DAVID GONZALES LOPEZ
LOGICA PROPOSICIONAL ¿QUE ES LA LÓGICA? - Etimológicamente viene de la palabra griega λογοζ (logos) ; que significa pensamiento o razón. - Estudia el buen hablar, el buen decir, el razonar correctamente. - La lógica es el estudio de los métodos y principios que se usan para distinguir el razonamiento bueno (correcto) del malo (incorrecto). (Copy, 1998). - La lógica es la ciencia que estudia las leyes del pensamiento, su estructura, sus formas y relaciones ( Ibarra, 1998) - La Lógica es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o invalidez de las inferencias ( Rosales, 1994) - Otros en lugar de razonamiento usan inferencia (matemáticas) - Razonamiento correcto= Inferencia válida - En la filosofía contemporánea se usa argumento válido. OBJETO DE ESTUDIO DE LA LÓGICA La lógica estudia LA INFERENCIA La inferencia es un proceso mental( psicológico) que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión. También, la inferencia es una estructura de proposiciones que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión. Así :
P1 P2 . . Pn C También : ( P1 , P2 ,... , Pn ) ⇒ C Donde: P1 , P2 , ... , Pn
son premisas y C : la conclusión
Los matemáticos usan inferencia porque el razonamiento es un fenómeno psicológico relacionado con el pensamiento que puede ser subjetivo, una ciencia como la lógica y la matemática no deben ser subjetivos. Ejemplos de razonamientos o inferencias: Lima está en el Perú El Perú está en América Luego, Lima está en América Si hacemos publicidad por Tv, habrá muchas ventas No hubo muchas ventas Luego, No se hizo publicidad por Tv.
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Jean Piaget aportó a la psicología o a la historia universal Jean Piaget no aportó a la historia universal Por lo tanto, Jean Piaget aportó a la psicología La USAT está en Chiclayo o Trujillo La USAT no está en Trujillo Luego, La USAT está en Chiclayo
IMPORTANCIA DE LA LÓGICA - Es el fundamento del conocimiento matemático y de la gran mayoría de las ciencias. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas, en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas, en las ciencias físicas y naturales, para sacar conclusiones de los experimentos, y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver problemas. - Hace posible el avance de la ciencia y la Tecnología. - Gracias a la lógica podemos hacer predicciones. Predecir significa pasar de una verdad presente a una verdad futura. - Nos proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.
DEFINICIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional es la rama del conocimiento que trata sobre la verdad o falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de una proposiciones(premisas) a otras (conclusión). (http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional) En lógica, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza. 1.1. Enunciados y valor de verdad Enunciado. Es toda expresión linguística, que constituye una frase u oración. Es todo concepto, juicio u oración. Ejms: - Pizarra - ¿Qué edad tienes? - El Perú está en América. - Hola - (2)(5) – 3=8 - María es profesora. - Juana es hermosa. - x+3= 7 - Prohibido fumar. - 5 es un número par - 2x − y ≤ 5 - La lógica es una ciencia. - La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. -El Perú y Ecuador limitan con el océano pacífico.
