Maths 3

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Le Maths 3 – Manuel comporte deux parties.

La première regroupe les activités et exercices. La deuxième propose : la théorie, qui comporte des exposés succincts, suivis de « Questions pour apprendre » ; des « Comment faire ? » pratiques ; des anecdotes historiques ; des index qui facilitent l’utilisation du manuel.

Le Maths 3 – Cahier d’exercices contient un coffre à outils des principales notions étudiées au premier degré ; les activités et exercices du manuel qui sont à compléter ; les solutions des exercices S’entraîner proposés dans le manuel ; pour les élèves de la FESeC, 5 tâches d’intégration, comportant aussi bien les activités et la théorie que les exercices à compléter.

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Corrigé et notes méthodologiques Corrigé et notes méthodologiques

La

3

3

Le Maths 3 - Corrigé et notes méthodologiques propose les solutions à tous les problèmes du manuel et du cahier d’exercices de 3e année.

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3

3

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◗ ◗ ◗

Benoît BAUDELET Philippe CLOSE René JANSSENS

MAT3CO

ISBN 978-2-8041-0142-8

27/06/11 16:16

CorrigĂŠ00page 5 noir vert

4 Table des matières

Thème 1 ANGLES PARTICULIERS 1.

2.

3.

4.

5.

Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Angles à côtÊs parallèles ou perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Triangle rectangle et cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Triangle rectangle et mĂŠdiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6 10 14 15

Thème 2 FIGURES ISOMÉTRIQUES 1. IsomÊtries et figures superposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Triangles isomĂŠtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 22 34

Thème 3 AUTOUR DU THÉORĂˆME DE PYTHAGORE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

ThÊorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RÊciproque du thÊorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Racines carrĂŠes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relations mĂŠtriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Distance entre deux points dans un repère orthonormÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 43 47 58 62 66

Thème 4 PUISSANCES 1. Puissances d’un rÊel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Calcul de puissances Ă exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 70 74

Thème 5 FONCTIONS (gÊnÊralitÊs) 1. Introduction et fonctions de rÊfÊrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 95

Thème 6 POLYNÔMES ET FONCTIONS POLYNÔMES 1. GÊnÊralitÊs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. OpĂŠrations avec des polynĂ´mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 96 107

Thème 7 AUTOUR DU THÉORĂˆME DE THALĂˆS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

PropriĂŠtĂŠs des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ThÊorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CoordonnÊes du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RĂŠciproques et parallĂŠlisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 111 115 117 119 124

Thème 8 FIGURES SEMBLABLES 1. Agrandissements, rÊductions et figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 128 146

Thème 9 TRIGONOMÉTRIE DU TRIANGLE RECTANGLE 1. Nombres trigonomÊtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Utilisation des nombres trigonomĂŠtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplĂŠmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147 150 157

Table des matières

4

V

Corrigé00page 6 noir vert

Thème 10 FACTORISATION ET FRACTIONS ALGÉBRIQUES 1.

2.

3.

4.

5.

Factorisation d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations d’un degré plus grand que 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Division d’un polynôme par x − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thème 11 FONCTIONS 1.

2.

3.

4.

f : x → mx + p

–

158 163 168 174 182

ÉQUATIONS DE DROITE (1re partie)

Fonctions linéaires et fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Droites parallèles – Droites perpendiculaires – Milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183 191 199 206

Thème 12 ÉQUATIONS À UNE INCONNUE 1. Résolution – Interprétation graphique – Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Thème 13 ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES

–

207 216

ÉQUATIONS DE DROITE (2e partie)

1. Équations du premier degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217 223 242

Thème 14 INÉQUATIONS À UNE INCONNUE 1.

2.

3.

4.

Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résolution d’inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Systèmes d’inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 247 255 260

TÂCHES D’INTÉGRATION (FESeC) 1. Proportions et pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

2. Propriétés des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

3. Problèmes de géométrie analytique à propos de figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

4. Propriétés de figures démontrées de plusieurs façons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

5. Approximer un nuage de points par une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

VI

3 Table des matières

CorrigĂŠ00page 3 noir vert

4 Remarques prĂŠliminaires

Le programme de la FESeC est rÊparti en trois domaines : 1. Grandeurs, nombres, algèbre et fonctions.

