VBTL 2 - Leerwerkboek Meetkunde en metend rekenen - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Meetkunde i Metend rekenen

Björn Carreyn

Filip Geeurickx

Roger Van Nieuwenhuyze

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat zes hoofdstukken vol meetkunde en metend rekenen. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting. Leerstof in verband met verdiepende doelen herken je aan het fijne groene streepje.

6 Vierhoeken omgekeerde eigenschap Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.

Bewijs Gegeven Te bewijzen ABCD een parallellogram Bewijs Ineenvierhoekisdesomvandehoeken

C Aen D B )= alstweerechtengesnedenwordendooreenzelfderechteentweebinnenhoekenaan dezelfdekantvandesnijlijnzijnsupplementair,danzijnderechtenevenwijdig Op een analoge manier kun je aantonen dat supplementair zijn en bijgevolg is AB Die twee eigenschappen leveren ons het hoekenkenmerk van een parallellogram op. hoekenkenmerk parallellogram

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

2 Classificatie van de driehoeken classificatie driehoeken volgens hun zijden gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn. ongelijkbenige driehoek is een driehoek die niet gelijkbenig is. De drie zijden hebben dus een gelijkbenige driehoek gelijkzijdige driehoek ongelijkbenige driehoek

Terminologie bij gelijkbenige driehoeken Bij de gelijkbenige driehoek ABC noemen we tophoek classificatie driehoeken volgens hun hoeken rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek recht is. scherphoekige driehoek stomphoekige driehoek rechthoekige driehoek

Terminologie bij rechthoekige driehoeken Bij de rechthoekige driehoek ABC noemen we rechthoekszijden schuine zijde hypotenusa A B

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 * 2

De nummers van de oefeningen hebben een kleur: geel (basis) of groen (verdieping). Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof.

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

4 Vlakke figuren roteren over een hoek met ICT a Een vierhoek roteren Teken een vierhoek ABCD en een punt O en roteer de vierhoek in tegenwijzerzin om O over een hoek van 95 Stappenplan om dit te tekenen: –– Klik op het derde laatste icoontje en kies voor roteer rond punt Klik eerst op de getekende vierhoek en dan op O. – Kies dan bij het scherm dat zich opent voor tegenwijzerzin grootte van de hoek vul je 95 in. – Teken alle stippellijnen. – Teken alle cirkelbogen (gebruik –Merk op Een vierhoek roteren over een hoek van 95 in tegenwijzerzin komt dus neer op een vierhoek roteren over een hoek b Een cirkel roteren over een bepaalde hoek en roteer die cirkel in wijzerzin om O over een hoek van 75

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje kun je vaardigheden inoefenen.

Wat moet je kennen en kunnen?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. In de eerste kolom vind je de verwijzing naar de taxonomie van Bloom: Onthouden, Begrijpen, Toepassen, Analyseren, Evalueren of Creëren. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Transformaties 1

5 Ruimtemeetkunde

Vaardigheden | Ruimtemeetkunde Met het 3D-pakket van GeoGebra kun je nagaan of bepaalde rechten die getekend worden op veelvlakken elkaar snijden, evenwijdig of kruisend zijn. STAPPENPLAN –– Klik in de werkbalk op het icoontje de getekende vierhoek en sleep hem naar boven. – Verberg de assen en het xOy –

Als we naar de tekening kijken, dan lijkt het dat de rechten g als we de figuur laten draaien, dat elkaar kruisen.

Teken nu zelf nog een rechte zodat elkaar snijden.

Teken nadien nog een rechte g evenwijdig lopen. te laten draaien.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.



Ik kan in een figuur de eigendraaiingen bepalen.   ❒ Ik weet wanneer een figuur puntsymmetrisch is. 45   ❒   ❒ Ik ken de eigenschappen van een spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling en kan ze herkennen en toepassen.   ❒ Ik kan de samenhang illustreren tussen transformaties en de coördinaten van een punt en zijn  

Welkom in de wondere wereld van de wiskunde !

We hebben ons best gedaan om het vak wiskunde niet voor te stellen als een saaie, droge materie, maar wel als een boeiende en levende wetenschap waar je ook in werkelijkheid mee geconfronteerd wordt.

Wie had immers gedacht dat deze prachtige tuin vol zit met meetkundige transformaties ?

Wandel met ons mee door de mooie en erg logisch opgebouwde wereld van meetkundige figuren.

Inhoud

Meetkunde I Metend rekenen

Transformaties 1

Wolkenkrabbers met een twist ? Je zou het niet meteen verwachten, maar je vindt er in heel wat landen wel terug: van Zweden tot China, van Rusland tot Panama …

De toren op deze foto heet de Cayan Tower en die vind je in Dubai. Hij is precies 330 meter hoog en telt 73 verdiepingen. Het bovenvlak is precies 90 graden gedraaid ten opzichte van het grondvlak.

In Zweden en Rusland vind je gebouwen die eenzelfde hoek beschrijven, maar sommige wolkenkrabbers draaien soms 120 ° om hun as, of meer zelfs

Draaien is een van de transformaties die je in dit hoofdstuk zult bestuderen.

1.1 Even observeren

Hier vind je een collage van een aantal mooie foto’s. Bekijk de foto’s en bespreek wat er te zien is.

1.2 Spiegelen om een as

1Een punt spiegelen om een as

A is het punt dat we willen spiegelen. a noemen we de spiegelas, of kortweg de as. a

Teken door het punt A de loodlijn l op de rechte a

M is het snijpunt van l met a .

Bepaal het punt A′ zodat | AM | = | MA′ |

Het punt A′ is het spiegelbeeld van het punt A om de as a .

In symbolen :

A′ = sa ( A)

Opmerkingen :

– Als het punt A′ het spiegelbeeld is van het punt A om de as a , dan is a de middelloodlijn van [AA′].

– Ligt het punt A dat je wilt spiegelen op de spiegelas zelf, dan heeft A zichzelf als spiegelbeeld. We noemen A een dekpunt. in symbolen :

2 Een driehoek spiegelen om een as

∆ ABC is de driehoek die we willen spiegelen.

a is de spiegelas.

Om een driehoek te spiegelen om een as is het voldoende dat je het spiegelbeeld van elk hoekpunt van die driehoek bepaalt.

Je krijgt het spiegelbeeld door de spiegelpunten met elkaar te verbinden.

D A′B′C′ is het spiegelbeeld van ∆ ABC om de as a

In symbolen:

∆ A′B′C′ = s a ( ∆ ABC)

3Vlakke figuren spiegelen om een as met ICT

aEen vierhoek spiegelen

Stappenplan om dit te realiseren:

– Teken een vierhoek ABCD.

– Teken een rechte EF.

Spiegel de vierhoek om de as EF door op het derde laatste icoontje te kiezen voor lijnspiegeling. Klik nu eerst op de getekende vierhoek en dan op de rechte EF.

– Teken de rechten AA′, BB′ ,…

Duid de snijpunten aan van die rechten met de rechte EF.

– Duid alle hoeken aan die de rechten maken met de rechte EF.

Zorg ervoor dat je het symbool voor rechte hoek gebruikt. Klik daarvoor eerst op de selecteerknop en klik dan met de rechtermuisknop in het tekenvenster. Kies onderaan voor tekenvenster en selecteer dan helemaal onderaan (bij stijl voor rechte hoek) het gepaste symbool.

