Résoudre des problèmes by Groupe De Boeck

Collection dirigée par Françoise Lucas

Ce guide propose aux enseignants des pistes méthodologiques accompagnées d'une «batterie» d'activités «prêtes à l'emploi» visant à développer des compétences de résolution de problèmes chez les enfants de 8 à 10 ans. Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d'aborder les problèmes ? Quelles stratégies pourraient-ils mettre en place pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer ces apprentissages en classe ? Au travers des activités proposées, l’ouvrage tente de répondre concrètement à toutes ces questions en s'appuyant sur des recherches et des expériences menées en classe par des enseignants.

édition revue

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pas de problème !

Résoudre des problèmes : pas de problèmes !

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Résoudre des problèmes :

Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d'un même «nœud-matière» et d'un même réseau de compétences.

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des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique et documents reproductibles Isabelle DEMONTY Annick FAGNANT Michèle LEJONG

RESPRO8 ISBN 978-2-8041-5611-4

www.deboeck.com

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INTRODUCTION La résolution de problèmes constitue une activité désormais incontournable dans les apprentissages mathématiques. Les directives officielles ainsi que les travaux récents dans le domaine de la recherche en didactique des mathématiques s’accordent sur cette idée : la capacité à résoudre des problèmes constitue un élément clé de la compétence mathématique. Bien plus, résolution de problèmes, élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont intimement liés : l’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes apparaît comme une démarche privilégiée pour développer des compétences et des connaissances durables chez les élèves. Cela permet notamment de donner sens aux concepts mathématiques et de réinvestir des procédures dans un contexte qui justifie leur utilisation. Dans une telle perspective, amener les enfants à être plus performants en mathématiques ne peut se limiter à développer des savoirs et des savoir-faire. Apprendre à faire face à des situations problèmes variées constitue un objectif tout aussi important de la formation mathématique. Il s’agit donc d’offrir aux enfants la possibilité de résoudre des problèmes. Si l’idée paraît simple, sa mise en œuvre pratique, en revanche, ne l’est pas : c’est toute la question de l’aide à la résolution de problèmes qui se trouve ainsi posée (Julo, 1992, p. 1). Comment apprendre à résoudre des problèmes ? Cette question est cruciale : résoudre un problème est loin d’être évident pour bon nombre d’élèves. Nombreux sont ceux qui éprouvent d’importantes difficultés inhérentes aux situations problématiques elles-mêmes. Face à des problèmes arithmétiques, certains pensent qu’il suffit de faire une opération avec tous les nombres de l’énoncé ou d’appliquer la procédure qui vient d’être vue en classe. Pour d’autres, résoudre un problème, c’est faire le bon calcul ; il n’y a donc qu’une et une seule « bonne » façon d’arriver à l’unique solution acceptable. Certains ne répondent pas à la question posée ; d’autres proposent des réponses qui peuvent paraître complètement insensées (Verschaffel, Greer et De Corte, 2000). Bien qu’elles permettent parfois d’aboutir à la réponse correcte face à certains problèmes, ces démarches superficielles (c’est-à-dire non fondées sur une analyse approfondie des situations) révèlent rapidement leurs limites lorsque les enfants sont confrontés à de véritables problèmes. Comment les enfants appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’appréhender les situations ? Quels outils pourraient-ils développer pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer en classe des apprentissages qui prennent comme point de départ les démarches effectivement mises en œuvre par les enfants ? Toutes ces questions sont actuellement peu envisagées dans les documents scolaires. L’outil méthodologique proposé ici vise à apporter une aide en ce sens : fournir aux enseignants un bagage d’activités « prêtes à l’emploi » pour apprendre aux élèves de 8-10 ans à développer des compétences leur permettant de faire face à des problèmes variés. L’outil s’inscrit dans la lignée d’un outil méthodologique comparable destiné aux élèves de 10/12 ans (Fagnant & Demonty, 2005). Dans une perspective de continuité des apprentissages, il est intéressant d’utiliser le même type d’approche avec les élèves tout au long de la scolarité : les apprentissages réalisés en fin d’enseignement primaire pouvant dès lors d’autant mieux s’appuyer sur ceux réalisés au cycle précédent.

