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UNIDAD 9
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Resúmenes MAT. 6º
Figura planas (Polígonos)
POLÍGONOS Línea poligonal:
Es una línea formada por segmentos consecutivos no alineados. ABIERTA: si no se unen los extremos
CERRADA: si se unen los extremos
Es la región del plano limitada por una línea polígonal cerrada. Elementos: Lado, vértice y ángulo Lado Lado
Polígono:
Ángulo
Vértice Los polígonos se nombran por el número de lados que tengan Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 12 20 Polígono regular:
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Dodecágono Icoságono
El polígono con sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, es irregular
Regular
Polígono cóncavo:
Nombre
Irregular
El polígono que tiene algún ángulo interior mayor de 180°. Si no es así, el polígono es convexo
Convexo
Cóncavo
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TRIÁNGULOS Polígono de tres lados (por tanto de tres vértices y tres ángulos) La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180 Clasificación - Por sus lados:
- Por sus ángulos:
EQUILÁTERO: Los tres lados iguales ISÓSCELES:
Si tiene dos lados iguales y uno desigual
ESCALENO:
Si tiene los tres lados desiguales
ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos agudos
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso CUADRILÁTEROS Son los polígonos de cuatro lados (por tanto de cuatro vértices y cuatro ángulos). La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre es 360º Clasificación:
Paralelogramos:
Dos pares de lados paralelos RECTÁNGULOS: 4 ángulos rectos y lados iguales dos a dos. CUADRADOS: Rectángulos con los lados y ángulos iguales. ROMBOS: Lados iguales y ángulos iguales dos a dos ROMBOIDES: Lados y ángulos iguales dos a dos.
No paralelogramos: TRAPECIOS: Un par de lados paralelos TRAPEZOIDES: Ningún par de lados paralelos.
Rectángulo
Cuadrado
Rombo
Paralelogramos
Romboide
Trapecio
Trapezoide
No paralelogramos
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ÁREAS y PERÍMETRO Perímetro = a la suma de los lados del polígono Perímetro de un polígono regular = número de lados x longitud del lado P=nxl Área de figuras planas Área del rectángulo:
Se obtiene multiplicando la base por la altura.
altura altura
altura = 15 cm base = 22 cm Área = 15 x 22 = 330 cm²
base
base Área del rectángulo = base x altura Área del cuadrado:
El cuadrado es un rectángulo peculiar por tener todos los lados iguales.
lado
Área del cuadrado = lado x lado (lado²) o (base x altura)
Área de otros cuadriláteros
Diagonal mayor
base b
altura
altura
A
B
base base B
Diagonal menor
Rombo
Romboide
Trapecio
diagonal mayor x diagonal menor Área del rombo = 2 Área del romboide = base x altura
Trapezoide
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(base b + base B) x altura Área del trapecio = 2
base x altura Área del triángulo =
altura
2
altura
base
base
altura
base
perímetro x apotema Área de polígonos regulares = 2 Apotema = Distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados.
6 cm
apotema = 5 cm
(6 x 6)x5 Área del hexágono regular =
= 90 cm² 2
apotema
Área de otras figuras = Todo polígono de puede descomponer en triángulos (en ocasiones también en rectángulos). Aplicar las áreas ya conocidas de estos polígonos.
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CÍRCULO y FIGURAS CIRCULARES Círculo:
Región del plano (superficie plana) limitada por una circunferencia.
Semicírculo: La mitad del círculo. También : cada una de las regiones iguales de un círculo, divididas por el diámetro. Circunferencias concéntricas: Son aquellas circunferencias que tienen el mismo centro. Corona circular:
La superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Segmento circular: Cada una de las regiones del círculo en las que una cuerda lo divide. Sector circular:
Es la superficie circular comprendida entre dos radios.
Círculo
Corona circular
Circunferencias concéntricas
Semicírculo
Segmento circular Sector circular
Área del círculo:
π x r² L = Ø x π; L = 2 x π x r ; Área del círculo =
π = 3´1416
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UNIDAD 10
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Los cuerpos geométricos
Cuerpos geométricos
Cuerpos (tres dimensiones) formados por caras que son polígonos (triángulos, cuadriláteros, círculos etc.)
Poliedros
Cuerpos geométricos formados por superficies planas (triángulos, cuadriláteros...)
Cuerpos redondos
Los cuerpos geométricos con alguna superficie curva
Poliedros Irregulares Prismas
Poliedros con dos bases que pueden ser cualquier polígono y sus caras laterales son paralelogramos base
arista básica
cara lateral
arista lateral vértice
Clases de prismas
Prisma triangular
base
(las bases son triángulos)
Prisma cuadrangular (las bases son cuadriláteros)
Prisma pentagonal
(las bases son pentágonos)
Prisma hexagonal, etc.
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Pirámides Poliedros con una sola base que puede ser cualquier polígono y sus caras laterales son triángulos. vértice arista lateral
cara lateral
base
arista básica
Clases de pirámides (según la base en: triangulares, cuadrangulares, pentagonales ...)
Desarrollo de una pirámide cuadrangular
Poliedros regulares Poliedros con todas sus caras iguales siendo éstas polígonos regulares
tetraedro 4 triángulos equiláteros
hexaedro o cubo 6 cuadrados
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 triángulos 12 pentágonos 20 triángulos equiláteros regulares equiláteros
Teorema de Euler
Caras + vértices = Aristas + 2; Aristas = Caras + vértices – 2
Cilindro
Cuerpo redondo cuyas bases son círculos y la cara lateral una superficie curva base
base
radio
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Cono
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Resúmenes MAT. 6º
Cuerpo redondo con una sola base (un círculo) y de cara lateral una superficie curva vértice
base
La esfera
radio Cuerpo redondo formado por una única superficie curva (La esfera no puede desarrollarse en una figura plana) radio
centro
Cálculo del área de un cuerpo geométrico 1º Calcular el área de cada polígono 2º Sumar todas las áreas Ej.
6 cm
3 cm área de la base (un cuadrado) = lado² área de la base = 3² = 9 cm² área de cada cara (un triángulo)= (base x altura) / 2 área de cada cara = (3 cm x 6 cm) / 2 = 18 cm² / 2 = 9 cm² área de las caras = área de una cara x 4 caras = 9 cm² x 4 = 36 cm² Área total de la pirámide = área de la base + área de las caras = 9 cm² + 36 cm² = 45 cm² Volumen de un cuerpo geométrico = Largo x ancho x alto = área base x altura Alto = 5 cm;
ancho = 3 cm;
Volumen = largo x ancho x alto Volumen = 5 x 3 x 10 = 150 cm³
largo = 10 cm
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UNIDAD 11
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Transformaciones geométricas
REFLEXIONES (Simetrías) Simetrías Dos figuras son simétricas respecto a una recta si, al doblar por dicha recta, se superponen. Esta recta es el eje de simetría.
Ejes de simetría de figuras planas C
A
E
B
F D
La recta AB no es eje de simetría;
La recta CD es eje de simetría; La recta EF es eje de simetría
Una figura es simétrica si existe una recta que la divida en dos partes iguales. Diremos que esta recta es un eje de simetría. Una figura puede tener más de un eje de simetría. Rotaciones (Giros) Mover una figura geométrica a partir de un punto (o) y con un determinado ángulo de giro (90º)
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Resúmenes MAT. 6º
Simetría axial Simetría de un objeto a partir de un eje de simetría Si doblamos por el eje de simetría y coinciden los vértices de la figura u objeto decimos que es una figura simétrica.
Traslaciones
Si trazamos desde cada vértice sendas rectas paralelas y sobre cada una de ellas marcamos puntos a una misma distancia, diremos que hemos aplicado a esta figura una traslación. Aplicar a una figura dos simétricas seguidas de ejes paralelos equivale a aplicarle una traslación. Frisos y mosaicos Frisos : Banda geométrica que se repite periódicamente e indefinidamente.
Mosaicos: Recubrimiento a partir de un módulo básico (tesela) sin dejar huecos
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Semejanza en el plano Dos objetos son semejantes si tienen la misma forma aunque cambie su tamaño
Dos polígonos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales A
B G
I
A´
F E
B´ G´
F´
H
E´ D
C I´
H´ C´ D´
Área de los polígonos irregulares (Descomposición de figura) 1º Se divide el polígono en áreas conocidas (paralelogramos, triángulos…) 2º Se calcula por separado cada una de estas áreas 3º Se suman los resultados de todas las áreas
A
Área del polígono = Área A + Área B + Área C B
C
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UNIDAD 12
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El mundo en el papel
Coordenadas geográficas Posiciones sobre la Tierra Para localizar un ponto en la Tierra se necesita de los meridianos (que pasan por los polos) y los paralelos (que van perpendiculares a los meridianos)
El paralelo más importante por dividir a la Tierra den dos hemisferios (el norte y el sur) es el ecuador. La latitud es la distancia de un punto respecto al ecuador.
El meridiano más importante es el de Greenwich (el primero adoptado por convenio) que pasa por Londres. La longitud es la distancia de un punto respecto del meridiano de Greenwich.
Ejes de coordenadas Lo forman dos ejes perpendiculares entre sí (el horizontal x y el vertical y) que se cortan en el origen (punto o) Nos indican de forma precisa un punto en el plano. Cada punto en el plano tiene dos coordenadas (x,y)
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Par ordenado Los pares ordenados localizan un punto en el plano. Se representan entre paréntesis y separados por una coma. El primer elemento del par pertenece al eje horizontal (x) y el segundo elemento pertenece al eje vertical (y) Ej. (3,1) ; (-2,4) ; (-4,-2) ; (2,-3)
Mapas y escalas El croquis Es la representación gráfica de un objeto o espacio a tamaño reducido, tal y como lo vemos desde arriba. Esta representación se realiza sin instrumentos Geométricos y de forma rápida.
Interpretación del plano de una localidad Representación vista desde arriba de las calles, los Edificios y las zonas más importantes que podemos encontrar en ella. Coordenadas de un plano Para localizar mejor un punto concreto sobre un Plano utilizamos el sistema de coordenadas. Escala de un mapa representa la proporción entre las medidas reales y las del mapa
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