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Proposición. Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama valor de verdad. Ejemplos: Son proposiciones lógicas: a) Las fórmulas científicas ya demostradas. 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; ∀a , b ∈ R 2. Si a = b ⇒ a 2 = b 2 ; ∀a , b ∈ R b) Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. 1. “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro” 2. “El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” ( 2ª ley de Newton) c) Los enunciados cerrados o definidos. Aquellos enunciados que pueden ser calificados(de manera real o hipotética) como verdadero o falso. 1. α + β + γ = 180 o , si α , β y λ son ángulos internos correspondientes a un mismo triángulo. 2. x + y = 50; si x = 10 , y = 30 3. La USAT tiene convenios internacionales. 4. Todos los hombre son mortales 5. 7 es número par. 6. El agua se congela a cero grados centígrados. 7. 2+1=3 8. Carlos, José y Nelly son hermanos. 9. Jaime es Psicólogo o Licenciado en Artes y Diseño Gráfico Empresarial. 10. La distancia mas corta entre dos puntos es la línea recta. Conclusión: Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es proposición. No son proposiciones lógicas ( expresiones no proposicionales) a) Las creencias, mitos o leyendas. 1. “Dios es un ser misericordioso” 2. Manco Capac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol” b) Las metáforas o refranes. 1. “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro” 2. “Has el bien sin mirar a quien” 3. “Chiclayo ciudad de la amistad” c) Las supersticiones. 1. “Hoy día martes 13, no te cases ni te embarques ni de tu casa te apartes” 2. pasé por debajo de una escalera entonces tendré mala suerte” d) Las preguntas, órdenes, exclamaciones, comunicación de sentimientos y actitudes, deseos, emociones, etc. 1. ¿Qué edad tienes? 2. Cierra la puerta 3. Prohibido fumar 4. ¡Viva el Perú! 5. Quisiera visitar los museos mas importantes del mundo. 6. El viento de la noche gira en el cielo y canta (Pablo Neruda) 7. Hermosas azucenas tienes en los cabellos, yo no he visto de esas en el jardín (Jorge Isaacs) e) Las palabras que expresan conceptos. 1. Pizarra 2. Mesa 3. Universidad 4. Hola
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5. Cinco Observación Pérez (2009) manifiesta que la proposición es una expresión declarativa que puede ser calificable de verdadera o falsa. No sucede así con la simple oración que a pesar de tener sentido completo no tiene valor de verdadera o falsa. Como ejemplos de oraciones se pueden dar los siguientes: ¿qué hora es, por favor? , ¡Ojalá haga buen día mañana! o los mandatos: “Publíquese y cúmplase”. Enunciado abierto ( Proposicion abierta) Son aquellos cuyo valor de verdad depende del valor que se le asigne a las variables x , y , etc. Llamado también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o mas variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica cuando la variable asume un valor determinado. Los enunciados abiertos usan palabras como. “el”, “ella” y los símbolos x , y, z etc. no son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o símbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones. Ejemplos: 1. Ella es una actriz peruana 2. x 2 + 8x = 16 3. m + n ≤ 3 4. Sea " n" un número impar. SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES 1.2. Notación proposicional Simbolización de proposiciones A las proposiciones las podemos denotar o simbolizar por las letras minúsculas del Abecedario, generalmente por : p,q,r,s,t,… etc. Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto lo que si nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones, y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que prescindiendo del significado de las proposiciones nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal. Las proposiciones simples o atómicas pueden ser sustituidas por letras minúsculas p,q,r, s, t, etc. denominadas variables proposicionales. La operación consiste en sustituir las expresiones del lenguaje natural por símbolos lógicos, a la cual llamaremos formalización y la proposición debidamente formalizada la llamaremos fórmula. Ejemplos: 1. Mario Vargas llosa obtuvo el premio Nobel de Literatura 2010 Fórmula: p = Mario Vargas llosa obtuvo el premio Nobel de Literatura 2010 2. Siete es número par Fórmula: p = Siete es número par 3. Juan estudia artes y psicología p = Juan estudia artes q = Juan estudia psicología Fórmula o simbolización: p ∧ q
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4. Si estudio todos los días, entonces aprobaré lógica p = Estudio todos los días q = Aprobaré lógica Fórmula o simbolización: p ∧ q Conectivos lógicos Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan a las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectivos básicos son: CONECTIVO No Y o o. . . o. . . Si . . . entonces . . . si y sólo si . . .
