2º Bachillerato Científico Tecnológico
Dulce Nombre Lendínez Dorado IES Huelin. Málaga
Ejercicios de matrices y determinantes
⎛1 3 k ⎞ ⎜ ⎟ 1) Dada la matriz A = ⎜ k 1 3 ⎟ : ⎜1 7 k ⎟ ⎝ ⎠ a) Estudia el rango de la matriz A según los valores del parámetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa, si es posible. 1 ⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ 2 2) Considera la matriz A = ⎜ m m m 2 ⎟ . Halla los valores del parámetro m para que el rango de ⎜ m m m2 ⎟ ⎝ ⎠ la matriz A sea menor que 3. 3) Calcula el rango de las siguientes matrices: ⎛ 1 4 − 1⎞ ⎛ 1 3 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 3 2 ⎟ B = ⎜ 2 −1 5 ⎟ ⎜2 2 0⎟ ⎜6 4 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 − 2 0 − 3⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ −1 3 1 4 ⎟ ⎜2 1 5 − 1 ⎟⎠ ⎝ 4) Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k: ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎛ 2 −1 4⎞ ⎛ 1 3 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 − 11 2 ⎟ B = ⎜ − 2 1 3 ⎟ C = ⎜2 6 4 k ⎟ ⎜2 1 ⎜ 1 ⎜ 4 12 8 − 4 ⎟ k ⎟⎠ k 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ 5 − 5 − 6⎞ ⎜ ⎟ 5) Halla el valor de k para que el rango de la matriz A = ⎜ − 5 3 − 1 ⎟ sea 2. ⎜ 0 k 7 ⎟⎠ ⎝ 6) Calcula la inversa de las siguientes matrices: ⎛1 2 1⎞ ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 0⎟ B = ⎜ 0 1 3⎟ ⎜ 2 0 3⎟ ⎜ 2 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x 1 0⎞ ⎜ ⎟ 7) Considera la matriz A = ⎜ 0 1 3 ⎟ . ⎜ x 1 1⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula los valores de x para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, A-1 para x=2. ⎛ 1 0 4⎞ ⎛1 0 t ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8) Dadas las matrices A = ⎜ 0 t 4 ⎟ y B = ⎜1 1 0 ⎟ : ⎜ −1 3 t ⎟ ⎜t 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Halla los valores de t para los cuales A y B no son inversibles. b) Calcula, si es posible, A-1 para t=1. c) Calcula, si es posible, B-1 para t=2. ⎛ 1 3⎞ ⎟ ⎜ ⎛1 2 λ ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ λ 0 ⎟ , donde λ es un número real cualquiera: 9) Dadas las matrices A = ⎜⎜ ⎝1 − 1 − 1⎠ ⎜ 0 2⎟ ⎠ ⎝ a) Encuentra los valores de λ para los que A·B es invertible. b) Determina los valores de λ para los que B·A es invertible.
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Ejercicios de matrices y determinantes
⎛ a a2 − 2⎞ ⎟ , ¿existe algún valor de a para el cual la matriz A no tenga 10) Dada la matriz A = ⎜⎜ a ⎟⎠ ⎝1 inversa? Halla la inversa para a=1, si es posible. 11) Calcula el valor de los siguientes determinantes: 3 x x x x 1 0 0 x 3 x x d) 0 x 1 0 x x 3 x a) 0 0 x 1 x x x 3 1 0 0 x −x b)
1 0 1
a 2 e) 3 4
1 0 1 −x 1 0 1 −x 1 0 1 −x
x −1 −1 0 − x x −1 1 c) 1 −1 x 1 1 −1 0 x
f)
x x x
a a 2 3
a a a 2
a a a a
x +1 x + 2 x+3 x+4 x+5 x+6
a b c 12) Sabiendo que a ' b' c' = 10 , calcula sin desarrollarlo, el siguiente determinante: a" b" c" a b c 2a ' 2b' 2c' 3a" 3b" 3c" a
b
c
13) Sabiendo que a ' b' c' = k , utiliza las propiedades de los determinantes para calcular: a" b" c" b
c
a
a) b' c' a' b" c" a"
b a c b) b' a ' c' b" a" c" −b −c −a c) − b' − c' − a' − b" − c" − a"
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Ejercicios de matrices y determinantes ⎛ 5 −1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎟⎟ e I la ⎟⎟ , B = ⎜⎜ 14) Calcula una matriz X que verifique A ⋅ X − B = I , siendo A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 3⎠ ⎝ 2 0⎠ matriz identidad de orden 2. ⎛ 1 0 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 15) Siendo A = ⎜ 2 1 0 ⎟ y B = ⎜ 1 0 ⎟ , razona si posee solución la ecuación matricial A·X=B y, ⎜1 0 1⎟ ⎜1 1⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ en caso afirmativo, resuélvela. ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − 2 0 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ 1 2 ⎟ . Halla una matriz X que verifique la 16) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝ 0 1 0⎠ ⎜ 0 − 1⎟ ⎝ ⎠ siguiente ecuación matricial: ⎛ − 3 6⎞ ⎟⎟ A·B·X = ⎜⎜ ⎝ 0 3⎠ ⎛1 1 2 ⎞ ⎛ 1 0 2⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 17) Dadas las matrices A = ⎜1 2 1 ⎟ y B = ⎜ 2 0 4 ⎟ ⎜1 1 1 ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
a) Calcula, si existe, la matriz inversa de A y de B. b) Resuelve la ecuación matricial AX+B=A+I, donde I es la matriz identidad de orden 3.
⎛α 18) Sean las matrices A = ⎜⎜ ⎝−α
1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ 3⎠ ⎝ −1 4 2⎠
a) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es
1 A. 12
b) Para α=-3, determina la matriz X que verifica la ecuación At·X=B, siendo At la matriz traspuesta de A. 19) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son: A =
1 y B = −2 . 2
Halla: a) A3 b) A−1 c) − 2 A d) A⋅ B t , siendo Bt la matriz traspuesta de B. e) El rango de la matriz B.
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