Μαθηματικά οδηγός δημοτικό γυμνάσιο by dmem

Ε΢ΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 ου «ΝΕΟ ΢ΧΟΛΕΙΟ (΢χολείο 21 αιϊνα) – Νζο Πρόγραμμα ΢πουδϊν , Οριηόντια Πράξθ» MIS: 295450 Με ςυγχρθματοδότθςθ τθσ Ελλάδασ και τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ (Ε. Κ. Σ.)

Μακθματικά ςτθν Υποχρεωτικι Εκπαίδευςθ Οδηγόσ για τον εκπαιδευτικό «Εργαλεία Διδακτικϊν Προςεγγίςεων»

2011

iii

Το παρόν ζργο ζχει παραχκεί από το Ραιδαγωγικό Λνςτιτοφτο ςτο πλαίςιο υλοποίθςθσ τθσ Ρράξθσ «ΝΕΟ ΢ΧΟΛΕΙΟ (΢χολείο 21ου αιϊνα) – Νζο πρόγραμμα ςπουδϊν, ςτουσ Άξονεσ Προτεραιότθτασ 1,2,3, -Οριηόντια Πράξθ», με κωδικό MIS 295450 και ειδικότερα ςτο πλαίςιο του Υποζργου 1: «Εκπόνηςη Προγραμμάτων Σπουδϊν Πρωτοβάθμιασ και Δευτεροβάθμιασ Εκπαίδευςησ και οδηγϊν για τον εκπαιδευτικό «Εργαλεία Διδακτικϊν Προςεγγίςεων». Επιςτθμονικό Ρεδίο: Μακθματικά

Τπεφκυνθ Επιςτθμονικοφ Πεδίου: Πόταρθ Δζςποινα, Αναπλθρϊτρια Κακθγιτρια Τμιματοσ Μακθματικϊν, Ρανεπιςτιμιο Ακθνϊν

Εμπειρογνϊμονεσ για τθ ςυγγραφι του οδθγοφ του εκπαιδευτικοφ 1. Γεωργιάδου Βαρβάρα, Σχολικόσ Σφμβουλοσ Ρρωτοβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 2. Ηαχαριάδθσ Θεοδόςιοσ, Αναπλθρωτισ Κακθγθτισ Τμιματοσ Μακθματικϊν, Ρανεπιςτιμιο Ακθνϊν 3. Ηυμπίδθσ Δθμιτριοσ, Σχολικόσ Σφμβουλοσ Ρρωτοβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 4. Καςκαντάμθσ Μιχάλθσ, Εκπαιδευτικόσ Δευτεροβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 5. Καςςϊτθ Όλγα, Εκπαιδευτικόσ Ρρωτοβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 6. Καφοφςθ ΢ουλτάνα, Αναπλθρϊτρια Κακθγιτρια Τμιματοσ Επιςτθμϊν Ρροςχολικισ Αγωγισ και Εκπαιδευτικοφ Σχεδιαςμοφ του Ρανεπιςτθμίου Αιγαίου 7. Κλϊκου Άννα, Εκπαιδευτικόσ Ρρωτοβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 8. Μαρκόπουλοσ Χριςτοσ, Λζκτορασ, Ρ.Τ.Δ.Ε, Ρανεπιςτιμιο Ρατρϊν 9. ΢ακονίδθσ Χαράλαμποσ, Αναπλθρωτισ Κακθγθτισ Ρ.Τ.Δ.Ε., Δθμοκρίτειο Ρανεπιςτιμιο Κράκθσ 10. ΢τουραΐτθσ Κωνςταντίνοσ, Εκπαιδευτικόσ Δευτεροβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 11. Σηεκάκθ Μαριάννα, Κεςςαλονίκθσ

Κακθγιτρια

Τμιματοσ

Νθπιαγωγϊν,

Αριςτοτζλειο

Ρανεπιςτιμιο

12. Σριανταφυλλίδθσ Σριαντάφυλλοσ, Αναπλθρωτισ Κακθγθτισ, Ρ.Τ.Δ.Ε., Ρανεπιςτιμιο Κεςςαλίασ 13. Φακοφδθσ Ευάγγελοσ, Εκπαιδευτικόσ Δευτεροβάκμιασ Εκπαίδευςθσ 14. Ψυχάρθσ Γεϊργιοσ, Λζκτορασ Τμιματοσ Μακθματικϊν, Ρανεπιςτιμιο Ακθνϊν

ΠΙΝΑΚΑ΢ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟ΢ .…………………………………………………………………………………….….... Ειςαγωγι……………………………………………………………………………………………. Δομι του Οδθγοφ ……………………………………………………………………………… Βαςικζσ Αρχζσ Μάκθςθσ και Διδαςκαλίασ των Μακθματικϊν ……….. Μακθματικά και Μακθματικόσ γραμματιςμόσ ………………………….. Εργαλεία διδαςκαλίασ και μάκθςθσ……………………………………………. Μακθματικό Περιεχόμενο: Σροχιζσ Μάκθςθσ και Διδαςκαλίασ……….. Αρικμοί – Άλγεβρα………………………………………………………………………. Χϊροσ – Γεωμετρία – Μετριςεισ………………………………………………….. Στοχαςτικά Μακθματικά……………………………………………………………… Αξιολόγθςθ ……………………………………………………………………………………….. Εργαλείο 1……………………………………………………………………………………. Εργαλείο 2 …………………….…………………………………………………………….. Εργαλείο 3 …………………………………………………………………………………… Το πορτφόλιο (χαρτοφυλάκιο) ……………………………………………………. Θμερολόγια………………………………………………………………………………….. Συνεντεφξεισ ……………………………………………………………………………….. Ραρατιρθςθ ………………………………………………………………………………. Αξιολόγθςθ ςυνκετικισ εργαςίασ……………………………………………….. Αϋ ΚΤΚΛΟ΢…………………………………………………………………………………………………… Αρικμοί ……………………………………………………………………………………………….. Άλγεβρα ………………………………………………………………………………………………. Χϊροσ και Γεωμετρία …………………………………………………………………………. Χϊροσ ………………………………………………………………………………………….. Γεωμετρία ……………………………………………………………………………………. Μετριςεισ ….……………………………………………………………………………………... ΢τοχαςτικά Μακθματικά .………………………………………………………………….. Στατιςτικι ……………………………………………………………………………………. Ρικανότθτεσ ………………………………………………………………………………… Βϋ ΚΤΚΛΟ΢ …..……………………………………………………………………………………………… Αρικμοί …………………………………………………………………………………………….. Άλγεβρα ……………………………………………………………………………………………. Χϊροσ και Γεωμετρία ………………………………………………………………………… Μετριςεισ ….……………………………………………………………………………………... ΢τοχαςτικά Μακθματικά .………………………………………………………………….. Στατιςτικι ……………………………………………………………………………………. Ρικανότθτεσ ………………………………………………………………………………… ΢υνκετικι Εργαςία Βϋ Κφκλου ……………………………………………………………. Γϋ ΚΤΚΛΟ΢……………………………………………………………………………………………………. Αρικμοί και άλγεβρα …………………………………………………………………………. Γεωμετρία και Μετριςεισ ………………………………………………………………….. ΢τοχαςτικά μακθματικά – ΢τατιςτικι ……….…………………………………….. ΢τοχαςτικά μακθματικά – Πικανότθτεσ……………………………………………… ΢υνκετικι Εργαςία Γϋ Κφκλου ………………………………………………………….

1 2 3 4 4 4 7 8 23 30 33 33 39 40 42 43 45 46 47 50 51 57 62 62 66 72 75 75 78 81 82 96 110 123 134 134 138 143 148 149 179 218 232 236

ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟ΢

Γενικό Μζροσ

Ειςαγωγι Ο οδθγόσ του εκπαιδευτικοφ για τα Μακθματικά τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ ςτοχεφει ςτθν υποςτιριξθ του εκπαιδευτικοφ ϊςτε να μπορζςει να υλοποιιςει κατά τον καλφτερο δυνατό τρόπο τθ φιλοςοφία του νζου προγράμματοσ ςπουδϊν. Ο οδθγόσ δεν δίνει ςτον εκπαιδευτικό “ςυνταγζσ” για το τι κα κάνει ςτθν τάξθ του, αλλά προςπακεί να τον βοθκιςει: 

να κατανοιςει τον εκπαιδευτικό προςανατολιςμό του νζου ΡΣ και να αναγνωρίςει τισ αλλαγζσ τόςο ςτο περιεχόμενο όςο και ςτισ διδακτικζσ προςεγγίςεισ που αυτό ειςάγει,

 να ςχεδιάηει τθ διδαςκαλία του αξιοποιϊντασ παραδείγματα δραςτθριοτιτων και διδακτικϊν εργαλείων που του προτείνονται,  να ςυνειδθτοποιεί τισ διδακτικζσ επιλογζσ του κακϊσ και το αποτζλεςμα που αυτζσ μποροφν να ζχουν ςτθ μακθματικι ανάπτυξθ των μακθτϊν,  να αναγνωρίηει τα προςδοκϊμενα μακθςιακά αποτελζςματα για κάκε μακθματικι ενότθτα και να τα ςυνδζει με αυτά που οι μακθτζσ αναμζνεται να ζχουν επιτφχει ςτισ προθγοφμενεσ τάξεισ ι κα επιτφχουν ςτισ επόμενεσ,  να πειραματίηεται με νζεσ διδακτικζσ προςεγγίςεισ δίνοντασ του παραδείγματα διαχείριςθσ που κα επιτρζψουν τθν πραγματοποίθςθ των διδακτικϊν ςτόχων που διαμορφϊνει με βάςθ το ΡΣ. Για τθν επίτευξθ των παραπάνω, παρουςιάηονται:   



οι βαςικζσ αρχζσ του ΡΣ αναφορικά με το μακθματικό περιεχόμενο, τθ διδαςκαλία και τθ μάκθςθ, παραδείγματα εργαλείων αξιολόγθςθσ που ανταποκρίνονται ςτισ βαςικζσ αρχζσ αξιολόγθςθσ που κζτει το ΡΣ, θ ςθμαςία βαςικϊν μακθματικϊν κεμάτων ανά θλικιακό κφκλο που ζχουν επιλεγεί από το ΡΣ, θ προθγοφμενθ και θ επόμενθ γνϊςθ των μακθτϊν, οι δυςκολίεσ που ςφμφωνα με τθν ζρευνα ςτθ Διδακτικι των Μακθματικϊν αντιμετωπίηουν οι μακθτζσ κακϊσ και ηθτιματα διδακτικισ διαχείριςθσ, ςυγκεκριμζνα παραδείγματα διδακτικισ διαχείριςθσ δραςτθριοτιτων που προτείνονται κυρίωσ ςτο ΡΣ δίνοντασ ζμφαςθ ςτισ μακθματικζσ διεργαςίεσ που μποροφν να αναπτυχκοφν, προτεινόμενεσ πθγζσ εκπαιδευτικοφ υλικοφ που μπορεί να αξιοποιθκεί.

Ο οδθγόσ του εκπαιδευτικοφ δεν αντικακιςτά το ΡΣ, αλλά δίνει μεγαλφτερθ ζμφαςθ ςε ηθτιματα που αφοροφν το ςχεδιαςμό, τθν εφαρμογι και τθν αξιολόγθςθ τθσ διδαςκαλίασ. Αυτό ςθμαίνει ότι ο οδθγόσ χρειάηεται να χρθςιμοποιείται ςυμπλθρωματικά με το ΡΣ. Τόςο το ΡΣ όςο και ο οδθγόσ υποςτθρίηουν τον εκπαιδευτικό ςτο να μπορεί: α) να προγραμματίηει τθν κατανομι του διδακτικοφ χρόνου, β) να επιλζγει τθ ςειρά με τθν οποία κα διδάξει τισ βαςικζσ κεματικζσ ενότθτεσ, γ) να κακορίηει με τθ βοικεια του ΡΣ τουσ ςτόχουσ του και τα μζςα επίτευξθσ τουσ ανάλογα με τισ ιδιαιτερότθτεσ των μακθτϊν,

Γενικό Μζροσ

δ) να ςχεδιάηει εργαλεία αξιολόγθςθσ τθσ επίτευξθσ των ςτόχων του με ςτόχο τθν ανατροφοδότθςθ και τθ διαμόρφωςθ τθσ διδαςκαλίασ, ε) να επιλζγει ι να αναπτφςςει εκπαιδευτικό υλικό, ςτ) να ςυνεργάηεται με άλλουσ εκπαιδευτικοφσ ςτο ςχολείο του αλλά και εκτόσ ϊςτε να ςχεδιάηει από κοινοφ, να ανταλλάςει ιδζεσ και να πειραματίηεται με διδακτικζσ προςεγγίςεισ που αποδεικνφονται αποτελεςματικζσ.

Δομι του Οδθγοφ Ο οδθγόσ περιλαμβάνει το γενικό μζροσ που απευκφνεται ςτουσ εκπαιδευτικοφσ του Δθμοτικοφ και του Γυμναςίου κακϊσ και ξεχωριςτό ειδικό μζροσ για κάκε εκπαιδευτικι βακμίδα. Στο γενικό μζροσ παρουςιάηονται: 

οι βαςικζσ αρχζσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ των μακθματικϊν ςφμφωνα με το ΡΣ εςτιάηοντασ κυρίωσ ςτο τι είναι καινοφριο ςτο ΡΣ,  θ δομι του μακθματικοφ περιεχομζνου ςφμφωνα με τισ τροχιζσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ που αξιοποιικθκαν ςτο ΡΣ,  εργαλεία – παραδείγματα αξιολόγθςθσ. Οι αρχζσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ παρουςιάηονται ςυνοπτικά δίνοντασ ζμφαςθ περιςςότερο ςε ηθτιματα διαχείριςθσ, τα οποία ςυγκεκριμενοποιοφνται ςτο ειδικό μζροσ. Σχετικά με τισ τροχιζσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ παρουςιάηονται ςυνοπτικά οι κφριεσ υποτροχιζσ εςτιάηοντασ ςτο τι είναι αυτό που διαφοροποιείται ανά θλικιακό κφκλο. Στθν αξιολόγθςθ προτείνονται: τρόποι αξιολόγθςθσ των απαντιςεων των μακθτϊν ςε μια δραςτθριότθτα με βάςθ το βακμό επίτευξθσ των Ρροςδοκϊμενων Μακθςιακϊν Αποτελεςμάτων (ΡΜΑ), τεχνικζσ αξιολόγθςθσ όπωσ πορτφόλιο, ςυνζντευξθ, παρατιρθςθ με αντίςτοιχα παραδείγματα, κακϊσ και ζνα παράδειγμα αξιολόγθςθσ ςυνκετικισ εργαςίασ των μακθτϊν. Στο ειδικό μζροσ τθσ κάκε εκπαιδευτικισ βακμίδασ ζχουν επιλεγεί κάποιεσ βαςικζσ ενότθτεσ ωσ προσ τισ οποίεσ παρουςιάηονται: 

   

θ ςθμαςία τθσ ενότθτασ εςτιάηοντασ ςτισ βαςικζσ μακθματικζσ ζννοιεσ που τθ χαρακτθρίηουν, κακϊσ και ςτθ μακθματικι δραςτθριότθτα που ενκαρρφνεται από το ΡΣ ςχετικά με τθν ενότθτα αυτι, θ προθγοφμενθ και θ επόμενθ γνϊςθ των μακθτϊν όπωσ αυτι προτείνεται από το ΡΣ ςχετικά με τθν ενότθτα, οι δυςκολίεσ που ζχουν οι μακθτζσ ςχετικά με τθν ενότθτα όπωσ αυτζσ προκφπτουν κυρίωσ από τθ ςχετικι ζρευνα, προτάςεισ διδακτικισ διαχείριςθσ τθσ ενότθτασ, ιδζεσ διδακτικισ διαχείριςθσ παραδειγμάτων ενδεικτικϊν δραςτθριοτιτων που προτείνονται ςτο ΡΣ ι ςυμπλθρωματικϊν.

Σε κάποιεσ περιπτϊςεισ προτείνεται εκπαιδευτικό υλικό ανά ενότθτα που μπορεί να χρθςιμοποιιςει ο εκπαιδευτικόσ κακϊσ και προτάςεισ – παραδείγματα διαχείριςθσ ςυνκετικϊν εργαςιϊν.

Γενικό Μζροσ

Βαςικζσ Αρχζσ Μάκθςθσ και Διδαςκαλίασ των Μακθματικϊν Μακθματικά και Μακθματικόσ γραμματιςμόσ Κεντρικι επιδίωξθ τθσ διδαςκαλίασ των Μακθματικϊν ςτθν υποχρεωτικι εκπαίδευςθ είναι θ ανάδειξθ των βαςικϊν χαρακτθριςτικϊν τθσ μακθματικισ γνϊςθσ: τθσ γενίκευςθσ, τθσ αφαίρεςθσ, τθσ ακρίβειασ και τθσ ςυντομίασ, κακϊσ και θ ανάπτυξθ τθσ μακθματικισ ςκζψθσ. Ραράλλθλα, θ διδαςκαλία επιδιϊκει τθ ςφνδεςθ των παραπάνω με το κοινωνικό περιβάλλον, γεγονόσ που οδθγεί ςτθν ανάπτυξθ του μακθματικοφ γραμματιςμοφ, δθλαδι ςτθν ικανότθτα του ατόμου να αναλφει, να ερμθνεφει και να επεμβαίνει ςτο κοινωνικό του περιβάλλον και ςτον κόςμο γφρω του, χρθςιμοποιϊντασ ωσ εργαλείο τα μακθματικά και να αντιλαμβάνεται τον τρόπο με τον οποίο χρθςιμοποιοφνται τα μακθματικά για τθ λιψθ αποφάςεων. Το ΡΣ επιδιϊκει κυρίωσ να αποκτιςουν οι μακθτζσ τθν ικανότθτα διατφπωςθσ και επίλυςθσ προβλθμάτων, κακϊσ και να διαμορφϊςουν μια κετικι ςτάςθ για τα μακθματικά, εκτιμϊντασ το ρόλο τουσ ςτθν ανάπτυξθ του ανκρϊπινου πολιτιςμοφ. Θ υλοποίθςθ των παραπάνω ςτόχων επιχειρείται, όπωσ αναλφεται ςτο ΡΣ, να επιτευχκεί μζςα από τζςςερισ βαςικζσ διεργαςίεσ: α) του μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και τθσ επιχειρθματολογίασ, β) τθσ δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν, γ) τθσ επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων, και δ) τθσ μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ, όπου ο μακθτισ ςκζφτεται πάνω ςτισ δράςεισ του και ελζγχει τθν αποτελεςματικότθτα των ςτρατθγικϊν του. Θ ανάπτυξθ αυτϊν των διεργαςιϊν από τον μακθτι εξαρτάται από το είδοσ του προβλιματοσ/ δραςτθριότθτασ που κζτει ο εκπαιδευτικόσ ςτουσ μακθτζσ, αλλά και από τθν αλλθλεπίδραςθ των μακθτϊν και του εκπαιδευτικοφ ςτθν τάξθ. Για παράδειγμα, μια άςκθςθ τθσ μορφισ «Λφςτε τθν εξίςωςθ» δεν ενκαρρφνει τισ ίδιεσ διεργαςίεσ με ζνα πρόβλθμα που μοντελοποιείται από μια εξίςωςθ. Επιπλζον, αν ο εκπαιδευτικόσ ενκαρρφνει τουσ μακθτζσ του να περιγράψουν, να επεξθγιςουν και να τεκμθριϊςουν τισ λφςεισ τουσ ςε ζνα πρόβλθμα, μπορεί να τουσ υποςτθρίξει να αναπτφξουν κάποιεσ από τισ παραπάνω διεργαςίεσ.

Εργαλεία διδαςκαλίασ και μάκθςθσ Δραςτηριότητεσ Τα βαςικά εργαλεία διδαςκαλίασ και μάκθςθσ που υποςτθρίηει το ΡΣ είναι θ χριςθ, από τουσ ίδιουσ τουσ μακθτζσ ςτθν τάξθ, δραςτθριοτιτων, οι οποίεσ μποροφν να βοθκιςουν ςτθν ειςαγωγι μακθματικϊν εννοιϊν, ςτθν αναγνϊριςθ μακθματικϊν ιδιοτιτων και δομϊν, ςτθ μοντελοποίθςθ καταςτάςεων με τθν αξιοποίθςθ μακθματικϊν εργαλείων και γενικότερα ςτθ μακθματικι διερεφνθςθ. Το πζραςμα από τθ δραςτθριότθτα ςτο μακθματικό αντικείμενο είναι ζνα δφςκολο ςθμείο που χρειάηεται να διαχειριςτεί ο εκπαιδευτικόσ ϊςτε να μπορζςει ο μακθτισ να κάνει τισ ανάλογεσ ςυνδζςεισ ανάμεςα ςτο πλαίςιο που κζτει θ δραςτθριότθτα και ςτο μακθματικό περιεχόμενο. Θ διαρκισ αναφορά του μακθτι ςτο πλαίςιο τθσ δραςτθριότθτασ που ζχει να λφςει ςε όλθ τθν πορεία επίλυςισ τθσ βοθκά ςτο

Γενικό Μζροσ

πζραςμα αυτό. Συχνά, θ παρουςίαςθ του μακθματικοφ μοντζλου απευκείασ από τον εκπαιδευτικό καταςτρατθγεί τθν αρχι τθσ ανακάλυψισ του από τουσ μακθτζσ και μετατρζπει τθ μακθματικι δραςτθριότθτα των μακθτϊν ςε τετριμμζνθ. Θ παρουςίαςθ από τον εκπαιδευτικό του μακθματικοφ μοντζλου ςυχνά μετατρζπει τθ μακθματικι δραςτθριότθτα των μακθτϊν ςε τετριμμζνθ. Θ ςυνεργαςία των μακθτϊν ςτθν τάξθ, θ ςυηιτθςθ τόςο ςτο πλαίςιο μικρϊν ομάδων όςο και ςε ολόκλθρθ τθν τάξθ επιτρζπει ςτουσ μακθτζσ να διατυπϊςουν, να επεξθγιςουν και να τεκμθριϊςουν τισ ςκζψεισ τουσ. επίςθσ, ο εκπαιδευτικόσ χρειάηεται να υποςτθρίηει τθ νοθματοδότθςθ των μακθματικϊν εννοιϊν που αναδεικνφονται ςτθ δραςτθριότθτα και να μθν περιορίηεται ςτθ ςυνεχι εξάςκθςθ. Χειραπτικά εργαλεία Συχνά, θ μακθματικι διερεφνθςθ γίνεται μζςα από τθ χριςθ χειραπτικϊν και ψθφιακϊν εργαλείων. Το ΡΣ και ο οδθγόσ προτείνουν τθν αξιοποίθςθ τζτοιων εργαλείων και δίνουν κάποια παραδείγματα αξιοποίθςισ τουσ ςτθ διδαςκαλία. Τα εργαλεία αυτά επιτρζπουν ςτουσ μακθτζσ να πειραματιςτοφν, να κάνουν εικαςίεσ, να ανακαλφψουν μακθματικζσ ζννοιεσ και ιδιότθτεσ και ςυχνά να εντοπίςουν ακόμα και βαςικζσ ιδζεσ που κα τουσ οδθγιςουν ςτθν τεκμθρίωςθ των εικαςιϊν τουσ με μακθματικά εργαλεία. Το πζραςμα από τον εμπειρικό-διαιςκθτικό τρόπο ςκζψθσ που επιτρζπουν τα εργαλεία ςτον τυπικό δεν γίνεται αυτόματα και απαιτεί οι μακθτζσ να ζχουν τθν ευκαιρία, μζςα από ςυηιτθςθ, να κάνουν αυτζσ τισ ςυνδζςεισ. Τα χειραπτικά εργαλεία που αξιοποιοφνται ςτο ΡΣ είναι δομθμζνα (π.χ. Dienes blocks για τθ διδαςκαλία του κεςιακοφ ςυςτιματοσ), θμι-δομθμζνα (π.χ. τα algebra tiles για τισ πράξεισ των ακεραίων) ι μθ δομθμζνα (π.χ. γεωπίνακεσ για τθν καταςκευι και ςφγκριςθ γεωμετρικϊν ςχθμάτων). Ακόμα και θ χριςθ τουσ μπορεί να διαφζρει ωσ προσ τθ μακθματικι δράςθ που υποςτθρίηουν. Για παράδειγμα, το χειραπτικό υλικό μπορεί να είναι ζνα μοντζλο αναπαράςταςθσ μιασ διαδικαςίασ (π.χ. το μοντζλο τθσ ηυγαριάσ ι τα algebra tiles), ζνα μζςο διερεφνθςθσ μιασ ςχζςθσ (π.χ. τα geostrips για τθ διερεφνθςθ τθσ ςχζςθσ εμβαδόν – περίμετροσ) ι ακόμα πιο παραδοςιακισ μορφισ εργαλεία (διαβιτθσ, όργανα μζτρθςθσ) που χρθςιμοποιοφνται ςτθ γεωμετρία για ςχεδιαςμό, καταςκευι, ςφγκριςθ γεωμετρικϊν αντικειμζνων. Επίςθσ, θ κατάλλθλθ χριςθ του υπολογιςτι τςζπθσ επιτρζπει τθ μακθματικι διερεφνθςθ και τον πειραματιςμό. Τζλοσ, μια ςειρά από αναπαραςταςιακά εργαλεία (π.χ. διάφορεσ μορφζσ αρικμογραμμισ *κενι, διπλι κ.λπ.+, μικθ, γεωμετρικά ςχιματα) μποροφν να βοθκιςουν τουσ μακθτζσ να αποδϊςουν νόθμα ςε ζννοιεσ και διαδικαςίεσ. Το κάκε χειραπτικό και αναπαραςταςιακό υλικό ζχει δυνατότθτεσ και περιοριςμοφσ και προςομοιϊνει μακθματικζσ ζννοιεσ, ιδιότθτεσ και διαδικαςίεσ. Αυτό είναι πολφ δφςκολο να γίνει αντιλθπτό ακόμα και από μακθτζσ του Γυμναςίου. Θ εναλλαγι χειραπτικϊν υλικϊν για το ίδιο μακθματικό περιεχόμενο και θ ςυηιτθςθ πάνω ςτισ ομοιότθτεσ και ςτισ διαφορζσ τουσ μποροφν να βοθκιςουν τουσ μακθτζσ να κατανοιςουν τισ διαφοροποιιςεισ ανάμεςα ςτισ μακθματικζσ οντότθτεσ και ςτισ αναπαραςτάςεισ τουσ. Επίςθσ, κακθμερινά αντικείμενα από το περιβάλλον των μακθτϊν μποροφν να δϊςουν τθ δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ να ςυνδζςουν τθν άτυπθ με τθν τυπικι γνϊςθ.

Γενικό Μζροσ

Ψηφιακά εργαλεία Θ αξιοποίθςθ των ψθφιακϊν τεχνολογιϊν υποςτθρίηει τθν ζμφαςθ που δίνεται ςτο ΡΣ ςτθν εμπλοκι των μακθτϊν ςε μακθματικζσ δραςτθριότθτεσ, διερεφνθςθ μακθματικϊν ιδεϊν και επίλυςθ προβλιματοσ μζςα από τθ χριςθ εξειδικευμζνων λογιςμικϊν για μακθματικι διερεφνθςθ και εργαλείων κοινωνικοφ λογιςμικοφ για ςυλλογικι διαπραγμάτευςθ και ςυνεργαςία. Τα ψθφιακά εργαλεία που προτείνονται ςτο ΡΣ χρθςιμοποιοφνται ωσ εργαλεία ζκφραςθσ και οργανϊνονται ςε πζντε κατθγορίεσ, ανάλογα με το είδοσ τθσ μακθματικισ δραςτθριότθτασ και τον τρόπο χριςθσ τθσ υφιςτάμενθσ τεχνολογίασ. Αυτζσ είναι: θ μακθματικι ζκφραςθ μζςω προγραμματιςμοφ, ο δυναμικόσ χειριςμόσ γεωμετρικϊν αντικειμζνων και ςχζςεων, θ αλγεβρικι διερεφνθςθ με αντίςτοιχα ςυςτιματα, θ διερεφνθςθ και επεξεργαςία δεδομζνων για ςτατιςτικι και πικανότθτεσ και ο πειραματιςμόσ με ψθφιακά μοντζλα. Τα εργαλεία αυτά αξιοποιοφνται με ςυνδυαςμό μεικτισ και διακριτισ παρζμβαςθσ ςε δφο επίπεδα: (α) επιλεκτικά με τθ μορφι μικροπειραμάτων που ενςωματϊνονται ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ φλθσ και μπορεί να ςυνδζονται είτε με οριςμοφσ και μακθματικζσ ιδιότθτεσ είτε με δραςτθριότθτεσ και αςκιςεισ των ςχολικϊν βιβλίων, (β) ωσ βαςικό υλικό αναφοράσ ςε ςυνκετικζσ εργαςίεσ για το ςχεδιαςμό και τθν προετοιμαςία μακθτικϊν δραςτθριοτιτων, αλλά και για μακθματικι διερεφνθςθ. Τα μικροπειράματα εμπεριζχουν διαςυνδεδεμζνεσ αναπαραςτάςεισ και θ βαςικι χριςθ τουσ από μακθτζσ προβλζπει δυναμικό χειριςμό μακθματικϊν αντικειμζνων ϊςτε ςυμπεριφορζσ, ςχζςεισ και ιδιότθτεσ να γίνονται αντικείμενο προβλθματιςμοφ, διερεφνθςθσ και διαπραγμάτευςθσ (τι μζνει ςτακερό και τι αλλάηει, κακϊσ μετεξελίςςονται τα μακθματικά αντικείμενα). Για παράδειγμα, με αφετθρία μια δραςτθριότθτα – άςκθςθ του ςχολικοφ βιβλίου, ζνα μικροπείραμα μπορεί να ςτοχεφει ςτθν επεξιγθςθ μιασ ζννοιασ ι ςτθν απαραίτθτθ εμβάκυνςθ για τθν κατανόθςι τθσ από τουσ μακθτζσ. Ζτςι, το κάκε μικροπείραμα μπορεί να καλφπτει μια ζννοια ςτενά ι ςε ζνα ευρφτερο εννοιολογικό πεδίο όπου εμπλζκονται ςυνδεδεμζνεσ μακθματικζσ ζννοιεσ. Για παράδειγμα, ςε μια δραςτθριότθτα καταςκευισ τθσ περιμζτρου ενόσ τριγϊνου με ζνα εργαλείο δυναμικισ γεωμετρίασ (μζςω τομισ κφκλων) περιλαμβάνονται ςτοιχεία που αφοροφν τον τρόπο καταςκευισ ιςοςκελοφσ και ιςοπλεφρου τριγϊνου, αλλά και αναγκαίεσ ςυνδζςεισ με γνϊςεισ που ζχουν οι μακθτζσ για τισ ιδιότθτεσ του κφκλου. Τα μικροπειράματα ςε κάποιεσ περιπτϊςεισ βαςίηονται ςτθ χριςθ ζτοιμων εφαρμογϊν (applets) από ζγκυρεσ ιςτοςελίδεσ. Αυτό ςυμβαίνει κυρίωσ ςτουσ κφκλουσ Α και Β όπου θ πλαιςίωςθ των μακθματικϊν εννοιϊν με μοντζλα και καταςτάςεισ απαιτεί μεγάλθ ποικιλία αναπαραςτάςεων και ςχζςεων. Με αυτό τον τρόπο επιδιϊκεται θ ενίςχυςθ των ευκαιριϊν μάκθςθσ των αντίςτοιχων μακθματικϊν εννοιϊν από τουσ μακθτζσ. Τα μικρο-πειράματα λοιπόν προορίηονται για χειριςμό από το μακθτι (εξατομικευμζνα ι ςε ςυνεργαςία ςε ομάδα) με δια ηϊςθσ διδακτικι υποςτιριξθ από τον εκπαιδευτικό, ενϊ μπορεί να χρθςιμοποιθκοφν κατά τθν παραδοςιακι μετωπικι διδαςκαλία με χριςθ διαδραςτικοφ πίνακα ωσ μζςα επεξιγθςθσ εννοιϊν, αλλά και ωσ μζςα για ςχεδιαςμό μιασ διευρυμζνθσ μακθματικισ διερεφνθςθσ

Γενικό Μζροσ

ενϊπιον όλθσ τθσ τάξθσ. Τα μικροπειράματα είναι ςχεδιαςμζνα ϊςτε οι όποιεσ απαντιςεισ των μακθτϊν να αφινουν πεδίο παρζμβαςθσ ςτον εκπαιδευτικό και αφορμζσ για διενζργεια ςυηιτθςθσ ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ (π.χ. μζκοδοσ επίλυςθσ ενόσ προβλιματοσ ι εφρεςθσ μιασ απάντθςθσ, γενίκευςθ τθσ λφςθσ, ερμθνεία αποτελεςμάτων και ςυμπεριφορϊν μακθματικϊν αντικειμζνων). Συνθετικζσ εργαςίεσ Στο Ρρόγραμμα Σπουδϊν προτείνεται θ διαχείριςθ 10 ωρϊν διδαςκαλίασ από τον προβλεπόμενο ανά ςχολικό ζτοσ χρόνο για να εργαςτοφν οι μακθτζσ ςε ςυνκετικζσ εργαςίεσ. Θ ςυνκετικι εργαςία δίνει τθ δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ να αςχολθκοφν με μια πιο εκτεταμζνθ δραςτθριότθτα που ςυνδζεται με άλλα μακθςιακά διδακτικά αντικείμενα, κακϊσ και με καταςτάςεισ τθσ πραγματικισ ηωισ. Στθν περίπτωςθ των ςυνκετικϊν εργαςιϊν με αξιοποίθςθ των ψθφιακϊν εργαλείων θ ζμφαςθ δίνεται ςτθ δυνατότθτα που παρζχουν ςτουσ μακθτζσ να εμπλακοφν βακφτερα ςε μακθματικζσ δραςτθριότθτεσ, να καταςκευάςουν και να επεξεργαςτοφν ψθφιακά μακθματικά αντικείμενα, ςυμπεριφορζσ και ςχζςεισ μζςα από το χειριςμό αλλθλοςυνδεόμενων αναπαραςτάςεων για ζνα ςφνολο διδακτικϊν ωρϊν. Στο επίκεντρο κάκε ςυνκετικισ εργαςίασ βρίςκεται θ ςυνεργαςία μεταξφ των μακθτϊν (ςυχνά ςε ομάδεσ) για τθ διερεφνθςθ ενόσ κζματοσ ι για τθ λφςθ ενόσ προβλιματοσ ςτο οποίο εμπλζκονται τα μακθματικά και αναδεικνφονται ωσ εργαλείο που ευνοεί τθ διερεφνθςθ κακαυτι, τθ διαπραγμάτευςθ και τθν ερμθνεία. Ζτςι, ο εκπαιδευτικόσ ζχει τθ δυνατότθτα να ςχεδιάςει διερευνιςεισ που αναδεικνφουν ςυνδζςεισ εντόσ των μακθματικϊν (π.χ. διερεφνθςθ με άξονα ζνα μακθματικό κζμα) ι εκτόσ των μακθματικϊν (π.χ. μακθματικά και πολιτιςμόσ, μακθματικά ςτο πλαίςιο πραγματικϊν καταςτάςεων). Σε κάκε περίπτωςθ, οι προτεινόμενεσ ςυνκετικζσ εργαςίεσ δεν προτείνεται να ειδωκοφν ωσ αντικείμενα υλικοφ προσ επεξιγθςθ ςτουσ μακθτζσ, αλλά να λειτουργιςουν ωσ γεννιτορεσ ιδεϊν για τθ δθμιουργικι εμπλοκι των ίδιων των εκπαιδευτικϊν ςτο ςχεδιαςμό νζων εκπαιδευτικϊν δραςτθριοτιτων προσ διερεφνθςθ μιασ ποικιλίασ μακθματικϊν εννοιϊν του ΡΣ από τουσ μακθτζσ. Μζροσ ι το ςφνολο των ςυνκετικϊν εργαςιϊν που βαςίηονται ςτθ χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων προτείνεται να εφαρμοςτοφν ςτο εργαςτιριο υπολογιςτϊν του ςχολείου.

Μακθματικό Περιεχόμενο: Σροχιζσ Μάκθςθσ και Διδαςκαλίασ Ππωσ ζχουμε παρουςιάςει ςτο ΡΣ θ ανάπτυξθ του περιεχομζνου ζγινε με βάςθ τθν ζννοια τθσ «τροχιάσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ» εςτιάηοντασ ςε μια εξελικτικι πορεία μάκθςθσ και ανάπτυξθσ των μακθματικϊν νοθμάτων κατά τθ διάρκεια τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ. Πταν οι εκπαιδευτικοί κατανοοφν αυτιν τθν πορεία και τουσ βαςικοφσ ςτακμοφσ τθσ και οργανϊνουν τθ δραςτθριοποίθςθ των παιδιϊν με αναφορά ςε αυτιν, μποροφν να δθμιουργιςουν περιβάλλοντα μάκθςθσ που να ςτθρίξουν αποτελεςματικά τθν επιτυχι μακθτεία του μακθτι ςτα μακθματικά (Clements & Sarama, 2009)1. Σε αυτιν τθν κατεφκυνςθ είναι εξαιρετικά ςθμαντικι θ ζννοια τθσ τροχιάσ μάκθςθσ και διδαςκαλίασ, θ οποία υποδεικνφει τουσ εκάςτοτε 1

Clements, D. H. & Sarama, J. (2009). Learning and teaching early math: the learning trajectory approach. New York & London: Routledge.

Γενικό Μζροσ

ςτόχουσ μάκθςθσ, τθν αφετθρία εκκίνθςθσ, πϊσ και ποφ μετακινείςαι κάκε φορά και πϊσ επιτυγχάνεισ, τελικά, το ςτόχο μάκθςθσ που είχε αρχικά τεκεί. Μια Τροχιά Μάκθςθσ και Διδαςκαλίασ (ΤΜΔ) αποτυπϊνει μια ςυνολικι κζαςθ τθσ μακθςιακισ εμπειρίασ των μακθτϊν ςε μια ςυγκεκριμζνθ κεματικι του Ρρογράμματοσ Σπουδϊν των μακθματικϊν και ςτοχεφει ςτθ διαφάνεια και ςτθν προςβαςιμότθτα ςτθν αντίςτοιχθ εκπαιδευτικι τουσ πορεία. Οι βαςικζσ κεματικζσ περιοχζσ όπου αναπτφςςονται τα περιεχόμενα και τα προςδοκϊμενα μακθςιακά αποτελζςματα είναι: Αρικμοί – Άλγεβρα, Χϊροσ – Γεωμετρία – Μετριςεισ και Στοχαςτικά Μακθματικά. Οι περιοχζσ αυτζσ εμφανίηονται ςε όλουσ τουσ θλικιακοφσ κφκλουσ αναδεικνφοντασ, ςτισ μικρότερεσ τάξεισ, άτυπουσ και διαιςκθτικοφσ τρόπουσ ςκζψθσ, οι οποίοι γίνονται περιςςότερο τυπικοί προσ το τζλοσ τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ. Τα προςδοκϊμενα μακθςιακά αποτελζςματα που περιγράφονται για τθν κάκε τάξθ κα ιταν ιδανικό να επιτευχκοφν από όλουσ τουσ μακθτζσ. όμωσ, ςτθν πραγματικότθτα, ο βακμόσ επίτευξθσ του κάκε μακθςιακοφ αποτελζςματοσ κα διαφζρει για τον κάκε μακθτι. Θ γνϊςθ από τον εκπαιδευτικό των διαφόρων επιπζδων ανάπτυξθσ κα τον βοθκιςει ςτθ διαμόρφωςθ κατάλλθλων παρεμβάςεων με ςτόχο τθν περαιτζρω ανάπτυξθ όλων των μακθτϊν. Στθ ςυνζχεια, περιγράφονται ςφντομα τα βαςικά χαρακτθριςτικά των τροχιϊν μάκθςθσ για τθν κάκε βαςικι κεματικι περιοχι και για κάκε θλικιακό κφκλο (Α’ κφκλοσ –νθπιαγωγείο, Αϋ και Βϋ δθμοτικοφ, Βϋ κφκλοσ - Γϋ, Δϋ, Εϋ και ΣΤϋ Δθμοτικοφ, Γϋ κφκλοσ – Γυμνάςιο) και δίνονται κάποια παραδείγματα ανάπτυξθσ κατά τθ διάρκεια τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ.

Αρικμοί – Άλγεβρα Ρεριγράφονται παρακάτω οι τροχιζσ για τθ κεματικι «αρικμόσ» και για τθ κεματικι «άλγεβρα». Επιπλζον, ςτο τζλοσ τθσ ςχετικισ περιγραφισ, δίνεται ζνα παράδειγμα ανάπτυξθσ μιασ τροχιάσ για κακεμία από τισ δφο κεματικζσ. Αρικμόσ Θ κεματικι «αρικμόσ» αναπτφςςεται ςε ζξι τροχιζσ - φυςικόσ αρικμόσ, κλαςματικόσ αρικμόσ, δεκαδικόσ αρικμόσ/ ποςοςτά, ακζραιοσ αρικμόσ, ρθτόσ αρικμόσ, άρρθτοσ/ πραγματικόσ αρικμόσ-, οι οποίεσ παρουςιάηονται, ςτθ ςυνζχεια, με τθ ςυγκεκριμζνθ ςειρά. Σε κακεμία από τισ τροχιζσ τθσ ςυγκεκριμζνθσ κεματικισ μπορεί κανείσ να διακρίνει δφο υπο-τροχιζσ. Θ πρϊτθ αφορά ςε μάκθςθ που ςυνδζεται με τθν ζννοια του εκάςτοτε αρικμοφ και του αντίςτοιχου ςυνόλου αρικμϊν, ενϊ θ δεφτερθ αναφζρεται ςε μάκθςθ που ςχετίηεται με τισ πράξεισ ςτο αντίςτοιχο ςφνολο. Κα πρζπει να επιςθμανκεί ότι οι υπο-τροχιζσ κάκε τροχιάσ, οι υπο-τροχιζσ διαφορετικϊν τροχιϊν, αλλά και οι διαφορετικζσ τροχιζσ ςυςχετίηονται, διαςταυρϊνονται και ςυχνά ενοποιοφνται, δράςθ που δεν είναι πάντοτε εφκολο να ανιχνευτεί και να περιγραφεί με ςαφινεια. Ραρακάτω, για κάκε τροχιά τθσ κεματικισ «αρικμόσ», περιγράφονται οι δφο υποτροχιζσ και, ειδικότερα, οι ςθμαντικοί ςτακμοί, τα ορόςθμά τουσ. Επιπλζον, υποδεικνφεται θ εξζλιξθ των δφο υπο-τροχιϊν ςτουσ τρεισ θλικιακοφσ κφκλουσ. Στο

Γενικό Μζροσ

τζλοσ τθσ ενότθτασ παρατίκεται ωσ παράδειγμα θ ςχθματικι ανάπτυξθ μιασ υποτροχιάσ για τθν ζννοια του κλάςματοσ και το ςφνολο των κλαςματικϊν αρικμϊν. α. Σροχιά «φυςικόσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ςτθν πορεία ανάπτυξθσ

Φυςικόσ αρικμόσ & το ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν

 Αναγνϊριςθ φυςικϊν αρικμϊν ςε μια ποικιλία από πλαίςια και με τθ χριςθ διάφορων ςτρατθγικϊν.  Αναπαράςταςθ φυςικϊν αρικμϊν (με φυςικά αντικείμενα, με εικόνεσ, λεκτικά, ωσ ςθμεία ςτθν ευκεία, με ψθφία/ ςφμβολα).  Αρίκμθςθ και απαρίκμθςθ και αναπαράςταςθ των ςχετικϊν διαδικαςιϊν με διαφορετικοφσ τρόπουσ.  Σφγκριςθ και διάταξθ φυςικϊν αρικμϊν.  Ανάλυςθ και ςφνκεςθ φυςικϊν αρικμϊν με διαφορετικοφσ τρόπουσ (αξία κζςθσ ψθφίου).  Διάκριςθ φυςικϊν από άλλουσ αρικμοφσ.

Ρράξεισ ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ

 Αναγνϊριςθ και των τεςςάρων πράξεων ςε διαφορετικά πλαίςια και με διαφορετικοφσ τρόπουσ/ ςτρατθγικζσ (νοερά, προφορικά και γραπτά).  Εκτζλεςθ των τεςςάρων πράξεων ςε διαφορετικά πλαίςια και με διαφορετικοφσ τρόπουσ/ ςτρατθγικζσ (νοερά, προφορικά και γραπτά).  Αναγνϊριςθ των ιδιοτιτων των τεςςάρων πράξεων και τθσ ςχζςθσ μεταξφ τουσ.  Αξιοποίθςθ των τεςςάρων πράξεων και των ιδιοτιτων τουσ για τθν επίλυςθ προβλθμάτων.  Επικοινωνία των ςτρατθγικϊν επίλυςθσ προβλθμάτων.  Ανάπτυξθ μεκόδων αξιολόγθςθσ των αποτελεςμάτων των πράξεων.

Αναφορικά με τθν εξζλιξθ των δφο υπο-τροχιϊν ανά θλικιακό κφκλο, ιςχφουν οι ακόλουκεσ παρατθριςεισ: Αϋ κφκλοσ: Οι μακθτζσ εργάηονται ςτθν πρϊτθ χιλιάδα και ςε μια ποικιλία από πλαίςια. Αναφορικά με τον αρικμό και το ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν, θ εργαςία ςτθν τάξθ εςτιάηεται ςτθν αναγνϊριςθ (άμεςθ και μζςω αντιςτοίχιςθσ), ςτθν ανάγνωςθ (προφορικι και γραπτι) και ςτθν αναπαράςταςθ φυςικϊν αρικμϊν (με φυςικά υλικά, εικόνεσ, λζξεισ, ςφμβολα και ςτθν ευκεία). Επιπλζον, παρζχονται ευκαιρίεσ ςτουσ μακθτζσ να αποκτιςουν εμπειρίεσ και ευχζρεια ςτθ ςφνκεςθ και ςτθν ανάλυςθ φυςικϊν αρικμϊν, αλλά και ςτθ ςφγκριςθ και ςτθ διάταξι τουσ. Τζλοσ, να αναπτφξουν δεξιότθτεσ και ικανότθτεσ αρίκμθςθσ και απαρίκμθςθσ. Σχετικά με τισ πράξεισ ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ, θ ζμφαςθ βρίςκεται ςτθν κατανόθςθ των τεςςάρων πράξεων και ςτθν αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και

Γενικό Μζροσ

εφαρμογι τουσ ςε μια ποικιλία από καταςτάςεισ. Επιπλζον, οι μακθτζσ εμπλζκονται ςε καταςτάςεισ εκτίμθςθσ και υπολογιςμοφ του αποτελζςματοσ αρικμθτικϊν παραςτάςεων πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ. Ακόμθ, ενκαρρφνονται να αναπτφςςουν και να αξιοποιοφν ςτρατθγικζσ νοερϊν υπολογιςμϊν, άτυπεσ και τυπικζσ διαδικαςίεσ εκτζλεςθσ των τεςςάρων πράξεων (πολλαπλαςιαςτισ ζωσ διψιφιοσ και διαιρζτθσ μονοψιφιοσ) και να διερευνοφν τθ ςχζςθ μεταξφ των τεςςάρων πράξεων. Τζλοσ, παρζχονται ευκαιρίεσ ςτουσ μακθτζσ να αναπτφςςουν ςτρατθγικζσ επίλυςθσ προβλθμάτων (ζωσ δφο πράξεων), να τισ τεκμθριϊνουν και να ελζγχουν τθ ‘λογικότθτα’ τθσ λφςθσ. Βϋ κφκλοσ: Θ μακθςιακι δράςθ του πρϊτου κφκλου επεκτείνεται, πλζον, ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ μζχρι το 1 τρισ. Οι ςχετικζσ δραςτθριότθτεσ ςτοχεφουν ςτθ ςυςτθματοποίθςθ τθσ αντίςτοιχθσ ςκζψθσ των μακθτϊν, ϊςτε να οδθγθκοφν προοδευτικά ςτθν κατανόθςθ των δομικϊν και των λειτουργικϊν χαρακτθριςτικϊν του ςυνόλου των φυςικϊν αρικμϊν. Σε αυτιν τθν κατεφκυνςθ, προςφζρονται ςτουσ μακθτζσ κάποιεσ επιπλζον μακθςιακζσ εμπειρίεσ, όπωσ θ ζννοια τθσ κετικισ δφναμθσ φυςικϊν αρικμϊν, θ παρζνκεςθ ςτισ αρικμθτικζσ παραςτάςεισ και θ χριςθ τθσ αρικμομθχανισ για τθ διευκόλυνςθ τθσ ουςιαςτικισ μακθματικισ ςκζψθσ (ςυνικωσ μετά τθ Γϋ τάξθ). Ακόμθ, καλοφνται οι μακθτζσ να κζτουν και να διερευνοφν ερωτιματα ςχετικά με τισ ιδιότθτεσ των φυςικϊν αρικμϊν (αναγνϊριςθ τθσ Ευκλείδειασ διαίρεςθσ και των κριτθρίων διαιρετότθτασ), αλλά και τθ ςχζςθ των φυςικϊν με τουσ άλλουσ αρικμοφσ. Γϋ κφκλοσ: Θ μάκθςθ και θ διδαςκαλία που αφορά ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ ςε αυτόν τον κφκλο επικεντρϊνεται, πλζον, ςτθ μελζτθ από τουσ μακθτζσ των χαρακτθριςτικϊν του ςυνόλου των φυςικϊν αρικμϊν και ςτθ ςχζςθ του με τα άλλα ςφνολα αρικμϊν β. Σροχιά «κλαςματικόσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ

Κλαςματικόσ αρικμόσ & το ςφνολο των κλαςματικϊν αρικμϊν

 Χωριςμόσ διακριτϊν και ςυνεχϊν ποςοτιτων ςε ίςα μζρθ, διερεφνθςθ και περιγραφι τθσ μεταξφ τουσ ςχζςθσ.  Αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και διαφορετικζσ ερμθνείεσ τθσ ςχζςθσ μζρουσ/ όλου.  Αναγνϊριςθ, διερεφνθςθ, ιςοδφναμων κλαςμάτων.

αναπαράςταςθ

και

καταςκευι

 Σφγκριςθ κλαςματικϊν αρικμϊν.  Διερεφνθςθ τθσ ςχζςθσ κλαςματικϊν και φυςικϊν αρικμϊν. Ρράξεισ  Αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και εκτζλεςθ των τεςςάρων ςτουσ πράξεων με ομϊνυμα και ετερϊνυμα κλάςματα ςε διαφορετικά κλαςματικοφσ πλαίςια και με διαφορετικοφσ τρόπουσ. αρικμοφσ  Αναγνϊριςθ και διερεφνθςθ των ιδιοτιτων των τεςςάρων πράξεων με κλάςματα.  Αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και εκτζλεςθ πράξεων με κλάςματα

Γενικό Μζροσ

και φυςικοφσ αρικμοφσ.  Αξιοποίθςθ των πράξεων και των ιδιοτιτων τουσ για τθν επίλυςθ προβλθμάτων.  Επικοινωνία ςχετικά με τισ ςτρατθγικζσ επίλυςθσ.  Ανάπτυξθ μεκόδων/ ςτρατθγικϊν αξιολόγθςθσ αποτελεςμάτων των πράξεων με κλάςματα.

των

Θ εξζλιξθ των δφο υπο-τροχιϊν ανά κφκλο ζχει ωσ εξισ: Αϋ κφκλοσ: Οι μακθτζσ εμπλζκονται ςε δραςτθριότθτεσ ςφγκριςθσ εμπράγματων ποςοτιτων, διακριτϊν και ςυνεχϊν, βρίςκουν τθ ςχζςθ μεγζκουσ τουσ και τθν περιγράφουν λεκτικά. Ακόμθ, ειςάγονται ςτθ ςυμβολικι γραφι απλϊν κλαςμάτων (π.χ., ½, 1/3, 2/3, ¼, 2/4…). Βϋ κφκλοσ: Οι δραςτθριότθτεσ του πρϊτου κφκλου επαναλαμβάνονται, αλλά περιλαμβάνουν, πλζον, και εικονικζσ και ςυμβολικζσ ποςότθτεσ, ενϊ ςτα ανάγωγα κλάςματα προςτίκενται, προοδευτικά, καταχρθςτικά και μικτά. Επιπλζον, δίνεται θ ευκαιρία ςτουσ μακθτζσ να αναπαραςτιςουν τθν ίδια ςχζςθ μεγεκϊν με διαφορετικζσ κλαςματικζσ αναπαραςτάςεισ, να βρουν ζνα κλάςμα ανάμεςα ςε δφο ανάγωγα (π.χ., μεταξφ 2/3 και ¾) και να ςυγκρίνουν κλάςματα με διαφορετικοφσ τρόπουσ. Για τθ ςφγκριςθ και τθ διάταξθ κλαςμάτων, ακολοφκωσ, οι μακθτζσ ειςάγονται ςτθ διαδικαςία μετατροπισ τουσ ςε ομϊνυμα (καταςκευι ιςοδφναμων κλαςμάτων) με τθ χριςθ του ΕΚΡ. Τζλοσ, ειςάγονται ςτθν ζννοια του κλάςματοσ ωσ αρικμοφ, αλλά και ςτθν ζννοια του λόγου. Αναφορικά με τισ πράξεισ με κλαςματικοφσ αρικμοφσ, αρχικά, οι μακθτζσ προςκζτουν και αφαιροφν ομϊνυμα, απλά ετερϊνυμα, οποιαδιποτε ανάγωγα και καταχρθςτικά κλάςματα, με αυτιν τθ ςειρά. Ακολοφκωσ, αςχολοφνται με τον πολλαπλαςιαςμό και ςυνεχίηουν με τθ διαίρεςθ (αρχικά, μεταξφ φυςικϊν και κλαςματικϊν αρικμϊν και, ςτθ ςυνζχεια, μεταξφ κλαςματικϊν αρικμϊν). Και για τισ τζςςερισ πράξεισ, αξιοποιοφνται και ενκαρρφνονται διάφορεσ μζκοδοι/ ςτρατθγικζσ εκτζλεςθσ, ενϊ προοδευτικά ειςάγεται ο κακιερωμζνοσ αλγόρικμοσ. Ακόμθ, οι μακθτζσ διερευνοφν τθν ιςχφ των ιδιοτιτων των τεςςάρων πράξεων με φυςικοφσ και ςτθν περίπτωςθ των κλαςματικϊν αρικμϊν. Τζλοσ, ειςάγονται ςτα ποςοςτά, μετατρζπουν κλαςματικοφσ αρικμοφσ ςε ποςοςτά και τα χρθςιμοποιοφν ςτθ μοντελοποίθςθ καταςτάςεων και ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων. Γϋ κφκλοσ: Δεν υπάρχει εργαςία αποκλειςτικά εςτιαςμζνθ ςε κλαςματικοφσ αρικμοφσ. γ. Σροχιά «δεκαδικόσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ Δεκαδικόσ αρικμόσ και το ςφνολο των δεκαδικϊν

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ  Αναγνϊριςθ δεκαδικϊν αρικμϊν ςε μια ποικιλία από κακθμερινά και άλλα πλαίςια.  Μετατροπι δεκαδικϊν αρικμϊν ςε κλάςματα και ποςοςτά και αντιςτρόφωσ.  Αναγνϊριςθ και αξιοποίθςθ τθσ αξίασ τθσ ζννοιασ του ποςοςτοφ

Γενικό Μζροσ

αρικμϊν

ςτθν αντιμετϊπιςθ κακθμερινϊν καταςτάςεων.  Στρογγυλοποίθςθ δεκαδικϊν αρικμϊν.

Ρράξεισ με δεκαδικοφσ αρικμοφσ

 Αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και εκτζλεςθ των τεςςάρων πράξεων με δεκαδικοφσ αρικμοφσ.  Ζλεγχοσ τθσ ‘λογικότθτασ’ του αποτελζςματοσ των πράξεων με δεκαδικοφσ, με τθ χριςθ εκτιμιςεων.  Αξιοποίθςθ των δεκαδικϊν αρικμϊν, των ποςοςτϊν, των ςχετικϊν πράξεων και των ιδιοτιτων τουσ για τθν επίλυςθ προβλθμάτων.  Ανάπτυξθ μεκόδων αξιολόγθςθσ του αποτελζςματοσ των πράξεων με δεκαδικοφσ αρικμοφσ.

Οι τροχιά μάκθςθσ για τουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ αναπτφςςεται ωσ ακολοφκωσ ςε κάκε κφκλο: Αϋ κφκλοσ: Οι μακθτζσ, μζςω πρακτικϊν δραςτθριοτιτων, ειςάγονται ςτθ γραφι και ςτθν ανάγνωςθ δεκαδικϊν αρικμϊν, κακϊσ και ςτθν (κυρίωσ προςεγγιςτικι) τοποκζτθςι τουσ ςτθν αρικμογραμμι. Βϋ κφκλοσ: Αναφορικά με τθν ζννοια του δεκαδικοφ αρικμοφ και το αντίςτοιχο ςφνολο, οι μακθτζσ μελετοφν τα δεκαδικά κλάςματα ωσ ειδικι περίπτωςθ κλαςμάτων (αρχικά με παρονομαςτι το 10 και το 100 και αργότερα οποιαδιποτε κετικι δφναμθ του 10), ειςάγονται ςτο δεκαδικό ςυμβολιςμό και αναγνωρίηουν ότι κάκε δεκαδικόσ αρικμόσ με πεπεραςμζνο δεκαδικό μζροσ είναι ζνα κλάςμα. Επιπλζον, διατάςςουν δεκαδικοφσ αρικμοφσ και τουσ τοποκετοφν ςτθν αρικμογραμμι. Τζλοσ, ςτρογγυλοποιοφν ζναν αρικμό με ζνα ι δφο δεκαδικά ψθφία ςτον πλθςιζςτερο ακζραιο ι ςτθν πλθςιζςτερθ δεκάδα. Σε ότι αφορά ςτισ πράξεισ με δεκαδικοφσ αρικμοφσ, παρζχονται ευκαιρίεσ ςτουσ μακθτζσ να προςκζτουν και να αφαιροφν δεκαδικοφσ αρικμοφσ, νοερϊσ μζχρι και δφο δεκαδικά ψθφία και γραπτϊσ με ζνα, δφο και περιςςότερα δεκαδικά ψθφία, με αυτιν τθ ςειρά. Αναφορικά με τον πολλαπλαςιαςμό και τθ διαίρεςθ, ςτισ πρϊτεσ ςχετικζσ εμπειρίεσ των μακθτϊν, πολλαπλαςιαςτισ και διαιρζτθσ είναι μονοψιφιοι φυςικοί, ενϊ, ςτθ ςυνζχεια, είναι δεκαδικοί με ζνα δεκαδικό ψθφίο, με δφο δεκαδικά ψθφία, κ.ο.κ. Και για τισ τζςςερισ πράξεισ, ενκαρρφνονται και αξιοποιοφνται διάφορεσ μζκοδοι/ ςτρατθγικζσ εκτζλεςθσ, ενϊ προοδευτικά ειςάγεται ο κακιερωμζνοσ αλγόρικμοσ. Ακόμθ, οι μακθτζσ καλοφνται να χρθςιμοποιοφν προςεγγιςτικζσ και άλλεσ ςτρατθγικζσ, για να ελζγχουν αν το αποτζλεςμα των πράξεων είναι λογικό, κακϊσ και τθν αρικμομθχανι για να επιτρζψουν ςτθ ςκζψθ να αςχολθκεί περιςςότερο με τα μθ υπολογιςτικά «ςυςτατικά» τθσ μακθματικισ γνϊςθσ. Γϋ κφκλοσ: Δεν υπάρχει εργαςία εςτιαςμζνθ αποκλειςτικά ςτουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ.

Γενικό Μζροσ

δ. Σροχιά «ακζραιοσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ Ακζραιοσ αρικμόσ και το ςφνολο των ακζραιων αρικμϊν

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ  Διαιςκθτικι αντίλθψθ των ακζραιων αρικμϊν μζςω μιασ ποικιλίασ από κακθμερινζσ καταςτάςεισ.  Αναγνϊριςθ και αναπαράςταςθ διαφορετικά πλαίςια.

ακζραιων

αρικμϊν

ςε

 Σφγκριςθ και διάταξθ ακζραιων αρικμϊν με τθ χριςθ τθσ αρικμογραμμισ.  Αναγνϊριςθ και αξιοποίθςθ τθσ ιδιότθτασ των αντίκετων ακεραίων.

Ρράξεισ με ακζραιουσ αρικμοφσ

 Αναγνϊριςθ, αναπαράςταςθ και εκτζλεςθ των τεςςάρων πράξεων με ακζραιουσ αρικμοφσ, με τθ χριςθ κατάλλθλων μοντζλων.  Αναγνϊριςθ και διερεφνθςθ των ιδιοτιτων των τεςςάρων πράξεων με ακζραιουσ αρικμοφσ.  Αξιοποίθςθ των ακζραιων αρικμϊν, των πράξεων ςτο αντίςτοιχο ςφνολο και των ιδιοτιτων τουσ για τθν επίλυςθ μακθματικϊν και κακθμερινϊν προβλθμάτων (μοντελοποίθςθ).

Τα ορόςθμα τθσ ανάπτυξθσ των υπο-τροχιϊν ςτουσ τρεισ θλικιακοφσ κφκλουσ τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ ζχουν ωσ εξισ: Αϋ κφκλοσ: Δεν προβλζπεται εργαςία ςχετικι με τουσ ακζραιουσ αρικμοφσ. Βϋ κφκλοσ: Στο ςυγκεκριμζνο κφκλο επιχειρείται μια πρϊτθ αιςκθτοποίθςθ τθσ ζννοιασ των ακεραίων αρικμϊν από τουσ μακθτζσ. Ειδικότερα, οι μακθτζσ καλοφνται να αντιλθφκοφν διαιςκθτικά τθ ςχετικι ζννοια, μζςα από κακθμερινζσ καταςτάςεισ, να ςυνειδθτοποιιςουν τθν ανάγκθ επζκταςθσ τθσ αρικμογραμμισ, να διατάξουν ακζραιουσ αρικμοφσ με πλαίςιο αναφοράσ τθν αρικμογραμμι και να διερευνιςουν διαιςκθτικά απλζσ προςκζςεισ και αφαιρζςεισ με ακζραιουσ αρικμοφσ. Γϋ κφκλοσ: Ρρόκειται για τθν περίοδο τθσ πλιρουσ ανάπτυξθσ τθσ ςχετικισ ζννοιασ. Οι μακθτζσ αναγνωρίηουν και αναπαριςτοφν ακζραιουσ ςε διαφορετικά πλαίςια, διερευνοφν τθ ςχζςθ διάταξθσ ςτο ςφνολο των ακεραίων (κάκε ακζραιοσ ζχει επόμενο) και τθ ςχζςθ του ςυνόλου των ακεραίων με το ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν και, τζλοσ, αναγνωρίηουν τθν απόλυτθ τιμι ακεραίων αρικμϊν ωσ τθν απόςταςι τουσ από το 0. Αναφορικά με τισ πράξεισ, οι μακθτζσ αναπτφςςουν κατανόθςθ των εννοιϊν των τεςςάρων πράξεων με ακεραίουσ αρικμοφσ και των ιδιοτιτων τουσ. Επιπλζον, αναγνωρίηουν, αναπαριςτοφν και εκτελοφν τισ τζςςερισ πράξεισ και αξιοποιοφν τθ γνϊςθ τουσ για αυτζσ ϊςτε να διαχειριςτοφν μακθματικά προβλιματα (π.χ., αρικμθτικόσ λογιςμόσ παραςτάςεων), αλλά και κακθμερινζσ καταςτάςεισ (π.χ., μοντελοποίθςθ).

Γενικό Μζροσ

ςτ. Σροχιά «ρθτόσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ

΢θτόσ αρικμόσ και το ςφνολο των ρθτϊν αρικμϊν

 Αναγνϊριςθ τθσ ζννοιασ του ρθτοφ αρικμοφ και, ειδικότερα, τθσ ςχζςθσ του με τουσ υπόλοιπουσ αρικμοφσ.

Ρράξεισ με ρθτοφσ αρικμοφσ

 Διερεφνθςθ τθσ επζκταςθσ τθσ ιςχφοσ όςων είναι γνωςτά για τουσ αρικμοφσ (φυςικοφσ, κλαςματικοφσ και ακεραίουσ) και για τισ πράξεισ τουσ ςτουσ ρθτοφσ αρικμοφσ.

 Σφγκριςθ και διάταξθ ρθτϊν αρικμϊν και διερεφνθςθ τθσ ιδιότθτασ τθσ ‘πυκνότθτασ’, με τθ χριςθ τθσ ευκείασ των αρικμϊν.

Θ ςυγκεκριμζνθ τροχιά εμφανίηεται ςτο Γυμνάςιο (τρίτοσ θλικιακόσ κφκλοσ). Πμωσ, οι εμπειρίεσ των μακθτϊν με τα διάφορα ςφνολα αρικμϊν κατά τουσ προθγοφμενουσ δφο κφκλουσ αναμζνεται να ζχουν ςυμβάλει ςτθ ςυγκρότθςθ ενόσ επαρκοφσ γνωςτικοφ κεφαλαίου και μιασ μακθματικισ υποδομισ με ςαφι επιςτθμολογικά χαρακτθριςτικά που αφοροφν ςε αρικμοφσ (ζννοια, ιδιότθτεσ, χαρακτθριςτικά του αντίςτοιχου ςυνόλου και πράξεισ ςε αυτό), που επιτρζπουν τθν επζκταςθ τθσ αντίςτοιχθσ μακθματικισ ςκζψθσ, ενδεχομζνωσ με κατάλλθλουσ μεταςχθματιςμοφσ, ςτο διευρυμζνο ςφνολο των ρθτϊν αρικμϊν. Ειδικότερα, ςτο πλαίςιο τθσ ςυγκεκριμζνθσ τροχιάσ, οι μακθτζσ καλοφνται να αναγνωρίςουν, αρχικά, το κλάςμα ωσ αναπαράςταςθ του αποτελζςματοσ τθσ διαίρεςθσ δφο φυςικϊν αρικμϊν και τα ιςοδφναμα κλάςματα ωσ διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ του ίδιου αποτελζςματοσ. Στθ ςυνζχεια, ορίηουν το ςφνολο των ρθτϊν (μετά τον οριςμό των ακεραίων), ςυγκρίνουν και διατάςςουν ρθτοφσ αρικμοφσ και ορίηουν τθ κζςθ τουσ ςτθν αρικμογραμμι, διακρίνουν και διερευνοφν τισ ζννοιεσ του λόγου και των αναλογιϊν και τισ αξιοποιοφν ςτθ μοντελοποίθςθ καταςτάςεων. Τζλοσ, αναγνωρίηουν, διερευνοφν και χρθςιμοποιοφν τισ ιδιότθτεσ των πράξεων με ρθτοφσ αρικμοφσ (αντιμετακετικι, προςεταιριςτικι, επιμεριςτικι, ο ρόλοσ του 1, ο ρόλοσ του 0). η. Σροχιά «άρρθτοσ και πραγματικόσ αρικμόσ» Τπο-τροχιζσ

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ

Άρρθτοσ και πραγματικόσ αρικμόσ - το ςφνολο των άρρθτων και των πραγματικϊν αρικμϊν

 Αναγνϊριςθ τθσ ζννοιασ τθσ τετραγωνικισ ρίηασ κετικοφ αρικμοφ και αξιοποίθςι τθσ ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων.  Διάκριςθ των άρρθτων από τουσ ρθτοφσ και αναγνϊριςθ τθσ ςχζςθσ τουσ με τουσ υπόλοιπουσ αρικμοφσ.  Οριςμόσ των πραγματικϊν αρικμϊν, αναπαράςταςι τουσ ςτθν ευκεία, ςφγκριςθ και διάταξι τουσ.

Ρράξεισ με  Διερεφνθςθ τθσ επζκταςθσ τθσ ιςχφοσ όςων είναι γνωςτά για άρρθτουσ και τουσ αρικμοφσ και τισ πράξεισ τουσ ςτουσ πραγματικοφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, με ζμφαςθ ςτθν ιδιότθτα τθσ πυκνότθτασ των αρικμοφσ πραγματικϊν αρικμϊν.

Γενικό Μζροσ

Και θ τροχιά αυτι αναπτφςςεται αποκλειςτικά ςτον τρίτο κφκλο, ωςτόςο, τα βαςικά επιςτθμολογικά χαρακτθριςτικά τθσ αντίςτοιχθσ μακθματικισ γνϊςθσ, αλλά και θ αναγκαία γνωςτικι υποδομι αναμζνεται να ζχουν κεμελιωκεί, προοδευτικά, κατά τουσ προθγοφμενουσ δφο κφκλουσ. Ζνα πρόςκετο ςθμαντικό ςτοιχείο ςε αυτιν τθν περίπτωςθ είναι ότι, πλζον, με τον οριςμό των πραγματικϊν αρικμϊν όχι μόνο προςφζρεται ςτουσ μακθτζσ μια ενιαία και ολιςτικι κζαςθ τθσ ζννοιασ του αρικμοφ, αλλά, επιπλζον, δίνεται θ αίςκθςθ τθσ ολοκλιρωςθσ μιασ καταςκευισ που, αναπόφευκτα, αναδεικνφει κεμελιϊδθ επιςτθμολογικά ερωτιματα για τα μακθματικά, όπωσ αυτά τθσ πλθρότθτασ και τθσ κλειςτότθτασ ενόσ ςυνόλου, τα οποία μποροφν να διευκολφνουν ςθμαντικά τθν περαιτζρω ανάπτυξθ τθσ ςχετικισ μακθματικισ γνϊςθσ και ςκζψθσ. Σε ότι αφορά τθν ανάπτυξθ τθσ ςυγκεκριμζνθσ τροχιάσ ςτο Γυμνάςιο, οι μακθτζσ ενκαρρφνονται να αναγνωρίςουν, μζςα από προβλιματα, τθν αναγκαιότθτα χριςθσ των τετραγωνικϊν ριηϊν κετικϊν αρικμϊν και να υπολογίηουν τετραγωνικζσ ρίηεσ με δοκιμζσ και με τθ χριςθ αρικμομθχανισ. Επιπλζον, αναγνωρίηουν τουσ άρρθτουσ αρικμοφσ ωσ αρικμοφσ που δεν μποροφν να γραφοφν ωσ κλάςμα ακεραίων και ωσ αρικμοφσ με άπειρο, μθ περιοδικό δεκαδικό μζροσ (δεκαδικι αναπαράςταςθ ρθτϊν και άρρθτων αρικμϊν). Ακόμθ, παριςτάνουν γεωμετρικά και τοποκετοφν ςτθν ευκεία αρικμοφσ τθσ μορφισ α . Ακολοφκωσ, ορίηουν το ςφνολο των πραγματικϊν αρικμϊν και διερευνοφν τθ ςχζςθ του με τα ςφνολα των φυςικϊν, των ακεραίων και των ρθτϊν, ςυγκρίνουν και διατάςςουν πραγματικοφσ αρικμοφσ, χρθςιμοποιϊντασ τθν ευκεία των αρικμϊν και επεκτείνουν τισ πράξεισ των ρθτϊν ςτουσ πραγματικοφσ. Τζλοσ, αναγνωρίηουν τθ μθ επζκταςθ τθσ "ιδιότθτασ του επόμενου" ςτουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ και διερευνοφν τθν ιδιότθτα τθσ πυκνότθτασ ςε αυτοφσ. Τα ςχεδιαγράμματα που ακολουκοφν αποτελοφν μια απόπειρα ςχθματικισ αποτφπωςθσ τθσ ανάπτυξθσ μιασ υπο-τροχιάσ για τθν «ζννοια του κλάςματοσ και το ςφνολο των κλαςματικϊν αρικμϊν» ςτθν υποχρεωτικι εκπαίδευςθ (Αϋ και Βϋ κφκλοσ).

Γενικό Μζροσ

Αϋ κφκλοσ

Βϋ κφκλοσ ΢χεδιάγραμμα 1. Σχθματικι αναπαράςταςθ τθσ ανάπτυξθσ τθσ υπο-τροχιάσ «θ ζννοια του κλάςματοσ και το ςφνολο των κλαςματικϊν αρικμϊν» ςτουσ Αϋ και Βϋ κφκλουσ (θ τροχιά εμφανίηεται διαιρθμζνθ ςε δυο μζρθ για πρακτικοφσ λόγουσ) Άλγεβρα Θ κεματικι «άλγεβρα» περιλαμβάνει τρεισ τροχιζσ: ιςότθτεσ & ανιςότθτεσ, αλγεβρικζσ παραςτάςεισ και μοτίβα/ κανονικότθτεσ & ςυναρτιςεισ, οι οποίεσ παρουςιάηονται, ςτθ ςυνζχεια, με αυτιν τθ ςειρά. Και εδϊ οι διαφορετικζσ τροχιζσ ςυςχετίηονται, διαςταυρϊνονται και ςυχνά ενοποιοφνται, χωρίσ αυτό να είναι πάντοτε εφκολο να ανιχνευτεί και να περιγραφεί με ςαφινεια και ακρίβεια. Ραρακάτω, για κάκε τροχιά τθσ κεματικισ «άλγεβρα» περιγράφονται οι ενδεχόμενεσ υπο-τροχιζσ και οι ςθμαντικοί ςτακμοί, τα ορόςθμά τουσ. Επιπλζον,

Γενικό Μζροσ

περιγράφεται αδρομερϊσ θ εξζλιξθ τθσ τροχιάσ ςε κακζναν από τουσ τρεισ θλικιακοφσ κφκλουσ. Στο τζλοσ τθσ ενότθτασ παρατίκεται ωσ παράδειγμα θ ςχθματικι ανάπτυξθ μιασ τροχιάσ για τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ. 1. Σροχιά «Ιςότθτα & ανιςότθτα» Τπο-τροχιζσ Λςότθτα

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ   Εξιςϊςεισ πρϊτου βακμοφ (επίλυςθ, καταςκευι, μοντελοποίθςθ).  Επίλυςθ απλϊν πολυωνυμικϊν εξιςϊςεων με παραγοντοποίθςθ (κυρίωσ δευτεροβάκμιασ εξίςωςθσ).  Γραμμικά ςυςτιματα 2×2 (επίλυςθ και μοντελοποίθςθ).

Ανιςότθτα

  Ανιςϊςεισ πρϊτου βακμοφ (επίλυςθ, καταςκευι, μοντελοποίθςθ).

Οι ςθμαντικοί ςτακμοί ανάπτυξθσ τθσ ςυγκεκριμζνθσ τροχιάσ κατά κφκλο ζχουν ωσ εξισ: Αϋ κφκλοσ: Οι μακθτζσ διερευνοφν τισ ζννοιεσ τθσ ιςότθτασ και τθσ ανιςότθτασ ςε διαφορετικά πλαίςια και χρθςιμοποιοφν τα αντίςτοιχα ςφμβολα για να δθλϊςουν τθν κατάλλθλθ ςχζςθ μεταξφ αρικμϊν ι απλϊν αρικμθτικϊν παραςτάςεων (ςυμπεριλαμβάνονται παραςτάςεισ με ςφμβολα που δθλϊνουν αγνϊςτουσ ι μεταβλθτζσ, π.χ., +=8 ι 3+=9). Βϋ κφκλοσ: Θ εςτίαςθ βρίςκεται ςτθ μελζτθ των διαφορετικϊν χριςεων του ςυμβόλου τθσ ιςότθτασ και τθσ ανιςότθτασ. Ζτςι, αρχικά, οι μακθτζσ διατάςςουν αρικμοφσ από το μικρότερο προσ το μεγαλφτερο και αντιςτρόφωσ (φυςικοφσ, δεκαδικοφσ, κλάςματα) και ςυνδζουν τισ ανιςοτικζσ τουσ ςχζςεισ με τθ κζςθ τουσ ςτθν αρικμογραμμι. Στθ ςυνζχεια, χρθςιμοποιοφν το ςφμβολο τθσ ιςότθτασ ι τθσ ανιςότθτασ, για να δθλϊςουν τθ ςχζςθ μεταξφ αρικμθτικϊν παραςτάςεων προοδευτικά μεγαλφτερθσ πολυπλοκότθτασ *π.χ., 6-1 … 2+5, 5+(7-4) … (5+7)-4+ ι να ςυμπλθρϊςουν ιςότθτεσ και ανιςότθτεσ με τον κατάλλθλο αρικμό *π.χ., 6+<10-1 ι 2(3+4)–5 =+8+. Ακόμθ, μοντελοποιοφν προβλιματα με εξιςϊςεισ τθσ μορφισ α+x=β, α·x=β, και τισ επιλφουν με δοκιμζσ και με τθ χριςθ αντίςτροφων πράξεων. Γϋ κφκλοσ: Κεντρικό αντικείμενο μάκθςθσ είναι οι εξιςϊςεισ και οι ανιςϊςεισ (ζννοια, επίλυςθ, μοντελοποίθςθ). Οι μακθτζσ ειςάγονται ςτισ ζννοιεσ τθσ εξίςωςθσ και τθσ ανίςωςθσ και εξετάηουν ποιοι αρικμοί τισ επαλθκεφουν. Στθ ςυνζχεια, εργάηονται με εξιςϊςεισ τθσ μορφισ α+x=β, αx=β και αργότερα τθσ μορφισ αβ=γx και α/β=γ/x (αντιςτοίχωσ και ςτισ ανιςϊςεισ), τισ οποίεσ χρθςιμοποιοφν για να μοντελοποιιςουν ςχετικζσ καταςτάςεισ και τισ επιλφουν με εφαρμογι ιδιοτιτων τθσ ιςότθτασ (ι τθσ ανιςότθτασ, αντιςτοίχωσ). Ακολοφκωσ, εμπλζκονται ςε δραςτθριότθτεσ μοντελοποίθςθσ με γραμμικζσ εξιςϊςεισ, πρϊτα τθσ μορφισ αx+β=γ και ζπειτα τθσ μορφισ αx+β=γx+δ, τισ οποίεσ

Γενικό Μζροσ

επιλφουν αρικμθτικά, αλγεβρικά και γραφικά (ςφνδεςθ με τθ ςυνάρτθςθ y=αx+β). Αυτι θ φάςθ εργαςίασ επαναλαμβάνεται με τισ ανιςϊςεισ, αρχικά τθσ μορφισ αx+β<γ και, ςτθ ςυνζχεια, τθσ μορφισ αx+β<γx+δ που, επίςθσ, επιλφονται αλγεβρικά και γραφικά. Αργότερα, οι μακθτζσ ειςάγονται ςτθν επίλυςθ πολυωνυμικϊν εξιςϊςεων (κυρίωσ δεφτερου βακμοφ), οι οποίεσ, με παραγοντοποίθςθ, ανάγονται ςε πρωτοβάκμιεσ. Τζλοσ, μοντελοποιοφν προβλιματα με δφο γραμμικζσ εξιςϊςεισ τθσ μορφισ αx+βy=γ ι δφο ςυναρτιςεισ τθσ μορφισ y=αx+β και αναηθτοφν τισ κοινζσ λφςεισ τουσ γραφικά και αλγεβρικά (γραμμικά ςυςτιματα 2x2). 2. Σροχιά «Αλγεβρικι παράςταςθ» Σροχιά

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ

Αλγεβρικι παράςταςθ

 Ανάπτυξθ τθσ πρϊιμθσ αλγεβρικισ ςκζψθσ (μεταςχθματιςμόσ αρικμϊν, κακϊσ και απλϊν αρικμθτικϊν προτάςεων με αξιοποίθςθ ιδιοτιτων των πράξεων, χριςθ ςυμβόλων ςε απλζσ αρικμθτικζσ προτάςεισ, ςυμβολικι ζκφραςθ ενόσ απλοφ προβλιματοσ).  Διερεφνθςθ του αλγεβρικοφ χαρακτιρα τθσ αρικμθτικισ (μελζτθ των ιδιοτιτων των πράξεων, γενίκευςθ με λεκτικι διατφπωςθ, αξιοποίθςι τουσ για τον υπολογιςμό αρικμθτικϊν παραςτάςεων).  Διερεφνθςθ των διαφορετικϊν χριςεων του γράμματοσ (για τθν ζκφραςθ μεγεκϊν, τθ γενικι διατφπωςθ ιδιοτιτων πράξεων και δυνάμεων με εκκζτεσ φυςικοφσ αρικμοφσ, ωσ αγνϊςτου ςε απλζσ εξιςϊςεισ, ωσ μεταβλθτισ ςτο γενικό όρο μοτίβων και ωσ παραμζτρου ςτισ ςυναρτιςεισ).  Διαχείριςθ αλγεβρικϊν παραςτάςεων (ερμθνεία, δθμιουργία, υπολογιςμόσ τθσ αρικμθτικισ τιμισ και απλοποίθςθ αλγεβρικϊν παραςτάςεων).  Ειςαγωγι ςτον αλγεβρικό λογιςμό (δυνάμεισ με ακζραιουσ εκκζτεσ, τετραγωνικι ρίηα και ιδιότθτζσ τουσ αντιςτοίχωσ, πράξεισ πολυωνφμων, απλζσ ταυτότθτεσ, παραγοντοποίθςθ πολυωνφμων).

Θ τροχιά αναπτφςςεται ςφμφωνα με τον ακόλουκο προςανατολιςμό ςε κακζναν από τουσ τρεισ κφκλουσ: Αϋ κφκλοσ: Στθ διάρκεια αυτοφ του κφκλου οι μακθτζσ εμπλζκονται ςε δραςτθριότθτεσ μεταςχθματιςμοφ αρικμϊν για λόγουσ διευκόλυνςθσ υπολογιςμϊν (π.χ., 7+9=7+7+2=14+2=16) και διερευνοφν τισ ιδιότθτεσ των πράξεων και το ρόλο του «=» ςε απλζσ αρικμθτικζσ παραςτάςεισ, ‘κλειςτζσ’ (π.χ., +3=9-2) ι ‘ανοικτζσ’ (+=8). Ακόμθ, ενκαρρφνονται να εκφράςουν ζνα απλό πρόβλθμα με μια αρικμθτικι παράςταςθ ι ςχζςθ και το αντίςτροφο. Βϋ κφκλοσ: Οι δραςτθριότθτεσ του πρϊτου κφκλου επαναλαμβάνονται, αλλά οι αρικμθτικζσ παραςτάςεισ που αξιοποιοφνται είναι, πλζον, πιο ςφνκετεσ. Επιπλζον,

Γενικό Μζροσ

οι μακθτζσ διερευνοφν τθ γενίκευςθ των ιδιοτιτων των πράξεων και τθ διατυπϊνουν λεκτικά. Ακόμθ, καλοφνται να υπολογίςουν τθν τιμι αρικμθτικϊν παραςτάςεων, αρχικά απλϊν, ςτθ ςυνζχεια, με παρενκζςεισ και αργότερα με δυνάμεισ, εφαρμόηοντασ τισ ιδιότθτεσ των πράξεων. Επίςθσ, ςυηθτοφν για τθ δομι μιασ αρικμθτικισ παράςταςθσ, χρθςιμοποιϊντασ κατάλλθλουσ όρουσ (παράγοντεσ, όροι ;, κ.ά.). Τζλοσ, χρθςιμοποιοφν γράμματα για να εκφράςουν μεγζκθ ςε ςχζςεισ (από τθν κακθμερινι ηωι και τισ επιςτιμεσ), αγνϊςτουσ ςε απλζσ εξιςϊςεισ και μεταβλθτζσ ςτο γενικό όρο μοτίβων και ςτισ ςυναρτιςεισ. Γϋ κφκλοσ: Συνεχίηοντασ ςτθν κατεφκυνςθ των δραςτθριοτιτων του προθγοφμενου κφκλου, οι μακθτζσ καλοφνται να μεταβαίνουν από τθ λεκτικι ςτθ ςυμβολικι μορφι μιασ απλισ αλγεβρικισ παράςταςθσ και αντιςτρόφωσ, να μοντελοποιοφν ζνα πρόβλθμα με μια αλγεβρικι παράςταςθ μίασ ι περιςςότερων μεταβλθτϊν, να υπολογίηουν τθν αρικμθτικι τιμι μιασ παράςταςθσ, να απλοποιοφν μια αλγεβρικι παράςταςθ, εφαρμόηοντασ τισ ιδιότθτεσ των πράξεων και να αναγνωρίηουν τα δομικά τθσ ςτοιχεία (το 2x+3 είναι άκροιςμα). Επιπλζον, οι δραςτθριότθτεσ που αφοροφν ςτθ χριςθ γραμμάτων εμπλουτίηονται, ενκαρρφνοντασ, προοδευτικά τουσ μακθτζσ να διακρίνουν τουσ διαφορετικοφσ ρόλουσ τουσ: μεταβλθτι (ανεξάρτθτθ/ εξαρτθμζνθ) και παράμετροσ ςτισ ςυναρτιςεισ, άγνωςτοσ ςτισ εξιςϊςεισ, μζγεκοσ ςτουσ τφπουσ, γενικόσ και ανεξάρτθτοσ αρικμόσ ςτισ ταυτότθτεσ. Στθ ςυνζχεια, οι μακθτζσ ειςάγονται ςτισ δυνάμεισ με αρνθτικοφσ εκκζτεσ και ςτισ τετραγωνικζσ ρίηεσ και μελετοφν τισ ιδιότθτεσ των δυνάμεων με ακζραιουσ εκκζτεσ, κακϊσ και απλζσ ιδιότθτεσ των τετραγωνικϊν ριηϊν ( αβ 

α β ,

α  β

α β

Το υπόλοιπο τθσ ανάπτυξθσ τθσ ςυγκεκριμζνθσ τροχιάσ ςτον τρίτο κφκλο αφορά ςτα πολυϊνυμα και περιλαμβάνει ορόςθμα ανάλογα με αυτά που ςυνδζονταν με τισ αλγεβρικζσ παραςτάςεισ ςτουσ δφο προθγοφμενουσ κφκλουσ. Ειδικότερα, οι μακθτζσ: εκτελοφν πράξεισ απλϊν πολυωνφμων (κυρίωσ μίασ μεταβλθτισ), αποδεικνφουν αλγεβρικά και γεωμετρικά (όπου είναι δυνατόν) τισ ταυτότθτεσ (α±β)2, (α±β)3 α2-β2 α3-β3, α3+β3, παραγοντοποιοφν απλά πολυϊνυμα, μοντελοποιοφν και επιλφουν προβλιματα ςε διάφορα πλαίςια, χρθςιμοποιϊντασ πολυϊνυμα και ταυτότθτεσ, αναγνωρίηουν ςτοιχεία τθσ δομισ ενόσ πολυωνφμου και χρθςιμοποιοφν κατάλλθλθ ορολογία και, τζλοσ, βρίςκουν το ΕΚΡ μονωνφμων και απλϊν πολυωνφμων, κάνουν πράξεισ απλϊν ρθτϊν παραςτάςεων και τισ απλοποιοφν. 3. Σροχιά «μοτίβο/ κανονικότθτα και ςυνάρτθςθ» Θ ςυγκεκριμζνθ τροχιά περιλαμβάνει δφο υπο-τροχιζσ, μία για το μοτίβο/ κανονικότθτα και μία για τισ ςυναρτιςεισ. Τπο-τροχιζσ

΢θμαντικοί ςτακμοί – ορόςθμα ανάπτυξθσ

Μοτίβο/  Αναγνϊριςθ, ςυμπλιρωςθ, περιγραφι τθσ κανονικότθτασ και τθσ κανονικότθτα διαδικαςίασ παραγωγισ τθσ, καταςκευι κανονικοτιτων διαφόρων τφπων.  Αναπαράςταςθ κανονικοτιτων με διαφορετικοφσ τρόπουσ -

Γενικό Μζροσ

μετάβαςθ από μία αναπαράςταςθ ςε άλλθ.  Εφρεςθ και ςυμβολικι διατφπωςθ του γενικοφ όρου τθσ κανονικότθτασ.  Μοντελοποίθςθ και μελζτθ καταςτάςεων μζςω κανονικοτιτων. Συνάρτθςθ

 Διερεφνθςθ ςχζςεων μεγεκϊν από τθν κακθμερινι ηωι ςυμμεταβαλόμενα μεγζκθ.  Ειςαγωγι ςτθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ (μεταβλθτι, μονοςιμαντθ απεικόνιςθ, αναπαραςτάςεισ ςυναρτιςεων, ερμθνεία αναπαραςτάςεων).  Μοντελοποίθςθ απλϊν καταςτάςεων και απαντιςεισ ερωτιματα που τισ αφοροφν μζςω ςυναρτιςεων.

ςε

 Διερεφνθςθ ςυγκεκριμζνων ςυναρτιςεων (γραμμικϊν, τθσ μορφισ ψ=α/x, τετραγωνικϊν και ρυκμοφ μεταβολισ). Θ ανάπτυξθ των δφο υπο-τροχιϊν ςε κακζναν από τουσ τρεισ κφκλουσ διακρίνεται από τα κάτωκι χαρακτθριςτικά: Αϋ κφκλοσ: Βαςικόσ προςανατολιςμόσ τθσ ςχετικισ εργαςίασ ςτθν τάξθ είναι θ μφθςθ των μακθτϊν ςτθ διερεφνθςθ ςχζςεων και δομϊν. Ρροσ αυτιν τθν κατεφκυνςθ, αναφορικά με τα μοτίβα, οι ςχετικζσ δραςτθριότθτεσ ενκαρρφνουν τουσ μακθτζσ να αναγνωρίηουν, να ςυμπλθρϊνουν, να περιγράφουν και να καταςκευάηουν απλζσ γεωμετρικζσ, αρικμθτικζσ και άλλεσ κανονικότθτεσ, πρϊτα επαναλαμβανόμενεσ και κατόπιν αυξανόμενεσ ι μειοφμενεσ. Σχετικά με τισ ςυναρτιςεισ, οι μακθτζσ καλοφνται να διερευνοφν μεταβολζσ μεγεκϊν ςε ςχζςθ με άλλα μεγζκθ ςτθν κακθμερινι ηωι και αντιςτοιχίεσ μζςα από παιχνίδια. Βϋ κφκλοσ: Στθ μελζτθ των κανονικοτιτων επαναλαμβάνονται όςα και ςτον προθγοφμενο κφκλο, αλλά ςε ανϊτερο επίπεδο, κακϊσ οι αρικμθτικζσ και γεωμετρικζσ κανονικότθτεσ είναι πιο ςφνκετεσ, ενϊ προςτίκενται και αναδρομικζσ. Επιπλζον, θ ςχετικι εργαςία των μακθτϊν περιλαμβάνει γενίκευςθ τθσ κανονικότθτασ, αναπαράςταςι τθσ με διαφορετικά μζςα (εικονικά, λεκτικά, αρικμθτικά), ςφγκριςθ κανονικοτιτων, λεκτικι διατφπωςθ του κανόνα του μοτίβου, εφρεςθ του επόμενου, αλλά και ενόσ απομακρυςμζνου όρου και, τζλοσ, ςυμβολικι διατφπωςθ του γενικοφ όρου ςτισ αρικμθτικζσ κανονικότθτεσ, χρθςιμοποιϊντασ μεταβλθτζσ (π.χ., ν+2). Σε ςχζςθ με τισ ςυναρτιςεισ, θ ζμφαςθ βρίςκεται ςτθν αιςκθτοποίθςθ τθσ ςχετικισ ζννοιασ. Συγκεκριμζνα, οι μακθτζσ ςυνεχίηουν να διερευνοφν καταςτάςεισ ςυμμεταβολισ: ανάλογα και αντιςτρόφωσ ανάλογα ποςά, ςυςχζτιςθ μεγεκϊν ςτθ γεωμετρία (Ε=1/2βυ), ςτθ φυςικι (υ=s/t), κτλ, γενικά, ςχζςθ ανεξάρτθτθσεξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ και υπολογιςμόσ ενόσ μεγζκουσ με αντικατάςταςθ αρικμοφ ςτισ μεταβλθτζσ. Τζλοσ, διερευνοφν τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ μζςω διαφορετικϊν αναπαραςτάςεων μονοςιμαντων αντιςτοιχιϊν. Γϋ κφκλοσ: Θ ανάπτυξθ τθσ υπο-τροχιάσ τθσ κανονικότθτασ ολοκλθρϊνεται με τουσ μακθτζσ να διερευνοφν αρικμθτικζσ κανονικότθτεσ, να διατυπϊνουν το γενικό όρο

Γενικό Μζροσ

λεκτικά και ςυμβολικά και να τισ αναπαριςτοφν εικονικά, αρικμθτικά με πίνακεσ ι γεωμετρικά ςε ςφςτθμα θμι-αξόνων. Θ υπο-τροχιά των ςυναρτιςεων επικεντρϊνεται, πλζον, ςτισ διαφορετικζσ μορφζσ αναπαράςταςισ τθσ και τθσ χριςθσ τουσ για τθν επίλυςθ προβλθμάτων. Ειδικότερα, οι μακθτζσ, οικοδομϊντασ πάνω ςτθ ςχετικι εμπειρία των προθγοφμενων κφκλων, μοντελοποιοφν μια κατάςταςθ με μια ςυνάρτθςθ, εκφράηουν μια ςυνάρτθςθ με διαφορετικοφσ τρόπουσ (λεκτικά, αρικμθτικά, γεωμετρικά και ςυμβολικά), βρίςκουν τιμζσ τθσ ανεξάρτθτθσ μεταβλθτισ για δεδομζνεσ τιμζσ τθσ εξαρτθμζνθσ και αντιςτρόφωσ και αναγνωρίηουν το πεδίο οριςμοφ μιασ ςυνάρτθςθσ. Ακολοφκωσ, θ ςχετικι εργαςία ςτθν τάξθ εςτιάηεται ςτισ γραφικζσ παραςτάςεισ ςυναρτιςεων: οι μακθτζσ ςχεδιάηουν γραφικζσ παραςτάςεισ ςυναρτιςεων (γραμμικϊν, υπερβολϊν, τετραγωνικϊν, εκκετικϊν με αυτιν τθ ςειρά), οι οποίεσ μοντελοποιοφν μια κατάςταςθ, χρθςιμοποιϊντασ ςθμεία (πίνακα τιμϊν) και λογιςμικά. Ακόμθ, εξετάηουν αν ζνα ςθμείο ανικει ςε μια γραφικι παράςταςθ και, τθ χρθςιμοποιοφν για να βρουν τθν τιμι του y για δεδομζνθ τιμι του x και αντιςτρόφωσ. Στθ ςυνζχεια, θ εςτίαςθ μετακινείται ςτθ μελζτθ ειδικϊν περιπτϊςεων ςυναρτιςεων: οι μακθτζσ διερευνοφν τισ γραμμικζσ ςυναρτιςεισ (y=αx, y=αx+β) και τθν τετραγωνικι ςυνάρτθςθ y=αx2, τισ ιδιότθτζσ τουσ και τισ γραφικζσ τουσ παραςτάςεισ (εξετάηονται ο ρόλοσ των παραμζτρων, τα ςθμεία τομισ με τουσ άξονεσ, ο ρόλοσ του ςυντελεςτι διεφκυνςθσ και θ χριςθ του ςτο ςχεδιαςμό τθσ γραφικισ παράςταςθσ). Θ υπο-τροχιά που αφορά ςτθ ςυνάρτθςθ ολοκλθρϊνεται με δραςτθριότθτεσ που ενκαρρφνουν τουσ μακθτζσ να μετακινοφνται από μια αναπαράςταςθ ςε άλλθ (αλγεβρικόσ τφποσ, πίνακασ τιμϊν, γραφικι παράςταςθ), να επιλζγουν τθν κατάλλθλθ, ςε κάκε περίςταςθ, αναπαράςταςθ και να χρθςιμοποιοφν τισ γραφικζσ παραςτάςεισ για τθν επίλυςθ εξιςϊςεων, ανιςϊςεων και γραμμικϊν ςυςτθμάτων. Τα ςχεδιαγράμματα που παρουςιάηονται ςτθ ςυνζχεια ςυνιςτοφν μια προςπάκεια ςχθματικισ αποτφπωςθσ τθσ ανάπτυξθσ μιασ τροχιάσ για τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ ςτθν υποχρεωτικι εκπαίδευςθ (Αϋ, Βϋ και Γϋ κφκλοι).

Γενικό Μζροσ

΢χεδιάγραμμα 2. Σχθματικι αναπαράςταςθ μιασ ανάπτυξθσ τθσ τροχιάσ «ςυνάρτθςθ» ςτουσ τρεισ κφκλουσ (εδϊ εμφανίηεται ςε δφο μζρθ για πρακτικοφσ λόγουσ).

Γενικό Μζροσ

Χϊροσ – Γεωμετρία – Μετριςεισ Θ κεματικι ενότθτα του Χϊρου-Γεωμετρίασ αναπτφςςεται ςε τζςςερισ τροχιζσ: Χϊροσ, Γεωμετρικά ΢χιματα, Μεταςχθματιςμοί και Οπτικοποιιςεισ.  Θ πρϊτθ τροχιά του Χϊρου αφορά ςε δφο κζματα: ςτισ Θζςεισ διευκφνςεισ, διαδρομζσ ςε χάρτεσ όπωσ και ςτθ Δόμθςθ χϊρου, επικαλφψεισ και ςυντεταγμζνεσ Το κζμα «Θζςεισ διευκφνςεισ και διαδρομζσ ςε χάρτεσ» αναφζρεται ςτον εντοπιςμό, περιγραφι και αναπαράςταςθ κζςεων, διευκφνςεων και διαδρομϊν, αρχικά ςτο χϊρο και μεταγενζςτερα ςε χάρτεσ. Οι μακθτζσ ςτον πρϊτο κφκλο ςυςτθματοποιοφν τισ χωρικζσ εμπειρίεσ με τθν αξιοποίθςθ διαφορετικϊν ςυςτθμάτων αναφοράσ, χριςθ χωρικϊν εννοιϊν και πρϊτθ επαφι με οικείουσ χάρτεσ (βλ. ΓΔ1, ΓΔ2, Νθπιαγωγείο και Αϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο ςυςτθματοποιοφν τθν αναγνϊριςθ, περιγραφι κζςεων, ςχζςεων και διαδρομϊν ςε χάρτεσ και οδθγοφνται ςτθν προςζγγιςθ τθσ κλίμακασ και τθσ καταςκευισ τουσ (βλ. όμοια, ΓΔ1, Εϋ και ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο οδθγοφνται ςτθν άνετθ χριςθ και καταςκευι χαρτϊν με εφαρμογι κλίμακασ και αξιοποίθςθ τθσ ομοιότθτασ για επίλυςθ προβλθμάτων με αποςτάςεισ και διαδρομζσ και ειςάγονται ςτα διανφςματα (βλ. ΓΔ1, Βϋ Γυμναςίου). Το κζμα «Δόμθςθ χϊρου, επικαλφψεισ και ςυντεταγμζνεσ» αναφζρεται ςτισ επικαλφψεισ του επιπζδου με διάφορα ςχιματα και ουςιαςτικά ςτθν εξοικείωςθ και μελζτθ του τετραγωνιςμζνου περιβάλλοντοσ που οδθγεί ςτισ διςδιάςτατεσ ςυντεταγμζνεσ. Συγκεκριμζνα, οι μακθτζσ ςτον πρϊτο κφκλο αρχικά εντοπίηουν, περιγράφουν και αναπαριςτοφν κζςεισ, διευκφνςεισ και διαδρομζσ ςε τετραγωνιςμζνα περιβάλλοντα και, ςτθ ςυνζχεια, επιδιϊκουν να εντοπίςουν τρόπουσ παράςταςθσ και επικοινωνίασ των καταςτάςεων αυτϊν με τθ χριςθ αυκαίρετων ςυμβόλων όπωσ χρϊματα, γράμματα και αρικμοφσ (βλ. ΓΔ4, Αϋ Δθμοτικοφ και ΓΔ2, ΓΔ3, Βϋ Δθμοτικοφ). Στθ ςυνζχεια, ςτο δεφτερο κφκλο ςυςτθματοποιοφν τθ χριςθ αρικμθτικϊν ηευγϊν και, ςτθ ςυνζχεια, διατεταγμζνων ηευγϊν για τθν παράςταςθ κζςεων ςτο πρϊτο τεταρτθμόριο (βλ. δραςτθριότθτα ΓΔ1, Δ’ Δθμοτικοφ) και τζλοσ ςτον τρίτο κφκλο γενικεφουν τθ χριςθ ςυντεταγμζνων και ςτα υπόλοιπα τεταρτθμόρια για τθν απόδοςθ χωρικϊν ςχζςεων και ςχθμάτων (βλ. ΓΔ4, Βϋ Γυμναςίου και ΓΔ1, Γϋ Γυμναςίου).  Θ δεφτερθ τροχιά των Γεωμετρικϊν ΢χθμάτων αφορά τζςςερα κζματα: Σαξινόμθςθ και Ανάλυςθ ςχθμάτων ςε ςτοιχεία και ιδιότθτεσ, Καταςκευζσ ςχθμάτων και ςχεδιαςμόσ, ΢φνδεςθ επιπζδων και ςτερεϊν ςχθμάτων, Ανάλυςθ ι ςφνκεςθ επιπζδων και ςτερεϊν ςχθμάτων. Στο κζμα «Σαξινόμθςθ και ανάλυςθ ςχθμάτων ςε ςτοιχεία και ιδιότθτεσ» οι μακθτζσ ξεκινοφν ςτισ μικρότερεσ τάξεισ με αναγνϊριςθ, ονομαςία και ταξινόμθςθ των ςχθμάτων (επίπεδων και ςτερεϊν) με βάςθ γεωμετρικά και μθ χαρακτθριςτικά και ςε ποικιλία κζςεων, μεγεκϊν και προςανατολιςμϊν, ενϊ βακμιαία αναγνωρίηουν βαςικζσ ιδιότθτεσ και ςχζςεισ (βλ. δραςτθριότθτεσ ΓΔ3, Νθπιαγωγείο, ΓΔ5, Αϋ, ΓΔ4, ΓΔ5, Βϋ Δθμοτικοφ). Στθ ςυνζχεια, ςτο δεφτερο θλικιακό κφκλο, διευρφνουν τθν

Γενικό Μζροσ

αναγνϊριςθ και ςτα ςτοιχεία των ςχθμάτων (ςθμεία, ευκείεσ, θμιευκείεσ, ευκφγραμμα τμιματα), κακϊσ και ςτισ ιδιότθτεσ (παράλλθλεσ, κάκετεσ, ίςεσ, άνιςεσ) και ταξινομοφν τα ςχιματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, πολφγωνα και πολφεδρα) με βάςθ τισ ιδιότθτεσ όπωσ αρικμόσ πλευρϊν, ςφγκριςθ γωνιϊν, μικοσ πλευρϊν κ.λπ. (βλ. ΓΔ2 και ΓΔ3 Δϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο, οι μακθτζσ διατυπϊνουν απλοφσ οριςμοφσ και περιγράφουν ςχζςεισ μεταξφ των ςχθμάτων, εφαρμόηοντάσ τεσ ςτθν επίλυςθ χωρικϊν προβλθμάτων (βλ. δραςτθριότθτεσ ΓΔ1, ΓΔ2, ΓΔ4, Αϋ Γυμναςίου και ΓΔ2, ΓΔ3 Βϋ Γυμναςίου). Αντίςτοιχα, ςτο κζμα «Καταςκευζσ ςχθμάτων και ςχεδιαςμόσ», οι μακθτζσ ξεκινοφν ςτον πρϊτο κφκλο με απλζσ καταςκευζσ με χριςθ χειραπτικϊν υλικϊν και απλζσ παραςτάςεισ (βλ. ΓΔ11, Βϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο θλικιακό κφκλο περνοφν ςε απλοφσ ςχεδιαςμοφσ ςε πραγματικό και ψθφιακό περιβάλλον, χρθςιμοποιοφν τα γεωμετρικά όργανα και ςχεδιάηουν γεωμετρικά ςτοιχεία (ευκείεσ, θμιευκείεσ, κφκλουσ, κ.λπ.), κακϊσ και γεωμετρικά ςχιματα (βλ. δραςτθριότθτεσ ΓΔ2, ΓΔ3, ΓΔ4, Γ’ Δθμοτικοφ, ΓΔ4, Δϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ2, Εϋ Δθμοτικοφ και ΓΔ3, ΓΔ4 ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο χρθςιμοποιοφν πιο τυποποιθμζνα μζςα (κανόνα και διαβιτθ ι αντίςτοιχα ψθφιακά περιβάλλοντα) κατανοϊντασ τθ διαφορά μιασ καταςκευισ με βακμολογθμζνα όργανα από τθ γεωμετρικι καταςκευι με κανόνα και διαβιτθ και λφνουν προβλιματα γεωμετρικϊν καταςκευϊν (βλ. ΓΔ3, ΓΔ7, Αϋ Γυμναςίου) . Στο κζμα «΢φνδεςθ επιπζδων και ςτερεϊν ςχθμάτων», οι μακθτζσ του πρϊτου κφκλου ξεκινοφν να αναγνωρίηουν τα επίπεδα γεωμετρικά ςχιματα ωσ ζδρεσ ςτερεϊν και κάνουν απλζσ καταςκευζσ αναπτυγμάτων, ςτθ ςυνζχεια, ςτο δεφτερο κφκλο επεκτείνουν τθν αναγνϊριςθ επίπεδων γεωμετρικϊν ςχθμάτων ωσ ζδρεσ ςτερεϊν, διερευνοφν τισ ςχζςεισ μεταξφ επίπεδων και ςτερεϊν γεωμετρικϊν ςχθμάτων (π.χ. τετραγϊνου-κφβου, κφκλου- ςφαίρασ, κ.ά.) και γενικεφουν τθ ςφνδεςθ με όψεισ και τομζσ, ενϊ παράλλθλα δθμιουργοφν και ςχεδιάηουν αναπτφγματα ςτερεϊν (αρχικά κφβου και, ςτθ ςυνζχεια, και άλλων ςτερεϊν, βλ. δραςτθριότθτα ΓΔ3, Δϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ3, ΓΔ6 Εϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο, ςυνδζουν τα ςτερεά με τα αναπτφγματά τουσ, όπωσ και τα επίπεδα και ςτερεά ςχιματα με τισ τομζσ. Τζλοσ, ςτο κζμα «Ανάλυςθ ι ςφνκεςθ επιπζδων και ςτερεϊν ςχθμάτων» οι μακθτζσ του πρϊτου κφκλου ςυνκζτουν και αναλφουν επίπεδα γεωμετρικά ςχιματα και ςτερεά ςε δφο ι περιςςότερα μζρθ (απλά παηλ αποτελοφμενα από δφο ι τρία κομμάτια τάνγκραμ ι πεντόμινο) και ςε πραγματικό ι ψθφιακό περιβάλλον προςεγγίηοντασ ιδιότθτεσ και ςχζςεισ (βλ. δραςτθριότθτεσ ΓΔ4, Νθπιαγωγείο, ΓΔ6, Αϋ και Βϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο και τρίτο κφκλο αναλφουν και ςυνκζτουν επίπεδα και ςτερεά γεωμετρικά ςχιματα ςε πιο ςφνκετεσ καταςτάςεισ αναγνωρίηοντασ ιδιότθτεσ και ςχζςεισ και ςυνδζοντασ τεσ με τθ μζτρθςθ επιφάνειασ (βλ. ΜΔ1, ΣΤϋ Δθμοτικοφ).  Θ τρίτθ τροχιά των Μεταςχθματιςμϊν αφορά μετατοπίςεισ, ςτροφζσ και ςυμμετρίεσ. Στον πρϊτο κφκλο οι μακθτζσ παρατθροφν μετατοπίςεισ και ςτροφζσ (90, 180, 360 και 45 μοιρϊν) προβλζποντασ το αποτζλεςμα, αναγνωρίηουν ςυμμετρικά ςχιματα εντοπίηοντασ τουσ άξονεσ ςυμμετρίασ και κάνουν καταςκευζσ ςυμμετρικϊν

Γενικό Μζροσ

καταςτάςεων και ςχθμάτων ςε πραγματικά και ψθφιακά περιβάλλοντα, προςεγγίηοντασ τισ ιδιότθτεσ τθσ ςυμμετρίασ (βλ. ΓΔ5, Νθπιαγωγείο, ΓΔ7, Αϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ7 και ΓΔ8, Βϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο, χρθςιμοποιοφν τουσ μεταςχθματιςμοφσ για ςφγκριςθ ςχθμάτων και πραγματοποιοφν καταςκευζσ με τθ χριςθ μετατοπίςεων και ςτροφϊν, καταςκευάηουν ςυμμετρικά ςχιματα και ςχιματα με άξονεσ ςυμμετρίασ με οριηόντιουσ και κατακόρυφουσ άξονεσ και περιγράφουν τισ ιδιότθτεσ τθσ αξονικισ ςυμμετρίασ (βλ. ΓΔ4, Γϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ4, Εϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ5 και ΓΔ7, ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο οι μακθτζσ δθμιουργοφν και ςυνδυάηουν μετατοπίςεισ και ςτροφζσ για γεωμετρικζσ και άλλεσ καταςκευζσ, χρθςιμοποιοφν τισ ιδιότθτεσ τθσ ςυμμετρίασ για να εντοπίςουν τισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων και πραγματοποιοφν καταςκευζσ ςυμμετρικϊν με διάφορουσ άξονεσ (βλ. ΓΔ5 και ΓΔ6, Βϋ Γυμναςίου και ΓΔ3, Γϋ). Στον κφκλο αυτό οι μακθτζσ γνωρίηουν τθν κεντρικι ςυμμετρία και τθν ομοιότθτα (βλ. ΓΔ2 και ΓΔ5, Γϋ Γυμναςίου). Ραρακάτω, δίνονται δφο παραδείγματα για τθν τροχιά του χϊρου και ιδιαίτερα για τθν ανάπτυξθ τθσ ζννοιασ των ςυντεταγμζνων και για τθν τροχιά των μεταςχθματιςμϊν – ςυμμετρίασ που δείχνουν πϊσ εξελίςςονται οι υποτροχιζσ ςτθν πορεία των τάξεων του Δθμοτικοφ και του Γυμναςίου. Ενδεικτικό παράδειγμα για την τροχιά «Χϊρου» Ενδεικτικό παράδειγμα διαδοχισ των δράςεων ςε τετραγωνιςμζνα περιβάλλοντα προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ ανάπτυξθσ τθσ ζννοιασ των ςυντεταγμζνων αποτελοφν οι δράςεισ ςε χειραπτικό και αναπαραςτατικό τετραγωνιςμζνο υλικό (τουβλάκια ι τετραγωνιςμζνο χαρτί) ςτισ μικρζσ τάξεισ του Δθμοτικοφ για τον εντοπιςμό και τθν περιγραφι χωρικϊν καταςτάςεων και, ουςιαςτικά, για τθν εξοικείωςθ με τα χαρακτθριςτικά του περιβάλλοντοσ αυτοφ, όπωσ και αναηιτθςθ τρόπων κωδικοποίθςθσ (Αϋ και Βϋ Δθμοτικοφ) (Εικόνα 1).

