VBTL 1 - Leerwerkboek Getallen, algebra, data en onzekerheid - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Getallen I Algebra Data en onzekerheid

Bjรถrn Carreyn Filip Geeurickx Roger Van Nieuwenhuyze CARTOONS Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat zes ­hoofdstukken vol getallen, algebra, data en onzekerheid. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Leerstof in verband met verdiepende doelen ­herken je aan het fijne groene streepje.

Definities vind je op een rode achtergrond.

Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.

Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap.

De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

Wiskunde kent veel links met andere vakken.

We tonen zo’n link in een paars­gekleurd kadertje.

1

Getallen rondom ons

5 Samenvatting

2 Grote getallen

B

Sommige getallen zijn wel heel groot.

–

asis •

Je kent de tien symbolen in ons talstelsel.

•

Je kent het verschil tussen een cijfer en een getal.

– –

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die worden cijfers genoemd.

De nummers van de oefeningen hebben een kleur : geel (basis) of groen (verdieping).

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof.

De snelheid van het licht bedraagt 299 792 458 meter per seconde.

De rijkste persoon ter wereld was in 2018 Jeff Bezos (Amazon). Hij bezat toen ongeveer 150 000 000 000 dollar.

•

Je weet dat de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats in dit getal.

1 miljoen

In het getal 90,36 staat 9 voor de tientallen (9 T) en staat 3 voor de tienden (3t).

1 miljard

•

Je kent de overgangen in ons tiendelig systeem.

Hoe schrijven we het getal ?

1 biljoen 1 biljard

1 D = 10 H = 100 T = 1000 E 1 E = 10 t = 100 h = 1000 d

Data en onzekerheid

5

1 triljoen

1 000 000 Deze naam komt van ‘mille’ maal ‘mille’, of 1000 × 1000.

1 000 000 000 1 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘bi’ duidt op 2 : miljoen × miljoen.

1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘tri’ duidt op 3 : miljoen × miljoen × miljoen.

1 googol

1 000 … 000

Oplossingsmethodes voor vraagstukken

100 nullen

Je kent voorbeelden van talstelsels en je kunt de evolutie ervan schetsen in de geschiedenis.

erdieping •

2

Ons melkwegstelsel telt zo’n 400 000 000 000 sterren.

Hoe noemen we het getal ?

•

1

Aan sommige grote getallen geven we speciale namen :

90,36 is een getal dat bestaat uit vier cijfers.

V

*

2 Mediaan

Je kunt getallen omzetten van en naar een ander telstelsel.

Opgelet ! Niet iedereen volgt deze indeling.

7

In Amerika bestaat een biljoen uit 1000 miljoenen,

Welke van volgende tabellen zijn verhoudingstabellen ?

een triljoen uit 1000 biljoenen, enz.

mediaan

a

De mediaan van enkele getallen verkrijg je door eerst de getallen te rangschikken van klein naar groot.

1

2

3

3

6

9

c

4

8

12

5

10

10

e

42

63

28

42

54

48

72

66

Is het aantal getallen … … oneven, dan is de mediaan het middelste getal ; … even, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen.

Notatie :

b

De mediaan van enkele getallen noteren we als ‘me’.

Voorbeeld :

4

7

10

5

8

11

d

10

20

30

50

100

150

f

José is klasleerkracht van 1A. Op een toets Frans schreef ze volgende resultaten in : 12

18

14

16

8

10

9

11

10

15

18

15

17

16

4

12

13

11

9

14

12

13

7 ‘Onze’ cijfers

4

7

8

9

9

10

10

11

11

12

12 12 13 13 ↓ middelste getal

14

14

15

15

16

16

17

18

18

11 getallen

getallen nadat die eerst van klein naar groot gerangschikt zijn.

Het woord ‘cijfer’ komt, net als ons talstelsel, uit de Arabische wereld. Het is afgeleid van het woord sifr,

8

9

dit woord veralgemenen voor alle symbolen.

de mediaan is 16

•

12

13

15

16

12

24

18

later de Romeinse cijfers verdringen. Het cijfer 0 is er maar

Indisch :

b

West-Arabisch :

Om de mediaan van 13, 16, 7, 8, 18, 9, 12 en 15 te vinden, rangschikken we van klein naar groot : 7

wat ‘leeg’ betekent. Het werd oorspronkelijk gebruikt om het symbool nul aan te duiden. Later ging men

a

Bij ons worden de West-Arabische cijfers gebruikt. De cijfers waren er al vanaf de 10e eeuw, maar ze zouden pas 700 jaar

Oost-Arabisch :

Voorbeelden : Cijfers

gingen ontwikkelen : de Oost-Arabische en de West-Arabische.

120

c

54

e

63 28

42

24 36

3

21

39

helemaal op het laatst bijgekomen.

Als er een even aantal resultaten is, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste waarnemings­

•

Vul volgende verhoudingstabellen aan.

de 5e eeuw. Vandaar kwamen ze naar Arabië, waar zich twee types

We zoeken dan het middelste getal.

11 getallen

8

Met veel goede wil kun je onze cijfers herkennen in het Indië van

Om de mediaan te bepalen, rangschikken we eerst alle resultaten van klein naar groot.

d

60 16

40

110 5

f

33 15

60

35

Onze cijfers stammen af van de West-Arabische cijfers. Vooral het gebruik van de boekdrukkunst heeft deze

18

Indisch-Arabische cijfers in populariteit doen winnen. Dankzij deze cijfers brak de renaissance aan : het tijdperk van de vernieuwing.

12 + 13 = 12, 5 2

9

Floris en Guus verdelen hun gezamenlijke winst van 1890 euro. De verhouding tussen beide bedragen is 4 tot 5.

Hoeveel krijgt elk als je weet dat Floris het kleinste bedrag krijgt ?

11

Om de verkeersstroom in beeld te brengen, worden de wagens geteld die per uur

FLORIS

GUUS

_____________________________________________________________

SAMEN

in onze straat langsrijden. _____________________________________________________________ 3

2

3

1

3

8

15

13

15

20

19

20

16

15

13

13

10

8

5

3

3

1

0

1

_____________________________________________________________

Gerangschikt van klein naar groot : 0

1

1

1

2

3

3

3

3

3

5

8

8

10

13

13

13

15

15

15

16

19

20

20

De mediaan is

10

Verdeel 640 euro onder Jan , Frieda en Karel zodat hun bedragen zich verhouden als de getallen 4 , 5 en 7.

JAN

8+8 =8 2

FRIEDA

KAREL

SAMEN

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

283

155

3

Wat moet je kennen en kunnen ?

147

 

❒

Ik kan vraagstukken oplossen met behulp van de regel van drie.

148

 

❒

Ik kan vraagstukken oplossen met behulp van een verhoudingstabel.

149

 

X

❒

156

 

X

❒

Ik kan regelmaat herkennen in een reeks gegevens.

157

 

X

❒

Ik kan de regelmaat omzetten naar een woord- en letterformule.

157

 

159

 

Ik kan vraagstukken oplossen met hoofdbewerkingen.

Ik ken de betekenis van een lettervorm en weet wat wat bedoeld wordt met coëfficiënt en lettergedeelte.

Ik kan de letter als plaatsvervanger van een getal vervangen door een gegeven getal en zo de

oké voor examen

❒

X

Vaardigheden | Schatten

X

❒

X

❒

Ik weet wat een vergelijking is en wat bedoeld wordt met linkerlid en rechterlid.

166

 

Vooraleer te beginnen cijferen, of voordat je bepaalde vraagstukken oplost, kan het nuttig zijn om eerst te schatten.

X

❒

Ik ken de vier eigenschappen om een vergelijking op te lossen.

167

   

Nadien kun je het gevonden antwoord toetsen aan de eerder gemaakte schatting.

Voorbeeld 1

Bereken 285 · 47

schatting :

285 · 47 wordt 280 · 50 = 280 · 100 : 2

berekening :

door te cijferen :

=

28 000 : 2

=

14 000

getalwaarde berekenen.

X

❒

Ik kan een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking.

169

X

❒

Ik kan vraagstukken oplossen met procentrekenen.

170

 

X

❒

Ik kan formules omvormen naar een gevraagde letter.

170

 

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte.

Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen.

Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?

X Y

Herhalingsoefeningen

2

HERHALINGSOEFENINGEN

1

Oplossingsmethodes voor vraagstukken ik ken het !

Getallen rondom ons

3

pagina

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet.

Ook in het portfolioschriftje, dat bij dit boek hoort, kun je vaardig­heden inoefenen.

dit moet ik leren

Vaardigheden

niveau

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk.

In de eerste kolom vind je de verwijzing naar de taxonomie van Bloom : Onthouden, Begrijpen, Toepassen, Analyseren, Evalueren of Creëren.

Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets.

Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Klas

1

285

Gehele getallen

Naam

· 47

Datum

Totaal

Punten

Orde / Stipheid

Correctheid

…… / 2

De getallenas. a

1995

Nummer

Plaats volgende getallen op de getallenas : – 8, 4, 6, 12 en 20

1140

–4

13 395 Conclusie : onze schatting 14 000 ligt mooi in de buurt van 13 395.

0

Q

b Welke getallen zijn hier op de getallenas aangeduid met x , y en z ?

4,5

5

x

Voorbeeld 2

Een nieuwe auto kost 22 900 euro zonder btw.

schatting :

btw :

y

x = __________

Je moet er nog 21 % btw bij optellen om aan het te

Q

z

y = __________

z = __________

betalen bedrag te komen. Wat zal de uiteindelijke

2

kostprijs zijn ?

1 van 23 000 is 4600 5

berekening :

22 900 · 21 met de rekenmachine : € = € 4809 100

0

_______

b – 8 _______

totaalprijs : € 22 900 + € 4809 = € 27 709

3

…… / 3

Vul in met < of > of = . a

schatting totaalprijs : € 23 000 + € 4600 = € 27 600

3

c

1

_______

–1

e

0

_______

–5

–2

d 4

_______

| –4 |

f

|9|

_______

| –9 |

Noteer telkens alle gehele getallen die voldoen aan de gegeven voorwaarde.

…… / 4

Conclusie : onze schatting van 27 600 euro ligt mooi in de buurt van 27 709 euro.

a

183

x > –2

b –5 ⩽ x < 2

Voorbeeld 3

Voor het verven van de muren in ons huis hebben we zes potten primer nodig

schatting :

primer :

6·€9

wordt 5 · € 10

woestijnzandverf :

11 · € 18,50

wordt 10 · € 20 = € 200

(grondlaag) van 9 euro per pot en elf potten verf met ‘woestijnzandkleur’, die elk 18,50 euro kosten. Als ik aan de kassa wil afrekenen, wil ik graag weten hoeveel alles mij ongeveer zal kosten. Hoeveel kosten alle potten samen ?

berekening :

= € 50

4

€ 250

____________________________________________________________________________

c

–3 < x ⩽ 1

____________________________________________________________________________

d

|x |

< 2

____________________________________________________________________________

Woordenschat van de bewerkingen. a

met de rekenmachine : 6 · € 9 + 11 · € 18,50 = € 257,50

____________________________________________________________________________

…… / 2

In de uitdrukking 48 + 56 = 104 noemen we 48 een _______________ en 104 noemen we de _______________

b In de uitdrukking 63 : 9 = 7 noemen we 63 het _______________ en 7 noemen we het _______________

Conclusie : onze schatting van 250 euro ligt mooi in de buurt van 257,50 euro.

c

In de uitdrukking 12 · 4 = 48 noemen we 12 een _______________ en 48 noemen we het _______________

d In de uitdrukking 24 = 16 noemen we 2 het _______________ en 4 noemen we de _______________

69

142

Welkom in de wondere wereld van de wiskunde.

Als je dit boek doorbladert, dan merk je dat we echt ons best hebben gedaan om er een aantrekkelijk en prettig boek van te maken.

Je zult veel tekeningen en fotoâ&#x20AC;&#x2122;s tegenkomen, en ook jij moet tekeningen maken. Zoek al maar een geodriehoek. En ook een rekenmachine mag best in de buurt liggen.

Vergelijk jezelf gerust met deze atletenâ&#x20AC;&#x160;: dankzij een goede voorbereiding ben je helemaal klaar om te knallen.

Inhoud

Getallen I Algebra I Data en onzekerheid

1

Getallen rondom ons

4

Rationale getallen

1.1 Ons talstelsel ������������������������������������������������������������������������� 9 1.2 Getalverzamelingen ...................................................... 22 1.3 Deelbaarheid ........................................................................ 32 1.4 Breuk, decimale vorm en procent .................. 46

2

Extra’s ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 57

Gehele getallen 2.1 Welkom in z ............................................................................ 65 2.2 Hoofdbewerkingen met gehele getallen ....................................................................................... 79 2.3 Machten en vierkantswortels ............................. 95 2.4 Eigenschappen van de hoofdbewerkingen in z .................................. 105 2.5 De volgorde van bewerkingen ......................... 116

3

4.1 Welkom in q ....................................................................... 189 4.2 Hoofdbewerkingen met rationale getallen .................................................................................... 203 4.3 Machten en vierkantswortels .......................... 222 4.4 Eigenschappen van de hoofdbewerkingen ............................................. 228 4.5 De volgorde van bewerkingen ........................ 238

Extra’s ................................................................................................... 128

Oplossingsmethodes voor vraagstukken 3.1 Vraagstukken oplossen met hoofdbewerkingen .......................................... 135 3.2 Vraagstukken oplossen in verband met deelbaarheid .......................... 145 3.3 Vraagstukken oplossen door het gebruik van letters ............................ 156 3.4 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen ....................................................... 166 Extra’s ................................................................................................... 180

5

Extra’s .................................................................................................... 247

Data en onzekerheid 5.1 Soorten data ...................................................................... 255 5.2 Voorstellingswijzen .................................................... 258 5.3 Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte ....................................................... 282

6

Extra’s ................................................................................................... 293

Oplossingsmethodes voor vraagstukken 6.1 Vraagstukken oplossen door het gebruik van letters ........................................... 301 6.2 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen ................................................................... 314 Extra’s ................................................................................................... 328

Trefwoordenregister 335

1

Getallen rondom ons

Waarom tellen we ? Ooit moet er toch wel iemand mee gestart zijn ?

