Leçons de physique by Groupe De Boeck

Lagoute

Pujol

Desmeules

Lagoute

Pérez Pujol

Desmeules

Les auteurs

Une approche pédagogique Toutes les leçons sont illustrées par des exemples concrets, dans lesquels les ordres de grandeurs sont précisés. Elles sont prolongées par des travaux dirigés, constitués de questions de cours, d'exercices et de problèmes. Elles se terminent souvent par des ouvertures, ce qui permet de souligner l'actualité de certains sujets et surtout d'aborder des éléments de physique moderne, notamment la relativité, la quantique et la physique statistique.

José-Philippe Pérez, Agrégé, Docteur ès-sciences, Professeur émérite de l'Université de Toulouse, UPS-IRAP. Christophe Lagoute, Agrégé, Docteur en physique, Professeur au lycée Bellevue de Toulouse. Olivier Pujol, Agrégé, Docteur en physique, Maître de conférence à l'Université de Lille, LOA. Eric Desmeules, Agrégé, Professeur en Classes Préparatoires MP au lycée Bellevue de Toulouse.

Conception graphique : Primo&Primo® illu : © D.R.

a Cours de physique découpés en leçons structurées, quasi autonomes, comportant une introduction, un développement à base expérimentale, avec des exemples concrets et des ordres de grandeurs, et une conclusion. a Des travaux dirigés se présentant sous forme de questions de cours, d'exercices et de problèmes, tous corrigés en détail. a Des ouvertures sur la physique moderne. a Les outils mathématiques de base juste nécessaires.

ISBN : 978-2-8041-6226-9

9 782804 162269 PREPAPHY1

www.deboeck.com

Pujol

Leçons de physique une approche moderne

une approche moderne

L'ouvrage rassemble, dans un seul volume, l'essentiel de la physique enseignée en premier cycle universitaire, sous la forme de 44 leçons, ce qui permet de traiter l'ensemble des disciplines de la physique de base : mécanique, circuits électriques, optique géométrique, thermodynamique, électromagnétisme en régime stationnaire…

Cet ouvrage, qui peut être considéré comme un développement de quelque 1500 pages de "Physique, une introduction", se veut autonome, clair et efficace. Aussi le rappel à des formules éloignées est-il inexistant, les solutions des problèmes suffisamment détaillées et les outils mathématiques juste nécessaires.

Pérez

44 leçons couvrant une bonne partie du premier cycle universitaire

Leçons de physique

une approche moderne

Leçons de physique

Desmeules

Pérez

Lagoute

PREPAPHY 2013 PEREZ-202 x 265_chimie_atkins 12/07/13 10:35 Page1

Sommaire Avant-propos Constantes, notations et symboles Les grands noms de la physique en CPGE 1ère année Leçons 1. Qu'est-ce que la physique? I. Unité et dimensions II. Constantes fondamentales de la physique III. Les quatre interactions fondamentales 2. Cinématique du point I. Cadre spatio-temporel de la cinématique II. Vitesse et accélération d'un mobile ponctuel III. Ouvertures 3. Dynamique du point matériel I. Force II. Loi fondamentale de la dynamique III. Première loi de Newton ou principe de l'inertie IV. Exemples d'application V. Ouvertures 4. Énergétique d'un point matériel I. Énergie cinétique d'un point matériel II. Puissance et travail d'une force III. Théorème de l'énergie cinétique IV. Énergie potentielle V. Énergie mécanique d'un point matériel VI. Ouvertures 5. Lois de l'électrocinétique I. Régimes stationnaire et quasi stationnaire II. Tension et courant électriques III. Dipôles électrocinétiques IV. Dipôles linéaires et dipôles non linéaires V. Lois de Kirchhoff 6. Circuits linéaires I. Systèmes linéaires II. Association de dipôles linéaires passifs III. Générateurs IV. Théorème de Millman V. Aspects énergétiques dans un circuit RLC VI. Ouvertures 7. Oscillateur harmonique. Amortissement visqueux I. Oscillateur harmonique II. Influence d'un amortissement visqueux

III. Applications 8. Régimes transitoires I. Réponse à un échelon de tension II. Circuit électrique RC III. Circuit électrique RL IV. Circuit RLC série V. Applications 9. Bases de l'optique géométrique I. Aspect ondulatoire de la lumière II. Approximation de l'optique géométrique III. Lois de Snell-Descartes IV. Applications des lois de Snell-Descartes V. Ouvertures 10. Formation des images géométriques I. Image en optique géométrique II. Stigmatisme approché, approximations de Gauss III. Systèmes centrés focaux ou afocaux IV. Aberrations V. Ouvertures 11. Lentilles minces I. Lentilles II. Constructions géométriques III. Relations de conjugaison et grandissements IV. Aberrations V. Ouvertures 12. Miroirs sphériques I. Propriétés générales II. Relations de conjugaison et grandissements III. Télescopes réflecteurs et cavités optiques IV. Ouvertures 13. TP-cours: Sources et détecteurs I. Source de lumière II. L'œil III. Ouvertures 14. TP-cours (PSCI): Instrumentation optique I. Lentilles et miroirs II. Projection d'images III. Instrumentation usuelle IV. Ouvertures 15. Circuit RLC série en régime sinusoïdal. Résonance I. Signaux sinusoïdaux en électricité II. Oscillations électriques forcées. Résonance III. Excitation d'amplitude déterminée IV. Applications

16. Circuits en régime sinusoïdal I. Impédance et admittance complexes II. Lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal III. Puissance en régime sinusoïdal 17. TP-cours: Instrumentation électrique I. Signaux usuels II. Sources électriques usuelles III. Oscilloscope IV. Multimètres V. Ouvertures 18. TP-cours (PCSI): Amplificateur opérationnel I. Description et fonctionnement (PCSI, PTSI) II. Montagnes d'AO en régime de saturation (PSCI, PTSI) III. Montagnes d'AO en régime linéaire IV. Ouvertures 19. Fonction de transfert des filtres I. Fonction de transfert d'un filtre II. Classification des filtres III. Filtres passifs IV. Filtres actifs 20. TP-cours (PCSI): Redressement et modulation I. Caractéristique courant-tension d'une diode II. Redressement III. Modulation et démodulation d'amplitude 21. Critère de stabilité (PCSI) I. Stabilité et instabilité II. Systèmes linéaires du premier ordre III. Systèmes du deuxième ordre 22. Théorème du moment cinétique pour un point matériel I. Moment cinétique d'un point matériel II. Moment d'une force en un point III. Théorème du moment cinétique IV. Pendule circulaire V. Ouvertures 23. Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives I. Champ de forces centrales conservatives II. Mouvements à force centrale conservative III. Analyse préalable du mouvement de Kepler IV. Trajectoire dans le problème de Kepler (PCSI, MPSI) V. Étude directe des trajectoires circulaires VI. Ouvertures 24. Changement de référentiels. Force d'inertie I. Différents mouvements d'un repère II. Changements de référentiel en cinématique galiléenne

III. Composition des vitesses IV. Composition des accélérations V. Relativité galiléenne VI. Forces d'inertie VII. Ouvertures 25. Système de deux points matériels (PCSI, MPSI) I. Éléments cinétiques du système II. Référentiel du centre de masse III. Théorèmes fondamentaux IV. Aspects énergétiques V. Système isolé de deux points matériels VI. Ouvertures 26. Référentiels galiléens approchés I. Différentiels référentiels galiléens approchés II. Dynamique terrestre III. Marées (PCSI) IV. Ouvertures 27. Introduction à la thermodynamique I. Description d'un système en thermodynamique II. Échange d'énergie par travail III. État stationnaire et état d'équilibre IV. Grandeurs extensives et intensives 28. Gaz parfaits: approche microscopique I. Mouvement brownien II. Hypothèses microscopiques et lois statistiques III. Pression et température cinétique IV. Énergie interne d'un gaz parfait V. Ouvertures 29. Fluides réels I. Étude expérimentale des gaz réels II. Le modèle de Van der Waals III. Phases condensées IV. Ouvertures 30. Statistique des fluides I. Pression dans un fluide au repos II. Fluides compressibles et homogènes III. Gaz parfait dans le champ de pesanteur IV. Actions exercées par les fluides au repos V. Ouvertures 31. Premier principe de la thermodynamique I. Énoncé du premier. Énergie interne II. Transferts d'énergie III. Enthalpie. Détente de Joule et Thomson£ IV. Mesures calorimétriques V. Ouvertures

32. Deuxième principe de la thermodynamique I. Évolutions irréversibles II. Deuxième principe III. Énoncés historiques du deuxième principe IV. Relation fondamentale de la thermodynamique V. Entropie d'un gaz VI. Création d'entropie dans une phase gazeuse VII. Entropie d'une phase condensée VIII. Ouvertures 33. Entropie statistique. Troisième principe I. État macroscopique et état microscopique (PCSI) II. Entropie statistique (PCSI) III. Troisième principe IV. Ouvertures 34. Corps pur diphasé I. Approche expérimentale II. Diagrammes d'équilibre III. Aspects énergétique et entropique (PCSI) IV. Équilibre liquide-vapeur V. Ouvertures 35. Machines thermiques I. Machine thermique ditherme II. Machines thermiques réelles III. Ouvertures 36. Champ et potentiel électrostatique I. L'interaction coulombienne II. Champ électrostatique III. Potentiel électrostatique IV. Énergie d'un système de deux charges V. Champ, potentiel et énergie de gravitation VI. Ouvertures 37. Symétries en électrostatique I. Symétries des charges et conséquences II. Invariances des distributions de charge III. Utilisation des symétries IV. Ouvertures 38. Théorème de Gauss. Applications I. Théorème de Gauss II. Détermination de champs électrostatiques III. Condensateur (PCSI, PTSI) IV. Analogie gravitationnelle V. Ouvertures 39. Dipôles électrostatiques (PCSI, MPSI) I. Moment dipolaire II. Potentiel et champ

III. Dipôle dans un champ extérieur IV. Ouvertures 40. Particules chargées dans des champs électromagnétiques I. Champ magnétique II. Particule chargée dans un champ électrique III. Particule dans un champ magnétique IV. Ouvertures 41. Particules chargées dans un conducteur I. Mouvement d'une charge dans un conducteur II. Loi d'Ohm (PCSI, PTSI) III. Effet HALL (PCSI, PTSI) IV. Force de Laplace (PCSI) V. Ouvertures 42. Loi de Biot et Savart. Symétries du champ magnétique I. Sources du champ magnétique II. Symétries des courants et conséquences III. Influence des invariances des sources IV. Calculs de champs magnétiques V. Ouvertures 43. Propriétés du champ magnétique I. Conservation du flux du champ magnétique II. Théorème d'ampère III. Calculs de champs par le théorème d'ampère IV. Ouvertures 44. Dipôle magnétique (PCSI) I. Moment d'un dipôle magnétique II. Champ produit par un dipôle magnétique III. Exemples de dipôles magnétiques IV. Actions d'un champ magnétique extérieur V. Bilan comparatif des champs E et B statiques VI. Ouvertures Outils mathématiques 1. Opérations sur les vecteurs I. Base directe et base indirecte II. Produit scalaire III. Produit vectoriel IV. Produit mixte V. Technique de projection VI. Double produit vectoriel 2. Trigonométrie I. Formules de base II. Application aux diamètres apparents III. Angle solide 3. Coniques I. Définition

II. Équation polaire III. Équation cartésienne IV. Propriétés fondamentales des coniques 4. Dérivées et développements limités I. Dérivée d'une fonction II. Dérivées partielles III. Dérivée d'une fonction composée IV. Dérivée logarithmique V. Dérivée d'un vecteur VI. Développements limités 5. Fonctions hyperboliques I. Définition II. Propriétés III. Développements limités 6. Nombres complexes I. Définition II. Force cartésienne III. Représentation d'un nombre complexe IV. Forme polaire d'un nombre complexe V. Formules d'Euler VI. Multiplication par le nombre complexe exp(jα) VII. Application au tracé des diagrammes de Bode 7. Matrice I. Définitions II. Algèbre des matrices III. Déterminants de matrices carrées 2x2 IV. Inversion d'une matrice carrée régulière V. Vecteurs propres et valeurs propres 8. Équations différentielles I. Équations différentielles linéaires II. Équations différentielles non linéaires 9. Différentielles I. Différentielles d'une fonction II. Systèmes de coordonnées III. Formes différentielles 10. Probabilités I. Langage des probabilités II. Probabilités III. Variables aléatoires IV. Lois de probabilité V. Intégrales gaussiennes

José-Philippe Perez Professeur émérite de physique de l’Université de Toulouse au LATT-OMP (Agrégé, Docteur-ès-sciences) : membre du jury de l’agrégation, du CAPES, du concours de « Centrale-Paris », des Instituts Nationaux polytechnique.

Christophe Lagoute Professeur de physique au Lycée Bellevue, attaché au laboratoire au lycée Bellevue de Toulouse, et chercheur associé au Laboratoire d’Astrophysique de l’Observation Midi-Pyrénées (agrégé de physique et docteur en astrophysique). Membre du jury du concours des « Mines et Ponts ».

Olivier Pujol Maître de conférences à l’Université de Lille et chercheur au Laboratoire d’Optique atmosphérique (Agrégé, Docteur en Physique de l’Atmosphère), enseignant à la préparation à l’agrégation.

Eric Desmeules Professeur en CPGE-MP (Normalien Saint-Cloud, Agrégé) au lycée Bellevue de Toulouse. Il est membre du jury du concours des « Mines et Ponts ».

« Es ist das schönste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt. » (« C’est le plus beau sort d’une théorie physique que d’ouvrir la voie à une théorie plus vaste dans laquelle elle continue à vivre comme un cas particulier. ») Albert Einstein 1916, Über die spezielle und die allgemeine Reltivitäts-theorie, Springer, Seite 50, 2009.

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Leçon

ynamique du point matériel

La dynamique est l’étude du mouvement des corps en liaison avec les causes, appelées forces, qui le produisent. Avec la cinématique, c’est-à-dire la seule description géométrique du mouvement à l’aide de la vitesse et de l’accélération (cf. Leçon 2), la dynamique forme la mécanique, dont les lois ont été énoncées au XVIIe siècle, d’abord par le physicien italien Galilée dans son ouvrage « Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles » (1638), puis par le physicien anglais Isaac Newton dans le célèbre traité intitulé « Principes mathématiques de la philosophie naturelle » ou « Philosophiae Naturalis Principia mathematica » (1687). On se propose dans ce chapitre de recenser les diﬀérentes forces et d’exprimer leur action sur le mouvement. Ainsi, nous allons voir que, par rapport à une catégorie particulière de référentiels, qualifiés de galiléens, la relation de causalité entre les forces et le mouvement est particulièrement simple.

FORCE

Les forces sont les causes du mouvement ; ce sont des grandeurs vectorielles notées F qui agissent sur des objets ponctuels en faisant apparaître des caractéristiques physiques telles que la charge électrique, la masse grave, etc. On distingue deux types de forces : les forces fondamentales, en raison de leur universalité, au nombre de quatre (cf. Leçon 1), et les forces dites de contact, qui, contrairement aux précédentes, existent, comme leur nom l’indique, parce qu’il y a un contact entre le point matériel considéré A et son environnement proche ; ces dernières ne sont pas fondamentales, car elles n’apparaissent pas à l’échelon microscopique ; cependant, elles ont un rôle essentiel dans la vie courante.

I.1 Forces fondamentales Les forces fondamentales agissent à distance, comme nous le verrons par l’intermédiaire de champs divers (cf. Leçons 26, 36, 37, 42). Énumérons-les : la force de gravitation universelle, la force de Lorentz ou force électromagnétique, qui est une généralisation

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3 Dynamique du point matériel

de la force électrostatique entre deux charges ponctuelles au repos, la force nucléaire dite forte et la force nucléaire faible (cf. Leçon 1).

a) Force de gravitation La force de gravitation est celle que subit un point matériel A1 de la part d’un autre point A2 distant de r (Fig. 3.1) : F 2→1 = −G

m 1 m 2 er r2

er =

où

r r

r = A 2A 1 = r 1 − r 2

où G ≈ 6,67 × 10−11 SI est la constante de Newton (cf. Leçon 1). Les quantités scalaires positives m 1 et m 2 sont les masses graves des points A1 et A2 respectivement. Chacune traduit la capacité d’un corps matériel à interagir par gravitation avec un autre corps matériel. z A2 r2 O

F1→2 F2→1 r1

A1 y

x Figure 3.1 Force de gravitation universelle

Remarque L’expression de cette force, qui fut introduite par Newton pour interpréter le mouvement des corps du Système Solaire (planètes, satellites, comètes), est parfois appelée, de nos jours, la cinquième loi de Newton. Les trois premières sont celles relatives à la dynamique et la quatrième concerne l’hypothèse d’universalité du temps (cf. Leçon 24). Nous verrons ultérieurement que la gravitation se manifeste localement sur Terre sous la forme de la force de pesanteur, ou poids, d’un corps (cf. Leçon 26). On admettra, en attendant, l’expression suivante du poids m∗ , étant le champ de pesanteur terrestre et m∗ la masse grave du corps considéré. On peut trouver un ordre de grandeur de en réduisant la pesanteur à sa contribution essentielle qui est la force de gravitation exercée par la Terre supposée sphérique (masse M∗T , rayon RT ). En eﬀet, il vient, en assimilant la Terre à un point matériel de masse M∗T placé en son centre T, on trouve : m∗ = G

m∗ M∗T R2T

soit

M∗T 6 × 1024 −11 ≈ 6,67 × 10 × ≈ 9,77 m.s−2 (6 400 × 103 )2 R2T

ce qui est proche de la valeur expérimentale mesurée, 9,80 m.s−2 .