Εικόνα 1

Στθ ςυνζχεια, οι μακθτζσ κα αςχολθκοφν με πιο τυπικζσ μορφζσ ςυντεταγμζνων, ξεκινϊντασ από τουσ τετραγωνιςμζνουσ καμβάδεσ με εκφράςεισ του τφπου «το ςτοιχείο βρίςκεται ςτθν 3θ γραμμι και ςτθν 4θ ςτιλθ (βλ. ςχετικι δραςτθριότθτα, ΓΔ1, Γϋ Δθμοτικοφ) για να οδθγθκοφν ςε ηευγάρια αρικμϊν όπωσ «3 και 4» και, τελικά, ςτα διατεταγμζνα ηεφγθ, ςτο γεωπίνακα ι ςε ςυςτιματα ςυντεταγμζνων, γραφικά ι ψθφιακά (Εικόνα 2).

Γενικό Μζροσ

Εικόνα 2

Μεταγενζςτερα, οι ςυντεταγμζνεσ κα επεκτακοφν και ςτα υπόλοιπα τεταρτθμόρια και κα χρθςιμοποιθκοφν ςτθν παράςταςθ ςυναρτιςεων. Ενδεικτικό παράδειγμα για την τροχιά «Μεταςχηματιςμοί» Θ ςυμμετρία αποτελεί ζνα κατάλλθλο παράδειγμα εξζλιξθσ μιασ τροχιάσ. Αν και αναγνωρίηεται οπτικά από τισ μικρότερεσ θλικίεσ, θ κατανόθςθ των ιδιοτιτων και οι καταςκευζσ ςυμμετρικϊν με διάφορουσ άξονεσ αποτελεί το ηθτοφμενο τθσ ανάπτυξισ τθσ. Στισ πρϊτεσ τάξεισ οι μακθτζσ αςκοφνται να αναγνωρίηουν ςυμμετρικά αντικείμενα ι ςχιματα, να ελζγχουν με δίπλωςθ και να εντοπίηουν τουσ άξονεσ. Ραράλλθλα, ενκαρρφνονται ςε απλζσ καταςκευζσ (ςε απλό, τετραγωνιςμζνο ι και ψθφιακό περιβάλλον) για να προςεγγίςουν ιδιότθτεσ (Εικόνα 3).

Εικόνα 3

Στθ ςυνζχεια τθσ ανάπτυξθσ οι μακθτζσ αντιμετωπίηουν καταςτάςεισ, όπου άλλεσ είναι ςυμμετρικζσ κι άλλεσ όχι, και καλοφνται να εξθγιςουν (βλ. ΓΔ8, Γϋ Δθμοτικοφ) γιατί δεν είναι ςυμμετρικζσ εντοπίηοντασ ιδιότθτεσ. Τζτοιεσ δράςεισ οδθγοφν ςτθ ςυςτθματοποίθςθ των ιδιοτιτων των ςυμμετρικϊν ςχθμάτων. Επίςθσ, οι μακθτζσ καταςκευάηουν ςυμμετρικά ςχιματα και ςχθματιςμοφσ ςε τετραγωνιςμζνα και μθ περιβάλλοντα με χαρτί-μολφβι και ψθφιακά (Εικόνα 4).

Εικόνα 4

Γενικό Μζροσ

Στον τρίτο κφκλο οι μακθτζσ, ςτθριηόμενοι ςτθν προθγοφμενθ εμπειρία, κα ςυςτθματοποιιςουν τθ ςυμμετρία και τισ ιδιότθτζσ τθσ και κα προχωριςουν ςε γεωμετρικι καταςκευι τθσ ςυμμετρίασ με κανόνα και διαβιτθ, ςε άξονεσ με διαφορετικοφσ προςανατολιςμοφσ (Εικόνα 5).

Εικόνα 5

 Θ τζταρτθ τροχιά των οπτικοποιιςεων αφορά αναγνϊριςθ και αναπαράςταςθ διαφορετικϊν οπτικϊν γωνιϊν αντικειμζνων και καταςτάςεων, κακϊσ και δθμιουργία πραγματικϊν και νοερϊν αναπαραςτάςεων για αντικείμενα και καταςτάςεισ. Συγκεκριμζνα, ςτον πρϊτο κφκλο οι μακθτζσ αςκοφνται ςτθν αναγνϊριςθ καταςκευϊν από διαφορετικζσ οπτικζσ γωνίεσ, ςτθ ςφνδεςθ 2Δ και 3Δ καταςτάςεων, κακϊσ και ςτθ δθμιουργία νοερϊν εικόνων και περιγραφϊν αλλά και πραγματικϊν παραςτάςεων τριςδιάςτατων καταςτάςεων (βλ. ΓΔ6, ΓΔ7, Νθπιαγωγείο, ΓΔ9, Βϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο οι μακθτζσ κάνουν καταςκευζσ από εικόνεσ, ςχζδια και άλλεσ αναπαραςτάςεισ, αλλά ςχεδιάηουν, επίςθσ, ςε ιςομετρικό χαρτί ι ςε ψθφιακό περιβάλλον δοςμζνεσ τριςδιάςτατεσ καταςκευζσ (βλ. ΓΔ5, Γϋ Δθμοτικοφ και ΓΔ5, Δϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο αναγνωρίηουν όψεισ και τομζσ 3Δ ςχθμάτων, ςχεδιάηουν 3Δ ςχιματα όπωσ και όψεισ και κατόψεισ, κακϊσ και αναπτφγματα ςτερεϊν ςχθμάτων. Θ κεματικι ενότθτα των Μετριςεων αναπτφςςεται ςε τζςςερισ τροχιζσ: Μζτρθςθ γωνίασ, μικουσ, επιφάνειασ και όγκου.  Θ πρϊτθ τροχιά τθσ Μζτρθςθσ γωνίασ αφορά τθ ςφγκριςθ γωνιϊν μεταξφ τουσ και με τθν ορκι, τθ μζτρθςθ με τυπικζσ μονάδεσ και τθ χριςθ εργαλείων, τθν εκτίμθςθ γωνιϊν όπωσ και εφαρμογζσ με τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ. Συγκεκριμζνα, ςτον πρϊτο κφκλο οι μακθτζσ αναγνωρίηουν τισ ίςεσ γωνίεσ και ςυγκρίνουν με τθν ορκι και, ςτθ ςυνζχεια, ςτο δεφτερο κφκλο ςυγκρίνουν με τθ χριςθ διαφόρων (υλικϊν και μθ) μζςων και τισ μετροφν με τυπικζσ μονάδεσ και μοιρογνωμόνιο (βλ, ΜΔ1, Δϋ Δθμοτικοφ, ΓΔ6, ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο κάνουν πράξεισ με τισ γωνίεσ, ςυγκρίνουν χρθςιμοποιϊντασ ιδιότθτεσ και ςχζςεισ, κάνουν καταςκευζσ γωνιϊν με όργανα και προςεγγίηουν τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ και τθν κλίςθ (βλ. ΜΔ1, Αϋ Γυμναςίου και ΜΔ5, Βϋ Γυμναςίου). Σε όλουσ τουσ κφκλουσ ενκαρρφνονται οι ςυγκρίςεισ γωνιϊν κατ’ εκτίμθςθ, ανεξάρτθτα από το μικοσ των πλευρϊν τουσ ι τον προςανατολιςμό.

Γενικό Μζροσ

 Θ δεφτερθ τροχιά τθσ Μζτρθςθσ μικουσ αφορά τθ ςφγκριςθ μθκϊν, τθν ανάλυςθ και ςφνκεςι τουσ, τθν πραγματοποίθςθ επικαλφψεων με τυπικζσ και μθ τυπικζσ μονάδεσ και, ςτθ ςυνζχεια, τθ μζτρθςθ όπωσ και τθν επίλυςθ προβλθμάτων που περιζχουν μετριςεισ μθκϊν και εκτιμιςεισ. Θ ειςαγωγι ςτθ μζτρθςθ μθκϊν ξεκινάει από τον πρϊτο κφκλο όπου οι μακθτζσ αρχικά πραγματοποιοφν άμεςεσ και ζμμεςεσ ςυγκρίςεισ, διατάξεισ, κακϊσ και αναλφςεισ και ςυνκζςεισ μθκϊν. Στθ ςυνζχεια, πραγματοποιοφν επικαλφψεισ με επαναλιψεισ με μθ τυπικζσ και τυπικζσ μονάδεσ, διαπιςτϊνουν τθν ανάγκθ χριςθσ τυπικϊν μονάδων μζτρθςθσ και ςυνδζουν το αρικμθτικό αποτζλεςμα τθσ επικάλυψθσ με επανάλθψθ με το μικοσ. Από τον κφκλο αυτό πραγματοποιοφν μετριςεισ με το χάρακα, επιλφουν απλά μετρικά προβλιματα και ςυγκρίνουν μικθ κατ’ εκτίμθςθ (βλ. ΜΔ1, ΜΔ2, ΜΔ3, ΜΔ4, Νθπιαγωγείο, και ΜΔ1, Αϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο οι μακθτζσ ςυςτθματοποιοφν τισ μετριςεισ με τισ τυπικζσ μονάδεσ, τισ οποίεσ προςεγγίηουν, ςυγκρίνουν και επιλφουν ςχετικά προβλιματα. Υπολογίηουν περιμζτρουσ ςχθμάτων και διερευνοφν τισ ςχζςεισ πλευρϊν και περιμζτρων, όπωσ και διαμζτρου και κφκλου (βλ ΜΔ2, Δϋ Δθμοτικοφ και ΜΔ1, ΜΔ2, Εϋ Δθμοτικοφ). Χρθςιμοποιοφν όργανα για ςφγκριςθ και μεταφορά ευκφγραμμων τμθμάτων και κάνουν ςυγκρίςεισ κατ’ εκτίμθςθ. Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο γενικεφουν τισ προθγοφμενεσ γνϊςεισ ςε ιδιότθτεσ και ςχζςεισ ευκφγραμμων τμθμάτων και καμπφλων γραμμϊν, υπολογίηουν μικθ με χριςθ λόγων, αναλογιϊν και κεωρθμάτων, διερευνοφν ςχζςεισ μθκϊν τόξου και επιλφουν προβλιματα μζτρθςθσ με τθ χριςθ κατάλλθλων μονάδων μζτρθςθσ, αναπτφςςοντασ μεκόδουσ και ςτρατθγικζσ προςεγγιςτικοφ υπολογιςμοφ τθσ περιμζτρου ακανόνιςτων ςχθμάτων (βλ ΜΔ2, ΜΔ3, Βϋ Γυμναςίου).  Θ τρίτθ τροχιά τθσ Μζτρθςθσ επιφάνειασ αφορά τθ ςφγκριςθ επιφανειϊν, τθν ανάλυςθ και ςφνκεςι τουσ, τθν πραγματοποίθςθ επικαλφψεων με τυπικζσ και μθ τυπικζσ μονάδεσ και, ςτθ ςυνζχεια, τθ μζτρθςι τουσ όπωσ και τθν επίλυςθ προβλθμάτων που περιζχουν μετριςεισ επιφανειϊν και εκτιμιςεισ. Συγκεκριμζνα, ςτον πρϊτο κφκλο οι μακθτζσ πραγματοποιοφν άμεςεσ και ζμμεςεσ ςυγκρίςεισ επιφανειϊν, με αναλφςεισ και ςυνκζςεισ και μετατοπίςεισ, επικαλφπτουν επιφάνειεσ χρθςιμοποιϊντασ μθ τυπικζσ ι τυπικζσ μονάδεσ, δομοφν τισ επιφάνειεσ με μθ τυπικζσ και τυπικζσ μονάδεσ ςε γραμμζσ και ςτιλεσ και καταμετροφν ςυςτθματικά το πλικοσ των μονάδων, ςυνδζοντασ το αρικμθτικό αποτζλεςμα τθσ μζτρθςθσ με τθν επιφάνεια και τθ μονάδα μζτρθςθσ. Επιλφουν απλά προβλιματα μζτρθςθσ επιφάνειασ με τθ χριςθ χειραπτικοφ υλικοφ και αναπαραςτάςεων και αςκοφνται ςτθν εκτίμθςθ επιφανειϊν (βλ. ΜΔ5, ΜΔ6, ΜΔ7, Νθπιαγωγείο, ΜΔ 2, ΜΔ3, Αϋ Δθμοτικοφ και ΜΔ12, Βϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο ςυςτθματοποιοφν τισ παραπάνω γνϊςεισ πραγματοποιϊντασ ςυγκρίςεισ απλϊν επιφανειϊν με τθ χριςθ ιδιοτιτων και ςχζςεων, δομϊντασ ορκογϊνιεσ επιφάνειεσ με γραμμζσ και ςτιλεσ και χρθςιμοποιϊντασ τθν πολλαπλαςιαςτικι ςχζςθ μεταξφ γραμμϊν και ςτθλϊν για να υπολογίςουν το εμβαδόν δομθμζνων επιφανειϊν (βλ. ΜΔ1, Γϋ Δθμοτικοφ, ΜΔ2, ΜΔ3, Δϋ Δθμοτικοφ, ΜΔ2, ΜΔ3, Εϋ Δθμοτικοφ και ΜΔ1, ΜΔ2, ΜΔ4, ΜΔ5, ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Υπολογίηουν το εμβαδόν των βαςικϊν ςχθμάτων και διερευνοφν τισ ςχζςεισ πλευρϊν, περιμζτρου

Γενικό Μζροσ

και εμβαδοφ ενόσ γεωμετρικοφ ςχιματοσ (ΜΔ3, ΜΔ6, ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Ρροςεγγίηουν τισ .υποδιαιρζςεισ των μονάδων και κάνουν μετατροπζσ. Επιλφουν προβλιματα μζτρθςθσ επιφανειϊν με τθ χριςθ οργάνων και τφπων και πραγματοποιοφν ςυγκρίςεισ επιφανειϊν κατ’ εκτίμθςθ. Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο πραγματοποιοφν ςυγκρίςεισ καμπυλόγραμμων ι μικτόγραμμων ι ακανόνιςτων επιφανειϊν με αναλφςεισ / ςυνκζςεισ και με τθ χριςθ ιδιοτιτων και ςχζςεων, υπολογίηουν το εμβαδόν κφκλου κι άλλων μικτόγραμμων ςχθμάτων χρθςιμοποιϊντασ ποικιλία μεκόδων και ςτρατθγικϊν και επιλφουν ςχετικά προβλιματα με τθ χριςθ κατάλλθλων μονάδων μζτρθςθσ και υπολογιςμϊν κατ’ εκτίμθςθ (βλ. ΜΔ1, ΜΔ2, ΜΔ4, Βϋ Γυμναςίου). Ραράλλθλα, υπολογίηουν το εμβαδόν επιφανειϊν ςτερεϊν ςχθμάτων. 

Θ τζταρτθ τροχιά τθσ Μζτρθςθσ Όγκου αφορά ςτθ ςφγκριςθ όγκων, τθν ανάλυςθ κα ςφνκεςθ τουσ, τθν πραγματοποίθςθ «γεμιςμάτων» με τυπικζσ και μθ τυπικζσ μονάδεσ και, ςτθ ςυνζχεια, τθ μζτρθςι τουσ όπωσ και τθν επίλυςθ προβλθμάτων που περιζχουν μετριςεισ όγκων και εκτιμιςεισ.

Συγκεκριμζνα, ςτον πρϊτο κφκλο οι μακθτζσ ςυγκρίνουν τθ χωρθτικότθτα δφο δοχείων, άμεςα ι με τθ χριςθ ενδιάμεςου, ςυγκρίνουν όγκουσ καταςκευϊν που αποτελοφνται από μικρό αρικμό δομικϊν υλικϊν (κφβοι) και εκτιμοφν τον όγκο απλϊν καταςκευϊν και το πλικοσ των κφβων που γεμίηουν ζνα κουτί (βλ. ΜΔ8, Νθπιαγωγείο, ΜΔ4 Αϋ Δθμοτικοφ). Στο δεφτερο κφκλο ςυςτθματοποιοφν τον υπολογιςμό του πλικουσ των κφβων ορκογϊνιων καταςκευϊν ςυνδυάηοντάσ τον με τισ γραμμικζσ διαςτάςεισ, και εντοπίηοντασ τθν πολλαπλαςιαςτικι ςχζςθ, πραγματοποιϊντασ μετριςεισ με πραγματικό και αναπαραςτατικό υλικό. Υπολογίηουν τον όγκο ςτερεϊν με χριςθ τυπικϊν μονάδων και υποδιαιρζςεων και επιλφουν ςχετικά προβλιματα και υπολογιςμοφσ κατ’ εκτίμθςθ (βλ. ΜΔ2, Γϋ Δθμοτικοφ, ΜΔ5, ΣΤϋ Δθμοτικοφ). Τζλοσ, ςτον τρίτο κφκλο οι μακθτζσ υπολογίηουν τουσ όγκουσ των βαςικϊν ςτερεϊν με τθ χριςθ των προθγοφμενων γνϊςεων, όπωσ και ςφνκετων ςχθμάτων με ανάλυςθ και ςφνκεςθ. Διερευνοφν τθ ςχζςθ γραμμικϊν διαςτάςεων, εμβαδοφ επιφανειϊν και όγκου κι επιλφουν ςχετικά προβλιματα (βλ. ΜΔ1, Γϋ Γυμναςίου). Ραρακάτω, δίνεται ζνα παράδειγμα για τθν τροχιά τθσ μζτρθςθσ του όγκου που δείχνει πϊσ μπορεί να εξελιχκεί ςτθν πορεία των τάξεων του Δθμοτικοφ και του Γυμναςίου. Ενδεικτικό παράδειγμα για την τροχιά «Μζτρηςη του όγκου» Οι μακθτζσ ξεκινοφν προςεγγίηοντασ το μζγεκοσ μζςα από ςυγκρίςεισ χωρθτικότθτασ και ςυνκζςεων με κφβουσ, εκτιμϊντασ «ποιο κουτί είναι πιο μεγάλο;» και γεμίηοντασ με κφβουσ για να ελζγξουν τθν εκτίμθςι τουσ. Θ δόμθςθ του χϊρου ςε τρεισ διαςτάςεισ και θ μζτρθςθ των κφβων που τθν αποτελοφν εμφανίηει δυςκολίεσ ακόμα και για τα μεγαλφτερα παιδιά, αλλά τα παιδιά των μικρϊν τάξεων μποροφν να πραγματοποιιςουν υπολογιςμοφσ ςε απλζσ ςυνκζςεισ όπωσ οι ακόλουκεσ (Εικόνα 6).

Γενικό Μζροσ

Εικόνα 6

Οι μακθτζσ, ςτθ ςυνζχεια, κα αςκθκοφν περιςςότερο ςτισ ορκογϊνιεσ καταςκευζσ από κφβουσ ϊςτε να μετροφν το πλικοσ των κφβων με πιο ςυςτθματικό τρόπο, χρθςιμοποιϊντασ το πλικοσ των κφβων τθσ βάςθσ ωσ ςφνκετθ μονάδα τθν οποία επαναλαμβάνουν για να μετροφν το πλικοσ των κφβων τθσ καταςκευισ, ςε πραγματικό ι αναπαραςτατικό υλικό (Εικόνα 7).

Εικόνα 7

Βακμιαία, θ προςζγγιςθ αυτι οδθγεί ςτον υπολογιςμό των τφπων των βαςικϊν ςτερεϊν, ωσ πολλαπλαςτιαςτικι ςχζςθ των διαςτάςεων και απαραίτθτων μεταςχθματιςμϊν. Στισ μεγαλφτερεσ τάξεισ οι τφποι κα χρθςιμοποιθκοφν ςτθν ανάπτυξθ πιο ςφνκετων υπολογιςμϊν των όγκων των ςτερεϊν και άλλων ςυνκζςεων.

΢τοχαςτικά Μακθματικά Θ κεματικι ενότθτα τθσ ΢τατιςτικισ αναπτφςςεται ςε τρεισ τροχιζσ: δεδομζνα, μζτρα κζςθσ και μεταβλθτότθτα.  Θ πρϊτθ τροχιά «Δεδομζνα» αναφζρεται ςτθ ςυλλογι, οργάνωςθ, αναπαράςταςθ και ερμθνεία διαφορετικισ ποιότθτασ δεδομζνων και εξελίςςεται για να ςυμπεριλάβει: — κατθγορικά δεδομζνα (δθλαδι, δεδομζνα που οι τιμζσ τουσ δεν είναι αρικμοί (π.χ. παιχνίδια, χρϊματα κ.λπ., βλ. Αϋ Δθμοτικοφ, δραςτθριότθτα ΣΔ1), — διακριτά ποςοτικά δεδομζνα (δθλαδι, δεδομζνα που οι τιμζσ τουσ είναι ακζραιοι αρικμοί π.χ. αρικμόσ δωματίων μιασ κατοικίασ, αρικμόσ παιδιϊν μιασ οικογζνειασ, βλ. Βϋ Δθμοτικοφ, δραςτθριότθτα ΣΔ1 ) — ςυνεχι ποςοτικά δεδομζνα (δθλαδι, δεδομζνα που οι τιμζσ τουσ δεν είναι μόνο ακζραιοι αρικμοί π.χ. φψοσ, βλ. Εϋ Δθμοτικοφ, δραςτθριότθτα ΣΔ1). Οι τρόποι αναπαράςταςθσ των δεδομζνων που χρθςιμοποιοφν οι μακθτζσ εξελίςςονται από τουσ πιο απλοφσ ςε πιο ςφνκετουσ: διαγράμματα με υλικά, εικονογράμματα, ραβδογράμματα, ςθμειογράμματα (Α’ κφκλοσ), διπλά ραβδογράμματα (Βϋ κφκλοσ), κυκλικά διαγράμματα, χρονοδιαγράμματα, διαγράμματα διαςποράσ, ιςτογράμματα (Γϋ κφκλοσ). Ανάλογα, θ ερμθνεία των δεδομζνων που αποςκοπεί ςτθν ανάπτυξθ επιχειρθματολογίασ από τουσ μακθτζσ για τα δεδομζνα που ζχουν ςυγκεντρωκεί ξεκινά από τθν απλι ανάγνωςθ και ςφγκριςθ των πλθροφοριϊν (Α’ κφκλοσ) και προχωρά ςτθν εξαγωγι

Γενικό Μζροσ

ςυμπεραςμάτων (Βϋ κφκλοσ) και ςτθν πραγματοποίθςθ προβλζψεων με βάςθ δείγματα πλθκυςμϊν (Γϋ κφκλοσ).  Θ δεφτερθ τροχιά «Μζτρα κζςθσ» αφορά ςτθ χριςθ αρικμθτικϊν εκφράςεων, οι οποίεσ επιτρζπουν τθ ςυνοπτικι περιγραφι δεδομζνων και τθ ςφγκριςθ ομάδων δεδομζνων. Τα μζτρα κζςθσ ειςάγονται ςταδιακά ςτο Βϋ κφκλο και είναι θ επικρατοφςα τιμι (Γϋ Δθμοτικοφ), θ διάμεςοσ (Δϋ Δθμοτικοφ) και θ μζςθ τιμι (Εϋ Δθμοτικοφ). Τα μζτρα κζςθσ, ςτθν υποχρεωτικι εκπαίδευςθ, υπολογίηονται μόνο για διακριτά ποςοτικά δεδομζνα.  Θ τρίτθ τροχιά «Μεταβλθτότθτα» αναφζρεται ςε αρικμθτικζσ εκφράςεισ που χαρακτθρίηουν τθ διαςπορά των δεδομζνων. Στο Βϋ κφκλο ειςάγεται το εφροσ (Γϋ Δθμοτικοφ) και ςτο Γϋ κφκλο θ μζςθ απόλυτθ απόκλιςθ (Γϋ Γυμναςίου). Ραρακάτω, δίνεται ζνα παράδειγμα για τθν τροχιά «Δεδομζνα» που δείχνει πϊσ μπορεί να εξελιχκεί ςτθν πορεία των τάξεων του Δθμοτικοφ και του Γυμναςίου. Ενδεικτικό παράδειγμα για την τροχιά «Δεδομζνα» Οι μακθτζσ ςυηθτοφν για τουσ ςφγχρονουσ Ολυμπιακοφσ πραγματοποιοφν μια ζρευνα με αφορμι ερωτιματα όπωσ:

αγϊνεσ

και

Αϋ κφκλοσ — Ροια είναι τα αγαπθμζνα ακλιματα των μακθτϊν τθσ τάξθσ τουσ; (Αϋ Δθμοτικοφ) — Ρόςεσ μπάλεσ ομαδικϊν ακλθμάτων (π.χ. μπάςκετ, ποδοςφαίρου κ.λπ.) ζχουν ςτο ςπίτι τουσ; (Βϋ Δθμοτικοφ) Βϋ κφκλοσ — Ρόςα μετάλλια κζρδιςαν διάφορεσ χϊρεσ ςτουσ τελευταίουσ Ολυμπιακοφσ αγϊνεσ; Ρόςεσ χϊρεσ κζρδιςαν χάλκινα, αςθμζνια, χρυςά μετάλλια; (Γϋ Δθμοτικοφ) — Ροια είναι τα αγαπθμζνα ακλιματα των κοριτςιϊν και των αγοριϊν τθσ τάξθσ τουσ; (Δϋ Δθμοτικοφ) — Ροιεσ είναι οι επιδόςεισ των μακθτϊν τθσ τάξθσ τουσ ςτο αγϊνιςμα του δρόμου; (Εϋ Δθμοτικοφ) — Ροιεσ είναι οι επιδόςεισ των μακθτϊν τθσ Γϋ Δθμοτικοφ και τθσ ΣΤϋ Δθμοτικοφ ςτο αγϊνιςμα του δρόμου; (ΣΤϋ Δθμοτικοφ) Γϋ κφκλοσ — Ρόςεσ χϊρεσ ζλαβαν μζροσ ςτουσ ςφγχρονουσ Ολυμπιακοφσ αγϊνεσ (1896ςιμερα) και πόςεσ κζρδιςαν μετάλλια; (Αϋ Γυμναςίου) — Ροια είναι τα αγαπθμζνα ακλιματα των εφιβων; (Βϋ Γυμναςίου) — Ροιεσ είναι οι επιδόςεισ των εφιβων ακλθτϊν ςτο αγϊνιςμα του μικουσ; (Γϋ Γυμναςίου). Θ κεματικι ενότθτα των Πικανοτιτων αναπτφςςεται ςε δφο τροχιζσ: Πείραμα τφχθσ και Πικανότθτα ενδεχομζνου.  Θ πρϊτθ τροχιά «Πείραμα τφχθσ» αναφζρεται ςτθν πραγματοποίθςθ πειραμάτων που μπορεί να επαναλθφκοφν πολλζσ φορζσ κάτω από τισ ίδιεσ

Γενικό Μζροσ

ςυνκικεσ και των οποίων τα αποτελζςματα δεν είναι προβλζψιμα. Θ εμπλοκι των μακθτϊν ςε πειράματα τφχθσ εξελίςςεται ςταδιακά και περιλαμβάνει: — πραγματοποίθςθ απλϊν πειραμάτων τφχθσ ενόσ ςταδίου (π.χ. ρίψθ ενόσ ηαριοφ) και εφρεςθ του ςυνόλου των δυνατϊν αποτελεςμάτων τουσ (Αϋ κφκλοσ), — πραγματοποίθςθ πολλϊν δοκιμϊν απλϊν πειραμάτων τφχθσ και διερεφνθςθ των αποτελεςμάτων τουσ (Βϋ κφκλοσ, Γϋ Δθμοτικοφ), — πραγματοποίθςθ πειραμάτων τφχθσ δφο ςταδίων (π.χ. ρίψθ δφο ηαριϊν) και εφρεςθ του ςυνόλου των δυνατϊν αποτελεςμάτων τουσ (Βϋ κφκλοσ, ΣΤϋ Δθμοτικοφ), — πραγματοποίθςθ ςφνκετων πειραμάτων τφχθσ (Γϋ κφκλοσ, Αϋ Δθμοτικοφ), — διάκριςθ αςυμβίβαςτων και ανεξάρτθτων ενδεχομζνων (Γϋ κφκλοσ, Γϋ Δθμοτικοφ).  Θ δεφτερθ τροχιά «Πικανότθτα ενδεχομζνου» αφορά ςτον υπολογιςμό τθσ πικανότθτασ ενόσ ενδεχομζνου και αναπτφςςεται ωσ εξισ: — περιγραφι ενόσ ενδεχομζνου ωσ βζβαιο, πικανό, απίκανο, αδφνατο (Αϋ κφκλοσ, Αϋ Δθμοτικοφ), — ςφγκριςθ ενδεχομζνων ωσ προσ τθν πικανότθτα εμφάνιςισ τουσ (λιγότερο πικανό, περιςςότερο πικανό, ιςοπίκανο) (Αϋ κφκλοσ, Βϋ Δθμοτικοφ), — εκτίμθςθ τθσ πικανότθτασ ενόσ γεγονότοσ ςε μθ αρικμθτικι κλίμακα (Βϋ κφκλοσ, Γϋ Δθμοτικοφ), — υπολογιςμόσ τθσ πικανότθτασ ενόσ απλοφ ενδεχομζνου με κλάςματα (Βϋ κφκλοσ, Εϋ Δθμοτικοφ), — υπολογιςμόσ τθσ πικανότθτασ ενόσ ςφνκετου ενδεχομζνου με τον κλαςςικό οριςμό των πικανοτιτων (Γϋ κφκλοσ, Αϋ Δθμοτικοφ), — χριςθ τθσ Βαςικισ Αρχισ Απαρίκμθςθσ και υπολογιςμόσ πικανότθτασ (Γϋ κφκλοσ, Γϋ Δθμοτικοφ). Ραρακάτω, δίνεται ζνα παράδειγμα για τθν τροχιά «Ρικανότθτα ενδεχομζνου» που δείχνει πϊσ μπορεί να εξελιχκεί ςτθν πορεία των τάξεων του Δθμοτικοφ και του Γυμναςίου. Ενδεικτικό παράδειγμα για την τροχιά «Πιθανότητα ενδεχομζνου» Με αφορμι τθ ρίψθ ενόσ ηαριοφ που ζχει 2 πλευρζσ κόκκινεσ, τρεισ μπλε και 1 πράςινθ, ςυηθτοφν ερωτιματα όπωσ: Αϋ κφκλοσ — Είναι πικανό να τφχει μαφρο χρϊμα; (Αϋ Δθμοτικοφ) — Είναι πιο πικανό να τφχει το μπλε ι το κόκκινο χρϊμα; (Βϋ Δθμοτικοφ) Βϋ κφκλοσ — Ρϊσ μποροφν να τοποκετθκοφν ςε μία μθ αρικμθτικι κλίμακα τα ενδεχόμενα: μπλε, πράςινο, κίτρινο χρϊμα; ( Γϋ, Δϋ Δθμοτικοφ) — Ροια είναι θ πικανότθτα να τφχει το κόκκινο χρϊμα; (Εϋ Δθμοτικοφ) — Ροια είναι θ πικανότθτα να τφχει το κόκκινο χρϊμα και ποια είναι θ ςυχνότθτα εμφάνιςθσ του κόκκινου χρϊματοσ ςε 20 ρίψεισ του ηαριοφ; (ΣΤϋ Δθμοτικοφ)

Γενικό Μζροσ

Γϋ κφκλοσ — Ροια είναι θ πικανότθτα, αν ρίξουμε δφο ίδια ηάρια, να τφχει και ςτα δφο ηάρια κόκκινο χρϊμα; ( Αϋ Γυμναςίου) — Ροια είναι θ πικανότθτα, αν ρίξουμε ζξι φορζσ το ηάρι, να τφχει και τισ ζξι φορζσ το μπλε χρϊμα; (Γϋ Γυμναςίου)

Αξιολόγθςθ Οι μορφζσ Αξιολόγθςθσ, οι μζκοδοι, οι τεχνικζσ και τα εργαλεία που προτείνονται ςε αυτι τθν ενότθτα του Οδθγοφ του Εκπαιδευτικοφ ζχουν ςτόχο να υποςτθρίξουν τον εκπαιδευτικό ςτθν εφαρμογι μζςα από τθ διδακτικι πράξθ των βαςικϊν αρχϊν τθσ Αξιολόγθςθσ που αναπτφςςονται ςτο Ρρόγραμμα Σπουδϊν.

Σρία Εργαλεία για τρία επίπεδα αξιολόγθςθσ Θ αξιολόγθςθ εςτιάηεται ςε τρία διαφορετικά επίπεδα και ζχει διαφορετικι μορφι και διαφορετικά εργαλεία ςε κάκε επίπεδο. Το πρϊτο επίπεδο αφορά ςτον ίδιο τον μακθτι και ςτθν επίτευξθ ςυγκεκριμζνων ΡΜΑ. Το μοντζλο που προτείνεται περιλαμβάνει τθν κατάταξθ των ςτρατθγικϊν – προςεγγίςεων που αναπτφςςουν οι μακθτζσ, εργαηόμενοι ςε δραςτθριότθτεσ τελικισ ι διαμορφωτικισ αξιολόγθςθσ. Το δεφτερο επίπεδο εςτιάηεται ςτθ διδακτικι πορεία (διδαςκαλία) και προτείνεται ζνα εργαλείο αυτοαξιολόγθςθσ του εκπαιδευτικοφ. Στo τρίτο επίπεδο δίνεται ζμφαςθ ςτθν εξζλιξθ τθσ κάκε διδακτικισ τροχιάσ και ιδιαίτερα ςτα ςθμεία μετάβαςθσ από τον ζναν κφκλο ςτον επόμενο. Ρροτείνεται θ χριςθ του portfolio του κάκε μακθτι ςε ςυνδυαςμό με μια λίςτα ελζγχου (checklist) των ςθμαντικϊν ςθμείων τθσ τροχιάσ ςε κάκε κφκλο.

Εργαλείο 1 Θ ανάλυςθ και ερμθνεία των απαντιςεων των μακθτϊν ςε κάποια κατάςταςθπρόβλθμα, είτε αυτό αντιμετωπίηεται ςτθ ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ είτε ςε κάποιο γραπτό τεςτ, είναι χριςιμα ςτοιχεία για τον εκπαιδευτικό τθσ τάξθσ προκειμζνου να αντιλθφκεί τισ ςυγκεκριμζνεσ δυςκολίεσ που αντιμετωπίηει ο κάκε μακθτισ και να αποφαςίςει για το είδοσ τθσ διδακτικισ παρζμβαςθσ που κρίνεται απαραίτθτθ. Είναι αναγκαίοσ, λοιπόν, ο εντοπιςμόσ τθσ κφριασ μακθματικισ ιδζασ/ ζννοιασ του προβλιματοσ και θ ταξινόμθςθ των απαντιςεων των μακθτϊν με βάςθ το βακμό επίτευξθσ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ, τθσ πλθρότθτασ ςτθν αντίλθψθ τθσ βαςικισ μακθματικισ ιδζασ/ ζννοιασ και, τζλοσ, τθσ πλθρότθτασ τθσ αιτιολόγθςθσ που αναπτφςςει ο μακθτισ. Στθν κατεφκυνςθ αυτι μπορεί να βοθκιςει το επόμενο εργαλείο αξιολόγθςθσ. Το προτεινόμενο μοντζλο αναπτφςςεται ςε κλίμακα 4 επιπζδων αξιολόγθςθσ των ςτρατθγικϊν – προςεγγίςεων που αναπτφςςουν οι μακθτζσ ςε δραςτθριότθτεσ αξιολόγθςθσ και ςτθρίηεται ςτο μοντζλο ποιοτικισ ανάλυςθσ των απαντιςεων των

Γενικό Μζροσ

μακθτϊν ςε «ανοικτοφ» τφπου δραςτθριότθτεσ του Αναλυτικοφ Ρρογράμματοσ Mathematics in Context (Smith, 2004, p.75)2. Αξιολογικι κλίμακα τελικισ αξιολόγθςθσ 4.

Ρλιρθσ επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Οι ενζργειεσ και οι απαντιςεισ των μακθτϊν φανερϊνουν πλιρθ αντίλθψθ τθσ κεντρικισ μακθματικισ ιδζασ τθσ δραςτθριότθτασ. Θ αιτιολόγθςι τουσ είναι ςαφισ, ολοκλθρωμζνθ και περιλαμβάνει τθ χριςθ γραπτισ, ςυμβολικισ και εικονικισ αναπαράςταςθσ. Μερικι επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Οι ενζργειεσ και οι απαντιςεισ των μακθτϊν φανερϊνουν μερικι αντίλθψθ τθσ κεντρικισ μακθματικισ ιδζασ τθσ δραςτθριότθτασ. Θ αιτιολόγθςι τουσ κρίνεται ελλιπισ μολονότι καταφζρνουν να «επικοινωνοφν» τθν προςζγγιςι που ακολουκείται. Ρεριοριςμζνθ πρόοδο/ επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι ενζργειεσ και οι απαντιςεισ των μακθτϊν φανερϊνουν ελλιπι αντίλθψθ τθσ κεντρικισ μακθματικισ ιδζασ τθσ δραςτθριότθτασ. Θ αιτιολόγθςθ κρίνεται ανεπαρκισ, προβλθματικι και γεμάτθ αςάφειεσ. Ελάχιςτθ ζωσ μθδενικι πρόοδο ςτθν επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι μακθτζσ φαίνεται να αγνοοφν τθν κεντρικι μακθματικι ιδζα τθσ δραςτθριότθτασ, ενϊ αδυνατοφν να αιτιολογιςουν τισ επιλογζσ τουσ.

Θ εφαρμογι του ςυγκεκριμζνου μοντζλου από τουσ εκπαιδευτικοφσ προχποκζτει φυςικά τθν ανάλυςθ τθσ μακθματικισ ιδζασ/ ζννοιασ τθσ δραςτθριότθτασ. Στο παράδειγμα που ακολουκεί, αρχικά γίνεται θ ςφνδεςθ τθσ δραςτθριότθτασ με τουσ ςτόχουσ του Ρρογράμματοσ Σπουδϊν και ακολουκεί θ δραςτθριότθτα. Στθ ςυνζχεια, θ ανάλυςθ και ταξινόμθςθ των πικανϊν ςτρατθγικϊν – προςεγγίςεων ςτθρίηεται ςτθν ανάλυςθ τθσ κεντρικισ ζννοιασ τθσ δραςτθριότθτασ. Παραδείγματα Δραςτηριοτήτων Αξιολόγηςησ: ΢Σϋ Δθμοτικοφ: ΢τροφι Θεματικι ενότθτα: Χϊροσ και Γεωμετρία – Μζτρθςθ

Προςδοκϊμενα Μακθςιακά Αποτελζςματα (ΠΜΑ)

Βαςικά κζματα

Γ10. Περιγράφει ιςοδφναμουσ μεταςχθματιςμοφσ που οδθγοφν ςτθν καταςκευι ίςων ςχθμάτων ςε φυςικό και ψθφιακό περιβάλλον. Γ11. ΢χεδιάηει το ςυμμετρικό απλϊν γεωμετρικϊν ςχθμάτων ωσ προσ τον κατακόρυφο και τον οριηόντιο άξονα ςε τετραγωνιςμζνο καμβά και με τθ χριςθ του γνϊμονα. Γ12. ΢χεδιάηει ςχιματα με κζντρο ςυμμετρίασ για

Μεταςχηματιςμοί και Συμμετρία  Μετατόπιςθ, ςτροφι και ανάκλαςθ  Αξονικι ςυμμετρία  Κεντρικι ςυμμετρία  Επικαλφψεισ επιφανειϊν και

Smith, M. E. (2004). Practices in Transition: A Case Study of Classroom Assessment. In T. A. Romberg (Ed.), Standards-Based Mathematics Assessment in Middle School. Teachers College Press.

Γενικό Μζροσ

διάφορεσ περιςτροφζσ ςε καμβάδεσ και ςε ψθφιακό περιβάλλον. Γ13. Αναγνωρίηει ποια ςχιματα μποροφν να δϊςουν ψθφιδωτά και χρθςιμοποιεί ςτοιχειϊδεισ μεταςχθματιςμοφσ για τθν καταςκευι τουσ.

μοτίβα

Στθ δραςτθριότθτα αυτι κα ςχεδιάςετε/ καταςκευάςετε (περιςτροφζσ) ςτροφζσ του ςχιματοσ Α γφρω από το ςθμείο ΢. 1. Το ςχιμα Α 1 που είναι θ ςτροφι (περιςτροφι) του ςχιματοσ Α κατά 90 ο ςφμφωνα με τθ φορά των δεικτϊν του ρολογιοφ. Σχεδιάςτε και ονομάςτε το ςχιμα Α 1. 2. Το ςχιμα Α 2 που είναι θ ςτροφι (περιςτροφι) του ςχιματοσ Α κατά 180 ο ςφμφωνα με τθ φορά των δεικτϊν του ρολογιοφ. Σχεδιάςτε και ονομάςτε το ςχιμα Α 2. 3. Το ςχιμα Α 3 που είναι θ ςτροφι (περιςτροφι) του ςχιματοσ Α κατά 90 ο αντίςτροφα προσ τθ φορά των δεικτϊν του ρολογιοφ. Σχεδιάςτε και ονομάςτε το ςχιμα Α 3.

Ανάλυςη τησ δραςτηριότητασ – Αξιολόγηςη των απαντήςεων των μαθητϊν Θ κφρια μακθματικι ζννοια τθσ δραςτθριότθτασ αφορά ςτο μεταςχθματιςμό τθσ (περι)ςτροφισ ενόσ μθ κυρτοφ 5-γωνου με ςθμείο περιςτροφισ μια κορυφι του. Ο ςυγκεκριμζνοσ μεταςχθματιςμόσ ανικει ςτθν ομάδα των μεταςχθματιςμϊν που διατθρεί το γεωμετρικό αντικείμενο αναλλοίωτο, δθλαδι διατθρεί τισ ιδιότθτζσ του αμετάβλθτεσ. Ο μεταςχθματιςμόσ τθσ ςτροφισ περιλαμβάνει ζνα αρχικό γεωμετρικό αντικείμενο, μια διαδικαςία μεταςχθματιςμοφ και τθ δθμιουργία ενόσ νζου γεωμετρικοφ αντικειμζνου ίςου με το αρχικό, το οποίο είναι, όμωσ, προϊόν του ςυγκεκριμζνου μεταςχθματιςμοφ. Θ ιςότθτα του τελικοφ αντικειμζνου με το αρχικό δεν αποτελεί μοναδικό κριτιριο, κακϊσ θ διαδικαςία του μεταςχθματιςμοφ απαιτεί τθν φπαρξθ τθσ 1-1 αντιςτοιχίασ των ςθμείων των δφο αντικειμζνων. Οι πικανζσ παρανοιςεισ – ελλείψεισ των μακθτϊν ςχετικά με τθ ςυγκεκριμζνθ μακθματικι ζννοια περιλαμβάνουν είτε τθν ιςότθτα των δφο αντικειμζνων (αρχικό – τελικό) είτε τθν φπαρξθ τθσ 1-1 αντιςτοιχίασ των ςθμείων των δφο αντικειμζνων είτε τθ διαδικαςία του μεταςχθματιςμοφ (φορά περιςτροφισ – γωνία περιςτροφισ – ςθμείο περιςτροφισ). Ζτςι, είναι δυνατόν να ταξινομιςουμε τισ απαντιςεισ – προςεγγίςεισ των μακθτϊν ςφμφωνα με τθν αξιολογικι κλίμακα ςε 4 κατθγορίεσ:

Γενικό Μζροσ

Ρλιρθσ επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Θ απάντθςθ-προςζγγιςθ των μακθτϊν φανερϊνει ολοκλθρωμζνθ αντίλθψθ τθσ ζννοιασ του μεταςχθματιςμοφ τθσ ςτροφισ ενόσ γεωμετρικοφ ςχιματοσ γφρω από ζνα ςθμείο με ςυγκεκριμζνθ φορά και γωνία.

Μερικι επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται τα βαςικά ςθμεία τθσ ζννοιασ του μεταςχθματιςμοφ τθσ περιςτροφισ:  Λςότθτα των δφο ςχθμάτων (αρχικό – τελικό)  1 – 1 αντιςτοιχία των ςθμείων των δφο αντικειμζνων Θ προςζγγιςι τουσ, όμωσ, παρουςιάηει ελλείψεισ ςε ζνα από τα παρακάτω απαραίτθτα ςτοιχεία τθσ διαδικαςίασ του μεταςχθματιςμοφ:

 φορά περιςτροφισ  γωνία περιςτροφισ  ςθμείο περιςτροφισ Ρεριοριςμζνθ πρόοδοσ/ επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι ενζργειεσ και οι απαντιςεισ των μακθτϊν φανερϊνουν ελλιπι αντίλθψθ τθσ μακθματικισ ιδζασ του μεταςχθματιςμοφ τθσ περιςτροφισ (ανιςότθτα των δφο ςχθμάτων ι/ και ζλλειψθ 1-1 αντιςτοιχίασ των ςθμείων τουσ), αν και είναι δυνατόν να ακολουκείται θ εφαρμογι τθσ διαδικαςίασ περιςτροφισ (φορά – γωνία – ςθμείο περιςτροφισ). Ελάχιςτθ ζωσ μθδενικι πρόοδοσ ςτθν επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι μακθτζσ αδυνατοφν να εφαρμόςουν τθ διαδικαςία περιςτροφισ ενόσ ςχιματοσ γφρω από ζνα ςθμείο. Ρικανζσ απαντιςεισ είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν άλλα είδθ μεταςχθματιςμϊν (μεταφορά, ανάκλαςθ) και να δθμιουργιςουν ζνα νζο ςχιμα ίςο με το αρχικό.

Πιθανζσ απαντήςεισ Κατθγορία 4

Κατθγορία 3 Σθμείο περιςτροφισ

Φορά περιςτροφισ

Γενικό Μζροσ

Κατθγορία 2 Λςότθτα ςχθμάτων

1-1 αντιςτοιχία

Κατθγορία 1 Μεταφορά

Συμμετρία

΢τϋ Σάξθ: «Λιγότερα λιπαρά» (ΑρΔ21, ΠΜΑ: Αρ4, Αρ8) Αυτι θ δραςτθριότθτα κα μποροφςε να χρθςιμοποιθκεί ωσ δραςτθριότθτα τελικισ αξιολόγθςθσ. Θ κφρια μακθματικι ζννοια τθσ δραςτθριότθτασ αφορά ςτθν ζννοια των ποςοςτϊν. Συγκεκριμζνα, οι μακθτζσ καλοφνται να αντιλθφκοφν ότι τα δφο διαφορετικά ποςοςτά που περιλαμβάνει θ δραςτθριότθτα είναι ποςοςτά δφο διαφορετικϊν ποςοτιτων. Τα ποςοςτά, ςε αντίκεςθ με τα κλάςματα και τουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ, δεν αναφζρονται ςε μονάδεσ μζτρθςθσ, αλλά ςτο μζροσ μιασ ολόκλθρθσ ποςότθτασ. Επιπλζον, θ απόλυτθ ςφγκριςθ των ποςοςτϊν είναι δυνατι μζςω τθσ πρόςκεςθσ και τθσ αφαίρεςθσ, αλλά θ ςχετικι ςφγκριςι τουσ γίνεται μζςω του πολλαπλαςιαςμοφ και τθσ διαίρεςθσ. Θ ςυγκεκριμζνθ δραςτθριότθτα περιλαμβάνει και τα δφο είδθ ςφγκριςθσ ποςοςτϊν. Το ελαφρφ γάλα περιζχει 2% λιπαρά, μια ποςότθτα που είναι κατά 38% λιγότερθ από εκείνθ των λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα. Επομζνωσ, οι μακθτζσ κα πρζπει να καταλιξουν ςτο

Γενικό Μζροσ

ςυμπζραςμα ότι θ ποςότθτα των λιπαρϊν ςτο ελαφρφ γάλα, δθλαδι το 2%, ιςοδυναμεί με το 62% (100% – 38%) τθσ ποςότθτασ των λιπαρϊν ςτο πλιρεσ. Στθ ςυνζχεια, μζςω τθσ ςχετικισ ςφγκριςθσ του 2% και του 62%, οι μακθτζσ κα υπολογίςουν μζςω διαίρεςθσ/ πολλαπλαςιαςμοφ το ηθτοφμενο ςυνολικό ποςοςτό λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα. Μια πικανι παρανόθςθ των μακθτϊν ςε ςχζςθ με τθ ςυγκεκριμζνθ περίπτωςθ των ποςοςτϊν περιλαμβάνει τθ κεϊρθςθ ότι τα δφο ποςοςτά που δίνονται αναφζρονται ςτθν ίδια ποςότθτα. Άλλθ παρανόθςθ είναι δυνατόν να αφορά τθν ερμθνεία τθσ ζκφραςθσ «… 38% λιγότερα λιπαρά…» και τθν ταφτιςι τθσ με τθν ζκφραςθ «… 38% των λιπαρϊν». Τζλοσ, είναι πικανόν οι μακθτζσ να δυςκολευτοφν ςτον υπολογιςμό τθσ ςχετικισ ςφγκριςθσ των ποςοςτϊν 2% και 62% και να διαιρζςουν, για παράδειγμα, το 62 με το 2. Ζτςι, θ ταξινόμθςθ των πικανϊν ςτρατθγικϊν των μακθτϊν με βάςθ τθν αξιολογικι κλίμακα ζχει ωσ εξισ: 4.

Ρλιρθσ επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Θ απάντθςθ- προςζγγιςθ των μακθτϊν φανερϊνει ολοκλθρωμζνθ αντίλθψθ τθσ ζννοιασ των ποςοςτϊν και του τρόπου αξιοποίθςθσ τθσ ςχζςθσ των ποςοςτϊν για τον υπολογιςμό του ηθτοφμενου. Συγκεκριμζνα, οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται τισ δφο διαφορετικζσ ςυγκρίςεισ ποςοςτϊν που περιλαμβάνει θ δραςτθριότθτα. Υπολογίηουν το ποςοςτό των λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα και ιςοφται με το ςυνολικό ποςοςτό λιπαρϊν που περιζχει το ελαφρφ γάλα και, τζλοσ, ςυγκρίνουν το 62% με το 2% προκειμζνου να υπολογίςουν το ςυνολικό ποςοςτό των λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα.

Μερικι επίτευξθ του ςτόχου τθσ δραςτθριότθτασ. Οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται τα βαςικά ςθμεία τθσ ζννοιασ των ποςοςτϊν που εμπεριζχονται ςτθ δραςτθριότθτα, αλλά παρατθροφνται λανκαςμζνεσ ςτρατθγικζσ υπολογιςμοφ. Συγκεκριμζνα, οι ςτρατθγικζσ τουσ φανερϊνουν ότι κατανοοφν ότι τα ποςοςτά αναφζρονται ςε διαφορετικζσ ποςότθτεσ και υπολογίηουν ποιο ποςοςτό λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα ιςοφται με το ςυνολικό ποςοςτό λιπαρϊν που περιζχει το ελαφρφ γάλα, αλλά ςτθν προςπάκειά τουσ να υπολογίςουν το ςυνολικό ποςοςτό λιπαρϊν που περιζχει το πλιρεσ γάλα αδυνατοφν να αντιλθφκοφν ποιο είναι το μζροσ και ποιο το όλο και, πικανότατα, διαιροφν το 62% με το 2% ι το 62 με το 2.

Ρεριοριςμζνθ πρόοδοσ/ επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι ενζργειεσ και οι απαντιςεισ των μακθτϊν φανερϊνουν ελλιπι αντίλθψθ τθσ μακθματικισ ιδζασ των ποςοςτϊν που περιζχει θ δραςτθριότθτα. Συγκεκριμζνα, οι μακθτζσ, μολονότι αντιλαμβάνονται ότι τα ποςοςτά αναφζρονται ςε δφο διαφορετικζσ ποςότθτεσ, αδυνατοφν να κάνουν τισ ςυγκρίςεισ είτε γιατί ςτθν πρϊτθ ςφγκριςθ παρερμθνεφουν το «38% λιγότερα» και κεωροφν ότι το 2% του ελαφροφ γάλακτοσ ιςοφται με το 38% του πλιρουσ είτε γιατί ςτθ δεφτερθ ςφγκριςθ κεωροφν ότι το 100% των λιπαρϊν του πλιρουσ ιςοφται με το 2% των λιπαρϊν του ελαφροφ γάλακτοσ και προςπακοφν να υπολογίςουν το ποςοςτό που ιςοφται με το 38% ι το 62%.

Γενικό Μζροσ

Ελάχιςτθ ζωσ μθδενικι πρόοδοσ ςτθν επίτευξθ τθσ δραςτθριότθτασ. Οι μακθτζσ αδυνατοφν να κατανοιςουν ότι τα ποςοςτά αναφζρονται ςε δφο διαφορετικζσ ποςότθτεσ. Ρικανζσ απαντιςεισ είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν αρικμθτικζσ πράξεισ (προςκζςεισ, αφαιρζςεισ, πολλαπλαςιαςμοφσ και διαιρζςεισ) με τουσ αρικμοφσ 62, 38 και 2.

Εργαλείο 2 Σε ζνα δεφτερο επίπεδο αξιολόγθςθσ εςτιάηουμε ςτθ διδακτικι πορεία (διδαςκαλία) και προτείνουμε ζνα είδοσ αυτοαξιολόγθςθσ του εκπαιδευτικοφ με τθ βοικεια ενόσ εργαλείου «αναςτοχαςμοφ». Αυτό το εργαλείο μπορεί να δϊςει άμεςα πλθροφορίεσ ςτον εκπαιδευτικό ςχετικά με το αν θ διδακτικι πρακτικι του ςτοχεφει ςτθν ανάπτυξθ τόςο των βαςικϊν μακθματικϊν δεξιοτιτων, όπωσ: 

θ ικανότθτα αποτελεςματικισ χριςθσ εργαλείων,



θ ικανότθτα αλλθλεπίδραςθσ και ςυνεργαςίασ ςε ετερογενείσ ομάδεσ,



θ ικανότθτα αυτόνομθσ και υπεφκυνθσ λειτουργίασ,

και τθσ μακθματικισ (δθμιουργικισ, αναςτοχαςτικισ, κριτικισ) ςκζψθσ, όςο και ςτθν ανάπτυξθ των ιδιαίτερων μακθματικϊν διεργαςιϊν που προτείνονται ςτο Ρρόγραμμα Σπουδϊν: 

διεργαςία ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ,



διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων,



διεργαςία επικοινωνίασ,



διεργαςία επιλογισ και χριςθσ εργαλείων,



διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ.

Ωσ εργαλείο για τθν αξιολόγθςθ του δεφτερου αυτοφ επιπζδου προτείνεται μια εςχάρα αξιολόγθςθσ, το Εργαλείο 2. Αυτοαξιολόγθςθ 4

Πλιρθσ επίτευξθ

Μερικι επίτευξθ

Περιοριςμζνθ επίτευξθ

Ελάχιςτθ επίτευξθ

Χαρακτθριςτικά διδαςκαλίασ 1. Είναι εμφανισ θ ςφνδεςθ μεταξφ των μακθςιακϊν δραςτθριοτιτων και των διδακτικϊν ςτόχων; 2. Το μακθματικό περιεχόμενο είναι ςθμαντικό και περιγράφεται με ακρίβεια; 3. Δθμιουργείται ζνα περιβάλλον πρόκλθςθσ και εμπλοκισ των μακθτϊν για μάκθςθ;

4 |3| 2 | 1

Παρατθριςεισ / Βελτιϊςεισ

Γενικό Μζροσ

4. Ρεριλαμβάνονται δραςτθριότθτεσ που απαιτοφν διαδικαςίεσ πειραματιςμοφ, διερεφνθςθσ, διατφπωςθσ και ελζγχου υποκζςεων; 5. Δίνεται ζμφαςθ ςτθ διερεφνθςθ φαινομζνων, ςτθ διατφπωςθ και ςτον ζλεγχο υποκζςεων, αλλά και ςτθ ςυγκρότθςθ τεκμθριωμζνων επιχειρθμάτων; 6. Ραρζχονται ευκαιρίεσ ςτουσ μακθτζσ για να δθμιουργοφν ςυνδζςεισ μεταξφ των μακθματικϊν, μζςα ςτα μακθματικά και μεταξφ των μακθματικϊν και άλλων επιςτθμονικϊν περιοχϊν και του πραγματικοφ κόςμου. 7. Αξιοποιοφνται κατάλλθλα χειραπτικά και ψθφιακά εργαλεία, προκειμζνου να εκτελοφν οι μακθτζσ ςυγκεκριμζνεσ μακθματικζσ δράςεισ, να διερευνοφν μακθματικζσ ιδζεσ και να επιλφουν προβλιματα 8. Αξιολογείται θ επίτευξθ των διδακτικϊν ςτόχων; 9.

Αξιολογείται το ςφνολο των μακθτϊν;

10. Ραρζχονται ευκαιρίεσ για εμβάκυνςθ; ΢θμείωςθ: Κάκε χαρακτθριςτικό που ζχει ςκορ κάτω από 3 είναι υποψιφιο για βελτίωςθ και κα πρζπει να μελετθκεί με προςοχι.

΢φνολο: 40

Εργαλείο 3 Στο τρίτο επίπεδο αξιολόγθςθσ εςτιάηουμε ςτθν εξζλιξθ/ πορεία τθσ διδακτικισ τροχιάσ και ιδιαίτερα ςτα ςθμεία μετάβαςθσ από τον ζναν κφκλο ςτον επόμενο ι από τθ μια τάξθ ςτθν επόμενθ. Τα ςθμεία/κόμβοι τθσ κάκε τροχιάσ όπου κα πρζπει ο εκπαιδευτικόσ να αξιολογιςει τθν επίτευξθ ενόσ ςυνόλου ΡΜΑ ςτα οποία βαςίηεται θ εξζλιξθ τθσ τροχιάσ. Επιπλζον, κα πρζπει να γνωρίηει ο εκπαιδευτικόσ το βακμό επίτευξθσ των ΡΜΑ. Σε αυτό το επίπεδο, τα εργαλεία αξιολόγθςθσ κα μποροφςαν να αποτελζςουν το portfolio του κάκε μακθτι και, επιπλζον, δραςτθριότθτεσ τελικισ αξιολόγθςθσ (Εργαλείο 1) ςε ςυνδυαςμό με μια λίςτα

Γενικό Μζροσ

ελζγχου (checklist) των ςθμαντικϊν ςθμείων τθσ τροχιάσ ςε κάκε κφκλο/ τάξθ. Αυτοφ του είδουσ θ αξιολόγθςθ κα μποροφςε να χρθςιμοποιθκεί και για τθν αξιολόγθςθ του Ρρογράμματοσ Σπουδϊν προκειμζνου να ζχουμε μια εικόνα για το βακμό επίτευξθσ των ΡΜΑ που ζχουν τεκεί.

Αρ1. Διαβάηουν, γράφουν και αναγνωρίηουν αρικμοφσ ςε μια ποικιλία από πλαίςια. Αρ2. Διερευνοφν τθ ςχζςθ μεταξφ ενόσ ψθφίου και τθσ αξίασ του. Αρ3. Αναλφουν και ςυνκζτουν φυςικοφσ αρικμοφσ με διαφορετικοφσ τρόπουσ. Αρ4. Διερευνοφν τθ ςχζςθ των φυςικϊν αρικμϊν με τουσ κλαςματικοφσ και τουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ. Αρ5. Αναγνωρίηουν και αναπαριςτοφν με διαφορετικοφσ τρόπουσ καταςτάςεισ πρόςκεςθσ, αφαίρεςθσ, πολλαπλαςιαςμοφ και (τζλειασ και ατελοφσ) διαίρεςθσ. Αρ6. Εκτιμοφν και υπολογίηουν το αποτζλεςμα αρικμθτικϊν παραςτάςεων που περιλαμβάνουν και τισ τζςςερισ πράξεισ, ςυνειδθτοποιϊντασ το ρόλο τθσ παρζνκεςθσ. Αρ7. Αναγνωρίηουν, διατυπϊνουν και εφαρμόηουν ςτρατθγικζσ νοερϊν υπολογιςμϊν των τεςςάρων πράξεων (διαίρεςθ: τζλεια, με μονοψιφιο διαιρζτθ). Αρ8. Αναπτφςςουν και αξιοποιοφν διαδικαςίεσ εκτζλεςθσ/ αλγορίκμουσ των τεςςάρων πράξεων, χρθςιμοποιϊντασ διάφορεσ ςτρατθγικζσ, μζςα (ανάμεςα ςτα οποία και αρικμομθχανι) και αναπαραςτάςεισ. Αρ9. Αναπτφςςουν ςτρατθγικζσ επίλυςθσ προβλθμάτων και μοντελοποίθςθσ/ αναπαράςταςθσ καταςτάςεων για να τισ τεκμθριϊςουν και να τισ κοινοποιιςουν. Αρ10. Διερευνοφν τον αλγόρικμο τθσ Ευκλείδειασ διαίρεςθσ δφο φυςικϊν αρικμϊν και τον χρθςιμοποιοφν για να κάνουν τθ δοκιμι τθσ διαίρεςθσ. Αρ11. Διατυπϊνουν, αιτιολογοφν και εφαρμόηουν τα κριτιρια διαιρετότθτασ των 2,3, 4, 5, 8, 9, 10 και 25.

Ελάχιςτθ

Περιοριςμζνθ

Μερικι

ΠΜΑ

Επίτευξθ Ικανοποιθτικι

Εϋ Δθμοτικοφ / Φυςικοί αρικμοί

Γενικό Μζροσ

Εφαρμόηοντασ εναλλακτικζσ μεκόδουσ και τεχνικζσ αξιολόγθςθσ Οι εναλλακτικζσ μορφζσ και τεχνικζσ αξιολόγθςθσ αφοροφν κυρίωσ ςτθ διαμορφωτικι αξιολόγθςθ, αξιοποιοφνται, δθλαδι, από τον εκπαιδευτικό και τον μακθτι για ανατροφοδότθςθ τθσ διδακτικισ και μακθςιακισ διαδικαςίασ. Κάτω όμωσ από οριςμζνεσ ςυνκικεσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν και για τελικι αξιολόγθςθ, όπωσ, για παράδειγμα, το πορτφόλιο προσ το τζλοσ ενόσ ςχολικοφ ζτουσ.

Σο πορτφόλιο (χαρτοφυλάκιο) Τα πορτφόλιο, ωσ ςυλλογζσ ζργων και εργαςιϊν των μακθτϊν, μποροφν να ςχεδιαςτοφν με τζτοιο τρόπο ϊςτε να είναι αντιπροςωπευτικά των μακθςιακϊν εμπειριϊν των μακθτϊν. Θ καλι χριςθ των πορτφόλιο προχποκζτει:  Οι μακθτζσ να ζχουν τθν ευκαιρία να οργανϊνουν το πορτφόλιο τουσ μόνοι τουσ. Αυτό ςτισ μικρζσ θλικίεσ είναι δφςκολο. Κα χρειαςτεί ο εκπαιδευτικόσ να βοθκιςει τουσ μακθτζσ περιςςότερο ι λιγότερο, να δϊςει κάποιεσ γενικζσ και ειδικζσ –ανά περίπτωςθ μακθτι- οδθγίεσ.  Οι μακθτζσ να τροφοδοτοφν το πορτφόλιο με υλικό τακτικά. Μπορεί να επιλζγουν να βάηουν κάκε εργαςία ι μερικζσ από τισ εργαςίεσ τουσ.  Οι εργαςίεσ που επιλζγονται να είναι διαφορετικζσ ωσ προσ το είδοσ, να ζχουν μια ποικιλία, να παρζχουν πλθροφορίεσ για μια ολοκλθρωμζνθ κατά το δυνατόν εικόνα του κάκε μακθτι. Δθλαδι, οι εργαςίεσ που ο κάκε μακθτισ επιλζγει για να αντιπροςωπεφςει τθ δουλειά του ςτα μακθματικά να δίνουν ςτον εκπαιδευτικό που αξιολογεί το φάκελο μια εικόνα για τον τρόπο με τον οποίο ο κάκε μακθτισ ερμθνεφει τθ δουλειά του, για τισ διακζςεισ του απζναντι ςτα μακθματικά, για το βακμό κατανόθςθσ ςυγκεκριμζνων εννοιϊν και διαδικαςιϊν. ΢θμείωςθ 1: Επειδι το πορτφόλιο εμπλουτίηεται με εργαςίεσ κατά τθ διάρκεια μιασ ολόκλθρθσ χρονιάσ – πικανόν και περιςςότερων χρόνων, πλθρουμζνων κάποιων ςυνκθκϊν - επιτρζπει ςτον εκπαιδευτικό, αλλά και ςτο μεγαλφτερο μακθτι – από Στ Δθμοτικοφ και πάνω - να εξάγει κάποια ςυμπεράςματα για τα μακθςιακά του πρότυπα, τουσ τρόπουσ, δθλαδι, με τουσ οποίουσ μακαίνει ευκολότερα και ‘προςφορότερα’ για τον ίδιο. ΢θμείωςθ 2: Το πορτφόλιο μπορεί να τθρείται και θλεκτρονικά ςτον υπολογιςτι τθσ τάξθσ ι ςτον υπολογιςτι του εργαςτθρίου Θ/Υ του ςχολείου και να περιλαμβάνει τόςο τισ θλεκτρονικά εκπονθμζνεσ εργαςίεσ όςο και τισ υπόλοιπεσ ςκαναριςμζνεσ. Παραδείγματα εργαςιϊν που μπορεί να περιλαμβάνει το πορτφόλιο Γεωμετρία: Η τροχιά Γεωμετρικά ΢χιματα  Αρχικά ςχζδια και αναγνϊριςθ κακοριςμζνων ςχθμάτων (τετράπλευρο, πεντάπλευρο, κ.λπ.) από τθν περίοδο που οι μακθτζσ ειςάγονται ςτθν ζννοια του ςχιματοσ (αρχι του πρϊτου θλικιακοφ κφκλου – Νθπιαγωγείο, Αϋ Δθμοτικοφ).

Γενικό Μζροσ

 Σχζδια και αναγνϊριςθ ςχθμάτων από τθν περίοδο που οι μακθτζσ μελετοφν ςε μεγαλφτερο βάκοσ τθν ζννοια του ςχιματοσ (Αϋ Δθμοτικοφ – Βϋ Δθμοτικοφ). Ραράδειγμα: εκτυπϊνεται θ ςελίδα με τα ςχιματα που οι μακθτζσ καταςκευάηουν ςτο πλαίςιο τθσ δραςτθριότθτασ «Γραμμζσ και ςχιματα» http://www.pi-schools.gr/software/dimotiko/ (ΡΣ, ς. 70-71).  Καταςκευζσ με ςυνδυαςμοφσ ςχθμάτων ςτο επίπεδο, όπωσ, για παράδειγμα, θ ΓΔ6 (ΡΣ, ς. 96).  Ομαδοποίθςθ επίπεδων και ςτερεϊν ςχθμάτων με βάςθ χαρακτθριςτικά ιδιότθτεσ που ορίηει ο μακθτισ.  Τελικά ςχζδια και καταςκευζσ που προτείνει ο εκπαιδευτικόσ με βάςθ τισ ιδιότθτεσ επίπεδων και ςτερεϊν ςχθμάτων που ζχουν μελετθκεί ςτθν τάξθ με χριςθ εμπράγματου υλικοφ και οργάνων, ςτο τζλοσ τθσ διδαςκαλίασ τθσ τροχιάσ Γεωμετρικά ςχιματα για τον 1ο θλικιακό κφκλο (τζλοσ τθσ Β Δθμοτικοφ). Συνεχίηοντασ ςτο 2ο θλικιακό κφκλο, από τθ Γ Δθμοτικοφ μποροφν να προςτίκενται και νζεσ εργαςίεσ ςε ςυνζχεια τθσ ίδιασ τροχιάσ, όπωσ για παράδειγμα:  Σχζδια επίπεδων γεωμετρικϊν ςχθμάτων πάνω ςε διάφορουσ καμβάδεσ, κ.λπ.

Θμερολόγια Τα θμερολόγια είναι ζνα καλό εργαλείο για να αξιολογιςει ο εκπαιδευτικόσ ι και ο ίδιοσ ο μακθτισ δεξιότθτεσ επικοινωνίασ. Επιπλζον, αποτελοφν ζνα ακόμθ μονοπάτι για τθν αξιολόγθςθ των ςκζψεων μζςα από τα γραπτά κείμενα των μακθτϊν ςχετικά με τισ ικανότθτζσ τουσ να επικοινωνοφν μακθματικά, τισ ςυμπεριφορζσ και τισ διακζςεισ τουσ απζναντι ςτα μακθματικά. Για να μπορεί αυτό το εργαλείο να χρθςιμοποιθκεί ουςιαςτικά από τθν πλευρά των μακθτϊν, ο εκπαιδευτικόσ χρειάηεται:  να ςυηθτιςει με τουσ μακθτζσ του και να μοιραςτεί μαηί τουσ ςκοποφσ και τα πλεονεκτιματα τθσ τιρθςθσ θμερολογίου,  να φροντίηει ϊςτε οι μακθτζσ να τθροφν ςυμβατικό ι θλεκτρονικό θμερολόγιο με τακτικζσ θμερολογιακά καταχωρθμζνεσ ςθμειϊςεισ ϊςτε να μπορεί να ανατρζχει ςτισ περαςμζνεσ ςθμειϊςεισ με άνεςθ,  να δθμιουργεί ευκαιρίεσ ςυηιτθςθσ μεταξφ των μακθτϊν βαςιςμζνεσ ςτισ ςθμειϊςεισ τουσ και να ενκαρρφνει τθν ανταλλαγι ιδεϊν που ζχουν αναπτφξει ςε αυτζσ,  να ανατροφοδοτεί τα θμερολόγια των μακθτϊν του με δικζσ του ςκζψεισ. Παράδειγμα τήρηςησ ημερολογίου για την ΑΔ1, Γϋ Γυμναςίου, ΠΣ ς.257 Οι μακθτζσ επιλζγουν να τθριςουν ζνα θμερολόγιο των ενεργειϊν και των ςκζψεϊν τουσ για τθ ςυγκεκριμζνθ δραςτθριότθτα. Ζχουν δίπλα ςτον υπολογιςτι που εργάηονται ζνα ζντυπο θμερολόγιο ι κρατοφν ςθμειϊςεισ θλεκτρονικά ςε αρχείο ςτον υπολογιςτι παράλλθλα με τθ δουλειά τουσ ςτο Geogebra. Οι ςθμειϊςεισ μποροφν να αναφζρονται ςτα παρακάτω:

Γενικό Μζροσ



Τοποκετοφν το πρόβλθμα που πρόκειται να λφςουν ςτθν αντίςτοιχθ μακθματικι περιοχι (κανονικότθτεσ-ςυναρτιςεισ,...), προςδιορίηουν το είδοσ του προβλιματοσ (είναι μια διερευνθτικι διαδικαςία που...), προςδιορίηουν τι πρόκειται να διερευνιςουν.  Εκφράηουν γραπτά τα ςυναιςκιματά τουσ για το πρόβλθμα (αιςκάνονται ότι μποροφν να το λφςουν, φαίνεται ενδιαφζρον γιατί..., πικανόν να ςυναντιςουν δυςκολίεσ γιατί...)  Εκπονοφν ζνα διάγραμμα των ενεργειϊν που κα ακολουκιςουν για να απαντιςουν ςτο πρϊτο ερϊτθμα (1ο βιμα:... 2ο βιμα:... κ.λπ.). Αργότερα, επανζρχονται ςτο θμερολόγιο για το διάγραμμα των ενεργειϊν προκειμζνου να απαντθκεί ζνα δεφτερο ερϊτθμα κοκ.  Καταγράφουν εικαςίεσ για τθ μεταβολι τθσ γραφικισ παράςταςθσ προςπακϊντασ να τισ αιτιολογιςουν με βάςθ προθγοφμενεσ εμπειρίεσ. Μετά τθν εκτζλεςθ του προγράμματοσ επιςτρζφουν και ςυμπλθρϊνουν ςτο θμερολόγιό τουσ:  ποιεσ από τισ εικαςίεσ τουσ επιβεβαιϊκθκαν και ποιεσ όχι, αιτιολογϊντασ και αναπτφςςοντασ επιχειριματα για τα ευριματά τουσ,  ςχετικά με ποιεσ ςυγκεκριμζνεσ ζννοιεσ και ιδιότθτεσ που αφοροφν ςτθ ςυνάρτθςθ y = αx2 διευρφνκθκαν οι γνϊςεισ τουσ και οι δεξιότθτζσ τουσ,  ςκζψεισ που ζκαναν ςχετικά με τθν επίλυςθ του ςυγκεκριμζνου προβλιματοσ. Οι ςυηθτιςεισ που λαμβάνουν χϊρα μεταξφ των μακθτϊν και του εκπαιδευτικοφ μποροφν να εςτιάηουν: α) ςτουσ διαφορετικοφσ τρόπουσ ςχεδιαςμοφ των ενεργειϊν από τουσ μακθτζσ, β) ςτισ διαφορετικζσ γραφικζσ παραςτάςεισ που προζκυψαν από τισ τιμζσ ςτο x και το α που ζκεςαν οι μακθτζσ κατά τθ διερεφνθςι τουσ και τισ ςχζςεισ μεταξφ των γραφικϊν παραςτάςεων, γ) ςε επιπλζον λφςεισ που πικανόν δεν προβλζφτθκαν από τουσ μακθτζσ και προτείνει ο εκπαιδευτικόσ, δ) ςτθν εγκυρότθτα των λφςεων εφόςον τίκεται τζτοιο κζμα, ε) ςτθ δθμιουργία μιασ λίςτασ των διδακτικϊν εργαλείων και των ςτρατθγικϊν που χρθςιμοποιικθκαν για τθν επίλυςθ του προβλιματοσ. Θ ανατροφοδότθςθ του εκπαιδευτικοφ μπορεί να αναφζρεται ςε ηθτιματα, όπωσ:  χριςθ από τον μακθτι τθσ κατάλλθλθσ μακθματικισ γλϊςςασ και ορολογίασ (μθ γραμμικι ςυνάρτθςθ, ο ρόλοσ τθσ μεταβλθτισ α, μεταβολι του ψ, μοναδιαία μεταβολι του x κ.λπ.),  κατανόθςθ των ηθτοφμενων του προβλιματοσ από τον μακθτι,  βακμόσ ςυνειδθτοποίθςθσ των ενεργειϊν από τον μακθτι μζςα από τθν εκπόνθςθ του διαγράμματοσ των ενεργειϊν,  αιτιολογιςεισ-ανάπτυξθ επιχειρθματολογίασ από τον μακθτι.

Γενικό Μζροσ

΢υνεντεφξεισ Οι ςυνεντεφξεισ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν από τον εκπαιδευτικό για να αξιολογιςει τθ γνωςτικι και ςυναιςκθματικι ανάπτυξθ των μακθτϊν μζςω μιασ ποικιλίασ ςτρατθγικϊν: 

Επεξιγθςθ: οι μακθτζσ παρουςιάηουν ςε ςυμμακθτζσ τουσ αναπαραςτάςεισ μακθματικϊν εννοιϊν χρθςιμοποιϊντασ κατάλλθλθ μακθματικι γλϊςςα.  Ανακατεφκυνςθ: οι μακθτζσ απαντοφν ςε εκμαιευτικζσ ερωτιςεισ που τουσ οδθγοφν ςε πιο ςφνκετεσ μακθματικζσ ζννοιεσ και ιδζεσ.  Επιμεριςμόσ: οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν παραδείγματα για να εξθγιςουν αλγορίκμουσ και διαδικαςίεσ.  Εφαρμογι: οι μακθτζσ εφαρμόηουν τθ γνϊςθ τουσ. Παράδειγμα ςυνζντευξησ για τη θεςιακή αξία των ψηφίων (Αριθμοί, Βϋ Δημοτικοφ)  Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν διάφορεσ εκφράςεισ για ζνα δοςμζνο αρικμό. Για παράδειγμα, ο 145: 145 μονάδεσ, 14 δεκάδεσ και 5 μονάδεσ, 1 εκατοντάδα, 4 δεκάδεσ και 5 μονάδεσ, 10 δεκάδεσ και 45 μονάδεσ,...). Οι μακθτζσ ζχουν τθ δυνατότθτα να χρθςιμοποιιςουν χειραπτικό υλικό ι άλλο τρόπο για να αναπαραςτιςουν τισ διαφορετικζσ εκφράςεισ που ςκζφτθκαν.  Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να κάνουν το ίδιο για τον αρικμό 104, κακοδθγϊντασ τουσ με κατάλλθλεσ ερωτιςεισ να κατανοιςουν τθν αξία του 0 ςτον αρικμό 104.  Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να εξθγιςουν τισ διαδικαςίεσ που ακολοφκθςαν για να βρουν τον αρικμό που λείπει (ςυμπλιρωμα) ςτθν παρακάτω αρικμθτικι πρόταςθ: 26+__ = 44 Το παρακάτω απόςπαςμα είναι ζνασ διάλογοσ - ςυνζντευξθ μεταξφ τθσ εκπαιδευτικοφ και μιασ μακιτριασ, τθσ Ε, που είχε βάλει 22 ςτθν κενι κζςθ. Θ εκπαιδευτικόσ ηιτθςε από τθν Ε να πει πϊσ ςκζφτθκε: Ε: Από το 20 για να πάω ςτο 40 (ζβαλα) 20, από τα 6 ςτα 4 (ζβαλα) 2, άρα, ςφνολο 22. Δ.: Δθλαδι, Ε, 26+22 μασ κάνει 44; Θ Ε κάνει τθν πρόςκεςθ οριηόντια 26+22=48. Ε: Πχι, κάνει 48. Κάτι ζκανα λάκοσ…. Θ εκπαιδευτικόσ φζρνει τον άβακα. Δ.: Κζλεισ να ξανακάνουμε τθν πράξθ με τον άβακα; Ε: Ναι! Δ: Δείξε μου ςτον άβακα το 26. Θ Ε βάηει 2 Δ (εκάδεσ) και 6 Μ (ονάδεσ). Δ: Ρόςα κζλεισ τϊρα; Ε: Άλλα 20, δθλ. 2 Δ.

Γενικό Μζροσ

Δ: Ρόςα ζχεισ τϊρα; Ε: (μετράει) 46. Κα βγάλω 2 Μ για να γίνουν 44. Δ: Κυμάςαι τι ζκανεσ από τθν αρχι; Ε: Ζβαλα 20 και ζβγαλα 2. Δ: Δθλαδι, πόςα ζβαλεσ; Ε: 20-2=18.  Οι μακθτζσ καταςκευάηουν ζνα μθ τετριμμζνο, αλλά ρεαλιςτικό, λεκτικό πρόβλθμα χρθςιμοποιϊντασ τουσ παραπάνω αρικμοφσ που να λφνεται με τθ ςυγκεκριμζνθ μακθματικι ιςότθτα. Ανταλλάςςουν τα προβλιματά τουσ και τα λφνουν.

Παρατιρθςθ Θ παρατιρθςθ είναι ζνα ςπουδαίο εργαλείο που ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να χρθςιμοποιιςει για να αξιολογιςει τουσ μακθτζσ του ςτθν τάξθ τθν ϊρα που δρουν. Ωςτόςο, θ ςυλλογι και διαχείριςθ των πλθροφοριϊν που αποκομίηει ο εκπαιδευτικόσ με τθν παρατιρθςθ ςυνιςτά μια δφςκολθ και χρονοβόρα διαδικαςία. Οι παρακάτω υποδείξεισ μπορεί να φανοφν χριςιμεσ ϊςτε ο εκπαιδευτικόσ να μθν ‘χακεί’ ςτα δεδομζνα:  Ο εκπαιδευτικόσ παρατθρεί ζχοντασ ςτο μυαλό του κάποιο ςτόχο. Ζτςι, περιορίηει τον αρικμό και το εφροσ των πλθροφοριϊν από τθν παρατιρθςθ. Θ παρατιρθςθ παρζχει ςτον εκπαιδευτικό τθν ευκαιρία να αξιολογιςει τισ ικανότθτεσ των μακθτϊν ςτο να επικοινωνοφν μεταξφ τουσ μακθματικά, να εφαρμόηουν μακθματικζσ ζννοιεσ και δεξιότθτεσ, να επιλφουν προβλιματα, να ςυνεργάηονται με άλλουσ ςυμμακθτζσ τουσ και με τον εκπαιδευτικό.  Δεν ζχουν όλα τα παιδιά τθν ίδια ανάγκθ παρατιρθςθσ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ορίςει ςυγκεκριμζνο χρόνο που κα παρατθριςει ζναν μακθτι ϊςτε να επικεντρϊςει τθν προςοχι του ςε αυτόν.  Ο εκπαιδευτικόσ προςπακεί να μθν ενοχλεί τουσ μακθτζσ όταν εργάηονται προςθλωμζνοι. Αναλαμβάνει το ρόλο του ςυμμετζχοντοσ παρατθρθτι που είναι ταυτόχρονα ενεργό μζλοσ τθσ κοινότθτασ μάκθςθσ, αλλά και εξωτερικόσ παρατθρθτισ του περιβάλλοντοσ ςτο οποίο θ μάκθςθ λαμβάνει χϊρα. Μερικά αποτελεςματικά μζςα για τθ ςυλλογι των πλθροφοριϊν από παρατιρθςθ:     

Κάρτεσ ςθμειϊςεων και μολφβι για τθν καταγραφι των παρατθριςεων. Ανάπτυξθ και χριςθ από τον εκπαιδευτικό μια λίςτασ επικυμθτϊν ςυμπεριφορϊν και πράξεων από μζρουσ του μακθτι. Χριςθ ενόσ μαγνθτοφϊνου τςζπθσ για τθ μαγνθτοφϊνθςθ των υπαγορευόμενων παρατθριςεων. Εφρεςθ του κατάλλθλου μζρουσ τθσ τάξθσ από όπου κα γίνουν οι παρατθριςεισ. Χριςθ βιντεοκάμερασ (εάν και εφόςον εξαςφαλιςκεί άδεια και ςυναίνεςθ για τθ χριςθ τθσ) για τθν καταγραφι των παρατθριςεων.

Γενικό Μζροσ



Συηιτθςθ των πλθροφοριϊν από παρατιρθςθ με τουσ μακθτζσ με ςκοπό να διερευνθκοφν τα αίτια πίςω από πράξεισ, ςυμπεριφορζσ και μακθματικι γλϊςςα που χρθςιμοποίθςαν, κακϊσ και οι όποιεσ παρανοιςεισ τουσ ςχετικά με ςυγκεκριμζνεσ μακθματικζσ ζννοιεσ.

Παράδειγμα παρατήρηςησ για τη Μζτρηςη Δϋ Δημοτικοφ (ΜΔ1, ΜΔ2, ΜΔ3)  Χριςθ οργάνων μζτρθςθσ. Για παράδειγμα, ο εκπαιδευτικόσ παρατθρεί πϊσ οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν το χειροποίθτο μοιρογνωμόνιο ςτθ ΜΔ1 για τθ μζτρθςθ τθσ γωνίασ και πϊσ υπολογίηουν το μζτρο τθσ.  Επιλογι κατάλλθλων μονάδων μζτρθςθσ. Για παράδειγμα, ςτθ ΜΔ3 ο εκπαιδευτικόσ παρατθρεί εάν και πϊσ οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται ότι χρειάηεται να χρθςιμοποιθκοφν υποδιαιρζςεισ τθσ μονάδασ μζτρθςθσ επιφάνειασ.  Επιλογι και χριςθ άτυπθσ και τυπικισ κατάλλθλθσ ορολογίασ. Για παράδειγμα, θ γωνία είναι «μικρότερθ από 90º», «οξεία».  Θ παρατιρθςθ του εκπαιδευτικοφ για τισ μετριςεισ των μακθτϊν κατά τθ διεξαγωγι τθσ ΜΔ1 τον οδθγεί ςτο να παρακινιςει τουσ μακθτζσ να παρουςιάςουν ςτουσ ςυμμακθτζσ τουσ τον τρόπο με τον οποίο χρθςιμοποίθςαν το μοιρογνωμόνιο, να ςυγκρίνουν τα αποτελζςματα των μετριςεϊν τουσ και να εξάγουν ςυμπεράςματα.  Επζκταςθ τθσ αποκτθκείςασ εμπειρίασ των μακθτϊν ςτθν επιλογι και χριςθ μονάδων και εφαρμογι δεξιοτιτων μζτρθςθσ ςτθν κακθμερινότθτα. Για παράδειγμα, χριςθ του χειροποίθτου μοιρογνωμονίου ΜΔ1 για τθ μζτρθςθ των γωνιϊν του γνϊμονά τουσ.

Αξιολόγθςθ ςυνκετικισ εργαςίασ Θ αξιολόγθςθ μιασ ςυνκετικισ εργαςίασ εξετάηει το βακμό ανάπτυξθσ των ιδιαίτερων

μακθματικϊν διεργαςιϊν που προτείνονται ςτο Ρρόγραμμα Σπουδϊν. Για το ςκοπό αυτό χρθςιμοποιεί εργαλεία και τεχνικζσ που περιγράφθκαν ςτισ εναλλακτικζσ μεκόδουσ αξιολόγθςθσ. Αξιολόγθςθ ςυνκετικισ εργαςίασ 2 (Αϋ - Βϋ Δθμοτικοφ) «Ο δικόσ μασ κιποσ: παρακολουκϊντασ τθν ανάπτυξθ των φυτϊν ςτθν τάξθ» (Θ εκπαιδευτικόσ υπογραμμίηει ςτον παρακάτω πίνακα αυτζσ τισ προτάςεισ που ταιριάηουν ςε κάκε δυάδα μακθτϊν και ςυμπλθρϊνει δικά τθσ ςχόλια) Ωσ προσ το μαθηματικό περιεχόμενο

Ωσ προσ τη ςυνεργαςία των μαθητϊν μεταξφ τουσ, των μαθητϊν με τον εκπαιδευτικό, όλων ςτην ολομζλεια (επικοινωνία)

Οι μακθτζσ:

 Βακμόσ ςυνεννόθςθσ (υψθλόσ – μζτριοσ – μικρόσ)

Απαρικμοφν ζνα-ζνα, δφο-δφο, τρίατρία, πζντε-πζντε (μζχρι το 20, 50, 100).

 Βακμόσ αυτονομίασ και αυτενζργειασ Δεν απαρικμοφν το ίδιο αντικείμενο δφο (δεν ηθτοφν βοικεια – ηθτοφν λίγθ

Γενικό Μζροσ

φορζσ (αντιςτοίχιςθ 1 προσ 1)

βοικεια – δεν μποροφν μόνοι)

Ομαδοποιοφν δυάδεσ, τριάδεσ,...  Λεράρχθςθ ενεργειϊν αντικειμζνων για να διευκολυνκοφν ςτθ (άριςτθ ιεράρχθςθ – καλι ιεράρχθςθ – μζτρθςθ δεν ξζρουν πϊσ και με τι να αρχίςουν) Ρραγματοποιοφν μζτρθςθ του φψουσ και - απαγγζλουν το ςωςτό φυςικό αρικμό - δεν απαγγζλουν το ςωςτό φυςικό αρικμό 3

 Βακμόσ ιςοτιμίασ ςτθ ςχζςθκατανομι ενεργειϊν (κυριαρχεί ο ζνασ – μοιράηονται το ζργο)

 Διαφοροποίθςθ (μακθτισ με δυςκολίεσ ςυμμετζχει Αναγνωρίηουν τθν ανάγκθ κοινισ ενεργά – ςυμμετζχει λίγο – δεν μονάδασ μζτρθςθσ του φψουσ (ναι-όχι) ςυμμετζχει) Καταγράφουν τισ μετριςεισ ςτο  Ρεριμζνουν τθ ςειρά τουσ για να πινακάκι ςτο κατάλλθλο κουτάκι μιλιςουν ςτθν ολομζλεια - με ευκολία - με μικρι βοικεια - μόνο με βοικεια4

(μιλάνε μόνο μερικοί – μιλάνε όλοι)  Γίνεται διάλογοσ (ακοφει ο ζνασ τον άλλον και ανταποκρίνεται)

Υπολογίηουν τισ διαφορζσ μεταξφ των διαδοχικϊν μετριςεων

 Ακοφνε προςεκτικά τισ οδθγίεσ – υποδείξεισ τθσ εκπαιδευτικοφ

- με ευκολία - με μικρι βοικεια - μόνο με βοικεια5 Ωσ προσ τισ ιδζεσ – ςτρατηγικζσ των μαθητϊν (ςυλλογιςμόσ και επιχειρηματολογία)

Ωσ προσ την επιλογή και χρήςη του υλικοφ (εργαλεία και μζςα) – δεξιότητεσ

Χρθςιμοποίθςαν ςτρατθγικζσ (για τθν Δεξιότθτεσ χειριςμοφ του χάρακα απαρίκμθςθ) (τοποκζτθςθ, ανάγνωςθ τθσ ζνδειξθσ, λεπτζσ κινιςεισ, ακριβείσ μετριςεισ,... - που ανακάλεςαν από τθν τάξθ Χειριςμόσ ψαλιδιοφ - πρωτότυπεσ - αποτελεςματικζσ Χριςθ κόλλασ - που οδιγθςαν γριγορα και άμεςα ςε Χριςθ λωρίδων (άτυπεσ μονάδεσ αποτελζςματα μζτρθςθσ φψουσ) – κόβουν ιςόπαχεσ και ιςομικεισ λωρίδεσ Χρθςιμοποίθςαν -

άτυπθ

μονάδα

μζτρθςθσ

φψουσ Χριςθ αρικμθτθρίου ι μικρϊν κφβων

Θ εκπαιδευτικόσ χρθςιμοποιεί τθ μζκοδο τθσ ςυνζντευξθσ για να διερευνιςει τθ ςκζψθ των μακθτϊν. Ενδεικτικζσ ερωτιςεισ: Ρϊσ το υπολογίςατε; (μπορεί να διαβάηουν το χαρακάκι από πάνω προσ τα κάτω, βλ. και χριςθ εργαλείων) 4

Ππωσ ςτο 1.

Γενικό Μζροσ

(................................................................) για τθν απαρίκμθςθ των φφλλων (με και τθν μζτρθςαν με χαρακάκι αντιςτοίχιςθ) - μόνο χαρακάκι - κάτι άλλο

για τθν απαρίκμθςθ των μίςχων (με αντιςτοίχιςθ)

Μποροφςαν να εξθγιςουν τισ για τθν εφρεςθ τθσ διαφοράσ ςτρατθγικζσ τουσ ςτουσ ςυμμακθτζσ ςυμπλθρϊματοσ των μετριςεων τουσ

–

- εφκολα και κατανοιςιμα - με ςχετικι ευκολία - δφςκολα Ραρατθριςεισ – ςυμπεράςματα τθσ εκπαιδευτικοφ

Ραρατθριςεισ – ςυμπεράςματα τθσ εκπαιδευτικοφ

Ωσ προσ τισ ςυνδζςεισ με τα άλλα Αξιολόγηςη μζςα από: μαθήματα Ελλθνικι Γλϊςςα (... ϊρεσ) Ανκολόγιο............................................. Άλλο βιβλίο........................................... Μελζτθ περιβάλλοντοσ (....ϊρεσ) Ραρακολοφκθςθ εικόνων, φιλμ, ντοκιμαντζρ

Ζκφραςθ ςυναιςκθμάτων, ερωτιςεισαπαντιςεισ, κεατρικό δρϊμενο, αναπαράςταςθ,... Συηιτθςθ 

ςζβονται τθ ςειρά



αναπτφςςουν τισ ιδζεσ τουσ



εκφράηουν τα ςυναιςκιματά τουσ, διατυπϊνουν κρίςεισ,...

Εικαςτικά (... ϊρεσ)

Επιλογι χρωμάτων

Καταςκευι λωρίδων

Επιλογι εικόνων

Καταςκευι κολάη

Αιςκθτικό αποτζλεςμα

Αναςτοχαςμόσ εκπαιδευτικοφ Θ ςυνκετικι εργαςία ιταν επιτυχθμζνθ γιατί................................................... Λδιαίτερθ εντφπωςθ μου ζκανε.................................................................. Στθν επόμενθ ςυνκετικι εργαςία κα προςζξω να......................................................

Αϋ ΚΤΚΛΟ΢

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

Αρικμοί ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Τα Ρρογράμματα Σπουδϊν των Μακθματικϊν για το Δθμοτικό Σχολείο αφιερϊνουν μεγάλο μζροσ τθσ φλθσ τουσ ςτθ μελζτθ των αρικμϊν και των πράξεων. Ωςτόςο, οι ζρευνεσ που αφοροφν ςτθν κατανόθςθ των αρικμθτικϊν ιδεϊν από τουσ μακθτζσ καταγράφουν απογοθτευτικά αποτελζςματα. Το φαινόμενο αυτό αποδίδεται ςυνικωσ ςτθν υπζρμετρθ ζμφαςθ που δίνεται ςτθ διαδικαςτικι ζναντι τθσ εννοιολογικισ κατανόθςθσ των αρικμϊν και ςτθ μθ αξιοποίθςθ τθσ πλοφςιασ, άτυπθσ αρικμθτικισ γνϊςθσ των μακθτϊν. Για το λόγο αυτά τα ςφγχρονα Ρρογράμματα Σπουδϊν δίνουν μεγαλφτερθ ζμφαςθ ςτθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ των φυςικϊν αρικμϊν που ςχετίηεται με τθν απόδοςθ νοιματοσ ςτουσ αρικμοφσ 0-9 και ςτισ μεταξφ τουσ ςχζςεισ, ςτθ δόμθςθ του ςυςτιματοσ των φυςικϊν αρικμϊν (δεκάδεσ, εκατοντάδεσ κ.λπ.) ςε ςχζςθ με τθ γραφι και τθ κεςιακι αξία των ψθφίων, ςτθν ανάπτυξθ υπολογιςτικϊν διαδικαςιϊν που επεκτείνονται και ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων με τισ τζςςερισ πράξεισ ςε διαφορετικά πλαίςια. Θ διδαςκαλία των Μακθματικϊν, ειδικά ςτισ μικρζσ τάξεισ, είναι αναγκαίο να αξιοποιεί δραςτθριότθτεσ με χριςθ χειραπτικϊν υλικϊν που βάηουν τουσ αρικμοφσ ςε λειτουργικι κζςθ ςτθν κακθμερινι εμπειρία των παιδιϊν και αναδεικνφουν δομικά και ςθμαςιολογικά ςτοιχεία του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ. Ακόμθ, απαραίτθτο είναι να δίνεται ζμφαςθ ςε δραςτθριότθτεσ που ευνοοφν τθν ανάπτυξθ τθσ ‘μακθματικισ επιχειρθματολογίασ’ από τα ίδια τα παιδιά, κυρίωσ όταν χρειάηεται να εξθγιςουν τισ ιδζεσ και τισ ςτρατθγικζσ που χρθςιμοποιοφν. Προθγοφμενθ κι επόμενθ γνϊςθ: Θ ςυςτθματικι διδαςκαλία τθσ ζννοιασ του αρικμοφ, βαςιςμζνθ ςτισ εμπειρικζσ ιδζεσ των μακθτϊν, ζχει ξεκινιςει από τθν τάξθ του Νθπιαγωγείου με τισ βαςικζσ δεξιότθτεσ που αφοροφν τουσ αρικμοφσ ωσ το 10 (αναγνϊριςθ και καταμζτρθςθ ποςοτιτων, απαγγελία και γραφι των αρικμϊν, ςφγκριςθ, διάταξθ και αναπαράςταςι τουσ ςτθν αρικμογραμμι, ανάλυςθ και ςφνκεςθ των αρικμϊν και διερεφνθςθ απλϊν προςκετικϊν και αφαιρετικϊν καταςτάςεων). Οι μακθτζσ ςτθν πρϊτθ τάξθ κα διευρφνουν αυτζσ τισ γνϊςεισ ςε αρικμοφσ ωσ το 100 και ςτθ Βϋ τάξθ ωσ το 1000. Επίςθσ, με τθν υπζρβαςθ τθσ δεκάδασ, κα αςχολθκοφν με τθ δόμθςθ των ςχζςεων των αρικμϊν ωσ το 100 και κα τθ ςυνδζςουν με τθ κεςιακι αξία των ψθφίων ςτο δεκαδικό ςφςτθμα. Κα εξαςκθκοφν ςτθν εκτίμθςθ ποςοτιτων και ςτθν επαλικευςθ τθσ εκτίμθςισ τουσ με ςτρατθγικζσ καταμζτρθςθσ και υπολογιςμοφ. Κα ειςαχκοφν ςε πολλαπλαςιαςτικζσ καταςτάςεισ μζςω τθσ ομαδοποίθςθσ αντικειμζνων, αρχικά ςτθν εφρεςθ του διπλάςιου και του μιςοφ μιασ ποςότθτασ. Στισ επόμενεσ τάξεισ του δθμοτικοφ ςχολείου, οι γνϊςεισ των μακθτϊν για τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ κα επεκτακοφν ςτισ δομικζσ ιδιότθτζσ τουσ και ςτισ ςχζςεισ μεταξφ τουσ και κα εμπλουτιςτοφν με τουσ κλαςματικοφσ και τουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ. Ακόμθ, κα αποκτιςουν δεξιότθτεσ διεκπεραίωςθσ των αλγόρικμων των τεςςάρων πράξεων αρχικά με τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ και κατόπιν με τουσ

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

κλαςματικοφσ και τουσ δεκαδικοφσ αρικμοφσ. Τζλοσ, κα εξαςκθκοφν ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων με τισ τζςςερισ πράξεισ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι κυριότερεσ δυςκολίεσ που ζχουν καταγραφεί από ζρευνεσ για τισ πρϊτεσ τάξεισ αφοροφν ςτθ διάταξθ των αρικμϊν ςτθν αρικμογραμμι, κακϊσ και ςτθν κατανόθςθ τθσ κεςιακισ αξίασ. Μια άλλθ δυςκολία είναι να αντιλθφκοφν τουσ αρικμοφσ ωσ ακροίςματα μονάδων και ωσ ομάδεσ με περιςςότερα ςτοιχεία (δυάδεσ, τριάδεσ, πεντάδεσ κ.λπ.). Αυτό οδθγεί ςε μια ακροιςτικι αντίλθψθ των αρικμϊν που υςτερεί ςε ςχζςθ με τθν πολλαπλαςιαςτικι που είναι απαραίτθτθ για τθν ολοκλιρωςθ των ςχζςεων ανάμεςα ςτουσ αρικμοφσ και τθ δόμθςθ του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ (για παράδειγμα, το 6 είναι δφο τριάδεσ, το 8 δφο τετράδεσ και το 100 δζκα δεκάδεσ). Οι μακθτζσ καλοφνται να κατανοιςουν όχι μόνο ότι ςε μία εξάδα, μία οκτάδα ι μία δεκάδα υπάρχουν 6, 8 ι 10 μονάδεσ αντίςτοιχα, αλλά να αντιλθφκοφν τθν εξάδα, τθν οκτάδα και τελικά τθ δεκάδα ωσ μια αδιαίρετθ ενότθτα, μια νζα μονάδα και να μποροφν να μετριςουν μια ποςότθτα με τθ νζα αυτι μονάδα. Στθ Βϋ τάξθ κα χρειαςτεί να κάνουν το ανάλογο για τθν εκατοντάδα. Επίςθσ, δυςκολίεσ καταγράφονται τόςο ςτθ διεκπεραίωςθ των πράξεων όςο και ςτθ δεξιότθτα διαχείριςθσ των προβλθματικϊν καταςτάςεων ςτισ οποίεσ εμπλζκονται. Ειδικότερα, ςτθν Αϋ τάξθ οι μακθτζσ εμφανίηουν ςυχνά δυςκολία ςτο να αντιλθφκοφν τθν αφαίρεςθ ωσ τθ διαφορά των δφο αρικμϊν. Σθμειϊνεται ότι τα ςτοιχεία που εμπλζκονται ςτθν ανάπτυξθ τθσ γνϊςθσ για τθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ είναι οι ςτακερζσ ςχζςεισ των αρικμϊν τθσ πρϊτθσ δεκάδασ και το πλαίςιο μζςα ςτο οποίο εμφανίηεται κάκε φορά θ πράξθ (ςυνδυαςμόσ ποςοτιτων ι αλλαγή μιασ ποςότθτασ). Είναι ςθμαντικό να ζρχονται οι μακθτζσ αντιμζτωποι με προβλθματικζσ καταςτάςεισ, οι οποίεσ περιλαμβάνουν διαφορετικά είδθ ακροιςτικϊν προβλθμάτων (πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ) και ςτθ Βϋ τάξθ αντίςτοιχα με προβλθματικζσ καταςτάςεισ που περιλαμβάνουν πολλαπλαςιαςτικά προβλιματα (πολλαπλαςιαςμοφ και διαίρεςθσ). Τονίηεται ότι αν δεν αντιμετωπιςτοφν αυτά τα ςτοιχεία ωσ ςθμαντικά από τισ πρϊτεσ τάξεισ, κα δθμιουργιςουν δυςκολίεσ ςτο μεταγενζςτερο χειριςμό ανάλογων καταςτάςεων με μεγαλφτερουσ αρικμοφσ. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Ππωσ ζχει ιδθ αναφερκεί, είναι ςθμαντικό ο εκπαιδευτικόσ να δϊςει ςτα παιδιά πολλζσ ευκαιρίεσ να χειριςτοφν υλικό ϊςτε να «καταςκευάςουν» τθν ζννοια του αρικμοφ, να διατυπϊςουν με λόγια τισ ςκζψεισ και τισ ενζργειζσ τουσ, αλλά και να εμπλακοφν ςε πραγματικζσ καταςτάςεισ επίλυςθσ προβλθμάτων και ανάπτυξθσ ςτρατθγικϊν. Μζςα από αυτζσ τισ δράςεισ, όπου τα παιδιά κα εμπλακοφν με το ςϊμα και το μυαλό τουσ, κα αναγνωρίςουν και κα καταμετριςουν ποςότθτεσ, κα ςυγκρίνουν και κα διακρίνουν ςχζςεισ ανάμεςα ςε αρικμοφσ, κα ομαδοποιιςουν και κα μοιράςουν αντικείμενα. Ο εκπαιδευτικόσ καλείται να διακρίνει και να προτείνει με ςυςτθματικότθτα δραςτθριότθτεσ που προςεγγίηουν διαφορετικζσ όψεισ των αρικμϊν και εμπλζκονται ςε διαφορετικζσ αρικμθτικζσ δραςτθριότθτεσ και να μθν περιοριςκεί ςε απλζσ καταςτάςεισ αρίκμθςθσ ι ζνα προσ ζνα καταμζτρθςθσ. Συςτθματικι εναςχόλθςθ με τισ αναγνωρίςεισ δεκάδων και των μεταξφ τουσ ςχζςεων, ανάπτυξθ

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

ςτρατθγικϊν μζτρθςθσ, μελζτθ τθσ αρικμθτικισ γραμμισ και ανάπτυξθ εκτιμιςεων και νοερϊν υπολογιςμϊν κα βοθκιςουν τουσ μακθτζσ να βάλουν ςίγουρα κεμζλια ςτθν αρικμθτικι εξζλιξθ. Είναι, επίςθσ, ςθμαντικό να τονιςτεί ότι οι δράςεισ ςτισ οποίεσ τα παιδιά κα κλθκοφν τα παιδιά να εμπλακοφν χρειάηεται να είναι προςεκτικά επιλεγμζνεσ ϊςτε να είναι κοντά ςτα ενδιαφζροντά τουσ, κακϊσ και να είναι ‘προκλθτικζσ’ ϊςτε να βοθκοφν τα παιδιά να αναπτφςςουν ςτρατθγικζσ για να τισ διαχειριςτοφν. Ραράλλθλα, θ χριςθ αναπαραςτατικοφ υλικοφ αναρτθμζνου μζςα ςτθν τάξθ, όπωσ είναι οι βάςεισ των δεκάδων, θ εκατοντάδα ι θ αρικμθτικι γραμμι, κα πλουτίςουν τισ νοερζσ αναπαραςτάςεισ και τισ επεξεργαςίεσ των μακθτϊν και κα ςτθρίξουν τθν αρικμθτικι τουσ ςκζψθ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Σάξθ: Παιχνίδια με αρικμοκάρτεσ (ΑρΔ1) Χρειάηεται να ζχουμε κάρτεσ με τουσ αρικμοφσ από το 0 ωσ το 9 και, επίςθσ, αρκετζσ κάρτεσ με εικονιηόμενα αντικείμενα ι ςχθματιςμοφσ (μζχρι 9 ςτοιχεία ςε διαφορετικζσ διατάξεισ). 1. «΢υςτινω τον αρικμό που βρικα» Ο εκπαιδευτικόσ ζχει κρφψει τισ κάρτεσ με τουσ αρικμοφσ ςε διάφορα ςθμεία του χϊρου. Εξθγεί ότι κα παίξουν ζνα παιχνίδι «κρυφτό» με τουσ αρικμοφσ. Σε αυτό το ςθμείο, πριν αρχίςει θ αναηιτθςθ, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ηθτιςει από τα παιδιά να αναφζρουν κάποιουσ αρικμοφσ που ζχουν χρθςιμοποιιςει και ςε τι αναφζρονταν (για παράδειγμα, είμαι 6 χρονϊν, ζχω 1 αδελφι, ζχω 2 μολφβια κ.λπ.). Μπορεί ο ίδιοσ να πει ζνα μικρό παράδειγμα για τον εαυτό του, αν δεν ξεκινιςει κανζνα παιδί. Ξεκινϊντασ το παιχνίδι, ο εκπαιδευτικόσ λζει ότι οι αρικμοί ζχουν «κρυφτεί» και τα παιδιά χωριςμζνα ςε ομάδεσ ψάχνουν να τουσ βρουν. Πποιον αρικμό βρει θ κάκε ομάδα οφείλει να τον παρουςιάςει, λζγοντασ ό,τι ξζρει και ό,τι μπορεί να φανταςτεί γι’ αυτόν. Κερδίηει θ ομάδα που κάνει τθν καλφτερθ παρουςίαςθ όλων των αρικμϊν που βρικε. Μια ενδιαφζρουςα λεπτομζρεια είναι ότι μπορεί οι αρικμοί να ζχουν κρυφτεί ςε ςθμεία που να ζχουν τοποκετθκεί (ι να υπάρχουν από καταςκευισ) ίςθσ ποςότθτασ αντικείμενα (για παράδειγμα, ο αρικμόσ 5 ςε ζνα κουτί κοντά ςτισ 5 κρεμάςτρεσ τθσ τάξθσ) εφόςον αυτό είναι εφικτό. Εναλλακτικά, μποροφν να ςυνδυάηουν τισ αρικμοκάρτεσ με τισ κάρτεσ που απεικονίηουν αντικείμενα. 2. «Παιχνίδι γριγορθσ αναγνϊριςθσ» Ωσ ςυνζχεια του προθγοφμενου παιχνιδιοφ ι ωσ αυτόνομο

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ διαφορετικϊν αναπαραςτάςεων)

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

παιχνίδι, τα παιδιά μπορεί να ακολουκιςουν δραςτθριότθτεσ άμεςθσ αναγνϊριςθσ ποςοτιτων. Τζτοιεσ δραςτθριότθτεσ μποροφν να γίνουν με διαφορετικά υλικά και ςχθματιςμοφσ, με εκκίνθςθ από πραγματικά αντικείμενα (φαςόλια, μπίλιεσ ι μάρκεσ, ξυλάκια, ςχιματα ι κφβουσ) και μεταφορά ςε εικονιςτικό υλικό με βοφλεσ, τετράγωνα και τετραγωνιςμζνο χαρτί. Το πιο ςθμαντικό ςτοιχείο ςτθν προςζγγιςθ που πρζπει να ακολουκείται ςτισ δραςτθριότθτεσ είναι οι μορφζσ των αναπαραςτάςεων να είναι τζτοιεσ ϊςτε τα παιδιά να αναπτφξουν δυναμικζσ εικόνεσ για τουσ ‘αρικμοφσ’ τισ οποίεσ να μποροφν να οργανϊνουν με ευελιξία και να μθν εγκλωβιςτοφν ςε μια αναπαράςταςθ (όπωσ, για παράδειγμα, αυτιν του ηαριοφ).

