VBTL 6 - Leerboek Analyse 3 Verloop van functies - inkijk & materiaal 3e graad by die Keure

LEERBOEK

Analyse 3 i Verloop van functies Integraalrekening

D-ﬁnaliteit economie en wetenschappen

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat drie hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Deﬁnities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Tussen 1665 en 1685 vonden Isaac Newton (1642 – 1727) en Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) onafhankelijk van elkaar de differentiaalrekening uit. Hiermee konden ze raaklijnen aan krommen en graﬁeken van functies bepalen. Daarover leerde je al in het boek Analyse 2. Newton ontdekte kort daarna dat het omgekeerde van differentiëren kon worden toegepast op het berekenen van oppervlakten en inhouden van ﬁguren (vlakke en ruimtelijke) die worden begrensd door krommen of gekromde oppervlakken.

Al vanaf de oudheid probeerden wiskundigen de oppervlakte onder een kromme te berekenen.

Voor de oppervlakte van een cirkelschijf werkte de geniale Griek Archimedes (3e eeuw v.Chr.) met ingeschreven regelmatige veelhoeken en leidde hij zo de formule πr2 af. In dit boek leer je zelf een methode om de oppervlakte onder een kromme te benaderen met rechthoekjes. Ook maak je kennis met een manier om de oppervlakte exact te berekenen. Daarbij ga je functies integreren. Je zult merken dat er een eenvoudig verband bestaat tussen integreren en differentiëren.

Als je ooit oppervlakten moet berekenen in Parc Güell (Barcelona), neem dan zeker dit boek mee als hulp. Maar eerst staan we in hoofdstuk 1 nog stil bij het verloop van functies.

Inhoud

Analyse 3 i Verloop van functies Integraalrekening

Verloop van functies

1.1 Verloop van algebraïsche functies 9

1.2 Verloop van exponentiële en logaritmische functies 31

1.3 Verloop van goniometrische functies 58

1.4 Differentiaal van een functie 72

Integraalrekening

2.1 Bepaalde integralen 81

2.2 Integratiemethoden : fundamentele integralen 132

2.3 Integratiemethoden : substitutie 140

2.4 Integratiemethoden : partiële integratie 151

Toepassingen van de integraalrekening

3.1 Volume van omwentelingslichamen 163

3.2 Booglengte van een vlakke kromme 171

3.3 Toepassingen in de fysica en de economie 174

Oplossingen

Trefwoordenregister

1 Verloop van functies

Hoofdstuktitel 0

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

Misschien hoorde je al eens eerder volgend vrij eenvoudig maar daarom niet minder klassiek raadseltje. De waterlelies in een vijver verdubbelen dagelijks in oppervlakte. Op dag 20 is de vijver volledig bedekt met waterlelies. Na hoeveel dagen was een vierde van de vijver dan bedekt? In dit hoofdstuk leer je de afgeleide berekenen en het verloop maken van exponentiële en logaritmische functies. Een voorbeeld van exponentiële groei vind je op die vijver. De eerste dag is er één waterlelie op het oppervlak, de volgende dag zijn er twee, de dag erna vier en de dag daarna acht. Logaritmische functies zullen ontstaan als de omgekeerde bewerking van de exponentiële functies.

Verloop van functies

1.1 Verloop van algebraïsche functies

1 Limieten 9

2 Asymptoten 10

3 Afgeleiden 13

4 Eigenschappen van functies in r 15

5 Verloop van een functie 19

6 De regel van de l’Hôpital 26

7 Oefeningen 27

1.2 Verloop van exponentiële en logaritmische functies

1 Even herhalen 31

2 Afgeleide van exponentiële en logaritmische functies – getal e 33

3 Natuurlijke logaritmen 37

4 Afgeleide van een exponentiële functie 38

5 Functies waarvoor geldt dat de afgeleide recht evenredig is met de functiewaarde 39

6 Afgeleide van een logaritmische functie 40

7 Toepassingen 43

8 Verloop van een exponentiële functie 45

9 Verloop van een logaritmische functie 47

10 Verloop van een logaritmische functie met GeoGebra 49

11 Samenvatting 51

12 Oefeningen 52

1.3 Verloop van goniometrische functies

1 Elementaire goniometrische functies 58

2 Verloop van een goniometrische functie 62 3 Toepassing : harmonische en gedempte trilling 64

4 Verloop van een goniometrische functie met GeoGebra 67 5 Samenvatting 68

1.4 Differentiaal van een functie

1 Deﬁnitie 72 2 Verband tussen dy en Δy 73 3 Differentialen van hogere orde 74 4 Rekenregels 74 5 Toepassingen 75 6 Samenvatting 76 7 Oefeningen 77

Wat moet je kennen en kunnen? 78

1.1 Verloop van algebraïsche functies

1 Limieten

We herhalen enkele belangrijke begrippen in verband met limieten in

Veeltermfunctie

= 13

Bereken de functiewaarde van de veeltermfunctie voor x = a

Rationale functie f

IsT(a ) = 0enN(a )= 0,danis

x →a f ( x )=+∞ of −∞

Hettekenonderzoekvan f ( x ) ineen omgevingvan x = a geeftuitsluitsel.

Bereken de limiet van de hoogstegraadsterm.

Is T( a ) = N( a ) = 0, deel dan T( x ) en N( x ) door x – a en bepaal de limiet van de vereenvoudigde uitdrukking.

Bereken de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen in T( x ) en N( x )

2 Asymptoten

a Verticale asymptoot

Voorbeeld :

Beschouwdefunctie f met f ( x )= x + 3 x 2

x –3 2

x + 3

x – 2 ––0 –+ –+ 0 + +

f ( x ) + 0 – | +

2 is een nulwaarde van de noemer, die geen nulwaarde is van de teller.

lim x → < 2 x + 3 x 2 = −∞ enlim x → > 2 x + 3 x 2 =+∞

x = 2 is de vergelijking van de verticale asymptoot van de grafiek van de functie f

f ( x )= x + 3 x 2 x = 2

Algemeen :

• De rechte l ↔ x = c ( ∈ R) is een verticale asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x ) lim x → < c f (x )= ±∞ oflim x → > c f (x )= ±∞

• Eigenschap : y x O x = c y = f ( x ) l

De grafiek van een rationale functie heeft een V.A. met vergelijking x = c als c een nulwaarde is van de noemer van het functievoorschrift die geen nulwaarde is van de teller.

• Ligging van de kromme t.o.v. een V.A. : Onderzoek het teken van f ( x ) in een omgeving van c .

b Horizontale asymptoot

Voorbeeld :

Beschouwdefunctie f met f ( x )= 2 x + 4 x 2 . lim x →±∞ 2 x + 4 x 2 = 2

y = 2 is de vergelijking van de horizontale asymptoot van de grafiek van de functie f Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot :

v ( x )= f ( x ) 2 = 2 x + 4 x 2 2 = 2 x + 4 2 x + 4 x 2 = 8 x 2 x 2

v ( x ) – | + grafiek onder H.A. grafiek boven H.A.

( x )= 2 x + 4 x 2 y = 2 x = 2

Algemeen :

• De rechte l ↔ y = c ( ∈ R) is een horizontale asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x ) lim x →+∞ f (x )= c oflim x →−∞ f (x )= c

• Eigenschap : y = f ( x ) O x y y = c l

De grafiek van een rationale functie heeft een H.A. met vergelijking y = c als in het functievoorschrift gr( T) ⩽ gr( N)

• Ligging van de kromme t.o.v. een H.A. :

Onderzoek het teken van f ( x ) – c voor x → –∞ respectievelijk x → +∞.

c Schuine asymptoot

Voorbeeld :

Beschouwdefunctie f met f ( x )= x 2 4 x + 3 x + 2

x 2 – 4x + 3 x + 2

x 2 + 2x x – 6

– 6x + 3

– 6x – 12 15

x 2 4 x + 3

x + 2 = x 6 + 15 x + 2

y = x – 6 is de vergelijking van de schuine asymptoot van de grafiek van de functie f Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot :

v ( x )= f ( x ) ( x 6)

= x 2 4 x + 3 x + 2 ( x 6) = 15 x + 2

grafiek onder S.A. grafiek boven S.A.

Algemeen :

• De rechte l ↔ y = mx + q ( m ∈ R0 en q ∈ R) is een schuine asymptoot van de kromme k ↔ y = f ( x ) lim x →+∞ [ f ( x ) (mx + q )]= 0oflim x →−∞ [ f ( x ) (mx + q )]= 0

• Eigenschap :

De grafiek van een rationale functie heeft een S.A. als in het functievoorschrift gr( T) = gr( N) + 1.

De vergelijking van deze schuine asymptoot is het quotiënt van de euclidische deling van T door N.

• Ligging van de kromme t.o.v. een S.A. :

Onderzoek het teken van f ( x ) – ( mx + q ) voor x → –∞ respectievelijk x → +∞

3 Afgeleiden

Om de helling van een grafiek van een functie f in een punt P te bepalen, laten we een willekeurig punt Q van de grafiek naderen tot het punt P via tussenliggende punten Q1, Q2

De rechte PQ zal via de tussenliggende rechten PQ1, PQ2 … naderen tot de raaklijn t aan de grafiek in het punt P. De hellingshoek van PQ nadert tot de hellingshoek van t .

gemiddelde verandering van een functie

De gemiddelde verandering van een functie f over een interval [ a , a + ∆x ] wordt weergegeven door het differentiequotiënt

Het is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn PQ met P( a , f ( a )) en Q( a + ∆x , f ( a + ∆x ))

– Het is de gemiddelde helling van de grafiek van f over [ a , a + ∆x ]

– Het is een benadering van de ogenblikkelijke verandering. Die benadering wordt steeds beter als ∆x → 0 ( als Q → P)

ogenblikkelijke verandering en afgeleide van een functie in een punt

Stel : a is een inwendig punt van dom f ( er bestaat een omgeving van a die volledig tot dom f behoort)

Als het differentiequotiënt een eindige limiet heeft in a , dan noemen we dat getal de afgeleide van f in a .

Notatie : f (a )= df (

– Het is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t in P ( a , f ( a )) aan de grafiek van f .

– Het geeft de helling weer van de grafiek van f in het punt P.

– Het is een maat voor de ogenblikkelijke verandering van f voor x = a .

– Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel geldt : f (a )= tan α met α = x , t = hellingshoekvandegraﬁekvan f inhetpuntP a , f (a )

Opmerkingen :

– Andere notatie voor f ′( a ):

Stel: a + ∆x = x ⟹ ∆x = x – a ∆x → 0 ⟹ x → a (1) wordt : f (a )= lim x → a

( x ) f (a ) x a (2)

– Als de afgeleide f ′( a ) bestaat, dan zeggen we dat de functie f afleidbaar of differentieerbaar is in a Het woord ‘afleiden’ betekent in het Engels ‘to differentiate’.

– Omdat a een inwendig punt van het domein moet zijn, bestaat er dus geen afgeleide in de randpunten van het domein.

Afgeleide van een functie in een punt : Beschouw de functie f met f ( x ) = x 2 f (1) (2) = lim x

2 is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P( 1, 1) aan de grafiek van f De vergelijking van de raaklijn in P( 1, 1) is : y 1 = 2( x 1)

y = 2 x 1

De vergelijking van de raaklijn t in het punt P( a , f ( a )) aan de grafiek van f wordt bepaald door : y – f ( a ) = f ′( a ) · ( x – a )

afgeleide functie van een functie

De afgeleide functie van een functie f is de functie f ′ die elke x waarin f afleidbaar is, afbeeldt op de afgeleide van f in x

Notatie : f ′ met voorschrift f ( x )= lim

Voorbeeld : f ′ met f ′( x ) = 2x wordt de afgeleide functie genoemd van f met f ( x ) = x 2 .

Rekenregels voor afgeleiden :

D ( f + g )= Df + Dg

Dc = 0

Dx = 1

Dx n = n x n 1 (n

D 1 x = 1 x 2

D √x = 1 2√x

D 3 √x = 1 3 3 x 2

D ( f g )= Df Dg

D ( f · g )= f · Dg + g · Df

D (c f )= c · Df

D f g = g Df f Dg g 2

D 1 f = Df f 2

Df m = mf m 1 Df (m ∈ Q0) dy dx = dy du du dx met u = f (x ) → kettingregel

4 Eigenschappen van functies in r

Beschouwdefunctie f met f ( x )= x 2 2 x 8 x 6 . f ( x )= x 2 12 x + 20 ( x 6)2 (controleerdit) x 2 12 x + 20 = 0 ⇐⇒

f stijgt in ] –∞, 2[ en in ] 10, +∞[ f daalt in ] 2, 6[ en in ] 6, 10[

f bereikt een relatief maximum voor x = 2.

f bereikt een relatief minimum voor x = 10. f heeft geen absolute extrema.

= 6 y = x + 4

( x )= x 2 2 x 8 x 6

Opdracht :

Controleer of x = 6 de vergelijking is van een V.A. en y = x + 4 de vergelijking is van een S.A. van de grafiek van de gegeven functie.

a Stijgen en dalen

Als f continu is in [ a , b ] en f ′( x ) > 0 voor elke x ∈ ] a , b [ , dan is f stijgend in [ a , b ].

Als f continu is in [ a , b ] en f ′( x ) < 0 voor elke x ∈ ] a , b [ , dan is f dalend in [ a , b ] f ′( x ) + –f ( x ) ↗ ↘

b Absolute en relatieve extrema

Deﬁnities : extrema

f bereikt een relatief maximum minimum in a ∈ dom f

f bereikt een absoluut maximum minimum in a ∈ dom f

Ba ⊂ dom f : ∀ x ∈ Ba \{a } : f ( x ) < > f (a )

stelling 1

Als f een relatief extremum bereikt in a en afleidbaar is in a , dan is f ′( a ) = 0.

stelling 2

Als f continuisin a en ∃ Ba ⊂ dom f : ∀ x ∈ Ba : x < a =⇒ f ( x ) > < 0

> a =⇒ f ( x ) < > 0 dan bereikt f een relatief maximum minimum in a .

′( x )

Om de grafiek van de functie f te construeren, is de raaklijn t in het punt P( a , f ( a )) van belang.

We doen een beroep op de resultaten die we al in het boek Analyse 2 verkregen hebben.

We geven een overzicht.

① f ′( a ) = 0 ⟺ t // x

② f iscontinuin a lim x →a f (x )= ±∞ ⟹ t // y

③ f iscontinuin a linkerafgeleide = rechterafgeleide

⟹ er zijn twee verschillende raaklijnen t 1 en t 2

Je merkt dus dat in ② en ③ f ′( a ) niet bestaat.

Tweede afgeleide – test voor extrema

Als f continuisin Ba , f (a )= 0en f (a ) > < 0, dan bereikt f een relatief minimum maximum in a . f ′( x ) f ″( x )

+ 0 –f ( x ) minimum maximum

Deﬁnities :

hol & bol

De grafiek van f is hol in [ a, b ]

f ′ is stijgend in [ a, b ]

buigpunt

De grafiek van f is bol in [ a, b ]

f ′ is dalend in [ a, b ]

De grafiek van f heeft een buigpunt in a ⟺

f ′ bereikt een extremum in a en er is een raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a , f ( a ))

eigenschappen

1 Alsvoorelke x ∈ [a , b ] f continuisen f ′′ ( x ) > < 0, dan is de grafiek van f hol bol in [ a , b ].

2 Als f continu is in a en f ″ van teken verandert in a en er bestaat een raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a , f ( a )), dan heeft de grafiek van f een buigpunt in a

x a

f ″( x ) + –

f ′( x ) ↗ ↘

f ( x ) ∪ hol buigpunt ( a , f ( a )) ∩ bol

De vergelijking van de buigraaklijn in het punt P( a , f ( a )) is : y – f ( a ) = f ′( a ) ( x – a )

In een tabel, die het verloop van de functie f aangeeft, gebruiken we de volgende symbolen :

f ′( x ) + + – –

f ″( x ) + – + –

f ( x ) ⤴ hol stijgend ⤵ bol stijgend ⤷ hol dalend ⤵ bol dalend

stelling van Rolle

Als een functie f continu is in [ a , b ], afleidbaar is in ]a , b [ en f ( a ) = f ( b ), dan bestaat er minstens één punt

c ∈ ]a , b [ zodat f ′( c ) = 0.

middelwaardestelling van Lagrange

Als een functie f continu is in [ a , b ] en afleidbaar is in ]a , b [ , dan bestaat er minstens één punt

c ∈ ]a , b [ zodat f ′ ( c )= f ( b ) f (a ) b a

c Holle en bolle zijde van de graﬁek van een functie – buigpunten

Voorbeeld :

Beschouw de functie f met f ( x ) = x 3 – 3x + 1 f ′( x ) = 3x 2 – 3

f ″( x ) = 6x

Tekenverloop

Samenvattende tabel

De vergelijking van de buigraaklijn in het punt ( 0, 1) is :

1 = f (0)( x 0)

5 Verloop van een functie

Om het verloop van een functie f te bestuderen, doen we het volgende onderzoek :

1 Domein

We bepalen dom f om te weten welke x -waarden een beeld hebben.

2 Continuïteit

We onderzoeken in welke punten van dom f de functie continu is.

3 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

We bepalen de snijpunten van de grafiek van f met de x -as en de y -as.

We onderzoeken het tekenverloop van f ( x )

4 Symmetrie

We onderzoeken of de functie eventueel even of oneven is. (on)even functie f is even ⟺

De grafiek van f is symmetrisch om de y -as. f is oneven

De grafiek van f is symmetrisch om de oorsprong O.

5 Asymptoten

We stellen de vergelijkingen op van eventuele verticale (V.A.), horizontale (H.A.) of schuine asymptoten (S.A.) en onderzoeken de ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoten.

6 Eerste afgeleide

We berekenen f ′( x ) en onderzoeken het tekenverloop. Zo bepalen we het stijgen en dalen van de functie f en zo vinden we de eventuele extrema van f

7 Tweede afgeleide

We berekenen f ″( x ) en onderzoeken het tekenverloop. Zo bepalen we de holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten. In de buigpunten kunnen we ook de buigraaklijn bepalen.

8 Samenvattende tabel

We brengen de gevonden informatie over in een overzichtelijke tabel. Hierin nemen we onder andere op : tekenverloop van f ′( x ) en van f ″( x ), stijgen en dalen van f, extrema, buigpunten …

9 Bereik

Hier bepalen we ber f om te weten voor welke y -waarden er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x )

10 Graﬁek

Als we de grafiek tekenen met ICT, dan moet het eindresultaat uiteraard ook overeenstemmen met alle gevonden resultaten over symmetrie, stijgen en dalen enz.

Voorbeeld 1 :

Beschouw de veeltermfunctie f met f ( x ) = 2 3 x 3 2 x 2 6 x

Domein

dom f = R

2 Continuïteit

f is een continue functie want elke veeltermfunctie is continu in R

3 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as :

Stel f ( x )= 0 2 3 x 3 2 x 2 6 x = 0 x 3 3 x 2 9 x = 0

( x 2 3 x 9)= 0

snijpunten met de y -as : x = 0

f (0)= 0

snijpunt met de y -as : ( 0, 0)

snijpunten met de x -as : ( 0, 0); ( –1,85 ; 0) en ( 4,85 ; 0)

tekenverloop van f ( x ) x –∞ –1,85 0 4,85 +∞ f ( x ) –

4 Symmetrie

f ( x )= 2 3 x 3 2 x 2 6 x f ( x )= 2 3 ( x )3 2( x )2 6( x )= 2 3 x 3 2 x 2 + 6 x =⇒ f ( x ) = f ( x ) en f ( x ) = f ( x ) f is niet even en ook niet oneven

5 Asymptoten

V.A. : geen (dom f = R)

: lim

Er zijn geen horizontale asymptoten.

S.A. : geen

6

Eerste afgeleide

f ′ ( x )= D 2 3 x 3 2 x 2 6 x = 2 x 2 4 x 6

f ( x )= 0 ⇐⇒ 2 x 2 4 x 6 = 0

⇐⇒ x 2 2 x 3 = 0

⇐⇒ x = 1 of x = 3

7 Tweede afgeleide

f ′′ ( x )= D (2 x 2 4 x 6) = 4 x 4

f ( x )= 0 ⇐⇒ 4 x 4 = 0

⇐⇒ x = 1 x –∞ 1 +∞ f ″( x ) – 0 + f ( x ) ∩ buigpunt ∪

8 Samenvattende tabel

DevergelijkingvandebuigraaklijninP

9 Bereik

Uit punt 8 volgt : ber f = R.

10 Graﬁek

Voorbeeld 2 :

Beschouw de homografische functie f met f ( x )= 2 x + 4 x 3

1 Domein

Bestaansvoorwaarde : x – 3 ≠ 0 dus x ≠ 3

dom f = R \ { 3}

2 Continuïteit

f is continu in R \ { 3}. (Elke rationale functie is continu in elk punt van haar domein.)

3 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as

f ( x )= 0 ⇐⇒ 2 x + 4 = 0

⇐⇒ x = 2

Het snijpunt met de x -as is dus ( –2, 0)

snijpunten met de y -as

x = 0 =⇒ f ( x )= 4 3

Hetsnijpuntmetde y -asisdus 0, 4 3

tekenverloop van f ( x ) x –∞ –2 3 +∞ f ( x ) + grafiek boven de x-as 0 –grafiek onder de x-as | + grafiek boven de x-as

4 Symmetrie

f ( x )= 2 x + 4 x 3 = 2 x 4 x + 3 = f ( x ) = f ( x )

De functie is dus noch even, noch oneven.

5 Asymptoten

V.A. : x = 3,wantlim x → > 3 2 x + 4 x 3 =+∞ lim x → < 3 2 x + 4 x 3 = −∞

Ligging van de kromme t.o.v. de V.A. : x = 3 x y O

H.A. : lim x →±∞ 2 x + 4 x 3 = 2 y = 2isH.A.

Liggingvandekrommet.o.v.deH.A.:

v ( x )= 2 x + 4 x 3 2 = 2 x + 4 2 x + 6 x 3 = 10 x 3 y = 2 x y O x –∞ 3 +∞ 10 x 3 –de kromme ligt onder de H.A. | + de kromme ligt boven de H.A.

S.A. : geen

6 Eerste afgeleide

f ( x )= D 2 x + 4 x 3 = ( x 3) 2 (2 x + 4) 1 ( x 3)2 = 2 x 6 2 x 4 ( x 3)2 = 10 ( x 3)2

7

Tweede afgeleide

f ( x )= 0 ( 10) · 2( x 3) · 1 ( x 3)4 = 20 ( x 3)3

8 Samenvattende tabel

–∞ 3 +∞

′( x )

″( x ) ––| | –+

9 Bereik

ber f = R \ { 2}

10 Graﬁek

Taak : Toon aan dat M( 3, 2) het symmetriemiddelpunt is van de grafiek.

Voorbeeld 3 :

Beschouw de functie f met f ( x )= x 2 x 4

1 Domein

B.V. : x – 4 ≠ 0 dus x ≠ 4

dom f = R \ { 4}

2 Continuïteit

f is continu in R \ { 4}. (Elke rationale functie is continu in elk punt van haar domein.)

3 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as

snijpunten met de y -as

f ( x )= 0 ⇐⇒ x 2 = 0 ⇐⇒ x = 0 x = 0 =⇒ f ( x )= 0

Het snijpunt met de x -as is dus ( 0, 0).

Het snijpunt met de y -as is dus ( 0, 0).

tekenverloop van f ( x ) x –∞ 0 4 +∞ f ( x ) –grafiek onder de x-as 0 –grafiek onder de x-as | + grafiek boven de x-as

4 Symmetrie

f ( x )= ( x )2 x 4 = x 2 x 4 = f ( x ) = f ( x )

De functie is noch even, noch oneven.

5 Asymptoten

V.A. : x = 4,wantlim x → > 4 x 2 x 4 =+∞ lim x → < 4 x 2 x 4 = −∞ Ligging van de kromme t.o.v. de V.A. : x = 4 x y O

H.A. : lim x →±∞ x 2 x 4 = lim x →±∞ x = ±∞

De grafiek van f heeft geen horizontale asymptoten. De graad van de teller is immers groter dan de graad van de noemer.

S.A. : De grafiek van f heeft een schuine asymptoot want gr T = gr N + 1

x 2 x – 4 x 2 – 4x x + 4 4x 4x – 16 16

De vergelijking van de schuine asymptoot is dus : y = x + 4 Ligging van de grafiek van f t.o.v. de S.A. : we onderzoeken het teken van v ( x )= f ( x ) x 4 = 16 x 4

6 Eerste

afgeleide

f ( x )= D x 2 x 4 = ( x 4)2 x x 2 1 ( x 4)2 = 2 x 2 8 x x 2 ( x 4)2 = x ( x 8) ( x 4)2

7 Tweede

afgeleide

( x 4)4 = ( x 4)(2 x 8) 2( x 2 8 x ) ( x 4)3 = 2 x 2 8 x 8 x + 32 2 x 2 + 16 x ( x 4)3 = 32 ( x 4)3

8 Samenvattende tabel

)

9 Bereik ber f = R \ ] 0, 16[

6

De regel van de l’Hôpital

• Islim x →a f ( x )= lim x →a g ( x )= 0,danislim x →a f ( x ) g ( x ) = 0 0 voorlopigonbepaald.

• Islim x →a f ( x )= lim x →a g ( x )= ±∞,danislim x

) = ∞ ∞ voorlopigonbepaald.

De regel van de l’Hôpital zal het mogelijk maken om die onbepaaldheden op te heffen. We aanvaarden de regel zonder bewijs.

regel van de l’Hôpital

Alslim

Opmerking : de regel geldt ook als x →±∞

Voorbeelden :

betekent:toepassingvanderegelvandel’Hôpital

2 3 4

7 Oefeningen

Bereken de volgende limieten.

alim x →2 ( x 3 2 x 2 7)

x →4 2 x 2 x 1 x 6

4 x + x 4 2 x 5 x 2 + x x 3

x 2 x 5 (2 x + 3)2

→3 x 2 5 x + 6 x 2 9

x →−4 x 2 + 7 x + 12 x 2 + 8 x + 16

→ 1 2 2 x 2 5 x + 2 4 x 2 1

Bepaal de asymptoten van de grafiek van de functies f 1, f 2, f 3 en f 4 met onderstaande voorschriften.

Bepaal eveneens de ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoten.

Teken nadien met ICT de grafiek van deze functies en ook de asymptoten.

a f 1 ( x )= x 2 x + 2 c f 3 ( x )= 2 x 2 + 1 x 2 3 x + 2

b f 2 ( x )= 2 x + 1 x 4 d f 4 ( x )= x 2 + 2 x + 5 x + 1

Bereken de afgeleide van de volgende functies als f ( x ) gelijk is aan :

a x 2 + x g x 2 + x x 1

b x 2 + 4 x + 11 h ( x 2 x 4)3

c 2 x 3 6 x 2 4 x 11

icos4 x sin3 x

d3 x 4 4 x 3 + 6 x 2 + 78 jsin2 2 x

e 2 x 4 x + 5 k (2 x 2 + x )3 (6 2 x 2 )2 f 2 x 6 4 x + 2

lsin3 (6 4 x )

Bepaal het voorschrift van de afgeleide functie f ′ van f .

Zoek de snijpunten van de grafieken van f en f ′

Zoek de x -waarden waarvoor f ( x ) > f ′( x ). Controleer dit grafisch.

a f ( x )= x 2 4 x + 5c f ( x )= x 3 2 x 2

b f ( x )= 2 x 2 4 x + 14 d f ( x )= x 3 + 3 x 2 + x + 1

6 7 8 9

Gegeven :

Defunctie f met f ( x )= x 3 3 + 2 x 2 6 x + 5

Defunctie g met g ( x )= x 3 3 + 3 x 2 18 x 15

Gevraagd :

a Zoek de snijpunten van de grafieken van f ′ en g ′ .

b Zoek de x -waarden waarvoor f ′( x ) < g ′( x )

c Zoek de x -waarden waarvoor f ″( x ) ⩾ g ″( x ).

d Controleer dit grafisch.

Gegeven :

Defunctie f met f ( x )= 2 3 x 3 + x 2 2 x 4

Defunctie g met g ( x )= x 3 + 1 2 x 2 + 5

Gevraagd :

a Zoek de x -waarden waarvoor f ′( x ) ⩾ g ′( x )

b Zoek de x -waarden waarvoor f ″( x ) = g ″( x )

c Controleer dit grafisch.

Bereken :

a D 2 ( x 2 4 x ) d D 2 (5 2 x 2 )2

b D 3 sin5 x e D 3 ( x 3 4 x 2 + 8 x 4)

c D 2 x x + 1 f D 2 (sin x cos x )

Bepaal de vergelijking van de raaklijn en de normaal aan de krommen met onderstaande vergelijking in het gegeven punt. Teken nadien met ICT de kromme, de raaklijn en de normaal in het gegeven punt.

a y = x 2 + 2 x 4 in ( 2,...)

b y = x + 2 x 2 in (4,...)

c y = sin2 x in π 4 ,...

Een steen wordt verticaal omhooggeworpen met een beginsnelheid van 20 m/s. De afgelegde weg van het voorwerp, in functie van de tijd, is gegeven door :

s ( t )= v0 t 1 2 gt 2 met v0 :debeginsnelheid

g :devalversnelling = 9,81m/s2

a Bepaal de snelheid in functie van de tijd.

b Wanneer is de snelheid gelijk aan 0 ?

c Welke hoogte bereikt het projectiel ?

d Bepaal de versnelling in functie van de tijd.

Tip: snelheid v ( t )= ds ( t ) dt versnelling a ( t )= dv ( t ) dt

Maak het volledige verloop van de volgende functies als :

a f ( x )= x 3 + 3 x 2 + 3 x 7

b f ( x )= 2 x + 2 x 5

c f ( x )= x + 4 x + 2

d f ( x )= x 2 2 x x 2

e f ( x )= x 2 x + 1

f f ( x )= 4( x 2 2 x + 1) x 2 2 x 3

Een rechthoek heeft een omtrek van 16 cm.

Op de zijden van de rechthoek staan halve cirkels, buiten de rechthoek gelegen.

Onderzoek het verloop van de totale oppervlakte (rechthoek + alle halve cirkels samen).

Wanneer is die oppervlakte minimaal ?

Los dit probleem met GeoGebra op.

a Onderzoek het verloop van het volume van het lichaam, ontstaan door het wentelen van een rechthoek om een zijde als de omtrek van de rechthoek 2a is.

b Wanneer is het volume maximaal ?

c Wat is het maximale volume als de omtrek van de rechthoek 6 cm is ?

Gegeven :

Het volume van een cilinder is 8p.

Gevraagd :

a Onderzoek het verloop van de totale oppervlakte van de cilinder.

b Wanneer is die oppervlakte minimaal ?

Bereken de volgende limieten met de regel van de l’Hôpital.

alim x →1 x 3 1 x 3 3 x 2 + 3 x 1

blim x →0 x cos x sin x x 3 clim

→0 x 4 + x 3 + 2 x 2 x 5 + x 4 + x 3 dlim x →4 8 2 x x 2 16 elim

glim x →1 x 5 1 x 1 hlim x →+∞ x 2 · sin 1 x

x →−∞ 2 x 3 + x + 1 3 x 3 + 5 jlim x →±∞ ( x 1)2 ( x + 1)3

Waarom zijn de volgende berekeningen foutief ? Verklaar.

