Maths 4

Collection Collection Collection Collection

m daam A Ad

4

Corrigé et notes méthodologiques

m c’est également : daam A Ad

Le Maths 4 – Cahier d’exercices contient un coffre à outils des principales notions étudiées pendant les trois premières années ; les activités et exercices du manuel qui sont à compléter ; les solutions des exercices S’entraîner proposés dans le manuel ; pour les élèves de la FESeC, 6 tâches d’intégration, comportant aussi bien les activités et la théorie que les exercices à compléter.

MAT4CO-cov.indd 1

Corrigé et notes méthodologiques

Collection Collection

Le Maths 4 – Manuel comporte deux parties.

La première regroupe les activités et exercices. La deuxième propose : la théorie, qui comporte des exposés succincts, suivis de « Questions pour apprendre » ; des « Comment faire ? » pratiques ; des anecdotes historiques ; des index qui facilitent l’utilisation du manuel.

www.deboeck.com

4

4

Le Maths 4 - Corrigé et notes méthodologiques propose les solutions à tous les problèmes du manuel et du cahier d’exercices de 4e année.

La

m daam A Ad

◗ ◗ ◗ ◗

René BASTIN Benoît BAUDELET Sabine BOUZETTE Philippe CLOSE

MAT4CO ISBN 978-2-8041-0145-9

18/09/09 9:20:53

Table des matières Thème 1 CONSTRUCTIONS ET ÉQUATIONS DANS LE PLAN (FESeC : voir tâches n° 2, 3 et 4) 1. Constructions...................................................................................................................................... 1 2. Équations.............................................................................................................................................. 7 3. Exercices supplémentaires........................................................................................................... 21

Thème 2 MISE AU POINT DU CALCUL ALGÉBRIQUE 1. Ensemble R...................................................................................................................................... 24 2. Radicaux d’indice deux................................................................................................................. 26 3. Radicaux d’indice trois................................................................................................................... 28 4. Radicaux d’indice n (Comm. franç.).......................................................................................... 29 5. Exposants fractionnaires............................................................................................................... 31 6. Exercices supplémentaires........................................................................................................... 32

Thème 3 TRIGONOMÉTRIE 1. Angles orientés et cercle trigonométrique.............................................................................. 33 2. Nombres trigonométriques d’un angle orienté..................................................................... 40 3. Angles associés................................................................................................................................ 47 4. Coefficient angulaire et tangente trigonométrique.............................................................. 54 5. Équations trigonométriques........................................................................................................ 57 6. Relations trigonométriques dans un triangle quelconque................................................ 68 7. Exercices supplémentaires........................................................................................................... 88

Thème 4 FONCTIONS 1. Généralités........................................................................................................................................ 92 2. Caractéristiques des fonctions.................................................................................................... 94 3. Fonctions usuelles........................................................................................................................ 105 4. Fonctions associées (manipulations)..................................................................................... 116 5. Exercices supplémentaires......................................................................................................... 151

Thème 5 DEUXIÈME DEGRÉ 1. Manipulations graphiques de f : x → x2................................................................................ 152 2. Résolution d’équations du deuxième degré........................................................................ 162 3. Représentation graphique des fonctions du deuxième degré....................................... 173 4. Factorisation des trinômes du deuxième degré.................................................................. 187 5. Problèmes – Équations fractionnaires – Équations-produit............................................ 193 6. Signe des trinômes du deuxième degré et résolution d’inéquations.......................... 205 7. Exercices supplémentaires......................................................................................................... 224

Table des matières

4

V

Thème 6 STATISTIQUES 1. Données statistiques.................................................................................................................... 228 2. Paramètres de position ou valeurs centrales....................................................................... 228 3. Paramètres de dispersion............................................................................................................ 237 4. Exercices supplémentaires.......................................................................................................... 249

Thème 7 CALCUL VECTORIEL 1. Vecteurs........................................................................................................................................... 250 2. Opérations usuelles sur les vecteurs...................................................................................... 260 3. Utilisation des vectuers pour démontrer............................................................................... 267 4. Produit scalaire de vecteurs (4e Comm. franç. – 5e FESeC)............................................ 272 5. Vecteurs en physique (4e Comm. franç.).............................................................................. 278 6. Exercices supplémentaires......................................................................................................... 281

Thème 8 COMPLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE 1. Angles et quadrilatères................................................................................................................ 283 2. Lieux géométriques (FESeC : voir tâche 2)........................................................................... 290 3. Constructions................................................................................................................................. 301 4. Exercices supplémentaires......................................................................................................... 319

Thème 9 CONSTRUCTIONS DANS L’ESPACE (4e FESeC – 5e Comm. franç.)