2. GĂŠomĂŠtrie et trigonomĂŠtrie.

3. Traitement de donnĂŠes.

Problèmes relatifs à la vie sociale, Êconomique et culturelle.  Dans ce programme, à chaque chapitre est associÊe une liste de tâches classÊes selon trois axes de compÊtences : 1. Expliciter les savoirs et les procÊdures qui sont prÊsentÊs le plus souvent sous la forme d’une  synthèse  (voir les  Comment faire ?  dans le Manuel, partie thÊorique).

2. Appliquer une procÊdure c’est-à -dire • organiser un calcul en choisissant les règles et en les appliquant dans un certain ordre; • rÊaliser un graphique, un diagramme ou un tableau qui Êclaire ou rÊsume une situation; • construire une figure qui requiert d’organiser des Êtapes et de mettre en œuvre plusieurs techniques. (voir les exercices  S’exercer  dans le Manuel, partie ActivitÊs et exercices) 3. RÊsoudre un problème qui consiste à modÊliser une situation par un traitement mathÊmatique. (voir les problèmes, les applications gÊomÊtriques et les problèmes de construction dans le Manuel, partie ActivitÊs et exercices).  (Extrait du programme 2009 du 2e degrÊ de la FESeC)

CompÊtences transversales à dÊvelopper On mettra l’accent sur les aspects suivants : 1. Comprendre un message • extraire d’un ÊnoncÊ les donnÊes et le but à atteindre; • analyser la structure globale d’un texte mathÊmatique et, en particulier, y distinguer l’essentiel de l’accessoire.

2. Traiter, argumenter, raisonner • traduire une information d’un langage à un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algÊbrique et rÊciproquement; • observer, comparer, formuler une hypothèse par induction, argumenter, construire une chaÎne dÊductive et la justifier.

3. Communiquer • maÎtriser le vocabulaire, les tournures et le symbolisme nÊcessaires pour expliquer et rÊdiger une dÊmonstration; • rÊdiger et prÊsenter clairement des arguments et des conclusions; • produire un dessin, un graphique ou un tableau qui Êclairent ou rÊsument une situation.

4. Appliquer • Êtendre une règle, un ÊnoncÊ ou une propriÊtÊ à un domaine plus large, par exemple Êtendre à l’espace une propriÊtÊ de plan; • utiliser certains rÊsultats pour traiter des questions issues d’autres branches (physique, sciences Êconomiques...).

Remarques prĂŠliminaires

4

III

Corrigé00page 4 noir vert

5. Généraliser, structurer, synthétiser • reconnaître une propriété commune à des situations différentes; • émettre des généralisations et en contrôler la validité. » (Extrait du Programme du 2e degré de la Communauté française).

Les contenus intègrent une partie des compétences terminales dont l’acquisition se poursuit au troisième degré : Savoir, connaître, définir Les grands théorèmes de la géométrie classique relatifs aux rapports de longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général.

Les symétries, les translations, les rotations, les homothéties de figures du plan.

Calculer, déterminer un élément géométrique Déterminer une longueur, un angle, une relation entre points, droites, (plans), une propriété de figure, par une méthode routinière.

Appliquer, analyser, résoudre des problèmes Choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de : – déterminer des éléments d’une figure, – dégager de nouvelles propriétés géométriques, – résoudre des problèmes de construction.

Représenter, modéliser Effectuer des tracés de figures générales ou leurs cas particuliers, à la main, aux instruments, éventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’éclairer une recherche.

Démontrer Organiser les étapes d’une construction et les justifier.

Dans un énoncé (propriété, théorème, . . .) distinguer l’hypothèse (les données) et la thèse.

Rédiger une démonstration en faisant apparaître les étapes, les liens logiques, les théorèmes utiles au moyen de phrases complètement formulées.

La rédaction d’un corrigé d’exercices est une vaste entreprise tant pour l’encodeur, le dessinateur et le metteur en pages (que nous remercions chaleureusement) que pour les auteurs.

Ces derniers n’ont pas voulu donner des solutions ne comportant qu’une suite de calculs et de réponses. Ils ont tenu à rédiger des stratégies de résolution, des justifications, des variantes ainsi que de nombreux conseils, fruits de leurs expériences.