Teken de nodige lijnstukken en selecteer ze in het algebravenster. Klik erop met de rechtermuisknop, ga naar instellingen en dan naar stijl. Kies een gepaste markering.

Versleep een van de hoekpunten van vierhoek ABCD en observeer wat er gebeurt.

Blijven de rechten AA′, BB′ , … loodrecht staan op de rechte EF ?

Blijft de afstand van A tot de as EF dezelfde als de afstand van A′ tot de as ?

Blijft dit ook geldig voor alle andere punten van de vierhoek ABCD ?

Je krijgt een nieuwe situatie door punten van de vierhoek of de vierhoek zelf te verslepen :

Merk op : EF is de middelloodlijn van [AA′], [BB′], [CC′] en [DD′].

bEen cirkel en een regelmatige achthoek spiegelen met ICT

Werk dit uit met ICT.

4 Samenvatting

• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een as.

• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een as met ICT.

• Je kunt sa ( A) = A′ lezen als A′ is het spiegelbeeld van A om de as a .

5Oefeningen

In spiegeling herken je het woord spiegel. In welke beroepen maken mensen gebruik van een spiegel en waarom gebruiken ze dat voorwerp ?

Teken telkens het spiegelbeeld van de aangeduide punten om de as s

Teken de beelden van de aangeduide punten door ze te spiegelen om de as a

Schrijf in symbolen :

a DA′B′C′ is het spiegelbeeld van DABC om de as a .

bB′ is het spiegelbeeld van B om de as DE.

c Spiegel het punt Q om de as RT.

Gegeven : zie figuur onderaan

Gevraagd :a Hoe lees je volgende notaties ?

s x ( A) = C

A = s x ( C) b Vul in.

s x ( A) = s y ( C) =

s y ( B) = s y ( D) =

s x ( C) = s x ( B) =

c Teken K = sx ( E)

Teken L = sy ( E)

Teken M = sAB ( E)

Teken met ICT :

a een rechthoek. Spiegel die rechthoek om een zelfgekozen rechte.

b een stomphoekige driehoek ABC. Spiegel die driehoek om BC.

c een figuur en een spiegelas zodat het spiegelbeeld van de figuur om de getekende as met de figuur samenvalt.

Maak een dergelijke tekening met ICT.

Verzorg de lay-out door de rechte hoeken mooi weer te geven enbreng merktekens aan zodat het duidelijk is dat de rechte EF demiddelloodlijn is van de lijnstukken [ AA′] , [ BB′] , …

A′, B′, C′ en D′ zijn de beelden van A, B, C en D door de spiegeling om x . Teken A, B, C en D.

Gegeven : A′ = sa ( A) het punt B

Gevraagd : zoek sa ( B) = B′

Teken de spiegelas a als X′ = sa ( X) en Y′ = sa ( Y)

Gegeven : de figuur

Gevraagd : vul aan

a sy ( C) = i sAE([ BF]) =

b sp ( B) = j sy ( ∆CIG) =

c sq ( G) = k s ( D) = F

d sCG( I) = l s ( H) = H

e sBD( A) = m sBE( _____ ) = F

f sy ( z ) = n sBD( ) = p

g sBF( q ) = o sr ( ) = I

h sy ([ DG]) = p sq ( __________ ) = ∆DAF

Teken met ICT een driehoek ABC en teken een willekeurig punt B′ dat het spiegelbeeld is van het punt B om de as a die niet gegeven is.

a Teken de rechte a

b Teken de driehoek A′B′C′ die het spiegelbeeld is van driehoek ABC om a

Tekenopdrachten met ICT.

a Spiegel een vierkant om de drager van een van zijn diagonalen.

b Spiegel een parallellogram om de drager van een van zijn diagonalen.

c In een driehoek ABC teken je de binnen- en de buitenbissectrice van A Zoek de spiegelbeelden van D ABC om de twee bissectrices.

Met welke beeldpunten kun je een parallellogram vormen ?

De gewone dobbelsteen D staat voor een spiegelhoek. Welke spiegelbeelden zijn zeker fout ?

1.3 Verschuiven over een vector

1Vector

Een voetballer wil een bal over de grond trappen. Hij heeft hier natuurlijk veel mogelijkheden voor. De andere spelers denken hierover na :

– Welke richting zal hij de bal geven ?

In welke zin (= oriëntatie) zal hij de bal trappen ?

– Hoe ver zal hij de bal trappen ?

De bal vertrekt vanuit A en gaat naar het punt B. Als de tweede speler de bal terugspeelt, dan gaat de bal van punt B naar punt A.

Als we de oriëntatie hebben aangeduid, hebben we een vector (of een georiënteerd lijnstuk). We hebben dan (met een pijlpunt) een zin aangeduid. Een van de grenspunten is nu het beginpunt, het andere het eindpunt.

Notatie: −→

Een vector is een lijnstuk waarop een doorloopzin (oriëntatie) is aangeduid.

2Gelijke vectoren

Bekijk aandachtig de drie hiernaast getekende vectoren −→ AB, −→ CD en −→ EF

Wat valt je op?

Evenwijdig ? AB ⫽ CD ⫽ EF

Als rechten evenwijdig zijn, bepalen ze dezelfde richting.

Even lang ? | AB | = | CD | = | EF |

Oriëntatie?De zin van −→ AB, −→ CD en −→ EF is dezelfde.

Als vectoren evenwijdig zijn, even lang zijn en dezelfde oriëntatie hebben, dan zijn ze gelijk.

Conclusie : −→ AB = −→ CD = −→ EF

gelijke vectoren

Gelijke vectoren zijn vectoren die dezelfde richting, zin en lengte hebben.

Een vector bepaalt een verschuiving. We spreken dan van de verschuiving bepaald door −→ AB en kunnen dit noteren als t −→ AB. Die verschuiving is net dezelfde als de verschuiving bepaald door −→ CD ( t −→ CD ) of de verschuiving t −→ EF (zie tekening bovenaan).

In onderstaande voorbeelden bepalen −→ XY en −→ PQ verschillende verschuivingen.

Voorbeeld 1:

2:

3:

De zin is verschillend. De lengte is verschillend. XY en PQ zijn niet evenwijdig, de richting is verschillend.

3Een punt verschuiven over een vector

Hoe teken je het schuifbeeld van het punt A over vector −→ CD ?

A is het punt dat we willen verschuiven. −→ CD is de gegeven vector.

Teken door het punt A een evenwijdige rechte met CD.

De richting is nu in orde

Bepaal nu de zin van de pijl. Zoek een punt A′ zodat | CD | = | AA′|

De zin en de lengte zijn nu ook in orde.

A′ is het schuifbeeld van A.

Het punt A′ is het schuifbeeld van het punt A door de verschuiving bepaald door vector −→ CD.

In symbolen :

A′ = t −→ CD( A)

Opmerking : Een verschuiving wordt soms ook een translatie genoemd. Vandaar dat we gebruikmaken van de letter t

Translatie

Het symbool voor verschuiving (t) is de eerste letter van ‘translatie’, afgeleid van het Latijnse ‘translatio’. Dat betekent vertaling, omzetting of overdraging. De meetkundige figuur wordt eigenlijk ‘overgedragen’ naar een andere plaats.

Denk ook aan het Engelse ‘translation’, wat staat voor vertaling. Ook in de economie wordt het woord gebruikt om iemands rechtsgebied te verleggen.

4Een driehoek verschuiven over een vector

Voorbeeld :

DABC is de driehoek die we willen verschuiven.