1.2 Verloop van exponentiële en logaritmische functies

1 Even herhalen

Het verschil tussen lineaire en exponentiële groei

Bij lineaire groei ontstaat Bij exponentiële groei de volgende waarde uit ontstaat de volgende de vorige door optelling waarde uit de vorige door met een getal. Dat getal vermenigvuldiging met is constant als de een getal. Dat getal heet tijdsintervallen even de groeifactor groot zijn.

exponentiële functie

Is a ∈ R + 0 \{1}, dan noemen we de functie f met f ( x ) = a x de exponentiële functie met grondtal of groeifactor a Eigenschappen van f met f ( x )= a x en a ∈ R + 0 \{1}:

a > 1 (positieve groei)

• Grafiek:

0 < a < 1 (negatieve groei)

• Grafiek:

• dom f = R

• ber f = R + 0 =]0, +∞[

• f is strikt stijgend in R: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) < f ( x 2)

• nulwaarden : geen

• snijpunt met de y -as : ( 0, 1)

• ( 0, 1) ∈ f en ( 1, a ) ∈ f

• lim x →−∞ a x = 0 : de x -as ( y = 0) is een horizontale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ a x =+∞

• waardeverloop:

• dom f = R

• ber f = R + 0 =]0, +∞[

• f is strikt dalend in R: x 1 < x 2 ⟹ f ( x 1) > f ( x 2)

• nulwaarden : geen

• snijpunt met de y -as : ( 0, 1)

• ( 0, 1) ∈ f en ( 1, a ) ∈ f

• lim x →+∞ a x = 0 : de x -as ( y = 0) is een horizontale asymptoot van de grafiek

• lim x →−∞ a x =+∞

• waardeverloop:

logaritmen

De logaritme met grondtal a ∈ R + 0 \{1} van een strikt positief reëel getal is de exponent van de macht waartoe we a moeten verheffen om dat getal te krijgen.

Er geldt dus : ∀a ∈ R + 0 \{1}, ∀ x ∈ R + 0 : loga x = y ⟺ x = a y

Een overzicht :

1.loga x = y ⇐⇒ x = a y

2.loga a y = y ; x = a loga x

3.loga ( x · y )= loga x + loga y

4.loga x y = loga x loga y

logaritmische functie

5.loga 1 x = loga x

6.loga x n = n loga x

7.log b x = loga x loga b

hoofdeigenschap

OP : er bestaat geen eigenschap voor loga ( x ± y )

Is a ∈ R + 0 \{1}, dan noemen we de reële functie f met f ( x ) = loga x de logaritmische functie met grondtal a .

De logaritmische functie met grondtal a is de inverse functie van de exponentiële functie met grondtal a .

Eigenschappen van de logaritmische functie f met f ( x ) = loga x en a ∈ R + 0 \{1}

• Grafiek:

8.log b a = 1 loga b a > 1

(x ) = loga x

• Grafiek:

• dom f = R + 0

• ber f = R

• f is strikt stijgend in R + 0

• nulwaarde : 1

• snijpunt met de y -as : geen

• ( 1, 0) ∈ f en ( a , 1) ∈ f

• lim x → > 0 loga x = −∞ : de y -as ( x = 0) is een verticale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ loga x =+∞

• waardeverloop: 0 < a < 1

1 y x y = x

g (x ) = a x f (x ) = loga x

x 0 1 a +∞ f ( x ) –∞ 0 1 +∞ x 0 a 1 +∞ f ( x ) +∞ 1 0 –∞ 0 1 1 y x y = x g (x ) = a x

• dom f = R + 0

• ber f = R

• f is strikt dalend in R + 0

• nulwaarde : 1

• snijpunt met de y -as : geen

• ( 1, 0) ∈ f en ( a , 1) ∈ f

• lim x → > 0 loga x =+∞ : de y -as ( x = 0) is een verticale asymptoot van de grafiek

• lim x →+∞ loga x = −∞

• waardeverloop:

2 Afgeleide van exponentiële en logaritmische functies – getal e

In deze paragraaf gaat het over groeisnelheid bij exponentiële groei. We keren eerst even terug naar de lineaire groei.

– In onderstaande figuur vind je de grafieken van twee veulens die lineair groeien. a Hoe kun je aan de grafieken zien welk veulen het snelst groeit ? b Hoeveel kg komt veulen A per maand bij ? En veulen B ?

Wat is het verband met de richtingscoëfficiënt van de grafiek (helling) ?

Bij lineaire groei is de groeisnelheid constant. Meetkundig is het de rico van de grafiek (rechte).

– Hoe kun je de helling meten van een kromme lijn ?

Kijk nog eens terug naar de groeifunctie f met f ( x ) = 2x , zoals bij de groei van waterplanten.

Het voorschrift f ( x ) = 2x wil zeggen dat de bedekte oppervlakte per tijdseenheid verdubbelt. De wekelijkse groeifactor is dus 2.

De groeisnelheid is de helling van de grafiek.

Bij exponentiële groei is de groeisnelheid niet constant. Hoe steiler de grafiek, hoe groter de groeisnelheid. In Analyse 2 heb je geleerd dat de helling in een punt van een kromme gemeten kan worden met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt van de kromme. Daartoe bereken je de afgeleide van de functie in dat punt.

We plotten met behulp van ICT de grafieken van y 1 = 2x en van y 2, dat is de numerieke afgeleide van y 1

Het lijkt erop dat de grafiek van y 2 kan ontstaan uit de grafiek van y 1 door een uitrekking t.o.v. de y -as met factor c , dus dat y 2 = c y 1 De groeisnelheid lijkt evenredig met de aanwezige hoeveelheid. We gaan dit nu algebraïsch onderzoeken.

Df ( x )= definitie afgeleide

In het bijzonder geldt : f ′ (0)= 20

Dus : f ′( x ) = 2x f ′( 0)

Om f ′( x ) te berekenen moeten we dus lim

kennen. Met de gewone rekenregels kunnen we die limiet niet berekenen. Die limiet bestaat omdat hij gelijk is aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P( 0, 1) (zie ‘meetkundige betekenis van de afgeleide in een punt’ blz. 13).

Met ICT kunnen we benaderingen berekenen van de limiet in 5 decimalen.

Besluit :

Als f ( x ) = 2x, dan is f ′( x ) = c 2

We gaan nu aantonen dat in het algemeen geldt :

Is f ( x ) = a x met a ∈ R + 0 \{1}, dan is

In het bijzonder geldt :

f ′ (0)= lim

x →0 a ∆ x 1 ∆ x = richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt P(0, 1).

Hiermee is bewezen dat bij elke functie f met f ( x ) = a x een constante c bestaat zodat f ′( x ) = c a x

De waarde van de constante c hangt af van de groeifactor a . Bij f ( x ) = 2x vonden we dat f ′( x ) = 0,693 · 2x

De volgende tabel geeft voor nog enkele andere waarden van de groeifactor a , de afgeronde waarden van c in vier decimalen nauwkeurig.

c = lim

– 0,6931 – 0 – 0,4055 – 0,6931 – 0,9163 – 1,0986 – 1,2528

– Alleen voor a = 1 is c = 0. Kun je dat verklaren ?

– Voor a = 0,5 is c negatief. Waarom ?

Het lijkt aannemelijk dat ‘ergens’ tussen de groeifactorwaarden 2,5 en 3 de evenredigheidsconstante c gelijk zal zijn aan 1. Dat is interessant, want dan is de afgeleide functie gelijk aan de functie zelf. De groeifactor (grondtal) waarbij c = 1 noemen we e De letter e is de eerste letter van Euler, die de notatie voor het eerst gebruikte in 1731.

Hieronder vind je de waarden voor c bij enkele groeifactoren a tussen 2,5 en 3. a c (afgerond op 4 decimalen nauwkeurig)

Het getal e ligt ergens in de buurt van 2,718.

We zoeken nu een benadering voor het getal e . Omdat

zou dus moeten gelden dat

Of ook : e Dx – 1 ≈ Dx voor Dx ≈ 0. Uit e Dx –

We vermoeden dus (en bewijzen later)

Met ICT vinden we :

2,70481382942 2,71692393224 2,71814592683 2,71826823717 2,71828046932 2,71828169255 2,71828181487 2,71828182832 2,71828182846

We onthouden : e = 2,718281828…

Het voorschrift van de afgeleide functie van de exponentiële functie f met f ( x ) = e x is f ′( x ) = e x of : D ( e x) = e x

Andere notatie : e x = exp( x )

De functie f met f ( x ) = e x is een functie die gelijk is aan haar afgeleide, een unicum in de wiskunde ! Dat maakt het getal e zo bijzonder. Het getal speelt ook een belangrijke rol in allerlei vakgebieden waar wiskunde gebruikt wordt.

een belangrijke limiet

lim x →±∞ 1 + 1 x x = e met x ∈ R

Wekunnenbewijzendat e = lim ∆ x →0 (1 + ∆ x ) 1 ∆ x (zievermoedenblz.35).Alswe ∆ x = z stellen,danvolgthieruit:

lim z →0 (1 + z ) 1 z = e .Alswehierin z = 1 x stellen,danbekomenwelim x →±∞ 1 + 1 x x = e .

Voorbeelden :

1 Bereken lim x →−∞ 1 3 x 2 x

Stel: 3 x = 1 x =⇒ x = 3 x

Als x →−∞,dangaat x → +∞ lim x →−∞ 1 3 x 2 x = lim x →+∞ 1 + 1 x 6 x = lim x →+∞ 1 + 1 x x 6 = e 6 = 1 e 6 2 Bereken lim x →2 (2 x 3) 1 3 x 6

Stel:2 x 4 = z =⇒ x = z + 4 2 Als x → 2,dangaat z → 0 lim x →2 (2 x 3) 1 3 x 6 = lim x →2

Het getal e

Euler bewees in 1737 dat e een irrationaal getal is. Een irrationaal getal is een getal dat niet als een breuk te schrijven is. De decimalen van zo’n getal vertonen geen enkele regelmaat. √2 , 3 √5 en p zijn ook irrationale getallen.

In 1873 bewees de Franse wiskundige Hermite (1822–1901) dat het getal e geen oplossing kan zijn van een vergelijking met rationale coëfﬁciënten. Zo’n getal wordt transcendent genoemd. Naar het model van zijn betoog toonde de Duitse wiskundige F. Lindemann in 1882 op zijn beurt aan dat ook p een transcendent getal is. De benaming ‘transcendent’ is afkomstig van Leibniz.

Euler Hermite

3 Natuurlijke logaritmen

Zoals alle exponentiële functies heeft ook f met f ( x ) = e x = exp( x ) een inverse : de logaritmische functie met grondtal e . Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of neperiaanse logaritmen genoemd.

In de notatie laten we e weg en schrijven we ln in plaats van loge loge 3 wordt dus geschreven als ln 3.

Je rekenmachine heeft er een speciale toets voor : LN . Druk LN 3 en je bekomt 1,098612289.

Verband tussen briggse logaritmen (met grondtal 10) en neperiaanse logaritmen (met grondtal e)

Uitlog b x = loga x loga b volgtlog x = ln x ln10

Dus:ln x = log x · ln10of ln x = log x · 2,302585093

enlog x = ln x ln10 of log x = ln x · 0,4342944819

In het algemeen geldt :

∀ x ∈ R0 + : y = ln x ⟺ x = e y

Hieruit volgt : e ln x = x en ln e y = y

Met behulp van het getal e en de eigenschappen van de natuurlijke logaritmen kunnen we alle exponentiële functies afleiden.

Logaritme

Het woord ‘logaritme’ is afkomstig van de Schotse wiskundige Napier (1550 –1617). De benaming ‘natuurlijke logaritme’ (logarithmus naturalis) komt van de Duitse wiskundige Nikolaus Mercator (1620 –1687).

4 Afgeleide van een exponentiële functie

We hebben al aangetoond dat D ( e x) = e x

Met de kettingregel (zie blz. 14 : rekenregels voor afgeleiden) vinden we : D [ e f ( x )] = e f ( x ) Df ( x )

Uit e ln x = x volgt dat e ln a = a en dus kan elke a -macht als een e -macht geschreven worden :

a x = ( e ln a )x = e x ln a

Daaruit volgt :

D ( a x ) = D ( e x ln a ) = e x ln a D ( x ln a ) = e x ln a ln a = a x ln a

Dus : D ( a x ) = a x ln a (1)

Op blz. 34 hebben we aangetoond dat de afgeleide van een exponentiële functie evenredig is met de functie zelf. Uit (1) volgt dat de evenredigheidsfactor c gelijk is aan ln a

D ( 2x ) = 2x ln 2 met ln 2 = 0,6931471806 …

Met de kettingregel vinden we : D [ a f ( x )] = a f ( x ) · ln a · Df ( x )

Voorbeelden :

D ( e x 2 +1 )= e x 2 +1 · D ( x 2 + 1)= 2 x · e x 2 +1

D (3sin √ x )= 3sin √ x ln3 D (sin √ x )= 3sin √ x ln3 cos √ x 1 2√ x = 3sin √ x ln3 cos √ x 2√ x

overzicht

D ( e x ) = e x D [ e f ( x )] = e f ( x ) · Df ( x ) D ( a x ) = a x ln a

[ a f ( x )] = a f ( x ) ln a Df ( x )

Gevolg : Uit het voorgaande blijkt dat de afgeleide van f met f ( x ) = a x bestaat voor alle x ∈ R. Dus is f continu in R volgens de eigenschap : f is afleidbaar in a ⟹ f is continu in a

Dus : exponentiële functies f met f ( x ) = a x zijn continu in elk punt van hun domein.

5 Functies waarvoor geldt dat de afgeleide recht evenredig is met de functiewaarde

f ′ = k · f ⟺ f ( x ) = b e kx met b ∈ R

f ( x )= b e kx

f ′ ( x )= b De kx

f ′ ( x )= b k e kx

f ( x )= k b e kx

f ′ ( x )= k f ( x )

Toepassing : bacteriën kweken

Probleemstelling :

Stel je voor dat je de groei van een cultuur bacteriën bestudeert. De groei hangt af van de tijd t in uren.

De groeisnelheid verloopt volgens de vergelijking

N ′( t ) = 0,34 N ( t ) waarbij N ( t ) het aantal bacteriën na t uren voorstelt.

Stel dat voor t = 0 het aantal bacteriën 100 bedraagt.

a Bereken N ( t ) b Bereken de verdubbelingstijd.

Oplossing :

a N ′( t ) = 0,34 · N ( t ) ⟹ N ( t ) = b · e 0,34t

Verder is N ( 0) = b = 100.

Dus is N ( t ) = 100 e 0,34t

b Dat is de tijd waarin het aantal bacteriën verdubbelt.

We hebben : 200 = 100 · e 0,34 t

2 = e 0,34 t

ln2 = 0,34 · t

t = ln2 0,34

t ≈ 2,039

De verdubbelingstijd is dus ongeveer 2 uur.

Dus: f ( x ) e kx = b (constantefunctie) of: f ( x )= b e kx met b ∈ R

6 Afgeleide van een logaritmische functie

De grafieken van f met f ( x ) = ln x en g met g ( x ) = e x staan hieronder afgebeeld. De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld om de rechte met vergelijking y = x

De rechte t raakt aan de grafiek van g in het punt P( 1, e)

De rechte t ′ raakt aan de grafiek van f in het punt P′(e, 1).

Bereken de rico van t en leid hieruit de rico van t ′ af. Gebruik de symmetrie van de figuur. Wat kun je vermoeden voor D ( ln x )?

De afgeleide van f met f ( x ) = ln x f ( x ) = ln x met x ∈ R + 0 ⟺ x = e f ( x )

= De f ( x )

Aan deze (strikt positieve) afgeleide kun je onmiddellijk zien dat de natuurlijke logaritmische functie f met f ( x ) = ln x een stijgende functie is.

Omdat de afgeleide functie f ′ met f ′ ( x )= 1 x een dalende functie is, wordt die stijging steeds minder groot.

Het hellingsgetal blijft positief, maar wordt steeds kleiner.

Taak : toon aan dat t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel geldt dat de raaklijn aan de grafiek van f met f ( x ) = ln x in het punt ( 1, 0) evenwijdig is met de eerste bissectrice.

Met de kettingregel vinden we : D ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

De afgeleide van f met f ( x ) = loga x

Omdat f ( x )= loga x = ln x ln a met a

Dus : D (loga x )= 1 x ln a

Met de kettingregel vinden we : D [loga f ( x )]= Df ( x ) f ( x ) ln a

Je kunt aan deze afgeleide nog eens zien dat er voor de logaritmische functie twee mogelijkheden zijn. – Als a > 1, dan is ln a > 0 en f ′( x ) > 0 op het domein van de logaritmische functie.

Zo’n logaritmische functie is daarom stijgend en continu.

( x ) = log

Als 0 < a < 1, dan is ln a < 0 en f ′( x ) < 0 op het domein van de logaritmische functie.

Zo’n logaritmische functie is daarom dalend en continu.

Voorbeelden :

1 D [ln(kx )]= k kx = 1 x

2 D (ln x n )= D (n ln x )= n x

3 D [log(cos x )]= D cos x cos x · ln10 = sin x cos x · ln10 = tan x ln10

4 D (ln | x |)

Beschouw de functie f met f ( x ) = ln | x |. Het domein van die functie is R0 Er zijn dus voor het argument x twee mogelijkheden.

• x ∈ R + 0 : | x | = x =⇒ D ( ln | x | )= D ( ln x )= 1 x

• x ∈ R 0 : | x | = x =⇒ D ( ln | x | )= D ln( x ) = D ( x ) x = 1 x

Dus, voor de twee gevallen geldt : D (ln | x |)= 1 x

Bij het berekenen van afgeleiden maakt het geen verschil uit als we van het argument van een logaritmische functie al of niet de absolute waarde nemen.

Met de kettingregel vinden we : D (ln | f ( x ) |)= Df ( x ) f ( x )

een overzicht

D (ln x )= 1 x D ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

D (loga x )= 1 x · ln a D loga f ( x ) = Df ( x ) f ( x ) · ln a

D (ln | x |)= 1 x

D (ln | x + x 2 + k |)= 1 x 2 + k

ln | f ( x ) | = Df ( x ) f ( x )

ln | f ( x )+ [ f ( x )]2 + k | = Df ( x ) [ f ( x )]2 + k

Uit het voorgaande volgt dat de afgeleide van f met f ( x ) = loga x bestaat voor elke x ∈ R + 0 . Dus is f met f ( x ) = loga x continu in R + 0 = dom f

Besluit : Logaritmische functies f met f ( x ) = loga x zijn continu in elk punt van hun domein.

7 Toepassingen

1 De afgeleide van een machtsfunctie

We vonden in het boek Analyse 2 dat de regel : D ( x q ) = q x q –1 geldt voor rationale waarden van q . We tonen nu aan dat de regel ook geldt voor irrationale exponenten en dus algemeen voor reële exponenten.

Is r ∈ R en x ∈ R + 0 ,dangeldt: D (

)= D

Metdekettingregelvindenwe: D (

2 Berekenen van limieten

• Standaardlimieten van exponentiële en logaritmische functies (zie blz. 31–32).

Voorbeelden :

• We beschikken over formules voor de afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies.

Het wordt dus mogelijk om met de regel van de l’Hôpital limieten te bepalen van functies die nog niet eerder behandeld zijn.

Vaak blijken er dan in de opgave voorlopig onbepaalde vormen van nieuwe types voor te komen, symbolisch voorgesteld als 1∞ , ∞0, 00, …

In dit opzicht mogen we niet uit het oog verliezen dat de regel van de l’Hôpital alleen geldt voor onbepaaldheden van het type 0 0 of ∞ ∞ .

Voorbeelden

Na tekenonderzoek van e x 2 x in een omgeving van 0 vinden we : x –∞ 0 +∞ e x 2x + –

8 Verloop van een exponentiële functie

Beschouw de exponentiële functie f met f ( x )= e x 2 2

1 Domein

dom f = R

2 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as

snijpunten met de y -as

geen, want e x 2 2 > 0 geldt voor elke x ∈ R x = 0 =⇒ f ( x )= 1.

Het snijpunt met de y -as is dus ( 0, 1).

tekenverloop van f ( x ) x –∞ +∞

f ( x ) + ↓ grafiek boven de x -as

3 Symmetrie

f ( x )= e ( x )2 2 = e x 2 2 = f ( x )

De functie is dus even en de y -as is een symmetrieas van de grafiek van f

4 Asymptoten

V.A. : geen, want er bestaat geen a zodat

H.A. : lim x →±∞ e x 2 2 = lim x →±∞ 1 e x 2 2 = 0

De x -as is dus een H.A. en de grafiek van f ligt volledig boven de H.A. omdat ∀ x ∈ R : f ( x ) > 0.

S.A. : geen

5 Eerste afgeleide

f ( x )= De x 2 2 = e x 2 2 1 2 (2 x ) = x e x 2 2

f ( x )= 0 ⇐⇒ x = 0 x –∞ 0 +∞ f ′( x ) + 0 –f ( x ) ↗ max ↘ 6 Tweede afgeleide

f ( x )= D x · e x 2 2 = e x 2 2 x xe x 2 2 = e x 2 2 ( x 2 1)

f ( x )= 0 ⇐⇒ x 2 1 = 0

⇐⇒ x = ±1 x –∞ –1 1 +∞ f ″( x ) + 0 – 0 –f ( x ) ∪ buigpunt ∩ buigpunt ∪

7 Continuïteit

Uit punt 5 volgt dat f overal afleidbaar is, dus is f continu in R

8 Samenvattende tabel

Vergelijkingen van de buigraaklijnen t en t ′ :

9 Bereik

Uit 8 volgt dat ber f = ] 0, 1]

10 Graﬁek

Tip : Als je de grafiek met ICT maakt, is het aangewezen dat je regelmatig al je resultaten toetst aan de grafiek.

De grafiek van f noemen we de klokkromme van Gauss (1777–1855). Ze komt voor bij een zogenaamde ‘normale verdeling’ van grootheden in de statistiek.

Taak : In welk punt van de grafiek is de helling maximaal ? In welk punt is de helling minimaal ?

9 Verloop van een logaritmische functie

Beschouw de logaritmische functie f met f ( x ) = ln( 9 – x 2).

1 Domein

BV : 9 – x 2 > 0 ⟺ x ∈ ] –3, 3 [ dom f = ] –3, 3 [ x –∞ –3 3 +∞

9 – x 2 – 0 + 0 –

2 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as snijpunten met de y -as

f ( x )= 0 ⇐⇒ ln 9 x 2 = 0 9 x 2 = 1 x 2 = 8 x = ±2 2 x = 0 f ( x )= ln9 = 2ln3

Het snijpunt met de y -as is ( 0, 2ln 3)

De snijpunten zijn (2√2,0) en ( 2√2,0) .

tekenverloop van f ( x )

–3

3 f ( x ) | –grafiek onder de x -as 0 + grafiek boven de x -as 0 –grafiek onder de x -as |

3 Symmetrie

f ( –x ) = ln ( 9 –( –x )2) = ln ( 9 – x 2 ) = f ( x )

De grafiek van f ligt dus symmetrisch t.o.v. de y -as.

4 Asymptoten

V.A.:lim x → < 3 ln (9 x 2 )= −∞ lim x → > 3 ln (9 x 2 )= −∞ (zieblz.43)

Degraﬁekheeftdus2verticaleasymptotenmetvergelijking x = 3en x = 3.

H.A. en S.A. : geen, want dom f = ] –3, 3 [

5 Eerste afgeleide

f ′ ( x )= D (ln9 x 2 )= 2 x 9 x 2

f ′( x ) | + 0 – |

f ( x ) | ↗ max ↘ |

6 Tweede afgeleide

f ′′ ( x )= D 2 x 9 x 2 = (9 x 2 )( 2) ( 2 x )( 2 x ) (9 x 2 )2 = 18 + 2 x 2 4 x 2 (9 x 2 )2 = 18 2 x 2 (9 x 2 )2 = 2 9 + x 2 (9 x 2 )2 x –3 0 3

f ″( x ) | – |

f ( x ) | ∩ |

7 Continuïteit

Uit punt 5 volgt dat f afleidbaar is voor elke x ∈ ] –3, 3 [.

Dus : f is continu in ] –3, 3 [

8 Samenvattende tabel x –3 0 3

f ′( x ) | + 0 – |

f ″( x ) | – – – | f ( x ) | –∞ ⤵ 2 ln 3 ‖ max ⤵ –∞|

9 Bereik

Uit 8 volgt dat ber f = ] –∞, 2 ln 3 ].

10 Graﬁek

( x )= ln (9 x 2 )

10 Verloop van een logaritmische functie met GeoGebra

We onderzoeken het verloop van de functie f met f ( x ) = ln( 1 + x 2).

1 Domein

1 + x 2 > 0, dus dom f = R.

2 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f

3 Symmetrie

De grafiek ligt symmetrisch om de y -as.

4 Asymptoten

Er zijn geen asymptoten.

5 Eerste afgeleide

7 Bereik van f ber f = [ 0, +∞[

8 Graﬁek van f

11 Samenvatting

• Met behulp van het getal e (getal van Euler) en de eigenschappen van de natuurlijke logaritmen kun je alle exponentiële en logaritmische functies afleiden.

– e = lim x →±∞ 1 + 1 x x of e = lim z →0 (1 + z ) 1 z

e is een irrationaal en transcendent getal

e = 2,718281828…

– Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of neperiaanse logaritmen genoemd.

We noteren loge a als ln a

a ∈ R + 0 \{1}, ∀ x ∈ R + 0 : y = ln x ⟺ x = e y e ln x = x ln e y = y

– Afgeleiden van exponentiële functies : D ( e x ) = e x

[ e f ( x )] = e

(

)

( x ) D ( a x ) = a x ln a

[ a f ( x )] = a f ( x ) ln a D f ( x )

D ( f r ) = r f r –1 D f met r ∈ R

Exponentiële functies f met f ( x ) = a x zijn continu in elk punt van R = dom f

– Afgeleiden van logaritmische functies :

D (ln x )= 1 x

D (loga x )= 1 x · ln a

ln f ( x ) = Df ( x ) f ( x )

loga f ( x ) = Df ( x ) f ( x ) · ln a

D (ln | x |)= 1 x D ln | f ( x ) | = Df ( x ) f ( x )

Logaritmische functies f met f ( x ) = loga x zijn continu in elk punt van R + 0 = dom f

D (ln | x + √ x 2 + k |)= 1 √ x 2 + k D ln | f ( x )+ [ f ( x )]2 + k | =

• Je kunt limieten van exponentiële en logaritmische functies bepalen met behulp van de standaardlimieten en (of) de regel van de l’Hôpital.

Regel van de l’Hôpital voor onbepaaldheden van het type 0 0 of ∞

• Je kunt het volledige verloop maken van een exponentiële en een logaritmische functie.

2 3 4 5 *

12 Oefeningen

Vereenvoudig.

a e 3ln2 c e 2ln 4 3 eln 1 4 e 3

bln 3 e dln( e ln e 2 ) f e ln a ln b

Verklaar.

a e ln 10 = 10 b ln e 10 = 10

Bereken volgende limieten.

x →0 (1 x ) 3 2 x

x →±∞ x 1 x x

Bereken D f ( x ) als f ( x ) gegeven wordt door :

a e 4 x iln2 x

b4e 4 x 2 jlog2 x

c10 x klog (1 x 2 )

d10√ x llog3 x

e4 x 2 1 mlog5 1 x x

f e sin2 x n x 3 ln x

gln | 2 x 5 | oln x x 1 hln x 2 pln x + √ x 2 + k met k ∈ R

Bereken de tweede afgeleide van y = e –3x sin 4x

Bereken y ″ + y ′ – 2y als y = 3e x – 4e –2x + x 2 – 2x + 5.

f x 2 ln x 2 lln 2 x + √4 x 2 + 1 6 * 7 8 9 10 11

Bepaal de vergelijking van de raaklijn en de normaal aan de grafiek van de functie f in het punt P als :

a f ( x ) = e 4x en P( 0, …)

b f ( x ) = ln 2x en P 1 2 ,...

c f ( x ) = 4x en P( …, 2)

d f ( x ) = ln ( 2x – 5) en P( …, 0)

Beschouw de functie f met f ( x ) = log x

a Bepaal in 2 decimalen nauwkeurig het eerste coördinaatgetal van het punt van de grafiek van f waarin de helling gelijk is aan 0,1.

b Bepaal in 2 decimalen nauwkeurig het eerste coördinaatgetal van het punt van de grafiek van f waarin de helling gelijk is aan 1.

c Toon aan dat f ′ ( x )= log e x

Beschouw de functie f met f ( x )= x ln e + 1 x .

a Bepaal het domein van f .

b Bereken f ″( x ) en maak een tekenverloop. Leid hieruit af waar de grafiek van f hol of bol is. Controleer je antwoord met ICT.

a Zoek de vergelijking van de raaklijn en de normaal aan de grafiek van f met f ( x ) = x ln x in het snijpunt met de x -as.

b Teken de grafiek van f en de gevraagde raaklijn en normaal met behulp van ICT.

Bereken Df ( x ) als f ( x ) gegeven wordt door :

a e x (1 2 x ) g x log4 x

b e x · ln x h (lnsin x )4

c x 4 · e x i ln x 2 ln x

d10 x sin x jlog4 x log3 x

e (2 x 3) ln ( x 2 2) kln tan x 2

Bereken de volgende limieten door gebruik te maken van de standaardlimieten (zie blz. 43) en (of) de regel van de l’Hôpital. Controleer je uitkomsten met ICT.

Onderzoek telkens het verloop van de functie f als

d f ( x )= x 2 · e x 2 i f ( x )= ln ( x 2 + 1)

e f ( x )= e 1 x x j f ( x )= ln (4 x 2 )

Voor een insectenpopulatie is de omvang N ( t )

gegeven door N ( t ) = 500 e 0,2t

met t : tijd in dagen vanaf een bepaald moment.

a Hoeveel insecten waren er op het tijdstip t = 10 ?

b Bereken hoeveel insecten er bijkomen tussen t = 10 en t = 11.

c Geef de formule voor de groeisnelheid van de insectenpopulatie.

d Wat is de groeisnelheid op het tijdstip t = 10 ?

Wat is de betekenis van dat getal ? Vergelijk met opgave b.

Een parachutespringer opent zijn valscherm op het moment ( t = 0) dat hij 700 m boven de grond is.

De valweg wordt gegeven door :

s ( t ) = 30 + 6t – 30 ( 0,223)t

met s ( t ): valweg in m na t seconden

a Geef de formule voor de snelheid van de parachutist.

b Welke snelheid (in m/s) had de parachutist op het moment dat zijn parachute openging ?

Hoeveel km/h is dit ?

c Geef de formule voor de vertraging van de parachutist.

d Wat is de vertraging (in m/s2) na 1 seconde ? En na 3 seconden ?

e Beredeneer dat de snelheid van de parachutist afneemt tot ongeveer 6 m/s.

Soms raakt drinkwater door menselijke of dierlijke afvalstoffen besmet met colibacteriën. Omdat het drinken van besmet water uiterst gevaarlijk is, zal het drinkwaterbedrijf in zo’n geval het water extra zuiveren. Als er bij het begin van de extra zuivering per liter water 1800 colibacteriën zijn, geldt de formule : N ( t ) = 1800 e –0,15t

met N ( t ): het aantal colibacteriën per liter water na t uren.

a Bereken de groeisnelheid van het aantal bacteriën op het moment dat t = 2.

b Zodra het aantal colibacteriën met 99 % is afgenomen, stopt de extra zuivering. Bereken in uren nauwkeurig hoelang de extra zuivering zal duren.