Merci à tous ceux qui voudraient contribuer à améliorer ce corrigé en transmettant leurs remarques à De Boeck Éducation Fond Jean Pâques, 4 B-1348 Louvain-la-Neuve info@education.deboeck.com

IV

3 Remarques préliminaires

THĂˆME

3

ActivitĂŠs et exercices

Corrige03page 35 noir vert

4 Autour du thÊorème de Pythagore

Ce thème contient deux ÊlÊments essentiels du cours de troisième :

• en gÊomÊtrie, le thÊorème de Pythagore est un des ÊlÊments autour desquels s’organise la gÊomÊtrie  ; • l’aspect numÊrique du thÊorème fait dÊcouvrir de nouveaux nombres et permet d’Êtendre les connaissances des Êlèves à l’ensemble des nombres rÊels.

Ainsi donc – le thÊorème de Pythagore est dÊmontrÊ (utilisation des aires de figures); – la rÊciproque est dÊmontrÊe (utilisation des triangles isomÊtriques) et sert à caractÊriser un triangle rectangle; – la racine carrÊe d’un nombre positif permet d’Êtendre les propriÊtÊs des opÊrations; – le calcul des radicaux (limitÊ à des cas numÊriques simples) permet de simplifier des Êcritures et d’utiliser les propriÊtÊs des opÊrations mais c’est surtout l’occasion de traiter des problèmes concernant la construction de segments de longueur irrationnelle et le calcul de distance dans le plan et dans l’espace; – enfin les relations mÊtriques dans un triangle rectangle sont vues en relation avec le thÊorème de Pythagore. On en donnera plus tard (thème 8) des dÊmonstrations basÊes sur les triangles semblables.

Extrait des compÊtences terminales (en gÊomÊtrie) Savoir, connaÎtre, dÊfinir Les grands thÊorèmes de la gÊomÊtrie classique relatifs aux rapports de longueurs [...] aux aires et aux figures en gÊnÊral.

Calculer, dÊterminer un ÊlÊment gÊomÊtrique DÊterminer une longueur, [...] une propriÊtÊ de figure, par une mÊthode routinière.

Appliquer, analyser, rÊsoudre des problèmes Choisir des propriÊtÊs, organiser une dÊmarche en vue de : – dÊterminer des ÊlÊments d’une figure, – dÊgager de nouvelles propriÊtÊs gÊomÊtriques, – rÊsoudre des problèmes de construction.

ReprÊsenter, modÊliser Effectuer des tracÊs de figures gÊnÊrales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux instruments, Êventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’Êclairer une recherche.

DÊmontrer Organiser les Êtapes d’une construction et les justifier.

Dans un ÊnoncÊ (propriÊtÊ, dÊfinition, thÊorème, ...), distinguer l’hypothèse et la thèse.

RÊdiger une dÊmonstration en faisant apparaÎtre les Êtapes, les liens logiques, les thÊorèmes utilisÊs au moyen de phrases complètement formulÊes.

4 35

Corrige03page 36 noir vert

L’importante égalité de Pythagore est approchée de diverses manières (Activités 1 - 4 ).

Après des observations de figures, l’élève est souvent capable de rédiger l’énoncé du théorème.

FESeC : – la caractérisation d’un triangle rectangle par la propriété de la médiane relative à l’hypoténuse est traitée dans le thème 1 : angles particuliers.

– l’étude des relations métriques dans les triangles rectangles se retrouve dans la tâche 4.

1. Théorème de Pythagore

S’exercer

Découvrir 4

1 a) • Il semble que a = 5.

• a2 = 25 et 25 = 16 + 9 c.-à-d.

52 = 42 + 32 .

3

a

b) • Il semble que a = 17.

15

• a2 = 172 = 289 et 289 = 225 + 64 c.-à-d.

172 = 152 + 82 .

8

a

Échelle : 0,5

36 3

Thème 3

•

Autour du théorème de Pythagore

ActivitĂŠs et exercices

Corrige03page 37 noir vert

2 a)

1

Y

3

X

2

4

5

3

Z

b) Aire (

C1 ) = 9 cm2 , Aire ( C2 ) = 16 cm2 , Aire ( C3 ) = 25 cm2 .

c) Aire (

C3 ) = Aire ( C1 ) + Aire ( C2 ).

3 Il semblerait que, dans un triangle rectangle, le carrÊ de l’hypotÊnuse est Êgal à la somme des carrÊs des côtÊs de l’angle droit.

