Sistema de referencia en el espacio Un sistema de referencia del espacio consiste en un conjunto formado por un punto del espacio y tres vectores que formen una base. Es decir: Un punto fijo, O, llamado origen.
Una base , es decir, un conjunto de tres vectores no coplanarios: {i , j , k }
Coordenadas de un punto A cada punto del espacio se le asocia su vector de posición: OP Las coordenadas de dicho vector de posición son las coordenadas del punto P:
P(a, b, c) OP a i b j c k
Coordenadas de un vector fijo Sean P y Q dos puntos del espacio tales que sus coordenadas en un sistema de referencia son:
P( x1 , y1 , z1 ) y Q( x2 , y2 , z2 )
Entonces se verifica que:
OP PQ OQ PQ OQ OP
PQ ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) P
PQ ( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
PQ ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
O Q
Punto medio de un segmento Sean P y Q dos puntos del espacio tales que sus coordenadas en un sistema de referencia son: P( x1 , y1 , z1 ) y Q( x2 , y2 , z2 )
Entonces se verifica que:
PQ 2 PM ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 2( x x1 , y y1 , z z1 ) x2 x1 x2 x1 2 x 2 x1 x 2 y2 y1 y y 2 y 2 y y 2 1 1 2 z2 z1 2 z 2 z1 z z2 z1 2
Q M(x,y,z) P
Ecuaciones de una recta en el espacio Sea r la recta que pasa por el punto A(a1,a2,a3) y cuyo vector director es v (v1 , v2 , v3 ) Entonces, si P(x,y,z) es un punto cualquiera de la recta, se verifica que:
OP OA AP
Como el vector AP tiene la mismadirección que v , se puede expresar como comb inación lineal de v Por tanto : AP v OP OA v ( x, y, z ) (a1 , a2 , a3 ) (v1 , v2 , v3 )
Ecuaciones de la recta ∆
Ecuación vectorial de la recta:
( x, y, z) (a1 , a2 , a3 ) (v1 , v2 , v3 ) ∆
Ecuaciones paramétricas de la recta:
x a1 v1 y a 2 v2 z a v 3 3
Ecuaciones de la recta ∆
Ecuación continua de la recta:
x a1 y a2 z a3 v1 v2 v3 ∆
Ecuación general o implícita de la recta:
Ax By Cz D 0 A' x B' y C ' z D' 0
Posiciones relativas de dos rectas Dadas dos rectas r y s en el espacio, pueden darse los siguientes casos: Coincidentes: es decir Paralelas: es decir, tienen tienen la misma la misma dirección y dirección y un punto en ningún punto en común. común
r r
s
s
Posiciones relativas de dos rectas Se cortan: es decir, Se cruzan: es decir, tienen distinta dirección tienen distinta dirección y ningún punto en y un punto en común. común. r s r s
Posiciones relativas de dos rectas Para ver cuál es la posición relativa de dos rectas r y s, debemos determinar de cada una de ellas un punto y un vector director:
r : punto P(p1,p2 ,p3 ) y vector director v (v1 , v2 , v3 ) s : punto P'(p'1 ,p'2 ,p'3 ) y vector director u (u1 , u2 , u3 )
Entonces: 1. Si v // u , las rectas r y s pueden ser paralelas o coincidentes : a) Si P s entonces las rectas son coincidentes b) Si P s entonces las rectas son paralelas
Posiciones relativas de dos rectas 2. Si v y u no son paralelos, entonces las rectas se cortan o se cruzan : a) Las rectas se cortan si los vectores v , u y PP' son coplanarios
b) Las rectas se cruzan si los vectores v , u y PP' no son coplanarios Todo el estudio de las posiciones relativas de dos rectas se puede realizar utilizando el rango de dos matrices:
v1 v2 M u1 u2
v3 u3
v1 M ' u1 p' p 1 1
v2 u2 p'2 p2
u3 p'3 p3 v3
Posiciones relativas de dos rectas 1. Si rango ( M ) 1, entonces puede ocurrir que : a) rango ( M ' ) 1 Las rectas r y s son coincidentes b) rango ( M ' ) 2 Las rectas r y s son paralelas