SIMBOLO ∼
∧ ∨ ∆ → ↔
NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN Negación Conjunción Disyuntiva inclusiva Disyuntiva exclusiva Condicional Bicondicional
Clases de Proposiciones a) Proposiciones simples, atómicas o no estructurales. Son aquellas que tienen un solo sujeto, un solo verbo y un solo predicado, y sin el término “no” en su estructura. Carecen de conector lógico, no se componen de otras proposiciones. Ejemplos: 1. Sócrates nació en Atenas. 2. El Perú está en América. 3. (2)(5) – 3=8 4. Cinco es un número impar. 5. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. 6. María canta, baila y cocina en su casa. ( No es proposición simple) 7. La luna no es un satélite de la tierra. ( No es proposición simple) Observación La proposición “ La Luna no es un satélite de la tierra” no es una proposición simple porque podemos desintegrarla en: - La luna es un satélite de la tierra. - no Simbólicamente es : ∼ p = La Luna no es un satélite de la tierra. El término “no” es considerado como molécula de una proposición simple. Luego, “La Luna no es un satélite de la tierra” es una proposición molecular. Las proposiciones simples o atómicas a su vez pueden ser: i) Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto ( utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos). Ejemplos: - Chiclayo es llamada ciudad de la amistad. - La Luna es un satélite de la tierra. - Federico Villarreal fue un matemático lambayecano. ii) Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc.
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Ejemplos: - Vallejo con Mariátegui fueron literatos contemporáneos. ( Relación de tiempo) - La selección peruana de vóley jugó un partido intenso con su similar de cuba. (Relación de acción) - Carlos y María son hermanos. ( Relación de parentesco) b) Proposiciones compuestas, moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por más de una proposición unidas por términos llamaos conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son: “y” , “o”, “si…entonces”, “si y solo si”, “no” , etc. Ejemplos: 1. Mario Vargas Llosa no es escritor. 2. La pizarra es blanca y el plumón es azul. 3. Doce es número par o múltiplo de 3. 4. Si la atmósfera tiene carga radiactiva entonces la humedad es dañina para la salud. 5. El agua se congela si y sólo si la temperatura está bajo cero. 6. El avión tuvo dificultades pero logró aterrizar. 7. La piscina está temperada si hay calefacción. Valores de verdad A la verdad (V) o a la falsedad (F) de una proposición se le llama valor de verdad y se denota por: V(p)=V ; V(p)=F A toda proposición podemos atribuirle un valor de verdad. Es verdadero (V) o es falso (F). Número de valores de verdad NV = 2 n , donde n = número de proposiciones y NV = número de valores de verdad. Así : p q r p q p V V V V V V V V F V F F V F V F V V F F F F F V V F V F F V V F V F Operaciones con proposiciones ( Tipos de proposiciones compuestas) Negación El conectivo de la negación no une proposiciones, es un conectivo singular, que afecta a proposiciones simples y compuestas. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Cumple la función de negar una afirmación o de afirmar una negación. Notación: ∼ p Se lee: “ no p ” La negación puede traducirse como: No es cierto que … Nadie que sea … Jamás … Es falso que … No es el caso que… Es inconcebible que … Nunca … No es verdad que … Es imposible que … No ocurre que … Es absurdo que … Es erróneo que … Es mentira que … No acaece que … De ningún modo … No es el caso que … Es inadmisible que … Es incierto que …
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Es refutable que …
Es falaz que …
En modo alguno …
Ejemplos: 1. p = INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual. ∼ p = Es falso que INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual. 2. Lima no está al sur de Chile p = Lima está al sur de Chile ∼ p = Lima no está al sur de Chile 3. Negar las siguientes proposiciones p : Napoleón nació en Italia.
q: r: s: t:
3 = 2 +1 4x − 1 ≤ 7 3x + 4 > 10 5=7
Solución ∼ p : Napoleón nació en Italia. ∼q : 3 ≠ 2 +1 ∼ r : 4x − 1 > 7 ∼ s : 3x + 4 ≤ 10 ∼t : 5 ≠ 7 Tabla de verdad p ∼p V F F V Conjunción La conjunción es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo “y” Notación: p ∧ q Se lee: “ p y q ” Hay otros términos como pero, sin embargo, además, no obstante, a la vez que, etc. que hacen el papel de conjunción lógica generalmente. En nuestro lenguaje podemos emplear: Pero Sin embargo Además Ala vez Incluso Así como Del mismo modo
Aún cuando Al igual que Tanto …como … Siempre ambos … con … No sólo … sino también … A pesar de …con … los dos a la vez
Ejemplos: 1. Diez es número par y múltiplo de cinco.