Το παιχνίδι που περιγράφεται μπορεί να ςυνεχιςτεί με τθν ίδια δομι με άλλο υλικό ι άλλο πλαίςιο μζχρι τα παιδιά να πετφχουν άνετθ άμεςθ αναγνϊριςθ ποςοτιτων. Θ χριςθ των αρικμθτικϊν λζξεων ςυνδζει ποςότθτεσ και αρικμοφσ. Για παράδειγμα, αν ποφμε να βροφμε όλα τα τρία ι αν δείξουμε το ςφμβολο, τα παιδιά ςυνδζουν τα ςτοιχεία αυτά με τισ ςχετικζσ ποςότθτεσ. Εναλλακτικά, τα παιδιά χωρίηονται ςε ομάδεσ μικτισ ικανότθτασ. Οι κάρτεσ με τουσ ςχθματιςμοφσ είναι ςκορπιςμζνεσ ςτο πάτωμα. Οι ομάδεσ προςπακοφν να βρουν όςεσ από τισ κάρτεσ ζχουν τθν ποςότθτα που άκουςαν με το ςφνκθμα του εκπαιδευτικοφ ςε χρόνο περιοριςμζνο. Κερδίηει θ ομάδα που κα βρει τισ περιςςότερεσ κάρτεσ. Στθν αρχι, οι δραςτθριότθτεσ αναγνϊριςθσ αφοροφν αρικμοφσ μζχρι το 10 και αργότερα μεγαλφτερεσ ποςότθτεσ ι και αρικμοφσ ςε δεκάδεσ (π.χ.

Θ τάξθ μπορεί να ςυηθτιςει ςτρατθγικζσ αναγνϊριςθσ και ακόμθ μποροφν να πάρουν τισ κάρτεσ ςτισ ομάδεσ και να παίξουν μόνοι τουσ κάνοντασ «προπόνθςθ», δθλαδι προετοιμαςία και εξοικείωςθ με το υλικό που χρθςιμοποιείται.

Εικόνα 1: Ραιχνίδια με αρικμοκάρτεσ

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ διαφορετικϊν αναπαραςτάςεων)

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

Βϋ Σάξθ: Φτιάχνω αρικμοφσ με τισ δεκάδεσ (ΑρΔ3) Στθ δραςτθριότθτα αυτι το ενδιαφζρον ςτρζφεται ςτθν κατανόθςθ τθσ δθμιουργίασ μιασ «μονάδασ» ανϊτερθσ τάξθσ (τθσ δεκάδασ) και τθν εδραίωςι τθσ ωσ ςυςτατικό ςτθ δόμθςθ του αρικμθτικοφ ςυςτιματοσ, παράλλθλα με τθ κεςιακι αξία. Ρρόκειται για δράςεισ αναγνϊριςθσ και μελζτθσ των δεκάδων που βοθκοφν τα παιδιά να εδραιϊςουν τθν ζννοια τθσ δεκάδασ και να περάςουν ςε διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ τθσ (ράβδουσ και γραμμζσ). Στο πλαίςιο των δζκα, οι λωρίδεσ των δεκάδων υποςτθρίηουν τθ δυνατότθτα των παιδιϊν να αναγνωρίςουν τισ δεκάδεσ ωσ μονάδα ανϊτερθσ τάξθσ. Οι δράςεισ αυτζσ αποτελοφν το πρϊτο βιμα για αντίςτοιχεσ δραςτθριότθτεσ με τθν επόμενθ «μονάδα» ανϊτερθσ τάξθσ, τθν εκατοντάδα. 1θ δράςθ: Κάνω πακζτα με δζκα: Τα παιδιά εργάηονται ςε ομάδεσ. Θ κάκε ομάδα ζχει μπροςτά ζναν αρικμό από κυβάκια. Ο εκπαιδευτικόσ ηθτάει να τα κάνουν πακετάκια των 10 και να πουν πόςα πακετάκια ζχουν και πόςα είναι όλα τα κυβάκια μαηί (βλ. Σχιμα 1). θ

΢χιμα 1

2 δράςθ: Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τα παιδιά να χρθςιμοποιιςουν τα «πακζτα» με τα κυβάκια και να φτιάξουν αρικμοφσ (αρχικά, ολόκλθρεσ δεκάδεσ και, ςτθ ςυνζχεια, να πάρουν και μεμονωμζνα κυβάκια και να φτιάξουν και άλλουσ αρικμοφσ (π.χ. 43). 3θ δράςθ: Ο εκπαιδευτικόσ παρουςιάηει ζνα εργοςτάςιο που καταςκευάηει καραμζλεσ. Οι καραμζλεσ μπαίνουν ςε ςακουλάκια των 10. Ο εκπαιδευτικόσ προτείνει ςτουσ μακθτζσ να πάρουν διαφορετικζσ ποςότθτεσ με καραμζλεσ (διψιφιοι ι τριψιφιοι αρικμοί). Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν υλικό (π.χ. χάντρεσ ςε ςακουλάκια) ι κυβάκια ι κφβουσ Dienes για να αναπαραςτιςουν τισ ποςότθτεσ που ζχουν πάρει. Οι κφβοι Dienes εξυπθρετοφν το ΢χιμα 2 ςχθματιςμό των εκατοντάδων (Σχιμα 2). Κατόπιν γράφουν τισ ποςότθτεσ ςε χαρτάκια και τισ διατάςςουν ςτθν αρικμογραμμι. Εναλλακτικά, για τουσ διψιφιουσ αρικμοφσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν χάρτινεσ ράβδοι Cuisenaire. Οι χάρτινεσ ράβδοι Cuisenaire μποροφν να καταςκευαςτοφν με τθ χριςθ των προτφπων που βρίςκονται ςτο: http://isocrates.minedu.gov.gr/content_files/tsigganopaides/M ATH1.pdf, ς.14).

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ διαφορετικϊν αναπαραςτάςεων)

Αϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

Είναι καλό να ζχουν προθγθκεί ανάλογεσ δραςτθριότθτεσ με πραγματικά αντικείμενα (όπωσ θ παρακάτω π.χ. με κουμπιά), όπου ο εκπαιδευτικόσ κα ζχει προτρζψει τα παιδιά να κάνουν ομαδοφλεσ με τα αντικείμενα (αφοφ αποφαςίςουν τα ίδια τα παιδιά πόςα αντικείμενα κα ζχει θ κάκε ομαδοφλα). Είναι καλό να ζχουν προθγθκεί ανάλογεσ δραςτθριότθτεσ με πραγματικά αντικείμενα (όπωσ θ παρακάτω π.χ. με κουμπιά), όπου ο εκπαιδευτικόσ κα ζχει προτρζψει τα παιδιά να κάνουν ομαδοφλεσ με τα αντικείμενα (αφοφ αποφαςίςουν τα ίδια τα παιδιά πόςα αντικείμενα κα ζχει θ κάκε ομαδοφλα). Βϋ Σάξθ: Κάνω ομάδεσ (ΑρΔ1) Ο εκπαιδευτικόσ μοιράηει ζνα φφλλο δραςτθριότθτασ με μια απεικόνιςθ όπωσ θ παρακάτω με τα κουμπιά. Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τα παιδιά να μθν μετριςουν τα κουμπιά, αλλά να «κυκλϊςουν» ομάδεσ που περιζχουν όλεσ τον ίδιο αρικμό κουμπιϊν (όςα κζλουν). Αφοφ τα παιδιά κυκλϊςουν τισ ομάδεσ των κουμπιϊν καλοφνται να εκτιμιςουν πόςα νομίηουν ότι είναι τα κουμπιά (και ρωτά «Πϊσ ςασ βοικθςαν ςτθν εκτίμθςθ οι ομάδεσ που φτιάξατε κυκλϊνοντασ τα κουμπιά;»)

Εικόνα 2

Μπορεί, επίςθσ, να χρθςιμοποιθκεί το τεχνολογικό περιβάλλον «Base Blocks» (http://nlvm.usu.edu). Το περιβάλλον προςφζρει τθ δυνατότθτα επιλογισ αρικμοφ ςτθλϊν (μονάδων, δεκάδων κ.λπ.). Επίςθσ, παρζχει ςτουσ μακθτζσ τθ δυνατότθτα να κυκλϊςουν δζκα μονάδεσ ςτθ Εικόνα 3 ςτιλθ των μονάδων, να ςχθματίςουν μια δεκάδα και να τθ μεταφζρουν ςτθ ςτιλθ των δεκάδων κ.λπ. Τα δυναμικά χαρακτθριςτικά του ςυγκεκριμζνου τεχνολογικοφ περιβάλλοντοσ βοθκοφν τουσ μακθτζσ να αναγνωρίςουν, να μελετιςουν και να ςυγκροτιςουν τθν ζννοια τθσ δεκάδασ και τθσ εκατοντάδασ μζςα από διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ (κυβάκια). Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να πειραματιςτοφν ατομικά ι ομαδικά για να ςχθματίςουν αρικμοφσ ζωσ το 1.000.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Αϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Άλγεβρα ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ μακθματικι εκπαίδευςθ ζχει ςτρζψει το ενδιαφζρον τθσ από τθν τυπικι εκμάκθςθ μακθματικϊν εννοιϊν ςτθ δυναμικι προςζγγιςθ των τρόπων με τουσ οποίουσ δθμιουργοφνται και λειτουργοφν τα ίδια τα Μακθματικά. Για το λόγο αυτό επιδιϊκει να αναπτφξει ςτουσ μακθτζσ, από τισ μικρότερεσ θλικίεσ δεξιότθτεσ ςυςτθματικισ οργάνωςθσ αρχικά ςυγκεκριμζνων και πρακτικϊν καταςτάςεων και αργότερα πιο αφθρθμζνων γεωμετρικϊν ι αρικμθτικϊν, προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ αναγνϊριςθσ κοινϊν ι επαναλαμβανόμενων χαρακτθριςτικϊν. Λδιαίτερα θ μελζτθ των κανονικοτιτων είναι εξαιρετικά ςθμαντικι για να αρχίςουν οι μακθτζσ να διακρίνουν ςχζςεισ, να προβλζπουν εξελίξεισ ι αποτελζςματα και να οδθγοφνται ςε γενικεφςεισ. Θ ζρευνα ζχει καταδείξει ότι θ ανάπτυξθ αυτισ τθσ μορφισ διαδικαςιϊν (που βοθκοφν τθν ανάπτυξθ του αλγεβρικοφ ςυλλογιςμοφ) είναι δυνατόν να ξεκινιςουν από τισ μικρότερεσ θλικίεσ. Τα προθγοφμενα προγράμματα ςπουδϊν δεν ανζπτυςςαν με ςυςτθματικό τρόπο ςτο δθμοτικό ςχολείο τισ κεμελιϊδεισ για τθν άλγεβρα διαδικαςίεσ ανάπτυξθσ κανόνων και ςυμβολιςμϊν ι περιορίηονταν ςε ςτοιχειϊδεισ προςεγγίςεισ τθσ ςτισ μεγαλφτερεσ τάξεισ του δθμοτικοφ ςχολείου ωσ γενικευμζνθ αρικμθτικι με τθν ειςαγωγι τθσ ζννοιασ τθσ μεταβλθτισ και των εξιςϊςεων. Θ προςζγγιςθ που ακολουκικθκε κατά τθ διδαςκαλία αλγεβρικϊν κεμάτων ςτο Δθμοτικό (εξάςκθςθ ςτο χειριςμό ςυμβολικϊν αναπαραςτάςεων με τθν εφαρμογι ςυγκεκριμζνων κανόνων), είχε ωσ αποτζλεςμα δυςκολία των μακθτϊν να αναγνωρίςουν τθ χρθςιμότθτα των κεμάτων αυτϊν και εντζλει να απωκοφνται από τθν εναςχόλθςθ με ςχετικά προβλιματα. Θ ειςαγωγι ςτθν αλγεβρικι ςκζψθ περιλαμβάνει δράςεισ όπωσ θ αναγνϊριςθ, θ ςυμπλιρωςθ, θ περιγραφι, θ γενίκευςθ κανονικοτιτων (γεωμετρικϊν και αρικμθτικϊν), θ αναγνϊριςθ των ςχζςεων μεταξφ διάφορων αναπαραςτάςεων (λεκτικϊν, υλικϊν, εικονικϊν, ςυμβολικϊν) και θ μετάβαςθ από τθ μία παράςταςθ ςτθν άλλθ. Θ ειςαγωγι των μακθτϊν ςτισ αλγεβρικζσ ζννοιεσ και δομζσ, ειδικά ςτισ μικρζσ τάξεισ, είναι αναγκαίο να γίνεται με δραςτθριότθτεσ που αναδεικνφουν τισ αλγεβρικζσ ζννοιεσ (κανονικότθτα, ςυνάρτθςθ, ιςότθτα, ανιςότθτα) μζςα από τθ διερεφνθςθ καταςτάςεων τθσ πραγματικισ ηωισ (π.χ. ζνα παιδί ζχει δφο πόδια, δφο παιδιά ζχουν τζςςερα πόδια κ.λπ. ϊςτε να φτάςουν ςταδιακά ςτθ γενίκευςθ ςφμφωνα με τθν οποία ο αρικμόσ των ποδιϊν ςτθν τάξθ εξαρτάται από τον αρικμό των παιδιϊν). Ακόμθ, απαραίτθτο είναι να δίνεται ζμφαςθ ςε δραςτθριότθτεσ που καλοφν τα παιδιά να προβλζπουν τθ ςυνζχεια μιασ κανονικότθτασ και να τθν περιγράφουν. Προθγοφμενθ κι επόμενθ γνϊςθ: Θ ςυςτθματικι διερεφνθςθ κανονικοτιτων και ςχζςεων ζχει ξεκινιςει από τθν τάξθ του Νθπιαγωγείου με τθν αντιγραφι και τθν επζκταςθ μοτίβων ςε διάφορα πλαίςια. Οι μακθτζσ προχωροφν ςτθν Αϋ τάξθ ςε μελζτθ επαναλαμβανόμενων κανονικοτιτων που αφοροφν ςχιματα και αρικμοφσ και ςτθ Βϋ τάξθ ςε μεταβαλλόμενεσ κανονικότθτεσ (αυξανόμενεσ ι μειοφμενεσ). Σε

Αϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

μεγαλφτερεσ τάξεισ κα ειςαχκοφν οι αρικμθτικοί κανόνεσ που προςδιορίηουν τισ ιδιότθτεσ των κανονικοτιτων. Οι ςυναρτιςεισ κα κακυςτεριςουν αρκετά μζχρι τθν ειςαγωγι των μακθτϊν ςε ζννοιεσ όπωσ θ μεταβλθτι, οι αλγεβρικζσ παραςτάςεισ, οι ιδιότθτεσ και θ προτεραιότθτα των πράξεων. Σε μεγαλφτερεσ τάξεισ θ άλγεβρα κα ςτθρίξει τθ μοντελοποίθςθ των προβλθμάτων που κα ςυναντιςουν οι μακθτζσ και ςε άλλεσ επιςτθμονικζσ περιοχζσ. Θ ςυςτθματικι διδαςκαλία τθσ άλγεβρασ ξεκινά ςυνικωσ με τθ μελζτθ απλϊν αλγεβρικϊν παραςτάςεων, ακολοφκωσ επικεντρϊνεται ςτουσ μεταςχθματιςμοφσ όλο και ςυνκετότερων αλγεβρικϊν παραςτάςεων, ςτθ ςυνζχεια (ςτθ δευτεροβάκμια εκπαίδευςθ) εξιςϊςεων και καταλιγει ςτθ μελζτθ απλϊν, αρχικά, ςυναρτιςεων και πιο πολφπλοκων ςτθ ςυνζχεια. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Αρκετζσ ζρευνεσ ζχουν επικεντρωκεί ςτισ δυςκολίεσ που αντιμετωπίηουν οι μακθτζσ ςτθν άλγεβρα. Τα ευριματα, ςυχνά, αποδίδουν τισ δυςκολίεσ ςτθ βεβιαςμζνθ και εκτεταμζνθ χριςθ αλγεβρικϊν ςυμβόλων που οδθγεί πολλοφσ μακθτζσ να ταυτίηουν τθν άλγεβρα με ςφμβολα και ςυμβολικοφσ χειριςμοφσ. Ππωσ τονίηεται, είναι ςθμαντικό να δοκεί χρόνοσ ςτα παιδιά από τισ πρϊτεσ κιόλασ τάξεισ τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ να εξοικειωκοφν με τισ κεμελιϊδεισ διαδικαςίεσ τθσ αναγνϊριςθσ κανονικοτιτων και ςχζςεων, οι οποίεσ κα αποτελζςουν το κατάλλθλο υπόβακρο για τθ ςυςτθματικι, ςτθ ςυνζχεια, μελζτθ των αλγεβρικϊν ιδεϊν. Ειδικζσ καταγεγραμμζνεσ δυςκολίεσ, οι οποίεσ αφοροφν τουσ μακθτζσ των πρϊτων τάξεων του δθμοτικοφ εςτιάηονται ςτθν αντίλθψθ των ςυμβόλων τθσ ιςότθτασ και τθσ ανιςότθτασ, κακϊσ και ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων του τφπου «βρεσ τον αρικμό που λείπει» (για παράδειγμα, ζνα ςυχνό λάκοσ που ζχει καταγραφεί ς’ αυτοφ του τφπου τισ καταςτάςεισ είναι 3 + = 7, κάτι που υποδεικνφει τθν εςτίαςθ ςτο ςφμβολο + και τθ μθ κατανόθςθ τθσ ζννοιασ τθσ ιςότθτασ). Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Είναι ςθμαντικό ο εκπαιδευτικόσ να δϊςει ςτα παιδιά πολλζσ ευκαιρίεσ να χειριςτοφν υλικό ϊςτε να «καταςκευάςουν» τισ αλγεβρικζσ ιδζεσ, αλλά και να εμπλακοφν ςε πραγματικζσ καταςτάςεισ επίλυςθσ προβλθμάτων και ανάπτυξθσ ςτρατθγικϊν. Θ μελζτθ των κανονικοτιτων (όπωσ και θ μελζτθ των ςυναρτιςεων και γενικά των αλγεβρικϊν ιδεϊν) περιλαμβάνει τθν εμπλοκι των μακθτϊν ςε καταςτάςεισ αναηιτθςθσ γεωμετρικϊν και αρικμθτικϊν κανονικοτιτων και ςχζςεων ςτο περιβάλλον και ςτθν κακθμερινι ηωι τουσ. Αυτζσ τισ κανονικότθτεσ καλοφνται να τισ αντιγράψουν, να τισ περιγράψουν (ςτθν αρχι προφορικά και, κατόπιν, ςυμβολικά) και να τισ ςυνεχίςουν. Σε επόμενο ςτάδιο τα παιδιά καλοφνται να καταςκευάςουν δικζσ τουσ επαναλαμβανόμενεσ κανονικότθτεσ με χριςθ χειραπτικοφ και αναπαραςτατικοφ υλικοφ. Πταν τα παιδιά καταςκευάηουν κανονικότθτεσ με «φυςικά» υλικά (ςχιματα, κυβάκια, χάντρεσ, κουμπιά, ςφθνοτουβλάκια), ζχουν τθ δυνατότθτα να δοκιμάςουν και να κάνουν αλλαγζσ με τθ μορφι παιχνιδιοφ, δοκιμάηοντασ διαφορετικζσ περιπτϊςεισ που, ςτθ ςυνζχεια, μποροφν να ςχεδιάςουν.

Αϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Χρειάηεται, επίςθσ, να κλθκοφν οι μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν αυτι τθ μελζτθ για να οδθγθκοφν ςε προβλζψεισ και γενικεφςεισ. Ζνα ςθμαντικό ςτοιχείο που δεν πρζπει να παραλείπεται από τισ δραςτθριότθτεσ είναι θ διατφπωςθ με λόγια και θ επεξιγθςθ των παρατθριςεων από τουσ μακθτζσ ςχετικά με τισ κανονικότθτεσ και τισ ςχζςεισ των ςτοιχείων. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Σάξθ: Ιδζεσ για επαναλαμβανόμενα μοτίβα (ΑρΔ1) 1. Δθμιουργία ενόσ ρυκμοφ ςτθν τάξθ χρθςιμοποιϊντασ κάποια απλά (ι και αυτοςχζδια) μουςικά όργανα.

Διερεφνθςθ ‘πραγματικϊν’ καταςτάςεων

Κάκε παιδί που κρατά ζνα μουςικό όργανο και προκαλεί τον αντίςτοιχο ιχο με κάποια (προκακοριςμζνθ ι αυκόρμθτθ) ςειρά. Πταν δθμιουργθκεί ο επικυμθτόσ ρυκμόσ, τα παιδιά καλοφνται να καταγράψουν με κάποιον τρόπο το «τραγοφδι» που ζφτιαξαν ϊςτε να μποροφν να το αναπαράγουν τθν άλλθ μζρα ι για να το δϊςουν και ςε μια άλλθ τάξθ. Τα παιδιά είτε κα καταγράψουν το επαναλαμβανόμενο μοτίβο ηωγραφίηοντασ τα όργανα με τθ ςειρά ι κα κολλιςουν ςε ζνα χαρτί εικονίδια με το κάκε όργανο (ο εκπαιδευτικόσ ζχει προβλζψει να φζρει τα εικονίδια).

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

2. Δθμιουργία ενόσ επαναλαμβανόμενου μοτίβου με υλικά (χάντρεσ, κουμπιά, γεωμετρικά ςχιματα) Τα παιδιά μποροφν να αντιγράψουν και να ςυνεχίςουν κάποιο από τα προτεινόμενα επαναλαμβανόμενα μοτίβα του εκπαιδευτικοφ. Για παράδειγμα: ή Σε δεφτερθ φάςθ, κάκε ομάδα μπορεί να δθμιουργιςει ζνα δικό τθσ μοτίβο και να εξθγιςει (χωρίσ να το δείξει) ςτισ άλλεσ ομάδεσ από ποια ςτοιχεία αποτελείται το μοτίβο αυτό, ϊςτε κάκε ομάδα να προςπακιςει να αντιγράψει και τα μοτίβα των άλλων ομάδων. Το τεχνολογικό περιβάλλον «Color Patterns» (διαδικτυακόσ τόποσ http://nlvm.usu.edu) προςφζρει ιδζεσ για επαναλαμβανόμενα μοτίβα διαφόρων χρωμάτων χαντρϊν. Οι μακθτζσ αναγνωρίηουν, περιγράφουν και επεκτείνουν το μοτίβο που κάκε φορά εμφανίηεται.

Εικόνα 3

Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να αςχολθκοφν ατομικά

Διεργαςία επικοινωνίασ (δθμιουργία αναπαραςτάςεων)

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Αϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

ι ομαδικά με τισ δραςτθριότθτεσ του τεχνολογικοφ περιβάλλοντοσ, να αναγνωρίςουν, να περιγράψουν, να επεκτείνουν το μοτίβο και να ελζγξουν μόνοι τουσ τθν ορκότθτα τθσ απάντθςισ τουσ.

Διερεφνθςθ και γενίκευςθ

Αϋ Σάξθ: Ιδζεσ για καταςκευι, καταγραφι και περιγραφι δεδομζνων ςυμμεταβολισ (ΑρΔ2) 1. Οι δραςτθριότθτεσ αυτζσ πρζπει να πραγματοποιοφνται αφοφ ζχουν προθγθκεί δραςτθριότθτεσ αναγνϊριςθσ, αντιγραφισ και δθμιουργίασ επαναλαμβανόμενων κανονικοτιτων (μοτίβων). Ο εκπαιδευτικόσ κζτει τθν ερϊτθςθ «Για να γίνει ζνα κομπολόι χρειάηονται 2 κόκκινεσ χάντρεσ, και 4 πράςινεσ. Για να γίνουν 2 κομπολόγια;» Για να γίνει πιο εφκολθ θ δραςτθριότθτα, κάκε ομάδα μπορεί πρϊτα να φτιάξει ζνα τζτοιο κομπολόι και να το ζχει μπροςτά τθσ. Οπότε, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ρωτιςει ςτθ ςυνζχεια «Πόςεσ χάντρεσ κα χρειαςτοφν για να γίνουν 3 κομπολόγια; 4 κομπολόγια;». Κάκε ομάδα καταγράφει τισ απόψεισ τθσ και τισ παρουςιάηει ςτθν ολομζλεια.

Επίλυςθ προβλιματοσ

2. Ο εκπαιδευτικόσ μοιράηει ςε κάκε ομάδα τον ίδιο αρικμό από κυβάκια (για παράδειγμα 20 κυβάκια) και προτείνει ςτα παιδιά να φτιάξουν πφργουσ χρθςιμοποιϊντασ όλα τα κυβάκια. Ανάλογα με τουσ πφργουσ που ζχουν φτιάξει οι ομάδεσ, κάκε ομάδα πλθςιάηει και ηθτά οι πφργοι που ζφτιαξαν να είναι όλοι ίςοι. Κατόπιν, κατευκφνει τθ ςυηιτθςθ ςτισ ερωτιςεισ «Αν χρθςιμοποιιςουμε τα κυβάκια για να φτιάξουμε ζνα πφργο, πόςα πατϊματα κα ζχει αυτόσ;» «Αν τα χρθςιμοποιιςουμε για να φτιάξουμε 2 πφργουσ, 3 πφργουσ ….» Βϋ Σάξθ: Ιδζεσ για καταςκευι αναπτυςςόμενου μοτίβου, αναηιτθςθ κανόνα, γενίκευςθ (ΑρΔ1Β) 1. Ο εκπαιδευτικόσ φζρνει ςτθν τάξθ ζνα κουτί με τετραγωνάκια, πλαςτικά ι χάρτινα (καλφτερα να είναι μεγαλφτερα από 2 εκ. x 2 εκ., για να μποροφν να τα χειριςτοφν τα παιδιά εφκολα). Μοιράηει ςε κάκε ομάδα 4 τετραγωνάκια. Ηθτά από τα παιδιά να τα ςυνδυάςουν ζτςι ϊςτε να δθμιουργθκεί ζνα ΢χιμα 1 μεγάλο τετράγωνο (Σχιμα 1). Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τα παιδιά να ςκεφτοφν ςτθν ομάδα τουσ και να πάρουν από το κουτί όςα τετραγωνάκια νομίηουν ότι χρειάηονται για να φτιάξουν ζνα άλλο τετράγωνο που να είναι «λίγο» μεγαλφτερο από το προθγοφμενο (Σχιμα 2).

΢χιμα 2

Επίλυςθ προβλιματοσ

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Αϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Τουσ καλεί να ςυηθτιςουν με βάςθ τθ διαπίςτωςθ ότι για να «γεμίςουν» το πρϊτο τετράγωνο χρειάηονται 4 μικρά τετραγωνάκια. Για να γεμίςουν το δεφτερο τετράγωνο χρειάηονται 9 τετραγωνάκια. Αν προςκζςουν ςτθν άκρθ ακόμα ζνα τετραγωνάκι, πόςα χρειάηονται ακόμα για να ςυμπλθρϊςουν το τετράγωνο; 2. Ο εκπαιδευτικόσ καλεί τα παιδιά να φτιάξουν μια λωρίδα με κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο, χρθςιμοποιϊντασ τετραγωνάκια ςε δφο χρϊματα. Πταν το φτιάξουν, ανάλογα με το ποφ ζχει ςταματιςει κάκε ομάδα, τουσ ηθτά να ςκεφτοφν τθ ςυνζχεια του μοτίβου, χωρίσ να ηθτά τον κανόνα, τουσ ρωτά για παράδειγμα «Μπορείτε να βρείτε ποιο χρϊμα κα είναι το 20 ο τετραγωνάκι;»

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Χώρος και Γεωμετρία Χώρος ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Τα προθγοφμενα προγράμματα ςπουδϊν δεν ανζπτυςςαν με ςυςτθματικό τρόπο τισ ζννοιεσ χϊρου ι περιορίηονταν ςε ςτοιχειϊδεισ προςεγγίςεισ (πάνω- κάτω, μζςα- ζξω κ.λπ.). Θ ζρευνα, όμωσ, ζχει δείξει ότι θ ανάπτυξθ του χωρικοφ ςυλλογιςμοφ, μιασ δθλαδι αντίλθψθσ των ςχζςεων και δθμιουργίασ νοερϊν εικόνων για το χϊρο, εκτόσ από το να είναι απαραίτθτθ για τθ λειτουργία του ατόμου μζςα ςτο χϊρο αποτελεί ςθμαντικι πθγι ανάπτυξθσ εννοιϊν, διεργαςιϊν και ικανοτιτων. Ο χωρικόσ ςυλλογιςμόσ ςτθρίηει πολλζσ μακθματικζσ ζννοιεσ όπωσ τισ γεωμετρικζσ, τισ γραφικζσ αναπαραςτάςεισ, τα διαγράμματα, πίνακεσ, χάρτεσ κι άλλεσ μορφζσ γραφικισ μοντελοποίθςθσ. Ραράλλθλα, όμωσ, θ χωρικι αντίλθψθ είναι απαραίτθτθ για τθν κατανόθςθ ςχθματιςμϊν, για τθ ςχθματοποίθςθ αρικμθτικϊν ςχζςεων (αρικμθτικι γραμμι), για τθν κατανόθςθ τθσ κεςιακισ αξίασ και των πράξεων, κακϊσ και για τθ ςχθματοποίθςθ ςτθ λφςθ προβλθμάτων. Θ δθμιουργία νοερϊν εικόνων ςτθν αντίλθψθ διςδιάςτατων και τριςδιάςτατων καταςτάςεων, δθλαδι θ ‘οπτικοποίθςθ’, θ χωρικι μνιμθ και θ αντίλθψθ των οπτικϊν γωνιϊν αποδεικνφεται ότι αποκτοφν μεγάλθ ςθμαςία ςτθ μακθματικι ανάπτυξθ. Προθγοφμενθ κι επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ξεκινοφν με εμπειρικζσ ιδζεσ για το χϊρο και τισ ιδιότθτζσ του μζςα από τισ κακθμερινζσ τουσ λειτουργίεσ ςε αυτόν, τισ οποίεσ καλοφνται να ςυςτθματοποιιςουν. Θ επιδιωκόμενθ προςζγγιςθ είναι αρκετά πιο ςφνκετθ από τισ παλαιότερεσ προςεγγίςεισ και ςτοχεφει να δϊςει εμπειρίεσ που βοθκοφν τουσ μακθτζσ να ςυςτθματοποιιςουν τον προςανατολιςμό ςτο χϊρο (τοποκετιςεισ, διευκφνςεισ και ορόςθμα) και να ειςαχκοφν ςτουσ χάρτεσ, να προςεγγίςουν χωρικζσ ιδιότθτεσ μζςα από επικαλφψεισ και να αςκθκοφν ςε τετραγωνιςμζνα περιβάλλοντα (πλακόςτρωτο, ςκακιζρεσ, τετραγωνιςμζνο χαρτί) που δομοφν το χϊρο και ειςάγουν ςε πιο ςυςτθματικζσ οργανϊςεισ, όπωσ είναι το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων. Τα επόμενα χρόνια οι μακθτζσ, βαςιςμζνοι ςε αυτζσ τισ πρϊτεσ εμπειρίεσ, κα δουλζψουν πιο ςυςτθματικά με τουσ χάρτεσ και τισ ιδιότθτζσ τουσ, κακϊσ και με τα ςυςτιματα ςυντεταγμζνων που κα τα προςεγγίςουν βακμιαία. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι ζρευνεσ δείχνουν ότι οι μακθτζσ αν και ζχουν ςθμαντικζσ χωρικζσ δεξιότθτεσ (γνωρίηουν βαςικζσ ζννοιεσ, μποροφν να προςανατολιςτοφν, αναπτφςςουν ορόςθμα και ςυςτιματα αναφοράσ), δεν εμφανίηουν τθν ίδια άνεςθ, κακϊσ δοκιμάηουν να ςυςτθματοποιιςουν αυτζσ τισ λειτουργίεσ. Χρειάηονται προςεκτικζσ εμπειρίεσ και δραςτθριότθτεσ για να δθμιουργιςουν με ςυςτθματικό τρόπο ςυςτιματα αναφοράσ, να αναπτφξουν χωρικι μνιμθ, να κατανοιςουν τθ δομι των τετραγωνιςμζνων περιβαλλόντων και να εξοικειωκοφν με τθν αντίλθψθ και τθ χριςθ απλϊν χαρτϊν.

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Είναι ςθμαντικό να ςθμειωκεί ότι οι δράςεισ των μακθτϊν παρουςιάηουν διαφορετικό επίπεδο δυςκολιϊν ςτουσ χειριςμοφσ ανάλογα με το μζγεκοσ του χϊρου (από το μικρο, ςτο μεςο και μακρο- χϊρο), όπωσ και το πζραςμα από το ζνα ςτο άλλο. Κατάλλθλεσ δράςεισ κα τουσ βοθκιςουν να αναπτυχκοφν και ςτα τρία πλαίςια. Για παράδειγμα, οι μακθτζσ μελετοφν τοποκετιςεισ ςτο πλακόςτρωτο (μεςο- χϊροσ), όπωσ και ςτθ ςκακιζρα ι ςτο τετραγωνιςμζνο χαρτί (μικρο- χϊροσ) ι δοκιμάηουν να αποτυπϊςουν μια κατάςταςθ από το πλακόςτρωτο τθσ αυλισ ςε ζνα τετραγωνιςμζνο ςχζδιο. Θ ζλλειψθ άςκθςθσ ςε αυτι τθν αντιςτοίχθςθ, από τισ μικρζσ θλικίεσ, δθμιουργεί μεταγενζςτερα δυςκολίεσ ςτθ μελζτθ χαρτϊν. Γενικότερα, θ ζλλειψθ ανάπτυξθσ εμπειριϊν και δράςεων ςτο χϊρο εμφανίηεται ακόμα και ςτθν ενιλικθ ηωι των ατόμων μζςω τθσ αδυναμίασ κατανόθςθσ χωρικϊν ςχζςεων, προςανατολιςμοφ και δυνατότθτασ οπτικοποίθςθσ. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Ππωσ αναφζρκθκε ιδθ, ςτθν ενότθτα αυτι επιδιϊκεται θ ςυςτθματοποίθςθ χωρικϊν εμπειριϊν. Ο εκπαιδευτικόσ αποφεφγει απλοϊκζσ προςεγγίςεισ εννοιϊν χϊρου και πραγματοποιεί βιωματικζσ δραςτθριότθτεσ που οδθγοφν τουσ μακθτζσ να ορίςουν μόνοι τουσ ςυςτιματα αναφοράσ για τον προςανατολιςμό ςτο χϊρο, να είναι ςε κζςθ να ανακαλοφν και να περιγράφουν χωρικζσ διευκετιςεισ ι διαδρομζσ, τόςο ςε μθ οργανωμζνα όςο και ςε οργανωμζνα περιβάλλοντα (με κάποια μορφι οργάνωςθσ, δόμθςθσ ι τετραγωνιςμζνο πλαίςιο), και τελικά να δοκιμάηουν να οργανϊςουν το χϊρο. Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να αναπτφξουν και να παρουςιάςουν τρόπουσ εντοπιςμοφ π.χ. ‘κρυμμζνων αντικειμζνων’ ι ςυγκεκριμζνων διαδρομϊν ι ‘κζςεων’, να τισ περιγράφουν ι ακόμα και να τισ αποτυπϊνουν ςε ζνα ςχζδιο. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Σάξθ: «Ψάχνω να βρω» (ΠΜΑ: ΓΔ1) Θ δραςτθριότθτα επιδιϊκει να οδθγιςει τουσ μακθτζσ να αναηθτιςουν και να περιγράψουν κζςεισ αντικειμζνων ςτο χϊρο και με τον τρόπο αυτό να προςεγγίςουν πιο ςυςτθματικά ιδιότθτζσ του και ςχζςεισ όπωσ ορόςθμα, διευκφνςεισ, τοποκετιςεισ. Θ παιγνιϊδθσ μορφι τθσ δραςτθριότθτασ ενκαρρφνει τθν αναηιτθςθ και δθμιουργεί κίνθτρα ςυμμετοχισ. Θ περιγραφι και θ αναηιτθςθ τθσ κζςθσ οδθγεί τουσ μακθτζσ να ϋβγουν’ ζξω από τθ δικι τουσ κεϊρθςθ και να κατανοιςουν τον τρόπο με τον οποίο οι άλλοι αντιλαμβάνονται το χϊρο. Θ προςζγγιςθ αυτι ςτθρίηει μεταγενζςτερα τθ ςυςτθματοποίθςθ των εμπειριϊν προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ ανάπτυξθσ πιο ςυςτθματικϊν μορφϊν, όπωσ είναι τα ςυςτιματα ςυντεταγμζνων και θ αντίλθψθ τριςδιάςτατων καταςτάςεων. Ο εκπαιδευτικόσ βοθκάει τα παιδιά να χωριςτοφν ςε ομάδεσ και να παίξουν με τθ ςειρά κρφβοντασ ζνα αντικείμενο, κακϊσ και να τθροφν τουσ κανόνεσ περιγραφισ. Μετά το τζλοσ του παιχνιδιοφ ενκαρρφνει τθν ανάπτυξθ διαλόγου για τισ

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

δυςκολίεσ που αντιμετωπίηουν οι μακθτζσ, κακϊσ και τθν εξαγωγι ςυμπεραςμάτων για βζλτιςτουσ τρόπουσ περιγραφισ. Στθν εφρεςθ κζςεων και διαδρομϊν θ ςφγχρονθ τεχνολογία μπορεί να αλλάξει τα χαρακτθριςτικά προςζγγιςθσ (π.χ. GPS).

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Αϋ Σάξθ: Σεχνολογικό περιβάλλον «Ladybug Mazes» (ΠΜΑ: ΓΔ2) Το τεχνολογικό περιβάλλον «Ladybug Mazes» βρίςκεται ςτο διδκτυακό τόπο http://nlvm.usu.edu. Το περιβάλλον προςφζρει δφο πλεονεκτιματα: αρχικά, βοθκάει το παιδί να αναλφςει τθν κίνθςθ ςε ‘μπροσ- πίςω’ και ‘δεξιά- αριςτερά’ με ςχθματικό τρόπο και, ςτθ ςυνζχεια, να ‘ςχεδιάςει’ το ςφνολο των κινιςεων που χρειάηεται να ακολουκιςει χωρίσ να περιορίηεται Εικόνα 1 ςτο ‘βλζπω ποφ πάει και ανάλογα διορκϊνω’. Οι διαδικαςία αυτι βοθκάει ςτθν οργάνωςθ των χωρικϊν ιδιοτιτων (μεγζκθ, προςανατολιςμοί). Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να αςχολθκοφν ατομικά ι ομαδικά για να κατευκφνουν τθν παςχαλίτςα ςτο ςθμείο – ςτόχο και να καταλιξουν ςε αποτελεςματικοφσ τρόπουσ.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Αϋ Σάξθ: «Περιγράφω ό,τι βλζπω» (ΠΜΑ: ΓΔ3) Θ δραςτθριότθτα οδθγεί τουσ μακθτζσ να περιγράψουν με χωρικζσ ςχζςεισ τθν καταςκευι που ζχουν μπροςτά τουσ, ΢χιμα 1 ϊςτε οι υπόλοιποι μακθτζσ να τθν ανακαταςκευάςουν χωρίσ να τθ βλζπουν. Οι δράςεισ αυτοφ του τφπου ενκαρρφνουν τθ λεκτικι διατφπωςθ καταςτάςεων και τθν επικοινωνία.

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να αναπτφξουν κανόνεσ επικοινωνίασ και τουσ ενκαρρφνει να ελζγξουν τθν ορκότθτα τθσ επικοινωνίασ ςυγκρίνοντασ το αποτζλεςμα. Αϋ Σάξθ: «Ναυμαχία» (ΠΜΑ: ΓΔ4) Με τθ δραςτθριότθτα αυτι οι μακθτζσ εξοικειϊνονται με τα χαρακτθριςτικά του τετραγωνιςμζνου περιβάλλοντοσ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ξεκινιςει τθν προςζγγιςθ ηθτϊντασ από τουσ μακθτζσ να περιγράψουν κζςεισ ςε πλάκεσ ι ςε τετραγωνιςμζνο χαρτί, κακϊσ και να κζςει ωσ πρόβλθμα τθν αναηιτθςθ ςυμβόλων για να μπορεί να περιγραφεί αυτι θ

Διεργαςία επικοινωνίασ (με ςφμβολα)

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

κζςθ (για παράδειγμα, χρϊματα και ςχιματα ι χρϊματα και αρικμοί ι τζλοσ αρικμοί και γράμματα).

1 2 3 4 Εικόνα 4: Ναυμαχύα ςε πλϊκα και τετραγνιςμϋνο χαρτύ

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ1) Ο εκπαιδευτικόσ παρουςιάηει ςτουσ μακθτζσ το χάρτθ τθσ γειτονιάσ τουσ ι τθσ γειτονιάσ του ςχολείου. Ενκαρρφνει τουσ μακθτζσ να εντοπίςουν το ςπίτι τουσ ι άλλο χαρακτθριςτικό ςθμείο και τθ διαδρομι μζχρι εκεί και προτείνει δραςτθριότθτεσ όπου οι μακθτζσ δίνουν οδθγίεσ προςανατολιςμοφ ι παρουςιάηουν μια κζςθ.

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ2) Ο εκπαιδευτικόσ προτείνει το «Γεωπίνακα» (και ψθφιακό) ι «Τετραγωνικό πλζγμα (γραμμζσ)» και οι μακθτζσ καλφπτουν τθν επιφάνεια με τετράγωνα ι άλλα ςχιματα για να εντοπίςουν ςχζςεισ ι μετρικζσ ιδιότθτεσ. Ενδιαφζρουςα επζκταςθ τθσ δράςθσ είναι θ αλλαγι τθσ πλευράσ (διπλάςια, μιςι, τριπλάςια) και ο υπολογιςμόσ των τετραγϊνων που επικαλφπτουν με τθν αναηιτθςθ τθσ ςχετικισ ςχζςθσ (διπλάςια πλευρά, τετραπλάςιοσ αρικμόσ τετραγϊνων).

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ3) Διεργαςία επικοινωνίασ (με ςφμβολα)

Στο προτεινόμενο παιχνίδι «ναυμαχίασ» το ενδιαφζρον είναι να ενκαρρφνει ο εκπαιδευτικόσ τθν αναηιτθςθ τρόπων κωδικοποίθςθσ τθσ κζςθσ, με γράμματα ι αρικμοφσ. Ρ.χ. α, β, γ οριηόντια και 1, 2, 3, .. κατακόρυφα οπότε μία κζςθ περιγράφεται ωσ β, 3. Θ προςζγγιςθ αυτι μπορεί να οδθγιςει ςτθ γενίκευςθ με δφο αρικμοφσ.

Εικόνα 5

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Γεωμετρία ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ανάπτυξθ γεωμετρικοφ ςυλλογιςμοφ ζχει μεγάλθ ςθμαςία για τθν αντίλθψθ του χϊρου που μασ περιβάλλει αλλά και για τθν κατανόθςθ τθσ μορφισ οργάνωςθσ που προτείνει το γεωμετρικό μοντζλο (όπωσ είναι τα ςχιματα και οι ιδιότθτζσ τουσ, οι ςχθματιςμοί και γενικότερα οι γεωμετρικζσ ςχζςεισ). Θ προςζγγιςθ αυτι απαιτεί να ξεπεράςουν οι μακθτζσ τθ γενικότερθ ολιςτικι αντίλθψθ των μορφϊν που ζχουν και να ςυςτθματοποιιςουν μια αναλυτικι κατανόθςθ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων με βάςθ τισ ιδιότθτεσ και τισ ςχζςεισ τουσ. Τα γεωμετρικά ςχιματα αποτελοφν αφθρθμζνεσ οντότθτεσ που προςεγγίηουν βακμιαία οι μακθτζσ από τισ μικρότερεσ θλικίεσ, κάνοντασ ςυνδζςεισ ανάμεςα ςε αυτό που βλζπουν με τα ςτοιχεία και τισ ιδιότθτεσ που το προςδιορίηουν. Μια τζτοια προςζγγιςθ κα τουσ επιτρζψει να οικοδομιςουν ςταδιακά μια γενικότερθ αναλυτικο- ςυνκετικι ςκζψθ που μπορεί να υποςτθριχκεί από τθν οπτικι αμεςότθτα τθσ Γεωμετρίασ και να επεκτακεί και ςε άλλεσ ενότθτεσ των μακθματικϊν. Σφμφωνα με τα προθγοφμενα, το ενδιαφζρον τθσ διδαςκαλίασ τθσ Γεωμετρίασ ξεπερνά τισ παλαιότερεσ μορφζσ που πρότειναν απλι παρατιρθςθ και ονομαςία των ςχθμάτων και ςτοχεφει ςτθν αντίλθψθ των ςχθμάτων και ςχθματιςμϊν, με τρόπο ϊςτε τα παιδιά να μποροφν να αναλφουν, να ςυνκζτουν και να μεταςχθματίηουν τα γεωμετρικά αντικείμενα για να τα χρθςιμοποιιςουν ςε διάφορεσ εφαρμογζσ. Προθγοφμενθ κι επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ μακαίνουν να αναγνωρίηουν τα βαςικά γεωμετρικά ςχιματα (επίπεδα και ςτερεά) από τισ μικρζσ θλικίεσ. Θ αναγνϊριςθ αυτι αφορά ζνα πρϊτο ςτάδιο (από τα πζντε που ςφμφωνα με τουσ Van Hieles (1986) ακολουκεί θ ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ) και ςχετίηεται με μία ολιςτικι αντίλθψθ χωρίσ διαχωριςμό ςτοιχείων και ιδιοτιτων. Στισ πρϊτεσ τάξεισ του Δθμοτικοφ επιδιϊκεται να αναπτυχκεί μια αντίλθψθ των μερϊν των ςχθμάτων και των ιδιοτιτων που οι μακθτζσ κα είναι, επίςθσ, ςε κζςθ να περιγράψουν. Στθ ςυνζχεια τθσ ανάπτυξισ τουσ οι μακθτζσ κα αςκθκοφν ςτο να κατθγοριοποιοφν τα ςχιματα με βάςθ τισ ιδιότθτεσ και τισ μεταξφ τουσ ςχζςεισ, να εξάγουν ςυμπεράςματα για τισ ιδιότθτεσ και τισ ςχζςεισ, για να οδθγθκοφν ςτο τζλοσ ςε ζνα μελλοντικό πιο κεωρθτικοποιθμζνο επίπεδο. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Θ ζρευνα δείχνει ότι οι μακθτζσ, αν και δεν δυςκολεφονται ςτθν (ολιςτικι) αναγνϊριςθ χαρακτθριςτικϊν ςχθμάτων όπωσ τετράγωνα, τρίγωνα κ.λπ., παραμζνουν, χωρίσ τθν κατάλλθλθ διδακτικι προςζγγιςθ, ςτο επίπεδο αυτό ανεξάρτθτα από τθν θλικία που βρίςκονται. Οι περιςςότεροι αντιλαμβάνονται τα ςχιματα ολιςτικά και δεν καταφζρνουν να περιγράψουν τα ςτοιχεία και τισ ιδιότθτζσ τουσ ι τισ προςεγγίηουν με γενικό τρόπο. Οι ζρευνεσ ζδειξαν, επίςθσ, ότι θ αρχικι ευκολία αναγνϊριςθσ μειϊνεται όταν τα ςχιματα δεν είναι οικεία ι δεν ζχουν μια ςυγκεκριμζνθ μορφι, προςανατολιςμό ι μζγεκοσ, γενικότερα δεν ανταποκρίνονται ςτισ μθ ςτερεοτυπικζσ μορφζσ, όπωσ τα ςχιματα που ακολουκοφν.

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

΢χιμα 1

Τα μικρότερα παιδιά δεν αντιλαμβάνονται τα γεωμετρικά ςχιματα ςτα αντικείμενα που βλζπουν ι δεν αποδίδουν ςε αυτά γεωμετρικά χαρακτθριςτικά. Αντίκετα, τουσ δίνουν ζνα νόθμα με βάςθ τθ χριςθ ι το ρόλο τουσ, για παράδειγμα, μια μπάλα είναι μπάλα κι όχι ςφαίρα. Ζτςι, τα ςυγκεκριμζνα και πρακτικά αντικείμενα δεν μεταςχθματίηονται εφκολα ςε γεωμετρικζσ ζννοιεσ, γεγονόσ με το οποίο κα χρειαςτεί να είναι πολφ προςεκτικοί οι εκπαιδευτικοί. Επιπλζον, τα ιδιαίτερα μζρθ των ςχθμάτων όπωσ οι πλευρζσ, οι κορυφζσ ι οι γωνίεσ γίνονται αντιλθπτζσ με πρακτικό τρόπο, για παράδειγμα, οι μακθτζσ κεωροφν τθ γωνία ωσ «μφτθ» ι μζροσ ςυνάντθςθσ ι ςπαςτι γραμμι ι κίνθςθ, δθλαδι τθσ δίνουν αρκετά νοιματα που κατά περίπτωςθ είναι διαφορετικά από τθ γεωμετρικι τουσ διάςταςθ. Τα γεωμετρικά ςτοιχεία επθρεάηονται ςθμαντικά από τθ φυςικι τουσ υπόςταςθ ςτισ πρακτικζσ εμπειρίεσ και δθμιουργοφν λανκαςμζνεσ αντιλιψεισ που ξεπερνιοφνται δφςκολα. Τα ευριματα αυτά ενιςχφουν τθν άποψθ ότι για τθν ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ ςε επίπεδο μερϊν και ιδιοτιτων των ςχθμάτων είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να ζχουν τισ κατάλλθλεσ δράςεισ και, κατά ςυνζπεια, προςανατολιςμζνεσ εμπειρίεσ. Ομοίωσ, θ ζρευνα δείχνει ότι αν και οι μικροί μακθτζσ αναγνωρίηουν χωρίσ δυςκολία τισ γενικζσ κατθγορίεσ ςχθμάτων, δεν διαχωρίηουν με τθν ίδια ευκολία τα ςχιματα τθσ ίδιασ κατθγορίασ, κυρίωσ τρίγωνα και τετράπλευρα, και ιδιαίτερα αν αυτά δεν βρίςκονται ςε οριηόντιεσ και κατακόρυφεσ διευκφνςεισ. Επίςθσ, ςε επίπεδο καταςκευϊν, αν και οι μακθτζσ είναι ςε κζςθ να παράγουν πολλά ςχιματα με διάφορα υλικά, δεν βλζπουν τα αντικείμενα ωσ γεωμετρικά, δθλαδι αναγνωρίηουν ςε αυτά τθ γενικι μορφι κι όχι δομικά τουσ χαρακτθριςτικά. Με άλλα λόγια, τα παιδιά πραγματοποιοφν τισ καταςκευζσ κιναιςκθτικά (δθλαδι, με τθ δράςθ των χεριϊν) και τισ περιγράφουν ωσ δράςεισ, αλλά δεν οδθγοφνται αυτονόθτα ςε γεωμετρικζσ ιδιότθτεσ. Οι ςυνκζςεισ και οι αναλφςεισ ςχθμάτων αναδεικνφονται ιδιαίτερα ςθμαντικζσ ςτθν ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ, αλλά οι δράςεισ αυτζσ δεν είναι, επίςθσ, αυτονόθτεσ. Οι ερευνθτζσ κατθγοριοποιοφν τα επίπεδα ικανοτιτων των παιδιϊν ςτθν ανάλυςθ και ςφνκεςθ ςχθμάτων ςε πζντε κατθγορίεσ, από τισ αρχικζσ όπου οι μακθτζσ απλά ςυνδυάηουν χωρίσ ςυςτθματικό τρόπο τα ςχιματα, ςε επικαλφψεισ περιγραμμάτων με δοκιμι και πλάνθ, μζχρι τισ τελικζσ όπου πραγματοποιοφν ςχθματιςμοφσ ςχθμάτων, εικόνων ι μορφϊν με τθ χριςθ ιδιοτιτων και νοερϊν μεταςχθματιςμϊν. Θ άςκθςθ των παιδιϊν ςτουσ μεταςχθματιςμοφσ των ςχθμάτων, κυρίωσ ςτθ μετακίνθςθ, τθ ςτροφι και τθ ςυμμετρία, κρίνεται απαραίτθτθ για τθν εννοιολογικι ολοκλιρωςθ τθσ γεωμετρικισ τουσ ςκζψθσ. Θ παραδοςιακι διδαςκαλία με τα ςχιματα να παρουςιάηονται ξεχωριςτά αλλά και να μθν εντοπίηονται οι μεταξφ τουσ ςχζςεισ (που ακολουκεί τα παιδιά και ςε μεγαλφτερεσ θλικίεσ) εμποδίηει τθν αντίλθψθ των μεταςχθματιςμϊν και των αλλαγϊν που μπορεί να υποςτεί ζνα

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

ςχιμα παραμζνοντασ ςτθν ίδια κατθγορία, όπωσ για παράδειγμα το ακόλουκο ορκογϊνιο:

΢χιμα 2

Ερευνθτικά αποτελζςματα δείχνουν ότι οι μακθτζσ παρακολουκοφν κάποιεσ ςτροφζσ ι μετακινιςεισ και μποροφν να βελτιϊςουν τθν οπτικι τουσ ευλυγιςία με τα κατάλλθλα ζργα. Αντίςτοιχα, οι μακθτζσ αναγνωρίηουν τθ ςυμμετρία από τθ μικρότερθ θλικία και διαφοροποιοφνται ςτισ επιδόςεισ με βάςθ τθ ςυνκετότθτα του ςχιματοσ και τθ τοποκζτθςθ του άξονα (οριηόντιο, κατακόρυφο, πλάγιο), αλλά διδακτικζσ παρεμβάςεισ για τθν ανάπτυξθ τθσ ζννοιασ τθσ ςυμμετρίασ δίνουν κετικά αποτελζςματα. Θ δυςκολία αντίλθψθσ και ςφνκεςθσ των οπτικϊν γωνιϊν και των όψεων των αντικειμζνων και των καταςτάςεων, ωσ αποτζλεςμα ζλλειψθσ άςκθςθσ και εμπειριϊν, ακολουκεί το άτομο και ςτθν ενιλικθ ηωι του, όπωσ δείχνουν ζρευνεσ με περιςτροφζσ αντικειμζνων ι αντίλθψθ τθσ παράςταςθσ τριςδιάςτατων αντικειμζνων ςε μεγαλφτερεσ θλικίεσ. Συνικωσ οι αναπαραςτάςεισ τόςο χωρικϊν και γεωμετρικϊν όςο και άλλων καταςτάςεων απεικονίηουν μζροσ τθσ πραγματικότθτασ ι τθσ ιδζασ που περιγράφουν οι μακθτζσ, αλλά και οι ενιλικεσ περιορίηονται ςε ό,τι κεωροφν ότι ‘βλζπουν’ και ςπάνια προχωροφν ςε μια πιο δυναμικι αντίλθψθ, για το λόγο αυτό οι ςχετικζσ δραςτθριότθτεσ που λείπουν ςυςτθματικά από τα προθγοφμενα προγράμματα κρίνονται απαραίτθτεσ. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Σφμφωνα με τα ευριματα που αναφζρκθκαν, οι εκπαιδευτικοί καλοφνται να προτείνουν δραςτθριότθτεσ που εμπλζκουν μια ποικιλία ςχθμάτων ςε διαφορετικζσ κζςεισ, μεγζκθ και προςανατολιςμοφσ και βοθκοφν τουσ μακθτζσ να αναηθτιςουν χαρακτθριςτικά ξεπερνϊντασ τα ολιςτικά πρωτοτυπικά ςχιματα. Ομοίωσ, χρειάηεται να ενκαρρφνουν τουσ μακθτζσ ςε κατθγοριοποιιςεισ ςχθμάτων τθσ ίδιασ μορφισ από τισ μικρότερεσ θλικίεσ (τρίγωνα και τετράπλευρα) ϊςτε να ξεπεράςουν τθ γενικι αντίλθψθ (τρεισ πλευρζσ, τρεισ κορυφζσ) και να ςυςτθματοποιιςουν ιδιότθτεσ και ςχζςεισ. Οι καταςκευζσ των ςχθμάτων με διάφορα υλικά όπωσ και με τα ψθφιακά προγράμματα ςτον Θ/Υ δίνουν ευκαιρίεσ ςτουσ μικροφσ μακθτζσ να περάςουν από τθν ολιςτικι αντίλθψθ ςε μια αντίλθψθ των μερϊν των ςχθμάτων και άρα και των ιδιοτιτων και, μζςα από μια αναλυτικι ςυηιτθςθ πάνω ςτισ καταςκευζσ αυτζσ, να τισ ςυςτθματοποιιςουν διακρίνοντασ πλευρζσ, γωνίεσ, μεγζκθ, οριηόντιεσ και κατακόρυφεσ τοποκετιςεισ όπωσ και παραλλθλίεσ και κακετότθτεσ, ςτοιχεία απαραίτθτα ςε μία καταςκευι. Πμοια αποτελζςματα επιφζρουν οι ςυςτθματικζσ αναλφςεισ και ςυνκζςεισ ςχθμάτων, θ εξοικείωςθ με τισ οπτικοποιιςεισ μεταςχθματιςμϊν, οι αλλαγζσ οπτικϊν γωνιϊν και θ ςφνδεςθ πραγματικϊν καταςτάςεων με διαφορετικζσ μορφζσ αναπαραςτάςεων. Εμπειρίεσ με νοερζσ

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

περιςτροφζσ ι αντιςτροφζσ, διπλϊςεισ ι άλλουσ μεταςχθματιςμοφσ δθμιουργοφν δυναμικζσ αναπαραςτάςεισ που ενιςχφουν τισ εςωτερικζσ αναπαραςτάςεισ των μακθτϊν και τισ νοερζσ επεξεργαςίεσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ5) Δραςτθριότθτεσ όπωσ οι γριγορεσ αναγνωρίςεισ ςχθμάτων διαφορετικϊν κατθγοριϊν (όπωσ τρίγωνα, τετράγωνα, κφκλοι, ορκογϊνια, εξάγωνα, πεντάγωνα, τραπζηια, απλά τετράπλευρα κ.λπ.) ςε διαφορετικζσ κζςεισ, μεγζκθ και προςανατολιςμοφσ βοθκοφν τα παιδιά να επικεντρωκοφν ςε χαρακτθριςτικά και να ξεφφγουν από ςτερεοτυπικζσ αντιλιψεισ. Ομοίωσ, γριγορεσ αναγνωρίςεισ τθσ ίδιασ κατθγορίασ ςχθμάτων (π.χ. τριγϊνων ι τετραπλεφρων) επιτρζπουν ςτουσ μακθτζσ να μελετιςουν και να ςυγκρίνουν ιδιότθτεσ όπωσ και να εντοπίςουν ςχζςεισ ανάμεςα ςτα ςχιματα (π.χ. Τι κοινό ζχει ζνα ορκογϊνιο με ζνα ρόμβο, με ζνα τετράγωνο; Τι διαφορετικό;).

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Μπορεί επίςθσ να χρθςιμοποιθκεί το τεχνολογικό περιβάλλον «Attribute Blocks» (http://nlvm.usu.edu). Το περιβάλλον προςφζρει ςτουσ μακθτζσ τθ δυνατότθτα να αναγνωρίςουν ςχιματα διαφορετικϊν κατθγοριϊν (τρίγωνα, τετράγωνα, κφκλουσ, ορκογϊνια, εξάγωνα, πεντάγωνα, τραπζηια κ.λπ.) ςε διαφορετικζσ κζςεισ, μεγζκθ και χρϊματα.

Εικόνα 6

Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να μποροφν να αςχολθκοφν ατομικά ι ομαδικά με τισ δραςτθριότθτεσ του τεχνολογικοφ περιβάλλοντοσ και να ελζγξουν μόνοι τουσ τθν ορκότθτα τθσ απάντθςισ τουσ. Δραςτθριότθτεσ όπωσ «Βρεσ τον κανόνα μου» επικεντρϊνουν τουσ μακθτζσ ςτα κριτιρια (δθλαδι, ςτισ ιδιότθτεσ) με βάςθ τα οποία ζγινε μια κατθγοριοποίθςθ (π.χ. γιατί αυτά τα τρίγωνα, αυτά τα τετράπλευρα;) και να περιγράψουν ρθτά αυτά τα κριτιρια. Αϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ6) Εξθγιςαμε ιδθ ότι οι αναλφςεισ και οι ςυνκζςεισ επιτρζπουν τουσ μακθτζσ να διερευνιςουν ιδιότθτεσ και ςχζςεισ, αλλά και να επεξεργαςτοφν ςυνκζςεισ ςχθμάτων και να κάνουν νοεροφσ μεταςχθματιςμοφσ.

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

΢χιμα 1

Στθν ενότθτα αυτι μποροφν να προτακοφν δράςεισ του τφπου «πόςουσ ςυνδυαςμοφσ μποροφμε να κάνουμε με 3 τετράγωνα ι με 4 τρίγωνα» όπου οι μακθτζσ επεξεργάηονται και τουσ πικανοφσ μεταςχθματιςμοφσ ςτισ κζςεισ, αλλά και ςχζςεισ των ςχθμάτων (αν τα ςχιματα δεν είχαν χρϊματα, πόςοι είναι όλοι οι ςυνδυαςμοί;)

΢χιμα 2

Ομοίωσ, μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ψθφιακά περιβάλλοντα: GCompris Ελεφκερο Λογιςμικό / Λογιςμικό Ανοικτοφ Κϊδικα, (ΕΛ/ΛΑΚ) «Ραιχνίδι Τάνγκραμ», http://gcompris.net/-el-

Εικόνα 2

Ρθγζσ με on- line λογιςμικό από το National Council of Teachers of Mathematics (NCTM): "Patch Tool” http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=27 “Shape Cutter” http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=72 “Shape Tool” http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=35 Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ4) Στισ δραςτθριότθτεσ τφπου ‘φλασ’ οι μακθτζσ βλζπουν για μερικά δευτερόλεπτα ζνα ςχιμα και, ςτθ ςυνζχεια, προςπακοφν να το εντοπίςουν ανάμεςα ςε πολλά άλλα. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να δοκιμάςει ποικιλία μορφϊν και κζςεων όπωσ, επίςθσ, και να μειϊςει το χρόνο. Οι μακθτζσ αςκοφνται ςτο να εντοπίηουν γριγορα χαρακτθριςτικά και να

Διεργαςία επικοιννωνίασ (χριςθ νοερϊν αναπαραςτάςεων)

Αϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

μεταςχθματίηουν νοερά το ςχιμα για να αντιςτοιχθκεί με το ηθτοφμενο:

΢χιμα 3

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ5) Στισ δραςτθριότθτεσ περιγραφισ οι μακθτζσ ζχουν τθν ευκαιρία να εντοπίςουν και να περιγράψουν ιδιότθτεσ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να προτείνει ποικιλία ςχθμάτων για να ςτραφεί θ περιγραφι ςε άλλεσ ιδιότθτεσ.

Διεργαςία επικοιννωνίασ (χριςθ νοερϊν αναπαραςτάςεων/ μεταςχθματιςμϊν)

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ7) Στισ δραςτθριότθτεσ άςκθςθσ ςε μεταςχθματιςμοφσ ο εκπαιδευτικόσ προτείνει καταςτάςεισ όπωσ αυτι του περιςτρεφόμενου κουτιοφ που δίνουν τθν ευκαιρία ςτουσ μακθτζσ να κάνουν νοερζσ αλλαγζσ και να εντοπίςουν κζςεισ πριν ι μετά το μεταςχθματιςμό. Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ8) Ο εκπαιδευτικόσ προτείνει μια ποικιλία ςυμμετρικϊν και μθ καταςτάςεων και καλεί τουσ μακθτζσ να εξθγιςουν ποιεσ είναι και ποιεσ όχι, τεκμθριϊνοντασ τθν απάντθςθ. Θ ςυηιτθςθ πάνω ςτισ απαντιςεισ μπορεί να επιτρζψει ςτουσ μακθτζσ να ςυςτθματοποιιςουν άτυπα τισ ιδιότθτεσ των ςυμμετρικϊν ςχθμάτων. Αξιοποιοφν το ψθφιακό περιβάλλον από τθν ενότθτα τθσ Γεωμετρίασ, «Γραμμζσ και ςχιματα», http://www.pischools.gr/software/dimotiko/ και τα αντίςτοιχα από το on- line λογιςμικό του National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), για ςυμμετρικά (Shape Tool, http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=35).

Εικόνα 3

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (αιτιολόγθςθ /διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

Αϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Μετρήσεις ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Μετριςεισ και γενικότερα άτυπεσ και τυπικζσ ςυγκρίςεισ μεγεκϊν πραγματοποιοφν οι μακθτζσ ςυχνά ςτθν κακθμερινι τουσ ηωι. Με τισ αυκόρμθτεσ ποιοτικζσ ςυγκρίςεισ επιδιϊκουν να αντιλθφκοφν, για παράδειγμα, ποια διαδρομι είναι πιο μεγάλθ, πόςο ψθλά είναι ι μποροφν να φκάςουν ι ποιο αντικείμενο είναι πιο μεγάλο. Αυτι θ αυκόρμθτθ και φαινομενικά απλι διαδικαςία ποιοτικισ ςφγκριςθσ και αργότερα ‘μζτρθςθσ’ με τθ χριςθ οργάνων (χαράκακι, μεηοφρα ι μζτρο) κρίνεται ςυχνά επαρκισ και οδθγεί τθν εκπαίδευςθ ςε ελλιπι διδακτικι προςζγγιςθ τθσ μζτρθςθσ με τθν ζνταξι τθσ ςτο γεωμετρικό περιεχόμενο ωσ μζτρθςθσ μθκϊν, επιφανειϊν και όγκων. Στο παρόν πρόγραμμα οι μετριςεισ αποτελοφν ζναν από τουσ πζντε άξονεσ του μακθματικοφ περιεχομζνου και ςτοχεφουν ςτθν ουςιαςτικι κατανόθςθ τθσ διαδικαςίασ μζτρθςθσ με τθν προςζγγιςθ και χριςθ μεκόδων και εργαλείων, τθν ανάπτυξθ δεξιοτιτων εκτίμθςθσ και υπολογιςμϊν κατά προςζγγιςθ. Θ διδακτικι αυτι πρόταςθ ξεκινά από άμεςεσ ςυγκρίςεισ για τθν κατανόθςθ του προσ μζτρθςθ μεγζκουσ, τισ ζμμεςεσ ςυγκρίςεισ με ςυςτθματικζσ επικαλφψεισ με μονάδεσ όπωσ και τθ ςφνδεςθ των επικαλφψεων ι ςτθ ςυνζχεια των επαναλιψεων των μονάδων με ζνα αρικμθτικό αποτζλεςμα. Μια τζτοια διαδικαςία βοθκά τουσ μακθτζσ να ςυνδζςουν τα ςυνεχι χαρακτθριςτικά των γεωμετρικϊν αντικειμζνων, όπωσ είναι το μικοσ, θ επιφάνεια ι ο όγκοσ, με διακριτά μεγζκθ που αποτελοφν τισ μονάδεσ. Προθγοφμενθ κι επόμενθ γνϊςθ: Αναφζραμε ιδθ ότι οι μακθτζσ πραγματοποιοφν αυκόρμθτεσ ςυγκρίςεισ από τισ μικρότερεσ θλικίεσ. Οι διαδικαςίεσ αυτζσ απζχουν ςθμαντικά από τισ ςυςτθματικζσ διαδικαςίεσ μζτρθςθσ, αλλά μποροφν να βοθκιςουν ςτθν ειςαγωγι ςε αυτζσ. Στθ διάρκεια του πρϊτου κφκλου οι μακθτζσ ειςάγονται ςτθ διαδικαςία μζτρθςθσ με τθν εννοιολογικι προςζγγιςθ του μετροφμενου μεγζκουσ (μικουσ, επιφάνειασ ι όγκου) ωσ ιδιαίτερου χαρακτθριςτικοφ των αντικειμζνων που παραμζνει αμετάβλθτο και με τθν πραγματοποίθςθ άμεςων και ζμμεςων ςυγκρίςεων με τθ χριςθ ενδιάμεςων (άτυπων ι ςτθ ςυνζχεια τυπικϊν). Θ χριςθ μονάδων με επανάλθψθ κάνει, επίςθσ, απαραίτθτθ τθν εννοιολογικι κατανόθςθ τθσ διαίρεςθσ ενόσ μεγζκουσ ςε ίςα μζρθ, θ οποία ολοκλθρϊνεται με τθν επανάλθψθ των μονάδων ι με τθν καταμζτρθςθ των ίςων μερϊν και τθ ςφνδεςθ τθσ επανάλθψθσ με ζναν αρικμό. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι θ ειςαγωγι ςτθ μζτρθςθ είναι μια αρκετά ςφνκετθ, αλλά ςθμαντικι για τθν κατανόθςθ, διαδικαςία. Επίςθσ, κάνει απαραίτθτθ τθ δθμιουργία βαςικϊν αναπαραςτάςεων με καλφψεισ του μεγζκουσ με ομοειδι μεγζκθ ι μονάδεσ ι ‘γεμίςματα’ με διάφορα υλικά για τθν αντίλθψθ τθσ ζννοιασ τθσ επανάλθψθσ. Ομοίωσ, θ προςζγγιςθ των τριςδιάςτατων αντικειμζνων

Αϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

υποςτθρίηεται από τθν ζννοια τθσ χωρθτικότθτασ και τθν πρϊτθ επαφι τθσ ζννοιασ του όγκου με ‘γεμίςματα’ με τουβλάκια ι κφβουσ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι πρϊτεσ (κυρίωσ πιαηετιανζσ) ερευνθτικζσ προςεγγίςεισ υποςτιριηαν ότι οι μακθτζσ των μικρϊν θλικιϊν δεν ιταν ςε κζςθ να ςυγκροτιςουν μετρικζσ ζννοιεσ χωρίσ απαραίτθτα λογικά προθγοφμενα, όπωσ θ διατιρθςθ του μεγζκουσ, θ μεταβατικότθτα και θ αντιςτροφι τθσ ςφγκριςθσ. Μεταγενζςτερεσ, όμωσ, ζρευνεσ τεκμθριϊνουν ότι οι μακθτζσ των θλικιϊν αυτϊν, αν και δεν είναι ςε κζςθ να κατανοιςουν τθ διατιρθςθ του μικουσ όπωσ τθν περιγράφει ο Piaget, πετυχαίνουν ςε ζργα που ςχετίηονται με μζτρθςθ, ιδιαίτερα όταν ζχουν τθν ανάγκθ να ςυγκρίνουν μεγζκθ και μάλιςτα αν χρθςιμοποιοφν τυπικζσ μονάδεσ όπωσ το μζτρο, ο χάρακασ κ.λπ. Οι μικροί μακθτζσ επιτυγχάνουν ςε μεγάλο βακμό τισ άμεςεσ ςυγκρίςεισ, αλλά θ ςφγκριςθ με τθ βοικεια επικαλφψεων δεν είναι αυτονόθτθ κι απαιτεί ζνα πζραςμα από ζνα ςτάδιο «ψευδο-επικάλυψθσ» για να φτάςουν ςταδιακά ςε πιο ςυςτθματικζσ μορφζσ ωσ τθν ολοκλθρωμζνθ επικάλυψθ. Θ διαδικαςία αυτι, επίςθσ, δεν ςυνδζεται χωρίσ κατάλλθλεσ δράςεισ με το αρικμθτικό αποτζλεςμα. Ομοίωσ, θ χριςθ των τυπικϊν ςυμβατικϊν μονάδων γίνεται ςυχνά χωρίσ τθν κατανόθςθ τθσ διαδικαςίασ μζτρθςθσ και αποτελεί μια μάλλον διαδικαςτικι ςυγκριτικά με τθν εννοιολογικι μάκθςθ που επιδιϊκεται. Ριο ςυγκεκριμζνα, οι μακθτζσ μποροφν να χρθςιμοποιιςουν ζνα μζτρο και να διαβάςουν το αποτζλεςμα πάνω ςε αυτό, αλλά δεν αντιλαμβάνονται τι είναι μζγεκοσ, μζτρθςθ ι μζτρο. Οι μακθτζσ χρειάηονται να κατανοιςουν τθ γραμμικότθτα των μθκϊν ι αντίςτοιχα να αντιλθφκοφν τθν επιφάνεια και τον όγκο, τθν ζννοια τθσ ιςότθτασ και τθσ επανάλθψθσ των μονάδων και να τθ ςυνδζςουν με τθ μζτρθςθ με το χάρακα. Δεν επαρκεί να καταμετροφν με αυκαίρετεσ ι τυπικζσ μονάδεσ οφτε να διαβάηουν μια ζνδειξθ ςτο χάρακα, αλλά απαιτείται μια ςφνδεςθ των διαδικαςιϊν με το μζγεκοσ που μετράται και του αρικμοφ με τθ επανάλθψθ τθσ μονάδασ πάνω ςτο μζγεκοσ. Θ δόμθςθ του χϊρου είναι ςθμαντικι ςτθ ςφνδεςθ των επικαλφψεων των επιφανειϊν με τον πολλαπλαςιαςτικό υπολογιςμό του εμβαδοφ. Τα παιδιά αρχίηουν να δομοφν το χϊρο αρχικά πραγματοποιϊντασ επιςτρϊςεισ με τετράγωνα υλικά και, ςτθ ςυνζχεια, ηωγραφίηοντασ τετράγωνα ι χαράηοντασ οριηόντιεσ και κάκετεσ γραμμζσ. Θ μζτρθςθ των επιφανειϊν εμπλζκουν ουςιαςτικά ςτοιχεία που ςχετίηονται με τισ επικαλφψεισ επιπζδων και ςυςτθματικι οργάνωςθ αυτϊν των επικαλφψεων ςτα οποία τα παιδιά εμφανίηουν δυςκολίεσ, αλλά μποροφν να αναπτφξουν από νωρίσ με τθν κατάλλθλθ διδακτικι παρζμβαςθ μζςω ςχετικϊν δραςτθριοτιτων. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Θ ειςαγωγι ςτθ διαδικαςία τθσ μζτρθςθσ πραγματοποιείται μζςα από δράςεισ που βοθκοφν τουσ μακθτζσ να κατανοιςουν τόςο τισ ζννοιεσ όςο και τισ διαδικαςίεσ. Ο εκπαιδευτικόσ χρειάηεται να επιδιϊξει να προςεγγίςουν οι μακθτζσ τα διαφορετικά ςτάδια τθσ μζτρθςθσ (άμεςθ ςφγκριςθ μεγεκϊν, επικάλυψθ με μονάδεσ, χριςθ ςυμβατικϊν μονάδων και ςφνδεςθ με το αρικμθτικό αποτζλεςμα). Θ προοδευτικι κατάκτθςθ των ςτοιχείων αυτϊν απαιτεί

Αϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

κατάλλθλεσ δράςεισ με νόθμα και ενδιαφζρον για τουσ μακθτζσ και θ ολοκλιρωςι τουσ είναι απαραίτθτθ για τθν ειςαγωγι ςτθ διαδικαςία μζτρθςθσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΜΔ2) Οι δραςτθριότθτεσ ςφγκριςθσ επιφανειϊν ςε τετραγωνικζσ ι άλλεσ οργανϊςεισ που μποροφν να πραγματοποιιςουν οι μακθτζσ κόβοντασ και μετακινϊντασ επιτρζπει τθν ουςιαςτικότερθ αντίλθψθ τθσ ζννοιασ τθσ επιφάνειασ και τθσ μζτρθςθσ ςτισ δφο διαςτάςεισ. Τα ςτοιχεία αυτά μεταγενζςτερα κα επιτρζψουν τον υπολογιςμό των εμβαδϊν ςε διάφορεσ μορφζσ.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και γενίκευςθ)

΢χιμα 1

Αϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΜΔ3) Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ νοερϊν αναπαραςτάςεων)

΢χιμα 2

Βϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΓΔ12) Στθ Β τάξθ ο εκπαιδευτικόσ ςυνεχίηει τισ δράςεισ με τισ ςυγκρίςεισ επιφανειϊν, οι οποίεσ μποροφν να είναι χωριςμζνεσ ςε μζρθ ι να αφεκεί ςτουσ μακθτζσ ι οργάνωςι τουσ. Ππωσ αναφζραμε ιδθ, οι δράςεισ βοθκοφν τουσ μακθτζσ να αντιλθφκοφν το αμετάβλθτο τθσ επιφάνειασ όπωσ και των τρόπων μζτρθςισ τθσ.

΢χιμα 3

΢χιμα 4

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ νοερϊν αναπαραςτάςεων/ μεταςχθματιςμϊν

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Στοχαστικά Μαθηματικά Στατιστική Θ ειςαγωγι τθσ Στατιςτικισ ςτθν πρϊτθ ςχολικι θλικία αποτελεί ζνα νζο ςτοιχείο ςτο πρόγραμμα ςπουδϊν. Θ γνϊςθ αυτι είναι ςθμαντικι, κακϊσ θ ερμθνεία και θ αξιολόγθςθ δεδομζνων με ςκοπό τθν εξαγωγι ςυμπεραςμάτων και τθ λιψθ αποφάςεων αποτελεί βαςικι δεξιότθτα ςτθ ςφγχρονθ κοινωνία. Στον Α’ κφκλο οι μακθτζσ μακαίνουν να γνωρίηουν ποια δεδομζνα χρειάηεται να ςυλλζξουν για να απαντιςουν ςε ζνα ερϊτθμα, πϊσ κα τα αποκτιςουν, με ποιουσ τρόπουσ μποροφν να τα οργανϊςουν και να τα παρουςιάςουν για να εξθγιςουν το νόθμά τουσ.

Δυςκολίεσ των μακθτϊν:

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Αϋ Σάξθ:

ΠΜΑ: ΢Δ1, ΢Δ2)

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ αναπαραςτάςεων)

Πίνακας 1

ςε

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

τετραγωνιςμζνο χαρτί (ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ζχει ζτοιμα τετραγωνιςμζνα χαρτιά και να δϊςει από ζνα ςε κάκε ομάδα παιδιϊν). Το ραβδόγραμμα που κα προκφψει κα είναι, για παράδειγμα, όπωσ τα παρακάτω:

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ αναπαραςτάςεων)

Σχήμα 1: Ραβδόγραμμα 1

Σχήμα 2: Ραβδόγραμμα 2

Θ δραςτθριότθτα

Διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ αναπαραςτάςεων) Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Βϋ Σάξθ:

ΠΜΑ: ΢Δ1, ΢Δ2)

Διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία

Οι

Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ αναπαραςτάςεων)

Θ ειςαγωγι των Ρικανοτιτων ςτθν πρϊτθ ςχολικι θλικία είναι ςθμαντικι, κακϊσ επιτρζπει ςτουσ μακθτζσ να αρχίςουν να αντιλαμβάνονται τθν αβεβαιότθτα διαφόρων γεγονότων και να αναπτφςςουν τθν ικανότθτα τθσ πρόβλεψθσ. Στον Α’ κφκλο οι μακθτζσ αναπτφςςουν άτυπα τθ γλϊςςα των πικανοτιτων για να περιγράψουν γεγονότα και να ςυγκρίνουν τθν εμφάνιςθ ενδεχομζνων ςε απλά πειράματα τφχθσ.

περιγράφουν ζνα γεγονόσ τθσ κακθμερινισ τουσ εμπειρίασ ωσ βζβαιο, αδφνατο, πικανό, απίκανο και χαρακτθρίηουν ζνα παιχνίδι τφχθσ ωσ δίκαιο ι άδικο. ςυνδυάηουν μικρό αρικμό αντικειμζνων.

Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Θ βαςικι δυςκολία των μακθτϊν του Α’ κφκλου είναι ότι οι απαντιςεισ τουσ βαςίηονται ςε υποκειμενικζσ κρίςεισ. Για παράδειγμα, οι μακθτζσ δεν κάνουν μια ολοκλθρωμζνθ περιγραφι των δυνατϊν αποτελεςμάτων ςε ζνα πείραμα τφχθσ που πραγματοποιείται ςε ζνα ςτάδιο (π.χ. τθ ρίψθ ενόσ ηαριοφ),

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

αλλά αναφζρουν ςυνικωσ τα αποτελζςματα που κεωροφν ότι είναι πιο πικανά να ςυμβοφν ςφμφωνα με τισ προςωπικζσ τουσ επικυμίεσ ι κρίςεισ (π.χ. απαντοφν ότι ο μόνοσ αρικμόσ που προκφπτει κατά τθ ρίψθ ενόσ ηαριοφ είναι το 6, διότι είναι ο τυχερόσ τουσ αρικμόσ). Θ ίδια δυςκολία εμφανίηεται όταν προβλζπουν λιγότερο ι περιςςότερο πικανά γεγονότα ςε ζνα ι δφο διαφορετικοφσ δειγματικοφσ χϊρουσ (π.χ. από ζνα κουτί με 3 κόκκινουσ και 5 μπλε κφβουσ κεωροφν ότι είναι πιο πικανό να τραβιξουν ζνα κόκκινο κφβο γιατί το κόκκινο είναι το αγαπθμζνο τουσ χρϊμα). Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: α) να εκφράηουν και να δικαιολογοφν τισ αρχικζσ τουσ προβλζψεισ, β) να πραγματοποιοφν ζναν ικανοποιθτικό αρικμό δοκιμϊν του πειράματοσ και να καταγράφουν τα αποτελζςματα και γ) να αξιολογοφν τθ διαφορά ανάμεςα ςτισ προβλζψεισ τουσ και

τα εμπειρικά αποτελζςματα που προκφπτουν κατά τθν πραγματοποίθςι του προκειμζνου να οδθγθκοφν ςε ζνα ςυμπζραςμα.

Αϋ Σάξθ: ΠΜΑ: ΠΔ1, ΠΔ2)

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία)

Διεργαςία επικοινωνίασ (Επικοινωνία μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Βϋ Σάξθ: ΠΜΑ: ΠΔ1, ΠΔ2)

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω ςυμβολικισ γλϊςςασ Διεργαςία

Αϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

επικοινωνίασ Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία)

Βϋ ΚΤΚΛΟ΢

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

Αρικμοί Βαςικά κζματα: Αξία κζςθσ ψθφίου και πράξεισ με φυςικοφσ αρικμοφσ ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Ο φυςικόσ αρικμόσ αποτελεί μία από τισ πλζον κεμελιϊδεισ μακθματικζσ ζννοιεσ, με τισ οποίεσ ζρχεται ςε επαφι το παιδί από τθν αρχι τθσ ηωισ του και ςε όλθ τθ διάρκειά τθσ, με αποτζλεςμα να ζχει ιδιαίτερθ αξία για τθ μακθματικι του εκπαίδευςθ. Αναγνωρίηοντασ αυτιν ακριβϊσ τθν αξία, οι ςυντάκτεσ των Ρρογραμμάτων Σπουδϊν των μακθματικϊν αποδίδουν ιδιαίτερθ ςθμαςία ςτθν ζννοια του φυςικοφ αρικμοφ και, κατ’ επζκταςθ, ςτο ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν, κυρίωσ ςτον πρϊτο και ςτο δεφτερο κφκλο εκπαίδευςθσ (5 – 8 και 8 – 12 αντιςτοίχωσ). Κακϊσ θ κοινωνία μασ ςτθρίηεται προοδευτικά όλο και περιςςότερο ςτθν ποςοτικι κωδικοποίθςθ τθσ πλθροφορίασ και ςτα υπολογιςτικά περιβάλλοντα, οι καταςτάςεισ όπου το άτομο καλείται να διαχειριςτεί επιτυχϊσ αρικμθτικά δεδομζνα (όχι μόνο αναφορικά με φυςικοφσ, αλλά και με άλλουσ αρικμοφσ) αυξάνονται ςθμαντικά ςτθν κακθμερινι ηωι, ςτθ ςυμμετοχι ςτα δρϊμενα τθσ κοινότθτασ, ςτθν εργαςία, ςτο ςχολείο. Σιμερα, θ εκπαίδευςθ που αφορά ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ και, γενικότερα, ςτουσ αρικμοφσ επικεντρϊνεται ςτο να διαμορφϊςει πολίτεσ που είναι ςε κζςθ να αξιοποιιςουν τισ αρικμθτικζσ τουσ γνϊςεισ για να ανταποκρικοφν με επιτυχία ςε όλουσ τουσ τομείσ τθσ ανκρϊπινθσ δράςθσ. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Πταν οι μακθτζσ ειςζρχονται ςτο δεφτερο κφκλο τθσ ςχολικισ τουσ εκπαίδευςθσ, αναμζνεται να είναι ςε κζςθ να χειρίηονται με ςχετικι ευχζρεια τον φυςικό αρικμό ωσ ζννοια μζχρι το 1.000, οριςμζνεσ ιδιότθτζσ του (π.χ. αντιμετακετικότθτα, προςεταιριςτικότθτα), τισ τζςςερισ πράξεισ με φυςικοφσ αρικμοφσ, κακϊσ και να επιλφουν απλά και ςφνκετα προβλιματα με τζςςερισ πράξεισ. Με το τζλοσ τθσ δθμοτικισ εκπαίδευςθσ, οι παραπάνω γνϊςεισ αναμζνεται να ζχουν επεκτακεί ςτο ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν και να ζχουν εδραιωκεί. Δυςκολίεσ μακθτϊν: Θ αξία κζςθσ ψθφίου είναι πικανόν να μθν ζχει αποςαφθνιςτεί ακόμθ και μζχρι το τζλοσ τθσ πρωτοβάκμιασ εκπαίδευςθσ, γεγονόσ που μπορεί να επιφζρει δυςκολίεσ ςτουσ μακθτζσ κατά τθν εκτζλεςθ πράξεων με φυςικοφσ αρικμοφσ. Συνεπϊσ, είναι ςθμαντικό να διαςφαλιςτεί θ κατανόθςθ τθσ κεςιακισ αξίασ των ψθφίων από όλουσ τουσ μακθτζσ, μζςω κατάλλθλα οργανωμζνων δραςτθριοτιτων που αναδεικνφουν δομικά και ςθμαςιολογικά ςτοιχεία του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ γραφισ και ανάγνωςθσ αρικμϊν. Αναφορικά με τισ πράξεισ, με το τζλοσ τθσ πρωτοβάκμιασ εκπαίδευςθσ δεν παρατθροφνται ιδιαίτερεσ δυςκολίεσ ςτθν πλειονότθτα των μακθτϊν ωσ προσ τθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ, ωςτόςο, ςτθν περίπτωςθ τθσ αφαίρεςθσ, τα λάκθ και τα προβλιματα κατανόθςθσ είναι ςυχνότερα ςε ςχζςθ με τθν πρόςκεςθ και ςυνδζονται με ηθτιματα ελλιποφσ κατανόθςθσ τθσ διαδικαςίασ δανειςμοφ, τθσ αξίασ κζςθσ ψθφίου και του μθδενόσ. Στον πολλαπλαςιαςμό τα λάκθ των μακθτϊν

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

είναι λιγότερα, ωςτόςο ο αλγόρικμοσ τθσ διαίρεςθσ κεωρείται ο δυςκολότεροσ, κακϊσ θ κατανόθςι του απαιτεί τθν κατανόθςθ τθσ κεςιακισ αξίασ των ψθφίων και τθ δυνατότθτα εκτζλεςθσ πράξεων. Γενικά, θ ςφγχρονθ επιςτθμονικι βιβλιογραφία υποδεικνφει ότι, για να μπορζςει ζνασ μακθτισ να ανταποκρικεί επιτυχϊσ ςε καταςτάςεισ με φυςικοφσ αρικμοφσ είναι ανάγκθ: α) να διακζτει καλι γνϊςθ του μακθματικοφ περιεχομζνου (π.χ., αναπαράςταςθ ενόσ μεγάλου φυςικοφ αρικμοφ, ιδιότθτεσ πράξεων), β) να κατανοεί τον τρόπο που το πλαίςιο κακορίηει το μακθματικό νόθμα (π.χ., ο αρικμόσ 40 ωσ κερμοκραςία ςε βακμοφσ Κελςίου είναι υψθλόσ αλλά ωσ ζκφραςθ του βάρουσ ενόσ ενιλικα είναι χαμθλόσ), και γ) να επιλζγει και να διαχειρίηεται αποτελεςματικά ςτρατθγικζσ επίλυςθσ προβλιματοσ (π.χ., διατφπωςθ τθσ κατάλλθλθσ ερϊτθςθσ). Επιπλζον, ο μακθτισ είναι ςθμαντικό να μπορεί να δραςτθριοποιείται με επιτυχι τρόπο ςε τρία επίπεδα: 

τθσ άμεςθσ και με ευχζρεια εφαρμογισ αρικμθτικϊν γνϊςεων (π.χ., υπολογιςμόσ τθσ τιμισ μιασ αρικμθτικισ παράςταςθσ),



τθσ δθμιουργικισ αξιοποίθςισ τουσ για τθ διερεφνθςθ νζων καταςτάςεων (π.χ., θ επιλογι τθσ κατάλλθλθσ ςτρατθγικισ ανάπτυξθσ μιασ πόλθσ), και



τθσ κριτικισ κεϊρθςισ τουσ (π.χ., τα κριτιρια μιασ ‘καλισ’ ςτρατθγικισ ανάπτυξθσ μιασ πόλθσ δεν είναι μόνο πλθκυςμιακά/ οικονομικά, δθλαδι, μόνο αρικμθτικά).

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Ο εκπαιδευτικόσ χρειάηεται να ενκαρρφνει τον μακθτι να κατανοιςει τθν ζννοια τθσ πράξθσ και να τθ διακρίνει από τον αλγόρικμο τθσ εκτζλεςισ τθσ. Επίςθσ, είναι ςθμαντικό, ςτο πλαίςιο τθσ διδαςκαλίασ, να επιτρζπει να αναδειχτοφν οι διαφορετικζσ επιλογζσ που μπορεί να προκφψουν κατά τθν εκτζλεςθ μιασ πράξθσ, να αιτιολογθκοφν και να ςυνδεκοφν με τισ προθγοφμενεσ γνϊςεισ των μακθτϊν, ϊςτε να οδθγιςουν προοδευτικά ςτθν ουςιαςτικι κατανόθςθ του αρικμθτικοφ ςυςτιματοσ. Θ διδαςκαλία των αλγόρικμων εκτζλεςθσ των πράξεων με φυςικοφσ αρικμοφσ πραγματοποιείται ςε ζνα πρϊιμο ςτάδιο, όταν θ αντίλθψθ τθσ ζννοιασ του αρικμοφ, τθσ αναπαράςταςισ του με ςυμβολικό τρόπο, κακϊσ και των εννοιϊν των πράξεων και των ιδιοτιτων τουσ (π.χ., τθσ προςεταιριςτικότθτασ) από τουσ μακθτζσ είναι ακόμθ αρκετά περιοριςμζνθ. Επιπλζον, το γεγονόσ ότι οι αρικμθτικζσ πράξεισ είναι το αποτζλεςμα μιασ ςειράσ ςφνκετων και εκτενϊν διαδικαςιϊν δυςκολεφει τθν πρόςβαςθ του μακθτι ςτθ μακθματικι γνϊςθ που εμπλζκεται ςε αυτζσ τισ διαδικαςίεσ. Ωσ αποτζλεςμα των παραπάνω, πολλοί μακθτζσ δυςκολεφονται να ακολουκιςουν τθ λογικι αυτϊν των διαδικαςιϊν και, ςτθν καλφτερθ περίπτωςθ, τισ υιοκετοφν με μθχανικό τρόπο. Αυτι θ μθχανιςτικι προςζγγιςθ ςυμβάλλει ελάχιςτα ςτθν περαιτζρω ανάπτυξθ των αρικμθτικϊν τουσ γνϊςεων και, ειδικότερα, αυτϊν που ςχετίηονται με τθν αξιοποίθςθ ανάλογων τεχνικϊν, ενϊ ςυχνά προκαλεί αρνθτικά ςυναιςκιματα για τα μακθματικά. Μια πολλαπλϊσ τεκμθριωμζνθ δυςκολία των μακθτϊν ςτα μακθματικά αφορά ςτθν αδυναμία τουσ να ‘μεταφζρουν’ τισ γνϊςεισ που αποκτοφν εντόσ ενόσ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

οριςμζνου πλαιςίου ςε ζνα άλλο. Θ αναγνϊριςθ αυτισ τθσ δυςκολίασ οδιγθςε τθ διδαςκαλία προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ αξιοποίθςθσ καταςτάςεων ςχετικϊν με τα ενδιαφζροντα των μακθτϊν, οι οποίεσ ζχουν νόθμα για αυτοφσ. Ωςτόςο, όπωσ γριγορα διαπιςτϊκθκε, οι καταςτάςεισ αυτζσ αφενόσ δεν ιταν ‘ρεαλιςτικζσ’ (π.χ., ζνα ρεαλιςτικό πρόβλθμα δεν ζχει απαραίτθτα μία και μοναδικι λφςθ) και αφετζρου, αποτελοφςαν απλό πρόςχθμα για τθν εκτζλεςθ κλαςικϊν μακθματικϊν διαδικαςιϊν. Κάτι ανάλογο ςυνζβθ και με τθν αξιοποίθςθ διακεματικϊν δραςτθριοτιτων, όπου ςυχνά τα μακθματικά επιβάλλονταν με τεχνθτό τρόπο, ενϊ, ταυτόχρονα, δεν ιταν ςαφζσ πϊσ μζςω αυτϊν κα μποροφςε ο μακθτισ να αναπτφξει ζνα καλά δομθμζνο ςϊμα μακθματικϊν γνϊςεων. Αναγνωρίηοντασ τουσ παραπάνω περιοριςμοφσ, οι ςφγχρονεσ αντιλιψεισ προτείνουν τθν εςτίαςθ ςε ςτρατθγικζσ διεργαςίεσ που κακορίηουν τθ μακθματικι γνϊςθ που κα αξιοποιθκεί για τθν επίλυςθ προβλθμάτων και ςε μια παιδαγωγικι που ενκαρρφνει τθν από κοινοφ εργαςία, τα ανοιχτά ζργα, τθν αναηιτθςθ μακθματικϊν εφαρμογϊν αλλά και δεςμϊν μεταξφ μακθματικϊν ιδεϊν και διαφορετικϊν περιςτάςεων. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Γϋ Σάξθ: Πίνακασ Gattegno (ανάγνωςθ, γραφι και κατανόθςθ φυςικϊν αρικμϊν) Ο παρακάτω πίνακασ του Gattegno μπορεί να ςχθματιςτεί ςτο μαυροπίνακα τθσ τάξθσ, να δοκεί ςε φωτοτυπία ςτουσ μακθτζσ ι να προβλθκεί ςε μια επιφάνεια. Αυτό κακιςτά εφκολθ τθν κάλυψθ (με όποιο τρόπο κεωρθκεί καταλλθλότεροσ, π.χ., με ζνα χαρτί) των αρικμϊν που είναι κάκε φορά επικυμθτι. Υπάρχει μεγάλθ ποικιλία ερωτιςεων και δραςτθριοτιτων που κα ιταν δυνατόν να τεκοφν ςτουσ μακθτζσ με αναφορά ςτο ςυγκεκριμζνο πίνακα, ςχετικζσ με τθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ του φυςικοφ αρικμοφ, τθν αξία κζςθσ ψθφίων, τθν ανάγνωςθ και τθ γραφι, τθ διάταξθ και τθ ςφγκριςθ ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ. Για παράδειγμα, κα μποροφςε ο εκπαιδευτικόσ να ξεκινιςει δείχνοντασ το ςφμβολο «7000», και ηθτϊντασ από τουσ μακθτζσ να το εκφράςουν λεκτικά («επτά χιλιάδεσ»). Θ ανάγνωςθ αρικμϊν ςτθν τάξθ υποςτθρίηει τον μακθτι που δεν γνωρίηει, κακϊσ τον βοθκά να εξοικειωκεί με τον αποδεκτό/ νόμιμο τρόπο ανάγνωςισ τουσ. Επιπλζον, ενκαρρφνει τουσ μακθτζσ εκείνουσ που δεν νιϊκουν αυτοπεποίκθςθ, όταν αςχολοφνται με τθ ςυγκεκριμζνθ δραςτθριότθτα. Στθ ςυνζχεια, κα μποροφςε να ηθτθκεί από τουσ μακθτζσ να υποδείξουν ποια κελιά του πίνακα κα πρζπει να καλυφκοφν, ϊςτε να αναπαραςτακεί ζνασ ςυγκεκριμζνοσ φυςικόσ αρικμόσ, ο οποίοσ είτε ανακοινϊνεται προφορικά από κάποιο μακθτι είτε αναγράφεται ςτον πίνακα τθσ τάξθσ από τον εκπαιδευτικό (π.χ., 30.452). Ι αντιςτρόφωσ, ποιοσ αρικμόσ αναπαρίςταται από οριςμζνα καλυμμζνα/ χρωματιςμζνα κελιά (εδϊ κα ιταν ςκόπιμο να χρθςιμοποιθκοφν και αρικμοί που παρουςιάηουν κάποια ιδιαιτερότθτα και δυςκολεφουν αρκετοφσ μακθτζσ,

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

όπωσ, για παράδειγμα, οι αρικμοί 100010, 99999, κτλ).

εργαλείων/ πινάκων

Ακόμθ, μπορεί οι μακθτζσ να εμπλακοφν ςε μια δραςτθριότθτα τφπου παιχνιδιοφ «ςκζφτομαι ζναν αρικμό», ςτο πλαίςιο τθσ οποίασ ζνασ μακθτισ (ι και ο εκπαιδευτικόσ) αναφζρει ζναν ι δφο αρικμοφσ και οι υπόλοιποι προςπακοφν να εντοπίςουν τον επόμενο/ προθγοφμενο ι κάποιον ενδιάμεςο αρικμό αντιςτοίχωσ. Και ςε αυτιν τθν περίπτωςθ είναι ςθμαντικό να ενκαρρυνκεί θ αξιοποίθςθ ‘ιδιαίτερων’ αρικμϊν, όπωσ, για παράδειγμα, 9999 ι 10001.