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I Force

Remarque La direction de définit la verticale (cf. Leçon 26) ; tout plan perpendiculaire à est horizontal.

b) Force électromagnétique de Lorentz La force de gravitation est formellement analogue à la force d’interaction entre deux charges ponctuelles au repos dans le vide ; son expression est donnée par la loi de Coulomb, du nom du physicien français Charles Coulomb qui l’a établie à la fin du XIXe siècle : F 2→1 =

1 q1 q2 er 4πε0 r2

où

er =

r r

r = A 2A 1 = r 1 − r 2

Une diﬀérence réside cependant : la force de gravitation est toujours attractive, alors que la force coulombienne ne l’est que si q1 q2 < 0 ; si q1 q2 > 0 elle est répulsive. Rappelons que cette force est bien plus intense que la précédente (cf. Leçon 1). Dans le cas général d’une charge q en mouvement à la vitesse v par rapport à un référentiel R, située dans une région de l’espace où règne un champ électromagnétique E, B ), la force d’interaction est la force de Lorentz, du nom du physicien néerlandais (E Hendrik Lorentz qui l’a proposée en 1895 : F = q(E E + v × B)

c) Forces nucléaires Rappelons que la force nucléaire forte permet d’expliquer la cohésion des nucléons (cf. Leçon 1) ; elle est cent fois plus intense que les forces électromagnétiques et de très courte portée, de l’ordre de 1 fm = 10−15 m. Quant à la force nucléaire faible, qui permet d’interpréter certaines formes de radioactivité, sa portée est encore plus faible : 10−18 m.

I.2 Forces de contact a) Force de rappel d’un ressort Modifions la longueur au repos l0 d’un ressort, soit en allongeant ce dernier de sorte que sa longueur l devienne supérieure à l0 , soit en le comprimant pour que l < l0 . Pour une petite déformation |l − l0 | l0 , le ressort exerce une force proportionnelle à sa déformation (Fig. 3.2) : F = −K(l − l0 ) e x où K est une constante caractéristique du ressort qui s’exprime en N.m−1 , appelée raideur, et e x le vecteur unitaire porté par la direction du ressort et orienté selon le sens de son allongement (l − l0 > 0). Cette expression est parfois appelée loi de Hooke du nom du physicien anglais Robert Hooke (contemporain de Newton) qui l’a établie.

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3 Dynamique du point matériel

l l0

l – l0 < 0

l – l0 > 0

Figure 3.2 Allongement et compression d’un ressort horizontal

b) Tension d’un fil Un fil, à l’extrémité duquel on a accroché une masselotte, exerce sur cette dernière, lorsqu’il est tendu, une force de tension T . Dans le cas d’un pendule simple, constitué d’un fil inextensible en kevlar (longueur constante l), c’est cette tension qui contraint la masselotte à décrire un arc de cercle de rayon l malgré le poids (Fig. 3.3). O g l T A(m) Figure 3.3 Force de tension du fil dans un pendule simple

c) Contact avec un support Lorsqu’un point matériel A est posé sur un support, une table par exemple, ce dernier exerce une force de réaction R qui empêche A de s’y enfoncer. En l’absence de frottement, la réaction est normale au plan de la table : R = R e n , où e n désigne le vecteur unitaire normal à ce plan (Fig. 3.4a). En présence de frottement, le support exerce sur A une réaction R qui présente deux contributions, l’une normale Rn et l’autre tangentielle R t (Fig. 3.4b) : R = Rn + Rt

avec R n = Rn e n

et R t = Rt e t

et étant le vecteur unitaire tangent à la table. Si A est en mouvement sur la table, on a R n · v = 0. En outre, on constate expérimentalement que R t est de sens opposé à v : R · v = R t · v < 0 (Fig. 3.4c). Enfin, les composantes normale Rn et tangentielle Rt sont reliées par des lois expérimentales dites lois de Coulomb, qu’il est inutile de donner ici.

d) Force de frottement fluide Si le point matériel est en mouvement dans un milieu fluide, par exemple l’eau ou l’air, ce dernier s’oppose au mouvement du point A par une force de frottement fluide F f opposée à la vitesse v de A par rapport au référentiel lié au fluide. Ces forces de frottement visqueux ont été analysées très tôt par Galilée puis par Newton. On les représente en distinguant deux cas, selon la valeur de la vitesse.

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II Loi fondamentale de la dynamique

R g Rn

g en A a)

Support horizontal

Support incliné

Figure 3.4 a) Réaction normale d’un support sur un point immobile en l’absence de frottement b) Réaction normale et tangentielle en présence de frottement c) Cas où A possède une vitesse non nulle

i) Pour des vitesses suffisamment faibles, la relation entre F f et v est linéaire : F f = −α v α étant un coefficient directement relié à la capacité du fluide à s’opposer au mouvement de A, précisément sa viscosité. Cette loi est connue sous le nom de loi de Stokes et la force est dite de Stokes, du nom du physicien anglais Georges Stokes qui l’explicita en 1840. La dimension physique de α est [M][T]−1 . ii) Pour des vitesses plus grandes, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse : v F f = −βv2 e v où e v = v est le vecteur unitaire porté par la vitesse. Le coefficient β, que l’on appelle souvent coefficient de Venturi, du nom du physicien italien du XVIIIe siècle Giovanni Venturi, dépend notamment du fluide. La dimension de β, qui diffère de celle de α, est [M][L]−1 .

LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE

La loi fondamentale de la dynamique a été énoncée par Newton dès les toutes premières pages de son œuvre Principia Mathematica, sous l’intitulé « deuxième loi ». Elle exprime la relation entre les forces qui agissent sur un point matériel et une caractéristique de son mouvement, appellée quantité de mouvement. Il est instructif de rappeler la formulation historique de la deuxième loi de Newton.

II.1 Énoncé historique de la loi fondamentale de la dynamique « Le changement de mouvement est proportionnel à la force imprimée et s’eﬀectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée. » Il vient, en caractérisant le mouvement, comme l’a fait Newton, par la quantité de mouvement p et en désignant par F la force imprimée : dpp =F dt

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3 Dynamique du point matériel

Il devient alors nécessaire de préciser ce concept de quantité de mouvement d’un point matériel, concept apparu pour la première fois avec René Descartes en 1645, puis repris par Newton, en 1687, à la première page de son traité !

II.2 Quantité de mouvement d’un point matériel Par rapport à un référentiel R, on appelle quantité de mouvement d’un point matériel A, caractérisé par sa masse grave m , sa charge électrique q, etc., le produit de sa vitesse v A/R par un coeﬃcient scalaire constant m, appelé masse inerte, dont les propriétés et la signification physique apparaîtront clairement avec l’énoncé de la loi fondamentale : p = mvvA/R

Remarques 1) La quantité de mouvement est appelée aussi impulsion ou moment linéaire, du latin « momentum » qui est une contraction des mots « movimentum » (mouvement) et « movere » (déplacer). Ces noms trouvent leur justification en physique moderne ou selon le problème étudié ; par exemple le terme « impulsion » est souvent utilisé dans l’étude des collisions. Nous le réservons à la quantité de mouvement généralisée d’une particule chargée dans un champ électromagnétique. 2) On montre que l’on peut choisir m = m∗ avec une précision relative meilleure que 10−13 (cf. Leçon 26).

II.3 Énoncé actuel On obtient la formulation actuelle de la loi fondamentale de la dynamique en combinant les deux relations précédentes, ce qui donne : Relativement à un référentiel galiléen R, le mouvement P d’un point matériel A, de quantité de mouvement p , soumis à plusieurs forces, de somme F , satisfait à la relation : dpp X = F dt

avec

p = m v A/R

soit

m a A/R =

puisque m est une constante.

II.4 Analyse de la loi fondamentale de la dynamique a) Inertie La masse m qui intervient dans la loi fondamentale de la dynamique traduit la propriété d’inertie, c’est-à-dire la capacité d’un corps à résister à la modification de sa quantité de mouvement, d’où le qualificatif « inerte ». Plus m est grand, plus le corps résiste : l’expérience courante montre bien qu’il est plus aisé de communiquer une vitesse donnée à une balle de ping-pong qu’à une boule de pétanque. Réciproquement, une force déterminée communiquera une vitesse plus petite à un corps de masse importante qu’à un corps de masse plus faible. L’unité de masse inerte est le kilogramme (cf. Leçon 1).

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II Loi fondamentale de la dynamique

Remarques 1) Très souvent, par abus de langage, la masse inerte est simplement appelée masse. Plus important, on l’a historiquement confondue avec la masse grave, pourtant toutes deux a priori diﬀérentes, puisque la masse grave n’a de sens que relativement à la force de gravitation. Il est vrai, qu’à l’analyse, ces deux masses s’avèrent égales, mais au prix d’une révolution majeure : l’abandon de la gravitation comme force par Einstein dans sa théorie de la relativité générale. 2) On voit parfois la force de frottement visqueux de Stokes écrite sous la forme contestable suivante, F f = −m/τ v , faisant apparaître la masse inerte m, et ainsi laissant penser, à tort, que cette force serait proportionnelle à la masse. Si l’introduction de la durée τ = m/α, qui dépend de m, dans l’analyse du mouvement est judicieuse, celle a priori dans l’expression de la force est malheureuse. Rappelons que la seule force qui soit, après analyse, proportionnelle à la masse est la force de gravitation, la pesanteur n’étant qu’une adaptation terrestre de cette dernière (cf. Leçon 26), ce qui constitue une singularité en physique, comme on vient de le dire précédemment.

b) Référentiels galiléens Dans sa formulation, la loi fondamentale suppose l’existence de référentiels particuliers, qualifiés de galiléens. Le référentiel du laboratoire, par rapport auquel les expériences quotidiennes sont conduites, peut être considéré comme une bonne réalisation d’un tel référentiel. Dans la suite immédiate, nous nous contenterons de ce résultat dont la justification est d’abord expérimentale. Nous verrons ultérieurement que certains désaccords irréductibles entre théorie et expérience ont conduit à substituer au référentiel du laboratoire d’autres référentiels qui réalisent, eux, une meilleure approximation d’un référentiel galiléen (cf. Leçon 26).

Remarque Dans l’étude du mouvement en cinématique galiléenne, on n’a attribué aucun caractère galiléen au référentiel d’étude (cf. Leçon 2). Ce n’est que dans la recherche des causes du mouvement, c’est-à-dire dans sa relation aux forces, que l’on est conduit à donner au référentiel d’étude un statut particulier, galiléen ou non. Dans la théorie de la relativité d’Einstein, qui généralise celle de Galilée et Newton, au contraire, il est nécessaire de préciser la nature physique des référentiels dès la cinématique ; aussi dit-on que la relativité a fait entrer, en 1905, la cinématique dans le domaine des sciences physiques.

c) Détermination d’une force Réciproquement, la loi fondamentale permet, lorsque le mouvement est connu, de déterminer les forces, voire d’en découvrir de nouvelles. C’est précisément à partir des lois de Kepler sur le mouvement des planètes autour du Soleil (cf. Leçon 23) que Newton put établir l’expression de la force de gravitation en 1/r2 . C’est à partir du mouvement d’un point dans un milieu que l’on a pu déduire les expressions des forces de frottement visqueux ; c’est aussi en étudiant les conditions du mouvement ou du repos d’un point matériel en contact avec un support que l’on a pu connaître, au moins partiellement, l’expression de la réaction de contact R qu’exerce le support. De nos jours, c’est en analysant le mouvement des satellites artificiels en orbite basse que l’on détermine précisément le champ de gravitation terrestre (cf. Leçon 36).

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3 Dynamique du point matériel

III

PREMIÈRE LOI DE NEWTON OU PRINCIPE DE L’INERTIE

III.1 Énoncé historique et énoncé actuel a) Énoncé historique de Newton Cet énoncé figure dans les premières pages du traité de Newton : « Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces “imprimées” le contraignent d’en changer. »

b) Énoncé actuel Par P rapport à tout référentiel galiléen R, tout point matériel A, éloigné de tout autre corps ( F = 0 ), a un mouvement rectiligne uniforme : v = Cte Cte. P En eﬀet, d’après la deuxième loi de Newton, si F = 0 , alors : dpp =0 dt

d’où

p = Cte

v = Cte

Notons que la vitesse et la quantité de mouvement sont des constantes vectorielles. Le mouvement de A est alors rectiligne et uniforme, ce qui caractérise un point matériel libre, car soumis à une force nulle. Le repos correspond évidemment à une valeur nulle de la vitesse.

c) Point matériel isolé et point matériel pseudo-isolé F = 0 ), On distingue parfois un point matériel isolé, lequel n’est soumis à aucune force (F d’un point matériel pseudo-isolé, soumis à un ensemble de forces dont la somme est P nulle : F = 0 .

Remarques 1) En énonçant cette première loi de Newton, on ne peut s’empêcher de penser à l’erreur historique d’Aristote « Il n’y a pas de mouvement (vitesse) sans moteur (force) ». 2) C’est Descartes qui énonça le premier, de façon satisfaisante, le principe de l’inertie sous sa forme définitive, avec mouvement rectiligne et uniforme, dans « Principe des choses matérielles » publié en 1644 (Newton n’avait que deux ans). Galilée, lui, n’avait considéré que les mouvements circulaires uniformes comme ses prédécesseurs, en omettant le caractère rectiligne dans le principe de l’inertie. Ajoutons, pour l’anecdote, que, dans son énoncé original, Descartes associait explicitement la conservation de la vitesse d’un point matériel isolé à l’immuabilité de Dieu ! 3) Il ne faut pas confondre un point matériel libre, pour signifier isolé ou pseudo-isolé, et l’état libre que peut acquérir un point matériel en interaction avec un centre attractif parce qu’il peut s’éloigner infiniment de ce dernier (cf. Leçon 4). 4) En dernière analyse, comme l’a fait remarquer le physicien autrichien Ernst Mach (prononcez « mar »), cette première loi de Newton n’est qu’une conséquence de la loi fondamentale de la dynamique, lorsque le point matériel est isolé ou pseudo-isolé.

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IV Exemples d’application

d) Équilibre mécanique Un point matériel, isolé ou pseudo-isolé, est dit en équilibre ou au repos lorsque sa vitesse est nulle, ce qui suppose que sa vitesse initiale le soit. En eﬀet : X

F = 0 d’où v = Cte = 0

Par exemple, une masselotte A, soumise à son poids m et à la tension T d’un fil, est en équilibre si : m + T = 0 et v = 0

III.2 Référentiel inertiel Un référentiel est qualifié d’inertiel si on peut y réaliser le principe de l’inertie. C’est le cas, pour le référentiel du laboratoire, lorsque la pesanteur n’est pas prise en compte, parce que négligeable dans ses eﬀets, ou si elle est compensée par une autre force ; référentiel du laboratoire et référentiel inertiel coïncident alors. Une table à coussin d’air, qui permet de compenser la pesanteur m par la réaction normale qu’exerce de l’air souﬄé par la table, est un référentiel galiléen, qui est aussi inertiel à deux dimensions. Nous verrons plus loin (cf. Leçons 24 et 26) qu’une cabine d’ascenseur en chute libre ou un vaisseau spatial sans propulsion réalisent un référentiel inertiel à trois dimensions, bien que non galiléen. De façon générale, le référentiel du laboratoire est galiléen, avec une excellente approximation (cf. Leçon 26), mais il n’est pas inertiel, pour tout mouvement à trois dimensions, précisément en raison de la pesanteur qui empêche d’y réaliser le principe de l’inertie.

EXEMPLES D’APPLICATION

IV.1 Conditions initiales Si l’on connaît, à un instant particulier, l’état mécanique d’un point matériel A, c’est-àdire sa position et sa vitesse, ou sa quantité de mouvement, la loi fondamentale permet de déterminer l’état mécanique de A, à tout instant antérieur ou postérieur. On dit que la loi fondamentale est déterministe ou qu’il y a déterminisme, selon l’expression introduite par le mathématicien Pierre Simon Laplace dans son traité de mécanique céleste. En général, un instant particulier est choisi comme instant initial, c’est-à-dire comme origine des temps. Comme la loi fondamentale est du second ordre de dérivation par rapport au temps, on obtient la vitesse à partir de l’accélération par une première intégration, ce qui exige de connaître la vitesse à un instant déterminé, le plus souvent à l’instant initial t = 0. Une seconde intégration permet d’obtenir la position, mais la condition initiale sur la position est alors nécessaire. Ainsi, pour chaque degré de liberté, il y a deux conditions initiales. Comme nous le verrons dans des cas simples, tels que la chute des corps, les conditions initiales modifient considérablement la nature des trajectoires relevant pourtant de la même application de la loi fondamentale. L’étude du mouvement d’un point matériel nécessite de respecter une stratégie précise. Le système considéré se réduisant à un seul point matériel A, en mouvement

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3 Dynamique du point matériel

par rapport au référentiel terrestre R, supposé galiléen, on doit successivement : i) eﬀectuer le bilan des forces qui s’exercent sur le point matériel considéré ; ii) appliquer la loi fondamentale de la dynamique de Newton ; iii) exploiter l’équation obtenue en conservant le plus longtemps possible sa forme vectorielle ; iv) projeter, si nécessaire, l’égalité vectorielle précédente dans la base la plus simple, laquelle ne coïncide pas nécessairement avec celle B du référentiel R ; v) analyser qualitativement les expressions littérales obtenues ; vi) enfin s’assurer du respect des dimensions physiques et des ordres de grandeur.

IV.2 Chute libre dans le champ de pesanteur a) Chute libre sans vitesse initiale Abandonnons (sans vitesse initiale) un point matériel A, de masse m suﬃsamment importante de telle sorte que l’on puisse négliger les forces de frottement de l’air, comme l’a supposé Galilée. Il en résulte que le point matériel n’est soumis qu’à son poids m . Il est alors commode de choisir la base du référentiel R de telle sorte que Ox coïncide avec la verticale descendante définie par la direction et le sens du champ de pesanteur (cf. Leçon 26). Par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, la loi fondamentale s’écrit : maa = m

d’où

a =

Ainsi, dans le vide, l’accélération de A est indépendante de sa masse, comme le confirme l’expérience dite du tube de Newton (cf. Leçons 1 et 26) : tous les corps tombent dans le vide avec la même accélération. Précisons que ce résultat exceptionnel a pour fondement l’égalité, admise ici, des masses inerte et grave (cf. Leçon 26). On en déduit aisément l’expression de la vitesse du point A en intégrant une première fois par rapport au temps : v = t + v0 = t puisque la vitesse initiale v 0 est nulle. Une seconde intégration donne le vecteur position OA au cours du mouvement : 1 OA = t2 + OA 0 2 OA 0 donnant la position initiale. Projetons ces vecteurs dans la base cartésienne B = {eex , e y , e z }. Il vient, pour a , v et OA OA, respectivement, puisque e x est orienté selon la verticale descendante : a= B

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛

x¨ y¨ = z¨

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

v= B

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛

x˙ y˙ = z˙

˛ ˛ t ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

OA = B

˛ ˛ x ˛ ˛ ˛ y ˛ ˛ ˛ z

= B

˛ ˛ t2 /2 ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

si initialement A0 est en O. Ainsi, seule la coordonnée x est aﬀectée : x¨ =

x˙ = t et x =

t2 2

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IV Exemples d’application

On en déduit la durée de chute tc , entre la position initiale et la hauteur h parcourue : „

tc =

«1/2

ORDRE DE GRANDEUR

Du sommet de la tour de Pise (h = 54,5 m), en Italie, où une légende aﬃrme que Galilée laissa tomber des corps de masse diﬀérente pour étudier la chute libre, on trouve, en négligeant les frottements, tc = 3,3 s.

