Funciones lineales y cuadráticas by David Gonzales

DAVID GONZÁLES LÓPEZ

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

DAVID GONZALES LOPEZ

DAVID GONZÁLES LÓPEZ

FUNCIONES MATEMÁTICAS TEORÍA Y APLICACIONES 1.1. INTRODUCCIÓN Función es uno de los conceptos matemáticos con aplicaciones directas en la vida diaria y esenciales para el estudio del cálculo. Mediante una función se busca describir de la forma más precisa, la relación que existe entre dos o más variables, en especial si éstas corresponden a aspectos de la vida real. Con frecuencia, muchos problemas del mundo real conducen a modelos matemáticos que utilizan funciones, las cuales hay que construir con base en la información de que se disponga. Para construir funciones debemos poder traducir la descripción verbal de un problema al lenguaje de las matemáticas. Esto lo hacemos asignando símbolos para representar a las variables independientes y dependientes y determinando después la función o regla que relaciona dichas variables Toda relación entre dos variables expresa una dependencia de una de ellas (variable dependiente) respecto de la otra (variable independiente). Algunas de estas relaciones tienen la siguiente característica: a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Característica que le corresponde sólo a las relaciones que son funciones. Por ejemplo, el área de un círculo depende de su radio y esta dependencia esta dada por la ecuación:

A = π r2 Los siguientes son ejemplos de funciones que relacionan únicamente dos variables: -El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado. -Las cuenta mensual del agua depende de la cantidad de agua consumida. -Las cuenta mensual de la electricidad depende de la cantidad electricidad consumida. -El número de galones de gasolina que pueden comprarse depende de la cantidad de dinero (nuevos soles) del que se dispone -El costo de producción de un artículo depende del número de artículos producidos. -El ingreso por la venta de un producto que tiene un precio fijo, depende del número de unidades vendidas -La utilidad generada por la venta de un artículo depende del número de artículos vendidos. -El interés simple producido por un dinero invertido a una tasa de interés, depende del tiempo que el dinero esté invertido. -El costo de tipear un trabajo dependerá del número de hojas a tipear -El volumen de una esfera depende de la longitud del radio de la esfera. -La distancia recorrida por un móvil en un tiempo dado depende de su velocidad. Empleamos funciones para analizar numéricamente las relaciones de causa y efecto, es decir la correspondencia entre un valor de entrada y otro de salida. En términos generales, una función relaciona los elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de asociación o correspondencia. 1.2 FUNCIONES DE A EN B Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una una relación que asigna a un elemento x de A un único elemento y de B . Notación: Una función f de A en B la denotaremos por f : A → B

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Se lee: “ f es una función de A en B ” . Donde A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada. Gráficamente podemos expresarla de la siguiente manera:

Si el par ( x , y) ∈ f , escribiremos y = f ( x ) y se dice que y es la imagen de x por f ó también, que y = f ( x ) es el valor de f en el punto x . La letra x recibe el nombre de pre-imagen. A la letra x se le conoce como variable independiente y a la letra y = f ( x ) como variable dependiente. Así, en el ejemplo propuesto: f (1) = 2 , ( 2 es la imagen de 1 a través de f ) f (3) = 6 , ( 6 es la imagen de 3 a través de f ) f ( 4) = 8 , ( 8 es la imagen de 4 a través de f ) Otras definiciones equivalentes a la anterior : -Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B , esto es f ⊂ AxB , se define una función f de A en B a toda relación que asocia un elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B . O lo que es lo mismo ∀x ∈ A, ∃ ! y ∈ B / y = f ( x ) -Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una correspondencia que asigna a un elemento x de A un único elemento y de B . -Una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B , de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente. -Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de tal manera que, a cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto ( conjunto de llegada). -Formalmente tenemos la siguiente definición f es una función de A en B si y sólo si satisface las siguientes condiciones: i) f ⊂ AxB ii) ( x , y) ∈ f ∧ ( x , z ) ∈ f → y = z Esto quiere decir que en una función dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Dominio y rango de una función de A en B -El dominio de una función f : A → B es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota por Dom (f ) ó D(f ) . Al dominio también se le conoce como conjunto de Pre – imágenes. Simbólicamente: Dom(f ) = {x ∈ A / ∃ ! y ∈ B , ( x , y) ∈ f } ⊂ A

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-El rango de una función f : A → B es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota por Ran (f ) ó R (f ) . Al rango también se le conoce con los nombres de: Contradominio, Codominio o Conjunto de Imágenes. Simbólicamente: Ran (f ) = {y ∈ B / ∃ x ∈ A , y = f ( x )} ⊂ B Observación y = f ( x ) denota la regla de correspondencia de la función y se lee: “ y es función de x ” En toda función se reconoce lo siguiente: 1) Conjunto de partida 2) Conjunto de llegada 3) Dominio de la función 4) Rango de la función y 5) Regla de correspondencia Cuando una relación es función De acuerdo a la representación de una relación: a) Si se tiene una representación sagital, o de flechas, la relación será función cuando de ningún elemento del dominio salga más de una flecha. Ejemplos

Es función

No es función ( de 1 salen dos flechas)

b) Si la representación es un conjunto de pares ordenados, la relación será función cuando ninguna de las primeras componentes se repita. Ejemplos

R 1 = {(1,3), (3,5), (5,7), (9,11} Es función R 2 = {(3,5), (4,8), (3,7), (5,9)} No es función, ( se repite el 3 ) c) Cuando la representación es una curva en el plano cartesiano, dicha relación será función si al trazar una recta vertical perpendicular al eje x corta a la curva en un sólo punto.