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

Σε όλεσ τισ περιπτϊςεισ, ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να απαντιςουν, χρθςιμοποιϊντασ μόνο τισ εκφράςεισ του προςϊπου του, χειρονομίεσ και τθ γλϊςςα του ςϊματοσ. Αν διατυπωκοφν ςυγχρόνωσ μια ςωςτι και μια λανκαςμζνθ ι μθ ακριβισ απάντθςθ, ςταματά, ενκαρρφνει τουσ μακθτζσ να επαναλάβουν, να ακοφςουν ο ζνασ τον άλλο και να ςυηθτιςουν. Επιβεβαιϊνει τισ ςωςτζσ απαντιςεισ, χωρίσ να επικρίνει τισ λανκαςμζνεσ, επιδιϊκοντασ τθ ςυμμετοχι όλων των μακθτϊν. Στθ ςυγκεκριμζνθ προςζγγιςθ, ο εκπαιδευτικόσ διδάςκει χωρίσ να μιλά (γι’ αυτό και αποκαλείται «ςιωπθρι»). Μζςω αυτισ, θ προςοχι του εκπαιδευτικοφ εςτιάηεται ςτισ απαντιςεισ των μακθτϊν. Μοιάηει με τθ διδαςκαλία που κα ζκανε, αν είχε χάςει τθ φωνι του. Σε αυτι τθ ςυνκικθ, οι μακθτζσ, παραδόξωσ, αιςκάνονται υπό ζλεγχο και ο εκπαιδευτικόσ τουσ παρακολουκεί να ανταποκρίνονται ςτισ απαιτιςεισ του και να αναηθτοφν ςθμάδια επιδοκιμαςίασ. Αυτόσ ο κφκλοσ ανατροφοδότθςθσ ςυνιςτά ζνα ιςχυρό εργαλείο μάκθςθσ.

Πίνακασ 1. Ο πίνακασ του Gattegno από το 1 μζχρι το 9 999 999.

Γϋ Σάξθ: Εργαςία με αρικμογραμμζσ (ςτρατθγικζσ νοερϊν υπολογιςμϊν) Ζνα από τα ςθμαντικά γνωρίςματα των διαδικαςιϊν νοεροφ υπολογιςμοφ είναι ο ιδιοςυγκραςιακόσ τουσ χαρακτιρασ,

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

δθλαδι, το γεγονόσ ότι επιλζγονται με βάςθ τθ ςυμβατότθτά τουσ προσ τον εκάςτοτε τρόπο ςκζψθσ του κάκε μακθτευόμενου. Για παράδειγμα, ςτθν περίπτωςθ τθσ αφαίρεςθσ, άλλοτε υιοκετείται θ μζτρθςθ προσ τα εμπρόσ, άλλοτε θ αφαίρεςθ και άλλοτε θ διαφορά. Αυτιν ακριβϊσ τθν ευελιξία ςτθν υπολογιςτικι ςκζψθ των μακθτϊν είναι που επιδιϊκει να επιτφχει θ ςχετικι διδαςκαλία και προσ αυτιν τθν κατεφκυνςθ είναι ιδιαίτερα χριςιμθ θ αρικμογραμμι. Πταν οι μακθτζσ αποκτιςουν ευχζρεια ςτθ χριςθ ςτρατθγικϊν υπολογιςμοφ, μποροφν να επιλζξουν με μεγαλφτερθ επιτυχία τθν κατάλλθλθ ςτρατθγικι για τθν επίλυςθ ενόσ ςυγκεκριμζνου προβλιματοσ. Οι κάκετεσ πράξεισ «με μολφβι και χαρτί» εμπεριζχουν ςτρατθγικζσ, το εφροσ των οποίων είναι περιοριςμζνο. Οι μακθτζσ, κακϊσ εξοικειϊνονται με τθν εκτζλεςθ κάκετων πράξεων, είναι πικανόν να ςκεφτοφν ότι θ αξιοποίθςθ άλλων, κατεξοχιν νοερϊν μεκόδων, δεν είναι επιτρεπτι. Θ αξιοποίθςθ τθσ ‘κενισ’ αρικμογραμμισ μπορεί να ςυμβάλλει ςθμαντικά προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ ‘νομιμοποίθςθσ’ εναλλακτικϊν ςτρατθγικϊν εκτζλεςθσ των τεςςάρων πράξεων, ενκαρρφνοντασ πιο ευζλικτεσ προςεγγίςεισ και αναγνωρίηοντασ αφενόσ τθν ποικιλότθτα και τθ δυναμικι τθσ ανκρϊπινθσ ςκζψθσ και αφετζρου το δικαίωμα τθσ ςφγκριςθσ και τθσ επιλογισ με ςαφι κριτιρια του μακθτευόμενου ςτο ςυγκεκριμζνο ηιτθμα. Αυτό που, τελικά, επιδιϊκεται με τθ χριςθ τθσ αρικμογραμμισ είναι ο εντοπιςμόσ τθσ πιο κατάλλθλθσ, δθλαδι, τθσ πλζον ακριβοφσ, απλισ, γριγορθσ και χωρίσ λάκθ μεκόδου υπολογιςμοφ. Στα παραδείγματα που δίνονται παρακάτω, οι αρικμοί μποροφν να αντικαταςτακοφν προοδευτικά και ανάλογα με τισ δυνατότθτεσ των μακθτϊν από μεγαλφτερουσ. Μζτρθςθ προσ τα εμπρόσ: Είναι χριςιμθ για τουσ αρικμοφσ που ζχουν μικρι διαφορά, για παράδειγμα, 432 - 425: +5 425

+2 430

432

Μζτρθςθ προσ τα πίςω: Θ μζτρθςθ προσ τα πίςω αποτελεί μια χριςιμθ ςτρατθγικι για τθν επίλυςθ αφαιρζςεων με μεγάλθ διαφορά, ιδιαίτερα όταν ο ζνασ από τουσ αρικμοφσ είναι μικρόσ. Θ διαδικαςία αυτι απαιτεί μια αναηιτθςθ του μικρότερου ςτοιχείου τθσ αρικμογραμμισ που είναι απαραίτθτο για τθ επίλυςθ του προβλιματοσ. Για παράδειγμα, 37 — 4:

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

Ο εκπαιδευτικόσ κα μποροφςε να εμπλζξει τουσ μακθτζσ με ζνα κάλεςμα του τφπου: «Φανταςτείτε ότι το μολφβι που χρθςιμοποιείτε λειτουργεί μόνο του. Σκεφτείτε το ‘τριάντα επτά μείον τζςςερα’. Τϊρα, δείξτε μου με το δάκτυλό ςασ ποφ κα πάει το μολφβι. Τϊρα, ςχεδιάςτε το ςτον πίνακα». Είναι πικανόν οι μακθτζσ να υιοκετιςουν για τθ μζτρθςθ προσ τα πίςω τζςςερα άλματα του ενόσ βιματοσ. Ο εκπαιδευτικόσ κα πρζπει να επικροτιςει αυτιν τθν επιλογι, προςκαλϊντασ τουσ, ταυτόχρονα, να φανταςτοφν άλλα άλματα, πριμοδοτϊντασ, αν δεν αναδειχτεί από τουσ μακθτζσ, ζνα άλμα τεςςάρων βθμάτων. Αν οι μακθτζσ αδυνατοφν να ανταποκρικοφν, κα μποροφςε να τουσ ενκαρρφνει προσ αυτιν τθν κατεφκυνςθ με ‘βολικά’ παραδείγματα, όπου ο μικρότεροσ από τουσ δφο όρουσ δεν κα ξεπερνά τθ δεκάδα: 86 - 5, 34 - 2, 69 - 8. Αργότερα, κα μποροφςε να επεκτακεί και ςε περιπτϊςεισ αλλαγισ τθσ δεκάδασ, για παράδειγμα, ςε 34 - 7. ‘Γζφυρα’ με τθν πλθςιζςτερθ δεκάδα: Θ ςτρατθγικι αυτι ςτθρίηεται ςτον επιμεριςμό του μικρότερου από τουσ δφο όρουσ τθσ πράξθσ με κατάλλθλο τρόπο. Για παράδειγμα, ςτθν περίπτωςθ τθσ αφαίρεςθσ 34 – 7, θ ‘γεφφρωςθ’ αυτι κα είχε ωσ εξισ:

Ρρόκειται για μια τεχνικι που απαιτεί ευχζρεια ςτον επιμεριςμό, ςτθν άμεςθ ανάκλθςθ από τθ μνιμθ των δυνατϊν τριάδων των αρικμϊν και ςτθν επιλογι αυτισ που ταιριάηει. Για παράδειγμα, ςτθν παραπάνω περίπτωςθ, οι δυνατζσ τριάδεσ είναι: (0,7,7) & (7, 0, 7), (1, 6, 7) & (6, 1, 7), (2, 5, 7) & (5, 2, 7) και (3, 4, 7) & (4, 3, 7) αλλά κατάλλθλθ είναι μόνο θ τελευταία, κακϊσ θ δεκάδα (30) είναι 4 μακριά από το 34. Ανάλογα, για τον υπολογιςμό του 34 – 9, θ κατάλλθλθ τριάδα είναι θ (4, 5, 9). Θ ςτρατθγικι τθσ ‘γζφυρασ’ μπορεί, φυςικά, να χρθςιμοποιθκεί και με ςθμείο αναφοράσ τισ εκατοντάδεσ *π.χ., 236 - 140 = 236 – (100+36+4)+, τισ χιλιάδεσ, κτλ. Δϋ Σάξθ: Εργαςία με πλζγματα Οι πίνακεσ/ τα πλζγματα αρικμϊν μποροφν να προςφζρουν

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

ευκαιρίεσ για ενδιαφζρουςεσ εμπειρίεσ κατανόθςθσ τθσ ζννοιασ του φυςικοφ αρικμοφ και των πράξεων με φυςικοφσ αρικμοφσ. Σε αυτιν τθν προοπτικι, προτείνεται θ χριςθ ςεναρίων δραςτθριοτιτων με ‘ςφννεφα’ και ‘ςταγόνεσ’ που κρφβουν μια μικρι, αρχικά, και μεγαλφτερθ, αργότερα, περιοχι του πλζγματοσ αρικμϊν (Εικόνα 1). Το μάκθμα μπορεί να ξεκινιςει με ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ ςχετικά με τα ορατά μζρθ του πλζγματοσ. Στο πλαίςιο αυτισ τθσ ςυηιτθςθσ, ο εκπαιδευτικόσ ενκαρρφνει τουσ μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν ό,τι γνωρίηουν για τθ δομι του πλζγματοσ, για να εργαςτοφν με τουσ κρυμμζνουσ αρικμοφσ. Μπορεί να δθμιουργιςει ςυνκικεσ εργαςίασ ςε διαφορετικά επίπεδα δυςκολίασ και να καλζςει τουσ μακθτζσ διαφορετικϊν ομάδων να εργαςτοφν ςτισ αντίςτοιχεσ ςυνκικεσ ενόσ, μερικϊν ι και όλων αυτϊν των επιπζδων. Για παράδειγμα, μια ομάδα κα μποροφςε να επιχειριςει να αποκαλφψει τουσ αρικμοφσ που καλφπτουν κάποιεσ ςταγόνεσ ςε ζνα πλζγμα με αρικμοφσ, ενϊ άλλεσ ομάδεσ κα μποροφςαν να μελετιςουν τουσ ςυγκεκριμζνουσ αρικμοφσ ςε γραπτοφσ αλγορίκμουσ ι ςε προβλιματα ι ςε ςχζςθ με τισ πράξεισ που διζπουν το πλζγμα.

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Εικόνα 7

Για τθν προβολι των πλεγμάτων κα μποροφςε να χρθςιμοποιθκεί ζνασ overhead προτηζκτορασ και ςφννεφα από χαρτί, για να καλυφκοφν ςυγκεκριμζνοι αρικμοί ι ζνασ διαδραςτικόσ πίνακασ. Επίςθσ, μια αφίςα τοίχου και ςφννεφα από χαρτόνι. Οι αφίςεσ μποροφν να διατθριςουν το ενδιαφζρον των παιδιϊν για πολλά μακιματα. Δραςτθριότθτεσ επζκταςθσ: Οι διαδραςτικοί πίνακεσ δίνουν τθ δυνατότθτα αξιοποίθςθσ πλεγμάτων με αρικμοφσ, μζροσ των οποίων μπορεί να μθν εμφανίηεται ι να εμποδίηεται θ ανάγνωςι του μζςω τθσ τοποκζτθςθσ μιασ άλλθσ εικόνασ πάνω του, π.χ., ενόσ ςφννεφου. Ακόμθ, ςτα πλζγματα αυτά δίνεται θ δυνατότθτα φωτιςμοφ μικροφ μόνο μζρουσ τθσ εικόνασ. Οι παραπάνω δυνατότθτεσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ςε οποιοδιποτε κείμενο (πεηό, ποίθμα, ςυνταγι…) ι ςε μια γραφικι παράςταςθ (εικόνα, γραφικά,

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων/ πινάκων

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

αρικμογραμμι, πλζγματα με αρικμοφσ, διαγράμματα, γεωμετρικά ςχιματα). Ζτςι, δθμιουργοφνται ποικίλεσ και ενδιαφζρουςεσ ςυνκικεσ εργαςίασ ςχετικά με τθν ζννοια των φυςικϊν αρικμϊν, των πράξεων με φυςικοφσ αρικμοφσ αλλά και των αντίςτοιχων ιδιοτιτων ςε όποιο επίπεδο δυςκολίασ είναι επικυμθτό.

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων/ πινάκων Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Εϋ Σάξθ: ‘Αρικμό-γωνα’ Τα ‘αρικμό-γωνα’ είναι πολφγωνα αρικμϊν που χρθςιμοποιοφνται για τθν άςκθςθ ςε υπολογιςμοφσ πρόςκεςθσ, αφαίρεςθσ και πολλαπλαςιαςμοφ και για τθ μελζτθ των ιδιοτιτων των ςυγκεκριμζνων πράξεων (Σχιμα 1). Σε κάκε πλευρά ενόσ τζτοιου πολυγϊνου, οι αρικμοί ςτα τετράγωνα είναι το άκροιςμα, θ διαφορά ι το γινόμενο των αρικμϊν ςτουσ κφκλουσ. Ο βακμόσ δυςκολίασ ςυμπλιρωςθσ των ‘αρικμο-γϊνων’ εξαρτάται από το μζγεκοσ και το είδοσ των αρικμϊν, κακϊσ και από τθν πράξθ που χρθςιμοποιείται. Πρόςκεςθ: Κα μποροφςε να ηθτθκεί θ ςυμπλιρωςθ του ‘αρικμο-γϊνου’ που ακολουκεί ςε κακεμία από τισ ακόλουκεσ περιπτϊςεισ: 

Υπάρχει ζνασ αρικμόσ ςε κάκε κφκλο



Υπάρχουν αρικμοί ςε δφο κφκλουσ και ςε ζνα τετράγωνο



Υπάρχουν αρικμοί ςε δφο τετράγωνα και ςε ζναν κφκλο



Υπάρχουν αρικμοί και ςτα τρία τετράγωνα (μπορεί να ςυμπλθρωκεί το ‘αρικμό-γωνο’;)

΢χιμα 4

Αφαίρεςθ: Ο αρικμόσ ςτο τετράγωνο είναι θ διαφορά και όχι το άκροιςμα των δφο αρικμϊν ςτουσ κφκλουσ, ςε κακεμία πλευρά. Για να αυξθκεί θ δυςκολία, μπορεί να χρθςιμοποιθκοφν διψιφιοι, τριψιφιοι, κτλ αρικμοί (αλλά και κλάςματα, ποςοςτά ι δεκαδικοί αρικμοί). Πολλαπλαςιαςμόσ: Ο αρικμόσ ςτο τετράγωνο είναι το γινόμενο των δφο αρικμϊν ςτουσ κφκλουσ κάκε πλευράσ. Κα μποροφςε να δοκεί ο αρικμόσ ςτο κεντρικό αςτζρι (αρικμόσ-ςτόχοσ) και

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

ζνασ ακόμθ αρικμόσ. Αντί τριγϊνου ι άλλου κανονικοφ ςχιματοσ, το ‘αρικμό-γωνο’ κα μποροφςε να ζχει ςχιμα βρόγχου ι περιδζραιου, όπωσ το παρακάτω (Σχιμα 2). Κα είχε ενδιαφζρον να ηθτιςει ο εκπαιδευτικόσ από τουσ μακθτζσ να εργαςτοφν δεξιόςτροφα αλλά και αντίκετα από τθ φορά των δεικτϊν του ρολογιοφ ςτο

΢χιμα 5

ίδιο περιδζραιο και να ςυηθτιςει μαηί τουσ τισ παρατθριςεισ τουσ. Τζλοσ, ωσ ςυνζχεια και επζκταςθ των παραπάνω δραςτθριοτιτων, κα μποροφςε να δοκεί ςτουσ μακθτζσ ζνα ολοκλθρωμζνο ‘αρικμό-γωνο’ και να ηθτθκεί να βρουν τον κανόνα. Το ‘αρικμο-γϊνο’ κα μποροφςε να είναι τετραγωνικό, πενταγωνικό ι και εξαγωνικό.

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

΢Σϋ Σάξθ: Δραςτθριότθτεσ με το 24 (ιδιότθτεσ αρικμϊν) Ο εκπαιδευτικόσ ςυηθτά με τουσ μακθτζσ για το ρόλο του 24 ςτθ ηωι μασ. Για παράδειγμα, ζχουμε 24 ϊρεσ ςε μία θμζρα, χρθςιμοποιοφμε ζνα ρολόι με 24 ϊρεσ, το οποίο δεν δείχνει ποτζ 24.00 και αγοράηουμε τα αυγά ςε δωδεκάδεσ. Με βάςθ τισ ιδζεσ που κα αναπτφξουν οι μακθτζσ, μπορεί να καταςκευαςτεί μια αφίςα για τον αρικμό 24, θ οποία να αποτελζςει ςτακερό ςθμείο αναφοράσ τθσ τάξθσ. Θ εργαςία με αρικμοφσ, όπωσ ο 24, προςφζρει:  

ευκαιρίεσ διερεφνθςθσ των ιδιοτιτων των αρικμϊν εξοικείωςθ με διάφορουσ τρόπουσ αναπαράςταςθσ ενόσ αρικμοφ



ευκαιρίεσ για ςυηιτθςθ, ςχεδίαςθ, δόμθςθ και αποδόμθςθ, κακϊσ και για ςυςχετίςεισ αναφορικά με τον αρικμό



μελζτθ των κανονικοτιτων ςε ζναν αρικμό



ςυνδζςεισ μεταξφ των διαφορετικϊν μακθματικϊν περιοχϊν



εργαςία με το εμβαδόν, τθν περίμετρο, τθν άλγεβρα και τθν ανάλυςθ δεδομζνων



ευκαιρίεσ ανάπτυξθσ τθσ ευζλικτθσ ςκζψθσ, τθσ δθμιουργικότθτασ, τθσ φανταςίασ και τθσ επιμονισ των

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

μακθτϊν. Στθ φάςθ που οι μακθτζσ παρουςιάηουν όςα γνωρίηουν για τον αρικμό 24, είναι χριςιμο να ενκαρρυνκοφν ϊςτε να ολοκλθρϊςουν δθλϊςεισ για τισ ιδιότθτζσ του, του τφπου «το 24 είναι/ ζχει/ μπορεί/ δεν μπορεί/ δεν είναι …». Ο εκπαιδευτικόσ κα μποροφςε να αρχίςει με κάποιεσ δθλϊςεισ, ενκαρρφνοντάσ τουσ να διατυπϊςουν άλλεσ.

Στθ ςυνζχεια, κα μποροφςε να ηθτθκεί από τουσ μακθτζσ να αναπαραςτιςουν τουσ παράγοντεσ του 24 ςτθν αρικμογραμμι και να ςχεδιάςουν καμπφλεσ γραμμζσ για να ενϊςουν όλα τα κοινά πολλαπλάςια, όπωσ παρακάτω, χρθςιμοποιϊντασ χρϊματα, για να υποδείξουν τουσ κοινοφσ παράγοντεσ (Σχιμα 3).

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων

΢χιμα 6

Τζλοσ, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να αξιοποιιςει το ακόλουκο διάγραμμα, για να αναδείξει τισ ςχζςεισ μεταξφ οριςμζνων από τισ δθλϊςεισ που καταγράφθκαν παραπάνω για τον αρικμό 24 (Σχιμα 4).

΢χιμα 7

΢Σϋ Σάξθ: Ψθφία που λείπουν (αξία κζςθσ ψθφίων & αντιςτροφι πράξεων) Θ ςφνδεςθ τθσ αξίασ κζςθσ ψθφίων με τθν αντιςτροφι των αρικμθτικϊν πράξεων ςυμβάλλει ςτθν απόκτθςθ τθσ ‘αίςκθςθσ του αρικμοφ’, ςτθν εξοικείωςθ με τθν εκτζλεςθ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

πράξεων, κακϊσ και ςτθν εναςχόλθςθ με αρικμοφσ ςε ανϊτερο επίπεδο. Κρφβοντασ ζνα ψθφίο ςε μια αρικμθτικι παράςταςθ (π.χ., 23* + 56 = 290), οι μακθτζσ ενκαρρφνονται να εςτιάςουν τθν προςοχι τουσ ςτισ μακθματικζσ ιδζεσ που εμπλζκονται. Θ δραςτθριότθτα ιςχυροποιείται, αν δφο ι περιςςότερα ψθφία είναι κρυμμζνα ( 23* + 56 = 2*0 ). Σε αυτι τθν περίπτωςθ, θ αρικμθτικι παράςταςθ πρζπει να εξεταςτεί ωσ ολότθτα ςε ςυνδυαςμό με τον τρόπο ςφνδεςθσ των επιμζρουσ ςτοιχείων τθσ. Πταν οι μακθτζσ καλοφνται να ςυνδυάςουν δφο φυςικοφσ αρικμοφσ χρειάηεται να δράςουν ςε δφο επίπεδα δομισ. Το πρϊτο ςχετίηεται με τθν πράξθ που τουσ ςυνδζει. Θ κατανόθςθ τθσ ςχζςθσ αποτελζςματοσ και αντιςτρεψιμότθτασ μιασ τζτοιασ πράξθσ (π.χ., αυξάνεται ι ελαττϊνεται το αποτζλεςμα με τθν αντιςτροφι, ζχει ςθμαςία θ ςειρά των δφο αρικμϊν κ.ά.) αποτελεί αναγκαία προχπόκεςθ επιτυχίασ. Το δεφτερο επίπεδο αφορά τον ίδιο τον αρικμό, τα ψθφία του οποίου αντιπροςωπεφουν διαφορετικζσ αξίεσ, ανάλογα με τθ κζςθ τουσ. Στο δεκαδικό ςφςτθμα το μζγεκοσ κακορίηεται από τθ διάταξθ των ψθφίων από δεξιά προσ τα αριςτερά, κακϊσ και από το μζγεκοσ του κάκε ψθφίου. Οι μακθτζσ χρειάηεται να ςυνδζςουν τθν αίςκθςθ που ζχουν για τθν αξία του κάκε ψθφίου με τθν πραγματικι αξία τθσ κζςθσ που κατζχει, ϊςτε να αποκτιςουν τθν αίςκθςθ του ςυνολικοφ μεγζκουσ του αρικμοφ. Θ ανάπτυξθ τθσ αίςκθςθσ του αρικμοφ είναι δυνατόν να επιταχυνκεί μζςω δραςτθριοτιτων ανάλογων με αυτζσ που προτείνονται παρακάτω. Μποροφν να υπάρξουν περιςςότερα από ζνα ςθμεία εκκίνθςθσ ςτθν προςπάκεια επίλυςθσ των αρικμθτικϊν παραςτάςεων ςτισ οποίεσ λείπει ζνα ψθφίο, κακϊσ επίςθσ και περιςςότερεσ από μία δυνατότθτεσ ςε μια πορεία προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ ςωςτισ επίλυςθσ. Αυτι θ ευελιξία επιτρζπει εξατομικευμζνεσ προςεγγίςεισ και καταςκευζσ από μακθτζσ, βαςιςμζνεσ ςτισ προςωπικζσ τουσ προτιμιςεισ. Αυτζσ πρζπει να αναδειχκοφν και να αναγνωριςτοφν, κακϊσ ζνασ από τουσ ςτόχουσ τθσ ςυηιτθςθσ ςτθν τάξθ είναι να τονιςτεί ότι υπάρχουν πολλά ςχιματα και δομζσ που βαςίηονται ςε κοινζσ μακθματικζσ ζννοιεσ. Υλικό για τθν πραγματοποίθςθ των δραςτθριοτιτων: Αρικμομθχανζσ (για ατομικι χριςθ ι ςε ηεφγθ). Ενδεικτικι πορεία διδαςκαλίασ: • Ραραδείγματα ςτον πίνακα. Θ γλϊςςα των ψθφίων, των αρικμϊν και των αντίςτροφων πράξεων. •

Ηεφγθ/ ομάδεσ εργαςίασ ςτισ ερωτιςεισ 1-3 ςτο φφλλο

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

εργαςίασ 1. • Συηιτθςθ ςτθν τάξθ. Γνϊςθ των ςχζςεων των αρικμϊν. Εκτζλεςθ τθσ αντίκετθσ πράξθσ, το μζγιςτο πικανό αποτζλεςμα δφο ψθφίων. Ραραςτάςεισ με πολλζσ λφςεισ. •

Ηεφγθ/ ομάδεσ εργαςίασ ςτισ ερωτιςεισ 4 και 5.

• Συηιτθςθ ςτθν τάξθ. Ρρόςκεςθ ψθφίων ςφμφωνα με τθν αξία τουσ. Το μεγαλφτερο αποτζλεςμα με τθ χριςθ μεγαλφτερων ψθφίων ςτισ υψθλότερεσ κζςεισ ψθφίων και το αντίςτροφο. Γιατί υπάρχουν δφο πικανζσ παραςτάςεισ που δίνουν το ίδιο αποτζλεςμα; • Ηεφγθ/ ομάδεσ εργαςίασ ςτισ ερωτιςεισ 1-3 του φφλλου εργαςίασ 2. • Συηιτθςθ ςτθν τάξθ. Ρίνακασ πολλαπλαςιαςμοφ. Θ διαίρεςθ ωσ αντίςτροφθ πράξθ του πολλαπλαςιαςμοφ. Θ αίςκθςθ του μεγζκουσ. •

Ηεφγθ/ ομάδεσ εργαςίασ ςτισ ερωτιςεισ 4 και 5.

• Συηιτθςθ ςτθν τάξθ. Ρϊσ πρζπει να ςκεφτείσ για να αποδείξεισ ότι μια αρικμθτικι παράςταςθ είναι αδφνατθ; Εκτζλεςθ του πολλαπλαςιαςμοφ χωριςτά για μονάδεσ και δεκάδεσ και, ςτθ ςυνζχεια, πρόςκεςθ των αποτελεςμάτων.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Φφλλο εργαςίασ 1: Ψθφία που λείπουν Κάκε ερωτθματικό (;) είναι ζνα ψθφίο που λείπει, από το 0 μζχρι το 9. Το ψθφίο ςε κάκε ερωτθματικό (;) μπορεί να είναι διαφορετικό. 1. Να εξθγιςεισ πϊσ βρίςκεισ τα ψθφία που λείπουν ςε κάκε άκροιςμα. 12 + ; =19 ;;; + 150 = 257 ; + 8 = ;4 2. Τι παρατθρείσ ςχετικά με τα παρακάτω ακροίςματα; Μπορείσ να εξθγιςεισ γιατί; ; + 8 = 2; 2; + 4 = 1; 3. Ρόςεσ λφςεισ υπάρχουν γι’ αυτό το άκροιςμα; Γιατί; 33 + ; = 4; (Συηιτθςθ ςτθν τάξθ) 4. Να βρεισ τα ψθφία που λείπουν. Ροιεσ ερωτιςεισ ζκανεσ ςτον εαυτό ςου για να βρεισ τα ψθφία που λείπουν; 3;6 + 5; = 383

Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

8?3 – 7; = 915 5. Σε αυτιν τθν άςκθςθ τα ψθφία διαφορετικά:

πρζπει να είναι

;; + ;; = Να βρεισ το μεγαλφτερο δυνατό άκροιςμα. Να εξθγιςεισ γιατί είναι το μεγαλφτερο. Να βρεισ το μικρότερο δυνατό άκροιςμα και να το εξθγιςεισ. Φφλλο εργαςίασ 2: Ψθφία που λείπουν 1. Δφο λφςεισ είναι πικανζσ. Να εξθγιςεισ γιατί. 8; x ;6 =2158 ;7 x 4; = 1188 2. Να εξθγιςεισ πϊσ βρίςκεισ κακζνα από τα ψθφία που λείπουν: 8; x ;6 = 2158 ;7 x 4; = 1188 3. Να βρεισ το ψθφίο που λείπει:

5;2 : 1; = 28

Γιατί ςε αυτιν τθν άςκθςθ ςκζφτθκεσ με διαφορετικό τρόπο από ότι ςτθν προθγοφμενθ; (Συηιτθςθ ςτθν τάξθ) 4. Τι παρατθρείσ ςχετικά με το αποτζλεςμα τθσ πράξθσ 980 : ; = 2; 5. Σε αυτιν τθν άςκθςθ κάκε ερωτθματικό (;) είναι ζνα διαφορετικό ψθφίο. ;; x ;; Να βρεισ το μεγαλφτερο αποτζλεςμα και να εξθγιςεισ γιατί είναι το μεγαλφτερο. Να βρεισ το μικρότερο αποτζλεςμα και να το εξθγιςεισ. Επζκταςθ 1 Να χρθςιμοποιιςεισ μόνο τα πζντε ψθφία 1, 2, 3, 4 και 5 και τισ πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ ι τθσ αφαίρεςθσ. Να φτιάξεισ προβλιματα με ψθφία που λείπουν για να τα λφςουν οι ςυμμακθτζσ ςου. (Σθμείωςθ: Οι μακθτζσ κα πρζπει να κατανοιςουν ότι ςε μια πρόςκεςθ, για να υπάρχει μοναδικι λφςθ, κα πρζπει να λείπει μόνο ζνα ψθφίο. Σχετικά με τθν αφαίρεςθ, κα πρζπει να εργαςτοφν ςυςτθματικά και να αποςαφθνίςουν κάκε βιμα.) Επζκταςθ 2 Ροιεσ αρικμθτικζσ προτάςεισ μπορείσ να φτιάξεισ χρθςιμοποιϊντασ μόνο τα πζντε ψθφία και μία μόνο πράξθ για να δθμιουργιςεισ το μεγαλφτερο αποτζλεςμα; Να κάνεισ το

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Βϋ Κφκλοσ – Αρικμοί

ίδιο και για το μικρότερο αποτζλεςμα. (Σθμείωςθ: Οι μακθτζσ, χρθςιμοποιϊντασ μόνο τα ψθφία 1, 2, 3, 4 και 5, κα μποροφςαν να βρουν τον καλφτερο τρόπο διαχωριςμοφ για να κάνουν τθν πρόςκεςθ και να εξθγιςουν ςτθν πορεία το ςκεπτικό τουσ.)

Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Άλγεβρα Βαςικά κζματα: Αλγεβρικζσ Παραςτάςεισ, Μεταβλθτζσ, Εξιςϊςεισ ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ανάπτυξθ τθσ αλγεβρικισ ςκζψθσ κεωρείται ιδιαίτερα ςθμαντικι για τθν καλλιζργεια τθσ ικανότθτασ ανάλυςθσ καταςτάςεων με τθ βοικεια ςυμβόλων. Ωςτόςο, μικρόσ αρικμόσ μακθτϊν αλλά και εκπαιδευτικϊν κατανοοφν τθ ςκοπιμότθτα διδαςκαλίασ τθσ άλγεβρασ, με αποτζλεςμα τθν περιοριςμζνθ πρόςβαςθ των πρϊτων ςε βαςικζσ αλγεβρικζσ ζννοιεσ και δομζσ. Θ πρόςβαςθ αυτι δυςχεραίνεται ακόμθ περιςςότερο από τισ ςπάνιεσ ‘αυκεντικζσ’, αλγεβρικζσ «εμπειρίεσ» που βιϊνουν οι μακθτζσ κατά τθ διδαςκαλία, δθλαδι, εμπειρίεσ ςυνειδθτοποίθςθσ των ςχζςεων μεταξφ ποςοτιτων, οι οποίεσ αποτελοφν ςθμείο αφετθρίασ τθσ αλγεβρικισ ςκζψθσ. Οποιαδιποτε προςπάκεια μακθςιακισ εξζλιξθσ ςτθν άλγεβρα προχποκζτει τθν κατανόθςθ τθσ ςθμαςίασ των αλγεβρικϊν ςυμβολιςμϊν και των αντίςτοιχων χειριςμϊν τουσ. Θ ζρευνα ζχει δείξει ότι, όταν οι μακθτζσ εργάηονται ςε ‘αλγεβρικά περιβάλλοντα’, μακαίνουν να χρθςιμοποιοφν ςφμβολα για να αναπαραςτιςουν αρικμοφσ, να γράφουν αλγεβρικζσ παραςτάςεισ, να εργάηονται με αγνϊςτουσ και να εκφράηουν ςχζςεισ μεταξφ μεταβλθτϊν. Επιπλζον, ωκοφνται να χρθςιμοποιιςουν μια ςυμβολικι γλϊςςα, με αποτζλεςμα να αςχολοφνται με δραςτθριότθτεσ μεταςχθματιςμοφ, οι οποίεσ βαςίηονται ςε κανόνεσ. Ειδικότερα, μακαίνουν να εκφράηουν τισ κανονικότθτεσ που ςυναντοφν ςτα μακθματικά με μεταβλθτζσ, δραςτθριότθτα που προςφζρει ευκαιρίεσ χριςθσ των μακθματικϊν ςυμβόλων ωσ εργαλείων ςκζψθσ και ωσ βοθκθμάτων για τθν καλφτερθ κατανόθςθ των μακθματικϊν ιδεϊν. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Κατά τθ διάρκεια του πρϊτου κφκλου εκπαίδευςθσ (5 – 8 ετϊν) οι μακθτζσ αςχολικθκαν ςε ικανοποιθτικό βακμό με τθ μελζτθ μοτίβων, κυρίωσ ςε επίπεδο περιγραφισ και διερεφνθςθσ, κακϊσ και με τθν επεξεργαςία απλϊν αρικμθτικϊν ςχζςεων (ιςότθτεσ και ανιςότθτεσ). Στισ τάξεισ Γϋ - Στ’ του Δθμοτικοφ Σχολείου, οι μακθτζσ κα ζχουν τθν ευκαιρία να αναπτφξουν τθν αλγεβρικι τουσ ςκζψθ ςτο πλαίςιο των παρακάτω δραςτθριοτιτων:  Ραρατιρθςθ, πρόβλεψθ, εξιγθςθ και γενίκευςθ μοτίβων με λζξεισ και ςφμβολα.  Εξερεφνθςθ και χριςθ ςχζςεων, απεικονίςεων και ςυναρτιςεων.  Εξερεφνθςθ, ερμθνεία και καταςκευι διαγραμματικϊν αναπαραςτάςεων. αρικμθτικισ πλθροφορίασ.  Ζκφραςθ ςυναρτιςεων και των γραφικϊν τουσ αναπαραςτάςεων με λζξεισ και γράμματα.  Καταςκευι, ερμθνεία και επίλυςθ απλϊν εξιςϊςεων και τφπων.  Αλγεβρικόσ ςυλλογιςμόσ.  Επίλυςθ προβλθμάτων με τθ χριςθ αλγεβρικϊν εννοιϊν και δεξιοτιτων.

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Ωσ ςυνζπεια τθσ παραπάνω εμπειρίασ, οι μακθτζσ αναμζνεται να αναπτφξουν επαρκϊσ τθν κατανόθςθ των δομικϊν χαρακτθριςτικϊν τθσ αρικμθτικισ και να τθν αξιοποιοφν ικανοποιθτικά, για να μεταςχθματίηουν απλζσ αλγεβρικζσ παραςτάςεισ και ςχζςεισ. Στο Γυμνάςιο, θ νοθτικι αυτι δράςθ αναμζνεται να εδραιωκεί και να αναπτυχκεί περαιτζρω, ϊςτε οι μακθτζσ να είναι ςε κζςθ, προοδευτικά, να λειτουργοφν με ευχζρεια αλλά και να επιτυγχάνουν τθν κατανόθςθ ςε κακαρϊσ ςυμβολικό επίπεδο. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Θ εξαιρετικά εκτεταμζνθ ζρευνα αναφορικά με τισ δυςκολίεσ των μακθτϊν ςτθν άλγεβρα είναι ιδιαίτερα αποκαλυπτικι (βλζπε και ςχετικι ενότθτα ςτο κείμενο του νζου Ρρογράμματοσ Σπουδϊν). Ραρακάτω, επιςθμαίνονται επιγραμματικά οριςμζνεσ μόνο από αυτζσ τισ δυςκολίεσ για τουσ μακθτζσ του βϋ κφκλου τθσ υποχρεωτικισ εκπαίδευςθσ. Αναφορικά με τον αλγεβρικό ςυμβολιςμό, θ ζρευνα δείχνει ότι οι μακθτζσ, ακόμθ και μετά το τζλοσ τθσ πρωτοβάκμιασ εκπαίδευςθσ, τείνουν είτε να χειρίηονται τα γράμματα ωσ ςυγκεκριμζνα αντικείμενα είτε να τα αγνοοφν, ενϊ αρκετοί τα κεωροφν ωσ ςυγκεκριμζνουσ αγνϊςτουσ. Ελάχιςτοι μακθτζσ είναι ςε κζςθ να αντιλθφκοφν τα γράμματα ωσ μεταβλθτζσ. Θ ςχετικι βιβλιογραφία αποδίδει αυτιν τθ δυςκολία ςτθν περιοριςμζνθ κατανόθςθ από μζρουσ τουσ οριςμζνων δομικϊν χαρακτθριςτικϊν τθσ αρικμθτικισ, υποδεικνφοντασ τθν ανάγκθ εςτίαςθσ τθσ διδαςκαλίασ ςε αυτά ακριβϊσ τα ςτοιχεία ςε όλθ τθ διάρκεια του βϋ κφκλου. Εξάλλου, θ διδαςκαλία τθσ άλγεβρασ, ςτθ ςυνζχεια (γϋ κφκλοσ), επικεντρϊνεται ςτουσ μεταςχθματιςμοφσ ςφνκετων αλγεβρικϊν παραςτάςεων, κάτι που απαιτεί ικανότθτα χειριςμοφ των παραςτάςεων ωσ αντικειμζνων αυτϊν κακαυτϊν (δθλαδι, εφαρμογισ ιδιοτιτων ςε παραςτάςεισ και όχι πλζον ςε αρικμοφσ). Σε ςχζςθ με τισ αλγεβρικζσ παραςτάςεισ, θ ζρευνα ζχει δείξει ότι ςυχνά οι μακθτζσ δυςκολεφονται να κατανοιςουν ι δεν αποδζχονται ότι ο ςυνολικόσ αρικμόσ αντικειμζνων ςε δφο ςφνολα που περιζχουν 3 και 5 αντικείμενα αντιςτοίχωσ, είναι 3+5 (και όχι 8), γεγονόσ που μπορεί να οδθγιςει ςτθν αδυναμία αναγνϊριςθσ του ότι θ ζκφραςθ κ+λ παριςτάνει το ςφνολο των αντικειμζνων ςε δφο ςφνολα με κ και λ αντικείμενα αντιςτοίχωσ. Δθλαδι, θ ικανότθτα χειριςμοφ τθσ παράςταςθσ κ+λ ωσ αντικειμζνου εξαρτάται από το αν ο μακθτισ ζχει ςυνειδθτοποιιςει, ζςτω και ενςτικτωδϊσ, τθ ςυγκεκριμζνθ πραγματικότθτα ςτο αρικμθτικό περιβάλλον. Ρολλζσ ζρευνεσ ζχουν εντοπίςει τισ δυςκολίεσ που ςυναντοφν οι μακθτζσ με τουσ μεταςχθματιςμοφσ αλγεβρικϊν παραςτάςεων. Οριςμζνεσ από αυτζσ ζχουν ωσ εξισ:  Αςυνζπεια ςτον ζλεγχο των προχποκζςεων που πλθροφν οι όροι τθσ παράςταςθσ, πριν από τθν ζναρξθ τθσ εργαςίασ με αυτιν, κακϊσ και ςτθ διαδικαςία μεταςχθματιςμοφ που υιοκετείται.  Αδυναμία ςυνεποφσ εφαρμογισ κάποιασ ςτρατθγικισ εργαςίασ και μεταφοράσ γνϊςεων από ζναν τφπο αλγεβρικϊν παραςτάςεων ςε ζναν άλλο (ακόμθ και από μακθτζσ που ζχουν διδαχτεί ςθμαντικό μζροσ τθσ άλγεβρασ).  Συχνά λάκθ κατά τθν απλοποίθςθ αλγεβρικϊν παραςτάςεων του τφπου 3χ2=2χ, που αποδίδονται ςτθν υπερ-γενίκευςθ μακθματικά ζγκυρων πράξεων.  Μικρόσ βακμόσ εξοικείωςθσ με τισ ςυμβάςεισ τθσ αλγεβρικισ ςφνταξθσ. Για παράδειγμα, δυςκολία κατανόθςθσ τθσ χρθςιμότθτασ τθσ παρζνκεςθσ ι ότι,

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

αν ςτθν παράςταςθ αβ, το β αντικαταςτακεί από το –β, θ παράςταςθ δεν γίνεται α-β, αλλά α(-β).  Τθν τοποκζτθςθ του «=0» μετά από μια αλγεβρικι παράςταςθ που ηθτείται να απλοποιθκεί. Τζλοσ, ςε ςχζςθ με τισ εξιςϊςεισ και, ειδικότερα, με τον τρόπο που οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται το ςφμβολο τθσ ιςότθτασ, πολλοί μακθτζσ κεωροφν το «=» ωσ ζνα ςθμάδι που δθλϊνει ότι πρζπει να κάνουν κάτι και ςυχνά να δϊςουν μια απάντθςθ, ζναν αρικμό, και όχι ωσ το ςφμβολο που δθλϊνει ίςθ αξία μεταξφ δεξιοφ και αριςτεροφ μζλουσ τθσ ιςότθτασ. Αυτό γίνεται φανερό και από τθ δυςκολία με τθν οποία αποδζχονται ιςότθτεσ, όπωσ 2+3=1+4 ι 7=7. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Οι ςφγχρονεσ αντιλιψεισ προτείνουν τθν εγκατάλειψθ τθσ διδαςκαλίασ τθσ άλγεβρασ ωσ γενίκευςθσ τθσ αρικμθτικισ και τθν προςζγγιςι τθσ ςτθν τάξθ, ιδθ από το δθμοτικό ςχολείο, μζςω τθσ ανάδειξθσ δεςμϊν μεταξφ των δφο αυτϊν πεδίων ςτο πλαίςιο:  τθσ μελζτθσ ςχζςεων μεταξφ αρικμϊν που μποροφν να εκφραςτοφν με γενικό τρόπο  τθσ εφρεςθσ αρικμϊν που λείπουν (αγνϊςτων) ςε ιςότθτεσ και ταυτότθτεσ  τθσ εργαςίασ με ςυναρτιςεισ ςε κάκε ευκαιρία και ζκφραςισ τουσ με λζξεισ και γράμματα. Θ μελζτθ των μοτίβων αποτελεί ζναν από τουσ πλζον αναγνωριςμζνουσ τρόπουσ ανάδειξθσ των δεςμϊν τθσ αρικμθτικισ και τθσ άλγεβρασ και, επομζνωσ, τθσ ειςαγωγισ ςτθν άλγεβρα και τθσ εξοικείωςθσ του μακθτι με τον αλγεβρικό τρόπο ςκζψθσ. Μια τζτοια προςζγγιςθ κα πρζπει να περιλαμβάνει εργαςία προοδευτικισ δυςκολίασ με μοτίβα, όπωσ, για παράδειγμα:  Αντιγραφι, ςυνζχιςθ και επινόθςθ επαναλαμβανόμενων μοτίβων.  Ανάπτυξθ των εννοιϊν τθσ ‘κανονικότθτασ’ και τθσ ‘ακολουκίασ’.  Αρικμθτικζσ ακολουκίεσ που περιλαμβάνουν και ακολουκίεσ με περιττοφσ και άρτιουσ αρικμοφσ.  Μοτίβα πρόςκεςθσ, αφαίρεςθσ, πολλαπλαςιαςμοφ και διαίρεςθσ.  Μοτίβα ςε πίνακεσ πολλαπλαςιαςμοφ.  Εξιγθςθ μοτίβων και χριςθ τουσ για τθ διατφπωςθ προβλζψεων.  Ερμθνεία και γενίκευςθ μοτίβων και ζκφραςθ γενικεφςεων με λζξεισ και ςφμβολα.  Εξιγθςθ μοτίβων που χρθςιμοποιοφνται ςε νοθτικζσ μεκόδουσ.  Μοτίβα τετράγωνων και τριγωνικϊν αρικμϊν.  Διερεφνθςθ πρϊτων αρικμϊν. Για τθν εργαςία με μοτίβα, όπωσ περιγράφεται παραπάνω, μζςα αποτφπωςισ τουσ, όπωσ πίνακεσ, πλζγματα, χαρτί μιλιμετρζ και άλλα μπορεί να αποτελζςουν ιδιαίτερα χριςιμα εργαλεία ανάδειξθσ των επικυμθτϊν δομϊν. Σε οποιαδιποτε περίπτωςθ, οι μακθτζσ κα πρζπει να ενκαρρφνονται να περιγράφουν μοτίβα, να

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

εκφράηουν με λζξεισ ι με άλλουσ τρόπουσ τθ γενίκευςθ ενόσ μοτίβου και να εξθγοφν γιατί μια ακολουκία ςυμβόλων ςυνιςτά μοτίβο. Θ ζκφραςθ του κανόνα που διζπει ζνα μοτίβο οδθγεί αναπόφευκτα, ςε κάποιο ςθμείο, ςτθν ανάγκθ αξιοποίθςθσ γραμμάτων, δθλαδι, μεταβλθτϊν. Διαπιςτϊνοντασ τθ δυςκολία πολλϊν μακθτϊν με τθν ζννοια τθσ μεταβλθτισ, θ ςφγχρονθ βιβλιογραφία προτείνει τθν εμπλοκι τουσ ςε δραςτθριότθτεσ όπου τα γράμματα χρθςιμοποιοφνται προοδευτικά ωσ ςυγκεκριμζνοι άγνωςτοι, ωσ γενίκευςθ ενόσ προτφπου και, τζλοσ, για να αναπαραςτιςουν μια ποςότθτα που μεταβάλλεται. Τζλοσ, αν και θ ρθτι αναφορά ςε ςυναρτιςεισ είναι ςπάνια ςτα Ρρογράμματα Σπουδϊν των μακθματικϊν τθσ πρωτοβάκμιασ εκπαίδευςθσ, θ ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ είναι ζμμεςα παροφςα ςτθ μελζτθ ςχζςεων και απεικονίςεων και, ειδικότερα, ςτθν:  εξερεφνθςθ, χριςθ και εξιγθςθ ςχζςεων,  ερμθνεία, γενίκευςθ και χριςθ απεικονίςεων,  εφρεςθ ςυντεταγμζνων,  αναγνϊριςθ ςχζςεων μεταξφ ςυντεταγμζνων ενόσ γραφιματοσ,  χριςθ μθχανϊν αρικμϊν. Θ ςφγχρονθ βιβλιογραφία αποδίδει ιδιαίτερθ ςθμαςία ςτθν παροχι ευκαιριϊν ςτουσ μακθτζσ αυτισ τθσ βακμίδασ για να ςυνειδθτοποιιςουν τθν αξία τθσ ςυνάρτθςθσ τόςο ςτθν κακθμερινι ηωι όςο και ςτα ίδια τα μακθματικά. Ρροσ αυτιν τθν κατεφκυνςθ, θ ςχετικι διδαςκαλία είναι ςθμαντικό να αξιοποιιςει τισ άτυπεσ εμπειρίεσ των μακθτϊν και να τουσ ενκαρρφνει να μελετοφν ςχζςεισ ςε διαγραμματικζσ απεικονίςεισ, ςε πίνακεσ, ςε γραφιματα και ςε ςυμβολικζσ αναπαραςτάςεισ. Ενδεικτικζσ Δραςτθριότθτεσ: Γϋ Σάξθ: Μυςτικόσ κϊδικασ Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ εργαλείων

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Ραρακάτω, υπάρχουν κάποια μυςτικά μθνφματα. Τι λζνε;

Να φτιάξεισ ζνα δικό ςου μινυμα. Να το δϊςεισ ςε ζνα φίλο ςου για να το αποκωδικοποιιςει.

Δϋ Σάξθ: Μθχανζσ απεικόνιςθσ Δείξτε ςτουσ μακθτζσ ςασ αυτι τθ μθχανι «διπλαςιαςμοφ» και ρωτιςτε τουσ:

Εικόνα 1

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

Τι αποτζλεςμα κα ζχεισ όταν βάλεισ μζςα το 4; Αν το αποτζλεςμα είναι 20, ποιοσ αρικμόσ μπικε ςτθ μθχανι; Αυτό το διάγραμμα δείχνει πϊσ θ μθχανι αλλάηει κάποιουσ αρικμοφσ.

Να ςχεδιάςεισ ζνα άλλο διάγραμμα, για να δείξεισ πϊσ αλλάηουν κάποιοι άλλοι αρικμοί. Να ςχεδιάςεισ διαφορετικά διαγράμματα, για να δείξεισ τι ςυμβαίνει ςτουσ αρικμοφσ 3, 4, 5 και ςε κάποιουσ άλλουσ αρικμοφσ, όταν χρθςιμοποιείσ: (α) Μια μθχανι «τριπλαςίαςε». (β) Μια μθχανι «πρόςκεςε 7». (γ) Μια μθχανι «αφαίρεςε 2».

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων

100

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

(δ) Μια μθχανι «πολλαπλαςίαςε με το 5 και μετά πρόςκεςε τρία».

Δϋ Σάξθ: Μίνι γεφματα Ραρακάτω, παρουςιάηεται το μενοφ ενόσ Καφζ. Μενοφ Σάντουιτσ Ρίτα Μπιςκότο Καφζσ Τςάι Χυμόσ

Φαγθτό ςτο κατάςτθμα 1,40 1,10 0,70 1,00 0,90 1,00

Φαγθτό ςε πακζτο 1,20 1,00 0,60 0,90 0,70 0,90

Επειδι το Καφζ ζχει πολφ κόςμο, το προςωπικό, αντί να γράφει ολόκλθρθ τθν παραγγελία, χρθςιμοποιεί ζναν κϊδικα, ςτον οποίο οι τιμζσ των προϊόντων ςυμβολίηονται με γράμματα (Εικόνα 2).

Εικόνα 8

Αντί να γράφουν «ζνασ καφζσ, ζνα ςάντουιτσ και ζνασ χυμόσ», γράφουν: Κ+΢+Χ Το κόςτοσ αυτισ τθσ παραγγελίασ είναι: Φαγθτό ςτο κατάςτθμα: Φαγθτό ςε πακζτο:

1,00+1,40+1,00=3,40 0,90+1,20+0,90=3,00

1. Να γράψεισ τουσ κωδικοφσ των τιμϊν και να βρεισ το κόςτοσ τθσ παραγγελίασ ςτο κατάςτθμα και ςε πακζτο για κακεμία από τισ παρακάτω παραγγελίεσ. (α) ζνα τςάι, ζνα ςάντουιτσ. (β) ζνασ καφζσ, ζνα μπιςκότο και μία πίτα. (γ) ζνασ χυμόσ, ζνα τςάι, ζνα ςάντουιτσ και δφο πίτεσ. Ρϊσ ζγραψεσ τθν παραγγελία τθσ ερϊτθςθσ 1(γ) ςε κϊδικα; Κα μποροφςεσ ίςωσ να γράψεισ Χ+Τ+Σ+Ρ+Ρ Ζνασ πιο ςφντομοσ τρόποσ είναι: Χ+Τ+Σ+2Ρ Μια παραγγελία για 25 φλιτηάνια τςάι κα μποροφςε να γραφεί: ι

25 Τ

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων

101

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Με τθ δεφτερθ μζκοδο εξοικονομείσ χρόνο.

Εικόνα 9

2. Να υπολογίςεισ το κόςτοσ ςτο κατάςτθμα και ςε πακζτο για τισ παρακάτω παραγγελίεσ: (α) πζντε καφζδεσ, τρία φλιτηάνια τςάι και τζςςερα μπιςκότα. (β) τρεισ χυμοί, δφο φλιτηάνια τςάι, τζςςερα μπιςκότα και ζνα ςάντουιτσ. (γ) 7Σ+Ρ+5Τ+Χ

Εϋ Σάξθ: Σετράγωνοι και τριγωνικοί αρικμοί Σετράγωνοι αρικμοί Κα χρειαςτείσ ζναν πίνακα με καρφάκια και πινζηεσ.

Ροιο ειδικό ςχιμα είναι το τελευταίο ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο; Να φτιάξεισ τετράγωνα ςχζδια χρθςιμοποιϊντασ: α) 4 καρφάκια, β) 9 καρφάκια και γ) 25 καρφάκια. Μποροφμε να φτιάξουμε τετράγωνα ςχζδια για τουσ αρικμοφσ: 4, 9, 16, 25. Οι αρικμοί αυτοί λζγονται τετράγωνοι αρικμοί.

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

102

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

1) Να βρεισ τουλάχιςτον 5 ακόμθ τετράγωνουσ αρικμοφσ. Να φτιάξεισ και να ονομάςεισ το τετράγωνο ςχζδιο για κακζναν από αυτοφσ. 2) Ροιοι από τουσ παρακάτω αρικμοφσ είναι τετράγωνοι; 28, 49, 62, 64, 78 Σριγωνικοί αρικμοί Κα χρειαςτείσ ιςομετρικό χαρτί και τετραγωνιςμζνο χαρτί.

Εικόνα 10: Λςομετρικό χαρτί

Αυτά τα ςχιματα από κουκίδεσ δείχνουν τουσ πρϊτουσ τζςςερισ τριγωνικοφσ αρικμοφσ. Να τα μεταφζρεισ ςε ιςομετρικό χαρτί. α) Να ςθμειϊςεισ τον αρικμό των κουκίδων κάτω από κάκε ςχιμα. β) Κάκε τριγωνικόσ αρικμόσ ςχθματίςτθκε από τον προθγοφμενο. Με ποιον τρόπο; γ) Ροιοι είναι οι επόμενοι τρεισ τριγωνικοί αρικμοί; Να χρθςιμοποιιςεισ τετραγωνιςμζνο χαρτί, για να αντιγράψεισ τουσ παρακάτω αρικμοφσ και να ςχεδιάςεισ τουσ επόμενουσ τζςςερισ.

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων

Εικόνα 11: Τετραγωνιςμζνο χαρτί

΢Σϋ Σάξθ: x για πρωϊνό Τι είδουσ «μθχανι» είναι αυτι; (Το x μπορεί να είναι οποιοςδιποτε αρικμόσ) Θ εικόνα δείχνει ότι αν μπει το x ςτθ μθχανι, τότε βγαίνει το x + 4. Δθλαδι, αν μπει το 7 ςτθ μθχανι, τότε βγαίνει το 7 + 4, δθλαδι

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

103

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

βγαίνει το 11. Και αν μπει το 19, τότε βγαίνει το 19 + 4, δθλαδι βγαίνει το 23.

Εικόνα 12: Μθχανι του 4

Το x → x+4 είναι ζνασ απλόσ τρόποσ για να πεισ: «Να χρθςιμοποιιςεισ μια "μθχανι" που προςκζτει τζςςερα». Να αντιγράψεισ και να ςυμπλθρϊςεισ:

Να αντιγράψεισ και να ςυμπλθρϊςεισ τα παρακάτω διαγράμματα.

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων

104

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

΢Σϋ Σάξθ: Ερμθνεία γραμμάτων Στθ δραςτθριότθτα Α, τα ςχιματα 1, 2 δίνονται για να διαπιςτωκεί ο τρόποσ με τον οποίο θ πρόςκετθ πλθροφορία επθρεάηει τον τρόπο ςκζψθσ των παιδιϊν. Το ίδιο ιςχφει και για τα ςχιματα 3, 4 αλλά εδϊ είναι επικυμθτό να διαπιςτωκεί, επιπλζον, ο βακμόσ ςτον οποίο θ χριςθ γραμμάτων δυςκολεφει τθ ςκζψθ των μακθτϊν. Το ίδιο επιδιϊκεται και με τα ςχιματα 5, 6 αλλά με μια επιπρόςκετθ δυςκολία, θ μία πλευρά του ορκογωνίου να είναι άκροιςμα δφο ευκφγραμμων τμθμάτων. Ανάλογθ είναι και θ προςζγγιςθ τθσ δραςτθριότθτασ Β, ενϊ θ δραςτθριότθτα Γ προςφζρει μια ακόμθ ευκαιρία ζμμεςθσ επεξεργαςίασ τθσ ζννοιασ τθσ μεταβλθτισ. Α. Τι μπορείσ να γράψεισ για το εμβαδόν των παρακάτω

ορκογωνίων;

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

105

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Β. Τι μπορείσ να γράψεισ για τθν περίμετρο των παρακάτω ςχθμάτων;

Γ. Θ ςχζςθ x + ψ + z = x + p +z είναι αλθκισ: Ράντοτε Ροτζ

Μερικζσ φορζσ

Ρότε; …………………………………….

΢Σϋ Σάξθ: Διμελείσ ςχζςεισ Θ δραςτθριότθτα αφορά ςτο ςυμβολιςμό των ςχζςεων μεταξφ δφο μεταβλθτϊν, κάκε μία από τισ οποίεσ παίρνει τιμζσ από το ςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν. Θ γραμμικι ςχζςθ τθσ μορφισ y= αx+β προςεγγίηεται μζςα από ςυγκεκριμζνο πλαίςιο, όπου ςυςχετίηεται ο αρικμόσ των λευκϊν πλακιδίων με τον αρικμό των μαφρων πλακιδίων ςε ζνα ςχζδιο (π.χ. δαπζδου) και διατυπϊνεται με διαφορετικοφσ τφπουσ, οι οποίοι ςτθ ςυνζχεια ςυγκρίνονται. Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ μετάβαςθ των μακθτϊν από τισ λεκτικζσ ςτισ ςυμβολικζσ αναπαραςτάςεισ των ςχζςεων, οι οποίεσ, ςτθ ςυνζχεια, ςυγκρίνονται για να βρεκοφν οι ομοιότθτεσ και οι διαφορζσ τουσ. Οι μακθτζσ καλοφνται να εξάγουν τισ ςχζςεισ, τισ οποίεσ κα αναπαραςτιςουν ςυμβολικά, από ςυγκεκριμζνα δεδομζνα που προςφζρονται για οπτικι επεξεργαςία. Θ χριςθ φυςικϊν αρικμϊν κάνει τθ δραςτθριότθτα προςιτι ςε όλουσ. Σε μακθτζσ με υψθλζσ επιδόςεισ μπορεί να χρθςιμοποιθκοφν ςυνεχείσ αντί για διακριτζσ

106

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

μεταβλθτζσ. Οι μακθτζσ διαλζγουν τα ηεφγθ των αρικμϊν ςχεδόν ςτθν τφχθ, ενϊ θ ςχζςθ μεταξφ των μεταβλθτϊν είναι προτιμότερο να προκφψει άμεςα και όχι με τθ βοικεια κάποιου πίνακα, εκτόσ και αν ζνασ τζτοιοσ προςανατολιςμόσ αναδειχκεί ςτο πλαίςιο τθσ εργαςίασ των μακθτϊν ι υποδειχκεί από τον εκπαιδευτικό ςε ςθμείο που κα κρίνει κατάλλθλο. Σχετικά με το ςυμβολιςμό ηθτείται από τουσ μακθτζσ να εκφράςουν λεκτικά τθ ςχζςθ με απευκείασ αναφορά ςτισ εμπειρίεσ τουσ, ςτθ ςυνζχεια, να χρθςιμοποιιςουν ζνα ςυνδυαςμό λζξεων και ςυμβόλων και, τζλοσ, να χρθςιμοποιιςουν μόνο ςφμβολα. Αυτι θ διαδικαςία ακολουκεί μια ευρζωσ αποδεκτι αρχι, ςφμφωνα με τθν οποία θ μάκθςθ μιασ ιδζασ μπορεί να μεγιςτοποιθκεί, όταν ςυναντάται μζςα ςε μια ποικιλία καταςτάςεων, όπου αυτι εμπεριζχεται (βεβαίωσ, πρόκειται για αρχι που χριηει προςοχισ και εξαρτάται τόςο από τισ ςυνκικεσ μελζτθσ όςο και από το δυναμικό τθσ τάξθσ). Προτεινόμενθ πορεία εργαςίασ Τα παιδιά εργάηονται ςε ηεφγθ και προςπακοφν να διατυπϊςουν με λζξεισ τον τρόπο με τον οποίο κα βρουν τον αρικμό των πλακιδίων, ςτθν περίπτωςθ των διμελϊν ςχζςεων τισ οποίεσ διερευνοφν. Στθ ςυνζχεια, προχωροφν ςτθ διατφπωςθ τθσ ςχζςθσ με τθ χριςθ λζξεων και ςυμβόλων, κατόπιν ςτθν πλιρθ ςυμβολικι διατφπωςθ και, τζλοσ, ςτθ δθμιουργία ενόσ πίνακα. Με τθ ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ επιχειρείται να αποςαφθνιςτεί θ μετάβαςθ από τισ λζξεισ ςτα ςφμβολα και να καταδειχκοφν οι διαφορετικζσ μορφζσ αναπαράςταςθσ τθσ ςχζςθσ. Είναι ςθμαντικό να χρθςιμοποιθκοφν όλεσ οι δυνατζσ μορφζσ: λζξεισ, λζξεισ αναμιγμζνεσ με ςφμβολα, ςφμβολα και πίνακεσ τιμϊν. Θ δομι τθσ διμελοφσ ςχζςθσ κα πρζπει να αναδειχτεί τόςο από τθν εργαςία των ομάδων όςο και από τθ ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ. Δραςτθριότθτα: Μαφρα και άςπρα πλακίδια Να βρεισ τθ ςχζςθ και να ςυμπλθρϊςεισ τουσ αρικμοφσ των άςπρων και των μαφρων πλακιδίων.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

107

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

Άςπρα…….. Μαφρα….. Άςπρα…… Μαφρα….. Άςπρα…… Μαφρα….. Άςπρα…… Μαφρα 0 Άςπρα……

1. Ρόςα άςπρα πλακίδια κα χρειαςτοφν για 100 μαφρα πλακίδια: 17 μαφρα πλακίδια:.............. 333 μαφρα πλακίδια: ........... 2. Να εξθγιςεισ με λζξεισ πϊσ βρικεσ τον αρικμό των άςπρων πλακιδίων, όταν ξζρεισ πόςα είναι τα μαφρα:. 3. Να ςυμπλθρϊςεισ: Αρικμόσ άςπρων πλακιδίων = _ _ _ _ _ _ _ + _ _ _ _ _ _ _ 4. Να γράψεισ μια παράςταςθ, χρθςιμοποιϊντασ α για τον αρικμό των άςπρων πλακιδίων και μ για τον αρικμό των μαφρων πλακιδίων. 5. Να ςυμπλθρϊςεισ τον πίνακα με τα αποτελζςματα: Μαφρα πλακίδια

Άςπρα πλακίδια

΢Σϋ Σάξθ: Εξιςϊςεισ Εκπαιδευτικό λογιςμικό του Ρ.Λ. για τθν Εϋ και Στϋ τάξθ του Δθμοτικοφ (http://www.pi-schools.gr/software/dimotiko/) Ο μικρόκοςμοσ – applet – του λογιςμικοφ «Ηυγαριά Εξιςϊςεων» είναι ζνα περιβάλλον που βοθκά τουσ μακθτζσ να λφνουν με εικονικό τρόπο απλζσ εξιςϊςεισ τθσ μορφισ: χ + β = γ. Εικόνα 13: Θ Ηυγαριά Εξιςϊςεων

Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ

108

Βϋ Κφκλοσ – Άλγεβρα

μακθτζσ να αςχολθκοφν ατομικά ι ομαδικά με το μικρόκοςμο, ςχθματίηοντασ εξιςϊςεισ ςυμβολικά και εικονικά και, ςτθ ςυνζχεια, να τισ λφςουν τοποκετϊντασ γνωςτζσ και άγνωςτεσ μάηεσ ςτα τάςια με ςκοπό να εντοπίςουν τθν άγνωςτθ μάηα χ.

διαφορετικισ μορφισ εργαλείων

΢Σϋ Σάξθ: Μοτίβα – ΢υναρτιςεισ Τεχνολογικό περιβάλλον (http://nlvm.usu.edu)

«Function

Machine»

Το περιβάλλον προςφζρει τθ δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ να αναγνωρίςουν τα αρικμθτικά μοτίβα που προκφπτουν από τθ μθχανι και, ςτθ ςυνζχεια, να περάςουν ςε γενικεφςεισ διατυπϊνοντασ λεκτικά τον κανόνα και ςυμβολικά τθ ςυνάρτθςθ. Ο εκπαιδευτικόσ αφινει τουσ μακθτζσ να αςχολθκοφν ατομικά ι ομαδικά με το τεχνολογικό περιβάλλον, να αναγνωρίςουν, να περιγράψουν, να επεκτείνουν το αρικμθτικό μοτίβο και να ελζγξουν μόνοι τουσ τθν ορκότθτα τθσ απάντθςισ τουσ. «Να ςφρεισ και να ρίξεισ κάκε αρικμό ςτθν υποδοχι τθσ ‘μθχανισ ςυναρτιςεων’. Να αναηθτιςεισ τον κανόνα που κα ςου επιτρζψει να ςυμπλθρϊςεισ τον πίνακα».

Εικόνα 14: Θ Μθχανι Συναρτιςεων

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω τθσ χριςθσ διαφορετικισ μορφισ εργαλείων Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων/ δεςμϊν

109

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Χϊροσ και Γεωμετρία Γεωμετρία Βαςικά κζματα: Γεωμετρικά ΢χιματα ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: H γεωμετρία εκφράηει και εκφράηεται μζςα από το αγκάλιαςμα του χϊρου μζςα ςτον οποίο ηοφμε, αναπνζουμε και κινοφμαςτε. Ζνα χϊρο που οι μακθτζσ πρζπει να γνωρίςουν, να διερευνιςουν και να κατακτιςουν, ϊςτε να ηουν, να αναπνζουν και να κινοφνται καλφτερα μζςα ςε αυτόν. H γεωμετρία, λοιπόν, είναι ταυτόχρονα ζνα εργαλείο ανάλυςθσ, ςχολιαςμοφ αλλά και ερμθνείασ του κακθμερινοφ μασ κόςμου. Στον αντίποδα αυτισ τθσ άποψθσ βρίςκονται αντιλιψεισ που ταυτίηονται ςε ςθμαντικό βακμό με τθν ετυμολογία τθσ λζξθσ γεωμετρία και τθν απλι ταξινόμιςθ, ονοματολογία και περιγραφι γεωμετρικϊν ςχθμάτων. Οι τελευταίεσ αντιλιψεισ ζχουν κακορίςει τον τρόπο διδαςκαλίασ και μάκθςθσ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων ςε ελλθνικό αλλά και ςε διεκνζσ επίπεδο, αν και ςτο πλαίςιο τθσ διδαςκαλίασ αυτισ τθσ ενότθτασ οι μακθτζσ κα πρζπει πρωτίςτωσ να ζχουν τισ ευκαιρίεσ να αναλφςουν γεωμετρικά ςχιματα και ςτερεά ςτα ςτοιχεία και τισ ιδιότθτεσ τουσ. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Από τισ τάξεισ τθσ πρϊτθσ ςχολικισ θλικίασ οι μακθτζσ περιμζνουμε να ζχουν πλοφςιεσ εμπειρίεσ που κα ςχετίηονται με τθν αναγνϊριςθ και ονοματολογία βαςικϊν γεωμετρικϊν ςχθμάτων και ςτερεϊν αλλά και των χαρακτθριςτικϊν τουσ. Τα αντικείμενα τθσ ςκζψθσ των μακθτϊν ςτισ τάξεισ αυτζσ περιμζνουμε να είναι κυρίωσ θ μορφι μεμονωμζνων ςχθμάτων, δθλαδι με τι μοιάηουν. Ζτςι ζνα ςχιμα είναι τετράγωνο «επειδι μοιάηει με τετράγωνο». Θ εναςχόλθςθ όμωσ των μακθτϊν ςτισ τάξεισ του πρϊτου κφκλου ςπουδϊν με δραςτθριότθτεσ καταςκευισ, ανάλυςθσ και ςφνκεςθσ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων και ςτερεϊν ςε άλλα ςχιματα ι μζρθ, περιμζνουμε, επίςθσ, να ζχουν κεμελιϊςει μια ςκζψθ που κα αναδείξει μελλοντικά ομάδεσ ςχθμάτων που μοιάηουν μεταξφ τουσ λόγω ςυγκεκριμζνων χαρακτθριςτικϊν. Αυτζσ ακριβϊσ οι ομάδεσ ι οι κλάςεισ των ςχθμάτων κα είναι τα αντικείμενα τθσ ςκζψθσ των παιδιϊν για τισ τάξεισ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν. Ζτςι, ζνα ςχιμα είναι τετράγωνο «γιατί ζχει τζςςερισ ίςεσ πλευρζσ, τζςςερισ ορκζσ γωνίεσ, τισ απζναντι πλευρζσ παράλλθλεσ, ίςεσ διαγωνίουσ που τζμνονται κάκετα…». Με τθν ολοκλιρωςθ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν ςτόχοσ μασ είναι να ζχουμε αναδείξει τα χαρακτθριςτικά και τισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων ωσ τα προϊόντα τθσ ςκζψθσ των μακθτϊν. Ζτςι, ζνα ςχιμα είναι τετράγωνο «αν ζχει τζςςερισ ίςεσ πλευρζσ και μία ορκι γωνία». Αυτι ακριβϊσ είναι θ ςκζψθ που περιμζνουμε να κατακτιςουν οι μακθτζσ ςτον τρίτο κφκλο ςπουδϊν, ςτο γυμνάςιο. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ που ςυναντοφν οι μακθτζσ ςτα χρόνια που καλφπτουν τισ τάξεισ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν ςχετίηονται με προτυπικά φαινόμενα. Αυτά τα φαινόμενα, που ζχουν κάνει τθν εμφάνιςι τουσ από τισ τάξεισ του πρϊτου κφκλου ςπουδϊν για ςυγκεκριμζνεσ ζννοιεσ, αναφζρονται ςτθν

110

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

προςκικθ μθ κρίςιμων χαρακτθριςτικϊν ςτθ γεωμετρία ενόσ ςχιματοσ. Ζτςι, για παράδειγμα, ο προςανατολιςμόσ τθσ αναπαράςταςθσ ενόσ ςχιματοσ ςτθ ςελίδα ι ςτον πίνακα επθρεάηει ςε μεγάλο βακμό τθν αναγνϊριςθ του ςχιματοσ από τουσ μακθτζσ. Αντίςτροφα με τισ προθγοφμενεσ περιπτϊςεισ, τα προτυπικά φαινόμενα μπορεί να οδθγιςουν ςτθν αφαίρεςθ κρίςιμων χαρακτθριςτικϊν από τισ ζννοιεσ. Σπανιότερα, λοιπόν, κα αναγνωρίςουν οι μακθτζσ ζνα τρίγωνο ωσ ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ από ότι ζνα μόνο ορκογϊνιο ι ζνα μόνο ιςοςκελζσ τρίγωνο. Θ εμφάνιςθ προτυπικϊν φαινομζνων είναι άμεςα ςυνδεδεμζνθ με τον τρόπο διδαςκαλίασ των γεωμετρικϊν εννοιϊν. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Ακοφμε ςυχνά ότι «μια εικόνα είναι χίλιεσ λζξεισ». Ρόςο μάλλον πολλζσ εικόνεσ μαηί. Κάκε φορά που αναπαριςτοφμε μια γεωμετρικι ζννοια, όμωσ, υπάρχει απϊλεια πλθροφοριϊν, κακϊσ είναι αδφνατον να ςχεδιάςουμε μια γενικευμζνθ αναπαράςταςθ ακόμθ και τθσ πιο ‘απλισ’ ζννοιασ. Θ πειςτικότθτα των αναπαραςτάςεων ςτθ γεωμετρία ςε ςυνδυαςμό με τθ διδαςκαλία που αςχολείται κυρίωσ με τθν ταξινόμθςθ και τθν ονοματολογία των εννοιϊν περιορίηει τθ ςκζψθ των μακθτϊν ςε προτυπικζσ εννοιολογιςεισ. Θ διδαςκαλία των γεωμετρικϊν ςχθμάτων κα πρζπει λοιπόν να εςτιαςτεί ςτθν ανάπτυξθ μιασ ςκζψθσ που κα ςτθρίηεται ςτισ κλάςεισ και ςτισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων. Οι μακθτζσ κα πρζπει να ζχουν τθν ευκαιρία να ςυναρμολογιςουν και να αποςυναρμολογιςουν ςχιματα και να τα ςχεδιάςουν ςε διάφορουσ καμβάδεσ. Ραράλλθλα, και ιδιαίτερα προσ το τζλοσ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν, οι μακθτζσ κα πρζπει να διερευνιςουν τισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων χρθςιμοποιϊντασ περιβάλλοντα δυναμικισ γεωμετρίασ. Σε ανάλογα περιβάλλοντα οι μακθτζσ μποροφν να τροποποιοφν τισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων εικάηοντασ κάκε φορά τισ αλλαγζσ που κα επζλκουν ςτθ γεωμετρία τoυσ. Τζλοσ, εκτόσ από τα φυςικά, τα χειραπτικά και τα ψθφιακά υλικά αναπαράςταςθσ, θ γλϊςςα που κα χρθςιμοποιιςουν οι μακθτζσ για να περιγράφουν τισ εμπειρίεσ τουσ και να αναπτφςςουν υπόκεςεισ και ςυλλογιςμοφσ είναι εξίςου ςθμαντικι. Θ διδαςκαλία ςε αυτόν τον κφκλο ςπουδϊν κα πρζπει να ςτοχεφει, λοιπόν, εκτόσ από τθν κατάκτθςθ τθσ ορολογίασ που αφορά ςτισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων, ςτθν ανάπτυξθ μιασ ανεπίςθμθσ παραγωγικισ γλϊςςασ (όλα, μερικά, κανζνα, αν... τότε..., κ.ο.κ.). Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Γϋ Σάξθ: Καταςκευάηοντασ τετράπλευρα (παραλλαγι τθσ ΓΔ2, ΠΜΑ: Γ3, Γ4, Γ8) Για αυτι τθ δραςτθριότθτα ο εκπαιδευτικόσ κα χρειαςτεί χνουδωτά ςφρματα (Εικόνα 1), καλαμάκια αναψυκτικοφ (Εικόνα 2), ψαλίδι, γεωπίνακεσ, κοινοφσ και ιςομετρικοφσ, κακϊσ και τουσ αντίςτοιχουσ καμβάδεσ. Εναλλακτικά ι ςυνοδευτικά, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να χρθςιμοποιιςει εικονικοφσ γεωπίνακεσ από ζτοιμεσ εφαρμογζσ ςτο διαδίκτυο (Εικόνεσ 3 και 4 αντίςτοιχα).

111

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Εικόνα 1

Εικόνα 2 Διάφορουσ γεωπίνακεσ ςε εικονικι μορφι μποροφμε να βροφμε ςτθ διεφκυνςθ http://nlvm.usu.edu/e n/nav/vlibrary.html

Εικόνα 3

Εικόνα 4

Ο εκπαιδευτικόσ, ςτθν πρϊτθ φάςθ τθσ δραςτθριότθτασ, μοιράηει ςε κάκε ομάδα μακθτϊν καλαμάκια και χνουδωτά ςφρματα και τουσ ηθτά να καταςκευάςουν τετράπλευρα χρθςιμοποιϊντασ τα υλικά με τον τρόπο που φαίνεται ςτθν Εικόνα 5.

Εικόνα 5

Ο εκπαιδευτικόσ ζχει κόψει κατάλλθλα τα καλαμάκια ςε διαφορετικά μικθ ϊςτε να «προςκαλοφν» ςτθ δθμιουργία «αςυνικιςτων» ωσ προσ τισ διαςτάςεισ τουσ τετραπλεφρων, όπωσ αυτϊν που φαίνονται ςτο Σχιμα 1.

Ανάδειξθ μθ προτυπικϊν αναπαραςτάςεων των τετραπλεφρων

΢χιμα 1

Πταν οι μακθτζσ κα ζχουν πια ςτθ διάκεςι τουσ αρκετά τετράπλευρα, τα ταξινομοφν ςε κατθγορίεσ, τα ονοματίηουν και ςυντάςςουν ςφντομεσ, γραπτζσ περιγραφζσ για τα χαρακτθριςτικά των τετραπλεφρων που ανικουν ςε κάκε μία από αυτζσ. Ρεριμζνουμε οι μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν ςτισ περιγραφζσ τουσ χαρακτθριςτικά όπωσ ο αρικμόσ ίςων πλευρϊν ι ίςων γωνιϊν ι και ορκϊν γωνιϊν. Ο ζλεγχοσ τθσ

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων) Διεργαςία επικοινωνίασ

112

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

ιςότθτασ των γωνιϊν μπορεί να γίνει με χαρτί ιχνογραφίασ ι με υλικά τθσ δραςτθριότθτασ (δφο καλαμάκια ενωμζνα με ζνα χνουδωτό ςφρμα), κακϊσ ακριβζςτερεσ μετριςεισ μποροφν να αποπροςανατολίςουν τουσ μακθτζσ από τθ διαδικαςία διερεφνθςθσ των χαρακτθριςτικϊν των τετραπλεφρων. Κατά τθ ςφνταξθ των αναφορϊν ο εκπαιδευτικόσ ενιςχφει τθ χριςθ τθσ απαραίτθτθσ ορολογίασ από τα παιδιά (κορυφζσ, πλευρζσ, γωνίεσ, παράλλθλεσ και κάκετεσ πλευρζσ, ίςεσ πλευρζσ και γωνίεσ), αν και προτεραιότθτα ζχει θ επικοινωνία των αντιλιψεων των παιδιϊν ακόμθ και με ιςχνότερεσ μακθματικά εκφράςεισ. Ζχοντασ καλαμάκια διαφορετικοφ μικουσ ςτισ ςυλλογζσ τουσ, περιμζνουμε οι μακθτζσ να φτιάξουν τετράπλευρα διαφορετικοφ μεγζκουσ , τα οποία ανικουν ςτθν ίδια κλάςθ. Οι μακθτζσ εδϊ κα ζχουν τθν ευκαιρία να ςυηθτιςουν για το ρόλο του μεγζκουσ ςτθν ταξινόμθςθ των τετραπλεφρων. Επίςθσ μποροφν να διερευνιςουν ςχζςεισ μεταξφ του αρικμοφ των ίςων πλευρϊν και των ίςων γωνιϊν και να διερευνιςουν με πρακτικό τρόπο, χρθςιμοποιϊντασ καλαμάκια και κοινοφσ γεωπίνακεσ, ερωτιματα όπωσ: «ζνα τετράπλευρο με 2 ορκζσ γωνίεσ ςε ποια κλάςθ μπορεί να ανικει;», «πϊσ κα ζμοιαηε ζνα πλάγιο παραλλθλόγραμμο ι ζνασ ρόμβοσ με 1 ορκι γωνία;», «με τι κα ζμοιαηε ζνα τραπζηιο με 4 ίςεσ πλευρζσ;», «υπάρχει τετράπλευρο με 1 ορκι γωνία και 2 ηεφγθ ίςων πλευρϊν;» κ.ο.κ. Εδϊ οι μακθτζσ καλοφνται, διατθρϊντασ οριςμζνα χαρακτθριςτικά των τετραπλεφρων αναλλοίωτα, να μεταβάλλουν με δυναμικό τρόπο κάποια άλλα και να πραγματοποιιςουν τθ διερεφνθςθ. Οι προθγοφμενεσ ερωτιςεισ κα είναι θ βάςθ μιασ πρϊτθσ ςυηιτθςθσ για τισ ςχζςεισ που μπορεί να υπάρχουν μεταξφ των κλάςεων των τετραπλεφρων (και όχι απαραίτθτα μια αυςτθρι ταξινόμθςι τουσ). Ζτςι, οι μακθτζσ κα μπορζςουν να διευρφνουν τισ γνϊςεισ τουσ για τα τετράπλευρα, ςυνδζοντασ ουςιαςτικά ιδιότθτεσ και χαρακτθριςτικά που ωσ τότε ζμοιαηαν ξζνα μεταξφ τουσ. Επίςθσ, θ τελευταία ερϊτθςθ κα δϊςει τθν ευκαιρία ςτον εκπαιδευτικό να ςυηθτιςει τα μθ κυρτά τετράπλευρα, κακϊσ μόνο ςε αυτιν τθν κλάςθ μποροφμε να απαντιςουμε κετικά (βλ. Σχιμα 2).

΢χιμα 2

Στθν τρίτθ και τελευταία φάςθ τθσ δραςτθριότθτασ οι μακθτζσ

Ο εκπαιδευτικόσ προςκζτει ςτθ ςυλλογι περιπτϊςεισ τετραπλεφρων που δεν εμφανίςτθκαν με αυκόρμθτο τρόπο από τα παιδιά.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Αυτι θ διερεφνθςθ μπορεί να πραγματοποιθκεί με τα υλικά τθσ δραςτθριότθτασ ι ςε ψθφιακό περιβάλλον (Cabri, Goegebra, ι Geometer’s Sketchpad)

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

113

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

κα πρζπει να αναπαραςτιςουν εκπροςϊπουσ των κλάςεων των τετραπλεφρων ςτουσ γεωπίνακεσ. Εδϊ, θ πρόκλθςθ για τουσ μακθτζσ είναι να επιχειρθματολογιςουν ςχετικά με εκείνεσ τισ κλάςεισ των τετραπλεφρων που δεν μποροφμε να αναπαραςτιςουμε και ςτα δφο είδθ γεωπινάκων.

Δϋ Σάξθ: Γεωμετρία «με κλειςτά μάτια» (ΓΔ3, ΠΜΑ: Γ3, Γ5, Γ8) Πταν λζμε ότι γνωρίηουμε κάτι «με κλειςτά μάτια» εννοοφμε ότι το γνωρίηουμε αρκετά καλά. Τι κα ςιμαινε, όμωσ, θ προθγοφμενθ διλωςθ ςτο πλαίςιο τθσ διδαςκαλίασ τθσ γεωμετρίασ ςτθ ςχολικι τάξθ; Λδιαίτερα μάλιςτα τθσ γεωμετρίασ, αφοφ δφςκολα ίςωσ κα μποροφςαμε να διαχωρίςουμε τισ γεωμετρικζσ ζννοιεσ από μια ςχθματογραφικι αναπαράςταςι τουσ. Για αυτι τθ δραςτθριότθτα ο εκπαιδευτικόσ κα χρειαςτεί ζνα χαρτόκουτο, μια ςυλλογι από ςτερεά ι και άλλα κακθμερινά αντικείμενα, γεωπίνακεσ, καμβάδεσ και το υλικό Polydron (Σχιμα 3, Εικόνεσ 6 και 7). Από το χαρτόκουτο ο εκπαιδευτικόσ κα χρειαςτεί να αφαιρζςει μία ζδρα του και να ανοίξει δφο τρφπεσ, τθ μία απζναντι ςτθν άλλθ, όπωσ φαίνονται ςτθν Σχιμα 3. Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να ψθλαφιςουν διάφορα ςτερεά δίχωσ να τα βλζπουν. Ακολοφκωσ, οι μακθτζσ απαντοφν ςε ερωτιςεισ που μπορεί να ςχετίηονται με τα χαρακτθριςτικά των ςτερεϊν, το ςχιμα των εδρϊν τουσ, τον αρικμό των κορυφϊν, των ακμϊν και των εδρϊν, τθν ιςότθτα οριςμζνων εδρϊν, τθν κακετότθτα γωνιϊν, κ.ο.κ. Ο εκπαιδευτικόσ επιμζνει ςτθν ορκι χριςθ των όρων «κορυφι», «ακμι» και «ζδρα».

΢χιμα 3: Κουτί ψθλάφθςθσ

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

114

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Εικόνα 6: Διάφορα ςτερεά

Εικόνα 7: Υλικό Polydron

Πχι ςπάνια τα παιδιά χρθςιμοποιοφν τουσ όρουσ «ακμι/ πλευρά» και «πλευρά/ ζδρα» δίχωσ διάκριςθ. Ραράλλθλα, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ηθτιςει από τουσ μακθτζσ να αποδϊςουν το ςχιμα των εδρϊν των ςτερεϊν ςε καμβάδεσ ι με τθ βοικεια γεωπίνακα, κακϊσ και του ςτερεοφ με Polydron. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ηθτιςει ακριβζςτερθ αναπαράςταςθ των εδρϊν ι του ςτερεοφ, αν ζχει καταςκευάςει τθ ςυλλογι των ςτερεϊν από το υλικό Polydron.

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων)

Διεργαςία επικοινωνίασ

Οι ςτρατθγικζσ ψθλάφθςθσ ακολουκοφν ςε μεγάλο βακμό τθν εξζλιξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ. Οι μακθτζσ κα κλθκοφν να αναπτφξουν αποτελεςματικότερεσ ςτρατθγικζσ ϊςτε να κάνουν ακριβζςτερεσ υποκζςεισ κατά τθν ψθλάφθςθ των χαρακτθριςτικϊν των ςτερεϊν. Για παράδειγμα, ςε ζνα ςτερεό με πολλζσ ζδρεσ, χρθςιμοποιϊντασ τθν πικανι ςυμμετρία του ςχιματοσ, κα μπορζςουν να απαρικμιςουν με ακρίβεια τον αρικμό των εδρϊν ι των ακμϊν. Για τον ζλεγχο τθσ παραλλθλίασ δφο εδρϊν, μποροφν να αγκαλιάςουν το ςτερεό χρθςιμοποιϊντασ τισ παλάμεσ τουσ τοποκετθμζνεσ ςαν δφο παράλλθλα επίπεδα. Ραρόμοια, το κρανίο ωσ επίπεδο μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ςτον ζλεγχο παραλλθλίασ εδρϊν ι και τθσ κακετότθτασ ακμϊν. Πςον αφορά ςτον ζλεγχο ι ςτθ ςφγκριςθ του μικουσ ακμϊν, οι μακθτζσ μποροφν να χρθςιμοποιιςουν τα δάχτυλά τουσ ςαν χάρακα ι ςαν μονάδα μζτρθςθσ (θ δεφτερθ επιλογι είναι αποτελεςματικότερθ). Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ηθτιςει από τα παιδιά να υποςτθρίξουν τισ εικαςίεσ τουσ ςτθριηόμενα ςε ςτρατθγικζσ όπωσ οι προθγοφμενεσ (οι δφο ακμζσ δεν είναι ίςεσ αφοφ θ μία ζχει 4 δάχτυλα μικοσ και θ άλλθ ζχει 6).

Ανάδειξθ μθ προτυπικϊν αναπαραςτάςεων μιασ και κατά τθν ψθλάφθςθ αποφεφγουμε ςυγκεκριμζνουσ προςανατολιςμοφσ

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Εϋ Σάξθ: Όλα τα διαφορετικά τετράγωνα ςτον γεωπίνακα (ΓΔ7, ΠΜΑ: Γ12, Μ7) Ο εκπαιδευτικόσ μοιράηει ςτουσ μακθτζσ κοινοφσ γεωπίνακεσ που αποτελοφνται από 5x5 καρφάκια και τουσ ηθτά να αναπαραςτιςουν ςε αυτοφσ όςο περιςςότερα διαφορετικά

115

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

τετράγωνα (διαφορετικοφ εμβαδοφ) μποροφν. Οι μακθτζσ είναι εξοικειωμζνοι από προθγοφμενεσ χρονιζσ με τθν αναπαράςταςθ ςχθμάτων ςτο γεωπίνακα και περιμζνουμε ότι, ςε πρϊτθ φάςθ, κα βρουν με ευκολία τετράγωνα με εμβαδόν 1 τ.μ. (το πορτοκαλί), 4 τ.μ. (το κίτρινο), 9 τ.μ. (το πράςινο) και 16 τ.μ. (το κόκκινο) (βλ. Εικόνα 8). Ραράλλθλα, ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να μεταφζρουν τισ «λφςεισ» που εντοπίηουν ςε ζνα διάςτικτο καμβά. Με αυτόν τον τρόπο ο γεωπίνακασ μπορεί να παραμζνει κακαρόσ για μια νζα προςπάκεια, ενϊ οι μακθτζσ εξαςκοφνται με ζνα διαφορετικό αναπαραςτατικό μζςο. Στθν προςπάκειά τουσ να βρουν άλλα διαφορετικά τετράγωνα, οι μακθτζσ ςυνικωσ ςχθματίηουν τετράγωνα ίςα με τα προθγοφμενα (βλ. Εικόνα 9). Με άλλα λόγια, «εγκλωβίηονται» ςε προτυπικά φαινόμενα που ςχετίηονται με τον οριηόντιο και κατακόρυφο προςανατολιςμό των ςχθμάτων πάνω ςτο γεωπίνακα, ενϊ ταυτόχρονα κεωροφν ότι θ αλλαγι τθσ κζςθσ ςε ζνα ςχιμα αλλάηει και το ςχιμα αυτό κακαυτό. Για να μπορζςουν να ςυνεχίςουν τθ διερεφνθςθ, οι μακθτζσ πρζπει να κινθκοφν «διαγωνίωσ», με πικανζσ πλευρζσ όπωσ αυτζσ που φαίνονται ςτθν Εικόνα 10.

Εικόνα 8

Εικόνα 9

Εικόνα 10

Οι μακθτζσ, μετά από πειραματιςμοφσ, περιμζνουμε να εντοπίςουν τα τετράγωνα που φαίνονται ςτισ Εικόνεσ 11, 12, 13 και 14 ι τουλάχιςτον οριςμζνα από αυτά.

Εικόνα 11

Εικόνα 12

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ) εργαλείων

Διεργαςία επικοινωνίασ

Διερεφνθςθ και υπζρβαςθ προτυπικϊν αναπαραςτάςεων.

116

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Εικόνα 13

Εικόνα 14

Σε αυτό το ςθμείο θ δραςτθριότθτα ειςζρχεται ςε μια δεφτερθ ενδιαφζρουςα φάςθ. Για τα τζςςερα πρϊτα τετράγωνα (Εικόνα 1) οι μακθτζσ δεν ζπρεπε να προςπακιςουν πολφ για να υπολογίηουν το εμβαδόν τουσ, κακϊσ δεν χρειαηόταν παρά να πολλαπλαςιάςουν - ι να προςκζςουν- ολόκλθρεσ τετραγωνικζσ μονάδεσ. Με τα τζςςερα τετράγωνα που υπολείπονται, όμωσ, οι μακθτζσ κα πρζπει να ακολουκιςουν διαφορετικι προςζγγιςθ. Αρχικά, οριςμζνοι κα προτείνουν ότι το κίτρινο τετράγωνο τθσ Εικόνασ 4 ζχει εμβαδόν 1 τ.μ. ι το πράςινο τθσ Εικόνασ 5 ζχει εμβαδόν 4 τ.μ., παρότι και «με το μάτι» φαίνονται μεγαλφτερα από εκείνα που είχαν εμβαδόν 1 τ.μ. και 4 τ.μ. ςτθν πρϊτθ φάςθ. Σαφϊσ εδϊ οι μακθτζσ κεωροφν ότι θ απόςταςθ μεταξφ δφο καρφιϊν είναι θ ίδια ανεξαρτιτωσ τθσ διεφκυνςθσ του λάςτιχου. Για τον υπολογιςμό του εμβαδοφ οι μακθτζσ κα πρζπει να αναλφςουν και να ςυνκζςουν τα τετράγωνα βάςει άλλων ορκογϊνιων ςχθμάτων (ορκογϊνια τρίγωνα, ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα, άλλα τετράγωνα), των οποίων το εμβαδόν μπορεί εφκολα να υπολογιςτεί (Εικόνεσ 15, 16, 17 και 18). Για παράδειγμα, το πορτοκαλί τετράγωνο τθσ Εικόνασ 14 μπορεί να αναλυκεί ςε ζνα τετράγωνο και τζςςερα ίςα ορκογϊνια τρίγωνα (Εικόνα 18). Το πράςινο τετράγωνο ζχει εμβαδόν 4 τ.μ. (γνωςτό κι από τθν πρϊτθ φάςθ τθσ δραςτθριότθτασ), ενϊ το κακζνα από τα ορκογϊνια τρίγωνα ζχει εμβαδόν 1,5 τ.μ. (ωσ μιςό του κόκκινου ορκογωνίου με εμβαδόν 3 τ.μ.). Εναλλακτικά, οι μακθτζσ μποροφν να «περιγράψουν» το προσ υπολογιςμό τετράγωνο χρθςιμοποιϊντασ ζνα μεγαλφτερο, ιδθ γνωςτοφ εμβαδοφ τετράγωνο και να αφαιρζςουν τα απαραίτθτα μζρθ (Εικόνεσ 19 και 20). Ζτςι, για παράδειγμα, το κόκκινο τετράγωνο τθσ Εικόνασ 13 περιγράφεται από ζνα τετράγωνο με εμβαδόν 9 τ.μ. από το οποίο αρκεί να αφαιρζςουμε 4 ορκογϊνια τρίγωνα με εμβαδόν 1 τ.μ. (Εικόνα 20) . Στθν ανάπτυξθ τθσ δραςτθριότθτασ είναι ςαφισ θ προςπάκεια αποφυγισ τθσ χριςθσ μετριςεων μικουσ και τφπων εμβαδοφ, κακϊσ ςτόχοσ του εκπαιδευτικοφ είναι ο υπολογιςμόσ εμβαδοφ μζςω τθσ ανάλυςθσ και ςφνκεςθσ ςχθμάτων. Με άλλα λόγια, προτάςςεται θ ανάδειξθ τθσ ζννοιασ του εμβαδοφ

Ο εντοπιςμόσ όλων των τετραγϊνων δεν είναι αυτοςκοπόσ. Σθμαντικι είναι θ διαδικαςία ανάλυςθσ και ςφνκεςθσ των τετραγϊνων κατά τον υπολογιςμό των εμβαδϊν τουσ

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

117

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

ωσ κάλυψθ επιφάνειασ κι όχι ωσ εφαρμογι τφπων. Ραράλλθλα, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ενιςχφςει τισ μθ προτυπικζσ αναπαραςτάςεισ τθσ ζννοιασ του τετραγϊνου. Θ δραςτθριότθτα κα μποροφςε να επαναλθφκεί με όλα τα διαφορετικά ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα ςτο γεωπίνακα, κ.ο.κ.

Εικόνα 15

Εικόνα 16

Εικόνα 17

Εικόνα 18

Εικόνα 19

Εικόνα 20

΢Σϋ Σάξθ: Πειρατζσ ςτθ κάλαςςα! (ΠΜΑ: Γ3, Γ6, Γ9) Για άλλθ μια φορά οι πειρατζσ επιτζκθκαν ςε λάκοσ πλοίο αυτό των Αςτερίξ και Οβελίξ! Μετά το πζραςμα των Γαλατϊν, οι πειρατζσ προςπακοφν να εντοπίςουν ζνα ξφλινο κιβϊτιο γεμάτο με λάφυρα ςε ςχιμα ορκογωνίου παραλλθλεπιπζδου μζςα από τα πολλά απομεινάρια του πλοίου τουσ που επιπλζουν ςτθ κάλαςςα (Εικόνα 21). Το πρόβλθμά τουσ είναι, όμωσ, ότι μόνο ζνα μζροσ του κιβωτίου ξεμυτίηει πάνω από τθν επιφάνεια τθσ καλάςςασ. Ρϊσ μποροφμε να βοθκιςουμε τουσ πειρατζσ να βρουν το κιβϊτιο;

118

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Εικόνα 21: Οι πειρατζσ ςτθ κάλαςςα

Για το ξεκίνθμα αυτισ τθσ δραςτθριότθτασ ο εκπαιδευτικόσ κα μοιράςει ςτα παιδιά ζνα ορκογϊνιο παραλλθλεπίπεδο καταςκευαςμζνο από ξφλο ι άλλο υλικό. Με τθ βοικεια τθσ προθγοφμενθσ εικόνασ οι μακθτζσ μποροφν να αρχίςουν να φαντάηονται και να επιχειρθματολογοφν αναφορικά με το ςχιμα που κα μποροφςε να ζχει το ορατό μζροσ του κιβωτίου (πάνω από τθν επιφάνεια τθσ κάλαςςασ). Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ηθτιςει από τουσ μακθτζσ να ςχεδιάςουν, ςτθν εξωτερικι επιφάνεια του ορκογωνίου παραλλθλεπιπζδου, το επίπεδο εκείνο που ουςιαςτικά χωρίηει το ορατό τμιμα του κιβωτίου από το βυκιςμζνο. Ζτςι, για παράδειγμα, οι μακθτζσ μπορεί να ςχεδιάςουν τθ γραμμι που βλζπουμε ςτο Σχιμα 4.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Διεργαςία επικοινωνίασ

΢χιμα 4

Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί, επίςθσ, να ηθτιςει από τουσ μακθτζσ να επιχειρθματολογοφν και για το ςχιμα τθσ τομισ του επιπζδου τθσ επιφάνειασ τθσ κάλαςςασ και του κιβωτίου. Στθ ςυνζχεια, οι μακθτζσ μποροφν να καταςκευάςουν το μζροσ του κιβωτίου που προεξζχει με κατάλλθλα κομμάτια από το υλικό Polydron και να ονομάςουν το ςχιμα του ςτερεοφ. Μόνο μετά από τθ διατφπωςθ εικαςιϊν και τθν ανάπτυξθ Διεργαςία επιχειρθμάτων - ι αν οι μακθτζσ δυςκολεφονται ιδιαίτερα επικοινωνίασ (επιλογι ςτθν αναηιτθςι τουσ- ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να δϊςει ςτουσ και χριςθ εργαλείων) μακθτζσ υποςτθρικτικό χειραπτικό ι ψθφιακό υλικό ϊςτε να επιβεβαιϊςουν τισ εικαςίεσ τουσ ι και να διευρφνουν τθν αναηιτθςι τουσ. Αν θ χριςθ του υλικοφ προθγθκεί τθσ Διεργαςία επικοινωνίασ διαδικαςίασ παραγωγισ εικαςιϊν, θ εκπαιδευτικι αξία τθσ δραςτθριότθτασ μειϊνεται ςθμαντικά. Οι μακθτζσ δεν

119

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

αναηθτοφν, δεν επιχειρθματολογοφν, ενϊ δεν εξαςκοφνται ςτθν ανάλυςθ και ςφνκεςθ ςτερεϊν και ςτθ δθμιουργία νοερϊν οπτικϊν εικόνων. Το χειραπτικό υλικό Power Solids ι άλλα διαφανι κουτιά, μπορεί να φανοφν ιδιαίτερα χριςιμα. Το χειραπτικό υλικό Power Solids είναι μια ςυλλογι από διαφανι ςτερεά που ζχουν τθ δυνατότθτα να γεμίηουν με υγρά ι με ςτερεά υλικά. Ζτςι, προςκζτοντασ μια ποςότθτα υγροφ και γζρνοντασ κατάλλθλα το ςτερεό οι μακθτζσ μποροφν να επιβεβαιϊςουν ι όχι μια εικαςία τουσ.

Το υλικό Power Solids μπορεί να βοθκιςει αρκετά ςτθ διερεφνθςθ των ςχζςεων μεταξφ των όγκων διάφορων ςτερεϊν και ςτο γυμνάςιο.

Εικόνα 22: Υλικό Power Solids

Μια εφαρμογι που μπορεί, επίςθσ, να ςτθρίξει τθ ςκζψθ των μακθτϊν ςε αυτι τθ δραςτθριότθτα είναι θ Seeing Through Objects (Βλζποντασ Μζςα Από Αντικείμενα, βλ. Εικόνα 23). Οι μακθτζσ μποροφν να ςχεδιάηουν ευκείεσ και επίπεδα ϊςτε να κόβουν κατάλλθλα τον κφβο, ενϊ ο τελευταίοσ ζχει τθ δυνατότθτα να περιςτρζφεται. Θ διερεφνθςθ βζβαια μπορεί να ςυνεχιςτεί, κακϊσ θ τριγωνικι πυραμίδα είναι μία από τισ πικανζσ απαντιςεισ. Ρότε, για παράδειγμα, θ πυραμίδα κα είναι τετράεδρο; Κα μποροφςε να ιταν τετραγωνικι; Ρενταγωνικι; Ροια άλλα ςτερεά κα μποροφςαμε να βλζπουμε πάνω ςτθν επιφάνεια τθσ κάλαςςασ; Ι πόςο κα άλλαηαν τα πράγματα αν το κιβϊτιο που αναηθτοφςαν οι πειρατζσ είχε ςχιμα τετραγωνικισ πυραμίδασ; Τότε, τι ςχιματα κα μποροφςαμε να βλζπουμε πάνω από το επίπεδο τθσ κάλαςςασ; Για το κακζνα από αυτά, τι ςχιμα κα είχε θ τομι με το επίπεδο τθσ επιφάνειασ τθσ κάλαςςασ;

Εδϊ αναφερόμαςτε ςτα πρίςματα όπωσ κφβο, ορκογϊνια παραλλθλεπίπεδα (με διαφορετικζσ διαςτάςεισ από αυτζσ του κιβωτίου) και ςε πρίςματα με βάςθ τρίγωνο.

120

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

http://www.fi.uu.nl/t oepassingen/00349/t oepassing_wisweb.en .html

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων

Διεργαςία επικοινωνίασ

Εικόνα 23: Θ εφαρμογι Βλζποντασ Μζςα Από Αντικείμενα

Δϋ Σάξθ: ΢χζςεισ... εμβαδοφ περιμζτρου. (ΠΜΑ: ΓΔ7) Χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό Geogebra ο εκπαιδευτικόσ δίνει ςτουσ μακθτζσ ζνα ςχιμα και τουσ ηθτά να υπολογίςουν τθν περίμετρο και το εμβαδόν του (δραςτθριότθτα 1). Ρριν προχωριςουν, οι μακθτζσ μποροφν να ελζγξουν τισ απαντιςεισ τουσ. Στθ ςυνζχεια, τουσ ηθτά να φτιάξουν ςχιματα με περίμετρο 16 και να υπολογίηουν κάκε φορά το εμβαδόν του ςχιματοσ (δραςτθριότθτα 2). Ο εκπαιδευτικόσ, χρθςιμοποιϊντασ τα ςχιματα των μακθτϊν, ςυηθτά το ενδεχόμενο δφο ςχιματα με τθν ίδια περίμετρο να ζχουν και το ίδιο εμβαδόν. Τζλοσ, ςτθν τελευταία δραςτθριότθτα (επζκταςθ), ο εκπαιδευτικόσ καλεί τουσ μακθτζσ να προςπακιςουν να εντοπίςουν εκείνο το ςχιμα με περίμετρο 16 που ζχει το μεγαλφτερο εμβαδόν (τετράγωνο με πλευρά 4). Ο εκπαιδευτικόσ κα μποροφςε να επαναλάβει τθ δραςτθριότθτα ηθτϊντασ από τουσ μακθτζσ να καταςκευάςουν ςχιματα με περίμετρο 13 και να ςυγκρίνουν το εμβαδόν τουσ. Θ ςυγκεκριμζνθ διερεφνθςθ κα οδθγιςει ςε μθ κανονικζσ απαντιςεισ εδραιϊνοντασ ζτςι τθν ιςχφ τθσ ςχζςθσ.

Δ Δθμ ΜΔ2Ρερίμετροσ και εμβαδόν.ggb

Διεργαςία επικοινωνίασ και διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ επιχειρθματολογίασ (χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επίλυςθ προβλθμάτων)

Θ διερεφνθςθ μπορεί να ςυνεχιςτεί και αντίςτροφα με τθ μελζτθ τθσ περιμζτρου ιςεμβαδικϊν ςχθμάτων. ΢Σϋ Σάξθ: Χωρίηοντασ ζνα τετράγωνο ςτα δφο με μια μαχαιριά (ΠΜΑ: ΓΔ7)

121

Βϋ Κφκλοσ – Χϊροσ και Γεωμετρία

Οι μακθτζσ καλοφνται να ανακαλφψουν τρόπουσ χωριςμοφ ενόσ τετραγϊνου ςε δφο ίςα μζρθ καταςκευάηοντασ μια ευκεία που να περνά από ζνα ςυγκεκριμζνο ςθμείο ςτο εςωτερικό του τετραγϊνου. Μια πικανι αρχικι εκτίμθςθ των μακθτϊν κα είναι ότι το ςθμείο ανικει ςτθ διαγϊνιο του τετραγϊνου, θ οποία το τζμνει ςε δφο ίςα μζρθ. Το αρχείο του Geogebra δίνει τθ δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ να πειραματιςτοφν και να διερευνιςουν τθ ςχζςθ του ςθμείου με τισ υπόλοιπεσ ιδιότθτεσ του τετραγϊνου. Οι μακθτζσ ανακαλφπτουν ότι για να χωρίςουν ζνα τετράγωνο ςε δφο ιςεμβαδικά τετράπλευρα με μία ευκεία που διζρχεται από ζνα τυχαίο ςθμείο Μ ςτο εςωτερικό τετραγϊνου και ζνα ςθμείο που ανικει ςτισ πλευρζσ του, κα πρζπει θ ςυγκεκριμζνθ ευκεία να διζρχεται από το κζντρο του τετραγϊνου. Οι μακθτζσ μποροφν να εξετάςουν αν τα δφο ιςεμβαδικά τετράπλευρα είναι και ςυμμετρικά ωσ προσ τθν ευκεία αυτι. Μια κοινι παρανόθςθ των μακθτϊν είναι ότι κεωροφν πωσ αρκεί για δφο ςχιματα να είναι ςυμμετρικά, αν είναι απλϊσ ίςα. Το λογιςμικό εμφανίηει τθ ςφγκριςθ των δφο εμβαδϊν και το ςυμμετρικό του ενόσ τετραπλεφρου ϊςτε να μπορεί να διαπιςτωκεί ότι θ ςυγκεκριμζνθ ευκεία δεν αποτελεί άξονα ςυμμετρίασ και να κατανοθκεί θ ιςότθτα των δφο τετραπλεφρων μζςα από τθ δυνατότθτα περιςτροφισ του ενόσ γφρω από το κζντρο του τετραγϊνου.