De verschuiving wordt bepaald door vector −→ EF

Om een driehoek te verschuiven volgens vector −→ EF is het voldoende datje het schuifbeeld van elk hoekpunt van die driehoek bepaalt.

Je krijgt het schuifbeeld van ABC door de schuifbeelden A′, B′ en C′ met elkaar te verbinden.

D A′B′C′ is het schuifbeeld van DABC over vector

In symbolen :

5Vlakke figuren verschuiven over een vector met ICT

aEen vierhoek verschuiven

Stappenplan om dit met ICT te tekenen :

Teken een vierhoek ABCD.

– Teken een vector −→ EF.

– Klik op het derde laatste icoontje en kies voor verschuiving door vector

Klik nu op de getekende vierhoek en op de vector −→ EF

Teken eveneens de vectoren

−→ AA , −→ BB , −→ CC en −→ DD

bEen cirkel en een regelmatige zeshoek verschuiven

Realiseer volgende tekening met ICT :

6Samenvatting

• Je weet wat een vector is en wanneer vectoren gelijk zijn.

• Je kunt een vlakke figuur verschuiven over een vector.

• Je kunt een vlakke figuur verschuiven over een vector met ICT.

• Je kunt A = t −→ CD (A) lezen als A′ is het schuifbeeld van A door de verschuiving over een vector −→ CD.

7Oefeningen

Duid in de onderstaande strook behangpapier drie vectoren aan die alle behoren tot eenzelfde verschuiving t

Teken telkens het schuifbeeld van de punten A, B en C door de verschuiving bepaald door vector −→ XY .

Zoek de beelden van A, B en C door de verschuiving bepaald door vector −→ XY .

Teken het beeld van de onderstaande veelhoeken door de verschuiving bepaald door vector −→

Wiskundetaal: hoe lees je volgende notaties ?

a t −→ KT (C)

b T = t −→ AB (L)

c t −→ NF (R)= S Schrijf in symbolen.

a D′ is het schuifbeeld van D over vector −→ EF

b DR′T′V′ is het schuifbeeld van DRTV over vector −→ AB

c Verschuif F over vector −→ KL .

Zoek telkens het schuifbeeld en vorm met de verkregen letters een wiskundig begrip.

a t −→ KT (C)=

b t −→ IO (A)=

c t −→ RE (E)=

d t −→ MJ (O)=

e t −→ MZ (E)=

f t −→ BC (Z)=

g t −→ FZ (D)=

h

(

Teken met ICT :

a een vierkant en een vector −→ XY . Verschuif het vierkant ABCD over de vector.

b een rechthoekige driehoek PQR en een vector −→ XY . Verschuif de rechthoekige driekhoek PQR over de vector.

c een stomphoekige driehoek ABC. Verschuif de driehoek over de vector −→ AC

Gegeven : de figuur

Gevraagd : vul aan

a t −→ AB (E)= h t −→ BE (∆BFD)=

b t −→ AB (G)= i t −→ HE ( )= C

c t −→ FC (H)= j t −→ CB ( )= D

d t −→ GA (I)= k t −→ IE ( )= y

e t −→ BC ( x )= l t (p )= q

f t −→ AI (p )= m t (HF)= DB

g t −→ HI ([BD])= n t (G)= F

Bepaal een verschuiving t zodat t ( c ) = c ′

Tekenopdrachten met ICT.

a Verschuif een parallellogram ABCD over −→ AC.

b Verschuif een rechthoek ABCD over −→ DA .

c Verschuif een ruit ABCD drie keer. De eerste keer over −→ AB, de tweede keer over −→ AD en de derde keer over −→ AC. Wat kun je besluiten over de grootste vierhoek die zo ontstaat ?

Bepaal in een regelmatige achthoek een aantal koppels die behoren tot eenzelfde verschuiving. Oorsprong en uiteinde moeten hoekpunten zijn van de achthoek. Hoeveel verschillende verschuivingen zijn hier mogelijk ?

1.4 Roteren over een hoek

1Georiënteerde hoeken

Lien zit op het reuzenrad. Het punt waarrond het rad draait, noemen we O.

O wordt het centrum van de rotatie (of draaiing) genoemd.

De hoek waarover gedraaid wordt, noemen we de draaiingshoek. Maar opgelet! Je kunt het rad in wijzerzin of in tegenwijzerzin laten draaien.

De hoek gevormd door de benen [ OA en [ OB kunnen we dus op twee manieren doorlopen.

afspraak:

tegenwijzerzin

= positieve zin

afspraak : wijzerzin

= negatieve zin

de georiënteerde hoek A B is 45° de georiënteerde hoek BO ^ A is – 45°

georiënteerde hoek

Een georiënteerde hoek is een hoek waarop een oriëntatie is aangeduid.

Merk op:

Een georiënteerde hoek wordt bepaald door het hoekpunt, de oriëntatie en de hoekgrootte.

2Een punt roteren over een hoek

Hoe teken je het draaibeeld van het punt A door de rotatie om het punt O over een hoek van 60° ?

A is het punt dat we willen draaien.

O is het punt waarrond we draaien: we noemen dit het centrum van de rotatie.

De draaiingshoek is 60°. Dat is dus in tegenwijzerzin.

Zet je passerpunt in het punt O en teken in tegenwijzerzin een cirkelboog door A.

Teken een hoek van 60° met als hoekpunt O en als eerste been [ OA. Het tweede been ligt aan de andere kant van de cirkelboog.

Het snijpunt van het tweede been met de cirkelboog is A′

Zo is de hoek A A′ = 60°

Het punt A′ is het draaibeeld van het punt A door rotatie om het punt O over een hoek van 60°.

In symbolen :

A′ = r ( O, 60°) ( A)

Rotatie

Het woord ‘rotatie’ is afgeleid van het Latijnse ‘rotare’, wat letterlijk draaien of omwentelen betekent.

Ook in de sterrenkunde wordt dit woord gebruikt als eigenschap van de hemellichamen. Zo verloopt de rotatie van een hemellichaam positief als de omwenteling rond de as in dezelfde zin gebeurt als zijn beweging rond de zon. Bij de aarde en de maan is er sprake van een ‘gebonden rotatie’. Dat wil zeggen dat de omlooptijd en de rotatietijd van de maan gelijk zijn. Onze getijden (eb en vloed, door de maan opgewekt) zorgen voor een versnelling van de rotatietijd van de aarde.

3Een driehoek roteren over een hoek

DABC is de driehoek die we willen roteren om het punt O over een hoek van –100°.

Om een driehoek te roteren over een georiënteerde hoek is het voldoende dat je het draaibeeld zoekt van elk hoekpunt.

Je krijgt het draaibeeld van DABC door de draaibeelden A′, B′ en C′ met elkaar te verbinden.

DA′B′C′ is het draaibeeld van DABC door de rotatie om het punt O over een hoek van –100°.

In symbolen :

DA′B′C′ = r ( O, –100°)( DABC)

4Vlakke figuren roteren over een hoek met ICT

aEen vierhoek roteren

Teken een vierhoek ABCD en een punt O en roteer de vierhoek in tegenwijzerzin om O over een hoek van 95°.

Stappenplan om dit te tekenen:

– Teken een vierhoek ABCD en een punt O.

– Klik op het derde laatste icoontje en kies voor roteer rond punt. Klik eerst op de getekende vierhoek en dan op O.