Remarques 1) Galilée avait conscience de l’influence des forces de frottement. Son génie fut de déduire d’expériences approximatives la loi précédente vraie dans le vide. 2) Einstein considérait que l’expérience de la chute des corps dans le vide, avec la même accélération, en raison de l’exceptionnelle égalité de la masse grave et de la masse inerte, était la plus belle expérience de physique fondamentale qu’un professeur de physique pouvait montrer à ses étudiants. 3) Très souvent, on désigne par Oz l’axe vertical ascendant. Un tel choix n’était pas ici adapté, car le mouvement de chute privilégie la verticale descendante.

b) Chute libre avec vitesse initiale Si le point A est lâché avec une vitesse initiale v 0 faisant un angle θ0 avec l’axe horizontal Oy (Fig. 3.5), la trajectoire n’est plus rectiligne, alors que l’équation du mouvement, issue de la loi fondamentale, est toujours la même : a = . En eﬀet, si on projette, comme précédemment, cette équation dans la base B = {eex , e y , e z }, on obtient :

a= B

˛ ˛ x¨ ˛ ˛ ˛ y¨ ˛ ˛ ˛ z¨

= B

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

d’où

v= B

˛ ˛ x˙ ˛ ˛ ˛ y˙ ˛ ˛ ˛ z˙

= B

˛ ˛ t + Cte = t + v0 cos θ0 ˛ ˛ ˛ Cte = v0 sin θ0 ˛ ˛ ˛ 0

puisqu’initialement les composantes de la vitesse sont respectivement v0 cos θ0 et v0 sin θ0 . Une seconde intégration donne :

OA = B

˛ ˛ x ˛ ˛ ˛ y ˛ ˛ ˛ z

= B

˛ ˛ t2 /2 + (v0 cos θ0 ) t + Cte = t2 /2 + (v0 cos θ0 ) t ˛ ˛ ˛ v0 sin θ0 t + Cte = v0 sin θ0 t ˛ ˛ ˛ 0

puisqu’à l’instant initial les coordonnées de A étaient nulles. L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps, précisément en exprimant t en fonction de y et en remplaçant l’expression de t ainsi obtenue dans x. On trouve : 1 y y d’où x= y2 + t= 2 2 v0 sin θ0 2 v0 sin θ0 tan θ0 La trajectoire est donc une parabole (Fig. 3.5 et cf. OM3).

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3 Dynamique du point matériel

θ0

x Figure 3.5 Chute libre pour une vitesse initiale non nulle

Retenons que, selon la direction de la vitesse initiale v 0 , le mouvement est rectiligne ou parabolique ; les conditions initiales jouent donc un rôle essentiel dans la nature de la trajectoire dans des mouvements dynamiquement équivalents. Le cas où θ0 = π/2 donne la parabole avec sommet en O : x=

2 y 2v20

IV.3 Chute avec frottement de Stokes F f = −α v ), la loi fondamentale appliquée à un En présence d’un frottement de Stokes (F point matériel A devient : m

dvv = m a = m − α v soit dt

dvv v + = dt τ

où

τ=

m α

est un coeﬃcient homogène à une durée. Explicitons cette équation vectorielle dans la même base que précédemment, en introduisant les trois composantes de la vitesse, vx , v y , vz ; on obtient :

˛ ˛ v˙ x ˛ ˛ ˛ v˙ y + ˛ ˛ ˛ v˙ z

˛ ˛ vx /τ ˛ ˛ ˛ v y /τ ˛ ˛ ˛ vz /τ

= B

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

d’où

dvx vx + = dt τ

a) Vitesse initiale nulle La solution de cette équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants avec second membre, est la somme de la solution de l’équation différentielle homogène (sans second membre) et de la solution particulière définie par vx constant (cf. OM8). La première solution s’écrit : Ą

Cte × exp −

t τ

où Cte désigne une constante. Comme la seconde solution est τ, il en résulte l’expression générale suivante de la vitesse : Ą

t vx (t) = Cte × exp − + τ τ

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IV Exemples d’application

Puisqu’à l’instant initial vx = 0, on trouve : 0 = Cte + τ d’où

Cte = − τ et vx (t) = τ 1 − exp −

t τ

ŃŸ

Ainsi, on a, vectoriellement : Ţ

v = τ 1 − exp −

t τ

ŃŸ

La figure 3.6 montre l’évolution de la vitesse du point matériel A. On constate qu’au bout d’une durée de quelques τ, la vitesse de A atteint la valeur limite vl = τ = m /α. vx vl

Figure 3.6 Évolution de la vitesse de chute d’un point matériel avec frottement de Stokes

ORDRES DE GRANDEUR

i) Dans l’expérience de Millikan (cf. Leçon 1), la vitesse limite de chute dans l’air d’une goutte d’huile, assimilée à un point matériel, est de l’ordre de 0,1 mm.s−1 . On trouve alors comme ordre de grandeur de α, en prenant pour masse volumique de l’huile ρm,h = 810 kg.m−3 , et pour rayon de la goutte r = 1 μm : α=

m 4πρm,h r3 4 × π × 810 × 10−18 × 9,80 = ≈ ≈ 3,3 × 10−10 kg.s−1 vl 3vl 3 × 10−4

ii) De même, une gouttelette d’eau d’un nuage tombe avec une vitesse de l’ordre de 10 cm.s−1 . Dans ce cas, l’ordre de grandeur de α est, puisque la masse volumique de l’eau est ρm,e = 1 000 kg.m−3 , pour une gouttelette de rayon 10 μm : α=

4πρm,e r3 4 × π × 1 000 × 10−15 × 9,80 ≈ ≈ 4,2 × 10−10 kg.s−1 3vl 3 × 0,1

La position du point A s’obtient en intégrant l’expression précédente de vx : Ą

x(t) = τt + τ2 exp −

t + Cte τ

Si initialement x(0) = 0, on trouve : 0 = τ2 + Cte d’où

Cte = − τ2

et x(t) = τt − τ2 1 − exp −

t τ

ŃŸ

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3 Dynamique du point matériel

Remarques 1) La vitesse limite était prévisible sans calcul. Au début de la chute sans vitesse initiale, le terme de Stokes est nul, mais au fur et à mesure que la vitesse croît, sa valeur augmente jusqu’à atteindre une valeur égale au poids. Les deux forces se neutralisent alors et le corps acquiert une vitesse telle que m = αvl . 2) La mesure de vl permet de déterminer le coeﬃcient α. Une telle technique sert ainsi à mesurer la viscosité d’un fluide, laquelle intervient dans α ; l’appareil correspondant est un viscosimètre à chute. 3) Nous avons vu qu’en l’absence de frottement le point matériel décrivait une trajectoire rectiligne selon une loi quadratique (en t2 ), pour une vitesse horizontale nulle. Cette évolution n’est plus quadratique en présence d’un frottement de Stokes.

b) Vitesse initiale selon l’horizontale Le point A est, cette fois, lancé selon l’horizontale, précisément avec une vitesse v 0 = v0 e y . Comme la vitesse initiale selon la verticale Ox est toujours nulle, on a encore : Ţ

vx (t) = τ 1 − exp −

t τ

ŃŸ

et x(t) = τt − τ2 1 − exp −

t τ

ŃŸ

Selon Oy, l’équation diﬀérentielle traduisant l’évolution de v y est maintenant : dv y v y + = 0 d’où dt τ

t v y (t) = Cte × exp − τ

Puisqu’initialement v y = v0 , Cte = v0 ; par conséquent : Ą

v y (t) = v0 exp −

t τ

On en déduit aisément l’évolution de y en intégrant par rapport au temps : Ą

y(t) = −v0 τ exp −

t + Cte τ

Or, avec y = 0 à l’instant initial, Cte = v0 τ. On en déduit : Ţ

t y(t) = v0 τ 1 − exp − τ

ŃŸ

La trajectoire n’est donc plus une parabole comme en l’absence de frottement (cf. Exercices). Cependant, dans l’air, pour des objets courants, l’écart avec la chute libre n’est pas très significatif, car α ≈ 10−4 kg.s−1 , et donc 1/τ = α/m négligeable, sauf pour des masses très faibles.

IV.4 Chute avec frottement de Venturi Comme on suppose que le point matériel est maintenant soumis à une force de frottement fluide de type Venturi, F f = −βv2 e v , avec e v = v /v, l’équation du mouvement devient : dvv m = m a = m − βv2 e v dt En raison de la présence du terme quadratique v2 , cette équation diﬀérentielle n’est pas linéaire et est donc délicate à résoudre (cf. OM8). Dans ce contexte, la simulation numérique est un outil précieux.

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IV Exemples d’application

a) Vitesse initiale selon la verticale Projetée dans la même base cartésienne que précédemment, cette équation donne, puisque v2 = v2x :

˛ ˛ v˙ x ˛ ˛ ˛ v˙ y + β ˛ m ˛ ˛ v˙ z

˛ ˛ v2 ˛ x ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

= B

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ ˛ 0

d’où

dvx = m − βv2x dt

Montrons que vx tend vers la limite (m /β)1/2. Au départ, le terme de pesanteur est prépondérant si la vitesse initiale v0 n’est pas trop importante ; au fur et à mesure que vx augmente à partir de sa valeur initiale v0 , l’influence du terme de frottement croît jusqu’à atteindre la valeur de m . La vitesse vx n’évolue alors plus car dvx / dt = 0 et prend la valeur limite telle que : „

βv2l = m soit

vl =

m β

«1/2

L’équation diﬀérentielle s’écrit donc : dvx = dt

v2 1 − x2 vl

La résolution de cette équation donne une solution de la forme (cf. OM8) : vx = vl tanh

t + Cte vl

avec Cte = argtanh

v0 v&

La figure 3.7 représente l’évolution de la vitesse : lorsque t est faible, vx − v0 ≈ t ; lorsqu’on fait tendre t vers l’infini, vx tend évidemment vers vl . vx v

v0 0

Figure 3.7 Évolution de la vitesse d’un point matériel en chute avec frottement de type Venturi

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3 Dynamique du point matériel

ORDRES DE GRANDEUR

i) Pour un corps humain, assimilé à un point de masse m = 70 kg, la vitesse limite de chute dans l’atmosphère est environ 200 km.h−1 , soit 55,5 m.s−1 . On obtient alors : 9,80 × 70 ≈ 0,22 kg.m−1 55,52

β=

Le coeﬃcient β dépend de l’orientation du corps. La vitesse limite peut atteindre voire dépasser 100 m.s−1 . ii) Lors d’une sévère averse de pluie, les gouttes tombent avec une vitesse de l’ordre de 9 m.s−1 . Pour une goutte de diamètre D = 2r = 6 mm, on trouve ρe désignant la masse volumique de l’eau : β=

4πρe r3 4 × π × 1 000 × (3 × 10−3 )3 × 9,80 ≈ ≈ 1,37 × 10−5 kg.m−1 3 × 92 3v2l

Remarque Si la vitesse initiale v0 était importante, le terme de frottement dominerait dès l’instant initial : ce dernier diminuerait alors la vitesse vx jusqu’à ce qu’il soit compensé par la pesanteur et que dvx / dt = 0. La vitesse serait alors la vitesse limite v& .

b) Vitesse initiale selon l’horizontale Si la vitesse initiale n’est pas nulle et fait un angle θ0 avec la verticale, la loi fondamentale s’explicite selon :

˛ ˛ x¨ ˛ β ˛ ˛ y¨ + ˛ m ˛ z¨

˛ ˛ (x˙ 2 + y˙ 2 )1/2 x˙ ˛ ˛ 2 ˛ (x˙ + y˙ 2 )1/2 y˙ ˛ ˛ 0

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 0 ˛ ˛ 0

= B

d’où, les équations suivantes du mouvement : x¨ = −

β 2 (x˙ + y˙ 2 )1/2 x˙ et m

β y¨ = − (x˙ 2 + y˙ 2 )1/2 y˙ m

La résolution de ces équations passe nécessairement par un ordinateur. Sur la figure 3.8, on a représenté la trajectoire obtenue pour une boule de pétanque avec m = 0,71 kg, β = 2 kg.m−1 et θ0 = π/2.

y (m)

x (m)

β=0

β = 3,67 × 10 −4 kg.m−1

Figure 3.8 Chute avec force de frottement de Venturi et vitesse initiale selon l’horizontale

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IV Exemples d’application

IV.5 Oscillations d’un ressort Une masselotte, assimilée à un point matériel A (masse m), est attachée à l’extrémité d’un ressort, de raideur K et de longueur au repos l0 , dont l’autre extrémité est fixée à un point fixe O ; l’ensemble est placé dans le champ de pesanteur définissant la verticale descendante Ox (Fig. 3.9a). O g X le

K O

x a)

Figure 3.9 Oscillateur élastique a) Vertical

b) Horizontal

Analysons le mouvement lorsqu’initialement on allonge le ressort et qu’on le lâche. En l’absence de frottement de l’air, les seules forces qui s’exercent sur A sont le poids m et la force de rappel −K(x − l0 ) e x du ressort. La loi fondamentale s’écrit, dans le référentiel terrestre R : m a = m − K(x − l0 )eex

soit

mx¨ = m − K(x − l0 )

en projection selon Ox. Notons qu’à l’équilibre, la somme des forces étant nulle, on a : 0 = m − K(xe − l0 )

d’où

xe = l0 +

m K

Il est alors judicieux d’introduire la longueur le = l0 +m /K qui correspond à la longueur à l’équilibre du ressort, avant son allongement. On obtient, en posant X = x − le : mx¨ = −K(x − le )

d’où

X¨ + ω20 X = 0 avec

ω20 =

K m

Cette équation diﬀérentielle est caractéristique d’un mouvement oscillant sinusoïdal autour de la position d’équilibre de période T0 = 2π/ω0 (cf. Leçon 7 et OM8). C’est bien ce que montre l’expérience réalisée avec K = 15 N.m−1 et m = 300 g. En mesurant la période de 10 oscillations avec un chronomètre, on trouve bien une valeur proche de celle calculée, T0 ≈ 0,9 s.

Remarque Si la masselotte oscille sans frotter sur un axe horizontal (Fig. 3.9b), on obtient des résultats similaires, à condition de remplacer le par l0 dans les relations précédentes.

IV.6 Pendule simple dans le champ de pesanteur On réalise un pendule simple en attachant une masselotte, assimilée à un point matériel A (masse m), à l’extrémité d’un fil tendu, inextensible (longueur l), l’autre extrémité

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 70 — #114

3 Dynamique du point matériel

O g

y θ

eθ

A x

Figure 3.10 Pendule simple dans le champ de pesanteur

étant fixée en un point fixe O d’un référentiel terrestre R (Fig. 3.10). Si on lâche un tel pendule, une fois écarté de la verticale d’un angle θ, on observe des oscillations. En l’absence de frottement, les seules forces qui s’exercent sur A sont le poids m et la tension T du fil. La loi fondamentale s’écrit, par rapport à R : OA l puisque la tension est orientée vers le point de fixation O. En explicitant cette équation vectorielle dans la base polaire, définie par le vecteur unitaire radial e r et le vecteur unitaire orthoradial e θ , on trouve : 0 = m cos θ − T et mlθ¨ = − sin θ soit θ¨ + ω20 sin θ = 0 avec ω20 = l La première équation donne T = m cos θ, ce qui montre que la tension du fil ne peut être déterminée qu’une fois le mouvement connu. La seconde en θ est l’équation diﬀérentielle du mouvement ; elle n’est pas linéaire puisque sin θ est une fonction non linéaire de θ. Cependant, si θ est suﬃsamment petit, on a sin θ ≈ θ, ce qui rend l’équation linéaire et donc simple à résoudre : m a = m + T = m − T

θ¨ + ω20 θ = 0 C’est l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique (cf. Leçon 7).

OUVERTURES

V.1 Loi fondamentale de la dynamique d’Einstein Lorsque la vitesse v d’un point mobile n’est pas négligeable devant la constante d’Einstein c, comme c’est le cas avec des particules chargées en mouvement dans un champ électrique, on constate des écarts irréductibles entre les résultats expérimentaux et la loi fondamentale newtonienne de la dynamique. La deuxième loi de Newton doit être remplacée par une loi plus précise qui l’englobe, la loi fondamentale d’Einstein de la dynamique, dite relativiste. Il n’est cependant pas inutile de préciser que cette nouvelle loi a été établie par Einstein, en 1905, à partir d’une construction intellectuelle, la relativité restreinte, et non sous la pression d’une expérience diﬃcile à interpréter dans le cadre newtonien. La modification apportée par Einstein, dans sa théorie de la relativité restreinte, porte essentiellement sur la quantité de mouvement, puisqu’on a toujours : dpp X mvv = F mais avec p = dt (1 − v2 /c2 )1/2

et non p = mvv

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 71 — #115

V Ouvertures

Évidemment, dans l’approximation des faibles vitesses (v c), la loi fondamentale d’Einstein restitue celle de Newton, puisque : „

v2 p = mvv 1 − 2 c

«−1/2

„

v2 ≈ mv 1 + 2 2c

≈ mvv

La précision de l’approximation newtonienne reste cependant excellente ; en eﬀet, tant que v < 3 000 km.s−1 , (v/c < 0,01), soit cent fois la vitesse de la Terre sur son orbite autour du Soleil, le terme correctif sans dimension v2 /(2c2 ) est inférieur à 5 × 10−5 , ce qui est négligeable.