ΣΤ Δθμ-ΓΔ7-Το μιςό τετράγωνο.ggb Διεργαςία επικοινωνίασ και διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ επιχειρθματολογίασ (χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επίλυςθ προβλθμάτων)

122

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Μετριςεισ Βαςικά κζματα: Μζτρθςθ Επιφάνειασ ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Οι μετριςεισ είναι ζνα ςθμαντικό κομμάτι του προγράμματοσ ςπουδϊν των μακθματικϊν με πολλζσ ςυνδζςεισ με τθ γεωμετρία και τθν αρικμθτικι. Θ ςχζςθ τουσ με τθν αρικμθτικι και οι πολλζσ εφαρμογζσ τουσ ςε κακθμερινζσ καταςτάςεισ κακιςτοφν ςυχνά τισ μετριςεισ ωσ ζνα από τα επιχειριματα αναφορικά με τθν αναγκαιότθτα των μακθματικϊν ωσ ςχολικοφ αντικειμζνου. Μια απλοποιθτικι ταφτιςθ, όμωσ, των μετριςεων με αρικμθτικοφσ υπολογιςμοφσ μπορεί να οδθγιςει, όπωσ κα δοφμε παρακάτω, ςε διδακτικζσ ςτρεβλϊςεισ και ιςχνζσ εννοιολογιςεισ από τθν πλευρά των μακθτϊν. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ, από τισ τάξεισ του πρϊτου κφκλου ςπουδϊν, ζχουν αποκτιςει εμπειρίεσ που ςχετίηονται με τθ μζτρθςθ χαρακτθριςτικϊν όπωσ του μικουσ, τθσ επιφάνειασ, τθσ γωνίασ, τθσ χωρθτικότθτασ και του χρόνου. Ρεριμζνουμε, μζςω αυτϊν των εμπειριϊν, να ζχουν προχωριςει ςτθν ανάδειξθ του κάκε χαρακτθριςτικοφ, ςτθν εξοικείωςθ με τθν επιλογι και χριςθ μθ τυπικϊν και τυπικϊν μονάδων μζτρθςθσ και με τθ διαδικαςία κάλυψθσ του προσ μζτρθςθ χαρακτθριςτικοφ με αυτζσ τισ μονάδεσ. Στισ τάξεισ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν οι εμπειρίεσ των μακθτϊν περιλαμβάνουν μετριςεισ με χριςθ τυπικϊν μονάδων μζτρθςθσ, τθν πραγματοποίθςθ εκτιμιςεων ςε διαφορετικά πλαίςια, τθν καταςκευι και χριςθ τυπικϊν οργάνων μζτρθςθσ και τθν επίλυςθ προβλθμάτων. Με τθν ολοκλιρωςθ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν οι μακθτζσ κα πρζπει να ζχουν αρχίςει να αντιλαμβάνονται τον προςεγγιςτικό χαρακτιρα τθσ μζτρθςθσ και τθν απαίτθςθ για ακρίβεια ι τθν «επιείκιά» μασ όςον αφορά ςτο μζγεκοσ του ςφάλματοσ, ανάλογα με το πλαίςιο τθσ εκάςτοτε μζτρθςθσ. Στισ τάξεισ του τρίτου κφκλου ςπουδϊν δίνεται ζμφαςθ ςτθ μζτρθςθ τθσ γωνίασ μζςω εννοιϊν τθσ τριγωνομετρίασ, ενϊ οι μακθτζσ υπολογίηουν το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ και του όγκου πριςμάτων, πυραμίδων, κυλίνδρων, κϊνων, ςφαιρϊν, καταλιγουν ςε τφπουσ και λφνουν προβλιματα χρθςιμοποιϊντασ αυτοφσ τουσ τφπουσ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ που ςυναντοφν οι μακθτζσ ςτισ τάξεισ του δεφτερου κφκλου ςπουδϊν αφοροφν, αρχικά, ςτθν κατανόθςθ τθσ μζτρθςθσ αυτισ κακαυτισ, ωσ μιασ διαδικαςίασ κάλυψθσ ανεξάρτθτθσ από το προσ μζτρθςθ χαρακτθριςτικό. Ζτςι, θ μζτρθςθ του μικουσ μπορεί να φαντάηει διαφορετικι από αυτιν του όγκου και ακόμθ περιςςότερο από εκείνθ του χρόνου. Δυςκολίεσ ςυναντοφν, επίςθσ, ςτθν κατανόθςθ τθσ διατιρθςθσ ενόσ μεγζκουσ ςυγχζοντάσ το με το μζτρο του. Με άλλα λόγια, το μζγεκοσ είναι ανεξάρτθτο από τθ μονάδα μζτρθςθσ που κα επιλζξουμε για να το μετριςουμε. Ραρομοίωσ, ο τρόποσ ι τα βιματα που κα επιλζξουμε για να καλφψουμε το μζγεκοσ δεν επθρεάηει τθν τελικι μζτρθςθ. Ζτςι, για παράδειγμα, για να υπολογίουμε το εμβαδόν μιασ επιφάνειασ μποροφμε να τθν χωρίςουμε με «βολικό» τρόπο ςε επιμζρουσ κομμάτια και να υπολογίςουμε το εμβαδόν του κακενόσ χωριςτά. Θ κατανόθςθ τθσ διατιρθςθσ ενόσ μεγζκουσ ςυνδζεται άμεςα και με μια άλλθ ςθμαντικι και επίμονθ δυςκολία που ςυναντοφν οι μακθτζσ, τθ ςχζςθ περιμζτρου και εμβαδοφ. Δφο διαφορετικά ιςεμβαδικά ςχιματα δεν είναι απαραιτιτωσ και ιςοπεριμετρικά και το αντίςτροφο.

123

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Άλλεσ δυςκολίεσ ςυναντοφν οι μακθτζσ ςτθ χριςθ τυπικϊν οργάνων μζτρθςθσ, όπωσ του χάρακα και του μοιρογνωμονίου, κακϊσ και ςε καταςτάςεισ που απαιτοφν εκτίμθςθ. Για παράδειγμα, αν ηθτιςουμε από τουσ μακθτζσ να εκτιμιςουν τθν επιφάνεια του πίνακα τθσ τάξθσ ςε τετραγωνικά μζτρα, περιμζνουμε να δυςκολευτοφν αφοφ απουςιάηει θ αντίλθψθ ςθμείων αναφοράσ για το πόςθ επιφάνεια καταλαμβάνει ζνα τετραγωνικό μζτρο. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Συχνά οι μακθτζσ κεωροφν ότι θ μζτρθςθ ενόσ χαρακτθριςτικοφ είναι μια ακριβισ διαδικαςία που ταυτίηεται με τθ χριςθ ενόσ οργάνου μζτρθςθσ ι τθν εφαρμογι ενόσ τφπου (υπολογιςμόσ εμβαδοφ και όγκου). Θ διδαςκαλία, αντικζτωσ, κα πρζπει να εςτιάηεται ςε αυτι κακαυτι τθ διαδικαςία «γεμίςματοσ» ενόσ χαρακτθριςτικοφ με τισ κατάλλθλεσ μονάδεσ μζτρθςθσ. Ο εκπαιδευτικόσ κα αναδείξει αυτι τθ διαδικαςία μζςα από ευκαιρίεσ που κα δϊςει ςτουσ μακθτζσ για να μετριςουν χαρακτθριςτικά αντικειμζνων όπωσ είναι το μικοσ, θ επιφάνεια, θ γωνία, ο όγκοσ και ο χρόνοσ. Θ μζτρθςθ, αρχικά, μπορεί να ςτθρίηεται ςε μθ τυπικζσ μονάδεσ μζτρθςθσ, ϊςτε οι ςυηθτιςεισ να εςτιάηονται ςτθν επιλογι τθσ μονάδασ, ςτον τρόπο επανάλθψισ τθσ, ςτισ πικανζσ υποδιαιρζςεισ τθσ που κα χρειαςτοφν ϊςτε να ολοκλθρωκεί θ μζτρθςθ, ςτο αμετάβλθτο του μεγζκουσ ανεξάρτθτα από τθν επιλογι τθσ μονάδασ και ςτθ ςφνδεςθ του αρικμοφ που εκφράηει το μζτρο του μεγζκουσ με τθν επανάλθψθ τθσ μονάδασ. Θ καταςκευι και χριςθ μθ τυπικϊν οργάνων μζτρθςθσ μποροφν επίςθσ να βοθκιςουν προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, ενϊ κα προετοιμάςουν τθν ειςαγωγι των τυπικϊν μονάδων και των οργάνων μζτρθςθσ. Τζλοσ, δεν μποροφμε παρά να τονίςουμε τθν αξία των εκτιμιςεων ςτθ διδαςκαλία των μετριςεων. Θ εκτίμθςθ, τόςο με άτυπεσ όςο και με τυπικζσ μονάδεσ, ςυνδυάηει νοθτικζσ και οπτικζσ πλθροφορίεσ και δεν ςτθρίηεται ςε όργανα μζτρθςθσ. Θ εκτίμθςθ βοθκά, επομζνωσ, τουσ μακθτζσ να εςτιάςουν ςτο χαρακτθριςτικό και ςτθ διδαδικαςία μζτρθςισ του, ενϊ παράλλθλα τουσ εξοικειϊνει με τισ τυπικζσ μονάδεσ αφοφ θ εκτίμθςθ ενόσ μεγζκουσ κα απαιτιςει τθν αξιοποίθςι τουσ ωσ ςθμεία αναφοράσ. Με άλλα λόγια, ο μακθτισ κα πρζπει να γνωρίηει πόςο «μεγάλο» είναι ζνα μζτρο, ζνα τετραγωνικό μζτρο ι ζνα κυβικό μζτρο, τι ηυγίηει περίπου ζνα κιλό, πόςο διαρκεί περίπου ζνα λεπτό, κ.ο.κ. Θ διδαςκαλία των μετριςεων ςε όλεσ τισ φάςεισ κα πρζπει να ςτθριχκεί ςε μια πλθκϊρα φυςικϊν, χειραπτικϊν και ψθφιακϊν υλικϊν αναπαράςταςθσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Eϋ Σάξθ: Μακθματικά μωςαϊκά - πλακοςτρϊςεισ (ΜΔ1, ΠΜΑ: Μ1, Γ8, Γ9, Γ13) Για αυτι τθ δραςτθριότθτα ο εκπαιδευτικόσ κα αξιοποιιςει το εκπαιδευτικό λογιςμικό Geogebra ι κάποιο άλλο δυναμικό περιβάλλον Γεωμετρίασ (Cabri, Sketchpad). Ειςαγωγικά ςτθ δραςτθριότθτα, προτείνεται θ αναηιτθςθ ςτο διαδίκτυο ζργων τζχνθσ του Ολλανδοφ καλλιτζχνθ Maurits Cornelis Escher ςτα οποία παρουςιάηονται πλακοςτρϊςεισ με μοναδικι τεχνοτροπία (http://www.mcescher.com ). Θ προβολι και ο ςχολιαςμόσ των ζργων του καλλιτζχνθ κα κεντρίςει το ενδιαφζρον των μακθτϊν και κα δθμιουργιςει ζνα πλαίςιο αναηιτθςθσ και περαιτζρω διερεφνθςθσ. Θ αναηιτθςθ

124

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

περιπτϊςεων μακθματικϊν μωςαϊκϊν - πλακοςτρϊςεων ςτθ φφςθ και ςτθν κακθμερινότθτα κα οδθγιςει πικανόν ςτθ μελζτθ ςυγκεκριμζνων περιπτϊςεων, όπωσ για παράδειγμα θ κυψζλθ των μελιςςϊν (Εικόνα 1), θ πλακόςτρωςθ των πεηοδρομίων, των δωματίων ι και των τοίχων του ςπιτιοφ. Στισ περιπτϊςεισ αυτζσ, θ διερεφνθςθ αφορά κανονικζσ πλακοςτρϊςεισ όπου ζνα κανονικό πολφγωνο επαναλαμβάνεται χωρίσ να υπάρχουν κενά και επικαλφψεισ. Είναι ςθμαντικό να μελετιςουν οι μακθτζσ ςε ποιεσ περιπτϊςεισ κανονικϊν πολυγϊνων είναι δυνατι θ επικάλυψθ του επιπζδου και ςε ποιεσ όχι.

Εικόνα 1: Κυψζλθ μελιςςϊν

1θ φάςθ Αρχικά, με τθ βοικεια του λογιςμικοφ Geogebra, οι μακθτζσ κα πειραματιςτοφν ςτθ δθμιουργία κανονικϊν πολυγϊνων αξιοποιϊντασ τθν ενςωματωμζνθ λειτουργικότθτα του λογιςμικοφ. Αφοφ επιλζξουν από το εικονίδιο «Κανονικό πολφγωνο», κα ορίςουν δφο ςθμεία ςτο επίπεδο που κα αποτελοφν δφο ςυνεχόμενεσ κορυφζσ του κανονικοφ πολυγϊνου και, ςτθ ςυνζχεια, ςτο παράκυρο διαλόγου που κα εμφανιςτεί κα κακορίςουν τον αρικμό των πλευρϊν του κανονικοφ πολυγϊνου (Εικόνα 2). Στθ ςυνζχεια, καλοφνται να δθμιουργιςουν τα παρακάτω κανονικά πολφγωνα αξιοποιϊντασ τθν ενςωματωμζνθ λειτουργικότθτα:      

τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο εξάγωνο, οκτάγωνο και δωδεκάγωνο.

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων)

125

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Εικόνα 2

2θ φάςθ Σε αυτι τθ φάςθ ο εκπαιδευτικόσ καλεί τουσ μακθτζσ να υπολογίςουν το μζτρο των γωνιϊν κάκε πολυγϊνου. Οι περιπτϊςεισ του ιςόπλευρου τριγϊνου και του τετραγϊνου δεν παρουςιάηουν ιδιαίτερθ δυςκολία. Στισ περιπτϊςεισ των κανονικϊν πολφγωνων με περιςςότερεσ από 4 πλευρζσ είναι πικανόν οι μακθτζσ να οδθγθκοφν ςε αδιζξοδο. Ο εκπαιδευτικόσ παροτρφνει τουσ μακθτζσ να χωρίςουν το πολφγωνο ςε ςχιματα που τουσ είναι ιδθ γνωςτά. Μζςα από τον πειραματιςμό οι μακθτζσ καταςκευάηουν τισ διαγωνίουσ του πολυγϊνου χωρίηοντασ με αυτό τον τρόπο το κάκε πολφγωνο ςε τρίγωνα (Εικόνα 3). Οι μακθτζσ ανακαλϊντασ το άκροιςμα των γωνιϊν του τριγϊνου (1800), υπολογίηουν το άκροιςμα των γωνιϊν κάκε κανονικοφ πολυγϊνου και, κατά ςυνζπεια, το μζτρο κάκε γωνίασ του. Στθ ςυνζχεια, επιβεβαιϊνουν τουσ ςυλλογιςμοφσ τουσ αξιοποιϊντασ τθν λειτουργικότθτα του λογιςμικοφ. Επιλζγουν το εικονίδιο «Γωνία» και ορίηουν τρία ςθμεία κορυφζσ του πολυγϊνου κζτοντασ ωσ δεφτερθ-μεςαία επιλογι τθν κορυφι τθσ γωνίασ που κζλουν να υπολογίςουν (ζνα αντίςτοιχο παράδειγμα φαίνεται ςτθν Εικόνα 3).

Εικόνα 3

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων Οι μακθτζσ δεν κα πρζπει να μπουν ςτον πειραςμό να χρθςιμοποιιςουν τθ λειτουργικότθτα πριν από τθ διερεφνθςθ που περιλαμβάνει τθν ανάλυςθ του ςχιματοσ ςε τρίγωνα Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων) Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

126

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

3θ φάςθ Ο εκπαιδευτικόσ καλεί τουσ μακθτζσ να μελετιςουν, αν είναι δυνατόν να χρθςιμοποιιςουν ζναν αρικμό ίδιων πολυγϊνων, για να καλφψουν το χϊρο γφρω από ζνα ςθμείο ςτο επίπεδο χωρίσ κενά και επικαλφψεισ. Θ κάκε ομάδα μακθτϊν κα μποροφςε να πειραματιςτεί με διαφορετικό πολφγωνο. Καταςκευάηουν το αρχικό κανονικό πολφγωνο κακορίηοντασ το μικοσ τθσ πλευράσ του (δφο γειτονικζσ κορυφζσ) και το πλικοσ των πλευρϊν του. Στθ ςυνζχεια, καταςκευάηουν ζνα ίςο με το αρχικό κανονικό πολφγωνο με μία πλευρά και δφο κορυφζσ κοινζσ. Θ διαδικαςία επαναλαμβάνεται μζχρι να καλυφκεί τελείωσ το επίπεδο χωρίσ κενά και επικαλφψεισ.

Διεργαςία επικοινωνίασ

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Δφο παραδείγματα επικάλυψθσ με ζνα κανονικό εξάγωνο και ζνα κανονικό πεντάγωνο παρουςιάηονται ςτθν Εικόνα 4. Τα αρχικά πολφγωνα (εξάγωνο και πεντάγωνο) διακρίνονται με το πράςινο χρϊμα.

Εικόνα 4

Ο εκπαιδευτικόσ κζτει τισ παρακάτω ερωτιςεισ ςτουσ μακθτζσ: α. Με ποια πολφγωνα είναι δυνατι θ επικάλυψθ του επιπζδου γφρω από ζνα ςθμείο. Ροιοσ είναι ο αρικμόσ των πολυγϊνων που χρθςιμοποιιςατε ςε κάκε περίπτωςθ; β. Σε ποιεσ από τισ περιπτϊςεισ δθμιουργοφνται κενά; γ. Σε ποιεσ από τισ περιπτϊςεισ δεν είναι δυνατι θ επικάλυψθ του επιπζδου; Δθμιουργικθκαν κενά ι επικαλφψεισ; Ροιοσ ιταν ο αρικμόσ των πολυγϊνων που χρθςιμοποιιςατε ςε κάκε περίπτωςθ; δ. Ρϊσ ςυςχετίηεται (ςτισ περιπτϊςεισ επιτυχθμζνθσ επικάλυψθσ) ο αρικμόσ των πολυγϊνων και το μζγεκοσ τθσ γωνίασ του πολυγϊνου; ε. Υπάρχει περίπτωςθ επικάλυψθσ του επιπζδου με τθ χριςθ διαφορετικϊν πολυγϊνων; Μπορείτε να περιγράψετε το μοτίβο που δθμιουργείται;

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Διεργαςία

127

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

επικοινωνίασ

Με τισ παραπάνω ερωτιςεισ ο εκπαιδευτικόσ ηθτά ουςιαςτικά από τουσ μακθτζσ να διερευνιςουν τθ ςχζςθ ανάμεςα ςτο μζτρο τθσ γωνίασ του κανονικοφ πολυγϊνου και ςτθ δυνατότθτα επικάλυψθσ του επιπζδου. Μζςα από τον πειραματιςμό και τθν ανταλλαγι απόψεων ο εκπαιδευτικόσ ςτοχεφει ςτο να φανταςτοφν το χϊρο γφρω από ζνα ςθμείο ςαν ζνα κφκλο με 3600 και, ςυνεπϊσ, θ επικάλυψθ είναι εφικτι μόνο από τα κανονικά πολφγωνα των οποίων θ γωνία διαιρεί ακριβϊσ το 3600. Τζλοσ, θ τελευταία ερϊτθςθ αποτελεί ουςιαςτικά μια επζκταςθ του προβλιματοσ, κακϊσ οι μακθτζσ καλοφνται να ςυνδυάςουν δφο ι περιςςότερα διαφορετικά πολφγωνα για να επιτφχουν τθν επικάλυψθ. Τα ςυνοδευτικά αρχεία παραδείγματα επικαλφψεων.

λογιςμικοφ

μωςαϊκά 1.ggb μωςαϊκά 2.ggb μωςαϊκά 3.ggb μωςαϊκά 4.ggb μωςαϊκά 5.ggb μωςαϊκά 6.ggb μωςαϊκά 7.ggb μωςαϊκά 8.ggb μωςαϊκά 9.ggb

περιλαμβάνουν

Eϋ Σάξθ: Μοιράηοντασ ζνα τετράγωνο κζικ (ΜΔ2, ΠΜΑ: Μ5, Γ9, Γ10) Σε αυτιν τθ δραςτθριότθτα οι μακθτζσ καλοφνται να ανακαλφψουν διαφορετικοφσ τρόπουσ για να χωρίςουν ζνα τετράγωνο ςε τζςςερα ίςα μζρθ. Μζςα από τον πειραματιςμό, από τθ μια μεριά κα διερευνιςουν τισ ιδιότθτεσ του τετραγϊνου και από τθν άλλθ κα διερευνιςουν τισ ιδιότθτεσ ιςεμβαδικϊν ςχθμάτων που δεν ζχουν απαραίτθτα το ίδιο ςχιμα. Επιπλζον, εμπλζκονται θ ικανότθτα των μακθτϊν για οπτικοποίθςθ, κακϊσ καλοφνται να φανταςτοφν τρόπουσ ϊςτε να προκφψουν τζςςερα ιςεμβαδικά ςχιματα από το χωριςμό του αρχικοφ τετραγϊνου, αλλά και θ ικανότθτά τουσ να κάνουν νοεροφσ μεταςχθματιςμοφσ ςτθν προςπάκειά τουσ να ςυγκρίνουν τα τζςςερα κομμάτια που ζχουν προκφψει από το χωριςμό. Ο εκπαιδευτικόσ κα μποροφςε να μοιράςει ςτουσ μακθτζσ γεωπίνακεσ ι τετράγωνα πλαίςια (Εικόνα 5) προκειμζνου να πειραματιςτοφν και να ςχεδιάςουν το χωριςμό του τετραγϊνου. Επιπλζον, οι μακθτζσ κα μποροφςαν να πειραματιςτοφν και με τα λογιςμικά Δυναμικισ Γεωμετρίασ (Sketchpad, Cabri, Geogebra) δθμιουργϊντασ ζνα τετράγωνο πλζγμα και αξιοποιϊντασ τισ δυναμικζσ λειτουργικότθτεσ των λογιςμικϊν που τουσ επιτρζπουν να προτείνουν τισ διαφορετικζσ ςτρατθγικζσ που ανζπτυξαν μζςα από τθ χριςθ του διαδραςτικοφ πίνακα. Πποιο μζςο και αν χρθςιμοποιθκεί ο εκπαιδευτικόσ κα πρζπει να φροντίςει ϊςτε οι μακθτζσ να καταγράφουν τισ διαφορετικζσ λφςεισ που προκφπτουν ωσ αποτζλεςμα τθσ διερεφνθςισ τουσ.

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων)

128

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Εικόνα 5

Οι μακθτζσ αναμζνεται αρχικά να χρθςιμοποιιςουν κάκετεσ, τισ διαγωνίουσ ι τισ μεςοκακζτουσ των πλευρϊν του τετραγϊνου προκειμζνου να χωρίςουν το τετράγωνο ςε τζςςερα ίςα ςχιματα (Εικόνα 6). Ο εκπαιδευτικόσ κα πρζπει να παροτρφνει τουσ μακθτζσ να ανακαλφψουν περιςςότερουσ «μθ ςυμβατικοφσ τρόπουσ χωριςμοφ».

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Διεργαςία επικοινωνίασ

Εικόνα 6

Στθ ςυνζχεια, κα αναηθτιςουν πικανότατα μθ ςυμβατικά ςχιματα, τα οποία είναι και τα τζςςερα ίδια (Εικόνα 7).

Εικόνα 7

Ο ςυνεχισ πειραματιςμόσ πικανότατα κα ενεργοποιιςει/ αναπτφξει τθν ικανότθτα των μακθτϊν για οπτικοποίθςθ και κα αναηθτιςουν ηευγάρια ςυμμετρικϊν ςχθμάτων (Εικόνα 8).

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

129

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Εικόνα 8

Και τζλοσ, κα καταλιξουν ςε ζνα ηευγάρι ςυμμετρικϊν ςχθμάτων ι ςε τρία ίδια ςχιματα (Εικόνα 9).

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων Εικόνα 9 Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Σε κάκε περίπτωςθ, ο ςυνεχισ πειραματιςμόσ και θ αναηιτθςθ νζων μοτίβων, κακϊσ και θ αλλθλεπίδραςθ μεταξφ των μακθτϊν ςτθν προςπάκειά τουσ να παρουςιάςουν τα αποτελζςματα των διερευνιςεϊν τουσ, αναμζνεται να αναπτφξει τθν ικανότθτα των μακθτϊν να καταςκευάηουν νοερά ςχιματα και να τα μεταςχθματίηουν.

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Στο δεφτερο ερϊτθμα τθσ δραςτθριότθτασ οι μακθτζσ καλοφνται να υπερβοφν τουσ περιοριςμοφσ που κζτει το εργαλείο με τον προκακοριςμζνο χωριςμό ςε μικρά τετράγωνα και να αναηθτιςουν τρόπουσ για να ςυγκρίνουν τα τζςςερα κομμάτια (Εικόνα 6).

Διεργαςία μακθμαρτικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Εικόνα 10

΢Σϋ Σάξθ: Πετρελαιοκθλίδεσ—ο καρκίνοσ τθσ κάλαςςασ (ΜΔ5, ΠΜΑ: Μ5) Οι κθλίδεσ πετρελαίου χαρακτθρίηονται από μερικοφσ ωσ ο καρκίνοσ τθσ κάλαςςασ, κακϊσ οι επιπτϊςεισ τουσ ςτο περιβάλλον (κάλαςςα και ακτογραμμζσ) και τον άνκρωπο είναι ανυπολόγιςτεσ, ενϊ δεν γίνεται λόγοσ για «κεραπεία» από τισ επιπτϊςεισ αυτζσ. Στθν Εικόνα 11 αποτυπϊνεται θ πετρελαιοκθλίδα που είχε δθμιουργθκεί ςτον Κόλπο του Μεξικό μετά από ατφχθμα ςε καλάςςια μονάδα εξόρυξθσ πετρελαίου ςε μια ςυγκεκριμζνθ θμερομθνία.

130

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Εικόνα 11: Θ πετρελαιοκθλίδα ςτον Κόλπο του Μεξικό, 30 Απριλίου 2010

Ο εκπαιδευτικόσ, αρχικά, ηθτά από τουσ μακθτζσ να υπολογίςουν ςε τετραγωνικά χιλιόμετρα τθν ζκταςθ που καταλάμβανε θ πετρελαιοκθλίδα τθν 30θ Απριλίου. Κα ιταν καλό οι μακθτζσ να εργαςτοφν ςε μικρζσ ομάδεσ. Σφμφωνα με τθν πλθροφορία που δίνεται ςτον χάρτθ, τα 4 χιλιοςτά είναι όςο 10 πραγματικά μίλια. Είναι ςαφζσ ότι θ μζτρθςθ τθσ ζκταςθσ κα είναι κατά προςζγγιςθ. Οι μακθτζσ, ςυνικωσ, ταυτίηουν τθ μζτρθςθ ενόσ μεγζκουσ με μια «ακριβι» διαδικαςία που περιλαμβάνει τθν εφαρμογι του κατάλλθλου τφπου. Ρεριμζνουμε, λοιπόν, να δυςκολευτοφν ςτο ξεκίνθμα τθσ δραςτθριότθτασ, κακϊσ ουςιαςτικα ο μόνοσ τρόποσ για να ανταπεξζλκουν είναι θ ανάλυςθ του ςχιματοσ ςε άλλα μικρότερα. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να μοιράςει ςτουσ μακθτζσ διαφάνειεσ με τετραγωνιςμζνουσ καμβάδεσ 4x4 τετραγωνικϊν χιλιοςτϊν για να βοθκιςει τθ διερεφνθςθ. Εναλλακτικά, μπορεί να αναπαράγει τουσ καμβάδεσ ςε χαρτί ιχνογραφίασ. Οι μακθτζσ περιμζνουμε να απαρικμιςουν αρχικά τα ολόκλθρα τετράγωνα και, κατόπιν, να προβλθματιςτοφν για τον τρόπο που κα υπολογίςουν τα μζρθ που κα απομείνουν. Οι ομάδεσ των μακθτϊν μποροφν να παρουςιάςουν τον τρόπο που εργάςτθκαν και να ςυηθτιςουν για τθν ομάδα που πζτυχε τθν καλφτερθ προςζγγιςθ. Επειδι θ ζκταςθ τθσ κθλίδασ είναι αρκετά μεγάλθ, οι μακθτζσ είναι καλό να αναηθτιςουν οικείεσ ςε αυτοφσ γεωγραφικζσ

Διεργαςία επικοινωνίασ (επιλογι και χριςθ εργαλείων) Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ

Διεργαςία επικοινωνίασ

131

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

περιοχζσ και να τισ ςυγκρίνουν ωσ προσ τθν ζκταςι τουσ με αυτιν τθσ κθλίδασ (για παράδειγμα, ζνα νθςί ι ζνα νομό τθσ Ελλάδασ). Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να τροφοδοτιςει τθ διερεφνθςθ χρθςιμοποιϊντασ μια ςειρά από ςτοιχεία/ ερωτιςεισ όπωσ οι παρακάτω: α. Πταν 100 λίτρα αργοφ πετρελαίου απελευκερϊνονται ςτθ κάλαςςα, καταλαμβάνουν επιφάνεια περίπου 1.000 τ.μ. Ρόςα λίτρα περίπου υπολογίηετε ότι βρίςκονταν ςτθν επιφάνεια τθσ κάλαςςασ, ςτον Κόλπο του Μεξικό, τθν 30θ Απριλίου του 2010; β. Κάκε βαρζλι πετρελαίου περιζχει περίπου 160 λίτρα και ηυγίηει περίπου 140 κιλά. Αν κζλαμε να υπολογίςουμε τθ διαρροι ςε βαρζλια, πόςα περίπου βαρζλια αργοφ πετρελαίου κα είχαν απελευκερωκεί ςτθ κάλαςςα μζχρι εκείνθ τθ μζρα; γ. Ανάλογα με τθν ποςότθτα του πετρελαίου που απελευκερϊνεται ςτθ κάλαςςα οι πετρελαιοκθλίδεσ κατατάςςονται ςε μικρζσ (λιγότερο από 7 τόνουσ), μεςαίεσ (7700 τόνουσ) και μεγάλεσ (περιςςότερο από 700 τόνουσ). Σε ποια κατθγορία κα κατατάςςατε τθν παραπάνω πετρελαιοκθλίδα; δ. Με βάςθ τισ καιρικζσ ςυνκικεσ ιταν δυνατόν να εφαρμοςτοφν δφο τεχνικζσ απορρφπανςθσ: ο μθχανικόσ κακαριςμόσ, ο οποίοσ κοςτίηει από 80 ζωσ 750€ για κάκε βαρζλι, και θ επιτόπια καφςθ που κοςτίηει 40€ για κάκε βαρζλι πετρελαίου. Ρόςο κα κόςτιηε θ απορρφπανςθ τθσ κάλαςςασ ςε κάκε περίπτωςθ;

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων (ενδομακθματικϊν)

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων (με άλλα μακιματα)

Είναι ςαφζσ ότι θ ςυγκεκριμζνθ δραςτθριότθτα κα μποροφςε εφκολα να ενταχκεί ςε ζνα ευρφτερο, διακεματικό ςχζδιο μακιματοσ που κα ςχετιηόταν με τισ επιπτϊςεισ των πετρελαιοκθλίδων ςτο περιβάλλον. ΢Σϋ Tάξθ: Μεγεκφνοντασ ςχιματα και ςτερεά (ΠΜΑ: Μ6) Για αυτι τθ δραςτθριότθτα ο εκπαιδευτικόσ κα χρειαςτεί το μικρόκοςμο «Γεωπίνακασ» του εκπαιδευτικοφ λογιςμικοφ του Ρ.Λ. για τα Μακθματικά τθσ Εϋ και ΣΤϋ τάξθσ (ψθφιακοί γεωπίνακεσ υπάρχουν ςε διάφορεσ μορφζσ και ςτο διαδίκτυο, όπωσ για παράδειγμα ςτο http://nlvm.usu.edu/). Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να καταςκευάςουν ςτο γεωπίνακα ζνα ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο διαςτάςεων 3x5. Στθ ςυνζχεια, τουσ ηθτά να καταςκευάςουν ζνα ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο που να είναι διπλάςιο του πρϊτου. Οι μακθτζσ κα πρζπει να προςδϊςουν νόθμα ςτθν ζκφραςθ «διπλάςιο του πρϊτου», ςυηθτϊντασ για τον τρόπο με τον οποίο κα πρζπει να αλλάξουν τα χαρακτθριςτικά του ςχιματοσ.

ΣΤ Δθμ-Μ6Τετράγωνο.bmp Διεργαςία επικοινωνίασ και διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ επιχειρθματολογίασ (χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επίλυςθ προβλθμάτων)

132

Βϋ Κφκλοσ – Μετριςεισ

Στθ προςπάκειά τουσ να εξαγάγουν ςυμπεράςματα και να γενικεφςουν, οι μακθτζσ μποροφν να πειραματιςτοφν τριπλαςιάηοντασ το αρχικό ορκογϊνιο ι ξεκινϊντασ από ζνα ορκογϊνιο διαφορετικϊν διαςτάςεων. Τροφοδοτϊντασ τθ διερεφνθςθ, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ρωτιςει τουσ μακθτζσ: «Τι ςυμβαίνει κάκε φορά με τθν περίμετρο και το εμβαδόν του ορκογωνίου;». Ο εκπαιδευτικόσ κα πρζπει να ηθτιςει από τουσ μακθτζσ να αιτιολογιςουν τθν απάντθςι τουσ, εξθγϊντασ δθλαδι γιατί, ενϊ θ περίμετροσ του τετραγϊνου διπλαςιάηεται, τριπλαςιάηεται, κ.λπ., το εμβαδόν του τετραπλαςιάηεται, εννεαπλαςιάηεται, κ.λπ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να επεκτείνει τθ δραςτθριότθτα ςτισ τρεισ διαςτάςεισ με τθ βοικεια του μικρόκοςμου «Εξερευνθτισ τριςδιάςτατων ςχθμάτων (Στερεοπίνακασ)» του εκπαιδευτικοφ λογιςμικοφ του Ρ.Λ. για τα Μακθματικά τθσ Εϋ και ΣΤϋ τάξθσ. Ο εκπαιδευτικόσ ηθτά από τουσ μακθτζσ να δθμιουργιςουν ζναν κφβο ακμισ 2 ςτο μικρόκοςμο και χρθςιμοποιϊντασ το μεταβολζα του μικρόκοςμου να διπλαςιάςουν και να τριπλαςιάςουν τθν ακμι του κφβου (ςτισ κζςεισ 4 και 6 αντίςτοιχα). Οι μακθτζσ πειραματίηονται με τθν εφαρμογι και εξάγουν τα ςυμπεράςματά τουσ ςχετικά με τισ αλλαγζσ που ςυμβαίνουν ςτον κφβο κάκε φορά. Ο εκπαιδευτικόσ, ακολοφκωσ, τουσ ρωτά: «Με ποιον τρόπο αλλάηουν τα ςτοιχεία του κφβου; Μεγαλϊνουν ι μικραίνουν και κατά πόςο; Τι κα ςυμβεί αν ςε ζνα κφβο με όγκο 125 μειϊςω τθν ακμι του κατά 3;» Ο εκπαιδευτικόσ κα πρζπει να ηθτιςει από τα παιδιά να αιτιολογιςουν τισ απαντιςεισ τουσ.

ΣΤ Δθμ-M6κφβοσ1.bmp

ΣΤ Δθμ-M6κφβοσ2.bmp

ΣΤ Δθμ-M6κφβοσ3.bmp Διεργαςία επικοινωνίασ και διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ επιχειρθματολογίασ (χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επίλυςθ προβλθμάτων)

133

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Βαςικά κζματα:

–

δεδομζνων χρθςιμοποιϊντασ απλά ςτατιςτικά μζτρα. Θ γνϊςθ αυτι είναι ςθμαντικι, κακϊσ τουσ επιτρζπει να αξιολογοφν ζνα ςφνολο δεδομζνων λαμβάνοντασ υπόψθ διάφορα χαρακτθριςτικά τουσ για τθν εξαγωγι ςυμπεραςμάτων.

μζτρα κζςθσ ( (εφροσ).

ςε δφο πλθκυςμοφσ, κακϊσ και ςτθ ςυλλογι (μζςω ερευνϊν ι πειραμάτων ι μετριςεων). ανάλυςι τουσ χρθςιμοποιϊντασ επικρατοφςα τιμι, διάμεςο, μζςθ τιμι) και μεταβλθτότθτασ

ξάγουν ςυμπεράςματα για πιο πολφπλοκα ερωτιματα που αφοροφν ςτισ ςχζςεισ δείγματοσ και πλθκυςμοφ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι μακθτζσ μπορεί να δυςκολευτοφν ςτθν καταςκευι διαγραμμάτων ςτα οποία θ εικόνα ι το ςφμβολο αντιπροςωπεφουν πολλαπλάςια του 1, κακϊσ αυτόσ ο τφποσ διαγράμματοσ απαιτεί τθν ανάπτυξθ πολλαπλαςιαςτικισ ςκζψθσ. Θ διάμεςοσ και θ μζςθ τιμι είναι δφςκολεσ ζννοιεσ, οι οποίεσ γίνονται κατανοθτζσ από τουσ μακθτζσ μζςα από πολλζσ εμπειρίεσ ςτθ διάρκεια τθσ ςχολικισ τουσ ηωισ. Θ διάμεςοσ και θ μζςθ τιμι δεν είναι πάντα τιμζσ τθσ ποςοτικισ μεταβλθτισ και οι μακθτζσ ςε αυτόν τον κφκλο χρειάηεται να τισ ερμθνεφουν πάντα ςτο πλαίςιο τθσ αντίςτοιχθσ δραςτθριότθτασ. Θ μζςθ τιμι, ςε αυτόν τον κφκλο, γίνεται αντιλθπτι ωσ δίκαιθ μοιραςιά (π.χ. πόςα γράμματα κα είχαν τα ονόματα των μακθτϊν, αν όλα τα ονόματα είχαν τον ίδιο αρικμό γραμμάτων;) και ςε μεγαλφτερεσ τάξεισ ωσ ςθμείο ιςορροπίασ. Οι ςχετικζσ ςυχνότθτεσ βοθκοφν ςτθ ςφγκριςθ ομάδων ποςοτικϊν δεδομζνων, ιδιαίτερα όταν το πλικοσ των δεδομζνων είναι διαφορετικό. Προτάςεισ για διδακτικι διαχείριςθ: Θ διδαςκαλία των μζτρων κζςθσ και μεταβλθτότθτασ εςτιάηεται κυρίωσ ςτθν ερμθνεία τουσ ςε ςυγκεκριμζνα ςφνολα δεδομζνων και ςε ςχζςθ με τα χαρακτθριςτικά του ςυνόλου των δεδομζνων. Είναι ςθμαντικό να δίνεται θ ευκαιρία ςτουσ μακθτζσ να ερμθνεφουν τα δεδομζνα αξιοποιϊντασ όλα τα μζτρα κζςθσ και μεταβλθτότθτασ που μακαίνουν.

134

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Γϋ Σάξθ:

ςτα οποία μία εικόνα αντιπροςωπεφει πολλαπλάςια του 1. Ο εκπαιδευτικόσ δίνει ςτουσ μακθτζσ ςε μικρζσ ομάδεσ το παρακάτω διάγραμμα, το οποίο παρουςιάηει τισ προτιμιςεισ των μακθτϊν ενόσ ςχολείου ςε ςχζςθ με τα είδθ μουςικϊν οργάνων. Θ κάκε εικόνα αντιπροςωπεφει 20 μακθτζσ. Οι μακθτζσ ςυηθτοφν ςε τι διαφζρει το ςυγκεκριμζνο διάγραμμα ςε ςχζςθ με όςα διαγράμματα ζχουν ιδθ μελετιςει και καταγράφουν ςε ομάδεσ τισ πλθροφορίεσ που παρουςιάηει.

ζγχορδα

πνευςτά

κρουςτά

Πίνακασ 1: Ρροτιμιςεισ των μακθτϊν ςε είδθ μουςικϊν οργάνων

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία) Διεργαςία επικοινωνίασ (χριςθ αναπαραςτάςεων)

135

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Δϋ Σάξθ:

ςτο ερϊτθμα: Ρόςεσ ϊρεσ παρακολουκοφν τθλεόραςθ το Σαββατοκφριακο;

Πίνακασ 2: Απαντιςεισ των μακθτϊν

Συηθτοφν το ερϊτθμα: Ρόςεσ ϊρεσ βλζπουν τθλεόραςθ οι μιςοί περίπου μακθτζσ; (δθλ. ποια είναι θ τιμι που βρίςκεται ςτθ μζςθ των δεδομζνων). Τα παιδιά διατάςςουν τουσ αρικμοφσ των ωρϊν ςε αφξουςα ςειρά ςφμφωνα με τισ τιμζσ του πίνακα (μποροφν να καταγράψουν ςε μία λωρίδα χωριςμζνθ ςε ίςα μζρθ τουσ αρικμοφσ ςε αφξουςα ςειρά και να τθ διπλϊςουν ςτθ μζςθ). Βρίςκουν τθ διάμεςο των δεδομζνων εντοπίηοντασ τον αρικμό των ωρϊν που βρίςκεται ςτθ μζςθ τθσ ςειράσ (ςε περίπτωςθ που υπάρχουν δφο τιμζσ βρίςκουν το άκροιςμα και διαιροφν με το 2). Συηθτοφν τουσ λόγουσ για τουσ οποίουσ είναι διαφορετικά τα δεδομζνα (π.χ. γιατί ο Κανάςθσ δεν βλζπει τθλεόραςθ).

136

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Εϋ Σάξθ:

΢Σϋ Σάξθ:

137

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Βαςικά κζματα:

–

Στον Β’ κφκλο οι μακθτζσ διερευνοφν τα αποτελζςματα ενόσ πειράματοσ τφχθσ όταν αυτό επαναλαμβάνεται πολλζσ φορζσ (εμπειρικι πικανότθτα) και προςδιορίηουν αρικμθτικά τθν πικανότθτα ςε πειράματα τφχθσ (κεωρθτικι πικανότθτα). Θ ςφγκριςθ τθσ εμπειρικισ και τθσ κεωρθτικισ πικανότθτασ επιτρζπει ςτουσ μακθτζσ να αρχίςουν να αντιλαμβάνονται τθ διαφορά ανάμεςα ςτο προβλεπόμενο και ςτο πραγματικό αποτζλεςμα ενόσ πειράματοσ τφχθσ. περιγράφουν ζνα γεγονόσ ωσ βζβαιο, αδφνατο, πικανό, απίκανο.

Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Είναι δφςκολο για τουσ δεν μπορεί να προβλεφκεί θ εμφάνιςθ ενόσ ενδεχομζνου ςε κάκε δοκιμι κατά τθν πραγματοποίθςθ ενόσ πειράματοσ τφχθσ, όμωσ μποροφν να κάνουν προβλζψεισ για τθ ςυχνότθτα εμφάνιςθσ ενόσ ενδεχομζνου ςε πολλζσ δοκιμζσ. Επίςθσ, θ ζκφραςθ τθσ πικανότθτασ με κλάςματα προχποκζτει καλι γνϊςθ των ρθτϊν αρικμϊν. Οι μακθτζσ πικανά δυςκολεφονται να αντιλθφκοφν τισ διαφορζσ ςτα πειράματα ενόσ και δφο ςταδίων κατά τθν καταγραφι όλων των δυνατϊν αποτελεςμάτων. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: α) να εκφράηουν και να αιτιολογοφν τισ αρχικζσ τουσ προβλζψεισ, β) να πραγματοποιοφν ζνα πείραμα πολλζσ φορζσ και να καταγράφουν τα αποτελζςματα και γ) να αξιολογοφν τθ διαφορά ανάμεςα ςτισ προβλζψεισ τουσ και ςτα εμπειρικά αποτελζςματα που προκφπτουν κατά τθν πραγματοποίθςι του προκειμζνου να οδθγθκοφν ςε ζνα ςυμπζραςμα.

Γϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΠΔ1, ΠΔ2) Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογία σ (διερεφνθςθ και

138

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

επιχειρθματολογία)

Εικόνα 1: Καταγραφι αποτελεςμάτων

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογία σ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία)

΢χιμα 1

χωρίηονται ςε ομάδεσ και κάκε ομάδα χρθςιμοποιεί ζνα τροχό τριϊν διαφορετικϊν χρωμάτων.

139

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Εικόνα 2: Τροχόσ τθσ τφχθσ

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Συηθτοφν τισ εκτιμιςεισ τουσ. Δϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΠΔ1) Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογία)

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω φυςικισ γλϊςςασ)

Εικόνα 3: Τροχοί τθσ τφχθσ

Εϋ Σάξθ: Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω ςυμβολικισ γλϊςςασ) Διεργαςία

140

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Εικόνα 4: Τροχοί

Διεργαςία επικοινωνίασ (μζςω ςυμβολικισ γλϊςςασ) Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

΢Σϋ Σάξθ: (ΠΜΑ: ΠΔ2) Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογίασ)

Πίνακασ 3

Με αφορμι τον πίνακα θ ςυηιτθςθ μπορεί να αφορά κζματα όπωσ ποιο ενδεχόμενο είναι περιςςότερο ι λιγότερο πικανό να εμφανιςτεί και γιατί, το πλικοσ όλων των δυνατϊν ενδεχομζνων, τον υπολογιςμό τθσ πικανότθτασ του κάκε

Διεργαςία μακθματικοφ ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ (διερεφνθςθ και επιχειρθματολογίασ)

141

Βϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

ενδεχομζνου κ.λπ. 2. Θ δραςτθριότθτα δίνει τθν ευκαιρία ςτουσ μακθτζσ να ςυγκρίνουν τθ κεωρθτικι με τθν εμπειρικι πικανότθτα ςε ζνα πείραμα τφχθσ δφο ςταδίων. Για τθ διδακτικι διαχείριςθ τθσ δραςτθριότθτασ βλ. δραςτθριότθτα 1, Εϋ Δθμοτικοφ.

142

Βϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

΢υνκετικι Εργαςία Βϋ Κφκλου ΢ΣϋΔθμοτικοφ: Σο πράςινο ςχολείο (ςυνκετικι εργαςία 13) Θ εργαςία ςυνδζει τον πραγματικό κόςμο με τα μακθματικά και δθμιουργεί ςυνδζςεισ διαφορετικϊν περιοχϊν των μακθματικϊν. Ενςωματϊνει λειτουργικά και ουςιαςτικά τισ νζεσ Τεχνολογίεσ. Θζμα: Μζςα από ζνα πραγματικό πρόβλθμα καταςκευισ ενόσ παρτεριοφ ςτον κιπο του ςχολείου, οι μακθτζσ του Βϋ κφκλου κα διερευνιςουν ζνα πλικοσ ηθτθμάτων που αφοροφν τισ διαςτάςεισ του παρτεριοφ, τθν αναηιτθςθ τθσ καταςκευισ με το μικρότερο κόςτοσ, τθσ προμικειασ και τθσ αγοράσ τθσ καταςκευισ, τθν προμικεια των φυτϊν και τον τρόπο που κα φυτευτοφν. Θ παροφςα εργαςία αφορά τθν ΣΤϋ τάξθ που κα ςχεδιάςει τισ διαςτάςεισ του πλαιςίου και τον υπολογιςμό τθσ οικονομικότερθσ λφςθσ. Ρλαίςιο εφαρμογισ: Θ ςυνκετικι εργαςία προτείνεται να διεξαχκεί εξ’ ολοκλιρου ςτο εργαςτιριο υπολογιςτϊν. Στθ διάρκεια τθσ υλοποίθςθσ ο διδάςκων κα κακοδθγεί τισ ομάδεσ, κα διευκολφνει τθν κοινωνικι αλλθλεπίδραςθ, κα υπενκυμίηει τουσ κανόνεσ ςυνεργαςίασ, κα ενκαρρφνει, κα παροτρφνει, κα κατανζμει το λόγο. Αν οι μακθτζσ δεν ζχουν προθγοφμενθ εμπειρία με το λογιςμικό του Χελωνόκοςμου κα μποροφςε ο διδάςκων να αφιερϊςει μία διδακτικι ϊρα για μια πρϊτθ εξοικείωςθ των μακθτϊν με το περιβάλλον και τισ βαςικζσ λειτουργίεσ του λογιςμικοφ. Στουσ μακθτζσ κα μοιραςτοφν τα Φφλλα Εργαςίασ που παρατίκεται ςτο τζλοσ του παρόντοσ ςυνοπτικοφ κειμζνου (όπου υπάρχουν κάποιεσ βαςικζσ οδθγίεσ για τθ χριςθ του λογιςμικοφ) ενϊ οι μακθτζσ κα ζχουν πρόςβαςθ ςτα αρχεία 13-φάςθ 1θ-Δρ2.mwd, 13-φάςθ 1θ-Δρ3.mwd, 13-φάςθ2θ-δρ3.mwd. Ρροαπαιτοφμενεσ γνϊςεισ: Ωσ προσ τα μακθματικά οι μακθτζσ γνωρίηουν: τον υπολογιςμό τθσ περιμζτρου και του εμβαδοφ ενόσ ορκογωνίου, τα αντιςτρόφωσ ανάλογα ποςά, τα ποςοςτά, τισ μετατροπζσ μονάδων επιφανείασ, τον υπολογιςμό αρικμθτικϊν παραςτάςεων. Ωσ προσ τθν τεχνολογία οι μακθτζσ καλό κα ιταν να γνωρίηουν: τα παράκυρα τθσ εφαρμογισ και το ρόλο τουσ και βαςικζσ εντολζσ όπωσ: ςβιςε γραφικά, μπροςτά, πίςω, αριςτερά, δεξιά, τφπωςε. Ροι εφαρμογισ των δραςτθριοτιτων 1θ φάςθ Ενδομακθματικζσ 1θ δραςτθριότθτα: Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν ορκογϊνια με ςυνδζςεισ χειραπτικά υλικά και υπολογίηουν τα εμβαδά τουσ και τθν περίμετρό τουσ. Αυτό κα βοθκιςει να ανακαλζςουν χριςθ χειραπτικοφ προγενζςτερεσ γνϊςεισ τουσ και να ειςαχκοφν καλφτερα ςτο υλικοφ ψθφιακό περιβάλλον. Στθ ςυνζχεια υπολογίηουν το εμβαδόν του κιπου (55,125 τ.μ.) και το μζγιςτο δυνατό εμβαδόν του 13-φάςθ 1θ-Δρ2.mwd παρτεριοφ (1,1025 τ.μ.).

2θ δραςτθριότθτα: Χρθςιμοποιϊντασ ζνα ζτοιμο αρχείο που ςε μία απλι διαδικαςία καταςκευάηουν ζνα ορκογϊνιο,

χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων

143

Βϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

144

Ενδομακθματικζσ ειςάγονται ςτο περιβάλλον του λογιςμικοφ και εξοικειϊνονται ςυνδζςεισ με απλζσ εντολζσ του. Μακαίνουν να ορίηουν διαδικαςίεσ και 13-φάςθ 1θ-Δρ3.mwd να τισ εκτελοφν. Για μεγαλφτερθ κατανόθςθ των εντολϊν τθσ χριςθ ψθφιακϊν χελϊνασ κα μποροφςε ο διδάςκων να προτείνει ςε κάκε ομάδα εργαλείων για να διαβάηουν τισ εντολζσ τθσ χελϊνασ και ζνασ ςυμμακθτισ διερεφνθςθ, γενίκευςθ και τουσ να εκτελεί. Μετατρζπουν μονάδεσ επιφανείασ από μία επικοινωνία μονάδα ςε άλλθ.

3θ δραςτθριότθτα: Οι μακθτζσ μζςα από ζνα ζτοιμο αρχείο διερευνοφν το ρόλο τθσ κάκε εντολισ και ειςάγονται ςτθ χριςθ των μεταβλθτϊν ςτο Χελωνόκοςμο. Χρθςιμοποιοφν τθ δυνατότθτα του λογιςμικοφ να βρίςκουν γριγορα το εμβαδόν και τθν περίμετρο ορκογωνίων αλλάηοντασ τισ τιμζσ των μεταβλθτϊν. Καταλιγουν ςτο γενικευμζνο τφπο του εμβαδοφ και τθσ περιμζτρου ενόσ ορκογωνίου με πλευρζσ χ και ψ. Προςτικζμενθ αξία: Οι μακθτζσ κα ζχουν τθν ευκαιρία να διερευνιςουν τθ λφςθ πραγματικϊν προβλθμάτων και να τα ςυνδζςουν με ζνα εκτεταμζνο εννοιολογικό πεδίο μακθματικϊν εννοιϊν και διαςυνδεόμενων αναπαραςτάςεων. Οι μακθτζσ κα κατανοιςουν ότι μποροφν να εξοικονομιςουν πολφτιμο χρόνο χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό για τον υπολογιςμό μετριςεων με τθ δυναμικι ςφνδεςθ των παράκυρων του λογιςμικοφ, τθν εμφάνιςθ τθσ καταςκευισ ςτον καμβά εντολϊν τθσ Logo και το γριγορο υπολογιςμό ποςοτιτων που εξαρτϊνται από μεταβλθτζσ. Κάκε ενζργεια του μακθτι ακολουκείται από μια ενζργεια του προγράμματοσ και αντίςτροφα. Αυτι θ ςυνεχισ αλλθλεπίδραςθ παρζχει ςτο μακθτι ανατροφοδότθςθ και ευκαιρίεσ για ερμθνεία και διαπραγμάτευςθ. 2θ φάςθ 1θ δραςτθριότθτα: Οι μακθτζσ ανακαλοφν τισ γνϊςεισ τουσ για τα αντιςτρόφωσ ανάλογα ποςά και διερευνοφν πϊσ μποροφν να γράψουν τθ μία ωσ προσ τθν άλλθ πλευρά ενόσ ορκογωνίου που ζχει ςτακερό εμβαδόν. Ρικανόν να δυςκολζψει τουσ μακθτζσ αλλά κα βοθκιςει ςτθν κατανόθςθ τθσ επόμενθσ δραςτθριότθτασ. 2θ δραςτθριότθτα: Σϋ αυτι τθ δραςτθριότθτα οι μακθτζσ κα αναγνωρίςουν ότι θ ελαχιςτοποίθςθ του κόςτουσ εξαρτάται από τθν ελαχιςτοποίθςθ τθσ περιμζτρου και κα μακθματικοποιιςουν το πρόβλθμα καταλιγοντασ ςτθν ζκφραςθ τθσ παράςταςθσ που δίνει το κόςτοσ όταν θ μία πλευρά είναι χ και το εμβαδόν ςτακερό και ίςο με 1,1.025 τ.μ. (55·2·(χ+1,1025/χ)). 3θ δραςτθριότθτα: Δίνεται ζνα αρχείο όπου οι μακθτζσ ςφμφωνα με αυτά που ζχουν ιδθ διαπραγματευτεί κα αναγνωρίςουν ςτο (α) ερϊτθμα ότι καταςκευάηει ζνα ορκογϊνιο με ςτακερό εμβαδόν (11025 τ.ε.) και με μία μεταβλθτι (πλευρά χ ςε τ.ε.). Στο (β) ερϊτθμα κα εκτελζςουν τθ διαδικαςία και κα ανατροφοδοτιςουν τισ απόψεισ τουσ. Στο (γ) ερϊτθμα κα

ενδο-μακθματικζσ ςυνδζςεισ

διερεφνθςθ γενίκευςθ και επιχειρθματολογία μοντελοποίθςθ μιασ κατάςταςθσ 13-φάςθ 2θ-Δρ3.mwd χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ, γενίκευςθ και επικοινωνία

Βϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

χρθςιμοποιιςουν το δυναμικό χειριςμό τθσ μεταβλθτισ χ για να ςυμπεράνουν ότι τελικά θ ελάχιςτθ περίμετροσ του ορκογωνίου (420 εκ.) προκφπτει όταν θ πλευρά χ είναι 105 εκ. και το ςχιμα που προκφπτει είναι τετράγωνο. Τζλοσ ςτο (δ) ερϊτθμα κα απαντιςουν ςτο αρχικό ερϊτθμα για τθν ελαχιςτοποίθςθ του κόςτουσ. Προςτικζμενθ αξία: Με τθ δυνατότθτα δυναμικοφ χειριςμοφ με το μεταβολζα, τθν ταυτόχρονθ απεικόνιςθ του ςχιματοσ και τον υπολογιςμό του εμβαδοφ και τθσ περιμζτρου, ο μακθτισ ζχει ευκαιρίεσ να διερευνιςει το πρόβλθμα. Θ χριςθ του λογιςμικοφ ενιςχφει τθν ικανότθτα μακθματικισ αιτιολόγθςθσ και απόδειξθσ και βοθκά τουσ μακθτζσ να διερευνιςουν τισ ιδιότθτεσ των μακθματικϊν αντικειμζνων και τισ μεταξφ τουσ ςχζςεισ.

Φφλλα εργαςίασ 1θ Φάςθ 1θ δραςτθριότθτα: Οι διαςτάςεισ του κιπου του ςχολείου είναι 5,25 μ πλάτοσ και 10,50 μ μικοσ. Το ορκογϊνιο πλαίςιο του παρτεριοφ που κζλουμε να καταςκευάςουμε δεν πρζπει να ξεπερνά το 2% του κιπου του ςχολείου. α) Σχεδιάηουμε τρία διαφορετικά ορκογϊνια και υπολογίηουμε το εμβαδόν και τθν περίμετρό τουσ. Καταγράφουμε τα δεδομζνα για κάκε περίπτωςθ: Μικοσ ορκογωνίου

Ρλάτοσ ορκογωνίου

Εμβαδόν ορκογωνίου

Ρερίμετροσ ορκογωνίου

β) Υπολογίηουμε το εμβαδόν του κιπου του ςχολείου. γ) Ροιο είναι το μζγιςτο εμβαδόν που μπορεί να καταλαμβάνει το παρτζρι; 2θ δραςτθριότθτα: Ανοίγουμε το αρχείο του Χελωνόκοςμου 13-φάςθ 1θ-Δρ2.mwd α) Εκτελοφμε τθ διαδικαςία «ορκογϊνιο1» (πατϊντασ insert όταν ο δείκτθσ του ποντικιοφ είναι ςτθν ίδια γραμμι). Αν υποκζςουμε ότι κάκε βιμα τθσ χελϊνασ είναι 1 εκατοςτό, τι εμβαδόν ζχει το ορκογϊνιο που καταςκευάςτθκε ςε τετραγωνικά εκατοςτά και τετραγωνικά μζτρα; β) Αλλάηουμε τισ πλευρζσ του ορκογωνίου και εκτελοφμε πάλι τθ διαδικαςία (πρζπει να ορίςουμε ξανά τθ διαδικαςία επιλζγοντάσ τθν και πατϊντασ το πλικτρο insert). 3θ δραςτθριότθτα: Ανοίγουμε το αρχείο του Χελωνόκοςμου 13-φάςθ 1θ-Δρ3.mwd.

145

Βϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

α) Διαβάηουμε τθν παρακάτω διαδικαςία «ορκογϊνιο2» . Εδϊ ζχουν οριςτεί δφο μεταβλθτζσ, το :μικοσ και το :πλάτοσ (τισ μεταβλθτζσ τισ ορίηουμε μαηί με το όνομα τθσ διαδικαςίασ). Συηθτάμε ςτα πλαίςια τθσ ομάδασ μασ και ςτθ ςυνζχεια κατακζτουμε τισ απόψεισ μασ ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ για το ρόλο τθσ κάκε εντολισ. για ορκογϊνιο2 :μικοσ :πλάτοσ μ :μικοσ δ 90 μ :πλάτοσ δ 90 μ :μικοσ δ 90 μ :πλάτοσ δ 90 τφπωςε *Εμβαδόν+ τφπωςε :μικοσ*:πλάτοσ τφπωςε *Ρερίμετροσ+ τφπωςε 2*(:μικοσ + :πλάτοσ) τζλοσ ςβγ ορκογϊνιο2 50 60 β) Εκτελοφμε τθ διαδικαςία «ορκογϊνιο2» για τισ τιμζσ μικουσ και πλάτουσ (ςε βιματα χελϊνασ) του παρακάτω πίνακα. Το λογιςμικό υπολογίηει το εμβαδόν και τθν περίμετρο τα οποία αντιγράφουμε ςτον πίνακα. Μικοσ ορκογωνίου

Ρλάτοσ ορκογωνίου

100

200

25.5

85.7

Εμβαδόν ορκογωνίου

Ρερίμετροσ ορκογωνίου

γ) Αν ζνα ορκογϊνιο ζχει μικθ πλευρϊν χ και ψ (ςε μ.) από ποιουσ τφπουσ δίνονται το εμβαδόν και θ περίμετροσ του ορκογωνίου; Συηθτάμε με τθν ομάδα μασ και προςπακοφμε να καταλιξουμε ςε ςυμφωνία. Κατακζτουμε τα ςυμπεράςματά μασ ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ. 2θ Φάςθ 1θ δραςτθριότθτα: Το εμβαδόν ενόσ ορκογωνίου είναι 100 τ.μ. α) Συμπλθρϊνουμε το μικοσ του ορκογωνίου ςτον παρακάτω πίνακα, όπου δίνονται διάφορεσ τιμζσ που μπορεί να πάρει το πλάτοσ. Ρλάτοσ ορκογωνίου

Μικοσ ορκογωνίου

Εμβαδόν ορκογωνίου

100

146

Βϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

100

β) Τι ποςά είναι το μικοσ και το πλάτοσ ενόσ ορκογωνίου με ςτακερό εμβαδόν; γ) Ρόςα διαφορετικά ορκογϊνια μποροφμε να καταςκευάςουμε με αυτό το εμβαδόν; δ) Αν παραςτιςουμε τθ μία πλευρά με χ τότε πϊσ πρζπει να παραςτιςουμε τθν άλλθ πλευρά; Συηθτάμε με τθν ομάδα μασ και προςπακοφμε να καταλιξουμε ςε ςυμφωνία. Κατακζτουμε τισ απόψεισ μασ ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ. 2θ δραςτθριότθτα: Κάκε μζτρο του πλαιςίου που κα καταςκευάςουμε κοςτίηει 55 ευρϊ. Ζχουμε αποφαςίςει το παρτζρι να γίνει ορκογϊνιο εκμεταλλευόμενοι τισ μεγαλφτερεσ δυνατζσ διαςτάςεισ που βρικαμε ςτθν 1θ φάςθ. α) Από τι εξαρτάται θ ελαχιςτοποίθςθ του κόςτουσ; β) Αν ςυμβολίςουμε το μικοσ του ορκογωνίου με χ (ςε μ.), ποια παράςταςθ ςυμβολίηει το κόςτοσ του παρτεριοφ; Συηθτάμε με τθν ομάδα μασ και κατακζτουμε τισ απόψεισ μασ ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ. 3θ δραςτθριότθτα: Ανοίγουμε το αρχείο 13-φάςθ 2θ-Δρ3.mwd. α) Διαβάηουμε τθν παρακάτω διαδικαςία και ςυηθτάμε τισ υποκζςεισ μασ ςχετικά με τι καταςκευάηει. για μυςτιριο :μικοσ επανάλαβε 2*μ :μικοσ δ 90 μ 11025/(:μικοσ) δ 90+ τφπωςε *Εμβαδόν+ τφπωςε (:μικοσ)*(11025/:μικοσ) τφπωςε *Ρερίμετροσ+ τφπωςε 2*(:μικοσ + 11025/:μικοσ) τζλοσ Θ εντολι «τφπωςε» εμφανίηει ςτο κάτω πλαίςιο τθσ Logo είτε ότι ζχουμε γραμμζνο μζςα ςε αγκφλθ είτε τισ πράξεισ των μεταβλθτϊν που ακολουκοφν τθσ εντολισ. β) Εκτελοφμε τθ διαδικαςία και παρατθροφμε αν οι υποκζςεισ μασ ιταν ςωςτζσ ι όχι. γ) Με το δυναμικό χειριςμό (κάνουμε κλικ ςτο πλικτρο «επιλογι γραμμισ χελϊνασ» και μετά κάνουμε διπλό κλικ ςτθν καταςκευι που κζλουμε να ειςάγουμε δυναμικό χειριςμό μεταβλθτϊν) παρατθροφμε τισ μεταβολζσ ςτο εμβαδόν και ςτθν περίμετρο. Ροιεσ διαςτάςεισ μασ δίνουν το ορκογϊνιο με το ελάχιςτο κόςτοσ; (Μποροφμε να αλλάξουμε τα όρια του μεταβολζα από 60 ζωσ 130). Ρϊσ ονομάηεται το ςχιμα που προκφπτει; δ) Ροιο είναι το ελάχιςτο κόςτοσ (ςε €) που κα διακζςει το ςχολείο για τθν αγορά του παρτεριοφ;

147

Γϋ ΚΤΚΛΟ΢

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

149

Αρικμοί και Άλγεβρα Βαςικά κζματα: Φυςικοί αρικμοί Διαιρετότθτα (Αϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ευκλείδεια διαίρεςθ, θ διαιρετότθτα και θ ανάλυςθ των φυςικϊν ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων είναι ζννοιεσ που παίηουν ςθμαντικό ρόλο ςτθν κατανόθςθ τθσ αρικμθτικισ δομισ των φυςικϊν και των πράξεων των ρθτϊν (μζςω των ιςοδφναμων κλαςμάτων). Επιπλζον, οι ζννοιεσ αυτζσ παρουςιάηουν αναλογίεσ με ζννοιεσ που εμφανίηονται ςτθν άλγεβρα (παραγοντοποίθςθ πολυωνφμων, πράξεισ κλαςματικϊν παραςτάςεων). Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ςτο Δθμοτικό ςχολείο ζχουν διαπραγματευκεί τισ ζννοιεσ και τισ διαδικαςίεσ τθσ διαιρετότθτασ με ςυγκεκριμζνουσ φυςικοφσ. Σε αυτι τθν ενότθτα επιχειρείται θ ςυμβολικι διατφπωςθ τθσ ταυτότθτασ τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ, μια διερεφνθςθ απλϊν ιδιοτιτων τθσ διαιρετότθτασ (πχ. ο 7 διαιρεί το 21, άρα κα διαιρεί και το 210 που είναι πολλαπλάςιο του 21), θ ςυςτθματικι χριςθ τθσ ανάλυςθσ ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων (πχ. ςτθν εφρεςθ του ΕΚΡ και ΜΚΔ), κακϊσ και μια πρϊτθ επαφι των μακθτϊν με τθν αιτιολόγθςθ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςχετίηονται κυρίωσ με: 

τθν ιδζα ότι ζνασ αρικμόσ μπορεί να γραφεί με διαφορετικοφσ τρόπουσ χωρίσ να αλλάηει (πχ. για να εξετάςουν αν ο αρικμόσ 15·34 διαιρείται με το 15, κάποιοι μακθτζσ μπορεί να υπολογίςουν πρϊτα το γινόμενο ϊςτε να κάνουν μετά τθ διαίρεςθ),



τθν αιτιολόγθςθ ιςχυριςμϊν και ςυμπεραςμάτων (ίςωσ να μθν αναγνωρίηουν τθν ανάγκθ αιτιολόγθςθσ και ςυχνά δυςκολεφονται να διατυπϊςουν επιχειριματα).

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ εξοικείωςθ των μακθτϊν με κάποια από τα περιεχόμενα τθσ ενότθτασ ςτο Δθμοτικό αποτελεί πλεονζκτθμα για τθν πρϊτθ επαφι τουσ με τα μακθματικά ςτο Γυμνάςιο. Θ ζμφαςθ εδϊ είναι τόςο ςτθ γενίκευςθ (ταυτότθτα ευκλείδειασ διαίρεςθσ) όςο και ςτθν αιτιολόγθςθ ιςχυριςμϊν και τθν επιχειρθματολογία. Γι' αυτό το λόγο, οι μακθτζσ κα πρζπει να ζχουν ευκαιρίεσ ςυηιτθςθσ, επιχειρθματολογίασ και αυτοαξιολόγθςθσ των προτάςεων και των ςτρατθγικϊν τουσ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να διευκολφνει με κατάλλθλεσ ερωτιςεισ (όπωσ "γιατί;", "πωσ το ςκζφτθκεσ;", "ιςχφει πάντα;", "τι λζτε για τθν ιδζα του ςυμμακθτι ςασ;" κ.λπ.). Θ ανάλυςθ αρικμοφ ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων, εκτόσ από ιςχυρό μακθματικό εργαλείο, είναι χριςιμο και διδακτικά, αφοφ επιτρζπει γενικεφςεισ (πχ. ςτθν εφρεςθ του ΕΚΡ και του ΜΚΔ) και αιτιολογιςεισ (πχ. ςτο γιατί ο 15 διαιρεί τον 23·32·5). Θ μακθματικι δραςτθριότθτα των μακθτϊν μπορεί να αποκτά νόθμα μζςα από μακθματικά προβλιματα και ρεαλιςτικζσ καταςτάςεισ.

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

150

Ενδεικτικι δραςτθριότθτα: Αϋ Γυμναςίου: ΑρΔ1 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να διερευνιςουν οι μακθτζσ τισ ζννοιεσ του κοινοφ διαιρζτθ και του ΜΚΔ. Ρρόκειται για ζνα πρόβλθμα με περιςςότερεσ από μία ςωςτζσ απαντιςεισ (ανοικτό). Μζςα από προβλιματα αυτοφ του είδουσ διευκολφνεται θ διερεφνθςθ των μακθτϊν και αποκτά αξία θ επιχειρθματολογία. Αν και από τθν πρϊτθ διερεφνθςθ των μακθτϊν οι αναμενόμενεσ απαντιςεισ είναι ςυγκεκριμζνοι αρικμοί (2, 4, 8), οι ερωτιςεισ του εκπαιδευτικοφ μποροφν να οδθγιςουν ςε αιτιολογιςεισ και ςε γενικεφςεισ, ακόμα και ςτον κανόνα εφρεςθσ του ΜΚΔ (ωσ γινόμενο των κοινϊν παραγόντων ςτον μικρότερο εκκζτθ). Για παράδειγμα, μια ερϊτθςθ όπωσ: "πωσ ξζρουμε ότι δεν υπάρχει και κάποιο πολλαπλάςιο του 8 που να είναι ο ηθτοφμενοσ αρικμόσ;" μπορεί να οδθγιςει ςτθν αναγκαιότθτα ανάλυςθσ ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων. Θ ερϊτθςθ "αν οι αρικμοί που βγαίνουν από τθ μθχανι ιταν οι 36, 60, 144 και 216, ποιοσ είναι ο μεγαλφτεροσ αρικμόσ με τον οποίο μπορεί να πολλαπλαςιάηει θ μθχανι;" μπορεί να οδθγιςει ςτθν ιδζα του ΜΚΔ. Τζλοσ, οι μακθτζσ κα μποροφςαν να "ανακαλφψουν" ζναν τρόπο να βρίςκουν τθν απάντθςθ ςτο ςυγκεκριμζνο πρόβλθμα για οποιουςδιποτε αρικμοφσ (δθλαδι, τον κανόνα εφρεςθσ του ΜΚΔ).

Διεργαςία διερεφνθςθσ, γενίκευςθσ και επιχειρθματολο γίασ Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω φυςικισ γλϊςςασ και ςυμβολιςμϊν Θ ανάλυςθ ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων είναι αναγκαία για τθν "ανακάλυψθ" των κανόνων εφρεςθσ του ΜΚΔ και του ΕΚΡ.

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: 1. Ροιοι είναι οι φυςικοί αρικμοί οι οποίοι, όταν διαιροφνται με 3, δίνουν υπόλοιπο 2; Ροιοι είναι οι φυςικοί αρικμοί οι οποίοι, όταν διαιροφνται με 3, δίνουν πθλίκο διπλάςιο του υπολοίπου; ΢χόλιο: Θ πρϊτθ ερϊτθςθ ζχει ωσ ςτόχο τθν εφαρμογι τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ και τθ χριςθ μιασ απλισ αλγεβρικισ παράςταςθσ (3κ+2) για να εκφραςτεί θ απάντθςθ. Θ δεφτερθ ερϊτθςθ ζχει ωσ ςτόχο τθ διερεφνθςθ με βάςθ τθν ταυτότθτα τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ. 2. Ο Αντρζασ παίηει ποδόςφαιρο κάκε 4 θμζρεσ, ο Μιχάλθσ κάκε 5 θμζρεσ και ο Μαρίνοσ κάκε 8 θμζρεσ. Αν ςιμερα παίηουν ποδόςφαιρο και οι τρεισ μαηί, τότε να υπολογίςετε μετά από πόςεσ θμζρεσ κα ςυμβεί το ίδιο για δεφτερθ φορά. ΢χόλιο: Ο ςτόχοσ είναι θ χριςθ του ΕΚΡ ςε ζνα ρεαλιςτικό πρόβλθμα. Θ επίλυςθ του προβλιματοσ από τουσ μακθτζσ μπορεί να ςτθρίηεται ςε διαιςκθτικζσ προςεγγίςεισ (πχ. ο Αντρζασ κα παίξει ποδόςφαιρο μετά από 4, 8, 12, … μζρεσ, ο Μιχάλθσ μετά από 5, 10,15, … μζρεσ, ο Μαρίνοσ μετά από 8, 16, 24, … μζρεσ, άρα, κοινι μζρα κα είναι θ 40ι). Αυτι θ προςζγγιςθ μπορεί να αξιοποιθκεί για τθν ανάδειξθ τθσ ζννοιασ του ΕΚΡ. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, από το υπάρχον ςχολικό βιβλίο (Αϋ Γυμναςίου, ζκδοςθ 2010) μποροφν να αξιοποιθκοφν οι παράγραφοι 1.4 και 1.5.

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

151

Από το διαδίκτυο:  http://nrich.maths.org/content/id/5578/Chains.xls διαιρζτεσ)

(παράγοντεσ

και

 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/Eratosthenes.shtml (κόςκινο του Ερατοςκζνθ)  http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_202_g_3_t_1.html γινόμενο πρϊτων παραγόντων με δεντροδιάγραμμα)

(ανάλυςθ ςε

Βαςικά κζματα: Φυςικοί Αρικμοί Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ (Αϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ αξία κζςθσ των ψθφίων ςτθ ςυμβολικι γραφι των φυςικϊν είναι ςθμαντικι τόςο για τθν κατανόθςθ των αρικμϊν και τθ ςφγκριςι τουσ, όςο και για τθν κατανόθςθ των αλγορίκμων εκτζλεςθσ των πράξεων. Θ εναςχόλθςθ των μακθτϊν με κάποιο κεςιακό ςφςτθμα αρίκμθςθσ εκτόσ του δεκαδικοφ, μπορεί να υποβοθκιςει τθν κατανόθςθ των ψθφίων που χρθςιμοποιοφμε και τθσ αξίασ τθσ κζςθσ τουσ ςε ζνα αρικμθτικό ςφςτθμα. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Στο Δθμοτικό ζχουν αξιοποιθκεί δραςτθριότθτεσ που αναδεικνφουν ςτοιχεία του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ γραφισ και ανάγνωςθσ αρικμϊν, δθλαδι το ρόλο τθσ κζςθσ ςτθν αξία ενόσ ψθφίου. Σε αυτι τθν ενότθτα επιχειρείται μια εμβάκυνςθ, μζςω τθσ εναςχόλθςθσ με ζνα ςφςτθμα αρίκμθςθσ διαφορετικό του δεκαδικοφ (το δυαδικό) που είναι όμωσ κεςιακό (όπωσ και το δεκαδικό). Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι πικανζσ δυςκολίεσ των μακθτϊν ςχετίηονται με: • •

το ότι το 2 και το 10 ζχουν τουσ ίδιουσ ρόλουσ (βάςεισ) ςτα διαφορετικά ςυςτιματα αρίκμθςθσ τθν ιδζα ότι ζνασ αρικμόσ μπορεί να γραφεί με διαφορετικοφσ τρόπουσ χωρίσ να αλλάηει (πχ. ο 7 ςτο δεκαδικό, γράφεται 111 ςτο δυαδικό) και αντίςτροφα, το ίδιο ςφμβολο αναπαριςτά διαφορετικοφσ αρικμοφσ ςε διαφορετικά ςυςτιματα (πχ. το 11 αναπαριςτά διαφορετικοφσ αρικμοφσ ςτο δεκαδικό και ςτο δυαδικό).

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Ξεκινϊντασ από γνωςτζσ ζννοιεσ και διαδικαςίεσ (αξία ψθφίων), οι μακθτζσ μποροφν να επιχειριςουν μια επζκταςι τουσ ςτο δυαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Ο ςτόχοσ των δραςτθριοτιτων των μακθτϊν είναι θ βακφτερθ κατανόθςθ των ςτοιχείων ενόσ κεςιακοφ ςυςτιματοσ αρίκμθςθσ και πιο ςυγκεκριμζνα, ο ρόλοσ των δυνάμεων του 10 και του 2 ςτθν ανάλυςθ και τθ γραφι ενόσ αρικμοφ και θ διαφορετικι αξία που ζχει ζνα ψθφίο ανάλογα με τθ κζςθ του. Θ μετατροπι από ζνα ςφςτθμα ςε ζνα άλλο είναι απαραίτθτθ για τθν επίτευξθ των παραπάνω ςτόχων, αλλά δεν αποτελεί αυτοςκοπό.

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

152

Ενδεικτικι δραςτθριότθτα: Αϋ Γυμναςίου: ΑρΔ3 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να εμπλακοφν οι μακθτζσ ςε διερεφνθςθ και αναςτοχαςμό τθσ αξίασ κζςθσ των ψθφίων ςτα δφο ςυςτιματα και του ρόλου των δυνάμεων του 2 ςτο δυαδικό ςφςτθμα. Ζτςι, αν και οι πρϊτεσ ςκζψεισ των μακθτϊν μπορεί να ςτθρίηονται ςε απλοϊκζσ μεκόδουσ (πχ. δοκιμι και ζλεγχο), θ αναηιτθςθ όλων των αρικμϊν που κα μποροφςαν να ζχουν το χαρακτθριςτικό που περιγράφεται οδθγεί ςε μια πιο ςυςτθματικι διερεφνθςθ που μπορεί να περιζχει ερωτιςεισ όπωσ "ποια ψθφία μπορεί να ζχει ζνασ τετραψιφιοσ ςτο δυαδικό;", "ποιοσ είναι ο μεγαλφτεροσ και ποιοσ ο μικρότεροσ από τουσ τετραψιφιουσ ςτο δυαδικό και πωσ γράφονται ςτο δεκαδικό;". Θ γραφι του αρικμοφ ωσ ανάπτυγμα είναι ζνα επιδιωκόμενο αποτζλεςμα αυτισ τθσ δραςτθριότθτασ (πχ. 1110=1·10+1·1, ενϊ 10112= 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·1).

Διεργαςία διερεφνθςθσ Διεργαςία αναςτοχαςμοφ για τισ ςτρατθγικζσ που εφαρμόηουν Διεργαςία επικοινωνίασ με χριςθ ςυμβόλων για τθν αναπαράςταςθ αρικμϊν

Ενδεικτικι δραςτθριότθτα που δεν περιζχεται ςτο Π΢: 1. Ξεκινϊντασ από μια πρόςκεςθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα (πχ. 183+918), καλοφνται οι μακθτζσ να εξθγιςουν τον αλγόρικμο κάκετθσ εκτζλεςισ τθσ. Κατόπιν, τουσ ηθτείται να κάνουν με ανάλογο τρόπο μια πρόςκεςθ ςτο δυαδικό ςφςτθμα (πχ. 101+111). Στόχοσ είναι να αναδειχκοφν οι ρόλοι των δυνάμεων του 2 και των ψθφίων που χρθςιμοποιοφνται και να κατανοθκοφν οι αναλογίεσ με το δεκαδικό ςφςτθμα. Εκπαιδευτικό υλικό: Από το ςχολικό βιβλίο τθσ Αϋ Γυμναςίου το ιςτορικό ςθμείωμα των ςελ. 22–23. Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μπορεί επίςθσ να αξιοποιθκεί υλικό από το Υπ. Ραιδείασ τθσ Κφπρου (http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika). Επίςθσ, από το διαδίκτυο:  http://nrich.maths.org/5722  http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/BinaryHistory.shtml

Βαςικά κζματα: Πραγματικοί αρικμοί Ακζραιοι (Αϋ Γυμναςίου), Ρθτοί (Αϋ Γυμναςίου), Άρρθτοι–Πραγματικοί (Βϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Οι αρικμοί και οι πράξεισ τουσ είναι ςτο κζντρο τθσ μακθματικισ εκπαίδευςθσ, τόςο ωσ απαραίτθτο ςτοιχείο μακθματικοφ γραμματιςμοφ, όςο και ωσ κεμελιϊδεισ ιδζεσ για τθν ανάπτυξθ τθσ μακθματικισ ςκζψθσ και γνϊςθσ. Θ ςταδιακι επζκταςθ από τουσ φυςικοφσ ςτουσ ακζραιουσ,

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

153

ςτουσ ρθτοφσ και ςτουσ πραγματικοφσ παρζχει ευκαιρίεσ ανάπτυξθσ τθσ μακθματικισ δραςτθριότθτασ από τθν μζτρθςθ και τθν απαρίκμθςθ μζχρι τθν διατφπωςθ αλγεβρικϊν ςχζςεων και ςυναρτιςεων. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ από μικρζσ θλικίεσ χειρίηονται κακθμερινζσ καταςτάςεισ που χρθςιμοποιοφν ακεραίουσ (π.χ το κερμόμετρο, το αςανςζρ κ.λ.π.) και ςτο Δθμοτικό ζχουν ζρκει ςε μια πρϊτθ διαιςκθτικι επαφι με αυτοφσ και τθν πρόςκεςι τουσ. Ζχουν εξοικειωκεί με τουσ κλαςματικοφσ (και τουσ δεκαδικοφσ) αρικμοφσ και τισ πράξεισ τουσ, αν και είναι αναμενόμενο να παραμζνουν δυςκολίεσ και παρανοιςεισ (ςχετικά με το τι μπορεί να παριςτάνει ζνα κλάςμα, με το αν είναι αρικμόσ, με τθν ιςοδυναμία κλαςμάτων, με πράξεισ μεταξφ κλαςμάτων κ.λπ.). Στθν Αϋ Γυμναςίου κα αςχολθκοφν πιο ςυςτθματικά με τουσ ακεραίουσ ϊςτε να κατανοιςουν καλφτερα τισ ςχετικζσ ζννοιεσ και ιδιότθτεσ και κα διερευνιςουν τισ πράξεισ τουσ καταλιγοντασ ςε ςχετικά ςυμπεράςματα. Θ χριςθ τθσ ζννοιασ του κλάςματοσ κα οδθγιςει ςτθν επζκταςθ από τουσ ακζραιουσ ςτουσ ρθτοφσ αρικμοφσ και τισ πράξεισ τουσ, επιδιϊκοντασ κατανόθςθ των αντίςτοιχων εννοιϊν, ιδιοτιτων και ςχζςεων, αλλά και ικανοποιθτικι ευχζρεια ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων και τθν εκτζλεςθ υπολογιςμϊν. Τζλοσ, ςτθν Βϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα γνωρίςουν τθν φπαρξθ των αρριτων, οι οποίοι μαηί με τουσ ρθτοφσ αποτελοφν τουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςχετικά με τουσ ακζραιουσ αρικμοφσ αφοροφν κυρίωσ: • • • • •

τθν πρόςκεςθ ετερόςθμων (επειδι ανάγεται ςε αφαίρεςθ φυςικϊν), τθν αφαίρεςθ (επειδι μεταςχθματίηεται ςε πρόςκεςθ), τουσ διαφορετικοφσ ρόλουσ του "–" (ωσ πρόςθμο και ωσ ςφμβολο τθσ αφαίρεςθσ), το πϊσ προκφπτουν οι "κανόνεσ των πρόςθμων" ςτον πολλαπλαςιαςμό. το ρόλο τθσ παρζνκεςθσ και τθν απαλοιφι τθσ.

Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν όςον αφορά τουσ ρθτοφσ ςχετίηονται κυρίωσ με: •

•

τισ ερμθνείεσ του κλάςματοσ (πχ ωσ ςχζςθ μζρουσ–όλου) και κυρίωσ ωσ αποτζλεςμα τθσ διαίρεςθσ ακεραίων και ωσ ςθμείο τθσ αρικμογραμμισ (ςτα δφο τελευταία δίνεται ιδιαίτερθ ζμφαςθ ς' αυτι τθν ενότθτα), τθν ιςοδυναμία κλαςμάτων, ιδιαίτερα με τθν αναγνϊριςθ δφο ιςοδφναμων κλαςμάτων ωσ ίςων, δθλαδι ότι αναπαριςτοφν τον ίδιο αρικμό και αντιςτοιχοφν ςτο ίδιο ςθμείο τθσ αρικμογραμμισ, 3 τθ δεκαδικι αναπαράςταςθ των ρθτϊν (πχ. μπορεί να μθν αναγνωρίηουν το 5 και το 0,6 ωσ τον ίδιο αρικμό) και ιδιαιτζρωσ όταν αυτι είναι περιοδικι (πχ. ο 0,33… ςυχνά αναγνωρίηεται ωσ άρρθτοσ ι ταυτίηεται με τον 0,33) τθν ιδιότθτα τθσ πυκνότθτασ των ρθτϊν, δθλαδι ότι μεταξφ δφο διαφορετικϊν ρθτϊν υπάρχει πάντα ρθτόσ αρικμόσ ςε αντίκεςθ με τουσ ακζραιουσ, και ότι κάκε ακζραιοσ ζχει επόμενο ςε αντίκεςθ με τουσ ρθτοφσ,

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

•

154

τισ πράξεισ μεταξφ ρθτϊν, τον υπολογιςμό τθσ τιμισ αρικμθτικϊν παραςτάςεων, τθν προτεραιότθτα των πράξεων, το ρόλο τθσ παρζνκεςθσ και τθν απαλοιφι τθσ.

Επιπλζον, ςχετικά με τθ ςυμβολικι διατφπωςθ ιδιοτιτων και ςχζςεων (που ςυναντοφν για πρϊτθ φορά οι μακθτζσ ςτθν ενότθτα των ρθτϊν), δυςκολία παρουςιάηουν: • •

θ χριςθ του γράμματοσ ωσ γενικευμζνου αρικμοφ (ςτθ διατφπωςθ των ιδιοτιτων των πράξεων), ο ρόλοσ του "–" ωσ δθλωτικό του αντίκετου (–α) ενόσ αρικμοφ α και θ ςφγχυςθ αυτοφ του ρόλου με εκείνον του πρόςθμου (ο –α δεν είναι κατ’ ανάγκθ αρνθτικόσ).

Σθμεία που μπορεί να δυςκολεφουν τουσ μακθτζσ ςχετικά με τουσ άρρθτουσ, είναι: •

•

θ δεκαδικι αναπαράςταςι τουσ (δεν μποροφμε να ζχουμε πλιρθ εικόνα τθσ δεκαδικισ αναπαράςταςθσ ενόσ άρρθτου) και θ ςφγχυςθ μεταξφ άρρθτου και ρθτισ προςζγγιςισ του (πχ. μεταξφ του π και του 3,14 ι μεταξφ του 2 και του 1,41), θ θλικία και το επίπεδο μακθματικισ ςκζψθσ που δεν επιτρζπουν (για τουσ περιςςότερουσ μακθτζσ) μια αιτιολόγθςθ του γιατί δεν μποροφν να γραφοφν ωσ κλάςμα.

Τζλοσ, ςυχνά υπάρχουν δυςκολίεσ αναγνϊριςθσ και ταξινόμθςθσ ενόσ αρικμοφ ωσ φυςικοφ, ακζραιου, ρθτοφ ι άρρθτου που ςυνδζονται με τισ διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ των αρικμϊν (πχ. ο 1/3 μπορεί να κεωρείται ρθτόσ ενϊ ο 0,3 άρρθτοσ, ο 2 μπορεί να κεωρείται ακζραιοσ αλλά όχι ρθτόσ, κ.λπ.) Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Πςον αφορά τισ πράξεισ ακεραίων, θ επιδίωξθ είναι θ απόδοςθ νοιματοσ και όχι θ απομνθμόνευςθ κανόνων χωρίσ νόθμα. Για το ςκοπό αυτό μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν κάποια μοντζλα (όπωσ οι κετικζσ και αρνθτικζσ μάρκεσ) και μεταφορζσ (όπωσ θ κίνθςθ ςτθν αρικμογραμμι ι θ μεταβολι κερμοκραςίασ). Ακόμθ κι όταν οι μακθτζσ ζχουν διατυπϊςει τουσ κανόνεσ (π.χ τθσ πρόςκεςθσ), θ απόκτθςθ ευχζρειασ ςτισ πράξεισ χρειάηεται χρόνο, ςτθ διάρκεια του οποίου είναι κεμιτι θ παράλλθλθ χριςθ των μοντζλων– μεταφορϊν με τουσ κανόνεσ. Επιπλζον, θ χριςθ πολλαπλϊν μοντζλων βοθκά ςτθν διερεφνθςθ διαφορετικϊν πλευρϊν και δίνει περιςςότερεσ δυνατότθτεσ επιλογϊν ςτουσ μακθτζσ. Ζτςι, για τθν πρόςκεςθ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν οι μάρκεσ, το κερμόμετρο και θ κίνθςθ ςτθν αρικμογραμμι (θ οποία μπορεί να επεκτακεί και ςτο άκροιςμα πολλϊν προςκετζων με ι χωρίσ παρενκζςεισ). Για τθν αφαίρεςθ οι μάρκεσ και το κερμόμετρο, με ςτόχο τθν κατανόθςθ του μεταςχθματιςμοφ τθσ αφαίρεςθσ ςε πρόςκεςθ. Για τον πολλαπλαςιαςμό προτείνεται θ χριςθ ςυνδυαςμοφ μοντζλων και τρόπων διερεφνθςθσ (επαναλαμβανόμενθ πρόςκεςθ, αρικμογραμμι, κανονικότθτεσ κ.λπ.). Θ διαίρεςθ μπορεί να επεκτακεί από τουσ φυςικοφσ ςτουσ ακεραίουσ ωσ αντίςτροφθ πράξθ του πολλαπλαςιαςμοφ (πχ. για το πθλίκο (–12):(–3) κα πρζπει να ςκεφτοφμε με ποιον αρικμό πρζπει να πολλαπλαςιάςουμε το –3 ϊςτε να προκφψει γινόμενο –12).

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

155

Σχετικά με τουσ "διαφορετικοφσ" ρόλουσ του "–" (ωσ πρόςθμο και ωσ ςφμβολο αφαίρεςθσ) χρειάηεται χρόνοσ για να γίνει κατανοθτό από τουσ μακθτζσ ότι αυτοί οι ρόλοι δεν είναι αςφμβατοι και να αποκτθκεί θ αναγκαία ευελιξία ςτθ μετάβαςθ από τον ζνα ρόλο ςτον άλλο, δθλαδι ςτθν αυτόματθ αντιμετϊπιςθ τθσ αφαίρεςθσ ωσ πρόςκεςθ. Για το ςκοπό αυτό μποροφν να αξιοποιοφνται διδακτικά διαφορετικζσ οπτικζσ που μπορεί να διατυπϊνουν οι μακθτζσ κατά τισ ςυηθτιςεισ τουσ, όπωσ, για παράδειγμα, κάποιοσ που ςτθν παράςταςθ 3–5 βλζπει το "–" ωσ αφαίρεςθ, ενϊ κάποιοσ άλλοσ ωσ πρόςθμο (και κάνει πρόςκεςθ). Ξεκινϊντασ από ερμθνείεσ του κλάςματοσ (ςχζςθ μζρουσ–όλου, λόγοσ) και αναπαραςτάςεισ (εμβαδά, λωρίδεσ) που είναι γνωςτζσ από το Δθμοτικό, οι μακθτζσ μποροφν να οδθγθκοφν ςτθν ιδζα του κετικοφ ρθτοφ ωσ κλάςμα, δθλαδι ωσ αρικμοφ με διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ (ωσ διαφορετικά αλλά ιςοδφναμα κλάςματα, ωσ δεκαδικοφ, ωσ πθλίκου και ωσ ςθμείου ςτθν αρικμογραμμι). Σε αυτι τθν ιδζα ςτθρίηεται και θ ιδιότθτα τθσ πυκνότθτασ, θ οποία μπορεί να αναδειχκεί μζςα από δραςτθριότθτεσ αναηιτθςθσ ενόσ ρθτοφ ανάμεςα ςε δφο άλλουσ και ενόσ ρθτοφ που να είναι ο "πλθςιζςτεροσ" ςε κάποιον άλλο. Θ αναπαράςταςθ των ρθτϊν ςτθν ευκεία μπορεί να υποςτθρίηει αποτελεςματικά τθν κατανόθςθ αυτϊν των εννοιϊν και ιδιοτιτων. Για τθν απεικόνιςθ των ρθτϊν ςτθν ευκεία προαπαιτείται θ κατανόθςθ του κλάςματοσ ωσ αρικμοφ και θ ευελιξία ςτθ ςφγκριςθ κλαςμάτων (ι κλάςματοσ με ακζραιο, δεκαδικό, κ.λπ.) και ίςωσ χρειάηεται ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ για αυτζσ τισ πτυχζσ. Οι πράξεισ των ακεραίων επεκτείνονται ςτουσ ρθτοφσ μζςα από προβλιματα και δραςτθριότθτεσ που δίνουν νόθμα ςτουσ υπολογιςμοφσ και αναδεικνφουν τθν αναγκαιότθτά τουσ. Κάποια από τα προβλιματα μποροφν να ςχετίηονται με βαςικζσ πλευρζσ τθσ ζννοιασ του κετικοφ ρθτοφ (προβλιματα ποςοςτϊν, αναλογιϊν, τόκου κ.λπ.) και κάποια άλλα να εμπλζκουν και αρνθτικοφσ ρθτοφσ (προβλιματα μεταβολισ κερμοκραςίασ, κζρδουσ – ηθμίασ, κ.λπ.). Επιπλζον, με κατάλλθλεσ δραςτθριότθτεσ μποροφν να ςυηθτοφνται παρανοιςεισ των μακθτϊν ςχετικά με τισ πράξεισ όπωσ ότι θ πρόςκεςθ και ο πολλαπλαςιαςμόσ μεγαλϊνουν τον αρχικό αρικμό ενϊ θ αφαίρεςθ και θ διαίρεςθ τον μικραίνουν. Θ ευχζρεια ςτισ υπολογιςτικζσ τεχνικζσ και τθν προτεραιότθτα των πράξεων είναι ςθμαντικι, χωρίσ να είναι αναγκαία θ εξάςκθςθ ςε υπερβολικά πολφπλοκεσ παραςτάςεισ. Θ απαλοιφι παρενκζςεων μπορεί να προςεγγιςτεί είτε μζςω του αντικζτου (πχ. οι – (6–7,2) και –6+7,2 είναι ίςοι, ωσ αντίκετοι του 6–7,2) είτε μζςω του πολλαπλαςιαςμοφ με το –1 (πχ. –(6–7,2)=(–1)·(6–7,2)=(–1)·6+(–1)·(–7,2)). Τζλοσ, θ κατανόθςθ ότι οι πράξεισ είναι δφο, θ πρόςκεςθ και ο πολλαπλαςιαςμόσ, είναι ζνα επικυμθτό αποτζλεςμα, αλλά αυτό δεν μπορεί να αναμζνεται αμζςωσ με τθν ειςαγωγι των πράξεων των ρθτϊν. Στθν ενότθτα των ρθτϊν εμφανίηεται για πρϊτθ φορά θ διατφπωςθ των ιδιοτιτων των πράξεων ςε ςυμβολικι μορφι, δθλαδι το γράμμα ωσ γενικευμζνοσ αρικμόσ (ωσ "οποιοςδιποτε αρικμόσ" ςε μια ςχζςθ που ιςχφει πάντα – για όλουσ τουσ αρικμοφσ). Οι μακθτζσ ζχουν χρθςιμοποιιςει το γράμμα ωσ άγνωςτο (ςε εξιςϊςεισ) και ωσ μζγεκοσ (πχ. ςτον τφπο Ε=β·υ) και αργότερα κα το ςυναντιςουν ωσ μεταβλθτι (ςτισ ςυναρτιςεισ) και ωσ παράμετρο. Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςτθ χριςθ του γράμματοσ ωσ γενικευμζνου αρικμοφ ςχετίηονται ακριβϊσ με τθ διεργαςία τθσ γενίκευςθσ και μποροφν να αντιμετωπίηονται με ςυνεχι υποςτιριξθ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

156

από ςυγκεκριμζνα παραδείγματα. Με τθν ίδια προςζγγιςθ (γενίκευςθ ςυγκεκριμζνων περιπτϊςεων) μπορεί να επιδιωχκεί θ κατανόθςθ του ρόλο του "–" ωσ δθλωτικό του αντίκετου (–α) ενόσ αρικμοφ α. Οι τετραγωνικζσ ρίηεσ μποροφν να ειςαχκοφν μζςα από προβλιματα (πχ. εμβαδϊν, Ρυκαγορείου κεωριματοσ, κ.λπ.) αναδεικνφοντασ τθν αναγκαιότθτα χριςθσ τουσ, θ οποία με τθ ςειρά τθσ οδθγεί ςτουσ άρρθτουσ αρικμοφσ. Οι μετατροπζσ μεταξφ των αναπαραςτάςεων των ρθτϊν αρικμϊν (κλαςματικι, δεκαδικι με πεπεραςμζνο πλικοσ ι με άπειρο πλικοσ επαναλαμβανόμενων δεκαδικϊν ψθφίων) και το άπειρο πλικοσ ψθφίων (που δεν επαναλαμβάνονται) των αρριτων, μποροφν να αποτελζςουν μια ικανοποιθτικι – για αυτι τθν θλικία – ζνδειξθ για το ότι οι άρρθτοι δεν μποροφν να γραφοφν ωσ κλάςμα. Θ φπαρξθ αρικμϊν με άπειρα, μθ περιοδικά ψθφία μπορεί να υποςτθριχκεί με τθν προςπάκεια προςζγγιςθσ ςυγκεκριμζνων αρριτων (πχ. διαδοχικζσ προςεγγίςεισ του 2 , παράλλθλα με αναφορζσ ςε πίνακεσ με δεκάδεσ χιλιάδεσ ψθφίων του που μποροφν να βρεκοφν ςτο διαδίκτυο), αλλά και ςτθν καταςκευι τζτοιων αρικμϊν ςτθν τάξθ (πχ. ο 2,1010010001…). Ραραδείγματα ςαν το τελευταίο είναι χριςιμα για να αποφευχκεί θ ςφνδεςθ των αρριτων αποκλειςτικά με τισ τετραγωνικζσ ρίηεσ φυςικϊν αρικμϊν που δεν είναι τζλεια τετράγωνα. Οι δραςτθριότθτεσ εφρεςθσ ρθτϊν προςεγγίςεων των αρριτων (τετραγωνικϊν ριηϊν) και αναπαράςταςισ τουσ ςτθν αρικμογραμμι, παρζχουν ςτουσ μακθτζσ δυνατότθτεσ αιςκθτοποίθςθσ αυτϊν των αρικμϊν. Συγχρόνωσ, κα πρζπει να επιςθμαίνεται θ διάκριςθ μεταξφ αρριτου και τθσ ρθτισ προςζγγιςισ του. Θ "καταςκευι" του ςυνόλου των πραγματικϊν αρικμϊν από τουσ ρθτοφσ και τουσ άρρθτουσ, κα πρζπει να ςυνδυαςτεί με τθν εικόνα τθσ ευκείασ των πραγματικϊν (θ αρικμογραμμι των φυςικϊν που επεκτάκθκε για να περιλάβει τουσ ακζραιουσ και μετά τουσ ρθτοφσ και πάνω ςε αυτιν βρικαμε ςθμεία που αναπαριςτοφν και άρρθτουσ όπωσ το 2 ). Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: ΑρΔ4 Θ δραςτθριότθτα αποτελεί μια ειςαγωγι ςτθν πρόςκεςθ ακεραίων και ζχει ωσ ςτόχο τθν "ανακάλυψθ" του οριςμοφ τθσ πρόςκεςθσ και των αντίκετων ωσ αρικμϊν με άκροιςμα μθδζν. Χρθςιμοποιείται το μοντζλο των κετικϊν και αρνθτικϊν καρτϊν, το οποίο μπορεί να ςτθριχτεί ςε χειραπτικό υλικό (πχ. κόκκινα και μαφρα ποφλια ι χαρτάκια με "+" και άλλα με "–") ι ςε εικονικζσ αναπαραςτάςεισ (πχ το +5 μπορεί να παραςτακεί με +++++). Ρλεονεκτιματα αυτοφ του μοντζλου είναι θ άμεςθ ςχζςθ του με τθ ςυμβολικι γραφι του ακροίςματοσ (θ φπαρξθ 5 κετικϊν καρτϊν και 2 αρνθτικϊν ςυμβολίηεται με (+5)+(–2), ενϊ, για παράδειγμα, θ κίνθςθ ςτθν αρικμογραμμι μπορεί να οδθγιςει ςτθ γραφι +5–2) και θ πρόςβαςθ ςτθν ιδζα των αλλθλοαναιροφμενων ποςοτιτων που οδθγεί ςτουσ αντίκετουσ αρικμοφσ. Τα δφο πρϊτα ερωτιματα τθσ δραςτθριότθτασ ζχουν

Διεργαςία επιλογισ και χριςθσ χειραπτικοφ υλικοφ

Διεργαςία διερεφνθςθσ και γενίκευςθσ (κανόνεσ τθσ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

ωσ ςτόχο τθν εξοικείωςθ των μακθτϊν με το πλαίςιο του προβλιματοσ και τθ χριςθ του μοντζλου ςε προςκζςεισ που (διαιςκθτικά και ςε άλλα πλαίςια) ζχουν ιδθ ςυναντιςει ςτο δθμοτικό. Το τρίτο και το τζταρτο ερϊτθμα καλοφν τουσ μακθτζσ να κάνουν προςκζςεισ με χριςθ των καρτϊν και κατόπιν να επιχειριςουν γενικεφςεισ για τουσ πικανοφσ κανόνεσ τθσ πρόςκεςθσ. Είναι πικανό να απαιτθκεί αρκετι ςυηιτθςθ μεταξφ των μακθτϊν για να φτάςουν ςτθ γενίκευςθ (ιδιαίτερα ςτο τζταρτο ερϊτθμα) και ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να βοθκιςει με κατάλλθλεσ ερωτιςεισ. Υποςτθρικτικά μπορεί να χρθςιμοποιθκεί το αρχείο Α Γυμ-ΑρΔ4Ρρόςκεςθ ακεραίων.ggb του Geogebra όπου οι μακθτζσ μποροφν να μεταβάλουν με τθ χριςθ δρομζων τουσ δφο αρικμοφσ και να εμφανίηονται οι αντίςτοιχεσ κετικζσ και αρνθτικζσ κάρτεσ. Το λογιςμικό παρζχει βοικεια ςτουσ μακθτζσ ςτθν περίπτωςθ που χρθςιμοποιοφν λάκοσ αρικμοφσ (πχ ομόςθμουσ ενϊ θ δραςτθριότθτα αναφζρεται ςε ετερόςθμουσ) και ςτθν περίπτωςθ αλλθλοαναιροφμενων κετικϊν και αρνθτικϊν καρτϊν (ίδιου αρικμοφ).

