2 Remplacer x1 par sa valeur dans la 2e équation pour obtenir la valeur de x2, puis x1 et x2 dans la 3e équation pour calculer la valeur de x3.

 x1 = 1   x2 = 2 x = − 4  3

Le système a une solution unique.

S = (1 ; 2 ; − 4)

{

}

Synthèse

393

b) Résoudre 2 x1 − 5 x2 − 3 x3 = 4  3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −5 4 x + 9 x + 9 x = 12  1 3 2 On applique les mêmes démarches que dans l’exemple précédent. Méthode

Résolution

Isoler une des inconnues dans une des équa-  5 3 tions : ici, x1 dans la 1re équation.  x1 = x2 + x3 + 2 2 2  Substituer l’expression de x1 dans les deux autres  3 5  équations et réduire les termes. 3  x2 + x3 + 2 + 2 x2 + 3 x3 = −5   2  2  5 3  4  x2 + x3 + 2 + 9 x2 + 9 x3 = 12   2 2  On obtient un système dont deux équations ne peuvent être vérifiées simultanément : quelles que soient les valeurs de x2 et x3, le membre de gauche commun aux deux dernières équations ne peut être égal à la fois à - 11 et à 2.

5 3   x1 = 2 x2 + 2 x3 + 2  15 19 x3 = −11  x2 + 2 2 15 19  2 x2 + 2 x3 = 2 

Il n’y a donc aucune solution au système.

S=∅

Le système est impossible. Remarque Si l’on ne voit pas l’impossibilité du système à ce stade de la résolution et que l’on continue la démarche de l’exemple précédent, on finit de toute façon par obtenir une équation impossible. c) Résoudre 2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 3  3 x1 − 2 x2 − 3 x3 = 2 −4 x + 2 x + 9 x = −1 1 2 3  Méthode

Résolution

Isoler une des inconnues, par exemple x1 dans la  3 3 première équation et procéder comme dans les  x1 = x2 − x3 + 2 2  exemples précédents. 15 5  La dernière équation est vérifiée quelle que soit  x2 = 2 x3 − 2 la valeur réelle de x3 ; c’est une équation indé- 0 x = 0  3 terminée.  

394

14. Systèmes d’équations

Poser x3 = λ

(λ ∈ R ) . e

Remplacer x3 par l dans la 2 équation pour exprimer x2 en fonction de l. Dans la 1re équation, remplacer x2 et x3 par leur valeur exprimée en fonction de l dans la 1re équation pour obtenir l’expression de x1 en fonction de l.

 5 3 3  15  x1 =  2 λ − 2  − 2 λ + 2   15 5 λ−  x2 = 2 2   x3 = λ (λ ∈ R )  

Réduire les termes.

 x1 = 6λ − 1  15 5  λ−  x2 = 2 2   x3 = λ (λ ∈ R )

Le système est simplement indéterminé.

  15 5  λ − ; λ λ ∈ R  S =  6λ − 1 ;  2 2  

d) Résoudre 2  3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2  −9 x1 − 6 x2 − 2 x3 = − 6  4 −6 x1 − 4 x2 − x3 = − 4 3  Méthode

Résolution

En procédant comme dans l’exemple précé-  2 2 2 dent, on obtient deux équations indéterminées.  x1 = − λ − µ + 3 9 3  x = λ  2 x = µ  3  Le système est doublement indéterminé.

  2 2 2  S =  − λ − µ + ; λ ; µ λ , µ ∈ R   9 3  3 

Remarque On peut vérifier le résultat en remplaçant les variables par leur valeur dans les équations de départ (pour autant qu’il y ait au moins une solution, et quelle que soit la méthode choisie). Cela ne constitue cependant pas une preuve formelle qu’il n’y a pas d’autre solution.

Synthèse

395

3. Comment remplacer un système de p équations à n inconnues par une équation matricielle ? Un système d’équations linéaires de p équations à n inconnues  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ...  ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn = bp  peut s’écrire sous forme d’une équation matricielle AX = B , dans laquelle  a11 a 21 • A=  ... a  p1

a12 a22 ... a p2

... a1n  ... a2n   , matrice des coefficients du système, ... ...  ... apn 

 x1  x  1 • X =   , matrice colonne des inconnues,  ...  x   n  b1  b  2 • B =   , matrice colonne des termes indépendants.  ...  b   p Une solution d’une telle équation matricielle est une matrice-colonne, en l’occurrence une valeur de  x1  x   1  pour laquelle l’équation matricielle est vérifiée.  ...  x   n Ses éléments sont les valeurs de x1 ; x2 ; ...xn pour lesquelles le système d’équations est vérifié. Dans ce cadre, la solution du système s’écrit, non sous la forme d’un n-uple ( x1 ; x2 ; ...xn ) mais,  x1  x  1 de manière équivalente, sous la forme d’une matrice-colonne   solution de l’équation matri...   cielle. x   n

396

14. Systèmes d’équations

4. Comment résoudre un système de trois équations par la méthode de Gauss ? La méthode de Gauss consiste à utiliser des combinaisons linéaires (somme de multiples) des équations du système pour obtenir des équations plus simples en diminuant le nombre d’inconnues dans des équations des systèmes équivalents. La méthode peut être utilisée efficacement avec un tableur et est programmable. La matrice d’un système d’équations  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ...  ap1 x1 + ap2 x2 + ... + apn xn = bp  est la matrice obtenue à partir des coefficients et des termes indépendants du système d’équations. Chaque ligne de la matrice correspond à une équation écrite sous la forme ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi En pratique, on trace une ligne verticale pour séparer les coefficients aij des termes indépendants bi :  a11 a  21  ...   ap1

a12 a22 ... a p2

... a1n ... a2n ... ... ... apn

b1  b2   ...   bp 

Une matrice échelonnée d’un système de trois équations à trois inconnues est une matrice de la forme  ... ... ... ...  0 ... ... ...    0 0 ... ... Pour transformer la matrice du système en matrice échelonnée, on applique les principes d’équivalence des systèmes (synthèse 1). Ces transformations sur les lignes de la matrice s’appellent transformations élémentaires ; elles assurent l’équivalence des systèmes correspondants.

Synthèse

397

Transformation élémentaire

Résolution

Permuter deux lignes.

 1 −1 1 7  1 1 −1 1 L → L 3   2  −1 1 1 3 L3 → L 2

 1 −1 1 7  −1 1 1 3    1 1 −1 1

Les deux dernières lignes ont été permutées. Multiplier ou diviser une ligne par un réel non nul.

 1 −1 1 7  1 1 −1 1 L → 2L 2   2  −1 1 1 3

 1 −1 1 7  2 2 −2 2    −1 1 1 3

La deuxième ligne a été doublée. Remplacer une ligne par la somme d’un multiple non nul de cette ligne et d’un multiple d’une autre ligne.

 1 −1 1 7  1 −1 1 7  1 1 −1 1 L → L + 2L  3 1 −1 9 1 2    2   −1 1 1 3  −1 1 1 3 La deuxième ligne a été remplacée par la somme de la première et du double de la deuxième.

Pour résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss, il faut mettre toutes les équations sous la forme ax1 + bx2 + cx3 = d (ou, le cas échéant, une forme analogue avec un autre nombre d’inconnues). Le coefficient de x1 dans la première équation doit être non nul ; s’il est nul, il faut permuter deux équations. Les étapes de la résolution sont décrites dans l’exemple. Exemple Résoudre 2 x1 + 3 x2 = 53 − 4 x3  3 x1 + 5 x2 = 2 + 4 x3 4 x + 7 x = 31 + 2 x 2 3  1 Méthode

Résolution

Mettre toutes les équations sous la forme 2 x + 3 x + 4 x = 53 1 2 3 ax1 + bx2 + cx3 = d  3 x1 + 5 x2 − 4 x3 = 2 4 x + 7 x − 2 x = 31 2 3  1 Construire la matrice du système d’équa-  2 3 4 53 tions. 3 5 −4 2     4 7 −2 31

398

14. Systèmes d’équations

Construire la matrice échelonnée en  2 3 4 53 appliquant des transformations élémen-  3 5 − 4 2  L 2 → 3L1 – 2L 2 taires aux lignes.    4 7 −2 31 L3 → L3 – 2L1 4 53  2 3  0 −1 20 155    0 1 −10 −75 L3 → L3 + L 2  2 3 4 53   0 −1 20 155    0 0 10 80  Trouver la (les) solution(s) par substitu- 2 x + 3 x + 4 x = 53 1 2 3 tion à partir des équations associées à la  − x2 + 20 x3 = 155  matrice échelonnée. x = 8  3  x1 = 3   x2 = 5 x = 8  3

{(3 ; 5 ; 8)}

5. Qu’est-ce qu’un système de Cramer ? Définition 14.3 – Système de Cramer Un système de Cramer est un système d’équations linéaires de n équations à n inconnues  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ...  an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn dont la matrice des coefficients est régulière. Avec les conventions précédentes (synthèse 3), son écriture matricielle est AX = B. Puisque la matrice des coefficients est régulière, on peut multiplier à gauche les deux membres de l’équation par la matrice inverse. On obtient : A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B X = A −1 ⋅ B

Synthèse

399

Exemple Résoudre 3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −5  2 x1 − 5 x2 − 3 x3 = 4 2 x + 3 x − x = 12 2 3  1 Méthode Écrire le système sous forme matricielle.

Résolution 3   x1   − 5 3 2  2 − 5 − 3  x  =  4     2    2 3 −1  x3   12 

Vérifier que la matrice des coefficients est régulière.

3 2 3 2 − 5 − 3 = 82 2 3 −1

Calculer l’inverse de la matrice des coef−1 3 9  3 2  14 11 ficients.  2 − 5 − 3 = 1  − 4 − 9 15     82   2 3 −1  16 − 5 −19 Calculer la solution en utilisant la for-  x  9   −5  1   14 11 1 mule X = A −1 ⋅ B  x  = 1  − 4 − 9 15  .  4  =  2   2  82        x   16 − 5 −19  12  − 4 3 Déterminer la solution (sous une forme matricielle, équivalente1 à la solution S= sous forme de n-uple)

1 Comparer la réponse avec celle du premier exemple de la synthèse 2.

400

14. Systèmes d’équations

 1       2    − 4   

6. Comment résoudre un système par la règle de Cramer ? Pour un système de Cramer de n équations à n inconnues,  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ...  an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn l’unique valeur de chaque inconnue xi (1 ≤ i ≤ n ) figurant dans la solution est donnée par xi =

, A dans laquelle A est la matrice des coefficients du système d’équations, et A i est la matrice obtenue en remplaçant la iième colonne de la matrice A par la colonne des termes indépendants. Remarque On commencera la résolution par le calcul du déterminant du système : s’il est nul, il ne s’agit pas d’un système de Cramer et la méthode doit être abandonnée. Exemples a. Résoudre le système à deux inconnues v et w (dans l’ordre), 2 v + 3 w = 3  4 v + 5 w = 4 A =

2 3 3 3 2 3 = −2 ; A1 = = 3 ; A2 = = −4 4 5 4 5 4 4

 3 − 4   S =  ;  =  −2 −2  

 3    − ; 2   2  

b. Résoudre 3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −5  2 x1 − 5 x2 − 3 x3 = 4 . 2 x + 3 x − x = 12 2 3  1 3 2 3 A = 2 −5 −3 = 82 2 3 −1 −5 2 3 3 −5 3 3 2 −5 A1 = 4 − 5 −3 = 82 ; A 2 = 2 4 −3 = 164 ; A 3 = 2 − 5 4 = −328 12 3 −1 2 12 −1 2 3 12  82 164 −328   ; ; S =    = (1 ; 2 ; − 4) 82    82 82

{

}

Synthèse

401

7. Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de deux équations à deux inconnues ? Dans le plan muni d’un repère, tout système de deux équations à deux inconnues  a11 x + a12 y = b1   a21 x + a22 y = b2 peut être interprété géométriquement (CQFD 3e, pages 72 à 74) comme étant les équations simultanées de deux droites : toute équation de la forme ax + by + c = 0 , avec ( a ; b) ≠ (0 ; 0) , est l’équation d’une droite. Les deux droites peuvent être sécantes (fig. 1), parallèles distinctes (fig. 2) ou parallèles confondues (fig. 3). Les deux droites sont sécantes en un point dont les coordonnées sont le couple solution du système.

La solution du système

−2 x + 3 y = 1  x + 2y = 1 1 0

est le couple 1

 5 −1  ;  7 7 des coordonnées du point commun des droites (fig. 1).

fig. 1 Les deux droites n’ont aucun point commun ; elles sont parallèles distinctes.

Le système

2 x + 3 y = −3  2 x + 3 y = 2

1 0

est impossible. Il n’a pas de solution. S=∅

fig. 2 Les deux droites ont une infinité de points communs ; elles sont parallèles confondues.

Le système

2 x + 3 y = 1  4 x + 6 y = 2 1 0

est indéterminé : il admet une infinité de solutions. S=

fig. 3 402

14. Systèmes d’équations

{( x ; y) ∈R

}

2x + 3 y = 1

 2 1  =  α ; − α +  α ∈ R    3 2  

8. Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de trois équations à trois inconnues ? On sait que, dans un repère de l’espace, toute équation de la forme ax + by + cz = d avec ( a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0) , est une équation cartésienne d’un plan (chap.13, synthèse 9).Un système de trois équations à trois inconnues de cette forme  a11 x + a12 y + a13 z = b1   a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 32 33 3  31 peut être interprété géométriquement dans le cadre de la géométrie de l’espace. On sait que deux plans distincts peuvent être soit parallèles, soit sécants (ils ont alors une droite commune). Pour déterminer les positions relatives de trois plans, on examine la position d’un troisième plan par rapport à celle de deux plans donnés. Le système a une solution unique : les coordonnées du point d’intersection des trois plans.

Deux plans ont une droite commune et le troisième plan coupe cette droite en un point, leur point d’intersection. β

γ fig. 4

Les trois plans ont une droite commune (définie par deux des trois équations).

Le système est simplement indéterminé.

Deux des plans peuvent être confondus.

γ fig. 5

Les trois plans sont confondus. Chacune des équations est une équation cartésienne de ce plan.

α=

Le système est doublement indéterminé. Les trois équations sont équivalentes. β=

fig. 6

Synthèse

403

Les trois plans n’ont aucun point commun. a. Les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles.

Le système est impossible.

fig. 7 b. Les trois plans sont parallèles (non tous trois confondus).

Le système est impossible. α β γ

fig. 8

c. Un plan coupe les deux autres plans, qui sont parallèles et distincts, suivant deux droites parallèles.

Le système est impossible.