(Examen VWO A, Nederland)

De buitentemperatuur van afgelopen nacht kan benaderd worden door de functie T met

T ( t )= e 3 2 ( t 2) e 1 2 ( t 2)

met T ( t ): buitentemperatuur in graden Celsius

t : tijd in uren

t = 0 komt overeen met 11 uur ’s avonds (= 23 u.) vorige nacht.

a Schets de grafiek van de functie.

b Wanneer begon het te vriezen ?

c Wanneer begon de temperatuur weer te stijgen ?

d Wanneer steeg de temperatuur het snelst ?

e Hoe koud was het om 7 uur ’s ochtends ?

De grootte van een populatie dinosaurussen wordt gegeven door :

P ( t ) = 8000 t 3–t

met t : tijd uitgedrukt in duizenden jaren

a Teken de grafiek van P ( t ) met ICT.

b Hoe groot is de maximale populatie dinosaurussen ?

c Na verloop van tijd begint de populatie uit te sterven.

Op welk tijdstip gebeurt dat het snelst ?

De concentratie van alcohol in het bloed van een persoon op een feestje kan beschreven worden door C ( t ) = e –t – e –3t

met t : tijd in uren

C ( t ): concentratie alcohol in het bloed, uitgedrukt in promille

Onderzoek het verloop van C ( t ) en toon aan dat de alcoholconcentratie in het bloed het snelst afneemt op het tijdstip 2t 0 met t 0 het tijdstip waarop de concentratie het grootst is.

Bij een ongeval kantelde een tankwagen. De tank scheurde en de inhoud van de tank stroomde weg volgens de formule

V = 25000 · 2 0,01t 2

met V : de resterende hoeveelheid in het vat in liter

t : de tijd in minuten

a Schets de grafiek van V

b Hoeveel liter vloeistof zat er in de tank ?

c Na hoeveel minuten was de helft van de inhoud

weggestroomd ?

d Wanneer was de uitstroomsnelheid maximaal ?

e Hoeveel tijd nadien was de uitstroomsnelheid afgenomen tot de helft van de maximale uitstroomsnelheid ?

Het verval van de radioactieve isotoop radium-228 verloopt volgens de vergelijking

m ′( t ) = –0,00043 · m ( t ) met t : tijd in jaren

m ( t ): massa in gram voor t = 0 bedraagt de massa 260 gram

a Bereken m ( t )

b Bereken de halveringstijd.

c Op welk tijdstip is nog 10 % van de beginmassa aanwezig ?

d Bereken de vervalsnelheid in gram/jaar na 10 jaar.

De relatieve toename van een kapitaal dat uitgezet wordt tegen een samengestelde intrest verloopt volgens de vergelijking

K ′( t ) = 0,0693 K ( t ) met t : de tijd in jaren

K ( t ): het kapitaal in euro

Stel dat voor t = 0 het kapitaal 5000 euro bedraagt.

a Bereken K ( t ).

b Hoelang duurt het voordat het kapitaal verdubbeld is ?

Onder bepaalde omstandigheden verloopt de afname van de luchtdruk volgens de vergelijking dp dh = λ · h

met p : luchtdruk in hectopascal h : hoogte in km boven de zeespiegel

De luchtdruk op zeeniveau is 1000 hectopascal en op 1 km boven de zeespiegel 869 hectopascal.

a Schrijf p in functie van h .

b In een luchtballon kun je echter eenvoudiger de luchtdruk meten dan de hoogte. Zoek de formule die h uitdrukt in functie van p .

c Toon aan dat de snelheid waarmee de hoogte (afhankelijk van p ) verandert, negatief is.

Zoals gebruikelijk stelt e het grondtal van de natuurlijke logaritme voor.

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f ( x )= ln ( e x + 2). Bepaal het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x-coördinaat ln( 2) en de rechte met vergelijking y = ln( 2). (A) ( –ln( 2), ln( 2)) (B) ( ln( 2), ln( 2)) (C) ( ln( 2), –ln( 2)) (D) ( 2ln( 2), ln( 2))

Toelatingsexamen arts 2020, vraag 8

Gegeven zijn de functies f en g met voorschrift: f ( x )= x 2 ln x en g ( x )= 2 x 2 5 x + 1.

De raaklijn in het punt P( a, g( a)) aan de grafiek van g staat loodrecht op de raaklijn in het punt Q( 1, f ( 1)) aan de grafiek van f. Bepaal g( a)

(A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 8

Toelatingsexamen arts 2020, vraag 9

Beschouw de functie f met functievoorschrift f ( x )= x 3ln( x 1) met x > 1.

In welk van de onderstaande intervallen is de functie f monotoon stijgend?

(A) 3 2 , 5 2

Toelatingsexamen arts 2022, vraag 7

(B) 5 2 , 7 2

Beschouw de functie f met voorschrift f ( x )= ln x 2 + x . Voor welke waarde(n) van x is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( x , f ( x )) horizontaal ?

(A) –2 (B) 1 2 (C) –1 en 1 (D) er bestaat zo geen x

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2020, vraag 23

(D) 9 2 , 11 2 (A) 3 2 , 5 2 (B) 5 2 , 7 2 (C) 7 2 , 9 2 (D) 9 2 ,

De raaklijn aan de grafiek van de functie f met voorschrift f ( x )= e px in het punt x = 1 gaat door de oorsprong … (A) voor alle p > 0 (B) alleen voor p = 1 (C) alleen voor p = –1 (D) voor alle p < 0

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2021, vraag 26

1.3 Verloop van goniometrische functies

Geen muziek zonder wiskunde, of die nu uit je gitaar komt of uit een speaker. Een liedje bestaat op zich enkel uit trillingen en frequenties en een geluid is een voorbeeld van een ‘harmonische trilling’ die weergegeven kan worden door een sinusfunctie. Hoe korter de gebruikte snaar (of hoe korter jij hem maakt met je vingers), hoe hoger het aantal keren dat de snaar trilt en hoe hoger ook de toon die je hoort.

1 Elementaire goniometrische functies

Sinusfunctie

Grafiek :

Eigenschappen :

domein verzameling van x -waarden die een beeld hebben

bereik verzameling van de functiewaarden [ –1, 1] periode kleinste strikt positief reële getal p zodat sin(x ) = sin ( x + p ) met x ∈ R

amplitude grootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand 1 nulwaarden de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten met de x -as k · p met k ∈ Z soort functie ∀x ∈ R : sin (–x ) = –sin x oneven functie symmetrie er is een symmetriemiddelpunt O tekenverloop we bekijken het tekenverloop in [ 0, 2p] x 0

waardeverloop we bekijken het waardeverloop in [ 0, 2p]

Cosinusfunctie

Grafiek :

Eigenschappen : cosinusfunctie

domein verzameling van x -waarden die een beeld hebben R bereik verzameling van de functiewaarden [ –1, 1] periode kleinste strikt positief reële getal p zodat cos(x ) = cos ( x + p ) met x ∈ R 2p amplitude grootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand 1 nulwaarden de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten met de x -as

soort functie ∀x ∈ R : cos (–x ) = cos x even functie symmetrie er is een symmetrieas y -as tekenverloop we bekijken het tekenverloop in [

waardeverloop we bekijken het waardeverloop

Tangensfunctie

Grafiek :

Eigenschappen :

domein

bereik R

periode p

nulwaarden k · p met k ∈ Z

soort functie oneven functie

∀x ∈ R : tan( –x ) = –tan x symmetrie O is een symmetriemiddelpunt

tekenverloop

waardeverloop

asymptoten de rechten met vergelijking

zijn de verticale asymptoten van de grafiek

Cotangensfunctie

Grafiek : x y

Eigenschappen : cotangensfunctie

domein R \{k · π | k ∈ Z}

bereik R periode p nulwaarden π 2 + k p met k ∈ Z

soort functie oneven functie

∀x ∈ R : cot( –x ) = –cot x symmetrie O is een symmetriemiddelpunt tekenverloop x 0

cot

waardeverloop

asymptoten de rechten met vergelijking x = k p met k ∈ Z zijn de verticale asymptoten van de grafiek

Afgeleiden : D (sin x )= cos xD [sin f ( x )]= cos f ( x ) D [ f ( x )] D (cos x )= sin xD [cos f ( x )]= sin f ( x ) D [ f ( x )]

D (tan x )= 1 cos2 x

D (cot x )= 1 sin2 x

[tan f ( x )]=

[cot f ( x )]=

[ f ( x )] sin2 f ( x )

2 Verloop van een goniometrische functie

We onderzoeken het verloop van een goniometrische functie, bv. de functie f met f ( x ) = sin 2x + 2sin x .

1 Domein

dom f = R

De periode van f 1 met f 1 ( x )= sin2 x is 2π 2 = π

De periode van f 2 met f 2( x ) = sin x is 2p

De periode van f 1 + f 2 is dus 2p.

Het is dus voldoende de functie f te bestuderen in het interval [ 0, 2p].

2 Snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x )

snijpunten met de x -as :

f ( x )= 0 ⇐⇒ sin2 x + 2sin x = 0

∗ ⇐⇒ 2sin x cos x + 2sin x = 0

(*) sin2x = 2sinx cosx

snijpunten met de y -as : x = 0 ⟹ f ( x ) = 0

Het snijpunt is dus ( 0, 0).

⇐⇒ sin x (cos x + 1)= 0

⇐⇒ sin x = 0ofcos x = 1

⇐⇒ x = k · π of x = π + k · 2π met k ∈ Z

snijpunten met de x -as in [ 0, 2p]: ( 0, 0), ( p, 0) en ( 2p, 0)

tekenverloop van f ( x ): x 0 p 2p sin x 0 + 0 – 0 cos x + 1 2 +

)

3 Symmetrie

f (–x ) = sin( –2x ) + 2sin( –x ) = –sin2x –2sinx = –f (x )

De functie is dus oneven.

De grafiek van de functie is symmetrisch om de oorsprong.

4 Asymptoten

Wegens de periodiciteit zijn er geen horizontale of schuine asymptoten. Omdat dom f = R zijn er ook geen verticale asymptoten.

5 Eerste afgeleide

f ′ ( x )= D (sin2 x + 2sin x )= 2cos2 x + 2cos x ∗ = 2(2cos2 x 1)+ 2cos x = 4cos2 x + 2cos x 2

(*) 1 + cos2x = 2cos2x

f ′ ( x )= 0 ⇐⇒ 4cos2 x + 2cos x 2 = 0

⇐⇒ cos x = 1ofcos x = 1 2

⇐⇒ x = π + k 2π of x = ± π 3 + k 2π k ∈ Z

In [0,2π] wordtdit: x = π 3 of x = π of x = 5π 3

f ′( x ) + 0 –

( x ) ↗ max ↘ ↘ min ↗

6 Tweede afgeleide

f ′′ ( x )= D (2cos2 x + 2cos x )

= 4sin2 x 2sin x = 8sin x cos x 2sin x = 2sin x (4cos x + 1)

f ′′ ( x )= 0 ⇐⇒ sin x · (4cos x + 1)= 0

⇐⇒ sin x = 0ofcos x = 1 4

⇐⇒ x = k · π of x = ±1,82 + k · 2π k ∈ Z

In [0,2π] wordtdit: x = 0of x = 1,82of x = π of x = 4,46of x = 2π

f ( x ) ∩ buigpunt ∪ buigpunt ∩ buigpunt ∪

7 Continuïteit

Omdat f afleidbaar is in R (zie 5) is f continu in R.

8 Samenvattende tabel

′( x ) + 0 –

t : buigraaklijn in (1,82 ; 1,46) : rico( t ) = f ′( 1,82) = –2,25

t ′ : buigraaklijn in (p, 0) : rico( t ′) = f ′( p) = 0 ⟹ t ′ valt samen met de x-as

t ″ : buigraaklijn in (4,46 ; –1,46) : rico( t ″) = f ′( 4,46) = –2,25

9

Bereik

Uit8blijktdatber f = 3√3 2 , 3√3 2

3 Toepassing : harmonische en gedempte trilling

Periodieke verschijnselen – en meer bepaald trillingen – kunnen beschreven worden door algemene sinusfuncties met een voorschrift van de vorm

f ( x ) = a sin [ b ( x – c )] + d met a en b positief.

Hierbij stelt x de tijd voor en f ( x ) de uitwijking.

In VBTL 5 Analyse 1b leerden we het volgende : algemene sinusfunctie

In f ( x )= a sin [ b

is:

a de amplitude

2π b de periode met b de pulsatie

c de horizontaleverschuiving

d de verticaleverschuiving

Derechtemetvergelijking y = d geeftde evenwichtsstand weer.

HetpuntS( c , d ) noemenwehetbeginpuntvaneensinusperiode.

In het dagelijkse leven zijn er nog andere verschijnselen die door algemene sinusfuncties beschreven worden. Denk maar aan de trilling van een stemvork of een gong, de uitwijking van een slinger of een trillende snaar, de duur van de dag en nacht, de waterhoogte bij eb en vloed, het veranderen van de bloeddruk, het ritme van de hartslag, wisselstromen …

periode = 2

• De volgende grafiek is een vereenvoudigd model van de wijze waarop de bloeddruk van een mens verandert onder invloed van de hartslag. Op de x -as is de tijd uitgezet (in seconden), op de y -as staat de kwikdruk (in millimeter).

tijdinseconden kwikdrukinmm

De functiewaarden ‘schommelen’ rond de evenwichtsstand. De grootste uitwijking van de grafiek t.o.v. de evenwichtsstand is de amplitude. In de grafiek van de bloeddruk is de evenwichtsstand 110, de amplitude 20 en de periode 1.

• Trillingen zie je bij een trillende snaar, bijvoorbeeld in een piano. De hoogte van de toon hangt af van de lengte van de snaar. Hoe korter de snaar, hoe groter het aantal keer dat de snaar per seconde trilt en hoe hoger de toon.

Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie van de toon.

Die frequentie wordt uitgedrukt in hertz (Hz).

Voor de periode p en de frequentie f geldt : f = 1 p

Een trilling ontstaat doordat de snaar heen en weer beweegt rond een bepaalde evenwichtsstand.

De uitwijking f ( x ) (in cm) van het midden van de snaar hangt af van de tijd x (in s ) die verstreken is sinds het aanslaan van de snaar. De grafiek van f ( x ) is bij benadering een sinusoïde.

Dergelijke trilling noemen we een harmonische trilling. De Fransman Jean Baptiste Fourier ontdekte dat elke trilling kan worden opgebouwd als een som van harmonische trillingen. De Fourieranalyse is daarop gebaseerd.

In realiteit werken er op een trillend systeem wrijvings- of weerstandskrachten en wordt bijvoorbeeld in een trillende veer warmte geproduceerd. Hierdoor neemt de energie van het systeem af. Het systeem voert dan een gedempte trilling uit.

Harmonische trillingen doven dus na verloop van tijd uit. Denk maar aan de trillende snaar. Na enige tijd wordt de uitwijking van de snaar kleiner, tot de toon niet langer hoorbaar is. De amplitude neemt daarbij exponentieel af omdat de uitdoving steeds langzamer gaat.

Voorbeeld 1

De factor 3

en3

komt overeen met de amplitude. Die is niet constant, maar daalt exponentieel met de tijd. Hoe sneller de amplitude afneemt, hoe sterker de demping is. De functiewaarden schommelen tussen 3 e 2 x π en3 e 2 x π

Voorbeeld 2 :

f ( x )= e x 2 cos (6 x 2) met x ⩾ 0

Type xy

Zero 0,0715

Max 0,3195 0,84942 Zero 0,5951

Min 0,8431 –0,65377

Zero 1,1187

Max 1,3667 0,50319

Zero 1,6423

Min 1,8903 –0,38728

Zero 2,1659

Max 2,4139 0,29808

Zero 2,6895

Min 2,9375 –0,22942

Zero 3,2131

Max 3,4611 0,17658

Zero 3,7367

Min 3,9847 –0,13591

Zero 4,2603

Max 4,5083 0,1046

Zero 4,7839

Min 5,0319 –0,08051

Zero 5,3075

Max 5,5555 0,06196

Zero 5,8311

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)

Joseph Fourier, geboren in Auxerre (Frankrijk), had drie grote passies : zijn geloof, de politiek en natuurlijk de wiskunde. In 1787 besloot hij in te treden in een klooster om zich voor te bereiden op het priesterschap. Zijn interesse voor wiskunde deed hem echter twijfelen en uiteindelijk verliet hij het klooster. In 1793 werd hij politiek actief. Hij trad toe tot een revolutionair comité en belandde in de gevangenis. Door toedoen van o.a. Lagrange, Laplace en Monge werd hij vrijgelaten. Ten tijde van Napoleon volgde hij die naar Egypte, waar hij een belangrijke functie kreeg. Bij zijn terugkeer werd hij benoemd tot prefect in Grenoble. Fourier wordt beschouwd als de grondlegger van de mathematische fysica. Zijn belangrijkste werk was ‘Théorie analytique de la chaleur’ (1822), de theorie van de warmetegeleiding bepaald door de partiële differentiaalvergelijking ΔU = kθu θt De methoden die Fourier hierbij gebruikte, waren zo algemeen dat zijn werk het prototype is geworden voor de behandeling van de gehele theorie voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen.

4 Verloop van een goniometrische functie met GeoGebra

We onderzoeken het verloop van de functie f met f ( x ) = sin 2x + tan x .

1 Domein

dom f = R \ π 2 + k π k ∈ Z

Deperiodevan f 1 met f 1 ( x )= sin2 x is 2π 2 = π.

Deperiodevan f 2 met f 2 ( x )= tan x is π.

Hetisdusvoldoendedefunctie f tebestuderenin [0, π]

2 Snijpunten met de assen

3 Symmetrie

De functie is dus oneven en de grafiek is symmetrisch om de oorsprong.

4 Asymptoten

x = π 2 + k π k ∈ Z zijnV.A.

5 Eerste en tweede afgeleide

Er zijn geen extrema want de eerste afgeleide wordt nooit nul.

Er is een buigpunt voor x = π 4 want de tweede afgeleide wordt voor x = π 4 nul.

Weziendatereenbuigpuntisvoor

Webepalenhetbuigpuntendevergelijkingvandebuigraaklijn: 6 Bereik

ber f = R

7 Graﬁek

5 Samenvatting

• Je kunt het verloop van een goniometrische functie bepalen door achtereenvolgens de volgende zaken te onderzoeken :

– domein ;

– snijpunten met de assen en tekenverloop van f ( x);

– symmetrie ;

– asymptoten ;

– eerste afgeleide (stijgen en dalen van de functie en bepalen van eventuele extrema) ;

– tweede afgeleide (holle en bolle zijde van de grafiek en de eventuele buigpunten) ;

– continuïteit ;

– samenvattende tabel ;

– bereik;

– grafiek.

• Je weet wat een harmonische trilling is. Voor de periode p en de frequentie f geldt : f = 1 p

• Je kent enkele voorbeelden van een gedempte trilling.

6 Oefeningen

c D 2 1 9 cos3 x + 3 2 sin2 x 38 3 cos x + 11 2 x 2 =(... + ...)3 1 2 3 *

Onderzoek het verloop van volgende goniometrische functies f met :

a f ( x )= cot x e f ( x )= sin x + cos2 x 1

b f ( x )= sin x + 2cos x f f ( x )= tan x sin x cos x

c f ( x )= sin2 x + 2cos x g f ( x )= tan x + cot x

d f ( x )= 4cos2 x 8cos x + 3h f ( x )= cos x cos3 x

Onderzoek het verloop van de volgende functies f m.b.v. ICT als :

a f ( x )= x sin x d f ( x )= 4 e x sin(10π x ) met x ⩾ 0

b f ( x )= x sin x

c f ( x )= e x · cos x

Bereken (en vereenvoudig) volgende afgeleiden :

a D 2sin x · cos3 x + 3sin x · cos x + 3 x = a · ( )4

b D sin x 3 sin2 x = a (...)3

Een slinger wordt op t = 0 in zijn uiterste stand losgelaten.

De uitwijking f ( t ) van de slinger na t seconden t.o.v. de evenwichtsstand wordt gegeven door

f ( t )= 2,5 · sin π 2 t π 4 met f ( t ) incmen t inseconden.

met f ( t ): uitwijking in cm t : tijd in seconden

a Bereken de amplitude, de periode en de frequentie van de slinger.

b Bereken de snelheid f ′( t ) en de versnelling f ″( t )

c Wanneer en waar zijn de absolute waarde van de snelheid en van de versnelling maximaal ?

Harmonische trillingen met een faseverschil. Er is sprake van faseverschil bij twee trillingen als de trillingen niet op hetzelfde moment begonnen zijn.

Voorbeeld : gegeven zijn de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) = 2sint en f 2( t ) = 2sin( t – 2)

a Toon aan dat beide trillingen dezelfde amplitude en periode hebben.

Hoeveel seconden na de eerste trilling begon de tweede trilling ?

Hoe ontstaat de grafiek van f 2 uit de grafiek van f 1 ?

b Toon grafisch en algebraïsch aan dat f 3( t ) = f 1( t ) + f 2( t ) = 2 sin t + 2 sin( t – 2) opnieuw een harmonische trilling f 3 voorstelt.

Bepaal ook de amplitude, de periode, de horizontale en de verticale verschuiving van f 3.

Harmonische trillingen met verschillende amplitudes en/of evenwichtsstand.

Voorbeeld : beschouw de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) f 2( t )

2 sin 2t 1 + sin 2t

cos t 1 + 2 sin t

a Toon in beide gevallen aan dat f 3 = f 1 + f 2 opnieuw een harmonische trilling oplevert.

Doe dit zowel grafisch als algebraïsch.

b Bereken telkens de amplitude, de periode, de horizontale en de verticale verschuiving van f 3.

Bij harmonische trillingen waarvan de frequenties (en dus de periodes) verschillend zijn, krijg je in het algemeen geen harmonische trilling als je ze optelt.

Voorbeeld :

Beschouw de trillingen f 1 en f 2 met f 1( t ) = sin t 2 en f 2( t ) = sin t

Na optelling bekomen we f 3 = f 1 + f 2 met f 3( t ) = sin t 2 + sin t

In de volgende figuur wordt dit grafisch weergegeven.

Door gebruik te maken van goniometrische formules vind je : f 3 ( t )= sin t 2 + sin t = 2sin 3 t 4 cos t 4 .Gaditzelfna.

Het voorschrift van f 3 is niet van de vorm a sin( bt ) met a , b ∈ R + 0 . Hieruit volgt dat f 3 geen harmonische trilling is.

Toepassing : kerkorgel

De la-pijp van een kerkorgel veroorzaakt bij het aanblazen een harmonische trilling f 1 met f 1( t ) = sin( 56pt ) . Hierbij stelt t de tijd voor in seconden.

In een ander register van datzelfde kerkorgel zit een tweede orgelpijp die dezelfde noot aanblaast. Die pijp is echter onzuiver gestemd en veroorzaakt een harmonische trilling f 2 met f 2( t ) = sin( 54pt ) Jammer genoeg klinkt die toon iets te laag.

a Teken de grafiek van f 1 en f 2. Bereken de frequentie van beide orgelpijpen in hertz.

b Wanneer de beide la-pijpen van het kerkorgel samen aangeblazen worden, brengt dat een trilling f 3 voort met f 3( t ) = sin( 56pt ) + sin( 54pt ). Teken de grafiek van f 3 en toon aan dat f 3 niet meer harmonisch is. Muziekliefhebbers noemen zo’n klank ‘dissonant’.

c Ontbind f 3( t ) in factoren met behulp van de formules van Simpson en stel vast dat de amplitude van die trilling niet steeds even groot is. De amplitude gaat periodiek aanzwellen en afnemen. We noemen dat ook een zweving. Welke factor stelt de wisselende amplitude voor ?

d Teken de grafiek van de amplitudefunctie. Bij amplitude 0 is het geluid niet hoorbaar. Bij een maximale amplitude 2 is het geluid het best hoorbaar. Hoeveel ‘zwevingen’ hoor je per seconde ?

e Bepaal de frequentie van de dissonante toon f 3. Hoe kan die frequentie afgeleid worden uit de frequenties van de afzonderlijke pijpen ?

1.4 Differentiaal van een functie

1 Deﬁnitie

Als de functie f afleidbaar is in een punt a van haar domein, dan wordt de grafiek van die functie in een omgeving van P( a , f ( a )) benaderd door de raaklijn in dat punt P.

y = f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

We mogen in een omgeving van a de functie f benaderen door de lineaire functie g met

g ( x ) = f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

M.a.w. f ( x ) wordt benaderd door f ′( a ) · ( x – a ) + f ( a )

⟹ f ( x ) – f ( a ) wordt benaderd door f ′( a ) · ( x – a )

Het verschil x – a is een aangroeiing van het argument en noteren we als Δx Het verschil f ( x ) – f ( a ) is een aangroeiing van het beeld en noteren we als Δf ( x ) of Δy

⟹ Δf ( x ) = Δy wordt benaderd door f ′( a ) · Δx

differentiaal

Als f afleidbaar is in a en als Δx een aangroeiing is van het argument waarvoor a + Δx ∈ dom f , dan noemen we df ( a ) de differentiaal van f in a , met df ( a ): df ( a ) = f ′( a ) · Δx

Door a niet als een gegeven waarde, maar als een variabele te beschouwen, krijgen we de differentiaal van f in x . dy = df ( x ) = f ′( x ) · Δx

Gevolgen :

– Voor de functie f met f ( x ) = x geldt : f ′( x ) = 1, dus dx = 1 Δx = Δx

In bovenstaande definities mag je dus Δx door dx vervangen. Zo verkrijg je de gebruikelijke formules :

df ( a ) = f ′( a ) · dx dy = df ( x ) = f ′( x ) dx

Omdat Δx = dx ≠ 0 wordt df ( x ) dx = f ′ ( x ) (notatie van Leibniz voor afgeleiden) of nog :

Df ( x )= df ( x ) dx

2 Verband tussen dy en Dy

In het algemeen zijn dy en Δy verschillend, Δy wordt wel benaderd door dy .

Voor f ′ ( x ) = 0geldt:lim dx →0 ∆ y dy = 1

Want : lim

y dy = lim

)= 1

Dus mogen we voor Δx → 0, Δy bij benadering vervangen door dy als f ′( x ) ≠ 0.

Meetkundige betekenis :

Op de grafiek k van de functie f nemen we de punten A( x , f ( x )) en B( x + Δx , f ( x + Δx ))

Een evenwijdige door A met de x -as snijdt een evenwijdige door B met de y -as in het punt C. Δy = Δf ( x ) is de toename van het tweede coördinaatgetal langs de kromme bij een toename dx = Δx van het eerste coördinaatgetal.

| Δy | = | BC |

De raaklijn t aan k in A snijdt de rechte BC in D. dy = df ( x ) is de toename van het tweede coördinaatgetal langs de raaklijn bij een toename dx = Δx van het eerste coördinaatgetal. | dy | = | CD |

Bewijs : Wewetendat:

rico( t )= y D y A x D x A = y D y C ∆ x (1)

rico( t )= f ′ ( x ) (2)

Uit(1)en(2)volgtdat: f ′ ( x )= y D y C ∆ x

of: y D y C = f ′ ( x ) ∆ x of: y D y C = df ( x ) y x Dy y = f (x ) dy t

Dus : | CD| = df ( x ) = dy

= Dx k A

3 Differentialen van hogere orde

Uitgaand van de differentiaal df ( x ) van f in x hebben we een functie bepaald : df met df ( x ) = f ′ ( x ) dx

We noemen nu de tweede differentiaal van f in x de differentiaal van de functie df in x .

Notatie : d 2f ( x )

d 2 f ( x )= d [df ( x )]= d [ f ′ ( x ) dx ]

= f ′ ( x ) dx ′ dx = f ′′ ( x ) dx dx

= f ′′ ( x ) dx 2

dx wordtconstantbeschouwd

Merk op dat we hier dx 2 schrijven voor ( dx )2.

Algemeen :

Als f n maal afleidbaar is in x , geldt : d n f ( x ) = f ( n )( x ) dx n waarbij dx n staat voor ( dx )n

4 Rekenregels

De differentiaal van een functie vinden we door de afgeleide in x te vermenigvuldigen met Δx of met dx (zie definitie). Het berekenen van differentialen verschilt niet wezenlijk van het berekenen van afgeleiden. Reken volgende formules na en onthoud ze.

d ( c )= 0

d ( x n )= nx n 1 dx

d 1 x = dx x 2

d (√ x )= dx 2√ x

d (sin x )= cos xdx

d (cos x )= sin xdx

d (tan x )= dx cos2 x

d (cot x )= dx sin2 x

d (Bgsin x )= dx √1 x 2

d (Bgcos x )= dx √1 x 2

d (Bgtan x )= dx 1 + x 2

d (Bgcot x )= dx 1 + x 2

d (a x )= a x ln adx

d ( e x )= e x dx

d (ln x )= dx x

d (loga x )= dx x ln a

d (sinh x )= cosh xdx

d (cosh x )= sinh xdx

d ( f + g )= df + dg

d (a f )= a df (a ∈ R )

d ( f g )= g df + f dg

d 1 f = df f 2

d f g = g df f dg g 2

d ( f g )= f g ln f dg + g f g 1 df

5 Toepassingen

Differentialen zijn vooral nuttig bij het berekenen van benaderingen. df ( x ) is een benaderende waarde voor Df ( x ) als f ′( x ) ≠ 0 (zie blz. 73).

Voorbeeld 1 :

Een halfbolvormige koepel met diameter 8 meter wordt langs de buitenzijde belegd met bladgoud van 3 mm dik.

Bereken bij benadering welk volume goud hiervoor nodig is. De soortelijke massa r = 19,3 g/cm3

Oplossing :

Het gevraagde volume is het verschil ΔV van de volumes van twee halve bollen met respectievelijke straal 4 m en 4,003 m. Omdat het verschil tussen beide stralen klein is, kunnen we ΔV benaderen door de differentiaal dV V ( r )= 1 2 4 3 π r 3 = 2 3 π r 3 =⇒ dV = V ′ ( r )∆ r = 2π r 2 ∆ r

Met r = 4 en Δr = 0,003 vinden we dV = 0,3016.

Hoeveel goud is er dan nodig ? 0,3016 m3 = 301 600 cm3

Uitgedrukt in gram : (301 600 19,3) g = 5 820 880 g = 5820,88 kg

Voorbeeld 2 :

Bereken bij benadering √401.

Oplossing :

√401 = √400 + 1

f ( x )= √ x =⇒ df ( x )= 1 2√ x ∆ x

Stelhierin x = 400en ∆ x = 1enjevindt df ( x )= 0,025.

zodat √401 ≈ 20,025.

Hoeveel procent zit je naast de feitelijke uitkomst ?

Voorbeeld 3 :

Bereken bij benadering tan 46°.

Oplossing :

tan46 ◦ = tan (45 ◦ + 1 ◦ )= tan π 4 + π 180

f ( x )= tan x =⇒ df ( x )= sec2 x ∆ x

Stelhierin x = π 4 en ∆ x = π 180 enjevindt df ( x )= π 90 zodattan46 ◦ ≈ 1,0349.

Hoeveel procent zit je naast de feitelijke uitkomst ?

Voorbeeld 4 :

Als de absolute fout op x gelijk is aan | Δx |, dan is de absolute fout | Δy | op een functie y van x bij benadering gelijk aan : | ∆ y |≈| f ′ ( x ) ∆ x | = | dy |

Bereken de absolute fout op de weerstand R als de spanning U 20 volt bedraagt en je voor de stroomsterkte I 4 ampère meet met een absolute fout van 0,2 ampère (dus I = 4 ± 0,2 ampère).