Remarque Certains auteurs attribuent, à tort, à m/(1 − v2 /c2 )1/2 , qui a la dimension d’une masse, le statut physique de masse variable avec la vitesse. À l’analyse, ce concept s’avère inutile et source de confusion. Précisons qu’il n’apparaît pas dans la publication originale d’Einstein, mais uniquement dans des textes écrits par des vulgarisateurs.

V.2 Indéterminisme expérimental et chaos D’après ce qui précède, le mouvement d’un point matériel serait parfaitement connu à partir de son état mécanique à un instant ; c’est le déterminisme de Laplace. Ce dernier est en fait uniquement théorique, car on ne peut définir un tel état avec une précision infinie, les mesures de position et de quantité de mouvement étant toujours entachées d’erreurs. Parfois, cette indétermination sur l’état ne présente pas d’importance, car elle reste du même ordre de grandeur au cours du mouvement. C’est le cas notamment lorsque les équations du mouvement sont linéaires (cf. Leçon 21). Le déterminisme théorique devient alors expérimental. Dans certains cas de systèmes non linéaires, l’indétermination peut évoluer exponentiellement ; l’état mécanique n’est alors plus prévisible : le système est chaotique. C’est ce que l’on constate avec l’atmosphère, comme l’a souligné le météorologue américain Edward Lorenz en 1963, ou avec trois corps et plus en interaction gravitationnelle, comme le montra le physicien français Henri Poincaré au début du siècle dernier.

CONCLUSION Retenons les points essentiels suivants. 1) Les forces traduisent la présence de corps dans l’environnement d’un point matériel A. On distingue les forces fondamentales, au nombre de quatre, qui agissent à distance et qui sont toujours présentes, même à l’échelle microscopique, des forces macroscopiques de contact (réaction d’un support, frottement solide et fluide, tension d’un fil, tension d’un ressort). 2) La loi fondamentale de la dynamique de Newton, relie les forces au mouvement. Par rapport au référentiel du laboratoire supposé galiléen, le mouvement de A satisfait à l’équation vectorielle : dpp X = F où p = mvv dt

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3 Dynamique du point matériel

est la quantité de mouvement de A, m étant un coeﬃcient constant, la masse inerte. Comme p = mvv, cette loi fondamentale se réduit à : maa =

3) La masse inerte doit être fondamentalement distinguée de la masse grave m , qui intervient dans l’expression de la force de gravitation, bien qu’égale à cette dernière. Cependant, l’égalité m = m est établie avec une incertitude relative qui atteint actuellement 10−13 . 4) Le référentiel du laboratoire peut être considéré comme galiléen avec une excellente approximation pour la plupart des expériences quotidiennes. 5) Les conditions initiales jouent un rôle déterminant puisqu’elles permettent de connaître le mouvement d’un point matériel à tout instant. Du point de vue mécanique, l’état de ce dernier est caractérisé par sa position et sa quantité de mouvement, ce qui nécessite deux conditions initiales. 6) La première loi de Newton, ou principe de l’inertie, apparaît, après analyse, comme P une conséquence de la loi fondamentale ; si le point est isolé ou pseudo-isolé ( F = 0 ), sa quantité de mouvement est une constante vectorielle ; le mouvement est rectiligne uniforme. Un référentiel dans lequel on peut réaliser la première loi de Newton est qualifié d’inertiel. Ainsi, une table à coussin d’air forme un référentiel inertiel à deux dimensions dans un plan horizontal. 7) La loi fondamentale de la dynamique de Newton du point matériel n’est qu’une approximation de celle d’Einstein qui l’englobe dans le cas où les vitesses ne sont plus très faibles devant c.

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Travaux dirigés

TRAVAUX DIRIGÉS Questions de cours Q3-1 Rappeler la nature des quatre forces fondamentales. Donner les expressions de la force de gravitation et de la force électrostatique entre deux points matériels. Q3-2 Quelles sont les expressions des diverses forces de frottement, visqueux et solide ? Q3-3 Énoncer la deuxième loi de Newton à l’aide du concept de quantité de mouvement. Q3-4 Énoncer la première loi de Newton. Q3-5 Qu’appelle-t-on référentiel inertiel ? Exemple de réalisation. Q3-6 Montrer sur l’exemple de la chute libre le rôle essentiel des conditions initiales dans la nature de la trajectoire. Q3-7 Quand dit-on qu’un point matériel est isolé ou pseudo-isolé ? Exemple. Q3-8 À quelle condition un point matériel est-il au repos par rapport au référentiel terrestre ? Exemple. Q3-9 Comment définit-on l’état mécanique d’un point matériel ? En quoi consiste le déterminisme laplacien ? Q3-10 Quel est le résultat essentiel de la chute libre dans le vide ? En quoi estil exceptionnel ? Donner l’expression einsteinienne de la loi fondamentale de la dynamique qui généralise celle de Newton.

Exercices E3-1 Lancé vertical d’une balle Une balle, assimilée à un point matériel de masse m, est lancée avec une vitesse initiale v0 non nulle, selon la verticale ascendante Ox, depuis un point situé à une hauteur h = 1,20 m du sol. On néglige les frottements visqueux de l’air.

2. a) Déterminer l’altitude maximale atteinte par la balle et la durée séparant l’instant initial du lancé de l’instant où la balle touche le sol. b) Calculer cette durée pour une vitesse initiale de 5 m.s−1 . E3-2 Parachute de freinage d’un avion Un avion de chasse, de masse m = 10 t, se pose, réacteurs coupés, à une vitesse de 240 km.h−1 . À l’instant initial où le train d’atterrissage entre en contact avec le sol, le pilote déploie un parachute de freinage. On néglige la force de frottement fluide

TRAVAUX DIRIGÉS

1. Établir la loi horaire du mouvement.

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3 Dynamique du point matériel

de l’air sur l’avion ainsi que les forces de frottement dues au contact avec le sol. Les frottements de l’air sur le parachute sont modélisés par une force de type Venturi, de coefficient β = 6 kg.m−1 . 1. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l’avion. En déduire l’évolution de la vitesse de l’avion. 2. Pourquoi est-il nécessaire d’actionner un système de freinage, agissant sur les roues, pour immobiliser l’avion ? 3. Le pilote actionne les freins des roues lorsque la vitesse de l’avion par rapport au sol atteint 100 km.h−1 . À cet instant, quelle a été la distance parcourue sur la piste ? E3-3 Tir d’un ballon Un ballon de football, posé au sol, est frappé avec une vitesse initiale v0 = 30 m.s−1 , faisant un angle θ0 = 30◦ avec l’horizontale Ox. Durant son vol, le ballon, assimilé à un point matériel de masse m = 0,43 kg, est soumis à des frottements aérodynamiques ; on suppose qu’ils sont de type Stokes avec α = 0,2 kg.s−1 . 1. Établir l’équation vectorielle du mouvement décrivant l’évolution du vecteur vitesse v ? 2. Déterminer la solution v (t). Montrer qu’il existe une vitesse limite v& dont on donnera l’expression. Que peut-on en déduire quant à la forme de la trajectoire du ballon ? Tracer son allure. 3. a) Déterminer le vecteur position OA OA. En déduire les coordonnées x(t) et y(t) du ballon, l’axe Oy étant défini par la verticale ascendante. b) Montrer que la coordonnée x est limitée par une valeur xp , dite portée du tir, que l’on déterminera. 4. Calculer les coordonnées de la flèche F de la trajectoire du ballon, c’est-à-dire celles du point d’altitude maximale. 5. a) Quelle portée et quelle flèche seraient-elles atteintes en l’absence de frottement ? b) Comparer numériquement les différences ; sont-elles significatives ?

TRAVAUX DIRIGÉS

E3-4 Pendule conique Un pendule simple, constitué d’une masselotte attachée à l’extrémité A d’un fil dont l’autre extrémité O est fixe, est mis en mouvement circulaire uniforme, le fil formant avec la verticale descendante Oz un angle α constant. La trajectoire de la masselotte du pendule est donc contenue dans le plan horizontal Oxy. La longueur l = OA du fil est 25 cm. 1. a) Écrire la loi fondamentale de la dynamique en y faisant apparaître la tension T du fil exprimée en fonction de sa valeur T et du vecteur OA OA. b) En la projetant sur la base cylindrique, déterminer la vitesse angulaire ω de A en fonction de , l et α.

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356

14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Il s’agit précisément de deux lentilles épaisses accolées, de diamètre important (≈8 cm), équivalent à une lentille mince convergente d’assez courte distance focale (≈10 cm) que l’on approche au plus près de l’objet afin qu’une grande portion de ce dernier soit éclairée (Fig. 14.8).

II.3 Mise au point On s’assure d’abord que la distance minimale objet-écran, 4 fi , soit respectée, afin qu’objet et image soient réels (cf. Leçon 11). On recherche alors les deux positions de la lentille pour lesquelles l’objet et l’image sont conjuguées l’une de l’autre ; généralement, on choisit la position de la lentille pour laquelle l’image est plus grande que l’objet. Les lentilles de courtes focales, 10 à 15 cm, doivent être préférées, si l’on souhaite un fort grandissement transversal.

II.4 Réglage du « tirage » source-condenseur Afin de se placer dans les conditions de Gauss, on règle la distance condenseur-source de sorte que l’image de la source donnée par le condenseur, généralement le filament de la lampe, se forme au centre de la lentille (Fig. 14.8). Ce réglage s’eﬀectue soit en translatant la source, soit en reculant le condenseur. On évite ainsi que la lentille ne forme à son tour, au voisinage de l’écran, l’image de la source.

Remarque Si l’objet est diﬀusant, par exemple s’il s’agit d’un verre dépoli, le condenseur est facultatif. La lumière issue de la source éclaire alors directement l’objet.

III

INSTRUMENTATION USUELLE

III.1 Loupe La loupe est un instrument destiné à augmenter l’angle sous lequel on voit un objet. C’est souvent une lentille épaisse, de courte distance focale image fi , de l’ordre de quelques centimètres.

a) Utilisation L’objet est généralement placé au foyer de la lentille afin qu’un œil puisse observer l’image sans accommoder, laquelle est virtuelle (cf. Leçon 13). Sans instrument, on examine les détails d’un objet en plaçant ce dernier à la plus courte distance de l’œil possible, c’est-à-dire la distance minimale de vision distincte dm ≈ 25 cm (Fig. 14.9a). La présence de l’instrument a donc pour eﬀet de remplacer dm par fi et ainsi d’augmenter l’angle sous lequel on voit l’objet puisque fi < dm (Fig. 14.9b).

b) Grossissement Le grossissement G est défini par la valeur absolue du rapport de l’angle θi sous lequel on voit l’objet, à travers l’instrument, et de l’angle θ d’observation à l’œil nu : G=

|θi | θ

avec

θi =

Ao Bo fi

et θ =

Ao Bo dm

d’où

dm fi

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III Instrumentation usuelle

357

B0 θ

αi A0

αi

a) Figure 14.9 Loupe a) Vision directe d’un objet

b) Vision d’un objet à travers la loupe

pour la loupe. Généralement, le grossissement caractérise les instruments qui donnent d’un objet virtuel une image virtuelle, comme un microscope par exemple (cf. III.6). ORDRE DE GRANDEUR

Pour fi = 5 cm, G = 25/5 = 5. Les fabricants mentionnent généralement le grossissement sur la monture de la loupe ; dans ce cas, une telle loupe portera l’inscription : ×5.

c) Latitude de mise au point La capacité d’accommodation de l’œil autorise une certaine latitude de réglage de la distance objet lentille, appelée latitude de mise au point. L’image donnée par la loupe pourra être observée nettement par l’œil, uniquement si elle se situe entre le punctum proximum et le punctum remotum. Évaluons la latitude de mise au point en maintenant la distance lentille-œil fixe, par exemple en positionnant l’œil au foyer image Fi de la loupe L. i) Si l’objet se trouve au foyer objet Fo de L, son image, qui se forme à l’infini, constitue pour l’œil emmétrope, un objet au punctum remotum (Fig. 14.10a).

B0 F0 A0

Bi B0 Fi

Ai F0

Loupe

A0 O

Loupe b)

Figure 14.10 Image d’un objet donnée par une loupe a) Objet au punctum remotum pour l’œil b) Objet au punctum proximum pour l’œil

ii) Si l’image de l’objet donnée par L se trouve au punctum proximum : Fi Ai = −dm . En utilisant la relation de conjugaison de Newton, on trouve la position correspondante de l’objet (Fig. 14.10b) : Fo Ao Fi Ai = − f 2

d’où

Fo Ao =

f2 dm

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14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Ainsi, pour cette position de l’œil en Fi , l’accommodation est possible si l’objet est placé entre Fo et Ao , ce qui donne comme latitude de mise au point Lm : Lm =

f2 dm = 2 dm G

Pour une loupe de grossissement 5, cette latitude mise au point vaut Lm = 1 cm.

III.2 Oculaire Les oculaires (du latin « ocularis », relatif à l’œil) sont des systèmes optiques généralement constitués de deux lentilles (Fig. 14.11). Analogues aux loupes, on les préfère à ces dernières, notamment en raison des possibilités qu’oﬀre la configuration de doublet pour la correction des aberrations chromatiques (cf. Leçon 11).

A0 F0, 1

F0, 2

Fi, 1

Fi, 2

Figure 14.11 Fonctionnement d’un oculaire de Ramsden. Détermination du foyer objet

a) Caractérisation d’un doublet On caractérise généralement un doublet de deux lentilles minces L1 L2 , de distances focales images f1 et f2 , séparées par une distance e, par un triplet de petits nombres entiers m, l, p proportionnels à f1 , e, f2 , respectivement : f2 f1 e = = =u m l p où u désigne ce rapport commun. Notons que les entiers m, l, p ne sont pas forcément positifs. Parmi les doublets connus, citons l’oculaire symétrique 3, 2, 3 de Jesse Ramsden, opticien britannique du XVIIIe siècle et l’oculaire 3, 2, 1 d’Huygens. Ce dernier présente l’avantage d’être pratiquement achromatique lorsque les deux lentilles, taillées dans le même verre, sont séparées par une distance égale à la demi-somme des distances focales images : m+p f1 + f2 soit l = 2 2 En eﬀet, on montre, à partir de la distance focale image fi de l’ensemble, laquelle dépend de f1 , f2 , mais aussi de e, que la variation de fi , lorsque la longueur d’onde du rayonnement varie, peut être négligée si la condition précédente est satisfaite. e=

b) Fonctionnement Dans des conditions d’observation où l’œil n’accommode pas, l’image d’un point objet Ao par l’oculaire doit être à l’infini ; Ao doit donc se trouver dans le plan focal

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III Instrumentation usuelle

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objet de l’oculaire. Pour cela, L1 doit former l’image de Ao dans le plan focal objet de L2 . On obtient la position de Ao à l’aide de la relation de conjugaison de Descartes (cf. Leçon 11), ce qui donne pour le doublet de Ramsden 3, 2, 3 (Fig. 14.11) : 1 1 1 1 − = = pi po f1 3u avec pi = O1 Fo,2 = O1 O2 + O2 Fo,2 = 2u − 3u = −u d’où : 3 po = O1 Ao = − u 4 Ainsi, pour u = 5 mm, on trouve po = 3,75 mm.

Remarque On peut constater la proximité du plan focal objet d’un oculaire en s’en servant comme d’une loupe.

c) Oculaire réticulé Puisque l’image de Ao donnée par le doublet se forme à l’infini, Ao est dans le plan focal objet de l’oculaire. On utilise parfois ce plan pour y placer un fin réticule, dont l’image à travers l’oculaire se superpose alors à celle de l’objet. De tels réticules se présentent souvent sous la forme : i) d’une croix permettant de pointer un objet, par exemple une étoile afin d’orienter le télescope dans la direction d’observation souhaitée, ii) d’un ruban gradué appelé micromètre, permettant de mesurer une distance ou, indirectement, un angle.

III.3 Viseur Un viseur est un système optique servant à repérer précisément la position d’un objet situé dans un plan de front à plusieurs centimètres ou décimètres de l’entrée de l’instrument. Ce dernier étant destiné à l’œil, le plan de front appelé plan de visée doit se trouver dans le plan focal objet du viseur afin de former une image à l’infini. Ce système est constitué d’un objectif L1 convergent et d’un oculaire, que l’on assimile, pour simplifier, à une lentille mince L2 (Fig. 14.12a). L’objectif forme l’image du plan de visée dans un plan contenant un réticule, lequel joue le rôle d’objet pour l’oculaire. Le réglage d’un viseur consiste à mettre au point l’image du réticule à travers l’oculaire, en agissant sur une crémaillère ou un dispositif de réglage équivalent. La distance entre l’objectif et le réticule détermine alors la distance du viseur au plan de visée, indépendamment du tirage de l’oculaire, et conformément à la relation de conjugaison de Descartes : 1 1 1 − = f1 O1 Ai O1 Ao f1 étant la distance focale image de l’objectif. Un viseur permet de déterminer, sur un banc d’optique, la position d’une image réelle ou virtuelle. Par exemple, pour mesurer la distance Ao Ai entre un objet réel Ao Bo et son image virtuelle Ai Bi à travers une lentille mince divergente L (Fig. 14.12b), on vise successivement :

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14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Crémaillère

Objectif

Réticule

A0 Ai

A0 Fi Ai

Objectif Viseur Oculaire

Oculaire

Figure 14.12 Viseur

a) Fonctionnement

b) Visée d’une image virtuelle

i) l’objet réel en l’absence de L et on lit sur le banc l’abscisse za du viseur, ii) l’image virtuelle, en présence de L, en mesurant la nouvelle abscisse zp du viseur. La distance recherchée est alors Ao Ai = zp − za .