α β

404

14. Systèmes d’équations

fig. 9

9. Comment discuter un système ? Lorsque les coefficients d’un système dépendent d’un ou de plusieurs paramètres, il faut discuter le système, c’est-à-dire déterminer pour quelle(s) valeur(s) du ou des paramètres le système a une solution unique, une infinité de solutions ou n’a pas de solution, et déterminer les solutions correspondant à chacun des cas. Voici deux systèmes discutés par des méthodes différentes. 1) Discuter le système  x1 + x2 + 2 x3 = 1  (2m + 2) x1 + (2m + 1) x2 + (3m − 3) x3 = 4  x + 3 x − 3 x = 2m − 1 2 3  1 en fonction des valeurs du paramètre m. On utilise la méthode de Gauss, mais la discussion peut se faire avec d’autres méthodes. 1 2 1   1  2m + 2 2m + 1 3m − 3 4  L 2 → L 2 − (2m + 2)L1   3 −3 2m − 1 L3 → L3 – L1  1 2 1  1 1  0 −1 − m − 7 −2m + 2   −5 2m − 2  L3 → L3 + 2L 2 0 2

2 1  1 1  0 −1 − m − 7 −2m + 2    0 0 −2m − 19 2m + 2 

La dernière ligne de la matrice échelonnée correspond à l’équation

(−2m − 19) x3 = 2m + 2 . 1er cas : –2 m – 19 π 0, c’est-à-dire m ≠

−19 . 2

−2m − 2 . 2m + 19 On peut alors déterminer x2, puis x1 en fonction de m. On obtient

On obtient x3 =

x2 =

− 6m2 − 44m + 47 6m2 + 50m − 24 . et x1 = 2m + 19 2m + 19

Donc  − 6m2 − 44m + 47 6m2 + 50m − 24 −2m − 2   S =  ; ;  2m + 19 2m + 19 2m + 19   

Synthèse

405

2e cas : –2 m – 19 = 0, c’est-à-dire m = La matrice du système devient 1 1   0 −1   0 0

−19 2 2 5 2 0

1   21   −17

Le système est impossible, car la dernière ligne de la matrice correspond à l’équation 0 x3 = −17 . Si m =

−19 , S = ∅. 2

 x1 + x2 + mx3 = 1  2) Discuter le système  x1 + mx2 + x3 = m  2 mx1 + x2 + x3 = m 1 1 m 2 A = 1 m 1 = − ( m − 1) ( m + 2) m 1 1 A ≠ 0 si m ≠ 1 et m ≠ −2 1er cas : m π 1 et m π –2 1 A1 = m 2

1 m 1 2 2 m 1 = − m − 1 ; A2 = 1

(

)

m m2

1 m

1 2 m = ( m − 1) ( m + 1)

 x1 + x2 + x3 = 1  Le système devient  x1 + x2 + x3 = 1 x + x + x = 1 2 3  1

14. Systèmes d’équations

m 2 1 = − ( m − 1) ;

1 A3 = 1

  ( m + 1)2 1 m + 1   ; ;− Donc S =    m+2 m+2 m + 2     2e cas : m = 1

406

1 m

Les trois équations du système sont identiques ; le système est doublement indéterminé. On pose (par exemple) x1 = λ et x2 = µ ; on a alors x3 = 1 − λ − µ . Donc S =

{(λ ; µ ; 1 − λ − µ) λ, µ ∈ R} .

3e cas : m = –2  x1 + x2 − 2 x3 = 1  Le système devient  x1 − 2 x2 + x3 = −2 . −2 x + x + x = 4 1 2 3  En additionnant les trois équations, on obtient 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 3 , qui est une équation impossible. Donc S = ∅ .

Synthèse

407

s e c i c r e ex Expliciter les savoirs et les procédures 1. Solutions possibles ? Les ensembles suivants peuvent-ils être des ensembles de solutions d’équations linéaires dans R3 ? a. b.

{(3 ; 4 ; − 2)} {(3 ; 4 ; − 2) ; (1 ; 6 ; − 1)}

c. ∅ d. R e.

f. g. h. i.

{(λ ; 2λ ; − 2) λ ∈ R}

{4 ; − 2 ; 3}

{(λ ; 2λ ; − 2) λ ∈ R} ∪ {(µ ; µ + 3 ; 5) µ ∈ R} {(λ + 3µ ; λ − µ ; µ − 2) λ, µ ∈ R} ∪ {(4 ; 5 ; 2)} {(2λ + 5µ ; 2λ + 3µ ; λ + 4µ − 2) λ, µ ∈ R} ∪ {(12 ; 8 ; 7)}

2. Solution unique ou non ? Les systèmes ci-dessous ont-ils une solution unique ? Répondre le plus rapidement possible et avec un minimum de calculs.  2 x + 2 y + 3z = 1  a.  x + y + z = −1 x + y + z = 7  5 x − 2 y + 3z = 6 b.  4 x − y + 2z = −5 3 x − 2 y + z = 1  c. 36 x − 24 y + 12z = 12 2 x − 7 y − z = 2  0 x + 0 y + 0 z = 0  d. 2 x + 3 y + 4 z = −2 5 x + 2 y + 3z = 7  5 x − 4 y + 2z = 3  e. 4 x + 2 y − z = 9 2 x + 3 y − z = 2  3 x − 4 y + 2z = 3  f. 4 x + 2 y − z = 9  x + 6 y − 3z = 2  408

14. Systèmes d’équations

Appliquer une procédure 3. Des systèmes à résoudre Résoudre les systèmes suivants. On pourra utiliser différentes méthodes et comparer. Série 1 (en guise de rappel ou pour tester de nouvelles méthodes) 3 x1 − 2 x2 = 4 a.  5 x1 − 7 x2 = −5

x2  =7 3 x1 − c.  2 6 x1 − x2 = −5

3 x1 + 3 x2 = 8 b.  −6 x1 − 2 x2 = 3

4 x1 − 2 x2 = 1 d.  −2 x1 + x2 = − 0, 5

Série 2 4 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 6  a. 5 x1 − 2 x2 − 12 x3 = −5 3 x − x − 4 x = 1 2 3  1

5  2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 3  5  7 g.  − x1 + 5 x2 + x3 = − 2 2  3 8  −2 x1 + 2 x2 + 5 x3 = 5 

3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = −12  b. 2 x1 + x2 + 3 x3 = 4 x + x + x = 0 2 3  1

2 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 2 2 + 3 + 4 6  h. 2 x1 + 2 x2 + 2 2 x3 = 5 6   3 x1 + 6 x2 − 2 x3 = 2 6

2 x1 + 3 x2 − 4 x3 = − 4  c. 3 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1 2 x + x − x = 1 2 3  1

5  2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 3  5  7 i.  − x1 + 5 x2 + x3 = − 2  2 3 8  −2 x1 + 2 x2 + 5 x3 = 5 

2 x1 − 2 x2 + 2 x3 = − 6  d. 7 x1 − x2 + x3 = −9  x − 3 x + 3 x = −7 2 3  1

 2 x2 + x3 = 2  3 x1 + 2   j.  6 x1 + x2 + 2 x3 = 1  x + 6 x + 3 x = 2 2 3  1 6 3 3

 x1 − x2 + x3 = −3  e. 3 x1 − 2 x2 + 5 x3 = − 4 2 x + x + 8 x = 2 2 3  1

2 x1 + 3 x2 + x3 = −2  k. − x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x + 2 x − 4 x = 3 2 3  1

5 x1 − 2 x2 + 3 x3 = −5  f. − 4 x1 + x2 + x3 = 1 2 x − 3 x − 2 x = −11 2 3  1

3 x1 + 4 x2 − 6 x3 = −5  l. −3 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 5 2 x − 3 x + 4 x = −2 2 3  1 Exercices

409

4. Quelques systèmes « rectangulaires » Les systèmes linéaires suivants sont dits rectangulaires, car le nombre d’inconnues n’est pas égal au nombre d’équations. Résoudre ces systèmes. 3 x1 − 2 x2 + 4 x3 = 1 a.   x1 − 3 x2 + 5 x3 = − 4

2 x1 − 4 x2 + 3 x3 = − 4  c.  3 − x1 + 2 x2 − 2 x3 = 7

3 x1 + 2 x2 = −1  b. 2 x1 + x2 = 5 x + x = 3 2  1

 x1 − 2 x2 = 3  d. 2 x1 + 3 x2 = −1 4 x − x = 5 2  1

5. Plus de trois inconnues1… Résoudre les systèmes suivants, en utilisant un ordinateur ou une calculatrice.  x1 − 2 x2 + 3 x3 + x4 = 2  x − 3x + 5x − 2x = 1  1 2 3 4 a.  2 x1 − 3 x2 − 5 x3 + 6 x4 = 3 4 x1 − 2 x2 + 3 x3 + 3 x4 = 5

 x1 − 2 x2 + 3 x3 + x4 = 2  x − 3x + 5x − 2x = 1  1 2 3 4 c.  2 x1 − 3 x2 − 5 x3 + 6 x4 = 3 4 x1 − 2 x2 + 3 x3 + 3 x4 = 5

 x1 − 2 x2 + 3 x3 + x4 = 2  x − 3x + 5x − 2x = 1  1 2 3 4 b.  x x x x4 = 3 2 − 3 − 5 + 6 2 3  1 4 x1 − 2 x2 + 3 x3 + 3 x4 = 5

 x1 + x2 + 2 x3 + x4 − x5 = 2  2 x1 − x2 + 3 x3 − x4 + x5 = 1 d. 3 x1 − 2 x2 + x3 − x4 − 2 x5 = 2 2 x − 3 x + x + x − x = 1 2 3 4 5  1  x1 − x2 + 3 x3 + x4 + x5 = 1

6. Intersection de trois plans On donne trois plans a, b et j. Déterminer leur intersection. α ≡ 2 x + 3 y + 5z = 2 a. β ≡ 2 x − 3 y − z = 5 ϕ ≡ 2 x − 4 y + 6z = 4

α ≡ 3x + 2 y + 4z = 5 c. β ≡ 2 x − y + z = 3 ϕ ≡ x + 2 y − 4z = 2

α ≡ x + 2 y + 4z = 1 b. β ≡ 3 x − y + z = 2 ϕ ≡ − x + 5 y + 7z = 4

α ≡ −x + 3y + z = 1 d. β ≡ 3 x − 2 y + 3z = −1 ϕ ≡ 2x + y + 4z = 0

1 De tels systèmes comptant plus de trois équations et plus de trois inconnues figurent uniquement dans le programme de la Communauté française (programme 40/2000/240).

410

14. Systèmes d’équations

7. Intersection d’une droite et d’un plan Quelle est l’intersection du plan p et de la droite d ?  x = 1 + 4λ + 6µ  a. π ≡  y = 3 − λ + 5µ  z = 7 − 6λ + 2µ 

 x = −2 + 4θ  d ≡  y = 3 − 3θ  z = 1 − 5θ 

 x = −1 + 3λ + 4µ  b. π ≡  y = 1 − λ + 2µ  z = 2 + 2λ + µ 

 x = −2 − θ  d ≡ y = 3 + θ z = 1 − θ 

c. π ≡ 2 x − y + 2z = 1

2 x + 3 y − z = 1 d≡ 4 x + 2 y + z = 0

d. π ≡ 5 x − 2 y + 2z = 1

d ≡ 3 x − 2 y − 3z = 2 x + y = 4

8. Combien de solutions ? Pour quelles valeurs du paramètre a le système 3 x + 2 y = a + 4  2  a x + 6 y = a + 18 admet-il : a. une solution unique ? b. une infinité de solutions ? c. aucune solution ?

9. Discuter des systèmes Discuter les systèmes suivants, en fonction du paramètre réel m, et le cas échéant du paramètre n (les autres variables étant les inconnues). mx1 − x2 = 1 a.  2 x1 − 2 x2 = 4

(3m + 2) x + 2 y + 3z = 1  e. 2mx + 4 y + z = −1  x + y + 3mz = m 

( m + 2) x1 + 3 x2 = m − 2 b.  2 3 x1 − 2mx2 = m − 4

(2m + 1) u + 2 v + 3 w = 1  f. (2m + 4) u + 4 v + w = −1 5mu + v + w = m 

mx1 − x2 + x3 = 1  c. 2 x1 − 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x + x + 8mx = 3 2 3  1

− mx1 − 3 x2 = 3 g.  2nx1 − 2 x2 = −2n

mx + 2 y − mz = 1  d. mx + my − 2z = 2m 4 x − 2 y + z = 3 

 nx + 2ny + 3z = − m  h. 2 x + 4 y + z = −2 x + y + z = m  Exercices

411

10. Droites et intersections a. On considère les droites d d’équations cartésiennes  ax + 3 y − z = 0 d≡ 4 x + ay + z = 0 Quelles sont, en fonction de a, les coordonnées du point d’intersection de la droite d et du plan p d’équation 2 x + 3 y − z = 2 ? b. On considère l’ensemble des droites d comprenant le point (2 ; 3 ; − 1) et dont un vecteur directeur est de la forme (2k ; k ; − 1) ( k ∈ R) . Quelles sont, pour les différentes valeurs de k, les coordonnées du point d’intersection de la droite d et du plan p dont des équations paramétriques sont  x = −2 + 3λ + 2µ  ? π ≡  y = 3 − λ + 5µ  z = 1 + 4λ + µ 

11. Matrices et équations1  1 0 0 a. Soit la matrice A =  1 0 3 .    0 1 0 Trouver trois entiers a, b et c, tels que l’on ait A 3 + aA 2 + bA + cI3 = 03 ( 03 est la matrice nulle d’ordre 3) b. Déterminer les valeurs réelles des paramètres a, b et c pour lesquelles a4

a 1

b 1 = a2 1 c 1

b2 1

c2 1

12. Fonctions… a. Déterminer la fonction f du second degré telle que f (1) = 2 , f (3) = 5 et f (6) = −1 . b. Déterminer un polynôme du 3e degré qui admette deux extrema, l’un pour x = 1, l’autre pour x = 2 , qui s’annule pour x = 0 et qui -10 prenne la valeur pour x = 1. Préciser ensuite la nature des 3 extrema.

1 Ces exercices proviennent respectivement des examens d’admission de l’ULB de juillet 1996 et juillet 1998.

412

14. Systèmes d’équations

Résoudre un problème 13. Épargne Un artisan place les économies qu’il garde en vue de réaliser une rénovation de son atelier. Il dispose d’une somme de 3 000 €. Il souhaite répartir cette somme dans trois produits financiers d’une durée d’un an, en tenant compte des différents taux d’intérêt fixes liés à ces produits, mais aussi des possibilités de retrait anticipé que ceux-ci offrent en cas de besoin. Il envisage trois formules. Dans la première, il investit 500 € dans le produit financier A, 1 000 € dans le B et 1 500 € dans le C. Dans la deuxième, il investit 500 € dans chacun des produits A et B et 2 000 € dans le produit C. Dans la troisième, il investit 1 000 € dans chacun des produits. Pour ces trois formules, il calcule qu’il toucherait, au bout d’un an, des intérêts respectivement égaux à 36,5 €, 37 € et 35 €. Quels sont les taux d’intérêts des trois produits A, B et C ?

14. Nombres et chiffres Un nombre naturel de trois chiffres est tel que le troisième chiffre vaut le double de la somme des deux premiers. On sait aussi que la somme des trois chiffres vaut 9. De plus, la moyenne arithmétique entre le premier et le dernier vaut quatre fois le deuxième. Quel est ce nombre ? Remarque Il y a un abus de langage dans cet énoncé. Lequel ?

15. Les engrais de Charles Charles dirige une entreprise familiale vendant différents produits destinés à l’agriculture (engrais, semences, etc.). Il a écoulé un stock de 900 kg d’un certain type d’engrais. Une partie a été vendue dans la maison-mère de son entreprise, située en province, avec un bénéfice de 0,20 €/kg. Une autre partie a été écoulée dans la succursale bruxelloise tenue par son fils Léon, avec un bénéfice de 0,10 €/kg. La troisième partie (le surplus) a été revendue à un autre commerçant, avec un bénéfice de 0,05 €/kg. La quantité de cet engrais vendue dans la maison-mère surpassait de 400 kg celle vendue dans la succursale de Bruxelles. Le bénéfice total a été de 145 €. À combien de kilos correspondait chacune des trois parties du stock écoulé ?