Oplossing :

De formule die het verband geeft tussen spanning, weerstand en stroomsterkte luidt : R = U I

Uit het gegeven volgt dus dat U I = R = 20 4 = 5.

De absolute fout op de weerstand bedraagt dan | ΔR |.

| dR | = | R ′ ( I ) ∆ I | = U I 2 ∆ I

Het invullen van de waarden U = 20, I = 4 en | ΔI | = 0,2 geeft | dR | = 0,25.

De absolute fout op de weerstand bedraagt dus (bij benadering) 0,25 ohm.

M.a.w. R = 5 ± 0,25 ohm.

6 Samenvatting

• Je kent de betekenis en de definitie van het begrip differentiaal van f in a

Als f afleidbaar is in a en als Δx een aangroeiing is van het argument waarvoor a + Δx ∈ dom f , dan noemen we differentiaal van f in a : df ( a) = f ′( a ) Δx

Door a niet als een gegeven waarde, maar als een variabele te beschouwen, krijgen we de differentiaal van f (we schrijven x in plaats van a ) in x dy = df ( x ) = f ′( x ) · Δx of dy = d f( x ) = f ′( x ) · dx

• Je kent het verband tussen Δy en d y.

• Je kent de meetkundige betekenis van Δy en van d y op de grafiek van een functie.

• Je kent de betekenis van een differentiaal van hogere orde. d n f ( x ) = f ( n )( x )dx n

• Je kent de rekenregels voor het berekenen van differentialen.

• Je kunt bij het benaderingsrekenen differentialen toepassen.

7 Oefeningen

Bereken de differentiaal van f als f ( x ) gelijk is aan:

a x 2 5 x + 9

b x 2 x 2 + x

c ( x 2 1)2

d sin2 x

e e 4 x

f (2 x 4)(5 x )

g2tan2 x

hsin x · cos2 x

i x + ln ( x 2 1)

jsin2 2 x

Een cirkelvormig plaatje zet uit door een stijging van de temperatuur. Geef bij benadering de toename in oppervlakte als de straal wijzigt van 14,5 cm tot 14,6 cm.

Een staaf van 20 cm wordt vastgeklemd tussen twee punten en nadien opgewarmd. De diameter wijzigt van 16 mm tot 17 mm. Geef bij benadering de toename van het volume van de staaf.

Een vliegtuig vliegt rond de aarde langs de evenaar op 2 km hoogte. Hoeveel km legt het vliegtuig meer af dan een globetrotter die op de aarde rondtrekt langs de evenaar ?

Een halfbolvormige koepel met diameter 3 m wordt langs de binnenzijde beschilderd met een verflaag van 1 mm dik. Bereken bij benadering welk volume verf hiervoor nodig is.

Een klein frietzakje is kegelvormig, heeft een hoogte van 18 cm en de diameter van de opening bedraagt 14 cm.

Hoeveel meer bedraagt het volume van een groot frietzakje bij benadering als de hoogte 20 cm is en de diameter van de opening 14 cm is ?

Bereken bij benadering (op 0,001 nauwkeurig).

a √99 c 3 √1001 bsin31 ◦ dtan44 ◦

De snelheid van een voorwerp dat van op een hoogte h een vrije val maakt, wordt gegeven door de formule : v = 2gh g = valversnelling = 9,81 m/s2

Men meet voor de hoogte 80 meter met een absolute fout van 0,1 m (dus h = 80 ± 0,1 m).

Hoe groot bedraagt de absolute fout op de snelheid ?

De lengte van een boog wordt gegeven door de formule :

s = r α r = straal, α = hoek in radialen

Hoe groot is de fout op de lengte van een boog bij een cirkel met straal 60 cm als de absolute fout op de hoek 0,1 radiaal is ?

1 Verloop van functies

Ik ken de betekenis en eigenschappen van een verticale asymptoot, horizontale asymptoot en schuine asymptoot van de grafiek van een functie. 10

Ik kan de afgeleide interpreteren als limiet van een differentiequotiënt en als rico van de raaklijn aan de grafiek. 13

Ik kan het stijgen/dalen en de extrema van een algebraïsche functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de eerste afgeleide functie.

Ik kan het hol/bol zijn en de buigpunten van de grafiek van een algebraïsche functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de tweede afgeleide functie. 17

Ik ken de algemene werkwijze om het verloop van een functie te bestuderen.

Ik kan de grafiek van een algebraïsche functie schetsen met en zonder ICT. 21

Ik ken de regel van de l’Hôpital en kan die toepassen om limieten te berekenen.

Ik weet wat bedoeld wordt met een logaritmische functie en ken de hoofdeigenschap. 31 Ik ken de

Ik kan een exponentiële functie gebruiken als model voor exponentiële groei.

Ik ken de formules voor de afgeleiden van een logaritmische functie.

Ik kan het stijgen/dalen en de extrema van een exponentiële functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de eerste afgeleide functie.

Ik kan het hol/bol zijn en de buigpunten van de grafiek van een exponentiële functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de tweede afgeleide functie.

Ik ken de algemene werkwijze om het verloop van een exponentiële functie te bestuderen.

Ik kan de grafiek van een exponentiële functie schetsen met en zonder ICT.

Ik kan het stijgen/dalen en de extrema van een logaritmische functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de eerste afgeleide functie.

Ik kan het hol/bol zijn en de buigpunten van de grafiek van een logaritmische functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de tweede afgeleide functie.

Ik ken de algemene werkwijze om het verloop van een logaritmische functie te bestuderen.

Ik kan de grafiek van een logaritmische functie schetsen met en zonder ICT.

Ik kan de grafiek van een elementaire goniometrische functie schetsen met en zonder ICT.

Ik kan het stijgen/dalen en de extrema van een goniometrische functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de eerste afgeleide functie.

Ik kan het hol/bol zijn en de buigpunten van de grafiek van een goniometrische functie bepalen aan de hand van het voorschrift van de tweede afgeleide functie.

Ik ken de algemene werkwijze om het verloop van een goniometrische functie te bestuderen

Ik kan de kenmerken van de algemene sinusfunctie analyseren en kan de harmonische trilling en gedempte trilling als toepassing bespreken.

Ik ken de definitie van de differentiaal van een functie en ken de rekenregels.

Hoofdstuktitel 0

Integraalrekening 2

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

Deze ﬁets- en wandelbrug, die meer dan 20 miljoen euro heeft gekost, kun je in haar volle glorie bezichtigen in het Engelse Stockton-on-Tees. Ze werd de inﬁnity bridge genoemd omdat ze (samen met de weerspiegeling in het water) het symbool voor oneindigheid vormt.

Als het wandel- en ﬁetsplatform mooi horizontaal is en je kent de functie om de bogen te beschrijven, dan kun je de oppervlakte tussen kromme en rechte berekenen (en daarbij heb je integralen nodig …).

In Dubai (Verenigde Arabische Emiraten) is er trouwens een brug met dezelfde naam die we hier ook hadden kunnen plaatsen, zoek die gerust eens op.

Integraalrekening

2.1 Bepaalde integralen

1 Het ontstaan van de integraalrekening – het integraalbegrip 81

2 Oppervlaktefuncties 82

3 Riemannsommen 88

4 Deﬁnitie van de bepaalde integraal 91

5 Oppervlakten met een toestandsteken (of georiënteerde oppervlakten) 92

6 Praktische werkwijze voor het berekenen van een bepaalde integraal 95

7 Optelbaarheid van de bepaalde integraal 98

8 Oppervlakte van het gebied begrensd door de graﬁek van een functie en de x-as 99

9 Oppervlakte van het gebied begrensd door de graﬁeken van twee functies 102

10 Hoofdstelling van de integraalrekening 104

11 Toepassingen op oppervlakteberekeningen 111

12 Samenvatting 117

13 Oefeningen 119

2.2 Integratiemethoden : fundamentele integralen

1 Onbepaalde integraal 132

2 Fundamentele integralen 134

3 Opeenvolging van operatoren 134

4 Lineariteit van de onbepaalde integraal 135

5 Onmiddellijke integratie 135

6 Integratie door splitsing 135

7 Toepassingen 136

8 Samenvatting 138

9 Oefeningen 139

2.3 Integratiemethoden : substitutie

1 Voorbeelden van de substitutiemethode bij het berekenen van onbepaalde integralen 140

2 De integralen ∫ cos2 xdx en ∫ sin2 xdx 142

3 Substitutiemethode bij bepaalde integralen 143

4 Toepassingen 144

5 Samenvatting 147

6 Oefeningen 148

2.4 Integratiemethoden : partiële integratie

1 Opstellen van de formule voor partiële integratie 151

2 Partiële integratie bij bepaalde integralen 154

3 Toepassing 155

4 Integralen berekenen met ICT 157

5 Samenvatting 158

6 Oefeningen 159

Wat moet je kennen en kunnen? 160

2.1 Bepaalde integralen

1 Het ontstaan van de integraalrekening – het integraalbegrip

Enkele voorbeelden :

De grootste wiskundige van de hele oudheid was ongetwijfeld de Griek Archimedes (287 – 212 v.Chr.), die in Syracuse op Sicilië woonde als adviseur van koning Heroon.

Zijn belangrijkste prestatie is de uitvinding van de integraalrekening, tweeduizend jaar voordat Newton en Leibniz de differentiaalrekening ontdekten.

Voor de oppervlakte van een cirkelschijf werkte hij met ingeschreven regelmatige veelhoeken en leidde hij zo de formule pr 2 af.

– In Archimedes’ boek ‘De kwadratuur van een parabool’ vinden we de volgende stelling : de oppervlakte van een parabolisch segment met de koorde a als basis is gelijk aan 4 3 maal de oppervlakte van de ingeschreven driehoek met basis a en top in dat punt van de parabool waar de raaklijn evenwijdig is aan a

Een bewijs m.b.v. integralen vind je op blz. 112.

– In het boek ‘Over de bol en de cilinder’ vinden we de volgende uitdrukkingen:

De oppervlakte van een bol met straal r is het viervoud van de oppervlakte van een grote cirkel ( A bol = 4πr 2 ).

Het volume van een bol is gelijk aan 2 3 van het volume van de omgeschreven cilinder

De aanpak van de oude Grieken had echter een belangrijke beperking: voor de berekening van de oppervlakte van elke nieuwe figuur was een nieuwe aanpak nodig, meestal gebaseerd op de meetkunde van die tijd. Ze hadden geen algemene methode waarmee de berekeningen konden worden uitgevoerd.

a oppervlakteparaboolsegmentOAB = 4 3 maaloppervlakte ∆OAB

Pas in de zeventiende eeuw ontwikkelden Newton en Leibniz, onafhankelijk van elkaar, een algemene methode om oppervlakten van kromlijnige figuren te berekenen : de integraalrekening. Newton vond namelijk, kort nadat hij de differentiaalrekening had bedacht, dat de omgekeerde bewerking van differentiëren de methode van de integraalrekening is.

We geven eerst enkele voorbeelden van grootheden die als oppervlakten voorgesteld kunnen worden.

Newton

Archimedes

2 Oppervlaktefuncties

a Oppervlakten

In de vlakke meetkunde heb je al de oppervlakte van een aantal figuren bestudeerd.

We frissen je geheugen even op.

b Afgelegde weg

In de volgende grafiek wordt de snelheid die een sprinter ontwikkelt, uitgezet in functie van de tijd.

– Kun je berekenen hoeveel afstand hij heeft afgelegd in 10 seconden?

De afstand kun je op de grafiek zichtbaar maken in de vorm van een oppervlakte. Welke ?

Oplossing :

1 Uit de grafiek kunnen we het volgende voorschrift afleiden voor de snelheidsfunctie v :

v ( t )= 5 t als0 t 2 10als t > 2

2 De afgelegde weg in 10 seconden :

s (10)=[5 · 2 + 10 · (10 2)] = 90

De afgelegde weg in 10 seconden bedraagt 90 meter.

3 Die afstand kunnen we op de grafiek zichtbaar maken in de vorm van de gearceerde oppervlakte.

De gearceerde oppervlakte is dan :

A ∆ABC + A rechthoekBCDE

= 2 · 10 2 + 8 10 = 90 v ( t )

c Wekelijkse wasbeurt van Bart

Onderstaande grafiek geeft het debiet weer in functie van de tijd. tijd t (min) 20 10 30

Beschrijf het debiet als functie van de tijd met een formule.

Hoeveel liter water is er in de badkuip na 5 minuten ? En na 10 minuten?

3 Na hoeveel minuten is de badkuip weer leeg ?

4 Beschrijf het watervolume in de badkuip in functie van de tijd.

5 Bereken de afgeleide van de volumefunctie. Vergelijk met de debietfunctie en formuleer je bevindingen.

Oplossing :

1 Bij het debiet D als functie van de tijd kunnen we gemakkelijk het volgende voorschrift bedenken :

D ( t )= 

2 t als0 t 10

0als10 < t 20

10als t > 20

2 Het watervolume in het bad kunnen we bekijken als de ‘oppervlakte van een driehoek’.

D ( t ) t 0 10 5 10 20

Na 5 minuten is er 25 liter water in de badkuip. Na 10 minuten is er 100 liter in de badkuip.

3 Het water stroomt weg met een debiet van 10 liter per minuut.

Na 20 + 100 10 min = 30minisdebadkuipweerleeg.

4 a 0 ⩽ t ⩽ 10

In dit geval is het voorschrift van het watervolume V .

V ( t )= A = t 2 t 2 = t 2 =⇒ V (5)= 52 = 25 (kloptmet2) en V (10)= 102 = 100

b 10 < t ⩽ 20

D ( t ) t 0 10 t 2t 20

In dit geval is V ( t ) = V ( 10) = 100. D ( t )

c t > 20 D ( t )

Het volume water dat wegstroomt, kunnen we voorstellen door de oppervlakte van een rechthoek.

Met welke bijkomende afspraak ?

In dit geval is V ( t ) = 100 – 10 ( t – 20)

= 100 – 10t + 200

= 300 – 10t

V ( 20) = 300 – 10 20 = 100

V ( 30) = 300 – 10 30 = 0

Na 30 minuten is de badkuip leeg (klopt met 3).

Besluit :

Bij het watervolume in functie van de tijd hoort het volgende voorschrift :

V ( t )=

t 2 als0 t 10

100als10 < t 20

300 10 t als t > 20

5 We zoeken de afgeleide van de volumefunctie V .

V ′( t ) = Dt 2 = 2t als 0 ⩽ t ⩽ 10

V ′( t ) = D 100 = 0 als 10 < t ⩽ 20

V ′( t ) = D ( 300 – 10t ) = –10 als t > 20

We stellen vast dat de afgeleide van de volumefunctie gelijk is aan de debietfunctie.

V ( t )= D ( t )

Besluit :

Het bepalen van het watervolume in functie van de tijd als het debiet gegeven is, is te herleiden tot het bepalen van de oppervlakte onder de debietgrafiek.

Die oppervlakte heeft een teken (positief boven de x -as, negatief onder de x -as).

De functie V wordt ook een oppervlaktefunctie genoemd.

Uit V ′( t ) = D ( t ) zullen we V ( t ) kunnen berekenen als we de bewerking ‘afleiden van functies’ kunnen ‘omkeren’.

d Nitraatgehalte in water

Een bedrijf, gelegen aan een rivier die uitmondt in de Schelde, loost regelmatig nitraatafval. Het heeft een vergunning gekregen van de overheid voor het lozen van 1 ton per week.

De stroomsnelheid van de rivier wordt verondersteld constant te zijn met een debiet van 40 000 m3 water per dag. Stroomafwaarts wordt eenmaal per dag (op de middag) een watermonster gemeten. Voor deze week geeft dit :

Via deze meetresultaten kun je de hoeveelheid nitraten schatten die het meetstation passeert. Met een debiet D = 40 000 m3/dag en de gemeten concentratie c is de totale hoeveelheid nitraten n die gedurende een dag (een tijdsinterval ∆t ) passeert, te schatten met de formule :

n = D · c · ∆t

Voor de hele week ( ∆t = 1) wordt dat :

n = D · ( c 1 + c 2 + + c 7) · ∆t = 40 000 m3 · 21,9729 g/m3 = 878,916 kg.

Wegens het grote debiet is er ook een snelle verandering in concentratie. De enige manier om nauwkeuriger de lozing van de fabriek te controleren is vaker meten. In plaats van eenmaal per dag besluit men viermaal daags (0.00 u., 6.00 u., 12.00 u. en 18.00 u.) te meten. Dat geeft het volgende resultaat.

In een week tijd zijn dat dus 28 metingen (c1 tot c 28). Vooral tijdens de weekdagen zijn de resultaten van de metingen in de voormiddag opvallend hoger dan in de namiddag.

Voor de totale hoeveelheid nitraten in de loop van deze week geldt ∆ t = 1 4 : n = D ( c 1 + c 2 + ... + c 28 ) 1 4 = 40000m3 92,0332g/m3 1 4 = 920,332kg

Het verschil van meer dan 40 kg nitraat gemeten bij een nauwkeurige waarneming leidde tot de plaatsing van een sensor in het water, die continu stalen neemt. De sensor geeft een signaal dat wordt doorgegeven aan een penschrijver, die een directe grafische weergave levert van het gemeten signaal. De uitvoer van de penschrijver is een grafiek van het gemeten nitraatgehalte (in g/m3) als functie van de tijd (in dagen).

De totale hoeveelheid nitraat in een week is evenredig met de oppervlakte onder de grafiek.

Oplossing :

De oppervlakte bedraagt 23,0085 eenheden. Dat resulteert in 920,34 kg nitraat per week.

In veel situaties waarbij je met grafieken werkt, heeft de oppervlakte tussen de grafiek en de x -as een betekenis. De gezochte oppervlakte kun je schatten door het gebied op te delen in rechthoekjes en de oppervlakte van die laatste op te tellen.

In dit boek leer je hoe je zo’n oppervlakte nauwkeurig kunt verkrijgen als de vergelijking van de grafiek bekend is. Je berekent dan een bepaalde integraal.

3 Riemannsommen

We vragen ons af wat de oppervlakte is van het gebied in het eerste kwadrant dat ingesloten wordt door de grafiek van de functie f met f ( x ) = –x 2 + 2x + 3, de x -as en de y -as.

Hiertoe verdelen we het interval [ 0, 3] in 3 gelijke deelintervallen met breedte ∆x = 1. We beschouwen nu twee soorten rechthoeken.

De ondersom s3 van de oppervlakten van de eerste soort rechthoeken is kleiner dan de gevraagde oppervlakte.

s 3 = 1 3 + 1 3 + 1 0 = 6

De bovensom S3 van de oppervlakten van de tweede soort rechthoeken is groter dan de gevraagde oppervlakte.

S 3 = 1 4 + 1 4 + 1 3 = 11

Hoe meer deelintervallen, hoe fijner de rechthoeken (Riemannfrietjes genaamd), en hoe dichter de ondersom en bovensom de werkelijke oppervlakte benaderen.

voor n = 6 (∆x = 0,5) krijgen we :

Om de oppervlakte exact te bepalen, berekenen we s n en S n voor steeds groter wordende waarden van n en proberen we de limieten te berekenen voor n → +∞

We vermoeden dat lim n → +∞ sn = lim n → +∞ Sn = 9, zodat de exacte oppervlakte van het gebied 9 (oppervlakte-eenheden) groot is. Later zullen we berekenen dat dat inderdaad zo is.

Bernhard Riemann (1826–1866)

Georg Friedrich Bernhard Riemann werd op 17 september 1826 geboren in Breselenz (niet ver van Hannover) als tweede kind in een gezin met zes kinderen.

Zijn vader, een lutherse dominee, onderwees zijn kinderen zelf, maar toen Bernhard 10 was, ging hij naar de school in het dorp.

In 1840, hij was toen 14, ging hij naar het lyceum in Hannover. Hij woonde in die tijd bij zijn grootmoeder, die hem ﬁnancieel steunde. Toen die in 1842 overleed, ging hij naar het gymnasium van Lüneburg. Hij was een zeer verlegen en teruggetrokken jongen met een zwakke gezondheid, waar hij heel zijn leven de gevolgen van droeg.

De schooldirecteur merkte snel het wiskundige talent van Riemann op en gaf hem het boek ‘Théorie des nombres’ van Legendre. Nauwelijks 6 dagen later had de jonge Riemann dit bijna 900 bladzijden tellende leerboek over getaltheorie ingestudeerd. Zijn commentaar: “Dit was een prachtig boek, ik heb het onder de knie.”

In 1846 schreef hij zich in als student aan de universiteit van Göttingen. Aanvankelijk volgde hij les aan de faculteit theologie om te voldoen aan het verlangen van zijn vader, die van hem een dominee had willen maken. Vrij vlug gaf hij die richting op om zich toe te leggen op de wiskunde.

Na een jaar verhuisde hij naar de universiteit van Berlijn, waar hij les kreeg van Jacobi, Steiner, Dirichlet en Eisenstein. Het was Dirichlet die Riemann het meest beïnvloedde en hem vroeg om zijn medewerker te worden. In 1849 keerde Riemann naar Göttingen terug om zijn doctoraat voor te bereiden. In 1851 promoveerde hij onder Gauss met zijn proefschrift ‘Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse’. In 1854 moest Riemann nog een proefschrift schrijven, een zogenaamd Habilitationsschrift, om een aanstelling te krijgen aan de universiteit van Göttingen. In dat proefschrift gaf hij een precieze deﬁnitie van integreerbaarheid, die tegenwoordig bekendstaat als de Riemannintegraal en een verbetering was van de deﬁnitie van Cauchy en Dirichlet. Pas in 1902 ontwikkelde de Franse wiskundige Henri Lebesgue (1875 – 1941) de zogenaamde Lebesgue-integraal, een nog ruimer begrip, dat voor veel doeleinden beter bleek.

In 1857 werd Riemann assistent-professor aan de universiteit van Göttingen. In 1859 overleed Dirichlet, die Gauss had opgevolgd. Riemann werd benoemd tot zijn opvolger. In datzelfde jaar werd hij ook verkozen tot corresponderend lid van de Berlijnse academie van wetenschappen. Hij was door zijn ontdekkingen beroemd geworden in Europa.

Dankzij zijn baan als professor ging het Riemann op ﬁnancieel gebied een stuk beter en in 1862 huwde hij met Elise Koch. Nauwelijks een maand later kreeg hij pleuritis en werd hij ernstig ziek. Hij reisde regelmatig naar Italië om te herstellen. In 1863 werd zijn dochter Ida geboren in Pisa. Bernhard Riemann stierf op 20 juli 1866 aan het Lago Maggiore ten gevolge van tuberculose.

Bernhard Riemann

4 Deﬁnitie van de bepaalde integraal

Op dezelfde manier kun je de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van een positieve, continue functie f en de x -as in het interval [ a , b ] bepalen.

1 Verdeel [ a , b ] in n gelijke deelintervallen met breedte ∆ x = b a n .

2 Bereken in elk ( i -de) deelinterval het minimum van de functiewaarden ( f min( x i ) = m i ) en het maximum van de functiewaarden ( f max( x i ) = M i ). Aangezien f continu is in [ a , b ] zijn dat minimum en dat maximum steeds te vinden (stelling van Weierstrass).

3 Bereken de ondersom sn =

en de bovensom

4 Bereken lim n → +∞ sn enlim n → +∞ Sn

We kunnen bewijzen dat voor functies die continu zijn in [ a , b ] de limieten bestaan en gelijk zijn.

5 De gemeenschappelijke waarde van de limieten noemen we de bepaalde integraal van a tot b van de functie f

We noteren : lim

Opmerking :

De Duitse wiskundige Bernhard Riemann heeft aangetoond dat het niet nodig is om het maximum of het minimum van de functiewaarden te nemen. Je krijgt ook hetzelfde resultaat als je de breedte vermenigvuldigt met een willekeurige functiewaarde f ( xi) die in het deelinterval aangenomen wordt.

De Riemannsom noteer je dan als

i -de deelinterval met breedte

Kiezen we nu in elk deelinterval een willekeurige x i , dan geldt : m i f ( x i ) M i

De Riemannsom ligt dus altijd tussen de ondersom en de bovensom. Laat je nu n oneindig groot worden, dus Dx → 0, dan benaderen de ondersom, de bovensom en de bovenstaande Riemannsom elkaar.

Immers : lim

Hieruit volgt :

5

Oppervlakten met

een toestandsteken (of georiënteerde oppervlakten)

Een buitenhuisje wordt van energie voorzien door een accumulator, verbonden met een tiental zonnepanelen.

Anderzijds wordt er ook heel wat energie verbruikt door allerlei toestellen. Het nettoresultaat van deze toe- en afname van energie (gisteren) wordt weergegeven door de volgende grafiek.

Oppervlakten van de gebieden boven de x -as betekenen een toename van energie. Oppervlakten van gebieden onder de x -as betekenen een afname van energie. Het is dus zinvol om aan de oppervlakte van een gebied een teken toe te kennen.

We maken de volgende afspraak. Oppervlakten van gebieden boven de x -as hebben een positieve waarde en die onder de x -as hebben een negatieve waarde.

Integraal

De benaming ‘integraal’ komt van het Latijnse ‘integrare’, wat ‘volledig maken’ betekent. Die benaming werd door Leibniz vermoedelijk gekozen om uit te drukken dat het getal de ‘integratie’ of volledige oppervlakte weergaf tussen de kromme en de x-as.

De notatie van de bepaalde integraal is als volgt ontstaan. De plaats van het somteken (∑) werd ingenomen door een ouderwetse S, de eerste letter van ‘summa’ (Latijn voor som).

a is de ondergrens en b is de bovengrens van het hele interval. f(x) is de integrand, d.w.z. het voorschrift van de te integreren functie. De notatie dx zegt dat je de lengte van een deelinterval zo klein kunt kiezen als je zelf wilt : D x → 0.

Het nettoresultaat van de energietoename/-afname is de som van de oppervlakten met hun teken. We definiëren de bepaalde integraal voor de energiefunctie f over [ 0, 24] als de som van de (georiënteerde) oppervlakten van de gebieden tussen :

de grafiek van de energiefunctie f ; – de x -as ; – de rechten x = 0 en x = 24.

Notatie :

)

We beschouwen de tekentabel van de functie f in [ 0, 24]

Hieruit volgt dat :

Als de functiewaarden negatief zijn, wordt ook de integraal van de functie negatief. We moeten dan rekenen met de tegengestelden van die functiewaarden.

Bijgevolg geldt :

Meetkundige betekenis van de bepaalde integraal

Gegeven is de functie f , die continu is in het interval [ a , b ]

De bepaalde integraal van a tot b van de functie f is de som van de oppervlakten met teken (georiënteerde oppervlakten) van de gebieden tussen : – de grafiek van f ; – de x -as ; – de rechten x = a en x = b (evenwijdig met de y -as).

Notatie : b a f ( x ) dx

Merk op dat de bepaalde integraal enkel bepaald wordt door de functie f en de grenswaarden a (beneden- of ondergrens) en b (bovengrens).

Voorbeeld :

Opmerkingen :

① De naam van de variabele speelt geen rol. Dus : b a f ( x ) dx = b a f ( t ) dt = b a f ( u ) du =

② Als f ( x ) zowel positieve als negatieve waarden aanneemt in [ a , b ], dan moet je dat interval zo splitsen dat er gebieden ontstaan waarin f ( x ) uitsluitend positief (of 0) of uitsluitend negatief (of 0) is.

③ Uit het voorgaande blijkt dat de functies die continu zijn in een gesloten interval, in dat interval ook integreerbaar zijn.

Opmerkingen :

1 Debepaaldeintegraal b a f ( x ) dx wordtenkelbepaalddoordefunctie f endegrenswaarden a en b . Denaamvandevariabelespeeltgeenrol.

Dus: b a f ( x ) dx = b a f ( t ) dt = b a f ( u ) du =

2 Als f zowel positieve als negatieve waarden aanneemt in [ a , b ], dan moet dit interval zo gesplitst worden dat er gebieden ontstaan waarin f uitsluitend positief (of 0) of uitsluitend negatief (of 0) is.

3 Als a = b ,dangeldt a a f ( x ) dx = 0(want ∆ x = 0)

Als a > b ,dangeldt b a f ( x ) dx = a b f ( x ) dx (want ∆ x < 0)

6 Praktische werkwijze voor het berekenen van een bepaalde integraal

Om bepaalde integralen te berekenen, volgen we de werkwijze die gegeven werd op blz. 91.

De integraal van een functie f over het interval [ a , b ] is het getal dat je als volgt bekomt :

1 Verdeel [ a , b ] in n gelijke deelintervallen met breedte ∆ x = b a n .

2 Bereken de functiewaarde f ( x ) van een willekeurig getal x i uit elk deelinterval.

3 Bepaal de som : ∆

4 Bereken de limiet van die som voor n → +∞ , dat is voor Dx → 0.

In symbolen :

Voorbeelden :

Dat is de oppervlakte van een rechthoek met afmetingen b – a en 1.

b

Integraal van x

We verdelen [ a , b ] in n deelintervallen met breedte ∆ x = b a n . Als x i nemen we de linkergrens van elk interval. INTERVAL x

[

We nemen a < b .

desomvandeeerste n termen vaneenrekenkundigerijis: s = u 1 + u n 2 n

Dat is de oppervlakte van een rechthoekig trapezium met als grote basis b , als kleine basis a en als hoogte b – a

Analoog kunnen we afleiden dat

Je merkt de regelmaat in de vier formules die we tot nu toe gezien hebben. We kunnen dus vermoeden dat algemeen geldt :

...

b a x 4 dx = b 5 5 a 5 5

b a x 5 dx = b 6 6 a 6 6

b a x 6 dx = b 7 7 a 7 7

Aanvullende definities (uitbreiding van het integraalbegrip) :

In b a f ( x )dx noemen we a de ondergrens en b de bovengrens.

De definitie van blz. 92 geldt alleen voor a < b

• a = b

Voor een functie f die integreerbaar is in a geldt : a a f ( x )dx = 0

We kunnen deze integraal dus opvatten als een grensgeval in de formule. Als we in de Riemannsom aannemen dat Dx = 0, dan zijn de som zelf en haar limiet gelijk aan nul.

• a > b

Voor een functie f die integreerbaar is over [ b , a ] geldt :

)

)dx

Deze definitie wordt aannemelijk als we in de Riemannsom van blz. 92 aanvaarden dat Dx < 0. Het teken van de som en van haar limiet wordt dan gewijzigd.

7 Optelbaarheid van de bepaalde integraal

Op de bovenstaande tekening lezen we af :

c a

f ( x )dx = A 1 A 2 + A 3

b c f ( x )dx = A 4 A 5 + A 6

b a

Hieruit blijkt de eigenschap

Als a , b en c behoren tot een interval waarin f integreerbaar is, dan hebben we voor elke ligging van a , b en c :

Bewijs deze eigenschap voor een van de zes mogelijke gevallen : abc . lineariteitseigenschap

Als f en g integreerbaar zijn over een interval en als k een gegeven reëel getal is, dan zijn ook f + g en k · f integreerbaar over dit interval en dan geldt :

( x )+ g ( x )]dx

De eigenschappen (1) en (2) kunnen we als volgt samenvatten.

Alsdefuncties f en g integreerbaarzijnin [a , b ],dangeldtvoorelke k , l ∈ R :

in woorden: de integraal van een lineaire combinatie van functies is een lineaire combinatie van de integralen.