Autrement dit, l’aire du carrÊ construit sur l’hypotÊnuse est Êgale à la somme des aires des carrÊs construits sur les côtÊs de l’angle droit.

Certains diront que le premier ÊnoncÊ n’est pas rigoureux et qu’il faudrait dire : le carrÊ de la longueur de l’hypotÊnuse d’un triangle rectangle est Êgale à la somme des carrÊs des longueurs des deux côtÊs de l’angle droit. Si l’on privilÊgie un ÊnoncÊ plus bref, il ne faudra jamais perdre de vue que l’on parle de longueurs.

4 a) On montre que XYZW est un carrĂŠ.

Les angles aigus d’un triangle rectangle Êtant complÊmentaires

(propriÊtÊ ÊtudiÊe en Deuxième),

+ XWQ = 90°.

WXQ = ZWP et, Comme les quatre triangles sont isomÊtriques, WXQ = XWQ + ZWP = 90°. dès lors, XWZ = XYZ = YZW = 90°.

De même, WXY Puisque XW = XY = YZ = WZ, le quadrilatère XYZW a quatre angles droits et ses côtÊs de même longueur; il s’agit donc d’un carrÊ.

1.

ThÊorème de Pythagore

4

37

Corrige03page 38 noir vert

b) On montre que MNPQ est un carré.

• Puisque les quatre triangles sont isométriques, on obtient successivement, en soustrayant membre à membre : WP

=

ZN

=

YM

=

XQ

WQ

=

ZP

=

YN

=

XM

WP − WQ

=

ZN − ZP

=

YM − YN

=

XQ − XM

QP

=

PN

=

MN

=

MQ .

c. − à − d.

= YNZ = ZPW = WQX = 90°, les quatre angles du quadrilatère MNQP sont • Puisque XMY

droits.

Dès lors, MNPQ est un carré. c)

Aire ( Aire (

X

2

XYZW) = XW = a2 MNPQ) = MN = (c − b)2

Aire ( XQW) =

XQ . QX 2

=

bc 2

XYZW) = Aire (

c

P

M

·

Q

Puisque l’aire du carré XYZW est égale à la somme de l’aire du carré MNPQ et des aires des quatre triangles isométriques, on en déduit que Aire (

N

b

2

Y

a

W

Z

MNPQ) + 4 . Aire ( XQW)

a2 = (c − b)2 + 4 .

bc 2

a2 = c2 − 2bc + b2 + 2bc a2 = c2 + b2 .

1. Théorème de Pythagore Découvrir

S’exercer

Dans les exercices 67 à 78, nous avons évité de présenter des situations qui aboutiraient à une racine carrée d’un nombre non carré parfait. De tels exercices n’apparaîtront qu’après avoir abordé la notion de racines carrées, c’est-à-dire à partir de l’exercice 94.

2 2 2 1 AC = AB + BC .

67 2 2 2

2 AB = AX + XB .

2

2

2

AC = AX + XC

(la médiane relative à la base d’un triangle isocèle est aussi la hauteur issue du sommet).

38 3

Thème 3

•

Autour du théorème de Pythagore

2

2

2

3 AB = AC + CB

(le triangle ABC est rectangle puisqu’il est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle).

68 Les longueurs x, y et z sont positives.

2 2 2

1 x =4 +3 .

dans des demi-cercles dont le diamètre est un côtÊ de chaque triangle.

D’oÚ x2 = 16 + 9 ou x2 = 25 ou x = 5.

2

c)

2

2

289 = 64 + Z1 Y 2

Z1 Y = 289 − 64

3 17 = z + 15 .

2

2

2

Z1 Y = 225

D’oĂš z2 = 289 − 225 ou z2 = 64 ou z = 8.

Z1 Y = 15.

2 2 2 69 a) Vrai, car x = (2a) + (2b)

71 Puisque le triangle proposĂŠ est rectangle,

ou x2 = 4a2 + 4b2 ou x2 = 4(a2 + b2 )

on a (x + 8)2 = 282 + x2 2

c.Ă -d. x + 16x + 64 = 784 + x

ou x2 = 4c2 = (2c)2 et x = 2c

2

16x = 784 − 64

(thÊorème de Pythagore dans le triangle SRT).

S'

16x = 720 x=

2b

(idem pour Z2 Y)

2

D’oÚ y2 = 25 + 144 ou y2 = 169 ou y = 13.