Es función

No es función ( corta en dos puntos)

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Observación 1) Una función recibe el nombre de APLICACIÓN, cuando el Dominio coincide, o es igual, al conjunto de partida. D(f ) = A 2) Toda función es una relación pero no toda relación es función 1.3 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de A ⊂ R en B ⊂ R es una relación que asigna a un elemento x de A un único elemento y de B . Es decir, una función es real de variable real cuando el conjunto de partida y el conjunto de llegada son subconjunto de R o coinciden con R y a cada elemento x del conjunto de partida le corresponde un único elemento y del conjunto de llegada También podemos decir: Si A = R y B = R , a la función f : R → R , se denomina función real de variable real. Notación: Una función real de variable real la denotaremos por f : R → R y, se lee: “ f es una función de R en R ”. Donde R es el conjunto de partida y R es el conjunto de llegada. Observación R = Conjunto de números reales Otras definiciones equivalentes a la anterior : - Una función de R en R es una relación f ⊂ RxR que hace corresponder a cada elemento x de R ( conjunto de partida) a lo más un elemento y de R ( conjunto de llegada) , denotado por y = f ( x ) ∈ R - Un subconjunto de pares ordenados f ⊂ RxR es una función de R en R si para todo x ∈ R existe a lo más un elemento y ∈ R tal que ( x , y) ∈ f Por otra parte se tiene: La notación y = f ( x ) se lee: “ y es la imagen de x mediante f ” “ y es el valor de la función f en x ” “ x es pre-imagen de y ” A la función f se puede escribir en la forma: f = {( x , y) ∈ RxR / y = f ( x )} donde la ecuación correspondencia

y = f (x)

llamada

regla

A la letra x también se le conoce como variable independiente y a la letra y = f ( x ) como variable dependiente.

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Valor numérico de una función Para determinar el valor numérico de una función y = f ( x ) reemplazamos el valor de la variable independiente x en la regla de correspondencia. Ejemplos: Calcular el valor numérico de las siguientes funciones, para los valores de x dados: 1. f ( x ) = x 3 + 5x 2 − 4 x − 5

x = −1

Reemplazamos el valor de x = −1

Solución

f ( x ) = x 3 + 5x 2 − 4 x − 5 f (−1) = (−1) 3 + 5(−1) 2 − 4(−1) − 5 = −1 + 5 + 4 − 5 = 3 2. f ( x ) =

x 2 − 2x + 4

x=2

Reemplazamos el valor de x = −1

Solución

f ( x ) = x 2 − 2x + 4

f ( x ) = ( 2) 2 − 2( 2) + 4 = 0 − 0 + 4 = 4 = 2 3. Sea f ( x + 1) = x + 3

hallar E = f ( −3) + f ( 4) Solución Primero hallamos la regla de correspondencia de la función, es decir f ( x ) Haciendo x + 1 = k → x = k − 1 Escribiendo la expresión original en términos de k tenemos:

f (k ) = k − 1 + 3 → f (k ) = k + 2 Una vez reducida se hace: k = x y se tiene f (x) = x + 2 hallamos f ( −3) = −3 + 2 = −1 y f ( 4) = 4 + 2 = 6 Luego E = f ( −3) + f ( 4) = −1 + 6 = 5 4. Dados f ( x ) = 5x − 1

y g ( x − 3) = 2x + 1 hallar E = f (g( −1)) Solución Trabajamos en g ( x − 3) = 2x + 1 para hallar el g( x ) y luego poder hallar el g (−1) Haciendo x − 3 = k → x = k + 3 Escribiendo la expresión original en términos de k tenemos:

g (k ) = 2( k + 3) + 1 → g (k ) = 2k + 7 Una vez reducida se hace: k = x y se tiene g(x ) = 2x + 7 hallamos g (−1) = 2(−1) + 7 = 5 Luego E = f (g (−1)) = f (5) = 5(5) − 1 = 24 Dominio y rango de una función real

-El dominio de una función real f : R → R es el conjunto de las primeras componentes que forman la función f y se denota por Dom (f ) ó D(f )

Dom(f ) = {x ∈ R / ∃ ! y ∈ R , ( x , y) ∈ f } ⊂ R , también Dom(f ) = {x ∈ R / ∃ ! y ∈ R , y = f ( x )} ⊂ R

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- El rango o recorrido de una función real f : R → R es el conjunto de las segundas componentes que forman la función f y se denota por Ran (f ) ó R (f ) .

Ran (f ) = {y ∈ R / ∃ x ∈ R , y = f ( x )} ⊂ R , también Ran (f ) = {y = f ( x ) ∈ R / x ∈ Dom(f )} ⊂ R

Observación 1) A la función f se le puede representar por el conjunto de pares ordenados

{

}

f = ( x , f ( x )) ∈ RxR = R 2 / x ∈ Dom(f ) ⊂ R 2) El Dominio de f , puede ser R o un subconjunto de R . El Rango de f , puede ser R o un subconjunto de R . 3) El Rango de f , que es el conjunto de todas las imágenes de f , no necesariamente cubre todo R . 4) El conjunto de llegada que en este caso es R también es denominado Codominio de f . Calculo del dominio y rango de una función real El dominio de una función real f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x de tal manera que y = f ( x ) sea número real, salvo el caso que dicho dominio sea especificado. El rango de una función real f se determina muchas veces despejando la variable x en función de y = f ( x ) . Luego se analizan todos los valores posibles que pueda tomar y , de tal manera que x sea número real. Observaciones 1) Si f ( x ) es un polinomio, el dominio de la función será todos los números reales, es decir:

D( f ) = R 2) Si f ( x ) es un cociente, éste no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben eliminar del dominio aquellos valores en donde esto sucede. 3) Si f ( x ) es una raíz cuadrada, éste existirá, si y sólo si, el radicando es mayor o igual que cero. 4) Si f ( x ) es un logaritmo natural, éste existirá, si su argumento es mayor que cero. 5) Si f ( x ) es una función definida por partes, el dominio de la función será la unión de todos los subdominios. Propiedad fundamental de las funciones reales de variable real “Una relación f ⊂ R 2 = RxR es una función real de variable real si y sólo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto” Ejemplos de relaciones que no son funciones

La circunferencia no es función

La hipérbola no es función

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Ejemplos de relaciones que son funciones

Es función

Ejemplos: 1.Hallar el dominio y rango de la función: y = 5x − 2 Solución Dominio: y = f ( x )

y = 5x − 2 Observamos que D(f ) = R Rango: x = f ( y)

y = 5x − 2 y+2 x= 5

Observamos que R (f ) = R 2.Hallar el dominio y rango de la función: y =

Dominio: y = f ( x )

1 x−4

Solución

1 x−4

En este caso debemos hallar aquellos valores para los cuales el denominador es cero, para luego eliminarlos del dominio.

x−4=0 x=4

Luego D(f ) = R − {4} Rango: x = f ( y)

1 x−4 ( x − 4) y = 1 1 x−4= y y=

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1 +4 y

En este caso también debemos hallar aquellos valores para los cuales el denominador es cero, para luego eliminarlos del rango. Es cero si y = 0