Voorbeeld :

8 Oppervlakte van het gebied begrensd door de graﬁek van een functie en de x-as

Inhetvoorbeeldhierbovenvondenwedat

Meetkundiggezienbetekentditdat 4 3 degeoriënteerdeoppervlakteisvanhetgebiedbegrensddoordegraﬁek van f met f ( x )= 2 x 2 + 2 x 4ende x -asoverhetinterval [0,2],m.a.w. A II A I = 4 3

Willen we de werkelijke oppervlakte van gebieden I en II samen berekenen, dan moeten we de twee opper vlakten apart berekenen.

– We onderzoeken eerst waar de grafiek van f boven of onder de x -as ligt.

In [ 0, 1] ligt de grafiek van f onder de x -as. Hier is de georiënteerde oppervlakte negatief en dus gelijk aan het tegengestelde van de gevraagde oppervlakte.

– In [ 1, 2] ligt de grafiek van f boven de x -as. De georiënteerde oppervlakte is positief en dus gelijk aan de gevraagde oppervlakte.

– De totale (werkelijke) oppervlakte bedraagt dus

Opmerking :

We kunnen ook zeggen dat de gevraagde oppervlakte A gelijk is aan

Geef hiervoor een verklaring.

Dus : A = A I + A II = 2 0 | 2 x 2 + 2 x 4 | dx = 6

Regel :

Om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafiek van de functie f en de x -as in het interval [ a , b ] op de x -as, ga je als volgt te werk.

1 Bereken de nulwaarden van f die in [ a , b ] gelegen zijn en bepaal het teken van f in elk deelinterval.

2 Bepaal de oppervlakte in elk deelinterval.

Is f ( x ) ⩾ 0, dan is de oppervlakte over dat deelinterval gelijk aan de integraal van f over dat interval.

Is f ( x ) ⩽ 0, dan is de oppervlakte over dat deelinterval het tegengestelde van de integraal van f over dat deelinterval.

3 Tel de bekomen oppervlakten op.

Opmerking :

We kunnen ook zeggen dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan b a | f ( x ) | dx

Door de absolute waarde van f ( x ) als integrand te nemen, worden de gebieden die bij f onder de x -as liggen, gespiegeld om de x -as, zodat ze boven de x -as liggen.

Met de grafische rekenmachine kun je integralen benaderend berekenen. – Berekening van 2 0 (2 x 2 + 2 x 4)dx met de TI-84.

De georiënteerde oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f met f ( x ) = 2x 2 + 2x – 4 en de x -as in [ 0, 2] is dus 1,33333… = 4 3 .

Je kunt dit resultaat ook als volgt bekomen : – Berekening van 2 0 | 2 x 2 + 2 x 4 | dx

De totale werkelijke oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f met f ( x ) = 2x 2 + 2x – 4 en de x -as in [0, 2] is dus 6.

Taak :

Toon aan dat de oppervlakte van het gebied dat ingesloten wordt door de grafiek van f met f ( x ) = –x 2 + 2x + 3, de x -as en de y -as, gelijk is aan 9.

9 Oppervlakte van

het gebied begrensd door de graﬁeken van twee functies

Voorbeeld :

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de grafieken van de functies f en g met

in het interval [ –3, 2]

– We onderzoeken eerst waar de grafiek van f of de grafiek van g het meest naar boven ligt.

Hiertoe onderzoeken we het teken van v

• In [ 3, 2] geldt:

In [ 2,0] geldt:

• In [0,2] geldt: v ( x ) 0of f ( x ) g ( x )=

Opmerking :

We kunnen ook zeggen dat A

Geef een verklaring.

Toegepastophetvoorbeeldwordt

) |

Regel :

Om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafieken van twee functies f en g in het interval [ a , b ] gaan we als volgt te werk.

1 We berekenen de nulwaarden van v = f – g die in [ a , b ] gelegen zijn en bepalen het teken van v ( x ) = f ( x ) – g ( x ) in elk deelinterval.

2 We bepalen de oppervlakte in elk deelinterval. Is v ( x ) ⩾ 0, dan is de oppervlakte over dat deelinterval gelijk aan b a v ( x ) dx . Is v ( x ) ⩽ 0, dan is de oppervlakte over dat deelinterval gelijk aan

3 We tellen de bekomen oppervlakten op.

Opmerking :

We kunnen zeggen dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan b a | v ( x ) | dx of b a | f ( x ) g ( x ) | dx

) dx .

10 Hoofdstelling van de integraalrekening

1 Integraalfuncties

Uit de formule van blz. 96 volgt : b 1 x 2 dx = b 3 3 13 3 = b 3 3 1 3 b 1 2 3 4 b 1 x 2 dx 0 7 3 26 3 63 3

Met elke bovengrens b stemt een b 1 x 2 dx overeen.

Zoontstaateenfunctie I 1 ,met I 1 ( x )= x 3 3 1 3

We noemen ze de integraalfunctie van f met f ( x ) = x 2 en ondergrens 1.

schrijven we I a ( x )= x a f ( t ) dt . x y 1 O 1 x f ( x ) = x 2 I 1( x )

De functie I 1 laat met elke x de oppervlakte I ( x ) overeenstemmen onder de grafiek van f in het interval [ 1, x ]

Algemeen zouden we door I a met I a ( x )= x a f ( x ) dx de integraalfunctie van f met ondergrens a kunnen voorstellen.

Omdat in die notatie x in twee betekenissen voorkomt,

Volgens opmerking 1 (blz. 93) speelt de naam van de variabele geen rol.

Er geldt dus : b a f ( x ) dx =

integraalfunctie

Defunctie I a met I a ( x )= x a f ( t )dt

noemen we de integraalfunctie van f met ondergrens a

I a ( x ) stelt de variabele oppervlakte voor onder de grafiek van f in [ a , x ] x y y = f (x) 0 a x Ia(x)

Voorbeelden :

We kunnen dus vermoeden dat algemeen geldt : D

Met andere woorden : de afgeleide van een integraalfunctie is opnieuw de oorspronkelijke functie.

Die eigenschap noemen we de hoofdstelling van de integraalrekening. Om de stelling te bewijzen, hebben we eerst een hulpstelling nodig.

2 Middelwaardestelling van de integraalrekening

middelwaardestelling

Als f continuisin [a , b ],danbestaatereen c

Meetkundige betekenis van de middelwaardestelling

Is f continu in [ a , b ], dan bestaat er een c in [ a , b ] zodat de oppervlakte van de rechthoek met b – a als basis en f ( c ) als hoogte gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek van f in [ a , b ] ( b a ) · f ( c )= b a f ( x ) dx of f ( c )= 1 b a b a f ( x ) dx

gemiddelde waarde

Het getal 1 b a b a f ( x ) dx noemen we de gemiddelde waarde van

Voorbeeld :

c = √13 f ( x )= x 2

Beschouw de functie f met f ( x ) = x 2

Zoek c ∈ [2,5] : 5 2 x 2 dx =(5 2) f ( c ) (1)

5 2 x 2 dx = 53 3 23 3 = 125 3 8 3 = 117 3 = 39

(1) : (5 2) f ( c )= 39

3 f ( c )= 39

f ( c )= 13

c 2 = 13met c ∈ [2,5] c = √13

Degemiddeldewaardevan f met f ( x )= x 2 over [2,5] isdus f √13 = 13.

3 Hoofdstelling van de integraalrekening

hoofdstelling integraalrekening

Als f continuisin

Bewijs

Hieruitvolgtdatlim

4 Primitieve functies

De integraalfunctie I a met I a ( x )= x a f ( t ) dt is een primitieve functie van f , want volgens de hoofdstelling is DIa( x ) = f ( x )

primitieve functie

F iseen primitievefunctie van f

DF = f of F = f f ( x ) f ′( x )

Voorbeelden :

differentiëren primitiveren

• F met F ( x )= x 3 iseenprimitievefunctievan f met f ( x )= 3 x 2 want Dx 3 = 3 x 2 .

Andereprimitievefunctiesvan f hebbenalsvoorschrift x 3 1, x 3 + 2, x 3 + 8 3 ,...

Wezullenaantonendatalleprimitievefunctiesvan f eenvoorschrifthebbenvandevorm x 3 + C ,met C eenwillekeurigreëelgetal.

• F met F ( x )= sin x iseenprimitievefunctievan f met f ( x )= cos x want D (sin x )= cos x .

Andereprimitievefunctiesvan f hebbenalsvoorschriftsin x 1 2 ,sin x + 1,sin x + 5 3

Wezullenaantonendatalleprimitievefunctiesvan f eenvoorschrifthebbenvandevormsin x + C ,met C eenwillekeurigreëelgetal.

stelling

Twee primitieve functies F 1 en F 2 van f verschillen slechts in een constante term.

Bewijs :

F 1 is een primitieve functie van f

F 2 is een primitieve functie van f

DF 1 = f en DF 2 = f

DF 2 = DF 1

DF 2 DF 1 = 0

D ( F 2 F 1 )= 0

F 2 F 1 = C met C ∈ R

Besluit :

F 2 = F 1 + C met C ∈ R

Een functie heeft oneindig veel verschillende primitieve functies, die onderling slechts een constante verschillen. Daarom wordt vaak de volgende notatie gebruikt.

Als f een functie is met f ( x ) = 3x 2, dan is F met F ( x ) = x 3 + C een primitieve functie van f

Bij het bepalen van een primitieve functie van f ga je dus op zoek naar een functie F waarvan de afgeleide f is.

Voorbeelden :

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= sin x zijndefuncties F met F ( x )= cos x + C

want D ( cos x )= sin x

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= x 2 zijndefuncties F met F ( x )= x 3 3 + C

want D x 3 3 = x 2

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= 1 x 2 zijndefuncties F met F ( x )= 1 x + C

want D 1 x = 1 x 2

• Meeralgemeenzijndeprimitievefunctiesvan f met f ( x )= x n met n = 1defuncties F met F ( x )= x n +1 n + 1 + C

want D x n +1 n + 1 = (n + 1) · x n n + 1 = x n

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= 1 x zijndefuncties F met F ( x )= ln | x | + C

want D ln | x | = 1 x

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= a x zijndefuncties F met F ( x )= a x ln a + C want D a x ln x = 1

• Deprimitievefunctiesvansinhzijndefunctiescosh + C

want D (cosh x )= sinh x

• Deprimitievefunctiesvan f met f ( x )= 1 √ x 2 + k zijndefuncties F met F ( x )= ln | x + √ x 2 + k | + C

Taak : Vul nu zelf de volgende tabel aan. Raadpleeg de rekenregels van afgeleiden in het boek Analyse 2. functie f met f ( x ) = primitieve functies F met F ( x ) = functie f met f ( x ) = primitieve functies F met F ( x ) =

want D (ln | x + √ x 2 + k |)= 1 √ x 2 + k (k ∈ R ) zieanalyse3

x = x 1 3

x n (n = 1)

5 Berekenen van bepaalde integralen d.m.v. primitieve functies

We zoeken nu een methode om de integraal b a f ( x ) dx te berekenen van een willekeurige continue functie f

We weten dat I a met I a ( x )= x a f ( t ) dt een primitieve functie van f is. Als F een willekeurige primitieve functie

van f is, dan hebben we I a ( x )= x a f (

• Stellen we x = a , dan vinden we : a a f ( t ) dt = F (a )+ C

0 = F (a )+ C C = F (a ) endus: I

)+ C

• Stellen we x = b , dan vinden we : I a ( b )= b

) dt = F ( b ) F (a )

Het verschil F ( b ) – F ( a ) wordt kort genoteerd als [ F ( x )] b a

We hebben nu volgende eigenschap bewezen :

Als f continu is in [ a , b ] en F is een willekeurige primitieve functie van f in [ a , b ], dan geldt : b a f ( x ) dx =[ F ( x )] b a = F ( b ) F (a )

Praktische berekening : Om een bepaalde integraal b a f ( x ) dx te berekenen, gaan we als volgt te werk.

1 We berekenen een willekeurige primitieve functie F van f

2 We berekenen F ( a ) en F ( b ).

3 We berekenen F ( b ) – F ( a )

Voorbeelden :

11

Toepassingen op oppervlakteberekeningen

a Oppervlakte van een rechthoek

Probleemstelling :

Bereken met behulp van de integraalrekening de oppervlakte van de rechthoek ABCO met basis b en hoogte h . Leid hieruit de gekende formule af.

y A( 0, h)

b, h) C( b,0) O( 0, 0)

ABCO = b 0 hdx = h b 0 dx

h [ x ] b 0

= h ( b 0) ∗ hoofdstellingvandeintegraalrekening = h · b

Dat is de gekende formule : A rechthoek = basis · hoogte

b Oppervlakte van een driehoek

Probleemstelling :

Bereken met behulp van de integraalrekening de oppervlakte van de driehoek ABC. Leid op die manier de gekende formule af.

h )

1 A 2

a , 0) O (0, 0)

b , 0)

↔ y 0 = h 0 0 a ( x a )

y = h a x + h

↔ y 0 = h 0 0 b ( x b )

y = h b x + h

c Oppervlakte van een paraboolsegment

We zoeken de oppervlakte A van het segment begrensd door de parabool met vergelijking y 2 = 4x en de rechte met vergelijking x = 3. We hebben wegens de symmetrie t.o.v. de x -as :

Ergeldtdus:

DitresultaatwasaldoorArchimedesgekend(zieblz.81).

Opmerking:

d Oppervlakte van een hyperboolsegment

We zoeken de oppervlakte begrensd door de hyperbool met vergelijking y = 8 x en de rechten met vergelijking x = 2 en x = 4.

We zoeken de oppervlakte tussen de hyperbool x · y = 8, de x -as en de rechten x = 2 en x = 4.

We vinden :

e Oppervlakte van het gebied tussen de graﬁeken van

met f ( x) = sin x en g met g( x) =

De gevraagde oppervlakte

f Praktische toepassing

Een poort is parabolisch van vorm en kan beschreven worden door de vergelijking y = 6x – x

De poort is de oppervlakte van het gebied begrensd door de kromme met vergelijking

• Hoe breed is de poort (breedste punt) ?

Hoe hoog is de poort ? (1 eenheid = 1 meter)

• De poort is dringend aan een likje verf toe. Eén liter verf kost € 15. Met 1 liter verf schilder je 4 m2. Hoeveel verf heb je nodig en wat kost je dat, als je weet dat de verf steeds per liter wordt verkocht ?

• Tijdens het schilderen ben je van plan tweemaal te pauzeren. Je doet dat telkens nadat je 1 3 van de poort hebt geverfd. Als je van links naar rechts schildert, op hoeveel meter van de linkerkant pauzeer je dan telkens ?

Oplossing :

• Snijpunten van de parabool met de x -as : A( 0, 0) en B( 6, 0)

• Top van de parabool : C( 3, 9)

Breedte van de poort : ( 6 – 0) m = 6 m

Hoogte van de poort : 9 m

• Oppervlakte van de poort : A = 6

De oppervlakte van de poort bedraagt 36 m2. Je hebt dus 9 liter verf nodig en dat kost je € 135.

• Eerste pauze.

Je pauzeert de eerste maal nadat je 1 3 van de oppervlakte hebt geverfd.

De vraag is nu : bij welke bovengrens is het resultaat van de bepaalde integraal gelijk aan 12 ?

Stellen we die bovengrens gelijk aan a , dan krijgen we de volgende ‘integraalvergelijking’. a 0 (6 x x 2 )dx = 12

3 x 2 x 3 3 a 0 = 12

3a 2 a 3 3 = 12

a 3 9a 2 + 36 = 0

Die laatste vergelijking in a lossen we op met behulp van ICT.

Antwoord :

Op 2,32 meter van de linkerkant pauzeer je een eerste maal.

• Tweede pauze.

Je pauzeert een tweede maal nadat je 2 3 van de oppervlakte hebt geverfd. Dat is nadat je 24 m2 hebt geverfd.

Een analoge redenering als de vorige geeft : a 0 (6 x x 2 )dx = 24 3 x 2 x 3 3 a 0 = 24 3a 2 a 3 3 = 24

a 3 9a 2 + 72 = 0

Met behulp van ICT :

Antwoord :

Je pauzeert een tweede maal op 3,68 m van de linkerkant.

Opmerking :

Na het berekenen van de grens van de eerste pauze kun je de grens van de tweede pauze ook als volgt vinden : 6 – 2,32 = 3,68

12 Samenvatting

• Je kent de definitie van een bepaalde integraal.

– De gemeenschappelijke waarde van de limieten van de bovensom S n en de ondersom s n noemen we de bepaalde integraal van a tot b van de continue functie f : lim n

Riemanndefinitie :

: integraalteken

a : ondergrens

b : bovengrens

f ( x ): integrand

dx : lengte van een deelinterval

• Je kent de meetkundige betekenis van de bepaalde integraal.

De bepaalde integraal van a tot b van een functie f die continu is in [ a , b ] is de som van de georiënteerde oppervlakten van de gebieden tussen de grafiek van f , de x -as en de rechten met vergelijking x = a en x = b

Oppervlakten van gebieden boven de x -as hebben een positieve waarde en die onder de x -as hebben een negatieve waarde.

• Je kent de volgende eigenschappen van de bepaalde integraal.

a f ( x ) dx = 0

• Je kent de methode om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafiek van een functie f en de x -as in het interval [ a, b ] op de x -as.

A = b a | f ( x ) | dx

• Je kent de methode om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafieken van de functies f en g in het interval [ a, b ].

A = b a | f ( x ) g ( x ) | dx

• Je weet wat een integraalfunctie is.

De functie Ia met I a ( x )= x a f ( t ) dt noemen we de integraalfunctie van f met ondergrens a x y y = f (x) 0 a x Ia(x)

• Je kent de middelwaardestelling van de integraalrekening.

f iscontinuin [a , b ]=⇒∃ c ∈ [a , b ] : b a f ( x ) dx =( b a ) · f ( c )

Hetgetal 1 b a b a f ( x ) dx noemenwedegemiddeldewaardevan f over [a , b ]

• Je kent de hoofdstelling van de integraalrekening en je kunt ze bewijzen.

Als f continuisin [a , b ],dangeldtin [a , b ] : I a ( x )= D

• Je weet wat een primitieve functie is.

F is een primitieve functie van f ⟺ DF = f of F ′ = f

x a f ( t ) dt

= f ( x )

Twee primitieve functies van f verschillen slechts in een constante term.

• Je kunt een bepaalde integraal berekenen met behulp van primitieve functies. Als f continu is in [ a , b ] en F is een willekeurige primitieve functie van f , dan is : b a f ( x ) dx =[ F ( x )] b a = F ( b ) F (a )

13 Oefeningen

Beschouw de functie f met functievoorschrift f ( x )= x 1 2

a Bereken de ondersom van deze functie over het interval [ 1, 8] bij zeven (gelijke) deelintervallen.

b Bereken de bovensom van deze functie over het interval [ 1, 8] bij zeven (gelijke) deelintervallen.

c Bereken met behulp van oppervlakteformules de exacte oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van deze functie en de x -as over het interval [ 1, 8]

Gegeven is de functie g met functievoorschrift g ( x ) = x + 1.

a Bereken de ondersom en de bovensom van de functie over het interval [ –4, 4] bij acht (gelijke) deelintervallen.

b Bereken met behulp van oppervlakteformules de exacte oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de functie en de x -as over het interval [ –4, 4]

Gegeven is de functie h met functievoorschrift h ( x ) = 4 – 2x.

a Bereken de ondersom en de bovensom van de functie over het interval [ –4, 1] bij tien (gelijke) deelintervallen.

b Bereken met behulp van oppervlakteformules de exacte oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van deze functie en de x -as over het interval [ –4, 1]

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f ( x )= 3 8 ( x 3 8 x 2 + 16 x ) .

Bereken de ondersom en de bovensom van de functie over het interval [ 0, 4] bij respectievelijk 4, 8 en 16 (gelijke) deelintervallen.

Gegeven is de snelheidsfunctie v van een bewegend voorwerp met voorschrift v ( t ) = –2t 2 + 6t met v ( t ) de snelheid in m/s en t de tijd in seconden.

a Teken de grafiek van v .

b Bereken met ICT de ondersom en de bovensom van de functie over het interval [ 0, 3] bij respectievelijk 6, 12, 20, 50 en 100 gelijke deelintervallen.

c Bereken de exacte oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van v en de x -as over het interval [ 0, 3]

d Leid uit c de afgelegde weg af na 3 seconden. Bereken 6 0 f ( x ) dx

Bereken de oppervlakte van het gebied onder de parabool met vergelijking y = x 2 en boven het interval [ 0, 3] op de x -as als volgt :

a Verdeel het interval [ 0, 3] in 6 ( = n ) gelijke deelintervallen met lengte ∆ x = 1 2 en bereken de ondersom sn en de bovensom Sn

b Bereken met ICT de ondersom en de bovensom voor n = 20, 50, 100, 500 en 999.

Leid hieruit lim n →+∞ sn enlim n →+∞ Sn af.

c Bereken nu de gevraagde oppervlakte. Controleer je antwoord met ICT.

Bereken volgende bepaalde integralen.

+ 8als4 < x 6

De debietgrafiek van de wekelijkse wasbeurt van de heer Albert E. ziet er ongeveer uit zoals op onderstaande figuur.

a Bedenk een voorschrift bij het debiet D in functie van de tijd t

b Hoeveel liter is er in de badkuip na 5, 10, 20, 25 en 30 minuten ?

c Beschrijf het watervolume in de badkuip in functie van de tijd en teken de bijbehorende volumegrafiek. d Bereken de afgeleide van de volumefunctie. Vergelijk met de debietfunctie en formuleer je bevindingen.

In de volgende grafiek wordt de snelheid van een jogger in meter per minuut uitgezet in functie van de tijd.

tijd(min.) snelheid(m/min.)

a Bereken de afgelegde afstand na 30 minuten. b Bereken de gemiddelde snelheid (in km/h).

Bereken de volgende integralen.

Bereken de oppervlakte van het lichtgroen gekleurde gebied.

14 15 16 17

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van de functie f , de x -as en de gegeven verticale lijnen als :

a f ( x )= 2 x 4 x = 1, x = 1

b f ( x )= x 2 + 2 x + 3 x = 0, x = 3

c f ( x )= x 2 4 x = 2, x = 3

d f ( x )= x 3 + 4 xx = √3, x = √2

e f ( x )=( x 2)( x 2 1) x = 1, x = 2

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten tussen de grafiek van de functie f en de x -as (tussen de snijpunten met de x -as) als :

a f ( x )= x 2 + 4d f ( x )= x 3 3 x + 2

b f ( x )= x 2 + 4 x e f ( x )= 4 x 4 + 4

c f ( x )= x 2 + 5 x 4f f ( x )= ( x 3)2 + 1

Bereken de oppervlakte van het blauw gekleurde gebied.

f ( x ) = 5x – x 2

g ( x ) = x 2 – 3x + 6 x y

f ( x )= 5 x x 2 g ( x )= x 2 3 x + 6

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafieken van f en g met onderstaande voorschriften en de gegeven verticale lijnen.

a f ( x )= 2 x 2 g ( x )= x 2 + 1, x = 0, x = 1

b f ( x )= x 2 g ( x )= 2 x , x = 0, x = 2

c f ( x )= x 3 3 x 2 + 2 g ( x )= x 1, x = 2, x = 3

d f ( x )= x 3 + 2 x 2 4 g ( x )= x 2 + 4 x , x = 3, x = 2

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafieken van f en g als :

a f ( x )= 2 x x 2 g ( x )= x

b f ( x )= x 2 2 g ( x )= x 2 7 x + 12

c f ( x )= 6 x x 2 g ( x )= x 2 2 x

d f ( x )= x 3 3 x 2 + 3 x 1 g ( x )= x 1

e f ( x )= x 3 + 8 g ( x )= x 2 + 2 x + 8

Zoek met integraalrekening de oppervlakte van de groen gekleurde figuur.

a Stel de oppervlakteformule van een rechthoekig trapezium ABCD (met A( 0, 0), B( b , 0), C( c , h ) en D( 0, h )) op m.b.v. integralen.

b Stel de oppervlakteformule van een ruit op m.b.v. integralen. (Leg de x -as volgens de grote diagonaal en de y -as volgens de kleine diagonaal.)

Bepaal de oppervlakte van het gekleurde gebied.

Gegeven zijn de functies f en g met f ( x ) = ( x + 2)3 en g ( x ) = 8 + 4x

a Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafieken van f en g

b Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafieken van f en g en de rechte met vergelijking x = 1.

c Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafieken van f en g en de rechte met vergelijking y = 27

Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de parabool met vergelijking y 2 = 4x en de rechte door de punten P( 1, 2) en Q( 4, –4)

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f met f ( x ) = x 4 – 12x 2 en de verticale lijnen door de buigpunten van de grafiek.

De grafiek van f met f ( x ) = x 3 + 3x 2 sluit met de raaklijn in P( 2, f ( 2)) en de x -as een gebied in.

Bereken de oppervlakte van dat gebied.

De spanten van deze sporthal hebben de vorm van een parabool met vergelijking y = x x 2 25

De vloer is een rechthoek van 25 bij 35 meter. Bereken het volume van de hal.

Bepaal k ( ∈ R) zodat :

De oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f met f ( x ) = x 3, de x -as en de rechte met vergelijking x = k ( k > 0) is 324. Bereken k .

De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f met f ( x ) = x 2 – 4x + 3, de x -as, de y -as en de rechte met vergelijking x = k ( k ∈ R+) is 4. Bereken k .

Verklaar waarom

Bepaal de integraalfunctie I a met I a ( x ) = x a f ( t ) dt van de functies met onderstaande voorschriften.

Toon telkens aan dat I ′ a ( x ) = f ( x )

Bereken :

Bepaal een primitieve functie van de functies met onderstaande voorschriften.

Gegeven zijn de functies f , g en h met f ( x ) = sin 2x , g ( x ) = –

a Toon aan dat f en g beide primitieve functies van h zijn.

2x en h ( x ) = 2sin x cos x

b Toon aan dat f en g slechts een constante verschillen en geef die constante.

Bereken de volgende bepaalde integralen. Controleer met ICT.

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van de functie f , de x -as en de gegeven verticale lijnen als :

Gegeven is de functie f met f (

A ( p ) is de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f , de x -as, de y -as en de rechte met vergelijking x = p met p > 0.

a Bereken A ( p )

b Bereken de waarde van p waarvoor geldt : A (p )= 3 4ln2

Bereken de oppervlakte van het gebied begrepen tussen de krommen met vergelijking :

a y = 8 x 6 x 2 ; y = 2 x

b y = x 2 ; y = 16 x 2 ; x = 4; y = 0

c y = 1 + cos x ; y = 1 sin x ; x = 3π 4 ; x =

d y 2 = 2 x ; x 2 = 2 y

e y 2 = x ; y = x 2

Bereken in het aangeduide integratie-interval het getal c , waarvan sprake in de middelwaardestelling, voor de volgende integralen. a 2 1 ( x + 1) dx b

Bereken de gemiddelde waarde van de functie f over het interval [ a , b ] als

a f ( x )= x 2 ;

b f ( x )= 9 x 2 ;

= 3

= 3 c f ( x )= sin xa = 0 b =

d f ( x )= 1 x ; a = 1 2

e f ( x )= 3 x ;

Uit waarnemingen is gebleken dat de temperatuur in een bepaalde periode van het jaar verloopt volgens het voorschrift

T ( t ) = –0,1t 2 + 2t + 5 met de temperatuur T ( t ) uitgedrukt in °C en de tijd t in uren (te beginnen vanaf middernacht)

Bereken de gemiddelde dagtemperatuur.

De snelheidsfunctie v van een bewegend voorwerp heeft als voorschrift v ( t )=

5 + 6 t met v ( t ) de snelheid in m/s en t de tijd in seconden.

a Teken de grafiek van de snelheidsfunctie. Zet t horizontaal uit en v ( t ) verticaal.

b Bereken de afgelegde weg na 10 seconden met behulp van integralen.

De figuur toont de grafiek van een oneven functie f .

Welke van de onderstaande integralen geeft de oppervlakte van het gekleurde gebied als resultaat ?

Toelatingsexamen arts 2023, vraag 8

Waaraan is de oppervlakte van het gekleurde gebied op de figuur gelijk ?

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2022, vraag 36

Wat is de oppervlakte van het gebied begrensd door de y -as, de kromme y = e x en de rechte y = 2 ?

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2023, vraag 36

De oppervlakte O van het gebied ingesloten door de krommen met vergelijking y = x 2 en y = √ x is gelijk aan :

Typevragen ijkingstoets industrieel ingenieur, oefening 9

2.2 Integratiemethoden : fundamentele integralen

Wanneer een ingenieur voor zijn berekeningen eenmalig een bepaalde integraal moet berekenen, volstaat meestal een benadering tot op een zekere nauwkeurigheid van het resultaat. Hij zal zich ook tevreden stellen met numerieke integratiemethoden, geleverd door zijn rekenmachine of door computersoftware. Wanneer een wetenschapper een bepaald proces in zijn algemeenheid wil beschrijven, maakt hij dikwijls gebruik van onbekenden en parameters. Het rekenen met symbolische letternotaties is hierbij nodig. Omdat ICT hier soms tekortschiet, blijft een minimale kennis van integratiemethoden zelfs in het huidige computertijdperk vereist.

In het vorige hoofdstuk hebben we aangetoond dat de bepaalde integraal b a f ( x ) dx eenvoudig berekend kan worden op voorwaarde dat we een primitieve functie F van f kunnen vinden.

Er geldt immers : b a f ( x ) dx = F ( b ) F (a )

In dit hoofdstuk gaan we op zoek naar technieken om primitieve functies te bepalen.

1 Onbepaalde integraal

Gegeven : De functie f met f ( x ) = 2x

Dan is F met F ( x ) = x 2 een primitieve functie van f , want DF ( x ) = Dx 2 = 2x = f ( x ).

We weten dat alle primitieve functies van f slechts van elkaar verschillen door een constante. Zo zijn de volgende functies ook primitieve functies van f

F 1 met F 1 ( x )= x 2 + 2

F 2 met F 2 ( x )= x 2 √3

F 3 met F 3 ( x )= x 2 + π

De verzameling van alle primitieve functies van f is dus

{ F c met F c ( x ) = x 2 + C en C ∈ R}

Die verzameling noemen we de onbepaalde integraal van f met f ( x ) = 2x en stellen we voor door

Dus: 2 xdx = x 2 + C

Algemeen :

Het zoeken naar een primitieve functie F met een functie f heet primitiveren of integreren. In dit verband spreken we van de onbepaalde integraal van f . Hiervoor is een apart teken ingevoerd, het integraalteken .

f ( x ) dx = F ( x )+ C

Omdat deze integraal slechts op een constante na gedefinieerd is, spreken we van de onbepaalde integraal. De constante C noemen we de integratieconstante. Het functievoorschrift f ( x ) achter het integraalteken noemen we de integrand. Het is het voorschrift van de functie f waarvan de primitieve functies worden gezocht. Achter de integrand staat dx , wat aangeeft dat x de variabele is waarnaar we integreren. Omdat f ( x ) meestal expliciet als functie van x geschreven is, lijkt dit overbodig. Later zul je echter zien dat het nuttig kan zijn dat de variabele aangegeven is. De variabele x noemen we de integratievariabele.

Dus : f ( x ) dx = F ( x )+ C ⇐⇒ DF ( x )= f ( x )

Voorbeelden

• sin xdx = cos x + C want D ( cos x )= sin x

Primitieve functies

In 1676 heeft Newton als eerste een lijst van primitieve functies gepubliceerd. In de meeste gevallen schreef Newton zijn primitieve functies als machtreeksen.

De notatie ∫ f(x) dx is afkomstig van Leibniz en wordt algemeen gebruikt.