No obstante Aunque Más aún También Es compatible con Así mismo De la misma forma que
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p = Diez es número par q = Diez es múltiplo de cinco Simbólicamente: p ∧ q
2. Tanto el Perú como Bolivia producen cobre. p = El Perú produce cobre q = Bolivia produce cobre Simbólicamente: p ∧ q 3. Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música. 4. María está enferma sin embargo asiste a clases. 5. Carlos es político pero honesto. 6. Cuando viajaba al norte perdí mis documentos. 7. Carlos tomó veneno y murió. (No es conjunción) Observación La proposición (7) a pesar de que lleva la partícula “y” como término de enlace, no se puede simbolizar como una conjunción lógica, porque si aplicamos la propiedad conmutativa el enunciado cambia totalmente de sentido(Rosales, 1994) Tabla de verdad p q V V V F F V F F
p∧q V F F F
Disyunción Es la unión de dos o más proposiciones por medio del conectivo “ o “ Según el sentido del conectivo “ o “, se puede interpretar de dos maneras: Inclusiva o exclusiva. a) Disyunción inclusiva o débil En esta proposición se pueden dar las dos posibilidades. Notación: p ∨ q Se lee: “ p o q ” En el lenguaje ordinario, el uso del término “ o “ es ambiguo, pero esta ambigüedad se resuelve comúnmente añadiendo las palabras “ o ambos a la vez” o “pero no ambos a la vez” Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son: A menos que Excepto que Salvo que A no ser que Y bien o también O sino
O en todo caso O también O incluso O bien Al menos uno de los dos … o … Alternativamente
Ejemplos: 1. Doce es número par o múltiplo de cuatro. p = Doce es número par q = Doce es múltiplo de cuatro. Simbólicamente: p ∨ q
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2. Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física. p = Mañana estudiaremos Química q = Mañana estudiaremos Física Simbólicamente: p ∨ q 3. Jaime estudia Psicología o Administración. 3. Mañana viajo a Trujillo o a Piura. 4. El Lago Titicaca está en Perú o Bolivia. 5. Los peces respiran por branquias o son acuáticos. 6. El actual canciller peruano habla inglés o francés. Tabla de verdad p q V V V F F V F F
p∨q V V V F
a) Disyunción exclusiva o fuerte. En esta proposición se da una sola posibilidad. Notación: p∆q Se lee: “ p o q , pero no ambos” Otras formas de conexión que nos indican una disyunción exclusiva son: O…o… O bien … o bien … No es equivalente … con … … a menos que solamente … … excepto que sólo … … o exclusivamente … … no es lo mismo que …
… no equivale a … No es cierto que … equivale a … O solo … o solo … … salvo que únicamente … … o bien necesariamente … … no es idéntico a … Salvo que … o …
Ejemplos: 1. O el actual canciller peruano habla inglés o habla francés, pero no ambos ala vez. p = El actual canciller peruano habla inglés q = El actual canciller peruano habla francés. Simbólicamente: p∆q 2. Catorce es número par o impar. p = El actual canciller peruano habla inglés q = El actual canciller peruano habla francés. Simbólicamente: p∆q 3. Mañana viajo a Trujillo o a Piura a las 7:00 am. 4. Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima. 5. El hombre es un ser racional o irracional. La fórmula : p∆q = ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ) cumple con la regla de la disyunción exclusiva. Se puede usar esta fórmula para interpretar todo conectivo “ o “ que tiene sentido de disyunción fuerte. Tabla de verdad p
q
p∆q
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V V F F
V F V F
V V V F
p q V V V F F V F F
(p ∨ q ) ∧ V V V F
∼ (p ∧ q) V F V V V F V V F F V F