Luego R (f ) = R − {0}

3.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) =

1 − 2x x +3

Solución Dominio: y = f ( x )

y = f (x) =

1 − 2x x+3

x+3= 0 x = −3

Luego D(f ) = R − {− 3} Rango: x = f ( y)

1 − 2x x+3 ( x + 3) y = 1 − 2x xy + 3y = 1 − 2 x xy + 2 x = 1 − 3y x ( y + 2) = 1 − 3 y 1 − 3y x= y+2 y=

y+2=0 y = −2 Luego R (f ) = R − {− 2} 4.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) = x 2 − 1 Solución Dominio: y = f ( x )

y = x2 −1 Observamos que D(f ) = R Rango: x = f ( y)

y = x2 −1 x2 = y +1

x = ± y +1 Luego x es real si y + 1 ≥ 0 y ≥ −1 Luego, R (f ) = [− 1,+ ∞

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5.Hallar el dominio y rango de la función: y = − x 2 + x + 2 Solución Dominio: y = f ( x )

y = − x2 + x + 2 y es real si − x 2 + x + 2 ≥ 0 − x 2 + x + 2 ≥ 0 (−1) x2 − x − 2 ≤ 0 ( x − 2)( x + 1) ≤ 0 ( x − 2)( x + 1) = 0 x − 2 = 0 ∨ x +1 = 0 x = 2 ∨ x = −1

Luego, D(f ) = [− 1,2] Rango: x = f ( y) Para hallar el rango de la función despejamos x .

y = − x2 + x + 2 y 2 = −x 2 + x + 2 x 2 − x − 2 + y2 = 0 Como se tiene una ecuación de segundo grado aplicamos fórmula general

− (−1) ± (−1) 2 − 4(1)(−2 + y 2 ) x= 2(1) 1 ± 9 − 4y 2 x= 2 x es real si 9 − 4 y 2 ≥ 0 9 − 4 y 2 ≥ 0 (−1) 4y 2 − 9 ≤ 0 (2 y − 3)(2 y + 3) ≤ 0 (2 y − 3)(2 y + 3) ≤ 0 2y − 3 = 0 ∨ 2y + 3 = 0 3 3 y= ∨ y=− 2 2

 3 3 y ∈  − ,  por la regla de correspondencia de la función, y toma valores positivos  2 2  3 Luego R (f ) = 0 ,   2 9

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6.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) = ln( x − 9) Solución Dominio: y = f ( x )

y = ln( x − 9) Por definición de logaritmo

x −9 > 0 x >9 Luego D(f ) = 9,+∞ Rango: x = f ( y)

y = ln( x − 9) Por definición de logaritmo

ey = x − 9 x = ey + 9 Luego R (f ) = R 7.Hallar el dominio y rango de la función: y = x − 4 Solución Dominio: y = f ( x )

y = x−4 y es real si x − 4 ≥ 0 x−4≥0 x≥4 Luego D(f ) = [4,+∞ Rango: x = f ( y) En este ejercicio falla la sugerencia de despejar x , veamos:

y = x−4 y2 = x − 4 x = y 2 + 4 de esta expresión se tiene que y ∈ R , pero este no es el rango. Podemos hallamos el rango analizando la función o su gráfica.

y = x−4

[

Como ya se conoce el dominio D(f ) = 4,+∞ tenemos : Si x = 4 → y = 0 Si x = 5 → y = 1 Si x = 6 → y = 1,4 etc.

[

Luego R (f ) = 0,+∞ 8.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) = x 2 − 1 Solución Dominio: y = f ( x )

y = x2 −1 y es real si x 2 − 1 ≥ 0

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( x − 1)( x + 1) ≥ 0 ( x − 1)( x + 1) = 0 x −1 = 0 ∨ x +1 = 0 x = 1 ∨ x = −1

Luego D(f ) = − ∞,−1] ∪ [1,+∞ ] Rango: x = f ( y)

y = x2 −1 y2 = x 2 −1 x = ± y2 +1 Para cualquier valor de y , se obtendrán siempre valores positivos, puesto que y está elevado al cuadrado. Conociendo los valores del dominio o por la gráfica de la función se tiene el rango.

R (f ) = [0,+∞

9. Hallar el dominio y rango de la función: y = 4 − x 2 Solución Dominio: y = f ( x )

y = 4 − x2 y es real si 4 − x 2 ≥ 0 4 − x 2 ≥ 0 (−1) x2 − 4 ≤ 0 ( x − 2)( x + 2) ≥ 0 ( x − 2)( x + 2) = 0 x = 2 ∨ x = −2

Luego D(f ) = [− 2,2] Rango: x = f ( y) En este ejercicio falla la sugerencia de despejar x = f ( y) para hallar el rango, veamos:

y = 4 − x2 y2 = 4 − x 2 x = ± 4 − y2 4 − y 2 ≥ 0 La solución de esta inecuación es [− 2,2] pero este no es el rango Podemos hallar el rango analizando la función o su gráfica. Luego R (f ) = [0,2]

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10.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) =

4x 2 − 1 2x + 1

Solución Dominio: y = f ( x )

4x 2 − 1 y= 2x + 1 Debemos hallar aquellos valores para los cuales el denominador es cero, para luego eliminarlos del dominio.

2x + 1 = 0 x=−

1 2  1  2

Luego D(f ) = R − −  = − ∞,−

1 1 ∪ − ,+∞ 2 2

Rango: x = f ( y)

4 x 2 − 1 ( 2 x + 1)(2 x − 1) 1 = , x≠− 2x + 1 2x + 1 2 y = 2x − 1 y + 1 = 2x y +1 x= 2 1 Como x ≠ − entonces el rango es R (f ) = R − {− 2} 2 y=

El rango también lo obtenemos de la siguiente forma Del dominio tenemos:

y +1 1 <− 2 2 − ∞ < y < −2 ∨

1 y +1 < < +∞ 2 2 −2< y<∞ Por lo tanto el rango es R (f ) = R − {− 2} = − ∞,−2 ∪ − 2,+∞ −∞ <

∨

−

11.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) = x 2 − 4 x + 7 si x ∈ [2,3] Solución Dominio: y = f ( x )

f ( x ) = x 2 − 4 x + 7 si x ∈ [2,3]