2. Si rango ( M ) 2, entonces puede ocurrir que : a) rango ( M ' ) 2 Las rectas r y s se cortan b) rango ( M ' ) 3 Las rectas r y s se cruzan
Ecuaciones del plano Sea π el plano que pasa por el punto P(p1,p2,p3) y cuyos vectores u (u1 , u2 , u3 ) y v (v1 , v2 , v3 ) directores son: Entonces, si X(x,y,z) es un punto cualquiera del plano, se verifica que:
OX OP PX PX u v , ya que PX está en el mismo plano que u y v
Por tanto:
OX OP u v
Ecuaciones del plano ∆
Ecuación vectorial del plano:
( x, y, z) ( p1 , p2 , p3 ) (u1 , u2 , u3 ) (v1 , v2 , v3 ) ∆
Ecuaciones paramétricas del plano:
x p1 u1 v1 y p2 u2 v2 z p u v 3 3 3
Ecuaciones del plano ∆
Ecuación general o implícita del plano:
x p1 y p2 z p3 u1
u2
u3
v1
v2
v3
0
Ax By Cz D 0
Ecuación de un plano conocido un punto y un vector perpendicular La ecuación de un plano que pasa por el punto P(p1,p2,p3) y tal n (a, b, c) será: que un vector perpendicular a él Como n forma ángulo de 90º con PX
se cumplirá que :
n PX 0 n (a, b, c) y PX ( x p1 , y p2 , z p3 )
Entonces:
a( x p1 ) b( y p2 ) c( z p3 ) 0
Vector perpendicular de un plano ax by cz d 0 Entonces, el vector n (a, b, c)
Si la ecuación del plano es:
n
90º
es perpendicular al plano, es decir, forma un ángulo de 90º con cualquier línea contenida en el plano.
A dicho vector se le llama vector normal del plano.
Posiciones relativas de dos planos Dos planos π y π’ en el espacio pueden: Ser coincidentes: todos sus puntos son comunes.
Ser paralelos: no tienen ningún punto en común.
Se cortan: tienen toda una recta en común.
Posiciones relativas de dos planos Para ver la posición relativa de dos planos, debemos conocer sus ecuaciones generales. Dados los planos π y π’ de ecuaciones:
: Ax By Cz D 0 ': A' x B' y C ' z D' 0 Todo el estudio de las posiciones relativas de los dos planos se puede realizar utilizando el rango de dos matrices:
A B C M A' B' C '
A B C D M ' A' B' C ' D'
Posiciones relativas de dos planos Entonces pueden ocurrir los siguientes casos: 1. Si rango(M ) 1 y rango(M ' ) 1 Los planos son coincidentes
2. Si rango(M ) 1 y rango(M ' ) 2 Los planos son paralelos
3. Si rango(M ) 2 y rango(M ' ) 2 Los planos se cortan en una recta
Posiciones relativas de un plano y una recta Un plano π y una recta r en el espacio pueden: Estar contenida la recta en el plano: todos los puntos de la recta son comunes La recta es paralela al plano: no tienen ningún punto en común
La recta y el plano se cortan en un punto: tienen solo un punto en común
Posiciones relativas de un plano y una recta Para estudiar la posición relativa de una recta r y un plano π, hay que determinar un vector director de la recta y un vector normal del plano. Si:
n es el vector normal del plano v es el vector director de la recta r
Entonces: La recta es paralela al plano, si un punto de r no pertenece al plano 1. Si n es perpendicular a v La recta está contenida en el plano, si un punto de r está en el plano
2. Si n no es perpendicular a v La recta corta al plano en un punto
Plano paralelo a dos rectas ¿Cómo calcular la ecuación de un plano que sea paralelo a dos rectas? Si nos fijamos en la figura, el vector normal al plano tiene que ser perpendicular a los dos vectores directores de las rectas. Por tanto, podemos elegir para el vector normal del plano el producto vectorial de los dos vectores directores.