Remarques 1) Lorsque la distance de l’objectif au réticule n’est pas réglable, le viseur est dit à frontale fixe, la distance du plan de visée à l’objectif étant fixée par construction. 2) Un oculaire est capable de réaliser la même fonction qu’un viseur. Ce qui l’en distingue, c’est notamment la distance entre le plan focal objet et l’entrée de l’instrument, laquelle n’est que de quelques millimètres pour un oculaire, ce qui rend impossible l’observation d’images virtuelles.

III.4 Collimateur Certains instruments d’optique, comme le spectroscope à prisme (cf. III.7), nécessitent, pour fonctionner, un objet à l’infini. Un collimateur est un instrument d’optique qui permet précisément de réaliser un objet à l’infini (Fig. 14.13). Crémaillère Lampe

Verre dépoli

Objectif

Figure 14.13 Fonctionnement d’un collimateur

Le collimateur comporte un verre dépoli sur lequel est gravé un réticule que l’on éclaire à l’aide d’une source de lumière éventuellement incorporée à l’instrument. À l’aide d’une crémaillère, on place le réticule au foyer objet d’une lentille convergente, l’objectif du collimateur, ce qui permet de former son image à l’infini. On vérifie le réglage du collimateur en observant son image à l’aide d’un autre instrument, dont la vocation est précisément d’observer un objet à l’infini : la lunette.

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III Instrumentation usuelle

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III.5 Lunette a) Fonctionnement Une lunette est un instrument afocal voué à l’observation d’objets situés à grande distance (à l’infini). Elle se compose d’un objectif L1 , d’un oculaire, que l’on assimilera par simplicité à une lentille mince L2 , et parfois d’un réticule (Fig. 14.14). Réglage 1

Objectif

Réglage 2

Réticule

Oculaire

Figure 14.14 Lunette de visée

L’objectif L1 forme, dans son plan focal image, l’image de l’objet, laquelle est reprise par l’oculaire. Le réticule doit donc se trouver aussi dans le plan focal de L1 .

Remarque On voit à travers l’exemple de la lunette que l’association deux systèmes convergents, peut donner un système non convergent, dans ce cas afocal.

b) Réglages Le réglage d’une lunette s’eﬀectue en deux étapes : i) Mise au point sur le réticule

En agissant sur la crémaillère de réglage (2) de l’oculaire (Fig. 14.14), on cherche à obtenir une image nette du réticule en partant de la position la plus éloignée possible de l’oculaire (Fig. 14.15a). Dans cette configuration initiale, l’image que donne la lunette est virtuelle pour l’œil, qui par conséquent, ne peut l’observer. En rapprochant progressivement l’oculaire du réticule, la première image nette du réticule que l’on voit se forme au punctum remotum de l’œil. C’est le réglage qu’il convient de retenir, car il limite la fatigue oculaire due à l’accommodation (Fig. 14.15b). En rapprochant encore l’oculaire du réticule, l’œil accommode par réflexe. L’image reste nette tant qu’elle se forme au delà du punctum proximum, mais le confort visuel est perdu en raison de l’eﬀort d’accommodation (Fig. 14.15c). ii) Réglage de l’objectif

En agissant sur la crémaillère de réglage (1) de la position de l’objectif (Fig. 14.14), on forme l’image qu’il donne de l’objet visé dans le plan du réticule ; lorsque l’image est nette, le plan focal image de l’objectif coïncide avec le plan du réticule. Une fois ces réglages eﬀectués, si un second utilisateur souhaite observer à travers l’instrument, le seul réglage à reprendre est celui de la mise au point sur le réticule, pour l’adapter à son œil. Le réglage de l’objectif reste évidemment inchangé.

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14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Œil a) Oculaire

Réticule

Œil b) Réticule

Oculaire

Œil c) Réticule

Oculaire

Figure 14.15 Mise au point sur le réticule a) Configuration initiale b) Réglage optimal pour l’œil normal c) Réglage entraînant une fatigue oculaire

Remarque En pratique, on peut être amené à retoucher sporadiquement la mise au point sur le réticule, en raison de légères modifications de l’état de l’œil lors d’observations de longue durée. Il ne faut évidemment pas hésiter à revenir sur ce réglage, la priorité devant être naturellement donnée au confort visuel, car l’inconfort altère la qualité des mesures.

c) Lunette autocollimatrice Le réglage de l’objectif d’une lunette, munie d’un réticule, nécessite la visée d’un objet très éloigné (à l’infini), ce qui n’est pas toujours possible, dans l’enceinte d’un laboratoire. Une lunette autocollimatrice permet, elle, d’effectuer ce réglage. Une lunette autocollimatrice diffère d’une lunette quelconque par la possibilité qu’elle offre d’éclairer le réticule grâce à une petite lampe incorporée dans l’instrument. Le réglage de la mise au point sur le réticule reste le même que celui qui vient d’être décrit, en agissant sur la crémaillère de mise au point : réglage (2) (Fig. 14.16a). L’objectif, quant à lui, peut désormais être réglé par autocollimation : i) on commence par éclairer le réticule, lequel est un objet lumineux pour l’objectif, ii) on dispose ensuite d’un miroir plan, qui peut être tenu à la main, devant l’objectif. Ce dernier donne du réticule une image reprise par le miroir, puis à nouveau par l’objectif (Fig. 14.16a). L’image observée à travers l’oculaire est alors la superposition de l’image nette du réticule et de la nouvelle image du réticule formée par l’objectif et le miroir. On met cette seconde image au point à l’aide de la crémaillère de réglage (1) de la distance réticule objectif (Fig 14.16a). Lorsque la netteté est satisfaisante, le réticule se trouve dans le plan focal objet de l’objectif et l’on voit se superposer deux images nettes du réticule, qui sont légèrement décalées si le miroir n’est pas exactement orthogonal à l’axe optique (Fig. 14.16b).

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III Instrumentation usuelle

Réglage 1

Miroir plan

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Réglage 2

Oculaire

Objectif Lampe a)

Figure 14.16 Lunette autocollimatrice

a) Réglage b) Double image du réticule observée à travers la lunette

d) Télescope réfracteur Le télescope réfracteur (lunette astronomique), est un instrument dédié à l’observation du ciel nocturne. L’élément le plus coûteux du télescope est son objectif, qui doit être de grand diamètre, afin de collecter un maximum de lumière, et corrigé des aberrations chromatiques. La présence d’un réticule au foyer de l’objectif étant d’intérêt limité pour l’observation astronomique (il gêne l’observation de l’image), ces télescopes en sont généralement dépourvus. Le réglage de l’instrument se réduit donc à celui de l’oculaire. Une caractéristique importante de l’instrument est son grossissement G, valeur absolue du rapport de l’angle αi sous lequel on voit l’objet à travers le télescope sur l’angle θ sous lequel on le voit à l’œil nu. En assimilant pour simplifier, l’oculaire à une lentille mince convergente (Fig. 14.17), on a, si Ai Bi est l’image que donne l’objectif dans son plan focal image : θ ≈ tan θ =

Ai Bi f1

et θi ≈ tan θi =

Fi, 1 F0, 2 Ai θi

θi

Bi Objectif

Ai Bi f2 Oculaire

Ai Cercle oculaire

Monture de l’objectif

Oculaire a)

Figure 14.17 Télescope réfracteur

a) Grandissement angulaire

b) Cercle oculaire

puisque le plan focal image de l’objectif coïncide avec le plan focal de l’oculaire. On en tire l’expression suivante du grossissement : G=

f1 |θi | = θ f2

qui dépend de l’oculaire utilisé. Notons que l’instrument renverse l’image.

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14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

EXEMPLE

Pour un télescope, de focale d’objectif f1 = 1 m et de focale d’oculaire f2 = 20 mm, G = 1/0,02 = 50. Le diamètre apparent des anneaux de Saturne étant d’environ θ ≈ 40 , le télescope permet de les observer sous un angle |θi | = 50 × 40 = 33 , qui est bien supérieur à la limite de résolution angulaire de l’œil ; on dit que l’instrument permet de les résoudre.

Remarques 1) L’utilisation d’un oculaire divergent à la place d’un oculaire convergent donne un instrument ne renversant pas l’image : c’est la lunette terrestre ou lunette de Galilée (cf. Leçon 11). 2) Il existe deux limites de la résolution des images observées à travers un télescope. La première est due à la diﬀraction de la lumière, c’est-à-dire à son éparpillement en raison de la limitation spatiale imposée par l’objectif au faisceau de lumière entrant dans l’instrument. Pour une lunette de 20 cm de diamètre par exemple, cela représente une limite de résolution de 0,6 . La deuxième est due à la présence de l’atmosphère qui en raison de son inhomogénéité et de sa turbulence, dégrade les images, au point qu’une étoile a l’apparence d’une petite tache, dont le diamètre apparent varie de quelques dixièmes de secondes d’arc dans les meilleurs sites d’observation astronomique à quelques secondes d’arc. Cette petite tache dans le plan focal de l’objectif du télescope est appelée « seeing » par les astronomes (de l’anglais “see” qui signifie voir). 3) Rappelons qu’une lunette munie d’un oculaire est un système afocal, puisqu’elle donne d’un objet à l’infini, une image à l’infini.

e) Disque oculaire Le disque oculaire, encore appelé disque de pleine lumière, est le disque centré sur l’axe optique d’où semble émerger toute la lumière entrant dans l’instrument ; c’est donc l’image de la monture de l’objectif donnée par l’oculaire (Fig. 14.17b). Comme f2 f1 , le disque oculaire se situe à proximité de la face de sortie de l’oculaire, peu après son foyer image. Aussi, l’œil se place-t-il naturellement au centre de ce disque puisque c’est à cet endroit que l’image est la plus lumineuse.

f) Élargisseur de faisceau laser Un élargisseur de faisceau laser est un système constitué de deux lentilles L1 et L2 destiné à augmenter le diamètre d’un faisceau incident parallèle à l’axe optique (Fig. 14.18). Le faisceau émergent étant, lui aussi parallèle à l’axe optique, il conjugue, comme une lunette astronomique, un objet et une image situés tous deux à l’infini : le système est afocal, le foyer image de L1 coïncide donc avec le foyer objet de L2 . Le rapport du diamètre Di du faisceau émergent sur celui De du faisceau incident est alors (Fig. 14.18) : f2 Di = >1 De f1 f1 et f2 étant les distances focales des deux lentilles. Comme Di /De > 1 on en déduit f2 > f1 : un élargisseur de faisceau laser est donc une lunette inversée.

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III Instrumentation usuelle

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F0, 2 Fi, 1

Di f1 Objectif

f2 Oculaire

Figure 14.18 Élargisseur de faisceau laser

ORDRE DE GRANDEUR

Avec un faisceau laser, de 1 mm de diamètre, qui pénètre dans un élargisseur constitué de deux lentilles de focales f1 = 5 mm et f2 = 8 cm, on obtient, en sortie, un faisceau de diamètre (80/5) × 1 = 1,6 cm.

III.6 Goniomètre a) Description Un goniomètre, du grec « gônia » qui signifie « angle », est un instrument destiné à la mesure des angles. Il comporte (Fig. 14.19) : i)

un plateau circulaire gradué (1), dont la finesse des graduations, de 0◦ à 360◦ , détermine la précision de l’instrument,

ii) un collimateur rotatif (2), destiné à former l’image à l’infini d’une fente source (3), laquelle est éclairée par une source de lumière auxiliaire (4), iii) une lunette de visée rotative (5), munie d’un réticule en forme de croix, permettant de mesurer la direction de l’image de la fente source, Au centre du plateau, on place le système de déviation de l’image de la fente source que l’on désire étudier, par exemple un prime ou un réseau de diﬀraction. Plateau circulaire (1) Collimateur (2)

Fente source (3)

A n D Prisme

Lunette (5)

Lampe (4)

Figure 14.19 Goniomètre

b) Réglages Les étapes du réglage sont les suivantes : i) on règle la lunette selon la procédure habituelle décrite précédemment,

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366

14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

ii) une fois réglée, la lunette donne une image nette d’un objet à l’infini. Il suﬃt alors de viser le collimateur et de régler celui-ci de telle sorte que l’image de la fente, vue à travers la lunette, soit nette.

Remarque On doit veiller à eﬀectuer le réglage précédent avec une fente peu ouverte afin d’éviter l’éblouissement. De façon générale, en optique, il est prudent de ne jamais placer l’œil directement derrière un oculaire, mais plutôt de s’approcher progressivement le long de l’axe de visée. Cela permet de déceler d’assez loin une image de forte intensité lumineuse et ainsi de se protéger d’un éblouissement dangereux.

c) Spectrogoniomètre à prisme Un spectrogoniomètre (ou spectroscope) à prisme est un goniomètre équipé d’un prisme qui dévie la lumière par dispersion (cf. Leçon 9). Les diﬀérentes composantes monochromatiques de l’image de la fente source, à la sortie du collimateur, subissent une déviation qui dépend de l’indice du verre, lequel est fonction de la fréquence du rayonnement, ou de la longueur d’onde correspondante dans le vide. En mesurant l’angle de déviation, on accède soit à l’indice n d’un verre à une longueur d’onde déterminée, soit à une longueur d’onde pour un indice connu.

Remarque Il existe des spectrogoniomètres plus performants, équipé de réseaux, qui sont des systèmes optiques périodiques provoquant une dispersion de la lumière par diﬀraction (cf. Leçon 9).

d) Incertitudes sur la mesure des angles Les angles sont mesurés par rapport à une origine arbitraire sur le plateau. Comme cette direction ne coïncide généralement pas avec l’axe du collimateur, on s’arrange pour mesurer deux angles α1 et α2 correspondants à deux directions D1 et D2 , d’où l’on déduit la diﬀérence α = α2 − α1 . L’incertitude sur la mesure dépend évidemment de la précision de l’instrument. En écrivant sous la forme suivante, la relation entre un angle α, sa mesure αexp et son incertitude Δα (cf. Leçon 1) : α = αexp ± Δα on a, pour un plateau gradué en minutes d’arc : Δα1 = 1

et Δα2 = 1

d’où

Δα = Δ (α2 − α1 ) = Δ (α1 ) + Δ (α2 ) = 2

les incertitudes s’ajoutant (cf. Leçon 1).

e) Mesure de l’angle au sommet d’un prisme La première étape de toute mesure qui utilise un prisme consiste à déterminer l’angle au sommet de ce dernier. Deux méthodes sont envisageables selon que l’on utilise un collimateur ou une lunette autocollimatrice.

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III Instrumentation usuelle

367

i) Avec un collimateur, on s’arrange pour que la lumière incidente tombe sur l’arête du prisme en l’éclairant symétriquement. Les visées successives dans les directions D1 et D2 des images réfléchies sur les faces donnent par diﬀérence l’angle α = α2 − α1 , lequel est le double de l’angle au sommet du prisme (Fig. 14.20a) : Aˆ = α/2. L’incertitude sur la mesure est alors : ΔAˆ = Δα/2 = 1 . A1 A I1 D1 Lunette

A2 A2

I2 A2

Lunette

A1 A 2

Lunette

D2 Lunette α=π–A

α=2A a)

Figure 14.20 Mesure de l’angle au sommet d’un prisme a) Avec un collimateur lunette autocollimatrice

b) Avec une

ii) Avec une lunette autocollimatrice, on commence par éclairer et mettre au point le réticule. Ensuite, on forme par réflexion sur une face d’un prisme, une seconde image du réticule. On tourne alors la lunette de façon à superposer les deux images du réticule, ce qui garantit l’orthogonalité de l’axe de visée avec la face du prisme pour la direction D1 . En eﬀectuant une mesure analogue pour la direction D2 sur l’autre face du prisme, on en déduit l’angle α = π − Aˆ 1 − Aˆ 2 = π − Aˆ (Fig. 14.20b), d’où Aˆ = π − α. Cette méthode est moins précise que la précédente, puisque : ΔAˆ = Δ(π − α) = Δα = 2

f) Mesure de l’indice d’un prisme On utilise une source spectrale et un tableau de référence indiquant les longueurs d’ondes dans le vide λ0 des raies les plus intenses avec leurs couleurs. Après avoir identifié la raie choisie, de longueur d’onde λ0 , on tourne lentement le prisme afin de le placer dans la position qui donne le minimum de déviation Dm de la lumière incidente issue du collimateur. Au cours de la rotation, on observe, dans le champ de la lunette, le déplacement régulier de la raie, puis, lors du franchissement de la position du prisme donnant le minimum de déviation, un changement de sens du déplacement. On centre alors le réticule sur cette direction minimale de déviation D1 (Fig. 14.21a), et on mesure l’angle α1 correspondant. En procédant de même pour la position symétrique du prisme par rapport à l’axe du collimateur, on mesure l’angle α2 correspondant à la direction D2 , d’où l’on déduit ˆ m (Fig. 14.21b). la différence : α = α2 − α1 = 2D L’indice du prisme, à la longueur d’onde choisie, s’obtient alors à l’aide de la relation (cf. Leçon 9) : ŤĂ Ł Ů ˆ m /2 sin Aˆ + D Ă Ł n= ˆ sin A/2 En mesurant l’indice du prisme à différentes longueurs d’onde, on peut obtenir les premiers coefficients du développement de l’indice en fonction de la longueur d’onde λ0

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368

14 TP-cours (PCSI) : Instrumentation optique

Prisme Position symétrique

Base Minumum de déviation

Dm Lunette

Raie choisie

Dm 2Dm

Figure 14.21 Minimum de déviation

a) Visée dans la lunette

b) Mesure de 2Dm

et vérifier la loi de Cauchy : n ≈ A0 +

A1 λ20

Les mesures obtenues avec les raies d’une lampe spectrale à vapeur de mercure, pour un verre flint extra dense, donnent le graphe de n en fonction de λ−2 0 de la figure 14.22. On obtient une droite d’équation : n = 1,707 +

16,3 × 10−3 λ20

la longueur d’onde étant exprimée en μm. n 1,80

1,78

1,76

1,74

6 λ–2 (μm–2) 0

Figure 14.22 Vérification de la loi de Cauchy pour un verre flint extra dense

g) Mesure des longueurs d’onde La mesure d’une longueur d’onde λ0 inconnue nécessite, au préalable, de tracer une ˆ m (λ0 ) en fonction de la longueur courbe d’étalonnage donnant la déviation minimale D d’onde, à l’aide de sources spectrales dont on connaît le spectre. On peut utiliser une ou plusieurs sources afin de resserrer les mesures dans le domaine spectral de la raie à mesurer.

