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RESÚMENES de MATEMÁTICAS de 5º UNIDAD 9
3er. trimestre
Perímetro y áreas
Perímetro = a la suma de los lados del polígono Perímetro de un polígono regular = número de lados x longitud del lado P=nxl Superficie = área La superficie de una figura es la parte del plano que ocupa Unidades de superficie
El metro cuadrado (m²) es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado
Múltiplos y submúltiplos
km²
hm²
dam² m²
dm²
cm²
mm²
Para pasar de una unidad a otra se multiplica o divide por 100 Área de figuras planas Área del rectángulo:
Se obtiene multiplicando la base por la altura.
altura altura
altura = 15 cm base = 22 cm Área = 15 x 22 = 330 cm²
base
base Área del rectángulo = base x altura Área del cuadrado:
El cuadrado es un rectángulo peculiar por tener todos los lados iguales.
lado
Área del cuadrado = lado x lado (lado²) o (base x altura)
Área de los polígonos irregulares 1º Se divide el polígono en áreas conocidas (paralelogramos, triángulos…) 2º Se calcula por separado cada una de estas áreas 3º Se suman los resultados de todas las áreas A B
C
Área del polígono = Área A + Área B + Área C
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Área de otros polígonos Diagonal mayor
altura
base Diagonal menor
Rombo
Romboide diagonal mayor x diagonal menor
Área del rombo = 2 Área del romboide = base x altura
base x altura Área del triángulo =
altura
2
altura
base
base
altura
base perímetro x apotema Área de polígonos regulares = 2 Apotema = Distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados. 6 cm
apotema = 5 cm (6 x 6)x5 Área del hexágono regular =
= 90 cm² 2
apotema
Área de otras figuras = Todo polígono de puede descomponer en triángulos (en ocasiones también en rectángulos). Aplicar las áreas ya conocidas de estos polígonos.
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UNIDAD 10
Estadística y probabilidad
Variable estadística
Es cualquier característica que pueda observarse en un grupo
Nombre Pedro Juan Arturo
Lugar Playa Montaña Playa
Nº de días
Mes del año Agosto Julio Agosto
4 6 12
Nombre Lugar Nº de días Mes del año, Son variables estadísticas
Variables cuantitativas
Las expresadas numéricamente (Nº de días de vacaciones)
Variables cualitativas
Las expresadas sin números (Nombre, lugar, mes del año...)
Frecuencia absoluta
El número de veces que se repite un dato
Estación Primavera Verano Otoño Invierno
Nº de alumnos nacidos ****** ******** *** **
Frecuencia 6 8 3 2
La suma de las frecuencias absolutas = al nº total de datos Frecuencia relativa
Es la fracción cuyo numerador es la frecuencia absoluta de un dato y su denominador, el nº total de datos
Ej. si preguntamos por el gusto a distintos colores las respuestas pueden ser: Azul 8 Verde 2
amarillo naranja
4 5
rojo 10 marrón 4
El total de respuestas han sido 33 Las frecuencias relativas serían: Azul , amarillo, rojo, verde, naranja, marrón
8 + 33
10 2 5 4 4 + + + + 33 33 33 33 33
=
33 = 1 33
La suma de las frecuencias relativas de una serie de datos = 1
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Media y moda
Puntuación Frecuencia
Media:
3 4
5´6 7
6´2 10
7´9 7
8 8
8´5 4
9 2
9´1 1
9´9 3
Se calcula sumando los datos y dividiendo por el número de datos 3 + 5´6 + 6´2 + 7´9 + 8 + 8´5 + 9 + 9´5 + 9´8 = 67´5 67´5 : 9 = 7´5
Moda:
Es el dato que más se repite. En este caso 6´2 por repetirse en 10 ocasiones
Azar (suceso aleatorio)
Probabilidad
Cuando el suceso no puede predecirse. Existe una probabilidad para cada resultado
El número de veces que puede repetirse un suceso. La probabilidad puede representarse en forma de fracción
Ej. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado salga par? La probabilidad es 3 / 6 = 0,5 0,5 de 100 / 100 = 50% Suceso seguro:
Cuando es seguro que sucederá. Ej. al tirar un dado es seguro que saldrá un número del 1 al 6
Algunos tipos de diagramas Diagrama de barras En los diagramas de barras se representan gráficamente los datos y su frecuencia en forma de barras.
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Diagramas lineales Los datos y su frecuencia se representan mediante una línea.