2 Fundamentele integralen

De formules voor het afleiden van functies geven aanleiding tot een aantal basisintegralen. We noemen ze ook wel fundamentele integralen, omdat elke integraal op de een of andere manier herleid kan worden tot een van die integralen.

(1) dx = x + C

(2) x n dx = x n +1 n + 1 + Cn ∈ R \{−1}

(3) 1 x dx = ln | x | +C

(4) e x dx = e x + C

(5) a x dx = a x ln a + C

(6) sin xdx = cos x + C

(7) cos xdx = sin x + C

(8) 1 cos2 x dx = sec2 xdx = tan x + C

(9) 1 sin2 x dx = csc2 xdx = cot x + C

3 Opeenvolging van operatoren

• D f ( x )dx = f ( x )

Want: D f ( x )dx = D ( F ( x )+ C )= DF ( x )= f ( x )

• d f ( x )dx = f ( x )dx

Want: d f ( x )dx = D ( f ( x )dx dx = f ( x )dx

• df ( x )= f ( x )+ C

Want: df ( x )= f ( x )dx = f ( x )+ C

Differentiaalvaneenfunctie

df ( x )= Df ( x ) dx of df ( x )= f ( x ) · dx (zieblz.72)

4 Lineariteit van de onbepaalde integraal

stelling

af ( x )+ bg ( x ) dx = a f ( x ) dx + b g ( x ) dx a en b nietbeidenul

We aanvaarden dit zonder bewijs.

5 Onmiddellijke integratie

Hierbij gebruiken we uitsluitend de basisformules (fundamentele integralen).

Voorbeelden :

0,5 x dx = 0,5 x ln0,5 + C

6 Integratie door splitsing

Bij integratie door splitsing wordt gebruikgemaakt van de basisformules en van de lineariteit van de onbepaalde integraal. Merk op dat we slechts één integratieconstante schrijven.

Voorbeelden

( x 3 2 x + 7) dx = x 3 dx 2 xdx + 7 dx = x 4 4 x 2 + 7 x + C 3 x 4 5 x 2 1 x dx = 3 x 3 dx 5 xdx 1 x dx = 3 x 4 4 5 x 2 2 ln | x | + C (sin x + cos x ) dx = sin xdx + cos xdx = cos x + sin x + C tan2 xdx = sin2 x cos2 x dx = 1 cos2 x cos2 x dx = dx cos2 x dx = tan x x + C

7 Toepassingen

Toepassing 1 :

Ga via integraalrekening na of de gemiddelde waarde van de functie f met f ( x ) = 3sin x + 5 over één periode gelijk is aan 5.

Oplossing :

De periode van f met f ( x ) = 3sin x + 5 is dezelfde als de periode van de functie g met g ( x ) = sin x , de periode is dus gelijk aan 2p. De gemiddelde waarde van f in [ 0, 2p] wordt :

Toepassing 2 : Bereken f ( x ) als gegeven is dat

Oplossing :

Uit het gegeven volgt

Toepassing 3 :

Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie f waarvan de grafiek door het punt P( –2, 5) gaat en waarvoor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een willekeurig punt [ x , f ( x )] van de grafiek gelijk is aan x 2 – x

Oplossing :

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in [ x , f ( x )] aan de grafiek van f is gelijk aan x 2 – x

f ( x )= x 2 x

f ( x )= ( x 2 x )dx

f ( x )= x 2 dx xdx

f ( x )= x 3 3 x 2 2 + C (1)

P( –2, 5) is een punt van de grafiek van f ( 2,5) ∈ f ( 2)3 3 ( 2)2 2 + C = 5 8 3 4 2 + C = 5 C = 29 3

Dusin (1) : f ( x )= x 3 3 x 2 2 + 29 3

8 Samenvatting

• Je kent de definitie van de onbepaalde integraal van een functie f .

f ( x )dx = F ( x )+ C ⇐⇒ DF ( x )= f ( x ) (integratieconstante C ∈ R )

• Je kent de volgende eigenschappen.

D f ( x )dx = f ( x )

d f ( x )dx = f ( x )dx

df ( x )= f ( x )+ C

[af ( x )+ bg ( x )]dx = a f ( x )dx + b g ( x )dx (a en b nietbeidenul)

• Je kunt de onbepaalde integraal van een functie f bepalen door uitsluitend de fundamentele (basis)integralen en de basiseigenschappen van de integraalrekening te gebruiken.

• Je kunt ook integreren door splitsing. Hierbij wordt gebruikgemaakt van de lineariteit van de onbepaalde integraal.

2 3 4 5 6

9 Oefeningen

Bereken de volgende integralen.

a ( x + 5) dx g x 2 x x 5 dx l (1 + tan2 x ) dx b 2 x 4 dx

2 x + 1 x dx

c ( x 2 x + 7) dx

1 x 7 dx

(2 x 1)( x + 2) dx

(7e x 5 2 x ) dx

x x x 2 x 3 x dx

e (2 x 3)2 dx k 1 cos3 x cos2 x dx p dx sin2 x cos2 x f 3 x xdx

Hint : Vervang in de teller 1 door sin2x + cos2x

Bereken de volgende bepaalde integralen.

( x 2 x ) dx c

( e x 2) dx b 2 2 ( 3 2 x ) dx

Bereken f ( x ) als gegeven is :

a f ( x )= x + 1en f (1)= 4c f ( x )= sin x en f (0)= 2

b f ( x )= x 2 x en f ( 2)= 5d

Bereken de volgende integralen.

a (a sin t + b cos t )dt

( x + sin y )dx

(2 x e y )dx b 2 e t dt d ( x + sin y )dy

Bereken de gemiddelde waarde van de functie f met f ( x )= x

Een voorwerp valt van een hoogte h = 250 m naar beneden. De snelheid van het voorwerp op een willekeurig tijdstip wordt gegeven door :

v ( t ) = g t met g = 10 m/s2 (de versnelling van de zwaartekracht)

(2 x · e y )dy

Bereken de afgelegde weg van het voorwerp na 3 seconden met de formule : s (3)= 3

v ( t ) dt

2.3 Integratiemethoden : substitutie

Taak :

Wewetendat cos xdx = sin x + C .Mogenwehieruitaﬂeidendat cos5 xdx = sin5 x + C ?

• Toonaandatditniethetgevalisdooreenprimitievefunctievan f met f ( x )= cos5 x tezoeken.

• Vulnuaan: cos5 xdx = + C

1 Voorbeelden van de substitutiemethode bij het berekenen van onbepaalde integralen

We zoeken een methode om cos5 xdx te berekenen.

Stel t = 5 x dt = d (5 x )= 5dx endus dx = d (5 x ) 5 = dt 5

cos5 xdx

geenfundamentele integraal = cos t dt 5 = 1 5 cos tdt

fundamentele integraal = sin t 5 + C = sin5 x 5 + C

Klaarblijkelijk gelden de volgende formules :

dx = d ( x + b )

dx = 1 a d (ax )

energeldtdusook: dx = 1 a d (ax + b )

Door deze formules toe te passen kun je de integraal sneller berekenen :

cos5 xdx = 1 5 cos5 xd (5 x )

fundamentele integraal

= 1 5 sin5 x + C

We bekijken nog drie voorbeelden :

Voorbeeld 1 :

(2 x 3)4 dx = 1 2 (2 x 3)4 d (2 x 3) = 1 2 · (2 x 3)5 5 + C = (2 x 3)5 10 + C

Voorbeeld 2 :

e 2 x dx = 1 2 e 2 x d ( 2 x ) = 1 2 e 2 x + C

Voorbeeld 3 :

sin (3 x + π) dx = 1 3 sin (3 x + π) d (3 x + π) = 1 3 cos (3 x + π)+ C

In sommige gevallen is het echter aangewezen de substitutiemethode volledig uit te schrijven en zo de integraal te herleiden tot een fundamentele integraal.

Voorbeeld 1 :

Voorbeeld 2 :

2 x x 2 + 4 dx ( x 2 x )(2 x 1) dx

stel t = x 2 + 4

dt = 2 xdx

2 x x 2 + 4 dx = dt t = ln ( | t | )+ C = ln ( | x 2 + 4| )+ C

= ln ( x 2 + 4)+ C

stel t = x 2 x dt =(2 x 1) dx

( x 2 x )(2 x 1) dx = tdt = t 2 2 + C = ( x 2 x )2 2 + C

= x 2 ( x 1)2 2 + C

Voorbeeld 3 :

cos x (1 + sin x )2 dx

stel t = 1 + sin x

dt = cos xdx

cos xdx (1 + sin x )2 = dt t 2 = t 2 dt = t 1 + C = 1 1 + sin x + C

Voorbeeld 4 :

Stel: t = 1 2 x dt = d (1 2 x )

Dus dt = 2dx of dx = dt 2 (1 2 x )3 dx = 1 2 t 3 dt = t 4 8 + C = (1 2 x )4 8 + C

2 De integralen ∫ cos2 xdx en ∫ sin2 xdx

cos2 xdx

∗ = 1 + cos2 x 2 dx

= 1 2 dx + 1 2 cos2 x · dx

= 1 2 dx + 1 2 1 2 cos2 x d (2 x ) = 1 2 x + 1 4 sin2 x + C

Taak :

Toon aan : sin2 xdx = 1 2 ( x sin x · cos x )+ C

Stel hiervoor : sin2 x = 1 cos2 x 2 . cos2 xdx = 1 2 ( x + sin x cos x )+ C sin2 xdx = 1 2 ( x sin x · cos x )+ C (1 2 x )3 dx

∗ cos2 x = 2cos2 x 1 cos2 x = 1 + cos2 x 2

∗ = 1 2 x + 1 4 · 2sin x · cos x + C *sin2 x = 2sin x cos x = 1 2 x + 1 2 sin x cos x + C = 1 2 ( x + sin x cos x )+ C

3 Substitutiemethode bij bepaalde integralen

Bereken 2 2 (2 x 3)3 dx

Methode 1 : bereken eerst de onbepaalde integraal.

(2 x 3)3 dx = 1 2 (2 x 3)3 d (2 x 3)= (2 x 3)4 8 + C

Dus :

Methode 2 : voer de substitutie effectief uit en pas de integratiegrenzen aan.

Stel t = 2x – 3, dan is dt = 2dx of dx = dt 2

Aanpassing van de grenzen : x t –2 2 –7 1 2 2 (2 x 3)3 dx =

4 Toepassingen

Toepassing 1 : oppervlakte van een trapezium

Probleemstelling :

Bereken met behulp van de integraalrekening de oppervlakte van het trapezium OABC.

Leid op deze manier de gekende formule af.

A OABC = A I + A II + A III

= a 0 h a xdx + b a hdx + c b h b c ( x c ) dx

h a x

= h 2 ( b a + c ) kleine basis grote basis

Dat is de gekende formule : A trapezium = (grote basis + kleine basis) hoogte 2

Toepassing 2 : oppervlakte van een cirkel

Probleemstelling :

Bereken de oppervlakte van een cirkel met straal r

Oplossing :

De vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt in de oorsprong is :

x 2 + y 2 = r 2

Vanwege de symmetrie t.o.v. beide assen volstaat het de oppervlakte van het deel van de cirkel gelegen in het eerste kwadrant te berekenen en nadien het gevonden resultaat te vermenigvuldigen met 4.

De vergelijking van de cirkel in het eerste kwadrant is :

y = r 2 x 2 x y 0 r r y = r 2 x 2

Oppervlakte cirkel : A = 4 r 0 r 2 x 2 dx

We berekenen de integraal met behulp van goniometrische substitutie.

Stel x = r sin t en t ∈ π 2 , π 2 ,danis dx = r cos tdt en r 2 x 2 = r cos t .

Als x = 0,danis r sin t = 0of t = 0.

Als x = r ,danis r sin t = r of t = π 2

zodat: A = 4 π 2 0 r cos t r cos tdt = 4 r 2 π 2 0 cos2 tdt = 2 r 2 t + sin t cos t π 2 0 = π r 2 A cirkel = pr 2

Toepassing 3 : filmopbrengst

De wekelijkse opbrengst van een recente film kan beschreven worden door de functie d met voorschrift d ( t )= 40 t t 2 + 25 met d ( t ): opbrengst in miljoenen dollars en t : tijd in weken.

Gevraagd :

• Rond welke periode is de weekopbrengst het grootst ?

• Hoeveel bedraagt de opbrengst na 1 jaar ?

Oplossing :

• We maken eerst de grafiek van de functie d met t ⩾ 0.

( t )

• Berekenen van het maximum van d : d ( t )= D 40 t t 2 + 25 = 40( t 2 + 25) 40 t (2 t ) ( t 2 + 25)2 = 40(25 t 2 ) ( t 2 + 25)2

Rond het einde van de vijfde week kent de opbrengst van de filmproductie zijn hoogtepunt met een opbrengst van ongeveer 4 miljoen dollar per week.

• De opbrengst na 1 jaar (= 52 weken) is de som van de opbrengsten gedurende de periode van de lancering van de film tot het einde van de 52e week.

Dit betekent : jaaropbrengst = 52 0 d ( t )dt = 52 0 40 t t 2 + 25 dt

Stel t 2 + 25 = y , dan is 2tdt = dy .

Als t = 0, dan is y = 25.

Als t = 52, dan is y = 522 + 25 = 2729.

Bijgevolg : jaaropbrengst = 2729 25 20 y dy = y > 0 20[ln y ]2729 25 = 93,856294...

Antwoord :

De opbrengst van de film gedurende het eerste jaar is 93 856 294 dollar.

5 Samenvatting

• De substitutiemethode bij onbepaalde integralen bestaat uit de volgende stappen.

– We vervangen de variabele x door de variabele t door een betrekking tussen x en t op te geven, de zogenaamde substitutieformule.

– De integraal krijgt daardoor een vorm waarin de basisformules van de integraalrekening tot een oplossing leiden.

– De gevonden primitieve functie heeft t als variabele. We vervangen t opnieuw in functie van x met behulp van de substitutieformule.

– Hierbij geldt : dx = d ( x + b ) dx = 1 a d (ax )

• Je kunt de substitutieformule toepassen bij bepaalde integralen.

– Je stelt de substitutieformule op om over te gaan van de variabele x naar een nieuwe variabele t en je past de integratiegrenzen aan, die voor de nieuwe integratievariabele t moeten gelden.

– Je kunt ook eerst afzonderlijk de onbepaalde integraal bepalen en pas daarna de bepaalde integraal berekenen. In dit geval moeten de integratiegrenzen niet gewijzigd worden.

6 Oefeningen

Bereken de volgende integralen.

a ( x 2)4 dx

sin x cos xdx b x 5 dx

x 3 1 + x 4 dx c dx x + 2

72 x +5 dx

sin5 xdx

Bereken de volgende bepaalde integralen.

a Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de x -as en de grafiek van de functie f met

f ( x ) = ( x 2 + 2x )( 2x + 2)

b Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de x -as en de grafiek van de functie f met

f ( x ) = sin 2x

Beperk de functie tot het interval [ 0, p].

Bereken de oppervlakte van het gebied begrepen tussen de grafieken van f en g als :

a f ( x ) = sin x ; g ( x ) = sin2x met x ∈ [ 0, 2p]

b f ( x ) = cos x + 1 ; g ( x ) = –3 – 3 cos x met x ∈ [ –p, p]

Bepaal het voorschrift van de primitieve functie F van f als :

a f ( x )= 3 x 2 4 x + 1 F (0)= 3

b f ( x )= cos 2 x + π 2 F π 2 = 0

c f ( x )= 2e 2 x 3 F (2)= 2e

Bereken 3 0 f ( t )dt alsjeweetdat f ( t )= a e bt en f (0)= 1 e en f (3)= e .

Los op in R : a x 0 (3 t 2 4 t + 1) dt = x 1 (4 t 3 6 t ) dt

b 2 x 1 (2 t 3 t ) dt = 1 x (2 t + 3) dt

c x 2 e dt t + e = ln3

Gegeven is de grafiek van f met f ( x ) = 5 sin 3x . Bereken de oppervlakte van het ingekleurde gebied.

Gegeven is de parabool met vergelijking y = 2( 1 – x 2) en 0 ⩽ x ⩽ 1.

Bereken voor een gegeven waarde

a ∈ ] 0, 1[ de ingekleurde oppervlakte

A ( = A 1 + A 2) (zie figuur).

Het resultaat is van de vorm

A = 2 p ( a ) met p ( a ) een veelterm van de tweede graad in a .

Bepaal p ( a )

Bereken de oppervlakte van een parallellogram ABCD met A( 0, 0), B( b , 0), C( a + b , h ) en D( a , h ).

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de x -as en de grafiek van de functie f met f ( x ) = ( 1 – x )3 en x ∈ [ –1, 3]. Stel de oppervlakte grafisch voor.

Een voorwerp valt van een hoogte h = 250 meter naar beneden. De snelheid v (in m/s) van het voorwerp op een willekeurig tijdstip t (in seconden) wordt weergegeven door : v = g t met g = 10 m/s2 a Bereken de afgelegde weg van het voorwerp na 3 seconden. Hint : s (3)= 3 0 vdt b Bereken de tijd die nodig is om 125 meter af te leggen.

(Hint: denk eraan dat v = ds dt met s de afgelegde weg.)

De integraal

sin2 x cos xdx is gelijk aan :

Toelatingsexamen arts 2022, vraag 4

Voor welke positieve waarde van a is :

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2022, vraag 38

Deonbepaaldeintegraal ( x 2 + 1)2 dx isgelijkaan(waarbijtelkens c

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2023, vraag 35 Bereken I =

2.4 Integratiemethoden : partiële integratie

1 Opstellen van de formule voor partiële integratie

Als de functies f en g differentieerbaar zijn, dan geldt er : of :

d f ( x ) g ( x ) = f ( x ) dg ( x )+ g ( x ) df ( x ) (zie1.4)

f ( x ) · dg ( x )= d f ( x ) · g ( x ) g ( x ) · df ( x )

Hieruit volgt na integratie van beide leden :

f ( x ) · dg ( x )= d f ( x ) · g ( x ) g ( x ) · df ( x )

f ( x ) dg ( x )= f ( x ) g ( x )+ C g ( x ) df ( x )

We kunnen de constante C weglaten want er zit toch nog een constante vervat in de laatste integraal.

Dus : Of, als we stellen dat f ( x ) = u en g ( x ) = v

f ( x ) dg ( x )= f ( x ) g ( x ) g ( x ) df ( x ) udv = uv vdu

De te berekenen integraal wordt omgezet in een andere integraal, die eenvoudiger berekend kan worden. We spreken van partiële integratie omdat de primitieve functie in delen gevonden wordt. Deze methode wordt dikwijls toegepast bij het integreren van producten en quotiënten.

Voorbeeld 1 : x sin xdx

Stel u = x Dus: du = dx dv = sin xdx v = sin xdx v = cos x + C x sin xdx P.I. = x cos x ( cos x ) · dx

Ditiseeneenvoudigereintegraal dan x sin xdx

= x cos x + cos xdx

= x cos x + sin x + C

Taak : toon aan dat D ( –x cosx + sinx + C ) = x sinx

Voorbeeld 2 : ln xdx

Stel u = ln x Dus: du = 1 x dx

dv = dx v = dx

v = x + C

ln xdx P.I. = x ln x x · 1 x dx

= x ln x dx

= x ln x x + C

Voorbeeld 3 : x 2 e x dx

Stel u = x 2 Dus: du = 2 xdx

dv = e x dx v = e x dx

v = e x + C

x 2 e x dx P.I. = x 2 e x e x · 2 xdx

= x 2 e x 2 e x xdx (1)

Weberekenennu e x · xdx doornogmaalspartieelteintegreren.

Berekeningvan e x · xdx

Stel u = x Dus: du = dx

dv = e x dx v = e x dx

v = e x + C

e x xdx P.I. = xe x e x dx

= xe x e x + C

We vervangen dit resultaat in (1) :

x 2 e x dx = x 2 e x 2 ( x e x e x ) + C

= x 2 e x 2 xe x + 2e x + C

= e x x 2 2 x + 2 + C

Taak : ga na of bij de keuze u = e x en dv = x 2dx de integrand niet eenvoudiger, maar ingewikkelder wordt. De graad van de veeltermfunctie wordt niet lager, maar hoger.

Voorbeeld 4 : e x sin xdx

Stel u = sin x Dus: du = cos xdx

dv = e x dx

v = e x dx

v = e x + C x Dus: du = cos xdx

v = e x dx

v = e x + C

e x sin xdx P.I. = e x sin x e x cos xdx (1)

Weberekenennu e x cos xdx .

Stel u = cos x Dus: du = sin xdx

dv = e x dx

v = e x dx + C

v = e x + C = cos x Dus: du = sin xdx

= e x dx

v = e x dx + C

v = e x + C

e x cos xdx P.I. = e x cos x e x ( sin x ) dx

= e x cos x + e x sin xdx

We vervangen dit resultaat in (1) :

e x sin xdx = e x · sin x e x cos x + e x sin xdx

= e x sin x e x cos x e x sin xdx

In het rechterlid verschijnt opnieuw de te zoeken integraal, bijgevolg :

2 e x sin xdx = e x · sin x e x cos x + C of e x sin xdx = 1 2 e x (sin x cos x )+ C

2 Partiële integratie bij bepaalde integralen

Omeenbepaaldeintegraalvandevorm b a udv teberekenen,zijnertweemogelijkheden.

(1) Webepaleneerstdeonbepaaldeintegraal udv = F ( x )+ C enberekenendan F ( b ) F (a )

(2) Uitdeformule udv = uv vdu volgtonmiddellijk b a udv =[ uv ] b a b a vdu .

Weillustrerenbeidemethodenbijdeberekeningvan e 1 ln x x 2 dx

(1) Weberekeneneerst ln x x 2 dx

Stel u = ln x =⇒ du = dx x dv = dx x 2 = d 1 x =⇒ v = 1 x ln x x 2 dx P.I. = ln x x + dx x 2 = ln x x 1 x + C

Dus : e 1 ln x x 2 dx = ln x x 1 x e 1 = 1 e 1 e + 1 = e 2 e

(2) e 1 ln x x 2 dx P.I. = ln x x e 1 + e 1 dx x 2 = ln e e + ln1 + 1 x e 1 = 1 e 1 e + 1 = e 2 e

3 Toepassing

Een kaasmaker houdt zelf één geit thuis ; hij gebruikt de melk om geitenkaas te maken. Door omstandigheden graasde de geit op een weide waarvan de ondergrond sterk verontreinigd was met een toxische stof. Het gif wordt in de vetreserves opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk. Elke dag komt de veearts langs om de concentratie gif in de melk te meten. De waargenomen concentraties in milligram/liter zijn te vatten in het voorschrift

c ( t ) = 10te –0,3t

waarbij t de tijd is in dagen na het eten van het verontreinigde gras. Het geitje levert 2 liter melk per dag.

G ( t ) geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in milligram) in functie van de tijd.

Gevraagd :

a Na hoeveel dagen is de concentratie van de toxische stof het grootst ?

b Na hoeveel dagen is de concentratie kleiner dan 2 mg/l ?

c Wat is de waarde van G (0) ?

d Wat is de toename van G ( t ) per dag ? (M.a.w. : bepaal G ′( t ) )

e Bepaal G ( t )

f Bereken lim t →+∞

G ( t ) . Wat is de totale hoeveelheid gif die het geitje heeft binnengekregen ?

g Wanneer is 95 % van het gif verdwenen ?

Oplossing :

We maken eerst de grafiek van de waargenomen concentraties.

c ( t )

a Na hoeveel dagen is de concentratie van de toxische stof het grootst ?

Berekenen van c ′( t ) Bepalen van de nulwaarden van c ′( t ) c ′( t ) = 10e –0,3t + 10te –0,3t ( –0,3)

Tekenverloop van c ′( t )

c ′( t ) + 0 –

c ( t ) ↗ 12,26 ‖ maximum ↘

De concentratie toxische stoffen in de melk is het grootst in de loop van de vierde dag ( t = 3,33) en bedraagt 12,26 mg/l.

b Na hoeveel dagen is de concentratie kleiner dan 2 mg/l ?

c ( t )= 2

⇐⇒ 10 te 0,3 t = 2

⇐⇒ te 0,3 t = 0,2

Die vergelijking is oplosbaar met ICT.

Antwoord : op de 15e dag (dus na veertien dagen) is de concentratie gif in de melk lager dan 2 mg/l.

c Wat is de waarde van G ( 0)?

In het begin is er nog geen gif afgescheiden. Bijgevolg is G ( 0) = 0.

d Wat is de toename van G ( t ) per dag?

G ( t ) = de hoeveelheid gif die vandaag werd afgescheiden

= hoeveelheid melk, concentratie gif in de melk

= 2 10te –0,3t = 20te –0,3t

e Bepaal G ( t )

G ( t )= t

(

f Bereken lim t →+∞ G ( t ) . Wat is de totale hoeveelheid gif die het geitje heeft binnengekregen?

lim t →+∞ G ( t )= lim t →+∞ 200 9 10 (3 t + 10) e 0,3 t ∗ = 2000 9 ≈ 222,22

Het geitje heeft in totaal ongeveer 222,22 milligram gif binnengekregen.

g Wanneer is 95 % van het gif verdwenen ?

G ( t )= 95% 2000 9 = 1900 9

⇐⇒ 200 9 10 (3 t + 10) e 0,3 t = 1900 9

⇐⇒ (3 t + 10) e 0,3 t = 1 2

Ga via ICT na dat t ≈ 15,8.

Antwoord: na 16 dagen is meer dan 95 % gif uit het lichaam van het geitje verdwenen.

4 Integralen berekenen met ICT

Op dit ogenblik is het mogelijk om allerlei ingewikkelde integralen te berekenen door gebruik te maken van bestaande software.

We illustreren dit aan de hand van 5 voorbeelden.

2 x 3 3 x 2 + 3 x + 2 2 x 1 dx x 5 2 x 2 + x 1 dx sin3 x cos4 xdx

5 Samenvatting

f ( x )g ( x )dx = f ( x )g ( x ) f ( x )g ( x )dx

• Je kent de formule van partiële integratie.

f ( x )dg ( x )= f ( x )g ( x ) g ( x )df ( x )

of udv = uv vdu met f ( x )= u en g ( x )= v

Deze methode wordt dikwijls toegepast bij het integreren van producten.

• Overzicht : bepalen van u en dv

Na het toepassen van de formule blijft in het rechterlid nog een integraal staan. Daarom zeggen we dat hier een partiële integratie uitgevoerd is. Of een partiële integratie succes heeft, hangt af van de aard van de integraal in het rechterlid. Is die integraal gecompliceerder dan de gegeven integraal, dan moeten we de berekening op die wijze opgeven. Hieronder volgen enkele tips.

integrand u dv effect

veeltermfunctie · exponentiëlefunctie

bv. x 2 e x dx

veeltermfunctie sinus-ofcosinusfunctie

bv. x cos xdx

veeltermfunctie logaritmischefunctie

bv. x 3 ln xdx

exponentiëlefunctie sinus-ofcosinusfunctie

veeltermfunctie

u = x 2 ⟹ du = 2xdx

veeltermfunctie u = x ⟹ du = dx

logaritmischefunctie

u = ln x =⇒ du = dx x

bv. e x cos xdx vrije keuze

exponentiële functie

dv = e x dx ⟹ v = e x verlaging van de graad van de veeltermfunctie

sinus- of cosinusfunctie dv = cos xdx ⟹ v = sinx verlaging van de graad van de veeltermfunctie

veeltermfunctie

dv = x 3 dx =⇒ v = x 4 4

logaritmische functie verdwijnt, de integrand wordt een rationale functie

vrije keuze terugkeer van de integrand na tweemaal partiële integratie

• Je kunt ook partiële integratie bij bepaalde integralen toepassen. b a udv =[ uv ] b a b a vdu

6 Oefeningen

Bereken de volgende integralen met partiële integratie.

a x cos xdx f ln2 xdx k x sin2 xdx

b x ln xdx

x 2

xdx

e x cos xdx c 2 xe x dx

Bereken de volgende bepaalde integralen met partiële integratie.

e 1 ln x x dx

Bereken de oppervlakte van het gebied begrepen tussen de grafiek van f met f

Herhalingsoefeningen – gemengde reeks

Alle methoden die in de theorie vermeld zijn, komen in de volgende reeks voor. Bereken volgende integralen. Controleer met ICT.

Integraalrekening 2

Ik kan een oppervlaktefunctie bepalen.

Ik kan de oppervlakte onder de grafiek van een functie benaderen met behulp van een ondersom of bovensom van rechthoeken.

Ik ken de definitie van een bepaalde integraal als limiet van een som.

Ik ken de betekenis van een bepaalde integraal als georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de horizontale as in een bepaald interval.

Ik kan een bepaalde integraal berekenen.

Ik ken de optelbaarheid en lineariteit van de bepaalde integraal.

Ik kan met behulp van een bepaalde integraal de oppervlakte berekenen die begrensd is door de grafieken van twee functies. 102

Ik ken de middelwaardestelling en ken de meetkundige betekenis.

Ik ken de hoofdstelling van de integraalrekening en kan ze bewijzen.

Ik ken de betekenis van een primitieve functie.

Ik kan bepaalde integralen berekenen door middel van primitieve functies.

Ik kan de oppervlakte berekenen van een driehoek, rechthoek, parabool- en hyperboolsegment met bepaalde integralen.

Ik weet dat primitiveren de inverse operatie is van differentiëren.

Ik ken de definitie van een primitieve functie en van een onbepaalde integraal.

Ik ken de formules van fundamentele integralen.

Ik kan opeenvolgende operatoren na elkaar toepassen.

Ik ken de lineariteit van de onbepaalde integraal en kan ze toepassen.

Ik kan met behulp van de fundamentele integralen onmiddellijke integratie en integratie door splitsing toepassen.

Ik kan integralen berekenen door substitutie.

Ik kan de substitutiemethode gebruiken om oppervlaktes (bv. van een trapezium) te berekenen.

Ik kan integralen gebruiken om opbrengsten te berekenen.

Ik kan integralen berekenen door partiële integratie.

Ik kan integralen berekenen met ICT.

105

107

108

110

111

132

133

134

135

140

144

146

151

157

Toepassingen van de integraalrekening 3

Integralen kennen heel wat praktische toepassingen. Zo komen ze van pas bij de volumeberekening van omwentelingslichamen ; dat zijn ruimteﬁguren die ontstaan door een vlakdeel rond een as te omwentelen (die as noemen we dan ook de omwentelingsas).

Zo krijg je een bol als je een cirkelschijf laat draaien rond een middellijn van de cirkel.

Maar ook in de fysica kom je integralen tegen. Bij de lancering van deze spaceshuttle werd arbeid verricht door de twee raketten. Om die arbeid te bepalen heb je integralen nodig. Enkele andere voorbeelden : als je de afgelegde afstand wilt berekenen van een raceauto als de snelheidsfunctie bekend is of als je de arbeid moet bepalen van een voorwerp dat wordt voortgetrokken. Ook een econoom kan niet zonder integralen als hij de kostprijs berekent wanneer de dagproductie met één eenheid stijgt. Ook om de inkomensongelijkheid te meten binnen een bepaalde bevolkingsgroep zijn er integralen nodig.