Exercices

413

16. Problèmes de mélanges a. On a réalisé des mélanges avec trois corps poudreux A, B et C. Le premier mélange est obtenu en mélangeant les trois poudres dans les proportions suivantes : deux tiers de poudre A, un sixième de poudre B et un sixième de poudre C. Le deuxième mélange consiste à mélanger un tiers de chaque poudre. Le troisième mélange contient un cinquième du poudre A et 2/5 de chacun des deux autres poudres. Les masses volumiques des trois mélanges décrits ci-dessus valent respectivement 1 350kg / m3, 1 200kg / m3 et 1 140kg / m3. Quels sont les masses volumiques des trois différentes sortes de poudres utilisées ? b. Un laboratoire chimique a trois réservoirs d’acide nitrique HNO3. Le premier contient une solution avec 10 % de HNO3, le deuxième 20 %, le troisième 40 %. Combien de litres de chaque solution faut-il mélanger pour obtenir 100 l de solution à 25 % de HNO3 ?

17. Mesures de températures On considère un corps plat, représenté par une surface plane, sur lequel la température varie d’un point à l’autre. On peut diviser cette surface en mailles carrées. La température moyenne d’une maille peut être approximée par la mesure de la température au centre de celle-ci. Mais il n’est pas toujours possible d’effectuer toutes les mesures (points inaccessibles…). Si les mailles sont suffisamment petites, on peut souvent considérer, par approximation, que la température (moyenne) d’une maille est la moyenne des températures des quatre mailles qui partagent un côté t +t +t +t commun avec elle. Ainsi, dans la fig. 10, on a tE = B D F H 4 Dans les situations suivantes, on donne un certain nombre de mesures et on demande de déterminer celles qui manquent. a. (fig. 11) tA = tB = 20 °C tC = tG = tH = 80 °C tF = 40 °C

tF = tJ = 90 °C tK = tL = 50 °C 414

14. Systèmes d’équations

fig. 10

b. (fig. 12) tA = tB = 80 °C tC = tG = 60 °C

fig. 11

fig. 12

c. (fig. 13) tA = tB = tC = 30 °C tD = tI = tN = 90 °C tH = tM = tR = 20 °C tS = tT = tU = 60 °C

fig. 13

Cette façon de procéder, par découpage en mailles est analogue à celle utilisée en météorologie. L’atmosphère est découpée en mailles tridimensionnelles et les variables prises en considération sont plus nombreuses (température, pression atmosphérique, etc.) et liées par des lois plus complexes. Mais le principe de base est le même. Les progrès importants en météorologie sont principalement dus à la réduction de la taille des mailles. Cette réduction est ellemême la conséquence de l’augmentation de la puissance des moyens informatiques disponibles. Car au plus petites sont les mailles, au plus il y en a, et au plus complexes sont les calculs à effectuer. La taille des mailles utilisées est souvent issue d’un compromis entre la précision voulue et le temps de calcul.

18. Bonbons, caramels et chocolats Un petit garçon reçoit 5 € de sa grand-mère. Peu raisonnable, il court acheter des friandises vendues au poids au magasin du coin et dépense tout l’argent reçu. Il achète 150 g de « gommes », 200 g de caramels, et 100 g de chocolats. Le mois suivant, il reçoit à nouveau 5 €. Il les dépense entièrement pour acheter 50 g de « gommes », 100 g de caramels et 300 g de chocolats. Un mois plus tard, il utilise les 5 € qu’il a à nouveau reçus de sa grand-mère pour acheter 50 g de caramels, et 400 g de chocolats. Après avoir tout mangé, peu soucieux de son équilibre alimentaire, il se dit que, la fois suivante, il dépensera ses 5 € en achetant 100 grammes de « gommes », 150 grammes de caramels et 200 grammes de chocolat. Aura-t-il assez avec ses 5 € pour acheter cela ou se trompe-t-il ?

Exercices

415

19. Circuits électriques La fig. 14 représente un dispositif traversé par un courant électrique. Le sens du courant est indiqué par les flèches. L’intensité du courant électrique (ou ampérage) est une mesure du débit d’électrons parcourant un conducteur, et est mesurée en ampères (A). On admet que l’intensité du courant qui entre dans le dispositif est égale à celle de celui qui en ressort. Lorsque le courant parcourant un conducteur arrive à un nœud du circuit et se sépare en deux pour parcourir deux conducteurs distincts, on admet que l’intensité du courant dans le premier conducteur est égale à la somme des intensités des courants dans les deux autres. Il en est de même lorsque deux conducteurs se rejoignent pour n’en faire plus qu’un. On note Ii l’intensité du courant traversant le résistor numéroté i et IT la valeur de l’intensité totale du courant entrant, et sortant, du dispositif. On fournit certaines valeurs, et on demande de déterminer les autres. a. I4 = 10 A ; I5 = 15 A ; IT = 25 A b. I1 = 18 A ; I4 = 12 A ; IT = 20 A c. I2 = 5 A ; I4 = 4 A

20. Intersections dans un tétraèdre Soit le tétraèdre ABCD dont on donne les coordonnées des sommets dans un système d’axes Oxyz (non nécessairement orthonormé) : A (1 ; 3 ; 4) , B (3 ; 1 ; 0) , C (0 ; − 1 ; − 1) et D (4 ; 4 ; 1) . a. On sait que : – le plan a comprend le sommet C et les milieux des segments [ AB] et [ AD] ; – le plan b comprend les milieux des segments [ AC] , [ BC] et [CD] ; – le plan g comprend les sommets A et C et le milieu du segment [ BD] . Quel est le point d’intersection entre les plans a, b et g ? b. On sait que : – le plan d comprend le sommet A et les milieux des segments [ BD] et [CD] ; – le plan p comprend les milieux des segments [ AB], [ AC] et [ AD]. Déterminer en quel point la droite d’intersection entre les plans d et p coupe le plan Oxy.

21. Trois points d’un cercle L’équation d’un cercle dans un système d’axes orthonormés du plan est x2 + y2 + ax + by + cx = 0 Déterminer les valeurs de a, b et c pour qu’un cercle passe par les points (1 ; 2) , ( −1 ; 3) et (2 ; 4) . 416

14. Systèmes d’équations

3 4

fig. 14

22. Quelques problèmes historiques Un certain nombre de problèmes, créés au cours de l’histoire pour enseigner les mathématiques, nous sont parvenus. a. Alcuin (735-804), conseiller de Charlemagne, était aussi son précepteur. Dans un recueil de ses œuvres, imprimé à Ratisbonne en 1777 à l’initiative de Frelon, on trouve des problèmes et exercices arithmétiques (Propositiones arithmeticæ ad acuendos juvenes) inspirés du Grec dioPhAnTe. Voici le problème XXXIV, traduit du latin : « Si on partage cent boisseaux de blé entre cent personnes, de manière à ce que chaque homme reçoive trois boisseaux, chaque femme deux boisseaux et chaque enfant un demi boisseau, combien y a-t-il d’hommes, de femmes et d’enfants ? » b. Un autre problème provient du mathématicien italien Niccolò Fontana, dit TArTAgliA (1499-1557). « Trois joyeux compagnons qui avaient deniers en bourse s’entrefirent quelques questions. Le premier dist aux deux autres : si vous me donnez la moytié de voz ducas, j’auray ensemble avec ceux que je peux avoir de présent vingt ducas. Le deuxième dist aux deux autres : si vous me donnez le tiers de voz ducas, j’auray ensemble avec ceux que je peux vingt ducas. Mais, dist le troisième aux deux autres, donnez-moi le quart de ceux que vous avez, et avec ceux que j’ay, j’auray vingt ducas aussi bien que vous. Combien avait de ducas chacun d’iceux ? » (sic) c. Le mathématicien allemand Leonhard euler (1707-1783) a également publié de tels problèmes. Le problème ci-après est tiré d’une édition française d’un de ses ouvrages. « Quatrième question. Trois personnes jouent ensemble ; dans la première partie le premier Joueur perd avec deux autres autant que chacun d’eux avoit d’argent sur lui. Dans la seconde partie, c’est au second Joueur que les deux autres gagnent autant chacun qu’ils ont déjà d’argent. Dans la troisième partie enfin, le premier & le second Joueur gagnent au troisième autant d’argent chacun, qu’ils en avoient. Ils cessent alors de jouer & il se trouve qu’ils ont tous une somme égale, savoir vingt-quatre louis chacun. On demande avec combien d’argent chacun s’est mis au jeu ? » (sic).

Joueurs de cartes, Cézanne (1890-1892).

Exercices

417

23. Modélisation de l’économie américaine Wassily leonTieF (1905-1999), économiste américain d’origine russe, modélisa l’économie américaine, qu’il divisa en 500 secteurs, chacun étant représenté par une équation linéaire. Il utilisa les premiers ordinateurs présents à Harvard pour effectuer les calculs mathématiques nécessaires pour traiter ces équations. Il obtint le prix Nobel d’économie en 1973 pour ses travaux concernant l’analyse entrées-sorties. Voici un problème, concernant une situation de complexité réduite, mais pouvant être modélisée par des équations linéaires, selon la méthode développée par Wassily Leontief. Sur un site industriel se trouvent une raffinerie, une centrale électrique au mazout et un service de transport. Pour produire 20 dollars d’électricité, la centrale électrique au mazout utilise 10 dollars de mazout, 1 dollar de sa propre électricité, et 1 dollar de transport. Pour produire 20 dollars de mazout, la raffinerie utilise notamment 5 dollars d’électricité et 2 dollars de transport. Enfin, pour 20 dollars de service de transport, on utilise 4 dollars de mazout et 10 dollars d’électricité. On admet que la raffinerie, la centrale électrique et le service de transport se trouvant sur ce site se fournissent uniquement entre eux pour leurs besoins de mazout, d’électricité ou de transport. La raffinerie doit livrer 100 000 dollars de mazout, et la centrale doit livrer 56 000 dollars d’électricité. Combien de mazout et d’électricité, en dollars, sont nécessaires à la réalisation de cette commande ?

24. Aucun système ne peut avoir de solutions Déterminer les uniques valeurs des paramètres a, b et c pour lesquelles aucun des trois systèmes ci-dessous n’a de solution.  ax + 2 y = 1   bx + y − 2z = 2a  cx + 3 y + 4 z = 3b 

418

( a + 1) x + 2 y + ( b + 2)z = 1  −3 x + 3 y + cz = b 3 x + z = c + 3 

14. Systèmes d’équations

( a + 2) x + 3 y − z = bc   2 x + 2z = 3 a  2  cx − y + ( b − 1)z = 3c − 4

annexes

1. Banque d’exercices – Algèbre – Analyse – Géométrie

420 421 428 433

– Trigonométrie

443

2. Utilisation d’Excel et GeoGebra (exemples)

448

annexe 1 Banque d’exercices Dans cette annexe, on trouvera des exercices provenant des examens d’admission – en faculté des sciences appliquées de • l’Université Libre de Bruxelles (ULB) • l’Université Catholique de Louvain (UCL) • l’Université de Liège (ULg) • l’Université de Mons (UMons) – à l’Ecole Royale Militaire (ERM) ainsi que des questions des Olympiades Mathématiques belges (OMB). Le style des questions a été conservé, ce qui explique les différences de notation qui peuvent apparaître par rapport à celles utilisées dans ce manuel.

420

Annexes

Algèbre 1. OMB Maxi ÉliMinatOire 1996 La suite ( a0 , a1 , a2 ,…) est définie par a0 = a1 et ∀n ∈ N

: an+ 2 = an+1 + an.

an+1 existe, que vaut cette limite ? an 1 1 c) 2 d) 5 −1 5 +1 e) 2 2

Sachant que lim

n→ ∞

a) 0

b) 1

(

)

2. Ulg 2008 Résoudre l’inéquation 49 x3 + 126 x2 + 44 x − 24 ≤ 0 sachant que le polynôme du premier membre admet trois racines réelles en progression arithmétique.

3. OMB Maxi ÉliMinatOire 2000 Soit (Γ n )n∈N une suite de cercles concentriques. Notons Rn la mesure

en centimètres du rayon de Gn, Pn la mesure en centimètres de sa circonférence et An la mesure en centimètres carrés de son aire. Si, 1 pour tout n, Rn+1 = Rn + , laquelle des relations suivantes est tou2 jours vraie ? 1 π Pn + 2 4 π = An + Pn + 2

a) An+1 = An +

c) An+1 = An + Pn +

b) An+1

d) An+1 = An + Pn+1

π 4

e) An+1 = An + Pn+1 − Pn

4. OMB Maxi ÉliMinatOire 2000 Que vaut la somme

(

) (

)

(

)

1 + (1 + 2) + 1 + 2 + 22 + 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 1 + 2 + ... + 2n−1 , quel que soit le naturel n ≥ 2 ? a) 2n+1 − n − 2 n

b) 2 + n

c) 2n - n d) 2

n+1

(

)

e) n 2n + 1

5. OMB Maxi ÉliMinatOire 2004 Soient xn = 1 + 2 + 3 + ... + n et yn = x1 + x2 + x3 + ... + xn . Que vaut y13 ? a) 321

c) 437

b) 392

d) 451

e) 455

Annexe 1

421

6. OMB Maxi ÉliMinatOire 2008 (22 + 42 + 62 + … + 20082) – (12 + 32 + 52 + … + 20072) = 1 ⋅ 4 0152 5 d) 2 ⋅ 106 c)

a) 2 017 036 b) 1 0152

e) aucune des valeurs précédentes

7. OMB Maxi ÉliMinatOire 2012 Une suite arithmétique a pour premiers termes 1, 5 et 9. Si la somme de ses termes est 1540, combien de termes compte-t-elle ?

8. UlB, 2006 Résoudre dans R l’inéquation 2 x > 2 − x2 .

9. OMB Maxi ÉliMinatOire 2008 Parmi les relations suivantes, une seule est correcte pour tous x, y réels. Laquelle ? a)

d) ( x + y)

2008

x2 = x

b) x + y = x + y

= x2008 + y2008

x2 + y2 = x + y

c) x + y ≤ x + y

10. OMB Maxi ÉliMinatOire 2013 Combien de couples (m, n) d’entiers vérifient l’inégalité m − 20 + n − 13 ≤ 13 ? a) 16

b) 23

c) 25

d) 28

e) 36

11. UCl, 2002 Considérons le système d’équations que voici, dans lequel a est un paramètre réel.  ax + y + z = a2  2 2ax + ay + 2z = 2a  ax + y + az = 1  Déterminez l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles ce système possède a) aucune solution b) une solution unique c) une infinité simple de solutions d) une infinité double de solutions e) une infinité triple de solutions. Justifiez la réponse. 422

Annexes

12. UlB, 2004 En utilisant les propriétés des déterminants, factoriser au maximum :

13. UlB, 2006

a -b a -a a -b b -a a

( a, b ∈ R)

Déterminer toutes les valeurs du paramètre m pour lesquelles la matrice  2m2 − 1 1 − 2m2  A = 1 − 2m2 m2  m2  −1

−1   m2   1 

est inversible. Calculer l’inverse de cette matrice dans le cas où m = 2.