– Kies dan bij het scherm dat zich opent voor tegenwijzerzin en als grootte van de hoek vul je 95° in.

– Teken alle stippellijnen.

Teken alle cirkelbogen (gebruik heticoontje cirkelboog).

– Duid alle hoeken aan.

Merk op :

Een vierhoek roteren over een hoek van 95° in tegenwijzerzin komt dus neer op een vierhoek roteren over een hoek van +95°.

bEen cirkel roteren over een bepaalde hoek

Teken een cirkel c en roteer die cirkel in wijzerzin om O over een hoek van 75°.

Merk op :

Een cirkel roteren over een hoek van 75° in wijzerzin komt dus neer op een cirkel roteren over een hoek van

75°.

5Spiegelen om een punt

Roteer een punt A om het centrum O over een hoek van 180°.

Je merkt op :

O is het midden van het lijnstuk [ AA′].

– Een rotatie met draaiingshoek 180° is hetzelfde als een rotatie met draaiingshoek –180°.

Een dergelijke rotatie noemen we ook een puntspiegeling met centrum O.

puntspiegeling

Een puntspiegeling met centrum O is een rotatie over 180° om O.

Het is niet nodig om een puntspiegeling met een passer uit te voeren. Je kunt het sneller met een geodriehoek.

Voorbeeld 1 : een punt puntspiegelen

O is het centrum van de puntspiegeling.

A is het punt dat we willen puntspiegelen.

Teken de rechte AO.

Bepaal een punt A′ zodat O het midden is van [ AA′]

A′ is het beeld van het punt A door de puntspiegeling om O.

In symbolen :

A′ = sO( A)

Voorbeeld 2 : een driehoek puntspiegelen

Teken met ICT een driehoek ABC en een punt O. Spiegel de driehoek om het punt O.

6Samenvatting

• Je weet dat een georiënteerde hoek een hoek is waarop een oriëntatie werd aangebracht.

• Je kunt een vlakke figuur roteren om een punt over een bepaalde hoek.

• Je kunt een vlakke figuur roteren om een punt over een bepaalde hoek met ICT.

• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een punt.

• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een punt over een bepaalde hoek met ICT.

• Je kunt A′ = r ( O, a)( A) lezen als A′ is het draaibeeld van A door rotatie om het punt O over een hoek a

7Oefeningen

Zoek drie foto’s waarop duidelijk een rotatie te zien is.

Teken telkens het beeld van een punt A door de rotatie om het punt O …

a over een hoek van –30°.

c over een hoek van 70°.

b over een hoek van 140°.

d over een hoek van

90°.

Teken het beeld van de meetkundige figuur door de rotatie rond O over een hoek a

Hoe lees je volgende notaties ?

a r ( T, 70°)

bA′ = r ( D, –70°)( A) _____________________________________________________________________________

c ∆D′E′F′ = r ( O, 170°)( DDEF)

Schrijf in symbolen :

a Roteer K over een hoek van 70° om O.

bB′ is het draaibeeld van B door een rotatie om O over –120°.

c D J′K′L′ is het draaibeeld van D JKL door een rotatie om L over 35°.

Teken met ICT vier punten A, B, C en O.

a Roteer A om O over een hoek van 50° (50° roteren in tegenwijzerzin).

b Roteer B om O over een hoek van –70° (70° roteren in wijzerzin).

c Roteer C om O over een hoek van 140°.

Teken met ICT een lijnstuk [ AB], een lijnstuk [ CD] en een punt O gelegen op [ AB]

a Roteer [ AB] om O over een hoek van –80°.

b Roteer [ CD] om O over een hoek van 130°.

Vul de zinnen aan.

a C is het draaibeeld van A als je roteert om over

b H is het draaibeeld van D als je roteert om over

c F is het draaibeeld van C als je roteert om over

d E is het draaibeeld van H als je roteert om over

e B is het draaibeeld van B als je roteert om over

Teken met ICT :

a een rechthoek ABCD en een punt O. Roteer de rechthoek ABCD om O over 56°.

b een regelmatige zeshoek en een punt O. Roteer de regelmatige zeshoek om O over –120°.

c een parallellogram en een punt O. Roteer het parallellogram om O over 98°.

d een driehoek ABC en een punt O gelegen binnen de driehoek. Roteer de driehoek ABC om O over –45°.

Iedereen die af en toe een spelletje speelt, kent wel Tetris of Blokken. In dit spel is het de bedoeling lijnen te vormen door de verschillende blokjes naar beneden te brengen. Dit spel zit vol rotaties (over 90°, 180° of –90°) en verschuivingen (naar links, rechts en beneden, maar jammer genoeg niet naar boven).

Hieronder zie je de verschillende blokjes. Schets onder elk blokje wat je krijgt als je het blokje roteert over de gevraagde hoek.

O rotatiebedrag

Anke r( O, –100°)

r( O, –170°)

Barbara r( O, –380°)

r( O, –145°)

Anke, Barbara, Ciska en Dora staan aan het ‘Rad van fortuin’ en mogen elk twee keer draaien. Ze winnen telkens het bedrag dat voor hun neus stopt. Daarna wordt hetrad weer in deze positie teruggeplaatst. Met welke bedragen gaan ze naar huis ? 1000 100 3000 300500 10 000 BANKROET 1250 200 1500 4006002500750

Ciska r( O, –375°)

r( O, –280°)

Dora r( O,–440°)

r( O,–350°)

Gegeven : de figuur Gevraagd : vul aan

a r ( O, 30°)( B) =

b r ( O, 45°)( D) =

c r ( O, –60°)( A) =

d r ( O, 75°)([ TI]) =

e r ( K, 180°)( A) =

f r ( O, –90°)( ∆JCU) =

g r ( O, 90°)( ) = H

h r ( O, –60°)( ) =

Gegeven : ABCDEF is een regelmatige zeshoek

Gevraagd :

a Bereken 1

b Beschouw nu :

r1 = r ( O, 60°)

r2 = r ( O, 120°)

r3 = r ( O, 180°)

r4 = r ( O, –60°)

r5 = r ( O, –120°)

r6 = r ( O, 0°)

Bepaal nu :

a r1( A) = e r2( E) = i r4([ ED]) =

b r4( C) = f r6( F) = j r6([ OE]) =

c r5( B) = g r2([ OB) = k r3( ∆ OAB ) =

d r3( D) = h r5( ∆OED) = l r1([ AF]) =

Wat is de kleinste strikt positieve draaiingshoek van een rotatie die de figuur hiernaast op zichzelf afbeeldt?

JWO 2015 eerste ronde, vraag 15© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Puntspiegel de punten om O.

Hoe lees je de volgende notaties ?

a s T( A)

b s R( B) = B′

c s K( ∆UVW) = ∆U′V′W′

A′ = sO( A) . Zoek B′

Teken met ICT :

a een vierhoek ABCD en een punt O. Spiegel de vierhoek ABCD om het punt O.

b een cirkel c met een straal van 5cm en een punt O gelegen op de cirkel c . Spiegel de cirkel om O.

c een rechthoekige driehoek ABC. Spiegel de driehoek ABC om C.

Puntspiegel een punt T om O en roteer het beeld om O over een hoek van 40°. Dit kun je vervangen door één rotatie. Welke ?