Toepassingen van de integraalrekening

3.1 Volume van omwentelingslichamen

1 Omwentelingslichamen 163

2 Inleidend voorbeeld 164

3 Volume van omwentelingslichamen 165

4 Toepassingen 168

3.2 Booglengte van een vlakke kromme

1 Booglengten berekenen 171

2 Toepassing : lengte van een cirkelboog 173

3.3 Toepassingen in de fysica en de economie

1 Snelheid en afgelegde weg 174

2 Versnelling en snelheid 176

3 Kracht en arbeid 178

4 Marginale kostprijs 182

5 Gini-coëfﬁciënt en Lorenzcurve van de inkomensverdeling 184

6 Elasticiteit van de vraag 186

3.4 Samenvatting en oefeningen

1 Samenvatting 187

2 Oefeningen 189

3.1 Volume van omwentelingslichamen

1 Omwentelingslichamen

cilinder afgeknotte kegel kegel bol

Bovenstaande lichamen zijn omwentelingslichamen. Ze ontstaan door het wentelen van een vlakdeel rond een rechte : de omwentelingsas

We nemen de x -as van een georthonormeerd assenkruis als omwentelingsas. De omwentelingslichamen die we zullen beschouwen, ontstaan door het deel van het xy -vlak dat begrensd wordt door de x -as, twee evenwijdigen met de y -as en de grafiek van de functie f , te laten wentelen om de x -as.

De oppervlakte van een vlakke figuur kun je benaderen met rechthoekjes. Het volume van ruimtefiguren kun je benaderen met cilindertjes. Omdat je het volume van een cilinder kunt berekenen met de formule :

V = oppervlakte grondvlak hoogte = pr 2h

waarin r de straal en h de hoogte is, kun je het volume van zo’n ruimtefiguur benaderen door het volume van alle cilinderdeeltjes op te tellen.

dbrnjhrj - stock.adobe.com h r

2 Inleidend voorbeeld

Hieronder staat een kegel afgebeeld. Het is een omwentelingslichaam, bepaald door het wentelen rond de x -as van het vlakdeel begrensd door de x -as, de y -as, de rechte met vergelijking x = 15 en de grafiek van de functie f met f ( x )= x 3

V = 15 0 π x 2 9 dx = π 9 x 3 3 15 0 = 125π x y z 5 1512963 0 x y z 5 1512963 0 f ( x )= x 3 x y z 5 15 0 xk x k 3 f ( x )= x 3

We berekenen het volume van de kegel met hoogte 15 en met als straal van het grondvlak 5 met een methode die helemaal analoog is met die van de oppervlakteberekening.

Op de figuur rechts zie je hoe de kegel door vijf cilinders kan worden benaderd. De som van de vijf volumes is groter dan het volume van de kegel, maar dat is niet echt belangrijk. Onder- en bovensommen benaderen toch dezelfde waarde als je oneindig veel cilinders gebruikt, m.a.w. als de hoogte van elke cilinder (die ligt langs de x -as) naar 0 nadert.

Welke integraal bij deze berekening hoort, wordt duidelijker als je de hoogte in n gelijke stukken verdeelt en het volume van een willekeurige cilinder bekijkt.

Als je n even hoge cilinders gebruikt, dan wordt de hoogte van elke cilinder gelijk aan 15 n .

Dus ∆ x = 15 n

Bekijk nu de k -de cilinder. Het volume van die cilinder is :

π · x k 3 2 · ∆ x , waarbij xk een willekeurige x -waarde in het k -de deelinterval is. – De som van de volumes van alle deelcilinders is

Vn = n k = 1 π · x k 3 2 · ∆ x – Als Dx → 0 ( of n → +∞), dan benadert die som steeds beter het volume van de kegel. Het gevraagde volume V is dan :

V = lim n → + ∞ n k = 1 π · x k 3 2 · 15 n –

De Riemannsom benadert zo een integraal die eenvoudig te berekenen is.

3 Volume van omwentelingslichamen

Stel dat f een continue functie is in [ a , b ].

We berekenen het volume V van het omwentelingslichaam dat is ontstaan door het wentelen rond de x -as van het vlakdeel begrensd door de x -as, de grafiek van f en de rechten met vergelijkingen x = a en x = b

Hoe onregelmatig die lichamen ook zijn, toch kunnen we hun volume berekenen met behulp van integralen. We gaan als volgt te werk.

We verdelen het interval [ a , b ] in n gelijke deelintervallen met breedte ∆ x = b a n .

In elk deelinterval [ xi –1, xi ] kiezen we een willekeurige x -waarde ci .

Op elk deelinterval bouwen we een rechthoekje met breedte Dx en hoogte | f ( ci )|

–

Bij wenteling rond de x -as beschrijft elk rechthoekje een cilinder met volume

Dx · p · [ f ( ci )]2.

We nemen de som Vn van de volumes van al die cilindertjes.

Vn = n i = 1 b a n π f ( c i ) 2

–

Na onbeperkt verfijnen van de verdeling in [a , b ] wordt het gevraagde volume

V = lim n → + ∞ n i =1 b a n π f ( c i ) 2 (1)

– Aangezien f continu is in [a , b ], is ook de functie pf 2 continu in [ a , b ]. Volgens de definitie van bepaalde integralen wordt (1) :

V = π b a f ( x ) 2 dx

Besluit :

Als f continu is in [ a , b ], dan is het volume van het omwentelingslichaam ontstaan door het wentelen rond de x -as van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f , de x -as en de rechten met vergelijkingen

)

x = a en x = b , gelijk f ( c i ) f ci xi– 1 xi

Voorbeeld 1:

Hieronder staat een champagneglas afgebeeld. Het is een omwentelingslichaam bepaald door het wentelen rond de x -as van het vlakdeel begrensd door de x -as, de y -as, de rechte met vergelijking x = 10 en de grafiek van de functie f met f ( x )= √1,2 x (in cm).

a Wat is de inhoud (in cl) van het champagneglas ?

b Hoeveel champagne bevat het glas als het tot 8 cm hoog is gevuld ?

c Hoeveel glazen kun je zo schenken uit een magnumfles van 1,5 l ?

Oplossing :

De inhoud van het champagneglas is dus 188,4956 cm3 ≈ 18,85 cl.

1,2

Als het glas tot op een hoogte van 8 cm gevuld is, dan bevat het ongeveer 12,06 cl champagne.

c Uit een magnumfles van 1,5 l kun je 12 glazen champagne schenken.

Voorbeeld 2 :

Bereken het volume van het omwentelingslichaam dat is ontstaan door omwenteling om de y -as van het gebied ingesloten door de kromme met vergelijking y = 4 – x 2, de positieve x -as en de positieve y -as.

Oplossing :

Analoog als bij de wenteling van een vlakdeel om de x -as geldt bij de wenteling om de y -as :

Als f continu en inverteerbaar is in [ a , b ], dan is het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het wentelen om de y -as van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f , de y -as en de rechten met vergelijking y = c en y = d , gelijk aan :

V = π

c x 2 dy

In dit voorbeeld wordt het volume :

Voorbeeld 3 :

Bereken het volume van het omwentelingslichaam dat is ontstaan door wenteling om de x -as van het gebied ingesloten door de parabool met vergelijking y = x 2 en de rechte met vergelijking y = 4.

Oplossing :

Het te wentelen vlakdeel is nu niet begrensd door een grafiek en de x -as, maar door twee grafieken.

We bekomen het volume door de vlakdelen begrensd door de respectievelijke grafieken afzonderlijk te laten wentelen en de bekomen volumes van elkaar af te trekken.

f ( x ) = 4 g ( x ) = x 2

4

Toepassingen

Volume van een cilinder

We beschouwen een cilinder met hoogte h en met r als straal van het grondvlak, beschreven door het wentelen rond de x -as van de rechthoek ORQP.

De vergelijking van de rechte k is : y = r .

Bijgevolg is het volume van de cilinder :

We vinden dus inderdaad ons uitgangspunt van blz. 163 terug als bijzonder geval.

Als Ag de oppervlakte van het grondvlak voorstelt, dan is : Vcilinder = Ag h

Volume van een kegel

We beschouwen een kegel met hoogte h en met r als straal van het grondvlak, beschreven door het wentelen om de x -as van de driehoek OQP.

De rechte k heeft als vergelijking y = r h x

Bijgevolg is het volume van de kegel :

Als Ag de oppervlakte van het grondvlak voorstelt, dan is :

Volume van een afgeknotte kegel x O h P Q (h , b)

R(0, a ) b k y z 0 a y = b a h x + a

We beschouwen een afgeknotte kegel met hoogte h en met a en b als stralen van het respectievelijke bovenvlak en grondvlak.

De afgeknotte kegel wordt beschreven door het wentelen om de x -as van het rechthoekig trapezium ORQP.

De rechte k heeft als vergelijking y a = b a h 0 · ( x 0) ⇐⇒ y = b a h x + a .

Bijgevolg is het volume van de afgeknotte kegel : π h 0 b a h x + a 2 dx

We gebruiken de substitutie : b a h x + a = t b a h dx = dt dx = h b a dt

Voor x = 0 is t = a

Voor x = h is t = b

volume afgeknotte kegel = π b a t 2 · h b a · dt = πh b a t 3 3 b a = πh b a b 3 a 3 3 b 3 a 3 =( b a )( b 2 +

+ a 2 ) = πh 3 ( b 2 + ab + a 2 )

Als Ag en Ab de oppervlakte van respectievelijk het grond- en het bovenvlak voorstellen,

dan is : Vafgeknottekegel = h 3 A g + A b + A g A b

Volume van een bol

We beschouwen een bol met straal r , beschreven door het wentelen om de x -as van een halve cirkel met straal r (zie oranje deel).

De halve cirkel boven de x -as heeft als vergelijking y = r 2 x 2

Bijgevolg is Vbol

Uitgedrukt in functie van de diameter d vinden we

3.2 Booglengte van een vlakke kromme

1 Booglengten berekenen

Instap :

Gegeven : De functie f met f ( x )= x √ x 2

Gevraagd : Bereken de lengte van het deel van de grafiek van f begrensd door de punten O( 0, 0) en A( 4, 4), m.a.w. de booglengte of lengte van de boog OA

Oplossing : Een eerste ruwe benadering van de booglengte is de lengte van de bijbehorende koorde | OA |. | OA | = √16 + 16 ≈ 5,66 x y 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 0

Een betere benadering bekomen we door de som te maken van de lijnstukken [OB], [BC], [CD] en [DA].

Toon aan dat | OB | + | BC | + | CD | + | DA |≈ 5,74.

De exacte lengte van de boog OA kunnen we slechts via integraalberekening vinden.

Berekening van booglengten f is een continue functie in [ a , b ]

We berekenen de lengte L van de grafiek van f begrensd door de punten met a en b als abscis

t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel. We lossen dit probleem op door de gevraagde booglengte te benaderen door een som van lengten van lijnstukken. x y

• Verdeel [ a , b ] in n even lange deelintervallen met lengte Dx De deelpunten zijn x 0 = a , x 1, x 2, …, x i –1, x i, …, x n – 1, xn = b .

• Verbind de punten Pi – 1 ( x i – 1, f ( x i – 1)) en Pi ( x i , f ( x i )) door een lijnstuk.

• In elk deelinterval benaderen we de lengte van de boog Pi 1 Pi door de lengte van de koorde | Pi 1 Pi |

| Pi 1 Pi | = ( x i x i 1 )2 +[ f ( x i ) f ( x i 1 )]2

=( x i x i 1 ) · 1 + f ( x i ) f ( x i 1 ) x i x i 1 2 ( x i > x i 1 )

We veronderstellen dat de gegeven functie f ook afleidbaar is in [ a , b ] f is dus continu in [ x i –1, x i ] en afleidbaar in ] x i –1, x i [ .

Volgens de middelwaardestelling van Lagrange geldt dan : ∃ c i ∈] x i 1 , x i [ : f ( c i )= f ( x i ) f ( x i 1 ) x i x i 1 (zie Analyse 2)

Bijgevolg is | Pi 1 Pi | = ∆ x 1 +[ f ( c i )]2

• De som L n van de lengten van alle koorden | Pi 1 Pi | is een benadering van de gevraagde booglengte :

L n = n i = 1 ∆ x · 1 +[ f ( c i )]2

• Na onbeperkt verfijnen van de verdeling van [ a , b ] wordt de gevraagde booglengte :

L = lim n → +∞ n i = 1 1 +[ f ( c i )]2 · ∆ x

• Is f ′ continu in [ a , b ], dan is ook 1 +( f )2 continu in [ a , b ] en is volgens de definitie van de bepaalde integraal :

L = b a 1 +[ f ( x )]2 dx

Besluit :

Als f afleidbaar is in [ a , b ] en de afgeleide functie f ′ is continu in [ a , b ], dan is de booglengte van de grafiek van f over [ a , b ] gelijk aan :

L = b a 1 +[ f ( x )]2 dx of : L = b a 1 + y 2 dx 1 1 0 O a b L y = f ( x ) x y

Voorbeeld :

We kunnen nu de exacte lengte van de boog OA uit de instap berekenen. L = | OA | = 4

1 + f ( x ) 2 dx

2 Toepassing : lengte van een cirkelboog

Gegeven : Een cirkelboog | ACB | met straal r en met middelpuntshoek α in een georthonormeerd assenstelsel

Gevraagd : | ACB |

Oplossing : De figuur is symmetrisch t.o.v. x . Daarom voeren we de berekening uit voor de boog AC met vergelijking y = √ r 2 x 2 y = x r 2 x 2

Bgsin1 Bgsin

We bekomen, als we de middelpunthoek α in radialen meten :

lengte cirkelboog = straal middelpuntshoek = r

Gevolg : als we α = 2p stellen, dan vinden we de omtrek van een cirkel met straal r

omtrek cirkel = 2pr

3.3

Toepassingen in de fysica en de

economie

Tot nu toe werden integralen gebruikt om oppervlakten en inhouden te berekenen. Er zijn echter veel meer toepassingen van integralen omdat allerlei soorten grootheden in de wetenschappen, de economie, de sociologie en de biologie als oppervlakten voorgesteld kunnen worden. We geven enkele voorbeelden.

1 Snelheid en afgelegde weg

Instap : in de volgende grafiek wordt de snelheid die een sprinter ontwikkelt uitgezet in functie van de tijd.

a Hoe kun je de afgelegde weg zichtbaar maken in de vorm van een oppervlakte ?

b Hoe kun je de afgelegde weg berekenen als je beweegt met een veranderlijke snelheid ?

Oplossing :

a We weten dat, als een voorwerp beweegt met een constante snelheid v gedurende het tijdsinterval [ t 1, t 2], de afgelegde weg gelijk is aan v · ( t 2 – t 1)

De afgelegde weg wordt immers voorgesteld door de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek.

Dus : s = t 2 t 1 vdt

snelheid v tijd

2 v ( t 2 – t 1)

b Als een voorwerp gedurende het tijdsinterval [ t 1, t 2] beweegt met een veranderlijke snelheid v ( t ), dan kunnen we de afgelegde weg als volgt berekenen.

– Verdeel het interval [ t 1, t 2] in n gelijke deelintervallen met als lengte ∆t .

– Veronderstel dat in elk deelinterval de snelheid constant blijft en gelijk is aan v i (= snelheid in het midden van het deelinterval).

De afgelegde weg in het deelinterval is dan v i · ∆t .

– De afgelegde weg in het tijdsinterval [ t 1, t 2] is dan bij benadering gelijk aan v 1 ∆t + v 2 ∆

afgelegde weg = snelheid maal tijd of s = v t

t – De correcte afgelegde weg vinden we door de limiet van die som te nemen, waarbij we ∆t naar 0 laten naderen (of n → + ∞). (1)

Dus: s = lim

of: s = lim n →+∞ n i =1 vi ∆ t of: s = t 2 t 1 v ( t )dt deﬁnitievandebepaaldeintegraal

Opmerking :

In het boek Analyse 2 hebben we gezien dat : v ( t )= Ds ( t )= ds ( t ) dt

De functie s van de afgelegde weg is dus een primitieve functie van de snelheidsfunctie v .

Voorbeeld :

Welke afstand legt een voertuig in 8 seconden af als v ( t ) = 3t 2 + 2t (met v ( t ) in m/s) ?

Oplossing :

De gevraagde afstand s = 8 0 (3 t 2 + 2 t )dt =[ t 3 + t 2 ]8 0 = 512 + 64 = 576

Het voertuig legt 576 m af.

2 Versnelling en snelheid

Stel dat een voorwerp gedurende het tijdsinterval [ t 1, t 2] beweegt met een veranderlijke versnelling a ( t ).

Wat is dan de snelheid v tussen de tijdstippen t 1 en t 2 ?

Toon op een analoge manier als op blz. 173 aan dat :

v = t 2 t 1

a ( t )dt (2)

Opmerking :

In het boek Analyse 2 hebben we gezien dat : a ( t )= Dv ( t )= dv ( t ) dt

De snelheidsfunctie v is dus een primitieve functie van de versnellingsfunctie a . Zo vinden we (2) terug.

Voorbeeld 1 :

Als een massa van een bepaalde hoogte naar beneden valt, dan werken er op de vallende massa twee krachten : de zwaartekracht en de wrijvingskracht.

Opmerking :

De zwaartekracht is steeds naar de aarde gericht en dicht bij het aardoppervlak is ze constant. De grootte van de zwaartekracht is m g . Hierin is g de gravitatieversnelling. Die is bij benadering gelijk aan 9,81 m/s2 Als je de wrijvingskracht verwaarloost, dan is de resulterende kracht de zwaartekracht. Volgens de wet van Newton geldt dan :

m · g = m · a ( t )

Dus : a ( t ) = g is in dit geval constant.

De snelheid na t seconden is :

v ( t )= t 0 gdy = g [ y ] t 0 = g t

De afgelegde weg na t seconden is :

s ( t )= t 0 gydy

= g · y 2 2 t 0 = g t 2 2

Een valbeweging over niet al te grote afstanden kan door de vergelijking s ( t )= g t 2 2 beschreven worden.

Voorbeeld 2 :

Bepaal het voorschrift s ( t ) van de plaatsfunctie s van een motorfiets (bewegend op een rechte baan) als je weet dat het voorschrift van de versnellingsfunctie a wordt gegeven door a ( t ) = 6t + 2.

Bovendien is ook gegeven dat s ( 0) = 0 en v ( 0) = 4.

Oplossing :

• We bepalen eerst het voorschrift van de snelheidsfunctie v :

v ( t )= a ( t )dt

= (6 t + 2)dt

= 3 t 2 + 2 t + C 1

Uit v (0)= 4volgtdat C 1 = 4

zodat v ( t )= 3 t 2 + 2 t + 4.

• s ( t )= v ( t )dt

= (3 t 2 + 2 t + 4)dt

= t 3 + t 2 + 4 t + C 2

Uit s (0)= 0volgtdat C 2 = 0

zodat s ( t )= t 3 + t 2 + 4 t .

3 Kracht en arbeid

a Als op een systeem een constante kracht F inwerkt en dat verplaatst (in de richting van F ), dan zeggen we in de fysica dat de kracht een arbeid W = F s verricht, waarbij F de grootte van de kracht voorstelt en s de afgelegde weg (verplaatsing) van het systeem. Arbeid wordt uitgedrukt in joule (J), 1 Nm = 1 J.

Voorbeeld :

Een wagentje wordt voortgetrokken over een recht spoor met een kracht van 1,8 N (newton) en over een afstand van 4 m (meter).

We berekenen de arbeid die hiervoor vereist is.

W = F · s = 1,8 · 4 = 7,2

De nodige arbeid bedraagt 7,2 J (joule)

Grafische betekenis :

We stellen vast dat de arbeid gelijk is aan de oppervlakte van het rechthoekige gebied R

Hieruit volgt : 0 1 1,8

1,8 [ s ]4 0 = 1,8 · (4 0) = 7,2

b In veel gevallen is de kracht niet constant gedurende de verplaatsing van een systeem.

In de figuur zie je een veer.

PLAFOND

0,15 m

Links is de veer in rust. Als je die veer 0,15 m uitrekt en vervolgens loslaat, dan wordt de veer door de veerkracht teruggetrokken. De veerkracht is volgens de wet van Hooke recht evenredig met haar uitrekking. Hoe groter de uitrekking, hoe meer kracht er nodig is.

F v = k u met F v : de veerkracht

u : de uitrekking

k : de veerconstante

Neem k = 2 N/m.

In de onderste stand is de veerkracht dan 2 0,15 N = 0,30 N. Maar even

Fveer = k · u later, op 0,05 m afstand, is de veerkracht nog maar 2 0,05 N = 0,10 N.

Hoe groot is de door de veerkracht verrichte arbeid tijdens die periode ?

Net zoals bij de bepaling van de afgelegde weg (blz. 175) kun je de arbeid benaderen door de weg in kleine stukjes te verdelen. De afgelegde weg s vanaf u = 0,15 m tot u = 0,05 m heeft een lengte van 0,10 m.

Als u = 0,15 m, dan is s = 0 m.

Als u = 0,05 m, dan is s = 0,10 m.

F( s ) s

1 s 0

• We verdelen het interval [ s 1, s 2] = [ 0; 0,10] in n ( = 5) gelijke deelintervallen met lengte ∆s ( = 0,02 m).

• We nemen aan dat in elk i -de deelinterval de kracht constant blijft en gelijk is aan F i (F i is de minimale kracht in elk deelinterval). De arbeid in dat deelinterval is dan F i · ∆s .

• De arbeid W over het interval [ s 1, s 2] is dan bij benadering gelijk aan F1 ∆ s + F2 ∆ s + ... + Fn s = n i

Voor n = 5 is W = 0,02 ( 0,26 + 0,22 + 0,18 + 0,14 + 0,10) = 0,018

• De correcte arbeid vinden we door de limiet van die som te nemen waarbij we ∆s naar 0 laten naderen (of n → +∞).

Dus: W = lim n →+∞ n i =1 Fi ∆ s

of: W = s2 s1 F ( s )ds deﬁnitiebepaaldeintegraal

In het voorbeeld van de veer is F = 2u en u = –s + 0,15.

Hieruit volgt dat F = –2s + 0,3.

Voor de arbeid die de veerkracht verricht, geldt : W = 0,10 0 ( 2 s + 0,3)ds = s 2 + 0,3 s 0,10 0 = 0,02

Je kunt ook zeggen dat de arbeid gelijk is aan de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van F , waarbij de kracht afhankelijk is van de afgelegde weg.

Taak :

Toon aan dat de door de veerkracht verrichte arbeid ook berekend kan worden met de formule :

W = 0,15

0,05 2 udu

Hierbij is u de uitrekking t.o.v. het evenwichtspunt.

Voorbeeld :

Van een veer is de veerconstante k = 100 N/m.

a Bereken de arbeid die nodig is om de veer uit te rekken over een bepaalde afstand.

b Bereken de arbeid die nodig is om de veer 5 cm uit te rekken.

c Bereken de arbeid die nodig is om de veer nog 5 cm verder uit te rekken.

d Over welke afstand is de veer uitgerekt als je weet dat een arbeid van 2 joule wordt geleverd ?

Oplossing :

a Het voorschrift van de arbeidsfunctie bepalen we door de krachtfunctie F met F ( s ) = 100s te integreren.

W ( s )= 100 sds = 100 s 2 2 + C = 50 s 2 + C

C = 0omdat W (0)= 0

Dus: W ( s )= 50 s 2

b W = 0,05 0

100 sds s1 = 0 s2 = 5cm = 0,05m

= 100 s 2 2 0,05 0

= 50 s 2 0,05 0

= 50 (0,05)2 0

= 0,125

De arbeid die nodig is om de veer 5 cm uit te rekken, is 0,125 joule.

c W = 0,10

100 sds = 50 s 2 0,10 0,05

0,05

= 50 · (0,10)2 50 · (0,05)2

= 0,5 0,125

= 0,375

De arbeid die nodig is om de veer nog 5 cm uit te rekken is 0,375 joule.

d W = s2

0(= s1 ) 100 sds = 2

50 s 2 s2 0 = 2

50 s 2 2 0 = 2

s 2 2 = 1 25

s2 = 1 5

De veer is uitgerekt over een afstand van 1 5 meter of 20 centimeter.

Toepassingen van de

Voorbeelden :

Arbeid verricht door een raket die verticaal opstijgt tot een hoogte h

Taak :

We houden geen rekening met de luchtweerstand en met de rotatiebewegingen van de aarde. We veronderstellen verder dat de aarde een homogene bol is (zwaartepunt in het middelpunt) en dat het massaverlies van de raket te verwaarlozen is. De fysica leert ons dat de gravitatiekracht F op een massa m , op een afstand x van het middelpunt van de aarde gelegen, wordt gegeven door :

F = G · m · M x 2 met m :massavanderaket

M :massavandeaarde = 5,977 1024 kg

G :gravitatieconstante = 6,67 · 10 11 m3 kg · s 2

R = 6,378 · 106 m

De gevraagde arbeid is dus :

W = R +h R G m M x 2 dx = G · m · M · 1 x R +h R =

Bereken met die formule de arbeid die nodig is om een raket met een massa van 1000 kg op een hoogte van 500 km te brengen.

Arbeid die nodig is om een raket buiten de aantrekkingskracht van de aarde te brengen

W = +∞ R G · m · M x 2 dx = lim h →+∞

Laten we even ‘idealistisch’ doordenken. We veronderstellen dat de raket bij het vertrek een eenmalige stoot krijgt en er verder geen kracht op wordt uitgeoefend, afgezien van de zwaartekracht. Wat moet dan de vertreksnelheid zijn om te ontsnappen aan de aantrekkingskracht van de aarde ?

De kinetische energie die de raket met beginsnelheid v 0 meekrijgt, is mv0 2 2 . Die moet gelijk zijn aan de te leveren arbeid.

Daaruit volgt dan : mv0 2 2 = GmM R ⇐⇒ v0 = 2GM R ≈ 11181

De ontsnappingssnelheid van de raket bedraagt dus 11 181 m/s of ongeveer 11,2 km/s.

Foto: ESA

4 Marginale kostprijs

Een marginale kostenfunctie geeft aan hoeveel de dagelijkse kosten stijgen als de dagproductie stijgt van x naar x + 1 eenheden. In het boek Analyse 2 hebben jullie het volgende geleerd.

De totale kostenfunctie van een product wordt gegeven door :

K ( q ) = 1,5q 3 – 20q 2 + 100q + 50 met q : de te produceren hoeveelheid.

De fabrikant wil weten hoe de totale kosten veranderen bij toename van de productie. De gemiddelde kostenstijging bij een productietoename van 10 naar 14 producten is :

K (14) K (10) 14 10 = 1646 550 4 = 274 De gemiddelde kostenstijging is 274 euro.

Grafische interpretatie :

De gemiddelde kostenstijging is de richtingscoëfficiënt van de rechte door de punten ( 10, 550) en ( 14, 1646) In de economie spreken we ook van de marginale kost. Die geeft de helling weer in een punt van de kostengrafiek. Het is de limiet van de gemiddelde kostenstijging bij steeds kleinere productietoenamen en dus niets anders dan de afgeleide functie van de kostenfunctie.

Grafische interpretatie :

De marginale kost is, net zoals de ogenblikkelijke snelheid, de helling (rico) van de raaklijn. De marginale kostenfunctie wordt gegeven door :

M (q )= 4,5q 2 40q + 100 = dK (q ) dq Voor q = 14 zal de marginale kost 422 euro zijn.

Grafieken van de totale kostenfunctie en de marginale kostenfunctie :

K (q )= 1,5q 3

q 2 +

q +

M (q )= 4,5q 2 40q + 100

Bij volkomen concurrentie (bv. de grondstoffenmarkt, de beurs …) maximaliseert de verkoper zijn winst als de marktprijs van zijn producten gelijk is aan de marginale kost.

W = O – K (winstfunctie = omzetfunctie – kostenfunctie)

W ismaximaalals dW dq = 0of dO dq = dK dq .

Als de marktprijs van een product 150 euro (dus O ( q ) = 150q ) bedraagt, hoeveel stuks zal deze aanbieder dan op de markt brengen zodat de winst maximaal is ? dO dq = dK dq ⇐⇒ 4,5q 2 40q + 100 = 150

4,5q 2 40q 50 = 0

D = 1600 + 900 = 2500 q1 = 40 + 50 9 = 10

q2 = 10 9

De aanbieder zal dus 10 stuks op de markt brengen.

Besluit : de marginale kostenfunctie is niets anders dan de afgeleide van de totale kostenfunctie : M ( q ) = K ′( q ).

Omgekeerd is de totale kostenfunctie dus een primitieve functie van de marginale kostenfunctie.

Voorbeeld :

De kostprijs om 100 exemplaren per week van een bepaald product te maken is 400 000 euro.

De marginale kostprijs is gegeven door de formule : M ( q ) = 40 + 100q – 0,01q 2 .

a Wat is de kostprijs om 300 stuks per week te maken ?

b Bepaal de marginale kostprijs bij een weekproductie van 300 stuks (d.w.z. de stijging van de kostprijs bij een productieverhoging van 300 naar 301).

c Bepaal de stijging van de kostprijs bij een productieverhoging van 300 naar 350 stuks.

Oplossing : a

M (q )= K (q )= dK (q ) dq =⇒ K (q )= M (q ) dq = (40 + 100q 0,01q 2 ) dq = 40q + 50q 2 0,01 3 q 3 + c

Wewetendat K (100)= 400000 ⇐⇒ 40 (100)+ 50 (100)2

Dusdetotalekostenfunctie K heeftalsvoorschrift K (q )= 40q + 50q 2 0,01 3 q 3 302000 3

K (300) = 4 321 333,333

De kostprijs om 300 stuks per week te maken bedraagt 4 321 333,333 euro.

b M (300) = 40 + 100 · 300 – 0,01 · (300)2 = 29 140. De marginale kostprijs bij een weekproductie van 300 stuks is 29 140 euro.

c K (350) K (300)= 350 300 (40 + 100q 0,01q 2 ) dq = 1574083,33. De kostprijs stijgt met 1 574 083,33 euro.

5 Gini-coëfﬁciënt en Lorenzcurve van de inkomensverdeling

De Lorenzcurve is de grafische weergave van de verdeling van het inkomen of vermogen van een bevolking. Op de grafiek kun je aflezen hoe groot de inkomensongelijkheid van een bevolking is.

Hieronder zie je als voorbeeld de grafiek van de verdeling van de gezinsinkomens van een bepaalde stad.

proportievanhettotaleinkomen(cumulatief)

I IIgelijkeverdeling l ( x )= 1 3 x + 2 3 x 3 ongelijkeverdeling

proportievandegezinnenmetdelaagsteinkomens(cumulatief)

Op de x -as worden de percentages van de gezinnen met de laagste inkomens geplaatst. Op de y -as zie je de percentages van het totale inkomen van alle gezinnen. Dikwijls worden in plaats van percentages de proporties in het interval [ 0, 1] weergegeven.

De grafiek van de functie l met l ( x ) = 1 3 x + 2 3 x 3 heet de Lorenzcurve van de bijbehorende inkomensverdeling.

Op die grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat 25% van de gezinnen met de laagste inkomens gezamenlijk slechts 9% van het totale inkomen verdienen. De 50% van de gezinnen met de laagste inkomens verdient 25% van het totale inkomen.

Bij volstrekte gelijkheid van inkomen zou moeten gelden : l ( x ) = x voor alle x [ 0, 1]. Naarmate de ongelijkheid tussen de inkomens toeneemt, zal de Lorenzcurve dieper doorzakken.

De oppervlakte tussen de eerste bissectrice met vergelijking y = x en de Lorenzcurve met vergelijking y = l ( x ) is een maatstaf voor de ongelijkheid.

Max Otto Lorenz (1876 – 1959)

De Lorenzcurve werd in 1905 ontwikkeld door Max Otto Lorenz (1876 – 1959), een Amerikaanse econoom en statisticus. Zijn ouders waren Duitse emigranten, zijn vader was een succesvolle zakenman. Hij publiceerde zijn bekendste paper (over deze curve) toen hij nog aan het doctoreren was. Hij gaf les, publiceerde papers en werkte ook geregeld voor Amerikaanse overheidsinstanties zoals de U.S. Bureau of Statistics.