n u v
Ángulo entre dos rectas ¿Cómo calcular el ángulo entre dos rectas? Si nos fijamos en la figura, está claro que el ángulo que forman las rectas es el mismo que forman sus vectores directores. Por tanto:
u v cos(r , s) cos (u , v ) uv
Ángulo entre una recta y un plano ¿Cómo calcular el ángulo entre una recta y un plano? Si nos fijamos en la figura, está claro que el ángulo que forman la recta y el plano es el complementario del que forma un vector director de la recta con el vector normal del plano. Por tanto:
u n cos cos(u , n ) un
(r , ) 90º
Ángulo entre dos planos ¿Cómo calcular el ángulo que forman dos planos? Está claro, mirando la figura, que el ángulo que forman los planos es el mismo que el que forman sus vectores normales. Por tanto:
( , ') (n, n ')
n n' cos cos(n, n ' ) n n'
Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P y P’ es el módulo del vector de origen P y extremo P’. Por tanto, si
P(x1, y1, z1) y P'(x2 , y2 , z 2 ) Entonces:
PP' x 2 x1, y2 y1, z 2 z1
P
dist ( P, P' ) PP ' ( x 2 x1) ( y 2 y1) ( z 2 z1) 2
P’
2
2
Distancia entre un punto y una recta Se llama distancia de un punto P a una recta r, a la longitud del segmento perpendicular que podemos trazar desde el punto P hasta la recta r. ¿Cómo calcular la distancia entre un punto P y la recta r? Si nos fijamos en la figura, debemos calcular las coordenadas del punto R. Entonces: El punto R condiciones:
dist ( P, r ) dist ( P, R) debe
cumplir
las
siguientes
1. R es un punto de la recta, por tanto tiene que cumplir su ecuación 2. El vector PR es perpendicular al vector u , vector director de r PR u 0
Distancia entre un punto y un plano Se llama distancia de un punto P a un plano π a la longitud del segmento perpendicular que podemos trazar desde el punto P hasta el plano π. ¿Cómo calcular la distancia entre un punto P y el plano π?
Si nos fijamos en la figura, debemos calcular las coordenadas del punto R. Entonces:
d ( P, ) d ( P, R)
Distancia entre un punto y un plano El punto R debe cumplir la siguiente condición: Es el punto donde se corta el plano π con la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P r
Por tanto: 1. Debemos calcular la ecuación de la recta r que es perpendicular al plano π y pasa por el punto P. Después: 2. Calculamos el punto de corte R de la recta r con el plano π, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambos. Por último:
3. Calculamos la distancia entre P y R.
Distancia entre un punto y un plano También se puede calcular la distancia de un punto P a un plano π usando la siguiente fórmula: Si la ecuación del plano es : Ax By Cz D 0 Si las coordenadas del punto son P( x1 , y1 , z1 )
dist ( P, )
Ax1 By1 Cz1 D A2 B 2 C 2
Distancia entre dos rectas Se llama distancia entre dos rectas a la longitud del mĂnimo segmento que podemos trazar de una recta a la otra. Por tanto: 1. Si las rectas son coincidentes o se cortan la distancia es cero. 2. Si son paralelas o se cruzan, entonces dicha distancia no es cero.
Distancia entre dos rectas paralelas ¿Cómo calcular la distancia entre dos recta r y s que son paralelas? Si nos fijamos en la figura, basta con: 1. Escoger un punto P de una de las dos rectas, como por ejemplo de r.
P
Después: 2. Calcular la distancia desde P a la otra recta s.
r s
Entonces:
dist (r, s) dist ( P, s)
Distancia entre dos rectas que se cruzan ¿Cómo calcular la distancia entre dos recta r y s que se cruzan? Si nos fijamos en la figura, basta con: 1. Encontrar los puntos R y S de las rectas tales que:
R r
R r Deb e cumplir la ecuación de r S s Deb e cumplir la ecuación de s
RS es perpendicular a amb asrectas.