Gegeven : de figuur Gevraagd : vul aan

a s E( B) = h s E( DCFE) =

b s D( G) = i s F( ) = C

c s E( C) = j s H( ) = I

d s B( y ) = k s E( ) = A

e s E( p ) = l s ( G) = A

f s E( BF) = m s _______ ( FH) = BD

g s E([ IF) = n s ( p ) = r

Teken een vierkant met zijden van 3 cm. Zoek het beeld van dat vierkant door de puntspiegeling met als centrum een van de hoekpunten. Herneem die actie voor elk hoekpunt van de oorspronkelijke figuur.

Tekenopdrachten met ICT.

a Teken een parallellogram ABCD. Het punt O is het snijpunt van de diagonalen.Bepaal sO( ABCD)

b Teken een gelijkbenig trapezium ABCD. Het punt O is het snijpunt van de diagonalen.Bepaal sO( ABCD)

c Breng de tekening hiernaast op het scherm.

Zoek sa ( D ABC) . Spiegel het bekomen beeld om O.

1.5 Symmetrie

Sommige figuren hebben zichzelf als beeld als je ze spiegelt of draait. We spreken dan van symmetrie. In deze paragraaf bespreken we symmetrie bij vlakke figuren. In hoofdstuk 5 vind je de symmetrie bij ruimtefiguren.

1Spiegelsymmetrie om een as

In de vlinder hierboven zit symmetrie. Als we de rechte a als spiegelas nemen, dan is het beeld van deze figuur defiguur zelf.

Een dergelijke rechte (spiegelas) noemen we een symmetrieas

spiegelsymmetrisch om een as

Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een as als ze zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om die as. Die rechte is een symmetrieas van de figuur.

Sommige veelhoeken hebben ook symmetrieassen. Dit zijn de symmetrieassen in de driehoeken en vierhoeken :

2Spiegelsymmetrie om een punt

De figuur hiernaast kun je roteren over 180 ° om het middelpunt. Je krijgt dezelfde figuur. Met andere woorden: je kunt de figuur puntspiegelen en het beeld bedekt perfect het origineel.

Het punt waar je om roteert, noemen we het symmetriemiddelpunt.

Een figuur kan maximaal één symmetriemiddelpunt hebben.

spiegelsymmetrisch om een punt

Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een puntspiegeling om dat punt. Dit punt noemen we het symmetriemiddelpunt van de figuur.

3Draaisymmetrie om een punt

Je kunt ook symmetrie hebben door te roteren. Je kunt de molenwieken draaien zodat ze precies zichzelf als beeld hebben.

Die rotatie is een bijzondere rotatie. We noemen dit een eigendraaiing van de figuur. Niet alle figuren hebben eigendraaiingen. De rotatie over 0° wordt uitgesloten.

De figuur van de vijf molenwieken heeft volgende eigendraaiingen:

r ( O, 72°), r ( O, 144°), r ( O, 216°) en r ( O, 288°)

draaisymmetrisch om een punt

Een vlakke figuur is draaisymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een rotatie om dat punt over een hoek verschillend van 0°. Die rotatie noemen we een eigendraaiing van de figuur.

Merk op:

Als een figuur draaisymmetrisch is om een punt over een hoek van 180°, dan is ze ook spiegelsymmetrisch om dat punt.

4Samenvatting

• Je weet wanneer een vlakke figuur spiegelsymmetrisch is om een as. Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een as als ze zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om die as.

• Je weet wat een symmetrieas is.

• Je kunt de symmetrieassen aanduiden in een vlakke figuur.

• Je weet wanneer een vlakke figuur spiegelsymmetrisch is om een punt. Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een puntspiegeling om dat punt.

• Je weet wat een symmetriemiddelpunt is.

• Je kunt het symmetriemiddelpunt aanduiden in een vlakke figuur.

• Je weet wanneer een vlakke figuur draaisymmetrisch is om een punt. Een vlakke figuur is draaisymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een rotatie om dat punt over een hoek verschillend van 0°.

• Je weet wat een eigendraaiing is.

• Je kunt de eigendraaiingen bepalen van een vlakke figuur.

Rorschach

De Zwitserse psychiater Hermann Rorschach gebruikte een reeks inktvlekken om een beeld te krijgen van de persoonlijkheid van zijn patiënten. De vlekken werden op een blad gebracht, waarna dat blad geplooid werd. Hierdoor ontstaan symmetrische figuren en kun je de plooi van het blad gelijkstellen met een spiegelas. De vlekken werden zeer doelbewust uitgekozen. Volgens sommigen was Hermann Rorschach de eerste die een verband legde tussen deze ‘vlekkenproef’ en de persoonlijkheid van zijn patiënten. De ‘vlekkenproef’ bestaat uit tien gekleurde platen waarvan de onderzochte persoon moet zeggen wat hij in deze vlekken ziet.

Probeer jij ook eens te kijken?

5 Oefeningen

Duid in onderstaande logo’s alle symmetrieassen aan. a d g j b e h k

Hieronder vind je zes kaarten uit een kaartspel.

Welke kaarten zijn spiegelsymmetrisch om een as ?

Welke kaarten zijn draaisymmetrisch om een punt ? a c e b d f

WISKUNDE & MAATSCHAPPIJ

Symmetrie in vlaggen. Hieronder vind je negen vlaggen van landen. Zijn ze symmetrisch om een as en / of symmetrisch om een punt ?

a Europa

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

b Somalië

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

d Canada

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

g Georgië

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

e

c

Denemarken

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

f Jamaica

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

De bedoeling is dat de figuur hiernaast symmetrisch is om een as. Je mag daarvoor nog een aantal vierkantjes grijs kleuren. Hoeveel vierkantjes moet je dan op zijn minst grijs kleuren ?

h Japan

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

i Israël

symmetrisch om een as symmetrisch om een punt

Noord-Macedonië

Zijn volgende figuren draaisymmetrisch? Zo ja, noteer de eigendraaiingen. Gebruik steeds O als centrum.

Waar of vals? Als het antwoord vals is, teken dan een tegenvoorbeeld.

a Als een vierhoek twee symmetrieassen heeft, dan is het een ruit. WAAR VALS

b Als een vierhoek één symmetrieas heeft, dan is het een gelijkbenig trapezium. WAAR VALS

c Elk vierkant heeft vier symmetrieassen. WAAR VALS

d Als een figuur twee symmetrieassen heeft, dan is het een ruit of een rechthoek. WAAR VALS

e Een stomphoekige driehoek kan nooit een symmetrieas hebben. WAAR VALS

f Een trapezium dat geen parallellogram is, heeft nooit een symmetrieas. WAAR VALS

Vervolledig de figuur als je weet dat a een symmetrieas is.

a Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige vijfhoek ?

b Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige achthoek ?

c Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige n -hoek ?

Hebben volgende figuren een symmetriemiddelpunt ?

Waar of vals ?

a Als een figuur een symmetriemiddelpunt heeft, dan heeft ze ook een eigendraaiing.

b Als een figuur een eigendraaiing heeft, dan heeft ze ook een symmetriemiddelpunt.

JA NEEN JA NEEN JA NEEN

Zin in een wel heel exotische bestemming ?

Vertrek aan het startpunt en volg de juiste weg. Als het figuurtje een symmetriemiddelpunt heeft, ga je rechtdoor.

Als de figuur geen symmetriemiddelpunt heeft, sla je rechts af. Op die manier sprokkel je letters bij elkaar, die zelfs al in de juiste volgorde staan !