Vele tientallen eeuwen geleden, toen de mens overschakelde van de jacht naar de landbouw, was er een schaapherder met een probleem. ’s Ochtends stuurde hij zijn kudde naar buiten, maar als hij ze ’s avonds weer in de stal liet, wist hij nooit of ze er allemaal waren. Op een nacht kreeg hij een idee. Toen hij de volgende ochtend zijn schapen liet vertrekken, legde hij voor elk schaap dat hem passeerde een kiezelsteentje opzij. ’s Avonds nam hij voor elk schaap dat de stal binnen­kwam een steentje van de stapel af. Zo wist hij wanneer er schapen ontbraken.

Of dit verhaal helemaal waar is, weten we niet. Wel is zeker dat het Latijnse woord calculus zowel ‘tellen’ als ‘steentje’ betekent.

1

Getallen rondom ons 1.1 Ons talstelsel

1 Ons tiendelig stelsel ....................................................... 9 2 Grote getallen ...................................................................... 11 3 Oorsprong van onze getallen .............................. 12 4 Het binair of tweetallig stelsel .......................... 15 5 Samenvatting ...................................................................... 16 6 Oefeningen .............................................................................. 17

1.2 Getalverzamelingen

1 Natuurlijke getallen ...................................................... 22 2 Gehele getallen ................................................................. 23 3 Rationale getallen .......................................................... 24 4 Symbolen in de wiskunde ...................................... 26 5 Samenvatting ....................................................................... 27 6 Oefeningen ............................................................................. 28

1.3 Deelbaarheid

1 Opgaande en niet-opgaande deling ........... 32 2 Delers en veelvouden ................................................. 33 3 Symbolen in de wiskunde ...................................... 34 4 Kenmerken van deelbaarheid ........................... 36 5 Samenvatting ...................................................................... 38 6 Oefeningen ............................................................................. 39

8

1.4 Breuk, decimale vorm en procent

1 Gelijkwaardige breuken ........................................... 46 2 Breuken vereenvoudigen ......................................... 47 3 Breuken gelijknamig maken ................................. 47 4 Omzetting breuken – kommagetallen ...... 48 5 Procenten ................................................................................ 49 6 Samenvatting ....................................................................... 51 7 Oefeningen ............................................................................. 52

Extra’s

Vaardigheden : schatten ....................................................... 57 Wat moet je kennen en kunnen ? .............................. 59 Herhalingsoefeningen .......................................................... 60

1

Getallen rondom ons

1.1

Ons talstelsel 1 Ons tiendelig stelsel In de basisschool hebben we geleerd om vlot te rekenen met getallen. Zowel het hoofdrekenen als het cijfer­ rekenen kwam veelvuldig aan bod.

HOOFDREKENEN

CIJFERREKENEN

8 · 9 = 72 27 + 43 = 20 + 40 + 7 + 3 = 60 + 10 = 70

1 3 4 + = 5 5 5

398 743

+

−

1141

15 5 3· = 7 7

27, 45 6, 89

maalteken : 8 × 9 noteren we vanaf nu als 8 · 9

20, 56

Om onze getallen te vormen maken we gebruik van de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

Zo bestaat het getal 12,43 uit vier cijfers.

Deze cijfers worden Arabische cijfers genoemd omdat het de Arabieren waren die ons talstelsel bekend­ gemaakt hebben.

Omdat we gebruikmaken van tien symbolen in ons talstelsel noemen we het een tiendelig talstelsel.

Het wordt ook een positiestelsel genoemd, omdat de plaats van de cijfers in het getal zeer belangrijk is.

In het getal 121 gebruiken we tweemaal het cijfer 1, telkens met een andere betekenis.

121

H

T

E

honderdtallen

tientallen

eenheden

1

2

1

eenheden

honderdtallen

Tien eenheden vormen een tiental.

10 E = 1 T

Tien tientallen vormen een honderdtal.

10 T = 1 H

Tien honderdtallen vormen een duizendtal.

10 H = 1 D

Tien duizendtallen vormen een tienduizendtal.

10 D = 1 TD

Samengevat :

1 TD = 10 D = 100 H = 1000 T = 10 000 E

1 D = 10 H = 100 T = 1000 E 1 H =

10 T =

100 E

1 T =

10 E

9

In het dagelijkse leven gebruiken we ook veel kommagetallen.

Hoe verder naar links een cijfer in een getal staat,

Hoe verder naar rechts een cijfer in een getal staat,

hoe groter de waarde van het cijfer wordt.

hoe kleiner de waarde van het cijfer wordt.

0,05

5000 5 duizendtallen

5 honderdsten

0,5 5 tienden

500

5 honderdtallen

5 5 eenheden

50

5 tientallen

50 5 tientallen

5

5 eenheden

500 5 honderdtallen

0,5

5 tienden

5000 5 duizendtallen

0,05

5 honderdsten

Er geldt ook : Tien tienden vormen een eenheid.

10 t = 1 E

Tien honderdsten vormen een tiende.

10 h = 1 t

Tien duizendsten vormen een honderdste.

10 d = 1 h

Tien tienduizendsten vormen een duizendste.

10 td = 1 d

In onderstaande tabel wordt het cijfer 5 een aantal keren genoteerd. Bespreek telkens de betekenis van het cijfer 5. het getal

D

425,38

H

T

E

4

2

5

2 3

22,045 5138,006

5

1

t

h

,

3

8

2

,

0

4

5

8

,

0

0

6

0

,

5

3

4

8

3

,

2

5

5

4

,

3

2

0,534 83,25 454,321

10

4

d

1

1

Getallen rondom ons

2 Grote getallen Sommige getallen zijn wel heel groot.

–– Ons melkwegstelsel telt zo’n 400 000 000 000 sterren.

–– De snelheid van het licht bedraagt 299 792 458 meter per seconde.

–– De rijkste persoon ter wereld was in 2018 Jeff Bezos (Amazon). Hij bezat toen ongeveer 150 000 000 000 dollar.

–– Toen Pinterest op de beurs kwam, was het bedrijf meteen 12 600 000 000 dollar waard.

–– Als je op een lottoformulier 6 van de 45 getallen aankruist, dan heb je één kans op 8 145 060 op de winnende combinatie.

–– Volgens wetenschappers is de aarde zo’n 4 560 000 000 jaar geleden ontstaan.

Aan sommige grote getallen geven we speciale namen : Hoe noemen we het getal ?

1 miljoen 1 miljard 1 biljoen 1 biljard 1 triljoen 1 googol

Hoe schrijven we het getal ?

1 000 000 Deze naam komt van ‘mille’ maal ‘mille’, of 1000 × 1000.

1 000 000 000 1 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘bi’ duidt op 2 : miljoen × miljoen.

1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 Het voorvoegsel ‘tri’ duidt op 3 : miljoen × miljoen × miljoen.

1 000 … 000 100 nullen

Opgelet ! Niet iedereen volgt deze indeling.

In Amerika bestaat een biljoen uit 1000 miljoenen, een triljoen uit 1000 biljoenen, enz.

Googol Een googol werd zo genoemd door de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner, die aan zijn negenjarig neefje Milton een naam vroeg voor een getal met honderd nullen. De neef koos voor ‘googol’. Hij vond zelfs een naam voor een 1, gevolgd door één googol nullen. Dit noemde hij een ‘googolplex’. Dit getal is zo groot dat je het nauwelijks gebruikt.

Het heelal is zelfs te klein om er een googolplex zandkorreltjes in op te bergen !

De oprichter van de internetzoekmachine Google was een fan van wiskunde. In zijn zoektocht naar een naam kwam hij al vlug bij ‘googol’ : alle info ter wereld voor iedereen bereikbaar maken.

Uiteindelijk maakte medeoprichtster Sean Anderson een spelfout toen ze het merk registreerde.

11

3 Oorsprong van onze getallen Cijfers en namen voor getallen hebben niet altijd bestaan. Maar toch kon de mens al lang tellen voor hij cijfers ­bedacht. We overlopen enkele bekende talstelsels.

a De Egyptenaren De schrijfwijze bij de Egyptenaren is eenvoudig.

Ze gebruikten hiërogliefen.

1

=

10

=

10 000

=

100

=

100 000

=

1000

=

1 000 000

= vanaf 3100 voor Christus

Het systeem had als basis 10 en had geen symbool voor 0. Om een getal te lezen, maak je gewoon de som van de ­tekens. Daarom is dit een voorbeeld van een additief stelsel : je krijgt het getal door de waarde van alle symbolen op te tellen. De plaats van het symbool is dus van geen belang.

Voorbeelden : = 234

= 32 348

b De Maya’s De Maya’s leefden in Yucatan, in Midden-Amerika.

Ze waren hoofdzakelijk maïskwekers en hun beschaving stond op een uitzonderlijk hoog peil. Hun talstelsel had als basis 20, wellicht omdat een mens in totaal 20 vingers en tenen heeft. Overblijfselen van dit ­systeem vinden we terug in de Franse taal.

Zo heeft het Franse woord voor 20 (vingt) ­helemaal niets te maken met 2 (deux), terwijl dat wel zo was voor 3 en 30 (trois, trente), 4 en 40 enz. van 200 tot 900 na Christus

0 =

3 =

6 =

9 =

12 =

1 =

4 =

7 =

10 =

13 =

2 =

5 =

8 =

11 =

14 =

De Maya’s hadden (wat merkwaardig was) een symbool voor nul. Ze schreven ook alles onder elkaar. Het onderste symbool geeft de eenheden aan, daarboven staan de twintigtallen gevolgd door de 360-tallen. Niet echt logisch, je zou hier 400 verwachten, maar de Maya’s dachten dat één jaar bestond uit 360 ‘positieve’ dagen.

Voorbeelden :

 8 × 360  3000 6 × 20  0

12

 16 × 360  5813 2 × 20  13

1 × 20 1

21

Getallen rondom ons

c De Grieken Bij dit Attische systeem werden de getallen met volgende herodiaanse cijfers (genoemd naar de Griekse geschiedenis­schrijver Herodianus) voorgesteld : = 1000 = 1 = 50 5 = 100 = 5000 = 10 = 500 =

10 000 =

Voorbeelden : = 2336 = 60 Ook dit systeem is geen positiestelsel.

Later werden de letters van het Griekse alfabet gebruikt om de cijfers voor te stellen : 1 = a (alfa) 20 = k (kappa) 2 = b (bèta) 100 = r (rho) 3 = g (gamma) 200 = z (zèta)

d De Romeinen Deze symbolen zul je misschien wel kennen : 1 = I 50 = L 1000 =M 5 = V 100 = C 5000 = V 10 = X 500 = D 5 000 000 = V Staat er voor een symbool een symbool met een kleinere waarde, dan moet je die kleinere waarde van de andere ­aftrekken.

vanaf 200 voor Christus

Een streepje boven het symbool betekent dat je met 1000 moet vermenigvuldigen. Een dubbele streep erboven betekent maal een miljoen enzovoort.

Een groot nadeel aan de Romeinse cijfers was dat ze erg onhandig waren om mee te rekenen. Probeer maar eens CCLXVII te vermenigvuldigen met DCCXXXIII zonder de getallen eerst om te zetten naar ons talstelsel.

Ze g ­ ebruikten daarom voor hun rekenwerk een telraam (abacus), dat bestond uit staafjes met kralen erop.

In oosterse landen wordt dit nu nog steeds gebruikt en zijn er mensen die er sneller mee kunnen rekenen dan met een rekenmachine !

Voorbeelden : LXIV = 64 VMMDXXIX = 7529 CXXXVI = 136

XII = 12 000

Romeinse cijfers De herkomst van C en M in het Romeins talstelsel ligt bij de eerste letters van de woorden ‘centum’ (100) en ‘mille’ (1000). Bij de andere symbolen is dat helemaal niet zo zeker. Waarschijnlijk zijn ze overblijfselen van het gebruik van de kerfstok bij herders.

13

1

e ‘Onze’ cijfers Met veel goede wil kun je onze cijfers herkennen in het Indië van de 5e eeuw. Vandaar kwamen ze naar Arabië, waar zich twee types gingen ontwikkelen : de Oost-Arabische en de West-Arabische. Bij ons worden de West-Arabische cijfers gebruikt. De cijfers waren er al vanaf de 10e eeuw, maar zouden pas 700 jaar later de Romeinse cijfers verdringen. Ondanks het feit dat de Indiase wiskundige Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) al een symbool had voor nul, is het cijfer 0 er maar helemaal op het laatst bijgekomen.

Indisch :

Oost-Arabisch :

West-Arabisch :

Onze cijfers stammen af van de West-Arabische cijfers. Vooral het gebruik van de boekdrukkunst heeft die Indisch-Arabische cijfers aan populariteit doen winnen. Dankzij deze cijfers brak de renaissance aan : het tijdperk van de vernieuwing.

f Simon Stevin Deze Vlaamse natuurkundige, wiskundige en ingenieur was raadsman van prins Maurits van Oranje, voor wie hij in 1601 een zeilwagen ontwierp. Hij voerde het tien­ delige stelsel in, stelde intresttabellen op en verbeterde de werking van sluizen en molens.