S s Entonces:
dist (r, s) dist ( R, S )
Por tanto : RS es perpendicular a v (vector director de r) RS v 0 RS es perpendicular a u (vector director de s) RS u 0
Después:
2. Calcular la distancia desde R a S.
Distancia entre dos planos Se llama distancia entre dos planos a la longitud del mĂnimo segmento que podemos trazar desde un plano hasta el otro. Por tanto:
ď ą Si los planos son coincidentes o se cortan la distancia es cero. ď ą Si son paralelos, entonces dicha distancia no es cero.
Distancia entre dos planos ¿Cómo calcular la distancia entre dos planos π y π’ que son paralelos? Si nos fijamos en la figura, basta con: P
1. Escoger un punto P de uno de los dos planos, como por ejemplo de π. Después: 2. Calcular la distancia desde P al otro plano π’ . Entonces:
dist ( , ' ) dist ( P, ' )
Distancia entre una recta y un plano Se llama distancia entre una recta y un plano a la longitud del mĂnimo segmento que podemos trazar desde el plano hasta la recta. Por tanto:
ď ą Si la recta estĂĄ contenida en el plano o se cortan la distancia es cero. ď ą Si la recta es paralela al plano, entonces dicha distancia no es cero.
Distancia entre una recta y un plano ¿Cómo calcular la distancia entre una recta r paralela a un plano π ? Si nos fijamos en la figura, basta con: P
1. Escoger un punto P de la recta r. Después: 2. Calcular la distancia desde P al plano π. Entonces:
dist (r, ) dist ( P, )
Simétrico de un punto respecto de un punto El simétrico de un punto P respecto de un punto Q es un punto P’ tal que el punto Q es el punto medio del segmento PP’. P’
P( x1 , y1 , z1 ) y Q( x2 , y2 , z2 ) Y las coordenadas del simétrico son:
Q P
Entonces si las coordenadas de los puntos P y Q son:
Se tiene que cumplir que:
x1 x x2 2
P' ( x, y, z ) y1 y y2 2
z1 z z2 2
Simétrico de un punto respecto de una recta
El simétrico de un punto P respecto de una recta r es el punto P’ tal que: El segmento PP’ es perpendicular a r P
La distancia de P a r es la misma que la distancia de P’ a r R P’
r
Si nos fijamos en la figura, habrá que calcular las coordenadas del punto R. Y después calcularemos las coordenadas de P’ sabiendo que el punto R es el punto medio del segmento PP’.
Simétrico de un punto respecto de un plano El simétrico de un punto P respecto de un plano π es el punto P’ tal que: P
π
R
P’
El segmento PP’ es perpendicular a π La distancia de P a π es la misma que la distancia de P’ a π Si nos fijamos en la figura, habrá que calcular las coordenadas del punto R. Y después calcularemos las coordenadas de P’ sabiendo que el punto R es el punto medio del segmento PP’.
Áreas Área del triángulo de vértices los puntos A, B y C: C
AB AC Área
A
B
2
Área del paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D: C
D
Área AB AD A
B
Volumen del paralelepípedo El paralelepípedo de vértices los puntos A, B, C, D, E, F, G y H es el determinado por los vectores : F E
H G
AC, AB y AE Por tanto, su volumen será el valor absoluto del producto mixto de dichos vectores:
B A
D C
Volumen AC, AB, AE
Volumen de un tetraedro El tetraedro de vértices los puntos A, B, C y D, viene determinado por los vectores: D
AB , AC , AD C Con la siguiente secuencia de imágenes, veremos que un tetraedro se obtiene dando algunos cortes a un paralelepípedo
A
B
Volumen de un tetraedro
Volumen de un tetraedro Por tanto, seis tetraedros forman el paralelepípedo determinado por los vectores:
AB , AC , AD Por tanto, el volumen del tetraedro es:
1 Volumen AB , AC , AD 6