Introduction

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L’intégralité de la formation mathématique des enfants de cet âge n’est pas envisagée ici : l’enseignement de l’ensemble des compétences disciplinaires n’est pas directement visé dans les situations proposées. Comme son titre l’indique, l’outil méthodologique que nous avons développé porte explicitement sur la résolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés, mais ce n’est pas leur apprentissage proprement dit qui est au centre des préoccupations.

L’outil proposé est le résultat de trois années de recherche commanditée par le Ministère de la Communauté française (Administration Générale de l’Enseignement et de la Recherche Scientifique – Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises) et réalisée en étroite collaboration avec des enseignants et des inspecteurs. Ainsi, une vingtaine d’enseignants se sont « jetés à l’eau » pour découvrir l’outil méthodologique et essayer les activités avec leurs élèves. C’est grâce à la richesse des échanges que le matériel proposé a pu être retravaillé afin de s’adapter au mieux à la réalité des classes. C’est également grâce à ces essais que l’ensemble du document a pu être illustré par des productions d’enfants et des avis d’enseignants. Cette collaboration fructueuse devrait donc permettre de déboucher sur un document pratique et utilisable directement par les professionnels de terrain. Nous espérons que tel est le cas.

Introduction

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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS A. CARACTÉRISTIQUES D’UNE SOLUTION BIEN COMMUNIQUÉE – PROBLÈMES ET SOLUTIONS : QUELLE PAGAILLE ! 1. Aperçu de la séquence COMMUNICATION Les séquences d’activités Caractéristiques d’une solution bien communiquée De questions en réponses

Situations où la communication est un enjeu important

Probl. / solutions : quelle pagaille !

Les problèmes à la suite

Les jeux olympiques

Les olympiades rigomathiques

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

Ce qui est visé… Repérer les éléments utiles à une bonne communication de la solution d’un problème, en indiquant la réponse et l’unité. apprendre

Il n’y a qu’une et une seule façon de résoudre un problème. La réponse du problème se situe toujours derrière le signe d’égalité. désapprendre

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Organisation de la séquence Les grandes étapes 1. Résolution des problèmes et élaboration des fiches de solution. 2. Correction des problèmes.

3. Association des solutions aux problèmes. 4. Mise en commun des productions et synthèse.

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Le déroulement Résolution d’un des quatre problèmes écrits au tableau : chaque enfant recopie le calcul et la réponse sur une fiche.

Durée Choisir une série de 4 problèmes. Les recopier au tableau. Distribuer une fiche à chaque enfant.

Correction de chacun des quatre problèmes au tableau en indiquant en dessous de chaque problème la solution et l’unité. Mettre en évidence les ressemblances et les différences entre les problèmes. Association des solutions et des problèmes. Seules les solutions bien communiquées pourront être associées à un seul problème. Mise en commun des productions et analyse des divergences. Synthèse. Insister sur deux caractéristiques d’une solution bien communiquée : réponse identifiée et unité appropriée.

La communication de la solution

10 min

20 min

Recopier au tableau 20 min quelques fiches d’enfants. Choisir des fiches variées au niveau de la communication. Compléter la feuille de 15 min synthèse. Après avoir résolu un problème, il faut communiquer la solution trouvée.

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2. Les outils d’apprentissage pour les élèves COMMUNICATION Les séquences d’activités Caractéristiques d’une solution bien communiquée De questions en réponses

Situations où la communication est un enjeu important

Probl. / solutions : quelle pagaille !

Les problèmes à la suite

Les jeux olympiques

Les olympiades rigomathiques

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

Problèmes proposés

Domaine mathématique

Particularités

Série 1 – Billes et poissons La partie de billes Echange de poissons Les sacs de billes Les poissons rouges

Nombres et opérations

Les différents problèmes de la série induisent deux types de calcul : soit un calcul à trou, soit un calcul où la réponse est isolée dans un seul membre de l’égalité.