Ook voor de wiskundige woordenschat was Simon ­belangrijk. Hij vond woorden uit zoals wiskunde, ­driehoek, delen, omtrek, middellijn en wortel. Deze woorden hebben het echter niet gehaald: brantse (voor parabool), uytbreng (voor product) en teerlincxwortel (voor derdemachtswortel). Je vindt zijn standbeeld op het Simon Stevinplein in Brugge.

Zijn belangrijkste werk was De Thiende (1586), waarin hij decimale breuken invoerde. Dat zijn breuken met als noemer een macht van 10. Stevin gebruikte nog niet de notatie met een decimaal punt of komma, maar een notatie waar achter elk cijfer een macht van 10 kwam te staan. Wat wij nu als 4,58 schrijven, schreef hij als 4(0)5(1)8(2).

14

1

Getallen rondom ons

4 Het binair of tweetallig talstelsel TIENDELIG

BINAIR 0

0 1

I

2

I 0

3

I I

4

I 0 0

5

I 0 I

6

I I 0

7

I I I

8

I 0 0 0

9 Je werkt waarschijnlijk af en toe met een rekenmachine of een compu­

I 0 0 I

10

ter. Die denken in nog een ander talstelsel, met heel veel bits en bytes.

I 0 I 0

11

Ze maken gebruik van het binair stelsel of het tweetallig stelsel. Enkel

I 0 I I

12

de cijfers 0 en 1 mogen meespelen. Elk cijfertje is één bit.

I I 0 0

13

I I 0 I

14

I I I 0

Stel je even voor dat je alle getallen moet opbouwen door enkel de cij­

15

fers 0 en 1 te gebruiken. Een binair getal is dus opgebouwd uit alleen

I I I I

16

maar nullen en enen. Hoe het opgebouwd is, merk je in de tabel hier­

I 0 0 0 0

17

naast. Probeer je te achterhalen wanneer er bij een binair getal een cijfer

I 0 0 0 I

18

bijkomt ?

I 0 0 I 0

19

I 0 0 I I

20

I 0 I 0 0

a Hoe een getal omzetten van tientallig naar binair ?

32

I 0 0 0 0 0

64

I 0 0 0 0 0 0

Voorbeeld : Zet het getal 172 om naar het binair stelsel.

Werkwijze :

Je noteert :

1 Plaats het getal rechts en deel altijd door 2.

:2

Het quotiënt schrijf je links van dit getal.

2 De rest (die altijd I of 0 is) schrijf je onder het ­getal dat je deelt.

3 Doe dit telkens opnieuw tot je als quotiënt 1 krijgt.

Een laatste keer delen door 2 geeft als resultaat nul en (voor de laatste keer) noteer je een rest één.

0

:2

:2

1

2

5

10

21

43

86

172

I

0

I

0

I

I

0

rest 0

17210 = I0I0II00 2

4 Het binair getal lees je in de ‘restrij’ van links naar rechts.

b Hoe een getal omzetten van binair naar tientallig ?

Voorbeeld : Zet het getal I00 0II I0I om van het binair naar het tientallig stelsel.

Werkwijze : 1 Plaats de cijfers van het binair getal van rechts naar links onder elkaar.

2 Vermenigvuldig het eerste cijfer met 1, het tweede met 2, het derde met 4 en de daaropvolgende met 8, met 16, met 32 … (telkens maal 2).

3 Werk deze makkelijke producten uit.

Tel alle producten op. De som die je bekomt is het oorspronkelijke g ­ etal in het binair stelsel.

4

Je noteert : I · 1 = 1 0 · 2 I · 4 = 4 I · 8 = 8 I · 16 = 16 0 · 32 0 · 64 0 · 128 I · 256 = 256 285

15

5 Samenvatting • Je kent de tien symbolen in ons talstelsel.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die worden cijfers genoemd.

• Je kent het verschil tussen een cijfer en een getal.

90,36 is een getal dat bestaat uit vier cijfers.

• Je weet dat de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats in dat getal.

In het getal 90,36 staat 9 voor de tientallen (9 T) en staat 3 voor de tienden (3 t).

• Je kent de overgangen in ons tiendelig systeem.

1 D = 10 H = 100 T = 1000 E 1 E = 10 t = 100 h = 1000 d • Je kent voorbeelden van talstelsels en je kunt de evolutie ervan schetsen in de geschiedenis.

• Je kunt getallen omzetten van en naar een ander telstelsel.

Cijfers Het woord ‘cijfer’ komt, net als ons talstelsel, uit de Arabische wereld. Het is afgeleid van het woord sifr (‫) صفر‬, wat ‘leeg’

betekent. Het werd oorspronkelijk gebruikt om het symbool nul aan te duiden. Later werd dit woord de algemene term voor alle symbolen.

16

1

Getallen rondom ons

6 Oefeningen 1

Vul de tekst aan.

In het getal 5678 is : a 5 het cijfer dat het aantal ___________________________________ weergeeft. b 6 het cijfer dat het aantal ___________________________________ weergeeft. c 8 het cijfer dat het aantal ___________________________________ weergeeft. d 7 het cijfer dat het aantal ___________________________________ weergeeft.

2

3

Cijfers en getallen. a Welk cijfer geeft de honderdsten weer in 37,823 ?

_____________________________________

b Welk cijfer geeft de tienden weer in 7,92 ?

_____________________________________

c Welk cijfer geeft de duizendsten weer in 8,7654 ?

_____________________________________

Plaats de onderstaande getallen in de tabel.

D a

H

T

E

t

h

d

735

b 4915 c

101

d 4057,2

4

e

358,09

f

11,023

Bereken : a 3 H + 7 H = ____________________________________________________________ D b 5 T + 8 T = ____________________________________________________________ E c 14 H + 9 H =

____________________________________________________________ T

d 182 h + 13 t =

____________________________________________________________ td

e 17 t + 30 h = ____________________________________________________________ E f

100 h + 20 t =

____________________________________________________________ E

17

5

Wordt het nieuwe getal groter of kleiner dan het oorspronkelijke getal ? a Verwissel in 4549 het cijfer van de honderdtallen

en het cijfer van de tientallen van plaats.

______________________________________

b Laat in het getal 2108 de nul weg.

______________________________________

c Verwissel in 6059 het cijfer van de honderdtallen met het cijfer van de eenheden. ______________________________________ d Verwissel in 1436 de twee even cijfers van plaats.

6

______________________________________

Schrijf het grootste getal op dat je kunt vormen door elk cijfer één keer te gebruiken.

Uit hoeveel cijfers bestaat dat getal ? _________________________________________________________________________________________________

7

a Noteer het grootste en het kleinste getal zonder

8

komma dat je met drie cijfers kunt vormen.

________________________________

b Hoeveel getallen zonder komma van drie cijfers zijn er ?

________________________________

c Hoeveel getallen zonder komma van vier cijfers zijn er ?

________________________________

Schrijf het getal dat hieronder in woorden weergegeven is. a vierduizend achthonderdentwee ____________________________ b zevenhonderdeenentachtigduizend vierhonderdtweeënveertig

____________________________

c twaalf miljoen zestigduizend achthonderdzestien ____________________________ d drie miljard achthonderdentweeduizend zevenhonderdenvier

9

____________________________

Welk getal zoeken we ? a We zoeken een getal dat kleiner is dan 1000. Het cijfer van de honderdtallen is het dubbele van het cijfer van de tientallen. Het cijfer van de eenheden is 5. Als je alle cijfers optelt, heb je 17. Over welk getal hebben we het ? _____________________________________________________________________________________________ b We zoeken een getal van vier cijfers, opgebouwd met de vier grootste oneven cijfers. Het cijfer van de een­heden is 4 kleiner dan dat van de honderdtallen. Het cijfer van de duizendtallen is 3. Over welk getal hebben we het ? _____________________________________________________________________________________________

18

Getallen rondom ons

10

Noteer steeds het gevraagde getal. Gebruik geen komma’s of breukstrepen.

Getal

11

Notatie

a

Het kleinste getal dat uit twee verschillende cijfers bestaat.

b

Het grootste getal met drie verschillende cijfers.

c

Het grootste even getal dat uit twee cijfers bestaat.

d

Het grootste oneven getal dat uit twee cijfers bestaat.

e

Het kleinste getal met drie verschillende cijfers.

f

Het kleinste getal dat alleen uit de cijfers 9, 2 en 8 bestaat.

Het Romeinse talstelsel. Vul in.

Romeins talstelsel

a

b

c

d

e

MDCLIII

LXXI

MM

CLXI

MDCCCXXII

Tiendelig talstelsel

12

f

g

h

i

j

34

159

2017

555

1234

Op een kerk vinden we het jaartal terug waarin ze ­gebouwd werd. Welk jaar is dit ? ____________________________________________

13

Welk getal in het Romeinse talstelsel komt net …

a

… voor XI ?

_____________

g

… na XV ?

_____________

b … voor XIX ? _____________

h … na LXIV ? _____________

c

… voor XV ?

_____________

i

… na XXIX ? _____________

d … voor XX ?

_____________

j

… na XIII ?

_____________

e

… voor CL ?

_____________

k

… na CXV ?

_____________

f

… voor LXV ? _____________

l

… na LVIII ? _____________

19

1

*

14

Op een reis door Mexico kom je een mooie Mayatempel tegen. Je ziet volgende symbolen in de muren gekrast.

Kun je ze ontcijferen ? Noteer je antwoord.

15

Welk getal in het binair talstelsel komt net … a … voor II ?

g … na II ?

_____________

b … voor I00I ? _____________

h … na I0I0 ?

_____________

c … voor I0I0 ? _____________

i

… na I0II ?

_____________

d … voor I0 ?

j

… na I0 ?

_____________

_____________

_____________

e … voor I00 ? _____________ f

16

… voor II00 ? _____________

k … na I0I ? l

… na III ?

_____________ _____________

Waar of vals ? a In het binair stelsel is I0 + I0 = I00

_______________________________________________________

b In het binair stelsel is I00 + I00 = I000

_______________________________________________________

c In het binair stelsel zijn er acht verschillende getallen met vier cijfers.

20

_______________________________________________________

Getallen rondom ons

17

Zet deze binaire getallen om naar het tiendelig stelsel. a I0II

b I000I

18

c III0

e I000II000

d I00III

Zet deze getallen om naar het binair stelsel.

a 33

b 49

c 149

d 420

e 1256

21

1

1.2

Getalverzamelingen 1 Natuurlijke getallen Sofie zit in het eerste jaar secundair onderwijs en heeft van 10 verschillende leerkrachten les.

In haar klas zitten in totaal 25 leerlingen. Sofie is 12 jaar en heeft nog 3 broers. Ze woont op 800 m van de school.

Sofie is bezeten van rollercoasters. Ze zou dolgraag eens meerijden in een supersnelle achtbaan : de ‘Kingda Ka’. Daarvoor moet ze naar Six Flags Great Adventure in New Jersey. Het bouwwerk heeft $ 25 000 000 gekost en is niet actief bij regenweer of bij wind.

Het spectaculaire aan deze achtbaan is de topsnelheid van 206 km/h die je al na 4 seconden hebt bereikt ! Bovendien is de attractie 138 m hoog. Dat kun je vergelijken met een flatgebouw van 45 verdiepingen. Op die top blijft het ­wagentje met 18 passagiers 1 seconde in rusttoestand om dan pijlsnel verticaal naar beneden te rijden. Na slechts 30 seconden is het ritje gedaan.

Alle getallen die in deze tekst voorkomen, noemen we natuurlijke getallen.

natuurlijk getal Een natuurlijk getal is het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen.

De verzameling van de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5 … noteren we als N.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

De verzameling N zonder het getal nul stellen we voor als N0 (lees : N zonder nul).

N0 = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Voorgesteld in een venndiagram :

•2

N

•0

•1

•4 •3 …

22

…

Getallen rondom ons

2 Gehele getallen –– Is er leven op Mars ? De NASA-wetenschappers zijn het er (nog) niet over eens. Maar als er leven zou zijn, hebben ze wel warme kledij nodig : de gemiddelde temperatuur is er – 60 °C. Dat maat­ getal is negatief.

–– Op sommige plaatsen in ons zonnestelsel is het erg koud. Op de dwergplaneet Pluto kan het – 233 °C worden.

toestandsteken –– Op een bankrekening kan je rekeningsaldo negatief zijn. Als je vader slechts 40 euro op zijn bankrekening heeft en hij betaalt aan de kassa van de supermarkt 60 euro, dan zal op zijn rekeninguittreksel – 20 euro als saldo staan. Helaas zal hij op een negatief saldo intrest moeten betalen.

–– In het jaar – 200 (dus 200 voor Christus) was Aristarchos de eerste wiskundige die probeerde de afstand van de aarde tot de zon te bepalen. Op een tijdlijn kan het dus ook handig zijn om negatieve getallen te gebruiken.

–– Zitten we boven of onder de zeespiegel ? Een verdieping onder de begane grond ? Een voorschrift bij de ­opticien ? Een dieptemeter bij het duiken ? Steeds heb je negatieve getallen nodig.

0, 1, 2, 3, 4, 5, …

zijn positieve gehele getallen (of natuurlijke getallen).

0, –1, –2, –3, –4, –5, … zijn negatieve gehele getallen.

Je merkt dus dat het getal 0 zowel positief is als negatief ! … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … zijn gehele getallen.

De verzameling van de gehele getallen noteren we als Z.

Z = { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Positieve gehele getallen stellen we voor als Z+.

Z+ = { 0, 1, 2, 3, …}

Negatieve gehele getallen stellen we voor als Z–.

Z– = { …, –3, –2, –1, 0}

De verzameling Z zonder het getal nul stellen we voor als Z0 (lees : Z zonder nul).