14. UlB, 2011 a) Résoudre dans R2, en discutant en fonction du paramètre réel m, le système mx + m2 y = 1  2 m x + my = m Indiquer un résumé final de la discussion de ce système, et dans chaque cas, interpréter géométriquement le système et les ensembles de solutions obtenus. b) Même question dans R3.

15. erM, 2003 On donne la matrice A dans laquelle x, y et z sont des paramètres réels x + y  z− y − A= 2    z 0 2x  −   2 3 On demande de déterminer x, y et z de sorte que A −1 =  .  0 1

16. erM, 2012 Déterminer les nombres réels a et b, ainsi que les racines de l’équation x4 + x3 − 12 x2 + ax + b = 0 sachant que cette équation a deux racines dont le produit vaut 2, tandis que les deux autres racines ont une somme égale à 2.

Annexe 1

423

17. UMOns, 2007 Une portion de 100 g de pâtes contient 100 kcal, 5 g de protides (protéines) et coûte 0,2€ ; une portion de 100 g de maïs contient 300 kcal, 10 g de protides et coûte 0,4 € ; une portion de 100 g de thon (en boîte) contient 200 kcal, 25 g de protides et coûte 0,6 €. Déterminer les quantités x, y et z de ces trois types d’aliments qui vous permettent de confectionner un repas contenant 800 kcal et 50 g de protides, et dont le coût soit le plus bas possible.

18. UMOns, 2008  3 −2 Soit une matrice carrée A =  .  − 4 5 

 1 0 a) Calculer le déterminant de la matrice (A – lI) avec I =  la  0 1 matrice identité et l ∈ R. b) Déterminer les valeurs de l qui annulent ce déterminant. c) Pour la plus petite de ces valeurs, résoudre le système  x  

 0  

( A − λI)  y =  0  x d) Pour ce(s) vecteur(s), calculer A ⋅   .  y

19. Ulg, 2008

(

)

2ax + (2a + 1) y + 2a2 + a z = −3a2   Discuter et résoudre le système  x + (1 − a) y + (2 − 2a) z = 0  x + ay + 2az = 1  a étant un paramètre réel.

20. Ulg, 1999  ax + a2 y + a3 z = 2  Discuter et résoudre le système  ax − y + 4 az = a , a étant un para x + ay + 2az = 1  mètre réel.

21. Ulg, 2001  ax + y + z = a  Discuter et résoudre le système  x + ay + az = 1 , dans lequel a est un  x − y + 2z = a  paramètre réel.

424

Annexes

22. Ulg, 2005 a) Résoudre et discuter le système suivant, dans lequel a est un paramètre réel :  a2 x + y − az = 1  2  x − ay + a z = − a  2 2 − ax + a y + z = a b) Ce système admet-il une solution ( x ; y ; z) satisfaisant les conditions additionnelles : xy + yz + zx = − 4 et xyz = − 4 ? c) Justifier la réponse.

23. Ulg, 2011 Résoudre le système suivant, dans lequel a est un paramètre réel :

24. UCl, 2001

2 x + 3 y + ( a − 1) z = 2  4 x + 3ay + az = 4  6 − 3a y + a − 2 z = 0 ) ( ) (

On considère le système d’équations que voici, dans lequel p est un paramètre réel : 2 x + y = px   x + 2 y + z = py  y + 2z = pz  Déterminer toutes les valeurs de p pour lesquelles ce système admet une solution non triviale, c’est-à-dire une solution ( x ; y ; z) ≠ (0 ; 0 ; 0) . Ensuite, choisir une valeur de p ainsi obtenue, et donner l’ensemble des solutions ( x ; y ; z) correspondantes.

25. UCl, 2004 Résoudre dans R l’inéquation x − 2 − x − 1 ≥ x + 1 − 5 .

26. UlB, 2011 Résoudre dans R, en discutant en fonction du paramètre m, l’équation m x + ( x − 1)2 = 1

Annexe 1

425

27. UCl, 2011 Lors d’un de leurs rares moments de détente, Kevin et Jonathan décident de jouer aux fléchettes. Leur sœur Olivia les regarde et souhaiterait connaître la valeur des points obtenus pour chacune des trois zones de la cible délimitées par trois couleurs (noir, jaune et rouge). Or Olivia connaît seulement les différences de scores entre ses deux frères après que ceux-ci aient lancé chacune de leurs 5 fléchettes à chaque partie (une fléchette envoyée hors de la cible ne rapporte aucun point). Lors de la partie 1, Kevin met une fléchette dans le noir et quatre dans le jaune alors que Jonathan met une seule fléchette dans la partie rouge de la cible. Après cette partie, Kevin mène d’un point. Lors de la partie 2, Kevin met deux fléchettes dans le noir et deux dans le rouge alors que Jonathan met trois fléchettes dans le jaune. Au terme de ces DEUX parties, Kevin mène de 22 points. La partie 3 est un peu particulière puisque Kevin met toutes ses fléchettes à côté alors que Jonathan en met trois dans le noir, une dans le jaune et une dans le rouge. On vous demande tout d’abord quel a été le score de Jonathan pour cette partie 3 si vous savez qu’il est impossible pour Olivia de trouver la valeur des trois couleurs (noir, jaune et rouge) après ces trois parties. Calculez ensuite la différence de points entre les deux frères au terme de ces TROIS parties. Et finalement, la partie 4 permet à Kevin de lancer deux fléchettes dans le jaune et une dans le rouge alors que Jonathan met une seule fléchette dans le noir. Au score FINAL du marquoir, Olivia note que Kevin mène au score par 17 unités, ce qui lui permet de trouver la solution du problème. Combien de points rapporte chaque fléchette lancée respectivement dans le noir, le jaune et le rouge de la cible ?

28. UCl, 2011 Blanche termine ses humanités et convainc ses sœurs, Charlotte et Maïté, de faire avec elle un job d’étudiante pendant l’été. Les trois sœurs parviennent à se faire embaucher dans un garage pour travailler comme mécaniciennes durant quatre semaines pendant l’été. Le comptable du garage établit ensuite les factures sur base des heures prestées par les trois mécaniciennes. La première semaine, les heures facturées s’élèvent à 61 en tout, pour l’entretien de deux voitures, trois camionnettes et cinq camions. La seconde semaine, le nombre total d’heures prestées s’élève à 76 pour quatre camionnettes, quatre camions et un certain nombre de voitures (le comptable ne parvient pas à lire combien sur la fiche de travail). La troisième semaine, le travail se poursuit et 51 heures sont facturées pour six voitures, cinq camionnettes et un camion. Et la quatrième et dernière semaine, 63 heures sont prestées par les trois sœurs pour l’entretien de quatre voitures, sept camionnettes et deux camions.

426

Annexes

Sachant que Blanche, Charlotte et Maïté ont travaillé au même rythme pendant les quatre semaines, le comptable voudrait savoir combien de voitures ont été entretenues la seconde semaine. Par ailleurs, le chef d’atelier veut améliorer la planification du travail de son équipe et souhaite savoir combien d’heures sont nécessaires pour l’entretien d’une voiture, d’une camionnette et d’un camion. Pouvezvous aider le comptable et le chef d’atelier ? Justifier vos réponses.

29. UCl, 2012 Au cinéma Paradisio, les enfants de moins de douze ans paient demi-tarif. Jean-Luc, Anne et leurs cinq enfants, qui ont tous moins de douze ans, viennent assister à la séance du samedi après-midi. En plus de leurs entrées, ils achètent pour chacun des sept membres de la famille un sachet de pop-corn, et pour chaque enfant une limonade ; ils paient au total 64 €. Leur vieil ami Armand, qu’ils n’avaient plus vu depuis 14 ans, les rejoint à la même séance. Avec son entrée, il s’achète un sachet de pop-corn et une limonade, et paie au total 13 €. Pierre et Aline et leur fille Lexie viennent aussi au cinéma. En plus de leurs entrées, ils achètent une limonade pour chacun des trois, et cinq sachets de pop-corn. Au total, ils paient 43 €. Lexie a-t-elle moins de douze ans ? Combien coûte l’entrée plein tarif, la limonade et le sachet de popcorn chacun ? Justifier en donnant le détail de votre raisonnement.

30. Ulg, 2011 Sachant que les nombres réels a et b vérifient a4 + b4 = 7 et ab = −1, on demande de montrer que les nombres a2 + b2 , a6 + b6 , a8 + b8 et a10 + b10 sont tous entiers et d’en calculer les valeurs. Existe-t-il une technique simple pour calculer f ( n) = a2n + b2n pour tout entier naturel n ? Est-ce que f ( n) est toujours entier ? Peut-on déterminer les réels a2, b2, a et b ?

Annexe 1

427

Analyse 1. OMB Maxi ÉliMinatOire 1997 x est-elle définie et positive ? x- x

Pour quelles valeurs de x l’expression a) Pour tout réel x

b) Pour tout réel x strictement négatif c) Pour tout réel x strictement positif d) Pour tout réel x strictement supérieur à 1 e) Pour tout naturel x

2. OMB Maxi eliMinatOire 2003 Si les fonctions f et g, définies sur R, sont telles que f ( x) = x + 2 et ( g  f )( x) = x2 − 4 , que vaut g(5) ? a) 3

b) 5

c) 21

d) 45

e) 148

3. UlB, 2004 Calculer x4 + 1

a) lim

x→−∞

b) lim x→ 0

x2 + 2 x x2 + x

4. UCl, 2009 Calculez la limite lim x→ 0

sin x − tan x x3

5. UCl, 2009 Soit une fonction f définie sur R dont la courbe représentative admet la droite d’équation y = x − 1 comme asymptote en + ∞ , c’est-à-dire telle que lim f ( x) − ( x − 1) = 0 . x→+ ∞

Précisez si chacune des cinq assertions suivantes est vraie ou fausse. Justifiez. a) lim f ( x) = + ∞ x→+ ∞

b) lim f ( x) = − ∞ x→− ∞

c) lim f ( x) − x = 0 x→+ ∞

d) Il existe a ∈ [0, + ∞[ tel que pour tout x ∈ [ a , + ∞[ , f ( x) ≥ 5

e) Il existe b ∈ [0, + ∞[ tel que pour tout x ∈ [ b , + ∞[ , f ( x) ≤ x

428

Annexes

6. UlB, 2004 Soit la fonction f de A dans R définie par f ( x) = x + 1 − x2 et C la courbe d’équation y = f ( x) (C est le graphique de f). a) Déterminer le domaine de définition de f (c’est-à-dire le plus grand A possible). b) Calculer f ′( x) et f ′′( x) et préciser les domaines de définition de f ′ et f ′′ . c) Déterminer une équation cartésienne • de la tangente à C au point d’abscisse 0, • des asymptotes (éventuelles) de C. d) Établir le tableau des variation de f, f ′ et f ′′ contenant • les racines de f, f ′ et f ′′, • les signes de f ′( x) et f ′′( x), • les extrema de f, les domaines de croissance et décroissance de f , • les points d’inflexion de C et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de C. e) Tracer soigneusement la courbe C d’après les résultats du d). f) À partir de la courbe C, tracer les graphes des fonctions g et h de A dans R définies par • g( x) = f ( x) • h( x) = 1 + 2 x 1 − x2

7. UCl, 2009 Soit une fonction f définie sur R dont la courbe représentative admet la droite d’équation y = x − 1 comme asymptote en + ∞ , c’est-à-dire telle que lim f ( x) − ( x − 1) = 0 . x→+ ∞

Précisez si chacune des cinq assertions suivantes est vraie ou fausse. Justifiez a) lim f ( x) = + ∞ x→+ ∞

b) lim f ( x) = − ∞ x→− ∞

lim f ( x) − x = 0

x→+ ∞

d) Il existe a ∈ [0 , + ∞[ tel que pour tout x ∈ [ a , + ∞[ , f ( x) ≥ 5

e) Il existe b ∈ [0 , + ∞[ tel que pour tout x ∈ [ b , + ∞[ , f ( x) ≤ x

Annexe 1

429

8. UCl, 2004 On considère la fonction f définie par f ( x) = x3 − x2 . a) Donnez le domaine de f

c) Situez les extrema avec précision

b) Etudiez la dérivabilité de f

d) Donnez le graphe de f.

9. erM, 2003 Sachant que x + y = 9, calculer le maximum de P = xy2 .

10. UlB, 2002 Soit la fonction f de R dans R définie par f ( x) =

( x + 2) ( x − 1)2

et C la courbe d’équation y = f ( x) (C est le graphique de f). a) Calculer f ′( x) et f ′′( x) et préciser les domaines de définition de f ′ et f ′′ . b) Déterminer une équation cartésienne • de la tangente à C au point d’abscisse 2, • des asymptotes (éventuelles) de C. c) Établir le tableau des variation de f, f ′ et f ′′ contenant • les racines de f, f ′ et f ′′ (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale), • les signes de f ′( x) et f ′′( x) , • les extrema de f, les domaines de croissance et décroissance de f , • les points d’inflexion de C et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de C. d) Tracer soigneusement la courbe C d’après les résultats du c).

11. UCl, 2002 On considère la fonction f définie par f ( x) =

x3 − x2 =

x2 ( x − 1)

a) Donnez le domaine et les racines de f. b) Donnez la ou les asymptotes éventuelles. c) Donnez les maxima et minima éventuels (abscisse et ordonnée) en vous basant sur l’étude de la fonction dérivée f ′( x) . d) Situez les points d’inflexion et de rebroussement éventuels en sa−2 / 9 . chant que f ′′( x) = 4 / 3 x ( x − 1)5/ 3 e) Donnez le graphe de f.

430

Annexes

12. UCl, 2002 Étudiez la fonction définie par f ( x) = tan x − 2 sin x . a) Donnez le domaine et la période de f.  π 3π  Dans ce qui suit on limitera l’étude à l’intervalle  − , .  2 2  b) Situez les racines de f. c) Donnez les asymptotes de f. d) Donnez les extrema de f en situant leurs abscisses de façon fort π   approximative  3 4 ≅ 1, 6 ; arccos 0, 8 ≅ ; … .   5 e) Situez les points d’inflexion de f.  π 3π  f) Donnez le graphe de f (toujours sur l’intervalle  − ,  ).  2 2 

13. Ulg, 2012 On considère la fonction f ( x) = 23 x2 − 2β ( x + 1) où b désigne un paramètre réel non nul en fonction duquel les propriétés de f seront discutées. a) Déterminer le domaine de définition de f . b) Calculer les limites de f aux frontières de son domaine de définition et déterminer les éventuelles asymptotes. c) Identifier et caractériser les éventuels extrema locaux de f . d) Etudier la concavité du graphe et situer les éventuels points d’inflexion. e) Dresser un tableau récapitulatif des propriétés de f et esquisser son graphe. f) Déterminer toutes les valeurs de b pour lesquelles f ≤ 0 sur [0 , + ∞[ .