Condicional Es la unión de dos proposiciones por medio del conectivo “ si … entonces”. La proposición que aparece entre “si” y “entonces” se llama antecedente, y la proposición que sigue a la palabra “entonces” se llama consecuente. Notación: p → q donde p : se llama antecedente o hipótesis y q : consecuente o conclusión Se lee: “ Si p entonces q ” “ p es necesario para q ” “ q es implicado por p “ “ q se deduce de p ” “ q solo si p ” Los términos puesto que, porque, ya que, dado que, de modo que, en vista de que, cuando, cada vez que, etc. expresen formas condicionales (unen proposiciones condicionalmente), con la característica de que antes de cada una de estas conectivas aparece el consecuente, y después de ellas el antecedente. En nuestro lenguaje también podemos emplear : Si p, entonces q p luego q Siempre que p entonces q p por tanto q q siempre que p p por consiguiente q p es suficiente para q p por ende q p implica q p por conclusión q Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q En cuanto p por tanto q Porque p por eso q Ejemplos: 1. Si la producción es buena habrá mayor rentabilidad de la empresa. p = La producción es buena. q = Habrá mayor rentabilidad de la empresa Simbólicamente: p → q 2. Si la temperatura está bajo cero el agua se congela p = La temperatura está bajo cero q = El agua se congela Simbólicamente: p → q 3. El agua se congela ya que la temperatura está bajo cero. p = El agua se congela q = La temperatura esta bajo cero Simbólicamente: q → p 4. El avión despegará a menos que la neblina cubra el aeropuerto. p = El avión despegará. q = La neblina cubre el aeropuerto. Simbólicamente: ∼ q → p también : ∼ p → q
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5. Subirá el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. 6. La producción agrícola bajo, dado que hubo escasez de abono. 7. Carlos viajará al extranjero si obtiene su visa. 8. El producto marginal crece cada vez que el producto total decrece. 9. Cuando la temperatura está por encima de 30º hace mucho calor.
Tabla de verdad p q V V V F F V F F
p→q V F V V
Bicondicional Es la unión de dos proposiciones por medio del conectivo “si y sólo si” Notación: p ↔ q Se lee: “ p si y sólo si q ” “ p es condición necesaria y suficiente para q ” La proposición bicondicional se puede interpretar como la conjunción de dos condicionales. Así: p ↔ q = ( p → q ) ∧ (q → p) y se lee “ p implica a q y q implica a p ” Además se tiene: p ↔ q = ∼ (p ∆ q ) También se suele emplear expresiones como: … siempre y cuando … Es suficiente para que suficiente sea … es equivalente a … Es condición necesaria y suficiente para … es lo mismo que … … por lo cual y según lo cual … cuando y sólo cuando … … cada vez que sólo si … Si y sólo si p, q … si de la forma … … siempre que y sólo cuando … … implica y está implicado por … … es idéntico a … Siempre que … y siempre que …
Ejemplos: 1. Un número es divisible por dos si y sólo si es un número par. p = Un número es divisible por dos q = Es un número es par. Simbólicamente: p ↔ q 2. Si un número es divisible por dos entonces es un número par, y si es un número par entonces es divisible por dos. p = Un número es divisible por dos q = Es un número es par. Simbólicamente: ( p → q ) ∧ (q → p) 3. El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore. p = Yo te sonrío q = Yo te enamoro. Simbólicamente: p ↔ q
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4. Estados Unidos es un país desarrollado equivale a decir Estados Unidos es una potencia mundial. p = Estados Unidos es un país desarrollado q = Estados Unidos es una potencia mundial Simbólicamente: p ↔ q 5. Aprobaré lógica si y sólo si estudio a conciencia. 6. La condición necesaria y suficiente para cocinar bien es tener buena sazón 6. 25 = 5 si y sólo si 5 2 = 25 7. a + c < b + c si y sólo si a < b , ∀a , b ∈ R 8. Un polígono es hexágono regular si y sólo si tiene seis lados iguales. Tabla de verdad p q V V V F F V F F
p↔q V F F V