Z0 = { …, –3, –2, –1, 1, 2, 3, …} Z

Voorgesteld in een venndiagram :

•1 •2

…

•0 •3

N

• –3

• –2 • –1 …

…

23

1

3 Rationale getallen Breuken en kommagetallen komen we overal tegen in het dagelijkse leven. Kommagetallen noemen we ook ­decimale vormen.

recepten

kans of verdeling

Om chocoladepudding te maken : Gebruiksaanwijzing Neem van 3/4 liter koude melk een kopje (10 eetlepels) af en los daar de inhoud van het pakje zorgvuldig in op, zodat er geen klonters blijven.

grafieken

Voeg 75 g (5 afgestreken eetlepels) suiker bij de rest van de melk en breng die aan het koken.

Neem de pan van het vuur en giet er, onder voortdurend roeren, de oplossing van melk en poeder in.

Laat de bereiding nog 1 min doorkoken, terwijl u blijft roeren.

Giet de warme pudding in een met water omgespoelde vorm en laat hem koud worden.

Dien op met karamel-, chocolade- of vruchtensaus, fruitsla, slagroom, hagelslag enz.

Wilt u een stevigere pudding verkrijgen, dan gebruikt u slecht 1/2 liter melk. Voor een lichtere crème gebruikt u naar smaak 1 liter melk of meer.

schaal en afstand

Gemengde getallen In het basisonderwijs maakte je misschien kennis met gemengde getallen.

3 11 Een vorm zoals 2 duidt op twee gehelen en drie vierden. Wij noteren dat als .

4 4

24

prijzen

Getallen rondom ons

3 1 3 , , . . . worden breuken genoemd.

8 2 4

eenheid

Ze duiden een deel van een geheel aan.

1 8

3 > noemer 8 > teller

1 8

1 2

> breukstreep

Breuken worden onder andere gebruikt : –– als andere schrijfwijze van een deling ; –– om verhoudingen aan te duiden.

1 2

1 4

1 4

3 4

1 4

3 8

0,2 ; 44,5 en 1,122 zijn begrensde decimale vormen of decimale getallen.

1 8

1 4 1 8

1 4

1 8

We kunnen die getallen ook in breukvorm noteren.

Let wel, deze breuken kun je nog vereenvoudigen.

0, 2 =

2 10

44, 5 =

445 10

1, 122 =

1122 1000

De verzameling van alle getallen die als breuk genoteerd kunnen worden, noemen we rationale getallen.

We noteren de verzameling als Q. Niet alle getallen zijn rationale getallen. Sommige getallen kunnen niet als breuk geschreven worden.

Die getallen zijn onbegrensd en hebben geen periode. We noemen ze irrationale getallen.

Het getal p is een bekend voorbeeld.

Voorgesteld in een venndiagram :

Z

.0

.2

N .–1

.1 …

.3 …

.–3

.–2

…

. 12

Q

.p .–3

.3,5

. 2,3535…

4

.√2 .0,101001…

…

Positieve rationale getallen stellen we voor als Q+.

Negatieve rationale getallen stellen we voor als Q –.

De verzameling Q zonder het getal nul, stellen we voor als Q0.

25

1

4 Symbolen in de wiskunde Wiskundige symbolen worden gebruikt om bepaalde relaties kort en makkelijk weer te geven. Zo ken je al een + voor het optellen en een : voor het delen. In dit boek maak je kennis met enkele (universele) nieuwe symbolen die het wiskundig leven een stuk makkelijker zullen maken.

∈ ∉

IN SYMBOLEN 3∈N

–5 ∉ N

3 ∈Q 4

p∉Q

⊂ ⊄

IN SYMBOLEN

BETEKENIS 3 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

Lees : 3 is een natuurlijk getal.

–5 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.

Lees : –5 is geen natuurlijk getal.

3 is een element van de verzameling van de rationale getallen.

4 3 Lees : is een rationaal getal.

4 p is geen element van de verzameling van de rationale getallen.

Lees : p is geen rationaal getal.

BETEKENIS De verzameling van de natuurlijke getallen is een deelverzameling van de

N⊂Z

verzameling van de gehele getallen.

Lees : alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen.

De verzameling van de gehele getallen is een deelverzameling van de

Z⊂Q

­verzameling van de rationale getallen.

Lees : alle gehele getallen zijn rationale getallen.

De verzameling van de gehele getallen is geen deelverzameling van de

Z⊄N

­verzameling van de natuurlijke getallen.

Lees : niet alle gehele getallen zijn ook natuurlijke getallen.

⟹

IN SYMBOLEN

a ∈ N

a ∈ Z

a ∈ Z

a ∈ Q

26

BETEKENIS Als a een element is van N, dan is a ook een element van Z. Lees : elk natuurlijk getal is een geheel getal.

Als a een element is van Z, dan is a ook een element van Q. Lees : elk geheel getal is een rationaal getal.

Getallen rondom ons

5 Samenvatting • Je weet dat een natuurlijk getal het resultaat is van een telling van een eindig aantal dingen.

De verzameling van de natuurlijke getallen wordt voorgesteld als N. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } N0 = { 1, 2, 3, 4, 5, … } • Je weet dat een geheel getal een natuurlijk getal is, voorzien van een toestandsteken.

De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld als Z. Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } Z0 = { … , –3, –2, –1, 1, 2, 3, … } Z+ = { 0, 1, 2, 3, … } Z– = { … , –3, –2, –1, 0 } • Je weet dat een rationaal getal genoteerd kan worden als een breuk of een decimale vorm.

Q : de verzameling van de rationale getallen Q0 : de verzameling van de rationale getallen zonder nul Q+ : de verzameling van de positieve rationale getallen Q– : de verzameling van de negatieve rationale getallen • Je kent de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄ en ⟹.

12 ∈ N

12 is een natuurlijk getal

–4 ∉ N

–4 is geen natuurlijk getal

N ⊂ Z

alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen

Q ⊄ Z

niet alle rationale getallen zijn ook gehele getallen

a ∈ N ⟹ a ∈ Z

een natuurlijk getal is ook een geheel getal

Negatieve getallen Negatieve getallen werden lange tijd argwanend bekeken. De Grieken probeerden ze te vermijden, of bestempelden ze als ‘illusie’. De hindoewiskundigen uit India aanvaardden wel negatieve oplossingen, maar vonden het toch griezelig.

De Chinezen hadden het gebruik van negatieve getallen bij het tellen ontdekt. Rond de twaalfde eeuw gebruikten ze rode telstaafjes voor positieve getallen en zwarte telstaafjes voor negatieve getallen.

Zelfs in de 15e en de 16e eeuw waren de wiskundigen nog sceptisch. Pascal en Descartes spraken nog van ‘absurde’ of ‘denkbeeldige’ getallen onder nul, verkregen door getallen van nul af te trekken.

27

1

6 Oefeningen 1

Welke van de aangeduide getallen zijn natuurlijke getallen ? a Jakob tankte 54 l diesel voor een prijs van 1,423 euro per liter. Hiermee kan hij meer dan 850 km rijden.

Jakob is geen hardrijder. Op autosnelwegen rijdt hij meestal 110 km/h.

Zijn auto verbruikt dan 6,2 liter per 100 km.

__________________________________________________________________________________________ b Net na Nieuwjaar is het weer tijd voor solden. Terwijl mama op zoek gaat naar kledij met een etiket – 25 %, ga ik op zoek naar games die afgeprijsd zijn. Sommige spelletjes worden aangeboden als ‘2 + 1 gratis’. __________________________________________________________________________________________ c 2010 was een recordjaar voor het aantal baby’s in Vlaanderen : er werden er toen meer dan 70 000 geboren.

Sindsdien is dat aantal steeds kleiner geworden en zaten we in 2017 aan 64 500 geboortes. 51,1 % hiervan ­waren jongetjes. 19 drielingen werden geboren. __________________________________________________________________________________________

2

Noteer het gevraagde getal. a Noteer een rationaal getal waarbij de teller de helft is van de noemer.

3 b Noteer de decimale vorm van .

4

c Noteer een breuk die hetzelfde rationaal getal voorstelt als 1,5.

d Noteer het getal dat zowel positief als negatief is.

3

Waar of niet waar ? Als dat wat in het vak staat WAAR is, dan kleur je het vak rood.

28

1 = 0, 5 5

N⊂Z

Z ⊂ Z0

Z⊂Q

0∈Q

−5 ∈ Z

10 ∈Z 3

3∈N

6 =2 2

5∈ / N

−3 ∈ N

3, 8 ∈ N

2∈ / N

−

3 ∈N 4

0 ∈ N0

0, 125 =

1 8

π∈ / Q

−

3 ∈Z 4

0, 2 =

−

1 2

3 ∈Q 4

1 = 0, 5 2

N ⊂ Z0

12 ∈ N

3, 8 ∈ Q

0 ∈ Q0

0 ∈ Z0

−3 ∈ Z

Z⊂N

1 = 0, 25 4

N ⊂ Z

3 ∈Z 4

12, 5 ∈ N

Getallen rondom ons

4

Wat betekenen de woorden positief en negatief in de volgende zinnen ? a De voetbalclub AA Gent eindigde de competitie met een positief doelsaldo.

____________________________________________________________________________________________________

b De tegenstandster van bokskampioene Delfine Persoon kwam na de nederlaag vrij snel bij haar positieven.

____________________________________________________________________________________________________

c Dat is een leerling met een negatieve ingesteldheid.

____________________________________________________________________________________________________

d Het voorstel van de leerlingen om op woensdag een fruitdag te organiseren, werd positief onthaald bij de directie.

____________________________________________________________________________________________________

e De heer Vandersmissen heeft een negatief saldo op zijn bankrekening.

5

____________________________________________________________________________________________________

Vul de tekst aan met positief, negatief of nul. a Als het niet vriest, dan is de temperatuur

________________________________________

b Van plaatsen die boven het zeeniveau liggen, wordt de hoogte aangegeven met een … getal.

________________________________________

c Lotte heeft 110 euro op haar spaarrekening.

Dat is een … saldo.

________________________________________

d Het is 5 graden onder nul. De thermometer geeft een … getal aan. e Het enige getal dat zowel positief als negatief is, is

________________________________________ ________________________________________

f Plaatsen onder de zeespiegel worden aangeduid met een … getal. g Als het vriest, dan is de temperatuur

________________________________________ ________________________________________

h Een getal optellen met zijn tegengestelde geeft steeds als resultaat

________________________________________

i Is het glas halfleeg of halfvol ? Wie … in het

j

leven staat, kiest steevast voor ‘halfvol’.

________________________________________

Het enige getal dat gelijk is aan zijn tegengestelde is

________________________________________

29

1

6

Welk deel van het geheel is ingekleurdâ&#x20AC;&#x160;? a

d

_________

_________ e

b

_________ c

_________ f

_________

7

_________

Kleur het passende deel van het geheel in. a

d

3 4

b

2 3

e

1 2

c

1 4

f

1 2

8

3 8

Noteer in symbolen. a De verzameling van de negatieve getallen.

_____________________________________

b 5 is een natuurlijk getal.

_____________________________________

c De verzameling van de positieve rationale getallen.

_____________________________________

d De verzameling van de gehele getallen is een deel van

de verzameling van de rationale getallen.

_____________________________________

e â&#x20AC;&#x201C;2,1 is geen element van de verzameling van de gehele getallen.

_____________________________________

f Als a een geheel getal is, dan is a ook een rationaal getal.

_____________________________________

g â&#x20AC;&#x201C;1 is een negatief getal.

_____________________________________

30

Getallen rondom ons

9

Vul in met ∈ of ∉.

a

8 4

Q

i

π

f

0

Q

j

2 5

Z

g

9 3

N

k 2

−

h 0, 5

Q

N0

Q

−28 −4

Z

d 3, 85

l

0, 33 . . .

i

N

j

Z−

Z

N

Q

Vul in met ⊂ of ⊄.

a N

Z

e Q

b N

Q

f

c

Q

g Z

Z

d N0

11

N

b −2 c

10

e 0

Z

Z+

Z

N

h Z+0

N

N

Q+

Q−

k Q+

Q

l

Z0

N0

Op elk bord staat een oefening. Welke oefening is correct ?

4 = 1, 4 1

5 = 2, 5 2

6 = 3, 6 3

7 = 4, 7 4

8 = 5, 8 5

A

B

C

D

E

WALLABIE 2017 probleem 2, © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

31

1

1.3

Deelbaarheid 1 Opgaande en niet-opgaande deling Tijdens een sportdag worden er activiteiten georganiseerd voor alle leerlingen van het eerste jaar. In totaal zijn er 144 leerlingen.

De sportleraren beslissen om de leerlingen in groepjes te verdelen.

De heer De Wolf wil de leerlingen onderverdelen in groepjes van 10 leerlingen.

Hij berekent uit zijn hoofd de deling 144 : 10.

Er kunnen 14 groepjes gevormd worden, maar dan zijn er nog 4 leerlingen over.

Hierbij is

144

het deeltal ( D )

10 de deler ( d )

14 het quotiënt ( q ) 4 de rest ( r )

Als je 144 deelt door 10 is de rest niet nul.

Daarom spreken we van een niet-opgaande deling.

Controle :

144 = 10 · 14 + 4

Mevrouw De Pauw wil de leerlingen verdelen in groepjes van 9 leerlingen.

Zij voert de deling uit en verkrijgt 144 : 9 = 16.

Bij deze deling is de rest nul. We noemen dit een opgaande deling.

Controle :

144 = 9 · 16 + 0

Euclidische deling in woorden : deeltal = deler · quotiënt + rest (met de rest kleiner dan de deler) in symbolen : D = d · q + r met 0 ⩽ r < d

Euclidische deling De ‘euclidische deling’ is genoemd naar Euclides, een Griekse wiskundige die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde.