Série 2 – Bonbons et œufs Les bonbons d’Anna Les œufs Les bonbons d’Éric Les crêpes

Nombres et opérations

Cf. série 1, mais avec des multiplications.

Série 3 – Cartouches et livres Joyeux anniversaire M. Jaimelire fait ses comptes Les économies de Jordan La bibliothèque

Nombres et opérations

Cf. série 1 mais avec des plus grands nombres et une donnée numérique perturbante dans chaque problème.

Série 4 – Cartes et enfants Le train fantôme Martin range ses cartes La journée sportive La collection de Martin

Nombres et opérations

Cf. série 2 mais avec des plus grands nombres et une donnée numérique perturbante dans chaque problème.

Série 5 – Dalles et carrelages La salle de bain La terrasse La cuisine Le chemin en bois

Nombres et opérations

Chaque problème de la série comporte deux étapes et implique des transformations d’unités.

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Problèmes proposés Série 6 – Grammes et Tonnes Les petits pois Les cailloux Les camions miniatures Les motos géantes

Domaine mathématique Grandeurs (masse nette, masse brute, tare)

Particularités Cf. série 1 en ce qui concerne les deux types de calculs que les problèmes induisent. De plus, il y a chaque fois une donnée cachée (donnée numérique importante présentée sous une forme chiffrée).

Feuille de synthèse à compléter. Après avoir résolu un problème, il faut communiquer la solution trouvée. A quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ?

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

Première série : billes et poissons –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Pendant la récréation, Jordan et Cédric jouent une partie de billes. Avant de commencer, Jordan compte ses billes : il en a 15. Pendant la partie, Cédric, qui n’est pas très en forme, perd toutes ses billes. A la fin de la partie, Jordan compte les billes qu’il a. Il est très content : il en a 32. Combien de billes Jordan a-t-il gagnées en jouant contre Cédric ?

La partie de billes

–– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Lucas et Sophie ont des poissons rouges. Sophie décide de donner ses 15 poissons rouges à Lucas. Lucas les met dans son aquarium. Il est très content, car il a maintenant 32 poissons rouges. Combien de poissons Lucas avait-il avant que Sophie ne lui donne les siens ?

Échange de poissons

Jordan et Cédric ont chacun un sac de billes. Cédric compte ses billes : il en a 17. Jordan, lui, en a un peu moins. Quand Cédric et Jordan mettent leurs billes ensemble, ils en ont 32. Combien de billes Jordan a-t-il ?

Les sacs de billes –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Lucas et Sophie ont chacun un aquarium. Dans son aquarium, Sophie a 17 poissons rouges. Lucas, lui en a un peu moins. A eux deux, ils ont 32 poissons rouges. Combien Lucas a-t-il de poissons ?

Les poissons rouges

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

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Deuxième série : bonbons et œufs © De Boeck 2007

Les bonbons d’Anna Pour fêter son anniversaire, Anna a invité ses cinq meilleurs amis et elle a acheté des bonbons pour le goûter. Les six enfants mangeront chacun le même nombre de bonbons. En tout, Anna a prévu 24 bonbons. Combien chaque enfant mangera-t-il de bonbons ?

Les œufs Éric va faire les courses au magasin près de chez lui. Il achète six boîtes d’œufs et se demande si c’est assez. Il compte le nombre d’œufs : il y en a 24 au total. Éric se dit que c’est suffisant. Combien d’œufs y avait-il dans chaque boîte ?

Les bonbons d’Éric Éric a vendu des bonbons pour rapporter de l’argent à son club de football. Ses quatre meilleurs amis lui ont acheté chacun le même nombre de bonbons. En tout, Éric a vendu 24 bonbons. Combien de bonbons chaque enfant a-t-il achetés ?