1. Représentations d’objets............................................................................................................ 321 2. Problèmes d’intersection............................................................................................................ 326 3. Parallélisme..................................................................................................................................... 339 4. Exercices supplémentaires......................................................................................................... 342

TÂCHES D’INTÉGRATION (FESeC) 1. Problèmes de géométrie analytique du premier degré.................................................... 343 2. Problèmes de construction et de lieux.................................................................................. 354 3. Cercles et tangentes..................................................................................................................... 356 4. Paraboles......................................................................................................................................... 369 5. Problèmes à modéliser par une fonction.............................................................................. 381 6. Approximer un nuage de points par une fonction du deuxième degré...................... 387

VI 3 Table des matières

Remarques préliminaires Tout comme celui du premier degré, le programme du deuxième degré vise à développer l’autonomie de l’élève : il présente des matières dans des contextes de travail suffisamment amples pour que les élèves puissent prendre des initiatives et développer de multiples compétences. C’est ainsi que tout le programme du degré s’organise autour de six thèmes : 1. Explorer, organiser et démontrer des propriétés géométriques en termes de longueurs et d’angles.

Découvrir et étudier des nombres irrationnels (thèmes 1 - 8 - 9).

2. Explorer, organiser et démontrer des propriétés géométriques et termes de rapports et d’angles (thèmes 3 - 8).

3. Modéliser une situation par un graphique, un tableau, une expression algébrique. Mettre en relation ces différentes représentations (thèmes 4 - 5).

4. Calculer avec habileté : connaître les propriétés sur lesquelles reposent les techniques, organiser les étapes d’un calcul et interpréter les résultats (thèmes 2 - 3 - 5).

5. Associer le calcul vectoriel à des propriétés de tranformations et de figures (thème 7).

6. Organiser des étapes d’une construction dans le plan (thèmes 1 et 8) et dans l’espace (thème 9).

Tous les contenus du programme trouvent un ancrage dans des intuitions et des connaissances développées au premier degré [...].

Rappelons que les contenus doivent être abordés et traités de façon à ce que l’élève développe les cinq grandes compétences transversales mises en avant dans le document Compétences Terminales.

(Extrait du Programme du 2e degré de la FESeC)

Compétences transversales à développer On mettra l’accent sur les aspects suivants : 1. Comprendre un message :



extraire d’un énoncé les données et le but à atteindre ;

 analyser

la structure globale d’un texte mathématique et, en particulier, y distinguer l’essentiel de l’accessoire.

2. Traiter, argumenter, raisonner :

 traduire

une information d’un langage à un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algébrique et réciproquement ;

 observer,

comparer, formuler une hypothèse par induction, argumenter, construire une chaîne déductive et la justifier.

3. Communiquer :

 maîtriser

le vocabulaire, les tournures et le symbolisme nécessaires pour expliquer et rédiger une démonstration ;



rédiger et présenter clairement des arguments et des conclusions ;



produire un dessin, un graphique ou un tableau qui éclaire ou résume une situation.

Remarques préliminaires

4 III

4. Appliquer :

 étendre

 utiliser

une règle, un énoncé ou une propriété à un domaine plus large, par exemple étendre à l’espace une propriété de plan ; certains résultats pour traiter des questions issues d’autres branches (physique, sciences économiques).

5. Généraliser, structurer, synthétiser :



reconnaître une propriété commune à des situations différentes ;



émettre des généralisations et en contrôler la validité.

(Extrait du Programme du 2e degré de la Communauté française)

Les contenus intègrent une partie des compétences terminales dont l’acquisition se poursuit au troisième degré : Savoir, connaître, définir Les grands théorèmes de la géométrie classique relatifs aux rapports de longueurs, aux angles, aux aires et aux figures en général.

Les symétries, les rotations, les homothéties de figures du plan.

Calculer, déterminer un élément géométrique Déterminer une longueur, un angle, une relation entre points, droites, (plans), une propriété de figure, par une méthode routinière.

Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

Choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de :

- déterminer des éléments d’une figure ;

- dégager de nouvelles propriétés géométriques ;

- résoudre des problèmes de construction.

Représenter, modéliser Effectuer des tracés de figures générales ou leurs cas particuliers, à la main, aux instruments, éventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’éclairer une recherche.

Démontrer

Organiser les étapes d’une construction et les justifier.