De vakantiebestemming is :

1.6 Eigenschappen van transformaties

1Transformaties van het vlak

In de vorige paragrafen heb je heel wat kunnen spiegelen, verschuiven, roteren en puntspiegelen. Voor elk punt had je precies één beeld.

Als je voor elk punt in het vlak precies één beeld vindt, dan spreken we over een transformatie van het vlak.

A ligt niet op de as a.

Door A kun je maar één loodlijn tekenen op a

Er is maar één punt A′ zodat a de middelloodlijn is van [ AA′].

Dus heeft A precies één beeld: A′

X heeft maar één beeld Y door de verschuiving volgens −→ AB

Door X kun je maar één evenwijdige tekenen aan AB en hierop ligt maar één punt Y zodat | AB | = | XY | en −→ AB dezelfde zin heeft als −→ XY

A is niet het centrum van de rotatie.

Teken een cirkelboog met middelpunt O en straal | OA |. Er bestaat steeds één punt A′ zodat AOA ′ = a en | OA′ | = | OA |

B ligt op de spiegelas a.

Het beeld van B is B zelf en is dus enig.

Besluit :

Elk punt van het vlak heeft precies één beeld bij de spiegeling om a . Een spiegeling is een transformatie van het vlak.

Besluit:

Elk punt van het vlak heeft door de verschuiving over −→ AB precies één beeld.

Een verschuiving is een transformatie van het vlak.

O is het centrum van de rotatie. Het beeld van O is O zelf en is dus enig.

Besluit:

Elk punt van het vlak heeft door de rotatie met centrum O en draaiingshoek a precies één beeld. Een rotatie is een transformatie van het vlak.

Merk op :

Een puntspiegeling is een speciale rotatie en dus ook een transformatie van het vlak.

eigenschap

Een spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling zijn transformaties van een vlak.

Naast het spiegelen, verschuiven en roteren bestaan er nog andere transformaties van het vlak.

Voorbeelden :

Transformaties

Het woord ‘transformatie’ hebben we geleend van het Latijnse ‘transformatio’. Dat betekent gedaanteverwisseling.

De betekenis wordt beter geïllustreerd in de fysica (wetenschappen), waar bijvoorbeeld een transformator elektrische spanning omzet.

2Op zoek naar eigenschappen

We gaan op zoek naar enkele eigenschappen van de geziene transformaties van het vlak.

aVoer deze onderzoeken uit in vier aparte bestanden.

ONDERZOEK SPIEGELEN

ONDERZOEK VERSCHUIVEN

Teken met ICT een parallellogram ABCD en een rechte a .

– Teken een punt E dat collineair is met A en B.

Spiegel het parallellogram ABCD en het punt E om a

Teken met ICT een parallellogram ABCD en een vector −→ GH.

– Teken een punt E dat collineair is met A en B.

– Teken het beeld van het parallellogram ABCD en het punt E over de vector −→ GH

– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een punt O.

ONDERZOEK ROTEREN

ONDERZOEK PUNTSPIEGELEN

Teken een punt E dat collineair is met A en B.

– Teken het beeld van het parallellogram ABCD en het punt E door de rotatie omO over een hoek. Maak voor deze hoek een schuifknop aan.

– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een punt O.

– Teken een punt E dat collineair is met A en B.

Spiegel het parallellogram ABCD en het punt E om O.

Voer nu op de gemaakte bestanden volgende opdrachten uit. Versleep dan een van de punten van de oorspronkelijk getekende figuur en ga na welke gegevens steeds aan elkaar gelijk zijn of welke eigenschappen steeds geldig blijven.

I : Meet de zijden van de gegeven figuur en de zijden van het beeld. – II : Controleer de evenwijdigheid van rechten bij de gegeven figuur en bij het beeld. – III : Meet de hoeken in beide figuren.

IV : Ga na of het beeld van E collineair is met het beeld van A en B.

– V : Bereken de oppervlakte van beide figuren.

bVoer deze onderzoeken uit in één bestand.

ONDERZOEK SPIEGELEN

ONDERZOEK VERSCHUIVEN

ONDERZOEK ROTEREN

ONDERZOEK PUNTSPIEGELEN

– Teken met ICT een rechte a . Teken ook een spiegelas k

Spiegel de rechte a om k .

Teken ook een vector −→ GH.

– Verschuif de rechte a over de vector −→ GH

– Teken met ICT een punt O.

– Teken het draaibeeld van de rechte a door de rotatie om O over 60°.

Teken het spiegelbeeld van de rechte a om O.

VI : Is het beeld van een rechte evenwijdig met de oorspronkelijke rechte ?

Ga dit na door in het algebravenster in te vullen : ZijnEvenwijdig ( …, …) Je krijgt dan als antwoord true als de genoteerde rechten tussen haakjes evenwijdig zijn.Je krijgt false als ze niet evenwijdig zijn.

SPIEGELEN

I LENGTE VAN DE ZIJDEN

| BC | = ________

| B′C′ | = ________

| AD | = ________

| A′D′ | = ________

II EVENWIJDIGHEID

AB … CD

A′B′ … C′D′

III GROOTTE VAN DE HOEKEN

= ________ en ′ = ________ = ________ en ′ = ________

IV E′, A′ ENB′ COLLINEAIR

JA / NEEN

V OPPERVLAKTE

A ABCD = ________

A A′B′C′D′ = ________

Vul op de fiches jebevindingen in voor een door jou gekozen situatie.

VI IS HET BEELD EVENWIJDIG MET DE OORSPRONKELIJKE RECHTE?

JA / NEEN

VERSCHUIVEN

I LENGTE VAN DE ZIJDEN

| BC | = | B′C′ | = | AD | =

| A′D′ | =

II EVENWIJDIGHEID

AB … CD

A′B′ … C′D′

III GROOTTE VAN DE HOEKEN = en ′ = = en ′ =

IV E ′, A ′ EN B ′ COLLINEAIR

JA / NEEN

V OPPERVLAKTE

ABCD =

VI IS HET BEELD EVENWIJDIG MET DE OORSPRONKELIJKE RECHTE ?

PUNTSPIEGELEN I LENGTE VAN DE ZIJDEN |BC| = ________ |B′C′ | = ________ |AD| = ________

′D′ | = ________

Bij een spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling : – is de lengte van het oorspronkelijke lijnstuk gelijk aan de lengte van het beeld van dit lijnstuk ; – zullen evenwijdige rechten als beeld ook evenwijdige rechten opleveren ;

is de grootte van een hoek gelijk aan de grootte van het beeld van die hoek ; – blijft de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur en het beeld dezelfde.

Bovendien zijn het schuifbeeld van een rechte en het spiegelbeeld om een punt van een rechte telkens rechten evenwijdig aan de oorspronkelijke rechte.

We vatten dit samen in deze eigenschappen :

eigenschappen

Elke spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling behoudt:

–de lengte van een lijnstuk (of de afstand);

–de evenwijdigheid van rechten;

–de grootte van een hoek ;

–de collineariteit ;

–de oppervlakte van een figuur.

Het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte. Het spiegelbeeld van een rechte om een punt is een evenwijdige rechte.

Gevolg :

Aangezien een spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling de grootte van een hoek behouden, zullen ze ook de loodrechte stand behouden.

3Samenvatting

• Je kunt verklaren waarom een spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling transformaties zijn van het vlak.

• Je kunt de eigenschappen van een spiegeling, verschuiving, puntspiegeling en rotatie verwoorden.