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IV Ouvertures

369

On détermine ensuite un angle minimal de déviation pour la raie à déterminer ; la courbe d’étalonnage fournit la valeur de λ0 .

OUVERTURES

Le microscope est un instrument d’optique destiné à l’observation des détails invisibles à l’œil nu (cellules vivantes, défauts d’un matériau, structures minérales, etc.). Une fois réglé, il donne donc d’un objet réel, une image rejetée à l’infini, que l’œil observe avec un fort grossissement.

IV.1 Description Il existe plusieurs types de microscope, le plus courant étant celui à transmission de lumière, c’est-à-dire muni d’un système d’éclairage situé sous l’objet (Fig. 14.23). Oculaire Crémaillère

Vis micrométrique

Objectif Platine porte-objet Diaphragme Miroir condenseur

Figure 14.23 Microscope

Il comporte les éléments suivants : – une platine porte objet sur laquelle on dispose l’échantillon à observer, que l’on prépare préalablement sur une lame de verre, éventuellement recouverte d’une fine lamelle ; – un miroir qui joue le rôle d’un condenseur, afin d’éclairer l’objet par transmission ; – un diaphragme qui permet de réduire l’éclairement de l’objet ; – des objectifs amovibles de diﬀérentes distances focales, que l’on sélectionne à l’aide d’une plate-forme rotative. Ces objectifs, de focales typiques comprises entre 2 et 45 mm, sont destinés à former une image agrandie de l’objet, que l’on observe à l’aide d’un oculaire ; – un oculaire de focale typique de quelques dizaines de millimètres, maintenu à une distance fixe de l’objectif ; – un système à crémaillère qui permet d’approcher l’objectif de l’objet (tout en veillant à ne pas briser ce dernier avec l’extrémité de l’objectif) ; – une vis micrométrique de mise au point, nécessaire en raison de la faible latitude de mise au point (cf. ci-après).

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C I

oniques

DÉFINITION

Une conique est l’ensemble des points M d’un plan tels que le rapport de la distance MF, à un point F, et de celle HM, à une droite D, est constant : FM = Cte = e HM Le nombre positif e est l’excentricité , F un foyer et D une directrice de la conique (Fig. 3.1). On introduit généralement la distance p, appelée paramètre de la conique, et on écrit la distance de F à D sous la forme : FH0 =

p e

H0 étant la projection de F sur D. y

x Axe focal

D p/e

Figure 3.1 Définition géométrique d’une conique à partir d’un foyer et d’une droite directrice

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1130

3 Coniques

Remarque Le mot « conique » vient de la définition géométrique de ces courbes obtenues par intersection d’un cône avec un plan.

ÉQUATION POLAIRE

En coordonnées polaires, r = FM et ϕ = (Fx, FM FM), l’équation FM = e HM s’écrit aussi : Ą

p p + r cos ϕ = p + er cos ϕ puisque HM = H0 F + FM = + r cos ϕ r=e e e Il en résulte : p p r= soit aussi r= 1 − e cos ϕ 1 + e cos(ϕ − π) Remarquons que l’angle ϕ − π est l’angle (−Fx, FM FM) que fait le rayon vecteur FM avec l’axe −Fx. On distingue trois types de coniques selon la valeur de e. i) Si e < 1, la conique est une ellipse : p p rmin ≤ r ≤ rmax où rmin = et rmax = 1+e 1−e ii) Si e > 1, la conique est une hyperbole : rmin ≤ r < ∞ où rmin =

p 1+e

iii) À la limite e = 1, la conique est une parabole : rmin ≤ r < ∞ où rmin =

p 2

Remarque La signification de p est immédiate : p = r lorsque ϕ = π/2.

III

ÉQUATION CARTÉSIENNE

Pour établir l’équation cartésienne d’une conique, il est naturel d’adopter le système d’axes H0 xy. Pour cela, exprimons en fonction des coordonnées x et y la relation FM2 = e2 HM2 . Il vient : Ą

Ă Ł 2px p 2 p2 + y2 + 2 = 0 x− + y2 = e2 x2 soit x2 1 − e2 − e e e C’est une équation du deuxième degré en x et en y.

(E)

III.1 Parabole Pour la parabole (e = 1), l’équation (E) précédente se réduit à y2 = 2p(x − p/2). En introduisant le nouveau système d’axes SXY, défini par X = x − p/2 et Y = y (Fig. 3.2), l’équation de la parabole se met sous la forme canonique suivante : Y2 = 2pX

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III Équation cartésienne

1131

p S

Axe focal

x p Parabole

Figure 3.2 Parabole

III.2 Ellipse et hyperbole Pour e 1, multiplions les deux membres de l’équation (E) par (1 − e2 )/p2 . Il vient : Ă

1 − e2

Ł2

x − 2

2 1 − e2 x ep

+ y2

1 − e2 1 − e2 + =0 p2 e2

soit, en considérant les deux premiers termes comme le début d’un carré remarquable : Ă

1 − e2

Ł2 »

p x− e (1 − e2 )

–2

−

2 1 1 − e2 21 − e + y + =0 e2 p2 e2

Dans le nouveau système d’axes CXY (Figs. 3.3 et 3.4) défini par : X=x− l’équation (E) devient :

p e (1 − e2 )

X2 1 − e2

Ł2

et Y = y

Y2 1 − e2

Les anciennes coordonnées de la nouvelle origine C sont : xC = p/[e(1 − e2 )] et yC = 0.

a) Ellipse y

Y M p P

H0 p /e

ϕ C

F⬘

x A Axe focal Ellipse

Figure 3.3 Ellipse

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1132

3 Coniques

Pour une ellipse (e < 1), l’équation (E) se met sous la forme canonique suivante : X 2 Y2 + 2 = 1 avec a2 b

p 1 − e2

et b =

p (1 − e2 )1/2

Comme e < 1, l’origine C se trouve sur H0 x à droite de F (Fig. 3.3). La distance c entre les points C et F vaut : c = CF = H0 C − H0 F =

pe p p = ea d’où − = e (1 − e2 ) e 1 − e2

c a

En outre, entre a, b et c, on a la relation c2 = e2 a2 = a2 − a2 (1 − e2 ) = a2 − b2 soit, puisque b = p(1 − e2 )−1/2 = a(1 − e2 )1/2 : a2 = c 2 + b 2

b) Hyperbole Y

y M

p C F ⬘ S⬘

S F p/ e

Axe focal

Hyperbole

Figure 3.4 Hyperbole

Quant à l’hyperbole (e > 1), elle admet pour équation canonique : X 2 Y2 − 2 = 1 avec a2 b

p −1

et b =

(e2

p − 1)1/2

Comme e > 1, l’origine C se trouve sur H0 x à gauche de D : xC < 0 (Fig. 3.4). La distance c entre les points C et F vaut : c = CF = CH0 + H0 F =

p pe p + = 2 = ea d’où e (e2 − 1) e e −1

c a

En outre, entre a, b et c, on a la relation : c2 = e2 a2 = a2 + a2 (e2 − 1) = a2 + b2, soit, puisque b = p(e2 − 1)−1/2 = a(e2 − 1)1/2 : a2 = c 2 − b 2

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IV Propriétés fondamentales des coniques

1133

PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES CONIQUES

IV.1 Parabole Comme e = 1, MF = MH. La parabole est donc l’ensemble des points M du plan situés à égale distance d’un point F et d’une droite D.

IV.2 Ellipse et hyperbole Introduisant ε = ±1, les équations de l’ellipse et de l’hyperbole s’écrivent toutes deux : X2 Y2 + =1 a2 εb2

avec a2 = c2 + εb2

ε = 1 donnant l’ellipse et ε = −1 l’hyperbole. Il en résulte que : Y2 X2 + 2 = 1 soit 2 a a − c2

X 2 + Y 2 + c 2 = a2 +

c2 X 2 a2

En ajoutant ±2cX aux deux membres de cette équation, on obtient : Ą

(X + c)2 + Y2 = a +

cX a

Ń2

(X − c)2 + Y2 = a −

cX a

Ń2

a) Ellipse Dans le système d’axes CXY, dans lequel F a pour coordonnées (−c, 0) (Fig. 3.3), FM a pour composantes (X + c, Y). Par conséquent, la première des deux équations précédentes se met sous la forme : Ą

FM2 = a +

cX a

Ń2

Notant F le point symétrique de F par rapport à C, la seconde équation prend la forme analogue : Ą Ń cX 2 F M2 = a − a Or |X|/a ≤ 1 et c < a entraînent c|X|/a < a. On en déduit : FM = a +

cX a

F M = a −

cX a

FM + F M = 2a

L’ellipse est donc l’ensemble des points M du plan tels que la somme des distances à deux points F et F , appelés foyers, est constante.

b) Hyperbole Dans le système d’axes CXY, dans lequel F a pour coordonnées (c, 0) (Fig. 3.4), FM a pour composantes (X − c, Y). On peut donc écrire, comme précédemment : Ą

cX FM = a − a 2

Ń2

cX et F M = a + a

Ń2

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1134

3 Coniques

F étant le symétrique de F par rapport à C. Comme c est supérieur à a, on a : Ą

X a

Ń2

=1+

Y2 > 1 d’où c 2 − a2

c|X| >c>a a

Deux cas se présentent donc selon la position de M. i) X > 0 Comme cX/a > a, il vient : FM =

cX −a a

F M =

cX +a a

F M − FM = 2a

Le point M décrit la branche droite de l’hyperbole (Fig. 3.4). ii) X < 0 Comme −cX/a > a, on a a + cX/a < 0, d’où : FM = a −

cX a

F M = −

cX −a a

FM − F M = 2a

Le point M décrit la branche gauche de l’hyperbole (Fig. 3.4). Ainsi : |FM − F M| = 2a L’hyperbole est donc l’ensemble des points M du plan tels que la diﬀérence des distances à deux points F et F , appelés foyers, est constante. Lorsque l’abscisse X de M tend vers ±∞, l’équation de l’hyperbole donne : Y2 X2 X2 = − 1 ≈ b2 a2 a2 L’hyperbole admet donc deux asymptotes, Y = bX/a et Y = −bX/a, qui se coupent en C.

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N I

ombres complexes

DÉFINITION

Un nombre complexe est le couple ordonné (a, b) de deux nombres réels a et b. L’ensemble des nombres complexes est muni de deux opérations : i) la somme, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ii) le produit, (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Le produit est commutatif puisque : (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = (c, d)(a, b)

FORME CARTÉSIENNE

Le nombre complexe z = (a, b) peut s’écrire, compte tenu de la définition : z = (a, 0) + (0, b) = (1, 0)a + (0, 1)b Le nombre complexe (1, 0) a les mêmes propriétés que le nombre réel 1. Quant au nombre complexe (0, 1), qui est tel que (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), il est appelé l’unité imaginaire. Il est généralement noté i, sauf en électricité, où on le désigne par j afin d’éviter un conflit de notation avec l’intensité du courant. C’est ce que nous ferons ici : z = (a, b) = a + jb

avec

j2 = −1

où a et b sont respectivement les parties réelle et imaginaire de z : a = Re{z} et b = Im{z}.

Remarque On prendra soin de ne pas confondre j, tel que j2 = −1, avec la racine cubique de −1 souvent désignée par la même lettre.

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1144

6 Nombres complexes

III

REPRÉSENTATION D’UN NOMBRE COMPLEXE

Le nombre complexe (a, b) peut être représenté, dans un plan cartésien Oxy, par le point M de coordonnées a et b ; Ox est l’axe réel et y l’axe imaginaire (Fig. 6.1a). La distance d entre l’origine O et M est le module |z| du nombre complexe z : d = |z| = (a2 + b2 )

1/2

Si M1 et M2 représentent les nombres complexes z1 = a1 + jb1 et z2 = a2 + jb2 respectivement, la distance M1 M2 est égale au module du nombre complexe z2 − z1 (Fig. 6.1b) : Ť

M1 M2 = |z2 − z1 | = (a2 − a1 )2 + (b2 − b1 )2

Ů1/2

Le carré du module de z = a + jb, qui vaut a2 + b2 , s’écrit aussi : |z|2 = (a + jb)(a − jb)

soit

|z|2 = zz

où z = a − jb

est le nombre complexe conjugué de z. Les parties réelle et imaginaire de z sont souvent écrites en fonction de z et z : a = Re{z} =

z + z 2

b2 b

M θ

M2 d

|z |

M1 a1

a) Figure 6.1 a) Représentation géométrique d’un nombre complexe z du module de la différence z1 − z2

z − z 2j

b = Im{z} =

b) Représentation géométrique

FORME POLAIRE D’UN NOMBRE COMPLEXE

D’après la représentation géométrique, si θ est l’angle (Ox, OM OM), on a : a = |z| cos θ et b = |z| sin θ, d’où la forme polaire de z : z = a + jb = |z| (cos θ + j sin θ)

FORMULES D’EULER

Rappelons les développements limités en 0 des fonctions cos x, sin x et exp x, x étant une variable réelle : cos x = 1−

x2 x4 x6 + − +... 2! 4! 6!

sin x = x−

x3 x5 x7 + − +... 3! 5! 7!

exp x = 1+x+

x2 x3 + +... 2! 3!

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VI Multiplication par le nombre complexe exp(jα)

1145

Pour tout nombre complexe z, on peut généraliser l’écriture précédente en posant : exp z = 1 + z +

z2 z3 + +... 2! 3!

Si z est imaginaire pur, alors il peut s’écrire z = jx avec x réel, et : exp(jx) = 1 + jx −

x2 jx3 − +... 2! 3!

En comparant exp( jx) à cos x et sin x, on trouve les formules d’Euler, du nom du mathématicien suisse Leonhard Euler : exp(jx) = cos x + j sin x

cos x =

exp(jx) + exp(− jx) 2

sin x =

exp( jx) − exp(− jx) 2j

Il en résulte que la forme polaire d’un nombre complexe s’écrit : z = |z| exp(jθ)

avec

exp( jθ) = cos θ + j sin θ

EXEMPLES

j = exp jπ/2

− 1 = exp(jπ)

1+ j=

√

2 exp jπ/4

MULTIPLICATION PAR LE NOMBRE COMPLEXE exp(jα)

Multiplions le nombre complexe z = |z| exp( jθ), représenté par le point M du plan cartésien Oxy (Fig. 6.2), par exp( jα), de module unité. On obtient le nombre complexe z suivant : z = z exp( jα) = |z| exp[j(θ + α)] C’est un nombre complexe de même module que z, mais dont l’angle polaire a augmenté de α. Le vecteur OM représentant z s’obtient donc à partir du vecteur OM par une rotation de l’angle α autour de l’axe Oz perpendiculaire au plan Oxy. Notons que la multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel ne modifie que son module. y

M⬘

α θ O

Figure 6.2 Interprétation de la rotation d’un vecteur dans un plan à l’aide d’un nombre complexe

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1146 — #1190

1146

6 Nombres complexes

VII

APPLICATION AU TRACÉ DES DIAGRAMMES DE BODE

Les diagrammes de Bode, associés à la fonction de transfert d’un filtre, fournissent un exemple d’illustration du calcul du module et de la phase d’un nombre complexe. Comme le tracé point par point de ces diagrammes est fastidieux, il est judicieux d’utiliser un outil informatique, par exemple gnuplot, disponible en libre accès sur Internet et largement adopté par les scientifiques. On donne ici les éléments de base qui permettent d’obtenir rapidement un graphique, en excluant les divers raﬃnements que permet gnuplot.

VII.1 Position du problème On veut tracer, en fonction de la fréquence réduite w, les diagrammes de Bode d’un filtre de Sallen-Key (cf. Leçon 19), dont la fonction de transfert canonique a pour expression : H=

H0 H0 = 1 − w2 + jw/Q 1 + 102W + j10W /Q

en introduisant la variable plus adaptée W = lg w. Pour cela, on précise que H0 = 5 et on considère pour Q les deux valeurs Q1 = 10 et Q2 = 1.

VII.2 Lignes de commandes sur gnuplot Il est parfois utile d’initialiser le logiciel avec la commande reset.

a) Taille de la figure et bornes des axes On commence par préciser les valeurs limites des abscisses et des ordonnées. xmin = -1.1 xmax = 1.1 ymin=-20 ymax=40 set xrange [xmin:xmax] set yrange [ymin:ymax] Avec set grid, on aﬃche la grille du graphique. Précisons que la commande set de gnuplot permet d’attribuer une caractéristique au dessin.

b) Tracé des axes On donne un nom aux deux axes x et y avec xlabel et ylabel respectivement : set xlabel "W" set ylabel "Gu(dB)" Avec set xtic et set ytic, on demande de tracer des repères (« tic » en anglais) le long des deux axes. set xtic set ytic

i i

i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1147 — #1191

VII Application au tracé des diagrammes de Bode

1147

c) Tracé du module Avant d’écrire la fonction complexe, on doit introduire le nombre complexe j, à l’aide de j={0,1} et rappeler les valeurs des paramètres H0 , Q1 et Q2 . On obtient alors le tracé des deux courbes donnant Gu (dB) = 20 lg |H| pour les deux valeurs de Q à l’aide de la commande plot (« graphe » en anglais) : j={0,1} H0=5 Q1=10 Q2=1 plot 20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1))) title "Q = 10", 20*log10(abs(H0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2))) title "Q = 1" l’instruction title donnant en légende Q = 10 pour la courbe 1 et Q = 1 pour la courbe 2.

Remarques 1) Le module du nombre complexe est obtenu avec abs. 2) En promenant la souris sur le graphique aﬃché, on a, en bas à gauche, les coordonnées du point courant. 3) Dans gnuplot, les lignes précédées du symbole # ne sont pas prises en compte. 4) On peut aussi travailler à l’aide d’un fichier texte (“script” en anglais), dans lequel on rassemble toutes les instructions précédentes. On doit alors ouvrir un éditeur de texte, par exemple Bloc-notes sous windows ou vi sous linux, et créer un fichier intitulé Bode-sk.txt, l’extension .txt indiquant qu’il s’agit d’un texte. À l’aide de gnuplot, on trace le graphe en chargeant (load) le fichier « Bode-sk.txt », selon load "Bode-sk.txt".