157

πρόςκεςθσ)

Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω φυςικισ γλϊςςασ και ςυμβολιςμϊν

Διεργαςία επιλογισ και χριςθσ ψθφιακϊν εργαλείων

Αϋ Γυμναςίου: ΑρΔ6 Θ δραςτθριότθτα αυτι μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για τθν ειςαγωγι ςτθν αφαίρεςθ ακεραίων. Ο ςτόχοσ τθσ είναι να Διεργαςία ανακαλφψουν και να διατυπϊςουν οι ίδιοι οι μακθτζσ τον οριςμό επιλογισ και τθσ αφαίρεςθσ ωσ πρόςκεςθ με τον αντίκετο του αφαιρετζου. Θ χριςθσ χριςθ των κετικϊν και αρνθτικϊν καρτϊν ζχει το πλεονζκτθμα ότι χειραπτικοφ υλικοφ μπορεί να οδθγιςει ςτθν ιδζα του μεταςχθματιςμοφ τθσ αφαίρεςθσ ςε πρόςκεςθ. Για παράδειγμα, για τθν αφαίρεςθ (+3)– Διεργαςία (–5), δθλαδι για να αφαιρεκοφν 5 αρνθτικζσ κάρτεσ ενϊ ζχουμε επικοινωνίασ μόνο 3 κετικζσ, κα πρζπει πρϊτα να προςτεκοφν 5 "ηεφγθ του μζςω φυςικισ μθδενόσ" δθλαδι 5 κετικζσ και 5 αρνθτικζσ κάρτεσ, ϊςτε να γλϊςςασ και ςυμβολιςμϊν μποροφν μετά να αφαιρεκοφν οι 5 αρνθτικζσ. Ζτςι όμωσ, το αποτζλεςμα είναι (+3)+(+5), αφοφ ζμειναν οι 5 κετικζσ κάρτεσ. Μετά τθν εξοικείωςθ των μακθτϊν με το πλαίςιο τθσ κατάςταςθσ Διεργαςία και τθ ςυμβολικι ζκφραςθ τθσ αφαίρεςθσ (ερϊτθμα α), το διερεφνθςθσ και ερϊτθμα (β) ζχει ωσ ςτόχο τθ διερεφνθςθ καταςτάςεων όπου θ επιχειρθματολογίασ πρόςκεςθ (αντιςτοίχωσ αφαίρεςθ) κετικϊν καρτϊν μπορεί να φζρει τα ίδια αποτελζςματα με τθν αφαίρεςθ (αντιςτοίχωσ πρόςκεςθ) αρνθτικϊν. Στο (γ) προςδοκοφμε οι μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν τθν ειςαγωγι ηευγαριϊν του μθδενόσ (πχ 5 κετικζσ και 5 αρνθτικζσ κάρτεσ) ϊςτε να μπορζςουν να Διεργαςίεσ αντιμετωπίςουν το ερϊτθμα. Για τθν αποφυγι πικανϊν γενίκευςθσ και ςυγχφςεων, θ ομάδα ζχει 0 πόντουσ και πρζπει να τθσ μεταγνωςτικισ αφαιρεκοφν 5 κετικζσ κάρτεσ (ωσ "ποινι" ι λόγω των κανόνων ενθμερότθτασ (για του παιχνιδιοφ). Αυτό ίςωσ είναι και το δυςκολότερο ζργο γιατί τισ ςτρατθγικζσ απαιτεί εφευρετικότθτα και χρόνο. Στο ερϊτθμα (δ) είναι χριςιμο που ακολοφκθςαν)

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

158

να ςυνεχίςουν οι μακθτζσ να ςκζφτονται με βάςθ τισ κάρτεσ πριν επιχειρθκεί μια γενίκευςθ ςτο (ε) ερϊτθμα. Απαιτείται να αφιερωκεί αρκετόσ χρόνοσ (ιδιαίτερα για τα ερωτιματα β, γ και ε) ςτθ ςυηιτθςθ μεταξφ των μακθτϊν και μεταξφ μακθτϊν και εκπαιδευτικοφ, μζςα ςτισ ομάδεσ των μακθτϊν και ςτο ςφνολο τθσ τάξθσ. Ο εκπαιδευτικόσ είναι προτιμότερο να επιλζξει το ρόλο του ςυντονιςτι τθσ ςυηιτθςθσ (που ίςωσ χρειαςτεί με κατάλλθλεσ ερωτιςεισ να βοθκιςει τουσ μακθτζσ ςτθν εςτίαςθ των ςυηθτιςεων) και όχι του κακοδθγθτι ι και λφτθ τθσ άςκθςθσ. Αϋ Γυμναςίου: ΑρΔ9 Ο ςτόχοσ είναι θ ενθμερότθτα των μακθτϊν για τισ ιδιότθτεσ των πράξεων των ρθτϊν και τθν προτεραιότθτά τουσ, κατά τον υπολογιςμό μιασ αρικμθτικισ παράςταςθσ. Το ηθτοφμενο είναι θ ανάπτυξθ μιασ ςυηιτθςθσ ςτθν τάξθ που κα αναδεικνφει μακθματικζσ ζννοιεσ, ιδιότθτεσ και ςυμβάςεισ, και κα βοθκά τουσ μακθτζσ να ςυνειδθτοποιοφν το "γιατί" και όχι μόνο το "πωσ" ςε αυτό που κάνουν. Ραρόμοιοι ςτόχοι μποροφν να υπθρετοφνται και από δραςτθριότθτεσ όπου δίνονται κάποια πικανά αποτελζςματα μιασ αρικμθτικισ παράςταςθσ και ηθτείται θ ερμθνεία του πωσ μπορεί να προζκυψαν αυτά και θ αναγνϊριςθ των λακϊν.

Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ (για τισ υπολογιςτικζσ τεχνικζσ) Διεργαςία επικοινωνίασ μζςω φυςικισ γλϊςςασ και ςυμβολιςμϊν

Βϋ Γυμναςίου: ΑρΔ1 Μζςα από αυτό το πρόβλθμα (ι άλλα παρόμοια) μπορεί να αναδειχκεί θ ανάγκθ χριςθσ τετραγωνικϊν ριηϊν και θ διερεφνθςθ τθσ φπαρξθσ αρικμϊν που δεν είναι ρθτοί. Θ αναηιτθςθ τθσ πλευράσ ϊςτε το εμβαδόν τθσ αίκουςασ να είναι 32 m2, μπορεί να Διεργαςία γίνει με υπολογιςτι, ϊςτε να διευκολυνκεί θ προςπάκεια διερεφνθςθσ και διατφπωςθσ διαδοχικϊν προςεγγίςεων. Θ επιδίωξθ είναι να πικανολογιςουν οι υποκζςεων μακθτζσ ότι αυτι θ διαδικαςία "δεν κα τελειϊςει ποτζ" και να οδθγθκοφν ςτθν ιδζα του αρικμοφ που μετά τθν υποδιαςτολι ζχει άπειρα ψθφία μθ περιοδικά. Ο ρόλοσ του εκπαιδευτικοφ ςτθ φάςθ τθσ διερεφνθςθσ είναι να κζτει ερωτιματα που κα οδθγιςουν τισ Διεργαςία επικοινωνίασ αναηθτιςεισ και τθ ςυηιτθςθ ςτα παραπάνω. Μετά από τθ μζςω φυςικισ διερεφνθςθ, κα χρειαςτεί να αναλάβει ο ίδιοσ κάποιο μζροσ από τθ γλϊςςασ και ρθτι διατφπωςθ εννοιϊν (τετραγωνικι ρίηα, άρρθτοσ), των ςυμβολιςμϊν χαρακτθριςτικϊν τουσ και των μακθματικϊν ςυμβολιςμϊν, αφοφ δεν μπορεί αυτά να αναμζνονται εξ ολοκλιρου από τουσ μακθτζσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: 1. Οι μακθτζσ καλοφνται να "διπλϊςουν" τθν αρικμογραμμι των κετικϊν ακεραίων που ζχουν χρθςιμοποιιςει ςτο δθμοτικό, ϊςτε να καταςκευάςουν μια "πλιρθ" αρικμογραμμι, θ οποία να περιζχει και τουσ αρνθτικοφσ ακεραίουσ. Αυτό μπορεί να γίνει είτε με χριςθ υλικϊν (λωρίδα χαρτιοφ) είτε νοερά.

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

159

Κατόπιν, θ αναπαράςταςθ των ακεραίων ςε μια ευκεία χρθςιμοποιείται για τθν ςφγκριςθ – διάταξι τουσ και τθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ τθσ απόλυτθσ τιμισ (ωσ απόςταςθ από το 0) και των αντικζτων (ωσ ετερόςθμων με ίςεσ αποςτάςεισ από το 0). Για περιςςότερο δυναμικι προςζγγιςθ τθσ δίπλωςθσ, οι μακθτζσ μποροφν να χρθςιμοποιιςουν το αρχείο Α Γυμ-1-Ακζραιοι ςτθν αρικμογραμμι.ggb του Geogebra όπου ςτρζφοντασ τθν ευκεία των φυςικϊν αρικμϊν κατά 180ο εμφανίηονται οι αρνθτικοί αρικμοί. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί εδϊ να χρθςιμοποιιςει τθ ςυγκεκριμζνθ αναπαράςταςθ και να επιδιϊξει τθν εςτίαςθ των μακθτϊν ςτθν απόςταςθ των αντίκετων αρικμϊν από το 0 ωσ μια αρχικι προςζγγιςθ τθσ απόλυτθσ τιμισ. 2. Χρθςιμοποιϊντασ τθν ιδζα τθσ επαναλαμβανόμενθσ πρόςκεςθσ, οι μακθτζσ διερευνοφν τον πολλαπλαςιαςμό ετερόςθμων ακεραίων. Για παράδειγμα, το γινόμενο "5 φορζσ το –3" (5(–3)) κα μποροφςε να υπολογιςτεί ωσ (–3)+(–3)+(– 3)+(–3)+(–3). Αυτό μπορεί να ςτθριχτεί και ςτο μοντζλο των καρτϊν (ςε μία ομάδα που ζχει 0 πόντουσ προςκζτουμε πζντε τριάδεσ αρνθτικϊν καρτϊν) είτε ςτθν κίνθςθ ςτθν αρικμογραμμι (πζντε βιματα μικουσ 3, όλα προσ τα αριςτερά). Για τθ διερεφνθςθ του γινομζνου αρνθτικϊν, οι μακθτζσ μποροφν να προκλθκοφν να χρθςιμοποιιςουν τισ κανονικότθτεσ (πχ. … (–3)(+3)=–9, (– 3)(+2)=–6, (–3)(+1)=–3, (–3)0=0, (–3)(–1)=;), όπωσ επίςθσ και τθν ιδζα ότι το γινόμενο (–3)(–2) κα πρζπει να διαφζρει από το (–3)(+2). Μςωσ βοθκιςουν και παραλλθλιςμοί όπωσ: "ο αντίπαλοσ του ςυμπαίκτθ μου είναι αντίπαλόσ μου" και "ο αντίπαλοσ του αντιπάλου μου είναι ςυμπαίκτθσ μου" (πχ. ςε κάποιον υποτικζμενο αγϊνα ποδοςφαίρου). Αν οι ςυνκικεσ τθσ τάξθσ το επιτρζπουν μπορεί να παρουςιαςτεί και μια άτυπθ "απόδειξθ" (πχ. (–3)(+2)+(–3)(–2)=(– 3)(+2–2)=0 άρα –6+(–3)(–2)=0, οπότε κα πρζπει (–3)(–2)=+6). 3. Στο δθμοτικό ςχολείο οι μακθτζσ γνϊριςαν τον "ελλθνικό πολλαπλαςιαςμό", τον οποίο χρθςιμοποιοφςαν οι αρχαίοι ζλλθνεσ για να κάνουν τθν πράξθ με τουσ ςυμβολιςμοφσ που είχαν για τουσ αρικμοφσ (πχ το 12 το ζγραφαν ιβ). Σφμφωνα με αυτόν, το γινόμενο 2435 κα γραφόταν 20·30+20·5+4·30+4·5, κα γίνονταν οι επιμζρουσ πολλαπλαςιαςμοί και τζλοσ οι προςκζςεισ. Μετά από μια υπενκφμιςθ αυτοφ του αλγόρικμου, μπορεί να ηθτθκεί από τουσ μακθτζσ να διερευνιςουν αν είναι πάντα ακριβισ και να εξθγιςουν τθ γνϊμθ τουσ. Ο ςτόχοσ είναι μζςα από τθ ςυηιτθςθ να αναδειχκεί θ επιμεριςτικι ιδιότθτα. (παρακάτω φαίνεται τμιμα τθσ ςελ 74 του βιβλίου του μακθτι τθσ Γϋ Δθμοτικοφ)

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

160

4. Συμπλθρϊςτε τον παρακάτω πίνακα. x -x

3,2 –3

-(-x) |x|

5 2/3 6

|-x|

0,45

Σχόλιο: Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ διερεφνθςθ του ρόλου του "–" ωσ πρόςθμο και ωσ ςφμβολο αντικζτου. Οι ςυηθτιςεισ χρειάηεται να αναδείξουν ότι το "–" ςτο –x δεν δθλϊνει το πρόςθμο.

1 2 5  2  1  3  , το ςωςτό 2 2 αποτζλεςμα είναι: α) –8, β) 8,5 γ) 7,5 δ) –9 ε) άλλο.

5. Υπολογίηοντασ τθν αρικμθτικι παράςταςθ

Σχόλιο: Κάκε άλλθ απάντθςθ από τθ ςωςτι (β) προκφπτει από λανκαςμζνθ χριςθ τθσ προτεραιότθτασ των πράξεων. Ζτςι, αυτι θ δραςτθριότθτα μπορεί να χρθςιμοποιθκεί και για τθν αξιολόγθςθ των δεξιοτιτων των μακθτϊν και τθν ανατροφοδότθςθ τθσ διδαςκαλίασ, με ςυηιτθςθ ςτθν τάξθ. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία: Για τουσ ακζραιουσ από τισ παρ. 7.1 ζωσ 7.6 τθσ Αϋ Γυμναςίου. Για τουσ ρθτοφσ από τισ παρ. 2.1 ζωσ 2.3 και 7.1 ζωσ 7.8 τθσ Αϋ Γυμναςίου. Για τουσ άρρθτουσ και τουσ πραγματικοφσ από το 2ο κεφάλαιο τθσ Βϋ Γυμναςίου. Επίςθσ, από το διαδίκτυο:  http://nrich.maths.org/5961 (ιςτορία των αρνθτικϊν αρικμϊν)  http://nrich.maths.org/5958 (πρόβλθμα με ακροίςματα κετικϊν και αρνθτικϊν "βαρϊν")  http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/SqRtOf2.shtml (διαγϊνιοσ τετραγϊνου μοναδιαίασ πλευράσ)

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

161

 http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.10mil (τα πρϊτα 10 εκατομμφρια ψθφία του 2 ).

Βαςικά κζματα: Κανονικότθτεσ – ΢υναρτιςεισ Κανονικότθτεσ (Αϋ Γυμναςίου), ΢υναρτιςεισ (Βϋ και Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ςυνάρτθςθ είναι μια κεμελιϊδθσ μακθματικι ζννοια και αποτελεί ζνα ςθμαντικό εργαλείο με το οποίο μπορεί να μελετθκεί μια ποικιλία κεμάτων από τουσ αρικμοφσ (π.χ. πράξεισ), τθν άλγεβρα (π.χ. εξιςϊςεισ), τθ μζτρθςθ (π.χ. εμβαδά) κ.λπ.. Συγχρόνωσ είναι και μια από τισ πιο ςφνκετεσ και δυςκολότερεσ μακθματικζσ ζννοιεσ για τουσ μακθτζσ. Θ αναηιτθςθ κανονικοτιτων (και γενικότερα, αναλλοίωτων χαρακτθριςτικϊν και ςχζςεων) βρίςκεται ςτο κζντρο τθσ μακθματικισ δραςτθριότθτασ. Θ εναςχόλθςθ των μακθτϊν με αυτό το πεδίο μπορεί να βοθκιςει ςτθν καλλιζργεια τθσ μακθματικισ ςκζψθσ (διερεφνθςθ, εικαςία, μοντελοποίθςθ) και να αποτελζςει ζνα ςθμείο ειςαγωγισ ςτισ ςυναρτιςεισ και τθν άλγεβρα. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ςτο Δθμοτικό ςχολείο ζχουν αςχολθκεί με κανονικότθτεσ (γεωμετρικά μοτίβα αλλά και ακολουκίεσ αρικμϊν) και ζχουν φτάςει να διατυπϊνουν το γενικό όρο μιασ κανονικότθτασ (τουλάχιςτον λεκτικά). Ζχουν αςχολθκεί με φαινόμενα ςυμμεταβολισ μεγεκϊν (από τθν κακθμερινι ηωι και από τθ γεωμετρία) και με προβλιματα ανάλογων και αντιςτρόφωσ ανάλογων ποςϊν. Επιπλζον, ζχουν χρθςιμοποιιςει ςυςτιματα ςυντεταγμζνων. Στθν Αϋ Γυμναςίου κα αςχολθκοφν με τθν αλγεβρικι και τθ γραφικι αναπαράςταςθ αρικμθτικϊν κανονικοτιτων, ςτθ Βϋ Γυμναςίου με τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ, τισ αναπαραςτάςεισ τθσ και ιδιαίτερα με τισ y=αx, y=αx+β και y=α/x, ενϊ ςτθ Γϋ Γυμναςίου με τθν y=αx2. Συγχρόνωσ, κα ςυνδζουν τισ αναπαραςτάςεισ τθσ ςυνάρτθςθσ με τισ εξιςϊςεισ, τα ςυςτιματα και άλλα κζματα. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν με τισ ςυναρτιςεισ ςχετίηονται κυρίωσ με: •

•

τθ ςυνκετότθτα τθσ ζννοιασ, τθν ποικιλία των μακθματικϊν νοθμάτων που ςχετίηονται με αυτιν, όπωσ μεταβλθτι (ανεξάρτθτθ και εξαρτθμζνθ), ςυμμεταβολι, ςφνολο, κακϊσ και τθν ποικιλία των αναπαραςτάςεϊν τθσ (λεκτικι διατφπωςθ, αλγεβρικόσ τφποσ, γραφικι παράςταςθ, πίνακασ τιμϊν) το επίπεδο αφαίρεςθσ που απαιτεί θ μελζτθ τθσ ςυνάρτθςθσ από τα διαφορετικά πλαίςια ςτα οποία μπορεί να εμφανίηεται (αρικμθτικι, μζτρθςθ κ.λπ.), κακϊσ και θ ίδια θ διαφορετικότθτα αυτϊν των πλαιςίων τθν αναγκαιότθτα να αντιλθφκοφν οι μακθτζσ τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ ςε ζνα επίπεδο ωσ διαδικαςία (πχ βρίςκω τθν τιμι του y για κάποια τιμι του x) και ςε ζνα άλλο ωσ αντικείμενο που ςυνοδεφεται από μια ποικιλία αναπαραςτάςεων (πχ. διαφορετικζσ ςυναρτιςεισ–αντικείμενα μπορεί να ςυγκρίνονται μεταξφ τουσ ωσ προσ κάποια ςυγκεκριμζνα χαρακτθριςτικά). Συνικωσ οι μακθτζσ Γυμναςίου παραμζνουν ςτθν αντίλθψθ τθσ ςυνάρτθςθσ ωσ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

162

μια υπολογιςτικι διαδικαςία και δυςκολεφονται να περάςουν ςτο επίπεδο τθσ ςυνάρτθςθσ–αντικείμενο (πχ. να ςυςχετίςουν ζναν τρόπο αναπαράςταςισ τθσ με ζναν άλλο) Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ διερεφνθςθ των κανονικοτιτων μπορεί να περιλαμβάνει δραςτθριότθτεσ μοντελοποίθςθσ ενόσ προβλιματοσ (πχ με ζναν πίνακα), ανακάλυψθσ του κανόνα που παράγει για γνωςτι ακολουκία αρικμϊν, αλγεβρικισ διατφπωςισ του (με χριςθ μόνο μιασ μεταβλθτισ) και γραφικισ αναπαράςταςθσ. Είναι ςκόπιμθ θ διερεφνθςθ κανονικοτιτων με διαφορετικά χαρακτθριςτικά: γραμμικζσ (πχ. 2ν, 3ν+2) αλλά και μθ γραμμικζσ (πχ. ν 2, 1/ν, 2ν), κοκ. Τζτοιου είδουσ μακθματικζσ δραςτθριότθτεσ μποροφν να βοθκιςουν τθν ανάπτυξθ τθσ μακθματικισ ςκζψθσ και να αποτελζςουν ζναν αποτελεςματικό τρόπο μετάβαςθσ ςτθν αλγεβρικι παράςταςθ και ςτθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ. Θ μοντελοποίθςθ καταςτάςεων, και θ επίλυςθ προβλθμάτων ςυνδζει τα μακθματικά με τον κόςμο και τισ άλλεσ επιςτιμεσ και δίνει αξία και νόθμα ςτθν εναςχόλθςθ των μακθτϊν με τισ ςυναρτιςεισ. Ζτςι, κα πρζπει να αφιερϊνεται χρόνοσ ςε δραςτθριότθτεσ μετάφραςθσ πραγματικϊν ι ρεαλιςτικϊν καταςτάςεων και λεκτικϊν διατυπϊςεων ςε αλγεβρικζσ παραςτάςεισ και ςυναρτιςεισ. Ομοίωσ, χρειάηεται να δίνεται χρόνοσ ςτουσ μακθτζσ για να χειριςτοφν τισ ςυναρτιςεισ ςτο λειτουργικό–διαδικαςτικό επίπεδο (εφρεςθ τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ για ςυγκεκριμζνεσ τιμζσ τθσ ανεξάρτθτθσ και αντιςτρόφωσ, καταςκευι πίνακα τιμϊν, ερμθνεία των τιμϊν που βρζκθκαν με βάςθ το πρόβλθμα). Συγχρόνωσ, χρειάηεται να ςυηθτοφνται με ρθτό τρόπο κεμελιϊδθ ςτοιχεία τθσ ζννοιασ τθσ ςυνάρτθςθσ (πχ. ότι για κάκε τιμι τθσ ανεξάρτθτθσ μεταβλθτισ υπάρχει μοναδικι τιμι τθσ εξαρτθμζνθσ), χωρίσ αυτό να ςθμαίνει τθν αποςτικιςθ κανόνων και οριςμϊν. Επίςθσ, μζςα από ςυγκεκριμζνεσ καταςτάςεισ μπορεί να φαίνεται ότι υπάρχουν χαρακτθριςτικά που δεν απαιτοφνται ϊςτε μια ςχζςθ να είναι ςυνάρτθςθ (πχ. θ φπαρξθ αλγεβρικοφ τφπου, θ ανεξάρτθτθ μεταβλθτι να παίρνει τιμζσ από ζνα διάςτθμα πραγματικϊν, κ.λπ.) Το πζραςμα ςτο επίπεδο τθσ ςυνάρτθςθσ–αντικείμενο μπορεί να υποςτθριχκεί δίνοντασ ζμφαςθ ςτθν ποικιλία των αναπαραςτάςεων και τθ μετάφραςθ από τθ μία ςτθν άλλθ, κακϊσ και από τθ διερεφνθςθ και ςφγκριςθ ςτοιχείων όπωσ θ κλίςθ ι ο ρυκμόσ μεταβολισ, ο ρόλοσ των α και β ςτθν y=αx+β, κοκ. Θ ψθφιακι τεχνολογία παρζχει αποτελεςματικά εργαλεία διερεφνθςθσ, οπτικοποίθςθσ και ςφνδεςθσ των παραπάνω ςτοιχείων, με τθν προχπόκεςθ ότι οι μακθτζσ δεν ζχουν το ρόλο του κεατι, αλλά εμπλζκονται με τθ χριςθ των προςφερόμενων αναπαραςτάςεων για τθν εκτζλεςθ μακθματικϊν δράςεων, τθ διερεφνθςθ μακθματικϊν ιδεϊν και τθν επίλυςθ προβλθμάτων. Οι ςυνδζςεισ με άλλεσ περιοχζσ των ςχολικϊν μακθματικϊν (πχ. εξιςϊςεισ, εμβαδά) αλλά και τισ εξωςχολικζσ εμπειρίεσ των μακθτϊν μποροφν να ςυμβάλουν ςτθν κατανόθςθ τόςο των ςυναρτιςεων, όςο και των περιοχϊν με τισ οποίεσ ςυνδζονται. Λδιαίτερθ ςθμαςία χρειάηεται να δοκεί ςτθν αντιμετϊπιςθ προβλθμάτων με ανάλογα και αντιςτρόφωσ ανάλογα ποςά, κακϊσ και ςτθν αντιμετϊπιςθ πικανϊν παρανοιςεων (όπωσ πχ. ότι ανάλογα είναι δφο ποςά τα οποία όταν αυξάνει το ζνα τότε αυξάνει και το άλλο, ι αυξάνονται και τα δφο με τον ίδιο ακροιςτικό τρόπο).

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

163

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: ΑΔ1 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ ςυμβολικι διατφπωςθ του Διεργαςίεσ γενικοφ όρου τθσ κανονικότθτασ και θ γραφικι αναπαράςταςι τθσ. διερεφνθςθσ, Θ διερεφνθςθ των μακθτϊν για τον αρικμό των ςπίρτων που γενίκευςθσ και χρειάηονται για ςυγκεκριμζνο και μικρό αρικμό τετραγϊνων κα ελζγχου τουσ βοθκιςει να αναπτφξουν ςτρατθγικζσ (όπωσ θ καταςκευι ενόσ εικαςιϊν πίνακα τιμϊν) θ γενίκευςθ των οποίων κα οδθγιςει ςτθ ςυμβολικι διατφπωςθ του γενικοφ όρου (που είναι απαραίτθτοσ για να βρεκεί Διεργαςία ο αρικμόσ ςπίρτων που χρειάηεται για μεγάλουσ αρικμοφσ επικοινωνίασ με τετραγϊνων). Είναι αναμενόμενεσ διαφορετικζσ προςεγγίςεισ των χριςθ φυςικισ μακθτϊν, πχ. 1+3x, 4+3(x–1), 2x+x+1, κι αυτό μπορεί να είναι γλϊςςασ, αφορμι ςυηιτθςθσ για τθν ιςοδυναμία αυτϊν των εκφράςεων. Θ ςυμβόλων και γραφικι αναπαράςταςθ μπορεί να γίνει με ςθμεία, αναδεικνφοντασ αναπαραςτάςεων τθν ζννοια του διατεταγμζνου ηεφγουσ. Θ χριςθ πολλαπλϊν αναπαραςτάςεων μιασ κανονικότθτασ (εικονικι, αρικμθτικι, γραφικι, αλγεβρικι) κεωρείται αναγκαία για τθν κατανόθςθ των εννοιϊν και τθ διαςφνδεςι τουσ. Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ1 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ ερμθνεία τθσ γραφικισ Διεργαςία παράςταςθσ. Το πρόβλθμα και θ εξοικείωςθ των μακθτϊν με επικοινωνίασ με τζτοιου είδουσ εικόνεσ από τθν κακθμερινι και τθ ςχολικι τουσ χριςθ φυςικισ ηωι, αναμζνεται να διαμορφϊςουν ζνα πρόςφορο πλαίςιο για τθ γλϊςςασ, διερεφνθςθ εννοιϊν όπωσ γραφικι παράςταςθ, ανεξάρτθτθ και ςυμβόλων και εξαρτθμζνθ μεταβλθτι, διατεταγμζνο ηεφγοσ και (χωρίσ τθ χριςθ αναπαραςτάςεων τθσ ορολογίασ) πεδίο οριςμοφ και ςφνολο τιμϊν. Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ3 Θ δραςτθριότθτα αυτι μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για τθν εννοιολογικι μετάβαςθ από τα ανάλογα ποςά και τθ ςχζςθ Διεργαςία αναλογίασ ςτθ ςυνάρτθςθ ψ=αχ και ακολοφκωσ για τθ διερεφνθςθ επιλογισ και του ρόλου του α ωσ θ μεταβολι τθσ τεταγμζνθσ ςε μοναδιαία χριςθσ αφξθςθ τθσ τετμθμζνθσ. Χρθςιμοποιείται το λογιςμικό F-Probe, ζνα ψθφιακϊν εργαλείων για δυναμικό εργαλείο αλγεβρικισ ζκφραςθσ που ςυνδζει πολλαπλζσ διερεφνθςθ και αναπαραςτάςεισ των ςυναρτιςεων (τφποσ, πίνακασ τιμϊν, γραφικι επικοινωνία αναπαράςταςθ). Ρροτείνεται θ ανάπτυξθ των δραςτθριοτιτων να γίνει ςτο ςχολικό εργαςτιριο ςε ομάδεσ των 3-4 ατόμων. Αν οι Διεργαςία μακθτζσ δεν ζχουν προθγοφμενθ επαφι με το ςυγκεκριμζνο ενδομακθματικϊν λογιςμικό προτείνεται να αφιερϊςει ο εκπαιδευτικόσ διδακτικό ςυνδζςεων χρόνο για τθν εξοικείωςθ των μακθτϊν με τισ απλζσ και βαςικζσ λειτουργίεσ του λογιςμικοφ. Υποςτθρικτικά κα μποροφςε ςτο ςυγκεκριμζνο φφλλο εργαςίασ να ενςωματωκεί βοικεια χριςθσ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

164

του λογιςμικοφ. Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ4 Διεργαςία Θ δραςτθριότθτα ζχει ωσ ςτόχο τθ διερεφνθςθ του ςτακεροφ διερεφνθςθσ με ρυκμοφ μεταβολισ ςτισ ςυναρτιςεισ y=αx και y=αx+β και τθ χριςθ ςφγκριςθ με άλλεσ ςυναρτιςεισ. Μπορεί επίςθσ να χρθςιμοποιθκεί ψθφιακϊν και για τθ διερεφνθςθ τθσ επίδραςθσ των α και β ςτθ γραφικι εργαλείων παράςταςθ τθσ y=αx+β. Στο Geogebra οι μακθτζσ διερευνοφν τθ μεταβολι του y για μοναδιαία αφξθςθ του x, παρατθροφν ότι αυτι Διεργαςία είναι ςτακερι για τισ ευκείεσ, αντίκετα από ότι ςυμβαίνει ςε επικοινωνίασ με τετραγωνικζσ και άλλεσ ςυναρτιςεισ. Τα πλεονεκτιματα τθσ χριςθσ χριςθ φυςικισ του ψθφιακοφ εργαλείου ςχετίηονται με τθ δυνατότθτα αλλαγισ γλϊςςασ, των παραμζτρων και μετακίνθςθσ ςθμείων με ταυτόχρονθ ςυμβόλων και παρατιρθςθ των επιδράςεων που ζχουν αυτζσ οι αλλαγζσ. Είναι αναπαραςτάςεων ςθμαντικό να δράςουν οι ίδιοι οι μακθτζσ ςτισ προςφερόμενεσ αναπαραςτάςεισ (πχ. ςτο εργαςτιριο πλθροφορικισ), να διεργαςίεσ αναηθτιςουν απαντιςεισ ςτα ερωτιματα τθσ δραςτθριότθτασ και γενίκευςθσ και να τα ςυηθτιςουν μζςα ςτισ ομάδεσ τουσ και με όλθ τθν τάξθ. αιτιολόγθςθσ Ανάλογα με τθν εξζλιξθ τθσ ςυηιτθςθσ, ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να κζςει και το ερϊτθμα αν μποροφν μετά από αυτι τθ διερεφνθςθ να εξθγιςουν το γιατί θ y=αx είναι ευκεία ενϊ θ y=αx2 όχι.

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ1 Χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό Geogebra, οι μακθτζσ διερευνοφν τα χαρακτθριςτικά τθσ y=αx2 (μορφι γραφικισ παράςταςθσ, ςυμμετρίεσ, μονοτονία και ακρότατα, ρυκμόσ μεταβολισ) για διαφορετικζσ τιμζσ του α. Οι μακθτζσ μποροφν να χειρίηονται τθν αλλαγι τθσ κζςθσ ενόσ ςθμείου ςτθ γραφικι παράςταςθ μζςω τθσ δυναμικισ μεταβολισ τθσ τετμθμζνθσ του. Οι μακθτζσ παρατθροφν τισ αλλαγζσ, καταγράφουν και ςυηθτοφν τισ ιδζεσ τουσ ςχετικά με τθ διαςφνδεςθ των μεταβολϊν ςτον άξονα xx´ με τισ αντίςτοιχεσ αλλαγζσ ςε κρίςιμα χαρακτθριςτικά τθσ y=αx2 (ςυμμετρίεσ, ακρότατα, μονοτονία, μθ ςτακερόσ ρυκμόσ μεταβολισ). Στο ςτάδιο αυτό δεν επιδιϊκεται θ αυςτθρι χριςθ τθσ μακθματικισ ορολογίασ από τουσ μακθτζσ, αλλά είναι ςθμαντικι θ λεκτικι απάντθςθ ςε ερωτιματα όπωσ ‘τι αλλάηει και πϊσ’, ‘τι αλλάηει και γιατί’, ‘τι παραμζνει ςτακερό και γιατί’. Κα μποροφςε ςε κακζνα από τα ερωτιματα να δίνεται κάποιοσ χρόνοσ ςτουσ μακθτζσ να ςυηθτιςουν μζςα ςτθν ομάδα τουσ και κάποιοσ χρόνοσ για τθν ανακοίνωςθ των ςυμπεραςμάτων των ομάδων και τθ ςυηιτθςθ με όλθ τθν τάξθ. Μζςα από αυτζσ τισ ςυηθτιςεισ, μπορεί να επιδιωχκεί και θ ςφνδεςθ με άλλεσ κεματικζσ ενότθτεσ όπωσ οι μεταςχθματιςμοί (ςυμμετρία), θ ευκεία (ςυγκρίςεισ ωσ προσ το ρυκμό μεταβολισ, τθ μονοτονία), ακόμα και οι εξιςϊςεισ (πχ. αναηθτϊντασ τα ςθμεία τομισ με μια ευκεία).

Διεργαςία διερεφνθςθσ με χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων Διεργαςία επικοινωνίασ με χριςθ φυςικισ γλϊςςασ, ςυμβόλων και αναπαραςτάςε ων Διεργαςία ςυνδζςεων με άλλα μακθματικά κζματα

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

165

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ2 Διεργαςία Χρθςιμοποιϊντασ το αρχείο Γ Γυμ-ΑΔ2-Τομζσ ψ=αχ+β και επιλογισ και ψ=αχ2.ggb του λογιςμικοφ Geogebra οι μακθτζσ ζχουν τθν χριςθσ δυνατότθτα να μεταβάλλουν δυναμικά τουσ δρομείσ των ψθφιακϊν παραμζτρων α, β και γ των ςυναρτιςεων ψ=αχ+β και ψ=γχ 2, για να εργαλείων για ςχθματίςουν τισ ςυναρτιςεισ τθσ δραςτθριότθτασ και να βλζπουν διερεφνθςθ και επικοινωνία εποπτικά τισ γραφικζσ τουσ παραςτάςεισ και τα ςθμεία τομισ τουσ. Ο εντοπιςμόσ των ςθμείων τομισ γραφικά (με το λογιςμικό) και Διεργαςία αλγεβρικά είναι κρίςιμθ για τθν ςφνδεςθ των αντίςτοιχων ενδομακθματικϊν διαδικαςιϊν. Επειδι είναι ςθμαντικό για τουσ μακθτζσ να μποροφν ςυνδζςεων να καταςκευάηουν με το χζρι γραφικζσ παραςτάςεισ ςυναρτιςεων, Διεργαςία κα μποροφςε το αρχείο να χρθςιμοποιθκεί μόνο για τα β και γ χριςθσ ερωτιματα ϊςτε παράλλθλα να εξοικονομθκεί διδακτικόσ χρόνοσ. αναπαραςτάςεων

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: 1. Τα παρακάτω ςχιματα απεικονίηουν πυραμίδεσ με βάςθ τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο και εξάγωνο. Φανταςτείτε ότι ςυνεχίηουμε να αυξάνουμε τον αρικμό των πλευρϊν τθσ βάςθσ των πυραμίδων. Συμπλθρϊςτε τον παρακάτω πίνακα:

πλευρζσ πολυγϊνου βάςθσ (ν)

αρικμόσ κορυφϊν (Κ) αρικμόσ ακμϊν (Α) αρικμόσ εδρϊν (Ε) Μπορείτε να βρείτε τουσ αρικμοφσ Κ, Α και Ε για μια πυραμίδα που ζχει ωσ βάςθ: α) 7-γωνο, β) 10–γωνο, γ) 27–γωνο; Βρείτε τον αρικμό Κ+Ε–Α για κακεμιά από τισ πυραμίδεσ. Τι παρατθρείτε; Μπορείτε να εξθγιςετε γιατί ςυμβαίνει αυτό; (Αϋ τάξθ) Σχόλιο: Μζςα από το γεωμετρικό πλαίςιο του προβλιματοσ δίνεται θ δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ να διερευνιςουν κανονικότθτεσ, να βρουν το γενικό όρο και να δικαιολογιςουν τα ςυμπεράςματά τουσ. Επιπλζον, δίνεται θ αφορμι για δθμιουργία απλϊν αλγεβρικϊν παραςτάςεων και αναγωγζσ ομοίων όρων (ςτο τελευταίο ερϊτθμα). 2. 2, 5, 8, 11,… Βρείτε τον επόμενο όρο τθσ κανονικότθτασ. Βρείτε τον τρόπο που προκφπτει κάκε όροσ από τον προθγοφμενό του. Μπορείτε με αυτόν τον τρόπο να βρείτε τον 10ο και τον 100ο όρο; (Αϋ τάξθ) Σχόλιο: Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ αναγνϊριςθ από τουσ μακθτζσ τθσ αξίασ του γενικοφ όρου μιασ κανονικότθτασ, ακόμα κι αν με αναδρομικοφσ τρόπουσ μποροφν να βρεκοφν κάποιοι όροι.

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

166

3. Θ κατανάλωςθ βενηίνθσ ενόσ ςυγκεκριμζνου αυτοκινιτου κατά τθ διάρκεια ενόσ μεγάλου ταξιδιοφ είναι 8 λίτρα τθν ϊρα. Γεμίηουμε το ρεηερβουάρ του αυτοκινιτου με 50 λίτρα ςτθν αρχι του ταξιδιοφ. Μπορείτε να εκφράςετε με μια ςχζςθ τθν ποςότθτα y τθσ βενηίνθσ που υπάρχει ςτο ρεηερβουάρ μετά από x ϊρεσ ταξιδιοφ; Ροιεσ τιμζσ μπορεί να πάρει το x; Καταςκευάςτε ζναν πίνακα τιμϊν και ςχεδιάςτε τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ. Τι εκφράηουν τα ςθμεία που θ γραφικι παράςταςθ τζμνει τουσ άξονεσ; Χρθςιμοποιιςτε τον τφπο και τθ γραφικι παράςταςθ για να απαντιςετε ςτισ ερωτιςεισ: Ρόςθ βενηίνθ υπάρχει ςτο ρεηερβουάρ μετά από 5 ϊρεσ και 30 λεπτά ταξιδιοφ; Μετά από πόςεσ ϊρεσ υπάρχουν 22 λίτρα βενηίνθ; (Βϋ τάξθ) Σχόλιο: Στόχοι τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ μοντελοποίθςθ του προβλιματοσ με μια ςυνάρτθςθ και θ χριςθ τόςο του τφπου όςο και τθσ γραφικισ παράςταςθσ για τθν απάντθςθ ερωτιςεων που ςχετίηονται με το πρόβλθμα. 4. Για τισ ςυναρτιςεισ: y 1  5  2x , y 2  x και y 3  2 , καταςκευάςτε πίνακεσ τιμϊν για τισ τιμζσ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 του x. Εξετάςτε τον τρόπο που αυξάνεται το y1 όταν το x αυξάνεται κατά μια μονάδα (από το 0 ςτο 1, από το 1 ςτο 2, από το 2 ςτο 3 κοκ). Κάνετε το ίδιο για το y2 και το y3. Τι παρατθρείτε; 2

Σχεδιάςτε τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των τριϊν ςυναρτιςεων. Με ποιον τρόπο οι προθγοφμενεσ παρατθριςεισ ςασ (για τον ρυκμό αφξθςθσ των y) φαίνονται ςτισ γραφικζσ παραςτάςεισ; (Βϋ τάξθ) Σχόλιο: Μζςα από τθ ςφγκριςθ διαφορετικϊν ςυναρτιςεων οι μακθτζσ μποροφν να αντλιςουν ςυμπεράςματα για το ρυκμό μεταβολισ (ςτακερόσ για τθν ευκεία και μθ ςτακερόσ για τθν τετραγωνικι και τθν εκκετικι ςυνάρτθςθ) και να ςυνδζςουν αυτά τα ςυμπεράςματα με τθ μορφι των γραφικϊν παραςτάςεων (ευκεία ι καμπφλθ). 5. Το ςχιμα δείχνει τθν εικόνα μιασ παραβολικισ γζφυρασ. Να κάνετε τθν προςομοίωςι τθσ ςε ζνα αλγεβρικό ψθφιακό ςφςτθμα και να προςπακιςετε να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ παραβολισ. (Γϋ τάξθ) Σχόλιο: Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ μετάφραςθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ ςε τφπο ςυνάρτθςθσ. Αυτι θ μετάφραςθ δυςκολεφει τουσ μακθτζσ ιδιαίτερα ςτθν περίπτωςθ που το ςχιμα τθσ γραφικισ παράςταςθσ δεν είναι προφανζσ (αν είναι παραβολι ι κάποια άλλθ καμπφλθ). Θ ςυγκεκριμζνθ περίπτωςθ (με γνωςτό το ότι πρόκειται για παραβολι) προτείνεται να αντιμετωπιςτεί με χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων (πικανόν με τθν καταςκευι μιασ παραβολισ τθσ μορφισ y=αx2 και μεταβολι του α ϊςτε να ςυμπίπτει με τθ δοκείςα γραφικι παράςταςθ). Εναλλακτικά, μπορεί να αντιμετωπιςτεί και αλγεβρικά (υποκζτοντασ ότι ζχει τφπο τθσ μορφισ y=αx2 και διζρχεται από γνωςτά ςθμεία). Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τισ παραγράφουσ: 6.1 του ςχολ. βιβλίου τθσ Αϋ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

167

Γυμναςίου, 3.1 ζωσ 3.5 του βιβλίου τθσ Βϋ Γυμναςίου, 4.1 του βιβλίου τθσ Γϋ Γυμναςίου. Επίςθσ, από το Υπ. Ραιδείασ τθσ Κφπρου (http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika). Από το διαδίκτυο:  http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_328_g_3_t_2.html?open=activities &from=category_g_3_t_2.html (ςειρά διαδραςτικϊν δραςτθριοτιτων με γεωμετρικζσ – αρικμθτικζσ κανονικότθτεσ, εφρεςθ τφπου, γράφθμα)  http://www.counton.org/explorer/patterns/squares-on-a-chessboard/, http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_191_g_3_t_2.html, http://nrich.maths.org/5815 (δραςτθριότθτεσ με κανονικότθτεσ)  http://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/naFuncDef.pd f (ζννοια ςυνάρτθςθσ)  http://www.e-yliko.gr/resource/resource.aspx?id=577, http://www.ies.co.jp/math/java/geo/lin_line/lin_line.html, http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/, http://nrich.maths.org/6539 (διαδραςτικζσ δραςτθριότθτεσ για το ρόλο των α και β ςτθν y=αx+β)  http://www.mathsnet.net/algebra/af3.html (ςυναρτθςιακζσ μθχανζσ).

Βαςικά κζματα: Αλγεβρικζσ Παραςτάςεισ Αλγεβρικι παράςταςθ (Αϋ, Βϋ και Γϋ Γυμναςίου), Ιδιότθτεσ δυνάμεων (Βϋ Γυμναςίου), Ιδιότθτεσ ριηϊν (Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ιςχφσ τθσ άλγεβρασ (ςτθ διαχείριςθ των μακθματικϊν ιδεϊν με ακρίβεια και ςαφινεια και ςτθν αποτελεςματικότερθ επίλυςθ προβλθμάτων μζςω τθσ μοντελοποίθςθσ) ςυνδζεται άμεςα με τθν ζννοια τθσ μεταβλθτισ, τθν αλγεβρικι παράςταςθ και τουσ μεταςχθματιςμοφσ τθσ. Ωςτόςο, αυτζσ οι ζννοιεσ και διαδικαςίεσ αποτελοφν ςυγχρόνωσ πθγι δυςκολίασ, απογοιτευςθσ και ςυχνά αποξζνωςθσ των μακθτϊν από τα μακθματικά. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ από το Δθμοτικό ςχολείο ζχουν εμπειρίεσ που μποροφν να υποςτθρίξουν τθν μετάβαςθ ςτθν άλγεβρα: ζχουν αςχολθκεί με τισ ιδιότθτεσ τθσ αρικμθτικισ, με κανονικότθτεσ και ςχζςεισ ςυμμεταβολισ, με τφπουσ για υπολογιςμό εμβαδοφ, με εξιςϊςεισ κ.λπ. Ζχουν ςυναντιςει το γράμμα ωσ άγνωςτο και ωσ "ετικζτα" ενόσ μεγζκουσ (πχ. Ε=β·υ). Στα πλαίςια του Γυμναςίου κα διερευνιςουν ζννοιεσ και διαδικαςίεσ που ςχετίηονται με τθν αλγεβρικι παράςταςθ και τουσ μεταςχθματιςμοφσ τθσ, χρθςιμοποιϊντασ τισ παράλλθλα ςτισ εξιςϊςεισ, ςτισ ςυναρτιςεισ και ςτθ Γεωμετρία–Μζτρθςθ και τθ Φυςικι. Στθν Αϋ και τθ Βϋ τάξθ κα αςχολθκοφν κυρίωσ με αλγεβρικζσ παραςτάςεισ πρϊτου βακμοφ, ενϊ ςτθ Γϋ κυρίωσ με παραςτάςεισ μεγαλφτερου βακμοφ. Επιπλζον, ςτισ Βϋ και Γϋ τάξεισ κα αςχολθκοφν με τισ ιδιότθτεσ των δυνάμεων και

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

168

των ριηϊν ωσ αλγεβρικϊν αναπαραςτάςεων που ςχετίηονται με τθ γραφι των αρικμϊν. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςχετίηονται κυρίωσ με: • τθ γλϊςςα (φυςικι και ςυμβολικι) που χρθςιμοποιείται ςτθν άλγεβρα και τουσ διαφορετικοφσ ρόλουσ του γράμματοσ: ετικζτα μεγζκουσ, άγνωςτοσ, γενικευμζνοσ αρικμόσ, μεταβλθτι, παράμετροσ, •

τθν μετάφραςθ ανάμεςα ςε λεκτικζσ διατυπϊςεισ, ςυμβολικζσ (αλγεβρικζσ) εκφράςεισ, πίνακεσ τιμϊν, εικονικζσ – γεωμετρικζσ αναπαραςτάςεισ,

•

τθν ταχφτθτα με τθν οποία ειςάγονται τα αλγεβρικά ςφμβολα και ο χειριςμόσ τουσ, που δεν δίνει αρκετό χρόνο αφομοίωςθσ ςτουσ μακθτζσ και ςυχνά οδθγεί ςτθν απομνθμόνευςθ κανόνων χωρίσ νόθμα (οι οποίοι ςτθ ςυνζχεια παραποιοφνται και οδθγοφν ςε λάκθ).

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ ζμφαςθ ςτθ μοντελοποίθςθ (πχ με αλγεβρικι διατφπωςθ λεκτικϊν εκφράςεων), ςτθ γενίκευςθ και τυποποίθςθ (πχ. μζςω κανονικοτιτων και ςυναρτιςεων) και ςτισ αναπαραςτάςεισ (πχ. με εμβαδά ι με γραφικζσ παραςτάςεισ) είναι μια επιλογι του ΡΣ θ οποία μπορεί να βοθκιςει ςτθ βελτίωςθ τθσ κατανόθςθσ και των επιδόςεων των μακθτϊν ςτθν άλγεβρα. Για τον ίδιο λόγο, θ εμπλοκι των μακθτϊν με δραςτθριότθτεσ αλγεβρικοφ περιεχομζνου καλφπτει όλο το χρονικό εφροσ του Γυμναςίου, αλλά και μεγάλο εφροσ των περιεχομζνων (γενίκευςθ ιδιοτιτων αρικμθτικισ, κανονικότθτεσ, εξιςϊςεισ, ςυναρτιςεισ). Θ ειςαγωγι ςε νζουσ τρόπουσ χριςθσ του γράμματοσ είναι χριςιμο να ςυνοδεφεται από δραςτθριότθτεσ που κα αναδεικνφουν τισ διαφορετικζσ λειτουργίεσ του ενϊ ςυγχρόνωσ κα αναδεικνφουν τθ ςθμαςία αυτϊν των χριςεων ςτισ εφαρμογζσ. Για παράδειγμα, για να αρχίςουν οι μακθτζσ να χρθςιμοποιοφν το γράμμα ωσ μεταβλθτι, κα μποροφςε να τεκεί ζνα απλό πρόβλθμα (πχ. πϊσ μποροφμε να εκφράςουμε μακθματικά τα χριματα που ζχει ο Γιάννθσ αν ξζρουμε ότι ζχει 4 € ςτθν τςζπθ του και κάποια άλλα χριματα ςτο πορτοφόλι του;) και μζςω αυτοφ να οδθγθκοφν ςε μια αλγεβρικι παράςταςθ, να αντικαταςτιςουν τθ μεταβλθτι με αρικμοφσ, και ενδεχομζνωσ να κάνουν ζναν πίνακα τιμϊν και να ςχεδιάςουν μια γραφικι παράςταςθ κ.λπ. Ζτςι μπορεί να κατανοείται θ μεταβλθτι ωσ ςφμβολο που αντιπροςωπεφει οποιονδιποτε αρικμό από ζνα ςφνολο αρικμϊν και θ αλγεβρικι παράςταςθ ωσ γενικι παράςταςθ ενόσ πλικουσ αρικμθτικϊν παραςτάςεων – αποτελεςμάτων. Αντίςτοιχεσ δραςτθριότθτεσ μποροφν να υποςτθρίηουν το ρόλο του γράμματοσ ωσ γενικευμζνο αρικμό (οποιοςδιποτε αρικμόσ ςτισ ταυτότθτεσ), ωσ άγνωςτο (κάποιοσ ςυγκεκριμζνοσ αλλά όχι γνωςτόσ αρικμόσ ςτισ εξιςϊςεισ), ωσ παράμετρο (πχ. που παράγει τθν οικογζνεια των ςυναρτιςεων y=αx). Κάποιεσ ςθμαντικζσ πλευρζσ ι κεμελιϊδεισ ιδζεσ ίςωσ είναι ανάγκθ να ςυηθτοφνται με ρθτό τρόπο ςτθν τάξθ, με ςτόχο τθν καλφτερθ κατανόθςθ των εννοιϊν από τουσ μακθτζσ. Τζτοιεσ είναι: θ χριςθ τθσ κατάλλθλθσ ορολογίασ, θ δομι μιασ αλγεβρικισ παράςταςθσ (άκροιςμα ι γινόμενο ακροιςμάτων κ.λπ.), ο ρόλοσ τθσ επιμεριςτικισ ιδιότθτασ (ςτθν αναγωγι ομοίων όρων, ςτισ ταυτότθτεσ και τθν παραγοντοποίθςθ).

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

169

Θ ευχζρεια ςτον αλγεβρικό λογιςμό αποτελεί ζνα ςτόχο ο οποίοσ διαφοροποιείται και αναπτφςςεται από τάξθ ςε τάξθ, αλλά ςε κάκε περίπτωςθ μπορεί και πρζπει να επιδιϊκεται ςε ςυνδυαςμό με τθν κατανόθςθ και τθν δθμιουργία κατάλλθλων αναπαραςτάςεων. Ζτςι, ςτθν Αϋ και τθ Βϋ Γυμναςίου, θ απλοποίθςθ γραμμικϊν παραςτάςεων μπορεί να ςτθριχτεί ςε γεωμετρικζσ εικόνεσ ι ςτα "πλακίδια" (algebra tiles) που είναι ςυμβατζσ με τθ "κεμελιϊδθ ιδζα" τθσ επιμεριςτικισ ιδιότθτασ. Ομοίωσ, κάποιεσ από τισ ταυτότθτεσ ςτθ Γϋ τάξθ μποροφν να αναδειχκοφν από τθ διερεφνθςθ γεωμετρικϊν ι/και αρικμθτικϊν προβλθμάτων και να παραχκοφν αποδείξεισ τουσ τόςο αλγεβρικζσ όςο και γεωμετρικζσ. Σε κάκε περίπτωςθ, θ ζμφαςθ δίνεται ςτθν δθμιουργία αλγεβρικϊν παραςτάςεων που περιγράφουν καταςτάςεισ και προβλιματα (μοντελοποίθςθ), ςτθν απόδοςθ μακθματικοφ ι ρεαλιςτικοφ νοιματοσ ςτισ αλγεβρικζσ πράξεισ (πχ. θ αναγωγι: x+(x+1)+(x+2)=3x+3, μπορεί να εκφράηει τθν περίμετρο τριγϊνου) και ςτθν ανάδειξθ τθσ αξίασ των αλγεβρικϊν χειριςμϊν (πχ. θ παραγοντοποίθςθ είναι χριςιμθ ςτθν απλοποίθςθ κλαςμάτων και ςτθν επίλυςθ εξιςϊςεων). Ζτςι, οι πράξεισ και παραγοντοποιιςεισ πολφπλοκων παραςτάςεων δεν μπορεί να αποτελοφν ςτόχο τθσ διδαςκαλίασ για όλουσ τουσ μακθτζσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: ΑΔ2 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ δθμιουργία αλγεβρικισ παράςταςθσ που εκφράηει μια κατάςταςθ (κόςτοσ μετακίνθςθσ με ταξί). Οι υπολογιςμοί του κόςτουσ για αρκετοφσ ςυγκεκριμζνουσ αρικμοφσ χιλιομζτρων μποροφν να οδθγιςουν ςτθν γενίκευςθ με χριςθ μεταβλθτισ. Ο ςυνδυαςμόσ αυτισ τθσ πορείασ (ςυγκεκριμζνοι αρικμοί – γενίκευςθ ςε μεταβλθτι και αλγεβρικι παράςταςθ) με τθν αντίςτροφθ (αλγεβρικι παράςταςθ – αντικατάςταςθ ςυγκεκριμζνων τιμϊν ςτθ μεταβλθτι – υπολογιςμόσ τιμισ) βοθκά ςτθν κατανόθςθ του ρόλου τθσ μεταβλθτισ. Δραςτθριότθτεσ με παρόμοιουσ ςτόχουσ μποροφν να ςχετίηονται και με διαφορετικά μακθματικά περιεχόμενα (πχ για τθν εφρεςθ του γενικοφ όρου μιασ ακολουκίασ – κανονικότθτασ)

Διεργαςία γενίκευςθσ

Διεργαςία επικοινωνίασ με χριςθ φυςικισ γλϊςςασ και ςυμβόλων

Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ8 Διεργαςία Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ απλοποίθςθ γραμμικϊν επικοινωνίασ με αλγεβρικϊν παραςτάςεων με εφαρμογι τθσ επιμεριςτικισ χριςθ φυςικισ ιδιότθτασ. Θ χριςθ των "πλακιδίων" είναι μια επιλογι με ςτόχο τθ γλϊςςασ, δθμιουργία εικονικϊν αναπαραςτάςεων που από τθ μια μεριά κα ςυμβόλων και υποςτθρίηουν τθν επιμεριςτικι ιδιότθτα και από τθν άλλθ κα αναπαρα– ςτάςεων βοθκοφν ςτθν ανάπτυξθ, από τουσ μακθτζσ, "αυτοματιςμϊν" ςτθν αναγωγι ομοίων όρων. Μια άλλθ (παρόμοια) επιλογι κα μποροφςε υλικό ςχετικά να είναι θ χριςθ εμβαδϊν ορκογωνίων. Στθν αρχι τθσ με τα δραςτθριότθτασ χρειάηεται να δοκεί χρόνοσ για τθν εξοικείωςθ των "πλακίδια": μακθτϊν με το πλαίςιο των πλακιδίων. Οι διερευνιςεισ των http://en.wikipe μακθτϊν ζχουν ωσ ςτόχο τθν ανάπτυξθ από τουσ ίδιουσ dia.org/wiki/Alg

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

ςτρατθγικϊν ςε απλοφσ αλγεβρικοφσ χειριςμοφσ και τθ ςφγκριςθ διαφορετικϊν ςτρατθγικϊν και μεκόδων.

170

ebra_tile

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ3 Θ δραςτθριότθτα αυτι ςχετίηεται με τισ ιδιότθτεσ των τετραγωνικϊν ριηϊν, ειδικότερα τθν a  β  α  β . Επιπλζον, ίςωσ αναπτυχκεί Διεργαςίεσ και μια ςυηιτθςθ για τουσ άρρθτουσ αρικμοφσ με αφορμι τθ γνϊμθ διερεφνθςθσ, εικαςίασ και του Γιάννθ που υπονοεί ότι το γινόμενο δφο αρικμϊν με άπειρα ελζγχου, δεκαδικά ψθφία (όπωσ οι 3 και 75 ) δεν κα είναι ακζραιοσ. Μια επιχειρθματολοπικανι πορεία τθσ διερεφνθςθσ των μακθτϊν περιλαμβάνει: γίασ και αναηιτθςθ από τουσ μακθτζσ ερμθνειϊν για τισ απόψεισ που απόδειξθσ περιγράφονται ςτο ςενάριο, εικαςία για τθν ιδιότθτα που ίςωσ Διεργαςία ιςχφει και διερεφνθςθ με παραδείγματα, ανάδειξθ τθσ ανάγκθσ μιασ επικοινωνίασ με γενικισ απόδειξθσ τθσ ιδιότθτασ και δθμιουργία τθσ απόδειξθσ. χριςθ φυςικισ Ρροτείνεται ο εκπαιδευτικόσ να επιλζξει το ρόλο του ςυντονιςτι τθσ γλϊςςασ και ςυηιτθςθσ, αφινοντασ χρόνο ςτουσ μακθτζσ να αναπτφξουν ςυμβόλων πρωτοβουλίεσ. Επεκτάςεισ αυτισ τθσ πορείασ κα μποροφςε να είναι θ διερεφνθςθ του αν ιςχφουν αντίςτοιχεσ ιδιότθτεσ για το άκροιςμα, τθ διαφορά και το πθλίκο αρικμϊν. Αυτι θ διερεφνθςθ δίνει τθ δυνατότθτα να ςυηθτθκοφν θ ζννοια και ο ρόλοσ τθσ αλγεβρικισ απόδειξθσ και του αντιπαραδείγματοσ. Με αφορμι αυτό το πρόβλθμα μποροφν να αναδειχκοφν τα μειονεκτιματα τθσ χριςθσ υπολογιςτι τςζπθσ και θ αξία των ιδιοτιτων των ριηϊν (αφοφ, ο πολλαπλαςιαςμόσ 3  75 με το κομπιουτεράκι δεν κα δϊςει το ςωςτό αποτζλεςμα 15). Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ4 Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ ταυτότθτα του τετραγϊνου ακροίςματοσ ςε ζνα γεωμετρικό πλαίςιο. Θ πρϊτθ ερϊτθςθ, με αναμενόμενθ τθν απάντθςθ (α  β) 2  α 2  β 2 ζχει ςτόχο τθ δθμιουργία ςφγκρουςθσ ανάμεςα ςε αυτό που ίςωσ φαίνεται λογικό ςτουσ μακθτζσ και ςτα αποτελζςματα που προκφπτουν από τθ δοκιμι ςυγκεκριμζνων αρικμϊν (για να γίνει αυτό, το ςχιμα δεν πρζπει να δίνεται ςτο α ερϊτθμα). Θ ϊκθςθ των μακθτϊν ςε τζτοιου είδουσ ςυγκροφςεισ είναι ςυχνά χριςιμθ για το πζραςμα από τισ διαιςκθτικζσ αντιλιψεισ ςε πιο ςυςτθματικζσ διερευνιςεισ και επιχειρθματολογίεσ. Θ αναγνϊριςθ τθσ εικαςίασ ωσ εςφαλμζνθσ, ακολουκείται με ζνα πλαίςιο (γεωμετρικό) για τθ βελτίωςι τθσ και ςυγχρόνωσ τθν παροχι μιασ απόδειξθσ, ζςτω κι αν αυτι περιορίηεται ςε κετικζσ τιμζσ των μεταβλθτϊν. Θ διερεφνθςθ του τρίτου ερωτιματοσ (με δεδομζνθ τθν απάντθςθ του α ερωτιματοσ όπωσ περιγράφεται παραπάνω) μπορεί να ςυμβάλει ςτθν κατανόθςθ του λάκουσ αλλά και ςε μια διερεφνθςθ των ςυνκθκϊν κάτω από τισ οποίεσ αυτό γίνεται ςωςτό. Επζκταςθ τθσ

Διεργαςίεσ διερεφνθςθσ, εικαςίασ, ελζγχου και απόδειξθσ

Διεργαςία ςυνδζςεων (με τα εμβαδά)

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

δραςτθριότθτασ κα μποροφςε να είναι θ ανάδειξθ των περιοριςμϊν τθσ γεωμετρικισ απόδειξθσ και θ αναηιτθςθ κάποιου τρόπου να αποφανκοφμε για τθν ιςχφ τθσ ςχζςθσ για κάκε αρικμό (κετικό ι αρνθτικό). Αυτι θ γενίκευςθ οδθγεί ςτθν ζννοια τθσ ταυτότθτασ και ςτθν αλγεβρικι απόδειξι τθσ.

171

Διεργαςία γενίκευςθσ (μζςω τθσ αλγεβρικισ απόδειξθσ)

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ6 Μζςα από αυτι τθ δραςτθριότθτα επιδιϊκεται θ διερεφνθςθ τθσ ζννοιασ του ΕΚΡ μονϊνυμων και απλϊν πολυωνφμων και ανάπτυξθ ςτρατθγικϊν υπολογιςμοφ του. Θ ανάδειξθ των αναλογιϊν με τθν ανάλυςθ αρικμοφ ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων και το ΕΚΡ φυςικϊν ζχει ςτόχο τθν απόδοςθ νοιματοσ ςτουσ αλγόρικμουσ τθσ παραγοντοποίθςθσ και του ΕΚΡ πολυωνφμων. Οι μακθτζσ μποροφν να οδθγθκοφν ςτθ διατφπωςθ του κανόνα εφρεςθσ του ΕΚΡ μζςα από προςπάκειεσ και βελτιϊςεισ. Επιπλζον, θ ερϊτθςθ "γιατί το γινόμενο όλων των παραγόντων ςτθ μεγαλφτερι τουσ δφναμθ μασ δίνει το ΕΚΡ;", είναι χριςιμθ για τθν ανάπτυξθ αιτιολογιςεων και μπορεί να ςυηθτθκεί πρϊτα για τουσ φυςικοφσ και να επεκτακεί ςτα μονϊνυμα και ςτα πολυϊνυμα.

Διεργαςία επικοινωνίασ με χριςθ φυςικισ γλϊςςασ και ςυμβόλων

Διεργαςία αιτιολόγθςθσ

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: 1. Μπορείτε να εξθγιςετε γιατί το γινόμενο 34·35 είναι ίςο με τθ δφναμθ 39; Μπορείτε να γράψετε με μορφι μιασ δφναμθσ το γινόμενο 23·25; Μπορείτε να γράψετε με μορφι μιασ δφναμθσ το γινόμενο ακ · αλ; Ρωσ κα γράφατε το 58 ωσ γινόμενο δυνάμεων; (Βϋ Γυμναςίου) Σχόλιο: Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ διερεφνθςθ και θ αιτιολόγθςθ (από τουσ μακθτζσ) τθσ ιδιότθτασ         . Αντίςτοιχεσ δραςτθριότθτεσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν και για τισ υπόλοιπεσ ιδιότθτεσ. 2. Ο κακθγθτισ των μακθματικϊν ζχει ηθτιςει από τθν τάξθ να βρει τον κανόνα (τφπο) με τον οποίο προκφπτουν οι όροι τθσ ςειράσ Α από τουσ αρικμοφσ τθσ πρϊτθσ ςειράσ ςτον παρακάτω πίνακα: τάξθ του όρου

όροσ Α

…

… …

Ομοίωσ για τουσ όρουσ τθσ ςειράσ Β ςτον παρακάτω πίνακα: τάξθ του όρου

όροσ Β

… …

Ο Γιάννθσ, αφοφ βρικε τουσ κανόνεσ, πρότεινε να ςυνεχίςουν το πρόβλθμα με τθν ερϊτθςθ αν μποροφν να βρουν τον κανόνα για τθν καταςκευι των αρικμϊν που προκφπτουν από τθν πρόςκεςθ των Α και Β. Είχε τθν ιδζα να φτιάξει ζναν πίνακα με τζςςερισ γραμμζσ:

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

τάξθ του όρου

…

172

…

όροσ Α

…

όροσ Β

…

Α+Β

…

Μπορείτε να υλοποιιςετε τθν ιδζα του Γιάννθ; Θ Μαρία διλωςε ότι βρικε τον κανόνα για το Α+Β πολφ πιο γριγορα απ' το Γιάννθ. Μπορείτε να φανταςτείτε πϊσ; Μπορείτε να βρείτε με τον ίδιο τρόπο τον κανόνα για το Α–Β; (Βϋ Γυμναςίου) Σχόλιο: Θ δραςτθριότθτα αυτι ζχει ωσ ςτόχο τθν κατανόθςθ τθσ αναγωγισ ομοίων όρων ςε άμεςθ ςχζςθ με το πλαίςιο του προβλιματοσ. Δθλαδι τθν κατανόθςθ του ότι ο τφποσ 4ν+3 παράγει τουσ ίδιουσ αρικμοφσ που παράγει το άκροιςμα των 2ν και 2ν+3. 3. Υπολογίςτε το γινόμενο (2x+4)(x+5),

α) χρθςιμοποιϊντασ το διπλανό ςχιμα,

β) χρθςιμοποιϊντασ τθν επιμεριςτικι ιδιότθτα. Ρϊσ ςχετίηονται μεταξφ τουσ τα βιματα των δφο διαδικαςιϊν; (Γϋ Γυμναςίου)

Σχόλιο: Το γεωμετρικό πλαίςιο μπορεί να υποςτθρίξει τθν κατανόθςθ τθσ χριςθσ τθσ επιμεριςτικισ ιδιότθτασ ςτον πολλαπλαςιαςμό πολυωνφμων. Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ δθμιουργία ςυνδζςεων μεταξφ τθσ επιμεριςτικισ ιδιότθτασ και εικονικϊν αναπαραςτάςεων. 4. Να κάνετε τισ πράξεισ: α)

1 1 2 1 και 2  2  9 15 x x x

β)

x x 1 3 2   και 5 7 x  1 x2

Σχόλιο: Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ αναγνϊριςθ από τουσ μακθτζσ των ομοιοτιτων μεταξφ των πράξεων μεταξφ ρθτϊν αρικμϊν και κλαςματικϊν αλγεβρικϊν παραςτάςεων. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τισ παραγράφουσ: 4.1, 7.8, 7.9, 7.10 του ςχολ. βιβλίου τθσ Αϋ Γυμναςίου, 1.1 του βιβλίου τθσ Βϋ Γυμναςίου, 1.1Γ, 1.2 ζωσ 1.6, 1.8 ζωσ 1.10 του βιβλίου τθσ Γϋ Γυμναςίου. Επίςθσ, από το Υπ. Ραιδείασ τθσ Κφπρου (http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika). Από το διαδίκτυο:  http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_189_g_3_t_2.html?open=activi ties&from=category_g_3_t_2.html (πολλαπλαςιαςμόσ διωνφμων με πλακίδια)  http://nrich.maths.org/2289 αρικμό")

(πρόβλθμα του είδουσ "ςκζψου ζναν

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

173

 http://nrich.maths.org/2791 (πρόβλθμα με αρικμοφσ που απαιτεί δθμιουργία παραςτάςεων και αναγωγζσ ομοίων όρων)  http://nrich.maths.org/2821, http://nrich.maths.org/2278,  http://nrich.maths.org/584 (προβλιματα με αρικμοφσ που απαιτοφν δθμιουργία παραςτάςεων και πολλαπλαςιαςμό ι ταυτότθτεσ)  http://www.e-yliko.gr/resource/resource.aspx?id=309z, ι http://www.eyliko.gr/resource/resource.aspx?id=65 (ταυτότθτεσ με εμβαδά).

Βαςικά κζματα: Ιςότθτα–Ανιςότθτα Εξιςϊςεισ και ανιςϊςεισ αϋ βακμοφ (Αϋ, Βϋ, Γϋ Γυμναςίου), πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ (Γϋ Γυμναςίου), γραμμικά ςυςτιματα (Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ εξίςωςθ, θ ανίςωςθ και τα ςυςτιματα αποτελοφν ιςχυρά εργαλεία μοντελοποίθςθσ και επίλυςθσ προβλθμάτων που μπορεί να προζρχονται από άλλα πεδία των μακθματικϊν, από άλλεσ επιςτιμεσ, αλλά και από τθν κακθμερινι ηωι. Οι ζννοιεσ και οι διαδικαςίεσ που ςχετίηονται με τθν εξίςωςθ, τθν ανίςωςθ και τα ςυςτιματα ςυνδζονται ςτενά με τθ χριςθ του γράμματοσ, τθν αλγεβρικι παράςταςθ, τισ ςυναρτιςεισ και τισ αναπαραςτάςεισ τουσ, τθν ζννοια και τισ ιδιότθτεσ τθσ ιςότθτασ και τθσ ανιςότθτασ. Για αυτοφσ τουσ λόγουσ ζχουν ςθμαντικι κζςθ ςε κάκε πρόγραμμα ςπουδϊν. Επιπλζον, ςτο ΡΣ υιοκετείται θ ζμφαςθ ςτθν κατανόθςθ των εννοιϊν και θ βακμιαία ανάπτυξθ των ςυλλογιςμϊν και των διαδικαςιϊν (πχ. οι εξιςϊςεισ αϋ βακμοφ μελετϊνται ςε διαφορετικά επίπεδα ςτισ τάξεισ ΣΤϋ Δθμοτικοφ και Αϋ και Βϋ Γυμναςίου), αφοφ ο μονόπλευροσ προςανατολιςμόσ ςτουσ αλγόρικμουσ επίλυςθσ ζχει φτωχά μακθςιακά αποτελζςματα. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Από τισ πρϊτεσ τάξεισ του Δθμοτικοφ οι μακθτζσ ζχουν ςυναντιςει εξιςϊςεισ χωρίσ γράμματα που θ επίλυςι τουσ απαιτεί μια πράξθ (πχ. 3+_=5, _:5=7, κοκ), ενϊ ςτθν ΣΤϋ τάξθ ζχουν ςυναντιςει τισ ίδιεσ μορφζσ εξιςϊςεων αλλά με χριςθ του γράμματοσ. Στθν Αϋ Γυμναςίου κα αςχολθκοφν με εξιςϊςεισ που ζχουν άγνωςτο μόνο ςτο ζνα μζλοσ (που δεν απαιτοφν αλγεβρικοφσ χειριςμοφσ με τον άγνωςτο και ςτα δφο μζλθ), ςτθν Βϋ με εξιςϊςεισ τθσ μορφισ αx+β=γx+δ (και που μπορεί να περιζχουν και ρθτοφσ ςυντελεςτζσ και παρενκζςεισ), για να φτάςουν ςτθν Γϋ τάξθ να διαπραγματευκοφν ανιςϊςεισ αϋ βακμοφ, πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ (που ανάγονται ςε πρωτοβάκμιεσ μετά από παραγοντοποίθςθ) και γραμμικά ςυςτιματα (δφο εξιςϊςεων με δφο αγνϊςτουσ). Αργότερα κα αςχολθκοφν και με άλλεσ μορφζσ εξιςϊςεων, ανιςϊςεων και ςυςτθμάτων (πχ. εκκετικζσ εξιςϊςεισ και ανιςϊςεισ, μθ γραμμικά ςυςτιματα κ.λπ.) που απαιτοφν κατανόθςθ των εννοιϊν και ευχζρεια ςτθν επίλυςθ εξιςϊςεων πρϊτου βακμοφ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Κάποιεσ από τισ πρϊτεσ δυςκολίεσ των μακθτϊν, οι οποίεσ ςυχνά παραμζνουν και ςτο Γυμνάςιο, ςχετίηονται με τθν κατανόθςθ του "="

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

174

περιςςότερο ωσ προτροπι να κάνουν μια πράξθ, να δϊςουν ζνα αποτζλεςμα, παρά ωσ ςφμβολο ιςότθτασ (ιςοδυναμίασ των δφο μελϊν). Επιπλζον, δεν γίνεται πάντα κατανοθτι θ ζννοια του αγνϊςτου (πχ. για κάποιουσ μακθτζσ, οι εξιςϊςεισ 3α+14=58 και 3β+14=58 ζχουν διαφορετικζσ λφςεισ και για κάποιουσ δεν είναι καν εξιςϊςεισ, αφοφ δεν περιζχουν τον άγνωςτο x). Νζεσ δυςκολίεσ αναμζνονται ςχετικά με τον τρόπο που οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται τισ διαδικαςίεσ επίλυςθσ μιασ εξίςωςθσ και τθν δικαιολόγθςι τουσ, αφοφ ςυχνά απομνθμονεφονται τεχνικζσ χωρίσ κατανόθςθ (πχ. "αλλάηω μζλοσ αλλάηοντασ πρόςθμο") που οδθγοφν ςε ςφγχυςθ και παρανοιςεισ. Το ίδιο φαίνεται να ιςχφει για τα ςυςτιματα, με επιπλζον δυςκολία τθ γραφικι αναπαράςταςθ και επίλυςι τουσ. Θ "βολικι" επζκταςθ των διαδικαςιϊν επίλυςθσ εξιςϊςεων και ςτισ ανιςϊςεισ, δθμιουργεί δυςκολίεσ που ςχετίηονται με τισ ιδιότθτεσ των ανιςοτιτων και με το πλικοσ λφςεων των ανιςϊςεων. Σχετικά με τισ πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ και με δεδομζνο ότι θ επίλυςι τουσ ςτθρίηεται ςτθν παραγοντοποίθςθ, οι δυςκολίεσ ςχετίηονται με το ςυλλογιςμό "αν α·β=0, τότε α=0 ι β=0" και με το πλικοσ των λφςεων (πχ. θ φπαρξθ δφο λφςεων μπορεί να γίνεται κατανοθτι ωσ ζνα είδοσ "αοριςτίασ"). Θ επίλυςθ προβλθμάτων με εξιςϊςεισ αποτελεί μία από τισ δυςκολότερεσ δραςτθριότθτεσ τθσ άλγεβρασ για τουσ μακθτζσ του Γυμναςίου και αυτό ςχετίηεται με τισ ευκαιρίεσ που ζχουν οι μακθτζσ να μοντελοποιιςουν μια κατάςταςθ και να εκφράςουν αλγεβρικά ζνα πρόβλθμα. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Στόχοσ είναι θ εξοικείωςθ των μακθτϊν με τθν αλγεβρικι επίλυςθ μιασ εξίςωςθσ με χριςθ των ιδιοτιτων τθσ ιςότθτασ (με τθν ίδια πράξθ και ςτα δφο μζλθ). Αυτό μπορεί να επιτευχκεί μόνο με προςεκτικό ςχεδιαςμό που υπερβαίνει τα χρονικά όρια μιασ τάξθσ. Στθν Αϋ Γυμναςίου, πριν από τθν εςτίαςθ ςτισ ιδιότθτεσ τθσ ιςότθτασ (πχ. με το μοντζλο τθσ ηυγαριάσ) είναι χριςιμεσ οι μζκοδοι δοκιμισ–λάκουσ–βελτίωςθσ (θ οποία βοθκά ςτθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ τθσ μεταβλθτισ–αγνϊςτου, τθσ εξίςωςθσ και τθσ επίλυςισ τθσ) και των αντίςτροφων πράξεων (που προετοιμάηει για περιςςότερο αναπτυγμζνεσ αλγεβρικζσ μεκόδουσ). Θ χριςθ εξιςϊςεων για τθν μοντελοποίθςθ και επίλυςθ απλϊν προβλθμάτων ι προβλθμάτων που ζχουν αντιμετωπιςτεί με απλοφςτερεσ μεκόδουσ (ανάλογα και αντιςτρόφωσ ανάλογα ποςά, προβλιματα τόκου, εκπτϊςεων και αυξιςεων, κ.λπ.) ειςάγει τουσ μακθτζσ ςτθ γενίκευςθ και τθν αφαίρεςθ αναδεικνφοντασ τθ δφναμθ των αλγεβρικϊν μεκόδων. Στθ Βϋ Γυμναςίου, θ αλγεβρικι επίλυςθ με γενίκευςθ τθσ χριςθσ των ιδιοτιτων τθσ ιςότθτασ (που είναι ο ςτόχοσ γι' αυτι τθν τάξθ) δίνει νόθμα και δικαιολόγθςθ ςτισ αλγορικμικζσ διαδικαςίεσ. Για το λόγο αυτό, για ζνα διάςτθμα πρζπει να δίνεται ζμφαςθ ςτισ ιδιότθτεσ που χρθςιμοποιοφνται (π.χ. προςκζτουμε και ςτα δφο μζλθ των ίδιο αρικμό) και όχι απλά ςτθ διαδικαςία (π.χ. χωρίηουμε γνωςτοφσ από αγνϊςτουσ αλλάηοντασ τα πρόςθμα όταν μεταφζρουμε από το ζνα μζλοσ ςτο άλλο). Θ χριςθ μοντζλων όπωσ θ ηυγαριά μπορεί να βοθκιςει ςτθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ τθσ εξίςωςθσ, αλλά και των αλγεβρικϊν χειριςμϊν που απαιτοφνται για τθν επίλυςι τθσ. Θ γραφικι επίλυςθ εξιςϊςεων (μζςω των ςυναρτιςεων) μπορεί να βοθκιςει ςτθν διαμόρφωςθ αναπαραςτάςεων για τισ ζννοιεσ τθσ εξίςωςθσ και τθσ λφςθσ τθσ. Στθ Γϋ Γυμναςίου θ διαπραγμάτευςθ των ανιςϊςεων μπορεί να γίνει με αντίςτοιχο τρόπο, αλλά εςτιάηοντασ ςτισ διαφορζσ με τθν εξίςωςθ (κυρίωσ ςτο ςφνολο λφςεων και τθν αναπαράςταςι του ςτθν ευκεία των πραγματικϊν). Επιπλζον, μποροφν να

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

175

ςυηθτθκοφν οι ιδιότθτεσ τθσ διάταξθσ και των πράξεων (πρόςκεςθ ανιςοτιτων κατά μζλθ κ.λπ.) και θ εφαρμογι τουσ ςε απλά προβλιματα. Για τισ πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ, χρειάηεται να ςυηθτθκοφν ςτθν τάξθ τόςο ο ςκοπόσ τθσ παραγοντοποίθςθσ, όςο και θ φπαρξθ περιςςότερων τθσ μιασ λφςθσ. Πςον αφορά ςτα γραμμικά ςυςτιματα, θ ζννοια τθσ γραμμικισ εξίςωςθσ, θ αναπαράςταςι τθσ ωσ ευκεία και θ γραφικι αναπαράςταςθ και επίλυςθ του ςυςτιματοσ, βοθκοφν τουσ μακθτζσ ςτθν απόδοςθ νοιματοσ ςτο ςφςτθμα, τθ λφςθ του και τθ διαδικαςία επίλυςισ του. Οι αλγεβρικζσ μζκοδοι επίλυςθσ υπερζχουν των γραφικϊν ςτθν ακρίβεια και τθ γενικότθτα, αλλά δεν πρζπει να παραβλζπεται θ διδακτικι αξία τθσ γραφικισ αναπαράςταςθσ ενόσ ςυςτιματοσ και τθσ λφςθσ του. Επιπλζον, είναι ςθμαντικι θ ανάδειξθ και θ κατανόθςθ των ιδιοτιτων που υποςτθρίηουν τισ αλγεβρικζσ μεκόδουσ (πχ θ αντικατάςταςθ ςτθρίηεται ςτο γεγονόσ ότι θ τιμι του αγνϊςτου είναι θ ίδια και ςτισ δφο εξιςϊςεισ), ςε αντιδιαςτολι με τθν απομνθμόνευςθ από τουσ μακθτζσ κανόνων χωρίσ νόθμα. Θ επίλυςθ προβλιματοσ (για όλεσ τισ τάξεισ) είναι το πεδίο όπου αναδεικνφεται θ αξία τθσ εξίςωςθσ και του ςυςτιματοσ. Για το ςκοπό αυτό χρειάηεται να αφιερωκεί χρόνοσ ςτθ μοντελοποίθςθ καταςτάςεων και προβλθμάτων με αλγεβρικζσ παραςτάςεισ και εξιςϊςεισ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: ΑΔ3 Μζςα από το μοντζλο τθσ ηυγαριάσ οι μακθτζσ μποροφν να εξερευνιςουν τόςο τισ ιδιότθτεσ τθσ ιςότθτασ (ότι θ ιςότθτα – Διεργαςία ιςορροπία δεν αλλάηει αν κάνουμε τθ ίδια πράξθ – δράςθ και ςτα διερεφνθςθσ και δφο μζλθ), όςο και τθ διαδικαςία επίλυςθσ τθσ εξίςωςθσ. Είναι γενίκευςθσ ςθμαντικό θ εξερεφνθςθ αυτι να γίνει από τουσ ίδιουσ τουσ ιδιοτιτων μακθτζσ μζςα από το νοθτικό πείραμα με τθ ηυγαριά (χωρίσ χαρτί και μολφβι) και κατόπιν να διατυπωκεί ςυμβολικά από τουσ ίδιουσ. Διεργαςία Είναι πικανό κάποιοι μακθτζσ να λφςουν το πρόβλθμα με δοκιμζσ, επικοινωνίασ με εφόςον αυτι θ μζκοδοσ είναι πιο προςιτι ςτον άπειρο λφτθ και πιο χριςθ κοντά ςτθν κακθμερινι εμπειρία. Με κατάλλθλθ μετατροπι των ςυμβόλων δεδομζνων (πχ. ζνα κυβάκι λιγότερο ςτον ζνα από τουσ δίςκουσ) μπορεί να φανεί ότι αυτι θ μζκοδοσ δεν είναι πάντα εφχρθςτθ6. Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ9 Θ δραςτθριότθτα αυτι ζχει τουσ ίδιουσ ςτόχουσ και χαρακτθριςτικά με τθν ΑΔ3 τθσ Αϋ τάξθσ, αλλά παρζχει δφο πλαίςια για τθ διερεφνθςθ των μακθτϊν και αντιςτοιχεί ςε εξιςϊςεισ με άγνωςτο και ςτα δφο μζλθ (ο χειριςμόσ άγνωςτων ποςοτιτων ζχει Διεργαςία μεγαλφτερθ δυςκολία για τουσ μακθτζσ). Το μοντζλο των πλακιδίων διερεφνθςθσ και γενίκευςθσ ζχει το πλεονζκτθμα ότι ειςάγονται και αρνθτικοί αρικμοί (ενϊ τα 6

Πταν θ εξίςωςθ είναι διατυπωμζνθ, θ μζκοδοσ δοκιμι – λάκοσ – βελτίωςθ είναι πολφ χριςιμθ διδακτικά, όπωσ αναφζρεται και ςτισ "προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ".

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

βάρθ ςτθ ηυγαριά είναι μόνο κετικά) και το μειονζκτθμα ότι το πλαίςιο είναι περιςςότερο αφθρθμζνο και απαιτεί εξοικείωςθ με το μοντζλο των κετικϊν και αρνθτικϊν καρτϊν (που ίςωσ ζχουν ςυναντιςει οι μακθτζσ ςτισ πράξεισ ακεραίων). Σε κάκε περίπτωςθ, ο ςτόχοσ είναι θ κατανόθςθ των ιδιοτιτων τθσ ιςότθτασ και θ επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ με τισ ίδιεσ πράξεισ και ςτα δφο μζλθ και όχι θ χριςθ κανόνων χωρίσ να τουσ αποδίδεται νόθμα. Στθν εξίςωςθ με τθ ηυγαριά, μπορεί να κεωρθκεί ότι κάκε κυβάκι ζχει βάροσ 50 gr (όπωσ ςτθν αντίςτοιχθ δραςτθριότθτα τθσ Αϋ τάξθσ) ι μπορεί να επιλεγεί άλλο βάροσ.

176

ιδιοτιτων

Βϋ Γυμναςίου: ΑΔ10 Θ ςφνδεςθ των εξιςϊςεων με τισ ςυναρτιςεισ είναι ςθμαντικι γιατί προςδίδει μια εναλλακτικι εικόνα ςτθν εξίςωςθ (θ οποία αντιςτοιχεί ςτθν πιο γενικι μορφι τθσ ζννοιασ τθσ εξίςωςθσ ωσ ιςότθτα των τιμϊν δφο ςυναρτιςεων). Θ ςφγκριςθ από τουσ ίδιουσ τουσ μακθτζσ των μεκόδων επίλυςθσ (γραφικι, αρικμθτικι και αλγεβρικι) μπορεί να αναδείξει κριτιρια απλότθτασ (αρικμθτικι), κατανόθςθσ μζςω τθσ απεικόνιςθσ (γραφικι) και γενικότθτασ (αλγεβρικι).

Διεργαςία ενδομακθματικ ϊν ςυνδζςεων με ςυναρτιςεισ Διεργαςία αναςτοχαςμοφ και μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ για τισ μεκόδουσ

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ7 Ρρόκειται για ζνα ρεαλιςτικό πρόβλθμα που κάποιοσ εξοικειωμζνοσ Διεργαςία λφτθσ μάλλον κα το λφςει χρθςιμοποιϊντασ ανίςωςθ πρϊτου επικοινωνίασ με βακμοφ. Ωςτόςο, μπορεί να επιλεγοφν από τουσ μακθτζσ άλλοι χριςθ φυςικισ ιςοδφναμοι τρόποι λφςθσ (αρικμθτικά με πίνακεσ τιμϊν ι γραφικά γλϊςςασ και με χριςθ δφο ςυναρτιςεων). Ακόμθ και μια λφςθ με δοκιμζσ κα ςυμβολιςμϊν μποροφςε να αξιοποιθκεί για να οδθγθκοφν οι μακθτζσ ςε περιςςότερο ςυςτθματικζσ μεκόδουσ διερεφνθςθσ, όπωσ ζναν Διεργαςία χριςθσ πίνακα τιμϊν και μια γραφικι παράςταςθ. Ο ςτόχοσ ςε κάκε αναπαραςτάςεων περίπτωςθ είναι θ μοντελοποίθςθ του προβλιματοσ και θ ανάδειξθ των πλεονεκτθμάτων κάκε μεκόδου επίλυςθσ. Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ8 Είναι ζνα μακθματικό πρόβλθμα που οδθγεί ςτθ διατφπωςθ μιασ διεργαςίεσ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ και τθν επίλυςι τθσ με παραγοντοποίθςθ. διερεφνθςθσ και Μια διερεφνθςθ των μακθτϊν με δοκιμζσ είναι πικανόν να αιτιολόγθςθσ οδθγιςει ςε κάποιεσ λφςεισ (πχ. ςτο 0 και το 1) αλλά όχι ςε όλεσ. Αυτι θ δυςκολία μπορεί να λειτουργιςει ωσ αφορμι ϊςτε να Διεργαςία αναδειχτεί θ ςθμαςία τθσ επίλυςθσ μιασ εξίςωςθσ μζςω αλγεβρικοφ αναςτοχαςμοφ για τισ μεταςχθματιςμοφ για τθν εφρεςθ όλων των λφςεϊν τθσ. μεκόδουσ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

177

Γϋ Γυμναςίου: ΑΔ10 Θ δραςτθριότθτα μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ςτθν ειςαγωγι ςτθν ζννοια τθσ γραμμικισ εξίςωςθσ, ςτθν ζννοια του γραμμικοφ ςυςτιματοσ και τθσ λφςθσ του, όπωσ και ςτθν γραφικι επίλυςι του. Οι μακθτζσ χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό Geogebra μποροφν να αντιλθφκοφν άμεςα πωσ θ μεταβολι των ςυντελεςτϊν επθρεάηει τθ κζςθ των ευκειϊν και των ςθμείων τομισ τουσ. Το "παιχνίδι" των μακθτϊν με τουσ δρομείσ είναι ςθμαντικό ςτοιχείο τθσ διερεφνθςισ τουσ και μπορεί να οδθγιςει ςτθ δθμιουργία ςτακερϊν νοερϊν εικόνων για το ςφςτθμα και τθ λφςθ του. Επιπλζον, αυτι θ δραςτθριότθτα μπορεί να αναδείξει τθν αναγκαιότθτα αλγεβρικισ μεκόδου επίλυςθσ (πχ για κάποιο απομακρυςμζνο ςθμείο τομισ ι επειδι θ χριςθ του ψθφιακοφ εργαλείου για τθ γραφικι επίλυςθ ςυςτιματοσ είναι αρκετά χρονοβόρα).

Διεργαςία επιλογισ και χριςθσ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επικοινωνία Διεργαςία μετάφραςθσ μεταξφ γραφικϊν αναπαραςτάςε ων και αλγεβρικοφ ςυμβολιςμοφ

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: 1. Να καταςκευάςετε πρόβλθμα που λφνεται με τθν εξίςωςθ 15=2x-7. (Αϋ Γυμναςίου) Σχόλιο: Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι θ καταςκευι προβλιματοσ που μοντελοποιείται από γνωςτι εξίςωςθ. Αυτι θ διαδικαςία είναι ςθμαντικι ςτθν εξοικείωςθ των μακθτϊν με τθν μοντελοποίθςθ καταςτάςεων και προβλθμάτων μζςω εξιςϊςεων, αλλά και αλγεβρικϊν παραςτάςεων και ςυναρτιςεων. 2. Να καταςκευάςετε μια εξίςωςθ με άγνωςτο και ςτα δφο μζλθ, θ οποία να ζχει ωσ λφςθ τον αρικμό –4. (Βϋ Γυμναςίου) Σχόλιο: Θ καταςκευι εξίςωςθσ με γνωςτι λφςθ υποςτθρίηει τθν κατανόθςθ τθσ ζννοιασ τθσ εξίςωςθσ και τθσ λφςθσ τθσ. 3. Θ Μαρία πιγε ςτο βιβλιοπωλείο με ςκοπό να αγοράςει 15 τετράδια. Επειδι όμωσ τθσ ζκαναν ζκπτωςθ 10 λεπτά ςε κάκε τετράδιο, αγόραςε με τα ίδια χριματα 18 τετράδια. Ρόςο πλιρωςε για κάκε τετράδιο; (Βϋ Γυμναςίου) Σχόλιο: Θ δραςτθριότθτα ζχει ωσ ςτόχο τθν μοντελοποίθςθ ενόσ προβλιματοσ με εξίςωςθ. Το πρόβλθμα μπορεί να λυκεί και με πρακτικι αρικμθτικι, αλλά θ χριςθ εξίςωςθσ μπορεί να αναδείξει τθν αποτελεςματικότθτα των αλγεβρικϊν μεκόδων. 4. Σχεδιάςτε με λογιςμικό (πχ. Geogebra) τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων y=x3+2x2 και y=x2+2x. Σθμειϊςτε ςτθ γραφικι παράςταςθ το ι τα κοινά ςθμεία τουσ. Αν υποκζςουμε ότι ζνα κοινό ςθμείο είναι το Α, να ερμθνεφςετε τισ ςυντεταγμζνεσ του ςε ςχζςθ με τουσ τφπουσ των δφο ςυναρτιςεων. Ρροςδιορίςτε τισ ςυντεταγμζνεσ του κοινοφ ι των κοινϊν τουσ ςθμείων (α) από τισ γραφικζσ παραςτάςεισ και (β) αλγεβρικά με χριςθ των τφπων των δφο ςυναρτιςεων. Σχόλιο: Ο ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι α) θ ςφνδεςθ των πολυωνυμικϊν εξιςϊςεων και των αλγεβρικϊν μεκόδων επίλυςισ τουσ με τθν γραφικι αναπαράςταςι τουσ και β) θ αναγνϊριςθ τθσ λφςθσ τθσ εξίςωςθσ ωσ

Γϋ Κφκλοσ – Αρικμοί και Άλγεβρα

178

τετμθμζνθσ του κοινοφ ςθμείου (ι των κοινϊν ςθμείων). Υποςτθρικτικά μπορεί να χρθςιμοποιθκεί το αρχείο Γ Γυμ-ΕΔ2-Τομζσ ςυναρτιςεων.ggb όπου οι μακθτζσ μποροφν να μεταβάλλουν δυναμικά τουσ δρομείσ των παραμζτρων α, β, γ και δ για τισ ςυναρτιςεισ ψ=αχ3+βχ2 και ψ=γχ2+δχ και να δουν εποπτικά τθ μεταβολι των γραφικϊν παραςτάςεων και τα ςθμεία τομισ τουσ ςε τρεισ διαφορετικζσ περιπτϊςεισ. (Γϋ Γυμναςίου) Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν μζρθ ι και ολόκλθρεσ παράγραφοι από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία τθσ Βϋ Γυμναςίου (παρ. 1.1, 1.2, 1.4, 1.5) και τθσ Γϋ Γυμναςίου (παρ. 2.2Α, 3.1, 3.2, 3.3) (εκδόςεισ 2010). Επίςθσ, από το Υπ. Ραιδείασ τθσ Κφπρου (http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika). Επίςθσ, από το διαδίκτυο:  http://www.mathsnet.net/algebra/cu8.html , http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html (εφαρμογίδια επίλυςθσ εξίςωςθσ αϋβακμοφ)  http://nrich.maths.org/996 πρόβλθμα εξίςωςθσ αϋ βακμοφ)  http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/WProblem2Eq.shtml http://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/naBalVar1.pdf http://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/ekSubElim.pdf (δραςτθριότθτεσ ςχετικζσ με γραμμικά ςυςτιματα)  http://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/nsSolveaProd uct.pdf http://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/nsFactoringHe lps.pdf (δραςτθριότθτεσ για επίλυςθ δευτεροβάκμιασ εξίςωςθσ με παραγοντοποίθςθ)  http://nrich.maths.org/7344 (ειςαγωγικι δραςτθριότθτα ςτθν ανίςωςθ αϋ βακμοφ με αρικμθτικι επίλυςθ – πίνακεσ τιμϊν)  http://nrich.maths.org/7342 (προβλιματα ανίςωςθσ αϋ βακμοφ).

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

179

Γεωμετρία και Μετριςεισ Βαςικά κζματα: Γεωμετρικά ςχιματα: Αναγνϊριςθ, ονομαςία και ταξινόμθςθ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων (Αϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Στθν ενότθτα αυτι περιλαμβάνονται οι βαςικζσ γεωμετρικζσ ζννοιεσ, δθλαδι τα βαςικά ςτοιχεία που αποτελοφν τα γεωμετρικά ςχιματα και οι μεταξφ τουσ ςχζςεισ και ιδιότθτεσ. Θ ανάπτυξθ τθσ ενότθτασ δεν γίνεται απαραίτθτα ανεξάρτθτα από κάποιεσ άλλεσ ενότθτεσ. Ζτςι ςτοιχεία ςχετικά με τθν μζτρθςθ ι τισ καταςκευζσ παρεμβάλλονται όταν είναι ςκόπιμο. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Στο Δθμοτικό οι μακθτζσ ζχουν γνωρίςει πτυχζσ για τισ περιςςότερεσ βαςικζσ γεωμετρικζσ ζννοιεσ κακϊσ και ςχζςεισ γι’ αυτζσ. Ζχουν γνωρίςει ζννοιεσ όπωσ θ ευκεία , το ευκφγραμμο τμιμα, θ γωνία, ο κφκλοσ, ςχζςεισ όπωσ θ παραλλθλία, θ κακετότθτα, θ ιςότθτα κ.λπ. και ζχουν προβεί ςτθ διάκριςθ των γωνιϊν ςε ορκζσ, αμβλείεσ και οξείεσ. Στθν Αϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τισ παρακάτω ζννοιεσ: 

Επιφάνειεσ και γραμμζσ. Είδθ επιφανειϊν και γραμμϊν.



Ευκεία, θμιευκεία, ευκφγραμμο τμιμα, επίπεδο, θμιεπίπεδο, πολυγωνικζσ γραμμζσ. Σφγκριςθ ευκυγράμμων τμθμάτων



Γωνία και ςφγκριςθ γωνιϊν



Ευκφγραμμα ςχιματα και ιςότθτα αυτϊν



Είδθ γωνιϊν. Διχοτόμοσ γωνίασ



Ραράλλθλεσ και κάκετεσ ευκείεσ



Μεςοκάκετοσ ευκφγραμμου τμιματοσ



Κφκλοσ και ςτοιχεία του κφκλου



Σχετικζσ κζςεισ ευκείασ και κφκλου



Εφεξισ γωνίεσ, ςυμπλθρωματικζσ & παραπλθρωματικζσ γωνίεσ



Κατακορυφιν γωνίεσ



Επίκεντρθ γωνία. Σχζςθ επίκεντρθσ γωνίασ και του αντίςτοιχου τόξου. Σχζςεισ τόξων του ίδιου ι ίςων κφκλων.



Γωνίεσ που ςχθματίηονται από δφο παράλλθλεσ και μία τζμνουςα

Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Στοιχεία όπωσ το ςθμείο, θ ευκεία, θ θμιευκεία, το επίπεδο κ.λπ. δεν γίνονται άμεςα αντιλθπτά ςτουσ μακθτζσ , λόγω του κεωρθτικοφ τουσ χαρακτιρα. Συνικωσ οι μακθτζσ αντιλαμβάνονται ςτοιχεία που χαράςςουν ι «βλζπουν», όπωσ για παράδειγμα τα ευκφγραμμα τμιματα. Ζτςι μποροφν να αναγνωρίςουν κατακορυφιν γωνίεσ ςτθν εικόνα 1, ενϊ όχι ςτθν εικόνα 2. Ομοίωσ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

180

τα ςθμεία που είναι ςχεδιαςμζνα ςτθν εικόνα 3, δεν αντιλαμβάνονται ότι ανικουν ςτθν κυρτι γωνία.

Εικόνα 1

Εικόνα 2

Εικόνα 3

Ο ςυνθκιςμζνοσ τρόποσ με τον οποίο παρουςιάηονται τα γεωμετρικά ςχιματα (γραμμζσ που ακολουκοφν τον οριηόντιο και κατακόρυφο προςανατολιςμό) εμποδίηουν τουσ μακθτζσ να διακρίνουν τισ ίδιεσ ςχζςεισ ςε άλλεσ καταςτάςεισ. Για παράδειγμα αναγνωρίηουν τθν κακετότθτα ςτθν περίπτωςθ τθσ εικόνασ 4 αλλά με δυςκολία ςτθν περίπτωςθ τθσ εικόνασ 5. Ακόμα και θ ςχζςθ τθσ παραλλθλίασ (ι τθσ μθ παραλλθλίασ) μπορεί να είναι δφςκολα αναγνωρίςιμθ όταν οι ευκείεσ ακολουκοφν πλάγιεσ διευκφνςεισ (εικόνα 6)

Εικόνα 4

Εικόνα 5

Εικόνα 6

Οι μακθτζσ δυςκολεφονται να δουν με ζνα «δυναμικό» τρόπο τα ςχιματα, να φανταςτοφν τα ςχιματα να ςτρζφονται, τισ ευκείεσ και τισ θμιευκείεσ να προεκτείνονται κ.λπ. Μία από τισ αιτίεσ για το προθγοφμενο είναι το ότι τα ςχιματα που ςχεδιάηουμε ςτο χαρτί ι ςτον πίνακα είναι ςτατικά. Για πολλοφσ μακθτζσ το ςχιμα παριςτάνει μόνο μια ςυγκεκριμζνθ κατάςταςθ. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ μετάβαςθ ςε πιο αφαιρετικζσ μορφζσ ςκζψθσ είναι μια διαδικαςία αργι και δφςκολθ για τουσ μακθτζσ και χρειάηεται να αναπτυχκεί μζςα από τθν εναςχόλθςθ των ίδιων των μακθτϊν ςε περιβάλλοντα και καταςτάςεισ που ενκαρρφνουν αυτι τθ μετάβαςθ. Θ χριςθ διαφόρων μζςων, όπωσ το διαφανζσ χαρτί, τα χειραπτικά υλικά, τα προγράμματα Δυναμικισ Γεωμετρίασ κ.λπ. αναδεικνφουν με διαφορετικό τρόπο το κακζνα ςχζςεισ και ιδιότθτεσ μεταξφ των ςχθμάτων. Ταυτόχρονα μποροφν να ςυμβάλουν, με κατάλλθλεσ δραςτθριότθτεσ και παρεμβάςεισ από τθν μεριά του διδάςκοντα, ςτο να αναπτφξουν οι μακθτζσ ζνα δυναμικό τρόπο γεωμετρικισ ςκζψθσ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

181

Για τθν αντιμετϊπιςθ των δυςκολιϊν των μακθτϊν αλλά και τθν ανάδειξθ ιδιοτιτων και ςχζςεων μεταξφ των ςχθμάτων, προτείνεται θ παρουςίαςθ και θ καταςκευι ςχθμάτων να γίνεται ςε μθ ςυνθκιςμζνεσ κζςεισ.

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου. Κατακορυφιν γωνίεσ (ΠΜΑ: Γ1, Γ2, Γ4) Φάςθ 1θ Εξερεφνθςθ ιδιότθτασ Ο διδάςκων προτρζπει τουσ μακθτζσ να ςχεδιάςουν δφο τεμνόμενεσ ευκείεσ και να εικάςουν για ςχζςεισ που υπάρχουν μεταξφ των γωνιϊν που ςχθματίηονται. Οι μακθτζσ μετροφν προςεγγιςτικά με το μοιρογνωμόνιο. Αναμζνεται ότι κα εικάςουν ότι υπάρχουν δφο ηεφγθ ίςων γωνιϊν και είναι μάλλον απίκανο ότι κα εικάςουν ηεφγθ παραπλθρωματικϊν. Ο διδάςκων κζτει το ερϊτθμα αν κα δθμιουργοφνται ηεφγθ ίςων γωνιϊν ςε κάκε περίπτωςθ που τζμνονται δφο ευκείεσ. Ρροτείνει να διερευνιςουν τθν κατάςταςθ ςτον υπολογιςτι με κάποιο πρόγραμμα δυναμικισ γεωμετρίασ. Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν το ςυνοδευτικό αρχείο και επαλθκεφουν με μζτρθςθ των γωνιϊν ότι ςε κάκε τζτοια περίπτωςθ οι γωνίεσ είναι ίςεσ. Αναηθτοφν εξιγθςθ γιατί αυτά τα ηεφγθ γωνιϊν είναι ίςα και ςυνεργάηονται για να δθμιουργιςουν μια απόδειξθ του ότι οι κατακορυφιν γωνίεσ είναι ίςεσ. Με προτροπι του διδάςκοντα εξερευνοφν τθ ςχζςθ που ζχουν οι εφεξισ γωνίεσ. Αν οι μακθτζσ εργαςτοφν με προςεκτικό δυναμικό χειριςμό και ειδικζσ τιμζσ για τισ μετριςεισ είναι πολφ πικανό ότι κα ανακαλφψουν ότι οι γωνίεσ είναι παραπλθρωματικζσ. Καταγράφουν όλα τα ηεφγθ των παραπλθρωματικϊν γωνιϊν, ςυηθτοφν και δικαιολογοφν γιατί είναι παραπλθρωματικζσ. Φάςθ 2θ Οριςμόσ Ο διδάςκων δίνει ςτουσ μακθτζσ ζνα φφλλο χαρτί που περιζχει δφο ςτιλεσ. Θ μία ζχει τίτλο «Κατακορυφιν γωνίεσ» και θ άλλθ «Γωνίεσ που δεν είναι κατακορυφιν». Κάκε ςτιλθ ζχει αντιςτοίχωσ παραδείγματα και μθ παραδείγματα κατακορυφιν γωνιϊν (ςτα μθ παραδείγματα πρζπει να ζχουν περιλθφκεί ηεφγθ ίςων γωνιϊν με ζνδειξθ του μζτρου των γωνιϊν). Ηθτείται από τουσ μακθτζσ να βρουν τα κοινά χαρακτθριςτικά των κατακορυφιν γωνιϊν και να γράψουν ζναν οριςμό που κα τισ περιγράφει. Οι μακθτζσ λόγω τθσ προθγοφμενθσ εξερεφνθςθσ κα μπορζςουν να δϊςουν ζναν οριςμό αρκετά κοντά ςτον τυπικό οριςμό και κα διακρίνουν τθν διαφορά οριςμοφ και ιδιότθτασ.

Θ αρχι τθσ 1θσ φάςθσ χρειάηεται για να ςυνειδθτο ποιιςουν όλοι οι μακθτζσ τθν κατάςταςθ που κα εξερευνιςουν Διεργαςία διερεφνθςθσ με χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων

Διεργαςία αιτιολόγθςθσ

Διεργαςία επικοινωνίασ

Συνοδευτικό αρχείο: A Γυμ Διερεφνθςθ ςχζςεων γωνιϊν.gsp

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

182

Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία ( Αϋ Γυμναςίου κεφ 1, 2 , 3) και τα βιβλία κακθγθτι. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Το εναλλακτικό εκπαιδευτικό υλικό που ζχει παραχκεί για τθ διδαςκαλία των Μακθματικϊν ςε παιδιά τθσ Μουςουλμανικισ μειονότθτασ τθσ Κράκθσ: http://www.museduc.gr/index.php?page=2&sub=124b

Βαςικά κζματα: Γεωμετρικά ςχιματα: Ανάλυςθ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων ςε ςτοιχεία και ιδιότθτεσ (Αϋ και Βϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ ενότθτα αυτι περιλαμβάνει τα βαςικά γεωμετρικά ςχιματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, κανονικά πολφγωνα κ.λπ.) και τισ ιδιότθτζσ τουσ. Θ αναγνϊριςθ αυτϊν των ςχθμάτων και των ιδιοτιτων τουσ αποτελεί αναγκαία προχπόκεςθ για τθν περαιτζρω ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ των μακθτϊν. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Στο Δθμοτικό οι μακθτζσ ζχουν γνωρίςει τα τρίγωνα και τα είδθ τουσ, τα τετράπλευρα (τραπζηια, παραλλθλόγραμμα, ορκογϊνια κ.λπ.) και τα κανονικά πολφγωνα. Στθν Αϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τισ παρακάτω ζννοιεσ: 

Το πολφγωνο και τα ςτοιχεία του. Τα κανονικά πολφγωνα.