Les crêpes Ce soir, c’est la fête ! Anna a invité ses amis et ils vont manger des crêpes. Pour préparer les crêpes, elle a acheté quatre boîtes d’œufs. Sachant qu’Anna a maintenant 24 œufs, combien d’œufs y avait-il dans chaque boîte ? –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

Troisième série : cartouches et livres –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Jordan et Kelly collectionnent des cartouches d’encre vides. Kelly possède 150 cartouches vides et 120 cartouches pleines. Ensemble, Jordan et Kelly possèdent 320 cartouches vides. Combien de cartouches vides Jordan possède-t-il ?

Joyeux anniversaire

Dans la bibliothèque, il y a deux étagères : une grande et une petite. Sur la grande étagère, 150 livres sont déjà rangés mais il reste encore beaucoup de place. La petite étagère contient 120 livres et est pleine à craquer. Monsieur Jaimelire décide de remplir la grande étagère avec des livres de contes. Après cela, il y a 320 livres sur la grande étagère. Combien Monsieur Jaimelire a-t-il ajouté de livres de contes sur la grande étagère ?

Monsieur Jaimelire fait ses comptes

Jordan et Kelly ont chacun des cartouches d’encre vides. Kelly en possède 170 et Jordan en a beaucoup plus. Jordan décide de garder 120 cartouches et de donner toutes les autres à Kelly. Grâce à cela, Kelly a maintenant 320 cartouches. Combien de cartouches Jordan a-t-il données à Kelly ?

Les économies de Jordan

Dans la bibliothèque, il y a une grande étagère qui comprend les livres de contes et les romans. Les livres scolaires sont rangés sur une petite étagère ; elle comporte 120 livres. Sur la grande étagère, il y a 170 romans. En tout, la grande étagère contient 320 livres. Combien y a-t-il de livres de contes sur la grande étagère ?

La bibliothèque

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

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Quatrième série : cartes et enfants © De Boeck 2007

Le train fantôme Lors d’une excursion, les enfants de 8 ans vont dans un train fantôme. Les 33 élèves de 10 ans visitent quant à eux le palais des glaces. Les 11 wagons du train fantôme peuvent accueillir les 77 enfants de 8 ans. Combien d’enfants y a-t-il dans chaque wagon sachant que les enfants se sont répartis équitablement dans les wagons ?

Martin range ses cartes Martin décide de ranger sa collection de cartes dans un album. Les 33 premières pages de l’album sont occupées et il reste 11 pages vides. Martin voudrait que les 11 dernières pages aient toutes le même nombre de cartes. Combien de cartes doit-il mettre sur chaque page pour arriver à coller ses 77 cartes ?

La journée sportive Pour la journée sportive, 33 jeux différents ont été organisés. Les enfants doivent constituer 7 équipes contenant chacune le même nombre de joueurs. Combien d’enfants doit-il y avoir dans chaque équipe sachant qu’il y a 77 enfants au total ?

La collection de Martin Simon a donné sa collection de 33 cartes postales à Martin, son grand frère. Martin voudrait compléter cette collection et décide d’aller acheter de nouvelles cartes. Il rassemble ses économies et se rend chez le libraire où il achète 7 paquets de cartes. En rentrant chez lui, il les compte et constate qu’il en a acheté 77. Sachant que tous les paquets avaient le même nombre de cartes, combien de cartes y avait-il dans chaque paquet ? –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

Cinquième série : dalles et carrelages –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Sonia veut carreler les murs de sa salle de bain. Elle désire acheter des carrelages de 100 cm2. Sonia se dit qu’il y a un risque de casser des carrelages pendant les travaux. Par prudence, elle décide donc d’acheter 830 carrelages. Combien de carrelages supplémentaires Sonia a-t-elle achetés par prudence ?