2

2

2

On a donc : XY = XZ1 + Z1 Y

2 y = 5 + 12 .

2

ActivitĂŠs et exercices

Corrige03page 39 noir vert

x = 45.

x

S

72 Dans le triangle AEG, rectangle en E

c

b

720 16

2

2

AG = AE + EG 2

2

2

(thÊorème de Pythagore) 2

AE + (EH + HG )

R

T

a

T'

(idem dans le triangle EHG rectangle en H)

2a

b) Vrai, car x = 2c (voir a)) et le pÊrimètre est 2a + 2b + 2c ou 2(a + b + c). c) Faux, l’aire est multipliÊe par 4.

70

= 42 + 42 + 72 = 16 + 16 + 49 = 81 AG = 9.

Les Êlèves ont ÊtÊ initiÊs en première et en deuxième à la reprÊsentation des solides. Ils sont à même de transposer leurs acquis (à propos du thÊorème de Pythagore) à des configurations spatiales dans la mesure oÚ la solution du problème passe par le choix d’un  bon plan  dans lequel on peut appliquer le thÊorème en question.

Z1

8

O

X

Y 8,5

73 a) a = 5 ; b = 13 ; c = d = 13.

8

4 6 12 . 12 . 5 V= 1. 2 3 V = 120.

b)

Z2 a) Deux positions sont possibles pour le point Z : Z1 et Z2 qui sont symÊtriques l’un de l’autre par rapport à la droite XY. b) Les triangles XZ1 Y et XZ2 Y sont rectangles (respectivement en Z1 et Z2 ) puisqu’ils sont inscrits

74 Ce 2e critère d’isomÊtrie des triangles

rectangles n’avait pas pu être prÊsentÊ dans le thème 2 puisque sa dÊmonstration se base sur le thÊorème de Pythagore.

1.

ThÊorème de Pythagore

4 39

Corrige10page 158 noir vert

THÈME

10

4 Factorisation

et fractions algébriques

« Au deuxième degré, le sens du calcul algébrique apparaît en rapprochant, d’une part, l’apprentissage de techniques de transformation d’expressions et de formules, d’autre part, l’étude des fonctions et de leurs graphiques. Une telle présentation des fonctions et de l’algèbre favorise une familiarisation avec les principales fonctions de référence et une maturation progressive des notions nécessaires pour utiliser les réels et aborder l’analyse au troisième degré » .

C’est ainsi que, dans le thème 5, les fonctions ont été étudiées entre autre pour introduire les polynômes (thème 6) et les droites (thème 11).

Dans ce thème 10, la mise en parallèle d’un polynôme et de la représentation graphique de la fonction polynôme correspondante donne une signification au calcul algébrique et en particulier à la factorisation d’expressions algébriques (liée, par exemple, à la recherche des racines d’une fonction). « L’objectif est de – préparer la détermination des zéros et l’étude du signe (voir thème 14) de fonctions polynômes; – résoudre des équations réductibles au premier degré (point 2) – se donner des outils pour le calcul de fractions algébriques (point 4) » .

Le programme de la FESeC insiste pour que l’étude des fractions algébriques soit limitée à des cas simples à une variable.

1. Factorisation d’expressions algébriques

Découvrir

S’exercer

re

La 1 activité est très riche. Il faut laisser aux élèves une période d’essai où ils réaliseront diverses tentatives.

La solution proposée ici n’est qu’un exemple de démarche, longue mais efficace.

1 • Graphiquement, on observe que les racines de la fonction représentée sont −2, 1 et 3.

• Calcul des valeurs numériques des six fonctions

158 3

Thème 10

•

Factorisation et fractions algébriques

pour x = −2 pour x = 1 pour x = 3

ActivitĂŠs et exercices

Corrige10page 159 noir vert

Conclusions

f1 (x)

15

0

0

fonction Ă ĂŠcarter

f2 (x)

0

0

0

cette fonction pourrait convenir

f3 (x)

0

0

0

cette fonction pourrait convenir

f4 (x)

15

0

0

fonction Ă ĂŠcarter

f5 (x)

0

0

0

cette fonction pourrait convenir

f6 (x)

0

0

0

cette fonction pourrait convenir

• Graphiquement, on observe que l’image de 0 est 12.