Το τρίγωνο και τα ςτοιχεία του



Το άκροιςμα γωνιϊν τριγϊνου



Τα είδθ τριγϊνων ωσ προσ τισ γωνίεσ , ωσ προσ τισ πλευρζσ.



Λδιότθτεσ ιςοςκελϊν και ιςόπλευρων τριγϊνων



Τα τετράπλευρα και τα είδθ τουσ



Λδιότθτεσ των τετραπλεφρων



Ταξινόμθςθ των τετραπλεφρων

Στθν Βϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τθν ζννοια τθσ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ και τθ ςχζςθ τθσ με τθν επίκεντρθ γωνία που βαίνει ςτο ίδιο τόξο Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Ρολλοί από τουσ μακθτζσ αντιλαμβάνονται τα ςχιματα ολιςτικά, δθλαδι δεν μποροφν να αναγνωρίςουν ςχζςεισ ι ιδιότθτεσ, Ζτςι για παράδειγμα μποροφν να αναγνωρίςουν ζνα τετράγωνο ςαν αυτό τθσ εικόνασ 7, αλλά δεν μποροφν να αναγνωρίςουν τθν ιςότθτα των πλευρϊν, τθν παραλλθλία και τισ ορκζσ γωνίεσ για να αναγνωρίςουν ότι και το τετράπλευρο τθσ εικόνασ 8 είναι τετράγωνο.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

Εικόνα 7

183

Εικόνα 8

Λόγω τθσ ολιςτικισ αντίλθψθσ των ςχθμάτων πολλοί μακθτζσ δεν μποροφν να αντιλθφκοφν ςχιματα τα οποία είναι μζςα ςε άλλα ςχιματα. Επίςθσ ενδζχεται να υπάρχουν μακθτζσ οι οποίοι δεν μποροφν να αναγνωρίςουν ςχιματα όταν παρουςιάηονται με μθ πρωτοτυπικζσ αναπαραςτάςεισ. Για παράδειγμα ζνα τρίγωνο ςτο οποίο θ μια πλευρά του είναι πολφ μικρι ςε ςχζςθ με τισ άλλεσ. Σε ςχζςθ με τθν ταξινόμθςθ των ςχθμάτων μπορεί να υπάρχουν μακθτζσ που να ζχουν τθ δυνατότθτα να καταγράψουν ςε λίςτα όλεσ τισ ιδιότθτεσ κάποιων ςχθμάτων π.χ. των τετραγϊνων, των ορκογωνίων, των ρόμβων και των παραλλθλογράμμων αλλά να μθν διακρίνουν ότι αυτζσ είναι υποκατθγορίεσ θ μια τθσ άλλθσ. Δθλαδι ότι όλα τα τετράγωνα είναι ορκογϊνια και ρόμβοι και όλα τα ορκογϊνια και οι ρόμβοι είναι παραλλθλόγραμμα. Επίςθσ όταν ορίηουν ζνα ςχιμα είναι πικανό να καταγράψουν ςε λίςτα όλεσ τισ ιδιότθτεσ των ςχθμάτων που γνωρίηουν π.χ. ιςόπλευρο τρίγωνο είναι αυτό που ζχει ίςεσ πλευρζσ και ίςεσ γωνίεσ. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ χριςθ διαφόρων μζςων - εργαλείων (ςχιματα από χαρτί ι χαρτόνι, διαφανζσ χαρτί, διάφοροι καμβάδεσ, tangram, γεωπίνακασ, τυπικά γεωμετρικά όργανα, προγράμματα δυναμικισ γεωμετρίασ κ.λπ.) μπορεί να βοθκιςει τουσ μακθτζσ να κατανοιςουν γεωμετρικζσ ζννοιεσ, ιδιότθτεσ, να αναγνωρίςουν γεωμετρικζσ ςχζςεισ και να διατυπϊςουν εικαςίεσ ςε διαιςκθτικό επίπεδο. Αυτό κα αποτελζςει τθ βάςθ για τθ μετάβαςθ ςε ζνα ανϊτερο επίπεδο γεωμετρικισ ςκζψθσ. Θ γεωμετρικι ςκζψθ αναπτφςςεται ςταδιακά.. Οι μακθτζσ αρχικά αντιλαμβάνονται ολιςτικά το γεωμετρικό αντικείμενο μζςα από τθ μορφι του ενϊ ςτθ ςυνζχεια αναγνωρίηουν ιδιότθτεσ, κάνουν ςυςχετίςεισ μζςα από τισ ιδιότθτεσ και τζλοσ καταςκευάηουν απλζσ αποδείξεισ. Θ ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ ςκζψθσ απαιτεί κατάλλθλα περιβάλλοντα ςτα οποία οι μακθτζσ παρατθροφν, εικάηουν και επιχειρθματολογοφν. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου. Παραλλαγι τθσ ΓΔ2 (ΠΜΑ: Γ1) Ο διδάςκων δίνει ςτουσ μακθτζσ ζνα φφλλο χαρτί ςτο οποίο υπάρχουν δφο ςτιλεσ. Θ μία ζχει ονομαςία τετράπλευρα και παρουςιάηει παραδείγματα τετραπλεφρων όπωσ κυρτά και μθ κυρτά, ςε μθ πρωτοτυπικζσ κζςεισ και ςχεδιάςεισ κ.λπ. Θ άλλθ ςτιλθ ζχει ονομαςία «όχι τετράπλευρα» και περιλαμβάνει μθ παραδείγματα τετραπλεφρων. Οι μακθτζσ ςυηθτοφν και προςπακοφν να προςδιορίςουν ποια είναι τα κοινά χαρακτθριςτικά

Διεργαςία επικοινωνίασ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

184

ςτθν κατθγορία των τετραπλεφρων και να διατυπϊςουν ζναν οριςμό. Συγκρίνουν τον οριςμό τουσ με τον τυπικό οριςμό και προςδιορίηουν όρουσ του τυπικοφ οριςμοφ με χαρακτθριςτικά που βρικαν. Στο τζλοσ ςυηθτοφν ποια από τα ςχιματα τθσ ςτιλθσ με τα τετράπλευρα τουσ ζκαναν εντφπωςθ ότι ανικαν εκεί. Αϋ Γυμναςίου. ΓΔ6 (ΠΜΑ: Γ4, Γ5) Με αυτι τθ δραςτθριότθτα οι μακθτζσ προςπακοφν να ανακαλφψουν ζνα τφπο υπολογιςμοφ του ακροίςματοσ των γωνιϊν ενόσ οποιουδιποτε πολυγϊνου. Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν ζνα τετράπλευρο και προςπακοφν να βρουν ζνα τρόπο υπολογιςμοφ του ακροίςματοσ των γωνιϊν του. Συηθτοφν για διάφορεσ μεκόδουσ που μπορεί να ςκζφτθκαν και εφαρμόηουν κάποια απ’ αυτζσ. Ρροςπακοφν να επεκτείνουν τθν μζκοδό τουσ ςε πολφγωνα με 5, 6, 7 πλευρζσ και καταγράφουν ςε πίνακα το είδοσ του πολυγϊνου, τον αρικμό τριγϊνων που δθμιοφργθςαν, το άκροιςμα των γωνιϊν του πολυγϊνου κ.λπ. Μζςα απ’ αυτά τα ςτοιχεία προςπακοφν να βρουν τον τφπο που αναηθτοφν. Αϋ Γυμναςίου. Κάρτεσ με ςχιματα (ΠΜΑ: Γ1) Ο διδάςκων μοιράηει ςτουσ μακθτζσ ζνα φφλλο που περιζχει ςχιματα διαφόρων κατθγοριϊν όπωσ αυτό τθσ εικόνασ. Οι μακθτζσ προςπακοφν να τα κατθγοριοποιιςουν με βάςθ διάφορεσ ταξινομιςεισ όπωσ: Κανονικά – όχι κανονικά – τρίγωνα – τετράπλευρα - όχι τετράπλευρα – ςχιματα με ορκι γωνία κ.λπ. και εξθγοφν τουσ λόγουσ για τουσ οποίουσ το εντάςςουν κάπου.

Βϋ Γυμναςίου. ΓΔ2 (ΠΜΑ: Γ3) Με τθν δραςτθριότθτα αυτι οι μακθτζσ διερευνοφν τθν ςχζςθ που

Χριςθ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

ζχουν θ εγγεγραμμζνθ γωνία και θ επίκεντρθ γωνία όταν βαίνουν ςτο ίδιο τόξο.

185

ψθφιακϊν εργαλείων Διεργαςία διερεφνθςθσ

Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία και τα βιβλία κακθγθτι. Για τθν Αϋ Γυμναςίου: κεφάλαια 1, 2, 3. Για τθν Βϋ Γυμναςίου: κεφάλαιο 3 Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Βαςικά κζματα: Γεωμετρικά ςχιματα - Καταςκευζσ και ςχεδιαςμόσ γεωμετρικϊν ςχθμάτων (Αϋ και Βϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Ο ςχεδιαςμόσ και οι καταςκευζσ γεωμετρικϊν ςχθμάτων είναι ζνα από τα ςθμαντικά μζρθ του ΡΣ ςε ςχζςθ με τθν γεωμετρία. Οι καταςκευζσ, ο ςχεδιαςμόσ και οι χαράξεισ των γεωμετρικϊν ςχθμάτων με τθ χριςθ μιασ ποικιλίασ μζςων και μεκόδων (κανόνασ, διαβιτθσ, χάρακασ, μοιρογνωμόνιο, ψθφιακά εργαλεία, διπλϊςεισ χαρτιοφ, διαφανζσ χαρτί, κ.λπ.), βοθκάνε ςθμαντικά τουσ μακθτζσ ςτον εντοπιςμό ςτοιχείων (ςθμείων, τμθμάτων κ.λπ.) και ςτθν αναγνϊριςθ και χριςθ ςχζςεων και ιδιοτιτων που αποτελοφν ζνα μζροσ γνϊςθσ που επιδιϊκουμε να αναπτφξουν οι μακθτζσ ςτο Γυμνάςιο και είναι απαραίτθτεσ για τθν ειςαγωγι τουσ ςτθ Κεωρθτικι Γεωμετρία ςτο Λφκειο. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ςτο Δθμοτικό ζχουν εμπλακεί με τθ ςχεδίαςθ παράλλθλων και κάκετων ευκειϊν, παραλλθλογράμμων, ορκογωνίων, τετραγϊνων, ρόμβων και πολυγϊνων. Στθν Αϋ Γυμναςίου κα γίνουν επιλεγμζνεσ καταςκευζσ με ςτόχο οι μακθτζσ όχι μόνο να αναπτφξουν ευχζρεια ςτθ χριςθ των γεωμετρικϊν οργάνων και λογιςμικϊν Δυναμικισ Γεωμετρίασ, αλλά και να κατανοιςουν τθ ςθμαςία των ςχζςεων και ιδιοτιτων των γεωμετρικϊν ςχθμάτων για τθν καταςκευι τουσ. Για παράδειγμα θ καταςκευι παράλλθλθσ προσ δοκείςα ευκεία από ςθμείο εκτόσ αυτισ με χριςθ κανόνα και γνϊμονα βαςίηεται ςτθν ιδιότθτα ότι δφο ευκείεσ κάκετεσ ςτθν ίδια ευκεία είναι μεταξφ τουσ παράλλθλεσ ι ςτθν ιδιότθτα ότι αν δφο ευκείεσ τεμνόμενεσ από τρίτθ ζχουν τισ εντόσ εκτόσ και επί τα αυτά μζρθ, γωνίεσ ίςεσ κα είναι παράλλθλεσ. Οι κυριότερεσ καταςκευζσ με τισ οποίεσ κα εμπλακοφν οι μακθτζσ ςτθν Αϋ τάξθ είναι: 

Καταςκευι κάκετων και παράλλθλων ευκειϊν.



Καταςκευι μεςοκακζτου, καταςκευι κάκετθσ από ςθμείο προσ ευκεία

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

186



Καταςκευι γωνίασ ίςθσ προσ δεδομζνθ γωνία και με αρχικι πλευρά δοκείςα θμιευκεία



Καταςκευι τθσ διχοτόμου μιασ γωνίασ



Καταςκευι ορκογωνίου τριγϊνου με δεδομζνα τα μικθ των κακζτων πλευρϊν.



Καταςκευι τριγϊνου με δεδομζνα τα μικθ των τριϊν πλευρϊν



Καταςκευι τριγϊνου με δεδομζνα τα μικθ δφο πλευρϊν και το μζτρο τθσ περιεχόμενθσ γωνίασ



Καταςκευι τριγϊνου με δεδομζνα το μικοσ μιασ πλευράσ και τα μζτρα των προςκείμενων γωνιϊν



Καταςκευι του φψουσ ενόσ τριγϊνου



Καταςκευι παραλλθλογράμμου με δεδομζνα τα μικθ δφο διαδοχικϊν πλευρϊν και το μζτρο τθσ περιεχόμενθσ γωνίασ

Αντίςτοιχα ςτθν Βϋ τάξθ οι κυριότερεσ καταςκευζσ είναι: 

Καταςκευι κφκλου που διζρχεται από τρία μθ ςυνευκειακά ςθμεία



Καταςκευι του κοινοφ ςθμείου των 3 μεςοκακζτων, 3 διχοτόμων, 3 υψϊν και 3 διαμζςων τριγϊνου Καταςκευι κανονικϊν πολυγϊνων εγγεγραμμζνων ςε κφκλο



Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ενδζχεται να ςχετίηονται με: 

Τθ χριςθ και τον χειριςμό των οργάνων μζτρθςθσ και ςχεδίαςθσ



Τθ ςυνειδθτοποίθςθ των ςχζςεων και ιδιοτιτων που απαιτοφνται για τθ ςχεδίαςθ ι τθν καταςκευι ενόσ ςχιματοσ



Τθν εξοικείωςθ με τα ψθφιακά εργαλεία, των δυνατοτιτων τουσ και των περιοριςμϊν τουσ, για τθν δθμιουργία καταςκευϊν.

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ τελειϊνοντασ το Γυμνάςιο να είναι εξοικειωμζνοι με τθ χριςθ των τυπικϊν οργάνων ςχεδίαςθσ και χάραξθσ ςχθμάτων, κακϊσ και με βαςικζσ γεωμετρικζσ καταςκευζσ, με διάφορα μζςα και μεκόδουσ. Ο ςχεδιαςμόσ και θ καταςκευι γεωμετρικϊν ςχθμάτων δεν πρζπει να περιοριςτεί μόνο ςτα παραδοςιακά μζςα (κανόνασ, διαβιτθσ, γνϊμονασ, χάρακασ, μοιρογνωμόνιο κ.λπ.) αλλά να γίνεται και με τθ χριςθ άλλων μζςων και μεκόδων όπωσ τα ψθφιακά μζςα (προγράμματα δυναμικισ γεωμετρίασ, χελωνόκοςμοσ), με διαφανζσ χαρτί, με διπλϊςεισ κ.λπ. Το κάκε μζςο μπορεί να αναδείξει διαφορετικζσ πτυχζσ των εμπλεκόμενων εννοιϊν και ζτςι να βοθκιςει τουσ μακθτζσ ςτθν κατανόθςθ αυτϊν των εννοιϊν, ςτθν ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ τουσ ςκζψθσ και του γεωμετρικοφ τουσ ςυλλογιςμοφ. Για παράδειγμα, θ καταςκευι τθσ διχοτόμου μιασ γωνίασ με μοιρογνωμόνιο ςτθρίηεται ςτθν μζτρθςθ και τθν ιςότθτα των γωνιϊν μζςω του μζτρου τουσ, θ καταςκευι με δίπλωςθ διαφανοφσ χαρτιοφ αναδεικνφει τθν ιςότθτα των γωνιϊν μζςω τθσ ταφτιςισ τουσ αλλά και τθν διχοτόμο ωσ άξονα ςυμμετρίασ τθσ γωνίασ, θ καταςκευι με κανόνα και διαβιτθ βαςίηεται ςε γεωμετρικζσ ιδιότθτεσ ι ςχζςεισ (ιςότθτα τριγϊνων κ.λπ.), ενϊ θ καταςκευι τθσ διχοτόμου ςε ζνα πρόγραμμα δυναμικισ γεωμετρίασ, αν και ςχετικά απλοποιθμζνθ, πζρα από τθν ακρίβεια τθσ καταςκευισ, αναδεικνφει το αναλλοίωτο

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

187

τθσ ςχζςθσ τθσ ιςότθτασ των δφο γωνιϊν μζςω του δυναμικοφ χειριςμοφ και τθσ ςυνεχοφσ αλλαγισ των ςχθμάτων και των μετριςεων και βοθκάει τουσ μακθτζσ ςτθν απαλλαγι από πρωτοτυπικζσ εικόνεσ (ςυγκεκριμζνοσ προςανατολιςμόσ των ςχθμάτων). Ωσ προσ το κζμα των καταςκευϊν με προγράμματα Δυναμικισ Γεωμετρίασ (Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad, Geogebra ) ζνασ από τουσ τρόπουσ διδακτικισ διαχείριςθσ, που ενδζχεται να βοθκιςει τουσ μακθτζσ ςτθν ανάπτυξθ τθσ γεωμετρικισ τουσ ςκζψθσ είναι θ απαίτθςθ το γεωμετρικό ςχιμα που κα δθμιουργιςουν να μθν αλλοιϊνεται κατά τθν διαδικαςία ςυρςίματοσ. Δθλαδι αν ςφρουμε με το ποντίκι κάποια κορυφι του πρζπει το ςχιμα να παραμζνει ςτθν κλάςθ ςχθμάτων που ανικει (π.χ. ορκογϊνια), ανεξάρτθτα από τισ αλλαγζσ κζςεων, προςανατολιςμοφ, μεταβολισ των διαςτάςεϊν του κ.λπ. που κα γίνουν λόγω τθσ δυναμικισ μεταβολισ του. Για να ςυμβεί κάτι τζτοιο κα πρζπει οι μακθτζσ να το ζχουν καταςκευάςει χρθςιμοποιϊντασ γεωμετρικζσ ςχζςεισ και ιδιότθτεσ και όχι «ςτο περίπου», μζςω μζτρθςθσ των πλευρϊν και γωνιϊν του. Το ορκογϊνιο τθσ εικόνασ 9 ζχει δθμιουργθκεί χρθςιμοποιϊντασ τισ ενδείξεισ των μετριςεων των γωνιϊν και των τμθμάτων, οπότε αλλοιϊνεται κατά τθ διαδικαςία ςυρςίματοσ κάποιασ κορυφισ του (εικόνα 10). Το ορκογϊνιο τθσ εικόνασ 11 ζχει δθμιουργθκεί με βάςθ γεωμετρικζσ ιδιότθτεσ (κακετότθτα και παραλλθλία ευκειϊν) και μπορεί και μεταβάλλεται δυναμικά παραμζνοντασ ορκογϊνιο (εικόνα 12). Επίςθσ ςθμαντικό είναι οι μακθτζσ να προςπακοφν να περιγράψουν (λεκτικά ι/και γραπτά) τθν διαδικαςία τθσ καταςκευισ που ακολοφκθςαν και να τθν δικαιολογιςουν (γιατί είναι ορκογϊνιο, πζρα από το ότι δεν αλλοιϊνεται κατά τθν διαδικαςία ςυρςίματοσ).

Εικόνα 9

Εικόνα 10

Εικόνα 11

Εικόνα 12

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ:

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

188

Αϋ Γυμναςίου: Καταςκευι περιμζτρου τριγϊνου – Επεκτάςεισ (ΠΜΑ: Γ5, Γ6, Γ7) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ δεν είναι μόνο θ παρουςίαςθ ενόσ τρόπου καταςκευισ τθσ περιμζτρου τριγϊνου και θ κατανόθςθ τθσ, αλλά με αφορμι αυτι τθν καταςκευι θ ανάδειξθ τρόπου καταςκευισ ιςοςκελοφσ και ιςόπλευρου τριγϊνου, θ ςφνδεςθ με γνϊςεισ που ζχουν οι μακθτζσ για τον κφκλο, θ ανάπτυξθ διεργαςιϊν ςυλλογιςμοφ και επιχειρθματολογίασ και θ υπζρβαςθ πρωτοτυπικϊν αναπαραςτάςεων. Οι μακθτζσ δουλεφουν ανά ομάδεσ και χρθςιμοποιοφν το Χριςθ ψθφιακϊν αρχείο: Α Γυμ-Kαταςκευι περιμζτρου- Επεκτάςεισ.ggb, ςτο εργαλείων για διερεφνθςθ και οποίο τουσ παρουςιάηεται μια καταςκευι τθσ περιμζτρου ενόσ τριγϊνου ΑΒΓ (εικόνα 13). Σε πρϊτθ φάςθ ηθτάμε απ’ επίλυςθ προβλθμάτων αυτοφσ να εξθγιςουν γιατί με αυτι τθν καταςκευι το τμιμα Ο διδάςκων κα κρίνει ΔΕ αντιπροςωπεφει τθν περίμετρο του τριγϊνου. Θ αν είναι ςκόπιμο να περιγραφι τθσ διαδικαςίασ καταςκευισ δεν εξθγεί τον τρόπο χρθςιμοποιιςουν τα με τον οποίο ζχουν δθμιουργθκεί οι κφκλοι k1 και k 2 , δθλαδι εργαλεία μζτρθςθσ που πιο είναι το κζντρο και θ ακτίνα τουσ. Αυτό είναι ζνα ςθμείο που κα πρζπει να το ανακαλφψουν οι μακθτζσ και να ερμθνεφςουν τον ρόλο των κφκλων ςτθν όλθ καταςκευι. Το κζντρο και θ ακτίνα των κφκλων μπορεί να μθν είναι εμφανι ςε όλουσ τουσ μακθτζσ ποια είναι, αλλά οι μεταβολζσ των κορυφϊν και θ παρατιρθςθ των αλλαγϊν που πραγματοποιοφνται ςτουσ κφκλουσ ενδζχεται να τουσ βοθκιςει να τα ανακαλφψουν.

Εικόνα 13

διακζτει το περιβάλλον ι όχι.

Εικόνα 14

Σε δεφτερθ φάςθ οι μακθτζσ μετακινοφν τθν κορυφι Α και μεταβάλουν με αυτόν τον τρόπο τον κφκλο k1 , ϊςτε αυτόσ να περάςει από το ςθμείο Γ (εικόνα 14), προςπακοφν να προςδιορίςουν το είδοσ του τρίγωνου ΑΒΓ και αιτιολογοφν τισ απαντιςεισ τουσ. Θ ερϊτθςθ ςχετικά με το είδοσ ςκόπιμα δεν προςδιορίηει το κριτιριο, ϊςτε οι μακθτζσ να αντιλθφκοφν ότι με τα δεδομζνα τθσ κατάςταςθσ, μόνο το κριτιριο των πλευρϊν μπορεί να χρθςιμοποιθκεί, αφοφ το ΑΒΓ μπορεί να γίνει οξυγϊνιο ι ορκογϊνιο ι αμβλυγϊνιο με κατάλλθλθ

Ο διδάςκων εκμεταλλευόμενοσ τισ παρατθριςεισ, αιτιολογιςεισ και ςυμπεραςμάτα των μακθτϊν αναδεικνφει τα μθ πρωτοτυπικά χαρακτθριςτικά

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

μετακίνθςθ του Α. Ρράττουν ομοίωσ και μετακινοφν τθν κορυφι Α ϊςτε ο κφκλοσ k 2 να διζλκει από το ςθμείο Β και βγάηουν τα αντίςτοιχα ςυμπεράςματα. Σε τρίτθ φάςθ οι μακθτζσ προςπακοφν να αξιοποιιςουν τα παραπάνω και να καταςκευάςουν ςε πρόγραμμα δυναμικισ γεωμετρίασ, ιςοςκελζσ τρίγωνο και ιςόπλευρο τρίγωνο, που να «αντζχουν» ςτθν διαδικαςία ςυρςίματοσ, περιγράφοντασ τθ διαδικαςία καταςκευισ και δικαιολογϊντασ τθν.

189

(ςυνικωσ τα ιςοςκελι παρουςιάηονται με τθν βάςθ οριηόντια και με ΑΒ=ΑΓ) Διεργαςίεσ επικοινωνίασ και επιχειρθματολογίασ

Βϋ Γυμναςίου: Καταςκευι κανονικϊν πολυγϊνων (ΠΜΑ: Γ3, Γ4, Γ5) Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ςε χαρτόνι, το κόβουν με ψαλίδι, μαρκάρουν τθ γωνία που είναι απζναντι από τθ βάςθ και το χρθςιμοποιοφν ωσ πατρόν για να ςχεδιάςουν ςτο χαρτί το περίγραμμα του. Με διαδοχικζσ ςτροφζσ με κζντρο τθν κορυφι που είναι απζναντι από τθ βάςθ και με γωνία ςτροφισ τθ γωνία τθσ κορυφισ ςχεδιάηουν διαδοχικά άλλα επτά τρίγωνα (εικόνα 15). Συηθτοφν για το αν το ςχιμα που ζφτιαξαν (για παράδειγμα αυτό τθσ εικόνασ 16) είναι οκτάγωνο και τι κα πρζπει να ςυμβεί για να γίνει οκτάγωνο. Αναμζνεται ότι κα το ςυςχετίςουν με τθν διαίρεςθ τθσ πλιρουσ γωνίασ ςε 8 ίςα μζρθ και τθ δθμιουργία ιςοςκελοφσ τριγϊνου με γωνία κορυφισ 45°. Αφοφ ςχεδιάςουν με τθν προθγοφμενθ διαδικαςία το οκτάγωνο ςυηθτοφν για άλλα Διεργαςίεσ χαρακτθριςτικά του ςχιματοσ όπωσ αν είναι κανονικό και επιχειρθματολογίασ και γιατί, τι ςυμπεραίνουν από το γεγονόσ ότι οι κορυφζσ του αιτιολόγθςθσ ιςαπζχουν από το κζντρο ωσ προσ το οποίο ζγιναν οι ςτροφζσ, αν κα προζκυπτε το ίδιο ςχιμα με άλλον μεταςχθματιςμό ι αν κα μποροφςε να προκφψει κανονικό πολφγωνο αν το αρχικό τρίγωνο δεν ιταν ιςοςκελζσ κ.λπ. Με βάςθ τισ ιδζεσ και τα ςυμπεράςματα που κα προκφψουν από τα προθγοφμενα, οι μακθτζσ προςπακοφν να βρουν ζνα γενικό τρόπο καταςκευισ κανονικϊν πολυγϊνων, εγγεγραμμζνων ςε Διεργαςίεσ κφκλο με χριςθ μόνο κανόνα, διαβιτθ και μοιρογνωμονίου. επικοινωνίασ και Ρεριγράφουν γραπτά τθν διαδικαςία καταςκευισ και αιτιολόγθςθσ αιτιολογοφν γιατί το πολφγωνο που κα προκφψει με αυτι τθν διαδικαςία είναι κανονικό.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

Εικόνα 15

190

Εικόνα 16

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: Αϋ Γυμναςίου: Εφρεςθ του κζντρου κφκλου (ΠΜΑ: Γ6, Γ7) Μετά τθν καταςκευι τθσ μεςοκακζτου ενόσ ευκφγραμμου τμιματοσ οι μακθτζσ προςπακοφν να αξιοποιιςουν τισ γνϊςεισ τουσ ςχετικά με τισ ιδιότθτεσ των ςθμείων τθσ μεςοκακζτου και τον οριςμό του κφκλου για να βρουν το κζντρο ενόσ κφκλου. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία και τα βιβλία κακθγθτι τθσ Αϋ και Βϋ τάξθσ. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί και παράγεται με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Βαςικά κζματα: Προςανατολιςμόσ ςτον χϊρο (Βϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Το διάνυςμα ειςάγεται ωσ ζνα βαςικό γεωμετρικό εργαλείο αναπαράςταςθσ του προςανατολιςμοφ ςτο χϊρο, με κφριο ςτόχο να κατανοθκεί θ ςθμαςία του ςε ςχζςθ με τισ ζννοιεσ του ευκφγραμμου τμιματοσ, τθσ παραλλθλίασ και τθσ μεταφοράσ. Προθγοφμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ςτο Δθμοτικό ζχουν εμπλακεί με ζννοιεσ προςανατολιςμοφ ςτον χϊρο , όπωσ για παράδειγμα χάρτεσ και ςφνκετα ςθμεία του ορίηοντα, γεωγραφικό μικοσ και πλάτοσ κ.λπ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ενδζχεται να ςχετίηονται με τθν διάκριςθ ανάμεςα ςε ευκφγραμμο τμιμα και διάνυςμα, δθλαδι ότι το τελευταίο είναι ζνα προςανατολιςμζνο ευκφγραμμο τμιμα και δεν είναι μόνο το μικοσ του

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

191

που το κακορίηει , αλλά ταυτόχρονα θ διεφκυνςθ και θ φορά. Επίςθσ μπορεί να ζχουν δυςκολίεσ ςτθ διάκριςθ ανάμεςα ςτθ διεφκυνςθ και τθ κατεφκυνςθ (διεφκυνςθ και φορά μαηί) λόγω του τρόπου χριςθσ των δφο εννοιϊν ςτθν κακθμερινι ηωι και ςτα μακθματικά. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να κατανοιςουν τα χαρακτθριςτικά του διανφςματοσ και πϊσ αυτά το διαφοροποιοφν από το ευκφγραμμο τμιμα. Αυτό μπορεί να γίνει με δραςτθριότθτεσ που το ςυςχετίηουν με τον προςανατολιςμό ςτο χϊρο κακϊσ και με αναφορζσ ςε κακθμερινζσ καταςτάςεισ που να είναι γνϊριμεσ ςτουσ μακθτζσ, όπωσ για παράδειγμα οι αναφορζσ ςτον τρόπο πνοισ των ανζμων ςτα μετεωρολογικά δελτία. Επίςθσ χρειάηεται να γίνει θ διάκριςθ ανάμεςα ςτισ μακθματικζσ ζννοιεσ τθσ διεφκυνςθσ και τθσ κατεφκυνςθσ ςε ςχζςθ με τθν κακθμερινι τουσ χριςθ, αφοφ ςτθν κακθμερινι ηωι αναφερόμαςτε ςε διεφκυνςθ ι κατεφκυνςθ, χωρίσ διάκριςθ και λόγω των ςυμφραηομζνων υπάρχει και θ ζννοια τθσ φοράσ. Στισ διαφορζσ ανάμεςα ςε ζνα ευκφγραμμο τμιμα και ζνα διάνυςμα, να επιςθμανκεί ότι ενϊ ςτα ευκφγραμμα τμιματα θ ιςότθτα μθκϊν ςθμαίνει ιςότθτα ευκυγράμμων τμθμάτων ςτα διανφςματα θ ιςότθτα μζτρων δεν ςθμαίνει απαραίτθτα και ιςότθτα διανυςμάτων είτε λόγω διαφορετικισ διεφκυνςθσ ι διαφορετικισ φοράσ. Τα παραδείγματα ςχετικά με ίςα, αντίκετα και διαφορετικά διανφςματα μποροφν να μθν περιοριςτοφν ςτο επίπεδο αλλά και ςτο χϊρο, ςε γεωμετρικά ςτερεά που να είναι γνϊριμα ςτουσ μακθτζσ όπωσ ο κφβοσ και το παραλλθλεπίπεδο. Επίςθσ, το διάνυςμα πρζπει να ςυνδεκεί με φυςικά μεγζκθ (δφναμθ, ταχφτθτα) μζςα από κατάλλθλα παραδείγματα. Ρρζπει να ςθμειωκεί ότι με βάςθ το ΡΣ δεν γίνεται επζκταςθ ςτισ πράξεισ των διανυςμάτων, αλλά το διάνυςμα ςυνδζεται με τθν ζννοια τθσ μετατόπιςθσ ενόσ ευκφγραμμου ςχιματοσ ςτθ τροχιά των μεταςχθματιςμϊν. Επίςθσ το διάνυςμα πρζπει να ςυνδεκεί με φυςικά μεγζκθ (δφναμθ, ταχφτθτα κ.λπ.) μζςα από κατάλλθλα παραδείγματα. Ενδεικτικι δραςτθριότθτα: Βϋ Γυμναςίου: ΢υμπλθρωματικι τθσ ΓΔ1 του Π΢ (ΠΜΑ: Γ1, Γ2) Φάςθ 1θ :Δίνεται ςτουσ μακθτζσ ο χάρτθσ τθσ εικόνασ 1 και τουσ παρουςιάηεται θ παρακάτω δραςτθριότθτα: Ζνα αερόςτατο πετάει ςε μία περιοχι τθσ οποίασ ο χάρτθσ είναι αυτόσ τθσ εικόνασ 17. Το αερόςτατο ανεβαίνει ςε φψοσ και κάποιεσ ςτιγμζσ ςυναντάει διαφορετικοφσ ανζμουσ που του αλλάηουν τθν πορεία. α) Αν ξζρετε ότι ο αερόςτατο ξεκίνθςε από τθν κζςθ Α και ταξίδευςε απόςταςθ 50 km μπορείτε να βρείτε το ςθμείο ςτο οποίο ζφταςε; Εξθγιςτε τον τρόπο που ςκεφτικατε. Ραρακάτω δίνονται οι περιγραφζσ τθσ υπόλοιπθσ διαδρομισ που ακολοφκθςε το αερόςτατο. β) Διζνυςε 20 km με κατεφκυνςθ νοτιοδυτικι. γ) Στθ ςυνζχεια διζνυςε απόςταςθ 30km με κατεφκυνςθ

Συνοδευτικό αρχείο εργαςίασ: Βϋ Γυμναςίου - Ρροςανατολιςμόσ ςτον χϊρο - Ρτιςθ με αερόςτατο.doc Το ερϊτθμα (α) ζχει ωσ ςκοπό να αναδείξει ότι δεν είναι δυνατόν ο προςδιοριςμόσ τθσ κζςθσ του αερόςτατου χωρίσ τθ γνϊςθ τθσ κατεφκυνςθσ. Μετά τθ ςυηιτθςθ των επιχειρθμάτων των μακθτϊν ο διδάςκων τουσ δίνει κάποια κατεφκυνςθ π.χ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

νοτιοανατολικι. δ) Ακολοφκωσ διζνυςε απόςταςθ 40 km με κατεφκυνςθ βορειοανατολικι. ε) Στο τελευταίο μζροσ τθσ διαδρομισ του ταξίδευςε 40 km με κατεφκυνςθ νοτιοανατολικι και προςγειϊκθκε. Να ςχεδιάςετε ςτον χάρτθ τθν διαδρομι του αερόςτατου με κατάλλθλο τρόπο, ϊςτε κάποιοσ που κα τον κοιτάξει να καταλάβει τισ πορείεσ που ακολοφκθςε αυτό.

192

δυτικι. Τα ερωτιματα (β) και (δ) μποροφν να δϊςουν αφορμι για ςυηιτθςθ τθσ ζννοιασ τθσ διεφκυνςθσ και τθν διαφορά τθσ από τθν κατεφκυνςθ. Ο τετραγωνιςμζνοσ καμβάσ κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ να προςδιορίςουν και να ςχεδιάςουν πλάγιεσ διευκφνςεισ και ςωςτζσ αποςτάςεισ με βάςθ τθν κλίμακα του χάρτθ και με τθν χριςθ του διαβιτθ. .

Εικόνα 17

Φάςθ 2θ : Αξιοποιείται από τον διδάςκοντα θ δραςτθριότθτα ΓΔ1 που αναφζρεται ςτο πρόγραμμα ςπουδϊν. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ το ςχολικό βιβλίο Μακθματικά Βϋ Γυμναςίου, Ρ. Βλάμοσ κ.ά., Γεωμετρία, Κεφ. 2ο (μόνο θ παράγραφοσ 2.5), βιβλίο κακθγθτι Μακθματικά Βϋ Γυμναςίου. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Βαςικά κζματα: Μεταςχθματιςμοί (Βϋ και Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Με τουσ μεταςχθματιςμοφσ βαςικζσ ζννοιεσ τθσ γεωμετρίασ όπωσ θ ιςότθτα και θ ομοιότθτα των γεωμετρικϊν ςχθμάτων, εντάςςονται ςε ζνα ευρφτερο εννοιολογικό πλαίςιο. Οι ιςομετρίεσ (μεταφορά, ςτροφι, ανάκλαςθ) και θ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

193

ομοιοκεςία δείχνουν ότι θ ιςότθτα και θ ομοιότθτα υπακοφουν ςε ςυγκεκριμζνεσ ιδιότθτεσ των μεταςχθματιςμϊν (διατιρθςθ γωνιϊν και αποςτάςεων, διατιρθςθ γωνιϊν και λόγων αποςτάςεων αντίςτοιχα) και δεν εξαρτϊνται από τθν κζςθ ι τον προςανατολιςμό των ςχθμάτων. Αυτό που επιδιϊκεται είναι να αποκτιςουν οι μακθτζσ, μζςω των μεταςχθματιςμϊν, μια ευελιξία ςτον τρόπο τθσ γεωμετρικισ τουσ ςκζψθσ και να τουσ χρθςιμοποιοφν ωσ εργαλείο για τθν μελζτθ και αιτιολόγθςθ ιδιοτιτων των γεωμετρικϊν ςχθμάτων. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Οι μακθτζσ ζχουν κακθμερινζσ άτυπεσ εμπειρίεσ ςε ςχζςθ με τθν ανάκλαςθ (είδωλα ςτον κακρζφτθ, ςυμμετρικζσ ωσ προσ άξονα εικόνεσ), τθ μεταφορά (επαναλαμβανόμενα διακοςμθτικά - γεωμετρικά μοτίβα), τθ ςτροφι (καλειδοςκόπια, ηάντεσ αυτοκινιτων) και τθν ομοιοκεςία (μεγεκφνςεισ – ςμικρφνςεισ ςχθμάτων και φωτογραφιϊν) και ςτο Δθμοτικό ζχουν γνωρίςει πτυχζσ από τα διάφορα είδθ μεταςχθματιςμϊν7. Στθν Βϋ Γυμναςίου κα εμπλακοφν με τθ μεταφορά ςχθμάτων, τθ ςτροφι τουσ ωσ προσ ςθμείο υπό ςυγκεκριμζνθ γωνία (και ωσ ειδικι περίπτωςθ τθν κεντρικι ςυμμετρία) και τθν ανάκλαςθ τουσ ωσ προσ ευκεία, (αξονικι ςυμμετρία). Μζςω των ςυμμετριϊν (αξονικισ και κεντρικισ) κα μελετιςουν και κα αιτιολογιςουν ιδιότθτεσ των ςχθμάτων. Στθν Γϋ τάξθ οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τθν ομοιοκεςία και κα τθν ςυνδζςουν με τθν ομοιότθτα των ςχθμάτων. Κα εξετάςουν χαρακτθριςτικά του ςυνόλου των μεταςχθματιςμϊν κακϊσ και ςυνκζςεισ μεταςχθματιςμϊν και κα εμπλακοφν με τα κριτιρια ιςότθτασ και ομοιότθτασ τριγϊνων. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: 

Θ αναγνϊριςθ των ςυμμετρικϊν ςχθμάτων ωσ προσ άξονα ι ςχθμάτων με άξονα ςυμμετρίασ είναι απλι για τουσ μακθτζσ, όταν ο άξονασ ςυμμετρίασ ζχει κατακόρυφο ι οριηόντιο προςανατολιςμό αλλά δυςκολεφει όταν ο άξονασ είναι πλάγιοσ ι οι πλευρζσ του ςχιματοσ δεν είναι παράλλθλεσ προσ τον άξονα.



Ωσ προσ τθν καταςκευι του ςυμμετρικοφ ωσ προσ άξονα ςχιματοσ, ςυνικωσ κάνουν μεταφορά αντί για ανάκλαςθ.



Οι μακθτζσ είναι πικανό να μθν ζχουν αςκθκεί ςε νοεροφσ μεταςχθματιςμοφσ οι οποίοι είναι απαραίτθτοι ςτθ ςτροφι ςχιματοσ ι ςτθν κεντρικι ςυμμετρία και για αυτό το λόγο ζνα μζροσ των δραςτθριοτιτων πρζπει να περιλαμβάνει πρακτικζσ περιςτροφζσ, δθλαδι περιςτροφζσ ςχθμάτων από χαρτόνι ι περιςτροφι ςχεδίου ςε διαφανζσ χαρτί πάνω από το πρωτότυπο κ.λπ.



Στον μεταςχθματιςμό τθσ ςτροφισ ωσ προσ κζντρο και υπό ςυγκεκριμζνθ γωνία, διαφορετικι των 180°, οι μακθτζσ ενδζχεται να δυςκολεφονται με τα χαρακτθριςτικά του μεταςχθματιςμοφ όπωσ: θ φορά (που κατά ςφμβαςθ είναι θ αριςτερόςτροφθ) ι θ 1-1 αντιςτοιχία των ςθμείων του ςχιματοσ και τθσ εικόνασ του.

Ο διδϊςκων πρϋπει να λϊβει υπ’ όψη ότι η ςτροφό ςχόματοσ , όπωσ και η μεταφορϊ ςχόματοσ ειςϊγονται με το τωρινό πρόγραμμα ςπουδών και δεν υπόρχαν ςτα παλιότερα προγρϊμματα. 7

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

194

Προτάςεισ για τθν διδακτικι διαχείριςθ: Θ ειςαγωγι ςτον μεταςχθματιςμό τθσ μεταφοράσ μπορεί να γίνει με αναφορά ςε οικίεσ γεωμετρικζσ καταςτάςεισ, ςτισ οποίεσ ζχει χρθςιμοποιθκεί ζμμεςα θ κίνθςθ των ςχθμάτων, όπωσ είναι θ γνωςτι καταςκευι τθσ παράλλθλθσ προσ δοκείςα ευκεία με τθν μετατόπιςθ του γνϊμονα. Ο μεταςχθματιςμόσ τθσ μεταφοράσ ςυνδζεται με τθν ζννοια του διανφςματοσ, που κα ζχει αναπτυχκεί ςε προθγοφμενθ ενότθτα. Κατά τθν μεταφορά ενόσ uur ςχιματοσ κατά διάνυςμα EZ , κάκε ςθμείο του ςχιματοσ μετατοπίηεται κατ’ αυτό το διάνυςμα και ζτςι δθμιουργείται ςχιμα ίςο με το αρχικό και με τον ίδιο προςανατολιςμό. Θ μεταφορά ευκείασ είναι ευκεία παράλλθλθ προσ τθν αρχικι και θ μεταφορά γωνίασ είναι γωνία ίςθ προσ τθν αρχικι τθσ οποίασ οι πλευρζσ είναι παράλλθλεσ προσ τισ πλευρζσ τθσ αρχικισ. Θ ςτροφι (ι περιςτροφι) ενόσ ςχιματοσ ωσ προσ κάποιο ςθμείο, με γωνία φ, κακορίηεται από το ςθμείο ωσ προσ το οποίο γίνεται θ περιςτροφι (κζντρο ςτροφισ ι περιςτροφισ) και από τθ γωνία ςτροφισ, τθσ οποίασ τθν φορά τθν κεωροφμε ςυμβατικά αντίςτροφθ τθσ φοράσ κίνθςθσ των δεικτϊν του ρολογιοφ.

Εικόνα 18

Εικόνα 19

Στθν εικόνα 18, παρουςιάηεται το ςχιμα ΑϋΒϋΓϋΔϋ που είναι θ ςτροφι του ςχιματοσ ΑΒΓΔ ωσ προσ το ςθμείο Σ, με γωνία 90°. Τα ομόλογα (ι αντίςτοιχα) ςθμεία Α και Αϋ ιςαπζχουν από το Σ, ομοίωσ τα Β και Βϋ κ.λπ. Οι γωνίεσ ΑΣΑϋ, ΒΣΒϋ κ.λπ. είναι ίςεσ με 90°. Τα ομόλογα ςθμεία Α και Αϋ είναι τα άκρα τόξου κζντρου Σ, ακτίνασ ΣΑ και μζτρου ίςου με το μζτρο τθσ γωνίασ ςτροφισ (εικόνα 19). Θ περιςτροφι ςχιματοσ κατά 180° ωσ προσ κάποιο ςθμείο είναι ειδικι περίπτωςθ του μεταςχθματιςμοφ τθσ ςτροφισ και ςχετίηεται με τθν κεντρικι ςυμμετρία. Δραςτθριότθτεσ αναγνϊριςθσ και επιβεβαίωςθσ του μεταςχθματιςμοφ που ζχει γίνει ςε ζνα ςχιμα διευκολφνουν τθν ανάδειξθ ιδιοτιτων, όπωσ ιςότθτεσ και αναλογίεσ. Οι ςυγκρίςεισ βοθκοφν του μακθτζσ να εντοπίςουν μόνοι τουσ αυτζσ τισ ιδιότθτεσ. Οι καταςκευζσ ςχθμάτων ςυμμετρικϊν ωσ προσ κζντρο με ςτροφι 180° είναι πιο απλζσ αν οι μακθτζσ ζχουν εξοικειωκεί να περιςτρζφουν τα ςχιματα. Θ αναγνϊριςθ ιδιοτιτων που ζχουν τα ςχιματα λόγω κεντρικισ ςυμμετρίασ (π.χ. παραλλθλόγραμμα) βοθκείται ςθμαντικά από τθν αντιγραφι του ςχιματοσ ςε διαφανζσ χαρτί και τθν περιςτροφι του πάνω από το πρωτότυπο ωσ προσ το κζντρο ςυμμετρίασ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

195

Θ ευκολία με τθν οποία αντιλαμβάνονται οι μακθτζσ τα ςυμμετρικά, ωσ προσ άξονα, ςχιματα δεν οδθγεί με τθν ίδια ευκολία ςτθν καταςκευι τουσ. Το τετραγωνιςμζνο χαρτί διευκολφνει τισ μετριςεισ και τισ καταςκευζσ. Επίςθσ οι καταςκευζσ ςυμμετρικϊν ςχθμάτων ωσ προσ άξονα ςε διαφανζσ χαρτί και ο ζλεγχοσ με δίπλωςθ επιτρζπουν ςτουσ μακθτζσ να διαπιςτϊςουν και να διορκϊςουν τισ ελλείψεισ τουσ αλλά και να αναγνωρίςουν ιςότθτεσ τμθμάτων και γωνιϊν. Οι καταςκευζσ ομοιόκετων ςχθμάτων προτείνεται να γίνουν αρχικά με τθν χριςθ τετραγωνιςμζνου χαρτιοφ που κα επιτρζψει ςτουσ μακθτζσ να «δουν» ςχζςεισ και ιδιότθτεσ όπωσ για παράδειγμα τθ ςχζςθ των περιμζτρων ι τθ ςχζςθ των εμβαδϊν δφο ομοιόκετων ςχθμάτων. Το κεϊρθμα του Καλι δεν αποτελεί μζροσ του ΡΣ, αλλά ο διδάςκων μπορεί να το διδάξει ωσ εφαρμογι των ομοίων τριγϊνων (βλ. ςχετικά ΓΔ4 του ΡΣ). Γενικά για τθν μελζτθ των μεταςχθματιςμϊν ενδείκνυται θ χριςθ λογιςμικοφ δυναμικισ γεωμετρίασ, γιατί οι μακθτζσ μποροφν να πειραματιςτοφν, να διερευνιςουν, να παρατθριςουν και να προβοφν ςε εικαςίεσ ςχετικά με ιδιότθτεσ και χαρακτθριςτικά των μεταςχθματιςμϊν. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Βϋ Γυμναςίου: Μεταςχθματιςμόσ μεταφοράσ (ΠΜΑ: Γ2, Γ5, Γ6) Οι μακθτζσ αναγνωρίηουν και αιτιολογοφν ποιο από τα τετράπλευρα τθσ εικόνασ 21, είναι θ μετατόπιςθ του uur τετραπλεφρου ΑΒΓΔ κατά το διάνυςμα EZ . Επίςθσ εξετάηουν και αιτιολογοφν ποιά από τα υπόλοιπα τετράπλευρα μπορεί να προκφψουν από τθ μεταφορά του ΑΒΓΔ. Ακόμα οι μακθτζσ καταςκευάηουν ςε τετραγωνιςμζνο χαρτί τθν εικόνα ΑϋΒϋΓϋ ενόσ τριγϊνου ΑΒΓ (εικόνα 22) , ςφμφωνα με τον uuur μεταςχθματιςμό τθσ μεταφοράσ του κατά το διάνυςμα D E . Εξθγοφν τθν μζκοδο που ακολοφκθςαν. Συηθτοφν και αιτιολογοφν, ποιο πρζπει να είναι το διάνυςμα μεταφοράσ ϊςτε το τρίγωνο ΑϋΒϋΓϋ να ςυμπζςει με το τρίγωνο ΑΒΓ.

Συνοδευτικό αρχείο εργαςίασ: Βϋ Γυμν Μεταςχθματιςμόσ μεταφοράσ (ΡΜΑ Γ2, Γ5, Γ6).doc Ο διδάςκων ηθτάει να προςδιορίςουν το διάνυςμα μεταφοράσ, τα αντίςτοιχα τμιματα και τισ αντίςτοιχεσ γωνίεσ και να περιγράψουν τισ μεταξφ τουσ ςχζςεισ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

196

Εικόνα 81

Εικόνα 20

Βϋ Γυμναςίου: Εφρεςθ του κζντρου και τθσ γωνίασ ςτροφισ (ΠΜΑ: Γ4, Γ5) Οι μακθτζσ προςπακοφν να προςδιορίςουν ωσ προσ ποιο από τα ςθμεία Δ, Ε, Η και Θ πρζπει να περιςτραφεί το τρίγωνο ΑΒΓ ϊςτε να προκφψει το τρίγωνο ΑϋΒϋΓϋ (εικόνα 22). Συηθτοφν και προτείνουν τρόπουσ με τουσ οποίουσ μποροφν να αποκλείςουν κάποια από τα ςθμεία ωσ δυνατά κζντρα Διεργαςία επικοινωνίασ περιςτροφισ. Για παράδειγμα, με εκτίμθςθ των αποςτάςεων Διεργαςία που ζχουν αυτά τα ςθμεία από αντίςτοιχα ςθμεία των δφο μεταγνωςτικισ τριγϊνων ι με μζτρθςθ αυτϊν των αποςτάςεων, ςφγκριςθ με ενθμερότθτασ το διαβιτθ κ.λπ. εικάηουν για το ςθμείο περιςτροφισ και εφαρμόηουν διάφορεσ μεκόδουσ για να επιβεβαιϊςουν τθν εικαςία τουσ. Με βάςθ το γεγονόσ ότι το ςθμείο περιςτροφισ πρζπει να ιςαπζχει από τα αντίςτοιχα ςθμεία, ςυηθτοφν και προτείνουν μεκόδουσ γεωμετρικοφ προςδιοριςμοφ του κζντρου περιςτροφισ τισ οποίεσ και εφαρμόηουν. Ζπειτα ςυηθτοφν για μζκοδο προςδιοριςμοφ τθσ γωνίασ ςτροφισ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

197

Εικόνα 22

Βϋ Γυμναςίου: Παραλλαγι τθσ ΓΔ5 του Π΢ (ΠΜΑ: Γ4, Γ7, Γ8) Ο διδάςκων δίνει ςτουσ μακθτζσ διαφανζσ χαρτί, πάνω ςτο οποίο υπάρχουν ςχεδιαςμζνα δφο ςυμμετρικά, ωσ προσ άξονα, τρίγωνα, χωρίσ όμωσ να είναι ςχεδιαςμζνοσ ο άξονασ ςυμμετρίασ. Οι μακθτζσ προςπακοφν με δίπλωςθ του χαρτιοφ να προςδιορίςουν τον άξονα ςυμμετρίασ τον οποίο και ςχεδιάηουν με βάςθ τθν γραμμι τςάκιςθσ που κα ζχουν κάνει ςτο χαρτί. Με προτροπι του διδάςκοντα ςχεδιάηουν τα τμιματα που ζχουν ωσ άκρα αντίςτοιχεσ κορυφζσ των τριγϊνων και εξετάηουν τθν ςχζςθ που ζχει ο άξονασ με αυτά τα τμιματα. Διαπιςτϊνουν και δικαιολογοφν, μζςω τθσ δίπλωςθσ του χαρτιοφ ωσ προσ τον άξονα ςυμμετρίασ, ότι αυτόσ είναι θ κοινι μεςοκάκετοσ των τμθμάτων. Συηθτοφν ςε πόςα τμιματα, που ενϊνουν αντίςτοιχα ςθμεία, πρζπει να χαράξουν τθν μεςοκάκετο για τον προςδιοριςμό του άξονα ςυμμετρίασ. Ρροτείνουν τρόπο καταςκευισ του άξονα ςυμμετρίασ με κανόνα και διαβιτθ τον οποίο και εφαρμόηουν.

Διεργαςία αιτιολόγθςθσ

Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ

Βϋ Γυμναςίου: Αναγνϊριςθ ςυμμετρικϊν ςχθμάτων ωσ προσ άξονα – Καταςκευι άξονα ςυμμετρίασ (ΠΜΑ: Γ4, Γ7, Γ8) Συνοδευτικό αρχείο Οι μακθτζσ προςπακοφν να προςδιορίςουν ποια από τα εργαςίασ: Βϋ Γυμ παρακάτω ςχιματα είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τον άξονα που Αναγνϊριςθ είναι ςχεδιαςμζνοσ και να δικαιολογιςουν τθν απάντθςι ςυμμετρικϊν ςχθμάτων τουσ. Εξθγοφν τον τρόπο που ςκζφτθκαν και τισ ςτρατθγικζσ ωσ προσ άξονα – που ακολοφκθςαν. Για παράδειγμα, μπορεί να απζκλειςαν Καταςκευι άξονα ςυμμετρίασ (ΡΜΑ Γ4, κάποιεσ περιπτϊςεισ και εξθγοφν τα κριτιρια αποκλειςμοφ. Γ7, Γ8).doc Στθ ςυνζχεια ο διδάςκων προτείνει να εξετάςουν μιπωσ υπάρχει κάποια περίπτωςθ που να μποροφν τα ςχιματα να

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

198

γίνουν ςυμμετρικά ωσ προσ άξονα, αλλά ο άξονασ δεν είναι ςωςτά ςχεδιαςμζνοσ και τουσ προτρζπει να ςχεδιάςουν τον ςωςτό άξονα. Ο αποκλειςμόσ των περιπτϊςεων που δε μποροφν να ζχουν ςχζςθ με το μεταςχθματιςμό τθσ ανάκλαςθσ, κα επιτρζψει ςτουσ μακθτζσ να επικεντρωκοφν ςτθν περίπτωςθ (δ)

Βϋ Γυμναςίου: Ποιοσ είναι ο μεταςχθματιςμόσ; (ΠΜΑ: Γ5, Γ6, Γ7) Ο διδάςκων προτείνει ζνα ςχιμα από τα παρακάτω που κα είναι το αρχικό και ζνα που κα είναι θ εικόνα του και οι μακθτζσ προςπακοφν να βρουν τον μεταςχθματιςμό (ι τουσ διαδοχικοφσ μεταςχθματιςμοφσ) που κα δθμιουργιςει το επικυμθτό αποτζλεςμα, κακϊσ και τα χαρακτθριςτικά του, όπωσ για παράδειγμα το κζντρο και τθ γωνία ςτροφισ αν ο μεταςχθματιςμόσ είναι ςτροφι.

Βϋ Γυμναςίου: ΓΔ4 (ΠΜΑ: Γ5, Γ6, Γ8) Οι μακθτζσ διερευνοφν και προςπακοφν να ανακαλφψουν τθν ςχζςθ που ζχει ζνα ςθμείο (τελικό) ωσ προσ ζνα άλλο ςθμείο (αρχικό). Το αρχικό ςθμείο ζχει υποςτεί ζναν μεταςχθματιςμό (ανάκλαςθ ωσ προσ ευκεία ι μετατόπιςθ κατά ζνα διάνυςμα ι ςτροφι ωσ προσ ςθμείο) και οι μακθτζσ μποροφν να κινοφν

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

το αρχικό ςθμείο και να παρατθροφν τθν μεταβολι των κζςεων του τελικοφ. Με βάςθ τισ γνϊςεισ που ζχουν για τισ ιδιότθτεσ των μεταςχθματιςμϊν, οι μακθτζσ προςπακοφν να προςδιορίςουν το είδοσ τουσ και τα χαρακτθριςτικά τουσ, όπωσ για παράδειγμα αν είναι ανάκλαςθ και ποιοσ είναι ο άξονασ ανάκλαςθσ. Για να βοθκθκοφν οι μακθτζσ ςτθν ανακάλυψθ του είδουσ του μεταςχθματιςμοφ, ο διδάςκων προτείνει να εμφανίηονται τα ίχνθ των τροχιϊν που διαγράφουν τα δφο ςθμεία κακϊσ αυτοί ςζρνουν ςε διάφορεσ κζςεισ το αρχικό ςθμείο. Αυτό επιτυγχάνεται αν οι μακθτζσ κάνουν δεξί κλικ ςε κάκε ςθμείο και επιλζξουν Κχνοσ ενεργό από το μενοφ που κα εμφανιςκεί (εικόνα 23). Θ διαδικαςία πρζπει να επαναλθφκεί για το τελικό ςθμείο ςε κάκε νζα διερεφνθςθ. Τα προθγοφμενα ίχνθ ςβινουν αν οι μακθτζσ επιλζξουν Ανανζωςθ από το μενοφ Προβολι (εικόνα 24). Ζνασ άλλοσ ςτόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να διερευνιςουν οι μακθτζσ τθ ςχζςθ που ζχουν οι ςυντεταγμζνεσ του αρχικοφ και του τελικοφ ςθμείου, αφότου ζχουν βρει το είδοσ του μεταςχθματιςμοφ και να γενικεφςουν. Ο διδάςκων κα κρίνει αν κα οδθγιςει τουσ μακθτζσ προσ τον προθγοφμενο ςτόχο και αν όλεσ οι διερευνιςεισ τθσ δραςτθριότθτασ κα γίνουν. Στο τζλοσ τθσ δραςτθριότθτασ οι μακθτζσ ςυηθτοφν και εξθγοφν τουσ τρόπουσ και τισ ςτρατθγικζσ που ακολοφκθςαν. Στθν διάρκεια τθσ ςυηιτθςθσ με όλθ τθν τάξθ επιβεβαιϊνουν ι απορρίπτουν τα είδθ και τα χαρακτθριςτικά των μεταςχθματιςμϊν που βρικαν επιχειρθματολογϊντασ ςχετικά.

Εικόνα 23 Εικόνα 24

199

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

200

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: Βϋ Γυμναςίου 1. Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν το ςχιμα που προκφπτει από τθ ςτροφι ενόσ τριγϊνου ΑΒΓ κατά 90° ωσ προσ το ςθμείο Β και εξθγοφν τθ μζκοδο που ακολοφκθςαν. 2. Ο διδάςκων δίνει ςτουσ μακθτζσ διάφορα είδθ πολυγϊνων (κυρτά, μθ κυρτά, κανονικά και μθ, τραπζηια, διάφορα είδθ παραλλθλογράμμων κ.λπ.). Οι μακθτζσ τα κατατάςςουν ωσ προσ τον αρικμό αξόνων ςυμμετρίασ και με βάςθ κριτιρια όπωσ: «το πολφ ζνασ άξονασ …», «τουλάχιςτον ζνασ…», «μόνον ζνασ…», «άρτιο και μθ μθδενικό πλικοσ αξόνων…», «περιττό πλικοσ ..» κ.λπ. 3. Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν πολφγωνα με βάςθ τα παρακάτω κριτιρια. Αν δεν είναι δυνατόν να υπάρχει τζτοιο πολφγωνο, εξθγοφν γιατί ςυμβαίνει αυτό. α) Τρίγωνο με ζνα μόνον άξονα ςυμμετρίασ β) Τρίγωνο με δφο μόνον άξονεσ ςυμμετρίασ γ) Τετράπλευρο με ζνα μόνον άξονα ςυμμετρίασ και το οποίο δεν ζχει κάποιο ηευγάρι απζναντι πλευρϊν παράλλθλεσ δ) Τετράπλευρο με δφο μόνον άξονεσ ςυμμετρίασ ε) Τετράπλευρο με τρεισ τουλάχιςτον άξονεσ ςυμμετρίασ ςτ) Κυρτό πεντάγωνο με ζνα μόνον άξονα ςυμμετρίασ η) Μθ κυρτό πεντάγωνο με ίςεσ πλευρζσ και ζνα μόνον άξονα ςυμμετρίασ 4. Τα

δφο

παρακάτω

ςχιματα

είναι

ςυμμετρικά

ωσ

προσ

άξονα.

Εξθγιςτε πϊσ κα ςχεδιάηατε τον άξονα ςυμμετρίασ με χριςθ μόνο του κανόνα. Δικαιολογιςτε γιατί ο τρόποσ που κα προτείνετε κα δϊςει το επικυμθτό αποτζλεςμα. Γϋ Γυμναςίου Οι μακθτζσ αναλφουν και δικαιολογοφν, με βάςθ τα κριτιρια ιςότθτασ τριγϊνων, γνωςτζσ καταςκευζσ από προθγοφμενεσ τάξεισ, όπωσ για παράδειγμα τθν καταςκευι διχοτόμου γωνίασ ι τθν καταςκευι γωνίασ ίςθσ με μία δοκείςα. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία και τα βιβλία κακθγθτι. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο:

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

201



Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Βαςικά κζματα: Μζτρθςθ μικουσ, μζτρθςθ γωνίασ (Αϋ και Βϋ Γυμναςίου), μζτρθςθ επιφάνειασ (Βϋ και Γϋ Γυμναςίου), μζτρθςθ χωρθτικότθτασ – όγκου (ΓϋΓυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ μζτρθςθ γενικά, είναι μία από τισ διαδικαςίεσ που ζχουν μεγάλθ πρακτικι εφαρμογι ςε κακθμερινζσ καταςτάςεισ ενϊ ταυτόχρονα παρζχει ευκαιρίεσ για τθν εκμάκθςθ και τθν εφαρμογι άλλων μακθματικϊν γνϊςεων. Θ μζτρθςθ είναι δυνατόν να ςυμβάλει εκτόσ από τθν μελζτθ τθσ γεωμετρίασ, με τθν οποία ςυνδζεται ςτενά, ςτθ μελζτθ των αρικμϊν, των ςυναρτιςεων, τθσ ςτατιςτικισ και των πικανοτιτων. Στο Γυμνάςιο, θ μζτρθςθ δεν περιορίηεται ςτθν εξάςκθςθ χριςθσ των οργάνων και μονάδων μζτρθςθσ, αλλά ςυνδζεται με τθν προςπάκεια για μια περιςςότερο κεωρθτικι ανάπτυξθ τθσ Γεωμετρίασ. Οι ςυγκρίςεισ και οι υπολογιςμοί μθκϊν και γωνιϊν βαςίηονται κυρίωσ ςτθν χριςθ ιδιοτιτων και ςχζςεων. Θ μζτρθςθ επιφάνειασ ςυνδζεται με τουσ μεταςχθματιςμοφσ που διατθροφν αναλλοίωτθ τθν επιφάνεια και τθν αιτιολόγθςθ των τφπων του εμβαδοφ γνωςτϊν ςχθμάτων. Ομοίωσ και θ μζτρθςθ όγκου ςυνδζεται με τουσ τφπουσ υπολογιςμοφ του όγκου γνωςτϊν ςτερεϊν, τθν ςχζςθ που ζχουν μεταξφ τουσ κάποιοι απ’ αυτοφσ και τθ χριςθ τουσ ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ. Μζτρθςθ μικουσ, μζτρθςθ γωνίασ: Οι μακθτζσ ζχουν εξοικειωκεί από το Δθμοτικό με άμεςεσ και ζμμεςεσ ςυγκρίςεισ μθκϊν και γωνιϊν, με τθ μζτρθςθ τουσ με μθ τυπικζσ και τυπικζσ μονάδεσ κακϊσ και τθ ςχζςθ των μονάδων μζτρθςθσ και τθ χριςθ οργάνων μζτρθςθσ. Στθν Αϋ Γυμναςίου θ μζτρθςθ μιασ γωνίασ με τθ βοικεια μοιρογνωμονίου ςυνδζεται με τθ διαδικαςία ςφγκριςθσ των γωνιϊν μζςω τθσ μετατροπισ τουσ ςε επίκεντρεσ ςτον ίδιο ι ςε ίςουσ κφκλουσ. Στθν Βϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ εμπλζκονται με τθ μζτρθςθ του κφκλου και των κυκλικϊν τόξων με δφο διαφορετικζσ μονάδεσ (μοίρεσ και μονάδεσ μικουσ) και τθν ανάπτυξθ και αιτιολόγθςθ των ςχετικϊν τφπων. Μζτρθςθ επιφάνειασ, μζτρθςθ χωρθτικότθτασ-όγκου: Στο Δθμοτικό οι μακθτζσ ζχουν εξοικειωκεί με τθ μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ ςχθμάτων και με τθ ςχζςθ των μονάδων μζτρθςθσ επιφάνειασ. Επίςθσ υπολογίηουν το εμβαδόν τετραγϊνων, ορκογϊνιων, παραλλθλογράμμων, τριγϊνων και τραπεηίων και προςεγγιςτικά το εμβαδόν ςχθμάτων, υπολογίηουν το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ και τον όγκο ορκογωνίων παραλλθλεπιπζδων και διακρίνουν τθν ζννοια τθσ περιμζτρου από τθν

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

202

ζννοια του εμβαδοφ, και τθν ζννοια τθσ χωρθτικότθτασ από τθν ζννοια του όγκου (για παράδειγμα θ χωρθτικότθτα μιασ δεξαμενισ πετρελαίου είναι διαφορετικι από τον όγκο τθσ γιατί ςτθν πρϊτθ περίπτωςθ λαμβάνονται υπ’ όψιν οι εςωτερικζσ διαςτάςεισ τθσ ενϊ ςτθν δεφτερθ περίπτωςθ οι εξωτερικζσ διαςτάςεισ τθσ). Στθν Βϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ εμπλζκονται με τθν αιτιολόγθςθ των τφπων του εμβαδοφ παραλλθλογράμμου, τριγϊνου και τραπεηίου, κακϊσ και το εμβαδόν κυκλικοφ τομζα. Εδϊ εντάςςεται και το Ρυκαγόρειο κεϊρθμα με ςτόχο τθν ανάδειξθ τθσ ςχζςθσ των εμβαδϊν των τετραγϊνων που καταςκευάηονται ςτισ πλευρζσ ενόσ ορκογωνίου τριγϊνου, αλλά και τθ χριςθ του ςτον υπολογιςμό αποςτάςεων και ςτον ζλεγχο αν μία γωνία είναι ορκι. Οι μακθτζσ ςτθν Γϋ Γυμναςίου εμπλζκονται με τθ μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ και του όγκου πριςμάτων, πυραμίδων, κυλίνδρων, κϊνων και ςφαιρϊν. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Θ ζννοια τθσ μζτρθςθσ (ςφγκριςθ του μεγζκουσ που μετράμε με μία μονάδα που ζχει το ίδιο χαρακτθριςτικό, για παράδειγμα επιφάνεια με επιφάνεια), θ εξοικείωςθ με τθν μονάδα μζτρθςθσ που χρθςιμοποιείται, τα όργανα μζτρθςθσ (βακμολογθμζνοσ χάρακασ, μετροταινία, μοιρογνωμόνιο κ.λπ.) ωσ εργαλεία με τα οποία κάνουμε ςυγκρίςεισ και θ χριςθ τουσ, ο τρόποσ μεταβολισ του αποτελζςματοσ τθσ μζτρθςθσ όταν χρθςιμοποιοφμε πολλαπλάςια ι υποδιαιρζςεισ μιασ μονάδασ μζτρθςθσ και θ προςεγγιςτικι φφςθ τθσ μζτρθςθσ είναι ςτοιχεία που πρζπει να κατανοθκοφν από τουσ μακθτζσ. Αν και θ μζτρθςθ μικουσ είναι μία διαδικαςία που φαντάηει ςχετικά απλι, ενδζχεται να υπάρχουν μακθτζσ που να ςυναντοφν δυςκολίεσ ςε ςχζςθ με αυτι. Συγκεκριμζνα όταν μετροφν με χάρακα δεν αντιςτοιχοφν διαςτιματα αλλά αντιςτοιχοφν ςθμεία. Θ μζτρθςθ γωνιϊν αποτελεί και αυτι ςυχνά πθγι δυςκολιϊν για τουσ μακθτζσ γιατί: 

ςυγκρίνουν γωνίεσ λαμβάνοντασ υπ’ όψιν άλλα μεγζκθ (τα μικθ των πλευρϊν ι τθν επιφάνεια που περικλείουν)



δυςκολεφονται ςτθν χριςθ του μοιρογνωμονίου (χριςθ τθσ ςωςτισ κλίμακασ μζτρθςθσ , αναγνϊριςθ τθσ μονάδασ μζτρθςθσ). Επίςθσ θ μζτρθςθ του τόξου αποτελεί πθγι δυςκολίασ των μακθτϊν μια και είναι δφο τα χαρακτθριςτικά που μετράμε: το μικοσ του τόξου και το μζτρο του τόξου. Ωσ προσ τθν μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ και του όγκου κα πρζπει να αντιμετωπιςτοφν κάποιεσ από τισ δυςκολίεσ των μακθτϊν, που κεωροφν ότι: 

βάςθ (ι βάςεισ) ςτα ςχιματα είναι μόνο αυτι (ι αυτζσ) που ζχουν οριηόντιο προςανατολιςμό και φψοσ είναι μόνο αυτό που ζχει κατακόρυφο προςανατολιςμό ι μόνον αυτό που άγεται από κάποια κορυφι (ςτθν περίπτωςθ των παραλλθλογράμμων και των τραπεηίων) και όχι θ απόςταςθ μεταξφ των παραλλιλων.



θ μεταβολι κατά ανάλογο τρόπο των διαςτάςεων ενόσ ςχιματοσ (διπλαςιαςμόσ , τριπλαςιαςμόσ κ.λπ. όλων των πλευρϊν) επιφζρει ανάλογθ μεταβολι ςτο εμβαδό των ςχθμάτων

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

203



ςχιματα με μεγαλφτερθ περίμετρο ζχουν μεγαλφτερο εμβαδό



αν αλλάξει το ςχιμα, αλλάηει και θ επιφάνεια πχ. δφο διαφορετικά τρίγωνα με τθν ίδια βάςθ και ίςα φψθ



θ μεταβολι κατ’ ανάλογο τρόπο των διαςτάςεων ενόσ ςτερεοφ επιφζρει ανάλογθ μεταβολι ςτον όγκο των ςχθμάτων



ςτερεά με μεγαλφτερθ επιφάνεια ζχουν και μεγαλφτερο όγκο



ςτερεά με ίςο όγκο ζχουν και ίςθ επιφάνεια

Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να κατανοιςουν ότι θ μζτρθςθ μιασ γωνίασ με τθ χριςθ μοιρογνωμονίου αποτελεί εφαρμογι τθσ μεκόδου ςφγκριςθσ των γωνιϊν μζςω τθσ μετατροπισ τουσ ςε επίκεντρεσ. Το μοιρογνωμόνιο είναι ζνα βακμονομθμζνο θμικφκλιο, το κζντρο του οποίου τοποκετείται ςτθν κορυφι τθσ προσ μζτρθςθ γωνίασ, θ οποία ζτςι κακίςταται επίκεντρθ και βαίνει ςε ζνα τόξο γνωςτοφ μζτρου. Για το μικοσ του τόξου και το εμβαδόν κυκλικοφ τομζα προτείνεται να ακολουκιςουν οι μακθτζσ τθν αναλογικι ςυλλογιςτικι και μετά να προςπακιςουν να εξάγουν τουσ αντίςτοιχουσ τφπουσ. Για παράδειγμα τόξο μζτρου 45° κα ζχει 1 45° 1 μικοσ ίςο με το του μικουσ του κφκλου ςτον οποίο ανικει, γιατί κ.λπ. = 360° 8 8 Ο ςτόχοσ ςτο Γυμνάςιο, για τθ μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ, είναι αρχικά μια ανακεφαλαίωςθ των γνωςτϊν τφπων από το δθμοτικό για το εμβαδόν του τετραγϊνου, του ορκογωνίου, του παραλλθλόγραμμου, του τριγϊνου και του τραπεηίου. Βαςικι επιδίωξθ παραμζνει όμωσ θ αιτιολόγθςθ των τφπων εμβαδοφ για τα παραπάνω ςχιματα κακϊσ και του κφκλου. Για το ςκοπό αυτό είναι χριςιμο να αξιοποιθκοφν οι προτεινόμενεσ ςτο Ρ.Σ. δραςτθριότθτεσ κακϊσ και θ χριςθ λογιςμικοφ δυναμικισ γεωμετρίασ ϊςτε μζςα από ςυηθτιςεισ, να καταλιξουν οι ίδιοι οι μακθτζσ ςτισ αιτιολογιςεισ. Το Ρυκαγόρειο κεϊρθμα, εκτόσ από τισ άμεςεσ εφαρμογζσ, προςφζρεται ιδιαίτερα για δραςτθριότθτεσ που ειςάγουν μια ιςτορικι προοπτικι ςτθ διδαςκαλία των Μακθματικϊν και αναδεικνφουν τθ ςθμαςία των διαφορετικϊν αναπαραςτάςεων μιασ μακθματικισ ζννοιασ (γεωμετρικά εμβαδά, αλγεβρικι ςχζςθ). Σχετικά με τθ μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ και του όγκου των γεωμετρικϊν ςτερεϊν, βαςικοί ςτόχοι τθσ διδαςκαλίασ είναι θ αιτιολόγθςθ των ςχετικϊν τφπων για το πρίςμα, τθν πυραμίδα, τον κφλινδρο και τον κϊνο κακϊσ και θ χριςθ τουσ, όπωσ και θ χριςθ των τφπων για τθν ςφαίρα, ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων. Ραράλλθλα, επιδιϊκεται θ ανάπτυξθ τθσ ικανότθτασ των μακθτϊν για οπτικοποιθμζνθ ςκζψθ (βλ. ΡΣ) μζςω τθσ χριςθσ πραγματικϊν αντικειμζνων ι γεωμετρικϊν μοντζλων και των αναπτυγμάτων τουσ. Θ ορκι χριςθ των τφπων για τθν μζτρθςθ τθσ επιφάνειασ και του όγκου των ςτερεϊν ςυνδζεται ςτενά με τθν ικανότθτα των μακθτϊν ςτον αλγεβρικό λογιςμό, γεγονόσ που μπορεί να αξιοποιθκεί διδακτικά με διάφορουσ τρόπουσ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

204

Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: Μζτρθςθ γωνίασ (ΠΜΑ: Μ1) Είναι ςθμαντικό οι Ο εκπαιδευτικόσ δίνει ςτουσ μακθτζσ, που είναι χωριςμζνοι μακθτζσ πριν κάνουν ςε ομάδεσ, προςχεδιαςμζνεσ γωνίεσ και ηθτά από αυτοφσ να μία μζτρθςθ γωνίασ να τισ χαρακτθρίςουν ωσ κυρτζσ – μθ κυρτζσ και αμβλείεσ, ορκζσ τθν ταξινομοφν ωσ ι οξείεσ (ςτθν περίπτωςθ των μθ κυρτϊν). Στθν αρχι οι προσ το είδοσ και μζςω μακθτζσ μετροφν τθ γωνία με το μοιρογνωμόνιο με τον τθσ ταξινόμθςθσ να κάνουν ζλεγχο τθσ ςυνικθ τρόπο. Κατόπιν τουσ ηθτά να βρουν τρόπο ι τρόπουσ μζτρθςθσ να τισ μετριςουν με το μοιρογνωμόνιο, χωρίσ όμωσ να ακολουκιςουν τθν τυπικι διαδικαςία ταφτιςθσ μιασ πλευράσ Θ γνϊςθ του μζτρου τθσ γωνίασ με τθν διάμετρο του θμικυκλίου του τθσ γωνίασ ενδζχεται μοιρογνωμονίου, όπωσ δείχνουν οι εικόνεσ 25 και 26. να τουσ βοθκιςει ςτθν αναηιτθςθ των Οι μακθτζσ κα πρζπει να περιγράψουν τισ ςτρατθγικζσ που διαφορετικϊν μεκόδων ακολοφκθςαν και να ςυηθτιςουν διάφορα χαρακτθριςτικά μζτρθςθσ. των μεκόδων που βρικαν. Διεργαςία επικοινωνίασ

Εικόνα 25

Εικόνα 26

Αναμζνεται ότι οι μακθτζσ κα ανακαλφψουν ότι θ μζτρθςθ μπορεί να γίνει με πολλοφσ τρόπουσ ανεξάρτθτα από τθν τοποκζτθςθ του μοιρογνωμονίου, αρκεί το κζντρο του να είναι ςτθν κορυφι τθσ γωνίασ και να βρίςκουν τθν διαφορά των ενδείξεων τθσ ίδιασ κλίμακασ. Στθ ςυνζχεια, ο εκπαιδευτικόσ, με κατάλλθλεσ ερωτιςεισ, βοθκά τουσ μακθτζσ να κάνουν τθ ςφνδεςθ με τθ ςχζςθ τθσ επίκεντρθσ γωνίασ και του μζτρου του τόξου ςτο οποίο βαίνει αυτι, τθν ανεξαρτθςία του μζτρου του τόξου από τθν ακτίνα των θμικυκλίων των μοιρογνωμονίων και τον χωριςμό των τόξων ςε ίςα μζρθ από τα εξωτερικά ςθμάδια - ενδείξεισ του μοιρογνωμονίου και αντίςτοιχα των γωνιϊν.

Θ ςχζςθ επίκεντρθσ γωνίασ και αντίςτοιχου τόξου μπορεί να ζχει προθγθκεί κατά τθν διδαςκαλία ι να προκφψει από τθν δραςτθριότθτα.

Βϋ Γυμναςίου: ΜΔ1 (ΠΜΑ: Μ2) Οι μακθτζσ δουλεφουν ςε ομάδεσ και ο εκπαιδευτικόσ μοιράηει ςε κάκε ομάδα 2-3 ίςα μθ ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα από χαρτί (εικόνα 26). Ρροςπακοφν να βρουν τρόπο ι τρόπουσ να κόψουν με ψαλίδι τα παραλλθλόγραμμα και να τα μεταςχθματίςουν ςε ιςοδφναμα ορκογϊνια. Θ ςυνειδθτοποίθςθ εκ μζρουσ των μακθτϊν ότι θ δθμιουργία ορκογωνίου απαιτεί τθν φπαρξθ ορκϊν γωνιϊν ενδζχεται να τουσ οδθγιςει ςτθν χάραξθ τθσ κάκετθσ προσ

Το μζςο (χαρτί) είναι τζτοιο που κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ να το χειριςτοφν άμεςα

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

ζνα ηεφγοσ απζναντι πλευρϊν του παραλλθλογράμμου και τον χωριςμό του ςε δφο μζρθ με τθν βοικεια του ψαλιδιοφ.

Εικόνα 26

205

και να δθμιουργιςουν το ορκογϊνιο, αφινοντασ όμωσ αμφιβολίεσ για το τελικό αποτζλεςμα (εικόνα 27) και άρα τθν ανάγκθ αιτιολόγθςθσ

Εικόνα 27

Κατόπιν οι ομάδεσ καταγράφουν ςε ζνα χαρτί τθν διαδικαςία που ακολοφκθςαν, ςχεδιάηοντασ κατάλλθλα ςχιματα και Διεργαςία επικοινωνίασ χρθςιμοποιϊντασ γεωμετρικι ορολογία προςπακοφν να αιτιολογιςουν τα βιματα τθσ διαδικαςίασ, με βάςθ τισ Διεργαςία διερεφνθςθσ ιδιότθτεσ των παραλλθλογράμμων και των μεταςχθματιςμϊν και επιχειρθματολογίασ που ζκαναν. Για παράδειγμα, δικαιολογοφν γιατί ταιριάηουν οι πλευρζσ των δφο ςχθμάτων ι γιατί θ κάτω βάςθ είναι ευκφγραμμο τμιμα και όχι τεκλαςμζνθ γραμμι κ.λπ. Συηθτοφν με το ςφνολο τθσ τάξθσ τουσ τρόπουσ που ακολοφκθςαν, αν ζχει ςθμαςία ι όχι το ςθμείο ςτο οποίο ςχεδίαςαν τθν κάκετθ και γιατί, αν ζχει ςθμαςία ι όχι ποια πλευρά του παραλλθλογράμμου ονομάηουν βάςθ, αν μπορεί θ μζκοδοσ να εφαρμοςτεί ςε οποιοδιποτε παραλλθλόγραμμο και τι ςυμπεράςματα βγάηουν ςχετικά με τισ επιφάνειεσ των δφο ςχθμάτων και το εμβαδό του παραλλθλογράμμου. H διερεφνθςθ μπορεί να γίνει επικουρικά με τθ χριςθ λογιςμικοφ (αρχείο: Β Γυμ - ΜΔ1 - Εμβαδόν παραλλθλογράμμου.ggb). Οι μακθτζσ μεταφζρουν ζνα ορκογϊνιο τρίγωνο μεταςχθματίηοντασ ζνα παραλλθλόγραμμο ςε ορκογϊνιο. Θ προςτικζμενθ αξία χριςθσ του λογιςμικοφ βρίςκεται ςτθν δυνατότθτα δυναμικισ μεταβολισ του ςχιματοσ του παραλλθλογράμμου, από τουσ μακθτζσ και ςτθν ευκολότερθ δυνατότθτα αναγνϊριςθσ ότι ο ςυγκεκριμζνοσ μεταςχθματιςμόσ ιςχφει ςε οποιοδιποτε παραλλθλόγραμμο. Με παραπλιςιο τρόπο δουλεφουν ςτον μεταςχθματιςμό ενόσ τριγϊνου ςε ορκογϊνιο (εικόνα 28) ι ςε ιςοδφναμο ορκογϊνιο (εικόνεσ 29 και 30). Θ αιτιολόγθςθ ςτθν εικόνα 30 ότι θ βάςθ είναι θ μιςι από τθν βάςθ του τριγϊνου δεν είναι μζςα ςτισ δυνατότθτεσ, από άποψθ γνϊςεων, των μακθτϊν, όμωσ μπορεί να γίνει μζςω του τφπου του εμβαδοφ τριγϊνου, που κα ζχει αιτιολογθκεί με κάποιον άλλο τρόπο.

Υπζρβαςθ πρωτοτυπικϊν αναπαραςτάςεων

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

206

Εικόνα 28

Εικόνα 29

Εικόνα 30

Θ διερεφνθςθ τθσ περίπτωςθσ τθσ εικόνασ 29, μπορεί να γίνει και με τθν βοικεια λογιςμικοφ (αρχείο: Β Γυμ-ΜΔ1-Εμβαδόν τριγϊνου.ggb ), γιατί κα επιτρζψει ςτουσ μακθτζσ να πειραματιςτοφν με ζνα πλικοσ τριγϊνων και κυρίωσ να εξετάςουν και να αιτιολογιςουν τθν περίπτωςθ των αμβλυγωνίων.

Βϋ Γυμναςίου: Εμβαδό και Περίμετροσ (ΠΜΑ: Μ2, Μ3) Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν χαρτί με διάςτικτουσ καμβάδεσ που το ζχουν χωρίςει ςε περιοχζσ 5 Χ 5 ςθμείων. Σχεδιάηουν όςο το δυνατόν περιςςότερα τρίγωνα των οποίων οι κορυφζσ είναι ςθμεία του καμβά, εμβαδοφ 1 τ.μ., τα οποία να μθν είναι ίςα μεταξφ τουσ και δικαιολογοφν γιατί τα τρίγωνα που ςχεδίαςαν ικανοποιοφν τισ ςυνκικεσ του προβλιματοσ (οι αιτιολογιςεισ τουσ για τθν διαφορετικότθτα των τριγϊνων μποροφν να βαςίηονται ςτουσ μεταςχθματιςμοφσ των ςχθμάτων, που τουσ είναι γνωςτοί από το Δθμοτικό). Αναηθτοφν ανάμεςα ςτα τρίγωνα αυτό που ζχει τθν μικρότερθ και τθν μεγαλφτερθ περίμετρο και δικαιολογοφν τθν επιλογι τουσ. Συηθτοφν για τισ μεκόδουσ που ακολοφκθςαν για να προςδιορίςουν όλα τα τρίγωνα , αν κα μποροφςε θ μζκοδόσ τουσ να επεκτακεί ςε ζναν μεγαλφτερο καμβά και τι κα ςυνζβαινε τότε με τθν περίμετρο και το εμβαδό των τριγϊνων. Επίςθσ ςυηθτοφν για το που κα κινείται θ τρίτθ κορυφι του τριγϊνου (χωρίσ τουσ περιοριςμοφσ να είναι ςθμείο του καμβά ι τα τρίγωνα να είναι διαφορετικά), όταν τα τρίγωνα τοποκετθκοφν ζτςι ϊςτε να ζχουν κοινι βάςθ.

Ο διάςτικτοσ καμβάσ επιτρζπει ςτουσ μακθτζσ να δουλζψουν με πολλοφσ και ποικίλουσ τρόπουσ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

Με τθ βοικεια του Sketchpad (αρχείο: Β Γυμ - Εμβαδόν περίμετροσ τριγϊνου.gsp) διερευνοφν το τι αλλάηει και τι δεν αλλάηει ςε ζνα τρίγωνο όταν θ μία κορυφι του κινείται ςε ευκεία παράλλθλθ προσ μια πλευρά του τριγϊνου. Με αφορμι τισ παρατθριςεισ και τα ςυμπεράςματα τουσ γενικεφουν για τρίγωνα που ζχουν κοινι βάςθ (ι ίςεσ βάςεισ) και θ τρίτθ κορυφι κινείται ςε ευκεία παράλλθλθ προσ τθν βάςθ.

207

Διεργαςίεσ διερεφνθςθσ , επιχειρθματολογίασ και γενίκευςθσ

Σχετικό είναι και το Επίςθσ με κατάλλθλθ τοποκζτθςθ των τριγϊνων, κατά τθ υλικό που υπάρχει ςτθν ςφγκριςθ των περιμζτρων (εικόνα 32) και αντίςτοιχεσ ςυνκετικι εργαςία 7 διερευνιςεισ, μποροφν να εξάγουν ςυμπεράςματα ςχετικά με του ΡΣ: «Ραράδοξεσ τον χωριςμό ενόσ τρίγωνου ςε δφο ιςοδφναμα τρίγωνα από ιδιότθτεσ των γεωμετρικϊν τθν διάμεςο. προτάςεων».

Εικόνα 32 Εικόνα 31

Βϋ Γυμναςίου: Μικοσ κφκλου (ΠΜΑ: Μ1) Χρθςιμοποιϊντασ το Geogebra οι μακθτζσ εργάηονται με τθν Β-Γυμ-M1-Σχζςθ περιφζρειασπροςομοίωςθ μιασ κατάςταςθσ (ξετφλιγμα κουβαρίςτρασ) και διαμζτρου διερευνοφν τθ ςχζςθ τθσ διαμζτρου του κφκλου και του μικουσ κφκλου.ggb του. Στο λογιςτικό φφλλο υπολογίηεται αυτόματα ο λόγοσ (μικοσ κφκλου)/(διάμετροσ κφκλου) και οι μακθτζσ ζχουν τθ δυνατότθτα να Χριςθ ψθφιακϊν ανακαλφψουν προςεγγιςτικά τον αρικμό π. Χρθςιμοποιϊντασ εργαλείων για περιςςότερα δεκαδικά ψθφία ςτισ μετριςεισ μποροφν να διερεφνθςθ και υπολογίςουν ζνα μεγάλο αρικμό ψθφίων του π. Είναι μία γενίκευςθ δραςτθριότθτα που δφςκολα μπορεί να γίνει με χειραπτικά μζςα και υλικά λόγω των ςθμαντικϊν ςφαλμάτων ςτισ μετριςεισ. Γϋ Γυμναςίου: Παραλλαγι τθσ ΜΔ1 (ΠΜΑ: Μ2) Οι μακθτζσ, χωριςμζνοι ςε ομάδεσ καταςκευάηουν από χαρτόνι ζνα ορκογϊνιο παραλλθλεπίπεδο και ζνα ορκό τριγωνικό πρίςμα, που ζχουν ίςεσ επιφάνειεσ βάςθσ και ίςα φψθ (θ κάκε ομάδα δθμιουργεί τα ςτερεά με διαφορετικά χαρακτθριςτικά από αυτά Διεργαςίεσ των άλλων ομάδων). Τα γεμίηουν με ζνα ρευςτό υλικό (άμμοσ, ρφηι διερεφνθςθσ , κ.λπ.) και ςυγκρίνουν τισ χωρθτικότθτεσ των δφο ςτερεϊν. Συηθτοφν επικοινωνίασ και για τα αποτελζςματα τθσ ςφγκριςθσ και γενικεφουν. Επίςθσ γενίκευςθσ καταςκευάηουν πυραμίδα που ζχει το ίδιο εμβαδό βάςθσ και ίςο φψοσ με τα προθγοφμενα, τθν γεμίηουν με το ίδιο υλικό και ςυγκρίνουν πάλι τθν χωρθτικότθτά τθσ με αυτι των προθγουμζνων, αδειάηοντασ κάκε φορά το περιεχόμενό τθσ π.χ. ςτο ορκογϊνιο παραλλθλεπίπεδο μζχρι να γεμίςει αυτό. Συηθτοφν πάλι για τα

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

208

αποτελζςματα και γενικεφουν. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ που δεν περιζχονται ςτο Π΢: Βϋ Γυμναςίου: 1. Πυκαγόρειο κεϊρθμα (ΠΜΑ: Μ3) Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν και υπολογίηουν όλα τα δυνατά διαφορετικά (ωσ προσ το μικοσ) τμιματα ςε διάςτικτο χαρτί 5 Χ 5. 2. Μικοσ τόξου - Εμβαδό κυκλικοφ τομζα (ΠΜΑ: Μ1, Μ4) Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν κφκλουσ χωριςμζνουσ ςε ίςα τόξα ( υλικό: http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=6676&part=index ) ι τουσ φτιάχνουν οι ίδιοι και υπολογίηουν τα μικθ των τόξων και τα εμβαδά διαφόρων κυκλικϊν τομζων με βάςθ τθν αναλογικι ςυλλογιςτικι. Για 1 παράδειγμα το μικοσ του μικροφ τόξου (Εικόνα 33) είναι το του μικουσ 12 1 του κφκλου και το εμβαδόν του αντίςτοιχου κυκλικοφ τομζα είναι το του 12 εμβαδοφ του κυκλικοφ δίςκου, γιατί ο κφκλοσ είναι χωριςμζνοσ ςε 12 ίςα τόξα και ο κυκλικόσ δίςκοσ μπορεί να χωριςκεί ςε 12 ίςουσ κυκλικοφσ τομείσ. Συηθτοφν τισ μεκόδουσ που ακολοφκθςαν και γενικεφουν για τόξα και κυκλικοφσ τομείσ μ° ωσ μζρθ των 360° ακολουκϊντασ τθν αναλογικι 20° 1 = ςυλλογιςτικι. Για παράδειγμα τόξο μζτρου 20° είναι του τόξου 360° 18 1 των 360° και κα ζχει μικοσ ίςο με το του μικουσ του κφκλου κ.λπ. 18 12 11

1 2

10 9

4 5

7 6

Εικόνα 33

Γϋ Γυμναςίου: Επιφάνεια και όγκοσ κυλίνδρου (ΠΜΑ: Μ1, Μ2) Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν δφο φφλλα χαρτί Α4. Το ζνα το διπλϊνουν κατά μικοσ και το άλλο κατά πλάτοσ για να ςχθματίςουν δφο κυλίνδρουσ (χωρίσ τισ βάςεισ). Διερευνοφν ςε ποια περίπτωςθ ο όγκοσ είναι μεγαλφτεροσ και δικαιολογοφν ςχετικά. Συηθτοφν για τα χαρακτθριςτικά των δφο κυλίνδρων (ίςεσ παράπλευρεσ επιφάνειεσ – διαφορετικοί όγκοι).

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

209

Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία και τα βιβλία κακθγθτι. Για τθν μζτρθςθ μικουσ – μζτρθςθ γωνίασ: Από το βιβλίο μακθτι τθσ Αϋ Γυμναςίου (μζροσ Β) §1.3 - §1.5, §1.12 και από το βιβλίο μακθτι τθσ Βϋ Γυμναςίου §3.3, §3.4. Για τθν μζτρθςθ επιφάνειασ και του όγκου: Από το βιβλίο μακθτι τθσ Βϋ Γυμναςίου (μζροσ Β) κεφ. 1, §3.5, §3.6, κεφ. 4. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Δραςτθριότθτα ςε ςχζςθ με το εμβαδό και τον όγκο ορκογωνίου παραλλθλεπιπζδου και τριγωνικοφ πρίςματοσ:

http://www.shodor.org/interactivate/activities/SurfaceAreaAndVolume/ 

Δραςτθριότθτα ςε ςχζςθ με τθν διατιρθςθ του όγκου:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_275_g_4_t_4.html?from=category _g_4_t_4.html 

Εκπαιδευτικό πακζτο, με κεντρικό άξονα το γνωςτικό περιεχόμενο των μετριςεων:

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

210

http://www.eyliko.gr/Lists/List40/DispForm.aspx?ID=171&Source=http%3A%2F%2Fwww.e yliko.gr%2Fresource%2Fsupportmaterial%2FEduPackets.aspx%3FSortField%3 D_x039b__x03bf__x03b3__x03cc__x03%26SortDir%3DAsc%26View%3D%25 7B3F688614-9DA9-42F6-9AF2-35E2A0C36FC9%257D Βαςικά κζματα: Σριγωνομετρία (Βϋ και Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Θ τριγωνομετρία είναι ζνα κομμάτι των μακθματικϊν που ςυνδζει τθ γεωμετρία, τθ μζτρθςθ και τθν άλγεβρα. Χρθςιμοποιείται ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων τα οποία μπορεί να προζρχονται από τα μακθματικά, άλλεσ επιςτιμεσ ι από τθν κακθμερινι ηωι. Συνδζεται αρχικά με τθν ζννοια τθσ ομοιότθτασ ορκογωνίων τριγϊνων, με τισ ζννοιεσ του λόγου και τθσ αναλογίασ, αλλά και με τθν κλίςθ μιασ ευκείασ. Οι νόμοι των θμιτόνων και των ςυνθμιτόνων αναδεικνφουν τισ ςχζςεισ που υπάρχουν μεταξφ των πλευρϊν και των γωνιϊν οποιωνδιποτε τριγϊνων. Σθμαντικζσ είναι οι πρακτικζσ εφαρμογζσ τθσ τριγωνομετρίασ όπωσ είναι θ μζτρθςθ απρόςιτων αποςτάςεων, ο υπολογιςμόσ γωνιϊν, όπωσ θ γωνία που ςχθματίηει ο Ιλιοσ ςε ςχζςθ με τον ορίηοντα και ο υπολογιςμόσ τθσ κλίςθσ ενόσ δρόμου, μιασ ράμπασ, μιασ ςκάλασ κ.λπ. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Ρτυχζσ του λόγου, τθσ αναλογίασ και τθσ ομοιότθτασ, είναι οικείεσ ςτουσ μακθτζσ από προθγοφμενεσ τάξεισ , αλλά και από τθν κακθμερινι ηωι. Στθν Βϋ τάξθ οι μακθτζσ κα αςχολθκοφν με τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ οξείασ γωνίασ ορκογωνίου τριγϊνου και τθν επίλυςθ ορκογωνίων τριγϊνων ενϊ ςτθν Γϋ τάξθ με τθν επζκταςθ του οριςμοφ των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν ςε αμβλείεσ γωνίεσ, με τισ βαςικζσ τριγωνομετρικζσ ταυτότθτεσ

QuickTime™ and a decompressor are needed to see this picture.

κακϊσ και με τουσ νόμουσ των

θμιτόνων και των ςυνθμιτόνων. Στο Λφκειο οι μακθτζσ κα γνωρίςουν τισ τριγωνομετρικζσ ςυναρτιςεισ και τισ τριγωνομετρικζσ εξιςϊςεισ. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι μακθτζσ δυςκολεφονται να αντιλθφκοφν το λόγο δφο τμθμάτων ωσ ζνα αρικμό κι ακόμα περιςςότερο να ςυνδζςουν το λόγο με το μζτρο τθσ γωνίασ. Ακόμθ μία από τισ βαςικζσ δυςκολίεσ των μακθτϊν μπορεί να ςχετίηεται με τθν αναγνϊριςθ ότι οι τριγωνομετρικοί αρικμοί εξαρτϊνται αποκλειςτικά από τθ γωνία και όχι από το ςυγκεκριμζνο τρίγωνο. Επίςθσ θ ερμθνεία του ίδιου του λόγου AB 1 = μπορεί να αποτελεί εμπόδιο. Για παράδειγμα, ο λόγοσ ερμθνεφεται από AG 2 μακθτζσ αποκλειςτικά ωσ ΑΒ=1 μονάδα μικουσ και ΑG=2 μονάδεσ μικουσ. Επιπλζον, κάποιοι μακθτζσ ενδζχεται να δυςκολεφονται να αναγνωρίςουν τθν ορκι γωνία και τθν υποτείνουςα όταν το ορκογϊνιο τρίγωνο δεν ζχει τον ςυνθκιςμζνο γι' αυτοφσ προςανατολιςμό. Είναι όμωσ ςθμαντικό να αναγνωρίηουν αυτά τα ςτοιχεία ανεξάρτθτα από τον προςανατολιςμό του ςχιματοσ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

211

Προτάςεισ για τθν διδακτικι διαχείριςθ: Θ απλι αναφορά ςτον οριςμό των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν δεν επιτρζπει ςτουσ μακθτζσ να αντιλθφκοφν τθ ςφνδεςθ του λόγου δφο πλευρϊν ορκογωνίου τριγϊνου με το μζτρο μιασ γωνίασ του. Για το λόγο αυτό προτείνεται να διερευνιςουν τθ ςχζςθ των γωνιϊν και των λόγων των πλευρϊν ςε πολλά όμοια ορκογϊνια τρίγωνα, με ςτόχο να αναδειχκεί θ ςφνδεςθ του μζτρου των γωνιϊν με τουσ λόγουσ των πλευρϊν. Οι τριγωνομετρικοί αρικμοί ςυνδζονται με τθν ανάγκθ να περιγραφοφν αυτοί οι λόγοι. Θ ομοιότθτα των τριγϊνων δεν αποτελεί ςτόχο του ΡΣ για τθν Βϋ Γυμναςίου. Γι’ αυτό χρειάηεται να γίνει μια διαιςκθτικι προςζγγιςθ τθσ ανεξαρτθςίασ των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν από ζνα ςυγκεκριμζνο ορκογϊνιο τρίγωνο. Ενδζχεται να ςυμβάλλουν ςτθν κατανόθςθ των εμπλεκόμενων εννοιϊν τθσ τριγωνομετρίασ:

• Θ ςχεδίαςθ με διαφορετικά μζςα και μεκόδουσ (διάςτικτοι ι τετραγωνικοί καμβάδεσ, με κανόνα και διαβιτθ, με μζτρθςθ ι ςε ψθφιακό περιβάλλον) ενόσ πλικουσ ορκογωνίων τριγϊνων με δεδομζνο ζναν τριγωνομετρικό αρικμό μιασ γωνίασ του (π.χ. εφω=2/3).

• Ο υπολογιςμόσ πλευρϊν και των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν των οξειϊν γωνιϊν των τριγϊνων τθσ προθγοφμενθσ περίπτωςθσ κακϊσ και ο υπολογιςμόσ των γωνιϊν του τριγϊνου, με τθν χριςθ πινάκων. Για τθν Γϋ Γυμναςίου θ επζκταςθ των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν ςε αμβλείεσ γωνίεσ μπορεί να ξεκινιςει με τθ ςφνδεςθ τθσ ζννοιασ τθσ αρνθτικισ κλίςθσ μιασ ευκείασ (π.χ. τθσ y=-2x) και τθσ εφαπτομζνθσ τθσ γωνίασ τθσ ευκείασ με τον άξονα xϋx. Ζτςι μπορεί να γίνει επζκταςθ του οριςμοφ τθσ εφαπτομζνθσ ςε αμβλείεσ γωνίεσ και να αναδειχκεί θ ςχζςθ για τισ εφαπτόμενεσ των παραπλθρωματικϊν γωνιϊν. Στθ ςυνζχεια, θ επζκταςθ του οριςμοφ των άλλων τριγωνομετρικϊν αρικμϊν για αμβλείεσ γωνίεσ, μπορεί να γίνει μζςω των ςχζςεων θμ(180°- κ) = θμκ και ςυν(180°κ) = -ςυνκ και να ακολουκιςουν οι βαςικζσ τριγωνομετρικζσ ταυτότθτεσ. Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να μθν αντιμετωπίηουν τα μακθματικά μόνο ωσ ζνα ςφνολο αφθρθμζνων εννοιϊν, αλλά και ωσ ιδζεσ που μποροφν να ζχουν εφαρμογι ςτον πραγματικό κόςμο και μάλιςτα ςε καταςτάςεισ που δεν είναι τόςο απλζσ, όπωσ θ μζτρθςθ απρόςιτων αποςτάςεων. Γι’ αυτό προτείνεται οι μακθτζσ να εμπλακοφν με τθ μοντελοποίθςθ πραγματικϊν καταςτάςεων, που ςχετίηονται με υπολογιςμοφσ απρόςιτων αποςτάςεων και με τθν επίλυςθ αντίςτοιχων προβλθμάτων, τόςο ςτθν Βϋ όςο και ςτθν Γϋ τάξθ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Βϋ Γυμναςίου: (Εναλλακτικι τθσ ΜΔ5 του Π΢. ΠΜΑ: Μ3, Μ6, Μ8) Ο διδάςκων ζχει προςχεδιάςει δφο κατθγορίεσ όμοιων τρίγωνων ςε χαρτί από διάςτικτο καμβά ςτον οποίο οι κουκίδεσ ζχουν απόςταςθ 1cm, όπωσ για παράδειγμα ςτθν εικόνα 34, που είναι ςχεδιαςμζνα τρίγωνα με λόγουσ κάκετων πλευρϊν 1:2 και 1:5. Oι μακθτζσ δουλεφουν ανά ομάδεσ με ζνα αντίγραφο ανά ομάδα και επιπλζον με ζτοιμα κομμζνα τα τρίγωνα από άλλο αντίγραφο του ςχεδίου, ϊςτε

Τζτοιο χαρτί, όπωσ και με τετραγωνικό καμβά, που κα χρειαςτεί ςτθν ςυνζχεια, μποροφμε να δθμιουργιςουμε με τθν εφαρμογι που υπάρχει ςτθν παρακάτω διεφκυνςθ:

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

να μποροφν να επικζτουν το ζνα τρίγωνο πάνω ςτο άλλο για να ςυγκρίνουν γωνίεσ και να μθν κάνουν χριςθ του μοιρογνωμονίου που πικανόν κα τουσ οδθγιςει ςε μθ αναμενόμενα αποτελζςματα. Ο διδάςκων ηθτάει να χωρίςουν τα τρίγωνα ςε δφο μόνο κατθγορίεσ ζτςι ϊςτε τα τρίγωνα κάκε κατθγορίασ να ζχουν κοινά χαρακτθριςτικά και να αιτιολογιςουν τα κριτιρια τθσ επιλογισ τουσ. Αναμζνεται ότι κάποιεσ ομάδεσ μακθτϊν κα ανακαλφψουν τθν ιςότθτα των γωνιϊν τθσ κάκε κατθγορίασ τριγϊνων και κα τθν χρθςιμοποιιςουν ωσ κριτιριο. Μςωσ κάποιεσ άλλεσ ομάδεσ παρατθριςουν ςχζςεισ ανάμεςα ςτισ πλευρζσ τθσ κάκε κατθγορίασ, όμωσ ενδζχεται να υπάρξουν και μακθτζσ ι ομάδεσ μακθτϊν που κα χρθςιμοποιιςουν ωσ κριτιριο το ότι κάποια τρίγωνα «φαίνονται πιο μακρόςτενα ςε ςχζςθ με τα άλλα» ι κάτι ςχετικό.

Εικόνα 34

Εικόνα 35

Ερωτιςεισ ςχετικά με τθ διευκρίνιςθ του όρου μακρόςτενα ίςωσ ςτρζψουν τθν προςοχι των μακθτϊν ςε ςχζςεισ μεταξφ των πλευρϊν. Θ τάξθ μζςα από ςυηιτθςθ και με τθ βοικεια του εκπαιδευτικοφ καταλιγει να κατθγοριοποιιςει τα τρίγωνα με κριτιριο τισ γωνίεσ. Ηθτείται από τισ μιςζσ ομάδεσ των μακθτϊν να δουλζψουν με τα τρίγωνα τθσ μιασ κατθγορίασ και οι άλλεσ μιςζσ με τα τρίγωνα τθσ άλλθσ. Οι μακθτζσ ςχεδιάηουν τα τρίγωνα ςε χαρτί με τετράγωνο καμβά 1cm, με κοινι κορυφι τθν κάτω αριςτερι άκρθ του καμβά και με κοινι οξεία γωνία, όπωσ ςτθν εικόνα 35.