VII.3 Tracé de la phase Pour le tracé de la phase φ, argument du nombre complexe H(w), on procède de la même manière. On change l’intervalle de valeurs des ordonnées ymin=-2*pi et ymax=2*pi, on modifie le nom de l’axe correspondant set ylabel "Phase (rad)" et on trace : plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q1)) title "Q = 10", plot arg(H_0/(1-10**(2*x) + j*10**x/Q2)) title "Q = 1" Les diagrammes de Bode obtenus sont ceux représentés sur la figure 19.16 de la Leçon 19.

Remarque Ici aussi, on peut travailler à l’aide d’un fichier texte, comme précédemment.

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 825 — #869

VII Entropie d’une phase condensée

825

Écrivons les bilans énergétique et entropique pour le système isolé : ΔU = 0 avec ΔU = ΔU1 + ΔU2 = C(T f − T1 ) + C(T f − T2 ) et

ΔS = S(c) > 0

avec ΔS = ΔS1 + ΔS2

On en déduit :

T1 + T2 CT1 + CT2 = C+C 2 Les variations d’entropie de chacun des corps s’obtiennent en imaginant des chemins réversibles entre les mêmes états extrêmes. Désignant par T1 et T2 les températures génériques respectives des matériaux au cours de ces chemins, il vient : Tf =

ΔS1 =

δQ1 = T1

Il en résulte que :

C dT1 T1 „

ΔS = C ln

Tf T1

et ΔS2 =

„

+ C ln

Tf T2

δQ2 = T2

C dT2 T2

= S(c) > 0

ORDRE DE GRANDEUR

Pour T1 = 300 K, T2 = 372 K, on trouve T f = 336 K, ce qui donne, avec C = 25 J.K−1 : ΔS = 25 × ln

336 336 + 25 × ln 300 372

≈ 0,29 J.K−1

Le résultat précédent s’applique sans modification à la variation d’entropie d’un nageur (phase condensée) qui plonge, depuis un tremplin dans l’air, à 303 K (30◦ ), dans l’eau d’une mer à 293 K (20◦ ). Si sa capacité thermique massique est 4 kJ.K−1 .kg−1 (proche de celle de l’eau), sa variation d’entropie est, pour une masse de 70 kg, une fois l’équilibre thermique atteint dans l’eau : „

ΔS = mcV ln

Tf Ti

= 70 × 4 × 103 × ln

303 293

≈ 9,4 kJ.K−1

VII.3 Conducteur ohmique parcouru par un courant stationnaire Eﬀectuons, pendant la durée élémentaire dt, les bilans énergétique et entropique dans un conducteur ohmique, de résistance R, parcouru par un courant stationnaire, d’intensité I (Fig. 32.10a). Si Ta est la température à la surface du conducteur, l’application successive des deux principes donne : dU = 0 = δW + δQ avec δW = −δQ = RI2 dt δQ = −δS(c) dS = δS(r) + δS(c) avec dS = 0 et δS(r) = Ta Il en résulte la création d’entropie suivante : δS(c) =

δW RI2 dt = >0 Ta Ta

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 826 — #870

826

32 Deuxième principe de la thermodynamique

I1 R

R1 R2

Sources de courant a)

Figure 32.10 Création positive d’entropie a) Dans un conducteur parcouru par un courant stationnaire b) Dans deux conducteurs

Il est instructif d’évaluer la création d’entropie dans deux conducteurs ohmiques, de résistances R1 et R2 , en parallèle entre deux points A et B et tels que la maille ainsi formée soit alimentée par une source de courant d’intensité I (Fig. 32.10b). L’entropie créée dans ce système, à la température Ta , pendant la durée dt, est : δS(c) =

R1 I12 + R2 I22 R1 I12 + R2 (I − I1 )2 dt = dt Ta Ta

en désignant par I1 et I2 = I − I1 les intensités des courants qui parcourent les deux conducteurs respectivement. On en déduit le flux entropique créé : δS(c) R1 I12 + R2 (I − I1 )2 = dt Ta Cherchons le minimum de ce flux lorsqu’on fait varier I1 , I étant constant. Il vient : d dI1

δS(c) dt

R1 I1 − R2 (I − I1 ) = 0 si Ta

R1 I1 − R2 I2 = 0

c’est-à-dire si la loi des mailles (cf. Leçon 5) est vérifiée. En dérivant une seconde fois, on constate que cet extrémum est un minimum, puisque : Ű

d2 δS(c) 2(R1 + R2 ) = >0 2 dt Ta dI1 Ainsi, la loi des mailles réalise le minimum du flux entropique créé. Ce résultat remarquable est une illustration simple d’un théorème établi par Prigogine, en 1945, selon lequel le fonctionnement d’un système linéaire, en régime stationnaire, est caractérisé par une création d’entropie minimale. Il fut remarqué et publié, pour la première fois, par Maxwell en 1876, sans aucune justification ni référence au deuxième principe de la thermodynamique !

VIII

OUVERTURES

Comme pour le premier principe, il est instructif d’établir l’expression du deuxième principe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts, lesquels échangent aussi de la matière avec le milieu extérieur. Les exemples d’application sont nombreux, puisqu’ils concernent la plupart des machines thermiques et tous les êtres vivants.

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Leçon

achines thermiques

Les machines thermiques ont joué un rôle historique majeur en physique, puisque leur construction, au cours du XIXe siècle, est à l’origine de la thermodynamique. Les premières ont été réalisées par le physicien français Denis Papin au XVIIe siècle et l’ingénieur Écossais James Watt au XVIIIe siècle. De nos jours, la lutte contre le gaspillage de l’énergie relance l’intérêt des machines thermiques les plus eﬃcaces et les moins polluantes, d’où la modernité du sujet. On sait, depuis l’énoncé historique de Thomson du deuxième principe de la thermodynamique, qu’un système, tel qu’un fluide, en contact avec une seule source thermique, ne peut, au cours d’un cycle, fournir du travail (W < 0) et recevoir de la chaleur (Q > 0). Un tel système doit nécessairement être en relation avec au moins deux sources thermiques. On distingue deux types de machines thermiques : – les moteurs, qui fournissent du travail (W < 0), généralement mécanique, en recevant de la chaleur (Q > 0) ; – les machines inversées, qui au contraire reçoivent du travail (W > 0) et fournissent de la chaleur (Q < 0). Il s’agit essentiellement des réfrigérateurs et des pompes à chaleur. On se propose dans cette leçon d’étudier principalement les machines thermiques dithermes, dans lesquelles un fluide évolue en contact successivement avec deux sources thermiques stationnaires : une source froide, de température fixée T f , et une source chaude, de température déterminée Tc (Fig. 35.1).

MACHINE THERMIQUE DITHERME

I.1 Bilans énergétique et entropique Le fluide évoluant de façon cyclique, les variations d’énergie totale E et d’entropie S, après un cycle, sont nulles, d’où les bilans énergétique et entropique suivants : ΔE = W + Qc + Q f = 0

ΔS =

Qc Q f + + S(c) = 0 Tc Tf

avec

S(c) > 0

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884

35 Machines thermiques

Qc W

Machine thermique Qf

Figure 35.1 Schéma synoptique d’une machine thermique ditherme

Rappelons que, dans ces expressions, W est le travail reçu par le fluide, Qc et Q f les chaleurs reçues provenant respectivement de la source chaude et de la source froide.

I.2 Diagrammes de Raveau Le diagramme de Raveau, du nom de l’ingénieur français Raveau du XIXe siècle, est la représentation graphique, dans le plan (Q f , Qc ), des bilans énergétique et entropique. Il permet de déterminer le point de fonctionnement F d’une machine ditherme. Ce dernier est, en eﬀet, le point d’intersection de deux droites d’équations respectives : Qc = −Q f − W

et Qc = −

Tc Q f − Tc S(c) Tf

la première, de pente −1, étant issue du premier principe et la seconde, de pente −Tc /T f < −1, du deuxième. Cette dernière droite passe par l’ordonnée à l’origine négative −Tc S(c) < 0, puisque Tc > 0 et S(c) > 0 ; elle est déterminée une fois les températures des thermostats fixées et le terme d’irréversibilité S(c) connu. Comme la première droite passe, elle, par l’ordonnée à l’origine −W, deux cas se présentent. Qc Qc = –

F W 0

Tc Q – TcS(c) Tf f

Qc = – Qf – W

0 –TcS(c)

–TcS(c) Qc = –

Tc Q – TcS(c) Tf f

–W F

Qc = – Qf – W a) Figure 35.2 Diagrammes de Raveau

b) a) D’un moteur

b) D’une machine inversée

i) Si W < 0, comme dans un moteur, le point de fonctionnement F se situe dans le quart de plan Qc > 0 et Q f < 0 (Fig. 35.2a). Aussi un moteur reçoit-il de la chaleur de la part de la source chaude et fournit-il de la chaleur à la source froide. ii) Si W > 0, comme dans un réfrigérateur ou une pompe à chaleur, F se trouve dans le quart de plan Qc < 0 et Q f > 0 (Fig. 35.2b). Aussi une machine inversée fournit-elle de la chaleur à la source chaude et reçoit-elle de la chaleur de la part de la source

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652

25 Système de deux points matériels (PCSI, MPSI)

E25-9 Masse volumique de l’Univers Un ensemble de points matériels est réparti uniformément dans un volume sphérique, de centre O et de rayon R. La vitesse v de chaque point de la distribution est radiale, orientée vers l’extérieur du volume et proportionnelle à sa distance r à O, selon la loi expérimentale donnée par Edwin Hubble en 1929 : v = Hr

avec H−1 = 13,7 Gan

(1 Gan = 1 milliard d’années) ; H est la constante de Hubble. 1. À l’aide de considérations dimensionnelles, donner une expression de l’énergie potentielle de gravitation de cette distribution sphérique homogène, de rayon R et de masse M, en précisant et en justifiant son signe. Le facteur correctif est 0,6. 2. Montrer que l’énergie cinétique de l’ensemble peut se mettre sous la forme : Ek = αMH2 R2 α étant un facteur numérique à déterminer. On désignera par ρm la masse volumique du système. 3. Les observations les plus récentes en astrophysique conduisent à admettre que l’énergie mécanique de cet ensemble est nulle. a) Quelle est l’expression de la masse volumique ρm en fonction de H et G ? b) Calculer sa valeur en unité SI. À quel nombre de nucléons par unité de volume cette valeur correspond-elle ? E25-10 Mécanique des systèmes vivants Les systèmes vivants sont des systèmes mécaniques déformables auxquels s’appliquent évidemment les trois théorèmes de la mécanique (quantité de mouvement, moment cinétique et énergie mécanique). 1. Un chat, de masse Mc = 3 kg, tombe accidentellement d’une hauteur h = 10 m, les pattes en l’air. On constate qu’il touche le sol, recouvert de sable, sur ses quatre pattes. Les forces de frottement dues à l’air sont négligeables. a) Appliquer les trois théorèmes de la mécanique. b) Montrer que cette aptitude du chat à se retourner au cours de sa chute est conforme à ces théorèmes. 2. On sait qu’une danseuse augmente son énergie cinétique initiale en ramenant ses bras le long de son corps.

TRAVAUX DIRIGÉS

a) Appliquer les théorèmes du moment cinétique et de l’énergie mécanique à la danseuse. b) Justifier l’augmentation de l’énergie cinétique. Où la danseuse puise-t-elle cette augmentation d’énergie ? 3. Un aquarium de 5 kg, reposant sur le plateau de gauche d’une balance, est en équilibre avec une tare, de même masse, placée sur le plateau de droite. Il contient un poisson initialement immobile de masse 100 g. a) Appliquer le théorème de la quantité de mouvement à chacun des plateaux de la balance.

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Travaux dirigés

653

b) Comment évolue l’équilibre initial, lorsque le poisson, eﬀrayé par un intrus, se déplace brutalement vers la surface avec un vecteur accélération vertical de 5 m.s−2 ? E25-11 Équilibre d’un point matériel et point de Fermat d’un triangle Une masselotte A (masse m) est maintenue en équilibre par trois fils, aux extrémités desquels on a fixé trois masses ponctuelles m1 , m2 et m3 . Comme le montre la figure 25.11, ces trois fils passent par trois orifices ponctuels A1 , A2 , A3 que l’on a aménagés sur une table horizontale. 1. Établir la condition d’équilibre. Trouver la position d’équilibre dans les deux cas suivants. a) L’une des masses (m3 ) est très inférieure aux deux autres. b) L’une des masses (m3 ) est très supérieure aux deux autres. 2. Lorsque les trois masses sont égales, la position d’équilibre est appelée point de Fermat ou point de Torricelli. a) D’après ce qui précède, proposer une définition d’un tel point. b) Montrer que ce point n’existe que si le triangle A1 A2 A3 n’a pas d’angle supérieur à 2π/3. 3. a) Quelle est l’énergie potentielle d’un tel système, en fonction des cotes des trois masses, comptées le long d’un axe vertical descendant Ox dont l’origine est prise dans le plan de la table ? b) Que peut-on dire de la somme des distances AAi à l’équilibre ? En déduire une autre définition du point de Fermat. 4. Montrer que le point de Fermat d’un triangle peut être obtenu par l’intersection de trois cercles circonscrits aux triangles équilatéraux A1 A3 B2 , A1 A2 B3 et A2 A3 B1 , adossés aux trois côtés du triangle A1 A2 A3 . A3 A1

O A2

m3 m1

E25-12 Peintre sur une nacelle avec poulie Pour se hisser le long d’un mur, un peintre, de masse Mp = 70 kg, utilise une nacelle, de masse Mn = 20 kg, et une corde enroulée sur une poulie. L’une des extrémités est attachée à la nacelle, en N, et l’autre, en K,à un contrepoids de masse Mk (Fig. 25.12). Par contact au point H de la corde qui porte le contrepoids, le peintre exerce la force de tension F p→c dirigée selon la verticale. La corde est supposée inextensible et de masse négligeable.

TRAVAUX DIRIGÉS

Figure 25.11 Équilibre d’un point matériel

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1332 — #1376

1332

Corrections des exercices des travaux dirigés

(1 Man = 106 an), ce qui est beaucoup plus faible que l’âge généralement admis pour le Soleil qui est de 5 Gan (1 Gan = 109 an). On en conclut que l’eﬀondrement gravitationnel ne permet pas d’expliquer l’âge du Soleil. Le physicien américain Hans Bethe a montré que ce sont les réactions de fusion nucléaire au sein du Soleil qui permettent de l’estimer correctement. S25-9 Masse volumique de l’Univers 1. L’énergie potentielle de gravitation est proportionnelle au carré d’une masse divisé par une distance ; elle doit donc pouvoir se mettre sous la forme suivante : Ep = −GM2 /R, le signe moins traduisant le caractère attractif de l’interaction. Un calcul précis montre que le facteur correctif est 3/5 (cf. Leçon 36). 2. Quant à l’énergie cinétique de la distribution, elle s’écrit : Ek =

1X H2 X mi v2i = mi r2i 2 i 2 i

En eﬀectuant cette dernière sommation, on obtient, en introduisant la masse volumique ρm : X i

mi r2i =

Z V

ρm r2 dV = ρm

= 4πρm

r2 4πr2 dr = 4πρm

Z 0

r4 dr = 4πρm

r5 5

ﬀR 0

R5 3 = MR2 5 5

puisque M = 4πρm R3 /3. On en déduit : Ek = αMH2 R2 avec α = 3/10. 3. Puisque Em = 0, il vient : 3 3 GM2 MH2 R2 − =0 10 5 R

d’où

4πR3 ρm H2 R3 = GM = G 2 3

et ρm =

3H2 8πG

Concrètement, on trouve ρm ≈ 9,57 × 10−27 kg.m−3 , soit, puisque ρm = nv mp : nv =

ρm 9,57 × 10−27 = = 5,7 m−3 mp 1,67 × 10−27

Ainsi, le nombre moyen de nucléons par unité de volume dans l’Univers est inférieur à 6.

CORRECTIONS DES EXERCICES

S25-10 Mécanique des systèmes vivants 1. a) L’application du théorème de la quantité de mouvement donne, en négligeant l’influence de l’air : P dP = Mca C = Mc d’où a C = dt

v C = t et xC =

t2 2

Ox étant la verticale descendante, si la vitesse initiale est nulle et l’origine prise à la position initiale. Le centre de masse C du chat a donc la même trajectoire que celle d’un boulet. La durée de chute est alors donnée par : „

«1/2

2 × 10 9,8

Ń1/2

≈ 1,43 s

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1333 — #1377

Corrections des exercices des travaux dirigés

1333

L’application du théorème du moment cinétique, au centre de masse mobile C, donne, puisqu’en ce point le moment du poids est nul : LC dL =0 dt

d’où L C = Cte

Rien n’empêche physiquement le chat de se retourner tout en se déformant afin de conserver son moment cinétique initial. Quant à l’application du théorème de l’énergie mécanique, il fait apparaître le travail des forces intérieures non conservatives : (nc)

dEm = δWin

avec Em =

1 Mc x˙ 2c + E k − Mc xC 2

E k étant l’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse. b) Évidemment, pour pouvoir se retourner, autour de C, le chat utilise le travail des forces intérieures non conservatives, lequel peut être positif en raison de l’énergie emmagasinée par tout être vivant, grâce à son alimentation, et restituée par son métabolisme. 2. a) Au cours du mouvement, le centre de masse est pratiquement fixe sous l’action du poids de la danseuse et de la réaction qu’exerce le sol sur ses pointes en O. La projection du moment cinétique selon l’axe de rotation se conserve, puisque le moment des actions de contact est nul en O. On a ainsi : LO dL = OC × m qui donne dt

LO dL OC × m ) · e z · e z = (OC dt

soit

dLO,z =0 dt

les vecteurs et e z étant colinéaires. Ainsi, le moment cinétique selon l’axe de rotation est une constante : LO,z = Cte avec

LOz =

OA i × miv i

· ez

Le théorème relatif à l’énergie mécanique donne, lui, puisqu’il n’y a pas de variation (nc) d’énergie potentielle de pesanteur : dEk = δWin .