Hij schreef het boek ‘Elementen’, waarin hij veel wiskundige weetjes noteerde over cirkels, punten, rechten, kortom een flink stuk meetkunde. Toen koning Ptolemaeus na een lang bewijs aan zijn leerkracht Euclides vroeg of er geen gemakkelijkere methode bestond, antwoordde die : “Hoogheid, in de wiskunde bestaat er geen koninklijke methode.”

32

Getallen rondom ons

2 Delers en veelvouden a Definitie deler en veelvoud

24 is een veelvoud van 8, want 24 = 8 · 3

a is een veelvoud van b ⇕

We zeggen ook dat 24 deelbaar is door 8 of dat

a is deelbaar door b

8 een deler is van 24.

⇕

In symbolen : 8 | 24 lees : 8 is een deler van 24

b is een deler van a

Notatie :

del 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

5 N = { 0, 5, 10, 15, …}

b Merkwaardige veelvouden en delers veelvouden

delers

• Elk getal is een veelvoud van 1,

• 1 is een deler van elk getal,

want bv. 124 = 1 · 124

want bv. 20 = 1 · 20

• Elk getal is een veelvoud van zichzelf,

• Elk getal is een deler van zichzelf,

want bv. 73 = 73 · 1

want bv. 53 = 53 · 1

• 0 is een veelvoud van elk getal,

• 0 is nooit een deler van een getal verschillend van 0

want bv. 0 = 18 · 0

zo is 0 geen deler van 7, want 0 · x = 0

c Eigenschappen eigenschap 1 in woorden : Een deler van twee getallen is ook een deler van hun som. in symbolen : a | b en a | c ⟹ a | b + c

Voorbeeld : 8 is een deler van 16

want : 16 = 8 · 2

8 is een deler van 24

want : 24 = 8 · 3

dus :

40 = 8 · 2 + 8 · 3

= 8 · ( 2 + 3) 8 is ook een deler van 40 = 8 · 5 eigenschap 2 in woorden : Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal. in symbolen : a | b ⟹ a | m · b

Voorbeeld : 8 is een deler van 16

want : 16 = 8 · 2

dus :

16 · 3 = 8 · 2 · 3

8 is ook een deler van 16 · 3

33

1

3 Symbolen in de wiskunde Je kent al de betekenis van ⟹.

Die pijl noemen we een implicatie en lees je als als … dan …

Als de pijl ook geldt in omgekeerde richting, dan maak je gebruik van ⟺.

Die pijl noemen we een equivalentie en lees je als … als en slechts als …

Voorbeeld 1 : a is een deler van 8 ⟹ a is een deler van 24 Die uitspraak is waar omdat elke deler van 8 ook een deler is van 24.

Het getal 24 is immers een veelvoud van 8.

Maar : a is een deler van 24 ⨉ ⟹ a is een deler van 8 Hier geldt de implicatie niet, omdat je minstens één deler van 24 kunt vinden die geen deler is van 8, bijvoorbeeld 6.

Voorbeeld 2 : ABCD is een vierkant ⟹ ABCD is een rechthoek Die uitspraak is waar want elk vierkant is ook een rechthoek.

Maar : ABCD is een rechthoek ⨉ ⟹ ABCD is een vierkant Hier geldt de implicatie niet, omdat niet alle rechthoeken ook vierkanten zijn, zoals deze rechthoek : B A C

D

Voorbeeld 3 : 2 + 9 = 11 ⟺ 9 = 11 – 2 Die uitspraak is waar. ⟹ 2 + 9 = 11 ⟹ 9 = 11 – 2 ⟸ 9 = 11 – 2 ⟹ 2 + 9 = 11

Voorbeeld 4 : vandaag is het dinsdag ⟺ morgen is het woensdag Die uitspraak is waar. ⟹ Als het vandaag dinsdag is, dan is het morgen woensdag. ⟸ Ook de omgekeerde uitspraak is correct. Als het morgen woensdag is, dan is het vandaag dinsdag.

34

Getallen rondom ons

Het symbool ∩ wordt gebruikt om de doorsnede van twee

A

B

verzamelingen weer te geven.

Je bekomt de verzameling met de gemeenschappelijke elementen A∩B

van beide verzamelingen.

Het symbool ∪ wordt gebruikt om de unie van twee verzamelingen

A

B

weer te geven.

Je bekomt de verzameling met hierin de elementen die behoren A∪B

tot de ene of de andere verzameling.

Het symbool \ wordt gebruikt om het verschil van twee verzamelingen weer te geven.

A

B

A

B

A\B

Je bekomt de verzameling van elementen die behoren tot de eerste verzameling, maar niet tot de tweede verzameling.

B\A

Voorbeeld : del 36 = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 } del 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

doorsnede

unie

del 36

del 24 .9

.1 .2 .3 . 6 . 12

. 18 . 36

.4

del 36

del 24 .9

.8

.1 .2 .3 . 6 . 12

. 18 . 24

.4

. 36

del 36 ∩ del 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

.8

. 24

del 36 ∪ del 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 }

In de doorsnede zitten getallen die een deler zijn

In de unie zitten getallen die een deler zijn

van 36 en van 24.

van 36 of van 24.

verschil

verschil

del 36

del 24 .9

.1 .2 .3 . 6 . 12

. 18 . 36

.4

del 36

del 24 .9

.8

.1 .2 .3 . 6 . 12

. 18 . 24

del 36 \ del 24 = { 9, 18, 36 }

. 36

.4

.8

. 24

del 24 \ del 36 = { 8, 24 }

In dit verschil zitten de getallen die een deler zijn

In dit verschil zitten de getallen die een deler zijn

van 36, maar niet van 24.

van 24 maar niet van 36.

35

1

4 Kenmerken van de deelbaarheid We gaan op zoek naar kenmerken van getallen waarmee we snel (dus zonder de deling uit te voeren) kunnen ­bepalen of een getal deelbaar is door 2, door 3, door 4, door 5, door 9, door 10 en door 25.

a Deelbaarheid door 10 deelbaar door 10 Een getal is deelbaar door 10. ⇕ Het laatste cijfer van het getal is een 0.

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar het laatste cijfer.

210 = 200 + 10 7218 = 7200 + 18 = tienvoud + tienvoud

= tienvoud + tienvoud + 8

= tienvoud

= tienvoud + 8

210 is dus deelbaar door 10

7218 is dus niet deelbaar door 10

We kunnen dit kenmerk ook uitbreiden naar 100, 1000, …

Zo is een getal deelbaar door 100 als en slechts als de laatste twee cijfers van het getal nullen zijn.

Om deelbaar te zijn door 1000 moeten de laatste drie cijfers nullen zijn.

Algemeen : deelbaar door 100, 1000, ...

Een getal is deelbaar door 100, 1000, … ⇕ De laatste 2, 3, … cijfers van het getal zijn nullen.

b Deelbaarheid door 2 en door 5 deelbaar door 2 (door 5) Een getal is deelbaar door 2 (of 5). ⇕ Het laatste cijfer van het getal is deelbaar door 2 (of 5).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar het laatste cijfer.

136 = 130 + 6 365 = 360 + 5 = tweevoud + tweevoud

= vijfvoud + vijfvoud

= tweevoud

= vijfvoud

136 is dus deelbaar door 2

365 is dus deelbaar door 5

477 = 470 + 7 639 = 630 + 9 = tweevoud + 6 + 1

= vijfvoud + 5 + 4

= tweevoud + 1

= vijfvoud + 4

477 is dus niet deelbaar door 2

36

639 is dus niet deelbaar door 5

Getallen rondom ons

c Deelbaarheid door 4 en door 25 deelbaar door 4 (door 25) Een getal is deelbaar door 4 (of 25). ⇕ Het getal gevormd door de laatste twee cijfers is deelbaar door 4 (of 25).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden en kijken naar de laatste cijfers.

1324 = 1300 + 24 8475 = 8400 + 75

= viervoud + 24

= 25-voud + 75

= viervoud + viervoud

= 25-voud + 25-voud

= viervoud

= 25-voud

1324 is dus deelbaar door 4

8475 is dus deelbaar door 25

1325 = 1300 + 25 3490 = 3400 + 90

= viervoud + 24 + 1

= 25-voud + 75 + 15

= viervoud + viervoud + 1

= 25-voud + 25-voud + 15

= viervoud + 1

= 25-voud + 15

1325 is dus niet deelbaar door 4

3490 is dus niet deelbaar door 25

We kunnen dit kenmerk ook uitbreiden naar 8 en 125.

Zo is een getal deelbaar door 8 als en slechts als de laatste drie cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 8.

d Deelbaarheid door 3 en door 9 deelbaar door 3 (door 9) Een getal is deelbaar door 3 (of 9). ⇕ De som van de cijfers van dat getal is deelbaar door 3 (of 9).

We verduidelijken met enkele getallenvoorbeelden. Merk op dat elke macht van 10 geschreven kan worden als één meer dan een 9-voud.

8631 = 8000 + 600 + 30 + 1

= 8 · 1000 + 6 · 100 + 30 + 1

= 8 · ( 999 + 1) + 6 · ( 99 + 1) + 3 · ( 9 + 1) + 1

= 8 · 999 + 8 · 1 + 6 · 99 + 6 · 1 + 3 · 9 + 3 · 1 + 1

= 8 · 999 + 6 · 99 + 3 · 9 + 8 · 1 + 6 · 1 + 3 · 1 + 1

= 9-voud + 9-voud + 9-voud + 8 + 6 + 3 + 1

= 9-voud + 8 + 6 + 3 + 1

Het getal 8631 is gelijk aan een 9-voud plus

= 9-voud + 18

de som van de cijfers 8, 6, 3 en 1. Als die som

= 9-voud + 9-voud

deelbaar is door 3 (of door 9), dan is het getal

= 9-voud

het ook.

8631 is dus deelbaar door 9 Elk natuurlijk getal kun je schrijven als een negenvoud plus de som van zijn cijfers.

37

1

5 Samenvatting • Je weet dat je voor elke twee natuurlijke getallen D en d ( d ≠ 0) een quotiënt q en een rest r kunt vinden zodat : D = d · q + r met 0 ⩽ r < d • Je kunt voor twee natuurlijke getallen (waarvan het tweede niet nul is) het quotiënt en de rest bepalen.

• Je weet wat bedoeld wordt met opgaande en niet-opgaande deling.

Bij een opgaande deling is de rest nul.

Bij een niet-opgaande deling is de rest niet nul.

• Je kent de definitie van deler en veelvoud van een natuurlijk getal. Je kunt delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen. a is een veelvoud van b ⇕ a is deelbaar door b ⇕ b is een deler van a • Je kunt volgende symbolen gebruiken : ∪, ∩ en \ .

A ∩ B (doorsnede) :

de verzameling van de gemeenschappelijke elementen A en B.

A ∪ B (unie) :

de verzameling van de elementen die behoren tot A of B.

A \ B (verschil) :

de verzameling van de elementen die behoren tot A en niet tot B.

• Je kunt bepalen of een getal deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10 en 25.

• Je kunt de volgende kenmerken van deelbaarheid weergeven.

Een getal is deelbaar door 10

⟺ Het laatste cijfer van het getal is een 0.

Een getal is deelbaar door 100, 1000 …

⟺ De laatste 2, 3 … cijfers van dit getal zijn nullen.

Een getal is deelbaar door 2 (of door 5)

⟺ Het laatste cijfer van dit getal is deelbaar door 2

Een getal is deelbaar door 4 (of door 25)

⟺ Het getal gevormd door de laatste twee cijfers

Een getal is deelbaar door 3 (of door 9)

⟺ Het getal gevormd door de som van de cijfers

(of door 5). is deelbaar door 4 (of door 25). is deelbaar door 3 (of door 9).

V

erdieping • Je kunt volgende eigenschappen onderzoeken, verwoorden en toepassen.

Een deler van twee getallen is ook een deler van hun som.

Een deler van een getal is ook een deler van elk veelvoud van dat getal.

• Je kunt de kenmerken van deelbaarheid verklaren door een getallenvoorbeeld.

38

Getallen rondom ons

6 Oefeningen 1

Bepaal uit het hoofd telkens het quotiënt en de rest van volgende delingen.

Noteer ook of het om een opgaande of niet-opgaande deling gaat.