Nº de alumnos
Color de pelo 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 rubios morenos castaños pelirrojo
Diagramas de sectores Cada sector circular representa un dato. El círculo completo representa el 100% de os datos
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UNIDAD 11 Tiempo Unidades mayores que el día Semana = 7 días;
mes = 30 días (para los problemas);
trimestre = 3 meses
Semestre = 6 meses; año = 365 ó 366 días;
trienio = 3 años;
Década = 10 años;
milenio = 1.000 años
siglo = 100 años;
lustro = 5 años
Unidades menores que el día Día = 24 horas (h); Forma incompleja
hora = 60 minutos (min);
minuto = 60 segundos (s)
Cuando expresamos el tiempo en una unidad 8. 358 s;
Forma compleja
700 min.
Cuando la expresamos el tiempo en más de una unidad. 1 h 24 min. 56 s
Paso de complejo a incomplejo y viceversa 1 h 34 min. 35 s
1 h x 60 = 60 min.; 34 min. + 60 min. = 94 min. 94 min. x 60 = 5.640 s; 5.640 s + 35 s = 5.675 s
5.675 s 8.999 s
8.999 s 60 149 min. 60 59 s 2h 29 min
2 h 29 min. 59 s Operaciones con unidades de tiempo Suma
Se colocan una debajo de otra haciendo coincidir las distintas unidades y se suman cada una de ellas de forma independiente. Si alguna de ellas supera al 60, se transforman a la unidad de orden inmediatamente
superior
Resta
40 h + 12 h
18 min. 14 s 20 min. 24 s
10 h + 24 h
31 min. 54 s 45 min. 26 s
52 h
38 min. 38 s
35 h
17 min. 20 s
Se colocan unas debajo de otra haciendo coincidir las distintas unidades y se restan cada una de ellas de forma independiente. Si se necesita alguna unidad para poder restan se sacan de la unidad anterior. 54 h - 24 h
35 min. 24 s 13 min. 13 s
30 h
22 min. 11 s
4 h 23 min. 34 s - 3 h 45 min. 25 s
3h 3h
83 min. 34 s 45 min 34 s 38 min.
9s
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UNIDAD 12
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Círculo y cuerpos de revolución
La circunferencia y sus elementos Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Elementos de la circunferencia: RADIO:
Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
CUERDA:
Es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. La mayor de las cuerdas es el diámetro.
DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro. El diámetro es el doble del radio. ARCO:
Parte de la circunferencia limitada por dos puntos
Toda cuerda divide a la circunferencia en dos arcos. Si la cuerda es un diámetro, los arcos son iguales y cada uno de ellos es una semicircunferencia.
C A
B O
AB OC DE CB
Diámetro Radio Cuerda Arco
D E Semicircunferencia
Longitud de la circunferencia: La longitud = Ø x L=Øx
π;
π
(diámetro por pi)
L=2x
π
= 3´1416
πxr;
π es una letra griega que significa pi
y que tiene un valor de 3´14 que es el número de veces que la longitud de la circunferencia, contiene a la longitud de su diámetro.
Área del círculo:
π x r² L = Ø x π; L = 2 x π x r ; Área del círculo =
π = 3´1416
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Grado sexagesimal Para medir ángulos necesitamos como unidad otro ángulo, es el grado sexagesimal. Grado sexagesimal (contar de 60 en 60) es el ángulo que obtenemos al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Ángulo recto = 90º
1º = 60´ x 60
x 60 Grado : 60
: 60 Cuerpos redondos
1´ = 60´´ minuto
segundo
Los cuerpos geométricos con alguna superficie curva
Cuerpos de revolución Son cuerpos geométricos redondos obtenidos mediante el giro de una figura plana alrededor un eje.
Cilindro
Cuerpo redondo cuyas bases son círculos y la cara lateral una superficie curva base
base
Cono
radio
Cuerpo redondo con una sola base (un círculo) y de cara lateral una superficie curva vértice
base
radio
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La esfera
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Cuerpo redondo formado por una única superficie curva (La esfera no puede desarrollarse en una figura plana) radio
centro
Posiciones sobre la Tierra Para localizar un ponto en la Tierra se necesita de los meridianos (que pasan por los polos) y los paralelos (que van perpendiculares a los meridianos)
El paralelo más importante por dividir a la Tierra den dos hemisferios (el norte y el sur) es el ecuador. La latitud es la distancia de un punto respecto al ecuador.
El meridiano más importante es el de Greenwich (el primero adoptado por convenio) que pasa por Londres. La longitud es la distancia de un punto respecto del meridiano de Greenwich.
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UNIDAD 13 Los conjuntos
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Divisibilidad y potencias Son una colección de objetos (individuos, elementos) que pueden clasificarse gracias a las características que tienen en común Por ejemplo, la ropa que llevas: podrían ser zapatos, calcetines, sombrero, camisa, pantalones y otras cosas. Esto es un conjunto.
