Simplificación y ley de la conjunción

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Simplificación y Ley de la conjunción.

SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.

La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.

A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.

1.- Simplificar la expresión:

[(p p)  q]  [q  (r  q)]  [p  (p  q)]

Recuerde Ubicar la ley que utiliza

[(p  p)  q]  [q  (r  q)]  [p  (p  q)]  Impla. Material [(p  p)  q]  [q  (r  q)]  [(p  p)  q]  Asociativa (v  q)  [q  (r  q)]  (v  q)  Complemento v  [q  (r  q)]  v  Dominancia v  v  [q  (r  q)]  Asociativa v  [q  (r  q)]  Idempotencia q  (r  q)  Elemento Neutro (q  r)  (q  q)  Distributiva (q  r)  v  Complemento q  r

Elemento Neutro

2.-Simplificar

[(p  q)  (p  q)]  (p  q) [(p  q)  (p  q)]  (p  q)  Ley de Morgan [p  (q  q)]  (p  q)  Distributiva

(p  v)  (p  q)  Complemento p  (p  q)  Elemento Neutro (p)  (p  q)  Implicación Material p  (p  q)  Doble Negación (p  p)  (p  q)  Distributiva v  (p  q)  Complemento pq

Elemento Neutro

3. [(P ¬Q)  ¬P ]  Q ¬ [¬ (¬P v ¬Q) v ¬P ] v Q Implicación Material [¬ ¬ (¬P v ¬Q) Λ ¬¬P ] v Q Morgan [ (¬P v ¬Q) Λ P ] v Q Doble Negación [ P Λ (¬P v ¬Q) ] v Q Conmutativa [ (P Λ ¬P ) v (P Λ ¬Q) ] v Q Distributiva [ F v (P Λ ¬Q) ] v Q Complemento (P Λ ¬Q) v Q Elemento Neutro Q v (P Λ ¬Q) Conmutativa (Q v P) Λ (Q v ¬Q) Distributiva (Q v P) Λ V Complemeto (Q v P) Elemento Neutro

4. [(P Λ Q)  ¬R] v [P  (Q ¬R)] [¬ (P Λ Q) v ¬R] v [¬P v (¬Q v ¬R)] Implicación Material [(¬P v ¬Q) v ¬R] v [¬P v (¬Q v ¬R)] Morgan ¬P v ¬Q v ¬R v ¬P v ¬Q v ¬R (¬P v ¬P) v (¬Q v ¬Q) v (¬R v ¬R) Asociación ¬P v ¬Q v ¬R Idempotencia ¬(P Λ Q Λ R) Morgan

LEY DE LA CONJUNCIÓN En razonamiento formal, una conjunción lógica ( ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección( ). En algebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ).

En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica.

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y cierto: C:

Y una operación binaria interna conjunción

, que representaremos

:

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Lenguaje formal Si declaraciones en un lenguaje formal representan proposiciones en lógica proposicional con contenido de verdad o falsedad, entonces una conjunción lógica es cierta solo si ambas declaraciones son ciertas.

Algebra Booleana Dado un conjunto B = {0, 1}, se define · como una función tal que: 0·0=00·1=01·0=01·1=1

Redes Neuronales La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades: •

1. La ley asociativa:

•

2. Existencia del elemento neutro: • 3. La ley conmutativa:

•

4. Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

• 5. Existe elemento complementario:

La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo: •

Cero y cero:

•

Cero y uno:

• Uno y cero:

•

Uno y uno:

• Para cuatro bit: