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UNIDAD 5
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Proporcionalidad numérica
Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
1 Kg. 2 Kg. 3 Kg. 4 Kg. 5 Kg. 6 Kg.
2€ 4€ 6€ 8€ 10 € 12 €
2€ 1Kg
= 2 € el Kg.
4€ 2 Kg
= 2 € el Kg.
6€ = 2 € el Kg. 3Kg Al calcular la relación entre los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales, se obtiene siempre la misma cantidad denominada constante de proporcionalidad Cálculo de la proporcionalidad por el método de la regla de tres La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de proporcionalidad entre los valores involucrados.
Cálculo para aumentar porcentaje (Sumar) Ej. Calcular el valor total de un producto + IVA cuyo valor es de 400 € (aumentar al resultado el 21 %) Podemos hacer lo de dos formas: Forma A 1ª Calcular el 21% de 400 € y sumárselo
21 % de 400 =
2º Sumar el IVA (81 €) a los 400 del producto
x 400 = 4 x 21 = 84€
400 + 81 = 484 €
Forma B (con la regla de tres) Precio 400 €
Porcentaje 100
X
121
400 x 421 X=
=
100
484 €
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Cálculo para disminuir porcentaje (Restar) Ej. Calcular el valor de un producto ( de 400 €) con un descuento del 15 % Podemos hacer lo de dos formas: Forma A 1ª Calcular el 15% de 400 € y restarlo
15 % de 400 =
2º Restar el descuento (60 €) a los 400 del producto
x 400 = 4 x 15 = 60 € 400 – 60 = 340 €
Forma B (con la regla de tres) Precio 400 € X
Porcentaje 100 85
400 x 85 X=
=
100
340 €
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UNIDAD 6
Longitud, masa y capacidad Superficie
Unidades de longitud
El metro es la unidad de longitud en el Sistema Internacional
Múltiplos y submúltiplos del metro
mam Km 2
hm
dam
3
2
hm 0 0 3 3
dam
m
dm
cm
mm
m
dm
cm
mm
0
0
2 Km = 20 hm = 2.000 m 32 dam = 320 m = 32000 cm
Unidades de capacidad y masa
Tm
mam
Km 2 2
0 2 2
0 0 0
De capacidad el litro y de masa el gramo
Qm
Tonelada métrica Quintal métrico
Kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Tm = 1000 Kg Qm = 100 Kg
Para pasar de una unidad a otra, se multiplica o divide por la unidad seguida de ceros Forma incompleja
Cuando expresamos una cantidad en una sola unidad de medida 8. 358 dm; 8. 358 dl;
Forma compleja
700 m; 700 l;
2. 675 cm 2. 675 cl
Cuando la expresamos en diferentes unidades. 8 hm, 3 dam, 2 dam, 6 m, 8 hg, 3 dag, 2 dag, 6 g,
5 m, 7 dm, 5 g, 7 dg,
8 dm 5 cm 8 dg 5 cg
Superficie = área La superficie de una figura es la parte del plano que ocupa Para comparar áreas es necesario usar la misma unidad de medida Unidades de superficie
El metro cuadrado (m²) es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado
Múltiplos y submúltiplos
km²
hm²
dam² m²
dm²
cm²
mm²
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Para pasar de una unidad a otra se multiplica o divide por 100 Expresiones complejas e incomplejas Para pasar una medida de superficie de forma compleja a incompleja, reducimos cada unidad a la que nos piden y sumamos los números correspondientes. Forma compleja km²
hm²
03
dam² m² 02 25
40
dm² 25
cm²
Forma incompleja
mm²
05
2 m² 25 dm² =
225 dm²
3 hm² 25 dam² 5 m² =
32.505 m²
80
40 km² 80 m² = 400.000´80 dam²
Para pasar una medida de superficie de forma incompleja a compleja, se agrupan las cifras de dos en dos, partiendo de la coma y haciendo grupos de dos cifras a la izquierda y a la derecha de ella.
Unidades agrarias
Para medir grandes extensiones de terreno de cultivo o de bosques utilizamos las unidades agrarias: La hectárea = ha = 1 hm² El área = a = 1 dam² La centiárea = ca = 1 m²
Pasar unidades mayores a unidades menores Para pasar de una unidad de superficie a otra menor se multiplica por la unidad seguida de ceros Unidades de volumen y su relación con las unidades de capacidad km³
hm³
dam³ m³ Kl
dm³ cm³ l ml
mm³
Unidades para medir la información Bits (b) y bytes (B) son las principales unid. de información Un bit (b) es la unid. mínima de información.. Un byte (B) es una unid. de información digital. Sus múltiplos indican la capacidad de memoria o almacenamiento de un dispositivo digital (pen drive, disco duros…) 1B = 8 b TB
GB
Terabyte Gigabyte
MB
Kb
B
Gb
Mb
kb
b
Megabyte
Kilobyte
Byte
Gigabit
Megabit
Kilobit
Bit
Para pasar de una unid. a la siguiente se multiplica por 1.024 (2¹ᴼ) en lugar de 1000 1KB 1 MB 1GB 1 TB
1024 B = 2¹ᴼ B 1024 kB = 2²ᴼ B 1024 MB = 2³ᴼ B 1024 GB = B
2¹ᴼ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
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Medidas angulares Para medir ángulos necesitamos como unidad otro ángulo, es el grado sexagesimal. Grado sexagesimal (contar de 60 en 60) es el ángulo que obtenemos al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Ángulo recto = 90º
1º = 60´ x 60
1´ = 60´´
x 60 Grado : 60
: 60
minuto
segundo
Forma compleja e incompleja Compleja utiliza varias unidades 24º 89º
15´ 4´
incompleja utiliza una sola unidad
34´´ 14´´
87.334´´ 320.654´´
Operaciones con medidas angulares Suma
Se colocan las medidas de los ángulos para sumar una debajo de otra haciendo coincidir las distintas unidades y se suman cada una de ellas de forma independiente. Si alguna de ellas supera al 60, se transforman a la unidad de orden inmediatamente
superior
Resta
40º + 12º
18´ 20´
14´´ 24´´
10º + 24º
31´ 45´
54´´ 26´´
52º
38´
38´´
35º
17´
20´´
Se colocan las medidas de los ángulos para restar unas debajo de otra haciendo coincidir las distintas unidades y se restan cada una de ellas de forma independiente. Si se necesita alguna unidad para poder restan se sacan de la unidad anterior. 54º - 24º
35´ 13´
24´´ 13´´
30º
22´
11´´
4º - 3º
23´ 45´
34´´ 25´´
3º 3º
83´ 45´
34´´ 34´´
38´
9´´
Multiplicación por N Se multiplica por el N y las unidades que superen el 60 se transforman en la unidad de orden superior. 20º
23´ x
100º
14´´ 5
115´ 70´´
100º
115´
70´´
100º
116´
10´´
101º
56´
10´´
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UNIDAD 7
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Líneas y ángulos
Las rectas Líneas infinitas que no se curvan ni forman ángulos. No tienen principio ni fin. Por su posición
Verticales
inclinadas (oblicuas)
horizontales
Clases de rectas Secantes
Dos rectas que se cortan en un punto
Paralelas
Que no se cortan en ningún punto
Perpendiculares
Rectas secantes que al cortarse forman 4 ángulos rectos
Semirrecta Al trazar un punto A sobre una recta. Ésta queda dividida en dos semirrectas, por tanto siendo infinitas tienen un origen en el punto trazado. A
Segmento Si sobre una recta trazamos dos puntos A y B, el espacio entre ambos es un segmento que tendrá origen en A y fin en B.
A
B
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Los ángulos Los ángulos se miden por su abertura utilizando los grados sexagesimales () Clasificación por su abertura Ángulo obtuso Ángulo agudo
<
90
>
90
Ángulo recto = 90
Ángulo llano = 180
Ángulo completo = 360
Posiciones relativas entre ángulos Ángulos consecutivos y adyacentes Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el vértice común
Ángulos consecutivos Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y además sus lados no comunes forman un ángulo de 180 Ángulos adyacentes Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes = 90
30 + 60 = 90 Ángulos complementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es 180
120 + 60 = 180 Ángulos suplementarios Opuestos por el vértice Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
La suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180
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Mediatriz de un segmento Es la recta que corta perpendicularmente a un segmento por su punto medio
A
B
Bisectriz de un ángulo Es la recta que pasa por el vértice de un ángulo dividiéndolo dos partes iguales
La circunferencia y sus elementos Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Elementos de la circunferencia: RADIO:
Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
CUERDA:
Es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. La mayor de las cuerdas es el diámetro.
DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro. El diámetro es el doble del radio. ARCO:
Parte de la circunferencia limitada por dos puntos
Toda cuerda divide a la circunferencia en dos arcos. Si la cuerda es un diámetro, los arcos son iguales y cada uno de ellos es una semicircunferencia.
C A
B O
AB OC DE CB
Diámetro Radio Cuerda Arco
D E Semicircunferencia Las rectas y la circunferencia: RECTA SECANTE:
Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Fig. A
RECTA TANGENTE: Es la recta que tiene un punto común con la circunferencia. Fig. B
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RECTA EXTERIOR: Es la recta que no tiene ningún punto común con la circunf. Fig. C
Fig. A
Fig. B
Fig. C
Posiciones relativas entre dos circunferencias
Exteriores: Circunferencias con ningún punto en común. Una circunferencia está fuera de la otra
Interiores: Circunferencias con ningún punto en común. Circunferencias una dentro de la otra.
Secantes: Circunferencias con dos puntos punto en común.
Tangentes interiores: Circunferencias con un punto en común. Una circunferencia dentro de la otra.
Tangentes exteriores: Circunferencias con un punto en común. Una circunferencia está fuera de la otra.
Concéntricas: Circunferencias con el mismo centro común.
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Longitud de la circunferencia: La longitud = Ø x L=Øx
π;
π
(diámetro por pi)
L=2x
π
= 3´1416
πxr;
π es una letra griega que significa pi
y que tiene un valor de 3´14 que es el número de veces que la longitud de la circunferencia, contiene a la longitud de su diámetro.
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UNIDAD 8
Estadística y probabilidad
Variable estadística
Es cualquier característica que pueda observarse en un grupo
Nombre Pedro Juan Arturo
Lugar Playa Montaña Playa
Nº de días
Mes del año Agosto Julio Agosto
4 6 12
Nombre Lugar Nº de días Mes del año, Son variables estadísticas
Variables cuantitativas
Las expresadas numéricamente (Nº de días de vacaciones)
Variables cualitativas
Las expresadas sin números (Nombre, lugar, mes del año...)
Frecuencia absoluta
El número de veces que se repite un dato
Estación Primavera Verano Otoño Invierno
Nº de alumnos nacidos ****** ******** *** **
Frecuencia 6 8 3 2
La suma de las frecuencias absolutas = al nº total de datos Frecuencia relativa
Es la fracción cuyo numerador es la frecuencia absoluta de un dato y su denominador, el nº total de datos
Ej. si preguntamos por el gusto a distintos colores las respuestas pueden ser: Azul 8 Verde 2
amarillo naranja
4 5
rojo 10 marrón 4
El total de respuestas han sido 33 Las frecuencias relativas serían: Azul , amarillo, rojo, verde, naranja, marrón
8 + 33
10 2 5 4 4 + + + + 33 33 33 33 33
=
33 = 1 33
La suma de las frecuencias relativas de una serie de datos = 1
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Diagrama de barras En los diagramas de barras se representan gráficamente los datos y su frecuencia en forma de barras. Ej. Color de pelo de los alumnos: 5 rubios, 12 morenos, 4 castaños, 1 pelirrojo
Frecuencias
Color de pelo 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 rubios m orenos castaños pelirrojo
Diagrama vertical Gráficos de líneas Los datos y su frecuencia se representan mediante una línea.
Nº de alumnos
Color de pelo 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 rubios morenos castaños pelirrojo
Diagramas de sectores Cada sector circular representa un dato. El círculo completo representa el 100% de os datos
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Histograma Es un diagrama que representa gráficamente los datos agrupados en intervalos y su frecuencia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencias
Ej.: Las edades de los alumnos son: 4 alumnos tienen 12 años, 6 tienen 10 años, 5 tiene 9 años, 7 tienen 5 años, 3 tienen 15 años, 2 tiene 4 años y 1 tiene 2 años.
1a3
4a6
7a9 años
10 a 12
13 a 15
Pictograma Representa gráficamente los datos mediante símbolos que se repiten el número de veces que indique la frecuencia. Ej.: El número de caballos que visitan nuestra Feria cada día.
= 2.000 caballos Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
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Media y moda
Puntuación Frecuencia
3 4
Media:
5´6 7
6´2 10
7´9 7
8 8
8´5 4
9 2
9´1 1
9´9 3
Se calcula sumando los datos y dividiendo por el número de datos 3 + 5´6 + 6´2 + 7´9 + 8 + 8´5 + 9 + 9´5 + 9´8 = 67´5 67´5 : 9 = 7´5
Moda:
Es el dato que más se repite. En este caso 6´2 por repetirse en 10 ocasiones
Rango
Es la medida de la uniformidad de un conjunto de datos Rango = dato mayor – dato menor Se calcula siguiendo estos pasos: 1º Se ordenan de forma ascendente los datos estadísticos 2º Se resta el datos de menor valor al de mayor valor y obtenemos el rango Ej.
5, 7, 3, 4, 8, 10, 10, 5, 6, 11 1º 2º
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 11 11 – 3 = 8; El rango de esta serie estadística será de 8
Azar (suceso aleatorio)
Probabilidad
Cuando el suceso no puede predecirse. Existe una probabilidad para cada resultado
El número de veces que puede repetirse un suceso. La probabilidad puede representarse en forma de fracción
Ej. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado salga par? La probabilidad es 3 / 6 = 0,5 0,5 de 100 / 100 = 50% Suceso seguro:
Cuando es seguro que sucederá. Ej. al tirar un dado es seguro que saldrá un número del 1 al 6
© José G.