La salle de bain

Christophe voudrait réaliser une terrasse avec des petites dalles en bois de 10 cm de côté. Sa terrasse mesure 8 m2. Au magasin, des dalles gratuites sont offertes en fonction de différentes quantités d’achats. Grâce à cette promotion, Christophe rentre chez lui avec 830 dalles. Combien de dalles Christophe a-t-il en trop ?

La terrasse

Lucien veut carreler les murs de sa cuisine. Il a décidé d’acheter des carrelages de 100 cm2. Il doit couvrir une surface de 8 m sur 4 m. Pour être sûr d’en avoir assez, Lucien décide d’acheter 30 carrelages supplémentaires. Combien de carrelages Lucien va-t-il acheter ?

La cuisine

Pascal veut construire un petit chemin en bois pour aller de sa terrasse à son potager. Il a décidé d’acheter des dalles de 10 cm sur 10 cm. Le petit chemin qu’il veut réaliser devra mesurer 8 m de long sur 1 m de large. Par prudence, Pascal décide d’acheter 30 dalles supplémentaires par rapport à ses calculs. Combien de dalles Pascal va-t-il acheter ?

Le chemin en bois

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Sixième série : grammes et tonnes © De Boeck 2007

Les petits pois Au village des petits hommes, tout le monde adore les petits pois en conserve. Quand on égoutte les petits pois, on retire cinq grammes d’eau. La boîte de petits pois vide pèse 8 grammes. La masse de petits pois qui reste à manger est donc importante pour les petits hommes puisque la boîte pleine et fermée pèse 33 grammes. Quelle masse de petits pois y a-t-il réellement dans la boîte ?

Les cailloux Au village des géants, tout le monde adore les cailloux en conserve. Quand on égoutte les cailloux, on retire cinq tonnes d’huile. La boîte de cailloux vide pèse 8 tonnes. La boîte pleine et fermée pèse 33 tonnes. Quelle masse de cailloux y a-t-il réellement dans la boîte ?

Les camions miniatures Au village des petits hommes, les camions sont un peu bizarres. Les camions vides et sans les roues pèsent seulement huit grammes. Quand on ajoute les quatre roues, ils pèsent 5 grammes de plus. Lorsqu’ils sont chargés de provisions, ils pèsent 33 grammes. C’est fou toute la charge qu’ils peuvent transporter. Peux-tu trouver de combien il s’agit ?

Les motos géantes Au village des géants, il y a de drôles de motos. Sans les roues, la moto de Luc-le-géant pèse huit tonnes. Quand on ajoute les deux roues, elle pèse 5 tonnes de plus. Lorsque Luc-le-géant monte dessus, elle pèse 33 tonnes. Combien pèse Luc-le-géant ? –– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

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DOCUMENTS À REPRODUIRE

voir résolu un problèm Après a e, e r u l q a i n s o u l u m tion tro t com u vé e il fau À quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ?

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3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant COMMUNICATION $`

Les séquences d’activités Caractéristiques d’une solution bien communiquée

De questions en réponses

Situations où la communication est un enjeu important

Probl. / solutions : quelle pagaille !

Les problèmes à la suite

Les jeux olympiques

Les olympiades rigomathiques

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

Étape 1 - Résolution des problèmes et élaboration des fiches de solution

Recopier les quatre problèmes au tableau et demander aux élèves d’en résoudre un (par exemple, le premier problème est confié à la première rangée, le deuxième à la deuxième rangée, etc.).

Après la résolution, les élèves recopient le calcul et la réponse sur une petite fiche. Si certains élèves sont plus rapides que d’autres, ils sont invités à résoudre un autre problème.

Étape 2 - Correction des problèmes

Réaliser une correction des quatre problèmes et écrire au tableau les solutions (réponses et unités) en dessous de chacun d’eux. Écrire la réponse et l’unité en dessous de chaque problème facilitera l’étape 4 de mise en commun et de correction des associations effectuées.