2

deeltal D

deler d

a

25

3

b

42

14

c

27

6

d

13

2

e

38

19

f

13

18

g

36

5

h

14

7

i

32

9

j

100

8

quotiënt q

rest r

opgaande

niet-opgaande

deling

deling

Welke resten kun je krijgen als je een natuurlijk getal deelt door : a 5 ________________________________________________________________________________________________

b 7 ________________________________________________________________________________________________

c 11

*

3

________________________________________________________________________________________________

Vul de volgende tabel in. deeltal

deler

quotiënt

rest

2108

227

42 009

471 123

15

3528

72

0

2645

47

13

48

39

1

4

5

Vul het meest passende symbool in. Kies tussen ⟹, ⟸ en ⟺. a

72 : 8 = 9

9 · 8 = 72

b

a ∈ del 6

a ∈ del 24

c

a is deelbaar door 10

d

a is even

e

7∈N

7∈Z

f

a is priemgetal

a =2

g

a is even

h

a is deelbaar door 9

a is deelbaar door 2

a + 2 is even a is deelbaar door 3

i

27 – 11 = 16

j

a is even

a is deelbaar door 4

k

a is een natuurlijk getal

a is een geheel getal

16 + 11 = 27

Welke verzameling krijg je als resultaat ? De lege verzameling duid je aan als ∅ of { } . a del 8 ∩ del 4 = __________________________ g Q+0 ∪ Q–0 =

__________________________

b del 8 ∪ del 4 = __________________________ h Q \ Q– =

__________________________

c del 8 \ del 4 = __________________________ i Q ∩ Q+ =

__________________________

d del 4 \ del 8 = __________________________ j Q ∩ Z =

__________________________

e N ∪ Z =

__________________________ k Z \ N =

__________________________

Z ∪ N =

__________________________ l N \ Z =

__________________________

f

6

a is een veelvoud van 10

Omschrijf wat er in de gevraagde verzameling zit.

a b c d

e

40

A is de verzameling met …

B is de verzameling met …

Wat zit er in …

rode kubussen

kubussen

B \ A

gelijkbenige

gelijkzijdige

driehoeken

driehoeken

worteltjes

erwtjes

Belgische

stripalbums

stripalbums

van Kuifje

namen van

namen van

Vlaamse

Vlaamse

steden

provincies

A ∩ B A ∪ B A \ B

A ∩ B

Antwoord

Getallen rondom ons

7

8

Waar of vals ? a 8 is een deler van 16

_______________

i

de rest van 14 gedeeld door 3 is 0

_______________

b 72 is deelbaar door 9

_______________

j

39 is deelbaar door 3

_______________

c 8 | 54

_______________

k 4205 is deelbaar door 5

_______________

d 9 is een deler van 63

_______________

l

_______________

e 23 is een veelvoud van 1

_______________ m 16 | 0

_______________

f

_______________ n 0 | 8

_______________

g 0 is een veelvoud van 15

_______________

o 420 is deelbaar door 0

_______________

h 11 | 121

_______________

p 126 is een veelvoud van 9

_______________

Som op en gebruik enkel natuurlijke getallen. a de delers van 48

____________________________________________________________

b de delers van 36

____________________________________________________________

c de delers van 100

____________________________________________________________

d de veelvouden van 7

____________________________________________________________

e de veelvouden van 11

____________________________________________________________

f

9

48 is een deler van 12

1818 is deelbaar door 9

de veelvouden van 3 die een deler zijn van 72

______________________________________________________

Noteer een getal, bestaande uit 4 cijfers, dat a deelbaar is door 9

____________________________________________________________

b deelbaar is door 25

____________________________________________________________

c deelbaar is door 3 en door 2

____________________________________________________________

d deelbaar is door 4 en door 9

____________________________________________________________

e deelbaar is door 100 en door 3

____________________________________________________________

41

1

10

Een andere kijk op de tafel van 3 en 9.

De tafel van 3 ken je nog wel van in de lagere school : 0, 3, 6, 9, 12 …

Ook de tafel van 9 zit wellicht nog in je geheugen : 0, 9, 18, 27, 36, 45 …

We stellen de tafel van 3 op twee andere manieren voor. Herken je nu nog de tafel van drie ?

tafel van drie op het honderdveld

tafel van drie in een cirkel 0 1

9

8

2

7

3

4

6

5

a Stel de tafel van 6 voor op het honderdveld en in een cirkel.

0 1

9

8

2

7

3

4

6 5

b Stel de tafel van 9 voor op het honderdveld en in een cirkel.

0 1

9

8

2

7

3

4

6

5

c Als je de tafel van 3 op het honderdveld vergelijkt met de tafel van 9 op het honderdveld, dan kun je iets zien.

Merk jij wat het is ?

42

_______________________________________________________________________________________________________

Getallen rondom ons

11

Duid op het honderdveld alle drievouden aan met een blauwe stip en alle negenvouden met een rode stip.

Zijn alle negenvouden ook drievouden ? Of zijn alle drievouden negenvouden ? Hoe zie je dat op een honderdveld ? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

12

Duid op het honderdveld alle getallen aan die deelbaar zijn door 2 met een groene stip en alle getallen die ­deelbaar zijn door 5 met een zwarte stip. Plaats een kruisje waar het getal deelbaar is door 2 en door 5.

Wat kun je besluiten ? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Euclides Over het leven van Euclides is niet echt veel bekend. Hij was actief in Alexandrië in de periode van 330 –300 voor Christus. Waarschijnlijk was hij een leerling van de school van Plato. Hoewel Plato zelf geen wiskundige was, had hij toch dit opschrift hangen boven de poort : ‘Geen toegang voor niet-wiskundigen’.

Het belangrijkste werk van Euclides is het boek ‘Elementen’. Dat omvat een uitgebreid overzicht van de meetkundige kennis vanaf het ontstaan van de mensheid tot dat ogenblik.

Euclides ontdekte dus eigenlijk niets nieuws. Maar dit ABC van de wiskunde werd na de Bijbel de grootste bestseller aller tijden.

In een nis van de dom van Firenze vind je deze afbeelding van Euclides.

43

1

13

Kruis aan wanneer het getal deelbaar is door het getal in de bovenste rij. Vul op de onderste rij links een getal in dat deelbaar is door alle getallen in de bovenste rij. door 2

door 3

door 4

door 5

door 9

door 10

×

×

×

×

×

×

278 3125 4000 0 32 875 1020 4888 63 189 ………

14

Door welk cijfer kun je x vervangen zodat het getal deelbaar wordt ?

Geef steeds alle mogelijkheden.

*

15

getal

moet deelbaar zijn door

58x

2

12 4x2

4

13x 581

3

45 x42

9

159x

5

10 58x

3 en 2

64 05x

3 en 4

x kan gelijk zijn aan

Vervang in de volgende getallen elke letter door een cijfer zodat het verkregen getal deelbaar is … a door 9 en 5 : 4x 57y

c door 25 en 10 : 75 5xy

b door 4 en 3 : 20x 2y

44

d door 3, 9 en 4 : 3x7y

Getallen rondom ons

16

Je kunt weten of een jaartal een schrikkeljaar is als het getal deelbaar is door 4, tenzij het eindigt op twee nullen.

Dan moet het getal deelbaar zijn door 400. Welke jaartallen zijn schrikkeljaren ? a 1984 d 1998 g 2016 j 2100 b 1200 e 1996 h 1780 k 2020 c 1900 f 2000 i 1700 l 3000

17

Waar of niet waar ?

WAAR a b

*

18

NIET WAAR

Een getal dat een deler is van enkele getallen, is ook een deler van hun som.

Als twee getallen niet deelbaar zijn door 3, dan is hun som of verschil wel deelbaar door 3.

c

Van vijf opeenvolgende getallen is er altijd één dat deelbaar is door 6.

d

Als een getal deelbaar is door 3 of door 2, dan is het ook deelbaar door 6.

e

De som van drie opeenvolgende getallen is steeds deelbaar door drie.

f

De tweede macht van een even getal is steeds een viervoud.

g

Een macht van een oneven getal is steeds een oneven getal.

Onderzoeksopdrachten. Noteer telkens de conclusie van je onderzoek. a Vermenigvuldig je deeltal en deler van een deling met eenzelfde getal, wat gebeurt er dan met de rest ?

______________________________________________________________________________________________________

b Wat gebeurt er met het quotiënt en de rest van een deling als je het deeltal en de deler door eenzelfde getal deelt ?

______________________________________________________________________________________________________

c Hoe verandert het quotiënt van een opgaande deling als je alleen het deeltal vermenigvuldigt met 5 ? ______________________________________________________________________________________________________

*

19

Zoek een methode om met ICT het quotiënt en de rest van een deling terug te vinden.

Zoek dan met je rekenmachine q en r van volgende delingen : a 1303 : 45

b 217 134 : 562

________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

45

1

1.4

Breuk, decimale vorm en procent 1 Gelijkwaardige breuken 1 2 4 = zijn gelijkwaardige breuken, want ze stellen hetzelfde getal voor. = 2 4 8 ·4 1 2

=

·4

:4 4 8

4 8

=

1 2

1

1 2

:4

Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met (of deelt door) hetzelfde getal (verschillend van nul), dan krijg je een breuk die gelijkwaardig is aan de oorspronkelijke breuk.

1 2

2 4 4 8

1 4 1 8

1 4 1 8

1 8

1 8

Voorbeelden : 12 12 : 4 3 = = 32 32 : 4 8

5·6 30 5 = = 7 7·6 42

Tegenvoorbeeld : 2 4 = want we kunnen teller en noemer van de eerste breuk niet vermenigvuldigen met of delen door 3 9 eenzelfde getal zodat we de tweede breuk uitkomen.

eigenschap Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met of deelt door ­eenzelfde getal, verschillend van nul, krijg je een breuk die gelijkwaardig is met de oorspronkelijke breuk.

46

Getallen rondom ons

2 Breuken vereenvoudigen We spreken af dat je bij het resultaat van een oefening steeds de meest eenvoudige schrijfwijze van een breuk ­noteert. Je zult je breuk dus (indien mogelijk) vereenvoudigen.

Dat betekent dat je de teller en noemer van deze breuk deelt door eenzelfde getal.

Voorbeeld : 3 3:3 1 = = 6 6:3 2

Je hebt teller en noemer gedeeld door 3.

8 8:4 2 = = 12 12 : 4 3

De breuk

2 is niet meer vereenvoudigbaar.

3

2 is een onvereenvoudigbare breuk.

3 Bij grotere tellers en noemers is het gebruik van ICT aangeraden.

3 Breuken gelijknamig maken Om later bewerkingen te kunnen uitvoeren met breuken, is het nodig dat je breuken gelijknamig kunt maken.

Gelijknamige breuken zijn breuken met gelijke noemers.

Als breuken niet gelijknamig zijn, kun je ze als volgt gelijknamig maken :

Voorbeeld : Maak

3 5 en gelijknamig.

6 8

veelvouden van 6

5 6

veelvouden van 8

6

8

12

16

18

24

24

32

30

40

…

…

·4

·3

=

·4

20 24

3 8

=

Vereenvoudig (zo nodig) de breuk ① Zoek een veelvoud van beide noemers.

Maak het jezelf makkelijk door te kiezen voor het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de ­noemers.

24 is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 6 en 8. ② Noteer dan elke breuk als een gelijkwaardige breuk met in de noemer het zojuist gevonden

9 24

veelvoud van de noemers. ③ Noteer de gelijknamige breuken

·3

20 9 en .

24 24

47

1

4 Omzetting breuken – kommagetallen Van breuk naar kommagetal • breuken met noemer 10, 100, …

3 = 0, 3 10

123 = 1, 23 100

129 = 12, 9 10

163 = 0, 163 1000

• breuken waarvan de noemer tot 10, 100, … te herleiden is

2 4 = = 0, 4 5 10

6 24 = = 0, 24 25 100

7 35 = = 0, 35 20 100

1 125 = = 0, 125 8 1000

• andere breuken zet je om met behulp van ICT, je deelt de teller door de noemer

1 = 0, 33 . . .

3

4 = 0, 3636 . . .

11

2 = 0, 66 . . .

3

17 = 2, 833 . . .

6

Van kommagetal naar breuk • van begrensd decimale vorm naar breuk

0, 4 =

4 2 = 10 5

12, 5 =

125 25 = 10 2

3, 25 = 2, 2 =

325 13 = 100 4

22 11 = 10 5

• om een onbegrensd decimale vorm om te zetten naar een breuk, gebruik je ICT

2, 4343 . . . = 0, 77 . . . =

241 99

7 9

1, 11 . . . =

10 9

0, 4545 . . . =

5 11

Van Egypte naar Brugge Vroeger noteerden Egyptenaren een breuk als een getal met een streepje erboven. Alleen de noemer werd geschreven − 1 2 en dat kon omdat er enkel met stambreuken gewerkt werd, maar soms ook met . Zo was 7 = . Alle breuken 7 3 werden genoteerd als een som van stambreuken.

Het streepje boven het getal zou wel eens aan de oorsprong kunnen liggen van onze breukstreep. De eerste kommagetallen komen voor in het boekje ‘De Thiende’ van Bruggeling Simon Stevin, die ook de term ‘wiskunde’ lanceerde. Hij wou met de invoering van deze schrijfwijze het rekenen vereenvoudigen. De komma zelf hebben we te danken aan de Schotse wiskundige John Napier.

48

Getallen rondom ons

5 Procenten Boek nu en krijg 40 % korting.

VERBOUWPLANNEN ?

Nu extra

voordelig

+

met 6 %

20 %

g r at

btw-tarief *

is

-15 %

(* niet geld

ig op promoties)

op alle smartphonecovers*

Percentages komen overal voor : –– De arbeiders vragen 7 % opslag.

–– De elektriciteitstarieven worden vanaf september met 3 % verhoogd.

–– Het aantal werklozen in België steeg vorig jaar met 4 %.

–– Meer dan 25 % van alle mensen op de wereld gebruikt Facebook.

–– Bij de aankoop van een brood betaal je 6 % btw.

–– Bij de aankoop van een computer betaal je 21 % btw.

–– De planeet Dubbes TrES-4, die zich buiten ons zonnestelsel bevindt, is 70 % groter dan Jupiter.

–– We houden van T-shirts die bestaan uit 100 % biologisch katoen.

–– Het stijgingspercentage van deze weg is 21 %.

Procenten ‘Percent’ of ‘procent’ komt van het Latijnse ‘pro cento’ of ‘per centum’. Via de Franse taal komen we aan de vertaling : ‘per-cent’ of ‘pour-cent’ of ‘per honderd’ of ‘ten honderd’. Dit alles betekent steeds ‘op honderd’ en krijgt als symbool ‘%’.

Het symbool ‘‰’ bestaat ook. Dat betekent ‘per duizend’ of ‘promille’ (denk maar aan het maximaal toegelaten alcoholgehalte dat een chauffeur in zijn bloed mag hebben).

49

1

a Een percentage aftrekken Voorbeeld : Tijdens de soldenperiode vind je nog een laatste doos van het spel Ticket to Ride : Rails & Sails, die 60 euro kost. Er hangt een sticker op de doos met hierop –15 %.

Hoeveel zul je moeten betalen ?