Simbolización de proposiciones compuestas – ejemplos diversos La simbolización de proposiciones compuestas consiste en la representación del lenguaje ordinario o natural mediante el lenguaje simbólico. Para ello se tomar en cuenta que cada proposición simple debe ser simbolizada por una variable proposicional (p , q, r, etc.), y que los términos de enlace deben ser simbolizados por operadores proposicionales ( conectivos lógicos) que las interpreten. Toda proposición molecular simbolizada tiene un término de enlace dominante, que le da el nombre a la proposición compuesta. Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se utiliza en la simbolización para indicar el alcance de cada operador y de esta manera evitar la ambigüedad en las fórmulas. En muchos casos sin los signos de agrupación las fórmulas hasta carecerían de sentido. Simbolizar las siguientes proposiciones compuestas. 1. Si hay lluvias en el norte y el gobierno distribuye no abono, entonces la producción agrícola no crecerá. p = Hay lluvias en el norte q = El gobierno distribuye abono r = La producción agrícola crecerá Simbólicamente: ( p ∧ ∼ q ) → ∼ r 2. El Perú no tendrá problemas fronterizos si los hitos demarcados son visibles. p = El Perú no tendrá problemas fronterizos q = Los hitos demarcados son visibles Simbólicamente: r → ∼ p 3. Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de seguridad p = Cientos de vidas podrían salvarse cada año q = La gente utiliza el cinturón de seguridad Simbólicamente: q → p 4. O Carmen estudia inglés y francés, o visita a sus amigos y busca información.
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p = Carmen estudia inglés q = Carmen estudia francés r = Carmen visita a sus amigos s = Carmen busca información Simbólicamente: ( p ∧ q ) ∨ ( r ∧ s)
5. Es falso que Jaime no sepa tocar guitarra y no componga una melodía, puesto que es egresado del conservatorio de música. p = Jaime sabe tocar guitarra q = Jaime compone una melodía r = Jaime es egresado del conservatorio de música Simbólicamente: r → ∼(∼ p ∧ ∼ q )
6. Cuando llovía a cántaros murió Vallejo. p = Llovía a cántaros q = Murió Vallejo Simbólicamente: p ∧ q En este caso la forma lógica de la proposición es conjuntiva, porque el sentido de la proposición es “llovía a cántaros y a la vez moría vallejo” 7. Cuando el cielo está nublado hace frío. p = El cielo está nublado q = Hace frío Simbólicamente: p → q En este caso la forma lógica de la proposición es condicional, porque el sentido de “cuando” es de “ si … entonces”. 8. Argentina limita con el Océano pacífico aunque el Perú limita también con el Océano Pacífico. p = Argentina limita con el Océano Pacífico q = Perú limita con el Océano pacífico Simbólicamente: p ∧ q “Aunque” hace el papel de conjunción, como se puede apreciar en el sentido de la proposición. 9. Aunque llueva iré a verte. p = Llueve q = Iré a verte Simbólicamente: ( p ∨ ∼ q ) → q En este caso “aunque” indica “llueva o no llueva iré a visitarte”. También puede interpretarse así: (p → q ) ∧ (∼ p → q ) 10. Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desea evitar complicaciones a otros hijos. p = El Rh de la futura madre es negativo. q = La sangre del recién nacido es Rh positivo.
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r = La sangre del recién nacido es Rh positivo. s = Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado. t = Se desea evitar complicaciones a otros hijos. Fórmula o simbolización: (p → q ) ∧ [ r → ( t → s) ] Tautología, contradicción y contingencia Bibliografía Copy, I. y Cohen, C.(1998). Introducción a la Lógica. México: Limusa Noriega Editores. Ibarra, C. (1998). Lógica. México: Pearson Educación. Perez, G. (2009). Lógica para estudiantes de derecho (2ª ed.). Bogota: Ediciones doctrina y ley. Rosales; D. (1994). Introducción a la Lógica (3ª ed.). Lima: Amaru editores. Suppes, P. y Hill. S. (2004). Introducción a la lógica matemática. México: Editorial Reverté. Ferrando, J. y Gregori, V. (1995). Matemática discreta (2ª ed.). Barcelona: Editorial Reverté.