En este caso el dominio ya está especificado en D(f ) = [2,3] Rango: x = f ( y) Para establecer el rango, despejamos x en la función

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y = x 2 − 4x + 7 Completamos cuadrados

y = x 2 − 4x + 4 − 4 + 7 y = ( x − 2) 2 + 3 ( x − 2) 2 = y − 3

x −2 = ± y−3 x = 2± y−3 Pero, según las condiciones del problema

2 ≤ 2± y−3 ≤ 3 0 ≤ ± y −3 ≤1 0 ≤ y −3 ≤1 3≤ y≤4

Luego el rango de la función es R (f ) = [3,4] El rango de esta función también se obtiene de la siguiente manera: y = f ( x ) = x 2 − 4x + 7 si x ∈ [2,3] Si x = 2 → y = 3 Si x = 3 → y = 4 Luego R (f ) = [3,4]

x + 1 , x ≤ 1

12.Hallar el dominio y rango de la función: f ( x ) = 

x

, x >1

Solución Dominio: y = f ( x )

x + 1 , x ≤ 1 f (x) =  3 , x >1 x En esta función definida por partes se tiene: f 1 ( x ) = x + 1 , x ≤ 1 , Luego D(f1 ) = − ∞,1]

f 2 (x ) = x 3

, x > 1 , Luego D(f 2 ) = 1,+∞

Luego el dominio de la función es D(f ) = D(f 1 ) ∪ D(f 2 ) = − ∞,1] ∪ 1,+∞ = R Rango: x = f ( y) En f 1 ( x ) = x + 1 , x ≤ 1 , se tiene: Si x = −∞ → y = −∞ + 1 = −∞ Si x = 1 → y = 1 + 1 = 2 , Luego R (f 1 ) = − ∞,2] En f 2 ( x ) = x 3

, x > 1 se tiene:

Si x = 1 → y = (1) = 1 3

Si x = +∞ → y = ( +∞) 3 = +∞ , Luego R (f 2 ) = 1,+∞ Luego el rango de la función es R (f ) = − ∞,2] ∪ 1,+∞ = R

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Ejercicios 01: Dominio y rango de una función real de variable real

4 1 − 2x 1 2. y = 2 x −4 1 3. y = 1+ x2 1. y =

2−x 1 + 2x 1+ x2 5. y = 1− x2 2x 2 + 2 6. f ( x ) = 2 x +1 4. y =

7 y=

2x + 1

8 y=

4−x

9. y = − 1 − x 10. y = − 16 − x 2 11. y = 1 − 12. y =

x2 9

x 2 −1

13. y = ln( x 2 − 2 x − 8) 14. y =

18. y =

x − x2

x +1 15. y = x. ln x x −2 16. f ( x ) = ln   x + 4 17. y = −2 x + 1 si x ∈ − 2,3] 19. y = ln(9 − x 2 )

si x ∈ 0,1] si x ∈ − 3,3

x − 1 , x ≤ 1

20. f ( x ) = 

x

, x >1

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Funciones explicitas y funciones implícitas Las Funciones explícitas, son aquellas ecuaciones donde la variable y está escrita explícitamente como función de x . Generalmente en estas ecuaciones se puede despejar y en términos de x y escribir la ecuación o función como y = f(x) Ejemplos: b) y =

a) y = −2 x + 5

4 x −3

Decimos que f : I ⊆ R → R es una función implícita dada en la expresión F( x, y ) = 0 si F( x, f(x) ) = 0 , para todo x ∈ I . En ésta función no vemos de manera explícita lo que la función f hace con x para obtener la imagen f(x) . Ejemplos: a) 3x 2 − y + 4 = 0 b) xy 2 + y − 2 = 0 Una función implícita, puede hacerse explícita si se despeja y en términos de x , hasta obtener la expresión y = f(x) . Ejemplo Forma implícita forma explícita

3x + y = 5

x2 − y = 6

y = − 3x + 5 1 y= x y = x2 − 6

ln(2 x + y) − 2 x + 3 = 0

y = e 2 x −3 − 2 x

x y =1

Sin embargo, no siempre es posible hacer explícita una función que está dada en forma implícita. Ejemplos: En las siguientes ecuaciones no podemos despejar y para expresarlo en términos de x . a) y 5 + y + 2 x = 0 b) x 3 + y 3 = 6xy c) x 2 − 2 y 3 + 4 y = 2

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1.4 CLASES DE FUNCIONES Función lineal Se define la función lineal f : R → R por la regla de correspondencia f ( x ) = mx + b Donde m, b son números reales y m ≠ 0 Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = R A la constante m se le denomina pendiente de la recta. La gráfica de f es una recta oblicua, cuya inclinación respecto al eje x , depende del signo de m . Ilustramos esto en las siguientes figuras.

Figura (a)

Figura (b)

Observación 1) En la figura (a) tenemos lo siguiente, si x 1 < x 2 entonces f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . Las funciones que tienen esta propiedad se denomina funciones crecientes. 2) En la figura (b) ocurre lo contrario, en otras palabras si x 1 < x 2 entonces f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . Las funciones que tienen esta propiedad se denomina funciones decrecientes. 3) En general, una función puede ser creciente o decreciente en todo su dominio, o creciente en una parte de su dominio y decreciente en otra o bien constante. También decreciente en una parte de su dominio y creciente en otra o bien constante. . Ejemplos: 1.Graficar, luego hallar el dominio y rango de la función f ( x ) = 2 x + 3 Solución

y = f ( x ) = 2x + 3

Para graficar una recta debemos conocer dos puntos, de preferencia dos puntos que corten a los ejes coordenados y para ello hacemos: Si x = 0 → y = 3 , luego tenemos el punto (0,3) ∈ f Si y = 0 → x = −

3 3 , luego tenemos el punto ( − ,0) ∈ f 2 2

Dom(f ) = R y Ran (f ) = R

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2.Graficar, luego hallar el dominio y rango de la función y = −2 x + 4 Solución

y = −2 x + 4

Para graficar una recta debemos conocer dos puntos, de preferencia dos puntos que corten a los ejes coordenados y para ello hacemos: Si x = 0 → y = 4 , luego tenemos el punto (0,4) ∈ f Si y = 0 → x = 2 , luego tenemos el punto ( 2,0) ∈ f