Elke spiegeling, verschuiving, rotatie en puntspiegeling behoudt :

de lengte van een lijnstuk (of de afstand) ; – de evenwijdigheid van rechten ;

de grootte van een hoek ;

– de collineariteit ;

– de oppervlakte van een figuur.

Het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte.

Het spiegelbeeld van een rechte om een punt is een evenwijdige rechte.

• Je kunt bovenstaande eigenschappen illustreren met ICT.

4 Oefeningen

Elke tekening illustreert een bepaalde eigenschap. Verwoord telkens de geïllustreerde eigenschap.

Deze twee rechten staan loodrecht op elkaar. Verschuif de hele tekening volgens t −→ AB , maar door zo weinig mogelijk vectoren te tekenen.

Noteer op welke eigenschappen je steunde. b

Bereken de oppervlakte van de gekleurde figuur als je weet dat | DC | = | AD |. Verklaar jouw werkwijze met behulp van de eigenschappen van transformaties.

Verklaar waarom er geen spiegeling, verschuiving of rotatie bestaat zodat c ′ het beeld is van c

Geef drie verschillende verschuivingen

t1, t2 en t3 zodat a ′ steeds het beeld is van a door die verschuiving.

Bepaal een verschuiving t zodat

t ( a ) = a ′

t ( b ) = b ′

Kan de ene vierhoek het beeld zijn van de andere vierhoek door een transformatie van het vlak? Zo ja, geef enkele mogelijkheden. Geef telkens alle kenmerken van de transformatie.

a Teken het schuifbeeld van het vierkant PQRS over de vector −→ AB

b Verklaar jouw werkwijze met behulp van eigenschappen van transformaties.

Bepaal de verschuiving die de halfrechte [ AB afbeeldt op de halfrechte [

Naam:

Begeleid zelfstandig leren wiskunde Onderwerp:

A′B′C′D′ het beeld zijn van ABCD door een bepaalde verschuiving ? Verklaar.

Teken met ICT een driehoek ABC en de zwaartelijn [ AM]. Kies een centrum O. Teken een schuifknop a die varieert van 0° tot 180° met een stapgrootte van 1°.Beschouw r = r ( O, a)

a Zoek r ( DABC)

b Zoek r ([ AM])

c Is [ A′M′] een zwaartelijn in DA′B′C′ ? Verklaar.

a Hoeveel puntspiegelingen bestaan er die de rechte a afbeelden op de rechte a ′ ?

b Wat is er speciaal aan de ligging van de centra ?

Deze twee rechten zijn snijdend. Teken sO( a ) en sO( b ) zodat je zo weinig mogelijk punten moet puntspiegelen. Noteer de eigenschap waarop je steunde.

Verklaar waarom een spiegeling het midden van een lijnstuk bewaart.

Bereken de oppervlakte van D ABC als je weet dat sa (

Verklaar je werkwijze.

Spiegelen om een vierkant.

Gegeven is een vierkant ABCD. Het punt O is het snijpunt van de diagonalen.

Om het beeld te zoeken van een punt P verbind je O met P en neem je het ‘kortstbijzijnde’ snijpunt S met het vierkant ABCD. Pas de afstand | PS | af langs de andere kant van S. Zo krijg je P′. Spiegel als het ware P om het vierkant ABCD. Zoek nu het beeld van een rechte door zo’n spiegeling.

1.7 Verband tussen transformaties

en coördinaten

1Samenhang tussen spiegelingen en coördinaten van punten

spiegeling om de x -as

Besluit :

A) = ( x , y ) ⟹ co( sx ( A)) = ( x , –y )

Bij een spiegeling om de x -as verandert het tweede coördinaatgetal van toestandsteken.

spiegeling om de y -as

D′(2, –4)

Besluit :

A) = ( x , y ) ⟹ co( sy ( A)) = ( –x , y )

Bij een spiegeling om de y -as verandert het eerste coördinaatgetal van toestandsteken.

spiegeling om de eerste en de tweede bissectrice

De eerste bissectrice is de bissectrice van de hoek die bepaald wordt door de positieve delen van de x -as en y -as. Als je in de oorsprong op de eerste bissectrice de loodlijn tekent, dan bekom je de tweede bissectrice

We spiegelen eerst om de eerste bissectrice.

Besluit

Bij een spiegeling om de eerste bissectrice wisselen de coördinaatgetallen van plaats. Wat gebeurt er na een spiegeling om de tweede bissectrice ?

Besluit

Bij een spiegeling om de tweede bissectrice wisselen de coördinaatgetallen van plaats en veranderen beide coördinaatgetallen van toestandsteken.

2 Samenhang tussen verschuivingen en coördinaten van punten

verschuiving over een vector evenwijdig met de x -as

Besluit

PQisnaarrechtsgeoriënteerd:

co(A )=( x + | PQ |, y )

−→

PQisnaarlinksgeoriënteerd:

co(A )=( x −| PQ |, y )

verschuiving over een vector evenwijdig met de y -as

Besluit : −→

PQisnaarondergeoriënteerd:

co(A )=( x , y −| PQ |)

−→

PQisnaarbovengeoriënteerd:

co(A )=( x , y + | PQ |)

verschuiving over een vector niet evenwijdig met de x -as of de y -as

Besluit :

eerste coördinaatgetal: +3

tweede coördinaatgetal: +1

Merkopdateenverschuivingovereenvectornietevenwijdigmetde x -asofde y -aseensamenstellingisvan eenverschuiving −→ PXovereenvectorevenwijdigmetde x -aseneenverschuiving −→ XQovereenvectorevenwijdig metde y -as(ofomgekeerd).

3

Samenhang tussen puntspiegeling en coördinaten van punten

puntspiegeling om de oorsprong

A′(–6, 3)

C(0, 3)

D(2, 5)

Besluit :

B(0, 0) = B′

x 10

C′(0, –3)

A(6, –3)

2, 5) ( –2, –5)

co (A)=( x , y )=⇒ co sO (A) =( x , y )

D′(–2, –5)

Merk op dat een puntspiegeling om de oorsprong neerkomt op een samenstelling van een spiegeling om de x -as en een spiegeling om de y -as (of omgekeerd).

4Samenvatting Verdieping

• Je kunt de samenhang illustreren en bespreken tussen transformaties en de coördinaten van een punt enzijn beeld.

SPIEGELING om de x -as

SPIEGELING om de y -as

SPIEGELING om de eerste bissectrice a

SPIEGELING om de tweede bissectrice b

SPIEGELING om de oorsprong

co (A)=( x , y )=⇒ co s x (A) =( x , y )

co (A)=( x , y )=⇒ co s y (A) =( x , y )

co (A)=( x , y )=⇒ co sa (A) =( y , x )

co (A)=( x , y )=⇒ co s b (A) =( y , x )

co (A)=( x , y )=⇒ co sO (A) =( x , y )

• Je kunt de coördinaat van het beeld van een punt bepalen als een verschuiving over de x -as of de y -as gegeven is.

• Je kunt de coördinaat van het beeld van een punt bepalen als een willekeurige verschuiving gegeven is.

5Oefeningen

Gegeven zijn de punten A( –3, 2) ,B( 5, 0) ,C( 3, 3) en D( 2, –1) Spiegel die punten om de x -as, de y -as en de oorsprong O van het assenstelsel en bepaal telkens de coördinaten van de beeldpunten.