Faire découvrir aux enfants les ressemblances entre les différents énoncés : les 4 problèmes impliquent le même triplet de nombres, les unités et les réponses sont les mêmes par paire de problèmes. Illustrons ces particularités des énoncés au départ de la première série (Billes et poissons) : cette série implique le triplet de nombres 15, 17 et 32. On trouve l’unité « billes » pour les problèmes 1 et 3 et l’unité « poissons » pour les problèmes 2 et 4 ; « 17 » est la réponse des problèmes 1 et 2, et « 15 » est celle des problèmes 3 et 4.

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Étape 3 - Association des solutions aux problèmes

Choisir quelques fiches complétées par les enfants (6 fiches au maximum) et recopier les solutions au tableau. Choisir des solutions qui sont correctes au niveau de la résolution et qui sont variées au niveau de la communication. Par exemple, une fiche où la réponse n’est pas identifiée, une où l’unité n’est pas indiquée, une complète, une où seul le calcul apparaît.

Demander aux enfants de retrouver le problème qui correspond à chaque solution écrite au tableau. Il est conseillé d’organiser un travail en groupes pour que de premiers débats puissent être menés. Certains enfants penseront peut-être à associer plusieurs problèmes à une même solution.

Étape 4 - Mise en commun des productions et synthèse

La mise en commun des réponses des différents groupes permet d’obtenir un tableau récapitulatif comme celui présenté ci-après, obtenu dans une classe qui avait résolu la première série de problèmes : « billes et poissons ». Si le travail n’a pas été mené en groupes, le plus simple est de réaliser le tableau récapitulatif au départ de quelques réponses choisies au hasard dans la classe. L’important est de faire ressortir des contradictions : pourquoi tous les enfants n’ont-ils pas associé le même problème à la solution donnée ?

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Exemple de tableau récapitulatif réalisé dans une classe. L’enseignant a recopié les quatre énoncés au tableau puis a demandé aux enfants de donner les solutions des quatre problèmes. Il a ensuite recopié chaque solution en dessous de l’énoncé correspondant (comme indiqué dans l’étape 2). La partie de billes

Echange de poissons

17 billes

17 poissons

Les sacs de billes

Les poissons rouges

Lucas et Sophie ont chacun un aquarium.

15 billes

Dans son aquarium, Sophie a 17 poissons rouges. Lucas, lui en a un peu moins. A eux deux, ils ont 32 poissons rouges. Combien Lucas a-t-il de poissons ? 15 poissons

Le tableau suivant a été complété en demandant à chaque groupe le problème correspondant à chacune des solutions. Ainsi par exemple, les trois groupes ont associé la première production à l’énoncé « Les sacs de billes ». Pour les autres productions, des divergences apparaissent. Par exemple, pour la sixième solution, les groupes 1 et 3 ont associé le problème « Échange de poissons » alors que le groupe 2 propose le problème « Les poissons rouges ».

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Productions relatives aux problèmes

32-17=15 Jordan a 15 billes dans son sac 15 billes+17 billes=32 billes 32-17=15 +17 poissons 15 poissons 32=17+15

32 poissons

32-17=15 Lucas: 15 poissons + 17 poissons =32 poissons

Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

Les sacs de billes Les sacs de billes Les sacs de billes La partie de billes Les sacs de billes La partie de billes Echange de Les sacs de billes Echange de poissons poissons Les sacs de billes Echange de Echange de Les poissons poissons poissons rouges Les poissons rouges Les sacs de billes Les sacs de billes Les poissons Les poissons rouges rouges Echange de Les poissons Echange de poissons rouges poissons

L’analyse du tableau se centre sur les associations problématiques. Certaines solutions ne conviennent que pour un seul problème. Elles présentent certaines caractéristiques : la réponse au problème apparaît clairement (elle est bien identifiée) et l’unité est indiquée. D’autres solutions peuvent convenir à plusieurs problèmes. Les élèves expliquent pourquoi ils les ont associées à ces problèmes et les autres élèves valident ou non leur démarche. Les élèves essaient ensuite d’expliquer ce qu’il aurait fallu indiquer pour que la solution ne convienne qu’à un problème précis. Si l’occasion se présente, l’enseignant peut ouvrir un débat sur les erreurs d’écriture dans les calculs : – présence de l’unité en fin de calcul, mais pas dans le calcul (par exemple : 17 + 15 = 32 billes) ; – enchaînement incorrect de fausses égalités : 17 + 10 = 27 + 5 = 32.