Dom(f ) = R y Ran (f ) = R

[

3.Graficar, luego hallar el dominio y rango de la función y = x − 3 , x ∈ − 2,4

y = x −3

Solución

En este caso para graficar, el dominio ya está especificado y tomamos dos puntos: x = −2 y x = 4 . El punto x = 4 no está en el dominio, pero lo elegimos para construir la gráfica. Si x = −2 → y = −5 , luego tenemos el punto ( −2,−5) ∈ f Si x = 4 → y = 1 , luego tenemos el punto ( 4,1) ∉ f

Dom(f ) = [− 2,4 y Ran (f ) = [− 5,1 4. Hallar una función lineal f ( x ) = mx + b , si se sabe que f ( 2) = 4 y f ( −1) = −5 Solución Para conocer f ( x ) = mx + b debemos hallar los valores de m y b

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Si f ( 2) = 4 → 2m + b = 4 … (I) Si f ( −1) = −5 → − m + b = −5 … (II) Desarrollamos la ecuación (I) y (II)

2m + b = 4 − m + b = −5 (-1) 2m + b = 4 m−b =5 3m = 9 m = 3 y b = −2 Luego la función lineal buscada es: f ( x ) = 3x − 2 Observación Si en la definición de función lineal f ( x ) = mx + b se tiene m = 1 y b = 0 obtenemos la función identidad Función identidad Se define la función identidad f : R → R por f ( x ) = x Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = R La gráfica de f es una recta oblicua que pasa por el origen de coordenadas y divide al primer y tercer cuadrante en dos partes iguales, con ángulos de 45o grados cada uno. Gráfica

Observación Si en la definición de función lineal f ( x ) = mx + b se tiene m = 0 obtenemos la función constante. Función constante Se define la función constante f : R → {b} por f ( x ) = b

Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = {b}

La gráfica de f es una recta horizontal a la altura de b

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Ejemplos: 1.Graficar, luego hallar el dominio y rango de la función f ( x ) = 3 Solución y = f ( x ) = 3 es lo mismo que y = 0 x + 3 Para graficar una recta horizontal debemos conocer dos puntos. Elegimos dos valores de x Si x = 0 → y = 3 , luego tenemos el punto (0,3) ∈ f Si x = 2 → y = 3 , luego tenemos el punto ( 2,3) ∈ f Para cualquier valor de x el valor de y será 3 . Característica de la función constante.

Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = {3} 2.Graficar, luego hallar el dominio y rango de la función y = −2 Solución y = −2 es lo mismo que y = 0x − 2 Para graficar una recta horizontal debemos conocer dos puntos. Elegimos dos valores de x Si x = −3 → y = −2 , luego tenemos el punto ( −3,−2) ∈ f Si x = 2 → y = −2 , luego tenemos el punto (2,−2) ∈ f Para cualquier valor de x el valor de y será − 2 .

Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = {− 2} Observación Con frecuencia, muchos problemas del mundo real conducen a modelos matemáticos que utilizan funciones, las cuales hay que construir con base en la información de que se disponga. Para construir funciones debemos poder traducir los enunciados de problemas al lenguaje de las matemáticas. Esto lo hacemos asignando símbolos para representar a las variables independientes y dependientes y determinando después la función o regla que relaciona dichas variables. Para la solución de algunos problemas es necesario conocer algunos términos que se usan en los negocios como los siguientes:

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- C nuevos soles colocados a una tasa del r % producen un interés I .

I = C.

r 100

- El ingreso R , obtenido al vender x artículos a p nuevos soles es R = x . p También Ingreso total = ( precio por unidad) ( número de unidades vendidas). - El costo total es igual al costo fijo más el costo variable : C = CF + CV Donde el costo variable depende del número de artículos que se produzcan ( mano de obra, materia prima, etc. ), mientras que los costos fijos permanecen constantes, independientes de las unidades producidas ( renta, seguros, salario básico, etc. ) - Se define la utilidad, como la diferencia entre los ingresos totales recibidos R , y los costos totales causados C .

U = R −C - Punto de equilibrio es un nivel de producción de una empresa donde la utilidad es cero. Esto se da cuando ingreso total = costo total.

U = R −C =0

- Precio de venta = Costo total + utilidad - Precio al menudeo= Precio al mayoreo + utilidad Aplicación de las funciones lineales 1.La siguiente tabla muestra las ventas en dos años diferentes en dos tiendas de una cadena de tiendas de artefactos. Tienda A B

Ventas en 2009 $ 100 000 $ 50 000

Ventas en 2012 $ 160 000 $ 140 000

Un estudio de los libros de la empresa sugiere que las ventas de ambas tiendas han crecido linealmente (es decir, las ventas pueden aproximarse por una función lineal con bastante precisión). Hallar una ecuación lineal ( función lineal) que describa las ventas de la Tienda A. Use esta función para aproximar las ventas en el año 2014 . Solución Para encontrar una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda A, consideramos que x = 0 representa 2009 y que x = 3 representa 2012 . Entonces, por la tabla anterior, la recta que representa las ventas de la tienda A pasa por los puntos (0 ; 100 000) y (3 ; 160 000) . La pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos es:

160 000 − 100 000 = 20 000 3−0

Usando la forma punto – pendiente de la ecuación de una recta resulta

y − y1 = m( x − x 1 ) y − 100 000 = 20 000( x − 0) y = 20 000 x + 100 000 f ( x ) = 20 000 x + 100 000 , donde x representa número de años. Luego f ( x ) es función lineal que describe las ventas de la tienda A en el año x . 2. Una empresa vende un producto a $80 por unidad. Los costos de materias primas son de $12,50 por unidad, los costos de mano de obra son de $17,50 por unidad y los costos fijos anuales ascienden a $250 000 . a)Determine la función de utilidad U(x) , donde x es el número de unidades vendidas.