14. UlB, 1996 Étudier la fonction : y=

x2 ( x + λ )

où l est un paramètre réel. En effectuant une discussion en fonction de l : a) donnez le domaine de définition et les caractéristiques générales (parité, périodicité, etc.), b) recherchez les points remarquables et donnez leur nature, c) tracez un graphique sommaire de la courbe en y indiquant les éléments précédemment trouvés. Annexe 1

431

15. UlB, 2011 Une capsule, en forme de cylindre circulaire terminé à chaque extrémité par une demi-sphère, a un volume de 10 cm3. Que vaut l’aire totale A de cette capsule, exprimée en fonction du rayon r des demisphères ? Pour quelle valeur de r cette aire est-elle minimum ?

16. UlB, 2002 Un bateau est au mouillage à 9 km du point P le plus proche de la côte supposée rectiligne. Un messager doit parvenir au plus vite à une localité située sur celle-ci à 15 km du point P. Étant donné qu’un messager parcourt 5 km à l’heure à pied et 4 km à l’heure en canot, en quel point de la berge doit-il accoster pour arriver au plus vite à cette localité ?

17. UCl, 2002 On considère tous les cônes circulaires droits inscrits dans une sphère de rayon R. Déterminez le rayon r de la base et la hauteur h du cône de volume maximal. Donnez ensuite ce volume et comparez-le au volume de la boule.

18. UCl, 1999 a) Soit f : [ a ; b] → R une fonction continue telle que a < f ( a), f ( b) < b . Montrez qu’il existe un c ∈ ] a ; b[ tel que f ( c) = c. b) Un couloir de 8 m de large est prolongé à angle droit par un couloir de 1 m. Quelle est la longueur de la plus longue tige rigide (non flexible) qui puisse être transportée horizontalement d’un couloir à l’autre ? (Négligez l’épaisseur de la tige !)

432

Annexes

Géométrie 1. Ulg, 2003 On considère le cube ABCDA′B′C′D′. On note P le milieu de [ D ′, A′ ], Q le milieu de [ A, B] et R le milieu de [ C, C ′ ] . D C Q

B D′

C′

P A′

B′

1 1 (2D′A + AC) et QR = (AC + AD′). 2 2 b) Montrer que le plan PQR est parallèle au plan ACD′ .

a) Montrer que PQ =

c) Montrer que PQR coupe le cube selon un hexagone régulier.

2. Ulg, 2005

Soit un tétraèdre ABCD. On note E le milieu de [ A, B]

F le milieu de [ B, D]

G le milieu de [ C, D]

F E

H le milieu de [ A, C ]

I le milieu de [ B, C ]

J le milieu de [ A, D]

J A

Démontrer que les droites EG, FH et IJ sont concourantes.

3. Ulg, 2003

I G H C

On considère un parallélépipède dont DA, DB, DC sont des arêtes et AA′, BB ′, CC ′ des diagonales. Montrer que ∙AA′∙2 + ∙BB′∙2 + ∙CC′∙2 = ∙BC∙2 + ∙CA∙2+ ∙AB∙2+ ∙DA∙2+ ∙DB∙2+ ∙DC∙2.

4. Ulg, 2005 On considère quatre points A, B, C, D de l’espace, non coplanaires. On suppose que les droites AB et CD sont orthogonales et qu’il en est de même pour AC et BD. a) Démontrer que AD ⋅ BC = 0 b) Démontrer les relations ∙AC∙2 + ∙BD∙2 = ∙BC∙2 + ∙AD∙2 = ∙DC∙2 + ∙AB∙2

Annexe 1

433

5. Ulg, 2008 Soit un tétraèdre ABCD de l’espace. a) Démontrer les relations ∙AB∙2 + ∙CD∙2 – ∙BC∙2 – ∙DA∙2 = 2AC ⋅ DB ∙AC∙2 + ∙BD∙2 – ∙BC∙2 – ∙DA∙2 = 2AB ⋅ DC b) En déduire que les arêtes opposées d’un tétraèdre sont orthogonales si et seulement si les sommes des carrés des longueurs de chacune de ses paires d’arêtes opposées sont égales.

6. Ulg, 2008 Soient un cercle C de centre O et un point fixe quelconque P. a) Une droite variable d issue de O rencontre C en deux points A et B. Démontrer que la valeur de PA ⋅ PB reste constante lorsque d varie. b) Une droite variable d ′ issue de P rencontre C en deux points M et N. En utilisant la propriété établie en (a), démontrer que la valeur de PM ⋅ PN reste constante lorsque d ′ varie.

7. Ulg, 2001 On considère un tétraèdre ABCD régulier (c’est-à-dire dont tous les côtés sont égaux). Soit E le milieu du côté [ C, D] . a) Montrer que la droite CD est perpendiculaire au plan ABE. b) Montrer que la hauteur du triangle ABE issue de A est perpendiculaire à la face BCD et que la hauteur du triangle ABE issue de B est perpendiculaire à la face ACD. (Rappelons qu’une hauteur d’un tétraèdre est une droite passant par un des sommets et perpendiculaire à la face opposée. Le pied d’une hauteur est son intersection avec la face à laquelle elle est perpendiculaire.) c) Montrer que les pieds des hauteurs du tétraèdre sont les orthocentres des faces correspondantes. d) En déduire que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes.

8. Ulg, 2003 Soit ABCD un tétraèdre tel que AC = AD et BC = BD et tel que les triangles ACD et BCD aient même aire. Si M et M ′ sont les milieux de [C, D] et [ A, B] , démontrer que MM′ est la perpendiculaire commune à AB et CD.

434

Annexes

9. Ulg, 2007 Soient α et β deux plans perpendiculaires. Soient d et d ′ deux droites orthogonales entre elles telles que d ⊂ α, d ′ ⊂ β . Démontrer que d ou d ′ est perpendiculaire à α ∩ β .

10. Ulg, 2010 Un plan p coupe les arêtes [ AB] , [ AC ] et [ AD] d’un cube en trois points notés respectivement B ′, C ′ et D ′ . Dans le triangle AB ′ C ′ , on note H le pied de la hauteur issue de A. a) Démontrer, en justifiant soigneusement toutes les étapes de votre raisonnement, que la droite B ′ C ′ est perpendiculaire au plan AD ′ H . b) En déduire que le plan AD ′ H est perpendiculaire au plan p. c) En déduire que la projection orthogonale de A sur le plan p coïncide avec l’orthocentre du triangle B ′ C ′D ′ .

11. Ulg, 2011 Dans un tétraèdre ABCD, on nomme hA , hB , hC et hD les hauteurs respectivement issues des sommets A, B, C et D. a) Démontrer, en justifiant soigneusement toutes les étapes de votre raisonnement, que si les droites hA et hB sont sécantes, alors les arêtes [ AB] et [ CD] du tétraèdre sont orthogonales. b) Démontrer la réciproque de cette propriété. c) En déduire que si les droites hA et hB sont sécantes, alors les droites hC et hD le sont également.

12. Ulg, 2012 On considère une droite d de l’espace et un point P n’appartenant pas à d. Pour tout plan p contenant d, on désigne par Q la projection orthogonale du point P sur le plan p. Déterminer le lieu géométrique décrit par le point Q lorsque p varie.

13. UMOns, 2012 Considérons une pyramide de base horizontale inférieure carrée ABCD et de sommet S, situé à la verticale du centre de gravité de cette base. Ce carré est tel que AB = BC = CD = DA = 4 R . Coupons cette pyramide par un autre plan horizontal de façon à former un tronc de pyramide : la base supérieure de ce tronc de pyramide, telle qu’elle est découpée par ce plan horizontal, est un autre carré A′ B ′ C ′D ′ . Que doit valoir le côté du carré A′ B ′ C ′D ′ pour qu’une sphère de rayon R soit inscrite dans ce tronc de pyramide, « inscrite » signifiant que ladite sphère est simultanément tangente aux 6 faces du tronc de pyramide ? Annexe 1

435

14. UMOns, 2012 Considérons un cône de hauteur « H » dont le rayon de la base circulaire est « R » et le sommet « S ». Coupons ce cône par un plan parallèle au plan de la base et distant de S d’une longueur « h » pour former un tronc de cône de hauteur « H – h ». Quelle relation « h = fonction de H et de R » faut-il imposer pour que le volume de ce tronc de cône soit égal à la somme du volume d’une sphère de rayon R et du volume d’un tétraèdre régulier de côté R ?

15. UCl, 2005 Un diabolo est conçu à partir d’un cylindre plein de diamètre D et de hauteur L = 2D , et de deux cônes pleins de diamètre de base D ′ et de hauteur h = 3D ′ . Le cylindre et les deux cônes sont constitués de la même matière. Pour réaliser ce diabolo, on coupe la tête des deux cônes afin de pouvoir les ajuster parfaitement aux deux extrémités du cylindre. Les trois pièces sont collées bout-à-bout. Afin d’obtenir un bon diabolo, il convient que la masse du cylindre central soit égale à 1/8 de la masse totale du diabolo. Sachant que l’on dispose de cônes dont le diamètre est D ′ = 4, on demande d’évaluer le diamètre du cylindre qu’il faut choisir pour réaliser ce diabolo.

16. UCl, 2007 Une fusée a la géométrie d’un cylindre de diamètre D et de hauteur h1 superposé d’un cône de hauteur h2 (dont la base s’adapte exactement à la base du cylindre). Une fois qu’elle a quitté l’attraction terrestre, la fusée largue 11/12 de son volume pour n’être plus constituée que du module avant, se terminant par la pointe du cône. Quelle est la hauteur du module qui effectuera le voyage vers la lune sachant que h1 = 1 et h2 = 6 ?

17. UCl, 2007 Soit un carré ABCD de côté k. On élève perpendiculairement au plan contenant le carré un segment de longueur l1 à partir du sommet B, un segment de longueur l2 à partir du sommet C et un segment de longueur l1 à partir du sommet D. Les points extrêmes de ces segments sont notés respectivement B ′, C ′ et D ′ . Les points B ′, C ′ et D ′ sont tous situés du même côté du plan contenant le carré. On demande de calculer le volume du solide dont les 7 faces sont ABCD, ABB′, BCC ′B ′, CC ′D ′ D, ADD′ , AB ′ D ′ et B ′ C ′D ′ , dans le cas où l2 = 3l1 , l1 = k et k = 1.

18. UCl, 2011 On considère un prisme P, droit et à base triangulaire de hauteur b. Les sommets du triangle qui forment la base inférieure du prisme sont notés A, B et C tandis que ceux de la base supérieure sont notés A′, B′ et C′. Les arêtes verticales de longueur b du prisme qui relient la base inférieure et la base supérieure sont AA′, BB′ et CC′. 436

Annexes

On considère un plan p parallèle à la base inférieure ABC du prisme. Le plan p coupe les arêtes AA′, BB′ et CC′ respectivement en A″, B″ et C ″. On construit ensuite un tétraèdre T ayant pour sommet le point A′ et dont les trois autres sommets sont les points de percée des droites A′A″, A′B″ et A′C ″ dans le plan de la base inférieure ABC. On demande de : • Faire un dessin clair et précis des différents éléments du problème, • Calculer la hauteur h du plan p par rapport à la base ABC pour que le tétraèdre T ait le même volume que le prisme P.

19. UCl, 2011 On considère une pyramide P de hauteur h. On considère ensuite un plan p parallèle à la base de P qui coupe P à une distance x de la base et forme une section S. On demande de trouver x tel que le prisme ayant pour base la section S et ayant pour hauteur la hauteur du tronc de pyramide, ait un volume maximal. Faites un dessin clair et précis des différents éléments du problème.

20. Ulg, 2002 On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé Oxyz. a) Démontrer qu’il existe une droite d passant par l’origine et telle que les plans d’équation

( 2r

) (

)

+ 6r − 2 x − r 2 − 1 y − 2rz + r 2 + 1 = 0

où r parcourt R, soient tous parallèles à d. b) Déterminer la perpendiculaire commune à d et à la droite d ′ d’équations

21. Ulg, 2003

x = y d′ ≡  z = 1

Pour tous réels a, b, c non simultanément nuls, on considère le plan π abc ≡ ax + by + cz = 1 . a) Déterminer les conditions sur a, b, c pour que la distance de p abc à l’origine soit égale à 1. b) Déterminer les conditions sur a, b, c pour que p abc soit parallèle à x = y la droite d ≡  . y = z

c) Déterminer le lieu géométrique de l’intersection de p abc et de la droite perpendiculaire à p abc passant par l’origine, quand les paramètres a, b, c satisfont les conditions de a) et b).

Annexe 1

437

22. erM, 2010 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A (4 ; − 4 ; 0) , B ( − 4 ; 4 ; 0) , C (0 ; 0 ; 8) et D (8 ; 8 ; 8) ainsi que le plan α d’équation x + 2 y − z = 4 . On demande a) de déterminer l’équation cartésienne du plan b qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite BC ; b) de déterminer les coordonnées du point d’intersection P de la droite BC et du plan b ; c) de déterminer l’équation cartésienne du plan g qui passe par le point D et qui est parallèle au plan a.

23. UlB, 2012 Dans l’espace euclidien rapporté à un trièdre orthonormé OXYZ, on donne les points A, B, C et D de coordonnées respectives (3 ; 0 ; 0) , (0 ; 4 ; 0) , (0 ; 0 ; 3) et (2 ; 2 ; p) . a) Pour quelle valeur de p les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? b) Quelles sont les coordonnées de leur point d’intersection ? c) Que vaut l’angle formé par (AB) et (CD) lorsqu’elles se coupent ? d) Que vaut le volume du tétraèdre ABCD si p = 3 ? e) Que vaut le rayon de la sphère qui passe par A, B, C et D, si p = 3 ?

24. UlB, 2011 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A, B et C de coordonnées respectives (0 ; 2 ; 4) , (2 ; 0 ; − 2) et (1 ; − 1 ; 3) . a) Déterminer l’équation du plan médiateur de [A, B]. b) Déterminer les coordonnées de la projection orthogonale de C sur la droite AB. . c) Déterminer le cosinus de l’angle BAC d) Déterminer l’aire du triangle ABC.

25. Ulg, 2007 Dans l’espace euclidien à trois dimensions, on considère la famille de droites d’équations  x = ay ,   y = az où a est un paramètre réel, ainsi que les plans perpendiculaires à ces droites contenant le point a + 1 ; 2 − 2a2 ; a3 + 1 .

(

)

Démontrer que ces plans possèdent une intersection commune et préciser la nature de cette intersection.

438

Annexes

26. Ulg, 2011 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le point P de coordonnées (1 ; 1 ; 1) et la droite d d’équations cartésiennes 2 x + y = 5   y + 2z = −3 a) Montrer que le plan p d’équation cartésienne 3x + 2 y + z − 6 = 0 passe par P et contient d. b) Déterminer l’équation générale des plans orthogonaux à p qui passent par l’origine du repère. c) Parmi les plans évoqués au point précédent, déterminer celui dont l’intersection avec p est parallèle à la droite d. d) Déterminer la distance entre P et d.

27. Ulg, 2010 Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les droites da et db par leurs équations cartésiennes x − z − a = 0 da ≡   y + 3z + 1 = 0

 x + 2 y + z − 2b = 0 db ≡  3 x + 3 y + 2z − 7 = 0

où a et b sont des paramètres réels. a) Montrer que ces droites ne sont pas parallèles, quels que soient a et b. b) Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que les droites soient concourantes. c) Sous la condition déterminée au point précédent, déterminer alors l’équation du plan contenant ces droites.