212

http://illuminations.nct m.org/ActivityDetail.as px?ID=205

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

Συηθτοφν και καταγράφουν το τι παρατθροφν. Επίςθσ υπολογίηουν και καταγράφουν ςε πίνακα τα μικθ των κάκετων πλευρϊν των τριγϊνων και ςυςχετίηουν τισ καταγραφζσ ςτον πίνακα με τισ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων τθσ εικόνασ 35. Αναμζνεται ότι οι μακθτζσ τθσ κάκε ομάδασ κα αναγνωρίςουν ότι ο λόγοσ των κάκετων πλευρϊν είναι ςτακερόσ , ενϊ κα είναι διαφορετικι θ τιμι του για τθν κάκε κατθγορία. Οι μακθτζσ ςυνοψίηουν τα ςυμπεράςματα και ο διδάςκων ειςάγει τον όρο εφαπτομζνθ οξείασ γωνίασ ορκογωνίου τριγϊνου για να εκφράςει τον λόγο μεταξφ των κάκετων πλευρϊν του ίδιου τριγϊνου (απζναντι κάκετθ πλευρά/προςκείμενθ κάκετθ πλευρά) και ηθτάει από τουσ μακθτζσ να ςχεδιάςουν και άλλα ορκογϊνια τρίγωνα με τον ίδιο λόγο κάκετων πλευρϊν και να εξθγιςουν τθν ςτρατθγικι τουσ. Σε επόμενθ φάςθ τουσ ηθτάει να κάνουν αντίςτοιχθ διερεφνθςθ για τισ κάκετεσ πλευρζσ του τριγϊνου και τθν υποτείνουςα.

213

Δθμιουργία ςυνδζςεων με άλλεσ μακθματικζσ περιοχζσ

Βϋ Γυμναςίου: ΠΜΑ: Μ6, Μ7 Χρθςιμοποιϊντασ το αρχείο του Geogebra οι μακθτζσ μποροφν να εργαςτοφν με τθν προςομοίωςθ ενόσ πραγματικοφ προβλιματοσ υπολογιςμοφ του φψουσ ενόσ δζνδρου γνωρίηοντασ τθ ςκιά του και αντίςτροφα. Μποροφν να μεταβάλλουν τθ κζςθ του ιλιου και να αλλάηουν το μικοσ τθσ ςκιάσ του ι το φψοσ του δζντρου. Ζτςι μποροφν να νοθματοδοτιςουν τθ χριςθ των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν για τον υπολογιςμό μθκϊν ςε ςυγκεκριμζνα πλαίςια ζχοντασ παράλλθλα τθ δυνατότθτα να αλλάηουν τα εμπλεκόμενα γεωμετρικά μεγζκθ.

Αρχείο λογιςμικοφ: B Γυμ-Τριγ-Φψοσ και ςκιά.ggb

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και επίλυςθ προβλθμάτων

Βϋ Γυμναςίου ΠΜΑ:Μ6-Μ7 Με τθ βοικεια του Geogebra οι μακθτζσ μποροφν να μεταβάλλουν τισ πλευρζσ ενόσ ορκογωνίου ςτο οποίο εμφανίηονται οι πλευρζσ και οι γωνίεσ του. Μακαίνουν τον οριςμό των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν και τουσ υπολογίηουν ςε ςυγκεκριμζνα ορκογϊνια τρίγωνα. Ανατροφοδοτοφν τισ απόψεισ τουσ με τθ χριςθ των βοθκειϊν του λογιςμικοφ. Ανακαλφπτουν ότι οι εφαπτόμενεσ ςυμπλθρωματικϊν γωνιϊν είναι αντίςτροφοι αρικμοί και ότι το θμίτονο μιασ γωνίασ ιςοφται με το ςυνθμίτονο τθσ ςυμπλθρωματικισ τθσ και αντιςτρόφωσ.

Αρχείο λογιςμικοφ: Β Γυμ-Μ6,Μ7Τριγωνομετρικοί αρικμοί.ggb Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και γενίκευςθ

Βϋ Γυμναςίου ΠΜΑ: Μ6, Μ7 Με τθ βοικεια του Geogebra οι μακθτζσ μποροφν να μεταβάλλουν τισ κάκετεσ πλευρζσ ενόσ ορκογωνίου τριγϊνου

Αρχείο λογιςμικοφ: Β Γυμ-Ρλευρζσ ορκ τριγ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

214

και τριγ αρικμοί.ggb Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και γενίκευςθ

και με τθ χριςθ ενόσ δρομζα να ςχθματίηουν ορκογϊνια τρίγωνα με ίδια μζτρα γωνιϊν. Οι μακθτζσ κα ανακαλφψουν ότι οι τριγωνομετρικοί αρικμοί εξαρτϊνται μόνο από τθ γωνία και όχι από τα μικθ των πλευρϊν του. Βϋ Γυμναςίου: Φωτογραφία κεκλιμζνου δρόμου (ΠΜΑ: Μ6, Μ8) Με βάςθ μια φωτογραφία οι μακθτζσ χαράςςουν γραμμζσ, μετροφν μικθ πάνω ςε αντίγραφο τθσ φωτογραφίασ και κάνουν υπολογιςμοφσ για να προςδιορίςουν προςεγγιςτικά τθν κλίςθ του δρόμου. Μοντελοποιοφν τθν κατάςταςθ για να βρουν το φψοσ που κερδίηει ζνασ πεηόσ που ανεβαίνει τθν ανθφόρα για κάκε μζτρο που διανφει πάνω ς’ αυτιν.

Συνοδευτικό αρχείο εργαςίασ: Β’ Γυμν-ΤριγωνομετρίαΦωτογραφία κεκλιμζνου δρόμου (ΡΜΑ Μ6, Μ8).doc

Διεργαςία μοντελοποίθςθσ

Βϋ Γυμναςίου: Μζτρθςθ απρόςιτων αποςτάςεων (ΠΜΑ: Μ8, ΢8) Με απλά υλικά όπωσ ζνα καλαμάκι, ζνα μοιρογνωμόνιο, ςκοινί, ζνα βαρίδι και λίγθ κολλθτικι ταινία οι μακθτζσ καταςκευάηουν ζνα όργανο μζτρθςθσ γωνιϊν - κλίςεων, όπωσ αυτό τθσ διπλανισ εικόνασ. Αφοφ εξοικειωκοφν με τθν χριςθ του και εξθγιςουν τον τρόπο λειτουργίασ του προςπακοφν να βρουν τρόπο να υπολογίςουν το φψοσ ενόσ κτιρίου π.χ. του ςχολείου τουσ. Εργαηόμενοι ςε ομάδεσ μελετοφν το πρόβλθμα με ςτόχο να καταλιξουν ςτθ μζτρθςθ τθσ απόςταςθσ τθσ κζςθσ ενόσ παρατθρθτι από τθ βάςθ του κτιρίου και ςτθ μζτρθςθ τθσ γωνίασ φψουσ του κτιρίου από τθν κζςθ του παρατθρθτι ι ςε κάποια άλλθ μζκοδο. Μοντελοποιοφν τθν κατάςταςθ και με τθ χριςθ των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν υπολογίηουν το φψοσ του κτιρίου. Συγκρίνουν τισ μεκόδουσ και τα αποτελζςματα τθσ κάκε ομάδασ. Τα πικανόν διαφορετικά αποτελζςματα του φψουσ του κτιρίου από τισ διαφορετικζσ ομάδεσ των μακθτϊν μπορεί να αποτελζςουν μία αφορμι προσ ςυηιτθςθ για τθν προςεγγιςτικι φφςθ τθσ μζτρθςθσ και τθ ςφνδεςθ με ζννοιεσ τθσ ςτατιςτικισ, όπωσ για παράδειγμα ποιοσ αρικμόσ κα μποροφςε να αντιπροςωπεφει το φψοσ του

Πταν ανυψϊνουν το μοιρογνωμόνιο για να ςτοχεφςουν μζςα από το καλαμάκι το άκρο ενόσ ψθλοφ αντικειμζνου, θ γωνία ανφψωςθσ είναι θ ςυμπλθρωματικι τθσ οξείασ γωνίασ που δείχνει το ςκοινί με το βαρίδι

Επιλογι και χριςθ εργαλείων Διεργαςία μοντελοποίθςθσ Διεργαςία επικοινωνίασ

Δθμιουργία ςυνδζςεων με άλλεσ μακθματικζσ περιοχζσ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

215

κτιρίου π.χ. θ διάμεςοσ ι μζςθ τιμι των μετριςεων.

Βϋ Γυμναςίου: Πεηοπορία ςτο βουνό (ΠΜΑ: Μ6, Μ8) Αρχικά γίνεται μία αναφορά από τον διδάςκοντα για τουσ χάρτεσ (τοπογραφικοί, πεηοπορικοί κ.λπ.) που παρουςιάηουν ιςοχψείσ καμπφλεσ (contour lines) και πϊσ ςχετίηονται αυτζσ με το φψοσ διαφόρων ςθμείων μιασ περιοχισ και το ανάγλυφο τθσ περιοχισ. Στο παράδειγμα τθσ εικόνασ 36 οι ιςοχψείσ καμπφλεσ δείχνουν όλα τα ςθμεία τθσ επιφάνειασ του βουνοφ που βρίςκονται ςτο ίδιο φψοσ ςε ςχζςθ με τθν κάλαςςα, για παράδειγμα 100 m από τθν επιφάνεια τθσ κάλαςςασ. Θ ιςοδιάςταςθ ςτο παράδειγμα αυτό είναι ίςθ με 10 m, δθλαδι από τθν μία ιςοχψι καμπφλθ ςτθν επόμενθ υπάρχει υψομετρικι διαφορά 10 m. Οι κλίμακεσ που ζχουν οι χάρτεσ, ςε αυτζσ τισ περιπτϊςεισ, δεν διαφζρουν από τουσ απλοφσ χάρτεσ και αναφζρονται ςε οριηόντιεσ αποςτάςεισ.

Εικόνα 36 Κατόπιν παρουςιάηεται θ παρακάτω δραςτθριότθτα: Συνοδευτικό αρχείο «Δφο ομάδεσ πεηοπόρων ζκαναν μια μζρα πεηοπορία ςτο εργαςίασ: Βϋ Γυμναςίου βουνό. Ζχουν ςτθν διάκεςι τουσ χάρτεσ πεηοπορίασ, όπωσ - Τριγωνομετρία αυτόν τθσ εικόνασ 37. Ξεκίνθςαν ταυτόχρονα από το ςθμείο Ρεηοπορία ςτο βουνό Α, που βρίςκεται ςτα βόρεια του βουνοφ και ςε υψόμετρο (ΡΜΑ Μ6, Μ8).doc 1.600 m και κζλουν να καταλιξουν ςτο ςθμείο Β, που βρίςκεται προσ το νότιο μζροσ του βουνοφ. Θ μία ομάδα ακολοφκθςε το μονοπάτι που οδθγεί ςτθν κορυφι Κ του βουνοφ (κόκκινθ διαδρομι) και μετά ςτο ςθμείο Β, ενϊ θ άλλθ το μονοπάτι που πάει περιμετρικά κατά μικοσ τθσ ιςομετρικισ καμπφλθσ, γφρω από τθν κορυφι (μπλε διαδρομι). Θ κορυφι του βουνοφ βρίςκεται ςε φψοσ 1.940 m.» Οι μακθτζσ αιτιολογοφν πιο είναι το πιο ανθφορικό και το λιγότερο ανθφορικό κομμάτι τθσ διαδρομισ που ζκανε θ ομάδα που πζραςε από τθν κορυφι. Επίςθσ υπολογίηουν προςεγγιςτικά το μικοσ τθσ κάκε διαδρομισ και εξθγοφν τον

Διεργαςίεσ μοντελοποίθςθσ και επικοινωνίασ

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

216

τρόπο εργαςίασ τουσ. Αν ο διδάςκων το κρίνει ςκόπιμο ηθτάει από τουσ μακθτζσ να ςυηθτιςουν τισ παραδοχζσ και τισ απλοποιιςεισ που ζχει θ μοντελοποιθμζνθ κατάςταςθ ςε ςχζςθ με τθν πραγματικότθτα.

Εικόνα 37

Βϋ Γυμναςίου: Ο πφργοσ τθσ Πίηασ (ΠΜΑ: Μ6) Ζνα ηωγράφοσ δοκιμάηει να ηωγραφίςει τον κεκλιμζνο πφργο τθσ Ρίηασ. Το φψοσ του πφργου είναι 60 m και το φψοσ που ζχει τϊρα, λόγω τθσ απόκλιςθσ από τθν κατακόρυφθ, είναι 59,8 m. Στο ςχζδιό του το φψοσ του πφργου κζλει να είναι 30 cm. Αν εςφ ιςουν ο ηωγράφοσ πόςο κα ςχεδίαηεσ το κατακόρυφο φψοσ; Ρϊσ κα ιςουν ςίγουροσ ότι με αυτζσ τισ διαςτάςεισ ο πφργοσ τθσ ηωγραφιάσ κα γζρνει όπωσ ο πφργοσ τθσ Ρίηασ;

Γϋ Γυμναςίου. Μζτρθςθ απρόςιτων αποςτάςεων (ΠΜΑ: Μ5) Οι μακθτζσ προςπακοφν να βρουν τρόπουσ για να υπολογίςουν το φψοσ ενόσ λόφου ι βουνοφ, που βρίςκεται

Οι αποςτάςεισ που μετράνε οι μακθτζσ ςτον χάρτθ αντιπροςωπεφουν οριηόντιεσ αποςτάςεισ και όχι αποςτάςεισ πάνω ςτθν πλαγιά του βουνοφ.

Γϋ Κφκλοσ – Γεωμετρία και Μετριςεισ

217

κοντά ςτο ςχολείο τουσ. Εργαηόμενοι ςε ομάδεσ μελετοφν το Διεργαςία επικοινωνίασ πρόβλθμα και ανταλλάςουν απόψεισ μεταξφ τουσ και με τισ άλλεσ ομάδεσ για τα προβλθματικά ςθμεία τθσ κατάςταςθσ (π.χ. δεν είναι δυνατι θ μζτρθςθ τθσ απόςταςθσ τθσ κζςθσ ενόσ παρατθρθτι από τθν κατακόρυφο που διζρχεται από Επιλογι και χριςθ εργαλείων τθν κορυφι του βουνοφ ι οι γωνίεσ παρατιρθςθσ, για παρατθρθτζσ που δεν απζχουν πολφ μεταξφ τουσ, δεν ζχουν ςθμαντικι διαφορά). Διεργαςία Με τθ χριςθ του οργάνου μζτρθςθσ γωνιϊν – κλίςεων (βλ. αντίςτοιχθ δραςτθριότθτα Βϋ Γυμναςίου) και τθ χριςθ μετροταινιϊν κάνουν μετριςεισ (τισ γωνίεσ φ και ω του παρακάτω ςχιματοσ και τθν ΑΒ). Εναλλακτικά, αν θ μζτρθςθ τθσ απόςταςθσ ΑΒ είναι δφςκολθ, ζνασ χάρτθσ τθσ περιοχισ και θ αξιοποίθςθ τθσ κλίμακασ του, κα τουσ επιτρζψει να υπολογίςουν τθν ΑΒ. Μοντελοποιοφν τθν κατάςταςθ και με τθ χριςθ των γνϊςεων που ζχουν από τθν τριγωνομετρία επιλφουν το πρόβλθμα και ςυηθτοφν για διαφορετικζσ λφςεισ που μπορεί να ζχουν οι ομάδεσ.

μοντελοποίθςθσ

Γϋ Γυμναςίου: Τπολογιςμόσ ςτοιχείων τριγϊνου (ΠΜΑ: Μ4, Μ5) Οι μακθτζσ εξετάηουν αν καταςκευάηεται ζνα μόνο τρίγωνο ΑΒΓ με ςτοιχεία ΑΒ=9 cm, ΒΓ=6 cm και γωνία ΒΑΓ=300.. Δικαιολογοφν γιατί προκφπτουν δφο διαφορετικά τρίγωνα με αυτά τα ςτοιχεία, με βάςθ τον νόμο των θμιτόνων και τθ ςχζςθ που ζχουν τα θμίτονα των παραπλθρωματικϊν γωνιϊν. Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από τα υπάρχοντα ςχολικά βιβλία και τα βιβλία κακθγθτι. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

218

΢τοχαςτικά μακθματικά ΢τατιςτικι Βαςικά κζματα: Δεδομζνα, Μζτρα κζςθσ, Μεταβλθτότθτα ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Κακθμερινά οι άνκρωποι βομβαρδίηονται με διάφορεσ δθμοςκοπιςεισ, παρουςιάςεισ ςτατιςτικϊν διαγραμμάτων ςτον τφπο, αναφορζσ ςτθν ζννοια του «μζςου ανκρϊπου», ενϊ κάποιοι παίρνουν αποφάςεισ βαςιηόμενοι ςε μελζτεσ που ςτθρίηονται ςτθν ςτατιςτικι και τισ πικανότθτεσ, όπωσ οι γιατροί. Ζνα ςφγχρονο πρόγραμμα ςπουδϊν πρζπει να παρζχει τθν δυνατότθτα ςτουσ μακθτζσ , αυριανοφσ πολίτεσ, να κατανοοφν τισ βαςικζσ ζννοιεσ και τισ διαδικαςίεσ τθσ Στατιςτικισ, ϊςτε να είναι ςε κζςθ να κατανοοφν και να ελζγχουν κριτικά τα αποτελζςματα που παρουςιάηονται, τισ ερμθνείεσ και τα ςυμπεράςματα που εξάγονται με βάςθ διάφορεσ ςτατιςτικζσ μελζτεσ. Στόχοσ αυτισ τθσ ενότθτασ είναι θ ανάπτυξθ του ςτατιςτικοφ ςυλλογιςμοφ και μαηί με τθν διδαςκαλία των πικανοτιτων ςτοχεφει ςτθν ανάπτυξθ τθσ μθ ντετερμινιςτικισ ςκζψθσ. Ραράλλθλα ςτόχοσ είναι και θ ανάπτυξθ των απαραίτθτων μακθματικϊν εργαλείων που κα ςυμβάλλουν ςτα παραπάνω. Γενικά θ ενότθτα αυτι προςφζρεται ϊςτε οι μακθτζσ να ζλκουν ςε επαφι με εφαρμογζσ των μακθματικϊν και μζςα από αυτζσ να δοφνε τθ ςθμαςία και το ρόλο τουσ ςτθν οργάνωςθ και ανάπτυξθ τθσ κοινωνίασ. Αυτό μπορεί να ςυντελζςει ςτθν αλλαγι τθσ ςτάςθσ τουσ και των πεποικιςεων τουσ απζναντι ςτα μακθματικά. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Στο Δθμοτικό, από τισ μικρζσ κιόλασ τάξεισ, οι μακθτζσ ζχουν εμπλακεί8 με ζννοιεσ τθσ ςτατιςτικισ. Ζχουν αςχολθκεί με: 

τα είδθ των δεδομζνων (ποιοτικά, διακριτά ποςοτικά και ςυνεχι ποςοτικά)



τρόπουσ οργάνωςθσ τουσ (πίνακεσ ςυχνοτιτων, ςχετικϊν ςυχνοτιτων και απλζσ ομαδοποιιςεισ)



τρόπουσ αναπαράςταςισ τουσ (εικονογράμματα, ραβδογράμματα, ςθμειογράμματα, διαγράμματα ςυχνοτιτων) και ερμθνείασ αυτϊν



τα μζτρα κζςθσ (επικρατοφςα τιμι, μζςθ τιμι, διάμεςοσ)



το εφροσ για να περιγράψουν τθν μεταβλθτότθτα των δεδομζνων

Ο διδϊςκων θα πρϋπει να λϊβει υπ’ όψη ότι όςα αναφϋρονται ςτην ενότητα αυτό ςχετύζονται με το ςυγκεκριμϋνο Π΢. Κατϊ την διδαςκαλύα τησ ςτατιςτικόσ ςτο Δημοτικό το προηγούμενο Π΢ ϊρχιζε από την Δ΄ τϊξη και δεν περιελϊμβανε την διατύπωςη ερωτημϊτων, την οργϊνωςη με απλϋσ ομαδοποιόςεισ, τα ςημειογρϊμματα, την διϊμεςο, την ϋννοια του δεύγματοσ και του πληθυςμού. Με το ςυγκεκριμϋνο Π΢ η εμπλοκό των μαθητών με την ςτατιςτικό ξεκινϊει από το νηπιαγωγεύο. Ομούωσ, με βϊςη το προηγούμενο Π΢, η διδαςκαλύα τησ ςτατιςτικόσ ςτο Γυμνϊςιο περιορύζονταν ςτην Β΄ τϊξη. 8

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

219

Επίςθσ ζχουν προβεί ςε διατφπωςθ ερωτθμάτων που μποροφν να απαντθκοφν μζςα από ςυλλογι δεδομζνων, ζχουν ςυλλζξει δεδομζνα και ζχουν βγάλει ςυμπεράςματα βαςιηόμενοι ςε αυτά. Επιπλζον διακρίνουν το δείγμα από τον πλθκυςμό. Στθν Αϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα διατυπϊςουν πιο ςφνκετα ερωτιματα, κα ςυλλζξουν κατάλλθλα δεδομζνα από το ςχολικό περιβάλλον, κα καταςκευάςουν απλά κυκλικά διαγράμματα και χρονοδιαγράμματα, κα αναπτφξουν μεκόδουσ προςδιοριςμοφ των μζτρων κζςθσ πζρα από τισ υπολογιςτικζσ. Επίςθσ κα αρχίςουν να αναπτφςςουν μία κριτικι ςτάςθ απζναντι ςε παραπλανθτικζσ παρουςιάςεισ δεδομζνων. Στθν Βϋ τάξθ κα διατυπϊςουν ερωτιματα και κα ςυλλζξουν δεδομζνα που αφοροφν το ευρφτερο κοινωνικό τουσ περιβάλλον, κα καταςκευάςουν κυκλικά διαγράμματα και διαγράμματα διαςποράσ, κα διερευνιςουν ιδιότθτεσ τθσ μζςθσ τιμισ ενϊ παράλλθλα κα αρχίςουν να εξετάηουν κριτικά ςτατιςτικζσ ζρευνεσ και τισ ερμθνείεσ τουσ. Στθν Γϋ τάξθ κα καταςκευάςουν ιςτογράμματα και κα γνωρίςουν τθν ζννοια τθσ μζςθσ απόλυτθσ απόκλιςθσ, για να περιγράψουν ποςοτικά τθν μεταβλθτότθτα των δεδομζνων. Κα εμπλακοφν με τθν ζννοια τθσ αντιπροςωπευτικότθτασ ενόσ δείγματοσ και κα διεξάγουν ςτατιςτικι ζρευνα ςυνδυάηοντασ τισ μεκόδουσ και τα εργαλεία που ζμακαν ςτο Γυμνάςιο. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςε ςχζςθ με τθν ςτατιςτικι μπορεί να ςχετίηονται με:

 τθν ανάγνωςθ και/ι τθν ερμθνεία των διάφορων γραφθμάτων που χρθςιμοποιοφνται ςτθν ςτατιςτικι. Για να μπορζςουν να διαβάςουν πλθροφορίεσ και να εξάγουν ςυμπεράςματα απ’ αυτά, κα πρζπει οι μακθτζσ να γνωρίηουν κάποιεσ από τισ ςυμβάςεισ που υπάρχουν ςχετικά με τθν ςχεδίαςι τουσ. Για παράδειγμα, ότι ςτο ιςτόγραμμα οι ςτιλεσ αντιπροςωπεφουν ζνα ςφνολο δεδομζνων που ανικουν ςε ζνα ςυγκεκριμζνο διάςτθμα. Ρολφ ςυχνά οι μακθτζσ βλζπουν και αντιμετωπίηουν τα διαγράμματα ωσ «εικόνεσ» και όχι ωσ εργαλεία από τα οποία μποροφν να μάκουν κάτι για ζνα ςφνολο δεδομζνων ι να βρουν ςυγκεκριμζνεσ πλθροφορίεσ για ζνα πρόβλθμα.

 με τα μζτρα κζςθσ , τα οποία είναι μία όχι απλι ςτατιςτικι ζννοια. Το να μπορεί ζνασ μακθτισ να κεωριςει τθ διάμεςο ι τθ μζςθ τιμι ωσ τουσ αντιπροςϊπουσ όλθσ τθσ ςυλλογισ των δεδομζνων, ιδιαίτερα όταν ςυγκρίνει δφο άνιςα ςε πλικοσ ςφνολα δεδομζνων, είναι κάτι που χρειάηεται χρόνο και κατάλλθλεσ δραςτθριότθτεσ για να «ωριμάςει» ωσ ιδζα. Σε ςχζςθ με τθ διάμεςο υπάρχει περίπτωςθ οι μακθτζσ να ςυγχζουν τθ κζςθ τθσ και τθν τιμι τθσ. Σε ςχζςθ με τθ μζςθ τιμι οι δυςκολίεσ ενδζχεται να ςυνδζονται με ιδιότθτεσ τθσ, όπωσ το ότι θ μζςθ τιμι τθσ ζνωςθσ δφο άνιςων, όςον αφορά το πλικοσ, ςυνόλων δεδομζνων δεν είναι ίςθ με το θμιάκροιςμα των μζςων τιμϊν αυτϊν. Οι δυςκολίεσ των μακθτϊν ςε ςχζςθ με τα μζτρα κζςθσ δεν μποροφν να αντιμετωπιςτοφν αποκλειςτικά και μόνο με υπολογιςτικζσ προςεγγίςεισ.

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

220

 δυςκολίεσ που ςυνδζονται με άλλεσ μακθματικζσ ζννοιεσ, όπωσ για παράδειγμα θ ζννοια του ποςοςτοφ, του κλάςματοσ κ.λπ. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Θ ςτατιςτικι ςχετίηεται με τθν προςπάκεια κατανόθςθσ, μζτρθςθσ και περιγραφισ διαδικαςιϊν ι καταςτάςεων του πραγματικοφ κόςμου, μζςα από τθν επεξεργαςία ενόσ κατάλλθλου αρικμοφ δεδομζνων. Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να χρθςιμοποιοφν και πραγματικά δεδομζνα. Τα δεδομζνα αυτά μπορεί να τα ζχουν ςυλλζξει οι ίδιοι με δικζσ τουσ ςτατιςτικζσ ζρευνεσ , πειράματα κ.λπ. ι να προζρχονται από άλλεσ πθγζσ όπωσ οι ςτατιςτικζσ υπθρεςίεσ, το διαδίκτυο, ζρευνεσ που ζχουν κάνει άλλοι κ.λπ. Θ ςυλλογι δεδομζνων κα επιτρζψει ςτουσ μακθτζσ να εμπλακοφν ενεργά με διαδικαςίεσ τθσ ςτατιςτικισ, ενϊ παράλλθλα κα αναδυκοφν κζματα που ςχετίηονται με ζννοιζσ τθσ κακϊσ και ςε οριςμζνεσ περιπτϊςεισ με ζννοιεσ από άλλεσ μακθματικζσ περιοχζσ. Για παράδειγμα, θ ςυλλογι μετριςεων που αφοροφν π.χ. το φψοσ ι τθν ζκταςθ των χεριϊν των μακθτϊν, εκτόσ του ότι κα αποτελεί ζνα πλαίςιο αναφοράσ για να μελετιςουν ςυγκεκριμζνεσ ζννοιεσ τθσ ςτατιςτικισ, όπωσ το διάγραμμα διαςποράσ, αναδεικνφει ταυτόχρονα κζματα που ςχετίηονται με παράγοντεσ τθσ μεταβλθτότθτασ, δθλαδι τθσ διαφορετικότθτασ των δεδομζνων λόγω ςφαλμάτων ςτθ διαδικαςία μζτρθςθσ. Ραράλλθλα όμωσ οι μακθτζσ διαπραγματεφονται και κζματα μονάδων μζτρθςθσ. Θ ςυλλογι δεδομζνων δεν είναι απαραίτθτο να γίνεται μόνο κατά τθ διάρκεια διδαςκαλίασ τθσ ενότθτασ αλλά μπορεί να γίνει με αφορμι κάποια άλλθ δραςτθριότθτα (π.χ. αποτελζςματα πειράματοσ τφχθσ, προςεγγιςτικόσ υπολογιςμόσ φψουσ κτιρίου, μετριςεισ από ζνα πείραμα κ.λπ. ). Κάτι τζτοιο κα επιτρζψει ςτον διδάςκοντα να διαχειριςτεί καλφτερα τον διδακτικό χρόνο ι να δϊςει τθν ευκαιρία ςτουσ μακθτζσ να δθμιουργιςουν ςυνδζςεισ με άλλεσ μακθματικζσ ζννοιεσ ι δεςμοφσ με άλλα αντικείμενα όπωσ θ Φυςικι. Τα δεδομζνα που ςυλλζγουν οι μακθτζσ μια χρονιά μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν και κάποια επόμενθ (αρκεί να τα ζχει φυλάξει ο διδάςκων) μαηί με νζα, για να αποτελζςουν π.χ. αντικείμενο ςυγκρίςεων ι ανάπτυξθσ νζων εννοιϊν. Ζνα «ςτατιςτικό πρόβλθμα» ςυνικωσ περιλαμβάνει τα παρακάτω ςτάδια: α) Διατφπωςθ ενόσ ερωτιματοσ για εξερεφνθςθ. Κατά το ςτάδιο αυτό αποφαςίηεται και ποια δεδομζνα κα ςυλλεχκοφν για να απαντθκεί το ερϊτθμα. β) Συλλογι των δεδομζνων. Στο ςτάδιο αυτό αποφαςίηονται οι τρόποι και διαδικαςίεσ με τισ οποίεσ κα ςυλλεχκοφν τα δεδομζνα. γ) Οργάνωςθ, αναπαράςταςθ και ανάλυςθ των δεδομζνων. Κατά το ςτάδιο αυτό ςυνοψίηονται τα δεδομζνα και περιγράφονται διάφορα χαρακτθριςτικά τουσ όπωσ τα μζτρα κζςθσ, το εφροσ, μζγιςτθ – ελάχιςτθ τιμι κ.λπ. δ) Ερμθνεία των αποτελεςμάτων και εξαγωγι ςυμπεραςμάτων ςε ςχζςθ με το ερϊτθμα. Τα προθγοφμενα δεν εξελίςςονται πάντα ςειριακά. Για παράδειγμα. μπορεί να ζχουν ςυλλεχκεί δεδομζνα και μετά από κάποια ανάλυςθ να προκφψει ανάγκθ για νζα δεδομζνα. Τα ερωτιματα μπορεί να είναι πολφ γενικά ςτθν αρχι και ςτθν ςυνζχεια να γίνονται πιο ακριβι ι πιο ςφνκετα. Για παράδειγμα. οι μακθτζσ μπορεί να ςυηθτοφν ςχετικά με το ερϊτθμα «ποιοσ είναι ο χρόνοσ που χρειάηονται οι

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

221

μακθτζσ για να φτάςουν από το ςπίτι τουσ ςτο ςχολείο;». Αν ο διδάςκων ηθτιςει από τουσ μακθτζσ να εξθγιςουν διάφορουσ λόγουσ για τουσ οποίουσ οι χρόνοι των μακθτϊν κα είναι διαφορετικοί μπορεί να οδθγθκοφν ςε νζα ερωτιματα. Μπορεί π.χ. να κζςουν το ερϊτθμα «πόςο μπορεί να επθρεάηει ο καιρόσ τον χρόνο μετακίνθςθσ;» και κάποιοι μακθτζσ να κάνουν αυτι τθν ζρευνα. Τα διαγράμματα είναι ζνα βαςικό εργαλείο με το οποίο κα πρζπει να μάκουν να εργάηονται οι μακθτζσ. Στόχοσ δεν είναι μόνο να μάκουν να καταςκευάηουν τα διάφορα διαγράμματα, αλλά και να τα αναλφουν. Τα διαγράμματα είναι μια «εικόνα» των δεδομζνων και βοθκοφν να αντλιςουμε πολλζσ πλθροφορίεσ. Διαγράμματα που ζχουν χρθςιμοποιθκεί ςτο παρελκόν από τουσ μακθτζσ, όπωσ για παράδειγμα, τα ςθμειογράμματα ι τα διπλά ραβδογράμματα ςτο Δθμοτικό ςχολείο, είναι καλό να χρθςιμοποιοφνται ξανά,. Μερικζσ φορζσ χρειάηονται αρκετά διαγράμματα για να φανεί θ «ιςτορία» που διθγοφνται τα δεδομζνα, δθλαδι για να αποκαλυφτοφν τάςεισ ι χαρακτθριςτικά που μπορεί να υπάρχουν. Θ χριςθ λογιςτικϊν προγραμμάτων, όπωσ το Excel , με τα οποία μποροφν να δθμιουργθκοφν πολλά και διαφορετικά διαγράμματα και τα οποία ενθμερϊνονται αυτόματα όταν αλλάηουν τα δεδομζνα, ι κατάλλθλων μικρϊν εφαρμογϊν από το διαδίκτυο, είναι κάτι που βοθκάει ςτθν κατανόθςθ τθσ ςθμαςίασ των διαγραμμάτων. Με βάςθ διαγράμματα όπωσ τα ςθμειογράμματα και τα διαγράμματα ςυχνοτιτων, οι μακθτζσ κα πρζπει να ςυνθκίςουν να κάνουν παρατθριςεισ ςχετικά με τον τρόπο που εμφανίηονται να είναι κατανεμθμζνα τα δεδομζνα και να περιγράφουν διάφορα χαρακτθριςτικά. Για παράδειγμα, να περιγράφουν τθν περιοχι ζκταςθσ των δεδομζνων, να περιγράφουν περιοχζσ που είναι ςυγκεντρωμζνα πολλά δεδομζνα ι περιοχζσ που δεν εμφανίηονται δεδομζνα, να κοιτοφν για δεδομζνα που να είναι απομακρυςμζνα ςε ςχζςθ με τα υπόλοιπα κ.λπ. Οι περιγραφζσ κα πρζπει να ςχετίηονται με το πλαίςιο του προβλιματοσ που εξετάηουν ενϊ αν ζχουν υπολογιςτεί κάποια άλλα χαρακτθριςτικά των δεδομζνων να ςυνδζονται με αυτά. Για παράδειγμα, ζςτω ότι εξετάηουν τα αποτελζςματα τθσ μζτρθςθσ που ζκαναν 21 μακθτζσ ςτθν περίμετρο του κεφαλιοφ ενόσ ςυγκεκριμζνου ςυμμακθτι τουσ. Οι μετριςεισ ζγιναν με ακρίβεια ½ cm και τα αποτελζςματα ζχουν παραςτακεί με ςθμειόγραμμα, ενϊ ζχουν υπολογιςτεί θ διάμεςοσ τιμι των μετριςεων (55 cm) και θ μζςθ τιμι των μετριςεων (≈55,3 cm) και ζχουν παραςτακεί ςτο διάγραμμα με τθν κόκκινθ γραμμι και το μπλε τριγωνάκι αντίςτοιχα.

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

222

Κάποιεσ από τισ παρατθριςεισ και τισ περιγραφζσ που κα μποροφςαν να κάνουν είναι οι παρακάτω: 

Οι μετριςεισ του κεφαλιοφ του …. κυμαίνονται από 53 cm μζχρι και 59 cm, δθλαδι υπάρχουν 21 μετριςεισ ςε ζνα διάςτθμα πλάτουσ 6 cm. Οι μετριςεισ είναι διαφορετικζσ μεταξφ τουσ γιατί μπορεί κατά τθν διαδικαςία μζτρθςθσ να μθν τοποκζτθςαν ςτα ίδια ςθμεία του κεφαλιοφ τθν μεηοφρα, άλλοι να χρθςιμοποίθςαν μεηοφρα και άλλοι ςχοινί, να μθν κοιτοφςαν τθν ζνδειξθ τθσ μζτρθςθσ με τθν ίδια οπτικι γωνία, να μθν ςτρογγυλοποίθςαν ςωςτά κ.λπ., δθλαδι προζκυψαν διαφορετικζσ μετριςεισ λόγω ςφαλμάτων μζτρθςθσ.



Οι περιςςότερεσ από τισ μετριςεισ είναι ςυγκεντρωμζνεσ ςτθν «περιοχι» από 54 cm ζωσ 56 cm. Συγκεκριμζνα 16 μετριςεισ από τισ 21 είναι ςυγκεντρωμζνεσ ςε «περιοχι» πλάτουσ 2 cm. Στθν «περιοχι» αυτι ανικουν θ διάμεςοσ τιμι των μετριςεων και θ μζςθ τιμι των μετριςεων.



Κάποιεσ από τισ μετριςεισ είναι απομακρυςμζνεσ από τθν «κεντρικι περιοχι» των μετριςεων. Αυτό ίςωσ να οφείλεται ςε μεγάλα ςφάλματα μζτρθςθσ.



Θ διάμεςοσ τιμι των μετριςεων είναι 55 cm, δθλαδι 10 από τισ 21 μετριςεισ είναι κάτω από τα 55 cm ςε «περιοχι» πλάτουσ 2 cm και 10 από τισ υπόλοιπεσ 21 μετριςεισ είναι πάνω από τα 55 cm ςε «περιοχι» πλάτουσ 4 cm.

Τα παραπάνω είναι άτυπεσ περιγραφζσ τθσ κατανομισ και ζχουν ωσ ςκοπό να βοθκιςουν τουσ μακθτζσ να βλζπουν τα δεδομζνα ωσ κάτι ενιαίο αλλά ταυτόχρονα και με επιμζρουσ χαρακτθριςτικά. Επίςθσ προςβλζπουν ςτο να εξετάηουν με άτυπο τρόπο, κζματα που ςχετίηονται με τθν διαςπορά και τθν μεταβλθτότθτα των δεδομζνων. Θ μεταβλθτότθτα είναι πανταχοφ παροφςα ςτα δεδομζνα και αυτόσ είναι ζνασ από τουσ λόγουσ φπαρξθσ τθσ Στατιςτικισ. Υπάρχουν διαφορετικζσ πθγζσ από τισ οποίεσ προκφπτει θ μεταβλθτότθτα ςτα δεδομζνα και κάποιεσ απ’ αυτζσ είναι:

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

223



Θ μεταβλθτότθτα λόγω μετριςεων. Αιτίεσ γι’ αυτό αναφζρκθκαν ςτο προθγοφμενο παράδειγμα.



Θ φυςικι μεταβλθτότθτα. Τα άτομα είναι διαφορετικά. Οι άνκρωποι ζχουν διαφορετικά φψθ, διαφορετικζσ ςυνικειεσ, γνϊμεσ, ικανότθτεσ κ.λπ. Σπόροι από τθν ίδια ποικιλία κα αναπτυχκοφν διαφορετικά ακόμα και αν είναι ςτο ίδιο περιβάλλον.



Μεταβλθτότθτα θ οποία ζχει προκλθκεί από κάποιον παράγοντα. Αν φυτζψουμε ςπόρουσ τθσ ίδιασ ποικιλίασ ςε δφο μζρθ με διαφορετικό κλίμα και παρατθριςουμε διαφορά ςτον τρόπο ανάπτυξθσ των φυτϊν αυτι θ διαφορά μπορεί να οφείλεται ςτθ φυςικι μεταβλθτότθτα ι ςτο γεγονόσ ότι οι τοποκεςίεσ δεν είναι ίδιεσ ι ςε κάποιον άλλο παράγοντα. Ρροςεκτικοί ςχεδιαςμοί πειραμάτων ι ερευνϊν μπορεί να βοθκιςουν ςτον προςδιοριςμό τθσ επίδραςθσ των διαφόρων παραγόντων.



Μεταβλθτότθτα λόγω δειγματολθψίασ. Το ζνα δείγμα κα διαφζρει από το άλλο.

Για να περιγραφεί ποςοτικά θ μεταβλθτότθτα χρθςιμοποιοφνται τα μζτρα διαςποράσ. Στθν Γϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα τθν περιγράψουν με τθν μζςθ απόλυτθ απόκλιςθ που είναι το πθλίκο του ακροίςματοσ των αποςτάςεων των δεδομζνων από τθν μζςθ τιμι προσ το πλικοσ των δεδομζνων. Δθλαδι, θ μζςθ απόςταςθ που ζχουν τα δεδομζνα από τθν μζςθ τιμι. Σχετικά με τθν διδαςκαλία των μζτρων κζςθσ, θ μζςθ τιμι μπορεί να παρουςιαςτεί με τθ χριςθ τθσ μεταφοράσ τθσ «δίκαιθσ μοιραςιάσ». Ρ.χ. οι βακμοί ενόσ μακθτι ςε ζνα μάκθμα κάκε τρίμθνο μετράνε το ίδιο για τθν εξαγωγι του βακμοφ ςτο μάκθμα αυτό ςτο τζλοσ του ζτουσ. Επίςθσ χρειάηεται να παρουςιαςτεί και ωσ «το ςθμείο ιςορροπίασ» των δεδομζνων. Αυτό μπορεί να γίνει με τθν χριςθ ενόσ φυςικοφ μοντζλου, όπωσ είναι ζνασ χάρακασ πάνω ςε μία κυρτι επιφάνεια, λίγα ίδια κζρματα και θ προςπάκεια διατιρθςθσ τθσ ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ (εικόνα 1).

Εικόνα 1

Το ςθμείο ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ είναι το αντίςτοιχο τθσ μζςθσ τιμισ των δεδομζνων. Τα δεδομζνα μπορεί να παρουςιαςτοφν ότι ζχουν τιμι ίςθ με τθν ζνδειξθ του χάρακα ςτθ κζςθ που τοποκετείται το κάκε νόμιςμα, οπότε θ μζςθ τιμι τουσ κα είναι θ ζνδειξθ του χάρακα εκεί που ιςορροπεί το ςφςτθμα.

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

224

Για να διατθρθκεί θ ιςορροπία του ςυςτιματοσ όταν τοποκετοφμε ζνα νζο νόμιςμα ςε κάποια απόςταςθ από το κζντρο ιςορροπίασ, πρζπει να τοποκετιςουμε ςτθν αντίκετθ κατεφκυνςθ: ζνα ίδιο νόμιςμα ςτθν ίδια απόςταςθ ι δφο ίδια νομίςματα ςτο μιςό τθσ απόςταςθσ ι τρία ίδια νομίςματα ςτο 1/3 τθσ απόςταςθσ κ.λπ. Οι εικόνεσ 2, 3, 4 και 5 δείχνουν κατά ςειρά αυτζσ τισ καταςτάςεισ με ςθμειογράμματα για κάποια δεδομζνα και τθν μζςθ τιμι να αναπαρίςταται με το μπλε τρίγωνο.

Εικόνα 2

Εικόνα 3

Εικόνα 4 Εικόνα 5

Αν τοποκετιςουμε μόνο ζνα νόμιςμα ςε κάποια απόςταςθ από το ςθμείο ιςορροπίασ τότε το κζντρο ιςορροπίασ του νζου ςυςτιματοσ κα μετακινθκεί προσ τθν κατεφκυνςθ που τοποκετιςαμε το νζο νόμιςμα. Οι εικόνεσ 6 και 7 δείχνουν κατά ςειρά αυτζσ τισ καταςτάςεισ με ςθμειογράμματα, όπου όταν προςτζκθκε ζνα νζο δεδομζνο με τιμι 5, θ νζα μζςθ τιμι μετακινικθκε προσ τθν κατεφκυνςθ του 5 και ζγινε 5,75 .

Εικόνα 6

Εικόνα 7

Θ μζςθ τιμι και θ διάμεςοσ πρζπει να παρουςιάηονται ωσ αντιπρόςωποι του ςυνόλου των δεδομζνων. Ζνα πλαίςιο που κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ να δθμιουργιςουν αυτι τθν εικόνα, είναι αυτό των επαναλαμβανόμενων μετριςεων του ίδιου αντικειμζνου, όπου θ μζςθ τιμι ι θ διάμεςοσ προβάλει ωσ ο αντιπρόςωποσ όλων των μετριςεων. Ευκαιρίεσ για κάτι τζτοιο προςφζρονται όταν οι μακθτζσ κάνουν π.χ. κάποια μζτρθςθ ςτθν Γεωμετρία. Επίςθσ οι ςυγκρίςεισ δφο ομάδων (π.χ. αγόρια – κορίτςια) ωσ προσ κάποιο χαρακτθριςτικό. Στθν Αϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα πρζπει να αςχολθκοφν με δραςτθριότθτεσ που κα τουσ επιτρζψουν να αναπτφξουν τεχνικζσ εικαςίασ ι/ και προςδιοριςμοφ τθσ μζςθσ τιμισ και τθσ διαμζςου μζςα από τισ αναπαραςτάςεισ των δεδομζνων ϊςτε να μθν εργάηονται μόνον αλγορικμικά. Κα πρζπει να δουλζψουν και με τθν παρουςίαςθ τθσ μζςθσ τιμισ ωσ «δίκαιθσ μοιραςιάσ» και να αρχίςουν να δουλεφουν με τθν μζςθ τιμι ωσ το ςθμείο ιςορροπίασ των δεδομζνων. Στθν Βϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα διερευνιςουν ιδιότθτεσ τθσ μζςθσ τιμισ όπωσ τθν μεταβολι τθσ όταν προςτίκενται – πολλαπλαςιάηονται όλα τα δεδομζνα με τον ίδιο αρικμό. Επίςθσ κα πρζπει να εμπλακοφν με δραςτθριότθτεσ κατά τισ οποίεσ κα

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

225

αναγνωρίςουν ότι αν δφο ομάδεσ είναι άνιςεσ ςε πλικοσ τότε θ μζςθ τιμι του ςυνόλου των δφο ομάδων δεν είναι ίςθ με το θμιάκροιςμα των μζςων τιμϊν των δφο ομάδων. Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να αποκτιςουν μια κριτικι ςτάςθ απζναντι ςτα ςυμπεράςματα που παρουςιάηονται με βάςθ διάφορεσ ςτατιςτικζσ μελζτεσ είτε ςτον τφπο είτε αλλοφ. Τα διαγράμματα ι τα γραφιματα που ςυνοδεφουν ςτατιςτικζσ πλθροφορίεσ μπορεί να παρουςιάηουν κελθμζνα ι ακζλθτα μια εντελϊσ παραπλανθτικι ιςτορία. Αυτό μπορεί να ςχετίηεται: 

με τθν κλίμακα του διαγράμματοσ (εικόνα 8).



με τθν μεταβολι του εμβαδοφ όταν μεταβάλλονται οι γραμμικζσ διαςτάςεισ κατά τον ίδιο αρικμό. Συνικωσ εμφανίηονται εικόνεσ ι κφκλοι αλλά θ ςχζςθ των μεγεκϊν δεν είναι τζτοια που να δικαιολογεί τθν «εντφπωςθ» που αφινει θ ςφγκριςθ των επιφανειϊν των εικόνων ι των κφκλων (εικόνα 9). Στισ περιπτϊςεισ αυτζσ κα ζπρεπε να χρθςιμοποιοφνται ραβδογράμματα ι διαγράμματα ςυχνοτιτων, γιατί θ μία διάςταςθ παραμζνει ςτακερι. Τζτοια λανκαςμζνα ι παραπλανθτικά διαγράμματα εμφανίηονται κατά καιροφσ ςε εφθμερίδεσ (κυρίωσ ςτα οικονομικά κζματα), ςε διαφθμίςεισ κ.λπ. Το ηιτθμα διδακτικά μπορεί να ςυνδεκεί με τθν Γεωμετρία και τθν Άλγεβρα ηθτϊντασ π.χ. να δθμιουργιςουν νζα διαγράμματα με βάςθ τισ ςχζςεισ των μεγεκϊν ϊςτε οι επιφάνειεσ των εικόνων, κφκλων κ.λπ. να είναι ανάλογεσ προσ αυτζσ τισ ςχζςεισ.

Εικόνα 8

Εικόνα 9

Στθν Βϋ τάξθ οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τα διαγράμματα διαςποράσ τα οποία παρουςιάηουν ταυτόχρονα δφο ποςοτικά χαρακτθριςτικά τθσ ίδιασ περίπτωςθσ π.χ. το φψοσ και θ ζκταςθ των χεριϊν ενόσ ανκρϊπου. Μζςω αυτϊν μελετάται θ ςυςχζτιςθ (δθλ. θ ςχζςθ) που μπορεί να ζχουν τα δφο χαρακτθριςτικά. Αυτό που ζχει ςθμαςία είναι να παρατθριςουν οι μακθτζσ τθν ςυμμεταβολι των δφο χαρακτθριςτικϊν. Για να γίνει αυτό χωρίηουν τα ςθμεία του διαγράμματοσ

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

226

διαςποράσ ςε «τεταρτθμόρια» με δφο ευκείεσ που διζρχονται από τθν μζςθ τιμι του κάκε χαρακτθριςτικοφ (εικόνα 10).

Εικόνα 10

Ρεριγράφουν το τι ςθμεία περιλαμβάνει το κάκε τεταρτθμόριο π.χ. το πάνω αριςτερά περιλαμβάνει ςθμεία που αντιςτοιχοφν ςε ανκρϊπουσ με φψοσ κάτω από τον μζςο όρο του φψουσ (γιατί βρίςκονται αριςτερά τθσ κατακόρυφθσ ευκείασ που διζρχεται από τθν μζςθ τιμι του φψουσ) και ταυτόχρονα με ζκταςθ χεριϊν πάνω από τον μζςο όρο τθσ ζκταςθσ χεριϊν (γιατί βρίςκονται πάνω από τθν οριηόντια ευκεία). Τα περιςςότερα ςθμεία του ςυγκεκριμζνου διαγράμματοσ βρίςκονται ςτο κάτω αριςτερά και ςτο πάνω δεξιά τεταρτθμόριο. Δθλαδι δείχνουν ότι υπάρχει θ τάςθ κακϊσ αυξάνεται το φψοσ να αυξάνεται θ ζκταςθ των χεριϊν. Θ ςυςχζτιςθ ςτθν προθγοφμενθ περίπτωςθ χαρακτθρίηεται κετικι. Αν θ τάςθ είναι κακϊσ αυξάνεται το ζνα χαρακτθριςτικό να μειϊνεται το άλλο θ ςυςχζτιςθ χαρακτθρίηεται αρνθτικι και τα περιςςότερα ςθμεία κα βρίςκονται ςτα πάνω αριςτερά και κάτω δεξιά τεταρτθμόρια. Ραράδειγμα αρνθτικισ ςυςχζτιςθσ είναι θ διάρκεια ηωισ των ηωντανϊν οργανιςμϊν και θ μόλυνςθ ςε μια περιοχι. Μπορεί όμωσ να μθν είναι ευδιάκριτθ πάντα θ τάςθ που υπάρχει και αυτό εξετάηεται με άλλεσ μεκόδουσ. Να διευκρινιςτεί ότι θ ςχζςθ που ζχουν τα δφο χαρακτθριςτικά δεν είναι ςυνάρτθςθ (οι μακθτζσ αναηθτοφν ςθμεία που δείχνουν κάτι τζτοιο ι ςκζφτονται ςε ποιο οικίεσ καταςτάςεισ, όπωσ φψοσ - βάροσ), αλλά μπορεί να μοντελοποιθκεί με κάποια ςυνάρτθςθ, για να γίνουν προβλζψεισ ι να βγοφνε ςυμπεράςματα με πιο ςφνκετεσ τεχνικζσ. Μπορεί ο διδάςκων να διευκρινίςει προσ τουσ μακθτζσ με ζνα παράδειγμα, ότι δεν μποροφμε να βγάηουμε οποιαδιποτε ςυμπεράςματα επειδι υπάρχει ςυςχζτιςθ ανάμεςα ςε δφο χαρακτθριςτικά και χρειάηεται να τα εξετάηουμε με τθν κοινι λογικι. Για παράδειγμα, «ςε μία ζρευνα που ςυςχζτιηε διάρκεια ηωισ ανκρϊπων με αρικμό αυτοκινιτων, βρζκθκε ότι υπιρχε θ τάςθ οι άνκρωποι με περιςςότερα αυτοκίνθτα να ηουν και περιςςότερο. Μποροφμε να βγάλουμε το ςυμπζραςμα ότι κα είμαςτε πιο υγιείσ αν αγοράηουμε περιςςότερα αυτοκίνθτα;» Στο παράδειγμα αυτό θ ςυςχζτιςθ υπάρχει γιατί υποκρφπτεται ζνα άλλο χαρακτθριςτικό που είναι το ειςόδθμα. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: (ΠΜΑ: ΢2, ΢4, ΢5, ΢7)

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

227

Οι μακθτζσ διεξάγουν μία ζρευνα προκειμζνου να προςδιορίςουν τα «τυπικά» χαρακτθριςτικά του μακθτι τθσ Αϋ Γυμναςίου. Κακορίηουν ποια χαρακτθριςτικά κα μελετιςουν ωσ «τυπικά». Για παράδειγμα: φυςιολογικά χαρακτθριςτικά (φψοσ, μικοσ τθσ ζκταςθσ των χεριϊν, ζκταςθ δακτφλων χεριοφ κ.λπ.), ϊρεσ διαβάςματοσ, ϊρεσ ξεκοφραςθσ, εξωςχολικζσ δραςτθριότθτεσ, χρόνοσ που χρειάηονται για να πάνε ςτο ςχολείο, τρόποσ μετακίνθςθσ προσ το ςχολείο κ.λπ. Κακορίηουν αν θ μελζτθ κα αφορά τουσ μακθτζσ του τμιματοσ που ανικουν ι όλουσ τουσ μακθτζσ τθσ Αϋ Γυμναςίου του ςχολείου τουσ για να αποφαςίςουν τρόπουσ με τουσ οποίουσ κα μποροφςαν να ςυγκεντρϊςουν τα δεδομζνα και από ποιουσ. Κακορίηουν τισ διαδικαςίεσ όπωσ για παράδειγμα: Αν ζνα από τα χαρακτθριςτικά που πρόκειται να εξεταςτεί είναι «ο χρόνοσ που χρειάηονται για να πάνε από το ςπίτι τουσ ςτο ςχολείο» κα πρζπει να αποφαςίςουν για το πϊσ κα αποκτιςουν τα ςχετικά δεδομζνα. Μπορεί να ρωτάνε κάποιον και να λζει τθν προςωπικι του εκτίμθςθ ι κάκε μακθτισ να καταγράψει για πζντε θμζρεσ τουσ χρόνουσ που χρειάςτθκε και να χρθςιμοποιθκεί ο μζςοσ όροσ αυτϊν. Συηθτοφν για τα υπζρ και τα κατά των δφο μεκόδων και Διεργαςία επιχειρθματολογίασ επιχειρθματολογοφν ςχετικά. Συγκεντρϊνουν τα δεδομζνα, τα επεξεργάηονται, εξάγουν ςυμπεράςματα και παρουςιάηουν τα αποτελζςματα τθσ ζρευνάσ τουσ. Αϋ Γυμναςίου: ΢Δ1 (ΠΜΑ: ΢5) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι οι μακθτζσ να αρχίςουν να αναγνωρίηουν ότι ο τρόποσ με τον οποίο ξεκινάει θ κλίμακα του διαγράμματοσ επθρεάηει το οπτικό αποτζλεςμα που εμφανίηεται. Αυτό κάποιεσ φορζσ ζχει ςθμαςία, ειδικά αν ςυνοδεφεται από κάποια ςυμπεράςματα. Θ διλωςθ που γίνεται είναι κατά ζνα μζροσ αλθκισ. Θ εκπομπι Α είναι πιο δθμοφιλισ αλλά δεν είναι ςχεδόν 4 φορζσ πιο δθμοφιλισ από τθν Β. Το πόςεσ φορζσ πιο δθμοφιλισ είναι μποροφν οι μακθτζσ να το βρουν προςεγγιςτικά αλλά και να το δουν οπτικά αν κάνουν τα δφο διαγράμματα με κλίμακα που να ξεκινάει από το μθδζν. Αϋ Γυμναςίου: (ΠΜΑ: ΢6) Ο διδάςκων παρουςιάηει μια δραςτθριότθτα ςαν τθν παρακάτω με ςτόχο να αναπτφξουν οι μακθτζσ ικανότθτεσ να προςδιορίηουν τθν μζςθ τιμι μζςα από τθν γραφικι αναπαράςταςθ. Θ χριςθ χαρτιοφ με τετραγωνάκια κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ. Θ πτυχι τθσ μζςθσ τιμισ που παρουςιάηεται εδϊ είναι αυτι τθσ «δίκαιθσ μοιραςιάσ». Επεκτάςεισ που κα μποροφςαν να γίνουν είναι να

Διεργαςία επικοινωνίασ

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

228

δθμιουργιςουν οι μακθτζσ μία κατάςταςθ και για τρίτο μακθτι που να ζχει τον ίδιο μζςο όρο και να είναι διαφορετικι από τισ δφο άλλεσ. «Θ Μαρία ζχει γράψει ςτα Μακθματικά τζςςερα τεςτ. Το ραβδόγραμμα (εικόνα 11) παρουςιάηει τθν βακμολογία τθσ ςτα τεςτ Α, Β και Γ κακϊσ επίςθσ και τον μζςο όρο όλων των τεςτ (θ τελευταία ςκοφρα ράβδοσ).

Εικόνα 11

α) Να ςχεδιάςετε πάνω ςτο ίδιο διάγραμμα και δίπλα ςτθ βακμολογία τθσ Μαρίασ, τθ βακμολογία που ζχει ςε κάκε τεςτ ζνασ άλλοσ μακθτισ ο Γιάννθσ, αν γνωρίηετε ότι: οι βακμοί του και ςτα τζςςερα τεςτ ιταν ίςοι μεταξφ τουσ και ο Γιάννθσ και θ Μαρία ζχουν τον ίδιο μζςο όρο. β) Με βάςθ το νζο διάγραμμα που φτιάξατε, μπορείτε να ςχεδιάςετε τθν βακμολογία που ζχει θ Μαρία ςτο τεςτ Δ; Εξθγιςτε τον τρόπο που ςκεφτικατε.» Αϋ Γυμναςίου: ΢Δ2 (ΠΜΑ: ΢6, ΢7) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να δουν κάποιεσ ιδιότθτεσ τθσ μζςθσ τιμι και τθσ διαμζςου. Χρειάηεται αρκετό χρόνο για να γίνει θ δραςτθριότθτα μζχρι να εξοικειωκοφν οι μακθτζσ με το περιβάλλον, να αρχίςουν να αναπτφςςουν διάφορεσ ςτρατθγικζσ και μετά να ςκεφτοφν πάνω ςε αυτζσ και να τισ εξθγιςουν. Γι’ αυτό ο διδάςκων πρζπει ςτθν αρχι να βάλει μικροφσ ςτόχουσ για τθν δθμιουργία ςυνόλων δεδομζνων με ςυγκεκριμζνα χαρακτθριςτικά.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και γενίκευςθ Διεργαςία μεταγνωςτικισ ενθμερότθτασ

Βϋ Γυμναςίου: ΢Δ1 (ΠΜΑ: ΢3, ΢4) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να χρθςιμοποιιςουν πραγματικά δεδομζνα που κα προζρχονται από τουσ ίδιουσ για να δθμιουργιςουν το διάγραμμα διαςποράσ. Θ ανάλυςι του κα γίνει με παραπλιςιο τρόπο όπωσ ζχει περιγραφεί ςτισ διδακτικζσ οδθγίεσ. Θ δραςτθριότθτα ςτοχεφει και ςτθ δθμιουργία ςυνδζςεων με τθν Άλγεβρα με κζματα που ςχετίηονται με τθν ςυμμεταβολι και τθν ςυνάρτθςθ. Οι μακθτζσ μποροφν να

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

229

χρθςιμοποιιςουν τθν ψ=χ ωσ κάποια ςυνάρτθςθ που κα μοντελοποιοφςε τθν κατάςταςθ. Βϋ Γυμναςίου: ΢Δ2 (ΠΜΑ: ΢7) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να διερευνιςουν κυρίωσ ιδιότθτεσ τθσ μζςθσ τιμισ. Ο διδάςκων κα πρζπει να δθμιουργιςει κατάλλθλα προβλιματα για τουσ μακθτζσ για να «δουν» τθν πτυχι τθσ μζςθσ τιμισ ωσ το «ςθμείο ιςορροπίασ» των δεδομζνων, ϊςτε ςτθν επόμενθ τάξθ να ζχουν το διαιςκθτικό υπόβακρο για τθν κατανόθςθ τθσ μζςθσ απόλυτθσ απόκλιςθσ.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ και γενίκευςθ

Βϋ Γυμναςίου: ΢Δ2 (ΠΜΑ: ΢7, ΢8) Οι μακθτζσ διερευνοφν το παρακάτω πρόβλθμα και προςπακοφν να το αντιμετωπίςουν με πολλοφσ και διαφορετικοφσ τρόπουσ: «Σε μία τάξθ 30 μακθτϊν οι μακθτζσ ζχουν γράψει τεςτ και οι βακμολογίεσ τουσ είναι όπωσ δείχνει το παρακάτω ςθμειόγραμμα (εικόνα 12). Για παράδειγμα, τρεισ μακθτζσ απ’ όλθ τθν τάξθ ζχουν γράψει 15 και ζνασ μακθτισ μόνον ζχει γράψει 20. α) Ρροτείνετε τρόπουσ με τουσ οποίουσ κα προςδιοριςτεί θ μζςθ τιμι τθσ βακμολογίασ τθσ ομάδασ Α (γκρι κυκλάκια ςτο διάγραμμα), που για διάφορουσ λόγουσ είχε χαμθλι βακμολογία ςτο τεςτ. Ομοίωσ για τθν μζςθ τιμι τθσ βακμολογίασ τθσ ομάδασ Β (μπλε τετραγωνάκια ςτο διάγραμμα) β) Ρροτείνετε τρόπουσ για τον προςδιοριςμό τθσ μζςθσ τιμισ τθσ βακμολογίασ για όλθ τθν τάξθ ςτο τεςτ αυτό.»

Εικόνα 12

Βϋ Γυμναςίου: Θάνατοι από τροχαία Οι παρακάτω πίνακεσ δίνουν ςτοιχεία για τον αρικμό των κανάτων από τροχαία δυςτυχιματα ςτισ χϊρεσ τθσ Ε.Ε. και τον αρικμό των κανάτων ανά 100.000 κατοίκουσ από τροχαία δυςτυχιματα. Με βάςθ αυτοφσ τουσ πίνακεσ ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να ςχεδιάςει μια δραςτθριότθτα ϊςτε να αναδείξει τθ ςθμαςία που ζχουν όχι μόνο τα απόλυτα μεγζκθ αλλά και τα ςχετικά. Επίςθσ παράλλθλα μπορεί να αναδείξει το ςοβαρό κοινωνικό πρόβλθμα που δθμιουργείται από τα τροχαία ατυχιματα ϊςτε να ευαιςκθτοποιιςει τουσ μακθτζσ ςχετικά με αυτό το κζμα.

Συνοδευτικό αρχείο εργαςίασ: Β’ ΓυμνΣτατιςτικιΚάνατοι από τροχαία.doc

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

Τα ςτοιχεία για τον αρικμό κανάτων ζχουν παρκεί από τθ βάςθ δεδομζνων CARE τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ για τθν οδικι αςφάλεια:http://ec.europa.eu/transport/road_safety/specialist/st atistics/care_reports_graphics/index_en.htm και τα ςτοιχεία για τουσ πλθκυςμοφσ από τθν δικτυακι πφλθ Europa τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ:http://europa.eu/about-eu/countries/membercountries/netherlands/index_el.htm Στθ βάςθ CARE υπάρχουν και άλλεσ αναφορζσ με κατθγοριοποιιςεισ ανά θλικία, είδοσ οχιματοσ κ.λπ. για διάφορεσ χρονιζσ και αν διδάςκων κζλει μπορεί να ανακζςει ςτουσ μακθτζσ να κάνουν μελζτεσ ςυγκριτικζσ με κάποιεσ χϊρεσ για τουσ κανάτουσ ςε νεαρζσ θλικίεσ, που ίςωσ να ςυνδυαςτοφν και με άλλεσ δράςεισ του ςχολείου.

230

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

231

Γϋ Γυμναςίου: ΢Δ1 του Π΢ (ΠΜΑ: ΢4) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να κατανοιςουν οι μακθτζσ τθν ζννοια τθσ μζςθσ απόλυτθσ απόκλιςθσ και να τθν ςυνδζςουν με όςα γνωρίηουν από τισ προθγοφμενεσ τάξεισ Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από το υπάρχον ςχολικό βιβλίο (Μακθματικά Βϋ Γυμναςίου κεφ. 4) και το βιβλίο κακθγθτι. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Ψθφιακά εργαλεία για διάφορεσ αναπαραςτάςεισ δεδομζνων (ςθμειογράμματα, ιςτογράμματα, διαςποράσ κ.λπ.): http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00072/toepassing_wisweb/.en/.html http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00073/toepassing_wisweb.en.html http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00125/toepassing_wisweb.en.html Τα εργαλεία αυτά ζχουν και διάφορα δεδομζνα αλλά μπορεί να βάλει κάποιοσ νζα. Επίςθσ υπάρχει θ δυνατότθτα να γίνονται ςυγκρίςεισ διαφορετικϊν ομάδων.



Ψθφιακά εργαλεία για διαγράμματα διαςποράσ και ιςτογράμματα: http://nlvm.usu.edu/en/nav/category_g_3_t_5.html



Υλικό για ιδζεσ για τθν διδαςκαλία τθσ Στατιςτικισ και βάςεισ δεδομζνων από τισ οποίεσ μπορεί κανείσ να αντλιςει δεδομζνα που να αφοροφν χαρακτθριςτικά μακθτϊν διαφόρων θλικιϊν: http://www.censusatschool.org.nz/index.php http://www.censusatschool.ca/r000-eng.htm http://www.abs.gov.au/censusatschool http://www.censusatschool.org.uk/



Υλικό ςχετικό με τθν ζννοια τθσ μεταβλθτότθτασ και ιδζεσ για τθν διδαςκαλία τθσ Στατιςτικισ: http://www.amstat.org/education/gaise/



Υλικό για ιδζεσ ςχετικζσ με τθν παρουςίαςθ κεμάτων τθσ Στατιςτικισ ςτον τφπο: http://www.mercurynie.com.au/mathguys/mercury.htm

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

232

Πικανότθτεσ Βαςικά κζματα: Πείραμα τφχθσ – Δειγματικοί χϊροι, Πικανότθτα ενδεχομζνου (Αϋ και Γϋ Γυμναςίου) ΢θμαςία τθσ ενότθτασ: Στόχοσ αυτισ τθσ ενότθτασ, όπωσ και τθσ ενότθτασ τθσ Στατιςτικισ, είναι θ ανάπτυξθ ενόσ μθ ντετερμινιςτικοφ τρόπου ςκζψθσ και ςυλλογιςμοφ, που είναι αρκετά διαφορετικόσ από τθν ςυλλογιςτικι ςτθν Άλγεβρα ι τθν Γεωμετρία. Αυτό γίνεται με τθν μελζτθ «φαινομζνων» που ςχετίηονται με το τυχαίο όπωσ τα αποτελζςματα τθσ εκτζλεςθσ πειραμάτων τφχθσ παράλλθλα με τθν ανάπτυξθ μζρουσ τθσ μακθματικισ γνϊςθσ που ςχετίηεται με αυτά. Προθγοφμενθ και επόμενθ γνϊςθ: Στο Δθμοτικό οι μακθτζσ ζχουν εμπλακεί9 με πειράματα τφχθσ, διερεφνθςθ των αποτελεςμάτων τουσ και με τθν ζννοια του δειγματικοφ χϊρου. Εκφράηουν τθν πικανότθτα ενόσ ενδεχομζνου περιγραφικά (αδφνατο, βζβαιο κ.λπ.), αρικμθτικά ωσ κλάςμα, δεκαδικό ι ποςοςτό και τθν αναπαριςτοφν ςτθν αρικμογραμμι ςτο διάςτθμα μθδζν – ζνα και με κλίμακα από αδφνατο ζωσ βζβαιο ενδεχόμενο. Υπολογίηουν τθν πικανότθτα ενόσ ενδεχομζνου ωσ το κλάςμα (πλικοσ ευνοϊκϊν περιπτϊςεων)/(πλικοσ δυνατϊν περιπτϊςεων), για ιςοπίκανα ενδεχόμενα και τθ ςυγκρίνουν με τθ ςχετικι ςυχνότθτα των αποτελεςμάτων ενόσ πειράματοσ τφχθσ για μικρό και μεγάλο αρικμό επαναλιψεων. Στθν Αϋ Γυμναςίου οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με: 

το ςυςτθματικό προςδιοριςμό των δυνατϊν αποτελεςμάτων ενόσ πειράματοσ τφχθσ μζςω δενδροδιαγραμμάτων , πινάκων διπλισ ειςόδου κ.λπ. και τθν περιγραφι τουσ με διάφορουσ τρόπουσ όπωσ οι λίςτεσ (π.χ. ΚΚΓΚ)



τον υπολογιςμό πικανοτιτων βαςιηόμενοι ςτισ προθγοφμενεσ μεκόδουσ



τθ χριςθ και κατανόθςθ ςφνκετων εκφράςεων όπωσ για παράδειγμα «τουλάχιςτον..», «το πολφ..», «… ι …» κ.λπ., για ςφνκετα ενδεχόμενα



προςομοιϊςεισ πειραμάτων τφχθσ που κα τουσ κατανοιςουν πτυχζσ του νόμου των μεγάλων αρικμϊν.

επιτρζψουν να

Στθν Γϋ τάξθ κα εμπλακοφν με: 

τθ διάκριςθ ανάμεςα ςε αςυμβίβαςτα και όχι αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα



τθ διάκριςθ ανάμεςα ςε ανεξάρτθτα και εξαρτθμζνα ενδεχομζνων



τθ βαςικι αρχι απαρίκμθςθσ και τθ χριςθ τθσ για τον υπολογιςμό πικανοτιτων (π.χ. για τθν εφρεςθ του πλικουσ όλων των δυνατϊν αποτελεςμάτων αν ρίξουμε ζνα νόμιςμα επτά φορζσ ςυνεχόμενα)

Ο διδϊςκων θα πρϋπει να λϊβει υπ’ όψη ότι όςα αναφϋρονται ςτην ενότητα αυτό ςχετύζονται με το ςυγκεκριμϋνο Π΢. Με βϊςη το προηγούμενο Π΢ τα πειρϊματα τύχησ και ϋννοια τησ πιθανότητασ δεν αποτελούςαν αντικεύμενο διαπραγμϊτευςησ ςτο Δημοτικό, ενώ με το νϋο Π΢ ξεκινϊει από το νηπιαγωγεύο και την Α΄ Δημοτικού. 9

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

233

Στο Λφκειο οι μακθτζσ κα εμπλακοφν με τον λογιςμό των πικανοτιτων. Δυςκολίεσ των μακθτϊν: Μζροσ των δυςκολιϊν που ενδζχεται να ζχουν οι μακθτζσ, μπορεί να ζχουν ωσ αιτία το ότι κάποιεσ από τισ ιδζεσ που ςχετίηονται με τισ πικανότθτεσ και το τυχαίο είναι ενάντια ςτθν διαίςκθςθ, ςε πολφ μεγαλφτερο βακμό απ’ ότι ςυμβαίνει με ιδζεσ και ζννοιεσ ςε άλλεσ περιοχζσ των μακθματικϊν.. Για παράδειγμα. πολλοί μακθτζσ υποςτθρίηουν ότι ζχει μεγαλφτερθ πικανότθτα να ζρκει θ ζνδειξθ γράμματα (Γ), ςτθν επόμενθ ρίψθ ενόσ αμερόλθπτου νομίςματοσ, όταν ιδθ το ζχουμε ρίξει 4 φορζσ και ζχει ζρκει ΚΚΚΚ. Ζνα άλλο ςθμείο δυςκολίασ ζχει να κάνει με τθν εφρεςθ του δειγματικοφ χϊρου. Για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε δφο ηάρια μπορεί να μθν είναι εντελϊσ ξεκάκαρο ςτουσ μακθτζσ, ότι οι ενδείξεισ «δφο ςτο ζνα ηάρι και πζντε ςτο άλλο» μποροφν να προκφψουν με δφο διαφορετικοφσ τρόπουσ. Κάποιεσ από τισ δυςκολίεσ επίςθσ μπορεί να ςυνδζονται με δυςκολίεσ που αφοροφν άλλεσ μακθματικζσ ζννοιεσ, όπωσ για παράδειγμα τα κλάςματα, όταν κάνουν ςφγκριςθ πικανοτιτων και θ ζννοια του λόγου και τθσ αναλογίασ. Για παράδειγμα. όταν τουσ ηθτάμε τθ γνϊμθ τουσ «αν κα ζπαιηε ρόλο ποια ςακοφλα κα διαλζγαμε ϊςτε να είναι πιο πικανό να επιλζξουμε μζςα απ’ αυτι μία μαφρθ μπάλα , όταν θ ςακοφλα Α ζχει 3 μαφρεσ και 2 άςπρεσ μπάλεσ και θ ςακοφλα Β ζχει 300 μαφρεσ και 200 άςπρεσ» αρκετοί μακθτζσ υποςτθρίηουν ότι θ επιλογι τθσ ςακοφλασ Β εξαςφαλίηει μεγαλφτερθ πικανότθτα, γιατί υπάρχουν περιςςότερεσ μαφρεσ μπάλεσ απ’ ότι ςτθν ςακοφλα Α ι περιςςότερεσ μαφρεσ από άςπρεσ ςτθν ςακοφλα Β απ’ ότι ςτθν Α. Προτάςεισ για τθ διδακτικι διαχείριςθ: Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να εμπλακοφν με δραςτθριότθτεσ εκτζλεςθσ πειραμάτων τφχθσ , καταγραφισ και επεξεργαςίασ των αποτελεςμάτων τουσ εργαηόμενοι ςε ομάδεσ, ςφγκριςθσ των αποτελεςμάτων ανάμεςα ςτισ διαφορετικζσ ομάδεσ κ.λπ. Κάτι τζτοιο κα βοθκιςει εκτόσ από τθν ανάπτυξθ και κατανόθςθ κεμάτων που ςχετίηονται με τισ πικανότθτεσ και τθ ςφνδεςθ με άλλεσ ενότθτεσ όπωσ για παράδειγμα θ ςτατιςτικι. Τα πειράματα τφχθσ μποροφν να γίνουν με τθ χριςθ «φυςικϊν αντικειμζνων» (ηάρια, τροχοί τφχθσ, νομίςματα, ςακοφλεσ με ίδιεσ μπάλεσ διαφορετικϊν χρωμάτων κ.λπ.). Επίςθσ μποροφν να γίνουν με προςομοιϊςεισ ςε μικρό χρονικό διάςτθμα με τθ βοικεια νζων τεχνολογιϊν κάτι που προςφζρεται ιδιαίτερα για κάποιεσ καταςτάςεισ. Ρ.χ. θ εκτζλεςθ ενόσ πειράματοσ για μικρό και μεγάλο αρικμό επαναλιψεων, μπορεί να αναδείξει ιδιότθτεσ όπωσ ο νόμοσ των μεγάλων αρικμϊν. Θ ςφνδεςθ όμωσ ανάμεςα ςτο πείραμα τφχθσ με φυςικά υλικά και με προςομοίωςθ μπορεί να μθν είναι προφανισ ςε όλουσ τουσ μακθτζσ και ίςωσ πρζπει να γίνει από τον διδάςκοντα. Επίςθσ το ότι κάποιεσ καταςτάςεισ, ενϊ είναι διαφορετικζσ ωσ διαδικαςίεσ είναι ιςοδφναμεσ μακθματικά, είναι κάτι που ο διδάςκων πρζπει να το κίξει ρωτϊντασ τουσ μακθτζσ τι πιςτεφουν ςχετικά με αυτό. Για παράδειγμα, ο αρικμόσ για τθν ζνδειξθ κεφάλι κατά τθ διαδοχικι ρίψθ ενόσ νομίςματοσ 20 φορζσ και κατά τθν ταυτόχρονθ ρίψθ 20 νομιςμάτων. Δεν αποτελεί μζροσ των ΡΜΑ θ ανάπτυξθ ςυνολοκεωρθτικϊν ςυμβολιςμϊν. Θ γραφι ςφνκετων ενδεχομζνων κα γίνεται με τθν χριςθ τθσ φυςικισ γλϊςςασ, αφοφ

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

234

αυτό που ζχει ςθμαςία είναι θ κατανόθςθ του νοιματοσ των εκφράςεων και όχι ο μακθματικόσ ςυμβολιςμόσ τουσ. Θ δθμιουργία δενδροδιαγραμμάτων, όταν είναι δυνατό, κακϊσ και πινάκων διπλισ ειςόδου μποροφν να αποτελζςουν βαςικά εργαλεία με τα οποία κα υπολογίηουν πικανότθτεσ οι μακθτζσ. Θ διάκριςθ ανάμεςα ςε αςυμβίβαςτα ι όχι ενδεχόμενα και ανάμεςα ςε ανεξάρτθτα ι όχι ενδεχόμενα ςτθν Γϋ τάξθ κα γίνει με χριςθ παραδειγμάτων. Ο ςτόχοσ είναι να διακρίνουν τισ δφο ζννοιεσ μεταξφ τουσ, κακϊσ και τθν κάκε ζννοια και τθν αντίκετι τθσ. Είναι ςθμαντικό οι μακθτζσ να προςπακιςουν να δθμιουργιςουν δικά τουσ παραδείγματα και να εξθγιςουν τισ επιλογζσ τουσ. Ενδεικτικζσ δραςτθριότθτεσ: Αϋ Γυμναςίου: (ΠΜΑ: Π1, Π2, Π3) Οι μακθτζσ είναι χωριςμζνοι ςε ομάδεσ και προςπακοφν να βρουν αν είναι λιγότερο ι περιςςότερο ι το ίδιο πικανό να ζρκουν οι ενδείξεισ ΚΚΚΚ ι οι ενδείξεισ ΚΚΓΚ όταν ρίξουμε ζνα «δίκαιο» (ι αμερόλθπτο) νόμιςμα διαδοχικά 4 φορζσ. Θ προςπάκεια Διεργαςία εξιγθςθσ και αιτιολόγθςθσ τθσ απάντθςισ τουσ κα οδθγιςει ςτθν επικοινωνίασ αναηιτθςθ του δειγματικοφ χϊρου του πειράματοσ τφχθσ για τθν εφρεςθ τθσ πικανότθτασ του κάκε ενδεχομζνου. Συηθτοφν ανά Διεργαςία ομάδα διάφορεσ μεκόδουσ με τισ οποίεσ μποροφν να επιτφχουν επιχειρθματολογίασ κάτι τζτοιο και μετά με το ςφνολο τθσ τάξθσ. Ρροςπακοφν να εξθγιςουν τισ ςτρατθγικζσ που ακολοφκθςαν και να δικαιολογιςουν γιατί είναι ςίγουροι ότι προςδιόριςαν όλα τα δυνατά αποτελζςματα. Θ ανάγκθ ενόσ ςυςτθματικοφ τρόπου Διεργαςία προςδιοριςμοφ όλων των δυνατϊν αποτελεςμάτων και οι ιδζεσ μεταγνωςτικισ των μακθτϊν κα δϊςουν τθν ευκαιρία ςτον διδάςκοντα να ενθμερότθτασ ειςάγει το δενδροδιάγραμμα ωσ μία τζτοια μζκοδο. Οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν το δενδροδιάγραμμα. Απαντοφν και αιτιολογοφν το αρχικό ερϊτθμα. Επίςθσ δικαιολογοφν αν κάποια από τισ άλλεσ ενδείξεισ π.χ. ΓΚΓΚ είναι πιο πικανι από τισ προθγοφμενεσ. Υπολογίηουν πικανότθτεσ ςφνκετων ενδεχομζνων με βάςθ το προθγοφμενο πείραμα τφχθσ και εξθγοφν τουσ τρόπουσ με τουσ οποίουσ εργάςτθκαν. Μετά τα προθγοφμενα ςυηθτοφν για τα πλεονεκτιματα και τα μειονεκτιματα που ζχει θ μζκοδοσ με το δενδροδιάγραμμα και τι πλθροφορίεσ προςφζρει. Αϋ Γυμναςίου: ΠΔ2 (ΠΜΑ: Π4) Στόχοσ τθσ δραςτθριότθτασ είναι να κατανοιςουν οι μακθτζσ ότι όταν αυξάνει ο αρικμόσ των εκτελζςεων ενόσ πειράματοσ τφχθσ, τότε θ ςχετικι ςυχνότθτα τείνει προσ τον αρικμό που υπολογίηουν ωσ το κλάςμα του πλικουσ των ευνοϊκϊν περιπτϊςεων προσ το πλικοσ των δυνατϊν περιπτϊςεων. Αντίκετα τα δφο αποτελζςματα μπορεί να είναι πολφ διαφορετικά για μικρό

Γϋ Κφκλοσ – Στοχαςτικά Μακθματικά

235

αρικμό εκτελζςεων του πειράματοσ. Σθμαντικό είναι οι μακθτζσ, ςτθν αρχι του πειράματοσ, να ζχουν υπολογίςει ποια είναι θ πικανότθτα να ςταματιςει ο δείκτθσ ςτο κάκε χρϊμα, ϊςτε ςτο τζλοσ να μπορζςουν να αποδϊςουν ζνα πλθρζςτερο νόθμα ςτθν πρόταςθ π.χ. «θ πικανότθτα ο δείκτθσ να ςταματιςει ςτο μπλε είναι ¼». Γϋ Γυμναςίου. ΠΔ3 (ΠΜΑ: Π3) Θ δραςτθριότθτα παρουςιάηεται ςε ζνα πλαίςιο που είναι προςιτό ςε όλουσ τουσ μακθτζσ. Στόχοσ τθσ είναι να μπορζςουν να βρουν τουσ τρόπουσ με τουσ οποίουσ κα απαρικμοφν όλα τα δυνατά αποτελζςματα που προκφπτουν μζςα από διαδικαςίεσ που χωρίηονται ςε επιμζρουσ φάςεισ. Οι μακθτζσ ςυνδζουν τθν διαδικαςία που προκφπτει από τθν δραςτθριότθτα με τθ μζκοδο του δενδροδιαγράμματοσ. Στο τζλοσ τθσ δραςτθριότθτασ οι μακθτζσ κα αναλφςουν και κα εξθγιςουν τον τρόπο με τον οποίο κα υπολογίςουν τθν πικανότθτα να ζρκουν ίδιεσ ενδείξεισ αν ρίξουμε 10 νομίςματα ταυτόχρονα.

Διεργαςία δθμιουργίασ ςυνδζςεων

Εκπαιδευτικό υλικό: Με προχπόκεςθ τθ ςυμβατότθτα με τα ΡΜΑ, μποροφν να αξιοποιθκοφν τμιματα από το υπάρχον ςχολικό βιβλίο (Μακθματικά Γϋ Γυμναςίου κεφ. 5) και το βιβλίο κακθγθτι. Επίςθσ με τθν ίδια προχπόκεςθ μποροφν να αξιοποιθκοφν από το διαδίκτυο: 

Το υλικό που ζχει παραχκεί με βάςθ το αναλυτικό πρόγραμμα τθσ Κφπρου: http://www.schools.ac.cy/eyliko/mesi/Themata/mathimatika/index.html



Δραςτθριότθτεσ ςχετικά με το άκροιςμα ι τθν διαφορά αρικμϊν (από το 2 ζωσ το 15) με τθν χριςθ τροχϊν τφχθσ (2 ζωσ 4 ςε αρικμό).

http://nrich.maths.org/6033 

Ρροςομοίωςθ ταυτόχρονθσ ρίψθσ νομιςμάτων ι ηαριϊν (2 ζωσ 16): http://www.random.org/coins/ http://www.random.org/dice/

Γϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

236

΢υνκετικι Εργαςία Γϋ Κφκλου Βϋ Γυμναςίου: Αναηθτϊντασ το λάκοσ του γραμμωτοφ κϊδικα (ςυνκετικι εργαςία 5) Θ εργαςία αναδεικνφει ςχζςεισ και ςυνδζςεισ μεταξφ προγενζςτερων γνϊςεων των μακθτϊν και δίνει ζμφαςθ ςτα ςθμεία που ςθματοδοτοφν τθν «αλλαγι επιπζδου». Ρροτείνει υποδειγματικζσ μακθςιακζσ διαδρομζσ και ςυνδζει τθ μακθςιακι διαδικαςία με τθν αξιολόγθςι τθσ. Ενςωματϊνει λειτουργικά και ουςιαςτικά τισ νζεσ Τεχνολογίεσ. Θζμα: Μζςα από ζνα πραγματικό πρόβλθμα ανάλογων ποςϊν οι μακθτζσ κα ειςαχκοφν και κα μελετιςουν τισ γραμμικζσ ςυναρτιςεισ ψ=αχ και ψ=αχ+β, χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό Function Probe (FP) ζνα δυναμικό εργαλείο αλγεβρικισ ζκφραςθσ. Πλαίςιο εφαρμογισ: Θ ςυνκετικι εργαςία προτείνεται να διεξαχκεί εξ’ ολοκλιρου ςτο εργαςτιριο υπολογιςτϊν. Στθ διάρκεια τθσ υλοποίθςθσ του ςεναρίου ο διδάςκων κα πρζπει να ελζγχει τα ςυμπεράςματα των μακθτϊν, να διευκολφνει τθν επιχειρθματολογία και να προκαλεί ςυηθτιςεισ με όλθ τθν τάξθ. Ρροτείνεται θ χριςθ του ςχολικοφ εργαςτθρίου με 10 τουλάχιςτον κζςεισ, ϊςτε να μποροφν να εργαςτοφν οι μακθτζσ ςε ομάδεσ. Αν οι μακθτζσ δεν ζχουν προθγοφμενθ εμπειρία με το λογιςμικό FP προτείνεται άλλθ μία ϊρα με απλζσ δραςτθριότθτεσ που κα βοθκιςουν τουσ μακθτζσ να εξοικειωκοφν με βαςικζσ λειτουργίεσ του λογιςμικοφ. Επίςθσ προτείνεται άλλθ μία διδακτικι ϊρα για τθν αξιολόγθςθ τθσ παρζμβαςθσ ωσ προσ το μακθματικό περιεχόμενο, ωσ προσ τθ διαδικαςία υλοποίθςθσ και ωσ προσ τθ ςυνεργατικι οργάνωςθ τθσ τάξθσ. Ανάμεςα ςτισ φάςεισ υλοποίθςθσ τθσ ςυνκετικισ εργαςίασ ο διδάςκων μπορεί να χρθςιμοποιιςει επιπλζον διδακτικζσ ϊρεσ για τθν εμπζδωςθ των εννοιϊν και επιπλζον επίλυςθ προβλθμάτων χωρίσ τθ χριςθ λογιςμικοφ. Προαπαιτοφμενεσ γνϊςεισ: Ωσ προσ τα μακθματικά οι μακθτζσ γνωρίηουν: τθ γραφικι παράςταςθ μιασ ςχζςθσ αναλογίασ, τθν ζννοια του πίνακα τιμϊν, τθ γραφικι παράςταςθ ςυνάρτθςθσ. Ωσ προσ τθν τεχνολογία οι μακθτζσ κα πρζπει να γνωρίηουν: τθ λειτουργία του πίνακα τιμϊν του λογιςμικοφ FP και ιδιαίτερα τθν ςυμπλιρωςθ μιασ ςτιλθσ μζςω μιασ άλλθσ, τθν αλλαγι κλίμακασ ςε ζνα γράφθμα, τθ δθμιουργία γραφικϊν παραςτάςεων, τθ λειτουργία του μεταςχθματιςμοφ μιασ γραφικισ παράςταςθσ και τθσ μεταφοράσ τθσ με τα ειδικά εργαλεία που επιτρζπουν τον ελαςτικό χειριςμό τθσ. Θ γνϊςθ των λειτουργιϊν του λογιςμικοφ κα διευκόλυνε τθ διαδικαςία διερεφνθςθσ και κα ιταν επικυμθτι αλλά επειδι κάτι τζτοιο δεν είναι δεδομζνο, υπάρχει βοικεια χριςθσ του λογιςμικοφ ςτο φφλλο εργαςίασ. Ροι εφαρμογισ των δραςτθριοτιτων 1θ φάςθ Στον πίνακα τιμϊν του προβλιματοσ δίνονται 30 μετριςεισ βάρουσ-τιμισ που όταν μεταφερκοφν ςτο γράφθμα βρίςκονται

Γϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

πάνω ςε τζςςερισ ευκείεσ, δθλαδι οι λόγοι των ςυντεταγμζνων παρουςιάηουν ςυνολικά 4 διαφορετικά αποτελζςματα. Ζνα από τα ηεφγθ τιμϊν αντιςτοιχεί ςε ζνα ςθμείο που δεν κα ανικει ςε καμία από τισ τζςςερισ προθγοφμενεσ ομάδεσ ευκειϊν. 1θ δραςτθριότθτα: Κακϊσ οι μακθτζσ ζχουν διδαχκεί ςτθν προθγοφμενθ τάξθ τθ γραφικι παράςταςθ των ςθμείων που αντιςτοιχοφν ςε μια ςχζςθ αναλογίασ, αναμζνεται ότι οι μακθτζσ κα αναγνωρίςουν ότι τα ςθμεία με τθν ίδια ςχζςθ αναλογίασ είναι ςυνευκειακά με το ςθμείο (0, 0). Επειδι όμωσ κάτι τζτοιο δεν είναι δεδομζνο ο κακθγθτισ γνωρίηοντασ τισ δυνατότθτεσ τθσ τάξθσ του κα κρίνει αν κα πρζπει να γίνει πριν τθν εφαρμογι τθσ ςυνκετικισ εργαςίασ μία ςφντομθ επανάλθψθ ςτα ανάλογα ποςά και ςτθ ςχζςθ αναλογίασ.

Μετάβαςθ από μία αναπαράςταςθ ςε άλλθ

2θ δραςτθριότθτα: Μζςω του μεταςχθματιςμοφ τθσ ευκείασ ψ=χ οι μακθτζσ κα ανακαλφψουν τζςςερισ ομάδεσ ςυνευκειακϊν ςθμείων ενϊ ςυγχρόνωσ το λογιςμικό τουσ δίνει τθ δυνατότθτα να εντοπίςουν και τισ εξιςϊςεισ των τριϊν ευκειϊν που προκφπτουν: y=0,7x , y=1,4x, y=2,3x και y=3,2x.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ

3θ δραςτθριότθτα: Οι μακθτζσ κα διαπραγματευτοφν πικανόν δφο τρόπουσ με τουσ οποίουσ πλζον μποροφν να απαντιςουν ςτο ερϊτθμα. Ο ζνασ τρόποσ είναι ο αρικμθτικόσ (πίνακασ τιμϊν) και ο άλλοσ τρόποσ είναι μζςω τθσ γραφικισ παράςταςθσ και του μεμονωμζνου ςθμείου (γεωμετρικόσ). Ξζροντασ ότι πρόκειται για υπερτιμολόγθςθ τα ενδεχόμενα είναι δφο. Ι θ λάκοσ τιμι είναι το ςθμείο (4, 3,28) οπότε κα ζπρεπε να ανικει ςτθν y=0,7x, ι αυτι θ τιμι είναι ςωςτι και ζχουν υπερτιμολογθκεί όλα τα ςθμεία που ανικουν ςε μία από τισ τρεισ υπόλοιπεσ ευκείεσ. Τότε όμωσ θ τιμι ανά κιλό κα ιταν 0,82 ευρϊ κάτι που απορρίπτεται από τα δεδομζνα του προβλιματοσ.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων

Διεργαςίεσ διερεφνθςθσ, διατφπωςθσ και ελζγχου υποκζςεων

4θ δραςτθριότθτα: Με προςαρμογι του εργαλείου μζτρθςθσ Χριςθ κλίςθσ πάνω ςτισ ευκείεσ οι μακθτζσ κα διαπιςτϊςουν ότι ο λόγοσ ψθφιακϊν τθσ διαφοράσ των τεταγμζνων προσ τθ διαφορά των τετμθμζνων εργαλείων για διερεφνθςθ των δφο ςθμείων είναι ίςοσ με το ςυντελεςτι του χ (θ τιμι ανά κιλό του κάκε προϊόντοσ). Αν οι μακθτζσ ζχουν διδαχκεί τθν Διεργαςία εφαπτομζνθ γωνίασ ορκογωνίου τριγϊνου ο διδάςκων μπορεί με ενδομακθματικϊν ςυνδζςεων κατάλλθλεσ ερωτιςεισ να ςυνδζςει το α με τθν γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία με τον άξονα χϋχ. 5θ δραςτθριότθτα: Μϋ αυτι τθ δραςτθριότθτα κλείνει αυτι θ φάςθ του προβλιματοσ προτείνοντασ ζναν εποπτικό τρόπο ελζγχου των τιμϊν που αποτυπϊνει θ ηυγαριά ςτο γραμμωτό κϊδικα. Με τθ βοικεια του λογιςμικοφ κα φτιαχτοφν πολφ γριγορα τα 100 πικανά βάρθ και οι αντίςτοιχεσ τιμζσ τουσ. Στθ ςυνζχεια με αποςτολι των ςθμείων ςτο γράφθμα κα διαπιςτωκεί ότι αυτά κα «πζςουν» πάνω ςτισ υπάρχουςεσ ευκείεσ. Ζτςι, επιδιϊκεται να γίνει περιςςότερο κατανοθτι από τουσ μακθτζσ θ επιλογι να

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων, διερεφνθςθ και μετάβαςθ από μία αναπαράςταςθ ςε άλλθ

237

Γϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

238

ςυνδεκοφν τα ςθμεία ςτο γράφθμα και να αναφερόμαςτε πλζον ςε ευκείεσ κι όχι ςε ςφνολα ςυνευκειακϊν ςθμείων. Προςτικζμενθ αξία: Οι μακθτζσ χρθςιμοποιϊντασ το λογιςμικό κα εξοικονομιςουν πολφτιμο χρόνο κακϊσ κα ζχουν τθ δυνατότθτα να εκτελζςουν εφκολα μια ςειρά από χρονοβόρεσ ενζργειεσ όπωσ να αντιγράψουν τισ δφο ςτιλεσ δεδομζνων από το επεξεργαςτι κειμζνου ςτον πίνακα τιμϊν, να κάνουν αυτόματα τθ διαίρεςθ τθσ τιμισ με τθν ποςότθτα για όλεσ τισ πωλιςεισ, να γεμίςουν μία γραμμι του πίνακα με πολλζσ τιμζσ βάρουσ και να υπολογίςουν τθν τιμι τουσ. Θ δυνατότθτα μεταςχθματιςμοφ μιασ ςυνάρτθςθσ και θ αποτφπωςθ του αντίςτοιχου τφπου κα διευκολφνει τθ μετάβαςθ από τα ανάλογα ποςά ςτθ ςχζςθ αναλογίασ. Θ δυναμικι ςφνδεςθ των παράκυρων του λογιςμικοφ όπωσ θ αποςτολι ςθμείων του πίνακα τιμϊν ςτο γράφθμα και αντίςτροφα κα βοθκιςει ςτθν κατανόθςθ των πολλαπλϊν αναπαραςτάςεων τθσ ςυνάρτθςθσ. 2θ φάςθ 1θ δραςτθριότθτα: Οι μακθτζσ αναμζνεται να ανακαλζςουν τθν ζννοια τθσ ςυνάρτθςθσ ωσ μία ςχζςθ δφο μεταβλθτϊν όπου ςε κάκε τιμι του χ το ψ παίρνει μοναδικι τιμι και να αναγνωρίςουν ότι μία τζτοια ςχζςθ είναι ςυνάρτθςθ ακόμα και ςτθν περίπτωςθ που το α είναι 0.

Διεργαςίεσ ενδομακθματικϊν ςυνδζςεων, γενίκευςθσ και αιτιολόγθςθσ

2θ δραςτθριότθτα: Αναμζνεται ότι οι μακθτζσ κα αναγνωρίςουν ότι οι ευκείεσ διζρχονται από το (0,0) και ότι αν κζςουν τθν τιμι 0 ςτο χ κα βρουν ότι και το ψ είναι 0, ανεξάρτθτα από τθν τιμι του α.

Διεργαςία διερεφνθςθσ και γενίκευςθσ

3θ δραςτθριότθτα: Αναμζνεται οι μακθτζσ να αναγνωρίςουν ότι όταν ο ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ είναι κετικόσ, θ ευκεία βρίςκεται ςτο 1ο και 3ο τεταρτθμόριο ενϊ όταν είναι αρνθτικόσ βρίςκεται ςτο 2ο και 4ο τεταρτθμόριο.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ, επικοινωνία και διατφπωςθ υποκζςεων

4θ δραςτθριότθτα: Εδϊ οι μακθτζσ κα «ανακαλφψουν» ότι όταν το χ αυξάνεται κατά 1, τότε το ψ μεταβάλλεται κατά α. θ

5 δραςτθριότθτα: Θ αίςκθςθ ότι οι μακθτζσ παίηουν παιχνίδι εκτιμάται ότι κα ενεργοποιιςει ιδιαίτερα τουσ μακθτζσ για να φτάςουν ςτθν πιο ςφντομθ λφςθ. Ζχουν τθ δυνατότθτα να πειραματιςτοφν με πολλοφσ τρόπουσ για να βρουν τθν εξίςωςθ τθσ ευκείασ. Για παράδειγμα, ίςωσ κάποιοι επιλζξουν α) να πειραματιςτοφν με το ςχεδιαςμό διαφόρων ευκειϊν με ςτόχο να περνοφν από κάποιο ςυγκεκριμζνο ςθμείο, β) να καταςκευάςουν τθν ψ=χ και να τθν περιςτρζψουν ϊςτε να περνάει από το ςθμείο αυτό, γ) να μεταφζρουν τισ ςυντεταγμζνεσ του ςθμείου ςτον πίνακα τιμϊν και να βρουν το λόγο τθσ τεταγμζνθσ προσ τθν τετμθμζνθ ϊςτε να βρουν τθν κλίςθ τθσ ευκείασ, δ) να βρουν τθν κλίςθ χρθςιμοποιϊντασ το εργαλείο μζτρθςθσ κλίςθσ, ε) να βρουν τθ λφςθ αλγεβρικά κζτοντασ ςτθν ψ=αχ τισ ςυντεταγμζνεσ του ςθμείου κ.ά. Ο διδάςκων μετά το πζρασ του παιχνιδιοφ κα πρζπει

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων για διερεφνθςθ

Διεργαςίεσ επικοινωνίασ, διατφπωςθσ και ελζγχου

Γϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

να αναδείξει όλεσ τισ ιδζεσ των μακθτϊν και να υποςτθρίξει ζνα διάλογο για το ποιοσ τρόποσ (ι τρόποι) είναι πιο ςφντομοσ και ακριβισ.

239

υποκζςεων

Διεργαςίεσ 6θ δραςτθριότθτα: Στθν περίπτωςθ που το ςθμείο ανικει ςτον ςυλλογιςμοφ και άξονα ψϋψ αναμζνεται από τουσ μακθτζσ να αναγνωρίςουν ότι επιχειρθματολογίασ δεν ορίηεται μία τζτοια ςυνάρτθςθ. Ο εκπαιδευτικόσ μπορεί να αναδείξει ςτθν ολομζλεια τθσ τάξθσ τθ ςυγκεκριμζνθ άποψθ και να ηθτιςει από τουσ μακθτζσ τθν τεκμθρίωςι τθσ. Δφο βαςικά επιχειριματα μπορεί να προζλκουν με χριςθ του οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ (δφο τουλάχιςτον τεταγμζνεσ ζχουν τθν ίδια Χριςθ ψθφιακϊν τετμθμζνθ) ι με αντικατάςταςθ των ςυντεταγμζνων του ςθμείου εργαλείων ςτθν εξίςωςθ ψ=αχ.

7θ δραςτθριότθτα: α) Εδϊ αναμζνεται από τουσ μακθτζσ να ςυμπλθρϊςουν ςτον πίνακα τιμϊν μία ςτιλθ χρθςιμοποιϊντασ τθ δυνατότθτα του λογιςμικοφ γεμίςματοσ μιασ ςτιλθσ με αρικμοφσ, αφοφ ζχουν ορίςει τθν αρχικι τιμι, τθν τελικι τιμι και το βιμα Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων, άκροιςθσ. Στθ ςυνζχεια κα υπολογίςουν τθ δεφτερθ ςτιλθ μετάβαςθ από μία γράφοντασ ςτθν δεφτερθ γραμμι τθν αντίςτοιχθ ςυνάρτθςθ, ενϊ αναπαράςταςθ ςε θ τρίτθ ςτιλθ κα υπολογιςτεί ωσ πρόςκεςθ ςε κάκε ςτοιχείο τθσ άλλθ προθγοφμενθσ ςτιλθσ του αρικμοφ 0,5. β) Εδϊ οι μακθτζσ κα παρατθριςουν ότι οι δφο ομάδεσ ςθμείων φαίνεται να δθμιουργοφν δφο παράλλθλεσ ευκείεσ. Στθ ςυνζχεια κα βρουν τουσ τφπουσ των δφο ςυναρτιςεων και κα καταςκευάςουν τθ γραφικι τουσ παράςταςθ ϊςτε να επαλθκεφςουν τθν ορκότθτα των δφο τφπων (από τθν εφαρμογι τουσ ςτισ ομάδεσ ςθμείων) και να γενικεφςουν τθ ςχετικι κζςθ των δφο ςυναρτιςεων.

Χριςθ ψθφιακϊν εργαλείων, διατφπωςθ υποκζςεων και γενίκευςθ

γ) Αναμζνεται από τουσ μακθτζσ να αναγνωρίςουν ότι θ ευκεία ψ=αχ+β είναι μεταφορά τθσ ψ=αχ κατά β ςτον άξονα ψϋψ τον οποίο τζμνει ςτο ςθμείο (0,β). δ) Εδϊ καλοφνται οι μακθτζσ να χρθςιμοποιιςουν τθ γνϊςθ τουσ για το ρόλο των α και β. Αναμζνεται ότι οι μακθτζσ κα τοποκετιςουν πρϊτα το ςθμείο (0,β) γνωρίηοντασ το ρόλο του β και ςτθ ςυνζχεια το ςθμείο (1, β+α) γνωρίηοντασ ότι το α δείχνει πόςο μεταβάλλεται το ψ όταν το χ αυξάνεται κατά 1. Προςτικζμενθ αξία: Ο κατακόρυφοσ μεταςχθματιςμόσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ μιασ ςυνάρτθςθσ ςτο FP κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ να διερευνιςουν άμεςα το ρόλο του πρόςθμου του α ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ ψ=αχ. Επίςθσ, θ δυνατότθτα επιλογισ ςθμείων πάνω ςε μία γραφικι παράςταςθ, θ αποςτολι των ςυντεταγμζνων τουσ ςτον πίνακα τιμϊν και ο αυτόματοσ υπολογιςμόσ τθσ διαφοράσ των τεταγμζνων κα βοθκιςει ςτθ διερεφνθςθ του ρόλου του α ςε διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ τθσ ψ=αχ. 3θ φάςθ

Γϋ Κφκλοσ – Συνκετικι Εργαςία

Εδϊ οι μακθτζσ χρθςιμοποιοφν τθ γνϊςθ τουσ για τισ γραμμικζσ ςυναρτιςεισ και με τθ βοικεια του λογιςμικοφ διερευνοφν ςφνκετα προβλιματα και εφαρμογζσ επιλφοντασ εξιςϊςεισ και ανιςϊςεισ τθσ μορφισ αχ+β<(=,>)γχ+δ.

240

Σφνδεςθ των μακθματικϊν με τον πραγματικό κόςμο

1θ δραςτθριότθτα: Εδϊ αναμζνεται οι μακθτζσ να εκφράςουν με τφπο ςυνάρτθςθσ τα χρθμάτα ψ που κα πλθρϊςει κάποιοσ ςε κάκε εταιρεία ωσ προσ το χρόνο χ. Για τθν εταιρεία Α: ψ=9+0,1χ και για τθν εταιρεία Β: ψ=3+0,2χ. Χριςθ 2θ δραςτθριότθτα: Εδϊ οι μακθτζσ με τθ βοικεια του λογιςμικοφ αναπαραςτάςεων κα βρουν ότι το ςθμείο τομισ των δφο ςυναρτιςεων είναι το (60,15) και αναμζνεται να αναγνωρίςουν ότι αν ο χρόνοσ ομιλίασ είναι 60 λεπτά τα μινα τότε το κόςτοσ και ςτισ δφο εταιρείεσ είναι το ίδιο. 3θ δραςτθριότθτα: Αναμζνεται ότι οι μακθτζσ κα αναγνωρίςουν Διεργαςίεσ από τθ γραφικι παράςταςθ ότι μζχρι 60 λεπτά ςυνομιλίασ ςυλλογιςμοφσ και μθνιαία ςυμφζρει θ εταιρεία Β αφοφ βρίςκεται πιο «κάτω» από επιχειρθματολογίασ τθ γραφικι παράςταςθ τθσ εταιρείασ Α. Αντίςτοιχα, για πάνω από 60 λεπτά αναμζνεται να αναγνωρίςουν ότι ςυμφζρει θ εταιρεία Α. Προςτικζμενθ αξία: Θ δυνατότθτα του λογιςμικοφ να χαράςςει γραφικζσ παραςτάςεισ ςυναρτιςεων και να βρίςκουμε (με μεγζκυνςθ αν χρειάηεται) το ςθμείο τομισ δφο ςυναρτιςεων, κα βοθκιςει τουσ μακθτζσ να λφνουν πραγματικά προβλιματα, να ςυνδζουν τισ αντίςτοιχεσ λφςεισ με διαφορετικζσ αναπαραςτάςεισ των ςυναρτιςεων και να τισ ερμθνεφουν ςτο πλαίςιο διαφορετικϊν καταςτάςεων του πραγματικοφ κόςμου.