Dans un énoncé (propriété, théorème ...), distinguer l’hypothèse (les données) et la thèse.

Rédiger une démonstration en faisant apparaître les étapes, les liens logiques, les théorèmes utiles au moyen de phrases complètement formulées.

La rédaction d’un corrigé d’exercices est une vaste entreprise tant pour les encodeur, dessinateur et metteur en pages (que nous remercions chaleureusement) que pour les auteurs.

Ces derniers n’ont pas voulu donner des solutions ne comportant qu’une suite de calculs et une réponse. Ils ont tenu à rédiger des stratégies de résolution, des justifications, des variantes ainsi que de nombreux conseils, fruits de leurs expériences. Ces conseils sont prodigués dans des encadrés grisés.

Merci d’avance à tous ceux qui voudraient contribuer à améliorer ce corrigé.

IV 3 Remarques préliminaires

Activités et exercices

THÈME

3

Trigonométrie En quatrième année, deux contextes significatifs conduisent à l’étude du cercle trigonométrique : - la modélisation de phénomènes périodiques conduit aux nombres trigonométriques d’angles orientés de n’importe quel quadrant (points 1 à 5) et aux fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente (qui seront étudiées dans le thème 4 sur les fonctions) ; - la résolution de triangles fait apparaître les nombres trigonométriques d’angles (non orientés) compris entre 0° et 180° (point 6).

1. Angles orientés et cercle trigonométrique S’exercer

Découvrir

- On établit un lien entre les mesures d’un arc de cercle et d’un angle au centre afin de faire découvrir une nouvelle mesure d’angles : le radian (activités 1 à 4 ).

- On utilise les fractions usuelles de p (activités 5 à 7 ) et on approche p (activité 8 ). On convertit, à l’aide de la calculatrice, des mesures d’angles de degrés en radians et réciproquement.

Rotations et angles orientés 1

8 Cahier d’exercices, page 39 Amplitude de l’angle au centre

Départ

Arrivée

si le sens de la rotation est positif

si le sens de la rotation est négatif

A

C

60°

- 300°

A

L

330°

- 30°

A

D

90°

- 270°

A

G

180°

- 180°

A

G après un tour

540°

- 540°

A

G après 3 tours

1 260°

- 1 260°

A

A après un tour

360°

- 360°

A

H

210°

- 150°

A

J

270°

- 90°

A

F

150°

- 210°

A

D après un tour

450°

- 630°

A

A après 2 tours

720°

- 720°

A

J après 2 tours

990°

- 810°

1. Angles orientés et cercle trigonométrique

4 33

Une nouvelle unité d’angle 2 1) Puisque la longueur d’un cercle de rayon r est 2pr, si l’angle au centre q mesure 30°, il intercepte 1 2pr pr = du cercle, l’arc mesure donc .

12 12 6 2pr pr = 2) Pour q = 90°, l’arc mesure (un quart de cercle).

4 2 73 2pr  146   146  3) Pour q = 146°, l’arc mesure ou de cercle . 146  0, 81pr  2, 55 r  .   360  180 360 360  3 a) Elle aura parcouru 2pr mètres.

2pr pr ou mètres.

6 3 5 5pr Si elle s’arrête en F, elle aura parcouru mètres. . 2pr ou 12 6 1 Si elle s’arrête en G, elle aura parcouru . 2pr ou pr mètres.

2 8 4pr Si elle s’arrête en I, elle aura parcouru mètres. . 2pr ou 12 3 10 5 Si elle s’arrête en K, elle aura parcouru . 2pr ou pr mètres.

12 3

b)  Si elle s’arrête en C, elle aura parcouru









c) Si elle s’arrête en D après avoir effectué deux tours complets, elle aura parcouru 2 . 2pr + ou

9pr mètres.

2

4 a)

8 Cahier d’exercices, page 40 Partie du cercle

Longueur de cette partie

Amplitude de l’angle au centre

 AB

r

1 radian

Cercle entier

2pr

2p

1 de cercle 2

pr

p

1 de cercle 3

2pr 3

2p 3

1 de cercle 4

2pr pr ou 4 2

p 2

1 de cercle 5

2pr 5

2p 5

3 de cercle 4

2pr .

3pr 3 ou 2 4

3p 2

1 de cercle 10

2pr pr ou 10 5

p 5

1 de cercle n

2pr n

2p n

34 3 Thème 3 • Trigonométrie

1 . 2pr 4

5 a)

8 Cahier d’exercices, page 41

Point

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

Longueur de l’arc parcouru

0

p 6

p 3

p 2

2p 3

5p 6

p

7p 6

4p 3

3p 2

5p 3

11p 6

E (23π)

D (π 2)

C (π3 )

F (56π)

B (π6 )

A(0)

G(π) H (76π)

L (116π) I (43π)

J (32π)

K (53π)

5p p ou .