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b)¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son de 15 000 unidades? c)¿Cuántas unidades habrá que vender para obtener una utilidad anual de $250 000 ? Solución Si el producto se vende a $80 por unidad , la función de ingreso total es:

R(x) = 80x La función de costo total esta constituido por los costos fijos más los costos variables ( en este caso, costos de materia primas y costos de mano de obra)

C(x) = (12,50 + 17,50)x + 250 000 C(x) = 30x + 250 000 Luego la función de utilidad se obtiene así:

U ( x ) = R ( x ) − C( x ) U( x ) = 80x − (30 x + 250 000) U( x ) = 50 x − 250 000 , función lineal. Si la empresa vende 15 000 unidades durante el año, entonces tiene una utilidad de U(15 000) = 50(15 000) − 250 000 = 750 000 − 250 000 = 500 000 dólares Si la empresa desea obtener una utilidad de $250 000 anuales debe vender U( x ) = 50 x − 250 000 250 000 = 50 x − 250 000 500 000 = 50 x x = 10 000 unidades. Función cuadrática Se define la función cuadrática f : R → R por f ( x ) = ax 2 + bx + c Donde a , b y c ∈ R , con a ≠ 0 Observe que Dom (f ) = R y Ran (f ) = R La gráfica de una función cuadrática es una parábola, cuya concavidad (esto es, conocer si se abre hacia arriba o abajo) depende del signo de a . Si a > 0 la gráfica de la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0 la gráfica de la parábola se abre hacia abajo.

Para graficar la función cuadrática y = f ( x ) = ax 2 + bx + c Debemos completar cuadrados para llevarlo a la forma

b 2 b2 ) + (c − ) o también 2a 4a 2 b b (y + − c) = a ( x + ) 2 4a 2a y = a (x +

Esta ecuación tiene la forma

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y = a ( x − h ) 2 + k o también (y − k) = a(x − h) 2 Donde V ( h , k ) es el vértice de la parábola y de acuerdo al valor de a se tendrá una parábola que se abre hacia arriba o abajo. Identificamos h = −

b b 2 4ac − b 2 y k =c− = 2a 4a 4a

También podemos encontrar el vértice V ( h , k ) de la parábola, que es la gráfica de la función cuadrática de la siguiente manera.

V (h , k ) = V( −

b 4ac − b 2 b b , ) o también V (h , k ) = V (− , f (− )) 2a 4a 2a 2a

De la gráfica se puede observar que:

 4ac − b 2

-Cuando la parábola se abre hacia arriba, entonces Dom (f ) = R y Ran (f ) = 



-Cuando la parábola se abre hacia abajo, entonces Dom(f ) = R y Ran (f ) = − ∞,

,+∞

4ac − b 2   4a 

Además En una función cuadrática y = f ( x ) = ax 2 + bx + c sucede lo siguiente: -Si a > 0 , la función toma su valor mínimo ( k =

4ac − b 2 b ) cuando x = − 4a 2a

b ) es el valor mínimo de f , si a > 0 2a 4ac − b 2 b -Si a < 0 , la función toma su valor máximo ( k = ) cuando x = − 4a 2a b O lo que es lo mismo : f ( − ) es el valor máximo de f , si a < 0 2a

O lo que es lo mismo : f ( −

Observación Una parábola que se abre hacia la izquierda o a la derecha no es función, ya que por la propiedad fundamental de las funciones reales de variable real, si trazamos una recta vertical, ésta corta en más de un punto a la gráfica. Ejemplos: 1. Graficar, luego hallar el dominio y rango de la siguiente función: f ( x ) = x 2 − 4x − 1 Solución

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y = x 2 − 4x − 1 completamos cuadrados para llevar la función a la forma: ( y − k ) = a ( x − h ) 2

y = x 2 − 4x + 4 − 4 − 1 y = ( x − 2) 2 − 5 ( y + 5) = ( x − 2) 2 Luego el vértice de la parábola es: v( 2,−5) Además, el vértice de la parábola lo podemos hallar utilizando la fórmula para el vértice de una parábola, así:

V (h , k ) = V (−

 − 4 4(1)(−1) − (−4) 2 b 4ac − b 2 , ) = V − , 2a 4a 4(1)  2(1)

  = V(2,−5) 

Dom(f ) = R y R (f ) = [− 5,+∞ 2. Sea la función f ( x ) = −2 x 2 + 3x + 2 , determine a) El vértice de la parábola b) Los puntos en donde la parábola corta al eje x . c) Grafique la función. d) Halle el dominio y rango de la función Solución a) Hallamos el vértice de la parábola

y = −2 x 2 + 3x + 2 y = (−2 x 2 + 3x ) + 2 Factorizamos el − 2 en los dos primeros términos. 3 y = −2( x 2 − x ) + 2 2 Completamos cuadrados dentro del paréntesis para llevar la función a la forma:

(y − k) = a(x − h) 2 3 9 9 y = −2( x 2 − x + − ) + 2 2 16 16 3 9  y = −2 ( x − ) 2 −  + 2 4 16   3 9 y = − 2( x − ) 2 + + 2 4 8 3 2 25 y = − 2( x − ) + 4 8

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(y −

25 3 ) = − 2( x − ) 2 8 4

3 25 ) 4 8

Luego el vértice de la parábola es: V ( ,

b) Los puntos en donde la parábola corta al eje x . Para hallar los puntos de intersección de la parábola con el eje x , hacemos que f ( x ) = 0 , es decir:

− 2 x 2 + 3x + 2 = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática − 2 x 2 + 3x + 2 = 0 (-1)

2 x 2 − 3x − 2 = 0 (2 x + 1)( x − 2) = 0 2x + 1 = 0 ∨ x − 2 = 0 1 x = − ∨ x = 2 : Puntos de intersección de la parábola con el eje x 2 c) Grafique la función Como el coeficiente de x 2 es a = −2 < 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba desde

3 25 ) , y luego tenemos la siguiente gráfica 4 8

el vértice V ( ,

d) Halle el dominio y rango de la función De la gráfica se deduce que:

Dom(f ) = R y Ran (f ) = − ∞,

25  8 

Aplicaciones de la función cuadrática 1. Un campo deportivo rectangular tiene de perímetro 180 metros. Expresa su área con una función del lado que mide x metros. Solución Perímetro 180 metros.

2 x + 2 y = 180 x + y = 90 → y = 90 − x 24

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A = xy A = x (90 − x ) A = − x 2 + 90x : Área en función del lado que mide x metros. 1. Un terreno limitado a un lado por un río va ha cercarse por tres lados para formar un recinto rectangular. Se tienen 320 m. de material para la cerca. a) Expresar su área A como una función del lado que mide x . b)¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener un recinto con la máxima área posible? c) ¿Cuál es la máxima área? Solución Perímetro del terreno es 320 m.