28. UlB, 2006 Dans l’espace euclidien rapporté à un trièdre orthonormé d’origine O et d’axes x, y et z, on donne le point A (1 ; 1 ; 1) . Soit G le cube de côté 1 dont une face est dans le plan Oxy et dont O et A sont deux sommets. On demande de déterminer un plan qui sépare le cube en deux parties de même volume et dont l’intersection avec le cube est un hexagone régulier. Formez une équation cartésienne de ce plan et déterminez les coordonnées des points d’intersection entre ce plan et les arêtes du cube.

29. UlB, 2006 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé d’origine O et d’axes x, y et z, on donne les points fixes M(0 ; b ; c), N(a ; 0 ; c) et P(a ; b ; 0) où a, b et c sont non nuls.

Annexe 1

439

1) Montrez que la longueur de chaque arête du tétraèdre de sommets O, M, N et P est égale à celle de l’arête opposée. Qu’en déduisezvous au sujet des faces du tétraèdre ? 2) Formez des équations cartésiennes des plans ONP et MNP. À quelle condition ces plans sont-ils perpendiculaires ? 3) Formez des équations cartésiennes des droites OM et PN. À quelle condition ces droites sont-elles orthogonales ? 4) Soient α, β, γ les plans contenant respectivement les droites OM, ON, OP et perpendiculaires respectivement aux plans ONP, OMP et OMN. Montrez que ces plans passent par une même droite. 5) Calculez le volume du tétraèdre OMNP.

30. UMOns, 2010 Dans l’espace euclidien E3, muni d’une base orthonormée OXYZ, les coordonnées du centre C d’une surface sphérique (S1) sont : C(12 ; 14 ; 16). Cette surface sphérique (S1) admet comme plan tangent le plan d’équation cartésienne [ X + Y + Z = 60] . On demande d’abord de déterminer l’équation cartésienne de cette surface sphérique.

31. UCl, 2007 Une famille de plans est représentée par l’équation x + αy + z − 1 = 0 (α est un paramètre réel) dans un trièdre orthonormé OXYZ. a) Déterminer le plan de cette famille dont la distance à l’origine est la plus grande. b) Quel est l’angle que forme ce plan avec le plan de coordonnées OXY ?

32. UCl, 2000 Dans l’espace tridimensionnel rapporté à un repère OXYZ, on considère les trois plans : Π1 : x + y + z = 1 Π 2 : 4 x + by + cz = 2 Π3 : αx + βy + γz = 4 Sachant que – ces trois plans ont une droite commune dans le plan de coordonnées OYZ – Π 2 est perpendiculaire à Π3 déterminer les valeurs des 5 coefficients α, β, γ, b, c. Esquisser le dessin des trois plans.

440

Annexes

33. UCl, 2005 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oxyz, on considère les éléments suivants : • le plan α ≡ 12 x − 9 y + 2z + 226 = 0 • le point P = ( −11 ; a ; − 2) x = 1 + t  • et la droite d ≡  y = 1 + 2t  z = bt  On vous demande 1) de déterminer a afin que le point P appartienne au plan α, 2) de déterminer b afin que la droite d soit parallèle au plan α, 3) de déterminer les équations paramétriques de la droite p passant par le point P et perpendiculaire au plan α.

34. UCl, 2011 Soit le plan P d’équation cartésienne 2 x + 2 y + 4 z = e . Soit la droite D passant par le point p de coordonnées ( x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) et parallèle  au vecteur v = (0 ; 4 ; 3) . Soit q le point de percée de D dans P. Trouvez e pour que la distance entre p et q soit égale à 5.

35. UCl, 2012 Soit un système de coordonnées cartésiennes XYZ. Dans ce système, deux plans sont définis par les équations x + y + z = 3 et x − 2 y + z = 6. Soit d l’intersection entre ces deux plans. Quelle est la (plus courte) distance qui sépare d de l’origine ?

36. erM, 2012 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé on donne les points A (1 , 2 , 0) , B (2 , 1 , 2) et C (3 , 1 , 1) et la droite d d’équations

On demande :

4 x + 2 y + z = 3 .  6 x + 3 y − z = 2

1) de déterminer l’équation cartésienne du plan a qui contient le point A et la droite d ; 2) de déterminer l’aire du triangle ABC.

37. erM, 2011 Dans un repère orthonormé on considère les points A (0 ; 1 ; 0) et B (2 ; 3 ; 1) et la droite c d’équations x + y = 1  2 y − z = 0

Annexe 1

441

On demande : 1) de calculer le point C ∈ c tel que AB et AC se coupent perpendiculairement ; 2) de donner les équations cartésiennes de la droite d, perpendiculaire au plan défini par les points A, B et C tel que A ∈ d ; 3) de calculer le point F ∈ d tel que la distance ( AF ) est égale à la distance ( AC ) .

38. erM, 2005 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A (0 ; 2 ; 1) et B ( −1 ; 1 ; 3) , ainsi que le plan a d’équation x + 5 y + 9 z − 13 = 0 et le plan b d’équation 3 x + ky − 5z + 1 = 0 , où k est un paramètre réel. On demande de déterminer la valeur du paramètre k afin que la droite AB coupe la droite d’intersection des plans a et b.

442

Annexes

Trigonométrie 1. UlB, 2000 Démontrer que si A, B, C sont les mesures des angles d’un triangle non rectangle, alors tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

2. UlB, 2002 Démontrer que si dans le triangle ABC, on a cos 3A + cos 3B + cos 3C = 1, alors l’un des angles mesure 120°.

3. UCl, 1998 On donne l’équation sin 4 x + cos4 x + sin 2 x cos2 x = m cos 4 x a) Calculer sin 2x en fonction de m, et donnez les valeurs de m qui conduisent à une solution valable. b) Calculer x pour m = −13

4. OMB Maxi ÉliMinatOire 1997 cos x , d’incon100 nue réelle x, qui appartiennent à l’intervalle [0 ; 100] ?

Quel est le nombre de solutions de l’équation sin x =

5. OMB Maxi ÉliMinatOire 2003 Dans R, l’égalité cos( x − y) = cos( x + y) est a) toujours vraie b) n’est jamais vraie c) vraie si l’un des deux nombres x et y est égal à p d) vraie uniquement si x = 0 e) vraie uniquement si y = 0

6. OMB Maxi deMi-finale 2005 Pour tout réel x,

1 − sin 2 x =

a) 1 – sin x b) sin x - cos x c) cos 2x d) cos x – sin x e) tan x

Annexe 1

443

7. OMB Maxi ÉliMinatOire 2006 Combien de nombres réels appartenant à l’intervalle [0 ; 2π ] sont solutions de l’équation  tan  2 x −  a) 2

b) 4

π π   ⋅ cos  3 x +  = 0 ? 6 4 c) 6

d) 8

e) 10

8. UCl, 1999 Trouver, pour chacun des cas, les relations qui existent entre x et y si on a : a) cos 2x = cos 2y b) tan2 x = tan2 y c) sin2 x + sin2 y = 1

9. UCl, 1999 Résoudre l’équation en x suivante : 2 sin 2 3 x + sin 2 6 x = 2 .

10. UCl, 1999 Sachant que sin x + sin a = 1, résoudre l’équation en x suivante : cos 2 x + cos 2a = 1 . Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

11. UCl, 1999 Dans un triangle ABC, l’angle C = 120°. Calculer l’angle B sachant que a = b

3 −1 . 2

12. UCl, 2000 Résoudre l’équation en x suivante : 2 sin 60° sin 2 x = tan 60° − cos 60° sin 2 x et présenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

13. UMOns Résoudre l’équation trigonométrique suivante : 4 sin 2 (2 x) = 1 + 4 sin 2 x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

444

Annexes

14. UMOns Démontrer que si A et B sont des angles aigus positifs, cos ( A + B) =

15. UMOns

1 − tan ( A) ⋅ tan ( B)

(1 + tan

( A)) (1 + tan2 ( B))

Résoudre l’équation trigonométrique suivante : sin 5 x + sin x + 2 sin 2 x = 1 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

16. UCl, 2000 Trouvez les valeurs de x qui satisfont à l’inéquation suivante cos 2 x + sin x < 0 et présentez la zone de solutions sur le cercle trigonométrique.

17. UCl, 2000 Résolvez l’équation en x suivante :

(

)

cos 5 x = 2 sin x sin 2 x 5 − 8 cos2 x + cos 3 x et présenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

18. UlB, 2010 a) Exprimer sin 3 x en fonction de sin 3x et sin x b) Démontrer que 27 sin3 9° + 9 sin 3 27° + 3 sin 3 81° + sin 3 243° = 20 sin 9°

19. UlB, 2010 Résoudre dans R l’équation sin 8 x − sin 6 x − cos 8 x sin 2 x = 0

20. UlB, 2012 Résoudre dans R les équations suivantes a) 2 sin3 x = sin 3 x b) cos x − cos 3 x + cos 5 x − cos 7 x = 0

21. UCl, 2001 Pour les affirmations suivantes, cocher vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou compléter par une condition qui rende l’affirmation vraie : Annexe 1

445

a) tan A > sin A toujours vrai

toujours faux

vrai si : .................................... b) (tan A) a le même signe que (sin A cos A) toujours vrai

toujours faux

vrai si : .................................... π , sin 2A > sin A 2 toujours faux toujours vrai

c) pour 0 < A <

vrai si : .................................... d) dans un triangle ABC, sin (B + C) > sin A toujours vrai

toujours faux

vrai si : .................................... e) dans un triangle ABC, sin A > sin B toujours vrai

toujours faux

vrai si : ....................................

22. UCl, 2000 Trouvez les valeurs de x qui satisfont à l’équation suivante : x² sin 2 a – 2 x (1 – cos a cos b) + sin 2 b = 0 . En utilisant les expressions obtenues, calculer ces valeurs pour a = 120° et b = 60°. Que devient l’équation de départ si sin 2 a = 0 ? Que seront ses solutions ?

23. UCl, 2001 Montrez que le triangle ABC est rectangle quand on a : sin A − cos A = cos B − sin B .

24. UCl, 2004 Les angles d’un triangle ABC vérifient la relation suivante : sin C = cos A + cos B. Démontrer que le triangle est rectangle.

25. Ulg, 1999 Si a + b + c = p, vérifier que sin a − sin b + sin c = 4 sin

446

Annexes

a b c cos sin 2 2 2

26. Ulg, 2001 Vérifier l’identité suivante : sin 3a = 4 sin (60° – a) sin a sin (60° + a).

27. Ulg, 2003 On suppose que l’on connaît la valeur de cos 2α. Posons cos 2α = m. On demande alors de calculer la valeur de l’expression : E = sin6 α + cos6 α en fonction de la valeur de m. Vérifier le résultat obtenu pour m =

1 . 3

28. Ulg, 2004 Démontrer que si les angles d’un triangle ABC satisfont à la relation sin A =

sin B + sin C , cos B + cos C

alors le triangle est rectangle en A.

29. UCl, 1997 Deux tours situées à une distance M l’une de l’autre s’élèvent sur une plaine horizontale. Emilie se place successivement au pied de chacune d’elles, et voit ainsi l’une sous un angle d’élévation α moitié de celui sous lequel elle voit l’autre. Lorsque celle-ci se place à mi-chemin entre les 2 tours, elle les voit sous des angles complémentaires l’un de l’autre. On vous demande a) d’exprimer la hauteur de chacune des deux tours en fonction de M b) de calculer au centimètre près la hauteur de chacune des tours, ainsi que l’angle α sachant que M = 225 m. Remarque : Il est indispensable de représenter graphiquement le problème, et d’y indiquer les éléments nécessaires à sa solution.

Annexe 1

447

annexe 2 Utilisation d’Excel et GeoGebra (exemples) Influence des paramètres dans la fonction f (t) = A sin (w t + j) + b Utiliser un tableur pour observer l’influence des différents paramètres d’une fonction (chap. 6, ex. 2).

1. Saisir les textes Cellule

Contenu

Paramètres

Tableau des valeurs

f (t) = A sin (wt + j) + b

2. Construire le tableau des paramètres qui vont varier Cellule

Contenu

Commentaires

A3 à D3

Valeurs initiales des quatre barres de défilement qui feront varier les paramètres.

Créer une « barre de défilement » : menu – AFFichAge – bArre d’ouTils – FormulAire – cliquer sur l’icône « barre de défilement » et la placer sur la feuille de calcul en cliquant à nouveau. Format de contrôle la « barre de défilement » : placer le pointeur de la souris sur la barre de défilement, faire apparaître le menu contextuel en cliquant avec le bouton droit de la souris et cliquer sur « format de contrôle ». Dans l’onglet « Contrôle », entrer valeur minimale, maximale, changement de pas et cellule liée pour le paramètre concerné, en s’aidant du tableau ci-dessous. Répéter ces opérations pour les autres paramètres. Les valeurs négatives et décimales ne sont pas admises. 448

Annexes

Valeur minimale

Valeur maximale

628

La valeur maximale est égale à l’écart demandé diChangement de pas 1 1 10 1 visé par le pas souhaité (ici 0,1) et si nécessaire multiCellule liée $A$3 $B$3 $C$3 $D$3 plié par 10 pour éliminer Dimensionner correctement chaque barre de défilement et la placer les décimales. Le pas de verticalement dans la colonne du paramètre correspondant. contrôle sera alors de 10. En dessous de chacune des barres, entrer, comme indiqué ci-dessous, la formule permettant de donner les valeurs des paramètres. Cellule

Contenu

Commentaires

=A$3*0,1-2

=B$3*0,1-3

=C$3*0,1/10-PI()

La valeur de la cellule 3 est multipliée par le rapport entre le pas demandé et le pas de contrôle, et augmentée de la valeur minimale demandée dans l’exercice.

=D$3*0,1-2

3. Construire le tableau de valeurs de la fonction et le graphique de la fonction Cellule

Contenu

Commentaires

-10

- 9,8

Sélectionner les 2 cellules F3-F4 et étirer jusqu’à la valeur t =10.

=A$9*SIN(B$9*F3+C$9)+D$9 Cette formule calcule l’image de t par la fonction.

Pour recopier la formule, faire apparaître la petite croix noire dans le coin inférieur droit et double-cliquer avec le bouton gauche de la souris. Pour sélectionner toutes les cellules utiles (dans les colonnes F et G) pour le tracé du graphique, se placer dans l’une d’elles et appuyer sur Ctrl + * . Cliquer sur l’icône AssistAnt grAphique et choisir nuAge de points comme type de graphique, donner le nom « t » à l’axe des abscisses et f(t) à l’axe des ordonnées. Laisser le graphique comme objet dans la feuille de calcul, le placer à côté du tableau des valeurs. Pour mieux visualiser les influences des différents paramètres, il faut fixer les valeurs limites sur les axes. Pour cela, cliquer sur l’axe des ordonnées avec le bouton droit de la souris ; dans forMAt de l’Axe, dans l’onglet échelle décocher valeur minimale (indiquer –3) et valeur maximale (indiquer 3). Pour l’axe des abscisses, indiquer -10 en valeur minimale et 10 en valeur maximale.

Annexe 2

449

4. Faire varier les paramètres Utiliser les curseurs des barres de défilement des paramètres pour fixer trois d’entre eux aux valeurs données dans l’exercice et faire varier le 4e avec les flèches ou le curseur. On observe l’influence de chaque paramètre sur le graphique.