Het probleem begrijpen : 15 % korting betekent dat je voor elke 100 euro die je zou moeten betalen, 15 euro korting krijgt.

Kostprijs

Korting

Te betalen

€ 100

€ 15

€ 85

Als we terugdenken aan het honderdveld uit de lagere school, kunnen we procenten als volgt voorstellen :

kostprijs

te betalen

Oplossing :

15 % betekent

15 of 0, 15.

100

of

Als je 15 % korting krijgt, moet je

0, 15 · 60 = 9

nog 85 % van het bedrag betalen.

Je zal voor de doos moeten betalen:

85 % betekent

€ 60 − € 9 = € 51

0, 85 · 60 = 51

Antwoord : Als je rekening houdt met 15 % korting, zul je voor deze doos 51 euro betalen.

Controle :

15 · 60 = 9 en 9 + 51 = 60 100

50

85 of 0, 85.

100

1

Getallen rondom ons

b Een percentage bijtellen Voorbeeld : Als je een pakje in het buitenland aankoopt, let je maar beter goed op !

Op een Amerikaanse site zie je een tof paar sportschoenen voor (omgerekend) 64 euro.

Als de pakjesdienst het bij je thuis brengt, moet je er 21 % btw op betalen. a Hoeveel bedraagt deze btw ? b Hoeveel kosten de schoenen in totaal ?

Het probleem begrijpen : We zoeken 21 % van 64 euro. Daarna tellen we dit op met 64.

Oplossing :

21% betekent

21 of 0, 21.

100

of

Als je 21% btw moet bijtellen,

0, 21 · 64 = 13, 44

moet je eigenlijk 121% van

In totaal kosten de sportschoenen:

64 berekenen.

€ 64 + € 13, 44 = € 77, 44

1, 21 · 64 = 77, 44

Antwoord : Je zult aan de pakjesdienst nog 13,44 euro btw moeten betalen. In totaal kosten de schoenen 77,44 euro.

6 Samenvatting • Je kunt breuken vereenvoudigen en gelijknamig maken. Je weet wat gelijkwaardige breuken zijn.

Gelijkwaardige breuken stellen hetzelfde getal voor :

3 6 75 = = = 0, 75 4 8 100 Als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met of deelt door hetzelfde getal verschillend van nul, dan krijg je een breuk die gelijkwaardig is met de oorspronkelijke breuk.

• Je kunt een breuk omzetten naar zijn decimale vorm en je kunt een kommagetal omzetten in een breuk.

• Je kent de betekenis van een procent en kunt een percentage berekenen van een bepaald geheel.

• Je kunt vraagstukken oplossen over procenten.

51

7â&#x20AC;&#x201A; Oefeningen 1

Zet de volgende decimale vormen om naar een (onvereenvoudigbare) breuk.

Controleer je antwoord met je rekenmachine.

2

a 2,5 =

g 0,125 =

b 2,25 =

h 3,4 =

c 0,6 =

i 3,01 =

d 10,5 =

j 1,8 =

e 6,25 =

k 0,375 =

f 1,5 =

l 1,15 =

Vereenvoudig deze breuken.

a

2 4

=

f

5 = 20

k

21 = 24

p

40 = 100

b

3 = 18

g

4 = 16

l

15 = 35

q

13 = 39

c

4 = 20

h

9 = 36

m

9 = 63

r

121 = 242

d

8 = 64

i

5 = 60

n

17 = 34

s

6 = 42

e

33 = 44

j

16 = 24

o

7 = 21

t

36 = 24

52

Getallen rondom ons

3

4

5

Maak de volgende breuken gelijknamig.

a

1 3 en 2 8

f

3 5 en 4 6

b

1 5 en 3 6

g

2 8 en 3 21

c

1 1 en 2 3

h

2 7 en 3 18

d

4 3 en 4 5

i

11 5 en 12 18

e

5 7 en 8 16

j

2 5 en 5 2

Maak de volgende breuken gelijknamig.

a

5 4 9 , en 12 15 20

c

50 70 6 , en 60 80 48

b

11 7 13 , en 36 12 72

d

10 24 11 , en 18 72 27

Verbind de gelijkwaardige breuken met een lijntje.

24 3

12 16

32 4

15 20

6 8

8 20

12 8 9 6

16 2

10 25

53

1

6

Stel volgende percentages voor op een honderdveld. a 25 %

7

8

b 17 %

c 82 %

Verbind de opgave bovenaan met het correcte percentage onderaan. de helft

een vierde

het dubbel

drie vierde

een achtste

anderhalf

75 %

150 %

12,5 %

50 %

200 %

25 %

Bereken. a 75 % van 100

____________________________

____________________________

____________________________

b 15 % van 200

____________________________

____________________________

____________________________

____________________________

c 12 % van 1800

____________________________

____________________________

____________________________

54

d 55 % van 950

e 40 % van 27

f

24 % van 700

____________________________

____________________________

Getallen rondom ons

9

Wat betekenen de volgende uitspraken ? a “Ik ben niet voor 100 % tevreden.”

__________________________________________________________________________________________

b “Om te slagen moet je voor elk vak 50 % behalen.”

__________________________________________________________________________________________

c “Mijn spelers hebben zich voor 200 % ingezet.”

__________________________________________________________________________________________

d “In een gouden sieraad van 18 karaat zit 75 % goud verwerkt.”

__________________________________________________________________________________________

e “In België werkt 3 % van de beroepsbevolking in de landbouwsector.”

10

11

__________________________________________________________________________________________

f

“Mijn spaarboekje brengt 1 % intrest op.”

__________________________________________________________________________________________

Verbind de procenten uit de bovenste tabel met de bijbehorende getallen uit de onderste tabel.

100 %

25 %

33 %

10 %

5 %

12,5 %

50 %

55 %

75 %

20 %

200 %

1 10

0,33

1 4

1

1 2

1 8

1 20

2

1 5

3 4

0,55

Bereken met ICT: a 35 % van 1700 leerlingen.

______________________________________________

b 6 % btw op 39 700 euro.

______________________________________________

c 21 % btw op een aankoop van 150 000 euro.

______________________________________________

d 121 % van 115 000 euro kostprijs.

______________________________________________

e 40 % van 368,25 euro.

______________________________________________

f

______________________________________________

12 % btw op 184 euro.

55

1

12

Los de volgende vraagstukjes op. Controleer met ICT. a Klaartje is toe aan een nieuwe bureaustoel. De stoel kost normaal 110 euro.

De handelaar geeft 5 % korting. Hoeveel bedraagt de korting ?

b Op een veiling koopt Paco een oude koffer voor 250 euro. Er moeten echter nog 22 % kosten en administratie betaald worden. Hoeveel zal Paco uiteindelijk betalen ?

c Een gsm kost aan inkoopprijs 130 euro. De verkoper wil verkopen met 50 % winst.

Hoeveel zal de verkoopprijs zijn voor dit product ?

d Robbe en Kato laten herstellingswerken uitvoeren aan hun huis. De kostprijs zonder btw is 13 400 euro. Omdat hun huis al ouder is dan 10 jaar, moeten ze maar 6 % btw betalen.

Hoeveel zullen Robbe en Kato moeten betalen ?

e De totale oppervlakte van een stuk grond is 1250 m2. Hiervan is 35 % bebouwd.

Hoeveel m2 van het stuk grond is bebouwd ?

56

Getallen rondom ons

Vaardigheden | Schatten Vooraleer te beginnen cijferen, of voordat je bepaalde vraagstukken oplost, kan het nuttig zijn om eerst te schatten.

Nadien kun je het gevonden antwoord toetsen aan de eerder gemaakte schatting.

Voorbeeld 1

Bereken 285 · 47

schatting :

285 · 47 wordt 280 · 50 = 280 · 100 : 2 = 28 000 : 2 = 14 000

berekening :

door te cijferen :

285 · 47 1995 1140 13 395

Conclusie : onze schatting 14 000 ligt mooi in de buurt van 13 395.

Voorbeeld 2 Een nieuwe auto kost 22 900 euro zonder btw.

Je moet er nog 21 % btw bij optellen om aan het te betalen bedrag te komen. Wat zal de uiteindelijke kostprijs zijn ?

1 van 23 000 is 4600 5

schatting :

btw :

schatting totaalprijs : e 23 000 + e 4600 = e 27 600

berekening :

met de rekenmachine : e

totaalprijs : e 22 900 + e 4809 = e 27 709

22 900 · 21 = e 4809 100

Conclusie : onze schatting van 27 600 euro ligt mooi in de buurt van 27 709 euro.

Voorbeeld 3 Voor het verven van de muren in ons huis hebben we zes potten primer nodig (grondlaag) van 9 euro per pot en elf potten verf met ‘woestijnzandkleur’, die elk 18,50 euro kosten. Als ik aan de kassa wil afrekenen, wil ik graag weten hoeveel alles mij ongeveer zal kosten. Hoeveel kosten alle potten samen ?

schatting :

primer :

6 · e 9

woestijnzandverf :

11 · e 18,50 wordt 10 · e 20 = € 200

berekening :

met de rekenmachine : 6 · e 9 + 11 · e 18,50 = e 257,50

wordt 5 · e 10 = € 50

€ 250

Conclusie : onze schatting van 250 euro ligt mooi in de buurt van 257,50 euro.

57

1

Oefeningen 1

Zet de best passende schatting in fluo. a Bij de aankoop van een nieuw huis vraagt de notaris 17 % kosten. Als het huis 186 000 euro kost, hoeveel kosten komen er dan nog bij ?

30 000 euro

210 000 euro

3000 euro

21 000 euro

b In de verfwinkel koop je twee potten verf van elk 22 euro en drie potten van elk 11 euro. Op die eerste twee krijg je 20 % korting. Hoeveel zul je ongeveer moeten betalen ?

40 euro

50 euro

70 euro

90 euro

c Aan de kant van de weg zie je een bord ‘OOSTENDE 120’. Je rijdt aan 90 km/h. Hoelang ben je nog onderweg naar Oostende ?

30 ′

60 ′

80 ′

90 ′

d Een leerling van het eerste middelbaar is gemiddeld 1,58 meter groot.

Hoe hoog is de kerk hiernaast in werkelijkheid ?

2

5m

50 m

500 m

5 km

Schat het resultaat. Bereken nadien door te cijferen. Controleer ook met ICT. a Een draagbare computer kost 749 euro. De winkelier geeft 10 % korting. Hoeveel moet je betalen voor deze computer ?

����������������������������������������������������

b Een iPhone kost 450 euro zonder btw. Wat betaal je voor een iPhone als de btw 21 % bedraagt ?

����������������������������������������������������

c Op een voetbalwedstrijd waren 7480 aanwezigen.

Hiervan had 15 % een gratis toegangskaartje. Hoeveel toeschouwers kwamen gratis naar de wedstrijd kijken ?

58

����������������������������������������������������

B

❒

B

9

 

Ik weet wat bedoeld wordt met eenheden, tientallen, honderdtallen, honderdsten, …

10

 

❒

Ik ken de betekenis van een biljoen, biljard en triljoen.

11

 

B

❒

Ik kan een getal omzetten van en naar een ander talstelsel.

12

 

B

❒

Ik ken de opbouw van het binair stelsel en kan een getal omzetten van en naar het binair stelsel.

15

 

A

❒

Ik weet wat natuurlijke getallen zijn.

22

 

A

❒

Ik weet wat gehele getallen zijn.

23

 

A

❒

24

 

T

❒

26

 

A

❒

32

 

T

❒

Ik ken de definitie van delers en veelvouden.

33

 

A

❒

Ik weet dat een deler van twee getallen ook een deler is van hun som.

33

 

A

❒

Ik weet dat een deler van een getal ook een deler is van elk veelvoud van dat getal.

33

 

A

❒

Ik ken de betekenis van de symbolen ⟹ en ⟺.

34

 

T

❒

35

 

A

❒

Ik weet wanneer een getal deelbaar is door 2, 5, 4, 25, 3, 9, 10, 100, …

36

 

T

❒

Ik weet wat gelijkwaardige breuken zijn en kan breuken vereenvoudigen.

46

 

T

❒

Ik kan breuken gelijknamig maken.

47

 

T

❒

48

 

T

❒

Ik kan een procent berekenen van een getal.

49

 

T

❒

Ik ken de technieken om te schatten.

57

 

Ik weet wat rationale getallen zijn en dat ze voorgesteld kunnen worden als breuk of als ­decimaal getal.

Ik ken de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂ en ⊄.

Ik ken de Euclidische deling en weet wat bedoeld wordt met een opgaande en een niet-­ opgaande deling.

Ik ken de betekenis van de symbolen ∪, ∩ en \, en kan de doorsnede, unie en verschil van twee verzamelingen bepalen.

Ik weet hoe ik een breuk omzet naar zijn decimale vorm en weet hoe ik een begrensd decimale vorm omzet in een breuk.

59

WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?

Ik weet hoe ons talstelsel is opgebouwd.

oké voor examen

❒

ik ken het !

B

pagina

dit moet ik leren

Getallen rondom ons

Bloom

1

HERHALINGSOEFENINGEN

1

Getallen rondom ons

Naam

Klas

1

Nummer

Datum

Totaal

Punten

Orde / Stiptheid

Correctheid

…… / 4

Getallen en cijfers. Welk getal zoeken we ? a Vorm met de cijfers 2, 4, 6 en 8 het kleinst mogelijke kommagetal met twee cijfers na de komma.

_______________________________________

b Noteer het grootste natuurlijke getal met vier verschillende cijfers.

2

_______________________________________

c Hoeveel getallen bestaan er met twee cijfers ?

_______________________________________

d 1 T minder dan 1 H is

_______________________________________

…… / 2

Het binair talstelsel.