Conjunto de un número Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es una propiedad común. Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...} Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9} Múltiplos de N
Un número es múltiplo de otro si encontramos otro nº que multiplicado por éste dé el primero. 2, 4, 6, 8 y 10 son múltiplos de 2 3, 9, 12, 15 son múltiplos de 3 14, 21, 28 y 35 son múltiplos de 7 Un nº puede ser múltiplo de varios a la vez: 6 es múltiplo de 2 y 3 Todos los N tienen infinitos múltiplos.
Determinación de múltiplos Para determinar los múltiplos de cualquier nº, basta con multiplicar este nº por cada uno de los N Múltiplos de 3 ... Escribimos: Leemos:
3 x 0 = 0; 3 x 1 = 3; ... 3 x 11 = 33; ... M(3) = {0, 3, 6, 9, ... 33, 36, ...} 24 es múltiplo de 6 24 = 6 81 es múltiplo de 9 81 = 9
. .
Propiedades de los múltiplos El cero es múltiplo de cualquier número 5 x 0 = 0; 12 x 0 = 0 Todo nº es múltiplo de sí mismo 5 x 1 = 5; 12 x 1 = 12 La suma y el producto de múltiplos de números son también múltiplos de este número. Si un nº es múltiplo de otro y éste lo es de un tercero, el primer nº es múltiplo del tercero. Divisores de N
Un nº es divisor de otro si al efectuar la división el resto es cero. El 2 es divisor de 24 porque... 24 : 2 = 12 y resto 0 Si un nº es múltiplo de otro, éste es divisor del primero. 7 x 3 = 21 3 es divisor de 21; 7 es divisor de 21
Determinación de divisores
Divisores de 18 D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
1 x 18 2x9 3x6
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Para indicar que un número es divisor de otro, se escribe: 9 18;
9 es divisor de 18 ó 18 es divisible por 9
5 50;
5 es divisor de 50 ó 50 es divisible por 5
Propiedades de los divisores 1 es divisor de cualquier número
7:1=7
Todo nº es divisor de sí mismo
14 : 14 = 1
Si un nº es divisor de otro y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. 3 es divisor de 9 y 9 es divisor de 27; Los divisores son finitos
3 es divisor de 27
D(10) = {1, 2, 5, 10}
Divisibilidad Criterios de divisibilidad
Reglas que permiten saber directamente si un nº es o no divisible por otro.
Divisibilidad por 2
Un nº es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par
Ej.
678
Divisibilidad por 3
Divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Ej.
312
Divisibilidad por 4
El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. Ej. 4500: por terminar en 00 7324: porque 24 es múltiplo de 4
Divisibilidad por 5
Divisible por 5 si termina en 0 o en 5
Divisibilidad por 6
Los divisibles por 2 y por 3 a la vez
Divisibilidad por 8
El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9
Ej. 1.763.240 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ej. 41.283 , 4+1+2+8+3 = 18; 1+8 = 9
Divisibilidad por 10
si termina en 0
Divisibilidad por 11
Divisible por 11 siguiendo estos pasos: (Ej. ¿es divisible por 11 el nº 5.038) 1. Se suman las cifras de los lugares pares (5 + 3= 8) 2. Sumamos las cifras de los lugares impares (0 + 8= 8) 3. Se restan las cantidades (8 – 8 = 0) 4. Si el resultado de la resta es 0 o múltiplo de 11, el número es divisible por 11.
Ej. 4535 Ej.
678
Ej.
3450
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Números primos y compuestos Primos:
Aquellos nº mayores que 1 y que tienen como divisores la unidad y el mismo nº
Compuestos: Los números distintos de 0 que no son primos se llaman compuestos 7, 11, 13, 47 son primos por ser divisibles solo por 1 y por sí mismos D(10)={1, 2, 5, 10} el 10 es compuesto por tener más de dos divisores El nº 1 es un nº especial que no se considera ni primo ni compuesto
Potencia de N
Un producto de factores iguales
4 x 4 x 4 = 4³
Exponente Base Leer una potencia
6³ = 216
Resultado
Para leer una potencia, se nombra el número de la base seguido de elevado a y, a continuación , el número del exponente . Si el exponente es 2 ó 3, puede nombrarse el número de la base seguido de la expresión al cuadrado o al cubo, respectivamente.
Cuadrados perfectos A los números que son cuadrados de un N 4 es cuadrado perfecto porque 4 = 2² ; 121 es cuadrado perfecto porque 121 = 11² ;
2² = 3² = 4² = 5² = 6² = 7² = 8² = 9² = 10² =
4 9 16 25 36 49 64 81 100