2 2 31p 7p ou .

2. À l’arc parcouru de A à H après deux tours complets, on associe le réel 2 . 2p + 6 6 23p 3p ou .

3. À l’arc parcouru de A à J après cinq tours complets, on associe le réel 5 . 2p + 2 2

b) 1. À l’arc parcouru de A à D après un tour complet, on associe le réel 2p +

4. À l’arc parcouru de A à A après neuf tours complets, on associe le réel 9 . 2p ou 18p. c)  Le point marqué par le réel

5p + 2p est K (arc parcouru de A à K après un tour complet).

3

 Le point marqué par le réel

4p + 18p est I (arc parcouru de A à I après neuf tours complets).

3

 Le point marqué par le réel

17p 5p (ou + 4p ) est K (arc parcouru de A à K après deux 3 3

tours complets).

4p radians 3 7p radians b) 210° ou 6 c) K

6 a) - 240° ou -

d) I

1. Angles orientés et cercle trigonométrique

4 35

Activités et exercices

d) Le rapport entre la longueur d’un arc et de l’amplitude de l’angle au centre interceptant cet arc est égal au rayon du cercle.

7 Dans ce dessin, l’unité est représentée par 5 cm (échelle 2/5). π D 212 (5)

– 5π 3

(4)

Point de départ 0

1 (3)

15π 8

(1)(2) – π ou 3π 2 2

Remarque :

21p p = + 10p .

2 2

Il est très pratique d’apprendre aux élèves à placer sur un cercle des points réprésentés par des réels :

p , il suffit de partager chaque quadrant en deux parties égales ; 4 p , on divise chaque arc précédent en deux parties égales ;  pour des réels multiples de 8 p , on partage le cercle en 6 parties égales à l’aide du rayon, puis  pour des réels multiples de 6  pour des réels multiples de

chacune d’elles en deux parties égales.

8 a) 1. La longueur d’un cercle de rayon 1 est 2p.

Le nombre p peut être approché par la méthode d’Archimède à partir d’un encadrement formé de périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle.

2. Puisque la longueur du cercle est comprise (strictement) entre p6 et P6 ; on a p6 < 2p < P6 ou 1 1 p6 < p < P6 .

2 2  a une amplitude de 60°.

3. Puisqu’il s’agit d’hexagones, l’angle au centre BOA 4.  Dans le triangle OHA rectangle en H, on a B’

 = AH sin HOA OA AH sin 30° 30° == ou sin 1 ou AH =

B (le rayon du cercle est 1)

H’ H

1 . D’où AB = 1.

2 30° 0

36 3 Thème 3 • Trigonométrie

A

A’

THÈME

7

Calcul vectoriel 

Pour démontrer des propriétés géométriques, les élèves ont à leur disposition :

– l’outil synthétique qui rassemble les définitions et propriétés étudiées depuis la classe de première; – l’outil analytique qui utilise les coordonnées des points et les équations de droites et de courbes, dans un repère d’un plan. fois, les élèves ajouteront l’outil vectoriel à leur bagage. Ce nouvel outil concernera des problèmes d’alignement et de parallélisme dans des figures planes.

 Cette

Cet outil sera associé à des calculs sur des couples de réels qui représentent les coordonnées de points ou les composantes de vecteurs. les élèves de la Communauté aborderont le produit scalaire dans le plan afin d’aborder les problèmes de distance, d’orthogonalité et de mesures d’angles.

 Seuls

Les élèves de la FESeC étudieront le produit scalaire en cinquième.

1. Vecteurs S’exercer

Découvrir

Dans cette partie, il est intéressant de faire régulièrement une comparaison avec les translations étudiées durant les années antérieures.

1. Définitions et propriétés géométriques des vecteurs 1 a) Seul Éléphant Trompeur a donné assez d’informations. la direction  b) le sens , c’est-à-dire trois informations. la distance  a)

b)

Direction

Sens vers

2

Ariane

Ouest-Est

Est

Jean-Louis

Nord-Sud

Nord

Serge

Nord-Sud

Sud

Nathalie

Nord-Sud

Sud

Fabienne

Ouest-Est

Ouest

Coralie

Ouest-Est

Ouest

Thaïs

Nord-Sud

Sud

250 3 Thème 7 • Calcul vectoriel



Même direction : A - F - C



JL - S - N - T

Même sens : S - N - T

F-C

Activités et exercices

c) Distance : A

2

JL

4

S

3

N

3

F

1

C

2

T

4

d) Les personnes effectuent le même déplacement si leurs déplacements ont la même direction, le même sens et si elles parcourent la même distance.