Coördinaat na spiegeling

… om de x -as

… om de y -as

… om O

Gegeven zijn de punten A( –3, 2) ,B( 5, 0) ,C( 3, 3) en D( 2, –1) Spiegel de punten A, B, C en D om de eerste en de tweede bissectrice van het assenkruis en bepaal telkens de coördinaten van de beeldpunten.

Coördinaat na spiegeling

… om de eerste bissectrice

… om de tweede bissectrice

Gegeven zijn de punten A( –3, 2) ,B( 5, 0) ,C( 3, 3) en D( 2, –1)

Gegeven zijn de punten P( 2, 4) en Q( –4, 4)

Zoek de beeldpunten van A, B, C en D door de verschuiving over de vector −→ PQ

Coördinaat na verschuiving

… over −→ PQ

Gegeven zijn de punten A( –3, 2) ,B( 5, 0) ,C( 3, 3) en D( 2, –1) .

Gegeven zijn de punten M( 1, –1) en N( 1, 2)

Zoek de beeldpunten van A, B, C en D door de verschuiving bepaald door de vector −−→ MN

Coördinaat na verschuiving A( –3, 2)

… over −→ MN

2, –1)

Bepaal de coördinaten van de draaibeelden van A( –3, 6) ,B( 4, 1) en C( –5, –4) na rotatie om de oorsprong O over 90° en over –90°.

Coördinaat na rotatie om O A( –3, 6) B( 4, 1) C( –5, –4)

… over 90 °

… over –90 °

Gegeven : A( 4, 2), B( –2, 6) en C( –1, –3)

a is de eerste bissectrice

Gevraagd : bepaal de coördinaat van de volgende punten :

GEVRAAGDCOÖRDINAAT

GEVRAAGDCOÖRDINAAT

a sx ( A) f r ( O, –90°)( B)

b sa ( A) g sO( B)

c r ( O, 90°)( B) h t −→ AB (C)

d t −→ CB (A) i sy ( B)

e sa ( C)

Gegeven : D ABC

co( A) = ( 4, 3); co( B) = ( –2, 4); co( C) = ( 3, –2)

co( P) = ( –1, 2); co( Q) = ( 1, –3)

Gevraagd : bepaal de coördinaat van de hoekpunten van het beeld van D ABC

GEVRAAGD co( A′) co( B′) co( C′)

a t −→ PQ

b t −→ QP

c t −→ AB

d sO

e r ( O, 90°)

f r ( O, –90°)

Gegeven is driehoek PQR met P( –3, 0) ,Q( –3, 4) en R( 1, 4) . Gegeven is het punt A( 2, 2)

Bepaal het beeld van D PQR en bepaal de coördinaten van alle beeldpunten door volgende transformaties uit tevoeren :

Coördinaat van het beeldpunt P( –3, 0) Q( –3, 4) R( 1, 4)

ABCD is een parallellogram met A( –10, 12) ,B( 5, 7) en C( –2, –1)

a Bepaal co(D).

b Welke transformatie kun je gebruiken om die coördinaat te vinden ? Kruis alle mogelijkheden aan en specificeer.

o een spiegeling om een as Indien ja, noteer hier de spiegelas :

o een verschuiving Indien ja, noteer hier een vector:

o een rotatie Indien ja, noteer hier het centrum en de draaiingshoek :

o een spiegeling om een punt Indien ja, noteer hier het centrum :

Vaardigheden | ICT : scripting (coderen) met de schildpad van GeoGebra

Om de schildpad te tonen op het scherm en het scherm af te vegen, voeg je volgende actieknop in (klik op voorlaatste icoontje en kies voor actieknop invoegen) en voorzie je bij GeoGebraScript volgende opdrachten :

Laat nu de schildpad het spiegelbeeld van volgend vierkant tekenen t.o.v. de rechte a .

Toon het assenstelsel en rooster en teken een vierkant zoals hiernaast met gepaste coördinaten van punten.

Voeg een actieknop in met als titel ‘spiegelbeeld vierkant tekenen’ en voorzie bij scripting het volgende :

Je krijgt dan :

Oefeningen

Teken met de schildpad het spiegelbeeld van volgende rechthoek t.o.v. de rechte a

– Teken een schuifknop a die varieert van 1 tot 8 met een stapgrootte van 1.

– Laat de schildpad een gelijkzijdige driehoek tekenen waarvan de lengte van elke zijde a is.

Gebruik de schuifknop om de schildpad telkens een andere gelijkzijdige driehoek te laten tekenen, waarbij delengte van de zijde dus varieert.

– Voorzie 2 schuifknoppen: een schuifknop waarmee je de lengte van de rechthoek kunt veranderen (varieert van 1 tot 8 met een stapgrootte van 1) en een schuifknop waarmee je de breedte van de rechthoek kunt veranderen (varieert van 1 tot 5 met een stapgrootte van 1).

Voorzie een actieknop rechthoek waarmee je de schildpad een rechthoek kunt laten tekenen waarvan de lengte en de breedte door de schuifknoppen bepaald worden.

Teken met de schildpad volgende toren:

Zin in een uitdaging ?

Als je dit kunt maken, dan kun je :

a Een vierkant of een gelijkzijdige driehoek tekenen met een bepaalde lengte als zijde.

b Een rechthoek tekenen met een variabele lengte en breedte.

c Een parallellogram tekenen met een variabele basis, een variabele schuine zijde en een ingesloten hoek die variabel is.

a Teken D ABC met co( A) = ( 1, 2) , co( B) = ( 7, 6) enco( C) = ( 3, –1)

b Spiegel die driehoek om de y -as.

c Noteer de coördinaten van A′, B′ en C′ .

d Wat kun je besluiten i.v.m. de coördinaten na een spiegeling om de y -as ?

a Teken een parallellogram EFGH waarvan E( –4, 2) ,F( 1, 2) en G( 4, –4) drie hoekpunten zijn.

b Wat is de coördinaat van het vierde hoekpunt H ?

c Verschuif het parallellogram over −→ EG .

a Teken een rechthoek PQRS met co( P) = ( 2, –5) , co( Q) = ( –2, –4) , co( R) = ( 0, 4) enco( S) = ( 4, 3)

b Roteer de rechthoek om R over een hoek van 180°.

c Welke figuur is S′Q′SQ ?

d Wat is er bijzonder aan de diagonalen van vierhoek S′Q′SQ ?

Vul het passende antwoord in. LET OP! Voor één opgave moet je op de figuur een letter bij plaatsen. Noem die letter op je tekening en in je oplossing X.

a s BE( C) =

b t −→ GE ( D) =

c s B( C) =

d r ( D,–60°)( B) =

e s ( H) = B

f s DE( ) = F

g t −→ HF ( ) = H

h r ( D,120°)( ) = E

i t −→ EH( DABD) =

j t −→ DD( G) =

Symmetrie en automerken.

a Teken indien mogelijk de symmetrieassen van elk logo.

b Welke van bovenstaande logo’s zijn spiegelsymmetrisch om een punt ?

c Welke van bovenstaande logo’s zijn draaisymmetrisch om een punt ?

Waar of vals ?

a Elke verschuiving bewaart de oppervlakte van een figuur.

b Het draaibeeld van een rechte is een evenwijdige rechte.

c Er bestaan transformaties van het vlak die een cirkel niet afbeelden op een cirkel.

d Een regelmatige n -hoek heeft n – 1 eigendraaiingen.

e Een gelijkbenig trapezium heeft een symmetriemiddelpunt.