Pour les fonctions candidates, on calcule l’image de 0 : f2 (0) = 12 ; f3 (0) = 6, f3 est Ă ĂŠcarter; f5 (0) = −12, f5 est Ă ĂŠcarter; f6 (0) = 12 .

• Pour tout rĂŠel x, 2(x − 1)(x + 2)(x − 3) = 2x3 − 4x2 − 10x + 12.

Dès lors f2 et f6 ont comme graphique la courbe donnÊe.

2 a) −2 b) x2 + 0, 6x − 2, 8 = (x + 2) . (x − 1, 4) c) 1,4

Pour trouver le facteur (x − 1, 4), – certains ĂŠlèves effectueront la division de (x2 + 0, 6x − 2, 8) par (x + 2); – d’autres chercheront par tâtonnements le premier terme (x) et le deuxième terme (1,4).

3 a) (a + b)(a − b) = a2 − b2 2

2

Cahier d’exercices, page 65

2

(a + b) = a + 2ab + b (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .

b) 1. 4x2 − 49 = (2x + 7 )(2x − 7 )

5. 9x4 −

16 25

=

3x2 +

4

3x2 −

5

6. y2

3. 25y2 − 49 = ( 5y + 7)( 5y − 7)

7. 16z2 + 40z = 25 = ( 4z + 5 )2 .

4. z2 − 16z + 64 = (z − 8 )2

8. 9 − 12x3 + 4x6 = ( 3 − 2x3 )2

1 − 2 et 2 4 a)

2 0 et 2 2 b) 1 x − 4 = (x + 2)(x − 2)

3 − 2 et 2

4

5

− 12y + 36 = (y − 6 )2

2. 9x2 + 24x + 16 = ( 3x + 4 )2

5 − 1, 5

4 2

6 −2 ,

0

et 2.

4 x + 4x + 4 = (x + 2) 2

2

2

2 x − 2x = x(x − 2)

2 2

5 4x + 12x + 9 = (2x + 3)

3 4 − x = (2 + x)(2 − x)

3 2

6 x − 4x = x(x − 4) = x(x + 2)(x − 2).

2

1.

Factorisation d’expressions algÊbriques

4 159

Corrige10page 160 noir vert

Les programmes de deuxième signalaient la notion et les formules de factorisation.

Comme les programmes du premier degré demandaient de ne pas développer ce sujet, il serait bon de s’inspirer des formules et de la technique présentées dans l’activité 3 .

5 a)

1) D

5) E

2) E

6) E

3) D

7) C

4) D

8) D

Cette activité 5 est certes assez longue à réaliser. Mais elle est très riche pour fixer chez les élèves non seulement la notion de factorisation mais aussi la nécessité absolue d’effectuer de multiples vérifications. Ces dernières réactiveront le calcul des produits remarquables.

6 a) b − a = −(−b + a) = −(a − b). x(a − b) + 3(b − a) = x(a − b) − 3(−b + a) = x(a − b) − 3(a − b) = (a − b)(x − 3). b) (b − a)2 = (a − b)2 (les carrés de deux nombres 2(b − a) − (a − b)2 = 2(b − a) − (b − a)2

= (b − a) 2 − (b − a) = (b − a)(2 − b + a).

Découvrir

S’exercer

Dans les exercices qui suivent, on a prévu trois séries : la première concerne des exercices d’application directe des formules de factorisation; la deuxième regroupe des exercices présentant une difficulté; la troisième propose des exercices de dépassement car ils requièrent une dextérité d’exécution plus grande.

301 1re série 1) b(a − b) 2) x(y − 1) 3) u(1 − 3u) 4) 5xy(3x − 5y) 5) 14a2 (b + 2c) 6) 5a2 (a + 5b)

7) 3a(a − 3b2 + 2) 8) 6xy(2x2 y − 3xy2 + 4) 9) 5a2 b2 (3a2 − 5ab + 7b2 )

Thème 10

1. Factorisation d’expressions algébriques

160 3

opposés sont égaux).

L’activité 6 évoque une démarche délicate. La notion d’expressions littérales opposées n’est pas familière aux élèves de troisième.

De même, la comparaison des carrés de deux expressions littérales opposées pose de sérieux problèmes de calcul ! Il est utile de faire développer (a − b)2 et (b − a)2 pour justifier que ces expressions sont égales.

•

Factorisation et fractions algébriques