Serge et Nathalie ont effectué le même déplacement.

e) Ont effectué des déplacements parallèles :

Ariane - Fabienne - Coralie et Jean-Louis - Serge - Nathalie - Thaïs.

Seule la direction doit être la même.

f) Ont effectué des déplacements opposés de même longueur : Jean-Louis et Thaïs, Ariane et Coralie. Leurs déplacements ont la même direction et la même longueur mais des sens opposés.

3 a)

8 Cahier d’exercices, page 101

T J

P

N

T' O

E S

Les programmes demandent d’associer, d’une part, le vecteur à une translation (ce qui rend la notion de vecteur très visuelle) et, d’autre part, à un couple de réels (voir activités 4 à 8 ) b) Direction et sens : vers le Sud-Ouest de 1,5 km. c) Direction et sens : vers le Sud-Ouest ; longueur : 3 km. d) Route Nord-Sud vers le Nord de 2 km.

1. Vecteurs

4 251

e) T P

J

N O

E S

f) Les déplacements de cet exercice sont caractérisés par une translation.

Ce schéma représente effectivement les rues de New York. Il faut cependant être attentif, surtout quand l’on commence à parler de composantes, au fait que les avenues ont des numéros en ordre décroissant.

2. Définitions et propriétés numériques des vecteurs 4 a)-b)

8 Cahier d’exercices, page 102

e

50 rue e

6e avenue (Avenue des Amériques)

7e avenue

8e avenue

49 rue

b

e

48 rue e

47 rue e

46 rue e

45 rue d

e

44 rue e

43 rue e

42 rue e

41 rue a

e

40 rue e

39 rue

c) Le chemin est unique car on a donné la condition « d’abord une rue puis une avenue ». Il a longé 2 blocs dans la rue et 3 blocs dans l’avenue. Le couple de nombres représentant le déplacement est (2 ; - 3).

252 3 Thème 7 • Calcul vectoriel

e) Un déplacement noté (5 ; - 3) est un déplacement qui longe 5 blocs dans une rue vers l’est puis 3 blocs dans une avenue vers le Sud. 5 a)

de A à B

AB

(3 ; - 2)

de B à A

(- 3 ; 2)

BA

de A à C

(- 3 ; - 5)

AC

de B à C

(- 6 ; - 3)

BC

de D à C

(3 ; - 2)

DC

de O à B

(5 ; 2)

OB

b) Certains élèves trouvent rapidement la formule, d’autres moins. On peut, pour ces derniers, suggérer d’ajouter des points sur le dessin et de déterminer les composantes d’autres vecteurs.

A(2 ; 4)

D(- 4 ; 1)

B(5 ; 2)

O(0 ; 0)

C(- 1 ; - 1)

Les composantes de AB sont (xB - xA ; yB - yA)

c) AB(3 ; - 2) et DC(3 ; - 2).

Les composantes de vecteurs égaux sont égales.

d) AB(3 ; - 2) et BA(- 3 ; 2).

Les composantes de vecteurs opposés sont opposées.

e) C’est la formule de la distance de deux points.

d( A ; B ) = ( x B - x A )2 + ( y B - y A )2 .

|| BA || = || AB || =

|| AD || =

(5 - 2)2 + ( 2 - 4 )2 = 13 .

( - 4 - 2)2 + (1 - 4 )2 = 36 + 9 = 45 .

6 a) A

B

AB

BA

1)

(- 1 ; 5)

(3 ; 2)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

2)

(- 4 ; 3)

(0 ; 0)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

3)

(2 ; 0)

(6 ; - 3)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

4)

(- 2 ; 1)

(2 ; - 2)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

5)

(0 ; 0)

(4 ; - 3)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

6)

(- 2 ; - 1)

(2 ; - 4)

(4 ; - 3)

(- 4 ; 3)

Il semble que lorsque les axes x et y ont même sens et même direction et qu’une même unité a été choisie dans chaque cas, les composantes d’un vecteur ne dépendent pas de la position des axes.

1. Vecteurs

4 253

Activités et exercices

d) Le couple qui représente le déplacement est (1 ; 10).