Influence des paramètres dans la fonction f (t) = A sin (w t + j) + b Utiliser un logiciel graphique dynamique, par exemple le logiciel gratuit GeoGebra (fig. 1), pour observer l’influence des différents paramètres d’une fonction trigonométrique (chap. 6, ex. 2). On associe un curseur à chaque paramètre.

fig. 1

1. Procédure pour créer un curseur Cliquer sur la flèche (coin inférieur droit) du bouton curseur.

puis sur

Une croix apparaît sur l’écran ; cliquer sur l’écran à l’endroit où on veut placer le curseur. Dans la fenêtre qui apparaît (fig. 2), compléter le nom (les lettres grecques sont sélectionnées par défilement à droite). Compléter l’onglet « intervalle » et dans l’onglet « curseur », cocher « fixé ». Cliquer ensuite sur « appliquer ». Un curseur, surmonté du nom choisi, apparaît à l’écran. Répéter cette procédure pour créer un curseur par paramètre.

450

Annexes

fig. 2

2. Introduire la fonction Dans la zone de saisie (en bas de l’écran), on introduit la fonction sous la forme f(x) = A sin(wx + j) + b (pour indiquer une multiplication, on laisse un espace entre les facteurs, donc ici entre « A et sin » et entre « w et x ») et on valide par la touche « enter » du clavier. On introduit la fonction sinus sous la forme g(x) = sin (x) pour pouvoir comparer les deux fonctions. Remarque En cliquant sur la courbe avec le bouton droit de la souris et en sélectionnant « propriétés », on peut modifier la couleur du graphique.

3. Faire varier les paramètres Cliquer avec le bouton droit de la souris sur le point noir du curseur. En gardant le bouton droit enfoncé, on peut faire glisser vers la gauche ou vers la droite, la main qui apparaît. Le graphique s’adapte automatiquement suivant les valeurs du curseur.

Visualiser le déplacement d’une tangente le long d’une courbe Le logiciel GeoGebra permet de visualiser la « promenade » (chap. 7, expl. 2) d’une tangente le long du graphique d’une fonction. Créer un curseur de nom « a » en suivant la procédure détaillée (voir point 1 page précédente). Pour introduire les fonctions dans la zone de saisie, il faut respecter les indications suivantes : – pour indiquer un nombre décimal, utiliser le point ; – pour indiquer une multiplication, laisser un espace entre les facteurs ; – pour une puissance, taper ^ (il n’apparaît pas à l’écran) suivi de l’exposant. Dans la zone de saisie (en bas de l’écran), – introduire la fonction à visualiser, par exemple f (x) = 0,1x3 – 2x + 1, sous la forme f(x) = 0.1 x^3-2 x+1 puis valider par « enter » ; – introduire ensuite la fonction dérivée, ici f ′(x) = 0,3x2 – 2 en suivant les indications données ci-dessus, puis valider ; – introduire enfin l’équation de la tangente en a : y = f (a) + f ′(a) ⋅ (x – a) puis valider. En faisant varier le curseur (voir point 3 ci-dessus), on voit la tangente se déplacer le long du graphique en suivant sa courbure.

Annexe 2

451

Remarque En cliquant sur la courbe avec le bouton droit de la souris, on peut modifier ses propriĂŠtĂŠs, notamment sa couleur.

452

Annexes

index A accélération 198 amplitude 167 angle (de deux vecteurs) 300, 318 Al Kashi 161, 301 application linéaire 337 approximation affine 230 Archimède 36, 75, 78, 355 Âryabhata 74 asymptote horizontale 96, 126, 128 oblique 126, 127, 128 verticale 95, 126, 128

B Berkeley 90 Bernoulli 36 Bolzano 147, 154

C Cantor 71, 78, 84 Carnot (formules de ~) 173 carré scalaire 299 Cauchy 71, 90, 127, 146, 317, 325 Cayley 325 Chasles (relation de ~) 315 cofacteur 340 composantes d’un vecteur 312, 316 composée de fonctions 20, 120, 211 concavité 216 condition nécessaire et suffisante 258 continuité 150-155, 207 convergente (suite) 50, 92 coordonnées 310, 314 coût (fonction) 5 Cramer 325, 388 critères d’orthogonalité 282, 284, 285 de parallélisme 259, 260

D débit (instantané) 219 décalage vertical 167

décimal illimité 81 décomposition de fonctions 21 Dedekind 71 démonstration par l’absurde 258 déphasage 167, 168 dérivation (formules) 206, 208 dérivée 198 dérivée seconde 202, 216 Descartes 161, 355 déterminant 331, 339, 361 propriétés 341 distance d’un point à une droite 287, 363, 376 d’un point à un plan 287, 376 entre deux points 318 entre deux réels 82 domaine de définition 9 droites 251 coplanaires 253 équations cartésiennes 365, 367 équations paramétriques 365, 367 équation vectorielle 364 gauches 246, 253 orthogonales 281

E Eisenstein 325 encadrement 82, 116 équation(s) de tangente 205 linéaires 392 matricielle d’un système 396 trigonométrique 166, 174-179 Euclide 70, 72 Euler 146, 388 extremum 214

F Fermat 71, 355 Fibonacci 37, 62 fonction(s) (dé)croissante 10, 11, 215 comparaison 12 composée de ~ 20, 120, 211 Index

453

continue 150 décomposition de ~ 21 (non) dérivable 200, 205, 207, 212 dérivée 198, 205 égales 12 homographique 6, 18 (im)paire 9, 10 produit de ~ 16, 119, 208 quotient de ~ 17, 119, 209 rationnelle 100, 122-124, 128 somme de ~ 16, 118, 208 trigonométrique 160, 171, 206 forme indéterminée 118, 119. formule(s) d’addition 165, 172 de Carnot 173 de Cauchy 127 de Cramer 401 de duplication 165, 173 de Simpson 174 Fourier 161 fréquence 167

G Galois 71 Gauss 325, 388, 397 Grassmann 309 groupe (commutatif) 83, 315

H Hamilton 293, 309 Héron d’Alexandrie 36, 86, 87 Hipparque 160 hyperbole 18

I inégalité de Cauchy-Schwarz 317 inéquation trigonométrique 180 infiniment petits 193 intérêts composés 160 intersection (de plans) 257 intervalles emboîtés 78, 80

L Lagrange 36, 193, 213, 356 Leibniz 2, 71, 90, 192, 325 Leontief 418 454

Index

L’Hospital 203, 217 limite 108 à gauche, à droite 93, 108, 115 de fonctions trigonométriques 163, 171 définition formelle 98, 112 d’une suite 43, 50 en l’infini 109, 114 en un réel 106, 112-114 opérations 118-120 longueur d’un segment 287

M matrice(s) 324, 334 adjointe 342 carrée 338 d’un système 396 échelonnée 397 inverse 331, 343 opérations sur les ~ 334, 335 régulière 344 singulière 344 transposée 337 unité 338 maximum 214 Maxwell 309 méthode de Cramer 401 de Gauss 325, 397 de Newton-Raphson 231 de substitution 393 des cofacteurs 340 milieu d’un segment 316 mineur d’une matrice 340 minimum 214 modélisation 28, 219 Monge 356 mouvement harmonique 167

N Newton 36, 71, 90, 192 nombre décimal illimité 81 dérivé 204 d’or 64, 89 entier 80 irrationnel 80, 81 naturel 80 rationnel 80, 81 réel 77-79 norme d’un vecteur 299, 315

O optimisation 219 Oresme 355 orthogonalité 276, 281, 362, 375, 376

P parallélisme 254, 255, 259, 362, 375, 376 pente de la tangente 204 période 167 perpendiculaire commune 286 perpendicularité 277, 281 perspective parallèle 245, 263 plan(s) équation cartésienne 369-374 équations paramétriques 368 équation vectorielle 367 médiateur 288 parallèles, sécants 255, 256, 260 perpendiculaires 285 point(s) anguleux 212 colinéaires (alignés) 316 coplanaires 316 de percée 249, 264 de rebroussement 212 d’inflexion 216 vide 128 polyèdre 265 produit de fonctions 16, 119, 208 scalaire 292, 298, 317 de matrices 335 profit marginal 5 Ptolémée 160, 182 Pythagore 70

Q Quételet 387 quotient de fonctions 17, 119, 209

R racine d’une fonction 9 raison d’une suite 45, 47 règle de Cramer 401 de L’Hospital 203, 217 de Sarrus 340

des cofacteurs 341 du binôme conjugué 125 repère (orthonormé) 310 Rolle 214

S sécante 195, 204 section plane 265 série harmonique 43 Simpson (formules de ~) somme de matrices 334 de fonctions 16, 118, 208 suite 44 arithmétique 45 convergente 50, 92 géométrique 47 limite d’une ~ 50 majorée 78 minorée 78 Sylvester 325 symbole de sommation 46, 49, 51 système(s) d’équations linéaires 392 d’équations paramétriques 365, 368 de Cramer 399 discussion de ~ 405 équivalents 392 interprétation géométrique de ~ 402, 403

T tangente à une courbe 195, 205 taux de variation 194, 204 terme d’une matrice 334 d’une suite 44 Thalès 262 théorème d’Al Kashi 301 de Lagrange (accroissements finis) 213 de Rolle 214 des valeurs intermédiaires 154 de Thalès 262 du sandwich 116 transformation(s) de fonctions 14 de l’espace 330 du plan 328, 329 linéaires 337 Index

455

travail d’une force 294 trièdre 311

V valeur absolue 82 variation 194, 204, 215 vecteur(s) composantes 312, 316 directeur 364, 367 égaux 315 normal à un plan 372

456

Index

norme d’un ~ 315 orthogonaux 301 parallèles 316 vitesse angulaire 167 instantanée 197 moyenne 197

W Weierstrass 71, 90, 135

s e r è i t a m s e d e l b ta Avant-propos

Comment s’y prendre ? 1.

VIII

Fonctions et graphiques

Introduction

Exploration

Synthèse

Qu’est-ce qu’une fonction ? Quel vocabulaire utilise-t-on pour décrire une fonction ?

Définition 1.1 – Fonction

Définition 1.2 – Domaine de définition

Définition 1.3 – Racine d’une fonction

Définition 1.4 – Fonction paire

Définition 1.5 – Fonction impaire

Définition 1.6 – Fonction croissante

Définition 1.7 – Fonction strictement croissante

Définition 1.8 – Fonction décroissante

Définition 1.9 – Fonction strictement décroissante

Comment comparer des fonctions à partir de leurs graphiques ?

Définition 1.10 – Fonctions égales

Comment associer une modification de l’expression analytique à une transformation graphique ?

Comment additionner, multiplier ou diviser deux fonctions ?

Définition 1.11 – Somme de deux fonctions

Définition 1.12 – Produit de deux fonctions

Définition 1.13 – Quotient de deux fonctions

Qu’est-ce qu’une fonction homographique ?

Comment composer des fonctions ?

Définition 1.14 – Composée de deux fonctions

Comment décomposer une fonction ?

Exercices

Expliciter les savoirs et les procédures

Appliquer une procédure Résoudre un problème

23 27

2. 3. 4.

Table des matières

457

Suites

Introduction

Exploration

Synthèse

Qu’est-ce qu’une suite ?

Comment définir une suite en utilisant la notion de fonction ? Définition 2.1 – Suite numérique

44 44

Définition 2.2 – Terme et indice

Comment reconnaître une suite arithmétique et utiliser les notations appropriées ? Définition 2.3 – Suite arithmétique

45 45

Comment représenter (ou reconnaître) une suite arithmétique dans un repère cartésien ?

Quelles sont les formules les plus utiles pour les suites arithmétiques ?

Comment calculer rapidement la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ?

Comment reconnaître une suite géométrique et utiliser les notations appropriées ? Définition 2.4 – Suite géométrique

47 47

Comment représenter une suite géométrique de raison positive dans un repère cartésien ?

Quelles sont les formules les plus utiles pour les suites géométriques ?

10. Comment calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ?

11. Quelle est la limite d’une suite ? Définition 2.5 – Limite d’une suite

50 50

12. Comment calculer la somme de tous les termes d’une suite ?

458

Exercices

Expliciter les savoirs et les procédures

Appliquer une procédure

Résoudre un problème

Propriétés fondamentales des nombres réels

Introduction

Exploration

Synthèse

Quels sont les axiomes des nombres réels ? Axiomes de l’addition

77 77

Axiomes de la multiplication

Axiomes de la relation d’ordre ≤

Axiome d’Archimède

Axiome des intervalles emboîtés (Cantor)

Table des matières

Quelle est la portée de l’axiome des intervalles emboîtés ? Théorème 3.1 – Propriété des intervalles emboîtés

80 80

Quels sont les sous-ensembles de l’ensemble des nombres réels ?

Comment caractériser l’écriture décimale d’un nombre rationnel ou d’un nombre irrationnel ?

Comment déterminer un encadrement d’une somme ou d’un produit ?

Qu’est-ce que la valeur absolue ? Quelles sont ses propriétés ? Définition 3.1 – Valeur absolue

82 82

Qu’est-ce qu’un groupe ? Définition 3.2 – Groupe

Définition 3.3 – Groupe commutatif

Dénombrable ou continu ?

Exercices

Expliciter les savoirs et les procédures

Appliquer une procédure

Résoudre un problème

Limites et asymptotes

Introduction

Exploration

Synthèse

106

Comment cerner la notion de limite en un réel ?

106

Qu’est-ce que la « limite à droite » et la « limite à gauche » d’une fonction en un réel ?

108

Comment découvrir la limite d’une fonction en l’infini ?

109

La variable d’une fonction peut-elle tendre vers n’importe quel nombre réel ou n’importe quel élément infini ? Définition 4.1 – Adhérence d’un réel à un ensemble

110 110

Définition 4.2 – Ensemble majoré

111

Définition 4.3 – Ensemble minoré

111

Comment définir les limites ? Définition 4.4 – Limite réelle en un réel

112 112

Définition 4.5 – Limite égale à + ∞ en un réel

113

Définition 4.6 – Limite égale à - ∞ en un réel

114

Définition 4.7 – Limite réelle en + ∞

114

Définition 4.8 – Limite réelle en - ∞

115

Une limite est-elle toujours unique ? Théorème 4.1 – Unicité de la limite

115 115

Table des matières

459

115 115

Définition 4.10 – Limite à droite, cas réel

115

Théorème 4.2 – Limites à gauche et à droite distinctes

116

Comment déterminer une limite par encadrement ou comparaison ? Théorème 4.3 – Théorème du sandwich

116 116

Théorème 4.4 – Théorème de comparaison

117

Quelles sont les règles de calcul dans R et leurs applications aux limites ? Théorème 4.5 – Limite d’une somme

118 118

Théorème 4.6 – Limite d’un produit

119

Théorème 4.7 – Limite d’un quotient

120

Théorème 4.8 – Limite d’une fonction composée

120

10. Comment calculer les limites d’une fonction polynôme ? Théorème 4.9 – Limite en l’infini d’une fonction polynôme

121 121

11. Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle en un réel a ?

122

12. Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle en + ∞ ou en – ∞ ?