Mijn tablet heeft een opslagcapaciteit van 256 GB.

3

Noteer dit getal binair.

_______________________________________

WAAR of VALS : in het binair stelsel is I0 + I0 = I00.

_______________________________________

…… / 3

Hieronder zie je een aantal getallen.

Als een getal een natuurlijk getal is, kleur je een cirkelrand groen.

Als een getal een geheel getal is, kleur je een cirkelrand rood.

Als een getal een rationaal getal is, kleur je een cirkelrand blauw.

Let op ! Sommige getallen zullen verschillende kleuren rond zich hebben. Misschien blijft een getal kleurloos ?

60

– 8 –

0

1,4

6 3

3,1415...

−3 4

Getallen rondom ons

4

5

…… / 3

Delers en veelvouden. WAAR of VALS ? a Als een getal deelbaar is door 3, dan is het deelbaar door 9.

_______________________________________

b Eén is een deler van elk natuurlijk getal.

_______________________________________

c Nul is een veelvoud van elk natuurlijk getal.

_______________________________________

d Elk getal (behalve nul) is een deler van zichzelf.

_______________________________________

e 2 | 6 dus 2 | 12 en 2 | 18 en 2 | 24 …

_______________________________________

f

_______________________________________

Nul is een deler van 100.

…… / 2

Kruis aan wanneer het getal deelbaar is door het getal in de bovenste rij. door 2

door 3

door 4

door 5

door 9

door 10

100 900 225 3621

6

a Welk cijfer kan x zijn in 845x als

…… / 4

… 845x deelbaar is door 3 ?

… 845x deelbaar is door 2 ?

… 845x deelbaar is door 2 en door 3 ?

b Het getal 22x 5y 4 is deelbaar door 4 en door 9.

Welke waarden kunnen x en y dan aannemen ?

61

1

7

…… / 2

Welke uitdrukkingen zijn gelijkwaardig ?

In dit schema vind je drie verschillende getallen terug. Plaats de gelijke rationale getallen in eenzelfde kleur.

8

5 2

25 h

2T + 5E

1T + 8E + 7E

2,5 : 10

2,5

25

25 t

1 4

0,25

25 : 100

2,5 · 10

___________________

9

___________________ ___________________ ___________________

…… / 2

Vereenvoudig onderstaande breuken.

4 = ____________ 6

10

…… / 3

Noteer telkens met een onvereenvoudigbare breuk welk deel van de figuur ingekleurd is.

25 = ___________ 10

0 = ____________ 4

75 = ____________ 45

…… / 2

Na een ongeval besluit Kevin zijn bromfiets te verkopen met 30 % verlies.

Hoeveel zal Kevin vragen als de bromfiets nieuw 2400 euro kostte ?

______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________

11

…… / 3

Welke schatting is het best passend ? a 103 450 + 21 530 + 6650

40 000

130 000

320 000

7 euro

22 euro

29 euro

6,50 euro

7,50 euro

10,00 euro

b Met Kerstmis verstuur je 11 kaartjes. Elk kaartje kost 1,20 euro, maar je moet ook een postzegel voorzien van 0,95 euro.

Hoeveel betaal je in totaal ? c Bij drie pakjes koffie krijg je een vierde pakje gratis.

Een pakje kost 2,48 euro.

Hoeveel betaal je voor dit promopakket ?

62

2

Gehele getallen

Omdat onze aarde (bijna) een bol is, ontvangen de twee poolgebieden minder warmte dan de tropen. De zon schijnt er ook nauwelijks, dus is het logisch dat de temperaturen er lager zijn dan bij ons. In een zomer op Antarctica schommelt die temperatuur tussen –5 °C en +5 °C. De gemiddelde jaartemperatuur is er –50 °C. In augustus 2010 daalde de temperatuur in Antarctica tot –93 °C, de laagste temperatuur die ooit werd opgemeten !

Maar hoe bepaal je het verschil tussen die hoogste en laagste temperatuur ?

2

Gehele getallen 2.1 Welkom in z

1 Van n naar z ........................................................................ 65 2 Orde op de getallenas ............................................... 66 3 Absolute waarde ............................................................... 67 4 Tegengestelde ...................................................................... 67 5 Plaatsbepaling met coördinaten .................... 68 6 Coördinaat van een punt ........................................ 70 7 Samenvatting ....................................................................... 71 8 Oefeningen .............................................................................. 72

2.2 Hoofdbewerkingen met gehele getallen

1 De optelling ............................................................................ 79 2 De aftrekking ........................................................................ 80 3 De vermenigvuldiging ................................................ 82 4 De deling .................................................................................. 83 5 Samenvatting ...................................................................... 85 6 Oefeningen ............................................................................. 86

2.3 Machten en vierkantswortels

1 De machtsverheffing ................................................... 95 2 De vierkantsworteltrekking ................................... 97 3 Samenvatting ...................................................................... 98 4 Oefeningen ............................................................................. 99

64

2.4 Eigenschappen van de hoofdbewerkingen in z

1 Commutatief ...................................................................... 105 2 Associatief ........................................................................... 105 3 Distributief .......................................................................... 106 4 Handig rekenen ............................................................... 107 5 Een gedurige som en een gedurig product uitwerken ................................ 109 6 Samenvatting .................................................................... 110 7 Oefeningen ............................................................................ 111

2.5 De volgorde van bewerkingen

1 Afspraken ............................................................................... 116 2 Voorbeelden ....................................................................... 117 3 Samenvatting .................................................................... 118 4 Oefeningen ........................................................................... 119

Extra’s

Vaardigheden : wiskundige woordenschat ................................. 128 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 129 Herhalingsoefeningen ....................................................... 130

3

Oplossingsmethodes voor vraagstukken

Regelmaat herken je onder andere in de rij van Fibonacci. Die rij getallen start met twee keer het getal 1.

Het volgende getal bekom je door de vorige twee met elkaar op te tellen.

Zo bekom je 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Toepassingen van die rij getallen vind je terug op veel plaatsen in de natuur.

Hoe planten konijnen zich voort ?

Hoe zijn de kamertjes in een nautilusschelp opgebouwd ? Hoe ontwikkelt een bijenpopulatie zich ? Telkens is het antwoord : de (mooie, regelmatige) rij van Fibonacci.

Ook deze zonnebloem ontsnapt niet aan de nodige dosis wiskunde : de spiraalvormige manier waarop de zaadjes in de bloem vastzitten, kun je ook linken aan Fibonacci !

3

Oplossingsmethodes voor vraagstukken 3.1 Vraagstukken oplossen met hoofdbewerkingen

1 Hoofdbewerkingen ...................................................... 135 2 De regel van drie ........................................................... 136 3 Werken met een verhoudingstabel ........... 137 4 Samenvatting ................................................................... 138 5 Oefeningen ........................................................................... 139

3.2 Vraagstukken oplossen in verband met deelbaarheid

1 Priemgetallen ................................................................... 145 2 Ontbinden in priemfactoren ............................ 145 3 Grootste gemeenschappelijke deler ....... 146 4 Kleinste gemeenschappelijk veelvoud ................................................................................ 148 5 Samenvatting ................................................................... 149 6 Oefeningen .......................................................................... 150

3.3 Vraagstukken oplossen door het gebruik van letters 1 2 3

Even kennismaken ...................................................... 156 Gebruik van letters bij regelmaat ................ 157 De letter als plaatsvervanger van een getal ..................................................................... 159 4 Samenvatting .................................................................... 159 5 Oefeningen .......................................................................... 160

134

3.4 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen

1 Vergelijkingen .................................................................. 166 2 Vraagstukken .................................................................... 169 3 Procentrekenen ............................................................... 170 4 Formules omvormen ................................................. 170 5 Samenvatting .................................................................... 171 6 Oefeningen ........................................................................... 172

Extra’s

Vaardigheden : ICT, coderen met de schildpad in GeoGebra .................................. 180 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 183 Herhalingsoefeningen ....................................................... 184

4

Rationale getallen

Een stambreuk is een breuk waarvan de teller 1 is. In het oude Egypte werden bijna uitsluitend stambreuken gebruikt 2 3 (al werden af en toe ook en 3 4 ingeschakeld).

5 1 1 = + Voorbeelden : 6 2 3 1 1 1 19 5 1 1 = + + = + 6 2 3 20 2 4 5 19 1 1 1 = + + Ze 20 hadden 2 4 zelfs 5 symbolen voor de stambreuken. Ze werden genoteerd door boven op het gewone getal een ‘open mond’ te plaatsen. Zo was 4 1 in Egypte IIII en werd dus genoteerd 4

⬭

als IIII.

3 5 7 en te noteren Lukt het jou om , 24 4 12 op zijn Egyptisch ?

4

Rationale getallen 4.1 Welkom in q

1 Van z naar q ...................................................................... 189 2 Orde in q ............................................................................... 190 3 Absolute waarde en tegengestelde ........... 191 4 Omgekeerde ....................................................................... 192 5 Coördinaten ........................................................................ 193 6 Van breuk naar decimale vorm ..................... 194 7 Van decimale vorm naar breuk ..................... 195 8 Samenvatting ................................................................... 196 9 Oefeningen ........................................................................... 197

4.2 Hoofdbewerkingen met rationale getallen

1 De optelling ........................................................................ 203 2 De aftrekking ..................................................................... 204 3 De vermenigvuldiging ............................................. 205 4 De deling ............................................................................... 207 5 Samenvatting ................................................................... 208 6 Oefeningen .......................................................................... 209

4.3 Machten en vierkantswortels

1 De machtsverheffing ................................................ 222 2 De vierkantsworteltrekking ............................... 223 3 Samenvatting ................................................................... 223 4 Oefeningen .......................................................................... 224

188

4.4 Eigenschappen van de hoofdbewerkingen

1 Commutatief ...................................................................... 228 2 Associatief ........................................................................... 229 3 Distributief .......................................................................... 230 4 Handig rekenen ............................................................... 231 5 Samenvatting ................................................................... 233 6 Oefeningen .......................................................................... 234

4.5 De volgorde van bewerkingen

1 Afspraken .............................................................................. 238 2 Voorbeelden ...................................................................... 238 3 Samenvatting ................................................................... 239 4 Oefeningen .......................................................................... 240

Extra’s

Vaardigheden : afronden ................................................... 247 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 249 Herhalingsoefeningen ....................................................... 250

5

Data en onzekerheid

In de krant, op nieuwssites, in boeken en tijdens het journaal wordt vaak gebruikgemaakt van cijfertabellen, grafieken en diagrammen. Ze stellen gegevens voor uit de sport, het onderwijs, de politiek en de dagelijkse werkelijkheid. Ze geven snel en handig een beeld van wat de mensen op dat moment aanbelangt.

Maak kennis met de eerste begrippen van de statistiek. Je zult gegevens overzichtelijk weergeven aan de hand van een lijngrafiek, staafdiagram, strookdiagram, cirkeldiagram en een dotplot. Uiteraard is ICT hier erg op zijn plaats om het geheel mooi en snel te kunnen weergeven.

In een tweede deel lijsten we de centrummaten gemiddelde, mediaan en modus op en maak je kennis met variatiebreedte.

5

Data en onzekerheid 5.1 Soorten data

1 Numeriek of categorisch ...................................... 255 2 Voorbeelden ...................................................................... 256

5.2 Voorstellingswijzen

1 Lijndiagram ......................................................................... 258 2 Dotplot .................................................................................... 260 3 Staafdiagram ..................................................................... 262 4 Cirkeldiagram ................................................................... 264 5 Misleidende grafieken ............................................ 266 6 Samenvatting ................................................................... 268 7 Oefeningen .......................................................................... 269

5.3 Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte

1 Gemiddelde ........................................................................ 282 2 Mediaan .................................................................................. 283 3 Modus ....................................................................................... 284 4 Variatiebreedte ............................................................... 285 5 Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte met ICT berekenen ......... 285 6 Samenvatting ................................................................... 287 7 Oefeningen .......................................................................... 288

Extra’s

Vaardigheden : een universele taal ...................... 293 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 295 Herhalingsoefeningen ....................................................... 296

254

6

Oplossingsmethodes voor vraagstukken

Tijd om opnieuw problemen aan te pakken. Maar eerst jouw verjaardags­ party organiseren.

Je bent jarig en je besluit een feestje te geven. Een feestje vol verrassingen.

Je nodigt twee mensen uit, wat niet echt veel is, maar zij beloven om elk nog eens twee andere vrienden uit te nodigen die op hun beurt ook nog eens twee andere mensen zullen uitnodigen.

Ook die beloven elk twee nieuwe vrienden te inviteren, die ook plechtig moeten beloven om elk twee andere personen mee te brengen. Hoeveel mensen zullen er op je feestje zijnâ&#x20AC;&#x160;?

Lukt het je om de regelmaat hier te herkennen en kun je ze omzetten in een formuleâ&#x20AC;&#x160;?

6

Oplossingsmethodes voor vraagstukken 6.1 Vraagstukken oplossen door het gebruik van letters

1 Even kennismaken ...................................................... 301 2 Gebruik van letters bij regelmaat ............... 302 3 Rekenen met lettervormen ............................... 304 4 Samenvatting ................................................................... 305 5 Oefeningen .......................................................................... 306

6.2 Vraagstukken oplossen met vergelijkingen 1

Vergelijkingen van de vorm x + a = b ................................................................................. 314 2 Vergelijkingen van de vorm ax = b ........................................................................................ 314 3 Vergelijkingen van de vorm ax + b = c .............................................................................. 315 4 Vraagstukken oplossen met een vergelijking .................................................. 316 5 Samenvatting .................................................................... 317 6 Oefeningen .......................................................................... 318

Extra’s

Syntheseoefening ................................................................... 328 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 331 Herhalingsoefeningen ....................................................... 332

300