2 x + y = 320 → y = 320 − 2 x Área = (base)(altura)

A = x.y A = x (320 − 2 x ) : Área como una función del lado que mide x . Su gráfica es una

parábola

A = −2 x 2 + 320 x y = −2( x 2 − 160 x ) Completamos cuadrados en el paréntesis para llevar la función a la forma:

(y − k) = a(x − h) 2

( y = −2(( x − 80) y = −2(( x − 80)

y = −2 x 2 − 160 x + (80) 2 − (80) 2 2

− (80)

) )

)

y = −2( x − 80) + 2(80) 2 2

y = −2( x − 80) 2 + 12 800 ( y − 12 800) = −2( x − 80) 2 Luego el vértice de la parábola es: V (80,12 800) De acuerdo al vértice tenemos que el lado x = 80 m. y el lado y = 160 m. Es decir las dimensiones del terreno debe ser 80 x 160 m. para tener la mayor área. La máxima área es 12 800 metros cuadrados.

Ejercicios 02: Función lineal y cuadrática 1. Dados f , g , h definidas como f ( x ) = 9 − x 2 , g ( x ) =

x2 − 9

y h (x) =

5x − 1 , 2

Hallar el valor numérico de: a) f ( 4) e) f ( h (−1)) b) g ( 10 )

1 2 d) g (f ( 2))

c) h (− )

f) h (g (3)) g) g (h (7)) h) g (f ( h (1))

2. Dados f ( x − 4) = 1 − 4 x y g (2 x − 1) = 1 − x 2 hallar E = f (3) + g ( −1) 3. Sea g una función definida por la ecuación g ( x + 1) = x 2 + 1 . Hallar g (−1 / 2) y g ( −2)

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4. Si f es la función:

3 2 3   f =  (−1,4) ; (0,2) ; (1,4) ; ( ,− ); (2, 2 )  , hallar E = f (−1) + f (1) + f ( ) 2 3 2   5. Dada la función f = { ( 2,16) ; (1, a − b) ; (1,8) ; ( 2, a + b) } , hallar a y b .

{

6. Dada la función f = ( 2,2) ; (4,3) ; (2, a + 1 ) ; ( 4, b − 1 ) ; (5, a ) ; (6, 2 - b )

}

7. Sea f : N → N una función definida por la ecuación f ( x ) = x + 3 . Graficar, luego hallar su dominio y rango. 8. Sea f : R → R una función definida por f ( x ) = ax + b , donde a y b son constantes. Si f (1 / 3) = 4 y f (2) = −1 , hallar a y b . 9.Se tiene los siguientes datos f (3) = 0 , f (−1) = −8 . Construya la función lineal que cumple con los datos e indique si tiene pendiente positiva o negativa. 10. Sea f una función real de variable real definida por : f(x) = mx + b , tal que

f(4) + 2f(2) = 21 y f (−3) − f (1) = −16 . Hallar el valor de E =

1 f( 1 ) . 3

11.Sea f : Z → Z tal que f( x ) = −3x + 2 . Graficar f(x) , luego hallar

E = f (f (2)) + 3f (f (−2)) 12. Sea h : Z → N una función definida por la ecuación h ( x ) = x 2 . Graficar, luego hallar su dominio y rango. 13. Graficar las siguientes funciones cuadráticas, luego calcular su dominio y rango. a) y = x 2 + 2 x − 3 d) y = − x 2 + 2 x − 2 b) y = 2x 2 − 4 x

e) y = −2 x 2 + 8x −

1 2

3 2 1 x − 2x + f) y = −4 x 2 + 2 x + 1 4 2 14. Si Dom(f ) = [− 3,2] . Hallar el rango de la función f ( x ) = − x 2 − 2x .

c) y =

15. La gráfica de la función f ( x ) = ax 2 + bx + c tiene vértice en x = 0 y pasa por los puntos (0,2) y (1,8) . Hallar el valor de E = a + b − 2c . 16. La gráfica de la función f ( x ) = ax 2 + bx + c tiene vértice en x = 1 y pasa por los puntos (0,1) y (−1,−8) . Hallar el valor de E = a − 2b + c . Problemas 01 : Función lineal 1.Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $1 800 . Además cuesta 50 centavos de dólar producir cada bolsa de fritura. Una bolsa de fritura se vende a $1 ,40 . a) Hallar la regla de la función de costo C( x ) que da el costo diario total de producir x bolsas de frituras. b) Hallar la regla de la función de ingreso R ( x ) que da el ingreso diario por vender x bolsas de frituras. c) Hallar la regla de la función de ganancia U( x ) que da la ganancia diaria al vender x bolsas de frituras. d) Hallar la ganancia en un día cuando se venden 5 000 bolsas de frituras. 2.En un día, a una compañía le cuesta S / 75 producir 10 unidades de cierto artículo y S / 120 producir 25 unidades del mismo artículo.