124

13. Comment utiliser la règle du binôme conjugué pour lever une indétermination ?

125

14. Comment définir une asymptote au graphique d’une fonction ? Définition 4.11 – Asymptotes

126 126

15. Comment déterminer l’équation de l’asymptote oblique d’une fonction à partir de son expression analytique ? Théorème 4.10 – Formules de Cauchy

127 127

16. Comment déterminer en pratique les asymptotes d’une fonction polynôme ou rationnelle ?

128

460

Comment transformer les définitions des limites en un réel pour obtenir celles des limites à gauche et à droite ? Définition 4.9 – Limite à gauche, cas réel

Exercices

130

Expliciter les savoirs et les procédures

130

Appliquer une procédure

136

Résoudre un problème

142

Continuité

146

Introduction

146

Exploration

148

Synthèse

150

Qu’appelle-t-on fonction continue en un réel ? Définition 5.1 – Continuité en un réel

150 150

Comment vérifier qu’une fonction est continue ?

150

Table des matières

Théorème 5.1 – Critère de continuité

151

Qu’est-ce que la continuité d’une fonction sur un ensemble de réels ? Définition 5.2 – Continuité sur un ensemble

151 151

Qu’est-ce qu’une fonction partout continue ? Définition 5.3 – Fonction partout continue

152 152

Qu’est-ce que la continuité à gauche et la continuité à droite ? Définition 5.4

152 152

Définition 5.5

153

Quels sont les théorèmes principaux concernant la continuité ? Théorème 5.2 – Théorème des valeurs intermédiaires

154 154

Théorème 5.3 – Théorème de Bolzano

154

L’image d’un intervalle fermé par une fonction est-elle un intervalle fermé ? Théorème 5.4 – Image d’un intervalle fermé

155 155

Exercices

156

Expliciter les savoirs et les procédures

156

Appliquer une procédure

157

Résoudre un problème

158

Des fonctions trigonométriques aux équations

160

Introduction

160

Exploration

162

Synthèse

167

Quelles sont les caractéristiques de la fonction A sin (w t + j) + b ?

167

Comment calculer les différents paramètres de la fonction f (t) = A sin (w t + j) + b et les repérer sur le graphique ?

168

Comment construire le graphique de f (x) = a sin (m x + p) + b à partir du graphique de la fonction g (x) = sin x ?

169

Quelles sont les limites des fonctions trigonométriques ?

171

Comment exprimer le sinus, le cosinus et la tangente d’une somme ou d’une différence de deux angles ? (formules d’addition)

172

Comment exprimer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle double ? (formules de duplication)

173

Comment exprimer le carré d’un sinus ou d’un cosinus en fonction du cosinus de l’angle double ? (formules de Carnot)

173

Comment exprimer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle en fonction de la tangente de l’angle demi ? (formules en tangente de l’angle demi)

173

Comment transformer un produit de nombres trigonométriques en une somme ou une différence ?

173

6. 7. 8. 9.

Table des matières

461

10. Comment transformer une somme ou une différence de nombres trigonométriques en un produit ? (formules de Simpson)

174

11. Comment résoudre une équation trigonométrique élémentaire ?

174

12. Comment utiliser les formules trigonométriques pour résoudre une équation ?

176

13. Comment résoudre une équation réductible au second degré ?

177

14. Comment résoudre une équation homogène en sin x et cos x ?

178

15. Comment résoudre l’équation a cos x + b sin x = c (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) ?

179

16. Comment résoudre une inéquation trigonométrique ?

180

462

Exercices

181

Expliciter les savoirs et les procédures

181

Appliquer une procédure

183

Résoudre un problème

189

Dérivées et applications

192

Introduction

192

Exploration

194

Synthèse

204

Comment calculer la variation et le taux de variation d’une fonction entre deux points ?

204

Comment définir le nombre dérivé d’une fonction en un réel ? Définition 7.1 – Fonction dérivable

204 205

Définition 7.2 – Nombre dérivé

205

Comment écrire l’équation d’une tangente ? Comment la tracer ?

205

Comment définir la fonction dérivée d’une fonction f ? Définition 7.3 – Domaine de dérivabilité

205 205

Définition 7.4 – Fonction dérivée

206

Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles ?

206

Quel lien y a-t-il entre dérivabilité et continuité ? Théorème 7.1 – Dérivabilité et continuité

207 207

Comment dériver la somme, le produit, le quotient de fonctions ? Théorème 7.2 – Dérivée d’une somme

208 208

Théorème 7.3 – Dérivée d’un produit

208

Théorème 7.4 – Dérivée d’un quotient

209

Comment dériver les fonctions composées ? Théorème 7.5 – Dérivée de la composée de fonctions

211 211

En quels points une fonction peut-elle être non dérivable ? Définition 7.5 – Tangente verticale

212 212

Table des matières

Définition 7.6 – Point de rebroussement

213

Définition 7.7 – Point anguleux

213

10. Peut-on trouver une tangente parallèle à une sécante donnée ? Théorème 7.6 – Théorème de Lagrange

213 213

Théorème 7.7 – Théorème de Rolle

214

11. Qu’est-ce qu’un maximum ou un minimum local d’une fonction ? Définition 7.8 – Maximum local

214 214

Définition 7.9 – Minimum local

215

12. Quel est le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée ? Théorème 7.8 – Lien entre signe de la dérivée et croissance

215 215

13. Qu’est-ce que la concavité d’une fonction ? Comment la déterminer ? Définition 7.10 – Concavité tournée vers le haut

216 216

Définition 7.11 – Concavité tournée vers le bas

216

Définition 7.12 – Point d’inflexion

216

14. Comment calculer une limite en utilisant les dérivées ? Théorème 7.9 – Règle de L’Hospital (1re forme)

217 217

Théorème 7.10 – Règle de L’Hospital (2e forme)

217

15. Quelles sont les situations que l’on modélise par un calcul de dérivée ?

219

Exercices

220

Expliciter les savoirs et les procédures

220

Appliquer une procédure

225

Résoudre un problème

235

Parallélisme et incidence dans l’espace

244

Introduction

244

Exploration

246

Synthèse

251

Comment caractériser et représenter un plan de l’espace ? Une droite de l’espace ? Axiome 8.1

251 251

Axiome 8.2

251

Axiome 8.3

251

Axiome 8.4

251

Axiome 8.5

251

Axiome 8.6

251

Théorème 8.1 – Caractérisation d’un plan

251

Quelles sont les positions relatives de deux droites ? Définition 8.1 – Droites gauches

253 253

Table des matières

463

Théorème 8.2

253

Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un plan ? Définition 8.2 – Droite et plan parallèles

254 254

Définition 8.3 – Droite sécante à un plan

254

Théorème 8.3 – Positions relatives d’une droite et d’un plan

254

Quelles sont les positions relatives de deux plans ? Définition 8.4 – Plans parallèles

255 255

Définition 8.5 – Plans sécants

255

Théorème 8.4

255

Théorème 8.5

256

Théorème 8.6

256

Théorème 8.7

256

Quelles sont les positions relatives de trois plans ? Théorème 8.8

257 257

Qu’est-ce qu’une condition nécessaire et/ou suffisante ?

258

Quelles sont les propriétés liées au parallélisme dans l’espace ? Théorème 8.10 – Critère de parallélisme d’une droite et d’un plan

259 259

Théorème 8.11 – Critère de parallélisme de deux plans

260

Que devient le théorème de Thalès dans l’espace ?

262

Quelles sont les propriétés de la perspective parallèle ?

263

10. Comment déterminer le point de percée d’une droite dans un plan ?

264

11. Comment déterminer l’intersection de deux plans ?

264

12. Comment déterminer la section d’un polyèdre par un plan ?

265

464

Exercices

266

Expliciter les savoirs et les procédures

266

Appliquer une procédure

268

Résoudre un problème

270

Orthogonalité dans l’espace

276

Introduction

276

Exploration

278

Synthèse

281

Qu’appelle-t-on droites orthogonales dans l’espace ?

281

Comment définir la perpendicularité entre une droite et un plan ? Comment la vérifier ? Définition 9.1 – Droites orthogonales

281 281

Définition 9.2 – Droite perpendiculaire à un plan

281

Table des matières

Théorème 9.1 – Critère de perpendicularité d’une droite et d’un plan

282

Comment vérifier que deux droites sont orthogonales ? Théorème 9.2 – Critère d’orthogonalité de deux droites

284 284

Comment définir la perpendicularité entre deux plans ? Comment la vérifier ? Définition 9.3 – Plans perpendiculaires

285 285

Théorème 9.3 – Critère de perpendicularité de deux plans

285

Comment construire une perpendiculaire commune à deux droites gauches et montrer qu’elle est unique ? 286 Théorème 9.4 286

Comment définir la distance d’un point à un plan ? d’un point à une droite ? Définition 9.4 – Distance d’un point à un plan

287 287

Définition 9.5 – Distance d’un point à une droite

287

Définition 9.6 – Distance entre deux droites gauches

287

Quel est le lieu des points équidistants de deux points donnés ? Théorème 9.5

288 288

Définition 9.7 – Plan médiateur

288

Exercices

289

Expliciter les savoirs et les procédures

289

Appliquer une procédure

290

Résoudre un problème

290

10. Produit scalaire dans le plan

292

Introduction

292

Exploration

294

Synthèse

298

Qu’est-ce que le produit scalaire de deux vecteurs ? Définition 10.1 – Produit scalaire

298 298

Quelles sont les propriétés du produit scalaire ? Théorème 10.1 – Produit scalaire et projection orthogonale

299 299

Théorème 10.2 – Propriétés du produit scalaire

299

Comment calculer un produit scalaire en fonction des composantes des vecteurs dans un repère orthonormé ? Théorème 10.3 – Produit scalaire dans un repère orthonormé

300 300

Comment calculer l’angle entre deux vecteurs ? Théorème 10.4 – Cosinus de l’angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé

300 300

Comment définir l’orthogonalité de vecteurs ? Définition 10.2 – Vecteurs orthogonaux

301 301

Table des matières

465

Comment exprimer le théorème d’Al Kashi en utilisant le produit scalaire ?

301

Exercices

302

Expliciter les savoirs et les procédures

302

Appliquer une procédure

303

Résoudre un problème

304

11. Calcul vectoriel dans l’espace Introduction

308

Exploration

310

Synthèse

314

Comment repérer un point dans l’espace ?

314

Comment caractériser les vecteurs de l’espace ? Définition 11.1 – Norme d'un vecteur

315 315

Choix arbitraire de l’origine d’un vecteur

315

Définition 11.2 – Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles

315

Groupe commutatif (V ; +)

315

Définition 11.3 – Produit d’un vecteur par un réel

315

Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel

316

Définition 11.4 – Vecteurs parallèles

316

Points alignés et points coplanaires

316

Comment calculer et utiliser les composantes d’un vecteur de l’espace dans un repère ?

316

Comment définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace ? Définition 11.4 – Produit scalaire

317 317

Produit scalaire dans un repère orthonormé de l’espace

317

Propriétés du produit scalaire

317

Comment calculer la norme d’un vecteur, la distance entre deux points dans un repère orthonormé ? Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé de l’espace

318 318

Comment calculer l’angle entre deux vecteurs ? Cosinus de l’angle entre deux vecteurs de l’espace dans un repère orthonormé

318 318

Comment vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux ? Vecteurs orthogonaux dans un repère orthonormé de l’espace

318 318

Exercices

319

Expliciter les savoirs et les procédures

319

Appliquer une procédure

320

Résoudre un problème

322

466

308

Table des matières

12. Calcul matriciel

324

Introduction

324

Exploration

326

Synthèse

334

Qu’est-ce qu’une matrice ?

334

Comment additionner deux matrices ? Définition 12.1 – Matrice de genre p × n

334 334

Définition 12.2 – Somme de deux matrices

335

Comment multiplier une matrice par un réel ? Définition 12.3 – Produit d’une matrice par un réel

335 335

Comment effectuer le produit de deux matrices ? Définition 12.4 – Produit de deux matrices

335 336

Qu’est-ce que la transposée d’une matrice ? Définition12.5 – Transposée d’une matrice

337 337

Qu’est-ce qu’une application linéaire ?

337

Qu’est-ce que la matrice des coefficients d’une application linéaire ?

338

Qu’est-ce qu’une matrice carrée ?

338

Qu’appelle-t-on matrice unité ? Définition 12.6 – Matrice unité

338 338

10. Qu’est-ce que le déterminant d’une matrice carrée ? Comment le calculer ? Définition 12.8 – Mineur et cofacteur

339 340

Déterminant et cofacteurs

341

11. Quelles sont les propriétés des déterminants ?

341

12. Qu’est-ce que l’adjointe d’une matrice carrée ? Définition 12.9 – Matrice adjointe

342 342

13. Qu’est-ce que la matrice inverse d’une matrice carrée ? Comment la déterminer ? Définition 12.10 – Matrice inverse

343 343

Exercices

345

Expliciter les savoirs et les procédures

345

Appliquer une procédure

346

Résoudre un problème

350

13. Géométrie analytique de l’espace

356

Introduction

356

Exploration

358

Synthèse

364

Table des matières

467

Qu’est-ce qu’une équation vectorielle d’une droite de l’espace ? Comment la déterminer ? Définition 13.1 – Vecteur directeur d’une droite

364 364

Comment déterminer un système d’équations paramétriques d’une droite ?

365

Comment déterminer des équations cartésiennes d’une droite ?

365

Comment écrire des équations paramétriques d’une droite dont on connaît des équations cartésiennes ?

367

Qu’est-ce qu’une équation vectorielle d’un plan de l’espace ? Définition 13.2 – Vecteurs directeurs d’un plan

367 367

Comment déterminer un système d’équations paramétriques d’un plan ?

368

Comment déterminer une équation cartésienne d’un plan dont on connaît un système d’équations paramétriques ?

369

Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan à l’aide d’un déterminant ?

370

Qu’appelle-t-on forme canonique de l’équation cartésienne d’un plan ?

371

10. Qu’est-ce qu’un vecteur normal à un plan ? Définition 13.3

372 372

11. Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ? Théorème 13.1

372 373

Théorème 13.2 12. Comment représenter un plan dont on connaît l’équation cartésienne ?

374

13. Comment traduire le parallélisme ?

375

14. Comment traduire la perpendicularité ou l’orthogonalité ?

375

15. Comment reconnaître le parallélisme ou la perpendicularité de plans à partir de leurs équations cartésiennes ?

376

16. Comment calculer la distance d’un point à un plan ou à une droite ?

376

Exercices

377

Expliciter les savoirs et les procédures

377

Appliquer une procédure

378

Résoudre un problème

382

14. Systèmes d’équations

388

2. 468

373

Introduction

388

Exploration

390

Synthèse

392

Qu’est-ce qu’un système d’équations linéaires ? Définition 14.1 – Solution d’un système

392 392

Définition 14.2 – Systèmes équivalents

392

Comment résoudre un système d’équations par la méthode de substitution ?

393

Table des matières

Comment remplacer un système de p équations à n inconnues par une équation matricielle ?

396

Comment résoudre un système de trois équations par la méthode de Gauss ?

397

Qu’est-ce qu’un système de Cramer ? Définition 14.3 – Système de Cramer

399 399

Comment résoudre un système par la règle de Cramer ?

401

Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de deux équations à deux inconnues ?

402

Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de trois équations à trois inconnues ?

403

Comment discuter un système ?

405

Exercices

408

Expliciter les savoirs et les procédures

408

Appliquer une procédure

409

Résoudre un problème

413

8. 9.

Annexes

419

Index

453

Table des matières

469