Vector Fijo Dados dos puntos A y B del espacio, se llama vector fijo de origen A y extremo B, al segmento AB orientado, y se representa por:
ď‚Ž AB
B ď‚Ž AB
A
Un vector se caracteriza por:
Vector Fijo
Módulo: es la distancia entre A y B. AB Se representa por: B
Dirección: es la recta que pasa por los puntos A y B o una paralela. Sentido: cada dirección tiene dos sentidos, de A a B o de B a A. El sentido del vector es el del punto origen al punto extremo, y se indica mediante una punta de flecha en el punto extremo del vector.
A
B A
Vector Fijo Dos vectores fijos son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Todos los vectores fijos que son iguales entre si forma un vector libre, y todos ellos son representantes de dicho vector libre. Los vectores libres se representan por una letra con una flechita encima:
u, v , a,...
Operaciones con vectores
Suma de vectores: Primer método: para sumar dos vectores, se sitúa el origen del segundo vector en el punto extremo del primero, y la suma es el vector de origen el origen del primero y de extremo el extremo del segundo.
v
u
u v
Operaciones con vectores
Suma de vectores: Segundo método: Colocamos los dos vectores con el mismo punto origen y completamos el paralelogramo que forman ambos vectores. La suma es la diagonal con origen en el origen de los dos vectores:
u
v
u v
Operaciones con vectores
Producto de un vector por un número: el producto de un número por un vector es otro vector que tiene: La misma dirección que el vector. El mismo sentido que el vector si el número es positivo, y sentido contrario si el número es negativo. Su módulo es igual al producto del módulo del vector por el valor absoluto del número.
kv k v
u 3u
2u
Propiedades de las operaciones con vectores
• Asociativa:
SUMA (u v ) w u (v w)
• Conmutativa: • Vector nulo: • Vector opuesto:
u v v u u 0 u u (u ) 0
Propiedades de las operaciones con vectores Producto de un número por un vector
• Asociativa: • Distributiva I: • Distributiva II: • Elemento unidad:
(a b) u a (b u ) (a b) u a u b u
a (u v ) a u a v 1 u u
Combinación lineal de vectores Dados varios vectores:
u , v , w,...
y varios números: k, l, m,… Se llama combinación lineal de dichos vectores a la expresión:
k u l v m w ...
Por ejemplo:
4x 2 y y 2x y
Son combinación lineal de los vectores x e y
Dependencia e independencia lineal Varios vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinaci贸n lineal de los dem谩s. Cuando ninguno se puede expresar como combinaci贸n lineal de los dem谩s se dice que son linealmente independientes.
Base del espacio Tres vectores no coplanarios( que no estรกn en el mismo plano) forman una base del espacio, ya que son linealmente independientes y cualquier vector del espacio se puede expresar como combinaciรณn lineal de los tres. Si los tres vectores son perpendiculares entre si se dice que la base es ortogonal, y si ademรกs la longitud de cada uno de ellos es una unidad, se dice que la base es ortonormal.
Base del espacio
Base ortonormal del espacio
Expresi贸n de un vector en una base
Coordenadas de un vector en una base Dada una base
B x, y, z
Cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los tres vectores que forman dicha base. Entonces se pueden encontrar tres números a, b y c que cumplen:
v a x b y c z A los números a, b y c se les denomina coordenadas del vector, y se expresa como:
v (a, b, c)
Operaciones con coordenadas Dados los vectores, cuyas coordenadas en una base son: B x, y, z
u ( x1 , y1 , z1 ) y v ( x2 , y2 , z2 )
•SUMA:
u v ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
•PRODUCTO POR UN NÚMERO:
k u (kx1 , ky1 , kz1 )
Producto escalar de vectores
Sean u y v dos vectores cualquiera del espacio. Se llama producto escalar de ambos, y se representa por u v al resultado siguiente:
u v u v cos(u , v )
v (u , v )
u
Propiedades del Producto escalar de vectores 1.
3. 4.
5. 6.
u u u
u v 2. cos(u , v ) u v
Si u 0 o v 0 entonces u v 0 Si u 0 o v 0, entonces : u es perpendicular a v u v 0 Conmutativa : u v v u Asociativa : (k u) v k (u v)
7. Distributiva : u (v w) u v u w
Expresión del Producto escalar de vectores en una base ortonormal
Si las coordenadas de dos vectores en una base ortonormal son:
u ( x1 , y1 , z1 ) y v (x2 ,y2 ,z2 ) Entonces:
u v x1 x2 y1 y2 z1 z2
Aplicaciones del producto escalar Si las coordenadas de dos vectores en una base ortonormal son:
u ( x1 , y1 , z1 ) y v (x2 ,y2 ,z2 )
2 2 2 u x1 y1 z1
Módulo de un vector:
Ángulo de dos vectores:
u v cos uv
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z 2 1
2 1
2 1
x y z 2 2
2 2
2 2
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores u y v es un vector que se representa por
u v
y tiene las siguientes características: •Módulo:
u v u v sen(u , v )
•Dirección: perpendicular a ambos vectores.
Producto vectorial •Sentido: Si el ángulo que forman es menor de 180º, el sentido es hacia arriba.
Si el ángulo es mayor que 180º, el sentido es hacia abajo.
Propiedades del producto vectorial
1. u v -v u
2. u u 0 3. (k u) v k (u v)
4. u (v w) u v u w
5. Los vectores de la base B i , j , k cumplen que : i j k , j k i , k i j
Expresión del producto vectorial de dos vectores en una base ortonormal
Si las coordenadas de dos vectores en una base ortonormal son:
u ( x1 , y1 , z1 ) y v (x2 ,y2 ,z2 )
Entonces:
i u v x1
j y1
k z1
x2
y2
z2
Aplicaciones del producto vectorial
Área de un paralelogramo:
Área Base Altura Base u Altura h h sen h v sen v
Área u v sen u v
Área u v
Aplicaciones del producto vectorial
Área de un triángulo:
v
v
u
u Área
Área del paralelogramo 2
Área
u v 2
Producto Mixto
Se llama producto mixto de los vectores u , v y w y se representa por [u , v , w] al número definido por:
[u , v , w] u (v w)
Interpretación geométrica:
[u , v , w] u (v w) u v w cos [u , v , w] Área de la base del paralelepípedo altura
[u , v , w] Volumendel paralelepípedo
Expresión del producto mixto en una base ortonormal
Si las coordenadas de los vectores en una base ortonormal son:
u ( x1 , y1 , z1 ) , v (x2 ,y2 ,z2 ) y w (x3 ,y3 ,z3 )
Entonces:
x1 [u , v , w] x2
y1 y2
z1 z2
x3
y3
z3