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a) Determine la función lineal de costo b)¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día? c)¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo? 3. La compañía MF de renta de autos cobra una cantidad fija por día más una cantidad por milla. Jorge ha rentado un auto para dos viajes en días diferentes; pagó $70 por 100 millas en un día y $120 por 350 millas en otro día. a) Hallar la función lineal de costo que la compañía MF utiliza para determinar sus cargos de renta diaria. b)¿Cuanto cuesta rentar un auto en un día si se recorre 150 millas? 4. La compañía MF de renta de autos cobra una cantidad fija de $50 más $0,20 por milla y la compañía RL cobra una cuota fija de $25 más $0,30 por milla. ¿Por cuestión económica , una persona debe utilizar la compañía MF o la compañía RL? 5.En una de las tiendas de Real Plaza dice: “Todo con 20% de descuento sobre el precio marcado”. Escriba una función lineal y luego utilícela para determinar cuanto hay que pagar por cada uno de los siguientes artículos: un sombrero de S / 35 , un par de zapatos de S / 140 , una camisa de S / 90 y una zapatilla de S / 115 . 6. Andrea desea vender cuatro artículos que le costaron S / 120 , S / 230 , S / 320 y S / 150 , respectivamente, y obtener una utilidad de 60% del costo. Elabore una función lineal para determinar el precio de venta de cada artículo, y luego utilice la función para calcular cada precio de venta. 7.Silvia trabaja en tiendas TOPY TOP y, su salario mensual es de S / 200 más el 15% de comisión por sus ventas mensuales. a)Elabore una función lineal que exprese el salario de Silvia en términos de sus ventas mensuales . b)¿ Cuál es el salario de Silvia si sus ventas en un mes fueron de S / 4 000 ? c)Si el salario de Silvia en un mes fue de S / 1100 , ¿ cuánto fue su venta mensual? 8.Una empresa vende un producto a S / 25 por unidad. Los costos variables por unidad son S / 13 y los costos fijos ascienden a S / 150 000 . ¿Cuántas unidades hay que vender a fin de alcanzar el punto de equilibrio? a)Elabore la función de costo (función lineal) que relacione los datos del problema y permita solucionarlo. b)Responda la pregunta formulada en el problema. 09.El Colegio de Aplicación Santo Toribio de Mogrovejo está planificando realizar una rifa y recaudar fondos para la construcción de una piscina. Venderá 5 000 boletos para la rifa de un automóvil. El automóvil costará S / 33 000 . ¿Cuánto deberá costar cada boleto para la rifa si la institución desea obtener una utilidad de S / 17 000 ? a)Elabore la función de ingreso, función de costo y la función de utilidad que relacione los datos del problema y permita solucionarlo. b)Responda la pregunta formulada en el problema. 10.El método de depreciación lineal supone que un artículo se deprecia la misma cantidad cada año. Suponga que una máquina nueva cuesta S / 32 500 y que se deprecia S / 1 950 por año durante t años. a)Hallar una función lineal que produzca el valor de la máquina después de t años. b) Hallar el valor de la máquina después de 5 años.

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11.Suponga que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardiaco es de 850 ml, y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática. 12. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible para 3 000 litros. Al navegar cada día consume aproximadamente 150 litros de combustible. Esta situación la podemos modelar con C( t ) = 3 000 − 150 t , con t la variable tiempo. ¿Después de cuántos días en el mar se le debe llenar el tanque de combustible?

Problemas 02 : Función cuadrática 1. Un cable de longitud x se dobla para formar un cuadrado. a)Exprese el perímetro del cuadrado como una función de x b)Exprese el área del cuadrado como una función de x . 2. Un cable de longitud x se dobla para formar un círculo. a)Exprese la circunferencia del círculo como una función de x b)Exprese el área del círculo como una función de x . 3.Un rectángulo de lados x e y tiene 100 cm. de perímetro. Expresar su área A como función del lado que mide x . 4. El administrador de un edificio con 16 departamentos descubrió que cada incremento de $40 en la renta mensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos los departamentos se rentarán a $500 mensuales. a)Hallar una expresión (función cuadrática) para el ingreso. b)¿Cuántos incrementos de $40 producirán un ingreso máximo mensual para el edificio? 5. El ingreso de una empresa de autobuses depende del número de asientos no vendidos. Si se venden 100 asientos el precio es de $50 . Cada asiento no vendido incrementa el precio por asiento en $1 . Sea x el número de asientos no vendidos. a)Escriba una expresión para el número de asientos que son vendidos. b)Escriba una expresión para el precio por asiento. c)Escriba una expresión para el ingreso d)Hallar el número de asientos no vendidos que producirá el ingreso máximo. e)Hallar el ingreso máximo. 6. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular, situado en la ribera de un río y no necesita valla en la orilla de éste. El material para construir la cerca cuesta S / 8 por metro lineal para los dos extremos, y S / 12 por metro lineal para el lado paralelo al río; se utilizarán S / 3 600 de material para vallas. a) Expresa el área del terreno como una función de del lado que mide x . b) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de máxima área posible? 7. Un jardín rectangular limitado por un lado por un río va a ser cercado por los otros tres lados. La cerca para el lado paralelo al río cuesta S / 30 por metro y para los otros dos lados cuesta S / 10 por metro. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín de máxima área posible, si van a gastarse S / 1 200 para la cerca? 8.Un granjero tiene 6 000 metros de cerca para bordear un campo rectangular y después dividirlo en dos terrenos con una cerca paralela a uno de los lados. a)Hallar una expresión (función cuadrática) para el área.

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b) ¿Cuál es la mayor área que puede ser cercada? 9.Una compañía de televisión por cable tiene 1 000 suscriptores, y cada uno paga $15 al mes. Con base en una encuesta, los directores de la compañía creen que por cada rebaja de $0,25 en la cuota mensual contratarían otros 20 suscriptores. ¿A que cuota se obtiene el máximo ingreso y cuántos suscriptores se requieren a esa cuota? 10. Un triángulo rectángulo tiene un vértice sobre la gráfica de y = 9 − x 2 , x > 0 , en el punto ( x , y) ; otro vértice está en el origen y el tercero en la parte positiva del eje x , en ( x ,0) . Exprese el área del triángulo como una función de x .

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Allen, A. (1997). Álgebra intermedia (4ª ed.). México: Pearson Educación. - Allendoerfer, C. y Oakley, C. (1990). Matemáticas universitarias (4ª ed.). Bogota: McGraw – Hill - Alvarado, L. y Li, E. (2006). Matemática básica I (2ª ed.). Piura: Talleres gráficos de la Universidad de Piura. - Barnett, R. (1984). Álgebra (2ª ed.). México: McGraw – Hill - Budnick, F. (1992). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales (3ª ed.). México: McGraw – Hill. - Gustafson, D.(2003). Álgebra intermedia. México: International Thomson Editores. - Haeussler, E. y Paul, R. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida (8ª ed.). México: Prentice Hall Hispanoamericana. - Hitt, F. (2002). Funciones en contextos. México: Pearson Educación. - Johnson, L. y Steffensen, A. (2004). Álgebra y trigonometría con aplicaciones (2ª Reimpresión). México: Editorial Trillas. - Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía (7ª ed.).México: Pearson Educación. - Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby, E. (1999). Matemática: Razonamiento y aplicaciones (8ª ed.). México: Pearson Educación. - Soler, F.; Nuñez, R. y Aranda, M. (2003). Fundamentos de cálculo con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas (2ª ed.). Bogota: ECOE ediciones. - Sullivan, M. (1997). Precálculo (4ª ed.). México: Pearson Educación. - Zill, D. y Dejar, J. (2000). Álgebra y trigonometría (2ª ed.). Bogota: McGraw – Hill.