3. a) Lorsque le poisson se met en mouvement dans l’aquarium, la quantité de mouvement du système constitué par l’aquarium n’est pas constante, mais varie puisque le centre de masse du système {aquarium-poisson} se déplace. Notons que le système n’est pas isolé : certes le poids de l’aquarium demeure constant, mais pas la réaction qu’exerce le plateau sur lui. L’équilibre de la balance est celui des plateaux, précisément des forces de réaction R et R d qu’exercent respectivement l’aquarium sur le plateau de gauche et la tare sur le plateau de droite. Appliquons le théorème de la quantité de mouvement à l’aquarium à gauche, puis à la tare à droite. On obtient respectivement : P dP = R + M et dt

Pd dP = R d + Md dt

CORRECTIONS DES EXERCICES

b) En diminuant les longueurs des bras et donc des vecteurs OA i , on conçoit que la danseuse puisse augmenter alors la vitesse des diﬀérents points qui la constituent, et donc son énergie cinétique. Cette dernière augmentation provient du travail positif des forces intérieures non conservatives, fourni par le métabolisme de la danseuse.

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1334 — #1378

1334

Corrections des exercices des travaux dirigés

Il en résulte, puisque M = Md : R = Rd +

P dP Pd dP − dt dt

soit

R = Rd +

dPx, dPx,d − dt dt

en projection selon l’axe Ox vertical descendant. b) Initialement, il y a équilibre des plateaux car les quantités de mouvement sont toutes deux nulles. Si le poisson acquiert un mouvement selon la verticale, l’équilibre est rompu : dPx, R = Rd + dt L’avantage est au plateau de droite si le poisson initialement au fond de l’aquarium remonte brutalement : dPx, ≈ −0,1 × 5 = −0,5 N dt à comparer à R et Rd qui valent à l’équilibre 5 × 1 × 9,8 ≈ 49 N. Cette diﬀérence est aisément détectable avec une balance suﬃsamment sensible. S25-11 Équilibre d’un point matériel et point de Fermat d’un triangle 1. Pour établir la condition d’équilibre, écrivons que la somme des forces de tension de fil qui s’exercent sur la masselotte A est nulle : T1 + T2 + T3 = 0

soit T1 e 1 + T2 e 2 + T3 e 3 = 0

en introduisant les vecteurs unitaires définis par AA 1 , AA 2 et AA 3 respectivement. Ces tensions sont directement reliées aux poids, puisque les trois masses étant en équilibre, on a, la tension ne variant pas le long des fils mi − Ti = 0. Il en résulte : m1 e 1 + m2 e 2 + m3 e 3 = 0 d’où

m1 e 1 + m2 e 2 + m3 e 3 = 0

a) Si la masse m3 est très inférieure au deux autres masses, il vient m1e 1 + m2e 2 ≈ 0 . Le point A se trouve pratiquement sur la droite A1 A2 , précisément au centre de masse de A1 et A2 .

CORRECTIONS DES EXERCICES

b) Si la masse m3 est très supérieure aux deux autres masses, alors l’approximation m3 e 3 ≈ 0 n’a pas de sens physique. On lève la diﬃculté en introduisant, dans le bilan des forces, la force supplémentaire de réaction en raison du contact de A avec A3 . 2. Puisque m1 = m2 = m3 , le point de Fermat est tel que : e 1 + e 2 + e 3 = 0 . En A, les trois vecteurs unitaires e 1 , e 2 et e 3 forment entre eux des angles égaux à 2π/3. De même pour Aˆ 1 et Aˆ 2 . b) Pour que le point A existe, il faut que de A3 on puisse couper, par des droites, les directions des vecteurs e 1 et e 2 , ce qui suppose que l’angle Aˆ 3 soit inférieur à 2π/3. 3. a) L’énergie potentielle d’un tel système, en fonction des cotes zi = Ai Mi des points Mi , a pour expression : Ep = −m (z1 + z2 + z3 ) = −m

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1463 — #1507

Index

Clapeyron, xxxviii Diagramme de, 691 Formule de, 869 Clausius, xxxix (Énoncé de), 813 Climatiseur, 885 Coeﬃcient d’amortissement, 170 de compressibilité, 733 des liquides et des solides, 738 de dilatation, 686 de performance, 887 Cohen-Tannoudji (Claude), 719 Colatitude magnétique, 1103 Collimateur, 360 Comète de Hale-Bopp, 570 Comparaison des champs E et B, 1107 Comparateur, 462 à hystérésis, 462 simple, 462 Complexe (Amplitude), 383 Condensateur, 117, 407, 974 Condensation, 857, 858 Condenseur, 356, 889 Condition des sinus d’Abbe, 255 Conductance, 115, 406 dynamique, 120 Conducteur ohmique, 115, 1045 Conductivité, 1034 Conique, 572, 1129 Conservation du flux du champ magnétique, 1079 du moment cinétique, 546, 566 de l’énergie mécanique, 567 Constante conventionnelle classique, 12 d’Einstein, 3, 11 dérivée classique, 13 dérivée quantique, 13 de Boltzmann, 12 de couplage, 19 de Faraday, 13 de gravitation, 6, 11 de Newton, 6, 11 de Planck, 13 de structure fine, 14 de von Klitzing, 14 des gaz parfaits, 13 fondamentale, 2, 11 Constante des gaz parfaits, 693 Constantes fondamentales, xxix Constructions géométriques Dioptres, 221 Lentilles, 276 Miroirs sphériques, 308 Convention générateur, 113 récepteur, 113

1463

Coordonnées cartésiennes, 31, 1163 cylindriques, 31, 1164 sphériques, 32, 1165 systèmes de, 1163 Copernic, xxxv Coriolis, xxxviii Force de, 610 Corps noir, 333 Corps pur, 728, 855 Coulomb, xxxvii Coupure (Fréquence de), 489 Courant de polarisation, 477 de conduction, 110 de convection, 109 de court-circuit, 123 de diﬀusion, 110 électrique, 109 électromoteur, 123 volumique, 1031 Courbe d’ébullition, 874 de fusion, 865 de rosée, 859 de sublimation, 866 Covolume, 736 Création d’entropie (Interprétation microscopique de la), 847 Critique (Isotherme), 729 Cube de la physique, 15 Cycle de Beau de Roches, 900 de Carnot, 887 de Stirling, 894 Cyclotron, 1016 Cylindre de combustion, 891

D Dalton (John), 712 Debye, xlii, 988 Déclinaison magnétique, 1102 Défaut de masses, 100 Degrés de liberté, 33 Démodulation d’amplitude, 515 Dérivation (Branchement en), 125 Dérivée d’un produit scalaire, 1138 d’un produit vectoriel, 1138 d’un vecteur, 1137 d’une fonction, 1135 logarithmique, 1137 partielle, 1136 Descartes, xxxvi Description eulérienne, 732 lagrangienne, 732 microscopique, 688 Désordre, 841

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i “prepaphys1” (Col. : DeBoeck 21x27) — 2011/7/20 — 8:41 — page 1464 — #1508

1464

Index

Desormes, 831 Déterminants, 1152 Détecteur de crête, 201 Détente dans une tuyère, 798, 828 de Gay-Lussac et Joule, 784, 804, 822 de Joule, 798 de Joule et Kelvin, 828 de Thomson, 798 de Joule et Thomson, 789, 822 isenthalpique, 789, 790 Déterminisme, 71 Deuxième principe, 811 Déviation angulaire par un prisme, 225 électrostatique, 436, 1009 magnétique, 1013 vers l’est, 671 Dewar (Vase), 793 Diagramme d’Amagat, 734 de Bode, 486 d’équilibre d’un corps pur, 866 de Raveau, 884 Diamètre apparent, 257, 1126 Différentielle, 1161 Forme, 1166 logarithmique, 1161 Diffraction, 217 Diffusion, 395 de Rutherford, 580 Rayleigh, 395 Rayleigh résonnante, 396 Thomson, 396 Dimension physique, 4 Diode à jonction, 119 électroluminescente, 336 idéale, 118 Zener, 119 Dioptre, 219 plan, 248 succession de, 252 Dipôle actif, 114 électrique, 691 électrocinétique, 112 électrostatique, 988 générateur, 115 magnétique, 1097 passif, 114 récepteur, 115 terrestre, 1101 Discernables (Particules), 837 Discussion qualitative de mouvement, 92 Dispersion, 216, 227 Dissipatif, 527 Distance minimale de vision distincte, 339

Distribution de Boltzmann, 852 de Maxwell, 718 des vitesses de Maxwell, 706 linéique de charge, 916 surfacique, 915 symétrique, 949 Diviseur de courant, 141 de tension, 140 Doublet de charges identiques, 941 de charges opposées, 944 Drude, xli, 1030 Modèle de, 1030 Durée de relaxation, 170 Dynode, 343

E Ébullition, 863 (Courbe d’), 730 Écart-type, 1173 Échange d’énergie, 688 Échantillonnage, 443 Échelle astronomique, 17 Celsius, 686 Fahrenheit, 686 macroscopique, 17 Échelon de tension, 188 Écliptique, xxx Écoulement, 731 Eﬀet Hall, 1038 Joule, 130 photo-électrique, 342 Purkinje, 339 Eﬃcacité d’un moteur thermique, 885 d’une machine inversée, 886 d’une machine thermique, 885 Einstein, xlii, 27 Électrocinétique, 107 Électromagnétisme, 1 Électron élastiquement lié, 394 Électronique, 107 Électronvolt, 13, 78, 922 Ellipse, 573 Ellipsoïde, 320 Énergie, 77 (Bilan d’), 129 cinétique d’un point matériel, 77 d’un système matériel, 631 dans un circuit électrique, 150 de masse, 98 d’une particule en relativité, 99 interne, 775

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électromagnétique, 18 électrostatique, 911 faible, 19 fondamentale, 18 forte, 19 gravitationnelle, 18 newtonienne, 913 nucléaire, 649 Invariance des distributions de charge, 945 par rotation autour d’un axe, 947, 1065 par translation, 945, 1065 Irréversibilité (Causes d’), 807 Isenthalpique (Détente), 789, 790 Isoénergétique (Détente), 784 Isolant, 1045 Isothermes d’Andrews, 728

J Jet atomique, 719 Joule, xxxix (Détente de Gay-Lussac et), 784,798, 822 (détente de et Thomson), 789, 822

K Kelvin, xxxix, 4, 686 (Énoncé de), 814 Kepler, xxxvi Kilogramme, 3 Kilowatt-heure, 78 Kirchhoﬀ, xxxix Lois de, 126 Kœnig, xxxvii Kœnig (Théorèmes de), 625

L Lame à faces parallèles, 237 à incandescence, 334 quartz-iode, 334 Lampes, 334 Laplace, xxxvii, 71 Force de, 1041 Laser, 319 Latitude, 602 de mise au point, 357, 371 Lawrence, 1016 Leibniz, 78 Lentilles, 349 liaison bilatérale, 96 hydrogène, 997 unilatérale, 548, 550

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Lignes de champ d’un dipôle électrostatique, 992 d’un dipôle magnétique, 1099 électrostatique, 919 magnétique, 1058 Limite de Roche, 667 Liquéfaction, 856, 862 (Palier de), 729 Loi binomiale, 1175 d’Avogadro, 712 d’Ohm, 115 de Biot et Savart, 1055, 1057 de Boltzmann, 758, 844 de Boyle et Mariotte, 712 de Cauchy, 216 de Charles, 712 de Coulomb, 55 de Dalton, 712 de Descartes, 219 de Gay-Lussac, 712 de Hooke, 55 de Joule (première), 718 de Kepler, 570 de Kirchhoﬀ, 126, 128 de Newton, 57, 60, 627 de Snell, 219 de Stokes, 57 de Venturi, 57 des mailles, 127, 129, 412 des nœuds, 127, 129, 411 fondamentale, 1 de l’optique géométrique, 232 de la dynamique de Newton, 57 de la dynamique d’Einstein, 70, 98 maxwellienne, 706 Longueur d’onde de Compton, 14 Lorentz, xli Loupe, 356 Lune, xxxi Lunette, 361 astronomique, 363 autocollimatrice, 362

M Méthode de Badal, 354 de Bessel, 352 de Silbermann, 353 des mélanges, 794 Mètre, 3 Mécanique, 1 Machine thermique ditherme, 883 fermée, 891 inversée, 883 ouverte, 891 réelle, 891 Macroétat, 835

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Limite de résolution angulaire, 339 Œrsted, xxxviii Ohm, xxxviii Loi d’, 115 Onde électromagnétique, 212 lumineuse, 212 Surface d’, 212 Vitesse de propagation d’une, 212 Opposition des actions réciproques, 627 Orientation de l’espace, 1007 d’une surface, 963 Oscillateur, 163 Oscillation forcée, 382 libre, 163 Oscilloscope, 436

P Palier de liquéfaction, 729 Paraboloïde, 321 Parallèle (Association en), 140 Parsec, xxx, 18 Particules discernables à deux états, 838, 840 Pascal, xxxvi, 708 (Théorème de), 750 (Tonneau de), 752 Pendule circulaire, 547 de Foucault, 661 paramétrique, 552 simple, 8, 97 inversé, 551 Analyse énergétique, 95 Perméabilité magnétique du vide, 12, 1056 Permittivité diélectrique du vide, 13, 912 Perrin (Jean), 703 Pesanteur, 658 Phase à l’origine, 164, 379 condensée, 738 Portrait de, 96, 169, 178 Phillips (William), 719 Photodétecteurs, 342 à transfert de charge, 344 Photodiode, 342 Photomultiplicateur, 343 Photon, 20 Physique, 1 classique, 11 quantique, 11, 13, 169, 569, 578, 837, 878, 1047 Plan d’antisymétrie, 943, 1064 de symétrie, 940, 1062 d’incidence, 219 focaux, 256, 306 Planètes du système solaire, xxxi

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Plana, 679 Planck, xli, 211 Grandeurs de, 15 Poids d’un corps, 658 Point critique, 730, 859 triple, 860 Point matériel Équilibre d’un, 61 isolé, 60 pseudo-isolé, 60 Repos d’un, 61 Points conjugués, 244 Point (thermodynamique) critique, 729 triple, 860 Polymère unidimensionnel, 852 Pompe à chaleur, 883, 885 Pont de Graetz, 512 de Maxwell, 412 de Wheatstone, 128 résonance, 394 Portrait de phase, 96, 169, 178 Positions de Gauss, 1101 Postulat de Nernst-Planck, 843 Potentiel, 911 créé par un dipôle, 990 de gravitation, 928 de référence, 126 électrostatique, 921 scalaire magnétique, 1099 Potentiomètre, 140 Précession de Larmor, 1109 Précision d’une mesure, 10 Premier principe de la thermodynamique, 774 Presbytie, 341 Presse hydraulique, 751 Pression d’un fluide au repos, 747 de vapeur saturante, 861 dynamique, 736 Force de, 747 Origine physique, 707 cinétique, 707 partielle, 712 Prigogine, xliii Principe, 1 de l’équivalence, 780 de l’action et de la réaction, 627 zéro de la thermodynamique, 815 (Troisième), 843 d’Huygens, 234 de l’inertie, 60 Prisme à réflexion totale, 226 Condition d’émergence d’un, 226

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Déviation par un, 225 Minimum de déviation, 225 Probabilité conditionnelle, 1171 conjointe, 1171 Densité de, 1172 Production d’entropie, 811 Produit vectoriel, 6 Projection d’image, 355 Pseudo-période, 171 Pseudo-vecteur, 1007, 1062 Puissance active, 416 d’une force, 79 électrique, 113 instantanée, 415 moyenne, 416 musculaire, 80 Pulsation cyclotron, 1011 de Larmor, 1427 d’un oscillateur, 39 Punctum proximum, 339 remotum, 339 Pupille, 339

Q Quantique, 2 Quantité de mouvement, 58 Quantum de charge électrique, 12 de conductance, 1047 d’énergie, 13 de flux magnétique, 13 de mouvement cinétique, 1105 de résistance, 1047 Quark, 20

R Raveau (Diagramme de), 884 Rayleigh, xl Rayon de Bohr, 14 classique de l’électron, 931 lumineux, 218 Réactance, 406 Réaction, 56 Redressement, 507, 509 Réductionisme, 703 Réflexion Lois de la, 219, 1020 totale, 222 Référentiel, 32 de Copernic, 657 de Kepler, 657 du centre de masse, 624 du laboratoire, 656

géocentrique, 656 galiléen, 59, 655 inertiel, 61, 672 terrestre, 657 Réfraction limite, 222 Lois de, 220, 1020 Réfractomètre, 226 Refroidissement atomique, 719 Réfrigérateur, 883, 885 à absorption, 889 Regel de l’eau (Expérience du), 865 Régime apériodique, 173 critique, 174 établi, 189, 382 forcé, 189, 525, 526 libre, 189 pseudo-périodique, 171 stationnaire, 107 transitoire, 189, 382 Règle du bonhomme d’Ampère, 5 du tire-bouchon de Maxwell, 5 Relation de Mayer, 788 Relativité galiléenne, 605 générale, 1, 582, 610, 674 Principe de relativité, 613 restreinte, 1, 70, 98 Rendement d’une machine, 887 Repère d’espace, 30 Représentation de Norton, 146 de Thévenin, 146 Réseau, 112 Résistance, 115, 406 d’entrée, 437 de sortie, 434 dynamique, 120 négative, 470 Résistivité, 1034 Résistor, 115 Résonance, 384, 385, 389 de tension, 389 d’intensité, 387 Rétroaction, 460 Réversibilité, 695, 813 Rosée (Courbe de), 730 Rutherford, xlii Rydberg, 14

S Séisme, 398 Sallen-Key (Cellule de), 498 Saturation (Courbe de), 730 Savart, xxxviii Seconde, 3

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Lagoute

Pujol

Desmeules

Lagoute

Pérez Pujol

Desmeules

Les auteurs

ISBN : 978-2-8041-6226-9

9 782804 162269 PREPAPHY1

www.deboeck.com

Pujol

Leçons de physique une approche moderne

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Pérez

44 leçons couvrant une bonne partie du premier cycle universitaire

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