De Gini-coëfficiënt of Gini-index G wordt in de economie gebruikt om de inkomensongelijkheid in een samenleving te meten.

Ze wordt als volgt gedefinieerd : G = A I A

De waarde ligt steeds tussen 0 en 1, waarbij :

• 0 staat voor een absolute gelijkheid van inkomens: iedereen heeft hetzelfde inkomen.

• 1 staat voor absolute ongelijkheid van inkomens: één persoon krijgt het volledige inkomen, de anderen krijgen niets.

Voorbeeld :

We berekenen de Gini-coëfficiënt bij de Lorenzcurve van de inkomensverdeling uit het voorbeeld van vorige bladzijde.

Corrado Gini (1884 – 1965)

De Gini-coëfﬁciënt werd door de Italiaanse statisticus Corrado Gini (1884 – 1965) in 1912 gepubliceerd in zijn werk

Variabilità e mutabilità .

Income inequality: Gini coefficient, 2023

Op de weergave hieronder zie je de inkomensongelijkheid in onze wereld van 2023. Voor het Vlaamse Gewest lag de index op 0,22. Dat was iets lager dan het Waalse Gewest (0,25) en serieus lager dan het Brussels Hoofdstedelijk Gewest (0,32). Het Europees gemiddelde was in 2023 iets meer dan 0,29.

The Gini coefficient¹ measures inequality on a scale from 0 to 1. Higher values indicate higher inequality. Depending on the country and year, the data relates to income measured after taxes and benefits, or to consumption, per capita².

6 Elasticiteit van de vraag

Als een artikel verhoogt in prijs ( p ), dan loopt de gevraagde hoeveelheid ( q ) meestal terug. Ook het omgekeerde is waar. Vaak kun je het verband tussen p en q vastleggen in een zogenaamde vraagfunctie met voorschrift p = f ( q ). De grafiek van deze functie is de zogenaamde vraagcurve.

Bij een prijsverhoging zijn er dus twee tegengestelde invloeden op de opbrengst ( O = p q ): p stijgt, q daalt.

Welke van de twee overweegt ? Dat hangt af van de vraagfunctie en wordt uitgedrukt door de elasticiteit E .

In de economie werd daarom het begrip elasticiteitscoëfficiënt E als volgt ingevoerd :

E (1) Het minteken zorgt ervoor dat E ⩾ 0 ; dp en dq hebben immers een verschillend teken.

Voorbeeld :

Devraagfunctieheeftalsvoorschrift p = q 4 + 10

Dus: dp dq = 1 4

Uit (1) volgtdat E = p q · dp dq = 4p q =

– Voor bijvoorbeeld q = 10 is E = 3.

Dat betekent dat bij 1% prijsverhoging, q met 3% en de opbrengst met 2% achteruitgaat. De afnemers reageren fel op de prijsveranderingen. De vraag wordt ‘elastisch’ genoemd.

Voor bijvoorbeeld q = 30is E = 1 3 .

Dat betekent dat bij 1% prijsverhoging q met slechts 1 3 % omlaag gaat en de opbrengst 2 3 % groter wordt. De afnemers reageren zwak : de vraag is niet elastisch.

– Voor bijvoorbeeld q = 20 is E = 1.

Bij een prijsverhoging van 1% daalt q met 1% en blijft de opbrengst hetzelfde. De vraagelasticiteit is gelijk aan 1.

Taak :

Toon aan dat de opbrengst maximaal is bij q = 20 en p = 5.

3.4 Samenvatting en oefeningen

1 Samenvatting

Toepassingen van integralen bij oppervlakte- en inhoudsberekening

• Je kunt met behulp van integraalrekenen de oppervlakteformules afleiden voor een vierkant, een rechthoek, een trapezium en een cirkel.

• Je kunt met behulp van integraalrekenen de inhoudsformules afleiden voor een cilinder, een kegel, een afgeknotte kegel en een bol.

• Als f continu is in [ a , b ], dan is de inhoud van het omwentelingslichaam ontstaan door het wentelen rond de x -as, van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f , de x -as en de rechten met vergelijking x = a en x = b ,gelijkaan V =

Alsdeasvandewentelinggelijkisaande y -as,danis V = π b a x 2 dy .

• Je kunt de lengte bepalen van een boog (een deel van een grafiek, begrensd door 2 punten).

Als f afleidbaar is in [ a , b ] en de afgeleide functie f ′ continu is in [ a , b ], dan is de booglengte van de grafiek van f over [ a , b ] gelijk aan L = b a 1 + f ( x ) 2 dx of : L = b a 1 + y 2 dx

• Je weet dat de lengte van een cirkelboog gelijk is aan het product van straal r en middelpuntshoek α (in radialen).

L = r α

• Je kent de formules voor volume van een cilinder, een bol, een kegel en een afgeknotte kegel. cilinder

Toepassingen van integralen in de fysica

• Je kunt de afgelegde weg s berekenen als je de snelheid v ( t ) kent in het tijdsinterval [ t 1, t 2]

• Je kunt de snelheid v berekenen als je de versnelling a ( t ) kent in het tijdsinterval [ t 1, t 2]. v =

• Je kunt de arbeid W berekenen die verricht wordt door een veranderlijke kracht F ( s ) bij een verplaatsing van een systeem over een afstand s ∈ [ s 1, s 2]

Toepassingen van integralen in de economie

( t )dt

s1 F ( s )ds

• Je weet dat de Lorenzcurve de grafische weergave is van de inkomensverdeling van een bevolking. Je weet dat de Gini-coëfficiënt G in de economie gebruikt wordt om de inkomensongelijkheid in een samenleving weer te geven. x l ( x )

0,1

proportievanhettotaleinkomen(cumulatief)

0,25 0,5 0,75 1 0 y = x gelijkeverdeling

III

l ( x )= 1 3 x + 2 3 x 3 ongelijkeverdeling

proportievandegezinnenmetdelaagsteinkomens(cumulatief) •

0,25 0,5 0,75 1

G = A I A I + A II

• Je weet dat de totale kostenfunctie K een primitieve functie van de marginale kostenfunctie M is, want K ′( q ) = M ( q )

K (q )= M (q )dq

• Je weet dat de stijging van de kostprijs bij een productieverhoging van q 1 naar q 2 bepaald wordt door q2

q1 M (q ) dq

• Je kent de prijselasticiteit als toepassing op bepaalde integralen.

Toepassingen van de

2 Oefeningen

3 1 2 3 4

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling om de x -as van de kromme met de gegeven vergelijking in het aangegeven interval.

a y = 3 x 2 , x ∈ [0,2]

b y = e x , x ∈ [0,2]

c y = cos x , x ∈ π 2 , π 2

d y = x 2 + 2 x ,

e y = x 2 + 9 x 18,

(tussendesnijpuntenmetde x -as)

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij omwenteling om de x -as van de vlakke figuur begrensd door de krommen met de gegeven vergelijkingen.

a y = 4 x x 2 , y = x

b y = x 2 2 x , y = 6 x x 2

c y = x 2 + 3 x , y = 2

d y = 4 x 2 , y = 4 x 2 , x = 2 y = 0

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling van de kromme met vergelijking

y = x 2 voor x ∈ [ 0, 2] om de as met vergelijking :

a y = 0 b x = 0

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling van het vlakdeel ingesloten door de kromme met vergelijking y = x 3, de x -as, de y -as en de rechte met vergelijking x = 1 om de as met vergelijking :

a y = 0 b x = 0

Bereken met integralen de inhoud van het lichaam dat ontstaat door de ingekleurde gebieden te wentelen om de x -as.

a f ( x )= 2 x en g ( x )= x 2 + 5 2

b f ( x ) = –x + 3 en g ( x ) = x – 1

f(x)= 2x

Toon aan dat de inhoud van een paraboloïde, ontstaan door het wentelen van de parabool y 2 = 4x om zijn symmetrieas en begrensd door een loodvlak op de omwentelingsas met vergelijking x = 4, gelijk is aan de helft van de inhoud van de omgeschreven cilinder.

Onderstaand glaasje wordt bekomen door het wentelen om de x -as van het vlakdeel begrensd door de x -as, de y -as, de rechte met vergelijking x = 9 en de grafiek van de functie f met

f met f ( x )= x 3 216 + 7 72 x 2 5 12 x + 2.

Bereken de inhoud (in cl) van zo’n glas.

De buitenwand van een koeltoren kan worden gemodelleerd door een kromme te wentelen. Als we de toren in gedachten kantelen, dan kunnen we die bekomen door de grafiek van de functie f met f ( x )= 20 x + 2 ,en0 x 8, rond de x -as te wentelen. De meeteenheid langs de x -as en de y -as is meter. Bereken het volume van die toren (in liter).

Stel de formule op voor de berekening van de booglengte van de grafiek van f en bereken met ICT. a f (

De voorkant van een koekjestrommel is een deel van een parabool met vergelijking y =

De bodem is een rechthoek van 10 cm bij 20 cm.

Hoeveel cm2 blik heb je nodig om deze trommel te maken ?

Een voorwerp beweegt op een rechte lijn met een gegeven snelheid v ( t )

Op het ogenblik t = 0 is s = 0. Schrijf s in functie van t en bereken de afgelegde weg na 10 seconden.

a v ( t )= 3 t + 1

b v ( t )= t 2 5 + 6 t

c v ( t )= √ t + 2

Een voorwerp beweegt op een rechte lijn met een gegeven versnelling a ( t ) en beginsnelheid v 0

Op het ogenblik t = 0 is s = 0. Schrijf s in functie van t en bereken de afgelegde weg na 5 seconden.

a a ( t )= t + 1; v0 = 2

b a ( t )= t 3 ; v0 = 2

c a ( t )= 1 √ t ; v0 = 3

Een bal rolt over een baan met een beginsnelheid van 8 m/s.

Door de wrijving zal de snelheid verminderen met 2 m/s2

Hoe ver rolt de bal ?

Een automobilist rijdt met een snelheid van 108 km/h en remt af met een vertraging van 3 m/s2

a Schrijf v en s in functie van t

b Hoeveel bedraagt de remweg ?

Een voorwerp wordt op een hoogte van 1500 m losgelaten. Voor de snelheid v na t seconden geldt de formule : v ( t ) = 20t – t 2

Die formule geldt tot het tijdstip waarop de snelheid niet meer toeneemt. Daarna blijft de snelheid constant.

a Bereken het tijdstip waarop de maximale snelheid is bereikt.

b Bereken hoeveel meter het voorwerp is gevallen tot het moment waarop de snelheid maximaal wordt.

c Bereken na hoeveel seconden het voorwerp op de grond komt.

Een komeet met massa 20 ton vliegt recht naar de aarde. Bereken de arbeid die verricht wordt door de gravitatiekracht van op een hoogte van 10 000 km tot op het aardoppervlak.

Toepassingen van de

Een veer heeft in ruststand een lengte van 0,30 m. De kracht F nodig om de veer uit te rekken over een afstand van x meter is F = 25 000 · x newton.

a Bereken de arbeid die nodig is om de veer uit te rekken van 0,30 m tot 0,35 m. b Bereken de arbeid die nodig is om de veer uit te rekken van 0,35 m tot 0,40 m.

Een treinstel remt iets te laat af, waardoor het stootblok 25 cm wordt ingedrukt. De buffers van het stootblok hebben een veerconstante van 3 106 N/m.

Bepaal bij hoeveel cm het stootblok twee keer zoveel energie kan opnemen als bij 25 cm.

Een buigzame kabel heeft een lengte van 15 m. Je wilt de kabel 10 m ophijsen. Hoeveel arbeid kost dat als je weet dat de kabel 15 N per meter weegt ?

Een last met een gewicht van 1000 N wordt aan een kabel 20 m opgehesen. De kabel weegt 20 N per meter en wordt op een haspel gewikkeld.

a Hoeveel arbeid wordt er verricht om alleen al het voorwerp op te hijsen ?

b Hoeveel arbeid is er nodig om de kabel te hijsen ?

c Hoeveel arbeid is er in totaal nodig ?

Bereken de arbeid die nodig is om 500 kg steenkool vanuit een 500 m diepe mijn naar boven te trekken met behulp van een kabel die 30 N/m weegt.

De stroomsterkte I van een wisselstroom is veranderlijk en wordt op elk ogenblik t gegeven door

:pulsatie

De effectieve stroomsterkte I e van een wisselstroom is per definitie de stroomsterkte van een gelijkstroom die in dezelfde tijd en met dezelfde weerstand warmte ontwikkelt.

Als tijd nemen we een volledige periode T . De weerstand stellen we voor door R

Volgens de wet van Joule is het kwadraat van de effectieve stroomsterkte I e het gemiddelde van I 2 in het tijdsinterval

De marginale kostprijs in een bedrijf wordt gegeven door de functie M met :

M ( q ) = 0,03q 2 – 30q + 7000 (euro)

a Bepaal de marginale kostprijs bij een dagproductie van 300 stuks.

b Bepaal de stijging van de kostprijs bij een productieverhoging van 300 naar 350 stuks.

Bepaal het voorschrift van de kostenfunctie K als de marginale kostprijs M ( q ) en de vaste kosten K 0 gegeven zijn.

a M ( q ) = 1,5q + 2 ; K 0 = 100

b M ( q ) = 0,15q 2 – 30q + 20 ; K 0 = 1200

De kostprijs om 100 exemplaren van een bepaald product te maken, is 50 000 euro.

De marginale kostprijs wordt gegeven door : M ( q ) = – 20 + 10q – 0,01 q 2

a Bepaal het voorschrift van de kostenfunctie K

b Wat is de kostprijs om 250 stuks van dat product te maken ?

c Bepaal de stijging van de kostprijs bij een productieverhoging van 250 naar 300 stuks.

Het verband tussen de prijs ( p ) en de gevraagde hoeveelheid ( q ) van een artikel wordt vastgelegd door log p = – 4 – 0,8 log q

a Bepaal de elasticiteitscoëfficiënt E

b Als de prijs 10% verhoogt, met hoeveel procent neemt dan de gevraagde hoeveelheid toe?

Bereken de Gini-coëfficiënt bij de Lorenzcurven met vergelijking :

a l ( x )= 1 4 x + 3 4 x 3

b l (

Toepassingen van de integraalrekening 3

Ik kan het volume van een omwentelingslichaam berekenen met behulp van een bepaalde integraal.

Ik kan de booglengte van een vlakke kromme berekenen met behulp van een bepaalde integraal.

Ik kan de afstand uit de snelheid berekenen met behulp van bepaalde integralen.

Ik kan de snelheid uit de versnelling berekenen met behulp van bepaalde integralen.

Ik kan arbeid uit kracht berekenen met behulp van bepaalde integralen.

Ik kan de marginale kostprijs berekenen met behulp van bepaalde integralen.

Ik kan de Gini-coëfficiënt berekenen van de inkomensverdeling van een samenleving.

Ik ken de prijselasticiteit als toepassing op bepaalde integralen.

165

171

174

176

178

182

184

186

Oplossingen

1.1 Verloop van algebraïsche functies

(blz. 27)

1a 7

b 27 2

c +∞

d 1 4

e 1 6

fLL =+∞ ;RL = −∞

gLL = −∞ ;RL =+∞

i +∞

j 3 4

2aV.A.: x = 2;H.A.: y = 1

bV.A.: x = 4;H.A.: y = 2

cV.A.: x = 2en x = 1;H.A.: y = 2

dV.A.: x = 1;S.A.: y = x + 1

3a2 x + 1

b2 x + 4

c 6 x 2 12 x 4

d12 x 3 12 x 2 + 12 x

e 6 ( x + 5)2

f 7 (2 x 1)2

g x 2 2 x 1 ( x 1)2

h3( x 2 x 4)2 (2 x 1)

i 4sin3 x sin4 x + 3cos3 x cos4 x

j2sin4 x

k3(4 x + 1) · (2 x 2 + x )2 + 8 x (6 2 x 2 )

l 12cos(6 4 x ) sin2 (6 4 x )

4a f ( x )= 2 x 4; (3,2) ;V = R

b f ( x )= 4 x 4; (3, 16), ( 3,8) ;V =] 3,3[

c f ( x )= 3 x 2 4 x ; (0,0), (4,32), (1, 1) ; V =]0,1[ ∪ ]4, +∞[

d f ( x )= 3 x 2 + 6 x + 1; (0,1), ( √5,16 6√5), (√5,16 + 6√5) ;V =] √5,0[ ∪ ]√5, +∞[

5a ( 3, 27), (2, 2)

b ] −∞, 3[ ∪ ]2, +∞[

c −∞, 1 2

6a ] −∞, 2[ ∪ ]1, +∞[

b 1

7 a2

b 125cos5 x c 2 ( x + 1)3 d48 x 2 40 e6 f 4sin x cos x

8 a y = 6 x ; y = 1 6 x 37 3

b y = x + 7; y = x 1

c y = 1; x = π 4

9a v ( t )= 20 gt

b2,04seconden

c20,4meter

d a ( t )= d ( v0 gt ) dt g

11 4 cm

12 bDemaximaleinhoudis 4πa 3 27 als x = 2a 3 .

c4π cm3

13 b r = 3 √4

14 a +∞ b 1 3

cRL =+∞ ;LL = −∞ d 1 4

fRL = −∞ ;LL =+∞

g5 h +∞ i 2 3 j0

1.2 Verloop van exponentiële en logaritmische functies (blz. 52) 1a 1 8 b 1 3

4a4e 4 x b16e 4 x 2

c10 x ln10 d10√ x ln10 · 1 2√ x

e2 x ln4 · 4 x 2 1

f2e sin2 x · cos2 x g 2 2 x 5 h 2 x i2ln x 1 x j 2log x x ln10 k 2 x (1 x 2 ) ln10 l 1 x ln3 m 1 (1 x ) x ln5 n x 2 (3ln x + 1) o 1 x ( x 1) p 1 x 2 + k

5 e –3x ( 7sin4x + 24cos4x ) 6 –2x 2 + 6x – 10

7a y = 4 x + 1; y = 1 4 x + 1

b y = 2 x 1; y = 1 2 x + 1 4

c y = 2ln4 x ln4 + 2; y = 1 2ln4 x + 1 4ln4 + 2

d y = 2 x 6; y = 1 2 x + 3 2

8 a 4,34

b 0,43

9 a −∞, 1 e ∪ ]0, +∞[

b f ( x )= 1 x ( ex + 1)2

10 a y = x – 1 ; y = –x + 1

11 a e x (2 x + 1)

b e x ln x + e x x

c x 3 · e x (4 + x )

d10 x sin x ln10(sin x + x cos x )

e2ln( x 2 2)+ 2 x (2 x 3) x 2 2

f2 x ln x 2 + 2 x

glog4 x + 1 ln4

h4ln3 sin x i 2 x (2 ln x )2

j log3 x x ln4 + log4 x x ln3

k 1 sin x

l 2 4 x 2 + 1

12 a −∞

b −∞

c 1 e 2

d e 8 e e f 3ln2 2 g 1 ln3

h e 3

i 6 √e

j 1 √e k +∞ l +∞ mRL =+∞ ;LL = −∞

14 a3694

b817

c N ( t )= 100 e 0,2 t

d739perdag

15 a v ( t )= 6 + 45,02 0,223 t

b183,672km/h

c 67,56 (0,223) t

d1seconde: 15,07m/s2

3seconden: 0,75m/s2

16 a –200 per uur

b 31 uur

17 b 1.00 u.

c 2 h 6 min

d 3 h 12 min

e –0,05 °C

18 b 2679

c 1820 jaar

20 b 25 000 liter

c 10 minuten

d 8,49 minuten

e 7,83 minuten

21 a m ( t )= 260e 0,00043 t

b1612jaar

cna5355jaar

d 0,1113g/jaar

22 a K ( t )= 5000 e 0,0693 t b10jaar

23 a p = 1000 e 0,1404h

b h = 7,1225 ln p 1000

24 A

1.3 Verloop van goniometrische functies (blz. 69)

3 a a = 8

b a = 3

c ( cosx + 2)3

4 a a = 2,5; p = 4; f = 1 4

b f ( t )= 5π 4 cos π 2 t π 4

f ( t )= 5π2 8 sin π 2 t π 4

c t = 1 2 + 2k ; t = 3 2 + 2k

6b a = 3, p = π,horizontaleverschuiving = 0, verticaleverschuiving = 1

a = √5, p = 2π,horizontaleverschuiving = 0,464,verticaleverschuiving = 1

7c f a ( t )= 2cos(π t ) · sin(55π t )

e f 3 = f 1 + f 2 2

1.4 Differentiaal van een functie (blz. 77)

1a (2 x 5) dx

x 2 + 4 x 2

x 2 + 4 x + 4 dx

c (4 x 3 4 x ) dx

d2cos2 xdx

e 4e 4 x dx

f ( 4 x + 14) dx

g2tan2 x +1 ln2 (tan2 2 x + 1) dx

h (cos x · cos2 x 2sin x · sin2 x ) dx

i 1 + 2 x x 2 + 1 dx

j4cos2 x · sin2 xdx

2 9,11 cm2

3 5,026 cm3

4 12,566 km

5 14,137 dm3

6 102,625 cm3

7 a 9,950

b 0,515

c 10,003

d 0,966

8 0,025 m/s

9 6 cm

2.1 Bepaalde integralen (blz. 119)

1 a 10,5

b 14

c 12,25

2 a ondersom = 13 ; bovensom = 21

b exacte oppervlakte = 17

3 a ondersom = 32,5 ; bovensom = 37,5

b exacte oppervlakte = 35

4 n ondersom bovensom

4 4,125 11,06

8 6,12 9,65 16 7,08 9,13

5 b ondersom : 6,5 ; 7,81 ; 8,3 ; 8,73 ; 8,86

bovensom : 11 ; 10,06 ; 9,65 ; 9,27 ; 9,13

c 9

d 9 m

6 18

7a s6 = 6,875; S6 = 11,375

b s20 = 8,3363; S20 = 9,6863

s50 = 8,7318; S50 = 9,2718

s100 = 8,8655; S100 = 9,1355

s500 = 8,973; S500 = 9,027

s999 = 8,9865; S999 = 9,0135

8 a 2

b 21,5

c 10,5

12als5 < t 10

0als10 < t 20

9als20 < t 30

0als t > 30

bna5minuten:30l na10minuten:90l na20minuten:90l na25minuten:45l na30minuten:0l

D ( t )=

12 t 30als5 < t 10

90als10 < t 20

9 t + 270als20 < t 30

0als t > 30

d V ( t )= D ( t )

a 4225 m

8,45 km/h

14 a 32 3 b 32 3 c 9 2 d 27 4 e 32 5 f 4 3 15 8 3 16 a 2 3 b3 c 57 4 d 63 4 17 a 1 6 b 250 3 c 64 3 d 1 2 e 37 12 18 3 19 a h ( c + b ) 2 20 44 3 21 a8 b 25 4 c 275 8 22 9 23 72√2 5 24 11 3 25 3645,83 m3 26 a –4; 3 b –2 ; 2 c –4

4 31 a 90 d 9 b –x 2 –5x + 6 e 22,5 c 7,5 32 a 5 2 x 2 b 2 x 3 3 c x 3 3 4 x d 1 x x + 2 x 3 3 e 2cos x 5sin x f x 4 4 + x 2 2 g 1 2 x ln 1 2 h2 x 34 a 14 3 b2 c2 d1 e1 f 99 10 ln10 g 976 15 h9 6√2 35 a12 b e 2 1 e c 1 2 d1 36 a 1 1 2 p ln2 b2

37 a0,4694 b 20 3 c2√2 d 4 3 e 9 2

38 a 1 2 b ±0,88 c 1 √3 2 d √3

39 a 4 3 b6 c 2 π d1,0986 e1,21365

40 9,8 °C

41 b 233,33 m

42 B 43 B 44 B 45 A

2.2 Integratiemethoden : fundamentele integralen (blz. 139)

1a x 2 2 + 5 x + C b 2 x 5 5 + C c x 3 3 x 2 2 + 7 x + C d x 6 6 + C e 4 x 3 3 6 x 2 + 9 x + C f 6 5 x 2 √ x + C g 2√ x 3 x 2 + C h 4 3 x √ x + 2√ x + C i 3 x 2 2 5ln | x | +C

j2ln | x | + x 1 5 x 2 2 + C ktan x sin x + C

ltan x + C m 2 3 x 3 + 3 2 x 2 2 x + C n7e x 5 2 x ln2 + C o 1 x + 2√ x x + C p cot x + tan x + C 2a 14 3 b 12 c2 + √2 d1 e e 2 5 f 68 3 3a x 2 2 + x + 5 2 b x 3 3 x 2 2 + 29 3 c cos x 1 d ln | x | + x + 1

4a a cos t + b sin t + C

b 2e t + C

c x 2 2 + x · sin y + C

d xy cos y + C

e x 2 e y + C

f2 xe y + C 5 9 8

6 45 m

2.3 Integratiemethoden : substitutie (blz. 148)

1a ( x 2)5 5 + C

b 2 3 ( x 5)√ x 5 + C

cln | x + 2 | + C

d 1 5 cos5 x + C

e 52 x 4 2 ln5 + C

f 1 4 e 4 x + C

gln | sin x | + C

h 5 2 x + C

iln | x 2 x | + C

j sin2 x 2 + C

k 1 6 (1 + x 4 ) 1 + x 4 + C

l 72 x +5 2ln7 + C

m ( x 4 + x )8 8 + C

n 1 3 tan(3 x 1)+ C

oln | ln x | + C

p e 1 x + C

q 1 ln3 ln | 4 + 3 x | + C

r 1 2 + sin x + C

2a64

d ln3 2 eln2 f3 √6

g 9 2 h1 ln2

3 a 1 b 2

a 4 b 8p

5 a x 3 2 x 2 + x + 3

b 1 2 sin 2 x + π 2 + 1 2

c e 2 x 3 + e 6 3( e 2 1) 2e

7 a 1 ; 1,5214

b –0,735 ; 1

c 6 – e 8 10π 2 9 1 + 3a 2 6

hb 11 8

a 45 m b 125 m

2.4 Integratiemethoden : partiële integratie (blz. 159)

1a x sin x + cos x + C

b x 2 2 ln x x 2 4 + C

c 2e x ( x + 1)+ C

d 1 2 x cos2 x + 1 4 sin2 x + C

e 1 + ln x x + C

f x ln2 x 2 x ln x + 2 x + C g x 2 cos x + 2 x sin x + 2cos x + C

h ( x 2 + 2 x + 2) e x + C i 2 x ( x ln2 1) (ln2)2 + C

j (2 x 2 11 x + 11) e x + C k 1 4 x 2 1 4 x sin2 x 1 8 cos2 x + C

l 1 2 e x (sin x cos x )+ C

m x tan x + ln | cos x | + C

n x 5 25 (5ln x 1)+ C

o e 3 x 13 (3sin2 x + 2cos2 x )+ C 2a 1 2

b 1 + 7e 8 4

c 3ln2 1 3 9π 2

Herhalingsoefeningen – gemengde reeks (blz. 159) 1 ln | x |− 2 3 x √ x + C 2 (3 x 1)5 15 + C 3 2 x 3 + 2 5 x 2 √ x x 2 2 + C

6 13 ( x 5)2 6 √ x 5 + C 5 1 4 e 2 x 2 + C

Toepassingen van de integraalrekening (blz. 189)

1 2ln3 ln | 4 + 32 x | + C

2 x √ x 9 (3ln x 2)+ C

(2 x 2 ) cos x + 2 x sin x + C

1 2 ln | 2 x + cos2 x | + C

9 a 16 3

b2√17 √5 + 1 2 ln 4 + √17 2 + √5 ≈ 6,336

c 31 · √31 8 27 ≈ 6,096

d 14 3

e2√3

f1 + 1 2 ln 3 2 ≈ 1,203

g 3ln5 2 3

h ln3 2 i 1 + e 2 8 j 9π 2

10 562,46 cm2

11 a s ( t )= 3 t 2 + 2 t 2 ; s (10)= 160

b s ( t )= t 3 + 45 t 2 15 ; s (10)= 700 3

c s ( t )= 2 t √ t 3 + 2 t ; s (10)= 20 3 + √10 3

12 a s ( t )= t 3 + 3 t 2 + 12 t 6 ; s (5)= 130 3

b s ( t )= t 2 40 t 20 ; s (5)= 585 4

c s ( t )= 4 t √ t + 9 t 3 ; s (5)= 5 4√5 + 9 3

13 16 meter

14 a v ( t )= 3 t + 30; s ( t )= 3 t 2 2 + 30 t

b150meter

15 a t = 10 b 2000 3 m ≈ 666,667m

c 55 3 s ≈ 18,33s

16 7,6 1011 J

17 a 31,25 J b 93,75 J

18 √2 4 m ≈ 35,36cm 19 750 J

20 a 20 000 J b 4000 J c 24 000 J

21 6 202 500 J

23 a 700 euro b 21 250 euro

24 a K( q ) = 0,75q 2 + 2q + 100

b K( q ) = 0,05q 3 – 15q 2 + 20q + 1200

25 a K (q )= q 3 300 + 5q 2 20q + 16000 3

b260750euro

c98583,33euro

26 a 1,25

b 12,5%

27 a 3 8

b 1 3

Trefwoordenregister

A afgeknotte kegel 169 afgelegde weg 174 afgeleide 13 afgeleide functie van een functie 14 amplitude 64 arbeid 178 asymptoot 10

B bepaalde integraal 91 bol 17 booglengte 171 bovensom 89 buigpunt 17, 18

C cilinder 168 cirkelboog 173 constante kracht 178 constante snelheid 174 cosinusfunctie 59 cotangensfunctie 61

D differentiaal 72

E e 33, 36 even functie 19 evenwichtsstand 64 exponentiële functie 31 exponentiële groei 31 extrema 16

F faseverschil 70 Fourier 66 Fourieranalyse 65 frequentie 65 fundamentele integralen 134

gedempte trilling 65 gemiddelde verandering 13 gemiddelde waarde 105

Gini 185

Gini-coëfficiënt 185

Gini-index 185

goniometrische functie 58 groeifactor 31

H harmonische trilling 65 hol 17 hoofdstelling van de integraalrekening 105, 107 horizontale asymptoot 11 horizontale verschuiving 64

I integraalfunctie 104 integraalrekening 81 integrand 133 integratie door splitsing 135 integratieconstante 133 integratievariabele 133 integreren 132

K kegel 168 kracht 178

L Lagrange 17 limiet 9 lineaire groei 31 logaritme 31 logaritmische functie 32 Lorenz 184 Lorenzcurve 184

M marginale kost 182

maximum 16

minimum 16

N natuurlijke logaritme 37 neperiaanse logaritme 37

O ogenblikkelijke verandering 13 omwentelingsas 163 omwentelingslichaam 163 onbepaalde integraal 132 ondersom 89 oneven functie 19 oppervlaktefunctie 85

P partiële integratie 151 periode 64 primitieve functie 108 primitiveren 132 pulsatie 64

R regel van de l’Hôpital 26, 43 Riemann 90 Riemannsom 91 Rolle 17

S schuine asymptoot 12 sinusfunctie 58 snelheid 174 stelling van Lagrange 17 stelling van Rolle 17 substitutie 140

T tangensfunctie 60 tweede differentiaal 74

V veranderlijke snelheid 175 versnelling 176 verticale asymptoot 10 verticale verschuiving 64 volume van een omwentelingslichaam 165