Synthèse : les élèves dégagent les éléments qui doivent figurer sur les fiches de solution pour que la communication soit complète. Ce travail peut se réaliser en deux temps : d’abord en petits groupes, puis en collectif. La synthèse élaborée à cette étape n’est en rien définitive : elle sera complétée à la suite des autres activités.

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Exemple de synthèse réalisée par des enfants après avoir résolu la quatrième série de problèmes « Cartes et enfants ».

voir résolu un problèm Après a e, e r u l q a i n s o u l ution tr t comm ouvée il fau

À quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ? Je dois écrire la solution en dessous du calcul. Un calcul, ce n’est pas une solution Je ne dois pas oublier d’écrire l’unité. Je dois relire la question posée pour voir si je réponds bien à ce qu’on demande.

Il ne s’agit que d’un exemple de synthèse réalisée dans une classe. Ceci ne doit en rien servir de modèle. D’autres formulations sont possibles et des précisions peuvent encore être apportées. .

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TABLE DES MATIÈRES REMERCIEMENTS

INTRODUCTION

1. 2. 3. 4.

Les étapes de la résolution de problèmes La méthodologie d’enseignement proposée La structure de l’outil méthodologique Références

11 15 18 23

LA REPRÉSENTATION DU PROBLÈME

DE QUESTIONS EN RÉPONSES

1. 2. 3. 4.

Pourquoi représenter un problème ? Que demande une bonne représentation ? Faut-il apprendre aux enfants à représenter un problème ? Comment apprendre aux enfants à bien représenter un problème ?

28 29 33 37

LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS

A. La représentation dessinée 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

39 39 41 51

B. La reformulation écrite 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

69 69 72 75

LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE DU PROBLÈME

93 95

DE QUESTIONS EN RÉPONSES 1. Qu’est-ce que résoudre un problème ? 2. Comment apprendre à résoudre un problème ?

96 100

LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS

101

A. Lien entre représentation et résolution 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

101 101 103 111

B. Variété des démarches de résolution 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

114 114 116 122

Table des matières

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C. Quel est le bon calcul ? Et s’il y en avait plusieurs ? 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

144 144 146 149

D. Variété des solutions 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

153 153 154 159

LA COMMUNICATION DE LA SOLUTION DE QUESTIONS EN RÉPONSES 1. Qu’est-ce que communiquer sa solution ? 2. Faut-il apprendre à communiquer sa solution ? 3. Comment apprendre à communiquer sa solution ?

278

163 165 166 170 172

LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS

173

A. Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Problèmes et solutions : quelle pagaille ! 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

173 173 175 184

B. Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Les problèmes à la suite ! 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

189 189 191 199

C. Situations où la communication est un enjeu important – Les jeux olympiques 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

203 203 205 215

D. Situations où la communication est un enjeu important – Les olympiades rigomathiques 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

221 221 223 227

Table des matières

108 RESPRO_8

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8:03

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LA VÉRIFICATION DE LA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

231 233

DE QUESTIONS EN RÉPONSES 1. Qu’est-ce que la phase de vérification ? 2. Faut-il apprendre aux élèves à vérifier ? 3. Comment apprendre aux élèves à vérifier ?

234 237 239

LA SÉQUENCE D’ACTIVITÉS

240

A. Construction d’un outil de vérification 1. Aperçu de la séquence 2. Les outils d’apprentissage pour les élèves 3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

240 240 242 255

INDEX PAR CONTENU

269

INDEX PAR COMPÉTENCES

273

TABLE DES MATIÈRES

277

Table des matières

279